Anexo C: Problemas Resolvidos e PropostosJorge A. Villar Alé C-1 A AP PO OS ST TI IL LA A D DE E M ME EC CÂ ÂN NI IC CA A D DO OS S F FL LU UI ID DO OS S P PR RO OB BL LE EM MA AS S R RE ES SO OL LV VI ID DO OS S E E P PR RO OP PO OS ST TO OS S ( (2 20 01 11 1) ) Mecânica dos Fluidos PUCRS C-2 1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS (CAP.2) ................................................. 4 1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS E PRESSÃO ( CAP.2 E CAP.3) .................... 10 1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2) ............................................ 13 1.4 PROBLEMAS PROPOSTOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2) ............................................. 20 1.5 PROBLEMAS RESOLVIDOS – MANOMETRÍA. (CAP.3)....................................................................... 23 1.6 PROBLEMAS PROPOSTOS - CONCEITOS DE PRESSÃO (CAP3) ..................................................... 28 1.7 PROBLEMAS RESOLVIDOS - CINEMÁTICA DOS FLUIDOS (CAP4) ...................................................... 32 1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS – CINEMÁTICA (CAP.4)........................................................................... 42 1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS – CONSERVAÇÃO DA MASSA (CAP.5)...................................................... 44 1.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO (CAP.5) .............................................. 50 1.11 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO................................................... 60 1.12 PROBLEMAS RESOLVIDOS – ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.6 E CAP.7) ......................... 63 1.13 PROBLEMAS PROPOSTOS - PERDA DE CARGA EM TUBULAÇÕES (CAP.7) ....................................... 79 1.14 PROBLEMAS PROPOSTOS - ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.7 E CAP.8).......................... 82 1.15 PROBLEMAS RESOLVIDOS - ANÁLISE DIMENSIONAL (CAP.9) ........................................................ 84 1.16 PROBLEMAS ADICIONAIS............................................................................................................ 87 Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-3 E EX XE EM MP PL LO OS S P PR RO OP PR RI IE ED DA AD DE ES S D DO OS S F FL LU UI ID DO OS S C CA AP P 2 2 Mecânica dos Fluidos PUCRS C-4 1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Propriedades dos Fluidos (Cap.2) [ 1 ] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg. [ 2 ] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m 3 determine a massa específica, peso específico e densidade do óleo. [ 3 ] Se 6,0m 3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido. [ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10 -2 m 3 . Determine a massa específica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no tanque é 21 0 C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) [ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10 -3 N.s/m 2 e uma massa específica de 0,85 kg/dm 3 . Determinar a sua viscosidade cinemática. [ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 2 K N m − em termos da altura de coluna de água de massa específica ρ = − 1000 3 kg m , e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica ρ = × − 13 6 10 3 3 . kg m . Utilizando p gh = ρ . [ 7 ] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 10 0 C e profundidade máxima do lago de 40m. Se a pressão barométrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região de mais profundidade do lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54. [ 8 ] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa. [ 9 ] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manométrica. A pressão atmosférica local é de 101,0 kPa. [ 10 ] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão atmosférica local é igual a 100 kPa. [ 11 ] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm 2 . Determinar a pressão absoluta em kgf/cm 2 , Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm 2 e a densidade do mercúrio igual a 13,6. [ 12 ] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m 2 e densidade igual a 0,91 escoando num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o valor do número de Reynolds. [ 13 ] Em um reservatório contendo glicerina, com massa=1200 kg e volume=0,952 m³. Determine: a) peso da glicerina; b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina. [ 14 ] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: KAR = 1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou incompressível? c) subsônico ou supersônico? [ 15 ] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-5 Solução dos Problemas - Propriedades dos Fluidos [1] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg. kN N s m kgx w mg w 093 , 8 ou 25 , 8093 81 , 9 825 2 = = = [2] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m 3 determine a massa específica, peso específico e densidade do óleo. Massa específica 3 3 900 67 , 899 917 , 0 825 m kg m kg V m ≅ = = = ρ Peso específico 3 2 3 8 , 8825 81 , 9 67 , 899 m N s m x m kg g = = = ρ γ Também poderia ser determinada como 3 3 8 , 8825 917 , 0 25 , 8093 m N m N V w = = = γ densidade ) 4 ( ) 4 ( 2 2 c a O H fluido c a O H fluido d o o γ γ ρ ρ = = 90 , 0 89967 , 0 1000 67 , 899 ) 4 ( 2 ≅ = = = c a O H fluido d o ρ ρ [3] Se 6,0m 3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido. Peso específico 3 34 , 7833 6 1000 47 m N x V W = = = γ Massa específica 3 51 , 798 81 , 9 34 , 7833 m kg g = = = γ ρ m m xs s m kg m m Ns s m m N g 3 2 2 3 2 2 3 . . = = = = γ ρ Densidade 80 , 0 1000 51 , 798 0 2 4 0 = = = C a H óleo d ρ ρ Mecânica dos Fluidos PUCRS C-6 [ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10 -2 m 3 . Determine a massa específica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no tanque é 21 0 C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) A pressão absoluta é Pabs=Pman+Patm=340kPa + 101,3kPa= 441,3 kPa. A temperatura absoluta é Tabs(K) =T( o C) + 273= 21+273=294 K A massa específica pode ser determinada com a lei dos gases perfeitos 3 23 , 5 294 287 1000 3 , 441 m kg x x RT P = = = ρ As unidades são: ( ) 3 2 2 . . . . m kg xK m m N K kg N K x kgK Nm m N RT P = = = = ρ O peso de ar contido no tanque é igual a N x x x g W 22 , 1 10 38 , 2 81 , 9 23 , 5 2 = = ∀ = − ρ Conferindo as unidades: ( ) N s m kg m s m m kg g W = = = ∀ = 2 3 2 3 . ρ [ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10 -3 N.s/m 2 e uma massa específica de 0,85kg/dm 3 . Determinar a sua viscosidade cinemática. s m x kg m s s kgm x kg m s N x m kg m Ns x 2 6 2 6 6 3 2 3 10 88 , 5 . . 10 88 , 5 . . 10 88 , 5 850 10 5 − − − − = = = = = ρ µ ν [ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 2 K N m − em termos da altura de coluna de água de massa específica ρ = − 1000 3 kg m , e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica ρ = × − 13 6 10 3 3 . kg m . Utilizando p gh = ρ . Solução Em termos de coluna de água: água de 95 . 50 81 . 9 1000 10 500 3 m g p h = × × = = ρ Em termos de coluna de mercúrio com ρ = × − 13 6 10 3 3 . kg m . mercúrio de 75 . 3 81 . 9 10 6 . 13 10 500 3 3 m h = × × × = Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-7 [7] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 10 0 C e profundidade máxima do lago de 40m. Se a pressão baromêtrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região de mais profundidade do lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54. A pressão da água, em qualquer profundidade h, é dada pela equação: gh p p ρ + = 0 Onde po é a pressão na superfície do lago que representa a pressão atmosférica local (patm). Como patm foi dada em coluna de mercúrio devemos kPa m kg x gh p atm 43 , 79 m N 79430,79 x0,598m s m x9,81 1000 54 , 13 2 2 3 = = = = ρ Desta forma para o fundo do rio (h=40m) para água a 10 0 C a qual corresponde uma massa especifica de 1000kg/m 3 podemos determinar a pressão absoluta como. kPa kPa kPa x x kPa gh p p 472 4 , 392 43 , 79 40 81 , 9 1000 43 , 79 atm ≈ + = + = + = ρ [8] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa. kPa kPa kPa p P p man 253 0 , 98 155 atm abs = + = + = [9] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manomêtrica. A pressão atmosférica local é de 101,0 kPa. kPa kPa kPa p p P man 0 , 124 0 , 101 0 , 225 atm abs = − = − = [10] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão atmosférica local é igual a 100 kPa. kPa kPa kPa p p p vac 30 70 100 atm abs = − = − = [11] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm 2 . Determinar a pressão absoluta em kgf/cm 2 , Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm 2 e a densidade do mercúrio igual a 13,6. atm abs p P p man + = em kgf/cm 2 2 abs 3 2 1 cm kgf p = + = Sabemos que 1 kgf =9,81N, desta forma e que 1cm 2 = (1/100) 2 m 2 . Desta forma. • Pressão em Pascal. kPa x x m kgf N x cm kgf p 3 , 294 100 81 , 9 0 , 3 100 1 81 , 9 0 , 3 2 2 2 2 abs = = = • Coluna de água água de coluna de 30 81 . 9 1000 10 3 , 294 3 0 2 m g p h H = × × = = ρ • Coluna de mercúrio considerando d=13,6. mercúrio coluna de 2 , 2 81 , 9 1000 6 , 13 10 3 , 294 3 m x g p h Hg = × × = = ρ Mecânica dos Fluidos PUCRS C-8 [12] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m 2 e densidade igual a 0,91 escoando num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o valor do número de Reynolds. O número de Reynolds é definido como µ ρ ν VD VD = = ou Re a massa específica do fluido é determina em função da densidade 3 3 0 910 1000 91 , 0 2 m kg m kg x d H = = = ρ ρ 156 38 , 0 910 025 , 0 6 , 2 Re ≅ = = x x VD µ ρ Conferindo as unidades ( ) al adimension - 1 . . . Re 2 2 3 2 3 2 3 = = = = = s m m kg s m kg m s m s N m x m kg xmx s m m Ns m kg xmx s m VD µ ρ • O valor de um parâmetro adimensional não depende do sistema de unidade utilizado desde que todas as variáveis utilizadas forem expressas num sistema de unidades consistente. [13] Em um reservatório contendo glicerina, temos: massa = 1200 kg e volume = 0,952 m³. Determine: a) peso da glicerina; b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina. a) W = F = m.a = mg W = 1200 kg x 9,81 m/s 2 ≅ 11,77 kN b) ρ = m / V ρ = 1200 kg / 0,952 m³ ≅ 1261 kg / m³ c) γ = ρ g 3 2 3 / 37 , 12 81 , 9 1261 m kN s m x m kg ≅ = γ d) d = ρ fluido / ρ água a 4ºC 26 , 1 1000 1261 3 3 = = m kg m kg d Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-9 [14] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: KAR = 1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou incompressível? c) subsônico ou supersônico? (a) T x R x K c = ( ) [ ] K x K x kg J x c 273 55 287 4 , 1 + − = c ≅ 296 m/s b) M = V / c s m s m s m s h x km m x h km M 296 236 296 3600 1 1 1000 850 ≅ = M ≅ 0,8 [admensional] M > 0,3 Fluido Compressível c) M ≅ 0,8 M < 1 Subsônico [15] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa. ) . ( Perfeito Gás Eq T x R p = ρ abs AR man atm abs T x R p p T x R p + = = ρ ( ) ( ) 3 2 2 2 5,08 323 . 287 . 471330 273 50 287 370000 101330 m kg K x K x kg s m kg s m kg K x K x kg J Pa Pa = ⇒ = + + = ρ ρ Mecânica dos Fluidos PUCRS C-10 1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS - Propriedades dos Fluidos e Pressão ( Cap.2 e Cap.3) 1. Um reservatório graduado contém 50ml de um líquido que pesa 6N. Determine o peso especifico, a massa especifica e a densidade deste líquido. 2. Determine a viscosidade cinemática do ar a 20 0 C sabendo que nestas condições a viscosidade dinâmica é igual a 1,85x10 -4 Poise e a massa especifica igual a 1,208 kg/m 3 . 3. A tabela abaixo mostra a variação da massa especifica da água (kg/m 3 ) em função da temperatura na faixa entre 20 a 60 0 C. Utilize estes dados para construir uma equação empírica do tipo: ρ=c1 + c2T + c3T 2 que forneça a massa especifica da água nesta faixa de temperatura. Comparar os valores fornecidos pela equação com os da tabela. Qual o valor da massa especifica da água quando a temperatura é igual a 42,1 0 C. ρ (kg/m 3 ) 998,2 997,1 995,7 994,1 992,2 990,2 988,1 T ( 0 C) 20 25 30 35 40 45 50 4. A Equação de Shuterland é utilizada para determinação da viscosidade dinâmica dos gases é dada por: S T CT + = 2 / 3 µ As constantes para a Eq. Sutherland adequada para o ar a pressão atmosférica padrão são C=1,458x10 - 6 kg/(msK 1/2 ) e S=110,4K. Utilize estes valores para estimar a viscosidade dinâmica do ar a 10 0 C e a 90 0 C. Compare os valores com os tabelados em textos de mecânica dos fluidos 5. A Eq. Empírica para determinação da viscosidade cinemática para líquidos é conhecida como Eq. de Andrade e dada por: = T B Dexp µ Determine as constantes D e B da Eq. de Andrade para água para as temperaturas de 0,20,40,60, 80 e 100 0 C. Determine a viscosidade dinâmica para 50 0 C e compare com valores dados em tabelas. Método: Rescreva a equação na forma: D T B ln 1 ln + = µ Grafique em função de lnµ em função de 1/T. Os valores de D e B podem ser determinados a partir da inclinação e do ponto de intercessão desta curva. Obs. Se você tem acesso a um programa de ajuste de curvas não linear poderá encontrar as constantes a partir da Eq. original. 6. Determine a massa específica, volume específico, o peso específico e a densidade de um óleo que pesa 33kN contido num reservatório de 3.5m 3 Obs: considere g=9.81 m/s 2 e o peso especifico da água igual a 9806N/m 3 . (d=0,96) 7. Um tanque de ar comprimido contém 6,0 kg de ar a 80 0 C. A pressão relativa do tanque é igual a 300kPa. Determine o volume do tanque. (V=1,52m 3 ) 8. Determine a altura de pressão estática de uma coluna de água e de uma coluna de mercúrio para uma pressão de 10kgf/cm 2 . Considere a massa especifica da água igual a 1000kgf/m 3 e o peso específico do mercúrio é igual a 13600kgf/m 3 . Qual a densidade do mercúrio. (d=13,6) 9. A densidade da água salgada é igual a 1,2. Determinar a altura equivalente de pressão estática de uma coluna de água salgada considerando uma pressão de 10kgf/cm 2. (h=83,3 mca) 10. Para uma pressão de 10kgf/cm 2. qual será a altura de coluna de óleo e qual a sua densidade. O óleo tem um pesos específico igual a 850kgf/m 3 . 11. Para um líquido que tem um peso específico igual a 8338,5N/m 3 determinar qual a coluna representativa de pressão quando se tem uma pressão de 981kPa. (h=117,65m) 12. Determinar o peso específico, o volume específico e a densidade do mercúrio: a) na lua b) na terra. Considere a massa especifica do mercúrio igual a 13600 kg/m 3 . A aceleração da gravidade na terra é igual a 9,81 m/s 2 . Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-11 13. A pressão manométrica de um tanque é medida, indicando uma altura de 55 cm de coluna de fluido com d=0,85. A pressão atmosférica local é igual a 96k Pa. Determinar a pressão absoluta dentro do tanque. 14. Mergulha-se numa cuba contendo mercúrio um tubo de vidro aberto numa extremidade tal como se mostra na figura. Considere d=13,6 e a pressão atmosférica igual à pressão atmosférica normal (101,33kPa) com g=9,81m/s 2 . Determine nestas circunstancias a altura de coluna de mercúrio. (h=760mmHg) 15. Um vacuômetro tipo Bourdon, indica uma pressão de 5.8psi (lbf/pol 2 ) quando conectado a uma reservatório num local onde a pressão atmosférica é igual a 14.5Psi. Determinar a pressão absoluta no reservatório. 16. Um manômetro tipo Bourdon indica que a pressão num tanque é igual a 5,31 bar quando a pressão atmosférica local é igual a 760mmHg. Qual será a leitura do manômetro quando a pressão atmosférica local for igual a 773mm de Hg. 17. Um manômetro de Bourdon instalado na tubulação de alimentação de uma bomba indica que a pressão negativa é igual a 40kPa. Qual é a pressão absoluta correspondente se a pressão atmosférica local é igual a 100kPa. 18. Admitindo que a pressão atmosférica local é igual a 101kPa, determine as alturas das colunas de fluido em barômetros que contém os seguintes fluidos: a) mercúrio b) água c)álcool etílico. Calcule as alturas levando em conta a pressão de vapor destes fluidos e compare com seus respectivos desconsiderando a pressão de vapor dos fluidos. 19. Um tanque fechado contem ar comprimido e um óleo que apresenta uma densidade igual a 0,9. O manômetro em U conectado ao tanque utiliza mercúrio com densidade igual a 13,6. Se h1=914mm h2=152mm h3=229mm, determine a leitura no manômetro localizado no topo do tanque. (Resposta: Pmam=21,1kPa) 20. Determine o número de Reynolds numa tubulação de aço galvanizado novo de 300mm de diâmetro interno na qual escoa água a uma temperatura de 35 0 C com uma vazão de 60m 3 /h. Especifique se o escoamento é laminar ou turbulento. Determine a perda de carga para a tubulação considerando um comprimento total de 50metros. 21. Determinar a massa especifica do ar num local onde a temperatura é igual a 50 0 C e leitura do barômetro indica uma pressão igual a 100kPa. (Obs: Considere o ar como um gás ideal) (ρ=1,07kg/m 3 ) 22. Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10 -2 m 3 . Determine a massa especifica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Considere que a temperatura do ar no tanque é de 21 0 C e que a pressão atmosférica é igual a 101,30kPa. (5,23kg/m 3 , 1,22N). Mecânica dos Fluidos PUCRS C-12 E EX XE EM MP PL LO OS S L LE EI I D DA A V VI IS SC CO OS SI ID DA AD DE E ( (C CA AP P 2 2) ) Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-13 1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2) [1] Duas grandes superfícies planas mantêm uma distância h entre elas esta escoando um determinado fluido. • Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. • Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com a tensão de cisalhamento no centro das placas ? • Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ? • Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?. [2] Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by 2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10 -3 kg/ms. [3] Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25 mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de 850 kg/m 3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10 -5 m 2 /s. Uma placa muito fina de 0,4 m 2 de área move-se a uma velocidade de 0,15m/s eqüidistante entre ambas superfícies. Considere um perfil linear de velocidade. Determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento sobre a placa fina (c) força necessária para puxar a placa. [4] Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. A separação das placas é igual a 0,3m. Considere um perfil de velocidade linear. A viscosidade do líquido é de 0,65 Centipoise A densidade relativa é igual a 0,88 Determinar: • ( a ) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) - A viscosidade cinemática do líquido • ( b ) A tensão de cisalhamento na placa superior e na placa inferior em (Pa) • ( c ) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d. (1) (2) (3) dy du µ τ = y x y V=2,5m/s h=100mm 0 U=0,3m/s Mecânica dos Fluidos PUCRS C-14 [5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação 1 1 ] 1 ¸ | ¹ | \ | − = 2 1 2 3 h y V u onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m 2 . Considerando que V=0,6m/s e h=5mm determinar: a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. [ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) . 2 2 y y U = Onde ( ) y U é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de 2x10 -3 Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida. [ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320 mm. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m 2 . Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade (dv/dy=u/y). [ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a 1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente de velocidades é dado por: = b y b U dy du 2 cos 2 max π π Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do resultado. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-15 Solução – Problema 1 [1] Duas grandes superfícies planas mantém uma distância H. O espaço entre elas esta preenchido com um fluido. (a) Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual será a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. (b) Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com a tensão de cisalhamento no centro das placas ? (c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ? (d) Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?. (a) Num fluido ideal a viscosidade do fluido é nula (µ=0) e portanto a tensão τ=0. (b) Num perfil uniforme de velocidade du/dy=0 e, portanto a magnitude da tensão de cisalhamento é nula em toda a seção (τ=0). (c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada o perfil de velocidade será do tipo u=k1 + k2y . Desta forma o termo du/dy=k2 = constante, portanto, a tensão de cisalhamento será igual em todos os pontos da seção (τ=cte). (d) Se o perfil de cisalhamento for parabólico, por exemplo, do tipo: u=k1 + k2y 2 , desta forma o termo du/dy=k2 y , Desta forma a tensão de cisalhamento vai aumentando linearmente. Para y=0 (centro do canal) τ=0. Para y=ymax (paredes) τ=τmax. Desta forma a tensão de cisalhamento será zero no centro e máxima nas paredes. (τ=ky) Mecânica dos Fluidos PUCRS C-16 Solução – Problema 2 Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by 2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10 -3 kg/ms. Para y=0; V=Vmax=2,5m/s como 2 by a V + = achamos que a=2,5m/s Para y=-100 mm V=0 com 2 by a V + = achamos ( ) 2 2 2 250 5 , 2 250 1 , 0 5 , 2 0 y V y a V b − = − = − = − = O gradiente de velocidade é dada por: y dy du 500 − = Tensão de cisalhamento em y=0 : 0 x500x0 8,0x10 3 - = = = dy du µ τ Tensão de cisalhamento em y=-0,1m 2 3 - 4 , 0 0) x500x(-0,1 8,0x10 m N dy du − = = = µ τ Solução – Problema 3 Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de 850 kg/m 3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10 -5 m 2 /s. Determinar a força necessária para puxar uma placa muito fina de 0,4m 2 de área a uma velocidade de 0,15m/s que se move eqüidistante entre ambas as superfícies. Considere um perfil linear de velocidade (dv/dy=u/y). 2 1 F F F + = 2 2 5 3 N.s/m 06473 , 0 10 615 , 7 850 = = = − s m x m kg ρν µ 1 1 y u A dy du A A F µ µ τ ≡ = = 2 2 y u A F µ ≡ como y1=y2 temos que F1=F2. N m s m x m s N x m x y u A F 62 , 0 0125 , 0 15 , 0 . 06473 , 0 4 , 0 2 2 2 2 = = = µ Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-17 Solução – Problema 4 [4] Uma placa infinita move-se sobre uma Segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. Para uma pequena largura da camada d, supomos uma distribuição linear de velocidade no líquido. A viscosidade do líquido é de 0,65 centipoise A densidade relativa é igual a 0,88 Determinar: (a) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) (b) A viscosidade cinemática do líquido (c) A tensão de cisalhamento na placa superior (Pa) (d) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) (e) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d. Hipóteses: • Distribuição linear da velocidade • Escoamento em regime permanente • Viscosidade constante (a) 1 cP = Pa s /1000 s 10 5 , 6 1000 ) 65 , 0 ( 4 Pa x cP s Pa cP − = = µ 1 cP = Pa s /1000 ) /( 10 5 , 6 1000 ) /( ) 65 , 0 ( 4 ms kg x cP ms kg cP − = = µ (b) A viscosidade dinâmica s m x m kg x ms kg x 2 3 3 4 10 39 , 7 1000 88 , 0 10 5 , 6 − − = = = ρ µ ν O perfil de velocidade é representado por a equação de uma reta: b my y u + = ) ( Para y=0 u=0 e por tanto b=0 (intercepto no eixo de coord.) Para y=d u=U e por tanto m= U/d Desta forma o perfil de velocidade é dado como: y d U y u = ) ( O gradiente é dado por: cte s x d U dy du = = = = −1 1000 3 , 0 1000 3 , 0 (c) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) Pa m N s ms kg x d U dy du y yx 65 , 0 65 , 0 1 1000 10 5 , 6 2 4 0 = = = = = − = µ µ τ • A placa superior é uma superfície y (negativa), portanto τ yx atua no sentido negativo (-) dos x • A placa inferior é uma superfície y (positiva), portanto τ yx atua no sentido positivo dos x Mecânica dos Fluidos PUCRS C-18 Solução – Problema 5 [5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação 1 1 ] 1 ¸ | ¹ | \ | − = 2 1 2 3 h y V u onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m 2 . Considerando que V=0,6m/s e h=5mm determinar: c) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal d) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. Utilizando a lei universal τ µ = du dy A distribuição da velocidade é unidimensional e em regime permanente já que u=u(y). Para determinar a tensão de cisalhamento devemos determinar o gradiente de velocidade du/dy. Derivando a equação da distribuição da velocidade temos, y h V h y V dy du 2 2 3 2 0 2 3 − = 1 ] 1 ¸ | ¹ | \ | − = a) A tensão de cisalhamento na parede inferior do canal é dada para y=-h, Pa ou m N m x s m x x m Ns h V h h V h y 691 691 005 , 0 1 6 , 0 3 92 , 1 3 ) ( 3 2 2 2 = = = − − = − = µ µ τ esta tensão cria um arrasto na parede. Como a distribuição de velocidade é simétrica, a tensão de cisalhamento na parede superior apresenta o mesmo valor, e sentido da tensão na parede inferior. Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal é dada para y=0 ou du/dy. Desta forma a tensão de cisalhamento neste plano é nula. τplano médio=0. O gradiente de velocidade e portanto a tensão de cisalhamento varia linearmente com y. Neste caso a tensão de cisalhamento varia de 0 no plano central a 691Pa nas paredes. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-19 Solução – Problema 6 [ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) . 2 2 y y U = Onde ( ) y U é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de 2x10 -3 Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida. Como o perfil de velocidade é dado por ( ) . 2 2 y y U = Desta forma ( ) . 4y dy y dU = A tensão de cisalhamento é dada por: y u ∂ ∂ = µ τ 2 3 0016 , 0 ) 2 , 0 ( 4 10 2 ) ( m N x x x dy y dU = = = − µ τ Solução – Problema 7 [ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320mm. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m 2 . Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade (du/dy=u/y). y u DL dy du A A F µ π µ τ = = = ( ) s cm s m x x x x x DL Fy u 87 , 2 0287 , 0 5 , 8 32 , 0 2 , 0 00005 , 0 98 , 9 100 = = = = π µ π Solução – Problema 8 [ 8 ] Ar a 20 0 C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a 1,23 kg/m 3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente de velocidades é dado por: = b y b U dy du 2 cos 2 max π π Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do resultado. Pa sx Pa x x x x x x x b U dy du dy du mm y mm y 0257 , 0 068 , 1428 . 10 8 , 1 707106 , 0 1000 0 , 7 2 0 , 9 0 , 7 2 5 , 3 cos 2 5 max 5 , 3 5 , 3 = = ) ` ¹ ¹ ´ ¹ 1 ¹ | ' \ | = ) ` ¹ ¹ ´ ¹ 1 ¹ | ' \ | 1 ¹ | ' \ | = = = − = = π µ π π µ µ τ µ τ Mecânica dos Fluidos PUCRS C-20 1.4 PROBLEMAS PROPOSTOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2) [1] A Fig. mostra duas placas planas paralelas a distância de 2 mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as duas placas for preenchido com óleo de viscosidade 0,1x10 -4 m 2 /s e massa específica 830 kg/m 3 , Determine: (a) O gradiente de velocidade; (b) A tensão de cisalhamento (N/m 2 ) na superfície da placa móvel em contato com o fluido (c) A tensão de cisalhamento (N/m 2 ) na superfície da placa fixa em contato com o fluido. (d) A força que deve ser vencida para puxar a placa superior com área de 0,5m 2 . R: (a) 2000 s -1 (b) 16,6 N/m 2 (c) 16,6 N/m 2 (d) 8,3 N [2] um canal é formado por duas placas paralelas separadas h=6mm tendo entre elas glicerina a 20 0 C com massa específica é igual a 1260 kg/m 3 e a viscosidade dinâmica igual a 1,5 Pa.s. Determinar: (a) a tensão requerida para mover a placa superior com uma velocidade V=6,0m/s. (b) a força necessária para puxar a placa superior considerando esta com superfície igual a 1,0m 2 . R: (a) 1500 N/m 2 (b) 1500 N [3] Uma placa deslocando-se sobre uma pequena lâmina de óleo sob a ação de uma força F, conforme a figura. O óleo tem densidade 0,750 e viscosidade 3.10 -3 Pa.s. (a) Qual a tensão de cisalhamento produzida pelo fluido sobre a placa? (b) Qual a velocidade da placa móvel? R: (a) 4,33 N/m 2 (b) 2,88 m/s [4] A correia da Fig. move-se a uma velocidade constante V e desliza no topo de um tanque de óleo. A corria apresenta um comprimento L e uma largura b. O óleo apresenta uma profundidade h. Considerando a distribuição linear do perfil de velocidade no óleo, determine a potencia necessária para o acionamento da correia, considerando que esta a potencia é dada por FV W = & onde F é a força tangencial na correia e V a velocidade da correia. Dados: L=2,0m h=3cm V=2,5m/s b=60cm. Fluido: óleo SAE 30 = s m kg . 29 , 0 µ R: 72,5 W. [ 5 ] O escoamento laminar entre duas placas paralelas fixas é dado por: ¹ ) ¹ ` ¹ ¹ ¹ ¹ ´ ¹ | ' ´ − = 2 max 2 1 ) ( h y u y u onde umax representa a velocidade máxima no canal, e h a separação das placas. (a) Determinar o gradiente de velocidades. (b) Determinar a expressão da tensão de cisalhamento. Considere a separação entre placas de 5mm, área superficial da placa superior igual a 0,3m 2 e velocidade máxima umax=0,5 m/s Determine (c) A tensão de cisalhamento no centro do canal e na placa superior (d) A força de atrito na placa inferior. R: (c) 0,46 N/m 2 . (d) 0,138 N Obs água massa especifica 1000 kg/m 3 e viscosidade dinâmica e 1,15x10 -3 Pa.s. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-21 [6] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação dada ao lado: onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 Pa.s Considerando que V=0,6m/s e h=5mm determinar: (a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal (b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. (c) Desenhe a distribuição da velocidade e da tensão de cisalhamento no canal. R: (a) 691,2 (N/m 2 ) ] ¸ | . | \ | − = 2 1 2 3 ) ( h y V y u [ 7 ] Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30o, sobre uma película de óleo. A velocidade da placa é de 2 m/s. Determine viscosidade dinâmica do óleo, se a espessura da película é 2 mm. R: (a) 0,01 Pa.s [8] O corpo cilíndrico da Fig. possui um peso igual a 15N, uma altura igual a 200mm e um diâmetro igual a 149,5mm. Este corpo se move com uma velocidade constante igual a 50mm/s dentro de um tubo de 150mm de diâmetro. Entre o tubo e o cilindro existe uma película de óleo. Determine (a) tensão de cisalhamento na parede interna do tubo externa (b) viscosidade dinâmica do óleo. R: (a) 160 (N/m 2 ) (b) 0,8 Pa.s [9] Determine o torque resistente (Nm) originado pelo óleo lubrificante em contato com o eixo vertical da Fig. O eixo apresenta uma rotação constante de 3000 rpm. O Diâmetro do eixo é igual a De=200mm e o diâmetro da luva igual a Dm=200,1mm.L=500mm. Viscosidade do óleo 0,2x10 -2 Pa.s R: (a) 1256,6 (N/m 2 ) (b) 39,5 Nm [10] Uma barra cilíndrica de 30,4 cm de comprimento, diâmetro de 0,52 mm e massa de 1,36 kg, escorrega num tubo vertical com 0,58mm de diâmetro, podendo cair livremente. Calcule a velocidade atingida pela barra se uma película de óleo de viscosidade 23,9 Pa.s preenche o espaço entre o tubo e a barra. [11] Um eixo na posição horizontal de D=60mm e 400mm de comprimento é arrastado com uma velocidade de V=0,4m/s através de uma luva de 60,2mm. No espaço entre o eixo e a luva existe óleo altamente viscoso com densidade 0,88 e viscosidade cinemática igual a 0,003 m 2 /s. (a) Determinar uma expressão geral que permita determinar a força requerida para puxar o eixo em função das variáveis apresentadas. (b) Determinar a força requerida para puxar o eixo. R: (b) 796 N [12] Um eixo gira de 60mm de diâmetro e 400mm de comprimento gira dentro de uma luva com velocidade igual 1500 rpm. No espaço entre o eixo e a luva existe óleo altamente viscoso com densidade 0,88 e viscosidade cinemática igual a 0,003 m 2 /s. A luva possui um diâmetro igual a 60,2mm. Determinar (a) torque e (b) potência originado nesta condições de operação. R: (a) 281 Nm (b) 44,2 kW Mecânica dos Fluidos PUCRS C-22 E EX XE EM MP PL LO OS S M MA AN NO OM ME ET TR RI IA A ( ( C CA AP P 3 3 ) ) Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-23 1.5 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Manometría. (Cap.3) [1] Qual será a máxima pressão relativa que poderá ser medido com o tubo piezometrico para uma altura de 1,5m. Considere a densidade do fluido igual a 8,5. B de acima líquido de coluna da Pressão = P(B) ) ( / 5 , 12 ) ( / 12508 5 , 1 81 , 9 1000 6 , 8 2 2 2 2 kPa ou m kN Pa ou m N x x x h g d gh p água mercurio B = = = = = ρ ρ Manômetro piezométrico simples [2] Se utiliza uma manômetro tipo “U” para medir uma pressão de um fluido com massa especifica igual a 700kg/m 3 . O manômetro utiliza mercúrio com densidade igual a 13,6. Determinar: a) Pressão relativa em A quando h1=0,4m e h2=0,9m. b) Pressão relativa em A quando h1=0,4m e h2=-0,1m. p gh gh A = − ρ ρ man 2 1 a) p A = 13,6 x 1000 x 9,81 x 0,9 - 700 x 9.81 x 0.4 = 117 327 N (- 117,3 kN óu 1,17 bar) b) p A = 13,6 x 1000 x 9,81 x ( - 0,1) - 700 x 9,81 x 0,4 = -16 088,4 N ( -16,0 kN óu - 0,16 bar) A pressão negativa (-) indica que a pressão é menor que a pressão atmosférica. Mecânica dos Fluidos PUCRS C-24 [3] Na figura mostra-se dois tubos com fluido de massa específica igual a 990kg/m 3 conectados a um manômetro tipo U. Determinar a pressão entre os tubos considerando que o fluido manométrico é mercúrio com densidade igual a 13,6. p C = p D p C = p A + ρg h A p D = p B + ρg (h B - h) + ρ man g h p A - p B = ρg (h B - h A ) + hg(ρ man - ρ) p A - p B = ρg (h B - h A ) + hg(d hg - d fluido ) ρ H20 = 990 x9,81x(0,75 – 1,5) + 0,5x9,81 x(13,6 – 0,99) x 1000 = -7284 + 61852 = 54 568 N/m 2 ou Pa ( 0,55 bar) [ 4 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig.. A pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do manômetro. • Por definição um manômetro mede pressão em relação a pressão atmosférica. • Para determinar Y trabalhamos com pressões relativas a atmosférica. • Como o reservatório este fechado, a pressão do ar igual a 30kPa é uma pressão relativa a atmosfera. Desta forma utilizando pressões relativas: ( ) ( ) y g d m gx E E g E E g d P agua Hg agua agua agua oleo ar 0 , 1 0 2 2 5 ρ ρ ρ ρ = + − + − + ( ) ( ) y x x x x x x x 81 , 9 1000 6 , 13 0 , 1 81 , 9 1000 0 2 81 , 9 1000 2 5 81 , 9 1000 82 , 0 30 = + − + − + Resolvendo: ( ) ( ) 626mm 0,626m y 133416y 83562,6 y 133416 9810 19620 6 , 24132 30000 81 , 9 1000 6 , 13 0 , 1 81 , 9 1000 0 2 81 , 9 1000 2 5 81 , 9 1000 82 , 0 30000 = = = = + + + = + − + − + y x x x x x x x Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-25 [ 5 ] Com base na figura ao lado, determine: A pressão absoluta no ponto A; P A (Rel) = ρ H2O . g . h H2O P A (Rel) = 1000 kg/m 3 x 9,81 m/s 2 x 5 m ≅ 49 kPa P A (Abs) = P Atm + P man + P A(Rel) P A (Abs) = 101,33 kPa + 120 kPa + 49 kPa P A (Abs) ≅ 270 kPa [ 6 ] Baseado na figura ao lado, determine: a) A pressão absoluta e relativa na interface gasolina-água; b) A pressão absoluta e relativa no fundo do reservatório. a) P A (Abs) = P Atm + P A (Rel) P A (Abs) = 101,33 kPa + 33, 354 kPa ≅ 134,68 kPa P A (Rel) = ρ Gas . g . h gas = 680 kg/m 3 x 9,81 m/s 2 x 5 m = 33,354 kPa ρ Gas = d x ρ água à 4°C = 0,68 x 1000 kg/m 3 = 680 kg/m 3 b) P B (Abs) = P A (Abs) + P B (Rel) = P A (Abs) + ρ água . g . h água P B (Abs) = 134,68 kPa + 1000 kg/m 3 x 9,81 m/s 2 x 1 m = (134,68 + 9,81) kPa ≅ 144,5 kPa Mecânica dos Fluidos PUCRS C-26 [ 7] Observando a figura e os dados seguintes, determine: a) a massa específica do azeite de oliva; b) a densidade do azeite de oliva. Dados: d óleo = 0,89 , d mercúrio = 13,6 e a pressão absoluta no ponto F é igual a 231,3 kPa. a) P A (Abs) = P Atm + P óleo + P água + P az.oliva + P Hg P A (Abs) =P Atm +ρ óleo. g.h óleo +ρ H2O. g.h H2O +ρ az.oliva. g.h az.oliva +ρ Hg. g.h Hg oliva az Hg Hg O H O H óleo óleo ATM F oliva az h g h g h g h g P P . . . . . . . . . 2 2 ρ ρ ρ ρ − − − − = ( ) ( ) ( ) [ ] { } m s m Pa o a 9 , 2 . 81 , 9 4 , 0 . 13600 5 , 2 . 1000 5 , 1 . 890 . 81 , 9 101330 231300 2 . + + − − = ρ 3 2 2 . / 1370 9 , 2 . 81 , 9 . 38982 m kg m s m s m kg oliva az ≅ ≅ ρ 3 3 4 4 / 890 000 1 89 , 0 m kg m kg x x d d C à água óleo óleo C à água óleo óleo = = = ⇒ = ° ° ρ ρ ρ ρ b) 37 , 1 / 1000 / 1370 . 3 3 4 . . = ⇒ = = ° oliva az C à água oliva az oliva az d m kg m kg d ρ ρ Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-27 [8] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques como mostrado na figura. (a) Determine a pressão entre as câmaras A e B. (b) indicando em que câmara a pressão é maior. kPa P P P gh gh gh P B A B tetra Hg óleo A 28 , 37 3 2 1 − = − = − + + ρ ρ ρ Obs: A pressão em B é maior que a pressão em A [ 9 ] Numa tubulação industrial é utilizado um tubo de Venturi conectado a um manômetro diferencial como mostrado na figura. A deflexão do mercúrio no manômetro diferencial é de 360mm e a velocidade da água no ponto B é de 9,73m/s. Determine a variação de pressão entre os pontos A e B. Obs. Densidade do mercúrio: 13,6. ( ) kPa x P P P g g x g x x g P B A B a a a a A 52 1000 81 , 9 ) 750 369 6 , 13 360 ( 1000 750 1000 360 6 , 13 1000 360 1000 ≈ + − = − = − − − − + ρ ρ ρ ρ Mecânica dos Fluidos PUCRS C-28 1.6 PROBLEMAS PROPOSTOS - Conceitos de Pressão (Cap3) [ 1 ] O sistema da Fig. encontra-se aberto a atmosfera. Se a pressão atmosférica é 101,03 KPa e pressão absoluta no fundo do tanque é 231,3 kPa determine a pressão relativa entre a água e o aceite de oliva. Obs: Densidade do óleo SAE 0,89. Densidade do mercúrio 13,6. [ 2 ] A Fig. mostra o efeito da infiltração de água num tanque subterrâneo de gasolina. (a) Se a densidade da gasolina é 0,68 determine (a) pressão absoluta e relativa na interfase gasolina- água e (b) pressão abs. e relativa no fundo do tanque. R: (a) P(abs) 135 kPa P(rel) 33,67 kPa (b) P(bas) 144,8 kPa P(rel) 43,48 kPa [3] Numa tubulação que escoa água se utiliza um manômetro em U conectado como mostrado na figura. O manômetro utiliza benzeno com massa específica igual 879 kg/m 3 . Determinar: (a) A diferença de pressão entre as duas tomadas de pressão. (b) O sentido do escoamento da água dentro da tubulação. R: PA - PB = 463 Pa (de A para B ) [4] Os recipiente A e B da figura contém água sob pressão de 294,3 kPa e 147 kPa respectivamente. Determine a deflexão do mercúrio (h) no manômetro diferencial. Na Fig. x + y = 2,0 m. Massa específica da água: 1000 kg/m 3 ; Massa específica do mercúrio: 13600 kg/m 3 [5] Determinar a altura h2 (mm) no manômetro da Fig. considerando que a diferença de pressão pB-pA=97kPa. Considere água com massa especifica igual a 1000 kg/m 3 . A densidade do óleo e do mercúrio é dada na Fig. R: 22cm Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-29 [ 6 ] Seja a água contida na câmara pressurizada mostrada na Fig. Massa específica da água 1000 kg/m 3 . Massa especifica do mercúrio 13550 kg/m 3 . Determine a pressão manométrica no ponto A. R: 20,92 kPa. [ 7 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig. A pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do manômetro. R: y=626mm [8] Um manômetro diferencial é usado para a medição da pressão causada por uma diminuição da seção reta ao longo do escoamento. Massa específica da água = 1000kg/m³. Massa específica do mercúrio = 13600kg/m³. (a) Determine diferença de pressão entre os pontos A e B (b) Quanto corresponde essa diferença de pressão em metros de coluna de água ? R: (a) (PA - PB) =375,72 kPa (b) 38,2 mH20 [9] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques fechados como mostrado na Fig. Determine a diferença de pressão entre as câmaras A e B indicando em que câmara a pressão é maior. R: (PA - PB) = -37, 28 kPa (PB > PA) Mecânica dos Fluidos PUCRS C-30 [10] Determine a pressão na tubulação com água (A) considerando que o manômetro em U esta aberto para a atmosfera. O fluido manométrico apresenta um peso especifico igual a 30 KN/m 3 . Considere que h1=30cm e h2=10cm. R: 8,0 kPa [ 11 ] Determinar a deflexão h do manômetro da figura abaixo, quando a variação de pressão p1 - p2 = 870Pa. Considere as densidades dos fluidos dA=0,88 e dB=2,95.R: 42,84mm [ 12 ] Para o reservatório mostrado determinar a pressão manométrica lida no instrumento. (Obs. Densidade do mercúrio: d=13,6). R: (a) 2,75 kPa [ 13 ] Um reservatório de grande porte (Fig.) contém água, tendo uma região ocupada por mercúrio com densidade igual 13,6. O reservatório é fechado e pressurizado tendo uma pressão absoluta igual a 180 kPa. A pressão absoluta em A é igual a 350 kPa. Determinar ( a ) A altura h2 em (metros) da coluna de água. ( b ) Determine a pressão absoluta em B. Obs: água a 20 0 C: Massa especifica 1000 kg/m 3 . R: (a) 6,45m (b) 251,12 kPa [14] Dado o esquema da figura: a) Qual a leitura no manômetro (Pa) ; b) Qual a força (N) que age no interior do reservatório sobre o topo. R: (a) 200 Pa (b) 2000 N. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-31 E EX XE EM MP PL LO OS S C CI IN NE EM MÁ ÁT TI IC CA A D DO OS S F FL LU UI ID DO OS S ( (C Ca ap p. . 4 4 ) ) Mecânica dos Fluidos PUCRS C-32 1.7 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Cinemática dos Fluidos (Cap4) [ 1] Dado o vetor velocidade: ( ) j y i x V ˆ ) 8 , 0 5 , 1 ( ˆ 8 , 0 5 , 0 − + + = r Onde x e y em metros 1. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 2. Regime permanente ou não permanente ? 3. Determinar o ponto de estagnação 4. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 5. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m [ 2 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. ( ) j xy i y x V ˆ ) 2 ( ˆ 4 4 3 2 − = r [ 3 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. ( ) j y i x V ˆ ) 8 , 0 5 , 1 ( ˆ 8 , 0 5 , 0 − + + = r [ 4 ] Dado o vetor velocidade: ( ) j y i x V ˆ ) 8 , 0 5 , 1 ( ˆ 8 , 0 5 , 0 − + + = r (1) Determinar o vetor da aceleração total. (2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0) (3) Determinar o modulo da aceleração em (2,3,0) [ 5 ] Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )k j x i y x V ˆ 10 ˆ ) 3 ( ˆ 12 4 3 + + = r [ 6 ] Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )k z j z x i y x V ˆ 12 ˆ ) 4 4 ( ˆ 6 2 2 + − − = r [ 7 ] Considere um escoamento em regime permanente através de um bocal convergente considerando um perfil de velocidades dada pela equação: ( ) + = → L x u t z y x V 2 1 , , , 0 . Determinar: a) a aceleração da partícula do fluido; b) a aceleração na entrada e na saída do bocal, considerando u0 = 3,0m/s e L = 0,3m; c) a velocidade na saída do bocal; d) a aceleração local na entrada e na saída. [ 9 ] Dado o vetor velocidade ( ) ( )k z y j z y V ˆ 3 ˆ 4 2 3 + − − = r (a) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. (b) Verificar se o escoamento é em regime permanente ou não permanente. (c) Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e da convectiva. (d) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. (e) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. [ 10 ] Um campo de velocidade de uma partícula de fluido é dada por: j y x i y x V ˆ ) 8 , 2 1 , 2 98 , 0 ( ˆ ) 65 , 0 8 , 2 1 ( − − − + + + = r (a) Determine a velocidade da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) (b) Determine a expressão geral do vetor de aceleração da partícula de fluido. (c) Avalia a aceleração da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-33 Exemplo 1 Dado o vetor velocidade: ( ) j y i x V ˆ ) 8 , 0 5 , 1 ( ˆ 8 , 0 5 , 0 − + + = r Onde x e y em metros 6. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 7. Regime permanente ou não permanente ? 8. Determinar o ponto de estagnação 9. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 10. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m (1) Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 0 8 , 0 5 , 1 8 , 0 5 , 0 = − = + = w y v x u Desta forma j v i u y x V ˆ ˆ ) , ( + = r Resposta: Escoamento bidimensional (2) Regime permanente ou não permanente ? Consideramos o vetor velocidades: j v i u y x V ˆ ˆ ) , ( + = r Tomando a derivada parcial no tempo: 0 ) , ( = ∂ ∂ t y x V r Resposta: Regime permanente (3) Determinar o ponto de estagnação: Ponto de estagnação: Ponto onde V=0 625 , 0 8 , 0 5 , 0 0 8 , 0 5 , 0 − = − = = + = x x u 875 , 1 8 , 0 5 , 1 0 8 , 0 5 , 1 = = = − = y y v Resposta: Ponto de estagnação em x=-0,625m y=1,875m (4) Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m ( ) j i V j i V j x i x V ˆ ) 9 , 0 ( ˆ ) 1 , 2 ( ˆ ) 4 , 2 5 , 1 ( ˆ ) 6 , 1 5 , 0 ( ˆ ) 3 8 , 0 5 , 1 ( ˆ 2 8 , 0 5 , 0 − + = − + + = − + + = r r r Resposta: Vetor velocidade: j i V ˆ ) 9 , 0 ( ˆ ) 1 , 2 ( − + = r (5) Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m s m v u V / 28 , 2 9 , 0 1 , 2 2 2 2 2 = + = + = Resposta: Magnitude da velocidade em x=2 e y=3m V=2,28m/s Mecânica dos Fluidos PUCRS C-34 Exemplo 2: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. ( ) j xy i y x V ˆ ) 2 ( ˆ 4 4 3 2 − = r Solução: Será fluido incompressível se: 0 = • ∇ V r ou 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w y v x u Será fluido compressível 0 ≠ • ∇ V r ou 0 ≠ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w y v x u 0 2 4 4 3 2 = − = = w xy v y x u Derivando 0 8 8 3 3 = ∂ ∂ − = ∂ ∂ = ∂ ∂ z w xy y v xy x u e somando obtemos 0 8 8 3 3 = − = ∂ ∂ + ∂ ∂ xy xy y v x u Portanto o escoamento é incompressível – Resposta: fluido incompressível Exemplo 3: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. ( ) j y i x V ˆ ) 8 , 0 5 , 1 ( ˆ 8 , 0 5 , 0 − + + = r 0 8 , 0 5 , 1 8 , 0 5 , 0 = − = + = w y v x u 0 8 , 0 8 , 0 = ∂ ∂ − = ∂ ∂ = ∂ ∂ z w y v x u 0 0 8 , 0 8 , 0 = + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z w y v x u Resposta: fluido incompressível Atividade: Dado o vetor velocidade ( ) ( ) ( )k z x j xyz i z y V ˆ 3 ˆ 2 ˆ 3 2 2 2 + + = r (a) Determine se o escoamento é em regime permanente ou não-permanente (b) Determine a magnitude da velocidade da partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1). (c) Determine a aceleração local da partícula. (d) Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível (e) Determine de o escoamento é rotacional ou irrotacional. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-35 Exemplo 4: Dado o vetor velocidade: ( ) j y i x V ˆ ) 8 , 0 5 , 1 ( ˆ 8 , 0 5 , 0 − + + = r (1) Determinar o vetor da aceleração total. (2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0) (3) Determinar o modulo da aceleração em (2,3,0) (1) Determinar o vetor da aceleração total. z V w y V v x V u t V Dt V D a p ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = r r r r r r observamos que é regime permanente: 0 = ∂ ∂ t V r 0 8 , 0 5 , 1 8 , 0 5 , 0 = − = + = w y v x u 0 ˆ 8 , 0 ˆ 8 , 0 = ∂ ∂ − = ∂ ∂ = ∂ ∂ z V j y V i x V r r r ( ) 0 ˆ ) 64 , 0 2 , 1 ( ) ˆ 8 , 0 )( 8 , 0 5 , 1 ( ˆ ) 64 , 0 4 , 0 ( ) ˆ 8 , 0 ( 8 , 0 5 , 0 = ∂ ∂ + − = − − = ∂ ∂ + = + = ∂ ∂ z V w j y j y y V v i x i x x V u r r r j y i x Dt V D ˆ ) 64 , 0 2 , 1 ( ˆ ) 64 , 0 4 , 0 ( + − + + = r Resposta: j y i x a p ˆ ) 64 , 0 2 , 1 ( ˆ ) 64 , 0 4 , 0 ( + − + + = r (2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0) j i Dt V D j i Dt V D j x i x Dt V D ˆ ) 72 , 0 ( ˆ ) 68 , 1 ( ˆ ) 92 , 1 2 , 1 ( ˆ ) 28 , 1 4 , 0 ( ˆ ) 3 64 , 0 2 , 1 ( ˆ ) 2 64 , 0 4 , 0 ( + = + − + + = + − + + = r r r Resposta: j i a p ˆ ) 72 , 0 ( ˆ ) 68 , 1 ( ) 0 , 3 , 2 ( + = r (3) Determinar o módulo da aceleração em (2,3,0) 2 2 2 2 2 / 83 , 1 72 , 0 68 , 1 ) 0 , 3 , 2 ( s m a a a a y x p p = + = + = = r Resposta: 2 / 83 , 1 ) 0 , 3 , 2 ( s m a p = Mecânica dos Fluidos PUCRS C-36 Exemplo 5: Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )k j x i y x V ˆ 10 ˆ ) 3 ( ˆ 12 4 3 + + = r Rotacional 0 2 1 ≠ ∇ = V x r r ω Irrotacional k y u x v j x w z u i z v y w ˆ 2 1 ˆ 2 1 ˆ 2 1 ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ω v ( ) ( )k w j x v y x u ˆ 10 ˆ ) 3 ( 12 4 3 = = = ( ) ( ) ( ) 0 12 12 2 1 2 1 0 0 0 2 1 2 1 0 0 2 1 3 3 = − = ∂ ∂ − ∂ ∂ = = − = ∂ ∂ − ∂ ∂ = − = x x y u x v x w z u z z y y x ω ω ω ω ω Resposta: Irrotacional Exemplo 6: Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )k z j z x i y x V ˆ 12 ˆ ) 4 4 ( ˆ 6 2 2 + − − = r ( ) ( ) 2 2 12 ) 4 4 ( 6 z w z x v y x u = − − = = ( ) 2 4 0 2 1 2 1 − = − = ∂ ∂ − ∂ ∂ = x x z v y w ω ω ( ) 0 0 0 2 1 2 1 = − = ∂ ∂ − ∂ ∂ = y y x w z u ω ω ( ) ( ) 2 2 3 2 6 4 2 1 2 1 x x y u x v z z + − = − − = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ω ω Resposta: Rotacional 0 = x ω 0 = y ω 0 = z ω 0 = ω r 0 ≠ x ω 0 = y ω 0 ≠ z ω 0 ≠ ω r Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-37 Exemplo 7: Considere um escoamento em regime permanente através de um bocal convergente considerando um perfil de velocidades dada pela equação: ( ) + = → L x u t z y x V 2 1 , , , 0 . Determinar: a) a aceleração da partícula do fluido; b) a aceleração na entrada e na saída do bocal, considerando u0 = 3,0m/s e L = 0,3m; c) a velocidade na saída do bocal; d) a aceleração local na entrada e na saída. a) Unidimensional ( ) i L x u u t z y x V ˆ 2 1 , , , 0 + = = → t V z V w y V v x V u Dt V D a p ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = → → → → → → . . . Como 0 t V = ∂ ∂ → , então, o escoamento é em Regime Permanente; 1 ] 1 ¸ + 1 ] 1 ¸ = ) ` ¦ ¹ ´ ¦ ) ` ¦ ¹ ´ ¦ 1 ] 1 ¸ + = ∂ ∂ = = → → → L x L u L u L x u x V u Dt V D a p 2 1 . . 2 . 2 . 2 1 . 2 0 0 0 (aceleração da partícula do fluido) b) ( ) ( ) + = + = = → → m m s m L x L u Dt V D a p 3 , 0 0 . 2 1 . 3 , 0 / 3 . 2 2 1 . . 2 2 2 0 2 / 60 s m a p = → (aceleração na entrada do bocal) ( ) ( ) + = + = = → → m m m s m L x L u Dt V D a p 3 , 0 3 , 0 . 2 1 . 3 , 0 / 3 . 2 2 1 . . 2 2 2 0 2 p s / m 180 a = → (aceleração na saída do bocal) c) ( ) s m m m s m L x u u V 9 3 , 0 3 , 0 . 2 1 . 3 2 1 0 = + = + = = → (velocidade na saída do bocal) c) Neste exercício, a aceleração local é zero porque a equação não varia em função do tempo. ( ) i L x u u t z y x V ˆ 2 1 , , , 0 + = = → ( ) + = ∂ ∂ = ⇒ = → → → → L x L u x V u a Dt V D t z y x a p p 2 1 . . 2 . , , , 2 0 0 = ∂ ∂ → t V Mecânica dos Fluidos PUCRS C-38 Exemplo 8: O vetor velocidade (m/s) de uma partícula de fluido é dado por: ( ) ( ) ( )k z x j xyz i z y V ˆ 3 ˆ 2 ˆ 3 2 2 2 + + = r (a) Determine a magnitude velocidade da partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1). (b) Determine a aceleração local da partícula. (c) Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível (d) Determine de o escoamento é rotacional ou irrotacional. Solução (1) Velocidade na partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1). (a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s m V k j i V k j i V k z x j xyz i z y V / 3 , 28 ˆ 24 ˆ 12 ˆ 9 ˆ 1 . 2 . 3 ˆ 1 . 3 . 2 . 2 ˆ 1 . 3 ˆ 3 ˆ 2 ˆ 3 2 2 2 3 2 2 2 = + + = + + = + + = r r r (2) Aceleração local da partícula. (b) z V w y V v x V u t V Dt V D ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = r r r r r Resposta : Aceleração local da partícula: 0 = ∂ ∂ t V r (a aceleração local da partícula é nula) (c)Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível z w y v x u V ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ r 0 3 2 0 3 2 ≠ + + = ∇ x xz V r Por tanto se trata de fluido compressível. (d) Escoamento é rotacional ou irrotacional. ? 0 ) 2 2 ( 2 1 2 1 ) 9 2 ( 2 1 2 1 ) 4 0 ( 2 1 2 1 2 2 2 2 = − = ∂ ∂ − ∂ ∂ ≠ − = ∂ ∂ − ∂ ∂ ≠ − = ∂ ∂ − ∂ ∂ yz z yz y u x v z x z y x w z u xyz z v y w Resposta: Escoamento rotacional Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-39 Exemplo 9: Dado o vetor velocidade ( ) ( )k z y j z y V ˆ 3 ˆ 4 2 3 + − − = r (f) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. (g) Verificar se o escoamento é em regime permanente ou não permanente. (h) Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e da convectiva. (i) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. (j) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. SOLUCAO (A) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. Resposta: Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z (v,w). k w j v V ˆ ˆ + = r (B) Verifique se o escoamento permanente ou não permanente. Para ser escoamento em 3D em regime permanente. ) , , , ( t z y x V V = r Neste caso: k z y w j z y u V ˆ ) , ( ˆ ) , ( + = r Portanto o escoamento não é dependente do tempo (regime permanente) ( C) Determinar a aceleração da partícula z V w y V v x V u t V Dt V D ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = r r r r r ) ( ) ( Convectiva p Local p p a a a r r r + = Como se trata de regime permanente a contribuição da aceleração local é nula: 0 = ∂ ∂ t V r z V w y V v x V u Dt V D ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = r r r r 0 = ∂ ∂ x V u r (escoamento bidimensional com u=0) k yz z y j y z y y V v ˆ ) 6 )( 4 ( ˆ ) 3 )( 4 ( 3 2 3 − − + − − − = ∂ ∂ r k y z y z V w ˆ ) 3 )( 3 ( 2 2 = ∂ ∂ r ( ) ( ) k z y k y z z y j zy y Dt V D ˆ ) 9 ( ˆ 24 6 ˆ 12 3 4 2 4 2 5 + + − + = r ( ) ( )k y z z y j zy y Dt V D ˆ 24 3 ˆ 12 3 2 4 2 5 + + + = r Mecânica dos Fluidos PUCRS C-40 ( D ) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. Para que o fluido seja incompressível deve satisfazer a equação: 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ z w y v x u V r 0 = ∂ ∂ x u 2 3y y v − = ∂ ∂ 2 3y z w = ∂ ∂ Desta forma verifica-se que o escoamento é incompressível. 0 3 3 2 2 = + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ y y z w y v V r (E ) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. Lembrando que o vetor velocidade é dado por: ( ) ( )k z y j z y V ˆ 3 ˆ 4 2 3 + − − = r Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z (v,w). k z y w j z y v V ˆ ) , ( ˆ ) , ( + = r P Desta forma o vetor rotacional pode ser simplificado: k y u x v j x w z u i z v y w ˆ 2 1 ˆ 2 1 ˆ 2 1 ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ω v i z v y w ˆ 2 1 ∂ ∂ − ∂ ∂ = ω v yz y w 6 = ∂ ∂ 4 − = ∂ ∂ z v Desta forma o escoamento é rotacional já que 0 ≠ ω v i xz ˆ ) 4 6 ( 2 1 − = ω v Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-41 Exemplo 10: Um campo de velocidade de uma partícula de fluido é dada por: j y x i y x V ˆ ) 8 , 2 1 , 2 98 , 0 ( ˆ ) 65 , 0 8 , 2 1 ( − − − + + + = r (d) Determine a velocidade da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) (e) Determine a expressão geral do vetor de aceleração da partícula de fluido. (f) Avalia a aceleração da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) Mecânica dos Fluidos PUCRS C-42 1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS – Cinemática (Cap.4) [1] Uma partícula de fluido apresenta o vetor de velocidades: k j i xz yt xt t z y x V ˆ ˆ 2 ˆ 3 2 ) , , , ( + − = r . Determinar: (a) Se o escoamento é uni, bi ou tridimensional. (b) Se o escoamento é permanente ou não-permanente. ( c ) Aceleração total da partícula (d ) Aceleração total para (x,y,z)=(2,-2,0) (e) Velocidade e aceleração da partícula para t=2s em (2,-2,0). [2] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k j i ty xz t V ˆ 2 ˆ ˆ 3 + + = r Determinar a equação que representa a aceleração da partícula. [3] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k j i z x xyz z y V ˆ 3 ˆ 2 ˆ 2 2 3 2 + + = r (a) Determine se o fluido é rotacional ou irrotacional (b) Se a componente da velocidade em z é nula, verifique se o fluido é rotacional ou irrotacional. [4] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k z j i e t ay t ax V ˆ 2 ˆ 2 3 ˆ 2 2 + − = r Determinar a equação que representa a aceleração da partícula. [5] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k y z x j y z x i y z x V ˆ 3 ˆ 2 ˆ 2 2 2 3 2 3 − − = r Verifique se o fluido é compressível ou incompressível. [6] Dado o campo de velocidades k j i z z x y x V ˆ 2 ˆ ˆ 2 12 ) 4 4 ( 6 + − − = r Determine o campo de velocidades angular ou rotacional. [7] Verifique quais dos seguintes campos de velocidades satisfaz a Eq. da continuidade. (a) x u − = y v = (b) y u 3 = x v 3 = (c) x u 4 = y v 4 − = (d) xy u 3 = yt v 3 = (e) t y xy u 2 + = t x xy v 4 + = (c) 3 2 4 y x u = 4 2xy v − = Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-43 E EX XE EM MP PL LO OS S C CO ON NS SE ER RV VA AÇ ÇÃ ÃO O D DA A M MA AS SS SA A ( ( C Ca ap p. . 5 5 ) ) Mecânica dos Fluidos PUCRS C-44 1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Conservação da Massa (Cap.5) [1] Um tanque com volume de 0,05 m 3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm 2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m 3 . As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0. [2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é dada pela equação: i R r U V ˆ 1 2 max 1 1 ] 1 ¸ | ¹ | \ | − = r Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. Determine o fluxo de massa da tubulação. [3] Um dispositivo semelhante ao da figura abaixo é utilizado para escoamento de água em regime permanente. As áreas das A1=0,02m 2 A2=0,05m 2 A3= A4=0,04m 2 . O fluxo de massa através da seção (3) é de 60 kg/s, considerado saindo do dispositivo. A vazão entrando na seção (4) é igual a 0,03m 3 /s. A velocidade entrando na seção (1) é igual a V1=3,0i m/s. Considerando as propriedades do fluido uniformes através de todas as entradas e saídas do fluxo determine o fluxo e massa e velocidade na seção (2). [ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. Aplique a Eq. integral da conservação da massa para obter uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-45 Solução Exemplo 1 [1] Um tanque com volume de 0,05 m 3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm 2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m 3 . As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0. Equação Básica 0 = ∫ + ∫ ∀ sc vc A d V d t r r ρ ρ ∂ ∂ Hipóteses: (1) As propriedades no tanque são uniformes, porem dependentes do tempo. (2) Escoamento uniforme na seção (1). Como as propriedades são uniformes: Podemos retirar ρ da integral do primeiro termo. ( ) 0 = ∫ + ∫ ∀ sc A d V vc d t r r ρ ρ ∂ ∂ • Como ∀ = ∀ ∫ vc d 0 = ∫ + ∀ sc A d V t r r ρ ρ ∂ ∂ • O fluido atravessa a fronteira unicamente na seção (1). ∫ = ∫ 1 A sc A d V A d V r r r r ρ ρ • Na superfície (1) o fluido esta saindo e o produto ρVdA é positivo (+). • Se as propriedades são uniformes na superfície (1) 1 1 1 1 A V A d V A ρ ρ = ∫ r r ( ) 0 1 1 1 = + ∀ ∂ ∂ A V t ρ ρ • Como o volume do tanque (v.c.) não é uma função do tempo: ( ) 1 1 1 A V t ρ ρ − = ∂ ∂ ∀ ( ) ∀ − = ∂ ∂ 1 1 1 A V t ρ ρ ( ) ( ) ( ) s m kg m m x x s m x m kg t / 48 , 2 05 , 0 1000 1000 65 1000 311 13 , 6 3 3 2 3 − = − = ∂ ∂ ρ • Significa que a massa especifica esta diminuindo a uma taxa de 2,48 kg/m 3 no momento de ser aberta a válvula (t=0). Mecânica dos Fluidos PUCRS C-46 Solução Exemplo 2 [2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é dada pela equação: i R r U V ˆ 1 2 max 1 1 ] 1 ¸ | ¹ | \ | − = r Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. Determine o fluxo de massa da tubulação. Solução: A Eq. básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: 0 = ∫ + ∫ ∀ sc vc A d V d t r r ρ ρ ∂ ∂ Hipóteses: • Escoamento permanente • Escoamento incompressível • Velocidade não-uniforme nas seções onde o fluido cruza as fronteiras. ∫ ∫ ∫ = = = A d V A d V A d V m r r r r r r & ρ ρ ρ 2 2 2 1 1 1 A u R u R u m R R R R R R R r r rdr R r rdr R r u m dr r R r u m πrdr dA R R R R 2 2 4 2 4 4 2 1 4 2 1 4 2 1 : integral a Resolvendo 1 2 ) 2 ( 1 2 : tubo do seção da área de elemento o do Consideran max 2 max 2 max 2 2 2 2 4 2 0 2 4 2 0 2 0 2 max 0 2 max ρ π ρ π ρ π ρ π ρ = = | | ¹ | \ | = = 1 ] 1 ¸ − = 1 1 ] 1 ¸ | ¹ | \ | − = 1 1 ] 1 ¸ | ¹ | \ | − = 1 1 ] 1 ¸ | ¹ | \ | − 1 1 ] 1 ¸ | ¹ | \ | − = 1 1 ] 1 ¸ | ¹ | \ | − = = ∫ ∫ ∫ & & & Pode ser verificado que neste escoamento laminar a velocidade media é 2 max u u = Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-47 Solução Exemplo 3 [3] Dados Áreas: A1=0,02m 2 A2=0,05m 2 A3= A4=0,04m 2 Fluxo de massa em (3): s kg m 60 3 = & (+) Vazão em (4) : Q4=0,03m 3 /s Velocidade em (1) s m i V ˆ 0 , 3 1 = r Consideramos a massa específica da água igual a 1000 kg/m 3 A Eq. Básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: 0 = ∫ + ∫ ∀ sc vc A d V d t r r ρ ρ ∂ ∂ Hipóteses: (1) Escoamento permanente (2) Escoamento incompressível (3) Propriedades uniformes em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras. Aplicando a Eq. As seções onde o fluido atravessa as fronteiras: 0 4 3 3 1 = + + + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ A A A A sc A d V A d V A d V A d V A d V r r r r r r r r r r ρ ρ ρ ρ ρ Considerando escoamento uniforme e propriedades uniformes nas seções de entrada e saída do fluido no v.c. 1 1 1 1 1 1 1 m A V A V A d V A A & r r = − = = ∫ ∫ ρ ρ ρ (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. Significa que o fluido esta entrando na seção 1 no v.c. 2 2 2 2 2 2 2 m A V A V A d V A A & r r = ± = = ∫ ∫ ρ ρ ρ Não sabemos se o fluido esta entrando o saindo nesta seção ∫ ∫ = = = 3 3 3 3 3 3 3 A A m A V A V A d V & r r ρ ρ ρ (+) Pelo enunciado sabemos que o fluido esta na seção 3 saindo do v.c. Por tanto os vetores velocidade e de área apontam no mesmo sentido. 4 4 4 4 4 4 4 m A V A V A d V A A & r r = − = = ∫ ∫ ρ ρ ρ (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. Significa que o fluido esta entrando na seção 4 no v.c. 0 4 3 2 1 = + + + = ∫ m m m m A d V sc & & & & r r ρ s kg m x s m x m kg A V m / 60 02 , 0 0 , 3 1000 2 3 1 1 1 − = = − = ρ & (-) entrando no v.c. s kg m / 60 3 = & (+) saindo do v.c. s kg s m x m kg Q A V m / 30 03 , 0 1000 3 3 4 4 4 4 − = = = − = ρ ρ & (-) entrando no v.c. 0 30 60 60 2 4 3 2 1 = − + + − = + + + m m m m m & & & & & s kg m 30 2 = & Como o valor é positivo (+), significa que na seção (3) o fluido está saindo do v.c. Para determinar a velocidade em (2): 2 2 2 A V m ρ = & s m x A m V / 6 , 0 05 , 0 1000 30 2 2 2 = = = ρ & na forma vetorial: s m j V ˆ 6 , 0 2 − = r (aponta em sentido negativo do eixo y) Obs. Notamos que os ângulos de inclinação das seções 3 e 3 não são necessários para avaliar o fluxo de massa. Mecânica dos Fluidos PUCRS C-48 Solução Exemplo 4 [ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. Aplicando a Eq. integral da conservação da massa se obtém uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório dada por: Determinar dh/dt considerando que a área do reservatório: Ares=0,18m 2 . res res A V A V A A Q Q t dh m m d t 2 2 1 1 2 1 2 1 0 + = + = ∂ = − − ∀ ∂ ∂ & & ρ ( ) ( ) s m x x A V D V D t dh res / 0172 , 0 18 , 0 6 , 0 075 , 0 9 , 0 025 , 0 4 4 2 2 2 2 2 1 2 1 = + = + = ∂ π π 0 2 1 = − − m m dt dh A res & & ρ Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-49 Q QU UA AN NT TI ID DA AD DE E D DE E M MO OV VI IM ME EN NT TO O ( ( C Ca ap p. .5 5 ) ) Mecânica dos Fluidos PUCRS C-50 1.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Quantidade de Movimento (Cap.5) [1] Água saí de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m 2 . Determinar a força horizontal sobre o suporte. [2] Um jato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água. [3] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 90 0 em regime permanente. Na entrada a pressão absoluta igual a 221 kPa e seção igual a 0,01 m 2 . Na saída a seção é igual a 0,0025 m 2 e o fluido é descarregado a pressão atmosférica (101kPa), e com velocidade igual a 16 m/s. Determinar: força necessária para manter o cotovelo no lugar. [4] Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m 3 /s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo θ definido na figura é igual a 60 0 .Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a forças resultante e o ângulo em que atua. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-51 [ 5 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. A velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Considere o jato como sendo com diâmetro de 100mm. O ângulo da placa é de 60 0 Respostas: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N [ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. (Massa especifica da água 1000 kg/m 3 ). [ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. Na tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900 kg/m 3 com vazão de 150 m 3 /h. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa. Obs. O fluido escoa de (1) para (2). [ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado na Figura. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade do jato. (b) Qual a vazão do jato. Obs. Determine pelo método simplificado. Mecânica dos Fluidos PUCRS C-52 Solução Exemplo 1 Água saiu de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m 2 . Determinar a força horizontal sobre o suporte. Dados: Velocidade do jato: s m i V / ˆ 15 = r Área do bocal: An=0,01m 2 . Fluido água ρ=1000 kg/m 3 Pressão atmosférica Patm=101 kPa. Determinar: Força resultante. Solução: Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura. Equações Básicas ∫ + ∫ ∀ = + sc A d V V vc d V t F F B s r r r r r r ρ ρ ∂ ∂ Hipóteses: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. Forças de campo desprezíveis. ∫ = sc s A d V V F r r r r ρ Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (+) do eixo x. A p R A p F atm x atm x − + = Por tanto x x R F = A quantidade de movimento na direção - x: Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-53 { } 1 1 1 1 1 A V u A d V u A d V u A d V u A d V V A A A x sc ρ ρ ρ ρ ρ − = − = = ∫ ∫ ∫ ∫ r r r r r r r r r O vetor velocidade apresenta uma única componente V1=u1=15m/s. N m x s m x m kg x s m A V u 2250 01 , 0 15 1000 15 2 3 1 1 − = − = − ρ N A d V u R A x 2250 1 − = = ∫ r r ρ Como é negativo aponta no sentido contrário do eixo x. Na forma vetorial N i F s ˆ 2250 − = r Método simplificado No método simplificado : ( ) 1 2 u u Q F x − = ρ ( ) 1 2 u u m F x − = & A massa especifica é determinada com as condições da seção 1. s kg m x s m x m kg A u m / 150 01 , 0 15 1000 2 3 1 1 = = = ρ & (+) saindo do v.c. A velocidade na seção 2 é igual a zero (u2=0) N s m x s kg u m F x 2250 15 150 1 − = = − = & Aponta no sentido contrário ao eixo x. Obs. Como todo o sistema está submetido a pressão atmosférica sua atuação anula-se. Mecânica dos Fluidos PUCRS C-54 Solução: Exemplo 2 Um jato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água. Dados: Velocidade do jato: s m i V / ˆ 15 = r Área do bocal: Djato=0,0251m. Fluido água ρ=1000 kg/m 3 Pressão atmosférica Patm=101 kPa. Solução: Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura. Equações Básicas ∫ + ∫ ∀ = + sc A d V V vc d V t F F B s r r r r r r ρ ρ ∂ ∂ Hipóteses: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. Forças de campo desprezíveis. ∫ = sc s A d V V F r r r r ρ Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo - x) ∫ = sc sx A d V u F r r ρ Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x. A p R A p F atm x atm sx − − = Por tanto x sx R F − = A quantidade de movimento na direção - x: { } 1 1 1 1 1 1 1 1 A V u A d V u A d V u A A ρ ρ ρ − = − = ∫ ∫ r r r r (fluxo entrando no v.c.) Igualando os termos: Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-55 1 1 1 A V u R x ρ − = − e por tanto Rx aponta no sentido contrário ao admitido Vetor velocidade: Ponto (1) s m i V / ˆ 1 , 6 = r e desta forma u1=6,1m/s. Consideramos que o jato é uniforme Área do bocal: Djato=0,0251m. e A1=A2=5,1x10 -4 m 2 N m x s m x m kg x s m A V u R x 98 , 18 00051 , 0 1 , 6 1000 1 , 6 2 3 1 1 1 = = = ρ Análise de escoamento em (2) - (Somente agem forças no eixo - y) ∫ = 2 2 2 2 A sy A d V v F r r ρ Analisamos as forças na direção - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+). H atm y H atm sy A p R A p F − + = Por tanto y sy R F = Pela conservação da massa em (2) s m j V / ˆ 1 , 6 = r e desta forma: v2=6,1m/s. { } 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A V v A d V v A d V v A A ρ ρ ρ ∫ ∫ = + = r r r r (fluido saindo da s.c.) N m x s m x m kg x s m A V v 98 , 18 000511 , 0 1 , 6 1000 1 , 6 2 3 2 2 2 = = ρ N A V v R y 98 , 19 2 2 2 = = ρ (Com o sentido admitido originalmente no sentido positivo (+) Método simplificado O fluxo de massa é dada por: s kg m x s m x m kg A u m 11 , 3 00051 , 0 1 , 6 1000 2 3 1 1 = = = ρ & ( ) 1 2 u u m F x − = & u1=6,1m/s u2=0 e desta forma: N x u m F x 98 , 18 1 , 6 11 , 3 1 − = = − = & ( ) 1 2 v v m F y − = & v1=0 v2=6,1m/s e desta forma: N x v m F y 98 , 18 1 , 6 11 , 3 2 = = = & Mecânica dos Fluidos PUCRS C-56 Solução: Exemplo 3 [ 3 ] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 90 0 em regime permanente. Na seção (1) da entrada o diâmetro é 120 mm, a velocidade é igual a 4m/s e a pressão relativa igual a 120 kPa. Na seção (2) da saída ó diâmetro é igual 60 mm sendo o fluido descarregado a pressão atmosférica com velocidade igual a 16 m/s. Determinar: A força resultante Rx e Ry. Obs. Apresente a equação integral geral do problema e aplique as simplificações (hipótese) do escoamento. ∫ + ∫ ∀ = + sc A d V V vc d V t F F B s r r r r r r ρ ρ ∂ ∂ Hipotese e escoamento: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo - x) ∫ = sc sx A d V u F r r ρ ( considerando força de campo FBx=0) Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x. Para simplificar trabalharemos com a pressão relativa x r sx R A p F − = 1 1 A1= 0,0113m 2 A2= 0,00283m 2 A quantidade de movimento na direção - x: { } 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A V u A d V u A d V u A A ρ ρ ρ − = − = ∫ ∫ r r r r (fluxo entrando no v.c.) N m x s m x m kg x s m A V u 160 0113 , 0 0 , 4 1000 0 , 4 2 3 1 1 1 = = ρ 1 1 1 1 1 A V u A p R r x ρ + = ( ) ( ) N N x R A V u A p R x r x 1516 160 0113 , 0 1000 120 1 1 1 1 1 = + = + = ρ s kg m x s m x m kg A V m 28 , 45 00283 , 0 16 1000 2 3 2 2 = = = ρ & Análise de escoamento em (2) (Somente agem forças no eixo - y) ∫ = + 2 2 2 2 A By sy A d V v F F r r ρ Analisamos as forças na direção - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+). A componente de força de campo FBy não pode ser avaliada já que não conhecemos o volume ou a massa de fluido no interior de cotovelo. No presente exercícios consideramos desprezível força de campo FB . Desta forma analisamos unicamente as forças de superfície: = + = y r sy R A p F 2 2 como pr2=0, y sy R F = { } 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A V v A d V v A d V v A A ρ ρ ρ ∫ ∫ = + = r r r r (fluido saindo da s.c.) (+) N m x s m x m kg x s m A V v 724 00283 , 0 16 1000 16 2 3 2 2 2 − = − = ρ N A V v R y 724 2 2 2 − = = ρ (Contrario ao sentido admitido originalmente) Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-57 Solução: Exemplo 4 Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m 3 /s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo θ definido na figura é igual a 60 0 . Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a força resultante e o ângulo em que atua. No método simplificado: Equações utilizadas: ( ) 1 2 u u m F x − = ∑ & ( ) 1 2 v v m F y − = ∑ & O fluxo de massa pode ser determinado como: s kg s m x m kg Q A V m 50 05 , 0 1000 3 3 1 1 = = = = ρ ρ & Resta determinar as componentes dos vetores de velocidade na entrada e saída do v.c. j v i u V ˆ ˆ 1 1 1 + = r j v i u V ˆ ˆ 2 2 2 + = r Componentes da velocidade em x: O ângulo formado entre o plano horizontal e o veto V2 é: 180 0 – (45 0 + 60 0 )= 75 0 s m V u 07 , 2 75 cos 8 ) 75 cos( 0 0 2 2 = = = s m V u 66 , 5 45 cos 8 45 cos 0 0 1 1 = = = Componentes da velocidade em y: s m V v 73 , 7 75 sin 8 75 sin 0 0 2 2 = = = s m sin sin V v 66 , 5 45 8 45 0 0 1 1 = = = Como v1 aponta em sentido contrario ao eixo-x fica com sinal negativo: v1= -5,66m/s Força Resultante em x: ( ) N s kg R F x x 5 , 179 66 , 5 07 , 2 50 − = − = = ∑ (Aponta em sentido contrário ao eixo - x) Força Resultante em x: ( ) N s kg R F y y 5 , 669 66 , 5 73 , 7 50 = + = = ∑ (Aponta no mesmo sentido que o eixo - y) Força Resultante: ( ) N R R R y x 693 5 , 669 ) 5 , 179 ( 2 2 2 2 ≈ + − = + = Ângulo formado pela resultante: 0 75 ≈ = x y R R Tanφ Mecânica dos Fluidos PUCRS C-58 Solução: Exemplo 5 [ 5 ] Determine a força horizontal exercida sobre a superfície mostrada na figura. A velocidade do jato de água é igual a 15m/s. Considere que a lamina de fluido mantém a mesma espessura em toda sua trajetória. ∫ + ∫ ∀ = + sc A d V V vc d V t F F B s r r r r r r ρ ρ ∂ ∂ Hipóteses: • Escoamento em regime permanente. Não que existe variação das propriedades no tempo no V.C. • Escoamento uniforme na entrada (1) e na saída (2). • Escoamento com velocidades unidimensionais. • Escoamento com considerando fluido incompressível. Fazendo analise em x: ( ) ∑ − = 1 2 x x v v Q Fx ρ onde: s m v s m v x x / 5 , 7 60 cos 15 / 15 2 1 = = = s m m x x s m A V Q 3 2 2 1 1 118 , 0 4 1 , 0 15 = = = π ( ) N Rx x x Rx 4 , 883 15 5 , 7 118 , 0 1000 = − = − Solução: Exemplo 6 [ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. (Massa especifica da água 1000 kg/m 3 ). 4 0 ) ( ) ( ) ( 2 2 1 2 1 D v W vAv W v m F v m v m F y y π ρ ρ = − = − + − = − + − = ∑ ∑ & & & s m x D W v / 88 , 18 05 , 0 1000 700 4 4 2 2 = = = π ρπ Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-59 Solução: Exemplo 7 [ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. Na tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900 kg/m 3 com vazão de 150 m 3 /h. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa. Obs. O fluido escoa de (1) para (2). P1=100kPa P2=80 kPa A1=A2 Velocidade media na tubulação: s m D V / 33 , 1 3600 150 4 2 = = π ( ) x x u u Q Fx 1 2 − = Σ ρ ( ) x x x u u Q A P A P R 1 2 2 2 1 1 − = + + − ρ ( ) ( ) x x x u u Q A P P R 1 2 1 2 1 ) ( − = + + − ρ conforme os eixo de coordenados: u1x=1,33m/s e u2x= -1,33m/s ( ) ( ) ( ) N x x x R A P P u u Q R x x x x 5552 5652 8 , 99 0314 , 0 80 100 ) 33 , 1 33 , 1 ( 3600 150 900 ) ( 1 2 1 1 2 = + − = + + − − = + + − − = ρ Solução: Exemplo 8 [ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado na Figura. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade do jato. (b) Qual a vazão do jato. Obs. Determine pelo método simplificado. ( ) 1 2 v v Q F y − = ∑ ρ N W F y 825 − = − = ∑ ( ) s m x x x x x D x v A v v A v / 08 , 17 60 1000 1000 1000 825 4 4 1000 825 825 0 825 2 2 1 2 1 1 1 = = = = − = − π π ρ ρ Mecânica dos Fluidos PUCRS C-60 1.11 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO [ 1 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. A velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Considere o jato como sendo com diâmetro de 100mm. O ângulo da placa é de 60 0 R:: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N [ 2 ] Considere uma tubulação que escoa água com a curva mostrada na figura. O ângulo em relação ao plano horizontal é igual a 40 0 . Os diâmetro da tubulação é D1=100mm e o diâmetro do bocal na saída é D2=30mm. Considere um fluxo de massa igual 15,29 Kg/s e pressão relativa em (1) igual a p1=232 kPa. Determine a forças resultantes (Rx e Ry) sobre o flange. R:: Rx=2105,25 N Ry=-212,60 N [ 3] O jato de água de 6 cm de diâmetro atinge uma placa contendo um orifício de 4cm de diâmetro. Parte do jato atravessa pelo orifício, e parte é defletida. Determine a força horizontal necessária para conter a placa. R: 981,75N [ 4 ] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. (a) Determine a pressão relativa na seção (1) ( b ) Determine a força total que os flanges resistem. ρágua=1000 kg/m 3 ; ρHg=13600 kg/m 3 (a) 71,7 KPa (b) Rx=164,4 N. V 1 =5m/s (1) (2) D 1 =8cm x y P 2 =P atm água D 2 =5cm h=58cm mercúrio V 1 =5m/s (1) (2) D 1 =8cm x y x y P 2 =P atm água D 2 =5cm h=58cm mercúrio [5 ] A figura mostra um bocal convergente montado numa linha de uma tubulação industrial. Os manômetros instalados antes e após o bocal apresentam as pressões indicadas na figura. Determine a forca Rx que deve ser exercida pelos tubos adjacentes para suportar o bocal convergente. Considere que o fluido e gasolina com massa especifica igual a 680 kg/m 3 . Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-61 [ 7 ] No sistema representado na figura escoa água em regime permanente (ρ=1000 kg/m 3 ). Determinar a força resultante no eixo-y (Ry) considerando que a velocidade V1=10m/s sendo o diâmetro da lamina de fluido homogênea e igual a 30mm. O ângulo da placa inclinada é igual a 45 0 . [ 8 ] Determinar a força de reação no sistema apresentado na figura no qual escoa água (ρ=1000 kg/m 3 ) numa tubulação de 400mm de diâmetro com velocidade media igual a 5 m/s. A água sai a pressão atmosférica em forma de jato devido a placa plana com diâmetro de 100 mm. Obs. Sistema em regime permanente e propriedades uniformes na entrada (1) e saída (2) do fluido. [ 9 ] Uma bomba de jato de água tem área de Aj=0,01m 2 e uma velocidade Vj=30m/s. O jato fica dentro de uma corrente secundaria de água com velocidade V1=3,0m/s. A área total do duto e A2=0,075m 2 . A água e eficazmente misturada e deixa a bomba com uma corrente uniforme na seção 2. Na entrada da bomba as pressões do jato e da corrente secundaria são iguais. Determine a velocidade na seção de saída. Massa especifica da água 1000 kg/m 3 ‘ [ 10 ] Num Venturi escoa água conforme mostrado a figura. O manômetro de mercúrio indica uma altura H=20cm. Considere d1 = 2d2 = 16cm. A diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 é 24,72kPa. Desconsiderar a perda de carga. Calcular o fluxo de massa no sistema. Obs: água 1000kg/m 3 mercúrio 13600kg/m 3 . Mecânica dos Fluidos PUCRS C-62 E EX XE EM MP PL LO OS S E ES SC CO OA AM ME EN NT TO O V VI IS SC CO OS SO O I IN NT TE ER RN NO O Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-63 1.12 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Escoamento Viscoso em Dutos (Cap.6 e Cap.7) [ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m 3 /s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. O fator de atrito da tubulação é igual a 0,0149. A 20 0 C a água tem uma massa específica igual a 999 kg/m 3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10 -3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede. R: ∆P=16 kPa τW = 60 N/m 2 . [2] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa glicerina com uma velocidade media igual a 4,0 m/s. A glicerina esta a uma temperatura de 25 o C e com o qual a massa especifica é igual a 1258 kg/m 3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10 -1 Pa.s Determine (a) a perda de carga da tubulação. (b) o gradiente de pressão da tubulação. (c) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. (d) A eq. para graficar o perfil de velocidades. (e) O valor da velocidade para r = R/2. R: (a) hL=13,3 m (b) 5,4 kPa/m (c) τW = 204 N/m 2 . (d) V=6,0m/s [ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca, numa vazão de 1,6 milhão de barris por dia (1barril=42galões). O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol. A rugosidade do tubo é de 0,1464mm. A pressão máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi. A pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução é 50psi. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0,93 e viscosidade cinemática igual 1,179x10-6 m2/s. Para tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as estações de bombeamento. Se a eficiência da bomba é 85%, determine potência que deve ser fornecida em cada estação de bombeamento. R: 27,4MW [4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC utilizando uma bomba acionada por motor de combustão interna. Na sua faixa de operação de maior eficiência, a vazão de descarga da bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig. Para uma operação satisfatória, os borrifadores devem trabalhar a 30psig ou mais. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser desprezadas. Determine o diâmetro do tubo padrão que pode ser empregado. Obs. Considere água a 20 0 C. [5] Numa planta de processamento químico, deve transportar-se benceno a 500C (d=0,86, µ=4,2x10-4 Pa.s) de uma ponto A até um outro ponto B com uma pressão de 550kPa. Antes do ponto A esta instalada uma bomba. Com relação à horizontal, o ponto A esta 21 metros abaixo do ponto B. O ponto A esta conectado ao ponto B por uma tubulação de pvc nova com diâmetro interno igual a 50mm. Determinar a pressão requerida na saída da bomba considerando que o benzeno deve ser transportado com uma vazão de 110 litros/min. Obs. Considere que a perda de carga na tubulação igual a 3,91m. R: 760kPa. Mecânica dos Fluidos PUCRS C-64 [6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. ( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1). ( b ) Aplicando a Eq. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2) ( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem. ρágua=1000 kg/m 3 ; ρHg=13600 kg/m 3 V 1 =5m/s (1) (2) D 1 =8cm x y P 2 =P atm água D 2 =5cm h=58cm mercúrio V 1 =5m/s (1) (2) D 1 =8cm x y x y P 2 =P atm água D 2 =5cm h=58cm mercúrio [7] Óleo escoa com uma vazão de 0,2m 3 /s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro o qual apresenta um rugosidade ε=0,26mm. Nestas condições, no diagrama de Moody se obtém um fator de atrito igual a 0,0225. (a) Determine a perda de carga na tubulação. (b) Determine a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 10 0 no sentido do escoamento. ρ=900 kg/m 3 ν=0,00001 m 2 /s. [8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A para B. Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica (101,32 kPa) Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para que o fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo. A perda de carga do sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m). A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída do fluido na tubulação é igual a 15m. O diâmetro da tubulação é igual a 50mm. [ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma tubulação com 750mm de diâmetro para uma unidade geradora (turbina) e sai para um rio que localizado a 30 metros abaixo da superfície do reservatório. A vazão e igual a 2,0 m 3 /s. A perda de carga da tubulação e acessórios e igual a 27,29m. • Determine a potencia da maquina considerando um rendimento global de 88%.. Obs: massa especifica da água 1000 kg/m 3 [ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media igual a 4,0 m/s. Determine a perda de carga da tubulação. Obs. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m 3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10 -1 Pa.s. [ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea com diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a 0,002. Ambos reservatórios estão abertos á atmosfera. Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m 3 /h. A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m 3 e a viscosidade dinâmica igual a 1,7x10 -3 Pa.s. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-65 [ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e comprimento igual a 10m e rugosidade relativa igual a 0,002 no qual escoa água a 20 o C com uma vazão de 0,1 m 3 /s. Qual será a perda de carga na tubulação em metros de coluna de água. Determinar a tensão de cisalhamento. Obs. considere para água a 20 0 C a densidade igual a 0,999 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10 -3 kg/m.s. [13] Uma experiência de laboratório foi realizada na disciplina para determinar a perda de carga entre os pontos A e B distantes 150cm numa tubulação de 7mm de diâmetro. Determinar a perda de carga entre os pontos A e B em função da leitura manométrica do sistema apresentado na figura abaixo. (Densidade do mercúrio 13,6. Massa especifica da água 1000 kg/m 3 ). [ 14 ] Determine a perda de pressão (Pa) e o coeficiente de perda de carga num laminador de fluxo instalado num duto de 50 cm de diâmetro no qual escoa ar a 20 0 C com ρ=1,2 kg/m 3 µ=1,8x10 -5 Pa.s. O laminador e formado por tubos lisos de 30 cm de comprimento e 4 mm diâmetro. [ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5,6 litros/s, numa tubulação de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro. A rugosidade relativa e igual a 0,001 sendo que o coeficiente de atrito da tubulação igual a 0,0216. Considere Z1=6,1m e Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba). Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um rendimento global de 70%. O somatório de todos os coeficientes de perda de carga dos acessórios e igual a Σk=13,2. Obs. ρ=1000 kg/m 3 ν=1,02x10 -6 m 2 /s. ] Z 1 =6,1m Z 2 =36,6m [ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m 3 /s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. Considere que para a temperatura de 20 0 C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m 3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10 -3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de pressão na tubulação.(b) a potencia de acionamento da bomba. Mecânica dos Fluidos PUCRS C-66 Solução: Exemplo 1 [ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,2m 3 /s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. O fator de atrito da tubulação é igual a 0,0149. Considere que para a temperatura de 20 0 C a água tem uma massa específica igual a 999 kg/m 3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10 -3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede. 1. Pela Eq. continuidade determinamos a velocidade que é igual a 5,66m/s. 2. Para determinar a variação de pressão na tubulação utilizamos a Eq. da energia: B B B L A A A z g u g p h z g u g p + + = − + + 2 2 2 2 ρ ρ como a tubulação é horizontal (z1=z2) e do mesmo diâmetro (v1=v2) L B A h g p g p = − ρ ρ onde a perda de carga é dada por: ( ) mca x x x g v D L f h L 62 , 1 81 , 9 2 66 , 5 15 , 0 10 0149 , 0 2 2 2 = = = kPa x x gh p p L B A 88 , 15 81 , 9 999 62 , 1 ≡ = = − ρ Desta forma a tensão de cisalhamento na parede é dada como: 2 60 06 , 0 10 88 , 15 4 15 , 0 4 m N kPa x L p D w = = = ∆ = τ Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-67 Solução: Exemplo 2 [ 2 ] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa glicerina com uma velocidade media igual a 4,0 m/s. A glicerina esta a uma temperatura de 25 o C e com o qual a massa especifica é igual a 1258 kg/m 3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10 -1 Pa.s Determine (a) Perda de carga da tubulação. (b) Determine o gradiente de pressão da tubulação. (c) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. (d) A equação apropriada para graficar o perfil de velocidades. (e) O valor da velocidade para r = R/2. D=150mm L=30m V=4,0m/s T=25 o C µ=9,6x10 -1 ρ=1258 kg/m 3 Perda de carga da tubulação. Determinamos o Número de Reynolds ar La Escoamento x x x VD min - 786 10 6 , 9 15 , 0 0 , 4 1258 Re 1 ≅ = = − ν Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: g v D L h L 2 Re 64 2 = ( ) mca x x g v D L h L 28 , 13 81 , 9 2 4 15 , 0 30 786 64 2 Re 64 2 2 = = = Determine o gradiente de pressão da tubulação. A variação de pressão kPa x x gh p L 163 81 , 9 1258 28 , 13 ≅ = = ∆ ρ O gradiente de pressão m kPa m kPa L p 4 , 5 30 163 = = ∆ Tensão de cisalhamento na parede da tubulação 8 Re 64 2 4 2 2 v v f W ρ ρ τ = = desta forma ≅ = 2 2 204 8 4 1258 786 64 m N x W τ A equação apropriada para graficar o perfil de velocidades. ¹ ) ¹ ` ¦ ¹ ¹ ¹ ´ ¦ | ¹ | \ | − = 2 max 1 R r u u com umax=2umedio = 2x4m/s=8m/s ¹ ) ¹ ` ¦ ¹ ¹ ¹ ´ ¦ | ¹ | \ | − = 2 1 0 , 8 R r u O valor da velocidade para r = R/2. ¹ ) ¹ ` ¦ ¹ ¹ ¹ ´ ¦ | ¹ | \ | − = 2 2 1 1 0 , 8 u =6m/s Mecânica dos Fluidos PUCRS C-68 Solução: Exemplo 3 [ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca, numa vazão de 1,6 milhão de barris por dia (1barril=42galões). O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol. A rugosidade do tubo é de 0,1464mm. A pressão máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi. A pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução é 50psi. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0,93 e viscosidade cinemática igual 1,97x10 -5 m 2 /s. Para tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as estações de bombeamento. Se a eficiência da bomba é 85%, determine potência que deve ser fornecida em cada estação de bombeamento. Escoamento numa tubulação: comprimento desconhecido Dados: Q=1,6 milhões de barris dia 100kPa = 14,5psi. ou 1psi ≅ 6,897kPa P1=1200 psi. (275,86kPa) P2=50 psi. (344,83 kPa) Ferro galvanizado ε=0,1464mm D=48 pol ( 1220mm) DR=0,93 oú ρ=930 kg/m 3 ν=1,97x10 -5 m 2 /s. η=85% dia barris x Q 6 10 6 , 1 = 01 barril = 42 galões min 67 , 46666 60 24 42 10 6 , 1 6 gal x x x Q = = Conversão 01 galão/min = 6,309x10 -5 m3/s s m x x Q 3 5 94 , 2 10 309 , 6 67 , 46666 = = − Aplicamos a Eq. de Energia entre o ponto 1 e o ponto 2. 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 z g u g p H h z g u g p A L + + = + − + + ρ ρ Simplificações • Não existem equipamento adicionado ou retirando energia entre o ponto 1 e 2 portanto HR=0 e HA=0 • A tubulação apresenta o mesmo diâmetro portanto v1=v2. • Como os pontos estão na mesma altura z1=0 e z2=0. Com tais simplificações se tem: ( ) g P g p p h L ρ ρ ∆ = − = 2 1 o valor limite da perda a de carga é dada por: ( ) fluido c m x x h L . . 32 , 869 81 , 9 930 1000 83 , 344 86 , 8275 = − = (neste caso de Petróleo bruto) g V D L f h L 2 2 = Com tal equação podemos explicitar o comprimento da tubulação Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-69 2 2 V g f D h L L = onde 2 9 , 0 Re 74 , 5 7 , 3 / log 25 , 0 − 1 ] 1 ¸ | ¹ | \ | + = D f ε ε/D= 0,1464mm/1220mm=0,00012 ν VD = Re a velocidade media s m x D Q A Q V / 51 , 2 22 , 1 94 , 2 4 4 2 2 ≅ = = = π π 5 5 10 55 , 1 10 97 , 1 22 , 1 51 , 2 Re x x x VD ≅ = = − ν 01722 , 0 ) 10 55 , 1 ( 74 , 5 7 , 3 00012 , 0 log 25 , 0 2 9 , 0 5 = 1 1 ] 1 ¸ ¹ | ' | + = − x f km x V g f D h L L 8 , 191 51 , 2 81 , 9 2 01722 , 0 22 , 1 32 , 869 2 2 2 ≅ = = A bomba deverá fornecer (adicionar) no ponto 1 uma energia equivalente a perda de carga HA=hL=869,32m A potência teórica adicionada pela bomba ao fluido pode ser determinada como: gQ H P A A ρ = onde ρ é a massa específica do fluido e Q a vazão. A eficiência da bomba é definida como a relação entre o potencial adicionado pela bomba ao fluido e a potência subministrada à bomba (potência motriz). bomba a para fornecida Potência fluido ao bomba pela adicionada Potência Bomba = η Desta forma a potência fornecida para a bomba: G A motriz gQ H P η ρ = kW x x x P motriz 2 , 27432 85 , 0 94 , 2 81 , 9 930 32 , 869 = = Mecânica dos Fluidos PUCRS C-70 Solução: Exemplo 4 [ 4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC utilizando uma bomba acionada por motor de combustão interna. Na sua faixa de operação de maior eficiência, a vazão de descarga da bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig. Para uma operação satisfatória, os borrifadores devem trabalhar a 30psig ou mais. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser desprezadas. Determine o diâmetro do tubo padrão que pode ser empregado. Escoamento num Sistema de Irrigação: Diâmetro desconhecido Dados: Q=1500 gpm (95 lts/s) L=152m Tubo de PVC ε=0,015mm Fluido: água a 20 0 C Tabela: ρ=998 kg/m 3 ν=1,02x10 -6 m 2 /s. 100kPa = 14,5psi. ou 1psi ≅ 6,897kPa P1<= 65psig. (448,16 kPa) P2 >= 30 psig (206,85 kPa) 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 z g u g p H h z g u g p A L + + = + − + + ρ ρ Simplificações • Não existem equipamento adicionado ou retirando energia entre o ponto 1 e 2 portanto HR=0 e HA=0 • A tubulação apresenta o mesmo diâmetro portanto v1=v2. • Como os pontos estão na mesma altura z1=0 e z2=0. Com tais simplificações se tem: ( ) g P g p p h L ρ ρ ∆ = − = 2 1 Assumindo os valores extremos estamos considerando ∆Pamx ( ) agua c m x x h L . . 6 , 24 81 , 9 1000 1000 85 , 206 16 , 448 = − = g V D L f h L 2 2 = Igualando os termos g V D L f P 2 2 ρ = ∆ (Pa) Para trabalhar com o diâmetro substituímos a velocidade pela vazão (V=Q/A): 5 2 2 5 2 2 4 2 2 2 2 1 8 8 16 2 4 2 D Q D L f D Q D L f D Q D L f D Q D L f P = = = = ∆ π ρ π ρ π ρ π ρ Substituindo Q = 0,095 m3/s ν=1,02x10 -6 m 2 /s ρ=998 kg/m 3 L=152m Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-71 5 715 , 1109 D f P = ∆ D Q D D Q VD 1 4 4 Re 2 = = = πν ν π ν . Substituindo os dados D 04 , 118586 Re = Procedimento Iterativo. 1. Admitimos um valor para o diâmetro. Por exemplo Eq. de Bresse. ( D=Q 0,5 ) 2. Determinamos o Re. 3. Com Re e e/D determinamos o fator de atrito f 4. Com D e F obtemos a variação de pressão 5. Se ∆Pcal. ≅ ∆Pmax significa que o diâmetro assumido é adequado. 6. Se ∆Pcal. < ∆Pmax significa que podemos diminuir o diâmetro e recalcular 7. Se ∆Pcal. > ∆Pamx significa que devemos aumentar o diâmetro e recalcular. Diâmetro (mm) ε/D Re f ∆Pcal. (Pa) 308 0,000487 3,85x105 0,01435 57 kPa < (241,31 kPa) 150 0,001 8x10 5 0,01378 201,31 kPa Continuar Quando o diâmetro não corresponde ao diâmetro comercial do tubo devemos recalcular e verificar os dados. Mecânica dos Fluidos PUCRS C-72 Solução: Exemplo 5 [5] Numa planta de processamento químico, deve transportar-se benzeno a 50 0 C (d=0,86, µ=4,2x10 -4 Pa.s) de uma ponto A até um outro ponto B com uma pressão de 550kPa. Antes do ponto A está instalada uma bomba. Com relação à horizontal, o ponto A esta 21 metros abaixo do ponto B. O ponto A esta conectado ao ponto B por uma tubulação de pvc nova com diâmetro interno igual a 50mm. Determinar a pressão requerida na saída da bomba considerando que o benzeno deve ser transportado com uma vazão de 110 litros/min. Obs. Considere que a perda de carga na tubulação igual a 3,91m. Resposta: 760kPa. Dados: Fluido Benzeno d=0,86 T=50 0 C µ=4,2x10 -4 Pa.s PB=550kPa. D=50mm (A=0,001964m 2 ) Q=110 l/min. ( 0,001834 m 3 /s) Solução: Aplicamos a Eq. de Energia entre o ponto A e B. B B B LT R AD A A A z g u g p h H H z g u g p + + = − − + + + 2 2 2 2 ρ ρ Simplificações: Como a bomba esta antes do ponto A HAD=0 . Não existe turbinas retirando energia do sistema (HR=0) Como não existe perda de carga localizada (hLacc=0) hLT= hL Como a tubulação entre A e B não muda de diâmetro, pela continuidade AA=AB e portanto vA=vB. Tomando como eixo de referencia o nível do ponto A: ( ZB - ZA) =21m B B LT A A z g p h z g p + = − + ρ ρ reorganizando os termos, e explicitando a pressão em A: ( ) LT A B B A h z z g p g p + − + = ρ ρ Devemos determinar a perda de carga da tubulação g V D L f h L 2 2 = Considerando: velocidade: v=Q/A =0,934 m/s 93 , 0 001964 , 0 0,001834 = = = A Q v Reynolds: µ ρ D V = Re 9563 4 - 4,2x10 005 , 0 934 , 0 860 Re ≈ = x x (escoamento turbulento) com ε/D=0 - tubo liso no Diagrama de Moody achamos f=0,018. ( ) m x x x g V D L f h L 81 , 3 81 , 9 2 93 , 0 05 , 0 240 018 , 0 2 2 2 = = = fluido c m x x g p A . . 90 81 , 3 1 2 81 , 9 860 1000 550 = + + = ρ kPa x x p A 30 , 759 81 , 9 860 90 = = Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-73 Solução: Exemplo 6 [6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. ( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1). ( b ) Aplicando a Eq. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2) ( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem. ρágua=1000 kg/m 3 ; ρHg=13600 kg/m 3 V 1 =5m/s (1) (2) D 1 =8cm x y P 2 =P atm água D 2 =5cm h=58cm mercúrio V 1 =5m/s (1) (2) D 1 =8cm x y x y P 2 =P atm água D 2 =5cm h=58cm mercúrio Aplicando Eq. de Manometria: kPa x x gh P a M R 7 , 71 58 , 0 81 , 9 ) 1000 13600 ( ) ( 1 = − = − = ρ ρ (Relativa) Aplicando Eq. de Energia. m x x x g v v g p p h L 23 , 0 07 , 7 3 , 7 81 , 9 2 8 , 12 5 81 , 9 1000 1000 7 , 71 2 2 2 2 2 2 1 2 1 = − = − + = − + − = ρ Aplicando Eq. da Quantidade de movimento. N x x v v m A p R x 1 , 163 ) 5 8 , 12 ( 12 , 25 1000 005 , 0 7 , 71 ) ( 1 2 1 1 = − − = − − = & Solução: Exemplo 7 [7] Óleo escoa com uma vazão de 0,2m 3 /s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro o qual apresenta um rugosidade ε=0,26mm. Nestas condições, no diagrama de Moody se obtém um fator de atrito igual a 0,0225. (a) Determine a perda de carga na tubulação. (b) Determine a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 10 0 no sentido do escoamento. ρ=900 kg/m 3 ν=0,00001 m 2 /s. m g g V D L f h L 116 2 37 , 6 2 , 0 500 0225 , 0 2 2 2 = = = Continuar: R: ∆P=265Pa. Mecânica dos Fluidos PUCRS C-74 Solução: Exemplo 8 [8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A para B. Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica (101,32 kPa) Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para que o fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo. A perda de carga do sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m). A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída do fluido na tubulação é igual a 15m. O diâmetro da tubulação é igual a 50mm. Dados Q=12 l/s=0,012m 3 /s hL=12 m.c.f. PB= 101,33kPa. (Pressão Atm. padrão) ZB – ZA= 15m D=50mm Com a vazão podemos determinar a velocidade na tubulação: ( ) s m x D Q v / 12 , 6 00196 , 0 012 , 0 4 05 , 0 012 , 0 4 2 2 = = = = π π A Eq. de energia aplicada entre os pontos A e B, fazendo não tendo máquinas adicionado (bombas) o extraindo (turbinas) energia. B B B L A A A z g u g p h z g u g p + + = − + + 2 2 2 2 ρ ρ Considerando a velocidade em A muito pequena comparada com a velocidade na tubulação, fazemos desprezível o termo de energia cinética da mesma. B B B L A A z g u g p h z g p + + = − + 2 2 ρ ρ Utilizando nesta expressão a pressão relativa, em B temos que PB=0. Desta forma a pressão relativa em A é dada como: ( ) L A B B A h z z g u g p + − + = 2 2 ρ considerando a massa especifica do fluido ρ=1000kgm/ 3 ( ) m x g p A 90 , 28 12 15 9 , 1 12 15 81 , 9 2 12 , 6 2 = + + = + + = ρ em unidades de pressão, a pressão relativa em A é dada como: kPa x x p A 6 , 283 90 , 28 81 , 9 1000 = = A pressão absoluta p A = p A(Rel) + p Atm = 283,6 + 101,33 =385 kPa. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-75 Solução: Exemplo 9 [ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma tubulação com 750mm de diâmetro para uma unidade geradora (turbina) e sai para um rio que localizado a 30 metros abaixo da superfície do reservatório. A vazão e igual a 2,0 m 3 /s. A perda de carga da tubulação e acessórios e igual a 27,29m. • Determine a potencia da maquina considerando um rendimento global de 88%.. Obs: massa especifica da água 1000 kg/m 3 B B B A L A A A z g u g p H h z g u g p + + = + − + + 2 2 2 2 ρ ρ A B L A z z h H − + = m H A 80 , 57 5 , 30 29 , 27 = + = Watts x x x Q gH W A 4536 7 , 0 0056 , 0 80 , 57 81 , 9 1000 = = = η ρ & Solução: Exemplo 10 [ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media igual a 4,0 m/s. Determine a perda de carga da tubulação. Obs. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m 3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10 -1 Pa.s. Perda de carga da tubulação. Número de Reynolds ar La Escoamento x x x VD min - 786 10 6 , 9 15 , 0 0 , 4 1258 Re 1 ≅ = = − ν Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: g v D L h L 2 Re 64 2 = ( ) mca x x g v D L h L 28 , 13 81 , 9 2 4 15 , 0 30 786 64 2 Re 64 2 2 = = = Mecânica dos Fluidos PUCRS C-76 Solução: Exemplo 11 [ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea com diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a 0,002. Ambos reservatórios estão abertos á atmosfera. Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m 3 /h. A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m 3 e a viscosidade dinâmica igual a 1,7x10 -3 Pa.s. s m x x D Q V 12 , 2 05 , 0 3600 15 4 4 2 2 = = = π π 635 . 48 10 7 , 1 05 , 0 12 , 2 780 Re 3 = = = − x x x VD µ ρ (turbulento) ( ) 0268 , 0 48635 74 , 5 7 , 3 002 , 0 log 25 , 0 2 9 , 0 = 1 1 ] 1 ¸ | | ¹ | \ | + = − f m x x g V D L f h L 28 , 12 81 , 9 2 12 , 2 05 , 0 100 0268 , 0 2 2 2 = = = Solução: Exemplo 12 [ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e comprimento igual a 10m e rugosidade relativa igual a 0,002 no qual escoa água a 20 o C com uma vazão de 0,1 m 3 /s. Qual será a perda de carga na tubulação em metros de coluna de água. Determinar a tensão de cisalhamento. Obs. considere para água a 20 0 C a densidade igual a 0,999 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10 -3 kg/m.s. A variação de pressão ma tubulação é dada pela Eq. de energia. B B B L A A A z g u g p h z g u g p + + = − + + 2 2 2 2 ρ ρ como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro L B A h g p g p = − ρ ρ ( ) mca x x x g v D L f h L 62 , 1 81 , 9 2 66 , 5 15 , 0 10 0149 , 0 2 2 2 = = = kPa x x gh p p L B A 88 , 15 81 , 9 999 62 , 1 ≡ = = − ρ a tensão de cisalhamento na parede é dada como: 2 60 06 , 0 10 88 , 15 4 15 , 0 4 m N kPa x L p D w = = = ∆ = τ Respostas ∆P=15,88 kPa τW=60 N/m 2 Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-77 Solução: Exemplo 13 [ 13 ] Uma experiência de laboratório foi realizada na disciplina para determinar a perda de carga entre os pontos A e B distantes 150cm numa tubulação de 7mm de diâmetro. Determinar a perda de carga entre os pontos A e B em função da leitura manométrica do sistema apresentado na figura abaixo. (Densidade do mercúrio 13,6. Massa especifica da água 1000 kg/m 3 ). B B B L A A A z g u g p h z g u g p + + = − + + 2 2 2 2 ρ ρ Tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro: g p g p h B A L ρ ρ − = Aplicando Eqs. de manometria obtemos: B x agua Hg x agua A p h h g gh gh p = − − − + ) ( ρ ρ ρ B agua Hg A p gh gh p = + − ρ ρ ( )g h p p agua Hg B A ρ ρ − = − ( ) kPa x p p B A 74 , 45 81 , 9 1000 13600 37 , 0 = − = − m m x x g p p h B A L 66 , 4 81 9 1000 1000 74 , 45 = = − = ρ Solução: Exemplo 14 [ 14 ] Determine a perda de pressão (Pa) e o coeficiente de perda de carga num laminador de fluxo instalado num duto de 50 cm de diâmetro no qual escoa ar a 20 0 C com ρ=1,2 kg/m 3 µ=1,8x10 -5 Pa.s. O laminador e formado por tubos lisos de 30 cm de comprimento e 4 mm diâmetro. ar La Escoamento x x x VD min - 1600 10 8 , 1 0004 0 , 6 2 , 1 Re 5 ≅ = = − µ ρ Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: g v D L h L 2 Re 64 2 = ( ) mca x x g v D L h L 91 , 4 81 , 9 2 6 004 , 0 3 , 0 1600 64 2 Re 64 2 2 = = = L gh P ρ = ∆ Pa x x P 8 , 57 91 , 4 81 , 9 2 , 1 = = ∆ g v k h L 2 2 = 67 , 2 6 91 , 4 81 , 9 2 2 2 2 = = = x x V gh k L Mecânica dos Fluidos PUCRS C-78 Solução: Exemplo 15 [ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5,6 litros/s, numa tubulação de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro. A rugosidade relativa e igual a 0,001 sendo que o coeficiente de atrito da tubulação igual a 0,0216. Considere Z1=6,1m e Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba). Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um rendimento global de 70%. O somatório de todos os coeficientes de perda de carga dos acessórios e igual a Σk=13,2. Obs. ρ=1000 kg/m 3 ν=1,02x10 -6 m 2 /s. ] Z 1 =6,1m Z 2 =36,6m B B B A L A A A z g u g p H h z g u g p + + = + − + + 2 2 2 2 ρ ρ A B L A z z h H − + = ( ) m x g V D L f h L 82 , 21 81 , 9 2 85 , 2 05 , 0 122 0216 , 0 2 2 2 = = = ( ) m x g V K h ac 46 , 5 81 , 9 2 85 , 2 2 , 13 2 2 2 = = = ∑ m H A 80 , 57 5 , 30 29 , 27 = + = Watts x x x Q gH W A 4536 7 , 0 0056 , 0 80 , 57 81 , 9 1000 = = = η ρ & Solução: Exemplo 16 [ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m 3 /s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. Considere que para a temperatura de 20 0 C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m 3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10 -3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de pressão na tubulação.(b) a potencia de acionamento da bomba. B B B L A A A z g u g p h z g u g p + + = − + + 2 2 2 2 ρ ρ Como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro L B A h g p g p = − ρ ρ onde: 00 , 151 . 848 10 0 , 1 15 , 0 999 66 , 5 Re 3 = = = − x x x VD ν Turbulento. Da apostila, utilizando a Eq. para tubos lisos com Re > 10 5 012 , 0 ) 10 8 ( 5 , 0 056 , 0 32 , 0 5 = + = − x f ( ) mca x x x g v D L f h L 62 , 130 81 , 9 2 66 , 5 15 , 0 1000 012 , 0 2 2 2 = = = kPa x x gh p p L B A 1280 81 , 9 999 62 , 130 ≡ = = − ρ kW x W 128 1 , 0 1280 = = & Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-79 1.13 PROBLEMAS PROPOSTOS - Perda de Carga em Tubulações (Cap.7) [ 1 ] Determine a velocidade crítica para (a) gasolina a 20 0 C escoando em um tubo de 20mm e (b) para água a 20 0 C escoando num tubo de 20mm. Obs. Para gasolina a 20 0 C a massa específica é igual a 6,48x10 -7 m 2 /s. R:(a) V=0,065m/s (b) V=0,1m/s. [ 2 ] Determine o tipo de escoamento que ocorre num tubo de 305mm quando (a) água a 15 0 C que escoa a uma velocidade de 1,07m/s (b) óleo combustível pesado a 15 0 C escoando com a mesma velocidade considerando que apresenta uma viscosidade cinemática igual a 20,53x10 -5 m 2 /s. R: (a) Re 290.000 Turbulento (b) Re=1600 Laminar. [ 3 ] Para condições de escoamento laminar, qual o diâmetro da tubulação que poderá conduzir 0,0057m 3 /s de óleo combustível médio a 4 o C com viscosidade cinemática igual a 6,09x10 -6 m 2 /s. R: D=60mm [ 4 ] Um óleo lubrificante médio, com densidade 0,86 é bombeado através de 300m de um tubo horizontal de 50mm de diâmetro a razão de 0,00114m 3 /s. Se a queda de pressão for 200kPa qual será a viscosidade absoluta do óleo. R:: µ=0,089 Pa.s [ 5 ] Um óleo com viscosidade absoluta de 0,101 Pa.s e densidade 0,85 escoa através de 3000m de tubulação de ferro fundido com 300 de diâmetro com uma vazão de 0,0444m 3 /s. Determine a perda de carga no tubo. R: 8,14m. [ 6 ] Um óleo combustível pesado escoa de A para B através de 914,4m de um tubo horizontal de açõ de 152mm. A pressão em A é de 1068,68 kPa e em B é de 34,47 kPa. O óleo apresenta uma densidade de 0,918 e viscosidade cinemática é de 41,24x10 -5 m 2 /s. Determine a vazão em m 3 /s. R: Q=0,039m 3 /s. [ 7 ] Que diâmetro de tubo deve ser instalado para transportar 0,0222 m 3 /s de óleo combustível pesado a 16 o C com viscosidade cinemática v=2,05x10 -4 m 2 /s e densidade igual a 0,912. A perda de carga disponível nos 300 m de tubo é de 6,7m. Obs. Adote a hipótese inicial de escoamento laminar e verifique posteriormente tal hipótese. R: D=170mm [ 8 ] Uma quantidade de gasolina esta sendo descarregada de um tubo em um ponto de 2 a 67m de elevação. O ponto 1 localizado a 966m de tubo do ponto 2, está elevado na elevação de 83m, sendo a pressão neste ponto de 2,5kPa. Se a rugosidade do tubo é de 0,5mm. Determine o diâmetro do tubo necessário para descarregar a gasolina com uma vazão de 0,10m 3 /s. Para gasolina considere massa especifica igual a 719 kg/m 3 e viscosidade dinâmica igual a 2,92x10 - 4 N.s /m 2 . R: D=258 mm [ 9 ] Por um tubo inclinado 30 0 de 100mm de diâmetro escoa glicerina a 30 0 C em sentido ascendente. Entre as seções de 1 e 2 distantes 10m se mede uma diferença de pressão p1-p2=0,8bar. Determinar a perda de carga velocidade do escoamento, número de Reynolds e tensão de cisalhamento na parede da tubulação. Considere a glicerina com massa especifica igual a 1260 kg/m 3 e viscosidade cinemática 1,9x10 -4 m 2 /s. R: hL=1,47m. V=2,37 m/s Re= 1247 (laminar) τW=45,4 N/m 2 . [ 10 ] De um deposito de óleo com massa especifica igual a 900 kg/m 3 sai uma tubulação de 13mm de diâmetro. A vazão é de 900 L/h e a queda de pressão entre as duas seções distantes 2m é de 0,265bar. Considerando escoamento laminar, determinar a viscosidade cinemática e dinâmica e verificar se escoamento é realmente laminar. Ra: v=3,76x10 -5 m 2 /s µ=3,338x10 -2 Pa.s [ 11 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,2m 3 /s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. O fator de atrito da tubulação é igual a 0,0149. Considere que para a temperatura de 20 0 C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m 3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10 -3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede. R: ∆P=16 kPa τW = 60 N/m 2 . Mecânica dos Fluidos PUCRS C-80 [12] Um tubo liso horizontal de 4cm de diâmetro transporta 0,004 m 3 /s de água a 20 0 C. Usando um perfil exponencial determine. (a) Fator de atrito (b) Velocidade máxima (c) Posição radial em que u( r ) =Umedia (d) Tensão de cisalhamento na parede (e) Queda de pressão considerando um comprimento de 10m Respostas: • Fator de atrito f=0,0173 • Velocidade máxima Umax=3,74m/s. • Posição radial em que u( r ) = Umedia : r=15,2mm • Tensão de cisalhamento na parede τw=22Pa • Queda de pressão considerando um comprimento de 10m ∆P=22kPa. [13] Uma queda de pressão de 700 kPa é medida sobre um comprimento de 300m de um tubo em ferro forjado de 10cm de diâmetro que transporta óleo (d=0,9 v=10 -5 m 2 /s). Determine a vazão: (a) Procedimento iterativo (b) Método explicito. R: Q=0,037 m 3 /s [14] Que diâmetro de uma tubulação horizontal de 400m de comprimento deve ser escolhido para transportar 0,002 m 3 /s de água a 20 0 C de modo que a perda de carga não exceda 30m (a) Utiliza método iterativo (b) Utilize método explicito. R: D=40mm [15] Um deposito com óleo com massa especifica igual a 900 kg/m 3 é conectado a uma tubulação horizontal de 13mm de diâmetro interno. A vazão é de 900 litros/hora e a queda de pressão na tubulação entre duas seções distantes 2 metros é de 0,265bar. Considerando escoamento em regime laminar determinar a viscosidade cinemática e dinâmica do fluido. Verifique se de fato o escoamento é laminar como suposto no problema. Determine a tensão de cisalhamento na parede. R: V=1,88 m/s µ=0,037 Pa.s ν=4,1x10 -5 m 2 /s Re ≈ 590 - Laminar τw=43Pa Nota: exercício similar resolvido no Fox ( Cap. de escoamentos em dutos) [16] Se requer bombear 40 litros/segundo de água de um deposito a outro 40m mais elevado, distantes 560m. A tubulação é de ferro fundido com rugosidade de 0,25mm e diâmetro de 150mm determinar. Na tubulação existe um registro globo aberto com comprimento equivalente de 50 metros e duas junções com coeficiente de perda de carga igual a 0,4. a) Determine o fator de atrito por equação apropriada e compare o resultado utilizando o diagrama de Moody. b) Determinar com o fator de atrito (obtido pela equação) a perda de carga na tubulação em metros de coluna de fluido e em Pascal. c) Determine a perda de carga localizada pelos acessórios presentes na tubulação. d) Determina a perda de carga total pela tubulação mais acessórios. R: a) f=0,023 b) hl=22,35m c) hacc=hval-globo + hjunção=2,04m d) hlT= hl+ hacc≅25m Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-81 [ 17 ]O sistema de bombeamento trabalha com uma vazão de 0,015 m3/s. A tubulação de aspiração tem um comprimento de 15 metros. A tubulação de recalque tem um comprimento de 200 metros. A válvula de globo aberta apresenta um comprimento equivalente Le=30D onde D é o diâmetro da tubulação. Determine a perda de carga total do sistema de Bombeamento e a potência de acionamento da bomba considerando que apresenta um rendimento de 76%. A tubulação de aspiração tem um diâmetro de 100 mm e a tubulação de recalque apresentam um diâmetro interno de 50mm. Considere uma tubulação é de aço com rugosidade igual a 4,6x10-5m. Elemento Coef. de perda de carga - K Fluido - álcool 24oC Saída do reservatório de aspiração 0,5 ρ=789 kg/m3 Entrada do reservatório de recalque 1,0 µ= a 5,6x10-4 Pa.s curva de 900 0,57 R: hL=207,4m (z2 - z1) =10m H=217,4m W=33,2kW. Mecânica dos Fluidos PUCRS C-82 1.14 PROBLEMAS PROPOSTOS - Escoamento Viscoso em Dutos (Cap.7 e Cap.8) [1] Determinar a perda de carga e a queda de pressão em 61m de um tubo de ferro fundido asfaltado horizontal de 152mm de diâmetro transportando água a uma velocidade media de 1,83m/s. ρ=1000 kg/m 3 ν=1,02x10 -6 m 2 /s. R: (1,37m ) (13,43kPa). [2] Óleo com ρ=1000 kg/m 3 ν=0,00001 m 2 /s escoa a 0,2 m 3 /s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro. Determinar (a) a perda de carga (b) a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 10 0 no sentido do escoamento. R: (117m ) (265 kPa). [3] Óleo com ρ=950 kg/m 3 ν=2,0x10 -5 m 2 /s escoa por um tubo de 30cm de diâmetro e 100m de comprimento com uma perda de carga de 8m. A rugosidade relativa e 0,0002. Determine a velocidade media e a vazão. R: (4,84 m/s) (0,342 m 3 /s). – Solução Iterativa. [4] Determinar a velocidade numa tubulação de ferro fundido asfaltado horizontal de 61m na qual escoa água apresentando uma perda de carga de 1,37m. Obs. ρ=1000 kg/m 3 ν=1,02x10 -6 m 2 /s. R: (1,84 m/s) – Solução Iterativa. [5] Óleo com ρ=950 kg/m 3 ν=2,0x10 -5 m 2 /s escoa por um tubo de 100m de comprimento com uma perda de carga de 8m sendo a vazão Q=0,342m 3 /s e a rugosidade ε=0,06mm. Determine o diâmetro da tubulação. R: (0,3 m) – Solução Iterativa. [6] Ar com ρ=1,22 kg/m 3 ν=1,46x10 -5 m 2 /s e forcado através de um duto horizontal quadrado de 229mmx229mm de 30m de comprimento, a uma vazão de 0,708 m 3 /s. Se a rugosidade ε=0,091mm determine a queda de pressão. R: (258 N/m 2 ) [7] Água com 1000 kg/m 3 ν=1,02x10 -6 m 2 /s e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5,6 litros/s, por um tubo de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro e diversos acessórios como mostra a figura. A rugosidade relativa e 0,001. Considere Z1=6,1m e Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície do reservatório de recalque (após a bomba). Calcule a potencia requerida pela bomba em Watts. Acessório Coeficiente de perda de carga Entrada em canto agudo 0,5 Válvula globo aberta 6,9 Curva com 12 pol de raio. 0,15 Cotovelo normal de 90 0 0,95 Válvula de gaveta aberta pela metade. 3,7 Saída em canto agudo 1,0 R: (3,2kW) [8] Um duto de ferro fundido de 360m de comprimento e rugosidade absoluta igual a 10 -4 m conduz água a temperatura de 20 0 C com uma vazão de 12 m 3 /s apresentando uma perda de carga na tubulação horizontal de 3,9m. Determinar o diâmetro da tubulação. R: (D=165,21mm). [9] Uma tubulação de fibrocemento de 100m de comprimento e diâmetro de 200mm apresenta uma rugosidade de 10 - 4 m escoando água a 20 0 C com uma vazão de 62,8 litros/s. Determinar a perda de carga da tubulação. R: hL=18,26 m. [10] Num duto de concreto (ε= 3,0x10 -4 m) de 100mm de diâmetro escoa água a 37 o C com perda de carga unitária de 0,0115 mca/m. Determinar a vazão. R: (Q=0,007155 m 3 /s ). Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-83 E EX XE EM MP PL LO OS S A AN NÁ ÁL LI IS SE E D DI IM ME EN NS SI IO ON NA AL L E E M MO OD DE EL LO OS S Mecânica dos Fluidos PUCRS C-84 1.15 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Análise Dimensional (Cap.9) [ 1 ] Está para ser realizado um teste de um projeto proposto para uma bomba grande que deve fornecer 1,5 m 3 /s através de um rotor de 40cm de diâmetro. Um modelo com um rotor de 8cm de diâmetro será usado. Que vazão deve ser usada no modelo para manter a semelhança em relação ao número de Reynolds ? O fluido a ser usado no modelo é a água, na mesma temperatura da água a ser bombeada pelo protótipo. Para que haja semelhança neste problema de escoamento confinado incompressível, o número de Reynolds deve ser igual, ou seja, p m Re Re = p p p m m m d U d U ν ν . . = Reconhecendo que p m ν ν = , se as temperaturas são iguais, vemos que 5 08 , 0 4 , 0 = = = m m d d U U m p p m A razão entre vazões é encontrada reconhecendo que A U Q . = : 2 2 . . p p m m p m d U d U Q Q = = 5 1 4 , 0 08 , 0 . 5 2 2 = Assim encontramos s m Q Q p m / 3 , 0 5 5 , 1 5 3 = = = [2] A tensão superficial σ é função de velocidade U, da massa especifica ρ e do comprimento x. Obter a equação da tensão superficial. Nota: o Compriment Força = σ X U c b a ρ σ π = ( ) ( ) ( ) L ML LT MT T L M c b a 3 1 2 0 0 0 − − − = 2 1 1 2 2 0 1 3 0 0 = − = = = ==> − − = => + − = => − = ==> + = => b a c b c b a T c b L c a c a M X U 1 2 1 ρ σ π − = X kU ρ σ 2 = Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-85 [ 3 ] Uma unidade de bombeamento de grande porte do DMAE deverá fornecer 5400m 3 /h de água através de uma tubulação de 200cm de diâmetro. Determinar a vazão (em m 3 /h) que deve ser utilizada para estudar um modelo desta tubulação em laboratório dispondo de uma tubulação de 50cm de diâmetro. P P P M M M P M D V D V ν ν = = Re Re Tratando-se do mesmo fluido νM=νP. P P M M D V D V = M P P M D D V V = s m x D Q V P P / 4775 , 0 2 5 , 1 4 4 2 2 = = = π π s m x V M / 91 , 1 5 , 0 0 , 2 4775 , 0 = = 4 2 M M D V Q π = ) / 1350 ( / 375 , 0 4 5 , 0 91 , 1 3 3 2 h m s m Q = = π [ 4 ] Num projeto hidrodinâmico de um pequeno submarino, é necessário determinar as forças resultantes de um protótipo de 2m de diâmetro e 10m de comprimento o qual, quando submerso em água, deverá alcançar uma velocidade máxima de 10 m/s. Para realizar o estudo prepara-se um modelo em escala de 1:20 do protótipo qual será testado num túnel hidráulico. Determine a velocidade da água no túnel hidráulico para conseguir a semelhança dinâmica do modelo. Solução: Por similaridade dinâmica o número de Reynolds do modelo e do protótipo deve ser igual: Re Re m p m p ud ud = = ρ µ ρ µ Desta forma a velocidade do modelo deverá ser u u d d m p p m p m m p = ρ ρ µ µ Como ambos (modelo e protótipo) atuam em água então, m = p e m = p assim. u u d d m s m p p m = = = 10 1 1 20 200 / / Mecânica dos Fluidos PUCRS C-86 P PR RO OB BL LE EM MA AS S A AD DI IC CI IO ON NA AI IS S Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-87 1.16 PROBLEMAS ADICIONAIS 1. Problemas de Propriedades dos fluidos [1.1] A densidade de um óleo é 0,8. Determine (a) massa específica, (b) volume específico (c) peso específico. R: (a) 800 kg/m 3 ; (b) 1,3.10 -3 m 3 /kg; (c) 7848 N/m 3 . [1.2] Uma placa plana infinita move-se a 0,3 m/s sobre outra igual e estacionária. Entre ambas há uma camada líquida de espessura 3 mm. Admitindo que a distribuição das velocidades sejam linear, a viscosidade 0,65cP e a densidade 0,88, calcular: a) A viscosidade em Pa.s. R = 6,5.10 -4 Pa.s; b) A viscosidade cinemática em St. R = 7,4 .10 -3 St; c) A tensão de cisalhamento na placa em Pa. R = 0,65 Pa. [1.3] Sendo 1030 kg/m 3 a massa específica da cerveja, qual sua densidade e o peso dela por garrafa? Sabe-se que o volume ocupado é 600 ml. R: 1,030; 6,06 N. [1.4] Num motor, um eixo de 112 mm de raio gira internamente a uma bucha engastada de 120 mm de raio interno. Qual é a viscosidade do fluido lubrificante se é necessário um torque de 36 kgf.cm para manter uma velocidade angular de 180 rpm. Eixo e bucha possuem ambos 430 mm de comprimento. R: 3,75.10 -2 kgf.s/m 2 . [1.5] De quanto é reduzido um volume de 1m 3 de água, quando nele é aplicada uma pressão excedente de 1atm. = v E 2,2 GPa R: 4,5.10 -5 m 3 . [1.6] Um líquido comprimido num cilindro tem volume de 1 litro a pressão de 1 MPa e um volume de 995 cm 3 a 2 MN/m 2 . Determine o módulo de elasticidade volumétrica do líquido. R: 2.10 5 Pa. [1.7] Um gás com massa molecular 44 está a uma pressão de 0,9 MPa e a temperatura de 20 o C. Determinar a massa específica. R: 16,26 kg/m 3 . [1.8] Sabendo que a massa molecular do ar é 29 kg/kmol, qual o peso do ar por m 3 a uma pressão de 1atm e 20 o C. R: 11,8 N/m 3 . [1.9] Em um tubo de 150 mm escoa ar sob uma pressão manométrica de 2 kgf/cm 2 e uma temperatura de 27 o C. se a pressão barométrica for 1 kgf/cm 2 , qual o peso específico do ar. R: 33,48 N/m 3 . [1.10] Determinar o raio R e a massa de uma gota num conta-gotas de raio r (considerar a gota esférica). R: R = 3 1 ) 2 . 3 ( γ σ r ; m = g r . 2πσ [1.11] Qual a pressão interna suportada por uma gota esférica de pequeno raio interno. R: r / 2σ . [1.12] Determinar a altura h de um determinado líquido, conforme a figura ao lado. R: r h . cos . 2 γ α σ = . [1.13] Identificar o tipo de escoamento de um fluido que escoa numa tubulação de 3 cm de diâmetro a uma velocidade de 1m/s. Sabe-se que a viscosidade é de 10 -6 m 2 /s. R: Re = 30. 000 (turbulento). [1.14] Calcular a velocidade máxima que um fluido pode escoar através de um duto de 30 cm de diâmetro quando ainda se encontra em regime laminar. Sabe-se que a viscosidade do fluído é 2.10 -3 Pa.s e a massa específica é de 800 kg/m 3 . R: 0,02 m/s Mecânica dos Fluidos PUCRS C-88 2. Problemas de Estática dos Fluidos [2.1] Que profundidade de óleo de densidade 0,75 produzirá uma pressão de 2,8 kgf/cm 2 . Qual a profundidade em água para esta mesma pressão? R: 37,3 m; 28 mca. [2.2] Um navio de carga tem uma seção reta longitudinal de área igual a 3000 m 2 na linha d'água quando o calado é de 9 m. Supondo o peso específico da água igual a 10 kN/m 3 , qual a massa de carga que pode ser colocada no navio antes que o calado atinja o valor de 9,2 m? Obs: Calado de um navio é a distância vertical entre a superfície da água e a parte inferior do casco. R: 612644 kg. [2.3] Determinar as pressões manométricas e absolutas em B e em C. Obs. Reservatório aberto para atmosfera. R: 7,7 kPa; 27,67 kPa. [2.4] Determine a pressão efetiva (relativa) e a absoluta no tanque da figura. R: 1,57.10 5 Pa; 2,58.10 5 Pa. [2.5] Qual a pressão manométrica e absoluta dentro de uma tubulação onde circula ar se o desnível do nível do mercúrio no manômetro de coluna é de 4 mm? Obs: Massa específica do mercúrio 13600 kg/m 3 e pressão atmosférica 1013,25 hPa. Desconsiderar o peso específico do ar. R: 533,6 Pa. R: 101858 Pa. [2.6] Dado o desenho abaixo, calcular pA - pB. R: 96.000 Pa. [2.7] Determine PB – PA na figura. R: -35.280Pa. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-89 3. Problemas de Conservação da Massa [3.1] Uma estação de água deve recalcar 450 m 3 /h para abastecimento de uma cidade. Determine o diâmetro da canalização para que a velocidade média seja 1,25 m/s. R: 36 cm. [3.2] Em um tubo de 150 mm escoa ar com velocidade de 3 m/s sob uma pressão manométrica de 203 kPa e uma temperatura de 27 o C. A pressão atmosférica é 101,32 kPa. Determine o fluxo de massa. R: 0,181 kg/s. [3.3] Determine a vazão da água (em litros/s) circulando através de um tubo de 32 mm de diâmetro, considerando a velocidade do fluido igual a 4 m/s? R: 3,21 litros/s. [3.4] Qual a velocidade da água que escoa em um duto de 25 mm se a vazão é de 2 litros/s? R: 0,1 m/s [3.5] Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro. A redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os dois trechos. Na parte maior da seção escoa ar com peso específico 9,8 N/m 3 a uma vazão de 3,06 m 3 /s. Ao fluir para o trecho de menor seção o ar sofre uma redução de pressão e aumento de velocidade, provocando uma expansão no mesmo e reduzindo o peso específico para 7,85 N/m 3 . Determine: a) A vazão volumétrica no trecho de menor seção. R: 3,82 m 3 /s. b) A velocidade do ar no trecho de menor seção. R: 43,31 m/s. c) A vazão mássica do ar no escoamento. R: 3,06 kg/s. [3.6] Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro. A redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os dois trechos. Na tubulação escoa água líquida com massa específica de 1000 kg/m 3 a uma vazão de 3,06 litros/s. Ao fluir para o trecho de menor seção a água sofre uma redução de pressão e aumento de velocidade. Viscosidade 10 -6 m 2 /s. Determine: a) A vazão volumétrica no trecho de menor seção. R: 3,06 litros/s b) A velocidade do ar no trecho de menor seção. R: 0,097 m/sc) A vazão mássica do ar no escoamento. Re= 19490 (turbulento) [3.7] Uma canalização lisa que conduz água a 15 o C com diâmetro de 150 mm apresenta num determinado trecho uma seção contraída de 75mm de diâmetro onde a pressão interna é de uma atmosfera (ao nível do mar). 3m acima do ponto (B) a pressão se eleva para 144.207Pa. Determinar a vazão e a velocidade nos pontos (A) e (B). R: 3,1 m/s; 12,42 m/s; 55 litros [3.8] Qual a velocidade da água através de um furo na lateral de um tanque, se o desnível entre o furo e a superfície livre é de 2 m? [3.9] Um conduto que escoa água é constituído por 2 trechos, com diâmetros de 0,25m e 0,20m. A pressão no ponto (A) é de 1,5 atmosferas e que a velocidade no trecho de maior diâmetro é de 0,6 m/s, calcule a vazão no duto e a pressão no ponto (B. (Supor movimento sem atrito). Mecânica dos Fluidos PUCRS C-90 4. Problemas de Equação de Bernoulli e Equação da Energia [4.1] Uma turbina gera 600 Hp quando o fluxo de água através dela é de 0,6 m 3 /s. Considerando um rendimento global de 87%, qual será a altura de carga que atua na turbina? R: 87,4 m. [4.2] A bomba mostrada na figura recebe água, com vazão Q = 0,2 m³/s, através do duto com diâmetro de 20 cm e descarrega através do duto de descarga de diâmetro 15 cm que está instalado com uma elevação 0,5 m em relação a tubulação de sucção. O manômetro colocado no duto de sucção indica uma pressão p1 = -30 kPa, enquanto o manômetro instalado no tubo de descarga mede uma pressão p2 = 300.kPa. Considerando que não há trocas de calor e desprezando o atrito, determine a potência fornecida pela bomba. R: 73,8 kW [4.3] A água escoa através de uma turbina, a razão de 0,21 m³/s. A pressões em A e B são respectivamente 150 kPa e -35 kPa. Determinar a potência extraída pela turbina. R: 41,6 kW [4.4] A figura mostra um esquema de escoamento de água, em regime permanente, com vazão Q = 0,5 m³/s, através de uma turbina. As pressões estáticas nas seções (1) e (2) são, respectivamente, P1 = 180 kPa e P2 = -20 kPa. Desprezando a dissipação de energia mecânica por atrito viscoso e considerando que não há troca de calor, determine a potência fornecida pelo escoamento á turbina. R: 131,7 kW. [4.5] O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água pelo tubo a uma vazão de 10 l/s. Considerando o fluido ideal, determinar se a máquina instalada é bomba ou turbina e determinar sua potência se o rendimento for de 75%. A área da seção do tubo é 10 cm 2 . Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-91 [4.6] A água flui numa tubulação, conforme figura. No ponto (1) da tubulação o diâmetro é de 175 mm, a velocidade é de 0,6 m/s e a pressão é igual a 345 kPa. No ponto (2) o diâmetro se reduz a 43 mm e a pressão é de 300 kPa. Calcule a perda de carga entre os pontos sabendo que o desnível entre eles é de 5 m. R: 4,5 m [4.7] A figura mostra um sistema no qual a bomba retira água, através de um duto com diâmetro D=10 cm, de um reservatório de grandes dimensões com a superfície livre mantida em nível constante. A água é descarregada, com vazão constante Q = 0,02 m³/s, a uma altura 38 m acima da bomba, através de um duto de diâmetro interno d = 8 cm, num reservatório aberto para atmosfera. A perda de carga entra as seções (1) e (2) é igual a p h = 2m. Determine a potência que a bomba fornece ao escoamento. R: 7,4 kW. [4.8] Na instalação da figura uma bomba opera com água. A bomba tem potência de 3600 W e seu rendimento é de 80%. A água é descarregada na atmosfera a uma velocidade de 5 m/s pelo tubo, cuja área da seção é 10 cm 2 . Determinar a perda de carga entre as seções (1) e (2). R: 62,4 m. Mecânica dos Fluidos PUCRS C-92 5. Problemas de Escoamentos Viscosos Internos [5.1] Um fluido escoa por um tubo de 10 mm de diâmetro com um Reynolds de 1800. A perda de carga é de 30 m em 100 m de tubulação. Calcular a vazão em litros/min. R: 6,06 litros/min. [5.2] Seja 100 m de tubo liso horizontal de PVC de 32 mm de diâmetro por onde escoa água a uma velocidade de 2 m/s. Determinar (a) a perda de carga (energia): R: 12,65 m. (b) a variação de pressão R: 124.172 Pa. [5.3] Um óleo lubrificante médio de densidade 0,86 é bombeado através de 500 m de um tubo horizontal de 50 mm de diâmetro a razão de 0,00125 m 3 /s. Se a queda de pressão é 2,1 kgf/cm 2 , qual a viscosidade do óleo? R: 0,051 Pa.s. [5.4] Calcular a perda de carga para o escoamento de 140 litros/s de um óleo de viscosidade cinemática 10 -5 m 2 /s num tubo horizontal de ferro fundido de 40 m de comprimento e 200 mm de diâmetro. R: 4,66 m [5.5] A água circula a 15 o C num tubo de aço rebitado de 300 mm de diâmetro e ε = 3 mm com ma perda de carga de 6 m.c.a num comprimento de 300 m de comprimento. Calcular a vazão. R: 0,12 m 3 /s. [5.6] Determinar o diâmetro do tubo de aço estruturado necessário para transportar 252 litros/s de óleo, s m v / 10 2 5 − = a distância de 3.048 m com uma perda de carga de 22,86 m. R: 424 mm. [5.7] Seja um escoamento de um fluido através de uma válvula globo totalmente aberta conectada em uma tubulação de ferro galvanizado de 2,5 cm de diâmetro. Sabe-se que a velocidade do escoamento é 3,0 m/s provocando um Reynolds de 1000. Determine em relação a válvula: (a) O comprimento equivalente; R: 3,9 m (b) A perda de carga provocada. R: 4,6 m [5.8] Calcular a vazão pela tubulação de ferro fundido, de 150 mm de diâmetro, da figura. Viscosidade cinemática = 10 - 6 m 2 /s. R: 46 litros/s. [5.9] Seja uma tubulação cilíndrica de 4 cm 2 de seção transversal por onde circula um escoamento de água a 15 o C e velocidade de 2 m/s. A seção sofre uma redução brusca para a metade da área. Supondo uma tubulação lisa, determine em relação ao escoamento: a) A perda de carga provocada pela contração em altura de coluna de mercúrio. R: 0,045 mH2O. b) A variação de pressão provocada pela redução. R: 441,5 Pa. c) A perda de carga correspondente em altura de coluna de mercúrio. R: 3,3 mmHg. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-93 [5.10] No sistema de bombeamento a vazão (água temperatura 20 o C) é de 10 m 3 /h Determinar: a) A perda de carga na sucção; R: 4,15 m. b) A perda de carga no recalque; R: 4,488 m c) Perdas de carga total; R: 9,03 m d) A energia adicionada pela bomba; 25,82 m e) A potência hidráulica da bomba; R: 709 W f) A potência de acionamento da bomba considerando um rendimento de 85%. R: 834 W. [5.11] Seja o sistema abaixo com tubulação lisa Determinar: a) A vazão volumétrica; R: 0,002 m 3 /s b) A velocidade do escoamento; R: 1,02 m/s c) O número de Reynolds; R: 51000 d) Total de perdas localizadas; R: 0,98 m e) Total de perdas nas tubulações; R: 0,94 m f) O total de perdas de carga; R: 1,92 m g) A energia adicionada pela bomba; R: 17,97 m h) A potência hidráulica; R: 352,6 W i) A potência de acionamento da bomba considerando um rendimento de 80%. R: 441 W Mecânica dos Fluidos PUCRS C-94 LISTA DE EXERCICIOS – 2010 [ 1 ] Óleo SAE 30W a 20 0 C escoa por um tubo horizontal de 12cm de diâmetro. Na seção (1), a pressão é de 186 kPa. Na seção (2), que esta a 6 m a jusante, a pressão é de 171 KPa. Se o escoamento é laminar determine: (a) o fluxo de massa (Kg/s) e (b) o número de Reynolds. (ρ=981 kg/m 3 µ=0,29 kg / m s ). Ra: 43,16 kg/s; 1580 [2] Dois reservatórios de água A e B estão conectados entre si por um tubo de ferro fundido com rugosidade de 0,26mm. O tubo possui um comprimento de 40m e 20mm de diâmetro. Considere a perda de carga pela entrada com canto vivo do fluido no tubo e a perda de carga pela saída do fluido no tubo. O tubo possui uma válvula de retenção e uma válvula de gaveta aberta. O nível da água de ambos os reservatórios é igual. O reservatório A é fechado e pressurizado com ar comprimido, sendo o reservatório B aberto a atmosfera a pressão igual a 88 kPa. Se a vazão inicial através do tubo for 1,2 Litros/s determine a pressão absoluta do ar na parte superior do reservatório A. Temperatura da água 10 0 C. R: 741,7 kPa [3] Um tubo horizontal no qual escoa água tem uma expansão brusca de D1=80mm para D2=160mm. Na seção menor a velocidade é igual a 10m/s sendo o escoamento turbulento. A pressão na seção menor é de P1=300kPa. (a) Tomando o fator de correção da energia cinética igual a 1,06 na entrada e na saída determine a pressão à jusante P2. (b) Estime o erro em Pa que teria ocorrido se a equação de Bernoulli tivesse sido usada. R: (a) P2=320 kPa. (b) 30 kPa. [4] Óleo escoa por um tubo horizontal de 15mm de diâmetro que descarrega na atmosfera com pressão de 88 kPa. A pressão absoluta a 15m antes da saída é 135 kPa. Determine a vazão do óleo através do tubo. Propriedades: ρ=876 kg/m3 µ=0,24 kg/m s. R: 1,63x10-5 m 3 /s [5] No escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo circular, a velocidade em R/2 (a meio caminho entre a superfície da parede e o eixo central) é medida como 6,0m/s. Determine a velocidade no centro do tubo. Faça um desenho esquemático do problema com a respectiva solução. Resposta: 8m/s [6] Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido num tubo circular. Se o diâmetro do tubo for reduzido pela metade enquanto a vazão e o comprimento do tubo forem mantidos constantes, a perda de carga: (a) Dobrará (b) Triplicará (c) Quadruplicará (d) Aumentara por um fator de 8 (e) Aumentara por um fator de 16 R: Aumentara por um fator de 16 [7] Um tubo liso horizontal de 4cm de diâmetro transporta 0,004 m3/s de água a 200C. Usando um perfil exponencial determine. (a) Fator de atrito (b) Velocidade máxima (c ) Posição radial em que u(r) =Umedia (d) Tensão de cisalhamento na parede (e) Queda de pressão considerando um comprimento de 10m R: (a) 0,0173; (b) 3,74m/s (c) 15,2mm (d) 22 N/m 2 (e) 22kPa. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Jorge A. Villar Alé C-95 [8] A água escoa de um reservatório grande para um menor através de uma tubulação enferrujada de 50mm de diâmetro, 17m de comprimento e com rugosidade igual a 0,5 mm. Determine a elevação Z1 para uma vazão de 6 litros/s. Água: ρ=1000 kg/m 3 ; µ= 1,15.10 -3 Pa.s. Resposta: 11,4m [9] Um sistema de bombeamento água opera com vazão de 20 m³/h. Na tubulação de 50m de comprimento e 60 mm de diâmetro a velocidade do fluido é igual a 1,96 m/s. Na instalação Z1=5 m e Z2=25 m. A soma dos coeficientes de perda de carga de todos os acessórios é igual a 13,55. A tubulação é de ferro galvanizado com rugosidade igual a 0,1 mm. (a) Altura adicionada pela bomba (b) Potência de acionamento considerando um rendimento de 65%. Fluido: ρ=1000 kg/m 3 ν=1,15x10 -6 m²/s. R: (a) 26,83m (b) 2,25 kW [ 10 ] Na figura mostra-se um sistema que utiliza uma turbina hidráulica. A tubulação é de ferro fundido com rugosidade ε=0,15mm. O Comprimento da tubulação é igual a 125m e o diâmetro igual a 60mm. Na tubulação existe um registro de globo aberto com coeficiente de perda de carga k=10. O sistema opera com uma vazão de 0,004 m 3 /s. Determine: (a) Fator de atrito e perda de carga na tubulação (b) Potencia da turbina considerando uma eficiência de 100%. Considere água com: ρ = 998 kg/m 3 ν=1,02x10 -6 m 2 /s. R: (a) 0,027 (b) 1,3 kW [11] Ar a pressão de 1Atm, e 30 o C entra com velocidade de 7,0m/s num duto de 7m de comprimento com seção retangular de 15cmx20cm. Desprezando os efeitos de entrada determine a perda de carga da tubulação e a potencia necessária para superar a perda de pressão nessa seção. Utilize aço com rugosidade igual a 0,045mm. R: 5 W Mecânica dos Fluidos PUCRS C-96 [ 12 ] O sistema bomba-turbina da figura retira água do reservatório superior durante o dia para gerar energia para uma cidade. De noite, o sistema bombeia água do reservatorio inferior para o superior para restaurar a situação. Para uma vazão de projeto de 56,8 m 3 /min em ambas as direções, a perda de carga por atrito é de 5,2m. Determine a potência em kW (a) extraída pela turbina (b) adicionda pela bomba. Para os dois casos apresente a equação geral do problema e aplique as simplificações (hipótese) do escoamento. Na figura Z1=45,7m e Z2=7,6m. [ 13 ] Um piezômetro e um tubo de Pitot são colocados em um tubo de água horizontal, como mostra a figura para medir a pressão estática e de estagnação (estática + dinâmica). Para as alturas de coluna d’água indicadas, determine (a) A pressão de estagnação (b) a velocidade no centro do tubo. Na figura h1=30mm; h2=70mm e h3=120mm. [ 14 ] Água escoa com uma vazão de 6 litros/s por uma tubulação horizontal com 50mm de diâmetro e 89m de comprimento. Considere tubulação de ferro fundido com rugosidade de 0,25mm. Determinar: ( a ) Número de Reynolds identificando o regime do escoamento ( b ) Fator de atrito e perda de carga da tubulação ( c ) Variação de pressão da tubulação ( d ) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. Obs: Fluido água a 10 0 C: Viscosidade dinâmica: 1,307x10 -3 Pa.s Massa especifica 999,7 kg/m 3 . [15] Numa de 20mm de diâmetro escoa água a 20 0 C com velocidade media igual 2,0 m/s. A tubulação apresenta 20m de comprimento e rugosidade igual a 0,02mm. Determine a velocidade e tensão de cisalhamento em (a) r=0 (b) r=4,0mm (c ) r=10mm Água: Massa especifica ρ =1000 kg/m 3 Viscosidade dinâmica µ = 1,02x10 -3 Pa.s R: (a) 2,48m/s; 0 N/m 2 (b) 2,29 m/s; 5 N/m 2 (b) 0 m/s; 12,5 N/m 2 [16] Para medir a velocidade do ar numa tubulação de ventilação industrial pode-se utilizar um tubo de Pitot introduzido a partir da parede da tubulação. Considerando os escoamentos laminar e turbulento e utilizando as expressões do perfil de velocidade para cada um dos regimes identifique (para cada caso) qual a distância y a partir da parede da tubulação que deve ser introduzido o tubo de Pitot para que a sua medida represente a velocidade média da tubulação. Laminar − = 2 max 1 ) ( R r U r u Turbulento (n=7) n R r U r u / 1 max 1 ) ( − = R: Laminar: y=0,293R Turbulento: y=0,242R Mecânica dos Fluidos 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 PROBLEMAS RESOLVIDOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS (CAP.2) ................................................. 4 PROBLEMAS PROPOSTOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS E PRESSÃO ( CAP.2 E CAP.3) .................... 10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2) ............................................ 13 PROBLEMAS PROPOSTOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2) ............................................. 20 PROBLEMAS RESOLVIDOS – MANOMETRÍA. (CAP.3)....................................................................... 23 PROBLEMAS PROPOSTOS - CONCEITOS DE PRESSÃO (CAP3) ..................................................... 28 PROBLEMAS RESOLVIDOS - CINEMÁTICA DOS FLUIDOS (CAP4) ...................................................... 32 PROBLEMAS PROPOSTOS – CINEMÁTICA (CAP.4)........................................................................... 42 PROBLEMAS RESOLVIDOS – CONSERVAÇÃO DA MASSA (CAP.5)...................................................... 44 PROBLEMAS RESOLVIDOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO (CAP.5) .............................................. 50 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO................................................... 60 PROBLEMAS RESOLVIDOS – ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.6 E CAP.7) ......................... 63 PROBLEMAS PROPOSTOS - PERDA DE CARGA EM TUBULAÇÕES (CAP.7) ....................................... 79 PROBLEMAS PROPOSTOS - ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.7 E CAP.8).......................... 82 PROBLEMAS RESOLVIDOS - ANÁLISE DIMENSIONAL (CAP.9) ........................................................ 84 PROBLEMAS ADICIONAIS ............................................................................................................ 87 C-2 PUCRS Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos EXEMPLOS PROPRIEDADES DOS FLUIDOS CA P 2 Jorge A. Villar Alé C-3 com massa=1200 kg e volume=0.0 kPa.Mecânica dos Fluidos 1. fluido compressível ou incompressível? c) subsônico ou supersônico? [ 15 ] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão atmosférica local é igual a 100 kPa. c) peso específico da glicerina. Utilizando p = ρgh . determine a pressão absoluta na região de mais profundidade do lago. [ 2 ] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0. [ 12 ] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0. [ 9 ] Expresse uma pressão absoluta de 225. no qual existe um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa. determine o valor do número de Reynolds.6. Considere a pressão atmosférica igual a 1.38 N.6 × 103 kg m−3 . Determinar a pressão absoluta em kgf/cm2. Pa. Considere a densidade do mercúrio igual a 13.54.6 m/s. Se a pressão barométrica local é igual a 598 mmHg. Determine: a) peso da glicerina. [ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2. [ 14 ] Um avião voa a 10700 m de altura. A pressão atmosférica local é de 101.917 m3 determine a massa específica. [ 8 ] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta.0 kPa como uma pressão manométrica.0m3 de óleo pesam 47.K)] . Determinar a sua viscosidade cinemática. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2. A pressão atmosférica local é de 98. Determine a massa específica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa.s/m2 e densidade igual a 0. peso específico e densidade do óleo.0 kgf/cm2.s/m2 e uma massa específica de 0.38x10-2m3. massa específica e a densidade do fluido.91 escoando num tubo de 25mm de diâmetro interno.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS . onde a temperatura chega a -55ºC.2) [ 1 ] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg. [ 3 ] Se 6.0 kPa. [ 13 ] Em um reservatório contendo glicerina.952 m³. Admita que a temperatura do ar no tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101. [ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 K N m−2 em termos da altura de coluna de água de massa específica ρ = 1000kg m−3 . [ 7 ] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade máxima do lago de 40m. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) [ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.4 e RAR = 287 [J/(kg. [ 11 ] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2.0 kgf/cm2 e a densidade do mercúrio igual a 13. b) número de Mach. mH20 e mm Hg.Propriedades dos Fluidos (Cap.3kPa. b) massa específica da glicerina. e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica ρ = 13.85 kg/dm3. Dados: KAR = 1. [ 10 ] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. a velocidade de 850 km/h. determine: a) a velocidade do som. C-4 PUCRS .0 kN determine o peso específico. d) densidade da glicerina. m3m s2 Densidade d = ρ óleo ρH 2 0a 4 0 = C 798.51 = 0.m 2 xs 2 3 γ m = Ns = s 2 ρ= = m g m 3 m.093kN s2 [2] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0.89967 ≅ 0. w = mg w = 825kgx9. Villar Alé C-5 .34 3 V 6 m Massa específica ρ = γ 7833.67 3 x9.80 1000 Jorge A.0m3 de óleo pesam 47.81 m N kg.0 kN determine o peso específico.51 3 g 9.90 1000 [3] Se 6.8 3 3 V 0.Propriedades dos Fluidos [1] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg.25 N ou 8.8 3 m s m Também poderia ser determinada como w 8093. Peso específico γ = W 47 x1000 N = = 7833.25 N N γ = = = 8825.81 2 = 8825. Massa específica m 825 kg kg ρ= = = 899.81 m = 8093. massa específica e a densidade do fluido.917 m m densidade ρ fluido γ fluido d= = ρ H O ( a 4o c ) γ H O ( a 4o c ) 2 2 d= ρ fluido ρ H O ( a 4o c ) 2 899.917 m3 determine a massa específica.67 = = 0. peso específico e densidade do óleo.917 m m Peso específico kg m N γ = ρg = 899.34 kg = = 798.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução dos Problemas .67 ≅ 900 3 3 V 0. 3 kPa.m.Mecânica dos Fluidos [ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) A pressão absoluta é Pabs=Pman+Patm=340kPa + 101.m xK m kgK x(K ) O peso de ar contido no tanque é igual a W = ρg∀ = 5.88 x10 −6 m ν= = 2 kg ρ kg s s kg 850 3 m 5 x10 −3 massa específica ρ = 1000kg m−3 .75m de mercúrio 13. Admita que a temperatura do ar no tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101.s/m2 e uma massa específica de 0.6 × 103 × 9.23 3 RT 287 x 294 m As unidades são: N 2 P N .88 x10 −6 N .3 x1000 kg = = 5.81 Em termos de coluna de mercúrio com ρ = 13. h= 500 × 103 = 3. Determine a massa específica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. A temperatura absoluta é Tabs(K) =T(oC) + 273= 21+273=294 K A massa específica pode ser determinada com a lei dos gases perfeitos ρ= P 441.s.6 × 103 kg m−3 . Utilizando p = ρgh .m kg m W = ρg∀ = 3 2 m 3 = 2 = N s m s ( ) [ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.38x10-2m3. Determinar a sua viscosidade cinemática.3kPa.6 × 103 kg m−3 .22 N Conferindo as unidades: kg.3kPa= 441.m = 5.23 x9.81 C-6 PUCRS . e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica Solução [ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 K N m−2 em termos da altura de coluna de água de ρ = 13.88 x10 − 6 kgm .81x 2.95m de água ρg 1000 × 9.85kg/dm3.38 x10 −2 = 1. Ns 2 µ m 2 = 5.s.m = 5.kg.K kg m ρ= = = = 3 2 RT Nm N . Em termos de coluna de água: h = p 500 × 10 3 = = 50. em kgf/cm2 pabs = Pman + patm pabs = 1 + 2 = 3 Sabemos que 1 kgf =9. Como patm foi dada em coluna de mercúrio devemos p atm = ρgh = 13. A pressão da água.81 2 x0. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão atmosférica local é igual a 100 kPa.0kPa = 124.0 kPa.598m = 79430.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [7] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade máxima do lago de 40m. p = p atm + ρgh = 79. pabs = Pman + patm = 155kPa + 98.43kPa + 392. Desta forma.3 × 10 3 h= = = 2. Villar Alé C-7 .43kPa + 1000 x9.54 x1000 kg m N x9.0kPa = 253kPa [9] Expresse uma pressão absoluta de 225.4kPa ≈ 472kPa [8] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta.0 kgf/cm2.43kPa 3 m s m Desta forma para o fundo do rio (h=40m) para água a 100C a qual corresponde uma massa especifica de 1000kg/m3 podemos determinar a pressão absoluta como. determine a pressão absoluta na região de mais profundidade do lago. Se a pressão baromêtrica local é igual a 598 mmHg. • Pressão em Pascal.81 = 3.0kPa − 101.81N. A pressão atmosférica local é de 101. kgf cm2 pabs • Coluna de água N kgf kgf = 3. desta forma e que 1cm2 = (1/100)2m2. 294. pabs = patm − pvac = 100kPa − 70kPa = 30kPa [11] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2. mH20 e mm Hg. A pressão atmosférica local é de 98.0 2 x9.81x 40 = 79. Considere a densidade do mercúrio igual a 13.79 2 = 79.0kPa [10] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa.81x1002 = 294. Determinar a pressão absoluta em kgf/cm2.3 × 10 3 = 30m de coluna de água 1000 × 9.0 kPa como uma pressão manomêtrica.0 x9. Considere a pressão atmosférica igual a 1. é dada pela equação: p = p 0 + ρgh Onde po é a pressão na superfície do lago que representa a pressão atmosférica local (patm).3kPa 1 cm m2 1002 h= • p ρ H2 0 g = 294.6.6 x1000 × 9.81 Coluna de mercúrio considerando d=13.81 p Jorge A.54. em qualquer profundidade h.0 kPa.6.0 kgf/cm2 e a densidade do mercúrio igual a 13.2m de coluna mercúrio ρ Hg g 13. Pman = pabs − patm = 225. Pa. Mecânica dos Fluidos [12] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0. determine o valor do número de Reynolds. temos: massa = 1200 kg e volume = 0.77 kN ρ = 1200 kg / 0.6 m/s. a) W = F = m. [13] Em um reservatório contendo glicerina.6 x0. b) massa específica da glicerina.952 m³.adimensional O valor de um parâmetro adimensional não depende do sistema de unidade utilizado desde que todas as variáveis utilizadas forem expressas num sistema de unidades consistente.s/m2 e densidade igual a 0.38 N.38 µ Conferindo as unidades m kg xmx 3 2 2 2 VDρ m = m xmx kg x m = m (m ) kg s m Re = = s 3 Ns µ s m 3 N .81 2 ≅ 12.a = mg b) ρ = m / V W = 1200 kg x 9.025 x910 = ≅ 156 0.81 m/s2 ≅ 11.37 kN / m 3 3 m s c) γ = ρ g γ = 1261 d) d = ρfluido / ρágua a 4ºC kg m3 d = kg 1000 3 m 1261 = 1. d) densidade da glicerina.m .26 C-8 PUCRS .952 m³ ≅ 1261 kg / m³ kg m x 9.91x1000 kg kg = 910 3 3 m m Re = VDρ 2.s s m kg. Determine: a) peso da glicerina. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2. c) peso específico da glicerina.s m2 • = 1 . O número de Reynolds é definido como Re = VD VDρ ou = ν µ a massa específica do fluido é determina em função da densidade ρ = dρ H 2 0 = 0.91 escoando num tubo de 25mm de diâmetro interno. 8 [15] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C. b) número de Mach. fluido compressível ou incompressível? c) subsônico ou supersônico? (a) c = K x R xT c = J 1. Villar Alé C-9 . no qual existe um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa.m 2 s2 287 x (323) K kg x K Jorge A. determine: a) a velocidade do som.K)] . Gás Perfeito) R xT pabs p + pman ρ = = atm R xT R AR x Tabs 101330 Pa + 370000 Pa ρ = = J 287 x (50 + 273) K kg x K 471330 kg m. onde a temperatura chega a -55ºC.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [14] Um avião voa a 10700 m de altura. a velocidade de 850 km/h.08 kg m3 kg .4 e RAR = 287 [J/(kg. ρ = p ( Eq.4 x 287 x (− 55 + 273) [K ] kg x K c ≅ 296 m/s b) M = V / c M ≅ 0.8 [admensional] M > 0.3 c) M = 850 km 1000 m 1h m x x 236 h 1 km 3600 s ≅ s m m 296 296 s s Fluido Compressível M<1 Subsônico M ≅ 0.s 2 ⇒ ρ = 5. Dados: KAR = 1. 6. Determine o peso especifico. Se você tem acesso a um programa de ajuste de curvas não linear poderá encontrar as constantes a partir da Eq.Mecânica dos Fluidos 1. 8. Considere a massa especifica do mercúrio igual a 13600 kg/m3.Propriedades dos Fluidos e Pressão ( Cap. Comparar os valores fornecidos pela equação com os da tabela.2 e Cap.5N/m3 determinar qual a coluna representativa de pressão quando se tem uma pressão de 981kPa. Qual o valor da massa especifica da água quando a temperatura é igual a 42.458x10-6 kg/(msK1/2) e S=110.1 25 995.20.3) Um reservatório graduado contém 50ml de um líquido que pesa 6N. 10.1 35 992. A pressão relativa do tanque é igual a 300kPa. de Andrade e dada por: CT 3 / 2 T +S Determine as constantes D e B da Eq.6) A densidade da água salgada é igual a 1. (h=117. Determinar o peso específico.2 20 997. 80 e 1000C. Determine o volume do tanque.208 kg/m3. de Andrade para água para as temperaturas de 0. qual será a altura de coluna de óleo e qual a sua densidade.0 kg de ar a 800C.10C. Para um líquido que tem um peso específico igual a 8338. A aceleração da gravidade na terra é igual a 9. Empírica para determinação da viscosidade cinemática para líquidos é conhecida como Eq. o peso específico e a densidade de um óleo que pesa 33kN contido num reservatório de 3. Sutherland adequada para o ar a pressão atmosférica padrão são C=1. Considere a massa especifica da água igual a 1000kgf/m3 e o peso específico do mercúrio é igual a 13600kgf/m3. Para uma pressão de 10kgf/cm2. PROBLEMAS PROPOSTOS . 998. C-10 PUCRS . o volume específico e a densidade do mercúrio: a) na lua b) na terra. Determine a viscosidade cinemática do ar a 20 0C sabendo que nestas condições a viscosidade dinâmica é igual a 1. (V=1. 2. volume específico. Qual a densidade do mercúrio. a massa especifica e a densidade deste líquido. (d=0.7 30 994. A Eq.81 m/s2.2 1.96) Um tanque de ar comprimido contém 6. 3. 7. Utilize estes valores para estimar a viscosidade dinâmica do ar a 100C e a 900C. Utilize estes dados para construir uma equação empírica do tipo: ρ=c1 + c2T + c3T2 que forneça a massa especifica da água nesta faixa de temperatura. Os valores de D e B podem ser determinados a partir da inclinação e do ponto de intercessão desta curva. O óleo tem um pesos específico igual a 850kgf/m3. Obs. Determine a massa específica.52m3) Determine a altura de pressão estática de uma coluna de água e de uma coluna de mercúrio para uma pressão de 10kgf/cm2. (d=13. original.3 mca) 9.2 40 990.2 45 988.81 m/s2 e o peso especifico da água igual a 9806N/m3. Compare os valores com os tabelados em textos de mecânica dos fluidos 5.65m) 12. (h=83. Determine a viscosidade dinâmica para 500C e compare com valores dados em tabelas.4K.2.1 50 A Equação de Shuterland é utilizada para determinação da viscosidade dinâmica dos gases é dada por: µ= As constantes para a Eq. Determinar a altura equivalente de pressão estática de uma coluna de água salgada considerando uma pressão de 10kgf/cm2.85x10-4 Poise e a massa especifica igual a 1.5m3 Obs: considere g=9.60. A tabela abaixo mostra a variação da massa especifica da água (kg/m3) em função da temperatura na faixa entre 20 a 600C. Método: Rescreva a equação na forma: B µ = D exp T 1 + ln D T ln µ = B Grafique em função de lnµ em função de 1/T.40. 11. ρ (kg/m3) T (0C) 4. (5. 16. 14.81m/s2. Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2. (Resposta: Pmam=21. (h=760mmHg) 15. determine as alturas das colunas de fluido em barômetros que contém os seguintes fluidos: a) mercúrio b) água c)álcool etílico. 19.6 e a pressão atmosférica igual à pressão atmosférica normal (101. Determinar a pressão absoluta dentro do tanque. Determine a massa especifica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. O manômetro em U conectado ao tanque utiliza mercúrio com densidade igual a 13. Determinar a massa especifica do ar num local onde a temperatura é igual a 500C e leitura do barômetro indica uma pressão igual a 100kPa. 1. Jorge A.1kPa) 20.07kg/m3) 22. determine a leitura no manômetro localizado no topo do tanque. Qual será a leitura do manômetro quando a pressão atmosférica local for igual a 773mm de Hg. 18. indicando uma altura de 55 cm de coluna de fluido com d=0. Considere d=13.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 13.6.30kPa. Admitindo que a pressão atmosférica local é igual a 101kPa.33kPa) com g=9. 17. Um vacuômetro tipo Bourdon.31 bar quando a pressão atmosférica local é igual a 760mmHg. Determine o número de Reynolds numa tubulação de aço galvanizado novo de 300mm de diâmetro interno na qual escoa água a uma temperatura de 350C com uma vazão de 60m3/h. Determine nestas circunstancias a altura de coluna de mercúrio.8psi (lbf/pol2) quando conectado a uma reservatório num local onde a pressão atmosférica é igual a 14.5Psi.23kg/m3. indica uma pressão de 5. Um tanque fechado contem ar comprimido e um óleo que apresenta uma densidade igual a 0. Especifique se o escoamento é laminar ou turbulento. 21. Considere que a temperatura do ar no tanque é de 210C e que a pressão atmosférica é igual a 101. (Obs: Considere o ar como um gás ideal) (ρ=1.22N). A pressão atmosférica local é igual a 96k Pa. Se h1=914mm h2=152mm h3=229mm. Determine a perda de carga para a tubulação considerando um comprimento total de 50metros.38x10-2m3.85. Um manômetro tipo Bourdon indica que a pressão num tanque é igual a 5. Mergulha-se numa cuba contendo mercúrio um tubo de vidro aberto numa extremidade tal como se mostra na figura.9. A pressão manométrica de um tanque é medida. Villar Alé C-11 . Qual é a pressão absoluta correspondente se a pressão atmosférica local é igual a 100kPa. Determinar a pressão absoluta no reservatório. Um manômetro de Bourdon instalado na tubulação de alimentação de uma bomba indica que a pressão negativa é igual a 40kPa. Calcule as alturas levando em conta a pressão de vapor destes fluidos e compare com seus respectivos desconsiderando a pressão de vapor dos fluidos. Mecânica dos Fluidos EXEMPLOS LEI DA VISCOSIDADE (CAP 2) C-12 PUCRS . Villar Alé C-13 . U=0. [4] Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa.0x10-3 kg/ms. como mostrado na figura. Onde a tensão de cisalhamento será maior ? Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?.3m. A separação das placas é igual a 0. Determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento sobre a placa fina (c) força necessária para puxar a placa. Considere um perfil de velocidade linear.15m/s eqüidistante entre ambas superfícies. havendo entre elas uma camada de líquido. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7.5m/s h=100mm [3] Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25 mm. • • • • Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. A viscosidade do líquido é de 0.A viscosidade cinemática do líquido • ( b ) A tensão de cisalhamento na placa superior e na placa inferior em (Pa) • ( c ) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d.615x10-5 m2/s.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 1. (1) y x (2) (3) τ =µ du dy [2] Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em y= -100mm.2) [1] Duas grandes superfícies planas mantêm uma distância h entre elas esta escoando um determinado fluido.88 Determinar: • ( a ) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) .4 m2 de área move-se a uma velocidade de 0. Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com a tensão de cisalhamento no centro das placas ? Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.65 Centipoise A densidade relativa é igual a 0. Uma placa muito fina de 0. y 0 V=2.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap. Se o perfil de velocidade for uniforme (1).3m/s Jorge A. Considere um perfil linear de velocidade. Mecânica dos Fluidos [5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação 2 3V y u= 1 − 2 h onde V é a velocidade média. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do resultado. Determine a tensão de cisalhamento para y=3. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1.92 N.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida. A altura do embolo é de 320 mm.23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1.8x10-5 (Pa s). C-14 PUCRS . Considere a massa especifica do ar igual a 1.s/m2. Considerando que V=0.s/m2. du π πy = U max cos dy 2b 2b Obs. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8. Onde U ( y ) é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m).5 N. O óleo apresenta viscosidade absoluta de 2x10-3Pa. [ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical.1mm. O gradiente de velocidades é dado por: [ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: U ( y) = 2 y 2. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade (dv/dy=u/y). [ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de velocidade senoidal tal como mostrado na figura.5mm. Ob. O diâmetro do êmbolo é de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200.6m/s e h=5mm determinar: a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. portanto. Desta forma a tensão de cisalhamento será zero no centro e máxima nas paredes. Desta forma o termo du/dy=k2 = constante. O espaço entre elas esta preenchido com um fluido. Villar Alé C-15 . Para y=0 (centro do canal) τ=0. por exemplo. (τ=ky) Jorge A. Onde a tensão de cisalhamento será maior ? (d) Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?. (a) Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual será a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. desta forma o termo du/dy=k2 y .Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução – Problema 1 [1] Duas grandes superfícies planas mantém uma distância H. Para y=ymax (paredes) τ=τmax. portanto a magnitude da tensão de cisalhamento é nula em toda a seção (τ=0). (d) Se o perfil de cisalhamento for parabólico. (b) Num perfil uniforme de velocidade du/dy=0 e. do tipo: u=k1 + k2y2 . (c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada o perfil de velocidade será do tipo u=k1 + k2y . (a) Num fluido ideal a viscosidade do fluido é nula (µ=0) e portanto a tensão τ=0. (b) Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Desta forma a tensão de cisalhamento vai aumentando linearmente. a tensão de cisalhamento será igual em todos os pontos da seção (τ=cte). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com a tensão de cisalhamento no centro das placas ? (c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). 1m du = 8.1)2 du = −500 y dy V = 2.s s = 0.10) = −0.15m/s que se move eqüidistante entre ambas as superfícies.06473N.5m/s como V = a + by 2 achamos que a=2. y2 m 0.06473 2 x y 0. V=Vmax=2.0125m m C-16 PUCRS . F = F1 + F2 µ = ρν = 850 F1 = Aτ = Aµ kg m2 7.5 = = −250 y2 (0.5 − 250 y 2 O gradiente de velocidade é dada por: Tensão de cisalhamento em y=0 : τ =µ Tensão de cisalhamento em y=-0.0x10 -3 x500x0 = 0 dy du N = 8.0x10-3 kg/ms.5m/s Para y=-100 mm V=0 com V = a + by 2 achamos b= V − a 0 − 2.615x10-5m2/s.62 N F = 2 Aµ = 2 x0. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7.Mecânica dos Fluidos Solução – Problema 2 Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em y= -100mm.15 u N . Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.s/m 2 3 s m du u ≡ Aµ dy y1 F2 ≡ Aµ u como y1=y2 temos que F1=F2. Considere um perfil linear de velocidade (dv/dy=u/y).615 x10 −5 = 0.4 2 dy m τ =µ Solução – Problema 3 Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25mm.4m 2 x0. Para y=0. Determinar a força necessária para puxar uma placa muito fina de 0.0x10 -3 x500x(-0.4m2 de área a uma velocidade de 0. 3 x1000 = = = 1000 s −1 = cte dy d 0.5 x10 −4 Pa s cP1000 1 cP = Pa s /1000 U u ( y) = y d O gradiente é dado por: kg /(ms ) µ = (0. portanto τyx atua no sentido negativo (-) dos x • A placa inferior é uma superfície y (positiva).88 Determinar: (a) (b) (c) (d) (e) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) A viscosidade cinemática do líquido A tensão de cisalhamento na placa superior (Pa) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d.5 x10 − 4 (c) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) τ yx = µ • du U 1 N kg = µ = 6.3 kg 2 µ ms = 7.5 x10 − 4 kg /(ms ) cP 1000 (b) A viscosidade dinâmica du U 0. Para uma pequena largura da camada d.88 x1000 3 m 6.65 centipoise A densidade relativa é igual a 0.65cP ) Pa s = 6. havendo entre elas uma camada de líquido.5 x10 −4 1000 = 0.39 x10 −3 m ν= = kg ρ s 0.) Para y=d u=U e por tanto m= U/d Desta forma o perfil de velocidade é dado como: µ = (0. como mostrado na figura. Villar Alé C-17 .65 Pa dy y = 0 d s m ms A placa superior é uma superfície y (negativa).65 2 = 0. supomos uma distribuição linear de velocidade no líquido. O perfil de velocidade é representado por a equação de uma reta: Hipóteses: • Distribuição linear da velocidade • Escoamento em regime permanente • Viscosidade constante (a) 1 cP = Pa s /1000 u ( y ) = my + b Para y=0 u=0 e por tanto b=0 (intercepto no eixo de coord.65cP ) = 6. portanto τyx atua no sentido positivo dos x Jorge A. A viscosidade do líquido é de 0.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução – Problema 4 [4] Uma placa infinita move-se sobre uma Segunda placa. a tensão de cisalhamento na parede superior apresenta o mesmo valor.6m/s e h=5mm determinar: c) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal d) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal.Mecânica dos Fluidos Solução – Problema 5 [5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação 2 3V y u= 1 − 2 h onde V é a velocidade média. Neste caso a tensão de cisalhamento varia de 0 no plano central a 691Pa nas paredes. τplano médio=0. du 3V y = 0 − 2 h 2 dy 2 3V = − 2 y h a) A tensão de cisalhamento na parede inferior do canal é dada para y=-h.92 2 x3 x0.92 N. Como a distribuição de velocidade é simétrica. Utilizando a lei universal τ =µ du dy A distribuição da velocidade é unidimensional e em regime permanente já que u=u(y). Considerando que V=0. C-18 PUCRS . Derivando a equação da distribuição da velocidade temos. Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal é dada para y=0 ou du/dy.s/m2. O gradiente de velocidade e portanto a tensão de cisalhamento varia linearmente com y.6 x = 691 2 2 h h m m s 0. e sentido da tensão na parede inferior. τ y =− h = − µ 3V 3V 1 N Ns m ( −h) = µ = 1.005 m ou 691Pa esta tensão cria um arrasto na parede. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1. Para determinar a tensão de cisalhamento devemos determinar o gradiente de velocidade du/dy. Desta forma a tensão de cisalhamento neste plano é nula. O óleo apresenta viscosidade absoluta de 2x10-3Pa.8 x10 Pa. dy dU ( y ) N τ =µ = 2 x10 −3 x 4 x(0. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade (du/dy=u/y).5 N.s/m2. =µ ∂u ∂y dU ( y ) = 4 y.1mm.23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1.5 = µ U max cos 2b 2 x7.0 x x1000 x0. 2y2. Considere a massa especifica do ar igual a 1. 5 mm y =3. Como o perfil de velocidade é dado por U ( y ) = A tensão de cisalhamento é dada por: τ Solução – Problema 7 U ( y) = 2 y 2.707106 2 x 7 .5 s s Solução – Problema 8 [ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de velocidade senoidal tal como mostrado na figura. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8.5mm.98)x0.2 x0.sx1428.2) = 0.87 cm = πDLµ πx0. 5 mm π = µ 9.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida.0016 2 dy m Desta forma [ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical.0 Jorge A. O gradiente de velocidades é dado por: du π πy = U max cos dy 2b 2b Obs.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução – Problema 6 [ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: Onde U ( y ) é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m).0287 m = 2. F = Aτ = Aµ du u = πDLµ dy y u= Fy (100 x9.32 x8. A altura do embolo é de 320mm.068 = 0.00005 = 0.0 −5 = 1. Ob. τ =µ τ du dy =µ du dy y =3. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do resultado.0257 Pa C-19 π πx3. O diâmetro do êmbolo é de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200.8x10-5 (Pa s). Determine a tensão de cisalhamento para y=3. Villar Alé . 5 m/s Determine (c) A tensão de cisalhamento no centro do canal e na placa superior (d) A força de atrito na placa inferior. (d) A força que deve ser vencida para puxar a placa superior com área de 0.Mecânica dos Fluidos 1.138 N C-20 2 y 2 u ( y ) = umax 1 − onde h [ 5 ] O escoamento laminar entre duas placas paralelas fixas é dado por: umax representa a velocidade Obs água massa especifica 1000 kg/m3 e viscosidade dinâmica e 1. área superficial da placa superior igual a 0.88 m/s [4] A correia da Fig. R: (c) 0.6 N/m2 (d) 8. conforme a figura.29 R: 72.33 N/m2 (b) 2.5 Pa. (b) a força necessária para puxar a placa superior considerando esta com superfície igual a 1. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s.s máxima no canal. mostra duas placas planas paralelas a distância de 2 mm. (d) 0. PUCRS .5m/s b=60cm. Determine: (a) O gradiente de velocidade.15x10-3 Pa. considerando que esta a potencia é dada por W = FV onde F é a força tangencial na correia e V a velocidade da correia. Considerando a distribuição linear do perfil de velocidade no & óleo. determine a potencia necessária para o acionamento da correia.3m2 e velocidade máxima umax=0.750 e viscosidade 3.s.5 W. m. Considere a separação entre placas de 5mm. Se o espaço entre as duas placas for preenchido com óleo de viscosidade 0. R: (a) 1500 N/m2 (b) 1500 N [3] Uma placa deslocando-se sobre uma pequena lâmina de óleo sob a ação de uma força F. (a) Determinar o gradiente de velocidades.0m2. enquanto a inferior é fixa. O óleo apresenta uma profundidade h.4 PROBLEMAS PROPOSTOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap. A corria apresenta um comprimento L e uma largura b. Fluido: óleo SAE 30 kg µ = 0.46 N/m2.0m h=3cm V=2. (b) Determinar a expressão da tensão de cisalhamento.6 N/m2 (c) 16.1x10-4 m2/s e massa específica 830 kg/m3.s. O óleo tem densidade 0. (a) Qual a tensão de cisalhamento produzida pelo fluido sobre a placa? (b) Qual a velocidade da placa móvel? R: (a) 4.2) [1] A Fig. e h a separação das placas.3 N [2] um canal é formado por duas placas paralelas separadas h=6mm tendo entre elas glicerina a 200C com massa específica é igual a 1260 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 1. Determinar: (a) a tensão requerida para mover a placa superior com uma velocidade V=6. move-se a uma velocidade constante V e desliza no topo de um tanque de óleo.0m/s.s.5m2.10-3Pa. R: (a) 2000 s-1 (b) 16. Dados: L=2. (b) A tensão de cisalhamento (N/m2) na superfície da placa móvel em contato com o fluido (c) A tensão de cisalhamento (N/m2) na superfície da placa fixa em contato com o fluido. Determine viscosidade dinâmica do óleo.4m/s através de uma luva de 60.s R: (a) 1256.52 mm e massa de 1. A velocidade da placa é de 2 m/s. No espaço entre o eixo e a luva existe óleo altamente viscoso com densidade 0.36 kg.58mm de diâmetro.88 e viscosidade cinemática igual a 0. R: (a) 160 (N/m2) (b) 0.2 kW Jorge A. Viscosidade do óleo 0. se a espessura da película é 2 mm. [11] Um eixo na posição horizontal de D=60mm e 400mm de comprimento é arrastado com uma velocidade de V=0. O eixo apresenta uma rotação constante de 3000 rpm. sobre uma película de óleo. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1. (b) Determinar a força requerida para puxar o eixo. Este corpo se move com uma velocidade constante igual a 50mm/s dentro de um tubo de 150mm de diâmetro. R: (a) 281 Nm (b) 44.92 Pa. R: (a) 0.6 (N/m2) (b) 39. R: (a) 691.1mm.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [6] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação dada ao lado: onde V é a velocidade média. A luva possui um diâmetro igual a 60. escorrega num tubo vertical com 0.s [9] Determine o torque resistente (Nm) originado pelo óleo lubrificante em contato com o eixo vertical da Fig.9 Pa.8 Pa.5mm. Determine (a) tensão de cisalhamento na parede interna do tubo externa (b) viscosidade dinâmica do óleo.01 Pa.s Considerando que V=0.003 m2/s. R: (b) 796 N [12] Um eixo gira de 60mm de diâmetro e 400mm de comprimento gira dentro de uma luva com velocidade igual 1500 rpm.003 m2/s.2mm.2mm.2 (N/m2) 3V u ( y) = 2 y 2 1 − h [ 7 ] Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30o. podendo cair livremente.2x10-2 Pa. Determinar (a) torque e (b) potência originado nesta condições de operação. O Diâmetro do eixo é igual a De=200mm e o diâmetro da luva igual a Dm=200. Calcule a velocidade atingida pela barra se uma película de óleo de viscosidade 23.6m/s e h=5mm determinar: (a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal (b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal.L=500mm. uma altura igual a 200mm e um diâmetro igual a 149.s [8] O corpo cilíndrico da Fig. No espaço entre o eixo e a luva existe óleo altamente viscoso com densidade 0. (c) Desenhe a distribuição da velocidade e da tensão de cisalhamento no canal. Entre o tubo e o cilindro existe uma película de óleo.4 cm de comprimento. possui um peso igual a 15N.s preenche o espaço entre o tubo e a barra.5 Nm [10] Uma barra cilíndrica de 30.88 e viscosidade cinemática igual a 0. (a) Determinar uma expressão geral que permita determinar a força requerida para puxar o eixo em função das variáveis apresentadas. diâmetro de 0. Villar Alé C-21 . Mecânica dos Fluidos EXEMPLOS MANOMETRIA ( CAP 3 ) C-22 PUCRS . 6 x1000 x9.5 = 12508N / m 2 (ou Pa) = 12.6 x 1000 x 9.5.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 1.9m. Pressão relativa em A quando h1=0.81 x 0.4 = -16 088.81 x ( .9 .81 x 0.5 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Manometría.700 x 9.3) [1] Qual será a máxima pressão relativa que poderá ser medido com o tubo piezometrico para uma altura de 1.4m e h2=-0.117.81 x 0.81x1. Villar Alé C-23 . (Cap.0.17 bar) b) pA = 13.4 N ( -16.1m. p A = ρman gh2 − ρgh1 a) pA = 13.4m e h2=0. P(B) = Pressão da coluna de líquido acima de B p B = ρgh2 = d mercurio ρ água g h2 = 8.3 kN óu 1.6 x 1000 x 9. O manômetro utiliza mercúrio com densidade igual a 13.16 bar) A pressão negativa (-) indica que a pressão é menor que a pressão atmosférica. Jorge A.6.0.1) .700 x 9. Considere a densidade do fluido igual a 8.0 kN óu . Determinar: a) b) Pressão relativa em A quando h1=0.4 = 117 327 N (.5m.5kN / m 2 (ou kPa) Manômetro piezométrico simples [2] Se utiliza uma manômetro tipo “U” para medir uma pressão de um fluido com massa especifica igual a 700kg/m3. 5) + 0..0 = 13. a pressão do ar igual a 30kPa é uma pressão relativa a atmosfera. Como o reservatório este fechado.81(5 − 2) + 1000 x9. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do manômetro.6 = 133416y y = 0.81 y Resolvendo: 30000 + 0.6.81(5 − 2 ) + 1000 x9.81x1. A pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa.99) x 1000 = -7284 + 61852 = 54 568 N/m2 ou Pa ( 0.Mecânica dos Fluidos [3] Na figura mostra-se dois tubos com fluido de massa específica igual a 990kg/m3 conectados a um manômetro tipo U.pB = ρg (hB .pB = ρg (hB . • • • Por definição um manômetro mede pressão em relação a pressão atmosférica.81 y 30000 + 24132.6 + 19620 + 9810 = 133416 y 83562. pC = pD pC = pA + ρg hA pD = pB + ρg (hB . Determinar a pressão entre os tubos considerando que o fluido manométrico é mercúrio com densidade igual a 13.55 bar) [ 4 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig.5x9.hA) + hg(ρman .6 x1000 x9.81(2 − 0) + 1000 x9.81x(0.81 x(13.h) + ρman g h pA .6 – 0.82 x1000 x9.6 x1000 x9.0m = d Hg ρ agua g y 30 + 0.81x1.82 x1000 x9.75 – 1.dfluido) ρH20 = 990 x9. Para determinar Y trabalhamos com pressões relativas a atmosférica.ρ) pA . Desta forma utilizando pressões relativas: Par + d oleo ρ agua g (E5 − E 2 ) + ρ agua g (E 2 − E 0 ) + ρ agua gx1.626m = 626mm C-24 PUCRS .81(2 − 0 ) + 1000 x9.0 = 13.hA) + hg(dhg . 68 + 9. g .81 m/s2 x 1 m = (134. determine: A pressão absoluta no ponto A.68 x 1000 kg/m3 = 680 kg/m3 b) PB (Abs) = PA (Abs) + PB (Rel) = PA (Abs) + ρágua. g .33 kPa + 33.354 kPa ρGas = d x ρágua à 4°C = 0. A pressão absoluta e relativa no fundo do reservatório. hágua PB (Abs) = 134. hH2O PA (Rel) = 1000 kg/m3 x 9.5 kPa Jorge A.81 m/s2 x 5 m ≅ 49 kPa PA (Abs) = PAtm + Pman + PA(Rel) PA (Abs) = 101.33 kPa + 120 kPa + 49 kPa PA (Abs) ≅ 270 kPa [ 6 ] Baseado na figura ao lado. g . hgas = 680 kg/m3 x 9.81) kPa ≅ 144.81 m/s2 x 5 m = 33.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [ 5 ] Com base na figura ao lado. PA (Rel) = ρH2O .68 kPa + 1000 kg/m3 x 9. determine: a) b) A pressão absoluta e relativa na interface gasolina-água.68 kPa PA (Rel) = ρGas. a) PA (Abs) = PAtm + PA (Rel) PA (Abs) = 101. Villar Alé C-25 . 354 kPa ≅ 134. Dados: d óleo = 0.g.3 kPa.2.oliva + PHg PA (Abs)=PAtm +ρóleo. b) a densidade do azeite de oliva.89 .81 m .6 e a pressão absoluta no ponto F é igual a 231.5) + (13600.Mecânica dos Fluidos [ 7] Observando a figura e os dados seguintes.1. d mercúrio = 13.o = PF − PATM − ρ óleo .9 m s2 ≅ 1370 kg / m 3 d óleo = ρ óleo ρ água à 4° C ⇒ ρ óleo = d óleo x ρ água à 4° C = 0. a) PA (Abs) = PAtm + Póleo + Págua + Paz.hóleo − ρ H 2O .hH 2O − ρ Hg .oliva {231300 − 101330 − 9.g .oliva = 1.9 m s2 ρ az .oliva ρ água à 4°C = 1370 kg / m3 ⇒ d az.0.hH2O +ρaz.oliva.4)]}Pa 9.haz.hHg g .oliva ≅ 38982 9.haz .oliva +ρHg.g .37 1000 kg / m3 C-26 PUCRS .oliva = ρ a . 2.89 x 1000 kg = 890 kg / m 3 b) 3 m d az.g.5) + (1000.81 kg m.[(890.hHg ρ az .g.s 2 m . 2.hóleo +ρH2O.g . determine: a) a massa específica do azeite de oliva.81.g.oliva = ρ az. Determine a variação de pressão entre os pontos A e B. Villar Alé C-27 .6.81 ≈ 52kPa 1000 Jorge A.28kPa Obs: A pressão em B é maior que a pressão em A [ 9 ] Numa tubulação industrial é utilizado um tubo de Venturi conectado a um manômetro diferencial como mostrado na figura. A deflexão do mercúrio no manômetro diferencial é de 360mm e a velocidade da água no ponto B é de 9. PA + ρ óleo gh1 + ρ Hg gh2 − ρ tetra gh3 = PB PA − PB = −37. Obs. 750 x 360 x − 360 PA + ρ a g ρ a g = PB − x13.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [8] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques como mostrado na figura.73m/s. Densidade do mercúrio: 13. (b) indicando em que câmara a pressão é maior. (a) Determine a pressão entre as câmaras A e B.6 ρ a g − ρ a g − 1000 1000 1000 1000 (PA − PB ) = (360 x13.6 − 369 + 750)9. R: 22cm C-28 PUCRS . Obs: Densidade do óleo SAE 0. encontra-se aberto a atmosfera. [ 2 ] A Fig.Conceitos de Pressão (Cap3) [ 1 ] O sistema da Fig.PB = 463 Pa (de A para B ) [4] Os recipiente A e B da figura contém água sob pressão de 294.89.6 PROBLEMAS PROPOSTOS . O manômetro utiliza benzeno com massa específica igual 879 kg/m3.67 kPa (b) P(bas) 144.8 kPa P(rel) 43.68 determine (a) pressão absoluta e relativa na interfase gasolinaágua e (b) pressão abs. considerando que a diferença de pressão pB-pA=97kPa. Determine a deflexão do mercúrio (h) no manômetro diferencial. Massa específica do mercúrio: 13600 kg/m3 [5] Determinar a altura h2 (mm) no manômetro da Fig.3 kPa e 147 kPa respectivamente. Massa específica da água: 1000 kg/m3. e relativa no fundo do tanque.6. R: PA . Determinar: (a) A diferença de pressão entre as duas tomadas de pressão. Na Fig.48 kPa [3] Numa tubulação que escoa água se utiliza um manômetro em U conectado como mostrado na figura. x + y = 2.3 kPa determine a pressão relativa entre a água e o aceite de oliva. R: (a) P(abs) 135 kPa P(rel) 33. Densidade do mercúrio 13. A densidade do óleo e do mercúrio é dada na Fig. mostra o efeito da infiltração de água num tanque subterrâneo de gasolina.03 KPa e pressão absoluta no fundo do tanque é 231. Se a pressão atmosférica é 101.0 m. Considere água com massa especifica igual a 1000 kg/m3. (b) O sentido do escoamento da água dentro da tubulação.Mecânica dos Fluidos 1. (a) Se a densidade da gasolina é 0. Determine a diferença de pressão entre as câmaras A e B indicando em que câmara a pressão é maior. [ 7 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [ 6 ] Seja a água contida na câmara pressurizada mostrada na Fig.PB) = -37. Massa especifica do mercúrio 13550 kg/m3.2 mH20 [9] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques fechados como mostrado na Fig.92 kPa. A pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa.PB) =375.72 kPa (b) 38. Villar Alé C-29 . R: (PA . (a) Determine diferença de pressão entre os pontos A e B (b) Quanto corresponde essa diferença de pressão em metros de coluna de água ? R: (a) (PA . Massa específica da água = 1000kg/m³. Massa específica do mercúrio = 13600kg/m³. R: 20. Massa específica da água 1000 kg/m3. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do manômetro. Determine a pressão manométrica no ponto A. 28 kPa (PB > PA) Jorge A. R: y=626mm [8] Um manômetro diferencial é usado para a medição da pressão causada por uma diminuição da seção reta ao longo do escoamento. Considere que h1=30cm e h2=10cm. R: (a) 200 Pa (b) 2000 N. C-30 PUCRS . ( b ) Determine a pressão absoluta em B. Obs: água a 200C: Massa especifica 1000 kg/m3. A pressão absoluta em A é igual a 350 kPa.0 kPa [ 11 ] Determinar a deflexão h do manômetro da figura abaixo.75 kPa [ 13 ] Um reservatório de grande porte (Fig. R: 8. tendo uma região ocupada por mercúrio com densidade igual 13. quando a variação de pressão p1 . O fluido manométrico apresenta um peso especifico igual a 30 KN/m3.88 e dB=2.p2 = 870Pa.6.84mm [ 12 ] Para o reservatório mostrado determinar a pressão manométrica lida no instrumento. (Obs.Mecânica dos Fluidos [10] Determine a pressão na tubulação com água (A) considerando que o manômetro em U esta aberto para a atmosfera.6).12 kPa [14] Dado o esquema da figura: a) Qual a leitura no manômetro (Pa) . Considere as densidades dos fluidos dA=0.95. b) Qual a força (N) que age no interior do reservatório sobre o topo.) contém água. R: (a) 6. R: (a) 2.45m (b) 251.R: 42. Densidade do mercúrio: d=13. O reservatório é fechado e pressurizado tendo uma pressão absoluta igual a 180 kPa. Determinar ( a ) A altura h2 em (metros) da coluna de água. 4 ) Jorge A. Villar Alé C-31 .Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos EXEMPLOS CINEMÁTICA DOS FLUIDOS (Cap. 8 y ) ˆ j (1) Determinar o vetor da aceleração total.5 − 0.8 x )iˆ + (1.5 + 0. 4.98 − 2.8 x + 0. r ˆ V = 4 x 2 y 3 i − (2 xy 4 ) ˆ j [ 3 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. [ 9 ] Dado o vetor velocidade (a) (b) (c) (d) (e) r ˆ V = − y 3 − 4z ˆ + 3y 2 z k j ( ) ( ) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional.5 − 0.3. t ) = u0 1 + .3) (b) Determine a expressão geral do vetor de aceleração da partícula de fluido. b) a aceleração na entrada e na saída do bocal. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? Regime permanente ou não permanente ? Determinar o ponto de estagnação Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m [ 2 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível.0m/s e L = 0. c) a velocidade na saída do bocal.y)= (-2.z)=(2.8 y ) ˆ j [ 4 ] Dado o vetor velocidade: r V = (0. Verificar se o escoamento é em regime permanente ou não permanente.8 x )iˆ + (1.7 PROBLEMAS RESOLVIDOS . 3.5 + 0.8 y ) ˆ Onde x e y em metros j [ 1] Dado o vetor velocidade: 1. ( ) r V = (0.0) [ 5 ] Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional [ 6 ] Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional r ˆ ˆ V = 12 x 3 y i + (3 x 4 ) ˆ + (10 )k j ( r ˆ ˆ V = 6 x 2 y i − (4 x − 4 z ) ˆ + 12 z 2 k j ( ) ) ( ) [ 7 ] Considere um escoamento em regime permanente através de um bocal convergente considerando um perfil de velocidades dada pela equação: → 2x V (x.3m. (c) Avalia a aceleração da partícula de fluido para o ponto (x.0) (3) Determinar o modulo da aceleração em (2.5 − 0. 2. Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional.1x − 2. L Determinar: a) a aceleração da partícula do fluido.Cinemática dos Fluidos (Cap4) r V = (0.3.8 y ) ˆ j (a) Determine a velocidade da partícula de fluido para o ponto (x. y. considerando u0 = 3.y.3) C-32 PUCRS . z .8 x )iˆ + (1. d) a aceleração local na entrada e na saída. (2) Avaliar a aceleração em (x.y)= (-2. Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e da convectiva.5 + 0.Mecânica dos Fluidos 1. 5. [ 10 ] Um campo de velocidade de uma partícula de fluido é dada por: r ˆ V = (1 + 2.65 y )i + (−0. 5 = 1. y ) = ui + vˆ Resposta: Escoamento bidimensional r ˆ j V ( x.5 − 0.5 + 0. y ) = ui + vˆ Resposta: Regime permanente r ∂V ( x.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos ˆ Exemplo 1 Dado o vetor velocidade: V = (0.8 y w=0 (2) Regime permanente ou não permanente ? Consideramos o vetor velocidades: Desta forma r ˆ j V ( x.625m y=1.28m / s Resposta: Magnitude da velocidade em x=2 e y=3m V=2.8 x )i + (1.8 y= Resposta: Ponto de estagnação em x=-0.9 2 = 2.9) ˆ j Resposta: Vetor velocidade: r ˆ V = (2.5 + 0.8 y = 0 1.5 + 0.4) ˆ j r ˆ V = (2. Villar Alé C-33 .8 x 2 )i + (1.5 − 0.875m (4) Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m r ˆ V = (0.5 − 0.8 v = 1.5 − 0. Regime permanente ou não permanente ? 8.8 x = 0 x= − 0.5 + 0.9) ˆ j (5) Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m V = u 2 + v 2 = 2. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 7.8 y ) ˆ j Onde x e y em metros 6. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 10.8 x3) ˆ j r ˆ V = (0.12 + 0.5 − 2.875 0.1)i + (−0.5 + 1.1)i + (−0.6)i + (1. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m r (1) Escoamento é uni bi ou tridimensional ? u = 0. y ) Tomando a derivada parcial no tempo: =0 ∂t (3) Determinar o ponto de estagnação: Ponto de estagnação: Ponto onde V=0 u = 0.625 0.5 = −0.8 x v = 1.28m/s Jorge A. Determinar o ponto de estagnação 9. ( ) ( ) ( ) C-34 PUCRS .8 ∂y ∂w =0 ∂z ∂u ∂v ∂w + + = 0. (d) Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível (e) Determine de o escoamento é rotacional ou irrotacional. r V = (0.Mecânica dos Fluidos Exemplo 2: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível.1).5 − 0.3.z)=(2.5 − 0.8 y w=0 ∂u = 0.8 ∂x ∂v = −0.5 + 0.8 − 0. (c) Determine a aceleração local da partícula.8 + 0 = 0 ∂x ∂y ∂z Resposta: fluido incompressível Atividade: Dado o vetor velocidade r ˆ ˆ V = y 2 z 2 i + 2 xyz 2 ˆ + 3 x 3 z k j (a) Determine se o escoamento é em regime permanente ou não-permanente (b) Determine a magnitude da velocidade da partícula no ponto (x.8 x )iˆ + (1.8 y ) ˆ j u = 0.5 + 0.8 x v = 1.y. Solução: Será fluido incompressível se: r ˆ V = (4 x 2 y 3 )i − (2 xy 4 ) ˆ j r ∂u ∂v ∂w ∇ • V = 0 ou + + =0 ∂x ∂y ∂z u = 4x2 y3 v = −2 xy 4 w=0 ∂u = 8 xy 3 ∂x ∂v Derivando = −8 xy 3 ∂y ∂w =0 ∂z Será fluido compressível r ∂u ∂v ∂w ∇ • V ≠ 0 ou + + ≠0 ∂x ∂y ∂z e somando obtemos ∂u ∂v + = 8 xy 3 − 8 xy 3 = 0 ∂x ∂y Portanto o escoamento é incompressível – Resposta: fluido incompressível Exemplo 3: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. 8i ∂x r ∂V = −0.8 ˆ) = (−1.8 ˆ j ∂y r ∂V =0 ∂z r ∂V ˆ ˆ u = (0.5 + 0.2 + 0.64 x)i + (−1.4 + 0.2 + 0.68 2 + 0.3.72 2 = 1.3.28)i + (−1.8 x v = 1.z)=(2.4 + 0.4 + 1.64 x3) ˆ j Dt r DV ˆ = (0.68)i + (0.8 y w=0 r ∂V observamos que é regime permanente: =0 ∂t r ∂V ˆ = 0. Villar Alé C-35 .0) (1) Determinar o vetor da aceleração total.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Exemplo 4: Dado o vetor velocidade: r V = (0.8 x )(0.2 + 0.2 + 0.64 x)i + (−1.y.0) = a p = a x + a y = 1.0) = (1.72) ˆ j Dt Resposta: r ˆ a p (2.8 y ) ˆ j (1) Determinar o vetor da aceleração total.83m / s 2 Resposta: a p (2.0) r DV ˆ = (0.83m / s 2 Jorge A.4 + 0.0) = 1.0) r 2 2 a p (2.3.64 y ) ˆ j Dt Resposta: r ˆ a p = (0.y.z)=(2.4 + 0.0) (3) Determinar o modulo da aceleração em (2.8 x )iˆ + (1.5 − 0.8 y )(−0.92) ˆ j Dt r DV ˆ = (1.3.5 + 0.72) ˆ j (3) Determinar o módulo da aceleração em (2.5 + 0.64 y ) ˆ v j j ∂y r ∂V w =0 ∂z r DV ˆ = (0.8i ) = (0.64 y ) ˆ j (2) Avaliar a aceleração em (x.64 x)i ∂x r ∂V = (1.68)i + (0.64 x 2)i + (−1.3.3.3.5 − 0.2 + 1. r r r r r r DV ∂V ∂V ∂V ∂V ap = = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z u = 0.5 − 0. (2) Avaliar a aceleração em (x. Mecânica dos Fluidos Exemplo 5: Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional r ˆ ˆ V = 12 x 3 y i + (3 x 4 ) ˆ + (10 )k j Rotacional ( ) r r 1 ω = ∇xV ≠ 0 Irrotacional 2 v 1 ∂w ∂v ˆ 1 ∂u ∂w ˆ 1 ∂v ∂u ˆ ω= − i + − j + − k 2 ∂y ∂z 2 ∂z ∂x 2 ∂x ∂y ωx = 1 (0 − 0) 2 1 ∂u ∂w ωy = − 2 ∂z ∂x 1 ω y = (0 − 0 ) = 0 2 1 ∂v ∂u ωz = − 2 ∂x ∂y ωz = Resposta: Irrotacional u = 12 x 3 y v = (3 x 4 ) ˆ j ˆ w = (10 )k ( ) ωx = 0 ωy = 0 1 12 x 3 − 12 x 3 = 0 2 ( ) ωz = 0 r ω =0 Exemplo 6: Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional r ˆ ˆ V = 6 x 2 y i − (4 x − 4 z ) ˆ + 12 z 2 k j ( ) ( ) u = 6x2 y w = 12 z 2 ( ) ) v = −( 4 x − 4 z ) ( 1 ∂w ∂v ωx = − 2 ∂y ∂z 1 ω x = (0 − 4 ) = −2 2 1 ∂u ∂w ωy = − 2 ∂z ∂x 1 ω y = (0 − 0 ) = 0 2 1 ∂v ∂u ωz = − 2 ∂x ∂y 1 ω z = − 4 − 6 x 2 = − 2 + 3x 2 2 ( ) ( ) ωx ≠ 0 Resposta: Rotacional ωy = 0 ωz ≠ 0 r ω ≠0 C-36 PUCRS . → 2x ˆ V ( x. y. b) a aceleração na entrada e na saída do bocal. ∂t → → → → 2 DV ∂ V 2 x 2. z . 1 + Dt ∂x L L → → → ∂V =0 ∂t → Jorge A. t ) = ⇒ a p = u.u0 2 x a p ( x. então. z .(0) 2 0. → 2x ˆ a) Unidimensional V ( x. 3 m / s ap = = . y. t ) = u0 1 + . d) a aceleração local na entrada e na saída. Villar Alé C-37 . L Determinar: a) a aceleração da partícula do fluido.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Exemplo 7: Considere um escoamento em regime permanente através de um bocal convergente considerando um perfil de velocidades dada pela equação: → 2x V (x. 3 m / s b) a p = = .u0 2 x ap = = u.(0.3 m a p = 60 m / s 2 → → → (aceleração na entrada do bocal) ( ) . c) a velocidade na saída do bocal. a aceleração local é zero porque a equação não varia em função do tempo. 1 + = Dt L L 0.0m/s e L = 0.1 + 2.1 + 2.3 m (velocidade na saída do bocal) c) Neste exercício.u0 2 x 2. t ) = u = u0 1 + i L 2 → DV ∂ V 2.u0 2. o escoamento é em Regime Permanente.3 m ) m 2x c) V = u = u0 1 + = 3 . + v. + Dt ∂x ∂y ∂z ∂t → → → → → → ∂V Como = 0 . z . y . = . 1 + (aceleração da partícula do fluido) Dt ∂x L L L L 2 D V 2.3 m 2 D V 2.3 m) 2 0.u0 2 x 2.1 + = 9 s L s 0. = . t ) = u = u0 1 + i L DV ∂V ∂V ∂V ∂V ap = = u. + w. y.3m. z .3 m → → ( ) .3 m a p = 180 m / s 2 → (aceleração na saída do bocal) → m 2. = u0 1 + . 1 + = Dt L L 0.(0. considerando u0 = 3. y.3m / s ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) (2) Aceleração local da partícula.z)=(2. Determine a magnitude velocidade da partícula no ponto (x. ( ) ( ) ( ) r ˆ ˆ V = y 2 z 2 i + 2 xyz 2 ˆ + 3 x 3 z k j r ˆ ˆ V = 3 2.3. r r r r r DV ∂V ∂V ∂V ∂V (b) = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z r ∂V Resposta : Aceleração local da partícula: =0 ∂t r ∂u ∂v ∂w ∇V = + + ∂x ∂y ∂z (a aceleração local da partícula é nula) (c)Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível r ∇V = 0 + 2 xz 2 + 3x 3 ≠ 0 Por tanto se trata de fluido compressível.1).12 ˆ + 3. Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível Determine de o escoamento é rotacional ou irrotacional.1). (d) Escoamento é rotacional ou irrotacional.Mecânica dos Fluidos Exemplo 8: O vetor velocidade (m/s) de uma partícula de fluido é dado por: r ˆ ˆ V = y 2 z 2 i + 2 xyz 2 ˆ + 3 x 3 z k j (a) (b) (c) (d) Solução (1) Velocidade na partícula no ponto (x.2 3.3.2.12 i + 2. ? 1 ∂v ∂u 1 − = (2 yz 2 z − 2 yz 2 ) = 0 2 ∂x ∂y 2 Resposta: Escoamento rotacional 1 ∂u ∂w 1 2 2 − = (2 y z − 9 x z ) ≠ 2 ∂z ∂x 2 1 ∂w ∂v 1 − = (0 − 4 xyz ) ≠ 2 ∂y ∂z 2 C-38 PUCRS .3.1 k j (a) r ˆ ˆ V = (9 )i + (12 ) ˆ + (24 )k j V = 28.y. Determine a aceleração local da partícula.z)=(2. z . Resposta: Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z (v. (B) Verifique se o escoamento permanente ou não permanente. y. z ) ˆ + w( y.w). Villar Alé C-39 ( ( ) ( ) ) ( ) . Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. r Para ser escoamento em 3D em regime permanente. Verificar se o escoamento é em regime permanente ou não permanente. z ) k r Portanto o escoamento não é dependente do tempo (regime permanente) ( C) Determinar a aceleração da partícula r r r a p = a p ( Local ) + a p (Convectiva ) r ∂V Como se trata de regime permanente a contribuição da aceleração local é nula: =0 ∂t r r r r r DV ∂V ∂V ∂V ∂V = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z r r r r DV ∂V ∂V ∂V =u +v +w Dt ∂x ∂y ∂z r ∂V = 0 (escoamento bidimensional com u=0) u ∂x r ∂V ˆ v = (− y 3 − 4 z )(−3 y 2 ) ˆ + (− y 3 − 4 z )(6 yz )k j ∂y r ∂V ˆ w = (3 y 2 z )(3 y 2 )k ∂z r DV ˆ ˆ = 3 y 5 + 12 zy 2 ˆ − 6 y 4 z + 24 z 2 y k + (9 y 4 z )k j Dt r DV ˆ = 3 y 5 + 12 zy 2 ˆ + 3 y 4 z + 24 z 2 y k j Dt Jorge A. Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e da convectiva. SOLUCAO (A) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. V = V ( x. t ) r ˆ V = vˆ + wk j ˆ j Neste caso: V = u ( y.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Exemplo 9: Dado o vetor velocidade r ˆ V = − y 3 − 4z ˆ + 3y 2 z k j ( ) ( ) (f) (g) (h) (i) (j) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. r ∂v ∂w ∇V = + = −3 y 2 + 3 y 2 = 0 ∂y ∂z (E ) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. ( ) ( ) r ˆ V = v( y. z ) ˆ + w( y.Mecânica dos Fluidos ( D ) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. ˆ Lembrando que o vetor velocidade é dado por: V = − y 3 − 4 z ˆ + 3 y 2 z k j r Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z (v.w). z )k P j Desta forma o vetor rotacional pode ser simplificado: v 1 ∂w ∂v ˆ 1 ∂u ∂w ˆ 1 ∂v ∂u ˆ ω= − i + − j + − k 2 ∂y ∂z 2 ∂z ∂x 2 ∂x ∂y v 1 ∂w ∂v ˆ ω= − i 2 ∂y ∂z ∂w = 6 yz ∂y ∂v = −4 ∂z Desta forma o escoamento é rotacional já que ω ≠ 0 v v 1 ˆ ω = (6 xz − 4)i 2 C-40 PUCRS . Para que o fluido seja incompressível deve satisfazer a equação: r ∂u ∂v ∂w ∇V = + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂u =0 ∂x ∂v = −3y 2 ∂y ∂w = 3y 2 ∂z Desta forma verifica-se que o escoamento é incompressível. 98 − 2. (f) Avalia a aceleração da partícula de fluido para o ponto (x. Villar Alé C-41 .3) (e) Determine a expressão geral do vetor de aceleração da partícula de fluido.3) Jorge A.65 y )i + (−0.y)= (-2.8 x + 0.8 y ) ˆ j (d) Determine a velocidade da partícula de fluido para o ponto (x.1x − 2.y)= (-2.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Exemplo 10: Um campo de velocidade de uma partícula de fluido é dada por: r ˆ V = (1 + 2. Mecânica dos Fluidos 1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS – Cinemática (Cap.4) r [1] Uma partícula de fluido apresenta o vetor de velocidades: V ( x, y, z , t ) = 2 xt iˆ − yt 2 ˆ + 3 xz kˆ . Determinar: j (a) Se o escoamento é uni, bi ou tridimensional. (b) Se o escoamento é permanente ou não-permanente. ( c ) Aceleração total da partícula (d ) Aceleração total para (x,y,z)=(2,-2,0) (e) Velocidade e aceleração da partícula para t=2s em (2,-2,0). [2] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: V = 3t iˆ + xz ˆj + ty 2 kˆ r Determinar a equação que representa a aceleração da partícula. [3] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: V = y 2 z 2 iˆ + 2 xyz 2 ˆj + 3 x 3 z kˆ r (a) Determine se o fluido é rotacional ou irrotacional (b) Se a componente da velocidade em z é nula, verifique se o fluido é rotacional ou irrotacional. [4] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: V = ax 2 t iˆ − ay 3 t 2 ˆj + e 2 z r 2 Determinar a equação que representa a aceleração da partícula. ˆ k [5] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: V = r Verifique se o fluido é compressível ou incompressível. x 3 z ˆ 2 x 3 z ˆ 3x 2 z 2 ˆ i− j− k y y2 y2 [6] Dado o campo de velocidades V = 6 x 2 y iˆ − ( 4 x − 4 z ) ˆj + 12 z 2 kˆ Determine o campo de velocidades angular r ou rotacional. [7] Verifique quais dos seguintes campos de velocidades satisfaz a Eq. da continuidade. (a) u = − x (d) u = 3 xy v=y v = 3 yt (b) u = 3 y v = 3x (c) u = 4 x v = −4 y (c) u = 4 x 2 y 3 (e) u = xy + y 2 t v = xy + x 4 t v = −2xy 4 C-42 PUCRS Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos EXEMPLOS CONSERVAÇÃO DA MASSA ( Cap. 5 ) Jorge A. Villar Alé C-43 Mecânica dos Fluidos 1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Conservação da Massa (Cap.5) [1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0. [2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é dada pela equação: r r 2 ˆ V = U max 1 − i R Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. Determine o fluxo de massa da tubulação. [3] Um dispositivo semelhante ao da figura abaixo é utilizado para escoamento de água em regime permanente. As áreas das A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2. O fluxo de massa através da seção (3) é de 60 kg/s, considerado saindo do dispositivo. A vazão entrando na seção (4) é igual a 0,03m3/s. A velocidade entrando na seção (1) é igual a V1=3,0i m/s. Considerando as propriedades do fluido uniformes através de todas as entradas e saídas do fluxo determine o fluxo e massa e velocidade na seção (2). [ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. Aplique a Eq. integral da conservação da massa para obter uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório. C-44 PUCRS r r r r ∫sc ρVdA = ∫A1 ρVdA • • Na superfície (1) o fluido esta saindo e o produto ρVdA é positivo (+). Se as propriedades são uniformes na superfície (1) ∫ A1 r r ρVdA = ρ 1V1 A1 ∂ (ρ∀) + ρ1V1 A1 = 0 ∂t • Como o volume do tanque (v. porem dependentes do tempo. Villar Alé C-45 .) não é uma função do tempo: ∀ ∂ (ρ ) = − ρ 1V1 A1 ∂t ∂ (ρ ) = − ρ 1V1 A1 ∂t ∀ • Significa que a massa especifica esta diminuindo a uma taxa de 2. O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa especifica de 6. No tempo t=0 o ar escapa do tanque através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque.48 kg/m3 no momento de ser aberta a válvula (t=0). As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante.c. em t=0.05 m m ( ) ( ) Jorge A.13 kg/m3. Como as propriedades são uniformes: Podemos retirar ρ da integral do primeiro termo. 65 kg 311 m 6. Como r r ∂ ρd∀ + ρVdA = 0 ∫sc ∂t ∫vc • ∫ d∀ = ∀ vc r r ∂ ( ρ ) d∀ + ρVdA = 0 ∫sc ∂t ∫vc r r ∂ ρ∀ + ρVdA = 0 ∂t ∫sc • O fluido atravessa a fronteira unicamente na seção (1). (2) Escoamento uniforme na seção (1).48 3 / s ∂t 0.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [1] Um tanque com volume de 0. Equação Básica Solução Exemplo 1 Hipóteses: (1) As propriedades no tanque são uniformes.05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa.13 3 x m2 x ∂ kg (ρ ) = − m 1000 s 3 1000 x1000 = −2. Solução: A Eq.Mecânica dos Fluidos Solução Exemplo 2 [2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: r r ∂ ρd∀ + ρVdA = 0 ∫sc ∂t ∫vc Hipóteses: • Escoamento permanente • Escoamento incompressível • Velocidade não-uniforme nas seções onde o fluido cruza as fronteiras. Considerando o elemento de área da seção do tubo : dA = 2πrdr r 2 & m = ρ ∫ u max 1 − (2πr )dr R 0 R R r r r r r r & m = ∫ ρ 1V1 dA1 = ∫ ρ 2V2 dA2 = ∫ ρVdA r 2 & m = ρu max 2π ∫ 1 − rdr 0 R Resolvendo a integral : r 2 r2 r4 1 − rdr = − ∫ R 4 2 0 R 1 R 2 R2 R4 = − 4 0 2 R 1 R 2 R2 R2 R2 − = = 4 4 2 R2 & m = ρu max 2π 4 u u = ρ max πR 2 = ρ max A 2 2 u= u max 2 Pode ser verificado que neste escoamento laminar a velocidade media é C-46 PUCRS . Determine o fluxo de massa da tubulação. A velocidade V é dada pela equação: r r 2 ˆ V = U max 1 − i R Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. Significa que o fluido esta entrando na seção 4 no v.c.0i s r r ∂ ρd∀ + ρVdA = 0 ∫sc ∂t ∫vc Considerando escoamento uniforme e propriedades uniformes nas seções de entrada e saída do fluido no v. Jorge A. significa que na seção (3) o fluido está saindo do v. A2 ∫ ρVdA = ∫ ρV A 3 A2 3 A3 r r ρVdA = ∫ A3 4 & A4 = − ρV4 A4 = m4 A4 A4 r r & & & & ρVdA =m1 + m2 + m3 + m4 = 0 ∫ sc & m1 = − ρV1 A1 = 1000 & m3 = 60kg / s (+) saindo do v. Significa que & ρVdA = ρV1 A1 = − ρV1 A1 = m1 o fluido esta entrando na seção 1 no v. s & m4 = − ρV4 A4 = ρQ4 = 1000 Obs.c. (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário.6m / s na forma vetorial: V2 = −0.02m 2 = −60kg / s (-) entrando no v. Villar Alé & m2 = ρV2 A2 r & m 30 m V2 = 2 = = 0. 3 s m Para determinar a velocidade em (2): kg m3 x0.03 = −30kg / s (-) entrando no v. s m3 & & & & & m1 + m2 + m3 + m4 = −60 + m2 + 60 − 30 = 0 kg & m2 = 30 Como o valor é positivo (+). Notamos que os ângulos de inclinação das seções 3 e 3 não são necessários para avaliar o fluxo de massa. r r (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário.c.c. Básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: Hipóteses: (1) Escoamento permanente (2) Escoamento incompressível (3) Propriedades uniformes em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras.03m3/s & m3 = 60 kg (+) s Consideramos a massa específica da água igual a 1000 kg/m3 A Eq. r r r r r r r r r r ρVdA = ∫ ρVdA + ∫ ρVdA + ∫ ρVdA + ∫ ρVdA = 0 ∫ A1 A3 A3 A4 ∫ ∫ sc A1 r r ρVdA = ∫ r r A1 ∫ ρV ∫ ρV 2 & A2 = ± ρV2 A2 = m2 & = ρV3 A3 = m3 Não sabemos se o fluido esta entrando o saindo nesta seção (+) Pelo enunciado sabemos que o fluido esta na seção 3 saindo do v. Aplicando a Eq.6 ˆ (aponta em sentido negativo do eixo y) j ρA2 1000 x0.c. kg m x3. As seções onde o fluido atravessa as fronteiras: Velocidade em (1) r ˆm V1 = 3.c.0 x0.02m2 A2=0.05 s C-47 .04m2 Fluxo de massa em (3): Vazão em (4) : Q4=0.c.05m2 A3= A4=0. Por tanto os vetores velocidade e de área apontam no mesmo sentido.c.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução Exemplo 3 [3] Dados Áreas: A1=0. ρ ∂ & & d∀ − m1 − m2 = 0 ∂t dh Q1 + Q2 A1V1 + A2V2 = = ∂t Ares Ares 2 2 2 dh π D12V1 + D2 V2 π 0.6 = = = 0. integral da conservação da massa se obtém uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório dada por: ρ Ares dh & & − m1 − m 2 = 0 dt Determinar dh/dt considerando que a área do reservatório: Ares=0.075 x0.Mecânica dos Fluidos Solução Exemplo 4 [ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório.6m/s.9 + 0.18 ( ) ( ) C-48 PUCRS . Na figura D1=25mm. D2=75mm V1=0.0172m / s ∂t 4 Ares 4 0. Aplicando a Eq.025 x0.9m/s e V2=0.18m2. 5 ) Jorge A.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos QUANTIDADE DE MOVIMENTO ( Cap. Villar Alé C-49 . [2] Um jato de água de 25. Determinar a força horizontal sobre o suporte.5) [1] Água saí de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água.01m2. O jato escoa livremente na atmosfera. A área do bocal é de 0. C-50 PUCRS . (a) Considere que o ângulo θ definido na figura é igual a 600.05m3/s e uma velocidade de 8m/s.Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a forças resultante e o ângulo em que atua.4mm de diâmetro com velocidade de 6. Determinar: força necessária para manter o cotovelo no lugar. [3] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900 em regime permanente. [4] Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0.0025 m2 e o fluido é descarregado a pressão atmosférica (101kPa). A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s.1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. Na entrada a pressão absoluta igual a 221 kPa e seção igual a 0.01 m2 .Mecânica dos Fluidos 1. e com velocidade igual a 16 m/s. Na saída a seção é igual a 0.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Quantidade de Movimento (Cap. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa. Jorge A.57 N Ry= 1530. [ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado na Figura. (b) Qual a vazão do jato. Considere o jato como sendo com diâmetro de 100mm.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [ 5 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. Na tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900 kg/m3 com vazão de 150 m3/h. O fluido escoa de (1) para (2). Obs. Villar Alé C-51 . (Massa especifica da água 1000 kg/m3). Determine pelo método simplificado. O ângulo da placa é de 600 Respostas: Rx=883. [ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade do jato. Obs.39 N [ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. A velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Dados: r ˆ Velocidade do jato: V = 15i m / s Pressão atmosférica Patm=101 kPa. r r r r r r Fs + FB = ∂ ∫vcVρd∀ + ∫scVρVdA ∂t r r r r Fs = ∫ VρVdA sc Analisamos as forças na direção .c. Área do bocal: An=0. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (+) do eixo x.x: C-52 PUCRS . Determinar a força horizontal sobre o suporte. Equações Básicas Hipóteses: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.01m2.Mecânica dos Fluidos Solução Exemplo 1 Água saiu de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. Fx = p atm A + R x − p atm A Por tanto Fx = R x A quantidade de movimento na direção . Forças de campo desprezíveis.) como mostrado na figura. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s.01m2. Fluido água ρ=1000 kg/m3 Solução: Escolhemos um sistema de coordenadas (x.x.y) e um volume de controle (v. A área do bocal é de 0. Determinar: Força resultante.C. 01m 2 = −2250 N s s m ˆ Na forma vetorial Fs = −2250i N Método simplificado r No método simplificado : Fx = ρQ(u 2 − u1 ) & Fx = m(u 2 − u1 ) A massa especifica é determinada com as condições da seção 1.c. Villar Alé C-53 . & m = ρu1 A1 = 1000 kg m x15 x0.01m 2 = 150kg / s (+) saindo do v. Como todo o sistema está submetido a pressão atmosférica sua atuação anula-se. − uρV1 A1 = −15 r r R x = ∫ uρVdA = −2250 N Como é negativo aponta no sentido contrário do eixo x. Jorge A. 3 s m A velocidade na seção 2 é igual a zero (u2=0) & Fx = −mu1 = 150 kg m x15 = −2250 N Aponta no sentido contrário ao eixo x. s s Obs.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos r r r r r ∫ VρVdA = ∫ uρVdA sc x A1 r r r r uρVdA = ∫ u − ρVdA = − uρV1 A1 ∫ A1 A1 { } O vetor velocidade apresenta uma única componente V1=u1=15m/s. A1 m kg m x1000 3 x15 x0. C.x) Analisamos as forças na direção . Fluido água ρ=1000 kg/m3 Solução: Escolhemos um sistema de coordenadas (x.x.4mm de diâmetro com velocidade de 6.y) e um volume de controle (v. Forças de campo desprezíveis.c.c.0251m. r Área do bocal: Djato=0. Dados: ˆ Velocidade do jato: V = 15i m / s Pressão atmosférica Patm=101 kPa. Equações Básicas r r r r r r Fs + FB = ∂ ∫vcVρd∀ + ∫scVρVdA ∂t Hipóteses: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água. O jato escoa livremente na atmosfera.) como mostrado na figura. r r r r Fs = ∫ VρVdA sc Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo .1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura.Mecânica dos Fluidos Solução: Exemplo 2 Um jato de água de 25. sc r r Fsx = ∫ uρVdA Fsx = p atm A − R x − p atm A Por tanto Fsx = − R x A quantidade de movimento na direção . Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x.x: A1 ∫ uρVdA = ∫ u {− ρV dA }= − u ρV A r r r r 1 1 1 1 1 A1 1 (fluxo entrando no v.) Igualando os termos: PUCRS C-54 . 1 x0.98 N (Com o sentido admitido originalmente no sentido positivo (+) Método simplificado O fluxo de massa é dada por: & m = ρu1 A1 = 1000 kg m kg x6.11x6.98 N s s m Análise de escoamento em (2) .y) Analisamos as forças na direção .1m/s e desta forma: & Fy = m(v 2 − v1 ) & Fx = m(u 2 − u1 ) & Fx = −mu1 = 3.1 x0.(Somente agem forças no eixo . j } v 2 ρV2 A2 = 6.y.1 = −18. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+).00051m 2 = 3. Consideramos que o jato é uniforme Área do bocal: Djato=0.1 m kg m x1000 3 x6.1m/s u2=0 e desta forma: v1=0 v2=6.1 x0.98 N Jorge A.0251m.98 N & Fy = mv 2 = 3.1 ˆm / s e desta forma: v2=6.c.1x10-4m2 r R x = u1 ρV1 A1 = 6.98 N s s m R y = v 2 ρV2 A2 = 19.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos − R x = −u1 ρV1 A1 e por tanto Rx aponta no sentido contrário ao admitido Vetor velocidade: ˆ Ponto (1) V = 6.11x6.1m/s.1i m / s e desta forma u1=6.00051m 2 = 18.000511m 2 = 18. Villar Alé C-55 .1m/s. A2 r r Fsy = ∫ v 2 ρV2 dA2 Fsy = p atm AH + R y − p atm AH Por tanto Fsy = R y Pela conservação da massa em (2) ∫v 2 r r r r ρV2 dA2 = ∫ v 2 + ρV2 dA2 =v 2 ρV2 A2 (fluido saindo da s.) A2 A2 { r V = 6.11 3 s s m u1=6.1 = 18. e A1=A2=5.1 m kg m x1000 3 x6. x) sc ( considerando força de campo FBx=0) Analisamos as forças na direção .c.00283m 2 = 45. Obs.28 s s m Análise de escoamento em (2) (Somente agem forças no eixo .Mecânica dos Fluidos Solução: Exemplo 3 [ 3 ] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900 em regime permanente.0 x0.0113m2 A2= 0.) m kg m u1 ρV1 A1 = 4. Na seção (1) da entrada o diâmetro é 120 mm.c. Apresente a equação integral geral do problema e aplique as simplificações (hipótese) do escoamento.C. A componente de força de campo FBy não pode ser avaliada já que não conhecemos o volume ou a massa de fluido no interior de cotovelo. Desta forma analisamos unicamente as forças de superfície: Fsy = p r 2 A2 + R y = r r r r v 2 ρV2 dA2 = ∫ v 2 + ρV2 dA2 =v 2 ρV2 A2 ∫ A2 A2 { como pr2=0. Determinar: A força resultante Rx e Ry.00283m 2 = −724 N s s m R y = v 2 ρV2 A2 = −724 N (Contrario ao sentido admitido originalmente) C-56 PUCRS .x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x.) (+) v 2 ρV2 A2 = −16 m kg m x1000 3 x 16 x0. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+).x: A1 ∫ u ρV dA = ∫ u {− ρV dA }= − u ρV A r r 1 r r 1 1 1 1 1 1 1 1 A1 (fluxo entrando no v. Hipotese e escoamento: r r r r r r Fs + FB = ∂ ∫vcVρd∀ + ∫scVρVdA ∂t Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.0113m 2 = 160 N s s m R x = p r1 A1 + u1 ρV1 A1 R x = (120 x1000 )0. a velocidade é igual a 4m/s e a pressão relativa igual a 120 kPa. } Fsy = R y (fluido saindo da s.00283m2 A quantidade de movimento na direção .y. Na seção (2) da saída ó diâmetro é igual 60 mm sendo o fluido descarregado a pressão atmosférica com velocidade igual a 16 m/s. No presente exercícios consideramos desprezível força de campo FB . Para simplificar trabalharemos com a pressão relativa r r Fsx = ∫ uρVdA Fsx = p r1 A1 − R x A1= 0. Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo .0113 + 160 N = 1516 N kg m kg & m = ρV2 A2 = 1000 3 x16 x0.y) R x = ( p r1 )A1 + u1 ρV1 A1 r r Fsy + FBy = ∫ v 2 ρV2 dA2 A2 Analisamos as forças na direção .0 x1000 3 x 4. x) Força Resultante em x: y = R y = 50 kg (7.07 − 5.5 N s (Aponta no mesmo sentido que o eixo .y) Força Resultante: 2 R = R x2 + R y = (−179.66 ) = 669. (a) Considere que o ângulo θ definido na figura é igual a 600.5) 2 + (669.5) ≈ 693 N 2 Ângulo formado pela resultante: Tanφ = Ry Rx ≈ 75 0 Jorge A. Determine as reações nas direções x e y.c. (b) Determine a força resultante e o ângulo em que atua.66) = −179.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução: Exemplo 4 Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0.66m/s Força Resultante em x: m s m v1 = V1 sin 45 0 = 8sin 45 0 = 5.5 N s (Aponta em sentido contrário ao eixo . Villar Alé C-57 .07 Componentes da velocidade em y: m s u1 = V1 cos 450 = 8 cos 450 = 5.73 m s Como v1 aponta em sentido contrario ao eixo-x fica com sinal negativo: v1= -5.05 = 50 3 s s m r ˆ V1 = u1i + v1 ˆ j r ˆ V2 = u 2 i + v 2 ˆ j ∑F y O fluxo de massa pode ser determinado como: & m = ρV1 A1 = ρQ = 1000 Resta determinar as componentes dos vetores de velocidade na entrada e saída do v.05m3/s e uma velocidade de 8m/s.66 s ∑F ∑F x = R x = 50 kg (2. No método simplificado: Equações utilizadas: ∑F x & = m(u 2 − u1 ) & = m(v 2 − v1 ) kg m3 kg x0.73 + 5.66 v2 = V2 sin 750 = 8 sin 750 = 7. Componentes da velocidade em x: O ângulo formado entre o plano horizontal e o veto V2 é: 1800 – (450 + 600)= 750 u2 = V2 cos(750 ) = 8 cos 750 = 2. 118 x(7. Considere que a lamina de fluido mantém a mesma espessura em toda sua trajetória.Mecânica dos Fluidos Solução: Exemplo 5 [ 5 ] Determine a força horizontal exercida sobre a superfície mostrada na figura.88m / s 2 ρπD 1000π 0. • Escoamento com velocidades unidimensionais.5 − 15) Rx = 883.12 x s 4 Solução: Exemplo 6 [ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. Não que existe variação das propriedades no tempo no V. • Escoamento uniforme na entrada (1) e na saída (2).4 N m πx0.C.118 s − Rx = 1000 x0. Fazendo analise em x: r r r r r r Fs + FB = ∂ ∫vcVρd∀ + ∫scVρVdA ∂t ∑ Fx = ρQ(v v x1 = 15m / s x2 − v x1 ) onde: v x 2 = 15 cos 60 = 7. (Massa especifica da água 1000 kg/m3). Hipóteses: • Escoamento em regime permanente. ∑F ∑F y y & & = − m(v1 ) + − m(v2 ) & = − m(v1 ) + 0 πD 2 4 − W = − ρvAv W = ρv 2 v= 4W 4 x700 = = 18. A velocidade do jato de água é igual a 15m/s. • Escoamento com considerando fluido incompressível.5m / s Q = V1 A1 = 15 2 m3 m = 0.052 C-58 PUCRS . 33) + (100 + 80 )x0.33m/s e u2x= -1. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa.8 + 5652 = 5552 N 3600 Solução: Exemplo 8 [ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado na Figura. P1=100kPa P2=80 kPa 150 3600 = 1. Obs.33 − 1.08m / s 1000 xπx60 2 Jorge A. O fluido escoa de (1) para (2). Obs. (b) Qual a vazão do jato.33m/s − R x + P1 A1 + P2 A2 = ρQ(u 2 x − u1x ) R x = − ρQ(u 2 x − u1x ) + (P1 + P2 )( A1 ) R x = 900 x 150 x(−1. Determine pelo método simplificado. Na tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900 kg/m3 com vazão de 150 m3/h. ∑F ∑F y = ρQ(v 2 − v1 ) = −W = −825 N y 825 = ρv12 A v1 = − 825 = ρv1 A(0 − v1 ) 825 = πD 2 1000 x 4 4 x825 x1000 x1000 = 17. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade do jato. Villar Alé C-59 .Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução: Exemplo 7 [ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800.0314 = −99.33m / s A1=A2 Velocidade media na tubulação: V = πD 2 4 ΣFx = ρQ(u 2 x − u1x ) − R x + (P1 + P2 )( A1 ) = ρQ(u 2 x − u1x ) conforme os eixo de coordenados: u1x=1. 4 N. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm.60 N [ 3] O jato de água de 6 cm de diâmetro atinge uma placa contendo um orifício de 4cm de diâmetro. [5 ] A figura mostra um bocal convergente montado numa linha de uma tubulação industrial. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101. ρHg=13600 kg/m3 (a) 71.29 Kg/s e pressão relativa em (1) igual a p1=232 kPa. Considere que o fluido e gasolina com massa especifica igual a 680 kg/m3.Mecânica dos Fluidos 1. (1) água (2) D1=8cm D2=5cm P2=Patm V1=5m/s h=58cm y x mercúrio C-60 PUCRS . O ângulo da placa é de 600 R:: Rx=883. Determine a força horizontal necessária para conter a placa. R: 981.75N [ 4 ] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. e parte é defletida. Considere o jato como sendo com diâmetro de 100mm. Os manômetros instalados antes e após o bocal apresentam as pressões indicadas na figura. Considere um fluxo de massa igual 15. O ângulo em relação ao plano horizontal é igual a 400. Determine a forca Rx que deve ser exercida pelos tubos adjacentes para suportar o bocal convergente. Determine a forças resultantes (Rx e Ry) sobre o flange. A velocidade do jato de água e igual a 15m/s.39 N [ 2 ] Considere uma tubulação que escoa água com a curva mostrada na figura.25 N Ry=-212. ρágua=1000 kg/m3 . Os diâmetro da tubulação é D1=100mm e o diâmetro do bocal na saída é D2=30mm. R:: Rx=2105. Parte do jato atravessa pelo orifício. (a) Determine a pressão relativa na seção (1) ( b ) Determine a força total que os flanges resistem.11 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO [ 1 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s.32kPa.7 KPa (b) Rx=164.57 N Ry= 1530. Villar Alé C-61 . Na entrada da bomba as pressões do jato e da corrente secundaria são iguais.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [ 7 ] No sistema representado na figura escoa água em regime permanente (ρ=1000 kg/m3). Determinar a força resultante no eixo-y (Ry) considerando que a velocidade V1=10m/s sendo o diâmetro da lamina de fluido homogênea e igual a 30mm. Obs: água 1000kg/m3 mercúrio 13600kg/m3. O jato fica dentro de uma corrente secundaria de água com velocidade V1=3. Calcular o fluxo de massa no sistema. A área total do duto e A2=0. A diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 é 24.075m2. [ 9 ] Uma bomba de jato de água tem área de Aj=0. A água sai a pressão atmosférica em forma de jato devido a placa plana com diâmetro de 100 mm. Considere d1 = 2d2 = 16cm. O manômetro de mercúrio indica uma altura H=20cm. Obs.01m2 e uma velocidade Vj=30m/s. A água e eficazmente misturada e deixa a bomba com uma corrente uniforme na seção 2. [ 8 ] Determinar a força de reação no sistema apresentado na figura no qual escoa água (ρ=1000 kg/m3 ) numa tubulação de 400mm de diâmetro com velocidade media igual a 5 m/s. Jorge A. Desconsiderar a perda de carga. Sistema em regime permanente e propriedades uniformes na entrada (1) e saída (2) do fluido.0m/s. O ângulo da placa inclinada é igual a 450.72kPa. Determine a velocidade na seção de saída. Massa especifica da água 1000 kg/m3 ‘ [ 10 ] Num Venturi escoa água conforme mostrado a figura. Mecânica dos Fluidos EXEMPLOS ESCOAMENTO VISCOSO INTERNO C-62 PUCRS . 3 m (b) 5.93 e viscosidade cinemática igual 1. A 200C a água tem uma massa específica igual a 999 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1.91m.4MW [4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC utilizando uma bomba acionada por motor de combustão interna.7) [ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0. (d) A eq.0149. Se a eficiência da bomba é 85%. A glicerina esta a uma temperatura de 25oC e com o qual a massa especifica é igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9. Para tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as estações de bombeamento. µ=4.86. Considere que a perda de carga na tubulação igual a 3.s) de uma ponto A até um outro ponto B com uma pressão de 550kPa. Jorge A.6 e Cap. R: 27. os borrifadores devem trabalhar a 30psig ou mais. R: 760kPa. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. Obs. Para uma operação satisfatória. [5] Numa planta de processamento químico. Obs. O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol. o ponto A esta 21 metros abaixo do ponto B. (d) V=6.1464mm. Com relação à horizontal. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser desprezadas.0 m/s.0m/s [ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca.6x10-1 Pa.12 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Escoamento Viscoso em Dutos (Cap. Antes do ponto A esta instalada uma bomba. A rugosidade do tubo é de 0.6 milhão de barris por dia (1barril=42galões).s Determine (a) a perda de carga da tubulação. Considere água a 200C. A pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução é 50psi. Villar Alé C-63 . deve transportar-se benceno a 500C (d=0. (b) o gradiente de pressão da tubulação. R: ∆P=16 kPa τW = 60 N/m2. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0. A pressão máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi. numa vazão de 1. O fator de atrito da tubulação é igual a 0. (e) O valor da velocidade para r = R/2. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede.2x10-4 Pa.0x10-3 Pa. Determinar a pressão requerida na saída da bomba considerando que o benzeno deve ser transportado com uma vazão de 110 litros/min.179x10-6 m2/s. Na sua faixa de operação de maior eficiência.4 kPa/m (c) τW = 204 N/m2.s. Determine o diâmetro do tubo padrão que pode ser empregado. (c) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. [2] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa glicerina com uma velocidade media igual a 4. O ponto A esta conectado ao ponto B por uma tubulação de pvc nova com diâmetro interno igual a 50mm. a vazão de descarga da bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig. determine potência que deve ser fornecida em cada estação de bombeamento. R: (a) hL=13.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 1.1m3/s. para graficar o perfil de velocidades. A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 1. A perda de carga do sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m). Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. ρ=900 kg/m3 ν=0.00001 m2/s..32 kPa) Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para que o fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo. A vazão e igual a 2. Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica (101.Mecânica dos Fluidos [6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção.26mm. (a) Determine a perda de carga na tubulação. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9.0225. ( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1). ρHg=13600 kg/m3 (1) água (2) D1=8cm D2=5cm P2=Patm V1=5m/s h=58cm y x [7] Óleo escoa com uma vazão de 0.002. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. A perda de carga da tubulação e acessórios e igual a 27.6x10-1 Pa.29m. [ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea com diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a 0. (b) Determine a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido do escoamento. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101. Ambos reservatórios estão abertos á atmosfera.0 m/s. ρágua=1000 kg/m3 . mercúrio [8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A para B. [ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma tubulação com 750mm de diâmetro para uma unidade geradora (turbina) e sai para um rio que localizado a 30 metros abaixo da superfície do reservatório. Obs: massa especifica da água 1000 kg/m3 [ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media igual a 4.2m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro o qual apresenta um rugosidade ε=0. PUCRS C-64 . O diâmetro da tubulação é igual a 50mm.7x10-3 Pa.s. ( b ) Aplicando a Eq. Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m3/h. • Determine a potencia da maquina considerando um rendimento global de 88%. Determine a perda de carga da tubulação. A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída do fluido na tubulação é igual a 15m.32kPa. Nestas condições.0 m3/s. Obs. no diagrama de Moody se obtém um fator de atrito igual a 0. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2) ( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem.s. 6 litros/s. O laminador e formado por tubos lisos de 30 cm de comprimento e 4 mm diâmetro. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de pressão na tubulação. [ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5.002 no qual escoa água a 20oC com uma vazão de 0.2.1 m3/s.8x10-5 Pa.s. numa tubulação de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro.999 e viscosidade dinâmica igual a 1. Determinar a tensão de cisalhamento.001 sendo que o coeficiente de atrito da tubulação igual a 0.2 kg/m3 µ=1.s.6. Villar Alé C-65 . Determinar a perda de carga entre os pontos A e B em função da leitura manométrica do sistema apresentado na figura abaixo. Jorge A.0x10-3 Pa. Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um rendimento global de 70%. considere para água a 200C a densidade igual a 0.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e comprimento igual a 10m e rugosidade relativa igual a 0. ρ=1000 kg/m3 ν=1. Qual será a perda de carga na tubulação em metros de coluna de água. (Densidade do mercúrio 13.1m3/s. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1.(b) a potencia de acionamento da bomba.02x10-6 m2/s.s. [13] Uma experiência de laboratório foi realizada na disciplina para determinar a perda de carga entre os pontos A e B distantes 150cm numa tubulação de 7mm de diâmetro. Obs. Obs.0216.1m e Z2=36. ] Z2=36. A rugosidade relativa e igual a 0. Massa especifica da água 1000 kg/m3).6m Z1=6. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm.0x10-3 kg/m.6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba). [ 14 ] Determine a perda de pressão (Pa) e o coeficiente de perda de carga num laminador de fluxo instalado num duto de 50 cm de diâmetro no qual escoa ar a 200C com ρ=1. Considere Z1=6. O somatório de todos os coeficientes de perda de carga dos acessórios e igual a Σk=13.1m [ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0. 0149 x x = 1.62 x999 x9.06kPa = 60 2 4 L 4 10 m C-66 PUCRS . O diâmetro da tubulação é igual a 150mm.88 N = x = 0.15 15.0x10-3 Pa.15 2 x9.66 ) hL = f = 0. O fator de atrito da tubulação é igual a 0.62mca D 2g 0.Mecânica dos Fluidos Solução: Exemplo 1 [ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0.81 ≡ 15. 2.66m/s. Para determinar a variação de pressão na tubulação utilizamos a Eq. continuidade determinamos a velocidade que é igual a 5. da energia: 2 pA uA p u2 + + z A − hL = B + B + z B ρg 2 g ρg 2 g como a tubulação é horizontal (z1=z2) e do mesmo diâmetro (v1=v2) p A pB − = hL ρg ρg onde a perda de carga é dada por: L v2 10 (5.0149. Pela Eq.81 2 p A − p B = ρghL = 1.s. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede.2m3/s.88kPa Desta forma a tensão de cisalhamento na parede é dada como: τw = D ∆p 0. 1. Villar Alé C-67 .28 x1258 x9.15 2 x9.28mca = x Re D 2 g 786 0. (c) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação.6x10-1 V=4.01 − R O valor da velocidade para r = R/2.0 m/s.4 L 30m m O gradiente de pressão Tensão de cisalhamento na parede da tubulação τW f v 2 64 v 2 = ρ = ρ 4 2 Re 8 desta forma τW 64 42 N = x1258 ≅ 204 2 786 8 m A equação apropriada para graficar o perfil de velocidades.0 x0. D=150mm T=25oC Perda de carga da tubulação. A glicerina esta a uma temperatura de 25oC e com o qual a massa especifica é igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9.81 ≅ 163kPa ∆p 163kPa kPa = = 5.01 − =6m/s 2 Jorge A.Escoamento La min ar ν 9.0m/s ρ=1258 kg/m3 Re = VD 1258 x 4. (d) A equação apropriada para graficar o perfil de velocidades.6x10-1 Pa.6 x10 −1 64 L v 2 64 30 (4) = 13.s Determine (a) Perda de carga da tubulação.15 = ≅ 786 .Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução: Exemplo 2 [ 2 ] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa glicerina com uma velocidade media igual a 4. Determinamos o Número de Reynolds L=30m µ=9. (e) O valor da velocidade para r = R/2. (b) Determine o gradiente de pressão da tubulação. com umax=2umedio = 2x4m/s=8m/s r 2 u = u max 1 − R r 2 u = 8. A variação de pressão ∆p = ρghL = 13. 1 2 u = 8.81 2 Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: hL = 64 L v 2 Re D 2 g hL = Determine o gradiente de pressão da tubulação. Simplificações • • • 2 p1 u1 p u2 + + z1 − h L + H A = 2 + 2 + z 2 ρg 2 g ρg 2 g Não existem equipamento adicionado ou retirando energia entre o ponto 1 e 2 portanto HR=0 e HA=0 A tubulação apresenta o mesmo diâmetro portanto v1=v2.1464mm D=48 pol ( 1220mm) DR=0.5psi. A pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução é 50psi.1464mm. hL = ( p1 − p 2 ) ρg = ∆P ρg o valor limite da perda a de carga é dada por: hL = (8275. (275. numa vazão de 1. determine potência que deve ser fornecida em cada estação de bombeamento.97x10-5m2/s.93 oú ρ=930 kg/m3 ν=1.81 (neste caso de Petróleo bruto) LV2 hL = f D 2g Com tal equação podemos explicitar o comprimento da tubulação C-68 PUCRS . Com tais simplificações se tem: Como os pontos estão na mesma altura z1=0 e z2=0. O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol. ou 1psi ≅ 6.897kPa P1=1200 psi.83 kPa) Ferro galvanizado ε=0.6 x10 6 x 42 = 46666.93 e viscosidade cinemática igual 1.67 24 x60 min m3 s Conversão 01 galão/min = 6.86 − 344.309x10-5 m3/s Q = 46666.83)x1000 = 869.Mecânica dos Fluidos Solução: Exemplo 3 [ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca. A rugosidade do tubo é de 0.6 x10 6 barris dia 01 barril = 42 galões Q = gal 1. η=85% Q = 1.309 x10 −5 = 2. (344. de Energia entre o ponto 1 e o ponto 2.6 milhão de barris por dia (1barril=42galões).c.6 milhões de barris dia 100kPa = 14. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0.97x10-5 m2/s. A pressão máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi.94 Aplicamos a Eq. fluido 930 x9.86kPa) P2=50 psi.32m. Para tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as estações de bombeamento. Escoamento numa tubulação: comprimento desconhecido Dados: Q=1.67 x6. Se a eficiência da bomba é 85%. 32 ≅ 191.81 L = hL = 869.01722 f = 0. PA = H A ρgQ η Bomba = Desta forma a potência fornecida para a bomba: Potência adicionada pela bomba ao fluido Potência fornecida para a bomba Pmotriz = H A ρgQ ηG Pmotriz = 869.51m / s A πD 2 π 1.25log + 5 0 .00012 5.9 (1.8km 2 f V 0.22 2 x9.22 = ≅ 1.9 3.81x 2.7 D 2g 1.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos ε / D 5.7 Re −2 D 2g L = hL f V2 ε/D= 0.22 2 Re = VD 2.97 x10 0.512 −2 A bomba deverá fornecer (adicionar) no ponto 1 uma energia equivalente a perda de carga HA=hL=869.85 Jorge A.51x1.74 onde f = 0.55 x10 ) 3.1464mm/1220mm=0.01722 2.00012 Re = VD ν a velocidade media V= Q 4Q 4 x 2.74 = 0.32 x930 x9.55 x10 5 −5 ν 1.94 = = ≅ 2.32m A potência teórica adicionada pela bomba ao fluido pode ser determinada como: onde ρ é a massa específica do fluido e Q a vazão.94 = 27432. A eficiência da bomba é definida como a relação entre o potencial adicionado pela bomba ao fluido e a potência subministrada à bomba (potência motriz). Villar Alé C-69 .2kW 0.25log + 0 . ou 1psi ≅ 6. Determine o diâmetro do tubo padrão que pode ser empregado. Na sua faixa de operação de maior eficiência. Escoamento num Sistema de Irrigação: Diâmetro desconhecido Dados: Q=1500 gpm (95 lts/s) L=152m Tubo de PVC ε=0.02x10-6 m2/s. hL = ( p1 − p 2 ) ρg = ∆P ρg Assumindo os valores extremos estamos considerando ∆Pamx hL = (448. os borrifadores devem trabalhar a 30psig ou mais.897kPa P1<= 65psig. a vazão de descarga da bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig.095 m3/s ν=1.16 − 206. Para uma operação satisfatória.5psi.6m.02x10-6 m2/s ρ=998 kg/m3 L=152m PUCRS C-70 .015mm Fluido: água a 200C Tabela: ρ=998 kg/m3 ν=1.16 kPa) P2 >= 30 psig (206.Mecânica dos Fluidos Solução: Exemplo 4 [ 4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC utilizando uma bomba acionada por motor de combustão interna.81 hL = f LV2 D 2g L V2 ρ D 2g (Pa) Igualando os termos ∆P = f Para trabalhar com o diâmetro substituímos a velocidade pela vazão (V=Q/A): ∆P = f L ρ 4Q L ρ 16 Q 2 L 8 Q2 8 L 1 = f ρ 2 5 = f ρ 2 Q2 5 = f D 2 πD 2 D 2 π 2 D4 D π D D π D 2 Substituindo Q = 0. Com tais simplificações se tem: Como os pontos estão na mesma altura z1=0 e z2=0. (448. 100kPa = 14.c. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser desprezadas.85)x1000 = 24.agua 1000 x9.85 kPa) 2 p1 u1 p u2 + + z1 − h L + H A = 2 + 2 + z 2 ρg 2 g ρg 2 g Simplificações • • • Não existem equipamento adicionado ou retirando energia entre o ponto 1 e 2 portanto HR=0 e HA=0 A tubulação apresenta o mesmo diâmetro portanto v1=v2. 01378 ∆Pcal. Admitimos um valor para o diâmetro. 6.31 kPa Diâmetro (mm) 308 150 Continuar Quando o diâmetro não corresponde ao diâmetro comercial do tubo devemos recalcular e verificar os dados. 3. Villar Alé C-71 .001 Re 3. Jorge A. Com Re e e/D determinamos o fator de atrito f Com D e F obtemos a variação de pressão Se ∆Pcal. 5. ≅ ∆Pmax significa que o diâmetro assumido é adequado.01435 0. de Bresse. 2. Por exemplo Eq. 4. Se ∆Pcal.000487 0.04 D Re = Procedimento Iterativo. ( D=Q0. < ∆Pmax significa que podemos diminuir o diâmetro e recalcular Se ∆Pcal.85x105 8x105 f 0. Substituindo os dados = ν πD 2 ν πν D 118586.31 kPa) 201.5) Determinamos o Re. 1.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos ∆P = 1109. > ∆Pamx significa que devemos aumentar o diâmetro e recalcular.715 f D5 VD 4Q D 4Q 1 = Re = . (Pa) 57 kPa < (241. ε/D 0. 7. 81 2 p A = 90 x860 x9. e explicitando a pressão em A: p A pB = + ( z B − z A ) + hLT ρg ρg Devemos determinar a perda de carga da tubulação Considerando: velocidade: v=Q/A =0.934 m/s hL = f LV2 D 2g v= Q 0.91m.86. Determinar a pressão requerida na saída da bomba considerando que o benzeno deve ser transportado com uma vazão de 110 litros/min. O ponto A esta conectado ao ponto B por uma tubulação de pvc nova com diâmetro interno igual a 50mm. Resposta: 760kPa.2x10 .018 x x = 3.tubo liso no Diagrama de Moody achamos f=0.2x10-4 Pa.s PB=550kPa. Dados: Solução: Aplicamos a Eq. Tomando como eixo de referencia o nível do ponto A: ( ZB . o ponto A esta 21 metros abaixo do ponto B. Obs.2x10-4 Pa. pela continuidade AA=AB e portanto vA=vB.ZA) =21m pA p + z A − hLT = B + z B ρg ρg reorganizando os termos. µ=4.001964m2) Q=110 l/min. Considere que a perda de carga na tubulação igual a 3.001964 Reynolds: Re = ρV D µ Re = 860 x0. D=50mm (A=0. ( 0.30kPa C-72 PUCRS .81 = 759.4 com ε/D=0 .934 x0. fluido ρg 860 x9. deve transportar-se benzeno a 500C (d=0.81 = 90m.c.81m D 2g 0. de Energia entre o ponto A e B. Não existe turbinas retirando energia do sistema (HR=0) Como não existe perda de carga localizada (hLacc=0) hLT= hL Como a tubulação entre A e B não muda de diâmetro.018. Fluido Benzeno d=0.81 p A 550 x1000 = + 21 + 3.001834 m3/s) 2 pA uA p u2 + + z A + H AD − H R − hLT = B + B + z B ρg 2 g ρg 2 g Simplificações: Como a bomba esta antes do ponto A HAD=0 . L V2 240 (0.93) hL = f = 0.s) de uma ponto A até um outro ponto B com uma pressão de 550kPa.005 ≈ 9563 (escoamento turbulento) 4.86 T=500C µ=4.001834 = = 0. Com relação à horizontal. Antes do ponto A está instalada uma bomba.Mecânica dos Fluidos Solução: Exemplo 5 [5] Numa planta de processamento químico.93 A 0.05 2 x9. ρágua=1000 kg/m3 . Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm.0225.32kPa. de Energia.81x0.8 = 7.12(12. (a) Determine a perda de carga na tubulação. ( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1).37 2 hL = f = 0. no diagrama de Moody se obtém um fator de atrito igual a 0.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução: Exemplo 6 [6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. (b) Determine a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido do escoamento. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101.005 x1000 − 25. ρHg=13600 kg/m3 (1) água (2) D1=8cm D2=5cm P2=Patm V1=5m/s h=58cm y x Aplicando Eq. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s.0225 = 116m D 2g 0.58 = 71.1N Solução: Exemplo 7 [7] Óleo escoa com uma vazão de 0.7 x1000 5 − 12. da Quantidade de movimento.81 Aplicando Eq.2 2 g Continuar: R: ∆P=265Pa.00001 m2/s. & R x = p1 A1 − m(v 2 − v1 ) = 71.07 = 0. ρ=900 kg/m3 ν=0.23m = + 1000 x9.7 kPa (Relativa) Aplicando Eq. L V2 500 6. Villar Alé C-73 . Nestas condições. de Manometria: mercúrio P1R = ( ρ M − ρ a ) gh = (13600 − 1000) x9. p − p2 hL = 1 ρg 2 v12 − v 2 + 2g 2 2 71.2m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro o qual apresenta um rugosidade ε=0.8 − 5) = 163.26mm. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2) ( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem.81 2 x9.7 x0. ( b ) Aplicando a Eq. Jorge A.3 − 7. A perda de carga do sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m). Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica (101.Mecânica dos Fluidos Solução: Exemplo 8 [8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A para B. a pressão relativa em A é dada como: p A =1000 x9.6kPa A pressão absoluta pA= pA(Rel) + pAtm = 283. O diâmetro da tubulação é igual a 50mm.f.33kPa.00196 A Eq.32 kPa) Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para que o fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo.81 em unidades de pressão. PB= 101.012 = 6.90 = 283.c.6 + 101. Desta forma a pressão relativa em A é dada como: 2 pA uB = + ( z B − z A ) + hL ρg 2 g considerando a massa especifica do fluido ρ=1000kgm/3 2 p A 6.33 =385 kPa. de energia aplicada entre os pontos A e B.90m ρg 2 x9. padrão) ZB – ZA= 15m D=50mm Com a vazão podemos determinar a velocidade na tubulação: v= πD 4 Q 2 = πx(0.05) 4 0.81x 28. em B temos que PB=0. (Pressão Atm.12m / s 0. fazendo não tendo máquinas adicionado (bombas) o extraindo (turbinas) energia.012m3/s hL=12 m.12 = + (15) + 12 = 1. 2 pA uA p u2 + + z A − hL = B + B + z B ρg 2 g ρg 2 g Considerando a velocidade em A muito pequena comparada com a velocidade na tubulação.012 2 = 0. pA p u2 + z A − hL = B + B + z B ρg ρg 2 g Utilizando nesta expressão a pressão relativa. C-74 PUCRS . Dados Q=12 l/s=0. A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída do fluido na tubulação é igual a 15m. fazemos desprezível o termo de energia cinética da mesma.9 + 15 + 12 = 28. 81x57.80m & ρgH AQ = 1000 x9. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9.81 2 64 L v 2 hL = Re D 2 g Jorge A. Perda de carga da tubulação.6 x10 −1 64 L v 2 64 30 (4) = 13.0 x0. Determine a perda de carga da tubulação. A vazão e igual a 2.28mca hL = = x Re D 2 g 786 0.0 m/s.Escoamento La min ar ν 9.. Número de Reynolds Re = Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: VD 1258 x 4. Obs: massa especifica da água 1000 kg/m3 2 pA uA p u2 + + z A − hL + H A = B + B + z B ρg 2 g ρg 2 g H A = hL + z B − z A H A = 27. • Determine a potencia da maquina considerando um rendimento global de 88%. Villar Alé C-75 .80 x0.5 = 57.0056 = 4536Watts W= η 0.6x10-1 Pa.29 + 30.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução: Exemplo 9 [ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma tubulação com 750mm de diâmetro para uma unidade geradora (turbina) e sai para um rio que localizado a 30 metros abaixo da superfície do reservatório.29m.7 Solução: Exemplo 10 [ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media igual a 4. Obs.15 2 x9.s. A perda de carga da tubulação e acessórios e igual a 27.0 m3/s.15 = ≅ 786 . 62mca D 2g 0.62 x999 x9.06kPa = 60 2 4 L 4 10 m ∆P=15.05 2 4x 0. A variação de pressão ma tubulação é dada pela Eq.s.12 x0. Obs.05 2 x9. 15 4Q 3600 = 2.0268 L V2 100 2.1 m3/s.0149 x x = 1.88kPa a tensão de cisalhamento na parede é dada como: τw = D ∆p 0.s.88 kPa τW=60 N/m2 Respostas C-76 PUCRS . Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m3/h.9 3.0268 x = 12.002 5.002.0x10-3 kg/m.66 ) = 0.002 no qual escoa água a 20oC com uma vazão de 0. de energia.7x10-3 Pa.81 2 p A − p B = ρghL = 1.635 (turbulento) µ 1.81 Solução: Exemplo 12 [ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e comprimento igual a 10m e rugosidade relativa igual a 0.25log + (48635)0.05 = = 48. A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 1. Ambos reservatórios estão abertos á atmosfera.12 m V= = 2 s πD πx0. considere para água a 200C a densidade igual a 0.999 e viscosidade dinâmica igual a 1.15 15.7 Re = −2 ρVD 780 x 2.74 f = 0. 2 pA uA p u2 + + z A − hL = B + B + z B ρg 2 g ρg 2 g como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro p A pB − = hL ρg ρg hL = f L v2 10 (5.81 ≡ 15.28m D 2g 0.12 2 hL = f = 0. Qual será a perda de carga na tubulação em metros de coluna de água.15 2 x9.7 x10 −3 = 0. Determinar a tensão de cisalhamento.Mecânica dos Fluidos Solução: Exemplo 11 [ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea com diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a 0.88 N = x = 0. 81x 4.81 2 ∆P = ρghL ∆P = 1. Massa especifica da água 1000 kg/m3).8x10-5 Pa. de manometria obtemos: hL = p A pB − ρg ρg p A + ρ agua gh x − ρ Hg gh − ρ agua g (hx − h) = p B p A − p B = h(ρ Hg − ρ agua )g p A − ρ Hg gh + ρ agua gh = p B p A − p B = 0.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução: Exemplo 13 [ 13 ] Uma experiência de laboratório foi realizada na disciplina para determinar a perda de carga entre os pontos A e B distantes 150cm numa tubulação de 7mm de diâmetro.004 2 x9.2 x6.s.91mca 64 L v 2 64 0. Determinar a perda de carga entre os pontos A e B em função da leitura manométrica do sistema apresentado na figura abaixo.Escoamento La min ar µ 1. O laminador e formado por tubos lisos de 30 cm de comprimento e 4 mm diâmetro. Re = Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: ρVD 1.66m ρg 1000 x9m81 Solução: Exemplo 14 [ 14 ] Determine a perda de pressão (Pa) e o coeficiente de perda de carga num laminador de fluxo instalado num duto de 50 cm de diâmetro no qual escoa ar a 200C com ρ=1.81x 4.67 V2 62 Jorge A.8 Pa hL = k v2 2g k= 2 ghL 2 x9.0 x0004 = ≅ 1600 .8 x10 −5 hL = 64 L v 2 Re D 2 g hL = (6) = 4.74kPa hL = p A − p B 45.2 kg/m3 µ=1.37(13600 − 1000 )x9.91 = = 2.3 = x Re D 2 g 1600 0. (Densidade do mercúrio 13. Villar Alé C-77 .6.81 = 45. 2 pA uA p u2 + + z A − hL = B + B + z B ρg 2 g ρg 2 g Tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro: Aplicando Eqs.91 = 57.2 x9.74 x1000 = = 4. 1 = 128kW C-78 PUCRS .02x10-6 m2/s.81 2 hac = ∑ K (2. utilizando a Eq.0x10-3 Pa.1m3/s. ρ=1000 kg/m3 ν=1.81 ≡ 1280kPa & W = 1280 x0.6 litros/s.Mecânica dos Fluidos Solução: Exemplo 15 [ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5. para tubos lisos com Re > 105 f = 0.0216 = 21.0 x10 −3 Da apostila.s. A rugosidade relativa e igual a 0.056 + 0.81x57. Considere Z1=6.05 2 x9.012 L v2 1000 (5.81 2 H A = 27.151.5 = 57.6m Z1=6.29 + 30.15 = = 848. 2 pA uA p u2 + + z A − hL = B + B + z B ρg 2 g ρg 2 g Como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro p A pB − = hL ρg ρg onde: Re = VD 5.012 x x = 130.15 2 x9.80m & ρgH AQ = 1000 x9.85) = 5.2.66 ) hL = f = 0. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1.62 x999 x9. ] 2 pA uA p u2 + + z A − hL + H A = B + B + z B ρg 2 g ρg 2 g Z2=36.6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba). Obs.81 2 p A − p B = ρghL = 130.001 sendo que o coeficiente de atrito da tubulação igual a 0.00 Turbulento.82m D 2g 0. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de pressão na tubulação. ν 1.1m H A = hL + z B − z A hL = f L V2 122 (2.46m V2 = 13.7 Solução: Exemplo 16 [ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0. numa tubulação de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro. O somatório de todos os coeficientes de perda de carga dos acessórios e igual a Σk=13. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm.0056 = 4536Watts W= η 0.(b) a potencia de acionamento da bomba.80 x0. Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um rendimento global de 70%.62mca D 2g 0.66 x999 x0.32 = 0.1m e Z2=36.2 2g 2 x9.5(8 x10 5 ) −0.85) = 0.0216. 85 escoa através de 3000m de tubulação de ferro fundido com 300 de diâmetro com uma vazão de 0.00114m3/s.s. R: D=258 mm [ 9 ] Por um tubo inclinado 300 de 100mm de diâmetro escoa glicerina a 300C em sentido ascendente. A vazão é de 900 L/h e a queda de pressão entre as duas seções distantes 2m é de 0. Obs.10m3/s.37 m/s Re= 1247 (laminar) τW=45. Entre as seções de 1 e 2 distantes 10m se mede uma diferença de pressão p1-p2=0. Determine a vazão em m3/s.5mm. R: D=170mm [ 8 ] Uma quantidade de gasolina esta sendo descarregada de um tubo em um ponto de 2 a 67m de elevação.48x10-7 m2/s.0444m3/s.5kPa.86 é bombeado através de 300m de um tubo horizontal de 50mm de diâmetro a razão de 0.7m. A perda de carga disponível nos 300 m de tubo é de 6.338x10-2 Pa.s [ 11 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0.000 Turbulento (b) Re=1600 Laminar. Se a queda de pressão for 200kPa qual será a viscosidade absoluta do óleo.s e densidade 0.039m3/s.9x10-4m2/s.76x10-5 m2/s µ=3.47 kPa.s /m2 .065m/s (b) V=0. [ 10 ] De um deposito de óleo com massa especifica igual a 900 kg/m3 sai uma tubulação de 13mm de diâmetro.47m.07m/s (b) óleo combustível pesado a 150C escoando com a mesma velocidade considerando que apresenta uma viscosidade cinemática igual a 20. Se a rugosidade do tubo é de 0.265bar. número de Reynolds e tensão de cisalhamento na parede da tubulação.05x10-4m2/s e densidade igual a 0. Obs. Determine o diâmetro do tubo necessário para descarregar a gasolina com uma vazão de 0.101 Pa. [ 5 ] Um óleo com viscosidade absoluta de 0.4 N/m2.4m de um tubo horizontal de açõ de 152mm.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 1. Ra: v=3. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1.0x10-3 Pa.53x10-5 m2/s. O fator de atrito da tubulação é igual a 0. Para gasolina considere massa especifica igual a 719 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 2. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. R: Q=0. R: D=60mm [ 4 ] Um óleo lubrificante médio.7) [ 1 ] Determine a velocidade crítica para (a) gasolina a 200C escoando em um tubo de 20mm e (b) para água a 200C escoando num tubo de 20mm. [ 2 ] Determine o tipo de escoamento que ocorre num tubo de 305mm quando (a) água a 150C que escoa a uma velocidade de 1.2m3/s. R: ∆P=16 kPa τW = 60 N/m2. Determine a perda de carga no tubo. Para gasolina a 200C a massa específica é igual a 6.92x104 N.912.24x10-5 m2/s. R:: µ=0.Perda de Carga em Tubulações (Cap. [ 3 ] Para condições de escoamento laminar. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede. qual o diâmetro da tubulação que poderá conduzir 0. sendo a pressão neste ponto de 2. está elevado na elevação de 83m. Determinar a perda de carga velocidade do escoamento.0149.68 kPa e em B é de 34.0222 m3/s de óleo combustível pesado a 16oC com viscosidade cinemática v=2. R: (a) Re 290.14m. A pressão em A é de 1068. Adote a hipótese inicial de escoamento laminar e verifique posteriormente tal hipótese.918 e viscosidade cinemática é de 41. Considere a glicerina com massa especifica igual a 1260 kg/m3 e viscosidade cinemática 1.s [ 6 ] Um óleo combustível pesado escoa de A para B através de 914. R: hL=1. R:(a) V=0. O ponto 1 localizado a 966m de tubo do ponto 2. R: 8.8bar.0057m3/s de óleo combustível médio a 4oC com viscosidade cinemática igual a 6. Considerando escoamento laminar. com densidade 0.09x10-6 m2/s. O óleo apresenta uma densidade de 0.13 PROBLEMAS PROPOSTOS . Jorge A. determinar a viscosidade cinemática e dinâmica e verificar se escoamento é realmente laminar. V=2. [ 7 ] Que diâmetro de tubo deve ser instalado para transportar 0. Villar Alé C-79 .1m/s.089 Pa. Na tubulação existe um registro globo aberto com comprimento equivalente de 50 metros e duas junções com coeficiente de perda de carga igual a 0.0173 Velocidade máxima Umax=3.35m c) hacc=hval-globo + hjunção=2. Determine a vazão: (a) Procedimento iterativo (b) Método explicito. de escoamentos em dutos) [16] Se requer bombear 40 litros/segundo de água de um deposito a outro 40m mais elevado.88 m/s µ=0. (a) (b) (c) (d) (e) Fator de atrito Velocidade máxima Posição radial em que u( r ) =Umedia Tensão de cisalhamento na parede Queda de pressão considerando um comprimento de 10m Fator de atrito f=0.265bar. Usando um perfil exponencial determine.2mm Tensão de cisalhamento na parede τw=22Pa Queda de pressão considerando um comprimento de 10m ∆P=22kPa.004 m3/s de água a 200C.002 m3/s de água a 200C de modo que a perda de carga não exceda 30m (a) Utiliza método iterativo (b) Utilize método explicito. Respostas: • • • • • [13] Uma queda de pressão de 700 kPa é medida sobre um comprimento de 300m de um tubo em ferro forjado de 10cm de diâmetro que transporta óleo (d=0.4. Verifique se de fato o escoamento é laminar como suposto no problema. R: Q=0. distantes 560m. A vazão é de 900 litros/hora e a queda de pressão na tubulação entre duas seções distantes 2 metros é de 0. Considerando escoamento em regime laminar determinar a viscosidade cinemática e dinâmica do fluido.1x10-5 m2/s Re ≈ 590 . R: D=40mm [15] Um deposito com óleo com massa especifica igual a 900 kg/m3 é conectado a uma tubulação horizontal de 13mm de diâmetro interno.25mm e diâmetro de 150mm determinar.037 Pa. A tubulação é de ferro fundido com rugosidade de 0.037 m3/s [14] Que diâmetro de uma tubulação horizontal de 400m de comprimento deve ser escolhido para transportar 0. Posição radial em que u( r ) = Umedia : r=15. b) Determinar com o fator de atrito (obtido pela equação) a perda de carga na tubulação em metros de coluna de fluido e em Pascal. a) Determine o fator de atrito por equação apropriada e compare o resultado utilizando o diagrama de Moody. d) Determina a perda de carga total pela tubulação mais acessórios. R: a) f=0.74m/s.023 b) hl=22.s ν=4.Mecânica dos Fluidos [12] Um tubo liso horizontal de 4cm de diâmetro transporta 0.9 v=10-5 m2/s).Laminar τw=43Pa Nota: exercício similar resolvido no Fox ( Cap. Determine a tensão de cisalhamento na parede. c) Determine a perda de carga localizada pelos acessórios presentes na tubulação.04m d) hlT= hl+ hacc≅25m C-80 PUCRS . R: V=1. K Saída do reservatório de aspiração 0.2kW.6x10-5m. A tubulação de recalque tem um comprimento de 200 metros. Villar Alé C-81 . Fluido .4m W=33. de perda de carga .0 curva de 900 0.álcool 24oC ρ=789 kg/m3 µ= a 5.6x10-4 Pa.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [ 17 ]O sistema de bombeamento trabalha com uma vazão de 0. Determine a perda de carga total do sistema de Bombeamento e a potência de acionamento da bomba considerando que apresenta um rendimento de 76%. A tubulação de aspiração tem um diâmetro de 100 mm e a tubulação de recalque apresentam um diâmetro interno de 50mm. Considere uma tubulação é de aço com rugosidade igual a 4.5 Entrada do reservatório de recalque 1.s Jorge A. A tubulação de aspiração tem um comprimento de 15 metros. A válvula de globo aberta apresenta um comprimento equivalente Le=30D onde D é o diâmetro da tubulação.015 m3/s.57 R: hL=207.4m (z2 . Elemento Coef.z1) =10m H=217. 02x10-6 m2/s e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5.8 litros/s. ρ=1000 kg/m3 ν=1.46x10-5 m2/s e forcado através de um duto horizontal quadrado de 229mmx229mm de 30m de comprimento.0002.21mm).02x10-6 m2/s. Determinar a vazão.Escoamento Viscoso em Dutos (Cap. Determine a velocidade media e a vazão. por um tubo de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro e diversos acessórios como mostra a figura.2kW) Coeficiente de perda de carga 0.43kPa). R: (1. Acessório Entrada em canto agudo Válvula globo aberta Curva com 12 pol de raio. R: (4. Determinar o diâmetro da tubulação. ρ=1000 kg/m3 ν=1. [6] Ar com ρ=1. R: (D=165. C-82 PUCRS . Considere Z1=6. Determinar (a) a perda de carga (b) a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido do escoamento.7 1.0x10-5 m2/s escoa por um tubo de 100m de comprimento com uma perda de carga de 8m sendo a vazão Q=0.2 m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro. [2] Óleo com ρ=1000 kg/m3 ν=0. [5] Óleo com ρ=950 kg/m3 ν=2. Saída em canto agudo R: (3.84 m/s) – Solução Iterativa.37m.001.00001 m2/s escoa a 0.95 3.1m e Z2=36.9 0.84 m/s) (0. R: hL=18.6 litros/s.0x10-4m) de 100mm de diâmetro escoa água a 37oC com perda de carga unitária de 0.83m/s.22 kg/m3 ν=1. – Solução Iterativa. [3] Óleo com ρ=950 kg/m3 ν=2. Calcule a potencia requerida pela bomba em Watts.342 m3/s).708 m3/s.14 PROBLEMAS PROPOSTOS .091mm determine a queda de pressão.342m3/s e a rugosidade ε=0. R: (117m ) (265 kPa).0115 mca/m. a uma vazão de 0. 4m [9] Uma tubulação de fibrocemento de 100m de comprimento e diâmetro de 200mm apresenta uma rugosidade de 10escoando água a 200C com uma vazão de 62. R: (0.007155 m3/s ). Se a rugosidade ε=0. A rugosidade relativa e 0.0 [8] Um duto de ferro fundido de 360m de comprimento e rugosidade absoluta igual a 10-4m conduz água a temperatura de 200C com uma vazão de 12 m3/s apresentando uma perda de carga na tubulação horizontal de 3.6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície do reservatório de recalque (após a bomba). [4] Determinar a velocidade numa tubulação de ferro fundido asfaltado horizontal de 61m na qual escoa água apresentando uma perda de carga de 1.02x10-6 m2/s. R: (Q=0.26 m.15 0.9m. A rugosidade relativa e 0. Obs. Determinar a perda de carga da tubulação. R: (1.5 6.06mm.37m ) (13. Cotovelo normal de 900 Válvula de gaveta aberta pela metade. Determine o diâmetro da tubulação. [10] Num duto de concreto (ε= 3.0x10-5 m2/s escoa por um tubo de 30cm de diâmetro e 100m de comprimento com uma perda de carga de 8m. R: (258 N/m2) [7] Água com 1000 kg/m3 ν=1.7 e Cap.Mecânica dos Fluidos 1.3 m) – Solução Iterativa.8) [1] Determinar a perda de carga e a queda de pressão em 61m de um tubo de ferro fundido asfaltado horizontal de 152mm de diâmetro transportando água a uma velocidade media de 1. Villar Alé C-83 .Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos EXEMPLOS ANÁLISE DIMENSIONAL E MODELOS Jorge A. se as temperaturas são iguais. Para que haja semelhança neste problema de escoamento confinado incompressível. o número de Reynolds deve ser igual. na mesma temperatura da água a ser bombeada pelo protótipo.d 0.08 1 = = 5.d p = νm νp = ν p . Re m = Re p Reconhecendo que ν m U m .15 PROBLEMAS RESOLVIDOS .4m = = =5 U p d m 0. ou seja. da massa especifica ρ e do comprimento x.5 = 0.3m3 / s 5 Força Comprimento superficial. Que vazão deve ser usada no modelo para manter a semelhança em relação ao número de Reynolds ? O fluido a ser usado no modelo é a água.d 0.Mecânica dos Fluidos 1.4 5 2 Qm = Qp 5 = 1. vemos que A razão entre vazões é encontrada reconhecendo que Um d p 0.08m 2 m 2 p Q = U .5 m3/s através de um rotor de 40cm de diâmetro.A : Assim encontramos Qm U m .Análise Dimensional (Cap.9) [ 1 ] Está para ser realizado um teste de um projeto proposto para uma bomba grande que deve fornecer 1. Um modelo com um rotor de 8cm de diâmetro será usado. = 2 Q p U p .d m U p . Nota: [2] A tensão superficial σ é função de velocidade U. Obter a equação da tensão σ = π = σ aU b ρ c X M 0 L0T 0 = MT −2 ( ) (LT ) (ML ) L a −1 b −3 c M => 0 = a + c ==> a = −c L => 0 = b − 3c + 1 T => 0 = −2a − b ==> 2c = b c =1 a = −1 b=2 π = σ −1U 2 ρ 1 X σ = kU 2 ρX C-84 PUCRS . um = u p dp dm = 10 1 = 200 m / s 1 / 20 Jorge A.375m3 / s (1350m3 / h) [ 4 ] Num projeto hidrodinâmico de um pequeno submarino. Determinar a vazão (em m3/h) que deve ser utilizada para estudar um modelo desta tubulação em laboratório dispondo de uma tubulação de 50cm de diâmetro.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [ 3 ] Uma unidade de bombeamento de grande porte do DMAE deverá fornecer 5400m3/h de água através de uma tubulação de 200cm de diâmetro. Determine a velocidade da água no túnel hidráulico para conseguir a semelhança dinâmica do modelo.4775m / s 2 πDP π 22 VM = VP DP DM VM = 0. é necessário determinar as forças resultantes de um protótipo de 2m de diâmetro e 10m de comprimento o qual.5 2 πDM 4 Q = VM Q = 1.91 π 0. Para realizar o estudo prepara-se um modelo em escala de 1:20 do protótipo qual será testado num túnel hidráulico. quando submerso em água. Villar Alé C-85 .0 = 1.4775 x 2.91m / s 0.5 = = 0. Solução: Por similaridade dinâmica o número de Reynolds do modelo e do protótipo deve ser igual: ρud ρud = µ m µ p Desta forma a velocidade do modelo deverá ser Re m = Re p um = u p ρ p d p µm ρm d m µ p m Como ambos (modelo e protótipo) atuam em água então. Re M = Re P VM DM V P D P = νM νP Tratando-se do mesmo fluido νM=νP. = pe m = p assim. VM D M = V P D P VP = 4Q 4 x1. deverá alcançar uma velocidade máxima de 10 m/s.52 4 = 0. Mecânica dos Fluidos PROBLEMAS ADICIONAIS C-86 PUCRS . 10-2 kgf.10-5 m3. m= 2γ g 1 [1.2 GPa [1. [1. qual o peso específico do ar. Problemas de Propriedades dos fluidos [1.7] Um gás com massa molecular 44 está a uma pressão de 0.1] A densidade de um óleo é 0.02 m/s Jorge A. γ .8. Eixo e bucha possuem ambos 430 mm de comprimento. [1. [1. Entre ambas há uma camada líquida de espessura 3 mm. Determine (a) massa específica.8] Sabendo que a massa molecular do ar é 29 kg/kmol. Determine o módulo de elasticidade volumétrica do líquido. quando nele é aplicada uma pressão excedente de 1atm. 000 (turbulento). Qual é a viscosidade do fluido lubrificante se é necessário um torque de 36 kgf. c) A tensão de cisalhamento na placa em Pa.3.030. (b) 1. (c) 7848 N/m3.r 3σ . um eixo de 112 mm de raio gira internamente a uma bucha engastada de 120 mm de raio interno. R: (a) 800 kg/m3. [1. R: 2. R: 0.8 N/m3. R: h = 2σ .4 .65 Pa. qual sua densidade e o peso dela por garrafa? Sabe-se que o volume ocupado é 600 ml.10-3 Pa. Sabe-se que a viscosidade do fluído é 2. R = 7.65cP e a densidade 0. cos α .3 m/s sobre outra igual e estacionária. calcular: a) A viscosidade em Pa. R: 3.48 N/m3. R: 16.3] Sendo 1030 kg/m3 a massa específica da cerveja.5] De quanto é reduzido um volume de 1m3 de água. [1. R = 6. conforme a figura ao lado. 6.10] Determinar o raio R e a massa de uma gota num conta-gotas de raio r (considerar a gota esférica). qual o peso do ar por m3 a uma pressão de 1atm e 20 oC. R = 0.s e a massa específica é de 800 kg/m3.cm para manter uma velocidade angular de 180 rpm.r [1. R: 11. Sabe-se que a viscosidade é de 10-6 m2/s. Ev = 2. [1.10-3 m3/kg.6] Um líquido comprimido num cilindro tem volume de 1 litro a pressão de 1 MPa e um volume de 995 cm3 a 2 MN/m2.s.26 kg/m3.2] Uma placa plana infinita move-se a 0.11] Qual a pressão interna suportada por uma gota esférica de pequeno raio interno.s. Admitindo que a distribuição das velocidades sejam linear.06 N. Villar Alé C-87 .14] Calcular a velocidade máxima que um fluido pode escoar através de um duto de 30 cm de diâmetro quando ainda se encontra em regime laminar.88.9] Em um tubo de 150 mm escoa ar sob uma pressão manométrica de 2 kgf/cm2 e uma temperatura de 27 oC. [1. R: Re = 30.5.75.105 Pa.10-3 St. b) A viscosidade cinemática em St.r 3 R: R = ( ) . R: 1. a viscosidade 0.s/m2. R: 2σ / r .4] Num motor. R: 4. [1. 2πσ . [1. R: 33.5. Determinar a massa específica. (b) volume específico (c) peso específico.16 PROBLEMAS ADICIONAIS 1. [1.13] Identificar o tipo de escoamento de um fluido que escoa numa tubulação de 3 cm de diâmetro a uma velocidade de 1m/s.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 1. se a pressão barométrica for 1 kgf/cm2.12] Determinar a altura h de um determinado líquido.9 MPa e a temperatura de 20 oC.10-4 Pa. Mecânica dos Fluidos 2. Problemas de Estática dos Fluidos [2.1] Que profundidade de óleo de densidade 0,75 produzirá uma pressão de 2,8 kgf/cm2. Qual a profundidade em água [2.2] Um navio de carga tem uma seção reta longitudinal de área igual a 3000 m2 na linha d'água quando o calado é de para esta mesma pressão? R: 37,3 m; 28 mca. [2.3] Determinar as pressões manométricas e absolutas 9 m. Supondo o peso específico da água igual a 10 kN/m3, qual a massa de carga que pode ser colocada no navio antes que o calado atinja o valor de 9,2 m? Obs: Calado de um navio é a distância vertical entre a superfície da água e a parte inferior do casco. R: 612644 kg. [2.4] Determine a pressão efetiva (relativa) e a absoluta no tanque da figura. R: 1,57.105 Pa; 2,58.105 Pa. em B e em C. Obs. Reservatório aberto para atmosfera. R: 7,7 kPa; 27,67 kPa. [2.5] Qual a pressão manométrica e absoluta dentro de uma tubulação onde circula ar se o desnível do nível do mercúrio no manômetro de coluna é de 4 mm? Obs: Massa específica do mercúrio 13600 kg/m 3 e pressão atmosférica 1013,25 hPa. Desconsiderar o peso específico do ar. R: 533,6 Pa. R: 101858 Pa. [2.6] Dado o desenho abaixo, calcular pA - pB. R: 96.000 Pa. [2.7] Determine PB – PA na figura. R: -35.280Pa. C-88 PUCRS Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 3. Problemas de Conservação da Massa [3.1] Uma estação de água deve recalcar 450 m3/h para abastecimento de uma cidade. Determine o diâmetro da canalização para que a velocidade média seja 1,25 m/s. R: 36 cm. [3.2] Em um tubo de 150 mm escoa ar com velocidade de 3 m/s sob uma pressão manométrica de 203 kPa e uma temperatura de 27 oC. A pressão atmosférica é 101,32 kPa. Determine o fluxo de massa. R: 0,181 kg/s. [3.3] Determine a vazão da água (em litros/s) circulando através de um tubo de 32 mm de diâmetro, considerando a velocidade do fluido igual a 4 m/s? R: 3,21 litros/s. [3.4] Qual a velocidade da água que escoa em um duto de 25 mm se a vazão é de 2 litros/s? R: 0,1 m/s [3.5] Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro. A redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os dois trechos. Na parte maior da seção escoa ar com peso específico 9,8 N/m3 a uma vazão de 3,06 m3/s. Ao fluir para o trecho de menor seção o ar sofre uma redução de pressão e aumento de velocidade, provocando uma expansão no mesmo e reduzindo o peso específico para 7,85 N/m3. Determine: a) A vazão volumétrica no trecho de menor seção. R: 3,82 m3/s. b) A velocidade do ar no trecho de menor seção. R: 43,31 m/s. c) A vazão mássica do ar no escoamento. R: 3,06 kg/s. [3.6] Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro. A redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os dois trechos. Na tubulação escoa água líquida com massa específica de 1000 kg/m3 a uma vazão de 3,06 litros/s. Ao fluir para o trecho de menor seção a água sofre uma redução de pressão e aumento de velocidade. Viscosidade 10-6m2/s. Determine: a) A vazão volumétrica no trecho de menor seção. R: 3,06 litros/s b) A velocidade do ar no trecho de menor seção. R: 0,097 m/sc) A vazão mássica do ar no escoamento. Re= 19490 (turbulento) [3.7] Uma canalização lisa que conduz água a 15oC com diâmetro de 150 mm apresenta num determinado trecho uma seção contraída de 75mm de diâmetro onde a pressão interna é de uma atmosfera (ao nível do mar). 3m acima do ponto (B) a pressão se eleva para 144.207Pa. Determinar a vazão e a velocidade nos pontos (A) e (B). R: 3,1 m/s; 12,42 m/s; 55 litros [3.8] Qual a velocidade da água através de um furo na lateral de um tanque, se o desnível entre o furo e a superfície livre é de 2 m? [3.9] Um conduto que escoa água é constituído por 2 trechos, com diâmetros de 0,25m e 0,20m. A pressão no ponto (A) é de 1,5 atmosferas e que a velocidade no trecho de maior diâmetro é de 0,6 m/s, calcule a vazão no duto e a pressão no ponto (B. (Supor movimento sem atrito). Jorge A. Villar Alé C-89 Mecânica dos Fluidos 4. Problemas de Equação de Bernoulli e Equação da Energia [4.1] Uma turbina gera 600 Hp quando o fluxo de água através dela é de 0,6 m3/s. Considerando um rendimento global de 87%, qual será a altura de carga que atua na turbina? R: 87,4 m. [4.2] A bomba mostrada na figura recebe água, com vazão Q = 0,2 m³/s, através do duto com diâmetro de 20 cm e descarrega através do duto de descarga de diâmetro 15 cm que está instalado com uma elevação 0,5 m em relação a tubulação de sucção. O manômetro colocado no duto de sucção indica uma pressão p1 = -30 kPa, enquanto o manômetro instalado no tubo de descarga mede uma pressão p2 = 300.kPa. Considerando que não há trocas de calor e desprezando o atrito, determine a potência fornecida pela bomba. R: 73,8 kW [4.3] A água escoa através de uma turbina, a razão de 0,21 m³/s. A pressões em A e B são respectivamente 150 kPa e -35 kPa. Determinar a potência extraída pela turbina. R: 41,6 kW [4.4] A figura mostra um esquema de escoamento de água, em regime permanente, com vazão Q = 0,5 m³/s, através de uma turbina. As pressões estáticas nas seções (1) e (2) são, respectivamente, P1 = 180 kPa e P2 = -20 kPa. Desprezando a dissipação de energia mecânica por atrito viscoso e considerando que não há troca de calor, determine a potência fornecida pelo escoamento á turbina. R: 131,7 kW. [4.5] O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água pelo tubo a uma vazão de 10 l/s. Considerando o fluido ideal, determinar se a máquina instalada é bomba ou turbina e determinar sua potência se o rendimento for de 75%. A área da seção do tubo é 10 cm2. C-90 PUCRS conforme figura. Villar Alé C-91 . A água é descarregada.6 m/s e a pressão é igual a 345 kPa. com vazão constante Q = 0. cuja área da seção é 10 cm2. a uma altura 38 m acima da bomba. Determinar a perda de carga entre as seções (1) e (2). No ponto (2) o diâmetro se reduz a 43 mm e a pressão é de 300 kPa. a velocidade é de 0.6] A água flui numa tubulação. através de um duto com diâmetro D=10 cm.4 kW. R: 62. A bomba tem potência de 3600 W e seu rendimento é de 80%. [4. No ponto (1) da tubulação o diâmetro é de 175 mm. Determine a potência que a bomba fornece ao escoamento. R: 7.02 m³/s. A água é descarregada na atmosfera a uma velocidade de 5 m/s pelo tubo. num reservatório aberto para atmosfera. Jorge A.4 m. através de um duto de diâmetro interno d = 8 cm. A perda de carga entra as seções (1) e (2) é igual a h p = 2m. de um reservatório de grandes dimensões com a superfície livre mantida em nível constante.8] Na instalação da figura uma bomba opera com água.7] A figura mostra um sistema no qual a bomba retira água. R: 4. Calcule a perda de carga entre os pontos sabendo que o desnível entre eles é de 5 m.5 m [4.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [4. Determine em relação a válvula: (a) O comprimento equivalente. v = 10 −5 m 2 / s a distância de 3.4] Calcular a perda de carga para o escoamento de 140 litros/s de um óleo de viscosidade cinemática 10-5 m2/s num tubo horizontal de ferro fundido de 40 m de comprimento e 200 mm de diâmetro. [5. A seção sofre uma redução brusca para a metade da área. R: 6. R: 424 mm.3] Um óleo lubrificante médio de densidade 0.8] Calcular a vazão pela tubulação de ferro fundido.172 Pa.0 m/s provocando um Reynolds de 1000. [5.1] Um fluido escoa por um tubo de 10 mm de diâmetro com um Reynolds de 1800. R: 441.86 é bombeado através de 500 m de um tubo horizontal de 50 mm de diâmetro a razão de 0. da figura. A perda de carga é de 30 m em 100 m de tubulação.c. Se a queda de pressão é 2. c) A perda de carga correspondente em altura de coluna de mercúrio.a num comprimento de 300 m de comprimento.6 m [5.00125 m3/s. R: 4. C-92 PUCRS . determine em relação ao escoamento: a) A perda de carga provocada pela contração em altura de coluna de mercúrio.1 kgf/cm2. R: 46 litros/s. R: 3. R: 3.048 m com uma perda de carga de 22. Problemas de Escoamentos Viscosos Internos [5. qual a viscosidade do óleo? R: 0.7] Seja um escoamento de um fluido através de uma válvula globo totalmente aberta conectada em uma tubulação de ferro galvanizado de 2. [5.12 m3/s. de 150 mm de diâmetro. Determinar (a) a perda de carga (energia): R: 12. [5.9] Seja uma tubulação cilíndrica de 4 cm2 de seção transversal por onde circula um escoamento de água a 15 oC e velocidade de 2 m/s.86 m. Supondo uma tubulação lisa.5 cm de diâmetro.5] A água circula a 15 oC num tubo de aço rebitado de 300 mm de diâmetro e ε = 3 mm com ma perda de carga de 6 m.5 Pa.6] Determinar o diâmetro do tubo de aço estruturado necessário para transportar 252 litros/s de óleo.06 litros/min.9 m (b) A perda de carga provocada.s. (b) a variação de pressão R: 124. [5.Mecânica dos Fluidos 5.045 mH2O.66 m [5. [5. Viscosidade cinemática = 106m2/s.65 m.051 Pa. Sabe-se que a velocidade do escoamento é 3. Calcular a vazão. R: 0. Calcular a vazão em litros/min. R: 0.2] Seja 100 m de tubo liso horizontal de PVC de 32 mm de diâmetro por onde escoa água a uma velocidade de 2 m/s.3 mmHg. R: 4. b) A variação de pressão provocada pela redução. 002 m3/s A velocidade do escoamento.98 m Total de perdas nas tubulações. R: 352. R: 51000 Total de perdas localizadas.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [5. R: 709 W f) A potência de acionamento da bomba considerando um rendimento de 85%. [5. R: 0.11] Seja o sistema abaixo com tubulação lisa a) b) c) d) e) f) g) h) i) Determinar: A vazão volumétrica. b) A perda de carga no recalque. Villar Alé C-93 .02 m/s O número de Reynolds. R: 9.10] No sistema de bombeamento a vazão (água temperatura 20 oC) é de 10 m3 /h Determinar: a) A perda de carga na sucção.92 m A energia adicionada pela bomba. R: 1. R: 0. R: 441 W Jorge A.488 m c) Perdas de carga total. 25.6 W A potência de acionamento da bomba considerando um rendimento de 80%.97 m A potência hidráulica.15 m. R: 4. R: 834 W.82 m e) A potência hidráulica da bomba.94 m O total de perdas de carga. R: 1.03 m d) A energia adicionada pela bomba. R: 4. R: 17. R: 0. R: (a) P2=320 kPa.0173. Determine a velocidade no centro do tubo.06 na entrada e na saída determine a pressão à jusante P2. [4] Óleo escoa por um tubo horizontal de 15mm de diâmetro que descarrega na atmosfera com pressão de 88 kPa.24 kg/m s. O tubo possui um comprimento de 40m e 20mm de diâmetro. que esta a 6 m a jusante. a pressão é de 171 KPa. (b) Estime o erro em Pa que teria ocorrido se a equação de Bernoulli tivesse sido usada. (b) 3. Temperatura da água 100C. Na seção (2). A pressão absoluta a 15m antes da saída é 135 kPa.004 m3/s de água a 200C. Na seção (1). A pressão na seção menor é de P1=300kPa. a pressão é de 186 kPa. Usando um perfil exponencial determine.2mm (d) 22 N/m2 (e) 22kPa. 1580 [2] Dois reservatórios de água A e B estão conectados entre si por um tubo de ferro fundido com rugosidade de 0. C-94 PUCRS .29 kg / m s ).74m/s (c) 15.16 kg/s. (ρ=981 kg/m3 µ=0. Na seção menor a velocidade é igual a 10m/s sendo o escoamento turbulento. (a) Tomando o fator de correção da energia cinética igual a 1. (a) Fator de atrito (b) Velocidade máxima (c ) Posição radial em que u(r) =Umedia (d) Tensão de cisalhamento na parede (e) Queda de pressão considerando um comprimento de 10m R: (a) 0.63x10-5 m3/s [5] No escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo circular. Se o diâmetro do tubo for reduzido pela metade enquanto a vazão e o comprimento do tubo forem mantidos constantes. Se o escoamento é laminar determine: (a) o fluxo de massa (Kg/s) e (b) o número de Reynolds.7 kPa [3] Um tubo horizontal no qual escoa água tem uma expansão brusca de D1=80mm para D2=160mm.2 Litros/s determine a pressão absoluta do ar na parte superior do reservatório A. a perda de carga: (a) Dobrará (b) Triplicará (c) Quadruplicará (d) Aumentara por um fator de 8 (e) Aumentara por um fator de 16 R: Aumentara por um fator de 16 [7] Um tubo liso horizontal de 4cm de diâmetro transporta 0. Determine a vazão do óleo através do tubo. R: 1. O nível da água de ambos os reservatórios é igual. a velocidade em R/2 (a meio caminho entre a superfície da parede e o eixo central) é medida como 6. (b) 30 kPa.Mecânica dos Fluidos LISTA DE EXERCICIOS – 2010 [ 1 ] Óleo SAE 30W a 200C escoa por um tubo horizontal de 12cm de diâmetro. O tubo possui uma válvula de retenção e uma válvula de gaveta aberta. Faça um desenho esquemático do problema com a respectiva solução. sendo o reservatório B aberto a atmosfera a pressão igual a 88 kPa. Ra: 43.26mm. Considere a perda de carga pela entrada com canto vivo do fluido no tubo e a perda de carga pela saída do fluido no tubo. R: 741.0m/s. Propriedades: ρ=876 kg/m3 µ=0. Se a vazão inicial através do tubo for 1. Resposta: 8m/s [6] Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido num tubo circular. O reservatório A é fechado e pressurizado com ar comprimido. 55.02x10-6 m2/s. Na instalação Z1=5 m e Z2=25 m. A soma dos coeficientes de perda de carga de todos os acessórios é igual a 13.15mm.15. R: (a) 26. A tubulação é de ferro fundido com rugosidade ε=0. Desprezando os efeitos de entrada determine a perda de carga da tubulação e a potencia necessária para superar a perda de pressão nessa seção.15x10-6m²/s. A tubulação é de ferro galvanizado com rugosidade igual a 0.s.96 m/s. 17m de comprimento e com rugosidade igual a 0. Fluido: ρ=1000 kg/m3 ν=1.4m [9] Um sistema de bombeamento água opera com vazão de 20 m³/h.027 (b) 1.83m (b) 2. e 30oC entra com velocidade de 7. Água: ρ=1000 kg/m3.3 kW [11] Ar a pressão de 1Atm.045mm. Na tubulação existe um registro de globo aberto com coeficiente de perda de carga k=10.25 kW [ 10 ] Na figura mostra-se um sistema que utiliza uma turbina hidráulica. Na tubulação de 50m de comprimento e 60 mm de diâmetro a velocidade do fluido é igual a 1. Considere água com: ρ = 998 kg/m3 ν=1. O sistema opera com uma vazão de 0.0m/s num duto de 7m de comprimento com seção retangular de 15cmx20cm. R: (a) 0. (a) Altura adicionada pela bomba (b) Potência de acionamento considerando um rendimento de 65%. Determine a elevação Z1 para uma vazão de 6 litros/s. Villar Alé C-95 .5 mm.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [8] A água escoa de um reservatório grande para um menor através de uma tubulação enferrujada de 50mm de diâmetro.10-3 Pa. O Comprimento da tubulação é igual a 125m e o diâmetro igual a 60mm. R: 5 W Jorge A.004 m3/s.1 mm. µ= 1. Utilize aço com rugosidade igual a 0. Resposta: 11. Determine: (a) Fator de atrito e perda de carga na tubulação (b) Potencia da turbina considerando uma eficiência de 100%. Considere tubulação de ferro fundido com rugosidade de 0.29 m/s. [15] Numa de 20mm de diâmetro escoa água a 200C com velocidade media igual 2. De noite. Laminar r 2 u (r ) = U max 1 − R r u (r ) = U max 1 − R 1/ n Turbulento (n=7) R: Laminar: y=0. [ 13 ] Um piezômetro e um tubo de Pitot são colocados em um tubo de água horizontal. como mostra a figura para medir a pressão estática e de estagnação (estática + dinâmica). 5 N/m2 (b) 0 m/s. Para uma vazão de projeto de 56.307x10-3 Pa.s Massa especifica 999. a perda de carga por atrito é de 5. Na figura Z1=45. Para os dois casos apresente a equação geral do problema e aplique as simplificações (hipótese) do escoamento.2m. Para as alturas de coluna d’água indicadas. Obs: Fluido água a 100C: Viscosidade dinâmica: 1.25mm. 12. Determine a velocidade e tensão de cisalhamento em (a) r=0 (b) r=4. determine (a) A pressão de estagnação (b) a velocidade no centro do tubo.242R C-96 PUCRS . Determine a potência em kW (a) extraída pela turbina (b) adicionda pela bomba.02x10-3 Pa.8 m3/min em ambas as direções. A tubulação apresenta 20m de comprimento e rugosidade igual a 0. [ 14 ] Água escoa com uma vazão de 6 litros/s por uma tubulação horizontal com 50mm de diâmetro e 89m de comprimento. o sistema bombeia água do reservatorio inferior para o superior para restaurar a situação.02mm. h2=70mm e h3=120mm. Considerando os escoamentos laminar e turbulento e utilizando as expressões do perfil de velocidade para cada um dos regimes identifique (para cada caso) qual a distância y a partir da parede da tubulação que deve ser introduzido o tubo de Pitot para que a sua medida represente a velocidade média da tubulação.6m.7m e Z2=7.7 kg/m3.Mecânica dos Fluidos [ 12 ] O sistema bomba-turbina da figura retira água do reservatório superior durante o dia para gerar energia para uma cidade. 0 N/m2 (b) 2.48m/s.293R Turbulento: y=0.s R: (a) 2.0 m/s.5 N/m2 [16] Para medir a velocidade do ar numa tubulação de ventilação industrial pode-se utilizar um tubo de Pitot introduzido a partir da parede da tubulação.0mm (c ) r=10mm Água: Massa especifica ρ =1000 kg/m3 Viscosidade dinâmica µ = 1. Na figura h1=30mm. Determinar: ( a ) Número de Reynolds identificando o regime do escoamento ( b ) Fator de atrito e perda de carga da tubulação ( c ) Variação de pressão da tubulação ( d ) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação.
Report "ANEXO C - Problemas Resolvidos e Propostos"