TRILCECapítulo ANÁLISIS COMBINATORIO 16 El análisis combinatorio es la parte de las Matemáticas que estudia el número de ordenamientos o grupos que se pueden formar con las cosas o los elementos. FACTORIAL DE UN NÚMERO Sea "n" un número entero positivo, el factorial de "n", se denota por "n!" o " n " y se define como el producto de los enteros consecutivos desde 1 hasta n o desde n hasta la unidad inclusive. n! = n = 1 2 3 4 .... (n1) n Ejemplos: * 1! 1 * 2 ! 1 2 2 * 3 ! 1 2 3 6 * 4 ! 1 2 3 4 24 * 5 ! 1 2 3 4 5 120 * 6 ! 1 2 3 4 5 6 720 * 7 ! 1 2 3 4 5 6 7 5040 * 8 ! 1 2 3 4 5 6 7 8 40320 * 9 ! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 362880 * 10 ! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3628800 Se observa: 9! 10 ! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 ! 10 9 ! 10 ! 10 9 8 ! 10 ! 10 9 8 7 ! Entonces: n! = (n 1)! n De aquí, obtenemos para n = 1 1 ! (1 1) ! 1 0 ! 1 0 ! Luego, definimos convencionalmente: 1! = 0! = 1 b. Reducir: Ejemplos: (n! ) ! n ! (n! ) ! E a. Calcular: (n! 1)! n! Resolución; E 15 ! 16 ! 17 ! 15! 172 Resolución: 187 6 Maneras . Si tenemos a los alumnos “A”. ¿De cuántas maneras distintas diferentes. ¿de cuán- tas maneras distintas se pueden alinear? . ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar una vocal y una consonante de la palabra JESICA? 02. que serán de gran ayuda en estos casos. estamos interesados en conocer todas las maneras distintas en que puede ocurrir. ¿De cuántas maneras se puede vestir Ana? puede ir de "A" a "C" pasando por "B" y sin retroceder? Resolución: Resolución: 04. Observaciones: * En este principio. ocurre el evento "A" y luego ocurre el evento "B".Raz. entonces el evento "A" seguido de "B". ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar una moneda y un dado simultáneamente? Resolución: Resolución: 188 . . PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN (Teorema fundamental del análisis combinatorio) Si un evento "A" ocurre de "m" maneras y para cada una de estas. es decir. * Este principio se puede generalizar para más de dos eventos. Si tengo 3 esferitas diferentes. ocurre de " m n " maneras. otro evento "B" ocurre de "n" maneras. la ocurrencia es uno a continuación del otro. Para determinar las veces que ocurre un determinado evento. . ¿de cuán- tas maneras distintas se puede formar una pareja? A B C A C A B B C 3 Maneras 1. Ana tiene 3 blusas diferentes y 4 faldas también "B" a "C" de 2 formas. Una persona puede viajar de "A" a "B" de 3 formas y de 03. “B” y “C”. . Ejemplos: 01. . nos damos cuenta que dado un evento particular (alinear las 3 esferitas o formar una pareja). haremos uso de las técnicas de conteo. Matemático PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO En los ejemplos siguientes. ocurre el evento "A" o el evento "B". 7. no simultáneamente. db ad . c . bd . sí interesa el orden de sus elementos. ba . ocurre de "m + n" maneras. ¿Cuántos números pares de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos: 1. 6. ¿De cuántas maneras distintas y 5 líneas terrestres. ca . PRINCIPIO DE ADICIÓN: Si un evento "A" ocurre de "m" maneras y otro evento "B" ocurre de "n" maneras. cd . en el 2do. A = {a . se tiene 01. En una permutación. si aplicamos el principio de multiplicación. es decir. d} 4 3 Ordenación de 2 en 2 Número de permutaciones posibles = 4 3 = 12 189 . cb ac . los posibles arreglos o permutaciones de este conjunto tomados de 2 en 2 son : ab . TRILCE 05. PERMUTACIÓN LINEAL : Es un arreglo u ordenación de elementos en línea recta. Ejemplos: 03. 5. Una persona puede viajar de "A" a "B" por vía aérea o disponible en 6 tiendas. en 5 tiendas y en 3er. bc . ¿De cuántas maneras distintas puede puede adquirir una persona un artículo de dicho realizar el viaje? producto? Resolución: Resolución: 02. b . es decir. da . 2. 8 y 9. si cada dígito puede emplearse una sola vez? Resolución: 2. d}. dc Vemos que hay 12 permutaciones distintas. pero no ambos a la vez. por vía terrestre y tienen a su disposición 2 líneas aéreas mercado en 4 tiendas. Si tenemos un conjunto de cuatro elemento : A = {a . entonces el evento A ó B. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar un dado o una moneda? Resolución: PERMUTACIÓN Es un arreglo u ordenación que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. * Este principio se puede generalizar para más de dos eventos. la ocurrencia no es simultáneamente. b . Se pueden presentar en tres casos: 1. Se puede llegar a la misma respuesta sin tener que escribir todas las ordenaciones posibles. Observaciones: * En este principio. Un producto se vende en 3 mercados: en el 1ro. c . no continuación del otro? queden juntas? Resolución: Resolución: 02. de manera que cuatro niños en particular queden juntos? Resolución: 190 . n Pn n! n! n! (n n)! 0! 1 n P P n! n n Ejemplos: 01. Encontrar el número total de enteros positivos que pueden fomarse utilizando los dígitos 1. 3 y 4. ¿De cuántas maneras puede formarse dicha comisión? 05. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 6 chicas en distintas pueden llegar a la meta. ¿De cuántas maneras. en particular. Un grupo está formado por 6 personas y desean formar una comisión integrada por un presidente y un secretario. se dice que es una permutación de "n" elementos y se denota por Pn . En una carrera participan 4 atletas. 0K n K (n K )! Observaciones: * Cuando se toman todos los elementos del conjunto para ordenarlos o permutarlos (es decir. Matemático Del ejemplo anterior.Raz. 2. se pueden ordenar 7 niños en una fila. de manera que dos chicas. si ningún Resolución: dígito ha de repetirse cuando se forma un número? Resolución: 03. se calcula como: n P n! . ¿de cuántas maneras 04. obtenemos las siguientes conclusiones: 4 * El número de permutaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2 se denota como P2 * P 4 12 4 3 4 3 2 1 2 21 4 4! 4! P2 2! (4 2)! En general: El número de permutaciones de "n" elementos diferentes tomados de "K" en "K". K = n). si llegan uno a una fila. PC(n) . Resolución: 191 . de igual forma si al ordenamiento 2º lo hacemos girar en sentido antihorario obtenemos el ordenamiento 6º. II. por hallarse todos en línea cerrada. NOTA: Para determinar el número de permutaciones circulares de "n" elementos distintos. denotado por. Osea: PC(3) (3 1)! 2! 2 Ejemplos: 01. y si lo hacemos girar en sentido horario obtenemos el ordenamiento 4º. Pero si fueran más elementos. Si se toma otro elemento como fijo. Cuatro parejas de enamorados. diferentes. B y C sólo se pueden ordenar de 2 maneras diferentes. de cuántas maneras alrededor de una mesa Juan y sus cinco amigas? diferentes pueden ubicarse alrededor de una fogata. entonces ambas permutaciones serán iguales y en caso contrario. Esto nos conlleva a utilizar la fórmula antes indicada. las ordenaciones de los restantes serán seguro uno de los ya considerados. Luego: PC (n 1)! (n) Observaciones: * Para diferenciar una permutación circular de otra. De todo este análisis se deduce que los elementos A. Los hombres y mujeres queden alternados. por que: si hacemos girar al 1º ordenamiento en sentido antihorario obtenemos el ordenamiento 3º. Cada pareja no se separe. Si se encuentran los elementos en el mismo orden. Resolución: * Para el ejemplo anterior: A B B A B C C B C A A C 1º 2º 3º 4º 5º 6º C C A A B B Aparentemente hay 6 ordenamientos. PERMUTACIÓN CIRCULAR Es un arreglo u ordenación de elementos diferentes alrededor de un objeto. lo cual no es cierto. de modo que: Resolución: I. basta fijar la posición de uno de ellos y los "n 1" restantes podrán ordenarse de (n 1)! maneras. se toma uno de los elementos como elemento de referencia y se recorre en sentido horario o antihorario. Ejemplo: * Permutar "A". sería más tedioso mostrar todos los ordenamientos posibles. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 02. En estas ordenaciones no hay primer ni último elemento. y si lo hacemos girar en sentido horario obtenemos el ordenamiento 5º. "B" y "C" en forma circular. TRILCE 2. se calcula como sigue: Pn n! K . Si se tienen "n" elementos donde hay: K elementos repetidos de una 1ra..Raz. ... ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la tienen pasta azul..V.. ¿De cuántas maneras se pueden hacer señales poniendo todas las banderas en fila? Resolución: 192 . Matemático 3.... K ! 1 2 r 1 2 r Donde: K K . K K ! K ! ..ésima clase. de pasta roja y 3 de Historia palabra PAPAYA? del Perú de pasta amarilla.M. 3 blancas y 5 son azules. clase. ¿De cuántas maneras pueden colocarse los libros según Resolución: los colores? Resolución: 02. . K . 1 K elementos repetidos de una 2da. 2 K elementos repetidos de una r . r El número de permutaciones diferentes con "n" elementos los cuales tienen elementos que se repiten. clase. Un estante tiene capacidad para 5 libros de R. PERMUTACIÓN CON ELEMENTOS REPETIDOS Es un arreglo u ordenación de elementos no todos diferentes (elementos repetidos). que 03. Se tienen 10 banderas donde 2 son rojas. K n 1 2 r Ejemplos: 01. 4 de R.. . K = n). dca 6 acd 1 bcd. bda. dbc. se calcula como: n n! CK . Permutacio nes (ordenamientos) Combinaciones (grupos) abc. cab. 0K n K ! (n K )! Observaciones: * Cuando se toman todos los elementos del conjunto para agruparlos o combinarlos (es decir. C 1 0 1 n C10 C10 n n 7 3 * C k = C nk C50 C50 46 4 n n n n n * C C C . acb. es decir: P4 C 3 4 24 3 4 6 3! 4! 4 (4 3)! 4! C 3 3! 3! (4 3)! En general: El número de combinaciones de "n" elementos tomados de "K" en "K".. Dado el conjunto A = {a. d}. bac. bad.. cad. bdc. b. calcular el número de permutaciones y el número de combinaciones de los elementos de "A" tomados de 3 en 3. C n . dab. se dice que es una combinación de "n" elementos y : n Cn n! n! 1 n! (n n)! n! 0! n Cn 1 n n n * C 1 . A través de un ejemplo nos daremos cuenta que hay una estrecha relación entre las permutaciones y las combinaciones. bca. C 2 0 1 2 n 193 . En una combinación no interesa el orden de sus elementos. cba 6 abc 1 abd. cdb. TRILCE COMBINACIÓN Es una selección o grupo que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. dac. cbd. c. dcb 6 bcd 1 Total : 24 P 4 Total : 4 C 4 3 3 Del ejemplo anterior. cda. adc. obtenemos las siguientes conclusiones: 4 * El número de combinaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3 se denota por C 3 * Cada combinación tiene 6 permutaciones. adb. dba 6 abd 1 acd. ¿Cuántos grupos de 4 personas se pueden formar con 6 se formarán. se van a formar grupos de 5 personas. Si las tres primeras son obligatorias. ¿De cuántas formas puede escoger las preguntas? Resolución: 194 . ¿Cuántos grupos diferentes 01. ¿De cuántas maneras puede el estudiante escoger las 8 preguntas? II. Matemático Ejemplos: 03.Raz. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? 04. Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen: Resolución: I. En una reunión hay 10 hombres y 6 mujeres. Si tiene que contestar 4 de las 5 primeras. si siempre deben haber 3 hombres en el personas? grupo? Resolución: Resolución: 02. Se extraen dos cartas de una baraja de 52 cartas. ¿de cuántas maneras puede escoger las preguntas? III. ¿Cuántos resultados posibles se pueden obtener en el "De Lima a Ica. ¿De cuántas maneras se a) 28 b) 74 c) 92 podrá vestir convencionalmente? d) 48 e) 120 a) 120 b) 60 c) 144 08. ¿de cuántas maneras diferentes d) 72 e) 288 se puede escoger una casilla blanca y una casilla negra de tal manera que no estén en la misma horizontal ni vertical? 195 .¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir una d) 40 e) 625 persona que tiene 6 ternos (iguales). 5 a los cuales se le toma el examen final. 6 pares de zapatos. si la camisa blanca siempre la usa con el pantalón azul? a) 864 b) 1728 c) 688 d) 892 e) 1700 a) 95 b) 80 c) 120 d) 61 e) 91 10. se sabe que 4 de ellos estudian diferentes en los tres dados? inglés y alemán. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a a) 6934 b) 6912 c) 6780 Tacna. ¿de cuántas ¿Cuántas opciones distintas se tiene para ocupar los 2 maneras puedes realizar dicho viaje? primeros puestos. TRILCE EJERCICIOS PROPUESTOS ENUNCIADO "Lalo tiene 6 pantalones. legales? 05. si 3 de los pantalones fueran iguales? d) 256 e) 64 a) 120 b) 60 c) 80 09. 8 corbatas (2 iguales) y 06. 5 inglés y francés y los otros sólo alemán y francés. si la ruta de regreso debe ser diferente a la de ida? a) 420 b) 280 c) 288 a) 400 b) 380 c) 240 d) 840 e) 168 d) 399 e) 401 13. 2 faldas. Del siguiente tablero. Se lanzan tres dados legales al piso. De un grupo de 15 personas que estudian sólo 2 maneras diferentes se pueden obtener resultados idiomas cada uno. Del enunciado: ¿De cuántas maneras diferentes se 6 camisas (3 iguales)? podrá ir de Lima a Tacna y regresar. 3 d) 12 e) 720 argentinos y 4 colombianos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se siente juntos? 03. 5 pares de medias (3 iguales). Si se quiere escoger 2 personas que a) 120 b) 180 c) 140 hagan juntos la traducción de una lectura a cualquiera d) 130 e) 117 de los 3 idiomas mencionados. 4 camisas y 5 pares de zapatos. Si deseas viajar a Venezuela y dispones de 3 barcos. 3 pantalones. aviones y 4 buses (todos diferentes entre sí). Una alumna tiene para vestirse : 4 blusas. ¿De cuántas maneras diferentes. 2 pares de zapatos. Del enunciado: ¿De cuántas maneras diferentes puede a) 24 b) 120 c) 32 vestirse. existen 4 caminos diferentes. de Ica a Tacna lanzamiento simultáneo de 5 monedas y 3 dados hay 5 caminos también diferentes". El aula especial de la Academia consta de 15 alumnos 04. 01. ¿de cuántas 07. ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse? a) 15 b) 240 c) 60 d) 120 e) 72 02. si no hay empate? a) 11 b) 60 c) 12 a) 210 b) 230 c) 240 d) 42 e) 51 d) 205 e) 180 ENUNCIADO 11. 2 peruanos. ¿de cuántas formas se puede elegir? 14. todos de diferentes colores entre sí". Del enunciado: ¿De cuántas maneras puede vestirse. pasando siempre por Ica? d) 6512 e) 6936 a) 9 b) 20 c) 12 12. Un club tiene 20 miembros de los cuales 12 son a) 530 b) 350 c) 305 mujeres. ¿de cuántas maneras diferentes pueden acomodarse para salir de paseo? a) 12 b) 14 c) 16 d) 20 e) 24 a) 24 b) 60 c) 120 d) 240 e) 360 20. Si cada participante es cortés con los fila 4 varones y 4 mujeres. si Genara y Eucalipta estarán siempre diferentes pueden obtenerse tomando aquellas de 3 juntas y en uno de los extremos? en 3? a) 24 b) 48 c) 96 a) 15 b) 120 c) 20 d) 60 e) 80 d) 120 e) 72 22. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 10 caracteres (3 letras seguidas de 3 dígitos). Al ir 5 parejas de esposos al teatro Segura. Manuel. melón. 10. si se quiere que por lo menos esté sentado un hombre y una muje? 196 . ¿Por cuántas rutas diferentes se puede ir de A a B? a) 13 b) 10 c) 25 d) 32 e) 31 A C B 27. Un total de 120 estrechadas de mano se efectuaron al 16. el número de personas era: se quiere sentar junto y entre Fiorela y Deysi (que son dos de ellas)? a) 12 b) 18 c) 20 Además. de tal manera que Carlos llegue antes que Manuel y éste llegue antes que Juan? a) 120 b) 16 c) 48 d) 144 e) 72 a) 6720 b) 4360 c) 1532 d) 1236 e) 1538 26. Matemático 15. ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con las vicepresidente un hombre? letras de la palabra "JAPANAJA"? a) 1428 b) 1716 c) 1628 a) 81 b) 840 c) 120 d) 1718 e) 1728 d) 8 e) 64 18. ¿Cuántas juntas directivas de 3 miembros: d) 450 e) 380 Presidente. 2. 5. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar en una final de una fiesta. Si sólo César y Sandro saben conducir. tienen mala e) 26 25 24 suerte de encontrar solamente 5 asientos juntos en una misma fila. piña y mamey. a) 2520 b) 12000 c) 25200 3 3 2 2 d) 10! e) 15! a) 20 10 b) 26 10 3 c) 26 3 103 d) 26 10 29. ¿De cuántas maneras 3 parejas de esposos se pueden una carrera. La Municipalidad de Lima ha ordenado que las mototaxis sean amarillas y tengan las placas con 6 28. 30 y 70 kg. ¿cuántas pesas hilera 6 amigas.Raz. 23. ¿De cuántas maneras distintas se pueden acomodar. Con 6 pesas de 1. si Luis (que es uno de ellos) demás. Carlos y 5 amigos más participan en 25. papaya. ¿cuántos jugos de diferentes sabores se podrán hacer? 19. consideremos que las personas del mismo d) 14 e) 16 sexo no están juntas. vicepresidente y secretario pueden formarse. si el presidente debe ser una mujer y el 24. ¿de cuántas maneras diferentes pueden ubicar en una mesa circular. Cuatro personas abordan un automóvil en el que hay 6 asientos. personas en una mesa redonda de 6 asientos. si en ningún momento las parejas estarán separadas? llegar a la meta. Juan. ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité a) 720 b) 360 c) 240 compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de un grupo de d) 8! e) 144 7 hombres y 5 mujeres? 17. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán sentar en 21. si 4 ¿Cuántas placas diferentes se podrán formar? están en espera? (Considerar 26 letras del alfabeto). Con las frutas: Plátano. Con cinco retazos de tela. Seis ladrones se escapan de la policía. Hallar el número de señales que pueden formarse con cinco signos más y menos. se escogen 4 números al azar y se multiplican. sabiendo que el pantalón marrón se lo debe poner siempre con la camisa crema y viceversa? a) 160 b) 210 c) 128 d) 144 e) 105 a) 30 b) 20 c) 21 d) 36 e) 24 197 . 37. Con 7 varones y 4 mujeres se desea formar grupos d) 120 e) 205 mixtos de 6 personas. De seis números positivos y 5 números negativos. ¿De cuántas maneras puede escoger de 4 alumnos? las prendas. 42. d) 25 e) 625 Si se desea formar grupos mixtos de 5 personas. ¿cuántas banderas bicolor se 38. Se tiene 6 números negativos y 5 números positivos. ¿de cuántas maneras se pueden escoger cuatro de tal manera que el producto sea negativo. Calcular el número de formas que se pueden multiplicar. vicepresidente y 3 para secretario. ¿de cuántas maneras pueden formarse tales grupos de modo 30. ¿De cuántas maneras diferentes como máximo se pueden ocultar? a) 20 b) 56 c) 28 d) 14 e) 16 a) 729 b) 840 c) 120 d) 720 e) 512 34. 40. Una clase consta de 7 niños y 3 niñas. todos contra todos). Diez equipos de fútbol participan en un campeonato de modo que en cada uno de ellos exista siempre 2 (una rueda. ¿Cuántos cables de conexión son necesarios para que puedan comunicarse directamente 2 oficinas de las 8 41. Juan Carlos tiene 5 pantalones y 6 camisas todos de maneras diferentes el profesor puede escoger un comité distintos colores. Si un amigo de lo ajeno desea abrir la bóveda. suponiendo que cada uno es cortés con cada uno de los demás. 6 para pueden formar?. A una reunión asistieron 30 personas. En una reunión se encuentran 5 mujeres y 8 hombres. ¿cuántos intentos a) 560 b) 390 c) 120 infructuosos como máximo tendrá que realizar? d) 140 e) 280 (La bóveda se abrirá cuando los tres discos se combinen de manera correcta). de tal manera que su producto sea positivo? a) 60 b) 96 c) 128 a) 140 b) 160 c) 175 d) 160 e) 170 d) 180 e) 170 35. y tienen 3 que hay en un edificio? escondites para poder ocultarse. TRILCE a) 25600 b) 30000 c) 256 36. si llegan 3 equipos más? a) 200 b) 20 c) 312 d) 212 e) 210 a) 31 b) 33 c) 9 d) 12 e) 21 33. mujeres? ¿Cuántos partidos más se deberán programar. La cerradura de la bóveda de un banco consta de tres que en cada uno de ellos estén siempre dos mujeres? discos con la numeración del 1 al 10. ¿De cuántas maneras Se sabe que los retazos son de colores diferentes y la se pueden ocupar estos tres cargos? bandera debe tener la forma mostrada. ¿de cuántas 43. números. ¿cuántos a) 10 b) 20 c) 24 apretones de manos hubieron? d) 40 e) 25 a) 60 b) 435 c) 870 32. a) 1000 b) 120 c) 999 a) 25 b) 10 c) 24 d) 810 e) 512 d) 32 e) 64 31. a) 108 b) 64 c) 128 d) 72 e) 90 39. Si se saludan estrechándose las manos. Hay 5 candidatos para presidente de un club. ¿De cuántas maneras pueden formarse tales grupos. 6. En la figura. se han marcado ocho partes equidistantes d) 400 e) 420 sobre la circunferencia de un círculo dado. es tirada 5 veces. ¿de cuántas maneras diferentes se puede escoger una casilla blanca a) 120 b) 60 c) 30 y una negra de tal manera que no estén en la misma d) 15 e) 10 horizontal ni vertical? 45. luego 3 y finalmente 4? 53. ¿Cuántos cuadriláteros diferentes podemos inscribir en 48. 52. En el siguiente cuadrado de 36 casillas. Con cuatro banderas de diferentes colores se debe a) 138 b) 340 c) 280 mandar un mensaje de un barco a otro. 2. si dos de sus amigos están d) 56 e) 70 enemistados y no pueden asistir juntos? 55. si no es obligatorio usar todas las banderas? 51.Raz. 3 y 4? e) 20600 a) 240 b) 380 c) 360 54. Luis tiene 10 amigos. Matemático 44. Tengo 15 sillas de las cuales 8 son defectuosas. si cada una debe contener 3 consonantes y 2 vocales y comenzar con mayúscula? d) 108 e) 1260 47. d) 480 e) 520 Determinar de cuántas maneras se obtendrá como suma 12. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse. ¿Cuántos números mayores que un millón se pueden a) 20500 b) 21600 c) 23200 d) 21950 formar con los dígitos 0. 3. 2. Se tiene una urna con 9 bolas numeradas. ¿De cuántas maneras puede a) 210 b) 1680 c) 15 hacer la invitación. Cuatro chicas y dos varones van al cine y encuentran 6 el círculo usando los vértices marcados? asientos juntos en una misma fila. Se quiere a) 32 b) 216 c) 64 saber. d) 454 e) 180 ¿Cuántos mensajes se pueden mandar. respectivamente. de tal manera que sean a) n b) 2 c) 1 menores que 5000 y no permitiéndose repeticiones d) n + 1 e) n 1 de las cifras? 56. se pueden escribir con los dígitos: 4. Una moneda cuyas caras están marcadas con los a) 490 b) 560 c) 546 números 2 y 3. 7 y 8. a) 630 b) 306 c) 1080 5 consonantes y 4 vocales. donde desean acomodarse. 2. 3. si no se pueden repetir los dígitos? a) 20 b) 56 c) 28 d) 14 e) 36 46. 9 y 8. 7. 5. Calcular "k" a partir de: a) 56 b) 64 c) 36 2 d) 44 e) 128 1 n(n 1)!(n 1)!(n 1)! kn(n)! 1 n 50. ¿De cuántas maneras podemos escoger 5 sillas de las cuales a) 64 b) 40 c) 24 por lo menos 4 sean defectuosas? d) 96 e) 16 198 . ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con las cifras: 1. ¿Cuántos números impares de 3 cifras. 4. si las cuatro chicas quieren estar juntas? a) 160 b) 72 c) 128 d) 144 e) 64 49. ¿de cuántas maneras podemos sacar primero 2 d) 432 e) 28 bolas. ¿Cuántas palabras se pueden hacer con 3 mayúsculas. de los cuales invitará a su matrimonio solamente a 7. Hallar "x" en: 2 2! 3 3! 4 4! . 3. a) 3255 b) 4175 * 3 rojas. (Las cifras deben ser contadas a partir del 1). ¿Cuántos números menores que 10000 pueden 60.. * 1 marrón. 2. ¿Cuántos números enteros y desiguales mayores que Si éstas 3 últimas deben estar juntas. ¿cuántos collares 10 y menores que 100 se pueden formar con las 8 se pueden confeccionar? primeras cifras no repitiéndose ninguna de ellas?. 58. Se quiere construir un collar con 12 perlas: formarse con los ocho dígitos: 0. 6 y 7? * 4 azules. e) 4195 * 1 amarilla. 1. * 2 blancas.. 40! 2 (x -1) términos a) 44 b) 42 c) 41 d) 40 e) 39 199 . TRILCE 57. 4. a) 8560 b) 7560 c) 5040 d) 40320 e) 8760 a) 44 b) 56 c) 24 d) 48 e) 60 59. 5. c) 4095 d) 4950 * 1 verde. b 10. c 14. b 24. b 59. c 51. b 11. e 17. e 21. c 18. e 30. a 200 . b 36. b 02. e 03. e 47. a 33. e 46. c 45. a 43. a 07. e 09. d 19. c 49. e 16. e 13. d 08.Raz. b 41. b 53. c 50. c 34. b 35. c 28. c 32. c 57. e 15. d 05. a 27. a 48. b 55. b 23. b 06. a 12. c 04. c 38. e 25. b 37. c 60. a 44. Matemático Claves 01. d 31. c 58. b 29. e 56. c 22. b 54. b 20. c 26. b 39. e 42. e 52. a 40.