UNIVERSIDAD CATOLICASEDES SAPIENTIAE CURSO: FISICA I ANALISIS VECTORIAL AUTOR: ING. JOSE LUIS CARHUARICRA ALCA LOS OLIVOS – LIMA - PERÚ 2015 I. INTRODUCCIÓN • Es una parte esencial de la matemática útil para físicos, matemáticos, ingenieros y técnicos. • Constituye una noción concisa y clara para presentar las ecuaciones de modelo matemático de las situaciones físicas • Proporciona además una ayuda inestimable en la formación de imágenes mentales de los conceptos físicos. II. VECTORES Y ESCALARES 1. ESCALARES: Aquellas que para expresarse necesitan de un número real y su correspondiente unidad. Ejm: La masa el tiempo; la temperatura. 2. VECTORES: Aquellas que para expresarse necesitan de una magnitud, una dirección y un sentido Ejm: La velocidad, el desplazamiento, la fuerza, etc. 3. TENSORIALES: Aquellas que tiene una magnitud, múltiples direcciones y sentidos. Ejem: El esfuerzo normal y cortante, la presión III. VECTOR • Ente matemático cuya determinación exige el conocimiento de un módulo una dirección y un sentido. • Gráficamente a un vector se representa por un uuu r OP segmento de recta orientado • Analíticamente se representa por una letra con una flecha encima. Dirección: Gráficamente viene representada por la recta soporte. En el plano por un ángulo y en el espacio mediante tres ángulos .Elementos de un vector 1. Gráficamente viene representado por la longitud del segmento de recta .III. Gráficamente viene representada por la cabeza de flecha. Magnitud : Representa el valor de la magnitud física a la cual se asocia. Elementos de un vector 2. sentido: Es el elemento que indica la orientación del vector . 3. Vectores libres : Aquellos que no tienen un aposición fija en el espacio. 2. dirección y sentido. Pueden representarse por cualquier vector que tenga sus tres elementos iguales ubicado en la misma recta. 3. Vectores fijos. Vectores deslizantes: Aquellos que tienen una y solo una recta a lo largo de la cual actúan. Aquellos que tienen uno y solo un punto de aplicación . Clase de vectores 1.IV. Tal cantidad se representa por un número infinito de vectores que tienen la misma magnitud. Vector opuesto: Aquel vector que tiene la misma magnitud y dirección pero sentido opuesto . Aquellos que tienen sus tres elementos idénticos 2. resta.V. Algebra vectorial Antes de describir las operaciones de suma. multiplicación de vectores es necesario definir: 1. Vectores iguales. La magnitud de la resultante R se detemina mediante la ley de cosenosr2 r2 r r r R A B 2 A B cos • La dirección mediante la ley r de cosenos r r R sen( ) A sen B sen .Algebra vectorial: Suma vectorial • Considere dos vectores A y B como se muestra. • • El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo . • El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo .Algebra vectorial: Resta vectorial • Considere dos vectores A y B como se muestra. La magnitud rdel vector diferencia D es r 2 r r2 r r r r r • D • 2 A B 2 A B cos( ) La dirección mediante la rley de cosenos r D sen( ) A sen r B sen 2 A B 2 A B cos( ) . 2. Conmutatividad.Leyes del algebra vectorial 1. Asociatividad . Multiplicación de un escalar por un vector Consideremos la multiplicación de un escalar cr por un vector . Si c > 0 el vector producto tiene la misma dirección y sentido de A. El producto es un nuevo vector cA . Por el contrario si c < 0 el vector producto es de sentido opuesto a . La magnitud del vector producto es c veces la magnitud del vector . si c es un escalar. Si b y c son dos escalares la multiplicación se escribe 2. Ley distributiva para la adición vectorial. Les asociativa para la multiplicación. cuando este se multiplica por la suma de dos vectores se tiene .Propiedades de la Multiplicación de un escalar por un vector 1. Si b y c son la suma de dos escalares por el vector A se tiene .Propiedades de la Multiplicación de un escalar por un vector 3. Ley distributiva para la suma escalar. Es decir . Esto la aplicación sucesiva de la ley del paralelogramo o del triángulo.Suma de varios vectores Para sumar varios vectores se utiliza la ley del poligono. VECTOR UNITARIO • Es un vector colineal con el vector original • Tiene un módulo igual a la unidad • Se define como el vector dado entre su modulo correspondiente es decir r A eˆA r A r r A A eˆA .VI. VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES • A cada uno de los ejes coordenado se le asigna vectores unitarios ˆ iˆ. k • Cada uno de estos vectores unitario a tiene módulos iguales a la unidad y direcciones perpendiculares entre sí. ˆj . iˆ ˆj kˆ . EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO . La descomposición pude ser en un plan o en el espacio. El único requisito es que La suma de esta componentes nos de le vector original. 1.VII. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL Cualquier vector puede descomponerse en infinitas componentes. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO r A r A r A r A r A r r Ax Ay Axiˆ Ay ˆj A cos iˆ Asen ˆj A(cos iˆ sen ˆj ) AeˆA eˆA (cos iˆ sen ˆj ) r 2 2 A Ax Ay tg Ay Ax .DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 1. Para ello trace rectas paralelas y a las originales que pasen por el extremo del vector original formándose un paralelogramo cuyos lados son las componentes r r r A Aa a Ab b . EN DOS DIRECIONES NO PERPENDICULARES EN EL PLANO.DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 2. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 3.En el espacio. Cualquier vector puede descomponerse en tres componentes . En el espacio. r A r A r A r A r A r r r Ax Ay Az Ax iˆ Ay ˆj Az kˆ A cos iˆ A cos ˆj A cos kˆ A(cos iˆ cos ˆj cos kˆ) AeˆA eˆA (cos iˆ cos ˆj cos kˆ) r2 2 2 2 A Ax Ay Az cos cos Ax A Ay A cos Az A .DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 3. VECTOR r r uuu r OP xiˆ yjˆ zkˆ POSICIÓN . VECTOR POSICIÓN RELATIVO r r ( x1 x2 )iˆ ( y1 y2 ) ˆj ( z1 z2 )kˆ . se define como el producto de las magnitudes de los vectores A y B por el coseno del ángulo que forman ellos. . PRODUCTO ESCALAR El producto escalar o producto punto de dos vectores A y B denotado por y expresado A multiplicado escalarmente B.VIII. Propiedades del producto escalar 1. El producto escalar es conmutativo 2. Producto escalar entre la suma de dos vectores por un tercer vector . El producto escalar es distributivo 3. Producto de un escalar por el producto escalar 4. Propiedades del producto escalar 4. Producto escalar diferentes. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales 5. de dos vectores 6. Producto escalar de dos vectores unitarios . Entonces tenemos 8.Propiedades del producto escalar 7. Entonces dichos vectores son perpendiculares r r r r A.B 0 A B . Si el producto escalar de dos vectores es nulo. Producto escalar de dos vectores en forma de componentes . INTERPRETACIÓN DEL PRODUCTO ESCALER Geométricamente esta situación se muestra en la figura . VECTOR PROYECCIÓN ORTOGONAL . IX. PRODUCTO VECTORIAL El producto escalar o producto cruz de dos vectores A y B. La notación del producto cruz es . es un tercer vector C el cual es perpendicular al plano formado por los dos vectores y cuya magnitud es igual al producto de sus magnitudes multiplicado por el seno del ángulo entre ellos y cuyo sentido se determina mediante la regla de la mano derecha. Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha tendiendo a hacer girar al primer vector hacia el segundo. el dedo pulgar extendido nos da el vector producto de ambos.REGLA DE LA MANO DERECHA Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo índice con el primer vector y el dedo corazón el segundo vector. . el dedo pulgar extendido nos da el vector producto. PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL 1. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial. 4. El producto vectorial no es conmutativo 2. Multiplicación vectorial de vectores unitarios . El producto vectorial es distributivo 3. . La magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo que tiene a los vectores A y B r r Area AxB A( Bsen ) A(h) 7. El producto vectorial de dos vectores en componentes es iˆ ˆj kˆ r r AxB Ax Ay Az iˆ( Ay Bz Az By ) ˆj ( Ax Bz Az Bx ) kˆ( Ax By Ay Bz ) Bx By Bz 6.PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL 5. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores son paralelos. 3 y 1.¿Cuanto vale cada uno de los desplazamientos?.2.Ejemplo 01 • La figura muestra un cubo en donde se han trazado distintos desplazamientos de un abeja cuando cambia de la posici1. . ¿Cual es el desplazamiento total?. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza resultante?. Si los módulos de ellas son 200 N y 100 N. respectivamente. .Ejemplo 02 En la figura se muestra dos fuerzas actuando sobre un cuerpo puntual. Ejemplo 03 • Un avión viaja en la dirección Este con una velocidad de 480 km/h y entra a una región donde el viento sopla en la dirección 30° Norte del este con una velocidad de 160 km/h. Determine la magnitud y dirección de la nave SOLUCION . Ejemplo 04 La figura muestra un triángulo cuyos lados son Demuestre el teorema de los cosenos SOLUCION . Ejemplo 05 Sabiendo que el módulo de los vectores D y G son 10 y 20 2 unidades respectivamente. Determine el vector unitario del vector r r r r r r r r W A B C D E F G . Ejemplo 06 En la figura mostrada. en función de los vectores A y B. Si PQRS es un cuadrado y PORQ es un cuadrante de círculo . determine el vector x. una según la dirección AB y la otra perpendicular a ella .Ejemplo 07 Descomponga el vector fuerza de 400 kN representado en la figura en dos componentes. Ejemplo 08 La resultante de la tres fuerzas mostradas en la figura es vertical. Determine: (a) la magnitud de la fuerza A y (b) la resultante del sistema . Ejemplo 09 Determine la resultante del sistema de vectores fuerza mostrados en la figura . Ejemplo 10 Halle el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores r r A 2iˆ 6 ˆj 3k r r B 4iˆ 3 ˆj k Usando (a) el producto escalar y (b) el producto vectorial. . Ejemplo 11 Halle lar ecuación rdel plano perpendicular al vector A 2iˆ 3 ˆj k y que pasa por el extremo del vector Br iˆ 5 ˆj 3kr .