Disponibilité des équipementsDeshayes CM3 Fiabilité Défaillance 1 1. Introduction: Définition AFNOR X 06-501: La Fiabilité est la caractéristique d'un dispositif exprimée par la probabilité que ce dispositif accomplisse une fonction requise dans des conditions d’utilisation et pour une période de temps déterminées. Temps déterminée: durée de la mission assignée, durée de vie du dispositif, mesure du temps ou fonction du temps. Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 2 1. Introduction: historique Les techniques de fiabilité se sont développées en France au cours des trois dernières décennies. Appliquées à leur début à l'électronique, ces techniques se sont étendues progressivement à la mécanique. Les paramètres qui influèrent sur le développement rapide des études de fiabilité sont: la prise de conscience des coûts des matières premières et de l'énergie, la demande sans cesse croissante de produits durables et peu coûteux , la concurrence sévère sur les marchés étrangers , le coût des services après vente, le manque à gagner de la non production en cas de panne, la complexité des matériels exigeant une haute qualité. Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 3 1. Introduction: défaillance Pour définir la fiabilité il importe de définir correctement la fonction associée. Si la fonction requise n'est pas accomplie dans les limites de ses tolérances on dit qu'il y a "défaillance". Les différents types de défaillance ont été définies par l'AFNOR (X 06-501) en fonction de: leur rapidité : progressive ou soudaine, leur cause: faiblesse, mauvais emploi, défaillance primaire c'est-à-dire ne résultant pas d'une autre défaillance, leur amplitude : partielle ou complète, leurs conséquences : critique, majeure ou mineure, l'âge : précoce, aléatoire, d'usure. Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 4 1. Introduction: défaillance Lors de l'analyse d'une défaillance, on parlera de son mode ("le comment?") et de son mécanisme ("le pourquoi ?"). En règle générale une défaillance est pratiquement toujours due à une faute où erreur. Une faute peut être physique (phénomènes physiques adverses), interne (panne d'un composant, rupture d'une pièce) ou externe (induite par des perturbations de l'environnement, chocs mécaniques, vibrations, température). Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 5 les fautes de "maintenance " (opération dont le but est de conserver ou de restituer le potentiel initial du système. les fautes d'interactions (actions d'opérateurs non conformes aux procédures d'exploitation). procédure d'exploitation ou de maintenance incorrecte). Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 6 . Introduction: défaillance La défaillance peut aussi être due à l'homme : les fautes de conception (imperfections introduites dans le système pendant la conception initiale.1. autrement dit l'entretien et la réparation). modifications liées à des changements dans les buts ou les spécifications du système. La Fonction "fiabilité" La fiabilité R(t) se mesure par la probabilité de l'événement "non défaillance" jusqu'à l'instant t. soit encore : R(t) = Prob (TBF>t) La courbe de fiabilité R(t) se présente sous une forme illustrée par la figure ci-dessous. En bref la fiabilité est la probabilité que possède un dispositif d'être encore en bon fonctionnement à l'instant t.2. Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 7 . 2. La Fonction "fiabilité" R(t) C 1 F(t) B R(t) A 0 t Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 8 . 2. La Fonction "fiabilité" En pratique. Le segment BC représente le pourcentage d'appareils ayant été défaillants entre les instants 0 et t. cette probabilité se traduit par une fréquence qui peut être exprimée en pourcentage. Le segment AB représente le pourcentage d'appareils fonctionnant encore normalement à t.R(t) Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 9 . soit: F(t) = 1 . La courbe représentative d' une fonction de répartition (ou encore de fréquences cumulées) est symétrique à la précédente par rapport à la droite R(t) = 0.2. La Fonction "fiabilité" La fonction F(t) représente donc la probabilité d’avoir eu une panne avant t.5 Ainsi : si f(t) est la fonction de distribution des défaillances correspondantes on a : ∞ d F(t) f(t) = dt ∫0 f(t) dt = 1 Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 10 . 2. dt =dF(t) t O to t dt 11 Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance . La Fonction "fiabilité" La courbe représentative de f(t) différentes suivant la période de vie f(t) Jeunesse a des allures Obsolescence f(t) . La Fonction "fiabilité" Si : N(t) l'effectif à l'instant t et No l'effectif à l'origine N (t ) Alors R(t)= No est un bon estimateur de la fiabilité De plus.4 Voir TD 1 N + 0.Deshayes 4 12 CM3 Fiabilité Défaillance N .2.3 Fi = F(ti) = R(ti) = N + 0. si N représente le nombre de défaillances d’un composant d’un système sur une durée d’évaluation et si i indique le rang de la défaillance à laquelle on associe ti le TBF écoulé alors: i N −i Pour N > 50 Fi = F(ti) = N et R(ti) = Pour 20 < N < 50 (approximation des rangs moyens) N +1 − i i Fi = F(ti) = R(ti) = N +1 N +1 Pour N < 20 (approximation des rangs médians) N + 0.7 − i i − 0. Si: Ns(t) : nombre de survivant à l’instant t Ns(t + Δt) : nombre de survivant à l’instant t + Δt λ(t)= Ns(t) .Ns (t + Δt) Ns(t) Δt λ(t) dt est donc la probabilité qu'a un composant d'avoir une défaillance entre t et t + dt sachant que ce composant a fonctionné correctement jusqu'au temps t. Taux de défaillance λ(t) Le taux de défaillance est défini par le nombre de défaillances survenant entre les instants t et t + Δt rapporté au nombre d'appareils "en vie" à l'instant t.3. Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 13 . 13 0.0038 0.88 0.00 950.0050 0.00 150.23 43.04 0.18 0.0100 MTBF = Σ fi .13 0.86 0.73 0.04 Fréquenc e absolue Fi = Σ fi 0.14 0.01 0.01 0.00 850.59 0.Fi Taux de défaillance λi fi x ti 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0-100 100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 1 7 15 28 43 62 78 91 100 104 0.00 750.93 0.00 650.0001 0.0006 0.14 0.75 0.40 0.15 0.27 0.00 0.0008 0.07 0.09 0.00 93.08 0.00 250.90 100.41 0.00 550.99 0.00 Effectif défaillant par classe ni 1 6 8 13 15 19 16 13 9 4 Cumul défaillant Fréquence relative fi = ni / N 0.65 19.75 64.0031 0.0069 0.0015 0.56 36.00 Fiabilité .48 8.35 .75 73. Ri =1 .48 100.06 0.0020 0.Exemple 1: Etude du comportement d’un composant Bornes des classes Centre des classes ti 50.13 0.54 Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 14 541.96 1.00 450. ti 0.60 0.25 0.00 350. 40 0.10 0 200 400 600 800 1000 0.10 0.06 0.30 0.0040 0.0120 0.20 0. fi = 541 heures Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 15 .90 0.04 0.16 0.70 0.0100 0.08 0.50 0.18 0.12 1.0.14 0.0020 0 200 400 600 800 1000 - 0 200 400 600 800 1000 Dans un premier temps on en conclut que : * le taux de défaillance est croissant *la dégradation est du à la vieillesse ( fatigue ou usure) *que la MTBF a pour valeur : Σ ti.0060 0.00 0.02 0.0080 0.60 0.20 0.80 0. 000300 0.00 16570.00 Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 16 .000956 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 1000 3000 5000 7000 9000 11000 13000 15000 17000 20000.00 20000.00 20000.00 20000.000200 0.00 19320.00 20000.000300 0.000400 0.Exemple 2 Bornes des classes Inférieure Supérieure Centre Nombre de machines en service 10 10 10 10 10 10 10 9 +1(15320) 7 + 1(16720) + 1(17850) Cumul Heures/ classe Fréquence simple 19 8 6 4 6 6 4 9 16 Fréquence cumulée 19 27 33 37 43 49 53 62 81 Taux de déf λ(t) 0.00 20000.000200 0.000950 0.00 20000.000466 0.000300 0. Exemple 2: Taux de défaillance nb de pannes / unit usage 0.000600 0.001000 0.000200 0.001200 0.000800 0.000400 0.000000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 t(unités d’usage) 14000 16000 18000 20000 Conclusion A une période de jeunesse de 2500 h succède une longue période de maturité A partir de 15000 h il faut remplacer le matériel ou le reconstruire Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 17 . Taux de défaillance λ(t) La probabilité qu'a un composant d'avoir (dès le départ) une avarie entre t et t + dt est égale à f(t)dt.dF(t) = .F(t) en prenant la différentielle de la relation R(t) = 1. pour l'évaluer il suffit d'écrire qu'elle est égale à la probabilité qu'a le composant de fonctionner jusqu'à t et de tomber en panne entre t et t + dt soit : f(t)dt = R(t).f(t)dt soit : λ(t).3. λ(t) dt Ainsi on a: λ(t) = f(t) f(t) = R(t) 1 .ln R(t) 18 t .dt = t dR(t) − R(t) en intégrant entre 0 et t on a: D’où: R(t) = e -∫ λ (t) dt 0 Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance ∫0 λ (t) dt = .F(t) on a : dR(t) = . Taux de défaillance λ(t) On en déduit également la loi de distribution : t f(t) = λ (t) e -∫ λ (t) dt 0 La M.3.F.T.B. "Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement". est l’espérance mathématique de la loi de distribution de probabilité f(t) : MTBF = m = E(t) = ∫0 ∞ t f(t) dt = ∫0 ∞ R(t) dt Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 19 . dite "courbe en baignoire". dite de mortalité infantile ou période de jeunesse (1). caractéristique de toute étude de fiabilité. la période à taux de défaillance constant ou de maturité au cours de laquelle les défaillances sont purement accidentelles (2). Taux de défaillance λ(t) L'évolution de λ(t) en fonction du temps conduit à la courbe classique. la période ou le taux augmente à cause du processus de détérioration du système par fatigue où par usure (3).3. Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 1 3 2 t 20 . Cette courbe montre λ(t) clairement: la période où le taux de défaillance décroît. à l’étude d’une défaillance précise lorsque celle ci arrive de façon aléatoire. C'est une loi très utilisée car elle est très simple et bien adaptée à la période à taux de défaillance constant de la «courbe en baignoire» (palier). Les lois de distribution continues La Loi exponentielle Elle est caractérisée par un taux de défaillance λ constant.4. Elle s’applique donc : à l’ensemble des défaillances d’un système lorsque celui ci est dans sa zone de maturité. Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 21 . B.λ t f(t) = λe MTBF = -λ t 1 σ= 1 λ 22 Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance λ .F: L’écart type: R(t) = e .∫ λ (t) dt 0 t R(t) = e . Les lois de distribution continues La Loi exponentielle Nous avons démontré précédemment : En exprimant que λ(t) est constant on obtient La densité de probabilité devient donc La M.4.T. 8 % (voir ci-contre) 1 R(t) e-1= 0.4. c’est à dire que la probabilité d’atteindre la MTBF est de 36.368 . R(t)= 1/e soit 0. Les lois de distribution continues La Loi exponentielle La courbe ci-contre montre l’évolution de la fonction de distribution R(t) Pour t = MTBF soit t = 1/λ.368 t 0 MTBF =1/λ Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 23 . λt et en particulier si R(t) = 0.9 on a t = L10 = .3 x MTBF =2.9 ) / λ = 0.3/λ R(t) = e .2 0.105 * MTBF 24 Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance .1 pouvons nous vérifier aisément qu’une population de TBF suit la .( ln 0.ln R(t) Pente= -λ / 2.3 t 2. Les lois de distribution continues La Loi exponentielle En utilisant du papier semi logarithmique la courbe Ln 1 R(t) R(t) représentative de R(t) 0 devient une droite.4.1 0.01 loi exponentielle et en tirer la MTBF Durée de vie associée à une fiabilité On tire λ t = . Ainsi . B.F(t) Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 25 .μ ) 2σ 2 1 R(t) = 1 − σ 2π ∫0 t (t .4.T.F correspond à la moyenne μ (car la loi normale est une loi symétrique) enfin. λ(t) = f(t) f(t) = R(t) 1 . 2 1 f(t) = e σ 2π - (t . Les lois de distribution continues La loi normale (Laplace Gauss) Cette une loi classique généralement bien connue est bien adaptée à l’étude des défaillances par dégradation liées à l’usure.μ ) 2 2 2 σ e dt Dans laquelle σ est l’écart type et μ la moyenne La M. Les lois de distribution continues La loi normale (Laplace Gauss) f(t) 34.15% t O μ-3σ μ-2σ μ μ+2σ 26 Défaillance μ .3 σ et μ + 3σ on prend en compte plus de 99.4.59% 13.59% 2.15% 2.13% 34.σ Deshayes CM3 μ + Fiabilité σ μ+2σ .7% de la population 13.13% La courbe ci-contre montre l’évolution de la fonction de distribution f(t) On observe que entre μ . Les lois de distribution continues La loi normale (Laplace Gauss) Les courbes ci-contre montrent l’évolution de la fonction de répartition F(t) et de la fonction fiabilité R(t) F(t) 1 0.4.50 0.84 F(t) 0.16 R(t) 0 t 27 μ-σ μ μ+σ Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance . (soit la MTBF lorsque λ(t) est constant). γ est le paramètre d'origine des temps.5. c'est à dire l'âge correspondant à une probabilité de défaillance de 0. Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 28 . Ainsi : Où: β ⎛t −γ λ (t ) = ⎜ η⎜ ⎝ η ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ( β −1) η est le paramètre d'échelle.632. β est le paramètre de forme. η est encore appelé "caractéristique de vie" du dispositif. La loi de Weibull Paramètres de la loi Cette loi est une loi à trois paramètres qui permet d’exprimer f(t) lorsque le taux de défaillance λ(t) varie comme une puissance quelconque du temps. 5.5 0.25 Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance β=1. La loi de Weibull Effet de β On constate qu’il suffit de faire varier β pour retrouver les trois périodes de vie fondamentales d’un matériel.5 β=1 29 . λ(t) 2 β=3 γ = 0 et η=4 β=2 β=0. En effet l’enveloppe de ces courbes nous donne la courbe en baignoire caractéristique des trois phases de vie d’un matériel. nous sommes en zone de jeunesse (rodage. avec : Si 1. nous sommes en phase de vieillesse.5 dégradation due à la fatigue corrosion Si 3 < β < 4 dégradation essentiellement due à l’usure ou la Si β = 3. déverminage) Si β > 1 le taux de défaillance croît.5 < β < 2. On retrouve la loi exponentielle Si β < 1 le taux de défaillance décroît.5 on retrouve la loi normale Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 30 . La loi de Weibull Interprétation de β Ainsi : Si β = 1 le taux de défaillance est constant.5. nous sommes en zone de maturité. 5) β=1 F (t ) = 1 − e ⎛ t −γ −⎜ ⎜ η ⎝ ⎞β ⎟ ⎟ ⎠ 0 Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance t 31 .5. La loi de Weibull Fonctions Le calcul des différentes fonctions nous donnent: ( β −1) ⎛ t −γ −⎜ ⎜ η ⎝ ⎞β ⎟ ⎟ ⎠ β ⎛ t −γ f (t ) = ⎜ η⎜ ⎝ η f(t) β<1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ e ⎛ t −γ −⎜ ⎜ η R(t ) = e ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ β β > 1 (= 3. 2000 0.8000 0.4000 0.6000 0.0000 0 F(t) 1 2 3 t (unités d'usage) 32 .0000 0 1 2 3 t (unités d'usage) Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 1.8000 0.0000 0. La loi de Weibull Évolution de F(t) et R(t) en fonction de β β<1 β =1 maturité jeunesse 1.4000 F(t) 0.0000 R(t) R(t) 0.6000 0.5.2000 0. 2000 0.0000 0 1 2 3 t (unités d'usage) Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 33 F(t) R(t) .5.6000 0.4000 0.0000 0. La loi de Weibull Évolution de F(t) et R(t) en fonction de β β>1 obsolescence 1.8000 0. 5. La loi de Weibull Durée de vie associée à un niveau de fiabilité En prenant la fonction réciproque de R(t) on trouve t fonction de R(t) et l’on obtient ⎛ 1 ⎞β t = γ +η ⎜ ⎜ Ln R(t) ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 1 et en particulier pour une fiabilité R = 0.105)1/β (L10 correspond à la durée de vie atteinte par 90% des matériels) Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 34 .9 on a : L10 = γ + η (0. 5. La loi de Weibull Durée de vie associée à un niveau de fiabilité Recherche de la MTBF et de l’écart type σ et du coefficient de dispersion Cx On a : MTBF = Aη + γ σ=Bη Où A et B sont des coefficients obtenus dans la table ci-dessous : Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 35 . 226 0.645 1.40 1.344 2.172 0.9027 0.90 6.285 3.30 5.8917 0.9192 0.540 0.9277 0.00 1.9011 0.00 0.00 0.30 A 9.90 0.222 0.9171 0.9114 0.10 1.80 5.9126 0.70 4.2658 1.80 0.8893 0.60 0.177 0.80 0.9149 0.203 0.10 0.50 0.60 0.9318 B 0.230 0.000 0.60 1.272 3.8862 0.70 5.425 0.787 0.207 0.188 0.170 0.9260 0.50 5.660 0.266 3.8984 0.8905 0.9222 0.9407 0.380 2.9302 0.463 0.9051 0.9213 0.191 0.0522 1.50 A 0.10 5.90 0.214 0.428 1.40 6.393 2.80 1.200 0.9649 0. La loi de Weibull β 0.90 5.8859 B 50.9294 0.50 1.299 3.8873 0.10 6.194 0.80 0.9241 0.254 4.244 4.8856 0.30 0.486 0.20 1.1330 1.50 0.40 0.9251 0.70 1.316 3.9102 0.171 1.9310 0.239 4.0000 0.60 4.175 0.511 0.307 3.60 0.9064 0.8857 0.8893 0.10 2.3234 2.9269 0.9236 0.80 4.249 4.9137 0.8882 0.8997 0.334 3.197 0.278 3.325 3.185 0.20 0.70 0.8966 0.90 1.443 0.367 2.20 0.574 0.8957 0.438 4.9114 0.878 0.472 2.8874 0.218 0.0000 1.9025 0.40 0.168 36 2.210 0.8970 0.235 Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance .00 2.60 5.8943 0.716 0.8930 0.408 β A B β 4.5046 1.9202 0.50 0.9286 0.40 0.9182 0.9232 0.30 1.292 3.20 2.8922 0.20 5.180 0.00 5.8865 0.00 6.30 0.851 1.10 0.2605 3.30 6.20 6.70 0.40 0.70 0.50 4.9077 0.078 10.30 0.260 4.355 2.9160 0.613 0.9038 0.5.182 0.90 2.40 5.9089 0. 00 37 6.00 γ η =3 γ η =4 γ η =5 γ η =6 Zone de maintenance corrective Zone de maintenance conditionnelle Zone de maintenance systématique β 0. La loi de Weibull 2.50 γ η =2 1.00 Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 3.00 5.5.00 2.50 Cx γ η =0 Interprétation du Cx 2.00 γ η =1 1.00 4.50 - - 1.00 . 5. La loi de Weibull Exemple (TD 1) NHc NBc NSc Château d’eau Utilisation Cours d’eau Puisard NSp Pp Bassin de décantation NBf NSf Filtre NHf Pf Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance Analyse de la défaillance des pompes 38 . On utilise pour cela la méthode d’essai par mort soudaine pour lequel Les pompes sont regroupées par lots de 8. 1) Présenter les TBF.5. Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 39 . Une étude préliminaire a montré deux défaillances récurrentes : L’usure de la turbine 64. Le relevé des temps de bon fonctionnement (en heures) liées aux premières défaillances de chaque lot est donné dans les tableaux. les fréquences cumulées F(i) sous forme de tableau et déterminer les paramètres de WEIBULL . La loi de Weibull Exemple (TD 1) I ETUDE DES DEFAILLANCES DE LA POMPE Dans un laboratoire d’essais on teste 72 pompes submersibles dans des conditions identiques de fonctionnement. l’étanchéité au niveau du joint mécanique 53 (présence d’eau dans l’huile). 074468 0.1 183.9 2250.3 N + 0.5 TBF (53) 64.712766 0. La loi de Weibull Exemple (TD 1) i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 TBF (64) 1050.180851 0.393617 0.7 1436.5.8 Fi 0.5 0.5 732 1017.6 1549. qui transforme les courbes en droites lorsque γ = 0 et permet de déterminer η et β.287234 0.606383 0. Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 40 . dit papier d’Allan Plait ou de Weibull.6 3176.4 La loi de WEIBULL est très pratique car il existe un papier à échelles fonctionnelles.2 509.5 330.2 1976.3 1669 1805.7 1406.819149 0.925532 i − 0.3 1996.4 1202 1323. La loi de Weibull Exemple (TD 1) Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 41 .5. La loi de Weibull R (t ) ⎛ t −γ −⎜ ⎜ η =e ⎝ Reprenons l’expression de la fiabilité : ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ β en prenant le logarithme népérien des deux membres de l’expression on a: ⎛ t −γ ⎞ LnR(t ) = − ⎜ ⎟ ⎝ η ⎠ β soit encore ⎛ t −γ ⎞ 1 Ln =⎜ ⎟ R (t ) ⎝ η ⎠ β en prenant le logarithme népérien des deux membres de l’expression on a: β Ln [ 1 Ln R(t ) ⎛ t −γ ⎞ ] = Ln ⎜ ⎟ ⎝ η ⎠ Ln Y = Ln [ 1 Ln R(t ) 1 R(t ) ]=β [ Ln ( t -γ ) − Lnη ] en posant: X= Ln (t-γ) et [ Ln ] L’équation précédente devient une équation de la forme Y = b X + C. pour 42 Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance η = 1 on trouve β .Justification de la structure du papier de Weibull 5. Pour cela. soit on utilise la méthode de redressement suivante : On trace 2 droites // à OX ( ces droites seront le plus éloignées possibles). Leurs intersections avec la courbe correspondent à Ln t1 et Ln t3 On trace une droite équidistante de ces 2 droites. Si nous avions utilisé la variable t nous aurions obtenu une courbe. soit on recherche γ par tatonnement jusqu’ à obtenir une droite. La loi de Weibull Réalisation de l’ajustement graphique pour obtenir une droite nous avons utilisé la variable (t-γ).t γ= 2t 2 − t1 − t 3 Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 43 . On a: Y1+Y3 = 2 Y2 Soit: β(Ln(t3 – γ) – Ln η ) + β (Ln(t1 – γ) – Ln η )=2β (Ln(t2 – γ) – Ln η ) Ln (t3 – γ) + Ln (t1 – γ) =2 Ln (t2 – γ) (t3 – γ) . Son intersection avec la courbe correspondent à Ln t2 .5. D’où la nécessité de rechercher γ . (t1 – γ) = (t2 – γ)² Ainsi on obtient: 2 1 3 t ² − t . La loi de Weibull 2 1 Exemple (TD 1) η = 1150 β = 0. donc γ = 0 γ=0 β = 0.9 η = 1150 t (D1) Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 44 .9 (D2) (D1) est une droite.F(i) Étude du joint 53 (Détermination des paramètres de la loi de Weibull (D ) parallèle à (D ) 5. il faut donc déterminer γ γ = 901 (t1 = 1050.5) t3 β = 1.F(i) Étude de la turbine 64 (Détermination des paramètres de la loi de Weibull η = 800 t t1 γ γ t2 C1 est une courbe.8 Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 45 .8 γ = 901 (D2) parallèle à (D1) (D1) est une droite η = 800 β = 1.4 t2 = 1350 t3 = 2250. En donner la signification. de conception 3/ Rechercher la MTBF64 de la turbine 64 et la fiabilité R64 ( MTBF) qui lui est associée.8) Joint 53: défaut de jeunesse (β = 0. MTBF64 = Aη + γ = 1210 h et R64 ( MTBF) = 0.35 Donc pour une durée de fonctionnement de 1210 h seulement 35% des joints auront survécus Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 46 .44 Donc pour une durée de fonctionnement de 1612 h seulement 44% des turbines auront survécues 4/ Rechercher la MTBF53 du joint mécanique 53 et la fiabilité R53 ( MTBF) qui lui est associée.Exemple (TD 1) 5. MTBF64 = Aη + γ = 1612 h et R64 ( MTBF) = 0. du joint mécanique 53? Turbine 64: Usure. fatigue (β = 1. La loi de Weibull 2/ A quel mode de défaillance correspond le comportement de la turbine 64.9). En donner la signification. 9 on a : L10 = γ + η (0.5.105)1/β L1064 = 1129 h L1053 = 94 h Ainsi la durée de vie attendue pour que 90% des turbines soient non défaillantes est de 1129 h la durée de vie attendue pour que 90% des joints soient non défaillants est de (seulement) 94 h 6/ Dans le cas le plus défavorable. La loi de Weibull Exemple (TD 1) 5/ Rechercher les durées de vie nominale respectives L1064 et L1053 Pour R = 0. au bout de combien de temps aurait lieu la première défaillance de la turbine 64 et du joint mécanique 53 ? 1129 et 94 h respectivement (pour R = 0.9) Manifestement. l’apparition de la première défaillance du joint est inacceptable Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 47 . La loi de Weibull II ETUDE DE LA DEFAILLANCE DU SYSTEME Pompe défaillante 1/ Taux de défaillance d’une pompe.λt ainsi t = ln0.15 10-5 Panne turbine 64 Panne Joint 53 3/ MTBF du système MTBF = 1/ λs (on suppose que le système suit une loi exponentielle.λ53.45 h = 14. λ64 = 15 10-5 défaillances/heures 2/ Taux de défaillance λs de l’ensemble du système λs = λP + λJ + λN + … = 30.Exemple (TD 1) 5. qui devra être vérifié par l’historique de l’installation) 4/ Calcul de la durée de fonctionnement durant laquelle la probabilité de fonctionnement sans panne est de 90% R(t) = e.9/-λs = 349.5 J Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 48 . Porte ou: P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A)P(B) λP = λ53 + λ64 . 9 .Exemple (TD 1) 5. Pour deux pompes en parallèles on a: Rsp1 = R1 + R2 – R1.9 = .λGt 4/Conclure Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 49 . on a t = 7427 h 3/ Calculer sa MTBFS = 1/λG = 70488 h avec ln 0.2λt Ainsi on a Rsg = 2 Rsp1 2/ Calculer la durée de fonctionnement durant laquelle la probabilité de fonctionnement sans panne est de 90% Résoudre l’équation pour Rsg = 0.λpt .e.R2 Si on considèrent que les pompes suivent une loi exponentielle alors: Rsp1 = 2 e. La loi de Weibull III AMELIORATIONS 1/ Calculer l’expression de la fiabilité globale du système Rsg. Deshayes CM3 Fiabilité Défaillance 50 .