10. Ángulos y Triángulos Introducción Cada vez que giramos, generamos un ángulo.Lo mismo ocurre cuando abrimos o cerramos una puerta o con el movimiento de las agujas de un reloj. Para la geometría, el ángulo es un conjunto de puntos y por lo tanto una figura de dos lados. Cuando medimos (con unidades sexagesimales), en realidad estamos midiendo su abertura. Es de fundamental importancia porque su descubrimiento, hace ya miles de años, le ha permitido al hombre resolver problemas científicos y técnicos, por ejemplo la construcción de herramientas, máquinas y obras de ingeniería. La primera aplicación de los triángulos fue en el antiguo Egipto, cuando los agricultores lo utilizaron para demarcar sus terrenos luego de las inundaciones del rio Nilo, hoy sabemos que es invalorable a la hora de realizar construcción por ser una figura rígida. [1] 10.1 Angulo Definición.- ³El ángulo es una porción del plano determinado por dos semi ±rectas que tienen origen común´. El origen ³O´ de las semi- rectas se llama vértice del ángulo y las semi ±rectas OA y OB son los lados del ángulo. Los ángulos se denotan de las siguientes maneras: y y y Con una letra griega escrita en el interior ( , , «). Con tres letras mayúsculas, una en el vértice y dos en los lados, escribiendo al medio la letra del vértice. Con un número escrito en el interior del ángulo [2] Sistemas de medidas de ángulos.- Entre los tenemos: sistemas más importantes para medir 1.- Sistema sexagesimal.- Este sistema divide a la circunferencia en 360 partes iguales. Cada una de esas partes recibe el nombre de grado sexagesimal o simplemente grado y se lo representa mediante un cero pequeño (°), cada grado a su vez se divide en 60 minutos ('), y cada minuto en 60 segundos ( ) igual que en el sistema horario. [9] Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos. .Su sistema de numeración es en base 60. se divide dicho número entre 60. el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos. 1h 1º 60 min 60' 60 s 60'' Operaciones en el sistema sexagesimal Suma 1er paso Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados). y se suman. 3er paso Se hace lo mismo para los minutos. 2o paso Si los segundos suman más de 60. los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos. (Un grado centesimal) . Caso de que no sea posible. los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos..14. A continuación restamos los segundos.En este sistema se usa como unidad el ángulo llamado "radián".28 radianes. 3er paso Hacemos lo mismo con los minutos. Un radián equivale a 57°18' (se obtiene dividiendo 360° entre 2 ) [4] 3.Sistema Circular.Sistema Centesimal. que equivale a la centésima parte del ángulo recto. 2o paso Se restan los segundos.. dándole a el valor de 3. [3] 2.-La unidad de medida angular es igual al grado centesimal. Como la longitud de una circunferencia es 2 radianes. convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. es decir 6. Un radián es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.Resta 1er paso Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados).. un Geodesta francés y en la actualidad dicho sistema se utiliza en el ejército de su país de nacimiento. los ángulos pueden ser: . [5] 10. Dos ángulos son suplementarios cuando su suma de ambos es igual a 180°. que es el arco que equivale a las 400 ava s partes de la circunferencia. Este sistema quiso desplazar con su uso al sistema sexagesimal. Son dos ángulos cuya suma es igual a 90°.. Son aquellos que miden más de 90°.. b) Ángulo Recto. 1.Según su posición. Náuticas y astronómicas y cambiar la graduación de muchísimos aparatos. Borda.C. d) Ángulo Llano.Según su magnitud pueden ser: a) Ángulo Agudo. Fue ideado por J.Según su característica los ángulos pueden ser: a) Ángulos Complementarios. b) Ángulo Suplementario. su característica ó su posición.1. c) Ángulo Obtuso.1 Clasificación de los Ángulos Los ángulos se clasifican según su Magnitud. Son los que miden más de 180° y menos de 360° 2.. Son aquellos que miden menos de 90°.Los submúltiplos son: (Un minuto centesimal) (Un segundo centesimal) Las unidades de arco en este sistema es el grado centesimal. Son aquellos cuya medida es igual a 90°. pero no resulto práctico porque para su empleo era necesario modificar las tablas y cartas geográficas. a) b) 3. Son los que miden 180° e) Ángulo Cóncavo. Cualquier cantidad es igual a sí misma. 1.Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.. 3.2 Bisectriz de un Ángulo Se llama bisectriz de un ángulo a la semi recta que tiene su origen en el vértice del ángulo y divide a éste en dos partes iguales. El todo es mayor que una de sus partes. Entre los más importantes se tiene: 1. b) Ángulo Adyacente. c) Ángulos opuestos por el vértice. Si el ángulo es Propiedades: la bisectriz OP divide a en dos partes iguales a /2. a) b) c) <BAC es adyacente con <DAC < 1 = <3 y <2 = < 4 10. Axiomas.Son proposiciones que se aceptan como verdad. son necesarias al empezar una teoría y se aplican de manera general. 5.a) Ángulos Consecutivos. . 2. son dos ángulos consecutivos cuyos lados no comunes son semi restas opuestas.1. 4. son aquellos por cuyos lados son semi rectas opuestas..Las bisectrices de los ángulos adyacentes son perpendiculares entre sí. postulados y teoremas Axiomas.. Todo puede ser reemplazado por su igual. El todo es igual a la suma de sus partes. 2. son aquellos que tienen su vértice y un lado común. .. b) La tesis. se llama Proposición Reciproca y cuando la proposición recíproca es también verdadera. Por dos puntos solo puede pasar una recta. . Si a los dos miembros de una igualdad se resta una misma cantidad: la igualdad se mantiene. Por un punto de una recta se puede trazar una perpendicular a ella. son necesarias al empezar una teoría y se aplica a una rama particular de la matemática. es lo que se asume como verdad (dato). 10.En la demostración de un teorema se debe seguir el siguiente procedimiento. Los puntos de intersección son los vértices del triángulo y los segmentos determinados por los puntos de la intersección son los lados del triángulo. 5. 6. Constan de dos partes.Cuando en una proposición se intercambia la hipótesis y la tesis. Hacer un dibujo apropiado utilizando notaciones y marcas convenientes.. La recta es la línea de menor longitud que se puede trazar entre dos puntos.. La bisectriz de un ángulo es única. Si a los dos miembros de una igualdad se suma una misma cantidad: la igualdad de mantiene. Todos los ángulos rectos son iguales. es la parte que se quiere demostrar(conclusión) Ejm. 9. 3. Postulado. Demostración de un teorema. 2.Es una porción del plano limitada por tres rectas que se cortan de dos en dos. Teorema. 7. Si a los dos miembros de una igualdad se divide una misma cantidad: la igualdad se mantiene. El punto medio de un segmento de recta es único. a) Hipótesis. Si a los dos miembros de una igualdad se multiplica una misma cantidad: la igualdad se mantiene. Recíproco de un teorema. 4.2 Triángulo Definición. recibe el nombre de teorema Recíproco. Anotar el símbolo de la hipótesis (H) y la tesis (T). 8. Dos rectas que se cortan tienen un solo punto en común.Son proposiciones que se aceptan como verdaderas. Determinar la hipótesis y la tesis 1.Son proposiciones verdaderas que es necesario su demostración para ser aceptadas como tales. Los complementos de un mismo ángulo o de ángulos iguales son iguales.6. Entre los más importantes se tiene: 1. 2.. Son aquellos formados por cada par de lados consecutivos del triángulo. CA. B. lados. Teorema. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. Se denominan por tres letras mayúsculas de los vértices o por una letra griega ubicada entre los lados del ángulo. YZ o por una letra minúscula (a.Los ángulos formados por dos lados del triángulo se llaman ángulos interiores y los ángulos formados por un lado y la prolongación de otro lado se llama ángulos exteriores. [2] 10. .. son los segmentos de la poligonal. XY. c) que corresponde a la letra que nombra el vértice opuesto (A. b..2. Ángulos interiores. B. C«Z. Lados. BC. C). son los puntos de origen de los segmentos se denotan con letras mayúsculas A. Vértice. ángulos interiores y ángulos exteriores.1 Elementos Un triángulo está formado por elementos primarios y secundarios: y Elementos primarios Corresponden al vértice. . Se designan por las dos letras de sus extremos coronadas por un pequeño trazo: ² ² ² ² ² AB. un ángulo resto b) Triángulo obtusángulo. tiene dos lados iguales. Un ángulo obtuso c) Triángulo acutángulo. a) b) c) [2] 10.2. Mediatriz y Altura [6] 10. tres ángulos agudos.3 Base Media .2.2 Clasificación Se clasifican por sus lados. 1. a) b) c) 2. Bisectriz Interior. por sus ángulos. son ángulos formados por un lado del triángulo y la prolongación de otro hacia la región exterior. tiene tres lados iguales c) Triángulo Isósceles. tiene tres lados desiguales b) Triángulo Equilátero. La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es 360° y Elementos Secundarios En estas se encuentran la Mediana. Se denotan generalmente por la letra del ángulo interior adyacente con su sub índice o con letras griegas.Ángulos exteriores.-Por sus Ángulos a) Triángulo rectángulo. Teorema. Por sus lados a) Triángulo Escaleno. Bisectriz interior. segmentos y Puntos notables de un triángulo En todo triángulo existen puntos que cumplen funciones específicas.Es la recta perpendicular en el punto medio de cada lado del triángulo. BF = CF Lados homólogos 9. H) E punto medio de AB EF // AC T) BF = CF EF = AC 2 Demostración 1. EF = CG Lados homólogos 10.-Es el segmento de resta que biseca el ángulo interior de un triángulo y llega hasta el lado opuesto. los principales son los siguientes. EB = AE = FG E punto medio de AB 7. El punto de intersección de las medianas se llama Baricentro. EF//AC Hipótesis 3. ésta paralela pasa por el punto medio del tercer lado.L. . que es el centro de la circunferencia inscrita. <BEF = <FGC Lados Paralelos 5.. BEF = CFG A.. El punto de intersección de las bisectrices se llama Incentro. <ABC = <GFC Correspondientes 4. AE = FG Segmentos entre paralelas 6.. Mediatriz.(paralela media) y es igual a la mitad del tercer lado. EF = AG Segmento entre paralelas 10. 2. El punto de intersección de las mediatrices se llama Circuncentro..Es el segmento de la recta que va desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto de un triángulo.Teorema Si desde el punto medio del lado de un triángulo se traza una paralela al otro lado.FG// AB Construcción 2.3 Rectas. 3.Mediana. que es el centro de la circunferencia circunscrita.A 8. 1. 4.A).L.L).Dos triángulos son congruentes.L).A. El punto de intersección de las alturas se llama Ortocentro...Dos triángulos son congruentes.Es el segmento perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto.4 Congruencia de triángulos. Definición. 10. 3.4. si dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos son iguales a los correspondientes elementos del otro (A. 10.4.-Se llama triángulos congruentes a los que tienen igual forma y tamaño.Dos triángulos son congruentes. .A..Altura. o la prolongación del mismo..L).L.2 Postulados 1. 2..Dos triángulos son congruentes. si un lado y los dos ángulos continuos de un triángulo son iguales a los correspondientes elementos del otro triángulo (A. Por lo tanto sus lados y sus ángulos correspondientes son iguales. si los tres lados de un triángulo son iguales a los correspondientes lados del orto triángulo (L. si tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales (L. .4. = 40°. Propiedades 1.Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.Si los lados de un triángulo son iguales. Para realizar gráficamente debes tener en cuanta: Trazar el ángulo del minuendo y luego se sobre pone el ángulo del sustraendo a partir del ángulo minuendo la diferencia de ángulos está entre el lado inicial del minuendo y el lado final del sustraendo. realiza la adición. luego a partir del lado final de este ángulo se traza el siguiente ángulo.Casos particulares 1. = 30°.. [2] 10.3 Aplicaciones a.-Dos Triángulos rectángulos son congruentes si tienen la hipotenusa y un ángulo agudo igual..Dados los ángulos: =25°. . 3. 4.Desde el punto de vista matemático los ejercicios se lo pude plantear de la siguiente manera. 1. = 70°..En todo triángulo isósceles las líneas notables correspondientes al vértice se superponen..Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales los ángulos agudos y un cateto. 2..En todo triángulo equilátero las líneas notables se confunden entre si se traza del mismo vértice. 2.. = 30°. Operaciones con ángulos Adición a adición de ángulos es similar al de adición de segmentos para obtener gráfica mente primero se traza uno de los ángulos..Dados los ángulos: =25°. entonces los ángulos opuestos a ellos también son iguales. 2. realiza la sustracción gráficamente. a) b) 6. . a) b) En el mundo real los ángulos y triángulos nos sirven para la construcción de casas. manualidades«etc.Resuelve Resuelve 3. <AOB:< BOC = 2:1. y justifica tu respuesta- 5.Las profesiones que la aplican son: Arquitecto. Carpintero. Albañil...Determina la medida de los ángulos desconocidos. b.OD OA y OC es bisectriz del ángulo AOD.. Ingeniero.Se tiene a + 40° = 180° y b + 140° = 180° entonces a + b = ? 4. muebles y diversas formas de edificaciones. <BOD = ? Determina la medida de los ángulos X y Y .. Partiendo de un triángulo rectángulo como el de la figura 1 y utilizando cuatro de ellos. El origen de la palabra cateto es griego y significa ³perpendicular´ o ³línea que cae a plomo´.10. Pero la figura 2 se descompone en 4 triángulos y un cuadrado más pequeño. Figura 1 Figura 2 En la figura 2. El área que obtenemos sumando las cinco partes es c2+4(ab/2) = c2+2ab.4 Teorema de Pitágoras El teorema de Pitágoras es considerado como una de las demostraciones más impresionantes de la geometría. Los egipcios lo utilizaron de una forma práctica para la construcción de ángulos rectos. pero se le atribuye a Pitágoras porque fue quien lo demostró.d. En un triángulo rectángulo. Los catetos del triángulo rectángulo son los otros dos lados que se representan por las letras ³a´ y ³b´. construimos la figura 2. el área del cuadrado grande es (a+b)2. este ya había sido descubierto por los babilonios hace miles de años. [7] Teorema.). .e. mucho antes de los tiempos de Pitágoras. De aquí obtenemos que (a+b)2 = c2+2ab. Una de las demostraciones más antiguas es la siguiente. y simplificando a2+b2 = c2. La hipotenusa de un triangulo rectángulo es opuesta al ángulo recto y es el lado más largo del triángulo rectángulo.4. en este caso se representa por la letra ³c´. hecho que fue de gran utilidad a la hora de realizar obras arquitectónicas. (q. el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. es decir. Mesopotamia y Egipto. Este teorema era conocido en China. a2+2ab+b2 = c2+2ab. Demostración. cuando la sombra que proyecta es de 120 metros y AB mide 156 metros? . Es decir. nos queda: que después de simplificado resulta: [8] Ejemplo ¿Cuál es altura del edificio. como en la figura de la derecha. el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo: Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos: si ahora desarrollamos el binomio . es decir b+c. más lo que mide el cateto c.Demostración: Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b. El área de este cuadrado será (b+c)2. Se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules Más el área del cuadrado amarillo . Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos. de altura se quiebra por el viento de manera tal que la punta toca al suelo a 6 m.-Si un Eucalipto de 16 m. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento. 2.67 metros Aplicación 1. ¿ha qué altura a partir del suelo fue quebrado el Eucalipto? . de distancia de la base.Para ello utilizará el teorema de Pitágoras 1) c2=a2+b2 Despejando ³a2´ tenemos: 2) a2=c2-b2 Sustituyendo valores en la ecuación 2 tenemos: a2 = (156)2-(120)2 a2 = 24336-14400=9936 a= a = 99.-Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. [5] http://es. [2] http://www. Dr RDOLFO Sturm Lic. Lic.terra.Universisa Mayor de San Simon. [1] Lic.com/doc/46984647/Elementos-de-un-triangulo 10:00 am 6 de marzo de 20011[7] http://www.htm 11:22 pm del 18 de marzo[4] Dr.gob. ³Matemáticas 7 primaria´.scribd.es/personal/arey42/pitagora. ³El mundo de las Matemáticas´.scribd. ³Enciclopedia Estudiantil de la Matemática II´.com/doc/46984647/Elementos-de-un-triangulo 10:00 am 6 de marzo de 2011 [6] http://es. 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