Métodos Numéricos Avanzados 93.30 Trabajo Práctico N ◦ 7 ITBA Ingeniería Informática Trabajo Práctico N ◦ 7 Análisis de Fourier Ejercicios. Parte 1 Serie de Fourier 1. Desarrollar en serie trigonométrica de Fourier las siguientes funciones: (a) f(t) = |t|, −π < t ≤ π f(t + 2π), ∀t (b) f(t) = Asin ω 0 t, 0 ≤ t ≤ π/ω 0 0, π/ω 0 < t ≤ 2π/ω 0 f(t + 2π/ω 0 ), ∀t (c) f(t) = t(π −t), −π < t ≤ π f(t + 2π), ∀t (d) f(t) = t, 0 < t ≤ T f(t +T), ∀t Onda diente de sierra Graficar en cada caso la cuarta suma parcial. 2. La función f(x) = π −x está definida en el intervalo 0 ≤ x ≤ π. (a) Construir una función ϕ(x) que sea la extensión periódica par de f(x) con período 2π. Graficarla para −3π ≤ x ≤ 3π. (b) Obtener el desarrollo en serie de Fourier trigonométrico de la extensión par ϕ(x). (c) Computar las sumas ∞ ¸ n=0 1 (2n + 1) 4 ∞ ¸ n=0 1 (2n + 1) 2 . 3. Dada la función f(t) definida en el intervalo (0, τ] como se muestra en la figura, t f(t) A a b τ (a) Representarla mediante una serie trigonométrica con términos cosenoidales en (0, τ). (b) Representarla mediante una serie trigonométrica con términos senoidales en (0, τ). 4. La temperatura en una barra metálica de longitud L, con los extremos a 0 ◦ y lat- eralmente aislada, es una función u(x, t), siendo x la corrdenada de un punto de la barra y t el tiempo. La evolución de la temperatura obedece al proceso de difusión y está gobernada por la ecuación de Fourier: u xx (x, t) = k 2 u t (x, t), t > 0, 0 < x < L u(0, t) = u(L, t) = 0 t ≥ 0 u(x, 0) = u 0 (x) 0 ≤ x ≤ L 1 Métodos Numéricos Avanzados 93.30 Trabajo Práctico N ◦ 7 ITBA Ingeniería Informática donde k 2 es una constante que depende del material y u 0 (x) es la distribución inicial de temperatura. Para resolverla, proponer como solución u(x, t) = φ(x)e −λt , siendo λ una constante a determinar y φ : [0, L] →R una función desconocida. (a) Demostrar que tanto la constante λ como la función φ, satisfacen el problema: φ (x) +λk 2 φ(x) = 0, 0 ≤ x ≤ L φ(0) = 0 φ(L) = 0 (b) Demostrar que existen invinitos valores de λ > 0 e infinitas soluciones φ: φ n (x) = sin nπ L x, λ n = π 2 n 2 k 2 L 2 n = 1, 2, 3, . . . (c) Justificar que la solución de la ecuación de Fourier con las condiciones de borde dadas es: u(x, t) = ∞ ¸ n=1 a n e − π 2 n 2 k 2 L 2 t sin nπ L x donde a n son constantes a determinar. (d) Demostrar que los coeficientes a n se computan a partir de la condición inicial u 0 (x) como: a n = 2 L L 0 u 0 (x) sin nπ L xdx Calcular la temperatura para una distribución inicial de temperatura: u 0 (x) = 0, 0 < x ≤ 3L 8 A, 3L 8 < x ≤ 5L 8 0, 5L 8 < x ≤ L Graficar la temperatura u(x, t i ) para distintos valores de t i , i = 0, 1, . . . en función de x. 5. Computar la forma compleja de la serie de Fourier de las siguientes funciones per- iódicas y representar el espectro de frecuencias de cada una de ellas. (a) f(t) = 0, −T/2 < t < −d/2 A, |t| ≤ d/2 0, d/2 < t < T/2 f(t +T), ∀t Respuesta: Ad T + Ad T ∞ ¸ n=−∞ sin nπd T nπd T e i 2nπ T t (b) Onda triangular de amplitud 1, valor medio nulo y período 2π. (c) f(t) = sin 4 t Respuesta: f(t) = 1 16 (e −4it −4e −2it + 6 −4e 2it +e 4it ) 2 Métodos Numéricos Avanzados 93.30 Trabajo Práctico N ◦ 7 ITBA Ingeniería Informática (d) f(t) = e t , 0 < t ≤ 2π f(t + 2π), ∀t Respuesta: e 2π −1 2π ∞ ¸ n=−∞ 1 1 −in e int (e) f(t) = At, 0 < t ≤ T f(t +T), ∀t Onda diente de sierra. Respuesta: ( A 2 + A 2π ∞ ¸ n=−∞ n=0 1 n e i(nω 0 t+ π 2 ) )T 6. Dada una señal modelada por una función f(t) = f(t +T), de define Transformada Finita de Fourier de f(t) a la función F(nω 0 ): ˚ F{f(t)} = F(nω 0 ) = c n = 1 T T/2 −T/2 f(t) e −i nω 0 t dt donde ω 0 = 2π/T. Demostrar las siguientes propiedades de la Transformada Finita de Fourier: Propiedad (Linealidad). Sean f 1 y f 2 dos funciones periódicas del mismo período y a 1 y a 2 dos constantes, entonces ˚ F{a 1 f 1 +a2f 2 } = a 1 ˚ F{f 1 (t)} +a 2 ˚ F{f 2 (t)} Propiedad (Tranformada de la derivada). Sea f ∈ C[−T/2, T/2] y periódica de periódo T = 2π/ω 0 con coeficientes complejos de Fourier c n , entonces: ˚ F ¸ f (t) ¸ = inω 0 c n Propiedad (Transformada de la integral ). Sea f una función periódica de período T = 2π/ω 0 , entonces: ˚ F t − T 2 f(τ) dτ ¸ = 1 inω 0 ˚ F{f(t)} Propiedad (Corrimiento en el tiempo). Sea f una función periódica de período T = 2π/ω 0 , entonces: ˚ F{f(t −a)} = ˚ F{f(t)} e −inω 0 a 7. El circuito de la figura es ´ ta formado por un generador E(t) en serie con un capac- itor de capacidad C y una resistencia R. La señal de entrada (input) es la tensión provista por el generador: tren de pulsos rectangulares de duración d y frecuencia ω 0 . 3 Métodos Numéricos Avanzados 93.30 Trabajo Práctico N ◦ 7 ITBA Ingeniería Informática E(t) R C u C (t) La salida (output) del sistema se consid- era la tensión en el capacitor u C (t), por lo tanto el sistema se modela mediante la ecuación diferencial (relación input– output): RC du C dt (t) +u C (t) = E(t) Llamando a la constante de tiempo del circuito τ = RC y suponiendo que el sistema se ecuentra en régimen permanente, (a) Demostrar que los coeficientes complejos de Fourier de la salida son U n = E n /(1 + jnω 0 τ), donde e n = ˚ F{E(t)} (donde llamamos j a la unidad imagi- naria). (b) Demostrar que la tensión de salida en el capacitor es: u C (t) = ∞ ¸ n=−∞ E n 1 +jnω 0 τ e jnω 0 t escribir esta expresión en forma trigonométrica. Graficar las primeras 5 sumas parciales. (c) Graficar en módulo y fase la secuencia H(nω 0 ) = 1 1+jnω 0 τ . (d) Analizar la salida cuando se dan las siguientes situaciones: i) τ 2π/ω 0 , ii) τ 2π/ω 0 . Interpretar estos resulados. Transformada e Integral de Fourier Sea f ∈ L 2 (R), se define Transformada de Fourier de f(t) a: F {f(t)} = F(ω) = 1 2π ∞ −∞ f(t) e −iωt dt De esta forma, es posible reconstruir la función f(t), a partir de F(ω), al menos en aquellos puntos donde f es continua, según: f(t) = ∞ −∞ F(ω) e iωt dω la cual constituye la representación en integral de Fourier de f(t). Una propiedad importante de la transformada de Fourier, es la identidad de Parseval : ∞ −∞ |f(t)| 2 dt = 2π ∞ −∞ |F(ω)| 2 dω Si la función f(t) representa el modelo matemático de una señal que varía con el tiempo t, entonces la transformada de Fourier de f(t): F {f(t)} = F(ω) = |F(ω)| e φ(ω) , constituye el espectro de frecuencias de f(t). Se denomina espectro de amplitud de f(t) a la función |F(ω)| y espectro de fase de f(t) a la función φ(ω). Ejercicios. Parte 2: Transformada e Integral de Fourier 4 Métodos Numéricos Avanzados 93.30 Trabajo Práctico N ◦ 7 ITBA Ingeniería Informática 1. Demostrar las siguientes propiedades de la transformada de Fourier 1 Propiedad (Linealidad). Si F 1 (ω) = F {f 1 (t)} y F 2 (ω) = F {f 2 (t)}, y a 1 y a 2 dos constantes arbitrarias, entonces: F {a 1 f 1 +a2f 2 } = a 1 F 1 (ω) +a 2 F 2 (ω) Propiedad (Cambio de escala). Si F(ω) = F {f(t)} y a = 0, entonces: F {f(at)} = 1 |a| F ω a Propiedad. Si F(ω) = F {f(t)}, entonces: F {f(−t)} = F(−ω) Propiedad (Desplazamiento en el tiempo). Si F(ω) = F {f(t)} y a ∈ R, entonces: F {f(t −a)} = e −iωa F(ω) Propiedad (Desplazamiento en ela frecuencia). Si F(ω) = F {f(t)} y ω 0 ∈ R, entonces: F ¸ f(t) e iω 0 t ¸ = F(ω −ω 0 ) Propiedad (Simetría). Si F(ω) = F {f(t)}, entonces: F {F(t)} = f(−ω)/(2π) Propiedad (Derivada). Si F(ω) = F {f(t)} y f derivable y de soporte compacto, entonces: F ¸ f (t) ¸ = iω F(ω) Este resultado puede generalizarse: F ¸ f (n) (t) ¸ = (iω) n F(ω). Propiedad (Integral ). Si F(ω) = F {f(t)} y ∞ −∞ f(t) dt = 0, entonces: F t −∞ f(u) du = 1 iω F(ω) Propiedad (Convolución). Si F(ω) = F {f(t)} y G(ω) = F {g(t)}, entonces: F ∞ −∞ f(u)g(t −u) du = 2π F(ω)G(ω) 2. Calcular la transformada de Fourier de las siguientes funciones y graficar los espectros de amplitud y fase. (a) f(t) = 1, |t| ≤ a 0, |t| > a . Computar ∞ 0 sin x x dx y ∞ 0 sin x x 2 dx. (b) f(t) = e −a|t| , a > 0. Computar ∞ 0 1 1+x 2 dx. (c) f(t) = A(1 −t/T), 0 ≤ t ≤ T A(1 +t/T), −T ≤ t ≤ 0 0, |t| > T . (d) f(t) = 1 √ 2πσ e − 1 2 ( t σ ) 2 (e) f(t) = e −t u(t), donde u(t) = 1, t > 0 0, t < 0 es la Función de Heaviside. 1 En todo momento, se supone que f admite Transformada de Fourier. 5 Métodos Numéricos Avanzados 93.30 Trabajo Práctico N ◦ 7 ITBA Ingeniería Informática Funciones Generalizadas - Delta de Dirac Definición 1. Una función φ se llama de tendencia rápida a cero y se la indica φ fast −−→0, si φ : C ∞ (∞, ∞) →R y cumple: lim |x|→∞ x m φ (n) (x) = 0, ∀n, m ∈ N Las funciones de tendencia rápida, y todas sus derivadas caen a cero más rapidamente que cualquier potencia de x, cuando |x| es muy grande. Es decir, para x →±∞, la gŕafica de φ(x) se confunde con el eje x (ver figura 1). φ(x) x Figure 1: Función de tendencia rápida Definición 2. Llamamos Ω = {φ/φ fast −−→0} Hay que notar que Ω, con las leyes comúnes de la suma y producto por escalares, tiene estructura de espacio vectorial, es decir que si φ, ψ ∈ Ω y para todo a ∈ R, (φ +ψ)(x) = φ(x) +ψ(x) (aφ)(x) = aφ(x) Definición 3. Función generalizada: Sea f una función, llamamos función generalizada a la funcional lineal L f : Ω →R, que cumple: L f {φ} = ∞ −∞ f(x)φ(x) dx L f {φ} es la imagen de φ a través de L f Ejemplo Sea la función común sin : R → [−1, 1], entonces la función seno generalizada L sin es L sin : Ω →R, tal que: L sin {φ} = ∞ −∞ sin(x)φ(x) dx , donde φ ∈ Ω. Resulta obvio que la imágen de φ, a traves de la función generalizada L sin existe. En efecto: | ∞ −∞ sin(x)φ(x) dx| ≤ ∞ −∞ | sin(x)||φ(x)| dx ≤ ∞ −∞ |φ(x)| dx la cual converge. Si consideramos ahora que f(x) es una función dierenciable, es posible asociarle la funcional lineal: L f {φ} = ∞ −∞ f (x)φ(x) dx 6 Métodos Numéricos Avanzados 93.30 Trabajo Práctico N ◦ 7 ITBA Ingeniería Informática Teniendo en cuenta que tanto φ como sus derivadas caen a cero más rapidamente que cualquier potencia de x, integrando por partes, resulta: L f {φ} = f(x)φ(x) ∞ −∞ − ∞ −∞ f(x)φ (x) dx = −L f {φ } la cual también es una función generalizada ya que φ ∈ Ω. De esta manera, es posible extender el concepto de derivabilidad. En efecto, como una función generalizada está dada por la acción sonre las funciones φ en Ω, aún cuando f no sea difernciable en el sentido cĺasico del cálculo diferencial, es posible definir una acción sobre las φ ∈ Ω. Así, es posible definir la derivada de una función generalizada de la siguiente manera: Definición 4. Derivada de una función generalizada. Sea la función generalizada L f : Ω →R, entonces llamamos derivada primera de la función generalizada L f a la función generalizada: L f {φ} = −L f {φ } Nótese que no es necesario que la función f sea diferenciable, para asociarle una función generalizada que haya que derivar. Si f es derivable, la derivada de la función generalizada coincide con la derivada cásica en el sentido del cálculo diferencial. Ejemplo Calcular la derivada de L sin . Habiamos visto que la función generalizada seno esá dada por la funcional lineal: L sin = ∞ −∞ sin(x)φ(x) dx entonces, de la definición de derivada de función generalizada, resulta: L sin {φ} = −L sin {φ } = − ∞ −∞ sin(x)φ (x) dx = −sin(x)φ(x) ∞ ∞ − ∞ −∞ cos(x)φ(x) dx = L cos {φ} Por lo tanto, la derivada de la función generalizada L sin {φ}, es : L sin {φ} = L cos {φ}. Definición 5. Delta de Dirac es la función generalizada que a φ ∈ Ω le hace corresponder φ(a), para a ∈ R, es decir: L δa {φ} = ∞ −∞ δ(x −a)φ(x) dx = φ(a) De esta forma, la función generalizada Delta de Dirac, hace corresponder a una función φ ∈ Ω, el valor φ(a), es decir la imagen de φ a través de L δa . Desde este punto de vista, utilizaremos como notación δ a (φ) = L δa {φ}. Resulta obvio que δ(x) no es una función en el sentido usual del análisis matemático, por lo tanto la integral en la que interviene tampoco lo es. De esta forma, la integral y δ(x), están definidas por el número φ(a) que le corresponde a la función φ(x). 7 Métodos Numéricos Avanzados 93.30 Trabajo Práctico N ◦ 7 ITBA Ingeniería Informática La teoría de distribuciones, desarrollada por Schwartz y la cual está más allá de estas notas, desarrolla la generalización del concepto de función y extiende la propiedad que define a la Delta de Dirac a funciones continuas, de modo que: ∞ −∞ δ(x −a)f(x) dx = f(a), ∀f ∈ C 0 (1) Ejemplo La función de Heaviside u(x), se define como: u(x) = 1, x > 0 0, x < 0 La funcional lineal: L u {φ} = ∞ −∞ u(x)φ(x) dx tiene como derivada: L u {φ} = − ∞ −∞ u(x)φ (x) dx = − ∞ 0 φ (x) dx = −φ(x) ∞ 0 = φ(0) Pero, de la definición de la función generalizada Delta de Dirac:L δ 0 {φ}δ 0 (φ) = ∞ −∞ δ(x)φ(x) dx = φ(0), entonces: L u {φ} = δ 0 (φ) En virtud a este resultado, escribiremos, en el sentido de las funciones genealizadas: u (x) = δ(x) De esta forma, teniendo en cuenta la definición 2, que: ∞ −∞ δ(x) dx = 1 (2) la que constituye la propiedad fundamental de la delta de Dirac. Ejemplo ¿Qué se entiende por f(x)δ(x)? Resulta obvio que esta expresion carece de sentido desde el punto de Cálculo tradicional, ya que la delta de dirac, solo tiene significado desde el punto de vista de la integral dada por 2. No obstante, aplicando la definición en el sentido de las funciones generalizadas, asumiendo f continua: ∞ −∞ f(x)δ(x)φ(x) dx = f(0)φ(0) entonces podemos escribir: f(x)δ(x) = f(0)δ(x) Observaciones: i) En base al resultado en este ejemplo, se interpreta que f(x)δ(x), da como resultado el valor de la función en x = 0. Resulta entoces una suerte de “muestreo” de la señal modelada por f(x) en x = 0. ii) Según el resultado expuesto en este ejemplo, resulta que: xδ(x) = 0. Ejemplo Derivada de la Delta De la definición de derivada de una función generalizada, es posible computar δ (x). En efecto: L δ {φ} = −L δ {φ } 8 Métodos Numéricos Avanzados 93.30 Trabajo Práctico N ◦ 7 ITBA Ingeniería Informática entonces, se puede escribir: ∞ −∞ δ (x)φ(x) dx = − ∞ −∞ δ (x)φ (x) dx = −φ (0) Interpretación física de δ(t) Consideremos una señal que se comporte de la siguiente forma: abruptamente se enciende, manteniendo una amplitud constante igual a 1/, para luego apagarse abruptamente de- spués de un intervalo de tiempo . Si se considera el origen de tiempo durante la mitad de la vida de la señal, se la puede modelar como un pulso rectangular de duración y amplitud 1. f (t) = 1, |t| < /2 0, |t| > /2 f (t) t 1 2 2 Veamos el comportamiento de f (t), cuando → 0. Si φ ∈ Ω, entonces, nos interesa computar: lim →0 L f {φ} = lim →0 ∞ −∞ f (t)φ(t) dt A partir de la definición de f (t), se tiene que: lim →0 L f {φ} = lim →0 1 − φ(t) dt Teniendo en cuenta que φ(t) es continua, entonces: lim →0 L f {φ} = φ(0) de lo que resulta que el ĺimite de la función generalizada f (t), da el mismo resultado que la delta de Dirac: lim →0 L f {φ} = ∞ −∞ δ(t)φ(t) dt por lo tanto, vamos a indicar: lim →0 f (t) = δ(t) Existen otras funciones que son aproximaciones a la delta, por ejemplo: δ(t) = lim →0 1 √ π e −t 2 / Ejercicios. Parte 3: Funciones generalizadas-Delta de Dirac 1. Demostrar que F {δ(t)} = 1 2π y F {δ(t −a)} = 1 2π e −iωa 2. Calcular F {cos ω 0 t}, en el sentido de las funciones generalizadas. 9 Métodos Numéricos Avanzados 93.30 Trabajo Práctico N ◦ 7 ITBA Ingeniería Informática Aplicación de la Transformada de Fourier a Filtros Lineales Un Filtro o Sistema es una correspondencia S : F →F, siendo F un conjunto de funciones. Si F es el conjunto de funciones continuas (al menos en casi todas partes), el Filtro de dice que es analógico, en cambio si se trata de sucesiones o secuencias, se dice que el Filtro es digital. Consideremos el filtro analalógico S. La función f ∈ F modela a la señal de entrada al sistema a la que designamos como input. Llamemos output a la función g ∈ F que modela la respuesta del sistema. f(t) (input) Filtro S g(t) (output) Figure 2: Filtro analógico La forma explícita de correspondecia entre la entrada f y la salida g: g(t) = S{f(t)} de denomina relación entrada–salida. Por lo general, S es un operador diferencial, resultando la relación entrada–salida una acuación integro–diferencial. Un Filtro Lineal es aquel cuyo operador S es lineal, es decir que si f 1 y f 2 son dos funciones cuyas respuestas son g 1 y g 2 respectivamente, entonces: S{f 1 (t) +f 2 (t)} = S{f 1 (t)} +S{f 2 (t)} = g 1 (t) +g 2 (t) Un Filtro invariante en el tiempo S es aquel que cumple: S{f ( t −t 0 )} = g(t −t 0 ) ∀t 0 ∈ R Un Filtro causal S es aquel que si f(t) = 0, ∀t ≤ t 0 , entonces g(t) = 0, ∀t ≤ t 0 . Ejemplo 1. Consideremos el circuito RLC serie, excitado por una fuente de tensión alterna E(t). Tomando como respuesta del sistema a la intensidad de corriente eléctrica i(t) que circula por el conductor, la ecuación diferencial que gobierna la sistema es: L di dt (t) +Ri(t) + 1 C t −∞ i(ξ) dξ = E(t) Ejemplo 2. Consideremos el sistema formado por una masa m, sujeta a un resorte de constante elástica k y bajo la acción de un amortiguador con coeficiente viscoso β. Aplicando la Segunda Ley de Newton a la particula, teniendo en cuenta la fuerza elástica, viscosa y una fuerza excitadora f = f(t)ˆ x, se tiene que la relación entrada–salida es: m¨ x(t) +β ˙ x(t) +kx(t) = f(t) 10 Métodos Numéricos Avanzados 93.30 Trabajo Práctico N ◦ 7 ITBA Ingeniería Informática E(t) L . R i(t) C x k m f (t) β donde x(t) es la coordenada de la masa y es la que se considera como salida del sistema. Se denomina Función de Green h(t) del filtro S a la respuesta del filtro ante una excitación Delta de Dirac δ(t) considerando condiciones iniciales nulas, es decir: h(t) = S{δ(t)} Tengamos en cuenta que si la entrada al filtro es continua, entonces puede escribirse: f(t) = ∞ −∞ f(x)δ(t −x) dx entonces la respuesta del filtro g(t) es: g(t) = S{f(t)} = S ∞ −∞ f(x)δ(t −x) dx Como el sistema es lineal, entonces: g(t) = ∞ −∞ f(x)S{δ(t −x)} dx Como estamos considerando filtros invariantes en el tiempo, por definición h(t − x) = S{δ(t − x)} es la función de Green del filtro, desplazada en el tiempo x. Entonces, la respuesta del sistema es: g(t) = ∞ −∞ f(x)h(t −x) dx = ∞ −∞ f(t −x)h(x) dx Este resultado nos dice: la respuesta de un filtro lineal e invariante en el tiempo ante un input f(t) es la convolución entre la excitación y la función de Green h(t) del filtro. La 11 Métodos Numéricos Avanzados 93.30 Trabajo Práctico N ◦ 7 ITBA Ingeniería Informática función de Green de un filtro contiene toda la información dinámica del filtro, es caracteís- tico de él y depende solo de los parámetros del filtro. Resta ahora preguntarnos . . . ¿Cómo se obtiene la función de Green de un filtro? Para contestar esta pregunta, apliquemos la Transformada de Fourier a respuesta del filtro lineal e invariante en el tiempo. F {g(t)} = F ∞ −∞ f(t −x)h(x) dx LLamando F {g(t)} = H(ω), F {f(t)} = F(ω) y F {g(t)} = G(ω), resulta la relación: G(ω) = F(ω)H(ω) A la transformada de Fourier de la función de Green del filtro, se la denomina función de transferencia H(ω). Ejercicios. Parte 4: Filtros lineales 1. Demostrar que si a un filtro lineal e invariante en el tiempo se lo excita con una señal senoidal, el filtro reponde con una respuesta senoidal de la misma frecuencia que la entrada. 2. Demostrar que el sistema circuito RLC-serie, considerando la salida como la intensi- dad de corriente i(t), es un filtro lineal e invariante en el tiempo. 3. Mostrar que h(t) = − 1 2k e −|k| es la función de Green del filtro modelado por: x −k 2 x = f(t) 4. Sea el sistema constituido por un circuito RC–serie. Considerar como input la tensión E(t) y output la tensión en el capacitor u C (t). La relación entrada–salida es: τ du C dt (t) +u C (t) = E(t) siendo τ = RC, la constante de tiempo del sistema. (a) Demostrar que este sistema es un filtro lineal e invariante en el tiempo. (b) Obtener la función de transferencia H(ω) del filtro. Graficar |H(ω)| y la fase φ(ω) versus la frecuencia. Indicar cómo es el comportamiento del filtro con la frecuencia, ante una excitación E(t) cualquiera. (c) Demostrar que si E(ω) = F {E(t)}, entonces la Transformada de Fourier de la respuesta del filtro es: U C (ω) = H(ω)E(ω). 5. Un filtro ideal pasabajos es aquel sistema lineal cuya función de transferencia es: H(ω) = e −iωT , para |ω| < ω 0 0, para |ω| < ω 0 siendo ω 0 la frecuencia de corte. (a) Hallar la función de Green h(t) del filtro ideal pasabajo. (b) Hallar la respuesta ante una entrada f(t) = Acos 3ω 0 t +Bsin ω 0 t 2 12 Métodos Numéricos Avanzados 93.30 Trabajo Práctico N ◦ 7 ITBA Ingeniería Informática Transformada Discreta de Fourier Consideremos una función x(t), la cual es muestreada a intervalos regulares en los N puntos t j = jh, con j = 0, 1, 2, . . . , N−1, siendo h el intervalo de muestreo. Indicando a los valores de x como x j , se define la Transformada Discreta de Fourier de los valores muestreados {x j } N−1 j=0 a: X k = N−1 ¸ j=0 x j e − 2πi N jk k = 0, 1, . . . , N −1 (3) siendo la correspondiente fórmula de inversión o Antitransformada discreta de Fourier: x k = 1 N N−1 ¸ j=0 X j e 2πi N jk k = 0, 1, . . . , N −1 (4) Cada valor de la transformada discreta X k , está definido en el valor de frecuencia: ω k = k 2πhN (5) Definición 6. Espectro de Potencia Si X k , con k = 0, 1, . . . , N − 1 son los valores de la Transformada Discreta de Fourier de una secuencia {x j } N−1 j=0 , entonces se llama Espectro de Potencia a: P k = |X k | 2 k = 0, 1, . . . , N −1 La figura 3 muestra una función en MATLAB que implementa el cómputo de la Trans- formada Discreta de Fourier. En muchas aplicaciones, se utiliza la base trigonométrica para “reconstruir” una función f(t), a partir de sus muestras en un conjunto de puntos. Definición 7. Se denomina Polinomio Trigonométrico de grado m a: S m (t) = a 0 2 + m ¸ n=1 (a n cos nt +b n sin nt) Supongamos que se tiene una señal periódica f(t) de período 2π y se conocen N+1 valores de f a intervalos regulares, en los puntos: t j = 2π N + 1 j = 0, . . . , N siendo dichos valores: f j = f(t j ) j = 0, . . . , N Entonces, f puede ser interpolada en los nodos t j mediante el polinomio trigonométrico de grado m < N/2: f(t) = a 0 2 + m ¸ k=1 (a k cos kt +b k sin kt) (6) donde los coeficientes se computan: a k = 2 N N ¸ j=1 f j cos jt j j = 0, 1, . . . , m (7) b k = 2 N N ¸ j=1 f j sin jt j j = 0, 1, . . . , m (8) 13 Métodos Numéricos Avanzados 93.30 Trabajo Práctico N ◦ 7 ITBA Ingeniería Informática function y = mi_tdf(x) % Funcion: y = mi_tdf(x) % Proposito: Calcula la transformada discreta % de Fourier de la secuencia x % % y(n) = (1/N)* Suma{ x(nu) exp(-i 2*pi*n*nu/N) } % if nargin~=1 sprintf(’%s’,’Debe ingresar un solo vector/matriz de datos’) break end % N = length(x); y = zeros(1,N); aux = 2i*pi/N; for n=0:N-1 s = 0.0; for nu=1:N s = s + x(nu)*exp(-1*aux*n*(nu-1)); end y(n+1) = s/N; end return Figure 3: Transformada Discreta de Fourier El cómputo de los coeficientes de la Transformada Discreta de Fourier 3, conduce a la realización de una cantidad de operaciones (sumas y multiplicaciones complejas) O(N 2 ). En 1966, Cooley y Turkey desarrollaron un algoritmo eficiente, en cuanto al número de operaciones, para el cómputo de la Transformada Discreta de Fourier. Dicho método de cómputo de llama Transformada Rápida de Fourier (Fast Fourier Transform) FFT y requiere O(nlog 2 n), siendo necesario un número de datos N = 2 p , con p ∈ N. El la figura se muestra un algoritmo recursivo para el cómputo de la FFT. Ejercicios. Parte 5: Transformada Discreta de Fourier 1. (Lápiz y papel) Sea el vector f = [f 0 , f 1 , . . . , f N−1 ] y F = [F 0 , F 1 , . . . , F N−1 ] su transformada discreta de Fourier. Demostrar, aplicando la definición de transformada discreta de Fourier (TDF) y de la TDF inversa que el antitransformado discreto de [F 0 , F 1 , . . . , F N−1 ], recostruye completamente al vecyor de datos f. 2. (Computadora) Suponga que se desea estudiar el contenido en fecuencias usando la TDF, de la siguiente señal: x(t) = 0.0472 cos(2π(200)t + 1.5077) + 0.1362 cos(2π(400)t + 1.8769)+ +0.4884 cos(2π(500)t −0.1852) + 0.2942 cos(2π(1600)t −1.4488)+ +0.1223 cos(2π(1700)t) (a) Hacer un programa que compute la Transformada Discreta de Fourier. (b) Computar la TDF de x(t) y calcular el espectro de potencia. Determinar la frecuencia fundamental. 14 Métodos Numéricos Avanzados 93.30 Trabajo Práctico N ◦ 7 ITBA Ingeniería Informática function X = fft_rec(NN,x) % funcion fft_rec % Proposito: Computa la TDF mediante FFT % Entradas: NN = Tama\~no del vector de datos (debe ser 2^p) % x = Vector de NN datos % Salida: X = Vector con la TDF de x % N = length(x); w = exp(-2*pi*sqrt(-1)/N); if N == 2 X = x(1) + w.^[-NN/2:NN-1-NN/2]*x(2); else a1 = x(1:2:N); b1 = x(2:2:N); a2 = fft_rec(a1,NN); b2 = fft_rec(b1,NN); for k = -NN/2:NN-1-NN/2 X(k+1+NN/2) = a2(k+1+NN/2)+b2(k+1+NN/2)*w^k; end end Figure 4: Algoritmo FFT recursivo (c) Represente |X(ω)| y la fase de φ(ω) en función de ω. 3. (L´ piz y papel) Obtenga el polinomio trigonométrico de grado 3 para la función f(t) = 0, entre −π < t ≤ 0 y f(t) = 1, en 0 < t ≤ π. Graficar. 4. (Computadora) Para analizar el comportamiento de la TDF con el número de mues- tras N, compute polinomio trigonométrico de grado 3 de f(t) = t 2 en 0 ≤< 2π, y f(t) = f(t +2π), para: N = 8, 16, 32, 64, 128. Grafique la función f(t) y los distintos polinomios. 5. (Computadora) Calcular la TDF de la función f, usando el cómputo directo y usando el algoritmo FFT. Graficar el espectro de amplitud y de fase. Reconstruir la fun- ción f(t), mediante el cómputo de la transformada inversa. Ensayar para distintos números de muestras. (a) f(t) = 1 −t, 0 ≤ t ≤ 1 0, t > 1 f(−t), ∀t (b) f(t) = u(t) −u(t −1) siendo u(t) la función de Heaviside. (c) f(t) = sin (2πf 0 t) + 4 sin (5πf 0 t) con f 0 = 60Hz. 15 Métodos Numéricos Avanzados 93.30 Trabajo Práctico N ◦ 7 ITBA Ingeniería Informática (d) f(t) = e −|t| Ejercicios con computadora. Computadora 1. El objetivo de este ejercicio es simular la salida de un filtro anlógico. Considerar un circuito RC-serie. La ecuación diferencial que lo gobierna es: RC du C dt +u C = E(t) si la salida u C (t) es la tensión en el capacitor, o: 1 RC t −∞ u R (τ) dτ +u R = E(t) si la salida u [ R](t) es la tensión en la resistencia. Considerar para este sistema: τ = RC = 10 −3 s. 1. Implementar el cómputo de la Transformada discreta de Fourier mediante el al- goritmo FFT, en C/C++ o FORTRAN. (En GNU Octave ya está implementado mediante la función fft.m) 2. Obtener la función de transferencia del filtro, considerando como salidas: a) u C (t), b)u r (t). 3. Obtener la tensión en el capasitor, cuando E(t) = 5 (u(t + 0.5) −u(t −0.5)), muestre- ando para N = 128 datos. 4. Si la señal de entrada es: E(t) = 120 cos 2π0.1t τ + 70 cos 2π10t τ obtener la tensión u C (t) y u R (t). Comparar ambas salidas con la entrada. Tomar un númera de muestras tal que la energía de la entrada no varíe en más del 5%. Computadora 2. Este ejercicio tiene como objetivo analizar espectralmente una imagen y utilizar la transformada discreta de Fourier para realizar filtrados espaciales. La Trasnformada Discreta de Fourier de una secuencia bidimensional x n,m , de N × N (imagen), es: X l,k = N−1 ¸ n=0 N−1 ¸ m=0 x n,m e − 2πi N (nl+mk) siendo la Transformada Inversa Discreta: x n,m = 1 N 2 N−1 ¸ l=0 N−1 ¸ k=0 X l,k e 2πi N (nl+mk) 1. Implementar un programa que compute la TDF 2D 2. El archivo saturno contiene una matriz de 400×400 pixeles 2 y corresponde a niveles de intensidad luminosa comprendidos entre 0 y 255 (todos enteros). Para visualizar esta imagen en escala de grises, es necesario establecer un mapa de color de 255 niveles. Por ejemplo en MATLAB, se puede leer y visualizar asi: 16 Métodos Numéricos Avanzados 93.30 Trabajo Práctico N ◦ 7 ITBA Ingeniería Informática >> x=load(’saturno’); >> colormap(gray(255)); >> image(x’); visualizando la figura 2 que muestra una imagen del planeta Saturno, capturada por la misión Voyager. 50 100 150 200 250 300 350 400 50 100 150 200 250 300 350 400 Figure 5: imagen original Computar la Trasnformada discreta de Fourier de la imagen original. Armar las imagenes de 400×400 pixel 2 correspondientes a la amplitud y la fase. Dichas imagenes deben verse como se muestra en la figura 2 (Tener en cuenta de mapear los valores de amplitud y fase al intervalo entero [0, 255]). Computar la Transformada inversa para reconstruir la imagen original de 400 × 400 pixel 2 . 100 200 300 400 50 100 150 200 250 300 350 400 100 200 300 400 50 100 150 200 250 300 350 400 Figure 6: Transformada de Fourier de la imagen original. Izquierda: Amplitud, Derecha: Fase 3. Considerar el efecto que produce los siguientes filtros H k,l de 400 × 400 pixel 2 en el dominio de las frecuencias (espaciales): 17 Métodos Numéricos Avanzados 93.30 Trabajo Práctico N ◦ 7 ITBA Ingeniería Informática (a) H k,l = 0, 0 ≤ k ≤ 400, 190 ≤ l ≤ 210 0, 0 ≤ l ≤ 400, 190 ≤ k ≤ 210 1, el resto de las posiciones (b) El filtro gaussiano H k,l = exp(−0.1(k 2 +l 2 ) (c) El damero H k,l = 0, sil +kes par 1, sil +kes par Reconstruir las imagenes resultantes de estos filtrados. 18 proponer como solución u(x. (c) f (t) = sin4 t Respuesta: f (t) = 1 −4it (e − 4e−2it + 6 − 4e2it + e4it ) 16 2 . ti ) para distintos valores de ti . . 5L < x ≤ L 8 Graficar la temperatura u(x.Métodos Numéricos Avanzados 93. valor medio nulo y período 2π. 3. . 2. i = 0. Para resolverla. en función de x. f (t + T ). satisfacen el problema: φ (x) + λk2 φ(x) = 0. (a) f (t) = d/2 < t < T /2 0. (c) Justificar que la solución de la ecuación de Fourier con las condiciones de borde dadas es: ∞ π 2 n2 nπ x an e− k2 L2 t sin u(x. .30 Trabajo Práctico N◦ 7 ITBA Ingeniería Informática donde k2 es una constante que depende del material y u0 (x) es la distribución inicial de temperatura. 0 ≤ x ≤ L φ(0) = 0 φ(L) = 0 (b) Demostrar que existen invinitos valores de λ > 0 e infinitas soluciones φ: φn (x) = sin nπ x. . Computar la forma compleja de la serie de Fourier de las siguientes funciones periódicas y representar el espectro de frecuencias de cada una de ellas. (a) Demostrar que tanto la constante λ como la función φ. −T /2 < t < −d/2 0. ∀t Respuesta: sin nπd i 2nπ t Ad Ad T + e T T T n=−∞ nπd T ∞ (b) Onda triangular de amplitud 1. |t| ≤ d/2 A. 0 < x ≤ 3L 8 A. L λn = π 2 n2 k 2 L2 n = 1. t) = φ(x)e−λt . 1. . L] → R una función desconocida. siendo λ una constante a determinar y φ : [0. (d) Demostrar que los coeficientes an se computan a partir de la condición inicial u0 (x) como: 2 L nπ an = x dx u0 (x) sin L 0 L Calcular la temperatura para una distribución inicial de temperatura: 0. 3L < x ≤ 5L u0 (x) = 8 8 0. t) = L n=1 donde an son constantes a determinar. 5. . La señal de entrada (input) es la tensión provista por el generador: tren de pulsos rectangulares de duración d y frecuencia ω0 .Métodos Numéricos Avanzados 93. de define Transformada Finita de Fourier de f (t) a la función F (nω0 ): ˚ (t)} = F (nω0 ) = cn = 1 F{f T donde ω0 = 2π/T . T /2] y periódica de periódo T = 2π/ω0 con coeficientes complejos de Fourier cn . Sea f ∈ C[−T /2. entonces ˚ 1 f1 + a2f2 } = a1˚ 1 (t)} + a2˚ 2 (t)} F{a F{f F{f Propiedad (Tranformada de la derivada). entonces: ˚ f (t) = inω0 cn F Propiedad (Transformada de la integral ). Demostrar las siguientes propiedades de la Transformada Finita de Fourier: Propiedad (Linealidad). Sea f una función periódica de período T = 2π/ω0 . 0<t≤T f (t + T ). 0 < t ≤ 2π f (t + 2π). ∀t 1 e2π − 1 eint 2π n=−∞ 1 − in ∞ Respuesta: (e) f (t) = At. Respuesta: A A + 2 2π 1 i(nω0 t+ π ) 2 )T e n n=−∞ n=0 ∞ 6. Sean f1 y f2 dos funciones periódicas del mismo período y a1 y a2 dos constantes. entonces: ˚ (t − a)} = ˚ (t)} e−inω0 a F{f F{f 7. entonces: ˚ F t −T 2 T /2 −T /2 f (t) e−i nω0 t dt f (τ ) dτ = 1 ˚ F{f (t)} inω0 Propiedad (Corrimiento en el tiempo). 3 . El circuito de la figura es´a formado por un generador E(t) en serie con un capact itor de capacidad C y una resistencia R. ∀t ( Onda diente de sierra. Dada una señal modelada por una función f (t) = f (t + T ).30 Trabajo Práctico N◦ 7 ITBA Ingeniería Informática (d) f (t) = et . Sea f una función periódica de período T = 2π/ω0 . (a) Demostrar que los coeficientes complejos de Fourier de la salida son Un = En /(1 + jnω0 τ ). al menos en aquellos puntos donde f es continua.Métodos Numéricos Avanzados 93. ii) τ 2π/ω0 . según: f (t) = ∞ −∞ −∞ F (ω) eiωt dω la cual constituye la representación en integral de Fourier de f (t). (b) Demostrar que la tensión de salida en el capacitor es: uC (t) = En ejnω0 t 1 + jnω0 τ n=−∞ ∞ escribir esta expresión en forma trigonométrica. Una propiedad importante de la transformada de Fourier. Parte 2: Transformada e Integral de Fourier 4 . Se denomina espectro de amplitud de f (t) a la función |F (ω)| y espectro de fase de f (t) a la función φ(ω). Interpretar estos resulados.30 Trabajo Práctico N◦ 7 ITBA Ingeniería Informática R La salida (output) del sistema se considera la tensión en el capacitor uC (t). se define Transformada de Fourier de f (t) a: F {f (t)} = F (ω) = 1 2π ∞ f (t) e−iωt dt De esta forma. Graficar las primeras 5 sumas parciales. es la identidad de Parseval : ∞ −∞ |f (t)|2 dt = 2π ∞ −∞ |F (ω)|2 dω Si la función f (t) representa el modelo matemático de una señal que varía con el tiempo t. (d) Analizar la salida cuando se dan las siguientes situaciones: i) τ 2π/ω0 . constituye el espectro de frecuencias de f (t). es posible reconstruir la función f (t). 1 (c) Graficar en módulo y fase la secuencia H(nω0 ) = 1+jnω0 τ . donde en = ˚ F{E(t)} (donde llamamos j a la unidad imaginaria). a partir de F (ω). entonces la transformada de Fourier de f (t): F {f (t)} = F (ω) = |F (ω)| eφ(ω) . Transformada e Integral de Fourier Sea f ∈ L2 (R). Ejercicios. por lo tanto el sistema se modela mediante la uC (t)ecuación diferencial (relación input– output): RC duC (t) + uC (t) = E(t) dt E(t) C Llamando a la constante de tiempo del circuito τ = RC y suponiendo que el sistema se ecuentra en régimen permanente. entonces: F −∞ f (u)g(t − u) du = 2π F (ω)G(ω) 2. Si F (ω) = F {f (t)} y f derivable y de soporte compacto. entonces: F {f (at)} = 1 F |a| ω a Propiedad. t < 0 5 En todo momento. Computar 0. (a) f (t) = 1. a > 0. Si F (ω) = F {f (t)} y t Este resultado puede generalizarse: F f (n) (t) = (iω)n F (ω). Si F1 (ω) = F {f1 (t)} y F2 (ω) = F {f2 (t)}. entonces: F f (t) = iω F (ω) Propiedad (Integral). entonces: F ∞ f (u) du −∞ = 1 F (ω) iω Propiedad (Convolución). Si F (ω) = F {f (t)} y a = 0. |t| > a ∞ sin x x 0 dx y ∞ 0 sin x 2 x dx. Demostrar las siguientes propiedades de la transformada de Fourier1 Propiedad (Linealidad). donde u(t) = 1 1. Si F (ω) = F {f (t)} y a ∈ R. entonces: F f (t) eiω0 t = F (ω − ω0 ) Propiedad (Simetría). entonces: F {f (t − a)} = e−iωa F (ω) Propiedad (Desplazamiento en ela frecuencia). Si F (ω) = F {f (t)}. |t| ≤ a . 0. Computar 0 1+x2 dx. y a1 y a2 dos constantes arbitrarias. A(1 − t/T ). se supone que f admite Transformada de Fourier.Métodos Numéricos Avanzados 93. Si F (ω) = F {f (t)}. |t| > T √1 2πσ ∞ e− 2 ( σ ) 1 t 2 (e) f (t) = e−t u(t). ∞ −∞ f (t) dt = 0. 0 ≤ t ≤ T (c) f (t) = A(1 + t/T ). −T ≤ t ≤ 0 .30 Trabajo Práctico N◦ 7 ITBA Ingeniería Informática 1. t > 0 es la Función de Heaviside. Calcular la transformada de Fourier de las siguientes funciones y graficar los espectros de amplitud y fase. Si F (ω) = F {f (t)} y ω0 ∈ R. entonces: F {f (−t)} = F (−ω) Propiedad (Desplazamiento en el tiempo). entonces: F {a1 f1 + a2f2 } = a1 F1 (ω) + a2 F2 (ω) Propiedad (Cambio de escala). (d) f (t) = 1 (b) f (t) = e−a|t| . entonces: F {F (t)} = f (−ω)/(2π) Propiedad (Derivada). 0. Si F (ω) = F {f (t)} y G(ω) = F {g(t)}. . entonces la función seno generalizada Lsin es Lsin : Ω → R. la gŕafica de φ(x) se confunde con el eje x (ver figura 1). Llamamos Ω = {φ/φ − → 0} − Hay que notar que Ω. Función generalizada: Sea f una función. es posible asociarle la funcional lineal: ∞ f (x)φ(x) dx Lf {φ} = −∞ 6 . con las leyes comúnes de la suma y producto por escalares. donde φ ∈ Ω. ψ ∈ Ω y para todo a ∈ R. y todas sus derivadas caen a cero más rapidamente que cualquier potencia de x. a traves de la función generalizada Lsin existe. Una función φ se llama de tendencia rápida a cero y se la indica φ − → 0. Es decir. cuando |x| es muy grande.30 Trabajo Práctico N◦ 7 ITBA Ingeniería Informática Funciones Generalizadas . Resulta obvio que la imágen de φ. 1]. − ∞ (∞.Métodos Numéricos Avanzados 93. m ∈ N Las funciones de tendencia rápida. que cumple: Lf {φ} = Lf {φ} es la imagen de φ a través de Lf ∞ −∞ fast f (x)φ(x) dx Ejemplo Sea la función común sin : R → [−1. ∞) → R y cumple: si φ : C |x|→∞ fast lim xm φ(n) (x) = 0. es decir que si φ. para x → ±∞. En efecto: | ∞ −∞ sin(x)φ(x) dx| ≤ ∞ −∞ | sin(x)||φ(x)| dx ≤ ∞ −∞ |φ(x)| dx la cual converge. tal que: Lsin {φ} = ∞ −∞ sin(x)φ(x) dx . φ(x) x Figure 1: Función de tendencia rápida Definición 2. (φ + ψ)(x) = φ(x) + ψ(x) (aφ)(x) = aφ(x) Definición 3. Si consideramos ahora que f (x) es una función dierenciable. tiene estructura de espacio vectorial.Delta de Dirac Definición 1. llamamos función generalizada a la funcional lineal Lf : Ω → R. ∀n. es decir: Lδa {φ} = ∞ −∞ δ(x − a)φ(x) dx = φ(a) De esta forma. es posible extender el concepto de derivabilidad. 7 . resulta: Lsin {φ} = −Lsin {φ } ∞ = − −∞ sin(x)φ (x) dx = Lcos {φ} = − sin(x)φ(x) ∞ ∞ − ∞ −∞ cos(x)φ(x) dx Por lo tanto. es posible definir una acción sobre las φ ∈ Ω. Si f es derivable. Ejemplo Calcular la derivada de Lsin . la derivada de la función generalizada Lsin {φ}.30 Trabajo Práctico N◦ 7 ITBA Ingeniería Informática Teniendo en cuenta que tanto φ como sus derivadas caen a cero más rapidamente que cualquier potencia de x. resulta: Lf {φ} = f (x)φ(x) = −Lf {φ } ∞ −∞ − ∞ −∞ f (x)φ (x) dx De esta manera.Métodos Numéricos Avanzados 93. para a ∈ R. están definidas por el número φ(a) que le corresponde a la función φ(x). utilizaremos como notación δa (φ) = Lδa {φ}. Delta de Dirac es la función generalizada que a φ ∈ Ω le hace corresponder φ(a). entonces llamamos derivada primera de la función generalizada Lf a la función generalizada: Lf {φ} = −Lf {φ } Nótese que no es necesario que la función f sea diferenciable. De esta forma. Desde este punto de vista. Sea la función generalizada Lf : Ω → R. Resulta obvio que δ(x) no es una función en el sentido usual del análisis matemático. hace corresponder a una función φ ∈ Ω. la función generalizada Delta de Dirac. Habiamos visto que la función generalizada seno esá dada por la funcional lineal: Lsin = ∞ −∞ la cual también es una función generalizada ya que φ ∈ Ω. En efecto. la integral y δ(x). por lo tanto la integral en la que interviene tampoco lo es. el valor φ(a). aún cuando f no sea difernciable en el sentido cĺasico del cálculo diferencial. es : Lsin {φ} = Lcos {φ}. integrando por partes. Definición 5. es posible definir la derivada de una función generalizada de la siguiente manera: Definición 4. como una función generalizada está dada por la acción sonre las funciones φ en Ω. para asociarle una función generalizada que haya que derivar. la derivada de la función generalizada coincide con la derivada cásica en el sentido del cálculo diferencial. es decir la imagen de φ a través de Lδa . sin(x)φ(x) dx entonces. de la definición de derivada de función generalizada. Así. Derivada de una función generalizada. No obstante. de la definición de la función generalizada Delta de Dirac:Lδ0 {φ}δ0 (φ) = φ(0). desarrolla la generalización del concepto de función y extiende la propiedad que define a la Delta de Dirac a funciones continuas. x > 0 0. Ejemplo Derivada de la Delta De la definición de derivada de una función generalizada. ii) Según el resultado expuesto en este ejemplo. de modo que: ∞ −∞ δ(x − a)f (x) dx = f (a). se interpreta que f (x)δ(x). teniendo en cuenta la definición 2. En efecto: Lδ {φ} = −Lδ {φ } 8 . ∀f ∈ C 0 (1) Ejemplo La función de Heaviside u(x). desarrollada por Schwartz y la cual está más allá de estas notas. que: ∞ −∞ dx = En virtud a este resultado. da como resultado el valor de la función en x = 0.Métodos Numéricos Avanzados 93. ya que la delta de dirac. se define como: u(x) = La funcional lineal: Lu {φ} = tiene como derivada: 1. aplicando la definición en el sentido de las funciones generalizadas. entonces: Lu {φ} = δ0 (φ) u (x) = δ(x) De esta forma. asumiendo f continua: ∞ f (x)δ(x)φ(x) dx = f (0)φ(0) f (x)δ(x) = f (0)δ(x) entonces podemos escribir: −∞ Observaciones: i) En base al resultado en este ejemplo. en el sentido de las funciones genealizadas: δ(x) dx = 1 (2) la que constituye la propiedad fundamental de la delta de Dirac.30 Trabajo Práctico N◦ 7 ITBA Ingeniería Informática La teoría de distribuciones. x < 0 ∞ −∞ ∞ −∞ u(x)φ (x) ∞ (x) dx 0 φ∞ 0 ∞ −∞ δ(x)φ(x) u(x)φ(x) dx dx Lu {φ} = − = − = −φ(x) = φ(0) Pero. resulta que: xδ(x) = 0. escribiremos. es posible computar δ (x). Resulta entoces una suerte de “muestreo” de la señal modelada por f (x) en x = 0. solo tiene significado desde el punto de vista de la integral dada por 2. Ejemplo ¿Qué se entiende por f (x)δ(x)? Resulta obvio que esta expresion carece de sentido desde el punto de Cálculo tradicional. 1. Si se considera el origen de tiempo durante la mitad de la vida de la señal. vamos a indicar: →0 −∞ lim f (t) = δ(t) Existen otras funciones que son aproximaciones a la delta. se la puede modelar como un pulso rectangular de duración y amplitud 1. nos interesa computar: t 2 2 lim Lf {φ} = lim →0 ∞ →0 −∞ f (t)φ(t) dt A partir de la definición de f (t). Parte 3: Funciones generalizadas-Delta de Dirac 1. Calcular F {cos ω0 t}. |t| < /2 f (t) = 0. se tiene que: lim Lf {φ} = lim →0 1 − →0 φ(t) dt Teniendo en cuenta que φ(t) es continua. entonces: lim Lf {φ} = φ(0) →0 de lo que resulta que el ĺimite de la función generalizada f (t). Demostrar que F {δ(t)} = 1 2π y F {δ(t − a)} = 1 −iωa 2π e 2. 1 cuando → 0. por ejemplo: 1 2 δ(t) = lim √ e−t / →0 π Ejercicios. Si φ ∈ Ω. en el sentido de las funciones generalizadas. para luego apagarse abruptamente después de un intervalo de tiempo . da el mismo resultado que la delta de Dirac: ∞ δ(t)φ(t) dt lim Lf {φ} = →0 por lo tanto. 9 . entonces. manteniendo una amplitud constante igual a 1/ .Métodos Numéricos Avanzados 93. |t| > /2 f (t) Veamos el comportamiento de f (t). se puede escribir: ∞ −∞ δ ITBA Ingeniería Informática (x)φ(x) dx = − −∞ δ (x)φ (x) dx = −φ (0) Interpretación física de δ(t) ∞ Consideremos una señal que se comporte de la siguiente forma: abruptamente se enciende.30 Trabajo Práctico N◦ 7 entonces. Tomando como respuesta del sistema a la intensidad de corriente eléctrica i(t) que circula por el conductor. teniendo en cuenta la fuerza elástica. Consideremos el sistema formado por una masa m. la ecuación diferencial que gobierna la sistema es: L 1 di (t) + Ri(t) + dt C t −∞ i(ξ) dξ = E(t) Ejemplo 2. viscosa y una fuerza excitadora f = f (t)ˆ. Un Filtro Lineal es aquel cuyo operador S es lineal. La función f ∈ F modela a la señal de entrada al sistema a la que designamos como input. siendo F un conjunto de funciones. Por lo general.Métodos Numéricos Avanzados 93. Aplicando la Segunda Ley de Newton a la particula. Consideremos el circuito RLC serie. Consideremos el filtro analalógico S. es decir que si f1 y f2 son dos funciones cuyas respuestas son g1 y g2 respectivamente. en cambio si se trata de sucesiones o secuencias. Llamemos output a la función g ∈ F que modela la respuesta del sistema. se dice que el Filtro es digital. sujeta a un resorte de constante elástica k y bajo la acción de un amortiguador con coeficiente viscoso β. resultando la relación entrada–salida una acuación integro–diferencial. f (t) (input) Filtro S g(t) (output) Figure 2: Filtro analógico La forma explícita de correspondecia entre la entrada f y la salida g: g(t) = S{f (t)} de denomina relación entrada–salida. Ejemplo 1. excitado por una fuente de tensión alterna E(t). ∀t ≤ t0 . Si F es el conjunto de funciones continuas (al menos en casi todas partes). S es un operador diferencial. se tiene que la relación entrada–salida es: x m¨(t) + β x(t) + kx(t) = f (t) x ˙ 10 . el Filtro de dice que es analógico. ∀t ≤ t0 .30 Trabajo Práctico N◦ 7 ITBA Ingeniería Informática Aplicación de la Transformada de Fourier a Filtros Lineales Un Filtro o Sistema es una correspondencia S : F → F. entonces g(t) = 0. entonces: S{f1 (t) + f2 (t)} = S{f1 (t)} + S{f2 (t)} = g1 (t) + g2 (t) Un Filtro invariante en el tiempo S es aquel que cumple: S{f( t − t0 )} = g(t − t0 ) ∀t0 ∈ R Un Filtro causal S es aquel que si f (t) = 0. Métodos Numéricos Avanzados 93.30 Trabajo Práctico N◦ 7 ITBA Ingeniería Informática i(t) R E(t) . La 11 . L C m k f (t) β x donde x(t) es la coordenada de la masa y es la que se considera como salida del sistema. desplazada en el tiempo x. por definición h(t − x) = S{δ(t − x)} es la función de Green del filtro. la respuesta del sistema es: g(t) = ∞ −∞ f (x)h(t − x) dx = ∞ −∞ f (t − x)h(x) dx Este resultado nos dice: la respuesta de un filtro lineal e invariante en el tiempo ante un input f (t) es la convolución entre la excitación y la función de Green h(t) del filtro. es decir: h(t) = S{δ(t)} Tengamos en cuenta que si la entrada al filtro es continua. Se denomina Función de Green h(t) del filtro S a la respuesta del filtro ante una excitación Delta de Dirac δ(t) considerando condiciones iniciales nulas. entonces puede escribirse: f (t) = entonces la respuesta del filtro g(t) es: g(t) = S{f (t)} = S Como el sistema es lineal. entonces: g(t) = ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ f (x)δ(t − x) dx f (x)δ(t − x) dx f (x)S{δ(t − x)} dx Como estamos considerando filtros invariantes en el tiempo. Entonces. 30 Trabajo Práctico N◦ 7 ITBA Ingeniería Informática función de Green de un filtro contiene toda la información dinámica del filtro. Ejercicios. Demostrar que el sistema circuito RLC-serie. Parte 4: Filtros lineales 1. ante una excitación E(t) cualquiera. Un filtro ideal pasabajos es aquel sistema lineal cuya función de transferencia es: H(ω) = siendo ω0 la frecuencia de corte. Indicar cómo es el comportamiento del filtro con la frecuencia. el filtro reponde con una respuesta senoidal de la misma frecuencia que la entrada. F {g(t)} = F ∞ −∞ f (t − x)h(x) dx LLamando F {g(t)} = H(ω). 5. τ (a) Demostrar que este sistema es un filtro lineal e invariante en el tiempo. (b) Obtener la función de transferencia H(ω) del filtro. . 1 3. 0 (b) Hallar la respuesta ante una entrada f (t) = A cos 3ω0 t + B sin ω2 t 12 . Demostrar que si a un filtro lineal e invariante en el tiempo se lo excita con una señal senoidal. para |ω| < ω0 (a) Hallar la función de Green h(t) del filtro ideal pasabajo. es caracteístico de él y depende solo de los parámetros del filtro. (c) Demostrar que si E(ω) = F {E(t)}. resulta la relación: G(ω) = F (ω)H(ω) A la transformada de Fourier de la función de Green del filtro.Métodos Numéricos Avanzados 93. . Sea el sistema constituido por un circuito RC–serie. para |ω| < ω0 0. 2. se la denomina función de transferencia H(ω). la constante de tiempo del sistema. Resta ahora preguntarnos . entonces la Transformada de Fourier de la respuesta del filtro es: UC (ω) = H(ω)E(ω). apliquemos la Transformada de Fourier a respuesta del filtro lineal e invariante en el tiempo. Graficar |H(ω)| y la fase φ(ω) versus la frecuencia. Considerar como input la tensión E(t) y output la tensión en el capacitor uC (t). La relación entrada–salida es: duC (t) + uC (t) = E(t) dt siendo τ = RC. ¿Cómo se obtiene la función de Green de un filtro? Para contestar esta pregunta. F {f (t)} = F (ω) y F {g(t)} = G(ω). es un filtro lineal e invariante en el tiempo. e−iωT . considerando la salida como la intensidad de corriente i(t). Mostrar que h(t) = − 2k e−|k| es la función de Green del filtro modelado por: x − k2 x = f (t) 4. . en los puntos: tj = siendo dichos valores: fj = f (tj ) j = 0. Definición 7. . 2. N −1. . 1. . Se denomina Polinomio Trigonométrico de grado m a: a0 + Sm (t) = 2 m (an cos nt + bn sin nt) n=1 Supongamos que se tiene una señal periódica f (t) de período 2π y se conocen N + 1 valores de f a intervalos regulares. entonces se llama Espectro de Potencia a: Pk = |Xk |2 k = 0. a partir de sus muestras en un conjunto de puntos. N − 1 ωk = La figura 3 muestra una función en MATLAB que implementa el cómputo de la Transformada Discreta de Fourier. . En muchas aplicaciones. 1. . N − 1 son los valores de la N −1 Transformada Discreta de Fourier de una secuencia {xj }j=0 . . . N Entonces. . . . . . se utiliza la base trigonométrica para “reconstruir” una función f (t). . 1. está definido en el valor de frecuencia: k (5) 2πhN Definición 6. . . . 1. . Indicando a los valores de x como xj . la cual es muestreada a intervalos regulares en los N puntos tj = jh.Métodos Numéricos Avanzados 93. . N donde los coeficientes se computan: ak = 2 N 2 N N fj cos jtj j=1 N j = 0. f puede ser interpolada en los nodos tj mediante el polinomio trigonométrico de grado m < N/2: m a0 f (t) = (ak cos kt + bk sin kt) (6) + 2 k=1 2π N +1 j = 0. 1. . con j = 0. . . .30 Trabajo Práctico N◦ 7 ITBA Ingeniería Informática Transformada Discreta de Fourier Consideremos una función x(t). N − 1 (3) siendo la correspondiente fórmula de inversión o Antitransformada discreta de Fourier : xk = 1 N N −1 j=0 Xj e 2πi jk N k = 0. . N − 1 (4) Cada valor de la transformada discreta Xk . siendo h el intervalo de muestreo. m (8) 13 . m (7) bk = fj sin jtj j=1 j = 0. 1. Espectro de Potencia Si Xk . . con k = 0. . . . . . se define la Transformada Discreta de Fourier de los valores muestreados N −1 {xj }j=0 a: Xk = N −1 j=0 xj e− 2πi jk N k = 0. 1. . . . . . . Métodos Numéricos Avanzados 93.2942 cos(2π(1600)t − 1. El la figura se muestra un algoritmo recursivo para el cómputo de la FFT. Parte 5: Transformada Discreta de Fourier 1. (Computadora) Suponga que se desea estudiar el contenido en fecuencias usando la TDF. aplicando la definición de transformada discreta de Fourier (TDF) y de la TDF inversa que el antitransformado discreto de [F0 . Cooley y Turkey desarrollaron un algoritmo eficiente. con p ∈ N. F1 . conduce a la realización de una cantidad de operaciones (sumas y multiplicaciones complejas) O(N 2 ). Demostrar. . (Lápiz y papel) Sea el vector f = [f0 . de la siguiente señal: x(t) = 0.5077) + 0. . FN −1 ] su transformada discreta de Fourier. 2. .30 Trabajo Práctico N◦ 7 ITBA Ingeniería Informática function y = mi_tdf(x) % Funcion: y = mi_tdf(x) % Proposito: Calcula la transformada discreta % de Fourier de la secuencia x % % y(n) = (1/N)* Suma{ x(nu) exp(-i 2*pi*n*nu/N) } % if nargin~=1 sprintf(’%s’. f1 . recostruye completamente al vecyor de datos f . . aux = 2i*pi/N.N). F1 . end y(n+1) = s/N.8769)+ +0. siendo necesario un número de datos N = 2p .1223 cos(2π(1700)t) (a) Hacer un programa que compute la Transformada Discreta de Fourier. end return Figure 3: Transformada Discreta de Fourier El cómputo de los coeficientes de la Transformada Discreta de Fourier 3. Ejercicios. . En 1966. (b) Computar la TDF de x(t) y calcular el espectro de potencia. .0472 cos(2π(200)t + 1.1852) + 0.4488)+ +0.’Debe ingresar un solo vector/matriz de datos’) break end % N = length(x). Determinar la frecuencia fundamental. . . for n=0:N-1 s = 0. 14 . para el cómputo de la Transformada Discreta de Fourier. for nu=1:N s = s + x(nu)*exp(-1*aux*n*(nu-1)). en cuanto al número de operaciones. FN −1 ]. .1362 cos(2π(400)t + 1. y = zeros(1. Dicho método de cómputo de llama Transformada Rápida de Fourier (Fast Fourier Transform) FFT y requiere O(n log2 n). . fN −1 ] y F = [F0 . . .0.4884 cos(2π(500)t − 0. Reconstruir la función f (t). (Computadora) Para analizar el comportamiento de la TDF con el número de muestras N . w = exp(-2*pi*sqrt(-1)/N). b2 = fft_rec(b1. else a1 = x(1:2:N). 128.NN). mediante el cómputo de la transformada inversa. 16. for k = -NN/2:NN-1-NN/2 X(k+1+NN/2) = a2(k+1+NN/2)+b2(k+1+NN/2)*w^k. Graficar.Métodos Numéricos Avanzados 93. 15 (b) . f (t) = 0. 32. t>1 f (−t). compute polinomio trigonométrico de grado 3 de f (t) = t2 en 0 ≤< 2π. end end Figure 4: Algoritmo FFT recursivo (c) Represente |X(ω)| y la fase de φ(ω) en función de ω. 4. 3. (Computadora) Calcular la TDF de la función f . (a) 0≤t≤1 1 − t. entre −π < t ≤ 0 y f (t) = 1.NN). 5. y f (t) = f (t + 2π). if N == 2 X = x(1) + w. a2 = fft_rec(a1. en 0 < t ≤ π.30 Trabajo Práctico N◦ 7 ITBA Ingeniería Informática function X = fft_rec(NN. ∀t f (t) = u(t) − u(t − 1) siendo u(t) la función de Heaviside. (c) f (t) = sin (2πf0 t) + 4 sin (5πf0 t) con f0 = 60Hz. (L´iz y papel) Obtenga el polinomio trigonométrico de grado 3 para la función f (t) = p 0. usando el cómputo directo y usando el algoritmo FFT. para: N = 8.^[-NN/2:NN-1-NN/2]*x(2). 64. Graficar el espectro de amplitud y de fase.x) % funcion fft_rec % Proposito: Computa la TDF mediante FFT % Entradas: NN = Tama\~no del vector de datos (debe ser 2^p) % x = Vector de NN datos % Salida: X = Vector con la TDF de x % N = length(x). Ensayar para distintos números de muestras. Grafique la función f (t) y los distintos polinomios. b1 = x(2:2:N). 5) − u(t − 0. se puede leer y visualizar asi: 16 . Computadora 1. La ecuación diferencial que lo gobierna es: RC duC + uC = E(t) dt si la salida uC (t) es la tensión en el capacitor.m e− 2πi (nl+mk) N siendo la Transformada Inversa Discreta: xn. de N × N (imagen). Si la señal de entrada es: E(t) = 120 cos 2π10t 2π0. El objetivo de este ejercicio es simular la salida de un filtro anlógico. 1.5)). Por ejemplo en MATLAB. La Trasnformada Discreta de Fourier de una secuencia bidimensional xn.1t + 70 cos τ τ obtener la tensión uC (t) y uR (t). (En GNU Octave ya está implementado mediante la función fft. Computadora 2. Considerar un circuito RC-serie. Para visualizar esta imagen en escala de grises.m) 2. es necesario establecer un mapa de color de 255 niveles. Considerar para este sistema: τ = RC = 10−3 s. 4. Tomar un númera de muestras tal que la energía de la entrada no varíe en más del 5%. muestreando para N = 128 datos. cuando E(t) = 5 (u(t + 0.30 Trabajo Práctico N◦ 7 ITBA Ingeniería Informática (d) f (t) = e−|t| Ejercicios con computadora. Comparar ambas salidas con la entrada. Este ejercicio tiene como objetivo analizar espectralmente una imagen y utilizar la transformada discreta de Fourier para realizar filtrados espaciales. considerando como salidas: a) uC (t).m . El archivo saturno contiene una matriz de 400 × 400 pixeles2 y corresponde a niveles de intensidad luminosa comprendidos entre 0 y 255 (todos enteros). en C/C++ o FORTRAN. Implementar un programa que compute la TDF 2D 2.Métodos Numéricos Avanzados 93. b)ur (t).k e 2πi (nl+mk) N 1. es: Xl. Obtener la función de transferencia del filtro. o: 1 RC t −∞ uR (τ ) dτ + uR = E(t) si la salida u[ R](t) es la tensión en la resistencia. Obtener la tensión en el capasitor.m 1 = 2 N N −1 N −1 l=0 k=0 Xl.k = N −1 N −1 n=0 m=0 xn. Implementar el cómputo de la Transformada discreta de Fourier mediante el algoritmo FFT. 3. Considerar el efecto que produce los siguientes filtros Hk. Dichas imagenes deben verse como se muestra en la figura 2 (Tener en cuenta de mapear los valores de amplitud y fase al intervalo entero [0. >> colormap(gray(255)). >> image(x’). 50 100 150 200 250 300 350 400 50 100 150 200 250 300 350 400 Figure 5: imagen original Computar la Trasnformada discreta de Fourier de la imagen original.Métodos Numéricos Avanzados 93. capturada por la misión Voyager. Armar las imagenes de 400×400 pixel2 correspondientes a la amplitud y la fase. Computar la Transformada inversa para reconstruir la imagen original de 400 × 400 pixel2 .l de 400 × 400 pixel2 en el dominio de las frecuencias (espaciales): 17 . visualizando la figura 2 que muestra una imagen del planeta Saturno. Izquierda: Amplitud. 50 50 100 100 150 150 200 200 250 250 300 300 350 350 400 100 200 300 400 400 100 200 300 400 Figure 6: Transformada de Fourier de la imagen original. Derecha: Fase 3. 255]).30 Trabajo Práctico N◦ 7 ITBA Ingeniería Informática >> x=load(’saturno’). Métodos Numéricos Avanzados 93. sil + kes par 1.l (b) El filtro gaussiano Hk. 18 .1(k2 + l2 ) (c) El damero Hk. sil + kes par 0. 0 ≤ k ≤ 400. 190 ≤ l ≤ 210 = 0.l = 0. 0 ≤ l ≤ 400.30 Trabajo Práctico N◦ 7 ITBA Ingeniería Informática (a) Hk. 190 ≤ k ≤ 210 1. el resto de las posiciones Reconstruir las imagenes resultantes de estos filtrados.l = exp(−0.