Analisis Real II Maestría Benazic Tome

Análisis Real IIRenato Benazic December 6, 2009 Prefacio Renato Benazic Introducci´ on . . . . .2 Cambios de Coordenadas . . .1 Definición de Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. . . . . . .4 Superficies Definidas Impl´ıcitamente . . . . . . . . . . . . . 2. . . . . . . .2 Convergencia Uniforme y Diferenciabilidad 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 El Espacio Tangente a una Superficie .1 Difeomorfismos Locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 La Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . 1. . . . . . . . . . . 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . .5 La Función de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 La Curva de Peano . . . . . . . . . . . . 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Inmersiones y Sumersiones . . . . . . . 3 Funciones Definidas Impl´ıcitamente 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.Contenido Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 El Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . .6 Principio de diferenciabilidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. . . . . . . . . 4. 5 Integrales M´ ultiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Series de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 El Teorema de la Función Inversa . . 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 34 35 41 46 . . . . . . . . . . . . . . 50 50 53 55 58 63 1 Diferenciabilidad de funciones de Rm en 1. . . . . . . 66 3 . . . . . . . . 1. . . . . . . . . 4 Introducci´ on a la Teor´ıa de Superficies en Rn 4. . . . . . . . . 1. . . . . 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 El Teorema de Schwarz . . . . 1 1 7 9 11 16 18 20 2 Sucesiones y Series de Funciones 2. 21 21 25 27 29 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 El Teorema del Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Funciones de clase C k . . . . . .1 Sucesión de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Funciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 El Teorema de Stokes . .5 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 5. . . . . . . . . . .3 5. . . . . . . . 90 . . . 6. . . . . . 88 . . . 6. . . . . . . . . . . . . . 103 . . . . . Integración Iterada . . . . . . . . . . 7 Integrales de Superficie 134 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 5. . . . . . . . . . . . . . . . .7 5. . . . . . . . . . . . . . 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Particiones de la Unidad . . . . . 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 La integral de una k-forma diferencial sobre superficies . . . . . . . 134 7. . . . . . . . . . . 109 109 111 119 122 126 130 . 6. . Caracterización de las Funciones Riemann Integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Formas Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . .1 Preliminares Algebraicos .2 5. . .5 Pull-back de Formas Diferenciales . . . 141 . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. .4 5. . . . . . . . . .3 Algebras de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.6 5. . . . . . . . . . . . Integrales sobre Conjuntos J-medibles .6 La Diferencial Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . Cambio de Variables en la Integral M´ ultiple . . . . . . . . . . .2 Formas Alternadas y Producto Exterior 6. . . . . . . . . . . .9 La Definición de Integral sobre m-bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrales sobre conjuntos abiertos . 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades Básicas de la Integral sobre m-Bloques Compactos Conjuntos de Medida Cero . . . . . . . . . . . . . . .2 Superficies con frontera . . . . . . . . . . . . . 6 Formas Diferenciables en Rm 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 . . . 6. . . . . . . . . . 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intuitivamente. a ∈ U y denotemos Ua = {h ∈ Rm .1. ra (h) = 0. Si f : U ⊆ Rm → Rn es diferenciable en a ∈ U entonces f 0 (a) ∈ L(Rm .1 Sea U ⊆ Rm un abierto. Rn ).1 Funciones Diferenciables Definici´ on 1. Si f es diferenciable en a entonces la transformación lineal es u ńica (ejercicio) y será denotada por f 0 (a). ∀ a ∈ U .Cap´ıtulo 1 Diferenciabilidad de funciones de Rm en Rn 1. Decimos que f es diferenciable en a si y sólo si existe T ∈ L(Rm . La función ra : Ua → Rn es llamada resto y por el hecho de satisfacer la propiedad lim h→0 4. Es necesario enfatizar que este resto depende del punto a (y de la función f ). en donde lim h→0 ∀ h ∈ Ua ra (h) = 0. Rn ) tal que f (a + h) = f (a) + T (h) + ra (h). 1. f : U → Rn . a + h ∈ U }. 2. khk se acostumbra a decir que ra es un resto de orden 1. Observaciones: 1. khk 2. una función f : U ⊆ Rm → Rn es diferenciable en el punto a ∈ U si y sólo si en una vecindad de a puede ser aproximada por una transformación lineal (su derivada). Decimos que f es diferenciable en U si y sólo si f es diferenciable en a. 1 . 3. 1. Rp ) es dada por ϕ0 (a1 . a2 i . a2 ) Ejemplo 1.1.1) Sea T : Rm × Rn → Rp definida por T (h1 . como ϕ es bilineal. ∀ a ∈ Rm .1.1 Sea f : Rm → Rn la función constante f (x) = c. h2 )k kh1 k kh2 k ≤C ≤ Ck(h1 .2 Sea T ∈ L(Rm . a2 ) ∈ L(Rm × Rn . a2 )(h1 . h2 ) + ϕ(h1 . a2 ) + ϕ(h1 .3 Sea ϕ : Rm × Rn → Rp una transformación bilineal. a2 + h2 ) = ϕ(a1 . para h = (h1 . a2 ) + ϕ(a1 . Dado cualquier a ∈ Rm se cumple f (a + h) = f (a) = f (a) + θ(h) + 0(h). Ejemplo 1. ∀ h ∈ Rm Se sigue que f es diferenciable en Rm y f 0 (a) = θ. h2 i + hh1 . Claramente ϕ es bilineal. a2 )(h1 . h2 )k k(h1 . h2 ) (1. dado cualquier a = (a1 . R) es dada por ϕ0 (a1 . a2 ) ∈ L(Rm × Rm .1. h2 )k =0 k(h1 . ∀ x ∈ Rm ∀ y ∈ Rn luego Se sigue que kϕ(h1 . Por otro lado. yi. luego por el ejemplo anterior ϕ es diferenciable en Rm × Rm y la transformación lineal ϕ0 (a1 . h2 )k lim h→0 kϕ(h1 . h2 ) = ϕ(a1 . Rn ). ∀ x ∈ Rm .1) se sigue ϕ es diferenciable en Rm ×Rn y para cualquier (a1 . h2 ) + ϕ(h1 . a2 ) ∈ Rm ×Rn la derivada ϕ0 (a1 . y) = hx. a2 ) ∈ Rm × Rn . ∀ h ∈ Rm Se sigue que T es diferenciable en Rm y T 0 (a) = T . h2 )k k(h1 . existe un C > 0 tal que kϕ(x. h2 ) = ha1 . h2 ) ∈ Rm × Rn tenemos ϕ(a + h) = ϕ(a1 + h1 . Ejemplo 1. dado cualquier a ∈ Rm se cumple T (a + h) = T (a) + T (h) = T (a) + T (h) + 0(h). a2 ) Un fácil cálculo muestra que T es una transformación lineal. ∀ a ∈ Rm .4 Sea ϕ : Rm × Rm → R dada por ϕ(x. h2 ) + ϕ(h1 . y)k ≤ Ckxk kyk. h2 ) = ϕ(a1 . h2 )k De (1.An´ alisis Real II 2 Ejemplo 1. f1 . .. . f = (f1 .1.. la derivada det0 (A) ∈ L(Rn×n . .  ←→ (A1 . . . . . . . An ) i=1 Proposici´ on 1. An ) → 7→ R det(A1 . . . . . . .  =  . . . a1n A1  a21 a22 . . R) es dada por 0 det (A1 . . En efecto. sea ϕ : Rm1 × Rm2 × · · · × Rmk → Rn una transformación k-lineal. ai+1 ..An´ alisis Real II 3 Ejemplo 1. . . . An )  .. A2 .5 Podemos generalizar el Ejemplo 1. .5. . Ai−1 . . . . Primeramente recordemos que 2 Rn×n ≈ Rn × Rn × · · · × Rn ≈ Rn | {z } n veces v´ıa el isomorfismo:     a11 a12 . . .  an1 an2 . . Ai+1 . . ain ) ∈ Rn . . .6 Como aplicación del Ejemplo 1.1. Por el Ejemplo 1. ∀ h ∈ Ua . . . . En caso afirmativo se tiene f 0 (a) = (f10 (a). Son equivalentes 1. . . . . ak ) i=1 Ejemplo 1. Queda como ejercicio para el lector probar que ϕ es diferenciable en Rm1 × Rm2 × · · · × Rmk y para cualquier a = (a1 . . fn son diferenciables en a. . 2. . hk ) = k X ϕ(a1 . vamos a analizar la función determinante. ann An donde Ai = (ai1 . a2n   A2      A= . ak )(h1 . . la función det es diferenciable en Rn × · · · × Rn y además para A = (A1 .1. . . la derivada ϕ0 (a) ∈ L(Rm1 × Rm2 × · · · × Rmk . .1. . . . . a2 . An )(H1 . . . ak ) ∈ Rm1 × Rm2 × · · · × Rmk . . . . . . . hi . . (⇒) Por hipótesis se tiene que f (a + h) = f (a) + f 0 (a)(h) + ra (h). f es diferenciable en a. . . An ) es una aplicación n-lineal. h2 .   . . .3. . . .1 Sea U ⊆ Rm abierto. . De esta manera la función determinante det : Rn × · · · × Rn (A1 . fn0 (a)) Demostraci´ on. . . Hn ) = n X det(A1 . An ) ∈ Rn×n . . . . . a2 . Rn ) es dada por ϕ0 (a1 . .1. Hi . . fn ) : U → Rn y a ∈ U .1. . ai2 . ai−1 .5. . a (h) = 0 y ui ∈ Rm es el vector que representa al funcional lineal Ti . Corolario. La derivada direccional de f ∂f en a en la direcci´ on de v. Observaciones: 1. Concluimos que fi es diferenciable en a y Ti = fi0 (a).2 Sea U ⊆ Rm un abierto. tenemos en donde lim h→0 ri. ∂v 2. denotada por (a).1. Haciendo f 0 (a) = (T1 . tenemos la definición de derivada direccional que estudiamos en el curso anterior. . . es definida como ∂v ∂f f (a + tv) − f (a) (a) = lim t→0 ∂v t cuando tal l´ımite existe.4 An´ alisis Real II ra (h) = 0. donde Ti ∈ (Rm )∗ y khk : Ua → R. . a ∈ U y v ∈ Rm .a ). en donde lim h→0 (⇐) Ejercicio. Observe que Iδ (0) t → 7 → Rn (f ◦ αv )(t) f (a + tv) − f (a) (f ◦ αv )(t) − (f ◦ αv )(0) = t t ∂f (a) si y sólo si f ◦ αv es diferenciable en 0 y en Conclu´ımos que existe la derivada direccional ∂v caso afirmativo ∂f f (a + tv) − f (a) (f ◦ αv )(t) − (f ◦ αv )(0) (a) = lim = lim = (f ◦ αv )0 (0) t→0 t→0 ∂v t t . ∂f (a) de la manera siguiente: Sea δ > 0 suficientemente ∂v peque˜ no tal que t ∈ Iδ (0) ⇒ a + tv ∈ U . . Cuando n = 1.a .a (h). ∂f (a) ∈ Rn .a (h) = fi (a) + hui . f : U → Rn . ∀ x ∈ Rm . Si f : U ⊆ Rm → Rn es diferenciable en a ∈ U entonces f es continua en a. ∀ h ∈ Ua ri. Definici´ on 1. hi + ri. . . Tn ) y ra = (r1. xi. . Podemos interpretar geométricamente αv : Iδ (0) t → 7→ U αv (t) = a + tv luego f ◦ αv : es un camino en Rn . . rn. Consideremos el camino rectil´ıneo 3.a fi (a + h) = fi (a) + Ti (h) + ri. es decir Ti (x) = khk hui . . (a). . .. Dado v ∈ Rm .. tomamos t ∈ R tal que tv ∈ Ua . ∀ 1 ≤ i ≤ m ∂xi ∂xi ∂xi Notaci´ on: Cuando v = ei . Para t ∈ R − {0} tal que tv ∈ Ua . t t t ∂f f (a + tv) − f (a) fi (a + tv) − fi (a) (a) si y sólo si existe el lim si y sólo si existen lim . . escribiremos Observaciones: 1. tenemos f1 (a + tv) − f1 (a) fn (a + tv) − fn (a) f (a + tv) − f (a) = .1. .a : Rm → Rn v 7→ Tf.a (v) = ∂f (a) ∂v Proposici´ on 1. . . . ∀ 1 ≤ i ≤ n si y sólo si existen ∂v Además ∂f f (a + tv) − f (a) ∂f1 ∂fn (a) = lim = (a). . .2 Sea U ⊆ Rm abierto. fn ) : U → Rn a ∈ U y v ∈ Rm . . . ∂v 4. . Son equivalentes 1. . . Existe ∂f (a). fn ) : U → Rn diferenciable en a ∈ U . ∂v 2. . Por la proposición anterior ∂xi ∂ei ∂f1 ∂fn ∂f (a) = (a). .. ∂v ∂v En caso afirmativo se tiene ∂f (a) = ∂v ∂f1 ∂fn (a). . Sea U ⊆ Rm abierto. .. Existen ∂fn ∂f1 (a). Sea f : U ⊆ Rm → Rn una función que admite todas sus derivadas direccionales en el punto a ∈ U . . t→0 t→0 ∂v t t ∂fi (a). f = (f1 . f = (f1 . ∀ 1 ≤ i ≤ n. Por la diferenciabilidad tenemos f (a + tv) = f (a) + f 0 (a)(tv) + ra (tv) luego ra (tv) f (a + tv) − f (a) = f 0 (a)(v) + t t . (a) t→0 ∂v t ∂v ∂v luego existe ∂f ∂f (a) en vez de (a). Podemos definir la función Tf. . (a) ∂v ∂v Demostraci´ on. (a) . . .An´ alisis Real II Concluimos también que 5 ∂f (a) es el vector tangente en el punto f (a) del camino f ◦ αv . .  . xm ) 4. ∂x1 ∂x2 f 0 (a) en las bases canónicas es dada por  ∂f1 (a)  ∂xm    ∇f1 (a)   ∂f2   ∇f2 (a)  ∂f ∂f ∂f  (a)  =  (a). . . . . ∂v ∂v lim t→0 2. .   ∂xm ∂x1 ∂x2 ∂xm   . 5. más a´ Jf (a) = f 0 (a) ∈ R .. (a). f20 (a). . . . Si f : U → R es diferenciable en a ∈ U entonces Jf (a) = ∇f (a). . + (a)en = ∂xi ∂xi ∂xi Luego. . . . fn0 (a)) ∈ Rn . . entonces para 1 ≤ i ≤ m tenemos ∂f ∂f1 ∂f2 ∂fn f 0 (a)(ei ) = (a) = (a). fn ) (a). ∇fn (a)   ∂fn (a) ∂xm Esta matriz es llamada Matriz Jacobiana de f en a y se denota por Jf (a) ó ∂(f1 . . ∀ v ∈ Rm . Si f : I ⊆ R → R es diferenciable en a ∈ I entonces Jf (a) ∈ R1×1 ≈ R. .. ∂(x1 . Si f = (f1 . .  . . (a). Vamos a hallar la matriz asociada a la transformación lineal f 0 (a) en las bases canónicas de Rm y Rn . ..  . más a´ un   0 f1 (a)  f20 (a)    Jf (a) =   ←→ (f10 (a).An´ alisis Real II 6 se sigue que f (a + tv) − f (a) = f 0 (a)(v) t luego. . fn0 (a) un 6. · · · . . . . Si f es diferenciable en a entonces podemos considerar la función f 0 (a) : Rm → v 7→ Rn f 0 (a)(v) = ∂f (a) ∂v 3. Si f : I ⊆ R → Rn es diferenciable en a ∈ I entonces Jf (a) ∈ Rn×1 ≈ R1×n . . . . . . hemos probado que si f es diferenciable en a entonces existen todas las derivadas direccionales ∂f ∂f (a) y f 0 (a)(v) = (a).   .   ∂x1 ∂x2  . (a) ∈ Rn×m = . . fn ) es diferenciable en a..   ∂fn ∂fn (a) (a) . (a) ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi ∂f2 ∂fn ∂f1 (a)e1 + (a)e2 + . . . la matriz asociada a  ∂f1 ∂f1  ∂x1 (a) ∂x2 (a) ..    ∂f ∂f2  2 (a) (a) . Entonces g ◦ f : U → Rp es diferenciable en a y (g ◦ f )0 (a) = g 0 (f (a))f 0 (a) Demostraci´ on. .1. θ. . . . .1 las funciones gk : V → R son diferenciables en f (a). . . . ej . gp ). . . . θ) ∂xij = det(θ. Ai+1 . . . Ai−1 .An´ alisis Real II 7 Ejemplo 1.   x11 x12 x13 Como caso particular.j] es el determinante de la matriz obtenida de A suprimiendo la i-ésima fila y la j-ésima columna. ej . .1 (Regla de la Cadena) Sean U ⊆ Rm . . Denotemos por Eij ∈ Rn×n a la matriz cuya entrada ij es 1 y todas las otras entradas son ceros. θ. θ. .3] = − det ∂x23 1. . . . . Para A ∈ Rn×n tenemos ∂ det (A) = det0 (A)(Eij ) = det0 (A1 . . θ) = det(A1 . Sea g = (g1 . . Ai−1 . (k = 1. . . An ) = (−1)i+j A[i. . . . . θ)  0 0 Es claro que {Eij } es una base de Rn×n . . . .     θ     . A2 .  θ Por ejemplo E24 ∈ R4×4 ser´ıa E24  0  0  = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0  1  ←→ (θ. An ) = (−1)i−1 det(ej . . . . A1 . si A =  x21 x22 x23  ∈ R3×3 entonces x31 x32 x33 ∂ det (A) = (−1)2+3 A[2. llamada base can´ onica. ej .7 Vamos a hallar las derivadas parciales de la función determinante. f : U → V diferenciable en a ∈ U y g : V → Rp diferenciable en f (a) ∈ V . . . . por la Proposición 1.j] donde A[i.. . luego (ver Análisis I) las funciones gk ◦ f : U → R son diferenciables en a. . . . . . . θ). Ai+1 . . . An ) + · · · + det(A1 . Ai−1 . e4 . V ⊆ Rn abiertos. . An−1 . ..   . An )(θ.1.2. .2 x11 x31 x12 x32 = x12 x31 − x11 x32 La Regla de la Cadena Teorema 1. θ. . . . . Ai+1 . es decir   θ  . . e . . . Eij =   ej  ←→ ( θ. . An ) + · · · + det(A1 . . p). | {z } j  θ  i−1 veces    . . θ .   . . Se cumplen 1. 1. . . g(x)) . gn0 (f (a))) (f 0 (a)(v)) = (g 0 (f (a)) ◦ f 0 (a)) (v) Se deduce que (g ◦ f )0 (a) = g 0 (f (a))f 0 (a). Entonces J(g ◦ f )(a) = Jg(f (a)) · Jf (a) Observaciones. . Sean U ⊆ Rm . . . fn ) y g = (g1 . . . gp ) se tiene que g ◦ f = (g1 ◦ f. 4. para v ∈ Rm tenemos: (g ◦ f )0 (a)(v) = ((g1 ◦ f )0 (a). . gp ) : V → Rp diferenciable en V . . . luego ∂(g1 ◦ f. . . . . . gp ◦ f ). . V ⊆ Rn abiertos. . f. f. . . .An´ alisis Real II 8 (k = 1. nuevamente por la Proposición 1. Sean U ⊆ Rm abierto. . . . . 2. g)(x) = ϕ(f (x). . Entonces la función ϕ(f.1 se sigue que g ◦ f = (g1 ◦ f. f : U → V diferenciable en U y g = (g1 . 2. f + g : U → Rn es diferenciable en a y (f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a). . rf : U → Rn es diferenciable en a y (rf )0 (a) = rf 0 (a). . Corolario 1. . . . . . . . . . . . gp ◦ f ) es diferenciable en a. La “versión matricial” de la Regla de la Cadena viene dada en el siguiente resultado. Corolario 3. V ⊆ Rn abiertos. ∂xi ∂y ∂xi j j=1 Corolario 2. . xm ) ∂(y1 . . con f (U ) ⊆ V entonces n ∂(gk ◦ f ) X ∂gk ∂fj = ◦f ∀ 1 ≤ i ≤ m. f : U → V diferenciable en a ∈ U y g : V → Rp diferenciable en f (a) ∈ V . . f − g : U → Rn es diferenciable en a y (f − g)0 (a) = f 0 (a) − g 0 (a). . Sean U ⊆ Rm abierto. yn ) ∂(x1 . . ∀ 1 ≤ k ≤ np. xm ) Se sigue que n X ∂gk ∂(gk ◦ f ) ∂fj (a) = (f (a)) (a) ∂xi ∂y ∂xi j j=1 ∀ 1 ≤ i ≤ m. ∀ 1 ≤ k ≤ p. .1. Sean U ⊆ Rm . . 3. g : U → Rn diferenciables en a ∈ U y r ∈ R. gn0 (f (a))f 0 (a)(v)) = (g10 (f (a)). g) : U → Rp x 7→ ϕ(f. . . . . fn ) (a) = (f (a)) · (a) ∂(x1 . . Por otro lado. Si n = 3 entonces f + g : U → R3 es diferenciable en a y (f × g)0 (a) = f 0 (a) × g(a) + f (a) × g 0 (a). p). . Haciendo f = (f1 . . . gp ◦ f ) ∂(g1 . . g : U → Rn diferenciables en a ∈ U y ϕ : Rn × Rn → Rp bilineal. . . (gn ◦ f )0 (a)) (v) = (g10 (f (a))f 0 (a)(v). . . gp ) ∂(f1 . . 1 Sea U ⊆ Rm un abierto. Son equivalentes 1. . ∂x1 ∂xm Proposici´ on 1. g) la cual es diferenciable en a. (x) (x)   f (x) =  ∂x  = ∂x1 (x).     ∂fn ∂fn (x) . . .3.. g 0 (a)(v)) Corolario 4. f es diferenciable en U . .1 Sea U ⊆ Rm abierto. . . : U → Rn son diferenciables en a. . . g)) (a)(v) = ϕ(f 0 (a)(v). ∂xm (x). Observaci´ on: Sea f = (f1 . Suponga que existe f −1 : V → Rm donde V ⊆ Rn es abierto y f −1 es diferenciable en f (a). R ) ≈ R . . Las funciones coordenadas f1 . luego podemos considerar la funci´ n×m 0 m n n×m R que a cada x ∈ U le asocia f (x) ∈ L(R ... . . . g) = ϕ ◦ (f. . Demostraci´ on. 2. Sean U ⊆ Rm abierto y f : U → Rn diferenciable en a ∈ U . Rn ) es un isomorfismo cuyo inverso es (f −1 )0 (f (a)) ∈ L(Rn . . . Rn ) ≈ definición. . (x)   ∂x1 ∂xm       ∂f ∂f2   2 ∂f1 ∂f1 ∂fn ∂fn 0 . Las derivadas parciales ∂f ∂f . . fn : U → R son dos veces diferenciables en a. Entonces f 0 (a) ∈ L(Rm . tenemos   ∂f1 ∂f1 (x) . g(a)) + ϕ(f (a). g(a)) + ϕ(f (a). . . .An´ alisis Real II 9 es diferenciable en a y 0 (ϕ(f. g 0 (a)(v)) = ϕ(f 0 (a)(v). f ◦ f −1 = idV y f −1 ◦ f = idU . . . En particular n = m. Usando la identificaci´ on canónica entre Rn×m y Rnm .3 El Teorema de Schwarz Definici´ on 1.. ∂xm (x) ∂xm 1   . . ∂x1 (x). . Rm ).   . f : U → Rn y a ∈ U . (x) ∂x1 ∂xm m n . Demostraci´ on. g 0 (a)(v)) Demostraci´ on. fn ) : U → Rn y a ∈ U . . Decimos que f es dos veces diferenciable en a si y sólo si 1. . . f = (f1 . . por la regla de la cadena: (f ◦ f −1 )0 (f (a)) = I =⇒ f 0 (a) · (f −1 )0 (f (a)) = I An´ alogamente (f −1 )0 (f (a)) · f 0 (a) = I 1. f es diferenciable en U . Además 0 (ϕ(f. . por on derivada f 0 : U → L(Rm .. Observe que ϕ(f. g(a))(f 0 (a)(v). g)) (a)(v) = ϕ0 (f (a). f es dos veces diferenciable en a 2. . Ejercicio.3.. g)) (a)(v) = 0 (ϕ ◦ (f. fn ) : U ⊆ R → R dos veces diferenciable en a ∈ U entonces. . . An´ alisis Real II 10 Por la definición de función dos veces diferenciable se sigue que las funciones coordenadas de f 0 son diferenciables en a. ∀ 1 ≤ k ≤ n. (a) ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi 2 ∂ f1 ∂ 2 fn ∂ ∂f1 ∂fn ∂ ∂f = (a). .a (v. j ≤ m Demostraci´ on. w2 ) Usando la simetr´ıa se prueba la linealidad con respecto a la primera variable. . . (a) = (a). luego f 0 es diferenciable en a.2 (Teorema de Schwartz) Sea U ⊆ Rm abierto. A continuación vamos a averiguar que tipo de objeto es la segunda derivada f 00 (a) = (f 0 )0 (a) de una función dos veces diferenciable en a. Entonces ϕf. luego: 2 ∂2f ∂ 2 fn ∂ ∂f ∂ ∂f1 ∂ ∂fn ∂ f1 (a) = (a) = (a).3.3 Sea U ⊆ Rm abierto y f : U → Rn función dos veces diferenciable en a ∈ U . .a (v. . . ∀ v. . y f : U → Rn función dos veces diferenciable en a ∈ U . w ∈ Rm Teorema 1. w) = ∂2f (a) ∂w∂v es una transformación bilineal simétrica. . Entonces ∂2f ∂2f (a) = (a). (a) = (a) ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ∂xj ∂2f (a) = ∂xi ∂xj Corolario. ∂ ∂2f ∂f (a) = (a). Vamos a probar la bilinealidad: 0 ∂f ∂ ∂f ϕf. w ∈ Rm . . .a : Rm × Rm → Rn (v. fn ) entonces fk : U → R son dos veces diferenciables en a ∈ U .a (v. . . Demostraci´ on.3. c1 w1 + c2 w2 ) = (a) = (a)(c1 w1 + c2 w2 ) ∂(c1 w1 + c2 w2 ) ∂v ∂v 0 0 ∂f ∂2f ∂f ∂2f = c1 (a)(w1 ) + c2 (a)(w2 ) = c1 (a) + c2 (a) ∂v ∂v ∂w1 ∂v ∂w2 ∂v = c1 ϕf. . . . La simetr´ıa es consecuencia del corolario anterior.a (v. . . Notaci´ on: ∂v∂w ∂v ∂w Teorema 1. Sean U ⊆ Rm abierto y f : U → Rn dos veces diferenciable en a ∈ U . ∂v∂w ∂w∂v ∀ v. . Entonces ∂2f ∂2f (a) = (a). Sea f = (f1 . (a) = (a). w) 7→ ϕf. . w1 ) + c2 ϕf. ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ∀ 1 ≤ i. . . . ∂f ∂w 0 ∂f1 ∂w f (a)(w)(v) = ∂fn ∂w (a)(v) = 0 ! (a) = ∂f ∂w 0 (a) ∂2f (a) = ϕf. ∂x1 ∂xm . .4 Funciones de clase C k Definici´ on 1. L(Rm . . . (x). .4.2) y (1. es decir podemos considerar f 00 (a) como f 00 (a) : Rm × Rm → Rn ∂2f (v. w) = T (w)(v).An´ alisis Real II 11 on Sea U ⊆ Rm abierto y f : U → Rn una función dos veces diferenciable en a ∈ U .1 tenemos que f 0 = (f10 . .2) f 00 (a)(w) = (f 0 )0 (a)(w) = ∂w ∂w ∂w ∗ Por otro lado. w) 7→ f 00 (a)(v.. . w) ∂v∂w De esta manera ϕf. .3) 00 f (a)(w) = y por tanto 00 0 (a). Rn ) es diferenciable en a. Dado w ∈ Rm tenemos 0 ∂f 0 ∂f 0 ∂f1 (a) = (a). . Rn ) = {ϕ : Rm × Rm → Rn : ϕ es bilineal} que asocia a cada transformación lineal T : Rm → L(Rm . . . . . como fi (1 ≤ i ≤ n) es dos veces diferenciable en a entonces fi0 : U → (Rm ) es ∂fi ∂fi diferenciable en a y desde que fi0 puede ser identificado con el vector gradiente . Vamos a determinar la transformación bilineal asociada a f 00 (a). . . . . . Decimos que f es de clase C 1 en U si y sólo si se cumple (a) Existen las derivadas parciales ∂f ∂f (x). .a es la transformación bilineal asociada a f 00 (a). . (a) = (a) (1. luego f 00 (a) = (f 0 )0 (a) ∈ L (Rm . L(Rm . Rn )) y L2 (Rm . . fn ) entonces por la definición de función dos veces diferenciable en a y la Proposición 1.1.. . fn0 ) : U → L(Rm . por ∂x1 ∂xn Schwarz obtenemos 0 ∂fi ∂ ∂fi0 ∂ ∂fi ∂fi ∂fi ∂fi ∂ (a). . Rn )) Pero del álgebra lineal... . . . w) = (a) ∂v∂w 1. Rn ) la transformación bilineal BT : Rm × Rm → Rn definida por BT (v. .3) ∂w ∂w ∂x1 ∂xm ∂x1 ∂w ∂xm ∂w ∂w De (1. .1 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn 1.a (v. (¡Ejercicio!). se sabe que existe un isomorfismo entre L (Rm . Si f = (f1 . (a) = (a) = (a). por la observaci´ anterior sabemos que f 0 : U → L(Rm . ∀ x ∈ U . . n (a) (1. Rn ) es diferenciable en a. ∞ n 3.. . Rn ). g : V → Rp con f (U ) ⊆ V . Ejercicio. 2. f es continua en U }. ∀ k ∈ N. ∀ x ∈ U .. Rn ) y g ∈ C k (V .. g ∈ C k (U . . Notaciones: 1. Rn ) si y sólo si ∂f ∈ C k−1 (U . ∂x1 ∂xm ∂f ∂f . Decimos que f es de clase C ∞ en U si y sólo si f es de clase C k en U . Además.. Rn ) = {f : U → Rn .4. . 3. . cf ∈ C k (U . (x). Rn ) = {f : U → Rn . R ) ⊂ · · · ⊂ C k (U . fn ∈ C k (U ). Cuando n = 1 denotamos C k (U ) en vez de C k (U . . Proposici´ on 1. Rn ) = ∞ \ C k (U . Rn ). f es de clase C k en U } (k ≥ 1). Rn ) ⊂ C k−1 (U . . C 0 (U . Rn ). f. . R). C ∞ (U . Rn ) = {f : U → Rn . f ∈ C k (U . . ∂x1 ∂x1 2.4. . C ∞ (U . Rp ) entonces g ◦ f ∈ C k (U . Rn ) ⊂ · · · ⊂ C 1 (U . Rp ).An´ alisis Real II (b) Las funciones 12 ∂f ∂f . k=1 2... ∀ 1 ≤ i ≤ m. Rn ) ⊂ C(U . ∀ x ∈ U entonces φ ∈ C k (U . Rn ). Rn ) y c ∈ R entonces f + g. Rn ) = C(U . Observaciones: 1. Son equivalentes 1.2 Sean U ⊆ Rm . f ∈ C k (U . f1 . Demostraci´ on. C (U .. si definimos φ : U → Rn × Rn ≈ R2n como φ(x) = (f (x). . ∂x1 ∂x1 3. . Proposici´ on 1. C k (U . R2n ). . Ejercicio.. Corolario. Demostraci´ on. f es de clase C ∞ en U }. . : U → Rn son continuas en U . 2. fn ) : U → Rn . : U → Rn son de clase C k−1 en U .1 Sea U ⊆ Rm abierto y f = (f1 . Si k f ∈ C (U . ∂xi 4. Decimos que f es de clase C k en U (k ≥ 2) si y sólo si se cumple (a) Existen las derivadas parciales (b) Las funciones ∂f ∂f (x). g(x)). V ⊆ Rn abiertos y f : U → Rn . Sean U ⊆ Rm abierto. Rn ). v2 ) ∂v Si definimos φ1 . ∀ 1 ≤ l ≤ p. v2 ). . el conjunto L(Rm .1.4. En efecto. luego Es claro que las funciones constantes son de clase C ∞ en Rm . ∀ 1 ≤ l ≤ p. De la hipótesis y la Proposición 1.1 se sigue que fj ∈ C k (U ). fijando v ∈ Rm . . Rn ) entonces ∃ K > 0 tal que kT (x)k ≤ Kkxk. por el Ejemplo 1. Luego = T ◦ φ y de aqu´ı se sigue el resultado. daremos otros ejemplos de funciones de clase C ∞ . . ∀ 1 ≤ i ≤ n. Si f = (f1 . gp ) entonces g ◦ f = (g1 ◦ f. x2 ) ∈ Rm × Rn . .2 Si ϕ : Rm × Rn → Rp es bilineal entonces ϕ ∈ C ∞ (Rm × Rn . fijando v = (v1 . .4. es decir kT (x)k : x ∈ Rm − {0} kT k = sup kxk Observaciones: . Sea T ∈ L(Rm . kT (x)k ≤ K. ∂xi lo que finaliza la prueba. En efecto. Sabemos que n ∂(gl ◦ f ) X ∂gl ∂fj = ◦f ∂xi ∂yj ∂xi j=1 ∂(gl ◦ f ) ∈ C k−1 . Rn ) entonces T ∈ C ∞ (Rm .4.3 tenemos ∂ϕ (x) = ϕ0 (x)(v) = ϕ(v1 . el cual será denotado por kT k. x2 ) + ϕ(x1 .1 Si T ∈ L(Rm . entonces por el ejemplo anterior y el corolario a la Proposición 1. Rp ).4. . En primer lugar recordemos que con las operaciones usuales de suma de funciones y producto de un escalar por una transformación lineal. es una función de clase C ∞ . ∂v Ejemplo 1. A continuación probaremos que la función que a toda matriz inversible le asigna su inversa. De la igualdad anterior tenemos que ∂ϕ = ϕ ◦ φ1 + ϕ ◦ φ2 ∂v De aqu´ı se sigue que ϕ ∈ C ∞ (Rm × Rn . Se sigue que gl ◦ f ∈ C k (U ). φ2 : Rm × Rn → Rm × Rn por φ1 (x) = (v1 . . Rp ). v2 ) ∈ Rm × Rn . para cualquier x = (x1 . Rn ) se torna un R-espacio vectorial. luego el conjunto Si x 6= 0 entonces kxk kT (x)k : x ∈ Rm − {0} ⊆ R kxk es acotado superiormente. . ∀ 1 ≤ j ≤ n y gl ∈ C k (V ). Ejemplo 1.1 se tiene que φ1 y φ2 son funciones de clase C ∞ . . Rn ).1. es decir g ◦ f ∈ C k (U . .An´ alisis Real II 13 Demostraci´ on. π2 (x)) y φ2 (x) = (π1 (x). Rp ). a continuaci´ on. . fn ) y g = (g1 . luego existe su supremo. por el Ejemplo 1. gp ◦ f ). ∀ x ∈ Rm . .2 tenemos ∂T (x) = T 0 (x)(v) = T (v) = T ◦ φ(x) ∂v ∂T donde φ(x) = v es la función constante. 6. ∀ T1 . Rp ). kT n k ≤ kT kn . vamos a “buscar un candidato” para f 0 (A) y rA (H). ∀ x ∈ Rm . ∀ T1 ∈ L(Rn . Rm ). Rn ). Teorema 1. 3. kT k = 0 =⇒ T = 0. ∀ T ∈ L(Rm ) = L(Rm . Rn ). sea A ∈ U . 1. kT k ≥ 0. Afirmo que f es diferenciable en U . Rn ). Rn ). Se sigue que kT (x)k ≤ kT k · kxk. 4. Demostraci´ on. Sean T1 . 2. kT1 ◦ T2 k ≤ kT1 k · kT2 k.An´ alisis Real II 14 kT (x)k ≤ kT k. concluimos que GL(Rm ) ⊆ Rm×m ≈ Rm es abierto. Rn ). 5. ∀ T ∈ L(Rm . En efecto. krT k = |r| kT k. Probaremos solamente (4) las demás quedarán como ejercicio para el lector. 2 Definimos f : U → Rm por f (X) = X −1 . kxk 2. ∀ T2 ∈ L(Rm . (L(Rm . luego el “candidato” a resto ser´ıa rA : UA → Rm definido por rA (H) = f (A + H) − f (A) − TA (H) Operando rA (H) = (A + H)−1 − A−1 + A−1 HA−1 = (A + H)−1 I − (A + H)A−1 + (A + H)A−1 HA−1 = (A + H)−1 I − I − HA−1 + HA−1 + HA−1 HA−1 = (A + H)−1 (HA−1 )2 luego krA (H)k = k(A + H)−1 (HA−1 )2 k ≤ k(A + H)−1 k · kHA−1 k2 ≤ k(A + H)−1 k · kHk2 · kA−1 k2 . Como det 2 es una función continua. Procediendo “informalmente” para H ∈ UA . Rn ) y x ∈ S m−1 k(T1 + T2 )(x)k ≤ kT1 (x)k + kT2 (x)k ≤ kT1 k + kT2 k Observaci´ on.3 Se cumplen las siguientes propiedades: 1. ∀ x ∈ Rm − {0}. k · k) es un R-espacio normado isomorfo a Rn×m . se observa que −1 f (A + H) − f (A) = (A + H)−1 − A−1 = A(I + A−1 H) − A−1 = (I + A−1 H)−1 A−1 − A−1 = (I + A−1 H)−1 − I A−1 = ((I − A−1 H + · · ·) − I)A−1 = 2 −A−1 HA−1 + · · · 2 Claramente TA : Rm → Rm . definida por TA (H) = −A−1 HA−1 es una transformación lineal. Por otro lado A ∈ GL(Rm ) ≈ Rm×m si y sólo si det(A) 6= 0 si y sólo si A ∈ det−1 (R − {0}). kT k = sup kT (x)k : x ∈ S m−1 . T2 ∈ L(Rm . kT1 + T2 k ≤ kT1 k + kT2 k.4. ∀ r ∈ R. Denotemos U = GL(Rm ). T2 ∈ L(Rm . ∀ n ∈ N. ∀ T ∈ L(Rm . la cual 2 ser´ıa el “candidato” a f 0 (A). ∀ H ∈ L(Rm ).1 tenemos que φ es continua. Además kxk = k(A + H)(A + H)−1 xk ≥ Ck(A + H)−1 xk de donde k(A + H)−1 xk ≤ 1 1 kxk. Observe que (ϕ ◦ φ)(X) = ϕ(φ(X)) = ϕ(f (X). del corolario a la Proposición 1. Si consideramos φ : U → U × U definida por φ(X) = (f (X). concluimos que f es diferenciable en U y kHk f 0 (A)(H) = −A−1 HA−1 . C Demostraci´ on. f (X)) = −X −1 V X −1 = ∂f (X) ∀ X ∈ U ∂V . Si H ∈ L(Rm ) es tal que kHk ≤ C entonces k(A + H)xk = kAx + Hxk ≥ kAxk − kHxk ≥ 2Ckxk − Ckxk = Ckxk Claramente esto implica que A + H es inyectiva y por tanto A + H ∈ GL(Rm ). fijemos V ∈ L(Rm ).1 Si A ∈ GL(Rm ) entonces existe C > 0 tal que si H ∈ L(Rm ) es tal que kHk ≤ C. luego k(A + H)−1 k ≤ .4. se tiene ∂f (X) = f 0 (X)(V ) = −X −1 V X −1 ∂V Por otro lado. C C C . Para probar que f es de clase C ∞ . Para cualquier X ∈ GL(Rm ).15 An´ alisis Real II Para H = 6 0 se sigue que krA (H)k ≤ k(A + H)−1 k · kHk · kA−1 k2 kHk (1. ∀ x ∈ Rm . Es claro que ϕ es bilineal y por tanto. Si H ∈ UA es tal que Del lema anterior y de (1.4) Lema 1. kA−1 k2 kHk < δ.4) tenemos krA (H)k 1 C · · kA−1 k2 = ≤ k(A + H)−1 k · kHk · kA−1 k2 < kHk C kA−1 k2 es decir lim H→0 rA (H) = 0. del lema anterior y de (1.4. f (X)).4): Dado > 0 tomemos δ < min C. Y ) = −XV Y . entonces 1 A + H ∈ GL(Rm ) y k(A + H)−1 k ≤ . Dado x ∈ Rm se tiene 2kA−1 k kxk = kA−1 Axk ≤ kA−1 k · kAxk Se sigue que kAxk ≥ 2Ckxk. de clase C ∞ . En particular f es continua en U . sea ϕ : L(Rm )×L(Rm ) → L(Rm ) dada por ϕ(X. Sea C = 1 . Desde que A ∈ U fue arbitrario. Sea U ⊆ Rm abierto y f : U → Rn función p veces diferenciable en a ∈ U . Rn ) entonces f es p-veces diferenciable en a. fn : U → R son p veces diferenciables en a.5. Procediendo por inducción se tiene el resultado ∂V deseado. . Sea f ∈ C 2 (U . ∀ a ∈ U .1 Sea U ⊆ Rm abierto. vp ) = ∂pf (a) ∂vp · · · ∂v1 . . Ejercicio. : U → Rn ∂x1 ∂x2 ∂xm son p − 1 veces diferenciables en a. . Resumimos nuestros resultados en el siguiente: se sigue que Teorema 1. Rn ) 7 → f 00 (x) Las derivadas de orden superior son definidas de manera análoga. dado x ∈ U se tiene que f 00 (x) ∈ L2 (Rm . . .···. . . . Observaci´ on: Si f ∈ C p (U . Rn ). . vp ) → 7→ Rn f (p) (a)(v1 . Definimos f (p) (a) : p veces z }| { m R × · · · × Rm (v1 . . Proposici´ on 1.4 La función f : GL(Rn ) → GL(Rn ) definida por f (X) = X −1 es de clase C ∞ . f = (f1 .5. . . Se tiene ahora que φ es de ∂V ∂f clase C 1 y por tanto lo cual implica f de clase C 2 . fn ) : U → Rn y a ∈ U . luego podemos definir f 00 : U x → L2 (Rm .5 El Teorema de Taylor Definici´ on 1. f1 . Demostraci´ on. . Decimos que f es p veces diferenciable en a ∈ U (p ≥ 3) si sólo si las funciones ∂f ∂f ∂f .An´ alisis Real II luego 16 ∂f =ϕ◦φ ∂V ∂f es continua. . 1. ¿Es cierto el rec´ıproco? Dejamos la respuesta para el lector. ∀ V ∈ Rm×m y por tanto f es de clase C 1 . Son equivalentes 1. f es p veces diferenciable en a 2. . Rn ). .4. .1 Sean U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn . a ∈ U . Entonces f (a + h) = f (a) + f 0 (a)h + donde lim h→0 1 00 1 f (a)h2 + · · · + f (p) (a)hp + ra (h). Si f ∈ C p (U . Rn ) = ϕ : Rm × · · · × Rm → Rn : ϕ es p-lineal   tenemos que f (p) (a) ∈ Lp (Rm . fn(p) (a)hp ) + ra (h) p! 1 donde ra (h) = (ra1 (h). . v. . fn ) entonces fk : U → R son p veces diferenciables en a ∈ U .3 (F´ ormula de Taylor con Resto de Lagrange) Sea U ⊆ Rm abierto. . .5. · · · . Rn ) x 7→ f (p) (x) Notaci´ on: f (p) (a)(v. . . luego podemos definir f (p) : U → Lp (Rm . h ∈ m R tal que [a. 2! p! ∀ h ∈ Ua ra (h) = 0. fn0 (a)h) + + 1 00 (f (a)h2 . ran (h). . y f : U → Rn función p veces diferenciable en a ∈ U . . . a + h[ ∀ w ∈ Rm f . Rn ) entonces f (p) (x) ∈ Lp (Rm . . Rn ). . Teorema 1. khkp 1 1 00 f (a)h2 + · · · + f (p) (a)hp + ra (h). . Luego para h ∈ Ua . Si f ∈ C p (U . .An´ alisis Real II 17 No es dif´ıcil probar que f (p) (a) es una transformación p-lineal y simétrica. . Sea f = (f1 . Rn ). a + h] ⊆ U . Luego h→0 khkp donde lim f (a + h) = f (a) + (f10 (a)h. Si denotamos   p veces  z  }| { Lp (Rm . Rn ) es (p + 1) veces diferenciable en ]a. Se sigue que f (a + h) = f (a) + f 0 (a)h + donde lim h→0 ra (h) = 0. ∀ x ∈ ]a. khkp Demostraci´ on. a + h[ con (p+1) (x)wp+1 ≤ M kwkp+1 .2 (F´ ormula de Taylor Infinitesimal) Sea U ⊆ Rm abierto. . . . 2! p! ∀ h ∈ Ua Teorema 1. fn00 (a)h2 ) + · · · + 2! 1 1 (p) (f (a)hp . . . ∀ 1 ≤ k ≤ n. v) = f (p) (a)v p .5. . se cumple: fk (a + h) = fk (a) + fk0 (a)h + 1 (p) 1 00 f (a)h2 + · · · + fk (a)hp + rak (h) 2! k p! rak (h) = 0. 1] y diferenciable en ]0. a + h] ⊆ U . ¡Ejercicio! Teorema 1. Si f ∈ C p+1 (U . a + h[ } entonces kf (a + h) − f (a)k ≤ M khk Demostraci´ on. a ∈ U .6. Si ∃ M = sup{kf 0 (x)k. x ∈ U } entonces f es Lipschitz y kf (x1 ) − f (x2 )k ≤ M kx1 − x2 k. Si f : U → Rn es diferenciable en U y f 0 (x) = 0. Rn ) entonces Z 1 1 1 1 f (a + h) = f (a) + f 0 (a)h + f 00 (a)h2 + · · · + f (p) (a)hp + (1 − t)p f (p+1) (a + th)hp+1 dt 2! p! p! 0 Demostraci´ on. 1] t → 7 → U α(t) = a + th → Rn (f ◦ α)(t) = f (a + th) 7 → es un camino continuo en [0. x2 ∈ U Corolario 2.An´ alisis Real II 18 Entonces f (a + h) = f (a) + f 0 (a)h + donde kra (h)k ≤ 1 1 00 f (a)h2 + · · · + f (p) (a)hp + ra (h).4 (F´ ormula de Taylor con Resto Integral) Sea U ⊆ Rm abierto. (p + 1)! Demostraci´ on.M. h ∈ Rm tal que [a. Sean U ⊆ Rm abierto y convexo. Si entonces α : [0. por el T. Sean U ⊆ Rm abierto y conexo. f : U → Rn diferenciable en U .6 Principio de diferenciabilidad uniforme Teorema 1. 1[ . a + h] ⊆ U . entonces f es constante. para caminos: kf (a + h) − f (a)k = k(f ◦ α)(1) − (f ◦ α)(0)k ≤ M khk Corolario 1. ∀ x ∈ U . tenemos k(f ◦ α)0 (t)k = kf 0 (α(t))α0 (t)k = kf 0 (a + th)hk ≤ kf 0 (a + th)k · khk ≤ M khk Luego. 1[ . a ∈ U . 1] t f ◦α: [0. x ∈ ]a. 2! p! ∀ h ∈ Ua M khkp+1 .V.1 (Desigualdad del Valor Medio) Sea U ⊆ Rm abierto. ∀ x1 . ¡Ejercicio! 1.5. . además para t ∈ ]0. Si f : U → Rn es diferenciable en U y ∃ M = sup {kf 0 (x)k. h ∈ Rm tal que [a. ∀ k ∈ N. h ∈ Rm con h ∈ Ux y khk < δ entonces kf (x + h) − f (x) − f 0 (x)(h)k < khk . ∃ (yjk ) ⊆ (yk ) tal que lim yjk = y y y ∈ K. Se cumple que ∀ > 0. luego lim f (yjk ) = f (y). Supongamos que ∃ 0 > 0 tal que ∀ δ > 0. Aux. por la desigualdad del valor medio kg(a + h) − g(a)k ≤ M khk. a ∈ U . ∀ x ∈ ]a. B = {x ∈ U : f (x) = 6 f (a)}. ∃ δ > 0 tal que si x ∈ X. ∀ k ∈ N. y] ⊆ Bδ (x) ⊆ U . luego por la desigualdad del valor medio kf (x) − f (y)k ≤ 0kx − yk se sigue que f (y) = f (x) = f (a). luego lim f (xjk ) = f (y). Afirmo que Bδ (x) ⊆ A. Demostraci´ on. es decir kf (a + h) − f (a) − T (h)k = kf (a + h) − T (a + h) − f (a) − T (a)k ≤ M khk Lema 1. (yk ) ⊆ K tales que kxk −yk k < k1 y kf (xk )−f (yk )k ≥ 0 . As´ı: 0 ≤ kf (xjk ) − f (yjk )k.6. Sea a ∈ U y consideremos A = {x ∈ U : f (x) = f (a)}.6. Si kf 0 (x) − T k ≤ M . Sea x ∈ A. Considerando k→∞ k→∞ (xjk ) ⊆ (xk ). a + h[ . se sigue que B = ∅. a + h] ⊆ U y T ∈ L(Rm . tenemos kxjk − yk ≤ kxjk − yjk k + kyjk − yk ≤ 1 + kyjk − yk. k→∞ Teorema 1. Rn ). ∀ x ∈ ]a. Luego A.An´ alisis Real II 19 Demostraci´ on. f : U → Rn diferenciable en U .) Podemos construir (xk ) ⊆ X. ∃ δ > 0 tal que Bδ (x) ⊆ U . B es una escisión de U . ∃ δ = δ() > 0 tal que si x ∈ K. en efecto: Si y ∈ Bδ (x) entonces [x. B es abierto.1 Sea X ⊆ Rm . ∃ xδ ∈ X y ∃ yδ ∈ K tales que kxδ − yδ k < δ y kf (xδ ) − f (yδ )k ≥ 0 (Hip. Vamos a probar que A es abierto. Sean U ⊆ Rm abierto. y ∈ K y kx − yk < δ entonces kf (x) − f (y)k < . Corolario 3. Rn ). a + h[ entonces kf (a + h) − f (a) − T (h)k ≤ M khk Demostraci´ on. K ⊆ U compacto y f ∈ C 1 (U . h ∈ Rm tal que [a. Considero g: U x → 7 → Rm g(x) = f (x) − T (x) Claramente g es diferenciable en U y kg 0 (x)k = kf 0 (x) − T k ≤ M . Entonces ∀ > 0. luego A = U . es decir y ∈ A lo que prueba la afirmación. f : X → Rn continua y K ⊆ X compacto. Observe que A ∪ B = U y A ∩ B = ∅. luego k→∞ k→∞ 0 ≤ lim kf (xjk ) − f (yjk )k = 0. lo cual es una contradicci´ on. jk ∀k ∈ N Se sigue que lim xjk = y. Como K es compacto. Como f es continua.2 (Diferenciabilidad Uniforme) Sean U ⊆ Rm abierto. h) ∈ V y khk < δ entonces kr(x. dado > 0 existe δ > 0 tal que (x.5) tenemos que [x. h)k < khk. ∀ h ∈ Ux rx (h) rx (h) = 0. Rn ) tal que f (a + h) = f (a) + T (h) + ra (h). para x ∈ K. h→0 khk en donde lim 3. h→0 khk h→0 khk En efecto. Por una propiedad probada en el curso anterior.6) Sea δ = min{δ1 . pruebe que existe una u ńica transformación lineal T ∈ L(Rm . . h) = rx (h) = f (x + h) − f (x) − f 0 (x)(h). Definimos r : V → Rn por donde lim r(x. Rn ).7 r(x. h ∈ Rm con h ∈ Ux y khk < δ. ∀ > 0.An´ alisis Real II 20 Demostraci´ on. se tiene kf 0 (y) − f 0 (x)k < 2 (1. Rn ) entonces f 0 : U → L(Rm .1. Si f : U ⊆ Rm → Rn es diferenciable en a ∈ U . luego ky − xk = tkhk < khk < δ. ∃ δ1 tal que si x ∈ K. δ2 }. El Teorema de la diferenciabilidad uniforme nos dice que lim = 0. h) ∈ K × Rm . 1[ tal que y = x + th. x + h] ⊆ U . x ∈ K y kx − yk < δ2 .6. Por otro lado. h) = 0. ∃ δ2 > 0 tal que si y ∈ U .6) kf 0 (y) − f 0 (x)k < . si y ∈ ]x.5) Ahora bien. y ∈ Rm y kx − yk < δ1 entonces [x. khk Ejercicios 1. h ∈ Ux }. 2. sabemos que f (x + h) = f (x) + f 0 (x)h + rx (h). es decir lim h→0 1. Si f ∈ C 1 (U . luego por (1. Observaci´ on: Dado x ∈ U (fijo). x + h[ y por 2 el Corolario 3 kf (x + h) − f (x) − f 0 (x)(h)k < khk. x + h[ entonces ∃ t ∈ ]0. por el Lema 1. como f ∈ C 1 (U . Si U → Rm es abierto. ∀ y ∈ ]x. h ∈ Ua ra (h) = 0. ∀ x ∈ K. sea V = {(x. pruebe que Ua = {h ∈ Rm : a + h ∈ U } es abierto. luego por (1. y] ⊆ U (1. Rn ) es continua y como K es compacto. se cumple kx + h − xk = khk < δ. por el teorema de diferenciabilidad uniforme. Decimos que la sucesión de funciones (fk ) converge puntualmente a f . Rn ) y f ∈ F (X. Rn ) se torna un R-espacio vectorial.1. Rn ) es una función f : N → F (X. Con las operaciones usuales de suma de funciones y producto de un n´ umero real por una función. En sucesivo el s´ımbolo (fk ) ⊆ F (X. para todo x ∈ X. k→∞ 21 .1 Sucesi´ on de Funciones Sea X ⊆ Rm .2 Sea (fk ) ⊆ F(X. Rn ) tal que a Definici´ on 2. Rn ). lim fk (x) = f (x). llamado el k-ésimo término de la sucesión. denotaremos por F(X. Rn ) significará que “(fk ) es una sucesión de funciones en F(X. Si la sucesión (fk (x)) ⊆ Rn es convergente para cada x ∈ X entonces existe un vector (que depende de x ∈ X) al que denotaremos f (x) ∈ Rn tal que lim fk (x) = f (x). Rn ). para cada x ∈ X se tiene que fk (x) ∈ Rn . De esta manera k→∞ podemos definir la función f: X x → 7 → Rn f (x) = lim fk (x) k→∞ es decir f ∈ F(X. (fk (x)) ⊆ Rn es convergente. para todo x ∈ X. Rn ) al conjunto de todas las funciones definidas en X y con valores en Rn .1. Rn )” Sea (fk ) ⊆ F (X.Cap´ıtulo 2 Sucesiones y Series de Funciones 2. Notaci´ on. el conjunto F(X. luego (fk (x)) es una sucesión en Rn . Definici´ on 2.1 Una sucesi´ cada n´ umero natural k le asocia una función f (k) = fk ∈ F(X. para todo k ∈ N. Rn ). lo que escribimos fk → f si y sólo si se cumplen las dos condiciones siguientes: 1. Rn ). 2. on de funciones en F(X. R) definida por fk : X x → R 7→ fk (x) = xk Observe que lim fk (x) = lim xk = k→∞ k→∞ Si definimos f: [0. 1] → R x 7→ f (x) = 0. si 0 ≤ x < 1 si x = 1 tenemos que lim fk (x) = f (x).   0. para todo x ∈ R.1. 1. k→∞ Ejemplo 2. es decir fk → f . si x = 1 0. si 0 ≤ x < 1 1.1. 1 . =  2 1. R) definida por fk : R → R x 7→ fk (x) = Observe que 2k x k→∞ 1 + x2k lim fk (x) = lim k→∞ Si definimos f: R → x 7→ R x2k 1 + x2k   0. f (x) =  2 1.2 Sea (fk ) ⊆ F(R. 1 . 1] y consideremos la sucesión (fk ) ⊆ F(X. k→∞ . para todo x ∈ X.An´ alisis Real II 22 Ejemplo 2.1 Sea X el intervalo cerrado [0. es decir fk → f . si |x| < 1 si |x| = 1 si |x| > 1 si |x| < 1 si |x| = 1 si |x| > 1 tenemos que lim fk (x) = f (x). An´ alisis Real II 23 Si bien es cierto que la noción de l´ımite puntual de una sucesión de funciones es bastante natural, ella tiene un grave defecto, por lo general la función l´ımite “no hereda” las propiedades de la sucesión. En efecto, en el ejemplo anterior todas las funciones fk eran continuas sin embargo la función l´ımite f no lo es. Concluimos que el l´ımite puntual de una sucesión de funciones continuas no necesariamente es continuo. Definici´ on 2.1.3 Sean X ⊆ Rm , (fk ) ⊆ F (X; Rn ) y f ∈ F(X; Rn ). Decimos que la sucesión de funciones (fk ) converge uniformemente a f en X, lo que escribimos fk → f unif. en X si y sólo si para todo > 0, existe un k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 entonces kfk (x) − f (x)k < , ∀ x ∈ X. Observaciones. 1. En el concepto de convergencia uniforme exigimos que el k0 ∈ N sólo dependa del mientras que en la convergencia puntual el k0 depende del y del vector x. 2. Convergencia uniforme implica convergencia puntual. Es decir fk → f unif. en X ⇒ fk → f , o equivalentemente fk 6→ f ⇒ fk 6→ f unif. en X. El siguiente es un criterio muy u ´til para la convergencia uniforme de una sucesión de funciones. Teorema 2.1.1 (Criterio de Cauchy) Sea (fk ) ⊆ F (X; Rn ). Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. (fk ) es uniformemente convergente en X. on de Cauchy, es decir para todo > 0 existe un k0 ∈ N tal que j, k ≥ k0 entonces 2. (fk ) es una sucesi´ kfj (x) − fk (x)k < , ∀ x ∈ X. Demostraci´ on. (1. ⇒ 2.) Dado > 0, por hipótesis debe existir un k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 entonces kfk (x) − f (x)| < 2 para cualquier x ∈ X. Si tomamos j, k ≥ k0 , para cualquier x ∈ X tenemos kfk (x) − fj (x)k ≤ kfk (x) − f (x)k + kfj (x) − f (x)k < Luego (fk ) ⊆ F(X; Rn ) es una sucesión de Cauchy. (2. ⇒ 1.) Fijemos x ∈ X, dado > 0 existe un k0 ∈ N tal que si j, k ≥ k0 entonces kfj (x) − fk (x)k < . Se sigue que (fk (x)) ⊆ Rn es una sucesión de Cauchy en Rn , luego ella es convergente, es decir, existe un vector f (x) ∈ Rn tal que lim fk (x) = f (x). Definimos k→∞ f: X x → 7→ Rn f (x) = lim fk (x) k→∞ Afirmo que fk → f unif. en X. En efecto: dado > 0, existe un k0 ∈ N tal que si j, k ≥ k0 entonces para cualquier x ∈ X se tiene que kfj (x) − fk (x)k < 2 . Fijando el sub´ındice k y tomando l´ımite cuando j tiende al infinito tenemos kf (x) − fk (x)k < , ∀ x ∈ X. Esto prueba la afirmación y el teorema. Note el lector que en el criterio de Cauchy no necesitamos del l´ımite f para determinar la convergencia uniforme de la sucesión (fk ). An´ alisis Real II 24 Teorema 2.1.2 (Continuidad del L´ımite Uniforme) Sea (fk ) ⊆ F (X; Rn ) tal que fk es continua en x0 ∈ X, ∀ k ∈ N. Si fk → f unif. en X entonces f es continua en x0 . Demostraci´ on. Sea > 0, por hipótesis existe un k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 entonces kfk (x) − f (x)k < , 3 ∀ x ∈ X. (2.1) Por otro lado, desde que fk0 es continua en x0 , tenemos que existe un δ > 0 tal que si x ∈ X y kx−x0 k < δ entonces kfk0 (x) − fk0 (x0 )k < 3 (2.2) Luego, para x ∈ X con kx − x0 k < δ, de (2.1) y (2.2) tenemos kf (x) − f (x0 )k ≤ kf (x) − fk0 (x)k + kfk0 (x) − fk0 (x0 )k + kfk0 (x0 ) − f (x0 )k < Esto prueba que f es continua en x0 . Corolario. Si (fk ) ⊆ C(X; Rn ) y fk → f unif. en X entonces f ∈ C(X; Rn ). Observaci´ on. Aunque la convergencia uniforme es suficiente para asegurar que el l´ımite de una sucesión de funciones continuas es continua, no es una condición necesaria. Ejemplo 2.1.3 Sea X el intervalo cerrado [0, 1] y consideremos la sucesión (fk ) ⊆ F(X; R) definida por f1 : y si k ≥ 2 tenemos fk : X x → X x → 7→ R f1 (x) = 1 R   kx,         7 → fk (x) = 2 − kx,          0, si 0 ≤ x ≤ 1 k si 2 1 <x≤ k k si 2 <x≤1 k Observe que si 0 < x ≤ 1 entonces lim fk (x) = 0 (puesto que f (x) = 0 para k > k→∞ 2 x) y lim fk (0) = 0, k→∞ Luego lim fk (x) = θ(x), ∀ x ∈ [0, 1], es decir fk → θ. k→∞ Pero fk no converge uniformemente a θ en [0, 1], puesto que f k 1 − θ 1 = 1 k k Sin embargo el l´ımite puntual es continuo. An´ alisis Real II 2.2 25 Convergencia Uniforme y Diferenciabilidad Sea U ⊆ Rm un abierto y (fk ) ⊆ C 1 (U ; Rn ). Supongamos que fk → f unif. en U . De manera natural surge la pregunta ¿f ∈ C 1 (U ; Rn )? y en caso afirmativo ¿fk0 → f 0 unif. en U ? Ejemplo 2.2.1 Sea fk : R → R x fk (x) = 7→ sen kx √ k Claramente (fk ) ⊆ C 1 (R). Por otro lado, observe que sen kx √ = 0 = θ(x), k→∞ k lim fk (x) = lim k→∞ ∀x ∈ R es decir fk → θ. 1 Además, dado > 0, ∃ k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 entonces √ < , luego k sen kx 1 |fk (x) − θ(x)| = √ ≤ √ < , ∀ k ≥ k0 , ∀ x ∈ R k k √ es decir fk → θ unif. en R. Observe que θ ∈ C 1 (R), pero fk0 (x) = k cos kx y de aqu´ı fk0 no converge uniformemente a θ en R. Teorema 2.2.1 Sea U ⊆ Rm abierto, convexo y acotado y sea (fk ) ⊆ C 1 (U ; Rn ). Suponga que 1. ∃ x0 ∈ U tal que (fk (x0 )) ⊆ Rn es convergente. 2. (fk0 ) ⊆ C(U ; L(Rm ; Rn )) es uniformemente en U . Entonces ∃ f ∈ C 1 (U ; Rn ) tal que fk → f unif. en U y fk0 → f 0 unif. en U Demostraci´ on. Como U es acotado y x0 ∈ U entonces ∃ r > 0 tal que U ⊆ Br [x0 ]. Por hipótesis (fk0 ) ⊆ C(U ; L(Rm ; Rn )) es uniformemente convergente en U , luego es sucesión de Cauchy, por lo tanto, dado > 0, ∃ k1 ∈ N tal que si j, k ≥ k1 entonces kfj0 (x) − fk0 (x)k < , 2r ∀ x ∈ U. (2.3) Para j, k ≥ k1 consideremos la función fj − fk : U → Rn la cual es diferenciable en U que por hipótesis es abierto y convexo, luego por (2.3) y por el Corolario 1 de la desigualdad del valor medio: k(fj − fk )(x) − (fj − fk )(y)k < kx − yk, ∀ x, y ∈ U, ∀ j, k ≥ k1 2r (2.4) Por la hipótesis 1.) debe existir un k2 ∈ N tal que si j, k ≥ k2 entonces kfj (x0 ) − fk (x0 )k < 2 (2.5) ∀ j ≥ k0 . (2. de (2. Vamos a probar que f es diferenciable en U y f 0 = g. Dado a ∈ U . para j.6) Por hipótesis.4) tenemos k(fj − fk0 )(a + h) − (fj − fk0 )(a)k < (2. Rn )) tal que fk0 → g unif. concluimos que f es diferenciable en U y f 0 = g. fk0 es diferenciable en a. ∃ δ > 0 tal que si 0 < khk < δ entonces h→0 khk con lim kfk0 (a + h) − fk0 (a) − fk0 0 (a)(h)k < khk 3 De (2. De esta manera. k ≥ k0 y x ∈ U .5).6). Por otro lado. en U .4) y (2. se cumple que ∃ δ > 0 tal que si 0 < khk < δ entonces kra (h)k khk ≤ kf (a + h) − f (a) − fk0 (a + h) + fk0 (a)k + khk kfk0 (a + h) − fk0 (a) − fk0 0 (a)(h)k + + kfk0 0 (a) − g(a)k < khk De esta manera f es diferenciable en a y f 0 (a) = g(a). ∀ h ∈ Ua ra (h) = 0. L(Rm . khk Sea ra (h) = f (a + h) − f (a) − g(a)(h) entonces con lim h→0 kra (h)k = kf (a + h) − f (a) − g(a)(h)k ≤ kf (a + h) − f (a) − fk0 (a + h) + fk0 (a)k + kfk0 (a + h) − fk0 (a) − fk0 0 (a)(h)k + kfk0 0 (a)(h) − g(a)(h)k (2. Es decir (fk ) es sucesión de Cauchy.7) khk. debemos probar que f (a + h) = f (a) + g(a)(h) + ra (h).3) tenemos que kfj0 (a) − fk0 0 (a)k < khk (2. (2. luego fk0 (a + h) = fk0 (a) + fk0 0 (a)(h) + ρa (h).8). de la hipótesis 2. .8) 3 . ∃ g ∈ C(U . dado > 0.An´ alisis Real II Tomando k0 = max{k1 . para h ∈ Ua . k2 }. ∀ j ≥ k0 3 luego kf (a + h) − fk0 (a + h) − f (a) + fk0 (a)k = lim kfj (a + h) − fk0 (a + h) − fj (a) + fk0 (a)k ≤ j→∞ De (2. ∀ x ∈ U . ∀ h ∈ Ua ρa (h) = 0.9) y (2. Como el a fue arbitrario.9) De (2. tenemos kfj (x) − fk (x)k ≤ k(fj − fk )(x) − (fj − fk )(x0 )k + k(fj − fk )(x0 )k ≤ 26 kx − x0 k + ≤ 2r 2 Hemos probado que ∃ k0 ∈ N tal que si j. luego 3 kg(a) − fk0 0 (a)k = lim kfj0 (a) − fk0 0 (a)k ≤ j→∞ 3 (2. luego ∃f ∈ F (U : Rn ) tal que fk → f unif. en U .7). k ≥ k0 entonces kfj (x) − fk (x)k < . Rn ) y consideremos fk . Rn ) tales que 1.3 27 Series de Funciones A continuación definiremos el concepto de serie de funciones.1 Demostraci´ on. (Mk ) ⊆ R+ y (fk ) ⊆ F (X.3. sk = f1 + f2 + · · · + fk . j.1 Sean (fk ) ⊆ F(X. luego es de Cauchy. X 2. definimos las funciones s1 = f1 . Como F(X. on de sumas (fk ). umeros reales j.1 1. s2 = f1 + f2 . Rn ) es un R-espacio vectorial. Para hacer tenemos que (sk ) ⊆ F(X. Desde que una serie de funciones es un caso particular de sucesión de funciones. j=1 Notaci´ on.1 j. X 2. El l´ımite S será denotado por el s´ımbolo ∞ X fj . escribiremos fk en vez de (sk ). fk es llamado j. . Denotemos sk = k X j=1 fj y σk = k X j=1 Mj . podemos aplicarle los conceptos de l´ımite puntual y l´ımite uniforme.1 k X fk j=1 es una sucesión puntualmente convergente.1 serie de funciones. j=1 El siguiente es un criterio sumamente u ´til para la convergencia uniforme de una serie de funciones. Teorema 2. Decimos que X fk converge puntualmente si y sólo si su sucesión de sumas parciales sk = j. kfk (x)k ≤ Mk . dado un > 0 existe un k0 ∈ N tal que si j. ∀ k ≥ 0. Rn ).1 (M-test de Weierstrass) Sean X ⊆ Rm .1 k X fk es una sucesión uniformemente convergente en X. de esta manera. La serie de n´ Mj es convergente. Decimos que fk converge uniformemente en X si y sólo si su sucesión de sumas parciales sk = j. X Definici´ on 2. . j. . Sea X ⊆ Rm y (fk ) ⊆ F (X.An´ alisis Real II 2. Por hipótesis. k ≥ k0 entonces |σj − σk | < . Por otro lado (para k ≥ i) i k k k k X X X X X fj (x) = fj (x) − fj (x) ≤ ksi (x) − sk (x)k = Mj = |σk − σj | kfj (x)k ≤ j=i+1 j=1 j=i+1 j=i j=i+1 .3. Rn ) la cual es llamada sucesi´ Xparciales asociada aX notar que (sk ) depende de la sucesión original (fk ). . la sucesión de n´ umeros reales positivos (σk ) es convergente. ∀ x ∈ X.1 Entonces la serie de funciones X fj converge uniformemente en X. Ejemplo 2. luego ∞ X j=1 ∞ X j=1 j. Rn ).1 C(X.3 Sea U ⊆ Rm abierto. ∀ x ∈ X De esta manera. j j j Como la serie de n´ umeros reales ∀ x ∈ I1 (0). El Criterio de Cauchy nos permite concluir que (sk ) es uniformemente convergente en X. luego (sk ) ⊆ C(X. tenemos ksi (x) − sk (x)k ≤ |σj − σk | < .3. Por hipótesis sk → fj ∈ ∞ X fj j=1 fj ∈ C(X. Rn ). ∀ j ∈ N X xj X 1 es convergente.1. ∀ k ≥ 1.3. k ∈ N. 1. enunciemos para series el Teorema 2. si tomamos i. Rn ). en X. es unij2 j2 j.1 j x |x|j 1 |fj (x)| = 2 = 2 ≤ 2 .1. Rn ). Demostraci´ on.28 An´ alisis Real II procediendo de manera análoga para k ≤ i se tiene que ksi (x) − sk (x)k ≤ |σj − σk |.3.2 Sea (fk ) ⊆ C(X. X Si k X j=1 unif.2.1 Sea (fk ) ⊆ F(I1 (0). El siguiente resultado es consecuencia directa del Teorema 2. k ≥ k0 .1 . convexo y acotado y sea (fk ) ⊆ C 1 (U . Rn ).1 j. Suponga que X fj (x0 ) es convergente. ∃ x0 ∈ U tal que j. Teorema 2. R) definida por fk : y consideremos X I1 (0) → R x 7→ fk (x) = xk k2 fj Observe que j. por el M test de Weierstrass. Teorema 2. Finalmente.2. sk = fj converge uniformemente en X entonces fj ∈ C(X.1 formemente convergente en I1 (0) y la función S: I1 (0) → R x 7→ S(x) = ∞ X xj j=1 j2 es continua en I1 (0). ∀ i. Rn ). ∀ x ∈ X. R) como fk (t) = φ(32k−2 t) 2k y gk (t) = φ(32k−1 t) .An´ alisis Real II 2.1 Entonces ∃ S ∈ C 1 (U .1 fj0 → S 0 unif. en U Demostraci´ on. 2] → R  5 1   o ≤t≤2 0. 3 3 t 7→ φ(t) =   2 4   si ≤ t ≤  1. Rn ) tal que X j. X 29 fj0 es uniformemente convergente en U . (gk ) ⊆ F(R. si 0 ≤ t ≤ .  3 3         −3t + 5. en U y X j. si 4 ≤ t ≤ 5 3 3 Extendemos φ periódicamente a todos los reales haciendo φ(t + 2) = φ(t). j. ¡Ejercicio! 2. ´   3 3       1 2   si ≤ t ≤   3t − 1.4 La Curva de Peano Usaremos los resultados de la sección anterior para construir una curva continua que tenga interior no vac´ıo. Observe que φ ∈ C(R) y es periódica de periodo 2.1 fj → S unif. Dado k ∈ N. 2k ∀ t ∈ R. Sea φ : [0. . definimos (fk ). ∀ k ∈ N 2k 2k X 1 1 es tal que es convergente. 1] × [0. |fk (t)| = ∀ t ∈ R. ∀ t ∈ [0. 1]. R2 ). por el Teorema 2.1 X X de Weierstrass fj es uniformemente convergente en R. 1].10) . 1]. Afirmo que α(t0 ) = (a.1 gj ∈ C(R). α2 (t)) → 7→ Se sigue que α ∈ C(R. b). tenemos ∞ ∞ X X aj bj = a= . ∀ j ∈ N. Expresando a y b en el sistema binario. 1] tal que α(t0 ) = (a. más a´ un. De esta manera α(t) ∈ [0. bj ∈ {0.1 α1 : R → t y sea 7→ j. b). 1]. 1]) = [0. Defino t0 = 2 donde c2j−1 = aj y c2j = bj . 1] × [0. Sea (a. Vamos a probar que α([0.An´ alisis Real II 30 Es claro que (fk ). 1] × [0. 1] × [0. . 2. 1] An´ alogamente 0 ≤ α2 (t) ≤ 1. j 2 j=1 ∀ t ∈ [0. b) ∈ [0. . 1]. ∀ j = 0. (2. 1]. observe en primer lugar que es suficiente probar φ 3j t0 = cj+1 . Por el M-test Adem´ as la sucesión de n´ umeros reales positivos k 2 2j j. b j 2 2j j=1 j=1 en donde aj . 1. fj ∈ C(R). 1}. vamos a probar que ∃ t0 ∈ [0. es decir α([0. j.3. Definimos las funciones R α1 (t) = α2 : ∞ X φ(32j−2 t) j=1 α: R t 2j R → R t α2 (t) = 7→ ∞ X φ(32j−1 t) j=1 2j R2 α(t) = (α1 (t).1 An´ alogamente se prueba que X j. ∀ j ∈ N. . (gk ) ⊆ C(R). Observe que φ(32k−2 t) ≤ 1 . Observe que 0 ≤ t0 = 2 ∞ X cj j 3 j=1 ∞ ∞ X X 1 cj 2 ≤ =1 j j 3 3 j=1 j=1 es decir t0 ∈ [0.2. En efecto. En primer lugar 0 ≤ α1 (t) = ∞ X φ(32j−2 t) j=1 2j ∞ X 1 ≤ = 1. 1]) ⊆ [0. j j 3 3 3 j=1 j=1 La Funci´ on de Weierstrass En 1872. W es llamada funci´ on de Weierstrass.10) se cumple. Prosiguiendo por inducción.1 n=1 que W ∈ C(R). tenemos: 3 k t0 = 2 ∞ k ∞ X X X cj cj k−j = 2 3 c + 2 j j−k j−k 3 3 j=1 j=1 j=k+1 = donde dk = 2 ∞ X j=1 cj+k desde que φ tiene per´ıodo 2. 2 2 . denotemos x01 = x0 − k0 . Vamos a demostrar que W no es diferenciable en ning´ un punto de su dominio. luego existe lim y por tanto si x→x0 x − x0 W (xm ) − W (x0 ) . (fijo. (xm ) ⊆ R − {x0 } es tal que lim xm = x0 entonces debe existir lim m→∞ m→∞ xm − x0 1 1 ńico k1 ∈ Z Existe un u ńico k0 ∈ Z tal que − < x0 − k0 ≤ . tenemos φ(3k t0 ) = φ(dk ). . denotemos x02 = ax0 − k1 . Se sigue n. Consideremos la sucesión de funciones (fn ) ⊆ C(R) definida por fn (x) = bn cos(an πx). En efecto. 2. Existe un u 2 2 1 1 tal que − < ax0 − k1 ≤ . Weiertrass dio un ejemplo de una función continua en todo R que no es diferenciable en ning´ un punto de su dominio. supongamos que existe x0 ∈ R W (x) − W (x0 ) tal que W es diferenciable en x0 (Hipótesis Auxiliar). es decir φ(3k t0 ) = ck+1 . 1. luego φ(dk ) = 0. Por el M -test de Weierstrass concluimos que ∞ X X fn converge uniformemente en R. 3j Si ck+1 = 0 entonces 0 ≤ dk = 2 Si ck+1 = 1 entonces 2. . Definimos W : R → R como W (x) = bn cos(an πx). procediendo por contradicci´ on. j 3 3 j=2 ∞ X 1 2 cj+k ≤ dk = 2 ≤ 2 = 1. denotemos x0m+1 = am x0 − km .An´ alisis Real II 31 Puesto que si (2. es decir φ(3k t0 ) = ck+1 . arbitrario). Probemos entonces (2. ∀x∈R en donde a es un entero impar mayor que 1 y 0 < b < 1. . tenemos: α1 (t0 ) = α2 (t0 ) = ∞ X φ(32j−2 t0 ) j=1 ∞ X j=1 2j = φ(32j−1 t0 ) = 2j ∞ X c2j−1 j=1 ∞ X j=1 2j c2j = 2j = ∞ X aj j=1 ∞ X bj j 2 j=1 2j =a =b lo cual prueba la afirmación. luego φ(dk ) = 1.5 n´ umero par + dk ∞ X cj+k j=2 ∞ X 3j ≤2 ∞ X 1 1 = .10): Dado k = 0. existe un u ńico 2 2 1 1 km ∈ Z tal que − < am x0 − km ≤ . De aqu´ı se desprende que xm − x0 < 0. am xm − x0 = 1 + x0m+1 km − 1 km − 1 − am x0 − x0 = =− . Haciendo α = Por trigonometr´ xm − x0 xm + x0 n a π yβ=a π (con n ≥ 0 fijo). A continuación definimos la sucesión (xm ) ⊆ R por xm = ∀ m ∈ N.12) .An´ alisis Real II 32 1 1 De esta manera hemos construido dos sucesiones (km ) ⊆ Z y (x0m ) ⊆ R tales que − < x0m ≤ . 2 ab − 1 siempre que m ≥ m0 (2.11) ıa elemental. debe existir un m0 ∈ N tal que si m ≥ m0 entonces x sen an xm −x0 π 3 2 < an xm2−x0 π 2 |A| ≤ De aqu´ı sen an xm2−x0 π xm + x0 xm −x0 an π 2 an π 2 m−1 3 X 3π (ab)m 3π (ab)m − 1 < (ab)n π = 2 n=0 2 ab − 1 2 ab − 1 |A| < 3π (ab)m . m→∞ Para m ∈ N fijo tenemos W (xm ) − W (x0 ) xm − x0 = ∞ X bn n=0 = m−1 X bn n=0 = m−1 X cos(an xm π) − cos(an x0 π) xm − x0 ∞ X cos(an xm π) − cos(an x0 π) cos(an xm π) − cos(an x0 π) bn + xm − x0 xm − x0 n=m (ab)n n=0 = A+B ∞ cos(an xm π) − cos(an x0 π) X m+n cos(am+n xm π) − cos(am+n x0 π) b + an (xm − x0 ) xm − x0 n=0 (2. 2 2 km − 1 ∀ m ∈ N. tenemos 2 2 xm + x0 xm − x0 n n n n cos(a xm π) − cos(a x0 π) = −2sen a π · sen a π 2 2 n Luego cos(an xm π) − cos(an x0 π) = −πsen an (xm − x0 ) Como lim x→0 luego sen x = 1. sabemos que cos(α + β) − cos(α − β) = −2sen αsen β. Observe que . ∀ m ∈ N y Como − < x0m ≤ 2 2 2 2 lim xm = x0 . m m a a am ∀m∈N 1 1 1 3 0 entonces < 1 + xm ≤ . 13) en (2. 0 1 + xm+1 3 1 1 2 1 ).12) tenemos 4 ab − 1 9 |(−1)jm −1 (ab)−m A| = (ab)−m |A| < luego Como lim (ab)m m→∞ luego la sucesión tradicción. un fácil cálculo muestra que 1 + cos(x0m+1 π) ≥ 1 y ≤ 2 2 3 1 + x0m+1 Reemplazando (2. como a es impar tenemos cos(am+n xm π) = cos(an (km − 1)π) = (−1)jm 0 cos(am+n x0 π) = cos(an (km + xm+1 )π) 0 = cos(an km π) · cos(an x0m+1 π) − sen (an km π) · sen (an xm+1 π) = 0 π) −(−1)jm cos(an xm+1 luego B = ∞ X bn+m n=0 = (−1)jm (−1)jm + (−1)jm cos(an x0m+1 π) xm − x0 ∞ X bn+m 1 + cos(an x0m+1 π) n=0 jm −1 = (−1) Observe que B 0 = ∞ X bn n=0 m (ab) B 0 − 0 1+xm+1 am = (−1)jm −1 (ab)m ∞ X bn n=0 0 π) 1 + cos(an xm+1 0 1 + xm+1 (2.11). para m ≥ m0 tenemos (Esto es debido a que − W (xm ) − W (x0 ) = (−1)jm −1 (ab)m (−1)jm −1 (ab)−m A + B 0 xm − x0 Si tomamos a.13) 1 + cos(an x0m+1 π) es una serie de términos no negativos cuyo primer término es 1 + x0m+1 1 + cos(x0m+1 π) 2 ≥ . 2 3π < 2(ab − 1) 3 2 (−1)jm −1 (ab)−m A + B 0 > − + B 0 ≥ 0 3 = +∞. de (2. tenemos W (xm ) − W (x0 ) = +∞ lim m→∞ xm − x0 W (xm ) − W (x0 ) no está acotada y por tanto no es convergente. lo cual es una conxm − x0 . < x0m ≤ . b tales que ab > 1 + 9π π 4 .An´ alisis Real II 33 Por otro lado. es decir < . Observaciones. ∀ x ∈ U. f es diferenciable en U . Decimos que f : U → V es un difeomorfismo entre U y V si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes: 1. Si f es un difeomorfismo entre los abiertos U. 3. f es una biyección. la función f: R x → 7 → R f (x) = x3 es una biyección y es diferenciable en R. 1. Si f : U → V es un difeomorfismo.1 Sean U. f −1 : V → U es diferenciable en V . 2. V ⊆ Rm dos abiertos. de la definición anterior no se deduce de las dos primeras.Cap´ıtulo 3 Funciones Definidas Impl´ıcitamente 3.1. V ⊆ Rm entonces f es un homeomorfismo entre U y V. 2.1 Difeomorfismos Locales Definici´ on 3. sin embargo su inversa f −1 : R x → 7→ R √ f (x) = 3 x no es diferenciable en 0 ∈ R. 34 . En efecto. 3. La condición 3. por el Corolario 4 de la Regla de la Cadena f 0 (x) ∈ GL(Rm ). sin embargo f : R2 → R2 − {0} no es inyectiva. entonces f restringida a este dominio. ∀ (x. Observaciones. |y − y0 | < π} Claramente Wa ⊆ R2 es un abierto y f W : Wa → R2 − {0} es un difeomorfismo. y ∈ R2 : x ∈ R. tales que f Wx : Wx → Wx0 es un difeomorfismo entre Wx y Wx0 .1. f (x0 ) = x0 (i.2. k→∞ . 2π). y) = ex sen y −ex sen y ex cos y luego det Jf (x. Entonces existe un u ńico x0 ∈ X tal que: 1. f (x) ∈ Wx0 . 2. es decir f 0 (x. 0) = f (0. en efecto. 3. f Lipschitz con Lip(f ) < 1). Con relación a la función del ejemplo anterior. además x e cos y Jf (x. Ya sabemos que si f : U → V es diferenciable y f 0 (x) ∈ GL(Rm ). y) ∈ R2 . y) = e2x 6= 0. x0 es un atractor de f ). dado a = (x0 . Los difeomorfismos de la Definición 3. 1. ∃ Wx ⊆ U y ∃ Wx0 ⊆ Rm abiertos con x ∈ Wx . ex sen y) Claramente f es diferenciable en R2 .e. y) → R2 − {0} 7 → f (x.2 Sean U ⊆ Rm un abierto. definimos el conjunto (franja horizontal abierta de ancho 2π) Wa = {(x. ∀ x ∈ X (i. si restringimos el dominio de f convenientemente. lim f k (x) = x0 . a Definici´ on 3. El rec´ıproco de la Observación 3 es falso. En efecto. ∀ x ∈ U entonces f no necesariamente es un difeomorfismo global. x0 es punto fijo de f ). puesto que f (0. considérese la función f: R2 (x. y0 ) ∈ R2 .An´ alisis Real II 35 4. Surge la pregunta ¿si f 0 (x) ∈ GL(Rm ) entonces f es un difeomorfismo local en x? 3. si es un difeomorfismo.e. y) ∈ GL(R2 ). y) ∈ R2 . y) = (ex cos y.e. Decimos que f : U → Rm es un difeomorfismo local si y s´ olo si ∀ x ∈ U .1. ∀ (x.2 El Teorema de la Funci´ on Inversa Teorema 3. lo rec´ıproco es falso. 2. Todo difeomorfismo global es un difeomorfismo local. 5.1 son llamados globales.1 (Teorema del Punto Fijo para Contracciones) Sea X ⊆ Rm un conjunto cerrado y f : X → X una contracción (i. En efecto. Claramente f : U → Rm es continua. entonces f admite un u Demostraci´ on. Dados x1 . Además. luego x1 = x2 .2 Sea X ⊆ Rm y f : X → Rm una contracci´ y kf (a) − ak ≤ (1 − Lip(f ))r ńico punto fijo en Br [a]. 1[ y f: X → X x 7→ f (x) = x2 3 Para x1 . se cumple ky − ak = kf (x) − ak ≤ kf (x) − f (a)k + kf (a) − ak ≤ Lip(f )kx − ak + (1 − Lip(f ))r = r es decir y ∈ Br [a]. Teorema 3. si U = Rm entonces f (U ) = Rm . Sea y ∈ f (Br [a]) entonces ∃ x ∈ Br [a] tal que f (x) = y.3 (Perturbaci´ Entonces la función f : U → Rm x 7→ f (x) = x + ϕ(x) es un homeomorfismo de U sobre f (U ) ⊆ Rm .An´ alisis Real II 36 Demostraci´ on. De esta manera f es inyectiva. x2 ∈ U . x2 ∈ X se cumple 2 x x2 1 2 |f (x1 ) − f (x2 )| = 1 − 2 = |(x1 − x2 )(x1 + x2 )| ≤ |x1 − x2 | 3 3 3 3 luego f es una contracción. pero f no tiene punto fijo en X. on. luego f : U → f (U ) es una biyecci´ on. on de la Identidad) Sea U ⊆ Rm abierto y ϕ : U → Rm una contracci´ on. Demostraci´ on. en particular f (U ) es un abierto.2.2. ¡Ejercicio! Observaci´ on: Si X ⊆ Rm no es cerrado. ∀ x1 . entonces una contracci´ on f : X → X no necesariamente tiene un punto fijo. x2 ∈ U (3. considere X = ]0.1) Si f (x1 ) = f (x2 ) entonces 0 = kf (x1 ) − f (x2 )k ≥ (1 − Lip(ϕ))kx1 − x2 k ≥ 0. El siguiente resultado garantiza la existencia de un punto fijo para una contracci´ on f : X → X cuando X no necesariamente es un abierto. Si ∃ a ∈ X y ∃ r > 0 tal que Br [a] ⊆ X Proposici´ on 3. Es suficiente probar que f (Br [a]) ⊆ Br [a]. tenemos kf (x1 ) − f (x2 )k = kx1 + ϕ(x1 ) − x2 − ϕ(x2 )k ≥ kx1 − x2 k − kϕ(x1 ) − ϕ(x2 )k ≥ kx1 − x2 k − Lip(ϕ)kx1 − x2 k Es decir kf (x1 ) − f (x2 )k ≥ (1 − Lip(ϕ))kx1 − x2 k. Vamos a probar que f −1 : f (U ) → U es . existe un u ńico x ∈ Br [a] tal que ξy (x) = x.1) tenemos kf −1 (y1 ) − f −1 (y2 )k ≤ 1 1 kf (x1 ) − f (x2 )k = ky1 − y2 k 1 − Lip(ϕ) 1 − Lip(ϕ) 1 . x2 ∈ U tales que f (x1 ) = y1 y f (x2 ) = y2 . ϕ : U → Rm Lipschitz tal que Lip(ϕ) < kT −1 k−1 . Se sigue que 1 − Lip(ϕ) [ Bk (f (a)) ⊆ f (Rm ) Rm = k∈N lo que finaliza la demostración. De esta 1 − Lip(ϕ) manera hemos probado que f es un homeomorfismo de U sobre f (U ). ∀ k ∈ N. luego kξy (a) − ak = ky − ϕ(a) − ak = ky − f (a)k < (1 − Lip(ϕ))r ≤ (1 − Lip(ξy ))r Por la Proposición 3.2. (Perturbaci´ on de un Isomorfismo) Sea U ⊆ Rm abierto. Sea a ∈ Rm . de (3. Demostraci´ on. se cumple kξy (x1 ) − ξy (x2 )k = ky − ϕ(x1 ) − y + ϕ(x2 )k = kϕ(x1 ) − ϕ(x2 )k ≤ Lip(ϕ)kx1 − x2 k Se sigue que ξy es una contracción y Lip(ξy ) ≤ Lip(ϕ). T ∈ GL(Rm ).2. Probemos ahora que si U = Rm entonces f (U ) = Rm . Se sigue que f −1 es Lipschitz en f (U ) y Lip(f −1 ) ≤ Afirmaci´ on: B(1−Lip(ϕ))r (f (a)) ⊆ f (Br [a]). x2 ∈ Rm . As´ı B(1−Lip(ϕ))r (f (a)) ⊆ f (Rm ). y2 ∈ f (U ) entonces existen x1 . luego y ∈ f (Br [a]) lo cual prueba la afirmación. sea y ∈ B(1−Lip(ϕ))r (f (a)) para probar que ∃ x ∈ Br [a] tal que f (x) = y. En efecto. Además. Haciendo rk = ∀r>0 k (k ∈ N) tenemos Bk (f (a)) ⊆ f (Rm ). es decir y = x + ϕ(x) = f (x).An´ alisis Real II 37 continua. Entonces la función f: U x → 7 → Rm f (x) = T (x) + ϕ(x) es un homeomorfismo de U sobre f (U ) ⊆ Rm donde f (U ) es un abierto. si U = Rm entonces f (U ) = Rm . Sean y1 . Considero ψ: U x → 7 → Rm ψ(x) = (T −1 ◦ ϕ)(x) . consideremos la función ξy : Rm x → 7→ Rm ξy (x) = y − ϕ(x) Para x1 . Corolario. en particular f −1 es continua. para cualquier r > 0 se tiene que Br [a] ⊆ U . 2.An´ alisis Real II 38 Para x1 . Como f es diferenciable en a. Luego. Si f es diferenciable en a ∈ U y f 0 (a) ∈ GL(Rm ) entonces −1 f −1 : V → U es diferenciable en b = f (a) y (f −1 )0 (f (a)) = [f 0 (a)] . Desde que ra (h) kra (h)k C = 0.2) ra (h) = 0. es decir ψ es una contracci´ on. Demostraci´ on. Teorema 3.4 (Diferenciabilidad del Homeomorfismo Inverso) Sean U.3. x2 ∈ U se tiene kψ(x1 ) − ψ(x2 )k ≤ kT −1 k · kϕ(x1 ) − ϕ(x2 )k ≤ kT −1 k · Lip(ϕ) · kx1 − x2 k De esta manera ψ es Lipschitz y Lip(ψ) ≤ kT −1 kLip(ϕ) < 1. se cumple f (a + h) = f (a) + f 0 (a)(h) + ra (h). por el Teorema 3. la función g : U → Rm x 7→ g(x) = x + ψ(x) es un homeomorfismo de U sobre g(U ) y si U = Rm entonces g(U ) = Rm . khk Sea k ∈ Vb y considero h = f −1 (b + k) − f −1 (b) ∈ Rm . V ⊆ Rm abiertos y f : U → V un homeomorfismo de U sobre V . se sigue que a + h ∈ U luego de (3.3) ρb (k) −1 = 0. como f 0 (a) ∈ GL(Rm ) sabemos que ∃ C > 0 tal que kf 0 (a)(x)k ≥ Ckxk. lim h→0 khk khk 2 Si x ∈ U y es tal que 0 < kx − ak < δ. Pero (T ◦ g)(x) = T (x + ψ(x)) = T (x) + T (ψ(x)) = T (x) + ϕ(x) = f (x) Luego T ◦ g = f .2) donde lim h→0 b + k = b + f 0 (a)[f −1 (b + k) − f −1 (b)] + ra (f −1 (b + k) − f −1 (b)) Como f 0 (a) ∈ GL(Rm ) tenemos −1 [f 0 (a)] −1 (k) = f −1 (b + k) − f −1 (b) + [f 0 (a)] (ra (f −1 (b + k) − f −1 (b))) es decir −1 f −1 (b + k) = f −1 (b) + [f 0 (a)] (k) + ρb (k).2.2) tenemos kf (x) − f (a)k = ≥ kf 0 (a)(x − a) + ra (x − a)k ≥ kf 0 (a)(x − a)k − kra (x − a)k C C Ckx − ak − kx − ak = kx − ak 2 2 . ∀ k ∈ Vb (3. ∀ h ∈ Ua (3. Debemos probar que lim k→0 kkk bien. Ahora donde ρb (k) = − [f 0 (a)] ◦ ra (f −1 (b + k) − f −1 (b)). Como T ∈ GL(Rm ) entonces T ◦ g : U → Rm es un homeomorfismo de U sobre el abierto (T ◦ g)(U ) y si U = Rm entonces (T ◦ g)(U ) = Rm . de (3. ∀ x ∈ Rm . debe existir un δ > 0 tal que h ∈ Ua y 0 < khk < δ implica < . f es de clase C k en U . Sabemos que 1 y 2 no implica 3. ∀ x ∈ U . V ) = {f : U → V . luego 2 kf −1 (b + k) − f −1 (b)k ≤ . V ⊆ Rm dos abiertos.1 Sean U. −1 ra (f −1 (b + k) − f −1 (b)) kf (b + k) − f −1 (b)k =0 · kf −1 (b + k) − f −1 (b)k kkk ra (f −1 (b + k) − f −1 (b)) kkk =0 ρk (b) = 0. ky − bk C 2 2 kf (x) − f (a)k = ky − bk C C ∀ y ∈ Br (b) − {b} Sea k ∈ Vb con 0 < kkk < r entonces b + k ∈ Br (b) − {b}. f es una biyección. Si f es diferenciable −1 en U y f 0 (x) ∈ GL(Rm ). De esta manera.3) concluimos que f −1 es diferenciable en b = f (a) y (f −1 )0 (f (a)) = kkk Corolario. De (3. V ) = {f : U → V . Notaci´ on: Dados U. como f (Bδ (a)) es abierto 2 (puesto que f es homeomorfismo) y b ∈ f (Bδ (a)) entonces ∃ r > 0 tal que Br (b) ⊆ f (Bδ (a)). En particular f es un difeomorfismo.An´ alisis Real II 39 C kx − ak. denotamos Hom (U . Si y ∈ Br (b) entonces ∃ x ∈ Bδ (a) tal que y = f (x). f es un homeomorfismo entre U y V } Diff k (U . El siguiente resultado nos da una condición adicional que a˜ nadida a 1 y 2 va a implicar 3.2. 2. luego Es decir si x ∈ Bδ (a) entonces kf (x) − f (a)k ≥ kf −1 (y) − f −1 (b)k = kx − ak ≤ Se sigue que 2 kf −1 (y) − f −1 (b)k ≤ . f −1 : V → U es de clase C k en V . kkk C Se sigue que ra (f −1 (b + k) − f −1 (b)) k→0 kkk lim = lim k→0 luego −1 lim [f 0 (a)] k→0 es decir lim k→0 [f 0 (a)] −1 . f es un difeomorfismo de clase C k entre U y V } Observaci´ on. ∀ x ∈ U entonces f −1 : V → U es diferenciable en V y (f −1 )0 (f (x)) = [f 0 (x)] . V ⊆ Rm abiertos y f : U → V un homeomorfismo de U sobre V . Sean U. . V ⊆ Rm abiertos y k ∈ Z+ . 3. Decimos que f : U → V es un difeomorfismo de clase k C entre U y V si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes: 1. Definici´ on 3. L(Rm )) luego f −1 ∈ C 1 (U . concluimos que f es un homeomorfismo de Bδ (0) sobre f (Bδ (0)). Por otro lado f : U → L(R ) ≈ R 1 0 min . Wa0 ). con Lip(r0 ) ≤ < kT −1 k−1 . Dado 0 < < 0 tal queBr (T ) ⊆ GL(R ). W00 = f (Bδ (0)). Demostraci´ on. es decir f 0 (x) ∈ Br (T ) ⊆ GL(Rm ). . V ). Rm ) (k ≥ 1) por f diferenciable en U . kT −1 k De esta manera. Sea y ∈ W00 entonces ∃ x ∈ W0 tal que f (x) = y. Teorema 3.An´ alisis Real II 40 Proposici´ on 3. ∀y∈V De esta manera (f −1 )0 = inv ◦f 0 ◦f −1 . claramente W0 ⊆ U y W00 son abiertos y f W : Wa → Wa0 a es un homeomorfismo de W0 sobre W00 . como GL(Rm ) es abierto entonces m 0 m m2 ∃r > es continua. ∀ h1 . Recordemos que la función inv : GL(Rm ) T → 7 → GL(Rm ) inv(T ) = T −1 es de clase C ∞ . consideramos traslaciones). L(Rm )).2. Wa ). Demostraci´ on. ∀ y 0 ∈ W0 de esta manera f 0 W0 . hemos probado que x ∈ Bδ (0) ⇒ f 0 (x) ∈ GL(Rm ) y kf 0 (x) − T k < kT −1 k−1 (3. luego por el Teorema de la diferenciabilidad del homeomorfismo −1 0 inverso. La demostración se sigue por inducción sobre k: Si f ∈ C 1 (U . f W ∈ Diff (Wa . Sin pérdida de generalidad.4) Como f es diferenciable en 0. De esta manera. Como x ∈ W0 = Bδ (0). y as´ı sucesivamente. ∃ δ > 0 tal que si kxk < δ entonces kf (x) − T k < . Entonces existen abiertos Wa ⊆ U y Wa0 ⊆ Rm con a ∈ Wa y f (a) ∈ Wa0 tales que f Wa ∈ Diff k (Wa . podemos suponer que a = 0 y f (a) = 0 (caso contrario. por el Teorema de la perturbación de un isomorfismo. f 0 (x) ∈ GL(Rm ). de (3.2. Por hipótesis T = f 0 (0) ∈ GL(Rm ). entonces el resultado no es necesariamente cierto. Luego. Sea y ∈ V (fijo.5. por la Proposición 3. arbitrario).4).5 Sean U. sabemos que −1 (f −1 )0 (y) = f 0 (f −1 (y)) = (inv ◦ f 0 ◦ f −1 )(y). V ⊆ Rm abiertos y f : U → V una biyecci´ on de clase C k (k ≥ 1). Denotando W0 = Bδ (0).6 (Teorema de la Funci´ on Inversa) Sea U ⊆ Rm abierto y f ∈ C k (U . para h ∈ U tenemos f (h) = T (h) + ra (h) donde lim h→0 ra (h) =0 khk Observe que kra (h1 ) − ra (h2 )k = kf (h1 ) − f (h2 ) − T (h1 − h2 )k Por el Corolario 3 de la desigualdad del valor medio kra (h1 ) − ra (h2 )k ≤ kh1 − h2 k. Rm ) entonces (f −1 )0 ∈ C(U . f −1 : W00 → W0 es diferenciable es diferenciable en en f (x) k= y.2. Si k −1 f : V → U es diferenciable en V entonces f ∈ Diff (U . h2 ∈ Bδ (0) Luego r0 es Lipschitz en Bδ (0). r . Rm ) (k ≥ 1) 0 m tal que f (a) ∈ GL(R ) (donde a ∈ U ). a Observaci´ on: Si en el Teorema de la función inversa reemplazamos la hipótesis de ser f ∈ C k (U . . sea I ⊆ R un intervalo y α : I → Rn un camino diferenciable.1 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn una función diferenciable en U . Una función inyectiva no necesariamente es una inmersión (ver Ejemplo 3. f ∈ C k (U . . Ejemplo 3. xm ) ∈ Wa . . 0 ∈ Za y f (a) ∈ Wa0 y existe ha ∈ Diff k (Wa0 . Rn ) es inyectiva. Ejemplo 3.3). t3 ) Como α0 (t) = (2t. . De esta manera f 0 (x) ∈ L(Rm . . El Teorema siguiente nos muestra que toda inmersión suficientemente suave. Observaci´ on. luego α es una inmersión de R en R2 . . .3. . Rn ) (k ≥ 1 y n ≥ m) y a ∈ U . ∀ t ∈ R. . Concluimos que α no es una inmersión de R en R2 . 0) Como f es lineal se tiene que f 0 (x) = f .1 Sea m ≤ n y consideremos f: Rm x → 7 → Rn f (x) = (x1 . Wa × Za ) tales que ha (f (a)) = (a.3 41 Inmersiones y Sumersiones Definici´ on 3.3. Ejemplo 3. . Ejemplo 3. 0. . 0) y (ha ◦ f )(x1 . se tiene α0 (t) 6= (0. En efecto. .3. 0). Rn ) es inyectiva. . 0. . . As´ı f es una inmersión la cual es llamada inmersi´ on can´ onica de Rm en Rn . . .4). ∀ t ∈ I.3. Decimos que f es una inmersi´ on de U en Rn si y sólo si f 0 (x) ∈ L(Rm . xm ) = (x1 . . . 0). ∀ x ∈ Rm .3. . 1. xm . .3. Observaciones. ∀ x ∈ Rm . xm . 0). Luego α es una inmersión de I en Rn si y sólo si α0 (t) ∈ L(R.3 Sea el camino α: R t → R2 7→ α(t) = (t2 .2 Es fácil reconocer si un camino diferenciable es una inmersión. . .An´ alisis Real II 3. Si f 0 (a) ∈ L(Rm . Una inmersión no necesariamente es una función inyectiva (ver Ejemplo 3. .3. 3t2 ) se sigue que α0 (0) = (0. Si f : U ⊆ Rm → Rn es una inmersión de U en Rn entonces m ≤ n. .1 (Forma Local de las Inmersiones) Sea U ⊆ Rm un abierto.3. Rn ) es inyectiva entonces existen abiertos Wa ⊆ U .4 Sea el camino α: R → t 7→ R2 α(t) = (t3 − 4t. Teorema 3. ∀ (x1 . Rn ) es inyectiva ∀ t ∈ I si y sólo si α0 (t) = 6 0. 2t). se comporta localmente como la inclusión canónica y por lo tanto es “localmente inyectiva”. t2 − 4) Como α0 (t) = (3t2 − 4. Za ⊆ Rn−m y Wa0 ⊆ Rn con a ∈ Wa . ∀ x ∈ U . 2. · · · . . . . . Sin pérdida de generalidad. Ahora bien. fm ) (0) ∈ GL(Rm ). xm ) y x00 = (xm+1 . x00 ) ϕ: → Rn 7→ ϕ(x0 . x00 ) = (y 0 . 0 ∈ Z0 y f (a) = 0 ∈ Wa0 tales que ϕV ×Z ∈ Diff k (Va × Za . fn ) entonces ∂(f1 . xn + fn ) (0) ∂(x1 . . . . . ψ(x0 )) = (x0 . . . y 00 − ψ(y 0 )). . . xm+1 + fm+1 . podemos suponer que a = 0 ∈ Rm y f (a) = 0 ∈ Rn (caso contrario. . existen abiertos Va ⊆ U . xn ) I Θ = ∈ GL(Rn ) B I Jϕ(0) =       Luego. por un cambio lineal de coordenadas podemos suponer que ∂(f1 . . . y 00 ) = (x0 . . xn + fn (x0 )) en donde x0 = (x1 . fn (x1 . . . y 00 ) ∈ Wa0 (ha ◦ f )(x0 ) = ha (f (x0 )) = ha (x0 . Claramente ϕ ∈ C k (U × Rn−m . xn+fn ) ∂(xm+1+fm+1 . . . . consideramos traslaciones). sea 0 0 ψ = (fm+1 . Sea E = Im [f 0 (0)]. . . . x00 ) = (x0 . . Za ⊆ Rn−m y Wa0 ⊆ Rn con a = 0 ∈ Va . ∂(x1 . . . xm . x00 + ψ(x0 )) = (y 0 . . . . . . . . tenemos Wa = Va ∩ ψ −1 (Za ) es un abierto. Sea U ⊆ Rm un abierto y f ∈ C k (U . y 00 ). ψ(x0 )). x00 ) ∈ Wa × Za Luego ha (y 0 . . xn )  =    ∂(xm+1+ fm+1 . . xn ). xm ). Sin pérdida de generalidad. . . Se sigue que ψ es continua. luego −1 . · · · . Rn ) (k ≥ 1 y n ≥ m) una inmersión de U en Rn entonces f es localmente inyectiva. . xn )  ∂(x1 . fm+1 (x1 . xm ) (0) (0)  ∂(x ) ∂(x . . . . note que f (x0 ) = (x0 . . Wa0 ). . . . .An´ alisis Real II 42 Demostraci´ on. podemos suponer que E es generado por las primeras m filas de la matriz f 0 (0). · · · . . . . xn + fn ) (0) (0) ∂(x1 . xm ) ∂(xm+1 . . xm ) M´ as a´ un. . . . x00 ) = (x0 . . fm ) (0) = I ∂(x1 . xm . ψ(x0 ) − ψ(x0 )) = (x0 . . ∀ (x0 . Rn ). . xm ) ∂(x1 . xm ) Observe que la igualdad anterior implica que f (x) = (x1 . . f2 . para cualquier x0 ∈ Wa se tiene ∀ (y 0 . . xm+1 + fm+1 (x0 ). . . . · · · . . xm )) Consideremos el mapeo U × Rn−m (x0 . Corolario. Rn ) es inyectiva entonces dimR E = m. . fn ) : U → Rn−m . . Denotando ha = ϕ Wa ×Za ϕ(x0 . De esta manera. 0) Esto prueba el teorema. como f 0 (0) ∈ L(Rm . . . . . es decir si f = (f1 . . . por el Teorema de la función inversa. . . ϕ(0) = 0 ∈ Rn y ∂(x1 . . . x 1 m m+1 . . . · · · . . Rn ) es sobreyectiva entonces existen abiertos Wa ⊆ U . Ejemplo 3. 1). luego ∇f (0. De esta manera π 0 (x) ∈ L(Rm . z) = x2 + y 2 + z 2 Es claro que f es diferenciable en R3 y ∇f (x. .3. donde a0 = (a1 . Rn ) es sobreyectiva. Decimos que f on de U en Rn si y sólo si f 0 (x) ∈ L(Rm . . y) 7→ R f (x. El Teorema siguiente nos muestra que toda sumersión suficientemente suave. luego . .5 Sea m ≥ n y consideremos la proyecci´ π: Rm x → 7 → Rn π(x1 . . y. Sin pérdida de generalidad. Va ⊆ Rn y Za ⊆ Rm−n con a ∈ Wa . . . y) = (ϕ0 (x). Rn ) es sobreyectiva. . 0) = (0. . . Demostraci´ on. Ejemplo 3. Wa ) tales que ha (f (a). . . R) = (Rm )∗ es sobreyectiva ∀ x ∈ U si y sólo si f 0 (x) ≈ ∇f (x) = 6 0. . ∀ x ∈ Rm . z) = (2x. podemos suponer que a = 0 ∈ Rm y f (a) = 0 ∈ Rn (caso contrario. y) = y − ϕ(x) Es claro que f es diferenciable en U = I × R ⊆ R2 y como ∇f (x. xn ) Como π es lineal se tiene que π 0 (x) = π. am ). 2y. f (a) ∈ Va y a00 ∈ Za y existe ha ∈ Diff k (Va × Za .An´ alisis Real II 43 Definici´ on 3. As´ı π es una sumersión de Rm en Rn .3. . Luego f es una sumersión de U en Rn si y sólo si f 0 (x) ∈ L(Rm . y. ∀ (y1 .8 Sea f: R3 (x. f ∈ C k (U . . ∀ x ∈ U . consideramos traslaciones). Teorema 3.2 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn una función diferenciable en U . yn ). 0. Por hipótesis f 0 (0) ∈ L(Rm .3. an ) y a00 = (an+1 . xm ) = (x1 . se comporta localmente como una proyección. Ejemplo 3. Concluimos que f no es una sumersión de R3 en R. yn ) ∈ Va × Za . . ym ) = (y1 . .3. . concluimos que f es una sumersión de U en R.6 Es fácil reconocer si una función diferenciable a valores reales es una sumersión de su dominio en R. z) → 7 → R f (x. . . 0).2 (Forma Local de las Sumersiones) Sea U ⊆ Rm un abierto. a00 ) ∈ U . Si f 0 (a) ∈ L(Rm .3. . es una sumersi´ Observaci´ on.3. . . Rn ) es sobreyectiva. 0.7 Sea ϕ : I → R una función diferenciable sobre el intervalo I ⊆ R y consideremos f: I ×R → (x. y. on Ejemplo 3. a00 ) = a y (f ◦ ha )(y1 . . Si f : U ⊆ Rm → Rn es una sumersión de U en Rn entonces m ≥ n. sea U ⊆ Rm un abierto f : U → Rn una función diferenciable. 2z). En efecto. . . . ∀ x ∈ U . ∀ x ∈ Rm . . Rn ) (k ≥ 1 y n ≤ m) y a = (a0 . . y 00 )). . . fn ) (0) ∈ GL(Rn ). fn (x). . . . f (0) ∈ Va . . . Observe que a a a a ϕ(x) = (f1 (x). fn ) ∈ C k (U . xm ) = (y1 . . ϕ(0) = 0 y   ∂(f1 . . . . . . . a ∈ R . . . ∀ (y 0 . . . . ym ) = f (x) = (f1 (x). . ∀ (y 0 . . . . Adem´ as. . Rn ) (k ≥ 1 y n ≤ m) es tal que ∂(f1 . . . xm )  ∂(πn+1 . . . Rm ). . ϕn = fn y considero ϕn+1 = πn+1 . . . f (a) ∈ Va y a0 ∈ Za (donde a = (a0 . . Denotemos ha = ϕW : × Z V → W . . a00 ) ∈ Rm−n × Rn ) y existe ha ∈ Diff k (Za × Va .3. . . . . xm ) on sobre las u ´ltimas n coordenadas. . . . . · · · . . . . . fn ) ∂(f1 . . . . fn (x)) = (y1 . Si f = (f1 . Más espec´ıfientonces f se comporta localmente como la proyecci´ camente. . es claro que ϕ ∈ C k (U . . . xm ) = xj ). . . πm ) (0) (0) ∂(x1 . ym ) luego para cualquier (y1 . el lector puede probar sin dificultad que ha es del tipo ha (y 0 . ym ) ∈ Va × Za tenemos (f ◦ ha )(y1 . 0 ∈ Za tales que ϕW : Wa → Va × Za es un difeomorfismo a −1 de clase C k . . . . xm ) 1 n   ∂(ϕ1 . ϕm = πm ∈ C k (U ) (donde πj (x1 . Wa ) tales que (f ◦ ha )(y 0 . . .3 (Teorema de la Funci´ on Impl´ıcita) Sea U ⊆ Rm un abierto. . . . y 00 ) = (y 0 . xn ) ∂(xn+1 . a = (a0 . . fn ) (a) ∈ GL(Rn ). . . f 0 (0)(en ) generan Im(f 0 (0)). . . . . . . fn ) (0) (0)   ∂(x . . . . . x ) ∂(xn+1 . . . . .An´ alisis Real II 44 Im(f 0 (0)) = f 0 (0)(Rm ) tiene dimensión n. . fn ) (0) ∈ GL(Rn )). . Si ϕ = (ϕ1 . . . a00 ) ∈ U con n 0 m−n 00 a ∈R . yn+1 . . . . fn ) entonces A= ∂(f1 . . xn ) Denotemos ϕ1 = f1 . xn+1 . . . . ∂(x1 . . . . . ϕm ) A B   ∈ GL(Rm ) (0) =  = Θ I ∂(x1 . . Teorema 3. . . . yn ) Observaci´ on: Si en la demostración del Teorema de la Forma Local de las Sumersiones suponemos que los n u ´ltimos vectores f 0 (0)(em−n+1 ). . . . πm )  ∂(πn+1 . . y 00 ) ∈ Za × Va . ∂(xm−n+1 . . . . . . . . y 00 ) = y 00 . . ∂(xm−n+1 . . y 00 ) ∈ Za × Va . . . Por el Teorema de la Funci´ on Inversa existen abiertos Wa ⊆ U y Wa0 = n m−n V a × Za ⊆ R × R con 0 ∈ Wa . xm ) . yn . Si denotamos f = (f1 . . . . . f 0 (0)(em ) generan Im f 0 (0). . ϕm ) : U → Rm . . . (esto es equivalente a decir que ∂(f1 . h2 (y 0 . xm ) es decir ϕ0 (0) ∈ GL(Rm ). . Va ⊆ Rn y Za ⊆ Rm−n con a ∈ Wa . . podemos suponer (salvo un cambio lineal de coordenadas) que f 0 (0)(e1 ). . existen abiertos Wa ⊆ U . . . . c = f (a) ∈ Va y a0 ∈ Za y existe un difeomorfismo de clase C k ha : Z a × Va (y 0 . z 00 ) = h2 (y 0 . h2 (y 0 . . Para demostrar que este y 00 es u ńico. . . ym−n . . . . . z 00 )) = ha (z 0 . . . . gn ) 0 I 0 0  = α (y ) = (y ) =   ga0 (y 0 ) ∂(y1 . . . definiendo la función α : Za → Wa como α(y 0 ) = (y 0 . existe (z 0 . . . . z 00 ) ∈ Za × Va tal que (z 0 . . y 1 m−n )   ∂(y1 . ga (y 0 )) ga0 (y 0 ) = − ∂(xm−n+1 . . g1 . xm−n ) Demostraci´ on. gn )  0 (y ) ∂(y1 . . . Wa ) difeomorfismo. c)) = ha (y 0 . ym−n ) ∂(f1 . c) Claramente ga es de clase C k en Za . sea y ∈ Rn tal k 0 0 que (y . existen abiertos Wa ⊆ U . ym−n )  ∂(g1 . . . y) Se sigue que z 0 = y 0 . tenemos f 0 (α(y 0 ))α0 (y 0 ) = 0 (3. y 00 ) ∈ Wa y f (y 0 . Por la observación anterior. Además la función ga : Za y0 → 7→ Rn ga (y 0 ) = y 00 es de clase C k en Za y para cualquier y 0 ∈ Za se tiene −1 ∂(f1 .6) (3. xm ) 0 0 (3. y) = c. además como para cualquier y 0 ∈ Za se cumple f (y 0 . . . . xm ) ∂(x1 . fn ) (y 0 . . ga (y 0 )). y 00 )) tales que (f ◦ ha )(y 0 . y 00 ) = (y 0 . . . . Va ⊆ Rn y Za ⊆ Rm−n con a ∈ Wa . . . . ∀ (y 0 . . además z 00 = f ◦ ha (z 0 . . gn ) se tiene   ∂(y1 . . z 00 ) = f (y 0 . y 00 ) ∈ Za × Va . . y 00 ) = y 00 . . . .7) . fn ) ∂(f1 . z 00 ) = (y 0 . defino y 00 = y 00 (y 0 ) = h2 (y 0 . c) = c. Sea y 0 ∈ Za . .An´ alisis Real II 45 Entonces existen abiertos Wa ⊆ U y Za ⊆ Rm−n con a ∈ Wa y a0 ∈ Za tal que ∀ y 0 ∈ Za . . f (α(y )) = ∂(x1 . . . y) ∈ Wa y f (y . c) = y 00 . . c). ∀ y 0 ∈ Za . . . h2 (y 0 . ga (y 0 )) = c. xm−n ) ∂(xm−n+1 .5) Pero si denotamos ga = (g1 . . ga (y 0 )) (y 0 . . . . esto prueba la unicidad de y 00 . . y 00 ) = f ◦ ha (y 0 . fn ) ∂(f1 . . ym−n ) 0 (y )   ∂(y . h2 (z 0 . . xm ) ∂(x1 . . . . . . . . . . y 00 ) → 7→ Wa (y 0 . Defino ga : Za y0 → 7 → Rn ga (y 0 ) = y 00 = h2 (y 0 . Como ha ∈ Diff (Za × Va . existe un u ńico y 00 = y 00 (x) ∈ Rn con la propiedad (y 0 . c) ∈ Wa y en consecuencia f (y 0 . y) = c. . . . . . . . . . luego y = h2 (z 0 . y 00 ) = c = f (a). fn ) ∂(f1 . fn ) 0 0 0 (α(y )) (α(y )) = (α(y )). se sigue que (y 0 . . fn ) (α(y 0 )) + (α(y 0 )) · ga (y 0 ) = 0 ∂(x1 . . x2 + y 2 ) 7   2x 1  2x −3y 2   ∈ R4×2 Jf (x. .y) (f ) = 2. . Se sigue que rang x (f ) = k. . . . . .7) en (3. xm ) lo cual implica ga0 (y 0 ) = − −1 ∂(f1 . . . pero si α0 (t) 6= 0 entonces α tiene rango 1 en t. . x − y. Si α0 (t) = 0 entonces α tiene rango 0 en t. . . .4. n}. ∀ (x. . .6) y (3. . Observaci´ on: Si U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn entonces rang a (f ) ≤ min{m. y) = (x2 + y. . como el n´ independientes de cualquier matriz asociada a T . .2 Sea f : Rm → Rn definida por f (x1 . fn ) ∂(f1 . xm ) ∂(x1 . . . Esta función f es llamada proyecci´ on can´ onica de rango k. tenemos el Teorema de la función impl´ıcita estudiado en Análisis I. . xk . fn ) (α(y 0 )) (α(y 0 )) ∂(xm−n+1 . . Ejemplo 3. fn ) ∂(f1 . El rango de f en a ∈ U .4.1 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn una función diferenciable en U . x2 − y 3 . ∀ x ∈ Rm .3 Sea α = (α1 . xm ) ∂(xm−n+1 . . xm ) = (x1 . . Definici´ on 3. ∀ a ∈ U . . .An´ alisis Real II 46 Reemplazando (3.4 El Teorema del Rango Recordemos que el rango de una transformación lineal T ∈ L(Rm . 3. y) ∈ R2 .4. . 0. 0) donde k ≤ min{m. . Rn ) es definido como la dimensión de umero máximo de vectores filas o vectores columnas linealmente Im (T ). xm−n ) Observaci´ on.1 Sea f: Se tiene que R2 → R4 (x. o equivalentemente. y) → f (x. Ejemplo 3. . . . . . . . .4. Rn ). . En el caso que n = 1. αn ) : I ⊆ R → Rn diferenciable en el intervalo I. . Ejemplo 3. . denotado rang a (f ) es el rango de f 0 (a) ∈ L(Rm .5) tenemos ∂(f1 . . . . y) =   1 −1  2x 2y Concluimos que rang (x. . . . n}. . . 0. V ⊆ Rk . . . . ∂(x1 . fk (x). hn (y)) (3. . . Por el Teorema de la Funci´ p 0 0 0 0 a ∈ Ua y 0 ∈ Va tales que ϕU 0 ∈ Diff (Ua . . xm )  ∂(x1 . es decir (f1 (x). fk ) rang (a) = k. . . . . Es por esta razón que las inmersiones y sumersiones son llamadas funciones de rango máximo El siguiente resultado establece que si f : U → Rn tiene rango constante k en el abierto U ⊆ Rm . . . . . fn (x)) −1 = (y1 . . ym ) las a a coordenadas de Va0 ⊆ Rm tenemos Ga (x) = y. 0 ∈ W . . . Rn ) (p ≥ 1) tal que rang x (f ) = k. .4 Sea f : U → R diferenciable en el abierto U ⊆ Rm I. . . . Va ). πm ) (a) (a) ∂(x1 . fk ) ∂(f1 . . . n}. . . . . denotemos Ga = ϕU 0 . . xm ) on Inversa. . . 0 ∈ Z y existen Ga ∈ Diff p (Ua . . . entonces en cada punto de su dominio se comporta localmente (por un cambio de coordenadas) como la proyecci´ on canónica de rango k. . . ϕ(a) = 0 y   ∂(f1 . . . . . . . . . ϕn ) : U → Rn entonces ϕ ∈ C p (U . . . . . . . .4. .An´ alisis Real II 47 Ejemplo 3. . pero si f es una sumersión entonces rang x (f ) = n = min{m. ϕm = πm . . V × W ) y Gb ∈ Diff p (Ub . . ∀ x ∈ U . fk+1 (x). . . . xm )   ∂(πk+1 . . .5 Sea f : U ⊆ Rm → Rn . . . . πm ) ∂(πk+1 . fk+1 (G−1 a (y)). Definimos ϕ1 = f1 . pero si f 0 (x) = 6 0 entonces f tiene rango 1 en x. Sin pérdida de generalidad podemos. . yk . xk ) ∂(xk+1 . . . Rm ).8) . . . . Ejemplo 3. . . .4. podemos suponer a = 0 ∈ Rm . 0 ∈ V . . ϕk = fk y escogemos ϕk+1 = πk+1 . . xm ) = (y1 . Si ϕ = (ϕ1 . . Gb (b) = 0 ∈ Rn y Gb ◦ f ◦ G−1 a : V × W → V × Z es dada por Gb ◦ f ◦ Ga−1 (y1 . . . . Si f 0 (x) = 0 entonces f tiene rango 0 en x. ∀ x ∈ U . fn (Ga (y)) = (y1 . . . . n}. . . . fk ) (a) (a)   ∂(xk+1 . W ⊆ Rm−k y Z ⊆ Rn−k con a ∈ Ua y b = f (a) ∈ Ub . . . . . . . fk (x). fn ). . . podemos suponer también que ∂(f1 . . ∀ x ∈ U . . además por un cambio de coordenadas lineal. . yk . Teorema 3. hk+1 (y). . . xk+1 . . . Entonces para todo a ∈ U existen abiertos Ua ⊆ U . . b = 0 ∈ Rn . . ym ) = (y1 . V × Z) tales que Ga (a) = 0 ∈ Rm . . . xk )  ∂(ϕ1 . yk . Denotando (y1 . . .4.1 (El Teorema del Rango) Sea U ⊆ Rm un abierto y f ∈ C p (U . 0) Demostraci´ on. . . . . . Ub ⊆ Rn . . . . . ϕm ) A B   Jϕ(a) = (a) =  = Θ I ∂(x1 . xk ) en donde f = (f1 . . ym ) luego f ◦ G−1 a (y) = f (x) = (f1 (x). . . existen abiertos Ua0 ⊆ U y Va0 ⊆ Rm con luego ϕ0 (a) ∈ GL(Rm ). Si f es una inmersión entonces rang x (f ) = m = min{m. . An´ alisis Real II 48 0 p en donde hj = fj ◦ G−1 olo dependen de a , k + 1 ≤ j ≤ n. Observe que hj ∈ C (Va ). Afirmo que las hj s´ las variables y1 , . . . , yk . En efecto, en primer lugar por la Regla de la Cadena 0 −1 0 (y) = f 0 (G−1 f ◦ G−1 ∀ y ∈ Va0 a a (y)) · (Ga ) (y), 0 m Como (G−1 a ) (y) ∈ GL(R ) entonces rang y f ◦ Ga−1 = rang y f 0 ◦ G−1 = k, a ∀ y ∈ Va0 Por otro lado J(f ◦ G−1 a )(y) = =  ∂(y1 , . . . , yk ) (y) ∂(y1 , . . . , yk )   ∂(y1 , . . . , yk , hk+1 , . . . , hn )  (y) =  ∂(y1 , . . . , ym )  ∂(hk+1 , . . . , hn ) (y) ∂(y1 , . . . , yk )   I Θ       ∂(hk+1 , . . . , hn ) B (y) ∂(yk+1 , . . . , yn ) = k entonces Como rang y f ◦ G−1 a ∂(hk+1 , . . . , hn ) (y) = Θ, ∂(yk+1 , . . . , ym )  ∂(y1 , . . . , yk ) (y)  ∂(yk+1 , . . . , ym )     ∂(hk+1 , . . . , hn ) (y) ∂(yk+1 , . . . , ym ) ∀ y ∈ Va0 y esto implica que hk+1 , . . . , hn sólo dependen de las variables y1 , . . . , yk lo cual prueba la afirmación. Luego de (3.8) tenemos que f ◦ Ga−1 : Va0 → Rn es definida por (3.9) (y) = (y1 , . . . , yk , hk+1 (y1 , . . . , yk ), . . . , hn (y1 , . . . , yk )) f ◦ G−1 a Por otro lado, sean Wa0 ⊆ Rk , Wa00 ⊆ Rm−k abiertos con 0 ∈ Wa0 , 0 ∈ Wa00 tales que Wa0 × Wa00 ⊆ Va0 . Definimos ψb : Wa0 × Rn−k → Rn por ψb (u) = (u1 , . . . , uk , uk+1 + hk+1 (u1 , . . . , uk ), . . . , un + hn (u1 , . . . , uk )) (3.10) Claramente ψb (0) = 0 = b y ∂(u1 , . . . , uk , uk+1 + hk+1 , . . . , un + hn ) (0) ∂(u1 , . . . , un )  I Θ  =  ∂(uk+1 + hk+1 , . . . , un + hn ) ∂(uk+1 + hk+1 , . . . , un + hn ) ∂(u1 , . . . , uk ) ∂(uk+1 , . . . , un ) Jψb (b) =   I  =  B Θ I   ∈ GL(Rn ) 0 n−k Luego, por el Teorema de la Funci´ y Ub ⊆ Rn con on Inversa, pexisten abiertos V ⊆ Wa , 00Z ⊆ R 0 ∈ V , 0 ∈ Z y b ∈ Ub tales que ψb V ×Z ∈ Diff (V × Z, Ub ). Sea W ⊆ Wa abierto con 0 ∈ W tal que An´ alisis Real II 49 −1 −1 −1 ) U = (V × W ) y G ψ : Ub → V × Z de (3.9) y V × W ⊆ (f ◦ G−1 (U ). Denotando G = b a b b a a V ×Z (3.10) tenemos G−1 b (y1 , . . . , yk , 0, . . . , 0) = = ψb (y1 , . . . , yk , 0, . . . , 0) = (y1 , . . . , yk , hk+1 (y1 , . . . , yk ), . . . , hn (y1 , . . . , yk )) (y) f ◦ G−1 a (y1 , . . . , ym ) = (y1 , . . . , yk , 0, . . . , 0). luego Gb ◦ f ◦ G−1 a Corolario. Sea U ⊆ R m un abierto y f ∈ C (U ; R ) tal que el rango de f es constante en U . Entonces 1 n 1. f es localmente inyectiva si y sólo si f es una inmersión. 2. f es abierta si y sólo si f es una sumersión. Demostraci´ on. 1) (⇒) Supongamos que f no es una inmersión (Hip. Aux.) entonces ∃ a ∈ U tal que f 0 (a) ∈ L(Rm ; Rn ) no es inyectiva, luego rang a (f ) = k < m, por hipótesis rang x (f ) = k < m, ∀ x ∈ U . Por el Teorema del Rango existen abiertos Ua ⊆ U , Ub ⊆ Rn , V ⊆ Rk , W ⊆ Rm−k y Z ⊆ Rn−k y existen Ga ∈ Diff 1 (Ua , V × W ) y Gb ∈ Diff 1 (Ub , V × Z) tales que Gb ◦ f ◦ Ga−1 : V × W → V × Z es de la forma Gb ◦ f ◦ G−1 a (x1 , . . . , xm ) = (x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0) Por hipótesis, podemos suponer que f es inyectiva en Ua , luego Gb ◦ f ◦ Ga−1 ser´ıa inyectiva en V × W , lo cual es una contradicción. (⇐) Forma local de las inmersiones. 2) (⇒) Supongamos que f no es una sumersión (Hip. Aux.) entonces ∃ a ∈ U tal que f 0 (a) ∈ L(Rm ; Rn ) no es sobreyectiva, luego rang a (f ) = k < n, por hipótesis rang x (f ) = k < n, ∀ x ∈ U . Por el Teorema del Rango existen abiertos Ua ⊆ U , Ub ⊆ Rn , V ⊆ Rk , W ⊆ Rm−k y Z ⊆ Rn−k y existen Ga ∈ Diff 1 (Ua , V × W ) y Gb ∈ Diff 1 (Ub , V × Z) tales que Gb ◦ f ◦ G−1 a : V × W → V × Z es de la forma Gb ◦ f ◦ G−1 a (x1 , . . . , xm ) = (x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0) Como f es abierta, Ga , Gb son difeomorfismos y V × W es abierto entonces Gb ◦ f ◦ G−1 (V × W ) = a V × {0}, lo cual es una contradicción. (⇐) Sea W ⊆ U abierto, dado a ∈ W , por hipótesis f 0 (a) es sobreyectiva, luego por la Forma local de las sumersiones existen abiertos Wa ⊆ W , Va ⊆ Rn y Za ⊆ Rm−n con a ∈ Wa , f (a) ∈ Va y a00 ∈ Za y on y por tanto es una función abierta, as´ı existe ha ∈ Diff 1 (Va × Za , Wa ) tal que f ◦ ha es una proyecci´ (f ◦ ha ) (Va × Za ) es un conjunto abierto. Por otro lado, observe que [ [ ha (Va × Za ) W = Wa = a∈W luego f (W ) = f Se sigue que f (W ) es abierto. [ a∈W a∈W ha (Va × Za ) ! = [ a∈W (f ◦ ha )(Va × Za ) Cap´ıtulo 4 Introducci´ on a la Teor´ıa de Superficies en Rn 4.1 Definici´ on de Superficie Definici´ on 4.1.1 Sea V ⊆ Rn , una parametrizaci´ on de clase C k (k ≥ 1) y dimensi´ on m del conjunto m V es un par (V0 , ϕ), donde V0 ⊆ R es un abierto y ϕ : V0 → V es una función que satisface las dos condiciones siguientes: 1. ϕ ∈ Hom (V0 , V ). 2. ϕ es una inmersión de clase C k . Observaciones. 1. Si V ⊆ Rn y (V0 , ϕ) es una parametrización de clase C k y dimensión m de V entonces m ≤ n. 2. Si V ⊆ Rn y (V0 , ϕ) es una parametrización de clase C k y dimensión m de V entonces todo punto p ∈ V no obstante estar en Rn , necesita sólo de m coordenadas para determinar su posición, a saber p = (ϕ1 (x1 , . . . , xm ), . . . , ϕn (x1 , . . . , xm )) Ejemplo 4.1.1 Sea U ⊆ Rn un abierto, entonces (U, id) es una parametrización de clase C ∞ y dimensión n de U . Ejemplo 4.1.2 Sean V = S 1 − {0}, V0 = ]0, 2π[ y ϕ: V0 t → 7→ V ϕ(t) = (cos t, sen t) Entonces (V0 , ϕ) es una parametrización de clase C ∞ y dimensión 1 de V . 50 Concluimos que M 0 ⊆ Rn es una superficie de clase C k si y sólo si M 0 es un subconjunto discreto de Rn . Observaciones. además como ϕ0 (t) = (3t2 − 1. on 0 en Rn ) M 0 ⊆ Rn es una superficie de clase C k si y sólo Ejemplo 4. Si M ⊆ Rn es una superficie de dimensión m. ∀ t ∈ V0 luego ϕ es una inmersión de clase C ∞ de V0 en V . es suficiente considerar (U. Up ∩ M es llamada vecindad parametrizada del punto p ∈ M .6 (La esfera unitaria S n−1 ⊆ Rn ) Recordemos que S n−1 = {x ∈ Rn : kxk = 1}. +∞[}. 1) y como ϕ−1 es continua se tiene n→∞ n n n −1 = lim tn = lim ϕ−1 (ϕ(tn )) = ϕ−1 (0. sin embargo (V0 . Sea M m ⊆ Rn una superficie.4 (Superficies de dimensi´ on n en Rn ) Todo abierto U ⊆ Rn es una superficie de ∞ n dimensi´ on n y de clase C en R . ϕp ) de clase C k y dimensión 0 si y sólo si Vp = {0} y Up ∩ M = {p}. t2 ) : t ∈ ] − 1. n 1 1 1 ϕ(tn ) = ( − 1)3 − ( − 1).2 Una superficie de dimensi´ on m y clase C k (k ≥ 1) en Rn es un subconjunto M ⊆ Rn tal que para todo punto p ∈ M . 3.3 Sean V = {(t3 − t. . En efecto. 1) = 1 n→∞ n→∞ lo cual es una contradicción.1. umero n − m es llamado codimensi´ 4. En efecto.5 (Superficies de dimensi´ n si para todo p ∈ M existe Up ⊆ R abierto tal que Up ∩ M admite una parametrizaci´ on (Vp . ϕ) no es una parametrización de clase C ∞ de V puesto que ϕ no es un homeomorfismo entre V0 y V . existe una vecindad abierta Up ⊆ Rn de p tal que Up ∩ M admite una parametrización (Vp . suponiendo por el absurdo que ϕ es un 1 homeomorfismo entonces ϕ−1 : V → V0 es continua. Ejemplo 4. Las superficies de dimensión 1 en Rn son llamadas curvas. Ejemplo 4.1. 0). 2t) entonces ϕ0 (t) = 6 (0. +∞[ y ϕ: V0 t → 7→ V ϕ(t) = (t3 − t. La función ϕp : Vp → Up ∩ M es un homeomorfismo entre Vp y Up ∩ M .1.1. se tiene que (tn ) ⊆ V0 . id) la cual es una parametrización de clase C ∞ y dimensión n de U . V0 = ] − 1. el n´ on de M . 2. entonces denotaremos M m .An´ alisis Real II 51 Ejemplo 4. ( − 1)2 luego lim ϕ(tn ) = (0. Las superficies de dimensión n − 1 en Rn son llamadas hiperficies. Consideremos tn = − 1. ϕp ) de clase C k y dimensión m. 1. Definici´ on 4. 5. t2 ) Es claro que ϕ es biyectiva.1. . sea p = (p1 . . yi+1 . . Defino V = V1 × V2 abierto de Rm1 +m2 y ϕ: V → (U1 ∩ M1 ) × (U2 ∩ M2 ) ϕ(x. n}. . . Definimos las funciones ϕ+ i : y ϕ− i : V0 x V0 x Es fácil ver que y ϕi+ −1 : − −1 ϕi : → Ui+ ∩ S n−1 p 1 − kxk2 . . . yi−1 . Msms ⊆ Rns son superficies de clase C k entonces M1 × · · · × Ms ⊆ Rn1 +···+ns es una superficie de clase C k y dimensión m1 + · · · + ms . . . . . . Sean (V1 .7 (Superficies Producto) Sean M1m1 ⊆ Rn1 y M2m2 ⊆ Rn2 dos superficies de clase C k . . . . . . . . . xi . . .1. ϕ− (1 ≤ i ≤ n) son parametrizaciones de clase C ∞ y dimensión n − 1 de Ui+ ∩ S n−1 i i − n−1 y Ui ∩ S respectivamente. ϕ1 ) y (V2 . Note que V0 ⊆ Rn−1 es un conjunto abierto. De manera análoga se prueba que si M1m1 ⊆ Rn1 . ϕ+ y V 0 . . xi−1 . Ejemplo 4. . xn−1 ) 7 → ϕ+ i (x) = (x1 . xi . . Denotemos V0 = {x ∈ Rn−1 : kxk < 1}. 2. . . . y) → 7 Es fácil ver que (V. . . . Ui− }1≤i≤n es una colección de conjuntos abiertos que cubren S n−1 . yn ) ∈ Rn : yi < 0} Observe que Ui+ y Ui− son los semiespacios abiertos determinados por el hiperplano {yi = 0}. Vamos a parametrizar Ui+ ∩S n−1 y Ui− ∩ S n−1 . yi+1 . . ϕ2 ) parametrizaciones de clase C k y dimensiones m1 y m2 respectivamente de U1 ∩ M1 y U2 ∩ M2 . xn−1 ) Ui+ ∩ S n−1 y → 7 → Ui− ∩ S n−1 y → V0 −1 7→ ϕi− (y) = (y1 .An´ alisis Real II 52 Afirmo que S n−1 es una superficie de clase C ∞ y dimensión n − 1 de Rn . xi−1 . yi−1 . En efecto. . sea i ∈ {1. . Claramente {Ui+ . ϕ2 (y)) (x. p2 ) ∈ M1 × M2 entonces existen abiertos U1 ⊆ Rn1 y U2 ⊆ Rn2 tales que p1 ∈ U1 ∩ M1 y p2 ∈ U2 ∩ M2 . . . yn ) luego V0 . Afirmo que M1 × M2 ⊆ Rn1 +n2 es una superficie de clase C k y dimensión m1 + m2 . .1. . . . → 7 → Ui− ∩ S n−1 p ϕi+ (x) = (x1 . . . . ϕ) es una parametrización de clase C k y dimensión m1 +m2 de (U1 ∩M1 )×(U2 ∩M2 ) = (U1 × U2 ) ∩ (M1 × M2 ). Ejemplo 4. . .8 (Toros n-dimensionales) Sabemos que S 1 ⊆ R2 es una superficie (curva) de clase C ∞ y dimensión 1 entonces T n = S 1 × · · · × S 1 ⊆ R2n {z } | n veces es una superficie de clase C ∞ y dimensión n en R2n llamado Toro n-dimensional. . yn ) V0 + −1 ϕi (y) = (y1 . yn ) ∈ Rn : yi > 0} y Ui− = {y = (y1 . . definimos los conjuntos Ui+ = {y = (y1 . En efecto. − 1 − kxk2 . . y) = (ϕ1 (x). . Una manera de subsanar este fenómenoser´ıa suponer que existe un abierto on U ⊆ Rn con A ⊆ U y que exista una función f˜ : U → Rm tal que fÃ = f (es decir f˜ es una extensi´ 0 0 ˜ de f ). ym (q)) Ambas coordenadas son compatibles via el homeomorfismo 0 −1 (ϕ0p )−1 ◦ ϕp : ϕ−1 (W ) ⊆ Vp0 p (W ) ⊆ Vp → (ϕp ) Las funciones (ϕ0p )−1 ◦ ϕp son llamadas cambios de coordenadas. existen abiertos Vp0 ⊆ Vp ⊆ Rm . Por la forma local de las inmersiones. . 0 ∈ Wp0 y existe ψp ∈ Diff k (Up0 . Es claro que (Up ∩ Up0 ) ∩ M 6= ∅ y denotemos W = (Up ∩ Up0 ) ∩ M . Recordemos que si A ⊆ Rn es un conjunto no necesariamente abierto. .2 Cambios de Coordenadas Sea M m ⊆ Rn una superficie de clase C k y p ∈ M entonces por definición de superficie. 0 ∈ Vp0 . f : A → Rm y a ∈ / int (A) entonces tenemos dificultades en definir f 0 (a). Vp0 × Wp0 ) tal que ψp (p) = 0 y ψp (Up0 ∩ M ) = Vp0 × {0}. Las dos afirmaciones siguientes son equivalentes: 1. p ∈ Up0 y 0 ∈ Wp0 y existe ψp ∈ Diff k (Up0 . Se tiene que cualquier punto q ∈ W (en particular p) es representado por dos umeros reales m-uplas de n´ ϕp−1 (q) = (x1 (q). ⇒ 2. Dado p ∈ M existen abiertos Up0 ⊆ Rn .2.9 (Cilindros) Si U ⊆ Rn es un abierto entonces C n+1 = S 1 × U ⊆ Rn+2 es una superficie (hiperficie) de clase C ∞ y dimensión n + 1 en Rn+2 llamada Cilindro n + 1 dimensional. En particular C 2 = S 1 × I (donde I ⊆ R es un intervalo abierto) es un cilindro bidimensional en R3 .1 Sea M ⊆ Rn . 0) ∀ x ∈ Vp0 . dado p ∈ M .1. ¿Podemos hacer esto cuando W ⊆ M ? Teorema 4. Up0 ⊆ Up ⊆ Rn y Wp0 ⊆ Rn−m con 0 ∈ Vp0 . . . . Observe que por definición de superficie. .) Si M m ⊆ Rn es una superficie. ϕp ) de clase C k y dimensión m. Demostraci´ on.An´ alisis Real II 53 Ejemplo 4. los cambios de coordenadas son funciones continuas. En primer lugar se tiene que ϕp : ϕ−1 p (W ) ⊆ R k definici´ on de superficie. existe Up ⊆ Rn abierto con p ∈ Up tal que Up ∩M admite una parametrización (Vp . En estas condiciones podemos definir f (a) = f (a). Podemos suponer (v´ıa una traslación) que 0 ∈ Vp y ϕp (0) = p. . Supongamos que exista Up0 ⊆ Rn otra vecindad abierta de p tal que Up0 ∩ M admita una parametrización (Vp0 . una función de clase C sin embargo no sabemos responder sobra la diferenciabilidad de (ϕ0p )−1 : W → (ϕ0p )−1 (W ) ⊆ Rm puesto que ¡W no es un subconjunto abierto de Rn !. debe existir Up ⊆ Rn vecindad abierta de p tal que Up ∩ M admite una parametrización (Vp . ϕp ) de clase C k y dimensión m. 2. Vp0 ⊆ Rm y Wp0 ⊆ Rn−m con p ∈ Up0 . resulta natural indagar sobre la diferenciabilidad m → W ⊆ Rn es. por de los cambios de coordenadas. . xm (q)) y (ϕ0p )−1 (q) = (y1 (q). (1. M es una superficie de clase C k y dimensión m. Vp0 × Wp0 ) tal que ψp ◦ ϕp (x) = (x. ϕp0 ) de clase C k y dimensión m. 4. si (x. ϕp ) es una parametrización de clase C k y dimensi´ on m de Up0 ∩ M . probaremos que la definición anterior no depende de la parametrización elegida. Up0 ). luego π ◦ ψp : p = (π ◦ ψp ) Up0 Up0 Vp0 m → ∩M ϕp−1 k Up0 ∩M −1 ϕp es k es una extensión de y como π ◦ ψp es de clase C concluimos que . (1. A continuación. En particular los cambios de coordenadas son difeomorfismos de clase C . Las dos afirmaciones siguientes son equivalentes: 1. luego ψp (z) = ψp (ϕp (x)) = (x. 2. Inmediatamente se desprende que (Vp0 . y) → Vp0 π(x. por hipótesis ψp−1 ∈ Diff k (Vp0 × Wp0 . y) = x 7 → Claramente π V 0 ×{0} es la inversa de i.2 Sea M m ⊆ Rr una superficie de clase C k (k ≥ 1) y f : M → Rs . con p ∈ ϕp (Vp ) ⊆ M tal que f ◦ ϕp : Vp → Rs es diferenciable en el punto ϕ−1 p (p) ∈ Vp . existe parametrización (Vp . Sea (Wp .2. (2. Decimos que f es diferenciable en el punto p ∈ M si y sólo si existe una parametrización (Vp . Decimos que f es diferenciable en M si y sólo si f es diferenciable en p. con p ∈ ϕp (Vp ) ⊆ M tal que f ◦ ϕp : Vp → Rs es diferenciable en el punto ϕp−1 (p) ∈ Vp . Teorema 4.) Por hipótesis. se tiene que ϕ−1 .2. de clase C k en El teorema anterior nos permite extender el concepto de diferenciabilidad a funciones que están definidas en superficies.An´ alisis Real II 54 Observe que si z ∈ Up0 ∩ M entonces existe un x ∈ Vp0 tal que ϕp (x) = z. ϕp ) de clase C k y dimensión m. ψp ) otra k parametrización de clase C y dimensión m con p ∈ ψp (Wp ). con p ∈ ϕp (Vp ) ⊆ M se tiene que f ◦ ϕp : Vp → Rs es diferenciable en el punto ϕp−1 (p) ∈ Vp . 0) = ψp (ϕp (x)) ∈ ψp (Up0 ∩ M ). ϕp ) de clase C k y dimensión m. ⇒ 1. luego (x. 2. ϕp ) de clase C k y dimensión m. Observaci´ on: Con la notación del teorema anterior. sean i : Vp0 x → Vp0 × Wp0 7 → i(x) = (x. Defino ϕp : Vp0 → Up0 ∩ M p como ϕp = ψp−1 ◦ i. Para toda parametrización (Vp . 0) ∈ Vp0 × {0} es decir ψp (Up0 ∩ M ) ⊆ Vp0 × {0}. Debemos probar que f ◦ ψp : Wp → Rs es diferenciable en el punto ψp−1 (p). 0) ∈ Vp0 × {0} entonces ϕp (x) ∈ Up0 ∩ M . Por otro lado. Demostraci´ on. es decir Vp0 × {0} ⊆ ψp (Up0 ∩ M ). Vp0 × {0}). ⇒ 2. ∀ p ∈ M .1 Sea M m ⊆ Rr una superficie de clase C k (k ≥ 1) y f : M → Rs 1. . Definici´ on 4. 0) y π : Vp0 × Wp0 (x. se sigue que i ∈ Diff ∞ (Vp0 .) Dado p ∈ M . f es diferenciable en p ∈ M . 3 El Espacio Tangente a una Superficie Una caracter´ıstica importante de las superficies es que ellas poseen.) Trivial. Observaciones: 1. 2. tenemos f ◦ ψp = (f ◦ ϕp ) ◦ (ϕp−1 ◦ ψp ) : ψp−1 (V ) → Rs es diferenciable en ψp−1 (p). Como ϕp−1 ◦ ψp : ψp−1 (V ) → ϕ−1 p (V ) es un difeomorfismo de clase C . con p ∈ ϕp (Vp ) ⊆ M . Entonces Tp M = ϕ0p (a)(Rm ). Teorema 4. con p ∈ ϕp (Vp ) ⊆ M tal que f ◦ ϕp : Vp → Rs es de clase C j en Vp . ϕp ) una parametrización de clase C k y dimensión m. El conjunto tangente a M en el punto p. En efecto. luego ϕ−1 p (V ) y ψp (V ) son abiertos de k Rm .3. basta considerar el camino constante λ: I (0) → t 7→ M λ(t) = p Claramente λ es diferenciable en 0. con ϕp (Vp ) ⊆ M .1 Sea M m ⊆ Rr una superficie de clase C k (k ≥ 1) y p ∈ M . (2. p : ϕp (Vp ) → R 3. decimos que f es de Clase C j en M (1 ≤ j ≤ k) si y sólo si ∀ p ∈ M . en 0 tal que λ(0) = p y λ0 (0) = v} Observaci´ on: Tp M 6= ∅. Sean M m ⊆ Rr y N n ⊆ Rs superficies de clase C k y f : M → N . Entonces ϕ−1 es de clase C k en ϕp (Vp ). Decimos que f es diferenciable en p ∈ M si y sólo si f : M → Rs es diferenciable en p. La noción de función de clase C j definida en una superficie de clase C k (1 ≤ j ≤ k) es análoga a la definición de función diferenciable. sea M m ⊆ Rr una superficie de clase C k (k ≥ 1) y f : M → Rs . 4. ϕp ) de clase C k y dimensión m. una aproximaci´ on lineal que es su espacio tangente.An´ alisis Real II 55 −1 Observe que V = ϕp (Vp ) ∩ ψp (Wp ) 6= ∅ es un abierto en M . existe una parametrización (Vp . No es dif´ıcil probar que esta definición es independiente de la parametrización (Vp . ϕp ) una parametrización de clase C k y dimensión m m. λ(0) = p y λ0 (0) = 0. Definici´ on 4. ⇒ 1. luego 0 ∈ Tp M . en donde a = ϕp−1 (p).3. . En efecto. ϕp ) (¡Ejercicio!). Sea M m ⊆ Rr una superficie de clase C k y (Vp .1 Sea M m ⊆ Rr una superficie de clase C k (k ≥ 1). denotado por Tp M es definido como el conjunto Tp M = {v ∈ Rn : ∃ λ : I (0) → M dif. p ∈ M y (Vp . en cada uno de sus puntos. . Si M m ⊆ Rr una superficie de clase C k (k ≥ 1) y p ∈ M entonces Tp M es un R espacio vectorial de dimensión m. . ϕp ) es una parametrización de clase C k y dimensión m. . Más a´ un. . Sea M m ⊆ Rr una superficie de clase C k (k ≥ 1) y p ∈ M . ∂x1 ∂xm ∂y1 ∂ym Para hallar la matriz de cambio de bases consideremos el cambio de coordenadas −1 −1 ξ = ϕ−1 p ◦ ψp : ψp (ϕp (Vp ) ∩ ψp (Wp )) → ϕp (ϕp (Vp ) ∩ ψp (Wp )) el cual es un difeomorfismo de clase C k . con p ∈ ϕp (Vp ) ⊆ M entonces ∂ϕp ∂ϕp Tp M = ϕp0 (a)(e1 ). entonces ∂ϕp ∂ϕp ∂ψp ∂ψp Tp M = (a). como ϕp ◦ β = λ β = ϕ−1 p ◦ λ : I (0) → Vp . ∀ y ∈ ψp−1 (ϕp (Vp ) ∩ ψp (Wp )) entonces.An´ alisis Real II 56 Demostraci´ on. ξm ) y desde que ψp (y) = (ϕp ◦ξ)(y). por la regla de la cadena m X ∂ϕp ∂ξi ∂ψp (b) = (a) (b) ∂yj ∂x ∂y i j i=1 . . sea v ∈ Tp M entonces existe λ : I (0) → M diferenciable en 0 tal que λ(0) = p y no. ϕ0p (a)(em ) = (a). ϕp ) y (Wp . . . Denotemos a = ϕp−1 (p) y b = ψp−1 (p). λ(0) = p y λ0 (0) = lim t→0 λ(t) − λ(0) ϕp (a + tu) − ϕp (a) = lim =v t→0 t t luego v ∈ Tp M . β(0) = a y adem´ entonces por la regla de la cadena v = λ0 (0) = ϕ0p (β(0))β 0 (0) = ϕ0p (a)β 0 (0) Denotando u = β 0 (0) ∈ Rm tenemos que ϕ0p (a)(u) = v es decir v ∈ ϕ0p (a)(Rm ). luego Tp M ⊆ ϕp0 (a)(Rm ). Observaciones: 1. Si hacemos ξ = (ξ1 . . Tomando > 0 suficientemente peque˜ as. . Es decir ϕ0p (a)(Rm ) ⊆ Tp M . . . (b) . ∀ t ∈ I (0) y considero el camino Considero un > 0 suficientemente peque˜ λ: I (0) t → 7→ M λ(t) = ϕp (a + tu) Observe que λ es diferenciable en 0. . Se sigue que β es diferenciable en 0. Sea λ0 (0) = v. . . . si (Vp . entonces ∃ u ∈ Rm tal que v = ϕ0p (a)(u) = ∂ϕp ϕp (a + tu) − ϕp (a) (a) = lim t→0 ∂u t no tal que a + tu ∈ Vp . (a) y Tp M = (b). . . Si (Vp . Sea v ∈ ϕ0p (a)(Rm ). Por otro lado. 2. ψp ) son dos parametrizaciones de clase C k y dimensión m con p ∈ ϕp (Vp ) ⊆ M y p ∈ ψp (Wp ) ⊆ M . (a) ∂x1 ∂xm en donde a = ϕ−1 p (p). . podemos suponer que λ(I (0)) ⊆ ϕp (Vp ). . . En el caso que M = U un abierto. Vamos a demostrar que esto es as´ı. . . pero antes debemos verificar que esta definición no depende de la parametrización. ∀ v ∈ Tp M donde (Vp . No es dif´ıcil probar que f 0 (p) ∈ L(Tp M . sea M m ⊆ Rr una superficie de clase C k (k ≥ 1) y f : M m → Rs una función diferenciable en p ∈ M entonces la derivada f 0 (p) debe ser una transformación lineal de Tp M en Rs . Sea v ∈ Tp M entonces existe un u ńico v0 ∈ Rm tal que v = ϕp0 (a)(v0 ). Sean M m ⊆ Rr y N n ⊆ Rs dos superficies de clase C k (k ≥ 1) y f : M m → N n una función diferenciable en p ∈ M . es decir f 0 (p) ∈ L(Tp M. Rs ). Definici´ on 4. Rs ).3. En el caso general. Ser´ıa natural definir f 0 (p)(v) = (f ◦ ϕp )0 (a)(v0 ). Como el cambio de coordenadas ξ = ϕ−1 p ψp : m k −1 −1 ψ (b) = a. . luego 0 (f ◦ ψp )0 (b)(w0 ) = ((f ◦ ϕp ) ◦ ξ) (b)(w0 ) = (f ◦ ϕp )0 (a)ξ 0 (b)(w0 ) = (f ◦ ϕp )0 (a)(v0 ) luego la definición es independiente de la parametrización. Rs ). la parametrización es la identidad y la definición anterior coincide con la derivada de funciones definidas en abiertos de Rr . .1 Tp M = ϕ0p (a)(Rm ). 4. . Observaciones: 1. Si U ⊆ Rr es un abierto y p ∈ U entonces Tp U = Rr . ψp ) otra parametrización de clase C k y dimensión m con p ∈ ψp (Wp ) = W ⊆ M y denotemos b = ψp−1 (p). Sea (Wp . en este caso probaremos que f 0 (p) ∈ L(Tp M.3. Sea (Vp .An´ alisis Real II 57 Luego la matriz de cambio de bases es la matriz jacobiana ∂(ξ1 . La derivada de f en p. Sabemos que si U ⊆ Rr es un abierto y f : U → Rs es una función diferenciable en p ∈ U entonces f (p) ∈ L(Rr . 2. Tf (p) N ). ϕp ) es una parametrización de clase C k y dimensión m con p ∈ ϕp (Vp ). Si M 0 ⊆ Rr es una superficie de clase C k y p ∈ M entonces Tp M = {0}. a = ϕ−1 p (p) y v = ϕ0p (a)(v0 ). ξm ) (b) ∂(y1 . . por el Teorema 4. sea v ∈ Tp M . ym ) 3. nuevamente por el Teorema 4. . concluimos que v0 = ξ 0 (b)(w0 ).1 Tp M = ψp0 (b)(Rm ). tenemos ∩ W ⊆ R C y (V ) es de clase ϕ ψp (V ∩ W ) ⊆ Rm → ϕ−1 p p p 0 0 ϕ0p (a)(v0 ) = v = ψp0 (b)(w0 ) = (ϕp ◦ ξ) (b)(w0 ) = ϕ0p (ξ(b)) (ξ 0 (b)(w0 )) = ϕ0p (a) (ξ 0 (b)(w0 )) y desde que ϕ0p (a) es inyectiva. ϕp ) una parametrización de clase C k y dimensión m con p ∈ ϕp (Vp ) = V ⊆ M y denotemos a = ϕ−1 p (p).2 Sea M m ⊆ Rr una superficie de clase C k (k ≥ 1) y f : M m → Rs una función diferenciable en p ∈ M . luego existe un u ńico w0 ∈ Rm tal que v = ψp0 (b)(w0 ).3. es la función f 0 (p) : Tp M → Rs definida por f 0 (p)(v) = (f ◦ ϕp )0 (a)(v0 ). En efecto. . ∀ x ∈ f −1 (c). As´ı.1) p λ (0) = (f ϕp ) (a)(ϕp λ) (0) Pero −1 0 0 0 (ϕp )0 (a)(v0 ) = v = λ0 (0) = ϕp ◦ ϕ−1 p λ (0) = (ϕp ) (a) (ϕp λ) (0) luego v0 = (ϕp−1 λ)0 (0) y reemplazando en (4. Rn ) es sobreyectiva.. . hemos probado el siguiente criterio: “c ∈ Rn es un valor regular de f = (f1 . ϕp ) una parametrización de clase C k y dimensión m con p ∈ ϕp (Vp ) y denotemos a = ϕ−1 p (p). ∇fn (x) son linealmente independientes.4. Ejemplo 4. Sabemos que existe un u ńico v0 ∈ Rm tal que ϕ0p (a)(v0 ) = v. forma local de las sumersiones.An´ alisis Real II 58 entonces existe λ : I (0) → M diferenciable en 0 tal que λ(0) = p y λ0 (0) = v. Luego c ∈ R es un valor regular de f si y sólo si f 0 (x) 6= 0. ∀ x ∈ f −1 (c) si y sólo si ∇f (x) 6= θ. fn ) : U → Rn diferenciable en U . Rn ) es dada por   ∇f1 (x)  ∇f2 (x)  ∂(f1 . Dado x ∈ U la matriz asociada a f 0 (x) ∈ L(Rm . Rn ) es sobreyectiva si y sólo si el rango de Jf (x) es n si y sólo si ∇f1 (x). tomando > 0 suficientemente peque˜ no tal que λ(I (0)) ⊆ ϕp (Vp ) tenemos 0 0 −1 0 (f ◦ λ)0 (0) = f ϕp ◦ ϕ−1 (4. . diremos que existen resultados análogos a la regla de la cadena. fn ) : U ⊆ Rm → Rn si y sólo si ∇f1 (x). se sigue que (f ◦ λ)0 (0) ∈ Tf (p) N. . .4 Superficies Definidas Impl´ıcitamente Definici´ on 4. ∇fn (x) son linealmente independientes para todo x ∈ f −1 (c)”. Sea U ⊆ Rm un abierto y f = (f1 . Observaciones: 1. fn )   Jf (x) = (x) =   ∈ Rn×m . ∇fn (x) De esta manera f 0 (x) ∈ L(Rm . .1) tenemos (f ◦ λ)0 (0) = (f ◦ ϕp )0 (a)(v0 ) = f 0 (p)(v) es decir f 0 (p)(v) ∈ Tf (p) N . . ∀ x ∈ f −1 (c). . . . etc. . .4. . luego f ◦ λ : I (0) → N es diferenciable en 0 y (f ◦ λ)(0) = f (p). .1 Si f : U ⊆ Rm → R es diferenciable entonces f 0 (x) ∈ (Rm )∗ o es cero o es sobreyectiva. Para concluir la sección. ∂(x1 . . 2. . para funciones definidas en superficies. Sea (Vp . . Decimos que c ∈ Rn es un valor regular de f si y sólo si f 0 (x) ∈ L(Rm . xm )   . Teorema de la función inversa. . De la definición anterior se deduce que m ≥ n. 4. . . . . .1 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn una función diferenciable. . Si f −1 (c) = ∅ entonces c es un valor regular de f . y.3 Sea U ⊆ Rm un abierto y f ∈ C k (U . f (x)) claramente ϕ es un homeomorfismo entre U y G(f ). 1. f ∈ C k (U . existen abiertos Zp ⊆ U . 0. z) → 7 → 59 R2 f (x. afico de f . 0. y. y. Vp ⊆ Rm−n con p ∈ Zp . luego (U. 0) no son linealmente independientes. x) y sea c = (0. ϕ) es una parametrización de dimensión m y clase C k de G(f ). 0) = (1. 0) no es valor regular de f . y 2 − z 2 = 0} (dos rectas) En particular (0. f −1 (c) ⊆ Rm es una superficie de clase C k y codimensión n. donde ϕ: U x → 7 → G(f ) ϕ(x) = (x. Luego (0. 0) = (0. z) ∈ R3 : x = 0. Es claro que f −1 (c) = {(x. para todo x ∈ U . 0) y ∇f2 (0. ∀ p ∈ f −1 (c) Demostraci´ on. z 2 − y 2 = 1} Como Jf (x. Rn ) es sobreyectiva.4. En efecto. z) ∈ R3 : x = 1. Teorema 4. y. definido por Ejemplo 4. f (x)) ∈ Rm × Rn .4. x ∈ U } es una superficie de dimensión m y de clase C k de Rm+n . 1) y ∇f1 (0. Concluimos que (0. si c = (0. es decir ϕ es una inmersión de clase C k . p00 ) ∈ f −1 (c). basta considerar el par (U. z) = (x2 + y 2 − z 2 . z) = 2x 1 2y 0 −2z 0 (hipérbola) se sigue que ∇f1 (x) y f2 (x) son linealmente independientes para todo x ∈ f −1 (0. 0) ∈ f −1 (0. 1). y. desde que f 0 (p) ∈ L(Rm . 0) entonces f −1 (c) = {(x. 0.4. 1).2 Sea f: R3 (x. 2. ξp (x)) : x ∈ Vp } = Zp ∩ f −1 (c) . 1) es un valor regular de f . Tp f −1 (c) = Nu (f 0 (p)). ϕ). Rn ) entonces el gr´ G(f ) = {(x. Por otro lado. luego ϕ0 (x) es inyectiva. además I Jϕ(x) = ∈ R(m+n)×m Jf (x) es una matriz de rango m.1 Sea U ⊆ Rm un abierto. por el Teorema de la función impl´ıcita. Rn ) y c ∈ Rn un valor regular de f entonces 1.) Sea p = (p0 . 0.An´ alisis Real II Ejemplo 4. 0. p0 ∈ Vp y existe ξp : Vp → Rn función de clase C k tal que G(ξp ) = {(x.  Ai = (ai1 . An    . . luego por álgebra lineal m = dim Rm = dim Nu (f 0 (p)) + dim Im (f 0 (p)) = dim Nu (f 0 (p)) + n se sigue que dim Nu (f 0 (p)) = m − n. (Vp .4 (La esfera S n definida impl´ıcitamente) Sea f : Rn x R f (x) = kxk2 = x21 + · · · + x2n → 7→ Se sigue que ∇f (x) = 2x y por lo tanto 1 es valor regular de f .     H=  H1 H2 . Como f −1 (1) = S n−1 . hin ) luego SL(Rn ) = det−1 (1). . . Ejemplo 4. Rn ) es sobreyectiva. Ejemplo 4. Hi .. dado A ∈ det−1 (1) entonces debo probar que det0 (A) ∈ (Rn×n )∗ es sobreyectiva. . ∀ t ∈ I (0). Por otro lado se tiene que dim Tp f −1 (c) = m − n y f 0 (p) ∈ L(Rm .4. 2.4.An´ alisis Real II Sea ϕp : Vp x → 7 → 60 Zp ∩ f −1 (c) ϕp (x) = (x. . Hn    . . tenemos 0 = (f ◦ λ)0 (0) = f 0 (λ(0))(λ0 (0)) = f 0 (p)(v) Luego v ∈ Nu (f 0 (p)). . An ) i=1 en donde    A=  A1 A2 . ain ) y Hi = (hi1 . se sigue que S n−1 es una superficie de clase C ∞ y codimensión 1. . . es decir Tp f −1 (c) ⊆ Nu (f 0 (p)). ∀ p ∈ f −1 (c). Desde que f ◦ λ(t) = c. . . Afirmo que 1 es un valor regular de det : Rn×n → R. . .5 (El Grupo Especial Lineal SL(Rn )) Definimos el conjunto SL(Rn ) = {A ∈ GL(Rn ) : det(A) = 1} Recordemos que det : Rn×n → R es una función de clase C ∞ y además det 0 (A)(H) = n X det(A1 . . . As´ı f −1 (c) es una superficie de dimensión m − n y clase C k . Ai−1 .. es una parametrización de clase C k y dimensión m − n de Zp ∩ f −1 (c). Por el Ejemplo 4. . .1 es . Más a´ un ⊥ Tp S n−1 = Nu (f 0 (p)) = {h ∈ Rn : hp. Ai+1 . ξp (x)) luego como en el ejemplo anterior.4. . En efecto. ϕp ). As´ı Tp f −1 (c) = Nu (f 0 (p)).) Sea v ∈ Tp f −1 (c) entonces existe λ : I (0) → f −1 (c) diferenciable en 0 con λ(0) = p y λ0 (0) = v. hi = 0} = hpi . Att = A. denotada por At es definida por At = (aji ) ∈ Rn×n . 2 2 Observe que la u ´ltima propiedad implica que Rn×n = S(Rn ) ⊕ A(Rn ). 2.1 0 n TI (SL(R )) = Nu (det (I)). 6.4. 2 Dado A ∈ Rn×n se cumplen las siguientes propiedades: 1. ei−1 . Se cumplen las siguientes propiedades: 1. en ) = n X hii = traz(H) i=1 i=1 Por lo tanto TI (SL(Rn )) = {H ∈ Rn×n : traz(H) = 0}. denotado por O(Rn ) es definido por O(Rn ) = {A ∈ Rn×n : AAt = I} .4. la matriz transpuesta de A. Pero det 0 (I)(H) = n X det(e1 . A − At ∈ A(Rn ). . 3. 2 n dim R A(Rn ) = (n − 1). 3. El grupo ortonormal de Rn . .6 (El Grupo Ortogonal O(Rn )) Sea A = (aij ) ∈ Rn×n . (cA)t = cAt . . (A + B)t = At + B t . ahora bien dado A ∈ SL(Rn ) tenemos que det0 (A)(A) = n det(A) = n concluimos que det(A) = 6 0 y esto prueba la afirmación. kAt k = kAk. Una matriz A ∈ Rn×n se llama simétrica si y sólo si At = A y se llama antisimétrica si y sólo si At = −A. . AAt . ∀ A ∈ SL(Rn ). . . 4. 7. Denotemos A(Rn ) = {A ∈ Rn×n : A es simétrica } y S(Rn ) = {A ∈ Rn×n : A es antisimétrica } n Es fácil probar que A(Rn ) y S(Rn ) son subespacios vectoriales de Rn×n y dim R S(Rn ) = (n + 1). A + At ∈ S(Rn ).An´ alisis Real II 61 suficiente probar que det0 (A) 6= 0. (AB)t = B t At . . Concluimos que SL(Rn ) es una ∞ superficie de clase C y dimensión n2 − 1. 5. . Ejemplo 4. I t = I. 2. ∀ A ∈ Rn×n . desde que I ∈ SL(Rn ). Más a´ un. por el Teorema 4. ei+1 . Hi . A = 1 1 (A + At ) + (A − At ). A ∈ GL(Rn ) si y sólo si At ∈ GL(Rn ) y en caso afirmativo (At )−1 = (A−1 )t . Sea f : U ⊆ Rm → Rn de clase C k . tenemos el siguiente resultado. Más a´ un f es de clase C ∞ (¡Ejercicio!). ¡Ejercicio! . además krX (H)k kHH t k = ≤ kHk kHk kHk krX (H)k = Θ. Es claro que T ∈ L(Rn×n . Más 2 A ∈ Nu (f 0 (I)) ⇔ f 0 (I) = 0 ⇔ IAt + AI t = 0 ⇔ A + At = 0 ⇔ A = −At Se sigue que TI (O(Rn )) = Nu (f 0 (I)) = A(Rn ). ∀ x. kT (x) − T (y)k = kx − yk. sabemos que G(f ) = {(x. Afirmo que I es un valor regular de f .2 Toda superficie de clase C k es localmente el gráfico de una función de clase C k . Vamos a probar que O(Rn ) es una superficie de clase C ∞ y n dimensi´ on (n − 1). para H ∈ Rn×n tenemos f (X + H) = (X + H)(X + H)t = (X + H)(X t + H t ) = XX t + XH t + HX t + HH t = f (X) + T (H) + rX (H) donde T : Rn×n H → S(Rn ) 7→ T (H) = XH t + HX t y rX (H) = HH t . f (x)) : x ∈ U } es una superficie. S(Rn )). pero no toda superficie es el gráfico de una función (por ejemplo S n−1 es una superficie que no es un gráfico). H ∈ kHk Rn×n . Dada B ∈ S(Rn ) 1 considero A = BX. S(Rn )) es sobreyectiva. Se sigue que O(Rn ) es una superficie de clase C ∞ y dimensión a´ un O(Rn ) = f −1 (I) es compacto. y ∈ Rn ) si y sólo si su matriz asociada con respecto a la base can´ onica de Rn . luego 2 luego lim H→Θ f 0 (X)(A) = 1 1 1 1 XX t B t + BXX t = B + B = B 2 2 2 2 esto prueba la afirmación. Concluimos que f es diferenciable en X y f 0 (X)(H) = XH t + HX t . Demostraci´ on. sea −1 X ∈ f (I) = O(Rn ). debo probar que f 0 (X) ∈ L(Rn×n .4. Sin embargo. ∀ X.e. En efecto. Por otro lado n (n − 1). Teorema 4. Consideremos la función 2 n f : Rn×n X → S(Rn ) ' R 2 (n+1) 7→ f (X) = XX t Afirmo que f es diferenciable en Rn×n .An´ alisis Real II 62 Se cumple que O(Rn ) es un subgrupo de GL(Rn ) (¡Ejercicio!) Sea T ∈ L(Rn ) se cumple que T es una isometr´ıa (i. En efecto. sea X ∈ Rn×n . es ortogonal (¡Ejercicio!). Si p ∈ M es un extremo local de f M entonces p es un punto cr´ıtico de f M .1 Sea U ⊆ Rm abierto M r ⊆ U una superficie de clase C k (k ≥ 1) y f : U → R una funci´ on diferenciable en U .2 Sea U ⊆ Rm abierto M r ⊆ U una superficie de clase C k (k ≥ 1) y f : U → R una funci´ on diferenciable en U . (2. vi = 0. Decimos que x0 ∈ A es un m´ (respectivamente m´ınimo local) de f X : X → R si y sólo si ∃ δ > 0 tal que f (x) ≤ f (x0 ) (respectivamente f (x) ≥ f (x0 )).5.5. Las dos afirmaciones siguientes son equivalentes: 1.5.) Sea v ∈ Tp M . f : U → R y X ⊆ U . luego 0 es máximo local de f ◦ λ. entonces existe λ : I (0) → M diferenciable en 0 con λ(0) = p y λ0 (0) = v. ∀ v ∈ Tp M . M r ⊆ U una superficie de clase C k (k ≥ 1) y f : U → R una función diferenciable en U . λ0 (0)i = ∇(f ◦ λ)(0) = 0 (1. con λ(0) = p y consideremos f ◦ λI (0) → R.5 63 Multiplicadores de Lagrange aximo local Definici´ on 4. Decimos que p ∈ M es un punto cr´ıtico de f M : M → R si y sólo si h∇f (p). Demostraci´ on. Definici´ on 4. Definici´ on 4. vi = 0. vi = 0. Es posible caracterizar los punto cr´ıticos de una función f M : M → R cuando M es una superficie obtenida como preimagen de un valor regular. ⇒ 2.5. luego h∇f (p). luego λ0 (0) ∈ Tp M y por la regla de la cadena ∇(f ◦ λ)(0) = h∇f (λ(0)). (f ◦ λ)0 (0) = 0. para toda curva λ : I (0) → M diferenciable en 0 con λ(0) = p. El espacio normal a M en el punto p ∈ M . ∀ x ∈ Bδ (p) ∩ M . vi = h∇f (λ(0)). entonces existe un δ > 0 tal que f (x) ≤ f (p). Considero λ : I (0) → Bδ (p) ∩ M diferenciable en 0. luego p ∈ M es un punto cr´ıtico de f M . Teorema 4.2 Sea U ⊆ Rm un abierto.) Sea λ : I (0) → M diferenciable en 0 con λ(0) = p. Demostraci´ on. p ∈ M es un punto cr´ıtico de f M . es definido como Tp M ⊥ = {w ∈ Rm : hw.An´ alisis Real II 4. ⇒ 1. Teorema 4. entonces (f ◦ λ)(t) = f (λ(t)) ≤ f (p) = (f ◦ λ)(0). denotado por Tp M ⊥ . Sea p ∈ M un máximo local de f M . 2.5. Observaci´ on: Cuando M = U un abierto se tiene que p es un punto cr´ıtico de f si y sólo si h∇f (p). ∀ v ∈ Tp U = Rm si y sólo si f 0 (p) = 0. λ0 (0)i = h∇f (p). Para ello necesitamos un concepto previo. vi = 0. la cual es la definición usual de punto cr´ıtico que se estudia en el c´ alculo. luego (f ◦ λ)0 (0) = 0 y por lo tanto p es un punto cr´ıtico de f M . ∀ v ∈ Tp M } .3 Sea M r ⊆ Rm una superficie de clase C k (k ≥ 1).1 Sea U ⊆ Rm un abierto. ∀ x ∈ Bδ (x0 ) ∩ X. z)) = (x2 + y 2 . 2. ∇g2 (p). Observaci´ on. . ∇gn (p)i si y sólo si existen λ1 . concluimos el siguiente resultado: Si M = g −1 (c) entonces Tp M ⊥ = h∇g1 (p). . . ∀ t ∈ I (0). λn ∈ R tales que ∇f (p) = λ1 ∇g1 (p) + · · · + λn ∇gn (p). . consideramos la función g : R3 → R2 definida por g(x. sea U ⊆ Rm un abierto. m − n. En efecto. λn son llamados multiplicadores de Lagrange. c ∈ Rn un valor regular de g y denotemos M = g −1 (c). z) = x + y + z bajo las condiciones 2 x + y2 = 2 x+z =1 Para ello. . . . Se cumple que p ∈ M es un punto cr´ıtico de f M : M → R si y sólo si existen λ1 . . z) = (g1 (x. 4. más a´ un Tp M = Nu (g 0 (p)). observe que (gj ◦ λ)(t) = cj . vi = 0. . Los n´ umero reales λ1 . ∀ v ∈ Tp M . . . . es sencillo determinar una base de Tp M ⊥ . p ∈ M es un punto cr´ıtico de f M : M → R si y sólo si h∇f (p). . Los elementos de Tp M ⊥ son llamados vectores normales a M en el punto p. . y. ∇gn (p) son linealmente independientes y dim Tp M ⊥ = n. Pero desde que ∇g1 (p). Ejemplo 4. .5. .3 (Multiplicadores de Lagrange) Sea U ⊆ Rm abierto. ∀ 1 ≤ j ≤ n. ∀ p ∈ M . gn ) ∈ C 1 (U. . g2 (x. Rn ). con λ(0) = p y λ0 (0) = v. . . f : U → R una función diferenciable en U . . . Rn ) (con k ≥ 1) y c = (c1 . Teorema 4. . λn ∈ R tales que ∇f (p) = λ1 ∇g1 (p) + λ2 ∇g2 (p) + · · · + λn ∇gn (p) Demostraci´ on.An´ alisis Real II 64 Observaciones: 1. vi = h∇gj (λ(0)). ∀ 1 ≤ j ≤ n. . cn ) ∈ Rn un valor regular de g. gn ) entonces dado v ∈ Tp M . g ∈ C k (U. . Tp M ⊥ es un subespacio vectorial de Rm . y. . . x + z) . z).5. y. . Sabemos que M = g −1 (c) ⊆ U es una superficie de clase C k y dimensión un. . ∀1≤j≤n Por lo tanto h∇gj (p). vi = 0.1 Vamos a determinar los extremos locales de f (x. De la u ´ltima observación. . se desprende inmediatamente el siguiente criterio para determinar puntos cr´ıticos. ∇gn (p)i . . . 3. si g = (g1 . g = (g1 . . entonces ∇gj (p) ∈ Tp M ⊥ . dim Tp M ⊥ = m − r = cod(M ). ∀ v ∈ Tp M si y sólo si ∇f (p) ∈ Tp M ⊥ = h∇g1 (p). ∇g2 (p). Más a´ existe λ : I (0) → M diferenciable en 0. y. Cuando M es una superficie obtenida como preimagen de un valor regular. . luego: h∇gj (p). λ0 (0)i = (gj ◦ λ)0 (0) = 0. . . . −2y) = (0. 0) si y sólo si x = 0 y y = 0. y. z) = (1. z) son linealmente dependientes si y sólo si (2y. − 2. z) ∈ / g −1 (2. 1) = λ1 (2x. z) ∈ M y existen constantes λ1 . (2. 0. λ2 ∈ R tales que ∇f (x. 1) es un valor regular de g y por consiguiente M ⊆ R3 es una ∞ superficie de dimensión 1 y clase C . y. y. z) = (2x. −2x. z) ∈ M y existen constantes λ1 . y. 0. z) y ∇g2 (x. z) × ∇g2 (x. z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 2 y x + z = 1}. −2x. 1). z) + λ2 ∇g2 (x. 0. 1). Observe que j k i ∇g1 (x. Por otro lado (x. −2y) 1 0 1 Se sigue que ∇g1 (x. y. De aqu´ı. 1) y (0. 0) + λ2 (1.An´ alisis Real II 65 Claramente ∇g1 (x. . 2. z) = λ1 ∇g1 (x. 0) y ∇g2 (x. 1) = {(x. Como M = g −1 (2. y. z) es un punto cr´ıtico de f M : M → R si y sólo si (x. y. y. 2y. z) = 2x 2y 0 = (2y. y. z) si y sólo si (x. 1) si y sólo si 2λ1 x + λ2 = 1 2λ1 y = 1 λ2 = 1 2 2 x +y =2 x+z =1 √ √ Resolviendo el sistema anterior tenemos que los puntos cr´ıticos de f son (0. y. λ2 ∈ R tales que (1. claramente (0. y. 1. y. 2y. 1). 0. y. ]a. b]. i=1 Para propósitos posteriores. etc.1 La Definici´ on de Integral sobre m-bloques Primeramente introducimos la notación necesaria. denotado i=1 por vol (B) se define como el producto de las longitudes de los intervalos Ii . Si B = m Y Ii es un m-bloque acotado. acotado.). acotados. i=1 Si I ⊆ R es un intervalo acotado (es decir. vamos a admitir que uno o más de los intervalos Ii conste de un sólo m Y punto. el volumen m-dimensional o simplemente volumen de B. cerrados. cerrado. compacto. es decir vol (B) = m Y i=1 66 vol (Ii ). del tipo [a. compactos. En este caso. el volumen unidimensional o longitud vol (I) de I.Cap´ıtulo 5 Integrales M´ ultiples 5. decimos que B = Ii es un m-bloque degenerado. . . . i=1 Si todo los intervalos Ii son abiertos (resp. b]. b[ o inclusive [a]). diremos que el m-bloque m Y B= Ii es abierto (resp. .cubo. es decir B = I1 × I2 × · · · × Im = m Y Ii . etc. [a. .) Si todos los intervalos Ii tienen la misma i=1 longitud. b[. Im . ]a. Decimos que B ⊆ Rm es un bloque m-dimensional o simplemente m-bloque si y sólo si B es producto cartesiano de m intervalos I1 . entonces B = m Y Ii es llamado m. se define por vol (I) = b − a. .. El volumen de un m-bloque degenerado es cero. . denotada por kP k es definida como kP k = max{kPi k : 1 ≤ i ≤ m} 3.jm y llamaremos m-subbloque generado por P ∈ P(B). paralelep´ıpedo y su volumen vol (B) pasa a ser llamado longitud. tiene volumen (m-dimensional) cero. rectángulo. Sea P = P1 × · · · × Pm ∈ P(B).1. Sean P = P1 × · · · × Pm . bi ]). área y volumen. bi ] un m-bloque compacto. Las 0-caras son llamadas vértices del m-bloque.. La norma de P .j2 × · · · × Im. Observaciones: 1. escribiremos . bi ]) entonces I1. respectivamente. Para m = 1. . bi ]). Decimos que Q es un refinamiento de P si y sólo si Pi ⊆ Qi .1 < · · · < ti. 3.jm es un m-bloque contenido en B.An´ alisis Real II 67 Observaciones: 1. .0 < ti. Sea P = P1 × · · · × Pm ∈ P(B) donde Pi = {ai = ti. con 1 ≤ i ≤ k = k1 · · · km . Una cara (m − 1)- dimensional o simplemente (m − 1)-cara de B es un producto cartesiano del tipo I1 × · · · × Ik−1 × {ak } × Ik+1 × · · · × Im ó I1 × · · · × Ik−1 × {bk } × Ik+1 × · · · × Im donde k = 1. 3 entonces el m-bloque B se denomina respectivamente intervalo.ji ] (1 ≤ ji ≤ ki ) al ji -ésimo intervalo generado por Pi ∈ P([ai . ti. (1 ≤ i ≤ m) Si denotamos por Ii. Definici´ on 5. 2. De manera análoga se definen las (m − k)-caras (k = 2. 2. Si m = 1. i=1 1. m. ∀ 1 ≤ i ≤ m. . 2. En muchas ocasiones es conveniente enumerar consecutivamente a estos subbloques y denotarlos por Bi . . 2. Denotaremos por P(B) al conjunto de todas las particiones del m-bloque cerrado B.. una (m − 1)-cara es un extremo del intervalo. Q = Q1 × · · · × Qm ∈ P(B). En cualquier caso. un lado del rectángulo o una cara del paralelep´ıpedo. Sea B = m Y i=1 Ii un m-bloque acotado. .ki = bi } ∈ P([ai . ∀ 1 ≤ i ≤ m. al cual denotaremos por Bj1 . Una partici´ on P de B es un producto cartesiano P = P1 × · · · × Pm donde Pi ∈ P([ai .1 Sea B = m Y [a1 . 2.j1 × I2. bi . donde Ii es un intervalo de extremos ai .ji = [ti. . m) de un m-bloque. Es claro que toda (m − 1)-cara de un m-bloque.ji −1 . i=1 2. sin embargo P ∪ Q no es una partición de [0. Es claro que vol (B) = k X vol (Bi ). 1/2. 1/2.. 1} y Q = {0. . 1}×{0. P ) : P ∈ P(B)} B En muchas ocasiones. P ) = i i Es claro que m(f ) vol (B) ≤ L(f.. 3. P ) : P ∈ P(B)} ZB f (x)dx = sup{L(f. Sean P = P1 × · · · × Pm . ∀ x ∈ B. Q = Q1 × · · · × Qm ∈ P(B). ∀ x ∈ B.An´ alisis Real II 68 P = {Bj1 .. ∀ P ∈ P(B) La Integral Superior y la Integral Inferior de una función acotada f : B → R se definen respectivamente como Z f (x)dx = inf{U (f. 1]. 1}×{0. denotaremos P + Q = (P1 ∪ Q1 ) ∪ (P2 ∪ Q2 ) ∪ · · · ∪ (Pm ∪ Qm ) Es claro que P + Q ∈ P(B) y P + Q es un refinamiento com´ un de P y Q. Q ∈ P(B) entonces P ∪ Q no necesariamente es una partición de B.. 1]×[0. respectivamente. Si P = {Bi } ∈ P(B). 1}. P ) ≤ M (f ) vol (B). P ) = Mi (f ) vol (Bi ) mi (f ) vol (Bi ) y U (f. denotamos mi (f ) = inf{f (x) : x ∈ Bi } y Mi (f ) = sup{f (x) : x ∈ Bi } Se cumple m(f ) ≤ mi (f ) ≤ f (x) ≤ Mi (f ) ≤ M (f ). ∀i La suma inferior y la suma superior de f relativa a la partición P se definen respectivamente como X X L(f. P ) ≤ U (f.jm } ó P = {Bi } ∈ P(B) para decir que los Bj1 ...jm (o los Bi ) son los subbloques generados por la partición P .. bi ] un m-bloque compacto y f : B → R una función acotada. Sea B = m Y i=1 [a1 . En efecto.. denotaremos Z f y B Z B f en vez de Z f (x)dx y B Z B f (x)dx. (es decir P ⊆ P + Q y Q ⊆ P + Q). Es claro que P y Q son particiones de [0. considere P = {0. 1]. 1] × [0. Si P. denotemos m(f ) = inf{f (x) : x ∈ B} y M (f ) = sup{f (x) : x ∈ B} Es claro que m(f ) ≤ f (x) ≤ M (f ). J ) + m∗∗ i. Pm = Qm . . P ) ≤ U (f. Si P1 = {a1 = t0 < .J (f ) vol (Bi. P2 = Q2 .i2 . ∀ J} ∪ {[ti−1 . 1 ≤ i1 ≤ k1 .J (f ) vol (Bi. Q ∈ P(B) y f : B → R una función acotada. Q = Q1 × · · · × Qm ∈ P(B) donde Q es un refinamiento de P . Corolario 1.J (f ) vol (Bi1 . Se cumple L(f.J (f ) = inf{f (x) : x ∈ [ti−1 . Q) ≤ U (f... 1 ≤ i1 6= i ≤ k1 . .J (f ) vol (Bi. . P ) ≤ L(f. De esta manera tenemos P Q = {Ii1 × BJ .J (f ) = inf{f (x) : x ∈ [t .J (f ) vol (Bi.J ) +  mi1 .J ) J     X i1 6=i X i1 6=i L(f... .J (f ) vol (Bi1 . luego Q1 = {a1 = t0 < t1 < .J y de aqu´ı mi. Sea B un m-bloque compacto y f : B → R una función acotada. . luego P1 ⊆ Q1 .J ) + X mi. Q) ∀ P. .J ) + mi. [t∗ . . .J (f ) vol (Bi1 . ∀ J} Si denotamos m∗i.. Sean P = P1 × · · · × Pm . ti ] × BJ .J (f ). Sabemos que un m-subbloque de la partición P es del tipo Bi1 . k1 } tal que ti−1 < t∗ < ti . .J (f ) vol (Bi. .J ) ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ mi. t∗ ] × BJ } ∗ m∗∗ i. im ). ti ] × BJ } y es claro que se cumplen las siguientes desigualdades ∗∗ (f ) mi.J (f ) vol (Bi. t∗ ] × BJ . ∀ J} = {Ii1 × BJ .. . Pm ⊆ Qm . Es suficiente considerar el caso en que Q1 = P1 ∪ {t∗ }. .An´ alisis Real II 69 Teorema 5.J (f ) vol (Bi. P ). . Q) y U (f.J ) Luego: L(f. . Si Q es un refinamiento de P entonces L(f..J (f ) ≤ m∗i.1. Demostraci´ on..J ) = ≤ ∗ ∗∗ mi.J ) J La otra desigualdad se demuetra de manera análoga. Q ∈ P(B).J ) + mi. . . . < ti−1 < t∗ < ti < · · · < tkn = b1 }.1 Sea B un m-bloque cerrado. mi.im = Ii1 × BJ donde J = (i2 .im = Ii1 × Ii2 × · · · × Iim = Ii1 × Bi2 . < tk1 = b1 } entonces existe i ∈ {1. Q)  mi1 .J ) J X ∗ ∗∗ m∗i.J (f ) vol (Bi. P. . . . . P ) = XX i1 = X J ≤ = X J mi1 . f = sup{L(f. Q) Corolario 2. P ) : P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0 } ⊆ {L(f. Q). P ) L(f. P0 + P1 ) ≤ sup A < L(f. Entonces Z ZB f = inf{U (f. Sean P. Es suficiente probar que ∀ P. ∀ Q ∈ P(B) De aqu´ı se sigue el resultado. Pero P0 + P1 ∈ P(B) es un refinamiento de P0 . P ) ≤ B Demostraci´ on. P ). Sea B un m-bloque compacto. Luego Z B Z B f ≤ B Z B f . P0 + P1 ) lo cual es absurdo. Corolario 3. P1 ). Es claro que A = {L(f.) luego existe P1 ∈ P(B) tal que sup A < L(f. P ) : P ∈ P(B)} ≤ U (f. Definici´ on 5. P + Q) ≤ U (f. P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0 } f = sup{L(f. Esta contradicción prueba el resultado. luego L(f. Del teorema anterior se tiene: L(f. la demostración de la primera es similar.1. Probaremos sólo la segunda igualdad. Aux. P ) ≤ U (f. Se cumple: Z Z f≤ f ≤ U (f. Decimos que f es Riemann integrable sobre B si y sólo si Z Z f= f B B . Del Corolario 1 tenemos L(f. P + Q) ≤ U (f. f : B → R una función acotada y P0 ∈ P(B) (fija. Q ∈ P(B). P ) ≤ L(f. Q ∈ P(B). P ). arbitraria). f : B → R una función acotada. f : B → R una función acotada.2 Sea B un m-bloque compacto. P1 ) ≤ L(f. P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0 } B Demostraci´ on. sabemos que P + Q ∈ P(B) es un refinamiento com´ un de P y Q. Sea B un m-bloque compacto.An´ alisis Real II 70 Demostraci´ on. P ) : P ∈ P(B)} Luego sup A ≤ Supongamos que sup A < Z B Z f B f (Hip. Q). P ) − ≤ U (f. P ) + 2 2 2 2 B B As´ı. P ) B En efecto. y ∈ X} . denotada por ω(f. P2 ). por hipótesis existe P = P () ∈ P(B) tal que U (f. P ) − L(f. Teorema 5.An´ alisis Real II Si f es integrable sobre B entonces la integral de Riemann sobre B. P ) : P ∈ P(B)} Z Z f + y existe P2 ∈ P(B) tal que f − < L(f. Si f ∈ R(B) entonces por el Corolario 3 se tiene que Z ∀ P ∈ P(B) L(f. la cual usa el concepto de oscilación.1. La oscilaci´ X. existe P1 ∈ P(B) tal que U (f.1.3 Sea X ⊆ Rm y f : X → R una función acotada. Demostraci´ on. Por el Corolario 3 al Teorema 5. Observaci´ on: Sea B un m-bloque compacto. (⇐) Dado > 0. P2 ) + ≤ L(f. P ) < B Se sigue que Z B f= Z B f. B Existe otra caracterización de función Riemann integrable. existe P ∈ P(B) tal que U (f. on de f sobre el conjunto Definici´ on 5. denotada por Z f (x)dx ´ o B define como Z f= B Z f= Z Z 71 f se B f B B Denotaremos por R(B) al conjunto de todas las funciones Riemann integrables sobre B. Se cumple f ∈ R(B) si y sólo si dado > 0. f : B → R una función acotada. P ) < . P ) : P ∈ P(B)} = sup{L(f. X) es definida como ω(f.1 tenemos que Z Z 0≤ f − f ≤ U (f.2 Sea B un m-bloque compacto y f : B → R una función acotada. P ) < .1. P ) − L(f. esto se deduce inmediatamente del Corolario 3. P1 ) − < f < L(f. P1 ) < 2 2 B B Tomando P = P1 + P2 tenemos Z U (f. P ) ≤ f ≤ U (f. P ) < . P ) − L(f. (⇒) Por hipótesis luego Z Z f= B Z B f= Z f B f = inf{U (f. X) = sup{|f (x) − f (y)| : x. existe P = P () ∈ P(B) tal que U (f. Dado > 0. P ) − L(f. Si f (x) < f (y) entonces |f (x) − f (y)| = f (y) − f (x) ≤ MX (f ) − mX (f ).1.2 y la parte 3 de la proposición anterior. X) + mX (f ) < f (x0 ). Se cumple f ∈ R(B) si y ω(f. luego existe un y0 ∈ X tal que f (y0 ) < f (x0 ) − ω(f. ∀ x. X) lo cual es una contradicción. En cualquier caso se tiene que |f (x) − f (y)| ≤ MX (f ) − mX (f ).1.) De la definición y la parte 1. Bi ) vol (Bi ) < . sólo si dado > 0.1. Supongamos que ω(f.4 Si B un m-bloque compacto entonces C(B) ⊆ R(B).) es evidente. X) < MX (f ) − mX (f ) (Hip. cosideremos dos casos: Si f (x) ≥ f (y) entonces |f (x) − f (y)| = f (x) − f (y) ≤ MX (f ) − mX (f ). para x. se sigue que mX (f ) < f (x0 ) − ω(f. y ∈ X. y ∈ X. X). X). X) < f (x0 ) − f (y0 ) ≤ |f (x0 ) − f (y0 )| ≤ ω(f. f : B → R unaX función acotada. Corolario. Bi ) vol (Bi ) i Demostraci´ on. P ) = mi (f ) vol (Bi ) = Mi (f ) vol (Bi ) − i = X i i ω(f. As´ı ω(f.3 Sea X ⊆ Rm y f : X → R una funci´ on acotada. Si P = {Bi } ∈ P(B) entonces U (f. Demostraci´ on. P ) = X ω(f. 3. kx − yk < δ entonces |f (x) − f (y)| < 2 vol (B) δ Si tomamos P = {Bi } ∈ P(B) con kP k < √ . P ) − L(f. P ) − L(f. luego existe un x0 ∈ X tal que ω(f. Si mX (f ) = inf{f (x) : x ∈ X} y MX (f ) = sup{f (x) : x ∈ X} entonces ω(f. tenemos X X X [Mi (f ) − mi (f )] vol (Bi ) U (f.An´ alisis Real II 72 Proposici´ on 5. es decir ω(f. Y ) ≤ ω(f. luego dado > 0 ∃ δ > 0 tal que si x. X) = MX (f ) − mX (f ) 2. Sea B un m-bloque compacto. Sea f ∈ C(B) entonces f es u. X) + mX (f ) < MX (f ). y ∈ Bi se cumple m kx − yk2 = m X j=1 |xj − yj |2 < m X j=1 kPj k2 ≤ mkP k2 < δ 2 . y ∈ B y . Bi ) vol (Bi ) i lo cual prueba el resultado.) entonces ω(f. se cumple: 1. X).) Sean x. Aux. 3. c. 1. en B. X) ≤ MX (f ) − mX (f ). La parte 2. Si Y ⊆ X entonces ω(f. Consecuencia directa del Teorema 5. existe P = P () = {Bi } ∈ P(B) tal que i Demostraci´ on. Teorema 5. An´ alisis Real II 73 Luego |f (x) − f (y)| < . i 5. P ∈ P(B)} = c f = c B B An´ alogamente Z cf = c B Z B f . Bi ) vol (Bi ) < . P ) = c U (f. P ) = mi (cf ) vol (Bi ) = c mi (f ) vol (Bi ) = c L(f. ∀ x. P ∈ P(B)} = c · sup{L(f. L(1. Bi ) < y por lo tanto 2 vol (B) vol (B) X ω(f. B Teorema 5. Sea P = {Bi } ∈ P(B). f ∈ R(B) y c ∈ R. De esta manera f ∈ R(B). P ) = vol (Bi ) = vol (B) y U (1. P ). Entonces cf ∈ R(B) y Z Z cf = c f B B Demostraci´ on. P ). P ). P ) i i An´ alogamente U (cf.2 Si B un m-bloque compacto. Se sigue que cf ∈ R(B) y Z B cf = c Z B f. Dado P = {Bi } ∈ P(B). P ) = i Se sigue que f ∈ R(B) y Z i 1 = vol (B). Si c ≥ 0 entonces mi (cf ) = inf{(cf )(x) : x ∈ Bi } = c · inf{f (x) : x ∈ Bi } = c · mi (f ) An´ alogamente Mi (cf ) = c · Mi (f ).2 Propiedades B´ asicas de la Integral sobre m-Bloques Compactos Teorema 5. Por lo tanto Z Z Z f cf = sup{L(cf. Luego X X L(cf.1 Si B un m-bloque compacto y f: entonces f ∈ R(B) y B x Z → 7 → R f (x) = 1 1 = vol (B) B Demostraci´ on. y ∈ Bi lo cual implica que ω(f.2. se cumple X X vol (Bi ) = vol (B).2. B . 2. Dado x ∈ Bi se cumple mi (f ) + mi (g) ≤ f (x) + g(x) = (f + g)(x) luego mi (f ) + mi (g) ≤ mi (f + g). R(B) → R f 7→ Γ(f ) = Z B f . B Demostraci´ on. B Teorema 5. P ) = X i = mi (f + g) vol (Bi ) ≥ L(f.1 Si B un m-bloque compacto y f. P ) ≤ Se sigue que Z B (f + g) ≥ Z f+ B Z mi (g) vol (Bi ) i Z (f + g) B g. 1. luego L(f.) Sea P = {Bi } ∈ P(B). B 2. Por hipótesis y el lema anterior Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z f+ g≤ (f + g) ≤ g= (f + g) ≤ f+ g= g f+ f+ B B B Se sigue que f + g ∈ R(B) y B Z B B (f + g) = B Z f+ B Z B B B B g. P2 ∈ P(B) y P = P1 + P2 . k X X mi (f ) vol (Bi ) + i ∀ P ∈ P(B) Sean P1 . B Observaci´ on: Los resultados anteriores nos dice que R(B) es un R-espacio vectorial y el operador Γ: es un funcional lineal. P1 ) + L(g. P ) + L(g. 1. g : B → R son funciones acotadas entonces se cumple Z Z Z (f + g) ≥ f + g. ∀i Por tanto L(f + g.An´ alisis Real II 74 Lema 5. g ∈ R(B) entonces f + g ∈ R(B) y Z Z Z f+ g (f + g) = B B B Demostraci´ on. P ). Z B B (f + g) ≤ Z B f+ B Z g.2.3 Si B un m-bloque compacto y f. P ) ≤ L(f + g. P2 ) ≤ L(f. P ) + L(g. denotadas respectivamente por f + .2. 4. Sea P = {Bi } ∈ P(B).An´ alisis Real II 75 Teorema 5.1 Sea X ⊆ Rm y f. g(x)} y min{f. g(x)}. g} : X → R definidas por max{f. Definici´ on 5. g}. g}(x) = min{f (x). g} = f− = 1 (f + g − |f − g|) 2 1 (|f | − f ) 2 . 0} y f − = − min{f. es decir si f. B Observaciones: 1. Si B un m-bloque compacto y f ∈ R(B) es tal que f (x) ≥ 0. f − son las funciones f + . 3. g}(x) = max{f (x). f + y f − son funciones no negativas. La parte positiva de f y la parte negativa de f .4 Si B un m-bloque compacto y f. ∀ x ∈ B entonces Z Z f≤ g B B Demostraci´ on. 2. P ) = mi (f ) vol (Bi ) ≤ mi (g) vol (Bi ) = L(g. Se sigue que Z Z X X L(f. luego mi (f ) ≤ mi (g). ∀ x ∈ B entonces Z B f ≥ 0. P ) ≤ g= g. El operador Γ : R(B) → R es monótono. y min{f. y el m´ınimo de f y g son las funciones max{f. 0} Observaciones: 1. g ∈ R(B) tales que f (x) ≤ g(x). f = f + − f − . De las definiciones de máximo y m´ınimo se sigue directamente que: max{f. g ∈ R(B) con f ≤ g entonces Γ(f ) ≤ Γ(g). g} = 1 (f + g + |f − g|) y 2 luego f+ = 1 (f + |f |) 2 2. f − : X → R definidas por f + = max{f. min{f.2. Para x ∈ Bi se cumple que mi (f ) ≤ f (x) ≤ g(x). ∀ P ∈ P(B) i esto implica que Z B B i f≤ Z B g. El m´ aximo de f y g. |f | = f + + f − . g : X → R 1. ∀ x ∈ X 2. P ) ≤ U (f. f + · f − = 0. P )]. Sea P = {Bi } ∈ P(B). g ∈ R(B) entonces 1. P ) < y U (f − . En este caso Mi (f + ) = Mi (f ). P ) < Luego f + .An´ alisis Real II 76 5. Multiplicando la igualdad por vol (Bi ) y sumando sobre i. Caso 2: Mi (f ) ≤ 0. P ) − L(f. 6. P ) − L(f − . P ) − L(f + . Mi (f − ) = −mi (f ) y mi (f − ) = 0. Caso 3: mi (f ) < 0 < Mi (f ). mi (f + ) = mi (f ). f − ∈ R(B) Demostraci´ on. ∀ P ∈ P(B) Demostraci´ on. P ) − L(f. el lema se sigue. mi (f + ) = 0. Lema 5. (⇐) Si f + . Afirmo que Mi (f ) − mi (f ) = Mi (f + ) − mi (f + ) + Mi (f − ) − mi (f − ) En efecto. Mi (f − ) = mi (f − ) = 0 y la igualdad se cumple trivialmente. Teorema 5.2. mi (f − ) = −Mi (f ). 7. f ≤ 0 ⇒ f + = 0 y f − = −f . P ) − L(f.5 Si B es un m-bloque compacto y f : B → R es una función acotada. P )] + [U (f − . consideremos tres casos: Caso 1: mi (f ) ≥ 0. P ) − L(f + . f ≥ 0 ⇒ f + = f y f − = 0. luego Mi (f ) − mi (f ) = Mi (f + ) + Mi (f − ) = Mi (f + ) − mi (f + ) + Mi (f − ) − mi (f − ) lo cual prueba la afirmación.2 Si B un m-bloque compacto y f : B → R una función acotada entonces se cumple U (f. existe un P ∈ P(B) tal que U (f. f − ∈ R(B) entonces f = f + − f − ∈ R(B). Por el lema anterior U (f + . P ) − L(f. P ) < . P ) = [U (f + . P ) ≤ U (f. Se cumple Mi (f + ) = mi (f + ) = 0 y Mi (f − ) = −mi (f ). P ) − L(f − . f − ∈ R(B). y nuevamente la igualdad se cumple trivialmente. se tiene f ∈ R(B) ⇐⇒ f + . (⇒) Dado > 0. |f | ∈ R(B) y Z Z f ≤ |f | B B . Corolario.2. Si B es un m-bloque compacto y f. Se cumple Mi (f + ) = Mi (f ). Análogamente mi (f 2 ) ≥ mi (f )2 . max{f.2 Sea X ⊆ Rm .2. ∀ x ∈ B. g ∈ R(B) entonces f g ∈ R(B).6 Sea B un m-bloque compacto y f : B → R una función acotada. ∀ P ∈ P(B) donde |f (x)| < M . g} ≤ min B Z f. si x ∈ X si x ∈ Rm − X . Corolario. Demostraci´ on. La funci´ on caracter´ıstica de X.2. g} ≥ max f. Si f. Dado > 0. se cumple f (x) ≤ Mi (f ). desde que −|f | ≤ f ≤ |f |. P ) − L(f 2 . dado x ∈ Bi . Como f ∈ R(B) entonces f + . Teorema 5. Sea P = {Bi } ∈ P(B). g}. P )]. ∀ x ∈ B. Sea B un m-bloque compacto y f. B Z g B 77 Demostraci´ on. La prueba de 2) es similar. P ) = [Mi (f )2 − mi (f 2 )] vol (Bi ) = [Mi (f ) + mi (f )][Mi (f ) − mi (f )] vol (Bi ) i ≤ 2M X i i [Mi (f ) − mi (f )] vol (Bi ) = 2M [U (f. As´ı f 2 = (f + )2 + (f − )2 ∈ R(B). 4 4 Observaci´ on: Si B es un m-bloque compacto entonces R(B) es un álgebra. (f − )2 ∈ R(B). existe P ∈ P(B) tal que U (f. min{f. f − ∈ R(B). P ) − L(f 2 . el resultado se sigue. luego f 2 (x) ≤ Mi (f )2 y por tanto Mi (f 2 ) ≤ Mi (f )2 . Primeramente.An´ alisis Real II 2. Por otro lado. Si f ∈ R(B) entonces f 2 ∈ R(B). tenemos f 2 = (f + − f − )2 = (f + )2 − 2f + f − + (f − )2 = (f + )2 + (f − )2 Como f ∈ R(B) entonces f + . consideremos el caso en que f (x) ≥ 0. Demostraci´ on. B B Z B min{f. se tiene que Z Z Z − f≤ |f | ≤ |f | B B B De aqu´ı. puesto que f g = 1 1 (f + g)2 − (f − g)2 . g : B → R funciones acotadas. denotada por 1X es definida por 1X : R m x → R 7→ 1X (x) = 1. P ) < y por lo tanto f 2 ∈ R(B). P ) − L(f. P ) − L(f. f − ∈ R(B) y por lo tanto (f + )2 . P ) < . Definici´ on 5. g} ∈ R(B) y Z Z Z g . luego |f | = f + + f − ∈ R(B). 2M En el caso general. 0. como f ∈ R(B). Es inmediato. Por lo tanto X X U (f 2 . max{f. Se sigue que U (f 2 . P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0 } = vol (A) 1A = inf{U (1A . 5. P ).2. denotemos por I al conjunto de ´ındices i tales que Bi ⊆ A. Sea P0 ∈ P(B) partición que contiene a A como subbloque. Si Y ⊆ X entonces 1Y ≤ 1X . P ) = i Se sigue que vol (A) ≤ Z B 1A ≤ vol (A0 ) Tomando A0 con volumen suficientemente próximo del volumen de A. P ) = X i i∈I Mi (1A ) vol (Bi ) ≥ X vol (Bi ) = vol (A) i∈I Se sigue que Z Z 1A = sup{L(1A . Se cumple: X X L(1A . se cumple: X Mi (1A ) vol (Bi ) ≤ vol (A0 ) U (1A .1 Decimos que X ⊆ Rm tiene medida m-dimensional cero o simplemente m-medida cero. Dado P = {Bi } ∈ P(B) refinamiento de P0 .3 Conjuntos de Medida Cero Definici´ on 5. 2. B son m-bloques compactos con A ⊆ int (B) entonces 1A ∈ R(B) y Z 1A = vol (A) B Demostraci´ on. Teorema 5. 3.An´ alisis Real II 78 Observaci´ on: Se cumplen los siguientes resultados 1. P ) = mi (1A ) vol (Bi ) = vol (Bi ) = vol(A) i U (1A . P ). el resultado se sigue. P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0 } ≥ vol (A) B B Sea A0 m-bloque compacto tal que A ⊆ int (A0 ) ⊆ B y fijemos Q0 ∈ P(B) partición que contiene a A0 como subbloque. 1X es discontinua en x si y sólo si x ∈ ∂X. Dado P = {Bi } ∈ P(B) refinamiento de Q0 . existe una familia numerable {Ck }k∈N de m-cubos abiertos y acotados tales que . 4. si y sólo si para todo > 0.3. 1X∪Y ≤ 1X + 1Y .7 Si A. 1X∪Y + 1X∩Y = 1X + 1Y . k) ∈ F entonces j. 5. m-bloques abiertos. j.k .k=1 vol (Cj.An´ alisis Real II 1. La unión de una familia finita de conjuntos de m-medida cero tiene m-medida cero. m-bloques cerrados.k } colección numerable de m-cubos ∞ [ Cj. bolas abiertas ó bolas cerradas de Rm . Luego ! k k0 k0 0 X X X X vol (Cj. Todo subconjunto finito de puntos de Rm tiene m-medida cero.k∈N colección numerable de m-cubos abiertos.k ) < j+1 2 2 j=1 j=1 k=1 (j. X ⊆ ∞ [ Cj. existe {Cj.k ) ≤ < vol (Cj.k ) < k=1 . k=1 Observaciones: 1. k ≤ k0 . 2. Sea > 0. 2j+1 Considero {Cj. la cual satisface: 1. ∞ X ∞ [ 79 Ck . Todo conjunto unitario de Rm tiene m-medida cero. arbitrario).1 Si {Xk }k∈N es una familia numerable de subconjuntos de Rm que tienen m-medida ∞ [ Xk tiene m-medida cero. entonces X = k=1 Demostraci´ on. k=1 vol (Ck ) < . Proposici´ on 5.3.k=1 2. dado j ∈ Z+ (fijo.k y abiertos tales que Xj = k=1 ∞ X vol (Cj.k)∈F se sigue que ∞ X j. 4. Sea F ⊆ N × N conjunto finito entonces existe k0 ∈ N tal que si (j. 3. En la definición anterior podemos reemplazar m-cubos abiertos por m-cubos cerrados.k ) ≤ < 2 . Todo subconjunto de un conjunto de m-medida cero tiene m-medida cero.k }j. cero. X ⊆ 2. tenemos que existen j1 . . Todo subconjunto numerable de Rm tiene m-medida cero.). B tiene m-medida cero si y sólo si B es degenerado.1 Sea B un m-bloque acotado. 2.3. . A es un m-bloque compacto} Luego si A ⊆ B es un m-bloque compacto. pero por el lema anterior j∈N j=1 vol (B) ≤ lo cual es una contradicción.An´ alisis Real II 80 Concluimos que X tiene m-medida cero. Demostraci´ on. Como vol (B) > 0 existe una colección numerable {Cj }j∈N de m-cubos abiertos tales que ∞ ∞ [ X B⊆ Cj y vol (Cj ) < vol (B).1 j. Z y Q tienen medida unidimensional cero. (⇒) Sea B un m-bloque B de m-medida cero y supongamos que B es no degenerado (Hip.1 vol (Cj ) < vol (B) . Observaciones: 1. jk ∈ N tales que B ⊆ Cji . Lema 5. Sea B i=1 j∈N m-bloque compacto tal que k [ i=1 vol (B) = ˜ entonces 1 ≤ 1 C ji ⊆ B.1 Teorema 5. . . tenemos vol (B) ≤ X vol (Cj ). Se sigue que ji i=1 vol (Cji ) ≤ X vol (Cj ) j. Si {Cj }j∈N es una familia numerable de m-cubos abiertos y [ Cj entonces acotados tales que B ⊆ j∈N vol (B) ≤ X vol (Cj ) j. X vol (Cj ) y j.3. entonces no es dif´ıcil ver (¡Ejercicio!) que vol (B) = sup{ vol (A) : A ⊆ B. Aux.2 Sea B un m-bloque acotado. En primer lugar. Como B ⊆ k [ [ ˜ un Cj y Cj son m-cubos abiertos.1 Demostraci´ on. X j. N. B k S i=1 Z ˜ B 1B ≤ k Z X i=1 ˜ B 1C ji = k X i=1 ! Cj i ≤ k X 1C . luego es compacto.1 Si B es un m-bloque acotado cualquiera. consideramos B m-bloque cerrado. por la primera parte tenemos que vol (A) ≤ por la definición de supremo. Si U ⊆ Rm es abierto y p ∈ Rn entonces U × {p} ⊆ Rm+n tiene (m + n)-medida cero. 1−a n=1 tomemos δ = 1 − ∞ X an > 0. a2 . luego U × {p} ⊆ (Cj × {p}).2s−1 . consideramos 0 0 0 0 Bj = B × a − j . Queda entonces el conjunto [0. 1] − J1 el cual es unión de dos intervalos cerrados disjuntos. 1] − J1 − · · · − Jk el cual consta de 2k intervalos disjuntos y se cumple Js = Js.An´ alisis Real II 81 (⇐) Sea B un m-bloque degenerado. En la primera etapa de construcción de X. Para ello tomemos a ∈ ]0. 1] de interior vac´ıo pero de 1-medida positiva. Ejemplo 5.. . del intervalo [0.1 (Conjunto de Cantor de medida positiva) Vamos a construir inductivamente un conjunto compacto X ⊆ [0. . en la etapa k tenemos el conjunto [0. El rec´ıproco de este resultado es falso como se muestra en el siguiente ejemplo. de cada uno de los dos intervalos restantes de la etapa anterior. concluimos que B tiene m-medida cero. Sea {Cj }j∈N colección de m-cubos tales que U ⊆ Cj . tener m-medida cero es equivalente a tener volumen cero. .3. 2 vol (B 0 ) Corolario. 1] retiramos n=1 el intervalo abierto J1 de centro 1/2 y longitud a. 3.1 ∪ · · · ∪ Js. . quedando [0. . retiramos el intervalo abierto (centrado en el centro de cada uno de los intervalos) y de longitud 2 denotemos J2.1 y J2. En la categor´ıa de los m-bloques degenerados. k . 2. Claramente {Bj }j∈N es una colección 2 2 [ de m-bloques cerrados tales que B ⊆ Bj y j∈N ∞ X j=1 Si tomamos 0 < vol (Bj ) = ∞ X j=1 vol (B 0 ) 0 2j−1 = 2 vol (B 0 )0 . En la segunda etapa. 1/2[ . (con > 0 dependiente de a elegir). Im−1 son intervalos acotados no degenerados. s = 2. Dado > 0 para j ∈ N. j∈N j∈N Por el teorema anterior el cubo degenerado Cj × {p} tiene (m + n)-medida cero y de aqu´ı. a + j . Sea X ⊆ Rm de m-medida cero entonces int (X) = ∅. [ [ Demostraci´ on. Prosiguiendo inductivamente. Observaciones: 1. . se cumple ∞ X 1 an = − 1 < 1. 1] − J1 − J2 el cual consta de 4 intervalos. el resultado se sigue.2 a estos intervalos y por J2 a su unión. Es suficiente considerar B del tipo B = I1 × · · · × Im−1 × {a} = B 0 × {a} donde I1 . Las (m − k)-caras de los m-bloques tienen m-medida cero. 1]) ≤ ∞ X  ([0.j ) < δ + (1 − δ) = 1 lo cual es una contradicción. se cumple que   ! ∞ ∞ [ [ [ 0 Cj  Ck X⊆ j=1 k=1 . Si para cada > 0 existe Y = Y ⊆ Rm de m-medida cero y existe una colección numerable de m-cubos abiertos y acotados {Cj }j∈N tales que 1. afirmo que X no tiene m-medida cero. Pero tal que X ⊆ Cj y j=1 j∈N [0.1: 1 = vol ([0. X ⊆  ∞ [ j=1  Cj  [ Y. por hipótesis existe una colección numerable de m-cubos abiertos y acotados {Cj }j∈N tales que se satisfacen las dos condiciones anteriores. luego Js tiene longitud as . Demostraci´ on. Aux. Ck0 : j. 1] − un intervalo Js .) entonces existir´ıa {Cj } familia numerable de intervalos abiertos ∞ X [ vol (Cj ) < δ. no puede contener ning´ s∈N (es decir int (X) = ∅) y además. ∞ X vol (Cj ) < . En efecto.An´ alisis Real II 82 as siendo la unión disjunta y cada Js.j ) = s=1 s=1 j=1 Si X tuviera m-medida cero (Hip. j=1  2. 2 k=1 k=1 Considerando la colección numerable de m-cubos abiertos y acotados {Cj . Por construcción X es compacto.3 Sea X ⊆ Rm . 1] − X) ⊆  [ j∈N  Cj  [ [ s∈N Js ! s−1 vol (Cj ) + ∞ 2X X s=1 j=1 j=1 vol (Js. Proposici´ on 5. Como Y tiene m-medida cero.3. en primer lugar observe que s−1 ∞ ∞ 2X X X as = 1 − δ. vol (Js.i tiene longitud s−1 .3. 2 [ Definimos X = [0. existe una ∞ ∞ [ X colección numerable de m-cubos abiertos y acotados {Ck0 }k∈N tales que Y ⊆ Ck0 y vol (Ck0 ) < . 1] = X [ Por el Lema 5. Entonces X tiene m-medida cero. Dado > 0. k ∈ N}. luego para 1 ≤ i ≤ m tenemos √ |πi (y1 ) − πi (y2 )| ≤ ky1 − y2 k = kf (x1 ) − f (x2 )k ≤ Kkx1 − x2 k ≤ K m`k √ Se sigue que y1 . luego ! ∞ ! ∞ ∞ ∞ [ [ [ [ Ck = f X ∩ Ck = f (X ∩ Ck ) ⊆ Dk f (X) = f X ∩ k=1 k=1 Adem´ as ∞ X k=1 k=1 ∞ X √ √ m ( mK)m `m vol (Dk ) = k = ( mK) k=1 ∞ X k=1 vol (Ck ) k=1 ! < Esto prueba que f (X) tiene m-medida cero. x2 ∈ X ∩ Ck tales que f (x1 ) = y1 y f (x2 ) = y2 . existen x1 .4 Si X ⊆ Rm tiene m-medida cero y f : X → Rm es localmente Lipschitz en X entonces f (X) tiene m-medida cero. Si `k es la longitud de la arista del m-cubo Ck entonces dados ( mK)m k=1 k=1 y1 . Primeramente. ∀ k ∈ N. . Demostraci´ on. Sea X un conjunto de m-medida cero y f : X → Rm ¿Bajo qué condiciones f (X) tiene m-medida cero? Para responder esta interrogante.3. Definici´ on 5. m la restricción f X∩V : X ∩ Vx → R es Lipschitz en X ∩ Vx . . x2 . necesitamos una definición. Por la primera parte f (X ∩ Vxk ) tiene m-medida cero. y2 ∈ Dk donde Dk es un m-cubo cuya arista tiene longitud K m`k . of existen x por Lindel¨ x x1 .An´ alisis Real II y ∞ X vol (Cj ) + j=1 ∞ X 83 vol (Ck0 ) < k=1 es decir X tiene m-medida cero. Como X tiene m-medida cero. tales que X ⊆ que ∞ [ k=1 x∈X Vxk . y ∈ X entonces kf (x) − f (y)k ≤ Kkx − yk. ∀ k ∈ N y desde f (X) = f X∩ ∞ [ k=1 Vx k ! = ∞ [ k=1 f (X ∩ Vxk ) . Decimos que f es localmente Lipschitz en X si y sólo si para todo x ∈ X existe Vx ⊆ Rm vecindad abierta de X tal que la restricción f X∩V : X ∩ Vx → Rn es x Lipschitz en X ∩ Vx . es decir f (X ∩ Ck ) ⊆ Dk . dado > 0 existe una familia numerable {Ck }k∈N de m-cubos tales que ∞ ∞ X [ Ck y vol (Ck ) < √ X⊆ . En el caso que dado x ∈ X existe Vx ⊆ Rm vecindad abierta de X tal que [ f es localmente Lipschitz.2 Sea X ⊆ Rm y f : X → Rn .3. Proposici´ on 5. . y2 ∈ f (X ∩ Ck ). consideremos el caso en que f es Lipschitz en X. Luego existe K > 0 tal que si x. Como X ⊆ V . Si X ⊆ U tiene m-medida cero entonces f (X) tiene m-medida cero. . X) = MX (f ) − mX (f ). 1] ⊆ I y f ∈ C 1 (I.3. Corolario. en donde B es un m-bloque compacto. Se deduce que en clase C 1 no existen curvas de Peano. Rn ) donde m < n entonces f (U ) tiene n-medida cero. X) = sup{|f (x) − f (y)| : x. Sea X ⊆ Rm y f : X → R función acotada. necesitamos algunos resultados previos.3. 2. Proposici´ on 5. existe un = x > 0 tal que B [x] ⊆ U . 1])) = ∅. Rm ). y) 7→ Rn g(x. Sea x ∈ X. Recordemos que la oscilación de f en X se definió como ω(f. y) = f (x) Se sigue que g ∈ C 1 (U. Sea W = U × Rn−m ⊆ Rn y defino g: W → (x. Es suficiente probar que f es localmente Lipschitz. daremos condiciones necesarias y suficientes para que una función acotada f : B → R. y ∈ X} y satisfac´ıa las siguientes propiedades: 1.5 Sea U ⊆ Rm abierto y f ∈ C 1 (U. Si MX (f ) = sup{f (x) : x ∈ X} y mX (f ) = {f (x) : x ∈ X} entonces ω(f. Rn ) y g(U × {0}) = f (U ). Si I ⊆ R es un intervalo abierto tal que [0. Para ello. Demostraci´ on. 1]) tiene n-medida cero.2 tenemos que U × {0} tiene n-medida cero luego f (U ) = g(U × {0}) tiene n-medida cero. f es localmente Lipschitz. Observaciones: 1.An´ alisis Real II 84 se sigue que f (X) tiene m-medida cero. El resultado siguiente establece que la mayor´ıa de funciones de Rm a Rm que conocemos conserva la m-medida cero. La propiedad de que un conjunto tenga medida cero es preservada por funciones de clase C 1 .4 Caracterizaci´ on de las Funciones Riemann Integrables En la presente sección. Sea U ⊆ Rm abierto y f ∈ C 1 (U. luego int (f ([0. Rn ) entonces f ([0. 5. Por el corolario al Teorema 5. Demostraci´ on. z ∈ B [x] es decir. sea Riemann integrable sobre B. Denotemos Kx = sup{kf 0 (y)k : y ∈ B [x]} Por la desigualdad del valor medio kf (y) − f (x)k ≤ Kx ky − zk ∀ y. X ∩ Bδ (x)). 3.4. para todo c ≥ 0. δ > 0} δ→0+ on de f en el punto x. x) ≤ ω(f. 2.1 Sea X ⊆ Rm y f : X → R una función acotada. existe P = P = {Bi } ∈ P(B) tal que X ω(f . P ) = i Nos proponemos definir la oscilación de una función en un punto x ∈ X Dado x ∈ X. tenemos lim Ωx (δ) = inf{Ωx (δ) : δ > 0} = inf{ω(f. ∀ x ∈ X. Y ) ≤ ω(f. x) ≥ 0. 5. En particular.1 Sea X ⊆ Rm y f : X → R una función acotada. En efecto dados δ1 < δ2 entonces Ωx (δ1 ) = ω(f. Se cumplen las siguientes propiedades: 1. X ∩ Bδ (x)) ≤ ω(f. X ∩ Bδ (x)) Esta función satisface las siguientes propiedades: 1. Si Y ⊆ X entonces ω(f. ∀ x ∈ X ∩ Bδ (x0 ). X). ω(f. X ∩ Bδ2 (x)) = Ωx (δ2 ).4. x) = inf{ω(f. f ∈ R(B) si y sólo si dado > 0. Como 0 es punto de acumulación a derecha de ]0. Si X ⊆ Rm es cerrado (respectivamente compacto) entonces el conjunto {x ∈ X : ω(f. si x ∈ int (X) entonces ω(f. Definici´ on 5. δ > 0} Teorema 5. x) ≥ c} es cerrado (respectivamente compacto). Y ). 3. Si ω(f. Ωx es acotada. +∞[ δ → 7 → R Ωx (δ) = ω(f.An´ alisis Real II 85 2. P ) − L(f. . ω(f. Bi ) vol (Bi ) < U (f. x0 ) < c entonces ∃ δ > 0 tal que ω(f. x) < c. X). definimos Ωx : ]0. x0 ) = 0 si y sólo si f es continua en x0 . X) = MX (f ) − mX (f ) 2. x) ≤ ω(f. Ωx es una función monótona creciente. En efecto. dado δ > 0 se tiene Ωx (δ) = ω(f. Si x ∈ int (Y ) e Y ⊆ X entonces ω(f. X ∩ Bδ1 (x)) ≤ ω(f. 4. x) se define como ω(f. La oscilaci´ denotada por ω(f. +∞[ . X ∩ Bδ (x)). y). x0 ) = 0. x0 ) = 0 entonces inf{ω(f. (⇐) Dado > 0 existe un δ > 0 tal que si x ∈ X y kx − x0 k < δ entonces |f (x) − f (x0 )| < . y ∈ X ∩ Bδ (x0 ) entonces |f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − f (x0 )| + |f (x0 ) − f (y)| < Luego ω(f. Demostraci´ on. (x. B). (x. 0). si x > 0 Como ω(f. se cumple ω(f. Y = ] − ∞. δ > 0} = 1 Por otro lado ω(f. X ∩ Bδ (x0 )) ≤ 2 3 2 < y esto prueba que ω(f. X ∩ Bδ (x0 )) < . Y ).) (⇒) Si ω(f. luego existe un δ > 0 tal que ω(f.2 (Lebesgue) Sea B un m-bloque compacto. y). Sean 3 x. 2K j=1 j=1 Sea x ∈ B − Df . Afirmo que existe Cx00 m-cubo abierto tal que x ∈ Cx00 y ω(f. (x. x) ≤ ω(f. se prueba la afirmación. ∀ δ > 0. Cx00 ∩ B) < 2 vol (B) En efecto. X ∩ Bδ (x0 )) : δ > 0} = 0. luego |f (x) − f (y)| < . y) ∈ Y } = 0 De esta manera ω(f. (x. Teorema 5. (⇐) Sea K = ω(f. y) ∈ Bδ (0)} = 1. X ∩ Bδ (x)) = ω(f. En efecto. Bδ (0)). 0) = inf{ω(f. x) = 0. 2. y). Bδ (0)) = sup{f (x. luego dado > 0 existe un δ > 0 tal que ω(f. En particular si x ∈ X y kx − x0 k < δ entonces |f (x) − f (x0 )| < . sean X = R2 . f : B → R una función acotada y denotemos Df = {x ∈ B : f es discontinua en x} Entonces f ∈ R(B) si y sólo si Df tiene m-medida cero. Tomando Cx00 un m-cubo abierto tal que Cx00 ⊆ Bδ (x). y ∈ X ∩ Bδ (x0 ). y) ∈ Y } − inf{f (x. Bδ (x)) ≤ ω(f. como f es continua en x entonces ω(f. 2 vol (B) . 3 3. existe una colección numerable de m-cubos abiertos ∞ ∞ X [ vol (Cj0 ) < Cj0 y {Cj0 } tales que Df ⊆ .An´ alisis Real II 86 Demostraci´ on. Y ) < ω(f. y) = 1. Bδ (x) ∩ B) < . y) ∈ Bδ (0)} − inf{f (x. f es continua en x0 . Y ) = sup{f (x. 0] × R y f : R2 → R definida por 0. si x ≤ 0 f (x. Dado > 0.) no necesariamente se cumple si retiramos la hipótesis x ∈ int (Y ). y). Observaci´ on: La propiedad 3.) Si x ∈ int (Y ) entonces ∃ δ > 0 tal que Bδ (x) ⊆ Y . ∀ x. luego ω(f.4. Es decir. Bi ) vol (Bi ) ≤ vol (Bi ) ≤ ω(f. Denotando por I = {i. Bi ) vol (Bi ) + i i∈J i∈I X X vol (Bi ) + < K vol (Bi ) 2 vol (B) i∈I i∈J < K + vol (B) = 2K 2 vol (B) Por lo tanto f ∈ R(B). Como Y tiene m-medida cero. x) ≤ ω(f. ∀ j ∈ N. definimos Claramente se tiene que Df ⊆ ∞ [ j=1 1 Dj = x ∈ B. Bi ) vol (Bi ) < j j i i∈I i∈I es decir Por otro lado Dj ⊆ [ i∈I Bi ! X vol (Bi ) < i∈I ∪ Y . Bi ) vol (Bi ) ω(f.An´ alisis Real II Observe que  B = Df ∪ (B − Df ) ⊆  ∞ [ j=1 Como B es compacto se tiene que  B⊆ r [ j=1  Cj0   Cj0  [ [ s [   Cx00k k=1 [ x∈B−Df 87  Cx00  ! Consideremos P = {Bi } ∈ P(B) tal que cumple por lo menos una de las dos alternativas siguientes: o Bi ⊆ Cx00k . se cumple: Bi ⊆ Cj0 ´ X X X ω(f. Bi ⊆ Cj0 } y J = {i. Si x ∈ Dj ∩ int (Bi ) entonces 1 ≤ ω(f. Bi ⊆ Cx00k }. en donde Y es la unión de las caras de los sub-bloques Bi tales que i ∈ I. Bi ) vol (Bi ) < . Bi ). de la Proposición 5. existe P = {Bi } ∈ P(B) tal que X ω(f. (⇒) Dado j ∈ N. por hipótesis. ∀ j ∈ N. Es suficiente probar que Dj tiene m-medida cero. . Bi ) vol (Bi ) ≤ ω(f.3. Dj ∩ int (Bi ) = 6 ∅}. Dados j ∈ N y > 0. ω(f. luego j X X 1X ω(f. x) ≥ j Dj .3 se sigue que Dj tiene m-medida cero. j i Sea I = {i. 5. y ∈ Q si x = 1/2.5 88 Integraci´ on Iterada Sean B1 ⊆ Rm y B2 ⊆ Rn dos bloques compactos y f : B1 × B2 → R una función acotada. ∀ x ∈ B1 ? Ejemplo 5. si y ∈ Q si y ∈ I se sigue que Df1/2 = [0. 1] R →   0.An´ alisis Real II 5. 1] → R y 7→ f1/2 (y) = 1.1 (Integraci´ on Iterada) Sean B1 ⊆ Rm . 1] × [0. 1]). pero f1/2 : [0. 7→ (x. B2 ⊆ Rn bloques compactos y f ∈ R(B1 ×B2 ). y)dy dx = Z Z f (x. 1]. y) Observe que fx es la restricción de f al (m + n)-bloque degenerado {x} × B2 ¿Si f ∈ R(B1 × B2 ) entonces fx ∈ R(B2 ). luego f1/2 ∈ / R([0. 1. y) si x = 6 1/2 si x = 1/2. U ∈ R(B1 ) y además Z B1 Z B1 L(x)dx = Z U(x)dx = Z B1 B1 U : B1 → R x 7→ U (x) = Z f (x. Este resultado es parte importante del Teorema de Fubini. 1]). Como Df tiene medida cero.5. Observaci´ on: Se puede probar que si f ∈ R(B1 × B2 ) entonces el conjunto {x ∈ B1 : fx ∈ / R(B2 )} tiene m-medida nula. concluimos que f ∈ R([0. y) Si definimos las funciones L y U como L: B1 x → R 7→ L(x) = Z fx (y)dy B2 entonces L. Un caso especial es el siguiente: Teorema 5.1 Consideremos la función f : [0. definimos f x : B2 → R y 7→ f2 (y) = f (x. y)dy dx = B2 B2 ! Z f B1 ×B2 B1 ×B2 f Z fx (y)dy B2 . 1] × [0. 1]. Dado x ∈ B1 . f (x. 0. y) =  0. y ∈ I Claramente Df = {1/2} × [0. Para cada x ∈ B1 denotamos fx : B2 → R y 7→ fx (y) = f (x. y)dx dy = B1 Z B2 2. dado > 0. Una demostración análoga muestra que Z Z Z f= B1 ×B2 B2 ! f (x.j (f ) vol (Bi1 × Bj2 ) = L(f. P ) ≤ X mi (L) vol (Bi1 ) = L(L. ∀ P = P1 × P2 ∈ P(B1 × B2 ) Como f ∈ R(B1 × B2 ).3) L(f. P2 ) ≤ Z B2 fx (y)dy = L(x) mi. luego Z Z Z fx (y)dy = fx (y) = B2 B2 B2 Z B1 f (x.2) i An´ alogamente U (U. P ). P1 ) ≤ U (L. P1 ) ≤ U (f. Se cumple X X mi. Si f ∈ C(B1 × B2 ) entonces fx ∈ R(B2 ). P1 ) ≤ U (f.3) De (5.ZP ) < .1) j i Por otro lado. y) ∈ Bi1 × Bj2 } ≤ inf{fx (y) : y ∈ Bj2 } = mj (fx ) Luego X j es decir X j mi. Reemplazando en (5.An´ alisis Real II 89 Demostraci´ on.2) y (5. P ) = i.j (f ) vol (Bj2 ) ≤ mi (L). luego existe P1 ∈ P(B1 ) tal que U (L.j (f ) vol (Bi1 ) · vol (Bj2 ) mi. P1 ) < y esto implica que que L ∈ R(B1 ) y Z f. y) : (x. B1 ×B2 Observaciones: 1. P ) ≤ L(L. existe P = P = P1 × P2 ∈ P(B1 × B2 ) tal que U (f.j = i.j (f ) vol (Bj2 ) ≤ X j mj (fx ) vol (Bj2 ) = L(fx . Sean P1 = Bi1 ∈ P(B1 ) y P2 = Bj2 ∈ P(B2 ) entonces P = P1 × P2 = Bi1 × Bj2 ∈ P(B1 × B2 ). P1 ) ≤ U (U. P1 ) − L(L.j (f ) = inf{f (x.1) L(f. P ) − L(f.j   X X  mi. si x ∈ Bi1 entonces mi. P1 ) (5. ∀ x ∈ B1 . ∀ x ∈ Bi1 . P ) (5.j (f ) vol (Bj2 ) vol (Bi1 ) (5. y)dx dy fx (y)dy B1 L= . 2. Denotaremos por J (Rm ) a la colección de todos los subconjuntos acotados J-medibles en Rm . en la presente sección vamos a ver que se puede integrar sobre conjuntos más generales. si x ∈ X 1X (x) = /X 0. el volumen m-dimensional de X o simplemente volumen de X. denotado por vol (X) se define como Z vol (X) = 1X B en donde B es un m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B). y)dy dx = 90 f= Z bn an ··· Z b1 f (x1 . Observaciones: 1. si x ∈ es llamada funci´ on caracter´ıstica de X. . Si B = m Y i=1 B1 f Z f (x. Sea X ⊆ Rm .6.6 B2 Z f (x. Sea X un conjunto J-medible en Rm .An´ alisis Real II Por lo tanto Z Z Z Z B1 An´ alogamente B2 3. xn )dx1 a1 ! ! · · · dxn Integrales sobre Conjuntos J-medibles Hasta ahora sólo sabemos integrar sobre m-bloques compactos. 2. . y)dx dy = f B1 ×B2 B1 ×B2 [ai .1 Sea X ⊆ Rm un conjunto acotado. . . Decimos que X es Jordan medible o simplemente J-medible en Rm si y sólo si existe un m-bloque compacto B con X ⊆ int (B) tal que 1X ∈ R(B). . bi ] y f ∈ C(B) entonces Z B 5. 1. No es dif´ıcil probar que la definición de conjunto J-medible as´ı como de su volumen no dependen de la elección del m-bloque B con la propiedad X ⊆ int (B). la función 1X : Rm → R definida por 1. Definici´ on 5. ∂X ∩ B i 6= ∅} B i y además i∈I > X i Mi (1∂X ) vol (Bi ) = X i∈I vol (Bi ) . Por hipótesis Z 0 = vol (∂X) = 1∂X = inf {U (1∂X . como ∂X tiene m-medida cero.6. Denotemos D1X = {x ∈ B. Por otro lado.2 Sea X ⊆ Rm un conjunto acotado. Como la frontera de un m-bloque acotado es unión (finita) de m-bloques degenerados. existe P = {Bi } ∈ P(B) tal que U (1∂X . Sea B un m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B). P ∈ P(B)} B Dado > 0.1 establecen que esta es una buena extensión. P ). Hasta ahora sólo sab´ıamos calcular el volumen de m-bloques acotados. Sea B un m-bloque compacto cuyo interior contenga a la clausura de C1 ∪ · · · ∪ Cs . X ∈ J (Rm ) si y sólo si su frontera ∂X tiene m-medida cero. (⇐) Sea B un m-bloque compacto tal que ∂X ⊆ int (B). Denotemos claramente ∂X ⊆ [ I = {i. de la hipótesis se sigue que ∂(∂X) tiene m-medida cero y por tanto ∂X ∈ J (Rm ). por lo tanto X ∈ J (Rm ) si y sólo si 1X ∈ R(B) si y sólo si D1X = ∂X tiene m-medida cero. 2.An´ alisis Real II 91 Teorema 5. Proposici´ on 5. ∂X ⊆ C1 ∪ · · · ∪ Cs . Observaciones: 1. (⇒) Como ∂X es cerrado se tiene que ∂(∂X) ⊆ ∂X. se cumple Z Z s Z s X X 1C1 ∪···∪Cs ≤ 1Cj = vol (Cj ) < vol (∂X) = 1∂X ≤ B B j=1 B j=1 Se sigue que vol (∂X) = 0. la definición anterior extiende el cálculo del volumen a conjuntos J-medibles.2. Demostraci´ on. 3. sea > 0. existe {Cj } colección numerable de m-cubos abiertos acotados tales que ∂X ⊆ j∈N j=1 Como ∂X es compacto.7 y 5. Los Teoremas 5.1 Sea X ⊆ Rm un conjunto acotado. Demostraci´ on. ∞ [ X Cj y vol (Cj ) < .6. X ∈ J (Rm ) si y sólo si ∂X ∈ J (Rm ) y vol (∂X) = 0. concluimos que los m-bloques acotados son J-medibles en Rm . Las bolas abiertas y cerradas son conjuntos J-medibles en Rm . 1X es discontinua en x} Se sigue que D1X = ∂X.6. P ) < . se sigue que ∂(X∪Y ) tiene m-medida cero y por lo tanto X∪Y ∈ J (Rm ). Demostraci´ on. El otro contenido es análogo. f es discontinua en x}. . Y ∈ J (Rm ) entonces 1. Si X ⊆ Y entonces vol (X) ≤ vol (Y ).6. Y ⊆ int (B).3 Si X. 1. 3. X ∪ Y .medida cero. f ∈ R(X) si y sólo si Df tiene m-medida cero. pruebe que vol (X) = 0 ⇐⇒ int (X) = ∅. Como X ∈ J (Rm ). En primer lugar afirmo que Df ⊆ DfX ⊆ Df ∪ ∂X. Sabemos que 1X∪Y + 1X∩Y = 1X + 1Y . Decimos que f es Riemann Integrable sobre X. Como ∂(X∪Y ) ⊆ ∂X∪∂Y . Sea X ∈ J (Rm ) y f : X → R una función acotada. Por hipótesis ∂X y ∂Y tienen m-medida cero. luego k→∞ k→∞ k→∞ lim f (xk ) = f (x) contradicción! esto prueba que x ∈ DfX .6. Demostraci´ on. Sea B un m-bloque compacto tal que X. En efecto: Supongamos que Df ∩ (Rm − DfX ) 6= ∅ (Hip. en donde B es un m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B). luego f ∈ R(X) si y sólo si fX ∈ R(B) si y sólo si DfX tiene m-medida cero si y sólo si Df tiene m-medida cero. lo que denotamos f ∈ R(X) si y sólo si fX ∈ R(B).) y tomemos x ∈ Df con x ∈ / DfX entonces ∃ (xk ) ⊆ X tal que lim xk = x y lim f (xk ) 6= f (x). X ∩ Y . consideremos B un m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B). Ejercicio. x ∈ X 0. Ejercicio: Sea X ∈ J (Rm ).An´ alisis Real II 92 Se sigue que ∂X tiene m-medida cero y por tanto X ∈ J (Rm ). X − Y ∈ J (Rm ). En caso afirmativo definimos Z Z f= fX X B Teorema 5. Como fX es continua en x entonces lim fX (xk ) = fX (x). y as´ı la k→∞ afirmaci´ on está probada. Aux. 3. 2. definiremos la integral de una función acotada sobre un conjunto J-medible. x∈B−X Definici´ on 5. luego Z Z Z 1X = vol (X) + vol (Y ) vol (X ∪ Y ) + vol (X ∩ Y ) = (1X∪Y + 1X∩Y ) = 1X + B B B A continuación. 2.6. f : X → R una función acotada y denotemos Df = {x ∈ X. Definimos la función fX : B → R x 7→ fX (x) = f (x). ∂X tiene m. vol (X ∪ Y ) = vol (X) + vol (Y ) − vol (X ∩ Y ).2 Sea X ∈ J (Rm ) y f : X → R una función acotada. Teorema 5.4 Sea X ∈ J (Rm ). Pruebe que el resultado es falso si retiramos la hipótesis de ser X J-medible. Si f ∈ R(X) y c ∈ R entonces cf ∈ R(X) y Z 2. as´ı Z Z Z f≤ M = M · vol (X) m · vol (X) = m≤ Se sigue que 1 vol (X) Z X X X X f ∈ f (X) luego existe un x0 ∈ X tal que f (x0 ) = 1 vol (X) Z X f. Además Z Z Z Z Z Z Z (f + g) = (f + g)X = (fX + gX ) = fX + gX = f+ g X B B B B X X Las demás son análogas.6. Si f. En particular. 6. Si f. Teorema 5. g}. x ∈ X}. Si f.5 Dado X ∈ J (Rm ). g ∈ R(X) y f (x) ≤ g(x). min{f. Si f ∈ R(X) entonces |f | ∈ R(X) y f ≤ X X X M = sup{|f (x)|. . En particular f ≤ M · vol (X). Si f ∈ R(X) entonces f 2 ∈ R(X). g ∈ R(X) entonces f g ∈ R(X). Z Z Z |f |. ∀ x ∈ X.6 (Teorema del Valor Medio para Integrales) Si X ∈ J (Rm ) es conexo y f ∈ C(X) entonces existe un x0 ∈ X tal que Z f = f (x0 ) · vol (X) X Demostraci´ on. f ∈ R(X) si y sólo si f + . Como f ∈ C(X) y X es conexo entonces f (X) es un intervalo cuyos extremos lo denotamos por m y M . 7. g ∈ R(X) entonces fX . Z 9. X f+ X f ≤ Z X Z g. se cumple 1. 5. Si f ∈ R(X) y vol (X) = 0 entonces f = 0.6. ∀ x ∈ X entonces ∀ x ∈ X entonces m · vol (X) ≤ Z X Z X Z Z 93 f. f ≤ M · vol (X) 4. X g. gX ∈ R(B). g} ∈ R(X). Desde que (f + g)X = fX + gX (¡Ejercicio!) se sigue que si f. entonces R(X) es una R-álgebra. si m ≤ f (x) ≤ M . f − ∈ R(X). luego (f + g)X = fX + gX ∈ R(B). es decir f + g ∈ R(X). g ∈ R(X) entonces f + g ∈ R(X) y (f + g) = Z cf = c X X 3.An´ alisis Real II Teorema 5. g ∈ R(X) entonces max{f. luego m ≤ f (x) ≤ M . Observaci´ on: Si X ∈ J (Rm ). X Demostraci´ on. Si f. donde 8. Sea B un m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B). int ((X −Y )∩Y ) = ∅. Si U = int (X) entonces Z Z f= f X U m Demostraci´ on. luego Z Z Z Z Z Z Z Z fY = fX∪Y + fX∩Y = f+ f= fX + f+ f X∪Y X∩Y B B B B X Y Finalmente como X. Y ⊆ X. si int (X ∩ Y ) = ∅ entonces Z X∩Y f= X∪Y X Z f+ X Y Z f Y Demostraci´ on.An´ alisis Real II 94 Teorema 5. X = (X −Y )∪Y . Y ∈ J (Rm ). Y ∈ J (Rm ).7 Sean X. Se cumple que D ∪ D ⊆ Df ⊆ D ∪ D ∪ ∂X ∪ ∂Y f f f f Y X Y X Como X. Y ∈ J (Rm ) se tiene que ∂X y ∂Y tienen m-medida cero. Luego. Se cumple que f ∈ R(X ∪ Y ) si y sólo si f X ∈ R(X) y f Y ∈ R(Y ). f f X Y Sea B un m-bloque compacto tal que X ∪ Y ⊆ int (B) y consideremos las funciones fX∪Y . Si X. fX∩Y : B → R. se cumple fX∪Y + fX∩Y = fX + fY . luego Z Z Z Z Z f= f= f+ f= f X (X−Y )∪Y X−Y Y Y Corolario 2.5 el resultado se sigue. X −Y ∈ J (Rm ) y además como int (X −Y ) = ∅.6. luego f ∈ R(X ∪ Y ) si y sólo si Df tiene m-medida cero si y sólo si D y D tienen m-medida si y sólo si f X ∈ R(X) y f Y ∈ R(Y ). En caso afirmativo Z Z Z Z f= f+ f f+ X∪Y En particular.6. Y ∈ J (Rm ) e int (X ∩ Y ) = ∅ entonces por el ejercicio vol (X ∩ Y ) = 0. f= f. Como U = Z int (X) Z entonces ∂U ⊆ ∂X luego U ∈ J (R ) e int (X − U ) = int (∂X) = ∅. Sean X ∈ J (Rm ) y f ∈ R(X). f ∈ R(X) e int (X − Y ) = ∅ entonces Z Z f= f X Y Demostraci´ on. X∩Y Corolario 1. por el ejercicio vol (X − Y ) = 0. luego Z f = 0 y por la parte 9 del Teorema 5. por el Corolario 1: X U . a´ un suponiendo que f ∈ C(U ). 1]. 0. por la hipótesis auxiliar concluimos que f = 1Y ∈ R(B). Supongamos que Y tiene 2-medida cero (Hip. Por el teorema de la integraci´ on iterada. 1] ⊇ Y . . si x ∈ X fx (y)dy = L(x) = fx (y)dy = 0. sea X el conjunto de Cantor de medida positiva y denotamos Y = X × [0.1 Sea X = [−1. de ahora en adelante podemos suponer que las integrales se realizan sobre conjuntos abiertos J-medibles. En efecto. 1]) y por tanto X = ∂X tiene 1-medida cero lo cual es una contradicci´ on. 1] entonces (x. 1] tiene 2-medida cero. probaremos que existen abiertos acotados que no son J-medibles. para ello X si (x. Análogamente. Aux. con la teor´ıa estudiada hasta el momento la integral U sariamente estar´ıa definida. 1] y sea U = B − Y . si x ∈ / X entonces fx = 0. en donde B es un m-bloque tal que X ⊆ int (B). 1]. y) ∈ B − X √ √ si − 1 ≤ y ≤ − 1 − x2 ´ o 1 − x2 ≤ y ≤ 1. Luego Z 1 Z 1 1. sea B cualquier 2-bloque abierto que contenga a [0. nos proponemos hallar consideremos B = [−2. 2] y la función entonces fX : es decir fX (x. 1] × [0. y)). Observe que para x ∈ X tenemos fx = 1 (puesto que si y ∈ [0. si x ∈ /X 0 0 es decir L = 1X . y) 7→ fX (x. 1] × [0. 1] − B1 (0) y f ∈ R(X).) denotemos B = [0. 0. como ∂Y ⊆ Y . en otro caso. y) = f (x. Nos proponemos corregir esta desagradable situación y para ello introduciremos el concepto de partición de la unidad. Z 1 −1 "Z √ − 1−x2 f (x. luego 1 = fx (y) = 1Y (x. Como Y es cerrado tenemos que U es abierto y como Y ⊆ ∂U (¡Ejercicio!) deducimos que ∂U no tiene 2-medida cero.1 para calcular X Z Z f= fX . y)dy + −1 Z f .6. X B Ejemplo 5. y)dy dx Para finalizar la sección.5. y) ∈ X si (x. se puede usar el Teorema 5. la función L: [0. En efecto. 1] × [−1. De esta manera Y = X × [0. concluimos que 1X ∈ R([0. y) ∈ Y . on La existencia de abiertos acotados que no sean J-medibles es mala para la teor´ıa de la Z integraci´ f no nece- puesto que si U es uno de tales abiertos. y).An´ alisis Real II 95 Observaci´ on: En virtud del corolario anterior. De esta manera Z Z 1 √ 1−x2 # −1 ≤ x ≤ 1 f (x. 2] × [−2. y). X f= Z fX = B f (x. Z f . puesto que. 1] x → R 7→ L(x) = Z 1 fx (y)dy 0 es Riemann integrable sobre [0. por definición Sea X ∈ J (Rm ). y) = B → R (x. Ahora es fácil construir un abierto de R2 cuya frontera no tiene 2-medida cero. An´ alisis Real II 5. denotado por sopp (f ).2 Sea X ⊆ Rm un conjunto y U = {Uλ }λ∈Λ un cubrimiento abierto de X. ϕj (x) = 1. f (x) 6= 0} ∩ U Observaciones: 1.1 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → R. sopp (f · g) ⊆ sopp (f ) ∩ sopp (g). existe λj ∈ Λ tal que sopp (ϕj ) ⊆ Uλj . Definici´ on 5. ∀ x ∈ U −sopp (f ). ∀ x ∈ X. 2. salvo un n´ umero finito de ´ındices j ∈ J. ∀ j ∈ J. La familia de soportes {sopp (ϕj )}j∈J es localmente finita es decir. sopp (λf ) = sopp (f ).) Sea x ∈ sopp (f · g). Proposici´ on 5. estudiaremos una herramienta de extrema utilidad en la Teor´ıa de la Integraci´ on. para todo x ∈ X existe r > 0 tal que Br (x) ∩ sopp (ϕj ) = ∅. Se cumplen las siguientes propiedades: 1. concluimos que n→∞ x ∈ sopp (f ) y x ∈ sopp (g). necesitamos antes un concepto previo. X 3. sopp (f + g) ⊆ sopp (f ) ∪ sopp (g).7. es decir sopp (f ) = {x ∈ U . 3. Definici´ on 5. f.1 Sea U ⊆ Rm un abierto. la suma en 3. Para ello. 0 ≤ ϕj (x) ≤ 1. . Por definición. de la definición. n→∞ 2. 2. Por 2. f (x) = 0}). g : U → R y λ ∈ R − {0}.7. j∈J 4. es finita. Observaciones: 1. Sólo probaremos 2. x ∈ U −sopp (f ) si y sólo si x ∈ int ({x ∈ U . es la cerradura (relativa a U ) del conjunto de todos los puntos de U en donde f no se anula. El soporte de f . En particular f (x) = 0. Decimos que la familia Φ = {ϕj }j∈J es una C r -partici´ on de la unidad de X de subordinada al cubrimiento U si y sólo si las funciones ϕj ∈ C r (Rm ) satisfacen las siguientes propiedades: 1. entonces x ∈ U y existe (xn ) ⊆ U con (f g)(xn ) 6= 0 tal que lim xn = x.7. x ∈ sopp (f ) si y sólo si x ∈ U y existe (xn ) ⊆ U con f (xn ) 6= 0 tal que lim xn = x. ∀ x ∈ Rm y ∀ j ∈ J. Demostraci´ on.7 96 Particiones de la Unidad En esta sección. Como (f g)(xn ) 6= 0 ⇒ f (xn ) = 6 0 y g(xn ) 6= 0. De esta manera X ⊆ sopp (ϕj ). 2. Definimos α : R → R como −1/(s+1)(s+2) e . Sea C = Z ∞ −∞ α(s)ds y consideremos β : R → R definida γ(t) . es decir x ∈ sopp (ϕj ). se sabe que la función de Cauchy φ : R → R definida por −1/s e . 0 < f (x) ≤ 1. A causa de la condición 3. si s ∈ ] − 2. f (x) = 0. El nombre de “partición subordinada al cubrimiento U ” es debido a la condición 4.An´ alisis Real II 97 2. −1[ Se sigue que α ∈ C ∞ (R). Si x ∈ X. ∀ x ∈ B2 (0) − B1 [0]. A continuación. si s ≤ 0 es de clase C ∞ en R. si s > 0 φ(s) = 0. entonces siempre existe una C ∞ -partición de la unidad subordinada al cubrimiento. Demostraci´ on. Además. 3. la familia Φ = {ϕj }j∈J es llamada partición de la unidad. observe que C Z 1 t α(s)ds = 0 t ≤ −2 ⇒ β(t) = C −∞ Z 1 t 1 α(s)ds ≤ C = 1 −2 ≤ t ≤ −1 ⇒ β(t) = C −∞ C Z 1 t 1 α(s)ds = C = 1 t ≥ −1 ⇒ β(t) = C −∞ C . Del Análisis Real. si s ∈ R− ] − 2. por 3. Si Φ es una familia finita entonces la condición 2. Lema 5. ∀ x ∈ B1 [0]. definimos γ : R → R como γ(t) = ∞ Claramente γ ∈ C (R) y 0 ≤ por β(t) = Z ∞ −∞ Z t α(s)ds −∞ α(s)ds < ∞..7. 3. debe [ existir por lo menos un j ∈ J tal que ϕj (x) > 0. −1[ α(s) = φ(s + 2) · φ(−1 − s) = 0. Nos proponemos probar que dado un abierto de Rm y cualquier cubrimiento abierto de él.1 Existe una función f ∈ C ∞ (Rm ) que satisface las siguientes propiedades: 1. Es claro que β ∈ C ∞ (R). j∈J 4. f (x) = 1. ∀ x ∈ Rm − B2 (0). es innecesaria. An´ alisis Real II 98 Finalmente, consideramos f : Rm → R definida por f (x) = β(−kxk) Se sigue que f ∈ C ∞ (Rm ) y x ∈ B1 [0] ⇒ −1 ≤ −kxk ⇒ f (x) = β(−kxk) = 1 x ∈ B2 (0) − B1 [0] ⇒ 1 < kxk < 2 ⇒ f (x) = β(−kxk) ∈ ]0, 1[ x ∈ Rm − B2 (0) ⇒ −kxk ≤ −2 ⇒ f (x) = β(−kxk) = 0 Esto prueba el lema. Lema 5.7.2 Sea U ⊆ Rm un abierto y p ∈ U . Entonces existe V ⊆ Rm abierto con B3 (0) ⊆ V y existe ψ ∈ Diff ∞ (V, U ) tal que ψ(0) = p y ψ(B3 (0)) ⊆ U . Demostraci´ on. Por hipótesis, existe r > 0 tal que Br (p) ⊆ U . Definimos H : Rm → Rm como H(x) = r x+p 3 Es claro que H es una transformación af´ın inversible y que H(B3 (0)) = Br (p) ⊆ U . El lema queda probado considerando V = H −1 (U ) y ψ = H V : V → U . Teorema 5.7.2 Si K ⊆ Rm es un compacto y U = {Uλ }λ∈Λ es un cubrimiento abierto de K entonces existe una C ∞ -partición de la unidad de K subordinada al cubrimiento U. Demostraci´ on. Sea p ∈ K entonces existe λp ∈ Λ tal que p ∈ Uλp , luego existe rp > 0 tal que Brp (p) ⊆ Uλp . Por el Lema 5.7.2, existe Vp ⊆ Rm abierto con B3 (0) ⊆ Vp y existe ψp ∈ Diff ∞ (Vp , Uλp ) tal que ψp (0) = p y ψp (B3 (0)) = Brp (p). Ahora bien, como {ψp (B1 (0))}p∈K es un cubrimiento abierto de K compacto, entonces existen p1 , . . . , pn ∈ K tales que K ⊆ ψp1 (B1 (0)) ∪ · · · ∪ ψpn (B1 (0)) Sea f ∈ C ∞ (Rm ) la función del Lema 5.7.1, definimos θi : Rm → R como (f ◦ ψp−1 )(x), si x ∈ ψpi (B3 (0)) i θi (x) = 0, si x ∈ Rm − ψpi (B3 (0)) Se sigue que 0 ≤ θi ≤ 1, sopp (θi ) ⊆ ψpi (B3 (0)) ⊆ Uλi , θi ∈ C ∞ (Rm ) y θi (x) = 1, ∀ x ∈ ψpi (B1 (0)). Para obtener una partición de la unidad en K, vamos a modificar un poco las funciones θi . Definimos ϕ1 = θ1 , ϕ2 = (1 − θ1 )θ2 , ϕ3 = (1 − θ1 )(1 − θ2 )θ3 , . . . , ϕn = (1 − θ1 ) · · · (1 − θn−1 )θn . Observe que ϕi ∈ C ∞ (Rm ), 0 ≤ ϕi ≤ 1 y sopp (ϕi ) ⊆ sopp (θi ) ⊆ Uλi . Además, por inducción, se verifica para todo 1 ≤ j ≤ n que ϕ1 + · · · + ϕj = 1 − (1 − θ1 ) · · · (1 − θj ) Luego, si x ∈ K ⊆ ψp1 (B1 (0)) ∪ · · · ∪ ψpn (B1 (0)) se tiene n X i=1 ϕi (x) = 1 − n Y (1 − θi (x)) = 1 i=1 An´ alisis Real II De esta manera {ϕ1 , . . . , ϕn } es la partición de la unidad buscada. 99 Observaci´ on. Cuando K es compacto, la partición de la unidad es finita. El siguiente resultado muestra que podemos suprimir la hipótesis de compacidad sobre el conjunto X. Teorema 5.7.3 Si X ⊆ Rm es cualquier subconjunto y U = {Uλ }λ∈Λ es un cubrimiento abierto de X entonces existe una C ∞ -partición de la unidad de X subordinada al cubrimiento U . Demostraci´ on. Consideramos tres casos. Caso 1: X = K1 ∪ K2 ∪ · · · Kn ∪ · · · donde los Ki son compactos y Ki ⊂ int (Ki+1 ). Dado i ∈ N, consideramos la familia Ui = {Uλ ∩ (int (Ki+1 ) − Ki−2 ) ; λ ∈ Λ} en donde K0 = K−1 = ∅. Es claro que Ui es un cubrimiento abierto del conjunto compacto Xi = Ki − int (Ki−1 ). Por el Teorema 5.7.2 existe {ϕij }j∈Ji (en donde Ji es un conjunto finito de ´ındices) C ∞ -partición de la unidad de Xi subordinada al cubrimiento Ui . Afirmo que la familia {sopp (ϕij ) : j ∈ Ji , i ∈ N} es localmente finita. En efecto, en primer lugar observe que dado x ∈ X, existe un u ńico i0 = i0 (x) ∈ N tal que x ∈ Ki0 − Ki0 −1 ⊂ int (Ki0 +1 ) − Ki0 −1 (basta tomar i0 = min{i ∈ N, x ∈ Ki }). Luego existe r > 0 tal que Br (x) ⊆ int (Ki0 +1 ) − Ki0 −1 y como sopp (ϕij ) ⊆ int (Ki+1 ) − Ki−2 , tenemos: i > i0 + 2 ⇒ i < i0 − 1 ⇒ Ki0 +1 ⊆ Ki−2 ⇒ sopp (ϕij ) ⊆ Rm − Ki−2 ⊆ Rm − Ki0 +1 luego sopp (ϕij ) ∩ Br (x) = ∅ sopp (ϕij ) ⊆ int (Ki+1 ) ⊆ int (Ki0 −1 ) luego sopp (ϕij ) ∩ Br (x) = ∅ De esta manera sopp (ϕij ) ∩ Br (x) = ∅, ∀ i 6= {i0 − 1, i0 , i0 + 1, i0 + 2} y esto prueba la afirmación. Se sigue que para x ∈ X la suma XX ϕij (x) σ(x) = i j∈Ji es finita y por tanto σ ∈ C ∞ (Rm ). Más a´ un, dado i ∈ N y x ∈ int (Ki+1 ) − Ki−2 se tiene que x ∈ Xi+1 ∪ Xi ∪ Xi−1 (unión disjunta), luego σ(x) > 0 y como sopp (ϕij ) ⊆ int (Ki+1 ) − Ki−2 , ∀ j ∈ Ji , definimos ψij : Rm → R por   ϕij (x) , si x ∈ int (Ki+1 ) − Ki−2 ψij (x) = σ(x)  0, si x ∈ Rm − (int (Ki+1 ) − Ki−2 ) Se sigue que ψij ∈ C ∞ (Rm ), 0 ≤ ψij ≤ 1, sopp (ψij ) ⊆ sopp (ϕij ) ⊆ Uλij , {sopp (ψij ) : j ∈ Ji , i ∈ N} es XX localmente finita y ψij (x) = 1, ∀ x ∈ X. i j∈Ji Caso 2: X es abierto. Dado i ∈ N, definimos Ki = {x ∈ X; d(x, ∂X) ≥ 1/i} ∩ Bi [0] An´ alisis Real II 100 Se sigue que (¡Ejercicio!) Ki es compacto, Ki ⊆ int (Ki+1 ) y X = K1 ∪ K2 ∪ · · · ∪ Kn ∪ · · ·. Estamos en las condiciones del caso anterior. [ Caso 3: X es cualquier subconjunto de Rm . Denotemos U = Uλ . Como U es abierto, por el Caso 2 λ existe una C ∞ -partición de la unidad de U subordinada a U. Desde que X ⊆ U esta es también una partición de la unidad de X. Observaci´ on: Todo subconjunto de Rm admite una partición de la unidad a lo más numerable. 5.8 Integrales sobre conjuntos abiertos A continuaci´ on, daremos una aplicación del concepto de partición de la unidad a la teor´ıa de integraci´ on. Sea U ⊆ Rm abierto y f : U → R una función acotada. Empezamos suponiendo que sopp (f ) ⊆ U es compacto. En estas condiciones afirmo que existe V abierto J-medible tal que sopp (f ) ⊆ V ⊆ U En efecto, sea x ∈ sopp (f ) ⊆ U , luego existe rx > 0 tal que Brx (x) ⊆ U y por tanto existe Cx m-cubo abierto tal que Cx ⊆ Brx . La familia {Cx }x∈sopp (f ) es un cubrimiento abierto de sopp (f ) el cual es compacto, luego existen x1 , . . . , xs ∈ sopp (f ) tales que sopp (f ) ⊆ Cx1 ∪ · · · ∪ Cxs ⊆ U. Tomando V = Cx1 ∪ · · · ∪ Cxs , la afirmación está probada. En estas condiciones, decimos que f es Riemann-integrable en U , lo que escribimos f ∈ R(U ) si y sólo si existe V abierto J-medible con sopp (f ) ⊆ V ⊆ U tal que f ∈ R(V ) y en caso afirmativo escribimos Z Z f= f U V Observaciones: 1. Desde que f se anula fuera de sopp (f ), no es dif´ıcil probar que la definición anterior no depende del abierto J-medible V . 2. De acuerdo a lo realizado, no es necesario suponer que U sea acotado. 3. Siempre bajo la hipótesis de que sopp (f ) es compacto, se cumple que f ∈ R(U ) si y sólo si Df tiene m-medida cero. En efecto, como f se anula fuera de sopp (f ) se tiene f ∈ R(U ) si y sólo si f ∈ R(V ) si y sólo si Df tiene m-medida cero. A continuación consideremos el caso general. Definici´ on 5.8.1 Sea U ⊆ Rm un abierto. Decimos que la familia U = {Uλ }λ∈Λ es un J-cubrimiento abierto de U si y sólo si cada Uλ ∈ U es un abierto J-medible y [ U= Uλ λ∈Λ ϕj f ∈ R(U ). Decimos que f ∈ R(U ) si y sólo si existe U = {Uλ }λ∈Λ J-cubrimiento abierto de U y existe {ϕj }j∈N una C ∞ -partición de la unidad de U subordinada a U tal que: 1. U Teorema 5. como V γk es compacto. Dado U = {Uλ }λ∈Λ J-cubrimiento abierto de U y {ϕj }j∈N una C ∞ -partición de la unidad de U subordinada a U entonces para cada j ∈ N.8. Supongamos que existe U = {Uλ }λ∈Λ J-cubrimiento abierto de U y existe {ϕjZ}j∈N una X ∞ C -partici´ on de la unidad de U subordinada a U tal que ϕj f ∈ R(U ). luego sopp (ϕj f ) es compacto y podemos definir ϕj f ∈ R(U ) como en el caso anterior.1 U En caso afirmativo. No es dif´ıcil probar que dado un abierto U ⊆ Rm . definimos Z f= U ∞ Z X j=1 ϕj f. j. Es claro que U ∩ V = {Uλ ∩ Vγ } es un J-cubrimiento abierto de U y {ϕj · ψk } es una C ∞ -partición de la unidad de U subordinada a U ∩ V.2 Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y f : U → R una función acotada. Sea V = {Vγ }γ∈Γ otro J-cubrimiento abierto de U y {ψk }k∈N otra C ∞ -partici´ on de la unidad de U subordinada a V.An´ alisis Real II 101 Observaciones: 1. umero Fijando k ∈ N. j.1 Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y f : U → R una función acotada. entonces diremos que f es Riemann-integrable en U . Si U es un abierto acotado y U = {Uλ }λ∈Λ es un J-cubrimiento abierto de U entonces Uλ es acotado. Si ϕj f ∈ R(U ). tenemos   ∞ ∞ X X ψk f =  ϕj  ψk f = ϕ j ψk f j=1 j=1 . sobre Vγk .1 U Definici´ on 5.1 U absolutamente convergente. se tiene que (¡Ejercicio!) sopp (ϕj ) ∩ Vγk = ∅ salvo un n´ finito de j’s. XZ 2. Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y f : U → R una función acotada. ∀ j ∈ N y la serie ϕj f es j. ∀ j ∈ N y la serie XZ ϕj f es absolutamente convergente. ∀ j ∈ N. Demostraci´ on. luego. La definición anterior no depende de la elección del J-cubrimiento abierto ni de la partición de la unidad subordinada a él. ∀ λ ∈ Λ. ϕj f : U → R es una función acotada tal que sopp (ϕj f ) ⊆ sopp (ϕj ) ⊆ Uλj ⊆ U . 2.8. siempre existe un J-cubrimiento abierto de U . La serie ϕj f es absolutamente convergente. Por tanto tiene m-medida cero. Como ϕj ∈ C ∞ (Rm ) tenemos Dϕj f ⊆ Df . ∀ x ∈ U . ∀ j ∈ N. Por otro lado. existe B un m-bloque compacto y M > 0 tales que U ⊆ B y |f (x)| ≤ M . ∀ j ∈ N y por tanto tiene m-medida cero. Por hipótesis. luego ϕj ψk f ∈ R(U ). Demostraci´ on. Por otro lado.1 ∞ Z X Vγ k j=1 ϕj f ≤ f= U ϕj f ≤ ∞ Z X j=1 ϕj f = U Z f U ψk f es convergente y ϕj f = U k=1 ∞ Z X Z f U ∞ Z X k=1 ψk k=1 ! U U ∞ Z X j=1 n X j=1 ψk f U ψk f U Finalmente. Además. U U Vγk j=1 luego para n ∈ N se tiene n Z X k=1 U ψk f = n X ∞ Z X k=1 j=1 j=1 ϕ j ψk f = U ∞ Z X j=1 De esta manera la serie de términos no negativos U k=1 Intercambiando j con k se llega a U ψk f ≤ ∞ Z X j=1 De esta manera Z U XZ k. Teorema 5. para k ∈ N tenemos     Z Z Z ∞ ∞ Z ∞ ∞ Z X X X X     ϕj ψk f = ϕj ψ k f = ψk f = ϕj ψk f = ϕj ψk f. puesto que x ∈ Rm − Dϕj f entonces ϕj f es continua en x.8. trabajamos con f + y f − y el resultado se sigue (¡Ejercicio!). desde que sopp (ϕj f ) ⊆ U es compacto se tiene que ϕj f ∈ R(U ).An´ alisis Real II 102 Ahora bien como ϕj f ∈ R(U ) entonces Dϕj f tiene m-medida cero y desde que ψk ∈ C ∞ (U ) se sigue que Dϕj ψk f ⊆ Dϕj f en efecto. Sea U = {Uλ }λ∈Λ J-cubrimiento abierto de U y {ϕj }j∈N una C ∞ -partici´ on de la unidad de U subordinada a U . dado n ∈ N tenemos   Z Z n n Z n Z n Z X X X X ϕj f ≤  ≤M M ϕ ϕ ≤ ϕ |f | ≤ 1 = M vol (B) M j j j j=1 U j=1 U j=1 U B j=1 B . El siguiente resultado da condiciones suficientes para que una función acotada sea Riemann integrable sobre un abierto. ∀ j ∈ N y de la igualdad anterior se sigue que ψk f ∈ R(U ).2 Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y f : U → R una función acotada tal que Df tiene m-medida cero. luego ϕj ψk f es continua en x y por tanto x ∈ Rm − Dϕj ψk f ). suponiendo f ≥ 0. Entonces f ∈ R(U ). si f es cualquiera. An´ alisis Real II Se sigue que la serie XZ j. coincide con la dada en la Secci´ Z on 5. por tanto convergente. ∀ λ ∈ Λ. desde que K es compacto y {sopp (ϕj )} es localmente finita. tenemos el siguiente resultado: Sea f ∈ C([a. empezamos con el siguiente resultado. d[ .6. K ⊆ U . Lema 5.1 fj es absolutamente convergente y. M U −K Ahora bien. Si f ∈ R(g(U )) entonces Z Z f= (f ◦ g) · | det Jg|” g(U ) U La presente sección está dedicada a probar este resultado. ∀ f ∈ R(g(U )) g(Uλ ) Uλ . d]) y g([c.1 Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y g ∈ C 1 (U . U Cambio de Variables en la Integral M´ ultiple Del Análisis en una variable real.9. b]. luego para n ≥ n0 tenemos   Z Z Z Z n ∞ n n Z X X X X 1 − f − f−  ϕj  ϕj = M ϕj f ≤ M ϕj f ≤ U U U U j=1 j=n+1 j=1 U j=1   Z Z ∞ X   = M ϕj ≤ M 1<M = M U −K U −K j=n+1 De esta manera. vamos a probar que si U ⊆ Rm abierto J-medible entonces la definición que acabamos de dar. Entonces Z d Z g(d) f (g(t))g 0 (t)dt f (x)dx = c g(c) No es dif´ıcil probar que si g es inyectiva e I = ]c. Rm ) inyectiva tal que g(U ) sea acotado y det[Jg(x)] 6= 0. b]) y g : [c. Si existe U = {Uλ }λ∈Λ cubrimiento abierto de U que satisface Z Z f= (f ◦ g) · | det Jg|. tal que . g(I) I La generalización de este resultado a integrales m´ ultiples es la siguiente: “Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y g ∈ C 1 (U . ∀ x ∈ U . En efecto. hemos probado que ∞ Z X j=1 5. d]) ⊆ [a. d] → R tal que g 0 ∈ R([c. Rm ) inyectiva tal que g(U ) sea acotado y det[Jg(x)] 6= 0.9 fj = U Z f. dado > 0 no es dif´ıcil probar que existe K 1< compacto J-medible. se sigue que existe n0 ∈ N tal que j ≥ n0 ⇒ sopp (ϕj ) ∩ K = ∅. entonces Z Z f = (f ◦ g) · |g 0 |. B 103 Finalmente. ∀ x ∈ U . Lema 5. sea x ∈ sopp (ϕj ◦ g) entonces existe (xn ) ⊆ U con (ϕj ◦ g)(xn ) 6= 0 tal que lim xn = x. 104 ∀ f ∈ R(g(U )). de la hipótesis y la afirmación anterior. Se sigue que n→∞ (g(xn )) ⊆ g(U ). Como g es inyectiva. ∀ λ ∈ Λ.2 Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y g ∈ C 1 (U . por hipótesis tenemos Z Z Z f= f= (f ◦ g) · | det Jg| g(g −1 (Uλ )) Uλ g −1 (Uλ ) Aplicando el lema anterior al cubrimiento g −1 (U). De esta manera. luego g(x) ∈ g(Uλj ) y n→∞ como g es inyectiva tenemos x ∈ Uλj . Rm ) inyectiva tal que g(U ) sea acotado y det[Jg(x)] 6= 0. Se sigue de aqu´ı que {ϕj ◦ g}j∈N es una C ∞ -partición de la unidad de U subordinada a U. Si Z Z 1= | det Jg|. el resultado se sigue. Sea {ϕj }j∈N una C ∞ -partición de la unidad de g(U ) subordinada a g(U ). es decir g(x) ∈ sopp (ϕj ). ∀ U 0 ⊆ U abierto g(U 0 ) U0 .An´ alisis Real II entonces Z f= g(U ) Z U (f ◦ g) · | det Jg|. ∀ x ∈ U . ∀ f ∈ R(g(U )) f= g −1 (Uλ ) Uλ entonces Z f= g(U ) Z U (f ◦ g) · | det Jg|. Sea f ∈ R(g(U )). ϕj (g(xn )) 6= 0 y lim g(xn ) = g(x). luego es una función abierta y por tanto g(U ) = {g(Uλ )}λ∈Λ es un cubrimiento abierto de g(U ). para j ∈ N tenemos que ϕj · f ∈ R(g(U )). Si existe U = {Uλ }λ∈Λ cubrimiento abierto de g(U ) que satisface Z Z (f ◦ g) · | det Jg|. Por la continuidad de g se sigue que g −1 (U) = {g −1 (Uλ )}λ∈Λ es un cubrimiento abierto de U .9. Por hipótesis g tiene rango máximo. Demostraci´ on. ∀ f ∈ R(g(U )). Afirmo que si sopp (ϕj ) ⊆ g(Uλj ) entonces sopp (ϕj ◦ g) ⊆ Uλj . Corolario Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y g ∈ C 1 (U . esto prueba la afirmación. Rm ) inyectiva tal que g(U ) sea acotado y det[Jg(x)] 6= 0. Demostraci´ on. En efecto. se cumple Z Z Z Z (ϕj · f ◦ g) · | det Jg| = ϕj · f = ϕj · f = (ϕj ◦ g) · (f ◦ g) · | det Jg| g(U ) Z = Uλj g(Uλj ) U Uλj (ϕj ◦ g) · (f ◦ g) · | det Jg| luego Z g(U ) f = ∞ Z X j=1 g(U ) ϕj · f = ∞ Z X j=1 U (ϕj ◦ g) · (f ◦ g) · | det Jg| = Z U (f ◦ g) · | det Jg| lo cual prueba el Lema. ∀ x ∈ U . existe un cubrimiento abierto U = {Cλ }λ∈Λ donde cada Cλ es un m-cubo abierto. ∀ f ∈ R(g(U )) g(U ) y entonces Z Z U f= g(U ) h(g(U )) h◦g(U ) f= Z Z U f ◦ h| det Jh|. ∀ λ ∈ Λ f= g −1 (Cλ ) Cλ Sea C ∈ U y P = {Bi } ∈ P(C). ∀ f ∈ R(h(g(U ))). se tiene que Z Z X X X L(f. P ) = | det Jg| mi (f ) vol (Bi ) = mi (f ) 1= mi (f ) int (Bi ) g −1 (int (Bi )) i i i Z XZ (f ◦ g) · | det Jg| = ≤ (f ◦ g) · | det Jg| g −1 (C) g −1 (int (Bi )) i Luego Z f≤ C Z g −1 (C) (f ◦ g) · | det Jg| An´ alogamente.3 Sean U. Si Z Z f= f ◦ g| det Jg|. 105 ∀ f ∈ R(g(U )) Demostraci´ on. Rm ) y h ∈ C 1 (V . por hipótesis. ∀C∈U y el lema queda demostrado. V ⊆ Rm dos abiertos acotados. ∀ x ∈ U y det[Jh(y)] = 6 0. trabajando con las sumas superiores se tiene Z Z f≥ (f ◦ g) · | det Jg| g −1 (C) C Concluimos que Z f= Z g −1 (C) C (f ◦ g) · | det Jg|. ∀ y ∈ V . Rm ) funciones inyectivas tales que g(U ) ⊆ V . es suficiente probar que para toda f ∈ R(g(U )) se cumple Z Z (f ◦ g) · | det Jg|. g ∈ C 1 (U . h(V ) sea acotado y det[Jg(x)] 6= 0. Lema 5. . Por el Corolario anterior.9. ∀ f ∈ R(h(g(U ))) f ◦ (h ◦ g) · | det J(h ◦ g)|. Como g(U ) es abierto.An´ alisis Real II entonces Z f= g(U ) Z U (f ◦ g) · | det Jg|. por el Teorema de Fubini Z Z 1= T (C) C0 Z bi +xm dyi ai +xm ! 0 dy = Z C0 (bi − ai )dy 0 = vol (C) . T (Cλ ) Cλ Consideremos tres casos: Caso 1: T ∈ GL(Rm ) es de la forma T (x1 . Sea C = m Y ]aj .4 (Cambio lineal de coordenadas) Sean U ⊆ Rm abierto acotado y T ∈ GL(Rm ). . bj [ un (m − 1)-cubo. no es dif´ıcil probar que T (C) = {(y1 . cbi [ × · · · × ]am . si c > 0 entonces T (C) = ]a1 . . y 0 = (y1 . . . . xi + xm . . xm ).9. .9. yi−1 . ym ) ∈ C 0 y ai + xm ≤ yi ≤ bi + xm } Luego. xm ) = (x1 . De estas dos igualdades concluimos que C C T (C) Caso 2: T ∈ GL(Rm ) es de la forma T (x1 . . . bj [ ∈ U. ∀ λ ∈ Λ. . . . luego j=1 Z 1 = vol (T (C)) = c vol (C) T (C) Por otro lado Z Z Z | det T | = c=c = c vol (C) C C Z Z 1= | det T |. . . . . . . Si f ∈ R(T (U )) entonces Z Z f= (f ◦ T ) · | det T | T (U ) U Demostraci´ on. . . Por el Lema 5. f ∈ R(h(g(U ))) tenemos Z Z Z Z ((f ◦ h) · | det Jh|) ◦ g · | det Jg| f = f= (f ◦ h) · | det Jh| = h(g(U )) g(U ) U h◦g(U ) Z Z = [(f ◦ h) ◦ g] · | det Jh| ◦ g · | det Jg| = f ◦ (h ◦ g) · | det Jh ◦ g · det Jg| U U Z Z f ◦ (h ◦ g) · | det J(h ◦ g)| = f ◦ (h ◦ g) · | det (Jh ◦ g · Jg) | = U U 106 Lema 5. Análogamente se procede para c < 0.9.j6=i m Y j=1 ]aj . .2. . . cxi . es suficiente probar que Z 1= T (U 0 ) Z U0 | det T |. xm ) con c 6= 0. Para. .An´ alisis Real II Demostraci´ on. . ym ). . ]aj . .1 es Sea U = {Cλ }λ∈ΛZ es un cubrimiento Z suficiente probar que 1= | det T |. Sea C = si denotamos C 0 = m Y j=1. . Por el Lema 5. . . ∀ U 0 ⊆ U abierto. . . . xm ) = (x1 . . abierto de U 0 formado por m-cubos. . b1 [ × · · · × ]cai . yi+1 . bj [ ∈ U . bm [ es un m-bloque. . es suficiente probar que Z 1= g(U ) Z U | det Jg|. gm−1 (x). para n = 1.2. Por el Teorema de la función inversa. k(Va )). h(Ua0 )). ym ) = (y1 . Sea Ba ⊆ Ua un m-bloque abierto tal que a ∈ Ba .1 (Cambio de coordenadas) Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y g ∈ C 1 (U . bm [ definamos la función hxm : B 0 → Rm−1 como hxm (x0 ) = (g1 (x0 .9. . basta probar que g(Uλ ) Uλ un U = {Uλ }λ∈Λ cubrimiento abierto de U . . y 0 ∈ P ◦ g(B 0 × {xm })} donde P : Rm → Rm−1 es la proyección P (x0 . xm ) = x0 . concluimos que Z 1= T (C) C Z C 107 | det T |. ym ) ∈ Rm−1 × Rm . . Caso 3: T ∈ GL(Rm ) Se deduce de los dos casos anteriores y del Lema 5. Se tiene que Jh(a) = I ∈ GL(Rm ). Por el Lema 5. . . xm ) .1. xm ) (donde g = (g1 .9. Denotemos Ba = B 0 × ]am . Por el Teorema de integraci´ on iterada tenemos ! Z Z Z bm 1dy 0 1= h(Ba ) am dym (P ◦g)(B 0 ×{xm }) Dado xm ∈ ]am . . probaremos que también se cumple para n. . tenemos que h : Ua → Va y k : Va → k(Va ) son difeomorfismos de clase C 1 y un fácil cálculo muestra que k ◦ h = g. Procediendo por inducción sobre la dimensión. por el Lema 5. am ≤ ym ≤ bm . . Observe que ∇(gm ◦ h−1 )(y) = ∇gm (h−1 (y)) · Jh−1 (y) = ∇gm (h−1 (y)) · [Jh(h−1 (y))]−1 luego ∇(gm ◦ h−1 )(h(a)) = ∇gm (a) · [Jh(a)] = ∇gm (a) = em De esta manera Jk(h(a)) = I ∈ GL(Rm ) y nuevamente por el Teorema de la función inversa existe Va ⊆ h(Ua0 ) vecindad abierta de h(a) tal que k ∈ Diff 1 (Va . gm )). Denotando Ua = h−1 (Va ). xm )) = (P ◦ g)(x0 . De esta manera.3 también será válido para k ◦ h = g. De estas dos igualdades. Si f ∈ R(g(U )) entonces Z Z (f ◦ g) · | det Jg|. si el resultado es válido para k y para h. . . . . bm [ donde B 0 es un (m − 1)-bloque. En virtud del 1= Lema 5. . .9. f= g(U ) U Demostraci´ on. Teorema 5. ym−1 . gm−1 (x0 . Supuesto que el resultado es v´ Zalido para Zn − 1. Rm ) inyectiva tal que g(U ) sea acotado y det[Jg(x)] = 6 0. . . Sea k : h(Ua0 ) → Rm definida por k(y1 .9. No es dif´ıcil ver que h(Ba ) = {(y 0 . | det Jg| para alg´ Sea a ∈ U .3 teniendo en cuenta que toda transformaci´ on lineal inversible se puede expresar como composición de un n´ umero finito de transformaciones del tipo presentado en los casos 1 y 2. gm (h−1 (y)). podemos suponer sin pérdida de generalidad que Jg(a) = I. ∀ x ∈ U .9. . xm ). .An´ alisis Real II Por otro lado Z C | det T | = Z 1 = vol (C). el resultado es válido (por Análisis I). . . Definimos h : U → Rm por h(x) = (g1 (x). existe Ua0 ⊆ U vecindad abierta de a tal que h ∈ Diff 1 (Ua0 . xm ) = Jhxm (x ) = ∂(x1 . . . . . ym )|dy 0 dym | det Jh| An´ alogamente se prueba que Z 1= k(Ba ) Z Ba | det Jk|. xm−1 ) θ de donde 108  A  0 (x . . . es claro que {Ba }a∈U es un cubrimiento abierto de U y por tanto el teorema queda demostrado. . . . . se sigue que Z Z Z bm 1 = h(Ba ) am = = Z bm am Z Ba Z dy (P ◦g)(B 0 ×{xm }) B0 0 ! dym = Z bm am Z | det Jhym (y 0 )|dy 0 dym = Z bm am dy hxm (B 0 ) Z B0 0 ! dym | det Jh(y 0 . Luego el resultado se cumple para g y esto prueba la inducción. .An´ alisis Real II De aqu´ı se sigue que (P ◦ g)(B 0 × {xm }) = hxm (B 0 ). . . . . g ) ∂(g 1 m−1 0 0 0  (x ) y Jh(x . xm−1 ) ∂(x1 . xm )| Usando la hipótesis inductiva. . xm ) 1 | det Jhxm (x0 )| = | det Jh(x0 . Finalmente. Además  ∂(g1 . gm−1 ) . . denotaremos V = V × V × · · · × V . .1 Si S ∈ τ k (V ) y T ∈ τ l (V ) entonces S ⊗ T ∈ τ k+l (V ). . . vk . . vk ∈ V es obviamente un k-tensor. . Observaciones: 1. 5. 109 .1.2 Sean S ∈ τ k (V ) y T ∈ τ l (V ). τ 1 (V ) = V ∗ . . vk )T (vk+1 . . .Cap´ıtulo 6 Formas Diferenciables en Rm 6. . . k Definici´ on 6. 4. . . ∀ k ∈ N. denotado por S ⊗ T . . . Definici´ on 6. . 2. . Rm ) al conjunto de todas las funciones k-lineales T : V k → Rm . . es la función S ⊗ T : V k+l → R definida por (S ⊗ T )(v1 .1 Un funcional T ∈ L(V k . Como en el Cap´ıtulo 1. El producto tensorial de S y T . Luego τ k (V ) = 6 ∅.1 Preliminares Algebraicos k veces }| { z Sea V un R-espacio vectorial y k ∈ N.1. vk+l ) Proposici´ on 6. . . . Por convención τ 0 (V ) = R. vk+1 .1. vk+l ) = S(v1 . . vk ) = 0. Denotaremos por τ k (V ) al conjunto de todos los k-tensores en V . . . El funcional 0 : V k → R definido por 0(v1 . Con las operaciones usuales de suma y producto por escalares el conjunto τ k (V ) se torna un Respacio vectorial. Existen operaciones entre tensores de distinto orden. . R) es llamado tensor de orden k en V o simplemente k-tensor. denotemos por L(V k . ∀ v1 . 3. ∀ S1 . 1 ≤ i1 . . .jk =1 n X j1 . . . Entonces el conjunto {ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik . S ⊗ (T1 + T2 ) = S ⊗ T1 + S ⊗ T2 . . . . . . ik ≤ n. . .1. . en otro caso Dado T ∈ τ k (V ).. consideremos tenemos:   n X j1 . ∀ S ∈ τ k (V ). . .1. Demostraci´ on. ¡Ejercicio! Observaci´ on: Si S ∈ τ k (V ) y T ∈ τ l (V ) entonces S ⊗ T = 6 T ⊗ S. T2 ∈ τ l (V ). . ϕn } su base dual asociada (es decir ϕi ∈ V ∗ y ϕi (vj ) = δij ). . vik ) . . ∀ S ∈ τ k (V ). w) = (S1 + S2 )(v)T (w) = [S1 (v) + S2 (v)]T (w) = S1 (v)T (w) + S2 (v)T (w) = (S1 ⊗ T )(v. (S1 + S2 ) ⊗ T = S1 ⊗ T + S2 ⊗ T . . . w) = [(S1 ⊗ T ) + (S2 ⊗ T )](v. . ... vjk )(ϕj1 ⊗ · · · ⊗ ϕjk ) (vi1 . . . Probaremos sólo una de ellas. En primer lugar como ϕ1 . para 1 ≤ i1 . . tenemos [(S1 + S2 ) ⊗ T ](v. ϕn ∈ V ∗ = τ 1 (V ) se tiene que ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik ∈ τ k (V ). . . vjk )(ϕj1 ⊗ · · · ⊗ ϕjk ) ∈ τ k (V ). vn } una base ordenada de V y {ϕ1 . . vik ) = T (vi1 . ∀ R ∈ τ r (V ). . . .An´ alisis Real II 110 Demostraci´ on. Podemos generalizar la observación anterior y definir los productos tensoriales de la manera siguiente: Si T1 ∈ τ k1 . . ∀ T ∈ τ l (V ). . w) + (S2 ⊗ T )(v. vk ) ∈ V k y w = (vk+1 . ∀ 1 ≤ i1 . las demás son análogas. ∀ S ∈ τ k (V ).3 Sea V un R-espacio vectorial de dimensión n. (S ⊗ T ) ⊗ R = S ⊗ (T ⊗ R).. w) Observaciones: 1. vjk ) = ϕi1 (vj1 ) · · · ϕik (vjk ) = 0. . . . ik ≤ n} es una base de τ k (V ).2 El producto tensorial satisface las siguientes propiedades: 1. . . Denotando v = (v1 . ∀ T ∈ τ l (V ). 4. . . S2 ∈ τ k (V ). Demostraci´ on. .. ∀ T ∈ τ l (V ). . . . (cS) ⊗ T = S ⊗ (cT ) = c(S ⊗ T ). . además observe que 1. . . ∀ T1 . ik ≤ n  T (vj1 . ik = jk (ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik )(vj1 . si i1 = j1 . . Por la parte 4 de la proposición anterior podemos escribir S ⊗ T ⊗ R = (S ⊗ T ) ⊗ R = S ⊗ (T ⊗ R) 2. . . .. .. . 2. .. {v1 . . 3. . Proposici´ on 6. Proposici´ on 6. .jk =1 T (vj1 . . . ∀ x ∈ R. . Tn ∈ τ kn entonces T1 ⊗ · · · ⊗ Tn ∈ τ k1 +···+kn (V ). vk+l ) ∈ V l . . definimos el signo de σ. .. w) = hv. ∀ r ∈ {1. . denotado sig (σ) como 1. ... ◦) → ({−1. 2. . . .. .jk =1 111 T (vj1 . 6... Corolario. 1 ≤ i1 . . j ∈ {1.. k} tal que σ es biyectiva Recordemos que toda permutación es un producto de transposiciones. . luego T = V ×V (v..1 Sea V = Rn . el producto interno en Rn es un 2-tensor simétrico. . la permutaci´ on es llamada impar. entonces dim R τ k (V ) = nk . . ·) es un homomorfismo de grupos (¡Ejercicio!).. vjk )(ϕj1 ⊗· · ·⊗ϕjk ). considerando (vj1 . . denotemos por Sk al grupo de todas las permutaciones del conjunto {1. . .. si σ es impar No es dif´ıcil probar que sig : (Sk . k} dotado de la operación de composición de funciones.. . . . en } la base canónica de Rn y {f1 . . en donde una transposición es una permutación σ ∈ Sk tal que existen i. Sea σ ∈ Sk . ... .ik ∈ R tales que n X ai1 . . vjk ) ∈ V k se tiene 0= n X i1 .. caso contrario.jk Esto prueba la independencia lineal. .2 Formas Alternadas y Producto Exterior Dado k ∈ N. σ ∈ Sk ⇐⇒ σ : {1. . entonces {fi ⊗ fj : 1 ≤ i. wi T (ei . . j}.. . . vjk ) = n X i1 . {e1 ..ik =1 ai1 . . .. . .. . . supóngase que existen ai1 ... . .. . fn } su base dual asociada. 2.ik (ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik ) = 0 i1 . Para probar la independencia lineal.ik (ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik ) (vj1 ... Una permutación es llamada par si puede ser representada como un producto de un n´ umero par de transposiciones.ik ϕi1 (vj1 ) · · · ϕik (vjk ) = aj1 . . . k} − {i. . ej )fi ⊗ fj = n X i=1 fi ⊗ fi De esta manera. . . . . j ≤ n} es una base de τ 2 (Rn ).. k} con i 6= j tal que σ(i) = j.ik =1 Dados j1 .1. .An´ alisis Real II De aqu´ı se deduce que T = n X j1 . w) n X n X i=1 j=1 → 7 → R T (v. si σ es par sig (σ) = −1. ik ≤ n} genera τ k (V ). Ejemplo 6. . . n}. σ(j) = i y σ(r) = r. . . . 1}. Si consideramos T : entonces T ∈ τ 2 (Rn ).ik =1 ai1 . Si V es un R-espacio vectorial de dimensión n. Luego el conjunto {ϕi1 ⊗· · ·⊗ϕik . . . . .. k} → {1. jk ∈ {1. .. (σ ◦ τ ) · T = τ · (σ · T ). ω ∈ τ k (V ). . vk ∈ V Es claro que σ · T ∈ τ k (V ). 2. . . . . ∀ a ∈ R. . vσ(τ (1)) ) T (v(σ◦τ )(1) . . . ∀ T. vτ (k) ) = T (vσ(τ (1)) . 3. . . ∀ σ ∈ Sk . 2. . . . . vk ) = = (σ · T )(vτ (1) . an ∈ R. Demostraci´ on.) Dados T ∈ τ k (V ) y σ. . Tn ∈ τ k (V ).1 Se cumplen las diguientes propiedades: 1. . . T ) = σ · T La proposición anterior muestra que Γ respeta la propiedad de grupo de Sk y la de espacio vectorial ua sobre τ k (V ). . σ · (T + S) = σ · T + σ · S.2. Definici´ on 6. Observaciones: 1. ∀ σ1 . . . . S ∈ τ k (V ). vσ(k) ). . . . Por inducción se cumple: n ! n X X (a) σ · ai (σ · Ti ). Decimos que ω es una k-forma lineal alternada si y sólo si 1. . ∀ T1 . 2. . 3. . ∀ v1 . . Observaciones: 1. . . τ ∈ Sk . además tenemos el siguiente resultado: Proposici´ on 6. . . vk ) De aqu´ı el resultado se sigue. . tenemos: [τ · (σ · T )] (v1 .1 Sea V un R-espacio vectorial y ω : V k → R. ∀ a1 . . .An´ alisis Real II 112 Dados T ∈ τ k (V ) y σ ∈ Sk . ∀ σ. ∀ T ∈ τ k (V ). τ ∈ Sk . σ · ω = sig (σ)ω. σ · (aT ) = a(σ · T ). de τ k (V ). ∀ σ ∈ Sk . . vk ) = T (vσ(1) . Decimos que el grupo Sk act´ Con la notación anterior. ai Ti = i=1 i=1 (b) (σn ◦ · · · ◦ σ1 ) · T = σ1 · (· · · (σn · T ) · · ·). . ∀ T ∈ τ k (V ). .2. ∀ σ ∈ Sk . . . . podemos introducir el concepto de k-forma alternada. Podemos definir Γ : Sk × τ k (V ) → τ k (V ) como Γ(σ. σn ∈ Sk . v(σ◦τ )(k) ) = [(σ ◦ τ ) · T ] (v1 . Denotaremos por Vk (V ) al conjunto de todas las k-formas lineales alternadas sobre V . definimos σ · T : V k → R mediante (σ · T )(v1 . . ∀ S ∈ τ k (V ). . ∀ σ ∈ Sk . . An´ alisis Real II 113 Vk 2. 1. . . . vj . Si T ∈ τ k (V ) entonces Alt (T ) ∈ Vk 2. . . . . vk ) = ω(vσ(1) . . Sean ω. V1 V 0 Observaci´ on: Es claro que (V ) = V ∗ . η ∈ (V ) y a. .2. . . Es claro que Vk Proposici´ on 6. 2. . . . Por otro lado. 3. se cumple 1 X sig (σ)(σ · T ) ∈ τ k (V ). . . . . si σ ∈ Sk tenemos σ · (aω + bη) = a σ · ω + b σ · η = a sig (σ)ω + b sig (σ)η = sig (σ)(aω + bη) Vk Por lo tanto aω + bη ∈ (V ). . . . .2. . . .2.2 −ω(v1 . k! σ∈Sk ! 1 X 1 X sig (σ)(σ · T ) = sig (σ) (τ · (σ · T )) τ · (Alt (T )) = τ · k! k! σ∈Sk σ∈Sk 1 X = sig (τ ) sig (σ ◦ τ ) [(σ ◦ τ ) · T ] = sig (τ )Alt (T ) k! σ∈Sk es decir Alt (T ) ∈ Vk (V ). ∀ r ∈ {1. . . Si T ∈ τ k (V ) entonces Alt (Alt (T )) = Alt (T ). . . es claro que Alt (T ) = para τ ∈ Sk . . vσ(j) . . vi . Si ω ∈ (V ) entonces Alt (ω) = ω. . . Vk (V ) es un subsespacio vectorial de τ k (V ). vσ(k) ) = (σ · ω)(v1 . . . . σ(j) = i y σ(r) = r. vk ) (V ) ⊆ τ k (V ). . . Definici´ on 6. k} − {i. Por otro lado. . vi . . entonces ω(v1 . .3 Se cumplen las siguientes propiedades: Vk (V ). .2 Si T ∈ τ k (V ) entonces el alternado de T . vj . . . . denotado Alt (T ) se define como Alt (T ) = 1 X sig (σ)(σ · T ) k! σ∈Sk Teorema 6. . . . . j}. . . . vσ(i) . . . Vk Demostraci´ on. vi . . Sabemos que aω + bη ∈ τ k (V ). . Si w ∈ (V ) y σ ∈ Sk es una transposición tal que σ(i) = j. 1) Sea T ∈ τ k (V ). . . vj . vk ) = sig (σ)ω(v1 . . Vamos a convenir que (V ) = R. b ∈ R. Demostraci´ on. vk ) = 3. vj . . . vi . . . . . ∀ η1 . k + 1) · · · (k.) Sea ω ∈ Vk 114 (V ).4 Se cumple Vl Vk (V ). 3. k + l) · · · (k. Vk (V ) que a cada T ∈ τ k (V ) le asocia Observaci´ on: Podemos definir la función Alt : τ k (V ) → V Vk k k (V ). Las principales propiedades del producto exterior están resumidas en la siguiente proposición.An´ alisis Real II 2.2.) Consideremos la permutación ··· 1 2 τ= l + 1 l + 2 ··· k−1 l+k−1 k l+k k+1 1 ··· ··· k+l−1 l−1 k+l l ∈ Sk+l Observe que τ = (1. η2 ∈ (V ). ∀ ω1 . k + l) · · · (1. Demostraci´ on. y 2. el producto exterior de ω y η. 1. ∀ ω ∈ (V ). No es dif´ıcil probar Alt ∈ L(τ (V ). ∀ η ∈ (V ). Definici´ on 6. Alt (ω) = 1 X 1 X 1 X sig (σ)(σ · ω) = sig (σ)2 ω = ω=ω k! k! k! σ∈Sk σ∈Sk σ∈Sk 3.) Inmediato de 1. (ω1 + ω2 ) ∧ η = ω1 ∧ η + ω2 ∧ η. . 1. k + 1). ω ∧ (η1 + η2 ) = ω ∧ η1 + ω ∧ η2 . Alt (T ) ∈ Vl Vk Vk+l Sean ω ∈ (V ) y η ∈ (V ) entonces ω ⊗ η no necesariamente está en (V ). ∀ η ∈ (V ). ∀ ω ∈ (V ). (cω) ∧ η = ω ∧ (cη) = c(ω ∧ η). (V )) (¡Ejercicio!). Vl Vk (V ). Proposici´ on 6. ω2 ∈ Vk Vl 2.3 Sean ω ∈ define como: Observaci´ on: Si ω ∈ Vk Vk (V ) y η ∈ Vl (V ).2.) Por la linealidad de Alt tenemos (ω1 + ω2 ) ∧ η = = (k + l)! (k + l)! Alt [(ω1 + ω2 ) ⊗ η] = Alt [ω1 ⊗ η + ω2 ⊗ η] k! l! k! l! (k + l)! [Alt (ω1 ⊗ η) + Alt (ω2 ⊗ η)] = ω1 ∧ η + ω2 ∧ η k! l! 4. ω ∧ η = (−1)kl η ∧ ω. denotado por ω ∧ η se ω∧η = (V ) y η ∈ Vl (k + l)! Alt (ω ⊗ η) k! l! (V ) entonces ω ∧ η ∈ Vk+l (V ). ∀ c ∈ R. k + 1)(2. ∀ η ∈ (V ). ∀ ω ∈ Vl Vk 4. k + l) · · · (2. . . Considero H = {σ ∈ Sk+l . Teorema 6. . vσ(τ (k)) ) = ω(v(σ◦τ )(1) . . Luego por definición (k + l)! [Alt (S ⊗ T )] = = X σ∈Sk+l X σ ¯ ∈H sig (σ) [σ · (S ⊗ T )] = σ ) [¯ sig (¯ σ · (S ⊗ T )] + N X X j=1 σ∈Hσj N X X j=2 σ ¯ ∈H sig (σ) [σ · (S ⊗ T )] sig (¯ σ ◦ σj ) · (S ⊗ T )] σ ◦ σj ) [(¯ (6. . . vk+l ) = Luego Alt (η ⊗ ω) = X X 1 1 sig (σ) [σ · (η ⊗ ω)] = sig (τ ) sig (σ ◦ τ ) [(σ ◦ τ ) · (ω ⊗ η)] (k + l)! (k + l)! σ∈Sk+l σ∈Sk+l kl = sig (τ )Alt (ω ⊗ η) = (−1) Alt (ω ⊗ η) lo que concluye la demostración. . . σ(k + 1) = k + 1. .1) . . vσ(k+l) ) = η(vσ(τ (k+1)) . . vσ(l) ) ω(vσ(l+1) . v(σ◦τ )(k+l) ) = (ω ⊗ η)(v(σ◦τ )(1) . . . . vk+l ∈ V tenemos: (η ⊗ ω)(vσ(1) . . . . . vk+l ) [σ · (η ⊗ ω)] (v1 . . . Entonces Alt (S ⊗ T ) = Alt (T ⊗ S) = 0 Demostraci´ on. . .5 Sean S ∈ τ k (V ) tal que Alt (S) = 0 y T ∈ τ l (V ). . v(σ◦τ )(k) ) η(v(σ◦τ )(k+1) . . σ j. → 7→ Sk+l ψ(¯ σ) si 1 ≤ j ≤ k si k + 1 ≤ j ≤ k + l es un monomorfismo de grupos e Im (ψ) = H. . . σ(k + l) = k + l} Observe que el mapeo ψ: definido por ψ(¯ σ )(j) = Sk σ ¯ ¯ (j). .2. . . v(σ◦τ )(k+l) ) = [(σ ◦ τ ) · (ω ⊗ η)] (v1 .An´ alisis Real II 115 luego sig (τ ) = (−1)kl Adem´ as. . para v1 . . . . . . . . . vσ(k+l) ) = η(vσ(1) . . . . . . . . donde σ1 = e ∈ Sk+l . vσ(τ (k+l)) ) ω(vσ(τ (1)) . Luego H es un subgrupo de Sk+l (al cual lo podemos identificar con Sk ) y podemos considerar el conjunto cociente Sk+l /H = {Hσ : σ ∈ Sk+l } De la teor´ıa de grupos tenemos que card (Sk+l /H) = Luego Sk+l = N [ j=1 o(Sk+l ) (k + l)! = = (k + 1) · · · (k + l) = N o(H) k! Hσj (unión disjunta). . . . se cumple Corolario. vσ¯ (k) ) T (vk+1 .2. . . vk+l ) es decir σ ¯ · (S ⊗ T ) = (¯ σ · S) ⊗ T. . vk+l ) = [¯ = S(vσ¯ (1) . vσ¯ (k) ) T (vσ¯ (k+1) . N se tiene: X sig (¯ σ ◦ σj ) [(¯ σ ◦ σj ) · (S ⊗ T )] = σ ¯ ∈H X σ ¯ ∈H X σ ¯ ∈H sig (¯ σ )((¯ σ · S) ! ⊗T (6. (ω ∧ η) ∧ θ = ω ∧ (η ∧ θ) = (k + l + r)! Alt (ω ⊗ η ⊗ θ). . . . vσ¯ (k+l) ) S(vσ¯ (1) . . . vk+l ) = [(¯ σ · S) ⊗ T ] (v1 . . . . . . . . .2) σ · S) ⊗ T )] sig (¯ σ ◦ σj ) [σj · ((¯ = sig (σj ) σj · = X σ ¯ ∈H ! σ ) [(¯ σ · S) ⊗ T )] sig (¯ sig (σj ) σj · (k! Alt (S) ⊗ T ) = 0 Reemplazando (6. .1) tenemos que Alt (S ⊗ T ) = 0. . . . . 2. Vr Vl Vk (V ). . . 1) Primeramente observe que Alt (Alt (η ⊗ θ) − η ⊗ θ) = Alt (Alt (η ⊗ θ)) − Alt (η ⊗ θ) = 0 Luego por el Teorema 6.2) y (6. . . . . k! l! r! Demostraci´ on. η ∈ (V ) y θ ∈ (V ).5 0 = Alt (ω ⊗ [Alt (η ⊗ θ) − η ⊗ θ)]) = Alt (ω ⊗ Alt (η ⊗ θ) − ω ⊗ (η ⊗ θ)) = Alt (ω ⊗ Alt (η ⊗ θ) − Alt (ω ⊗ (η ⊗ θ))) Por lo tanto Alt (ω ⊗ (η ⊗ θ)) = Alt (ω ⊗ Alt (η ⊗ θ)) 2) (ω ∧ η) ∧ θ = = (k + l + r)! (k + l + r)! (k + l)! Alt ((ω ∧ η) ⊗ θ) = Alt Alt (ω ⊗ η) ⊗ θ (k + l)! r! (k + l)! r! k! l! (k + l + r)! (k + l + r)! (k + l)! Alt (Alt (ω ⊗ η) ⊗ θ) = Alt (ω ⊗ η ⊗ θ) (k + l)! r! k! l! k! l! r! (6.3) . Sean ω ∈ 1. luego X σ ¯ ∈H σ ) [¯ sig (¯ σ · (S ⊗ T )] = = X σ ¯ ∈H ∀ σ ∈ Sk+l sig (¯ σ ) [(¯ σ · S) ⊗ T ] = k! Alt (S) ⊗ T = 0 y para j = 2. Alt (Alt (ω ⊗ η) ⊗ θ) = Alt (ω ⊗ η ⊗ θ) = Alt (ω ⊗ (Alt (η ⊗ θ))).3) en (6. .116 An´ alisis Real II Pero σ · (S ⊗ T )] (v1 . . . Por definición: (ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm )(v1 . ϕm ∈ (V ) = V ∗ existe una manera sencilla de expresar el producto exterior ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm .2. . vσ(i) . . vk ∈ V . vm ) = det(ϕi (vj )) V1 (V ) = V ∗ entonces Demostraci´ on. . . . vm ) m! σ∈Sm X sig (σ)ϕ1 (vσ(1) ) · · · ϕm (vσ(m) ) = det(ϕi (vj )) = = σ∈Sm lo cual prueba el resultado. . . vj . . . . {v1 . j ∈ {1. . .An´ alisis Real II 117 Observaci´ on: Por la parte 2 del corolario anterior. . . .6 Vm Sea V un R-espacio vectorial. . . . vi . . . . . . . . . . . . del álgebra lineal recordemos que si A = (aij ) ∈ Rm×m entonces X det(A) = sig (σ)a1σ(1) · · · amσ(m) σ∈Sm Proposici´ on 6. . . . ϕm ∈ ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm ∈ (V ) y (ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm )(v1 . . . . . Vk Proposici´ on 6. i). A continuación. . . Si existen i. k} con i 6= j tal que vi = vj entonces ω(v1 . . . . ω ∈ (V ) y v1 . vi . Corolario 1. . trataremos de hallar una base para los espacios Vk (V ). . vi . . vik ). . . . . . . . . Sea V un R-espacio vectorial de dimensión n. vσ(k) ) = sig (σ)ω(v1 . v1 . . . . vk ) = ω(vσ(1) . . . vm ) 1 X = m! sig (σ) [σ · (ϕ1 ⊗ · · · ⊗ ϕm )] (v1 . . vm ) m!Alt (ϕ1 ⊗ · · · ⊗ ϕm )(v1 . . . vm ∈ V y ϕ1 . Demostraci´ on. . vik ) = η(vi1 . vσ(j) . denotamos ω∧η∧θ = En general si ω1 ∈ Vk1 (V ). ωm ∈ Vkm ω1 ∧ · · · ∧ ω m = (k + l + r)! Alt (ω ⊗ η ⊗ θ) k! l! r! (V ) entonces (k1 + · · · + km )! Alt (ω1 ⊗ · · · ⊗ ωm ) k1 ! · · · km ! V1 Cuando ϕ1 .2. vk ) = 0. . . . vk ) = 0. . . . . . . . . Como ω ∈ (V ) tenemos ω(v1 . . vk ) = −ω(v1 . η ∈ con k ≤ n tales que ω(vi1 . vn } una base de V y ω. . . . . . . . . . vk ) Se sigue que ω(v1 . . . . .7 Sea V un R-espacio vectorial. . . . . . supongamos que 1 ≤ i < j ≤ k y consideremos σ ∈ Sk tal que σ = (j. . . . . vj . . . . . vj . . En efecto. . Sin pérdida Vk de generalidad. . ∀ 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n Vk (V ). . . . . . sean 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n y 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n. Vk (V ). Demostraci´ on. . . . . . . (ω − η)(v1 . jk }. . . . . . . ∀ 1 ≤ i1 . Desde que {v1 .2. Sean i1 . . considero Dado ω ∈ η= X 1≤i1 <···<ik ≤n Si 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n. . . . . . vjk ) = 0. Es consecuencia de que si tomamos k-uplas de n elementos (k > n) entonces por lo menos dos se repiten. . . vjk ) = 1 y esto prueba la afirmación. . . ik = jk en otro caso En efecto. Demostraci´ on. vn } una base de V y {ϕ1 . . . vjk ) = ω(vj1 . luego (ω − η)(vi1 . . Si I = J entonces (ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik )(vj1 . n}. vik ) = = 1 [σ · (ω − η)] (vi1 . ∀ k > n. . si i1 = j1 . . . Sea V un R-espacio vectorial de dimensión n entonces Vk (V ) = {0}. jk ). 0. afirmo que (ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik )(vj1 . . . Caso 2. σ(ik )) − η(σ(i1 ). . por la Proposición (6. . . . vjk ) = 1≤i1 <···<ik ≤n ω(vi1 . ocurren dos casos: Caso 1. . . Demostraci´ on. vjk ) = 1. . vjk ) . se tiene X η(vj1 . . ik ∈ {1. . ik ≤ n. vik ) = (ω − η)(vσ(i1 ) . es suficiente probar que ω(vi1 . . ϕn } su base dual asociada. . < σ(ik ) ≤ n. . .2. .7). . . . . . σ(ik ))] = 0 sig (σ) Corolario 2. vik ) (ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik ) (vj1 . . vn } es una base de V .An´ alisis Real II 118 Entonces ω = η. . 1 ≤ i1 < . < ik ≤ n} (V ). . . . . . . . . . . . . ir = is . . En este caso existe σ ∈ Sk tal que 1 ≤ σ(i1 ) < . . . k} tal que is ∈ / {j1 . Si k ≤ n entonces es una base de Vk {ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik . . En primer lugar. . {v1 . . . . . vk ) = 0. . . . . . . . luego ϕis (vj1 ) = · · · = ϕis (vjk ) = 0 y por lo tanto (ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik )(vj1 . vσ(ik ) ) sig (σ) 1 [ω(σ(i1 ). . . . . . . . . . vik ) ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik ∈ k ^ (V ) ω(vi1 . . vik ). . . . . . ik ) y J = (j1 . . ir = 6 is . . .8 Sea V un R-espacio vectorial de dimensión n. vik ) = η(vi1 . denotemos I = (i1 . . . . ∀ 1 ≤ r 6= s ≤ k. . . . Si I 6= J entonces existe un s ∈ {1. . . . . . . . . . Teorema 6. . . . donde c ∈ R. . . . . tenemos X aj1 ···jk = 1≤i1 <···<ik ≤n ai1 ···ik (ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik )(vj1 . ϕn } su base dual asociada. . {v1 . donde c1 . Si ω ∈ n ^ (V ) entonces ω = c ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn . . . < ik ≤ n} es una base de (V ). . entonces dim R Vk Vk n! n = .3 (V ) entonces ω = X i=1 (V ) entonces ω = X i=1 ci ϕ1 ∧ · · · ∧ c ϕi ∧ · · · ∧ ϕn . V (V ) es un R-espacio vectorial. vn } una base de V y {ϕ1 . . 1 ≤ i1 < . denotada por (V ) se define como ^ (V ) = Observaciones: 1. . Algebras de Grassmann Sea V es un R-espacio vectorial de dimensión n entonces son R-espacios vectoriales no triviales. (V ) = (n − k)! k! k y esto prueba que el conjunto {ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik . Corolario. cn ∈ R. . . . donde c1 . 1. . 0 ^ (V ) ⊕ 1 ^ (V ) ⊕ · · · ⊕ n ^ (V ) . . . V2 (V ). cn ∈ R. vik )ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik Por otro lado. . . . Si ω ∈ 1 ^ 6.1VSea V es un R-espacio vectorial de dimensión n. supongamos que existen constantes ai1 ···ik ∈ R tales que X ai1 ···ik ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik = 0 1≤i1 <···<ik ≤n Para 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n. Si V es un R-espacio vectorial de dimensión n. vjk ) = 0. . . El Algebra de Grassmann asociada a V . . ci ϕi . .3. Vn (V ) Definici´ on 6. Si ω ∈ n−1 ^ 3.An´ alisis Real II 119 Se sigue que η = ω y por lo tanto X ω= 1≤i1 <···<ik ≤n ω(vi1 . . V0 (V ) = R. Observaci´ on: Sea V un R-espacio vectorial de dimensión n. . . V1 (V ) = V ∗ . 2. . vk+l ∈ V . . para σ · f ∗ (ω) = f ∗ (σ · ω) = f ∗ (sig (σ)ω) = sig (σ)f ∗ (ω) (V ). (f (vσ(k) ) = [σ · f ∗ (T )] (v1 .2 Sean V . W dos R-espacios vectoriales y f ∈ L(V. . W dos R-espacios vectoriales y f ∈ L(V. . v k ∈ V Observaci´ on: Si T ∈ τ 0 (W ) = R entonces convenimos que f ∗ (T ) = T . . . Definici´ on 6. 4.2 Sean V . . . f ∈ L(V. . . W ). . definimos el pullback de T bajo f . T ∈ τ k (W ). . . . . .1 Sean V . vk+l ) = (S ⊗ T )(f (v1 ). ∀ T ∈ τ k (W ). . . . vk+l ) = [f ∗ (S) ⊗ f ∗ (T )] (v1 .3 Sean V . .3. . Por otro lado. .An´ alisis Real II 2. . W ). vk ) = T (f (v1 ). . . tenemos [f ∗ (σ · T )] (v1 . . . . f (vk )) = T (f (vσ(1) ). f (vk )). vk+l ∈ V . . f (vk+l ) = f ∗ (S)(v1 . f (vk+l )) = S(f (v1 ). W ) y T ∈ τ k (W ). W ). . vk ) = = (σ · T )(f (v1 ). Se sigue directamente de las definiciones. Demostraci´ on. ∀ S. . tenemos f ∗ (S ⊗ T )(v1 . . . . . 3. ∀ T ∈ τ l (W ). Si ω ∈ Vk f ∗ (ω) ∈ (V ). . ∀ σ ∈ Sk . . f ∗ (S + T ) = f ∗ (S) + f ∗ (T ). W dos R-espacios vectoriales y f ∈ L(V. . . dim R ^ n X (V ) = dim R k=0 k ^ ! (V ) = n X n k=0 k 120 = 2n . vk ) Por lo tanto f ∗ (σ · T ) = σ · f ∗ (T ). . Dada T ∈ τ k (W ).3. Si ω ∈ σ ∈ Sk tenemos Por lo tanto f ∗ (ω) ∈ Vk Vk Vk (W ) entonces (W ) entonces ω ∈ τ k (W ) y por lo tanto f ∗ (ω) ∈ τ k (V ). f ∗ (σ · T ) = σ · f ∗ (T ). Demostraci´ on. . . . f (vk ))T (f (v1 k + 1). . 2. Entonces f ∗ (T ) ∈ k τ (V ). . . . .3. ∀ S ∈ τ k (W ). f ∗ (S ⊗ T ) = f ∗ (S) ⊗ f ∗ (T ). . vk+l ) Por lo tanto f ∗ (S ⊗ T ) = f ∗ (S) ⊗ f ∗ (T ). . .) Dados v1 . . Proposici´ on 6. (f (vσ(k) )) f ∗ (T )(vσ(1) . lo cual denotamos por f ∗ (T ) como el mapeo f ∗ (T ) : V k → R definido por f ∗ (T )(v1 . . . W dos R-espacios vectoriales. Demostraci´ on. ∀ T ∈ τ k (W ). Proposici´ on 6. vk )f ∗ (T )(vk+1 . . . . . Proposici´ on 6. ∀ v1 . .3. Se cumple: 1. 4. . . .) Dados v1 . . 3. f ∗ (cT ) = cf ∗ (T ). . . se cumple: 1.An´ alisis Real II 121 Observaciones: 1. f ∗ ∈ L( (V )). W ) y g ∈ L(W. entonces f ∗ (Γ(σ.3. τ k (V )) y (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ . 1. f ∗ ∈ L(τ k (W ). f ∗ (ω ∧ η) = f ∗ (ω) ∧ f ∗ (η). ∀ T ∈ τ k (W ) Vk Vl 2. T )) = Γ(σ. Demostraci´ on. Vk Vk 2. T ) = σ · T .) f ∗ (ω ∧ η) = = (k + l)! ∗ (k + l)! (k + l)! Alt (ω ⊗ η) = f (Alt (ω ⊗ η)) = Alt (f ∗ (ω ⊗ η)) k! l! k! l! k! l! (k + l)! Alt (f ∗ (ω) ⊗ f ∗ (η)) = f ∗ (ω) ∧ f ∗ (η) k! l! f∗ Observaci´ on: De la parte 1 de la proposición anterior. W y X tres espacios vectoriales. f ∗ (T )). f ∗ ∈ L( (W ). τ k (V )). Proposici´ on 6. W dos R-espacios vectoriales y f ∈ L(V. se tiene que el siguiente diagrama es conmutativo Alt τ k (W ) −→ ∗ f ↓ τ k (V ) −→ Alt k ^ (W ) ↓ f∗ k ^ (V ) Proposici´ on 6. ¡Ejercicio! El siguiente resultado es de utilidad cuando trabajamos con dos R-espacios vectoriales de la misma dimensión. ∀ ω ∈ (W ) y ∀ η ∈ (W ). 4. f ∗ [Alt (T )] = Alt (f ∗ (T )).5 (Propiedad functorial del pullback) Sean V .3.) ∗ f [Alt (T )] = f ∗ ! 1 X 1 X 1 X sig (σ)(σ · T ) = sig (σ) f ∗ (σ · T ) = sig (σ) (σ · f ∗ (T )) k! k! k! σ∈Sk σ∈Sk σ∈Sk ∗ = Alt (f (T )) 2. . V 3. f ∈ L(V. Si Γ : Sk × τ k (V ) → τ k (V ) se define como Γ(σ.4 Sean V . X) entonces (g ◦ f )∗ ∈ L(τ k (X). W ). (V )). Demostraci´ on. An´ alisis Real II 122 Proposici´ on 6.3. . . consideremos {v1 . vm ): c = c (ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm ) (v1 . . 6. . . . tenemos: k=1 ψi (f (vj )) = m X ajk ψi (wk ) = aji k=1 reemplazando en la desigualdad anterior se llega a c = det(aji ) = det(f ) lo que prueba la proposición.4. Sea M m ⊆ Rn una superficie. . Definici´ on 6. . . luego Para determinar el valor de c. . todas las superficies consideradas serán de clase C ∞ (a este tipo de superficies se les acostumbra llamar suaves). vm ) = (ψ1 ∧ · · · ∧ ψm ) (f (v1 ). . . f (vm )) = (det(ψi (f (vj )))) Por otro lado. . . . vm } y {w1 . ψm } sus respectivas bases duales. . . es decir: m X f (vj ) = ajk wk .1 Sea M m ⊆ Rn una superficie suave y k ∈ N. wm } bases de V y W respectivamente y {ϕ1 . Una forma exterior de Vk grado k o simplemente k-forma sobre M es una función ω que a cada p ∈ M le asocia ω(p) = ωp ∈ (Tp M ). . podemos k ^ considerar el espacio vectorial de las k-formas alternadas (Tp M ). . es decir [ Vk ω: M → (Tp M ) p∈M p Observaciones: 7→ ωp ∈ Vk (Tp M ) 1. . .4 Formas Diferenciales De ahora en adelante. vm ) = [f ∗ (ψ1 ∧ · · · ∧ ψm )] (v1 . . {ψ1 . evaluemos ambos lados en (v1 . . . as´ı. W dos R-espacios vectoriales de dimensión m.6 Sean V . . . . . . ϕm }. . Si f ∈ L(V. . W ) entonces f ∗ (ψ1 ∧ · · · ∧ ψm ) = det(f ) ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm Demostraci´ on. Sabemos que {ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm } y {ψ1 ∧ · · · ∧ ψm } son bases de existe c ∈ R tal que f ∗ (ψ1 ∧ · · · ∧ ψm ) = c ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm Vm (V ) y Vm (W ). sabemos que para cada p ∈ M podemos considerar el espacio tangente Tp M el cual es un R-espacio vectorial de dimensión m. . Denotaremos por F k (M ) al conjunto de todas las k-formas sobre M . . si denotamos por (aij ) a la matriz asociada a f en las bases dadas de V y W . definimos el producto exterior de ω y η denotado por ω ∧ η como la funci´ on [ Vk ω∧η : M → (Tp M ) p∈M p 7→ (ω ∧ η)p = ωp ∧ ηp Observaciones: 1. ∀ ω1 . .4. Podemos generalizar la parte 4 de la definición anterior: Sean ω1 ∈ F k1 (M ). 3. F k (M ) se torna un F 0 (M )-módulo. concluimos que una 0-forma sobre X no viene a ser si no una función definida en M a valores reales. definimos ω1 ∧ · · · ∧ ωs ∈ F k (M ) (k = k1 + · · · + ks ) como (ω1 ∧ · · · ∧ ωs )p = (ω1 )p ∧ · · · ∧ (ωs )p . Si ω. η ∈ F k (M ). se torna un R-espacio vectorial. . definimos la suma de ω y η denotada por ω + η como la función [ Vk (Tp M ) ω+η : M → p∈M p 7→ (ω + η)p = ωp + ηp 2. ∀ η ∈ F l (M ). Si ω ∈ F k (M ) y c ∈ R. Con las operaciones de suma y producto por una función. .1 Se cumplen las siguientes propiedades: 1. definimos el producto de f y ω denotado por f ω como la función [ Vk fω : M → (Tp M ) p∈M p 7→ (f ω)p = f (p)ωp 4. Como (Tp M ) = R. La parte 2 de la definición anterior es un caso particular de la parte 3. Si ω ∈ F k (M ) y η ∈ F l (M ). Con las operaciones de suma y producto por n´ umeros reales F k (M ). ∀p∈M Proposici´ on 6. ωs ∈ F ks (M ). . Definici´ on 6. 2.An´ alisis Real II 123 0 ^ 2.4. ω2 ∈ F k (M ).2 Sea M m ⊆ Rn 1. definimos el producto de c por ω denotado por cω como la función [ Vk cω : M → (Tp M ) p∈M p 7→ (cω)p = cωp 3. (ω1 + ω2 ) ∧ η = ω1 ∧ η + ω2 ∧ η. 4. . Si ω ∈ F k (M ) y f ∈ F 0 (M ). . . . (dxn )p } (i. . Con el objetivo de simplificar la notación. 6. ∀ ω ∈ F k (M ). ∀ c ∈ R. ∀ η ∈ F l (M ). . la k-forma ω = ai1 .ik : U → R (con 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n) las cuales k son llamadas funciones coordenadas de ω. . 4. . .. . Con este convenio. 3.. xm a las coordenadas de U y si {(e1 )p . η2 ∈ F l (M ). . ∀ ω ∈ F k (M ).1 Sea U ⊆ Rn abierto y ω1 . (en )p } es la base canónica de Rnp .. . Ejemplo 6. ∀ η ∈ F l (M ). . . . .. 5..ik (p) ∈ R tales que   X X ωp = ai1 ..ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik puede ser escrita de manera más compacta como ω= X I 1≤i1 <···<ik ≤n aI dxI ... En particular si denotamos por x1 ... .4.. (f ω) ∧ η = ω ∧ (f η) = f (ω ∧ η). . (dxj )p (ei )p = δij ) entonces dados los sub´ındices i1 . . . ωk ∈ F 1 (U ) entonces ω1 ∧ · · · ∧ ωk ∈ F k (U ).. . . del Teorema 6. su base dual se acostumbra a denotar por {(dx1 )p . .An´ alisis Real II 124 2. Luego si ω ∈ F k (U ) y p ∈ U entonces ωp ∈ ai1 . (ω ∧ η) ∧ θ = ω ∧ (η ∧ θ). ∀ η1 . ∀ ω ∈ F k (M ). ω ∧ η = (−1)kl η ∧ ω. 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n} Vk n Vk n es una base de (Rp ). 5) Sea p ∈ M . ∀ θ ∈ F r (M ) Demostraci´ on. ∀ η ∈ F l (M ). ∀ η ∈ F l (M ).2. . 1≤i1 <···<ik ≤n 1≤i1 <···<ik ≤n es decir ω= X 1≤i1 <···<ik ≤n p ai1 . ω ∧ (η1 + η2 ) = ω ∧ η1 + ω ∧ η2 .e.ik (dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ) . Observaciones: 1. ∀ ω ∈ F k (M ). ik ∈ {1. (cω) ∧ η = ω ∧ (cη) = c(ω ∧ η). luego existen constantes (Rp ).ik (dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ) n De esta manera. indicaremos por I a la k-upla I = (i1 . . .ik (p)(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik )p =  ai1 . . n} tenemos que dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∈ F k (U ). ∀ ω ∈ F k (M ). quedan definidas funciones ai1 . . . se cumple (ω ∧ η)p = ωp ∧ ηp = (−1)kl ηp ∧ ωp = (−1)kl (η ∧ ω)p Se sigue que ω ∧ η = (−1)kl η ∧ ω. ∀ f ∈ F 0 (M ). (e2 )p .8 sabemos que {(dxi1 )p ∧ · · · ∧ (dxik )p . Si k ≤ n y p ∈ U . ik ) donde 1 ≤ i 1 < · · · < ik X ≤ n y usaremos dxI para representar a dxi1 ∧ · · · ∧ dxik . . en donde r = 0. Decimos que una k-forma ω es de clase C r en U si y sólo si todas sus funciones coordenadas son de clase C r en U .3 Sea U ⊆ Rn un abierto. . con 1 ≤ j1 < · · · < jl ≤ n.4. Ωk (U ) es un C ∞ (U )-módulo. podemos definir su diferenciabilidad. Proposici´ on 6. .4.An´ alisis Real II X 2. η = 125 X (f aI )dxI I X bJ dxJ ∈ F l (U ) donde I = (i1 . η = I ω+η = X I (aI + bI )dxI . . Ejemplo 6. ik ). . cω = X bI dxI ∈ F k (U ) y f ∈ F 0 (U ) entonces y fω = (caI )dxI I I 3. Escribiremos Ωk (U ) en vez de Ωk∞ (U ). . . Denotaremos por Ωkr (U ) al conjunto de todas las k-formas de clase C r en U . Sean U ⊆ Rn abierto. Observaci´ on: Si bien es cierto que las funciones coordenadas fueron definidas usando las bases canónicas. . . . Queda como ejercicio para el lector justificar esto. con J 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n y J = (j1 . jk ). Dado p ∈ U tenemos ! ! X X (ω ∧ η)p = ωp ∧ ηp = aI (p)(dxI )p ∧ bJ (p)(dxJ )p X = I " aI (p) (dxI )p ∧ XX = I I J J X bJ (p)(dxJ )p = J (aI bJ )(p)(dxI ∧ dxJ )p = es decir ω∧η = XX I # J XX I XX I J J aI (p)bJ (p)(dxI )p ∧ (dxJ )p (aI · bJ ) dxI ∧ dxJ ! p (aI · bJ ) dxI ∧ dxJ Usando las funciones coordenadas de una k-forma definida en un abierto. no es dif´ıcil probar que la definición de diferenciabilidad no depende de que base usamos para construir las funciones coordenadas. 1. ∞. Definici´ on 6.2 Si ω = x1 dx2 − x3 dx4 ∈ Ω1 (R4 ) y η = 3x2 dx1 ∧ dx2 − (x4 − x1 )dx2 ∧ dx3 ∈ Ω2 (R4 ) entonces ω ∧ η = −3x2 x3 dx1 ∧ dx2 ∧ dx4 + (x3 x4 − x1 x3 )dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 ∈ Ω3 (R4 ). .4. si ω = aI dxI . .2 Con las operaciones de suma y producto por funciones definidas anteriormente. Observe que Ω0 (U ) = C ∞ (U ). k l k+l Observaci´ on: Si ω ∈ Ω (U ) y η ∈ Ω (U ) entonces ω ∧ η ∈ Ω (U ). . ω = X X I aI dxI ∈ F k (U ). Con la notación anterior. Demostraci´ on. Ejercicio. . ∀ v1 . Proposici´ on 6.5. N ).5. . En efecto.2 tenemos 2. . . Sean M m ⊆ Rs .1 Sean M m ⊆ Rs . vk ∈ Tp M. . ∀ ω ∈ F k (N ). . 2. si p ∈ M entonces F (p) ∈ N luego Vk Vk ωF (p) ∈ (Tp M ). Si g ∈ C ∞ (N ) = F 0 (N ) entonces por la observaci´ [F ∗ (g)]p = [F 0 (p)] (gF (p) ) = g(F (p)) = (g ◦ F )(p) Luego F ∗ (g) = g ◦ F . entonces ω ∧ ω = 2x1 x2 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 6= 0. ∀ ω1 .An´ alisis Real II 126 Observaci´ on: Sabemos que dxi ∧ dxi = 0. .1 Sean M m ⊆ Rs . ∀ f ∈ F 0 (N ). se cumple: 1. V ). . F ∗ (f ω) = F ∗ (f )F ∗ (ω). Si ω ∈ F k (N ). Definici´ on 6. . F ∗ (ω1 + ω2 ) = F ∗ (ω1 ) + F ∗ (ω2 ). . 6. dado p ∈ M sabemos que 0 F (p) : Tp M → TF (p) N es una transformación lineal. N n ⊆ Rl superficies suaves y sea F ∈ C 1 (U. N n ⊆ Rl superficies suaves y sea F ∈ C 1 (M. . . Si ω ∈ F k (N ) entonces F ∗ (ω) ∈ F k (M ). ∀ c ∈ R. F 0 (p)(vk )). N n ⊆ Rl superficies suaves y sea F ∈ C 1 (U. F ∗ (cω) = cF ∗ (ω). por tanto podemos considerar (F 0 (p))∗ (ωF (p) ) ∈ (F 0 (p))∗ (ωF (p) )(v1 . ∀ ω ∈ F k (N ). 4. sin embargo en general no se cumple que ω ∧ ω = 0. . ∀ η ∈ F l (N ).3. . donde (TF (p) N ). vk ) = ωF (p) (F 0 (p)(v1 ). ω2 ∈ F k (N ). denotado por F ∗ (ω) como [ Vk (Tp M ) F ∗ (ω) : M → p 7→ p∈M ∗ [F (ω)]p = (F 0 (p))∗ (ωF (p) ) Observaciones: 1. on a la Proposición 6. sea ω = x1 dx1 ∧ dx2 + x2 dx3 ∧ dx4 ∈ Ω2 (R4 ).5 Pull-back de Formas Diferenciales Con el objetivo de definir la diferenciabilidad de k-formas en superficies. V ). F ∗ (ω ∧ η) = F ∗ (ω) ∧ F ∗ (η). ∀ ω ∈ F k (N ). 3. Sea ω ∈ F k (N ). introducimos el concepto de pull-back. definimos el pull-back de ω bajo F . . . Fm ) ∈ C 1 (U. ∀ p ∈ U y la proposición queda demostrada.2 Si U ⊆ Rn . F ∗ X I aI dyI ! = X I (aI ◦ F ) dFI . . . . ym y sea F = (F1 . . Si ω ∈ Ωk (V ) entonces F ∗ (ω) ∈ k Ω (U ). V ⊆ Rm son abiertos.) las demás son semejantes. ik ) (con i1 < · · · < ik ) denotamos dFI = dFi1 ∧ · · · ∧ dFik . Dado p ∈ M tenemos = (F 0 (p))∗ ((f ω)F (p) ) = (F 0 (p))∗ (f (F (p))ωF (p) ) = f (F (p))(F 0 (p))∗ (ωF (p) ) = (f ◦ F )(p)[F ∗ (ω)]p = [(f ◦ F )F ∗ (ω)]p [F ∗ (f ω)]p Luego F ∗ (f ω) = F ∗ (f )F ∗ (ω). . 2. . entonces F ∗ (dyI ) = dFI 3. Fm ) ∈ C 1 (U. Sólo probaremos 3. Si ϕ = m X i=1 ∗ ai dyi ∈ F 1 (V ) entonces F ∗ (ϕ) = m X i=1 (ai ◦ F )dFi ∈ F 1 (V ). tenemos: ∂F [F ∗ (dyi )]p (ej ) = (F 0 (p))∗ ((dyi )F (p) )(ej ) = (dyi )F (p) (F 0 (p)(ej )) = (dyi )F (p) (p) ∂xj m ! m X ∂Fk X ∂Fk ∂Fi = (dyi )F (p) (p)(ek )F (p) = (p)((dyi )F (p) )((ek )F (p) ) = (p) ∂xj ∂xj ∂xj k=1 = k=1 Fi0 (p)(ej ) As´ı [F ∗ (dyi )]p = Fi0 (p) = (dFi )p . . V ). ∀ 1 ≤ i ≤ m. xn a las coordenadas del abierto U .5. . M´ as a´ un. Sabemos que si ω = X I aI dyI ∈ Ωk (V ) entonces F ∗ (ω) = Como F : U → V es de clase C ∞ entonces Fi ∈ C ∞ (U ) luego dFi = ∂Fi ∂Fi dx1 + · · · + dxm ∈ Ω1 (U ) ∂x1 ∂xm X (aI ◦ F ) dFI I . Demostraci´ on. V ) entonces 1. Proposici´ on 6.3 Sean U ⊆ Rn . si para I = (i1 .An´ alisis Real II 127 Demostraci´ on. V ⊆ Rm abiertos y F = (F1 . Observaciones: Sean U ⊆ Rn . . V ⊆ Rm abiertos y F ∈ C ∞ (U. . . Sea p ∈ U y ej = (ej )p vector canónico de Rnp . F (dyi1 ∧ · · · ∧ dyik ) = dFi1 ∧ · · · ∧ dFik . . . V con coordenadas y1 . para toda X I aI dyI ∈ F k (V ). denotando por x1 . . . . Proposici´ on 6. Demostraci´ on. V ) entonces F ∗ (dyi ) = dFi . .5. . 5. recordemos que para cada p ∈ M dado. el resultado se sigue. entonces F ∗ (ω) = (f ◦ F )(det JF ) dx1 ∧ · · · ∧ dxm Demostraci´ on. Dado p ∈ U tenemos [(G ◦ F )∗ (ω)]p = ((G ◦ F )0 (p))∗ (ω(G◦F )(p) ) = (G0 (F (p)) · F 0 (p))∗ (ωG(F (p)) ) = (F 0 (p))∗ (G0 (F (p)))∗ (ωG(F (p)) ) = (F 0 (p))∗ G∗ (ω)F (p) = [F ∗ (G∗ (ω))]p Se sigue que (G ◦ F )∗ (ω) = F ∗ (G∗ (ω)). ym respectivamente y sea F ∈ C 1 (U . Sea M m ⊆ Rs una superficie suave.5 Sean U. Si ω = f dy1 ∧ · · · ∧ dym ∈ Ωk (V ). xm e y1 .2 Un atlas suave de dimensi´ ∞ parametrizaciones {(Vα . ϕ ∈ Hom (V. α Sea M m ⊆ Rs una superficie con atlas A(M ) y sea ω ∈ F k (M ). . dado p ∈ M existe (Vα . ϕα ) ∈ A(M ) tal que p ∈ ϕα (Vα ). . Proposici´ on 6. ϕ) de dimensión m (es decir V ⊆ Rm es un abierto. podemos obtener un resultado más espec´ıfico sobre la expresión del pullback de una m-forma en funciones coordenadas: Proposici´ on 6.6: [F ∗ (dy1 ∧ · · · ∧ dym )]p = [F 0 (p)]∗ (dy1 ∧ · · · ∧ dym )F (p) = [F 0 (p)]∗ (dy1 )F (p) ∧ · · · ∧ (dym )F (p) = [det JF ](p)(dx1 )p ∧ · · · ∧ (dxm )p = (det JF (dx1 ∧ · · · ∧ dxm ))p es decir F ∗ (dy1 ∧ · · · ∧ dym ) = det JF (dx1 ∧ · · · ∧ dxm ) reemplazando este resultado en la igualdad anterior. luego podemos considerar ωα = ϕ∗α (ω) ∈ F k (Vα ) la cual es llamada representaci´ on local de la k-forma ω en la parametrizaci´ on local no es u ńica. Se tiene que F ∗ (ω) = (f ◦ F ) F ∗ (dy1 ∧ · · · ∧ dym ). Es claro que esta representaci´ . .5. . U ∩ M ) y ϕ es una inmersión de clase C ∞ . . .5. vamos a usar el pullback para definir diferenciabilidad de k-formas en superficies. Entonces (G ◦ F )∗ (ω) = F ∗ (G∗ (ω)) Demostraci´ on. V ⊆ Rm abiertos con coordenadas x1 . Cuando U y V son abiertos de la misma dimensión m. on (Vα . . ϕα )}α de clase C y dimensión m tales que M = ϕα (Vα ). ϕα ).3. . Para finalizar la sección. V ⊆ Rm y W ⊆ Rs abiertos.An´ alisis Real II Por lo tanto dFi1 ∧ · · · ∧ dFik ∈ Ωk (U ) y de aqu´ı concluimos que F ∗ (ω) ∈ Ωk (U ). F : U → V y G : V → W mapeos de ∞ clase C y ω ∈ Ωk (W ).4 Sean U ⊆ Rn . usando la Proposición 6. V ). Por otro lado. existe U ⊆ Rm vecindad abierta de p tal que U ∩ M admite una parametrización (V. 128 Observaci´ on: Si F ∈ C ∞ (U. V ) entonces F ∗ : Ωk (V ) → Ωk (U ). on m sobre la superficie M m[es una colección A(M ) de Definici´ on 6. .6 Sea M m ⊆ Rs una superficie suave con atlas A(M ). (cω)α = cωα . ϕβ (Wαβ ) . ∀ α satisfacen la condición de compatibilidad.An´ alisis Real II 129 puesto que si (Vβ . c ∈ R. Vα . η = {(ηα . ϕα )}α . Sea (Vβ . 2. (f ω) = fα ωα . 2. f ∈ F 0 (M ) entonces no es dif´ıcil probar que (ω + η)α = ωα + ηα . en ϕ−1 α (Wαβ ) ∗ k En efecto. una k-forma en M puede ser definida como una colección ω = {(ωα . −1 ∗ k Ser´ıa natural definir ω ∈ F (M ) como ωp = [(ϕα ) (ωα )]p pero antes debemos probar que este valor es independiente de la parametrización. ω es una k-forma en M . donde fα = f ◦ ϕα . ϕα )}α ∈ F l (M ) entonces (ω ∧ η)α = ωα ∧ ηα . ϕβ ) ∈ A(M ) otra parametrización tal que p ∈ ϕβ (Vβ ). Vα . 3. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. luego (ϕ−1 α ) (ωα ) ∈ F (ϕα (Vα )). ϕα )}α en donde ωα ∈ F k (Vα ). ϕα )}α ∈ F k (M ). β ϕα ∈ Diff Trabajando en el abierto ϕ−1 α (Wαβ ) ⊆ Vα tenemos −1 −1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ (ϕ−1 β ϕα ) (ωβ ) = (ϕβ ϕα ) (ϕβ (ω)) = (ϕβ ϕβ ϕα ) (ω) = ϕα (ω) = ωα Rec”ıprocamente. Vα . tenemos: luego (ϕ−1 β ) (ωβ ) ∈ F (ϕβ (Vβ )). Sea M m ⊆ Rs una superficie suave con atlas A(M ) = {(Vα . Sean ω = {(ωα . dado p ∈ M . Trabajando en Wαβ y usando la condici´ ∗ ∗ −1 ∗ −1 ∗ (ϕ−1 (ϕβ−1 ϕα )∗ (ωβ ) = ϕ−1 (ωβ ) = (ϕ−1 α ) (ωα ) = (ϕα ) β ) (ωβ ) β ϕα ϕα y de esta manera la definición es buena. Vα .5. k ∗ on de compatibilidad. ϕα ) ∈ A(M ) existe ωα ∈ F k (Vα ) con la propiedad que si (Vα . en ϕ−1 α (Wαβ ) Observaciones: 1. ϕα ) ∈ A(M ) se tenga definida la ˆ k-forma ωα ∈ F k (Vα ) A¿Es posible definir a partir de ellas una k-forma ω ∈ F k (M )? Vamos a probar que la respuesta es afirmativa si esta familia de k-formas satisface la condici´ on de compatibilidad ∗ ωα = (ϕ−1 β ϕα ) (ωβ ). Vα . existe (Vα . ϕβ ) ∈ A(M ) son tales que Wαβ = ϕα (Vα ) ∩ ϕβ (Vβ ) 6= ∅ entonces ∗ ωα = (ϕ−1 β ϕα ) (ωβ ). supongamos que para cada parametrización (Vα . Sea ω = {(ωα . (Vβ . ϕβ ) ∈ A(M ) es otra parametrización tal que p ∈ ϕβ (Vβ ) entonces tenemos ωβ = ˆ ϕβ∗ (ω) ∈ F k (Vβ ) A¿Existe alguna relación entre las representaciones locales ωα y ωβ ? Denotemos Wαβ = ∞ −1 ϕ−1 ϕα (Vα ) ∩ ϕβ (Vβ ) y consideremos el cambio de coordenadas ϕ−1 α (Wαβ ). η = {(ηα . Resumimos nuestros resultados en el siguiente Teorema 6. ϕα ) ∈ A(M ) tal que p ∈ ϕα (Vα ). Para cada parametrización (Vα . ϕα )}α ∈ F k (M ). Por el teorema anterior. ϕα )}α . ϕα ). 6. La . 4. Demostraci´ on. Denotaremos por Ωkr (M ) al conjunto de todas las k-formas de clase C r sobre M .1 Si ω = x1 dx2 − x3 dx1 + x2 dx3 ∈ Ω1 (R3 ) entonces dω = dx1 ∧ dx2 + dx1 ∧ dx3 + dx2 ∧ dx3 ∈ Ω2 (R3 ). X I aI dxI ∈ Ωk (U ). Decimos que ω es de clase C r en M si y sólo si ωα ∈ Ωk (Vα ). . no es dif´ıcil probar que la definición anterior es buena. 6. . Proposici´ on 6. ∀ f ∈ Ω0 (U ).6. ∀ η ∈ Ωl (U ). ∀ c ∈ R. ∀ α. Sea U ⊆ Rn un abierto y a ∈ Ω0 (U ) recordemos que da = n X ∂a dxk ∈ Ω1 (U ) ∂xk k=1 Definici´ on 6.3 Sea M m ⊆ Rs una superficie suave con atlas A(M ) = {(Vα . ∀ ω ∈ Ωk (U ).An´ alisis Real II 130 Definici´ on 6. ∀ ω. ϕα )}α . Sólo probaremos una de ellas. y sea ω ∈ F k (M ).6 La Diferencial Exterior En esta sección. ∀ ω ∈ Ωk (U ). Como de costumbre escribiremos Ωk (M ) en vez de Ωk∞ (M ).6. Ejemplo 6.1 Se cumple las siguientes propiedades 1. denotada por dω. las demás son semejantes. Observaci´ on: Usando la condición de compatibilidad. vamos a definir una operación sobre las formas diferenciables que generaliza la operación de diferenciación de funciones (0-formas). d(f ω) = df ∧ ω + f dω. η ∈ Ωk (U ). xn y sea ω = diferencial exterior de ω. d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)k ω ∧ dη. 2. . d(ω + η) = dω + dη.1 Sea U ⊆ Rn un abierto con coordenadas x1 . 3. ∀ ω ∈ Ωk (U ).5. . Se puede probar que Ωk (M ) es un C ∞ (M )-módulo. se define como X dω = daI ∧ dxI I Observaci´ on: Si ω ∈ Ωk (U ) entonces dω ∈ Ωk+1 (U ). d(cω) = cdω. es suficiente probar el resultado para k-formas del tipo η ∧ dxi con η ∈ Ωk−1 (U )...J XX I J 131 aI · bJ dxI ∧ dxJ . df = dxi . luego (bJ daI + aI dbJ ) ∧ dxI ∧ dxJ aI dbJ ∧ dxI ∧ dxJ bJ dxJ ! + (−1) k X I aI ∧ dxI ! ∧ X J dbJ ∧ dxJ ! es decir d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)k ω ∧ dη.. Procedemos por inducción sobre k.ik−1 ∧ dxik . por la linealidad del operador d.An´ alisis Real II 4) Sea ω = X I aI dxI ∈ Ωk (U ) y η = d(ω ∧ η) = = X I. Obsevaci´ on: d : Ωk (U ) → Ωk+1 (U ) es un operador lineal.J = X J bJ dxJ ∈ Ωl (U ) entonces ω ∧ η = d(aI bJ ) ∧ dxI ∧ dxJ = bJ daI ∧ dxI ∧ dxJ + X I daI ∧ dxI ! ∧ X J X I.ik−1 ∈ Ωk−1 (U ). De esta manera.6.. Ind.ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik = ω= 1≤i1 <···<ik ≤n Luego X 1≤i1 <···<ik ≤n 1≤i1 <···<ik ≤n ηi1 .2 d(dω) = 0.J X I. observe que si ω ∈ Ωk (U ) entonces X X ai1 .. Observe que d(η ∧ dxi ) = dη ∧ dxi + (−1)k−1 η ∧ (d(dxi )) = dη ∧ dxi .J X I.. f ∈ Ω0 (U ) = C ∞ (U ). Teorema 6. donde ηi1 .ik (dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1 ) ∧ dxik ai1 ..) Probaremos que el resultado se cumple para k. ∀ ω ∈ Ωk (U ) Demostraci´ on. En primer lugar. n X ∂f Para k = 0.. luego ∂x i i=1 d(df ) = =   n n n X X X ∂f ∂f ∂  d ∧ dxi = dxj  ∧ dxi ∂x ∂x ∂x i j i i=1 i=1 j=1 X 1≤i<j≤n X = 1≤i<j≤n = − X ∂2f dxj ∧ dxi + ∂xj ∂xi 1≤j<i≤n 2 ∂ f dxj ∧ dxi + ∂xj ∂xi 1≤i<j≤n X 2 X 1≤i<j≤n ∂ f dxi ∧ dxj + ∂xj ∂xi X ∂2f dxj ∧ dxi ∂xj ∂xi ∂2f dxi ∧ dxj ∂xi ∂xj 1≤i<j≤n ∂2f dxi ∧ dxj = 0 ∂xi ∂xj Sea k ≥ 1 si ω ∈ Ωk−1 (U ) entonces d(d(ω)) = 0 (Hip. . ϕα )}α . ϕα } y sea ω ∈ Ωk (M ). Sea M m una superficie suave con atlas A(M ) = {(Vα . . sabemos que ω puede ser definida como una colección ω = {(ωα . Ind. F ∈ C ∞ (U. Observaci´ on: Si U ⊆ Rn .6.3 Sean U ⊆ Rn . donde η ∈ Ωk−1 (U ) y 1 ≤ i ≤ n F ∗ (dω) = F ∗ (d(η ∧ dxi )) = F ∗ (dη ∧ dxi ) = F ∗ (dη) ∧ F ∗ (dxi ) = d(F ∗ (η)) ∧ dFi Por otro lado d(F ∗ (ω)) = d(F ∗ (η ∧ dxi )) = d(F ∗ (η) ∧ F ∗ (dxi )) = d (F ∗ (η) ∧ dFi ) = d(F ∗ (η)) ∧ dFi + (−1)k F ∗ (η)d(dFi ) = d(F ∗ (η)) ∧ dFi De las dos igualdades anteriores. tenemos: m ! X m m X ∂f X ∂f ∂f ∗ ∗ ∗ F (df ) = F dyi = dyi = ◦ F dFi F ∂yi ∂yi ∂yi i=1 i=1 i=1   X n m m X n X X ∂F ∂Fi ∂f ∂f i   = ◦F dxj = ◦F dxj ∂yi ∂xj ∂yi ∂xj j=1 i=1 j=1 i=1 ! m n n X X X ∂f ∂(f ◦ F ) ∂Fi ◦F dxj = dxj = d(f ◦ F ) = d(F ∗ (f )) = ∂y ∂x ∂x i j j i=1 j=1 j=1 Sea k ≥ 1: Para ω ∈ Ωk−1 (U ) se tiene F ∗ (dω) = d(F ∗ (ω)) (Hip. se sigue d(F ∗ (ω)) = F ∗ (dω). Si denotamos por y1 . ym las coordenadas de V . Vα .An´ alisis Real II Luego d(d(η ∧ dxi )) = d(dη ∧ dxi ) = d(dη) ∧ dxi + (−1)k dη ∧ (d(dxi )) = 0 132 Teorema 6. como en la demostración del teorema anterior es suficiente probar para ω = η ∧ dxi . . V ) y ω ∈ Ωk (V ) entonces d(F ∗ (ω)) = F ∗ (dω) Demostraci´ on.) Sea ω ∈ Ωk (U ). V ⊆ Rm son abiertos y F ∈ C∞ (U. Vα . Para k = 0. f ∈ Ω0 (V ) = C ∞ (V ). V ) entonces se tienen los siguientes diagramas conmutativos: Ω0 (V ) F∗ ↓ Ω0 (U ) d −→ d −→ Ω1 (V ) F∗ ↓ Ω1 (U ) d −→ d −→ d Ω2 (V ) −→ F∗ ↓ Ω2 (U ) d −→ Ω3 (V ) F∗ ↓ Ω3 (U ) d −→ · · · d −→ · · · Vamos a definir la diferencial exterior para k-formas sobre superficies. V ⊆ Rm abiertos. ϕα )}α en donde ωα ∈ Ωk (Vα ). Ser´ıa natural definir dω = {((dω)α . ∀ α satisfacen la condición de compatibilidad. Probaremos por inducción sobre k. . Observe que dω ∈ Ωk+1 (M ).An´ alisis Real II 133 donde (dω)α = dωα . ϕα ). tenemos: ∗ ∗ ∗ ϕ−1 ((dω)β ) = ϕ−1 (dωβ ) = d ϕ−1 ωβ = dωα = (dω)α β ϕα β ϕα β ϕα y por tanto la definición es buena. per antes debemos verificar que ellas cumplan la condición de compatibilidad. ∀ α. Si F ∈ C ∞ (M. los Teoremas 6. ∀ ω ∈ Ωk (N ) La demostración queda como ejercicio para el lector.6.6.2 y 6. Trabajando en ϕ−1 α (Wαβ ). (Vβ . ϕβ ) ∈ A(M ) tales que Wαβ = ϕα (Vα ) ∩ ϕβ (Vβ ) 6= ∅. . Sean (Vα .3 pueden ser extendidos a superficies: 1. N ) entonces F ∗ (dω) = d (F ∗ (ω)). Con esta definición. ∀ ω ∈ Ωk (M ) 2. d(dω) = 0. Definici´ on 7. Para cumplir con nuestro objetivo. Si M es una superficie compacta entonces sopp (ω) es un subconjunto compacto de M . ∀ p ∈ ϕα (Vα ) ∩ ϕβ (Vβ ) det J(ϕ−1 )(ϕ ϕ α α β En este caso decimos que el atlas A(M ) induce una orientaci´ on en M . necesitamos dos definiciones.2 Decimos que M m ⊆ Rs es una superficie orientable si y sólo si existe A(M ) atlas de M tal que para cualquier par (Vα .1 La integral de una k-forma diferencial sobre superficies El objetivo de esta sección es definir lo que entendemos por integral de una k-forma sobre una superficie. . Definici´ on 7. . Como las k-formas son generalizaciones del concepto de función y una superficie es la generalización de un conjunto abierto. (Vβ . Sea U ⊆ Rm un abierto con coordenadas x1 .1 Sea M m ⊆ Rs una superficie suave y ω ∈ Ωk0 (M ). ϕα ). entonces los resultados de esta sección son una generalización de la integral estudiada en el Cap´ıtulo 5. se define como sopp (ω) = {p ∈ M . 134 . ϕβ ) ∈ A(M ) tales que ϕα (Vα ) ∩ ϕβ (Vβ ) 6= ∅ se tiene −1 (p)) > 0.1. xm y ω ∈ Ω0m (U ) entonces ω = a dx1 ∧ · · · ∧ dxm con a ∈ C(U ). 2. ωp = 6 0} ∩ M Observaciones: 1. denotado por sopp (ω). .1. El soporte de ω. . Queda como ejercicio para el lector demostrar que sopp (ω) = sopp (a).Cap´ıtulo 7 Integrales de Superficie 7. se cumple sopp (φi ω) ⊆ sopp (φi ) ∩ sopp (ω) ⊆ Uαi ∩ M = ϕαi (Vαi ) . . usando particiones de la unidad. como ωα = ϕ∗α (ω) = aα dxα ∧ · · · ∧ dx y ∈ C(V a ) donde sin pérdida de generalidad. .An´ alisis Real II 135 Sea M m ⊆ Rs una superficie suave. La idea [ es reducir la definición al Caso 1. . Consideremos dos casos: Caso 1: Existe (Vα . ϕα ) ∈ A(M ) tal que sopp (ω) ⊆ ϕα (Vα ). . Consideremos φ1 ω. orientable con atlas A(M ) y sea ω ∈ Ωm 0 (M ). compacta. Denotemos Kα = ϕ−1 α (sopp (ω)) (el cual es α compacto en Rm ). la cual llamaremos partici´ on de la unidad subordinada al atlas A(M ). Si existe una parametrización (Vα .2 tenemos que a ∈ R(Vα ).8.1. luego existe {φ1 . compacta. Caso 2: Caso general. . α 1 m podemos considerar el abierto Vα ⊆ Rm como siendo acotado. vamos a definir la integral de ω sobre M . hemos probado que el valor de la integral no depende de la parametrización y por tanto tiene sentido la siguiente definición. por la Proposición 6. ϕβ ) ∈ A(M ) con Wαβ = ϕα (Vα )∩ϕβ (Vβ ) = 6 ∅ tal que sopp (ω) ⊆ ϕβ (Vβ ). orientable con atlas A(M ) y sea ω ∈ Ωm 0 (M ). φn } una C ∞ -partición de la unidad de M subordinada a U. . Definici´ on 7. Suponga que existe otra parametrización (Vβ . .5. β −1 β denotando Kβ = ϕβ (sopp (ω)) y ωβ = aβ dx1 ∧ · · · ∧ dxm . Es claro que U = {Uα }α es un cubrimiento abierto de la superficie compacta M m . En primer lugar sabemos M = ϕα (Vα ) donde ϕα (Vα ) es un abierto de M es decir. ϕα ) tal que sopp (ω) ⊆ ϕα (Vα ) entonces Z Z Z Z ωα = ω= ϕ∗α (ω) = aα dx1α · · · dxα m M Kα Kα Kα α α en donde Kα = ϕ−1 α (sopp (ω)) y ωα = aα dx1 ∧ · · · ∧ dxm . luego estar´ıamos tentados a definir Z Z Z Z α α α ωα = aα dxα aα dx1 ∧ · · · ∧ dxm := ω= 1 · · · dxm M Vα Vα Vα Sin embargo debemos antes probar que esta definición no depende de la parametrización. la orientabilidad de M . φn ω ∈ Ωm 0 (M ). existe Uα ⊆ Rs abierto α tal que ϕα (Vα ) = Uα ∩ M . .5. entonces por el Teorema 5. tenemos: Z ωα = Vα = = = Z Z Z −1 (Wαβ ) ϕα −1 (Wαβ ) ϕα ωα = Z −1 ϕα (Wαβ ) ϕβ−1 ϕα ∗ (ωβ ) −1 α aβ ◦ ϕ−1 dxα 1 ∧ · · · ∧ dxm β ϕα det J ϕβ ϕα α aβ ◦ ϕβ−1 ϕα det J(ϕβ−1 ϕα ) dxα 1 · · · dxm −1 ϕα (Wαβ ) Z Z Z β β ωβ ωβ = aβ dx1 · · · dxm = ϕ−1 β (Wαβ ) −1 (Wαβ ) ϕβ Vβ De esta manera. el Teorema del cambio de variable en la integral m´ ultiple y las condiciones de compatibilidad.3 Sea M m una superficie suave. ψl } una C ∞ -partición de la unidad de M subordinada al atlas A(M ). Si ω ∈ Ωm 0 (M ) es tal que ω ≥ 0 entonces Z M ω ≥ 0. compacta y orientable. 3. Z M cω = c Z M ω. Sabemos que la on de la unidad de M subordinada al atlas A(M ). . orientable. con atlas A(M ) y sea ω ∈ Ω0m (M ). Ejercicio. .An´ alisis Real II 136 As´ı. ϕα ) ∈ A(M ) entonces (Vα . denotada por ω se define como M Z ω= M n Z X i=1 φi ω M Proposici´ on 7.2 Sean M m . ∀ ω ∈ Ω0m (N ). Ejercicio. . Si {φ1 . familia {φi ψj .1. Definici´ on 7. cada m-forma φi ω cumple la condición del Caso 1 y tiene sentido la integral de ella.1 Sea M m una superficie suave. M M ∀ ω ∈ Ω0m (M ). M 2. .1. y sean A(M ) y A(N ) los atlas que inducen la orientaci´ M y N respectivamente. Decimos que f ∈ Diff ∞ (M. N ) preserva orientación. tenemos la siguiente definición.1. se cumple: Z Z Z 1. N ) preserva orientaci´ on si y sólo (Vα . 1 ≤ j ≤ l} es una C ∞ -partici´ luego   n ! n Z l n X l Z n Z l Z l Z X X X X X X X   ψj ω = φi ψ j ω = φ i ψj ω = φi ω = φi ψj ω i=1 M i=1 M j=1 i=1 j=1 M j=1 M i=1 j=1 M De esta manera. compactas y f ∈ Diff ∞ (M. f ◦ ϕα ) ∈ A(N ). . on en Sean M m . Demostraci´ on. N . ∀ ω. luego ser´ıa natural definir Z n Z X ω= φi ω M i=1 M Sin embargo debemos probar que esta definición es independiente de la partición de la unidad elegida. (ω + η) = ω+ η. η ∈ Ωm 0 (M ). 1 ≤ i ≤ n. entonces Z Z f ∗ (ω) = ω. .4 Sea M m una superficie compacta. N m superficies orientadas. φn } es una C ∞Z-partición de la unidad de M subordinada al atlas A(M ) entonces la integral de ω en M . M Demostraci´ on. orientadas. . Proposici´ on 7. Sea {ψ1 . N m superficies suaves. . ∀ c ∈ R. 2 137 Superficies con frontera La noción de superficie estudiada hasta aqu´ı no incluye a conjuntos del tipo M = {(x. introduciremos el concepto de superficie con frontera.An´ alisis Real II 7. x1 = 0} la cual puede identificarse con Rm−1 . . f (a + tv) − f (a) Demostraci´ on. z) ∈ R3 .1 Sea U ⊆ Rm abierto y f : U → Hm de clase C 1 . Para estudiar conjuntos de este tipo. x1 ≤ 0} es llamado semiespacio de dimensi´ on m. . xm ) ∈ Rm . Tomemos (xk ) ⊆ V − ∂Hm tal que lim xk = x. Si x ∈ V − ∂Hm entonces existe r > 0 tal que Br (x) ⊆ V − ∂Hm . . dado p = (1. . . . Si a ∈ U es tal que f (a) ∈ ∂Hm entonces f 0 (a)(Rn ) ⊆ ∂Hm . . El conjunto Hm = {(x1 . supongamos que existen U. . Su frontera viene dada por ∂Hm = {(x1 . . 2. z ≥ 0. F1 ∈ C 1 (U1 . En efecto. Se desprende de aqu´ı que existen dos tipos de abiertos en Hm : los abiertos comunes de Rm (cuando U ⊆ int (Hm )) y los abiertos que contienen puntos de ∂Hm . x2 + y 2 + z 2 = 1} En efecto. . Dotaremos a Hm de la topolog´ıa inducida por Rm .2. denotando f = (f1 . por tanto. Rm ) tales que F V = F1 V = f . Afirmo que esta definición es independiente de la extensión F de f . . Sea v ∈ Rn entonces f 0 (a)(v) = lim . fm ) t→0 t tenemos f1 (a + tv) f1 (a + tv) − f1 (a) π1 [f 0 (a)(v)] = lim = lim t→0 t→0 t t . U1 ⊆ Rm abiertos con V = U ∩ ∂Hm = U1 ∩ ∂Hm y existen F ∈ C 1 (U . Sea V ⊆ Hm abierto en Hm y f : V → Rn . 0. se tiene que k→∞ F10 (xk ) = f 0 (xk ) = F 0 (xk ) y por continuidad de la derivada se tiene que F10 (x) = lim F10 (xk ) = lim F 0 (xk ) = F 0 (x) k→∞ k→∞ Lema 7. y. Si x ∈ V ∩ ∂Hm definimos la derivada de f en x como la derivada de su extensión F 0 (x). Observaciones: 1. Decimos que f es de clase C k en V (k ≥ 1) si y sólo si existe U ⊆ Rm abierto con V = U ∩ ∂Hm y existe F : U → Rn función de clase C k en U tal que F V = f . xm ) ∈ Rm . el conjunto Up ∩ M no es homeomorfo a ning´ un abierto de R2 y. Rm ). . 0) ∈ M y Up ⊆ R3 vecindad abierta de p. es decir V es abierto en Hm si y sólo si existe U ⊆ Rm tal que V = U ∩ Hm . no admite parametrización. luego tiene sentido hablar de la derivada de f : V ⊆ Hm → Rn en x. por hipótesis. Demostraci´ on. Por V la Forma Local de las Inmersiones. AF (M ) de F-parametrizaciones (Vα . ˜ ∈ U . Sea (V. existen U . Lema 7.1 Sean U. ϕp ) de clase C k y dimensión m. lo cual es una contradicci´ on. n on m sobre una superficie con frontera M m ⊆ R Un atlas de clase C k y dimensi´ [ es una colección k ϕα (Vα ). V˜ ) tales que U = U ∂Hm . F U = f y F = f . Sea a ∈ V . V˜ 0 × Z) tal que (h ◦ ϕ)(x) ˜ ϕ(a) = (x. ˜ . on de clase C k (k ≥ 1) y dimensi´ on m del conjunto Definici´ on 7. es inyectiva.An´ alisis Real II f1 (a + tv) f1 (a + tv) ≤ 0. V ).2. 138 Si t > 0 entonces Teorema 7. sabemos que ϕ˜0 (a) = ϕ0 (a) ∈ L(Rm . 2.2. más a´ un (f ) (f (a)) = (F ) (f (a)) ∈ GL(R ) y esto que V implica que Rm = (f −1 )0 (f (a))(Rm ) ⊆ ∂Hm . 0 ∈ Z. Rn ) que. on m y clase C k (k ≥ 1) en Rn es un subconDefinici´ on 7. Aux. existen abiertos V˜ 0 ⊆ V˜ . y existe h ∈ Diff k (U. son difeomorfismos de clase C k . Pero por hip´ otesis. ∀ x ∈ V˜ 0 . Como ϕ : V → X es de clase C k . donde V0 ⊆ H es un abierto de Hm y ϕ : V0 → V es una función que satisface las dos condiciones siguientes: 1. vamos a demostrar que los cambios de coordenadas de una superficie de clase C k . − t t t→0 Se sigue que π1 [f 0 (a)(v)] = 0 y por tanto f 0 (a)(Rn ) ⊆ ∂Hm .2. . entonces por el Lema 7. ϕ) una F-parametrización de clase C k y dimensión m del conjunto X ⊆ Rn . Rn ) tal que ϕ˜ = ϕ. V −1 m −1 0 m −1 −1 0 ˜ V = V ∩H . V ⊆ Hm abiertos en Hm y f : U → V difeomorfismo de clase C k (k ≥ 1). t t t→0+ f1 (a + tv) f1 (a + tv) Si t < 0 entonces ≥ 0. ϕα ) de clase C y dimensión m tales que M = α Al igual de lo que ocurr´ıa con las superficies sin frontera.2 Toda F-parametrización de clase C k y dimensión m es un difeomorfismo de clase C k . ϕ). ϕ ∈ Hom (V0 . ϕ es una inmersión de clase C k .2.2. existe V˜ ⊆ Rm abierto con V˜ ∩ Hm = V y existe ϕ˜ ∈ C k (V˜ .) Sea r > 0 tal que Br (f (a)) ⊆ V − ∂Hm y consideremos f −1 : Br (f (a)) → Hm la cual es de clase C k .1 tenemos que (f −1 )0 (f (a))(Rm ) ⊆ ˜ ˜ ⊆ Rm abiertos y existe F ∈ Diff k (U ˜ ∩ Hm . 0). Se cumple a ∈ U ∩ ∂H m si y sólo si f (a) ∈ U ∩ ∂H m Demostraci´ on. luego π1 [f 0 (a)(v)] = lim ≤ 0. Z ⊆ Rn−m y U ⊆ Rn con a ∈ V˜ 0 . tenemos que f (a) ∈ Br (f (a)) y f −1 (f (a)) = a ∈ ∂Hm . (⇒) Sea a ∈ U ∩ ∂H m y supongamos que f (a) ∈ V − ∂Hm (Hip.2 Una superficie con frontera de dimensi´ n junto M ⊆ R tal que para todo punto p ∈ M . Una F-parametrizaci´ m V es un par (V0 . existe una vecindad abierta Up ⊆ Rn de p tal que Up ∩ M admite una F -parametrización (Vp . luego π1 [f 0 (a)(v)] = lim ≥ 0.1 Sea V ⊆ Rn . el lema se sigue. denotada por ∂M . Definici´ on 7. Si M es una superficie con frontera.2. De aqu´ı se sigue que el concepto de frontera que acabamos de definir no coincide con el concepto topológico de frontera. 3. ϕi ) ∈ AF (M ) con p ∈ ϕi (Vi ) tal que ϕi−1 (p) ∈ ∂Hm } Observaciones: 1. ϕj ) ∈ AF (M ) son tales que W = ϕi (Vi ) ∩ ϕj (Vj ) 6= ∅ entonces el cambio de coordenadas ϕj−1 ◦ ϕi : ϕ−1 i (W ) ⊆ −1 m m k H → ϕj (W ) ⊆ H es un difeomorfismo de clase C . 2.3 Sea M m ⊆ Rn una superficie con frontera de clase C k . Tales superficies las llamaremos superficies sin frontera. ϕj ) ∈ AF (M ) con p ∈ ϕj (Vj ). Corolario Sea M ⊆ Rn superficie con frontera de clase C k con atlas AF (M ). la cual es de clase C k . se define como ∂M = {p ∈ M .2 Sea M m ⊆ Rn una superficie con frontera de clase C k entonces ∂M es una superficie k de clase C y dimensión m − 1.3. y sea p ∈ M . Demostraci´ on. ϕj ) ∈ AF (M ) con p ∈ ϕj (Vj ). el conjunto M − ∂M es llamado interior de M y se denota por int (N ). Considero la composición π◦h : U → V˜ 0 . Si (Vi .An´ alisis Real II 139 Sea la proyección π : V˜ 0 × Z → V˜ 0 dada por π(x. ∃ (Vi . Por el Lema 7. ϕi ).1 se tiene que ϕj (p) = ϕj ◦ ϕi (ϕi (p)) ∈ ∂H . Lema 7.2. = ϕ−1 . Ejercicio! A continuación caracterizaremos los puntos de una superficie M con frontera que son mapeados en ∂Hm . entonces para cualquier (Vj . 4. De la definición se desprende inmediatamente que ∂M ⊆ M .2. se sigue que π ˜0 ˜ es la inversa de h ◦ ϕ. Sea (Vj . no obstante tener la misma notación. No se debe confundir este concepto con el de interior de un conjunto que se estudia en topolog´ıa. Demostraci´ on. Si ∂M = ∅ entonces M es una superficie del tipo estudiado en las secciones anteriores. Si existe (Vi . ∂M está bien definido. Desde que a ∈ V fue arbitrario.2. La frontera de M . por el Teorema 7. y) = x.3 Sea M m ⊆ Rn una superficie con frontera de clase C k y atlas AF (M ). Se sigue que ϕ−1 es de clase C k y por tanto ϕ es un difeomorfismo de se sigue que (π ◦ h) V ×{0} U ∩X clase C k en una vecindad de a ∈ V . (Vj . se tiene que ϕj−1 (p) ∈ ∂Hm . Como W = ϕi (Vi ) ∩ ϕj (Vj ) 6= ∅ entonces −1 ◦ ϕi : ϕ−1 ) es un difeomorfismo de clase C k . . Como el cambio de coordenadas ϕ−1 j i (W ) → ϕj (W −1 −1 −1 m m ϕ−1 i (p) ∈ ∂H .2. Proposici´ on 7. ϕi ) ∈ AF (M ) con p ∈ ϕi (Vi ) tal que ϕi−1 (p) ∈ ∂Hm . además como h(U ∩X) = V˜ 0 ∩ Hm ×{0}. An´ alisis Real II 140 Demostraci´ on. Denotemos por AF (M ) al atlas de M . Sea p ∈ ∂M ⊆ M , luego existe (Vα , ϕα ) ∈ m AF (M ) con p ∈ ϕα (Vα ) = Uα ∩ M (donde Uα ⊆ Rs es abierto) tal que ϕ−1 α (p) ∈ ∂H . Considero las funciones i : Rm−1 → ∂Hm y π : Rm → Rm−1 definidas por i(y1 , . . . , ym−1 ) = (0, y1 , . . . , ym−1 ), π(x1 , . . . , xm ) = (x2 , . . . , xm ) Es claro que π ∂Hm = i−1 , luego i ∈ Diff ∞ (Rm−1 , ∂Hm ). Denotemos m −1 e iα = i Vα = i (Vα ∩ ∂H ), y πα = π e Vα Vα ∩∂Hm −1 Se sigue que Veα es un abierto de Rm−1 y que πα = iα . e eα ) es una parametrización de clase C k y Defino ϕ eα = ϕα ◦ iα : Vα → Uα ∩ ∂M . Se sigue que (Veα , ϕ dimensión m − 1. Observaciones: 1. Sea M una superficie con frontera. Si AF (M ) = {(Vα , ϕα )} es un atlas de M entonces m A(∂M ) = {(Veα , ϕ eα )} = {(i−1 α (Vα ∩ ∂H ), ϕα ◦ iα )} es un atlas de ∂M al que llamaremos atlas de ∂M inducido por AF (M ). 2. ∂M es una superficie sin frontera, es decir ∂(∂M ) = ∅. ¯ fαβ 6= ∅. Como 3. Sean (Veα , ϕ eα ), (Veβ , ϕ eβ ) ∈ A(∂M ) tales que ϕ eβ (Veβ ) = W eα (Veα ) ∩ ϕ −1 ϕ eα ϕ eβ = πα (ϕ−1 α ϕβ )iβ f en ϕ e−1 β (Wαβ ), −1 fαβ ) tenemos ϕβ = (F1 , . . . , Fm ) y y = (y1 , . . . , ym−1 ) ∈ ϕ haciendo ϕα eβ−1 (W −1 ϕβ )0 (0, y)iβ (ϕ e−1 eβ )0 (y) = πα (ϕα α ϕ luego   e2 ∂(F1 , . . . , Fm−1 )   ∂(F1 , . . . , Fm ) −1 t (0, y) · et2 · · · em (0, y) = J(ϕ eα ϕ eβ )(y) =  ...  · ∂(x1 , . . . , xm ) ∂(x1 , . . . , xm−1 ) em Proposici´ on 7.2.3 Si M m es una superficie de clase C k , orientable, con frontera entonces ∂M es orientable Demostraci´ on. Sea AF (M ) = {(Vα , ϕα )} el atlas que induce una orientaci´ on en M y sea A(∂M ) = eα )} el atlas de ∂M inducido por AF (M ). Consideremos (Veα , ϕ {(Veα , ϕ eα ), (Veβ , ϕ eβ ) ∈ A(∂M ) tales An´ alisis Real II 141 β m−1 fαβ = ϕ f que W eα (Veα ) ∩ ϕ eβ (Veβ ) 6= ∅, denotando y β = (y1β , . . . , ym−1 ) ∈ ϕ e−1 , yα = β (Wαβ ) ⊆ R m−1 f (y α , . . . , y α ) ∈ ϕ e−1 y ϕ−1 ϕβ = (F1 , . . . , Fm ), se cumple α (Wαβ ) ⊆ R 1 m−1 α β −1 β β β (0, y α ) = iα (y α ) = (ϕ−1 α ϕβ )(0, y ) = (ϕα ϕβ ) iβ (y ) = (F1 (iβ (y )), . . . , Fm (iβ (y ))) Luego 0 = (F1 ◦ iβ )(y β ), derivando β θ = ∇F1 (0, y ) · se sigue que et2 ∂F1 ∂xβ2 · · · etm = ∂F1 ∂xβ1 (0, y β ) = · · · = ∂F1 β (0, y ), . . . , ∂F1 ∂xβm β ∂xm−1 β (0, y ) ! (0, y β ) = 0 Por otro lado  luego Pero ∂F1 (0, y β ) β  ∂(F1 , . . . , Fm ) β β  ∂x1 (0, ) = J ϕ−1 y α ϕβ (0, y ) =  ∂(x1β , . . . , xβm ) A θ ∂(F2 . . . , Fm ) β ∂(xβ2 , . . . , xm ) (0, y β )    # " −1 ∂F , . . . , F ) ∂(F 1 m 2 0 < det J ϕα ϕβ (0, y β ) = (0, y β ) · det (0, y β ) ∂x1β ∂(xβ2 , . . . , xβm ) ∂F1 ∂x1β (0, y β ) = lim+ h→0 F1 (y β , h) − F1 (y β , 0) >0 h Usando la observación anterior, se sigue que # " i h ∂(F1 , . . . , Fm ) −1 β −1 β −1 y ) (0, = det J( ϕ ϕ e , e ϕ e = det 0 < det )(ϕ (p)) )(y ) J( ϕ e β β α α β ∂(xβ1 , . . . , xβm ) Lo cual prueba que ∂M es orientable. 7.3  fαβ ∀p∈W El Teorema de Stokes Sea M m una superficie suave, con frontera, compacta, orientable, sabemos entonces que ∂M es una superficie suave, compacta, sin frontera, orientable. Luego ∂M admite dos orientaciones. Decimos que ∂M tiene la orientaci´ on inducida por M si y sólo si la inclusión i : ∂M → M preserva orientaci´ on. Se puede demostrar que en parametrizaciones, esto es equivalente a decir que iα : Veα → Vα ∩ ∂Hm dado por i(y1 , . . . , ym−1 ) = (0, y1 , . . . , ym−1 ) preserva orientaci´ on (esta es la razón por la cual hemos definido as´ı el semiespacio ∂H m ). En caso de dimensiones 2 y 3, geometricamente esto significa que el vector normal a ∂M siempre apunta hacia afuera. An´ alisis Real II 142 Teorema 7.3.1 (Stokes) Sea M m una superficie suave, con frontera, compacta, orientable y sea ω ∈ on inducida por M entonces Ω1m−1 (M ). Si i : ∂M → M es la inclusión canónica y ∂M tiene la orientaci´ Z Z dω. i∗ ω = ∂M M Demostraci´ on. Sea AF (M ) = {(Vα , ϕα )} atlas de M y ω = {(ωα , Vα , ϕα )}. Consideremos dos casos: Caso 1: Existe (Vα , ϕα ) ∈ AF (M ) tal que sopp (ω) ⊆ ϕα (Vα ). Denotemos Kα = ϕ−1 α (sopp (ω)) ⊆ Vα , (V ) entonces como ωα ∈ Ωm−1 α 1 ωα = m X j=1 aj dx1 ∧ · · · ∧ dxj−1 ∧ dxj+1 ∧ · · · ∧ dxm donde a1 , . . . , am ∈ C 1 (Vα ), luego dωα = m X j=1 daj ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxj−1 ∧ dxj+1 ∧ · · · ∧ dxm m ! m X ∂aj X = dxi ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxj−1 ∧ dxj+1 ∧ · · · ∧ dxm ∂xi i=1 j=1   m X ∂aj  dx1 ∧ · · · ∧ dxm =  (−1)j−1 ∂x j j=1 Existen dos posibilidades a) sopp (ω) ∩ ∂M = ∅. Es claro que Z i∗ ω = 0. ∂M Por otro lado, definimos las funciones Aj : Hm → R como aj (x) si x ∈ Vα Aj (x) = 0 si x ∈ Hm − Vα Como aj ∈ C 1 (Vα ) y sopp (aj ) ⊆ Vα , se sigue que Aj ∈ C 1 (Hm ). Sea B = [u1 , v1 ] × · · · × [um , vm ] m-bloque compacto tal que Vα ⊆ B, donde u1 < v1 = 0. Para j ∈ {1, . . . , m} denotemos Bj = [u1 , v1 ] × · · · × [uj−1 , vj−1 ] × [uj+1 , vj+1 ] × · · · × [um , vm ] Por el Teorema de Integración Iterada tenemos:   Z Z Z Z m X ∂a  (−1)j−1 j  dx1 . . . dxm dωα = dω = (dω)α = ∂xj Vα M Vα Vα j=1   Z Z m m X X ∂Aj  (−1)j−1 ∂Aj  dx1 . . . dxm = = (−1)j−1 dx1 . . . dxm ∂xj B ∂xj B j=1 j=1 . . . . xj−1 . xj−1 . xj+1 . xm ) − Aj (x1 . . . . . B y Bj como antes. . . . . . . . . . x2 . . xj+1 . . tenemos Z dω = ∂M m X (−1)j−1 j=1 = m X (−1)j−1 j=1 = Z Z ∂Aj B ∂xj Z "Z vj Bj uj # ∂Aj dxj dx1 . vj . . xj−1 . xm )dx2 · · · dxm = Reemplazando este resultado en (7. . uj . x2 . . xm )]dx2 · · · dxm + B1 m X + = Z j=2 B1 (−1)j−1 Z Bj [Aj (x1 . . xm )dx2 · · · dxm i∗ ω = Z dω. . . dxj−1 dxj+1 . . M . xj−1 . . . . . . ym−1 ) = (x1 . . dxm ∂xj [A1 (0. . . . . . . ym−1 ) = (0.An´ alisis Real II m X = j=1 m X = j−1 (−1) Bj (−1)j−1 Z Z i∗ ω = ∂M Z vj uj # ∂Aj dxj dx1 . xm )] = 0 Bj j=1 Por tanto "Z Z 143 dω. . xm ) − A1 (u1 . vj . . . . . xm )] A1 (0. . uj . . x2 . . xm ). . xj+1 . . . . . dxm ∂xj [Aj (x1 . y1 . dxj−1 dxj+1 . . . luego Z Z Z ∗ ∗ i ω= (i ω)α = eα V eα V ∂M ∗ iα ωα Pero desde que iα (y1 . . . . . . .1) llegamos a Z Z eα V ∂M a1 (0. Sea Veα = Vα ∩ ∂Hm . M b) sopp (ωα ) ∩ ∂M 6= ∅. xj+1 . xm ) − Aj (x1 .1) (−1)j−1 j=1 Z Vα ∂aj ∂xj Tomando Aj . x2 . . . . . . . . . . tenemos que dx1 = 0 y por tanto i∗α (ωα ) = m X j=1 ∗ (aj ◦ iα )iα (dx1 ∧ · · · ∧ dxj−1 ∧ dxj+1 ∧ · · · ∧ dxm ) = (a1 ◦ iα )dy1 ∧ · · · ∧ ym−1 luego Z Por otro lado Z i∗ ω = ∂M dω = M Z Z eα V dωα = Vα am ◦ iα m X (7. .An´ alisis Real II 144 Caso 2: Es el caso general. . . M luego Z dω = M n Z X j=1 M φj dω = n Z X j=1 lo cual finaliza la demostración. φn } una C∞ -partición de la unidad subordinada al atlas A(M ). j=1 M j=1 es decir n Z X j=1 M φj dω = M M n Z X j=1 j=1 d(φj ω). sea {φ1 . M d(φj ω) = n Z X j=1 i∗ (φj ω) = ∂M Z ∂M  Z n X φj ω  = i∗   j=1 i∗ ω ∂M . Observe que   Z n Z n n Z X X X [φj dω − d(φj ω)] = − d dφj ∧ ω = φj  ∧ ω = 0. .

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