Analyse Et Modélisation Numérique Des Ouvrages en Sols Renforcés. T. Karech Et Al. (2010)

Sciences & Technologie B – N°31, Juin 2010, 29-34.ANALYSE ET MODELISATION NUMERIQUE DES OUVRAGES EN SOLS RENFORCES T. KARECH1, A. CHARIF*, A. BOUMEKIK2 Département de Génie Civil Université Hadj Lakhdar Batna- Algérie 2 Département de Génie Civil Université Mentouri Constantine Algérie 1 Reçu le 25/05/2008 – Accepté le 16/04/2010 Résumé La formulation par éléments finis et l’analyse de l’homogénéisation sont décrites. La méthode numérique est basée sur l’idée du point de vue macroscopique que le sol renforcé peut être traité comme un matériau multicouche homogénéisé, mais anisotrope en raison de l’orientation privilégiée des inclusions de renforcement. En réalité, le sol renforcé est un matériau composite dont l’interaction entre le sol et les bandes en métal ou géotextile sont prise en considération. L’approche est alors appliqué sur l’exemple de l’analyse de stabilité d’un talus vertical renforcé par des nappe de géogrilles. Mots clés : Limite inférieure, cisaillement, frottement, éléments finis, interfaces, homogénéisation, tension Abstract The formulation by finite element and the analyses of the homogenization are described. The numerical method is based on the idea from the macroscopic point of view that the reinforced ground can be treated like a homogenized multilayer material, but anisotropic because of the privileged orientation of inclusions reinforcement. Actually, the reinforced ground is a composite material whose interaction between the ground and the bands out of metal or geotextile are taken into account. The upper method is then applied to the stability analysis of reinforced vertical excavation by geogrille Keywords : cohesion, friction, finite elements, homogenization, interfaces, shearing, tensions. .‫ﻣﻠﺨﺺ‬ .‫اﻟﻐﺮض ﻣﻦ هﺬﻩ اﻟﺪراﺳﺔ هﻮ ﺗﺮﺳﺐ اﻟﺤﺪﻳﺪ ﻋﻠﻲ ﺷﻜﻞ ﭬﻮﺗﻴﺖ واﺳﺘﺮﺟﺎع اﻟﺰﻧﻚ ﻓﻲ اﻟﻤﺤﻠﻮل‬ ‫ درﺟﺔ ﺣﺮارة اﻟﺘﺮﺳﺐ ووﻗﺖ‬،‫ ﺗﺄﺛﻴﺮات ﺗﺮآﻴﺰ ﺣﻤﺾ اﻟﻜﺒﺮﻳﺘﻴﻚ ﻟﻔﺴﺦ اﻟﺤﺪﻳﺪ و اﻟﺰﻧﻚ‬:‫ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻣﺮاﺣﻞ ﺗﺮﺳﺐ اﻟﺤﺪﻳﺪ ﻗﺪ درﺳﺖ‬ .‫اﻹﺣﺘﻜﺎك ﺑﻬﺪف ٳزاﻟﺔ اﻟﺤﺪﻳﺪ ﻣﻦ ﻣﺤﺎﻟﻴﻞ ﻣﺼﻨﻊ ﻣﺼﻬﺮ اﻟﺰﻧﻚ "أﻟﺰاﻧﻚ" ﺑﺎﻟﻐﺰوات‬ ‫ﻃﺮﻳﻘﺔ اﻟﺤﺴﺎب‬.‫إن اﻟﺼﻴﺎﻏﺔ ﺑﺎﻟﻌﻨﺎﺻﺮ اﻟﻤﺤﺪودة و ﺗﺤﻠﻴﻞ اﻟﻤﺠﺎﻧﺴﺔ ﻟﻠﻤﺎدة اﻟﻤﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ اﻟﺘﺮﺑﺔ اﻟﻤﺪﻋﻤﺔ ﻣﺪروﺳﺔ ﻓﻲ هــﺬا اﻟﻤﻘﺎل‬ ‫ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ و ﻟﻜﻦ ﻣﺘﺒﺎﻧﻴﺔ‬،‫اﻟﺮﻗﻤﻲ أﺳﺴﺖ ﺣﺴﺐ ﻧﻈﺮﻧﺎ ﻋﻠﻰ ﻓﻜﺮة أن اﻟﺘﺮﺑﺔ اﻟﻤﺪﻋﻤﺔ آﻜﻞ ﺗﺴﺘﻄﻴﻊ أن ﻧﺪرﺳﻬﺎ آﺄﻧﻬﺎ ﻣﺘﻌﺪدة اﻟﻄﺒﻘﺎت‬ ‫ ﻓﻲ اﻟﻮاﻗﻊ اﻟﺘﺮﺑﺔ اﻟﻤﺪﻋﻤﺔ هﻲ ﻣﺎدة ﺑﻨﺎﺋﻴﺔ ﻣﺮآﺒﺔ ﻧﺎﺗﺠﺔ ﻋﻦ اﻟﺘﻔﺎﻋﻞ‬. ‫اﻟﺨﺼﺎﺋﺺ و ذﻟﻚ ﻧﻈﺮا ﻟﻼﺗﺠﺎﻩ اﻟﻤﻮﺟﻮدة ﻋﻠﻴﻪ اﻟﻤﺪﻋﻢ ﻓﻲ اﻟﺘﺮﺑﺔ‬ .‫" و اﻟﺬي أﺧﺬ ﺑﻌﻴﻦ اﻻﻋﺘﺒﺎر‬géotextiles " ‫ﺑﻴﻦ اﻟﺘﺮﺑﺔ و اﻟﺼﻔﺎﺋﺢ اﻟﻤﻌﺪﻧﻴﺔ أو اﻟﻤﻮاد اﻟﻨﺴﻴﺠﻴﺔ اﻟﻤﺮآﺒﺔ‬ .géogrilles" ‫اﻟﺪراﺳﺔ ﻃﺒﻘﺖ ﻋﻠﻰ ﻣﺜﺎل ﻟﺘﺤﻠﻴﻞ اﺗﺰال اﻟﻤﻴﻮل ﻟﺘﺮاﺑﻴﺔ اﻟﻤﺪﻋﻤﺔ ﺑﻄﺒﻘﺎت ﻣﻦ‬ ‫ اﻟﺸﺪ‬،‫ اﻟﻤﺠﺎﻧﺴﺔ‬، ‫ اﻟﻌﻨﺼﺮ اﻟﻤﺤﺪود‬،‫ اﻟﺘﻔﺎﻋﻞ‬.،‫ ﻻﺣﺘﻜﺎك‬،‫ اﻟﺘﻤﺎﺳﻚ‬،‫ اﻟﺤﺪ اﻟﺴﻔﻠﻲ‬:‫اﻟﻜﻠﻤﺎت اﻟﻤﻔﺘﺎﺣﻴﺔ‬ © Université Mentouri, Constantine, Algérie, 2010 On constate qu’en employant une approximation linéaire appropriée de la surface limite. P[4] Dans le présent article le théorème de limite est employé dans la formulation par éléments finis pour développer d’une manière générale la méthode numérique qui peut être utilisée comme solution pour les ouvrages en sol renforcé. avec h : espacement des renforcements. l’application du théorème liée mène à un problème linéaire Micro. ainsi que des hypothèses qui les régissent. qui s’avère être un moyen efficace pour prévoir la limite plastique des ouvrages de sols. montre qu’elles peuvent conduire soit à sur estimer de façon importante les capacités de résistance du sol renforcé et donc la stabilité des ouvrages.[9]. Sawicki. Figure 1 : Transformation des contraintes Si l’on fait une transformation des contraintes dans le plan (n-t) (figure 1) σ n = σ x sin 2 θ + σ y cos 2 θ − τ xy (4) τ = 1 σ x sin 2θ + 1 σ y sin 2θ + τ xy cos 2θ 2 2 (5) Pour commencer la formulation. KARECH. A. L’état de contrainte dans le sol homogénéiser dans le plan x-y définit par (Sawiki et Lesnieewska[13]) σ xs = σ x − σ r cos 2 θ (1) σ ys = σ y − σ r sin 2 θ (2) Macro. CONDITION DE RUPTURE DES SOLS RENFORCES Comme mentionné précédemment. fournisse une approche alternative pour étudier le comportement des sols renforcés. Jones. CHARIF. et l’axe horizontal Le théorème de limite.contraintes s τ xy = τ xy − σ r sin θ cos θ (3) Pour distinguer la différence entre les contraintes totales σ et les micro-contrainte σs dans le plan x-y (De Buhan et al Figure 2 : Contraintes dans le sol renforcé où : 30 . [14]. concernant la façon dont les inclusions de renforcement interagissent avec le sol environnant. on suppose que le renforcement est unidimensionnel d’épaisseur d (avec d/h<<1). le sol renforcé est traité comme un matériau macroscopiquement homogène mais anisotrope. L’influence de condition de rupture du solrenforcement sur le comportement globale est prise en considération en supposant que le cisaillement et les efforts normaux à l’interface sont régis par un critère général de Mohr-Coulomb. BOUMEKIK L es procédés de renforcement des sols se sont σ r : Contrainte axiale de tension dans le renforcement σ s : Contrainte dans le sol θ : Représente l’angle entre la direction du renforcement considérablement développés dans le domaine de la construction géotechnique. A. Certaines méthodes reposent le plus souvent sur des hypothèses simplificatrices. que sur une échelle macroscopique. ce qui exige l’élaboration des méthodes fiables et pratiques de conception des structures en sol renforcé.contraintes 1. La formulation numérique du théorème de limite employant le critère anisotrope modifié est alors développée.T. le sol renforcé se comporte comme un matériau homogène mais anisotrope. du critère isotrope conventionnel de Mohr-Coulomb est modifié pour inclure l’effet de l’anisotropie provoquée par la présence du renforcement. L’analyse de certain d’entre elles du point de vue mécanique. dont la force composée peut être estimée à partir des caractéristiques de force des ses composantes (solrenforcement) (De Buhan. Ce théorème ignore les déformations élastiques qui est fondé sur l’hypothèse. σ ir : Contraintes nodales (figure 3)... FORMULATION EN ELEMENTS FINIS Les éléments utilisés sont à 8 nœuds.... σn est la contrainte normale et ci et φi sont respectivement la cohésion et l’angle de frottement interne à l’interface. ∂y 0<σ r <σe + ∂τ xy ∂x =γ (12) γ : poids volumique du sol d σ 0 = ( )σ lim t h avec.τ xyi . Ce qui implique des contraintes tangentielles et normales qui sont prises en considération (figure 4). τ xy .0. σ yi . 2. la variation des contraintes dans chaque élément est linéaire et chaque nœud est associé à 4 inconnues de contraintes (σ x ...... σ y1 . σ y 4 . τ xy 4 }T {b1} = {0... σ y 4 . τ xy1 . et des contraintes supplémentaires s’imposent. A partir des équations (4) et (5) la condition aux limites est donnée par : [a1] : matrice des constantes {x} = { σ x1 .Analyse et modélisation numérique des ouvrages en sols renforcés ∂σ y [3]) suppose que les inclusions travail simplement en traction et que la résistance au cisaillement ou compression n’a pas d’effet.. σ y1 . τ xy1 .. le théorème de limite doit satisfaire les équations d’équilibre suivantes. CONDITION DE DISCONTINUITE Fi = σ x 4 .γ}T (9) Statiquement on peut admettre une discontinuité au bord adjacent de l’élément. τ xy 4 }T . σ y .. 1 (σ y − σ x ) sin 2θ + 2τ xy cos 2θ − ci 2 + [σ x sin 2 θ + σ y cos 2 θ − τ xy sin 2θ )tgϕ = 0 3. ∂σ x ∂τ xy + =0 ∂x ∂y [a 2 ]{x} = {b2 } [a2] : matrice des constantes {x} ={ σ x1 . σ r ) ces contraintes s’écrivent : ⎡σ x ⎤ 4 ⎡σ xi ⎤ ⎢σ y ⎥ =∑ N i ⎢σ yi ⎥ ⎢τ xy ⎥ i =1 ⎢τ xyir ⎥ ⎣σ r ⎦ ⎣σ i ⎦ (10) Ni : c’est les fonctions de forme σ xi . Pour le critère de Mohr-Coulomb adopté.0} 31 (14) σ x 4 . Figure 4 : Discontinuité des contraintes En plus des conditions de déformation plane. (11) {b2} :{0.... la fonction de charge limite pour le sol est exprimé par : Fs = (σ xs − σ ys ) 2 + (2τ xys ) 2 [ − 2c cos ϕ − (σ xs + σ ys ) sin ϕ ] 2 (6) =0 En tenant compte des relations (1) et (3) on obtient : Fs = (σ x − σ y − σ r cos 2θ ) + (2τ xy − σ r sin 2θ ) 2 Figure 3 : Contraintes nodales (7) − [2c cocϕ − (σ x + σ y − σ ) sin ϕ ] = 0 r 2 Si l’on substitue l’équation (10) dans les équations (11) et (12). on obtient sous forme polynomiale pour un élément de sol : Les conditions aux limites d’interface sont exprimées par l’équation suivante : Fi = τ − c i + σ n tgϕ i = 0 [a1 ]{x} = {b1 } (8) (13) Ou τ est la contrainte de cisaillement . σlimt : contrainte limite de traction du renforcement en traction.0. la forme linéarisée de Fs peut être montrés sous la forme : Ak σ x + Bk σ y + C k τ xy + Dk σ ≤ 2c cos ϕ cos(π / p) r parement avant du mur est notée même largeur en tête qu’en pied. Yu et S. C p + 2 = − sin 2θtgϕ i − cos 2θ Puisque le renforcement travaille à la traction : La surface de résistance linearisée droite située à l’intérieure de la surface de résistance modifiée (MohrCoulomb) dans l’espace de contrainte (H.Ck . A. k=p+2) Etant donné que nous formulons le théorème de la limite inférieure comme un problème linéaire.W. il est nécessaire d’avoir Fs ≤0 . en modifiant le critère de résistance en anisotropie. C p +1 (16) avec : A p +1 = sin 2 θtgϕ i − 1 sin 2θ . L’inclinaison du Figure 5 : Linéarisation de la surface limite de rupture Suivant la figure (5). KARECH. Similairement. 2 1 = − sin 2θtgϕ i + sin 2θ . ce qui about à deux contraintes linéaires. il est suffisant de considérer les inégalités (15) et (17) dans chaque ensemble d’effort nodal de façon qu’elles soient satisfaites dans tous les nœuds de la structure.6) Ak = cos(2πk / p ) + sin ϕ cos(π / p ) B k = − cos(2πk / p ) + sin ϕ cos(π / p ) C k = 2 sin(2πk / p ) Dk = − cos2θ cos(2πk / p) − sin 2θ sin(2πk / p) − sinϕ cos(π / p) La condition limite de linéarisation pour l’homogénéisation des sols renforcés impose p contraintes macroscopiques en tout point.Bk . σ r T yi . (k=p+1 .. 2 1 = cos 2 θtgϕ i − sin 2θ . Fi ≤0. ces contraintes s’expriment : [a3]{x}≤{b3} (18) [a3] : dépendant des coefficients Ak . avec (k=1. cependant les contraintes non linéaires seront obtenues en imposant l’inégalité Fs≤0 (puisque la fonction de résistance Fs est quadratique dont les contraintes sont inconnues). τ xyi σ i ) {b3} : c’est une fonction de 2cicos icos(( /p) .S. 2 A p + 2 = sin 2 θtgϕ i . le critère de rupture à l’interface (équation (8)) mène à deux inégalités linéaires de contrainte macroscopique non connue. il a la . (15) (k=1. p+2) 5. (0 ≤σ r ≤σ 0 ) (17) avec σ0 contrainte limite à la traction.6) et ci pour ( k=p+1. nous étudions l’influence des paramètres géométriques et des paramètres mécaniques sur la stabilité d’un ouvrage. 1 sin 2θ . 2 B p +1 = cos 2 θtgϕ i + B p+2 . CHARIF. Si Fi ≤0 (l’équation (8)). La condition limite à partir des équations (16) et (18) provoquent (p+2) contraintes inégales à chaque nœud i du renforcement sous forme matricielle. les effets du renforcement du sol sont incorporés dans l’analyse. Pour s’assurer que les conditions de résistance sont satisfaites.2…. les conditions globales de rupture sont exprimées par les équations (6) et (7). Sloan [17]). CONDITION DE RESISTANCE Comme décrit précédemment.. Figure 6 : Ouvrage en sol renforcé 32 β 21 et la hauteur H. Pour un sol renforcé. BOUMEKIK Ak σ x + B k σ y + C k τ xy ≤ c i 4. nous avons étudié un ouvrage (figure 6). il est nécessaire d’approcher l’équation (7) par un critère de résistance linéaire dont les contraintes sont les inconnues.T. APPLICATION A l’aide du programme de calcul utilisant les mécanismes décrits précédemment.3.Dk {x} : (σ xi .2. Pour ce faire. A. On fixe arbitrairement δ = 0 et φr =30°. du b) Variation de l’angle de frottement du remblai φr. nous avons représenté Γ en fonction de la largeur de la base adimensionnée L/H pour différente combinaison de pentes du mur β (60° . • Variation de L/H.Les courbes sont peu différentes. puis croît avec δ pour atteindre un maximum. L’ouvrage en mur incliné est constitué d’un sol renforcé retenant un remblai.2 et 3 et -45° ≤ δ ≤ 30°. le mécanisme de rupture passe entièrement dans le mur. il ressort que pour la courbe 3 ( β 2 = 90°). On fixe L//H=0. . Figure 7 : Γ fonction de l’épaisseur du mur (l=L) • Variation de l’inclinaison des files. CONCLUSION Le comportement des massifs renforcés par inclusion linéique est complexe et nécessite la prise en compte des transferts d’efforts à l’interface sol/inclusions. Figure 8 : Γ fonction de δ (inclinaison de la direction renforcement sur l’horizontale) a) Variation des paramètres géométriques. Les poids volumiques des 2 matériaux sont identiques et notés γ.2 et δ=0 et φm = 30°. Sur la figure 9. Γ est nul. largeur de base limite pour laquelle Γ n’augmente plus. De ce mur graphique. De ce graphique. la cohésion du remblai étant nulle. mais ne permettent pas d’évaluer l’état de déformations du massif. Nous étudions les variations de Γ coefficient de sécurité en fonction des différents paramètres géométriques et mécaniques de l’ouvrage. 70° et 90° ) De ces graphiques il ressort que : . Γ est nul pour certaines valeur de δ car on peut alors trouver au moins un mécanisme où les fils sont comprimés et donc non sollicités. puis L’homogénéisation des milieux périodiques est une autre approche qui permet de considérer le composite terrain et renforcement au niveau macroscopique comme un matériau équivalent dont le comportement global rend compte de celui du sol et des inclusions. Les approches de type calculent à la rupture visent a déterminé l’équilibre du massif. Γ croit quasi-linéairement. les inclusions et leur liaison et conduit à deux types d’approches : analytiques et numériques. Il s’avère qu’à partir de la Pour les courbes 1 et 2. On fixe L/H=0. On note par φm et φr respectivement l’angle de frottement des sols constituant le mur et le remblai. Cet ouvrage a les pentes supérieure et inférieure horizontales. 70° et 90° ). nous avons représenté Γ en fonction de l’angle de frottement du remblai φr pour trois pentes différentes du Sur la figure 7. 1 . ( β 2 =60 ) 1 Γ croit exponentiellement en fonction de φr. décroît à nouveau. il ressort que : β (60° . 33 .Pour les courbes 1.2 et φr = 30°. Sur la figure 8 (φm = 30° ). En effet. nous avons représenté Γ en fonction de l’inclinaison des files δ pour différente combinaison de pentes du mur β (60° . Les fils de sont inclinés de δ par rapport à l‘horizontale. 70° et 90° ). La modélisation en déformations permet quant à elle de prendre en compte les divers éléments : le sol. Le contact entre les deux matériaux se fait sans cohésion. C’est la valeur que l’on obtiendrait pour un talus constitué uniquement de sol renforcé. φm = 30°.. Figure 9 : Γ fonction de φr.Γ croit régulièrement avec la largeur de la base du mur jusqu’à une valeur limite. les fils ne sont sollicités qu’en traction.Analyse et modélisation numérique des ouvrages en sols renforcés La fondation est un substratum considéré comme étant rigide. S.. tome 301. A. Soc. 267-288. Thèse de doctorat. 3 1-40. n09. Test of interface between sand and steel in simple shear apparatus. Simulation numérique du comportement des sols cloués interaction sol-renforcement et comportement de l’ouvrage . pp. A. Al Yasin Z. Soil – structure interaction : FEM computations. Uesugi M. Bitterworths. Contrôle de la déformation du massif renforcé par boulonnage au front de taille d’un tunnel. 63. and Maghous S. CHARIF. 1997 Vol. R. 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