Anexo C: Problemas Resolvidos e PropostosAPOSTILA DE MECÂNICA DOS FLUIDOS PROBLEMAS RESOLVIDOS E PROPOSTOS ( 2011) Jorge A. Villar Alé C-1 Mecânica dos Fluidos 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 C-2 PROBLEMAS RESOLVIDOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS (CAP.2) ................................................. 4 PROBLEMAS PROPOSTOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS E PRESSÃO ( CAP.2 E CAP.3) .................... 10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2) ............................................ 13 PROBLEMAS PROPOSTOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2) ............................................. 20 PROBLEMAS RESOLVIDOS – MANOMETRÍA. (CAP.3)....................................................................... 23 PROBLEMAS PROPOSTOS - CONCEITOS DE PRESSÃO (CAP3) ..................................................... 28 PROBLEMAS RESOLVIDOS - CINEMÁTICA DOS FLUIDOS (CAP4) ...................................................... 32 PROBLEMAS PROPOSTOS – CINEMÁTICA (CAP.4)........................................................................... 42 PROBLEMAS RESOLVIDOS – CONSERVAÇÃO DA MASSA (CAP.5)...................................................... 44 PROBLEMAS RESOLVIDOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO (CAP.5) .............................................. 50 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO................................................... 60 PROBLEMAS RESOLVIDOS – ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.6 E CAP.7) ......................... 63 PROBLEMAS PROPOSTOS - PERDA DE CARGA EM TUBULAÇÕES (CAP.7) ....................................... 79 PROBLEMAS PROPOSTOS - ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.7 E CAP.8).......................... 82 PROBLEMAS RESOLVIDOS - ANÁLISE DIMENSIONAL (CAP.9) ........................................................ 84 PROBLEMAS ADICIONAIS ............................................................................................................ 87 PUCRS Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos EXEMPLOS PROPRIEDADES DOS FLUIDOS CA P 2 Jorge A. Villar Alé C-3 4 e RAR = 287 [J/(kg.s/m2 e densidade igual a 0.54.0m3 de óleo pesam 47. Utilizando p = ρgh . [ 2 ] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0. a velocidade de 850 km/h. [ 14 ] Um avião voa a 10700 m de altura. Determine a massa específica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa.K)] .1 PROBLEMAS RESOLVIDOS . Considere a pressão atmosférica igual a 1.38 N.Mecânica dos Fluidos 1.952 m³.6 × 103 kg m−3 . [ 11 ] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2.38x10-2m3.917 m3 determine a massa específica. massa específica e a densidade do fluido. [ 10 ] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa.Propriedades dos Fluidos (Cap.85 kg/dm3.s/m2 e uma massa específica de 0. [ 3 ] Se 6.2) [ 1 ] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg. [ 9 ] Expresse uma pressão absoluta de 225. Se a pressão barométrica local é igual a 598 mmHg. [ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 K N m−2 em termos da altura de coluna de água de massa específica ρ = 1000kg m−3 . com massa=1200 kg e volume=0.6 m/s. C-4 PUCRS . fluido compressível ou incompressível? c) subsônico ou supersônico? [ 15 ] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C. b) massa específica da glicerina. [ 7 ] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade máxima do lago de 40m. onde a temperatura chega a -55ºC. c) peso específico da glicerina.0 kN determine o peso específico. [ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2. determine a pressão absoluta na região de mais profundidade do lago. [ 12 ] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0. determine o valor do número de Reynolds. A pressão atmosférica local é de 98. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão atmosférica local é igual a 100 kPa. Pa. mH20 e mm Hg.3kPa.0 kPa. A pressão atmosférica local é de 101.0 kgf/cm2. Admita que a temperatura do ar no tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101.91 escoando num tubo de 25mm de diâmetro interno.6. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) [ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2. peso específico e densidade do óleo. d) densidade da glicerina. no qual existe um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa. [ 8 ] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. Dados: KAR = 1.0 kPa. determine: a) a velocidade do som. e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica ρ = 13. b) número de Mach. Determinar a sua viscosidade cinemática. Determinar a pressão absoluta em kgf/cm2.0 kPa como uma pressão manométrica. Considere a densidade do mercúrio igual a 13.0 kgf/cm2 e a densidade do mercúrio igual a 13. Determine: a) peso da glicerina. [ 13 ] Em um reservatório contendo glicerina. 67 = = 0.34 kg = = 798. massa específica e a densidade do fluido.80 1000 C-5 .81 2 = 8825. m3m s2 798.917 m3 determine a massa específica.25 N ou 8.093kN s2 [2] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0.Propriedades dos Fluidos [1] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg.51 = 0. w = mg w = 825kgx9.67 3 x9.m 2 xs 2 3 2 γ Ns m s ρ= = = 3 = m g m m.34 3 V 6 m Massa específica ρ = Densidade d = Jorge A. peso específico e densidade do óleo.0m3 de óleo pesam 47.917 m m densidade ρ fluido γ fluido d= = ρ H O ( a 4o c ) γ H O ( a 4o c ) 2 d= ρ fluido ρ H O ( a 4o c ) 2 899.67 ≅ 900 3 3 V 0.8 3 m s m Também poderia ser determinada como w 8093.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução dos Problemas . Peso específico γ = W 47 x1000 N = = 7833. Villar Alé γ 7833. Massa específica m 825 kg kg ρ= = = 899.90 1000 2 [3] Se 6.89967 ≅ 0.81 m ρ óleo ρH 2 0a 4 = 0 C N kg.0 kN determine o peso específico.917 m m Peso específico kg m N γ = ρg = 899.81 m = 8093.51 3 g 9.25 N N γ = = = 8825.8 3 3 V 0. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) A pressão absoluta é Pabs=Pman+Patm=340kPa + 101. e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica ρ = 13.38x10-2m3. Ns 2 2 µ − 6 N .s. Admita que a temperatura do ar no tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101.88 x10 = 5.3kPa.s/m2 e uma massa específica de 0.81 Em termos de coluna de mercúrio com ρ = 13.23 x9. A temperatura absoluta é Tabs(K) =T(oC) + 273= 21+273=294 K A massa específica pode ser determinada com a lei dos gases perfeitos ρ= P 441.22 N Conferindo as unidades: kg.6 × 103 kg m−3 .m xK m x(K ) kgK O peso de ar contido no tanque é igual a W = ρg∀ = 5.m.81 PUCRS .88 x10 2 = 5.38 x10 −2 = 1.75m de mercúrio 13.3kPa= 441.81x 2.kg.6 × 103 kg m−3 . Utilizando p = ρgh .m −6 m m ν= = = 5.88 x10 kg ρ kg kg s s 850 3 m 5 x10 −3 [ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 K N m−2 em termos da altura de coluna de água de massa específica ρ = 1000kg m−3 . Determine a massa específica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa.3 kPa. Determinar a sua viscosidade cinemática.s. h= C-6 500 × 103 = 3.23 3 RT 287 x 294 m As unidades são: N 2 P N .m − 6 kgm .95m de água ρg 1000 × 9.3 x1000 kg = = 5.6 × 103 × 9.85kg/dm3.m kg m W = ρg∀ = 3 2 m 3 = 2 = N s m s ( ) [ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N. Solução Em termos de coluna de água: h = p 500 × 10 3 = = 50.Mecânica dos Fluidos [ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2.K kg m ρ= = = = 3 2 RT Nm N . 0 kgf/cm2. A pressão atmosférica local é de 98.3 × 10 3 = 30m de coluna de água 1000 × 9.4kPa ≈ 472kPa [8] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta.81x 40 = 79. • Pressão em Pascal.81x1002 = 294. desta forma e que 1cm2 = (1/100)2m2. Pman = pabs − patm = 225. determine a pressão absoluta na região de mais profundidade do lago.0 kPa como uma pressão manomêtrica. pabs = Pman + patm = 155kPa + 98.0 2 x9. A pressão da água. pabs = patm − pvac = 100kPa − 70kPa = 30kPa [11] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2. Considere a pressão atmosférica igual a 1. Villar Alé C-7 . é dada pela equação: p = p 0 + ρgh Onde po é a pressão na superfície do lago que representa a pressão atmosférica local (patm).81 = 3. Pa. p = p atm + ρgh = 79.3 × 10 3 h= = = 2.81N.2m de coluna mercúrio ρ Hg g 13.0kPa = 253kPa [9] Expresse uma pressão absoluta de 225.6.43kPa + 392. A pressão atmosférica local é de 101.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [7] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade máxima do lago de 40m.3kPa 1 cm m2 1002 Coluna de água p ρ H2 0 g = 294. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão atmosférica local é igual a 100 kPa. 294. em qualquer profundidade h.6.81 Coluna de mercúrio considerando d=13. mH20 e mm Hg.0 kgf/cm2 e a densidade do mercúrio igual a 13. pabs = Pman + patm em kgf/cm2 pabs = 1 + 2 = 3 kgf cm2 Sabemos que 1 kgf =9.6 x1000 × 9. Desta forma. Se a pressão baromêtrica local é igual a 598 mmHg.81 p Jorge A.598m = 79430. Como patm foi dada em coluna de mercúrio devemos p atm = ρgh = 13.54.43kPa + 1000 x9.81 2 x0.79 2 = 79.0kPa [10] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Considere a densidade do mercúrio igual a 13.0 kPa. pabs • h= • N kgf kgf = 3.43kPa 3 m s m Desta forma para o fundo do rio (h=40m) para água a 100C a qual corresponde uma massa especifica de 1000kg/m3 podemos determinar a pressão absoluta como.0 x9. Determinar a pressão absoluta em kgf/cm2.0kPa − 101.0kPa = 124.54 x1000 kg m N x9.0 kPa. m . temos: massa = 1200 kg e volume = 0.025 x910 = ≅ 156 0.s m2 • = 1 .6 x0.952 m³.91 escoando num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2.952 m³ ≅ 1261 kg / m³ c) γ = ρ g γ = 1261 kg m x 9. a) W = F = m.37 kN / m 3 3 m s kg m3 d = kg 1000 3 m 1261 d) d = ρfluido / ρágua a 4ºC C-8 = 1. [13] Em um reservatório contendo glicerina.s/m2 e densidade igual a 0. determine o valor do número de Reynolds.6 m/s. b) massa específica da glicerina.Mecânica dos Fluidos [12] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0. O número de Reynolds é definido como Re = VD VDρ ou = ν µ a massa específica do fluido é determina em função da densidade ρ = dρ H 2 0 = 0.91x1000 Re = kg kg = 910 3 3 m m VDρ 2.a = mg W = 1200 kg x 9. d) densidade da glicerina.26 PUCRS .81 m/s2 ≅ 11.38 µ Conferindo as unidades m kg xmx 3 2 2 2 VDρ m = m xmx kg x m = m (m ) kg s m Re = = s Ns µ s m 3 N .38 N.adimensional O valor de um parâmetro adimensional não depende do sistema de unidade utilizado desde que todas as variáveis utilizadas forem expressas num sistema de unidades consistente. Determine: a) peso da glicerina.81 2 ≅ 12.s s m 3 kg. c) peso específico da glicerina.77 kN b) ρ = m / V ρ = 1200 kg / 0. determine: a) a velocidade do som. Villar Alé 471330 kg m. fluido compressível ou incompressível? c) subsônico ou supersônico? (a) c = c = K x R xT b) M = V / c M = 850 M ≅ 0.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [14] Um avião voa a 10700 m de altura.3 Fluido Compressível c) M ≅ 0.K)] . no qual existe um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa. Gás Perfeito) R xT pabs p + pman ρ = = atm R xT R AR x Tabs ρ = 101330 Pa + 370000 Pa ρ = = J 287 x (50 + 273) K kg x K Jorge A.08 kg m3 C-9 .8 [admensional] J 1.4 x 287 x (− 55 + 273) [K ] kg x K c ≅ 296 m/s km 1000 m 1h m x x 236 h 1 km 3600 s ≅ s m m 296 296 s s M > 0.s 2 kg . a velocidade de 850 km/h.m 2 s2 287 x (323) K kg x K ⇒ ρ = 5. onde a temperatura chega a -55ºC.8 M < 1 Subsônico [15] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C. p ( Eq. Dados: KAR = 1. b) número de Mach.4 e RAR = 287 [J/(kg. C-10 PUCRS . Obs. 6. A densidade da água salgada é igual a 1.2.1 50 A Equação de Shuterland é utilizada para determinação da viscosidade dinâmica dos gases é dada por: µ= CT 3 / 2 T +S As constantes para a Eq. Qual a densidade do mercúrio. Se você tem acesso a um programa de ajuste de curvas não linear poderá encontrar as constantes a partir da Eq.6) 9.4K.10C. (V=1. de Andrade para água para as temperaturas de 0. A pressão relativa do tanque é igual a 300kPa. Para um líquido que tem um peso específico igual a 8338. Qual o valor da massa especifica da água quando a temperatura é igual a 42.40. Empírica para determinação da viscosidade cinemática para líquidos é conhecida como Eq.458x10-6 kg/(msK1/2) e S=110. de Andrade e dada por: B µ = D exp T Determine as constantes D e B da Eq. volume específico.208 kg/m3. A aceleração da gravidade na terra é igual a 9.52m3) 8.2 20 997.81 m/s2.2 PROBLEMAS PROPOSTOS . 11. (h=117.2 e Cap. 2. Para uma pressão de 10kgf/cm2. Utilize estes valores para estimar a viscosidade dinâmica do ar a 100C e a 900C. Determine a altura de pressão estática de uma coluna de água e de uma coluna de mercúrio para uma pressão de 10kgf/cm2. Um reservatório graduado contém 50ml de um líquido que pesa 6N. Utilize estes dados para construir uma equação empírica do tipo: ρ=c1 + c2T + c3T2 que forneça a massa especifica da água nesta faixa de temperatura.20. qual será a altura de coluna de óleo e qual a sua densidade.2 45 988. Determine o volume do tanque. Determine a viscosidade dinâmica para 500C e compare com valores dados em tabelas. Determine a viscosidade cinemática do ar a 20 0C sabendo que nestas condições a viscosidade dinâmica é igual a 1. 80 e 1000C. Determinar o peso específico. A Eq.5m3 Obs: considere g=9.3 mca) 10. a massa especifica e a densidade deste líquido.1 35 992.65m) 12. original. Sutherland adequada para o ar a pressão atmosférica padrão são C=1. Comparar os valores fornecidos pela equação com os da tabela. o volume específico e a densidade do mercúrio: a) na lua b) na terra. A tabela abaixo mostra a variação da massa especifica da água (kg/m3) em função da temperatura na faixa entre 20 a 600C. 998.85x10-4 Poise e a massa especifica igual a 1.0 kg de ar a 800C. Determine o peso especifico. Determine a massa específica.3) 1. Um tanque de ar comprimido contém 6. Os valores de D e B podem ser determinados a partir da inclinação e do ponto de intercessão desta curva.2 40 990. Considere a massa especifica do mercúrio igual a 13600 kg/m3. (d=13. O óleo tem um pesos específico igual a 850kgf/m3. (d=0. Determinar a altura equivalente de pressão estática de uma coluna de água salgada considerando uma pressão de 10kgf/cm2.60. 3. ρ (kg/m3) T (0C) 4. Método: Rescreva a equação na forma: ln µ = B 1 + ln D T Grafique em função de lnµ em função de 1/T.81 m/s2 e o peso especifico da água igual a 9806N/m3. o peso específico e a densidade de um óleo que pesa 33kN contido num reservatório de 3.96) 7. Compare os valores com os tabelados em textos de mecânica dos fluidos 5.7 30 994. (h=83.1 25 995.Propriedades dos Fluidos e Pressão ( Cap.5N/m3 determinar qual a coluna representativa de pressão quando se tem uma pressão de 981kPa.Mecânica dos Fluidos 1. Considere a massa especifica da água igual a 1000kgf/m3 e o peso específico do mercúrio é igual a 13600kgf/m3. 21.6 e a pressão atmosférica igual à pressão atmosférica normal (101. determine as alturas das colunas de fluido em barômetros que contém os seguintes fluidos: a) mercúrio b) água c)álcool etílico. Determinar a pressão absoluta no reservatório. 14. Se h1=914mm h2=152mm h3=229mm.23kg/m3.07kg/m3) 22. 16. Villar Alé C-11 .81m/s2.30kPa. Qual será a leitura do manômetro quando a pressão atmosférica local for igual a 773mm de Hg. Determine a perda de carga para a tubulação considerando um comprimento total de 50metros. Determinar a massa especifica do ar num local onde a temperatura é igual a 500C e leitura do barômetro indica uma pressão igual a 100kPa.5Psi. Um vacuômetro tipo Bourdon.38x10-2m3. Considere d=13. Mergulha-se numa cuba contendo mercúrio um tubo de vidro aberto numa extremidade tal como se mostra na figura. Um tanque fechado contem ar comprimido e um óleo que apresenta uma densidade igual a 0. Determine o número de Reynolds numa tubulação de aço galvanizado novo de 300mm de diâmetro interno na qual escoa água a uma temperatura de 350C com uma vazão de 60m3/h. 18. A pressão manométrica de um tanque é medida. Um manômetro tipo Bourdon indica que a pressão num tanque é igual a 5. A pressão atmosférica local é igual a 96k Pa. determine a leitura no manômetro localizado no topo do tanque.31 bar quando a pressão atmosférica local é igual a 760mmHg. Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2. Um manômetro de Bourdon instalado na tubulação de alimentação de uma bomba indica que a pressão negativa é igual a 40kPa. (5. 19. Determinar a pressão absoluta dentro do tanque.22N). 1. (Resposta: Pmam=21. O manômetro em U conectado ao tanque utiliza mercúrio com densidade igual a 13. Determine nestas circunstancias a altura de coluna de mercúrio. Considere que a temperatura do ar no tanque é de 210C e que a pressão atmosférica é igual a 101.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 13. Jorge A. (h=760mmHg) 15.9. (Obs: Considere o ar como um gás ideal) (ρ=1.1kPa) 20.6.33kPa) com g=9. Qual é a pressão absoluta correspondente se a pressão atmosférica local é igual a 100kPa. indicando uma altura de 55 cm de coluna de fluido com d=0. Especifique se o escoamento é laminar ou turbulento. Admitindo que a pressão atmosférica local é igual a 101kPa. Calcule as alturas levando em conta a pressão de vapor destes fluidos e compare com seus respectivos desconsiderando a pressão de vapor dos fluidos. Determine a massa especifica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. indica uma pressão de 5. 17.8psi (lbf/pol2) quando conectado a uma reservatório num local onde a pressão atmosférica é igual a 14.85. Mecânica dos Fluidos EXEMPLOS LEI DA VISCOSIDADE (CAP 2) C-12 PUCRS . Considere um perfil de velocidade linear. y 0 V=2.0x10-3 kg/ms. (1) (3) (2) y x τ =µ du dy [2] Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento sobre a placa fina (c) força necessária para puxar a placa.5m/s h=100mm [3] Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25 mm. Villar Alé C-13 .3m/s Jorge A. Onde a tensão de cisalhamento será maior ? Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7. U=0. Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.A viscosidade cinemática do líquido • ( b ) A tensão de cisalhamento na placa superior e na placa inferior em (Pa) • ( c ) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d. havendo entre elas uma camada de líquido.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 1. [4] Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa.615x10-5 m2/s. A viscosidade do líquido é de 0.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2) [1] Duas grandes superfícies planas mantêm uma distância h entre elas esta escoando um determinado fluido.65 Centipoise A densidade relativa é igual a 0.4 m2 de área move-se a uma velocidade de 0.3m. A separação das placas é igual a 0. Uma placa muito fina de 0. • • • • Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. como mostrado na figura. Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com a tensão de cisalhamento no centro das placas ? Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2).88 Determinar: • ( a ) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) . Considere um perfil linear de velocidade.15m/s eqüidistante entre ambas superfícies. 5mm. Considere a massa especifica do ar igual a 1.92 N. Determine a tensão de cisalhamento para y=3. [ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade (dv/dy=u/y).8x10-5 (Pa s).s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida. C-14 PUCRS . Considerando que V=0. O óleo apresenta viscosidade absoluta de 2x10-3Pa. A altura do embolo é de 320 mm. O diâmetro do êmbolo é de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200.s/m2.23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1. [ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: U ( y) = 2 y 2.Mecânica dos Fluidos [5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação 2 3V y u= 1 − 2 h onde V é a velocidade média. Onde U ( y ) é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m).1mm.6m/s e h=5mm determinar: a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do resultado.5 N. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8. Ob.s/m2. O gradiente de velocidades é dado por: du π πy = U max cos dy 2b 2b Obs. [ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Desta forma a tensão de cisalhamento vai aumentando linearmente. Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com a tensão de cisalhamento no centro das placas ? (c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ? (d) Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?. por exemplo. (b) Num perfil uniforme de velocidade du/dy=0 e.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução – Problema 1 [1] Duas grandes superfícies planas mantém uma distância H. (d) Se o perfil de cisalhamento for parabólico. desta forma o termo du/dy=k2 y . O espaço entre elas esta preenchido com um fluido. portanto a magnitude da tensão de cisalhamento é nula em toda a seção (τ=0). Para y=0 (centro do canal) τ=0. Desta forma a tensão de cisalhamento será zero no centro e máxima nas paredes. (τ=ky) Jorge A. portanto. a tensão de cisalhamento será igual em todos os pontos da seção (τ=cte). (a) Num fluido ideal a viscosidade do fluido é nula (µ=0) e portanto a tensão τ=0. (a) Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual será a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. (c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada o perfil de velocidade será do tipo u=k1 + k2y . Villar Alé C-15 . do tipo: u=k1 + k2y2 . Para y=ymax (paredes) τ=τmax. Desta forma o termo du/dy=k2 = constante. (b) Se o perfil de velocidade for uniforme (1). 0x10 -3 x500x0 = 0 dy Tensão de cisalhamento em y=-0. s s = 0. 615 10 = 0.06473 2 x y 0. V=Vmax=2.4 2 dy m Solução – Problema 3 Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25mm.62 N F = 2 Aµ = 2 x0.0x10-3 kg/ms. F = F1 + F2 µ = ρν = 850 2 kg −5 m 7 .s/m 2 x 3 s m F1 = Aτ = Aµ du u ≡ Aµ dy y1 F2 ≡ Aµ u como y1=y2 temos que F1=F2. Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.5 − 250 y 2 O gradiente de velocidade é dada por: Tensão de cisalhamento em y=0 : τ =µ du = −500 y dy du = 8.1)2 V = 2. Considere um perfil linear de velocidade (dv/dy=u/y).Mecânica dos Fluidos Solução – Problema 2 Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em y= -100mm.15 u N .06473N. Para y=0.5m/s Para y=-100 mm V=0 com V = a + by 2 achamos b= V − a 0 − 2.10) = −0.1m τ =µ du N = 8. Determinar a força necessária para puxar uma placa muito fina de 0. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7.15m/s que se move eqüidistante entre ambas as superfícies.0x10 -3 x500x(-0.4m 2 x0.5 = = −250 y2 (0.615x10-5m2/s. y2 m 0.0125m m C-16 PUCRS .4m2 de área a uma velocidade de 0.5m/s como V = a + by 2 achamos que a=2. havendo entre elas uma camada de líquido.) Para y=d u=U e por tanto m= U/d Desta forma o perfil de velocidade é dado como: U u ( y) = y d O gradiente é dado por: du U 0.5 x10 − 4 kg /(ms ) cP 1000 (b) A viscosidade dinâmica u=0 e por tanto b=0 (intercepto no eixo de coord.88 Determinar: (a) (b) (c) (d) (e) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) A viscosidade cinemática do líquido A tensão de cisalhamento na placa superior (Pa) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d. Para uma pequena largura da camada d.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução – Problema 4 [4] Uma placa infinita move-se sobre uma Segunda placa. A viscosidade do líquido é de 0.3 kg 2 µ ms = 7.65 2 = 0. supomos uma distribuição linear de velocidade no líquido. Hipóteses: • Distribuição linear da velocidade • Escoamento em regime permanente • Viscosidade constante O perfil de velocidade é representado por a equação de uma reta: u ( y ) = my + b Para y=0 (a) 1 cP = Pa s /1000 µ = (0.88 x1000 3 m 6.65cP ) Pa s = 6.65 Pa dy y = 0 d s m ms • A placa superior é uma superfície y (negativa).5 x10 −4 1000 = 0. portanto τyx atua no sentido negativo (-) dos x • A placa inferior é uma superfície y (positiva).3 x1000 = = = 1000 s −1 = cte dy d 0. Villar Alé C-17 . portanto τyx atua no sentido positivo dos x Jorge A.65 centipoise A densidade relativa é igual a 0.5 x10 −4 Pa s cP1000 1 cP = Pa s /1000 kg /(ms ) µ = (0. como mostrado na figura.39 x10 −3 m ν= = kg ρ s 0.65cP ) = 6.5 x10 − 4 (c) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) τ yx = µ du U 1 N kg = µ = 6. O gradiente de velocidade e portanto a tensão de cisalhamento varia linearmente com y. τplano médio=0. Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal é dada para y=0 ou du/dy. a tensão de cisalhamento na parede superior apresenta o mesmo valor.005 m ou 691Pa esta tensão cria um arrasto na parede.s/m2.92 2 x3 x0. Derivando a equação da distribuição da velocidade temos. Neste caso a tensão de cisalhamento varia de 0 no plano central a 691Pa nas paredes. du 3V y = 0 − 2 2 dy 2 h 3V = − 2 y h a) A tensão de cisalhamento na parede inferior do canal é dada para y=-h. Utilizando a lei universal τ =µ du dy A distribuição da velocidade é unidimensional e em regime permanente já que u=u(y).Mecânica dos Fluidos Solução – Problema 5 [5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação 2 3V y u= 1 − 2 h onde V é a velocidade média. Para determinar a tensão de cisalhamento devemos determinar o gradiente de velocidade du/dy. Desta forma a tensão de cisalhamento neste plano é nula. Como a distribuição de velocidade é simétrica.6m/s e h=5mm determinar: c) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal d) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal.6 x = 691 2 2 h h m m s 0. C-18 PUCRS .92 N. e sentido da tensão na parede inferior. τ y =− h = − µ 3V 3V 1 N Ns m ( −h) = µ = 1. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1. Considerando que V=0. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade (du/dy=u/y). ∂u ∂y dU ( y ) = 4 y. Determine a tensão de cisalhamento para y=3. 5 mm π πx3.0257 Pa C-19 .87 cm = πDLµ πx0.23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1. O óleo apresenta viscosidade absoluta de 2x10-3Pa. Considere a massa especifica do ar igual a 1.0 x x1000 x0.1mm. Como o perfil de velocidade é dado por U ( y ) = A tensão de cisalhamento é dada por: τ =µ 2y2. τ =µ τ Jorge A.8x10-5 (Pa s).5 N.0 −5 = 1.8 x10 Pa.0016 2 dy m Desta forma Solução – Problema 7 [ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical.707106 2 x 7 . Ob.5 s s Solução – Problema 8 [ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Onde U ( y ) é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m).5 = µ U max cos 2 b 2 x 7 .068 = 0.98)x0. O gradiente de velocidades é dado por: du π πy = U max cos dy 2b 2b Obs. F = Aτ = Aµ u= du u = πDLµ dy y Fy (100 x9. dy dU ( y ) N τ =µ = 2 x10 −3 x 4 x(0.s/m2. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do resultado.2) = 0.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução – Problema 6 [ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: U ( y) = 2 y 2. 5 mm =µ du dy y =3.0287 m = 2. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8.2 x0.00005 = 0. 0 π = µ 9.5mm. O diâmetro do êmbolo é de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida.sx1428. A altura do embolo é de 320mm. Villar Alé du dy y =3.32 x8. 3m2 e velocidade máxima umax=0.88 m/s [4] A correia da Fig.5 W. R: (c) 0.6 N/m2 (d) 8. Se o espaço entre as duas placas for preenchido com óleo de viscosidade 0. (d) A força que deve ser vencida para puxar a placa superior com área de 0.33 N/m2 (b) 2. O óleo tem densidade 0. (a) Determinar o gradiente de velocidades.5 Pa.5m2. R: (a) 1500 N/m2 (b) 1500 N [3] Uma placa deslocando-se sobre uma pequena lâmina de óleo sob a ação de uma força F. m. Determine: (a) O gradiente de velocidade. move-se a uma velocidade constante V e desliza no topo de um tanque de óleo.138 N C-20 Obs água massa especifica 1000 kg/m3 e viscosidade dinâmica e 1.s.s. R: (a) 2000 s-1 (b) 16. e h a separação das placas.10-3Pa. (d) 0. PUCRS . Considerando a distribuição linear do perfil de velocidade no óleo. (b) A tensão de cisalhamento (N/m2) na superfície da placa móvel em contato com o fluido (c) A tensão de cisalhamento (N/m2) na superfície da placa fixa em contato com o fluido. área superficial da placa superior igual a 0.0m h=3cm V=2.s.0m2.4 PROBLEMAS PROPOSTOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.s [ 5 ] O escoamento laminar entre duas placas paralelas fixas é dado por: 2 y 2 u ( y ) = umax 1 − onde h umax representa a velocidade máxima no canal. Considere a separação entre placas de 5mm. determine a potencia necessária para o acionamento da correia. Dados: L=2. conforme a figura. considerando que esta a potencia é dada por W& = FV onde F é a força tangencial na correia e V a velocidade da correia.2) [1] A Fig.6 N/m2 (c) 16.5m/s b=60cm. O óleo apresenta uma profundidade h.46 N/m2. A corria apresenta um comprimento L e uma largura b. (b) Determinar a expressão da tensão de cisalhamento. (a) Qual a tensão de cisalhamento produzida pelo fluido sobre a placa? (b) Qual a velocidade da placa móvel? R: (a) 4.750 e viscosidade 3. Fluido: óleo SAE 30 kg µ = 0. Determinar: (a) a tensão requerida para mover a placa superior com uma velocidade V=6.3 N [2] um canal é formado por duas placas paralelas separadas h=6mm tendo entre elas glicerina a 200C com massa específica é igual a 1260 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 1.1x10-4 m2/s e massa específica 830 kg/m3. (b) a força necessária para puxar a placa superior considerando esta com superfície igual a 1.5 m/s Determine (c) A tensão de cisalhamento no centro do canal e na placa superior (d) A força de atrito na placa inferior.0m/s. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s. enquanto a inferior é fixa.15x10-3 Pa.Mecânica dos Fluidos 1.29 R: 72. mostra duas placas planas paralelas a distância de 2 mm. Determine viscosidade dinâmica do óleo.s Considerando que V=0. O Diâmetro do eixo é igual a De=200mm e o diâmetro da luva igual a Dm=200.01 Pa. R: (a) 691.2mm. A velocidade da placa é de 2 m/s.2 (N/m2) 3V u ( y) = 2 y 2 1 − h [ 7 ] Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30o. Determine (a) tensão de cisalhamento na parede interna do tubo externa (b) viscosidade dinâmica do óleo. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1. R: (a) 281 Nm (b) 44.2mm. Entre o tubo e o cilindro existe uma película de óleo.88 e viscosidade cinemática igual a 0.2x10-2 Pa. No espaço entre o eixo e a luva existe óleo altamente viscoso com densidade 0. uma altura igual a 200mm e um diâmetro igual a 149. (c) Desenhe a distribuição da velocidade e da tensão de cisalhamento no canal. podendo cair livremente. A luva possui um diâmetro igual a 60.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [6] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação dada ao lado: onde V é a velocidade média. Determinar (a) torque e (b) potência originado nesta condições de operação. R: (b) 796 N [12] Um eixo gira de 60mm de diâmetro e 400mm de comprimento gira dentro de uma luva com velocidade igual 1500 rpm. Este corpo se move com uma velocidade constante igual a 50mm/s dentro de um tubo de 150mm de diâmetro.1mm.9 Pa.5mm.6 (N/m2) (b) 39. (b) Determinar a força requerida para puxar o eixo.52 mm e massa de 1.58mm de diâmetro.4m/s através de uma luva de 60.2 kW Jorge A. Calcule a velocidade atingida pela barra se uma película de óleo de viscosidade 23.36 kg.s [9] Determine o torque resistente (Nm) originado pelo óleo lubrificante em contato com o eixo vertical da Fig.92 Pa.003 m2/s.s R: (a) 1256. O eixo apresenta uma rotação constante de 3000 rpm. Villar Alé C-21 . escorrega num tubo vertical com 0.6m/s e h=5mm determinar: (a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal (b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal.s preenche o espaço entre o tubo e a barra.4 cm de comprimento. diâmetro de 0. [11] Um eixo na posição horizontal de D=60mm e 400mm de comprimento é arrastado com uma velocidade de V=0. Viscosidade do óleo 0.5 Nm [10] Uma barra cilíndrica de 30. R: (a) 160 (N/m2) (b) 0.8 Pa. (a) Determinar uma expressão geral que permita determinar a força requerida para puxar o eixo em função das variáveis apresentadas.003 m2/s.s [8] O corpo cilíndrico da Fig. No espaço entre o eixo e a luva existe óleo altamente viscoso com densidade 0. possui um peso igual a 15N.L=500mm.88 e viscosidade cinemática igual a 0. R: (a) 0. sobre uma película de óleo. se a espessura da película é 2 mm. Mecânica dos Fluidos EXEMPLOS MANOMETRIA ( CAP 3 ) C-22 PUCRS . 6 x 1000 x 9.5kN / m 2 (ou kPa) Manômetro piezométrico simples [2] Se utiliza uma manômetro tipo “U” para medir uma pressão de um fluido com massa especifica igual a 700kg/m3.4m e h2=-0.6 x1000 x9.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 1. (Cap.4 N ( -16.9m.16 bar) A pressão negativa (-) indica que a pressão é menor que a pressão atmosférica.81 x 0.5 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Manometría.81 x 0.4 = -16 088.5.4m e h2=0.4 = 117 327 N (.0.117.5m.0 kN óu .700 x 9.3) [1] Qual será a máxima pressão relativa que poderá ser medido com o tubo piezometrico para uma altura de 1. Jorge A.6. Villar Alé C-23 . Considere a densidade do fluido igual a 8.81x1. P(B) = Pressão da coluna de líquido acima de B p B = ρgh2 = d mercurio ρ água g h2 = 8.3 kN óu 1.700 x 9.81 x 0.17 bar) b) pA = 13. Pressão relativa em A quando h1=0. p A = ρman gh2 − ρgh1 a) pA = 13.9 .5 = 12508N / m 2 (ou Pa) = 12.6 x 1000 x 9. O manômetro utiliza mercúrio com densidade igual a 13.1m. Determinar: a) b) Pressão relativa em A quando h1=0.81 x ( .0.1) . 81(2 − 0) + 1000 x9. pC = pD pC = pA + ρg hA pD = pB + ρg (hB .hA) + hg(ρman .81x(0.Mecânica dos Fluidos [3] Na figura mostra-se dois tubos com fluido de massa específica igual a 990kg/m3 conectados a um manômetro tipo U.h) + ρman g h pA .81 x(13.0 = 13. Determinar a pressão entre os tubos considerando que o fluido manométrico é mercúrio com densidade igual a 13.0m = d Hg ρ agua g y 30 + 0.5) + 0.ρ) pA .99) x 1000 = -7284 + 61852 = 54 568 N/m2 ou Pa ( 0. Desta forma utilizando pressões relativas: Par + d oleo ρ agua g (E5 − E 2 ) + ρ agua g (E 2 − E 0 ) + ρ agua gx1.dfluido) ρH20 = 990 x9.6.82 x1000 x9.81 y Resolvendo: 30000 + 0.626m = 626mm C-24 PUCRS . • • • Por definição um manômetro mede pressão em relação a pressão atmosférica. a pressão do ar igual a 30kPa é uma pressão relativa a atmosfera.81x1.82 x1000 x9.pB = ρg (hB .6 = 133416y y = 0. A pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa.55 bar) [ 4 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig.5x9.0 = 13.hA) + hg(dhg . Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do manômetro..6 – 0.81(5 − 2 ) + 1000 x9.81 y 30000 + 24132.81(2 − 0 ) + 1000 x9. Para determinar Y trabalhamos com pressões relativas a atmosférica. Como o reservatório este fechado.75 – 1.6 x1000 x9.6 + 19620 + 9810 = 133416 y 83562.81(5 − 2) + 1000 x9.81x1.pB = ρg (hB .6 x1000 x9. hH2O PA (Rel) = 1000 kg/m3 x 9. Villar Alé C-25 .Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [ 5 ] Com base na figura ao lado.81 m/s2 x 5 m ≅ 49 kPa PA (Abs) = PAtm + Pman + PA(Rel) PA (Abs) = 101. hágua PB (Abs) = 134.81 m/s2 x 5 m = 33.81 m/s2 x 1 m = (134.68 kPa PA (Rel) = ρGas. PA (Rel) = ρH2O . determine: a) A pressão absoluta e relativa na interface gasolina-água. hgas = 680 kg/m3 x 9. determine: A pressão absoluta no ponto A. 354 kPa ≅ 134.354 kPa ρGas = d x ρágua à 4°C = 0.68 kPa + 1000 kg/m3 x 9.68 + 9. g .5 kPa Jorge A. a) PA (Abs) = PAtm + PA (Rel) PA (Abs) = 101.81) kPa ≅ 144.33 kPa + 120 kPa + 49 kPa PA (Abs) ≅ 270 kPa [ 6 ] Baseado na figura ao lado. g . b) A pressão absoluta e relativa no fundo do reservatório.68 x 1000 kg/m3 = 680 kg/m3 b) PB (Abs) = PA (Abs) + PB (Rel) = PA (Abs) + ρágua. g .33 kPa + 33. s 2 m .81.oliva = C-26 4° C m .9 m s2 4°C = 4° C = 0. 2.o = PF − PATM − ρ óleo .1. Dados: d óleo = 0.hH 2O − ρ Hg .g . b) a densidade do azeite de oliva.oliva {231300 − 101330 − 9.oliva ≅ 9. a) PA (Abs) = PAtm + Póleo + Págua + Paz. determine: a) a massa específica do azeite de oliva.oliva = ρ a .89 x 1000 kg = 890 kg / m 3 b) 3 m 1370 kg / m3 ⇒ d az.oliva + PHg PA (Abs)=PAtm +ρóleo.0.81 d óleo = ρ óleo ρ água à d az. d mercúrio = 13.3 kPa.g .g.haz.hóleo − ρ H 2O .Mecânica dos Fluidos [ 7] Observando a figura e os dados seguintes.[(890.hH2O +ρaz.g .hHg g .haz .4)]}Pa 9.hHg ρ az .oliva = 1.oliva ρ água à kg m.9 m s2 ≅ 1370 kg / m 3 ⇒ ρ óleo = d óleo x ρ água à ρ az.g.89 .g.oliva +ρHg.5) + (13600.oliva. 2.5) + (1000.2.37 1000 kg / m3 PUCRS .g.hóleo +ρH2O.81 38982 ρ az .6 e a pressão absoluta no ponto F é igual a 231. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [8] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques como mostrado na figura.6.6 ρ a g − ρ a g − 1000 1000 1000 1000 (PA − PB ) = (360 x13. Villar Alé C-27 . (b) indicando em que câmara a pressão é maior. Obs. PA + ρ óleo gh1 + ρ Hg gh2 − ρ tetra gh3 = PB PA − PB = −37.73m/s. 750 x 360 x − 360 PA + ρ a g ρ a g = PB − x13. Determine a variação de pressão entre os pontos A e B. Densidade do mercúrio: 13.81 ≈ 52kPa 1000 Jorge A. A deflexão do mercúrio no manômetro diferencial é de 360mm e a velocidade da água no ponto B é de 9.6 − 369 + 750)9. (a) Determine a pressão entre as câmaras A e B.28kPa Obs: A pressão em B é maior que a pressão em A [ 9 ] Numa tubulação industrial é utilizado um tubo de Venturi conectado a um manômetro diferencial como mostrado na figura. 8 kPa P(rel) 43. Obs: Densidade do óleo SAE 0.68 determine (a) pressão absoluta e relativa na interfase gasolinaágua e (b) pressão abs.3 kPa determine a pressão relativa entre a água e o aceite de oliva. R: (a) P(abs) 135 kPa P(rel) 33. A densidade do óleo e do mercúrio é dada na Fig. Massa específica do mercúrio: 13600 kg/m3 C-28 [5] Determinar a altura h2 (mm) no manômetro da Fig.0 m. Densidade do mercúrio 13. Massa específica da água: 1000 kg/m3. e relativa no fundo do tanque. considerando que a diferença de pressão pB-pA=97kPa.Mecânica dos Fluidos 1.6 PROBLEMAS PROPOSTOS .PB = 463 Pa (de A para B ) [4] Os recipiente A e B da figura contém água sob pressão de 294.67 kPa (b) P(bas) 144. mostra o efeito da infiltração de água num tanque subterrâneo de gasolina. (a) Se a densidade da gasolina é 0. Na Fig. O manômetro utiliza benzeno com massa específica igual 879 kg/m3.3 kPa e 147 kPa respectivamente.6.48 kPa [3] Numa tubulação que escoa água se utiliza um manômetro em U conectado como mostrado na figura. encontra-se aberto a atmosfera.Conceitos de Pressão (Cap3) [ 1 ] O sistema da Fig.03 KPa e pressão absoluta no fundo do tanque é 231. R: PA . (b) O sentido do escoamento da água dentro da tubulação. R: 22cm PUCRS . x + y = 2.89. Considere água com massa especifica igual a 1000 kg/m3. Se a pressão atmosférica é 101. Determine a deflexão do mercúrio (h) no manômetro diferencial. Determinar: (a) A diferença de pressão entre as duas tomadas de pressão. [ 2 ] A Fig. Villar Alé C-29 . R: (PA . Determine a diferença de pressão entre as câmaras A e B indicando em que câmara a pressão é maior.2 mH20 [9] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques fechados como mostrado na Fig.PB) = -37. R: y=626mm [8] Um manômetro diferencial é usado para a medição da pressão causada por uma diminuição da seção reta ao longo do escoamento.92 kPa.72 kPa (b) 38. Massa especifica do mercúrio 13550 kg/m3. Determine a pressão manométrica no ponto A. 28 kPa (PB > PA) Jorge A.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [ 6 ] Seja a água contida na câmara pressurizada mostrada na Fig.PB) =375. Massa específica da água = 1000kg/m³. Massa específica da água 1000 kg/m3. A pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. (a) Determine diferença de pressão entre os pontos A e B (b) Quanto corresponde essa diferença de pressão em metros de coluna de água ? R: (a) (PA . Massa específica do mercúrio = 13600kg/m³. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do manômetro. R: 20. [ 7 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig. 88 e dB=2.) contém água. Considere as densidades dos fluidos dA=0. tendo uma região ocupada por mercúrio com densidade igual 13. Determinar ( a ) A altura h2 em (metros) da coluna de água. O reservatório é fechado e pressurizado tendo uma pressão absoluta igual a 180 kPa.45m (b) 251. R: (a) 6. C-30 PUCRS .95.p2 = 870Pa. Considere que h1=30cm e h2=10cm. R: (a) 2.R: 42. O fluido manométrico apresenta um peso especifico igual a 30 KN/m3. quando a variação de pressão p1 . R: 8.6.75 kPa [ 13 ] Um reservatório de grande porte (Fig. R: (a) 200 Pa (b) 2000 N. (Obs. Densidade do mercúrio: d=13. A pressão absoluta em A é igual a 350 kPa.Mecânica dos Fluidos [10] Determine a pressão na tubulação com água (A) considerando que o manômetro em U esta aberto para a atmosfera. Obs: água a 200C: Massa especifica 1000 kg/m3.84mm [ 12 ] Para o reservatório mostrado determinar a pressão manométrica lida no instrumento.6).0 kPa [ 11 ] Determinar a deflexão h do manômetro da figura abaixo. b) Qual a força (N) que age no interior do reservatório sobre o topo. ( b ) Determine a pressão absoluta em B.12 kPa [14] Dado o esquema da figura: a) Qual a leitura no manômetro (Pa) . Villar Alé C-31 . 4 ) Jorge A.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos EXEMPLOS CINEMÁTICA DOS FLUIDOS (Cap. Cinemática dos Fluidos (Cap4) 1.3.8 y ) ˆj [ 4 ] Dado o vetor velocidade: r V = (0.65 y )iˆ + (−0. [ 10 ] Um campo de velocidade de uma partícula de fluido é dada por: r V = (1 + 2. (c) Avalia a aceleração da partícula de fluido para o ponto (x.1x − 2.5 − 0.5 + 0.3m.y.98 − 2.8 x )iˆ + (1.Mecânica dos Fluidos PROBLEMAS RESOLVIDOS . Verificar se o escoamento é em regime permanente ou não permanente.5 − 0.0m/s e L = 0.5 + 0. 2.0) ( ) [ 5 ] Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional r V = 12 x 3 y iˆ + (3 x 4 ) ˆj + (10 )kˆ [ 6 ] Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional r V = 6 x 2 y iˆ − (4 x − 4 z ) ˆj + 12 z 2 kˆ ( ) ( ) [ 7 ] Considere um escoamento em regime permanente através de um bocal convergente considerando um perfil de velocidades dada pela equação: → 2x V (x.8 x )iˆ + (1. considerando u0 = 3. Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e da convectiva.8 y ) ˆj (a) Determine a velocidade da partícula de fluido para o ponto (x. r V = (0.0) (3) Determinar o modulo da aceleração em (2. [ 9 ] Dado o vetor velocidade (a) (b) (c) (d) (e) ( ) ( ) r V = − y 3 − 4 z ˆj + 3 y 2 z kˆ Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional.8 x )iˆ + (1.3) C-32 PUCRS . 4. b) a aceleração na entrada e na saída do bocal.y)= (-2.8 x + 0. d) a aceleração local na entrada e na saída.8 y ) ˆj Onde x e y em metros [ 1] Dado o vetor velocidade: 1. Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. (2) Avaliar a aceleração em (x.5 + 0. c) a velocidade na saída do bocal. y. t ) = u0 1 + . L Determinar: a) a aceleração da partícula do fluido. 3. Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional.5 − 0. 5.y)= (-2.7 r V = (0.z)=(2.8 y ) ˆj (1) Determinar o vetor da aceleração total.3. ( ) r V = 4 x 2 y 3 iˆ − (2 xy 4 ) ˆj [ 3 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível.3) (b) Determine a expressão geral do vetor de aceleração da partícula de fluido. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? Regime permanente ou não permanente ? Determinar o ponto de estagnação Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m [ 2 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. z . 8 y Desta forma r V ( x.5 + 0.5 + 0.8 Resposta: Ponto de estagnação em x=-0.5 − 2.9 2 = 2. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m r (1) Escoamento é uni bi ou tridimensional ? u = 0. y ) Tomando a derivada parcial no tempo: =0 ∂t Resposta: Regime permanente (3) Determinar o ponto de estagnação: Ponto de estagnação: Ponto onde V=0 u = 0.625 0.5 + 0.1)iˆ + (−0.12 + 0.4) ˆj r V = (2.5 = −0.5 − 0. Regime permanente ou não permanente ? 8.875 0.8 x 2 )iˆ + (1.5 + 0. y ) = uiˆ + vˆj r ∂V ( x.5 + 1.625m y=1.1)iˆ + (−0.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Exemplo 1 Dado o vetor velocidade: V = (0.5 − 0.6)iˆ + (1.8 y ) ˆj Onde x e y em metros 6. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 7.875m (4) Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m r V = (0.8 x3) ˆj r V = (0.9) ˆj (5) Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m V = u 2 + v 2 = 2.8 x )iˆ + (1.28m/s Jorge A.8 x v = 1. Determinar o ponto de estagnação 9.9) ˆj Resposta: Vetor velocidade: r V = (2. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 10.5 − 0.28m / s Resposta: Magnitude da velocidade em x=2 e y=3m V=2.8 y = 0 y= 1.5 = 1.8 x = 0 x= − 0. y ) = uiˆ + vˆj Resposta: Escoamento bidimensional w=0 (2) Regime permanente ou não permanente ? Consideramos o vetor velocidades: r V ( x. Villar Alé C-33 .8 v = 1.5 − 0. 8 ∂x ∂v = −0.8 − 0.3.8 y ) ˆj u = 0.5 + 0. (d) Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível (e) Determine de o escoamento é rotacional ou irrotacional.y.Mecânica dos Fluidos Exemplo 2: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível.z)=(2.5 − 0. (c) Determine a aceleração local da partícula. r V = (4 x 2 y 3 )iˆ − (2 xy 4 ) ˆj Solução: Será fluido incompressível se: Será fluido compressível r ∂u ∂v ∂w ∇ • V = 0 ou + + =0 ∂x ∂y ∂z u = 4x2 y3 v = −2 xy 4 w=0 r ∂u ∂v ∂w ∇ • V ≠ 0 ou + + ≠0 ∂x ∂y ∂z ∂u = 8 xy 3 ∂x ∂v Derivando = −8 xy 3 ∂y ∂w =0 ∂z e somando obtemos ∂u ∂v + = 8 xy 3 − 8 xy 3 = 0 ∂x ∂y Portanto o escoamento é incompressível – Resposta: fluido incompressível Exemplo 3: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. C-34 PUCRS .8 y w=0 ∂u = 0.8 + 0 = 0 ∂x ∂y ∂z Resposta: fluido incompressível Atividade: Dado o vetor velocidade ( ) ( ) ( ) r V = y 2 z 2 iˆ + 2 xyz 2 ˆj + 3 x 3 z kˆ (a) Determine se o escoamento é em regime permanente ou não-permanente (b) Determine a magnitude da velocidade da partícula no ponto (x.8 x )iˆ + (1.8 x v = 1.5 + 0.1).5 − 0. r V = (0.8 ∂y ∂w =0 ∂z ∂u ∂v ∂w + + = 0. 5 + 0.8 x )iˆ + (1.0) (1) Determinar o vetor da aceleração total.2 + 0.2 + 0.0) = a p = a x + a y = 1.0) r 2 2 a p (2.8 y w=0 r ∂V = 0.0) (3) Determinar o modulo da aceleração em (2.y.z)=(2.68 2 + 0.3.4 + 0.8 x )(0.64 x 2)iˆ + (−1. Villar Alé C-35 .3.4 + 0.68)iˆ + (0.83m / s 2 Resposta: a p (2.3.z)=(2.4 + 1.64 y ) ˆj (2) Avaliar a aceleração em (x.8iˆ) = (0.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Exemplo 4: Dado o vetor velocidade: r V = (0.8 y )(−0.28)iˆ + (−1.64 x)iˆ ∂x r ∂V = (1.5 − 0.4 + 0.68)iˆ + (0.8iˆ ∂x r ∂V = −0.2 + 1.5 − 0.8 ˆj ∂y r ∂V =0 ∂z r ∂V observamos que é regime permanente: =0 ∂t r ∂V u = (0.5 + 0.64 x)iˆ + (−1.3.8 ˆj ) = (−1.5 + 0.72) ˆj (3) Determinar o módulo da aceleração em (2.64 x3) ˆj Dt r DV = (0.72 2 = 1.83m / s 2 Jorge A.8 x v = 1.64 x)iˆ + (−1.2 + 0.5 − 0.y.3.2 + 0.64 y ) ˆj Dt Resposta: r a p = (0.92) ˆj Dt r DV = (1. r r r r r r DV ∂V ∂V ∂V ∂V ap = = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z u = 0.8 y ) ˆj (1) Determinar o vetor da aceleração total.3. (2) Avaliar a aceleração em (x.4 + 0.0) = (1.3.64 y ) ˆj v ∂y r ∂V w =0 ∂z r DV = (0.0) r DV = (0.0) = 1.72) ˆj Dt Resposta: r a p (2. Mecânica dos Fluidos Exemplo 5: Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) r V = 12 x 3 y iˆ + (3 x 4 ) ˆj + (10 )kˆ Rotacional r r 1 ω = ∇xV ≠ 0 Irrotacional 2 v 1 ∂w ∂v ˆ 1 ∂u ∂w ˆ 1 ∂v ∂u ˆ ω = − i + − j + − k 2 ∂y ∂z 2 ∂z ∂x 2 ∂x ∂y ( u = 12 x 3 y ) v = (3 x 4 ) ˆj w = (10 )kˆ ωx = 1 (0 − 0) 2 1 ∂u ∂w ωy = − 2 ∂z ∂x 1 ω y = (0 − 0 ) = 0 2 1 ∂v ∂u ω z = − 2 ∂x ∂y ωz = Resposta: Irrotacional ( ωx = 0 ωy = 0 ) 1 12 x 3 − 12 x 3 = 0 2 ωz = 0 r ω =0 Exemplo 6: Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( ) r V = 6 x 2 y iˆ − (4 x − 4 z ) ˆj + 12 z 2 kˆ ( u = 6x2 y ) v = −( 4 x − 4 z ) ( w = 12 z 2 ) 1 ∂w ∂v ω x = − 2 ∂y ∂z 1 ω x = (0 − 4 ) = −2 2 ωx ≠ 0 Resposta: Rotacional C-36 1 ∂u ∂w ωy = − 2 ∂z ∂x 1 ω y = (0 − 0 ) = 0 2 ωy = 0 1 ∂v ∂u ω z = − 2 ∂x ∂y 1 ω z = − 4 − 6 x 2 = − 2 + 3x 2 2 ( ) ( ) ωz ≠ 0 r ω ≠0 PUCRS . 3 m ) m 2x c) V = u = u0 1 + = 3 . t ) = u = u0 1 + iˆ L → → → → → DV ∂V ∂V ∂V ∂V ap = = u. = .3 m → a p = 180 m / s 2 (aceleração na saída do bocal) → m 2.3m. z .(0. a aceleração local é zero porque a equação não varia em função do tempo.u0 2 x ap = = u. Villar Alé C-37 .Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Exemplo 7: Considere um escoamento em regime permanente através de um bocal convergente considerando um perfil de velocidades dada pela equação: → 2x V (x. + Dt ∂x ∂y ∂z ∂t → → ∂V Como = 0 .(0) 2 0. y. = u0 1 + . = .1 + 2. 3 m / s ap = = . 1 + = Dt L L 0. 1 + Dt ∂x L L → → → → ∂V =0 ∂t Jorge A. t ) = ⇒ a p = u. 1 + (aceleração da partícula do fluido) Dt ∂x L L L L → → → ( 2 D V 2. z . ∂t 2 DV ∂ V 2 x 2.1 + 2.1 + = 9 L s 0.0m/s e L = 0. y . z . y. c) a velocidade na saída do bocal.u0 2 x a p ( x. t ) = u = u0 1 + iˆ L 2 → DV ∂ V 2. d) a aceleração local na entrada e na saída.3 m → a p = 60 m / s 2 (aceleração na entrada do bocal) ( 2 D V 2. + w.3 m) 2 0. y.u0 2 x 2.u0 2. → 2x V ( x.3 m → → ) .(0. b) a aceleração na entrada e na saída do bocal. → 2x a) Unidimensional V ( x. t ) = u0 1 + .u0 2 x 2. L Determinar: a) a aceleração da partícula do fluido. z . 3 m / s b) a p = = .3 m → → ) . então. 1 + = Dt L L 0. considerando u0 = 3. + v. o escoamento é em Regime Permanente.3 m s (velocidade na saída do bocal) c) Neste exercício. z)=(2.3m / s (2) Aceleração local da partícula.y.2 3.2.y.12 ˆj + 3.3. (d) Escoamento é rotacional ou irrotacional.3.1 kˆ (a) r V = (9 )iˆ + (12 ) ˆj + (24 )kˆ V = 28. r r r r r DV ∂V ∂V ∂V ∂V (b) = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z r ∂V Resposta : Aceleração local da partícula: =0 ∂t (a aceleração local da partícula é nula) (c)Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível r ∂u ∂v ∂w ∇V = + + ∂x ∂y ∂z r ∇V = 0 + 2 xz 2 + 3x 3 ≠ 0 Por tanto se trata de fluido compressível.3. Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível Determine de o escoamento é rotacional ou irrotacional.1).Mecânica dos Fluidos Exemplo 8: O vetor velocidade (m/s) de uma partícula de fluido é dado por: ( ) ( ) ( ) r V = y 2 z 2 iˆ + 2 xyz 2 ˆj + 3 x 3 z kˆ (a) (b) (c) (d) Determine a magnitude velocidade da partícula no ponto (x.1). Solução (1) Velocidade na partícula no ponto (x. ? 1 ∂w ∂v 1 − = (0 − 4 xyz ) ≠ 2 ∂y ∂z 2 1 ∂u ∂w 1 2 2 − = (2 y z − 9 x z ) ≠ 2 ∂z ∂x 2 1 ∂v ∂u 1 − = (2 yz 2 z − 2 yz 2 ) = 0 2 ∂x ∂y 2 Resposta: Escoamento rotacional C-38 PUCRS .z)=(2.12 iˆ + 2. ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) r V = y 2 z 2 iˆ + 2 xyz 2 ˆj + 3 x 3 z kˆ r V = 3 2. Determine a aceleração local da partícula. Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. Villar Alé C-39 . Verificar se o escoamento é em regime permanente ou não permanente. SOLUCAO (A) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. r Para ser escoamento em 3D em regime permanente.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Exemplo 9: Dado o vetor velocidade (f) (g) (h) (i) (j) ( ) ( ) r V = − y 3 − 4 z ˆj + 3 y 2 z kˆ Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. z ) kˆ r Portanto o escoamento não é dependente do tempo (regime permanente) ( C) Determinar a aceleração da partícula r r r r r DV ∂V ∂V ∂V ∂V = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z r r r a p = a p ( Local ) + a p (Convectiva ) r ∂V Como se trata de regime permanente a contribuição da aceleração local é nula: =0 ∂t r r r r DV ∂V ∂V ∂V =u +v +w Dt ∂x ∂y ∂z r ∂V = 0 (escoamento bidimensional com u=0) u ∂x r ∂V v = (− y 3 − 4 z )(−3 y 2 ) ˆj + (− y 3 − 4 z )(6 yz )kˆ ∂y r ∂V w = (3 y 2 z )(3 y 2 )kˆ ∂z ( ) ( ) ( ) ( ) r DV = 3 y 5 + 12 zy 2 ˆj − 6 y 4 z + 24 z 2 y kˆ + (9 y 4 z )kˆ Dt r DV = 3 y 5 + 12 zy 2 ˆj + 3 y 4 z + 24 z 2 y kˆ Dt Jorge A. Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e da convectiva. V = V ( x. t ) Neste caso: V = u ( y.w). r V = vˆj + wkˆ (B) Verifique se o escoamento permanente ou não permanente. y. z ) ˆj + w( y. Resposta: Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z (v. z . r V = v( y.w). z )kˆ P Desta forma o vetor rotacional pode ser simplificado: v 1 ∂w ∂v ˆ 1 ∂u ∂w ˆ 1 ∂v ∂u ˆ ω = − i + − j + − k 2 ∂y ∂z 2 ∂z ∂x 2 ∂x ∂y v 1 ∂w ∂v ˆ ω = − i 2 ∂y ∂z ∂w = 6 yz ∂y ∂v = −4 ∂z Desta forma o escoamento é rotacional já que ω ≠ 0 v v 1 ω = (6 xz − 4)iˆ 2 C-40 PUCRS . ( ) ( ) Lembrando que o vetor velocidade é dado por: V = − y 3 − 4 z ˆj + 3 y 2 z kˆ r Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z (v. z ) ˆj + w( y. Para que o fluido seja incompressível deve satisfazer a equação: r ∂u ∂v ∂w ∇V = + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂u =0 ∂x ∂v = −3y 2 ∂y ∂w = 3y 2 ∂z Desta forma verifica-se que o escoamento é incompressível. r ∂v ∂w ∇V = + = −3 y 2 + 3 y 2 = 0 ∂y ∂z (E ) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional.Mecânica dos Fluidos ( D ) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. Villar Alé C-41 .98 − 2.y)= (-2.3) (e) Determine a expressão geral do vetor de aceleração da partícula de fluido.8 x + 0.y)= (-2. (f) Avalia a aceleração da partícula de fluido para o ponto (x.1x − 2.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Exemplo 10: Um campo de velocidade de uma partícula de fluido é dada por: r V = (1 + 2.65 y )iˆ + (−0.8 y ) ˆj (d) Determine a velocidade da partícula de fluido para o ponto (x.3) Jorge A. Mecânica dos Fluidos 1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS – Cinemática (Cap.4) [1] Uma partícula de fluido apresenta o vetor de velocidades: V ( x, y, z , t ) = 2 xt iˆ − yt 2 ˆj + 3 xz kˆ . Determinar: r (a) Se o escoamento é uni, bi ou tridimensional. (b) Se o escoamento é permanente ou não-permanente. ( c ) Aceleração total da partícula (d ) Aceleração total para (x,y,z)=(2,-2,0) (e) Velocidade e aceleração da partícula para t=2s em (2,-2,0). [2] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: V = 3t iˆ + xz ˆj + ty 2 kˆ r Determinar a equação que representa a aceleração da partícula. [3] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: V = y 2 z 2 iˆ + 2 xyz 2 ˆj + 3 x 3 z kˆ r (a) Determine se o fluido é rotacional ou irrotacional (b) Se a componente da velocidade em z é nula, verifique se o fluido é rotacional ou irrotacional. [4] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: V = ax 2 t iˆ − ay 3 t 2 ˆj + e 2 z r Determinar a equação que representa a aceleração da partícula. [5] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: V = r Verifique se o fluido é compressível ou incompressível. 2 kˆ x 3 z ˆ 2 x 3 z ˆ 3x 2 z 2 ˆ i− j− k y y2 y2 [6] Dado o campo de velocidades V = 6 x 2 y iˆ − ( 4 x − 4 z ) ˆj + 12 z 2 kˆ Determine o campo de velocidades angular r ou rotacional. [7] Verifique quais dos seguintes campos de velocidades satisfaz a Eq. da continuidade. (a) u = − x (d) u = 3 xy C-42 v=y v = 3 yt (b) u = 3 y v = 3x (e) u = xy + y 2 t (c) u = 4 x v = xy + x 4 t v = −4 y (c) u = 4 x 2 y 3 v = −2xy 4 PUCRS Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos EXEMPLOS CONSERVAÇÃO DA MASSA ( Cap. 5 ) Jorge A. Villar Alé C-43 Mecânica dos Fluidos 1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Conservação da Massa (Cap.5) [1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0. [2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é dada pela equação: r r 2 V = U max 1 − iˆ R Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. Determine o fluxo de massa da tubulação. [3] Um dispositivo semelhante ao da figura abaixo é utilizado para escoamento de água em regime permanente. As áreas das A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2. O fluxo de massa através da seção (3) é de 60 kg/s, considerado saindo do dispositivo. A vazão entrando na seção (4) é igual a 0,03m3/s. A velocidade entrando na seção (1) é igual a V1=3,0i m/s. Considerando as propriedades do fluido uniformes através de todas as entradas e saídas do fluxo determine o fluxo e massa e velocidade na seção (2). [ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. Aplique a Eq. integral da conservação da massa para obter uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório. C-44 PUCRS • Na superfície (1) o fluido esta saindo e o produto ρVdA é positivo (+). Villar Alé C-45 .Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução Exemplo 1 [1] Um tanque com volume de 0. Equação Básica ∂ ρd∀ + ρVrdAr = 0 ∫sc ∂t ∫vc Hipóteses: (1) As propriedades no tanque são uniformes. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante.48 kg/m3 no momento de ser aberta a válvula (t=0).05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa.48 3 / s ∂t 0. • Se as propriedades são uniformes na superfície (1) r r r r ∫sc ρVdA = ∫A1 ρVdA ∫ A1 r r ρVdA = ρ 1V1 A1 ∂ (ρ∀) + ρ1V1 A1 = 0 ∂t • Como o volume do tanque (v. (2) Escoamento uniforme na seção (1). em t=0.13 3 x m2 x ∂ kg (ρ ) = − m 1000 s 3 1000 x1000 = −2. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque. • Como ∫ d∀ = ∀ vc ∂ ( ρ ) d∀ + ρVrdAr = 0 ∂t ∫vc ∫sc ∂ ρ∀ + ρVrdAr = 0 ∂t ∫sc • O fluido atravessa a fronteira unicamente na seção (1). No tempo t=0 o ar escapa do tanque através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 .) não é uma função do tempo: ∀ ∂ (ρ ) = − ρ 1V1 A1 ∂t ∂ (ρ ) = − ρ 1V1 A1 ∂t ∀ 65 kg 311 m 6. O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa especifica de 6. porem dependentes do tempo.13 kg/m3. Jorge A. Como as propriedades são uniformes: Podemos retirar ρ da integral do primeiro termo.05 m m • ( ) ( ) Significa que a massa especifica esta diminuindo a uma taxa de 2.c. A velocidade V é dada pela equação: r r 2 V = U max 1 − iˆ R Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. Solução: A Eq. Determine o fluxo de massa da tubulação. r r r r r r m& = ∫ ρ 1V1 dA1 = ∫ ρ 2V2 dA2 = ∫ ρVdA Considerando o elemento de área da seção do tubo : dA = 2πrdr r 2 m& = ρ ∫ u max 1 − (2πr )dr R 0 R r 2 m& = ρu max 2π ∫ 1 − rdr 0 R Resolvendo a integral : R r 2 r2 r4 1 − rdr = − ∫0 R 4 2 R R2 m& = ρu max 2π 4 1 R 2 R2 R4 = − 4 0 2 R 1 R 2 u u = ρ max πR 2 = ρ max A 2 2 Pode ser verificado que neste escoamento laminar a velocidade media é C-46 R2 R2 R2 − = = 4 4 2 u= u max 2 PUCRS .Mecânica dos Fluidos Solução Exemplo 2 [2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: ∂ ρd∀ + ρVrdAr = 0 ∫sc ∂t ∫vc Hipóteses: • Escoamento permanente • Escoamento incompressível • Velocidade não-uniforme nas seções onde o fluido cruza as fronteiras. 02m 2 = −60kg / s (-) entrando no v.c. Significa que ρVdA = ρV1 A1 = − ρV1 A1 = m& 1 o fluido esta entrando na seção 1 no v. = ρV3 A3 = m& 3 A3 ∫ ρV A3 (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução Exemplo 3 [3] Dados Áreas: A1=0.c.c.c. significa que na seção (3) o fluido está saindo do v. Por tanto os vetores velocidade e de área apontam no mesmo sentido. Básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: ∂ ρd∀ + ρVrdAr = 0 ∫sc ∂t ∫vc Hipóteses: (1) Escoamento permanente (2) Escoamento incompressível (3) Propriedades uniformes em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras.03m3/s Velocidade em (1) kg (+) s r m V1 = 3.05 s Obs. Notamos que os ângulos de inclinação das seções 3 e 3 não são necessários para avaliar o fluxo de massa. Aplicando a Eq. Villar Alé C-47 . r r ρ V ∫ dA =m& 1 + m& 2 + m& 3 + m& 4 = 0 sc m& 1 = − ρV1 A1 = 1000 kg m x3.02m2 A2=0. 03 = −30kg / s (-) entrando no v.05m2 A3= A4=0. s m& 4 = − ρV4 A4 = ρQ4 = 1000 Para determinar a velocidade em (2): m& 2 = ρV2 A2 r m& 30 m V2 = 2 = = 0. Significa que o fluido esta entrando na seção 4 no v.c. kg m3 x 0 .c.0iˆ s Consideramos a massa específica da água igual a 1000 kg/m3 A Eq. As seções onde o fluido atravessa as fronteiras: r r r r r r r r r r ρ V d A = ρ V d A + ρ V d A + ρ V d A + ρ V ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ dA = 0 Considerando escoamento uniforme e propriedades uniformes nas seções de entrada e saída do fluido no v.c.c. r r (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. ∫ ∫ A1 r r ρ V ∫ dA = A1 A2 A2 sc ∫ ρV 2 A2 = ± ρV2 A2 = m& 2 ∫ ρVdA = ∫ ρV A r r 3 A3 r r ρ V ∫ dA = A4 A1 3 4 A4 = − ρV4 A4 = m& 4 A4 A3 A4 Não sabemos se o fluido esta entrando o saindo nesta seção (+) Pelo enunciado sabemos que o fluido esta na seção 3 saindo do v.6 ˆj (aponta em sentido negativo do eixo y) ρA2 1000 x0. Jorge A. s m3 m& 1 + m& 2 + m& 3 + m& 4 = −60 + m& 2 + 60 − 30 = 0 kg m& 2 = 30 Como o valor é positivo (+). 3 s m m& 3 = 60kg / s (+) saindo do v.04m2 Fluxo de massa em (3): m& 3 = 60 Vazão em (4) : Q4=0.6m / s na forma vetorial: V2 = −0.0 x0. 18m2.025 x0.6 = = = 0.075 x0.0172m / s ∂t 4 Ares 4 0. Na figura D1=25mm.18 C-48 PUCRS . D2=75mm V1=0. ρ ∂ d∀ − m& 1 − m& 2 = 0 ∂t dh Q1 + Q2 A1V1 + A2V2 = = ∂t Ares Ares ( ) ( ) 2 2 dh π D12V1 + D22V2 π 0.9m/s e V2=0.6m/s.9 + 0.Mecânica dos Fluidos Solução Exemplo 4 [ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. integral da conservação da massa se obtém uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório dada por: ρ Ares dh − m& 1 − m& 2 = 0 dt Determinar dh/dt considerando que a área do reservatório: Ares=0. Aplicando a Eq. 5 ) Jorge A. Villar Alé C-49 .Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos QUANTIDADE DE MOVIMENTO ( Cap. Determinar a força horizontal sobre o suporte.Determine as reações nas direções x e y.5) [1] Água saí de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. [2] Um jato de água de 25. Determinar: força necessária para manter o cotovelo no lugar. Na saída a seção é igual a 0. (b) Determine a forças resultante e o ângulo em que atua.0025 m2 e o fluido é descarregado a pressão atmosférica (101kPa). C-50 PUCRS .10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Quantidade de Movimento (Cap. [3] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900 em regime permanente.01m2.4mm de diâmetro com velocidade de 6. Na entrada a pressão absoluta igual a 221 kPa e seção igual a 0. [4] Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água. e com velocidade igual a 16 m/s.05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo θ definido na figura é igual a 600. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s.01 m2 .Mecânica dos Fluidos 1. A área do bocal é de 0.1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Considere o jato como sendo com diâmetro de 100mm.57 N Ry= 1530. Obs. Determine pelo método simplificado. [ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado na Figura. Villar Alé C-51 . (b) Qual a vazão do jato. (Massa especifica da água 1000 kg/m3). A velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Obs. Na tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900 kg/m3 com vazão de 150 m3/h. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade do jato.39 N [ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [ 5 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. O ângulo da placa é de 600 Respostas: Rx=883. O fluido escoa de (1) para (2). [ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. Jorge A. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa. x: C-52 PUCRS .c. A área do bocal é de 0. Determinar: Força resultante. Fx = p atm A + R x − p atm A Por tanto Fx = R x A quantidade de movimento na direção .x. r r r r Fs = ∫ VρVdA sc Analisamos as forças na direção . Dados: r Velocidade do jato: V = 15iˆm / s Pressão atmosférica Patm=101 kPa. Área do bocal: An=0.Mecânica dos Fluidos Solução Exemplo 1 Água saiu de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo.01m2.C.y) e um volume de controle (v. Determinar a força horizontal sobre o suporte. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s. Equações Básicas r r r r r r Fs + FB = ∂ ∫vcVρd∀ + ∫scVρVdA ∂t Hipóteses: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.01m2. Fluido água ρ=1000 kg/m3 Solução: Escolhemos um sistema de coordenadas (x. Forças de campo desprezíveis.) como mostrado na figura. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (+) do eixo x. Como todo o sistema está submetido a pressão atmosférica sua atuação anula-se.01m 2 = 150kg / s (+) saindo do v.01m 2 = −2250 N s s m r r R x = ∫ uρVdA = −2250 N Como é negativo aponta no sentido contrário do eixo x. m& = ρu1 A1 = 1000 kg m x15 x0. − uρV1 A1 = −15 m kg m x1000 3 x15 x0. s s Obs.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos r r r r r ∫ VρVdA = ∫ uρVdA sc x A1 { } r r r r u ρ V d A = u − ρ V dA = − uρV1 A1 ∫ ∫ A1 A1 O vetor velocidade apresenta uma única componente V1=u1=15m/s. Villar Alé C-53 . Jorge A.c. A1 Na forma vetorial Fs = −2250iˆN Método simplificado r No método simplificado : Fx = ρQ(u 2 − u1 ) Fx = m& (u 2 − u1 ) A massa especifica é determinada com as condições da seção 1. 3 s m A velocidade na seção 2 é igual a zero (u2=0) Fx = −m& u1 = 150 kg m x15 = −2250 N Aponta no sentido contrário ao eixo x. c. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x. Forças de campo desprezíveis. Dados: Velocidade do jato: V = 15iˆm / s Pressão atmosférica Patm=101 kPa.) Igualando os termos: C-54 PUCRS . Equações Básicas r r r r r r Fs + FB = ∂ ∫vcVρd∀ + ∫scVρVdA ∂t Hipóteses: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água.x.c.) como mostrado na figura.1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura.Mecânica dos Fluidos Solução: Exemplo 2 Um jato de água de 25.y) e um volume de controle (v. Fluido água ρ=1000 kg/m3 Solução: Escolhemos um sistema de coordenadas (x. r r r r Fs = ∫ VρVdA sc Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo .x: ∫ uρVdA = ∫ u {− ρV dA }= − u ρV A r r r r 1 A1 A1 1 1 1 1 1 (fluxo entrando no v. r Área do bocal: Djato=0.0251m.4mm de diâmetro com velocidade de 6. sc Fsx = p atm A − R x − p atm A Por tanto Fsx = − R x A quantidade de movimento na direção .x) r r Fsx = ∫ uρVdA Analisamos as forças na direção . O jato escoa livremente na atmosfera. 1m/s e desta forma: Fx = −m& u1 = 3.98 N s s m Análise de escoamento em (2) .y.98 N (Com o sentido admitido originalmente no sentido positivo (+) Método simplificado O fluxo de massa é dada por: m& = ρu1 A1 = 1000 Fx = m& (u 2 − u1 ) Fy = m& (v 2 − v1 ) Jorge A.1 x0.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos − R x = −u1 ρV1 A1 e por tanto Rx aponta no sentido contrário ao admitido Vetor velocidade: Ponto (1) V = 6.1m/s. Villar Alé kg m kg x6.1 x0.98 N C-55 .98 N Fy = m& v 2 = 3.00051m 2 = 18.1 = −18.11x6.1 x0.00051m 2 = 3.c.(Somente agem forças no eixo .98 N s s m R y = v 2 ρV2 A2 = 19.1 = 18.1m/s.y) r r Fsy = ∫ v 2 ρV2 dA2 Analisamos as forças na direção .1iˆm / s e desta forma u1=6.1 m kg m x1000 3 x6.11x6.1 m kg m x1000 3 x6.0251m.) A2 A2 v 2 ρV2 A2 = 6. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+).11 3 s s m u1=6.1x10-4m2 r R x = u1 ρV1 A1 = 6. } r r r r ρV2 dA2 = ∫ v 2 + ρV2 dA2 =v 2 ρV2 A2 (fluido saindo da s. A2 Fsy = p atm AH + R y − p atm AH Por tanto Fsy = R y Pela conservação da massa em (2) ∫v 2 { r V = 6.1m/s u2=0 e desta forma: v1=0 v2=6. e A1=A2=5.1 ˆjm / s e desta forma: v2=6.000511m 2 = 18. Consideramos que o jato é uniforme Área do bocal: Djato=0. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+). Para simplificar trabalharemos com a pressão relativa Fsx = p r1 A1 − R x A1= 0.0 x0.y. Na seção (1) da entrada o diâmetro é 120 mm.C. Na seção (2) da saída ó diâmetro é igual 60 mm sendo o fluido descarregado a pressão atmosférica com velocidade igual a 16 m/s. Desta forma analisamos unicamente as forças de superfície: Fsy = p r 2 A2 + R y = { como pr2=0.c.c. Obs. A componente de força de campo FBy não pode ser avaliada já que não conhecemos o volume ou a massa de fluido no interior de cotovelo.Mecânica dos Fluidos Solução: Exemplo 3 [ 3 ] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900 em regime permanente.0 x1000 3 x 4. No presente exercícios consideramos desprezível força de campo FB .0113m2 A2= 0.x) r r Fsx = ∫ uρVdA sc ( considerando força de campo FBx=0) Analisamos as forças na direção .) m kg m u1 ρV1 A1 = 4.28 s s m Análise de escoamento em (2) (Somente agem forças no eixo . r r r r r r Fs + FB = ∂ ∫vcVρd∀ + ∫scVρVdA ∂t Hipotese e escoamento: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V. a velocidade é igual a 4m/s e a pressão relativa igual a 120 kPa.x: ∫ u ρV dA = ∫ u {− ρV dA }= − u ρV A r r 1 A1 1 r r 1 1 1 1 1 1 1 A1 (fluxo entrando no v.x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x. Determinar: A força resultante Rx e Ry.00283m 2 = 45.0113 + 160 N = 1516 N kg m kg m& = ρV2 A2 = 1000 3 x16 x0.) (+) m kg m x1000 3 x 16 x0.0113m 2 = 160 N s s m R x = p r1 A1 + u1 ρV1 A1 R x = ( p r1 )A1 + u1 ρV1 A1 R x = (120 x1000 )0. } Fsy = R y r r r r v ρ V d A = v + ρ V 2 2 2 2 2 dA2 =v 2 ρV 2 A2 ∫ ∫ A2 A2 (fluido saindo da s. Apresente a equação integral geral do problema e aplique as simplificações (hipótese) do escoamento.00283m2 A quantidade de movimento na direção .y) r r Fsy + FBy = ∫ v 2 ρV2 dA2 A2 Analisamos as forças na direção . Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo .00283m 2 = −724 N s s m R y = v 2 ρV2 A2 = −724 N (Contrario ao sentido admitido originalmente) v 2 ρV2 A2 = −16 C-56 PUCRS . 73 Como v1 aponta em sentido contrario ao eixo-x fica com sinal negativo: v1= -5.5) ≈ 693 N 2 Ângulo formado pela resultante: Jorge A.5) 2 + (669.5 N s (Aponta em sentido contrário ao eixo .x) Força Resultante em x: ∑F y = R y = 50 kg (7. (b) Determine a força resultante e o ângulo em que atua. Villar Alé Tanφ = Ry Rx ≈ 75 0 C-57 . Determine as reações nas direções x e y. (a) Considere que o ângulo θ definido na figura é igual a 600.5 N s (Aponta no mesmo sentido que o eixo .07 u1 = V1 cos 450 = 8 cos 450 = 5.66) = −179.05m3/s e uma velocidade de 8m/s.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução: Exemplo 4 Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0.c.y) Força Resultante: R = R x2 + R y2 = (−179.66 s v2 = V2 sin 750 = 8 sin 750 = 7. r V1 = u1iˆ + v1 ˆj r V2 = u 2 iˆ + v 2 ˆj Componentes da velocidade em x: O ângulo formado entre o plano horizontal e o veto V2 é: 1800 – (450 + 600)= 750 u2 = V2 cos(750 ) = 8 cos 750 = 2. No método simplificado: Equações utilizadas: ∑F x ∑F y = m& (u 2 − u1 ) = m& (v 2 − v1 ) O fluxo de massa pode ser determinado como: m& = ρV1 A1 = ρQ = 1000 kg m3 kg x 0 .66m/s Força Resultante em x: ∑F x = R x = 50 kg (2.07 − 5.73 + 5.66 ) = 669.66 Componentes da velocidade em y: m s m s m s m v1 = V1 sin 45 0 = 8sin 45 0 = 5. 05 = 50 3 s s m Resta determinar as componentes dos vetores de velocidade na entrada e saída do v. 5m / s 2 m3 m = 0.052 PUCRS . • Escoamento uniforme na entrada (1) e na saída (2). (Massa especifica da água 1000 kg/m3).118 s − Rx = 1000 x0.118 x(7.Mecânica dos Fluidos Solução: Exemplo 5 [ 5 ] Determine a força horizontal exercida sobre a superfície mostrada na figura.12 x s 4 Rx = 883. A velocidade do jato de água é igual a 15m/s.88m / s 2 ρπD 1000π 0. ∑F ∑F y = − m& (v1 ) + − m& (v2 ) y = − m& (v1 ) + 0 − W = − ρvAv W = ρv 2 v= C-58 πD 2 4 4W 4 x700 = = 18. • Escoamento com considerando fluido incompressível. r r r r r r Fs + FB = ∂ ∫vcVρd∀ + ∫scVρVdA ∂t Hipóteses: • Escoamento em regime permanente. • Escoamento com velocidades unidimensionais. Fazendo analise em x: ∑ Fx = ρQ(v x2 − v x1 ) onde: v x1 = 15m / s v x 2 = 15 cos 60 = 7.5 − 15) Q = V1 A1 = 15 m πx0.C.4 N Solução: Exemplo 6 [ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. Não que existe variação das propriedades no tempo no V. Considere que a lamina de fluido mantém a mesma espessura em toda sua trajetória. P1=100kPa P2=80 kPa 150 3600 = 1.8 + 5652 = 5552 N 3600 Solução: Exemplo 8 [ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado na Figura. Obs. Determine pelo método simplificado.33m / s A1=A2 Velocidade media na tubulação: V = πD 2 4 ΣFx = ρQ(u 2 x − u1x ) − R x + P1 A1 + P2 A2 = ρQ(u 2 x − u1x ) − R x + (P1 + P2 )( A1 ) = ρQ(u 2 x − u1x ) conforme os eixo de coordenados: u1x=1.33 − 1.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução: Exemplo 7 [ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800.08m / s 1000 xπx60 2 C-59 . O fluido escoa de (1) para (2).33m/s e u2x= -1. ∑F y = ρQ(v 2 − v1 ) ∑F y = −W = −825 N − 825 = ρv1 A(0 − v1 ) 825 = ρv12 A v1 = 825 = πD 2 1000 x 4 Jorge A. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa. Villar Alé 4 x825 x1000 x1000 = 17.33m/s R x = − ρQ(u 2 x − u1x ) + (P1 + P2 )( A1 ) R x = 900 x 150 x(−1.33) + (100 + 80 )x0. (b) Qual a vazão do jato. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade do jato. Na tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900 kg/m3 com vazão de 150 m3/h.0314 = −99. Obs. 75N [ 4 ] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. Determine a força horizontal necessária para conter a placa.25 N Ry=-212. Os manômetros instalados antes e após o bocal apresentam as pressões indicadas na figura. Considere um fluxo de massa igual 15.7 KPa (b) Rx=164.32kPa. O ângulo da placa é de 600 R:: Rx=883. (1) V1=5m/s (2) D1=8cm água D2=5cm P2=Patm h=58cm y x mercúrio [5 ] A figura mostra um bocal convergente montado numa linha de uma tubulação industrial. Considere que o fluido e gasolina com massa especifica igual a 680 kg/m3. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s.57 N Ry= 1530. Os diâmetro da tubulação é D1=100mm e o diâmetro do bocal na saída é D2=30mm.11 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO [ 1 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. C-60 PUCRS . ρágua=1000 kg/m3 . Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. R: 981.Mecânica dos Fluidos 1. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101.29 Kg/s e pressão relativa em (1) igual a p1=232 kPa. Parte do jato atravessa pelo orifício.60 N [ 3] O jato de água de 6 cm de diâmetro atinge uma placa contendo um orifício de 4cm de diâmetro. Determine a forças resultantes (Rx e Ry) sobre o flange. R:: Rx=2105. Considere o jato como sendo com diâmetro de 100mm. ρHg=13600 kg/m3 (a) 71.39 N [ 2 ] Considere uma tubulação que escoa água com a curva mostrada na figura. e parte é defletida. Determine a forca Rx que deve ser exercida pelos tubos adjacentes para suportar o bocal convergente.4 N. (a) Determine a pressão relativa na seção (1) ( b ) Determine a força total que os flanges resistem. O ângulo em relação ao plano horizontal é igual a 400. A velocidade do jato de água e igual a 15m/s. A diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 é 24. Determine a velocidade na seção de saída. Obs.72kPa. O jato fica dentro de uma corrente secundaria de água com velocidade V1=3. A água sai a pressão atmosférica em forma de jato devido a placa plana com diâmetro de 100 mm. Massa especifica da água 1000 kg/m3 ‘ [ 10 ] Num Venturi escoa água conforme mostrado a figura.075m2.0m/s.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [ 7 ] No sistema representado na figura escoa água em regime permanente (ρ=1000 kg/m3). Considere d1 = 2d2 = 16cm.01m2 e uma velocidade Vj=30m/s. Sistema em regime permanente e propriedades uniformes na entrada (1) e saída (2) do fluido. [ 9 ] Uma bomba de jato de água tem área de Aj=0. Jorge A. Obs: água 1000kg/m3 mercúrio 13600kg/m3. O ângulo da placa inclinada é igual a 450. Determinar a força resultante no eixo-y (Ry) considerando que a velocidade V1=10m/s sendo o diâmetro da lamina de fluido homogênea e igual a 30mm. A área total do duto e A2=0. Na entrada da bomba as pressões do jato e da corrente secundaria são iguais. Desconsiderar a perda de carga. O manômetro de mercúrio indica uma altura H=20cm. [ 8 ] Determinar a força de reação no sistema apresentado na figura no qual escoa água (ρ=1000 kg/m3 ) numa tubulação de 400mm de diâmetro com velocidade media igual a 5 m/s. A água e eficazmente misturada e deixa a bomba com uma corrente uniforme na seção 2. Villar Alé C-61 . Calcular o fluxo de massa no sistema. Mecânica dos Fluidos EXEMPLOS ESCOAMENTO VISCOSO INTERNO C-62 PUCRS . µ=4. Obs.4 kPa/m (c) τW = 204 N/m2. a vazão de descarga da bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig. Considere água a 200C. R: 27. numa vazão de 1.7) [ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0.s Determine (a) a perda de carga da tubulação.0 m/s.6x10-1 Pa. A 200C a água tem uma massa específica igual a 999 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1. para graficar o perfil de velocidades. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser desprezadas. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0.4MW [4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC utilizando uma bomba acionada por motor de combustão interna.93 e viscosidade cinemática igual 1. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede.86. A rugosidade do tubo é de 0. (d) A eq.12 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Escoamento Viscoso em Dutos (Cap. Villar Alé C-63 . [5] Numa planta de processamento químico. determine potência que deve ser fornecida em cada estação de bombeamento.91m. R: (a) hL=13. Jorge A.6 e Cap.179x10-6 m2/s.1464mm.s. Antes do ponto A esta instalada uma bomba.0149.s) de uma ponto A até um outro ponto B com uma pressão de 550kPa. Na sua faixa de operação de maior eficiência. Com relação à horizontal. O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol.3 m (b) 5. A pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução é 50psi. deve transportar-se benceno a 500C (d=0. Se a eficiência da bomba é 85%. Determine o diâmetro do tubo padrão que pode ser empregado. Considere que a perda de carga na tubulação igual a 3. A glicerina esta a uma temperatura de 25oC e com o qual a massa especifica é igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9. Para tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as estações de bombeamento. os borrifadores devem trabalhar a 30psig ou mais. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. [2] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa glicerina com uma velocidade media igual a 4. (d) V=6.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 1. R: 760kPa. (e) O valor da velocidade para r = R/2.1m3/s.2x10-4 Pa. R: ∆P=16 kPa τW = 60 N/m2.0x10-3 Pa. Obs.0m/s [ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca. A pressão máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi.6 milhão de barris por dia (1barril=42galões). O fator de atrito da tubulação é igual a 0. (c) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. Para uma operação satisfatória. o ponto A esta 21 metros abaixo do ponto B. (b) o gradiente de pressão da tubulação. O ponto A esta conectado ao ponto B por uma tubulação de pvc nova com diâmetro interno igual a 50mm. Determinar a pressão requerida na saída da bomba considerando que o benzeno deve ser transportado com uma vazão de 110 litros/min. mercúrio [8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A para B. [ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma tubulação com 750mm de diâmetro para uma unidade geradora (turbina) e sai para um rio que localizado a 30 metros abaixo da superfície do reservatório. Obs: massa especifica da água 1000 kg/m3 [ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media igual a 4. A vazão e igual a 2. ( b ) Aplicando a Eq. • Determine a potencia da maquina considerando um rendimento global de 88%.32kPa. A perda de carga do sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m).32 kPa) Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para que o fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo.7x10-3 Pa.2m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro o qual apresenta um rugosidade ε=0. [ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea com diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a 0.002. C-64 PUCRS .s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2) ( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem. O diâmetro da tubulação é igual a 50mm. A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 1. A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída do fluido na tubulação é igual a 15m.26mm. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Obs.0 m3/s. Nestas condições. no diagrama de Moody se obtém um fator de atrito igual a 0. (b) Determine a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido do escoamento. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm.s. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9. Determine a perda de carga da tubulação.Mecânica dos Fluidos [6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção.. ρHg=13600 kg/m3 (1) V1=5m/s (2) D1=8cm água D2=5cm P2=Patm h=58cm y x [7] Óleo escoa com uma vazão de 0. (a) Determine a perda de carga na tubulação. Ambos reservatórios estão abertos á atmosfera. ρ=900 kg/m3 ν=0. A perda de carga da tubulação e acessórios e igual a 27. ( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1).29m.0225.0 m/s.00001 m2/s. ρágua=1000 kg/m3 .6x10-1 Pa. Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m3/h. Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica (101. 02x10-6 m2/s. [ 14 ] Determine a perda de pressão (Pa) e o coeficiente de perda de carga num laminador de fluxo instalado num duto de 50 cm de diâmetro no qual escoa ar a 200C com ρ=1.s.999 e viscosidade dinâmica igual a 1. considere para água a 200C a densidade igual a 0.1 m3/s.001 sendo que o coeficiente de atrito da tubulação igual a 0.2 kg/m3 µ=1. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de pressão na tubulação.1m e Z2=36. Considere Z1=6.s.0x10-3 Pa. Obs.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e comprimento igual a 10m e rugosidade relativa igual a 0.1m [ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0. Determinar a tensão de cisalhamento. Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um rendimento global de 70%.0x10-3 kg/m. ] Z2=36. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1.2.6 litros/s.8x10-5 Pa. Obs. O laminador e formado por tubos lisos de 30 cm de comprimento e 4 mm diâmetro.002 no qual escoa água a 20oC com uma vazão de 0. Determinar a perda de carga entre os pontos A e B em função da leitura manométrica do sistema apresentado na figura abaixo. [ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5. A rugosidade relativa e igual a 0. Massa especifica da água 1000 kg/m3). [13] Uma experiência de laboratório foi realizada na disciplina para determinar a perda de carga entre os pontos A e B distantes 150cm numa tubulação de 7mm de diâmetro.(b) a potencia de acionamento da bomba. numa tubulação de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro.1m3/s.6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba). Jorge A.6. Qual será a perda de carga na tubulação em metros de coluna de água. (Densidade do mercúrio 13.6m Z1=6. Villar Alé C-65 .s. ρ=1000 kg/m3 ν=1. O somatório de todos os coeficientes de perda de carga dos acessórios e igual a Σk=13.0216. 0149 x x = 1.Mecânica dos Fluidos Solução: Exemplo 1 [ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0.66m/s. 2.15 15.88kPa Desta forma a tensão de cisalhamento na parede é dada como: τw = C-66 D ∆p 0.0x10-3 Pa. continuidade determinamos a velocidade que é igual a 5.81 ≡ 15.62mca D 2g 0.06kPa = 60 2 4 L 4 10 m PUCRS . O fator de atrito da tubulação é igual a 0. da energia: p A u A2 p u2 + + z A − hL = B + B + z B ρg 2 g ρg 2 g como a tubulação é horizontal (z1=z2) e do mesmo diâmetro (v1=v2) p A pB − = hL ρg ρg onde a perda de carga é dada por: L v2 10 (5. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1. Pela Eq.66 ) hL = f = 0.88 N = x = 0. Para determinar a variação de pressão na tubulação utilizamos a Eq. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede.62 x999 x9.2m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm.s.0149.81 2 p A − p B = ρghL = 1.15 2 x9. 1. 6x10-1 Pa. r 2 u = u max 1 − R com umax=2umedio = 2x4m/s=8m/s r 2 u = 8.s Determine (a) Perda de carga da tubulação.4 L 30m m Tensão de cisalhamento na parede da tubulação τW f v 2 64 v 2 = ρ = ρ 4 2 Re 8 desta forma τW 64 42 N = x1258 ≅ 204 2 786 8 m A equação apropriada para graficar o perfil de velocidades. D=150mm T=25oC L=30m µ=9. (c) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. Jorge A.01 − =6m/s 2 C-67 .6 x10 −1 Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: hL = 64 L v 2 Re D 2 g 64 L v 2 64 30 (4) = 13.28 x1258 x9. (d) A equação apropriada para graficar o perfil de velocidades.Escoamento La min ar ν 9.28mca = x Re D 2 g 786 0.0 x0.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução: Exemplo 2 [ 2 ] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa glicerina com uma velocidade media igual a 4.81 ≅ 163kPa O gradiente de pressão ∆p 163kPa kPa = = 5. A variação de pressão ∆p = ρghL = 13.0m/s ρ=1258 kg/m3 Perda de carga da tubulação.15 2 x9. Determinamos o Número de Reynolds Re = VD 1258 x 4.81 2 hL = Determine o gradiente de pressão da tubulação.0 m/s. Villar Alé 1 2 u = 8.6x10-1 V=4. (b) Determine o gradiente de pressão da tubulação.01 − R O valor da velocidade para r = R/2. A glicerina esta a uma temperatura de 25oC e com o qual a massa especifica é igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9. (e) O valor da velocidade para r = R/2.15 = ≅ 786 . 86kPa) P2=50 psi.86 − 344.6 x10 6 x 42 = 46666.1464mm D=48 pol ( 1220mm) DR=0.97x10-5m2/s.81 (neste caso de Petróleo bruto) LV2 hL = f D 2g Com tal equação podemos explicitar o comprimento da tubulação C-68 PUCRS . p1 u12 p u2 + + z1 − h L + H A = 2 + 2 + z 2 ρg 2 g ρg 2 g Simplificações • • • m3 s Não existem equipamento adicionado ou retirando energia entre o ponto 1 e 2 portanto HR=0 e HA=0 A tubulação apresenta o mesmo diâmetro portanto v1=v2.67 24 x60 min Conversão 01 galão/min = 6.6 x10 6 barris dia 01 barril = 42 galões Q = gal 1. (275.83 kPa) Ferro galvanizado ε=0.897kPa P1=1200 psi. Escoamento numa tubulação: comprimento desconhecido Dados: Q=1.6 milhão de barris por dia (1barril=42galões). A pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução é 50psi.93 e viscosidade cinemática igual 1.5psi. Para tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as estações de bombeamento. numa vazão de 1.97x10-5 m2/s. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0.32m.93 oú ρ=930 kg/m3 ν=1.309 x10 −5 = 2.67 x6. determine potência que deve ser fornecida em cada estação de bombeamento.309x10-5 m3/s Q = 46666. Se a eficiência da bomba é 85%. ou 1psi ≅ 6.1464mm.Mecânica dos Fluidos Solução: Exemplo 3 [ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca.83)x1000 = 869. (344. A pressão máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi. η=85% Q = 1. de Energia entre o ponto 1 e o ponto 2.94 Aplicamos a Eq. A rugosidade do tubo é de 0.c. Como os pontos estão na mesma altura z1=0 e z2=0.6 milhões de barris dia 100kPa = 14. Com tais simplificações se tem: hL = ( p1 − p 2 ) ρg = ∆P ρg o valor limite da perda a de carga é dada por: hL = (8275. O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol. fluido 930 x9. 81x 2.8km 2 f V 0.25log + 0 .2kW 0.55 x10 ) 3. η Bomba = Potência adicionada pela bomba ao fluido Potência fornecida para a bomba Desta forma a potência fornecida para a bomba: Pmotriz = H A ρgQ ηG Pmotriz = 869.55 x10 5 − 5 ν 1.32m A potência teórica adicionada pela bomba ao fluido pode ser determinada como: PA = H A ρgQ onde ρ é a massa específica do fluido e Q a vazão.1464mm/1220mm=0.74 = 0.22 2 x9.01722 2.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos ε / D 5. Villar Alé C-69 .7 Re D 2g L = hL f V2 −2 ε/D= 0.94 = 27432.51x1.81 L = hL = 869.01722 f = 0.22 = ≅ 1.32 x930 x9.94 = = ≅ 2.00012 a velocidade media Re = VD ν Re = VD 2.22 2 0.74 onde f = 0.00012 5. A eficiência da bomba é definida como a relação entre o potencial adicionado pela bomba ao fluido e a potência subministrada à bomba (potência motriz).7 D 2g 1.32 ≅ 191.512 −2 A bomba deverá fornecer (adicionar) no ponto 1 uma energia equivalente a perda de carga HA=hL=869.25log + 5 0 .85 Jorge A.51m / s A πD 2 π 1.9 3. 9 (1.97 x10 V= Q 4Q 4 x 2. 85 kPa) p1 u12 p u2 + + z1 − h L + H A = 2 + 2 + z 2 ρg 2 g ρg 2 g Simplificações • • • Não existem equipamento adicionado ou retirando energia entre o ponto 1 e 2 portanto HR=0 e HA=0 A tubulação apresenta o mesmo diâmetro portanto v1=v2.agua hL = f 1000 x9. ou 1psi ≅ 6.095 m3/s ν=1. 100kPa = 14.16 kPa) P2 >= 30 psig (206.02x10-6 m2/s ρ=998 kg/m3 L=152m C-70 PUCRS . os borrifadores devem trabalhar a 30psig ou mais. Com tais simplificações se tem: hL = ( p1 − p 2 ) ρg = ∆P ρg Assumindo os valores extremos estamos considerando ∆Pamx hL = (448.6m.897kPa P1<= 65psig.c. (448.5psi.85)x1000 = 24. Determine o diâmetro do tubo padrão que pode ser empregado. Como os pontos estão na mesma altura z1=0 e z2=0.16 − 206.02x10-6 m2/s.015mm Fluido: água a 200C Tabela: ρ=998 kg/m3 ν=1. a vazão de descarga da bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser desprezadas. Escoamento num Sistema de Irrigação: Diâmetro desconhecido Dados: Q=1500 gpm (95 lts/s) L=152m Tubo de PVC ε=0. Na sua faixa de operação de maior eficiência.81 LV2 D 2g Igualando os termos ∆P = f L V2 ρ D 2g (Pa) Para trabalhar com o diâmetro substituímos a velocidade pela vazão (V=Q/A): ∆P = f L ρ 4Q L ρ 16 Q 2 L 8 Q2 8 L 1 = f = f ρ = f ρ 2 Q2 5 D 2 πD 2 D 2 π 2 D4 D π 2 D5 D π D 2 Substituindo Q = 0.Mecânica dos Fluidos Solução: Exemplo 4 [ 4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC utilizando uma bomba acionada por motor de combustão interna. Para uma operação satisfatória. 000487 0. > ∆Pamx significa que devemos aumentar o diâmetro e recalcular. ( D=Q0. 3.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos ∆P = 1109. 6. Por exemplo Eq. Jorge A. Admitimos um valor para o diâmetro. Substituindo os dados = ν πD 2 ν πν D Re = 118586.04 D Procedimento Iterativo. Villar Alé C-71 .01435 0.01378 ∆Pcal. (Pa) 57 kPa < (241.001 Re 3. 7. Se ∆Pcal.31 kPa) 201.85x105 8x105 f 0. Com Re e e/D determinamos o fator de atrito f Com D e F obtemos a variação de pressão Se ∆Pcal.5) Determinamos o Re. 5. < ∆Pmax significa que podemos diminuir o diâmetro e recalcular Se ∆Pcal. ≅ ∆Pmax significa que o diâmetro assumido é adequado. de Bresse. Diâmetro (mm) 308 150 Continuar ε/D 0.31 kPa Quando o diâmetro não corresponde ao diâmetro comercial do tubo devemos recalcular e verificar os dados. 4. 2.715 f D5 VD 4Q D 4Q 1 = Re = . 1. 86.81 2 p A = 90 x860 x9.05 2 x9.81 = 759. ( 0. Antes do ponto A está instalada uma bomba.93 A 0. p A u A2 p u2 + + z A + H AD − H R − hLT = B + B + z B ρg 2 g ρg 2 g Simplificações: Como a bomba esta antes do ponto A HAD=0 .93) hL = f = 0.934 x0. Considere que a perda de carga na tubulação igual a 3. Com relação à horizontal.86 T=500C µ=4. o ponto A esta 21 metros abaixo do ponto B. Tomando como eixo de referencia o nível do ponto A: ( ZB . O ponto A esta conectado ao ponto B por uma tubulação de pvc nova com diâmetro interno igual a 50mm.2x10-4 Pa. Obs. µ=4.Mecânica dos Fluidos Solução: Exemplo 5 [5] Numa planta de processamento químico.c. fluido ρg 860 x9. Determinar a pressão requerida na saída da bomba considerando que o benzeno deve ser transportado com uma vazão de 110 litros/min.81m D 2g 0. Não existe turbinas retirando energia do sistema (HR=0) Como não existe perda de carga localizada (hLacc=0) hLT= hL Como a tubulação entre A e B não muda de diâmetro. Resposta: 760kPa. e explicitando a pressão em A: p A pB = + ( z B − z A ) + hLT ρg ρg Devemos determinar a perda de carga da tubulação hL = f Considerando: velocidade: v=Q/A =0. deve transportar-se benzeno a 500C (d=0.2x10-4 Pa.s PB=550kPa.018 x x = 3.934 m/s v= Reynolds: Re = ρV D µ Re = LV2 D 2g Q 0.ZA) =21m pA p + z A − hLT = B + z B ρg ρg reorganizando os termos.001964 860 x0.30kPa C-72 PUCRS .81 p A 550 x1000 = + 21 + 3.005 ≈ 9563 (escoamento turbulento) 4.2x10 .001834 = = 0. D=50mm (A=0.001964m2) Q=110 l/min. pela continuidade AA=AB e portanto vA=vB.018.4 com ε/D=0 . Dados: Fluido Benzeno d=0.s) de uma ponto A até um outro ponto B com uma pressão de 550kPa.tubo liso no Diagrama de Moody achamos f=0.001834 m3/s) Solução: Aplicamos a Eq. L V2 240 (0. de Energia entre o ponto A e B.81 = 90m.91m. 2 2 g Continuar: R: ∆P=265Pa. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2) ( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem.0225.00001 m2/s. ρ=900 kg/m3 ν=0.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução: Exemplo 6 [6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. da Quantidade de movimento. ( b ) Aplicando a Eq.81x0.7 x0.1N Solução: Exemplo 7 [7] Óleo escoa com uma vazão de 0.32kPa.3 − 7. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101.12(12. (b) Determine a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido do escoamento.07 = 0. L V2 500 6. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. ρHg=13600 kg/m3 (1) (2) D1=8cm V1=5m/s água D2=5cm P2=Patm h=58cm y x mercúrio Aplicando Eq.26mm.0225 = 116m D 2g 0.58 = 71.005 x1000 − 25. ( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1).37 2 hL = f = 0. ρágua=1000 kg/m3 .7 kPa (Relativa) Aplicando Eq. R x = p1 A1 − m& (v 2 − v1 ) = 71. Villar Alé C-73 .8 − 5) = 163. Jorge A.2m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro o qual apresenta um rugosidade ε=0. (a) Determine a perda de carga na tubulação.81 Aplicando Eq. Nestas condições.7 x1000 5 − 12. de Energia.81 2 x9. no diagrama de Moody se obtém um fator de atrito igual a 0. de Manometria: P1R = ( ρ M − ρ a ) gh = (13600 − 1000) x9.8 = = 7.23m + 1000 x9. p − p2 hL = 1 ρg v12 − v 22 + 2g 2 2 71. 012m3/s hL=12 m. a pressão relativa em A é dada como: p A =1000 x9. de energia aplicada entre os pontos A e B. A perda de carga do sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m). pA p u2 + z A − hL = B + B + z B ρg ρg 2 g Utilizando nesta expressão a pressão relativa.012 πx(0.05) 4 2 = 0.90 = 283.81x 28. PB= 101.9 + 15 + 12 = 28.12 = + (15) + 12 = 1.33kPa.00196 A Eq.12m / s 0. Desta forma a pressão relativa em A é dada como: p A u B2 = + ( z B − z A ) + hL ρg 2 g considerando a massa especifica do fluido ρ=1000kgm/3 2 p A 6. fazemos desprezível o termo de energia cinética da mesma. C-74 PUCRS . Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica (101. padrão) ZB – ZA= 15m D=50mm Com a vazão podemos determinar a velocidade na tubulação: v= Q πD 4 2 = 0.32 kPa) Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para que o fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo.012 = 6. (Pressão Atm. em B temos que PB=0.6kPa A pressão absoluta pA= pA(Rel) + pAtm = 283.81 em unidades de pressão.33 =385 kPa.6 + 101. fazendo não tendo máquinas adicionado (bombas) o extraindo (turbinas) energia.90m ρg 2 x9. A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída do fluido na tubulação é igual a 15m. p A u A2 p u2 + + z A − hL = B + B + z B ρg 2 g ρg 2 g Considerando a velocidade em A muito pequena comparada com a velocidade na tubulação.c.f. Dados Q=12 l/s=0.Mecânica dos Fluidos Solução: Exemplo 8 [8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A para B. O diâmetro da tubulação é igual a 50mm. 80 x0.15 2 x9.s.7 Solução: Exemplo 10 [ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media igual a 4. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9. Villar Alé 64 L v 2 64 30 (4) = 13.29 + 30.0 m3/s.81x57.28mca hL = = x Re D 2 g 786 0. A perda de carga da tubulação e acessórios e igual a 27. • Determine a potencia da maquina considerando um rendimento global de 88%.. Número de Reynolds Re = VD 1258 x 4.0 m/s. Perda de carga da tubulação. A vazão e igual a 2.15 = ≅ 786 .6 x10 −1 Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: 64 L v 2 hL = Re D 2 g Jorge A. Determine a perda de carga da tubulação.Escoamento La min ar ν 9.0056 W& = = = 4536Watts η 0. Obs: massa especifica da água 1000 kg/m3 p A u A2 p u2 + + z A − hL + H A = B + B + z B ρg 2 g ρg 2 g H A = hL + z B − z A H A = 27.81 2 C-75 .5 = 57.6x10-1 Pa.0 x0.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução: Exemplo 9 [ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma tubulação com 750mm de diâmetro para uma unidade geradora (turbina) e sai para um rio que localizado a 30 metros abaixo da superfície do reservatório. Obs.29m.80m ρgH AQ 1000 x9. 15 2 x9.62mca D 2g 0.s.12 x0.0268 x = 12.88kPa a tensão de cisalhamento na parede é dada como: τw = D ∆p 0.002. de energia. Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m3/h.81 ≡ 15.81 Solução: Exemplo 12 [ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e comprimento igual a 10m e rugosidade relativa igual a 0.74 f = 0.05 = = 48. Qual será a perda de carga na tubulação em metros de coluna de água.88 N = x = 0. considere para água a 200C a densidade igual a 0.7 Re = −2 ρVD 780 x 2.05 2 4x 0.25log + (48635)0.66 ) = 0.7x10-3 Pa.7 x10 −3 = 0.12 2 hL = f = 0.002 no qual escoa água a 20oC com uma vazão de 0.9 3.Mecânica dos Fluidos Solução: Exemplo 11 [ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea com diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a 0.88 kPa τW=60 N/m2 PUCRS .0268 L V2 100 2.002 5.999 e viscosidade dinâmica igual a 1. Obs.15 15.s. A variação de pressão ma tubulação é dada pela Eq.0x10-3 kg/m.81 2 hL = f p A − p B = ρghL = 1.62 x999 x9.05 2 x9.28m D 2g 0.635 (turbulento) µ 1.06kPa = 60 2 4 L 4 10 m Respostas C-76 ∆P=15.1 m3/s.12 m V= = 2 s πD πx0. 15 4Q 3600 = 2. Ambos reservatórios estão abertos á atmosfera. A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 1. p A u A2 p u2 + + z A − hL = B + B + z B ρg 2 g ρg 2 g como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro p A pB − = hL ρg ρg L v2 10 (5. Determinar a tensão de cisalhamento.0149 x x = 1. 2 kg/m3 µ=1.81x 4.81 = 45.74 x1000 = = 4. Massa especifica da água 1000 kg/m3).67 V2 62 C-77 .66m ρg 1000 x9m81 Solução: Exemplo 14 [ 14 ] Determine a perda de pressão (Pa) e o coeficiente de perda de carga num laminador de fluxo instalado num duto de 50 cm de diâmetro no qual escoa ar a 200C com ρ=1.8 Pa hL = k v2 2g Jorge A.37(13600 − 1000 )x9.91 = 57. p A u A2 p u2 + + z A − hL = B + B + z B ρg 2 g ρg 2 g Tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro: hL = Aplicando Eqs.8 x10 −5 Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: hL = 64 L v 2 Re D 2 g (6) = 4.81x 4.s.81 2 hL = ∆P = ρghL ∆P = 1.91mca 64 L v 2 64 0.0 x0004 = ≅ 1600 .3 = x Re D 2 g 1600 0.6.91 = = 2. de manometria obtemos: p A pB − ρg ρg p A + ρ agua gh x − ρ Hg gh − ρ agua g (hx − h) = p B p A − ρ Hg gh + ρ agua gh = p B p A − p B = h(ρ Hg − ρ agua )g p A − p B = 0.2 x6.8x10-5 Pa.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução: Exemplo 13 [ 13 ] Uma experiência de laboratório foi realizada na disciplina para determinar a perda de carga entre os pontos A e B distantes 150cm numa tubulação de 7mm de diâmetro.Escoamento La min ar µ 1. O laminador e formado por tubos lisos de 30 cm de comprimento e 4 mm diâmetro.004 2 x9. Re = ρVD 1.74kPa hL = p A − p B 45.2 x9. Villar Alé k= 2 ghL 2 x9. Determinar a perda de carga entre os pontos A e B em função da leitura manométrica do sistema apresentado na figura abaixo. (Densidade do mercúrio 13. 056 + 0.2 2g 2 x9.(b) a potencia de acionamento da bomba.5(8 x10 5 ) −0.81 2 hL = f hac = ∑ K (2.6 litros/s.66 ) hL = f = 0.02x10-6 m2/s.0x10-3 Pa. ν 1.001 sendo que o coeficiente de atrito da tubulação igual a 0.s.00 Turbulento.1m3/s.1 = 128kW PUCRS .1m p A u A2 p u2 + + z A − hL + H A = B + B + z B ρg 2 g ρg 2 g H A = hL + z B − z A L V2 122 (2.0216 = 21. numa tubulação de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro.15 = = 848. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de pressão na tubulação.62 x999 x9. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1. ] Z2=36.Mecânica dos Fluidos Solução: Exemplo 15 [ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5.32 = 0. p A u A2 p u2 + + z A − hL = B + B + z B ρg 2 g ρg 2 g Como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro p A pB − = hL ρg ρg onde: Re = VD 5.85) = 5.62mca D 2g 0. O somatório de todos os coeficientes de perda de carga dos acessórios e igual a Σk=13. ρ=1000 kg/m3 ν=1.012 L v2 1000 (5.0 x10 −3 Da apostila.81 ≡ 1280kPa C-78 W& = 1280 x0.80m Solução: Exemplo 16 [ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0.81 2 p A − p B = ρghL = 130. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um rendimento global de 70%.1m e Z2=36.81 2 ρgH AQ 1000 x9. Obs. A rugosidade relativa e igual a 0.46m V2 = 13.2.7 H A = 27.0216.6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba).151.05 2 x9.66 x999 x0.5 = 57.82m D 2g 0.29 + 30.012 x x = 130.85) = 0. Considere Z1=6.80 x0.0056 W& = = = 4536Watts η 0.6m Z1=6.15 2 x9.81x57. utilizando a Eq. para tubos lisos com Re > 105 f = 0. 9x10-4m2/s.338x10-2 Pa.0444m3/s. R:(a) V=0. Determine a vazão em m3/s. [ 2 ] Determine o tipo de escoamento que ocorre num tubo de 305mm quando (a) água a 150C que escoa a uma velocidade de 1. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1.07m/s (b) óleo combustível pesado a 150C escoando com a mesma velocidade considerando que apresenta uma viscosidade cinemática igual a 20. está elevado na elevação de 83m.065m/s (b) V=0. Obs.05x10-4m2/s e densidade igual a 0.7m. R: hL=1.101 Pa.47 kPa. R: D=170mm [ 8 ] Uma quantidade de gasolina esta sendo descarregada de um tubo em um ponto de 2 a 67m de elevação. Jorge A.5kPa.4 N/m2.76x10-5 m2/s µ=3. Determinar a perda de carga velocidade do escoamento. [ 10 ] De um deposito de óleo com massa especifica igual a 900 kg/m3 sai uma tubulação de 13mm de diâmetro. R: D=258 mm [ 9 ] Por um tubo inclinado 300 de 100mm de diâmetro escoa glicerina a 300C em sentido ascendente. Determine a perda de carga no tubo. determinar a viscosidade cinemática e dinâmica e verificar se escoamento é realmente laminar. [ 7 ] Que diâmetro de tubo deve ser instalado para transportar 0.00114m3/s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede.37 m/s Re= 1247 (laminar) τW=45.918 e viscosidade cinemática é de 41.68 kPa e em B é de 34. A vazão é de 900 L/h e a queda de pressão entre as duas seções distantes 2m é de 0.86 é bombeado através de 300m de um tubo horizontal de 50mm de diâmetro a razão de 0.265bar.0222 m3/s de óleo combustível pesado a 16oC com viscosidade cinemática v=2.4m de um tubo horizontal de açõ de 152mm.039m3/s. R: ∆P=16 kPa τW = 60 N/m2. [ 6 ] Um óleo combustível pesado escoa de A para B através de 914. R: 8.92x104 N. Entre as seções de 1 e 2 distantes 10m se mede uma diferença de pressão p1-p2=0. R: Q=0.Perda de Carga em Tubulações (Cap.85 escoa através de 3000m de tubulação de ferro fundido com 300 de diâmetro com uma vazão de 0. sendo a pressão neste ponto de 2. A pressão em A é de 1068. Determine o diâmetro do tubo necessário para descarregar a gasolina com uma vazão de 0.2m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm.1m/s.089 Pa.912.s [ 5 ] Um óleo com viscosidade absoluta de 0. R: (a) Re 290. Considerando escoamento laminar.0x10-3 Pa. número de Reynolds e tensão de cisalhamento na parede da tubulação.0057m3/s de óleo combustível médio a 4oC com viscosidade cinemática igual a 6. [ 3 ] Para condições de escoamento laminar. O ponto 1 localizado a 966m de tubo do ponto 2. Para gasolina a 200C a massa específica é igual a 6.8bar.7) [ 1 ] Determine a velocidade crítica para (a) gasolina a 200C escoando em um tubo de 20mm e (b) para água a 200C escoando num tubo de 20mm. Para gasolina considere massa especifica igual a 719 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 2. R: D=60mm [ 4 ] Um óleo lubrificante médio. O fator de atrito da tubulação é igual a 0. Ra: v=3. Se a queda de pressão for 200kPa qual será a viscosidade absoluta do óleo.s /m2 .Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 1. Villar Alé C-79 . R:: µ=0. Se a rugosidade do tubo é de 0.0149.s. qual o diâmetro da tubulação que poderá conduzir 0. V=2. Obs. O óleo apresenta uma densidade de 0.14m.5mm. A perda de carga disponível nos 300 m de tubo é de 6.53x10-5 m2/s.09x10-6 m2/s.24x10-5 m2/s. Adote a hipótese inicial de escoamento laminar e verifique posteriormente tal hipótese.13 PROBLEMAS PROPOSTOS .10m3/s.000 Turbulento (b) Re=1600 Laminar. com densidade 0. Considere a glicerina com massa especifica igual a 1260 kg/m3 e viscosidade cinemática 1.s [ 11 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0.47m.48x10-7 m2/s.s e densidade 0. s ν=4. distantes 560m.Laminar τw=43Pa Nota: exercício similar resolvido no Fox ( Cap.4. b) Determinar com o fator de atrito (obtido pela equação) a perda de carga na tubulação em metros de coluna de fluido e em Pascal. A tubulação é de ferro fundido com rugosidade de 0. d) Determina a perda de carga total pela tubulação mais acessórios. de escoamentos em dutos) [16] Se requer bombear 40 litros/segundo de água de um deposito a outro 40m mais elevado.9 v=10-5 m2/s).0173 Velocidade máxima Umax=3. Na tubulação existe um registro globo aberto com comprimento equivalente de 50 metros e duas junções com coeficiente de perda de carga igual a 0.037 m3/s [14] Que diâmetro de uma tubulação horizontal de 400m de comprimento deve ser escolhido para transportar 0. A vazão é de 900 litros/hora e a queda de pressão na tubulação entre duas seções distantes 2 metros é de 0. Determine a vazão: (a) Procedimento iterativo (b) Método explicito.88 m/s µ=0.2mm Tensão de cisalhamento na parede τw=22Pa Queda de pressão considerando um comprimento de 10m ∆P=22kPa. Considerando escoamento em regime laminar determinar a viscosidade cinemática e dinâmica do fluido. Usando um perfil exponencial determine.004 m3/s de água a 200C.1x10-5 m2/s Re ≈ 590 . Verifique se de fato o escoamento é laminar como suposto no problema. (a) (b) (c) (d) (e) Fator de atrito Velocidade máxima Posição radial em que u( r ) =Umedia Tensão de cisalhamento na parede Queda de pressão considerando um comprimento de 10m Respostas: • • • • • Fator de atrito f=0. [13] Uma queda de pressão de 700 kPa é medida sobre um comprimento de 300m de um tubo em ferro forjado de 10cm de diâmetro que transporta óleo (d=0. a) Determine o fator de atrito por equação apropriada e compare o resultado utilizando o diagrama de Moody.Mecânica dos Fluidos [12] Um tubo liso horizontal de 4cm de diâmetro transporta 0.04m d) hlT= hl+ hacc≅25m C-80 PUCRS . R: a) f=0.037 Pa. R: D=40mm [15] Um deposito com óleo com massa especifica igual a 900 kg/m3 é conectado a uma tubulação horizontal de 13mm de diâmetro interno. Determine a tensão de cisalhamento na parede. R: Q=0.023 b) hl=22. c) Determine a perda de carga localizada pelos acessórios presentes na tubulação.002 m3/s de água a 200C de modo que a perda de carga não exceda 30m (a) Utiliza método iterativo (b) Utilize método explicito.25mm e diâmetro de 150mm determinar. R: V=1. Posição radial em que u( r ) = Umedia : r=15.74m/s.265bar.35m c) hacc=hval-globo + hjunção=2. 57 R: hL=207. Jorge A.0 curva de 900 0.4m (z2 . Elemento Coef. A tubulação de recalque tem um comprimento de 200 metros. Considere uma tubulação é de aço com rugosidade igual a 4.s C-81 .K Saída do reservatório de aspiração 0.015 m3/s.5 Entrada do reservatório de recalque 1.6x10-4 Pa. Villar Alé Fluido . de perda de carga .6x10-5m.z1) =10m H=217.4m W=33. A válvula de globo aberta apresenta um comprimento equivalente Le=30D onde D é o diâmetro da tubulação. A tubulação de aspiração tem um comprimento de 15 metros.álcool 24oC ρ=789 kg/m3 µ= a 5. A tubulação de aspiração tem um diâmetro de 100 mm e a tubulação de recalque apresentam um diâmetro interno de 50mm. Determine a perda de carga total do sistema de Bombeamento e a potência de acionamento da bomba considerando que apresenta um rendimento de 76%.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [ 17 ]O sistema de bombeamento trabalha com uma vazão de 0.2kW. [2] Óleo com ρ=1000 kg/m3 ν=0.342m3/s e a rugosidade ε=0.007155 m3/s ). Considere Z1=6. R: (0.95 3. [9] Uma tubulação de fibrocemento de 100m de comprimento e diâmetro de 200mm apresenta uma rugosidade de 10escoando água a 200C com uma vazão de 62.8 litros/s.46x10-5 m2/s e forcado através de um duto horizontal quadrado de 229mmx229mm de 30m de comprimento.14 PROBLEMAS PROPOSTOS .2 m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro.0115 mca/m. – Solução Iterativa.6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície do reservatório de recalque (após a bomba).02x10-6 m2/s e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5.9m. Obs.1m e Z2=36. Acessório Entrada em canto agudo Válvula globo aberta Curva com 12 pol de raio. A rugosidade relativa e 0.6 litros/s. C-82 PUCRS .0x10-4m) de 100mm de diâmetro escoa água a 37oC com perda de carga unitária de 0. Determinar a vazão.00001 m2/s escoa a 0.02x10-6 m2/s. A rugosidade relativa e 0. R: (117m ) (265 kPa).06mm.9 0.0x10-5 m2/s escoa por um tubo de 100m de comprimento com uma perda de carga de 8m sendo a vazão Q=0.0 [8] Um duto de ferro fundido de 360m de comprimento e rugosidade absoluta igual a 10-4m conduz água a temperatura de 200C com uma vazão de 12 m3/s apresentando uma perda de carga na tubulação horizontal de 3. a uma vazão de 0. Cotovelo normal de 900 Válvula de gaveta aberta pela metade.8) [1] Determinar a perda de carga e a queda de pressão em 61m de um tubo de ferro fundido asfaltado horizontal de 152mm de diâmetro transportando água a uma velocidade media de 1.0x10-5 m2/s escoa por um tubo de 30cm de diâmetro e 100m de comprimento com uma perda de carga de 8m. Determinar o diâmetro da tubulação. R: (4. Determine o diâmetro da tubulação. R: (1. R: (1. ρ=1000 kg/m3 ν=1.708 m3/s.37m.84 m/s) (0.Escoamento Viscoso em Dutos (Cap.7 1. R: (D=165. Determinar a perda de carga da tubulação. por um tubo de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro e diversos acessórios como mostra a figura.15 0. Determine a velocidade media e a vazão.26 m.342 m3/s).Mecânica dos Fluidos 1.83m/s.2kW) Coeficiente de perda de carga 0. [3] Óleo com ρ=950 kg/m3 ν=2.001.0002. 4m [10] Num duto de concreto (ε= 3. Saída em canto agudo R: (3.02x10-6 m2/s. Calcule a potencia requerida pela bomba em Watts. R: hL=18. R: (258 N/m2) [7] Água com 1000 kg/m3 ν=1. [4] Determinar a velocidade numa tubulação de ferro fundido asfaltado horizontal de 61m na qual escoa água apresentando uma perda de carga de 1. R: (Q=0. [5] Óleo com ρ=950 kg/m3 ν=2.3 m) – Solução Iterativa.22 kg/m3 ν=1.5 6.091mm determine a queda de pressão. Determinar (a) a perda de carga (b) a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido do escoamento.7 e Cap. [6] Ar com ρ=1.37m ) (13.84 m/s) – Solução Iterativa. ρ=1000 kg/m3 ν=1.43kPa).21mm). Se a rugosidade ε=0. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos EXEMPLOS ANÁLISE DIMENSIONAL E MODELOS Jorge A. Villar Alé C-83 . Que vazão deve ser usada no modelo para manter a semelhança em relação ao número de Reynolds ? O fluido a ser usado no modelo é a água.08m A razão entre vazões é encontrada reconhecendo que Q = U . o número de Reynolds deve ser igual.Mecânica dos Fluidos 1. Re m = Re p U m .d 0.d m U p .Análise Dimensional (Cap.3m3 / s 5 [2] A tensão superficial σ é função de velocidade U. Obter a equação da tensão superficial.9) [ 1 ] Está para ser realizado um teste de um projeto proposto para uma bomba grande que deve fornecer 1.5 = 0. da massa especifica ρ e do comprimento x.A : Qm U m .4m = = =5 U p d m 0. se as temperaturas são iguais.15 PROBLEMAS RESOLVIDOS .08 1 = = 5.5 m3/s através de um rotor de 40cm de diâmetro. na mesma temperatura da água a ser bombeada pelo protótipo.d 0. Um modelo com um rotor de 8cm de diâmetro será usado. vemos que Um d p 0. Para que haja semelhança neste problema de escoamento confinado incompressível. Nota: σ = Força Comprimento π = σ aU b ρ c X ( M 0 L0T 0 = MT −2 ) (LT ) (ML ) L a −1 b −3 c M => 0 = a + c ==> a = −c L => 0 = b − 3c + 1 T => 0 = −2a − b ==> 2c = b c =1 a = −1 b=2 π = σ −1U 2 ρ 1 X σ = kU 2 ρX C-84 PUCRS .4 5 2 2 m 2 p Assim encontramos Qm = Qp 5 = 1. = 2 Q p U p . ou seja.d p = νm νp Reconhecendo que ν m = ν p . 91m / s 0. Determine a velocidade da água no túnel hidráulico para conseguir a semelhança dinâmica do modelo.4775m / s πDP2 π 22 πDM2 4 Q = 1.52 4 = 0.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [ 3 ] Uma unidade de bombeamento de grande porte do DMAE deverá fornecer 5400m3/h de água através de uma tubulação de 200cm de diâmetro. quando submerso em água. é necessário determinar as forças resultantes de um protótipo de 2m de diâmetro e 10m de comprimento o qual. VM = VP DP DM VM = 0. deverá alcançar uma velocidade máxima de 10 m/s. Re M = Re P VM DM V P D P = νM νP Tratando-se do mesmo fluido νM=νP.0 = 1.375m3 / s (1350m3 / h) [ 4 ] Num projeto hidrodinâmico de um pequeno submarino.5 = = 0.5 Q = VM VM D M = V P D P VP = 4Q 4 x1. Para realizar o estudo prepara-se um modelo em escala de 1:20 do protótipo qual será testado num túnel hidráulico. 1 = 200 m / s 1 / 20 C-85 .4775 x 2. um = u p Jorge A. Determinar a vazão (em m3/h) que deve ser utilizada para estudar um modelo desta tubulação em laboratório dispondo de uma tubulação de 50cm de diâmetro.91 π 0. Solução: Por similaridade dinâmica o número de Reynolds do modelo e do protótipo deve ser igual: Re m = Re p ρud ρud = µ m µ p Desta forma a velocidade do modelo deverá ser um = u p ρ p d p µm ρm d m µ p Como ambos (modelo e protótipo) atuam em água então. Villar Alé dp dm = 10 m = pe m = p assim. Mecânica dos Fluidos PROBLEMAS ADICIONAIS C-86 PUCRS . R: Re = 30. (b) 1. γ .4 .r 3 R: R = ( ) . 6. R: 4. Entre ambas há uma camada líquida de espessura 3 mm.3.8. [1.7] Um gás com massa molecular 44 está a uma pressão de 0. Determinar a massa específica. R: h = 2σ . Determine o módulo de elasticidade volumétrica do líquido.5.10-5 m3.2 GPa [1. 2πσ .1] A densidade de um óleo é 0. m= 2γ g 1 [1. [1.13] Identificar o tipo de escoamento de um fluido que escoa numa tubulação de 3 cm de diâmetro a uma velocidade de 1m/s. um eixo de 112 mm de raio gira internamente a uma bucha engastada de 120 mm de raio interno.10] Determinar o raio R e a massa de uma gota num conta-gotas de raio r (considerar a gota esférica).105 Pa. se a pressão barométrica for 1 kgf/cm2. conforme a figura ao lado. [1.3] Sendo 1030 kg/m3 a massa específica da cerveja. Sabe-se que a viscosidade do fluído é 2. (b) volume específico (c) peso específico.030. R: 3. b) A viscosidade cinemática em St.88. R = 7. R: (a) 800 kg/m3.10-4 Pa.s/m2.6] Um líquido comprimido num cilindro tem volume de 1 litro a pressão de 1 MPa e um volume de 995 cm3 a 2 MN/m2. Problemas de Propriedades dos fluidos [1. [1.10-3 m3/kg. R: 11. R: 0.16 PROBLEMAS ADICIONAIS 1. [1.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 1.5] De quanto é reduzido um volume de 1m3 de água. [1. Villar Alé C-87 . Qual é a viscosidade do fluido lubrificante se é necessário um torque de 36 kgf. R: 2σ / r . R = 0. R: 1.r 3σ .8 N/m3.65cP e a densidade 0.8] Sabendo que a massa molecular do ar é 29 kg/kmol.06 N. R: 2. qual o peso específico do ar.26 kg/m3. 000 (turbulento).9 MPa e a temperatura de 20 oC.4] Num motor. qual sua densidade e o peso dela por garrafa? Sabe-se que o volume ocupado é 600 ml. [1. calcular: a) A viscosidade em Pa.11] Qual a pressão interna suportada por uma gota esférica de pequeno raio interno. [1.02 m/s Jorge A.s. R = 6. Eixo e bucha possuem ambos 430 mm de comprimento.48 N/m3. c) A tensão de cisalhamento na placa em Pa.cm para manter uma velocidade angular de 180 rpm. R: 16.r [1.5. [1.10-2 kgf. Determine (a) massa específica. R: 33. (c) 7848 N/m3. a viscosidade 0. Admitindo que a distribuição das velocidades sejam linear.65 Pa.s. qual o peso do ar por m3 a uma pressão de 1atm e 20 oC.9] Em um tubo de 150 mm escoa ar sob uma pressão manométrica de 2 kgf/cm2 e uma temperatura de 27 oC.14] Calcular a velocidade máxima que um fluido pode escoar através de um duto de 30 cm de diâmetro quando ainda se encontra em regime laminar. [1.3 m/s sobre outra igual e estacionária.10-3 Pa.2] Uma placa plana infinita move-se a 0.s e a massa específica é de 800 kg/m3. Ev = 2.12] Determinar a altura h de um determinado líquido. cos α .10-3 St. Sabe-se que a viscosidade é de 10-6 m2/s.75. quando nele é aplicada uma pressão excedente de 1atm. Mecânica dos Fluidos 2. Problemas de Estática dos Fluidos [2.1] Que profundidade de óleo de densidade 0,75 produzirá uma pressão de 2,8 kgf/cm2. Qual a profundidade em água para esta mesma pressão? R: 37,3 m; 28 mca. [2.2] Um navio de carga tem uma seção reta longitudinal de área igual a 3000 m2 na linha d'água quando o calado é de 9 m. Supondo o peso específico da água igual a 10 kN/m3, qual a massa de carga que pode ser colocada no navio antes que o calado atinja o valor de 9,2 m? Obs: Calado de um navio é a distância vertical entre a superfície da água e a parte inferior do casco. R: 612644 kg. [2.3] Determinar as pressões manométricas e absolutas em B e em C. Obs. Reservatório aberto para atmosfera. R: 7,7 kPa; 27,67 kPa. [2.4] Determine a pressão efetiva (relativa) e a absoluta no tanque da figura. R: 1,57.105 Pa; 2,58.105 Pa. [2.5] Qual a pressão manométrica e absoluta dentro de uma tubulação onde circula ar se o desnível do nível do mercúrio no manômetro de coluna é de 4 mm? Obs: Massa específica do mercúrio 13600 kg/m 3 e pressão atmosférica 1013,25 hPa. Desconsiderar o peso específico do ar. R: 533,6 Pa. R: 101858 Pa. [2.6] Dado o desenho abaixo, calcular pA - pB. R: 96.000 Pa. C-88 [2.7] Determine PB – PA na figura. R: -35.280Pa. PUCRS Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 3. Problemas de Conservação da Massa [3.1] Uma estação de água deve recalcar 450 m3/h para abastecimento de uma cidade. Determine o diâmetro da canalização para que a velocidade média seja 1,25 m/s. R: 36 cm. [3.2] Em um tubo de 150 mm escoa ar com velocidade de 3 m/s sob uma pressão manométrica de 203 kPa e uma temperatura de 27 oC. A pressão atmosférica é 101,32 kPa. Determine o fluxo de massa. R: 0,181 kg/s. [3.3] Determine a vazão da água (em litros/s) circulando através de um tubo de 32 mm de diâmetro, considerando a velocidade do fluido igual a 4 m/s? R: 3,21 litros/s. [3.4] Qual a velocidade da água que escoa em um duto de 25 mm se a vazão é de 2 litros/s? R: 0,1 m/s [3.5] Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro. A redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os dois trechos. Na parte maior da seção escoa ar com peso específico 9,8 N/m3 a uma vazão de 3,06 m3/s. Ao fluir para o trecho de menor seção o ar sofre uma redução de pressão e aumento de velocidade, provocando uma expansão no mesmo e reduzindo o peso específico para 7,85 N/m3. Determine: a) A vazão volumétrica no trecho de menor seção. R: 3,82 m3/s. b) A velocidade do ar no trecho de menor seção. R: 43,31 m/s. c) A vazão mássica do ar no escoamento. R: 3,06 kg/s. [3.6] Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro. A redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os dois trechos. Na tubulação escoa água líquida com massa específica de 1000 kg/m3 a uma vazão de 3,06 litros/s. Ao fluir para o trecho de menor seção a água sofre uma redução de pressão e aumento de velocidade. Viscosidade 10-6m2/s. Determine: a) A vazão volumétrica no trecho de menor seção. R: 3,06 litros/s b) A velocidade do ar no trecho de menor seção. R: 0,097 m/sc) A vazão mássica do ar no escoamento. Re= 19490 (turbulento) [3.7] Uma canalização lisa que conduz água a 15oC com diâmetro de 150 mm apresenta num determinado trecho uma seção contraída de 75mm de diâmetro onde a pressão interna é de uma atmosfera (ao nível do mar). 3m acima do ponto (B) a pressão se eleva para 144.207Pa. Determinar a vazão e a velocidade nos pontos (A) e (B). R: 3,1 m/s; 12,42 m/s; 55 litros [3.8] Qual a velocidade da água através de um furo na lateral de um tanque, se o desnível entre o furo e a superfície livre é de 2 m? [3.9] Um conduto que escoa água é constituído por 2 trechos, com diâmetros de 0,25m e 0,20m. A pressão no ponto (A) é de 1,5 atmosferas e que a velocidade no trecho de maior diâmetro é de 0,6 m/s, calcule a vazão no duto e a pressão no ponto (B. (Supor movimento sem atrito). Jorge A. Villar Alé C-89 Mecânica dos Fluidos 4. Problemas de Equação de Bernoulli e Equação da Energia [4.1] Uma turbina gera 600 Hp quando o fluxo de água através dela é de 0,6 m3/s. Considerando um rendimento global de 87%, qual será a altura de carga que atua na turbina? R: 87,4 m. [4.2] A bomba mostrada na figura recebe água, com vazão Q = 0,2 m³/s, através do duto com diâmetro de 20 cm e descarrega através do duto de descarga de diâmetro 15 cm que está instalado com uma elevação 0,5 m em relação a tubulação de sucção. O manômetro colocado no duto de sucção indica uma pressão p1 = -30 kPa, enquanto o manômetro instalado no tubo de descarga mede uma pressão p2 = 300.kPa. Considerando que não há trocas de calor e desprezando o atrito, determine a potência fornecida pela bomba. R: 73,8 kW [4.3] A água escoa através de uma turbina, a razão de 0,21 m³/s. A pressões em A e B são respectivamente 150 kPa e -35 kPa. Determinar a potência extraída pela turbina. R: 41,6 kW [4.4] A figura mostra um esquema de escoamento de água, em regime permanente, com vazão Q = 0,5 m³/s, através de uma turbina. As pressões estáticas nas seções (1) e (2) são, respectivamente, P1 = 180 kPa e P2 = -20 kPa. Desprezando a dissipação de energia mecânica por atrito viscoso e considerando que não há troca de calor, determine a potência fornecida pelo escoamento á turbina. R: 131,7 kW. [4.5] O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água pelo tubo a uma vazão de 10 l/s. Considerando o fluido ideal, determinar se a máquina instalada é bomba ou turbina e determinar sua potência se o rendimento for de 75%. A área da seção do tubo é 10 cm2. C-90 PUCRS Calcule a perda de carga entre os pontos sabendo que o desnível entre eles é de 5 m. A perda de carga entra as seções (1) e (2) é igual a h p = 2m. Determinar a perda de carga entre as seções (1) e (2).6] A água flui numa tubulação.4 m. [4.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [4.7] A figura mostra um sistema no qual a bomba retira água. conforme figura. de um reservatório de grandes dimensões com a superfície livre mantida em nível constante. a uma altura 38 m acima da bomba. cuja área da seção é 10 cm2. No ponto (1) da tubulação o diâmetro é de 175 mm. R: 7.5 m [4. R: 62. A água é descarregada.8] Na instalação da figura uma bomba opera com água. através de um duto com diâmetro D=10 cm. Determine a potência que a bomba fornece ao escoamento. Jorge A.6 m/s e a pressão é igual a 345 kPa. R: 4. num reservatório aberto para atmosfera. A água é descarregada na atmosfera a uma velocidade de 5 m/s pelo tubo. com vazão constante Q = 0. através de um duto de diâmetro interno d = 8 cm. Villar Alé C-91 . A bomba tem potência de 3600 W e seu rendimento é de 80%.4 kW.02 m³/s. a velocidade é de 0. No ponto (2) o diâmetro se reduz a 43 mm e a pressão é de 300 kPa. A perda de carga é de 30 m em 100 m de tubulação. Se a queda de pressão é 2. [5.65 m. R: 46 litros/s.c. [5.3 mmHg. Determinar (a) a perda de carga (energia): R: 12.00125 m3/s. Calcular a vazão em litros/min. R: 4. v = 10 −5 m 2 / s a distância de 3.045 mH2O. Sabe-se que a velocidade do escoamento é 3.1 kgf/cm2. [5.3] Um óleo lubrificante médio de densidade 0.172 Pa. R: 3. de 150 mm de diâmetro. Calcular a vazão.7] Seja um escoamento de um fluido através de uma válvula globo totalmente aberta conectada em uma tubulação de ferro galvanizado de 2. Viscosidade cinemática = 106m2/s. R: 441.a num comprimento de 300 m de comprimento.66 m [5.86 é bombeado através de 500 m de um tubo horizontal de 50 mm de diâmetro a razão de 0.4] Calcular a perda de carga para o escoamento de 140 litros/s de um óleo de viscosidade cinemática 10-5 m2/s num tubo horizontal de ferro fundido de 40 m de comprimento e 200 mm de diâmetro. A seção sofre uma redução brusca para a metade da área.1] Um fluido escoa por um tubo de 10 mm de diâmetro com um Reynolds de 1800.6 m [5.0 m/s provocando um Reynolds de 1000.5] A água circula a 15 oC num tubo de aço rebitado de 300 mm de diâmetro e ε = 3 mm com ma perda de carga de 6 m. b) A variação de pressão provocada pela redução. [5.86 m. [5.051 Pa. C-92 PUCRS .12 m3/s. da figura. Supondo uma tubulação lisa.Mecânica dos Fluidos 5.s. qual a viscosidade do óleo? R: 0. R: 3. Problemas de Escoamentos Viscosos Internos [5. Determine em relação a válvula: (a) O comprimento equivalente. [5.048 m com uma perda de carga de 22.6] Determinar o diâmetro do tubo de aço estruturado necessário para transportar 252 litros/s de óleo. c) A perda de carga correspondente em altura de coluna de mercúrio.9 m (b) A perda de carga provocada. determine em relação ao escoamento: a) A perda de carga provocada pela contração em altura de coluna de mercúrio. R: 6. (b) a variação de pressão R: 124. R: 0.5 Pa. R: 4.5 cm de diâmetro.2] Seja 100 m de tubo liso horizontal de PVC de 32 mm de diâmetro por onde escoa água a uma velocidade de 2 m/s.06 litros/min.8] Calcular a vazão pela tubulação de ferro fundido.9] Seja uma tubulação cilíndrica de 4 cm2 de seção transversal por onde circula um escoamento de água a 15 oC e velocidade de 2 m/s. R: 424 mm. R: 0. R: 51000 Total de perdas localizadas. R: 0.10] No sistema de bombeamento a vazão (água temperatura 20 oC) é de 10 m3 /h Determinar: a) A perda de carga na sucção. R: 352. [5.15 m.92 m A energia adicionada pela bomba. R: 709 W f) A potência de acionamento da bomba considerando um rendimento de 85%. R: 9. Villar Alé C-93 .94 m O total de perdas de carga.002 m3/s A velocidade do escoamento.11] Seja o sistema abaixo com tubulação lisa Determinar: a) b) c) d) e) f) g) h) i) A vazão volumétrica.97 m A potência hidráulica. R: 17.02 m/s O número de Reynolds.03 m d) A energia adicionada pela bomba. R: 834 W.82 m e) A potência hidráulica da bomba.98 m Total de perdas nas tubulações. 25. R: 4. R: 441 W Jorge A. R: 1.6 W A potência de acionamento da bomba considerando um rendimento de 80%. b) A perda de carga no recalque. R: 0. R: 0.488 m c) Perdas de carga total. R: 1.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [5. R: 4. 1580 [2] Dois reservatórios de água A e B estão conectados entre si por um tubo de ferro fundido com rugosidade de 0. (a) Tomando o fator de correção da energia cinética igual a 1. Se o escoamento é laminar determine: (a) o fluxo de massa (Kg/s) e (b) o número de Reynolds.Mecânica dos Fluidos LISTA DE EXERCICIOS – 2010 [ 1 ] Óleo SAE 30W a 200C escoa por um tubo horizontal de 12cm de diâmetro. Na seção (2). R: (a) P2=320 kPa.16 kg/s. a pressão é de 186 kPa.0m/s.7 kPa [3] Um tubo horizontal no qual escoa água tem uma expansão brusca de D1=80mm para D2=160mm.0173. R: 1. Temperatura da água 100C.2 Litros/s determine a pressão absoluta do ar na parte superior do reservatório A. (b) Estime o erro em Pa que teria ocorrido se a equação de Bernoulli tivesse sido usada. Usando um perfil exponencial determine. Determine a vazão do óleo através do tubo. a perda de carga: (a) Dobrará (b) Triplicará (c) Quadruplicará (d) Aumentara por um fator de 8 (e) Aumentara por um fator de 16 R: Aumentara por um fator de 16 [7] Um tubo liso horizontal de 4cm de diâmetro transporta 0. Se a vazão inicial através do tubo for 1. O tubo possui um comprimento de 40m e 20mm de diâmetro. R: 741. C-94 PUCRS . [4] Óleo escoa por um tubo horizontal de 15mm de diâmetro que descarrega na atmosfera com pressão de 88 kPa. Propriedades: ρ=876 kg/m3 µ=0.06 na entrada e na saída determine a pressão à jusante P2.004 m3/s de água a 200C. Se o diâmetro do tubo for reduzido pela metade enquanto a vazão e o comprimento do tubo forem mantidos constantes.2mm (d) 22 N/m2 (e) 22kPa. Faça um desenho esquemático do problema com a respectiva solução.74m/s (c) 15. (ρ=981 kg/m3 µ=0. Na seção (1). Considere a perda de carga pela entrada com canto vivo do fluido no tubo e a perda de carga pela saída do fluido no tubo.26mm. Resposta: 8m/s [6] Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido num tubo circular. Na seção menor a velocidade é igual a 10m/s sendo o escoamento turbulento. O reservatório A é fechado e pressurizado com ar comprimido.29 kg / m s ).24 kg/m s. que esta a 6 m a jusante. (a) Fator de atrito (b) Velocidade máxima (c ) Posição radial em que u(r) =Umedia (d) Tensão de cisalhamento na parede (e) Queda de pressão considerando um comprimento de 10m R: (a) 0. (b) 30 kPa. Determine a velocidade no centro do tubo. a velocidade em R/2 (a meio caminho entre a superfície da parede e o eixo central) é medida como 6. O tubo possui uma válvula de retenção e uma válvula de gaveta aberta. a pressão é de 171 KPa. Ra: 43. A pressão na seção menor é de P1=300kPa. (b) 3. A pressão absoluta a 15m antes da saída é 135 kPa. O nível da água de ambos os reservatórios é igual. sendo o reservatório B aberto a atmosfera a pressão igual a 88 kPa.63x10-5 m3/s [5] No escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo circular. (a) Altura adicionada pela bomba (b) Potência de acionamento considerando um rendimento de 65%. Desprezando os efeitos de entrada determine a perda de carga da tubulação e a potencia necessária para superar a perda de pressão nessa seção. Determine a elevação Z1 para uma vazão de 6 litros/s. Determine: (a) Fator de atrito e perda de carga na tubulação (b) Potencia da turbina considerando uma eficiência de 100%. e 30oC entra com velocidade de 7. Resposta: 11. A tubulação é de ferro galvanizado com rugosidade igual a 0. R: (a) 0.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [8] A água escoa de um reservatório grande para um menor através de uma tubulação enferrujada de 50mm de diâmetro.4m [9] Um sistema de bombeamento água opera com vazão de 20 m³/h. R: 5 W Jorge A. Na tubulação existe um registro de globo aberto com coeficiente de perda de carga k=10. Água: ρ=1000 kg/m3.0m/s num duto de 7m de comprimento com seção retangular de 15cmx20cm. µ= 1.045mm.3 kW [11] Ar a pressão de 1Atm. Villar Alé C-95 . O sistema opera com uma vazão de 0.1 mm.15mm.15. Na instalação Z1=5 m e Z2=25 m. A tubulação é de ferro fundido com rugosidade ε=0. R: (a) 26. A soma dos coeficientes de perda de carga de todos os acessórios é igual a 13.55. Na tubulação de 50m de comprimento e 60 mm de diâmetro a velocidade do fluido é igual a 1. O Comprimento da tubulação é igual a 125m e o diâmetro igual a 60mm.004 m3/s.s. Fluido: ρ=1000 kg/m3 ν=1.10-3 Pa. 17m de comprimento e com rugosidade igual a 0.25 kW [ 10 ] Na figura mostra-se um sistema que utiliza uma turbina hidráulica.02x10-6 m2/s.15x10-6m²/s.83m (b) 2. Considere água com: ρ = 998 kg/m3 ν=1.96 m/s. Utilize aço com rugosidade igual a 0.027 (b) 1.5 mm. 293R Turbulento: y=0.6m. [ 13 ] Um piezômetro e um tubo de Pitot são colocados em um tubo de água horizontal. Para as alturas de coluna d’água indicadas. Para os dois casos apresente a equação geral do problema e aplique as simplificações (hipótese) do escoamento.29 m/s.5 N/m2 [16] Para medir a velocidade do ar numa tubulação de ventilação industrial pode-se utilizar um tubo de Pitot introduzido a partir da parede da tubulação. Laminar r 2 u (r ) = U max 1 − R Turbulento (n=7) r u (r ) = U max 1 − R 1/ n R: Laminar: y=0. Determine a potência em kW (a) extraída pela turbina (b) adicionda pela bomba. Obs: Fluido água a 100C: Viscosidade dinâmica: 1.02x10-3 Pa.7m e Z2=7.0mm (c ) r=10mm Água: Massa especifica ρ =1000 kg/m3 Viscosidade dinâmica µ = 1. determine (a) A pressão de estagnação (b) a velocidade no centro do tubo. [ 14 ] Água escoa com uma vazão de 6 litros/s por uma tubulação horizontal com 50mm de diâmetro e 89m de comprimento. Determinar: ( a ) Número de Reynolds identificando o regime do escoamento ( b ) Fator de atrito e perda de carga da tubulação ( c ) Variação de pressão da tubulação ( d ) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. [15] Numa de 20mm de diâmetro escoa água a 200C com velocidade media igual 2.Mecânica dos Fluidos [ 12 ] O sistema bomba-turbina da figura retira água do reservatório superior durante o dia para gerar energia para uma cidade.25mm. 5 N/m2 (b) 0 m/s. Considerando os escoamentos laminar e turbulento e utilizando as expressões do perfil de velocidade para cada um dos regimes identifique (para cada caso) qual a distância y a partir da parede da tubulação que deve ser introduzido o tubo de Pitot para que a sua medida represente a velocidade média da tubulação. 12. h2=70mm e h3=120mm.8 m3/min em ambas as direções. o sistema bombeia água do reservatorio inferior para o superior para restaurar a situação.307x10-3 Pa.7 kg/m3. 0 N/m2 (b) 2. Na figura h1=30mm.242R C-96 PUCRS . A tubulação apresenta 20m de comprimento e rugosidade igual a 0.48m/s. Para uma vazão de projeto de 56. como mostra a figura para medir a pressão estática e de estagnação (estática + dinâmica). Considere tubulação de ferro fundido com rugosidade de 0. a perda de carga por atrito é de 5. Na figura Z1=45.2m.s Massa especifica 999.02mm.s R: (a) 2.0 m/s. De noite. Determine a velocidade e tensão de cisalhamento em (a) r=0 (b) r=4.
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