Análisis de Transitorios de Circuitos de Primer Orden y Segundo Orden

ANÁLISIS DE TRANSITORIOS DE CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Y SEGUNDO ORDENIntroducción: En este tema se consideran circuitos que intervienen diversas combinaciones de dos o tres elementos pasivos (R, L, C).  En la primera parte el tema se examinan dos tipos de circuitos simpes:  El circuito con una resistencia y un condensador (circuito RC)  El circuito con una resistencia y una bobina (circuito RL) Los circuitos RC y RL se analizaran aplicando las leyes de Kirchhoff. EL análisis de circuitos resistivos da como resultado ecuaciones algebraicas. Sim embargo, los circuitos RC y RL producen ecuaciones deferenciales. Las ecs. Diferenciales resultantes del análisis de circuitos RC y RL son de primer orden. Por ello, se les denomina Circuitos de primer orden. Estudiaremos tanto circuitos con fuentes independientes como circuitos sin fuentes independientes. Cuando no hay fuentes independientes, las tensiones y corrientes en el circuito se deben a las condiciones iniciales en el condensador o en la bobina (ala energía inicialmente almacenada en ellos).  En la segunda parte del tema estudiara circuitos que tienen dos elementos de almacenamiento. A estos circuitos se les conoce como Circuitos de segundo orden porque se describen mediante ecs. Diferenciables que contienen segundas derivadas. En concreto, estudiaremos la respuesta de circuitos RLC, tanto con fuente independiente como sin ella. Se entiende por "transitorio" de un circuito eléctrico el tiempo que transcurre desde la conexión o desconexión de algún componente hasta alcanzar el régimen estacionario de corrientes y diferencias de potencial. El caso que estudiaremos en esta práctica es el más usual consistente en la conexión o desconexión del generador: Transitorio de conexión: ε(t) = 0 , t ≤ 0 y ε(t) = ε , t > 0 (1) Transitorio de desconexión: ε(t) = ε , t ≤ 0 y ε(t) = 0 , t > 0 TRANSITORIOS DE PRIMER ORDEN TRANSITORIOS DE CIRCUITOS RC VC I (t) VR C ε (t) R De acuerdo con la figura, nos planteamos calcular I (t) al conectar o desconectar el generador en t=0. Suponemos para ello que el condensador se encuentra inicialmente descargado (Q (t)=0 y Vc (t)=0 en t≤0). Teniendo en cuenta la ley de Ohm y que la carga almacenada por el condensador en cada instante de tiempo es Q (t), tendremos: 𝑡 𝑄 Q (t) = ∫0 𝐼𝑑𝑡 Vc= 𝐶 Así pues, la diferencia de potencial proporcionada por el generador (ε (t) definida en la ecuación 1, que indistintamente puede corresponder al transitorio de conexión o de desconexión) es igual, en cualquier instante de tiempo, a la diferencia de potencial en los bornes del condensador (Vc (t)) más la diferencia de potencial en los bornes de la Resistencia (VR (t)), es decir, ε (t)= Vc (t)+VR (t). Derivando esta ecuación, y recordando que VR (t) =R I (t), encontramos que la corriente I (t) que circula por el circuito satisface la siguiente ecuación diferencial: 𝑑𝐼 𝐼 𝑑 ε𝑡 R𝑑𝑡 + 𝐶 = 𝑑𝑡 La solución de dicha ecuación es: −𝑡 −𝑡 𝜀 𝜀 I (t) =± 𝑅 𝑒 𝑅𝐶 =± 𝑅 𝑒 𝜏 Donde el signo + corresponde al transitorio de conexión del generador, y el signo – al transitorio de desconexión. τ = RC es la constante de tiempo del transitorio RC. En la ecuación anterior se ha considerado el caso ideal en el que toda la resistencia del circuito está concentrada en R. En realidad, el generador de fem suele tener una resistencia interna r que hay que tener en cuenta si no es pequeña comparada con el valor de R. En ese caso la corriente sería: −𝑡 𝜀 I (t) =± 𝑅+𝑟 𝑒 𝜏 con 𝜏 = (𝑅 + 𝑟)𝐶 Transitorio de circuitos RL: conexión y desconexión de una autoinducción VL I (t) VR (t) L ε (t) R De acuerdo con la figura, nos planteamos ahora calcular la corriente I (t) que circula al conectar o desconectar el generador en t=0. Teniendo en cuenta las características de una autoinducción, VL (t) será: 𝑑𝐼 VL= L 𝑑𝑡 Donde L es el coeficiente de autoinducción de la bobina. La tensión proporcionada por el generador (ε(t) definida en la ecuación 1, que indistintamente puede corresponder al transitorio de conexión o de desconexión) es igual, en cualquier instante de tiempo, a la diferencia de potencial en los bornes de la bobina (VL(t)) más ε − τ = ± t / e R 31 la diferencia de potencial en los bornes de la resistencia (VR(t)=R I(t)), es decir, ε(t)= VL(t)+VR(t). Por lo tanto, la corriente I (t) satisface la siguiente ecuación diferencial: 𝑑𝐼 L + RI = ε (t) 𝑑𝑡 La solución para el caso de conexión del generador es: −𝑅𝑡 −𝑡 𝜀 𝜀 I (t)= (1 − 𝑒 𝐿 )= (1 − 𝑒 ) 𝜏 𝑅 𝑅 Y para el caso de desconexión −𝑡 𝜀 I (t)= (1 − 𝑒 ) 𝜏 𝑅 Siendo τ = L/R en este caso la constante de tiempo del transitorio RL. En realidad hay que considerar como en el apartado anterior la resistencia interna de la fem r, y sobre todo la resistencia de la bobina RB. Si despreciamos el valor de r frente a RB y R, podemos escribir como solución para el transitorio de conexión: −𝑡 𝜀 I (t)= (1 − 𝑒 ) 𝜏 con 𝜏 = 𝐿⁄ 𝑅 + 𝑅𝐵 𝑅 TRANSITORIOS DE SEGUNDO ORDEN Circuitos RLC serie y RLC paralelo: R1 L1 V1 C1 L1 C1 I1 R1 0 0 En general, la ecuación diferencial que describe el comportamiento de ambos sistemas es: 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥(𝑡) 2 + 2 ∗ 𝑥 ∗ 𝑤𝑛 ∗ + 𝑤𝑛 2 ∗ 𝑥(𝑡) = 0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Para el circuito RLC serie: 𝑑 2 𝑖(𝑡) 𝑅 𝑑𝑖(𝑡) 1 + ∗ + ∗ 𝑖(𝑡) = 0 𝑑𝑡 2 𝐿 𝑑𝑡 𝐿𝐶 1 𝑤𝑛 = √𝐿𝐶 √𝐿𝐶 𝑋=𝑅 2𝐿 Y para el RLC paralelo: 𝑑 2 𝑣(𝑡) 1 𝑑𝑣(𝑡) 1 + ∗ + ∗ 𝑣(𝑡) = 0 𝑑𝑡 2 𝑅𝐶 𝑑𝑡 𝐿𝐶 1 𝑤𝑛 = √𝐿𝐶 1 √𝐿𝐶 𝑋= 𝑅 2𝐶 Existent tres tipos de respuesta según el valor del coeficiente de amortiguamiento Solución: 𝑥(𝑡) = 𝐾1 𝑒 𝑠1∗𝑡 + 𝐾2 𝑒 𝑠2∗𝑡 𝑠 2 + 2 ∗ 𝑥 ∗ 𝑤𝑛 ∗ 𝑠 + 𝑤𝑛2 = 0 X>1 Sistema sobreamortiguado Condiciones iniciales: X(0)=𝑘1 +𝑘2 𝑑𝑥 𝑥0 =𝑠1 𝑘1 + 𝑠2 𝑘2 𝑑𝑦 Solución: 𝑥(𝑡) = 𝐾1 𝑒 −𝑠∗𝑡 + 𝑡 ∗ 𝐾2 ∗ 𝑒 −𝑠∗𝑡 s= 𝑥 ∗ 𝑤 X=1 Condiciones iniciales: Sistema críticamente amortiguado X(0)=𝑘1 𝑑𝑥 𝑥0 =-s𝐾1 +𝐾2 𝑑𝑦 Solución: 𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝑠∗𝑡 [𝐴1 . cos(𝑤𝑑 . 𝑡) + 𝐴2 . 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑑 . 𝑡)] X<1 Sistema su amortiguado s= 𝑥 ∗ 𝑤𝑛 𝑤𝑑 = 𝑤𝑛 . √1 − 𝑥 2 X=1 Condiciones iniciales: Sistema críticamente amortiguado X(0)=𝐴1 𝑑𝑥 | = −𝑠𝐴1 + 𝑤𝑑 𝐴1 𝑑𝑡 𝑥=0