anaya fisica 2 bachillerato.pdf
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1FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS 1.1. ¿A QUÉ LLAMAMOS TRABAJO? 1. Un hombre arrastra un objeto durante un recorrido de 25 m, tirando de él con una fuerza de 450 N mediante una cuerda que forma un ángulo de 30º con la horizontal. Realiza un gráfico del problema y calcula el trabajo realizado por el hombre. La representación gráfica de la situación física que describe el enunciado es la que se muestra en la figura de la derecha. El trabajo realizado por el hombre lo calculamos como se indica: r r WF = F · ∆r = F · ∆r · cos θ F 30° 25 m WF = 450 · 25 · cos 30° = 9 742,8 J 2. Al tirar horizontalmente, con una fuerza de 10 N, de un cuerpo apoyado en un plano horizontal, este se desplaza 10 m. Calcula el trabajo realizado, sabiendo que su masa es 2 kg y el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el suelo es 0,1. En la figura hemos representado las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Los datos que tenemos son: N F = 10 N Desplazamiento: s = 10 m F Masa del cuerpo: m = 2 kg Froz Coef. de rozamiento: µ = 0,1 m El trabajo que realiza cada fuerza es: r r WP = m · g · s = m · g · s · cos 90° = 0 r r P WN = N · s = N · s · cos 90° = 0 r r WF = F · s = F · s · cos 0° = F · s = 10 · 10 = 100 J r r Wroz = F r · s = Fr · s · cos 180° = −µ · N · s = −µ · m · g · s = −0,1 · 2 · 9,8 · 10 = −19,6 J El trabajo total es la suma de todos ellos: W = 100 − 19,6 = 80,4 J 3. Cuando sujetamos una maleta de 20 kg, sin movernos, ¿qué trabajo realizamos? ¿Y si nos movemos con la maleta en la mano, desplazándonos 20 m sobre un plano horizontal? De acuerdo con la definición, para realizar trabajo, es necesario que se produzca desplazamiento: r r W=F ·r Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas 1 Por tanto, al sostener una maleta, estando parados, no realizamos trabajo; es una situación estática en la que el trabajo que se realiza es nulo. La segunda pregunta, que en principio puede parecer trivial, no lo es tanto. Dependiendo de la complejidad que queramos introducir al estudiar el sistema, la respuesta puede variar. Veamos: 1. Al no especificarse nada acerca del rozamiento, podemos considerar que su efecto es nulo o, al menos, despreciable. En ese caso, el razonamiento que exponemos es el siguiente: La persona que lleva la maleta ejerce una fuerza vertical, en sentido ascendente, de sentido opuesto al peso de la maleta. Sin embargo, como su movimiento es en sentido horizontal, las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son perpendiculares, lo que da como resultado un trabajo nulo: r r W = F · r = F · r · cos 90° = 0 J 2. Si tenemos ahora en cuenta el efecto del rozamiento, el resultado es diferente. El trabajo lo realiza la fuerza horizontal que aplicamos para vencer la fuerza de rozamiento: r r r r F = −F roz → W = −F roz · r = −Froz · r · cos 180° = Froz · r Para obtener el valor de la fuerza de rozamiento, debemos tener en cuenta el peso de la maleta que soporta la persona. De este modo, resulta: Froz = µ · N = µ · m · g = µ · (mhombre + mmaleta ) · g Por tanto, al desplazarnos con la maleta, debemos realizar un trabajo superior al que realizaríamos de hacerlo sin ella. La diferencia entre ambos trabajos es: W = µ · (mhombre + mmaleta ) · g · r − µ · mhombre · g · r = µ · mmaleta · g · r 4. Calcula el trabajo que realizamos al levantar un saco de 50 kg desde el suelo hasta una altura de 2 m. Si lo hacemos utilizando un plano de 30º de inclinación sin rozamiento, calcula la fuerza que hay que realizar, la distancia recorrida y el trabajo realizado, y compara los resultados con los anteriores. Para elevar un saco 2 m, es necesario realizar un rtrabajo en contra de las fuerzas del campo gravitatorio; debemos aplicar una fuerza, F 1, de la misma magnitud que el peso y de sentido opuesto a este. Por tanto: r r W1 = F1 · ∆h = F · ∆h · cos 0° = m · g · ∆h W1 = 50 · 9,8 · 2 = 980 N Si utilizamos un plano inclinado para elevar el r saco, debemos ejercer una fuerza, F 2, en sentido ascendente, que compense la componente en el eje X de su peso, como se muestra en la ilustración de la derecha. En primer lugar, debemos calcular la distancia recorrida por el saco a lo largo del plano inclinado hasta alcanzar 2 m de altura. Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas F2 d Px θ 30° h=2m P 2 De acuerdo con la ilustración anterior: h h 2 sen 30° = → d = = = 4 m d sen 30° 0,5 El trabajo que hay que realizar es, por tanto: r r W2 = F 2 · d = m · g · sen θ · d · cos 0° = 50 · 9,8 · sen 30° · 4 · 1 = 980 N siendo el valor de la fuerza: F2 = m · g · sen θ = 50 · 9,8 · sen 30° = 245 N En el caso anterior, el valor de la fuerza, F1, era: F1 = m · g = 50 · 9,8 = 490 N Observa que el trabajo realizado en ambos casos es el mismo, y que la fuerza que hay que aplicar en el segundo caso es menor, siendo el camino que se ha de recorrer mayor. Por eso se dice que las máquinas simples (como un plano inclinado) “multiplican” fuerzas, y no energías (trabajo). 1.2. TIPOS DE ENERGÍA: ENERGÍA CINÉTICA 1. Escribe la ecuación de dimensiones de la energía cinética. Demuestra que coincide con la del trabajo. La ecuación de dimensiones del trabajo es: [W] = [F] · [∆r] · [cos θ] = [m · a] · [∆r] · cos θ [W ] = M · L · T −2 · L = M · L2 · T −2 Y la que corresponde a la energía cinética: 1 [Ec ] = · [m] · [v 2] = M · (L · T −1)2 = M · L2 · T −2 2 Como se observa, sus dimensiones son equivalentes a las del trabajo. Por tanto, su unidad es la que corresponde al trabajo: el joule. 2. Un bloque de 2 kg de masa se desliza sobre una superficie horizontal. El rozamiento es nulo. Calcula el trabajo que realiza al desplazarse 10 m sobre la superficie. En el supuesto más general, la única fuerza que realizaría trabajo al moverse el bloque sería la de rozamiento, ya que esta es la única fuerza que tiene componente en la dirección del desplazamiento (el peso y la reacción normal que ejerce el plano sobre el que se apoya el bloque son perpendiculares a dicho desplazamiento). v N F m Froz = 0 Por tanto, la expresión del trabajo sería: W = Froz · r · cos 180° = −µ · mbloque · g · r Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas P 3 En este caso, al considerarse el rozamiento nulo (µ = 0), el trabajo que ha de vencer el bloque para desplazarse también es nulo. 3. Un objeto, de masa m, describe un movimiento circular uniforme, de radio R. Calcula el trabajo que realiza la fuerza centrípeta mientras el cuerpo describe una vuelta. El período es el intervalo de tiempo que transcurre hasta que un cuerpo, que realiza un movimiento regular, ocupa de nuevo una posición determinada, moviéndose con la misma velocidad y aceleración. El trabajo que realiza la fuerza centrípeta sobre un cuerpo que se mueve con m.r.u., transcurrido un período, responde a la expresión: W1→2 = 2 1 r r F · dr Al resolver la integral, obtenemos el siguiente resultado: 2 W1→ 2 v x2 v y2 v z2 1 = m⋅ + + = ⋅m ⋅ v2 2 2 2 2 1 [ ] v2 v1 = 1 2 ⋅ m ⋅ v 22 − 1 2 ⋅m ⋅v Como el movimiento es de velocidad constante, v1 = v2, el trabajo realizado al cabo de un período es nulo. A esta conclusión podríamos haber llegado también teniendo en cuenta que el cuerpo describe un m.r.u., y que, por tanto, la fuerza que hace que se mueva es centrípeta, estando dirigida en todo momento hacia el centro de la trayectoria y perpendicularmente al desplazamiento. Por tanto, el trabajo es nulo, ya que la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares. 4. ¿Puede ser negativa la energía cinética de un cuerpo? Razona la respuesta. La energía cinética de un cuerpo no puede ser negativa. Puede ocurrir que, debido a la situación del sistema de referencia, la velocidad del cuerpo sea negativa, pero al intervenir su cuadrado en la expresión de la energía cinética, el signo negativo desaparece. 5. ¿Pueden dos observadores medir distintos valores para la energía cinética de un cuerpo y tener razón los dos? Explica cómo puede hacerse, si es posible, o cuál es el motivo de que no sea posible. La energía cinética de un cuerpo depende de su velocidad: 1 Ec = · m · v2 2 El valor de la velocidad y, por ende, el de la energía cinética pueden variar. Basta con cambiar el sistema de referencia. Para un observador que viaja en un tren a velocidad constante, el tren está quieto y, con respecto a él, su energía cinética es nula. Sin embargo, para un observador en reposo que vea pasar el tren, este se moverá con cierta velocidad, y el observador situado en su interior posee cierta energía cinética. Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas 4 Del mismo modo, para un observador que viaje en automóvil a cierta velocidad, distinta a la del tren, circulando por una carretera paralela a la vía, la velocidad no será la misma que la que percibe el observador en reposo, y la energía que asociará con el observador situado en el interior del tren será distinta. A modo de conclusión, podemos decir que hay tantas medidas de la energía cinética como sistemas de referencia inerciales consideremos. 6. Dibuja todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo que se desliza por un plano horizontal, con el que existe rozamiento. Calcula el trabajo por unidad de longitud que realiza cada una de estas fuerzas. Las fuerzas que intervienen son las que se indican en la figura de la derecha. El trabajo que realizan el peso y la normal es nulo, ya que ambas fuerzas son perpendiculares a la dirección del desplazamiento: r r Wpeso = F · r = P · 1 · cos 90° = 0 J r r Wnormal = F · r = N · 1 · cos 90° = 0 J N F m Froz Para vencer la fuerza de rozamiento, sí debemos P realizar trabajo, ya que esta fuerza tiene la dirección del desplazamiento: r r Wroz = F roz · r = µ · m · g · r · cos 180° = −µ · m · g · r Por tanto, para una longitud r = 1, resulta: Wroz = −µ · m · g Este resultado se expresará en joule si la masa y la aceleración de la gravedad se expresan en unidades del S.I. 7. Un objeto desciende por un plano inclinado con el que existe rozamiento. Dibuja las fuerzas que actúan sobre él y calcula el trabajo que realiza cada una de ellas durante el descenso. Estima los valores que necesites para resolver la actividad. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son las que se indican en la figura. El trabajo que realiza cada una de ellas durante todo el descenso es: • Fuerza reacción normal: Su dirección es perpendicular al desplazamiento. Por tanto, el trabajo que realiza es nulo, ya que: r r Wnormal = N · d = N · d · cos 90° = 0 J • Fuerza peso: Y N Froz m Px α Px a F = Px β Py P X α r r WP = P · d = P · d · cos β = m · g · d · sen α Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas 5 • Fuerza de rozamiento: La fuerza de rozamiento actúa en la dirección del desplazamiento y en sentido opuesto a este. Por tanto, al desplazarse el cuerpo cierta distancia d sobre el plano, el trabajo que realiza vale: r r Wroz = F roz · d = µ · N · d · cos 180° = −µ · m · g · cos α · d 1.3. FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGÍA POTENCIAL 1. Enumera cinco situaciones cotidianas en las que intervengan fuerzas conservativas, y cinco situaciones en las que intervengan fuerzas no conservativas. Intervienen fuerzas conservativas en las siguientes situaciones: • El movimiento de la Luna alrededor de la Tierra. • La aceleración de un electrón entre las placas de un condensador entre las que se ha hecho el vacío. • La “caída libre” de un cuerpo que se deja caer desde lo alto de un edificio. • El movimiento de oscilación de un objeto colgado de un resorte vertical. • El movimiento de un electrón alrededor del núcleo, de acuerdo con el modelo atómico de Bohr. Intervienen fuerzas no conservativas, con independencia de la acción de las fuerzas conservativas que puedan actuar, en los siguientes ejemplos: • El movimiento de un automóvil. • El descenso de un cuerpo que se desliza por una superficie inclinada. • El movimiento de un objeto que es lanzado por un resorte sobre una superficie horizontal rugosa. • Cuando empujamos un mueble por el suelo y lo desplazamos de posición. • Las fuerzas que intervienen en un choque inelástico. 2. De las situaciones que has señalado, indica aquellas en las que las fuerzas realizan trabajo y explica por qué se conserva la energía en unos casos y no en los otros. • Movimiento de la Luna alrededor de la Tierra: como la Luna describe una trayectoria cerrada y la fuerza gravitatoria es conservativa, no se realiza trabajo. • Aceleración de un electrón entre las placas de un condensador entre las que se ha hecho el vacío: en este caso, se realiza un trabajo sobre el electrón que se invierte en aumentar su energía cinética. • La “caída libre” de un cuerpo que se deja caer desde lo alto de un edificio: si prescindimos del rozamiento, la fuerza gravitatoria realiza un trabajo sobre el cuerpo que incrementa la energía cinética de este. Si suponemos el ciclo completo de subida y bajada del cuerpo, el trabajo es nulo: la fuerza gravitatoria devuelve íntegramente, en la caída del cuerpo, el trabajo realizado para vencerla (el necesario para subir el cuerpo). En caso de tener en cuenta el rozamiento, debemos contar también con el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento, que disipa parte de la energía del cuerpo en su descenso. Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas 6 • El movimiento de oscilación de un objeto colgado de un resorte vertical: la fuerza elástica es conservativa; por tanto, puede devolver el trabajo que se ha de realizar para vencerla. En consecuencia, el trabajo realizado en una oscilación es nulo. • El movimiento del electrón alrededor del núcleo, según el modelo atómico de Bohr, es debido a la atracción electrostática entre este y los protones del núcleo. El electrón gira en órbitas circulares, por lo que no se realiza trabajo. • El movimiento de un automóvil: la fuerza del motor y la fuerza del rozamiento realizan trabajo. • El descenso de un cuerpo que se desliza por una superficie inclinada: en este caso, la fuerza gravitatoria realiza trabajo para que descienda el cuerpo, y la fuerza de rozamiento, que se opone al movimiento, también lo realiza. • El movimiento de un objeto que es lanzado por un resorte sobre una superficie horizontal rugosa: la fuerza elástica del muelle realiza trabajo sobre el objeto, que terminará deteniéndose debido a la energía disipada por la fuerza de rozamiento. • Cuando empujamos un mueble y lo desplazamos de posición, la fuerza con que empujamos y la fuerza de rozamiento realizan trabajo. • Las fuerzas que intervienen en un choque inelástico: en un choque inelástico se conserva la cantidad de movimiento, pero no la energía cinética, que se transforma en energía elástica (deformación) o se disipa en forma de calor. Las fuerzas, en este caso, sí realizan trabajo. La energía se conserva en todos los casos; no se deben confundir las posibles transformaciones energéticas (disipación de calor, deformaciones, etc.) que ocurren en las situaciones físicas descritas con la conservación de la energía. 1.4. ENERGÍAS POTENCIALES GRAVITATORIA Y ELÁSTICA 1. Una lámpara de 5 kg de masa está colgada a 2,2 m del suelo de una habitación, situado a 20 m sobre el suelo de la calle. Calcula su energía potencial respecto a ambos suelos. Si situamos el origen de la energía potencial en el suelo de la habitación, la energía potencial de la lámpara es: Ep = m · g · h1 → Ep = 5 · 9,8 · 2,2 = 107,8 J 1 1 Y respecto al suelo de la calle: Ep = m · g · h2 = m · g · (h1 + h) 2 donde h es la distancia del suelo de la habitación al suelo de la calle, y h1, la que separa la lámpara del suelo de la habitación; por tanto: Ep = m · g · (h1 + h) = 5 · 9,8 · (2,2 + 20) = 1 087,8 J 2 2. Si la lámpara se suelta y cae hasta el suelo de la habitación, calcula su energía potencial final respecto de ambos sistemas de referencia, así como la variación de su energía potencial en ambos casos. Respecto al suelo de la habitación, la energía potencial final es nula, siendo su variación: ∆Ep = Ep − Ep = 0 − 107,8 J = −107,8 J 1 f1 Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas i1 7 Respecto al suelo de la calle, la energía potencial final es: Ep = m · g · h = 5 · 9,8 · 20 = 980 J f2 Por tanto, la variación de energía es, en este caso: ∆Ep = Ep − Ep = m · g · h − m · g · h2 = m · g · (h − h2) = 2 f2 i2 = m · g · (h − h1 − h) = −m · g · h1 = = −5 · 9,8 · 2,2 = −107,8 J La variación de energía potencial es, lógicamente, la misma en ambos casos. 3. Calcula la energía potencial elástica que posee un muelle que alargamos 5 cm si para alargarlo 10 cm debemos tirar de él con una fuerza de 20 N. Sabemos que para alargar el muelle 10 cm hemos de realizar una fuerza de 20 N. A partir de este dato es posible calcular la constante elástica, k, que nos servirá para resolver el problema: F 20 F = k · x → k = = = 200 N · m−1 x 0,1 Ahora ya estamos en condiciones de calcular la energía almacenada cuando el muelle está estirado 5 cm. Para ello, basta con sustituir en la expresión: 1 1 Ep (x) = · k · x 2 = · 200 · 0,052 = 0,25 J 2 2 4. En la actividad anterior, calcula el valor de la constante elástica, k. La constante elástica la hemos calculado ya para resolver la primera actividad de esta página: k = 200 N · m−1. 5. Si cortamos el muelle por la mitad, ¿cuánto vale ahora la constante elástica de cada trozo? Al cortar el muelle por la mitad, la constante elástica sigue siendo la misma para cada trozo, ya que dicha constante depende únicamente de las características del material. 1.5. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA 1. Dejamos caer un objeto de 2 kg desde una altura de 10 m. En ausencia de rozamiento: a) Calcula la energía mecánica del objeto a 10, 8, 6, 4, 2 y 0 m del suelo. b) Representa en una gráfica las energías cinética, potencial gravitatoria y mecánica del objeto. A la vista del resultado, ¿qué puedes decir de las fuerzas que actúan? a) El movimiento de caída libre es un m.r.u.a. Calcularemos, por tanto, cada uno de los instantes en los que la altura es la indicada por el enunciado y, a partir de ellos, la velocidad, dada por las ecuaciones del movimiento de caída libre. Por último, calcularemos las energías cinética, potencial y mecánica. Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas 8 Fuerzas conservativas y no conservativas 9 .265 160 40 200 0 1.632 = 6.32)2 = 40 J 2 La energía potencial del objeto a esta altura es: Ep = m · g · h = 2 · 10 · 8 = 160 J Y. Unidad 1. la energía cinética tiene un valor: 1 Ec = · 2 · (6.894 80 120 200 4 1. resulta: y= 2⋅ y = g 1 ⋅ g ⋅t2 → t = 2 2 ⋅ (10 − 8) = 0. resulta: E ( J) Em 200 160 Ec Ep 120 80 40 2 4 6 8 10 h (m) Sobre el objeto actúa una fuerza conservativa.Cuando h = 8 m. obtenemos: Altura (m) Instante (s) Energía cinética (J) Energía potencial (J) Energía mecánica (J) 10 0 0 200 200 8 0.41 200 0 200 b) Al representar gráficamente los datos anteriores. la velocidad en este instante es: v = v0 + g · t = 0 + 10 · 0.32 m · s−1 Por tanto. por tanto. que es la fuerza gravitatoria.095 120 80 200 2 1. 632 s 10 Como partimos de velocidad nula.632 40 160 200 6 0. su energía mecánica vale: Em = Ec + Ep = 40 + 160 = 200 J Realizando estas operaciones para cada una de las alturas pedidas. Lanzamos verticalmente hacia arriba un objeto de 3 kg de masa.. que para cada componente de la aceleración es: aT = α · r . aN = ω2 · r Unidad 1.5 m/s.4 − 337.1 J 2 1 El signo negativo obtenido indica la pérdida de energía.5 = −103. sabiendo que el cuerpo no se desliza. podemos llegar a la expresión que establece la relación entre la aceleración lineal y la angular. su velocidad es 12. en la que r es el radio de la circunferencia: ∆s = r · ∆θ Si comparamos esta expresión con la que relaciona el desplazamiento con la velocidad y con el tiempo en el m. Calcula la energía disipada por rozamiento con el aire si. MOMENTO ANGULAR 1. Por tanto: r r Px + F r = 0 → Px − Fr = 0 → Px = Fr → m · g · sen θ = µ · m · g · cos θ m · g · sen θ sen θ µ = = = tg θ → µ = tg 30° = 0. con v = 15 m/s. respectivamente: 1 1 Ec = · m · v12 → Ec = · 3 · 152 = 337.2. resulta: ∆s = r · ∆θ ∆s = v · ∆t ∆θ → v · ∆t = r · ∆θ → v = r · ∆t En esta última expresión.u.58 m · g · cos θ cos θ 3. el cociente es la velocidad angular.5 J 1 1 2 2 1 1 Ec = · m · v22 → Ec = · 3 · 12. Un cuerpo de 50 kg de masa se deja libre sobre un plano inclinado 30º. MOVIMIENTOS DE ROTACIÓN. A partir de la definición de radián podemos establecer la relación entre un arco de circunferencia y el ángulo que abarca.52 = 234. La energía cinética que comunicamos al objeto en el momento del lanzamiento y la que posee un instante antes de tocar el suelo son.4 J 2 2 2 2 La diferencia entre ambas energías es la que se disipa por rozamiento. ω y α? Repasa los contenidos estudiados el curso pasado si es necesario. cuando el objeto vuelve al suelo. ¿Qué relación existe entre las magnitudes lineales s. Por tanto: v=r·ω De un modo similar. la resultante de las fuerzas que actúan en la dirección del plano inclinado en que se encuentra apoyado debe ser nula. Estas fuerzas son la componente horizontal del peso y la fuerza de rozamiento. a y las magnitudes angulares θ. v. Calcula el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano. Si el cuerpo no se desliza.6. 1. Fuerzas conservativas y no conservativas 10 . Por tanto: ∆Ec = Wroz = Ec − Ec → Wroz = 234.r. Respecto a un mismo sistema de referencia. sus momentos angur lares serán iguales solo si ambas partículas tienen el mismo vector posición. en que se mide esta magnitud? La ecuación de dimensiones del momento angular es: [L] = [m] · [r] · [v] · [sen θ] = M · L · L · T −1 = M · L2 · T −1 La unidad del S. DINÁMICA DE ROTACIÓN. Únicamente pueden ser iguales sus vectores posición.7. la velocidad también tiene la dirección del eje de abscisas. y vale 180° cuando lo hace en sentido contrario. de su cantidad de movimiento: r r r r r L =r×p=r×m·v r En esta expresión. de izquierda a derecha. ¿tienen el mismo momento angular? Justifica tu respuesta. Tanto en uno como en otro caso.2. para cada partícula. 2. Calcula el momento angular de una partícula que se mueve en línea recta a lo largo del eje de abscisas respecto a un observador situado en el origen del sistema de referencia. que hagan posible dicha igualdad. en que se mide es. ¿Cuál es la unidad del S. Dos partículas que tienen la misma cantidad de movimiento. ECUACIÓN FUNDAMENTAL 1.I. r Al moverse la partícula a lo largo del eje de abscisas. r es el vector posición de la partícula respecto al origen de coordenadas. Deduce la ecuación de dimensiones del momento angular. El momento angular de una partícula. ya que las dos partículas ocuparán dos posiciones distintas. r tiene la misma dirección que el eje y. por tanto: kg · m2 · s−1 = J · s 1. respecto a un punto.I. tomando. Al aplicar a este caso la definición de producto vectorial de dos vectores. Unidad 1. obtenemos el siguiente valor para el módulo del momento angular: r r r |L | = |r × m · v| = r · m · v · sen 0° = r · m · v · sen 180° = 0 El ángulo que forman entre sí el vector posición y el vector velocidad es nulo si la partícula se mueve en sentido positivo por el eje de abscisas. respecto a dicho punto. El momento angular es el momento de la cantidad de movimiento: r r r L =r×p Si la cantidad de movimiento de las dos partículas es la misma. esto no es posible. sistemas de referencia distintos. es decir. el momento angular de la partícula respecto al origen de coordenadas es nulo. r . Fuerzas conservativas y no conservativas 11 . es el momento. como el movimiento es rectilíneo. tomando. Fuerzas conservativas y no conservativas 12 .8. Si. Por tanto. únicamente pueden tener el mismo momento angular si sus vectores posición son iguales. debe ocurrir que α sea 180°. tanto r como v son distintos de cero. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR 1. o 0°. lo cual es imposible. lo que implica que la partícula se dirige hacia el punto. calculamos primero la aceleración lineal (tangencial) del extremo de la cuerda. ¿podrían tener el mismo momento angular y no estar situadas en el mismo punto? Según se vió en la actividad anterior. o bien ha pasado ya por ese punto o pasará por él. calculamos la aceleración angular y la velocidad angular: a 0. Por tanto. dos partículas con la misma cantidad de movimiento no pueden tener el mismo momento angular. que habrá recorrido 6 metros al cabo de 5 segundos: s − s0 1 6−0 = 0. 1.39 rad · s–1 r 0. Para calcular la aceleración angular.48 · 5 = 2. un sistema de referencia distinto. Sobre una cuerda arrollada en la periferia de un volante de 89 cm de diámetro se ejerce una fuerza constante de 40 N.89/2 v 2. de tal forma que la partícula ha pasado ya por el punto y se aleja de él. r es el vector posición de la partícula respecto al punto. r r Dado que la partícula se mueve a velocidad constante. Las partículas de la actividad anterior.08 rad · s–1 r 0. El módulo del momento angular será. El momento angular es el momento de la cantidad de movimiento: r r r r r L =r×p=r×m·v r En esta expresión.4 m · s–1 Con estos valores. partiendo del reposo.89/2 Unidad 1.4 ω = = = 5. por tanto: r r r |L | = |r × m · v| = r · m · v · sen α r r donde α designa el ángulo que forman r y v. para que el momento angular sea nulo. a no ser que se encuentren en el mismo punto con respecto a un mismo sistema de referencia.48 α = = = 1. calcula la aceleración angular y la velocidad angular al cabo de los 5 segundos. para cada partícula.48 m · s−2 s = s0 + v0 · t + · a · t2 → a = 2 · 2 = 2 · 2 52 t La velocidad lineal en este instante será: v = v0 + a · t = 0 + 0. Demuestra que si una partícula se mueve con velocidad constante y su momento angular con respecto a un punto es nulo. al cabo de 5 segundos se han desenrollado 6 m de cuerda. 4.3. Se le aplica un par de fuerzas que detiene el volante en 6 minutos. Un volante tiene un momento de inercia de 300 kg m2 y gira a una velocidad de 500 revoluciones por minuto.65 N · m 1.67 · π α = = = − 0. Fuerzas conservativas y no conservativas 13 . Antes de comenzar a operar.9.0261 kg m2. Calcula la aceleración angular con que gira el volante y el momento que se le aplica debido al par de rozamiento. Un disco uniforme. M = I · α → M = 300 · 0. debemos expresar las magnitudes que nos proporciona el enunciado en las unidades correspondientes del Sistema Internacional.97 J 2 2 Unidad 1. rot = · I · ω2 2 En primer lugar. Su valor.67 · π rad · s−1 1 rev 60 s min 60 s t = 6 min · = 360 s 1 min Por tanto: ω − ω0 = α · t ω − ω0 0 − 16.p. El momento debido al par de fuerzas lo obtenemos a partir de la aceleración angular calculada en el apartado anterior.I.15 rad · s−2 t 360 El signo negativo que acompaña al resultado indica que se produce una deceleración. da vueltas a 480 r. en módulo. cuyo momento de inercia es 0. Para calcular la aceleración angular del volante. Calcula su energía cinética de rotación. rot = · I · ω2 = · 0. tendremos en cuenta la ecuación que relaciona la velocidad con la aceleración en el movimiento circular uniformemente acelerado. La energía cinética de rotación se calcula de acuerdo con la siguiente expresión: 1 Ec.15 = 43. y aplicando la ecuación fundamental de la dinámica de rotación.: rev 1 min 2 · π rad ω = 480 · · = 16 · π rad · s−1 60 s 1 rev min Por tanto: 1 1 Ec. es el siguiente. De ese modo: rev 2 · π rad 1 min ω0 = 500 · · = 16.m. ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN 1.2. debemos expresar la velocidad angular en las unidades correspondientes del S.0261 · (16 · π)2 = 32. el de la lineal. los momentos son los responsables de la variación del momento angular. m. r r Por último. la cantidad de movimiento caracteriza el movimiento de un cuerpo. tanto de p como de L . m ROTACIÓN Unidad Magnitud Unidad kg Momento de Inercia. En la traslación son las fuerzas las responsables de la variación de la cantidad de movimiento. de ahí derivan las leyes de la dinámica de este movimiento. En la rotación. I kg · m2 Velocidad. al igual que la velocidad angular desempeña el papel de la velocidad lineal. Comparando las expresiones que corresponden a la cantidad de movimiento y al momento angular: r r r r p=m·v . en este caso. Lo mismo ocurre en la rotación si no varía el momento r de inerr cia. El momento ocupa el lugar de la fuerza. α rad s2 Fuerza. p=m·v N Momento de la fuerza. la ecuación fundamental de la dinámica de rotación es M = I · α. Realiza una tabla comparativa con las magnitudes y las ecuaciones características del movimiento lineal y las del movimiento de rotación vistas en esta unidad. L =I·ω se observa que el momento de inercia. Fuerzas conservativas y no conservativas 14 . a m s2 Aceleración angular. Las siguientes tablas muestran un resumen de las analogías citadas: TRASLACIÓN Magnitud Masa. I. están universalmente aceptados y verificados. en torno a ella se establecen las leyes de la dinámica.2. y la aceleración angular. F Cantidad de movimiento. En un sistema r cuyarmasa no varíe. la ecuación fundamental de la dinámica de traslación sería F = m · a. En la dinámica de traslación. En la dinámica de rotación es el momento angular el que caracteriza el movimiento de un cuerpo. L=I·ω N·m Unidad 1. incluso en aquellos casos en que alguna de las leyes de Newton parece no cumplirse. los principios de conservación. M kg · m s1 kg · m2 s1 TRASLACIÓN ROTACIÓN F=m·a M=I·α p = m · v = cte L = I · ω = cte Ecuación fundamental Principio de conservación Momento angular. ω rad s1 Aceleración. desempeña el mismo papel en la rotación que la masa. en la traslación. v m s1 Velocidad angular. b) Proporcional a la masa del cuerpo y a su velocidad. la a). c) Proporcional a la masa del cuerpo y a la aceleración que lleva. es decir. por tanto. y el instante final. Unidad 1. Aplicaremos el teorema de las fuerzas vivas entre el instante inicial. Cuando la piedra alcanza el punto más alto de su trayectoria. resulta: ∆Ec − ∆Ep = 0 Sustituyendo valores y teniendo en cuenta que v = 0 y h0 = 0. Si aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica entre los instantes inicial y final. ¿esfuerzo equivale a trabajo? ¿Con qué magnitud física relacionarías el esfuerzo? No. hemos de suponer que la energía mecánica del sistema se conserva. toda la energía mecánica del sistema se encuentra en forma de energía potencial. 3. lo cual es fácilmente deducible de la definición de trabajo: r r W = F · ∆r = F · ∆r · cos θ en la que θ es el ángulo formado por los vectores fuerza y desplazamiento. que podemos relacionar con la fuerza. del trabajo. Para que haya trabajo. obtenemos el siguiente resultado: 1 1 W = ∆Ec = Ec − Ec = 0 − · m · v2 = − · m · v 2 2 1 2 2 El signo negativo indica que este trabajo debe ser realizado por una fuerza externa en sentido opuesto al movimiento del cuerpo. lanzada verticalmente desde la superficie de la Tierra. esa energía mecánica se encontraba en forma de energía cinética en el momento del lanzamiento. Por otra parte.ACTIVIDADES DE LA UNIDAD CUESTIONES 1. La respuesta correcta es. y la velocidad con que fue lanzada? Para contestar a la pregunta. De ese modo. debe existir desplazamiento en la dirección de la fuerza aplicada o en una dirección que no forme un ángulo de 90° o de 270° con dicha fuerza. resulta: v02 1 1 · m · v 2 − · m · v02 + m · g · (h − h0) = 0 → h = = k · v02 2 2 2·g Por tanto. en el que se detiene. ¿Qué relación existe entre la altura máxima que alcanza una piedra. Fuerzas conservativas y no conservativas 15 . Desde un punto de vista físico. no consideramos el trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento. físicamente es muy importante diferenciar el esfuerzo (muscular). d) Ninguna de las respuestas anteriores. la altura máxima es proporcional al cuadrado de la velocidad inicial. cuando el cuerpo se desliza con cierta velocidad. El trabajo que debemos realizar para detener un cuerpo en movimiento es: a) Proporcional a la masa del cuerpo y al cuadrado de la velocidad que lleva. 2. Fuerzas conservativas y no conservativas 16 .02 · 202 = 4 J 1 2 2 Si la velocidad se reduce a la mitad: v1 1 1 Ec = · m · v22 = · m · 2 2 2 2 2 v12 Ec1 4 1 = · m · = = = 1 J 2 4 4 4 Por tanto. la energía mecánica del sistema permanece constante. 6. Para que la energía mecánica de un sistema se conserve. es suficiente que: a) Todas las fuerzas deriven de potenciales. disminuyendo la energía mecánica del sistema. aunque parte de ella se transfiere del objeto al plano en forma de calor. Un objeto de 20 g se mueve con una velocidad de 20 m s−1. Un ejemplo de ello es el propuesto al resolver la actividad anterior. no cumpliéndose en este caso el principio de conservación de la energía mecánica. la energía total se mantiene constante. por ejemplo. c) Se pueda calcular el trabajo de las fuerzas a lo largo de un camino cualquiera. b) La energía mecánica se conserva si el sistema está aislado y no existen rozamientos interiores al sistema. la energía mecánica del sistema no tiene por qué mantenerse constante. pero puede haber fuerzas no conservativas internas en él (rozamientos internos). y. la energía cinética se reduce a la cuarta parte. d) Ninguna respuesta es correcta. y no de la velocidad con que se mueven los puntos materiales. en el sistema mecánico formado por un plano inclinado y un objeto que se desliza sobre él con rozamiento. La respuesta correcta es la b). ¿también se reducirá a la mitad? La energía cinética del cuerpo es: 1 1 Ec = · m · v12 = · 0. Unidad 1. Pensemos. Si el sistema objeto-plano está aislado. c) La energía se conserva si el sistema está aislado. si las fuerzas que actúan sobre un sistema físico son conservativas. 5.4. Un sistema físico puede permanecer aislado (ausencia de fuerzas exteriores). Si el sistema físico se encuentra aislado y existen fuerzas no conservativas. la energía cinética. En todo sistema físico: a) La energía mecánica se conserva. b) El sistema esté aislado. según el teorema de conservación de la energía mecánica. d) Las fuerzas dependan de la posición que ocupan. La respuesta correcta es la a) siempre que se trate de un sistema físico aislado. Las fuerzas que derivan de potenciales son fuerzas conservativas. Calcula su energía cinética. Si la velocidad se reduce a la mitad. al ser conservativo el campo gravitatorio. formado por la fuerza de rozamiento y el desplazamiento. Comenta la siguiente frase: “Podemos hablar de diferencias de potencial aunque no conozcamos el origen de potenciales. respectivamente. Fuerzas conservativas y no conservativas 17 . el ángulo. la fuerza será vertical u horizontal. Una prueba de que la fuerza elástica siempre está dirigida hacia este punto es que podemos estirar el muelle en vertical (por ejemplo. ¿Es central la fuerza elástica? ¿Es necesario que una fuerza conservativa sea central? Razona tus respuestas. el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es negativo: r r Wroz = F roz · ∆r = Froz · ∆r · cos 180° = −Froz · ∆r 9. si no establecemos un punto de referencia donde el potencial sea nulo. podemos afirmar que toda fuerza central es conservativa. Explica por qué es siempre negativo el trabajo de la fuerza de rozamiento. Una está en el borde del disco. La fuerza elástica es una fuerza central. jamás podremos definir potenciales”. será imposible hablar de puntos del espacio con potencial determinado. pero no al revés. no es necesario. En este caso. y. Por tanto. puesto que.7. A esta fuerza la denominamos fuerza de rozamiento. Cuando un cuerpo se mueve sobre la superficie de otro cuerpo. Respecto a la segunda pregunta. Dado que se opone al movimiento. a) ¿Cuál de las partículas recorre una mayor distancia durante un tiempo determinado? Unidad 1. ¿Cuáles son las ventajas de resolver los problemas de mecánica utilizando las ecuaciones del trabajo y la energía en vez de utilizar las leyes de Newton? La principal ventaja es que las ecuaciones del trabajo y de la energía permiten calcular posiciones y velocidades de forma mucho más sencilla que las leyes de Newton. La implicación está demostrada en sentido contrario. pero estará dirigida hacia el punto por el que se sujeta el muelle. las variaciones energéticas que se producen cuando un cuerpo se mueve en su seno dependen únicamente de las posiciones inicial y final. Dos partículas situadas sobre un disco giran con velocidad angular constante. es de 180°. esto es. en cada caso. Si conocemos la magnitud que hace variar el potencial. 8. colgado de un techo) o en horizontal (si lo enganchamos a una pared). θ. ya que no podríamos ejercer fuerza sobre él. y no de la trayectoria seguida. podemos establecer sin problemas diferencias de potencial en función de los distintos valores de la citada magnitud. el muelle sería incapaz de estirarse o de acortarse. a mitad de camino entre el borde y el eje. el punto fijo por el que siempre pasa la línea de acción de la fuerza es el punto donde el muelle se engancha. 10. Sin embargo. La frase es cierta. De no existir ese punto. existe una fuerza de interacción en la superficie de contacto entre ambos que se opone siempre al movimiento. 11. pero sin este. y la otra. c) La relación entre la velocidad lineal y la angular es: v=R·ω Por tanto. aquella partícula que se encuentre mas alejada del eje de giro girará con mayor velocidad lineal. b) Ambas giran el mismo ángulo. e) La relación entre la aceleración tangencial y la aceleración angular es: aT = α · R Como la velocidad angular es constante. α = 0. por cada partícula y el ángulo abarcado es: ∆s = R · ∆θ Por tanto. aT = 0 en ambos casos. la distancia que recorre la partícula que se encuentra en el borde del disco es: ∆s1 = R · ∆θ Y la que se encuentra a mitad de camino entre el borde y el eje: ∆s1 R ∆s2 = · ∆θ = 2 2 Esta última recorre. ∆s. Unidad 1. g) Como se ha indicado anteriormente. α = 0 en ambos casos. o puede describir un giro sobre sí mismo. Fuerzas conservativas y no conservativas 18 . 12. la partícula que se encuentra a mayor distancia del eje de giro recorrerá una distancia mayor.c.). las dos giran a la misma velocidad. En el caso del m.u. es: aN = ω2 · R Por tanto. este puede desplazarse de dos formas: puede moverse sobre una trayectoria. la mitad de distancia que la anterior. permaneciendo en la posición relativa que ocupa.b) ¿Cuál gira mayor ángulo? c) ¿Cuál tiene mayor velocidad? d) ¿Cuál gira a mayor velocidad angular? e) ¿Cuál posee mayor aceleración tangencial? f) ¿Y mayor aceleración normal? g) ¿Y mayor aceleración angular? a) La relación entre el arco recorrido. f) Una partícula que se mueve describiendo un movimiento curvilíneo siempre está sometida a una aceleración normal (centrípeta). los puntos más alejados del eje de giro tendrán un valor más alto de la aceleración normal.u. ¿Qué condición es necesaria para que un cuerpo gire? Al aplicar una fuerza sobre un cuerpo. En concreto. trasladándose de un punto a otro. por tanto.c. d) La velocidad angular es constante (m. Por tanto. respecto ra un punto. el momento de la fuerza es: d MO = r · F · = F · d r tal y como solicitaba el enunciado de la cuestión. podemos considerar nulo el valor de la fuerza de rozamiento. en consecuencia. es necesario que la resultante de los momentos aplicados sobre él sea no nula. Demuestra que el momento de una fuerza respecto a un punto se puede calcular como el producto del módulo de dicha fuerza por la distancia que hay desde el punto a la línea de acción de la fuerza. para que el momento angular permanezca r constante. se define como el producto vectorial de los vectores F y r . O. Por tanto. su momento de inercia. disminuirá. ω. dejándolos extendidos perpendicularmente al cuerpo. podemos expresar la distancia que hay desde el punto a la línea de acción de la fuerza en función de θ y r: d d = r · sen θ → sen θ = r MO F O r d θ θ Por tanto. θ es el ángulo formado por r r los vectores r y F . su velocidad angular. aumenta. su momento angular permanece constante. es decir: r r L = I · ω = cte Cuando el patinador coloca los brazos perpendicularmente. Una partícula recorre una trayectoria circular. Cuando una persona está patinando sobre hielo. al girar sobre sí misma. Si se duplica su cantidad de movimiento. Imagina una persona patinando sobre hielo que está girando sobre sí misma a gran velocidad con los brazos levantados. De acuerdo con la gráfica de la derecha. Explica qué sucederá si baja los brazos. para que un cuerpo gire. Fuerzas conservativas y no conservativas 19 . r M0r. I = m · r 2. siendo r el vector posición que une el eje de giro con el punto en que se aplica la fuerza: r r r MO = r × F → MO = r · F · sen θ En la expresión anterior. ¿cómo se ve afectado su momento angular? ¿Y si se duplica el radio de la trayectoria pero sin modificar la velocidad de la partícula? El momento angular de una partícula es: r r r L = m · (r × v ) siendo su módulo: L = m · r · v · sen θ Unidad 1. 15. r El momento de una fuerza. 13.El momento de una fuerza es la magnitud física que produce el giro de un cuerpo alrededor de un punto cuando sobre él aplicamos una fuerza. 14. Este caso es idéntico al anterior. además de la necesidad que tenemos de comunicar energía potencial al cuerpo para que se eleve. el cuerpo no se desliza y. hace que el trabajo realizado solo dependa de las posiciones inicial y final: W = ∆Ep = m · g · h a. r es el radio de la trayectoria. Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas d = h/sen 37° h 37° 20 . • Sin rampa: Al no haber rampa. En este caso. directamente y utilizando una rampa que forma un ángulo de 37º con la horizontal: a) ¿En cuál de los dos casos se realiza más trabajo? Considera dos situaciones. Un cuerpo. es elevado desde el suelo hasta una altura h de dos modos. al ser una fuerza conservativa. b) ¿Para qué sirve en realidad la rampa? a. que. con rozamiento y sin él. ya que la única fuerza que interviene es el peso. Si lo que se duplica es el radio de la trayectoria sin modificar la velocidad. por tanto. de masa m.1) Suponiendo que no existe rozamiento.r r En la expresión anterior. la masa de la partícula. y el trabajo será: W = ∆Ep = m · g · h • Con rampa: Si utilizamos la rampa. no existe fuerza de rozamiento (si despreciamos la del aire). necesitamos vencer la fuerza de rozamiento para que el cuerpo se deslice sobre la superficie del plano. el trabajo que debemos realizar sobre el cuerpo aumenta. Recuerda que la cantidad de movimiento que corresponde a una partícula de masa r m que se mueve con velocidad v es: r r p =m·v →p=m·v Por tanto. el trabajo es el mismo por los dos caminos. θ es el ángulo formado por los vectores r y v . ocurre lo mismo: L3 = r3 · p · sen θ = 2 · r · p · sen θ = 2 · L1 16.2) Suponiendo que existe rozamiento. ya que. y m. podemos expresar el momento angular como: L1 = r · p · sen θ Si se duplica la cantidad de movimiento: L2 = r · p2 · sen θ = r · 2 · p · sen θ = 2 · L1 el momento angular también se duplica. el trabajo necesario aumenta. x. lo que supone realizar un trabajo para comunicarle cierta energía potencial. se comprime 5 cm en el interior de un tubo horizontal. Liberado bruscamente. Lo que permite la rampa es que esa “entrega” de energía se realice de modo gradual. en m s−1. según se indica en la gráfica adjunta. por tanto. varía con la posición. debido al rozamiento. 01 La respuesta correcta es. en este caso. de constante elástica k = 100 N m−1. de la forma: h W = ∆Ep + Wroz = m · g · h + Froz · sen 37° h µ W = m · g · h + µ · m · g · cos 37° · = m · g · h · 1 + sen 37° tg 37° Como vemos. Calcula el trabajo que realiza dicha fuerza sobre una partícula que se mueve desde el punto x = 0 hasta el punto x = 6 m. lo que permite realizar el mismo trabajo en mayor tiempo. expulsa una bola de 10 g de masa. 05 2 = 5 m ⋅ s −1 0. b) No olvidemos el objetivo que persigue el problema que nos plantean: subir el cuerpo hasta cierta altura. la b). Fuerzas conservativas y no conservativas 6 8 10 x (m) 21 . F (N) 20 15 10 5 2 4 Unidad 1. Una fuerza F (x).El balance energético queda. Un resorte. sale la bola del tubo? a) 2 b) 5 c) 10 d) 20 Si suponemos el sistema libre de rozamientos y aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica. Dicho de otra forma: la rampa reduce la tasa de entrega de energía al sistema. EJERCICIOS 17. o lo que es lo mismo. ¿Con qué velocidad. al utilizar la rampa. resulta: |∆Ep_elástica|=|∆Ec| 1 1 ⋅ k ⋅ x2 = ⋅ m ⋅ v2 → v = 2 2 k ⋅ x2 = m 100 ⋅ 0. empleando menor potencia. 18. para calcular el trabajo debemos utilizar la expresión: r r dW = F · dr → W = r 2 r 1 r r F · dr = r 2 r 1 F · dr · cos θ Dado que la fuerza solo depende de la coordenada x. ¿qué pesa posee más energía potencial. más energía potencial. En el primer caso.5 · x · dx = 1.A la vista de la gráfica. Unidad 1. si escogemos el origen de potenciales en el techo. Aplicando el teorema de las fuerzas vivas. la velocidad que adquiere la partícula es: Ec = f 1 ⋅ m ⋅ v 2f → v f = 2 2 ⋅ Ec m f = 2 ⋅ 27 = 3.5 · 2 6 0 0 x · dx = 62 = 1. dicha energía es: Ep = m · g · h = 10 · 10 · (−8) = −800 J 2 La primera esfera tiene.5 · − 0 = 27 J 2 19. La fuerza indicada en el ejercicio anterior es la única fuerza que está actuando sobre una partícula de 5 kg de masa que inicialmente se encuentra en reposo en el punto x = 0. por tanto. podemos calcular la energía cinética final que adquiere la partícula: W = ∆Ec = Ec − Ec = Ec − 0 → W = Ec → Ec = 27 J f i f f f Por tanto. suspendida por una cuerda de 2 m. podemos escribir la relación entre la fuerza y la posición como se indica: F = 1. corresponderán a energías potenciales negativas. Debe quedar claro que. medida respecto al techo? El problema muestra la importancia que reviste la elección del sistema de referencia cuando estudiamos la energía potencial gravitatoria. Como la fuerza es variable. 29 m ⋅ s −1 5 20. por tanto. Calcula cuál será su velocidad al llegar al punto x = 6 m.5 · x que corresponde a la ecuación de una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es 1. una de 7 kg y otra de 10 kg.5 · 6 F · dx = 6 0 x2 = 1. Del techo de una habitación cuelgan dos pesas.5. todas las alturas que queden por debajo del nivel del techo serán negativas y. y la segunda cuelga de una cuerda de 8 m. Si la primera cuelga a 10 m de altura. podemos escribir la expresión anterior como: W= x 2 x 1 1. Fuerzas conservativas y no conservativas 22 . la energía potencial es: Ep = m · g · h = 7 · 10 · (−2) = −140 J 1 mientras que para la segunda esfera. En la figura se muestran varios planos inclinados. Si despreciamos el rozamiento con el aire. Para mantener un cuerpo a cierta altura. Desprecia el rozamiento con el aire. al que elegimos como origen de potenciales. ¿cuál es la potencia? Mantener un cuerpo a una cierta altura no supone realizar ningún trabajo. h 20° A h 45° C h 25° B h 70° D h 80° E NOTA: la gráfica correcta es la que aparece en este enunciado. Unidad 1. resulta: θ h l (1 cos ) l l (1) h (2) 1 Emec = Emec → Ep + Ec = Ep + Ec → m · g · l · (1 − cos θ) + 0 = 0 + · m · v 2 1 2 1 1 2 2 2 Despejando la velocidad de la ecuación anterior: v= 2·g· l · (1 − cos θ) 2 · 10 · 1 · (1 − cos 20°) = 1. podemos afirmar que el sistema conserva su energía mecánica.10 m · s−1 = 23. Para hacerlo subir. arrastrando. Fuerzas conservativas y no conservativas 23 . Un péndulo de 1 m de longitud se separa de su posición de equilibrio hasta que forma un ángulo de 20º con la vertical y se deja libre. Calcula la velocidad del péndulo cuando pase de nuevo por la posición de equilibrio. hemos de tirar de él con una fuerza igual a su peso.21. por los que ha de subirse. Calcula el trabajo consumido y la potencia suministrada para mantener un cuerpo de 10 kg a una altura de 2 m durante 10 segundos. un cuerpo de masa m. debemos realizar un trabajo igual a la variación de energía potencial que experimenta el cuerpo desde el suelo hasta el punto en que se encuentra: W = ∆Ep = Ep − Ep = m · g · h − m · g · 0 = 2 · 10 · 10 = 200 J f i La potencia es: W 200 P = → P = = 40 W t 5 22. ¿Qué trabajo se realiza para elevarlo desde el suelo al punto anterior con velocidad constante. pues todas las demás fuerzas que intervienen son conservativas. ya que no existe desplazamiento alguno. en 5 segundos? En ese caso. Si aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica entre el punto más alto (que llamaremos 1) y el punto más bajo (que llamaremos 2) de la trayectoria. 7 kg de masa comienza a rodar por el césped de un campo de fútbol a 5 m s−1. La energía potencial del balón se mantiene constante. cuanto menor sea el ángulo α. el trabajo que hay que realizar es idéntico. lo que interesa es minimizar la potencia. en la mayoría de las aplicaciones prácticas. ya que el trabajo se realiza en menos tiempo. puesto que no varía su altura. Fuerzas conservativas y no conservativas 24 . El razonamiento es igual al del caso sin rozamiento. el balance energético resulta: ∆Ep + Wroz = W Al sustituir cada término por su valor. en un plano inclinado de mayor pendiente se necesita mayor potencia para subir el cuerpo. suponiendo ahora que existe rozamiento entre el cuerpo y el plano inclinado. Un balón de 0. Tan solo varía su energía cinética. no el trabajo. por tanto. El cálculo de la variación de energía cinética que experimenta el balón es: 1 1 1 ∆Ec = Ec − Ec = · m · vf2 − · m · vi2 = · m · vf2 − vi2 2 1 2 2 2 Sustituyendo. resulta: h µ W = m · g · h + µ · m · g · cos α · = m · g · h · 1 + sen α tg α Como indica el resultado. Potencia.Suponiendo que el rozamiento entre el cuerpo y el plano es nulo. Para minimizar la potencia. Si suponemos que no existe rozamiento. ¿qué plano escogerías para minimizar el trabajo a realizar? ¿Y para minimizar la potencia? Contesta de nuevo a las dos preguntas anteriores. La potencia indica la cantidad de trabajo que se realiza por unidad de tiempo. Potencia. el trabajo necesario para elevar un cuerpo de masa m coincide con la energía potencial que hemos de suministrarle para ello. La cantidad de trabajo que se ha de aportar por unidad de tiempo es superior. Conviene no olvidar que. obtenemos la variación de energía cinética en función de la velocidad en el instante final: Unidad 1. En este caso. menor será su tangente y. el plano de menor pendiente (letra A). elegiremos. • Sin rozamiento: Trabajo. • Con rozamiento: Trabajo. Es decir: ∆Ep = W Como la altura a la que hay que subir el cuerpo es la misma en todos los casos. mayor el trabajo. 24. por tanto. Suponiendo que la velocidad de subida es la misma en todos los casos. Calcula la variación de energía que experimentan el balón y el césped del campo de fútbol desde que se inicia el movimiento del balón hasta que este se detiene. 75 W = F roz · r = F · r · cos 180° = −Froz · d → Froz = − = − = − = 0. Indica la relación que existe entre el trabajo necesario para alargar un muelle 2 cm y el que se necesita para alargar el mismo muelle 1 cm. Calcula el trabajo que realiza la fuerza con que la Tierra atrae un satélite artificial cada vez que el satélite da una vuelta completa a nuestro planeta. ya que el peso y la reacción normal del plano son perpendiculares a la dirección del movimiento. Al tirar de él. Si el balón del ejercicio anterior recorre 75 m antes de detenerse. 25. es conservativa. la energía potencial en el punto de altura máxima será: Ep = Ec − Wroz → Ep = 196 − 80 = 116 J A partir de este valor deducimos la altura máxima que alcanza el objeto: Ep 116 Ep = m · g · h → h = = = 1. la variación de energía cinética que se produce entre el instante inicial y el instante en que la pelota se detiene coincide con el trabajo realizado. el trabajo realizado por la fuerza es nulo. con una velocidad inicial de 7 m/s. dado que el plano es horizontal. Por otra parte. Para resolver este ejercicio. la variación de energía cinética resulta: ∆Ec = Ec − Ec = 0.35 · (0 − 25) = −8. ya que no se ha movido.1 ∆Ec = Ec − Ec = · m · vf2 − vi2 = 0. La fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra sobre un satélite artificial es una fuerza central y.48 m 8 · 9. supondremos que el muelle se encuentra inicialmente en reposo.117 N d 75 d 26. calcula la fuerza de rozamiento. De acuerdo con el teorema de las fuerzas vivas. que ha estado frenando el balón durante el recorrido. la única fuerza que realiza trabajo es la de rozamiento. La fuerza de rozamiento será. Se lanza un objeto de 8 kg hacia arriba. al ser la trayectoria que realiza el satélite cerrada (la posición inicial y la final coinciden). Calcula la altura que alcanzará el objeto si durante el movimiento se disipa una energía de 80 J por efecto del rozamiento con el aire. 28.8 m·g 27.75 J 2 1 La variación de energía que experimenta el césped es nula.35 · vf2 − 25 2 1 2 Una vez se ha parado el balón (velocidad final nula). supuesta constante. incrementamos su energía potencial elástica: x 1 ∆Ep = Epf − Ep → Ep − 0 = Ep = k · x · dx = · k · x2 0 f f 0 2 Unidad 1. En este caso. por tanto: ∆Ec r r W −8. como tal. La energía cinética que comunicamos al objeto en el momento del lanzamiento es: 1 1 Ec = · m · v 2 → Ec = · 8 · 72 = 196 J 2 2 Como se disipan 80 J debido al rozamiento. Fuerzas conservativas y no conservativas 25 . Cuando alargamos el muelle 2 cm: 1 Ep (2 cm) = · k · (0,02)2 f 2 Y cuando lo alargamos 1 cm: 1 Ep (1 cm) = · k · (0,01)2 f 2 La relación entre ambos casos es: Ep (1 cm) 0,012 f = 2 = 0,25 Ep (2 cm) 0,02 f Obviamente, se necesita más trabajo en el primer caso (el incremento de energía potencial es mayor). 29. Calcula las vueltas que dará en 10 s un disco que gira con aceleración angular constante de 2 · π rad s−2 si parte del reposo. La ecuación que permite calcular la posición angular, θ, en cualquier instante, t, en el m.c.u.a. es: 1 θ = θ0 + ω0 · (t − t0) + · α · (t − t0)2 2 Si parte del reposo, ω0 = 0, y si consideramos como inicio de tiempo t0 = 0, la ecuación anterior queda como sigue: 1 θ = · α · t2 2 Por tanto, el ángulo que habrá girado en 10 s será: 1 θ = · 2 · π · 102 = 100 · π rad 2 Como en una vuelta hay 2 · π rad, el número de vueltas que dará es: 100 · π rad n.° vueltas = = 50 vueltas 2 · π rad/vuelta PROBLEMAS 30. Un niño de 30 kg se desliza con rozamiento por un tobogán que tiene 4 m de altura y una inclinación de 30° con la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el niño y la superficie del tobogán es µ = 0,2. ¿Cuál será la velocidad del niño al llegar al suelo si se dejó caer desde el punto más alto del tobogán? A nuestros efectos, podemos considerar el problema de forma análoga al descenso de un bloque por un plano inclinado con rozamiento, como se muestra en la figura de la página siguiente. Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas 26 (1) Fr d Px h=4m θ Py (2) P 30° Para obtener la velocidad del niño, calcularemos la energía cinética con que llega a la base del plano, que será la diferencia entre la energía potencial que tiene cuando se encuentra a la altura máxima y la energía disipada durante el descenso debido al trabajo de la fuerza de rozamiento. Wroz = Elin → Ec = Ep − Wroz 2 1 La energía potencial cuando se encuentra a 4 m de altura es: Ep = m · g · h = 30 · 9,8 · 4 = 1 176 J Por su parte, el trabajo que realiza la fuerza de rozamiento es: r r WF = F roz · ∆r = Froz · ∆r · cos 180° = −Froz · ∆r = −µ · N · r roz En este caso, el valor del desplazamiento, ∆r, es la distancia, d, que recorre el niño sobre el tobogán. De acuerdo con la figura, su valor es: h h 4 sen 30° = → d = = = 8 m d sen 30° 0,5 Por tanto: WF roz = −Froz · ∆r = −µ · m · g · cos θ · d = −0,2 · 30 · 9,8 · cos 30° · 8 = − 407,38 J Y la energía cinética en la base del plano: Ec = Ep − Wroz → Ec = 1 176 − 407,38 = 768,62 J Finalmente, la velocidad del niño al llegar al suelo será: Ec = 1 ⋅m ⋅v2 → v = 2 2 ⋅ Ec = m 2 ⋅ 768, 62 = 7, 16 m ⋅ s −1 30 31 Un bloque de 15 kg cae desde una altura de 15 m y llega al suelo en 2 s. ¿Qué fuerza de rozamiento hace el aire, suponiendo que sea constante? ¿Cuánta energía se ha perdido? Calcula la velocidad que llevaba el bloque inmediatamente antes de tocar el suelo. La aceleración de caída podemos calcularla teniendo en cuenta que: 1 s − s0 = v0 · (t − t0) + · a · (t − t0)2 2 Suponiendo que el cuerpo parte del reposo, sustituyendo valores, resulta: 1 15 = 0 · 2 + · a · 22 → a = 7,5 m · s−2 2 Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas 27 Esta aceleración se debe a la acción de una fuerza que será la resultante de dos: la fuerza peso, que lo hace caer, y la fuerza de frenado, que se opone a la caída y se supone también constante. Por tanto: P − Froz = m · a es decir: m · g − Froz = m · a de donde resulta: Froz = m · g − m · a = m · ( g − a) y, sustituyendo valores, queda: Froz = 15 · (10 − 7,5) = 37,5 N La energía perdida equivale al trabajo de rozamiento que ha realizado el sistema: r r Wroz = F roz · d = 37,5 · 15 = 562,5 J Para calcular ahora la velocidad del bloque inmediatamente antes de chocar con el suelo, basta con tener en cuenta que: vf = v0 + a · (t − t0 ) = 0 + 7,5 · 2 = 15 m · s−1 32. Calcula la velocidad con que llega al suelo un cuerpo de 0,5 kg que se desliza por un plano inclinado 37° cuando se deja caer desde una altura de 50 cm. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano es 0,15. Para resolver el problema, tomamos como origen del potencial gravitatorio la posición (2), correspondiente a la base del plano inclinado, tal como se aprecia en la figura: N (1) Px (2) α β α Froz Py h P De ese modo, en la posición (1), a 50 cm de altura, el cuerpo tan solo posee energía potencial, y en la posición (2), tan solo posee energía cinética. Al desplazarse, el cuerpo pierde energía debido al rozamiento. Debido a ello, el balance energético es: Wroz = Em →Wroz = Em − Em 2 1 Siendo: Em (1) = m · g · h 1 Em (2) = · m · v 2 2 Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas 28 La fuerza de rozamiento actúa en la dirección del desplazamiento, y su sentido es opuesto a este. Por tanto, al desplazarse el cuerpo la distancia d que separa las posiciones (1) y (2), el trabajo que realiza esta fuerza vale: r r Wroz (1→2) = F roz · r Wroz = µ · N · d · cos 180° = −µ · m · g · cos α · d siendo: h d = sen α Por tanto: h h Wroz (1→2) = −µ · m · g · cos α · = −µ · m · g · sen α tg α Sustituyendo las correspondientes expresiones en la que proporciona el balance energético, resulta: 1 h − µ · m · g · = · m · v 2 − m · g · h tg α 2 Al despejar, obtenemos el valor que nos piden: µ 0, 15 −1 v = 2⋅ g ⋅h⋅ = 2 ⋅ 9, 8 ⋅ 0, 5 ⋅ = 2, 80 m ⋅ s tg α tg 37° 33. Una bala de 10 g choca a 40 m s−1 con un bloque de 390 g sujeto a un hilo de 1 metro de longitud y se incrusta en él: a) ¿A qué altura sube el conjunto por efecto del impacto? b) ¿Cuánto vale el ángulo desplazado? Nota: En estos choques se conserva la cantidad de movimiento y no se conserva la energía. En este tipo de choques se conserva la cantidad de movimiento, pero no se conserva la energía mecánica. Solo podemos aplicar el principio de conservación de la energía mecánica al bloque una vez la bala ha quedado alojada dentro de él. En esas condiciones, sí podemos afirmar que en el sistema solo intervienen fuerzas conservativas. En primer lugar, hallaremos la velocidad inicial con que se mueve el conjunto bloque-bala tras el impacto, aplicando para ello el teorema de conservación de la cantidad de movimiento: Pantes_choque = Pdespués_choque m1 · v1 = (m1 + m2) · v' Despejando: m1 · v1 0,01 · 40 v' = = = 1 m · s−1 0, 01 + 0,39 (m1 + m2) Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas 29 Situando el origen de potenciales donde se encuentra el sistema bloque-bala en el instante inicial, dicho conjunto solo poseerá energía cinética. Si aplicamos el teorema de conservación de la energía mecánica entre el instante inicial y el instante en que el sistema alcanza el punto más alto de la trayectoria, resulta: Emecánica = Emecánica 1 2 Ec + Ep = Ec + Ep 1 1 2 2 θ l l h 1 → · (m1 + m2) · v' 2 + 0 = 0 + (m1 + m2) · g · h 2 De donde podemos despejar el valor de h: v' 2 1 h = = = 0,051 m = 5,1 cm 2 · g 2 · 9,8 Teniendo en cuenta ahora que h = l · (1 − cos θ), resulta: h 1 − 0,051 θ = arccos 1 − = arccos = 18,4° l 1 NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. 34 En la figura, el coeficiente de rozamiento entre la masa de 5 kg y el suelo toma el valor 0,2. m1 = 5 kg µ = 0,2 m2 = 6 kg Despreciando la influencia de la polea y de la cuerda, calcula la velocidad del conjunto cuando la masa de 6 kg ha descendido 2 metros. Inicialmente, el sistema se encuentra en reposo. Observa que, en el instante de iniciarse el movimiento, el sistema solo posee la energía potencial de la masa que cuelga. La variación de energía potencial de dicha masa provoca, por tanto, el incremento de la energía cinética del sistema, ya que ambas masas se encuentran unidas por una cuerda. El balance energético del sistema es: Wroz = ∆Em → Wroz = ∆Ec − ∆Ep Si sustituimos cada término por su valor: 1 − µ · m1 · g · ∆h = · (m1 + m2) · v 2 − m2 · g · ∆h 2 Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas 30 Observa que: 1. Como ambos cuerpos están unidos solidariamente, recorren el mismo tramo, ∆h, aunque uno en vertical, y el otro, en horizontal. 2. Al estar unidos, los dos cuerpos tienen la misma velocidad en todo instante. Despejando y sustituyendo la velocidad de la expresión anterior, resulta: v 2 g ∆h (m2 µ m1) (m1 m2) 2 9,8 2 (6 0,2 5) 4,22 m s1 (6 5) 35 Sobre un muelle vertical se apoya, con velocidad nula, un cuerpo de 10 kg. El muelle experimenta una compresión de 5 cm. Calcula la deformación del muelle si el cuerpo se deja caer sobre él desde una altura de 100 cm. A partir de la primera parte del enunciado podemos averiguar la constante elástica del muelle, ya que: m · g 10 · 9,8 F F = k · x1 → k = = = = 1 960 N · m−1 x1 0,05 x1 Inicialmente, al dejar caer el cuerpo desde 0,1 m, este posee energía potencial gravitatoria. Si establecemos el origen de potenciales en el punto de máxima compresión, dicha energía es: h = 100 cm x1 Ep = m · g · (h + x) Cuando el cuerpo ha comprimido al muelle, esa energía se ha convertido en energía potencial elástica: k x2 Ep = k · 2 Como no hay pérdidas, ambas energías deben ser iguales. Por tanto: x2 k · = m · g · (h + x) → k · x2 − 2 · g · m · x − 2 · g · m · h = 0 → 2 (g · m )2 + 2 ·k·g ·m·h g · m + → x = k Sustituyendo valores, resulta: 9,8 · 10 + (9,8 · 10)2 + 2 · 1 9 60 · 9, 8 · 10 ·1 725,5 x = = = 0,37 m = 37 cm 1 960 1 960 36. Un muelle, de constante elástica k, cuelga verticalmente, y a su extremo libre se ata un bloque de masa m. Si se deja caer el sistema formado por el muelle y el bloque desde el reposo, calcula la máxima distancia que cae el bloque hasta que comience a moverse hacia arriba. Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas 31 k k d Para resolver este problema, consideraremos que el rozamiento con el aire es nulo. Cuando colgamos del muelle una masa, m, esta oscilará efectuando un movimiento armónico simple, que se estudiará en la unidad 4. La amplitud de este m.a.s. será la máxima distancia que cae el bloque y se da cuando el valor de la fuerza elástica es igual al peso: Fe − P = 0 → Fe = P m·g k · x = m · g → x = k 37. En 1876 la West Fargo Corporation unió los dos extremos de los Estados Unidos de América mediante un tendido de ferrocarril. El tendido tenía una longitud de 5 740 km, y el desnivel máximo que había que salvar medía 875 m, en un punto situado a 3 610 km de Nueva York. Nueva York 875 m San Francisco 3 610 km Calcula el trabajo total que realizó el tren, si el coeficiente de rozamiento era 0,17 y la subida y la bajada tenían una pendiente uniforme en los dos ramales. El tren tenía una masa de 23 500 kg. En el conjunto del trayecto podemos distinguir dos tramos: por un lado, el tramo de subida, que modelizamos como un plano inclinado de pendiente ascendente y constante; por otro, el tramo de bajada, que modelizamos como un plano inclinado de pendiente constante y descendente. En el tramo de subida, el trabajo que realiza la locomotora se emplea en vencer la fuerza de rozamiento, así como en aumentar la energía potencial del sistema: Wsubida = ∆Ep + Wroz_1 En el tramo de bajada, la energía potencial acumulada y el trabajo que realiza la locomotora se emplean en vencer el rozamiento: Wbajada + ∆Ep = Wroz_2 Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas 32 Si sumamos el trabajo de subida y el de bajada, tenemos el trabajo total del sistema, que es: Wtotal = Wsubida + Wbajada = Wroz_1 + Wroz_2 Al sustituir por su valor los trabajos en contra de la fuerza de rozamiento, tenemos: Wtotal = Wroz_1 + Wroz_2 = µ · m · g · (l1 · cos α1 + l2 · cos α2) Wtotal = 0,17 · 23 500 · 9,8 · (3 610 · 103 · cos α1 + 2 130 · 103 · cos α2) siendo los ángulos α1 y α2: 875 α1 = arcsen 3 = 0,01° 3 610 · 10 875 α2 = arcsen 3 = 0,02° 2 130 · 10 Sustituyendo, el trabajo resulta: Wtotal = 2,25 · 1011 J 38. La masa de la cabina de un ascensor es 350 kg y puede elevar una masa adicional de 350 kg: a) Calcula el trabajo máximo que debe realizar el motor del ascensor para subir al piso más alto, situado a 30 metros de altura. b) Calcula la potencia del motor, sabiendo que el ascensor tarda 45 segundos en subir hasta ese piso. a) El trabajo máximo coincidirá con la energía potencial máxima que puede comunicarse al ascensor cuando se encuentra cargado de pasajeros. Es decir: W = ∆Ep Por tanto: ∆Ep = m · g · h = (mascensor + mpersonas ) · g · h = = (350 + 350) · 9,8 · 30 = 205 800 J b) A partir de la definición de potencia, resulta: W 205 800 P = = = 4 573,3 W ∆t 45 39. Se lanza verticalmente hacia arriba un sistema formado por dos masas de 4 y 3 kg, unidas por un resorte de constante elástica 1 000 N m−1. En determinado instante, las velocidades de ambas masas respecto a la Tierra son 5 y 6 m s−1, respectivamente, y el muelle está comprimido 10 cm, siendo las alturas de ambas masas respecto a la Tierra 10 y 10,1 m. Calcula la energía total del sistema. La energía total del sistema será la suma de las energías cinética y potencial de cada masa más la energía potencial elástica del muelle, ya que se supone sin masa (su energía cinética y su energía potencial gravitatoria son nulas): Etotal = Ec + Ec + Ep + Ep + Ep 1 Unidad 1. Fuerzas conservativas y no conservativas 2 1 2 elástica 33 Sustituyendo cada término por su valor.1 cos 30° Por tanto.1) + · 1 000 · 0. la altura que alcanza el cuerpo en el segundo plano es menor. que es la longitud máxima que recorre el objeto. el trabajo de este provoca una disminución en la energía mecánica del sistema.1 cos 30° 1 d' = = = 0. Al llegar a la base sube por otro plano inclinado de las mismas características. la expresión anterior resulta: Ep + Wroz plano1 + Wroz plano2 = Ep 1 2 Con los datos que proporciona el enunciado y la expresión de la fuerza de rozamiento. 40 Un objeto de 1 kg de masa desciende. en virtud del principio de conservación de la energía mecánica. Entre el punto del que dejamos caer el cuerpo y el punto en que se detiene en el segundo plano se cumple la siguiente relación: Emec + Wroz = Emec 1 2 Ep + Ec + Wroz = Ep + Ec 1 1 2 2 Teniendo en cuenta que en estos dos puntos la velocidad es nula y considerando el trabajo de las fuerzas de rozamiento de ambos planos.705 m sen 30° + µ · cos 30° sen 30° 0. Fuerzas conservativas y no conservativas 34 . Debido a ello.352 m 41. partiendo del reposo. el muelle tiene una constante elástica k = 1 000 N m−1. El coeficiente de rozamiento es 0. ¿Hasta qué altura del plano subirá la masa. por un plano inclinado de un metro de longitud que forma un ángulo de 30º con la horizontal. medida sobre el segundo plano inclinado: d · sen 30° − µ · cos 30° · d 1 sen 30° 0. resulta: 1 1 Etotal = · (m1 · v12 + m2 · v22) + g · (m1 · h1 + m2 · h2) + · k · ∆x2 2 2 Por tanto: 1 1 Etotal = · (4 · 52 + 3 · 62) + 10 · (4 · 10 + 3 · 10. la altura será: h = d' · sen 30° = 0. En el dispositivo de la figura. y el coeficiente de rozamiento de la masa m2 con la superficie de la mesa vale 0. Al existir rozamiento.12 = 812 J 2 2 NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. si las únicas pérdidas de energía que existen son por rozamiento? Si no hubiese rozamiento.1. el cuerpo subiría hasta la misma altura desde la cual se dejó caer desde el primer plano inclinado.1. podemos escribir: m · g · d · sen 30° − µ · m · g · cos 30° · d − µ · m · g · cos 30° · d' = = m · g · d' · sen 30° En la expresión anterior podemos sustituir y despejar d'. Unidad 1.705 sen 30° = 0. Sobre una superficie plana y sin rozamiento. y el movimiento de la masa comienza a ser ascendente. En ese instante. 42. que es el de máximo estiramiento del muelle. inclinada 30º. resulta: 2 · (m1 − µ · m2) · g ∆h = = k 2 · (5 − 0. precisamente. el muelle se encuentra en reposo. el cuerpo adquiere energía cinética (debido a la fuerza que lo impulsa) y energía potencial (debido al incremento de altura). el sistema se para. la distancia recorrida por las masas. Debido a ello. la masa asciende desde la cota 0 m a la cota 5 m. inicialmente. Si la velocidad inicial es 0. comienza a acelerar gracias a la energía potencial de la masa m1. El sistema. tanto en el plano vertical como en el plano horizontal. Para el instante mencionado anteriormente. Unidad 1. Ahora bien. el balance energético es: (∆h)2 ∆Ep + Wroz = ∆Ep_muelle → m1 · g · ∆h − µ · m2 · g · ∆h = k · 1 2 Observa que el alargamiento del muelle es. a) Al ascender. se empuja hacia arriba una masa puntual de 2 kg. Fuerzas conservativas y no conservativas 35 .m 2 = 6 kg µ m 1 = 5 kg Si. inicialmente en reposo.62 cm 1 000 NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. c) El tiempo empleado en el primer metro recorrido.2 m · s−1 y en la parte superior la velocidad es 5 m · s−1. el muelle se alarga. hasta que el muelle no pueda estirarse más. Mientras esto ocurre. Al despejar ∆h y sustituir en la ecuación anterior. aplicando una fuerza paralela a dicha superficie. b) El módulo de la fuerza. ¿hasta cuándo se prolonga esta situación? Lógicamente.8 ∆h = = 0. Considera g = 10 m s−2.0862 m = 8. calcula la expresión que proporciona el alargamiento máximo.1 · 6) · 9. calcula: a) El trabajo que realiza la fuerza. 8 · 0.25 m · s−2 2 m El movimiento es un m.u. el trabajo que la fuerza realiza sobre el cuerpo coincide con la variación de su energía mecánica.25 · t 2 → 2 2 → 0. obtenemos una ecuación de segundo grado. Fuerzas conservativas y no conservativas 36 . de la que podemos despejar el tiempo: 1 1 x = v0 · t + · a · t 2 → 10 = 0.296 N d 10 c) Mientras asciende. Por tanto.5 F − m · g · sen α a = → a = = 1.296 − 2 · 9. que calculamos aplicando la relación trigonométrica: h 5 d = = = 10 m sen α sen 30° el módulo de la fuerza resulta: W 122. el cuerpo está sometido a las fuerzas que se indican en la figura: F d Px 30° α h Py P Al aplicar la segunda ley de Newton al cuerpo. A partir de la ecuación de la posición en este movimiento y sustituyendo los datos del problema.22 = 0.2 · t + · 1.2 · t − 10 = 0 → t = 3.96 W = F · d → F = = = 12.En el problema no se consideran pérdidas de energía por rozamiento.624 · t 2 + 0.04 J 2 2 → → W = 123 − 0.04 = 122. resulta: F − m · g · sen α = m · a de donde podemos obtener la aceleración: 12. Así pues: ∆E = Ef − Ei = W 1 1 Ef = · m · vf2 + m · g · h = · 2 · 52 + 2 · 9.a.96 J b) Si tenemos en cuenta que: r r W = F · d = F · d · cos 0° = F · d donde d es la distancia medida sobre el plano inclinado.846 s Unidad 1.8 · 5 = 123 J 2 2 1 1 Ei = · m · vi2 = · 2 · 0.r. obtenemos el tiempo que tardará en pararse: −ω0 −10 ω = ω0 + α · (t − t0) → 0 = ω0 + α · t → t = = = 6. M=r·F=I·α→r·T=I·α [2] Las expresiones [1] y [2] forman un sistema que nos permite obtener la tensión de la cuerda y la aceleración con que cae el cuerpo. b) El tiempo que tardará en pararse. Calcula la tensión de la cuerda y la aceleración del cuerpo.5 rad/s2 I 30 b) Despejando de la ecuación de la velocidad angular en el m. a) A partir de la expresión que relaciona el momento del par de fuerzas. Esta fuerza es la tensión de la cuerda. c) El momento angular inicial. La rueda gira sin rozamiento.a. Fuerzas conservativas y no conservativas I r a T m P 37 . y la cuerda no se desliza por su borde. obtenemos esta última: M − 45 M = I · α → α = = = −1.. Calcula: a) La aceleración de frenado que adquirirá la partícula.67 s −1. Se sujeta un objeto de masa m a una cuerda enrollada alrededor de una rueda cuyo momento de inercia es I y cuyo radio es r. I r a m Al aplicar la segunda ley de Newton obtenemos lo siguiente: F=m·a→m·g−T=m·a [1] Por otra parte. la rueda gira debido al momento de la fuerza que actúa sobre ella.u. Si tenemos en cuenta la relación que existe entre las aceleraciones angular y lineal: a α = r Unidad 1.43 Se aplica un momento de frenado de −45 N m a una partícula cuyo momento de inercia es de 30 kg m2 que está girando con una velocidad angular de 10 rad s−1. el momento de inercia y la aceleración angular.c.5 α c) El momento angular inicial lo calculamos como sigue: r r L = I · ω → L = I · ω = 30 · 10 = 300 kg · m2 · s−1 44. Unidad 1. NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. obtenemos: r2 · T r2 · T a = → m · g − T = m · I I Desarrollando esta expresión obtenemos la tensión de la cuerda: m·g m · r2 m · r2 m · g = T + · T → T · 1 + = m · g → T = m · r2 I I 1 + I Por tanto. Fuerzas conservativas y no conservativas 38 . la aceleración con que cae el cuerpo es: m · r2 1 I r ·T r a = → a = · m · g · 2 → a = g · m · r m · r2 I I 1 + 1 + I I 2 2 Por tanto.la expresión [2] se convierte en: a r · T = I · r Despejando la aceleración y sustituyendo en la expresión [1]. la aceleración de la caída es menor que la aceleración de la gravedad. es: F =G⋅ M⋅M M2 = G ⋅ R2 R2 Si la distancia que separa ambos cuerpos es 2 · R: F′ = G⋅M⋅M (2 ⋅ R ) 2 =G⋅ M2 4 ⋅ R2 En este caso. Compara ahora la fuerza gravitatoria que ejercen. Cuando las dos masas de valor M están separadas una distancia R. Campo gravitatorio: Introducción 1 . dos cuerpos de masa M. la fuerza pasa a valer: (3 · M) · (3 · M) M2 |F'| = G · = G · 34 · R2 R 2 3 Dividiendo una entre otra. con la que ejercen entre sí dos cuerpos de masa 3 M. situados a una distancia R/3. uno sobre otro. 2. uno sobre otro. separados una distancia R. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL 1. La fuerza gravitatoria que ejercen entre sí dos cuerpos de masa M.2 CAMPO GRAVITATORIO: INTRODUCCIÓN 2. el módulo de la fuerza aumenta 81 veces. el módulo de la fuerza disminuye cuatro veces su valor: M2 G · 2 4·R |F'| 1 = = 2 |F| 4 M G · 2 R Unidad 2. separados una distancia R. con la que ejercen entre sí esos dos mismos cuerpos separados una distancia 2 R. Compara la fuerza gravitatoria que ejercen. resulta: 34 · M 2 G · R2 |F'| = = 34 = 81 |F| M2 G · R2 Como vemos. el módulo de la fuerza F es: F =G⋅ M⋅M M2 = G ⋅ R2 R2 Cuando la masa M triplica su valor y la distancia es 3 veces inferior.1. separados una distancia R. dos cuerpos de masa M. una triple que la otra.2. 67 ⋅ 10 ⋅ = 6. el campo que crea la masa de valor 3 ·M en ese mismo punto es: 3⋅ M r r g2 = G ⋅ ⋅ ur 2 (L − R ) Observa el signo. resulta: 3 · R 2 = (L − R)2 → 2 · R 2 + 2 · L · R − L 2 = 0 → R = 0. que resulta difícil imaginarlas puntuales.366 · L El punto donde se hace nulo el campo está a una distancia del origen R = 0. Aplicando directamente la ecuación de la gravitación universal. Campo gravitatorio: Introducción 2 . una al lado de la otra. El campo resultante será la suma de ambos. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL: EXPRESIÓN VECTORIAL 1. Hemos de tener en cuenta. 3. El campo que crea esta en un punto situado a una distancia R de ella es: M r r g 1 = − G ⋅ 2 ⋅ ur R Supondremos que la distancia que separa las masas es L. Unidad 2.2. además.366 · L. muchas veces. ¿En qué punto. se anula el campo gravitatorio resultante? El campo resultante en un punto del espacio es la suma del campo que crean cada una de las masas. 2. ya que el punto desconocido se encuentra entre ambas masas. 67 ⋅ 10 −3 N R2 0. ya que las masas se encuentran a tan corta distancia una de la otra. las fuerzas de atracción gravitatoria no son lo suficientemente elevadas como para vencerlo. al situarlas paralelamente. y ha de ser nulo para el punto pedido: g1 + g2 = − G ⋅ M 3⋅ M 3 1 +G ⋅ =0→ = R2 ( L − R )2 (L − R 2 ) R 2 Al despejar en esta expresión. 50 cm. de 5 000 kg cada una. el rozamiento siempre está presente y. que en su experiencia Cavendish eliminó prácticamente el rozamiento. 5 2 El resultado podría ser objetable. El sentido en que actúa ahora el campo es contrario al anterior. En el mundo macroscópico. siendo L la distancia entre las masas. separadas por una distancia de 50 cm. a lo largo de la línea que une dos masas. Siendo así. el valor de la fuerza resulta: F =G⋅ M ⋅m 5 000 2 −11 = 6 . Calcula la fuerza con que se atraen dos láminas planas. ¿Por qué no percibimos en el mundo macroscópico los efectos gravitacionales de un sistema como el que describe la actividad anterior? No lo apreciamos porque las variaciones son tan pequeñas que resultan difíciles de medir. Tomaremos como origen el punto donde se encuentra la masa de valor M. 2 1 u 2. 6 ⋅ i − 1. 1 = − G ⋅ 2 25 R r r −11 = − 6. r Calculemos. 2 ⋅ j ) N Dado que las masas se atraen una a otra. es: r r r 5 ⋅ 10 M ⋅m r ⋅ u1. La fuerza de atracción entre dos masas la proporciona la ley de la gravitación universal: F =G⋅ Unidad 2. el vector fuerza. respectivamente. 6 ⋅ j ) = F2 . estando su sentido dirigido.2 F2. 2 = − G ⋅ 2 25 R r r −11 = − 6. El esquema al que se refiere el enunciado es el siguiente: y (m) 3 m 1 = 5 kg 2 u1. 8 ⋅ i + 0. 3) y (4. 8 ⋅ i − 0. 6 ⋅ j 5 r Por tanto. Por tanto: r r r r − 4⋅i + 3⋅ j r = − 0. en primer lugar. 6 ⋅ j u2. en cada caso. 67 ⋅ 10 ⋅ (1. de 5 y 10 kg. 67 ⋅ 10 ⋅ ( − 1. están situadas en los puntos (0. el vector unitario u 1. el vector unitario será el mismo en ambos casos. Dos masas. Dibuja un esquema y representa sobre él las masas y los vectores fuerza. 8 ⋅ i − 0. 0) m. El vector fuerza tiene como línea de acción la que une ambas masas. Campo gravitatorio: Introducción M ⋅m R2 3 .4. F 1. 8 ⋅ i + 0.1 0 1 2 3 m 2 = 10 kg 4 x (m) Al resolver este problema. que será: r r r r 4⋅i − 3⋅ j r u1. Calcula el vector fuerza que actúa sobre cada una de ellas debido a la acción gravitatoria de la otra masa. denotaremos la masa de 5 kg con el subíndice 1. Calcula la masa de un cuerpo que es atraído por otro de 50 t con una fuerza de 10−7 N al situarlos a una distancia de 100 m entre sí.2. aunque con sentidos opuestos. 1 = − G ⋅ ⋅ ( − 0.2. y la de 10 kg. hacia la masa que origina la fuerza. con el subíndice 2. 1 = 5 de donde resulta: r r r 5 ⋅ 10 M ⋅m r ⋅ u2. 2 ⋅ j ) N 5. 2 = = 0. 6 ⋅ i + 1. 2 = − G ⋅ ⋅ (0. 6 ⋅ j ) = F1.1 F1. De la expresión anterior podemos despejar directamente la masa del cuerpo: m= F ⋅ R2 G⋅M = 10 −7 ⋅ 100 2 = 300 kg 6.0 · 10−3 La representación gráfica de los datos anteriores es la siguiente: Fuerza (N) 1. ¿Con qué fuerza se atraerían los dos objetos de la actividad anterior al acercarlos a 50 m.10–4 2.10–4 0 1 2 5 10 20 50 Distancia (m) En la gráfica vemos cómo disminuye la fuerza con el cuadrado de la distancia (esta gráfica se puede ajustar a una función del tipo F(r) k/r 2.5 · 10−6 50 000 300 10 1.10–4 4. 7.0. Aunque no lo hemos indicado antes. 10 m. Unidad 2. tal como la hemos obtenido. 2 m y 1 m? Representa la gráfica F-r.0 · 10−5 50 000 300 2 2. 67 ⋅ 10 −11 ⋅ (50 ⋅ 10 3 ) 6. 20 m.0 · 10−7 50 000 300 20 2.0. 5 m.0.10–3 8.5 · 10−4 50 000 300 1 1. Aplicando la ley de la gravitación universal en cada uno de los casos se obtiene la siguiente tabla: Masa 1 (kg) Masa 2 (kg) Distancia (m) Fuerza (N) 50 000 300 50 4. Campo gravitatorio: Introducción 4 . El problema se puede presentar cuando el tamaño de las masas sea del mismo orden de magnitud que las distancias que las separan. Analiza esta afirmación e imagina qué problemas aparecen si las masas son extensas. para masas cuya acción gravitatoria pueda suponerse que parte de un solo punto.0.0. la ley de Newton de la gravitación universal sirve para masas puntuales. es decir. En este ejercicio nos proporcionan las masas y la distancia.0 · 10−5 50 000 300 5 4.10–4 6. Sin embargo. resulta: MTierra G · 2 R Tierra FTierr a = M Júpiter FJúpit er G· 2 R Júpiter En esta expresión podemos sustituir los valores que conocemos. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA 1.Por ejemplo. la Tierra y la Luna son masas muy extensas. 318 veces la de la Tierra. y se calcula por medio de la ley de la gravitación universal: Mplaneta · m F = Peso = G · R 2planeta Teniendo presente lo anterior. y su diámetro es 11 veces mayor. calcula el peso que tendrá en ese planeta un astronauta cuyo peso en la Tierra es de 750 N. y no en otra. obteniendo. RJúpiter = 11 · RTierra Por tanto: FJúpiter PJúpiter = FJúpiter MJúpiter 2 R Júpiter = · FTierra MTierra 2 R Tierra 318 · MTi erra 2 (11 · RTierr a ) 1 = · FTierra = 318 · 2 · 750 = 1 971 N MTierra 11 R2Tierra Unidad 2. Con estos datos. MJúpiter = 318 · MTierra. aproximadamente. como ocurre con un cuerpo situado sobre la superficie de la Tierra. podemos calcular la fuerza gravitatoria que ejercen ambos astros sin excesivos problemas. si relacionamos los pesos del astronauta en cada planeta. Campo gravitatorio: Introducción 5 . Por tanto. al comparar el tamaño de cada una de ellas con la distancia que las separa. Newton demostró que la acción del campo gravitatorio creado por un cuerpo esférico extenso es igual a la que produce una masa puntual igual a la del cuerpo esférico que contemplamos situada en el centro de masas de esta. de ese modo. La fuerza con que cada planeta atrae al astronauta situado en su superficie es el peso del astronauta en ese planeta.3. Cuando. basta suponer que toda la masa de la Tierra está concentrada en el centro de ella. Sin embargo. y resolver el problema con objetos puntuales. ya que la propia extensión de la Tierra hace que la masa situada en cada punto produzca un campo gravitatorio en esa dirección. el cálculo parece complicarse. el peso del astronauta en Júpiter. queremos analizar la interacción que ejerce la Tierra sobre él. De ese modo. La masa del planeta Júpiter es. 2. podemos considerar que son puntuales. gL = − G · · uTL 2 2 X (L − X) Si aplicamos el principio de superposición y sustituimos: r 81 1 r r · uTL gT + gL = − G · ML · 2 − 8 2 X (3. de la línea recta que une la Tierra con la Luna. Observa que el dato de la masa del cuerpo es inútil.98 · 1024 kg. La energía potencial en ese punto. y sabiendo que MT = 5.194 · 1019 = 0 La distancia resulta ser X = 3. Unidad 2. en el sentido Tierra a Luna.67 · 10−11 · 8 81 · (3. Tomaremos como eje OX positivo la línea Tierra-Luna.84 · 10 − X) Al igualar a cero la expresión anterior.98 · 1024 + 8 Vg = VT + VL = −6. se calcula por medio de la expresión: Ep = m · V El potencial Vg. es correcto también dejar el resultado en función de esta. en el que la fuerza gravitatoria resultante sobre un objeto de 10 kg de masa es nula.28 · 107 J NOTA: Dado que el enunciado no proporciona el dato de la masa de la Tierra.98 · 1024 5.28 · 106 = −1. dTL = 3.22 · 1010 · X + 1. pues.46) · 10 3.46 · 108 m. para el cuerpo de 10 kg.84 − 3. distancia a la cual el campo gravitatorio se anula: 80 · X 2 − 6. calcularemos el campo gravitatorio creado por cada cuerpo.28 · 106 J · kg−1 siendo la energía potencial: Ep = m · V = −10 · 1. En primer lugar. Campo gravitatorio: Introducción 6 . Se trata. ¿Qué valor toma la energía potencial gravitatoria en ese punto? Datos: MT = 81 ML. ya que buscar un punto donde la fuerza se anule es lo mismo que buscar un punto en el que el campo gravitatorio se anule.84 108 m.46 · 108 m. se obtiene: 5. obtenemos una ecuación de segundo grado cuya incógnita es la distancia X con respecto al centro de la Tierra. De este modo: 81 · ML r ML r r r gT = − G · · uTL .2. en cualquier punto de la recta. será la suma algebraica de los potenciales creados por cada una de las masas: MT MT Vg = VT + VL = − G · + X 81 · (L − X) Sustituyendo para el punto X = 3. El origen del eje será el centro de la Tierra.46 · 10 = Vg = 1. Calcula el punto. de encontrar un punto en la dirección Tierra-Luna en el que el campo gravitatorio sea nulo. el satélite posee energía potencial. Calcula la velocidad con que orbita un satélite situado a 200 km de la superficie de la Tierra y la velocidad con que lo hace otro situado a 400 km de dicha superficie. el giro es alrededor de la Luna. Calcula el trabajo que sería necesario realizar. crea un campo gravitatorio menos intenso. si quisiésemos poner un satélite de las mismas características en órbita alrededor de la Luna. Por tanto. el trabajo resulta: 1 1 · 10 · − = 1 740 · 10 2 · (1 740 + 100) · 10 1 1 W = G · MT · m · − = RL 2 · (RL + h) W = 6. teniendo en cuenta la ley de conservación de la energía. Calcula el trabajo que debemos realizar para poner en órbita un satélite de 10 kg de masa si la órbita que describe el satélite es circular alrededor de la Tierra y la altura a que se encuentra de la superficie terrestre es de 100 km. resulta: Esuperficie + W = Eórbita → W = (Ec + Ep )órbita − (Ep )superficie Sustituyendo las expresiones correspondientes a Ep_superficie.34 · 1022 3 3 W = 1.67 · 10−11 · 5. Por tanto. ¿Qué conclusión obtienes del resultado de las dos actividades anteriores? Al ser la Luna un cuerpo de menor masa que la Tierra. Campo gravitatorio: Introducción 7 .67 · 10−11 · 7. Unidad 2. Ec_órbita y Ep_órbita en la ecuación anterior.48 · 107 J 3. requiere menos energía poner un mismo cuerpo en órbita desde la superficie de la Luna que hacerlo desde la superficie de la Tierra. y una vez situado en su órbita. al operar resulta: 1 1 W = G · MT · m · − = RT 2 · (RT + h) 1 1 W = 6. resulta: W = 1 2 ⋅m ⋅v2 − G ⋅ MT ⋅ m r +G ⋅ MT ⋅ m RT Teniendo en cuenta la expresión de la velocidad orbital (página 50 del libro del alumno) y que r = RT + h. a una altura h (para lo cual es necesario comunicarle energía en forma de trabajo). Antes de su lanzamiento. en el caso anterior.98 · 1024 · 10 · 3 − 3 = 2 · (6 370 + 100) · 10 6 370 · 10 W = 3. EL MOVIMIENTO DE LOS SATÉLITES 1.18 · 108 J 2. salvo que. 4. Debido a ello. también a 100 km de distancia de la superficie lunar. posee energía potencial gravitatoria y energía cinética.4. en este caso.2. El razonamiento y los datos son los mismos que en el ejercicio anterior. ya que la energía que necesita el sistema hay que aportarla del exterior. SATÉLITES GEOESTACIONARIOS 1. de 60 kg de masa. En la actividad anterior. Calcula el peso aparente del pasajero si: a) El ascensor asciende acelerando a 2 m s−2. ¿cómo podemos trasladar el satélite de la primera a la segunda órbita? Calcula el trabajo que deberíamos realizar para conseguirlo. La expresión de la energía viene dada por: E = Ec + E p = 1 2 ⋅m ⋅v2 − G ⋅ MT ⋅ m RT + h =− 1 2 ⋅G ⋅ MT ⋅ m RT + h Por tanto. 676 km ⋅ s −1 5. Unidad 2. el trabajo será: 1 1 1 Wext = E2 − E1 = · G · MT · m · − = 2 RT + h1 RT + h2 1 1 1 W = · 6. la fuerza de gravitación universal: Fc = F g → m ⋅v2 =G⋅ r MT ⋅ m r2 De la expresión podemos despejar la velocidad. 98 ⋅ 10 24 (200 + 6 370) ⋅ 10 3 = 7. Un pasajero. Campo gravitatorio: Introducción 8 . que resulta: v= G ⋅ MT r Si sustituimos. sube en un ascensor. que arranca y se eleva.57 · 10 6. 67 ⋅ 10 −11 ⋅ 5. la velocidad es: v = 6. precisamente.5. 2.67 · 10−11 · 5. el satélite situado en órbita a 400 km se moverá con una velocidad: v = 6.97 · 106 J El trabajo es positivo.77 · 10 W = 8.98 · 1024 · 10 · 6 − 6 = 2 6. 792 km ⋅ s −1 Por otra parte. El trabajo necesario para desplazar el satélite de la primera a la segunda órbita será la diferencia entre las energías totales del satélite en cada una de dichas órbitas. 67 ⋅ 10 −11 ⋅ 5. b) El ascensor detiene el movimiento de subida frenando a 2 m s−2. teniendo en cuenta que r = RT + h.El satélite realiza un movimiento circular alrededor de la Tierra. La fuerza centrípeta que hace posible dicho movimiento es. 98 ⋅ 10 24 ( 400 + 6 370) ⋅ 10 3 = 7. en subida o bajada. Campo gravitatorio: Introducción 9 . si las bolsas de plástico llenas se encontraban sometidas a una tensión elevada para su resistencia.8 = 588 N Si baja: N = m · g = 60 · 9. en cada uno de los supuestos que propone el enunciado de la actividad.8 = 588 N 2. el peso aparente de las bolsas aumenta. llenas hasta los topes con lo que has comprado. es el siguiente: a) En este caso: N −m·g=m·a Balanza m. con velocidad uniforme. Unidad 2. piensa en las respuestas que hayas dado al resolver la actividad anterior. la reacción coincide con el peso que registra la balanza: N |N| = |P'| El peso aparente del pasajero. El pasajero está sometido a la fuerza peso y a la reacción normal del suelo (peso aparente).8 − 2) = 468 N d) Cuando el ascensor frena en el movimiento de bajada: N = m · (g + a) = 60 · (9. cayéndose su contenido.8 + 2) = 708 N b) Ahora el ascensor frena al subir. de acuerdo con la segunda ley de la dinámica. le das las gracias mientras el ascensor se pone en marcha… Poco después estáis los dos limpiando el ascensor y preguntándoos qué ha podido ocurrir… ¿Serías capaz de explicarlo? Antes de responder.8 + 2) = 708 N e) Si sube: N = m · g = 60 · 9. Imagina que vienes de hacer la compra y subes al ascensor con dos bolsas de plástico.g N = m · (g + a) = 60 · (9. ese peso adicional ha terminado por romperlas. Amablemente. e) El ascensor se mueve. Un vecino sube al ascensor contigo y. La situación que plantea el enunciado es similar a la del apartado a) de la actividad anterior.8 − 2) = 468 N c) En este caso: N = m · (g − a) = 60 · (9. bastante pesadas. Cuando el ascensor acelera en su subida. para que no sueltes las bolsas y se te desparrame lo que llevas en ellas. Por tanto: N = m · (g − a) = 60 · (9. pulsa el botón del piso al que vas.c) El ascensor desciende acelerando a 2 m s−2. d) El ascensor detiene el movimiento de bajada frenando con esa misma aceleración. y si solo actúan las fuerzas del campo. Por tanto: E superficie = E altura _ h −G ⋅ M Sol ⋅ m R Sol + 1 2 ⋅m ⋅v2 = −G ⋅ M Sol ⋅ m R Sol + h de donde resulta: −G ⋅ M Sol R Sol + v2 2 = −G ⋅ M Sol R Sol + h Recuerda que en el apartado anterior hemos obtenido la relación: g Sol = G ⋅ M Sol R 2 Sol → g Sol = G ⋅ Unidad 2. g. el cociente entre el peso de un cuerpo (fuerza con que es atraído) en el Sol o la Tierra y la intensidad del campo gravitatorio en cada planeta es el mismo. 108 veces mayor que el terrestre: a) ¿Cuántas veces es mayor el peso de un cuerpo en la superficie del Sol que en la de la Tierra? b) ¿Cuál sería la altura máxima alcanzada por un proyectil que se lanzase verticalmente hacia arriba. 82 → FSol = 27. VELOCIDAD DE ESCAPE 1. a) La intensidad del campo gravitatorio. 8 ⋅ FTierra b) Para resolver este apartado.6.2. Teniendo presente lo anterior. La masa del Sol es 324 440 veces mayor que la de la Tierra. es proporcional a la fuerza con la que el Sol o la Tierra atraen determinado cuerpo: F =G⋅ M ⋅m = g ⋅m R2 Así. y su radio. se conserva la energía del sistema (formado en este caso por el cuerpo que estamos considerando). desde la superficie solar. con una velocidad de 720 km h−1? Considera g = 10 m s−2. Campo gravitatorio: Introducción 324 440 ⋅ M Tierra (108 ⋅ RTierra ) 2 = 324 440 108 2 ⋅ g Tierra 10 . debemos tener en cuenta que el campo gravitatorio es conservativo. y según la definición de campo gravitatorio. podemos escribir: F Sol FTierra = G⋅ g Sol g Tierra = G⋅ M Sol 2 R Sol M Tierra 2 RTierra Sustituyendo los datos que proporciona el enunciado: FSol FTierra = MSol MTierra ⋅ 2 RTierra 2 RSol 324 440 = 1 ⋅ 1 (108)2 = 27. Por tanto. y resulta aceptable la aproximación que hemos establecido. ascendiendo tan solo 72 metros. Dato: RSol = 6. resulta: 108 ⋅ RTierra + h = 3 2 ⋅ 108 ⋅ 324 440 ⋅ g Tierra ⋅ RTierra 2 2 ⋅ 324 440 ⋅ RTierra + 108 ⋅ RTierra ⋅ v 2 h = 108 ⋅ RTierra ⋅ v2 6 008 ⋅ g Tierra ⋅ RTierra − v 2 Observa que h queda en función del radio de la Tierra. Por ello. la conservación de la energía nos permite escribir ahora la siguiente relación: m ⋅v2 2 = m ⋅ g Sol ⋅ hmáx → hmáx = v2 2 ⋅ g Sol en la que. 2. En la actividad anterior. sustituyendo los datos que proporciona el enunciado.82 108 m. situando el origen de potenciales en la superficie solar. Campo gravitatorio: Introducción 11 . Para calcular la velocidad de escape. vamos a suponer que la intensidad del campo gravitatorio solar es prácticamente constante en cualquier punto de la trayectoria que recorre el proyectil. resulta: hmáx 720 000 2 3 600 v2 = = = 71. hemos de aplicar la expresión: v = 2 ⋅ g Sol ⋅ R Sol Unidad 2. y dado que la velocidad con que se realiza el lanzamiento es relativamente baja.de donde resulta: 324 440 2 G ⋅ M Sol = g Sol ⋅ R Sol = 2 ⋅ g Tierra ⋅ 108 2 ⋅ RTierra = 108 2 2 = 324 440 ⋅ g Tierra ⋅ RTierra Por tanto: −G ⋅ − M Sol R Sol + 2 324 440 ⋅ g Tierra ⋅ RTierra 108 ⋅ RTierra v2 2 + = −G ⋅ v2 2 =− M Sol R Sol + h 2 324 440 ⋅ g Tierra ⋅ RTierra 108 ⋅ RTierra + h Desarrollando la expresión anterior. calcula la velocidad de escape que debería adquirir un cuerpo para salir del campo gravitatorio del Sol.82 · gTierra Observa que. que no es un dato que proporcione el enunciado del problema.89 m 2 · 27. la intensidad del campo gravitatorio no se modifica. y despejando.82 · 10 2 · 27. si gT = 10 m · s−2 y MT = 5.98 · 1024 kg. 6 km Por tanto. En un planeta cuyo radio es RT/2. aplicando las leyes de Kepler. 6 ⋅ 10 3 2 = 5. El radio del planeta lo podemos obtener a partir del radio de la Tierra. Busca los datos que precises para ello en una enciclopedia. incluimos una tabla con los datos astronómicos que corresponden a los planetas del sistema solar: Unidad 2. 98 ⋅ 10 24 10 = 6 315. De la relación entre las expresiones que corresponden al campo gravitatorio de la Tierra y el planeta desconocido podemos despejar la relación que existe entre las masas de los planetas: gP gT MP G⋅ = MP R P2 ⋅ g P 1 R P2 = → = 2 MT 2 MT RT ⋅ g T G⋅ 2 RT 2 1 5 · = 10 8 La velocidad de escape puede calcularse mediante la expresión: v = 2 ⋅ g P ⋅ RP El campo gravitatorio del planeta es un dato del enunciado. 67 ⋅ 10 −11 ⋅ 5. podemos calcular directamente la velocidad de escape: v = 2⋅ gSol gTierra ⋅ gTierra ⋅ RSol = 2 ⋅ 27. 62 km ⋅ s −1 2. ¿cuál es el que se mueve más lento? ¿Por qué? Justifícalo. la velocidad de escape del planeta resulta: v = 2 ⋅ gP ⋅ RT 2 → v = 2 ⋅5 ⋅ 6 315. LEYES DE KEPLER 1. Aplica la tercera ley de Kepler para calcular la distancia que separa cada planeta del Sol. De ese modo: g = G⋅ MT RT2 → RT = G ⋅ MT g = 6. Calcula: la relación MP /MT y la velocidad de escape desde la superficie del planeta. 82 ⋅ 10 8 = 616 km ⋅ s −1 3. Consulta la respuesta a esta actividad en la siguiente. la aceleración de la gravedad en su superficie es de 5 m s−2. 2. Para calcular el valor del radio de la Tierra. consideraremos g = 10 m · s−2. 82 ⋅ 10 ⋅ 6. Para que cada profesor o profesora resuelva estas cuestiones con sus alumnos del modo que estime más procedente.7. Entre todos los planetas que orbitan en torno al Sol. Campo gravitatorio: Introducción 12 .Teniendo en cuenta la relación del campo gravitatorio entre la Tierra y el Sol (obtenida anteriormente) y el radio del Sol. con una velocidad v. debe: Unidad 2.95 0.75 247. d) M2 L3 T −2.55 1 560 Neptuno 3.241 59 0. b) M2 L2 T −1.4 0.048 1.539 29.015 0.41 0.38 0.84 30. de masa M.788 0. 2.458 0. por tanto. Del análisis dimensional de la constante de gravitación universal se desprende que podemos expresar esta constante en función de sus magnitudes fundamentales como: a) M−1 L3 T −2.8 14.203 11.387 0.7 6.00 1 330 Saturno 9.23 2 270 Plutón 0.1 0.39 0.182 84.27 39.5 95.8 17.44 0.862 0.41 9.107 3 950 Júpiter 11.65 0. Un satélite artificial.881 1.003 7 800 Nombre Distancia al sol Período de rotación (4) Excentricidad Inclinación respecto a la eclíptica (°) Masa (5) Densidad media (kg · m−3) (1) En diámetros terrestres (2) En distancias Tierra-Sol (3) En años terrestres (4) En días terrestres (5) En masas terrestres ACTIVIDADES DE LA UNIDAD CUESTIONES 1. c) M−1 L2 T −1.22 690 Urano 3.047 0.000 1 0.524 1.000 1.98 19.053 5 440 Venus 0.057 164. Obtendremos las dimensiones de la constante G a partir de la expresión que permite calcular la intensidad del campo gravitatorio: g =G⋅ G= [ R ]2 ⋅ [ g ] [M ] = M R2 L2 ⋅ L ⋅ T −2 M = L 3 ⋅ T −2 ⋅ M −1 La respuesta correcta es.009 1.000 5 620 Marte 0.007 3. pasando a otra más próxima a la Tierra.Características de los planetas del Sistema Solar Diámetro (1) (2) Período de revolución (3) Mercurio 0.615 243 0.056 2.9 0.093 1.53 1. gira alrededor de la Tierra en una órbita de radio R. Si cambia de órbita.815 5 160 Tierra 1.017 0 1.206 7 0.00 1.3 318.723 0.25 17. Campo gravitatorio: Introducción 13 . la a).67 0.03 0.2 5. r. b) Disminuye 10 veces. La velocidad con que se mueve un satélite en órbita es: v= G⋅M r Si se aproxima a la Tierra. v. d) Aumenta 100 veces. 5.a) Disminuir la velocidad. son otros factores los que intervienen. analizar con mayor detalle la órbita de la Luna para poder afirmar algo al respecto. b) El campo gravitatorio que crea una masa no depende del medio que rodea al cuerpo. El momento angular de la Luna respecto a la Tierra y el de la Tierra respecto al Sol son constantes. por tanto. La respuesta correcta es la d). disminuye el radio de la órbita. a pesar del medio. por tanto. una masa de determinado valor creará a su alrededor siempre el mismo campo gravitatorio. Es necesario. d) Al menos dos de las afirmaciones anteriores son ciertas. d) La velocidad no influye. Dos masas. es mayor en el novilunio (luna nueva). El momento angular de la Luna respecto al Sol depende en cada instante de la distancia a que se encuentran y de la velocidad con que la Luna se mueve respecto al Sol. 4. b) Aumentar la velocidad. es mayor en el plenilunio (luna llena). el módulo de la fuerza gravitatoria que actúa entre ellas: a) Disminuye 100 veces. Unidad 2. c) No es constante. La respuesta correcta es la b). Si las aproximamos hasta una distancia 0.1 R. Campo gravitatorio: Introducción 14 . c) Aumenta 10 veces. c) No necesita modificar su velocidad. La respuesta correcta es la b). por tanto. b) No es constante. c) El campo gravitatorio que crea una masa depende del medio que rodea al cuerpo. la velocidad. y aumenta. Al ser G una constante universal: a) El campo gravitatorio que crea una masa es igual en todos los puntos del espacio. que el momento de la Luna respecto al Sol: a) Es constante. están separadas una distancia R. m y m'. Que G sea una constante universal implica que. Podemos afirmar. 3. d) Necesitamos más datos para poder indicar algo en uno u otro sentido. En el caso del Sol: a) Si se convierte en gigante roja. se modificará la órbita de la Tierra. Es decir. No obstante. son: F =G⋅ m ⋅ m′ R . 01 ⋅ R 2 = → = 100 m ⋅ m′ 0. El campo gravitatorio que el Sol produce sobre la Tierra viene dado por: g Sol = G ⋅ M R Sol 2 Tierra _ Sol Aunque la estrella se contraiga o se agrande. un cambio como el citado no tendrá influencias gravitacionales sobre la Tierra. 6. suma de sus energías cinética y potencial. su masa no variará. Si se convirtiese en enana blanca. Si un satélite que está girando alrededor de la Tierra pierde parte de su energía por fricción. c) En ambos casos. Si pasara a gigante roja. dicho cambio sí influiría sobre el campo gravitatorio en la superficie del Sol. el radio disminuiría y el campo en la superficie del Sol aumentaría. el radio de su nueva órbita es: a) Mayor. nos atraerá con más fuerza. b) Si se convierte en enana blanca.Las respectivas fuerzas gravitatorias. La respuesta correcta es. 01 F G⋅ R2 Por tanto. el efecto sería el contrario. 1 ⋅ R ) 2 =G⋅ m ⋅ m′ 0. 7. La energía mecánica total que posee un satélite en órbita. Las teorías de la evolución estelar muestran que. las estrellas ordinarias. por tanto. la d). 01 ⋅ R 2 Dividiendo una entre otra: F′ F = G⋅ m ⋅ m′ 1 F′ 0. la respuesta correcta es la d). 2 F′ =G ⋅ m ⋅ m′ (0. como el Sol. antes y después de acercar las masas. d) De lo anterior no se deduce ningún cambio gravitacional apreciable para la Tierra. c) Se mantiene constante. Del mismo modo. es: MT · ms 1 MT · ms MT · ms 1 Emec = Ec + Ep → Emec = −G · + · G · = − · G · 2 2 RT + h RT + h RT + h Unidad 2. b) Menor. Campo gravitatorio: Introducción 15 . el hecho de que varíe el volumen de la estrella tampoco hará cambiar la distancia Tierra-Sol. pueden hincharse considerablemente (gigantes rojas) o contraerse de forma catastrófica (enanas blancas). en ciertas etapas de su evolución. nos atraerá con menos fuerza. si la energía de un satélite disminuye. Un astronauta se aproxima a un planeta desconocido. radio de la órbita circular del satélite y período de revolución del satélite. dado que conocemos el radio de la órbita del satélite. es fácil comprender que. resulta: ve = 2 ⋅ G ⋅ MT RT 10. el área barrida por unidad de tiempo será siempre la misma. Ec + Ep = 0. calcular: a) La masa del planeta. Campo gravitatorio: Introducción = G ⋅ Mp 4⋅π 2 → Mp = 4 ⋅ π 2 Rs3 ⋅ 2 G T 16 . El astronauta realiza las siguientes mediciones: radio del planeta. Rs.El signo que corresponde a la energía es negativo. Se denomina velocidad de escape la velocidad mínima con que debe lanzarse un cuerpo que se encuentra sometido a la acción de un campo gravitatorio para que escape de forma efectiva a dicho campo. d) La presión atmosférica en la superficie del planeta. La respuesta correcta es. la trayectoria debe ser circular. son proporcionales a la masa del objeto. el radio de la nueva órbita debe hacerlo también. y el período. de donde resulta: 1 2 ⋅ m ⋅ ve − 2 G ⋅ MT ⋅ m RT =0 Vemos en esta expresión que tanto el término correspondiente a la energía cinética como el correspondiente a la energía potencial. con ayuda de estas mediciones (indica con cuáles). a) La medida de la masa del planeta puede obtenerse a partir de la tercera ley de Kepler. T: Rs3 T 2 Unidad 2. Indica si puede. Simplificando. Por tanto. c) La aceleración de la gravedad en la superficie del planeta. Para ello debemos comunicar energía cinética a la nave en una cantidad tal que compense su energía potencial gravitatoria (negativa). De acuerdo con la segunda ley de Kepler. ¿depende de la masa del objeto que queremos que escape de la atracción del campo gravitatorio? Razona la respuesta. ya que. la igualdad se cumplirá independientemente de cuál sea la masa del objeto. EJERCICIOS 9. ya que el satélite es un objeto ligado al campo gravitatorio terrestre. por tanto. Si se analiza la expresión anterior. 8. La velocidad de escape. de ese modo. b) La masa del satélite. que posee un satélite. Por tanto. la b). Indica cómo será la órbita de un planeta si se mueve siempre con la misma velocidad. Campo gravitatorio: Introducción 17 . M y m. De hecho.b) No podemos obtener la masa del satélite. las intensidades de los campos creados por M y m tienen en P como módulo 5 y 20 N/kg. 12.67 · 10−11 · 5. 3 cm M M 1 cm P 1 cm 3 cm m P M 3 cm m P 1 cm m m M 3 cm P 30° 2 cm Se trata de construir los vectores campo gravitatorio en el punto P para cada una de las situaciones propuestas. ni de qué sustancia o sustancias estaría compuesta. ni siquiera se sabe si el planeta tiene atmósfera. supondremos un sistema de referencia OXY situado en el punto P. en los cuatro casos representados en la figura. 11. c) La aceleración de la gravedad (intensidad del campo gravitatorio) en la superficie se puede hallar a partir de la expresión: g =G⋅ Mp R 2p donde Rp es el radio del planeta y Mp se ha averiguado en el apartado a).98 · 1024 = = 3. se obtiene la distancia respecto al centro de la Tierra a que girará un satélite con una velocidad de 1 km/s: G · MT 6.99 · 108 m r = (1 000)2 v2 Esta distancia es. Debemos tener en cuenta que el campo gravitatorio tiene la dirección de la línea que une la masa que lo crea y el punto P. pues no disponemos de ningún dato acerca de la fuerza gravitatoria entre ambos cuerpos o de la energía potencial del satélite. Calcula la intensidad de campo gravitatorio que crean dos masas. ¿Es posible que un satélite artificial describa una órbita circular alrededor de la Tierra con una velocidad de 1 km/s? Razona la respuesta. Por tanto: MT · m m · v2 Fc = Fg → = G · r r2 Al simplificar y despejar. La fuerza centrípeta que mantiene un satélite en órbita alrededor de la Tierra es la fuerza gravitatoria con que la Tierra lo atrae. estando dirigido su sentido hacia la masa. aproximadamente. en un punto P. En todos los casos. d) No podemos calcular la presión atmosférica. la distancia entre la Tierra y la Luna. respectivamente. En cada caso. Unidad 2. En la tabla figuran los radios orbitales promedio y los períodos de revolución de algunos planetas del sistema solar: Tierra Marte Júpiter Radio orbital 149 228 778 Período de revolución 31.3 El radio se mide en megakilómetros. la relación entre el período de rotación de un planeta y el radio de su órbita es: r3 T Unidad 2. Campo gravitatorio: Introducción 2 = G ⋅ MSol 4 ⋅π 2 = cte 18 .Observa que las distancias que se proporcionan en la figura no son datos útiles. Luego aplicaremos el principio de superposición: r r r r r g = g M + gm = g M ⋅ ur + gm ⋅ ur M m Caso a) r r g M = −5 ⋅ i r r r r r → g = g M + gm = 15 ⋅ i N ⋅ kg −1 r gm = +20 ⋅ i Caso b) r r g M = −5 ⋅ i r r r r r → g = g M + gm = 15 ⋅ i N ⋅ kg −1 r gm = +20 ⋅ i Caso c) r r g M = −5 ⋅ i r r r r r r → g = g M + gm = ( −5 ⋅ i − 20 ⋅ j ) N ⋅ kg −1 r gm = −20 ⋅ j Caso d) r r g M = −5 ⋅ i r r r r r r r → g = g M + gm = (12. a partir de ella. la ley de la gravitación universal. puesto que ya tenemos los módulos del campo creado por cada masa en el punto P como dato del enunciado. a) Según la tercera ley de Kepler. a) ¿Justifican los datos la tercera ley de Kepler? b) Escribe la expresión que corresponde a dicha ley y deduce. en megasegundos. En cada uno de los casos obtendremos el vector campo gravitatorio que crea cada masa. 32 ⋅ i + 10 ⋅ j ) N ⋅ kg −1 r gm = 20 ⋅ (cos 30° ⋅ i + sen 30° ⋅ j ) NOTA: la resolución de este ejercicio se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. Considera circulares las órbitas que describen los planetas en su movimiento alrededor del Sol. y el período.4 374.6 59. 13. obtenemos una expresión similar con la masa del Sol. La fuerza centrípeta a que está sometida la Tierra viene dada por la expresión: Fc = m T ⋅ a c = m T ⋅ v2 r de donde podemos dejar la velocidad en función del período: mT · v 2 2·π·r 2 1 4 · π2 · r Fc = = mT · · = mT · T r T2 r 2 Despejamos ahora el término T de la ecuación de la tercera ley de Kepler: T 2 = cte · r 3 Por último.7 · 1015 Marte 3 359. 14.u. obtenemos la expresión que proporciona la ley de la gravitación universal. Calcula el período de un satélite artificial que describe una órbita alrededor de la Tierra a una distancia de 10 km sobre su superficie. Datos: G = 6. Campo gravitatorio: Introducción 19 .Si realizamos para cada uno de los planetas de la tabla del enunciado la operación r 3/T 2. si introducimos este último témino en la ecuación de la fuerza centrípeta. Por tanto: 2 · π · (6 370 + 10) · 103 2·π·R T = = = 5 070 s 7 907 v T = 1 h 24’ 30’’ Unidad 2.2 · 1015 Júpiter 3 361. resulta: Fc = m T ⋅ 4 ⋅ π2 ⋅ r cte ⋅ r 3 = cte ⋅ mT r2 Si hacemos lo mismo suponiendo que es el Sol el que orbita en torno a la Tierra. RT = 6 370 km La velocidad con que orbita un satélite a 10 km sobre la superficie de la Tierra es: v= G ⋅ MT R = 6. y de la integración de ambas. resulta: Planeta r 3/T 2 Tierra 3 312.98 1024 kg. b) La Tierra se mueve alrededor del Sol describiendo un m. 98 ⋅ 10 24 (6 370 + 10) ⋅ 10 3 = 7907 m ⋅ s −1 El período es el tiempo que tarda el satélite en completar una vuelta alrededor de la Tierra.2 · 1015 Aunque el valor en los tres casos no es exactamente el mismo.67 10−11 N m2 kg−2 MT = 5.c. podemos afirmar que los resultados corroboran la tercera ley de Kepler. 67 ⋅ 10 −11 ⋅ 5. 15. ¿Cuál es el trabajo realizado por o contra el campo? a) −200 J b) 200 J c) −600 J La energía potencial que posee una masa. Si despejamos de ella la velocidad orbital de la Tierra.67 10−11 N m2 kg−2. dato que proporciona el enunciado del ejercicio. como sabes. obtenemos: v= G ⋅ MS R Teniendo ahora en cuenta que: v = ω⋅R 2⋅π ω= T 2⋅π ⋅R → v = T 2⋅π G ⋅ MS Podemos escribir lo siguiente: T ⋅R = R La masa del Sol es. aproximadamente.49 · 1011)3 4 · π2 · R 3 Ms = = = 1. La fuerza centrípeta que obliga a la Tierra a girar alrededor del Sol es. MT y MS son las masas de la Tierra y del Sol. Sabiendo que G = 6. Por tanto: MT · v 2 MT · MS Fc = F g → = G · R R2 En la expresión anterior. Unidad 2. La respuesta correcta es. respectivamente. La Tierra tarda un año en describir su órbita en torno al Sol.97 · 1030 kg 2 6. calcula la masa del Sol.49 1011 m. precisamente. el signo negativo indica que la masa m está ligada al campo gravitatorio. la fuerza gravitatoria que este ejerce sobre ella. el radio de su órbita. v es la velocidad orbital de la Tierra. por tanto. 16. Campo gravitatorio: Introducción 20 . su energía potencial disminuye. con radio R = 1. El trabajo externo que es necesario realizar para que la masa se desplace es: W = ∆Ep = Ep − Ep = −400 − (−200) = −200 J f i El signo negativo obtenido indica que la masa se desplaza por sí misma. m. que se encuentra en el seno de un campo gravitatorio es: M·m Ep = −G · r siendo M la masa que crea el campo. y R. por tanto: 4 · π2 · (1. la a). Una masa se desplaza en un campo gravitatorio desde un lugar en que su energía potencial vale −200 J hasta otro donde vale −400 J.67 · 10−11 · (365 · 24 · 3 600)2 G·T NOTA: la resolución de este ejercicio se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. circular. Esta órbita es. La distancia entre el Sol y Mercurio es 57. 9 ⋅ 10 9 6. calcula su peso en la superficie de otro planeta cuya masa sea el doble que la de la Tierra y su radio sea el triple que el de la Tierra. son: vM = G ⋅ vT = G ⋅ MS dSM MS dST Por tanto: vM = vT = 6. las intensidades de los campos gravitatorios en la superficie del planeta y en la de la Tierra son: MT Mp 2 · MT MT 2 2 gTierra = G · 2 .98 · 10 vT Unidad 2. Las expresiones que permiten calcular la velocidad orbital de Mercurio y de la Tierra. Campo gravitatorio: Introducción 21 . Las expresiones que corresponden al peso del cuerpo en el planeta y en la Tierra son: Pplaneta = m · gplaneta PTierra = m · gTierra De acuerdo con los datos que proporciona el enunciado.17.6 · vT 2. calcula la velocidad con que ambos giran alrededor del Sol. Suponiendo que las órbitas de ambos planetas son circulares. 79 ⋅ 10 4 m ⋅ s −1 = 2.9 106 km y entre el Sol y la Tierra es 149. Si un cuerpo tiene un peso de 100 N sobre la superficie terrestre. 99 ⋅ 10 30 57. gplaneta = G · 2 = G · 2 = · G · 2 = · gTierra 9 9 RT Rp (3 · RT ) RT Como la masa del cuerpo no varía.6 106 km.79 · 104 = 4 = 1.99 · 1030 kg. 98 ⋅ 10 4 m ⋅ s −1 La relación entre ambas velocidades es: vM 4. la relación entre el peso del cuerpo en ambos planetas es: m · gTierra PTier ra m · gTier ra 9 = = = 2 Pplan eta m · gplan eta 2 m · · gTierra 9 Por tanto: 2 2 Pplaneta = · PTierra = · 100 = 22. 99 ⋅ 10 30 149. 67 ⋅ 10 −11 ⋅ 1. si MSol = 1. en su órbita alrededor del Sol. 6 ⋅ 10 9 = 4.6 → vM = 1. 67 ⋅ 10 −11 ⋅ 1.2 N 9 9 18. respectivamente. el peso de cualquier objeto también será el doble. A D Sol S1 S2 C Perihelio B Afelio Unidad 2. podemos obtener la que corresponde al planeta: Mp 8 · MT MT 8 gp = G · 2 = G · 2 = · G · 2 = 2 · gT = 2 · 9.19. Si las densidades de ambos planetas son iguales.8 = 19. que la velocidad en el perihelio debe ser mayor que en el afelio. es fácil deducir.8 m/s2. el tiempo que tarda el planeta en pasar del punto A al B ha de ser igual al que tarda en pasar de C a D.26 109 km de este: a) ¿En cuál de los dos puntos tiene el cometa mayor velocidad? ¿Y mayor aceleración? b) ¿En qué punto tiene mayor energía potencial? ¿Y mayor energía mecánica? a) De acuerdo con la ley de las áreas de Kepler. el cometa está a 8. se encuentra a 5. El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. siendo su densidad igual a la de la Tierra.6 m/s2 4 Rp (2 · RT) RT Por tanto. ya que el valor de las superficies S1 y S2 es el mismo. en el planeta o en la Tierra? Especifica cuánto. Por tanto. ya que: Pp = m · gp = m · 2 · gT PT = m · gT Pp m · 2 · gT → = = 2 → Pp = 2 · PT PT m · gT 20. En el perihelio (posición más próxima al Sol).75 107 km del Sol. se cumple: Mp dp = = 4 · π · Rp3 3 Mp = 4 · π · (2 · RT)3 3 MT = dT 4 · π · RT3 3 De la expresión anterior podemos deducir la relación entre las masas del planeta y de la Tierra: Mp MT 3 = 3 → Mp = 8 · MT (2 · RT) RT Teniendo en cuenta que la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra es gT = 9. al ser la intensidad del campo gravitatorio del planeta el doble de la que corresponde a la Tierra. a la vista de la gráfica. mientras que en el afelio (posición más alejada del Sol). Campo gravitatorio: Introducción 22 . ¿Dónde será mayor el peso de un objeto. Un planeta posee un radio doble que el de la Tierra. Ep afelio perihelio Rafelio Rperihelio Si tenemos en cuenta que Rperihelio < Rafelio.54 m · s−1 NOTA: la resolución de este ejercicio se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. Unidad 2. a) Calcula la aceleración de la gravedad en la superficie lunar.35 · 1022 gL = G · 2 → gL = = 1.74 · 106)2 RL b) Este apartado se puede resolver aplicando las ecuaciones cinemáticas que corresponden al movimiento (m. esférica. esta. respectivamente.6 2 · 2 = 2. en valor absoluto. La Luna es. ya que la expresión que le corresponde es: MS · mc 1 Em = − · G · afelio 2 Rafelio → Rperihelio < Rafelio → |Em | > |Em | MS · mc perihelio afelio 1 Em = − · G · perihelio 2 Rperihelio 21.) o mediante el principio de conservación de la energía. aproximadamente. es mayor en el perihelio que en el afelio. con radio R = 1. aperihelio = Rafelio Rperihelio Teniendo en cuenta que: vafelio < vperihelio . En este último caso se obtiene: 1 Ep (h = 2 m) = Ec (h = 0 m) → m · gL · h = · m · v 2 → 2 →v= 2 · gL · h = 2 · 1.35 1022 kg. en valor absoluto: Ep perihelio < Ep afelio En lo que respecta a la energía mecánica. b) Si se deja caer una piedra desde una altura de 2 m sobre la superficie lunar. ¿cuál será su velocidad al chocar con la superficie? Dato: G = 6.En lo que respecta a la aceleración podemos escribir: v 2afelio v 2perihelio aafelio = .74 106 m y masa m = 7.u.67 10−11 N m2 kg−2 a) La intensidad del campo gravitatorio (aceleración de la gravedad) en la superficie de la Luna es: ML 6. Rafelio > Rperihelio se deduce que la aceleración en el perihelio es mayor que en el afelio: v 2afelio v 2perihelio < → aafelio < aperihelio Rafelio Rperihelio b) Las expresiones que corresponden a la energía potencial en el afelio y en el perihelio. obtenemos que.r.67 · 10−11 · 7.62 m · s−2 (1. son: MS · mc MS · mc = −G · Ep = −G · .a. Campo gravitatorio: Introducción 23 . 99 · 1030 kg. En este caso.u. Como el satélite se encuentra en órbita circular alrededor de un cuerpo describiendo un m. calcula la distancia a que debe encontrarse un satélite artificial que gira en torno a la Tierra para que su período de revolución sea un día. resulta: rsatélite = 3 3 rLuna 2 T Luna 2 ⋅ Tsatélite = 3 (384 ⋅ 10 6 ) 3 28. y conocida la masa del Sol.5 días en describir una vuelta completa en torno a la Tierra. ¿a qué distancia del centro de la Luna se encontraría? La masa de la Luna es 0. alrededor de la Tierra. Con esos datos. Un satélite gira en órbita circular alrededor de la Tierra a 150 000 km de distancia de su centro. 24. 99 ⋅ 10 30 4 ⋅ π2 ⋅ (10 6 ⋅ 365 ⋅ 24 ⋅ 3 600) 2 = 1. que coincide con la fuerza gravitatoria.c. sabiendo que su período estimado es 106 años. Es decir: F gravitatoria = Fcentrípeta G⋅ Unidad 2.c. 16 ⋅ 10 6 m = 41160 km 23 Calcula la distancia media al Sol del cometa Kohoutec. 495 ⋅ 10 15 m FE DE ERRATAS: la solución de este problema que se ofrece en la página 414 del libro del alumno es incorrecta. 5 2 ⋅ 1 = 41. Se sabe que la distancia promedio Tierra-Luna es 384 000 km y que la Luna tarda 28.0123 veces la de la Tierra y su volumen es cincuenta veces menor. la fuerza resultante es la fuerza centrípeta.495 · 1015 m. hemos de considerar la Tierra como el punto fijo y la Luna como un punto que se mueve con m. 67 ⋅ 10 −11 ⋅ 1. Si hubiese otro satélite en órbita circular alrededor de la Luna que tuviese la misma velocidad. resulta: r = 3 G⋅M 4 ⋅ π2 ⋅T 2 = 3 6.u. El problema podemos resolverlo aplicando la tercera ley de Kepler. de donde despejamos directamente la distancia al cometa: r3 T 2 = G ⋅ MS 4⋅π 2 →r = 3 G ⋅ MS 4 ⋅ π2 ⋅T 2 Expresando el período en segundos. La solución correcta es r = 1. El problema podemos resolverlo haciendo uso de la tercera ley de Kepler. Al aplicar dicha ley a la Luna y al satélite obtenemos: r3 = cte → T2 3 rLuna = 2 T Luna 3 rsatélite 2 Tsatélite Despejando y sustituyendo. Campo gravitatorio: Introducción M ⋅m r2 =m⋅ v2 r 24 ..PROBLEMAS 22. Ms = 1. alrededor de la Tierra. esto es: gT = G ⋅ MT RT2 = 9. 0123 = 1. Campo gravitatorio: Introducción MT 2 ⋅ RT = gT ⋅ RT 2 25 . Por tanto. 5 ⋅ 10 8 → → rL = 1. Teniendo en cuenta. 0123 ⋅ M T rL En el enunciado se indica que. 25 ¿Con qué velocidad angular de rotación debe girar un satélite artificial. las velocidades deben coincidir. la fuerza centrípeta que lo mueve coincide con la fuerza gravitatoria.De la igualdad anterior podemos despejar la velocidad. para que lo haga en una órbita de radio el doble del radio de la Tierra? Datos: RT = 6 370 km. además. resulta: vT = G ⋅ MT rT = G⋅ MT 1.845 · 106 m del centro de la Luna.u. alrededor de la Tierra. 5 ⋅ 10 8 ⋅ 0. 845 ⋅ 10 6 m El segundo satélite debe situarse a 1. 5 ⋅ 10 8 Y en el caso de la Luna: vL = G ⋅ ML rL = G⋅ 0.81 m/s2 El satélite realiza un m. g = 9. 0123 ⋅ M T rL = MT 1. 81 m ⋅ s −2 Introduciendo este dato en la expresión de la velocidad. resulta: F gravitatoria = Fcentrípeta → G ⋅ MT ⋅ m (2 ⋅ RT ) 2 =m⋅ v2 2 ⋅ RT Despejando en la expresión anterior.c. podemos obtener la velocidad: v = G⋅ MT 2 ⋅ RT En el enunciado nos proporcionan el dato del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra. En el caso de la Tierra. en ambos casos. Por tanto: 0. se obtiene: v = G⋅ Unidad 2. que la órbita tiene un radio que es dos veces el radio de la Tierra. resulta: −G ⋅ M + RT 1 2 ⋅v2 = −G ⋅ M RT + h y despejando h: 1 RT − v2 2 ⋅G ⋅ M = 1 RT + h →h= 1 1 RT → h = RT ⋅ 1− − v2 − RT → 2 ⋅G ⋅ M 1 −1 v 2 ⋅ RT 2 ⋅G ⋅ M Al sustituir en esta última expresión el dato que aporta el enunciado. Un satélite de 250 kg de masa describe una órbita circular en torno a la Tierra a una altura sobre su superficie de 500 km. 67 ⋅ 10 −11 ⋅ 5. resulta: −G ⋅ M ⋅m + RT 1 2 ⋅m ⋅v2 = −G ⋅ M ⋅m RT + h Al simplificar. obtenemos la altura que alcanzará el proyectil: h = 6. y suponiendo conocidos los valores de la masa y del radio de la Tierra. 388 ⋅ 10 −4 rad ⋅ s −1 NOTA: la solución que se ofrece en la página 414 del libro del alumno es la que se obtiene considerando g = 9. suponiendo que alcanza ese punto con velocidad nula. 98 ⋅ 10 24 − 1 = 1. Calcula la altura que alcanzará. 81 = 8 ⋅ 6 370 ⋅ 10 3 = 4. 26. Unidad 2. 38 ⋅ 10 6 2 2 ⋅ 6. Calcula: a) Su velocidad.Por otra parte. La energía mecánica total del proyectil debe ser la misma en la superficie de la Tierra y en el punto en el que alcanza la máxima altura. 38 ⋅ 10 6 ⋅ 1− 1 5 000 ⋅ 6. Campo gravitatorio: Introducción 26 . obtenemos: g T ⋅ RT v ω= →ω= 2 ⋅ RT 2 2 ⋅ RT gT = 8 ⋅ RT Sustituyendo valores: gT ω= 8 ⋅ RT 9. de la definición de la velocidad angular y operando. 594 ⋅ 10 6 = 1594 km 27. Un proyectil sale disparado perpendicularmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial de 5 000 m/s. Por tanto. b) Su período de revolución.8 m/s2. 67 ⋅ 10 −11 ⋅ = 6 ⋅ 10 24 (6 370 + 500) ⋅ 10 3 = 7 632. 28 ⋅ 10 9 J = − 6. 56 ⋅ 10 9 J d) La energía necesaria para poner en órbita el satélite es el incremento de energía entre la situación inicial (sobre la superficie de la Tierra) y la del satélite en órbita. el período viene dado por: v= = 2 ⋅ π ⋅ ( RT + h) →T = 2 ⋅ π ⋅ ( RT + h) T 2 ⋅ π ⋅ (6 370 + 500) ⋅ 10 3 7 632.u. d) La energía necesaria para ponerlo en órbita..c. 67 ⋅ 10 −11 ⋅ 6 ⋅ 10 24 ⋅ 250 6 370 ⋅ 10 3 = −15.42 · 109 J NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado.28 · 109 − 14.28 · 109 J Por tanto.28 · 109 − (−15. el satélite solo tiene energía potencial: Ei = E pi = − G ⋅ M ⋅m RT = − 6. la fuerza resultante es la fuerza centrípeta.. 6 s c) Las energías cinética y potencial son: Ec = 1 2 ⋅m ⋅v2 = Ep = −G ⋅ 1 2 MT ⋅ m RT + h ⋅ 250 ⋅ 7 632. calculadas anteriormente: Ef = Ecf + Epf = 7. 67 ⋅ 10 −11 ⋅ 6 ⋅ 10 24 ⋅ 250 (6 370 + 500) ⋅ 10 3 = − 14. Unidad 2. MT = 6 1024 kg a) Como el satélite se encuentra en órbita circular alrededor de la Tierra.56 · 109 = −7. Es decir: F gravitatoria = Fcentrípeta G⋅ MT ⋅ m =m⋅ ( RT + h) 2 v2 ( RT + h) de donde podemos obtener la velocidad: v = G⋅ MT RT + h = 6. describiendo un m.c) Las energías cinética y potencial del satélite. Datos: G = 6. la energía necesaria resulta: ∆E = Ef − Ei = −7. Campo gravitatorio: Introducción 27 . Sobre la superficie terrestre.c.7 · 109 ) = 8. 4 v = = 5 655. 4 m ⋅ s −1 b) Al tratarse de un m. 4 2 = 7. 7 ⋅ 10 9 J Cuando está en órbita.u.67 10−11 N m2 kg−2 RT = 6 370 km. su energía es la suma de las energías potencial y cinética. que coincide con la fuerza gravitatoria. calcula: a) La energía potencial gravitatoria de un objeto de 50 kg de masa que se encuentra situado en la superficie del planeta. 91 = m ⋅v2 300 ⋅ v 2 = R RT + 5 ⋅ 10 7 con lo que la velocidad del satélite es: v= 38.I. 8 m ⋅ s −2 Con este supuesto. utilizaremos el dato. conocido. c) La masa del planeta. 8 ⋅ RT2 R2 (6. 1 m ⋅ s −1 El período del satélite es: T = 2⋅π⋅R v = 2 ⋅ π ⋅ (56. 5 ⋅ 10 6 ) 2 (6. 5 ⋅ 10 6 + 5 ⋅ 10 7 ) 300 = 2 707. Campo gravitatorio: Introducción G⋅M R2 28 . 62 s Expresado en horas: T = 131136.67 10−11 U. 91 N Al igualar la fuerza de la gravedad con la fuerza centrípeta: 38. b) La velocidad de escape desde su superficie. G. M. 5 ⋅ 10 6 ) 2 707. a) Teniendo en cuenta la expresión de la intensidad del campo gravitatorio: g= Unidad 2. 1 = 131136. de que la intensidad del campo gravitatorio terrestre es. la velocidad con que se mueve y el período con que orbita. la aceleración de la gravedad es 2 m/s2. Considera RT = 6 500 km. Al no dar como datos ni el valor de la constante de gravitación universal. 62 s ⋅ 1 hora 3 600 s = 36. 43 horas 29. Calcula la fuerza de gravedad que actúa sobre el satélite. la fuerza de gravedad que actúa sobre el satélite es: F = G ⋅ M ⋅m R2 F = m ⋅ g0 ⋅ G ⋅ M ⋅ m ⋅ RT2 = = m ⋅ g0 ⋅ RT2 ⋅ R 2 RT2 ( RT + 5 ⋅ 10 7 ) 2 = 300 ⋅ 9. ni el de la masa de la Tierra. En la superficie de un planeta de 1 000 km de radio. 5 ⋅ 10 6 + 5 ⋅ 10 7 ) 2 = 38. 91 ⋅ (6.28 Un satélite de 300 kg de masa se mueve en una órbita circular a 5 107 m por encima de la superficie terrestre. en la superficie de la Tierra: g0 = G⋅M RT2 = 9. Dato: G = 6. Teniendo esto en cuenta. Con estos datos. 67 ⋅ 10 −11 ⋅ 7. 74 ⋅ 10 6 ) 2 = 1.. obtenemos la distancia que habrá recorrido el cuerpo al cabo de 5 segundos: ∆y = 1 2 ⋅ g L ⋅ ( ∆t )2 = 1 ⋅ 1. aproximada. aunque distinto sentido. Unidad 2. de 7. 998 ⋅ 10 22 kg 30. que viaja entre la Tierra y la Luna. se obtiene: M= g ⋅ R2 G = 2 ⋅ (10 6 ) 2 6. Ambas tienen la misma dirección.I. y su radio es 1. Demuestra que esa fuerza es nula a la distancia: L 1+ ML MT siendo ML y MT las masas de la Luna y de la Tierra.r. 36 ⋅ 10 22 (1. En primer lugar. 67 ⋅ 10 −11 = 2.74 106 m. verifica: Em = E p + E c = 0 − G ⋅ M ⋅m R + 1 2 m ⋅v2 = 0 por lo que: v= 2 ⋅G ⋅ M R = 2 ⋅ g ⋅ R = 2 ⋅ 2 ⋅ 10 6 = 2 ⋅ 10 3 m ⋅ s −1 c) De la expresión g = G · M/R2. Una cápsula espacial. exclusivamente. calcula la distancia que recorrerá en cinco segundos un cuerpo que cae libremente en las proximidades de su superficie.u.36 1022 kg. 62 m ⋅ s −2 Aplicando las leyes del m. La Luna tiene una masa. Suponiendo que la distancia entre la Tierra y la Luna es L y teniendo en cuenta las fuerzas gravitatorias ejercidas por la Tierra y la Luna. La fuerza resultante será la suma de las ejercidas por la Luna y por la Tierra. respectivamente. calcula la expresión que permite hallar la fuerza resultante que actúa sobre la nave.67 10−11 U.a. 25 m 2 31. calculamos la intensidad del campo gravitatorio (aceleración de la gravedad) en la superficie de la Luna: gL = G ⋅ ML R L2 = 6. se encuentra a una distancia X del centro de la Tierra.la energía potencial se puede expresar como: Ep = − G ⋅ M ⋅m R =− G⋅M R2 ⋅ R ⋅ m = − g ⋅ R ⋅ m = −2 ⋅ 10 6 ⋅ 50 = −10 8 J b) La velocidad de escape. Dato: G = 6. 62 ⋅ 52 = 20. Campo gravitatorio: Introducción 29 . v. de masa m. Si sumamos ambas fuerzas: r r r MT ML r − ⋅ uTL F R = FT + F L = − G ⋅ m ⋅ 2 X ( L − X )2 Comprobemos que la fuerza es nula para la distancia indicada en el enunciado. a) En el esquema adjunto hemos representado la Tierra. calcula: a) La distancia a la que está del centro de la Tierra. Cuando el satélite se encuentra en ese punto. x L T 3. Datos: La masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna y la distancia que separa la Tierra de la Luna es 3. Igualando el módulo de la fuerza a cero obtenemos: r MT ML FR = 2 − =0 X ( L − X )2 MT X 2 = ML (L − X ) 2 → X = M L−X →L−X = X⋅ ML MT 2 ML → L−X T → X ⋅ 1+ X ML MT = ML MT → =L L X= 1+ ML MT 32 Al enviar un satélite a la Luna se le sitúa en una órbita que corta la recta que une los centros de la Tierra y la Luna por el punto en que las fuerzas que sufre el satélite por la atracción de los dos astros son iguales. Campo gravitatorio: Introducción 30 .108 m Unidad 2. la Luna y el punto que nos solicitan.84 108 m.84. las fuerzas ejercidas por la Tierra y por la Luna sobre la nave son: r MT ⋅ m r FT = − G ⋅ ⋅ uTL X2 r ML ⋅ m r FL = G ⋅ ⋅ uTL ( L − X )2 r donde u TL es un vector unitario en la dirección que une la Luna y la Tierra y en el sentido Tierra-Luna.Si tomamos el origen del sistema de referencia en la Tierra. debidas a la Tierra y a la Luna. b) La relación que existe entre las energías potenciales del satélite. Campo gravitatorio: Introducción 31 . 384 ⋅ 10 8 = −G⋅ MT ⋅ ms 81 ⋅ 0. Teniendo esto en cuenta. 456 =9 33. 32 ⋅ 10 8 m . 194 ⋅ 393 ⋅ 6 ⋅ 10 19 = 0 2 2 cuya resolución nos da dos soluciones: x 1 = 4. RT . 456 ⋅ 10 8 m b) La fracción de energía potencial del satélite que corresponde al campo gravitatorio terrestre es: E p = −G ⋅ T MT ⋅ ms 3. conocida como primera velocidad cósmica. 84 ⋅ 10 8 − x ) 2 x 10 80 ⋅ x − 6. calcula: a) La primera velocidad cósmica. de acuerdo con el enunciado del problema.67 10−11 N m2 kg−2 MT = 5. 84 ⋅ 10 8 − x ) 2 Dado que la masa de la Tierra es MT = 81 · ML. 384 ⋅ 10 8 La relación entre ambas es. 456 ⋅ 10 8 m De estas dos posibles soluciones. b) El período de revolución que le corresponde si orbita con esa velocidad. La mayor velocidad de giro de un satélite de la Tierra. x 2 = 3. Datos: G = 6.37 106 m a) Al igualar la fuerza centrípeta a que está sometido el satélite con la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra sobre él. podemos escribir: G⋅ MT ⋅ ms =G⋅ 2 x M L ⋅ ms (3.98 1024 kg RT = 6. 456 ⋅ 10 8 mientras que la que corresponde al campo gravitatorio lunar vale: Ep = − G ⋅ L M L ⋅ ms 0. 384 ⋅ 81 3.Si aplicamos la ley de la gravitación y tenemos en cuenta que en ese punto se han de igualar las fuerzas gravitatorias. la expresión anterior queda: 81 ⋅ M L ML = (3. 220 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ x + 1. es decir: x = 3. por tanto: Ep T Ep L = 0. es la que se obtendría para un radio orbital igual al radio terrestre. es la que nos da una distancia comprendida “entre” la Tierra y la Luna. obtenemos el valor de la primera velocidad cósmica: MT · ms ms · v 2 Fg = Fc → G · = RT RT2 Unidad 2. la que tiene sentido físico. Calcula la velocidad de escape desde la superficie del planeta y la masa del planeta. 54 m ⋅ s −1 Y la masa del planeta: g · R2 M 3 · 2 0002 g = G · 2 → M = = = 1. Determina: a) La velocidad lineal de la nave y el período del movimiento. 7 m ⋅ s −1 (1 470 + 100) ⋅ 10 3 32 . 36 ⋅ 10 22 = 1 768. 3 m ⋅ s −1 (1 470 + 100) ⋅ 10 3 siendo el período del movimiento: 2 · π · (1 470 + 100) · 103 2·π·R T = = = 5 578.36 1022 kg Radio medio lunar: RL = 1 470 km a) La velocidad lineal de la nave se obtiene al igualar la fuerza centrípeta que actúa sobre ella con la gravitatoria y despejar la velocidad: ML · mn G · ML v2 = m · → v = Fg = Fc → G · n R R2 R v= 6. y no la que se da en la página 414 del libro del alumno.67 10−11 N m2 kg−2 La velocidad de escape la calculamos de acuerdo con la expresión: v= 2 ⋅G ⋅ M R = 2 ⋅G ⋅ M R2 ⋅ R = 2 ⋅ g ⋅ R = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 000 = 109. La nave espacial lunar Prospector permanece en órbita circular alrededor de la Luna a una altura de 100 km sobre su superficie.3 v b) La velocidad de escape se calcula de acuerdo con la siguiente expresión: ve = 2 ⋅G ⋅ ML = R Unidad 2. Campo gravitatorio: Introducción 2 ⋅ 6.67 · 10−11 FE DE ERRATAS DEL LIBRO DEL ALUMNO: la solución correcta de este problema es la que aparece en esta página. 35. 67 ⋅ 10 −11 ⋅ 5.6 s 1 768. 37 ⋅ 10 6 = 7 913 m ⋅ s −1 b) El período de revolución del satélite será: 2 · π · RT 2 · π · 6.G ⋅ MT v= RT = 6.67 10−11 N m2 kg−2 Masa de la Luna: ML = 7.8 · 1017 kg G R 6. Datos: G = 6. 36 ⋅ 10 22 = 2500. b) La velocidad de escape a la atracción lunar desde esa órbita. Dato: G = 6. 67 ⋅ 10 −11 ⋅ 7. 67 ⋅ 10 −11 ⋅ 7. 98 ⋅ 10 24 6.37 · 106 T = = = 5 058 s 7 913 v 34 En la superficie de un planeta de 2 km de radio la aceleración de la gravedad es de 3 m s−2. despreciando el rozamiento: 1 Emec (h = 300 km) = Emec (sup. cuya masa es MT. la energía mecánica del objeto a 300 km de altura (que es energía potencial) debe ser igual a su energía mecánica justo antes de llegar a la superficie terrestre (energía cinética). Si elevamos sin rozamiento un objeto de 20 kg de masa a una altura de 300 km sobre su superficie: a) ¿Cuánto pesa el objeto a esa altura? b) ¿Cuál será el incremento de su energía potencial? c) Si se dejara caer desde esa altura.97 = 179. 3 ⋅ 10 6 ) Unidad 2.67 · 10−11 · 6 370 · 103 RT Y la que le corresponde a 300 km sobre la superficie: MT · m 5.98 · 1024 = 8.98 · 1024 · 20 Ep2 = −G · = −6. Por tanto.67 10−11 N m2 kg−2 Masa y radio de la Tierra: MT = 5.3 · 106) = 56. de ahí el valor utilizado para R. 6 370 km. el incremento de su energía potencial será: ∆Ep = Ep2 − Ep1 = −1 196 · 106 − (−1 252.) → −1 252. El radio de la Tierra es. la energía potencial de la masa m en la superficie de la Tierra es: MT · m 5.3 N b) La expresión que permite calcular la energía potencial gravitatoria de una masa m en el campo gravitatorio creado por la Tierra. aproximadamente. RT = 6 370 km a) La intensidad del campo gravitatorio que crea la Tierra a 300 km de altura es: G · MT 6.67 · 10−11 · 3 = −1 196 · 106 J (6 370 + 300) · 10 RT + h Por tanto.97 m · s−2 g = 2 = [(6 370 + 300) · 103]2 (RT + h) Por tanto. el peso de un objeto de 20 kg a esa altura será: P = m · g = 20 · 8.Esta es la velocidad de escape desde la órbita que indica el enunciado.98 1024 kg. 36. ¿con qué velocidad llegaría a la superficie de la Tierra? Datos: G = 6. Campo gravitatorio: Introducción 20 = 2 373 m ⋅ s −1 33 .3 · 106 + · m · v 2 = −1 196 · 106 2 v= 2 ⋅ ( −1196 ⋅ 10 6 + 1252.3 · 106 J c) De acuerdo con el teorema de conservación de la energía.3 · 106 J Ep1 = −G · = −6.67 · 10−11 · 5. a una distancia R de su centro es: MT · m Ep = −G · R Por tanto.98 · 1024 · 20 = −1 252. precisamente. Si llamamos r a la distancia que separa la partícula del centro de la Tierra. cuyo radio es 1. sabiendo que una partícula de masa m podría estar en equilibrio en un punto alineado con los centros de la Tierra y de la Luna.4 108 m. si suponemos que la órbita de la Luna es circular.98 · 1022 kg (3. podemos escribir lo siguiente: ML · m MT · m (rTL − r)2 → M = M · FL = FT → G · 2 = G · L T (rTL − r) r2 r2 (3. podemos escribir: 2·π vL = ω · rTL = · rTL T Sustituyendo en la expresión anterior. la distancia Tierra-Luna. Unidad 2. resulta: rTL = G ⋅ rTL = 3 MT → rTL = 2 2⋅π ⋅ rTL T 3 G ⋅ MT ⋅ T 2 4 ⋅ π2 6. 38 Un satélite de 1 000 kg de masa gira en una órbita geoestacionaria.67 10−11 N m2 kg−2: a) Calcula la distancia que separa el centro de la Tierra del centro de la Luna. La masa de la Tierra es 6 1024 kg.7 · 106 + 10)2 (RL + h) La velocidad con que el objeto llegará al suelo es.4 · 108)2 c) La intensidad del campo gravitatorio creado por la Luna a una altura de 10 m es: ML 12.99 m · s−2 (1.9 9 · 10 = 7.74 m · s−1 NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado.4 · 108)2 ML = 6 · 1024 · = 12. c) Si en la Luna. la fuerza gravitatoria que esta ejerce sobre la primera. ¿con qué velocidad llegará al suelo? a) La fuerza centrípeta que hace que la Luna orbite en torno a la Tierra es. Campo gravitatorio: Introducción 34 . 9 ⋅ 10 8 m b) Si la partícula se encuentra en equilibrio. rTL. Calcula: a) Su velocidad angular. a una distancia del centro de la Tierra de 3. por tanto: v= 2 · gL · h = 2 · 2.9 · 108 − 3.7 106 m. Por tanto: ML · v 2L ML · MT MT Fc = Fg → = G · 2 → rTL = G · rTL r TL v 2L Por otro lado.37.98 · 1022 gL = G · 2 = 6.67 · 10−11 · = 2. se deja caer sin velocidad inicial un objeto desde una altura de 10 m. La Luna describe una órbita circular en torno a la Tierra en 28 días. b) Calcula la masa de la Luna. la resultante de las fuerzas gravitatorias que actúan sobre ella ha de ser nula. 67 ⋅ 10 −11 ⋅ 6 ⋅ 10 24 ⋅ (28 ⋅ 24 ⋅ 3 600) 2 4 ⋅ π2 = 3. y G = 6. 27 ⋅ 10 −5 ) 2 = 4. la calculamos como sigue: MT g · RT2 9. con 100 kg de masa (incluyendo el traje). 22 ⋅ 10 7 m aN = ω2 · R = (7. Un astronauta.96 · 1024 · 1 000 ET = − · 6.96 · 1024 kg 6. RT = 6 370 km a) Un satélite geoestacionario completa un giro cada 24 horas. se encuentra sobre la superficie de un asteroide de forma prácticamente esférica y 2. 96 ⋅ 10 24 ( 7. 67 ⋅ 10 −11 ⋅ 5. b) ¿Cómo se denomina dicha velocidad? c) El astronauta carga ahora con una mochila cuya masa es 40 kg.22 m · s−2 c) La energía total del satélite en su órbita es: MT · ms 1 MT · ms MT · ms 1 ET = Ep + Ec = −G · + · G · = − · G · 2 2 R R R 1 5.67 10−11 N m2 kg−2 Unidad 2.8 · (6 370 · 103)2 g = G · 2 → MT = = = 5.67 · 10−11 · = −4.27 · 10−5)2 · 4. Campo gravitatorio: Introducción 35 .22 · 107 = 0.71 · 109 J 2 42. su velocidad angular será: 2·π 2·π 2·π T = → ω = = = 7. MT .b) El módulo de su aceleración normal. R. Teniendo en cuenta que la fuerza centrípeta que actúa sobre el satélite es la fuerza gravitatoria con que la Tierra lo atrae: F g = Fc → G ⋅ MT ⋅ ms R 2 = ms ⋅ v2 R →G⋅ MT ⋅ ms R 2 = ms ⋅ ω2 ⋅ R2 R →R= 3 G ⋅ MT ω2 La masa de la Tierra. ese es el valor de un período.67 · 10−11 RT G Por tanto. Dato: Radio de la Tierra. Determina: a) La velocidad con que debe impulsarse al astronauta para abandonar el asteroide. cuya densidad media es 2.27 · 10−5 rad · s−1 ω T 24 · 3 600 b) El módulo de su aceleración normal se calcula de acuerdo con la expresión: v 2 ω2 · R 2 aN = = = ω2 · R R R Para obtenerlo. el radio de la órbita y la aceleración normal son: R= 3 G ⋅ MT ω2 = 3 6.4 km de diámetro.2 g cm−3.2 · 106 39. necesitamos conocer el radio de la órbita del satélite. Por tanto. c) Su energía total. ¿Le será más fácil salir del asteroide? ¿Por qué? Dato: G = 6. 2 · 103 · · π · 3 2 3 13 kg Por tanto. RT = 6 370 km a) La velocidad orbital del satélite la calculamos como sigue: Fc = FG → m s ⋅ vs = v s2 2 ⋅ RT =G⋅ MT ⋅ ms (2 ⋅ RT ) 6. Campo gravitatorio: Introducción 36 . cuyo valor es: ve = 2 ⋅ G ⋅ M ast Rast A partir de la densidad del asteroide y de su diámetro. Calcula: a) La energía que hay que comunicar al satélite y la velocidad orbital de este. Datos: G = 6.98 1024 kg. c) La velocidad de escape es independiente de la masa del objeto que quiere escapar de la atracción del campo gravitatorio. 33 m ⋅ s −1 b) Como se ha indicado en el apartado anterior. 67 ⋅ 10 −11 ⋅ 5.a) La velocidad que permitirá al astronauta abandonar el asteroide es la velocidad de escape. 98 ⋅ 10 24 2 ⋅ 6. 4 m ⋅ s −1 La energía mecánica del satélite en su órbita es la suma de las energías cinética y potencial: MT · ms 1 E = Ep + Ec = −G · + · ms · v 2 = órb órb 2 2 · RT MT · ms 1 G · MT MT · ms 1 = −G · + · ms · = − · G · 2 2 2 · RT 2 · RT 2 · RT Unidad 2. b) La energía adicional que habría que aportar al satélite en órbita para que escape a la acción del campo gravitatorio terrestre. 2 ⋅ 10 3 = 1. 37 ⋅ 10 6 2 → vs = G ⋅ MT 2 ⋅ RT = 5595. esa velocidad se denomina velocidad de escape. la velocidad de escape resulta: ve = 2 ⋅ G ⋅ M ast Rast = 2 ⋅ 6. 40 Se desea situar un satélite artificial de 50 kg de masa en una órbita circular sobre el ecuador de modo que se mueva con un radio de giro igual al doble del terrestre. sin embargo. 59 ⋅ 10 13 1. si la masa aumenta 40 kg.59 · 10 4 2.67 10−11 N m2 kg−2 MT = 5. 67 ⋅ 10 −11 ⋅ 1. podemos calcular su masa: Mast 4 3 dast = → Mast = dast · Vast = dast · · π · R ast 3 Vast = 1.4 · 103 Mast = 2. será necesario comunicarle más energía para que alcance dicha velocidad. datos que facilita el enunciado del problema. a) Un satélite artificial es geoestacionario si su vector posición respecto al centro de la Tierra corta siempre a la superficie de esta en el mismo punto.98 · 1024 · 50 Ec = · 6. su período de revolución es de un día solar (24 horas). La órbita geoestacionaria se encuentra a cierta altura sobre el ecuador. Campo gravitatorio: Introducción 2⋅π⋅R v →v = 2⋅π⋅R T 37 . así como la energía cinética (ya que basta con que el satélite llegue “al infinito” con velocidad cero).81 m s−2. Ec . Un satélite artificial se dice geoestacionario si está siempre en la vertical de un cierto punto de la Tierra: a) ¿A qué altura están dichos satélites? b) ¿Qué momento cinético respecto al centro de la Tierra tiene un satélite geoestacionario si su masa es de 100 kg? c) ¿Por qué no puede haber un satélite geoestacionario en la vertical de las islas Baleares? Datos: g0 = 9.83 · 108 J 2 2 · 6 370 · 103 41. aplicando el principio de conservación de la energía: Ep + Ec = Ep 0 0 órb + Ec órb → Ec = Ep 0 órb + Ec órb − Ep 0 MT · ms MT · ms MT · ms 1 3 Ec = − · G · − −G · = · G · 0 2 4 2 · RT RT RT 3 5.98 · 1024 · 50 = · 6.Por otro lado. Por tanto: ms ⋅ v 2 Fc = F g → R = G ⋅ MT ⋅ ms R 2 →v = G ⋅ MT R Por otro lado: T = Unidad 2. la energía que posee en la superficie de la Tierra es: MT · ms Ep = −G · 0 RT A esta energía hay que añadirle cierta energía cinética. para que alcance la 0 órbita. La fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre él es la fuerza centrípeta que le obliga a orbitar en torno a ella.67 · 10−11 · = 7. Por tanto: Emec órb Ec + Ec adicional adicional = 0 → Ec adicional = − Emec órb MT · ms 1 = · G · 2 2 · RT 1 5. Por tanto.35 · 109 J 0 4 6 370 · 103 b) La energía cinética adicional que hay que aportar al satélite es aquella que haga que su energía potencial sea cero.67 · 10−11 · = 2. RT = 6 370 km. 37 · 106 = 3. Campo gravitatorio: Introducción 38 . v.07 · 103 m · s−1 v T 24 · 3 600 Por tanto: L = r · m · v = R · m · v = 4. obtenemos: 2⋅π⋅R T R= 3 = G ⋅ MT R G ⋅ MT ⋅ T 2 4 ⋅ π2 Si tenemos en cuenta. una órbita es geoestacionaria si su eje de giro coincide con el de la Tierra y su período es el mismo que el de esta.22 · 107 T = → v = = = 3. su momento angular permanecerá constante. 42.Igualando las expresiones anteriores.07 · 103 = 1. Al ser su trayectoria circular.30 · 1013 kg · m2 · s−1 c) En la vertical de las islas Baleares no puede haber un satélite geoestacionario.67 10−11 N m2 kg−2 RT = 6 370 km Unidad 2. y la necesaria para transferir este satélite a otra órbita de período T2 = 7 200 s.22 · 107 − 6. Por tanto: L=r·m·v El valor de la velocidad orbital del satélite. por tanto. potencial y total del satélite en la citada órbita. Datos: G = 6.22 · 107 · 100 · 3. el ángulo. es: 2·π·R 2 · π · R 2 · π · 4. será: h = R − RT = 4. 81 ⋅ (6 370 ⋅ 10 3 ) 2 ⋅ (24 ⋅ 3 600) 2 4 ⋅ π2 = 4. ya que estas no se encuentran en el ecuador. 22 ⋅ 10 7 m Por tanto. la altura a que se encuentran dichos satélites. además. que: G · MT → G · MT = g0 · R T2 g0 = R 2T Obtenemos. NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. al sustituir G · MT en la expresión anterior: R= 3 g 0 ⋅ RT2 ⋅ T 2 4 ⋅ π2 = 3 9. r r α.59 · 107 m b) El momento cinético o angular del satélite respecto al centro de la Tierra lo calculamos de acuerdo con la siguiente expresión: r r r r r L = r × p = r × (m · v ) → L = r · m · v · sen α El satélite está sometido a una fuerza central ejercida por la Tierra. determina: a) La velocidad del satélite en la órbita. Un satélite artificial de 100 kg de masa describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 500 km sobre su superficie. Si su período de revolución es T1 = 5 665 s. b) Las energías cinética. que forman r y v será de 90°. a) La velocidad de órbita del satélite la obtenemos como sigue: 2 · π · (RT + h) 2 · π · (6 370 · 103 + 500 · 103) v = = = 7 619,68 m · s−1 5 665 T b) La energía cinética del satélite en la órbita es: 1 1 Ec = · ms · v 2 = · 100 · 7 619,682 = 2,9 · 109 J 2 2 La energía potencial del satélite en la órbita la obtenemos a partir de la expresión: MT · ms Ep = −G · RT + h Teniendo en cuenta que: MT → G · MT = g0 · RT2 g0 = −G · RT2 Por tanto: g0 · RT2 · ms −9,81 · (6 370 · 103)2 · 100 = −5,79 · 109 J Ep = − = (6 370 + 500) · 103 RT + h La energía total del satélite en la órbita será la suma de sus energías cinética y potencial: E1 = Ec + Ep = 2,9 · 109 − 5,79 · 109 = −2,89 · 109 J El resultado negativo obtenido indica que el satélite está ligado a la Tierra. La energía necesaria para transferir el satélite a otra órbita de período T2 = 7 200 s la calculamos como se indica. En primer lugar, aplicando la tercera ley de Kepler, podemos obtener el radio de la nueva órbita: T22 T12 = 3 = R23 R13 = R23 ( RT + h) 3 → R2 = 3 7200 2 ⋅ [(6 370 + 500) ⋅ 10 3 ] 3 5 665 2 T22 ⋅ ( RT + h) 3 T12 = = 8, 06 ⋅ 10 6 m A partir de este dato, podemos calcular la velocidad en la nueva órbita, v2: 2 · π · R2 2 · π · R2 2 · π · 8,06 · 106 T2 = → v2 = = = 7 034,38 m · s−1 7 200 v2 T2 Por tanto, la energía total del satélite en esa nueva órbita será: G · MT · ms 1 g0 · RT2 · ms 1 2 2 E2 = Ec + Ep = · ms · v2 − = · ms · v2 − = 2 2 R2 R2 9,81 · (6 370 · 103)2 · 100 1 = −2,46 · 109 J = · 100 · 7 034,382 − 8,06 · 106 2 Finalmente, la energía necesaria para transferir el satélite de una órbita a otra será la diferencia entre las energías totales del satélite en cada una de ellas. Por tanto: ∆E = E2 − E1 = −2,46 · 109 − (−2,89 · 109) = 0,43 · 109 J NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. Unidad 2. Campo gravitatorio: Introducción 39 3 CAMPO GRAVITATORIO: GENERALIZACIÓN 3.1. CONCEPTO FÍSICO DE CAMPO 1. Cita dos ejemplos, al menos, de campo creado por una magnitud activa escalar y otros dos ejemplos de campo creado por una magnitud activa vectorial. Ejemplos de campos escalares: • Supongamos un corte transversal de un terreno. Es de esperar que existan diferentes materiales que, normalmente, estarán organizados por capas o estratos. Como cada material tiene distinta densidad, podemos definir un campo de densidades para dicho corte transversal. • En toda columna de fluido expuesto a la presión atmosférica (por ejemplo, en una presa), la presión aumenta a medida que aumenta la profundidad. Es posible, por tanto, asociar un campo de presiones, en función de la altura, para dicha columna de fluido. • El relieve de un terreno hace que cada punto tenga una altura diferente, medida generalmente a partir del nivel de altura del mar. Este campo de alturas es lo que se representa en los mapas topográficos, dando lugar a las curvas de nivel. Las curvas de nivel son las líneas isoescalares del correspondiente campo de alturas; es decir, las líneas formadas por los puntos situados a la misma altura. Ejemplos de campos vectoriales: • Supongamos un mecanismo móvil, tipo biela-manivela. Podemos definir un campo de aceleraciones para cada uno de los puntos que forman parte de los diferentes sólidos rígidos del mecanismo. • Imagina una viga empotrada en uno de sus extremos, con una carga puntual situada en su extremo libre. Dicha carga hace que el momento que soporta cada sección de viga vaya creciendo conforme nos alejamos del punto de aplicación de la carga y avanzamos hacia el extremo empotrado. Es decir, existe una distribución de momentos (esto es, un campo de momentos) a lo largo de la viga. • Toda carga eléctrica crea en sus proximidades un campo de fuerzas que tiende a atraer o a repeler las cargas que se sitúan cerca de ella. Este campo de fuerzas recibe el nombre de campo eléctrico. 2. En cada uno de los ejemplos anteriores, señala cuál es la magnitud activa. En los campos vectoriales, señala si son o no son campos de fuerzas. En los ejemplos de campos escalares, las magnitudes activas son la densidad, la presión y la altura, respectivamente. En el caso de los vectoriales son, respectivamente, la aceleración, los momentos y la fuerza eléctrica, que genera un campo de fuerzas. Unidad 3. Campo gravitatorio: Generalización 1 3.2. CAMPO GRAVITATORIO 1. Dibuja el vector intensidad del campo gravitatorio que crea en el origen un sistema de masas como el de la figura, teniendo en cuenta la dirección y el sentido que le corresponde. y (m) M3 = 10 kg M2 = 20 kg 2 1 M1 = 10 kg 0 1 2 x (m) 3 El vector intensidad de campo gravitatorio que corresponde a la distribución de masas indicada es el que se muestra en la ilustración: y (m) M3 = 10 kg M2 = 20 kg 2 g 1 g3 M1 = 10 kg g2 0 g1 1 2 x (m) 3 2. En la actividad anterior, calcula el vector intensidad de campo gravitatorio. Considera G = 6,67 10−11 en unidades del S.I. Para calcular analíticamente el vector intensidad del campo gravitatorio, aplicaremos el teorema de superposición. En la figura correspondiente a la actividad anterior hemos indicado los vectores unitarios en la dirección y el sentido del campo creado por cada una de las masas en el origen de coordenadas. Por tanto: M1 r M2 r M3 r r i=3 r g = ∑ gi = G ⋅ 2 ⋅ u1 + G ⋅ 2 ⋅ u2 + G ⋅ 2 ⋅ u 3 r1 r2 r3 i=1 siendo: r r r r 4 r 3 r r r r u1 = i ; u2 = ⋅ i + ⋅ j = 0, 8 ⋅ i + 0, 6 ⋅ j ; u 3 = j 5 5 Por tanto: M3 r M2 r M1 r r g = G ⋅ 2 ⋅ u1 + 2 ⋅ u2 + 2 ⋅ u 3 = r3 r2 r1 r r 10 10 r 20 = 6, 67 ⋅ 10 −11 ⋅ 2 ⋅ i + 2 (0, 8 ⋅ i + 0, 6 ⋅ j ) + 2 ⋅ 3 5 4 r r −10 −1 = 10 ⋅ (0, 84 ⋅ i + 1, 06 ⋅ j ) N ⋅ kg Unidad 3. Campo gravitatorio: Generalización r j = 2 3.3. INTENSIDAD DE CAMPO Y POTENCIAL 1. Considera el sistema físico propuesto en la primera actividad del epígrafe anterior. Calcula el potencial gravitatorio en el origen de coordenadas y en el punto medio del rectángulo que forma dicho punto y los tres puntos en que se sitúan las masas. Dado el carácter escalar del potencial gravitatorio, el que corresponde a un punto será la suma algebraica de los potenciales que crean cada una de las tres masas en dicho punto. Por tanto, en el origen: V0 = i=3 Mi i=1 ri ∑−G⋅ i=3 Mi i=1 ri = −G ⋅ ∑ V 0 = − 6, 67 ⋅ 10 −11 ⋅ = −G⋅ r M1 + 1 4 + 5 + 3 = 6, 56 ⋅ 10 10 20 10 M2 r2 −10 + M3 r3 J ⋅ kg −1 Y en el punto medio del rectángulo que indica el enunciado, teniendo en cuenta que la distancia de cada masa a ese punto es 2,5 m, obtenemos: V = − 6, 67 ⋅ 10 −11 ⋅ =− 6, 67 ⋅ 10 −11 2, 5 1 2, 5 ⋅ ( M1 + M2 + M 3 ) = ⋅ (10 + 20 + 10) = 1, 07 ⋅ 10 −9 J ⋅ kg −1 2. Dejamos libre, en el origen del sistema de coordenadas, una masa de 1 mg. Suponiendo que no existen rozamientos y que el plano XY es perfectamente horizontal, indica hacia dónde se moverá dicha masa (si se mueve). Justifica tu respuesta. La masa se moverá en la dirección y el sentido del vector intensidad de campo gravitatorio (calculado en la segunda actividad del epígrafe anterior). En particular, la masa estará sometida a una fuerza: r r r r r F = m ⋅ g → F = 1 ⋅ 10 −6 ⋅ 10 −10 ⋅ (0, 84 ⋅ i + 1, 06 ⋅ j ) = r r = 1 ⋅ 10 −16 ⋅ (0, 84 ⋅ i + 1, 06 ⋅ j ) N 3.4. ALGUNOS EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 1. ¿Existe algún punto en el que el potencial entre la Tierra y la Luna sea nulo? ¿Y la intensidad del campo gravitatorio? Como se aprecia en la gráfica de la página 72 del libro del alumno, el potencial entre la Tierra y la Luna es siempre negativo; no se anula nunca. En lo que respecta al campo gravitatorio, en primer lugar calculamos el campo gravitatorio creado por cada cuerpo en un punto cualquiera de la recta que une ambos cuerpos. Tomaremos como eje OX positivo la línea Tierra-Luna en el sentido TierraLuna. El origen del eje será el centro de la Tierra. Unidad 3. Campo gravitatorio: Generalización 3 De este modo, y teniendo en cuenta que la masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna y que la distancia que las separa es 3,84 · 108 m: 81 ⋅ M L r r gT = − G ⋅ ⋅ uTL X2 ; r gL = G ⋅ ML (L − X ) 2 r ⋅ uTL Si aplicamos el principio de superposición y sustituimos: 81 1 r r r gT + g L = − G ⋅ M L ⋅ − ⋅ uTL 2 8 2 X (3, 84 ⋅ 10 − X ) Al igualar a cero esta expresión, obtenemos una ecuación de segundo grado cuya incógnita es la distancia X medida respecto al centro de la Tierra, distancia a la cual el campo gravitatorio se anula: 80 · X 2 − 6,22 · 1010 · X + 1,194 · 1019 = 0 → X = 3,46 · 108 m 2. ¿Cada cuánto tiempo se produce una pleamar? ¿Y una bajamar? En cada giro de la Luna, que equivale a un día lunar, se producen dos pleamares y dos bajamares. Estos fenómenos se suceden cada poco más de seis horas, ya que el día lunar tiene una duración aproximada de 24 horas y 51 minutos. 3. Dibuja las posiciones del Sol y de la Luna respecto a un punto de la Tierra en los siguientes supuestos: a) Cuando se produce una marea viva. b) Cuando se produce una marea muerta. a) Las siguientes figuras muestran las posiciones relativas del Sol, la Tierra y la Luna cuando se produce una marea viva en situación de Luna nueva (izquierda) y de Luna llena (derecha): S L T S T L b) La marea muerta se produce cuando el Sol y la Luna atraen a la Tierra formando un ángulo recto entre sí, como se muestra en las siguientes figuras: L S T S T L Unidad 3. Campo gravitatorio: Generalización 4 ACTIVIDADES DE LA UNIDAD CUESTIONES 1. ¿Cuál de las figuras que siguen muestra cómo varía el potencial gravitatorio que crea una masa, M, en función de la distancia? a) b) V c) V r d) V r r e) V V r r La expresión del módulo del potencial gravitatorio creado por una masa puntual es: V (r ) = G ⋅ M r lo que indica que el potencial gravitatorio es inversamente proporcional a la distancia. Gráficamente, esto se representa con una hipérbola, según se muestra en la figura e). 2. Un objeto puntual P, de masa m, se encuentra en el interior del campo gravitatorio que crea otra masa, M. Dicho objeto se mueve con m.c.u., de radio R, alrededor de la masa M: P,m R M a) Calcula la energía que consume al dar una vuelta. b) Si el objeto estuviera inicialmente en reposo, ¿cómo se movería? Indícalo sobre la figura. a) El campo gravitatorio es un campo conservativo. En este tipo de campos, el trabajo que realiza la carga o la masa que se desplaza de un punto a otro no depende de la trayectoria, sino de las posiciones inicial y final. Como la partícula da una vuelta, las posiciones inicial y final coinciden, y, por tanto, Wciclo = 0. Teniendo en cuenta, además, que W = −∆Ep, la variación de energía será nula. La masa puntual no consume energía al dar una vuelta completa. Unidad 3. Campo gravitatorio: Generalización 5 b) Toda masa abandonada en el seno de un campo gravitatorio tiende a moverse en el sentido de potenciales decrecientes. Es decir, la masa m situada en el punto P se moverá perpendicularmente a las líneas equipotenciales, acercándose a la masa M. 3. Comenta la siguiente frase: “Dado un campo de fuerzas, siempre es posible encontrar una energía potencial asociada a él”. Dado un campo de fuerzas, solo podemos asociarle una energía potencial si el campo es conservativo. Por tanto, la afirmación que hace el enunciado de la cuestión es falsa. 4. Calcula el campo y el potencial gravitatorios que crean dos masas puntuales iguales, separadas 1 m entre sí, en el punto medio de la recta que las une. Expresa el resultado en función de G y m. Dos masas puntuales iguales crearán, en el punto medio de la recta que las une, campos del mismo valor y de sentido contrario; por tanto, se anulan: r r r r r g = g1 + g2 = 0 → g1 = − g2 El potencial es una magnitud escalar; por tanto, para obtenerlo sumamos algebraicamente el que crea cada masa: V1 = G ⋅ m m = V2 0, 5 G ⋅m V = V1 + V2 = 2 ⋅ = 4 ⋅G ⋅ m 0, 5 d =G⋅ 5. Describe cualitativamente el cambio de peso que sufre una nave espacial de masa m en su viaje de la Tierra a la Luna. Supón que la Tierra y la Luna están en reposo y que la nave se mueve siguiendo la dirección que une sus centros. En la trayectoria que sigue la nave espacial desde la Tierra hasta la Luna, está sometida a las fuerzas gravitatorias de ambas, como se indica en la siguiente ilustración: FL FT R d La fuerza total que actúa sobre la nave (su peso), si tomamos como origen del sistema de referencia el centro de la Tierra, es: r r MT ⋅ m ML ⋅ m r P = FG = − G ⋅ + G⋅ ⋅i N 2 d ( R − d )2 r donde el vector i apunta hacia el centro de la Luna. Unidad 3. Campo gravitatorio: Generalización 6 Cuando la nave se encuentra sobre la superficie terrestre, podemos considerar despreciable la atracción lunar sobre ella; por tanto, su peso será: r r MT ⋅ m r ⋅ i = −9, 81 ⋅ m ⋅ i N PTierra = −G ⋅ 2 RT A medida que la nave se aleja de la Tierra y se acerca a la Luna, la fuerza gravitatoria terrestre disminuye y aumenta la fuerza gravitatoria lunar sobre ella. En concreto, cuando se encuentra en la superficie de la Luna, su peso será: r r G ⋅ ML ⋅ m r ⋅ i = gL ⋅ m ⋅ i PLuna = 2 RL En este caso, el peso está dirigido hacia la Luna, donde hemos considerado despreciable la atracción terrestre. Por tanto, inicialmente, el peso de la nave en la Tierra vale 9,81 · m, dirigido hacia la Tierra; después va disminuyendo, hasta que en algún punto se anula (allí donde el campo gravitatorio creado por la Tierra y la Luna es nulo), y luego aumenta de nuevo, hasta que en la superficie lunar su valor es gL · m, dirigido hacia el centro de la Luna. 6. Dibuja las líneas del campo gravitatorio producido por dos masas puntuales iguales separadas una cierta distancia. a) ¿Existe algún punto donde la intensidad del campo gravitatorio sea nula? En caso afirmativo, indica dónde. b) ¿Existe algún punto donde el potencial gravitatorio sea nulo? En caso afirmativo, indica dónde. En la siguiente figura se representan las líneas de fuerza que solicita el enunciado: a) El campo gravitatorio que crea cada una de las masas es: m1 r r g 1 = −G ⋅ 2 ⋅ u1 r1 Unidad 3. Campo gravitatorio: Generalización ; m2 r r g 2 = −G ⋅ 2 ⋅ u2 r2 7 r r es decir. el período de un péndulo simple de 1 m de longitud es T = 4. 79 m ⋅ s −2 b) El valor de la velocidad de escape es: v e = 2 ⋅ g L ⋅ R L = 2 ⋅ 1. b) El potencial gravitatorio creado por cada una de las masas es: V1 = − G ⋅ m1 . Por tanto: −G ⋅ m1 r m2 r ⋅ u1 = G ⋅ 2 ⋅ u2 2 r1 r2 La igualdad anterior se cumplirá solo en el caso de que los vectores unitarios tengan la misma dirección y sentidos opuestos. Si el radio de la Luna es RL = 1 738 km: a) Determina la gravedad en la superficie lunar.7 s. 79 ⋅ 1 738 ⋅ 10 3 = 2 492. ha de cumplirse que: r12 = r22 → r1 = r2 El punto que cumple la condición es el punto medio de la recta que las une. En ese caso. EJERCICIOS 7. a) La expresión que permite calcular el período de un péndulo simple es: T =2⋅π⋅ l gL Por tanto: gL = 4 ⋅ π2 ⋅ l T2 = 4 ⋅ π2 ⋅ 1 4. Por tanto. 7 2 = 1. y no nulo. el potencial gravitatorio creado por ambas masas siempre es negativo. b) Determina la velocidad de escape en la superficie de la Luna. 4 m ⋅ s −1 Unidad 3. En la superficie de la Luna.r r El campo gravitatorio resultante será nulo en el punto en que: g 1 + g 2 = 0. resulta: G⋅ m1 m2 =G⋅ 2 1 r r22 Como las masas son iguales. teniendo en cuenta que ambas masas son iguales. obtenemos: G · m1 G · m2 1 1 V = V1 + V2 = − + − = −G · m · + r1 r2 r1 r2 De acuerdo con la expresión obtenida. r1 V2 = − G ⋅ m2 r2 El potencial total es la suma algebraica de los anteriores. g1 = − g2. Por tanto. sí existe un punto en el que la intensidad de campo gravitatorio se anula. Campo gravitatorio: Generalización 8 . la intensidad del campo gravitatorio es. en la Tierra. En cierta región del espacio existe exclusivamente un campo gravitatorio uniforme. WAC = m g h El trabajo del campo para conducir la masa de A a B es: WA→B = F · d = m · g · h · cos 90° = 0 dado que la fuerza (que tiene la misma dirección que el campo gravitatorio) y el desplazamiento son perpendiculares. si la masa que cuelga es m.8. ¿Qué masa. Por otra parte. Sabemos que. En la superficie de la Tierra. resulta ser: T=m·g En la Luna. aproximadamente. para conducir la masa de A a C: WA→C = F · d = m · g · h · cos 0° = m · g · h Observa que el signo del trabajo es positivo. ya que el vector desplazamiento y el vector campo gravitatorio tienen la misma dirección y sentido (el trabajo es realizado por las fuerzas del campo). Campo gravitatorio: Generalización 9 . 9. como se indica en la figura: B g A h C h Se traslada una masa desde el punto A hasta el punto B y otra igual del punto A al punto C. Unidad 3. que podrá soportar será la correspondiente al peso que ejerza la misma tensión que en la Tierra: T = m' · gL siendo gL la intensidad del campo gravitatorio en la superficie lunar. WAC = −m g h c) WAB = m g h . La respuesta correcta es la a). rompería ese mismo hilo en la Luna? Razona la respuesta. expresada en kilogramos. seis veces la existente en la superficie de la Luna. WAC = m g h b) WAB = 0 . La tensión máxima que soporta el hilo se corresponde con el peso máximo que dicho hilo puede soportar. un hilo se rompe si se le cuelga un objeto de 5 kg. respectivamente: a) WAB = 0 . Los trabajos realizados por el campo gravitatorio son. que. m'. WAC = m g h d) WAB = m g h . la masa. h << RT . que es el módulo de la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra. según se nos dice en el enunciado. Campo gravitatorio: Generalización 10 . mucho menor que el radio de esta. para un punto situado a una altura. ya que. podemos escribir: MT MT g0 g = G · 2 = G · = (RT + h) h 2 h 2 RT2 · 1 + 1 + RT RT Si desarrollamos el binomio de la expresión anterior. h. g. Calcula la gravedad. podemos establecer la igualdad: g= 1+ g0 2⋅h RT que es el resultado pedido. R. en función de la que existe en la superficie de la Tierra. NOTA: la resolución de este ejercicio se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. 11.Al igualar los segundos miembros de las expresiones anteriores. viene dada por la expresión: g0 = G ⋅ MT RT2 Para un punto próximo a la superficie de la Tierra. resulta: h 1 + RT 2 h h = 1 + 2 · + RT RT 2 En esta expresión podemos despreciar el término de segundo orden. Sustituyendo este resultado en la expresión anterior. La energía potencial que corresponde a una molécula viene dada por la expresión: b a − 6 U (x) = x12 x Unidad 3. La aceleración de la gravedad. resulta: g ·m gL T = m' · gL = m · g → m' = Si tenemos en cuenta que: g = 6 · gL → gL = g 6 obtenemos el valor de la mayor masa que puede soportar: m' = g ·m=6·m g/6 m' = 6 · 5 = 30 kg 10. En esta expresión. sino en otro paralelo a él. Si la densidad de ambos es la misma. ¿Para qué valores de x se anula U (x)? ¿Para qué valores de x pasa U (x) por un mínimo? La función se anulará en los puntos que cumplan U (x) = 0. a y b son dos constantes de valor positivo. no está contenida en el plano del ecuador. dirigida hacia el centro de la Tierra. ¿en cuál de los dos es mayor el peso de un mismo cuerpo? ¿Cómo afecta esto a la masa de un cuerpo? Unidad 3. resulta: 12 ⋅ a = 6 ⋅ b ⋅ x 6 → x = 6 2⋅a b 12. Un planeta tiene un radio que es tres veces mayor que el de otro. Ecuador RT La fuerza centrípeta que mantiene un satélite en órbita circular en torno a la Tierra es la fuerza gravitatoria que esta ejerce sobre él: r MT ⋅ ms r F = G⋅ ⋅ ur R2 La fuerza gravitatoria es una fuerza central. como la de la figura. 13. Por tanto: U (x ) = a x 12 − b x → 6 dU ( x ) dx =0=− 12 ⋅ a x 13 − 6⋅b x7 Resolviendo la ecuación. U (x ) = 0 → a x − 12 b x 6 = 0 → a = b ⋅ x6 → x = 6 a b Los extremos relativos (máximos y mínimos locales) de una función se dan para aquellos valores en los que la primera derivada se anula. la dirección de la fuerza gravitatoria (central) no coincidiría con la dirección de la fuerza centrípeta (que es perpendicular a la dirección del vector velocidad y cuyo sentido está dirigido hacia el centro de curvatura). lo que va en contra de las leyes que rigen el movimiento de los satélites artificiales en torno a la Tierra. Razona por qué es imposible que un satélite artificial describa en torno a la Tierra una órbita que. la distancia entre átomos. y x. Si un satélite describiera una órbita en un plano paralelo al que contiene el ecuador. Campo gravitatorio: Generalización 11 . NOTA: la resolución de este ejercicio se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. veamos la relación entre el campo gravitatorio en la superficie de cada uno: g1 g2 G⋅ = G⋅ M1 R12 M2 → g1 g2 = =3 1 M 1 R22 ⋅ 2 = 27 ⋅ 3 M 2 R1 2 R22 Es decir. RT = 6.34 1022 kg. PROBLEMAS 14 Un saltador de longitud consigue una marca de 9. es posible calcular la relación entre sus masas: 1= 3 M 1 R23 M R 3 (3 ⋅ R2 ) 33 ⋅ 3 → 1 = 13 = = = 27 3 M 2 R1 M 2 R2 1 R2 Para comprobar en qué planeta es mayor el peso. de forma que: g Tierra g Luna Unidad 3. Es una magnitud intrínseca y universal.38 106 kg ML = 7. no depende del lugar donde nos encontremos.98 1024 kg. RL = 1. aunque sus masas y radios son diferentes. suponiendo que la longitud del salto es inversamente proporcional a la gravedad? Datos: MT = 5. Con los datos que nos proporciona el enunciado podemos relacionar ambos campos gravitatorios.74 106 kg Se trata de hallar la relación entre los campos gravitatorios en las superficies de la Tierra y de la Luna. Esto nos lleva a: M V 4 / 3⋅π⋅R = = M M V 4 / 3 ⋅ π ⋅ R M1 1 d1 = d2 → 1 = d1 1 d2 3 1 2 2 2 = M 1 R23 ⋅ M 2 R13 3 2 A partir de la igualdad anterior.Sabemos que las densidades de los dos planetas son iguales. Recordemos que la masa de un cuerpo es la cantidad de materia de este. Este hecho no guarda influencia alguna sobre la masa del cuerpo. en el planeta 1 el peso de un cuerpo es tres veces superior que en el planeta 2. ¿Cuál sería la marca de ese mismo saltador en la superficie de la Luna. Campo gravitatorio: Generalización = G⋅ G⋅ M Tierra R 2 Tierra M Luna R 2 Luna 12 .20 metros. de 32 kg de masa. está situada sobre la superficie terrestre: a) ¿Cuál es su peso? b) ¿Cuál sería su peso si la masa de la Tierra se redujese a la mitad.673 10−11 U. calcula la energía potencial que posee dicho asteroide cuando lo situamos en ese punto.Si sustituimos cada término por su valor. 20 = 55. 38 ⋅ 10 6 ) 2 = 6. supuesta puntual. podremos despejar directamente la relación entre ambos campos: 5. Dato: La masa del asteroide es 109 kg. Campo gravitatorio: Generalización 13 . El campo gravitatorio creado por la Tierra en un punto alejado de ella cierta distancia viene dado por: MT r r g = − G ⋅ 2 ⋅ ur R donde R es la distancia del centro de la Tierra al asteroide.I. debido a la acción que ejerce sobre él el campo gravitatorio terrestre. resulta: 5. Antes de calcular la energía potencial. 74 ⋅ 10 6 ) 2 El enunciado nos indica que la distancia del salto es inversamente proporcional al campo gravitatorio de cada planeta. hemos de calcular el potencial gravitatorio: V = −G⋅ MT R = − 6. 673 ⋅ 10 −11 ⋅ (100 ⋅ 10 6 ) 2 16. sobre un asteroide situado a 100 000 km de ella. sin variar el radio? Unidad 3. 98 ⋅ 10 24 g Tierra g Luna = (6. 06 7. 98 ⋅ 10 24 100 ⋅ 10 6 = − 4 ⋅ 10 6 J ⋅ kg −1 La energía potencial tendrá un valor: Ep = masteroide · V = 109 · (− 4 · 106) = − 4 · 1015 J 17. De este modo. Dato: G = 6. Por tanto: g Tierra g Luna d Luna = g Tierra g Luna = d Luna d Tierra ⋅ d Tierra = 6. 673 ⋅ 10 −11 ⋅ 5. Una niña. 98 ⋅ 10 24 r r r ⋅ ur = − 4 ⋅ 10 −2 ⋅ ur N ⋅ kg −1 g = − 6. Calcula el campo que crea la Tierra. 06 ⋅ 9. 75 m 15. 34 ⋅ 10 22 (1. En el problema anterior. donde g es el campo gravitatorio en la superficie de la Tierra. en este caso: g′ g G⋅ = MT / 2 ( RT / 2 ) 2 = 2 → g′ = 2 ⋅ g MT G⋅ 2 RT el peso se duplicaría: P = m ⋅ g ′ = 32 ⋅ 2 ⋅ G ⋅ MT R 2 T = 64 ⋅ G ⋅ MT RT2 NOTA: la resolución de este ejercicio se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. 5 ⋅ G ⋅ MT RT2 MT = 16 ⋅ G ⋅ RT2 c) Procediendo del mismo modo que en el apartado anterior: g′ g G⋅ MT ( RT / 2 ) 2 = 4 → g′ = 4 ⋅ g MT G⋅ 2 RT = El peso sería ahora: P = m ⋅ g ′ = 32 ⋅ 4 ⋅ G ⋅ MT R 2 T MT = 128 ⋅ G ⋅ RT2 es decir. Campo gravitatorio: Generalización 14 . cuatro veces mayor. Unidad 3. sin variar la masa? d) ¿Cuál sería su peso si la masa y el radio de la Tierra se redujesen a la mitad? a) El peso de la niña será P = m · g. d) Por último. Expresado en función del radio y de la masa de la Tierra: P = m ⋅ g → P = 32 ⋅ G ⋅ MT RT2 b) Hablar de reducción del peso equivale a hablar de reducción de la intensidad del campo gravitatorio. 5 ⋅ g MT 2 G⋅ 2 RT = El peso sería ahora la mitad: P = m ⋅ g ′ = 32 ⋅ 0.c) ¿Cuál sería su peso si el radio de la Tierra se redujese a la mitad. pues ambas magnitudes son proporcionales. Por tanto: g′ g G⋅ MT 1 2 ⋅ RT2 = → g ′ = 0. 0) X 2 a) Calcula el trabajo realizado por la fuerza si la trayectoria es 1. a unas distancias x1 = 1 m y x2 = 2 m del centro del campo. 5 J 0 Como vemos. 5 J 0 b) Del mismo modo. Campo gravitatorio: Generalización 15 . 5 = −13. impulsada por una fuerza: F = 2 x i − 5 y j Y 1 B (3. para la trayectoria 2: W2 = ∫ (2 ⋅ x ⋅ dx − 5 ⋅ y ⋅ dy ) = W2 = 2 ⋅ x2 2 3 −5⋅ 0 y2 2 3 ∫0 2 ⋅ x ⋅ dx − ∫0 5 ⋅ y ⋅ dy + ∫3 2 ⋅ x ⋅ dx − ∫0 5 ⋅ y ⋅ dy 3 = 9 − 22. a) El trabajo necesario para desplazar la partícula se obtiene resolviendo la integral: r r W = ∫ F ⋅ dr = ∫ (2 ⋅ x ⋅ dx − 5 ⋅ y ⋅ dy ) para cada uno de los caminos especificados. calcula la diferencia de potencial que existe entre dos puntos situados. 5 = −13. respectivamente.3) 2 1 A (0. Para la trayectoria número 1: W1 = ∫ (2 ⋅ x ⋅ dx − 5 ⋅ y ⋅ dy ) = W1 = 2 ⋅ x2 2 3 − 5⋅ 0 y2 2 0 3 3 3 0 3 3 ∫0 2 ⋅ x ⋅ dx − ∫0 5 ⋅ y ⋅ dy + ∫0 2 ⋅ x ⋅ dx − ∫3 5 ⋅ y ⋅ dy 3 = 9 − 22. el trabajo es el mismo y no depende de la trayectoria. El potencial asociado a un campo de fuerzas se calcula a partir de la expresión: Unidad 3.18 Una partícula se mueve del punto A al punto B. 19. Dado el campo de fuerzas: 6 x2 − 4 = i A 2x en el que A se mide en newton cuando r se expresa en metros. b) Calcula el trabajo realizado por la fuerza si la trayectoria es 2. r r V = − ∫ F ⋅ dr Para hallar la diferencia de potencial entre ambos puntos, aplicamos la expresión que corresponde: ∆V = − 2 1 ∆V = − 3 ⋅ x2 2 6 · x2 − 4 · dx = − 2·x 2 1 2 3 · x − · dx x 2 + 2 ⋅ ln x 2 1 = −(6 − 1, 5) + 2 ⋅ (ln 2 − ln 1) = −3, 11 J 1 NOTA: la resolución de este ejercicio se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. 20 Determina el campo gravitatorio (módulo, dirección y sentido) resultante de los campos gravitatorios individuales de la Tierra y del Sol, en un punto situado en la recta que une la Tierra y el Sol, a una distancia de 4 105 km de la Tierra. Datos: G = 6,67 10−11 N m2 kg−2 MTierra = 5,98 1024 kg MSol = 1,99 1030 kg dTierra-Sol = 15 107 km Si tomamos como origen del sistema de referencia el centro de la Tierra, los campos gravitatorios que crean la Tierra y el Sol, respectivamente, son: gT = gS = G ⋅ MT 6, 67 ⋅ 10 −11 ⋅ 5, 98 ⋅ 10 24 = 2, 49 ⋅ 10 −3 m ⋅ s −2 ( 4 ⋅ 10 8 ) 2 6, 67 ⋅ 10 −11 ⋅ 1, 99 ⋅ 10 30 = 5, 93 ⋅ 10 −3 m ⋅ s −2 = − r )2 [(1500 − 4) ⋅ 10 8 ]2 = r2 G ⋅ MS (rT − S El campo gravitatorio total será la suma de ambos; como lo que hemos calculado son sus módulos, el módulo del campo gravitatorio total será su resta, y estará dirigido hacia el mayor; es decir, hacia el Sol, sobre la recta que une este con la Tierra. Por tanto: gtotal = gS − gT = 5,93 · 10−3 − 2,49 · 10−3 = 3,44 · 10−3 m · s−2 Unidad 3. Campo gravitatorio: Generalización 16 4 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 4.1. MOVIMIENTOS PERIÓDICOS 1. Conocido el período de rotación de la Luna alrededor de la Tierra, y sabiendo que la Luna no emite luz propia, sino que refleja la que recibe del Sol, explica las fases de la Luna y la periodicidad con que se producen. La Luna efectúa un giro a la Tierra cada 28 días, aproximadamente. Según la posición en que se encuentre respecto al Sol y la Tierra, la Luna puede interceptar o no los rayos de luz que proceden del Sol. En la posición 1 (véase la gráfica de la cuestión 2), la Luna intercepta la luz que recibe del Sol y la refleja, impidiendo que llegue a la Tierra. Debido a ello, la Luna no se verá; es la fase que denominamos luna nueva. En la figura de la siguiente cuestión están representadas las cuatro fases de la Luna. Las fases se representan cada cuarto de vuelta. Ello supone que, si el ciclo total es de 28 días, se produzca una fase cada semana. 2. ¿En qué sentido (horario o antihorario) gira la Luna en torno a la Tierra? Dedúcelo de la forma en que se suceden las fases lunares. Las fases se suceden del siguiente modo: luna nueva, cuarto creciente, luna llena y cuarto menguante. Partiremos de la posición de luna nueva (posición número 1). Para deducir el sentido de giro, recurrimos a la observación. En cuarto creciente, la Luna tiene forma de D. La posición de la figura que se corresponde con esa observación es la posición número 2. En ese instante, la Luna recibe la luz por el lado derecho, que es el que vemos iluminado. Por tanto, la Luna realiza un recorrido antihorario. 4 L L T S 3 L 1 L 2 3. Al colgar un objeto de 300 g de un muelle, se produce en este un alargamiento de 3,5 cm. Calcula su constante recuperadora. La fuerza que produce el alargamiento del muelle es el peso del objeto que se cuelga de él: P = m · g = 0,3 · 9,8 = 2,94 N Teniendo en cuenta la expresión que corresponde a la fuerza elástica recuperadora, dada por la ley de Hooke, despejando y sustituyendo los datos de que disponemos, obtenemos el valor de la constante recuperadora del resorte: P 2,94 F = −k · x = −P → k = = = 84 N · m−1 x 0,035 Unidad 4. Movimiento armónico simple 1 4. Confecciona un gráfico que muestre cómo varía la fuerza recuperadora del muelle anterior en función de la distancia para deformaciones que vayan de 0 a 6 cm. La fuerza recuperadora que ejerce el muelle, de acuerdo con la ley de Hooke, es: F = −k · x Esta fuerza es de sentido contrario a la que ejerce la masa que cuelga de él, y tiene su mismo valor. Su representación gráfica es una recta, como se muestra a continuación: _2 F (.10 N) 1 2 3 4 5 6 _2 x (.10 m) –100 –200 –300 –400 –500 4.2. ESTUDIO CINEMÁTICO DEL M.A.S. 1. Un cuerpo oscila con m.a.s. de acuerdo con la ecuación: π x = 3 · sen 10 · π · t + 2 en la que todas las magnitudes se expresan en unidades S.I.: a) Calcula la amplitud, la frecuencia angular y la fase inicial del movimiento. b) Escribe las ecuaciones de la velocidad y la aceleración del movimiento. c) Calcula la elongación, la velocidad y la aceleración en el instante t = 2 s. a) La ecuación de un m.a.s. es la siguiente: x = A · sen (ω · t + ϕ) donde: A = amplitud t = tiempo ω = frecuencia angular ; ; ϕ = fase inicial Si identificamos términos con la ecuación del enunciado: x = 3 ⋅ sen 10 ⋅ π ⋅ t + Unidad 4. Movimiento armónico simple π 2 2 las magnitudes características del movimiento del cuerpo resultan: A=3m ; ω = 10 · π rad · s−1 ; ϕ = π/2 rad Teniendo en cuenta la relación entre la frecuencia angular y el período, podemos obtener también este último: ω= 2⋅π 2⋅π 2⋅π →T = = = 0, 2 s T ω 10 ⋅ π b) Como hemos visto en el apartado anterior, la expresión que permite calcular la elongación es: π x = 3 ⋅ sen 10 ⋅ π ⋅ t + 2 Derivando respecto al tiempo, obtenemos las ecuaciones de la velocidad y la aceleración: v= dx π = 30 ⋅ π ⋅ cos 10 ⋅ π ⋅ t + dt 2 a= dv π = −300 ⋅ π 2 ⋅ sen 10 ⋅ π ⋅ t + dt 2 c) Para el instante t = 2 s, los valores de la elongación, la velocidad y la aceleración son: π x = 3 ⋅ sen 10 ⋅ π ⋅ 2 + = 3 ⋅ 1 = 3 m 2 π v = 30 ⋅ π ⋅ cos 10 ⋅ π ⋅ 2 + = 0 m ⋅ s −1 2 π a = −300 ⋅ π 2 ⋅ sen 10 ⋅ π ⋅ 2 + = −300 ⋅ π 2 m ⋅ s −2 2 2. Una partícula se mueve con m.a.s. En el instante inicial se encuentra a 10 cm de la posición de equilibrio, siendo su velocidad nula. Si el período del movimiento es 10 s, escribe las ecuaciones que le corresponden para la elongación, la velocidad y la aceleración. Las ecuaciones generales de la posición, la velocidad y la aceleración en un m.a.s. son: x = A · sen (ω · t + ϕ) v = A · ω · cos (ω · t + ϕ) a = −A · ω2 · sen (ω · t + ϕ) En el instante inicial, la velocidad es nula (v = 0). Por tanto: v (0) = A ⋅ ω ⋅ cos ϕ = 0 → cos ϕ = 0 → ϕ = π 2 Por otra parte, del dato del período podemos obtener la frecuencia angular: ω= Unidad 4. Movimiento armónico simple 2⋅π 2⋅π = = 0, 2 ⋅ π rad ⋅ s −1 T 10 3 La amplitud del movimiento la obtenemos teniendo en cuenta que en el instante inicial la elongación es de 10 cm: π x (0) = A ⋅ sen 0 + = 0, 1 → A = 0, 1 m 2 Conocidos los valores de la amplitud, la frecuencia angular y la fase inicial, podemos escribir las ecuaciones de la elongación, la velocidad y la aceleración: π x = A ⋅ sen (ω ⋅ t + ϕ ) → x = 0, 1 ⋅ sen 0, 2 ⋅ π ⋅ t + 2 π v = A ⋅ ω ⋅ cos (ω ⋅ t + ϕ ) → v = 0, 02 ⋅ π ⋅ cos 0, 2 ⋅ π ⋅ t + 2 π a = − A ⋅ ω 2 ⋅ sen (ω ⋅ t + ϕ ) → a = −4 ⋅ 10 −3 ⋅ π 2 ⋅ sen 0, 2 ⋅ π ⋅ t + 2 3. La elongación de un m.a.s. viene dada por la ecuación x = 25 · sen (4 · t). En esta expresión, x viene dada en mm si t se expresa en s. Indica la amplitud, la frecuencia y el período del movimiento. Escribe las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración y calcula los valores máximos de ambas magnitudes. La ecuación general de un m.a.s. es la siguiente: x = A · sen (ω · t + ϕ) donde: A = amplitud ω = frecuencia angular ; t = tiempo ; ϕ = fase inicial Si identificamos términos con la ecuación del enunciado: x = 25 · sen (4 · t) resulta: A = 25 mm ; ω = 4 rad · s−1 ; ϕ = 0 rad El período está relacionado con la frecuencia angular: 2·π 2·π 2·π ω = → T = = = 1,57 s T ω 4 Derivando respecto al tiempo, obtenemos las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración: v = 100 · cos (4 · t) a = −400 · sen (4 · t) La velocidad máxima se obtiene cuando cos (4 · t) = 1, siendo su valor: vmáx = 100 mm/s y la aceleración máxima, cuando sen (4 · t) = −1: amáx = 400 mm/s2 Unidad 4. Movimiento armónico simple 4 4.3. DETERMINACIÓN DEL PERÍODO DE UN M.A.S. 1. Calcula las expresiones que permiten calcular la velocidad y la aceleración con que se mueve un cuerpo que oscila unido al extremo de un muelle. La ecuación de la posición para el muelle que oscila es: k x = A ⋅ sen ⋅ t + θ0 m Al derivar respecto al tiempo, obtenemos las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración: v = A⋅ k k ⋅ cos ⋅ t + θ0 m m a = −A ⋅ k k ⋅ sen ⋅ t + θ0 m m 2. Calcula el período con que oscila un péndulo de 1 m de longitud en un lugar en el que la aceleración de la gravedad es 9,8 m · s−2. El período de oscilación del péndulo lo podemos calcular a partir de la siguiente expresión: T =2⋅π⋅ l g Por tanto: T =2⋅π⋅ 1 =2 s 9, 8 3. Calcula la longitud de un péndulo cuyo período de oscilación es (2,31 ± 0,01) s, si oscila en un lugar de la Tierra en el que g = (9,806 ± 0,001) m · s−2. Expresa el resultado con todas sus cifras significativas. NOTA: Consulta en el CD los contenidos relacionados con cálculo de errores, que estudiaste el curso pasado. El período de oscilación de un péndulo es: T =2⋅π⋅ l g Despejando, la longitud del péndulo será: l= T 2 ⋅ g 2, 312 ⋅ 9, 806 = = 1, 325428 m 4 ⋅ π2 4 ⋅ π2 Para calcular el valor que daremos como bueno, tenemos en cuenta los criterios de error vistos el curso pasado. Unidad 4. Movimiento armónico simple 5 De ese modo, al tratarse de una medida indirecta, resulta: ∆l ∆T ∆g =2⋅ + l T g ∆T ∆g + ∆l = l ⋅ 2 ⋅ T g 0, 01 0, 001 ∆l = 1, 325428 ⋅ 2 ⋅ + 2, 31 9, 806 ∆l = 0, 0116 m Como imprecisión del período y de la aceleración de la gravedad hemos considerado una unidad de la última cifra significativa en cada caso, y para el número “pi” hemos supuesto un valor exacto, entendiendo por exacto el valor que proporciona la calculadora con todos los dígitos que ofrece. De acuerdo con las normas que ya conocemos, la longitud se expresará en la forma: l = 1,33 ± 0,01 m 4.4. ENERGÍA ASOCIADA A UN M.A.S. 1. Una masa de 200 g está suspendida de un muelle. Debido a ello, este se deforma 4 cm. A continuación, separamos el muelle 10 cm de la posición de equilibrio y lo dejamos en libertad. En esas condiciones, calcula la frecuencia, la frecuencia angular y la amplitud del m.a.s. que describe la masa. La frecuencia angular del sistema será su frecuencia propia, dada por: ω= k m Sabemos que, al colocar una masa de 200 g, el muelle se estira 4 cm. Eso nos permite calcular la constante elástica, ya que la fuerza elástica recuperadora, dada por la ley de Hooke, es igual y opuesta al peso del cuerpo: F = −k ⋅ x = − P → k = P m ⋅ g 0, 2 ⋅ 9, 8 = = = 49 N ⋅ m −1 x x 0, 04 Por tanto, la frecuencia angular (o propia) del sistema resulta: ω= k = m 49 = 15, 65 rad ⋅ s −1 0, 2 siendo la frecuencia: ω =2⋅π⋅ f → f = ω 15, 65 = = 2, 49 Hz 2⋅π 2⋅π La amplitud del movimiento es de 10 cm. Unidad 4. Movimiento armónico simple 6 2. Calcula la elongación para la que, en un oscilador armónico de amplitud A, la energía cinética y la energía potencial elástica son iguales. Supongamos una masa m, puntual, suspendida de un muelle sin masa. De acuerdo con el enunciado: 1 ⋅ k ⋅ x2 m 1 1 2 → ⋅ k ⋅ x2 = ⋅ m ⋅ v2 → x = ± v ⋅ 1 k 2 2 Ec = ⋅ m ⋅ v 2 2 Ep = e m 3. Un muelle de 10 cm de longitud requiere un trabajo exterior de 20 J para comprimirlo hasta 8 cm. Calcula su constante elástica. A partir de la expresión del trabajo realizado al comprimir el muelle: 1 2·W W = · k · x2 → k = 2 x2 Sustituyendo los datos de que disponemos, se obtiene: 2 · 20 = 4 000 N · m−1 k = 0,12 AMPLIACIÓN DE CONTENIDOS. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SIMPLES 1. De acuerdo con lo expuesto en este apartado de ampliación de contenidos, señala cómo será el movimiento armónico simple resultante si los dos movimientos que interfieren: a) Son de igual fase. b) Son de igual fase y amplitud. c) Están en oposición de fase. d) Están en oposición de fase y tienen la misma amplitud. e) Están en cuadratura de fase. f) Están en cuadratura de fase y tienen la misma amplitud. En todos los casos, el m.a.s. resultante será de la misma frecuencia que los dos movimientos que se superponen si estos son de igual frecuencia. Estudiaremos lo que sucede con la amplitud y la fase del m.a.s. resultante. a) Movimientos de igual fase. En este caso, la amplitud resulta: A12 + A22 + 2 ⋅ A1 ⋅ A2 ⋅ cos (θ 1 − θ 2 ) → θ1 = θ2 = θ AR = → AR = Unidad 4. Movimiento armónico simple A12 + A22 + 2 ⋅ A1 ⋅ A2 ⋅ cos 0 = ( A1 + A2 ) 2 7 la amplitud del movimiento resultante es: AR = A12 + A22 + 2 ⋅ A1 ⋅ A2 ⋅ cos π → → AR = A12 + A22 − 2 ⋅ A1 ⋅ A2 = ( A1 − A2 ) 2 Por tanto: AR = A1 − A2 Como vemos. si: θ2 = θ1 + π. la amplitud resulta: A12 + A22 + 2 ⋅ A1 ⋅ A2 ⋅ cos (θ 1 − θ 2 ) → Si θ 1 = θ 2 = θ y A1 = A2 = A AR = → AR = A 2 + A 2 + 2 ⋅ A ⋅ A ⋅ cos 0 = 4 ⋅ A2 = 2 ⋅ A La amplitud resultante es igual a la suma de las amplitudes de los dos movimientos.Por tanto: AR = ( A1 + A2 ) 2 = A1 + A2 La amplitud resultante es la suma de las amplitudes. En cuanto a la fase: tg Φ = A1 ⋅ sen θ + A2 ⋅ sen θ sen θ = = tg θ → Φ = θ A1 ⋅ cos θ + A2 ⋅ cos θ cos θ La fase del movimiento resultante coincide con la fase de los movimientos que dan lugar a él. c) Movimientos en oposición de fase. Movimiento armónico simple A1 ⋅ sen θ 1 − A2 ⋅ sen θ 1 = tg θ 1 → Φ = θ 1 A1 ⋅ cos θ 1 − A2 ⋅ cos θ 1 8 . es decir. En cuanto a la fase: tg Φ = A1 ⋅ sen θ 1 + A2 ⋅ sen θ 2 A1 ⋅ cos θ 1 + A2 ⋅ cos θ 2 tg Φ = A1 ⋅ sen θ 1 + A2 ⋅ sen (θ 1 + π ) = A1 ⋅ cos θ 1 + A2 ⋅ cos (θ 1 + π ) = Unidad 4. En este caso. En cuanto a la fase: tg Φ = A ⋅ sen θ + A ⋅ sen θ sen θ = = tg θ → Φ = θ A ⋅ cos θ + A ⋅ cos θ cos θ La fase del movimiento resultante coincide con la fase de los movimientos que dan lugar a él. Dos movimientos se encuentran en oposición de fase si sus fases iniciales difieren en “pi” radianes. b) Movimientos de igual fase y amplitud. Teniendo en cuenta lo anterior. la amplitud resultante es la diferencia de amplitudes. el desfase también lo será. Decimos que dos movimientos se encuentran en cuadratura de fase si sus fases iniciales cumplen la relación: θ2 = θ1 + π/2. La amplitud es nula. Movimiento armónico simple A2 A1 A2 ⋅ tg θ 1 A1 → tg Φ = 1 + tg θ 1 1 − tg θ 1 9 . Como el movimiento es nulo. aplicando igualmente que A1 = A2 = A: tg θ 1 + tg Φ = 1− Unidad 4. Valiéndonos de los cálculos anteriores. resulta para la amplitud: AR = A12 + A22 + 2 ⋅ A1 ⋅ A2 ⋅ cos ( π/2) → → AR = A12 + A22 Como A1 = A2 = A: AR = A12 + A22 = 2 ⋅ A 2 = 2 ⋅ A Mientras que para la fase. Teniendo en cuenta lo anterior. e) Movimientos en cuadratura de fase. la amplitud del movimiento resultante es: AR = A12 + A22 + 2 ⋅ A1 ⋅ A2 ⋅ cos ( π/2) → → AR = A12 + A22 En cuanto a la fase inicial del movimiento resultante: tg Φ = A1 ⋅ sen θ 1 + A2 ⋅ sen θ 2 A1 ⋅ cos θ 1 + A2 ⋅ cos θ 2 π A1 ⋅ sen θ 1 + A2 ⋅ sen θ 1 + 2 tg Φ = π A1 ⋅ cos θ 1 + A2 ⋅ cos θ 1 + 2 tg Φ = A1 ⋅ sen θ 1 + A2 ⋅ cos θ 1 = A1 ⋅ cos θ 1 − A2 ⋅ sen θ 1 tg θ 1 + 1− A2 A1 A2 ⋅ tg θ 1 A1 f) Movimientos en cuadratura de fase e igual amplitud. AR = 0. La interferencia es total y el movimiento nulo.d) Movimientos en oposición de fase y con igual amplitud. Valiéndonos de lo expuesto para el caso anterior: AR = A12 + A22 + 2 ⋅ A1 ⋅ A2 ⋅ cos π → → AR = A12 + A22 − 2 ⋅ A1 ⋅ A2 = ( A1 − A2 ) 2 Al ser A1 = A2. ACTIVIDADES DE LA UNIDAD CUESTIONES 1. positivo (sen (ω · t + θ0) = +1) o negativo (sen (ω · t + θ0) = −1). cos (ω · t + θ0) = 0. ya que en ellos se cumple que sen (2 · π · f · t + θ0) = 0. Al cabo de un período completo. la aceleración es máxima: x = −A → a = A · 2 · π2 · f 2 Unidad 4. el valor de la elongación y de la aceleración es cero. en esos instantes la partícula se encontrará en los puntos de amplitud máxima: x=A . vmín = A · 2 · π · f Estos valores se dan cuando cos (2 · π · f · t + θ0) = 1 o cos (2 · π · f · t + θ0) = −1. la aceleración es mínima: x = A → a = −A · 2 · π2 · f 2 y cuando la elongación es mínima. x = −A 3. En esos instantes. su desplazamiento. será nulo. respectivamente. Con esta información. ¿podemos conocer su posición en esos instantes? Las expresiones que corresponden. 2. sen (ω · t + θ0) alcanza un valor máximo. En consecuencia. Del mismo modo. Movimiento armónico simple 10 . respectivamente: x = A · sen (2 · π · f · t + θ0) v = A · 2 · π · f · cos (2 · π · f · t + θ0) a = −A · 4 · π2 · f 2 · sen (2 · π · f · t + θ0) Los valores máximo y mínimo de la velocidad son: vmáx = A · 2 · π · f . Señala cuál será el desplazamiento de una partícula que se mueve efectuando un movimiento armónico simple al cabo de un período completo. a la posición y a la velocidad en un movimiento armónico simple son: x = A · sen (ω · t + θ0) v = A · ω · cos (ω · t + θ0) Observa que. Sabemos que la velocidad de una partícula que describe un movimiento armónico simple es nula en ciertos instantes. cuando su velocidad es máxima? ¿Y cuando su elongación es máxima? Las ecuaciones que corresponden a la posición. de amplitud A y frecuencia f. en los instantes en que la velocidad se anula. la velocidad y la aceleración de un oscilador armónico de amplitud A y frecuencia f son. y. ¿Qué valor toma la aceleración de un oscilador armónico. que es una magnitud vectorial. por tanto. la partícula se encontrará de nuevo en la misma posición. cuando la elongación es máxima. por tanto. El movimiento armónico simple es un movimiento periódico. es decir.s. en un m. c) La partícula está en el punto D. las respuestas a los casos que propone el enunciado son las siguientes (en ellas.. los sentidos que corresponden a la elongación y a la aceleración siempre son opuestos. de camino hacia O. El siguiente esquema representa un movimiento armónico simple: A B O C D Señala si son positivos. En la siguiente figura se representa la posición. d) La partícula pasa por O y se dirige hacia A. Movimiento armónico simple 11 . e) La partícula está en A. debemos tener en cuenta que.4. negativos o nulos los valores de la elongación. la letra A designa el valor máximo de la elongación. f) La partícula pasa por B. la amplitud del movimiento). En primer lugar. la velocidad y la aceleración que corresponden a una partícula que efectúa una oscilación completa: a v A B O C D C O B A x De acuerdo con ella. b) La partícula se encuentra en C y se desplaza hacia O. a) x = 0 d) x = 0 v>0 v<0 a=0 a=0 b) x > 0 e) x = −A < 0 v<0 v=0 a<0 a > 0 (valor máximo) c) x = A > 0 f) x < 0 v=0 v>0 a < 0 (valor mínimo) a>0 Unidad 4. la velocidad y la aceleración de la partícula que describe dicho movimiento en los siguientes casos: a) La partícula se encuentra en O y se desplaza hacia D.a. Sabiendo que la masa del muelle es 100 g. d) A la frecuencia. 6. la energía es proporcional: a) Al ángulo de fase. obtenemos la constante elástica del muelle: ω= k → k = ω 2 ⋅ m = 30 2 ⋅ 0. A partir de la expresión de la frecuencia propia del sistema. calcula su constante elástica. Por tanto. ¿cómo varía su energía? La energía de un oscilador armónico simple se puede expresar del siguiente modo: Em = 1 ⋅ k ⋅ A2 2 Si se duplica la amplitud: E 'm = 1 1 ⋅ k ⋅ (2 ⋅ A ) 2 = 4 ⋅ ⋅ k ⋅ A 2 = 4 ⋅ E 'm 2 2 Por tanto. Movimiento armónico simple T 2 ⋅ g 2 2 ⋅ 9.5. al duplicar la amplitud. Un muelle vibra con una frecuencia angular de 30 rad · s−1. es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia de vibración.s.s. Si se duplica la amplitud de un oscilador armónico simple. obtenemos el siguiente resultado: T =2⋅π⋅ Unidad 4.a. 8 l = 0. Calcula la longitud del hilo del que cuelga la masa en un péndulo simple cuyo período es 2 segundos. la energía se multiplica por cuatro. La expresión de la energía mecánica de un m. Aplicando directamente la expresión que permite calcular el período para un péndulo simple.a. EJERCICIOS 7. 1 = 90 N ⋅ m −1 m 8. la energía de un m. b) A la amplitud. c) Al cuadrado de la amplitud. En un movimiento armónico simple. es: Em = 1 1 1 4 ⋅ π2 2 ⋅ π2 ⋅ m ⋅ k ⋅ A2 = ⋅ m ⋅ ω 2 ⋅ A2 = ⋅ m ⋅ ⋅ A2 = ⋅ A2 = 2 ⋅ π2 ⋅ m ⋅ f 2 ⋅ A2 2 2 2 2 T T2 Como se puede apreciar en la expresión anterior. 993 m = →l = g 4 ⋅ π2 4 ⋅ π2 12 . la respuesta correcta es la c). Si tomamos el valor de 9. Calcula el período de las oscilaciones cuando se agrega una masa m2 a dicho resorte. Un péndulo formado por un hilo inextensible. 8 = = 0. este realiza oscilaciones con movimiento armónico simple. la frecuencia) es independiente de la amplitud. Dos objetos. sino de su longitud y del valor de la aceleración de la gravedad. m1. tiene un período de 2 segundos. la longitud del péndulo será: l g T =2⋅π⋅ l= T 2 ⋅ g 2 2 ⋅ 9. por tanto. m2. Movimiento armónico simple 13 . No obstante. 993 m 4 ⋅ π2 4 ⋅ π2 10. Cuando una masa. se encuentran unidos a sendos muelles. de la misma masa. Unidad 4. podemos calcular la constante elástica del resorte: T0 = 2 ⋅ π ⋅ m1 4 ⋅ π 2 ⋅ m1 →k= k T02 El muelle sigue siendo el mismo. de período T0. el período queda en la forma: T1 = 2 ⋅ π ⋅ m1 + m2 4 ⋅ π ⋅ m1 T02 2 = T0 ⋅ m1 + m2 m = T0 ⋅ 1 + 2 m1 m1 11. Calcula la longitud del péndulo. del que cuelga una masa de 400 g. Se estiran a la vez. Como en el caso que propone el enunciado tanto la masa como el muelle son iguales. con lo que el período pasa a ser: T1 = 2 ⋅ π ⋅ m1 + m2 k Si sustituimos la constante del muelle por su valor y simplificamos la expresión resultante. los dos objetos alcanzarán a la vez la posición de equilibrio. ¿Cuál de los dos objetos alcanzará primero la posición de equilibrio? El período de oscilación de una partícula ligada a un muelle cuando este oscila libremente es: T =2⋅π⋅ m k Por tanto. en un movimiento armónico simple. y se dejan en libertad. Partiendo del primer dato. El período de un péndulo no depende de la masa que cuelga de él. ahora se le añade una segunda masa. el período (y. el primero 10 cm y el segundo 5 cm.8 m/s2 para la aceleración de la gravedad. cuelga del extremo inferior de un resorte vertical. en consecuencia.9. idénticos. el dato de la masa es innecesario. se puede determinar con precisión el valor de la aceleración de la gravedad.12. y R.g M k. Podemos despejar el valor de la aceleración de la gravedad de la expresión que permite calcular el período de oscilación de un péndulo simple: T = 2⋅π⋅ Unidad 4. Diseña una experiencia que permita calcular dicho valor.x El período será. k es la constante elástica del muelle. T T a T M M. el radio de la polea. En el esquema de la figura. Movimiento armónico simple 4 ⋅ π2 ⋅l l →g = T2 g 14 . Si consideramos despreciable el efecto de rotación de la polea. por tanto: T =2⋅π⋅ M k 13. la masa M se encuentra en la posición de equilibrio. Ten en cuenta los criterios que debes seguir al realizar una experiencia práctica. R k M Calcula el período de las oscilaciones que realizará al desplazar ligeramente la masa M de dicha posición. Variando la longitud de un péndulo simple y midiendo el período de oscilación que corresponde a dicha longitud. el dispositivo es similar a un muelle ideal que separamos de su posición de equilibrio. • Realizamos varias mediciones para distintas longitudes del hilo. la hipótesis que nos ha llevado a obtener el resultado no es válida. v = cos (ω · t + θ0) A·ω Si elevamos al cuadrado ambas expresiones y las sumamos. 14. puede determinarse de manera indirecta como se indica a continuación. Es conveniente realizar la experiencia en un lugar cerrado. dejamos oscilar el péndulo y. • Enganchamos el péndulo a un punto fijo (por ejemplo. Comprueba que en un movimiento armónico simple la relación entre la velocidad y la posición viene dada por la expresión: v 2 = ω 2 · (A2 − x2) La expresión que permite calcular la elongación o posición en un m. Es preferible que la bola sea pequeña y de densidad elevada para que interaccione poco con el aire y se disminuya al máximo el rozamiento. obtendremos diversos valores para la gravedad. La expresión: π · t) x = 0.a. Se pide: Unidad 4.s. • Tras aplicar la fórmula para cada longitud. Diseño de la experiencia: • Enganchamos un hilo fino a una bola. tras realizar una o dos oscilaciones. sin corrientes de aire. Para ello. el segundo miembro será igual a la unidad: v2 x2 2 + =1 2 A A · ω2 de donde resulta. al despejar: ω 2 ⋅ x 2 + v 2 = A2 ⋅ ω 2 → v 2 = ω 2 ⋅ ( A2 − x 2 ) 15. Movimiento armónico simple 15 .Teniendo en cuenta que la aceleración de la gravedad depende únicamente de la longitud del hilo y del período de la oscilación. medimos el tiempo que tarda en realizar diez oscilaciones. describe el movimiento de una partícula. de lo contrario. • Medimos el período de las oscilaciones. el techo). • Separamos la bola de la vertical un ángulo pequeño (menor de 5°).2 · sen (π en la que x se mide en metros si t se mide en segundos. la imprecisión en la medida del tiempo que tarda en realizarse una oscilación disminuye de forma apreciable. es: x = A · sen (ω · t + θ0) siendo la de la velocidad: v = A · ω · cos (ω · t + θ0) Por tanto: x = sen (ω · t + θ0) A . De ese modo. al menos. Como valor de la gravedad tomaremos el valor medio de todos ellos. a) La amplitud. ϕ=0 A partir de la relación que existe entre la frecuencia angular y el período. De ese modo: dx v = = 0. c) Completa una tabla como la que se adjunta: t x v a 0 T/4 T/2 3 T/4 T 5 T/4 3 T/2 7 T/4 2T d) Haz la representación gráfica de las ecuaciones x = f (t). la fase inicial. obtenemos este último: 2·π 2·π 2·π ω = → T = = = 2 s T ω π Por tanto.2 · π2 · sen(π · t) dt Unidad 4. t. b) Obtén las ecuaciones v = f (t ) y a = f (t ). v = f (t) y a = f (t). y ϕ. la frecuencia angular. la frecuencia y la frecuencia angular que corresponden al movimiento. la frecuencia.5 Hz f T 2 b) Las ecuaciones que corresponden a la velocidad y a la aceleración del movimiento las obtenemos derivando la ecuación de la posición respecto al tiempo. Utiliza para ello los valores de la tabla anterior.2 · π · cos(π · t) dt dv a = = −0.2 m . a) La ecuación de un m. el período.el tiempo. que es la inversa del período. ω = π rad · s−1 .s.2 · sen (π · t) resulta: A = 0. es la siguiente: x = A · sen (ω · t + ϕ) donde: A es amplitud. Si identificamos términos con la ecuación del enunciado: x = 0. ω. Movimiento armónico simple 16 .a. es: 1 1 1 T = → f = = = 0. T t (s) PROBLEMAS 16.63 0.97 3 T/2 0 −0. Los datos que proporciona el enunciado del problema son: A = 0.97 T 0 0.63 0 3 T/4 −0.63 0 5 T/4 0.97 0. Movimiento armónico simple 17 .2 2.63 0 T/4 0.5 cm = 5 · 10−3 m f = 15 Hz A partir de la frecuencia. Una partícula oscila con movimiento armónico simple de amplitud 0.2 0 1.63 0 7 T/4 −0.c) La tabla que solicita el enunciado es la siguiente: t x v a 0 0 0.T T t (s) T 2. podemos calcular la frecuencia angular del movimiento armónico simple: ω = 2 · π · f = 2 · π · 15 = 30 · π · rad · s−1 Unidad 4.5 cm y 15 Hz de frecuencia.97 2T 0 0.T t (s) T 2.63 0 d) La representación gráfica de los valores de la tabla anterior es: a (m/s2) v (m/s) x (m) 1.97 T/2 0 −0. Calcula la velocidad y la elongación al cabo de un segundo de comenzar el movimiento.2 0 −1.2 0 1.2 0 −1. son: 1 1 T = = = 0. x se mide en metros si t se expresa en segundos. x se expresa en metros si t se expresa en segundos. siendo este: amáx = 8 · 10−3 · 9002 · π2 = 63 955. respecto al tiempo.002 s f 450 ω = 2 · π · f = 2 · π · 450 = 900 · π · rad · s−1 La expresión que proporciona la posición en un m. es: x = A · sen (ω · t · 0 ) Considerando nula la fase inicial.a. es: x = A · sen (ω · t + ϕ0) Si consideramos la fase inicial nula.La ecuación de la posición de una partícula que describe un m.47 m · s−1 a (t = 1 s) = 302 · π2 · 5 · 10−3 · sen (30 · π · 1) = 0 17.s. obtenemos las expresiones que corresponden a la velocidad y a la aceleración de la partícula: v = 30 · π · 5 · 10−3 · cos (30 · π · t) a = −302 · π2 · 5 · 10−3 · sen (30 · π · t) Al cabo de un segundo de iniciarse el movimiento. la ecuación de la posición es: x = 8 · 10−3 · sen (900 · π · t) En esta expresión.s. Si derivamos la expresión anterior respecto al tiempo. de nuevo. Al derivarla respecto al tiempo.a. Calcula el valor máximo de la aceleración de un m. Movimiento armónico simple 18 .a. 0 = 0. Los datos de que disponemos son: A = 8 mm = 8 · 10−3 m f = 450 Hz El período y la frecuencia angular del m.s. la ecuación que representa el movimiento de la partícula es: x = 5 · 10−3 · sen (30 · π · t) En ella. cuya amplitud es 8 mm y cuya frecuencia es 450 Hz.a. obtenemos la ecuación de la aceleración: a = −8 · 10−3 · 9002 · π2 · sen (900 · π · t) cuyo valor máximo se obtiene cuando sen (900 · π · t) = −1.s. obtenemos la ecuación de la velocidad: v = 8 · 10−3 · 900 · π · cos (900 · π · t) Al derivar esta última.04 m · s−2 Unidad 4. los valores de la elongación. de la velocidad y de la aceleración son: x (t = 1 s) = 5 · 10−3 · sen (30 · π · 1) = 0 v (t = 1 s) = 30 · π · 5 · 10−3 · cos (30 · π · 1) = 5 · 10−3 · 30 · π = 0. Si a continuación se estira hasta 5 cm y se deja oscilar libremente el sistema. 5 c) El período de las oscilaciones se calcula a partir de su relación con la frecuencia angular: ω= 2⋅π 2⋅π 2⋅π →T = = = 0. c) El período de las oscilaciones que efectúa la masa. 26 rad ⋅ s −1 1.25 · 9.035 Unidad 4. la frecuencia angular del sistema se obtiene de forma inmediata: ω= k = m 500 = 18.18. 344 s T ω 18. a) La figura nos proporciona información suficiente para deducir la constante elástica del muelle. F(N) 50 5 10 1 ∆ x (cm) Del muelle cuelga una masa de 1.5 cm. b) Escribe la ecuación del movimiento armónico simple que describe el objeto. a partir de la ley de Hooke:: P m · g 0. Movimiento armónico simple 19 . Al colocar un objeto de 250 g suspendido de un resorte se produce un alargamiento de 3. Calcula: a) La constante elástica del muelle.5 kg. este describe un movimiento armónico simple: a) Calcula la fuerza recuperadora que ejerce el resorte. el muelle se separa 8 cm de la posición de equilibrio. En efecto. El comportamiento elástico de un muelle es el que se indica en la figura. En cierto instante. b) La frecuencia angular. ya que: F = k ⋅ ∆x → k = ∆F 50 − 5 = = 500 N ⋅ m −1 ∆( ∆x ) (10 − 1) ⋅ 10 −2 b) Conocida la constante elástica. comenzando a oscilar. a) La constante elástica del resorte es la relación entre la fuerza aplicada (el peso del objeto) y el alargamiento producido. 25 19.8 Fe = k · x = P → k = = = = 70 N · m−1 x x 0. 4 vmáx Con el dato de la frecuencia angular obtenemos fácilmente el período y la frecuencia del movimiento: ω =2⋅π⋅ f 1.4 m · s−1. Dicho péndulo se mueve con movimiento armónico simple.5 rad · s−1 A · ω 0.5 cm = 1. son: vmáx = A · ω .5 · 10−2 m ya que la posición de equilibrio está situada a 3. Una partícula se mueve con movimiento armónico simple. 5 ⋅ 10 −2 ⋅ sen ⋅ t 0. 5 ω = = 0. determina el período y la frecuencia del movimiento. La ecuación del movimiento que le corresponde es: y = cos (20 · π · t) Determina la ecuación de la velocidad y de la aceleración en cualquier instante. Un péndulo está formado por un hilo inextensible del que cuelga una masa de 100 g.a. v = 0.Cuando el muelle se estira hasta 5 cm. b) La ecuación general de la elongación de una masa sujeta al extremo de un muelle puede escribirse en la forma: k x = A ⋅ sen ⋅ t + θ0 m En el caso del movimiento que describe el enunciado. amáx = A · ω2 Dividiendo entre sí ambas expresiones: amáx A · ω2 0.. es: 70 x = 1. la amplitud es: A = 5 cm − 3.s. 25 20. 19 s → f = f =1/T 2⋅π 2⋅π NOTA: La resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. Si consideramos la fase inicial nula. y su aceleración máxima. Unidad 4. Teniendo en cuenta estos datos.5 cm de la longitud en reposo del muelle. Movimiento armónico simple 20 . 21.6 = = ω → ω = = 1. la ecuación del movimiento. θ0 = 0.6 m · s−2.I. según una línea recta.5 N El signo negativo indica que la fuerza recuperadora es de sentido contrario a la elongación. Del movimiento de la partícula se conoce su velocidad máxima. Las expresiones que permiten calcular el valor absoluto de la velocidad máxima y de la aceleración máxima en un m. a = 0.5 cm = 1. 239 Hz → T = 4.05 = −3. expresada en unidades del S. la fuerza recuperadora que este ejerce es: Fe = −k · x = −70 · 0. Por tanto: 64 4 · ω2 + 64 4 2 + = 1 → = 1 → 4 · ω2 − A2 · ω2 + 64 = 0 A2 · ω2 A A2 · ω2 [1] De manera similar. FE DE ERRATAS DEL LIBRO DEL ALUMNO: el segundo valor de la velocidad que aparece en el enunciado debe estar expresado en cm · s−1. no en m · s−1. c) La amplitud de la vibración.a.s. podemos escribir.s.a.La ecuación de la velocidad y la de la aceleración las obtenemos derivando. obtenemos el valor de la frecuencia angular: 32 ⋅ ω 2 − 55 = 0 → ω = Unidad 4. el miembro de la derecha es igual a la unidad. para el instante de tiempo t2 podemos escribir lo siguiente: 6 = A ⋅ sen (ω ⋅ t 2 ) → 3 = A ⋅ ω ⋅ cos (ω ⋅ t 2 ) 6 A = sen (ω ⋅ t 2 ) 3 = cos (ω ⋅ t ) 2 A ⋅ ω Elevando ambas expresiones al cuadrado y operando. b) El período y la frecuencia del movimiento. Movimiento armónico simple 55 = 1. se obtiene: 36 9 36 · ω2 + 9 2 + = 1 → = 1 → 36 · ω2 − A2 · ω2 + 9 = 0 A A2 · ω2 A2 · ω2 [2] Si restamos la expresión [1] de la [2] y despejamos ω. En el punto x = 2 cm lleva una velocidad de 8 cm · s−1 y en el punto x = 6 cm lleva una velocidad de 3 cm · s−1. Calcula: a) La frecuencia angular. son: x = A · sen (ω · t + θ0) . a) Las expresiones generales de la posición y de la velocidad de una partícula que efectúa un m. Una partícula se mueve a lo largo de una recta con m. 31 rad ⋅ s −1 32 21 . la ecuación de la posición proporcionada por el enunciado: dy v = = −20 · π · sen (20 · π · t) dt dv a = = −202 · π2 · cos (20 · π · t) dt 22. respecto al tiempo. para el primer instante de tiempo. θ0 = 0. v = A · ω · cos (ω · t + θ0) Si consideramos la fase inicial nula. t1: 2 = A ⋅ sen (ω ⋅ t 1 ) → 8 = A ⋅ ω ⋅ cos (ω ⋅ t 1 ) 2 A = sen (ω ⋅ t 1 ) 8 = cos (ω ⋅ t ) 1 A ⋅ ω Si elevamos las dos expresiones al cuadrado y las sumamos. 21 Hz 2·π 2·π El período del movimiento será: 1 1 T = = = 4. el muelle se ha contraído 10 cm respecto a su longitud natural. debido al peso del cuerpo. Movimiento armónico simple 22 . 23 Una masa de 5 kg se coloca sobre un resorte situado en posición vertical y lo comprime 10 cm. No obstante. el muelle se separa de dicha posición de equilibrio hasta que la elongación máxima respecto a su longitud natural es de 20 cm. Tras esto.42 m 1. se obtiene: 4 · ω2 + 64 4 · ω2 − A2 · ω2 + 64 = 0 → A2 = ω2 4 ⋅ ω 2 + 64 = ω2 A= 4 ⋅ 1. hasta que comprime el muelle 20 cm. la amplitud es máxima. el sistema queda en libertad. Calcula: a) La constante elástica del muelle.79 s f 0.a. 635 s k 490 c) En el instante en que se inicia el movimiento. 8 = = = 490 N ⋅ m −1 x x 0. Este dato permite calcular la fase inicial: x = A ⋅ sen (ω ⋅ t + ϕ ) π → sen ϕ = 1 → ϕ = x (0) = A ⋅ sen (ω ⋅ 0 + ϕ ) = A 2 Unidad 4. la amplitud del movimiento será: A = 20 − 10 = 10 cm Por otra parte. 312 Por tanto. 312 + 64 = 6. Por tanto. 1 b) El sistema está en equilibrio cuando. c) La posición y la velocidad de la partícula en cualquier instante.b) Teniendo en cuenta que: ω 1. La masa es impulsada hacia abajo.31 · t) En ella. el período de las oscilaciones resulta: T =2⋅π⋅ m 5 =2⋅π⋅ = 0.31 ω = 2 · π · f → f = = = 0. b) La amplitud y el período de las oscilaciones. si partimos de la ecuación [1].s. la ecuación general del m.21 c) La amplitud de la vibración la podemos obtener directamente a partir de las expresiones [1] o [2]. que efectúa la partícula es: x = 6. la posición se expresa en centímetros si el tiempo se expresa en segundos. Por ejemplo. a) La constante elástica del resorte es la relación entre fuerza aplicada y alargamiento: F = k⋅x →k = F m ⋅ g 5 ⋅ 9.42 · sen (1. 9 ⋅ t + 2 24. a) La ecuación general de posición de un m. la energía potencial de la masa en función del tiempo es: 1 Ep = · m · (6 · π)2 · 12 · sen2 (6 · π · t + π) 2 Ep = 18 · π2 · m · sen2 (6 · π · t + π) J Unidad 4. resulta: ω= 2⋅π 2⋅π = = 9. 9 ⋅ t + 2 π v = 0. 9 rad ⋅ s −1 T 0. la frecuencia y el período de las oscilaciones. tiene por expresión: x = A · sen (ω · t + ϕ) Identificando los parámetros de la ecuación general con la ecuación del problema. 33 s . 1 ⋅ sen 9. estamos en condiciones de determinar las ecuaciones que proporcionan la posición y la velocidad en cada instante: π x = 0. 635 Conocidas la fase inicial y la frecuencia. con que se mueve un objeto viene dada por: y = sen (6 · π · t + π) Calcula: a) La amplitud. d) La energía total de la masa en cualquier instante. es inmediato obtener el período y la frecuencia: 2⋅ π T → T = 2 ⋅ π = 2 ⋅ π = 1 = 0. Movimiento armónico simple 23 . b) La energía potencial de la masa en cualquier instante. la amplitud resulta: A=1m La frecuencia angular es. f = 1 = 3 Hz 1 ω 6⋅π 3 T f = T ω= b) La expresión que proporciona la energía potencial en un movimiento armónico simple es: 1 Ep = · m · ω2 · A2 · sen2 (ω · t + ϕ) 2 En nuestro caso. c) La energía cinética de la masa en cualquier instante. 99 ⋅ cos 9. La ecuación del m.s.a.En cuanto a la frecuencia angular del movimiento. por comparación con la ecuación general: ω = 6 · π rad · s−1 Conocido este valor.a.s. 154 s k 10 La frecuencia es la inversa del período. x. 006 =2⋅π⋅ = 0. sobre el eje X alrededor del origen. como ha sido separada 5 cm.a. a razón de 10 N · m−1. el período y la frecuencia del movimiento que describe. Si existe una fuerza que atrae la partícula hacia el centro.5 Hz T 0. La amplitud de este movimiento armónico simple son los 5 cm de separación iniciales: A = 5 cm La fuerza a la que está sometida la partícula es proporcional a la distancia y de sentido contrario (m.c) Para la energía cinética obtenemos: 1 Ec = · m · ω2 · A2 · cos2 (ω · t + ϕ) 2 1 Ec = · m · (6 · π)2 · 12 · cos2 (6 · π · t + π) 2 Ec = 18 · π2 · m · cos2 (6 · π · t + π) J d) La energía total es la suma de la energía cinética más la energía potencial: E = Ep + Ec E = 18 · π2 · m · [sen2 (6 · π · t + π) + cos2 (6 · π · t + π)] E = 18 · π2 · m J NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado.5 · 105 N · m−1 está comprimido 6 cm.s. La energía potencial que almacena el muelle cuando está comprimido una distancia x es: 1 Ep = · k · x 2 2 Unidad 4. describe un m. obteniendo el resultado que se indica: T =2⋅π⋅ m 0. por tanto: 1 1 f = = = 6. Una partícula de 6 g de masa se mueve a lo largo del eje X. ha almacenado cierta energía y.).a. fruto de ello. No obstante. es decir: F = −k ⋅ x −1 → k = 10 N ⋅ m F = − 10 ⋅ x Para calcular el período del movimiento. actúa sobre un cuerpo cuya masa es de 250 g. es diez veces su distancia. Calcula la velocidad que le comunica. 25. respecto al origen.s. atraída hacia el origen con una fuerza que. Si la partícula parte del reposo en la posición x = 5 cm. Movimiento armónico simple 24 .154 26 Un muelle de constante elástica 3. sustituimos en la expresión que sigue. en newton. calcula la amplitud. esta debería mantenerse siempre en el origen. Al soltarlo y llegar a su posición de equilibrio. 175 b) Cuando actúa una fuerza de rozamiento. la velocidad que alcanzará la masa será: Ec = 1 ⋅m ⋅v2 → v = 2 2 ⋅ Ec = m 2 ⋅ 630 = 71 m ⋅ s -1 0. la energía potencial que acumula en esta situación es: 1 1 Ep = · k · x 2 = · 3 500 · (3 · 10−2)2 = 1. Si la longitud natural del muelle es 8 cm y cuando está comprimido mide 5 cm. Por tanto. que se encuentra en la posición de equilibrio. Su constante elástica es 2 500 N · m−1. Sabemos que su longitud natural es 8 cm. una parte de la energía potencial elástica inicial debe emplearse en vencer esta fuerza de rozamiento: Epmáx + Wroz = Ec Unidad 4. a) En ausencia de rozamientos. b) Cuando actúa una fuerza de rozamiento constante de 56 N. la contracción que experimenta es de 3 cm. 07 ⋅ 2500 = 8. lleva unido un objeto de 175 g y está comprimido 7 cm respecto a su longitud natural. Un muelle.Por tanto: 1 Ep = · 3. Calcula la energía potencial elástica acumulada en un muelle de constante elástica 3 500 N · m−1 en el instante en que está comprimido y mide 5 cm.5 · 105 · (6 · 10−2)2 = 630 J 2 Si consideramos el sistema libre de rozamientos. 250 27. Movimiento armónico simple 25 . esa energía potencial le será comunicada a la masa. Calcula la velocidad que llevará el objeto cuando pase por el punto de equilibrio: a) En ausencia de rozamientos. Por tanto. la energía potencial elástica del muelle en el estado de máxima elongación se transforma en energía cinética cuando pasa por el punto de equilibrio: Epmáx = Ecmáx Por tanto: 1 1 · k · x 2 = · m · v 2 2 2 Despejando: v2 = k ⋅ x2 k →v = x⋅ m m v = 0.575 J 2 2 28. en forma de energía cinética. situado en un plano horizontal. 37 m ⋅ s −1 0. El balance energético podemos expresarlo como: 1 Epot.Por tanto: 1 1 · k · x 2 − Froz · x = · m · v 2 2 2 Despejando y sustituyendo valores. R=1m k Cuando llega al final. Movimiento armónico simple m 5 =2⋅π⋅ = 7. NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. 07 2 − ⋅ 0. que está en lo alto del plano. llega hasta el muelle. b) El período de las oscilaciones que describe el muelle al ser golpeado. llegando a comprimirlo 5 cm. Calcula: a) La constante elástica del resorte. golpea el resorte. 175 0. resulta: 2 · m · g · R 2 · 5 · 9. gravitatoria = Epot.052 b) Suponiendo que la masa del muelle es despreciable frente a la de 5 kg. transmite toda la energía potencial que tenía arriba en forma de energía potencial gravitatoria. sin rozamiento. el período de las oscilaciones se calcula directamente a partir de la expresión: T =2⋅π⋅ Unidad 4. que no se dobla. 02 m ⋅ s −1 0. la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento hace disminuir la velocidad del objeto. a) Cuando la bola. 1 ⋅ 10 −2 s k 39200 26 . la velocidad del objeto resulta: v2 = 2 ⋅ Froz k ⋅ x2 − ⋅x →v = m m 2 ⋅ Froz k ⋅ x2 − ⋅x m m v= 2500 2 ⋅ 56 ⋅ 0. elástica → m · g · R = · k · x 2 2 Si despejamos la constante elástica del resorte. 07 = 5.8 · 1 = = 39 200 N · m−1 k = x2 0. 175 Como vemos. 29 Una masa de 5 kg comienza a caer. y que esta queda “pegada” al resorte. por el plano de la figura. c) La velocidad máxima. a) La constante elástica se puede determinar a partir de la masa y de la frecuencia angular del sistema: ω= k → k = ω 2 ⋅ m = 15 2 ⋅ 0. Por tanto.a.30. 1 ⋅ sen 80 ⋅ π ⋅ t + 2 Si derivamos la ecuación de la posición respecto al tiempo. b) La energía potencial que almacena. Si la amplitud con que se mueve vale 6 cm. calcula la ecuación de la posición. 06 2 ⋅ 15 2 = 0. La ecuación de la posición de un m. la ecuación de la velocidad y la ecuación de la aceleración del movimiento. Si su frecuencia de vibración es 40 Hz.. que es la que ocupa cuando se encuentra en reposo. 3 ⋅ 0. En el instante inicial se encuentra a 10 cm de su posición de equilibrio. es: x = A · sen (ω · t + ϕ) Los 10 cm de separación. calcula: a) La constante elástica. 3 = 67.a. siendo su frecuencia angular 15 rad/s. si en t = 0 se encuentra en su máxima elongación: π x(0) = A · sen (ω · 0 + ϕ) = A → sen ϕ = 1 → ϕ = 2 Por otra parte. que se alcanza en los puntos en los que la elongación es máxima y la energía cinética es nula. Unidad 4. Una partícula se mueve con movimiento armónico simple. 5 N ⋅ m −1 m b) En un m.s. Un cuerpo de 300 g se mueve con movimiento armónico simple.s.. obtenemos: a= dv = −640 ⋅ π 2 ⋅ sen dt π 80 ⋅ π ⋅ t + 2 31.a. respecto al reposo.s. obtenemos la de la velocidad: v= dx π = 8 ⋅ π ⋅ cos 80 ⋅ π ⋅ t + dt 2 Derivando la expresión anterior. 12 J 2 2 Este valor coincide con la energía potencial máxima de un m. recuerda que: ω = 2 · π · f = 2 · π · 40 = 80 · π rad · s−1 Por tanto: π x = 0. la energía mecánica viene dada por: E = Ec + E p = 1 1 ⋅ m ⋅ A 2 ⋅ ω 2 → E = ⋅ 0. son la amplitud del movimiento. Movimiento armónico simple 27 . 23 rad ⋅ s −1 T 0. Movimiento armónico simple 28 . aproximadamente.06 · 15 = 0. 700 kg de masa. que es el peso de los paquetes: P m · g 50 · 9. Por tanto: vmáx = A · ω vmáx = 0. Calcula: a) La constante elástica de los muelles amortiguadores del coche. 492 ω= Unidad 4.004 b) Al quitar las maletas.8 F = −k · x = −P → k = = = = 122 500 N · m−1 x x 0. Ello hace que descienda el centro de gravedad del vehículo 0. 492 s 122 500 d) De la relación entre el período y la frecuencia angular deducimos el valor de esta última para cada uno de los casos analizados en el problema: 2⋅π 2⋅π = = 13. d) La frecuencia angular del movimiento armónico en ambos casos.s. Por tanto: T =2⋅π⋅ m coche k T =2⋅π⋅ 700 = 0. 78 rad ⋅ s −1 T' 0. la masa que vibra es mayor.c) La ecuación de la velocidad en un m. el coseno valdrá 1. es: v = A · ω · cos (ω · t + ϕ) Cuando la velocidad sea máxima. el período resulta: T' = 2 ⋅ π ⋅ m coche + mmaleta k T' = 2 ⋅ π ⋅ 700 + 50 = 0. 475 s 122 500 c) En el caso contrario. 32. de. la masa que permanece vibrando es solo la del automóvil. c) El período de vibración cuando los paquetes están dentro del coche. Una persona carga el maletero de un coche con 50 kg de paquetes.4 cm.9 m · s−1 NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. al añadir las maletas. Como no nos dan la masa del coche. En ese caso. a) La constante elástica de los muelles se obtiene sustituyendo en la expresión de la ley de Hooke el valor de la fuerza que comprime los amortiguadores.a. 475 2⋅π 2⋅π ω' = = = 12. b) El período de vibración si se retiran los paquetes del automóvil. supondremos que se trata de un utilitario pequeño. De este modo. Teniendo en cuenta la longitud del péndulo. 8 2⋅π 2⋅π = = 3.a. de 0. en primer lugar.5 → 0. la frecuencia angular del movimiento: T =2⋅π⋅ ω= l 0. sabiendo que su amplitud es 5 cm.1 π 1 → 80 · π · t = → t = s 6 6 · 80 Si derivamos la ecuación de la posición y sustituimos.33. necesitamos conocer la frecuencia angular.16 · t) m · s−1 NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado.16 · t + 0) = 0.1 m de amplitud y 40 Hz de frecuencia. medida desde su posición de equilibrio.16 · cos (3.1 · sen (80 · π · t) = 0. 34.005 m. y la longitud del péndulo.158 · cos (3.a. Para determinar la posición. obtenemos la velocidad de la partícula en función del tiempo: v (t) = A · ω · cos (ω · t) → v (t) = 8 · π · cos (80 · π · t) Unidad 4. pues no se indica nada al respecto. Movimiento armónico simple 29 . correspondiente.98 m. 987 Sabemos que la ecuación general de la velocidad de un m.05 x(t) = 0.05 m.a. 16 rad ⋅ s −1 T 1. Una partícula se mueve con un m.05 → sen (80 · π · t) = = 0.05 · 3. suponiendo la fase inicial nula (no se indica nada al respecto) e identificando componentes: v = 0. Calcula la expresión que proporciona la velocidad del m. 0.s. resulta: 0. que se obtiene a partir de la frecuencia: ω = 2 ⋅ π ⋅ f = 2 ⋅ π ⋅ 40 = 80 ⋅ π rad ⋅ s −1 La fase inicial la supondremos nula. Si despejamos de la ecuación de la elongación.1 · sen (80 · π · t) Para calcular la velocidad de la partícula. 98 =2⋅π⋅ = 1. l es su longitud. 987 s g 9. resulta: x = A · sen (ω · t) = 0. el intante en que ocupa la posición x = 0.s. podemos calcular el período y.s. en consecuencia. Calcula la velocidad de dicha partícula cuando pasa por la posición x = 0. La expresión que permite calcular el período del péndulo simple es: T = 2⋅π⋅ l g En dicha expresión. hemos de saber. es: v = A · ω · cos (ω · t + ϕ) Luego. siendo x la distancia desde la posición de equilibrio. de la que deducimos las magnitudes que nos piden: F = −k ⋅ x → k = ω= k →ω= m F x = 20 N ⋅ m -1 20 = 10 rad ⋅ s −1 0.01 60.2 · 0.1 J 2 2 36.12 · 102 = 0. actúa una fuerza elástica F = −20 · x.03 40. Con los datos anteriores.01 16.a.01 24.00 0. Movimiento armónico simple Masa (g) Período (s) 10. el movimiento que describe la masa es armónico simple. confecciona un gráfica que muestre cómo varía el período. m. desconocida.00 0. hemos colgado de un muelle de constante k.03 30.07 30 . Para comprobarlo.68 0. Si colgamos una masa. b) La energía que posee la partícula. que describe la partícula.05 m.00 0. 592 Hz f = = T 0.38 0.00 0.01 14. Desplazamos la partícula 10 cm de dicha posición de equilibrio y la dejamos en libertad. Calcula: a) La frecuencia angular.01 25.s.00 0.34 0. 2 m 0.01 22.00 0. a) La expresión de la ley de Hooke proporciona la constante elástica. 2 ⋅ π = 0. ¿Qué forma tiene la curva? ¿Podemos obtener alguna conclusión? Unidad 4. 2 =2⋅π⋅ = 0. en función de la masa suspendida del muelle. Haciendo oscilar el conjunto.03 0. de un muelle de constante elástica k y hacemos oscilar verticalmente el sistema que se forma. 77 m ⋅ s −1 6 35 Sobre una partícula.00 0. de 200 g de masa.En el instante en que la partícula se encuentra en x = 0.01 0.45 0.00 0.57 0. el período y la frecuencia del m.01 26. 628 T =2⋅π⋅ b) La energía mecánica de la partícula es: 1 1 E = Ec + Ep = · m · A2 · ω2 = · 0.05 50. un masa variable.04 70. los períodos obtenidos han sido los reflejados en la tabla de la derecha. su velocidad es: 1 1 vt = = 8 ⋅ π ⋅ cos 80 ⋅ π ⋅ = 6 ⋅ 80 6 ⋅ 80 π = 8 ⋅ π ⋅ cos = 4 ⋅ π ⋅ 3 = 21.03 20. 628 s k 20 1 1 = 1.01 18.03 80.81 0.01 20. Unidad 4. Justifica el proceso analítico que sigues. mayor es el período de las oscilaciones. la relación entre ambas magnitudes no es lineal. Movimiento armónico simple 31 . obtenemos: T (s) 25 20 15 10 5 10 20 30 40 50 60 70 80 m (g) En la gráfica se puede observar que cuanto mayor es la masa que cuelga. La masa es. ¿Encuentras ahora alguna relación? Calcula. la pendiente de la curva no es constante. si lo necesitas. el valor que corresponde a la constante elástica del muelle y el error con que viene afectado dicho valor. directamente proporcional al cuadrado del período. La gráfica que muestra la relación entre la masa y el cuadrado del período es la siguiente: T 2(s2) 700 600 500 400 300 200 100 10 20 30 40 50 60 70 80 m (g) En ella vemos que la relación entre ambas magnitudes es lineal. con los datos anteriores. Al representar en una gráfica los resultados que se muestran en la tabla. el apéndice sobre cálculo de errores que se incluye en el CD. Sin embargo. NOTA: Consulta. por tanto.Confecciona otra gráfica que muestre la relación que existe entre la masa y el cuadrado del período. a. 8 = = 7 602. Unidad 4. podemos calcular la constante elástica del muelle: cte = 4 ⋅ π2 4 ⋅ π2 4 ⋅ π2 →k= = = 5.s. 9 − 196. 19 ⋅ 10 −3 N ⋅ m −1 cte k 7 602. su valor puede variar ligeramente. 5 NOTA: Dependiendo del par de puntos que hayamos tomado para calcular la pendiente..En un m. La realización del cálculo de errores correspondiente se puede hacer si el profesor o profesora lo estima procedente. haciéndolo también el valor que asignamos a la constante elástica del muelle. el período y la masa están relacionados por medio de la expresión: T =2⋅π⋅ m k Si en esta expresión despejamos el cuadrado del período. Movimiento armónico simple 32 . obtenemos: 4 · 2 T 2 = · m = cte · m k La constante que aparece en la expresión anterior es la pendiente de la gráfica T 2-m: cte = T22 − T12 500. 5 m 1 − m 2 (50 − 10) ⋅ 10 −3 Teniendo en cuenta este resultado. Vibración de una cuerda de guitarra. pero no se desplazan en la dirección de propagación de la onda. Cubeta de ondas. • Bidimensionales: las ondas que se crean en la superficie de un vaso cuando golpeamos el vidrio con el dedo. pero no transporte de materia. el sonido emitido por un instrumento musical cuando se propaga por el aire o la propagación de la luz en el vacío. Unidad 5. La naturaleza de estas ondas es mecánica. Clasifica cada uno de dichos movimientos según los criterios indicados en el epígrafe. las que se generan en el tímpano o en un tambor y las que se generan en una cubeta de ondas. son los siguientes: • Unidimensionales: la vibración de una cuerda de guitarra al pulsarla o la de un muelle que describe un m. Movimiento ondulatorio 1 . Ondas en la superficie de un vaso. Ondas en el tímpano o en un tambor. excepto la que corresponde a la propagación de las ondas de radio en el aire y a la luz en el vacío. los puntos marcados oscilan alrededor de la posición de equilibrio. EL MOVIMIENTO ONDULATORIO 1. Propagación de ondas de radio en el aire. Un procedimiento sencillo puede ser dibujar marcas. Vibración de un muelle que describe un m. Indica cómo podemos comprobar que.1.s. Cita cuatro movimientos. • Tridimensionales: la propagación de ondas de radio en el aire al ser emitidas por una antena. En función de la forma en que se transmite la perturbación. a intervalos regulares. al sacudir transversalmente la cuerda.a. 2. clasificados en función de la dirección de propagación.5 MOVIMIENTO ONDULATORIO 5.a. en la cuerda tensa. que es electromagnética. Algunos ejemplos de movimientos. Se observa que.s. hay transporte de energía. las ondas anteriores se clasifican como se muestra en la siguiente tabla: Onda longitudinal Onda transversal Sonido emitido por un instrumento musical. Propagación de la luz en el vacío. que se produzcan en la naturaleza y sean de tipo ondulatorio. al menos. cuando una onda se propaga por una cuerda. 2. • La luz se propaga mediante ondas transversales. el sonido se propaga mediante ondas longitudinales.25 Unidad 5. Por su definición. unida a la primera. dependiendo de la distancia a la que nos encontremos del foco. El sonido y la luz son dos ejemplos de propagación ondulatoria. Determina la ecuación de dimensiones que corresponde a la frecuencia. En cambio. Calcula: a) La frecuencia de la oscilación. MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO 1. • Ambas pueden ser planas o esféricas. en la que la velocidad de propagación es la mitad. que también se propaga por el vacío. ¿Qué semejanzas y qué diferencias existen entre estos dos tipos de onda? Las semejanzas y las diferencias son las que se indican a continuación: Semejanzas • Ambas son ondas tridimensionales. En cambio. Movimiento ondulatorio 2 .3. 5. a) Si tenemos en cuenta la relación entre la velocidad de propagación. Una onda se propaga por una cuerda con una velocidad de 40 m · s−1 y cada onda completa ocupa 25 cm. Prueba de ello es que somos capaces de observar las estrellas. Por tanto: 1 1 [ f ] = = = T –1 T T 2. b) La longitud de onda que corresponderá al movimiento ondulatorio si la onda pasa a otra cuerda. el cual se mide en segundos. la longitud de onda y la frecuencia: v v λ = → f = f λ Y de acuerdo con los datos que proporciona el enunciado obtenemos. Diferencias • El sonido es una onda de naturaleza mecánica: solo se propaga por un medio material. se propagan en las tres direcciones del espacio. la frecuencia es la inversa del período. al sustituir: 40 f = = 160 Hz 0. la luz es una onda no mecánica. Si tenemos en cuenta la relación entre la frecuencia. aproximadamente. 340 m · s−1.80 · 10−7 m f1 7. la frecuencia es una magnitud propia del movimiento ondulatorio y es independiente de las características del medio.0 · 1014 Hz (rojo).125 m f 160 3. Por tanto. La longitud de onda de los sonidos que podemos percibir oscila entre 1.7 cm es: v 340 λ1 = = = 20 000 Hz λ1 1.0 · 1014 Unidad 5.7 · 10−2 Y la que corresponde al sonido de 17 m de longitud de onda: 340 v λ2 = = = 20 Hz 17 f2 Por tanto. Calcula la frecuencias que corresponde a cada una de estas longitudes de onda. cuando estudiemos la propagación del sonido.9 · 1014 Hz (violeta) y 4. A partir de la expresión que relaciona la longitud de onda con la frecuencia y la velocidad de propagación: v λ = f Se obtiene. la longitud de onda del movimiento ondulatorio será: v 20 λ = = = 0. Las frecuencias que corresponden a las ondas que forman la zona visible del espectro oscilan entre 7. teniendo en cuenta que las ondas electromagnéticas se propagan a la velocidad de la luz (c = 3 · 108 m · s−1): v 3 · 108 λ1 = = = 3. si la onda pasa a otra cuerda en la que la velocidad de propagación es la mitad (20 m · s−1). Calcula el correspondiente intervalo de longitudes de onda. si la velocidad de propagación del sonido en el aire es. 4.5 · 10−7 m f2 4. la velocidad de propagación y la longitud de onda del movimiento ondulatorio: v v λ = → f = f λ La frecuencia que corresponde a un sonido de longitud de onda 1. el intervalo de frecuencias de ondas sonoras audibles por un oído humano sano oscila entre 20 Hz y 20 000 Hz. Recuerda que estas ondas se mueven a la velocidad de la luz. Sobre esto profundizaremos en la unidad 6.7 cm y 17 m.9 · 1014 v 3 · 108 λ2 = = = 7.b) Como se explica en el ejemplo de este epígrafe en el libro del alumno. Movimiento ondulatorio 3 . Expresa la velocidad de propagación de la onda en función de la frecuencia angular y del número de onda. f = 20 Hz. la frecuencia y el período. se conocen los siguientes datos: A = 3 cm. De una onda que viaja por una cuerda.3. t) = A · sen (ω · t − k · x) En el caso que nos ocupa: A = 3 cm = 3 · 10−2 m ω = 2 · π · f = 2 · π · 20 = 40 · π rad · s−1 2 · π 2 · π · f 2 · π · 20 k = = = = 8 · π m−1 λ v 5 Por tanto: y (x. La velocidad de propagación de la onda se expresa. La ecuación de propagación de una onda unidimensional se puede escribir como sigue: y (x. v = 5 m · s−1. como se indica: λ v = = λ · f T Teniendo en cuenta la relación entre la frecuencia angular. t) = 3 · 10−2 · sen (40 · π · t − 8 · π · x) = 3 · 10−2 · sen [8 · π · (5 · t − x)] En la expresión anterior. en función del período y la frecuencia. Escribe la ecuación de la onda en función de la posición y del tiempo: y = f (x. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO 1. se obtiene: 2·π 2·π ω ω = = 2 · π · f → T = . Movimiento ondulatorio 4 . x e y se miden en metros si t se mide en segundos.5. Unidad 5. f = T ω 2·π Por tanto: λ·ω v = 2·π El número de onda es el número de longitudes de onda que contiene una longitud 2 · π: 2·π k = λ La velocidad de propagación en función del número de onda es: ω v = k 2. t). t) = A · sen (ω · t − k · x) e identificamos términos. ω = 50 · π rad · s−1 . Cuando x = 0 y t = 0 (origen). la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda. La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda es: π · (50 · t − 2 · x)] y = 0. Si comparamos la ecuación de la onda que propone el enunciado: y = 0.02 · sen [π En esta expresión. la fase debe llevar signo negativo. Indica cuál de las expresiones siguientes representa la ecuación de una onda transversal que se propaga en sentido positivo por el eje de abscisas con una velocidad de 5 m/s. Unidad 5. en la dirección del eje X.04 Y la velocidad de propagación: λ v = = λ · f = 1 · 25 = 25 m · s−1 T 4. y la propagación. con lo que la opción b) queda descartada. La ecuación general de este movimiento ondulatorio es: y (x.04 s . podemos calcular la longitud de onda: 2·π 2·π 2·π k = → λ = = = 1 m λ k 2·π Por su parte. Movimiento ondulatorio 5 .02 · sen (50 · π · t − 2 · π · x) con la ecuación general del movimiento ondulatorio unidimensional: y (x. f = = = 25 Hz T ω 50 · π T 0.3. El símbolo ± indica la posibilidad de que la perturbación se propague por el eje de abscisas en sentido positivo (signo −) o negativo (signo +). t) = A · cos (ω · t ± k · x) El factor (ω · t ± k · x) se denomina fase del movimiento ondulatorio. tiene una amplitud de 1 m y una frecuencia de 10 Hz: a) y = cos [2 · π (10 · t − 5 · x)] b) y = cos [2 · π (10 · t + x)] c) y = cos [4 · π (5 · t − x)] El sistema de referencia elegido para expresar las ecuaciones de onda del enunciado se ha tomado de tal modo que la vibración asociada al movimiento se propague en la dirección del eje Y. x e y se miden en metros si t se mide en segundos. se obtiene: A = 0. En el enunciado se indica que la onda se propaga en el sentido positivo del eje de abscisas. el valor de la elongación es de 1 m. por tanto. Calcula la amplitud. k = 2 · π m−1 Teniendo en cuenta la definición de número de onda. el período y la frecuencia de vibración del movimiento son: 2·π 2·π 2·π 1 1 ω = → T = = = 0. así como su frecuencia de vibración.02 m . La frecuencia angular que les corresponde es: ωa = 2 · π · 10 = 20 · π rad · s−1 ωc = 4 · π · 5 = 20 · π rad · s−1 Y su frecuencia de vibración es: ωa 20 · π ωa = 2 · π · fa → fa = = = 10 Hz 2·π 2·π ωc 20 · π ωc = 2 · π · fc → fc = = = 10 Hz 2·π 2·π Para calcular la velocidad de propagación que les corresponde: v=λ·f hemos de calcular primero la longitud de onda de cada una. Dada la ecuación de onda: π · (x − t)] y (x. ∆ϕ. su diferencia de fase. k: 2·π 2·π 1 2·π ka = → λa = = = m−1 λa ka 5·2·π 5 2·π 2·π 2·π 1 kc = → λc = = = m−1 λc kc 4·π 2 Por tanto. que podemos obtener a partir del número de onda.04 · sen [π Calcula la distancia que separa dos puntos que se encuentren en fase y la que separa otros dos que se encuentren en oposición de fase. la velocidad de propagación es: 1 va = λa · fa = · 10 = 2 m · s−1 5 1 vc = λc · fc = · 10 = 5 m · s−1 2 La ecuación que representa una onda con las características descritas por el enunciado es la c). su diferencia de fase es π radianes. en un instante dado. Por tanto: ∆ϕ = π · [(x − t) − (x' − t)] = 2 · π → x − x' = 2 m Dos puntos consecutivos se encuentran en oposición de fase si. en un instante dado. 5. Por tanto: ∆ϕ = π · [(x − t) − (x' − t)] = π → x − x' = 1 m Unidad 5. Movimiento ondulatorio 6 . t) = 0. es 2 · π radianes.Las ondas a) y c) tienen una amplitud de 1 m. Dos puntos consecutivos están en fase si. El coeficiente de absorción. Si a una distancia de 5 m del foco la amplitud del movimiento de las partículas que vibran es 0. 51 m −1 0. la relación entre las intensidades de entrada y de salida es: I = 0. de un material podemos calcularlo a partir de la expresión: I = I0 · e −β·x Sabemos que. 2 2. ENERGÍA E INTENSIDAD DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO 1. 1 →β= = =− = 11. Un foco emite ondas amortiguadas.91 mm A = x · e− · x A una distancia de 20 m del foco. reduce a la décima parte la intensidad de una onda sonora. Movimiento ondulatorio A12 + A22 + 2 ⋅ A1 ⋅ A2 ⋅ cos ( ϕ 1 − ϕ 2 ) 7 . SUPERPOSICIÓN DE ONDAS. es π/2 radianes. λ y A se mueven en la misma dirección y sentido.4 cm y su diferencia de fase.5. A0.1 · 5 = 9. Calcula el coeficiente de absorción de un material que. β es el coeficiente de absorción del medio por el que las ondas se propagan. Con los datos que proporciona el enunciado de la actividad podemos calcular la amplitud inicial del movimiento ondulatorio.4.1 · 20 5. Calcula la amplitud de la onda resultante. la amplitud del movimiento de las partículas será: A0 9. calcula la amplitud del movimiento ondulatorio que describen las partículas que se encuentran a una distancia de 20 m del foco. siendo su valor 0. Por tanto: I = I 0 ⋅ e −β⋅ x I 0.1 m−1. β.3 mm. con un espesor de 20 cm.1 · I0.1 · 10−4 m = 0.5. INTERFERENCIAS 1. 1 ⋅ I 0 ln ln I 0 I0 ln0. A0 → A0 = A · x · e− · x = 0.1 · 10−4 = = 3. sabiendo que la amplitud de las ondas es 0. 2 −x −0.36 · 10−4 m A = x · e− · x 20 · e−0. La expresión que proporciona la amplitud de la onda resultante es: A= Unidad 5. tras pasar por un material cuyo espesor es 20 cm. cuya amplitud viene dada por la expresión: A0 A = x · e− · x En esta expresión. Dos ondas de la misma f.3 · 10−3 · 5 · e−0. Si vsonido (aire) = 340 m · s−1. Movimiento ondulatorio 8 . x se mide en metros si t se expresa en segundos.01 = 3.4 m T 2·π 2·π k = = = 0. el movimiento resultante de los dos movimientos anteriores es su suma: χ = χ1 + χ2 El resultado que se obtiene es otro movimiento ondulatorio armónico: χ = AR · sen (ω · t + ϕ0) Unidad 5. 4 2 ⋅ (1 + cos π/2) = 2 ⋅ 0. 57 cm 2. Las distancias a un punto P son. A1 = A2 = A0.4 m. Dos focos sonoros emiten ondas de la misma frecuencia. por tanto: A= [ ] A02 + A02 + 2 ⋅ A02 ⋅ cos ( ϕ 1 − ϕ 2 ) = 2 ⋅ A02 ⋅ 1 + cos ( ϕ 1 − ϕ 2 ) Sustituyendo los datos que proporciona el enunciado se obtiene: A = 2 ⋅ 0. b) La ecuación de la onda resultante de la interferencia en dicho punto. para cada onda: χ1 (100. a) Las magnitudes características de estos movimientos ondulatorios son: f = 100 Hz → ω = 2 · π · f = 2 · π · 100 = 200 · π rad · s−1 A = 4 cm = 4 · 10−2 m 1 1 T = = = 0.01 s f 100 λ v = → λ = v · T = 340 · 0. calcula: a) La ecuación de la onda que produce en el punto P cada foco por separado. t) = A · sen (ω · t − k · x) Obtenemos.La amplitud de ambas ondas es la misma.59 · π · 103.4) = = 4 · 10−2 · sen [π · (200 · t − 61)] = A · sen (ω · t + ϕ2) En estas ecuaciones. 4 2 = 0. b) De acuerdo con el principio de superposición. t) = 4 · 10−2 · sen (200 · π · t − 0.4.4 Si tenemos en cuenta la ecuación general del movimiento ondulatorio unidimensional: χ (x. 100 Hz. x1 = 100 m y x2 = 103.59 · π λ 3. 4 cm. t) = 4 · 10−2 · sen (200 · π · t − 0. y amplitud.59 · π · 100) = = 4 · 10−2 · sen [π · (200 · t − 59)] = A · sen (ω · t + ϕ1) χ2 (103. respectivamente. 4. La condición que cumplen los nodos de la onda es: λ x = (2 · n + 1) · ∀ n ∈ 4 N Por tanto. la distancia entre un nodo y un vientre es la mitad. En una onda armónica. Como hemos visto en las dos actividades anteriores. Por tanto. la distancia entre dos nodos o entre dos vientres es λ/2. la ecuación de la onda resultante de la interferencia en el punto P es: χ = 0.6. cuyo valor viene determinado por el de n. Unidad 5.donde: AR = [ ] A 2 + A 2 + 2 ⋅ A 2 ⋅ cos( ϕ 1 − ϕ 2 ) = 2 ⋅ A 2 ⋅ 1 + cos ( ϕ 1 − ϕ 2 ) = = 2 ⋅ ( 4 ⋅ 10 ) ⋅ [1 + cos ( −59 ⋅ π + 61 ⋅ π )] = 0. La condición que cumplen los vientres de la onda es: λ x = n · ∀ n ∈ 2 N Por tanto. Fíjate en las figuras y fotografías de la página 123 del libro. Movimiento ondulatorio 9 . la distancia que separa dos nodos consecutivos es: λ λ λ λ x2 − x1 = (2 · 2 + 1) · − (2 · 1 + 1) · = (5 − 3) · = 4 4 4 2 3. la distancia que separa dos vientres consecutivos es: λ λ λ x2 − x1 = 2 · − 1 · = 2 2 2 2. 08 m ϕ 0 = ϕ 1 − ϕ 2 = −59 ⋅ π + 61 ⋅ π = 2 ⋅ π −2 2 Por tanto. la conclusión más importante que se obtiene es que la longitud de onda no puede tomar cualquier valor. Calcula la distancia que separa dos vientres consecutivos de una onda armónica. λ/4.08 · sen (200 · π · t + 2 · π) = 0. A la vista de los resultados de las tres actividades anteriores. ONDAS ESTACIONARIAS 1. calcula la distancia que separa un nodo del vientre que le antecede o que le precede. ¿qué conclusiones se pueden obtener? Además de los resultados obtenidos en dichas actividades.8 · 10−2 · sen [2 · π · (100 · t + 1)] 5. Calcula la distancia que separa dos nodos consecutivos de una onda armónica. Es una magnitud cuantizada. 5.8. puede reflejarse y/o invertirse. DIFRACCIÓN 1. Movimiento ondulatorio 10 . ACTIVIDADES DE LA UNIDAD CUESTIONES 1. de los electrones. que se produce cuando en la propagación de una onda se interpone un obstáculo o una rendija de tamaño comparable a su longitud de onda. como si se tratase de ondas electromagnéticas. ¿Qué significa la expresión “propagación no rectilínea del rayo”? La expresión alude al fenómeno físico de la difracción. Comprueba el cambio de fase que se produce en la reflexión. 2. razonando la respuesta: a) En un movimiento ondulatorio. Utiliza para ello un muelle o una cuerda fijos por un extremo y haz que viaje por él un pulso de onda. el número de onda equivale a la frecuencia.7. Investiga qué significa la expresión “difracción de electrones”. que se mueve por una cuerda fija por un extremo. en este caso. Comprueba el fenómeno de la refracción experimentalmente y de forma cualitativa. c) Cada partícula de una cuerda por la que se propaga un tren de ondas realiza un movimiento vibratorio armónico. 2. Utiliza para ello dos cuerdas unidas. pero sí al tener en cuenta el principio de Huygens. b) Cuando un pulso de onda. 5. según el cual cada punto del medio alcanzado por el movimiento ondulatorio se convierte a su vez en foco emisor. por las que viaja un pulso de onda. La difracción de electrones demuestra el comportamiento ondulatorio de las partículas materiales. Esta experiencia fue realizada en 1927 por Davisson y Germer. llega a ese extremo. Este fenómeno no se puede explicar considerando la propagación rectilínea del movimiento ondulatorio. Unidad 5. una ligera y otra más pesada. que dispersaron electrones en la superficie de un cristal metálico. Ambas actividades son experiencias prácticas cuya realización recomendamos en el aula. Responde verdadero o falso a las siguientes afirmaciones. REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN 1. Es lo que ocurre. La frecuencia. Unidad 5. Las ondas electromagnéticas son transversales. el frente de onda es un punto. NOTA: Recomendamos la realización de experiencias en la cubeta de ondas. Pon ejemplos aclaratorios en cada supuesto. en las segundas. En las primeras. reproduciendo la vibración original del punto inicialmente perturbado. con el sonido. y en las terceras. como las ondas sonoras propagándose en el aire. es el número de oscilaciones que se producen en un segundo. b) Relación entre las direcciones de propagación y de vibración de las partículas del medio. las ondas pueden ser mecánicas o electromagnéticas. Movimiento ondulatorio 11 . por lo que el frente de onda se puede considerar plano). es el número de longitudes de onda que contiene una longitud 2 · π. una circunferencia o una línea recta (a una cierta distancia de la perturbación el frente de onda se puede considerar prácticamente lineal). Por su parte. c) Verdadera. alcanza ese extremo. c) Forma del frente de onda. de la propagación de la luz. por ejemplo. k. no lo necesitan. el número de onda. por ejemplo. De ese modo se genera el pulso reflejado. el frente de onda es una esfera (en puntos lejanos la curvatura disminuye. Haz una clasificación de los movimientos ondulatorios atendiendo a los siguientes criterios: a) Necesidad o no de medio material para propagarse. donde se pueden generar y visualizar distintos tipos de fenómenos asociados a ellas.a) Falsa. f. como las que se propagan por la superficie de un estanque. y tridimensionales. si la dirección de propagación es perpendicular a la dirección de vibración. que saldrá invertido respecto al pulso incidente. como el sonido o la perturbación que se transmite por una cuerda. Las primeras. b) Falsa. que es una onda electromagnética. por el contrario. Cuando un pulso de onda que se mueve por una cuerda que tiene un extremo fijo. a) Atendiendo a su naturaleza. las segundas. como las que se propagan por una cuerda tensa. las ondas se clasifican en: • Longitudinales. necesitan un medio material para propagarse. Cada partícula de la cuerda alcanzada por la perturbación vibra alrededor de su posición de equilibrio. si la dirección de propagación coincide con la dirección de vibración de las partículas del medio. bidimensionales. • Transversales. c) Según la dirección de propagación. b) Según la forma en que se transmite la perturbación. es el caso. 2. las ondas se clasifican en unidimensionales. se refleja e invierte. al igual que las que se propagan por una cuerda. en cuyo caso la respuesta correcta sería C. por tanto. ¿Qué es la intensidad de un movimiento ondulatorio? ¿Cómo depende de la amplitud? Unidad 5. La onda no se propaga indefinidamente. en el caso de una onda esférica. se genera un frente de ondas esféricas. Además de este fenómeno. debido al rozamiento. ha de repartirse en superficies cada vez más grandes a medida que nos alejamos del foco. ¿Quiere esto decir que no se cumple el principio de conservación de la energía? La intensidad de una onda es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a que nos encontramos del foco. La frecuencia es una magnitud propia del movimiento ondulatorio y es independiente de las características del medio. 6. que explica que la onda se propague por detrás de él.3. Estos dos fenómenos. 4. por el que parte de la energía que transporta la onda es absorbida por el medio material por el que se propaga. los puntos del frente de onda que no chocan con el obstáculo se convierten. ¿Se modifica también su frecuencia? No. explican por qué la intensidad de la onda va disminuyendo a medida que nos alejamos del foco emisor. se modifica su velocidad y su longitud de onda. atenuación y absorción. La respuesta correcta es. Por tanto. Cuando la luz pasa de un medio a otro. cuya energía. ¿Qué figura muestra mejor la evolución de las olas? A B C D E Estamos ante un caso de difracción. 5. la intensidad de dicha onda va disminuyendo. ya que a una distancia suficientemente alejada del foco llega tan debilitada que puede resultar inapreciable. la absorción. De ese modo. D. en centros emisores de nuevos frentes de ondas. existe otro. con centro en la parte libre del obstáculo. La difracción se produce cuando un obstáculo impide el avance de parte de un frente de onda. Un frente de olas planas llega al muro de un puerto y pasa a través de él. sí se cumple el principio de conservación de la energía. Este fenómeno se denomina atenuación de la onda. a no ser que la abertura sea mucho mayor que la longitud de onda de la vibración. Si la longitud de onda de la perturbación es comparable con el tamaño del obstáculo. Movimiento ondulatorio 12 . de acuerdo con el principio de Huygens. Al alejarnos de un foco puntual emisor de ondas esféricas. deduce la relación que ha de existir entre la longitud de la cuerda y la longitud de onda del Unidad 5. sobre una partícula. En ella existen puntos que no vibran (nodos). A. 9. 11. En una onda viajera todos los puntos vibran del mismo modo. a diferencia de una onda viajera. Movimiento ondulatorio 13 . 7. la amplitud de la onda es inversamente proporcional a la distancia al foco: A1 r2 = A2 r1 8. otros que vibran con la amplitud máxima (vientres) y otros que vibran con amplitudes intermedias. la intensidad de una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud. ya que la diferencia de fase entre los dos haces no es constante. ¿Cómo varían con la distancia al foco la intensidad y la amplitud de las ondas esféricas? La intensidad de una onda es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a que nos encontramos del foco: I1 r22 = 2 I2 r1 Por su parte. de longitud L. decimos en este caso que las fuentes son incoherentes.La intensidad de una onda es la relación entre la potencia que propaga la onda y la superficie perpendicular a la dirección de propagación de esta: P I = S Para cualquier tipo de onda: cte · ω2 · A2 I = S Por tanto. Explica qué son las interferencias entre dos frentes de onda. de dos o más movimientos ondulatorios. 10. ¿Por qué no hay interferencias entre los dos haces de luz procedentes de los faros de un coche? La interferencia de ondas es la acción simultánea. Explica brevemente en qué consisten los fenómenos de atenuación y de absorción de una onda. Consúltese la cuestión 5 o las páginas 115 y 116 del libro del alumno. y al cuadrado de la frecuencia angular. En el caso de los haces de luz que proceden de los faros de un coche no se producen interferencias. A la vista de las gráficas. no propaga energía. ω. fija por ambos extremos. ¿Qué diferencia existe entre una onda viajera y una onda estacionaria? Una onda estacionaria. sino que depende del tiempo. Dibuja las seis primeras ondas estacionarias producidas en una cuerda. Como documentación gráfica. Este fenómeno no se puede explicar considerando la propagación rectilínea del movimiento ondulatorio. Explica qué se entiende por difracción y en qué condiciones se produce. Enuncia el principio de Huygens. 13. La difracción es el fenómeno de propagación no rectilínea de un rayo. consúltense las imágenes incluidas en la página 125 del libro del alumno. Las gráficas que solicita el enunciado de la cuestión son las que se muestran: L L n=1 n=4 L= λ 2 L=2..λ A partir de ellas se puede deducir que la expresión que relaciona la longitud de la cuerda con la longitud de onda de las ondas estacionarias que se generan en ella es: λ 2·L L = n · → λ = (n = 1. pero sí al tener en cuenta el principio de Huygens.λ 2 L n=3 L= 3. que se produce cuando en la propagación de una onda se interpone un obstáculo (rendija) de tamaño comparable a su longitud de onda. Utilízalo para explicar el fenómeno de la difracción de una onda a través de una rendija de longitud d. 2.λ L L n=2 L =λ n=5 L= L 5. 3.. según el cual cada punto del medio alcanzado por el movimiento ondulatorio se convierte a su vez en foco emisor. λ.) 2 n 12. Acompaña la explicación de algún dibujo. Consúltese la respuesta a la actividad anterior. Movimiento ondulatorio 14 . y se manifiesta porque el rayo no se propaga rectilíneamente.movimiento ondulatorio que se propaga por ella para que se produzcan ondas estacionarias.λ 2 n=6 L=3. Unidad 5. ya que esta depende del medio por el que se propague el movimiento ondulatorio. λ. indica cuáles varían y cuáles no. Las leyes que rigen este fenómeno físico. hacemos que alguien llene el vaso con agua. • Los ángulos de incidencia y de reflexión son iguales. llega al borde del vaso. el de refracción. f. Movimiento ondulatorio 15 . De las siguientes magnitudes. 15. de manera directamente proporcional a la velocidad de propagación. rˆ. Si llenamos el vaso de agua. La ley de Snell para la refracción es la siguiente: v1 sen ˆ i = v2 sen rˆ En ella. vemos de nuevo la moneda. ˆ i es el ángulo de incidencia. Al hacerlo. el rayo de luz que. se produce un cambio en la dirección y sentido de propagación. cambia de dirección. y v1 y v2. El período. la velocidad de propagación de la onda en cada medio. en la superficie de separación agua-aire. Sin desplazar ahora la mirada. Al producirse cualquiera de estos fenómenos. Unidad 5. La reflexión es el fenómeno que se produce cuando una onda que avanza por un medio incide sobre la superficie que lo separa de otro medio de propiedades elásticas distintas.14. y las leyes que los rigen. ¿Puedes explicar el motivo de que ocurra esto? Que esto sea posible se debe al fenómeno de la refracción. al ser la inversa de la frecuencia. ya que esta es una magnitud propia del movimiento ondulatorio. Este cambio de dirección hace posible que veamos la moneda. como se aprecia en la figura de la página siguiente. La refracción es el cambio de dirección que experimenta una onda que se propaga por un medio cuando pasa a otro medio en el que su velocidad de propagación es diferente. la normal y el rayo reflejado están en el mismo plano. La velocidad de propagación se relaciona con el período y la frecuencia mediante la longitud de onda: λ v = = λ · f T Como la velocidad de propagación varía en la refracción y tanto la frecuencia como el período no lo hacen. tampoco varía: 1 T = f En la refracción se modifica la velocidad de propagación. Introducimos una moneda en un vaso y ajustamos nuestro ojo para verla enrasada exactamente. procedente de la moneda. la frecuencia. f y T. Explica los fenómenos de reflexión y de refracción de una onda. son las siguientes: • El rayo incidente. la longitud de onda sí varía. denominadas leyes de Snell para la reflexión. Como consecuencia de ello. bajamos la posición de nuestra cabeza hasta que la moneda deja de ser visible. v. no varía. alejándose de la normal. Hecho esto. No ve la moneda Ve la moneda Ve la moneda Agua EJERCICIOS 16.27 m 440 f 18. La frecuencia de una nota musical es 440 Hz.π 4. La gráfica que solicita el enunciado del ejercicio es la siguiente: y (x. de manera que una tenga doble amplitud que la primera.77 m 440 f vagua 1 440 λagua = = = 3. siendo sus frecuencias respectivas 256 y 512 Hz.π 3. su frecuencia sea doble que la de la otra y presente un desfase de π radianes respecto a la primera. Dos ondas tienen la misma amplitud. se obtienen los siguientes resultados: vaire 340 λaire = = = 0.π t –2. ¿Cuál posee mayor intensidad? Unidad 5. t ) 2. Dibuja en una misma gráfica dos ondas.A 17. Movimiento ondulatorio 16 .A A 0 –A π 2. Calcula la longitud de onda de su sonido cuando se propaga en el aire (v = 340 m/s) y cuando lo hace en el agua (v = 1440 m/s). La expresión que relaciona la frecuencia. la longitud de onda y la velocidad de propagación es: v λ = f Teniendo en cuenta que la frecuencia no varía cuando el movimiento ondulatorio cambia de medio. k = → λ1 = λ2 = λ = = = 0. 20. utilizando unidades S.02 sen (10 · x) cos (−600 · t) = 2 = AR · cos (−600 · t) = AR · cos (600 · t) En la expresión anterior. vpropagación = 2 m/s .I. Como la amplitud de las ondas que describe el enunciado es la misma.04 m 2·π 2·π 2·π k1 = k2 = k = 10 m−1 . k = 2 · π rad · m-1 Unidad 5.04 · sen (10 · x + 600 · t) Escribe la ecuación de la perturbación resultante que aparecerá en la cuerda. poseerá más intensidad la onda de mayor frecuencia (512 Hz).04 sen · 2 10 · x − 600 · t − 10 · x − 600 · t · cos = 0. Movimiento ondulatorio 17 . longitud de onda y naturaleza. Para sumarlas hay que tener en cuenta la siguiente relación trigonométrica: + − sen + sen = 2 · sen · cos 2 2 La ecuación de la perturbación producida por las ondas que interfieren es: 10 · x − 600 · t + 10 · x + 600 · t y = y1 + y2 = 2 · 0. t) = 0.. y al cuadrado de la frecuencia angular. A. Por tanto.La intensidad de una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud. t) = A · sen (ω · t − k · x) Y realizando algunas sencillas operaciones. cuyo valor varía entre 0 (en los nodos) y 0. el resultado de la interferencia es una onda estacionaria. t) = 0. Una onda armónica se propaga en dirección OX y sentido positivo. ya que la frecuencia de vibración es directamente proporcional a la frecuencia angular: ω=2·π·f 19. son: y (x. podemos determinar las magnitudes características de las ondas que interfieren: A1 = A2 = A = 0. frecuencia. ω = 2 · π · f → f1 = f2 = f = = = Hz π 2·π 2·π 1 1 π T = → T1 = T2 = T = = s f 300/π 300 Las ondas que interfieren tienen la misma amplitud. y se propagan en la misma dirección y sentidos opuestos.2 · π m λ k 10 300 ω 600 ω = 600 rad · s−1 . AR = 0.04 · sen (10 · x − 600 · t) y (x. Dicha onda tiene las siguientes características: A = 25 cm . ω. Si comparamos las ecuaciones del enunciado con la ecuación general del movimiento ondulatorio: y (x. Por una cuerda tensa se transmiten simultáneamente dos ondas transversales cuyas ecuaciones.08 sen · (10 · x) es la amplitud de la onda estacionaria.08 (en los vientres). 5 · π s y una amplitud de 0.5 cm · s−1 = 0. podemos calcular la frecuencia y la frecuencia angular: λ= v v 2 → f = = = 2 Hz λ 1 f ω = 2 ⋅ π ⋅ f = 2 ⋅ π ⋅ 2 = 4 ⋅ π rad ⋅ s −1 De ese modo.02 s 2·π f 2·π 50 2·π 2·π 2·π k = 8 · π rad · cm−1 .25 · 50 = 12. ω = 2 · π · f → f = = = 50 Hz . T = = = 0.25 · sen (4 · π · t − 2 · π · x) = 0. podemos determinar las magnitudes características de la onda: A = 8 cm 100 · π 1 ω 1 ω = 100 · π rad · s−1 . La ecuación general de onda podemos escribirla en la forma: y (x. La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda es: π · (100 · t − 8 · x)] y (x. la ecuación de onda queda en la forma: y (x. el tiempo que tardará la onda en recorrer 25 m será: s s 25 v = → t = = = 200 s t v 0.t) = A · sen (ω · t − k · x) Identificando términos y realizando algunas sencillas operaciones. t) = 8 · sen [π · (100 · t − 8 · x)] con la ecuación general del movimiento ondulatorio: y (x. t) = 8 · sen [π En esta expresión.2 cm. x e y se miden en cm y t en segundos. k = → λ = = = 0.125 m · s−1 Por tanto.1 m · s−1: a) Escribe la ecuación de la onda.25 · sen [2 · π (2 · t − x)] 21. Unidad 5. propagándose a través de ella una onda con una velocidad de 0.t) = A · sen (ω · t − k · x) El número de onda permite calcular la longitud de onda: k= 2⋅π 2⋅π 2⋅π →λ= = =1m λ k 2⋅π Conocida la velocidad de propagación. Se hace vibrar transversalmente un extremo de una cuerda de gran longitud con un período de 0.t) = 0. Calcula el tiempo que tardará una onda en recorrer una distancia de 25 m. Movimiento ondulatorio 18 .125 22.Escribe la ecuación que corresponde al movimiento ondulatorio.25 m λ k 8·π v = λ · f = 0. Si comparamos la ecuación que proporciona el enunciado del ejercicio: y (x. la velocidad de propagación se mantendrá constante. ya que esta es la inversa del período de vibración. Por tanto. la ecuación que resulta es: y (x. La figura muestra un frente de ondas plano. recuerda que la velocidad de propagación de las ondas transversales producidas en una cuerda se corresponde con la siguiente expresión: v= T µ En ella. que llega a una habitación cuya puerta está abierta: Unidad 5. expresada en N. a) La ecuación general del movimiento ondulatorio que realiza una onda que se propaga en el sentido positivo del eje de abscisas es: y (x.t) = A · sen (ω · t − k · x) A partir de los datos que proporciona el enunciado del ejercicio podemos obtener las magnitudes características de la onda: A = 0. al ser directamente proporcional a la frecuencia de vibración.5 · π s . expresada en kg/m.05 · π m f 2/π 2·π 2·π k = = = 40 rad · m−1 λ 0. f = = = Hz T 0. – Como no hay cambio de medio. su densidad lineal. v también lo hace. Para analizar que ocurre si se varía la tensión de la cuerda.2 · 10−2 · sen [4 · (t − 10 · x)] b) Si aumentamos el período de vibración en el extremo de la cuerda: – La frecuencia de vibración disminuirá.05 · π Con todo ello. y µ. la longitud de onda debe aumentar en la misma proporción en que disminuye la frecuencia de vibración.b) Explica qué características de la onda cambian si: – Se aumenta el período de vibración en el extremo de la cuerda.5 · π π 2 ω = 2 · π · f = 2 · π · = 4 rad · s−1 π v 0.t) = 0. Movimiento ondulatorio 19 . – Se varía la tensión de la cuerda. 23. La frecuencia angular disminuirá del mismo modo. Para que esto sea así. T es la tensión de la cuerda.1 v = λ · f → λ = = = 0.2 cm 1 1 2 T = 0.2 · 10−2 · sen (4 · t − 40 · x) = 0. si T varía. de la perturbación tras atravesar la puerta.60 cm a) Copia la figura y dibuja sobre ella el frente de ondas que se forma al atravesar la puerta. sus puntos se convierten. La longitud de onda antes y después de que se atraviese la abertura es la misma: λ= 60 = 10 cm = 0. λ. en centros emisores de nuevos frentes de ondas. obteniendo como resultado la envolvente de todos ellos. la velocidad de propagación y la frecuencia no lo hacen. 1 m 6 24. b) Calcula la longitud de onda. Al llegar el frente de ondas al orificio. Sin embargo. λ λ λ λ λ λ Ello explica que la forma del frente de ondas cambie al atravesar la onda la abertura. de acuerdo con el principio de Huygens. ¿Qué diferencia de caminos provocará una interferencia constructiva en el punto P ? ¿Y una interferencia destructiva? d1 A P d2 B Unidad 5. b) La forma del frente de ondas cambia al atravesar la abertura. a) En este caso se produce un fenómeno de difracción. Movimiento ondulatorio 20 . La difracción se produce cuando un obstáculo impide el avance de parte de un frente de onda. dando lugar a la formación de olas.. resulta: x BP − x AP = d 12 + d 22 − d 1 = λ ⋅ n siendo n = 1. sobre él. . sitúa los sucesivos frentes de onda. Para que se produzca una interferencia destructiva. 2... rozará contra el fondo. Por el contrario. Unidad 5. La frecuencia del movimiento ondulatorio es 100 Hz y la longitud de onda 10 cm. Movimiento ondulatorio 21 . Ondas Lado profundo A Lado poco profundo B a) Dibuja un diagrama como el que se adjunta y. del movimiento ondulatorio. 3. Un frente de ondas se propaga por la superficie de un estanque hasta que llega a un obstáculo.. b) ¿Qué nombre recibe el fenómeno que se produce al encontrarse el movimiento ondulatorio con el obstáculo? c) ¿Cuál es la velocidad de propagación de las ondas en el lado más profundo del estanque? a) En la parte en que el estanque es profundo se producirá la reflexión de las ondas al chocar contra la pared del estanque. . 25.. Para que se produzca interferencia constructiva. las distancias desde los puntos de origen (A y B) hasta el punto P considerado han de cumplir la siguiente relación: x BP − x AP = λ ⋅ (2 ⋅ n + 1) 2 En función de las cotas indicadas en el dibujo: x BP − x AP = d 12 + d 22 − d 1 = λ ⋅ (2 ⋅ n + 1) 2 siendo n = 0. el fenómeno que se producirá será similar al que se produce en una playa con las olas del mar: la onda.Indica el resultado en función de la longitud de onda. en la parte en que este es poco profundo. para explicar qué ocurre en el lado poco profundo del estanque. al alcanzar el punto inferior en la vibración.1. 2. λ. las distancias desde los puntos de origen (A y B) hasta el punto P han de cumplir la siguiente relación: xBP − xAP = λ · n De acuerdo con las cotas que se indican en la figura. 4 · sen [π · (50 · t − 0.5 · x)] con la ecuación general del movimiento ondulatorio: y (x.4 · sen [π en la que todas las magnitudes se expresan en unidades del S. t) = 0. a) Si comparamos la ecuación de la onda: y (x.I. Determina: a) La frecuencia y el número de onda. 1 ⋅ 100 = 10 m ⋅ s −1 T PROBLEMAS 26 Una onda transversal se propaga por una cuerda según la ecuación: π · (50 · t − 0. b) La velocidad máxima que pueden tener los puntos de la cuerda.b) Cuando el frente de ondas incide sobre el obstáculo. se produce una reflexión de las ondas. entre dos puntos separados 2 m. en un instante dado. ω = 2 · π · f → f = = = 25 Hz . Se genera en una cuerda una onda transversal cuya velocidad de propagación es 2 m/s.5 · π · (0 − 2) = −π rad 27. t) = 0.5 · x)] y (x. su amplitud 8 · 10−3 m y su longitud de onda 0. en un instante dado. t) = A · sen (ω · t − k · x)] Identificando términos y realizando algunas sencillas operaciones obtenemos el valor de las magnitudes que solicita el enunciado del problema: 50 · π 1 ω 1 ω = 50 · π rad · s−1 .2 m. b) La diferencia de fase.04 s 2·π f 25 2·π 2·π 2·π k = 0. Movimiento ondulatorio 22 .5 · π rad · s−1 . a) La frecuencia de la onda la podemos obtener a partir de la expresión que relaciona la longitud de onda con la velocidad de propagación: Unidad 5. la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda. el período. donde no existen perturbaciones con el fondo: v= λ = λ ⋅ f = 0. k = → λ = = 4 m λ 0. c) En el enunciado se proporcionan los datos necesarios para calcular la velocidad de propagación en el lado profundo del estanque.5 · π λ v = = λ · f = 4 · 25 = 100 m · s−1 T b) La diferencia de fase. entre dos puntos separados 2 m es: ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 = ω · t − k · x2 − (ω · t − k · x1) = ω · t − k · x2 − ω · t + k · x1 = = k · (x1 − x2) = 0. Calcula: a) La frecuencia. T = = = 0. vpropaga= 10 m/s . la frecuencia resulta: 2 f = = 10 Hz 0.v v λ = v · T → λ = → f = f λ Sustituyendo valores. escribimos. el coseno debe valer +1. determina: a) La ecuación de onda. el período resulta: λ = v ⋅T → T = λ 0. 1 m λ 20 ⋅ π k Por su parte. 1 = = 0. 01 s v 10 Como no se indica nada al respecto. en primer lugar. Movimiento ondulatorio 23 . k = 20 · π rad · m−1. la ecuación de la onda: x y ( x.2 b) Para obtener la velocidad máxima de cualquier punto de la cuerda. c) La diferencia de fase entre dos puntos separados 60 cm. supondremos que la fase inicial es nula.2 El número de onda es: 2·π 2·π k = → k = = 10 · π rad · m−1 λ 0. Una onda armónica presenta las siguientes características: A = 10 cm . t ) = A ⋅ sen 2 ⋅ π ⋅ − + θ T λ La longitud de onda se puede calcular a partir del número de onda: k= 2⋅π 2⋅π 2⋅π →λ= = = 0. 28. Por tanto: vmáx = 8 · 10−3 · 20 · π = 0.16 · π m/s NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. Así: Unidad 5. a) La ecuación general de una onda armónica podemos expresarla en la forma: x t y ( x. ción Con estos datos. t) = 8 · 10−3 · 20 · π · cos (20 · π · t − 10 · π · x) Para que la velocidad sea máxima. t ) = 8 ⋅ 10 −3 ⋅ sen 2 ⋅ π ⋅ 10 ⋅ t − = 0. b) La diferencia de fase entre dos puntos separados 80 cm. t ) = A ⋅ sen 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t − λ x y ( x. 2 = 8 ⋅ 10 −3 ⋅ sen (20 ⋅ π ⋅ t − 10 ⋅ π ⋅ x ) Derivando esta ecuación respecto al tiempo. obtenemos la velocidad: v (x. 1 = 0. 1 ⋅ sen 2 ⋅ π ⋅ = 0.I. 1 0. 1 x 2⋅π x′ ∆ϕ = 2 ⋅ π ⋅ − ⋅ 0. Calcula: a) La velocidad de propagación de la onda.t) = 0. 1 0. x t − y ( x. 01 0 . la diferencia de fase resulta: t x t x′ ∆ϕ = 2 ⋅ π ⋅ − − − 0 . en cualquier movimiento ondulatorio. ya que.t) = A · cos (ω · t − k · x) Al comparar esta expresión con la del enunciado: y (x. t) = 0. 1 ⋅ sen [2 ⋅ π ⋅ (100 ⋅ t − 10 ⋅ x )] b) Para dos puntos separados 80 cm. 6 = 12 ⋅ π rad = 0. 1 ( Del mismo modo que antes. 01 0. Una onda transversal se propaga por una cuerda según la ecuación: y (x.4 · cos (50 · t − 2 · x) Como ω = k · v. 1 Como 16 · π es múltiplo de 2 · π. como 12 · π es múltiplo de 2 · π.364 m Unidad 5. 8 = 16 ⋅ π rad = 0. a) La ecuación general de un movimiento ondulatorio puede escribirse de la forma: y (x. que en nuestro caso es 10 cm. c) Si los dos puntos están separados 60 cm. Estos resultados son perfectamente lógicos. Movimiento ondulatorio 24 . 1 0. 1 0 . al sustituir en la expresión anterior.4 · cos(50 · 0.5) = 0.5 s. 1 0. 01 0 .4 · cos (50 · t − 2 · x) En esta expresión. 29. t ) = 0. resulta: x 2⋅π 2⋅π x′ ∆ϕ = 2 ⋅ π ⋅ − ⋅ x' −x ) = ⋅ 0. las magnitudes se miden en unidades S. 0.2 ) = 0. b) El estado de vibración de una partícula situada a 20 cm del foco en el instante t = 0. podemos afirmar que ambos puntos vibran en fase. podemos afirmar que ambos puntos vibran en fase.5 − 2 · 0.2 . los puntos que vibran en fase están separados un número entero de longitudes de onda. identificando: v= ω 50 = = 25 m ⋅ s −1 k 2 b) Sustituyendo en el punto indicado: y (0. 1 0. sustituyendo valores. T.30. obtenemos la velocidad de ese punto: π v ( 4. necesitamos conocer su amplitud. Determina la velocidad de vibración del punto situado en x = 4 m. Unidad 5. y su longitud de onda. λ. su período. escribe la ecuación que representa el movimiento de la onda. A. En ese caso: vmáx (x = 4 m) = 2 · π m · s−1 NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. t ) = 2 ⋅ π ⋅ cos π ⋅ t − ⋅ 4 = 2 ⋅ π ⋅ cos ( π ⋅ t − 1) m ⋅ s −1 4 El valor máximo se obtiene cuando el coseno vale +1. la ecuación de la onda es de la forma: t x y ( x. t ) = 2 ⋅ sen π ⋅ t − ⋅ x 4 La velocidad de un punto situado a cuatro metros del origen la obtenemos derivando respecto al tiempo la ecuación de la posición y sustituyendo valores: π v ( x. t ) = 2 ⋅ sen 2 ⋅ π ⋅ − 2 8 π y ( x. así como su valor máximo. t ) = 2 ⋅ π ⋅ cos π ⋅ t − ⋅ x 4 Sustituyendo en esta expresión el valor x = 4 m. el período resulta: λ 8 λ = v · T → T = → T = = 2 s v 4 La ecuación general del movimiento armónico simple es: x t y ( x. De la figura se deduce: A=2m . λ=8m Por otra parte. t ) = A ⋅ sen 2 ⋅ π ⋅ − T λ En este caso. Para escribir la ecuación de la onda. teniendo en cuenta la velocidad de propagación de la onda. Movimiento ondulatorio 25 . En la figura que sigue se representa una onda transversal que viaja en la dirección positiva del eje de abscisas: y (m) 2 1 0 –1 –2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x (m) Sabiendo que la velocidad de propagación es v = 4 m/s. tiene por expresión matemática (magnitudes en unidades S. Calcula la frecuencia fundamental de vibración y la longitud de onda asociada. a) Si comparamos la onda del enunciado: y (x. podemos calcular la frecuencia de la vibración. b) Calcula el tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a la longitud de onda. Movimiento ondulatorio 26 . 25 m f 40 32.5 metros. sujeta por los dos extremos. para una onda estacionaria con nodos en los extremos: f = n⋅v 2⋅l En nuestro caso.31 Se hace vibrar una cuerda de 0. Al estar sujeta por los extremos.I. pues se empieza a contar desde n = 0. la longitud de onda. siendo la amplitud de vibración 2 cm y la velocidad de propagación de las ondas 10 m/s. Debemos tener en cuenta que en el origen es donde se encuentra el primer nodo. la cuerda tiene dos nodos en los extremos. N N N N N l = 50 cm Como en total hay cinco nodos. t) = 2 · sen (7 · t − 4 · x) con la ecuación general del movimiento ondulatorio: y (x. t) = A · sen (ω · t − k · x) identificando términos y operando obtenemos: A=2m 3. Una onda transversal que se propaga por una cuerda coincidente con el eje X. De este modo: f = n⋅v 4 ⋅ 10 = = 40 Hz 2⋅l 2 ⋅ 0. n = 4. resulta: λ= v 10 →λ= = 0.): y (x. ya que. T = = s π f 2·π 2·π 3.5 Unidad 5. 5 Por tanto. La cuerda tiene cinco nodos. ω = 2 · π · f → f = = = Hz .5 1 ω 7 π ω = 7 rad · s−1 . que también se puede deducir del gráfico. t) = 2 · sen (7 · t − 4 · x) a) Determina la velocidad de propagación de la onda y la velocidad máxima de vibración de cualquier punto de la cuerda. 33. a medida que transcurre el tiempo. longitud de onda. x. el estado de vibración en que se encuentra una determinada partícula que ha sido alcanzada por la perturbación y que se encuentra en una posición relativa. que efectúan un movimiento vibratorio. y. Las gráficas que siguen muestran el movimiento de una onda: y B D O 0. k = . Movimiento ondulatorio 27 . La primera muestra cómo cambia. t) v (x. que no cambia. frente a la posición. x. λ = = = m λ k 4 2 Con estos valores obtenemos la velocidad de propagación de la onda: π 3. x. t.75 m · s−1 2 π 4 La velocidad de vibración de las partículas del medio la obtenemos derivando respecto al tiempo la ecuación de la onda: dy (x. C. La segunda muestra el desplazamiento. Unidad 5. frente al tiempo.2·π 2·π 2·π π k = 4 rad · m−1 . a) Para resolver este problema.0 1. t) = = 14 · cos (7 · t − 4 · x) dt El valor máximo se obtendrá cuando cos (7 · t − 4 · x) = 1. y. en determinada posición. c) Escribe la ecuación de propagación de la onda.0 2. a) Expresa las variables que se indican en función de los parámetros A. B. en un instante de tiempo.5 y 1. D: amplitud. En ese caso: vmáx = 14 m · s−1 Recuerda que no debes confundir la velocidad de propagación de la onda con la velocidad de vibración de las partículas del medio. frecuencia y período.5 t (µs) C A O x (m) 150 300 450 600 La primera representa el desplazamiento.5 7 v = λ · f = · = = 1. b) Calcula la velocidad de propagación de la onda. es preciso entender con claridad el significado de ambas gráficas. t. sabiendo que se trata de una onda transversal que se propaga en la dirección OX. longitud de onda y velocidad de propagación. – Frecuencia: Es la inversa del período: f = 1/B. porque no se indican valores numéricos en la escala de elongaciones. NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado.1 · sen [2 · π · (2 · x + t)] Calcula: a) Su amplitud. porque en el instante inicial (t = 0 s) la elongación en el foco (x = 0) es nula. En cuanto a la fase. Es el intervalo de tiempo que transcurre para que un punto alcance de nuevo el mismo estado de vibración.t) = 0. c) ¿Por qué hablamos de distancia mínima en el apartado anterior? a) La ecuación general de una onda es: x y ( x. t ) = A ⋅ sen 2 ⋅ π ⋅ − + θ λ T Sustituyendo los datos que ya conocemos: x t y ( x. – Longitud de onda: Corresponde a la cota C. de una partícula alcanzada por la vibración. La amplitud es la máxima separación. b) La distancia mínima que separa dos puntos que se encuentran en fase y otros dos que se encuentran en oposición de fase. t ) = D ⋅ sen 2 ⋅ π ⋅ −6 − 10 300 El parámetro D no tiene un valor concreto. – Amplitud: Corresponde a la cota D. la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas. c) La ecuación general de una onda que se propaga en la dirección OX es: x t y ( x. Movimiento ondulatorio 28 .1 · sen [2 · π · (2 · x + t)] Unidad 5. t ) = A ⋅ sen 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t − λ Si comparamos la ecuación general con la del problema: y(x. precisamente. La distancia señalada es la que separa dos puntos que se encuentran en el mismo estado de vibración. El efecto equivale a una fotografía instantánea de una zona alcanzada por la perturbación. b) La velocidad de propagación de la onda se calcula a partir de la expresión: v= λ 300 = −6 = 3 ⋅ 10 8 m ⋅ s −1 T 10 El resultado que obtenemos es.La segunda muestra el estado de vibración de distintos puntos alcanzados por la perturbación en un mismo instante. frecuencia. θ. esta es nula. 34 Dada la ecuación de onda: y (x. t) = 0. desde su posición de equilibrio. – Período: Corresponde a la cota B. luego: 2 · π = 2 · π · [(2 · x + t) − (2 · x' + t)] Por tanto.5 m · s−1 b) La diferencia de fase entre dos puntos es: ∆ϕ = 2 · π · [(2 · x + t) − (2 · x' + t)] Para dos puntos en fase.obtenemos directamente los siguientes valores: Amplitud. la diferencia de fase mínima es 2 · π. Calcula: a) Su longitud de onda.25 m d) Existen multitud de puntos que vibran en fase y en oposición de fase. 35. b) La velocidad de una partícula del medio situada a 2 m del foco cuando han transcurrido 4 s. f = 1 Hz Longitud de onda: 1/λ = 2 → λ = 0. resulta: 1 = 4 · (x − x' ) → x − x' = 0.1 m Frecuencia.25 · sen (2 · t − 5 · x) con la ecuación general del movimiento ondulatorio: y (x. c) La diferencia de fase de un punto del medio cuando han transcurrido 10 s. Movimiento ondulatorio 29 . Entre dos puntos cualesquiera de una recta que parta del foco de la perturbación. las magnitudes se miden en unidades S. Si la distancia que los separa es igual a media longitud de onda. Una onda tiene la siguiente ecuación: y (x. la distancia entre ambos puntos es: x − x′ = 1 = 0.25 · sen (ω · t − k · x) identificamos términos y realizamos algunas sencillas operaciones. t) = 0. obtenemos: A = 0.25 m Unidad 5.25 · sen (2 · t − 5 · x) En esta expresión. existen dos puntos vibrando en oposición de fase.5 m Velocidad de propagación.I. separados una distancia igual a una longitud de onda. frecuencia y amplitud. t) = 0. A = 0. 5 m 2 c) Dos puntos consecutivos en oposición de fase son aquellos cuya diferencia de fase es π (∆ϕ = (2 · n + 1) · π): π = 2 · π · [(2 · x + t) − (2 · x' + t)] Simplificando la expresión anterior. v = λ/f = 0. existen dos puntos que vibran en fase. t) = 0. a) Si comparamos la ecuación del enunciado: y (x. k = → λ = = = 0. hemos tomado n = 2.4 · π m λ k 5 b) La velocidad de vibración de las partículas del medio la obtenemos derivando respecto al tiempo la ecuación general del movimiento ondulatorio: dy (x.5 · cos (2 · 4 − 5 · 2) = 0. siendo la velocidad de propagación de las ondas 100 m/s. 5 m f 200 La ecuación general de una onda armónica estacionaria se escribe en la forma: y = 2 · A · cos (k · x) · sen (ω · t) El número de onda. con un nodo en cada extremo. La cuerda tiene tres nodos y la amplitud de vibración es 1. La longitud de onda es: λ= v 100 →λ= = 0.5 · cos (−2) = −0. T = = π s f 2·π 2·π π 2·π 2·π 2·π k = 5 rad · m−1 . Se hace vibrar una cuerda de 0. sujeta por los dos extremos. es: v (2. Unidad 5. que es el modo de vibración correspondiente a la onda del enunciado. son: 2⋅π 2⋅π = = 4 ⋅ π rad ⋅ m −1 λ 0. se calcula del siguiente modo: ϕ2 − ϕ1 = (2 · t2 − 5 · x) − (2 · t1 − 5 · x) = 2 · (t2 − t1) = 2 · 10 = 20 rad 36. t) = = 0. Movimiento ondulatorio 30 . transcurridos 4 s. transcurridos 10 s. esto nos permite calcular la frecuencia de la vibración a partir de la longitud de la cuerda. la cuerda tiene dos nodos en los extremos. t) v (x. para una onda estacionaria con nodos en los extremos: f = n⋅v 2 ⋅ 100 → f = = 200 Hz 2⋅l 2 ⋅ 0. pues se empieza a contar por n = 1. 5 En nuestro caso. Como en total hay tres nodos. situación que corresponde al modo de vibración fundamental. y la frecuencia angular.21 m · s−1 c) La diferencia de fase de un punto del medio.5 · cos (2 · t − 5 · x) dt La velocidad que corresponde a una partícula del medio que se encuentra a 2 m. ω. 5 ω = 2 ⋅ π ⋅ f = 2 ⋅ π ⋅ 200 = 400 ⋅ π rad ⋅ s −1 k= Por tanto.2 cm.5 metros. Escribe la ecuación de la onda estacionaria y calcula la frecuencia fundamental de vibración y la longitud de onda asociada. la ecuación de la onda estacionaria resulta: y = 0.1 ω 2 1 ω = 2 rad · s−1 . ya que. ω = 2 · π · f → f = = = Hz . k.024 · cos (4 · π · x ) · sen (400 · π · t ) m NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. 4) = 0. El modo n = 2 corresponde a un nodo en cada extremo y otro nodo equidistante de ambos. Al estar sujeta por los extremos. la frecuencia es la misma para todos. y t. Movimiento ondulatorio 31 .37 Una onda estacionaria tiene por ecuación: π y = 5 · cos · x · cos (40 · π · t) 3 En esta expresión. la distancia que existe entre dos nodos consecutivos es: λ λ λ λ 6 x2 − x1 = (2 · 2 + 1) · − (2 · 1 + 1) · = (5 − 3) · = = = 3 cm 4 4 4 2 2 c) La ecuación que corresponde a la velocidad de vibración de las partículas es: Unidad 5. b) La distancia que existe entre dos nodos consecutivos.05 s 2·π f 20 2·π Por tanto.5 cm en cualquier instante. c) La velocidad de una partícula situada en el punto x = 1. Dicha amplitud es: π A' (x ) = 5 · cos · x = 2 · A · cos (k · x) 3 Donde A es la amplitud de las ondas componentes. la velocidad de fase es: λ 6 v = = = 120 cm/s T 0. x e y se miden en cm.05 b) La condición que cumplen los nodos de la oscilación es: λ x = (2 · n + 1) · ∀ n ∈ 4 N Por tanto. Por tanto: 5 5 = 2 · A → A = = 2.5 cm 2 La longitud de onda la calculamos como sigue: 2·π 2·π 2·π π k = rad · cm−1. T = = = 0. a) La ecuación general que corresponde a una onda estacionaria es: y = 2 · A · cos (k · x) · sen (ω · t ) Si la comparamos con la que ofrece el enunciado del problema: π y = 5 · cos · x · cos (40 · π · t) 3 La amplitud con que oscila cada punto de la onda estacionaria depende de la posición. ω = 2 · π · f → f = = = 20 Hz . k = → λ = = = 6 cm λ k π/3 3 Y el período: 40 · π 1 ω 1 ω = 40 · π cm · s−1 . en segundos. y coincide con la de las ondas que interfieren. Determina: a) La amplitud y la velocidad de fase de las ondas componentes. 1 m de espesor. calcula: a) El coeficiente de absorción del medio. dy (x. es aquel que reduce a la mitad la intensidad inicial de la onda. La intensidad de una onda esférica se calcula de acuerdo con la siguiente expresión: P P I = = 2 S 4·π·r Por tanto. Por tanto: I0 1 = I0 · e−β · 0. Calcula la intensidad de la onda a 1 m de distancia del foco emisor.1 b) El espesor de semiabsorción.1 → −ln 10 = −β · 0. por tanto.1 10 10 −ln 10 β = = 23 m−1 −0. Movimiento ondulatorio 32 .1 m. b) El espesor de semiabsorción. t) = 200 · π · cos · 1. la intensidad de la onda será: 4 I = 2 = 0. t) π v (x. a un metro de distancia del foco emisor. la velocidad de una partícula situada a 1.1 → ln = −β · 0. a) La intensidad de una onda tras atravesar un medio material absorbente se calcula mediante la siguiente expresión: I = I0 · e−β · x En el caso que nos ocupa.32 W · m−2 4·π·1 39 Un frente de ondas plano posee una intensidad de 10−2 W · m−2 cuando incide en un medio absorbente de 0. ese punto es un nodo.03 m −23 1/2 Unidad 5. y x = 0. t) = = 40 · π · 5 · cos · x · sen (40 · π · t) = dt 3 π = 200 · π · cos · x · sen (40 · π · t) 3 Por tanto. Por tanto: I0 1 = I0 · e− 23 · D → ln = −23 · D1/2 → −ln 2 = −23 · D1/2 2 2 −ln 2 D1/2 = = 0.5 · sen (40 · π · t) = 3 π = 200 · π · cos · cos (40 · π · t) = 0 2 De acuerdo con el resultado obtenido. 38.5. D1/2. I = I0/10. su elongación y su velocidad son siempre nulos. Si a la salida la intensidad se ha reducido a una décima parte de la inicial.5 cm en cualquier instante será: π v (1. Una fuente emisora de 4 W produce ondas esféricas en un medio no absorbente. obtenemos: I0 1 = I0 · e−50 · x → ln = −50 · x 5 5 1 ln 5 x = = 0. si este se encuentra en el aire (naire = 1).40. resulta: Unidad 5. 41. siendo n = 1. Por tanto: β = 0. y la que se obtiene.55. x. Una placa de vidrio tiene un espesor de 0. Calcula el índice de refracción del bloque de vidrio de la figura. 9 ⋅ 10 –2 = 4. Calcula cuánto tardará un haz de luz en pasar a través de ella.5 cm−1.22 cm −50 NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. tras atravesar una distancia. El coeficiente de absorción de un determinado medio es 0.9 cm. Por tanto: n= v aire v 3 ⋅ 10 8 → v vidrio = aire = = 1. naire = 1 naire = 1 20° 30° Aplicando directamente las leyes de Snell a la refracción. Calcula cuál ha de ser su espesor para que la intensidad de una onda que lo atraviesa se reduzca a la quinta parte de la incidente. 93 ⋅ 10 8 42. 93 ⋅ 10 8 m ⋅ s –1 v vidrio n 1. el haz de luz tardará en atravesarla: ∆t = ∆s v vidrio = 0.I. 66 ⋅ 10 –11 s 1. La unidad S. 55 Como la placa de vidrio tiene un espesor de 0. El índice de refracción de la placa de vidrio es la relación entre la velocidad de propagación del haz de luz en el aire y la velocidad de propagación a través de la placa de vidrio.9 centímetros. Movimiento ondulatorio 33 .0322 m = 3. en que se expresa el coeficiente de absorción es m−1. de material absorbente es: I = I0 · e−β · x Teniendo en cuenta que: I0 I = 5 .5 cm−1 = 50 m−1 La expresión que relaciona la intensidad de la onda incidente. I. I0. β = 50 m−1 Sustituyendo y operando. sobre la cara ab de un prisma de cristal cuyo índice de refracción toma el valor n = 1.52. ¿Cuánto se desplazará verticalmente el rayo? α A' A α L Unidad 5. 33 → φ = arcsen = 61. Los ángulos que se señalan miden 101. resulta: n 1 sen φ n2 = → sen φ = 2 ⋅ sen 90° = → 1. 33 sen φ n2 = → sen φ = 2 ⋅ sen 90° = → 1. Por tanto. 52 44 Un prisma. Movimiento ondulatorio 34 . saldrá desplazado por A'.5º. Un rayo de luz incide. Si el rayo sale reflejado en la cara ac. Un rayo A. como se indica en la figura. el ángulo que forma con la normal es 90°. al aplicar la ley de Snell. que incida como se indica. a φ φ b c Calcula: a) El valor máximo del ángulo φ que hace que el rayo salga totalmente reflejado en la cara ac. está formado por dos prismas iguales. que se encuentra en el aire. 14° 1. 31° 1. a) Como se aprecia en la ilustración. unidos como se indica en la figura. b) Ese mismo ángulo si el prisma está sumergido en agua (índice de refracción del agua = 4/3). 52 b) El índice de refracción del medio que rodea al prisma cambia. de trazo discontinuo. Por tanto: n 1. 462 = → n2 = sen rˆ 1 sen 20° sen rˆ n1 43. 52 sen rˆ n1 n1 1 → φ = arcsen = 41. la línea que separa los dos medios es la recta ac.sen iˆ sen 30° sen iˆ n 2 ⋅n = ⋅ 1 = 1. siendo la normal la recta perpendicular a ella. 52 sen rˆ n1 n1 1. simplemente hemos de aplicar la ley de Snell. Para ello.16° = 4. podemos determinar cuál será la desviación que sufre el rayo a medida que va atravesando cada medio. Al pasar del aire al vidrio. L = 10 cm. 47 mm 45. Completa el diagrama adjunto. OAB → h = tg cˆ L−x De las dos expresiones anteriores podemos despejar el desplazamiento vertical del rayo. Movimiento ondulatorio 35 . 1246 → ˆ 1. 16° Por tanto. el ángulo marcado en la figura como cˆ.5° α N N b M A O c a a a B M’ C L—x α h x L Si aplicamos la ley de Snell a este sistema. del vidrio y del cuarzo. 1246 = 7. indicando la trayectoria que seguirá un rayo de luz amarilla monocromática que pasa a través del vidrio y del cuarzo.Datos: nprisma = 1.5° − 7. resulta: cˆ = aˆ − bˆ = 11. el ángulo de refracción es: Unidad 5.5 − 90 = 11.6. 5° = 7.70 Como conocemos el ángulo de incidencia del rayo y los índices de refracción del aire. El ángulo que forma el rayo incidente con la normal es: â = 101. 1 ⋅ = 1 + tg cˆ ⋅ tg aˆ 1 + tg 4. para salir de nuevo al aire: 30° VIDRIO CUARZO n vidrio = 1. podemos calcular el ángulo de refracción: n 1 sen aˆ n2 = → sen bˆ = sen aˆ ⋅ 1 = sen 11. 6 n2 sen b n1 → bˆ = arcsen 0. 5° ⋅ = 0. 47 ⋅ 10 −3 m = 7. 34° = 0.34° En cada uno de los dos triángulos rectángulos que se forman podemos escribir: ABC → x = tg aˆ h .50 n cuarzo = 1. 34° ⋅ tg 11. h: h= L⋅ tg cˆ tg 4. Por tanto: n sen iˆ n2 1. 5 3 Si trazamos otra normal a la línea de separación vidrio-cuarzo. 5 → rˆ = 30° sen rˆ n2 n 1 VIDRIO CUARZO 30° 19. 47° sen rˆ n n1 1. 5 = → sen rˆ = 1 ⋅ sen iˆ = ⋅ sen 19. 294 → rˆ = 17.sen iˆ n1 n 1 1 = → sen rˆ = ⋅ sen iˆ = ⋅ sen 30° = → rˆ = 19.4° 17. 1° sen rˆ n1 n2 1. el rayo sale paralelo a la dirección de entrada.7 Como vemos.4° 19.5 n2=1. 47° = 0. al salir al aire: n sen iˆ n 1.1° 30° n n1=1. 7 Por último. 1° = 0. Unidad 5.1° 17. en el punto en que incide el rayo refractado. el ángulo de incidencia con que llega el rayo al cuarzo es el que hemos calculado anteriormente. Movimiento ondulatorio 36 . 7 = → sen rˆ = 2 ⋅ sen iˆ = ⋅ sen 17. que tarda en llegar a tus oídos el sonido del choque de una piedra que cae desde la boca del pozo. 20 ºC.6 1 . Imagina que estás frente a un pozo y conoces la distancia.6 333 366. la velocidad de propagación del sonido en el aire será: v sonido (aire ) = h = t2 h t− 2⋅h g 2. ONDAS SONORAS 1. que podemos obtener utilizando las ecuaciones cinemáticas de la caída libre. t.1.6 ACÚSTICA 6. 40 ºC. h.1 313 355. t1. ¿Cómo medirías la velocidad del sonido en el aire? Un procedimiento puede ser el siguiente. 0 ºC. Calcula la velocidad de propagación del sonido en el aire a −20 ºC. 1 ⋅ T siendo T la temperatura absoluta a que se encuentra la muestra de aire.1 293 334. Ese tiempo t será la suma del tiempo que tarde la piedra en llegar a la superficie del agua. y del tiempo t2. que existe entre la boca del pozo y la superficie del agua que contiene. Con un cronómetro puedas medir el tiempo. La velocidad de propagación del sonido en el aire se calcula a partir de la expresión: v = 20.8 353 377. Para las temperaturas propuestas. sonido (m · s−1) 253 319. que es el que tarda el sonido en llegar desde la superficie del agua hasta nuestro oído: t = t1 + t2 = 2⋅h 2⋅h + t2 → t2 = t − g g Por tanto. 60 ºC y 80 ºC.7 273 332. Acústica Temperatura (K) Velocidad de prop. los valores que corresponden a la velocidad de propagación del sonido resultan: Unidad 6. 3. b) La longitud de onda. t ) = 0.s–1) Al representar los datos gráficamente. al aumentar la temperatura del aire. aproximadamente. se obtiene: 344 v λ1 = = = 21. d) La velocidad de la onda sonora. las frecuencias audibles extremas se encuentran entre 16 Hz y 20 000 Hz. Una onda sonora provoca una variación de presión en el aire que viene dada por la siguiente expresión: π P (x. Representa en el eje de ordenadas la velocidad del sonido en el aire. Tomando para la velocidad del sonido en el aire el valor 344 m · s−1. Si consideramos el valor de la velocidad del sonido que indica el enunciado. Justifica el resultado que obtienes.75 · cos · (x − 340 · t ) 2 donde P se mide en pascales.91 16. Vel. Calcula: a) La amplitud de la presión. Unidad 6. la raíz cuadrada de la temperatura.12 17. Acústica 2 . Para un oído humano sano. sonido (m.79 Raíz cuadrada de la temperatura (K1/2) Como se aprecia en la gráfica.0172 m f2 20 000 5.69 18. 4. y en el de abscisas.25 18. c) La frecuencia. obtenemos el siguiente resultado: 390 380 370 360 350 340 330 320 310 300 290 280 15. calcula las longitudes de onda que corresponden a las frecuencias audibles extremas. x en metros y t en segundos. En dicha gráfica se comprueba que existe una relación lineal entre la velocidad de propagación del sonido en el aire y la raíz cuadrada de la temperatura absoluta a que este se encuentra.52 17.5 m 16 f1 v 344 λ2 = = = 0. Dibuja los resultados que obtienes en el ejercicio anterior en una gráfica. aumenta la velocidad de propagación del sonido. 2.. 3. El tubo más largo de un órgano mide 10. Calcula su frecuencia fundamental.75 Pa. 2. k = 2 λ la longitud de onda es: 2·π 2·π λ = = = 4 m k π/2 c) La frecuencia angular es: π ω = 340 · = 170 · π rad · s−1 2 Por tanto...) n La frecuencia se obtiene a partir de la expresión: vn vn · n vn = λn · f → fn = = λn 2·L b) Del mismo modo que en el apartado anterior: v · (2 · n + 1) 4·L λn = (n = 0. 1. Acústica n⋅v 2⋅l 3 .) → fn = (n = 0. la frecuencia de vibración será: 170 · π ω ω = 2 · π · f → f = = = 85 Hz 2·π 2·π d) La velocidad de propagación de la onda sonora es: v = λ · f = 4 · 85 = 340 m · s−1 6. por tanto. 3..52 m y está abierto por ambos extremos.. a) Teniendo en cuenta que las longitudes de onda se corresponden con la siguiente expresión: 2·L λn = (n = 1. 3. Obtén la expresión que permite calcular las frecuencias de las ondas estacionarias en un tubo de aire con los dos extremos abiertos y en otro tubo con un extremo abierto y el otro cerrado. 1. CUALIDADES DEL SONIDO 1..2. b) Teniendo en cuenta que: π 2·π k = .a) La amplitud de la presión es de 0. El órgano es un instrumento formado por tubos abiertos por ambos extremos. la relación entre la frecuencia de la onda que emite y la longitud de cada tubo viene dada por: fn = Unidad 6. 2.) 4·L 2·n+1 2. La situación que plantea el enunciado de la actividad es la siguiente: x11 = 10 m Observador x Foco sonoro Objeto reflectante Unidad 6. calcula la longitud efectiva que debe tener la flauta. cuya frecuencia es 262 Hz. Para este tipo de tubos. Por tanto. La nota más baja que podemos hacer sonar en una flauta es el do de la primera línea adicional por debajo del pentagrama (en clave de sol).5 = 5 250 m 2. ¿A qué distancia del barco se encuentra el banco de peces. 324 m = 32. 52 3. 4 cm 4⋅l 4⋅ f 4 ⋅ 262 6. para llegar al banco de peces necesita la mitad de tiempo: 3. resulta: fn = v v 340 →l = = = 0. Calcula la distancia a que se encuentra el objeto reflectante. al despejar la longitud l. si el eco sonoro tarda 7 s en llegar? Dato: vs (agua) = 1 500 m · s−1 En 7 s. Con esos datos. Una flauta es un tubo abierto por uno de sus extremos. 16 Hz 2 ⋅ 10. n = 1. LA AUDICIÓN 1. En la detección de bancos de peces se utilizan ultrasonidos. por lo que n = 0.5 s.25 s. Por tanto. la onda sonora va y vuelve.Para la frecuencia fundamental. Acústica 4 . De acuerdo con ello.3. la distancia a la que se encuentra el banco de peces es: d = v · t = 1 500 · 3. la relación entre la frecuencia de la onda que emite y la longitud del tubo viene dada por: fn = (2 ⋅ n + 1) ⋅ v 4⋅l La nota más grave que podemos hacer sonar en una flauta es su frecuencia fundamental. Por tanto: f1 = 1 ⋅ 340 = 16. El eco producido por un objeto situado detrás del foco lo percibe con un desfase de 0. Un observador está situado a 10 m de un foco sonoro. 3. ya que no existe un medio material que la haga posible. 2. Comenta la frase siguiente: “En el espacio nadie puede oír tus gritos”. El ruido es la superposición de un gran número de ondas no armónicas. por tanto: 10 + 2 · x t2 − t1 = − 0. ¿En qué se diferencia la música del ruido? La forma de las ondas musicales es periódica. El umbral de dolor es la intensidad sonora a partir de la cual nuestro oído sufre molestias físicas. 029) − 10 2 = 43 m Y la distancia a que se encuentra el objeto del foco sonoro es: d = x1 + x = 10 + 43 = 53 m 6. de muy distintas frecuencias. En un ruido no es posible definir el período de la onda. En el espacio no es posible la transmisión. Unidad 6. sí oirías tus propios gritos. Aunque su forma no sea perfectamente senoidal.4. Para cada frecuencia existe un umbral de audición y un umbral de dolor.029 v La distancia a que se encuentra el objeto reflectante del foco sonoro es: x= [ ] v ⋅ (t 2 − t 1 ) + 0. y su evolución es completamente aleatoria.029 s v 344 Y el que tarda en percibir el eco: x1 + 2 · x 10 + 2 · x t2 = = v v El desfase es. frecuencia) perfectamente determinado. excepto en el caso de notas puras. por tanto. una nota musical se caracteriza por tener un período (y. 25 + 0. INTENSIDAD Y NIVEL DE INTENSIDAD 1. Las ondas sonoras son ondas mecánicas y necesitan. 029 − 10 2 = 344 ⋅ (0. un medio material para propagarse. Es el valor límite de la intensidad sonora que nos permite percibir un sonido. ¿Qué entendemos por umbral de audición? ¿Y por umbral de dolor? El umbral de audición es la mínima intensidad sonora que estimula el oído. por tanto. Estos dos umbrales no son invariables. al transmitirse la vibración desde las cuerdas vocales al oído a través del propio cuerpo.El tiempo que tarda el sonido en llegar al observador es: x1 10 t1 = = = 0. Acústica 5 . dependen fuertemente de la frecuencia. Sin embargo. donde la sensación sonora es nula. en W · m−2. La intensidad sonora podemos calcularla mediante la expresión: S = 10 ⋅ log I I0 donde I0 es la intensidad umbral. En este ejercicio conocemos la sensación sonora y debemos calcular la distancia. La intensidad sonora. en dB. se puede leer que el nivel de ruido es 77. expresada en W · m−2. A partir de la siguiente expresión: S = 10 ⋅ log Unidad 6. situada en una céntrica plaza. Una onda acústica deja de percibirse a una distancia de 30 km del foco que la emite. Con los datos del enunciado podemos calcular el nivel de intensidad a 3 km del foco: S = 20 ⋅ log d0 30 → S = 20 ⋅ log = 20 dB d 3 5. para la cual la sensación sonora es de 110 db: S = 10 ⋅ log S 110 I → I = I 0 ⋅ 10 10 = 10 −12 ⋅ 10 10 = 0. d. que es de 10−12 W · m−2. En una gran ciudad existen estaciones de medida y control del ruido ambiental. a 3 km del foco. de ruido que hay en la plaza. Calcula la intensidad media. Mediante un sonómetro se mide el nivel de ruido en una discoteca. obtenemos: S = 20 ⋅ log S d0 d d 30 000 → 10 20 = 0 → d = 0S = = 30 m 60 d d 20 20 10 10 6. en dB. Acústica I I0 6 . podemos calcularla mediante la expresión: S = 10 ⋅ log I I0 donde d0 es la distancia umbral. para que el nivel de intensidad alcance 60 dB. Calcula la intensidad media. En una de estas estaciones.4. calcula la distancia a que debemos encontrarnos del foco. Despejando de la siguiente igualdad. En la actividad anterior. de ruido en el local. 1 W ⋅ m −2 I0 7. Suponiendo que no existe absorción por parte del medio.8 dB. cifrándose dicho nivel en 110 dB. calcula el nivel de intensidad. I. Con los datos del enunciado podemos calcular la intensidad media. 8 I → I = I 0 ⋅ 10 10 = 10 −12 ⋅ 10 10 = 6. Calcula la intensidad de un sonido de 7 000 Hz que produce la misma sensación sonora (en fon) que otro sonido de 200 Hz cuyo nivel de intensidad es 40 dB. por otro lado. en fon. Acústica 7 . Según se aprecia en la gráfica de la página 146 del libro del alumno. Haciendo esto obtenemos: I = 5 · 10−9 W · m−2 Curvas de igual sonoridad para distintas frecuencias Umbral de dolor 100 120 (fon) 120 110 10 –2 100 100 10 10–6 Nivel de intensidad (db) Intensidad (W. para la que la sensación sonora es de 77.5. LA CONTAMINACIÓN ACÚSTICA 1.m–2) 90 –4 10–8 80 80 70 60 60 50 40 40 30 10 –10 10 –12 20 20 10 0 (fon) 0 Umbral de audición 20 100 1000 10000 Frecuencia (Hz) 6. Unidad 6. ¿Qué utilidad tiene el doble acristalamiento que se pone en las ventanas de las viviendas de nueva construcción? El doble acristalamiento que se coloca en las ventanas de algunas viviendas de nueva construcción cumple una doble función: sirve para mitigar los efectos de la contaminación acústica y. de un sonido de 200 Hz y 40 dB de nivel de intensidad es. en la gráfica mencionada. el valor de la intensidad (la ordenada) correspondiente al punto de corte de la curva que corresponde a la sensación sonora de 20 fon con la abscisa f = 7 000 Hz. calculamos la intensidad media.donde I0 es la intensidad umbral.8 db: S = 10 ⋅ log S 77 . 20 fon. actúa como un excelente aislante térmico. debemos buscar. 03 ⋅ 10 −5 W ⋅ m −2 I0 8. la sensación sonora. aproximadamente: S200 Hz = 20 fon Para averiguar la intensidad de un sonido de 7 000 Hz que produce esa misma sensación sonora. que es de 10−12 W · m−2. I. x. con un espesor de 10 cm. reduce a la décima parte la intensidad de una onda sonora. De este modo.1 10 10 −ln 10 β = = 23 m−1 −0. 3.1 m 10 Por tanto: I0 1 = I0 · e−β · 0. las autopistas se construyen sobre depresiones en el suelo. se coloca masa vegetal a su alrededor. La intensidad que resulta cuando una onda atraviesa cierto expesor. que la energía escape de la vivienda por conducción. β. ¿Qué pasaría si fuese aire húmedo? La conductividad térmica del aire seco es mucho menor que la del aire húmedo. D1/2 y el coeficiente de absorción de un material. sabiendo que. Acústica 8 . el ruido producido por la circulación de los automóviles rebota contra los taludes y se amortigua. La frecuencia con que emite la bocina de un coche estacionado es 400 Hz.23 6. Calcula el espesor de semiabsorción de un material.2. El aire que encierran entre sí los dos cristales que forman el doble acristalamiento es aire seco. Propón algunas soluciones que sirvan para mitigar la contaminación acústica que produce la circulación en una autopista. en su mayor parte. El ruido producido por los coches que circulan por una autopista es una sensación bastante molesta. de ese modo.1 → −ln 10 = −β · 0.1 Si tenemos en cuenta ahora la relación entre el espesor de semiabsorción. especialmente en los casos en que la anterior no es posible. EFECTO DOPPLER 1.1 → ln = −β · 0.6. 4. Esta solución se complementa.693 D1\2 = = = 0.030 m = 30 cm β 0. como muros de hormigón o acristalamientos. la insonorización acústica es mejor. x = 0. lo que ayuda a minimizar el impacto acústico. sin propagarse apenas fuera de ella. De ese modo. el sonido se refleja y vuelve a la autopista amortiguado. Unidad 6. de un material absorbente se puede calcular utilizando la expresión: I = I0 · e−β · x En este caso: I0 I = . especialmente cuando esta pasa cerca de núcleos urbanos de población. obtenemos el primero: ln2 0. con la instalación de barreras físicas. Para disminuir sus efectos se han ideado varias soluciones. Calcula la frecuencia que percibe un receptor que se mueve hacia el coche con una velocidad de 100 km · h−1. como ocurre cuando el núcleo urbano está muy cerca de la autopista. En primer lugar. Además. Además. El aire seco. convierte la ventana en una cámara estanca que evita. al estar encerrado dentro del doble acristalamiento. Por tanto.o Mach = vf v sonido Para un avión que se desplaza en el aire a una velocidad de 1.49 m−1 650 3. 8 = 612 m ⋅ s −1 = 2 203 km ⋅ h −1 Unidad 6. Un tren que se mueve a una velocidad de 90 km · h−1 se acerca a una estación y hace sonar su silbato. Calcula la velocidad. La longitud de onda aparente de las ondas debida al movimiento del foco es: vF λ' = λ − f Teniendo en cuenta que: v 344 λ = = = 0. Por tanto: 1 000 100 · v0 3 600 f ' = f · 1 + = 400 · 1 + 340 v = 432. en km · h−1. En este caso el foco se desplaza radialmente respecto al observador. la frecuencia que percibe el observador aumenta. acercándose a este. acercándose a este. El número de Mach es la relación que existe entre la velocidad con que se desplaza un foco sonoro y la velocidad con que se propaga el sonido en el medio por el que se desplaza: N . 2. Acústica 9 . la frecuencia que percibe un observador situado en la estación es: 344 v f ' = f · = 650 · = 700.94 Hz 1 000 v − vF 344 − 90 · 3 600 Por tanto. que tiene una frecuencia de 650 Hz.8.En este caso. el receptor se mueve radialmente respecto al foco.68 Hz Al acercarse el receptor al foco emisor. la frecuencia aparente aumenta.53 − = 0. Calcula la longitud de onda de las ondas sonoras que se propagan delante del tren.53 m−1 f 650 Obtenemos: 1 000 90 · 3 600 λ' = 0. a la que viaja un reactor cuya velocidad es Mach 1.8 Mach: Mach = v avión v sonido _ aire → v avión = v sonido _ aire ⋅ Mach = = 340 ⋅ 1. Calcula también la frecuencia que percibe un observador situado en la estación. Dato: La velocidad del sonido en el aire es 344 m · s−1. b) Emite ondas estacionarias. a) Emite ondas transversales. En este caso no existe ningún tubo o cuerda donde podamos asegurar que la onda. El aire no se desplaza. 2. Existe un transporte de energía. e) Verdadero. a) Emite ondas longitudinales. superior a: 340 m 1 km 3 600 s ⋅ ⋅ = 340 ⋅ 3. d) Falso. es decir. sino que vibra. b) Emite ondas estacionarias. Las ondas emitidas por una flauta son ondas sonoras y. La onda se amortigua al propagarse. d) Existe un transporte neto de materia. c) Falso. en km · h−1. como tales. Unidad 6. Indica si podemos aplicar las afirmaciones que siguen a las ondas sonoras que emite una flauta cuando suena. la velocidad a la que debe moverse un objeto para “romper” la barrera del sonido en el aire. tanto por efecto de la atenuación (debida a la distancia) como de la absorción (fruto del rozamiento con el aire). 6 = 1224 km ⋅ h −1 → v > 1224 km ⋅ h −1 1h s 1 000 m ACTIVIDADES DE LA UNIDAD CUESTIONES 1.4. Indica si podemos aplicar las afirmaciones que siguen a las ondas sonoras que emite un gong cuando es golpeado. para desplazarse más rápido que el sonido. a) Verdadero. para romper la barrera del sonido el objeto se moverá a una velocidad. Las ondas sonoras son longitudinales. d) La energía se transmite desde la flauta hasta el oído. las partículas vibran en la dirección en que se propagan las ondas. pero no de materia. en los extremos. transmitiendo una onda de presión. tiene determinado estado de vibración. Acústica 10 . en km · h−1. a) Falso. e) La onda se amortigua al propagarse. Expresa. c) El aire de desplaza desde el gong hasta el oído. son ondas longitudinales. c) El aire se desplaza desde la flauta al oído. b) Falso. Suponiendo que la velocidad de propagación del sonido en el aire es de 340 m · s−1. también se duplica la sensación sonora que produce dicho sonido. un sonido difiere de otros en el timbre. que es la estructura básica de un instrumento de viento. Cuando un foco sonoro se mueve con v vsonido. a) Falso. d) Verdadero. Las ondas se reflejan en los extremos del tubo. Acústica 11 . sino que vibra. resulta proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta: v = 20.b) Verdadero.06 m · s−1 293 Como se observa. b) Falso. Efectivamente. c) Falso. 3. b) Dos sonidos de la misma intensidad y la misma frecuencia son indistinguibles sea cual sea la fuente sonora. la velocidad del sonido no se duplica al hacerlo la temperatura del aire. ya que la relación entre la sensación sonora y la intensidad de la onda sonora no es directa.1 · = 344. a una temperatura T1 = 10 °C = 283 K: v1 = 20. Además de la intensidad y la frecuencia (tono). transmitiendo una onda de presión. la onda sonora transmite la energía desde la flauta hasta nuestro oído. formando un nodo o un vientre. sino logarítmica: I S = log I0 d) Verdadero. c) Falso.13 m · s−1 283 Y a otra T2 = 20 °C = 293 K: v2 = 20. El aire no se desplaza. dependiendo del lado del tubo que consideremos.1 · T Por tanto. La flauta aprovecha las ondas estacionarias que se producen en un tubo hueco. expresada en m · s−1. Explica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Si consideramos el aire como un gas ideal. formado por partículas diatómicas. d) Una onda de choque se produce cuando un foco sonoro se desplaza a mayor velocidad que el sonido. de composición constante. c) Si la intensidad de una onda sonora se duplica. la situación que se produce es la del gráfico de la página siguiente: Unidad 6. a) La velocidad del sonido en el aire. a 20 ºC es doble que a 10 ºC. la velocidad de propagación de las ondas sonoras.1 · = 338. 6. en ambas expresiones. A´ θ vs. En cambio. t 4. al descender la temperatura. 5. aparece un término que corresponde a la velocidad de propagación del sonido en el aire. distingue las notas musicales del ruido? La forma de las ondas musicales es periódica. Se dice entonces que la fuente sonora “ha roto la barrera del sonido”. Aunque su forma no sea perfectamente senoidal (excepto si se trata de notas puras). Al emitir un sonido agudo se puede llegar a romper una copa de vidrio fino. del tubo que suena. Para contrarrestar este fenómeno. ¿Por qué? Este hecho es un ejemplo de resonancia de las ondas materiales. l. podemos variar la longitud. rompiéndose. que. respectivamente: fn = (2 ⋅ n + 1) ⋅ v 4⋅l . 1 ⋅ T Por tanto. Su forma cambia continuamente. de acuerdo con la relación: v = 20. ¿Qué característica. el instrumento disminuye la frecuencia a la que emite la nota. sobrepasa su límite elástico. una nota musical se caracteriza por ser periódica: la forma de la onda se repite cada cierto intervalo de tiempo. t B A vF vF . las ondas de ruido son completamente irregulares. aumenta la frecuencia a la que emite. Unidad 6. Del mismo modo. Dicha velocidad depende de la temperatura. en este caso. Cuando la onda de choque llega al receptor se oye un fuerte estampido sónico. y suena más grave. No puede definirse en ellas un período.En él se observa que el foco no tiene ondas delante. Es lo que hace un clarinetista cuando introduce o saca ligeramente la campana del clarinete. acerca de la forma de la onda. y suena más agudo. ¿Por qué deben afinarse los instrumentos musicales? ¿Influye la temperatura en la frecuencia que emite un instrumento de viento? Las frecuencias a las que puede emitir un instrumento musical con nodo en un extremo y vientre en otro y las de un instrumento con vientres o nodos en ambos extremos son. de resonancia de las ondas sonoras (ondas de presión). Las ondas sonoras actúan sobre el vidrio. Acústica 12 . al hacer sonar una misma nota. al entrar en resonancia. fn = n⋅v 2⋅l Observa que. mientras que detrás las ondas se apilan unas encima de otras formando lo que se conoce como onda de choque u onda de Mach. porque su evolución es totalmente aleatoria. si aumenta la temperatura del instrumento musical. Las ondas sonoras de longitud de onda más corta son las que corresponden a una frecuencia de 20 000 Hz: v 340 λson mín = = = 0. Un sonido de 60 dB. Unidad 6. 10. la relación entre las intensidades es: I1 I0 · 106 = 3 = 103 = 1 000 I2 I0 · 10 Un sonido de 60 dB tiene 1 000 veces más intensidad que otro de 30 dB. expresado en decibel.017 m f 20 000 Las ondas luminosas de longitud de onda más larga corresponden a las de menor frecuencia (rojo): c 3 · 108 λlum máx = = = 7. y su décima parte es el decibel. pero no se puede ver sin asomarse. Acústica 13 . ¿Cómo explicas ese fenómeno? Se debe a sus diferentes longitudes de onda. observamos que el sonido es más fuerte que si nos desplazamos a cualquiera de los dos lados. 9. b) Se produce una interferencia destructiva entre los dos altavoces.7 ¿Se puede considerar el decibel como unidad de intensidad? No. El bel es la unidad de sensación sonora. Dos altavoces están emitiendo una nota proporcionada por un generador de señales puras. se puede calcular de acuerdo con la siguiente expresión: I S = 10 · log dB I0 Por tanto. ¿Responde alguna de las siguientes afirmaciones a por qué se produce este fenómeno? a) Se produce una refracción del sonido entre los dos altavoces. Si nos situamos en medio de los dos altavoces. ¿tiene doble intensidad que otro de 30 dB? El nivel de intensidad sonora.5 · 10−7 m frojo 4 · 1014 Observa que: λson mín λlum máx Esto implica que los “obstáculos” o “rendijas” que producen difracción en las ondas sonoras son de dimensiones mucho mayores que las que la provocan en la luz (caso de las esquinas). 8. La unidad de intensidad sonora es el W · m−2. para cada caso podemos escribir: 60 S I1 S1 = 10 · log → I1 = I0 · 10 10 = I0 · 10 10 = I0 · 106 I0 30 S I2 S2 = 10 · log → I2 = I0 · 10 10 = I0 · 10 10 = I0 · 103 I0 1 2 Por tanto. Se puede oír lo que se dice al otro lado de una esquina. para una interferencia destructiva: x AD − x BD = λ ⋅ (2 ⋅ n + 1) 2 Si las distancias AD y BD son iguales.20 000] Hz. En el punto D habrá. que producen la misma nota (mismo tono y timbre) con la misma intensidad. Acústica 14 . A y B. las amplitudes sonoras se suman y la intensidad sonora aumenta. Un reproductor de cinta tiene un rango de frecuencias [200 . aumentará la intensidad sonora. Un micrófono recorre la línea CE y se observa que hay posiciones en las que el sonido es más intenso que en otras. mientras que en los puntos con interferencia destructiva. debe existir un máximo de intensidad (interferencia constructiva) en el punto D.c) Es consecuencia del efecto Doppler. ¿valdría la pena pagar más por él que por el segundo de los otros dos reproductores? ¿Por qué? Unidad 6. mientras que otro comprende el rango de frecuencias [60 . la intensidad sonora se reducirá. 11. A B C D E a) ¿Por qué existen esas regiones? ¿Dónde puedes situar una de ellas? b) ¿Qué puede deducirse acerca de las dos fuentes. d) Se produce una interferencia constructiva entre los dos altavoces. y. Se sitúan como se indica en la figura dos altavoces.6 000] Hz. Se produce una interferencia constructiva. en consecuencia. una zona de interferencia constructiva. La respuesta correcta es la d). Debido a ello. b) Para una interferencia constructiva: xAD − xBD = λ · n y. En aquellos puntos en los que la interferencia es constructiva. la amplitud de la onda será mayor. a) ¿En qué se diferencian? b) Si te ofreciesen un reproductor con un rango de frecuencias [600-30 000] Hz. probablemente. 12. si las distancias AD y BD son iguales? a) Lo que recoge el micrófono pone de manifiesto el fenómeno de interferencia. La nota do natural de la escala musical tiene una frecuencia de 262 Hz. la longitud de onda y la velocidad de propagación de las ondas sonoras es: v v = λ · f → λ = f Por tanto. abarca casi todo el campo de frecuencias audible para un oído humano. Básicamente.a) El segundo reproductor abarca un mayor campo de frecuencias sonoras. El límite audible de un oído humano sano está comprendido entre 20 Hz y 20 000 Hz. de hecho. la longitud de onda de la nota do natural en el aire es: vsonido (aire) 340 λ (aire) = = = 1. La expresión que relaciona la frecuencia. Explica a qué es debido y calcula la longitud de onda que le corresponde en el aire y en el agua. Ello hace que el sonido que emite el aparato no sea tan agradable. para el caso de la nota la: f (la natural) = 440 Hz 440 f (la anterior) = = 220 Hz 2 f (la siguiente) = 440 · 2 = 880 Hz Unidad 6. (Velocidad del sonido en el agua: va = 1 500 m s−1).30 000] Hz. que nuestro oído es incapaz de detectar. Lo que se enuncia en el ejercicio es la relación entre la frecuencia de una misma nota en dos octavas consecutivas.30 m f 262 Y en el agua: vsonido (agua) 1 500 λ (agua) = = = 5. el sonido pierde parte de su timbre (además de no reproducirse los sonidos agudos. b) No valdría la pena. En el primero de ellos. es absurdo pagar un precio extra por un aparato que emite sonido en un rango de frecuencias [20 000 . Por tanto. Por ejemplo. EJERCICIOS 13. no se reproducen los armónicos de aquellos sonidos de menor frecuencia que están por encima de 6 000 Hz). Calcula la longitud de onda que le corresponde en el aire y en el agua. Acústica 15 . Del mismo modo. En el primer reproductor. lo que sí es posible en el segundo. la frecuencia de la misma tecla que le precede en la octava anterior es la mitad. La frecuencia de la nota do una octava por encima del do natural es doble que la de este.73 m f 262 Recuerda que la frecuencia es una magnitud propia del movimiento ondulatorio. los sonidos agudos no se pueden reproducir. 14. la frecuencia de cada tecla de la octava que sigue a otra es el doble de la que corresponde a la misma tecla de la octava anterior. t (ms) 0 5 10 15 20 25 30 a) ¿Qué podemos decir acerca de la nota emitida? ¿Es una nota pura? b) ¿Cuál es la frecuencia fundamental con que se emite este sonido? c) ¿Qué frecuencia tiene el armónico que acompaña a la nota fundamental? a) La nota emitida no es una nota pura. lo cual es lógico.65 m 524 f vsonido (agua) 1 500 λ (agua) = = = 2. Esto se debe a que los armónicos son notas cuya frecuencia es múltiplo de la que corresponde a la nota fundamental.86 m 524 f Observa que. b) El período de una nota con armónicos no difiere respecto al de la nota fundamental pura. la nota fundamental tiene un período de 10 ms.Por tanto. Acústica 1 1 = = 100 Hz T 10 ⋅ 10 −3 16 . f (do natural) = 262 Hz la frecuencia de la nota do de la siguiente octava será: f (do siguiente) = 2 · f (do natural) = 2 · 262 = 524 Hz Por tanto: vsonido (aire) 340 λ (aire) = = = 0. la longitud de onda es la mitad de la calculada en el apartado anterior. Amplitud 15. En este caso. porque la forma de onda no es completamente senoidal. lo que supone una frecuencia: f = Unidad 6. La figura muestra la onda que produce una fuente sonora. En el gráfico se representa la amplitud de la onda en función del tiempo. dado que las velocidades de propagación en el aire y en el agua no varían y que la frecuencia es una magnitud propia de la onda sonora. en cada caso. si tenemos en cuenta los datos del ejercicio anterior: vsonido(agua) = 1 500 m · s−1 . su frecuencia resulta: f = 1 1 = = 200 Hz T 5 ⋅ 10 −3 que es un múltiplo de la fundamental. Amplitud Primer armónico 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (ms) Por tanto. deducimos que el período del armónico es 5 ms. 100 Hz. La suma de ambas nos da como resultado la que nos proponen en el enunciado: Amplitud Fundamental y primer armónico Unidad 6. Este hecho es el que nos da la clave para calcular su período. también lo hace el armónico. Acústica 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (ms) 17 . Si nos fijamos en la forma de la onda resultante.Amplitud Fundamental 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (ms) c) Cuando la amplitud de la nota fundamental pasa por 0. En la figura se muestran varias cuerdas. Unidad 6.16. Si la velocidad del sonido en el agua es 1 500 m/s. A 1 2 3 4 5 6 x (m) Como se aprecia en la ilustración. Acústica 18 . Por tanto. la velocidad de propagación del sonido en el aire debe ser: λ= v → v = λ ⋅ f = 165 ⋅ 2 = 330 m ⋅ s −1 f 18. La longitud de onda se puede ver en el gráfico. Calcula la velocidad de propagación del sonido en el aire en esas condiciones. Un diapasón está generando ondas de 165 Hz. que son iguales en todo menos en grosor. principalmente en navegación. De acuerdo con ello. la longitud de onda es 2 m. Ello nos permite afirmar que la frecuencia fundamental de todas ellas es la misma. ¿A cuál de ellas le corresponde la frecuencia fundamental más alta? A B C D E Si suponemos un modelo ideal. para llegar hasta los peces solo necesita la mitad del tiempo: 30 milisegundos. que es recibido 60 milisegundos después. Un barco pesquero utiliza esta forma de localización por ecos para buscar bancos de peces. Por tanto. solo depende de la longitud. El barco lanza un primer sonido. la distancia a la que se encuentran es: d = v · t = 1 500 · 30 · 10−3 = 45 m 17. como el que venimos estudiando. la frecuencia fundamental de la cuerda la podemos calcular a partir de la expresión: fn = n⋅v v → f1 = 2⋅l 2⋅l Como vemos. En 60 milisegundos. calcula a qué distancia están nadando los peces. El sónar ha sido utilizado en muchas aplicaciones. la onda sonora va y vuelve. mayor será la frecuencia fundamental (más aguda sonará). hacia valores positivos de este. notas más agudas. como consecuencia de un menor rozamiento con el aire.Sin embargo. −1) m. en los instrumentos de cuerda. y las más finas. uno en (0. Un observador situado en el origen comienza a moverse por el eje de abscisas. De hecho. que son iguales en todo menos en longitud. cuanto menor sea la longitud de la cuerda. las cuerdas de mayor grosor producen notas más graves. Los altavoces están situados sobre el eje OY. La respuesta correcta es A. 1) m y el otro en (0. En la figura se muestran varias cuerdas. La respuesta correcta es A. lo cierto es que las cuerdas más finas tienen una frecuencia fundamental superior (suenan más agudo). Calcula el ángulo para el que se recibirá el primer máximo y el primer mínimo de interferencia (excluye el origen como solución del problema). Acústica 19 . ¿A cuál de ellas le corresponde la frecuencia fundamental más alta? A B C D E La frecuencia fundamental de una cuerda que vibra la podemos calcular a partir de la expresión: f = n⋅v 2⋅l Por tanto. La representación del problema es: Y A 1 xAD 0 D X xBD –1 B Los puntos que registran un máximo han de cumplir la siguiente relación: xAD − xBD = λ · n Unidad 6. 20. Este hecho debe atribuirse a la facilidad que tiene una cuerda de menor masa para vibrar. 19. Dos altavoces están accionados en fase por un amplificador y emiten con una frecuencia de 600 Hz. la interferencia será constructiva en todos ellos. Por tanto. la condición de máximo se dará en todos los puntos y. (Intensidad umbral: I0 = 10−12 W m−2). La intensidad de la onda sonora. Calcula la intensidad de una onda sonora que produce una sensación sonora de 30 dB. el nivel de intensidad aumenta en 3 dB. en dB. hacemos uso de la expresión: I S = 10 · log I0 Por tanto: 10−10 S = 10 · log = 20 dB 10−12 22. Para calcular el nivel de intensidad sonora. todos los puntos equidistan respecto de ambos altavoces: xAD = xBD (n = 0). Calcula el ángulo que la onda de choque forma con la trayectoria del reactor.y los que registran un mínimo: x AD − x BD = λ ⋅ (2 ⋅ n + 1) 2 En la línea por la que se mueve el observador. el nivel de intensidad aumenta en 3 dB. expresada en W · m−2.5 a una altura de 5 000 m. se calcula como sigue: 30 S I S = 10 · log → I = I0 · 10 10 = 10−12 · 10 10 = 10−9 W · m−2 I0 23. Acústica 20 . Calcula el nivel de intensidad sonora de una onda cuya intensidad es de 10−10 W m−2. Un reactor se mueve a una velocidad Mach 2. 24. Unidad 6. 21. La expresión que relaciona la intensidad de una onda sonora con el nivel de intensidad es: S I S = 10 · log → I = I0 · 10 10 I0 1 Al imponer la condición de que la intensidad de una onda sea el doble de la que corresponde a la otra. Demuestra que si se duplica la intensidad de una onda sonora. en consecuencia. se obtiene: S1 I1 = I0 · 10 10 S2 I2 = 2 · I1 = I0 · 10 10 → 2 = 10 S2 − S1 10 S2 I2 2 · I1 I0 · 10 10 → = = S → I1 I1 I0 · 10 10 1 S2 − S1 → log 2 = → 10 · log 2 = S2 − S1 10 S2 3 + S1 Efectivamente. y vF la velocidad del foco. es la relación inversa: vF Número de Mach = → vF = Número de Mach · vs vs vF = 2. El número de Mach. vs es la velocidad de la onda.58° vF vF 850 PROBLEMAS 25. la frecuencia de vibración será: 170 · π ω ω = 2 · π · f → f = = = 85 Hz 2·π 2·π Unidad 6. en este caso el sonido. t) = sen π + 170 t 2 en la que P se mide en pascal. dato que proporciona el enunciado. Una onda sonora. produce una variación de presión que viene dada por la expresión: x P (x.El ángulo de la onda de choque se puede calcular teniendo en cuenta la relación deducida en la página 151 del libro del alumnado: vs sen θ = vF En ella. Acústica 21 . d) La velocidad de la onda sonora. Calcula: a) La amplitud de la presión. c) La frecuencia. t) = A · sen (k · x − ω · t) a) La amplitud de la presión es de 1 Pa. que se propaga por el aire. Para obtener las magnitudes que solicita el enunciado. b) La longitud de onda.5 · 340 = 850 m · s−1 El ángulo de la onda de choque es: vs vs 340 sen θ = → θ = arcsen = arcsen = 23. k = λ 2 2·π 2·π λ = = = 4 m k π/2 c) La frecuencia angular es: ω = 170 · π rad · s−1 Por tanto. b) Teniendo en cuenta que: la longitud de onda es: 2·π π k = . x en metros y t en segundos. identificamos la ecuación que nos proporciona este con la ecuación general de un movimiento ondulatorio: P(x. porque es menor que 4 s.18 s Obviamente. b) ¿Cuál será el nivel de intensidad de la onda sonora correspondiente. podemos escribir: t = t1 + t2 = 2⋅h + t2 → 4 = g 2⋅h + t2 9. que resolvemos a continuación: 4= 2⋅h + t2 → 4 = 9. Si sustituimos el resultado en [2].21 = 71. 8 2 ⋅ 340 ⋅ t 2 + t 2 → 4 − t 2 = 69. 8 [1] Por otro lado. Calcula la altura a que se encuentra del agua. 26. por tanto. t2 = 0.21 s. el segundo resultado que ofrece la resolución es físicamente absurdo. 37 ⋅ 10 −2 W ⋅ m −2 2 S 4⋅π⋅r 4 ⋅ π ⋅ 52 22 . obtenemos: h = 340 · t2= 340 · 0.21 s t2 = 77. expresado en dB? a) La intensidad sonora en función de la distancia a la que se encuentra la fuente se calcula con ayuda de la expresión: I = Unidad 6.d) La velocidad de propagación de la onda sonora es: v = λ · f = 4 · 85 = 340 m · s−1 que corresponde a la velocidad de las ondas sonoras. Los cuatro segundos que tarda la persona en oír el choque serán la suma del tiempo que tarda la piedra en chocar contra el agua (t1) más el tiempo que tarda la onda sonora procedente del choque en alcanzar nuestros oídos. Teniendo en cuenta que la piedra efectúa una caída libre. 8 16 − 8 · t2 + t22 = 69. Una persona deja caer verticalmente una piedra desde lo alto de un puente elevado y oye el choque contra el agua cuatro segundos después.39 · t2 → t22 − 77.4 m 27 Un altavoz emite con una potencia de 20 W. la altura a que se encuentra el agua y el tiempo t2 están relacionadas entre sí de acuerdo con la siguiente expresión: h vs = → h = vs · t2 → h = 340 · t2 t2 [2] Las expresiones [1] y [2] forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.39 · t2 + 16 = 0 Al resolver la ecuación de segundo grado se obtiene: t2 = 0. a) Calcula la intensidad de la onda sonora a una distancia de 5 m del altavoz. 39 ⋅ t 2 9. Acústica P P 20 →I = = = 6. hacemos uso de la expresión: S = 10 ⋅ log I I0 donde I0 es la intensidad umbral. resulta: I6 A2 A = 62 → 6 = I 12 A12 A12 I6 = I 12 3. resulta: S = 10 ⋅ log I 6.b) Para expresar el valor en dB: S = 10 ⋅ log I I0 siendo I0 la intensidad umbral. 29 ⋅ 10 −3 = 10 ⋅ log = 99. que es 10−12 W · m−2. para ambas situaciones. 2 dB 10 −12 8. en dB. respectivamente. De ese modo. 316 ⋅ 10 W ⋅ m P I = → P 15 S I = = = 8. 316 ⋅ 10 −2 = 105. Determina: a) La intensidad de esta fuente a 6 y 12 metros de distancia. c) ¿Cuál es la relación entre las amplitudes a 6 y 12 metros? d) Despreciando la absorción del medio. se calcula con la expresión: P 15 −2 −2 I 6 = 4 ⋅ π ⋅ r 2 = 4 ⋅ π ⋅ 6 2 = 3. 37 ⋅ 10 −2 = 10 ⋅ log = 108 dB I0 10 −12 28. que es de 10−12 W · m−2. Por tanto: 3. 29 ⋅ 10 −3 W ⋅ m −2 12 4 ⋅ π ⋅ r 2 4 ⋅ π ⋅ 12 2 b) Para calcular el nivel de intensidad de la onda sonora. en función de la distancia. 29 ⋅ 10 −3 La amplitud de la onda a 6 m es doble que a 12 m. Acústica 23 . ¿a qué distancia dejaría de escucharse el sonido? a) La intensidad. Unidad 6. Una fuente sonora emite con una potencia de 15 W. sustituyendo el dato obtenido en el apartado anterior. expresado en dB. 316 ⋅ 10 −2 =2 8. 2 dB 10 −12 S 6 = 10 ⋅ log S 12 c) La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud. b) El nivel de intensidad de la onda sonora. Por tanto. Por tanto: I 6 d 02 = → d0 = d6 ⋅ I 0 d 62 I6 3. 10−12 W · m−2. Se realizan medidas del nivel de ruido en el interior de una discoteca. la intensidad del sonido debería ser. precisamente. 8 dB I0 10 −12 30. el ruido del tráfico. esta intensidad sonora equivale a: S = 10 ⋅ log I′ 1. suponiendo despreciable la absorción del medio. en el exterior. calcula: a) La intensidad de la onda sonora en el exterior.98 · 10−3 · e −0. la intensidad umbral. b) El nivel de intensidad de la onda sonora o sensación sonora. expresándola en W · m−2: S = 10 ⋅ log S 96 I → I = I 0 ⋅ 10 10 = 10 −12 ⋅ 10 10 = 3.52 · 10−3 W · m−2 b) Expresada en decibelios. 29. Si la pared tiene un espesor de 12 cm y su coeficiente de absorción es β = 0. 316 ⋅ 10 −2 → d0 = 6 ⋅ 1 093 000 m = 1 093 km I0 10 −12 El resultado que obtenemos es absurdo. un fenómeno que tiene gran importancia. porque no tiene en cuenta la absorción de la onda por el medio.08 cm−1. teniendo en cuenta el valor de la intensidad umbral. en una calle de tráfico intenso. se calcula como sigue: 80 S I2 m S1 = 10 · log → I2 m = I0 · 10 10 = 10−12 · 10 10 = 10−4 W · m−2 I0 1 Por tanto. la intensidad en el exterior resulta: I' = I · e −β·x = 3. A una altura de 2 m. siendo este de 96 dB. NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. expresado en dB. 52 ⋅ 10 −3 = 10 ⋅ log = 91. a una altura de 2 m. produce una sensación sonora de 80 dB. Acústica 24 . a) En primer lugar. la potencia de la onda sonora es: P I2 m = 2 → P = I2 m · 4 · π · r12 = 10−4 · 4 · π · 22 = 16 · 10−4 · π W 4 · π · r1 Unidad 6. calculamos la intensidad sonora. 98 ⋅ 10 −3 W ⋅ m −2 I0 Teniendo en cuenta la absorción de la pared. ¿Qué sensación sonora produce a una altura de 25 m? La intensidad de la onda sonora.d) La intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia: d2 I = 02 I0 d A la distancia a la que el sonido dejaría de percibirse.08 · 12 = 1. para una frecuencia igual a 1 350 Hz. n. Conocido ese dato. 2 … 4⋅l Cuando hablamos de la frecuencia de la nota más baja. si puede asimilarse a una columna de aire con uno de los extremos abierto y el otro cerrado. y la longitud del tubo resulta: f = v v 340 →l = = = 0. una vez acortada. el número.Y el valor de la intensidad sonora a 25 m de altura: 16 · 10−4 · π P = 6. 578 m = 57. emitirá también en su frecuencia fundamental. 8 cm 4⋅l 4⋅ f 4 ⋅ 147 33. Unidad 6. 1.4 · 10−7 = 58 dB S2 = 10 · log = 10 · log 10−12 I0 31 Una cuerda se fija entre dos soportes que se encuentran a 1. obtenemos el valor de la sensación sonora a una altura de 25 m: I25 m 6.4 · 10−7 W · m−2 I25 m = 2 → P = 4 · π · 252 4 · π · r2 Finalmente. la relación entre frecuencia y longitud viene dada por: f = (2 ⋅ n + 1) ⋅ v ∀n = 0. que será: f = v 408 = = 600 Hz 2 ⋅ l 2 ⋅ 0. La frecuencia de la nota fundamental que se obtiene al hacer vibrar la cuerda es 150 Hz. podemos obtener la velocidad del sonido en el medio: f = v → v = f ⋅ 2 ⋅ l = 150 ⋅ 2 ⋅ 1. lo que nos hace suponer que la cuerda. calcula la longitud efectiva que debe tener el clarinete. A partir de ahí bajaremos dicho número. ¿qué frecuencia escucharemos? Conocida la frecuencia fundamental (n = 1). n. 34 32. La nota más baja que podemos hacer sonar en un clarinete tiene una frecuencia de 147 Hz. de unidad en unidad. Si la cuerda se sujeta por un punto situado a 0. Acústica 25 . A partir de la longitud efectiva de la flauta. a fin de obtener los armónicos restantes. que corresponde al armónico. 36 = 408 m ⋅ s −1 2⋅l El enunciado nos dice que la cuerda vibra ligeramente. Calcula los armónicos que presenta una flauta por debajo de 1 350 Hz si su longitud efectiva es de 62 cm. hemos de calcular.34 m de uno de los extremos y se hace vibrar ligeramente.36 m de distancia. n = 0. Para un tubo abierto por un solo extremo. 99 ⋅ 10 −3 W ⋅ m −2 I0 S 2 = 10 ⋅ log 83 83 I2 → I 2 = I 0 ⋅ 10 10 = 10 −12 ⋅ 10 10 = 1. Acústica 26 .Teniendo en cuenta que una flauta puede considerarse un tubo con sus dos extremos abiertos. n 4 3 2 1 Frecuencia (Hz) 1 097 822 548 274 NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. Calcula la longitud que corresponde al tubo más largo y al tubo más corto de ese órgano. Un órgano con tubos abiertos por ambos extremos es capaz de reproducir sonidos comprendidos entre 65 Hz y 2 090 Hz. Unidad 6. el enunciado se refiere a las frecuencias fundamentales de los tubos (n = 1). 34. las longitudes asociadas a dichas frecuencias resultan: f1 = n⋅v n ⋅ v 1 ⋅ 340 → l1 = = = 2. ¿Qué relación existe entre las intensidades de dos sonidos de 83 y 93 dB? Las intensidades de dichos sonidos serán: S 1 = 10 ⋅ log 93 93 I1 → I 1 = I 0 ⋅ 10 10 = 10 −12 ⋅ 10 10 = 1. En ambos casos. 13 cm 2⋅l 2 ⋅ f2 2 ⋅ 2 090 35 ¿Cuál es la relación entre las intensidades de dos sonidos de 60 y 70 dB? Las intensidades de dichos sonidos serán: S 1 = 10 ⋅ log 70 70 I1 → I 1 = I 0 ⋅ 10 10 = 10 −12 ⋅ 10 10 = 1 ⋅ 10 −5 W ⋅ m −2 I0 S 2 = 10 ⋅ log 60 60 I2 → I 2 = I 0 ⋅ 10 10 = 10 −12 ⋅ 10 10 = 1 ⋅ 10 −6 W ⋅ m −2 I0 siendo la relación entre ambas: I1/I2 = 10. 92 λn 2 ⋅ L v 340 Aproximamos a n = 5. 13 ⋅ 10 −2 = 8. Por tanto. 62 v v ⋅n = →n= = = 4. 36. el armónico correspondiente a esta frecuencia resulta: fn = 2 ⋅ fn ⋅ L 2 ⋅ 1350 ⋅ 0. Los armónicos que quedan por debajo de n = 5 se recogen en la tabla que sigue. NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. 99 ⋅ 10 −4 W ⋅ m −2 I0 siendo la relación entre ambas: I1/I2 = 10. ya que el valor de la velocidad del sonido en el aire puede variar fácilmente en función de la temperatura y n debe ser un número entero. Número de armónico. Hemos tomado para la velocidad del sonido en el aire: v = 340 m · s−1. 62 m 2⋅l 2 ⋅ f1 2 ⋅ 65 f2 = n⋅v n⋅v 1 ⋅ 340 → l2 = = = 8. medida en watt. El tímpano tiene un área de unos 85 mm2. 01 ⋅ (85 ⋅ 10 −6 ) = 85 ⋅ 10 −8 W S 40 Se quiere construir el cerramiento de un local de ocio. La intensidad sonora que llega al tímpano la obtenemos a partir de la definición de la sensación sonora: S 1 = 10 ⋅ log 100 100 I1 → I 1 = I 0 ⋅ 10 10 = 10 −12 ⋅ 10 10 = 0. resulta: Sint = 10 ⋅ log 100 100 I int → I int = I 0 ⋅ 10 10 = 10 −12 ⋅ 10 10 = 10 −2 W ⋅ m −2 I0 S ext = 10 ⋅ log 60 60 I ext → I ext = I 0 ⋅ 10 10 = 10 −12 ⋅ 10 10 = 10 −6 W ⋅ m −2 I0 Sustituyendo en la expresión que permite calcular la absorción. la potencia que este recibe es: I = P → P = I ⋅ S = 0. Si tenemos en cuenta el área del tímpano. que recibe el tímpano al ser alcanzado por el sonido. si dos sensaciones sonoras tienen una diferencia de diez unidades (esto es. Calcula la intensidad sonora que recibe si es alcanzado por una onda sonora de 100 dB que no se refleja. de 100 dB y 60 dB. Se calcula que dentro de él la intensidad sonora será 100 dB. despejamos el valor que corresponde al coeficiente de absorción del material: I ext = I int ⋅ e − β ⋅ x −6 I ln ext ln 10 I int 10 −2 →β= = = 61. Expresado en W · m−2. calcula la potencia. el nivel que puede llegar al exterior no debe sobrepasar los 60 dB. Si la pared del local ha de medir 15 cm. 15 41. Unidad 6. Calcula la fracción de potencia acústica que habrá de eliminarse para disminuir el nivel de intensidad de un ruido de 90 a 60 dB. 40 m −1 −x −0. respectivamente. sino que se transmite por completo. La intensidad sonora en el interior y en el exterior del local es. 10 db). 01 W ⋅ m −2 I0 39. una intensidad es diez veces superior a la otra. ¿Qué conclusiones podemos extraer de las dos actividades anteriores? Debido a la escala logarítmica empleada para la sonoridad. calcula el coeficiente de absorción mínimo del cerramiento. Sin embargo.37. 38. Acústica 27 . por imposición de las ordenanzas de ruido de la ciudad. para que el local cumpla la normativa. En el problema anterior. e I0. de valor 10−12 W · m−2. Para despejarla. Las intensidades de la onda correspondientes a los niveles de intensidad de 90 dB y 60 dB se calculan a partir de la expresión: I S = 10 · log I0 donde S es el nivel de intensidad. Un observador en reposo pretende medir la velocidad de un coche basándose en el efecto Doppler. dividimos entre sí ambas expresiones: Unidad 6. la intensidad umbral. el observador se mantiene en reposo (v0 = 0 m · s−1). Si planteamos las ecuaciones que corresponden a las situaciones en que el foco se acerca y se aleja. Por tanto: 90 = 10 ⋅ log 60 = 10 ⋅ log I 90 I0 90 → I 90 = I 0 ⋅ 10 10 = 10 −3 W ⋅ m −2 60 I 60 → I 60 = I 0 ⋅ 10 10 = 10 −6 W ⋅ m −2 I0 La fracción de intensidad que hay que eliminar es: χ eliminar = 1 − I 60 = 0. Acústica 28 . calcular la fracción de potencia es equivalente a calcular la relación entre la intensidad inicial de la onda y su intensidad después de haber reducido el nivel de intensidad hasta el valor deseado. Para ello. mide la frecuencia del motor del coche cuando se acerca y cuando se aleja. obtenemos el siguiente resultado: v 340 = f⋅ = 500 Hz v − vF 340 − v F v 340 f '2 = f ⋅ = f⋅ = 450 Hz v + vF 340 + v F f '1 = f ⋅ En estas expresiones.9%. la potencia de la onda debe rebajarse en un 99. f'. la incógnita que nos interesa es vF . calcula la velocidad con que se mueve el vehículo. La lectura que realiza el observador es la frecuencia aparente. obteniendo como resultado 500 Hz y 450 Hz. respectivamente. Por otra parte. 42. 999 I 90 Por tanto.La potencia de una onda está relacionada con su intensidad por medio de la expresión: P I = → P = I · S S Por tanto. Con esos datos. NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. por tanto: f' = f ⋅ v = 1500 ⋅ v + vF 340 = 1 436. Consideraremos en todos los apartados que la velocidad del sonido en el aire es 340 m · s−1. En este caso. b) La frecuencia que percibe si. 9 Hz 1000 340 + 54 ⋅ 3 600 44. Al igual que en el caso anterior. Un tren se acerca por una vía recta. mientras oye cómo se acerca una moto emitiendo un ruido que. asimilaremos a un sonido de frecuencia 1 500 Hz. La frecuencia con que emite el silbato es 1 000 Hz. tanto el foco como el observador se mueven. calcula: Unidad 6. haciendo sonar su silbato. en todo momento. a efectos del problema. 2 Hz 1000 340 − 54 ⋅ 3 600 b) Ahora. se aleja con la misma velocidad. a) El problema es una aplicación del efecto Doppler. 9 m ⋅ s −1 950 43 Maite se encuentra en el portal de su casa. Por tanto: f' = f ⋅ v + v0 = 1500 ⋅ v + vF 340 + 10 = 1 478. calcula: a) La frecuencia que percibe mientras la moto se acerca hacia ella. Acústica 29 . Si el tren se mueve con una velocidad de 144 km/h. La moto se acerca con una velocidad de 54 km/h.340 500 340 − v F 340 + v F = = → 340 ⋅ (500 − 450) = v F ⋅ ( 450 + 500) → 340 450 340 − v F 340 + v F 340 ⋅ 50 → vF = = 17. La dirección en que se mueve la moto es la recta que une la moto con Maite. La velocidad del foco cambia de signo. la frecuencia aparente que este percibe es: f' = f ⋅ v = 1 500 ⋅ v − vF 340 = 1569. c) La frecuencia del ruido percibido si Maite monta en su moto y persigue al conductor de la otra moto con una velocidad de 10 m/s. Con esos datos. por la recta que une a Maite con la moto. el foco se acerca al observador. y. que sigue permaneciendo en reposo. 6 Hz 1 000 340 + 54 ⋅ 3 600 c) En esta ocasión. la moto se mueve en una dirección definida. El observador se acerca hacia el foco y el foco se aleja del observador. tras pasar la moto por delante de ella. Por tanto. la moto (el foco) se aleja del observador. por tanto. es positivo. Se produce un máximo cuando la frecuencia es 1 000 Hz. Se trata de un problema donde intervienen los fenómenos de interferencias. con una velocidad de 3. Ello quiere decir que el observador debería ir persiguiendo el tren con una velocidad igual a 30. c) La velocidad con que debería moverse ese observador. 5 m ⋅ s −1 v + vF 340 + 40 d) El signo de la velocidad. su velocidad cambia de signo. 3 Hz 1000 340 − 144 ⋅ 3 600 b) Ahora. en dirección al tren. lo que indica que el observador se acerca hacia el foco. 2 = ⋅n f 1 000 30 . 7 Hz v − vF 1000 340 − 144 ⋅ 3 600 c) Una vez ha pasado el tren por delante del observador. el foco (el tren) se acerca al observador. Consideraremos en todos los apartados que la velocidad del sonido en el aire es 340 m · s−1. Acústica v v ⋅ n → 1. para percibir el sonido del silbato con una frecuencia de 975 Hz. si se mueve en la misma dirección que el tren? a) El problema es una aplicación del efecto Doppler. la intensidad resultante en P experimenta una serie de máximos y mínimos. b) La frecuencia que percibe el observador si pasea por el andén de la estación. La diferencia de longitud entre ambos caminos es 1. En este caso. 6 ⋅ v + v0 3 600 f' = f ⋅ = 1000 ⋅ = 1136. una vez ha pasado el tren.6 km/h. Calcula la velocidad con que se propaga el sonido en ese medio. v0. aproximándose al foco. Por tanto: 1000 340 + 3. el observador también se mueve. Por tanto: x1 − x2 = λ ⋅ n = Unidad 6. 45. Debemos despejar ahora la velocidad con que debería moverse el observador a partir de la ecuación: f' = f ⋅ v + v0 340 + v 0 → 975 = 1000 ⋅ → v 0 = 30.2 m. la frecuencia aparente que este percibe es: f' = f ⋅ v = 1000 ⋅ v − vF 340 = 1133.5 m · s−1. el siguiente máximo se produce a 1 200 Hz.a) La frecuencia que percibe un observador que se encuentra parado en el andén de la estación mientras se acerca el tren. d) ¿En qué sentido debe hacerlo. Cuando la frecuencia del sonido aumenta. NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. El primer máximo se produce a una frecuencia de 1 000 Hz. Un sonido emitido desde una fuente F alcanza un punto P tras viajar en un medio homogéneo por dos caminos. 2 ⋅ n → n = =5 n +1 0. 2 ⋅ n 1 → n + 1 = 1. 2 Sustituyendo ahora en cualquiera de las ecuaciones anteriores. obtenemos la velocidad: 1. Acústica 1200 ⋅ 1. 2 v ⋅ (n + 1) → v = = = 240 m ⋅ s −1 1200 5+1 n +1 31 . 2 1200 ⋅ 1. podemos calcular el valor de n: 1 = 1. 2 = ⋅ (n + 1) f 1200 Ambas ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: n y v. 2 = Unidad 6.El máximo siguiente (n + 1) se produce a una frecuencia de 1 200 Hz: x 1 − x 2 = λ ⋅ (n + 1) = v v ⋅ (n + 1) → 1. Si las dividimos entre sí. d) Al acercar dos péndulos que han estado en contacto con sendas barras de ámbar o de vidrio frotadas. el vidrio transfiere a un péndulo carga positiva y el ámbar. previamente frotadas. La distancia que separa entre sí los dos protones de un núcleo de helio es del orden de 1 fm (10−15 m): Unidad 7. se repelen. las barras adquieren una propiedad a la que denominamos carga eléctrica. ambas frotadas. de material aislante. entre cargas positivas después de entrar en contacto la barra y el péndulo. explica los siguientes fenómenos: a) Si acercamos al péndulo una barra de ámbar. Campo eléctrico 1 . d) Este fenómeno confirma la existencia de dos tipos opuestos de carga. Se produce entonces una repulsión electrostática. Teniendo esto en cuenta: a) La carga que adquiera la barra de ámbar. se transfieren electrones a este último. b) La carga que adquiere el vidrio es positiva. al acercarlos se atraen. hemos de suponer que. FENÓMENOS DE ELECTRIZACIÓN 1. 7. Para interpretar los fenómenos que describe el enunciado. si entran en contacto. c) Ello es debido a la existencia de dos tipos opuestos de carga: negativa. y positiva. al acercarla al péndulo atrae electrostáticamente las cargas positivas inducidas en este (cuerpo inicialmente neutro a nivel electrostático). se repelen. Un péndulo electrostático es un dispositivo formado por una esfera ligera. Cuando se tocan la barra y el péndulo. Utilizando ese dispositivo. plástico o ebonita es negativa. y la repulsión. que ya no será neutro. ya que a ambos péndulos se les ha transferido el mismo tipo de carga (negativa el ámbar. al frotarlas. la que adquiere el vidrio tras frotarlos. Pero si uno de los péndulos ha estado en contacto con una barra de vidrio y el otro con una barra de ámbar. de plástico o de ebonita frotada previamente con lana. c) Si.2. se atraen. pero. suspendida de un hilo de masa despreciable. carga negativa. La atracción se produce en este caso entre ella y la carga negativa que induce en el péndulo.1. en el segundo caso. se produce de nuevo el mismo fenómeno. sobre el péndulo no se produce ningún efecto. el vidrio). la que adquiere el ámbar.7 CAMPO ELÉCTRICO 7. al otro. LEY DE COULOMB 1. En el primer caso. sin que las dos barras estén en contacto. por lo que se atraen electrostáticamente. b) Si repetimos la experiencia con una barra de vidrio que hemos frotado con una tela de seda. y positiva. se repelen. aproximamos simultáneamente la barra de ámbar y la barra de vidrio al péndulo. ¿es de atracción o de repulsión? Dato: qp = 1. Si mantenemos constantes las demás variables (tipo de partículas. Campo eléctrico 2 . positivo. que mantiene unidos entre sí los nucleones. Estudiamos esta interacción en la última parte del libro. 7. a pesar de la repulsión electrostática. 4 N = ⋅ ⋅ 9 10 (1 ⋅ 10 −15 ) 2 r2 b) La fuerza es de repulsión. la intensidad de la fuerza nuclear fuerte que actúa entre dos partículas es más de cien veces superior a la intensidad de la fuerza electrostática. carga. 6 ⋅ 10 = 230. dado que las cargas son del mismo signo. 0) u2 u1 q 2 = 1mC (1.a) Calcula el módulo de la fuerza que ejerce cada uno de los protones sobre el otro. masa y distancia a que se encuentran). situadas en −1. (1.3. calculamos los vectores unitarios que unen las cargas con el origen del sistema de referencia: r r u1 = 1 ⋅ i r r u2 = −1 ⋅ i Unidad 7. b) Esta fuerza. respectivamente.0) m y (− Si colocamos en el origen del sistema de referencia una carga de 5 mC.6 · 10−19 C a) El módulo de la fuerza que ejercen entre sí dos cargas eléctricas viene dado por: F =K⋅ −19 ⋅ 1. 2. ¿a qué fuerza eléctrica estará sometida? La representación esquemática de la situación física que plantea el enunciado de la actividad es la siguiente: y (m) q1 = –1mC (–1.0) m. Calcula la intensidad del campo eléctrico que crea en el origen del sistema de referencia un dipolo formado por dos cargas. en la unidad de física atómica y nuclear. INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO 1. de +1 mC y −1 mC. 0) x (m) En primer lugar. 6 ⋅ 10 −19 Q⋅q 9 1. ¿Cómo podemos justificar la estabilidad nuclear de un átomo que tenga más de un protón en el núcleo? La estabilidad nuclear es producida por la fuerza nuclear fuerte. 0) m. ¿necesitas conocer el valor de las cargas? ¿Y el medio en que se encuentran? ¿Por qué? La posición de las cargas es la misma que la representada en la actividad anterior. estos dos valores afectan proporcionalmente al campo eléctrico creado por las dos cargas. que en este caso es el origen de coordenadas. Dibuja sus superficies equipotenciales. en los puntos en que se anula el campo eléctrico tenemos: ET = 0 → 1 r 1 r ⋅u + ⋅u = 0 r12 1 r22 2 Es fácil comprobar que el único punto para el que se cumple esta relación es el punto medio entre las dos cargas. como vimos en la actividad anterior. aplicando el principio de superposición en el origen del sistema de referencia. POTENCIAL ELÉCTRICO 1. Campo eléctrico 3 . Unidad 7.4. Por tanto. puesto que. Calcula el lugar geométrico de los puntos del plano XOY en los que se anula el −1. por lo que podemos aplicar el principio de superposición para calcular la intensidad del campo eléctrico en cualquier punto: r ET = 2 r ∑ Ei i=1 1 r Q r 1 r Q r = K ⋅ 2 ⋅ u1 + 2 ⋅ u2 = K ⋅ Q ⋅ 2 ⋅ u1 + 2 ⋅ u2 r r r r 1 1 2 2 donde hemos tenido en cuenta que las dos cargas son iguales. El campo eléctrico creado en cada punto por las dos cargas es la suma de los campos creados por cada una de ellas en ese punto. cómo varía el potencial con la distancia a la carga.La intensidad del campo eléctrico es una magnitud aditiva. Explica el concepto de potencial eléctrico. ¿Qué potencial eléctrico crea una carga puntual? Dibuja en un sistema de coordenadas.0) m y (− Para resolver la actividad. tendremos: r ET = q 2 r q r 2 ∑ = k ⋅ r 21 ⋅ u1 + r 22 ⋅ u2 i=1 1 = r r −1 ⋅ 10 −3 r 1 ⋅ 10 −3 = 9 ⋅ 10 9 ⋅ ⋅i + ⋅ −1 ⋅ i = −18 ⋅ 10 6 ⋅ i N ⋅ C−1 2 12 1 La fuerza eléctrica a que estará sometida una carga de 5 mC situada en el origen del sistema de referencia será: r r r r r F = q ⋅ E → F = 5 ⋅ 10 −3 ⋅ 18 ⋅ 10 6 ⋅ ( −i ) = −9 ⋅ 10 4 ⋅ i N ( ) 2. pero en este caso las dos cargas tienen idéntico valor y signo. para el cual: r1 = r2 r r u1 = –u2 No es necesario conocer el valor de las cargas ni el medio en que se encuentran. campo eléctrico que crean dos cargas iguales situadas en (1. de forma aproximada. 7. por lo que. su signo es el mismo que el de la carga que crea el campo. Campo eléctrico 4 . ¿qué se puede afirmar acerca de las cargas? El potencial eléctrico que crea una carga puntual Q en un punto situado en el seno de un campo eléctrico a una distancia r es: K·Q V = r De acuerdo con el principio de superposición. Observa que el potencial eléctrico se anula a una distancia infinita de la carga que lo crea. Sean dos cargas puntuales a las que se mantiene en reposo y separadas cierta distancia. Las superficies equipotenciales (líneas grises discontinuas) asociadas a una carga puntual positiva son las que se muestran en la siguiente ilustración: + 2. Si el potencial en los puntos del espacio que equidistan de las dos cargas es nulo. hemos considerado que la carga puntual que crea el campo es positiva.El potencial eléctrico de un punto situado en el seno de un campo eléctrico es la energía potencial que posee la unidad de carga positiva en el punto: q V = K · r A diferencia del campo eléctrico o la fuerza eléctrica. el potencial eléctrico es una magnitud escalar. La representación gráfica aproximada de la variación del potencial eléctrico con la distancia a la carga puntual que crea el campo es la que se muestra a continuación: V r En este caso. el potencial creado por ambas cargas es: K · Q1 K · Q2 V = V1 + V2 = + r1 r2 Unidad 7. para r = 4: φ = π · K Wb c) En los apartados anteriores se ha obtenido un valor para el flujo que disminuye con la distancia. ambos vectores son paralelos. TEOREMA DE GAUSS 1. utilizamos la expresión: r r φ = A ⋅ dS ∫ El vector superficie tiene dirección radial. c) ¿Se crean. en este caso desaparecen líneas de fuerza al pasar de la primera a la segunda esfera. b) Resuelve de nuevo el apartado anterior suponiendo ahora que el radio de la esfera es de 4 centímetros. al igual que el vector campo. forman un dipolo eléctrico. Campo eléctrico 5 . d) ¿Es conservativo el campo de fuerzas derivado de dicho campo vectorial? a) Para calcular el flujo. Teniendo en cuenta que el flujo es proporcional a las líneas de fuerza del campo que atraviesan la superficie.5. Por tanto: r r d φ = A ⋅ dS = A ⋅ dS ⋅ cos 0º = A ⋅ dS → r r → φ = ∫ A ⋅ dS = A ⋅ ∫ dS = A ⋅ S = A ⋅ 4 ⋅ π ⋅ r 2 = = 4⋅π⋅K K ⋅ 4⋅ π ⋅r2 = r r3 Para r = 3 obtenemos: φ= 4 ⋅ π ⋅ K Wb 3 b) Del mismo modo. se obtiene: Q1 Q2 r1 = r2 = r → V = K · + K · = 0 → Q1 = −Q2 r1 r2 Por tanto. Dado un campo vectorial definido en cada punto por el vector: r r ur A=K⋅ 3 r en el que K es una constante: a) Calcula el flujo de dicho campo a través de una superficie esférica centrada en el origen de coordenadas. las dos cargas. iguales en valor y de signo opuesto. Unidad 7. o desaparecen líneas de campo entre ambas esferas? Ten en cuenta los resultados obtenidos en los dos apartados anteriores antes de responder. es decir.Si imponemos la condición que indica el enunciado del problema. separadas una cierta distancia. 7. de radio 3 cm. podemos calcular el valor de la constante que aparece en la expresión anterior: Φg = ∫ r r g ⋅ dS = g esfera ∫ dS = −G ⋅ esfera M r r ⋅ u ⋅ 4 ⋅ π ⋅ R 2 ⋅ u R = −4 ⋅ π ⋅ G ⋅ M R2 r El campo gravitatorio creado en puntos situados en el interior de la esfera será. r < R r b) La carga se reparte por la superficie. APLICACIONES DEL TEOREMA DE GAUSS 1. a) El teorema de Gauss se puede aplicar al cálculo del campo eléctrico y del gravitatorio. el flujo que atraviesa una superficie cerrada es constante: ∫ Φg = r r g ⋅ dS = cte sup. El campo gravitatorio que crea una esfera de radio R es conocido. r > R. en puntos situados en su interior. Calcula. 7. de radio R y masa M. Por tanto. es nulo.d) El resultado obtenido en el apartado anterior nos permite afirmar que el campo de fuerzas no es conservativo. como el campo gravitatorio. al ser nula la carga encerrada. se obtiene: Unidad 7. Campo eléctrico 6 . r<R r2 En forma vectorial: M r r g = −G ⋅ 2int ⋅ ur . el valor de la intensidad que corresponde a los siguientes campos: a) Campo gravitatorio creado por una esfera maciza y homogénea. De acuerdo con este teorema. entonces: Φg = ∫ esfera r r g ⋅ dS = ∫ g ⋅ dS ⋅ cos 180° = − esfera ∫ g ⋅ dS esfera Φ g = cte = −4 ⋅ π ⋅ G ⋅ M int = − ∫ g ⋅ ds = − g ⋅ 4 ⋅ π ⋅ r 2 esfera g =G⋅ M int . b) Campo eléctrico creado por una carga esférica homogénea. c) Campo eléctrico que crea la carga anterior en puntos situados en su exterior. Por tanto. cerrada Los puntos situados en el interior de la esfera cumplen la relación: r < R. c) En el exterior de la carga. aplicando el teorema de Gauss. de acuerdo con el teorema de Gauss. el campo eléctrico en el interior. de carga Q y radio R. aplicando el teorema de Gauss. en puntos situados en su interior. en un campo vectorial conservativo.6. ΦE = Q = ε ∫ r r E ⋅ dS = esfera = E ⋅ 4⋅ π ⋅r2 = ∫ E ⋅ dS ⋅ cos 0° = esfera ∫ E ⋅ dS = E ⋅ esfera ∫ dS = esfera Q Q →E= . 3. Las líneas de fuerza que solicita el enunciado de la cuestión son las que se muestran en la siguiente ilustración: – Unidad 7. podemos hacer uso del principio de superposición: r E= n r ∑ Ei i=1 2. E . Q2. ¿Qué es una línea de fuerza de un campo eléctrico? Las líneas rde fuerza de un campo eléctrico son aquellas en las que el vector campo eléctrico. y la otra. r>R ε 4⋅ π ⋅ε ⋅r2 ACTIVIDADES DE LA UNIDAD CUESTIONES 1. Dibuja las líneas de fuerza correspondientes a un campo eléctrico creado por dos cargas: una. positiva. es tangente a ellas en cada punto del campo. La intensidad de campo eléctrico. Campo eléctrico + 7 . E . Se denomina campo eléctrico a cualquier región del espacio en la que una carga r eléctrica está sometida a una fuerza eléctrica. Q1. Explica el concepto de campo eléctrico creado por una o por varias partículas cargadas. negativa. en un punto es la relación que existe entre la fuerza que el campo ejerce sobre una carga situada en dicho punto y dicha carga: r r F E= q Para calcular la intensidad del campo eléctrico creado por varias cargas puntuales. separadas una cierta distancia. en el r caso del campo gravitatorio. inicialmente en reposo. Las líneas rde fuerza del campo eléctrico son aquellas en las que el vector campo eléctrico. Utilizando este teorema. Del mismo modo.4. Discute la siguiente afirmación: “Una carga o una masa en movimiento se mueve. r. la expresión que corresponde al campo eléctrico creado en ambos casos es la misma: r E= Q 4⋅ π ⋅ε ⋅r2 5. por tanto. La energía potencial eléctrica que posee una carga q situada en un punto. El teorema de Gauss establece que en un campo vectorial conservativo. dicho vector será tangente a ellas en cada punto. De acuerdo con lo obtenido en la resolución del apartado c) de la actividad propuesta en la página 181 del libro del alumno y con lo explicado en el primer apartado de la página 180. espontáneamente. E . situado en el seno de un campo eléctrico es el producto de dicha carga por el potencial eléctrico existente en ese punto: r Ep = q · V (r ) La energía potencial que corresponde a una partícula de carga q2 situada a una distancia r de otra carga. Si tenemos en cuenta las expresiones que corresponden a las fuerzas eléctrica y gravitatoria que se ejercen. a regiones de mayor potencial. Unidad 7. Enuncia el teorema de Gauss. en presencia de un campo eléctrico o gravitatorio. Un electrón. el flujo que atraviesa una superficie cerrada es constante. comprueba que una esfera cargada eléctricamente se comporta en su exterior como una carga puntual situada en su centro. 6. g. En el caso del campo eléctrico. se pone en movimiento mediante la aplicación de un campo eléctrico uniforme. respectivamente. siguiendo las trayectorias de las líneas del campo”. q2 . la afirmación que expone el enunciado de la cuestión es verdadera. a regiones de menor potencial. Explica el concepto de energía potencial eléctrica y calcula la que tiene una partícula de carga q2 situada a una distancia r de otra carga q1. ¿Se desplazará hacia regiones de mayor o de menor potencial electrostático? ¿Qué ocurrirá si consideramos un protón? Los electrones se desplazan. es tangente a ellas en cada punto del campo. y los protones. es: q1 · q2 Ep = K · r 7. Campo eléctrico 8 . sobre una carga q y una masa m: r r Fe = q · E r r Fg = m · g Se observa que estas actúan sobre la carga o la masa en la misma dirección que el campo correspondiente. el sentido del movimiento depende del signo de la carga. q 2 u r m 1. La expresión de la fuerza de atracción gravitatoria sobre m1. para masas y cargas cuyo valor sea la unidad. dependiendo del signo de las cargas eléctricas. la ley de fuerzas de la gravitación universal y la ley de Coulomb. y en el caso del campo eléctrico pueden ser atractivas o repulsivas. que depende de la constante dieléctrica del medio. Se tienen dos partículas de masas m1 y m2 y cargas q1 y q2 del mismo signo. Comenta las diferencias fundamentales que existen entre ambas leyes. la fuerza de interacción electrostática es mucho mayor que la gravitatoria: – Fuerza gravitatoria: m·m 1·1 = 6.67 · 10−11 · = 6.67 · 10−11 N Fg = G · 2 d 12 – Fuerza electrostática: q·q 1·1 Fe = K · = 9 · 109 · = 9 · 109 N d2 12 9. como se indica: m 2. Por su parte. para la partícula m1. • Si comparamos los valores de G y de K. si es negativa. que dependen del signo de la carga que lo crea: si es positiva. Unidad 7. En un campo eléctrico constante de signo positivo. las líneas de fuerza salen de la carga. b) Es constante. las líneas de fuerza siempre se dirigen hacia la masa que lo crea. el campo eléctrico tiene dos sentidos. el campo gravitatorio creado por un cuerpo es independiente del medio que lo rodea (la interacción gravitatoria no es debilitada por el medio). • Las fuerzas de interacción son siempre atractivas en el caso del campo gravitatorio. q 1 Escribe. las líneas de fuerza entran en ella. es: r m ⋅m r Fg = G ⋅ 1 2 2 ⋅ u r Y la que corresponde a la fuerza de atracción electrostática: r q ⋅q r Fe = − K ⋅ 1 2 2 ⋅ u r Las diferencias fundamentales que existen entre ambas leyes son: • El campo gravitatorio tiene siempre el mismo sentido. y. lo que no ocurre con el campo eléctrico. el potencial eléctrico: a) Es nulo. • Al ser G una constante universal.8. Campo eléctrico 9 . encontramos que. Campo eléctrico 10 . se obtendría que su energía potencial disminuiría: ∆Ep < 0 – En el caso de un electrón. de forma que su energía potencial aumenta. 11. el potencial disminuye linealmente con la distancia. se ha de realizar trabajo sobre la carga. además de moverse en la misma dirección del campo. se trataría de un protón. pertenecientes al campo eléctrico. su energía potencial ¿aumentará. de una partícula cargada negativamente. Si un electrón se mueve en la misma dirección y sentido que el correspondiente a las líneas de campo de un campo eléctrico uniforme. que se desplaza espontáneamente a zonas de mayor potencial: V2 > V1 → V2 − V1 > 0 Como en este caso q < 0. lo hará hacia potenciales decrecientes. disminuirá o permanecerá constante? ¿Y si se mueve en dirección perpendicular a las líneas del campo eléctrico? Justifica ambas respuestas. por tanto. Si suponemos que la partícula. un electrón. si la carga se dirige hacia potenciales crecientes. La respuesta correcta es c). A y B. para que la energía potencial aumente. 10. d) Aumenta de forma constante. Una partícula cargada se desplaza en la dirección de un campo eléctrico. e) Disminuye con el cuadrado de la distancia. su energía potencial también disminuiría: ∆Ep < 0 Por tanto. y si lo hace hacia potenciales decrecientes. El campo y el potencial están relacionados mediante la siguiente expresión: r r dV = −E · dr r Si el campo es constante y el desplazamiento es en el sentido de E : dV = − E ⋅ dr → ∫ dV = − E ⋅ ∫ dr → ∆V = − E ⋅ ∆r Si el campo eléctrico es constante.c) Disminuye de forma constante. que se mueve espontáneamente a regiones de menor potencial: V2 < V1 → V2 − V1 < 0 Como q > 0. lo hace en el mismo sentido. Se ha de cumplir la condición de que: ∆Ep = q · V2 − q · V1 = q · (V2 − V1) > 0 – Si se tratara de un protón. ¿Qué signo tiene la carga? La relación entre la energía potencial eléctrica y el potencial eléctrico es: Ep = q · V Consideremos dos puntos. se trataría. Unidad 7. En ese caso. se deja en libertad. Calcula la dirección y el sentido de la trayectoria inicial que seguirá. Si el electrón se mueve en dirección perpendicular a la del campo eléctrico. por tanto. c) Una carga eléctrica. NOTA: para completar esta cuestión. situamos un electrón en el punto A y. Las líneas de fuerza del campo eléctrico y. a) En las superficies que muestra la figura. que quedará almacenado en forma de energía potencial que. Como el hilo que se propone es infinitamente largo. ¿se moverá siempre a lo largo de una línea del campo? Justifica la respuesta.Como se ha explicado en la cuestión anterior. en ellas: r r r r V = cte → dV = 0 → −dV = 0 = E · dr = E · dr · cos θ → E ⊥ dr La dirección y el sentido de las líneas del campo eléctrico son los que se muestran en la siguiente ilustración: E –q +q V1 Unidad 7. 12. si la densidad lineal de carga es positiva. son perpendiculares a las superficies equipotenciales con las que se cortan. radiales y dirigidas hacia fuera. 13. y hacia dentro si esta es negativa. Analiza cómo son las líneas de fuerza del campo eléctrico producido por un hilo rectilíneo infinito y uniformemente cargado. por tanto. será necesario realizar un trabajo externo sobre el electrón. su energía potencial no variará. ya que. lo estará haciendo sobre una superficie equipotencial. Por tanto. Campo eléctrico > V2 > V3 > V4 11 . se sugiere la lectura del segundo apartado de la página 180 del libro del alumno. aumentará. desde el reposo. t = 0. el potencial eléctrico se mantiene constante. En la figura se representan algunas superficies. correspondientes a una zona del espacio donde existe un campo electrostático. por simetría. A V1 > V2 > V3 > V4 a) ¿Qué dirección y sentido tendrán las líneas del citado campo eléctrico? b) En el instante inicial. la intensidad del campo eléctrico. las líneas de fuerza del campo eléctrico que crea serán. Si tenemos en cuenta la relación entre el campo eléctrico y el potencial eléctrico: r r r dV = − E ⋅ dr → Si E = 0 → dV = 0 → V = cte Como en el interior de la esfera el campo eléctrico es nulo. Campo eléctrico 1 R2 12 . Cierta distribución de cargas. En la superficie de la esfera. que viene dado por: 1 E = E0 2 r siendo E0 = 1000 V m–1 y r la distancia a que nos encontramos del centro de la esfera. y. r = R. el potencial eléctrico en cualquier punto de su interior es: Q V (r) = V (R) = 4 · π · ε0 · R 15. el flujo eléctrico que la atraviesa es nulo. perpendicular en todo momento a la superficie de la esfera. en consecuencia. que se encuentra en el interior de una esfera de 1 m de radio.Como se observa. si consideramos que el radio de la esfera es R. Las cargas positivas se dirigen hacia potenciales decrecientes y las negativas. las líneas del campo eléctrico son líneas tangentes en cada punto al vector campo. el campo eléctrico en su interior también lo será. se moverá en una dirección perpendicular a la superficie equipotencial en el punto A. el campo eléctrico en su superficie es: E (r = R ) = E 0 ⋅ Unidad 7. Una carga positiva colocada en un punto de cualquiera de ellas seguirá el camino marcado por la línea de fuerza. 14. Por tanto. crea un campo eléctrico. hacia potenciales crecientes. Por tanto. suponiendo que está en el vacío. c) Sí. y su sentido estará dirigido hacia los potenciales crecientes. ¿Cómo es el campo eléctrico en el interior de una esfera metálica cargada? ¿Y el potencial? De acuerdo con el teorema de Gauss: φe = ∫ sup r r Q E ⋅ dS = ε0 Como la carga encerrada por la esfera metálica es nula (recuerda que la carga se distribuye uniformemente por la superficie de la esfera). b) De acuerdo con lo expuesto en el apartado anterior. Calcula la carga que existe en el interior de la esfera. el trabajo necesario para llevar una carga desde el infinito hasta cualquier punto del interior de la esfera coincide con el trabajo necesario para llevarla hasta su superficie. las líneas de campo son las que indican el camino que seguirán las cargas eléctricas en su movimiento. 84 · 10−12 = 1. 18. que es una magnitud escalar. Para ello. Dato: K = 9 · 109 N · m2 · C−2. y sustituyendo los datos del enunciado: Q = E0 · 4 · π · ε0 = 1 000 · 4 · π · 8. el campo eléctrico sale de ella. Si el aire comienza a ionizarse cuando el campo eléctrico alcanza un valor de 3. Indica si gana o pierde energía y cuánta. como indica el enunciado.11 µC EJERCICIOS 16. sino que. el vector ur .5 106 V m–1. Calcula la intensidad del campo y el potencial en un punto distante 4 metros de una carga puntual de 6 · 10−6 C situada en el vacío.Aplicando el teorema de Gauss a la superficie esférica: φ= r r r ∫ E ⋅ dS r ∫ E ⋅ dS = Q ε0 = E ⋅S = E0 Q ⋅ 4 ⋅ π ⋅ R 2 = E0 ⋅ 4 ⋅ π = ε0 R2 Despejando la carga Q. Por su parte. Una carga eléctrica de 4 C es llevada desde un punto. ¿cuál es la diferencia de potencial que hemos de aplicar entre los dos electrodos para que se produzca la chispa? El objetivo del encendido es provocar una chispa que haga detonar la mezcla airegasolina que se encuentra en el interior del cilindro. el valor del potencial eléctrico. es decir. “la carga es llevada”. el campo eléctrico enUnidad 7. La intensidad del campo eléctrico que crea la carga puntual es: r Q r 6 ⋅ 10 −6 r r E = K ⋅ 2 ⋅ ur = 9 ⋅ 10 9 ⋅ ⋅ ur = 3 375 ⋅ ur N ⋅ C−1 2 r 4 r En ella. es un vector unitario situado en la recta que une la carga y el punto. es: V =K⋅ Q 6 ⋅ 10 −6 = 9 ⋅ 10 9 ⋅ = 13500 V r 4 17. El trabajo necesario para llevar una carga eléctrica de un punto de un campo elécrico a otro que se encuentra a distinto potencial es: W = −q · (V2 − V1) En este caso: W = −4 · (40 − 15) = −100 J . W = −∆EP → EP − EP = 100 J 2 1 El trabajo negativo indica que la carga no se traslada espontáneamente hacia el punto. a otro cuyo potencial es 40 V.7 mm. donde existe un potencial de 15 V. al tratarse de una carga positiva. Por tanto. Campo eléctrico 13 . En el sistema de encendido de un motor de coche hay dos electrodos separados 0. gana energía a expensas del trabajo exterior realizado sobre ella.11 · 10−7 C = 0. se realiza un trabajo sobre ella que aumenta su energía potencial. 6 ⋅ 10 −19 = 112 800 V 6 ⋅ 10 −13 21. así como la dirección y el sentido del vector campo. De este modo. Calcula el potencial que crea esta carga en un punto situado a 6 10 –13 m del centro del núcleo. De acuerdo con la siguiente figura: Unidad 7.5 · 106 = 2 450 V 19. que contiene 82 protones (qp = 1.968 · 10−15 · k N X 20. Debido a la proximidad a la que se encuentran unos de otros. Z La situación que describe el problema es la que se muestra en la figura. el fenómeno consistente en ionizar el aire se denomina también “perforar el dieléctrico”. se ioniza el aire y se establece una corriente de cargas eléctricas a través de él. El punto que cumple la condición que solicita el enunciado del ejercicio será aquel en el que el vector campo creado por cada carga tenga el mismo valor y sus sentidos sean opuestos. al encontrarse sobre la superficie terrestre. Los dos electrodos y el aire que se encuentra entre ellos. forman un condensador. Campo eléctrico 14 . dirección y sentido) que experimenta el núcleo de un átomo de plomo. El potencial que crea esta carga viene dado por: V =K⋅ q r Teniendo en cuenta que la carga de un protón es q = 1. supondremos el conjunto de protones como una carga puntual. Calcula el valor de la fuerza (módulo. debido a los 47 protones que lo forman.7 · 10−3 · 3.6 · 10−19 · (−150 · k ) = r = −1. y está dirigido hacia el centro de esta. el campo eléctrico tiene un valor aproximado de 150 N C –1.6 10−19 C). Sean dos cargas puntuales Q1 = −q y Q2 = + 4 · q colocadas a una distancia d. La relación entre fuerza y campo eléctrico es: r r F eléctrica = q · E E Y Teniendo en cuenta la carga del núcleo del átomo de plomo. Cerca de la superficie de la Tierra. Razona y obtén en qué punto de la línea definida por las dos cargas el campo es nulo. El núcleo de un átomo de plata tiene carga positiva. resulta: r r r F eléctrica = q · E = 82 · 1. el potencial será: V = 9 ⋅ 10 9 ⋅ 47 ⋅ 1. Por ello. que actúa como dieléctrico.6 · 10−19 C.tre los electrodos ha de ser suficientemente intenso. La diferencia de potencial mínima que debemos aplicar en este caso es: ∆V = ∆r · E = 0. Si igualamos ambos módulos y despejamos el valor de la distancia. la solución válida es la primera. se puede aplicar el principio de superposición. Campo eléctrico 15 . Determina la distancia a q1 del punto sobre la recta que une ambas cargas donde el potencial eléctrico es nulo. ¿Es también nulo allí el campo eléctrico? El potencial eléctrico es una magnitud escalar que tiene el mismo signo que la carga que crea el campo. De acuerdo con el siguiente esquema: q1 = 1 µC q2 = –2 µC A x (0.E1 E2 A E1 B E2 x Q 1 = –q d Ese punto se encuentra fuera del segmento que une ambas cargas. x.3 − x Unidad 7. el módulo del campo eléctrico creado por cada carga es: q E1 = K · 2 x 4·q E2 = K · 2 (d + x) . por tanto: x=d 22. representado en la figura anterior. obtenemos: q 4·q (d + x)2 =4 E1 = E2 → K · 2 = K · 2 → x (d + x) x2 3 · x2 − 2 · d · x − d2 = 0 Al resolver la ecuación de segundo grado se obtiene: x1 = d . d x2 = − 3 Desde el punto de vista físico.3 − x Si imponemos la condición de que el potencial eléctrico se anula en ese punto: 1 · 10−6 −2 · 10−6 V = 9 · 109 · + 9 · 109 · = 0 x 0. En el punto A.30 m el potencial creado en el punto A será: Q1 Q2 V = V1 + V2 = K · + K · x 0.30 – x) m 0. Considera dos cargas puntuales fijas q1 = 1 µC y q2 = −2 µC separadas una distancia L = 30 cm. para calcular el potencial eléctrico creado por varias cargas puntuales. 2 · 2 r = = 0. ¿Qué velocidad alcanzará una partícula cuya carga es 10−6 C y cuya masa es 2 · 10−18 kg al desplazarse.1) x (0.0. el potencial eléctrico se anula a 0.08 V r 0. De acuerdo con la siguiente figura: Q1 Q2 r = d /2 d Q4 l = 1. Calcula el valor del potencial eléctrico en el centro del cuadrado.2 m de lado. en cualquier punto del segmento que une ambas cargas. 20 nC y 25 nC están colocadas en los vértices de un cuadrado de 1. 1. −12 nC. el campo eléctrico que crean está dirigido hacia la derecha.3 1 −2 = → 0. En particular. Campo eléctrico 16 .35 · 106 N · 2 0. 23. d 2 = 1.3 − 0.3 − x) C−1 Su sentido está dirigido hacia la derecha. El potencial eléctrico es una magnitud escalar cuyo valor podemos obtener sumando algebraicamente los potenciales eléctricos creados por cada carga.22 → d = 1. En cuanto al campo eléctrico. en el punto A. observa.1 m de la carga positiva.2 m Q3 El valor de la distancia que separa cada carga del centro del cuadrado es: d r = 2 .1 (0.3 − x = 2 · x → x = = 0. nunca será nulo el campo en ningún punto perteneciente a este segmento.2 · 2 m .85 m 2 Por tanto.22 + 1. por tanto. entre dos puntos donde existe una diferencia de potencial de 102 V? El trabajo que realizan las fuerzas del campo eléctrico sobre la carga es: W = q · ∆V Ese trabajo se invierte en aumentar la energía cinética de la partícula: Unidad 7. Cuatro cargas eléctricas de 10 nC. el valor del potencial eléctrico en el centro del cuadrado es: Q1 Q2 Q3 Q4 V = V1 + V2 + V3 + V4 = K · + K · + K · + K · = r1 r2 r3 r4 9 K 9 · 10 = · (Q1 + Q2 + Q3 + Q4) = · (10 − 12 + 20 + 25) · 10−9 = 456.1 m 3 x 0. partiendo del reposo. el módulo del campo eléctrico creado por ambas cargas es: Q1 Q2 1 · 10 −6 2 · 10 −6 E = E1 + E2 = K · 2 + K · 2 = 9 · 109 · + 2 = 1. que.85 24.3 − x Por tanto. 26. estando la placa cargada positivamente a potencial superior. La gráfica correcta es c). situado a 2 m del origen. Por tanto: dV = − E ⋅ dr → ∫ dV = − E ⋅ ∫ dr → ∆V = − E ⋅ ∆r Es decir. si tomamos como origen de potenciales la placa negativa? a) b) c) d) E E E E + + + + + + + – – – – – – – d x V x V x x V x x V x x El campo eléctrico que existe en un condensador de placas paralelas puede considerarse constante. permaneciendo constante el campo en el interior del condensador.1 EC = · m · v2 2 Igualando ambas expresions y despejando el valor de la velocidad. ¿Aumenta o disminuye Unidad 7.0). el potencial varía linealmente con la distancia. En nuestro caso. Se aplica un campo eléctrico uniforme de 500 N · C−1 dirigido en sentido positivo del eje OY: a) Describe la trayectoria seguida por la partícula hasta el instante en que se encuentra en el punto A. ¿En cuál de las gráficas se muestra cómo varían el campo eléctrico y el potencial eléctrico con la distancia. el potencial aumenta linealmente. tomamos la placa negativa como origen de potenciales (V = 0) y de distancia. Por tanto: r r dV = −E · dr = −E · dr · cos 180° = E · dr → V = E · r Al alejarnos de la placa negativa. Una partícula cargada con 6 · 10−6 C se encuentra en reposo en el punto (0. cuando el campo eléctrico es constante. Campo eléctrico 17 . La figura representa un condensador de placas paralelas. obtenemos: q ⋅ ∆V = 1 2 ⋅ q ⋅ ∆V ⋅m ⋅v2 → v = 2 m 2 ⋅ 10 −6 ⋅ 10 2 = 10 7 m ⋅ s −1 2 ⋅ 10 −18 v= 25. desde V = 0. lo cual es lógico. que se encuentra en el punto (0. permanece. m2 h m1 30° La masa m2 no se mueve. 0). se encuentran dos masas de 1 g cada una. que la haría caer. en el que se pueden despreciar los rozamientos. En el plano inclinado de la figura. b) El trabajo realizado por la fuerza eléctrica constante calculada en el apartado anterior es: r r W = F · ∆r = F · ∆r · cos 0° = 3 · 10−3 · 2 = 6 · 10−3 J Ese trabajo coincide con la diferencia de potencial (con signo cambiado) entre los dos puntos del campo considerados multiplicada por el valor de la carga: W 6 · 10−3 W = −q · (V2 − V1) → V2 − V1 = = = −1 000 V −q −6 · 10−6 Observa que V2 < V1. su energía potencial disminuye.r. h. a) Supongamos un sistema de coordenadas OXY centrado en la carga.la energía potencial de la partícula en dicho desplazamiento? ¿En qué se convierte dicha variación de energía? b) Calcula el trabajo realizado por el campo en el desplazamiento de la partícula y la diferencia de potencial entre el origen y el punto A. m2. la fuerza eléctrica que actuará sobre ella será: r r r r F =q·E →F =q·E·j r r r F = 6 · 10−6 · 500 · j = 3 · 10−3 · j N Por tanto. la partícula se mueve en sentido positivo del eje de ordenadas. 27. ya que la carga positiva se desplaza espontáneamente hacia potenciales decrecientes. Las cargas positivas se dirigen espontáneamente hacia potenciales decrecientes. El movimiento que realiza es un m. y la fuerza electrostática de repulsión. Las coordenadas del punto A son: A(0. Como la carga es positiva y el campo se encuentra dirigido en el sentido positivo del eje OY. por tanto.u. m1. mientras que la otra. al ser el campo eléctrico uniforme. Una de ellas. calcula el valor de h. a cierta altura. incrementando su energía cinética (aumenta su velocidad). Si ambas masas tienen una carga positiva de 1 mC. que la aleja de la otra carga: Feléctrica = Px Unidad 7. se encuentra fija en la base del plano.. Campo eléctrico 18 .a. ya que la fuerza es constante. sin caer. 2) m. debido al equilibrio de fuerzas entre la componente del peso en la dirección del plano inclinado. para la superficie de la esfera y en puntos situados a una distancia del centro de la esfera superior al radio. 81 ⋅ 0. de –20 y 90 µC se encuentran en el aire. Unidad 7. ¿Qué figura muestra correctamente cómo varía la distribución del campo eléctrico en función de la distancia a que nos encontramos de su centro? c) E a) E d R b) E R d) E R 2. el campo eléctrico tiene un valor: E= Q 4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r 2 lo que se corresponde con la gráfica a). la masa 2 se encuentra a una altura: h = l · sen 30° = 1 354. 57 m m ⋅ g ⋅ sen 30° 10 ⋅ 9. obtenemos la distancia. l. 5 Por tanto. Por tanto.5 = 677.57 · 0. el campo eléctrico es nulo. Campo eléctrico 19 .R d R De acuerdo con el teorema de Gauss. desde el centro de la esfera hasta la distancia r = R.285 m 28.Los valores de estas dos fuerzas son: q2 l2 Px = m ⋅ g ⋅ sen 30° Feléctrica = K ⋅ Por tanto: K⋅ q2 = m ⋅ g ⋅ sen 30° l2 Despejando. separadas 15 cm: a) Calcula el potencial en el punto medio de la recta que une ambas cargas. Se tiene una gota de mercurio de forma esférica y radio R cuya carga inicial es nula. PROBLEMAS 29. Dos cargas eléctricas puntuales. que separa ambas masas: l= K⋅ q2 (10 −3 ) 2 = 9 ⋅ 10 9 −3 = 1 354. el campo eléctrico en un conductor cargado y en equilibrio es nulo. Sin embargo. 8 m · s−2 La situación que plantea el enunciado del problema es la que se representa a continuación: T 30° 30° 1m 1m Ty = T · sen 60° 60° Fe T Fe d=1m P Unidad 7.b) Calcula. supondremos que dicho punto se encuentra a una distancia de la carga negativa que representaremos por x. 15 − x 3 →x= = 2. a) El potencial creado por una carga puntual es: V =K⋅ q r Por tanto. 5 ⋅⋅1010 −6 −2 + 90 ⋅ 10 −6 = 8. K = 9 · 109 N · m2 · C−2. m = 10 g.73 cm de la carga de −20 µC. el punto entre ambas cargas en que el potencial eléctrico se anula. el potencial eléctrico se anula. 73 cm 110 Como vemos. 73 ⋅ 10 −2 = 2. si existe. Campo eléctrico Tx = T · cos 60° P 20 . 30 Dos esferas puntuales. resulta: 20 ⋅ 10 −6 90 ⋅ 10 −6 = → 3 − 20 ⋅ x = 90 ⋅ x → x 0. están suspendidas de un mismo punto mediante hilos inextensibles y sin peso. 15 − x Despejando x en esta expresión. De este modo: V = 2 ∑K ⋅ i=1 qi −20 ⋅ 10 −6 90 ⋅ 10 −6 =K⋅ + =0 ri x 0. 5 ⋅ 10 −2 b) Si existe. a 2. 4 ⋅ 10 6 V 7. g = 9. Datos: masa de cada esfera. iguales. Determina la carga eléctrica que ha de poseer cada una de ellas para que el hilo forme un ángulo de 30º con la vertical. el potencial creado por ambas en el punto medio de la recta que las une será: Vmedio = 2 q ∑ K ⋅ ri i=1 = 9 ⋅ 10 9 ⋅ i −720. de un metro de longitud cada uno. 0) y (− a) El campo eléctrico en (0. la r tensión de la cuerda. el campo eléctrico creado por ambas cargas estará dirigido hacia la izquierda. P .Para que las esferas ser encuentrenr como se indica en el enunciado del problema. T . 0) y en (0. 10). 0) E–2 µC (2. E . se obtiene: tg 60° = Q= m ⋅ g ⋅d2 →Q= K ⋅ Q2 m ⋅ g ⋅d2 K ⋅ tg 60° 10 ⋅ 10 −3 ⋅ 9. 5 ⋅ 10 −6 C 9 ⋅ 10 9 ⋅ tg 60° 31. Calcula: vamente. Al aplicar la segunda ley de la dinámica a las fuerzas que actúan en la dirección del eje X y a las que actúan en la del eje Y. en los puntos (2. Fe . Campo eléctrico 21 . b) El trabajo necesario para transportar una carga q' de −1 µC desde (1. como se muestra en la siguiente ilustración: E2 µC q2 = –2 µC (–2. se realiza del siguiente modo: r r r E = E1 + E2 Unidad 7. 0) metros. 0). Dos cargas eléctricas puntuales de 2 y −2 µC cada una están situadas. 0) a −1. respecti−2. 8 ⋅ 12 = 2. el peso. deben estar equilibradas. (− a) La situación que plantea el enunciado del problema es la siguiente: y (m) 10 q2 = –2 µC q1 = 2 µC x (m) En el origen. 0) r2 r1 r El cálculo del campo eléctrico resultante. 0) q1 = 2 µC (0. se obtiene: – Eje X: Q2 T · cos 60° = Fe → T · cos 60° = K · 2 d – Eje Y: T · sen 60° = m · g Si dividimos ambas expresiones entre sí. y la fuerza eléctrica. 2 · i + 0.31° 10 Por tanto: sen α = sen 11.98 · j ) = (1 04)2 r r = −34. 10) m es la suma vectorial de los campos r campo r E 1 y E 2.62 · i − 169. i N/C q2 = –2 µC (0.31° = 0.31° = 0. 0) q1 = 2 µC En el punto de coordenadas (0.98 El campo eléctrico que crea la carga de 2 µC en el punto (10. y α E2µC De acuerdo con la figura.2 · i + 0. el campo que crea cada carga es el que se muestra en la ilustración de la derecha. 10) m.2 · i − 0.98 · j ) = (1 04)2 r r = −34. 10): Q2 Q2 Q2 r r r r r E 2 = K · 2 · sen α · (−i ) + K · 2 · cos α · ( −j ) = K · 2 · (−sen α · i − cos α · j ) = d d d −6 r r r r 2 · 10 = 9 · 109 · · (−0.2 · i − 0.2 = 11. Campo eléctrico 22 . la distancia de cada carga al punto considerado es: d= x E–2µC 2 + 22 = 104 m 10 El valor del ángulo α es: α 2 tg α = → α = arctg 0. Q1 Q2 Q1 Q2 r r r r E = K · · (−i ) + K · · (−i ) = K · + · (−i ) = 2 2 2 2 r1 r2 r1 r2 r r 2 · 10−6 2 · 10−6 = 9 · 109 · + · (−i ) = −9 · 10−3 · i N · C−1 2 2 2 2 E = – 9 . 103 .62 · i + 169.5 · j N · C−1 El eléctrico total en el punto (0.2 cos α = cos 11.5 · j N · C−1 Y el creado por la carga Q2 en el punto (0.98 · j ) = 173 · (−0.98 · j ) = 173 · (−0. 0) m es: d 10 m Q1 r r E 1 = K · 2 · sen α · (−i ) + q1 = 2 µC q2 = –2 µC d Q1 r 2m 2m + K · 2 · cos α · j = d Q1 r r = K · 2 · (−sen α · i + cos α · j ) = d −6 r r r r 2 · 1 0 = 9 · 109 · · (−0. Observa que la componente de ambos campos en la dirección del eje Y Unidad 7. 8 µC. 0) = K · = 9 · 109 · = 6 · 103 V 3 r'1 Q2 −2 · 10−6 V2 (−1. por tanto: r r r r E = −34.24 · i N · C−1 b) El potencial eléctrico que corresponde al punto (1. como corresponde a una carga negativa que se dirige hacia potenciales decrecientes. Dato: K = 1/(4 · π · ε0) = 9 · 109 N · m2 · C−2 a) La representación esquemática de la situación física que propone el enunciado del problema es la siguiente: Unidad 7.62 · i = −69.tiene el mismo valor y son de sentidos opuestos. para el punto (−1. 0) = 6 · 103 − 18 · 103 = −12 · 103 V El trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar una carga de −1 µC desde el primer punto al segundo se calcula del siguiente modo: W = −q · ∆V = −q · (Vfinal − Vinicial ) = = −(−1 · 10−6) · (−12 · 103 − 12 · 103) = −2. 0) = K · = 9 · 109 · = −6 · 103 V 3 r2 Por tanto. El camo resultante será. 0) = V1 (1. 32. Dos partículas de carga q = 0. 0) = 18 · 103 − 6 · 103 = 12 · 103 V Del mismo modo. cada una. 0) = V1 (−1.62 · i − 34. 0) = K · = 9 · 109 · = 18 · 103 V 1 r1 – Potencial debido a la carga de −2 µC: Q2 −2 · 10−6 V2 (1. 0) + V2 (1.4 · 10−2 J El signo negativo indica que hay que realizar un trabajo exterior en contra de las fuerzas del campo. Campo eléctrico 23 . están fijas en el vacío y separadas una distancia d = 5 m: a) Determina el vector campo eléctrico que producen estas cargas en el punto A. que forma un triángulo equilátero con ambas. 0) m: – Potencial debido a la carga de −2 µC: Q1 2 · 10−6 V1 (−1. 0) = K · = 9 · 109 · = −18 · 103 V 1 r'2 El potencial total en ese punto es: V (−1. 0) + V2 (−1. por lo que se anulan entre sí. 0) m es: – Potencial debido a la carga de 2 µC: Q1 2 · 10−6 V1 (1. b) Calcula el campo y el potencial eléctricos en el punto medio de la recta que las une. el potencial total en ese punto es: V (1. 8 N · C−1 2 d 5 b) En el punto medio de la recta que une las cargas. de 1 gramo de masa es atraída por una placa cargada de modo que forma un ángulo de 45° con la vertical.8 · 10−6 C d1 = d2 = d = 2.8 · 10−6 V = 2 · K · = 2 · 9 · 109 · = 5 760 V d 2.5 m 2.5 m El campo eléctrico en el punto A es la suma vectorial de los campos que crea cada carga por separado. Campo eléctrico 24 .y EA.1 x A 30° 30° 5m q = 0. La distancia de cada carga al punto A es: d=5m Y el valor del ángulo α: 2.8 · 10−6 = K · 2 · 2 · cos α · j = 9 · 109 · · 2 · cos 30° · j = 498. como se muestra en la figura: Unidad 7.5 33. por tanto.8 µC B 2.5 1 sen α = → α = arcsen = 30° 5 2 Por tanto: r r r r r r r Q Q E = E1 + E2 = K · 2 · (sen α · i + cos α · j ) + K · 2 · (sen α · (−i ) + cos α · j ) = d d r r Q = K · 2 · [(sen α − sen α) · i + (cos α + cos α) · j ] = d r r Q 0.2 30° 30° EA.8 µC 5m q = 0. y sus sentidos son opuestos. Una bolita. el campo eléctrico que crea la primera es de sentido contrario al que crea la segunda.5 m se obtiene: Q 0. en ese punto el campo eléctrico total es cero. cargada eléctricamente. El potencial eléctrico que corresponde a dicho punto es: Q1 Q2 V = V1 + V2 = K · + K · d1 d2 Teniendo en cuenta que: Q1 = Q2 = Q = 0. 34 ⋅ 10 −6 C E 1 050 NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. La esfera tiene una carga positiva de 6 · 10−9 C: Unidad 7.2 g cuelga de un hilo de masa despreciable entre dos láminas verticales paralelas separadas 5 cm. 387 ⋅ 10 −2 N cos 45° cos 45° Conocida la tensión. calcula el módulo y el signo de la fuerza que actúa sobre la bolita. 34.a) Dibuja un diagrama con las fuerzas que actúan sobre la bola cuando se encuentra en equilibrio. resulta inmediato calcular la fuerza eléctrica: Fe = T · sen 45° = 1. 81 ⋅ 10 −3 = = 9. y la tensión que soporta el hilo. Estas fuerr zas son su propio peso. T . podemos despejar la carga de la bolita: Fe = q ⋅ E → q = Fe 9.387 · 10−2 · sen 45° = 9.81 · 10−3 N c) Una vez calculada la fuerza eléctrica. cuya dirección y sentido son los que se indican: 45° Ty T 45° Fe Tx OY P OX + + + + + + + b) Planteamos el equilibrio de fuerzas en direcciones OX y OY: OX → −T · sen 45° + Fe = 0 → T · sen 45° = q · E OY → T · cos 45° − m · g = 0 → T · cos 45° = m · g Sustituyendo valores en la segunda expresión. la fuerza eléctrica de atracción. P . Campo eléctrico 25 . 81 = = 1. Fe. a) Sobre la bolita actúan lasrfuerzas que se indican en la siguiente figura. + + + + + + + 45° b) Si el campo eléctrico en las proximidades de la placa es de 1050 V m–1. Una pequeña esfera de 0. podemos calcular la tensión: T ⋅ cos 45° = m ⋅ g → T = m⋅g 10 −3 ⋅ 9. c) Calcula la carga que posee la bola cuando se encuentra en equilibrio. que r se produce entre cargas de distinto signo. penetra en la región sombreada de la figura de anchura d = 10 cm. b) En la posición de equilibrio. Datos: e = 1. T · sen 45° = q · E T · cos 45° = P q·E → tg 45° = → P = q · E P P m · g 0. de acuerdo con la figura anterior. Campo eléctrico 26 .6 · 10−19 C. al estar cargada positivamente.27 · 105 · 5 · 10−2 = −1. Un electrón.2 · 10−3 · 9. Unidad 7. pero su velocidad a la salida es la mitad de la inicial. la relación entre las dos componentes de la tensión es.27 · 105 N · C−1 q q 6 · 10−9 a) Como el campo eléctrico entre ambas placas es uniforme: r r ∆V = −E · ∆r → ∆V = −E · ∆d · cos 0° = −E · d V = −3.63 · 104 V 35. donde se sabe que existe un campo eléctrico uniforme. Calcula: a) La velocidad inicial.a) ¿Qué diferencia de potencial entre las láminas hará que el hilo forme un ángulo de 45º con la vertical? b) ¿Cuál será la intensidad del campo eléctrico entre las láminas? c) Representa gráficamente las fuerzas que actúan sobre la esfera en la posición de equilibrio. que posee el electrón antes de atravesar la región sombreada. b) El módulo y la orientación del campo eléctrico dentro de esa región. con energía cinética inicial igual a 100 eV.8 E = = = = 3. v0. c) Las fuerzas que actúan sobre la esfera en equilibrio son las que se indican en la figura: 45° T 45° F P Fíjate en que la esfera. v0 d v0 / 2 Se observa que el electrón atraviesa dicha región sin desviarse de su trayectoria rectilínea inicial.1 · 10−31 kg. se dirigirá hacia la placa negativa. me = 9. u. el valor del campo eléctrico es: 9.a) La energía cinética inicial del electrón.6 · 10−19 q Y el vector campo eléctrico: r r r E = E · i = 750 · i N · C−1 36.1 · 10−31 · (−1. Unidad 7. 6 ⋅ 10 −17 = 5.r. es: 1. colocada en el origen de coordenadas: a) Calcula la separación entre la superficie equipotencial de 6 000 V y la de 2 000 V. del electrón: Ec = 1 ⋅ m ⋅ v 02 → v 0 = 2 2 ⋅ Ec = m 2 ⋅ 1. la aceleración a que está sometido el electrón.93 · 106)2 a = = = −1. hemos de obtener en primer lugar. 93 ⋅ 10 6 m ⋅ s −1 9. el campo eléctrico estará situado en la misma dirección.32 · 1014) m·a E = = = 750 N · C−1 1.6 · 10−19 J Ec = 100 eV · = 1. v0. Consideramos las superficies equipotenciales producidas por una carga puntual q = 2 · 10−6 C. y su sentido será hacia la derecha. El electrón.6 · 10−17 J 1 eV Teniendo en cuenta la expresión que corresponde a la energía cinética. expresada en unidades del S. Campo eléctrico 27 . b) Calcula el trabajo que tiene que realizar un agente externo para mover una carga de prueba q0 = 1. I. que podemos calcular aplicando las ecuaciones del m.: v0 2 − v 20 2 2 2 v − v0 v 2 − v02 = 2 · a · s → a = = 2·s 2·s −3 · v 20 −3 · (5. 1 ⋅ 10 −31 b) Como el electrón es frenado por el campo eléctrico y no es desviado por este. estará sometido a la fuerza eléctrica: r r Fe = q · E Teniendo en cuenta la segunda ley de la dinámica: r r F =m·a Podemos escribir: r r r r r m·a r F = Fe → m · a = q · E → E = q Para obtener el valor de la intensidad del campo eléctrico.5 · 10−3 C desde la superficie equipotencial de 6 000 V hasta la de 2 000 V sin variar su energía cinética.a. dentro de la región.. podemos calcular la velocidad inicial.32 · 1014 m · s−2 8·s 8 · 10 · 10−2 Finalmente. aumentando su energía cinética y perdiendo energía potencial: ∆Ep = Ep − Ep = 3 − 9 = −6 J 2 1 Como la carga no modifica su energía cinética. b) El trabajo que realizan las fuerzas del campo se calcula a partir de la siguiente expresión: WF ext = −EP = − q · (V2 − V1 ) = q · (V1 − V2 ) = q · 2 1 E · dr En el caso que propone el enunciado: WF ext = 2 · 10− 6 · Unidad 7.5 · 10−3 · 6 000 = 9 J 1 Al dejar la carga. contrarreste las fuerzas del campo. en libertad. 0) m. a) Teniendo en cuenta que el vector campo eléctrico es perpendicular en todo punto a la superficie equipotencial y que este está dirigido en el sentido positivo del eje X. positiva. 0) m hasta el punto Q (6. se moverá de mayor a menor potencial. La expresión de un campo eléctrico uniforme es: E = 500 · i N · C−1: a) ¿Cómo serán sus superficies equipotenciales? b) Calcula el trabajo necesario para trasladar una carga de 2 µC desde el punto P (2. r r 37. actuando sobre la carga. c) Calcula la distancia que separa las superficies equipotenciales V1 = 10 V y V2 = 20 V. su movimiento debe ser uniforme.a) La expresión que permite calcular el potencial que crea una carga en un punto es: q K·q V = K · → r = r V La superficie equipotencial de 2 000 V se encontrará a la siguiente distancia de la carga que crea el campo: 9 · 109 · 2 · 10−6 r1 = = 9 m 2 000 Y la de 6 000 V: 9 · 109 · 2 · 10−6 r2 = = 3 m 6 000 La distancia entre ambas superficies es: ∆r = r1 − r2 = 9 − 3 = 6 m b) La energía potencial de la carga cuando se encuentra sobre dichas superficies equipotenciales es: V2 = 2 000 V → Ep = q · V2 = 1. 5. debe haber una fuerza exterior que.5 · 10−3 · 2 000 = 3 J 2 V1 = 6000 V → Ep = q · V1 = 1. Campo eléctrico 6 2 500 · i · dx · i = 2 · 10− 6 · 500 · (6 − 2) = 4 · 10− 3 J 28 . 3. El trabajo que realiza la fuerza exterior es de 6 J. las superficies equipotenciales estarán situadas en el plano YZ. El signo positivo indica que el trabajo lo realiza el propio campo (recuerda que una carga positiva se traslada espontáneamente hacia potenciales decrecientes). c) Como el campo eléctrico es uniforme: V2 − V1 V2 − V1 20 − 10 E = − → d = − = − = − 0,02 m 500 d E El resultado obtenido indica que, según el eje X, V2 está a la izquierda de V1. 38. En el espacio comprendido entre dos láminas planas y paralelas con cargas iguales y opuestas existe un campo eléctrico uniforme. Un electrón abandonado en reposo sobre la lámina cargada negativamente llega a la superficie de la lámina opuesta, situada a 2 cm de distancia de la primera, al cabo de 1,5 · 10−8 s. Despreciando los efectos gravitatorios, calcula: a) La intensidad del campo eléctrico entre las láminas. b) La velocidad con que llega el electrón a la segunda lámina. c) La diferencia de potencial entre las láminas. a) El movimiento que realiza el electrón es un m.r.u.a. Con los datos de que disponemos podemos calcular su aceleración: 1 1 2·s s = s0 + v0 · t + · a · t 2 → s = 0 + 0 + · a · t 2 → a = 2 2 2 t 2 · 2 · 10−2 a = = 1,78 · 1014 m · s−2 (1,5 · 10−8)2 Aplicando ahora la segunda ley de la dinámica, obtenemos la intensidad del campo eléctrico entre las láminas: 9,1 · 10−31 · 1,78 · 1014 m·a = 1 011,1 N · C−1 F = Fe → m · a = q · E → E = = 1,6 · 10−19 q b) La velocidad con que llega el electrón a la segunda lámina es: v = v0 + a · t = 0 + 1,78 · 1014 · 1,5 · 10−8 = 2,67 · 106 m/s c) Como el campo eléctrico es uniforme, podemos calcular la diferencia de potencial entre las láminas a partir de la siguiente expresión: E · d = ∆V → ∆V = 1 011,1 · 2 · 10−2 = 20,22 V 39. Dos partículas con cargas q1 = 1 µC y q2 = 2 µC están separadas una distancia d = 0,5 m: a) Calcula la fuerza que actúa sobre la segunda y su energía potencial electrostática. b) Si q2 puede moverse, partiendo del reposo, ¿hacia dónde lo hará? Calcula su energía cinética cuando se haya desplazado 0,2 m respecto a su posición inicial. c) ¿Cuánto trabajo habrá realizado hasta entonces el campo eléctrico? Dato: K = 9 109 N m2 C−2 Unidad 7. Campo eléctrico 29 a) La fuerza que actúa sobre la segunda partícula viene dada por la ley de Coulomb: r r F = q2 · E r donde E es el campo creado por la carga q1: q1 r r 1 · 10−6 r = 36 000 · u r N · C−1 E = K · · u r = 9 · 109 · 0,52 r2 Por tanto: r r r r F = q2 · E = 2 · 10−6 · 36 000 · u r = 0,072 · u r N Su energía potencial electrostática es: q1 1 · 10−6 Ep = q2 · V = q2 · K · = 2 · 10−6 · 9 · 109 · = 0,036 J 0,5 r b) Al ser una carga positiva, se moverá en el sentido en que disminuya su energía potencial. Se moverá, por tanto, en la misma dirección y sentido que el campo eléctrico. Cuando se haya desplazado 0,2 m, estará a 0,7 m de la carga que crea el campo, q1. En ese punto, su energía potencial es: q1 1 · 10−6 Ep' = q2 · K · = 2 · 10−6 · 9 · 109 · = 0,026 J 0,7 r' Al ser el campo eléctrico conservativo, se cumple que: −∆Ep = ∆Ec → ∆Ec = −(0,026 − 0,036) = 0,010 J c) El trabajo realizado por el campo eléctrico coincide con el incremento de la energía cinética de la partícula (teorema de las fuerzas vivas): W = 0,010 J 40. Tres cargas iguales, de +100 µC, están situadas en el vacío, en los puntos A (0,0), B (0,4) y C (3,0). Las coordenadas se expresan en metros. Calcula la fuerza que las dos primeras cargas ejercen sobre la tercera y el vector intensidad del campo eléctrico en el punto (3,0). La situación de las cargas es la que se muestra en la figura: y (m) B (0,4) FAC A (0,0) x (m) C (3,0) FBC Unidad 7. Campo eléctrico 30 Para determinar la fuerza total que actúa sobre la carga C debido a la acción de A y B, aplicamos el principio de superposición, calculando por separado la fuerza que ejerce cada carga (A y B) sobre C, y sumando ambos resultados. La fuerza que ejerce A sobre C es: r r 100 · 106 · 100 · 106 r Q·q r 9 FAC = K · · u = 9 · 10 · · i = 10 · i N r 2 2 3 r Para calcular la fuerza que ejerce B sobre C, calculamos en primer lugar el vector unitario de la dirección en que está dirigida esa fuerza: r r r 3 4 ur = · i − · j 2 2 2 2 3 +4 3 +4 r r 3 r 4 r = · i − · j = 0,6 · i − 0,8 · j 5 5 La fuerza que ejerce B sobre C es, por tanto: r Q·q r · ur = FBC = K · r2 r r 100 · 106 · 100 · 106 = 9 · 109 · · (0,6 · i − 0,8 · j ) = 2 2 3 4 r r = (2,16 · i − 2,88 · j ) N Al sumar ambas fuerzas, resulta: r r r r r F = FAC + FBC = (12,16 · i − 2,88 · j ) N Para calcular la intensidad del campo eléctrico, aplicamos, al igual que en el apartado anterior, el principio de superposición. Para la carga A resulta: r r 100 · 106 r Q r · i = 100 000 · i N · C−1 EAC = K · 2 · u r = 9 · 109 · 2 3 r Mientras que para la carga B: r r r 100 · 106 Q r · (0,6 · i − 0,8 · j ) = EBC = K · 2 · u r = 9 · 109 · 2 2 3 +4 r r r = (2,16 · i − 2,88 · j ) · 104 N · C−1 Al sumar ambos campos, obtenemos el resultado que nos piden: r r r r r E = EAB + EBC = (12,16 · i − 2,88 · j ) · 104 N · C−1 NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. 41. Una carga positiva de 3 · 10−9 C está situada en el aire y en el origen, O, de un sistema de coordenadas. Una carga negativa puntual de 4 · 10−9 C se coloca en el punto A de coordenadas (0,4), dadas en metros. Determina la intensidad del campo eléctrico y del potencial en el punto P, de coordenadas (3,0). El campo que crean las cargas situadas en O y A lo calculamos aplicando el principio de superposición. De acuerdo con la siguiente figura: Unidad 7. Campo eléctrico 31 Y A (0, 4) q2 = –4 · 10–9 C r2 Etotal EA q1 = 3 · 10–9 C EO O r1 X P (3, 0) El campo eléctrico que la carga situada en O crea en P es: q1 r r r 3 · 10−9 EO = K · 2 · i = 9 · 109 · = 3 · i N · C−1 2 3 r1 El campo eléctrico que la carga situada en A crea en P tiene dos componentes, como se aprecia en la siguiente ilustración: Y A (0, 4) d = 32 + 42 = 5 EAy O α 126,87° EAx P (3, 0) X De acuerdo con la figura: 4 4 sen α = → α = arcsen = 53,13° 5 5 Por tanto: q2 r r r EA = K · 2 · (cos α · (−i ) + sen α · j ) = r2 r r 4 · 10−9 = 9 · 109 · · (cos 53,13° · (−i ) + sen 53,13° · j ) = 2 5 r r = −0,86 · i + 1,15 · j El campo eléctrico total será la suma de ambos: r r r r r r ET = EO + EA = 3 · i − 0,86 · i + 1,15 · j = r r = 2,14 · i + 1,15 · j y su módulo: 2,142 + 1,152 = 2,43 N · C−1 ET = El potencial eléctrico en el punto P es la suma de los potenciales creados por las cargas situadas en O y en A: Unidad 7. Campo eléctrico 32 q1 3 · 10−9 VO = K · = 9 · 109 · = 9 V r 3 q2 −4 · 10−9 VA = K · = 9 · 109 · = −7,2 V r 5 VT = VO + VA = 9 − 7,2 = 1,8 V 42. Cuatro cargas, q1 = 2 µC, q2 = −3 µC, q3 = −4 µC y q4 = 2 µC, están situadas en los vértices de un rectángulo, como indica la figura adjunta: q2 – – q3 3m q1 + + q4 4m Halla la fuerza total que ejercen las cargas q1, q2 y q3 sobre q4. Dato: K = 9 · 109 unidades S. I. La fuerza que cada carga ejerce sobre q4 es la que se representa en la figura adjunta: Y q2 = –3 µC – 3m – r2 = 5 m r3 = 3 m α r1 = 4 m 3 tg = 4 3 4 = arctg = 36,86° F3 F2 q1 = 2 µC + q3 = –4 µC + F1 q4 = 2 µC X – Fuerza que ejerce la carga q1 sobre la carga q4: q1 · q4 2 · 10−6 · 2 · 10−6 9 = 9 · 10 · = 2,25 · 10−3 N F1 = K · 42 r 21 r r F1 = 2,25 · 10−3 · i N – Fuerza que ejerce la carga q2 sobre la carga q4: q1 · q2 r r r = (cos α · (−i ) + sen α · j ) = F 2 = K · 2 r2 r r 2 · 10−6 · 3 · 10−6 = (cos 36,86° · (−i ) + sen 36,86° · j ) = = 9 · 109 · 2 5 r r = −1,73 · 10−3 · i + 1,30 · 10−3 · j – Fuerza que ejerce la carga q3 sobre la carga q4: Unidad 7. Campo eléctrico 33 q3 · q4 4 · 10−6 · 2 · 10−6 9 F3 = K · = 9 · 10 · = 8 · 10−3 N 32 r 23 r r F3 = 8 · 10−3 · j N La fuerza total que actúa sobre la carga q4 es la suma vertical de las calculadas: r r r r r r r r F = F1 + F2 + F3 = 2,25 · 10−3 · i − 1,73 · 10−3 · i + 1,30 · 10−3 · j + 8 · 10−3 · j = r r = (0,52 · 10−3 · i + 9,3 · 10−3 · j ) N y su módulo: F= (0,52 · 10−3)2 + (9,3 · 10−3 )2 = 9,31 · 10−3 N −4), C (− −2,0) y D (2,0) metros, de un sistema de coor43 En los puntos A(4,0), B (0,− denadas, se encuentran, respectivamente, las cargas eléctricas q1 = 14 · 10−5 C, q2 = 23 · 10−5 C, q3 = − 8 · 10−5 C y q4 = − 6 · 10−5 C. Calcula: a) La intensidad del campo eléctrico en el punto (0,0). b) El potencial eléctrico en el punto (0,0). c) La energía potencial eléctrica que adquiere una carga de +25 · 10−6 C al situarse en ese punto. Dato: K = 9 · 109 N · m2 · C−2 a) Las cargas están situadas en un sistema de coordenadas como se indica en la figura: E2 q3– E3 E1 q4– C E4 D q2+ q1+ A B El campo eléctrico creado en el punto (0, 0) será la superposición de los campos creados por cada una de las cuatro cargas: – Campo eléctrico creado por la carga q1 en el origen: q1 r r r 14 · 10−5 E1 = K · 2 · (−i ) = 9 · 109 · = 7,88 · 104 · (−i ) N · C−1 2 4 r1 – Campo eléctrico creado por la carga q2 en el origen: q2 r r r 23 · 10−5 r E2 = K · 2 · j = 9 · 109 · · j = 12,94 · 104 · j N · C−1 2 4 r2 Unidad 7. Campo eléctrico 34 – Campo eléctrico creado por la carga q3 en el origen: q3 r r r −8 · 10−5 r · i = −18 · 104 · i N · C−1 E3 = K · 2 · i = 9 · 109 · 22 r3 – Campo eléctrico creado por la carga q4 en el origen: q4 r r r r −6 · 10−5 · (−i ) = 13,5 · 104 · i N · C−1 E4 = K · 2 · (−i ) = 9 · 109 · 2 2 r4 Por tanto, el campo eléctrico resultante en el origen es: r r r r r r r r r E = E1 + E2 + E3 + E4 = −7,88 · 104 · i + 12,94 · 104 · j − 18 · 104 · i + 13,5 · 104 · i = r r = −12,38 · 104 · i + 12,94 · 104 · j y su módulo: E= 8 · 104 )2 + (1 2,94 · 104)2 = 17,91 · 104 N · C−1 (−12,3 Y el ángulo que forma en el eje Y: 12,38 · 104 tg α = 4 = 0,957 → α = arctg 0,957 = 43,73° 12,94 · 10 b) El potencial es una magnitud escalar cuyo valor se calcula sumando el potencial creado por cada carga: q1 14 · 10−5 V1 = K · = 9 · 109 · = 31,5 · 104 V 4 r1 q2 23 · 10−5 V2 = K · = 9 · 109 · = 51,75 · 104 V 4 r2 q3 −8 · 10−5 V3 = K · = 9 · 109 · = −36 · 104 V 2 r3 q4 −6 · 10−5 V4 = K · = 9 · 109 · = −27 · 104 V 2 r4 Por tanto: V = V1 + V2 + V3 + V4 = (31,5 + 51,75 − 36 − 27) · 104 = 20,25 · 104 V c) La energía potencial eléctrica que corresponde a la carga es: Ep = q · V = 25 · 10−6 · 20,25 · 104 = 5,06 J 44. Se libera desde el reposo un protón en un campo eléctrico uniforme de intensidad 7 · 104 V · m−1 dirigido a lo largo del eje X en sentido positivo. El protón se desplaza una distancia de 0,2 m en la dirección del campo. Calcula: a) La diferencia de potencial que ha experimentado el protón en el desplazamiento indicado. b) La variación de energía potencial. c) La velocidad del protón al final de los 0,2 m recorridos. Datos: qp = 1,6 · 10−19 C; mp = 1,67 · 10−27 kg Unidad 7. Campo eléctrico 35 a) La relación entre la diferencia de potencial y el campo eléctrico es: r 2 V2 − V1 = − r r E · dr r 1 En este caso, como el campo eléctrico es uniforme y el protón se desplaza en la dirección del campo: V2 − V1 = − x 2 x 1 E · dx · cos 0° = − x 2 x 1 E · dx = −E · x 2 x 1 dx = −E · (x2 − x1) Por tanto: V2 − V1 = −E · (x2 − x1) = −7 · 104 · (0,2 − 0) = −1,4 · 104 V b) La expresión que relaciona la variación del potencial con la variación de la energía potencial es: ∆Ep = q · ∆V → ∆Ep = q · (V2 − V1) = 1,6 · 10−19 · (−1,4 · 104) = −2,24 · 10−15 J El protón se mueve espontáneamente hacia potenciales decrecientes, disminuyendo el valor de su energía potencial y aumentando el de su energía cinética, de tal modo que su energía mecánica se conserva. c) Teniendo en cuenta el principio de conservación de la energía: ∆Ec + ∆Ep = 0 → ∆Ec = −∆Ep → Ec − Ec = −∆Ep 2 1 Como el protón se libera desde el reposo, Ec = 0. Por tanto: 1 E c = − ∆E p → 2 1 ⋅ m ⋅ v 2 = − ∆E p → v = 2 2 ⋅ ( − ∆E p ) m = 2 ⋅ [ − ( −2,24 ⋅ 10 −15 )] = 1,67 ⋅ 10 −27 = 1, 64 ⋅ 10 6 m ⋅ s −1 45. En el interior de una nave espacial existen las siguientes cargas: 5 µC, –9 µC, 27 µC, –84 µC. Suponiendo que la constante dieléctrica del medio es ε0, calcula el flujo de campo eléctrico que atraviesa las paredes de la nave. Compara el número de líneas de campo que salen de la nave con el número de líneas que entran en ella. El teorema de Gauss permite calcular el flujo que atraviesa una superficie cerrada, S. Para el campo eléctrico, el teorema de Gauss se enuncia en la forma: φ= Qint ε expresión en la que Qint es la carga total que encierra en su interior la superficie S, y ε, la constante dieléctrica del medio en que se encuentra dicha superficie. El número de líneas que atraviesan la superficie por unidad de superficie es proporcional al flujo que existe. Podemos hablar de un flujo que entra (cuando las cargas eléctricas que encierra la superficie son negativas) y de un flujo que sale (cuando las cargas eléctricas que encierra son positivas). Unidad 7. Campo eléctrico 36 62 ⋅ 10 6 φ+ = = 0. tras recorrer un metro. En una posición del espacio A. por cada 34 líneas de campo que salen. 85 ⋅ 10 Mientras que el flujo que sale (que corresponde a las cargas positivas) resulta ser el siguiente: φ+ = Qint (+ ) (5 + 27) ⋅ 10 −6 = 3. 34 φ − 10. c) ¿Cuánto valdrá la diferencia de potencial entre los puntos A y B? d) ¿Cuánto vale el campo eléctrico (dirección. como se muestra en la figura de la página siguiente. NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. módulo y sentido)? a) La dirección y el sentido de la velocidad de la carga coinciden con los del campo eléctrico al tratarse de una carga positiva. 62 ⋅ 10 6 N ⋅ m 2 ⋅ C−1 = ε 8. En consecuencia: r r v =v·k b) El vector campo eléctrico es perpendicular en todo punto a las superficies equipotenciales. esta partícula se acelera hasta otra posición B donde. se coloca una partícula cargada de carga q = 10−6 C y masa m = 10−6 kg con velocidad inicial nula. el flujo total que atravesará las paredes de la nave será: φ total = Qint (5 − 9 + 27 − 84) ⋅ 10 −6 = −6.De acuerdo con lo dicho. Debido a la acción del campo eléctrico. esta será: 3. Unidad 7. 89 ⋅ 10 6 N ⋅ m 2 ⋅ C−1 = ε 8. Campo eléctrico 37 . 46. 85 ⋅ 10 −12 En cuanto a la relación que existirá entre las líneas de campo que salen y las que entran. estas serán planos paralelos al plano XY. 85 ⋅ 10 −12 El flujo que entra (correspondiente a las cargas negativas) es: φ− = Qint (− ) ( −9 − 84) ⋅ 10 −6 = = −10. donde existe un campo eléctrico uniforme dirigido a lo largo del eje Z positivo. 51 ⋅ 10 6 lo que significa que. El potencial de las superficies decrecerá según se avanza en el sentido positivo del eje Z. llega con una velocidad cuyo módulo es 100 m · s−1: a) ¿Cuál es la dirección y el sentido de la velocidad? b) Dibuja las superficies equipotenciales de ese campo eléctrico. entran 100. Como el campo eléctrico es uniforme y está dirigido según el sentido positivo del eje Z. 51 ⋅ 10 6 N ⋅ m 2 ⋅ C−1 −12 ε 8. ya que una carga positiva se mueve espontáneamente hacia potenciales decrecientes: V2 V1. c) ¿Qué trabajo hay que realizar para trasladar un electrón desde el punto 1 al punto 2? ¿Lo efectuará el propio campo eléctrico o deberemos aplicar alguna fuerza externa? Dato: qe = −1. Las superficies están separadas una de otra una distancia de 10 cm: Y 50 V 40 V 30 V 20 V 10 V 1 2 10 cm X a) ¿Cuánto vale el campo eléctrico en dicha zona del espacio? b) Dibuja las líneas del campo eléctrico. Como la partícula parte del reposo y alcanza una velocidad final de 100 m · s−1. Unidad 7. disminuyendo el valor de su energía potencial y aumentando el de su energía cinética. la variación de su energía cinética es: 1 1 ∆Ec = Ec − Ec = Ec − 0 = · m · v 2 = · 10−6 · 1002 = 5 · 10−3 J 2 1 2 2 2 Teniendo en cuenta el principio de conservación de la energía mecánica: ∆Ec + ∆Ep = 0 → ∆Ep = −∆Ec Y que: ∆Ep ∆Ep = q · ∆V → ∆V = q Obtenemos: −5 · 10−3 ∆V = V2 − V1 = = −5 000 V 10−6 El resultado obtenido es lógico.6 · 10−19 C. Campo eléctrico 38 . NOTA: en la resolución del problema se ha prescindido de la acción del campo gravitatorio.Z E VB B VA > VB VA A Y X c) La carga positiva se mueve espontáneamente en la dirección y sentido de las líneas del campo eléctrico. 47 La figura adjunta representa las superficies equipotenciales de una zona del espacio donde existe un campo eléctrico. Campo eléctrico 30 ⋅ 10 −9 = 54 000 V 0. como la del electrón. como se muestra en la figura: V Y E X c) El trabajo necesario lo calculamos como sigue: W = −q · ∆V = −q · (V2 − V1) = −(−1. estarán dirigidas a lo largo del sentido positivo del eje X.a) La relación entre la diferencia de potencial y el campo eléctrico es: V2 − V1 = − r 2 r r E · dr r 1 En este caso: V2 − V1 = − x 2 x 1 E · dr · cos 0° = −E · (x2 − x1) V1 − V2 50 − 10 = 100 N · C−1 E = = 4 · 10 · 10−2 x2 − x1 El sentido del campo eléctrico estará dirigido hacia potenciales decrecientes. ¿Qué potencial adquiere la canica? El potencial que adquiere una esfera de radio R al cargarse se calcula mediante la expresión: V = Q Q =K⋅ 4 ⋅ π ⋅ εo ⋅ R R Sustituyendo valores. es necesario aplicar sobre él una fuerza externa.6 · 10−19) · (10 − 50) = −64 · 10−19 J Las cargas negativas.5 cm de radio adquiere una carga de 30 nC. 5 ⋅ 10 −2 39 . De acuerdo con lo expuesto en el apartado anterior. como en este caso lo hace hacia potenciales decrecientes. una canica de acero de 0. en el caso que nos ocupa resulta: V = 9 ⋅ 10 9 ⋅ Unidad 7. se mueven espontáneamente hacia potenciales crecientes. de sentido contrario a la del campo. por tanto: r r E = 100 · i N · C−1 b) Las líneas del campo eléctrico son perpendiculares a las superficies equipotenciales. 48 Debido a la fricción. 1 − x. c) ¿En qué punto de dicha recta es nulo el potencial eléctrico? a) La situación de las cargas y del punto donde se quiere calcular el campo es la que se muestra en la siguiente figura: E2C E–5C q1 = 2 C q2 = – 5 C A En el punto A una carga de prueba positiva se verá repelida por el campo creado por la carga positiva. la distancia de la segunda carga a dicho punto será 0.5 · 1010 · i N · C−1 c) El punto en que se anula el potencial eléctrico estará entre ambas cargas. Tenemos dos cargas eléctricas puntuales de 2 C y –5 C. imponiendo la condición de que se anula el potencial. Por tanto. contados en la misma dirección.5 · 1010) · i = −92. El campo que crea cada una de ellas es: q1 r r r r 2 E2 C = K · 2 · (−i ) = 9 · 109 · · (−i ) = −45 · 1010 · i N · C−1 −2 2 (20 · 10 ) r1 q2 r r r r −5 E−5 C = K · 2 · (−i ) = 9 · 109 · · (−i ) = 50 · 1010 · i N · C−1 −2 2 (30 · 1 0 ) r2 El campo resultante en el punto A es: r r r r r EA = E2 C + E−5 C = (−45 · 1010 + 50 · 1010) · i = 5 · 1010 · i N · C−1 b) En este caso. y atraída por el creado por la carga negativa. separadas una distancia de 10 cm. Campo eléctrico 40 . una carga de prueba positiva colocada en el punto B de la figura será repelida por la carga q1 y atraída por la carga q2: E–5C q1 = 2 C q2 = – 5 C E2C B Los campos que crea cada carga son: q1 r r r r 2 E2 C = K · 2 · i = 9 · 109 · · i = 20 · 1010 · i N · C−1 −2 2 (30 · 10 ) r1 q2 r r r r −5 E−5 C = K · 2 · i = 9 · 109 · · i = −112. Si llamamos x a la distancia de la carga positiva al punto donde se anula el potencial. se obtiene: q1 q2 V2 C + V−5 C = 0 → K · + K · = 0 → r1 r2 Unidad 7. Calcula el campo en los puntos siguientes: a) A 20 cm de la carga positiva. tomados en la dirección de la recta que une las cargas y en el sentido de la negativa a la positiva. pero en sentido de la positiva a la negativa.5 · 1010 · i N · C−1 −2 2 (20 · 10 ) r2 Y el campo resultante: r r r r r EB = E2 C + E−5 C = (20 · 1010 − 112.49. b) A 20 cm de la carga negativa. 86 cm. 1) q2 45° q1 (0. 2) F2 (1. 2) la obtenemos aplicando el teorema de Pitágoras: 2 + 22 = 2 · 2 m 2 2 + 12 = 2 m r2 = 1 r1 = a) La fuerza que ejerce la carga q1 = 8 µC sobre la carga q3 = 1 µC. Dos cargas puntuales de 8 µC y –5 µC están situadas. medidos hacia la derecha de la carga positiva.2 → 7 · x = 0. 1) metros.1 − x 0. 2) metros.36 · 10−3 · i + 6.91 · 10−3 · i − 15. es: q2 · q3 r r r F1 = K · 2 · (cos 45° · i + sen 45° · j ) = r1 = 9 · 109 · 8 · 106 · 1 · 106 r r · (cos 45° · i + sen 45° · j ) = (2 · 2)2 r r = (6.86 cm 7 El potencial eléctrico se anula a 2.2 → x = = 0. respectivamente.91 · 10−3 · j ) N Unidad 7.36 · 10−3 · j ) N Y la que ejerce la carga q2 = −5 µC sobre la carga q3 = 1 µC: q2 · q3 r r r · (cos 45° · i + sen 45° · j )= F2 = K · r 22 = 9 · 109 · 5 · 106 · 1 · 106 r r · (cos 45° · i + sen 45° · j ) = (2)2 r r = (−15. 1) (2. b) El trabajo necesario para llevar esta última carga desde el punto que ocupa hasta el punto (0. Calcula: a) La fuerza que actúa sobre una tercera carga de 1 µC situada en el punto (2. 0) y (1.0286 m = 2. 0) X La distancia de cada carga al punto (2. 1) metros. en los puntos (0.2 −5 2 5 → 9 · 109 · + 9 · 109 · = 0 → = → x 0.1 − x x 0. 50. La situación de las cargas que propone el enunciado es la que se muestra en la siguiente figura: Y F1 q3 (0. Campo eléctrico 41 . 88 · 10–4 N q2 = – 2 µC q1 = –2 µC A B Observa que. Campo eléctrico 42 .55 · 10−3 · i − 9.0) y B(4.91 · 10−3 · i − 15. Por tanto. Masa = 1 g a) Las cargas y las fuerzas eléctricas que actúan con las que se muestran en la siguiente figura: q = 1 µC FA = 4. de acuerdo con ella. b) ¿Qué velocidad tendrá al pasar por el punto (0. la fuerza resultante en la dirección del eje X es nula.La fuerza eléctrica resultante que actúa sobre q3 es: r r r r r r r F = F1 + F2 = 6.0) metros? Datos: K = 9 · 109 N · m2 · C−2.4 m Ftotal = 6. La distancia de las cargas de +2 µC y −2 µC a la tercera se calcula aplicando el teorema de Pitágoras: r1 = r2 = r = 42 + 52 = 6.36 · 10−3 · j − 15. Como no lo hace espontáneamente.4 · 10–4 N r2 d = 42 + 52 = 6.36 · 10−3 · i + 6. ya que ambas cargas atraen a la tercera con fuerzas del mismo valor y de sentidos opuestos en esa dirección. por tanto. Dos cargas eléctricas puntuales de –2 µC. 2) es: q1 q2 q1 q2 V(2.96) = 20. situada en el punto (0.4 m El ángulo α es: Unidad 7.55 · 10−3 · j = −9. están situadas en los puntos A(–4. habrá que realizar trabajo sobre ella: Wext = q · ∆V = 1 · 10−6 · (27 · 103 + 6 363. 1): q1 q2 q1 q2 V(0. 1) = V'1 + V'2 = K · + K · = K · + = r '1 r '2 r '1 r '2 8 · 10−6 −5 · 10−6 = 9 · 109 · + = 27 · 103 V 1 1 Se trata. 2) = V1 + V2 = K · + K · = K · + = r1 r2 r1 r2 8 · 10−6 −5 · 10−6 = 9 · 109 · + = −6 363. tan solo hemos de calcular la fuerza eléctrica resultante en la dirección del eje Y.4 · 10–4 N r1 α FB = 4.5) metros.91 · 10−3 · j = r r r r = −9.55 · 10−3 · (i + j ) N b) El potencial a que se encuentra el punto (2.0) metros: a) Calcula la fuerza sobre una carga de 1 µC.64 · 10−3 J 51. de una carga positiva que se mueve hacia potenciales crecientes.96 V 2 · 2 2 Y el que corresponde al punto (0. 62 m · s−1 6.86 · 10−4 · j N 1 2 b) Este apartado se puede resolver calculando la variación de energía potencial de la carga entre ambos puntos.86 · 10−4 F = 0. por tanto: r r r r r r F = Fq → q.43 · 10−4 · j N = 9 · 109 · 2 (6.4 4 tg α = → α = arctg = 38.86 52 En tres vértices de un cuadrado de 2 m de lado se disponen cargas de +10 µC.43 · 10−4 · j − 3.43 · 10−4 · j N = 9 · 109 · 2 (6. 4) 1 → q.66° · j = −3.69 m/s2 F = m · a → a = = 1 · 10−3 m Teniendo en cuenta que: v 2 − v 20 = 2 · a · s Obtenemos: v 2 = 2 · 0. Y = −3. y el trabajo necesario para llevar una carga de –5 µC desde el centro del cuadrado hasta el cuarto vértice. El sistema de referencia escogido para este problema es el siguiente: Y Y E3 er er E2 2 E3 3 1 r1 α 4 er r2 r3 1 E X er 3 Unidad 7. y aplicando el principio de conservación de la energía.86 m2 · s−2 → v = = 2. Calcula el vector intensidad de campo eléctrico y el potencial eléctrico en el cuarto vértice. La fuerza calculada en el apartado anterior le proporcionará a la carga la siguiente aceleración: 6. 4) q2 · q r r · cos α · j = Fq → q.43 · 10−4 · j = −6. Y La fuerza resultante es.69 · 5 = 6. Campo eléctrico 3 2 1 α 4 2 E2 er er 1 X E 1 43 .66° · j = −3. Y + Fq → q. Y = K · 2 2 r −6 −6 r r −2 · 10 · 10 · 1 · cos 38. como el enunciado proporciona como dato la masa de la partícula. pero.66° 5 5 Por tanto: r Fq q1 · q r = K · · cos α · j = 2 r −6 −6 r r −2 · 10 · 1 · 10 · cos 38. se puede resolver de forma más sencilla y rápida utilizando conceptos cinemáticos. Por tanto: r r r 10 · 10−6 E2 = 9 · 109 · · (cos 45° · i + sen 45° · j ) = 2 (2 · 2) r r = 0.25 · 104 · i N · C−1 E1 = K · 2 · i = 9 · 109 · 2 2 r1 El que crea que la carga q2 en el cuarto vértice es: q2 r r r E2 = K · 2 · (cos α · i + sen α · j ) r2 donde el ángulo vale 45° al tratarse del formado por la diagonal de un cuadrado con uno de sus lados.25 · 104 · j N · C−1 E3 = K · 2 · j = 9 · 109 · 2 2 r3 El campo eléctrico resultante en el cuarto vértice será la suma de los anteriores: r r r r r r r r E = E1 + E2 + E3 = 2.80 · 104 · j Y el creado por la carga q3: q3 r r r 10 · 10−6 = 2.22 · 105 V 2 2 · 2 2 El trabajo necesario para trasladar una carga desde el centro hasta el cuarto vértice lo realizamos del siguiente modo: – En primer lugar.25 · 104 · j = r r = 3. Campo eléctrico 44 . calculamos el potencial a que se encuentra el centro del cuadrado: q1 q2 q3 V0 = V1 + V2 + V3 = K · + K · + K · r1 r2 r3 donde: r1 = r2 = r3 = r = 8 2 · 2 = = 2 m 2 2 .91 · 105 V r 2 Unidad 7.80 · 104 · j + 2. q1 = q2 = q3 = 9 = 10 · 10−6 C Por tanto: K · q 3 · 9 · 109 · 10 · 10−6 V0 = 3 · = = 1.05 · 104 · (i + j ) N · C−1 El potencial eléctrico en el cuarto vértice se obtiene sumando el que corresponde al creado por cada carga: q1 q2 q3 q1 q2 q3 V = V1 + V2 + V3 = K · + K · + K · = K · + + = r1 r2 r3 r1 r2 r3 1 1 1 = 9 · 109 · 10 · 10−6 · + + = 1.80 · 104 · i + 0.r1 = 2 m r2 = 2 + 22 = 2 · 2 m 2 r3 = 2 m El campo eléctrico que crea la carga q1 en el cuarto vértice es: q1 r r r 10 · 10−6 r · i = 2.80 · 104 · i + 0.25 · 104 · i + 0. 53. se encuentran situadas en tres de los vértices de un cuadrado de 10 cm de lado. fíjate en que los campos producidos por q1 y q3 son del mismo valor y sentido opuesto.07 · 10−2 m Además. Vf < V0.1 m P r 0. de 2 µC cada una.22 · 105 − 1. b) Los potenciales en los puntos medios de los lados del cuadrado que unen las cargas y el trabajo realizado al desplazarse la unidad de carga entre dichos puntos. Como una carga negativa se traslada espontáneamente hacia potenciales crecientes.69 · 105 V Como se observa. en primer lugar.052 + 0.45 · 10−6 J El signo negativo obtenido indica que el trabajo a realizar es externo. a) Para resolver el problema utilizaremos un sistema de referencia con el origen situado en el centro del cuadrado.– A continuación calculamos la diferencia de potencial entre ambos puntos: ∆V = Vf − V0 = 1. Tres cargas positivas e iguales. como se muestra en la figura. – Calculamos el valor del trabajo realizado por las fuerzas del campo: W = −q · ∆V = −(−5 · 10−6) · (−0. y q1 E3 E2 ur2 ur3 0. la distancia que separa cada carga del punto medio. De acuerdo con la siguiente figura: Unidad 7.91 · 105 = −0.05 m x ur1 E1 q2 q3 0. en este caso será necesario que se realice un trabajo exterior en contra de las fuerzas del campo.07 · 10−2)2 2 b) Para obtener los potenciales en dichos puntos necesitamos conocer.69 · 105) = −3. Calcula: a) El campo eléctrico en el centro del cuadrado.55 · 106 · (i + j ) N · C−1 (7. r= 0. por lo que el campo resultante en el centro del cuadrado coincidirá con el campo creado por la carga q2: q2 r r r r E = E2 = K · 2 · (cos 45° · i + sen 45° · j ) = r −6 r r 2 r r 2 · 10 = 9 · 109 · · · (i + j ) = 2.052 = 7. Campo eléctrico 45 .05 m De acuerdo con ella: r1 = r2 = r3 = r . 05 0.d. Campo eléctrico α 3 cm E1 u1 β E2 3 cm Q2 46 . el trabajo realizado al desplazarse la unidad de carga entre ellos es nulo. Calcula el campo y el potencial eléctrico en un punto de la mediatriz del segmento que las une.p.05 m r 23A = 0.052 + 0.112 m = r1B El potencial en el punto A es: q1 q2 q3 VA = V1 + V2 + V3 = K · + K · + K · r1A r2A r3A Como q1 = q2 = q3 = q = 2 · 10−6 C.8 · 105 V Como la d.102 = 0. y en otro situado en la prolongación del segmento que las une y a 2 cm de la carga positiva. Dato: K = 9 · 109 S.I. 54 Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas puntuales de 2 µC y −2 µC. distantes entre sí 6 cm. El sistema de referencia elegido para calcular el campo y el potencial eléctrico en un punto de la mediatriz es el siguiente: u2 β α A 5 cm Q1 Unidad 7.112 Por simetría: VB = 8. entre ambos puntos es nula.05 m r2B = r3B = 0.0125 m2 → r3A = 0. distante 5 cm de cada carga. se obtiene: 1 1 1 1 1 1 VA = K · q · + + = 9 · 109 · 2 · 10−6 · + + = 8.8 · 105 V r1A r2A r3A 0.05 0.q1 r1A r1B A r3A r2A q2 r2B r3B B q3 Dichas distancias son: r1A = r2A = 0. 13° 5 5 El campo creado por la carga q1 es: q1 r r r E1 = K · 2 · (cos α · i + sen α · j ) = r r r 2 · 10−6 = 9 · 109 · · (cos 53. se calcula también aplicando el principio de superposición.64 · 106 · i N · C−1 Al ser el potencial una magnitud escalar.76 · 106 · j ) N · C−1 El campo eléctrico resultante es la suma de los anteriores: r r r r r r r E = E1 + E2 = 4. su valor en el punto considerado es: q1 q2 K V = V1 + V2 = K · + K · = · (q1 + q2) = r r1 r2 9 · 109 · (2 · 10−6 − 2 · 10−6) = 0 V = 5 · 10−2 El campo eléctrico en el punto situado en la prolongación del segmento que une las cargas.81 · 106 · i N · C−1 −2 2 (8 · 10 ) r2 Unidad 7.32 · 106 · i + 5.13° · j ) = −2 2 (5 · 10 ) r r = (4.32 · 106 · i − 5. Campo eléctrico 47 .13° · i + sen 53.76 · 104 · j + 4. a 2 cm de la carga positiva.13° · j ) = −2 2 (5 · 10 ) r r = (4. De acuerdo con la siguiente figura: 2 cm 6 cm E1 C E2 q1 = 2 µC q2 = –2 µC r r los campos E1 y E2 son: q1 r r r r 2 · 10−6 E1 = K · 2 · (−i ) = −9 · 109 · · i = −4.De acuerdo con él: r = r1 = r2 = 5 · 10−2 m El valor de los ángulos α y β es: 3 3 cos α = → α = arccos = 53.32 · 106 · i − 5.13° · (−i ) + sen 53.5 · 107 · i N · C−1 −2 2 (2 · 10 ) r1 q2 r r r r −2 · 10−6 E2 = K · 2 · (−i ) = 9 · 109 · · (−i ) = 2.76 · 106 · j = r = 8.76 · 106 · j ) N · C−1 El campo creado por la carga q2 es: q2 r r r E2 = K · 2 · (cos α · (−i ) + sen α · j ) = r r r −2 · 10−6 = 9 · 109 · · (cos 53.32 · 106 · i + 5. 75 · 10−8 C R1 + R2 6 · 10−2 + 10 · 10−2 Por tanto: q2 = Q − q1 = 10 · 10−8 − 3. Campo eléctrico 48 . antes y después de ponerlas en contacto.El campo resultante es: r r r r r r E = E1 + E2 = −4. Antes de poner en contacto ambas esferas. y la carga de cada esfera cuando se establece el equilibrio. el potencial a que se encuentra cada una es: 5 · 10−8 Q V1 = K · = 9 · 109 · = 7 500 V 6 · 10−2 R1 Q 5 · 10−8 V2 = K · = 9 · 109 · = 4 500 V R2 10 · 10−2 El valor total de la carga de las esferas es: Q = Q1 + Q2 = 5 · 10−8 + 5 · 10−8 = 10 · 10−8 C = 10−7 C Cuando las esferas se ponen en contacto.81 · 106 · i = −4. están cargadas cada una con una carga de 5 · 10−8 C.25 · 10−8 C Después de ponerlas en contacto y alcanzada la situación de equilibrio. Dato: K = 9 · 109 N · m2 · C−2 En un conductor. en ese momento dejarán de pasar cargas de la esfera que se encuentra a mayor potencial a la que está a menor potencial. el potencial a que se encuentran ambas esferas es: q1 3.75 · 10−8 = 5 625 V V'1 = V'2 → K · = 9 · 109 · 6 · 10−2 R1 Unidad 7.22 · 107 · i N · C−1 siendo el potencial eléctrico en ese punto: q1 q2 2 · 10−6 −2 · 10−6 V = V1 + V2 = K · + K · = 9 · 109 · + = 6. Calcula el potencial al que se encuentra cada una de las esferas. la carga se distribuye por su superficie.75 · 10−8 = 6. de 6 y 10 cm de radio.5 · 107 · i + 2.75 · 105 V 2 · 10−2 8 · 10−2 r1 r2 55 Dos esferas conductoras y aisladas y suficientemente alejadas entre sí. Las esferas se ponen en contacto mediante un hilo conductor y se alcanza una situación de equilibrio. la situación de equilibrio se alcanzará cuando ambas se encuentren al mismo potencial. obtenemos el valor de la carga que posee cada esfera después de alcanzar el equilibrio: q1 q2 q1 q2 q1 Q − q1 V'1 = V'2 → K · = K · → = → = → R1 R2 R1 R2 R1 R2 Q · R1 10−7 · 6 · 10−2 → q1 = = = 3. Al imponer la condición de igualdad de potenciales. −a): r r r 6·q E6 · q = K · · (cos 45° · i + sen 45° · j ) = 2 (a · 2) r r r r 6 · q 2 27 · 109 · 2 · q = 9 · 109 · 2 · · (i + j ) = · (i + j ) 2 2·a 2 2·a Unidad 7. a). c) Se sitúa una quinta carga +q en el origen y se libera desde el reposo. a).q 6.q El campo que la carga situada en (−a.q + E2.q – 3. b) El potencial en el origen. Calcula: y 6 · q en (− a) El campo eléctrico en el origen. −a): r r r −3 · q E−3 · q = K · · (−cos 45° · i + sen 45° · j ) = 2 (a · 2) 9 −9 · 10 · 3 · q 2 r r r r 27 · 109 · 2 · q · · (−i + j ) = · (i − j ) = 2 2 2·a 4·a 2 Y el que crea la carga situada en (−a.q 90° x E2. como se indica a continuación: q en (− −a. a) crea en el origen es: r r r q Eq = K · · (cos 45° · i − sen 45° · j ) = 2 (a · 2) r r r r 2 9 · 109 · 2 · q q = 9 · 109 · 2 · · (−i − j ) = · (−i − j ) 2 2·a 2 4·a El que crea la carga situada en (a.q + Eq E –3.q E6. a): r r r 2·q E2 · q = K · · (−cos 45° · i − sen 45° · j ) = (a · 2)2 r r r r 2 · q 2 9 · 109 · 2 · q = 9 · 109 · 2 · · (i − j ) = · (i − j ) 2·a 2 · a2 2 El que crea la carga situada en (a.q q 2. a) La posición de las cargas y el campo eléctrico que crea cada una de ellas son los que se muestran en la siguiente figura: y q 2. Calcula su velocidad cuando se encuentre a una gran distancia del origen.q 6. −a). 2 · q en (a. −3 · q en (a.q y E6.q – 3.q x Eq E –3. −a). Campo eléctrico 49 .56 Se disponen cuatro cargas en los vértices de un cuadrado centrado en el origen −a. Cada una de ellas posee una carga de 50 nC: a) Calcula el potencial a que se encuentra cada esfera. Dos esferas metálicas. F en N · C−1 y V en V. a) El potencial de una esfera cargada es: V =K⋅ Q R Por tanto. En cierto instante.. de 2 y 4 cm de radio. respectivamente. c) La carga que posee cada esfera tras la unión. se encuentran en el vacío. la distancia en metros. Por tanto. se unen ambas esferas mediante un conductor. allí toda la energía de la carga será cinética. v∞ = 0. para cada una de las esferas del enunciado obtenemos: Unidad 7. Calcula: b) El potencial a que se encuentra cada esfera tras unirse. I. Recuerda que. aplicando el principio de conservación de la energía: 27 · 2 · 109 · q2 27 · 2 · 109 · q Ec = Ep = q · V → Ec = q · = a a 2 · Ec 1 Ec = · m · v 2 → v = = 2 m 2 · 27 · 2 · 109 · q2 = m·a 54 · 2 · 109 · q2 m·a 57. b) El potencial en el origen será la suma del potencial creado en ese punto por cada una de las cargas: q 2·q −3 · q 6·q V = Vq + V2 · q + V−3 · q + V6 · q = K · + + + = a · 2 a · 2 a · 2 a · 2 9 · 109 54 · 109 · q 27 · 2 · 109 · q = · (6 · q) = = a a · 2 a · 2 c) Si el origen de potenciales se sitúa en el infinito.El campo resultante es la superposición de los anteriores: r r r r r E = Eq + E2 · q + E−3 · q + E6 · q = r r r r 3 r 3 r r r i j 9 · 109 · 2 · q − − i − j + · i − · j + 3 · i + 3 · j = = · 2 2 2 2 2 2·a r 9 · 109 · 2 · q 18 · 109 · 2 · q r = · (4 · i ) = ·i 2 · a2 a2 NOTA: el enunciado del problema no proporciona ninguna información sobre las unidades en que se expresan las cargas y las coordenadas. Campo eléctrico V1 = K ⋅ Q 50 ⋅ 10 −9 = 9 ⋅ 10 9 ⋅ = 22 500 V R1 2 ⋅ 10 −2 V2 = K ⋅ Q 50 ⋅ 10 −9 = 9 ⋅ 10 9 ⋅ = 11250 V R2 4 ⋅ 10 −2 50 . q se mide en C. en el S. De ese modo. a) La fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra y la Luna viene dada por la ley de la gravitación universal de Newton: MT · ML Fg = G · 2 rTL Y la de atracción electrostática por la ley de Coulomb: QT · QL Fe = K · 2 rTL Unidad 7. Para resolver el sistema. que la carga se conserva. Mprotón = Mneutrón = 1.35 · 1022 kg. además.67 = 33. que la materia no fuera eléctricamente neutra. ¿cuál debería ser la diferencia entre la carga del protón y la del electrón para producir el valor de las cargas del apartado anterior? Datos: MLuna = 7. la carga de la esfera de 2 cm resulta: Q'1 = 100 − 66. En ese caso. que cesa cuando las dos se encuentran al mismo potencial.67 · 10−9 = 9 · 109 · = 15 000 V 4 · 10−2 NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. Q'1 y Q'2.33 nC c) El potencial al que quedan ambas esferas es: Q'1 Q'2 33. por tanto.b) Cuando ambas esferas se unen. se cumple la siguiente relación: Q'1 Q'2 Q'1 Q'2 V1 = V2 → = → = [1] 4 · π · ε0 · R1 4 · π · ε0 · R2 R1 R2 Teniendo en cuenta. Campo eléctrico 51 . 58 Supongamos. resulta: Q'1 + Q'2 = Q + Q = 2 · Q = 100 nC [2] Las ecuaciones [1] y [2] forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. se inicia una transferencia de carga eléctrica. sino que tuviera una carga neta diferente de cero debido a que la carga de los protones no fuera igual a la de los electrones: a) ¿Qué carga eléctrica deberían tener la Tierra y la Luna para que la repulsión electrostática igualara la atracción gravitatoria entre ambas? Considera que estas cargas están en la misma relación que sus masas. b) Si admitimos que la masa de los electrones es mucho menor que la de los protones y neutrones.67 · 10−27 kg. despejamos Q'1 en la expresión [2] y sustituimos en la [1].33 · 10−9 = V = V1 = V2 → V = K · = K · = 9 · 109 · 2 · 10−2 R1 R2 66. por un momento. obtenemos la carga de la esfera de 4 cm de radio tras la unión: 100 − Q'1 Q'2 400 = = 2 · Q'2 = 400 − 4 · Q'2 → Q'2 = = 66.67 nC 6 2 4 y. la carga de la Luna y de la Tierra debe ser del mismo signo para que se repelan.67 · 10−27 Considerando que el número de protones es igual al número de neutrones: n 4.98 · 1024 QT = = = 5.6 · 10−19 ± 2.33 · 1012 = 2.67 · 10−11 · 7.15 · 1014 C 7. a) De acuerdo con la figura: Unidad 7.88 · 10−37) C + 59. con Q1 = Q2 = Q3 = 2 nC. supondremos que las masas de la Tierra y la Luna se deben solo a los protones y neutrones.35 · 1022 = 4.33 · 1012 · 15. Tres cargas eléctricas puntuales iguales.2 · 1049 protones 2 2 Para que la Luna tuviera una carga de 6. están situadas en los vértices de un triángulo equilátero de 1 m de lado. será: ML 7.2 · 1049 Es decir.33 · 1012 C G · = K · QT · QL → QL = = 9 · 109 QL K Por tanto. Calcula: a) La fuerza que actúa sobre Q1.35 · 1022 = 6. y despreciamos la contribución de los electrones. al ser su masa mucho menor.4 · 1049 nucleones n = = mnucleón 1. b) Para resolver este apartado. la carga que corresponde a la Tierra es: QL · MT 6. la carga del protón podría ser: qp = (1. obtenemos: MT · ML QT · QL Fg = Fe → G · 2 = K · 2 → G · MT · ML = K · QT · QL rTL rTL [1] Teniendo en cuenta que las cargas de la Tierra y la Luna están en la misma relación que sus masas: MT QT QT · ML = → MT = ML QL QL La expresión [1] queda como: QT · M L2 G · M L2 6. b) El campo eléctrico y el potencial eléctrico en el centro (baricentro) del triángulo. El número de nucleones que formarán la masa de la Luna (protones más neutrones).88 · 10−37 q = 2. Campo eléctrico 52 .4 · 1049 nprotones = = = 2. la diferencia entre la carga del protón y del electrón debería ser: 6.33 · 1012 C.35 · 1022 ML Por supuesto.al igualar ambas. 6 · 1 0 · 3 . Teniendo en cuenta la siguiente figura: q1 er3 r E3 E2 er2 150° 30° 270° r r q3 30° q2 E1 0. al ser el triángulo equilátero. Por tanto: r r F = 6. el ángulo formado por ambas fuerzas es de 60°. la distancia de cada carga al baricentro del triángulo es la misma.24 · 10−8 · j N b) Por definición.6 · 10−8 N Fq →q = K · 2 3 1 12 r Observa que.5 m Unidad 7.6 · 10 · cos 60° = 6. en módulo: q2 · q1 2 · 10−9 · 2 · 10−9 = 9 · 109 · = 3. Campo eléctrico er1 53 . el valor de la resultante es: F q2 →q + F q2 → +2 · F q →q · F q →q · cos 60° = F = q 2 = 1 3 1 2 1 3 1 (3. Por tanto. la que ejerce q3 sobre q1 es: q3 · q1 2 · 10−9 · 2 · 10−9 = 9 · 109 · = 3.24 · 10−8 N −8 2 −8 2 −8 −8 Esta fuerza está dirigida en el sentido positivo del eje de ordenadas.FR F3 F2 60° q1 60° q2 q3 La fuerza que ejerce la carga q2 sobre q1 es.6 · 10−8 N Fq →q = K · 2 2 1 12 r Del mismo modo.6 · 10 ) + 2 · 3.6 · 10 ) + (3. Se observa que.577 m r cos 30° El potencial en el baricentro se calcula de acuerdo con la siguiente expresión: q1 q2 q3 V = V1 + V2 + V3 = K · + K · + K · r1 r2 r3 teniendo en cuenta que: q1 = q2 = q3 = q r1 = r2 = r3 = r su valor es: q 2 · 10−9 V = 3 · K · = 3 · 9 · 109 · = 93. el campo eléctrico que crea en él cada carga es el mostrado en la siguiente figura: Unidad 7. Tres cargas positivas.53 V r 0.577 60. Campo eléctrico 54 . debemos calcular la distancia que separa las cargas del baricentro. c) Halla el punto en el que el campo eléctrico es cero. que.5 cos 30° = → r = = 0. b) Halla el potencial eléctrico en el punto medio de uno de los lados del triángulo. se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero de 12 cm de lado.5 m tiene el siguiente valor: 0. a) Si tomamos un sistema de referencia centrado en el punto medio de uno de los lados del triángulo. a) Halla el campo eléctrico en el punto medio de uno de los lados del triángulo.5 0. Para calcular el valor del potencial en dicho punto. por simetría. de 5 nC cada una de ellas. el campo eléctrico total creado por las tres cargas en el baricentro del triángulo es nulo. de acuerdo con la siguiente figura: × baricentro r 30° 0. 39 · 10−2 m Por tanto: 1 1 1 1 1 1 V = K · q · + + = 9 · 109 · 5 · 10−9 · + + = −2 −2 r1 r2 r3 6 · 10 6 · 10 10. b) La distancia del ion positivo a la que se anula el potencial eléctrico total.39 · 10−2)2 b) El valor del potencial en el punto medio de uno de los lados del triángulo es: q1 q2 q3 V = V1 + V2 + V3 = K · + K · + K · r1 r2 r3 siendo: q1 = q2 = q3 = q = 5 · 10−9 C r1 = r2 = 6 cm = 6 · 10−2 m r3 = 10.39 · 10−2 m 12 Por tanto: q3 r r r r 5 · 10−9 E3 = K · 2 · (−j ) = −9 · 109 · · j = −4. el campo eléctrico en el punto medio es el debido a la carga q3. Por tanto. c) La energía potencial eléctrica de los dos iones. Campo eléctrico 55 .11 V c) El campo eléctrico.q3 r3 E2 q1 ur2 r1 E1 P ur1 q2 ur3 r2 E3 De acuerdo con ello. Sean dos iones de cargas 2 · |e| y −|e| respectivamente.39 · 10−2 = 1 933. separados una distancia de 3 Å. es nulo en el baricentro del triángulo (consúltese la figura incluida en el apartado b) del problema anterior).39 cm = 10. Calcula: a) La distancia del ion positivo a la que se anula el campo eléctrico total.17 · 103 · j N · C−1 r3 (10. los campos creados por las cargas q1 y q2 tienen el mismo valor y sus sentidos son opuestos. por lo que se anulan entre sí. por simetría. 61. Unidad 7. El valor de r3 es: 122 = 62 + r 23 → r3 = 2 − 62 = 10. Campo eléctrico 56 .24 Å b) El potencial se anulará en un punto situado entre ambas cargas.6 · 10−19 q1 + q2 La distancia a que se encuentra este punto del ion positivo es: d' = 3 · 10−10 + y = 3 · 10−10 + 3 · 10−10 = 6 · 10−10 m c) La energía potencial de un sistema de cargas puntuales se corresponde con el trabajo necesario para traer las cargas desde el infinito hasta las posiciones que ocupan. a una distancia x de la primera.6 · 10−19 − 2 · 1. El potencial que crea esa carga a 3 · 10−10 m de distancia es: Unidad 7.24 · 10−10 + 3 · 10−10 = 10.6 · 10−19 − (3. el trabajo necesario es nulo. se anule el campo.2 · 10–19 C Eq1 Eq2 ETOTAL Eq2 Eq1 (D ) q2 = –1. por tanto: d = 7.24 · 10−10 m La distancia al ion positivo es. se obtiene el valor de la distancia x: q1 q2 q1 q2 Eq = Eq → K · 2 = K · 2 → 2 = 2 → 1 2 (d + x) x (d + x) x → x2 · (q2 − q1) + 2 · d · q2 · x + q2 · d 2 = 0 x2 · (1.6 · 10−19 · x + 1. al no haber otra creando campo. de acuerdo con la siguiente figura: (I) (M) q1 = 3.6 · 10−19) + 2 · 3 · 10−10 · 1. Si llamamos y a la distancia que separa la carga negativa de ese punto: q1 q2 q1 q2 + K · = 0 → + =0→ Vq + Vq = 0 → K · − 1 2 3 · 10 10 + y y 3 · 10−10 + y y −q2 · 3 · 10−10 − (−1. Si suponemos que se trae en primer lugar la carga q1.6 · 10–19 C Eq2 Eq1 ETOTAL d = 3 · 10–10 m x Al imponer la condición de que.24 · 10−10 m = 10.6 · 10−19 · (3 · 10−10)2 = 0 −x2 + 6 · 10−10 · x + 9 · 10−20 = 0 → x = 7.2 · 10−19) A la derecha de la carga negativa también existe otro punto en el que se anula el potencial.a) El campo eléctrico total se anulará en un punto de la recta que une ambas cargas situado a la derecha de ambas. que calculamos a continuación: q1 q2 =0→ Vq + Vq = 0 → K · + K · − 1 2 x 3 · 10 10 − x q1 −q1 · 3 · 10−10 q2 = 0 → x = = → + − 3 · 10 10 − x x q2 − q1 −3.6 · 10−19) · 3 · 10−10 = 3 · 10−10 m → y = = 3.2 · 10−19 − 1. en módulo.2 · 10−19 · 3 · 10−10 = = 2 · 10−10 m −1. 10–9 m r3 = 5 . y = K · 2 r2 (5 · 10−9)2 5 r = 6. 10–9 m E1 3 · 10−9 3 sen = = 5 · 10−9 5 r1 = 3 . el potencial eléctrico en el punto 3 · j es: q1 q2 q3 q1 q2 q3 V = V1 + V2 + V3 = K · + K · + K · = K · + + = r1 r2 r3 r1 r2 r3 −4 · 1. que las componentes en el eje X de los campos E2 r y E3 se anulan. Campo eléctrico 57 . El campo resultante que crean es debido a la componente en el eje Y.4 · 108 · j = r = −5.6 · 10−19 r · j = −6.91 · 107 · j + 6.6 = −1.02 · 108 · j N · C−1 c) La energía potencial eléctrica del conjunto de las cargas es la suma de las energías potenciales de ellas.2 · 10−19 V = K · = 9 · 109 · = 9. una de 2 · |e| en el punto −4 · i nm y otra de 2 · |e| en el punto 4 · i nm. b) El campo eléctrico en dicho punto.91 · 107 · j N · C−1 El campo creado por la carga q1 es: q1 r r r −4 · 1.768 V = 9 · 109 · 3 · 10−9 5 · 10−9 5 · 10−9 r b) Observa.54 · 10−18 J r 62 Tenemos una carga de −4 · |e| enr el origen.q 3. |e| X r a) De acuerdo con ella. y + E1 = 6. 10–9 m α q2 = 2 . |e| q3 = 2 .4 · 108 · j N · C−1 E1 = K · 2 · j = 9 · 109 · −9 2 (3 · 10 ) r1 El campo resultante es: r r r r r r r E = E2. la energía potencial de la segunda carga es: Ep = q · V = −1. Por tanto: r 2 · |e| 2 · 1. c) La energía potencial eléctrica del conjunto de las cargas. Calcula: r a) El potencial eléctrico en el punto 3 · j . y + E3. La situación de las cargas es la que se muestra en la siguiente figura: E3 Y E2 α r2 = 5 .6 · 10−19 2 · 1.91 · 107 · j − 6. |e| q1 = –4 .6 · 10−19 2 · 1. en la figura anterior.6 V r 3 · 10−10 Por tanto.6 · 10−19 + + = 0. y = E3.6 · 10−19 3 r · sen α · j = 9 · 109 · · · j = E2. tomadas de dos en dos: Unidad 7.6 · 10−19 · 9. 6 · 10−19 + + −9 4 · 10 4 · 10−9 2 · 1. 1.45 · 10−9 N d2 (3)2 Y el de la fuerza eléctrica: q1 · q2 1 · 10−9 · 100 · 10−10 9 Fe = K · = 9 · 10 · = 3 · 10−8 N d2 (3)2 En ambos casos.6 · 10−19 · 2 · 1.6 · 10−19 + = 8 · 10−9 9 · 109 · (1.67 · 10−11 N · m2 · kg−2 a) La distancia que separa ambos cuerpos puntuales es: d= 12 + 12 + 12 = 3 m El primer cuerpo ejerce sobre el segundo una fuerza de atracción gravitatoria y otra de repulsión electrostática.3 q1 · q2 q1 · q3 q2 · q3 = K · + + = r1.45 · 10−9 = 2.6 · 10−19)2 = · (−8 − 8 + 2) = −8. 1) metros se sitúa otro cuerpo puntual de masa 20 kg y carga eléctrica –100 pC: a) Determina la fuerza total que ejerce el primer cuerpo sobre el segundo.3 r2. El valor de la fuerza total que ejerce el primer cuerpo sobre el segundo es: F = Fe − Fg = 3 · 10−8 − 4. b) El cociente entre el módulo de ambas fuerzas es: Fe 3 · 10−8 = = 6.67 · 10−11 · 10 · 20 Fg = G · = = 4. Campo eléctrico 58 .6 · 10−19) · 2 · 1.2 1.2 r1.6 · 10−19) · 3 · 1. b) ¿Cuál es el cociente entre la fuerza eléctrica y la gravitatoria en este caso? c) Si se separan las cargas una distancia de 10 m.854 · 10−12 C2 · m2 · N−1 G = 6. decrece o se mantiene? Datos: ε0 = 8.2 r1. sobre la misma línea que antes.q1 · q2 q1 · q3 q2 · q3 Ep = Ep + Ep + Ep = K · + K · + K · = 1.555 · 10−8 N Su sentido es el de la fuerza eléctrica. El valor de la primera es: m1 · m2 6.3 r1.6 · 10−19 (−4 · 1. En el punto (1. ¿crece.3 r2.064 · 10−19 J 4 · 10−9 63.45 · 10−9 Unidad 7.3 2.74 Fg 4. la dirección de la fuerza es la de la recta que une ambas cargas.3 = 9 · 109 · (−4 · 1. Se sitúa en el origen de coordenadas del espacio tridimensional vacío un cuerpo puntual de masa 10 kg y con una carga eléctrica –1 nC. el cociente entre las fuerzas gravitatoria y eléctrica. Unidad 7. por tanto. el cociente se mantendrá. Campo eléctrico 59 .c) El cociente entre la fuerza eléctrica y la gravitatoria es: q1 · q2 K · Fe K · q1 · q2 d2 = = m1 · m2 G · m Fg · m2 1 G · d2 Observa que no depende de la distancia a que se encuentren las cargas. situada sobre los imanes. provocando la desalineación de los dominios magnéticos. El uso de imanes es muy frecuente en aparatos de uso cotidiano. lo que conlleva la pérdida de propiedades magnéticas. un imán temporal o uno permanente. batidora. Utiliza una cartulina. 2. Electromagnetismo 1 . obteniendo. que magnetiza al acero o al hierro dulce. denominadas dominios magnéticos. 8. Al calentar un imán. etc. tomamos una barra de acero o de hierro dulce y. Los imanes aparecen. 2.8 ELECTROMAGNETISMO 8. comunicamos energía al material con el que está fabricado. En la actualidad vivimos rodeados de imanes. Debes obtener unos campos magnéticos similares a los que se muestran en esta página. Las propiedades magnéticas de los imanes naturales se interpretan suponiendo que el imán puede dividirse en pequeñas regiones. LOS IMANES 1. Para fabricar un imán.2. La mayor parte de los imanes pierden sus propiedades magnéticas al calentarlos. LA EXPERIENCIA DE OERSTED 1. Unidad 8. para espolvorear sobre ella las limaduras de hierro. Emite una hipótesis que explique ese fenómeno. además. alrededor de ella. Cita tres lugares. al menos. secador de pelo. de ese modo. arrollamos un cable conductor. por citar algunas de las aplicaciones más comunes que se les dan.1. Indica cómo podemos fabricar un imán permanente. donde existan imanes. teléfonos o altavoces de equipos musicales. Se trata de una sencilla propuesta de actividad práctica que se recomienda que realicen los alumnos y las alumnas de forma autónoma. Analiza cómo son las líneas de fuerza cuando los dos imanes se aproximan por el mismo polo y cuando se aproximan por polos diferentes. A los terminales del cable conectamos una pila y dejamos que circule corriente. en las que el movimiento de los electrones (la orientación de sus espines) produce pequeños campos magnéticos.) lleva imanes incorporados en su motor. en todo tipo de aparatos electrónicos: ordenadores personales. Cualquier electrodoméstico (lavadora. Consigue un par de imanes y algunas limaduras de hierro. El paso de corriente por el cable conductor crea un campo magnético. LEY DE LORENTZ 1. que puede ser positiva o negativa. la carga debe ser negativa. la fuerza sería un vector paralelo al plano del papel. por ejemplo. aunque está condicionado por el tipo de carga. Muchos de los componentes que posee un ordenador utilizan imanes: desde el pequeño motor que mueve el ventilador hasta los altavoces del equipo. q. pero en sentido antihorario. cuando el lector de disco. B v En dicha región hay un campo magnético uniforme y constante. v × B .3. ¿Cuál es el signo de la carga eléctrica si esta se desvía en el campo como indica la figura? Razona la respuesta. en este caso el sur. Analiza los distintos elementos que forman parte de un ordenador personal e indica en qué dispositivos son necesarios imanes para su funcionamiento. con la orientación contraria. De este modo. La fuerza viene determinada por la ley de Lorentz: ) F = q · (v × B El sentido del vector fuerza es el que corresponde al producto vectorial de la exprer r sión anterior. en los que la información se almacena magnéticamente. que es básicamente otro imán. pasa por encima de las pistas grabadas. Electromagnetismo 2 . que posteriormente se descodifica y se traduce en información útil. Unidad 8. la información se almacena en formato binario (unos y ceros). perpendicular al plano del papel y de sentido entrante. y la trayectoria sería curva. y el cero. si lo sabes. Indica también. el norte. En informática. dirigido hacia arriba. en un disco duro o en un disco flexible se hace corresponder el uno con una orientación magnética. De lo contrario. Para conseguirlo. para que se dé la trayectoria que se indica en la figura que propone el enunciado. En este caso. pasando por las unidades de disco flexibles o los propios discos duros. puede reconocer el código de unos y ceros. 8.3. Una carga eléctrica penetra en una región del espacio como se indica en la figura. el uso que se da a dichos imanes. Representa gráficamente la situación.1 · 10 · sen 30° = 2. La imantación que presentan el cobre y el oro al aplicar un campo magnético a una muestra de ellos es muy débil. en la que debe quedar claramente establecido el principio de funcionamiento de un motor eléctrico como la acción sobre una espira de un campo magnético. De acuerdo con lo que establece la ley de Laplace: ) F = I · (L × B Como las líneas de campo son perpendiculares al conductor. de 10 cm de longitud. Analiza el resultado que obtendríamos en la actividad anterior si las líneas del campo magnético: a) Son paralelas al conductor. ¿Por qué se utiliza el hierro o el acero en los imanes? ¿No sería mejor utilizar cobre u oro. a) Si el conductor se introduce paralelamente a las líneas de campo. PRIMERA LEY DE LAPLACE 1. ya que se trata de sustancias ferromagnéticas (el campo magnético en un interior es mucho mayor que el que existe en el vacío).8. obtenemos: F = I · l · B · sen θ = 5 · 0. ¿Puedes relacionar el motor eléctrico con lo que hemos estudiado hasta ahora en esta unidad? Se trata de una respuesta abierta. Las líneas del campo magnético son perpendiculares al conductor. por el que circula una corriente de 5 A en el interior de un campo magnético de 10 T. F = I · l · B · sen θ = I · l · B · sen 270° = −I · l · B = −5 · 0. Busca información acerca de cómo está construido un motor eléctrico.4.1 · 2 = −1 N La representación gráfica es como la mostrada en la segunda ilustración de la página 201 del libro del alumno. el valor de la fuerza es: F = I · l · B · sen θ = I · l · B · sen 90° = I · l · B = 5 · 0. la fuerza que actúa sobre el conductor en el supuesto anterior se anula: F = I · l · B · sen θ = I · l · B · sen 0° = I · l · B · 0 = 0 N b) Si el ángulo formado entre el campo magnético y el conductor es de 30°. que conducen mucho mejor la corriente eléctrica? Es mejor utilizar las primeras. Unidad 8.5. 2. ESPIRA INDEFORMABLE EN EL SENO DE UN CAMPO MAGNÉTICO 1.1 · 2 = 1 N También se puede tener en cuenta el caso de que el ángulo formado sea de 270°. Electromagnetismo 3 . Calcula la fuerza que actúa sobre un conductor rectilíneo.5 N 8. b) Forman un ángulo de 30° con la dirección que señala el conductor. 2. 7. Imagina ahora que el conductor de la actividad anterior es una espira de 10 cm de radio que rodea a un núcleo de hierro. Calcula la intensidad del campo magnético que crea a 10 cm de distancia un conductor rectilíneo indefinido por el que circula una corriente de 10 A. en este caso: µ = µFe = µ'Fe · µ0 = 4 · π · 10−7 · µ'Fe El hierro es una sustancia ferromagnética. ¿cuál será ahora la intensidad del campo magnético? Sea µFe la permeabilidad magnética del hierro. Considera que el conductor se encuentra rodeado de aire. LEY DE AMPÈRE DEL CAMPO MAGNÉTICO 1. Electromagnetismo 4 . en consecuencia.28 · 10−1 · µ'Fe T B = = 2 · 10 · 10−2 2·L 8. por tanto. ¿Qué nos permite afirmar.8. Si en lugar de una espira. que el campo magnético no es conservativo? Unidad 8.28 · µ'Fe · 10−5 T 2 · 10 · 10−2 2·R 3. es: µ·I B = 2·π·a donde µ = 4 · π · 10−7 · N · A−2 Por tanto: 4 · π · 10−7 · 10 B = = 2 · 10−5 T 2 · π · 10 ·10−2 2. La expresión que permite calcular la inducción magnética que crea un conductor rectilíneo e indefinido por el que circula una corriente I a una distancia a de él. la intensidad de campo magnético en sus extremos será: µFe · I · N 4 · π · 10−7 · µ'Fe · 10 · 100 = 6. En este caso.6. de forma contundente. CAMPOS MAGNÉTICOS CREADOS POR CARGAS MÓVILES 1. Si por dicha espira circula la misma intensidad de corriente que en el caso anterior. µ'Fe >> 1. es: µ· I B = 2· R donde. en su centro. formando un solenoide de 10 cm de longitud. ¿cuál será ahora la intensidad del campo magnético? La intensidad de corriente es la misma en los tres casos. el conductor se arrolla cien veces en torno al núcleo de hierro. el campo magnético creado será: µFe · I 4 · π · 10−7 · µ'Fe · 10 B = = = 6. El campo magnético que crea una espira circular. 25 · sen 90° = 0.2 m del conductor. Considera µ0 = 4 π 10−7 T m A−1 Unidad 8. De acuerdo con la primera ley de Laplace: ) = I · L · B · sen θ = 2 · 0. por los que circulan corrientes de 10 A. en un punto situado a 0. Dibuja las líneas de fuerza y el vector campo en ese punto. Calcula el módulo de la fuerza que sufre dicho cable. Ambas corrientes discurren perpendicularmente a dicho plano. Dato: µ0 = 4 π 10−7 T m A−1 La ley de Biot y Savart establece que el campo creado se calcula a partir de la siguiente expresión: 4 · π · 10−7 · 4 µ·I B = = = 4 · 10−6 T 2 · π · 0. Este cable está colocado perpendicularmente a un campo magnético uniforme B = 0. Un cable rectilíneo de longitud L = 0.2 2·π·a La línea de fuerza y el vector campo en ese punto son las que se muestran en la siguiente ilustración: I 4. hacia arriba: a) Dibuja un esquema en el que figuren las interacciones mutuas y el campo magnético resultante en uno de los dos vértices del cuadrado.5 · 0.25 N F = I · (L × B 3. ya que la circulación de un campo a lo largo de una línea cerrada es no nula. 2. Calcula el campo creado por un conductor rectilíneo e infinito por el que circula una corriente de 4 A.El campo magnético no es conservativo. Dos hilos metálicos largos y paralelos.5 m transporta una corriente eléctrica I = 2 A. Electromagnetismo 5 .25 T. No es posible definir en él un potencial del mismo modo que lo hacemos para el campo eléctrico o el campo gravitatorio. pasan por dos vértices opuestos de un cuadrado de 1 m de lado situado en un plano horizontal. b) Calcula los valores numéricos del campo magnético en dicho vértice y de la fuerza por unidad de longitud ejercida sobre uno de los hilos. El campo magnético resultante en uno de los otros dos vértices del cuadrado es el que se muestra en la siguiente ilustración: B1 4 3 F3 F1 1 d1 =1 m d2 =1 m B1 2 B B3 B3 b) El campo magnético que crea el conductor 1 en el vértice 2 es: µ0 · I1 4 · π · 10−7 · 10 B1 = = = 2 · 10−6 T 2 · π · d1 2·π·1 Unidad 8. Electromagnetismo 6 .a) El esquema que solicita el enunciado de la actividad es el que se muestra a continuación: 3 1 B1 I1 = 10 A I3 = 10 A l 4 F3 l F1 2 B3 La fuerza a que está sometido el conductor 1 es: F1 = I1 · l1 · B3 siendo B3 el campo magnético creado por el conductor 3 a una distancia d: µ0 · I3 B3 = 2·π·d Por tanto: I1 · l1 · µ 0 · I3 F1 = 2·π·d Del mismo modo. la fuerza a que está sometido el conductor situado en el vértice 3 es: µ0 · l3 · I1 · I3 F3 = 2·π·d Ambas fuerzas tienen la misma dirección. y sus sentidos son opuestos: recuerda que dos corrientes paralelas de igual dirección y sentido se atraen. Electromagnetismo 7 .y el que crea el conductor 3 en el vértice 2: µ0 · I3 4 · π · 10−7 · 10 B3 = = = 2 · 10−6 T 2·π·1 2·π·d Como los campos creados por el conductor 1 y el conductor 3 forman entre sí un ángulo de 90°. Las líneas de fuerza del campo magnético son cerradas. el vector inducción es tangente a ellas en cada punto. d es la distancia que separa ambos conductores. Las líneas de fuerza del campo magnético son: a) Abiertas como las del campo eléctrico. Las líneas de fuerza que solicita el enunciado son las siguientes: Unidad 8. La respuesta correcta es la c). b) Una espira circular por la que circula una corriente continua. la fuerza por unidad de longitud será: F1 µ0 = · I1 · I3 2·π·d l1 En esta expresión. la intensidad del campo magnético resultante es: B= B12 + B32 = (2 ⋅ 10 −6 ) 2 + (2 ⋅ 10 −6 ) 2 = 2. son las líneas de fuerza de un imán o las que corresponden al campo magnético creado por una corriente eléctrica rectilínea. c) Abiertas o cerradas dependiendo del imán o la bobina. b) Siempre cerradas. 83 ⋅ 10 −6 T La fuerza que se ejerce sobre uno de los hilos conductores es: µ0 · I1 F1 = · I1 · I3 2·π·d Por tanto. c) Un hilo rectilíneo muy largo por el que circula una corriente continua. Por ejemplo. 2. Dibuja las líneas del campo magnético que crean: a) Un imán permanente de forma cilíndrica. que se corresponde con la diagonal del cuadrado: d = 12 + 1 2 = 2 m El valor de la fuerza por unidad de longitud es: F1 4 · π · 10−7 = · 10 · 10 = 2 · 10−5 N · m1 l 2 · π · 2 ACTIVIDADES DE LA UNIDAD CUESTIONES 1. a) Las líneas de fuerza que corresponden a un imán permanente de forma cilíndrica son análogas a las de un imán recto: S N b) Espira circular por la que circula una corriente continua: I I B I I c) Hilo rectilíneo muy largo por el que circula una corriente continua: I B B a B B 3. Explica cómo podríamos determinar. Una partícula. con carga q. al observar la trayectoria de la partícula. si se trata de un campo eléctrico o de un campo magnético. penetra en una región en la que existe un campo. ¿Hay algún caso en que no sería posible determinar el tipo de campo? Las fuerzas eléctrica y magnética que se ejercen sobre una carga en movimiento son. Electromagnetismo 8 . respectivamente: Fe = q · E Fm = q · v × B Unidad 8. esta se verá acelerada en la dirección del campo. perpendicularmente al plano del papel y hacia fuera. de forma que el polo norte se encuentra a la izquierda del haz de electrones y el polo sur a la derecha de dicho haz. siendo su sentido de norte a sur (de izquierda a derecha en el dibujo). en la experiencia: • El haz de electrones de la figura no es más que una sucesión de cargas que se mueven con velocidad v. Unidad 8. si la carga es positiva. Al penetrar en la región en la que existe el campo magnético. En el primer caso. Su movimiento será parabólico. (si es un campo eléctrico. • Los imanes crean un campo magnético. L. la fuera magnética la obligará a describir una circunferencia. K.La fuerza eléctrica actúa en la misma dirección que el campo eléctrico. las cargas en movimiento se ven sometidas a la fuerza de Lorentz: F = q · v × B La fuerza de Lorentz actúa como fuerza centrípeta y obliga a la partícula cargada a describir una circunferencia. 4. y la componente de la velocidad perpendicular al campo se mantendrá. En el segundo caso. en un recinto en que se ha realizado el vacío. no se modificará. Electromagnetismo 9 . en dirección perpendicular al plano formado por la velocidad de la carga y el vector inducción magnética. La dirección de este campo es vertical. se desviará de diferente forma. acelerará y si es magnético. M N J Haz de electrones L S K Se aproximan dos imanes a la vasija. Observa que. no se modificará su trayectoria. ya que Fm = q · v · B · sen 0° = 0). y se encuentra sobre el plano del papel. Si la partícula penetra en el campo con una velocidad que tiene una componente perpendicular al campo. si por el contrario. o. M. según el campo sea eléctrico o magnético. Indica hacia dónde se desviará la trayectoria del haz de electrones: J. El razonamiento en el caso de que la carga de la partícula sea negativa es similar al expuesto. la fuerza que actuará sobre ella será nula. Si la partícula entra con una velocidad paralela a las líneas de fuerza del campo. y la fuerza magnética. En la figura se muestra un haz de electrones que se mueven perpendicularmente al plano del papel. la carga o ambas. el radio de la circunferencia que describen depende de v y de q. 5. la masa.v B F Si averiguamos el sentido en que actúa la fuerza. a) La fuerza magnética a que se ve sometida una partícula de velocidad v y carga q es: cuando entra en el seno de un campo magnético de inducción B ) F = q · (v × B m Si las partículas describen una trayectoria circular. Dos partículas cargadas se mueven con la misma velocidad y. En consecuencia. Para ello. Electromagnetismo 10 . Además. el signo de su carga debe ser distinto. hemos de tener en cuenta que la carga es negativa. lo que da a la fuerza un sentido contrario al que le correspondería según el producto vectorial. En el caso que nos ocupa. indica razonadamente cómo se moverán las partículas. b) La fuerza eléctrica que actúa sobre una partícula cargada es: F = q · E e Unidad 8. sabremos hacia dónde se desviará el haz. como los radios son distintos. de cada partícula deben ser distintas. debe existir una fuerza centrípeta que las obligue a describirla. se desvían en sentidos contrarios y describen trayectorias circulares de distintos radios: a) ¿Qué puede decirse de las características de estas partículas? b) Si en vez de aplicarles un campo magnético se les aplica un campo eléctrico paralelo a su trayectoria. al aplicarles un campo magnético perpendicular a dicha velocidad. la fuerza va dirigida hacia el punto K. como se desvían en sentidos contrarios. Por tanto: m · v2 Fe = Fm → = q · v · B · sen θ R El radio de la trayectoria que describen se calcula a partir de la expresión anterior: m·v R = q · B · sen 90° Como la velocidad de las partículas es la misma y penetran en el mismo campo magnético. Explica y justifica la trayectoria que describirá el protón. La fuerza eléctrica viene dada por la ley de Coulomb: Fe = q · E El módulo de esta fuerza es: Fe = q · E Y tendrá la misma dirección y sentido que el campo eléctrico si la carga es positiva y sentido opuesto si la carga es negativa. ¿Puede ser nula la fuerza magnética que se ejerce sobre una partícula cargada que se mueve en el seno de un campo magnético? ¿Y la fuerza eléctrica sobre una partícula cargada que se mueve en el seno de un campo eléctrico? La fuerza magnética viene dada por la ley de Lorentz: = q · v · B · sen α Fm = q · v × B Por tanto. se verá sometida a una deceleración en la misma dirección del campo. 6. cuando α = 0. la fuerza eléctrica y el campo eléctrico tienen la misma dirección y sentido. es decir. Un protón que se mueve en un plano horizontal con una velocidad v entra perpendicular al plano en una región en la que hay un campo magnético B horizontal. sen α = 0 → Fm = 0. cuando el vector velocidad sea paralelo al vector inducción magnética. ¿Cómo se han de aplicar un campo eléctrico y otro magnético. obtenemos la relación entre ellos: E Fm = Fe → q · v · B = q · E → = v B 8. Unidad 8. La fuerza eléctrica no es nula en ningún caso. Si la carga es negativa. Electromagnetismo 11 .Si la carga es positiva. la carga acelerará siguiendo la dirección y sentido de las líneas de campo eléctrico. perpendiculares y uniformes. 7. para que sus fuerzas respectivas sobre una carga con velocidad v se anulen? ¿Cuál ha de ser la relación entre sus módulos? En la siguiente figura se muestra cómo se deben aplicar dichos campos: X X X X X B X Fm X X v +q X X X X X Fe X X X E Al imponer la condición de que los módulos de ambas fuerzas sean iguales. Unidad 8. la fuerza que ejerce un campo magnético sobre un conductor recorrido por cierta intensidad de corriente resulta: ) F = I · (L × B Se trata. el conductor: I X Y a) Se mueve hacia arriba. en la dirección que se indica. 9. Según la ley de Laplace. Cuando hacemos que circule corriente por el solenoide. Por el conductor horizontal XY circula cierta intensidad de corriente. b) Permanece en reposo. Si el dispositivo experimental es el que se indica ahora en la figura. de averiguar la dirección y el sentido del campo magnético que crea el solenoide.Cuando el protón entra perpendicularmente al campo magnético. es posible que el conductor se mueva. se ve sometido a la fuerza de Lorentz: → F = q · v · B · sen 90° = q · v · B F = q · v × B La dirección y el sentido de esta fuerza magnética son los que se muestran en la ilustración: Z F B Y v X Esta fuerza actúa como una fuerza normal que obliga al protón a describir una trayectoria circular. c) Se mueve hacia abajo. por tanto. En este caso. b) Permanece en reposo. Electromagnetismo 12 . de X a Y. el conductor: X Y a) Se mueve hacia arriba. c) Se mueve hacia abajo. Indica el sentido en que circula la corriente en cada caso. En el segundo caso. el campo magnético y la dirección de la intensidad son antiparalelos. que es perpendicular al plano de la espira.El campo magnético es perpendicular al plano por el que circula la intensidad de corriente. ya que no actúa ninguna fuerza sobre él. se ejerce sobre el conductor una fuerza hacia abajo. Por tanto: ) = I · L · B · sen 180° = 0 F = I · (L × B Como vemos. dado que la intensidad de corriente que recorre las bobinas lo hace en el mismo sentido que antes. Por tanto. de acuerdo con la regla del tornillo. La respuesta correcta es b). vemos que. el campo magnético no ha variado. Electromagnetismo 13 . I B B I Y X Como vemos. La respuesta correcta es c). El sentido que corresponde a las líneas del campo viene establecido por la regla de tornillo. como se aprecia en la figura. Las espiras de la figura están atravesadas por un campo magnético creado por la corriente eléctrica que circula por ellas. X B B I L F Y Aplicando de nuevo la ley de Laplace. B B B El criterio que seguimos para determinar el sentido del campo o de la corriente se corresponde con la regla de la mano derecha: Unidad 8. el conductor se desplazará hacia abajo. 10. el conductor permanece en reposo. I I I B B Espira 1 Espira 2 B Espira 3 Por tanto. de este modo. De los fenómenos que se indican. Indica cuál de las cuatro ilustraciones muestra cómo será el campo magnético en el interior y en el exterior del solenoide. teóricamente. Se conecta un solenoide a una diferencia de potencial ε. 11. 2. la ilustración correcta es la de la derecha. La corriente de las espiras 2 y 3 es en sentido antihorario. de este modo. siendo su sentido hacia fuera del plano del papel. el sentido del vector campo magnético es tal que entra en la superficie del papel. hasta el infinito. hemos de recordar que el campo en el interior de la bobina es más intenso. las líneas en el interior están más juntas. • Si la corriente circula en sentido horario. N S S N N S S N En las figuras se representan las posibles líneas de fuerza del campo magnético creado por un solenoide. el sentido del vector campo magnético es tal que sale de la superficie del papel. La corriente de la espira 1 es en sentido horario. Unidad 8. Debido a ello. b) Campos cuya acción llega. arriba. el vector campo magnético que se crea es perpendicular al plano de la espira.• Si la corriente circula en sentido antihorario. De acuerdo con esto. Se denomina polo norte al extremo por el que “salen” las líneas de campo. ¿cuáles son característicos de los campos gravitatorio y eléctrico. siendo su sentido hacia dentro del plano del papel. 12. Por otra parte. el vector campo magnético que se crea es perpendicular al plano de la espira. y polo sur al extremo por el que estas “entran” en la bobina. podemos afirmar lo siguiente: 1. pero no del magnético? a) Fuerzas a distancia. Electromagnetismo 14 . por el que circula una corriente eléctrica y dibuja en un esquema la dirección y el sentido de todas las magnitudes vectoriales que intervienen. d) Fuerzas de atracción. B ) → F = I · l · B · sen θ F = I · (l × B Como el conductor rectilíneo está situado perpendicularmente al campo magnético. El fenómeno que aparece en los campos gravitatorio y eléctrico. por tanto.c) Existencia de monopolos. perpendicular al campo. Si partimos un imán en dos partes. Explica razonadamente la acción de un campo magnético sobre un conductor rectilíneo. pero no en el magnético. el módulo de la fuerza magnética varía: 2 F = I · l · B · sen 45° = · I · l · B 2 Su dirección y sentido son los mismos que en el caso anterior. En el campo gravitatorio podemos considerar una masa puntual. del mismo modo que en el campo eléctrico podemos considerar una carga puntual. cada una de ellas se comportará de nuevo como un imán. La respuesta correcta es. F = I · l · B · sen 90° = I · l · B La dirección y el sentido de la fuerza magnética son las que se muestran en la siguiente ilustración: Z I B L F Y X a) Si el conductor forma un ángulo de 45° con el vector inducción magnética. Sin embargo. b) Si el conductor es paralelo al campo. con sus respectivos polos norte y sur. de acuerdo con la primera ley de Laplace: Si el campo magnético. Electromagnetismo 15 . c). . en un imán debemos tener en cuenta que existen dos polos: norte y sur. es la existencia de monopolos. por las propiedades del producto vertical. 13. Explica qué modificaciones se producirían en los casos siguientes: a) Si el conductor forma un ángulo de 45º con el campo. Unidad 8. es uniforme. 15. Traza razonadamente el diagrama de líneas de campo magnético para el campo creado por una espira circular por la que circula una corriente eléctrica. Electromagnetismo 16 . No olvides incluir en el diagrama el sentido de dicha corriente. que será perpendicular a la dirección de la corriente y cuyo sentido vendrá determinado por la aplicación de la regla de Maxwell. Haz lo mismo para el caso de un conductor rectilíneo y muy largo. como se indica en los apartados a) y c) del enunciado. Unidad 8. Las líneas de fuerza del campo magnético creado por una espira circular por la que circula una corriente eléctrica son las que se muestran en la ilustración. se trata de líneas circulares en planos perpendiculares al hilo rectilíneo. Si cogemos el conductor con la mano derecha. Por tanto. el sentido de giro de las líneas de campo es el del resto de los dedos de la mano. de modo que el pulgar se oriente en el sentido de la corriente que circula por él. I I B I I Para explicar la forma de dichas líneas de fuerza. cada uno de los cuales forma su propio campo. En este caso. El campo magnético que describe el enunciado se calcula de acuerdo con la ley de Biot y Savart: µ0 · I B = 2·π·d La dirección y el sentido del campo magnético vienen dados por la regla de la mano derecha. c) Depende del cuadrado de la intensidad de corriente. b) Tiene la dirección de las líneas circulares en torno al hilo. El campo magnético creado por un hilo infinito y recto por el que circula una corriente de 1 A en un punto a distancia r m del hilo: a) Depende de la inversa del cuadrado de la distancia. no de sus cuadrados. la respuesta correcta es la b). considera que la corriente circular está formada por elementos de corriente rectilíneos. la fuerza que se ejerce sobre él es nula: F = I · l · B · sen 0° = 0 14. Observa que el campo magnético creado depende de la inversa de la distancia y es directamente proporcional a la intensidad de corriente.b) Si el conductor es paralelo al campo magnético. En el caso de un conductor rectilíneo y muy largo. X Y Z La fuerza electromagnética que actúa sobre el conductor Y es: a) b) c) d) e) Nula. Las corrientes X e Y. se atraen. En dirección y sentido de Y a Z. cuando son del mismo sentido. La dirección depende de las intensidades de cada una de las tres corrientes. Debido a la posición relativa que ocupan los conductores. Electromagnetismo 17 . Y y Z son tres conductores perpendiculares al plano del papel que equidistan entre sí. Unidad 8. se repelen y. Así pues (despreciando la interacción entre las corrientes X y Z): • Sobre las corrientes Y y Z aparece una fuerza de repulsión. estando dirigida de Y a X. Allí concluíamos que. X. hemos estudiado la interacción entre corrientes paralelas. En dirección y sentido de Y a X. A lo largo de la unidad. por tanto. cuando las corrientes son de sentidos opuestos. d). • Sobre las corrientes X e Y aparece una fuerza de atracción. se obtiene el campo que se muestra a continuación: I B B a B B I 16. la fuerza resultante sobre Y es perpendicular a su línea de corriente. entran hacia el papel. Perpendicular a la línea que une a los tres conductores. mientras que la corriente Z sale del plano del papel. aplicando la regla de Maxwell de la mano derecha. FYX X FZY FYZ FXY Y Z FY = FXY + FZY FY = FXY + FZY La respuesta correcta es. obtenemos la relación entre ellos: E Fm = Fe → q · v · B = q · E → = v B Unidad 8. esta se verá sometida a la acción del campo eléctrico. Si el campo eléctrico. ya que: Fm = q · v · B · sen 180° = 0 Por tanto. En consecuencia.17. al ser el campo magnético y el eléctrico de sentidos opuestos. ¿Cómo deben ser las direcciones y sentidos de un campo eléctrico y otro magnético uniformes para que la fuerza resultante sobre una carga con velocidad v sea cero? ¿Cuál ha de ser la relación entre sus módulos? Razona la respuesta. moviéndose en la misma dirección y sentido que este: Fe = q · E Al estar en reposo (v = 0). es uniforme. Se tienen dos corrientes eléctricas paralelas y de sentidos contrarios. 18. 19. Al liberar la carga positiva en reposo. ¿Se repelen o se atraen? Dos corrientes paralelas por las que circulan corrientes de sentidos contrarios se repelen (consúltese la página 206 del libro del alumno para una explicación más amplia de este fenómeno). Electromagnetismo 18 . la partícula efectuará un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. sobre la carga actuará tan solo la fuerza eléctrica. el ángulo que formarán el vector velocidad y el vector campo magnético será de 180°. Supongamos que en una región del espacio tenemos un campo eléctrico y otro magnético de sentidos opuestos y que en el interior de esta región dejamos en reposo una carga positiva. En la siguiente figura se muestra cómo se deben aplicar dichos campos: X X X X X B X Fm X X v +q X X X X X Fe X X X E Al imponer la condición de que los módulos de ambas fuerzas sean iguales. tampoco actuará ninguna fuerza magnética sobre ella. no actúa la fuerza magnética sobre ella: ) = 0 Fm = q · (v × B Una vez la carga se encuentre en movimiento. Explica el movimiento que realizará dicha carga. E. Indica.6 · 10−19 = 1. Por tanto: m · v2 Fc = Fm → = q · v · B · sen α R 9 · 10−31 · 3 · 106 m·v = 1.6 10−19 C.67 10−27 kg y su carga 1. debe existir una fuerza centrípeta que le obligue a describirla. a mayor intensidad. Esta fuerza centrípeta es. qe = 1. Ello permite medir. La fuerza magnética que actúa sobre una partícula cargada en el seno de un campo magnético viene dada por la ley de Lorentz: ) F = q · (v × B m La energía cinética del protón es: J Ec = 1 eV · 1. sabiendo que su masa es de 1. la fuerza magnética a que se ve sometido.EJERCICIOS 20.6 10−19 C Para que el electrón describa una órbita circular.6 · 10−19 J eV Y la velocidad con que se mueve: Ec = 1 ⋅m ⋅v2 → v = 2 Unidad 8. Calcula el radio de su órbita. Electromagnetismo 2 ⋅ Ec = m 2 ⋅ 1. 22.1 10−31 kg. 67 ⋅ 10 −27 19 . la intensidad que circula por la bobina: basta con conocer el ángulo de giro de la aguja unida al sistema. Un protón con una energía cinética de 1 eV se mueve perpendicularmente a un campo magnético de 1. en la que podemos leer directamente la intensidad que circula. esta aguja se encuentra sobre una carátula. qué dispositivo permite que se desplace la aguja que proporciona las lecturas. se origina un campo magnético en su interior que magnetiza el núcleo en que está arrollada. Un electrón con una velocidad de 3 000 km s−1 penetra perpendicularmente en una región del espacio en la que hay un campo magnético uniforme B = 0. Busca información al respecto y explica cómo funciona un amperímetro analógico. Por lo general. previamente calibrada. sobre todo.15 · sen 90° 21. Esta fuerza se ve compensada por una fuerza de reacción que hace que el sistema se oponga al giro. de modo que. mayor sea el ángulo de giro de la bobina.5 T. Calcula la fuerza que actúa sobre él. Cuando circula corriente por la bobina. 38 ⋅ 10 4 m ⋅ s -1 1. de forma indirecta.14 · 10−4 m R = = q · B · sen α 1.15 T. en vez de medir el ángulo de giro. Ello hace que el sistema se reoriente respecto al imán permanente que rodea la bobina. precisamente. Datos: me = 9. 6 ⋅ 10 −19 = 1.6 · 10−19 · 0. de ese modo. Por tanto. sen α = sen 90° = 1. Si se tratase de una corriente continua. sí apreciaríamos el fenómeno. Un protón tiene una energía cinética de 2 10−3 J y sigue una trayectoria circular en un campo magnético de módulo B = 0. b) La frecuencia con que gira. Al aplicar la segunda ley de Newton y operar. Sin embargo.32 · 10−15 N La dirección y el sentido de la fuerza magnética son los que se muestran en el siguiente esquema: × × × × × × × × × F × q+ × v × 23. indica el ángulo que se desviará la brújula. La corriente alterna cambia el sentido en que se propaga. que no modifica la dirección del campo magnético terrestre.38 · 104 · 1. Electromagnetismo 20 . crea un campo magnético variable.2 gauss en ese punto. al utilizar la brújula no advierten que a 8 metros por encima de ellos hay una línea de alta tensión por la que circula una corriente de 150 A. La corriente que transportan las líneas de alta tensión es alterna. siendo su frecuencia 50 hertz.6 T. suponiendo que la línea de corriente vaya en sentido oeste-este y que la componente horizontal del campo magnético terrestre sea 0. 24. obtenemos la expresión que nos permite calcular el radio de la trayectoria que describe: m · v2 Fc = Fm → = q · v · B · sen α R En este caso. Calcula: a) El radio de la trayectoria. Datos: Carga del protón = 1.7 10−27 kg a) La fuerza centrípeta que hace que el protón describa una trayectoria circular es la fuerza magnética.6 · 10−19 · 1. llevan consigo una brújula con la que esperan orientarse y. Como son precavidos.El módulo de la fuerza magnética que actúa sobre el protón es: Fm = q · v · B · sen α = 1.5 · sen 90° = 3. Un grupo de excursionistas se encuentran perdidos en el campo. al ser la trayectoria circular. Por tanto: m·v R = q·B Unidad 8. ¿Es relevante ese dato? Si lo es. ya que aparecería en las proximidades de las torres de alta tensión un campo magnético cuya componente afectaría a la dirección y el sentido del campo magnético terrestre.6 10−19 C Masa del protón = 1. conseguir llegar al pueblo más cercano. que es el que detecta la brújula. El radio de la trayectoria que describe es: m · v 1. ¿qué cambiaría en los apartados anteriores? a) La trayectoria que describe una partícula cargada al penetrar en una región en la que existe un campo magnético depende del ángulo que forman los vectores velocidad e inducción. 7 ⋅ 10 −27 Fe de erratas del libro del alumnado: el valor de la energía cinética del protón proporcionado por el enunciado debe ser 2 · 10−13 J. podemos calcular su velocidad: Ec = 2 ⋅ Ec = m 1 ⋅m ⋅v2 → v = 2 2 ⋅ 2 ⋅ 10 −13 = 1. ¿cuál es la velocidad mínima que debe tener b) Si el módulo de B la carga para que atraviese toda la zona? c) ¿Qué tipo de partícula podría ser esta carga? Si cambiásemos el signo de la carga.27 m R = = 1. Electromagnetismo X X X X X X X X X X X X X X X X X X X B X 21 .2 10−19 C. de masa 6. dirigido perpendicularmente a la hoja con un campo magnético B y hacia dentro del papel. la velocidad del electrón superaría a la de la luz. ese ángulo es de 90°. Al ser su radio proporcional al módulo de la velocidad con que penetra la partícula en el campo. gún el módulo de la velocidad con la que entra (v es perpendicular a B vale 10−3 T.7 10−27 kg.11 · 10−7 s v 1. existirán tantas trayectorias circulares como velocidades posibles para la partícula. v Unidad 8.99 · 106 Hz T 1. Una carga eléctrica.6 · 10−19 · 0.53 · 107 v La frecuencia es la inversa del período: 1 1 f = = = 8. En este caso.6 q·B b) El tiempo que tarda el protón en recorrer la longitud que corresponde a una circunferencia de radio R = 0.27 T = = = = 1. por lo que la partícula describirá una trayectoria circular. Con el valor que aparece. q = 3.27 m es el período de su movimiento circular: s 2 · π · R 2 · π · 0.53 · 107 = 0.A partir de la energía cinética del electrón.7 · 10−27 · 1.11 · 10−7 PROBLEMAS 25. 53 ⋅ 10 7 m/s 1. entra en una zona uniforme. La anchura de la zona es de 2 m: a) Indica dos o tres trayectorias posibles para la carga dentro de esta zona se). 2 · 10−19 C = 2 · |e| Podría tratarse. variaría el sentido de la fuerza de Lorentz (fuerza magnética). lo que obligaría a la carga a describir la trayectoria circular en sentido opuesto: X q– X F X X v B X X X X B X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X q+ X X X X X X X X X X X X F v NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. Si se cambiase el signo de la carga. por tanto. de una fuerza centrípeta: m · v2 F = Fc → q · v · B · sen 90° = R Despejando y sustituyendo los valores conocidos. Se trata. tendremos en cuenta su carga y su masa.b) Para que la partícula pueda atravesar la región del campo magnético.67 · 10−27 kg En cuanto a su carga.7 · 10−27 m c) Para determinar el tipo de partícula con la que estamos trabajando. esta masa es: 1u m = 6.5 · 103 m · s−1 6. A este núcleo se le denomina también partícula α. deduciremos el valor de la velocidad de la partícula: = q · (v × B ) → F = q · v · B · sen 90° F Esta fuerza es la que obliga a la partícula a describir una trayectoria circular. Electromagnetismo 22 .7 · 10−27 kg · =4u 1. que está formado por dos protones (de donde proviene la carga de la partícula) y dos neutrones. por tanto. de un núcleo de helio. obtenemos la velocidad mínima que debe tener la partícula para atravesar la zona en la que está confinado el campo magnético: 2 · 3. Unidad 8.6 · 10−19 C): q = 3. su velocidad debe ser tal que el radio de la trayectoria circular sea mayor que la anchura de dicha región. que en total suman cuatro unidades de masa atómica. Expresada en unidades de masa atómica.2 · 10−19 · 10−3 R·q·B v = → v = = 95. su valor es el doble del que corresponde a la carga del electrón (1. A partir de la expresión de la fuerza de Lorentz. 6 · 10−19 está dirigido según el producto vectorial de v por B . 1.15 · 1. Unidad 8. Se trata.79 · 10−3 T 0. el campo ejerce sobre él una fuerza dada por la expresión: = q · (v × B ) F Esta fuerza se denomina fuerza de Lorentz y obliga al electrón a describir una tra es perpendicular a v y a B ).1 · 10−31 · 108 B = = 3. ¿a qué distancia de P c) Si aumentásemos en un factor 2 la intensidad de B volvería el electrón a la primera región? a) Cuando el electrón penetra en una región donde existe un campo magnético. carga eléctrica. en el . con una velocidad de 108 m s−1. Un electrón (masa. obtenemos la intensidad del campo magnético: m·v B = R·q 9.1 10−31 kg. por tanto.15 m 2 v2 q · v · B · sen 90° = m · R Despejando. el sentido de la fuerza es el contrario al correspondiente a dicho producto vectorial. perpendicular al papel que entra en una región con un campo magnético B y hacia dentro: B v P para que el electrón vuelva a la primera rea) ¿Qué intensidad ha de tener B gión por un punto Q situado a 30 cm de P ? b) ¿A qué lado de P está situado Q ? . esta distancia debe ser el diámetro de la circunferencia descrita por el electrón: 0.6 10−19 C) se mueve en una región sin ningún campo de fuerzas.3 R = = 0. y su sentido esb) El vector F tá determinado por la carga de la partícula. Electromagnetismo 23 . de una fuerza yectoria circular (F centrípeta: F = Fc v2 q · v · B · sen 90° = m · R Para que el electrón regrese a la primera región por un punto que dista 30 cm del punto P. En este caso.26. en la dirección y en el sentido indicados en la figura. 9. al tratarse de un electrón. y llega a un punto P. tal como se aprecia en la figura de la página siguiente. 67 10−27 kg. = 1. Un protón penetra en una zona de un campo magnético uniforme de 10−3 T y lleva una velocidad de 500 m s−1. 27.15 R R → = → = → R' = = = 0.X P X R = 0.79 · 107 m · s−2 1. es decir. Electromagnetismo 24 . y el punto Q se encuentra 30 cm por debajo de P. Determina las siguientes magnitudes del protón en la zona con campo magnético: a) Módulo de la fuerza que experimenta y de su aceleración.3 m X X v F X X Q X B X X X X X X X X X X X v X X X X X Por tanto. a) La fuerza a que se ve sometido el protón viene dada por la ley de Lorentz: ) Fm = q · (v × B Esta fuerza obliga al protón a describir una trayectoria circular. Su módulo es: Fm = q · v · B · sen θ = 1.67 · 10−27 m b) El potencial en el centro de la órbita de radio R que describe el protón es: q V = K · R Unidad 8.15 m de P. perpendicular al campo magnético. la mitad de distancia que en el caso anterior.I. b) Potencial eléctrico producido por el protón en el centro de la órbita que describe.6 10−19 C Datos: mp = 1.6 · 10−19 · 500 · 10−3 · sen 90° = 8 · 10−20 N La aceleración centrípeta que experimenta es: Fm 8 · 10−20 Fc = Fm → m · ac = Fm → ac = = = 4.075 m B B 2 2 R' R' El electrón saldrá a la primera región pasando por un punto situado a una distancia 2 · R' = 0.15 m F X 0. variará el radio de la circunferencia descrita por ella: m·v B' = R' · q m·v B = R·q B' 2·B R 0. e 1/(4 π ε0) = 9 109 en unidades del S. NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. la carga describe la trayectoria circular en el sentido de las agujas del reloj. c) Si aumenta la intensidad del campo magnético manteniéndose constante la velocidad de la partícula. se repelen. la fuerza que actúa sobre cada uno de los lados paralelos al conductor se calcula mediante la siguiente expresión: F = I · L × B La dirección y el sentido de la fuerza que actúa sobre cada uno de los dos lados de la espira paralelos al conductor son los que se muestran en la siguiente ilustración: I' A FAB I' D B I' I' C FCD Recuerda que dos corrientes paralelas.6 · 10−19 V = K · = 9 · 109 · = 2. El módulo de la fuerza que ejerce el conductor sobre el lado AB de la espira es: µ0 · I · I' · L 4 · π · 10−7 · 2 · 2 · 10 · 10−2 FAB = = = 1.76 · 10−7 V R 5. Electromagnetismo 25 . Situamos junto a él una espira rectangular rígida por la que circula una corriente de I' = 2 A: I 5 cm I´ 10 cm 10 cm a) Calcula la fuerza que actúa sobre cada uno de los dos lados paralelos del conductor.A partir de la aceleración centrípeta.22 · 10−3 28 Por un conductor rectilíneo de gran longitud circula una corriente I = 2 A. de igual dirección y sentido.6 · 10−6 N 2 · π · 5 · 10−2 2 · π · dAB Unidad 8.22 · 10−3 m R ac 4. podemos calcular el radio de la órbita que describe el protón: v2 v2 5002 ac = → R = = 7 = 5. el potencial en el centro de la órbita es: q 1. se atraen y que si sus sentidos son opuestos. b) ¿Qué fuerza neta actúa sobre toda la espira? Dato: µ0 = 4 π 10−7 T m A−1 a) De acuerdo con la primera ley de Laplace.79 · 10 Por tanto. 03 · 10−3 T 0. cuando la partícula entra en el solenoide con velocidad coincidente con su eje. Unidad 8. ¿se curvará en algún sentido su trayectoria? ¿Por qué? a) En el interior del solenoide. de valor: µ0 · N · I 4 · π · 10−7 · 600 · 2 B = → B = = 5. la trayectoria de la partícula no se modifica.6 · 10−6 − 8 · 10−7 = 8 · 10−7 N → F = 8 · 10−7 · j N 29 Un solenoide está construido enrollando uniformemente 600 vueltas de un fino hilo conductor sobre un cilindro hueco de 30 cm de longitud. En consecuencia. El campo magnético en esos puntos vale: µ0 · N · I 4 · π · 10−7 · 600 · 2 B = → B = = 2. las líneas de campo se separan. en particular.3 2·L La representación gráfica de las líneas de campo en el interior y en el exterior del solenoide es la siguiente: b) Como se aprecia en la figura anterior. b) Una partícula cargada entra en el solenoide moviéndose con velocidad v a lo largo de su eje. el campo magnético es constante. B ) = q · v · B · sen 0° = 0 F Por tanto. Por tanto.51 · 10−3 T 2 · 0. de forma aproximada. Por el bobinado se hace circular una corriente I = 2 A: a) Calcula el campo magnético en el interior del solenoide y representa gráficamente. las líneas de campo magnético dentro y fuera del solenoide. los vectores velocidad y campo magnético son paralelos. Debido a la existencia del campo magnético. tienen la dirección señalada por la longitud de este. en su eje. NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. las líneas de campo en el interior del solenoide y. Electromagnetismo 26 . la fuerza magnética que actúa sobre la partícula es nula: = q · (v × B ) → F = q · v · B · sen (v.3 L En los extremos del solenoide y en las zonas próximas a ellos. b) La fuerza neta que actúa sobre la espira está dirigida hacia el conductor rectilíneo: F = FAB − FCD = 1.El módulo de la fuerza que ejerce el conductor sobre el lado CD de la espira es: 4 · π · 10−7 · 2 · 2 · 10 · 10−2 µ0 · I · I' · L FCD = = = 8 · 10−7 N 2 · π · 10 · 10−2 2 · π · dCD FE DE ERRATAS DEL LIBRO DEL ALUMNO: los valores que aparecen como solución en el apéndice del libro del alumno se obtienen considerando I' = 1 A. respectivamente. y que tienen la misma carga de ionización. son acelerados hasta que adquieren una velocidad constante de 6.1 0. transporta una corriente eléctrica de intensidad I = 2 A en el sentido positivo de dicho eje.59 10−27 kg. v y F son los que se muestran en la siguiente ilustraLa dirección y el sentido de B ción: Z F I=2A B v 0.91 10−27 kg y 21. Se les hace atravesar una región de campo magnético uniforme de 0.3 0. 0.4.30. Electromagnetismo 27 .4 2·π·d . en primer lugar. con q = 5 C. necesitamos calcular. determina la separación entre los dos isótopos cuando han descrito una semicircunferencia. Un hilo conductor. Calcula la fuerza magnética que actuará sobre una partícula cargada. 0) m con una velocidad v = 20 j m s−1. Dato: e = 1. cuyas masas son 19. cuyo módulo se calcula de acuerdo con la siguiente expresión: µ0 · I 4 · π · 10−7 · 2 B = = = 10−6 T 2 · π · 0.4. Dato: µ0 = 4 π 10−7 T m A−1 La fuerza que actúa sobre la partícula la calculamos aplicando la expresión de la ley de Lorentz: = q · (v × B ) F Para obtenerla. cuyas líneas de campo son perpendiculares a la velocidad de las partículas: a) Determina la relación entre los radios de las trayectorias que describe cada isótopo.7 105 m s−1. rectilíneo e indefinido.4 Y X El valor de la fuerza magnética que actuará sobre la partícula es: = q · v × B → F = q · v · B · sen θ = 5 · 20 · 10−6 · sen 90° = 10−4 N F 31 Dos isótopos. en el instante en que pasa por el punto de coordenadas (0.2 0.6 10−19 C a) La fuerza centrípeta que obliga a los isótopos a describir la trayectoria circular es la fuerza magnética: m · v2 Fc = Fm → = q · v · B · sen θ R Unidad 8.85 T. b) Si han sido ionizados una sola vez. 0). el valor de la inducción magnética que crea la corriente en el punto de coordenadas (0. situado en el vacío sobre el eje OZ de un sistema de referencia cartesiano (OXYZ ). 6 · 10−19 · 0.0166 m = 1. podemos calcular el radio de la trayectoria que describe cada isótopo: m1 · v 19. la separación entre los isópotos tras describir media semicircunferencia es: separación = 2 · R2 − 2 · R1 = 2 · (R2 − R1) = 2 · (0. sen θ = sen 90° = 1. por tanto.7 · 105 = 0.91 · 10−27 q·B = = = = 0.59 · 10−27 R2 m 2 q·B b) De acuerdo con la siguiente ilustración: Separación × × × × × × × × × × × × × × × v × × × × × × R2 × × × R1 la separación se puede calcular a partir de la siguiente expresión: separación = 2 · R2 − 2 · R1 El enunciado del problema indica que los isótopos han sido ionizados una sola vez. Teniendo esto en cuenta.106 − 0.85 q·B m2 · v 21.106 m R2 = = 1.6 · 10−19 C. al ser las líneas de campo perpendiculares a la velocidad de los isótopos.En este caso.098 m R1 = = 1.85 q·B Por tanto.59 · 10−27 · 6.6 · 10−19 · 0. Despejando el radio en la expresión anterior.92 m · v 2 21. la carga que posee cada uno se corresponde con la del electrón: e = 1. se obtiene: m·v R = q·B La relación entre los radios de ambos isótopos es: m1 · v R1 m1 19.91 · 10−27 · 6.7 · 105 = 0.66 · 10−2 m Unidad 8.098) = = 0. Electromagnetismo 28 . Al aplicar la expresión anterior a las distancias 1.20 b) El valor de la intensidad lo podemos obtener a partir de la expresión de B1 o B2: 4 · π · 10−7 · I = 2.20 2.46 · 10−3 T B1 = = B d 2 · π · d1 2 · π · 1.46 10−3 T: a) Determina la magnitud del campo magnético a 2. el campo magnético tiene una magnitud B = 2.40 mm.40 → = → B2 = B1 · = 2.32. b) Determina la intensidad.40 1.57 · 10−3 T 2. apunta hacia el norte y tiene un valor de 0. Tierra Unidad 8. Una corriente I está distribuida uniformemente en toda la sección transversal de un conductor recto y largo de radio 1. En la superficie del conductor.20 mm del eje.40 · 10−3 → I = = 17.40 1. podemos suponer que toda la corriente pasa por el eje del hilo.40 · 10−3 2. Electromagnetismo I S X Y E P 29 .46 · 10−3 · = 1.04 mT: a) Calcula la fuerza magnética sobre 1 m de ese alambre. I.20 · 10−3 B2 1.22 A 4 · π · 10−7 33 Un alambre recto horizontal transporta una corriente de 16 A de oeste a este es paralelo a la superfien el campo magnético terrestre en un lugar donde B cie. b) Si la masa de ese trozo de alambre es de 50 g.20 mm del eje: µ0 · I 4 · π · 10−7 · I = 2. de la corriente.20 B1 2. a) El campo magnético que crea la corriente se puede calcular a partir de la ley de Biot y Savart: µ0 · I B = 2·π·d Por simetría.46 · 10−3 T → B1 = 2 · π · 1.40 mm (distancia del eje a la superficie del conductor) y 2.20 mm.46 · 10−3 · 2 · π · 1. ¿qué corriente debe transportar para quedar suspendido de forma que su peso sea compensado por la fuerza magnética? a) La situación física que describe el enunciado es la que se muestra en la siguiente ilustración: Z N F B O Sup. se obtiene el valor del campo magnético a 2.40 · 10−3 → 2 = 2 → B1 d1 µ0 · I 4 · π · 10−7 · I B2 = = 2 · π · d2 2 · π · 2. c) Calcula la distancia x de P2 a I1. a) El modulo del campo magnético que crea cada corriente rectilínea en el punto P1 se obtiene mediante la ley de Biot y Savart: µ·I B = 2·π·d donde I es la corriente que circula por cada conductor. Por tanto. separados una distancia L = 0.6 · 10−6 T 2 · π · 0. como se indica en la figura. circula una corriente I1 = 2 A e I2 = 4 A en sentidos opuestos: P2 x I1 L P1 I2 a) Calcula el campo magnético (módulo y orientación) en un punto como el P1. que en este caso es el vacío.49 → I = = = 12 250 A l · B 1 · 4 · 10−5 34 Por dos largos conductores rectilíneos y paralelos. Por tanto: F = I · l · B · sen θ = I · l · B · sen 90° = I · l · B = 0. Razona por qué ha de estar situado a la izquierda de ambas corrientes y en su mismo plano.49 N → 0.8 · k = −0.5/2 2 · π · L/2 La dirección y el sentido de cada uno de estos campos se determina teniendo en cuenta que las líneas de campo generadas por una corriente rectilínea son circunUnidad 8.5 m.49 · k N P = m · g · (−k La intensidad de corriente que debe recorrer el alambre ha de producir una fuerza magnética del mismo valor. Electromagnetismo 30 . el campo magnético creado por el conductor 1 en P1 es: µ0 · I1 4 · π · 10−7 · 2 B1 = → B1 = = 1.5/2 2 · π · L/2 Y el creado por el conductor 2: µ0 · I2 4 · π · 10−7 · 4 B2 = → B2 = = 3. equidistante de ambos conductores y situado en su mismo plano. y µ es la permeabilidad magnética del medio.2 · 10−6 T 2 · π · 0. donde el campo magnético total es nulo.49 0. d es la distancia que separa el conductor del punto en que deseamos calcular el campo. b) Considera un punto P2.La fuerza magnética que actúa sobre 1 m del alambre es: B = 16 · 1 · j × 4 · 10−5 · (−i) = 64 · 10−5 · k N F = I · l × b) El peso que corrsponde al alambre es: ) = −50 · 10−3 · 9. el campo magnético creado por el conductor 1 en P1 es perpendicular al plano del papel y hacia dentro. Como la corriente 2 es mayor que la corriente 1. El campo total creado en el punto P1 es. NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. El punto P2 debe estar. Por tanto. hemos visto que los campos magnéticos creados por ambas corrientes en los puntos situados entre ellas tienen la misma dirección y sentido.5 m Por tanto. pos B 1 2 b) El campo magnético creado por una corriente rectilínea en un punto es proporcional al valor de la corriente e inversamente proporcional a la distancia que les separa. por el principio de superposición: =B +B → B = B + B = 1. es decir. al igual que el creado por el conductor 2. por encima o por debajo de ambas. Electromagnetismo 31 . el conductor 2 crea un campo: µ0 · I2 4 · π · 10−7 · 4 8 · 10−7 B2 = → B2 = = T 2 · π · (x + L) x+L 2 · π · (x + L) Este campo es perpendicular al plano del papel y hacia dentro.ferencias con centro en la línea de corriente y colocadas en planos perpendiculares a ella. Unidad 8. El campo magnético total en P2 es: =B +B →B =B −B B total 1 2 total 1 2 Aplicando la condición de que el campo total se anule en P2.6 · 10−6 + 3. el punto en el que se anula el campo magnético total creado por las dos corrientes rectilíneas se encuentra 50 cm por encima del conductor 1. la corriente 1. por tanto. Por su parte. por lo que su suma no se anula nunca.8 · 10−6 T B total 1 2 total 1 2 La dirección y el sentido de este campo es el mismo que dedujimos para los cam yB . de modo que el dedo pulgar señala el sentido de la corriente. En nuestro caso. obtenemos la distancia x: 4 · 10−7 8 · 10−7 B1 − B2 = 0 → − = 0 x x+L 4 · 10−7 8 · 10−7 = → 4 · 10−7 · (x + L) = 8 · 10−7 · x x x+L 4 · 10−7 · L = 4 · 10−7 · x → x = L = 0. c) El conductor 1 crea en el punto P2 un campo magnético: µ0 · I1 4 · π · 10−7 · 2 4 · 10−7 B1 = → B1 = = T 2·π·x x 2·π·x Este campo es perpendicular al plano del papel y hacia fuera.2 · 10−6 = 4. la única posibilidad de que la suma de los dos campos se anule en un punto es que dicho punto esté más cerca de la corriente menor. El sentido de estas líneas es el indicado por los dedos de la mano derecha cuando se coge el conductor. alejado de sus extremos. circula una corriente de intensidad I = 1 A. como se muestra en la siguiente ilustración: Z P Bsolenoide I' Bhilo Y Btotal X El módulo del campo magnético que crea el conductor rectilíneo se calcula aplicado la ley de Biot y Savart: µ0 · I 4 · π · 10−7 · 20 · π Bhilo = = = 4 · π · 10−5 T 2 · π · 0. Electromagnetismo 32 .1 2·π·d Unidad 8.1 m del eje del solenoide. que tiene 100 espiras por metro. que dista R = 0. En el eje del solenoide se dispone un conductor rectilíneo que transporta otra corriente de intensidad I' = 20 π A: I P v0 R I´ a) Calcula el campo magnético total en el punto P de la figura. es: µ·N·I B = L En este caso: N espiras n = = 100 L metro Por tanto: Bsolenoide = µ · n · I = 4 · π · 10−7 · 100 · 1 = 4 · π · 10−5 T Este campo magnético se compone con el del conductor rectilíneo. b) Si se abandona un electrón en el punto P con una velocidad inicial v0 = 100 m s−1. calcula el radio de curvatura de su trayectoria.35 Por el solenoide de la figura. a) El campo magnético que crea un solenoide en un punto interior. el ángulo θ. 78 ⋅ 10 −4 T b) La fuerza magnética a que se ve sometido el electrón es la fuerza centrípeta que lo hace girar: m · v2 m·v Fc = Fm → = q · v · B · sen θ → R = R q · B · sen θ NOTA: se supone que el electrón se desplaza en la dirección paralela al eje de rotación y en el sentido de I'.1 · 10−31 · 100 m·v R = = = 4. Fíjate que. teniendo en cuenta que. el ángulo que forma el campo magnético del solenoide con el del hilo es de 90°. formado por la velocidad del electrón y el campo magnético resultante. es: Btotal = ( 4 ⋅ π ⋅ 10 −5 ) 2 + ( 4 ⋅ π ⋅ 10 −5 ) 2 = 2 ⋅ ( 4 ⋅ π ⋅ 10 −5 ) 2 = 1. de acuerdo con la siguiente figura.El módulo del campo magnético resultante.53 · 10−6 m q · B · sen θ 1. de acuerdo con la ilustración anterior.6 · 10−19 · 4 · π · 10−5 · 2 · sen 45° Unidad 8. es de 45°: Z Fm v0 P 45° B hilo B solenoide B total O Y X El radio de curvatura de la trayectoria resulta: 9. Electromagnetismo 33 . salen del polo norte y entran por el polo sur. el flujo que atraviesa una superficie cerrada no es nulo. estas líneas. Esto es debido a que las líneas del campo eléctrico. Inducción electromagnética 1 . por tanto. ¿Por qué no ocurre lo mismo con cualquier carga eléctrica? En el caso de una carga eléctrica. En la siguiente figura se aprecia el flujo de campo eléctrico que atraviesa dos superficies cerradas de distinta forma para el caso de una carga negativa: S −Q r Unidad 9. En el caso de un imán. son abiertas. FLUJO MAGNÉTICO 1. a diferencia de las del campo magnético.9 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA 9. como se muestra en la siguiente ilustración: B En ella se observa que el número de líneas que salen es igual al de líneas que entran. el flujo magnético es cero. 2. ¿Por qué es nulo el flujo magnético a través de una superficie cerrada que rodea a un imán? Las líneas de campo magnético son cerradas.1. por el exterior. Unidad 9.m. varían el campo magnético y el flujo magnético. la f.m. µ. EXPERIENCIAS DE FARADAY Y DE HENRY 1. ¿importa la velocidad con que movemos el imán respecto a la espira? Cuanto mayor es la velocidad con que desplazamos el imán respecto a la espira. la f. ¿Qué fenómeno observaríamos en el ejemplo que se incluye en esta página a la derecha. cambiará de sentido cada vez que se cambie de sentido el movimiento del imán. En lo que respecta a la intensidad de corriente que circula por la espira. De acuerdo con la ley de Faraday. Por tanto. Por tanto. si la f. de acuerdo con la ley de Faraday de la inducción. en el circuito. logramos que la velocidad relativa entre ambos sea nula. dirección y sentido. ¿qué sucede si introducimos o extraemos un núcleo de hierro en el interior de la bobina que genera el campo magnético? El campo magnético en el interior de un solenoide es: µ·I·N B = L Por tanto. Inducción electromagnética 2 . 2. ε = −dΦ/dt.e. al menos. Al introducir o extraer el núcleo de hierro. se induce una f. En los ejemplos de la página anterior.m. ¿Cómo podemos variar la intensidad de corriente que circula. ya que.9.m. una bobina con núcleo de hierro tiene en su interior un campo magnético mucho más elevado. que mientras extraemos o introducimos el núcleo de hierro. el flujo magnético que atraviesa la espira será constante. y. Como la resistencia eléctrica de la espira no varía.e. también lo hace la intensidad que recorre la espira. modificamos la permeabilidad magnética del sistema. ya que. y no mediremos el paso de corriente inducida. ya que el hierro posee una permeabilidad magnética. Podemos concluir. inducida aumenta. de acuerdo con la ley de Ohm: ε I = R 3. por ejemplo. mayor es la variación de flujo que se produce.2. dirección y sentido el imán y la espira? Si movemos ambos cuerpos con la misma velocidad. dΦ/dt. por un solenoide? Un sencillo procedimiento es introducir y extraer consecutivamente un imán dentro del solenoide. si movemos con la misma velocidad. mucho mayor que el aire. por tanto. relativos a las experiencias de Faraday y Henry. De ese modo se generará una corriente inducida que. inducida sobre la espira es mayor. inducida es directamente proporcional a la variación de flujo que se produce por unidad de tiempo. 4.e. como consecuencia.e. inducida será. De ahí el sentido que hemos asignado al vector fuerza en la figura de la página siguiente. c) La fuerza que debemos ejercer sobre el lado móvil de la espira para mantener constante la velocidad con que esta se mueve.5 Ω. podemos calcular la intensidad de corriente inducida que recorre la espira: I = ε 0.m. 05 = −0. 05 V dt dt b) Aplicando la ley de Ohm. 2 ⋅ 0. La fuerza electromagnética tiende a frenar la velocidad con que se desplaza el lado móvil. Dicha variación la podemos expresar en la forma: r r dΦ = B · dS = B · L · dx = B · L · v · dt La f. por tanto: ε=− dΦ d (B ⋅ L ⋅ v ⋅ t ) =− = − B ⋅ L ⋅ v = −5 ⋅ 0.m.1 · 0.1 N d) Como hemos visto en el apartado anterior. Inducción electromagnética 3 . Unidad 9. 1 A R 0. Una espira rectangular posee un lado móvil que se desplaza en el seno de un campo magnético uniforme de 5 T con una velocidad constante de 5 cm · s–1: B 20 cm v 10 cm Calcula: a) La f. 5 c) Para que la espira se mueva con velocidad constante.2 · 5 = 0. b) La intensidad que recorre la espira si su resistencia eléctrica es de 0. 05 = = 0.3. d) Señala el sentido de la corriente inducida. LEY DE FARADAY-HENRY 1. debemos ejercer sobre ella una fuerza igual y de sentido contrario a la que ejerce el campo sobre el conductor que avanza con velocidad v.9. ya que varía la superficie del circuito. existe una fuerza. que tiende a disminuir la velocidad con que se mueve y que crea el propio campo magnético.e. intentando con ello que no varíe el flujo magnético que atraviesa la espira.e. a) En el circuito se produce una variación del flujo magnético. De acuerdo con la ley de Laplace: r r r F = I · L × B → F = I · l · B · sen 90° = 0. inducida en la espira en función del tiempo. aplicada sobre el conductor que se desplaza. por ejemplo. La plancha. AUTOINDUCCIÓN 1. podemos ver el reflejo del chispazo que atraviesa la carcasa de plástico que protege al interruptor. La razón es que. que se opone a la disminución que se produce en la intensidad: ε = −L ⋅ dI dt El chispazo que observamos es la extracorriente de apertura que se ha generado justo en el momento de desconectar el circuito. por tanto.e. al aplicar las reglas del producto vectorial a la siguiente expresión: r r r F =I·L ×B vemos que la intensidad debe circular por la espira como se indica en la siguiente ilustración: B I F I I v I 9. una plancha. al desconectar un interruptor general. Al desconectar el interruptor. que induce una f. Inducción electromagnética 4 . ε.m. como. en un intervalo de tiempo ∆t. que pasa de un valor.De acuerdo con esto. ya que. I.. como todo circuito eléctrico. a cero. Explica el motivo por el que ocurre a partir de los conceptos expuestos en este epígrafe. 2. Dicha variación produce un campo magnético y. Unidad 9. posee cierta autoinducción. varía de forma brusca la intensidad que recorre el circuito. Al desconectar ciertos aparatos de la red eléctrica. a diferencia de lo que ocurre con el interruptor de la lámpara. ¿Dónde es más fácil detectar el fenómeno que describe la actividad anterior: al desconectar un interruptor general (un magnetotérmico. salta una chispa en el enchufe. L. en el circuito. no podemos ver los terminales y no apreciamos visualmente el chispazo. un flujo magnético variable. al apagarla.4. por ejemplo) o al desconectar una lámpara? El fenómeno es más fácil de detectar en una lámpara que en un interruptor general. Un generador es un dispositivo que proporciona energía eléctrica.d. en ese caso. Alrededor de una barra de hierro se arrollan dos bobinas con distinto número de espiras. calcula la intensidad de corriente que circula. consumiendo. entre sus bornes es de 12 V. un motor es un dispositivo que consume energía eléctrica. Suponiendo que el transformador formado por las bobinas y la barra de hierro es 100 % eficiente. TRANSFORMADORES 1. en un transformador de corriente la potencia es constante a ambos lados del mismo: Pprimario = Psecundario I1 · V1 = I 2 · V2 Si la bombilla consume 24 W y la d. actuando el dispositivo como si fuese un transformador. La bombilla se ilumina correctamente cuando la d. F .5. Una de ellas se conecta a un generador de corriente alterna de 24 V y la otra se conecta a una bombilla. Al cerrar elr circuito. F S 1m I I 12 V R P – + 9. aparece una fuerza electromagnética. Busca información en la bibliografía acerca del motor eléctrico. En la figura se muestra un ejemplo de motor eléctrico elemental.p. entre sus bornes es 12 V. Dibuja un esquema de cómo está construido y compara su estructura con la del generador de corriente eléctrica. el valor del campo o ambas magnitudes a la vez. dirigida hacia la derecha que permite elevar una pesa. 24 W. Este es el principio de funcionamiento del motor eléctrico. LA CORRIENTE ALTERNA 1.9. Suponiendo que no existen pérdidas.6. Inducción electromagnética Psecundario 24 = =2 A V2 12 5 . El él se incluye un reostato que permite modificar la intensidad de corriente que circula por el conductor. Ya sabemos cómo calcular la fuerza que actúa sobre un elemento conductor situado en el seno de un campo magnético: r r r F = I · (L × B ) N Esta fuerza podemos modificarla simplemente variando el valor de la intensidad de la corriente eléctrica que circula por él. Al contrario.p. la intensidad que circula por el secundario debe ser: I2 = Unidad 9.d. la intensidad en el primario debe ser: I1 = Pprimario V1 = 24 =1A 24 2. El eje norte-sur del imán es perpendicular a la espira y su polo norte está encarado hacia esta. Señala algún argumento que explique la forma en que se pierde energía en el transformador. que se opone a la f. inducida externamente. el rendimiento suele alcanzar fácilmente valores en torno al 95%.Si tenemos en cuenta que la d. La potencia perdida es: Pprimario − Psecundario = 24 − 18 = 6 W La energía eléctrica que circula por las bobinas calienta los conductores.p. Este es el modo. una f. lo que evita el rozamiento entre superficies. un transformador es una máquina donde la conversión de energía tiene rendimientos muy elevados.m. El sentido de las líneas de campo magnético es de norte a sur. el sentido de la intensidad inducida es aquel cuyo flujo magnético induce. Representa gráficamente la situación que propone el enunciado.e. e incluso superiores.d. acercándolo o alejándolo de una espira cuadrada que permanece fija. a su vez.5 A. Según la ley de Lenz. Una persona mueve un imán de barra. básicamente. al tratarse de un máquina sin partes móviles. ACTIVIDADES DE LA UNIDAD CUESTIONES 1. En la actividad anterior se mide la intensidad de corriente que circula por el generador y se obtiene un valor de 1.m. en los transformadores reales.e.5 · 12 = 18 W Sin embargo. En la siguiente página analizamos cada caso: Unidad 9. Calcula la potencia eléctrica que se pierde en el proceso de transformación. en el primario es de 24 V. te resultará útil para resolverlo. De hecho. que transmiten al medio energía en forma de calor (efecto Joule). En esas condiciones. Inducción electromagnética 6 . No obstante. indica cuál será la dirección y el sentido de la corriente eléctrica que se induce en la espira. Conocido el dato de la intensidad. en que se “degrada” la energía eléctrica en un transformador. la potencia que suministra el primario es de 24 W. podemos calcular la potencia real que llega a la bombilla: Psecundario = I2 · V2 = 1. vista desde la posición del imán. según la regla del tornillo. por tanto. el campo magnético. por tanto. creado por el imán será un campo entrante. ha de crear un campo magnético hacia la izquierda. lo que induce en la espira una corriente cuya fuerza electromotriz viene dada por la ley de Faraday-Lenz: r r dΦ d (B ⋅ S ) ε=− =− dt dt Recuerda que el signo negativo que acompaña a la f. se mueva en sentido antihorario. v I I I La espira. 2.m. aumenta el flujo magnético a través de la espira. se mueva en sentido horario. b) El plano de la espira se aleja del polo norte de un imán. como se muestra en la siguiente figura: X X X X B X X X X X X X X X X X X a) Mientras el imán se acerca a la espira. ha de crear un campo magnético hacia la derecha. debido al aumento de líneas de campo que la atraviesan. Por tanto. Razona qué sentido tendrá la corriente inducida en una espira cuando: a) Acercamos al plano de la espira el polo norte de un imán. inducida indica que el sentido de la corriente se opone a la causa que la produce. vista desde la posición del imán. ello implica que la intensidad. El sentido de la intensidad será aquel que cree un campo magnético que tienda a aumentar el flujo a través de la espira (ley de Lenz). De ese modo. B .e. encima de él. el sentido de la intensidad será aquel que cree un campo magnético que tienda a disminuir el flujo a través de la espira (ley de Lenz). Según la regla del tornillo. el flujo del campo magnético que la atraviesa aumenta. I I I La espira. Para resolver esta cuestión supodremos que la espira está en el plano del r papel.• El imán se acerca: Cuando el imán se acerca. lo que. Unidad 9. disminuye el flujo magnético a través de la espira. I • El imán se aleja: v I Cuando el imán se aleja. Inducción electromagnética 7 . implica que la intensidad. debido a que el número de líneas de campo que la atraviesan es menor. y el polo norte del imán. La respuesta a la pregunta que propone el enunciado es negativa.m. Por tanto. ¿De qué depende la f. La f.e. como se muestra en la siguiente ilustración: X Iind X X X B X X X X B' X X X X X X X X b) En este caso. no induce corriente.e. el flujo de campo magnético que atraviesa la espira disminuye.m. Una corriente eléctrica que circula por un hilo crea un campo magnético. se llega a la conclusión de que en este caso la corriente tendrá un sentido horario. c) Del valor del flujo magnético que lo atraviesa. b) De la variación del flujo magnético (rapidez con que cambia) a través de él. la corriente eléctrica inducida tiene un sentido tal que crea un campo magnético en sentido contrario. Un campo magnético. como se muestra en la figura: X X X X Iind X X B X X X X X X X X X X X X B' X X X X X 3. inducida en un circuito depende de la variación del flujo magnético que lo atraviesa. Por tanto.e.En este caso. al alejar el imán. Para que un campo magnético cree una corriente eléctrica. 4. Si es uniforme. ¿crea siempre una corriente eléctrica en un hilo que lo atraviesa? Razona la respuesta. inducida en un circuito eléctrico se calcula de acuerdo con la ley de Faraday-Henry: dΦ ε = − dt De ella se deduce que la f. supuesto constante. Inducción electromagnética 8 . Unidad 9. inducida en un circuito? a) De que varíe en una magnitud grande o pequeña el flujo magnético que lo atraviesa. este debe variar con el tiempo. la respuesta correcta es la b).m. Haciendo un razonamiento análogo al del apartado anterior. como el flujo del campo magnético aumenta. para generar un campo magnético en el mismo sentido que el inicialmente existente. la corriente inducida tendrá un sentido antihorario. su variación respecto al tiempo es nula: ε=− d ( B ⋅ S ⋅ cos α ) dB = − S ⋅ cos α ⋅ dt dt En consecuencia. en el sentido positivo del eje Z. el sentido de la corriente inducida en la espira es tal que se opone a la causa que la produce. su variación respecto al tiempo es nula y no inducirá f. constante? ¿Qué sentido tendrá la corriente inducida en la espira? El campo magnético está dirigido a lo largo del eje OZ. constante.e. deberemos aplicar a una espira cuadrada que descansa en el plano XY. como se solicita. inducida se deberá a la variación del campo magnético. En este caso. S . m. y el ángulo que esta forma con el campo magnético son constantes. el ángulo α es el formado por el vector inducción magnética. no constante. la variación del campo magnético respecto al tiempo se corresponde con el valor de la pendiente.m. En el enunciado se indica que la espira descansa en el plano XY. al estar la espira situada en el plano XY.e.: ε = −S · cos α · 0 = 0 • El campo magnético del centro primero aumenta y después disminuye.m. para que Unidad 9. cuyo valor viene dado por: ε = −S · cos α · m De acuerdo con la ley de Lenz. Bz Bz Bz t t t La f. la f. B . inducida en la espira se calcula de acuerdo con la ley de Faraday-Lenz: ε=− d ( B ⋅ S ⋅ cos α ) dΦ →ε=− dt dt r En ella. • El último campo representado varía de forma uniforme a lo largo del tiempo.e. S. ¿Qué campo magnético. ello significa que la superficie de la espira.5.m. y el vector r superficie.m.e.m.e. varía con el tiempo. variable. eso induciría en la espira una f.m. Analicemos a continuación los tres campos magnéticos que proporciona el enunciado de la cuestión: • El campo magnético de la izquierda es uniforme (constante). de los tres que se representan en las figuras. En este caso. que representa el campo magnético: dB = m dt En este caso se induce en la espira una f. Por tanto.e. Inducción electromagnética 9 . para que se induzca en esta una f. Por tanto. que es un vector perpendicular al plano de la espira. y el campo magnético creciente. en sentido contrario. n=1 n=5 Secundario Primario Unidad 9.e. Disponemos de una barra de acero y un rollo de hilo de cobre. consúltese el epígrafe 9. ¿qué tensión habrá que aplicar al primario para tener en la salida del secundario 6 V? Un transformador es un dispositivo que permite modificar la tensión de una corriente alterna.6 (páginas 228 y 229) y la ampliación de contenidos sobre el transporte y la distribución de electricidad (páginas 232 y 233) incluidos en el libro del alumno. inducidas en los arrollamientos primario y secundario. Indica cómo puedes construir un transformador cuya relación de transformación sea 5. Se utiliza en el transporte de energía eléctrica. el sentido de la corriente inducida debe ser el que se muestra en la siguiente ilustración: Z B Iind Y Iind Iind Iind X B' EJERCICIOS 6. formando solenoides separados. Inducción electromagnética n=5:1 10 . a cada uno de los lados. ε1 y ε2. y su número de espiras. ¿Qué es un transformador? ¿Por qué son útiles para el transporte de energía eléctrica? Si el primario de un transformador tiene 1 200 espiras y el secundario 100.m. En un transformador se cumple la siguiente relación entre las f. el conductor de cobre.r se induzca un campo magnético. se reducen las pérdidas de energía por efecto Joule. Para ampliar la respuesta. porque al permitir elevar la tesión de la corriente eléctrica transportada. Sobre la misma barra de acero arrollamos. N1 y N2: ε1 N1 N1 1 200 = → ε1 = ε2 · = 6 · = 72 V 100 ε2 N2 N2 7. B '. 02 2 = 3. Dato: µaire = 4 π 107 U.1 · π = 100. Calcula el coeficiente de autoinducción del solenoide. 5 = 318.e. 16 ⋅ 10 −2 H = l 20 ⋅ 10 −2 9. el número de vueltas del cable alrededor de la barra ha de ser 5 veces superior al del otro. podemos calcular el número de vueltas: L= N = µ0 ⋅ N 2 ⋅ S µ0 ⋅ N 2 ⋅ π ⋅ r 2 = l l L⋅l = µ0 ⋅ π ⋅ r 2 2 ⋅ 10 −3 ⋅ 0. 3 319 vueltas 4 ⋅ π ⋅ 10 −7 ⋅ π ⋅ 0. y suponiendo para el radio un valor de 5 cm. 8. Unidad 9. y la f. siendo la variación de flujo magnético la que se indica en la primera gráfica. inducida.22 m 10.1 · π m siendo la longitud total del cable: L = N · P = 319 · 0. ¿Cuántos metros de alambre necesitaremos? Supón que el diámetro del alambre es despreciable frente a la longitud del solenoide. La intensidad de la corriente que circula por una bobina varía con el tiempo.m.05 = 0.I. Por tanto. el coeficiente de autoinducción resulta: L= µ 0 ⋅ N 2 ⋅ S 4 ⋅ π ⋅ 10 −7 ⋅ 2 000 2 ⋅ π ⋅ 0. Un solenoide cilíndrico está formado por un arrollamiento de 100 espiras por centímetro y mide 20 cm de longitud y 2 cm de radio. Inducción electromagnética 11 . Φ. el flujo magnético. 05 2 La longitud de cada vuelta es el perímetro de la circunferencia: P = 2 · π · r = 2 · π · 0. ε. Este será el primario del transformador. El número total de espiras del solenoide es: N = 100 · 20 = 2 000 espiras Por tanto. Con los datos que facilita el enunciado. también varían con el tiempo. Por el solenoide circula una corriente de 10 A.Para lograr que la relación de transmisión sea 5. con un coeficiente de autoinducción de 2 mH. en uno de los lados. si suponemos que en su interior tan solo existe aire. Para realizar cierta experiencia se quiere construir un solenoide de 50 cm de largo. mientras que el arrollamiento del otro extremo será el secundario. de acuerdo con los sistemas de coordenadas propuestos. Inducción electromagnética 12 . • Las derivadas de las curvas de segundo grado son rectas de pendiente constante.e. dibuja. la forma en que varía la intensidad de corriente. Las funciones que nos piden tienen. la siguiente forma: + φ0 t – + I 0 I = –1 . por tanto.m. debemos tener en cuenta que: • Las derivadas de rectas de pendiente constante son rectas paralelas al eje X (rectas de pendiente nula). y la f. inducida. la intensidad de corriente resulta: dΦ dt ε 1 dΦ I = = − = − · R R R dt Para dibujar las derivadas. en cada caso. I. ε. de acuerdo con la ley de Ohm. d φ R dt t – + ε0 ε= – d φ dt t – Unidad 9. • Las derivadas de rectas paralelas al eje X son nulas (derivadas de una constante). De acuerdo con la ley de Faraday: ε=− dΦ dt Por otra parte.+ φ0 t – + I 0 t – + ε0 t – A partir de esta gráfica. aplicada en el primario es 220 V. 45 A R 10 13 . calcula la intensidad de corriente que circula por el secundario.d. calcula la intensidad de corriente que circulará por el secundario.PROBLEMAS 11. En un transformador se cumple la siguiente relación: V1 N 1 = V2 N 2 Con los datos que facilita el enunciado podemos calcular la d. 45 V R Despreciando las pérdidas energéticas que se producen en el transformador. Un transformador tiene 120 vueltas en el primario y 40 vueltas en el secundario.d. aplicada en el primario es 45 V. en el secundario del transformador: 40 V1 N 1 N = → V 2 = V 1 ⋅ 2 = 45 ⋅ = 15 V 120 V2 N 2 N1 Aplicando ahora la ley de Ohm al secundario.p. En un transformador se cumple la siguiente relación: V1 N 1 = V2 N 2 Con este valor podemos calcular la diferencia de potencial en el secundario: 225 V1 N 1 N = → V 2 = V 1 ⋅ 2 = 220 ⋅ = 4. resulta: V2 = I 2 ⋅ R → I 2 = V 2 15 = = 1. 5 A R 10 12. Un transformador tiene 11 000 vueltas en el primario y 225 en el secundario. Inducción electromagnética V 2 4.d. siendo la corriente alterna. siendo la corriente alterna. El secundario está conectado a una resistencia de 10 ohm y la d. 5 = = 0. 5 V 11000 V2 N 2 N1 Aplicando la ley de Ohm al secundario. El secundario está conectado a una resistencia de 10 ohm y la d. obtenemos la intensidad de corriente que circula por él: V2 = I 2 ⋅ R → I 2 = Unidad 9. Despreciando las pérdidas energéticas que se producen en el transformador.p.p. m.86 8 9.02 (t 3 4 t) En dicha expresión.e.m.e.08 7 6.m.1 −1. a) Representa gráficamente cómo varían con el tiempo el flujo magnético y la f.96 −0.e. (V) 0 0 0. b) ¿En qué instantes se anula el flujo magnético? c) Calcula el valor de la f.m2) 10 F.84 −2. 02 ⋅ (t 3 − 4 ⋅ t )] = = −0. (V) 8 6 4 2 0 1 -2 2 3 4 5 Tiempo (s) 6 7 8 -4 Unidad 9.m. inducida resultan: Tiempo (s) Flujo (T · m2) F.88 5 2.m inducida resulta: ε=− d Φ −d [0.42 6 3. Inducción electromagnética 14 .02 2 0 −0.6 −3.06 0. en esos instantes. inducida.76 Al representar gráficamente estos datos.46 4 0.08 1 −0.m.16 3 0.3 −0.e.e. el flujo se mide en T m2 si el tiempo se mide en segundos. la f. a) Según la ley de Faraday. El flujo magnético que atraviesa una espira conductora viene dado por la expresión: Φ (t) = 0.13. 02 ⋅ (3 ⋅ t 2 − 4) dt dt Si damos valores al tiempo.e.3 −2. el flujo y la f. resulta: 12 Flujo (T. e.2 –0. 4 dt dt b) La representación gráfica de la variación del flujo en función del tiempo es la siguiente: Φ 1 2 3 4 t –0. Inducción electromagnética 15 . en segundos. el flujo magnético se anula en los instantes t = 0 y t = 2 s (cuando t 3 − 4 · t = 0). Las f. y t. El flujo magnético que atraviesa una espira conductora varía con el tiempo de acuerdo con la expresión: Φ (t) = 0.m. = +0.1 t 2 0.4 t donde Φ viene expresada en T m2. b) Construye sendas gráficas de la variación con el tiempo del flujo y de la fuerza electromotriz inducida.16 V 14. a) La fuerza electromotriz inducida se obtiene aplicando la ley de Faraday: ε=− dΦ d (0. 4 ⋅ t ) =− = −0. 2 ⋅ t + 0.4 Y la que corresponde a la fuerza electromotriz inducida: ε ( V) 1 1 2 3 4 t –1 Unidad 9. = −0.m.b) y c) Como se observa en la tabla anterior.e.08 V t = 2 s → f. en esos instantes son: t = 0 s → f. 1 ⋅ t 2 − 0. a) Halla una expresión de la fuerza electromotriz inducida en función del tiempo.m.e. De acuerdo con la ley de Faraday: ε=− dΦ d (2 ⋅ t + 5 ⋅ t 2 ) =− = −2 − 10 ⋅ t mV dt dt En el instante t = 3 s. de acuerdo con la expresión: Φ (t) = 2 t + 5 t2 En esta expresión. el flujo se mide en T m2 si el tiempo se mide en segundos.e. 6 mA R 20 El sentido de la corriente inducida es aquel que hace que se oponga a la causa que la crea. a) Calcula la fuerza electromotriz inducida en la espira.m. esa causa es el aumento del campo magnético. Unidad 9. la f.15. la corriente circulará de modo que el sentido del campo que cree sea hacia dentro del papel. en el plano de la espira. 16. inducida sobre el circuito.e. calcula la intensidad de corriente inducida en el instante t = 3 s. El flujo magnético que atraviesa una espira conductora viene dado por la expresión: Φ (t) = (t 2 4 t) 101 En dicha expresión.m. De acuerdo con la regla del tornillo. Inducción electromagnética 16 . en función del tiempo. Φ se mide en miliweber si t se mide en segundos. la intensidad ha de girar en sentido horario. la intensidad inducida en el circuito resulta: I = ε −32 = = −1. Por tanto. En este caso. Las líneas de fuerza del campo magnético son perpendiculares al plano del papel y salen de él. ya que la superficie permanece constante. El flujo magnético que atraviesa el circuito eléctrico de la figura varía con el tiempo. es: ε = −2 − 10 · t = −2 − 10 · 3 = −32 mV Por tanto. En primer lugar calculamos la f. R = 20 Ω Si la resistencia del circuito es 20 Ω. Justifica el sentido de la corriente eléctrica inducida. 2 −1. = −0. el flujo magnético que atraviesa la espira en ese caso es: r r Φ' = B ' · S = B' · S · cos α' = 107 · 100 · cos 150° = −8.2 −0. 2 ⋅ t + 0. el ángulo formado por B ' y S será de 150°. A continuación.1 3. (V) 1 2 3 4 −0.7 · 106 Wb Unidad 9. Consideramos una espira conductora.6 −0.e. es de 30°. de acuerdo con el enunciado.e.m.m. y su representación gráfica. inducida. empleando 0. 4) V dt dt ε=− b) Los valores que obtenemos para el flujo y la f.e. α es el ángulo formado por dichos vectores. Un campo magnético uniforme. invertimos el sentido de este campo. en esos instantes? a) De acuerdo con la ley de Faraday: dΦ d (t 2 − 4 ⋅ t ) ⋅ 10 −1 =− = ( −0. Por tanto: Φ = 107 · 102 · cos 30° = 8.m.3 −0.m2) F.e.m.1 s en tal proceso. en esos instantes son: t = 0 s → f.4 −1.2 4.5 1.2 2. son: Tiempo (s) 0 Flujo (T · m2) 0 F.5 Flujo (T. b) La fuerza electromotriz inducida generada por la inversión. de 10 m de lado. Inducción electromagnética 17 . atraviesa la espira de abajo hacia arriba formando un ángulo de 30° con la vertical ascendente. Las f.e.e.8 −1 −1. = 0.4 V .4 −0. que. Calcula: a) El flujo magnético del campo inicial.m.4 V 17.3 0.4 0.e.m.m. de 107 T.4 −0.7 · 106 Wb r r b) Si se invierte el sentido del campo magnético.m. cuadrada y horizontal.b) Representa gráficamente cómo varían con el tiempo el flujo magnético y la f.6 0 2 8 0. a) El flujo magnético se define como el producto del vector inducción magnética y el vector superficie: r r Φ = B · S = B · S · cos α En la expresión anterior.2 6 5 4 3 2 1 0 –1 –2 0 5 6 9 10 6 −0.e. t = 4 s → f. c) ¿En qué instantes se anula el flujo magnético? ¿Cuál es el valor de la f. (V) 1 7 3 4 5 6 7 φ 8 9 10 t (s) ε c) El flujo magnético se anula en los instantes t = 0 y t = 4 s (cuando t 2 − 4 · t = 0). la superficie de la bobina no varía.5 rT. inducida en la bobina es cero.73 · 105 Wb En consencuencia. la f. de lado L = 5 cm. plana. inducida en la bobina es: ∆Φ −0.73 · 105 ε = − = − = 1. Si aplicamos un campo magnético dirigido a lo largo del eje Z que varía entre 0.m.5 · 103 − 1.5 T y 0.1 s: a) ¿Qué fuerza electromotriz (f.25 · 103 = −1.73 · 104 V ∆t 0.5 · (5 · 102)2 · cos 90° = 0 Wb ∆Φ = Φfinal − Φinicial = 0 − 1.25 · 103 = −0.) se inducirá en la bobina? b) Si ahora el campo permanece constante de valor 0.e. la f.m.e. inducida en este caso? c) Si en el caso anterior la bobina se desplaza a lo largo del eje Z sin girar.1 b) En este caso.m.2 · (5 · 102) · cos 0° = 0. inducida será: ∆Φ −1.2 T en el intervalo de 0.La variacion de flujo en el proceso de inversión es: ∆Φ = Φ' − Φ = −8.5 T y la bobina gira en 1 segundo hasta colocarse sobre el plano XZ. ¿cuál será la f.75 · 103 ε = −N · = −100 · = 0.e. Unidad 9.75 V ∆t 0.m. de valor: r r Φ = B · S = 0.e. De acuerdo con ello. es decir. inducida en el proceso será: ∆Φ −1.m.m. ∆t = 0.125 V ∆t 1 c) El campo magnético es uniforme.25 · 103 Wb r r Φfinal = B · S = B · S · cos θ' = 0. y el ángulo que forman en este caso B y S es de 0°. de valorr0. la variación de flujo se calcula del siguiente modo: r r Φinicial = B · S = B · S · cos θ = 0.7 · 106 − 8.e.75 · 103 Wb Por tanto. no se crea fuerza electromotriz.25 · 103 Wb Al no haber variación de flujo.5 · (5 · 102)2 · cos 0° = 1.1 s Para calcular la variación del flujo debemos calcular el flujo inicial y el final: r r Φinicial = B inicial · S = Binicial · S · cos α = 0.e. inducida? a) La expresión que permite calcular la f.25 · 103 Wb Y la f.m. la f.25 · 103 Wb r r Φfinal = B final · S = Bfinal · S · cos α = 0.5 · (5 · 102) · cos 0° = 1. con 100 espiras. ¿cuál será la f. está situada en el plano XY.e.m.5 · 103 Wb ∆Φ = Φfinal − Φinicial = 0. inducida en una bobina de N espiras es la siguiente: ∆Φ ε = −N · ∆t En el supuesto que nos proponen: N = 100 espiras .25 · 103 ε = −N · = −100 · = 0.e.5 · (5 · 102)2 · cos 0° = 1.7 · 106 = −1. el flujo magnético que atraviesa la espira es constante.1 18 Una bobina cuadrada. Inducción electromagnética 18 . que pasa sobre los rieles a 100 km/h. Un avión vuela horizontalmente a 200 m s1 en una región donde la componente vertical del campo magnético terrestre tiene una intensidad de 36 µT. la f. establece una conexión eléctrica entre ellos. 2 = = 27.20 gauss.m. Se trata de calcular la f. que existe entre las ruedas del tren que conectan los dos rieles.e. la d. Si el campo magnético terrestre tiene una componente vertical de 0. Inducción electromagnética v 19 . las dos alas del avión como una barra conductora que se desplaza perpendicularmente al campo magnético. 78 m B ⋅ v 36 ⋅ 10 −6 ⋅ 200 20. La situación es la representada en la siguiente figura. el esquema es equivalente a una espira con un lado móvil.m.20 V. resulta: r r ε = B · (l × v ) = B · l · v · sen 90° = B · l · v Al despejar y sustituir los datos que facilita el enunciado.p. calcula la d.d. Como se aprecia en ella. L Unidad 9. El fuselaje del avión está realizado de material conductor. Con esos datos. obtenemos la distancia que separa ambos extremos: l= ε 0.19.d.p. por tanto. En esas condiciones.e. Los rieles de una vía férrea están separados un metro y se encuentran aislados eléctricamente uno del otro. inducida entre los extremos de las alas del avión es 0. Podemos considerar. inducida sobre el eje del tren. calcula la distancia que separa los extremos de las alas del avión. Un tren. v B l l B En este caso. que cruza perpendicularmente las vías. 21 Una bobina de 50 vueltas y 10 cm2 de sección está situada con su eje paralelo a las líneas de un campo magnético de 1 T: a) Si el campo disminuye linealmente con el tiempo hasta anularse en dos segundos. calcula la fuerza electromotriz inducida.5 · sen (10 · t) V Unidad 9. la variación del flujo se produce debido al aumento de la superficie expuesta al campo magnético: r r dΦ = B · dS = B · dS · cos 0° dΦ = B · L · dx = B · L · v · dt Al aplicar la ley de Faraday: ε=− dΦ B ⋅ L ⋅ v ⋅ dt =− dt dt ε = – B ⋅ L ⋅ v = –0. y ∆t = 2 s. 56 ⋅ 10 −4 V 3 600 NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado.En este caso.e. b) Si la bobina gira alrededor de un eje normal al campo magnético inicial a la velocidad constante de 10 rad s1. 2 ⋅ 10 −4 ⋅ 1 ⋅ 100 ⋅ 1 000 = –5. la expresión que corresponde a la f.e. N = 50 espiras. inducida en cada instante es: d [B · S · cos (ω · t)] dΦ ε = −N · = −N · = −N · B · S · ω · sen (ω · t) = dt dt = − 50 · 10 · 104 · 10 · sen (10 · t) = − 0.m. inducida es: ∆Φ −103 ε = −N · = − 50 · = 0.m. ¿cuál será la expresión de la fuerza electromotriz inducida? a) La fuerza electromotriz inducida en una bobina de 50 espiras se calcula de acuerdo con la siguiente expresión: ∆Φ ε = −N · ∆t En este caso. La variación de flujo es: r r Φinicial = B inicial · S = Binicial · S · cos α = 1 · 10 · 104 · cos 0° = 103 Wb r r Φfinal = B final · S = Bfinal · S · cos α = 0 · 10 · 104 · cos 0° = 0 Wb ∆Φ = Φfinal − Φinicial = 0 − 103 = −103 Wb La f. Inducción electromagnética 20 . en función del tiempo: r r Φ = B · S = B · S · cos α = B · S · cos (ω · t) Por tanto.025 V ∆t 2 b) El ángulo que forma el vector superficie de la bobina con el campo magnético en este caso es: α=ω·t Y el flujo magnético que la atraviesa. al ser el campo constante. Es una varilla conductora con electrones deslocalizados que se mueven en el interior de un campo magnético. En un campo magnético uniforme cuya inducción es B conductora de longitud L.e. Inducción electromagnética 21 .m. la f. describiendo una circunferencia perpendicular al campo. La barra no es un circuito cerrado que origine variaciones de flujo.22.e. inducida en la espira. inducida entre sus extremos. El flujo magnético viene dado por: r r Φ = ∫ B ⋅ dS = ∫ B ⋅ dS ⋅ cos θ S S Si tenemos en cuenta la definición de la velocidad angular: θ=ω·t podemos escribir la expresión inicial en la forma: Φ = ∫ B0 ⋅ sen (ω ⋅ t ) ⋅ cos (ω ⋅ t ) ⋅ dS S Por tanto: Φ = B0 ⋅ sen (ω ⋅ t ) ⋅ cos (ω ⋅ t ) ⋅ ∫ dS = B0 ⋅ sen (ω ⋅ t ) ⋅ cos (ω ⋅ t ) ⋅ S S Teniendo en cuenta las propiedades del ángulo doble: Φ = B0 ⋅ sen (ω ⋅ t ) ⋅ cos (ω ⋅ t ) ⋅ S = B0 ⋅ S ⋅ sen (2 ⋅ ω ⋅ t ) 2 De acuerdo con la ley de Faraday. Una espira gira con velocidad angular constante en el seno del siguiente campo magnético: ω t) B (t) = B0 sen (ω Calcula la f.m. inducida resulta: dΦ d B0 · S ε = − = − · sen (2 · ω · t) = −B0 · S · ω · cos (2 · ω · t) dt dt 2 . Si el período de dicho movimiento es T.e. Por tanto: r r r |F | = qe · |v × B | v Teniendo en cuenta que: dW = F ⋅ dr dW F ⋅ dr dV = = qe qe y que: r F qe L r |F | = F = qe · v · B · sen 90° = qe · v · B Unidad 9. calcula la f. se mueve una barra 23.m. m de 10 mV. de 20 cm de lado. se induce sobre la espira una f. 2 ⋅ 2 = 0. por tanto: ω= 2⋅π B ⋅ L2 ⋅ π →ε=− T T 24. a 2 m/s. es perpendicular a un campo magnético de 0. Calcula el valor de la inducción del campo magnético que atraviesa la espira. Debido a ello.e. Cuando el área de la bobina disminuye de forma constante. se induce en ella una f. El plano de una espira cuadrada.: r r dΦ d (B ⋅ S ) ε=− =− dt dt Al ser el campo magnético uniforme. v Cuando la espira comienza a salir del campo magnético. La espira se mueve en su plano con velocidad constante. Calcula la fuerza electromotriz inducida en la espira cuando esta tiende a salir del campo magnético. Una espira circular se coloca con su plano perpendicular a un campo magnético uniforme. obtenemos la fuerza electromotriz inducida en la espira: ε=− dΦ − B ⋅ l ⋅ v ⋅ dt =− = B ⋅ l ⋅ v = 0.5 T. la disminución del flujo se produce a costa de una disminución de la superficie expuesta al campo magnético: r r dΦ = −B · dS = −B · dS · cos 0° dΦ = −B · L · dx = −B · L · v · dt Al aplicar la ley de Faraday. Inducción electromagnética 22 .e.m. el flujo magnético que la atraviesa disminuye.05 m2/s. a razón de 0. 2 V dt dt 25. Unidad 9.resulta: dV = q e ⋅ v ⋅ B ⋅ sen 90° ⋅ dr = v ⋅ B ⋅ dr qe Como v = ω · r : dV = ω ⋅ r ⋅ B ⋅ dr → V = V ∫0 dV = 0 ∫L ω ⋅ B ⋅ r ⋅ dr → V =− ω ⋅ B ⋅ L2 2 y. 5 ⋅ 0. a) ¿Cuánto valdrá el flujo magnético que atraviesa la espira en un tiempo t. largo del eje Z y de valor B Y a A B b v L d c D C X Z Si en el instante inicial. B = 0. Inducción electromagnética 23 . resulta: ε = −B ⋅ dS →B= dt ε 10 ⋅ 10 −3 = = 0. t = 0.e. 26 Una espira cuadrada de lado L = 10 cm designada en la figura por los vértices abcd se introduce a velocidad constante. v = 1 m s1 en una zona del espacio (ABCD en la figura). al tratarse de un campo magnético uniforme perpendicular a la superficie: r r d (B ⋅ S ) d (B ⋅ S ) dS dS dB ε=− =− = − B ⋅ + ⋅ S = −B ⋅ dt dt dt dt dt Sustituyendo y despejando.Según la ley de Faraday: ε=− r r dΦ d (B ⋅ S ) =− dt dt En nuestro caso. el lado bc de la espira coincide con AD: NOTA: la designación correcta de los lados coincidentes es la que aparece en este enunciado. 2 T dS −( −0. en el que la espira ha penetrado horizontalmente en ABCD una distancia x = 3 cm? b) ¿Cuánto valdrá la f. donde existe un campo magnético uniforme dirigido a lo = 0. El valor de S es el que corresponde a la superficie de la espira que se encuentra en el interior del campo magnético después de haber penetrado 3 cm: S = 10 · 102 · 3 · 102 = 3 · 103 m2 Unidad 9. ya que en el enunciado se indica que el área disminuye con el tiempo. y α = 0°. inducida? c) ¿Cuál será el sentido de la corriente inducida? a) El flujo magnético que atraviesa la espira se calcula de acuerdo con la siguiente expresión: r r Φ = B · S = B · S · cos α En este caso.m.25 T. 05) − dt Observa que se ha dado signo negativo a la derivada.25 k T. Esta variación de flujo magnético induce una fuerza electromotriz en la espira que viene determinada por la ley de Faraday: dΦ ε = − dt Unidad 9. en que la espira ha penetrado 3 cm en el campo magnético. antes de entrar en el campo magnético. existe un flujo magnético que atraviesa la espira que va aumentando con el tiempo hasta que la espira está completamente dentro de dicha región. su sentido será horario. Inducción electromagnética 24 . t.El flujo es.25 · 3 · 103 · cos 0° = 7. b) Calcula la intensidad de la corriente inducida en la espira si su resistencia es de 10 Ω.e. de velocidad 1 m · s1: x x 3 · 102 v = → t = = = 3 · 102 s t v 1 De acuerdo con ello: ∆Φ 7.u. Φinicial = 0.m. por tanto: Φ = B · S · cos α = 0. a) Al penetrar la espira en la región del campo magnético.5 · 104 = − 0. se obtiene teniendo en cuenta que esta se mueve con m. penetrando en el instante t = 0 en una re = 200 k mT. B según se indica en la figura: Y B v X a) Determina la fuerza electromotriz inducida y represéntala gráficamente en función del tiempo. Como la corriente inducida genera un campo magnético que se opone al inicial. Haz un esquema indicando el sentido de la corriente. el flujo magnético que la atraviesa aumenta.025 V ε = − = − ∆t 3 · 102 c) Al entrar la espira en el campo magnético. se desplaza con una velocidad v = 2 i cm s1. situada sobre el plano XY.5 · 104 Wb El instante.r. inducida es: ∆Φ ε = − ∆t Inicialmente. 27. gión del espacio donde hay un campo magnético uniforme. Por tanto: ∆Φ = Φfinal − Φinicial = 7. Una espira cuadrada de 5 cm de lado.5 · 104 − 0 = 7.5 · 104 Wb b) La expresión que permite calcular la f. su sentido es el contrario al de las agujas del reloj. es: 2 · 10−4 ε I = → I = = 2 · 10−5 A 10 R El sentido de esta corriente es tal que el flujo del campo magnético creado por ella se opone al flujo del campo magnético que la induce.02 = −2 · 10−4 V Como hemos comentado. Posteriormente.e. Por tanto. X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X B X NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. ε. el elemento de superficie es: dS = y · dx = y · v · dt y La fuerza electromotriz. 10–4 b) La intensidad de la corriente inducida. la f. es. esta f.m. Unidad 9. por tanto: dΦ B · y · v · dt ε = − = − = −B · y · v dt dt X dx X X X X X X X X X X X X X X X X X X B X Sustituyendo valores: ε = −200 · 10−3 · 0. Inducción electromagnética 25 .02 La representación gráfica de la f. inducida.m. y. es inducida durante el tiempo que tarda la espira en entrar completamente en la región en que actúa el campo magnético. la variación de flujo magnético. es nula. El flujo magnético a través de la superficie de la espira se calcula mediante la expresión: r r r r Φ = B · S → dΦ = B · dS = B · dS · cos α Como se aprecia en la figura de la derecha. El tiempo que tarda la espira en entrar completamente en el campo es: s 0.05 t = = = 2.5 s v 0.e.m.05 · 0. en valor absoluto. inducida en función del tiempo es la siguiente: ε (V) 1 2 3 t (s) 4 –2 .El signo negativo indica que la fuerza electromotriz se opone a la variación de flujo magnético que la produce.e. por tanto. según la ley de Faraday. en los siguientes casos: a) El radio del anillo es r = 3 cm y está situado de forma que el eje de simetría de la región cilíndrica. lo que dará lugar a una fuerza electromotriz inducida en el anillo conductor que. d) r = 8 cm y el centro del anillo dista 1 cm de dicho eje.I. 2 R). Puesto que el campo magnético es variable con el tiempo. la porción de la superficie de la espira que se encuentra bajo la acción del campo magnético. cuyo plano es perpendicular a las líneas de campo. Un campo magnético uniforme está confinado en una región cilíndrica del espacio. donde el campo es uniforme. inducida es. inducida en el anillo es: d (B · S · cos 0°) dB ε = − = − S · dt dt La superficie de la espira atravesada por el campo magnético es: S = π · r 2 → S = π · (3 · 10−2)2 = 9 · π · 10−4 m2 La f.028 V dt Unidad 9. Inducción electromagnética 26 . siendo las líneas del campo paralelas al eje del cilindro (esto puede conseguirse mediante un solenoide cilíndrico por el que pasa una corriente y cuya longitud sea mucho mayor que su diámetro. se producirá una variación del flujo magnético que atraviesa la espira en cada instante. en cada caso. b) r = 3 cm y el centro del anillo dista 1 cm de dicho eje.28.m.m. de sección circular y radio R = 5 cm.e. c) r = 8 cm y el eje pasa por el centro del anillo. siendo el plano de la espira perpendicular al eje del cilindro. por lo que la f.). debemos considerar. Si la magnitud del campo varía con el tiempo según la ley B (t) = 5 + 10 t (dado en unidades del S. por tanto: d (5 + 10 · t) ε = −9 · π · 10−4 · = −9 · π · 10−4 · 10 = −0. se opone a la causa que lo produce: r r dΦ d (B · S ) = − = ε dt dt Puesto que el campo magnético está confinado en una región cilíndrica del espacio. como se aprecia en la figura: B r = 3 cm r = 5 cm r r Los vectores B y S forman un ángulo de 0°. pasa por el centro del anillo.e. a) El anillo conductor está atravesado completamente por las líneas del campo magnético. calcula la fuerza electromotriz inducida en un anilla conductora de radio r. por lo que la f. Por tanto. la espira sigue estando completamente en el interior de la zona de influencia del campo magnético. B 1 cm r = 3 cm r = 5 cm Por tanto.m.e.m. Determina la fuerza electromotriz inducida en una espira circular de radio 10 cm por un campo magnético variable en el tiempo de forma B (t) = = B0 sen (ω ω t).e. La expresión que permite calcular la f. también lo es la f.m. la superficie de la espira atravesada por el campo magnético es la sección del cilindro: S = π · R2 → S = π · (5 · 10−2)2 = 25 · π · 10−4 m2 B r = 5 cm r = 8 cm La f. 29. inducida también lo es: d (5 + 10 · t) ε = −9 · π · 10−4 · = −0. la superficie atravesada por el campo es la misma que en el apartado anterior. con una amplitud de 80 mT y una frecuencia f = 50 Hz.028 V dt c) Cuando el radio del anillo conductor es mayor que el del cilindro.e. inducida en la espira es: dΦ ε = − dt El flujo que atraviesa la espira circular es: r r Φ = B · S = B · S · cos α = B0 · sen (ω · t) · S · cos α Unidad 9. inducida en el anillo conductor es: d (5 + 10 · t) ε = −25 · π · 10−4 · = −25 · π · 10−4 · 10 = −0. la superficie de la espira atravesada por el campo magnético es la misma que en el apartado c).079 V dt d) En esta situación.b) En este caso. aunque no coincide el centro del anillo con el eje del cilindro.m. Inducción electromagnética 27 .e. y que forma 30° con la normal a la espira. coincidiendo su centro con el eje del cilindro. inducida: B 1 cm r = 5 cm r = 8 cm NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. pese a estar desplazado el centro del anillo respecto al eje del cilindro. 68 · cos (100 · π · t) 30 A una espira circular de radio R = 5 cm. de valor: (t) = 0.1 · t · k · 2.1 t k T B donde t es el tiempo.m. su vector superficie sería perpendicular al vector campo magnético. en este caso: r r B = 0.Por tanto: d [B0 · S · cos α · sen (ω · t)] dΦ ε = − = − = dt dt = −B0 · S · cos α · ω · cos (ω · t) = −B0 · S · cos α · 2 · π · f · cos (2 · π · f · t) Sustituyendo los datos de que disponemos se obtiene: ε = −80 · 10−3 · π · (10 · 10−2)2 · cos 30° · 2 · π · 50 · cos (2 · π · 50 · t) = = −0.e. se le aplica durante un intervalo de tiempo de 5 segundos un campo magnético variable con el tiempo y cuya dirección es perpendicular a la superficie de dicha espira. 1 ⋅ t ⋅ k ⋅ 2.5 · 104 · π · t) dΦ ε = − = − = 2. inducida serían cero: r r B = 0. a) El flujo magnético se calcula de acuerdo con la siguiente expresión: r r Φ=B ·S donde. expresado en segundos.5 · 10−4 · π · 5 = 3. a) ¿Cuánto valdrá el flujo magnético máximo que atraviesa la espira? b) ¿Cuánto valdrá la fuerza electromotriz inducida? c) Responde a las cuestiones anteriores en el caso de que la espira estuviera situada en el plano XZ. 1 ⋅ t ⋅ k r S = 2.1 · t · k T r r r r S = S · k = π · (5 · 10−2)2 · k = 2.5 · 10−3 · π · k m2 Por tanto: r r r r Φ = B · S = 0.85 · 10−4 V dt dt c) Si la espira estuviera situada en el plano XZ. Inducción electromagnética 28 . que descansa en el plano XY. 5 ⋅ 10 −3 ⋅ π ⋅ j = 0 Wb → ε = − dt j Unidad 9.5 · 10−4 · π = 7.5 · 10−3 · π · k = 2.5 · 10−4 · π · t Wb El valor máximo del flujo se da para t = 5 s: Φmáx = 2. por lo que tanto el flujo como la f.93 · 10−3 Wb b) La fuerza electromotriz inducida es: d (2. 5 ⋅ 10 −3 ⋅ π ⋅ r r r r dΦ =0V r → Φ = B ⋅ S = 0. 8 · 10−4 · π · (t + 4 · t2) Wb b) La fuerza electromotriz inducida en la bobina la obtenemos aplicando la ley de Faraday: d [4. a) El flujo magnético que atraviesa la bobina viene dado por la expresión: r r Φ = N · B · S = N · B · S · cos α donde N es el número de espiras que componen la bobina.04 · t2) · π · 0.e. y α es el ángulo que r forman los vectores B y S . Unidad 9. vale: ε (t = 5 s) = −4. Calcula: a) El flujo magnético que atraviesa la bobina en función del tiempo.01 t + 0.8 · 10−4 · π · (t + 4 · t2)] dΦ ε = − → ε = − dt dt Φ = −4.8 · 10−4 · π · (1 + 8 · 5) = −0.04 t 2 donde t está expresado en segundos y B en teslas.062 V NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado.m. El módulo del campo magnético varía con el tiempo de acuerdo con la expresión: B (t) = 0. Inducción electromagnética 29 .8 · 10−4 · π · (1 + 8 · t) V En el instante t = 5 s.01 · t + 0. Por tanto. En este caso. Una bobina circular de 30 vueltas y radio 4 cm se coloca en un campo magnético dirigido perpendicularmente al plano de la bobina. es: Φ = N · B · S · cos α = 30 · (0. en función del tiempo.042 Φ = 4. esta f. puesto que el campo magnético está dirigido perpendicularmente al plano de la bobina. α = 0°. b) La fuerza electromotriz inducida en la bobina para t = 5 s.31. S es la superficie atravesada por el campor magnético (la sección de la bobina). el flujo magnético que atraviesa la bobina. depende de µ Sentido de la interacción Líneas de campo Existencia de monopolos ¿Qué sustancias pueden crear campo en reposo? Dependencia del medio 2. de uno de estos campos que varíe con el tiempo implicaría la existencia del otro. Unidad 10. y la ley deducida por Faraday relativa a la aparición de corrientes eléctricas inducidas en circuitos sometidos a campos magnéticos variables. de modo que la existencia. LA SÍNTESIS ELECTROMAGNÉTICA 1.10 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS 10. e intuyó que los campos eléctrico y magnético estaban íntimamente relacionados.1. también variable en el tiempo. depende de K Sí. ocho años después de la muerte de Maxwell. quien descubrió que las cargas eléctricas en movimiento producen un campo magnético. Las principales analogías y diferencias entre los campos eléctrico y magnético son las que se resumen en la siguiente tabla: Característica Campo eléctrico Campo magnético 1 Dependencia de 2 r Sí Sí Campo central Sí No Una carga en reposo crea Sí No Una carga en movimiento crea Sí Sí Conservativo Sí No Atractiva o repulsiva Atractiva o repulsiva Abiertas Cerradas Sí No Todas Solo algunas Sí. detectadas experimentalmente por primera vez por Hertz. Ondas electromagnéticas 1 . los trabajos realizados por Ampère destinados a dar una formulación matemática a este hecho. Razona cuáles fueron los principales descubrimientos que llevaron a Maxwell a buscar una teoría que unificase los campos eléctrico y magnético. Realiza un cuadro comparativo con las principales características del campo eléctrico y del campo magnético. en una región del espacio. James Clark Maxwell analizó detenidamente los resultados obtenidos por Oersted. Maxwell realizó una bella formulación matemática para describir este hecho de la que se deduce la existencia de las ondas electromagnéticas. a un solenoide de 7.5 cm de longitud y 0. Sabiendo que la intensidad máxima que recorre el circuito de la actividad anterior es 2. en función del tiempo.5 · 10−2 l Por tanto: 1 1 f = = 107 Hz = 10 MHz 2 · π · L·C 2 · π · 5.5 · 10−2 l π ϕ = 2 ω = 2 · π · f = 2 · π · 107 = 6.03 · 10−6 · 5 · 10−11 2.02 · 10−3 T B0 = = 7. DESCARGA OSCILANTE DE UN CONDENSADOR 1.3 cm2 de sección formado por 100 espiras. obtén las expresiones matemáticas correspondientes a los campos eléctrico y magnético que se crean. La expresión general de los campos eléctrico y magnético que se forman es: E = E0 · sen (ω · t) B = B0 · sen (ω · t − ϕ) donde: V2 − V1 12 E0 = = = 12 000 V/m 1 · 10−3 d µ0 · N · I 4 · π · 10−7 · 100 · 2.2.d.3 · 10−4 L = = = 5.28 · 107 rad · s−1 Por tanto: E = 12 · 103 · sen (6.28 · 107 · t) π B = 4.03 · 10−6 H 7.02 · 10−3 · sen 6.10.28 · 107 · t + 2 Unidad 10.4 = 4. Ondas electromagnéticas 2 . respectivamente. en el condensador y en la bobina.p. La frecuencia de oscilación se calcula de acuerdo con la siguiente expresión: 1 f = 2 · π · L·C La capacidad del condensador es: 6 · 10−10 q C = = = 5 · 10−11 F 12 V2 − V1 Y el coeficiente de autoinducción del solenoide: µ0 · N 2 · S 4 · π · 10−7 · 1002 · 0. de 12 V. entre las que se crea una d. Calcula la frecuencia de oscilación que se puede obtener conectando un condensador con una carga de 6 10 − 10 C y 1 mm de separación entre sus placas.4 A. a una corriente alterna de la misma frecuencia que la onda electromagnética. Ondas electromagnéticas 3 . Se producen por la variación de una magnitud característica del medio.10. no materia. se propagan siempre a la misma velocidad. el flujo magnético variable induce una f.m. Explica cualitativamente el funcionamiento de una antena receptora de ondas electromagnéticas.e. la antena receptora deberá colocarse paralela a la emisora (paralela a las líneas de campo eléctrico de la onda). Se propagan a través de medios materiales y en el vacío. Se producen por la variación de un campo eléctrico y un campo magnético. por lo que para obtener una recepción óptima. ¿Qué orientación debe tener esta antena respecto a la antena emisora? Hay dos tipos de antenas receptoras. los receptores disponen de un circuito oscilante LC similar al que se utiliza para producir la onda electromagnética. su velocidad de propagación depende del tipo de onda. Esta antena debe colocarse. Para seleccionar una de estas frecuencias. CAMPO ELECTROMAGNÉTICO Y DESCARGA OSCILANTE 1. al incidir la onda electromagnética sobre ellas. La señal recibida por las antenas receptoras contiene frecuencias de múltiples antenas emisoras. Al incidir la onda sobre la antena. Unidad 10. el responsable de la fuerza que actúa sobre los electrones es el campo eléctrico de la onda. Transportan energía. al igual que en el caso anterior. 2. por tanto. no materia. Busca información acerca de las propiedades de las ondas electromagnéticas y comenta las semejanzas y las diferencias que encuentres entre estas y las ondas mecánicas. en un plano perpendicular al definido por las líneas de campo magnético en ese punto. dando lugar. dicho de otro modo. tan solo a través de medios materiales. Pueden ser ondas longitudinales y ondas transversales. En este caso. Transportan energía. se produce una fuerza neta variable sobre los electrones del conductor. En un mismo medio. en el que se puede apreciar las semejanzas y las diferencias existentes entre ellas: Ondas electromagnéticas Ondas mecánicas Son ondas transversales. en un plano que contenga la dirección de la antena emisora.3. o. En la siguiente tabla se muestra un resumen de las propiedades de ambos tipos de ondas. No se propagan en el vacío. El primero consiste en una o más varillas conductoras en las que. En un mismo medio. en la bobina también variable. El otro tipo consiste en una bobina de alambre que detecta el campo magnético de la onda electromagnética. dando lugar a una tensión alterna de la misma frecuencia que la onda. Explica por qué. al incidir sobre la superficie. En las cuatro aspas del molinete. 2.Cuando la frecuencia propia del circuito receptor coincide con la frecuencia de la emisora que deseamos captar. pero. Sin embargo. y la otra es una superficie metálica reflectante. una parte está pintada de negro mate.M O. es el doble de la que recibe esa misma superficie si la radiación se absorbe por completo.4. si al incidir sobre dicha superficie es completamente reflejada. al igual que en el supuesto anterior. E. la presión de radiación que ejerce es: P= S c Dicha onda. Explica su funcionamiento. decimos que hemos “sintonizado” una señal.P Vacío En dicho dispositivo existe un “molinete” metálico encerrado en el interior de una ampolla de vidrio a la que se ha hecho el vacío. incide perpendicularmente sobre ella. C. Ondas electromagnéticas 4 . la presión de radiación que se ejerce sobre una superficie que refleja por completo la radiación que. del condensador variable que compone el circuito oscilante LC. al ser completamente reflejada. la onda ejerce una presión doble. El dispositivo al que hacemos referencia puede ser similar al que se muestra en la ilustración. Si la onda electromagnética que incide perpendicularmente a una superficie es absorbida por completo. en forma de ondas electromagnéticas. se “apoya” en ella de nuevo para salir despedida hacia atrás. Vástago y placas metálicas Ampolla de vidrio P . Diseña un dispositivo que pueda girar libremente aprovechando la presión de radiación de las ondas electromagnéticas. de acuerdo con lo estudiado. Unidad 10. Ese cambio en el sentido del vector cantidad de movimiento asociado a la onda explica que la presión se duplique respecto al caso en que la onda es absorbida. 10. 2. NATURALEZA DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS 1. pasa de un medio al otro. ya que. golpea la superficie. Esto se consigue variando la capacidad. al igual que las líneas de campo magnético. En ellas el campo eléctrico y el campo magnético son perpendiculares entre sí y. dando lugar a circuitos cerrados.Cuando incide una onda electromagnética sobre el dispositivo –por ejemplo. las líneas de campo eléctrico se cierran. formada por dos varillas conductoras conectadas a un generador de corriente alterna. 3. radiación ultravioleta. luz roja. Justifica. 2. En las proximidades de una antena emisora. a su vez. según longitudes de onda crecientes. basándote en lo estudiado. A su vez. EL ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO 1. Ello hace que exista una fuerza neta que impulsa al molinete. se produce un campo eléctrico cuyas líneas de campo parten de la varilla con carga positiva y entran en la varilla con carga negativa. Estas líneas de campo se disponen en planos que contienen las varillas conductoras. los campos eléctrico y magnético producidos por la antena son perpendiculares. ¿Cómo caracterizarías mejor una onda electromagnética. Ordena. La ordenación en función de longitudes de onda crecientes es: rayos X < radiación ultravioleta < luz verde < luz roja < microondas < ondas de radio Unidad 10. propagándose conjuntamente como una onda electromagnética. las siguientes regiones del espectro electromagnético: microondas. un rayo de luz– la parte oscura de las aspas recibe una presión de radiación que es menor de la que recibe la parte metálica de estas. Explica la naturaleza de las ondas electromagnéticas. la corriente que circula por las varillas produce un campo magnético cuyas líneas de campo son circunferencias concéntricas con las varillas y situadas en planos perpendiculares al eje de estas.5. Se caracterizan mejor por su frecuencia: sus aplicaciones y los efectos que producen en los cuerpos que las absorben son función de ella. como se indica en la ilustración anterior. ondas de radio. por su frecuencia o por su longitud de onda? Las ondas electromagnéticas son ondas transversales. luz verde. que los campos eléctrico y magnético en una onda electromagnética sean perpendiculares. 10. Por tanto. perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. Ondas electromagnéticas 5 . rayos X. I B B – E + I Al variar con el tiempo la corriente que circula por las varillas. Su dirección de vibración es perpendicular a su dirección de propagación. Dicha velocidad es. a la velocidad de la luz: c = 3 · 108 m · s−1. d) Forman un ángulo entre ambos comprendido entre 90º y 180º. f) Es falso. g) No se propagan en el vacío. ¿Cómo es la posición relativa entre ambos? a) Son paralelos. por tanto. Las ondas electromagnéticas cubren un amplio espectro de frecuencias y. y solo son polarizables las ondas transversales. b) Forman un ángulo entre ambos comprendido entre 0º y 90º. ACTIVIDADES DE LA UNIDAD CUESTIONES 1. c) Son perpendiculares. b) Son longitudinales. la velocidad de la luz en ese medio.3. 2. en el vacío. no pueden hacerlo. rayos X. e) En un mismo medio. Ondas electromagnéticas 6 . se puede polarizar. Las ondas electromagnéticas sí se propagan en el vacío. Señala la respuesta o las respuestas correctas acerca de las ondas electromagnéticas: a) Son transversales. Para que exista una onda electromagnética. microondas. de longitudes de onda. desde las ondas de radio hasta los rayos gamma. d) Su frecuencia es fija. pueden propagarse en el vacío. Unidad 10. g) Es falso. precisamente. todas las ondas electromagnéticas se desplazan a la misma velocidad. por tanto. f) Todas ellas forman el espectro visible. que es una pequeña parte del espectro electromagnético. El espectro visible comprende solo un pequeño rango de frecuencias dentro del espectro electromagnético. e) Forman un ángulo de 180º. e) Es cierto. Señala cuál o cuáles de los tipos de onda que se indican pueden propagarse en el vacío y explica el motivo de que así sea: luz. Los ultrasonidos son ondas mecánicas. La respuesta a) es correcta. que necesitan un medio material para propagarse. La luz. c) Su longitud de onda es fija. son necesarios un campo eléctrico y un campo magnético. Una prueba de ello es que la luz. c) y d) Ni su frecuencia ni su longitud de onda son fijas. los rayos X y las microondas son radiaciones electromagnéticas. se desplazan a la misma velocidad. Como tales. ultrasonidos. a) y b) Las ondas electromagnéticas son transversales. Dado un medio cualquiera. Ondas electromagnéticas 7 . De los siguientes tipos de ondas que se indican a continuación. La velocidad con que se propagan las ondas electromagnéticas en un medio dado: a) Coincide con la velocidad de propagación del sonido en dicho medio. Unidad 10. no podemos dar una respuesta sin ese dato. De los tipos de onda que se citan en el enunciado. c) Ondas sonoras. Su posición relativa es la que se muestra en la figura. d) Depende de su longitud de onda. podemos decir que las ondas sonoras se transmiten a la velocidad de propagación del sonido en el medio y son longitudinales. Y E B X Z 3. La respuesta correcta es c). no podemos dar una respuesta sin ese dato. e) Rayos infrarrojos. c) Depende de su frecuencia. d) Ondas de radio. Los campos magnético y eléctrico vibran en planos perpendiculares en todo instante. Justifica la respuesta. b) Rayos X. e) No podemos conocerla a priori. ya que depende de la temperatura. Por citar algunas diferencias. b) Coincide con la velocidad de propagación de la luz en dicho medio. es necesario medirla experimentalmente. 4. mientras que las ondas electromagnéticas son transversales y se transmiten a la velocidad de propagación de la luz en dicho medio. señala cuál o cuáles no pertenecen al espectro electromagnético: a) Rayos gamma.La respuesta correcta es c). las únicas que no pertenecen al espectro electromagnético son las ondas sonoras. muy elevada. Dicha velocidad coincide con la velocidad de propagación de la luz en ese medio. Es necesario hacerlo. Los rayos X son ondas electromagnéticas y se utilizan ampliamente en medicina para obtener imágenes (radiografías) del interior de nuestro cuerpo. Contesta a las preguntas que siguen. b). Para cualquier onda electromagnética. Ondas electromagnéticas 8 . b) Radiación infrarroja. ya que puede dañar al organismo que se irradia con ella. independientemente del tipo de onda electromagnética Unidad 10. c) Luz de color verde. que recibimos directamente del Sol? Los rayos X son ondas que. tanto en tiempo de exposición como en localización del lugar concreto que se expone a la radiación. sobre todo de sus partes duras. en vez de utilizar rayos X. por tanto. por tanto. ya que la luz comprende el especto visible de las o. son capaces de transmitir gran cantidad de energía. además. las ondas de mayor frecuencia son los rayos X. de utilizar ondas electromagnéticas de muy alta frecuencia. ¿Por qué. son capaces de atravesar nuestro cuerpo e impresionar posteriormente una placa fotográfica. debido a su frecuencia. que es constante y característica de cada medio.m. d) Onda de TV. Su frecuencia es menor que la del espectro infrarrojo. no utilizamos otro tipo de ondas electromagnéticas. Las ondas de menor frecuencia son las de TV. referidas a los siguientes tipos de onda: a) Rayos X. como los rayos UVA o los rayos infrarrojos. Se trata. que no recibimos directamente del Sol.e. 6. e) Luz de color violeta. se cumple la siguiente relación: λ= c f siendo c la velocidad de propagación de la luz en el medio.La velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas en un medio es constante y no depende de la frecuencia. 5. de modo controlado. lo que supone un coste elevadísimo en equipos. Su frecuencia es superior a la de la radiación comprendida en el espectro visible. De hecho. No debemos olvidar que una radiación muy energética entraña riesgos que pueden ser muy elevados. Los rayos UVA (ultravioleta-A) o cualquier otra radiación de menor frecuencia no poseen suficiente energía para conseguir ese propósito. ¿A cuál de ellos le corresponde mayor frecuencia? ¿Para cuál de ellos es menor la frecuencia? ¿A cuál le corresponde mayor longitud de onda? ¿A cuál le corresponde menor longitud de onda? De las citadas. La respuesta correcta es. A diferencia de ello. b) Permanece en reposo. que será. La respuesta correcta es c). para producir una o. 10. En este caso. 8. c) Acelera. las de mayor frecuencia son los rayos X. es necesario que una carga eléctrica se mueva con velocidad uniforme. que las ondas de mayor longitud de onda son las de TV. 9. Para que se produzca un campo magnético. una onda electromagnética es la forma en que irradia energía una carga acelerada para establecer el campo. c) Rayos X. la longitud de onda y la frecuencia son inversamente proporcionales. De las ondas propuestas. ¿a cuál de los siguientes tipos de onda le corresponde mayor energía? a) Ondas de radio de baja frecuencia. se transmite al espacio cierta cantidad de energía para establecer el campo. los rayos X.m. b) Radiación infrarroja. d) Rayos ultravioleta. por tanto. la onda electromagnética. el campo magnético decrece por detrás de la carga en menor medida de lo que aumenta por delante de ella.e. Para que una carga genere una onda electromagnética es necesario que acelere. Como ya hemos indicado en la pregunta anterior. c) Acelera. La transmisión de dicha energía es. Cuanto mayor es la frecuencia de una onda. 7. Por tanto. y las de menor longitud de onda. e) Ondas de radio de alta frecuencia. Una carga. La respuesta correcta es c). Una carga produce un campo magnético si: a) Se mueve con velocidad constante. De este modo. Si tenemos en cuenta tan solo aspectos relacionados con la frecuencia. es preciso que la carga acelere. mayor es la cantidad de energía que transmite. Una carga produce una onda electromagnética si: a) Se mueve con velocidad constante. la radiación que más energía transmite.que se propague. precisamente. Unidad 10. ¿Qué diferencia existe entre un campo magnético y una onda electromagnética? El campo magnético es una propiedad que adquiere cierta zona del espacio y que se manifiesta en la capacidad de ejercer fuerza a distancia sobre ciertas sustancias. crea a su alrededor un campo magnético. por el hecho de moverse con velocidad uniforme. Podemos afirmar. b) Permanece en reposo. La respuesta correcta es a). Ondas electromagnéticas 9 . por tanto. haciendo posible la visión de los objetos. Esta forma de transferir energía (como calor) es crucial para nuestra supervivencia. Por tanto. es decir. en consecuencia. a la detección de sistemas que actúen como foco caliente o como foco frío respecto al entorno en el que se encuentran. se mueve con velocidad constante por un acelerador circular y por un acelerador lineal. El cuerpo humano es un potente emisor de cierto tipo de ondas electromagnéticas. Sin embargo. De este modo. ¿A qué tipo de ondas nos estamos refiriendo? La transmisión de dicha onda es fundamental para nuestra supervivencia. es captada por los cristales de estas gafas. en ausencia de luz. y su imagen aparece más nítida. Las gafas de visión nocturna permiten distinguir. a) ¿Qué tipo de ondas detectan estas gafas? b) Formula una hipótesis que pueda explicar el funcionamiento de esas gafas. manteniéndola en el nivel que requiere el desarrollo de los mecanismos y de las actividades vitales. siempre que sea acelerada.e. Existen también aceleradores lineales. Este tipo de ondas está asociado a la transferencia de energía en forma de calor por radiación. y. Lógicamente. por ejemplo. En un acelerador circular. a) La radiación que detectan estas gafas son los rayos infrarrojos. los cuerpos que se encuentran a mayor temperatura emiten mayor cantidad de radiación infrarroja. aumentando la velocidad con que se mueve. ¿En cuál de los dos aceleradores se generará una onda electromagnética asociada al movimiento de la partícula? ¿Por qué? La carga producirá una o. que se emite como radiación infrarroja. a una aceleración centrípeta. 13. Estos dispositivos limitan su utilidad a la detección de sistemas que emitan radiación infrarroja. b) Las gafas de visión nocturna poseen cristales que son sensibles a la radiación infrarroja. cuya frecuencia es inferior a la de la radiación visible. en los que las partículas se aceleran mientras recorren un largo tramo recto. ¿Por qué? El cuerpo humano emite ondas infrarrojas. En los aceleradores circulares de partículas. en ambos tipos de acelerador se producirán ondas electromagnéticas. la energía que desprenden los cuerpos en forma de calor. 12. estas se aceleran mientras dan vueltas. al describir una trayectoria circular estará sometida a una fuerza centrípeta. transmiten la energía en forma de calor. un electrón. Supón que una misma carga eléctrica. Unidad 10.m. Las cámaras de visión nocturna detectan esta radiación y nos ofrecen una “silueta térmica” de los objetos. en este también es acelerada. Ondas electromagnéticas 10 . las siluetas y los contornos de los objetos.11. Los rayos infrarrojos. sobre todo de aquellos que son seres vivos o en los que viven estos. ya que se pretende comunicarle energía. dado que regula la temperatura corporal. aunque la carga se mueva con velocidad uniforme. Esto no ocurre en un acelerador lineal. el campo eléctrico y el campo magnético: a) Vibran en fase. Y E B X Z 15. El otro cuarto de longitud de onda del dipolo se forma por reflexión en el suelo o sobre el propio vehículo. Los campos magnético y eléctrico vibran en fase. d) Vibran desfasados un ángulo cualquiera. En una onda electromagnética. La respuesta correcta es a). comprendido entre 0° y 90°. Su estado de vibración es el que se muestra en la figura. En el caso de las antenas de los receptores de radio. Ten en cuenta que: • Dos movimientos ondulatorios vibran en cuadratura si uno está desfasado 90° respecto al otro. si se trata de un autorradio. b) Vibran en cuadratura. Ondas electromagnéticas 11 . • Dos movimientos ondulatorios vibran en oposición de fase si uno está desfasado 180º respecto al otro. c) Vibran en oposición de fase.14. λ/4 ANTENA DE RADIO Unidad 10. Explica por qué es más larga la varilla de una antena de radio que las varillas de una antena para la recepción de una señal de televisión. la varilla mide un cuarto de la longitud de onda máxima que se puede recibir con el aparato. a) Las barras de la antena son metálicas porque deben ser capaces de emitir o de recibir una onda electromagnética. Unidad 10. El montaje equivale a un condensador cuyas placas son las barras metálicas y cuyo dieléctrico es el aire. 16. Si no te resulta fácil conseguir esa información. En un horno común. no ocurre lo mismo en un horno de microondas. 17. cuanto mayor es la masa de alimento que pretendemos cocinar. para lo cual se necesita que se produzcan corrientes eléctricas en las varillas que forman dicha antena. por tanto. Ondas electromagnéticas 12 . b) Una antena de televisión consiste en un eje sobre el que se sitúan parejas de varillas conductoras. La radiación infrarroja calienta el recinto del horno. De este modo. la comida se cocina a partir del calor emitido por la radiación infrarroja. En un horno común. por conducción. pregunta a tu profesor o a tu profesora.Recuerda que. precisamente. en un horno microondas la frecuencia de las ondas que se emiten es. las ondas de radio tienen menor frecuencia que las de TV. el calor se transmite hacia las zonas interiores. Por ello. un horno común deja la comida “sin hacer” por dentro. separadas por el eje de la antena. en el que el tiempo de cocción está directamente relacionado con la cantidad de comida que queremos preparar. especialmente la longitud. ya que se necesita mayor cantidad de energía y. más tiempo debemos esperar. Explica el motivo. Con esos datos. toda la masa del alimento se calienta a la vez. Ello explica que la varilla de la antena de radio sea de mayor longitud que las varillas de la antena de TV. forman un dipolo. de las barras metálicas dispuestas transversalmente sobre el eje de la antena? Justifica tu respuesta. El alimento recibe la radiación desde fuera y. Busca información acerca de cómo se propaga una señal de televisión. la que hace resonar las moléculas de agua que todos los alimentos contienen en su interior. teniendo en cuenta la forma en que se calienta la comida en cada uno de estos dos hornos. en ocasiones. mayor cantidad de microondas emitidas para cocer o asar el alimento. las dos varillas alineadas. Sin embargo. de forma que su temperatura global sube progresivamente hasta que es apta para la cocción de los alimentos. en el espectro electromagnético. En cambio. debido al aumento que experimenta la temperatura del agua que contiene. el tiempo de cocción es prácticamente independiente de la cantidad de comida que se cocina. su longitud de onda es mayor. En cada pareja. Por eso. por tanto. y. contesta a las siguientes preguntas: a) ¿Por qué son de metal las barras de la antena? b) ¿Cómo funciona una antena receptora de señales de televisión? c) ¿Importa el tamaño. Las antenas son dispositivos imprescindibles para una transmisión y una recepción eficiente de ondas de radio o de televisión. 750] nm. La velocidad de la luz en el aire es 3 108 m/s. Ondas electromagnéticas 13 . Las longitudes de onda del espectro visible que nuestro ojo reconoce como color rojo comprenden el intervalo [600. Una emisora de radio funciona en frecuencia modulada.λ/4 ANTENA DE TV Los campos eléctricos oscilantes. 19. generados por la recepción de la onda electromagnética. Las ondas de radio son ondas electromagnéticas. Por tanto. NOTA: la resolución de este ejercicio se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. 4 ⋅ 10 6 NOTA: la resolución de este ejercicio se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. inducen corrientes a lo largo de las varillas de la antena que se traducen en una señal eléctrica que transporta.4 MHz. Si la sintonizamos en 100. 99 m f 100. Por tanto: λ= c 3 ⋅ 10 8 →λ= = 2. cada varilla mide un cuarto de dicha longitud de onda máxima. se desplazan a la misma velocidad que la luz. Como tales. La frecuencia y la longitud de onda están relacionadas mediante la expresión: λ= c f Por tanto. EJERCICIOS 18. las frecuencias asociadas a las longitudes de onda que delimitan el intervalo correspondiente al color rojo son: f1 = c c 3 ⋅ 10 8 3 ⋅ 10 8 = = 5 ⋅ 10 14 Hz . los datos de la imagen y el sonido. Calcula el intervalo de frecuencias que corresponde a estas longitudes de onda. Unidad 10. codificados. calcula la longitud de onda con que emite. c) Una antena es un dipolo de media longitud de onda. f2 = = = 4 ⋅ 10 14 Hz −9 λ 1 600 ⋅ 10 λ 2 750 ⋅ 10 −9 El intervalo de frecuencias que corresponden al color rojo está comprendido entre 4 · 1014 y 5 · 1014 Hz. Ello significa que la longitud total de las dos varillas es la mitad de la longitud de onda máxima de las ondas electromagnéticas que puede recibir la antena. Busca en la bibliografía información acerca de la controversia que mantuvieron Huygens y Newton acerca de la naturaleza de la luz. ¿Son comparables estas dos velocidades? El índice de refracción de un medio es la relación entre la velocidad de la luz en el vacío. No deben faltar en él referencias a otros científicos que mantuvieran opiniones enfrentadas con la descripción de Newton acerca de la naturaleza de la luz. Compara las velocidades de propagación. principalmente. como es el caso. Con esta actividad se pretende que los alumnos y las alumnas redacten un breve informe en el que se profundice en el perfil científico de Newton y Huygens. la velocidad de propagación de la luz en el aire es: 3 · 108 c vluz (aire) = = = 3 · 108 m/s 1 naire La velocidad del sonido en el aire es: vsonido (aire) = 340 m/s La relación entre ambas velocidades es: vluz (aire) 3 · 108 = = 882 352. muchos otros científicos se mostraron reticentes a aceptar el modelo ondulatorio. NATURALEZA DE LA LUZ 1. en el aire. 2. Dado su gran prestigio en la época. 11. de la luz y del sonido. PROPAGACIÓN RECTILÍNEA DE LA LUZ 1. y la velocidad de la luz en el medio: c n = v Dado que el índice de refracción del aire es la unidad.9 veces la que le corresponde al sonido. la luz se propaga en el aire a una velocidad que es 882 352. por contradecir la hipótesis de Newton.9 340 vsonido (aire) Es decir. de Hooke. ¿Por qué se resistió tanto la mayoría de la comunidad científica a aceptar que la luz es una onda. de tipo electromagnético? Newton era partidario del carácter corpuscular de la luz.1.11 LA LUZ Y SUS PROPIEDADES 11. c = 3 · 108 m/s. Unidad 11. La luz y sus propiedades 1 .2. el tiempo que necesita la luz para llegar hasta la Tierra es: v =c= ∆s ∆s 150 ⋅ 10 9 → ∆t = = = 500 s = 8 min 20 s ∆t v 3 ⋅ 10 8 4. un tiempo después se oye el sonido de la carcasa que ha estallado. ya que la luz habrá de recorrer una distancia distinta dependiendo de la posición del satélite Io. Sin embargo. 3.3. podemos considerar que el intervalo de tiempo que transcurre entre la explosión y la llegada de su imagen a nuestros ojos es descreciable. podemos obtener la distancia a que nos encontramos del punto en que estalla una carcasa aplicando la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme: x v = → x = v · t → x = 340 · t m t En ella. Calcula el tiempo que tarda un rayo de luz en viajar desde el Sol a la Tierra. ya que la distancia Tierra-Júpiter es varios órdenes de magnitud superior a la distancia Júpiter-Io. prácticamente cero. n. Si t es el tiempo obtenido. REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA LUZ 1. la influencia es totalmente despreciable. El índice de refracción. c = 3 · 108 m · s−1. 150 millones de kilómetros. el intervalo de tiempo que transcurre entre la explosión y el instante en que el ruido de esta llega a nuestros oídos sí es apreciable. Teniendo en cuenta el valor de la velocidad de propagación de la luz en el aire. de un medio es la relación entre la velocidad de propagación de la luz en el vacío. El índice de refracción del agua respecto al aire es 4/3. el tiempo debe expresarse en segundos.2. Por tanto. ¿Qué se puede decir sobre la velocidad de la luz en el agua? Razona la respuesta. la medida no se alterará. 11. Sin embargo. c = 3 · 108 m/s. ¿Es significativa la influencia de la distancia que separa Io de Júpiter en las experiencias de Röemer? Sí que influye. Si disponemos de un cronómetro. La luz y sus propiedades 2 . y teniendo en cuenta que vsonido (aire) = 340 m/s. podemos obtener el tiempo que transcurre desde que se ve la luz hasta que el sonido de la explosión alcanza nuestros oídos. El diámetro de la órbita terrestre (distancia Sol-Tierra) es. Diseña un experimento que permita medir la distancia a la que te encuentras del punto en que estalla una carcasa. y la que le corresponde en dicho medio. aproximadamente. v: c n = v Unidad 11. Busca información respecto al diámetro de la órbita terrestre. Si vas a ver un castillo de fuegos artificiales podrás comprobar que se ve antes la luz de las carcasas cuando estallan y. Por tanto. De ese modo. La situación que propone el enunciado de la actividad es la que se muestra en la siguiente ilustración: rayo reflejado i i n1 = 1 n2 = 1.4. La luz y sus propiedades 3 .5.06° ni 2. El índice de refracción del diamante es 2. Al aplicar la ley de Snell de la refracción.25 · 108 m · s−1 4/3 2.4 · sen 90° = arcsen = 34. la velocidad de propagación de la luz en él es: vaire = c = 3 · 108 m · s−1. obtenemos el valor del ángulo límite: iL = nr · sen rˆ → sen ˆ iL = ni · sen ˆ →ˆ iL = arcsen nr · sen rˆ → ni nr · sen rˆ 1. sustituir los datos de que disponemos y operar.Por tanto: c vagua nagua nagua vaire naire = = = → vagua = vaire · c naire naire vagua nagua vaire Teniendo en cuenta que.33. ¿Cuál es el ángulo límite entre el diamante y el vidrio? El ángulo límite lo alcanzarán los rayos que pasen del diamante al vidrio (del material más refringente al menos refringente). al ser el índice de refracción del aire la unidad. la relación entre los rayos reflejado y refractado debe ser: i 180° − ˆ i − rˆ = 90° → rˆ = 90° − ˆ Unidad 11. obtenemos. Un rayo de luz monocromática que se propaga en el aire incide sobre la superficie del agua. Calcula el ángulo de incidencia sobre el agua para que el rayo reflejado sea perpendicular al rayo refractado.33 r ángulo entre el rayo reflejado y el refractado rayo refractado De acuerdo con ella. cuyo índice de refracción respecto al aire es 1. para la velocidad de la luz en el agua: 1 vagua = 3 · 108 · = 2. 1. el rayo refractado se alejará de la normal.5 3. y el de un vidrio. 556 · sen ˆ A N N' A i δ i–r r i' r' i'–r' A B C Al aplicarla a la segunda refracción. La luz y sus propiedades 4 . y teniendo en cuenta que Aˆ = 60° por tratarse de un prisma equilatero. resulta: i ' → sen ˆ i ' = 1.8 · sen [arcsen (60 − rˆ)] 1. Sea ˆ i el ángulo de incidencia. por tanto: i ' ) − (rˆ + rˆ') = (iˆ + ˆ i ' ) − Aˆ δ = (iˆ − rˆ) + (iˆ' − rˆ') = (iˆ + ˆ Si ponemos el ángulo de desviación en función de iˆ. LA DISPERSIÓN DE LA LUZ 1.4. Aplicando la ley de Snell a la primera refracción.06° 1 ˆ n1 n1 cos i 11.8.8 · sen [arcsen [60 − arcsen (0.8 · sen rˆ' = 1. obtenemos el resultado de la gráfica: Unidad 11. Calcula el ángulo de desviación mínima de un prisma equilátero cuyo índice de refracción es 1. Analiza todas las situaciones posibles. sustituir los datos y operar.Al aplicar la ley de Snell imponiendo la condición anterior.33 = tg ˆi = 2 → ˆi = arctg 2 = arctg = 53. obtenemos el valor del ángulo de incidencia solicitado: i = n2 · sen rˆ → sen ˆ i = n1 · sen ˆ n2 · sen rˆ n2 · sen (90° − ˆ i) n = = 2 · cos ˆi n1 n1 n1 n n sen ˆ i 1. resulta: i 1 · sen ˆ i = 1.556 · sen ˆ Al dar valores a ˆ i . resulta: i )]]} − Aˆ δ=ˆ i + arcsen {1.8 · sen rˆ → sen rˆ = 0.8 · sen rˆ' = 1 · sen ˆ El ángulo que mide la desviación del rayo será. pero no dispersión.Desviación del haz en un prisma equilátero (n = 1. a tu juicio. cuando el rayo sale de nuevo al aire) es igual al de incidencia. en el prisma que nos facilitan la desviación es mínima para un ángulo de incidencia de 64°. es decir. el índice de refracción de una sustancia también será función de la longitud de onda.8) Desviación del haz (grados) 85 80 75 70 65 60 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 Ángulo de incidencia (grados) Como se aprecia en la gráfica. Por tanto.32°. La luz y sus propiedades θ2 θ3 → sen θ1 = sen θ3 → θ1 = θ3 5 . 3. existen entre los fenómenos de refracción y dispersión de la luz. b) La luz no es monocromática. el ángulo de refracción que se obtiene (tras la segunda refracción. 2. mientras que en una sustancia material esa velocidad varía con la longitud de onda. debemos tener en cuenta que la velocidad de la luz en el vacío es igual para todas las longitudes de onda. Para explicar este fenómeno. Indica las diferencias que. Dado que la luz monocromática está contituida por ondas electromagnéticas de una sola longitud de onda. puede sufrir refracción. como se observa en la gráfica: c θ1 n θ2 c De acuerdo con ella: c · sen θ1 = n · sen θ2 n · sen θ2 = c · sen θ3 Unidad 11. ¿Puede un rayo de luz monocromática sufrir ambos fenómenos? El fenómeno de dispersión de la luz es un caso particular de refracción que se da cuando se cumplen estas dos condiciones: a) La luz se propaga en su medio material. y resulta ser de 68. ¿Por qué no se observa la dispersión de la luz blanca cuando atraviesa una lámina de vidrio de caras plano-paralelas? Al aplicar la ley de Snell a este fenómeno. en consecuencia. El sonido es una onda longitudinal y resulta imposible polarizarla. aparece como dominante. Sobre una superficie de cristal ennegrecida se graban dos líneas paralelas muy próximas. a) ¿Qué conclusión. pero como nuestro ojo es más sensible a este último. Sin embargo. y con el cielo despejado. debido al tamaño de las moléculas de aire. Explica por qué recibimos también luz de color azul de todo el cielo. una frecuencia). Las moléculas del aire dispersan los tonos azules y violetas en todas las direcciones. el color que más se dispersa es el violeta. Unidad 11.11. Para polarizar una onda. ¿Qué tipo de ondas pueden ser polarizadas? ¿Se puede polarizar una onda sonora? Justifica la respuesta.6.5. El hecho de que veamos el cielo de color azul se debe a la dispersión que experimenta la luz blanca proveniente del sol cuando atraviesa la atmósfera. pequeñas comparadas con la longitud de onda de los colores. puede comprobarse a partir de las dos experiencias anteriores? b) ¿Por qué están más separados los máximos de difracción en la segunda experiencia que en la primera? c) Indica un color que pueda corresponder a la luz que emite la segunda lámpara. los atardeceres tienen un tono rojo-anaranjado. que se trate de una onda transversal. seguido por el azul. 11. Como ya sabes. La luz y sus propiedades 6 . Por tanto. la nueva figura de difracción que se forma presenta una separación entre máximos mayor que en el supuesto anterior. cuanto más pequeña sea la longitud de onda. a) Cada rayo luminoso tiene asociada una longitud de onda (y. NATURALEZA TRANSVERSAL DE LAS ONDAS LUMINOSAS 1. Al sustituir la lámpara amarilla por otra que emite luz de otro color. es decir. Esto es debido a que en ellos la luz que proviene del Sol recorre una distancia mayor dentro de nuestra atmósfera. Al iluminar esta doble rendija con una lámpara que proporciona luz amarilla se ve la correspondiente figura de difracción. Durante el día. recibimos directamente la luz del Sol. y permiten que pasen los naranjas y rojos sin apenas dispersión. más se dispersará la luz. ESTUDIO EXPERIMENTAL DE LA DIFRACCIÓN 1. Este fenómeno se denomina “efecto Rayleigh”. acerca de la naturaleza de la luz. es preciso que la dirección de vibración sea perpendicular a la dirección de propagación. 2. formando una doble rendija. con lo que los tonos violetas y azules sufren una dispersión tan grande que no llegan a nuestros ojos. n1 A B C Las distancias que separan el rayo A del rayo B y este último del rayo C deben ser iguales. la longitud de onda de la radiación incidente es también mayor que la de la luz amarilla que incide en el primer caso. ESTUDIO EXPERIMENTAL DE LAS INTERFERENCIAS 1. en los puntos en que la iluminación es máxima se cumple la siguiente relación: d1 − d2 = n ⋅ λ y a⋅ = n⋅λ D siendo y la distancia entre el máximo central y el máximo que ocupa la posición n a derecha o izquierda. d1 − d2. c) Puede haberse iluminado con luz anaranjada o roja. ya que depende de la longitud de onda de la luz que incide sobre las rendijas. b) De acuerdo con la experiencia de Young.7.La distancia a la que se producen las interferencias. La luz y sus propiedades 7 . Determina la distancia que separa los rayos A y B y los rayos B y C. es mayor. Unidad 11. 11. la distancia entre máximos. la separación entre dos franjas brillantes será: ∆y = yn+ 1 − yn = (n + 1) ⋅ λ ⋅ D n ⋅ λ ⋅ D λ ⋅ D − = a a a Al utilizar la segunda fuente luminosa. la separación entre máximos es distinta en la figura de difracción que se produce en cada caso. ya que los ángulos de reflexión que se producen en el interior de la lámina de caras plano-paralelas son todos iguales. ya sean constructivas (puntos iluminados) o destructivas (puntos oscuros). depende de la longitud de onda. Un rayo de luz incide sobre una lámina de caras plano-paralelas como se indica en la figura. Por tanto. El índice de refracción del material que forma la lámina es n2 y se encuentra inmersa en un medio cuyo índice de refracción es n1. Por tanto. a las que corresponde una longitud de onda mayor que a la luz amarilla. al tratarse de reflexiones que se producen en un único medio. Por eso. Si el cuerpo refleja todas las longitudes de onda. parte de esta luz es absorbida y parte es reflejada. Averigua cómo se consigue el blanco de las pinturas o del papel. De este modo. el ángulo de refracción del rayo que procede del medio 1. este absorbe todas las longitudes de ondas excepto la correspondiente al rojo. iluminamos con luz blanca (luz solar) un tomate. podemos calcular la distancia PQ: n1 — — i PQ = QR = 2 · d · tg rˆ = 2 · d · tg arcsen · sen ˆ n2 La distancia. por tanto: n1 — i · cos ˆ i x = PQ · cos ˆ i = 2 · d · tg arcsen · sen ˆ n2 11. Cita algún objeto o alguna sustancia que refleje de modo uniforme la práctica totalidad del espectro luminoso. Las longitudes de onda que son reflejadas “dan color” al objeto. La luz y sus propiedades 8 . COLORIMETRÍA 1. vemos que podemos dividirlo en — dos triángulos rectángulos. aparecerá en nuestros ojos de color blanco. Unidad 11.i n1 n2 r r r r r d r r r P i i r P PQ/ 2 d r R Q x r PQ/ 2 r r A B C Q Este ángulo de reflexión interna es. a la vez. que separa los rayos A y B. que es reflejada. será. igual a la que separa los rayos B y C. Dato: en la composición de ambos productos se utilizan cantidades ingentes de óxido de titanio. 2. Si. Cuando la luz incide sobre un objeto. por ejemplo. como ocurre con el fondo de estas páginas.8. y podemos calcularlo aplicando la ley de Snell: n n sen ˆ i = 2 → rˆ = arcsen 1 · sen ˆi n2 sen rˆ n1 Si ahora prestamos atención al triángulo sombreado. x. 2. vamos añadiendo al agua los distintos pigmentos de las pinturas utilizadas. y puede llegar a ser negra si la cantidad de pintura es muy grande. Si queremos obtener una pintura de color azul. Se denomina así un fenómeno que hace que la máxima sensibilidad del ojo humano esté en 550 nm (amarilloverdoso) en visión diurna y en 505 nm (verde-azulado) en visión nocturna. 3. La luz reflejada por una superficie contendrá fracciones de todas las longitudes de ondas incidentes. el agua se vuelve gris. Para obtener el color blanco se utilizan pigmentos formados por óxidos de titanio. de modo que las reflejadas son casi inexistentes. MEZCLAS DE COLORES 1. ¿de qué color deberán ser los pigmentos que incorporemos a ella? Para obtener una pintura de color azul utilizaremos un pigmento que refleje las longitudes de onda correspondientes al azul y que absorba el resto. es decir. La luz y sus propiedades 9 . ¿Cómo es la mezcla de colores que se obtiene al superponer varios haces de luz de distinto color? ¿Y la que se obtiene al mezclar tintas de distintos colores? Cuando superponemos haces de luz de distinto color realizamos una mezcla aditiva de colores. El pigmento suele ser un polvo fino que o bien refleja toda la luz incidente. a medida que se van limpiando pinceles con distintos colores de pintura? Cuando limpiamos sucesivamente el pincel en el vaso con agua. Si lo que hacemos es mezclar tintas de distintos colores. Mientras anochece existe un período de tiempo en el que la visión de los colores es peor que durante el día o durante la noche. casi todas las longitudes de onda de la luz visible son absorbidas. El pigmento será. azul. del mismo color que la pintura.Las pinturas se fabrican disolviendo determinados compuestos químicos. 4. realizamos una mezcla sustractiva. o bien absorbe determinadas longitudes de onda. a los que llamamos pigmentos. produciendo el color blanco. 11. Unidad 11. puesto que las tintas actúan como filtros absorbiendo ciertas longitudes de onda y reflejando otras. Cuando el número de filtros es muy grande. mientras que es el azul el que lo parece de noche. en un disolvente líquido incoloro. y actuará como un filtro de este color. Al no reflejar la luz. produciendo el color correspondiente a las longitudes de onda que no son absorbidas. ¿A qué podemos atribuir ese fenómeno? ¿Qué colores vemos mejor de día? ¿Cuáles vemos mejor de noche? Este fenómeno lo produce el denominado “efecto Purkinje”. Estos pigmentos actúan como filtros de color. de plomo o de antimonio. por tanto. que absorben unas longitudes de onda y reflejan otras. De ahí que el amarillo parezca el color más luminoso de día. Al pintar con acuarelas. de cinc.9. ¿Por qué acaba siendo de color gris el agua. se suele tener un vaso con agua en el que se limpian los pinceles. Unidad 11. su índice de refracción sea distinto para cada una de ellas. Esto es lo que ocurre en el supuesto que plantea el enunciado. en el que más incómoda resulta la visión. Dispones de un prisma de cuarzo. La luz y sus propiedades 10 . como se muestra en la figura: i aire. el índice de refracción en una sustancia será también función de la longitud de onda. n1 = 1 agua. n2 = 1.33 r El índice de refracción del aire y del agua es: naire = 1 . Indica qué le ocurre a un rayo de luz blanca que incide con cualquier ángulo en una de sus caras. entonces: sen ˆ i > sen rˆ → ˆ i > rˆ 2. Por tanto. mientras que en una sustancia material. Cuando la luz pasa del aire al agua. De día. y de noche. ACTIVIDADES DE LA UNIDAD CUESTIONES 1. Debido a ello. los colores que mejor percibimos son los amarilloverdosos. el rayo refractado se acerca a la normal (perpendicular a la superficie de separación de ambos medios). por tanto. por tanto. en cualquier sustancia en la que varíe la velocidad de propagación con la longitud de onda y. varía con la longitud de onda. menor o igual que el ángulo de incidencia? Explica razonadamente la respuesta y dibuja el diagrama de rayos. y. La velocidad de la luz en el vacío es igual para todas las longitudes de onda. Cuando la luz pasa del aire al agua.33 Al aplicar la ley de Snell de la refracción: i = nagua · sen rˆ naire · sen ˆ Como nagua > naire.El crepúsculo es el intervalo de tiempo en el que no predomina ninguna de estas dos situaciones que se han descrito. ¿el ángulo de refracción es mayor. ya que el ojo humano no está adaptado a esa situación intermedia con la misma eficacia con que lo está a la situación de pleno día o de noche cerrada. los azulverdosos. justificando físicamente los fenómenos que ocurren. nagua = 1. como un prisma de cuarzo. la luz blanca se dispersará. al que denominamos ángulo límite. rˆ aumenta. En ese caso. r n2 90° n1 i iL ϕ > iL P Unidad 11. indica cómo se determina.La dispersión de la luz blanca mediante un prisma se muestra en la siguiente ilustración: Luz blanca δ Rojo δ Violeta Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Violeta 3. se refleja y sigue desplazándose por el interior del primer medio. De acuerdo con las condiciones del problema. ˆi L. Tras la reflexión. para el cual sen rˆ = 90°. existe un ángulo de incidencia. el seno del ángulo de refracción (calculado de acuerdo con la ley de Snell) es mayor que la unidad. lo cual es matemáticamente imposible. En ese caso. Si el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo límite. ¿Qué se entiende por refracción de la luz? Explica qué es el ángulo límite y. un rayo de luz emitido con ese ángulo sería tangente a la superficie que separa los dos medios. Supongamos ahora que tenemos un objeto en un medio y emite rayos de luz hacia otro medio cuyo índice de refracción es menor (n1 > n2). La refracción es el cambio de dirección de propagación que experimenta un rayo de luz cuando pasa de un medio a otro (siempre que el ángulo de incidencia sea distinto de 90°). un rayo que incide con un ángulo superior al ángulo límite no se refracta. de acuerdo con la ley de Snell: n1 sen rˆ = sen ˆ i → sen rˆ > sen ˆ i n2 A medida que aumenta ˆ i . Por eso decimos que la reflexión es total. La luz y sus propiedades 11 . siendo el ángulo de refracción siempre mayor que el ángulo de incidencia. utilizando un diagrama de rayos. Cuanto menor es una frecuencia. la imagen se forma por reflexión. su frecuencia mayor. por tanto. ¿por qué no nos vemos deformados al mirarnos en un espejo plano. veamos la imagen del mismo tamaño que el objeto que la proyecta. La luz y sus propiedades Imagen 12 . se desviarán más y alcanzarán el punto C. Teniendo esto en cuenta. se enfoca en un punto P. que contiene todo el espectro de frecuencias. b) Hemos de realizarlo con una luz blanca. 5. Por tanto. al ser proyectados hacia atrás.4. a los que corresponde mayor longitud de onda y menor frecuencia. cuya longitud de onda es menor y. En el espectro luminoso. al introducir un palo en el agua lo vemos deformado. al tratarse de una reflexión en una superficie plana. se desvían menos y van a parar al punto B. los colores cercanos al rojo. Los rayos de luz que inciden sobre la superficie del espejo salen reflejados con un ángulo igual al de incidencia. mientras que los colores próximos al violeta. si nuestra imagen se forma al otro lado del medio (en el vidrio)? La razón es que. Un haz de luz blanca pasa a través de una rendija y. en un espejo. los rayos de luz que llegan a C sufren mayor refracción que los que llegan a B. para poder apreciar el fenómeno. Son estos rayos reflejados los que. P A B C D a) ¿Qué color vemos en B? ¿Y en C ? b) ¿Qué fuente luminosa es adecuada para realizar este experimento? a) Como se aprecia en la figura. Ello explica que. Si colocamos un prisma en la trayectoria del rayo. no por refracción. como se muestra en el siguiente ejemplo: Espejo plano Observador Objeto Unidad 11. con ayuda de una lente. De acuerdo con las leyes de la refracción. vemos sobre la pantalla el espectro visible en la zona comprendida entre los puntos B y C. forman una imagen virtual. no todas las frecuencias sufren la misma refracción. menor refracción sufre. verde y rojo. si proyectamos el haz sobre una pantalla de color amarillo veremos un círculo de color __________. vemos un círculo de color __________. b) Cuando proyectamos luz roja y luz verde sobre una pantalla blanca. si proyectamos el haz sobre una pantalla de color amarillo. veremos un círculo de color __________. veremos un círculo de color anaranjado. veremos un círculo de color _________. veremos un círculo de color blanco. e) Si proyectamos un haz de luz verde sobre una pantalla de color verde. haciendo que coincidan sus haces. c) Cuando proyectamos los tres colores primarios sobre una pantalla blanca. 7. haciendo que coincidan sus haces. d) En el supuesto anterior. no sucede así. estudiaremos las leyes que rigen la formación de imágenes en los espejos. veremos un círculo de color __________. b) Cuando proyectamos una luz roja y una luz amarilla sobre una pantalla blanca. d) En el supuesto anterior. NOTA: Veremos color blanco solo si las tres luces son de la misma intensidad. veremos un círculo de color __________. b) Cuando proyectamos luz roja y luz verde sobre una pantalla blanca. haciendo que coincidan sus haces. veremos un círculo de color amarillo. e) Si proyectamos un haz de luz verde sobre una pantalla de color verde. magenta y amarillo. haciendo que coincidan sus haces.Más adelante. haciendo que coincidan sus haces. Completa las frases siguientes: a) Los colores secundarios son _____________. veremos un círculo de color __________ y si proyectamos ese mismo haz sobre una pantalla de color azul veremos un círculo de color __________. si proyectamos el haz sobre una pantalla de color amarillo veremos un círculo de color __________. ________ y ________. a) Los colores secundarios son cian. Si alguna de ellas predomina sobre las demás. Completa las frases siguientes: a) Los colores primarios son ________________. La luz y sus propiedades 13 . c) Cuando proyectamos los tres colores primarios sobre una pantalla blanca. en la unidad 12. a) Los colores primarios son azul. haciendo que coincidan sus haces. d) En el supuesto anterior. ya que estamos ante una mezcla aditiva de colores. haciendo que coincidan sus haces. c) Cuando proyectamos los tres colores secundarios sobre una pantalla blanca. e) Si proyectamos un haz de luz roja sobre una pantalla de color rojo. b) Cuando proyectamos una luz roja y una luz amarilla sobre una pantalla blanca. vemos un círculo de color amarillo. ________ y ________. 6. veremos un círculo de color verde. Unidad 11. como estudiamos en la unidad 3. a diferencia de la velocidad de propagación o la longitud de onda. veremos un círculo de color negro. la luz blanca se “descompone” en los distintos colores del espectro visible. distinguimos las formas de los objetos. El arco iris se produce cuando las gotas de lluvia que quedan en suspensión en el aire son iluminadas por luz blanca. ¿Puedes explicarlo? Unidad 11. 9. al pasar de un medio a otro con diferente índice de refracción. la percibimos del mismo color. Sin embargo. a) Las propiedades de la luz que explican la formación del arco iris son la reflexión y la refracción.c) Cuando proyectamos los tres colores secundarios sobre una pantalla blanca. veremos un círculo de color amarillo. dando lugar al arco iris. La luz visible es un tipo de onda electromagnética. no distinguimos los colores. y si proyectamos ese mismo haz sobre una pantalla de color azul. esta actúa como si se tratase de un prisma. ¿Cuál de las características de la onda es la que permite al sentido de la vista diferenciar los colores? Explica cómo es que la luz. Los rayos son refractados cuando entran por la parte superior de la gota. Por esta razón percibimos la luz del mismo color. 8. si proyectamos el haz sobre una pantalla de color amarillo. e) Si proyectamos un haz de luz roja sobre una pantalla de color rojo. independiente de las características del medio. La luz y sus propiedades 14 . a) ¿Qué propiedades de la luz explican la formación del arco iris? b) Explica. Cuando intentamos ver en una zona de penumbra o en condiciones de luz poco intensa. qué ocurre cuando se ilumina una gota de agua con un haz de luz blanca. La característica de la onda que nos permite diferenciar los colores es la frecuencia que. son reflejados por la parte posterior y refractados de nuevo al salir. veremos un círculo de color blanco. veremos un círculo de color rojo. aunque cambie de medio de propagación. es propia de cada onda. como se muestra en la ilustración: Rayo de luz blanca Gota de agua 10. b) Cuando un haz de luz blanca que proviene del Sol ilumina una gota de lluvia. De esta forma. luego. haciendo que coincidan sus haces. d) En el supuesto anterior. con ayuda de un esquema y con lápices de colores. los rayos de luz que llegan hasta nuestros ojos recorren una distancia mayor por el interior de la atmósfera que cuando el Sol se encuentra en el cenit. Los bastones son sensibles a la intensidad luminosa y los conos son sensibles a las diferentes longitudes de onda. El vidrio es un material frágil. Los cables de fibra óptica están formados por finos haces de fibras de vidrio fundido. Teniendo en cuenta que la intensidad de luz es menor durante la noche que mientras oscurece. por lo que son estos últimos los que distinguen los colores. de forma que tan solo llega radiación de colores naranja y rojo. La luz y sus propiedades 15 . de datos entre redes de computadores. Ventajas que presenta el uso de la fibra óptica: 1. en un espacio reducido. una eleUnidad 11. Sin embargo. Cuando el cable se curva. la luz se refleja en la pared interior del cable de forma total. también ve mejor durante la noche que mientras dura el crepúsculo. Indica sus ventajas e inconvenientes. La cantidad de información que se puede enviar por cualquier cable es limitada. 12. explicado en la página 283 del libro del alumno y en la respuesta de la actividad 4 del epígrafe 11. quedando asegurada la transmisión de la información sin que importe el trazado del cable. El Sol se ve más grande cuando amanece o anochece que a mediodía. La principal finalidad de la fibra óptica es la transmisión de información por medio de pulsos de luz. Los pulsos de luz son una forma de codificar la información. Sin embargo. ¿cómo explicas este fenómeno? Este fenómeno se debe al “efecto Purkinje”. el cable de fibra óptica proporciona. Un conductor ve mejor durante el día que durante la noche. se convierte en un material flexible y resistente. siendo su color más amarillo a lo largo del día que durante la salida o la puesta de Sol. azul. Este sistema de transmisión de información tiene muchas aplicaciones: transmisión de señales telefónicas. ¿Qué son los cables de fibra óptica? Explica por qué “no escapa” la luz a través de las paredes de la fibra.Dentro del ojo humano. de televisión. el Sol siempre emite la misma radiación luminosa. ¿Puedes explicar por qué ocurre ese fenómeno? Cuando el Sol se pone. que reciben el nombre de conos y bastones. en este mismo solucionario. Este fenómeno se conoce como reflexión total interna. Ello hace que la radiación luminosa de color violeta. la retina posee dos tipos de células receptoras que son sensibles a la luz. al igual que los pulsos eléctricos que se transmiten a través del cable del teléfono son una forma de codificar la voz. 11. La luz que penetra dentro de la fibra de vidrio se transmite a través de ella. distinguiendo sus formas. Sin embargo.9. 13. etc. mientras que los bastones son capaces de discriminar objetos en situaciones en las que la iluminación es escasa. pero cuando se funde y se trabaja en fibras. Señala alguna aplicación práctica que haya sido desarrollada con este tipo de materiales. verde o amarillo se disperse antes de llegar a nuestros ojos (estas longitudes de onda se curvan más al refractarse). 3.286 · 1014 Hz f1 = = λ1 700 · 10−9 c 3 · 108 f2 = = = 7. qué ocurre cuando se ilumina una gota de agua con un haz de luz blanca. a la vez que posibilita la utilización de dicho soporte por parte de un gran número de usuarios. la velocidad de propagación de una onda electromagnética es siempre la misma.e. podemos llegar a ver un doble arco iris.5 · 1014 Hz λ2 400 · 10−9 15.m. Considera como espectro visible al comprendido en el intervalo [400. sin que esta dependa de la frecuencia de la onda. A escala nacional. el valor que corresponde a la frecuencia es: c c = λ · f → f = λ Por tanto. Explica. que solo está instalada en las grandes ciudades y que no se utiliza de forma masiva (2001). Será preciso esperar algunos años hasta que su uso se normalice. que los cables de fibra óptica tienen mayor “ancho de banda” que los cables de cobre convencionales utilizados en telefonía. Decimos. Es una tecnología en expansión. La luz puede desplazarse por el cable más de un kilómetro sin perder apenas potencia. En el aire y en el vacío la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas (o. Las pérdidas en un cable de fibra óptica son mínimas. 2.e. Si conocemos la longitud de onda y la velocidad con que se propaga una o. Para un medio concreto. los tendidos generales no se encuentran totalmente desarrollados.. Los rayos son refractados cuando entran por la parte Unidad 11. El coste de producción de los cables es elevado. El arco iris se produce cuando las gotas de lluvia que quedan suspendidas en el aire son iluminadas con luz blanca. estando invertidos los colores del arco iris externo respecto a los que se ven en el arco iris interno. Si la cantidad de gotas de lluvia en suspensión es considerable. 700] nm. esta actúa como si se tratase de un prisma. EJERCICIOS 14. con ayuda de un esquema y con lápices de colores. el rango de frecuencias que corresponde al espectro visible es: c 3 · 108 = 4.vada capacidad de transmisión de información (miles de veces superior a la de un cable de cobre tradicional). por tanto. Calcula el rango de frecuencias que corresponde a la radiación visible.) es: 3 · 108 m · s−1. justificando que se forme un doble arco iris.m. La luz y sus propiedades 16 . 2. Inconvenientes que presenta esta tecnología en la actualidad: 1. Cuando un haz de luz blanca procedente del Sol ilumina una gota de lluvia. n1. De esa forma. la luz blanca se “descompone” en los distintos colores del espectro visible. por último.5 v v1 12 · 10 Unidad 11.superior de la gota. El arco iris secundario es el resultado de dos reflexiones y se forma en el cielo por encima del arco iris primario. Los esquemas de formación del arco iris primario y secundario son los que se muestras en la siguiente ilustración: ARCO PRIMARIO ARCO SECUNDARIO Luz blanca Azu l Rojo lo aril Am ari jo Am Ro llo Az ul Luz blanca 16. y. Determina el ángulo a partir del cual se produce la reflexión total entre el aire y un medio en el que la luz viaja a 120 000 km s−1. con el interior rojo y el exterior violeta. n2. el orden en que se disponen los colores está invertido respecto al orden en que se disponen en el arco iris primario. formándose dos o más arcos. Por tanto: c c 3 · 108 n = → n1 = = 7 = 2. son reflejados en su interior. pues en cada reflexión la luz pierde intensidad. Aplicando la ley de Snell de la refracción obtenemos la expresión que nos permite calcularlo: n2 n2 iL = n2 · sen 90° → sen ˆ i L = → ˆ iL = arcsen n1 · sen ˆ n1 n1 Para calcular su valor necesitamos conocer el índice de refracción del aire. son refractados de nuevo al salir. Este último lo obtenemos teniendo en cuenta la definición de índice de refracción. En ocasiones se producen dos o más reflexiones dentro de la gota. Los colores de este arco no son tan brillantes como los del primario. En el arco iris secundario. El ángulo límite es el ángulo de incidencia al que corresponde un índice de refracción de 90°. que es la relación entre la velocidad de la luz en el vacío y la que corresponde al medio en cuestión. La luz y sus propiedades 17 . y el que corresponde al medio en el que la luz viaja a 120 000 km · s−1. dando lugar al arco iris. posteriormente. que es la unidad. Este arco iris se denomina “arco iris primario”. 58° 2.En consecuencia. Datos: c = 300 000 km s−1 nagua = 1. Calcula: a) La dirección que tendrá el rayo luminoso al propagarse dentro del agua.33 naire = 1 a) La dirección del rayo tras refractarse la obtenemos aplicando la ley de Snell de la refracción: i = nagua · sen rˆ → sen rˆ = naire · sen ˆ → rˆ = arcsen naire · sen ˆ i → nagua naire · sen ˆ i sen 45° = arcsen 1 · = 32. el rayo se desvía. acercándose a la normal. Calcula el ángulo límite para la refracción y el valor de nagua para un rayo de luz que pasa del aire al agua. b) De acuerdo con la definición de índice de refracción: c 3 · 108 c nagua = → vagua = = = 2.5° 40° 28° 50° 35° 60° 40.12° 1. de acuerdo con la tabla de datos: Ángulo en aire Ángulo en agua 10° 8° 20° 15. el valor del ángulo límite es: n2 1 iL = arcsen = arcsen = 23. Un rayo de luz se propaga en el aire e incide en una cubeta llena de agua. b) La velocidad de propagación de la luz en el agua.5° 30° 22.33 vagua nagua 18. La luz y sus propiedades 18 .33 nagua Por tanto. formando un ángulo de 45° con la superficie de separación del agua.5° 70° 45° 80° 50° La segunda ley de Snell para la refracción establece la relación: n sen ˆ i = 2 = n = cte sen rˆ n1 Unidad 11.26 · 108 m · s−1 1.5 n1 17. en la que n1 y n2 son los índices de refracción de los dos medios.329 80° 50° 1. 19. nazul = 1.62. Si aplicamos la segunda ley de Snell. De este modo. los valores son prácticamente constantes. ¿Qué ángulo formarán entre sí en el interior del vidrio los rayos rojo y azul? Datos: nrojo = 1. en el caso de un rayo de luz que pasa del aire al agua no existe el ángulo límite de refracción. Comprobemos si se cumple la ley de Snell de la refracción: Ángulo en el aire (iˆ) Ángulo en el agua (rˆ) Índice de refracción (n) 10° 8° 1.280 30° 22. 311 El ángulo límite es el ángulo de incidencia a partir del cual el rayo no se refracta para pasar al segundo medio. en este caso el agua. índice de refracción del agua. al ser mayor el índice de refracción del segundo medio.336 60° 40. resulta: n2 n2 n2 sen ˆ iL n2 = → sen ˆiL = · sen 90° = → ˆiL = arcsen n1 n1 n1 sen rˆ n1 Para que exista ángulo límite.671.369 50° 35° 1.5° 1.286 Como se aprecia. Las pequeñas diferencias que obtenemos pueden ser atribuidas al proceso de medida o a aproximaciones realizadas en la medida de los respectivos ángulos de incidencia y de refracción.248 20° 15.5° 1. Por tanto. La luz y sus propiedades 19 . Adoptaremos como valor de n. el índice de refracción del segundo medio ha de ser menor que el del primer medio. respecto a la normal. el cociente entre ambos índices será menor que la unidad y existirá un ángulo de incidencia que haga que se cumpla la expresión anterior.333 70° 45° 1. naire = 1 Unidad 11. la media de los resultados obtenidos: n= ∑ ni 8 = 1.5° 1. Por tanto.307 40° 28° 1. Un rayo de luz blanca incide desde el aire sobre una lámina de vidrio con un ángulo de incidencia de 30°. el ángulo con que sale el rayo refractado es 90°. y sale paralelo a la superficie de separación de ambos medios. 671 nazul naire · sen ˆ i 1 · sen 30° naire · sen ˆi = nrojo · sen ˆrrojo → ˆrrojo = arcsen = arcsen = 17. el ángulo que formarán entre sí ambos rayos será: α = rˆrojo − rˆazul = 17. Calcula el ángulo que formarán entre sí los rayos reflejado y refractado. La gráfica que representa los rayos incidentes. se refracta alejándose de la normal. Recuerda que el índice de refracción de un medio depende ligeramente de la longitud de onda de la luz que se refracta.41° = 0. iˆL. 30°. Un rayo luminoso que se propaga en el aire incide sobre el agua de un estanque con un ángulo de 30°. En el caso del enunciado tenemos. el ángulo que formarán entre sí los rayos reflejado y refractado es: ϕ = 180° − 30° − 22.62 nrojo Por tanto. La luz y sus propiedades 20 . como se demuestra a continuación: naire · sen ˆ i 1 · sen 30° naire · sen ˆi = nazul · sen ˆrazul → ˆrazul = arcsen = arcsen = 17. reflejado y refractado es la siguiente: rayo reflejado 30° 30° ϕ = 180° – 30° – 22. ¿a partir de qué valor del ángulo de incidencia se presentará el fenómeno de reflexión total? Dato: Índice de refracción del agua = 4/3 Calculemos en primer lugar.41° 1.98° Cuando un rayo de luz monocromática pasa de un medio (agua) a otro (aire) menos refringente.02° Por tanto. se desviarán más los rayos de longitud de onda más corta (es decir. es el ánUnidad 11.98° rayo refractado 22. se desviará más el azul que el rojo). el ángulo refractado. de acuerdo con la ley de Snell de la refracción. El ángulo límite. rˆ: n1 · sen ˆ i = n2 · sen rˆ → rˆ = arcsen n1 · sen ˆ i 1 · sen 30° = arcsen = 22. por tanto.02° n2 4/3 De acuerdo con la ley de Snell de la reflexión. Si el rayo luminoso se propagase desde el agua hacia el aire.02° = 127. valdrá.97° − 17.Para resolver este ejercicio aplicaremos la ley de Snell de la refracción.57° 20. En la dispersión que se produce dentro de la lámina de vidrio. los valores del índice de refracción que presenta para el rojo y el azul. el ángulo de reflexión es igual al de incidencia. para el vidrio.98° 1.02° = 127. El círculo luminoso lo forman los rayos que inciden con un ángulo menor que este ángulo límite y. es de 90°.6° = 1. nagua = — 3 d F Según se aprecia en la ilustración. obtenemos el valor del ángulo límite.59° 4/3 n1 21. cuyo índice de refracción es n = 4/3. El foco emite luz en todas direcciones. los rayos de luz son reflejados completamente. naire = 1 90° i iL 4 agua. Un foco luminoso puntual se encuentra situado a un metro de profundidad. debido a ello. el aire. en el fondo de un estanque lleno de agua. alejándose de la normal a dicha superficie de separación: R r aire. el radio del círculo luminoso resulta: R tg iˆL = → R = d · tg iˆL = 1 · tg 48. son transmitidos al otro medio.13 m d NOTA: la resolución de este ejercicio se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. Explica brevemente este fenómeno y calcula el radio R del círculo luminoso. rˆ. Los rayos de luz que proceden del foco luminoso situado en el fondo del estanque se refractan al llegar a la superficie de separación entre el agua y el aire. A partir de este ángulo límite. por tanto. existe un ángulo límite de incidencia para el cual el ángulo que forma el rayo refractado con la normal es 90°. y teniendo en cuenta los datos de la figura.gulo de incidencia para el que el ángulo de infracción. obtenemos el valor del primero: i L = n2 · sen rˆ → iL = arcsen n1 · sen ˆ n2 · sen rˆ 1 · sen 90° = arcsen = 48. Al imponer esta condición en la aplicación de la segunda ley de Snell. Aplicando la ley de Snell. en la superficie del agua se forma un círculo luminoso de radio R. La luz y sus propiedades 21 . ˆ iL: n1 · sen iˆ = n2 n1 · sen iˆL = n2 · sen rˆ n · sen 90° → sen iˆL = 2 n1 3 3 1 sen iˆL = = → iˆL = arcsen = 48.6° 4 4/3 4 Conocido este ángulo. Unidad 11. en este caso. 25 · 10−6 · sen 25° = 5.28 · 10−7 m D 23.5 metros de una pantalla. Se desea calcular la longitud de onda de un rayo de luz monocromática. Un haz de luz monocromática incide perpendicularmente a una red de difracción de 8 105 líneas por metro. d1 S1 d2 a y α S2 d2 – d1 D Unidad 11. la separación entre dos franjas brillantes. La situación que plantea el enunciado del problema es la que se muestra en el siguiente esquema: Pantalla Luz monocromática 25° Red de difracción La distancia entre rendijas es: 1 a = 5 = 1. La luz y sus propiedades 22 . Sobre la pantalla. el primer máximo lateral se forma en un punto situado de tal modo que el rayo emergente forma un ángulo de 25° respecto a la dirección del haz incidente. calcula la longitud de onda de la radiación incidente. se disponen unas rendijas separadas entre sí 1 mm y situadas a 0. Con estos datos.PROBLEMAS 22. será: (n + 1) · λ · D n · λ · D λ · D ∆y = yn+1 − yn = − = a a a Como se nos proporciona la relación ∆y/D = sen 25°. Para ello. a · = n · λ D siendo y la distancia entre el máximo central y el máximo que ocupa la posición n a la derecha o a la izquierda de él. la longitud de onda que nos piden que calculemos es: ∆y λ = a · = 1. en los puntos en que la iluminación es máxima se cumple la siguiente relación: y d1 − d2 = n · λ . Por tanto.25 · 10−6 m 8 · 10 De acuerdo con la experiencia de Young. ¿Cómo lo explicas? a) La trayectoria que seguirán los rayos es la que se indica en la figura. La luz y sus propiedades 45° r 45° C 23 . la separación entre dos franjas brillantes será: ∆y = yn+ 1 − yn = (n + 1) ⋅ λ ⋅ D n ⋅ λ ⋅ D λ ⋅ D − = a a a La distancia del máximo central al primer máximo lateral corresponde a n = 1. en los puntos en que la iluminación es máxima se cumple la relación: d1 − d2 = n ⋅ λ . a⋅ y = n⋅λ D siendo y la distancia entre el máximo central y el máximo que ocupa la posición n a derecha o izquierda de él. B A C a) Dibuja sobre el diagrama la trayectoria que seguirán los dos rayos de luz que se indican hasta que salgan de nuevo al aire. Se desea que el rayo de luz que incide sobre él gire 90°. b) ¿Se produce refracción en la cara AC ? Si es así.5. El prisma ABC de la figura está hecho con un vidrio cuyo índice de refracción es 1. B n1 n2 i A Unidad 11. Sustituyendo en la expresión anterior. De acuerdo con la experiencia de Young. En caso contrario. Por tanto.Si entre el máximo central y la siguiente franja brillante la separación es 2. 5 24. c) La intensidad de los rayos que salen por la cara BC es menor que la de los rayos que inciden en la cara AB. indica el motivo. calcula el ángulo con que sale el rayo refractado. obtenemos la longitud de onda que nos piden: λ = a⋅ ∆y 2.5 10−4 metros. 5 ⋅ 10 −4 = 1 ⋅ 10 −3 ⋅ = 5 ⋅ 10 −7 m = 500 nm D 0. calcula la correspondiente longitud de onda para la luz monocromática. La luz y sus propiedades 24 . si el tubo está sumergido en agua. el ángulo que forma el rayo refractado con la normal es 90°.b) Los rayos que alcanzan la cara AC del prisma forman un ángulo de incidencia respecto a la normal cuyo valor es: iˆ = 90° − 45° = 45° El ángulo límite con que debe incidir un rayo sobre esta superficie para que se refracte y salga de nuevo al medio externo es: sen iˆL n1 n 1 2 = → sen iˆL = 1 ⋅ sen rˆ = ⋅ sen 90° = → ˆ sen r n2 n2 1. no hay refracción. Un rayo de luz incide sobre un bloque de vidrio formando un ángulo de 30°. 25 Calcula el ángulo límite para la refracción de un rayo de luz que viaja por el interior de un tubo de vidrio cuyo índice de refracción es 1. 8° 3 Como el ángulo de incidencia (45°) es superior al ángulo límite. que es ideal. ya que solo se produce una reflexión en la cara AC. el rayo se refleja sobre la cara AC y acaba saliendo por la cara BC. resulta: sen iˆ n2 n 1. El ángulo límite es el ángulo mínimo de incidencia a partir del cual el rayo de luz no se transmite de un medio a otro. Por tanto. 887 → sen rˆ n1 n1 1.33 r i n 1=1.5 si dicho tubo está sumergido en agua. c) En este supuesto.33.5 En ese caso. Ello se explica por la ausencia de refracción. n 2=1. El índice de refracción del agua es n = 1. 46° 26. 33 = → sen iˆ = 2 ⋅ sen rˆ = ⋅ sen 90° = 0. 5 3 2 → iˆL = arcsen = 41. como se indica en la figura. Unidad 11. siempre que el material del prisma no absorba parte de la radiación. 887 = 62. 5 → iˆ = arcsen 0. la intensidad con que sale el rayo es igual a la intensidad con que incide. 47° = 1 n1 rˆ′ = arcsen 0. 5 25 . 47° 3 Cuando sale del bloque al aire. (iˆ' = rˆ) el ángulo resulta: sen iˆ′ n1 = sen rˆ′ n2 1. 5 sen rˆ′ = 2 ⋅ sen 19. b) ¿Con qué velocidad se propaga el rayo de luz por el interior del bloque? a) Al incidir sobre la superficie del bloque. 5 n ⋅ sen 19.5 Si el índice de refracción del vidrio es 1. 47° = 0.47° r = 30° b) El índice de refracción del medio es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en el medio considerado.30° n = 1. el rayo formará un ángulo con la normal que obtenemos a partir de la segunda ley de Snell: sen iˆ n2 = sen rˆ n1 1 1 n sen rˆ = 1 ⋅ sen 30° = ⋅ sen 30° = 1. La luz y sus propiedades caire 3 ⋅ 10 8 = = 2 ⋅ 10 8 m ⋅ s −1 n 1.5 y se encuentra en el aire: a) Dibuja la trayectoria que sigue el rayo a través del bloque. Indica el ángulo que forma el rayo refractado con la normal.5 = 30° La situación física que estamos analizando es la que se representa en el siguiente esquema: i 30° i' r r' i' = r = 19. 5 3 n2 1 rˆ = arcsen = 19. Por tanto: cmedio = Unidad 11. 33 El ángulo de salida del bloque coincide con el de entrada. 8 28. cuyo índice de refracción es 1.7° n 2=1. a) Si aplicamos la segunda ley de Snell al rayo. 67 ⋅ 10 8 m ⋅ s −1 n 1.27. Por tanto: n n sen ˆ i' = 1 → rˆ' = arcsen 2 · sen ˆi ' = n2 n1 sen rˆ' 1. En la figura se muestra un rayo de luz que incide sobre una lámina de caras plano-paralelas. Resuelve de nuevo el problema anterior suponiendo que el índice de refracción del vidrio es 1.8 y que se encuentra sumergido en agua.8 21. La trayectoria del rayo es la que se muestra en la figura: 30° n 1=4/3 21. Por tanto: n= v aire vmaterial → vmaterial = v aire 3 ⋅ 10 8 = = 1. La luz y sus propiedades 26 . Unidad 11.8 El ángulo refractado es el ángulo con el que incide en la otra superficie.7° 1.8 = arcsen · sen 21.7° = 30° 1.33.33 = arcsen · sen 30° = 21.7° 30° b) El índice de refracción de un material es la relación entre la velocidad de la luz en el aire y la velocidad de la luz en dicho material. resulta: n n sen ˆ i = 2 → rˆ = arcsen 1 · sen ˆi = n1 n2 sen rˆ 1. Por tanto: n2 · sen rˆ → n1 · sen rˆ' n2 · sen arcsen n1 · sen ˆ i = n1 · sen rˆ' n2 n1 · sen ˆ i n2 · sen arcsen n2 rˆ' = arcsen = arcsen n1 n2 · n1 · sen ˆ i n2 = sen ˆ i n1 Por tanto: rˆ' = ˆ i Es decir. componentes de la luz blanca. tras la cual el rayo sale del prisma. Un rayo de luz blanca incide desde el aire sobre una lámina de vidrio con un ángulo de incidencia de 30º. la desviación que sufre el rayo al atravesar la lámina.n1 A B C El índice de refracción del material que forma la lámina es n2 y se encuentra inmersa en un medio cuyo índice de refracción es n1.66° Unidad 11.671 El ángulo que forman entre sí ambos rayos es: α = rˆrojo − rˆazul = 18. el ángulo de refracción es. El rayo.612 i n1 · sen ˆ 1 · sen 30° = arcsen = 17. se ha refractado en dos ocasiones. de acuerdo con la ley de Snell: n1 · sen ˆ i = n2 · sen rˆ → sen rˆ = arcsen n1 · sen ˆ i n2 Este ángulo es el ángulo de incidencia de la segunda refracción. Determina. si los valores de los índices de refracción del vidrio para estos colores son. nrojo = 1.07° − 17.41° nazul 1. La luz y sus propiedades 27 . en función de los datos que facilita el enunciado.612 y nazul = 1. respectivamente. el ángulo que forma el rayo refractado con la normal es igual al ángulo que forma el rayo incidente a la lámina con la normal. después de atravesar la lámina. 29.41° = 0. ¿Qué ángulo formarán entre sí en el interior del vidrio los rayos rojo y azul.07° nrojo 1. En la primera.671? Los ángulos de refracción que corresponden a los rayos rojo y azul son: rrojo = arcsen n1 · sen ˆi = nrojo · sen rˆrojo → ˆ razul → ˆ razul = arcsen n1 · sen ˆi = nazul · sen ˆ n1 · sen ˆ i 1 · sen 30° = arcsen = 18. α: α = 180° − 60° − (90° − rˆ1) = 180° − 60° − 90° + 16. hacemos lo siguiente: 1. resulta: sen ˆ i'1 = n2 → rˆ' = arcsen n2 · sen ˆi' 1 1 sen rˆ'1 n1 n1 n1 n1 n2 90–r1 i1 α r1 i'1 1.8.3° = 46.25 1 Unidad 11. En nuestro caso: A ˆi'1 = 90° − 46.30.8 rˆ'1 = arcsen · sen 43. para calcular el ángulo de incidencia en la cara opuesta del prisma.87° = arcsen 1.87° 60° Aplicando ahora la ley de Snell a la segunda refracción. 1 cm 30° Rojo 45° Azul 10 cm Si aplicamos la segunda ley de Snell al rayo de arriba. Dibuja sobre el diagrama la trayectoria que seguirán los dos rayos de luz que se indican hasta que salgan de nuevo al aire y calcula el ángulo que formarán entre ellos.8 El rayo refractado sigue su camino en línea recta a través del cristal. Calculamos ˆ i'1. Como se trata de un prisma triangular. resulta: sen ˆ i1 n n = 2 → rˆ1 = arcsen 1 · sen ˆi1 n2 sen rˆ1 n1 1 rˆ1 = arcsen · sen 30° = 16.13° 1.3° 2. El prisma de la figura está hecho con un vidrio cuyo índice de refracción es 1. La luz y sus propiedades 60° B r'1 60° C 28 .13° = 43. iˆ'1. Calculamos el ángulo complementario. 87° = arcsen 1. el rayo no se refracta. Tras este primer giro. Ello se debe a que el ángulo incidente es superior al ángulo límite. el rayo incide sobre la cara BC del prisma.87° B 36. donde estudiaríamos de nuevo si se produce una reflexión o una refracción. iríamos obteniendo la trayectoria completa del rayo en cada caso y calcularíamos el ángulo formado por los rayos cuando salgan de nuevo al aire.52.87° Aplicando ahora la ley de Snell: sen ˆ i'2 = n2 → rˆ' = arcsen n1 · sen ˆi' 2 2 sen rˆ'2 n n2 1 1. 2° 45° 43.13° Por tanto. Al aplicar la ley de Snell: sen ˆ i2 = n2 → rˆ = arcsen n1 · sen ˆi 2 2 sen rˆ2 n n2 1 1 rˆ2 = arcsen · sen 45° = 23.13° = 36. Unidad 11. De este modo. el rayo también se refleja en la superficie y sigue viajando por el interior del prisma.Matemáticamente.13° = 53. Un rayo de luz incide oblicuamente sobre un vidrio plano de índice de refracción 1. 31.87° 60° 87° ° . En este caso: α = 180° − 60° − (90° − rˆ2) = 180° − 60° − 90° + 23.8 El rayo refractado sigue su camino en línea recta a través del cristal. y. sino que se refleja en el interior del prisma. como se indica en la figura. determina el ángulo α que forman entre sí los rayos reflejado y refractado. a) Si el ángulo de incidencia es de 20°. por tanto. produciéndose un rayo reflejado y otro refractado. La luz y sus propiedades 29 . 43.87 36 60° C En este caso.8 rˆ'2 = arcsen · sen 36. Con el segundo rayo haremos lo mismo. el problema no tiene solución. ˆ i'2 resulta: ˆi'2 = 90° − 53.13° 1.08 1 A 60° 30° 16. 22 = 13° En cuanto al rayo reflejado.22 1. lo cual se puede comprobar aplicando de nuevo la ley de Snell y teniendo en cuenta que ambos rayos se propagan por el mismo medio: n1 · sen ˆ i = n1 · sen rˆ sen ˆ i = sen rˆ → ˆ i = rˆ El ángulo que forman entre sí el rayo refractado y el rayo reflejado es: α = 180° − 20° − 13° = 147° b) Si aumenta el ángulo de incidencia. de índice de refracción 1. La luz y sus propiedades 30 .58. Unidad 11. tal como se desprende del razonamiento seguido en el apartado a) para calcular dicho ángulo. formando un ángulo de incidencia de 15° respecto a la normal a la superficie de separación entre ambos medios. por lo que el ángulo α que forman los rayos reflejado y refractado disminuirá. α = 180° − ˆ i − rˆ Si ˆ i aumenta → rˆ aumenta → α disminuye NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. pero otra es refractada. penetra en otro medio.52 rˆ = arcsen 0.23. ¿crecerá o decrecerá el ángulo α del apartado anterior? a) Cuando el rayo de luz incide sobre la superficie de separación entre el aire y el vidrio. tanto el ángulo de refracción como el de reflexión aumentan. de forma que este rayo se acerca a la normal a la superficie de separación. 20° 20° rayo reflejado α aire.b) Si el ángulo de incidencia es un poco mayor que 20°. n2 r rayo refractado El ángulo que forma el rayo refractado con la normal lo obtenemos aplicando la ley de Snell: n1 i = n2 · sen rˆ → sen rˆ = · sen ˆ i n1 · sen ˆ n2 1 sen rˆ = · sen 20° = 0. como puede deducirse de la ley de Snell. 32 Un rayo de luz monocromático. una fracción del haz es reflejada con el mismo ángulo. n1 vidrio. el ángulo que forma con la normal coincide con el ángulo de incidencia. que se propaga en un medio de índice de refracción 1. 52 Unidad 11. Aire d Vidrio 30° n = 1. La luz y sus propiedades 31 .12° 1. el ángulo límite (aquel al que le corresponde un ángulo de refracción de 90°) es: n2 · sen 90° 1 · sen 90° iL = n2 · sen 90° → ˆ iL = arcsen = arcsen = 48.58 · sen 15° · sen rˆ → rˆ = arcsen = arcsen = 19.a) Determina el valor del ángulo de refracción correspondiente al ángulo de incidencia anterior.42° n2 b) El ángulo límite es aquel al que le corresponde un ángulo de refracción de 90°: n1 · sen ˆ i L = n2 n2 · sen 90° 1.75° n1 · sen ˆ 1.52 y anchura d.33 · sen 25° · sen rˆ → rˆ = arcsen = arcsen = 34.2° n2 1 Por su parte. Datos: nagua = 1.58 n1 33.33 n1 34 Un haz de luz de frecuencia f = 5 1014 Hz incide sobre un cristal de índice de refracción n = 1. Un rayo luminoso incide desde el agua sobre la superficie de separación con el aire con un ángulo de incidencia de 25°.42° 1. naire = 1 El ángulo de refracción que le corresponde es: n1 · sen ˆ i = n2 n1 · sen ˆ i 1.23 n2 El dibujo esquemático que se solicita es el siguiente: i = 15° n1 r = 19. a) El ángulo de refracción se calcula a partir de la segunda ley de Snell: n1 · sen ˆ i = n2 n1 · sen ˆ i 1.33. Calcula el ángulo de refracción y el ángulo límite.23 · 1 · sen 90° → iL = arcsen = arcsen = 51. Haz un dibujo esquemático. b) Calcula el ángulo límite. de acuerdo con la siguiente figura: r2 i2 r1 i1 = 30° n1 n2 n1 Por tanto. cuyo valor no varía cuando la onda pasa de un medio a otro y que. la frecuencia y la velocidad de propagación de una onda es la siguiente: v λ = f Teniendo en cuenta que la frecuencia es una magnitud propia de la onda. en el caso del aire.97 · 108 = 3. Calcula: a) La longitud de onda de la luz incidente en el aire y en el cristal. coincide con el ángulo de refracción de la primera. en la primera refracción: n1 · sen ˆ i 1 = n2 · sen rˆ1 i 2 = n1 n2 · sen ˆ · sen rˆ2 [1] Y en la segunda: Como el ángulo de incidencia de la segunda refracción.El haz incide desde el aire formando un ángulo de 30°. teniendo en cuenta la definición de índice de refracción: c c c 3 · 108 n = → nvidrio = → vvidrio = = = 1. la longitud de onda que se obtiene en el aire es: c 3 · 108 λaire = = 4 = 3 · 10−7 m f 5 · 10 En el caso del vidrio: vvidrio λvidrio = f donde. v = c = 3 · 108 m · s−1. a) La expresión que relaciona la longitud de onda. ˆ i 2. La luz y sus propiedades · sen rˆ2 [2] 32 .99 · 10−7 m λvidrio = = 5 · 1014 f b) El ángulo se calcula aplicando la ley de Snell de la refracción dos veces. b) El ángulo que forma el haz de luz cuando atraviesa el cristal y entra de nuevo en el aire.97 · 108 m · s−1 v 1.52 vvidrio nvidrio Por tanto: vvidrio 1. rˆ1: n2 · sen rˆ1 = n1 Unidad 11. tenemos: iL = naire · sen 90° nprisma · sen ˆ nair e 1 iL = = 0. el rayo se refleja completamente con un ángulo de reflexión de 45°. el ángulo emerge del cristal con un ángulo igual al ángulo de incidencia. Puesto que el rayo de luz incide en la cara A del prisma perpendicularmente a su superficie. discute físicamente si es de esperar que exista luz emergente por la cara B en los casos: a) El espacio separador entre los prismas es aire. no se producirá ninguna desviación del haz al atravesar dicha superficie y el rayo llegará a la cara biselada incidiendo con un ángulo de 45°: A B 45° 45° N C 45° 45° n En este punto se producirá la refracción. NOTA: es interesante comparar la resolución de esta actividad con la que corresponde a la actividad 28. Unidad 11.65.Al comparar las expresiones [1] y [2] se obtiene: i 1 = n1 n1 · sen ˆ · sen rˆ2 → ˆi 1 = rˆ2 = 30° Por tanto. Un dispositivo óptico está formado por dos prismas idénticos de índice de refracción 1.33. lo que dependerá del valor del índice de refracción del medio que separa ambos prismas. cuyo índice de refracción es 1. 35. b) El espacio separador entre los prismas es agua. a) En el caso de que los prismas se encuentren rodeados de aire.61 sen ˆ iL = · sen 90° → sen ˆ 1. A B 45° 45° Si se hace incidir un rayo láser perpendicularmente a la cara A del dispositivo. el rayo continuará hacia el segundo prisma solo si el ángulo de incidencia es menor que el ángulo límite de refracción. por lo que el rayo sale por la cara inferior del primer prisma sin llegar a la cara B del segundo prisma. La luz y sus propiedades 33 .65 npris ma ˆiL = arcsen 0. cuyo índice de refracción es 1.61 = 37. con bases biseladas a 45° y ligeramente separados.6° < 45° Como el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo límite. Unidad 11. en el que se produce una segunda refracción (en este caso. el rayo llega a la cara B perpendicularmente a esta.33 sen ˆ iL = · sen 90° → sen ˆ iL = = 0. el ángulo límite en la cara biselada es: nagua 1. el rayo será refractado con un ángulo: 1.1° > 45° En este caso.71 → rˆ2 = 45° 1. Por tanto.65 · sen rˆ2 1.65 nprisma ˆiL = arcsen 0.3° = 1. N A N B 45° 45° C 61.33 · sen 61.65 Por tanto. este ángulo coincide con el ángulo de incidencia en el segundo prisma.33 Como se aprecia en la siguiente figura.A B 45° 45° N C 45° 45° 45° n=1 b) Si el espacio separador es agua.65 sen rˆ = · sen 45° = 0.33 NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. el ángulo de incidencia es menor que el ángulo límite.81 1. el rayo se propaga de un medio menos refringente a otro más refringente).3° 45° n = 1. El ángulo con que sale el rayo refractado es 45°.877 → rˆ = 61. La luz y sus propiedades 34 . con la misma dirección con que incidió en la cara A del primer prisma. es decir. por lo que emerge del segundo prisma sin desviarse.33 · sen rˆ 1.3° 45° 45° 61.3° = 0. lo que podemos deducir de la simetría del problema o aplicando de nuevo la ley de Snell: 1.81 = 54.65 · sen 45° = 1.33 sen rˆ2 = · sen 61.3° 1. Óptica geométrica Imagen 1 . la distancia entre la imagen y el espejo es igual a la que hay entre el objeto y el espejo. ¿A qué distancia debes enfocar la cámara para que la fotografía salga nítida? En un espejo plano. pero la que en realidad se produce es perpendicular al plano del espejo. Lo que se invierte es el sentido en cualquier dirección perpendicular al espejo que proceda de un objeto. como se observa en la siguiente figura: Espejo plano Observador Objeto Unidad 12. Ello hace que. Analiza de nuevo la cuestión anterior y contéstala con perspectiva espacial. lo que invierte un espejo? En un espejo no se invierten la izquierda y la derecha. ya que tendemos a posicionarnos en el lugar de la imagen (dando un giro mental de 180°). Si tenemos en cuenta las tres direcciones del espacio. parezcan invertidas derecha e izquierda. Espejo D’ C’ B’ A’ A B C D 3. Deseas hacerte una foto a ti mismo y. ¿qué es. Fíjate en la siguiente ilustración.1. ¿Puedes explicar este fenómeno? 2. te colocas con la cámara de fotografiar delante de un espejo a 5 m de él. para nuestra percepción. FORMACIÓN DE IMÁGENES EN UN ESPEJO PLANO 1. para ello. en realidad. pero no la parte de arriba y la parte de abajo de la imagen.12 ÓPTICA GEOMÉTRICA 12. En la imagen que se forma de un objeto en un espejo plano se invierten la izquierda y la derecha. Por eso nos parece que se produce esa inversión. situada en el aire. b) Calcula la longitud recorrida por el rayo en el interior de la lámina.47° n2 1. 12. de caras planas y paralelas.2. EL DIOPTRIO PLANO 1. El valor del ángulo que forma el rayo con la normal después de la primera refracción se calcula de acuerdo con la ley de Snell de la refracción. La lámina de vidrio. a) Dibuja el camino seguido por el rayo.053 m = 5. c) Calcula el ángulo que forma con la normal el rayo emergente de la lámina.47° cos rˆ 2 . de ese modo se impresionará correctamente la película. Un rayo de luz monocromática incide en una de las caras de una lámina de vidrio.Los rayos que llegan a la cámara son los rayos reflejados por el espejo. y vuelve a salir al exterior con un ángulo igual al de incidencia. la cámara debe enfocarse a una distancia que sea el doble de la existente entre ella y el espejo. tiene un espesor de 5 cm y un índice de refracción de 1. a) Cuando un haz de luz monocromática incide en una lámina de caras plano-paralelas.5. se refracta en ambas caras.3 · 10−2 m cos 19. Óptica geométrica AC 5 · 10−2 = = 0.5 El camino seguido por el rayo desde que incide en la lámina hasta que la atraviesa es el que se muestra en la siguiente ilustración: 30° n1 A r α n2 n1 D r E C β b) La longitud recorrida por el rayo en el interior de la lámina se corresponde con la hipotenusa del triángulo ACE de la figura anterior: d= AE = Unidad 12. i = n2 · sen rˆ → rˆ = arcsen n1 · sen ˆ n1 · sen ˆ i 1 · sen 30° = arcsen = 19. por tanto. con un ángulo de incidencia de 30º. Teniendo en cuenta el criterio de signos establecido para medir las otras magnitudes.47° = arcsen = 30° n1 1 12. ya que el centro está situado a la izquierda del vértice del sistema óptico.3. 30°.c) Como se ha indicado en el apartado a). 25 + + 0. 25 1. 25 + + R s −0. 364 m n′ − n n 2 − 1. γ. 25 −0. Como hemos visto en la unidad. Un dioptrio esférico convexo. en este caso. 5 2. −1 3 . EL DIOPTRIO ESFÉRICO 1. la ecuación del dioptrio esférico para rayos paraxiales es: n′ n n′ − n − = s′ s R Para un dioptrio esférico convexo. resulta: s′ = n′ 2 = = −0. En la actividad anterior. el ángulo con que emerge es igual al ángulo con que incide en la lámina. ¿qué ocurriría si el dioptrio fuese cóncavo? La ecuación del dioptrio esférico para rayos paraxiales es: n′ n n′ − n − = s′ s R Para un dioptrio esférico cóncavo. de índice de refracción la unidad. el radio es negativo. Calcula las distancias focales de un dioptrio esférico de 20 cm de radio que separa el aire.4. separa dos medios cuyos índices de refracción son 1. Teniendo en cuenta el criterio de signos establecido para medir las otras magnitudes. 5 3. Lo anterior se puede demostrar aplicando la ley de Snell a la segunda refracción: n2 · sen rˆ = n1 · sen β → β = arcsen n2 · sen rˆ 1.25 y 2. 25 R s −0. 25 1. el radio es positivo. Óptica geométrica n 1 = −20 ⋅ = −50 cm n′ − n 14 . de índice de refracción 1. Calcula la posición de la imagen de un punto situado 50 cm a la izquierda del vértice del dioptrio. ya que el centro está situado a la derecha del vértice del sistema óptico. respectivamente. Obtenemos la distancia focal imagen aplicando la ecuación del dioptrio esférico: f = −R ⋅ Unidad 12. para un objeto situado en el aire a 10 cm del dioptrio.5 · sen 19. Calcula el aumento angular. resulta: s′ = n′ 2 = =4m n′ − n n 2 − 1. de 25 cm de radio. del vidrio. c) El tamaño aparente de la imagen. Dibuja la marcha de los rayos para un objeto situado a una distancia s < f en un dioptrio esférico. β. Óptica geométrica 4 . ESPEJOS ESFÉRICOS 1. Delante de un espejo cóncavo de 50 cm de radio se coloca un objeto de 2 cm. 25 x 40 A partir de la relación entre el aumento lateral. f n f ⋅ n′ =− → f′ = − =− = 70 cm f′ n′ n 1 Para calcular el aumento angular obtenemos. La marcha de los rayos para un objeto situado a una distancia s < f en un dioptrio esférico es la que se muestra en la figura: n y' n' y F F' s s' f f' 12. y el angular. 25 4. obtenemos este último: γ ⋅β = n n 1 →γ = = = 0.La distancia focal objeto es: −50 ⋅ 14 . 57 n′ n ′ ⋅ β 14 . en primer lugar.4. a 30 cm del espejo. Calcula: a) La distancia focal. b) La posición y el tipo de imagen que se forma. el aumento lateral: β=− f x′ =− x f′ Teniendo en cuenta la relación: s = f + x → x = s − f = −10 − ( −50) = 40 cm Se obtiene: β=− f −50 =− = 1. ⋅ 1. Unidad 12. γ. la distancia focal resulta ser. 5 =− →β=− = −5 y s −0. la distancia imagen resulta: s′ = 1 = −1. 2. El signo negativo indica que la imagen que vemos está invertida. Resuelve la actividad anterior suponiendo que el espejo es convexo. 5 m 2 1 − −0.a) En un espejo esférico. podemos despejar la distancia imagen: 1 1 2 1 + = → s′ = 2 1 s s′ R − R s C F Al sustituir los datos. teniendo en cuenta el criterio de signos. la imagen que se forma es real. por tanto: f = −0. c) El tamaño aparente de la imagen se calcula sustituyendo en la expresión: β= y′ s′ −1. Óptica geométrica 5 . la distancia focal es la mitad del radio de curvatura: f = R 2 En un espejo cóncavo. Unidad 12. 5 = −0. el radio es negativo. 3 Como el espejo es cóncavo y el objeto está situado entre el foco y el centro de curvatura. 5 −0. 25 m 2 b) De la expresión que relaciona las posiciones del objeto y la imagen en un espejo esférico. 3 Por tanto: y ′ = β ⋅ y = −5 ⋅ 2 = −10 cm La imagen que se forma es cinco veces mayor que el objeto. invertida y de mayor tamaño que el objeto. 3 Por tanto: y ′ = β ⋅ y = 0. 136 m Como el espejo es convexo. la imagen que se forma es virtual. c) Dibuja un esquema que muestre la marcha de los rayos. Dado un espejo que forma una imagen real. b) Calcula la posición de la imagen. 454 ⋅ 2 = 0. el radio es positivo. por tanto. la distancia del objeto al espejo y la distancia focal son negativas). la distancia focal es la mitad del radio de curvatura: f = R 2 En un espejo convexo. c) El tamaño aparente de la imagen se calcula sustituyendo en la expresión: β= y′ s′ 0. Óptica geométrica 6 . teniendo en cuenta el criterio de signos. y es derecha (β > 0). 25 m 2 b) De la expresión que relaciona las posiciones del objeto y de la imagen en un espejo esférico. 91 cm La imagen que se forma es de menor tamaño (β < 1) que el objeto. la distancia imagen resulta: s′ = 1 2 1 − 0. 136 =− →β=− = 0. 3 = 0. podemos obtener la distancia de la imagen al espejo. 5 −0. derecha y de menor tamaño que el objeto. por tanto: f = 0. 5 = 0. podemos despejar la distancia imagen: 1 1 2 1 + = → s′ = 2 1 s s′ R − R s Al sustituir los datos. s': β= y′ s′ y′ ⋅ s ( −2 ⋅ y ) ⋅ ( −20) = − → −s′ = − =− = −40 cm y s y y Unidad 12. invertida y de medida doble de un objeto situado a 20 cm del espejo: a) Calcula el radio de curvatura del espejo.a) En un espejo esférico. el espejo ha de ser cóncavo (en él. 454 y s −0. la distancia focal resulta ser. a) Los espejos convexos dan imágenes virtuales. 3. A partir de la expresión que proporciona el aumento lateral. • El pedazo de hielo ha de ser transparente. el valor de f: 1 1 1 s′ + s 1 s′ ⋅ s ( −40) ⋅ ( −20) + = → = → f = = = −13. resulta mucho más sencillo estudiar este tipo de sistemas. que la vegetación que elijamos sea oscura. El primero es el punto. LENTES ESFÉRICAS DELGADAS 1. para ello. un trozo de hielo opaco? ¿Y si es un trozo de hielo transparente? ¿Cómo lo harías? Para prender la hoguera. 2. Interesa.Y. ¿Podemos encender una hoguera con materiales de la tundra siberiana utilizando. los rayos del Sol que inciden paralelamente a la lente son conducidos a un punto. Óptica geométrica 7 . el foco. SISTEMAS ÓPTICOS CENTRADOS 1. De este modo. prendiendo dichos materiales. Calcula la distancia focal de una lente cuya potencia es de 2 dioptrías. ¿Por qué restringimos el estudio de los sistemas ópticos a sistemas ópticos centrados? Ello es debido a que. ¿De qué tipo es la lente? Unidad 12. absorberá los rayos solares y no los refractará. F. toda la luz que incide sobre la lente se concentrará sobre el foco. De lo contrario. 2. De este modo. F'. esté situado en el punto en que hemos apilado los materiales de la tundra. y utilizando la expresión de los espejos esféricos. 3 cm s′ s f s′ ⋅ s f s′ + s −40 − 20 El radio de curvatura es: R = 2 · f = 2 · (−13. • El tiempo que debe transcurrir mientras concentramos los rayos solares debe ser inferior al tiempo que necesite el hielo para derretirse. Los planos principales son dos planos paralelos al eje óptico que pasan por los puntos principales (aquellos para los que el aumento lateral es igual a la unidad). el punto en que se cortan aquellos rayos que llegan al sistema paralelos al eje óptico. debemos colocar la lente orientada al Sol. F'.6 cm 12. ya que los colores oscuros absorben la luz. a partir de ella. 12. y el segundo. Para encender la hoguera. se han de dar varias condiciones: • El pedazo de hielo que utilicemos como lente ha de tener forma de lente convergente.5. de modo que su foco imagen.6. ¿A qué llamamos focos de un sistema óptico? ¿Qué son los planos principales? Los focos de un sistema óptico son dos: el foco objeto y el foco imagen. en una primera aproximación al estudio de la óptica geométrica. por tanto. Con un pedazo de hielo opaco no podremos encender la hoguera. como la que estamos haciendo en este curso.3) = −16. por el que pasan los rayos incidentes que salen del sistema paralelos al eje óptico. 76 ⋅ 10 8 m/s n 1. una lente convergente de una divergente? ¿Cómo puede hacerse? Unidad 12. b) La potencia óptica de la lente. Un objeto de 1 cm de altura se sitúa sobre el eje óptico de una lente convergente. Por tanto: n= c v plástico → v plástico = c 3 ⋅ 10 8 = = 1. la distancia focal es: 1 1 1 = D→ f′ = = = −0. calcula la posición de la imagen y la distancia focal de la lente. CONSTRUCCIÓN DE IMÁGENES EN LENTES DELGADAS 1. Una lente bicóncava simétrica posee unos radios de curvatura de 20 cm y está formada por un plástico con un índice de refracción de 1. 5 4. Calcula: a) La velocidad de la luz en el interior de la lente. que podemos obtener a partir de la siguiente expresión: 1 1 1 1 1 P = = (n − 1) · − → P = (1. con relativa facilidad.La potencia de una lente está relacionada con la distancia focal imagen: 1 =D f′ Por tanto. f'. Supón que la lente se encuentra en el aire. 25 m f′ D 4 Si sustituimos ahora en la ecuación fundamental de las lentes delgadas.7 − 1) · − = −7 dioptrías f' R1 R2 −0. Óptica geométrica 8 . resulta: 1 1 1 1 1 − = → s′ = = = 0. 7 b) La potencia óptica de una lente es la inversa de su distancia focal imagen. 5 m 1 1 1 1 s′ s f′ + + f′ s 0. Si la potencia de la lente es de 4 dioptrías.7. Calculamos la distancia focal imagen mediante la expresión: 1 1 1 = D→ f′ = = = 0. a 50 cm del centro óptico de esta. 3. a) El índice de refracción de un medio es la relación entre la velocidad de la luz en el vacío y la que tiene cuando se propaga por su interior. 5 m f′ D −2 El signo negativo que obtenemos al calcular la distancia focal imagen indica que la lente es divergente. ¿Podemos distinguir.7.2 12. 25 −0.2 0. 04 m de altura está situado a 0. f' = 0. 4 El tamaño de la imagen se obtiene a partir de la expresión que proporciona el aumento lateral de la lente: β= y ′ s′ s ′ ⋅ y 0. Por tanto. Las excitaciones nerviosas que se producen en la retina son transmitidas. hasta nuestro cerebro. 04 = → y′ = = = −0. en forma de impulsos nerviosos. Calcula la posición y el tamaño de la imagen. Un objeto de 0. El aparato receptor de las ondas luminosas es la retina. A una persona con el mismo defecto óptico en ambos ojos se le colocan unas gafas de −2 dioptrías en cada lente (cristal). ¿Qué defecto tiene y cómo se corrige? La potencia de una lente está relacionada con la distancia focal imagen: P= Unidad 12.4 m .25 m de distancia focal. que contiene una serie de células sensoriales (conos y bastones). 67 ⋅ 0. los rayos luminosos deben atravesar lo que podemos considerar un sistema dióptrico. el proceso de la visión. además. Los datos que proporciona el enunciado de la actividad son los siguientes: y = 0.25 m La posición de la imagen la obtenemos aplicando la expresión general de las lentes esféricas delgadas: 1 1 1 1 1 − = → s′ = = = 0. en último término.04 m .Vistas desde el lado por el que recibe la luz. formado por un conjunto de medios refringentes que conforman una especie de sistema de lentes que proyectan en la retina una imagen reducida e invertida de los objetos. resulta sencillo diferenciarlas. que se encarga de interpretar estas señales y “producir” la visión. El ojo humano es el encargado de “traducir” las ondas electromagnéticas que forman parte del espectro visible en impulsos nerviosos que se transmiten a través del nervio óptico hasta nuestro cerebro. 067 m y s s −0. las lentes convergentes son convexas.40 m de una lente convergente de 0. EL OJO HUMANO Y SUS DEFECTOS 1.8. mientras que las divergentes son cóncavas. Antes de llegar a ella. 2. y. 12. está invertida. 2. que es el que los interpreta y el que realiza. 25 −0. s = −0. que pueden ser excitadas independientemente por un punto luminoso. basta con pasar el dedo por encima de una para percibir cómo es la curvatura. Óptica geométrica 1 1 1 → f′ = = = −0. 5 m f′ P −2 9 . 4 De acuerdo con el resultado obtenido. Explica el mecanismo óptico de la visión de imágenes en el ojo humano. el tamaño de la imagen es mayor que el del objeto. 67 m 1 1 1 1 s′ s f′ + + f′ s 0. sino que lo hacen antes. Debido a ello. Los rayos de luz que se refractan en el cristalino no convergen sobre el punto en que el eje óptico corta la retina.Al ser negativa la distancia focal imagen de la lente. ABERRACIONES EN LOS SISTEMAS ÓPTICOS 1. AMPLIACIÓN DE CONTENIDOS. ¿Cómo detectaron los científicos de la NASA este defecto? Unidad 12. debe tratarse de una lente divergente. subsanando el defecto. Un ojo miope tiene dificultades para ver objetos lejanos porque los rayos luminosos se focalizan en un punto anterior a la retina. Si colocamos una lente divergente (figura siguiente) delante de un ojo miope. Óptica geométrica 10 . que es el tipo de lente utilizada para corregir la miopía. que podemos ajustar. los rayos de luz que llegan al ojo divergen antes de llegar al cristalino. como se muestra en la siguiente ilustración: 3. Busca información acerca de la aberración esférica que afectaba al telescopio espacial Hubble cuando fue lanzado al espacio. antes de converger en la retina. ¿Qué tipo de lente utilizarías para corregir un ojo miope? ¿Por qué? La figura inferior muestra un ojo miope. necesitarán recorrer una distancia mayor. que la tripulación del transbordador espacial Endeavour adosó. observaron que su nitidez no era la adecuada. La ESA (Agencia Espacial Europea) fabrica unos pequeños espejos. derecha y del mismo tamaño. La imagen de un objeto que se refleja en un espejo plano será: a) Real. tenía aberración esférica. • Derecha: el objeto no se ve boca abajo. máxime cuando todavía estaba reciente el desastre del Challenger. de elevadísimo coste. al estudiar las primeras imágenes enviadas por el telescopio. nos permitirá remontarnos a remotas edades del universo. Este problema ponía en tela de juicio el prestigio de la NASA. la imagen no está invertida. invertida y más pequeña. en su momento. a la superficie reflectante del espejo. De ahí en adelante el funcionamiento del telescopio ha rozado la perfección. de 75 000 millones de pesetas (unos 450 millones de euros). ACTIVIDADES DE LA UNIDAD CUESTIONES 1. se llegó a la conclusión de que había un defecto en el espejo principal. tras sucesivas mejoras. derecha y del mismo tamaño. e) Virtual. en una delicada operación. cuyo coste fue. Por ello se puso en marcha una de las reparaciones más caras de la historia. como la instalación de nuevas cámaras. derecha y más pequeña. invertida y del mismo tamaño. Los científicos de la NASA. de las que todavía poco o nada conocemos.El telescopio espacial Hubble fue lanzado al espacio en abril de 1990. Después de realizar algunas simulaciones con las imágenes obtenidas. b) Virtual. Óptica geométrica 11 . lo que permitió corregir los defectos ópticos del telescopio. del tamaño de una moneda. d) Virtual. c) Real. Unidad 12. La imagen de un objeto que se forma tras reflejarse dicho objeto en un espejo plano es: O I • Del mismo tamaño: la altura objeto y la altura imagen son iguales. como se muestra en la ilustración: B A' C A F B' 4. derecha y de mayor tamaño que el objeto. con la mitad del radio de curvatura: f = f′ = R 2 El foco es el punto donde se forma la imagen de los rayos que inciden paralelos al eje. 3. son positivos. y si es convexo. NOTA: No debemos confundir imagen “invertida” con imagen “girada”. como se muestra a continuación: Unidad 12. Óptica geométrica 12 . Si el espejo es cóncavo. La respuesta correcta es d).• Virtual: La imagen se forma al hacer concurrir en un punto al otro lado del espejo rayos que divergen tras reflejarse en el espejo. y la distancia focal es la existente entre este y el espejo. invertida y de mayor tamaño que el objeto. Una imagen invertida está boca abajo. la imagen que se obtiene es real. Realizando las construcciones gráficas oportunas. En el caso que propone el enunciado. ¿Qué se entiende por foco y distancia focal en un espejo cóncavo y en uno convexo? La distancia focal en el espejo es única. a) La imagen que se forma es virtual. mientras que una imagen girada es la que tiene la izquierda y la derecha cambiadas. deduce qué características tiene la imagen que se forma en un espejo cóncavo esférico cuando el objeto se halla: a) Entre el foco y el vértice del espejo. Explica gráficamente la formación de la imagen en un espejo cóncavo cuando el objeto se encuentra entre el foco y el centro de curvatura. la distancia focal y el radio de curvatura son negativos. 2. b) A una distancia mayor que el radio de curvatura del espejo. en valor y signo. y coincide. ¿En qué condiciones producirá un espejo cóncavo una imagen derecha? ¿Una imagen virtual? ¿Una imagen menor que el objeto? ¿Mayor que el objeto? Incluye en la resolución los diagramas o esquemas oportunos. invertida y de menor tamaño que el objeto. las imágenes que puede formar un espejo cóncavo pueden ser como las que se muestran a continuación: a) Objeto situado a una distancia superior al radio de curvatura: B A' A F C B' La imagen que se forma es real. Dependiendo de dónde coloquemos el objeto. Óptica geométrica 13 . invertida y de menor tamaño que el objeto: B A' A F C B' 5. Unidad 12.B' B C F A A' b) Cuando el objeto se halla a una distancia mayor que el radio de curvatura del espejo. la imagen que se forma es real. desde un punto de vista geométrico). derechas y de menor tamaño que el objeto. • La imagen será menor que el objeto en el caso a). Por tanto: • Se formará una imagen virtual y derecha en el caso c). Unidad 12. Óptica geométrica 14 . Las imágenes que producen los espejos convexos son siempre virtuales. • La imagen será mayor que el objeto en los casos b) y c). independientemente de la posición donde este se encuentre. c) Objeto situado entre el foco y el espejo: B' B C F A A' La imagen que se forma es virtual. ¿Cuál es la distancia focal de un espejo esférico de radio r? Busca en la bibliografía cuáles son las ventajas de un espejo parabólico sobre uno esférico (recuerda cómo se define la parábola. Falso. 6. invertida y de mayor tamaño que el objeto. los espejos convexos tienen un campo de visión muy amplio. Por ello. Di si es cierto o falso y razona la respuesta: “La imagen que se obtiene con un espejo convexo es siempre real y mayor que el objeto”. 7.b) Objeto situado entre el foco y el centro de curvatura: B A' C A F B' La imagen que se forma es real. derecha y de mayor tamaño que el objeto. 8. d) 45 cm. • Un rayo que llega paralelo al eje óptico pasa. eso es lo que ocurre. c). está situado a 40 cm de la primera lente. cualquier rayo que pase por el foco y se refleje en el espejo sale paralelo al eje óptico. a diferencia de los esféricos. Esto nos indica que el punto O se encuentra sobre el foco de la primera lente. en este caso. O I 40 cm 10 cm 40 cm Si las dos lentes son iguales. vimos que: • Un rayo que pasa por el foco objeto y se refracta en la lente emerge paralelo al eje óptico. La respuesta correcta es. En la segunda lente. por ejemplo. I. c) 40 cm. el rayo que incide paralelo pasa por el foco imagen tras refractarse. el punto I es el foco imagen de la segunda lente. separada de la segunda 10 cm. por el foco imagen. 9. por tanto. O. La luz que sale de O forma una imagen. Al estudiar la construcción de imágenes en lentes delgadas. 40 cm por detrás de la segunda lente. tras refractarse. en que esa condición solo se cumple para rayos paraxiales (aquellos que tienen pequeña inclicación). b) 20 cm.En un espejo esférico el valor de la distancia focal es la mitad del valor del radio de curvatura del espejo: f = f′ = R 2 La ventaja de los espejos parabólicos sobre los esféricos radica en que. Como se aprecia en la figura. precisamente. en ellos. Un objeto puntual. en antenas parabólicas y en los focos de alumbrado de los automóviles. e) 80 cm. Óptica geométrica 15 . la distancia focal de ambas debe ser: a) 10 cm. El rayo que procede del punto O se refracta en la primera lente y sale paralelo al eje. La ecuación de dimensiones de la potencia de una lente es: Unidad 12. Por tanto. La distancia focal de ambas lentes es 40 cm. Por ello se utilizan. convergen en diferentes puntos a lo largo del eje. Este defecto se debe a que los rayos que llegan paralelos al eje cerca de los extremos de la lente convergen en un punto situado más cerca de esta que aquellos que llegan paralelos al eje a menor distancia del centro de la lente. ¿Qué nombre recibe este defecto? a) Refracción. La luz incide desde la izquierda. Por tanto. La figura muestra un defecto común a todas las lentes esféricas. Para eliminarlo por completo. D. d) Aberración esférica. Unidad 12. No obstante.a) M b) L c) L1 d) M1 La potencia de una lente. su ecuación de dimensiones es: D= 1 1 1 → [D ] = = = L−1 f′ [ f ′] L La respuesta correcta es d). señala las que son convergentes y las que son divergentes. El defecto se denomina aberración esférica. la aberración puede corregirse parcialmente utilizando diafragmas que limiten la abertura del haz de luz incidente o empleando una combinación de varias lentes. Como puedes observar. 10. los rayos que inciden sobre la lente convergen en el foco de la parábola. b) Hipermetropía. La respuesta correcta es d). los rayos paralelos que inciden sobre ella. es la inversa de la distancia focal. Óptica geométrica 16 . e) Difracción. c) Miopía. que deberían converger en el foco. 11. es necesario que la lente sea de tipo parabólico. De las lentes que se indican. De este modo. que convergen más lejos. a) b) c) d) e) De acuerdo con la clasificación que hemos establecido en esta unidad en el libro del alumno para los seis posibles tipos de lentes. ¿derecha o invertida? b) Ilustra tus explicaciones con un trazado de rayos. Unidad 12. Para poder observar con detalle pequeños objetos. derecha y de menor tamaño que el objeto. a) Explica el funcionamiento de este sistema óptico. En la siguiente ilustración se muestra que la imagen que forma una lente divergente de un objeto es siempre virtual. Óptica geométrica 17 . El objeto debe situarse a una distancia menor que la distancia focal objeto. independientemente del valor de la distancia objeto: B B' F' A' A F s' s NOTA: se sugiere que los alumnos realicen el trazado de rayos con un objeto situado en s < f'. 13. s < f. a) Una lupa está formada por una lente convergente que se utiliza para aumentar el tamaño aparente de un objeto. ¿Qué tipo de lente es: convergente o divergente? ¿Dónde debe situarse el objeto a observar? La imagen que produce. resulta: Convergentes Divergentes a c b d e 12. puede emplearse una lupa. Demuestra que una lente divergente nunca puede formar una imagen real de un objeto real. ¿es real o virtual?. derecha y mayor que el objeto. convergen en el foco. La distancia focal se mide desde ____________ Unidad 12. la imagen que se forma es virtual. __________ a su eje principal. como se muestra en la ilustración: B' B A' 2·F A F s' F' 2·F' s Y si está en la focal. ya que los rayos emergen paralelos y se cortan en el infinito: B 2·F A F F' 2·F' s 15.b) El trazado de rayos que corresponde a la imagen formada por una lupa es el siguiente: B' B A' 2·F A F F' s' 2·F' s 14. Óptica geométrica 18 . Si el objeto se encuentra a una distancia inferior a la focal. ¿Qué clase de imágenes se forman en una lente convergente si el objeto se encuentra a una distancia inferior a la focal? ¿Y si está en la focal? Dibuja la marcha de los rayos. Completa la frase: Los rayos de luz que inciden sobre una lente convergente. no se forma imagen. Las líneas de puntos muestran los distintos caminos de dos rayos de luz a través de una lente convergente. Si un objeto se coloca. a una distancia menor que la distancia focal. Cuando situamos el objeto (en este caso. el insecto) a una distancia inferior a la distancia focal. la imagen de dicho objeto será __________ y __________. d) Igual a la distancia focal. b) Igual a dos veces la distancia focal. la imagen que obtenemos es de mayor tamaño. paralelos a su eje principal. respecto a una lente convergente. medida respecto al centro óptico. Si un objeto se coloca. a una distancia menor que la distancia focal. por tanto. se utiliza una lupa. Para observar las patas de un insecto. Óptica geométrica D C 19 . derecha y virtual. la lente debe colocarse a una distancia del insecto: a) Mayor que dos veces la distancia focal. respecto de una lente convergente. e) Menor que la distancia focal. Si se quiere obtener una imagen derecha y mayor que el objeto que se observa. c) Entre una y dos veces la distancia focal. 16. La respuesta correcta es. formada por una lente convergente. convergen en el foco. Los rayos de luz que inciden sobre una lente convergente. I O F F’ En la figura se muestra cómo se forma ese tipo de imagen. La distancia focal se mide desde el centro óptico hasta el foco de la lente. X' X F F' A B E Unidad 12. la imagen de dicho objeto será derecha y de mayor tamaño.hasta __________. e). 17. el aumento lateral de una imagen depende de las distancias focales del objetivo y del ocular. es aproxiUnidad 12. S1. X' X F A F' B E D C 18. pasa por el foco. Dibuja un esquema con la formación de las imágenes en un microscopio. La lente o las lentes del condensador enfocan la luz que emite la lámpara sobre la muestra. Describe su funcionamiento. ¿De qué factores depende el aumento? El funcionamiento del microscopio es relativamente sencillo. Analiza las características de las imágenes formadas por sus lentes. es el encargado de controlar la intensidad luminosa. que puede abrirse o cerrarse a voluntad. eliminando parte de esa capa. ¿Cómo lo explicas? La miopía se produce porque la córnea y el cristalino hacen que converjan excesivamente los rayos luminosos que inciden en el ojo. El esquema muestra cómo se forma la imagen en un microscopio. Las personas con miopía acusada pueden resolver su defecto visual con una operación que consiste en rebajar la curvatura de la córnea. mientras que el diafragma. y la imagen se formará en la retina. por tanto. ya que dicho rayo pasa por el punto imagen que corresponde al extremo de la flecha y que hemos calculado trazando el rayo que. el conjunto córnea-cristalino no será tan convergente. Si se disminuye la curvatura de la córnea. al astigmatismo.La línea continua que muestra el recorrido de un rayo de luz emitido por el punto X y que alcanza el punto X' de la lente es: a) A b) B c) C d) D e) E Como se aprecia en la ilustración. Es lo que se hace en la actualidad para corregir defectos de la visión asociados a la miopía e. y el rayo que pasa por el centro óptico del sistema y que. no se desvía. que son dos dispositivos formados por varias lentes. En este microscopio. tras salir paralelo. Óptica geométrica 20 . que no focalizan sobre la retina. la respuesta correcta es c). incluso. la distancia objeto. El objeto a estudiar se sitúa un poco más allá del foco del objetivo. 19. s'2 s1 s'1 s2 F'1 Muestra I1 F2 F1 Ocular Objetivo I2 El aumento lateral de un objetivo oscila en torno a 50. por muy poco dinero. cumpliendo la siguiente relación: F' < s' < 2 F'. por tanto. utilizando diagramas. El aumento del microscopio depende de la distancia entre los focos y de las distancias focales del objeto y el ocular. s > 2 F. f1. 21 . Las imágenes formadas por lentes convergentes son las que se muestran a continuación: B B A' A F 2·F F' 2·F' A 2·F F F' A' 2·F' B' B' s s' La imagen formada por una lente convergente de un objeto situado a una distancia de la lente superior a dos veces la distancia focal objeto. invertida y de igual tamaño que el objeto. de juguete. Oscila entre 50 y 2000. De ahí que un buen microscopio sea caro. es real. Esta imagen sirve de objeto para el ocular. real e invertida y mucho más grande que el objeto. 20. si bien es posible encontrar otros. invertida y menor que el objeto. aunque los aumentos mayores precisan un tratamiento muy cuidadoso de las preparaciones para evitar las distorsiones y las aberraciones ópticas que perjudican la imagen. La imagen que forma el objetivo es. Explica la miopía ayudándote de uno de esos diagramas. cumpliendo la siguiente relación: s' 2 F'. Óptica geométrica s s' La imagen formada por una lente convergente de un objeto cuya distancia objeto es el doble de la distancia focal objeto. distintos casos de formación de imágenes por medio de lentes convergentes. El aumento lateral total del microscopio es el producto de estos dos aumentos. que actúa como una lupa y proporciona una imagen virtual aumentada a una distancia confortable para la visión.madamente igual a la distancia focal. es real. Unidad 12. s 2 F. Describe. de mayor tamaño (es lo que se pretende en el proyector). Imagen formada por una lente convergente de un objeto cuya distancia objeto es igual a la distancia focal objeto. las diapositivas se colocan invertidas.B B A F A' 2·F A 2·F' F' F 2·F F' 2·F' B' s s' s La imagen formada por una lente convergente de un objeto cuya distancia objeto cumple la relación F < s < 2 F es real. Óptica geométrica s' 22 . e incluye un esquema gráfico de la formación de la imagen. La diapositiva se coloca entre el foco y el doble de la distancia focal. La miopía hace que la imagen de un objeto distante se enfoque delante de la retina. invertida y de mayor tamaño que el objeto. para poder ver la imagen derecha). s F. básicamente. ya que los rayos se cortan en el infinito. Un proyector de diapositivas consiste. Describe el funcionamiento de un proyector de diapositivas. siendo la distancia imagen: s' > 2 F'. 21. no se forma imagen. derecha y mayor que el objeto. e invertida (por ello. Como vemos. en una lente convergente. B' B B A' 2·F F B' A F' 2·F' F' A' A F s' s' s s La imagen formada por una lente convergente de un objeto cuya distancia objeto es menor que la distancia focal objeto (s < F) es virtual. formándose una imagen real (puede recogerse en una pantalla). Para componer este defecto se utiliza una lente convergente. El esquema de formación de la imagen es el siguiente: B A' 2·F A 2·F' F' F B' s Unidad 12. a) Para la construcción de imágenes en un espejo plano debemos tener en cuenta las leyes de la reflexión: El rayo incidente. a que el espejo invierte el sentido de los vectores perpendiculares a él. I. • No está invertida: cuando nos miramos a un espejo no nos vemos boca abajo. como se aprecia en la figura. representado por la flecha A.EJERCICIOS 22. A A' Dibuja la imagen. Un objeto. b) La imagen que se obtiene presenta las siguientes características: • Es del mismo tamaño. que viene dada por la línea de puntos. del objeto que se vería reflejada en el espejo. la normal en el punto de incidencia y el rayo reflejado se encuentran en un plano normal a la superficie de reflexión. en este caso. vemos que. como ya hemos señalado en un ejercicio anterior. Dibuja la imagen que se obtiene en este caso. la imagen se forma al hacer concurrir en un punto al otro lado del espejo rayos que divergen. se encuentra frente a un espejo. a) Señala las tres características que describen esta imagen. dejando invariables los vectores paralelos al espejo. Ello se debe. la imagen está inclinada hacia el otro lado. el objeto ha girado sobre su base. • Es virtual: como se aprecia en la ilustración. mientras que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión. Óptica geométrica 23 . b) Observa ahora la posición del objeto. Unidad 12. Como se aprecia en la figura. c) La imagen que se obtiene ahora se ha superpuesto a la otra en la figura anterior. Al comparar las dos imágenes. C a) Sitúa el foco del espejo. 1 2 1 2 24. En un espejo esférico cóncavo (centro de curvatura C) se refleja la imagen de un objeto lejano. b) Dibuja la imagen que se forma. Unidad 12. Para la construcción de imágenes en un espejo plano hemos de tener en cuenta las leyes de la reflexión: El rayo incidente. El espejo de la figura. con tres adjetivos.23. O A' A Dibuja la imagen que formará el objeto O. mientras que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión. La figura muestra los rayos incidentes. Óptica geométrica 24 . La imagen que veremos en cada caso es la que se muestra en la ilustración. que ocupaba inicialmente la posición A. tras reflejarse en el espejo. gira y pasa a ocupar la posición A'. las características de la imagen que se forma. c) Describe. la normal en el punto de incidencia y el rayo reflejado se encuentran en un plano normal a la superficie de reflexión. cosa que nos indica que la figura está situada en un punto muy alejado del espejo. al sustituir en la expresión que relaciona las posiciones objeto e imagen. el foco del espejo se encuentra situado a una distancia R/2 del vértice del espejo. Óptica geométrica 25 . lo que expresamos matemáticamente diciendo que el objeto se encuentra “en el infinito”. por tanto. está situado a una distancia R del vértice del espejo. b) Los rayos inciden paralelos. Resuelve de nuevo el ejercicio anterior para el caso del espejo esférico convexo que se muestra en la figura: C a) El punto C es el centro de curvatura. el foco del espejo se encuentra situado a una distancia R/2 del vértice del espejo. F f=R/2 I C R c) La imagen que se obtiene es real. lo que expresamos matemáticamente diciendo que el objeto se encuentra “en el infinito”. b) Los rayos inciden paralelos. obtenemos el siguiente resultado: 1 1 2 1 1 2 R + = → + = → s′ = s s′ R ∞ s′ R 2 La imagen se forma a una distancia R/2. obtenemos el siguiente resultado: 1 1 2 1 1 2 R + = → + = → s′ = s s′ R ∞ s′ R 2 Unidad 12. al ser esférico el espejo. al sustituir en la expresión que relaciona las posiciones objeto e imagen. Por su parte. invertida y de menor tamaño que el objeto. sobre el foco. Teniendo esto en cuenta. está situado a una distancia R del vértice del espejo.a) El punto C es el centro de curvatura. por tanto. Por su parte. 25. Teniendo esto en cuenta. cosa que nos indica que la figura está situada en un punto muy alejado del espejo. al ser esférico el espejo. en los casos en que s < f y s > f. será siempre menor que la unidad. dibuja el diagrama de rayos para formar la imagen de un objeto de altura y situado a una distancia s del foco. En el caso de que s < f. sobre el foco. 27. un objeto se encuentra a una distancia s mayor que el doble de la distancia focal (2 f ). En una lente convergente. en el caso. Haz un esquema de la marcha de los rayos y explica qué clase de imagen se forma (real. el diagrama de rayos es el siguiente: B' B A' 2·F F s' Unidad 12. 26. Para una lente convergente de distancia focal f.La imagen se forma a una distancia R/2. virtual. Óptica geométrica A F' 2·F' s 26 . I F f=R/2 C R c) La imagen que se obtiene es virtual. derecha y de menor tamaño que el objeto. La imagen que se forma es real. invertida y menor que el objeto. derecha o invertida) y qué sucede con el aumento. como se muestra en la figura: B A' A 2·F F 2·F' F' B' s' s El aumento lateral es: β= y ′ s′ = y s Su valor. derecha y mayor que el objeto. invertida y menor que el objeto. ¿a qué distancia se forma la imagen? Unidad 12. Si situamos un objeto a 25 cm de la lente. PROBLEMAS 28. invertida y de igual tamaño que el objeto. invertida y de mayor tamaño que el objeto. Óptica geométrica 27 . Una lente convergente delgada tiene una potencia de 8 dioptrías. podemos distinguir tres casos: • s > 2 · f: B A' A F 2·F F' 2·F' B' s' s La imagen es real. • s = 2 · f: B A 2·F F' F A' 2·F' B' s s' La imagen es real. • s < 2 · f: B A' 2·F A 2·F' F' F B' s s' La imagen es real. Si s > f.La imagen que se obtiene es virtual. f' = 20 cm. obtenemos la distancia imagen: s′ = f′⋅s 0. 25 = 0. ¿donde se formará la imagen? c) Si se coloca un objeto a una distancia de la lente superior a la distancia focal. basta con dibujar la marcha de los rayos luminosos. 2 ⋅ ( −1) = = 0. situando un objeto delante del foco objeto. ¿cuáles serán las características de la imagen? a) De acuerdo con las leyes de formación de las imágenes en lentes delgadas. 25 m 29. b) Si se coloca un objeto a 100 cm de la lente. b) La expresión que relaciona la distancia objeto y la distancia imagen en una lente delgada es: 1 1 1 − = s′ s f′ Al despejar y sustituir. cualitativamente. el enunciado nos proporciona indirectamente la distancia focal de la lente. cuáles son las características de la imagen. 2 − 1 c) Para comprobar. cuando los rayos inciden paralelos al eje óptico de la lente. 25 m f′+s 0. resulta: s′ = 1 1 D+ s = 1 1 8+ −0.La expresión que relaciona la distancia objeto y la distancia imagen en una lente delgada es: 1 1 1 − = =D s′ s f′ F F’ Sustituyendo en la expresión anterior. s'. y teniendo presente el criterio de signos que adoptamos. Una lente convergente forma la imagen de un objeto lejano (haces de luz incidentes paralelos) a 20 cm de ella: a) Calcula la distancia focal de la lente. Óptica geométrica 28 . Por tanto. la imagen se forma en el foco de la lente. la distancia imagen. distinguiremos dos casos: Unidad 12. No obstante. El radio de curvatura de un espejo cóncavo es 50 cm. 5 −1 La imagen se forma a 0.33 metros del centro óptico. s = −1 m. 31 Un objeto de 4 cm de altura se coloca delante de un espejo cóncavo de 40 cm de radio de curvatura. Un cuerpo está situado a 1 m del espejo. F F' f s > 2.• En el primero de ellos situaremos el objeto a una distancia tal que f < s < 2 · f. La imagen que se obtiene es real. b) Cuando se encuentra a 10 cm. Determina la posición.f 30. La imagen que se obtiene es real. el tamaño y la naturaleza de la imagen en los dos casos siguientes: a) Cuando el objeto se encuentra a 60 cm del espejo. Óptica geométrica 29 .f • En el segundo supondremos que el objeto está a una distancia s > 2 · f. Por tanto: s′ = 1 1 1 = =− m 2 1 2 1 3 − − R s −0. al igual que la distancia objeto. F' F f f < s < 2. en valor absoluto. Unidad 12. que también es negativa. ¿A qué distancia. el radio es negativo. R = −0. se formará la imagen? Para un espejo esférico se cumple la siguiente relación: 1 1 2 + = s s′ R Al tratarse de un espejo cóncavo. invertida y de mayor tamaño.5 m. invertida y de menor tamaño. es: 1 1 1 1 1 + = → s′ = = = −30 cm 1 1 1 1 s′ s f − − f s −20 −60 En el cálculo se ha tenido en cuenta que. Unidad 12. la distancia focal es la mitad del radio de cobertura: f = R/2 = 40/2 = 20 cm. La distancia imagen.a) La construcción geométrica que corresponde a este caso es la siguiente: y O y' C F f = –20 cm s' s = –60 cm La imagen que se forma es real. b) En el caso de que el objeto esté a 10 cm del espejo: y' F y = 4 cm O C s = –10 cm s' f = –20 cm La imagen que se forma es virtual. Óptica geométrica 30 . en un espejo esférico. s'. derecha y de mayor tamaño que el objeto. invertida y de menor tamaño que el objeto. El tamaño de la imagen es: y′ s′ y ⋅ s′ 4 ⋅ ( −30) = − → y′ = − =− = −2 cm y s s −60 El signo negativo obedece a que la imagen está invertida. La posición en que se encuentra. Óptica geométrica y' F 31 . 2 m 2 2 b) La posición de la imagen se obtiene del siguiente modo: 1 1 1 1 1 + = → s′ = = = −0. 3 m 1 1 1 1 s′ s f − − f s −0. invertida (y' < 0) y de menor tamaño que el objeto (y' < y). 6 La imagen que se forma es real (s' < 0). c) La representación gráfica del problema es la siguiente: y C Unidad 12. 4 = = −0. 025 m y s s −0. Calcula: a) La distancia focal del espejo.4 m se sitúa un objeto de 0. 2 −0.6 m del vértice óptico. a) La distancia focal del espejo es la mitad de su radio de curvatura: f = R −0. c) Representa gráficamente el problema.05 m de altura a una distancia de 0. 3 ⋅ 0. s'. Delante de un espejo cóncavo con un radio de curvatura de 0. b) La posición y el tamaño de la imagen. a partir de la expresión que proporciona el aumento lateral: y′ s′ s′ ⋅ y −0. 6 Y su tamaño. 05 = − → y′ = − =− = −0. es: 1 1 1 1 1 + = → s′ = = = 20 cm 1 1 1 1 s′ s f − − f s −20 −10 El tamaño de la imagen es: y′ s′ y ⋅ s′ 4 ⋅ 20 =− = 8 cm = − → y′ = − y s s −10 32. Determina la posición y el tamaño de la imagen.03 m de altura.4 m La imagen que se forma es virtual. La determinación analítica de la posición es: 1 1 1 1 1 + = → s′ = = = 0. se encuentra un objeto perpendicular al eje óptico. La representación gráfica de la situación que plantea el enunciado del problema es la siguiente: y C y' F s' f = 0. 4 Y su tamaño: y′ s′ s′ ⋅ y 0.1 m.f Unidad 12. Óptica geométrica 32 . Enfrente de un espejo convexo de 40 cm de radio de curvatura y a 25 cm de él.5 cm de altura. El trazado geométrico de los rayos que representa la situación física propuesta por el problema es la siguiente: y y' s' s F C f R=2. 4 34. 08 m 1 1 1 1 s s′ f − − f s 0.33 Determina gráfica y analíticamente la posición y el tamaño de la imagen de un objeto de 0. 08 ⋅ 0. derecha y de menor tamaño que el objeto. situado sobre el eje óptico a 0. 006 m y s s −0. de 0.1 m s = –0. 03 = − → y′ = − =− = 0. 1 −0.4 m del centro óptico de un espejo convexo de distancia focal 0. Óptica geométrica 33 . 22 cm y s s −25 35.La imagen que se forma es virtual. a) Si el objeto se aleja hasta 25 cm del espejo. Un objeto situado a 8 cm de un espejo esférico cóncavo produce una imagen virtual 10 cm detrás del espejo. La distancia imagen es: ) 1 1 1 1 1 1 + = → s′ = = = = 11. seguirá estando entre el foco y el espejo. 67 cm 1 1 1 1 s s′ f − − f s −40 −25 Unidad 12. derecha y de mayor tamaño que el objeto. f: 1 1 1 s ⋅ s′ −8 ⋅ 10 + = → f = = = −40 cm s s′ f s ′ + s 10 − 8 Si el objeto se aleja hasta 25 cm del espejo. además. 1 ⋅ 0. podemos obtener el valor de la distancial focal. 1 cm 1 1 1 1 1 1 s s′ f − − − f s R/2 s 40/2 −25 Y su tamaño: y′ s′ s′ ⋅ y 11. derecha y de menor tamaño que el objeto. B' B A F C O s A' s' eje principal f Con los datos de que disponemos. 5 = − → y′ = − =− = 0. La posición de la imagen será: 1 1 1 1 1 + = → s′ = = = 66. el objeto deberá estar situado entre el foco y el espejo. ¿dónde estará la imagen? b) ¿Qué puedes decir de ella? Si el espejo esférico es cóncavo y la imagen que se forma es virtual. La imagen será. Por tanto. como se aprecia en la figura: B' B O A F C A' s eje principal s' f 36 Situamos un objeto de 2 cm de altura a 20 cm de una lente de 20 dioptrías. 05 m = 5 cm p 20 La posición de la imagen se calcula del siguiente modo: 1 1 1 − = s′ s f′ 1 1 = = 6. Óptica geométrica 34 . la lente ha de ser convergente.La imagen será. b) Calcula la posición de la imagen. derecha y mayor que el objeto. el trazado de rayos que corresponde a la situación que describe el enunciado es el siguiente: y F' y' F s = 20 cm s' = 6. la lente y la imagen. s′ = Unidad 12.67 cm b) El valor de f' es: f′ = 1 1 = = 0. a) Dibuja un esquema con la posición del objeto. virtual. c) ¿Cuál es el aumento lateral? a) Como la potencia es positiva. por tanto. 67 cm 1 1 1 1 + + f′ s 5 −20 La imagen es real. invertida y de menor tamaño que el objeto. 67 = = = −0. Óptica geométrica y ′ s′ s ′ ⋅ y 60 ⋅ 1 = → y′ = = −2 cm = y s s −30 35 .c) El aumento lateral es: β= y ′ s ′ 6. Si el objeto está situado a 15 cm de la lente. ambos de altura y = 1 cm. la posición de la imagen es: 1 1 1 1 1 − = → s′ = = = −60 cm 1 1 1 1 s′ s f′ + + f′ s 20 −15 El tamaño de la imagen es: β= y ′ s′ s ′ ⋅ y −60 ⋅ 1 = → y′ = = = 4 cm y s s −15 La imagen es virtual. Calcula las posiciones y tamaños de las imágenes dadas por la lente de la figura de los objetos O1 y O2. la posición de su imagen será: 1 1 1 1 1 − = → s′ = = = 60 cm 1 1 1 1 s′ s f′ + + f′ s 20 −30 El tamaño de la imagen es: β= Unidad 12. como se muestra en la siguiente figura: y' y F s' = 60 cm F' s = 15 cm f' = 20 cm Si el objeto está a 30 cm de la lente. derecha y mayor que el objeto. 33 y s −20 37. O1 O2 F F' 15 cm 20 cm 30 cm Comprueba gráficamente tus resultados mediante trazados de rayos. E.8 m Lente De acuerdo con las reglas de la reflexión.La imagen es real. P. hay un punto luminoso. del mismo tamaño y está situada a 20 cm del plano del espejo. de acuerdo con la siguiente gráfica: y O1 F F' s = 30 cm y' s' = 60 cm 38. que se refleja en el espejo plano y su imagen se utiliza como objeto respecto a la lente. a) En la figura se muestra la trayectoria que siguen los rayos emitidos por el objeto hacia el espejo para formar la imagen. Calcula la posición de la imagen y el aumento lateral que se produce. Óptica geométrica 36 . A 20 cm del espejo.2 m Espejo 1. L. Unidad 12. α α I O P 0.2 m 0. invertida y mayor. colocado perpendicularmente al eje de la lente. Una lente convergente.8 m. sobre el eje. de una dioptría. está situada enfrente de un espejo plano. E L P La distancia entre el espejo y la lente es 1. Dibuja la trayectoria que sigue un rayo de luz que parte de P. la imagen es virtual. b) En la figura siguiente hemos representado la situación de esa imagen respecto a la lente. calculamos ahora el aumento lateral: β= y ′ s′ 2 = = = −1 y s −2 La imagen que se forma es del tamaño del objeto y está invertida. Para poder hacerlo. b) 5 cm antes de la lente. Se tiene una lente cóncava con radios de curvatura de 20 y 40 cm. Óptica geométrica 37 .I F F' s = –(0. cuando se encuentra situado: a) 20 cm antes de la lente. Calcula la potencia óptica de la lente y la posición y el tamaño de la imagen. resulta: s′ = f′⋅s 1 ⋅ ( −2) = =2 m f ′ + s 1 + ( −2) Sustituyendo en la expresión correspondiente. Su índice de refracción es de 1.2+1. Obtén gráficamente la imagen de un objeto. aplicamos la expresión que relaciona distancia objeto y distancia imagen en una lente delgada: 1 1 1 − = =D s′ s f′ Al despejar y sustituir en esta expresión. Un objeto de 3 mm se coloca a 50 cm de la lente. El enunciado de esta actividad no aporta los datos suficientes para resolverla. es necesario conocer el valor de la distancia focal objeto o imagen.8. A partir de la siguiente expresión: 1 1 1 = (n − 1) · − f' R1 R2 Y teniendo en cuenta que: 1 P = f' Unidad 12. 39. 40. y comenta sus características.8) = –2m s' I' Para calcular la distancia imagen. 67 · 108 m/s 1. Calcula: a) La velocidad de la luz en el interior de la lente.4 La distancia focal es: 1 1 1 P = → f' = = = −0. 5 y s s La imagen es virtual. Una lente bicóncava simétrica posee una potencia de −2 dioptrías y está formada por un plástico con un índice de refracción de 1. c) ¿Dónde hemos de colocar un objeto para que el tamaño de su imagen sea la mitad que el del objeto? a) La velocidad de la luz en el interior de la lente la obtenemos teniendo en cuenta la definición de índice de refracción: c c n = → v = v n 3 · 108 v = = 1. 5 ⋅ 10 −4 m = 0.podemos calcular la potencia óptica de la lente: 1 1 1 1 P = (n − 1) · − = (1.8 Unidad 12. b) Los radios de curvatura de la lente.8. como corresponde a una lente divergente.8 − 1) · − = −6 dioptrías R1 R2 −0. derecha y menor que el objeto.5 −0.5 m 41. y O y' F' F s' = 0.2 0.125 m f' = 0.16 m s = 0.125 cm 1 1 1 1 s s' f' + + − s f' 0.16 m f' P −6 La posición de la imagen es: 1 1 1 1 1 − = → s' = = = −0. En la imagen se muestra el diagrama de rayos.16 Y su tamaño: β= y ′ s′ s ′ ⋅ y −0. 75 mm −0. Óptica geométrica 38 . 125 ⋅ 3 ⋅ 10 −3 = → y′ = = = 7. d) La construcción geométrica de la imagen.5 m s f' P −2 Por tanto. Por tanto: 1 1 1 P = → f' = = = −0.b) Los radios de curvatura de una lente están relacionados con la potencia. de 3 cm de altura. Determina: a) La distancia focal de la lente.1 m f' P −10 b) La posición de la imagen se calcula a partir de la ecuación fundamental de las lentes delgadas: Unidad 12. 42 Un objeto luminoso. b) La posición de la imagen.8 m c) La posición del objeto la obtenemos aplicando la ecuación de las lentes delgadas y teniendo en cuenta la expresión del aumento lateral: y' s' β = = y s y/2 s' y s y' = → β = = → s' = y s 2 2 Sustituyendo en la ecuación de las lentes delgadas: 1 1 2 1 1 1 1 1 1 − = → − = → − = s s s s s' f' s/2 f' f' 1 1 1 1 = → s = f' = → s = = −0. pero signos opuestos. deducimos que los dos radios de curvatura tienen el mismo valor. según el convenio de signos que hemos utilizado al estudiar la unidad. Óptica geométrica 39 .8 − 1) · = −0. está situado a 20 cm de una lente divergente de potencia −10 dioptrías. mediante la expresión: 1 1 1 P = = (n − 1) · − f' R1 R2 Teniendo en cuenta que se trata de una lenta bicóncava simétrica. NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. Por tanto: 1 1 1 R2 = −R1 → P = = (n − 1) · − f' R1 R2 2 2 P = (n − 1) · → R1 = (n − 1) · R1 P 2 R1 = (1.8 m −2 R2 = −R1 = 0. c) La naturaleza y el tamaño de la imagen. a) La distancia focal es la inversa de la potencia de la lente. el objeto se debe colocar medio metro a la izquierda de la lente. 1 m s = – 0.5 s' 0. Ponemos un objeto delante de la lente a 50 cm de distancia.2 d) La imagen es.154 m s' −0. Las imágenes que forman este tipo de lentes son siempre virtuales. ¿dónde deberíamos poner el objeto para obtener una imagen real? Justifica la respuesta. derecha y de menor tamaño que el objeto.5 − → s' = − = −0.0667 m f' = – 0. derechas y de menor tamaño que el objeto. Tenemos una lente de −4.22 m f' P −4. 0667 m 1 1 1 1 s′ s f′ + + f′ s −0.01 m = 1 cm y s s −0. como se muestra en la siguiente figura: y y' F' O s' = – 0. Óptica geométrica 40 .0667 · 3 · 10−2 β = = → y' = = = 0. b) ¿Cuál es el aumento obtenido? c) Si se puede. la imagen se forma a la izquierda de la lente. utilizaremos dos rayos cuya trayectoria sea conocida: Unidad 12.5 dioptrías de potencia. La posición de la imagen la obtenemos aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas: 1 1 1 − = = P s s' f' Sustituyendo los datos que proporciona el enunciado: 1 1 1 1 1 − = −4. por tanto. c) El tamaño de la imagen es: y' s' s' · y −0. virtual.2 m 43. 1 −0.1 1 1 1 1 − = → s′ = = = −0. Para realizar el trazado de rayos correspondiente.5 Como vemos. a) A partir de la definición de la potencia de una lente se obtiene su distancia focal: 1 1 1 P = → f' = = = −0. a) ¿Dónde se forma la imagen y de qué tipo es? Haz un diagrama de rayos y los cálculos pertinentes.5 El valor negativo obtenido nos indica que se trata de una lente divergente. además.5 6. 2 La imagen es.5 → = −4. s'1. y así sucesivamente.012 s'1 = = 0.1 0. Es imposible obtener una imagen real con una lente divergente. b) ¿Cuál es el aumento de la lente? c) Dibuja un diagrama de rayos mostrando la imagen final. El diagrama de rayos es el siguiente: Y O B y B' y' F' A' A s F X s' b) El aumento lateral de la lente se obtiene mediante la expresión: y' s' s' −0. En este caso. 44. con dos lentes convergentes. una lente divergente siempre forma imágenes virtuales. a) En un sistema de lentes. la imagen formada en la primera lente.6 m 0. 2. Un objeto está situado 12 cm a la izquierda de una lente de 10 cm de distancia focal.12 0.31 y s s −0.5 c) Como vimos al contestar el apartado a). es el objeto de la segunda lente: y2 = y'1. Un rayo que incide en la lente paralelo al eje óptico se refracta de modo que su prolongación pasa por el foco imagen. de la imagen dada por la primera lente. la imagen del objeto que proporciona la primera lente sirve de objeto para la segunda.1 1 1 1 1 0. NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. aplicamos la ecuación fundamental de las lentes delgadas: 1 1 1 1 1 1 − = → − = s'1 s1 f '1 s'1 −0. a) Halla la posición de la imagen final del objeto. Óptica geométrica 41 . se coloca una segunda lente de 12.5 cm de distancia focal. Un rayo que pasa por el centro óptico de la lente no modifica su dirección de propagación. puesto que se forman con las prolongaciones de los rayos que divergen tras refractarse en la lente. A la derecha de esta y a 20 cm.012 s'1 0. Para obtener la posición.02 = − → = = 0. y'1.12 s'1 0.12 − 0.02 Unidad 12.012 0.1 0.154 β = = → β = = = 0.1. 4 + 0.y F'1 F1 f = –10 f '= 10 y'1 s1= –12 s'1 La primera lente forma la imagen del objeto 60 cm a su derecha.5 s'2 F2 y'2 F'2 y2 = y'1 f2 = –12.2 = 0.125 1 1 1 1 = + → = = 10.4 s'2 1 s'2 = = 0.4 m y y'1 20 cm s2 = 40 cm s'1 = 60 cm s1 = –12 cm Aplicando a la segunda lente la ecuación fundamental de las lentes. f2 = 12.5 s2 = 40 Unidad 12. para la segunda lente. Óptica geométrica 42 .5 0.125 0.4 0.5 La imagen final se encuentra situada 9. el objeto.5 cm a la derecha de la segunda lente.125 0. como se aprecia en la figura de la página siguiente. Puesto que la segunda lente se encuentra 20 cm a la derecha de la primera. obtenemos la posición final del objeto: 1 1 1 1 1 1 − = → − = s'2 s2 f '2 s'2 0.095 m 10.05 s'2 0. está situado 40 cm a su derecha: s2 = s'1 − 0. 2 y1 c) El diagrama de rayos completo es el siguiente: y F2 F'1 F1 y'2 F'2 y'1 f1 = –10 f'1 = 10 s'2 = 9.24 · y2 0. cuya distancia focal es desconocida. Una lente. 45.24 → y'2 = 0.2 · y1 y'2 β = = −1. ¿Cuál es la nueva posición de la lente y el nuevo valor del aumento? a) Teniendo en cuenta que la imagen es real. Unidad 12. Un objeto luminoso está situado a 6 m de una pantalla.5 s2 = 40 s1 = –12 s'1 = 60 NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado.24 · y2 = 0. puesto que las lentes divergentes dan siempre imágenes virtuales.095 β2 = → β2 = = 0. invertida y cuatro veces mayor que el objeto. debe de tratarse de una lente convergente.12 s1 s'2 0. a) ¿Cuáles son la naturaleza (convergente o divergente) y posición de la lente? ¿Cuál es el valor de la distancia focal? b) Se desplaza la lente de manera que se obtenga sobre la misma pantalla una imagen nítida. Óptica geométrica 43 .b) El aumento lateral de una lente se obtiene mediante la expresión: y' s' β = = y s En este caso.4 s2 El aumento lateral del sistema de lentes es: y'2 = 0.5 f2 = –12. forma sobre la pantalla una imagen real.5 f'2 = 12. pero de tamaño diferente a la obtenida anteriormente. para cada una de las lentes.6 β1 = → β1 = = −5 → y'1 = −5 · y1 −0. resulta: s'1 0.24 · (−5 · y1) = −1. es decir. por tanto. Óptica geométrica 44 .96 Al resolver la ecuación de segundo grado.2 − 4. s = −4.8 1 1 1 s' · s − = → f ' = = = 0.8 NOTA: la resolución que de este problema se ofrece en el CD-ROM para el alumnado no es correcta.2 β = = = −0.8 m El valor de la distancia focal de la lente. se obtiene a partir de la ecuación fundamental de las lentes delgadas: −1.8 = 1. en este caso: s = – 4. A partir de los datos que proporciona el enunciado del problema. s' y' y β = = = −4 · = −4 s y y Por tanto: s' = −4 → s' = −4 · s s 1 Como el objeto luminoso está situado a 6 m de la pantalla. debe cumplirse que F < s < 2 · F. tal como vimos al estudiar la unidad.2 m → −4 · s − s = 6 → s' = −4 · s = −4 · (−1. se obtiene: s = −1.La imagen es invertida y de mayor tamaño que el objeto. en vez de a la pantalla.76 = 0 2 s s s' f' 6+s 0.2 · 4. se sigue cumpliendo la siguiente relación: s' − s = 6 m → s' = 6 + s Por tanto.2 m .8 b) En este caso. ya que en ella se ha considerado la distancia del objeto a la lente. Unidad 12. f '.2 m Por tanto.96 s + 6 · s 0. el nuevo valor del aumento lateral es: s' 1. aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas: 1 1 1 1 1 1 −6 1 − = → − = → = → s 2 + 6 s + 5. ha de cumplirse que: s + s' = 6 m Teniendo en cuenta el convenio de signos: s' − s = 6 m 2 A partir de las expresiones 1 y 2 obtenemos el valor de s y s': s' = −4 · s s' − s = 6 s = −1.8 m → s' = 6 + s = 6 − 4.96 m s s' f' s' − s −1. Esto implica que el objeto estará situado entre F y 2 · F.8 m El primer valor es el obtenido en el apartado anterior.25 s −4. 2) = 4. podemos calcular el aumento lateral de la lente y la relación entre s y s'. rayos β y rayos γ. Como se aprecia en la figura del libro del alumno. 3. ya que la radiación gamma forma parte del espectro electromagnético. el vector intensidad de campo eléctrico es perpendicular a la dirección en que se desplazan las partículas. en especial. enciclopedias. y un electrón.. la cámara de burbujas. los rayos gamma sí hacen referencia a una emisión que tiene esas características. los primeros detectives geiger. la emisión en las frecuencias del espectro visible. las emisiones α y β son emisiones de partículas o conjuntos de partículas atómicas conocidas: núcleos del isótopo 4 del helio (una partícula). Física nuclear 1 . Se pretende con esta actividad que el alumno amplíe sus conocimientos. etc.15 FÍSICA NUCLEAR 15. etc. ¿Es correcta esta denominación? ¿Por qué? La denominación no es adecuada. Por el contrario. si el profesor lo estima procedente. se denominan “rayos” las emisiones electromagnéticas. Normalmente. En este caso.1. 2. si se trata de una emisión β+. Busca información acerca de los primeros detectores utilizados para “visualizar” la trayectoria de la radiación emitida por una muestra radiactiva. buscando información en internet. Las partículas β se curvan más que las partículas α. a las emisiones radiactivas se las denominaba rayos α. porque la relación m/q es menor en las partículas β que en las α. sobre la cámara de niebla. en el caso de la emisión β−. Indica la composición nuclear de los siguientes núcleos de elementos químicos: 12 6 14 6 C C 14 7 N 16 8 40 20 O Ca La composición nuclear es la que se incluye en la siguiente tabla: Núcleo Protones Neutrones Electrones C 6 6 6 C 6 8 6 N 7 7 7 O 8 8 8 Ca 20 20 20 12 6 14 6 14 7 16 8 40 20 Unidad 15. en el caso de la partícula α. estando situada en la zona más energética (de mayor frecuencia) de este. 4. o un positrón. ¿Qué conclusión podemos obtener con respecto a la relación que existe entre la masa y la carga de las partículas alfa y de las partículas beta? Las partículas α y β se curvan debido a la acción del campo eléctrico que se aplica. Hace algunas décadas. EL DESCUBRIMIENTO DE LA RADIACTIVIDAD 1. La uma (u) se define como la doceava parte de la masa de un átomo del isótopo 12 del carbono: 1u= m 12 6 C 12 Como la masa de un mol de átomos de carbono-12 es de 12 g.99 · 10−23 g/átomo = 1. del que se conocen ocho isótopos estables. 2886 + 116 ⋅ 0. 5198 u 3. Calcula la abundancia isotópica de cada uno de ellos en la naturaleza. respectivamente. 2407 + 113 ⋅ 0.75%. 4. si sus abundancias isotópicas respectivas son: 1.811 u.99 · 10−26 kg/átomo 23 C 6. calculamos la media ponderada para el conjunto de isótopos: Amedia = 8 ∑A ⋅X i i i =1 Amedia = 106 ⋅ 0.1226 + + 114 ⋅ 0. 28. los elementos químicos que podemos encontrar en la naturaleza son una mezcla de varios isótopos.022 · 10 átomos 6 Por tanto. cuya masa atómica es 10. y en él hay NA átomos de isótopo.1275 + 112 ⋅ 0. 110.875%. 01215 + 108 ⋅ 0. 112.99 · 10−26 1 u = = = 1.1239 + + 111 ⋅ 0. denominados deuterio y tritio. El boro. 12.66 · 10−27 kg 12 12 2. 12. 113.86% y 7. En una muestra de hidrógeno están presentes tres isótopos. Compara el resultado obtenido con el valor que figura en la tabla periódica. 0758 = 112. la masa de un átomo de isótopo es: 12 g m12 = = 1. es una mezcla de dos isótopos cuyos números másicos son 10 y 11 u. EL NÚCLEO ATÓMICO 1.215%. Unidad 15. 108. 00875 + 110 ⋅ 0. respectivamente. Física nuclear 2 .07%.15.26%. Para hallar la masa atómica promedio.58%. 111. Calcula la masa atómica promedio del cadmio (Z = 48). que se encuentran en determinadas proporciones.2. Busca información acerca de los dos isótopos conocidos del hidrógeno. 0. En estado natural. de números másicos 106. 114 y 116. Calcula la equivalencia que existe entre la unidad de masa atómica (u) y la unidad internacional de masa (kg). 12. En una proporción mucho menor está el deuterio (formado por un protón y un neutrón) y. se encuentra el tritio (compuesto por un protón y dos neutrones). la equivalencia entre la unidad de masa atómica y el kilogramo es: m162C 1. con una mínima presencia.39%. 24. El protio (formado por un protón) es el más abundante. 9% . 811 u En la expresión anterior.189 = 0.189 → 18. Aplica las leyes de Soddy-Fajans a las siguientes transformaciones radiactivas e identifica. 15.3.811 = 10 · x + 11 · (1 − x) → x = 0. y = 1 − x = 1 − 0. Completa las siguientes ecuaciones de transmutación: Ra → 222 Rn + … 86 c) Ra → 2128Bi + … d) … → 208 Pb + 24 He 82 a) 226 88 b) 212 88 Bi → … + –10e 212 83 a) La reacción nuclear se corresponde con una desintegración α: 226 88 Ra → 222 Rn + 42He 86 b) En este caso tenemos una desintegración β−: 212 88 Ra → 212 Bi + –10e + ν– 89 c) Tenemos. La relación entre ambos es: x+y=1→y=1−x Por tanto: 10. el elemento producido: a) U → 24 He + … 238 92 b) U → –10e + … 234 90 a) La reacción nuclear se corresponde con una desintegración α: 238 92 U → 24He + 234 Th 90 b) En este caso tenemos una desintegración β−: 234 90 U → –10e + 234 Pa + ν– 90 2. 811 u i=1 Es decir: Amedia = 10 ⋅ x + 11 ⋅ y = 10. una desintegración β−: 212 83 Bi → 212 Po + –10e + ν– 84 d) La reacción nuclear se corresponde con una desintegración α: 212 84 Unidad 15. x es la abundancia isotópica del isótopo de número másico 10. Física nuclear Po → 208 Pb + 42 He 82 3 . PROCESOS RADIACTIVOS. la abundancia isotópica que corresponde a los isótopos del boro de número másico 10 y 11 es de 18. de nuevo. respectivamente.811 → 81.1% En consecuencia. e y la que corresponde al isótopo de número másico 11.La masa atómica promedio del boro es: 2 ∑ Ai ⋅ Xi Amedia = = 10. LEYES DE SODDY Y FAJANS 1.1%. con la tabla periódica.9% y 81. no supone inestabilidad de este. mediante el intercambio de mesones. nuclear fuerte y nuclear débil. que se recogen en la tabla de la página anterior. Compara las características de las cuatro interacciones que existen en la naturaleza: gravitatoria. y si un protón capta dicho mesón.003 u). se convierte en protón. ESTABILIDAD NUCLEAR 1. El modelo de Yukawa. del mismo modo. neutrón y electrón. según el cual la fuerza nuclear fuerte se explica como un intercambio de mesones entre las partículas que forman el núcleo atómico. se convierte en neutrón. 3. calcula: a) El defecto de masa que se produce al formarse un átomo de helio a partir de las partículas que lo constituyen. si un neutrón capta un mesón positivo. la idea que tienen los alumnos y alumnas sobre la estabilidad del núcleo. Unidad 15. (Masa atómica del helio = 4. Idea un modelo para representar la interacción de neutrones y protones en un núcleo atómico. Precisamente. b) La energía que se libera al formarse un átomo de helio. 2.15. Física nuclear 4 . este intercambio es la causa de la elevada estabilidad nuclear. pierde su carga y se convierte en un neutrón. un protón y un neutrón. con carácter previo al estudio de este epígrafe. por ejemplo. Estas transformaciones no producen inestabilidad. Esta actividad puede ser planteada por el profesor o profesora.5. DEFECTO DE MASA Y ENERGÍA DE ENLACE 1. Teniendo en cuenta las masas que corresponden a protón. Gravitatoria Macrocosmos Atractiva La más débil Entre partículas con masa Nuclear débil Microcosmos (10−15 m) Atractiva o repulsiva Débil Responsable de la radiactividad natural Electromagnética Macrocosmos Atractiva o repulsiva Fuerte Entre partículas con masa Microcosmos (10−15 m) Atractiva o repulsiva La más fuerte Entre quarks Nuclear fuerte 15. supone una transformación de protón en neutrón. ya que el número total de protones y neutrones en el núcleo no se modifica. electromagnética.4. cuando un neutrón emite un mesón negativo. para analizar. si lo estima procedente. ¿Puedes explicarlo? La mediación de un mesón entre. o viceversa: cuando un protón emite un mesón positivo. Por su parte. se transforma en protón. a cuál de los dos le corresponde mayor energía de enlace por nucleón. Física nuclear 5 .66 · 10−27 kg ∆m = 0.31 · 10−12 J = 26. 12.101311 u = = 1.132528 u · = 2.095646 u = 1.66 · 10−27 · (3 · 108)2 = 4.008665 − 13.003 u. Calcula la energía que se desprende cuando se forma un átomo de oxígeno a partir de las partículas que lo constituyen.5877 · 10−28 kg Y la energía de enlace por nucleón que le corresponde: ∆m C · c2 1.98 · 10−11 J = 123. es: ∆m 13 C = mnucleones 13 C − mm C 13 = 6 · 1.007276 + 2 · 1. Por tanto: ∆m = mnucleones − mhelio = 2 · 1.6818 · 10−28 · (3 · 108)2 En = = = 1. formado por 6 protones y 7 neutrones. formado por 6 protones y 6 neutrones.97 MeV NOTA: en el cálculo no se ha tenido en cuenta la contribución de los electrones.44 · 106 MeV C 12 A 12 12 El defecto de masa que corresponde a la formación de un núcleo de 13C.008665 − 12.5877 · 10−28 · (3 · 108)2 En = = = 1.028882 · 1. Un átomo de oxígeno-16 está formado por 8 protones y 8 neutrones.1999 · 10−28 kg 1u La energía que se desprende.003 = 0. El oxígeno-16 tiene una masa atómica de 15.a) Un átomo de helio está formado por dos protones y dos neutrones.1999 · 10−28 · (3 · 108)2 = 1.008665 − 4.007276 + 6 · 1.75 MeV 3. es decir.008665 − 15. 2.007276 + 8 · 1. coincide con la energía que hay que suministrar para desintegrar el núcleo en sus componentes.6818 · 10−28 kg Y la energía de enlace por nucleón que le corresponde: ∆m C · c2 1.000 = = 0. Las masas que corresponden a los isótopos 12 C y 13 C son. lo que es lo mismo. la energía que se libera al formarse un átomo de helio es: ∆E = ∆m · c2 = 0.003 = 0. De acuerdo con la relación de Einstein.191 · 10−12 J = 7. El defecto de masa que corresponde a la formación de un núcleo de isótopo 12C.000 y 13. el isótopo 12C es más estable que el isótopo 13C.132528 u 1.28 · 106 MeV C 13 A 13 13 Como En 12 C > En . respectivamente.995 = 0. es: ∆m 12 C = mnucleones 12 C −m 12 C = 6 · 1.1643 · 10−12 J = 7. Determina cuál de los dos es más estable. y teniendo en cuenta que 1 u = 1. de acuerdo con la relación de Einstein es: ∆E = ∆m · c2 = 2. El defecto de masa que corresponde a la formación de un átomo de oxígeno-16 es: ∆m = mnucleones − moxígeno-16 = 8 · 1.66 · 10−27 kg.028882 u b) La energía equivalente al defecto de masa calculado coincide con la energía que se desprende al formarse un núcleo a partir de protones y neutrones en estado libre o.007276 + 7 · 1.995 u. 13 C Unidad 15. Hay que tener en cuenta. lo que supone que. sino una especie de “unión en cadena”. Se trata. Completa los procesos nucleares que se indican. por lo que los núcleos también resultan menos estables y son necesarios muchos más neutrones para contrarrestar estas fuerzas. 15. además. cada nucleón solo puede estar unido a los más próximos. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA 1. Justifica el hecho de que los elementos de número másico elevado tengan menor estabilidad que los de número másico medio (próximo a 56 u). en un proceso que se denomina fusión nuclear. como el 238 U. Ello explica que los núcleos más pesados. de una desintegración tipo β−: – 210 Bi → 210Po + 0e + ν 83 84 −1 b) Al aplicar las leyes de conservación de la masa y de la carga. La disminución progresiva de la estabilidad nuclear al aumentar el número másico se puede interpretar teniendo en cuenta el pequeño radio de acción de las fuerzas nucleares. liberando energía en el proceso.6. obtenemos para el número másico: 27 + A = 25 + 4 → A = 2 y para el número atómico: 13 + Z = 12 + 2 → Z = 1 Unidad 15. Física nuclear 6 . que también son menos estables. dada su menor estabilidad. los núcleos más ligeros. Añade el correspondiente neutrino o antineutrino en los casos en que sea necesario para que se cumplan las leyes de conservación de la energía. Del mismo modo. que al aumentar el número atómico aumentan las fuerzas de repulsión entre protones. tiendan a dividirse. momento lineal y momento angular: Bi → 210 Po + … 84 a) 210 83 b) 27 13 25 Al + … → 12 Mg + 42 He c) 31 15 31 P → 14 Si + … d) 27 13 30 Al + 42 He → 15 P+… a) Al aplicar las leyes de conservación de la masa y de la carga al siguiente proceso: 210 83 Bi → 210 84 Po + ZAX resulta para el número másico: 210 + A = 210 → A = 0 y para el número atómico: 83 = 84 + Z → Z = −1 El par (Z. por tanto.4. Dicho proceso se denomina fisión nuclear. A) = (−1. en los núcleos pesados. liberarán energía al unirse entre ellos. de manera que no es posible tener una “unión global” de todos los nucleones. 0) corresponde a un electrón. 1) corresponde a un neutrón. pasaron más de 25 años.7. que interactúan con el resto de partículas mediante la fuerza nuclear débil y la todavía más débil fuerza gravitatoria. según los últimos indicios. Fred Reines recibió por ello el Nobel de física. son capaces de atravesar la materia con más facilidad de la que un fotón que atraviesa el aire. Debido a ello. de una desintegración tipo β+. a) La vida media que corresponde al uranio-234 es: 2. desde que Pauli predijo su existencia. los neutrinos emitidos desde un reactor nuclear. CARACTERÍSTICAS DE LOS PROCESOS RADIACTIVOS 1. Por tanto: 27 13 Al + 42He → 30 P + 10n 15 2. A) = (1. De hecho. ¿Por qué se tardó tanto tiempo en descubrir el neutrino? Los neutrinos son partículas elementales sin carga eléctrica y con una masa. Por tanto: 27 13 Al + 21H → 25 Mg + 42He 12 c) Al aplicar las leyes de conservación de la masa y de la carga. que es un isótopo del hidrógeno ( 2H). obtenemos ahora para el número másico: 31 + A = 31 → A = 0 y para el número atómico: 15 = 14 + Z → Z = +1 El par (Z.693 ln 2 Unidad 15. en 1930. A) = (+1. resulta para el número másico: 27 + 4 = 30 + A → A = 1 y para el número atómico: 13 + 2 = 15 + Z → Z = 0 El par (Z. 15. por tanto. El período de semidesintegración del uranio-234 es 2. b) La proporción en que se ha reducido la actividad de una muestra de 234U al cabo de ese tiempo. 2) corresponde a un átomo de deuterio.58 · 105 años 0.48 105 años. A) = (0. en 1956. hasta que Clyde Cowan y Fred Reines consiguieron detectar.48 · 105 T τ = = = 3. Calcula: a) Su vida media. muy pequeña. de forma que: 31 15 P → 31 Si + 01e + ν 14 d) Al aplicar las leyes de conservación de la masa y de la carga.El par (Z. Física nuclear 7 . Estas características hacen del neutrino la partícula más difícil de detectar. 0) corresponde a un positrón. Se trata. 48 · 105 = 50% 2. ¿Qué cantidad de átomos de helio se formará por unidad de tiempo en ese instante? Datos: Constante de Avogadro = 6. El período de semidesintegración de un elemento radiactivo.79 · 10 100 −6 · 2.1 mg de átomos radiactivos. Física nuclear 8 .1 · 10−3 n = = = 4. a) Calcula el tiempo que tiene que transcurrir para que la cantidad de dicho elemento se reduzca al 75% de la que había inicialmente en una muestra.2 · 10−7 mol de uranio-238 M 238 Unidad 15. b) En cierto instante tenemos una muestra de 0. esto es.022 1023 Masa atómica del elemento = 238 u a) De acuerdo con la ley de la desintegración radiactiva: N = N0 · e−λ·t Donde: N = 0.75 · N0 t = 28 años ln 2 ln 2 λ = = = 0.62 años −0. t: 075 · N0 N ln ln N0 N0 t = = = 11.79 · 10−6 años−1 τ Se obtiene: x N = N0 · e−λ·t → N = N · · e−λ·t → x = 100 · e−λ·t = 100 · e−2.02476 años−1 T1/2 28 Se obtiene el tiempo.b) De acuerdo con la ley de la desintegración radiactiva: N = N0 · e−λ·t Donde: 1 λ = = 2. es de 28 años. la actividad de la muestra: dN A = − = λ · N dt La cantidad de sustancia de muestra que tenemos es: m 0. que se desintegra emitiendo partículas alfa.02476 λ b) El enunciado del problema pregunta el número de átomos que se desintegran por unidad de tiempo. Se ha medido la actividad de una muestra de madera recogida en una cueva con restos prehistóricos.26 · 1015 átomos de uranio por año 3. t = tiempo. es decir: A = A0 · e−λ·t siendo: A = actividad (desintegraciones/segundo) de la muestra en la actualidad. ¿en qué fecha se cortó la madera que se está analizando? Si admitimos que el número de desintegraciones por unidad de tiempo (actividad de la muestra) es proporcional al número de átomos de 14C presentes en la muestra. t. Admitiendo que el número de desintegraciones por unidad de tiempo es proporcional al número de átomos de 14C presentes en la muestra.2 · 10−7 mol · 6.022 · 1023 átomos/mol = 253 · 1017 átomos de uranio Por tanto. observándose que se desintegran 320 átomos de 14C por hora. λ = constante de desintegración. En primer lugar hemos de hallar la constante radiactiva. podemos escribir la ecuación de desintegración en función de la actividad de la muestra. podemos afirmar que la madera se cortó hace 7 314 años. cuando en una muestra de madera actual que tiene la misma masa y la misma naturaleza. es: N = 4. 743 ⋅ 10 −4 años −1 5 736 Una vez conocida la constante radiactiva. N. 743 ⋅ 10 −4 De acuerdo con el resultado que obtenemos.El número de átomos de uranio-238. la actividad de la muestra es: A = λ · N = 0. Por tanto: λ= 1 = 1. Al sustituir y despejar de la expresión que permite calcular la actividad. Física nuclear 9 .02476 · 2. resulta: A = A0 ⋅ e − λ ⋅ t A ln A A0 → ln = − λ ⋅ t → t = A −λ 0 320 ln 1145 t = = 7 314 años −1. podemos hallar el tiempo.53 · 1017 = 6. Para ello hemos de tener en cuenta que la vida media del carbono-14 es de 5 736 años. la actividad es de 1145 desintegraciones por hora. λ. Unidad 15. que ha transcurrido desde que se inició la desintegración. A0 = actividad inicial (desintegraciones/segundo) de la muestra. en las capas altas de la atmósfera debido al choque de los neutrones que forman parte de los rayos cósmicos con átomos de 14N. de acuerdo con la ley de desintegración radiactiva. los isótopos pueden desintegrarse emitiendo una partícula α o una partícula β. decenas de miles de años. a) La desintegración β− del isótopo 14C resulta: 14 6 C → 147N + −10e + ν– b) El carbono-14 permite establecer la antigüedad de restos orgánicos que se han depositado en forma de sedimentos.15. 83 83 b) De la serie del uranio-actinio: 227 89 Ac. b) Explica por qué se puede utilizar el 14C como secuenciador temporal. esta forma de datación sirve para averiguar la antigüedad de restos orgánicos que vivieron hace miles e. estudiando la actividad de una muestra antigua y comparándola con la actividad de una muestra similar de tejido orgánico actual. Sin embargo. 2. podemos averiguar cuánto tiempo ha transcurrido desde que la muestra que estudiamos dejó de ser materia viva. Su vida media es de 5 736 años. y se forma. a un mismo isótopo: 210 82 214 85 Unidad 15. FAMILIAS RADIACTIVAS 1. Como la vida media del 14C es de 5 736 años. a) Escribe la ecuación que corresponde al proceso que tiene lugar. al morir. 83 a) Serie del uranio-radio: Al ser desintegraciones ramificadas. ambos procesos van a parar. De este modo. 214 Bi y 210 Bi. 84 83 c) De la serie del torio: 216 84 Po y 212 Bi. El 14C es un isótopo del carbono que se desintegra emitiendo una partícula beta. Por tanto. para el 214 Po resulta: 84 214 84 α 4 → 210 Po 82 Pb + 2 He 214 84 β 0 → 214 Po 85 At + −1e + ν Como a la desintegración α sigue una desintegración β. incluso. y viceversa. Física nuclear β Pb → 210 83 Bi + α At → 210 83 e+ν 0 −1 Bi + He 4 2 10 . mantienen siempre constante la cantidad de carbono-14 que hay en sus tejidos. finalmente. 215 Po y 211 Bi. por tanto. Ello es posible porque los seres vivos renuevan periódicamente el carbono que forma parte de sus estructuras y. Escribe las reacciones nucleares que corresponden a los procesos de desintegración con ramificación de los isótopos siguientes: a) De la serie del uranio-radio: 214 84 Po. como hemos indicado. sus restos permanecen inalterados y la cantidad de carbono-14 disminuye.8. deben tener las partículas alfa. como mínimo.Para el 214 83 Y para el Bi: 210 83 214 83 α 4 → 214 Bi 81 Tl + 2 He 214 83 β → 214 Bi 84 Po + 0 −1 e+ν Bi: 210 83 α → 20681Tl + 42 He Bi 210 83 β 0 → 210 Bi 84 Po + −1e + ν b) Serie del uranio-actinio: Para el radionúclido 227 89 Ac tenemos: Del mismo modo. p)178O N (α Calcula la energía que. Bombardeamos núcleos de 14N con partículas alfa.9. los dos isótopos que admiten desintegración α o β son el Polonio-216: 216 84 α 4 → 212 Po 82 Pb + 2 He 216 84 β 0 → 216 Po 85 At + −1e + ν 212 83 α → 20881Tl + 42 He Bi 212 83 β 0 → 212 Bi 84 Po + −1e + ν y el Bismuto-212: 15. esperando que se produzca la reacción nuclear: 14 7 α. para el Y para el 211 83 215 84 227 89 α 4 → 223 Ac 87 Fr + 2 He 227 89 β 0 → 227 Ac 90 Th + −1 e + ν Po: 215 84 α 4 → 211 Po 82 Pb + 2 He 215 84 β 0 → 215 Po 85 At + −1e + ν Bi resulta: 211 83 α → 20781Tl + 42 He Bi 211 83 β 0 → 211 Bi 84 Po + −1e + ν c) Serie del torio: En la serie del torio. Física nuclear 11 . Unidad 15. REACCIONES NUCLEARES 1. 03507 − 18. EL MODELO ESTÁNDAR DE PARTÍCULAS 1. En una ecuación nuclear la suma de los números atómicos (subíndices) y de los números másicos (superíndices) debe ser la misma a ambos lados de la ecuación.00643 = 0. Identifica los productos obtenidos al bombardear 198 80 de ellos es un protón. Los neutrones son más eficaces. Una partícula con carga. Elabora un cuadro resumen con todas las partículas fundamentales que. Las partículas materiales que conforman el mundo microscópico son: Unidad 15.00643 u siendo la masa de los reactivos: mr = m(147N) + m(42He) = 14. p) 198 79 Au 15. De acuerdo con ello. conforman el mundo microscópico.02864 u y.10.032 = 18. que las partículas cargadas para producir reacciones nucleares. teniendo en cuenta que 1 u equivale a 931 MeV.0073 = 18. en general. Física nuclear 12 .7 MeV 2.99913 + 1.00307 + 4. como un protón o un electrón. necesita tener una energía muy alta para poder provocar reacciones nucleares. por tanto.03507 u El defecto de masa resulta. la reacción nuclear que describe el enunciado de la actividad se representa de acuerdo con la siguiente ecuación: 198 80 Hg + 10n → 11H + 198 79 Au En forma condensada. La masa de los productos es: mp = m(178O) + m(11p) = 16. Ello es debido a que no tienen carga positiva y. de acuerdo con el modelo estándar. la energía que debemos suministrar es: E = 0. la ecuación anterior puede representarse como sigue: 198 80 Hg (n. Hg con neutrones.02864 · 931 = 26. pueden aproximarse al núcleo sin ser repelidos por este. ¿Puedes explicar el motivo? Los neutrones lentos son las partículas más eficaces. por tanto: ∆m = mp − mr = 18.La reacción nuclear que tiene lugar es: 14 7 N + 42He → 178O + 11 p El equivalente energético del defecto de masa que corresponde al proceso es la energía que hemos de aportar a las partículas cuando inciden sobre el blanco de 14N. en general. si uno 3. para producir transmutaciones nucleares. Otro barión es el antiprotón (p −) formado por la unión de las antiquarks u−u−d−. ¿Qué tipo de hadrones son el protón y el neutrón? Busca información acerca de otros tipos de hadrones. Los hadrones se dividen en mesones. Otros bariones son: Unidad 15.Leptones Quarks Nombre Símbolo Carga eléctrica Electrón e− −1 Muón µ− −1 Tauón τ− −1 Neutrino del electrón νe 0 Neutrino del muón νµ Neutrino del tauón − − 0 ντ − 0 up u +2/3 down d −1/3 charm c +2/3 strange s −1/3 top t +2/3 bottom b −1/3 Y las partículas mediadoras en las interacciones: Interacción Partícula portadora Gravitatoria Gravitón (no detectado experimentalmente hasta la fecha) Electromagnética Fotón Interacción débil Bosones W+. Su carga eléctrica es −1 y su espín 1/2. Z Interacción fuerte Gluones (son ocho) 2. formados por pares quark-antiquark. y bariones. W−. formados por tres quarks. El protón y el neutrón sun bariones (nombre que procede de la palabra griega que significa “pesado”). Física nuclear 13 . Los estados ligados de quarks se denominan hadrones. de carga eléctrica +1. – S (sigma) → uuc (carga +2 y espín 1/2). 2. Un cuerpo con carga negativa es aquel que tiene electrones en exceso. de carga eléctrica −2/3. positrones. ¿Es equivalente la electrización por frotamiento de un cuerpo a la emisión de partículas β? ¿Por qué? Justifica la respuesta. Un núcleo radiactivo emite partículas radiactivas α y β. las antipartículas más comunes son: – e+: positrón. – O (omega) → sss (carga −1 y espín 3/2).p+ y n0). Un núcleo radiactivo. sino que es emitido por el mismo núcleo. los átomos intercambian electrones que se encuentran en la corteza.d . Haz un cuadro resumen con las antipartículas de las partículas materiales. Las partículas β− son electrones. respectivamente? A modo de ejemplo. Además de las partículas fundamentales indicadas. La masa de la anterior relación de antipartículas es igual a la de las partículas respectivas (e− . mientras que un cuerpo con carga positiva tiene un déficit de electrones en la corteza. Sin embargo. y radiación γ. No son equivalentes. ¿qué clase de partículas emite? Indica su naturaleza. de carga positiva (doble que la del electrón) y de número másico 4. que cuando interaccionan con la materia lo hacen como fotones de muy alta energía. Los rayos γ son ondas electromagnéticas de muy alta frecuencia. – u−: antipartícula del quark up. 3. expulsando en el proceso un electrón: 1 0 Unidad 15. existen las correspondientes antipartículas. Un antineutrón está formado por el trío de quarks: u−d−d−. ¿Qué antipartículas dan lugar a un antiprotón y un antineutrón. Física nuclear n → 11 p + −10e 14 . Las partículas α son núcleos de helio (formado por dos protones y dos neutrones).u . mayor que la de los rayos X.– L (lambda) → uds (carga 0 y espín 1/2). y las β+. – d−: antipartícula del quark down. el electrón que se emite en la desintegración β no es un electrón de la corteza. El proceso que tiene lugar es como si un neutrón se transformase en un protón. En la electrización por frotamiento. ACTIVIDADES DE LA UNIDAD CUESTIONES 1. de carga eléctrica +1/3. Un antiprotón está formado por el trío de quarks: u−u−d−. Seguramente se trata de partículas β. Teniendo esto en cuenta. la menos energética entre las que figuran. mientras que en la desintegración β. que es incapaz de ionizar el aire. ¿Por qué la masa de un núcleo estable es menor que la suma de las masas de los nucleones que lo forman? ¿Tiene algún nombre esta diferencia? Experimentalmente se ha comprobado que la masa total de los nucleones en estado libre es mayor que la masa del núcleo al que dan lugar. Por tanto. El aire se ioniza si la radiación o las partículas cargadas que pasan a través de él tienen energía suficiente para arrancar algún electrón a las moléculas que forman el aire. más difícil es que pueda ionizar el aire. A esa diferencia se la denomina defecto de masa. Unidad 15. el número atómico del elemento no varía. Por el contrario. lo que es lo mismo.En la electrización por frotamiento. c) Radiación gamma. 4. parece lógico que la fuente radiactiva emita partículas β. la radiación gamma es altamente penetrante y no es detenida por una lámina de aluminio de un centímetro de espesor. La respuesta correcta es a). la radiación de menor frecuencia. 5. al ser una partícula cargada. en consecuencia. interacciona electrostáticamente con el medio. Una partícula α solo es capaz de atravesar algunos centímetros de aire y no es capaz de atravesar una simple hoja de papel. La radiación que emite una fuente radiactiva se reduce a la tercera parte cuando se coloca una hoja de papel frente a la fuente y se reduce prácticamente a cero cuando se coloca una lámina de aluminio de 1 cm de espesor entre la fuente y el detector. y. Justifica de qué tipo de emisión se trata. es la radiación infrarroja. el número atómico varía: A Z X→ Y + −10e + ν– A Z+1 3. más penetrantes que las partículas α y mucho menos que la radiación gamma. porque el núcleo no participa en el proceso. La energía equivalente a este defecto de masa coincide con la energía que se desprende al formarse un núcleo a partir de protones y neutrones en estado libre o. De acuerdo con ello. coincide con la energía que hay que suministrar para desintegrar el núcleo en sus componentes. siendo su poder de penetración muy pequeño. La masa de una partícula α es elevada y. d) Radiación X. cuanto menos energética sea una radiación o una partícula cargada. ¿Cuál de los tipos de radiación que se indican es incapaz de ionizar el aire? a) Radiación infrarroja. b) Partículas beta. Física nuclear 15 . corresponde a la pérdida de masa. La energía desprendida en la fusión es la diferencia entre la energía de enlace de los núcleos que se forman y la energía de enlace de los núcleos iniciales que se funden. Las reacciones de fusión nuclear consisten en la unión de núcleos pequeños para dar otros más pesados que ellos (como la fusión del hidrógeno para dar helio). Relaciona este concepto con la producción de energía mediante procesos de fisión o fusión nuclear. A. La primera de las ecuaciones: dN = −λ ⋅ N dt podemos escribirla en la forma: dN = − λ ⋅ dt N Unidad 15. mayor es la estabilidad nuclear. b) λ es la vida media de la muestra. la energía de enlace por nucleón es la relación que existe entre la energía que. ∆m. Las expresiones: dN = −λ N . que se produce al formarse dicho núcleo y el número de nucleones. c) λ es la probabilidad de que un átomo pueda desintegrarse transcurrido un segundo. que lo forman: ∆m · c2 En = A Cuanto mayor es la energía de enlace por nucleón. Explica brevemente qué es la energía de enlace en un núcleo atómico. También es la energía que se desprende por cada nucleón que se agrupa para formar el núcleo. En un núcleo atómico cualquiera. La energía desprendida en la fisión es la diferencia entre la energía de enlace de los núcleos que se forman y la energía del núcleo que se fisiona.6. las reacciones de fisión nuclear consisten en la ruptura de núcleos grandes para dar otros núcleos más pequeños. Por su parte. d) λ es el tiempo que debe transcurrir para que N sea igual a N0/e. Física nuclear 16 . ¿Cuál de las respuestas que siguen describe el significado de la constante λ? a) λ dt proporciona la fracción de átomos que pueden desintegrarse en un intervalo de tiempo dt. ya que esa energía es la que hay que suministrar a cada nucleón para separarlo del núcleo. de acuerdo con la expresión ∆E = ∆m · c2. N = N0 e−λ t dt permiten calcular el número de átomos que quedan en una muestra radiactiva que inicialmente contenía N átomos. 7. El 226 Ra es radiactivo y se encuentra en cantidades importantes en un mineral 88 formado por otro elemento químico radiactivo cuya vida media es mucho mayor que la del isótopo del radio que estamos considerando. debería haberse desintegrado por completo en los miles de millones de años que han transcurrido desde entonces. del mismo valor. se hubiese formado con la 88 Tierra en sus orígenes. A = 230. al que hemos llamado M. Un núcleo de masa atómica A = 238 y número atómico Z = 92 emite sucesivamente dos partículas α y tres partículas β. Si el 226 Ra. su masa es la misma. 8. pero de signo negativo. Si emite dos partículas α consecutivas. ¿Qué es un antiprotón? ¿Qué propiedades físicas tiene en relación con el protón? ¿Conoces alguna otra antipartícula? Los neutrones y los protones están compuestos por unas partículas denominadas quarks. 9. obtenemos como núcleo final del proceso: 230 89 V→ 230 90 W→ 230 91 230 89 230 90 – V + −10e + ν Z→ 230 88 W + −10e + ν– M + −10e + ν– El número atómico del núcleo resultante. A = 238. y el antineutrón. La que corresponde al protón es el antiprotón. a partir de la desintegración de otro elemento químico. cuyo momento magnético es opuesto al del neutrón. resulta: 238 92 234 90 X→ Y→ 230 88 234 90 Y + 42He Z + 42He y. son de distinto signo. al emitir el núcleo Z tres partículas β. el término −λ · dt representa la fracción de átomos que se desintegran en un diferencial de tiempo. Unidad 15. EJERCICIOS 10. ¿Cuál es el núcleo resultante? El número atómico del núcleo X es Z = 92. cuya carga es igual a la del protón. La respuesta correcta es a). Por tanto. que tiene una vida media relativamente corta. y cuya masa es igual a la de este. es Z = 91.siendo dN/N una fracción diferencial de átomos. lo que haría imposible el que detectásemos cantidades apreciables de este isótopo radiactivo. Ra se La única explicación razonable que existe de que esto sea posible es que el 226 88 esté formando continuamente. Determina el número atómico y el número másico de cada uno de los isótopos que resultará tras cada emisión radiactiva. Cada partícula tiene su propia antipartícula. Otras antipartículas son el positrón (antipartícula del electrón). Explica a qué es debida esta presencia. Física nuclear 17 . pero sus cargas. siendo su número másico. siendo su número másico. transcurridos quince minutos la fracción de plomo en una muestra. es: a) 1/8 d) 5/6 b) 1/6 e) 7/8 c) 1/3 f) 3/4 FE DE ERRATAS DEL LIBRO DEL ALUMNO: Entre las opciones de respuesta del enunciado no aparece la que corresponde a la respuesta correcta. su constante radiactiva. el decremento neto de masa que se produce durante el proceso es: a) E/c b) E/(2 c) c) E/(c1/2) d) E/c2 La energía desprendida puede ser interpretada en términos de defecto de masa. La vida media del talio es de 5 minutos. para dar un isótopo estable del plomo. Z = 84. Física nuclear N N 1 = e –0. El talio decae. por emisión de partículas β. Por tanto. ¿Cuál es el número atómico y el número másico del núcleo resultante? El rayo gamma se produce por la desexcitación del átomo que se forma y no conlleva variaciones en su número másico ni en su número atómico. Po + 42He + γ El número másico del núcleo resultante es A = 215. En cambio. E. Si c es la velocidad de la luz en el vacío. Si la vida media del talio es 5 minutos. emite una partícula alfa acompañada. que es 19/20. se obtiene 219 86 Rn → 215 84 215 84 Po. de acuerdo con la ecuación de Einstein: E = ∆m ⋅ c 2 → ∆m = E c2 La respuesta correcta es d). 2⋅ 15 → = 0. simultáneamente. de 86 un rayo gamma. siendo el número atómico. 2 minutos –1 λ τ 5 Cuando han pasado 15 minutos. 12. al desintegrarse mediante un proceso de fisión nuclear. resulta: τ= 1 1 1 → λ = = = 0. El radón. cuando el 219 86 Rn emite una partícula α.11. 219 Rn. la fracción de talio que queda en la muestra es: N = N 0 ⋅ e – λ⋅t → Unidad 15. 13. λ. que inicialmente es de talio puro. Una muestra de plutonio desprende cierta cantidad de energía. 05 = N0 N0 20 18 . En conjunto. por tanto. es una diagonal descendente.En la muestra. para una desintegración α. b) En una desintegración β−. esto equivale a desplazarse hacia la derecha por una de las líneas horizontales. en las que el número másico no cambia. el proceso que tiene lugar es: Y→ A Z X + −10e + ν– A Z+1 Como se aprecia en el diagrama. En las desintegraciones α. la serie radiactiva siempre hace que descienda el número másico. las reacciones α y β son las que se indican en el diagrama adjunto. c) Indica los isótopos que hay en la serie. Z a) ¿Con qué radionúclido comienza la serie? b) Indica en la serie los procesos que se corresponden con emisiones β y escribe la ecuación que corresponde a cada una de ellas. Por tanto. el proceso que se produce es: A−4 Y → Z−2 X + 42He A Z En el diagrama. Física nuclear 19 . el número másico disminuye en dos unidades. y en las desintegraciones β no se altera. La parte inicial de una serie radiactiva natural es la que se muestra en la figura. De acuerdo con lo expuesto. Unidad 15. Haz lo mismo con las desintegraciones α. ello equivale a moverse dos posiciones a la izquierda (disminuye el número atómico) y cuatro posiciones hacia abajo (disminuye el número másico). En cambio. A 232 228 224 220 216 84 Po 85 At 86 Rn 87 Fr 90 88 89 Ra Ac Th Número atómico. El movimiento resultante. a) El radionúclido que comienza la serie es 232 90 Th. el radionúclido con el que comienza la serie es siempre aquel cuyo número másico es mayor. Por tanto. el talio que se desintegra se convierte en plomo. la fracción de plomo que habrá será el total menos la fracción de talio que acabamos de calcular: F Pb = 1 – FTa = 1 – 1 19 = 20 20 14. Número másico. y que el isótopo 2. tiene un defecto de masa ∆m1. Z c) En la serie aparecen dos isótopos del torio: 228 90 Th y 232 90 Th 228 88 Ra y dos isótopos del radio: 224 88 Ra y 15. Supongamos que el isótopo 1. de número másico A1. no sabemos el número másico de ninguno de los dos isótopos. se convierte de nuevo en nitrógeno. tiene un defecto de masa ∆m2. si bien ∆m1 > ∆m2. Algunos átomos de 147 N atmosférico chocan contra un neutrón y se transforman en 146 C. Se tienen dos isótopos del mismo elemento químico. Los restos orgánicos recientes contienen mayor proporción del isótopo indicado del carbono que los restos orgánicos más antiguos. Cuanto mayor sea esa energía. A 228 β β α 224 α 220 α 216 84 Po 85 At 86 Ru 87 Fr 88 Ra 89 90 Ac Th Número atómico. ¿Cuál de los isótopos es más estable? Razona tu respuesta. siendo: ∆m1 > ∆m2 Vamos a calcular la energía de enlace por nucleón de cada isótopo. Física nuclear N + 10n → 146C + 11H 20 .232 α Número másico. Cada uno de ellos presenta un defecto de masa diferente. ya que. 16. mayor será la estabilidad nuclear. ya que esa energía es la que hay que suministrar a cada nucleón para separarlo del núcleo. De este modo: En − 1 = ∆m 1 ⋅ c 2 A1 . Completa las correspondientes reacciones nucleares. En − 2 = ∆m 2 ⋅ c 2 A2 No podemos determinar cuál de las dos energías de enlace por nucleón es mayor. que. ¿A qué crees que se debe este hecho y qué aplicación tiene? Las reacciones nucleares que se producen son las siguientes: 14 7 Unidad 15. de número másico A2 . por emisión beta. y como este se desintegra según la ecuación [1]. esto es. A partir de esa gráfica.14 6 C → 147N + −10e [1] Los átomos de carbono-14 se combinan con el oxígeno del mismo modo que los átomos de carbono-12. la cantidad que contiene de este isótopo disminuye con el tiempo. obtenemos los siguientes resultados: Tiempo (s) 10 20 30 40 50 60 70 80 Desint/s 91 67 51 38 29 22 15 10 Confecciona la gráfica en la que se indique cómo varía el número de desintegraciones por unidad de tiempo. Al representar los datos de la tabla. son los puntos negros. lo que ocurre en el instante t = 21 s. la actividad inicial de la muestra es de 128 desintegraciones por segundo. CO2. para formar moléculas de dióxido de carbono. La curva exponencial que ajusta los datos de la experiencia es la de color gris. la vida media es: Unidad 15. obtenemos el siguiente resultado: Actividad (desintegraciones por segundo) 140 120 100 80 60 40 20 t (s) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Los datos representados. Cuando el organismo muere ya no puede absorber carbono-14. Basta medir el número de desintegraciones que se producen por gramo de carbono para determinar la fecha en que murió un organismo determinado. la relación entre los dos isótopos de carbono en el organismo vivo es prácticamente constante e igual a la que existe en la atmósfera. y parte del carbono del cuerpo de un organismo vivo es carbono-14 radiactivo. Por tanto. aproximadamente. 17. estima la vida media de la sustancia radiactiva que se investiga. Física nuclear 21 . Como los seres vivos intercambian continuamente CO2 con la atmósfera. Al hacerlo. resultado de la experiencia. Con ayuda de un contador Geiger medimos la actividad de una sustancia radiactiva de período de vida corto. El período de semidesintegración es el tiempo que transcurre desde el instante inicial hasta que la actividad se reduce a la mitad. 64 desintegraciones por segundo. De acuerdo con la tendencia de la curva ajustada. se reduzca hasta 1.824 días. podemos escribir la ecuación de desintegración en la forma: m = m0 · e −λ·t donde m0 y m son la masa inicial y actual. b) Este isótopo se desintegra por emisión α.5 109 años: a) Calcula la constante de desintegración de este radionúclido. ¿cuánto tiempo ha de transcurrir para que la muestra. la constante radiactiva resulta: τ= 1 1 →λ= λ τ Sustituyendo el valor de la vida media. 295 ⋅ 10 9 años = −λ −2. Unidad 15. c) Para hallar el tiempo. 22 ⋅ 10 −10 ln t = 19. hemos de despejar dicha magnitud de la ecuación que permite calcular la desintegración radiactiva: N = N 0 ⋅ e −λ⋅t N N → = e − λ ⋅ t → ln = −λ ⋅ t → t = N0 N0 N N0 −λ ln Si sustituimos ahora los datos del enunciado. respectivamente.5 1020 átomos? a) De acuerdo con la ecuación de desintegración radiactiva. La vida media del 238U es 4. 5 ⋅ 10 20 N ln 20 2 ⋅ 10 N0 = 1. inicialmente pura. c) Si tenemos una muestra con 2 1020 átomos de 238U. Por tanto. resulta: 1. a) Podemos suponer que la masa de radón es proporcional al número de átomos de la muestra. El período de semidesintegración del 222 Rn es 3. Física nuclear 22 .τ= 1 1 T 21 = = = = 30. en cierto instante. b) Calcula su vida media.02 g de este gas: a) Calcula la cantidad de radón que quedará transcurrido un mes. 22 ⋅ 10 −10 años –1 τ 4. 5 ⋅ 10 9 b) La vida media es un dato proporcionado por el enunciado del ejercicio. 3 s λ ln 2 / T ln 2 ln 2 18. una corriente de gases que contiene 3. τ: λ= 1 1 = = 2. Escribe la ecuación correspondiente al proceso. Por la chimenea de 86 una central se emite. Sabiendo que en la siguiente reacción nuclear: A Z X + 11 H → 2 42 He se liberan 11.0026 u 1 u equivale a 931 MeV.181·30 = 0.0131 gramos b) La ecuación que muestra el proceso de desintegración es: Y→ A Z X + 42He A−4 Z−2 Esta expresión. se convierte en: 222 86 Rn → 218 84 Po + 42He 20. De este modo: m = m0 · e −λ·t = 3. 824 Para resolver correctamente el ejercicio.0078 u m (4He) = 4. en nuestro caso. el tiempo.0123 u 931 MeV Podemos calcular la masa atómica del isótopo: Unidad 15. En nuestro caso.Podemos calcular la constante de desintegración a partir del período de semidesintegración: T = ln 2 ln 2 ln 2 →λ= = = 0. 1 mes = 30 días. 181 días −1 T λ 3. Por tanto. b) Calcula la masa atómica de dicho isótopo. Física nuclear 23 . debemos expresarlo en días. a) Si tenemos en cuenta que en los procesos nucleares se conserva el número de nucleones y la carga eléctrica total.47 MeV · = 0. el isótopo ZA X que falta en la reacción es: A Z X = 73Li b) El defecto de masa que corresponde al proceso nuclear que describe el enunciado es: ∆m = 2 · mHe − mH − misótopo Si tenemos en cuenta que el defecto de masa que corresponde a 11. t. podemos escribir lo siguiente: A + 1 = 8 A = 7 → Z + 1 = 4 Z = 3 Por tanto. debemos expresar todos los tiempos en la misma unidad.47 MeV de energía: a) Escribe el isótopo ZA X que falta en la reacción. si hemos expresado en días−1 la constante radiactiva.02 · e−0.47 MeV de energía es: 1u ∆m = 11. Datos: m (1H) = 1. 0073 + (16 − 8) · 1. 2149 u ⋅ 9311 MeV u 931 MeV E ( O) = 0.9949 u m (56Fe) = 55.0087 − 24. 07 MeV ( Mg) = 0. Física nuclear 24 .9858 u m (16O) = 15.0087 − 15. para cada uno de los isótopos: 25 12 Mg → ∆mMg = 12 · 1. en primer lugar.5159 u Para calcular la energía de enlace.misótopo = 2 · mHe − mH − ∆m = 2 · 4.0026 − 1. 92 MeV 1u 931 MeV E ( Fe) = 0.0123 = 6.9858 = 0.9349 = 0.0078 − 0.9349 u m ( p) = 1. el defecto de masa. 1331 u ⋅ = 123.1331 u Fe → ∆mFe = 26 · 1. ya que es la energía que hay que suministrar a cada nucleón para separarlo del núcleo. 577 MeV 26 Fe = 56 25 12 Mg = ( ) ( ) La energía de enlace por nucleón es una medida de la estabilidad nuclear. teniendo en cuenta la relación 1 u = 931 MeV.9851 u PROBLEMAS 21 Calcula la energía de enlace y la energía de enlace por nucleón para los isótopos: 25 16 Mg O 56 Fe Si sobre los tres isótopos incide un neutrón. 08 = 8. utilizamos la conversión de masa a energía. Por Unidad 15.0073 u m (n) = 1.0087 − 55. en valor absoluto. 003 MeV 25 105. 30 16 = 7. 30 MeV 1u E 25 12 16 8 56 26 Para calcular la energía de enlace por nucleón. 30 56 = 8. ¿en cuál de los tres casos sería más fácil que se produjese una emisión radiactiva? ¿Por qué? Datos: m (25Mg) = 24. 745 MeV 8O = 16 480. De este modo: = 200. Calculemos. De este modo: Enucleón Enucleón Enucleón ( ) 200.0087 u 1 u equivale a 931 MeV. 5159 u ⋅ = 480.9949 = 0.2149 u 16 8 56 26 O → ∆mO = 8 · 1.0073 + (56 − 26) · 1. dividimos la energía de enlace entre el número de nucleones.0073 + (25 − 12) · 1. 97545 = 0.tanto. a) La energía media de enlace por nucleón corresponde al equivalente energético del defecto de masa que se produce en la formación del núcleo a partir de sus constituyentes dividido entre el número de nucleones.0087 u NA = 6. 40 El defecto de masa en la formación del 20 Ca es: 40 Ca) ∆m = 20 · m(p) + 20 · m(n) − m(20 ∆m = 20 · 1.776 = 4. es decir. 40 Ca) = 39.0087 − 39. Física nuclear 25 .83 · 1024 MeV Expresada en joule.34455 · = 320. la cantidad de sustancia. expresada b) La energía necesaria (en joule) para disociar completamente un gramo del isótopo indicado en sus partículas constituyentes. 22.506 · 1022 átomos Por tanto. En este caso. es: 931 MeV 931 ∆E = ∆m · → ∆E = 0.506 · 1022 · 320. Para ello. que es el núclido que menor energía de enlace por nucleón posee. la energía de enlace del núcleo. la emisión radiactiva más probable cabe esperarla en el núcleo 168O.97545 Multiplicando por el número de Avogadro obtenemos el número de átomos: N = n · NA → N = 25. calculamos. expresada en 40 Ca: mol.022 · 1023 = 1.776 MeV 1u 1 La energía media de enlace por nucleón se obtiene dividiendo la energía de enlace entre el número de nucleones: ∆E 320.97545 u Datos: m (20 m (p) = 1. debemos calcular cuántos átomos hay en un gramo de sustancia.02 MeV/nucleón A 40 b) La energía necesaria para disociar un núcleo en sus partículas constituyentes es la misma energía que se desprende al formarse el átomo a partir de estas.015 · 10−3 mol M(20Ca) 39. esta energía es: Unidad 15.34455 u La energía equivalente a este defecto de masa.0073 + 20 · 1. Calcula: a) La energía media de enlace por nucleón de un átomo de en MeV. 40 20 Ca.022 1023 átomos mol−1 1 u equivale a 931 MeV.776 En = = = 8. en primer lugar. la energía necesaria para disociar estos átomos es: E = N · ∆E = 1.015 · 10−3 · 6. a que equivale 1 g de 20 m 1 n = 40 → n = = 25.0073 u m (n) = 1. 1.1386 días −1 · 10 días = 1. el número de átomos que se han desintegrado es: N0 − N = 6. b) Si el período de semidesintegración del bismuto-210 es de 5 días y se tiene. la numeración con que en él aparece es 28.022 1023 átomos mol−1. 5 ⋅ 10 5 26 . 23. N = 6. Por tanto. a) Escribe las correspondientes reacciones de desintegración.83 · 1030 eV · = 7. expresada en desintegraciones/minuto? c) ¿Es significativo el período de 1 000 años que estamos considerando? a) El número de átomos de una muestra es proporcional a la cantidad de sustancia. a) La ecuación que corresponde a la reacción de desintegración β es: 210 83 Bi → 210 Po + −10e 84 Y la que corresponde a la emisión de una partícula α: 210 84 Po → 42He + 206 Pb 82 b) A partir de la relación entre el período de semidesintegración y la constante radiactiva obtenemos el valor de esta última: ln 2 ln 2 λ = = = 0.022 · 1023 · e−0. 1 mol de átomos de bismuto. respectivamente. inicialmente.73 · 1011 J 1 eV NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado.517 · 1023 átomos 24 El 234U tiene un período de semidesintegración de 2.5 105 años. 77 ⋅ 10 −6 años −1 T λ 2. podemos escribir la ecuación de desintegración en la forma: n = n0 · e −λ·t donde n0 y n son la cantidad de sustancia (en mol) inicial y actual. Física nuclear ln 2 ln 2 ln 2 →λ= = = 2. el cual emite una partícula α y se transforma en un isótopo del plomo. Podemos calcular la constante de desintegración a partir del período de semidesintegración: T = Unidad 15.506 · 1023 = 4. ¿cuántos núcleos de bismuto se han desintegrado en 10 días? Dato: NA = 6.6 · 10−19 J E = 4.506 · 1023 átomos de Bi Por tanto. obtenemos los átomos que quedan sin desintegrarse al cabo de 10 días. Si tenemos una muestra que contiene un mol de átomos de ese elemento: a) ¿Cuántos átomos quedarán transcurridos 1 000 años? b) ¿Cuál es la actividad de la muestra en el instante inicial. El bismuto-210 (Z = 83) emite una partícula β− y se transforma en polonio.1386 días−1 T1/2 5 Teniendo en cuenta que es un mol de átomos de bismuto hay NA átomos y aplicando la ley de la desintegración radiactiva.022 · 1023 − 1. 58 = −1. presentes en la muestra. han de pasar 2. Sabiendo que el período de semidesintegración del 14C es de 5 570 años. En una excavación arqueológica se ha encontrado una estatua de madera cuyo contenido en 14C es el 58% del que poseen las maderas actuales de la zona. resulta: desintegraciones año 1 año 18 desintegraciones A = 1. 67 ⋅ 10 ⋅ año 365 ⋅ 24 ⋅ 60 minutos A = 3. la actividad de la muestra es: A = λ · N0 = 6.244 · 10−4 años−1 T1/2 5 570 Por tanto.77·10 −6 ·1 000 = 0. que podemos obtener a partir del período de semidesintegración: ln 2 ln 2 λ = → λ = = 1.023 · 1023. Hemos de tener en cuenta que.58 = e−λ · t Antes de despejar el tiempo en la expresión anterior necesitamos conocer el valor de la constante radiactiva de este isótopo. la numeración con que en él aparece es 31. N. determina la antigüedad de la estatua encontrada. para que se reduzca a la mitad el número de átomos presentes en la muestra.5 · 105 años.023 · 1023 · 2.58 · N0 = N0 · e −λ · t → 0.77 · 10−6 años−1 A = 1. 67 ⋅ 10 18 c) El período que estamos considerando no es significativo. Podemos obtener el tiempo transcurrido teniendo en cuenta que el número de radionúclidos en la muestra es el 58% del que posee la madera recién cortada: N = 0.244 · 10 −4 ·t ln 0.Cuando hayan pasado 1 000 años. Física nuclear 27 . A = λ · N. la cantidad de sustancia será: n = n0 · e −λ·t = 1 · e −2. Unidad 15.67 · 1018 desintegraciones · año−1 Expresando la actividad en las unidades que nos indican. En el instante inicial hay un mol de núcleos radiactivos en la muestra. El número de núcleos presentes es el número de Avogadro. que es un intervalo de tiempo 250 veces superior a los 1 000 años que estamos considerando.8 años −1. 177 ⋅ 10 12 desintegraciones ⋅ minuto−1 A = 1. la antigüedad de la estatua resulta: 0.244 · 10−4 NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. NA = 6.58 = e −1.58 → ln 0.58 · N0 Sustituyendo en la ley de desintegración radiactiva: N = N0 · e −λ · t → 0.9972 mol b) La actividad de una muestra radiactiva es el producto de su constante de desintegración por el número de núcleos radiactivos.244 · 10−4 · t → t = = 4 378. Por tanto. 25. al cabo de 15 días quedará: m = 16 · 10−3 · e −0. y el número del núcleos que existe. calcula el período de semidesintegración y la fracción de núcleos sin desintegrar que quedan en los instantes t1 = 2 T1/2 y t2 = 3 T1/2. al núclido 210 84 NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado. De acuerdo con la definición: Unidad 15. Si en el instante inicial hay N0 núcleos de este isótopo en la muestra. la numeración con que en él aparece es 32. 27 El 210 Po es un isótopo radiactivo del polonio que se desintegra siguiendo la 84 ley radiactiva de desintegración. Inicialmente tenemos 16 10−3 kg de dicho isótopo. sabiendo que la constante de desintegración es 0. N0 = · NA 210 M( 83Bi) M(210 Bi) 83 Por tanto: m0 m · NA = · NA · e −λ · t → m = m0 · e −λ · t 210 M( 83Bi) M(210 Bi) 83 La constante de desintegración para este isótopo vale: ln 2 ln 2 λ = = = 0. es N. Teniendo en cuenta que tanto el número másico como el número atómico se conservan en la reacción: 210 = 0 + A → A = 210 83 = −1 + Z → Z = 84 El núcleo resultante tiene 84 protones y 210 − 84 = 126 neutrones.139 días−1 T1/2 5 Por tanto. transcurrido un tiempo t. Po.139 · 15 = 1. por tanto. aplicamos la ley de la desintegración radiactiva: N = N0 · e −λ · t Como desconocemos la masa atómica del isótopo. expresaremos la ley anterior en función de la masa. teniendo en cuenta que: m0 m N= · NA . la reacción que tiene lugar es: 210 83 Bi → −10e + ZAX donde ZAX es el núcleo que resulta de la desintegración. Física nuclear 28 . El período de semidesintegración de un isótopo radiactivo es el tiempo que dicho isótopo tarda en reducir a la mitad el número de átomos existentes inicialmente en una muestra.99 · 10−3 kg b) Puesto que el 210 83 Bi se desintegra por emisión β.26. El 210 Bi se desintegra espontáneamente por emisión beta con un período de 83 semidesintegración de 5 días.005 días−1. Corresponde. Calcula: a) ¿Qué cantidad quedará al cabo de 15 días? b) ¿Cuántos protones y neutrones tiene el núcleo que resulta después de dicha emisión? a) Para obtener la cantidad de muestra radiactiva que quedará al cabo de 15 días. 63 días λ 0. podemos escribir la siguiente expresión: m = m0 · e −λ · t El valor de la constante radiactiva. ya que se concentra en la glándula tiroides. al cabo de 48 días quedará la siguiente masa de isótopo sin desintegrar: m = m0 · e −λ · t = 20 · e −8. a) De acuerdo con la ley de la desintegración radiactiva.66 · 10−2 días−1 T1/2 8 Por tanto. b) ¿Cuál es la actividad de 1 µg de 131I? Dato: NA = 6. Su período de semidesintegración es 8 días. λ. resulta: 210 84 Po que quedan. es: ln 2 0. El 131I es un isótopo radiactivo que se utiliza en medicina para el tratamiento del hipertiroidismo.693 λ = = = 8.66 · 10 −2 · 48 = 0.022 1023 átomos mol−1. la fracción de núcleos de tiempo t = 2 · T y un tiempo t = 3 · T. el número de núcleos radiactivos que quedan sin desintegrar en un instante dado se calcula de acuerdo con la siguiente expresión: N = N0 · e −λ · t Como las masas están en la misma relación que el número de núcleos. obtenemos el período de semidesintegración: T = ln 2 ln 2 = = 138. a) Explica cómo ha cambiado una muestra de 20 mg de 131I tras estar almacenada en un hospital durante 48 días. transcurrido un t = 2 ⋅T → ln2 − ⋅ 2T N 1 = e −λ⋅t = e T = N0 4 t = 3 ⋅T → ln2 − ⋅ 3T N 1 = e −λ⋅t = e T = N0 8 28.N = N 0 ⋅ e −λ⋅t → N0 = N 0 ⋅ e −λ⋅T 2 1 ln 2 ln 2 →T = = −λ λ Sustituyendo el valor de la constante de desintegración. 005 Como T = ln 2 · λ−1. Física nuclear 29 .31 mg b) La actividad de una sustancia radiactiva es el número de núcleos que se desintegran por unidad de tiempo: A=λ·N Unidad 15. como ya sabes. se produce la emisión del fotón gamma.008986 u a) La ecuación nuclear que corresponde al proceso es: 1 0 n + 21H* → 31H + γ En el término de la izquierda hemos puesto el símbolo *. la actividad de la muestra es: A = λ · N = 8.014740 u m ( 3H) = 3. Fruto de la desexcitación. formándose un núcleo de tritio. c) ¿Cuántas reacciones de este tipo son necesarias para producir 1 J de energía? Datos: m ( 2H) = 2. b) Calcula la energía desprendida en el proceso. 26 MeV = −6.En la expresión anterior. El equivalente energético de la diferencia de masa que obtenemos en el proceso es: E = ∆m ⋅ 931 MeV 931 MeV = −0.6 · 109 núcleos/segundo 29. el valor de N es: m 10−6 N = · NA = · 6.66 · 10−2 · 4.017005 − (1. que significa. Física nuclear 30 . Por tanto: Unidad 15. 26 ⋅ 10 6 eV 1u 1u c) Teniendo en cuenta que un electronvolt equivale a 1. Teniendo en cuenta la masa de isótopo. a) Escribe la ecuación que corresponde al proceso de desintegración nuclear. que el núcleo está excitado.6 · 10−19 joule.022 · 1022 = 4. su masa atómica y el número de Avogadro.6 · 1015 núcleos M 13 1 Por tanto.017005 u m (n) = 1. Un neutrón incide sobre un núcleo de deuterio. no tendremos en cuenta el fotón gamma.6 · 1015 = 3. 006721 ⋅ = −6. El proceso va acompañado de la emisión de un fotón de radiación gamma. propiamente dicho. 1 µg. Calculemos en primer lugar el defecto de masa: ∆m = mp − mr = 3.008986 + 2. expresada en eV. que es la energía desprendida en cada reacción. que no forma parte del proceso.006721 u El signo negativo indica que en el proceso de formación del tritio se desprende energía.98 · 1014 núcleos/día = 4. N es el número de núcleos existentes en determinado instante. b) Para calcular la energía desprendida.014740) = −0. de formación del tritio. el número de reacciones necesarias lo obtendremos dividiendo un joule entre el equivalente en joules de 6.26 · 106 eV. XU . 677 N0 1 La vida media del 238 U es 4.5 · 109 años. la relación que existe entre el número de átomos de 238U y el número de átomos de 214Pb. Considera. el tiempo transcurrido resulta: Unidad 15. 1 X Pb = Para calcular la edad del mineral. que contiene actualmente el mineral. Por tanto: λ= 1 1 = = 2. para ello. la numeración con que en él aparece es 35. Para ello utilizamos la expresión que conocemos para la desintegración radiactiva: N = N 0 ⋅ e −λ⋅t → N N = e − λ ⋅ t → ln = −λ ⋅ t → t = N0 N0 N N0 −λ ln En esta expresión. XU X 1 → U + X U = 1 → X U ⋅ 1 + =1→ 2. 26 ⋅ 10 6 ⋅ 1. 1 1 → XU = = 0. 30. 5 ⋅ 10 9 Sustituyendo en la ecuación de desintegración. 6 ⋅ 10 −19 = −1. 1 2. En primer lugar hemos de hallar la fracción de uranio que queda en el mineral. 22 ⋅ 10 −10 años −1 τ 4. que todo el plomo se obtiene al desintegrarse el uranio. 1 X Pb Si despejamos de la segunda ecuación XPb y sustituimos en la primera. Si consideramos que solo existe uranio y plomo. obtenemos la fracción de uranio. hemos de hallar el tiempo transcurrido desde que la fracción del uranio en el mineral era la unidad hasta ahora.E reacción = −6. En cierto mineral de uranio. 677 1 1+ 2. 1 2. 0016 ⋅ 10 −12 J NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado.1. 0016 ⋅ 10 −12 J E total 1J n= = = 9. podemos escribir para la composición actual. en tanto por uno: XPb + XU = 1 siendo la relación entre ambos: XU = 2. 9884 ⋅ 10 11 reacciones E reacción 1. es 2. Calcula la edad del mineral. el cociente entre el número de átomos de uranio actuales y el número de átomos de uranio iniciales lo conocemos: N X = U = 0. Física nuclear 31 . 677) N0 = = 1. Z. en el caso del radio: 226 88 Ra → 42 He + 222 Rn + γ 86 La radiación gamma es energía que emite el átomo en forma de radiación electromagnética.05 · 10−14 E = 3. b) Calcula la energía máxima de cada fotón de rayos gamma en MeV. c) Calcula la pérdida de masa de la reacción anterior debida a la emisión gamma.6 · 10 3 J/MeV c) La pérdida de masa la podemos obtener a partir de la ecuación de Einstein: 3.6 · 10−13 J El valor de la energía máxima de cada fotón de rayos gamma.38 · 10−31 kg E = m · c 2 → m = 2 = (3 · 108)2 c 32. Datos: h = 6.62 · 10−34 · = 3.52 10−12 m.05 · 10−14 J λ 6. 755 ⋅ 10 9 años −λ −2. expresada en MeV. se convierte en otro núcleo con dos unidades menos de número atómico.05 · 10−14 J E = −1 = 0.19 MeV 1. es: 3. a) Escribe la reacción de desintegración.80 MeV. explica a qué puede deberse la diferencia. calcula la energía cinética con que son emitidas las partículas alfa en el proceso de desintegración del 226Ra en 222Rn: 226 88 Ra → 222 Rn + 42 He 86 Si la energía con que son realmente emitidas las partículas α es del orden de 4.N ln(0. Aplicando el principio de conservación de la energía. y cuatro unidades menos de número másico. b) La energía de un fotón se calcula de acuerdo con la expresión de Planck: c 3 · 108 E = h · f = h · = 6.52 · 10−12 Teniendo en cuenta que: 1 MeV = 106 eV = 1. A: A Z X + 42 He + A−4 Z−2 Y Por tanto.6 · 10−19 · 106 = 1.6 10−19 C a) Cuando un núcleo radiactivo emite una partícula α. Unidad 15. Física nuclear 32 .62 10−34 J s e = 1. cada átomo emite una par88 tícula alfa y también un rayo gamma de longitud de onda 6. 22 ⋅ 10 −10 ln t = 31 En la desintegración del 226 Ra para formar radón. 602 · 10−19 )2 Fg = 9 · 109 · = 2.81 · 10−13 J = 7. la fuerza electrostática la proporciona la ley de Coulomb: e·e Fe = K · r2 (1. los protones se mantienen Unidad 15. de acuerdo con la relación de Einstein.81 · 10−13 J · 1. Si el núcleo obtenido se queda en un estado excitado.Masas atómicas: m (226Ra) = 226.68 · 10−30 kg 1u La energía desprendida en la reacción.017574 u m (4He) = 4. es despreciable frente a la fuerza eléctrica repulsiva que ejercen los dos protones entre sí. cuando se produce una desintegración α. Por tanto.6726 10−27 kg e = 1. el nucleido resultante de la transmutación puede quedar en un estado fundamental o en alguno de sus estados excitados. Determina las intensidades de las fuerzas gravitatoria y eléctrica que ejercen dos protones separados 10 pm entre sí.002603 u En primer lugar calculamos el defecto de masa que corresponde a la reacción nuclear: ∆m = mRa − (mRn + mHe ) = 226. este proceso va acompañado.025406 − (222. la gran mayoría de emisiones alfa también emiten rayos gamma.67 · 10−11 · = 1.88 · 106 eV = 4.66 · 10−27 kg = 0.88 MeV El resultado obtenido difiere de la energía con que realmente son emitidas las partículas α. 33.87 · 10−42 N (10 · 10−12)2 Por otra parte. Las partículas alfa más energéticas corresponden al caso en que el núcleo transmutado quede en un estado fundamental.6726 · 10−27 )2 Fg = 6. generalmente. casi inmediatamente (en un tiempo del orden de 10−14 segundos). Sin embargo.602 10−19 C La fuerza gravitatoria que ejercen los dos protones entre sí se obtiene a partir de la ley de gravitación universal: m(p) · m(p) Fg = G · r2 (1.005229 u · = 8.002603) = 1. Ello puede ser debido a que.68 · 10−30 · (3 · 108)2 = 7.31 · 10−6 N (10 · 10−12)2 La fuerza gravitatoria.025406 u m (222Rn) = 222. Física nuclear 33 .017574 + 4. es: 1 eV = E = ∆m · c2 = 8. ¿Son de repulsión o de atracción? ¿A qué es debido que la repulsión que ejercen entre sí los protones en un núcleo atómico no haga que explote? Datos: m (p) = 1. de la emisión de un fotón gamma cuya energía será la diferencia entre las que corresponden a los niveles inicial y final de la transición. este se desexcitará.6 ·10−19 J = 4. de atracción.005229 u = 0. 02561 u El número de reacciones que se producen cada día es: m 9. Su valor.01474 = 1.m.6 · 10−3 · = 9. responsable de la elevada estabilidad del núcleo atómico.3 La masa a que equivale esta energía es: Etotal 1.32 · 1013 J Pero.00387 = 0.517 · 1026 u Unidad 15. la energía total desprendida en la reacción es: 4.. muy intensa y atractiva. según la ecuación de Einstein: ∆E = ∆m · c2 En un día.64 · 1023 n = → n = = 3.64 · 1023 u 1.32 · 1013 E Etotal = → Etotal = = 1.01474 − 4. la central proporciona una energía: E P = → E = P · t t E = 500 · 106 · 86 400 = 4. Física nuclear 34 . NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado.01474 u m (4He) = 4.022 1023 átomos mol−1 La energía que suministra la central corresponde al equivalente energético de la diferencia de masa entre los reactivos y los productos de la reacción nuclear que tiene lugar. Datos: m (2H) = 2. la masa de este necesaria cada día para que la central suministre una potencia de 500 MW es: m = 2 · n · M(2H) → m = 2 · 3.02561 Como en cada reacción intervienen dos núcleos de deuterio.44 · 1014 m = → m = = 1. Por tanto.unidos en el núcleo atómico debido a la existencia de una tercera fuerza. Calcula la masa de deuterio (21 H) que requeriría cada día una hipotética central de fusión de 500 MW de potencia eléctrica en la que la energía se obtuviese del proceso 2 21 H → 42 He.3 0. como indica el enunciado.764 · 1025 · 2. esta energía representa tan solo el 30% de la energía puesta en juego en la reacción nuclear. Esta fuerza es la fuerza nuclear fuerte.44 · 1014 J 0.764 · 1025 reacciones ∆m 0.6 · 10−3 kg (3 · 108 )2 c2 Esta masa corresponde a la diferencia de masa que se obtiene a lo largo del día en el total de reacciones que tienen lugar. la numeración con que en él aparece es 39.a. es: 1u m = 1. 34. suponiendo un rendimiento del 30%. expresado en u. que supera a la fuerza eléctrica de repulsión.66 · 10−27 La diferencia de masa que se obtiene en cada reacción es: ∆m = 2 · m(2H) − m(4He) ∆m = 2 · 2.00387 u NA = 6. 4 − 235 · A se obtiene la energía de enlace por nucleón del A ∆E uranio Unidad 15.4 − 210 = = 7.517 · 1026 u · = 0. La energía que desprenderían los 235 nucleones cuando se formó el uranio es igual en la energía de enlace por nucleón multiplicada por el número de nucleones: ∆E ∆Euranio = A · 235 uranio La energía que se desprendería.66 · 10−27 m = 1.2518 kg 1u NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado.Expresada en kilogramos. despreciando la contribución de los neutrones producidos. si esos 235 nucleones formasen dos núcleos de 8. y libera unos 210 MeV de energía. de 8.4 MeV de energía de enlace por nucleón. la reacción se puede considerar como una reacción nuclear en la que los 235 nucleones del uranio se transforman en 235 nucleones repartidos en dos núcleos.4 MeV. en promedio. Física nuclear = 210 MeV uranio 235 U: 235 · 8. Si igualamos las energías anteriores: ∆E 235 · 8. 35 Cuando un núcleo de 235 U captura un neutrón. la numeración con que en él aparece es 40. La energía de enlace por nucleón de los fragmentos de fisión es. ∆E/A. Esa diferencia de energía es la energía liberada en la fisión. 210 MeV. más dos o tres neutrones. Haz un cálculo aproximado de la energía de enlace por nucleón del 235 U.4 MeV fragmentos La energía de enlace desprendida si se forman los dos núcleos intermedios es mayor que la desprendida cuando se forma el uranio. sería: ∆E ∆E2 fragmentos = 235 · A = 235 · 8.5 MeV 235 35 . La reacción nuclear a que se refiere el enunciado es la siguiente: 235 U + n → xX + yY + 2n Si despreciamos la contribución de los neutrones producidos y la del neutrón capturado. esta masa es: 1. se parte (fisiona) en dos fragmentos. Documents Similar To anaya fisica 2 bachillerato.pdfSkip carouselcarousel previouscarousel nextSolucionario Mc Graw Hill Fisica 2 BachilleratoFÍSICA TOMO 1 2010-2011Electrónica Analógica... L. Cuesta.....- A. Gil Padilla.... - F. 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