3.6.- Función exponencial En Ingeniería Eléctrica, Física y otras ciencias existe una señal que se repite con frecuencia y se obtiene elevando el numero e, base para los logaritmos naturales, a una potencia negativa proporcional al tiempo, esto es: En la mayoría de programas (como el que se utiliza para realizar las gráficas mostradas en este curso) y calculadoras esta función se expresa como: El valor de la potencia de un número real con la potencia igual a cero es de 1, por lo tanto el valor de esta función cuando pasa por t=0 es de A, en el caso específico de la imagen el valor de A=1, Y para cualquier número con argumento positivo es menor que A, si A =1.5 entonces la gráfica de la función exponencial seria de la siguiente forma: Como se puede observar el valor de la señal en t = 0 es de 1.5. El valor de la constante a en el exponente modifica la función exponencial, cuando este valor es mayor de, la curva se acerca más rápidamente a su asíntota horizontal en cero, y cuando este valor es menor que 1 la función varia más lentamente. Esto se puede observar en las siguientes figuras: Un valor altamente utilizado, es el valor de t necesario para que el exponente sea igual t=–1, este valor es comúnmente denominado constante de tiempo y se simboliza por la letra t. La importancia del valor de la constante de tiempo es que en t = t, es igual al tiempo necesario para que la señal decaiga a cero, si decayese con una rapidez constante igual al decaimiento que tiene al pasar por cero, en otras palabras, es la intersección de la recta tangente a la función exponencial en t = 0, con el eje del tiempo. También expresa que la señal ha bajado hasta el 36.8% del valor que tenía en t=0 esto se observa evaluando la función exponencial para t =t. Si se evalúa f(t) para t =2t. Se observa que cuando el valor se encuentra alrededor de t =5t. Esta señal puede ser representada por cualquiera de las funciones trigonométricas. siendo estos sus valores máximo y mínimo respectivamente. f(t)=A*sen(t) o f(t)=A*cos(t). La amplitud de las funciones seno y coseno varían entre 1 y –1. el valor de la señal es un valor despreciable de la señal en t =0. En la imagen se muestran dos señales. Una de las formas más corriente en que se encuentra las señales eléctricas. todas las funciones sinosoidales son idénticas en forma y solo pueden ser diferenciadas por la cambios de magnitud en cualquiera de estas tres variables. la amplitud de f(t) varia entre A y – A.w y f son respectivamente la amplitud. al ser multilicada la función por A. la frecuencia angular y el ángulo de fase. . seno o coseno de la siguiente manera: Los valores de A. es menor del 1%. t =3t.5. La señal casi ha desaparecido. t =4t etc. la señal en rojo tiene como valor de amplitud. A = 1 y la señal en azul tiene como valor de amplitud A = 1. como se puede observar las dos interceptan el eje del tiempo en el mismo punto y encuentran los valores de máximos y mínimos en los mismos valores de t. es la forma senoidal comúnmente utilizada en la generacion y transmision de energía eléctrica. es el tiempo que demora en pasar de 0 a 2p. entonces w debe estar en radianes por segundo. por esto también recibe el nombre de velocidad angular. por lo tanto wt y f deben estar en radianes. como t se encuentra en segundos. por lo tanto la onda se repite cada 2p radianes. Una onda seno con periodo T debe completar 1/T periodos cada segundo.El argumento de cualquier función trigonométrica debe estar dado en radianes. Por lo tanto su frecuencia f es 1/T y esta dada en hertz (Hz). Se sabe que el periodo T de una función sinosoidal. Y como: . Como se puede observar en la imagen al aumentar el valor de w aumentamos la frecuencia y disminuimos el periodo T. normalmente se dice que encuentra adelantada. es lógico pensar que el ángulo de fase se encuentra entre 0< f < 2p. en caso contrario se encuentran fuera de fase o desfasadas. si se toma la línea azul como la señal original. Se tiene en la imagen dos señales donde la única diferencia se encuentra en el ángulo de fase. cuando el valor de f es positivo y atrasada si el valor de f es negativo. . Por ser el periodo de la señal T = 2p. se dice que las sinusoides se encuentran en fase cuando sus ángulos de fase f son iguales. se dice que la señal roja esta desplazada f radianes. así: Sustituyendo en la solución exponencial: Donde A se determina a partir de las condiciones iniciales del circuito. para esto. son constantes a encontrar. Para el circuito RL se desarrolla de la siguiente manera: . la segunda opción no puede ser igual a cero porque se obtendría una solución trivial.Se tiene la ecuación: Se parte del supuesto. sustituyendo la solución en la ecuación diferencial : En este punto la solución es . para todo t. que su solución en forma exponencial es: Donde A y s. Para calcular A se tienen en cuenta las condiciones iniciales del circuito: Así la solución final es: En la siguiente tabla se muestra un resumen de la solución general de los circuitos RL y RC: . El producto de la resistencia por la capacidad se llama constante de tiempo del circuito y tiene un papel muy importante en el desempeño de este.3. como limitador de subidas y bajas bruscas de tensión con una configuración de ambos componentes en serie. La tensión originalmente desde el tiempo 0 subirá hasta que tenga la misma que la fuente. Entre las características de los circuitos RC está la propiedad de ser sistemas lineales e invariantes en el tiempo. filtro paso bajo. En cambio en la configuración de paso alto la tensión de salida es la caída de tensión en la resistencia. . Un circuito RC de primer orden está compuesto de un resistor y un condensador y es la forma más simple de un circuito RC. estando esté conectado en serie con la resistencia. Comportamiento en el dominio del tiempo Carga El sistema reaccionará de distinta manera de acuerdo a las excitaciones entrantes. y en tal caso se encuentran configuraciones en paralelo de ambos. reciben el nombre de filtros debido a que son capaces de filtrar señales eléctricas de acuerdo a su frecuencia. Este mismo circuito tiene además una utilidad de regulación de tensión. aproximadamente 5 veces su constante de tiempo. o alternativamente. Un ejemplo de esto es el circuito Snubber. es decir. Los filtros RC más comunes son el filtro paso alto. De esta forma una placa quedará con carga positiva y la otra con carga negativa. como ejemplo..Respuesta Natural Un circuito RC es un circuito compuesto de resistencias y condensadores alimentados por una fuente eléctrica. podemos representar la respuesta a la función escalón o la función de salto. En la configuración de paso bajo la señal de salida del circuito se coge en bornes del condensador. La corriente entrará en el condensador hasta que entre las placas ya no puedan almacenar más carga por estar en equilibrio electrostático (es decir que tengan la misma tensión que la fuente). El tiempo de carga del circuito es proporcional a la magnitud de la resistencia eléctrica R y la capacidad C del condensador. Teóricamente este proceso es infinitamente largo. pues esta última tendrá un exceso de electrones. En la práctica se considera que el tiempo de carga tL se mide cuando el condensador se encuentra aproximadamente en la tensión a cargar (más del 99% de ésta). Los circuitos RC pueden usarse para filtrar una señal. filtro paso banda. hasta que U(t)=Umax. . la resistencia y el condensador. al bloquear ciertas frecuencias y dejar pasar otras.7. es decir. . y el filtro elimina banda. el condensador descargará su energía almacenada a través de la resistencia. La tensión o diferencia de potencial eléctrico a través del condensador. igual que la tensión en el condensador. la corriente con una fuente de tensión constante tendrá un carácter exponencial.La constante de tiempo τ marca el tiempo en el que la curva tangente en el inicio de la carga marca en intersección con la línea de máxima tensión la constante de tiempo τ. que depende del tiempo. Resolviendo esta ecuación decaimiento exponencial: para V se obtiene la fórmula de donde V0 es la tensión o diferencia de potencial eléctrico entre las placas del condensador en el tiempo t = 0. donde la corriente a través del condensador debe ser igual a la corriente a través de la resistencia. puede hallarse utilizando laley de Kirchhoff de la corriente. Este tiempo sería el tiempo en el que el condensador alcanzaría su tensión máxima si es que la corriente entrante fuera constante. y la corriente que fluye se calcula fácilmente a través de la ley de Ohm. Cuando un circuito consiste solo de un condensador cargado y una resistencia. Esto es debido que el condensador está descargado. El circuito RC más simple que existe consiste en un condensador y una resistencia en serie. En la realidad. Esto resulta en la ecuación diferencial lineal: . La máxima corriente fluye cuando el tiempo es inicial(es decir t=0). con: Respuesta natural Circuito RC (en serie). . la función de transferencia desde el voltaje de entrada al voltaje de la resistencia es .El tiempo requerido para que el voltaje caiga hasta de tiempo RC" y es dado por Impedancia compleja La impedancia compleja. Viendo el circuito como divisor de tensión. en general. y es la frecuencia angular sinusoidal (también en radianes por segundo). Funciones de transferencia La función de transferencia de desde el voltaje de entrada al voltaje a través del condensador es . un número complejo. De forma similar. Polos y ceros Ambas funciones de transferencia tienen un único polo localizado en . donde j representa la unidad imaginaria: es el decrecimiento exponencial constante (en radianes por segundo). el voltaje a través del condensador es: y el voltaje a través de la resistencia es: . Circuito en serie Circuito en serie RC. ZC (en ohmios) con capacidad C (en farads) es es denominado "constante de un condensador La frecuencia compleja s es. Además. y los ángulos de fase son: y . la función de transferencia de la resistencia tiene un cero localizado en el origen. Esta representa la respuesta del circuito a una entrada de voltaje consistente en un impulso o función delta de Dirac. Ganancia y fase La magnitud de las ganancias a través de los dos componentes son: y . la respuesta impulso para el voltaje de la resistencia es donde δ(t) es la función delta de Dirac Análisis de frecuencia . La respuesta impulso para el voltaje del condensador es donde u(t) es la función escalón de Heaviside y es la constante de tiempo. Estas expresiones conjuntamente pueden ser sustituidas en la usual expresión para la representación por fasores: . Corriente La corriente en el circuito es la misma en todos los puntos del circuito ya que el circuito está en serie: Respuesta a impulso La respuesta a impulso para cada voltaje es la inversa de la transformada de Laplace de la correspondiente función de transferencia. De forma similar.. La transformada de Laplace inversa de estas expresiones resulta: . cuando la salida del filtro está tomada sobre el condensador el comportamiento es de tipo filtro paso bajo: las altas frecuencias son atenuadas y las bajas frecuencias pasan. Así. : y y . tiene un módulo cercano a 1 y una fase próxima a 0. Si la salida está tomada sobre la resistencia. y Cuando posee un módulo cercano a 0 a bajas frecuencias y y cuando la frecuencia aumenta. Por el contrario. Para bajas frecuencias. La frecuencia de corte del circuito que define el límite tiene 3 dB entre las frecuencias atenuadas y aquéllas que no lo son. Cuando la frecuencia aumenta. se produce el proceso inverso y el circuito se como un filtro paso alto. Suponiendo que el circuito está sometido a una escalón de tensión de amplitud V de entrada ( para y sinon) : . su módulo disminuye para tender a 0 mientras que la fase tiende a . una fase próxima a su fase tiende a 0. Cuando : y . el módulo tiende a 1 y . el análisis temporal se efectuará utilizando la transformada de Laplace p. es igual a: (en Hz) Análisis temporal Por razones de simplicidad.Lugar de Bode de Un análisis de frecuencia del montaje permite determinar cuáles son las frecuencias que el fitro rechaza y cuáles acepta. es decir cuando . Determinación gráfica de para la observación de . es decir cuando cargarse casi completamente. generalmente expresado como . El circuito RC posee una constante de tiempo. En este caso. Como. que representa el tiempo que toma la tensión para efectuar el 63% ( ) de la variación necesaria para pasar del valor inicial al final. Las soluciones son exactamente las mismas que aquéllas obtenidas mediante la transformada de Laplace. el condensador tiene el tiempo de . Integrador A alta frecuencia.. Así: y la intensidad en el circuito vale por tanto: . mientras que en los bornes de la resistencia tiende a 0. La tensión en los bornes del condensador integrado se comporta como un filtro de paso-bajo. el condensador se carga y la tensión en los bornes tiende a V. se obtiene: . Igualmente es posible derivar estas expresiones de las ecuaciones diferenciales que describen el circuito: . . el condensador no tiene tiempo suficiente para cargarse y la tensión en los bornes permanece pequeña. Derivador A baja frecuencia. . la función de transferencia de un circuito RC en paralelo es: . Cuando es alimentado por una fuente de corriente. Alternativamente. Esto muestra que la corriente en el condensador está desfasada 90º de fase con la resistencia (y la fuente de corriente). Ahora. Con impedancias complejas: y . El circuito RC en paralelo generalmente es de menor interés que el circuito en serie. . La tensión en los bornes de la resistencia derivado se comporta como un filtro de paso-alto. Circuito en paralelo Un circuito RC en paralelo. Esto es en gran parte debido a que la tensión de salida es igual a la tensión de entrada — como resultado. el circuito no actúa como filtro de la señal de entrada si no es alimentado por una fuente de corriente. las ecuaciones diferenciales de gobierno que pueden usarse son: y .Entonces. .3. el resultado o respuesta del circuito estará compuesto de dos partes. Para diferencial: y Dado que el circuito tiene que cumplir con la ecuación La respuesta forzada debe tener la forma: Reemplazando en esta ecuación y agrupando los términos semejantes se tiene: Al igualar los coeficientes de y permiten encontrar los coeficientes e De donde se obtiene: se obtienen dos ecuaciones que de la respuesta forzada: .Respuesta Forzada RESPUESTA FORZADA A LAS FUNCIONES SENOIDALES Al aplicar una función senoidal a un circuito simple.8. y una respuesta forzada que será una composición de las funciones derivadas de la función de excitación. el estado senoidal permanente se refiere entonces al estado en el que el circuito a alcanzado la respuesta forzada. una respuesta natural que depende de la clase de circuito únicamente. La ecuación diferencial particular para este circuito es : donde la amplitud y el Remplazando los valores anteriores en la ecuación diferencial y derivando se obtiene: Ahora es necesario calcular los valores de expresión entre y . Si se toma la respuesta real de la corriente en función del tiempo se obtiene: .Con esto se obtiene la respuesta forzada completa: De la misma manera si ahora se aplica una función de excitación compleja que tiene una parte real y una imaginaria.para esto se divide toda la : que es lo mismo que: si se expresa el lado derecho de la ecuación en forma polar o exponencial se tiene: De esta forma se puede obtener: Que representan la parte real y la imaginaria de la respuesta compleja. la respuesta de el circuito tendrá una parte real y otra compleja también. Para el circuito RL mostrado como la fuente de excitación compleja es: y la respuesta compleja del circuito tendrá la forma: ángulo de fase son desconocidos. Respuesta completa Las ecuaciones que resultan de los circuitos de primer orden RC y RL. hasta un tiempo mayor que cero t > 0.3. esta ecuación se puede resolver directamente para x(t): Multiplicando a ambos lados de la ecuación por El primer miembro de la ecuación queda: de forma que la ecuación: queda: Al integrar desde .9. resulta: . en su mayoría presentan la siguiente forma: Teniendo en cuenta el método exponencial.. aumentando su tensión exponencialmente .10. la bobina crea una fuerza electromotriz (f. respectivamente. denominada por ello fuerza contraelectromotriz. el condensador comienza a cargarse. en el mismo instante de cerrar el interruptor (t0 en la figura 2) la intensidad será nula e irá aumentando exponencialmente hasta alcanzar su valor máximo. Por otro lado. Como consecuencia de ello. (de t0 a t1). Al cerrar el interruptor S en el circuito serie RL. Si a continuación. y que además pueden describirse usando solamente una ecuación diferencial de primer orden. en el mismo circuito abrimos S ( se hará circuito abierto en la red RL)..) que se opone a la corriente que circula por el circuito. Circuito RL (Resistor e Inductor) Desripcion de los circuitos[editar] Los circuitos serie RL y RC (figura 1) tienen un comportamiento similar en cuanto a su respuesta en corriente y en tensión. Circuito RC (Resistor y Condensador) 2.y el valor de no desaparecería instantáneamente. al cerrar el interruptor S (t0 en la figura 2).Características generales de las respuestas de primer orden Los circuitos de primer orden son circuitos que contienen solamente un componente que almacena energía (puede ser un condensador o inductor).m.e. se obtiene: La constante se puede determinar por medio de las condiciones iniciales.El primer término del resultado de la derecha es una constante. quedando la ecuación como: Multiplicando a ambos lados de la ecuación para despejar x(t). 3. en el circuito serie RC. por que los límites entre los que se evalúan la integral son constantes. Los dos posibles tipos de circuitos primer orden: 1. sino que iría disminuyendo de forma exponencial hasta hacerse cero (de t2 a t3). la capacidad. en el mismo instante de abrir S (t2 en la figura 2) se hará corto circuito en la red RC. que coincide con el valor de la f. estará en segundos.m. del condensador y de la autoinductancia. C. que también puede escribirse de la siguiente forma: Donde . El valor de esta duración se suele tomar como . Régimen de Funcionamiento[editar] En ambos circuitos se da por lo tanto dos tipos de régimen de funcionamiento (figura 2): Transitorio: desde t0 a t1 (carga) y desde t2 a t3 (descarga). C en faradios y L en henrios. Entonces t para RL es t = L/R y para RC es t = RC. R.e. Si a continuación. La duración del régimen transitorio depende. el valor de Eo no desaparecería instantáneamente.Graficación de las respuestas Hasta el momento se ha planteado la solución de las ecuaciones que originan los circuitos RC y RL: . L de la bobina. en cada circuito. sino que iría disminuyendo de forma exponencial hasta hacerse cero (de t2 a t3).hasta alcanzar su valor máximo E0 (de t0 a t1). sus unidades son segundos. Permanente: desde t1 a t2. E de la fuente. donde es la denominada constante de tiempo. y se llama constante de tiempo del circuito.. Matemáticamente se pueden obtener las ecuaciones en régimen transitorio de cada circuito que se muestran en la siguiente tabla: Carga en RL Descarga en Carga en RC RL Descarga RC 3. la siguiente gráfica muestra el comportamiento de la respuesta exponencial: en .11. de los valores de la resistencia. siendo su valor en cada circuito: Si R está en ohmios. 12.Es claro que está respuesta depende de la magnitud t. constante 3. que a su vez depende de RL y RC. dependen fundamentalmente de: 1) La 2) La condición inicial..6.1 cuando t se acerca a 5t.y la que se observa después se denomina respuesta de estado estable.Aplicación de software de tiempo . En conclusión la respuesta de un circuito RL y RC sin fuentes. la respuesta es una fracción de su valor inicial entonces la salida del circuito se ha estabilizado. Como se observa en la tabla 6. el período antes de este punto se llama respuesta transitoria. respectivamente.