Análise no Rn - J. Delgado & K. Frensel.pdf

Cap´ıtulo 1 Topologia do espaço Euclidiano 1 O espaço vetorial Rn Seja n ∈ N. O espaço euclidiano n− dimensional e´ o produto cartesiano de n fatores iguais a R: Rn = R {z· · · × R} | ×R× ´ n copias ˜ as n−listas x = (x1 , . . . , xn ), cujas coordenadas x1 , . . . , xn sao ˜ Os pontos de Rn sao numeros reais. ´ Dados x = (x1 , . . . , xn ) , y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn e um numero real λ, definimos a soma x + y ´ e o produto λx pondo: x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) λx = (λx1 , . . . , λxn ) . ˜ ˜ n sobre R, no qual Com estas operaçoes, Rn e´ um espaço vetorial de dimensao ˜ e −x = (−x1 , . . . , −xn ) e´ o simetrico ´ 0 = (0, . . . , 0) e´ o elemento neutro para a adiçao de x = (x1 , . . . , xn ). ˆ No espaço vetorial Rn , destaca-se a base canonica {e1 , . . . , en } formada pelos vetores e1 = (1, 0, . . . , 0) , e2 = (0, 1, . . . , 0) , . . . , en = (0, 0, . . . , 1), que tem uma coordenada igual a 1 e as outras nulas. Para todo x = (x1 , . . . , xn ) temos: x = x 1 e1 + x 2 e2 + . . . + x n en . ˜ • Sejam L(Rm , Rn ) o conjunto das transformaçoes lineares T : Rm −→ Rn e M(n × m) o conjunto das matrizes reais A = (aij ) com n linhas e m colunas. ˜ natural entre L(Rm , Rn ) e M(n × m). • Existe uma bijeçao -1 ´ Analise ´ De fato, dada T ∈ L(Rm , Rn ), seja AT = (aij ) a matriz cuja j−esima coluna e´ o vetor coluna ˆ (Tej )t , onde {e1 , . . . , em } e´ a base canonica de Rm , ou seja, a matriz AT = (aij ) e´ definida pelas igualdades Tej = n X aij ei , j = 1, . . . , m , i=1 ˆ onde {e1 , . . . , en } e´ a base canonica de Rn . Reciprocamente, dada A ∈ M(n × m), seja TA ∈ L(Rm , R!n ) definida por m m X X TA (x) = a1j xj , . . . , anj xj . j=1 j=1 ˜ Como TA (ej ) = (a1j , . . . , anj ), temos que a aplicaçao m n Φ : L(R , R ) −→ M(n × m) T 7−→ AT e´ sobrejetora. ´ disso, Φ e´ injetora, pois se Φ(T ) = Φ(L), entao ˜ T (ej ) = L(ej ), j = 1, . . . , m, e, Alem portanto, T (x) = x1 T (e1 ) + . . . + xm T (em ) = x1 L(e1 ) + . . . + xm L(em ) = L(x) , ∀ x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm . ´ a outra numa linha, Escrevendo as colunas de uma matriz A ∈ M(n × m) uma apos podemos identificar A com um ponto do espaço euclidiano Rnm . ˜ nm, no qual as matrizes Assim, M(n × m) torna-se um espaço vetorial real de dimens ao  1 se (i, j) = (k, `) k` k` k` A = aij , 1 ≤ k ≤ n , 1 ≤ ` ≤ m, onde aij = 0 se (i, j) 6= (k, `) , formam uma base natural. ´ disso, como Φ e´ uma bijeçao, ˜ podemos induzir em L(Rm , Rn ) uma estrutura de Alem espaço vetorial, para a qual T `k , 1 ≤ k ≤ n e 1 ≤ ` ≤ m, onde T `k (e` ) = ek e T `k (ej ) = 0 se j 6= `, e´ uma base natural. Podemos, assim, sempre que for conveniente, substituir L(Rm , Rn ) ora por M(n × m), ora por Rn m . ˜ n formado • No caso particular em que n = 1, L(Rm , R) e´ o espaço vetorial real de dimensao pelos funcionais lineares de Rm em R, para oqual {π1 , . . . , πm } e´ uma base, onde 1 se i = j πi (ej ) = 0 se i 6= j , ou seja, 0 ´ Instituto de Matematica UFF F e G espaços vetoriais reais. . . m. . O espaço L(Rm . x 0 ∈ E. xm ) = a1 x1 + . 2 Produto interno e norma ˜ 2. . quaisquer que sejam x. yi . ϕ(x. yi + hx 0 . ˜ Observe que se f ∈ L(Rm . Seja E um espaço vetorial real. . . Sejam E. ˜ 1. . Frensel 1 . y 0 ∈ F e λ ∈ R. entao f(x1 . yi = hx. . y) = 0 quaisquer que sejam x ∈ E e y ∈ F. x) . .1. F = Rn . y) + ϕ(x . . . . Uma aplicaçao ˜ bilinear ϕ : E × E −→ G e´ simetrica ´ Definiçao quando ϕ(x. y 0 ) . i=1 n X yj ej = j=1 X xi yj ϕ(ei . . . . . . ij de modo que ϕ fica inteiramente determinada pelos mn valores ϕ(ei . i = 1. y. . 0) = ϕ(0. J.2. ej ) que assume nos pares ´ ordenados de vetores basicos (ei . e a base ˆ {π1 . Observaçao ˜ 1. yi = hy. ˜ 1. quaisquer que sejam x. ˜ 1. temos que ! Observaçao ϕ(x. R) = (Rm )? e´ chamado o espaço dual do espaço euclidiano Rm . ´ chama-se bilinear quando e´ linear em relaçao ou seja: 0 0 ϕ(λx + x . . R) e f(ei ) = ai . j=1 m ˜ de R sobre seu i−esimo ´ e´ a projeçao fator. Delgado .1. Um produto interno em E e´ uma aplicaçao ˜ Definiçao h . 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.2. λy + y 0 ) = λϕ(x. xi .Produto interno e norma πi (x1 . Uma aplicaçao ˜ ϕ : E × F −→ G Definiçao ˜ a cada uma de suas variaveis.1. y) = ϕ m X xi e i . y ∈ E. ej ). xm ) = n X xj πi (ej ) = xi . y) = ϕ(y. .K. (2) hx + x 0 . . y) ϕ(x. πm } e´ chamada base dual da base canonica de Rm . xi . . y) = λϕ(x. e (a1 · · · am ) e´ a matriz 1 × m associada ao funcional f. Se E = Rm . y) + ϕ(x. i : E × E −→ R que satisfaz as seguintes propriedades: (1) hx. + am xm . ej ) . . ˜ 2. .1. . e´ simetrica e positiva definida.2. x 0 . 2 ´ Instituto de Matematica UFF .j≤n . .j=1 n define um produto interno em R . Observaçao ˆ Exemplo 2. onde 1 se i = j δij = 0 se i 6= j e´ a delta de Kronecker. y) = n X aij xi yj = xAyt . um produto interno sobre E e´ uma funçao e positiva definida. n. y ∈ E e λ ∈ R. O produto interno canonico do espaço euclidiano Rn e´ dado por hx. . . ˆ ˆ ˜ i e´ o produto interno canonico de Rn e {e1 . yi = x1 y1 + . ja´ que ϕ(x. yi = 0. . xn ) e y = (y1 . ej ) = aij . entao hei .j=1 ´ ˜ Reciprocamente. Observaçao • O vetor nulo 0 e´ ortogonal a todos os vetores do espaço. .2. . . ˜ 2.´ Analise (3) hλx. xi = 0 ⇐⇒ x = 0 . ˜ 2. ˆ O produto interno canonico corresponde  a tomar a matriz identidade I = (δij ). i. yi . i se hx. . yn ). entao n X ϕ(x. ˜ real bilinear. ou seja. para quaisquer x. en } e´ a base canonica. ˜ 2. ej i = δij . . . . .3. (4) x 6= 0 =⇒ hx. i. Dizemos que dois vetores x. simetrica ´ Ou seja. xn yn . y sao ˜ ortogonais em relaçao ˜ ao produto interno Definiçao h . yi = λhx. . y) = aij xi yj i. entao ˜ a matriz Observaçao ´ A = (aij )1≤i. se A ∈ M(n × n) e´ uma matriz simetrica e positiva definida. Se ϕ : Rn × Rn −→ R e´ um produto interno em Rn . j = 1. hx. onde x = (x1 . aij = aji e xAxt > 0 para todo x ∈ Rn − {0}. • Se h . . xi > 0 .1. onde ϕ(ei . . ou seja.Produto interno e norma ˜ 2.1. x e y sao ˜ 2. ou seja. ∆ = 0. onde kxk = e a igualdade e´ valida se. e so´ se. temos que o discriminante ∆ = 4hx. yi + λ2 kyk2 ≥ 0 . kxk = 0 ⇐⇒ x = 0 . Frensel 3 . (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Proposiçao Seja E um espaço vetorial com produto interno h . Observaçao ˜ 2. yi| = kxk kyk se. yi. ´ ˜ LD. e somente se. Uma norma num espaço vetorial real E e´ uma funçao ˜ real k k : E −→ R que Definiçao ˜ satisfaz as seguintes condiçoes: (1) kλxk = |λ| kxk . x e y sao p p hx. Suponhamos que y 6= 0 e seja λ ∈ R. se. x + λyi = kxk2 + 2λhx. Logo | hx. y ∈ E e λ ∈ R. ˜ i. e so´ se. (3) x 6= 0 =⇒ kxk > 0 . e kyk = k(x − y) − xk ≤ kx − yk + kxk . | kxk − kyk | ≤ kx − yk . xi e kyk = hy. yi2 − 4kxk2 kyk2 ≤ 0 . yi| ≤ kxk kyk. Entao ∀ x. Delgado . k − xk = kxk .4. k0k = 0 . (2) kx + yk ≤ kxk + kyk . | hx.3. y ∈ E . Observaçao ˜ 2.K. e so´ se. | hx.5. como kxk = k(x − y) + yk ≤ kx − yk + kyk . Prova. ˜ LD. existe λ0 ∈ R tal que Alem x + λ0 y = 0. Observaçao ˜ 2. yi| = kxk kyk se. yi | ≤ kxk kyk . ∀λ ∈ R. ˜ 2. J.7. ´ disso. para quaisquer x. Observaçao De fato. | hx.6. Como hx + λy. Se h . ´ verificar que k E´ facil kM e k kS realmente definem normas em Rn (exerc´ıcio).2. . Prova. xi e´ uma norma em E. ou seja. Ha´ uma infinidade de normas que podem ser definidas no espaço euclidiObservaçao ano Rn . . xi = |λ| hx. se y 6= 0. + |xn | .9. ˜ 2. xi > 0 =⇒ kxk = hx. Proposiçao kxk = p hx. . 4 ´ Instituto de Matematica UFF . temos que kxk ≥ kxkM . (2) kx + yk2 = hx + y. λxi = λ2 hx. . . Entao: p p p (1) kλxk = hλx. ˆ Exemplo 2. kx + yk ≤ kxk + kyk. Se h . . ˜ 2. Logo kx + yk2 ≤ ( kxk + kyk )2 . . n. e • a norma da soma: kxkS = |x1 | + . . y ∈ E e λ ∈ R. temos: ´ • a norma do maximo: kxkM = max{|x1 |. |xn |} . Alem kxkM ≤ kxk ≤ kxkS ≤ nkxkM . xi = |λ| kxk . e´ chamada de norma euclidiana do vetor x ∈ Rn . entao ˜ k k : E −→ R. xi = p x21 + . ˜ 2.8. pela desigualdade de Cauchy-Schwarz. ou seja. . yi + kyk2 ≤ kxk2 + 2kxk kyk + kyk2 . . x = λy. p (3) x 6= 0 =⇒ hx. como kxk = x21 + . yi = kxk kyk ⇐⇒ ∃λ > 0 .2. (1) onde k k e´ a norma euclidiana. i e´ o produto interno canonico de Rn . kxk = p hx. ´ disso. . x + yi = kxk2 + 2hx. temos que kx + yk = kxk + kyk ⇐⇒ hx. i : E × E −→ R e´ um produto interno em E. + x2n . Observaçao De fato. . Dentre elas. para todo x ∈ Rn . + x2n ≥ |xi | para todo i = 1. xi > 0 . . p De fato. | kxk − kyk | ≤ kx − yk .´ Analise temos que −kx − yk ≤ kxk − kyk ≤ kx − yk . ˜ Sejam x. kxk + kyk = kx + yk ⇐⇒ ∃ λ > 0 tal que x = λy ou y = λx . . z) (desigualdade triangular) . Estas desigualdades servirao ˜ 2. ˜ De fato. + |xn − yn | e´ a metrica que provem ˜ 2. . Uma metrica ´ ˜ real d : M × M −→ R que satisfaz Definiçao num conjunto M e´ uma funçao ˜ as seguintes condiçoes: (1) d(x. . y) = kx − yk = ky − xk = d(x. y) > 0 . + |xn | ) = |x1 | + .Produto interno e norma ˜ E se kxkM = |xi |. se x. (3) x 6= y =⇒ x − y 6= 0 =⇒ kx − yk > 0 =⇒ d(x. Delgado . . d) e´ dito um espaço metrico.3. ´ • dM (x.4. x. + |xn | ≤ n|xi | = nkxkM . kxkS ≥ kxk. . . Se (E. y) = kx − yk . y) . y ∈ E ´ e´ uma metrica em E. y) > 0. . (2) d(x. kxk2S = ( |x1 | + . k k) e´ um espaço vetorial normado. z) = kx − zk = k(x − y) + (y − z)k ≤ kx − yk + ky − zk = d(x. j = 1 i<j ou seja. y) = p ´ ´ da norma euclidiana. Observaçao J. .10. (2) d(x. z) . (x1 − y1 )2 + . y. entao ˜ d : E × E −→ R definida Observaçao por d(x. z) ≤ d(x.K. . Em Rn . Finalmente. • dS (x. . y) = d(y. ´ para quaisquer x. . x) . + (xn − yn )2 e´ a metrica que provem ´ ´ da norma do maximo. O par (M. y) = max1≤i≤n { |xi − yi | } e´ a metrica que provem e ´ ´ da norma da soma. y. + |xn |2 = kxk2 .11. ˜ 2. z ∈ M. entao: (1) d(x. (3) x 6= y =⇒ d(x. • d(x. y) + d(y. z ∈ E. entao kxkS = |x1 | + . y) + d(y. Frensel 5 . ˜ para mostrar que as tres ˆ normas acima sao ˜ equivalentes. Uma norma num espaço vetorial E pode nao ˜ provir de um produto interno. i. Exemplo 2. y) = |x1 − y1 | + . + |xn | + 2 2 2 2 n X |xi | |xj | ≥ |x1 |2 + . . . r] = B(a. se a norma k ´ de um produto interno h . ´ ´ de uma norma k k do espaço vetorial E. yi =⇒ kx + yk2 + kx − yk2 = 2 kxk2 + kyk2 . Com isso. a + r} . r] = {a − r. que diz que a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo e´ igual a` soma dos quadrados de seus quatro lados. r] . Segue-se que B[a. ´ Instituto de Matematica UFF . No espaço euclidiano R de dimensao mente. a) ≤ r}.´ Analise ou seja. d).1. r) = {x ∈ E | kx − ak < r} . x + yi = kxk2 + kyk2 + 2hx. S[a. n ≥ 2. • Bola fechada de centro a ∈ M e raio r > 0: B[a. ˜ 1. definidas anteriorExemplo 3. definimos os seguintes conjuntos: • Bola aberta de centro a ∈ M e raio r > 0: B(a. r] = [a − r. pois: • ke1 + e2 k2M + ke1 − e2 k2M = 1 + 1 = 2 6= 4 = 2 ke1 k2M + ke2 k2M . r] = {x ∈ E | kx − ak ≤ r} . a + r) . kx + yk2 = hx + y. temos: Se a metrica d provem B(a. i em E tal que p kxk = hx. a + r] e S[a. k provem ˜ vale a identidade do i. x − yi = kxk2 + kyk2 − 2hx. yi kx − yk2 = hx − y. r] = {x ∈ M | d(x. as tres ˆ normas. 6 B[a. • Esfera de centro a ∈ M e raio r > 0: S[a. coincidem. podemos provar que as normas k kM e k ˜ provem ˆ de um kS em Rn . B[a. a) = r}. e: B(a. a) < r}. De fato. r) = (a − r. nao produto interno. e • ke1 + e2 k2S + ke1 − e2 k2S = 4 + 4 = 8 6= 4 = 2 ke1 k2S + ke2 k2S . 3 Bolas e conjuntos limitados ´ Num espaço metrico (M. entao paralelogramo: kx + yk2 + kx − yk2 = 2 kxk2 + kyk2 . r) ∪ S[a. r] = {x ∈ M | d(x. r] = {x ∈ E | kx − ak = r} . nem sempre existe um produto interno h . Com efeito. r) = {x ∈ M | d(x. xi . teremos: • BS ((a. y) ∈ R2 | |x − a| < r e |y − b| < r} = (a − r. teremos: • BM ((a. ´ (a + r. da norma que se usa. b). y) ∈ R2 | (x − a)2 + (y − b)2 = r} (c´ırculo de centro (a. b + r]. ´ Por exemplo. y) ∈ R2 | (x − a)2 + (y − b)2 < r} (disco aberto de centro (a. Frensel 7 . r] = {(x. ˜ interior ao quadrado de vertices ´ e´ a regiao nos pontos (a. b) e raio r > 0). r) = {(x. b + r). b). y) ∈ R2 | |x − a| ≤ r e |y − b| ≤ r} = [a − r. b). ˜ a` metrica ´ ´ Fig.K. em geral. b). (a. • B[(a. b) com o proprio quadrado. r] = {(x. r] = {(x. Delgado . • SM [(a. a + r) × (b − r. bola fechada e esfera no plano em relaçao euclidiana ´ ´ E se consideramos R2 com a metrica do maximo.Bolas e conjuntos limitados ˜ 3. b). y) ∈ R2 | |x − a| ≤ r e |y − b| = r} ∪ {(x. teremos: • B((a. se tomarmos R2 com a metrica da soma. 1: Bola aberta. (a. y) ∈ R2 | |x − a| = r e |y − b| ≤ r}. (a + r. (a − r. (a − r. b + r). r] = {(x. b). ˜ da regiao ˜ limitada pelo quadrado de vertices ´ e´ a uniao nos pontos (a. b). bola fechada e esfera no plano em relaçao do maximo ´ Finalmente. y) ∈ R2 | |x − a| + |y − b| ≤ r} . y) ∈ R2 | (x − a)2 +(y − b)2 ≤ r} (disco fechado de centro (a. b − r). a + r] × [b − r. b). A forma geometrica ´ Observaçao das bolas e esferas dependem. b). se consideramos o plano R2 com a metrica euclidiana. b + r). b) e raio r > 0). b). • BM [(a. b − r). r) = {(x. • BS [(a. ˜ a` metrica ´ Fig. r) = {(x.1. b). 2: Bola aberta. y) ∈ R2 | |x − a| + |y − b| < r} . • S[(a. r] = {(x. b) e raio r > 0). J. ˜ 3. . . ´ O fato das bolas de Rn serem produto cartesiano de intervalos da reta. . da soma e do maximo ˜ 3.´ Analise • SS [(a. . |xn |}. r) ⊂ BM ((a. . an + r) ⇐⇒ (x1 . (a + r. . 8 ´ Instituto de Matematica UFF . definida pela norma Observaçao kxkM = max{ |x1 |. ˜ entre as bolas abertas de mesmo centro e raio em relaçao ˜ as ` metricas ´ ´ Fig. BS ((a. . x = (x1 . De fato.2. an + r) . b). . . a1 + r) × . . . agora. . xn ) ∈ (a1 − r. 1] } . . × (an − r. . . (a. . a1 + r) × . b). y ∈ Rn . . Sejam x. an + r). a bola aberta BM (a. mais conveniente do que a metrica euclidiana. × (an − r. r) . xn ) ∈ BM (a. y) ∈ R2 | |x − a| + |y − b| = r} ´ e´ o quadrado de vertices nos pontos (a. 4: Relaçao euclidiana. . 3: Bola aberta. torna esta metrica. De um modo geral. |xn − a| < r ⇐⇒ x1 ∈ (a1 − r. onde a = (a1 . . . b). . . em ˜ ´ muitas ocasioes. . que as bolas relativas a diferentes normas em Rn tem de serem convexas. a1 + r) . b + r). b − r). (a − r. b). ˜ a` metrica ´ Fig. . ˆ em comum o fato • Mostraremos. O segmento de reta de extremos x e y e´ o conjunto Definiçao [x. b). . r) ⊂ Rn . bola fechada e esfera no plano em relaçao da soma ˜ temos que: Entao. y] = { (1 − t) x + t y | t ∈ [0. . e´ o produto cartesiano (a1 − r. . xn ∈ (an − r. r] = {(x.1. r) ⇐⇒ |x1 − a1 | < r . r) ⊂ B((a. . an ). b). e so´ se.3. com respeito a qualquer norma. ˜ kx − ak ≤ r para todo x ∈ X. −e1 ∈ X. ˜ 3. Logo. Um subconjunto X ⊂ Rn e´ convexo quando contem ´ qualquer segmento de reta Definiçao cujos extremos pertencem a X. pois 1 1 e1 + (−e1 ) = 0 ∈ / X. limitado em relaçao J. e´ um conjunto convexo. y ∈ X =⇒ [x. Sejam x.3. ˜ 3. existe a ∈ Rn e r > 0 tal Observaçao que X ⊂ B[a. Todo subespaço vetorial E ⊂ Rn e´ convexo. ou seja. Exemplo 3. Delgado . e´ temos que um subconjunto X ⊂ Rn e´ limitado em relaçao ˜ a qualquer das outras duas. pois e1 ∈ X. ˜ conjuntos convexos. ´ De modo analogo. Todo subespaço afim a + E = {a + x | x ∈ E}. e so´ se. y] ⊂ X . De fato. x.4. r + kak].K. −e1 ] 6⊂ X. Um subconjunto X ⊂ Rn e´ limitado com respeito a uma norma k k em Rn Definiçao quando existe c > 0 tal que kxk ≤ c para todo x ∈ X. pois 1 − t ≥ 0 e t > 0 ou 1 − t > 0 e t ≥ 0. entao ˜ X×Y ⊂ Rm+n e´ convexo. X ⊂ B[0. r]. Entao k(1 − t)x + ty − ak = k(1 − t)x + ty − (1 − t)a − tak ≤ k(1 − t)(x − a)k + kt(y − a)k < (1 − t)r + tr = r . Prova. Se X ⊂ Rm e Y ⊂ Rn sao ˜ e´ convexo. ˜ 3. podemos provar que a bola fechada e´ convexa. Exemplo 3. c] .2. 1]. r]. 2 2 Teorema 3. para todo t ∈ [0. Um subconjunto X ⊂ Rn e´ limitado se. Logo. ou seja.3. Exemplo 3. para todo x ∈ X.5. entao kxk = kx − a + ak ≤ kx − ak + kak ≤ r + kak .2. Frensel 9 . Toda bola aberta ou fechada de Rn .1. onde E ⊂ Rn e´ um subespaço.Bolas e conjuntos limitados ˜ 3. mas Exemplo 3. quando existe c > 0 tal que X ⊂ B[0. ou seja. O conjunto X = Rn − {0} ⊂ Rn nao [e1 . y ∈ B(a. ˜ kx − ak < r e ky − ak < r. Como as tres ˆ normas usuais de Rn satisfazem as desigualdades Observaçao kxkM ≤ kxk ≤ kxkS ≤ nkxkM . se X ⊂ B[a. ˜ a uma dessas normas se.4. e´ um conjunto convexo. r). onde xki = πi (xk ) = i−esima coordenada de xk . × [−r. Mostraremos depois que duas normas quaisquer k k1 e k k2 em Rn sao ˜ Observaçao equivalentes.) para indicar a sequencia ˆ ´ Usaremos a notaçao cujo k−esimo termo e´ xk . . X e´ limitado com respeito a` norma euclidiana k ´ do maximo k k ⇐⇒ X ⊂ Rn e´ limitado com respeito a` norma kM ⇐⇒ ∃ r > 0 tal que X ⊂ BM [0. . Assim. x2 . e chama-se o k−esimo termo da sequencia. . xn . xki . ˜ (xk ). . . existem d. . . se X ⊂ Rn e´ limitado com respeito a uma norma em Rn .estaremos ´ Salvo mençao assumindo que a norma considerada em Rn e´ a norma euclidiana. Uma sequencia ˆ ˜ x : N −→ Rn . (xki )i∈N ou (xk1 . . . . Uma subsequencia ˆ ˜ da sequencia ˆ Definiçao de (xk ) e´ a restriçao a um subconjunto infinito N 0 = {k1 < k2 < . ou seja. O valor x(k) e´ indicado Definiçao em Rn e´ uma aplicaçao ´ ˆ com xk . Um subconjunto X ⊂ Rn e´ limitado em relaçao ˜ π1 (X). n sao das coordenadas da ˆ sequencia (xk ). i = 1. 10 ´ Instituto de Matematica UFF . ou seja. . r]. . . πn (X) sao ˜ 3. quando existe c > 0 tal que kxk k ≤ c para todo k ∈ N. . r] ⇐⇒ ∃ r > 0 tal que ˜ limitados em R. ˜ 4. e so´ se. . . ˜ 4. < ki < . (xk )k∈N ou (x1 . . .). ˆ ˜ (xk )k∈N 0 . r] × . . . A subsequencia e´ indicada pelas notaçoes ˜ 4. r] = [−r. . . Teorema 3.´ Analise ˜ a` norma euclidiana se. . ´ ˆ ˜ chamadas as sequencias ˆ As n sequencias (xki )k∈N . . . . . xk2 . limitado em relaçao 4 ˆ Sequencias no espaço euclidiano ˜ expl´ıcita em contrario.1. . πn (X) sao ˜ conjuntos limitados em R. i = 1. r] ⇐⇒ π1 (X). ´ para todo x ∈ Rn .2. . Dizemos que uma sequencia ˆ Definiçao (xk )k∈N e´ limitada quando o conjunto formado pelos seus termos e´ limitado. π1 (X) ⊂ [−r. c > 0 tais que c kxk2 ≤ kxk1 ≤ d kxk2 . n. ´ de numeros reais. . sera´ tambem ˜ a qualquer outra norma em Rn . . .3. . . . . ˜ 4. .} ⊂ N. Uma sequencia ˆ ˆ Observaçao (xk ) em Rn equivale a n sequencias (xki )k∈N . . . . πn (X) ⊂ [−r. . . suas projeçoes Prova. .5.1. . i = 1.2. n. ˆ Sequencias no espaço euclidiano ˜ que uma sequencia ˆ Pelo teorema 3.2, temos, entao, (xk ) e´ limitada se, e so´ se, cada uma ˆ de suas sequencias de coordenadas (xki )k∈N , i = 1, . . . , n, e´ limitada em R. ˜ 4.4. Dizemos que o ponto a ∈ Rn e´ o limite da sequencia ˆ Definiçao (xk ) quando, para todo ε > 0 dado, existe k0 ∈ N tal que k > k0 =⇒ kxk − ak < ε Neste caso, dizemos que (xk ) converge para a ou tende para a. ˜ Notaçao: ˜ equivalentes. • lim xk = a , lim xk = a , lim xk = a ou xk −→ a sao k→∞ k∈N ˆ ´ • Quando existe o limite a = lim xk , dizemos que a sequencia (xk ) e´ convergente. Caso contrario, ˆ dizemos que a sequencia (xk ) e´ divergente. ˜ 4.2. O limite de uma sequencia ˆ Observaçao (xk ) convergente e´ unico. ´ ˜ a = b. Ou seja, se a = lim xk e b = lim xk , entao De fato, se ε = ka − bk > 0, existe k0 ∈ N tal que kxk0 − ak < ε e kxk0 − bk < ε. Logo, 2 ka − bk ≤ kxk0 − ak + kxk0 − bk < 2ε = ka − bk , ˜ uma contradiçao. ˜ 4.3. lim xk = a ⇐⇒ lim kxk − ak = 0. Observaçao k→∞ k→∞ ˜ 4.4. lim xk = a ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ k0 ∈ N ; xk ∈ B(a, ε) ∀ k > k0 , ou seja, qualquer Observaçao k→∞ ´ todos os termos xk salvo, possivelmente, um numero bola aberta de centro a contem finito de ´ ´ındices k. ˆ ˆ ´ • Com isto, podemos definir o limite e convergencia de uma sequencia num espaço metrico (M, d) qualquer. ˜ 4.5. Toda sequencia ˆ Observaçao convergente e´ limitada. ˆ De fato, seja (xk )k∈N uma sequencia convergente. Dado ε = 1 > 0, existe k0 ∈ N tal que kxk − ak < 1 para todo k > k0 . ˜ kxk − ak ≤ r para todo k ∈ N, ou seja, Se r = max{ 1, kx1 − ak, . . . , kxk0 − ak } > 0, entao, {xk | k ∈ N} ⊂ B[a, r]. ˜ e´ verdadeira. • Mas a rec´ıproca nao ˆ ˜ e´ convergente. Por exemplo, se a 6= b, a sequencia {a, b, a, b, a, . . .} e´ limitada, mas nao J. Delgado - K. Frensel 11 ´ Analise ˜ 4.6. Toda subsequencia ˆ ˆ Observaçao de uma sequencia convergente e´ convergente e tem o mesmo limite. ˜ 4.7. Como as tres ˆ normas usuais de Rn estao ˜ relacionadas pelas desigualdaObservaçao des kxkM ≤ kxk ≤ kxkS ≤ nkxkM , temos que: lim kxk − akM = 0 ⇐⇒ lim kxk − ak = 0 ⇐⇒ lim kxk − akS = 0 . k→∞ k→∞ k→∞ ˜ lim xk = a independe de qual das tres ˆ normas usuais estamos consideou seja, a afirmaçao k→∞ rando. ˜ equivalentes, a noçao ˜ de Como provaremos depois que duas normas quaisquer de Rn sao ˆ limite de uma sequencia em Rn permanece a mesma seja qual for a norma que considerarmos. ˆ Teorema 4.1. Uma sequencia (xk ) em Rn converge para o ponto a = (a1 , . . . , an ) se, e so´ se, lim xk i = ai para todo i = 1, . . . , n. k→∞ Prova. Como |xk i − ai | ≤ kxk − akM , temos que se lim xk = a, ou seja, se lim kxk − akM = 0, k→∞ k→∞ ˜ lim |xk i − ai | = 0, para todo i = 1, . . . , n, e, portanto, lim xk i = ai , i = 1, . . . , n. entao k→∞ k→∞ Suponhamos, agora, que lim xk i = ai , i = 1, . . . , n. k→∞ Dado ε > 0, existe, para cada i = 1, . . . , n, um numero natural ki tal que |xk i − ai | < ε para todo ´ k > ki . ˜ k > k0 =⇒ kxk − akM = max { |xk i − ai | } < ε. Seja k0 = max{ k1 , . . . , kn }. Entao, 1≤i≤n Logo lim xk = a. k→∞ ´ ˜ sequencia ˆ ˆ Corolario 4.1. Se (xk ), (yk ) sao convergentes em Rn e (λk ) e´ uma sequencia ˜ convergente em R, com a = lim xk , b = lim yk e λ = lim λk , entao: (a) lim (xk + yk ) = a + b , k→∞ (b) lim λk xk = λa , k→∞ (c) lim hxk , yk i = ha, bi . k→∞ (d) lim kxk k = kak. k→∞ 12 ´ Instituto de Matematica UFF ˆ Sequencias no espaço euclidiano Prova. Pelo teorema 4.1, temos que lim xki = ai e lim yki = bi , i = 1, . . . , n. k→∞ k→∞ Utilizando novamente o teorema 4.1 e os fatos conhecidos sobre limites de somas e de produtos ˆ de sequencias de numeros reais, temos que: ´ (a) lim (xki + yki ) = ai + bi , k→∞ (b) lim λk xki = λai , k→∞ i = 1, . . . , n =⇒ lim (xk + yk ) = a + b . k→∞ i = 1, . . . , n =⇒ lim λk xk = λa . k→∞ (c) lim hxk , yk i = lim ( xk1 yk1 + . . . + xkn ykn ) = a1 b1 + . . . + an bn = ha, bi . k→∞ k→∞ p p (d) lim kxk k = lim hxk , xk i = ha, ai = kak . k→∞ k→∞ ´ podemos provar (d) observando que | kxk k − kak | ≤ kxk − ak, que tem a vantagem de Tambem valer para qualquer norma. Teorema 4.2. (Bolzano-Weierstrass) ˆ ˆ Toda sequencia limitada em Rn possui uma subsequencia convergente. Prova. ˆ Caso n = 1: Seja (xk ) uma sequencia limitada de numeros reais, e sejam a < b tais que ´ xk ∈ [a, b] para todo k ∈ N. Consideremos o conjunto: A = { t ∈ R | xk ≥ t para uma infinidade de ´ındices k } . Temos que a ∈ A e todo elemento de A e´ menor ou igual a b. Logo A 6= ∅ e e´ limitado superiormente por b. Seja c = sup A. ˜ dado ε > 0 existe tε ∈ A tal que c − ε < tε . Assim, existe uma infinidade de ´ındices k tais Entao, que xk > c − ε. ´ Por outro lado, como c + ε 6∈ A, xk ≥ c + ε no maximo para um numero finito de ´ındices. ´ Assim, c − ε < xk < c + ε para uma infinidade de ´ındices k, e, portanto, c e´ o limite de uma ˆ subsequencia de (xk ). ˆ Caso geral: Seja (xk ) uma sequencia limitada em Rn . ˆ ˜ sequencias ˆ Pelo teorema 3.2, as sequencias (xki )k∈N , i = 1, . . . , n, de coordenadas de (xk ) sao limitadas de numeros reais. ´ Como (xk1 )k∈N e´ limitada, existe N1 ⊂ N infinito e a1 ∈ R tal que lim xk1 = a1 . Por sua vez, k∈N1 ˆ como a sequencia (xk2 )k∈N1 de numeros reais e´ limitada, existe N2 ⊂ N1 infinito e a2 ∈ R tais ´ J. Delgado - K. Frensel 13 ´ Analise que lim xk2 = a2 . k∈N2 Prosseguindo dessa maneira, obtemos n conjuntos infinitos N ⊃ N1 ⊃ . . . ⊃ Nn e n numeros ´ reais a1 , . . . , an tais que lim xki = ai , i = 1, . . . , n. k∈Ni ˜ Sendo a = (a1 , . . . , an ), temos que lim xk = a, o que conclui a demonstraçao. k∈Nn ˜ 4.5. Dizemos que um ponto a ∈ Rn e´ valor de aderencia ˆ ˆ Definiçao de uma sequencia (xk ) ˆ de pontos de Rn quando a e´ limite de alguma subsequencia de (xk ). ˜ 4.8. Uma sequencia ˆ ˜ possui valor de aderencia ˆ ˜ possui Observaçao (xk ) nao ⇐⇒ (xk ) nao ˆ subsequencia limitada ⇐⇒ para todo numero real A > 0 dado, existe k0 ∈ N tal que k > k0 =⇒ ´ kxk k > A. ˜ 4.9. a ∈ Rn e´ valor de aderencia ˆ Observaçao de (xk )k∈N ⇐⇒ dados ε > 0 e k0 ∈ N, existe k > k0 tal que kxk − ak < ε. ˜ 4.10. Uma sequencia ˆ ˆ Observaçao convergente possui um unico valor de aderencia, mas a ´ ˜ vale, pois, por exemplo, a sequencia ˆ rec´ıproca nao (1, 2, 1, 3, 1, 4, . . .) possui o 1 como unico ´ ˆ ˜ converge, ja´ que e´ ilimitada. valor de aderencia, mas nao ˆ Teorema 4.3. Uma sequencia limitada em Rn e´ convergente se, e somente se, possui um ˆ unico valor de aderencia. ´ Prova. (=⇒) E´ imediato. ˆ ˆ (⇐=) Seja (xk ) uma sequencia limitada e seja a ∈ Rn o seu unico valor de aderencia. ´ ˆ ˜ converge para a. Entao, ˜ existe ε0 > 0 tal Suponhamos, por absurdo, que a sequencia (xk ) nao / que para todo k ∈ N, existe k 0 > k tal que kxk 0 − ak ≥ ε0 , ou seja, o conjunto N 0 = { k ∈ N | xk ∈ B(a, ε0 ) } e´ ilimitado e, portanto, infinito. ˆ Como a sequencia (xk )k∈N 0 e´ limitada, existe, pelo teorema 4.2, N 00 ⊂ N 0 infinito e b ∈ Rn tais que lim00 xk = b. k∈N Sendo kxk − ak ≥ ε0 > 0 para todo k ∈ N 00 , temos que kb − ak ≥ ε0 > 0. Logo b 6= a e b e´ valor ˆ ˜ ja´ que (xk ) possui um unico ˆ de aderencia de (xk ), uma contradiçao, valor de aderencia. ´ ˜ 4.6. Dizemos que uma sequencia ˆ Definiçao (xk ) e´ de Cauchy quando para todo ε > 0 existe k0 ∈ N tal que k, ` > k0 =⇒ kxk − x` k < ε. 14 ´ Instituto de Matematica UFF ˆ Sequencias no espaço euclidiano ˜ 4.11. (xk )k∈N e´ de Cauchy ⇐⇒ para cada i = 1, . . . , n, a sequencia ˆ Observaçao (xki )k∈N das ´ ˆ suas i−esimas coordenadas e´ uma sequencia de Cauchy de numeros reais. ´ ˆ Teorema 4.4. Uma sequencia (xk )k∈N em Rn e´ de Cauchy se, e so´ se, e´ convergente. Prova. (⇐=) E´ imediato. ˆ (=⇒) Seja (xk ) uma sequencia de Cauchy em Rn . ˜ para cada i = 1, . . . , n, a sequencia ˆ ´ Entao, (xki )k∈N de suas i−esimas coordenadas e´ de Cauchy e, portanto, convergente. Sendo ai = lim xki , i = 1, . . . , n, temos, pelo teorema 4.2, que k∈N a = (a1 , . . . , an ) = lim xk , ou seja, (xk ) e´ convergente e tem limite a. k∈N ˜ 4.7. Dizemos que duas normas k k1 e k k2 em Rn sao ˜ equivalentes quando Definiçao existem a > 0 e b > 0 tais que kxk1 ≤ akxk2 e kxk2 ≤ bkxk1 , para todo x ∈ Rn . ˜ 4.12. Se, para todo x0 ∈ Rn e todo r > 0, B1 (x0 , r) e B2 (x0 , r) indicarem, resObservaçao pectivamente, a bola aberta de centro x0 e raio r segundo as normas k k1 e k k2 , as desigualdades acima significam que: B2 (x0 , r) ⊂ B1 (x0 , ar) e B1 (x0 , r) ⊂ B2 (x0 , br) . ˜ 4.13. As tres ˆ normas usuais em Rn sao ˜ equivalentes, pois Observaçao kxkM ≤ kxk ≤ kxkS ≤ nkxkM . ˜ 4.14. A equivalencia ˆ ˜ reflexiva, simetrica ´ Observaçao entre normas e´ uma relaçao e transitiva. ˜ 4.15. Se duas normas k k1 e k k2 sao ˜ equivalentes, entao: ˜ Observaçao ˜ origem a` mesma • lim kxk −ak1 = 0 ⇐⇒ lim kxk −ak2 = 0, ou seja, normas equivalentes dao ˜ de limite em Rn . noçao ˜ a` norma k • X ⊂ Rn e´ limitado em relaçao norma k ˜ a` k1 se, e so´ se, X ⊂ Rn e´ limitado em relaçao k2 . ˜ equivalentes. Teorema 4.5. Duas normas quaisquer no espaço Rn sao J. Delgado - K. Frensel 15 . Como kxk − ck ≤ akxk − ckS para todo k ∈ N 0 e lim0 kxk − ckS = 0. bn )) = pb (t) = b0 + b1 t + . k∈N Por outro lado. . portanto. . para todo x ∈ R − {0}. temos que lim kxk k = 0. en } a base canonica de Rn e a = max{ke1 k. . b1 . k∈N ´ Assim. e. como kxk k < 1 para todo k ∈ N. Por transitividade. pelo item (d) do corolario 4. ˜ F 6= ∅ e limitado. + bn tn . . + |xn | ken k ≤ a ( |x1 | + . . o que e´ uma k k∈N ˜ ja´ que kck = contradiçao. k∈N c 6= 0. pelo teorema 4. De fato. Assim. . ˜ Uma sequencia ˆ ˆ Aplicaçao: de polinomios pk (t) = ak0 +ak1 t+. Entao Suponhamos que b = 0. . xn ) ∈ Rn . . . existe um isomorfismo linear Φ entre o espaço vetorial Rn+1 e o espaço vetorial Pn ˆ dos polinomios reais de grau ≤ n dado por Φ((b0 . + xn en k ≤ |x1 | ke1 k + . . ken k}. kxk ≥ b para todo x ∈ Rn tal que kxkS = 1. ˜ b ≥ 0. . k ˆ Como a sequencia (xk )k ∈ N e´ limitada na norma da soma. 1. . + |xn | ) ≤ a kxkS . . a sequencia (aki )k∈N dos coeficientes de ti nos polinomios ˆ pk converge para o coeficiente ai de ti no polinomio p. . temos que lim0 kxk kS = kckS . . pois 0 < kxk ≤ a para todo x ∈ Rn tal Seja F = { kxk | kxkS = 1 } ⊂ R. .´ Analise Prova. k em Rn e´ equivalente a` norma i=1 ˆ ˜ Sejam {e1 . Logo kckS = 1. . 6 0. portanto. β] ˆ ˆ se.2. . n. ou seja. kxk ≥ bkxkS para todo x ∈ R . lim0 kxk k = kck. para todo x = (x1 . .1. . 16 ´ Instituto de Matematica UFF . kxkS ≥ b . kxk = kx1 e1 + . . que kxkS = 1. .+akn tn de grau ≤ n converge ˆ ˜ para o polinomio p(t) = a0 + a1 t + . que existe N 0 ⊂ N infinito e c ∈ Rn tais que lim0 kxk − ckS = 0. . . e so´ se. Seja b = inf F. . existe xk ∈ Rn tal que 0 < kxk k < 1 e kxk kS = 1. temos. . . temos que lim0 kxk − ck = 0 k∈N k∈N e. Entao. Entao. . + an tn uniformemente no intervalo nao-degenerado [α. Dado k ∈ N. . . basta mostrar que uma norma qualquer k n X da soma kxkS = |xi |. para cada i = 0. x n n ˜ Entao. . Logo inf F = b > 0. β] }. . β] . 5 ˜ Pontos de acumulaçao ˜ 5. Dado ε > 0. Delgado . kx + yk ≤ kxk + kyk.β] (c) Como px+y (t) = px (t) + py (t). t∈[α. Seja X ⊂ Rn .K. . r] = (B(a. xn ) 6= 0 =⇒ px (t) = 0 no maximo para n valores distintos de t ∈ [α.β] t∈[α. podemos supor. existe x ∈ X tal que 0 < kx − ak < ε. para todo ε > 0. De fato: (1) S[a. Frensel 17 . para todo s ∈ [α. para todo t ∈ [α. β] nao-degenerado por um subconjunto X ⊂ R infinito qualquer. podemos trocar o intervalo [α.1. B[a. ˜ de X sera´ representado por X 0 e chamado o conjunto O conjunto dos pontos de acumulaçao derivado de X. . sem perda de generalidade. β] } = sup{ |λ| |px (t)| | t ∈ [α. Exemplo 5. xk −→ a em Rn+1 ⇐⇒ kxk − ak = sup |pxk (t) − pa (t)| −→ 0 Em relaçao t∈[α. . 1. β] =⇒ ∃ t0 ∈ [α. E k define uma norma em Rn+1 . temos que xki −→ ai para todo Como duas normas quaisquer sao i = 0. . ˜ equivalentes em Rn+1 . J.β] Logo. t∈[α. ´ (b) x = (x0 .1. temos que |px+y (s)| ≤ |px (s)| + |py (s)| ≤ sup |px (t)| + sup |py (t)| . . n ⇐⇒ kxk − akM −→ 0 ⇐⇒ kxk − ak −→ 0 ⇐⇒ pxk −→ pa uniformemente em [α. que 0 < ε < .β] ⇐⇒ pxk −→ pa uniformemente em [α. β] e. |px+y (s)| ≤ kxk + kyk . r] ⊂ (B(a. β].˜ Pontos de acumulaçao ´ facil ´ verificar que k Seja kxk = sup{ |px (t)| | t ∈ [α. pois: (a) kλxk = sup{ |pλx (t)| | t ∈ [α. ˜ a esta norma. portanto. ou seja. ε) − {a}) 6= ∅. β]. x1 . • Na norma k ˜ k definida acima. Um ponto a ∈ Rn e´ ponto de acumulaçao ˜ de X quando para Definiçao todo ε > 0 temos que X ∩ (B(a. r)) 0 . r)) 0 r 2 Seja b ∈ S[a. r]. β] tal que |px (t0 )| > 0 =⇒ kxk = sup |px (t)| ≥ |px (t0 )| > 0 . . . β] } = |λ| kxk . ´ Analise Tome 0 < t0 = ε 1 ˜ < . kb − ck = ka − ck = ε e1 . Entao • Para b = a e 0 < ε < r. ˜ B(b. pois 0 < 1 − t0 < 1. ε) ∩ (B(a. podemos supor. pois. Logo (1 − t0 )a + t0 b ∈ B(b. a ∈ B(a. r) = ∅. r) 0 . r) ⊂ B(a. r) 0 . Logo b 6∈ B(a. 2 e • ka − ((1 − t0 )b + t0 a)k = |1 − t0 | kb − ak = (1 − t0 )r < r. uma contradiçao. b 6= a. B(b. Como vimos neste exemplo. sem perda de generalidade. ´ Entao. (3) b 6∈ B[a. r). Entao (2) B(a. isto e. ˜ b ∈ B(a. ˜ 5. ε) ∩ (B(a. Dado ε > 0. r) 0 . Entao: 2r 4 • kb − ((1 − t0 )b + t0 a)k = kt0 (b − a)k = |t0 | r = ε < ε. Seja b 6∈ B[a. ˜ b ∈ B(a. pois kb − ak < r e |1 − t0 | < 1. tome c = a + Assim. ´ kb − ak > r. ε0 ) ∩ B(a. todo ponto de X e´ ponto de acumulaçao 18 ´ Instituto de Matematica UFF . Logo c ∈ B(a. r) − {a}). 2 e • k(1 − t0 )b + t0 a − ak = |1 − t0 | kb − ak < r . caso contrario. um ponto de acumulaçao ˜ de um conjunto X Observaçao ˜ a X. r) 0 . E neste exemplo. ε) ∩ (B(a. ε) ∩ (B(a. r) 0 . r]. r) − {a}). r) − {a}) 6= ∅. 2 ke1 k 2 Ou seja. Entao: 2kb − ak 2 • k(1 − t0 )b + t0 a − bk = |t0 | kb − ak = ε < ε. ou seja. Logo (1 − t0 )a + t0 b ∈ B(b. existiria x ∈ Rn tal que kx − bk < ε0 e ˜ kx − ak < r =⇒ ka − bk ≤ kx − bk + ka − xk < ε0 + r = kb − ak. • Seja b ∈ B(a. que 0 < ε < kb − ak. r) − {a}). e seja ε0 = kb − ak − r > 0. r] =⇒ b 6∈ B(a.1. mas isso nem sempre acontece. Tome 0 < t0 = ε 1 ˜ < . 2 ke1 k ε ε ke1 k = < ε < r. r) 0 . pode pertencer ou nao ˜ de X. Corolario 5. ja´ que xk 6= a para todo k ∈ N. . ε) e´ um conjunto infinito. Um ponto a ∈ X que nao ˜ e´ ponto de acumulaçao ˜ de X e´ chamado ponto Definiçao isolado de X.2. ˜ pontos isolados. Por exemplo. . ε0 ) ∩ X = {a}. Assim. . . sao 0 ∈ X 0. . . dizemos que X e´ um conjunto discreto. ˆ (2) Existe uma sequencia (xk ) de pontos de X com lim xk = a e xk 6= a para todo k ∈ N. (xk ) e´ uma ˆ sequencia limitada de pontos de X tal que xk 6= x` para k 6= `. ou seja. J. . . as seguintes afirmaçoes (1) a ∈ X 0 . k→∞ (2)=⇒(3): Dado ε > 0. 1. . Teorema 5. Se X ⊂ Rn e´ um conjunto infinito e limitado. os pontos 1. (xk ) teria uma subsequencia constante. . Se X 0 6= ∅. . caso contrario. k k Logo xk 6= a para todo k ∈ N e lim xk = a . . e so´ se. que convergiria para um limite diferente de a. X contem {x1 . . ´ um subconjunto infinito enumeravel ´ Sendo infinito. entao ˜ 5. Delgado . 1 2 1 n 1 2 1 n ˜ isolados e Exemplo 5. . .2.K.1. . porque. xk . .1.˜ Pontos de acumulaçao ˜ 5. existe ε0 > 0 tal que B(a. 1 1 (1)=⇒(2): Como a ∈ X 0 . ´ ˜ X e´ infinito. . mas N 0 = ∅. existe k0 ∈ N tal que xk ∈ B(a.}. ε) para todo k ≥ k0 . ´ uma infinidade de pontos de X. N e´ infinito.2. . A rec´ıproca do corolario ´ Observaçao acima e´ falsa. entao Prova. . ´ ˆ O conjunto {xk | k ≥ k0 } e´ infinito. (3)=⇒(1): E´ evidente. a ∈ X e´ um ponto isolado de X se. (Bolzano-Weierstrass) ˜ X 0 6= ∅. ∩ (X − {a}). . dado k ∈ N.2. 0 < kxk − ak < . Dados X ⊂ Rn e a ∈ Rn . . . .3. N e´ um conjunto discreto. Quando todos os pontos de X sao Exemplo 5. (3) Toda bola aberta de centro a contem Prova. Logo X ∩ B(a. Ou seja. Frensel 19 . . ˜ sao ˜ equivalentes: Teorema 5. . existe xk ∈ B a. No conjunto X = 0. entao ˜ f : X −→ Rn Observaçao e´ cont´ınua em a. pela definiçao que a continuidade (ou descontinuidade) de f num ponto a independe das normas consideradas em Rm e Rn . kx − ak < δ. r) ∩ X ∩ B(a. todos diferentes de a. ε) de centro f(a) em Rn . ˜ e´ uma propriedade local. ε).1. existe δ > 0 tal que se x ∈ X e ˜ kf(x) − f(a)k < ε. no maximo um deles e´ igual a a. δ 0 ) ∩ X) ⊂ B(f(a). Como os termos xk sao k∈N ´ ´ dois a dois distintos. facilmente.5. f(B(a. dado ε > 0. Se a ∈ X e r > 0 sao ˜ tais que f|B(a. ˜ pelo teorema 5. f(B(a. Se a ∈ Y ⊂ X e f : X −→ Rn e´ cont´ınua em a. seja δ0 > 0 tal que B(a.1. Entao. com limite a. a continuidade de uma aplicaçao ˜ 6. verifica-se. Entao. para toda bola aberta B(f(a). δ) de centro a ∈ Rm tal que f(X ∩ B(a. δ0 ) ∩ X = {a}.´ Analise ˜ Pelo teorema 4. pois. Se a e´ um ponto isolado do conjunto X. Eliminando-o. ε) .2. se necessario. existe uma bola aberta B(a. obtemos ˆ uma sequencia de pontos de X. a ∈ X 0 .1. Seja f : X −→ Rn uma aplicaçao ˜ definida no conjunto X ⊂ Rm .4.4. para todo ε > 0 dado. δ} > 0. ponto a ∈ X. Portanto. Pela definiçao ˜ de continuidade de uma aplicaçao ˜ f : X ⊂ Rm −→ Rn num Observaçao ˜ de normas equivalentes e pelo teorema 4. Dizemos que Definiçao f e´ cont´ınua no ponto a ∈ X quando. ˜ dado ε > 0. entao ˜ toda aplicaçao ˜ f : X −→ Rn Observaçao e´ cont´ınua no ponto a. entao Ou seja. ˜ para δ 0 = min{r. ε) . ε) . 20 ´ Instituto de Matematica UFF .3. δ)) ⊂ B(f(a). existe δ > 0 tal que f(B(a. ˜ 6. dizemos que f e´ uma aplicaçao cont´ınua. δ)) ⊂ B(f(a). 6 ˜ Aplicaçoes cont´ınuas ˜ 6. ˜ 6. existe δ = δ0 > 0 tal que De fato.r)∩X e´ cont´ınua em a. δ) ∩ X) = {f(a)} ⊂ B(f(a). existe N 0 ⊂ N infinito e a ∈ Rn tais que lim0 xk = a. ˜ Se f : X −→ Rn e´ cont´ınua em todos os pontos do conjunto X. entao ˜ f|Y : Y −→ Rn e´ Observaçao cont´ınua em a. ˜ 6. Entao. . ej )k ≤ K i. . . para todo x ∈ Rm . Delgado . . Como X e´ limitado em Rm × Rn . . para quaisquer (x. uma aplicaçao ˜ f : X −→ Rn e´ lipschitziana quando existe K > 0 Definiçao tal que kf(x) − f(y)k ≤ Kkx − yk . dados ε > 0 e a ∈ X.6. Toda aplicaçao ˜ lipschitziana f : X −→ Rn e´ cont´ınua. yj ej = i=1 ≤ X |xi | |yj | kϕ(ei . Observaçao ˆ ˜ De fato. ej )k | i = 1. kA(x)k = kA(x1 e1 + . sejam {e1 . + xm em )k = kx1 A(e1 ) + .2. ˜ 6. . ej ) kϕ(x. Toda transformaçao ˜ linear A : Rm −→ Rn e´ lipschitziana. em } a base canonica de Rm e K = max{kA(e1 )k. para quaisquer x. ˜ 6.j j=1 X |xi | |yj | i.7. Observaçao De fato. j = 1. J. . ˜ De fato. Ser ou nao ˜ lipschitziana independe das normas tomadas em Rm e Rn . entao ! m n X X X xi yj ϕ(ei . . y − y 0 ) + ϕ(x − x 0 . ˜ 6. y 0 )k ≤ K ( kxkS ky − y 0 kS + kx − x 0 kS ky 0 kS ) . existe r > 0 tal que k(x. y ∈ Rm . y) ∈ X. tal que K x ∈ X e kx − ak < δ =⇒ kf(x) − f(a)k ≤ Kkx − ak < K δ = ε. . y − y 0 )k + kϕ(x − x 0 .8. se K = max{kϕ(ei . n}. temos que kϕ(x. kA(em )k}.˜ cont´ınuas Aplicaçoes ˜ 6. . Observaçao ˜ 6.j = K kxkS kykS . Frensel 21 . y ∈ X. . Dado X ⊂ Rm . y) − ϕ(x 0 . . y 0 ) ∈ Rm × Rn . existe δ = ε > 0. .5. . y)k = ϕ xi e i . . (x 0 . . Entao. + xm A(em )k ≤ |x1 | kA(e1 )k + . . . y 0 )k = kϕ(x. Observaçao para todo X ⊂ Rm × Rn limitado. m . Entao ˜ ϕ|X e´ lipschitziana. Se consideramos Rm × Rn com a norma da soma. . + |xm |) = K kxkS .j i. y 0 )k ≤ kϕ(x. Logo kA(x) − A(y)k = kA(x − y)k ≤ Kkx − ykS .K. y). Seja ϕ : Rm × Rn −→ Rp uma aplicaçao ˜ bilinear. . quaisquer que sejam x. . . + |xm | kA(em )k ≤ K(|x1 | + . . y)kS = kxkS + kykS ≤ r para todo (x. . kϕ(x0 . (5) A avaliaçao ˜ 6. Toda imersao ˜ isometrica ´ Observaçao e´ injetora. (x 0 . ´ ˜ de um escalar por um vetor ϕ : R × Rn −→ Rn .9. λy0 )k ≤ K k(λx0 . |λ| ≤ K k(x0 . y0 )k para todo λ ∈ R. y0 ) ∈ Rm × Rn tal que ϕ(x0 . A noçao ˜ de imersao ˜ isometrica ´ Observaçao depende das normas consideradas nos espaços Rm e Rn . seja (x0 . Assim. em cada bola BS [0. ˜ de Lipschitz. i=1 ˜ de matrizes ϕ : M(m × n) × M(n × p) −→ M(m × p) . kϕ(x.3. y). x) = T x . (2) A multiplicaçao n (3) O produto interno ϕ : R × R −→ R . Suponhamos. ˜ bilinear e´ cont´ınua. De fato. Toda aplicaçao ˜ bilinear nao-nula ˜ ˜ e´ lipschitziana Observaçao ϕ : Rm × Rn −→ Rp nao em Rm × Rn . y) − ϕ(x 0 . ϕ(T. Uma aplicaçao ˜ f : X ⊂ Rm −→ Rn e´ uma imersao ˜ isometrica ´ Definiçao quando kf(x) − f(y)k = kx − yk para quaisquer x. y0 )k ˜ 6. ϕ cumpre uma condiçao espaço Rm × Rn = Rm+n . ˜ kϕ(λx0 . Observaçao e´ uma aplicaçao ˜ 6. ˜ 6. y ∈ X. y) − (x 0 . que existe K > 0 tal que kϕ(x. y) = xy. o que e´ uma contradiçao. toda aplicaçao 6. y 0 )kS ) . Toda imersao ˜ isometrica ´ ˜ lipschitziana. ϕ(x. por absurdo. temos que kxkS ≤ r e ky 0 kS ≤ r e.1 ˜ Exemplos de aplicaçoes bilineares ˜ de numeros (1) A multiplicaçao reais ϕ : R × R −→ R ϕ(x. portanto. y0 )k ˜ para todo λ ∈ R.12. pois f(x) = f(y) =⇒ kx − yk = kf(x) − f(y)k = 0 =⇒ x = y . y 0 )k ≤ K r ( kx − x 0 kS + ky − y 0 kS ) = K r ( k(x. ϕ(A. Entao Logo λ2 kϕ(x0 . y)k para todo (x. ϕ(λ. com constante Kr. r] do Portanto. y) ∈ Rm × Rn . x) = λx. 22 ´ Instituto de Matematica UFF . y) = n X xi yi .11.10.´ Analise Logo. Em particular. Rn ) × Rm −→ Rn . B) = A B . y)k ≤ K k(x. λy0 )k para todo λ ∈ R. ˜ 6. se (x. y 0 ) ∈ X. (4) A multiplicaçao ˜ ϕ : L(Rm . y0 ) 6= 0. y0 )k ≤ K |λ| k(x0 . Ta (x) = a + x. Ten } Uma transformaçao ˜ T em uma base ortonormal. Exemplo 6. Tyi = hx. y ∈ Rn . Observe que Ta e´ linear se. entao kTx − Tyk2 = kT (x − y)k2 = hT (x − y). transformaçao ˜ 6.˜ cont´ınuas Aplicaçoes ˜ f : Rn −→ Rm . . se hTx. .K. y ∈ Rn . com f(X) = Y. por exemplo. dada por Exemplo 6. .13. a = 0. . Dado a ∈ Rn .4.14. e´ ortogonal. ´ ´ At A = A At = I. kTx − Tyk = kx − yk quaisquer que sejam x. . xn ) = (x1 . . y ∈ X. Para m ≥ n a aplicaçao f(x1 . . Se trocarmos a norma de Rm ou de Rn . Consideremos Rn com a norma euclidiana. Tyi = hx. ˜ ortogonal T : Rn −→ Rn tambem ´ se caracteriza pelo fato de ser {Te1 . x − yi = kx − yk2 . chama-se uma ´ por sua vez. se kTxk = kxk para todo x ∈ Rn . yi para todos x.2. Uma contraçao ˜ fraca f : X ⊂ Rm −→ Rn e´ uma aplicaçao ˜ lipschitziana com Definiçao ˜ fraca se kf(x) − f(y)k ≤ kx − yk para constante de Lipschitz K = 1. . . Consideremos Rn com a norma euclidiana. e somente se. y ∈ Rn . a translaçao Rn sobre Rn sendo (Ta )−1 = T−a a sua inversa. yi quaisquer que sejam x. e´ uma isometria de Exemplo 6. ˜ 6. ˜ E. Isto equivale a dizer que as colunas da matriz da transformaçao ˜ a` base canonica ˆ ˜ duas a duas ortogonais e unitarias. Tyi = = 1 4 1 4 1 kTx + Tyk2 − kTx − Tyk2 = 4 kT (x + y)k2 − kT (x − y)k2 kx + yk2 − kx − yk2 = hx. ˜ De fato. ou com a norma ´ do maximo ou com a norma da soma.3. yi .5. ´ e´ uma imersao se consideramos Rn e Rm com a norma euclidiana. . Observaçao ˜ de uma translaçao ˜ com uma Toda isometria T : Rn −→ Rn e´ obtida fazendo a composiçao ˜ ortogonal (ver exerc´ıcio 7. 0) . . n ˜ linear Uma transformaçao n T : R −→ R e´ uma isometria se. . ˜ isometrica. reciprocamente. entao hTx. . . Sua inversa f−1 : Y −→ X e. Ou seja. 0. Frensel 23 . ˜ 6. isometria de X sobre Y.1. ou seja. . relaçao sao Isto e. . uma isometria de Y sobre X. Uma imersao ˜ isometrica ´ Definiçao f : X ⊂ Rm −→ Rn . hTx. uma contraçao ˜ fraca continua Observaçao J. xn . T (x − y)i = hx − y.13). ˜ 6. ou seja. Delgado . e somente se. ˜ Ta : Rn −→ Rn . f e´ uma contraçao quaisquer x. y) − s(x 0 . y) − (x 0 . (Contraçoes ˜ fraca. para quaisquer (x. pois: |d(x. y) = x + y. (x 0 . ˜ Entao. |πi (x) − πi (y)| = |xi − yi | ≤ kx − yk . ky − f(a)k < η =⇒ kg(y) − g(f(a))k < ε . k : Rn −→ R e´ uma contraçao De fato. sendo f cont´ınua em a. tambem fraca se considerarmos Rn × Rn com a norma da soma. (a) A soma de vetores s : Rn × Rn −→ Rn . kx − ak < δ =⇒ kg(f(x)) − g(f(a))k < ε . y). ˜ πi : Rn −→ R. xn ). y ∈ Rn . definida por πi (x) = xi . dado ε > 0. e´ uma contraçao De fato. y 0 ) ∈ Rn × Rn . ´ g ◦ f e´ cont´ınua no ponto a.´ Analise ˜ lipschitziana (e. y 0 )kS . ˆ ´ e´ uma contraçao ˜ (d) A distancia d : Rn × Rn −→ R. 24 ´ Instituto de Matematica UFF . y 0 )| = | kx − ykS − kx 0 − y 0 kS | ≤ k(x − y) − (x 0 − y 0 )kS ≤ kx − x 0 kS + ky − y 0 kS = k(x. definida por d(x. mas ela pode deixar de ser uma sendo uma aplicaçao ˜ fraca. Dados X ⊂ Rm . entao Prova. y 0 )kS . . y) − (x 0 . s(x. Sendo g cont´ınua em b = f(a). existe δ > 0 tal que x ∈ X . Y ⊂ Rn . x ∈ X . Por outro lado. kx − ak < δ =⇒ kf(x) − f(a)k < η . . f : X −→ Rn cont´ınua no ponto a ∈ X. e´ uma contraçao ˜ (b) A projeçao fraca. para quaisquer x. g : Y −→ Rp cont´ınua no ponto b = f(a) ∈ Y. y 0 )kS = k(x + y) − (x 0 + y 0 )kS ≤ kx − x 0 kS + ky − y 0 kS = k(x. portanto. podendo-se tomar em Rn qualquer uma das tres (c) A norma k ˜ fraca. existe η > 0 tal que y ∈ Y . tomando em Rn e em Rn × Rn a norma da soma. Isto e. . ˆ normas usuais. cont´ınua). De fato.1. com f(X) ⊂ Y.4. y) − d(x 0 . temos que: ks(x. contraçao ˜ fracas) Exemplo 6. e ˜ g ◦ f : X −→ Rp e´ cont´ınua no ponto a. . Teorema 6. y) = kx − ykS . onde x = (x1 . temos que | kxk − kyk | ≤ kx − yk . kx − ak < δ =⇒ kf(x) − f(a)kM < ε . Observaçao ˜ as funçoes ˜ f(x) = (f1 (x). g)(x) = (f(x). (=⇒) Sendo f cont´ınua no ponto a e πi : Rm −→ R cont´ınua em Rn . pelo teorema anterior. kx − ak < δi =⇒ |fi (x) − fi (a)| < ε . . g) e´ cont´ınua em a ⇐⇒ as funçoes ˜ coordenadas f1 . n. . i = 1. (⇐=) Se cada funçao existem numeros reais δ1 . . . pelo teorema 6. fn (x)) . . .1 sao ˜ certas aplicaçoes. 25 . . uma das suas funçoes Prova. fm . Vejamos alguns exemplos. . Entao ˜ sao ˜ Exemplo 6. . . Entao ˜ (f. ˜ cont´ınuas. . e´ cont´ınua no ponto a. . gn . . e g sao Prova. Logo f e´ cont´ınua no ponto a. e so´ se.15. (f + g)(x) = f(x) + g(x) . . . . entao. Dada uma aplicaçao ˜ f : X ⊂ Rm −→ Rn .2. g) e´ cont´ınua no ponto a se. temos. . . Sejam X ⊂ Rm e f. . . . . g(x)). . seja (f. temos que x ∈ X . .2. fm ) e g = (g1 . temos que. . dado ε > 0. . g) sao ˜ Se f = (f1 . . .1 e o corolario 6. . f1 . n. sao coordenadas de f. . . . Frensel (λ f)(x) = λ(x) f(x) . . i = 1. λ : X −→ R aplicaçoes ´ cont´ınuas as aplicaçoes: ˜ tambem f + g : X −→ Rn . . ˜ f : X ⊂ Rm −→ Rn e´ cont´ınua no ponto a ∈ X se. J. . . cada Teorema 6. . . . . δn > 0 tais que ´ x ∈ X . e so´ se. gn ). . ˜ (f. sao ´ ˜ de grande utilidade para mostrar a continuidade de O teorema 6.5. . . para todo x ∈ X. λ f : X −→ Rn .˜ cont´ınuas Aplicaçoes ˜ 6. . que fi = πi ◦ f e´ cont´ınua no ponto a. ´ Considerando em Rn a norma do maximo e tomando δ = min{δ1 . i = 1. g1 . . . fm . ˜ coordenada fi = πi ◦ f. a aplicaçao ˜ todas cont´ınuas no ponto a ⇐⇒ f e g sao ˜ cont´ınuas no ponto a. .1. g1 . n. n. . g) : X −→ Rm × Rn = Rm+n ˜ definida por (f. f a aplicaçao ˜ cont´ınuas no ponto a. onde fi = πi ◦ f : X ⊂ Rm −→ R. Uma aplicaçao ˜ coordenadas fi = πi ◦ f : X −→ R e´ cont´ınua no ponto a. . i = 1. ˜ as funçoes ˜ coordenadas de (f. . δn } > 0.K. g : X −→ Rn . Logo. ´ Corolario 6. . Delgado . Dadas f : X −→ Rm e g : X −→ Rn . . ξ : R −→ R. sao t ˜ ´ ˜ ˜ cont´ınuas temos.´ Analise hf. ϕ : R × Rn −→ Rn . .6. . pois suas aplicaçoes do tipo t 7−→ (a1 . g). g) e (λ. . s(x. aplicaçoes cont´ınuas. . . . . para todo k > k0 . ˜ De fato. λ f = ϕ ◦ (λ. π1 (x. a aplicaçao t 7−→ f(a1 . . Assim. y) = (sen x) ex +y e´ cont´ınua. . g) e pelo teorema 6. gi = ξ ◦ (f. ˆ (=⇒) Seja f cont´ınua no ponto a e (xk ) uma sequencia de pontos de X com lim xk = a. ai−1 . exp ◦s ◦ (ξ ◦ π1 . an ) e´ cont´ınua. existe δ > 0 tal que x ∈ X e kx − ak < δ =⇒ kf(x) − f(a)k < ε . . hf. ai+1 . . f) sao ˜ f + g = s ◦ (f. . e so´ se. ϕ(t. . Como lim xk = a. mas (f(xk )) nao ˜ 6. . η ◦ π2 )) . dadas por s(x. para Teorema 6. y) = x + y .1.6. . η(x) = x3 e exp(x) = ex . x) = t x. como as aplicaçoes s : Rn × Rn −→ Rn . m) quando. . Dizemos que uma aplicaçao ˜ f : Rm −→ Rn e´ cont´ınua em relaçao ˜ a` variavel ´ Definiçao ˜ parcial xi . ξ(x) = x2 . . pelo corolario 6. η : R −→ R e exp : R −→ R sao π2 (x. 1 1 1 (x) = : X − Zλ −→ R . . . hf. g(x)i . . Entao ˜ e´ cont´ınua no ponto a. onde ϕ : R × R −→ R . k ˜ converge para f(a). y) = x y . λ λ λ(x) onde Zλ = {x ∈ X | λ(x) = 0}.1. ξ(x. s : R × R −→ R. ˜ cont´ınua f : Rm −→ Rn e´ separadamente cont´ınua em relaçao ˜ a cada uma de • Toda aplicaçao ´ ˜ parciais sao ˜ compostas de f com uma aplicaçao ˜ cont´ınua suas variaveis. y) = x + y. f). xk −→ a. y) = y . . (i = 1. y) = x . gi(x) = hf(x). ˜ f : X ⊂ Rm −→ Rn e´ cont´ınua no ponto a ∈ X se. yi e ρ(t) = 1 ˜ . ξ : Rn × Rn −→ R e ρ : R − {0} −→ R. an ). . ai+1 . y) = hx. Logo kf(xk ) − f(a)k < ε ˜ f(xk ) −→ f(a). k→∞ k→∞ Prova. t. as aplicaçoes (f. . Dado ε > 0. t. existe k0 ∈ N tal que kxk − ak < δ para todo k > k0 .3. ai−1 . Uma aplicaçao ˆ toda sequencia (xk ) de pontos de X com lim xk = a tem-se lim f(xk ) = f(a) . ai+1 . . 26 ´ Instituto de Matematica UFF . ˜ as funçoes ˜ cont´ınuas dadas por: ϕ(x. . e. . A funçao f = ϕ ◦ (sen ◦π1 . que as aplicaçoes 1 = ρ◦λ λ ˜ tambem ´ cont´ınuas. Entao ˜ existe ε0 > 0 tal que para todo k ∈ N (⇐=) Suponhamos que f nao podemos obter xk ∈ X com kxk − ak < 1 e kf(xk ) − f(a)k ≥ ε0 . π2 : R × R −→ R. . gi : X −→ R . am ) fixado. . sao 2 3 ˜ f : R2 −→ R dada por f(x. pois Exemplo 6. ai−1 . π1 : R × R −→ R. para cada (a1 . Observaçao De fato. e´ uma aplicaçao 2 ˜ e´ cont´ınua em t = 0. t). ˜ f : R2 −→ R. y) 6= (0. existe δ = ε > 0 tal que K x. y) = (0. y ∈ X e kx − yk < δ =⇒ kf(x) − f(y)k < ε. Toda aplicaçao ˜ uniformemente cont´ınua e´ cont´ınua. cont´ınua em R. Observaçao ˜ 6.17. Delgado . pois f(x. + b2 ay ˜ e´ cont´ınua na origem. dada por f(x) = x . • se X ⊂ Rm × Rn e´ um subconjunto limitado e ϕ : Rm × Rn −→ Rp e´ uma aplicaçao ˜ ϕ|X e´ uniformemente cont´ınua. se kf(x) − f(y)k ≤ K kx − yk para todos x. fn : X −→ R sao ˜ uniformemente cont´ınuas. existe δ > 0 tal que x.19. 0) se (x. . Lima. . ˜ linear T : Rm −→ Rn e´ uniformemente cont´ınua. ˜ a x e a y. dada De fato. entao √ ˜ 6. . Toda aplicaçao ˜ lipschitziana e´ uniformemente cont´ınua. ˜ 6.˜ cont´ınuas Aplicaçoes Mas a rec´ıproca e´ falsa. dada por g(t) = (t. e´ um exemplo de uma Observaçao ˜ uniformemente cont´ınua que nao ˜ e´ lipschitziana (veja Curso de Analise. y) = x + y  0 se (x. . +∞) −→ R. y) = 0 . temos que f nao ˜ e´ cont´ınua na origem. ˜ 6.16.21.7. Uma aplicaçao ˜ f : X ⊂ Rm −→ Rn e´ uniformemente cont´ınua quando para Definiçao todo ε > 0. ´ funçao Vol. y ∈ X . y ∈ X. ˜ 6. b) = e´ cont´ınua separadamente em relaçao enquanto f(a.20. a funçao  por   xy 2 2 f(x. Uma aplicaçao ˜ f : X ⊂ Rm −→ Rn e´ uniformemente cont´ınua ⇐⇒ suas Observaçao ˜ coordenadas f1 . Mas f nao + y2 1 ˜ se t 6= 0 e f ◦ g(0) = 0 . 0) = 0. A funçao ˜ f : [0. 244). I de E. onde g : R −→ R2 .18. Frensel 27 . • toda aplicaçao ˜ bilinear. ˜ 6. dado ε > 0. 0) . pag. pois se a 6= 0 e f(0.K. Como f ◦ g nao ˜ 6. funçoes J. A noçao ˜ de continuidade uniforme independe das normas consideradas Observaçao em Rm e Rn . y) = f ◦ g(t) = a2 x2 bx se b 6= 0 e f(x. Em particular. kx − yk < δ =⇒ kf(x) − f(y)k ≤ K kx − yk < K δ = ε . A composta de duas funçoes ˜ uniformemente cont´ınuas e´ uniformemente Observaçao cont´ınua. para todo (⇐=) Suponhamos que f nao k ∈ N. (=⇒) Dado ε > 0.7.´ Analise ˜ f : X ⊂ Rm −→ Rn e´ uniformemente cont´ınua se. e so´ se. Logo kf(xk ) − f(yk )k < ε para todo k > k0 . Um homeomorfismo entre X e Y e´ uma bijeçao ˜ Definiçao ´ e´ cont´ınua. ( f(xk ) − f(yk ) ) 9 0. 7 Homeomorfismos ˜ 7. e cos(y2k ) = cos(kπ) = ∓1 .1. Toda aplicaçao ´ sobre si proprio. Uma aplicaçao ˆ quaisquer duas sequencias (xk ) e (yk ) em X com lim (xk − yk ) = 0. cont´ınua. existe δ > 0 tal que x. temos que kf(xk ) − f(yk )k = 2 para todo k. mas ( f(xk ) − f(yk ) ) 9 0. lim ( f(xk ) − f(yk ) ) = 0 . ou seja. pois sua inversa T −1 : Rn −→ Rn e´ linear e. se xk = p √ (k + 1) π e yk = xk − yk = ˜ k π . Dizemos que os conjuntos X e Y sao ˜ linear invert´ıvel T : Rn −→ Rn e´ um homeomorfismo de Rn Exemplo 7. k Logo (xk − yk ) −→ 0. como √ kπ cos(x2k ) = cos ( (k + 1) π ) = ±1 −→ 0 . portanto. Entao ˜ existe ε0 > 0 tal que. k→∞ Prova. podemos obter um par de pontos xk . cont´ınua f : X −→ Y.1. entao: p p √ √ (k + 1) π − k π (k + 1) π + k π p √ (k + 1) π + k π (k + 1) π − k π √ (k + 1) π + k π = p = p π (k + 1) π + Mas. portanto. ˜ f : R −→ R. yk ∈ X com kxk − yk k < 1 e kf(xk ) − f(yk )k ≥ ε0 . k→∞ ˜ e´ uniformemente cont´ınua. A funçao cont´ınua. existe k0 ∈ N tal que kxk − yk k < δ k→∞ para todo k > k0 . 28 ´ Instituto de Matematica UFF . e. De fato.4. definida por f(x) = cos(x2 ) nao ˜ e´ uniformemente Exemplo 6. para Teorema 6. tem-se k→∞ lim ( f(xk ) − f(yk ) ) = 0. y ∈ X e kx − yk < δ =⇒ kf(x) − f(y)k < ε. cuja inversa f−1 : Y −→ X tambem ˜ homeomorfos se existe um homeomorfismo f : X −→ Y . ˜ sequencias ˆ Se (xk ) e (yk ) sao em X com lim (xk − yk ) = 0. Sejam X ⊂ Rm e Y ⊂ Rn . ´ ˜ • De modo analogo. obtemos que k∈N −1 f : S − {p} −→ (0. ˆ De fato. ˆ e todos os seus valores de aderencia pertencem ao intervalo [0. Delgado . a + 2π) −→ S1 − {q} . e o Observaçao inverso de um homeomorfismo e´ um homeomorfismo. podemos provar que a aplicaçao f : (a. lim f−1 (zk ) = f−1 (q). 2π) e´ teorema 6. J. sen t).1.3. em geral. 2π) tal que f(tk ) = zk . f : (0. 2π) −→ S1 ⊂ R2 a aplicaçao ´ disso. ´ ˆ ˜ A sequencia Afirmaçao: (tk ) e´ convergente e seu limite b pertence ao intervalo (0. Entao k∈N k∈N ˆ ˆ Portanto. sendo (tk ) uma sequencia limitada. existe um unico Como f e´ uma bijeçao. 2π) −→ S1 − {p} e´ um homeomorfismo. k∈N ˜ f(b) = lim0 f(tk ) = lim0 zk = q ∈ S1 − {p}. b = f−1 (q). entao ˜ f(I) = J e´ um intervalo f : I −→ R e´ uma funçao e f−1 : J −→ R e´ cont´ınua.3. f : (0. f e´ cont´ınua. ´ Pelo teorema 4. 2π) −→ S1 − {p} e´ um homeomorfismo. uma bijeçao seja. A aplicaçao ˜ composta de dois homeomorfismos e´ um homeomorfismo. ou seja. ˜ f : X ⊂ Rm −→ Y ⊂ Rn pode ser cont´ınua sem que sua inversa o Mas. pela injetividade. Ja´ sabemos (veja Curso de Analise. para cada k ∈ N.3. Entao k k→∞ k→∞ lim f−1 (zk ) = lim tk = 2π 6= 0 = f−1 (p). mas e zk = f(tk ). ˜ definida por f(t) = (cos t. Frensel 29 . onde q = (cos a. 2π]. I de E. Alem descont´ınua no ponto p = (1. f e´ uma bijeçao. Seja f : [0. Logo b ∈ (0. ˜ 7.K. tk ∈ (0.Homeomorfismos ˜ 7. ela possui pelo menos um valor de aderencia. portanto. ˜ 7. 2π). sejam tk = 2π − 1 ˜ lim f(tk ) = lim zk = p. b = f−1 (q) e´ o unico valor de aderencia da sequencia limitada (tk ). do teorema 6.2. ´ Observaçao Vol. 2π) e. 237) que se ˜ cont´ınua injetora definida num intervalo I. Lima. pag. De fato. e´ um homeomorfismo. Os homeomorfismos desempenham na Topologia um papel analogo ´ Observaçao aos ˜ indistingu´ıveis movimentos r´ıgidos na Geometria Euclidiana: dois conjuntos homeomorfos sao ´ do ponto de vista topologico. (tk ) e´ convergente e lim tk = f−1 (q). ˆ ˆ Com efeito. ˆ Seja (tk )k∈N 0 uma subsequencia convergente e seja b = lim0 tk . k→∞ k→∞ • No entanto. k∈N Assim. sen a). ˜ Mas sua inversa f−1 : S1 −→ [0. ou seja. seja (zk ) uma sequencia de pontos de S1 − {p} tal que lim zk = q ∈ S1 − {p}. 0).2.2. k→∞ ˜ para cada k ∈ N. Pelo Exemplo 7. f : I −→ J e´ um homeomorfismo. 2π) 1 e´ cont´ınua e. Seu grafico ´ Exemplo 7. 1) de centro na origem 0 e raio 1. Seja f : X ⊂ Rm −→ Rn uma aplicaçao e´ o conjunto G = Graf(f) = { (x. agora. As translaçoes ˜ isometrias e. r)) = B(b. f e g sao ˜ cont´ınua. como ϕ(x) = ϕ(B[a. Exemplo 7. ˜ Ta : Rn −→ Rn . sao ˜ cont´ınuas.7. Duas bolas abertas ou duas bolas fechadas ou duas esferas quaisquer no ˜ homeomorfas. pois. s) . sao ˜ homeomorfismos. kϕ(x) − bk ≤ s ⇐⇒ kx − ak ≤ r . entao r r kϕ(x) − bk < s ⇐⇒ kx − ak < r . pois 1 − kyk > 0. g : B(0. (Ta )−1 = T−a sao ˜ homeomorfismos. e g(y) = . Hλ (x) = λx. Toda bola aberta em Rn e´ homeomorfa ao espaço euclidiano Rn . pois cada Hλ e´ uma transformaçao Exemplo 7. s s ˜ kϕ(x) − bk = kx − ak e. 1 + kxk 1 − kyk ˜ f e g sao ˜ cont´ınuas. Entao g ◦ f(x) = g e f ◦ g(y) = f y 1 − kyk x 1 + kxk = = x/(1 + kxk) = x. Portanto.4. ˜ O dom´ınio X e o grafico Afirmaçao: G da aplicaçao 30 ´ Instituto de Matematica UFF .3. 1) −→ Rn definidas por: f(x) = x y . portanto kf(x)k < 1 . Ta (x) = a + x. dados a. portanto. r)] = S[b. kϕ(x) − bk = s ⇐⇒ kx − ak = r . 1 − kxk/(1 + kxk) y/(1 − kyk) = y . espaço Rn sao ˜ ϕ = Tb ◦ Hs/r ◦ T−a : De fato. Exemplo 7.5. considere as aplicaçoes f : Rn −→ B(0. 1 + kyk/(1 − kyk) ˜ cont´ınua. temos que a aplicaçao ´ Rn −→ Rn e´ um homeomorfismo tal que: ϕ(B(a. 1) −→ Rn . ˜ homeomorfas. cuja inversa e´ a aplicaçao ˜ cont´ınua Logo f : Rn −→ B(0. r]) = B[b. com λ 6= 0.´ Analise Vejamos. f(x)) | x ∈ X } ⊂ Rm × Rn = Rm+n . ´ ˜ cont´ınua f sao ˜ homeomorfos. portanto: (x − a) + b. 1) e g : B(0. s] . pois Ta e Exemplo 7. As homotetias Hλ : Rn −→ Rn . outros exemplos de homeomorfismos. b ∈ Rn e r > 0. s > 0 numeros reais. 1) e´ uma bijeçao ˜ homeomorfismos. basta mostrar que Rn e´ homeomorfo a` bola Como duas bolas abertas em Rn sao aberta B(0. ˜ Para isso. s] e ϕ(S[a.6. sao ˜ linear invert´ıvel com (Hλ )−1 = Hλ−1 . 1 x ´ ˜ cont´ınua f : R − {0} −→ R dada por f(x) = . 1) } e. 1) ∈ Sm seu polo ˜ estereografica ´ ˜ ϕ : Sm − {p} −→ Rm . + e p f : B(0. y) ∈ R2 | xy = 1} = x. (Projeçao Seja Sm = { x ∈ Rm+1 | hx. p ´ o grafico ´ ˜ cont´ınua De fato. Sm da aplicaçao 1 − kxk2 ) | x ∈ B(0. xi = 1 } a esfera m−dimensional de centro na origem e raio 1 e ´ norte. 1) ⊂ Rm −→ R dada por f(x) = 1 − kxk2 . Delgado . portanto. 0. 1) = { x ∈ Rm | kxk < 1 } ⊂ Rm . g = π1 |G . ˜ estereografica) ´ Exemplo 7. . f(x))) = x. Considere a aplicaçao ˜ identidade Id : Rn −→ Rn sao ˜ cont´ınuas. temos que um ponto y = (1 − t)p + tx ∈ − → p x pertence ao hiperplano Rm × {0} ⊂ Rm+1 se.K. y) = x. onde ϕ(x) e´ o ponto em que a A projeçao e´ a aplicaçao semi-reta − p→ x ⊂ Rm+1 corta o hiperplano xm+1 = 0. Frensel 31 . 5: Projeçao Como − p→ x = { (1 − t)p + tx | t > 0 } = { p + t(x − p) | t > 0 }. . pois H e´ o grafico da funçao ´ ´ • Tambem. e´ cont´ınua. . usando o resultado acima. o qual identificamos com Rm . J. que ˜ cont´ınua. . R − {0} e´ homeomorfo a` hiperbole H = {(x. dada por g((x. onde π1 : Rm × Rn −→ Rm e´ a projeçao ´ • Em particular. pois f e´ uma bijeçao ˜ π1 (x. definida por f(x) = (x. ˜ estereografica ´ Fig. Sua inversa g : G −→ X.Homeomorfismos ˜ f : X −→ G. pelo corolario ´ Como f e a aplicaçao 6.1. e so´ se.8. f(x)). Sm + = { (x. p = (0. x1 | x ∈ R − {0} . temos. podemos provar que o hemisferio norte Sm x ∈ Rm+1 | kxk = 1 e xm+1 > 0 + = da esfera m−dimensional e´ homeomorfo a` bola aberta B(0. x→a se. xm . Logo y = (1 − t)p + tx ∈ − p→ x ∩ (Rm × {0}) se. . 1 − xm+1 x0 . 1 − xm+1 ˜ cont´ınua. . 2 2 (1 − xm+1 ) (1 − xm+1 ) 1 − xm+1 temos que ξ e´ a inversa de ϕ. . . ξ(x) e´ a Seja agora a aplicaçao −−→ ˜ de Sm − {p} com a semi-reta p x? . xm ) . . Ou seja. onde x? = (x. ou seja. ⇐⇒ t2 (1 + kxk2 ) − 2t + 1 = 1 ⇐⇒ t((1 + kxk2 )t − 2) = 0 ⇐⇒ t = 0 ou t = 1 + kxk2 2 2x kxk2 − 1 Logo t = e ξ(x) = . txm . ϕ : Sm − {p} −→ Rm e´ um homeomorfismo. portanto. portanto.´ Analise ym+1 = πm+1 (p + t(x − p)) = pm+1 + t(xm+1 − pm+1 ) = 1 + t(xm+1 − 1) = 0 . xm+1 ) = 1 e. Entao k(tx1 . 32 ´ Instituto de Matematica UFF . e escrevemos b = lim f(x) . sendo x 0 = (x1 . . podemos obter δ > 0 tal que x ∈ X . + x2m ) + 1 − 2t + t2 = 1 2 . f( X ∩ (B(a. para todo ε > 0 dado. . x0 1 − xm+1 2 1 − x2m+1 1 + xm+1 kx 0 k2 = = = . ε). 0 < kx − ak < δ =⇒ kf(x) − bk < ε .1. . 1 + xm+1 1 + xm+1 1+ +1 1 − xm+1 1 − xm+1  ξ ◦ ϕ(x) = ξ x0 1 − xm+1  pois. onde t > 0 e kp + t(x? − p)k = 1. e somente se. . ϕ ◦ ξ(x) = e 2x · 1 + kxk2 1 = x. xm+1 ) = x . 2 2 2 1 + kxk 1 + kxk 1 + kxk Como ξ : Rm −→ Sm − {p} e´ cont´ınua. =  = (x 0 . . Assim. t = ϕ(x) = ϕ(x1 . 0). . (1 − t))k2 = 1 ⇐⇒ t2 (x21 + . ϕ : Sm − {p} −→ Rm e´ uma aplicaçao ˜ ξ : Rm −→ Sm − {p} definida pelo processo inverso. Dizemos que b ∈ Rn e´ o limite Definiçao de f(x) quando x tende para a. Sejam a aplicaçao ˜ f : X ⊂ Rm −→ Rn e a ∈ X 0 . . e. intersecçao ˜ ξ(x) = p + t(x? − p). . δ) − {a} ) ⊂ B(b. Assim. kxk2 − 1 1− kxk2 + 1 2x 0 1 + xm+1 −1 1 − xm+1  1 − xm+1  . . 8 Limites ˜ 8. . nao x→a que a pertença a X. a sequencia (f(zk )) e´ convergente. . k→∞ k→∞ Prova. lim f(x) = b ⇐⇒ para toda sequencia ˆ Observaçao (xk ) de pontos de X − {a} com x→a lim xk = a . 2 2 Como a ∈ X 0 . . ´ ˆ Como lim z2k = lim z2k−1 = a. x→a ˜ 8.3. k→∞ k→∞ ´ Este resultado prova-se de modo analogo ao teorema 6. entao x→a x→a De fato. existe δ > 0 tal que x ∈ X e 0 < kx − ak < δ =⇒ kf(x) − bk < ε ε e kf(x) − ck < . Assim. Frensel 33 . yn . entao Sejam b = lim f(xk ) e c = lim f(yk ). Assim. y1 . . ou seja. Mas. que f esteja definida no ponto a. ou seja. temos que lim zk = a. ˆ Consideremos a sequencia (zk )k∈N = (x1 . f(a) = lim f(x). e mesmo que a ∈ X.1. A continuidade se exprime em termos de limite. z2k−1 = xk e z2k = yk . f : X ⊂ Rm −→ Rn e´ cont´ınua no ponto a se. Observaçao ˜ toda aplicaçao ˜ f : X ⊂ Rm −→ Rn e´ cont´ınua no ponto Se a ∈ X e´ um ponto isolado de X. pois lim f(z2k−1 ) = b e lim f(z2k ) = c. xn . . Se a ∈ X 0 . . . se a ∈ X ∩ X 0 . Para que tenha sentido a existencia ˆ ˜ e´ necessario ´ Observaçao do limite b = lim f(x). tem-se lim f(xk ) = b. ˜ 8. k = 1.Limites ˜ 8. J. dado ε > 0.K. y2 . para todo ε > 0. com lim xk = lim yk = a. ˜ anterior.4. basta mostrar que se (xk ) e (yk ) sao ˜ duas sequencias ˆ Pela observaçao em X − {a} ˜ lim f(xk ) = lim f(yk ). . (Unicidade do limite) Observaçao ˜ b = c. existe xδ ∈ X tal que 0 < kxδ − ak < δ . Logo. Delgado . Existe lim f(x) ⇐⇒ para toda sequencia (xk ) de pontos de X − {a} com x→a lim xk = a . pela hipotese. o valor f(a) ˜ desempenha papel algum na definiçao ˜ de limite. b = c. Logo. kb − ck ≤ kf(xδ ) − ck + kb − f(xδ )k < ε .).. proximo. . lim f(x) = b e lim f(x) = c. porem ˜ 8. x2 . . . b = c. Importam apenas os valores f(x) para x nao ´ ´ diferente de a. . n. . existe lim f(xk ) .1. entao a. ˆ Teorema 8. e so´ se.3. .2. . . Rp e Rq . a ∈ X 0 . Entao: x→a x→a x→a (1) lim (f(x) + g(x)) = b + c .0) (x. entao ˜ lim ϕ(f(x). . pois. a ∈ X 0 . Seja ϕ : Rn × Rp −→ Rq uma aplicaçao ˜ bilinear. temos que lim hf(x). Se f : R2 − {0} −→ R e´ a funçao ˜ f(x.1 e da caracterizaçao ˜ 8. (x. 0). No caso em que f : X ⊂ R −→ R e´ uma funçao ˜ real de variavel ´ Observaçao real e a ∈ X−0 (ou a ∈ X+0 ) podemos provar que o lim− f(x) (respectivamente. basta observar que kϕ(f(x). . g : X −→ Rp sao x→a x→a De fato.6.2. onde M e´ uma constante positiva que depende apenas da aplicaçao e das normas consideradas em Rn . k→∞ ˜ 8. x→a (3) lim hf(x). Sejam a ∈ X 0 ⊂ Rm e f : X −→ Rn uma aplicaçao ˜ cujas funçoes ˜ coordenaObservaçao ˜ f1 . . e x→a x→a ˆ somente se. .0) ˜ x = 0 e a aplicaçao xy limitada. . e somente se. g(x)) = 0. ˜ lim f(x) = b = (b1 . para (x. ˜ se faz de modo analogo ´ A demonstraçao ao teorema 6.4). lim g(x) = c e lim λ(x) = λ0 . das sao x→a x→a i = 1. o limite lim f(xk ) existe. x→a (2) lim λ(x) f(x) = λ0 b .y)−→(0. fn : X −→ R. y) 7−→ x2 x2 x2 y ˜ . lim+ f(x)) existe se.8. .y)−→(0.7. g(x)i = hb. e g e´ limitada. bn ) se. f. ˜ f(x. . Entao.1.´ Analise ˜ 8. . y) = 0. . g(x))k ≤ M kf(x)k kg(x)k . (ver observaçao ˜ 8. ˜ 8. para toda sequencia (xk ) crescente (respectivamente. • Como caso particular. y) 6= (0. + y2 |xy| 2 |x| |y| x 2 + y2 ≤ ≤ = 1. x→a ˜ decorrem do corolario ´ ˜ de limite por meio de sequencias ˆ As afirmaçoes 4. decrescente) de pontos de X − {a} com lim xk = a . . sendo + y2 lim lim f(x. entao x2 + y2 xy . Sejam X ⊂ Rm . b. ci . y) e´ o produto de x por De fato. g(x)i = 0 e lim α(x) f(x) = 0 se um dos fatores e´ x→a x→a limitado e o outro tende para zero. n. c ∈ Rn . . Se f : X ⊂ Rm −→ Rn e Observaçao ˜ aplicaçoes ˜ com lim f(x) = 0. x 2 + y2 x2 + y2 x2 + y2 34 ´ Instituto de Matematica UFF . g : X −→ Rn e λ : X −→ R tais que Observaçao ˜ lim f(x) = b. y) = Exemplo 8. ˜ bilinear ϕ para todo x ∈ X.5. a funçao (x. lim fi (x) = bi . existe δ > 0 tal que x. pois a funçao ˜ • Como consequencia de (2). pois ˜ a ∈ X 0 . Se f : X ⊂ Rm −→ Rn e´ uma aplicaçao ˜ uniformemente cont´ınua e (xk ) e´ Observaçao ˆ ˜ (f(xk )) e´ uma sequencia ˆ uma sequencia de Cauchy de pontos de X. entao x→a x→a ˜ se faz de modo analogo ´ A demonstraçao ao resultado anterior. entao x→a x→a y→b De fato. x ∈ X − {a}. entao de Cauchy. ` ≥ k0 .0) x2 xy . (1) Se lim f(x) = b. existe µ > 0 tal que y ∈ Y e 0 < ky − bk < µ =⇒ kg(y) − ck < ε . Logo kf(xk ) − f(x` )k < ε para k. α2 + β2 ˜ 8.11. J. que varia com α e β . Como (xk ) e´ de Cauchy. entao x→a x→a De fato. (Relaçao ˜ de limite e composiçao ˜ de aplicaçoes) ˜ Observaçao ˜ Sejam f : X −→ Rm . Sejam f. Delgado . c + ε). a ∈ X 0 . pois. Logo x ∈ X e 0 < kx − ak < δ =⇒ kg(f(x)) − ck < ε. para + y2 u = (α. para qualquer • E como consequencia de (1). b + ε) e g(x) ∈ (c − ε. tais que f(x) ≤ g(x) para todo Observaçao ˜ b ≤ c. tβ) = t→0 lim (x. Entao: ˜ lim (g ◦ f) (x) = c.9. entao x→a t→0 vetor u 6= 0. uma contradiçao.Limites ˜ 8. lim g(y) = c e x 6= a =⇒ f(x) 6= b. 2 ˜ existe δ > 0 tal que x ∈ X e 0 < kx − ak < δ =⇒ f(x) ∈ (b − ε. existe δ > 0 tal que x→a x ∈ X e 0 < kx − ak < δ =⇒ 0 < kf(x) − bk < µ. ` ≥ k0 . ˜ existe Segue da´ı que nao lim f(tα. y ∈ X e kx − yk < δ =⇒ kf(x) − f(y)k < ε. Entao Como b − ε = c + ε. Como lim f(x) = b e x 6= a =⇒ f(x) 6= b. temos que se lim f(x) = b entao x→a norma k x→a k : Rn −→ R e´ cont´ınua.K. dado ε > 0. existe k0 ∈ N tal que kxk − x` k < δ para k. ˆ ˜ lim kf(x)k = kbk. ˆ ˜ lim f(a+tu) = b. Frensel 35 . temos que g(x) < f(x) para todo x ∈ {x ∈ X | 0 < kx − ak < δ} 6= ∅. ˜ 8. De fato. β) . ˜ lim g(f(x)) = g(b). suponhamos que b > c e seja ε = b−c > 0.y)→(0. (2) Se lim f(x) = b e g e´ cont´ınua no ponto b. g : Y −→ Rp . b ∈ Y 0 e f(X) ⊂ Y. Se lim f(x) = b e lim g(x) = c.10. o valor do limite αβ . temos que se lim f(x) = b. a ∈ X 0 . dado ε > 0. g : X ⊂ Rm −→ R. 2. o qual existe pelo teorema anterior. ˆ ˆ Seja (xk ) uma sequencia de pontos de X − {a}. entao x ∈ X 0. y) = Observaçao x2 xy ˜ nao + y2 e´ uniformemente cont´ınua em qualquer conjunto X ⊂ R2 − {(0. basta tomar y = y). x→x faça f(x) = f(x). ˜ f : X −→ Rn . 36 ´ Instituto de Matematica UFF . y ∈ X tais que kx − yk < δ. Entao aplicaçao ´ fX = f. Como (xk ) e´ uma sequencia de ˜ (f(xk )) e´ uma sequencia ˆ ´ portanto. existe lim f(x). x→a Prova.1. basta tomar x = x. Para cada x ∈ X 0 − X. existe lim f(x). x→a ˜ 8.0) ´ ˜ uniformemente cont´ınua e seja Corolario 8. Cauchy e f e´ uniformemente cont´ınua. Seja f : X ⊂ Rm −→ Rn uma aplicaçao ˜ existe uma unica ˜ uniformemente cont´ınua f : X −→ Rn tal que X = X ∪ X 0 . e se y ∈ X. e´ uma aplicaçao ˜ que estende f. x→x x→x ˜ f : X −→ Rn e´ uniformemente cont´ınua. existem 0 < δ0 < e x. Entao ˜ f(x) = f(x) = lim f(x). Afirmaçao: ε 3 Dado ε > 0. Como X = X ∪ X 0 . y). Ou seja. a ´ ˜ uniformemente cont´ınua em X = X ∪ X 0 . portanto.y)→(0. e. ˜ para Teorema 8. ´ toda aplicaçao ˜ uniformemente cont´ınua definida em X se estende de modo unico Isto e. assim definida. faça f(x) = lim f(x). Sejam x. y ∈ X e kx − yk < δ =⇒ kf(x) − f(y)k < .12. lim f(x. Entao. y ∈ X tais que 2 ε kx − xk < δ0 . E se x ∈ X. kf(x) − f(x)k < e 3 x→y kf(y) − f(y)k < ε 3 (Se x ∈ X. se y ∈ X 0 . com lim xk = a. e lim f(x) = x→x δ − kx − yk f(y).1. entao de Cauchy e e. se x ∈ X 0 . 0)} −→ R definida por f(x. ˜ pelo teorema 8.´ Analise ˜ uniformemente cont´ınua. kx − yk ≤ kx − xk + kx − yk + ky − yk < δ0 + δ0 + |kx − yk < δ − kx − yk + kx − yk = δ . ky − yk < δ0 . (x. A funçao ˜ cont´ınua f : R2 − {(0. para todo Observe que se x ∈ X 0 ∩ X. existe δ > 0 tal que x. f(x) = lim f(x). Entao. Logo. lim f(x) = f(x). 0) seja um ponto ˜ pois nao ˜ existe de acumulaçao. 0)} do qual (0. Seja f : X ⊂ Rm −→ Rn uma aplicaçao todo a ∈ X 0 . convergente. uma aplicaçao Prova. r].2. ou seja. E se x ∈ X 0 − X. de pontos de X com lim xk = x.4. r]. Seja δ = kb − ak − r > 0. seja (xk ) uma sequencia ˆ Entao.4.2. entao ˜ B(b. δ) ⊂ Rn −B[a. r] de uma bola fechada e´ um conjunto aberto Observaçao em Rn . Delgado . Um ponto a ∈ X e´ um ponto interior a X se existe δ > 0 tal que Definiçao B(a. Observaçao ˜ δ = r − kb − ak > 0 e B(b. δ) ⊂ B(a. Entao pois se kx − bk < δ =⇒ kx − ak ≤ kx − bk + kb − ak < δ + kb − ak = r. δ) ⊂ X. k→∞ 9 k→∞ x→x Conjuntos abertos ˜ 9. Observaçao ˜ 9.3. ˜ se x ∈ X. Unicidade: Seja g : X −→ Rn uniformemente cont´ınua tal que g|X = f. Definiçao ˜ 9. Definiçao ˜ 9. ˜ 9.K. Um conjunto X ⊂ Rn e´ aberto quando todos os seus pontos sao ˜ pontos interiDefiniçao ores a X. O interior de X e´ o conjunto int X formado pelos pontos interiores a X. r). pois se kx−bk < δ =⇒ kb−ak ≤ kb−xk+kx−ak < δ+kx−ak =⇒ Entao kx − ak > kb − ak − δ = r. Logo g(x) = lim g(xk ) = lim f(xk ) = lim f(x) = f(x) . r) e´ um conjunto aberto de Rn .1. δ) ⊂ X. g(x) = f(x) = f(x). J. De fato. r). se x. O complementar Rn − B[a. quando para todo a ∈ X existe δ > 0 tal que B(a. 3 3 3 Assim. seja b ∈ B(a. Dizemos que um conjunto V e´ uma vizinhança do ponto a quando a ∈ int V.1. ˜ 9. A definiçao ˜ de ponto interior independe da norma considerada em Rn . Assim. De fato. ou seja. ˜ kb − ak > r. kx − yk < δ =⇒ kf(x) − f(y)k < ε.3. X e´ aberto ⇐⇒ int X = X.Conjuntos abertos kf(x) − f(y)k ≤ kf(x) − f(x)k + kf(x) − f(y)k + kf(y) − f(y)k < ε ε ε + + = ε. kb − ak < r. dado b ∈ Rn − B[a. ˜ 9. Frensel 37 . y ∈ X . Seja X ⊂ Rn . int X ⊂ X Observaçao ˜ 9. Toda bola aberta B(a. 5. ε Seja ε > 0 e tome x = a + r + u. Dados X ⊂ Rn e a ∈ X. 2 2 ˜ x0 6∈ int B[a. r) ⊂ X. uma vez que B(a. ∂X = ∂(Rn − X). r) ⊂ X. ε). ou x ∈ int(Rn − X) ou x ∈ ∂X . Sejam X ⊂ Rn e a ∈ Rn . Para todo X ⊂ Rn . 2 ˜ kx − x0 k = ka + ru − a − (r + ε/2)uk = Entao ε ε < ε e kx − ak = r + > r . Logo B(x0 . r].7. r) ⊂ int X. temos que ∂B[a. ha´ tres ˆ possibilidades que se excluem mutuamente: Observaçao a ∈ int X . Observaçao ˜ 9. int(Rn − X) e ∂X dois a dois disjuntos. r]. r].5 da seguinte maneira: • Com isso. portanto. pelo provado acima. r] = B(a. Observaçao De fato. Entao Logo. r] ⊂ Rn nao ˜ e´ um conjunto aberto. B(a. δ) ⊂ B(a. o que prova que int X e´ aberto. ou seja. r) ⊂ int B[a. O conjunto ∂X formado pelos pontos fronteira de X e´ chamado fronteira de X. Ou seja. int B[a. podemos provar a observaçao ˜ existe r > 0 tal que B(x0 . ˜ 9. ˜ 9.5. x0 ∈ int Y. r) ∩ X 6= ∅ e B(a. r)) ⊂ int X. Observaçao De fato. Entao. r).6. r]. r] = S[a. temos que B(x. Seja x0 ∈ int X. r) ⊂ Y e. Seja x ∈ B(a. (de norma 1) tal que x0 = a + ru. e. se x0 ∈ int X. r) ⊂ X.´ Analise ˜ 9. 38 ´ Instituto de Matematica UFF . seja x0 ∈ S[a.8. pois B(x0 . r). se a ∈ int X. portanto. ou seja. sendo int X.1. ˜ 9. para todo Definiçao r > 0. Observaçao ˜ existe u ∈ Rn vetor unitario ´ De fato. ˜ 9. se x ∈ B(a. Ou seja. r) entao ˜ 9. Dizemos que a e´ ponto fronteira de X se. r) ∩ (Rn − X) 6= ∅. r] e´ aberto e int B[a. Exemplo 9. r] = B(a. int X e´ um conjunto aberto. ˜ x ∈ int X. r). r) ⊂ int X. Logo. r] entao Portanto. r) e´ um conjunto aberto. Entao. existe r > 0 tal que B(a.9. Rn = int X ∪ int(Rn − X) ∪ ∂X . r]. mas x 6∈ B[a. r) ⊂ X. r) = int B(a. existe r > 0 tal que B(x0 . B(a. Se X ⊂ Y entao ˜ int X ⊂ int Y. B(x0 . int(B(x0 . Como Rn − B[a. se x0 ∈ S[a. x ∈ B(x0 . ˜ pondo δ = r − kx − ak > 0. Uma bola fechada B[a. . r] e´ aberto e Rn − B[a. existe δa > 0 tal que B(a. para cada a ∈ A. r) = Rn − (int B(a. r). r) ∪ int(Rn − B(a. r] ⊂ Rn − B(a. r] ⊂ int(Rn − B(a. ˜ 9. existe δ > 0 (3) Seja a ∈ A = λ∈L Aλ . Dizemos que A ⊂ X e´ aberto em X quando. r))) ⊂ S[a. 2 2 ˜ 9. a ∈ Ai . ε ε < ε e ky − ak = r − < r. (1) ∅ e Rn sao ˜ A = A1 ∩ . ˜ para todo 0 < ε < r. . A ∩ ∂A = ∅. Seja δ = min{δ1 . δ) ⊂ Ai para todo existe δi > 0 tal que B(a. x ∈ B(x. Como cada Ai e´ aberto. ∂B(a. . Ak e´ um ´ conjunto aberto. r]. e so´ se. r). e ∅ e´ aberto. . Definiçao existe δ > 0 tal que B(a. δi ) ⊂ Ai . x = a + ru.2. δ) ⊂ Aλ0 ⊂ A. Prova. . Frensel 39 . Um conjunto A ⊂ X e´ aberto em X se.1. r]. Como Aλ0 e´ aberto. ∂B(a. Logo. r))) = Rn − (B(a. . ˜ A = (3) A reuniao S λ∈L Aλ de uma fam´ılia qualquer (Aλ )λ∈L de conjuntos abertos Aλ e´ um conjunto aberto. S[a. para cada a ∈ A. ou seja. ε) ∩ (Rn − B(a. Logo A e´ aberto. r] ⊂ ∂B(a. . Teorema 9. De fato. B(a.Conjuntos abertos Exemplo 9. . r) = S[a. Logo. k e. contiver algum ponto que nao (2) Seja a ∈ A = A1 ∩ . ou seja. r). Entao tal que B(a. . ˜ B(a. . ∩ Ak de um numero (2) A intersecçao finito de conjuntos abertos A1 . S ˜ existe λ0 ∈ L tal que a ∈ Aλ0 . temos que Rn − B[a. ∩ Ak . entao. para todo i = 1. (1) Rn e´ obviamente aberto. r)) pois ky − xk = e y = a + (r − ε/2)u ∈ B(x. existe um aberto B ⊂ Rn Observaçao tal que A = B ∩ X. r] . kuk = 1. k. ou seja. Tome B = [ B(a. portanto.6. δk } > 0. e so´ se. E se x ∈ S[a. ε) ∩ B(a. e so´ se. . δa ). nenhum de seus pontos e´ Observaçao ponto fronteira de A. Como Rn − B[a. a∈A n ˜ B e´ aberto em R e B ∩ X = A. Seja X ⊂ Rn . Assim. δa ) ∩ X ⊂ A. Entao i = 1. δ) ⊂ A.10. . Delgado . . r) ∪ int(Rn − B(a. Logo A e´ aberto. δ) ∩ X ⊂ A. . .11. ˜ 9. Os conjuntos abertos do espaço euclidiano Rn possuem as seguintes propriedades: ˜ conjuntos abertos.K. r)). Entao J. . . Um conjunto A ⊂ Rn e´ aberto se. pois um conjunto so´ pode deixar de ser aberto se ˜ seja interior. se. . . . . . ε) ⊂ A. Provamos. se A e´ aberto em X. Como X e B sao ´ e´ aberto em Rn . existe B aberto em Rn tal que A = X ∩ B. Um resultado analogo ´ Observaçao ao do teorema 9. . . ∩ Bk ) ∩ X. . se A e´ aberto em Rn . existe δ > 0 tal que B(a. ε) ⊂ A. . e´ um aberto em X. ∩ Ak e´ aberto em X. assim. S ˜ A = λ∈L Aλ de abertos Aλ em X e´ um conjunto aberto em X. i = 1. . f e´ cont´ınua no ponto x0 ∈ X. . Entao B(f(x0 ). onde (0. Logo A = A1 ∩ . onde B e´ aberto em Rn . δ) ⊂ B. f e´ cont´ınua. k. ε)) e´ aberto em X. com ∅ e X abertos em Rn . Como A e´ aberto em Rn .2. ε). ´ (⇐=) Seja x0 ∈ X e seja ε > 0. portanto. Logo. Reciprocamente.13. pois para cada (3) Uma reuniao S S ˜ A = λ∈L (Bλ ∩ X) = B ∩ X. . entao ˜ A ⊂ X e´ aberto em X se. . Uma aplicaçao f−1 (A). Prova. 1] e´ aberto em X = [0. ˜ como por hipotese. que f−1 (A) e´ aberto em X. Se X ⊂ Rn e´ aberto. existe Bλ aberto em Rn tal que Aλ = Bλ ∩ X. de todo aberto A ⊂ Rn . dado a ∈ A = B ∩ X. δ)) ⊂ B(f(x0 ). ∩ (Bk ∩ X) = (B1 ∩ . existe δ > 0 tal que x ∈ X. 1]. 1]. Entao. A = (0. Logo B(a. 2) ∩ [0. em Rn . se A = B ∩ X. λ ∈ L. . ∩ Ak de conjuntos A1 . ˜ abertos De fato. 2) e´ aberto em R. kx − x0 k < δ =⇒ kf(x) − f(x0 )k < ε. . para cada Ai . Como x0 ∈ X e´ ´ arbitrario. δ) ∩ X ⊂ f−1 (B(f(x0 ). . ∩ Bk e´ aberto em Rn . temos que A tambem ˜ A = A ∩ X e´ aberto em X. . existe ε > 0 tal que (=⇒) Seja x0 ∈ f−1 (A). Sendo f cont´ınua no ponto x0 ∈ X. Entao A = (B1 ∩ X) ∩ . ˜ 9. f−1 (B(f(x0 ). Ak abertos em X e´ um conjunto (2) Uma intersecçao ˜ aberto em X. entao Exemplo 9. existe δ > 0 tal que B(x0 . e so´ se.´ Analise Reciprocamente. pois A = (0. .12. ˜ f(x0 ) ∈ A. existe Bi aberto em Rn tal que Ai = Bi ∩ X. se x ∈ X e kx − x0 k < δ =⇒ f(x) ∈ B(f(x0 ). X ∩ B(x0 .3. onde B1 ∩ . A e´ aberto em X. . δ) ∩ X ⊂ B ∩ X = A. pois ∅ = ∅ ∩ X e X = Rn ∩ X. ky − f(x0 )k < ε =⇒ y ∈ A. e. Aλ . ˜ f : X ⊂ Rm −→ Rn e´ cont´ınua se. ε) =⇒ kf(x) − f(x0 )k < ε. ˜ 9. ou seja. Portanto. (1) ∅ e X sao ˜ finita A = A1 ∩ . . e so´ se.1 vale para os abertos em X: ˜ abertos em X. 40 ´ Instituto de Matematica UFF . Entao λ λ∈L S S n onde λ∈L Bλ e´ aberto em R . a imagem inversa Teorema 9. Logo f(X ∩ B(x0 . . Logo A = λ∈L Aλ e´ aberto em X. δ) ⊂ f−1 (A). A e´ aberto Observaçao em Rn . pois. ou seja. dizemos que f : X −→ Y e´ uma aplicaçao ˜ aberta Definiçao quando para cada A ⊂ X aberto em X. As projeçoes ˜ πi : Rn −→ R. entao f−1 (A ∩ Y) = f−1 (A) e´ aberto em X. Observaçao f−1 ((−∞. . ˜ para todo a ∈ R. . . a1 )) ∩ f2 ((−∞. Se A1 ⊂ Rn1 . ˜ funçoes ˜ cont´ınuas. . . ˜ πi : Rn1 × . a) e´ aberto em R. Ak ⊂ Rnk sao ˜ abertos. pois B(a. sao ˜ funçoes ˜ abertas. podemos provar novamente que a bola aberta B(a. i = 1. . . . i = 1. × Ak = π−1 1 (A1 ) ∩ . . existe δ > 0 tal que BM (a. a)) = {x ∈ Rn | f(x) < a} e´ aberto em Rn . existe B aberto em Rn tal que A = B∩Y. De fato. δ)) = (ai − δ. pelo teorema anterior.16. Y ⊂ Rn . . f2 (x) < a2 . . a1 + δ) × · · · × (an − δ. . Se f : Rn −→ R e´ uma funçao ˜ cont´ınua. r) = {x ∈ Rn | kx − ak < r} = { x ∈ Rn | f(x) < r } . fk : X ⊂ Rn −→ R sao −1 −1 f−1 1 ((−∞. . . temos que n1 π−1 × . sao −1 A1 × . Como f−1 (A) = f−1 (B) e f e´ cont´ınua. Frensel 41 . k. .15. ˜ 9. × Rnk . . . onde f : Rn −→ R e´ a funçao ˜ 9. . an ) ∈ A. entao ˜ Mais geralmente. ai ) ). . . f−1 (A) e´ aberto em X. ai + δ) ⊂ πi (A). k i (Ai ) = R ˜ conjuntos abertos. se A ⊂ Y e´ aberto em Y. . pois cada conjunto f−1 i ( (−∞. . Uma aplicaçao ˜ f : X ⊂ Rm −→ Y ⊂ Rn e´ cont´ınua se. para todo Observaçao conjunto A ⊂ Y aberto em Y. . sua imagem f(A) e´ um subconjunto aberto em Y. Logo. n. × Rnk −→ Rni . que sao ˜ aplicaçoes ˜ De fato. ˜ 9. . . Assim. ´ mente. . . Observaçao ´ De fato. e Com isso.Conjuntos abertos ˜ 9. temos que se A ⊂ Rn e´ aberto e ai = πi (a). × Rni−1 × Ai × Rni+1 × . . a = (a1 . por hipotese. e. .K. . . considerando a norma do maximo em Rn . considerando as projeçoes cont´ınuas. .17. × Rnk e´ aberto. . i = 1. . . . . an + δ) ⊂ A . ˜ 9. r) e´ um conjunto aberto de Rn . e´ um conjunto aberto em X. . J. Logo πi (A) e´ aberto em R. . pois (−∞. Delgado . fk (x) < ak } ´ aberto em X. entao. Reciproca˜ A ∩ Y e´ aberto em Y.7. f e´ cont´ınua. . . . a2 )) ∩ . i = 1. Logo. ˜ cont´ınua dada por f(x) = kx − ak . . ∩ fk ((−∞. δ) = (a1 − δ. . k.14. pelo teorema anterior que f−1 (B) = f−1 (A) e´ aberto em X. . entao ˜ o produto cartesiano Observaçao A1 × . Dados X ⊂ Rm . . πi (BM (a. ∩ πk (Ak ) e´ um conjunto aberto. . e so´ se. ak )) = { x ∈ X | f1 (x) < a1 . se A e´ aberto em Rn . . portanto. se f1 . temos. × Ak ⊂ Rn1 × . ´ Analise 10 Conjuntos fechados ˜ 10.1. Seja X ⊂ Rn . Dizemos que um ponto a ∈ Rn e´ aderente a X quando a e´ Definiçao ˆ limite de uma sequencia de pontos de X. ˜ 10.1. Todo ponto a ∈ X e´ aderente a X, pois a = lim xk , com xk = a para todo Observaçao k ∈ N. Mas um ponto a pode ser aderente a X sem pertencer a X. Neste caso, a ∈ X 0 . Logo a e´ aderente a X se, e so´ se, a ∈ X ou a ∈ X 0 , ou seja, a ∈ X ∪ X 0 . ˜ 10.2. Um ponto a ∈ Rn e´ aderente a X ⇐⇒ para todo ε > 0, B(a, ε) ∩ X 6= ∅. Observaçao ˆ De fato, se a ∈ Rn e´ aderente a X, existe uma sequencia (xk ) de pontos de X tal que lim xk = a. ˜ dado ε > 0, existe k0 ∈ N tal que kxk − ak < ε para todo k > k0 , ou seja xk ∈ B(a, ε) ∩ X Entao, para todo k > k0 . Logo B(a, ε) ∩ X 6= ∅. 1 ´ Reciprocamente, para todo k ∈ N, temos, por hipotese, que existe xk ∈ B a, ∩ X, ou seja, k 1 existe xk ∈ X com kxk − ak < . k ˆ Logo (xk ) e´ uma sequencia de pontos de X que converge para a. Portanto, a e´ aderente a X. ˜ 10.2. O fecho de X e´ o conjunto X formado pelos pontos aderentes a X. Definiçao ˜ 10.3. X = X ∪ X 0 (ver observaçao ˜ 10.1). Observaçao ˜ 10.4. b 6∈ X ⇐⇒ ∃ δ > 0 ; B(b, δ) ∩ X = ∅ ⇐⇒ ∃ δ > 0 ; B(b, δ) ⊂ Rn − X ⇐⇒ Observaçao b ∈ int(Rn − X). ˜ disjunta), temos que X = int X ∪ ∂X. Como Rn = int X ∪ int(Rn − X) ∪ ∂X (uniao • Em particular B(a, r) = int B(a, r) ∪ ∂B(a, r) = B(a, r) ∪ S[a, r] = B[a, r] e B[a, r] = int B[a, r] ∪ ∂B[a, r] = B(a, r) ∪ S[a, r] = B[a, r]. Ou seja, B(a, r) = B[a, r] = B[a, r] . ˜ X = Rn , pois todo numero ˆ Exemplo 10.1. Se X = Qn , entao real e´ o limite de uma sequencia ´ ˆ de numeros racionais, e, portanto, todo ponto (a1 , . . . , an ) ∈ Rn e´ o limite de uma sequencia de ´ pontos de Qn . ˜ 10.5. O conceito de ponto aderente a X pode ser reformulado com abertos, em Observaçao vez de bolas: 42 ´ Instituto de Matematica UFF Conjuntos fechados • a ∈ X ⇐⇒ para todo aberto A, contendo a, tem-se A ∩ X 6= ∅. • b 6∈ X ⇐⇒ existe um aberto A com b ∈ A e A ∩ X = ∅. ˜ basta observar que toda bola aberta e´ um conjunto aberto, e Para provar a primeira afirmaçao, ´ tambem ´ uma bola aberta de centro a. que todo conjunto aberto A contendo a, contem ˜ 10.3. Dizemos que um conjunto X ⊂ Rn e´ fechado quando contem ´ todos os seus Definiçao pontos aderentes, ou seja, quando X = X. ˜ 10.6. X ⊂ Rn e´ fechado ⇐⇒ ”se lim xk = a e xk ∈ X para todo k ∈ N =⇒ Observaçao a ∈ X”. ˜ 10.4, Exemplo 10.2. Toda bola fechada B[a, r] e´ um conjunto fechado, pois, pela observaçao B[a, r] = B[a, r]. ˆ ˜ Ou, mais diretamente, se (xk ) e´ uma sequencia de pontos de B[a, r] , e lim xk = b , entao kb − ak ≤ r , pois kxk − ak ≤ r para todo k ∈ N e kb − ak = lim kxk − ak. k→∞ ˜ 10.7. X ⊂ Y ⊂ Rn =⇒ X ⊂ Y . Observaçao ˆ (xk ) de pontos de X tal que lim xk = a. Como X ⊂ Y, De fato, se a ∈ X, existe uma sequencia ˆ (xk ) e´ uma sequencia de pontos de Y com lim xk = a. Logo a ∈ Y. ˜ 10.8. Se X ⊂ Rn e´ limitado, entao ˜ X e´ limitado. Observaçao De fato, como X e´ limitado, existe r > 0 tal que X ⊂ B[0, r]. Logo X ⊂ B[0, r] = B[0, r] e, portanto, X e´ limitado. ˜ 10.1. Seja X ⊂ Rn . Entao ˜ Rn − X e´ aberto em Rn . Proposiçao Prova. ˜ existe δ > 0 tal que B(b, δ) ∩ X = ∅. Seja y ∈ B(b, δ). Seja b ∈ Rn − X, ou seja, b 6∈ X. Entao ´ y tal que B(b, δ) ∩ X = ∅, temos, pela observaçao ˜ 10.5, Como B(b, δ) e´ um aberto que contem que y 6∈ X, ou seja, y ∈ Rn − X. Logo B(b, δ) ⊂ Rn − X, provando, assim, que Rn − X e´ aberto. Teorema 10.1. Um conjunto X ⊂ Rn e´ fechado se, e so´ se, Rn − X e´ aberto. Prova. ˜ X = X. Logo Rn − X = Rn − X e´ aberto. (=⇒) Se X e´ fechado, entao J. Delgado - K. Frensel 43 ´ Analise ˜ existe δ > 0 (⇐=) Suponhamos que Rn − X e´ aberto e seja a 6∈ X, ou seja, a ∈ Rn − X. Entao tal que B(a, δ) ⊂ Rn − X. Logo B(a, δ) ∩ X = ∅, e, portanto, a 6∈ X. Assim, todo ponto aderente ˜ X e´ fechado. a X deve pertencer a X. Entao ˜ 10.9. A ⊂ Rn e´ aberto ⇐⇒ Rn − A e´ fechado. Observaçao ´ Corolario 10.1. O fecho de todo conjunto e´ um conjunto fechado. Ou seja, X = X. Teorema 10.2. Os conjuntos fechados do espaço euclidiano possuem as seguintes propriedades: ˜ conjuntos fechados; (1) ∅ e Rn sao ˜ F = F1 ∪. . .∪Fk de um numero (2) A reuniao finito de conjuntos fechados F1 , . . . , Fk e´ um conjunto ´ fechado; ˜ F= (3) A intersecçao T λ∈L Fλ de uma fam´ılia qualquer (Fλ )λ∈L de conjuntos fechados Fλ e´ um conjunto fechado. Prova. ˜ conjuntos fechados, pois Rn = Rn − ∅ e ∅ = Rn − Rn sao ˜ conjuntos aber(1) ∅ e Rn sao tos. ˜ conjuntos fechados, entao ˜ Rn − F1 , . . . , Rn − Fk sao ˜ conjuntos abertos. Logo (2) Se F1 , . . . , Fk sao (Rn − F1 ) ∩ . . . ∩ (Rn − Fk ) e´ aberto. Assim, F = F1 ∪ . . . ∪ Fk e´ um conjunto fechado, pois Rn − F = Rn − (F1 ∪ . . . ∪ Fk ) = (Rn − F1 ) ∩ . . . ∩ (Rn − Fk ) e´ um conjunto aberto. ˜ (Rn −Fλ )λ∈L e´ uma fam´ılia de conjuntos (3) Se (Fλ )λ∈L e´ uma fam´ılia de conjuntos fechados, entao [ \ abertos. Logo (Rn − Fλ ) e´ um conjunto aberto. Assim, F = Fλ e´ fechado, pois λ∈L λ∈L n n R −F=R − \ λ∈L Fλ = [ n (R − Fλ ) λ∈L e´ um conjunto aberto. ˜ 10.10. Seja x ∈ Rn . Entao ˜ o conjunto unitario ´ Observac ¸ ao {x} e´ fechado. De fato, se y 6= x, B y, kx − yk 2 ∩ {x} = ∅ (pois kx − yk > kx − yk/2), ou seja, B y, kx − yk 2 ⊂ Rn − {x}. Logo, Rn − {x} e´ um conjunto aberto e, portanto, {x} e´ um conjunto fechado. 44 ´ Instituto de Matematica UFF Conjuntos fechados ˜ 10.11. Uma reuniao ˜ infinita de conjuntos fechados pode ser um conjunto feObservaçao ˜ pois todo conjunto X ⊂ Rn e´ reuniao ˜ de seus pontos: X = chado ou nao, [ {x}. Como ha´ x∈X ˜ sao ˜ fechados, ha´ reunioes ˜ ˜ conjuntos em Rn que nao infinitas de conjuntos fechados que nao ˜ fechados sao ˜ 10.12. Se X ⊂ Rn entao ˜ a ∈ ∂X se, e so´ se, a ∈ X ∩ Rn − X. Observaçao Ou seja, ∂X = X ∩ Rn − X. Em particular, a fronteira de todo conjunto X ⊂ Rn e´ um conjunto fechado. ˜ 10.4. Seja X ⊂ Rn . Dizemos que um conjunto F ⊂ X e´ fechado em X quando F Definiçao ´ todos os seus pontos aderentes que pertencem a X, ou seja, quando F = F ∩ X. contem ˜ 10.13. F ⊂ X e´ fechado em X ⇐⇒ existe G ⊂ Rn fechado tal que F = G ∩ X. Observaçao ˜ F = F ∩ X, onde G = F e´ fechado em Rn . De fato, se F e´ fechado em X entao ˜ F ⊂ G e, portanto, F ⊂ G = G. Logo Reciprocamente, se F = G ∩ X, com G ⊂ Rn fechado, entao F ⊂ F ∩ X ⊂ G ∩ X = F, ou seja, F = F ∩ X. Exemplo 10.3. O intervalo J = (0, 2] e´ fechado no intervalo I = (0, 3], pois J = [0, 2] ∩ (0, 3] e ˜ e´ fechado em R. [0, 2] ⊂ R e´ fechado. Mas J nao ˜ 10.14. Seja X ⊂ Rn fechado. Entao ˜ F ⊂ X e´ fechado em X se, e so´ se, F e´ Observaçao fechado em Rn . ˜ De fato, se F e´ fechado em X, existe G ⊂ Rn fechado tal que F = G ∩ X. Como G e X sao fechados em Rn , temos que F e´ fechado em Rn . ˜ F e´ fechado em X, pois F = F ∩ X. A rec´ıproca e´ Reciprocamente, se F e´ fechado em Rn , entao ´ valida para todo X ⊂ Rn . ˜ 10.15. Os conjuntos fechados em X possuem propriedades analogas ´ ` deObservaçao as monstradas no teorema 10.2 para os conjuntos fechados em Rn .: ˜ fechados em X, pois ∅ = ∅ ∩ X e X = Rn ∩ X, onde ∅ e Rn sao ˜ fechados em Rn . (1) ∅ e X sao ˜ finita de conjuntos F1 , . . . , Fk fechados em X e´ um conjunto fechado em X, pois, (2) Uma reuniao para cada i = 1, . . . , k , Fi = Gi ∩ X, onde Gi e´ fechado em Rn . Logo, F1 ∪ . . . ∪ Fk = (G1 ∩ X) ∪ . . . ∪ (Gk ∩ X) = (G1 ∪ . . . ∪ Gk ) ∩ X , onde G1 ∪ . . . ∪ Gk e´ fechado em Rn . J. Delgado - K. Frensel 45 ´ Analise ˜ F = (3) A intersecçao \ ´ Fλ de uma fam´ılia arbitraria de conjuntos Fλ fechados em X e´ um λ∈L n conjunto fechado em X, pois, para cada λ ∈ L, Fλ = Gλ ∩ X, com ! Gλ fechado em R . Logo, \ \ \ F= Fλ = (Gλ ∩ X) = Gλ ∩ X , λ∈L onde T λ∈L λ∈L λ∈L Gλ e´ fechado em Rn . ˜ 10.16. Seja F ⊂ X ⊂ Rn . Entao ˜ F e´ fechado em X se, e so´ se, A = X − F, o Observaçao complementar de F em X, e´ aberto em X. ˜ F = G ∩ X, com G fechado em Rn . Logo, De fato, se F e´ fechado em X, entao X − F = X − (G ∩ X) = X ∩ ( (Rn − G) ∪ (Rn − X) ) = X ∩ (Rn − G) e´ aberto em X, pois Rn − G e´ aberto em Rn . Reciprocamente, se X − F e´ aberto em X, X − F = A ∩ X, onde A e´ aberto em Rn . Logo F = (Rn − A) ∩ X. Como Rn − A e´ fechado em Rn , F e´ fechado em X. ˜ f : X ⊂ Rm −→ Rn e´ cont´ınua se, e so´ se, a imagem inversa Teorema 10.3. Uma aplicaçao f−1 (F) de todo conjunto fechado F ⊂ Rn e´ um conjunto fechado em X. Prova. ˜ A = Rn − F e´ aberto (=⇒) Seja f : X −→ Rn cont´ınua e seja F ⊂ Rn fechado em Rn . Entao em Rn e, portanto, pelo teorema 9.2, f−1 (A) e´ aberto em X. Mas, como f−1 (A) = f−1 (Rn − F) = ˜ anterior, que f−1 (F) e´ fechado em X. X − f−1 (F), temos, pela observaçao ˜ F = Rn − A e´ fechado em Rn , e, por hipotese, ´ (⇐=) Seja A ⊂ Rn aberto em Rn . Entao f−1 (F) = f−1 (Rn − A) = X − f−1 (A) e´ fechado em X. Logo f−1 (A) e´ aberto em X, e pelo teorema 9.2, f e´ cont´ınua. ˜ 10.17. Uma aplicaçao ˜ f : X ⊂ Rm −→ Y ⊂ Rn e´ cont´ınua se, e so´ se, para todo Observaçao F ⊂ Y fechado em Y, o conjunto f−1 (F) e´ fechado em X. ˜ F = F0 ∩ Y, com F0 fechado De fato, suponhamos f cont´ınua e seja F ⊂ Y fechado em Y. Entao em Rn . Como f−1 (F) = f−1 (F0 ), temos, pelo teorema 10.3, que f−1 (F) e´ fechado em X. ˜ F = F0 ∩ Y e´ fechado em Y e, por hipotese, ´ Reciprocamente, seja F0 ⊂ Rn fechado em Rn . Entao f−1 (F) e´ fechado em X. Mas, como f−1 (F0 ) = f−1 (F), temos que f−1 (F0 ) e´ fechado em X e, portanto, pelo teorema 10.3, f e´ cont´ınua. ˜ 10.18. Se f1 , . . . , fk : Rn −→ R sao ˜ funçoes ˜ cont´ınuas e a1 , . . . , ak ∈ R, entao ˜ Observaçao o conjunto 46 ´ Instituto de Matematica UFF . . pois X × Rn e´ fechado em Rm × Rn . a aplicaçao dada por g(x. i = 1. fk : Rn −→ R sao ˜ funçoes ˜ cont´ınuas e a1 . . portanto. . Delgado . pois −1 F = f−1 1 ({a1 }) ∩ . entao ˜ seu grafico ´ Observaçao ˜ g : X × Rn −→ Rn G = { (x. . ˜ 10. entao ˜ S[a. k . . se f : Rn −→ R e´ a funçao e´ fechado em Rn . se f : Rn −→ R e´ a funçao real ´ ˜ B[a.Conjuntos fechados F = {x ∈ Rn | f1 (x) ≤ a1 . . π−1 i (Fi ) = R ´ fechado para todo i = 1. . ∩ πk (Fk ) e´ fechado em Rn1 +. . Se f1 . . pois. positivo. f(x)) | x ∈ X } e´ um subconjunto fechado de X × Rn . . ˜ 10. . . . a1 ]. temos que π−1 i (Fi ) e −1 F1 × . . . . Em particular.21. temos que G e´ fechado em Rm × Rn . Se f : X ⊂ Rm −→ Rn e´ uma aplicaçao ˜ cont´ınua. × Rni−1 × Fi × Rni+1 × . .+nk e´ fechado. . . . De fato. ak ]) e (−∞. ˜ cont´ınua dada por f(x) = kx − ak e r e´ um numero Em particular.. . . xk ) = xi . . r]) e´ fechado em Rn . .20. . sao ˜ cont´ınua dada por f(x) = kx−ak. Se F1 ⊂ Rn1 . y) ∈ X × Rn | y = f(x) } = { (x. fk (x) = ak } e´ fechado em Rn . (−∞. × Rnk . . . . × Fk ⊂ Rn1 × . . . y) = y − f(x) e´ cont´ınua e g−1 ({0}) = { (x. . k e. Fk ⊂ Rnk sao ˜ conjuntos fechados. . entao ˜ 10.K. . . Dizemos que uma aplicaçao ˜ f : X ⊂ Rm −→ Y ⊂ Rn e´ fechada quando f(F) e´ Definiçao fechado em Y para todo F ⊂ X fechado em X. fk (x) ≤ ak } −1 ˜ e´ fechado em Rn . ∩ fk ((−∞. × Rnk = Rn1 +. entao ˜ o produto Observaçao cartesiano F1 × . entao F = {x ∈ Rn | f1 (x) = a1 . ak ] sao conjuntos fechados em R. . . a1 ]) ∩ . . r] = f−1 ((−∞. . × Fk = π−1 1 (F1 ) ∩ . como as projeçoes ˜ cont´ınuas e sao n1 × . . .. . ∩ fk ({ak }) e {a1 }. ˜ 10. se X ⊂ Rm e´ fechado... . ˜ πi : Rn1 × . . Frensel 47 . . . . . ak sao ˜ numeros Observaçao ´ ˜ o conjunto reais. . xi . .+nk . . {ak } ˜ fechados em R. . . . . dadas por πi (x1 . y) ∈ X × Rn | g(x. . f(x)) | x ∈ X } = G . r] = f−1 ({r}) Em particular. pois F = f−1 1 ((−∞. × Rnk −→ Rni . . y) = 0 } = { (x. . .19. J. . . .5. y) ∈ R2 | xy = 1} e´ um subconjunto fechado de R2 . .2. mas nao ˜ e´ fechada. ˜ 10. . Sejam f. YX = Y. ˜ B das bolas abertas B(q. pois H e´ ˜ cont´ınua (x. Logo Y ⊂ G e. O fecho de Y relativamente a X e´ o conjunto YX = Y ∩ X Definiçao dos pontos aderentes a Y que pertencem ao conjunto X.22. mas sua projeçao ˜ no a imagem inversa do fechado {1} ⊂ R pela funçao ˜ e´ fechada em R. Reciprocamente. a hiperbole H = {(x. ou seja. mas f(F) = (0. ˜ 10. Observaçao De fato. ˜ existe uma sequencia ˆ Seja x ∈ X. e´ cont´ınua. g : X ⊂ Rm −→ Rn aplicaçoes ˜ cont´ınuas e Y ⊂ X um subconjunto Proposiçao ˜ f(x) = g(x) para todo x ∈ X. . . Se f(y) = g(y) para todo y ∈ Y. r) com centro num ponto q ∈ Qn e raio r > 0 racional. Entao (yk ) de pontos de Y tal que lim yk = x. ou seja. ˜ 10. Seja B = {B1 . Definiçao ´ quando o fecho de Y relativamente a X e´ todo o conjunto X. pois Y e´ fechado em Rn . eixo das abscissas π1 (H) = R − {0} nao ˜ 10. Y ⊂ X e´ fechado em X se. ˜ 10. Y = Y ∩ X = YX . entao Prova. Sejam Y ⊂ X ⊂ Rn . ou seja. ˜ Y = G ∩ X. .7. f(x) = ex . e so´ se. e´ enumeravel.6. Y = Y∩X. denso em X. Logo f(x) = lim f(yk ) = lim g(yk ) = g(x). G fechado em Rn . Y ⊂ G = G. isto e. A projeçao fechado F ⊂ Rm × Rn num conjunto fechado π1 (F) ⊂ Rm . se Y e´ fechado em X.5. Sejam Y ⊂ X ⊂ Rn . Y ⊂ Y ∩ X ⊂ G ∩ X = Y.´ Analise ˜ f : R −→ R. 1] e´ fechado em R. Todo subconjunto X ⊂ Rn contem ´ um subconjunto enumeravel ´ Proposiçao E denso em X. temos que Y e´ fechado em X. A funçao ˜ e´ fechado em R. e so´ se. 1] nao ˜ π1 : Rm ×Rn −→ Rm nao ˜ transforma necessariamente um conjunto Exemplo 10. pois Exemplo 10. se Y = Y ∩ X. A coleçao ´ ˜ de B. ˜ 10.4. f = g. Prova.23. Dizemos que Y e´ denso em X quando YX = Y ∩ X = X. r) ∩ X 6= ∅. . com B(q. entao portanto. se. ´ Por exemplo.3.} uma enumeraçao 48 ´ Instituto de Matematica UFF . Assim. . Y ⊂ X ⊂ Rn e´ denso em X ⇐⇒ X ⊂ Y ⇐⇒ todo ponto de X e´ limite de Observaçao ˆ ´ uma sequencia de pontos de Y ⇐⇒ toda bola aberta com centro em algum ponto de X contem pontos de Y. Bk . y) 7−→ xy. F = (−∞. 1. ˜ e´ fechado. ˜ E e´ finito. tal que r < . Neste caso. Assim. K e´ limitado. o que contradiz a hipotese. E e´ finito ⇐⇒ X e´ finito. ˜ 10. suponhamos que K nao ˆ ˜ possui uma subsequencia ˆ que kxk k ≥ k. Dizemos que um conjunto K ⊂ Rn e´ compacto quando ele e´ limitado e Definiçao fechado. se X e´ finito.K. xi ∈ B(x0 .24. Suponhamos agora que K nao J. De fato.1. r) ∩ X e. basta verificar que B(x0 . ε) ∩ E 6= ∅ para todo x0 ∈ X e para todo ε > 0.2. portanto. Logo kxi − x0 k ≤ kxi − qk + kq − x0 k < 2r < ε. pois nao ˜ e´ limitado.Conjuntos Compactos Para cada i ∈ N. Mais ainda. portanto. ou seja. Frensel 49 . pois E ⊂ X. Exemplo 11. pois toda subsequencia de (xk ) e´ ilimitada. As bolas fechadas. ε 2 ˜ x0 ∈ B(q. k∈N ˜ e´ limitado Entao. entao limitada. Logo (xk ) e´ uma sequencia de pontos de K que nao ˆ ´ convergente. ˆ ˜ (xk ) e´ uma sequencia ˆ De fato.1. n ≥ 1. Rn . pois K e´ fechado. Pelo teorema de Bolzano-Weierstrass. e seja q ∈ Qn tal que kq − x0 k < r. Delgado . lim0 xk ∈ K. ˜ e´ compacto. se K e´ compacto e (xk ) e´ uma sequencia de pontos de K. ´ e´ um subconjunto enumeravel de X. escolhemos um ponto xi ∈ Bi ∩ X. E = X. ou seja. r ∈ Q. entao 11 Conjuntos Compactos ˜ 11. Reciprocamente. entao. B(q. as esferas e os conjuntos finitos de Rn sao compactos. ˜ conjuntos Exemplo 11. K ⊂ Rn e´ compacto ⇐⇒ toda sequencia ˆ Observaçao (xk ) de pontos de K possui uma ˆ subsequencia que converge para um ponto de K. O conjunto E dos pontos xi . assim obtidos. se E e´ finito. Entao ˜ xi ∈ Bi ∩ E. X = EX = E ∩ X = E. Para mostrar que E e´ denso em X. Existe. para algum i ∈ N. Seja r > 0. ε) ∩ E. entao ˜ Observaçao E = E e. pois K e´ limitado. r) ∩ X 6= ∅. r) = Bi . nao ˜ 11. ˜ para todo k ∈ N. existe xk ∈ K tal Reciprocamente. existe N 0 ⊂ N infinito tal que (xk )k∈N 0 converge. B(q. λ ∈ L. ou seja. entao \ ˜ ˜ intersecçao Kk e´ um conjunto compacto nao-vazio. . k∈N \ Kk 6= ∅. × Kp e´ limitado. (xk ) e´ uma sequencia de pontos de K tal que toda subsequencia converge para x 6∈ K. a sequencia (xk )k∈N possui uma subsequencia (xki )i∈N que converge para um ponto x ∈ K1 . + kxp kS ≤ r1 + . . De fato. Sendo cada Ki limitado. pois cada Ki e´ fechado em Rni . + rp para todo (x1 . ˜ 11. yk = f(xk ). xp ) ∈ K1 × . k∈N ˜ cont´ınua. . . ˆ ˆ Como xk ∈ K1 para todo k ∈ N. Prova.1. . .´ Analise ˜ existe x ∈ K−K. ˆ ˜ para todo k ∈ N. existe uma sequencia ˆ Entao (xk ) de pontos de K tal que lim xk = x. . K e´ fechado. ∪ Kp compacto. ´ disso. . e´ uma sequencia decrescente de compactos nao-vazios. Assim. . . .2. Basta. . . 50 ´ Instituto de Matematica UFF . Observaçao ˜ 11. . . . . Kp ⊂ Rnp compactos =⇒ K1 × . . Entao. . A intersecçao ˜ de uma fam´ılia qualquer de compactos Kλ ⊂ Rn . × Kp ⊂ Rn1 × . o ´ que contradiz a hipotese. K1 × . Teorema 11. existe ri > 0 tal que kxkS ≤ ri para todo x ∈ Ki . p. ˜ 11. Se K ⊂ X e´ compacto entao ˜ Teorema 11. . K1 × . x ∈ Kk . .4. . ou seja. k∈N Para isso. Logo k(x1 . . tome xk ∈ Kk para cada k ∈ N. . . . . Kp compactos em Rn =⇒ K1 ∪ . Seja f : X ⊂ Rm −→ R uma aplicaçao f(K) e´ compacto. dado k ∈ N. × Rnp e´ Observaçao compacto. . .3. .3. xp )kS ≤ kx1 kS + . . k∈N Prova. . . ˆ ˆ Logo. Logo x = lim xki ∈ Kk para todo Alem i∈N \ k ∈ N. K1 .+np . existe xk ∈ K tal que Seja (yk ) uma sequencia de pontos de f(K). . temos que Pela observaçao \ ˜ mostrar que Kk e´ compacto. entao.. × Kp . Como x ∈ K. . i = 1. . . temos que xki ∈ Kk para todo ki > k. e´ Observaçao um conjunto compacto. i = 1. . K1 ⊂ Rn1 . × Kp e´ fechado em Rn1 +. . (Propriedade de Cantor) ˆ ˜ ˜ a Se K1 ⊃ K2 ⊃ .2.. . . p. . ˜ 11. . ⊃ Kk ⊃ . . • Uma aplicaçao ˜ f(x) = Por exemplo. existem N 0 ⊂ N e N 00 ⊂ N infinitos.1. Neste exemplo. ˜ 11. x1 ∈ K. (xk )k∈N possui uma subsequencia (xki )i∈N que converge para um ponto x ∈ K. 1). ˜ e´ fechado. o dom´ınio R e´ fechado mas nao ˜ 11. de f.K. x0 .7. Prova. temos que lim f(xki ) = f(x).1. ˜ existem sequencias ˆ Sejam m = inf{f(x) | x ∈ K} e M = sup{f(x) | x ∈ K}. tais que lim0 xk = x0 e k∈N ˜ m = lim0 f(xk ) = f(x0 ) e M = lim00 f(yk ) = f(x1 ).3. tambem. limitada. ˜ cont´ınua f : R −→ R dada por f(x) = Exemplo 11. entao J. ˜ 11. Como K e´ compacto. Entao k∈N k∈N k∈N Portanto.5. +∞). pela observaçao ˜ 11. x ´ uma aplicaçao ˜ cont´ınua pode transformar um conjunto fechado num conjunto que • E.6. Como f e´ cont´ınua e K e´ compacto. f(x0 ) ≤ f(x) ≤ f(x1 ) para todo x ∈ K. a funçao 1 ˜ e´ fechado. fechado. transforma R. tem imagem 1 + |x| f(R) = (−1. 1) que nao 1 + x2 ´ Corolario 11. Entao (xk ) e (yk ) de pontos de K tais que f(xk ) −→ m e f(yk ) −→ M. 1) no intervalo ilimitado (1. nenhum valor f(x) e´ menor nem maior do que todos os demais valores ˜ e´ limitado. A funçao x . a funçao 1 leva o intervalo limitado (0. (Weierstrass) ˜ real cont´ınua f : K −→ R atinge seu valor Seja K ⊂ Rn um conjunto compacto. lim00 yk = x1 . f(K) e´ compacto. Frensel 51 . nao ˜ f(x) = Por exemplo. isto e. Se f : K ⊂ Rn −→ R e´ uma funçao ˜ cont´ınua e f(x) > 0 para todo x ∈ K. Toda funçao ´ ´ existem x0 . x1 ∈ K tais que maximo e seu valor m´ınimo em pontos de K. isto e. f(K) e´ compacto em R. sendo f e´ cont´ınua. Delgado . ou seja. Portanto. no intervalo (0. f(x0 ) ≤ f(x) ≤ f(x1 ) para todo x ∈ K.Conjuntos Compactos ˆ ˆ Como (xk ) e´ uma sequencia de pontos de K e K e´ compacto. Observaçao ˜ existe c > 0 tal que f(x) ≥ c para todo x ∈ K. Logo. Observaçao ˜ cont´ınua pode transformar um conjunto limitado num conjunto ilimitado. ˆ Assim. (f(xki ))i∈N e´ uma subsequencia i→∞ de (yk ) que converge para um ponto f(x) ∈ f(K). Toda aplicaçao ˜ cont´ınua f : K ⊂ Rm −→ Rn definida num compacto K e´ Observaçao ´ existe c > 0 tal que kf(x)k ≤ c para todo x ∈ K. 4. f(K) = L e´ compacto. Dado F ⊂ L. Toda bijeçao homeomorfismo sobre sua imagem. (=⇒) E ˜ o conjunto (⇐=) Suponhamos f ◦ ϕ : K −→ Rp cont´ınua e seja F ⊂ Rp fechado. +∞). F e´ compacto. ´ Como f e´ sobrejetora e F ⊂ L. portanto. Seja ϕ : K −→ L uma aplicaçao ˜ uma aplicaçao ˜ f : L −→ Rp e´ cont´ınua se. ´ ˜ cont´ınua do compacto K sobre o Corolario 11. e so´ se. Logo. 52 ´ Instituto de Matematica UFF .2.5. fechada. g : L −→ K e´ corolario 11. pelo corolario 11. f : K −→ L e´ um homeomorfismo. F e´ fechado. temos que F e´ limitado.3. f : L −→ Rp e´ cont´ınua. se sua imagem inversa f−1 (F) e´ ˜ F e´ fechado. portanto. pela observaçao cont´ınua e. f(F) e´ fechado em Rn . Seja f : K ⊂ Rm −→ L uma aplicaçao conjunto (necessariamente compacto) L = f(K). pode nao ˜ existir c > 0 tal que f(x) ≥ c para todo x ∈ K. Alem disso. a funçao 1 . +∞)) = (0. Entao ´ ˜ 10.2 e. dada por f(x) = Por exemplo.´ Analise ˜ e´ compacto. Portanto. mas x f((0. Assim. Prova. isto e.2. ´ ˜ cont´ınua f : K ⊂ Rm −→ L ⊂ Rn definida num compacto K e´ um Corolario 11. Como K e´ fechado em Rn .17. f ◦ ϕ : K −→ Rp e´ compacto L ⊂ Rn . Entao cont´ınua.3. uma vez que f e´ cont´ınua. g−1 (F) e´ fechado em L. Seja f : K −→ L uma bijeçao ˜ g−1 (F) = f(F) e´ fechado em Rn pelo Seja g = f−1 : L −→ K e seja F ⊂ K fechado em K. Toda aplicaçao ´ F ⊂ K fechado em K =⇒ f(F) fechado em Rn . Portanto. temos que f(f−1 (F)) = F. fechada. ´ ˜ cont´ınua f : K −→ Rn definida num compacto K ⊂ Rm e´ Corolario 11. como K e´ limitado e F ⊂ K.4. ´ evidente. entao Prova. +∞) −→ R. Prova. Se K nao ˜ f : (0. pelo teorema 10. f−1 (F) e´ fechado em L. ´ Seja F ⊂ K fechado em K. Logo. Assim. ˜ cont´ınua. Como K e´ compacto. Prova. ´ ˜ cont´ınua do compacto K ⊂ Rm sobre o Corolario 11. Logo f(F) e´ compacto. e´ cont´ınua e positiva. pelo corolario 11. temos que F e´ fechado em Rn . Entao ´ ϕ−1 (f−1 (F)) = (f ◦ ϕ)−1 (F) e´ fechado em K. sen t) = g(t). J. existem xk ∈ X e yk ∈ K tais que kxk − yk k < Entao. yk ) −→0 f(x0 . 2π] −→ S1 . pela continuidade de f. y ∈ K. 2π] sobre o compacto S1 e f◦ϕ = g e´ cont´ınua. y0 ). ˜ para todo k ∈ N. tal que x ∈ X. kx − yk < δ =⇒ kf(x) − f(y)k < ε. Prova.4. Logo. existe N 0 ⊂ N infinito tal que a subˆ ´ sequencia (yk )k∈N 0 converge para um ponto x ∈ K. yk )k = 0 . Delgado . temos. Entao. E seja a Aplicaçao: ˜ f : S1 −→ Rn definida por f(eit ) = f(cos t. ˆ Como xk −→ x0 e (yk ) possui uma subsequencia (yk )k∈N 0 que converge para um ponto y0 ∈ K. kx − x0 k < δ =⇒ kf(x. para todo ε > 0. podemos obter xδ ∈ X e yδ ∈ K tais que kxδ − x0 k < δ e kf(xδ . que existe ε0 > 0 tal que. Se f : X ⊂ Rm −→ Rn e´ cont´ınua e K ⊂ X e´ compacto. Frensel 53 . yk ) − f(x0 . k∈N k∈N ε0 ≤ lim0 kf(xk . tambem. onde K e´ compacto. ˜ 11. ˜ ϕ : [0. ˜ para todo k ∈ N. para todo δ > 0.K.3. sen t). pela continuidade de f. yδ ) − f(x0 .8. existem xk ∈ X e yk ∈ K tais que Entao. y)k < ε para todo y ∈ K. yk )k ≥ ε0 . que a aplicaçao ˜ [0. contradiçao. pois aplicaçao g(0) = g(2π). Suponhamos. pelo corolario f : S1 −→ Rn e´ cont´ınua. existe δ > 0. e seja x0 ∈ X. por absurdo. k ˆ Como (yk ) e´ uma sequencia de pontos do compacto K. o que e´ uma k∈N ˜ pois kf(xk ) − f(yk )k ≥ ε0 . tal que x ∈ X. temos. que existe ε0 > 0 tal que para todo δ > 0 podemos obter xδ ∈ X e yδ ∈ K tais que kxδ − yδ k < δ e kf(xδ ) − f(yδ )k > ε0 . que esta´ bem definida. dada por ϕ(t) = (cos t. yk ) − f(x0 . k∈N ˜ o que e´ uma contradiçao. kxk − x0 k < 1 k e kf(xk . Toda aplicaçao ˜ cont´ınua f : K −→ Rn definida num compacto K ⊂ Rm e´ Observaçao uniformemente cont´ınua. Suponhamos. por absurdo. y) − f(x0 . para x e. 1 e kf(xk ) − f(yk )k ≥ ε0 . Teorema 11. que f(xk .Conjuntos Compactos ˜ Seja g : [0. e´ cont´ınua do compacto Como a aplicaçao ´ anterior. Seja f : X × K −→ Rn cont´ınua. 2π] −→ Rn uma aplicaçao ˜ cont´ınua com g(0) = g(2π). existe δ > 0. para todo k ∈ N. yδ )k ≥ ε0 . portanto. entao. y0 ) e f(x0 . ˜ para todo ε > 0. ˜ Teorema 11. Logo (xk )k∈N 0 converge. Prova. lim0 kf(xk ) − f(yk )k = kf(x) − f(x)k = 0. yk ) −→0 f(x0 . ¨ Teorema 11. B∈B Dado x ∈ X. Se y ∈ B(xi . λ∈L Uma subcobertura de uma cobertura (Cλ )λ∈L e´ uma subfam´ılia (Cλ )λ∈L 0 . temos que ky − xi k < r =⇒ ky − xk ≤ ky − xi k + kxi − xk < 2r. . Logo. . . r). [ ˜ X⊂ Afirmaçao: B. . se L e´ um conjunto enumeravel. xk . (Lindelof) Seja X ⊂ Rn . ou seja. . . . De fato. t)k < para todo t ∈ [a. r). . e sendo E denso em X. t) − f(x0 . 2(b − a) a 2 ˜ 11. 54 ´ Instituto de Matematica UFF . 2r) ⊂ Aλ . • aberta. ´ ´ • enumeravel. r). L 0 ⊂ L. por Aplicaçao: b f(x. b] −→ R cont´ınua. para cada x ∈ X. t) − f(x0 . .´ Analise ˜ Seja f : X × [a. tais que cada uma delas esta´ contida em ˜ B e´ um conjunto enumeravel ´ algum Aλ . . existe xi ∈ E tal que kx − xi k < r. Como Aλ e´ aberto. Toda cobertura aberta X ⊂ [ ´ Aλ possui uma subcobertura enumeravel λ∈L X ⊂ Aλ1 ∪ . x ∈ B(xi . B(xi . λ∈L 0 Dizemos que a cobertura X ⊂ [ Cλ e´ λ∈L ˜ todos conjuntos abertos. ´ ˜ de Se E = {x1 . quando os Cλ sao • finita. Ou seja. pelo teorema anterior. existe r > 0 racional tal que B(x. ∪ Aλk ∪ . entao de bolas abertas. 2r) ⊂ Aλ . 2(b − a) Zb ε ε |ϕ(x) − ϕ(x0 )| ≤ |f(x. b]. tal que x ∈ X e kx − x0 k < δ =⇒ kf(x. dado ε > 0. r) ∈ B.Z Definimos ϕ : X −→ R. se L e´ um conjunto finito. ϕ(x) = a ˜ ϕ e´ cont´ınua em todo ponto x0 ∈ X. Uma cobertura de um conjunto X ⊂ Rn e´ uma fam´ılia (Cλ )λ∈L de subconjunDefiniçao tos Cλ ⊂ Rn tal que X ⊂ [ Cλ . com x ∈ E e r ∈ Q+ . t) dt . existe λ ∈ L tal que x ∈ Aλ . t)| dt ≤ × (b − a) = < ε . Prova. Logo y ∈ B(x. .2. existe Entao ε δ > 0.} ⊂ X e´ um subconjunto enumeravel denso em X e B e´ a coleçao todas as bolas abertas B(x.5. para a qual [ ainda se tem X ⊂ Cλ . . . B x. temos que rx = kx − x0 k > 0 e K ⊂ Seja x0 ∈ Rn − K. temos que X ⊂ Bk ⊂ Aλk . (Borel-Lebesgue) ˜ toda cobertura aberta K ⊂ Seja K ⊂ Rn compacto. ∪ B xk . . . Delgado . x∈K ˜ finita de conjuntos limitados. i ∈ N. . . . 1) ∪ . . . ¨ podemos obter uma subcobertura enumeravel ´ Pelo teorema de Lindelof. . existiria j ∈ {1. por hipotese.Conjuntos Compactos ˜ {B1 . xk > 0. . existe j0 ∈ N tal que Kj0 = ∅. ˜ K e´ compacto. pela propriedade de Cantor.. temos que cada Ki e´ compacto. \ Dado x ∈ K. 1).K. i∈N Assim. . K e´ limitado por estar contido numa reuniao [ rx ˜ para todo x ∈ K. 2 x∈K r rxk x1 ´ Por hipotese. e´ uma compacto. que. . existe i0 ∈ N tal que x ∈ Ai0 . pois se y ∈ B(x0 . ∪ Aλi ) . ou seja. Se toda cobertura aberta do conjunto K ⊂ Rn possui uma subcobertura finita. k} tal que y ∈ B xj . K ⊂ Aλ1 ∪. K e´ limitado e fechado. assim. . para todo j ≥ i0 . ∪ A λk . . existem x1 . Como Rn − (Aλ1 ∪ . Ki = ∅. . Seja Ki = K ∩ (Rn − (Aλ1 ∪ . ⊃ Kk ⊃ . ou seja. . entao Prova. Logo Rn − K e´ aberto. possui uma subcobertura finita K ⊂ B(x1 . . . .∪Aλk ∪. ∪ Aλj0 . Assim.} de B. xk ∈ K tais que K ⊂ B x1 . Prova. que se x0 ∈ Rn − K. um ´ındice Tomando uma enumeraçao [ [ λi ∈ L tal que Bi ⊂ Aλi . Portanto. . Entao. . . . As bolas abertas de raio 1 centradas em pontos de K constituem uma cobertura aberta [ ´ K⊂ B(x. pois Rn − (Aλ1 ∪ . . . . . 1). rxj < rxj . . r) ∩ K. ∪ . . Teorema 11. . .6. e. ∪ Aλi ) e´ fechado e K e´ ´ disso. . K ⊂ Aλ1 ∪ . rxj = kxj − x0 k ≤ kx0 − yk + ky − xj k < r + rxj ≤ rxj . ∪ Aλi+1 ) ⊂ Rn − (Aλ1 ∪ . . 2 2 r r Seja r = min x1 . . 2 2 rxj ˜ B(x0 . 2 ˜ ou seja. . . . . e escolhendo para cada i ∈ N. portanto. 2 n portanto. k∈N k∈N Teorema 11. Logo x 6∈ Kj . K1 ⊃ K2 ⊃ . . . Alem ˆ sequencia decrescente. . Entao [ Aλ possui uma subcobertura finita λ∈L K ⊂ A λ1 ∪ . ∪ B(xk . . . Frensel 55 . existe r > 0 tal que B(x0 . uma contradiçao. Bk . J. Provamos.7. r) ⊂ R − K. Entao e. ∪ Aλi ) para todo i ∈ N. r) ⊂ Rn − K. K e´ fechado. . dado y0 ∈ Y. Dizemos que x0 ∈ Y e´ um ponto interior de Y em X Definiçao quando existe δ > 0 tal que B(x0 . • O nosso objetivo. ∪ Aλk . Dizemos que X e´ magro em Y se existe uma sequencia ˆ Definiçao F1 . temos que Rn − U ⊂ Rn − i∈N \ Ki = i∈N [ (Rn − Ki ).6 e 11. Logo. Mas. Sejam Y ⊂ X ⊂ Rn . . Fk . Se o aberto U contem \ ˆ Ki de uma sequencia decres- i∈N ˜ existe i0 ∈ N tal que Ki0 ⊂ U. Dizemos que um conjunto X ⊂ Rn e´ completo quando toda sequencia ˆ Definiçao de Cauchy (xk ) de pontos de X converge para um ponto x ∈ X. ! [ [ B(y. e. Observaçao ˜ 11. Ki ⊂ U ∪ Ui . . ˜ 11. ∪ Uip . . X ⊂ Rn e´ completo ⇐⇒ X e´ fechado em Rn . dado y ∈ Y. . existe δy > 0 tal que B(y. B(y0 .10. ˜ 11. entao Prova. δy ) ∩ X ⊂ Y. . δy ) ∩ X. ˜ x0 ∈ intX Y. .3. de conjuntos compactos. se Y ⊂ X e´ aberto em X. . δ) ∩ X ⊂ A ∩ X = Y. Seja i = max{i1 . agora. ˜ 11. Como U1 ⊂ U2 ⊂ .9. .6. existe δ > 0 tal que B(y0 . δ) ∩ X ⊂ Y. constituem uma cobertura aberta de K1 . Observaçao De fato. O interior de Y em X e´ o conjunto intX Y formado pelos pontos interiores de Y em X. cente K1 ⊃ K2 ⊃ . temos que Ki ⊂ U. portanto.5. Logo K1 ⊂ U ∪ Ui e. Logo os abertos Ui = Rn − Ki . Mas antes precisamos dar algumas ˜ e provar alguns resultados preliminares. i∈N juntamente com U. Assim. ∪ Uip . existe A ⊂ Rn aberto tal que Y = A ∩ X. Entao Reciprocamente.11. ⊃ Ki ⊃ . .´ Analise ˜ 11. . Como \ Ki ⊂ U. . e´ demonstrar o teorema de Baire. δy ) e´ um conjunto aberto de Rn . como quer´ıamos provar. ip }. Y e´ aberto Logo Y = B(y. ´ ´ a intersecçao ˜ K = Corolario 11. portanto. . . δ) ⊂ A. da qual podemos extrair uma subcobertura finita K1 ⊂ U ∪ Ui1 ∪ . . . . . onde y∈Y y∈Y em X. definiçoes ˜ 11. . Y ⊂ X e´ aberto em X ⇐⇒ intX Y = Y. temos que Ui = Ui1 ∪ . . Sejam X ⊂ Y ⊂ Rn .7 mostram que poder´ıamos ter definido um conObservaçao ˜ de que toda cobertura aberta K ⊂ junto compacto K pela condiçao [ Aλ possui uma subcobertura finita K ⊂ Aλ1 ∪ . Os teoremas 11. se intX Y = Y. como Ki ∩ Ui = ∅.4. . . de subconjuntos de Y fechados com interior vazio em Y tal que X ⊂ [ Fi i∈N 56 ´ Instituto de Matematica UFF . . . δ) ∩ Y 6⊂ {x} ˜ e´ isolado em Y . B(x. onde {x} e´ fechado e intQ {x} = ∅.13.16. para todo x ∈ Q. basta mostrar que B(x. Ai . δ) ∩ Y 6⊂ X para todo x ∈ X e δ > 0 ⇐⇒ B(y. δ) ∩ Y 6= {x} ⇐⇒ x nao ˜ 11. onde Fi e´ fechado e tem interior vazio em Y. se F = i∈N ˜ toda interseçao ˜ enumeravel ´ Ou entao: de abertos densos em Y e´ um subconjunto denso em Y. Seja X ⊂ Y.15. ˜ e´ completo (fechado) em R. B(x. Observaçao ˜ 11. Todo subconjunto de um conjunto magro em Y e´ tambem ´ magro em Y.K. Prova. . ⇐⇒ ∀δ > 0 . . (Baire) Seja Y ⊂ Rn fechado. {x} tem interior vazio em Y ⇐⇒ x 6∈ intY {x} ⇐⇒ ∀ δ > 0 . intY X = ∅ ⇐⇒ B(x. δ) ∩ (Y − X) 6= ∅ para todo y ∈ Y e δ > 0 ⇐⇒ Y − X e´ denso em Y. Fi . Teorema 11. Observaçao De fato. O conjunto unitario ´ ˜ e´ Observaçao {x} ⊂ Y tem interior vazio em Y se. Todo conjunto magro em Y tem interior vazio em Y. [ ˜ intY F = ∅. o conjunto Q dos numeros racionais e´ magro em Q.8. . De fato. Frensel 57 . ˜ 11. J. x nao isolado em Y. \ Para provar que A = Ai e´ denso em Y. conforme resulta do teorema de Isto ocorre apenas porque Q nao Baire a seguir. Observaçao ˜ enumeravel ´ Por exemplo.14. δ) a bola aberta de centro x ∈ Y e raio δ > 0. x∈Q Entretanto.12. Delgado . . Entao ˜ intY X = ∅ ⇐⇒ Y − X e´ denso em Y. Seja B1 = B(x. Nem sempre um conjunto magro em Y tem interior vazio em Y. intQ Q = Q. . . subconjuntos abertos e densos em Y. pois Q e´ a reuniao ´ [ {x}. Mas. Toda reuniao ˜ enumeravel ´ Observaçao de conjuntos magros em Y e´ ainda um conjunto magro em Y. Sejam A1 . . entao Equivalentemente. Q e´ magro em R e intR Q = ∅. e so´ se. δ) ∩ A 6= ∅ para todo x ∈ Y e i∈N todo δ > 0.Conjuntos Compactos ˜ 11. ˜ 11. em Rn ). . i ˆ Prosseguindo desta maneira. Entao aberta B2 de raio < 1 tal que B2 ∩ Y 6= ∅ e B2 ∩ Y ⊂ A1 ∩ B1 2 (=⇒ B2 ∩ Y ⊂ B1 ∩ Y). que intF F = ∅. 1 .}. i∈N Como o raio ri da bola Bi e´ menor do que 1 . temos. que (Bi ∩ Y) 6= ∅. Prova.4. ´ ´ Corolario 11. ˜ Por sua vez. O conjunto Q dos numeros racionais nao ´ \ Ai i∈N ´ ˜ o conjunto de conjuntos abertos da reta. A2 ∩ B2 e´ nao-vazio e aberto em Y. Se intF Fi = ∅ para todo i ∈ N. como Bi+1 ∩ Y ⊂ Ai ∩ Bi para todo i ∈ N. Como F = [ ˜ enumeravel ´ {xi }. i∈N ´ Corolario 11. . temos que a ∈ Ai para todo i ∈ N. Se F = [ Fi . . b ∈ i \ ˜ (Bi ∩ Y). . cada Ai seria denso em R. 58 ´ Instituto de Matematica UFF . Bi+1 ∩ Y ⊂ Ai ∩ Bi e Bi ∩ Y 6= ∅ para todo i ∈ N . Todo conjunto F ⊂ Rn fechado enumeravel possui um ponto isolado. e. entao i∈N \ 2 ´ ka − bk ≤ para todo i ≥ 2. . . sendo A2 aberto e denso em Y. . Entao. o que e´ uma ˜ pois intF F = F. (Bi ∩ Y) = {a} e´ um conjunto unitario. n ≥ 1. xi . pelo teorema de Baire. . i ≥ 2. tais que: B1 ∩ Y ⊃ B2 ∩ Y ⊃ . . . \ Logo a ∈ A = Ai e a ∈ B1 . nao ˜ e´ uma interseçao ˜ enumeravel ´ Exemplo 11. A1 ∩ B1 e´ nao-vazio e aberto em Y. ou seja. .7. existe i0 ∈ N tal que intF {xi0 } 6= ∅. temos que se a. xi0 e´ um ponto isolado de F. i i∈N ´ disso.1. pelo teorema 11. Seja F ⊂ Rn fechado. A ∩ B1 6= ∅. contradiçao. pois.8. caso contrario. obtemos uma sequencia de bolas fechadas Bi de raio ri < i ≥ 2. F = {x1 . e Alem a ∈ B1 . temos que F e´ uma reuniao de conjuntos i∈N ˜ pelo corolario ´ fechados. 11.´ Analise ˜ ˜ existe uma bola Como A1 e´ aberto e denso em Y. Ou seja. onde cada Fi e´ fechado em F (e.7. ˜ e´ enumeravel. Entao. ⊃ Bi ∩ Y ⊃ . O espaço Rn . . como quer´ıamos provar.5. entao Prova. \ Sendo a bola fechada um conjunto compacto. portanto. portanto i∈N ˜ existe i0 ∈ N tal que intF Fi0 6= ∅. Logo existe uma bola aberta B3 de raio < 1 tal que B3 ∩ Y 6= ∅ e B3 ∩ Y ⊂ A2 ∩ B2 3 (=⇒ B3 ∩ Y ⊂ B2 ∩ Y). ´ Exemplo 11. temos. (2) Dado ε > 0. pelo teorema de ˜ Baire.K. Observaçao ´ ˜ ˜ ´ Corolario 11. Todo conjunto X ⊂ Rn perfeito nao-vazio e´ infinito nao-enumer avel.ˆ ˆ Distancia entre dois conjuntos. Um conjunto X ⊂ Rn e´ perfeito quando e´ fechado e todo ponto de X e´ ponto Definiçao ˜ de X. Delgado . X e´ perfeito ⇐⇒ X = X = X ∪ X 0 e X ⊂ X 0 ⇐⇒ X 0 = X. ˆ Um caso particular de distancia entre dois conjuntos ocorre quando um deles consiste de um unico ponto. T2 ) ≤ d(S1 . T ⊂ Rn conjuntos nao-vazios. e. Sejam S. A distancia ˆ Observaçao d(S. infinito nao´ enumeravel.6. uma contradiçao. de acumulaçao ˜ 11.17. Lima). J. T ) = d(T. diametro de um conjunto ˜ enumeravel ´ R−Q dos numeros irracionais seria uma reuniao de conjuntos fechados com interior ´ vazio em R. ´ ˜ Dados x ∈ Rn e T ⊂ Rn nao-vazio. 12 ˆ ˆ Distancia entre dois conjuntos. T ) entre S e T por: d(S. • S1 ⊂ S2 e T1 ⊂ T2 =⇒ d(S2 . ˜ ˆ Definiçao Definimos a distancia d(S. T ) + ε. Frensel 59 . Exemplo 11. ˜ 12. quando X e´ fechado e nao ˜ possui pontos isolados. Observaçao • d(S.6.2. T1 ) . teria interior vazio em R. O conjunto de Cantor K e´ fechado. portanto. Vol.1. ou seja. existem x ∈ S e y ∈ T tais que kx − yk < d(S. T ) ≤ kx − yk para x ∈ S e y ∈ T arbitrarios. temos: d(x. T ) e´ caracterizada pelas duas propriedades abaixo: ´ (1) d(S. ter´ıamos que R = Q ∪ (R − Q) seria magro em R. ˜ 11. T ) = 0 . I de E.9. Como Q e´ magro em R. S) . sem pontos isolados e com interior vazio ´ ˜ (ver Curso de Analise. diametro de um conjunto ˜ 12. T ) = inf{ kx − yk | y ∈ T } .1. T ) = inf{ kx − yk | x ∈ S e y ∈ T } ˜ 12. Logo K e´ magro e perfeito e. • S ∩ T 6= ∅ =⇒ d(S. R − Q seria magro em R. ou seja. F) = 0 se. T ) = 0 . d(K.´ Analise ˜ 12. ˜ existem sequencias ˆ Sejam x ∈ S e y ∈ T . T ). temos que d(S. entao tais que d(K. T ) ≤ kx − yk para todo y ∈ T . Observaçao Teorema 12.1. Logo d(S. T ) e´ uma cota inferior do conjunto { kx−yk | x ∈ S e y ∈ T } e. F) = inf{ kx − yk | x ∈ K e y ∈ F } existem sequencias (xk ) de pontos de K e (yk ) de pontos de F tais que d(K.3. ˜ 12. Como S ⊂ S e T ⊂ T . Entao (xk ) de pontos de S e (yk ) de pontos de T tais que lim xk = x e lim yk = y. portanto d(S. Observaçao • x ∈ T =⇒ d(x. Prova. T ) ≤ d(S. T ) = d(x. T ) = d(x. Prova. T1 ) . T ) = d(S. Em particular. Assim. T ) + ε. ˜ 12. Observaçao • d(x.2. F) = lim kxk − yk k. T ) ≤ kx − yk. T ). T ) ≤ kxk − yk k para todo k ∈ N. e so´ se. (2) Dado ε > 0. T2 ) ≤ d(x. K ∩ F 6= ∅. ˆ • A distancia d(x. Rn − T ) = 0. Como kxk − yk k −→ kx − yk e d(S. d(S. ´ Corolario 12. T ) = d(S.4. k→∞ 60 ´ Instituto de Matematica UFF . temos que d(x. F) = kx0 − y0 k. Como ∂T = T ∩ (Rn − T ).1. T ) . temos que d(S. ε) ⇐⇒ x ∈ T . T ) ≤ d(S. T ) = 0 ⇐⇒ ∀ ε > 0 . Se K ⊂ Rn e´ compacto e F ⊂ Rn e´ fechado. T ).5. T ). ˆ Como d(K. x ∈ ∂T ⇐⇒ d(x. T ) = 0 ⇐⇒ x ∈ T . d(S. ˜ existem x0 ∈ K e y0 ∈ F Teorema 12. existe y ∈ T tal que kx − yk < d(x. d(x. ∃ y ∈ T tal que kx − yk < ε ⇐⇒ ∀ ε > 0 . • T1 ⊂ T2 =⇒ d(x. • Em particular. se T ⊂ Rn e´ fechado. ∃y ∈ T tal que y ∈ B(x. T ) e´ caracterizada pelas propriedades: (1) d(x. x ∈ K . r].2. ´ J.K. Seja F = Rn − U. kx − yk < δ =⇒ [x. ou seja. um unico y0 ∈ F tal que d(x. Prova. quando F e´ fechado e convexo e a norma de Rn provem para cada x ∈ Rn . existe δ > 0 tal que x ∈ K =⇒ B(x. para todo x ∈ K. Sejam S. entao ´ Corolario 12. T ⊂ Rn . y] ⊂ U .3. Se x ∈ Rn e F ⊂ Rn e´ fechado. y] ⊂ U. F) = kx − y0 k. δ) ⊂ U. y ∈ U. T ) = d(S. T ) = kx0 − y0 k.2. Sejam K ⊂ Rn compacto e U ⊂ Rn aberto. se x ∈ K e y ∈ Rn sao k(1 − t)x + ty − xk = kt(x − y)k ≤ kx − yk < δ . ˜ para todo t ∈ [0. T ). portanto. Como F e´ fechado e F ∩ K = ∅. δ) ⊂ U para todo x ∈ K. Por exemplo. com S limitado.ˆ ˆ Distancia entre dois conjuntos. T ) = d(S. Entao ˜ existe N 0 ⊂ N infinito tal que lim0 xk = x0 e que a sequencia (yk ) tambem k∈N lim0 yk = y0 . 1]. temos: Em particular. se F = S[a. F) = ka − xk para todo x ∈ F. Entao. que d(F. Se K ⊂ U. entao. temos. T e´ fechado e d(S. podem existir muitos ˜ a uma distancia ˆ ˜ pontos de F que estao m´ınima do ponto x. Logo [x. K) = δ > 0. Prova. ˆ ´ e´ limitada. diametro de um conjunto ˆ ˜ limitadas (pois os seus termos xk pertencerem ao Como as sequencias (xk ) e (kxk − yk k) sao ˆ compacto K e (kxk − yk k) e´ uma sequencia convergente) resulta da desigualdade kyk k ≤ kyk − xk k + kxk k . (1 − t)x + ty ∈ B(x. k∈N ´ ˜ existe y0 ∈ F tal que d(x. ´ ˜ existem x0 ∈ S e y0 ∈ T tais que Corolario 12. F) = lim0 kxk − yk k = kx0 − y0 k . ˜ kx − yk < δ. e.4. • Mas. T ) = kx0 − y0 k. 1]. que existem x0 ∈ S e y0 ∈ T tais que d(S. Sejam x ∈ K e y ∈ B(x. existe. Corolario 12.6. Delgado . Em particular. d(K. δ) ⊂ U para todo t ∈ [0. y 6∈ F. pelo teorema 12. ou seja. Assim. entao d(a. d(S. Frensel 61 . dados um conjunto fechado F ⊂ Rn e um ponto x ∈ Rn . ˜ 12. F) = kx − y0 k. Observaçao • Em geral. temos.2. Como S e´ compacto. ´ de um produto interno. ˜ tais que kx − yk < δ. k∈N Sendo K e F fechados. temos que x0 ∈ K e y0 ∈ F. pelo Teorema 12. δ). y ∈ Rn . Entao Logo B(x. T ) − d(y. existem x0 . T ) e´ uma contraçao ˜ fraca. sejam x0 . x0 + y0 . Logo −kx − yk ≤ d(x. ˜ Observaçao A ˜ de Urysohn do par (F. ou seja.8. e. disjuntos e nao-vazios. n n temos que d(F. temos que x − x0 e x − y0 Como a norma considerada em Rn provem ˜ LD e existe λ ≥ 0 tal que x − x0 = λ(x − y0 ) . T ) − d(y. F e G fechados. F) . De fato. T ) − d(y. d(x. Prova. T ) = ky − y0 k. F) = kx − z0 k = kx − x0 k kx − y0 k + . G ⊂ Rn . T ) ≥ −kx − yk.7. T )| ≤ kx − yk). F) ≤ kx − z0 k = + − 0 − 0 ≤ + = d(x. y kx − x0 k kx − y0 k x x x d(x. G) = 0 com F ∩ G = ∅. portanto. ˜ Entao. F) + d(x. ˜ 12. podemos ter Observaçao d(F. Teorema 12. T ) = kx − x0 k e d(y. f e´ uniformemente cont´ınua. como kx − x0 k = kx − y0 k . pois F e´ convexo. T ) − d(y. Dados dois conjuntos fechados ilimitados F. d(x. G ⊂ Rn dois subconjuntos fechados. y0 ∈ T tais que d(x. 0) | x ∈ R} e G= {(x. T ) − d(y. |d(x. Mas. G) ´ Instituto de Matematica UFF . 2 2 ´ de um produto interno. temos que sao λ = 1 e. = −→ 0 . 1/x) | x > 0}.2. com F ∩ G = ∅. Sejam F. • d(x.3. F) .5. 0) − n. d(x.´ Analise ˜ tomando z0 = De fato. Entao. 2 temos que z0 ∈ F. portanto. basta tomar F = {(x. T ). T )| ≤ kx − yk. x0 = y0 ˜ 12. ´ ˜ f : Rn −→ R definida por f(x) = d(x. T ) = ky − y0 k ≤ ky − x0 k ≤ ky − xk + kx − x0 k = ky − xk + d(x. ´ Pelo corolario 12. d(x. como 1 1 (n. pois. F) = kx − x0 k = kx − y0 k. T ) = d(x. ou seja. y0 ∈ F tais que d(x. T ) = d(y. T ) ≤ kx − yk (⇐⇒ |d(x. A funçao particular. T ). • d(y. T ) = kx − x0 k ≤ kx − y0 k ≤ kx − yk + ky − y0 k = kx − yk + d(y. Em Corolario 12. T ) ≤ kx − yk. G) = 0. G) e´ a funçao ˜ f : Rn −→ R definida por: funçao f(x) = 62 d(x. 2 2 2 2 2 2 ou seja. que dados dois fechados disjuntos F. k→∞ ˆ Sendo T limitado. F) = 0 ⇐⇒ x ∈ F ∩ G. G) = d(x. Entao k∈N k∈N k∈N ˆ • Quando T e´ compacto. Logo diam(B[a. De fato. o diametro de um conjunto compacto e´ ˆ a maior distancia entre dois dos seus pontos. ˜ lim0 xk = x0 ∈ T . r] e´ igual a 2r. r]) ≥ 2r. Observaçao ˜ 12. F) + d(x. y ∈ B[a. y ∈ T tais que kx − yk > diam(T ) − ε. existe N 0 ⊂ N infinito tal que as subsequencias (xk )k∈N 0 e (yk )k∈N 0 convergem.K. Delgado . ˜ a + u e a − u pertencem a B[a. F) + d(x. ˜ 12. existem x. como diam(T ) = sup{ kx − yk | x. pois F ∩ G = ∅ =⇒ d(x. x. y0 ∈ T tais que diam(T ) = kx0 − y0 k. ˜ ˆ Definiçao O diametro de T e´ o numero ´ real dado por: diam(T ) = sup{ kx − yk | x. assim. G ⊂ Rn . ˜ 12. B ⊂ Rn tais que F ⊂ A e G ⊂ B. G) = 0 ⇐⇒ d(x. lim0 yk = y0 ∈ T e diam(T ) = lim0 kxk − yk k = kx0 − y0 k. A = f−1 ((−∞. r]) ≤ 2r. y ∈ T }. ´ disso: f e´ cont´ınua. y ∈ T . y ∈ T } ˆ • O diametro de um subconjunto T ⊂ Rn e´ caracterizado pelas seguintes propriedades: (1) diam(T ) ≥ kx − yk para quaisquer x. Entao k(a + u) − (a − u)k = k2 uk = 2 kuk = 2r.9. O diametro ˆ Observaçao da bola fechada B[a. f(x) = 0 ⇐⇒ d(x. J. F) = 0 ⇐⇒ x ∈ F.ˆ ˆ Distancia entre dois conjuntos. 1/2)) e B = f−1 ((1/2. G) = 0 ⇐⇒ x ∈ Alem G. Frensel 63 . (yk ) de pontos de T tais que lim kxk − yk k = diam T . existem sequencias (xk ). ou seja. diametro de um conjunto Observe que f esta´ bem definida. Observaçao ˆ De fato. temos que x0 .10. f(x) = 1 ⇐⇒ d(x. y0 ∈ T . Logo diam(B[a. ˜ 12. uma vez que d(x. Provamos. S ⊂ T =⇒ diam(S) ≤ diam(T ). diam(B[a.11. Seja T ⊂ Rn um conjunto limitado nao-vazio. r] =⇒ kx − ak ≤ r e ky − ak ≤ r =⇒ kx − yk ≤ kx − ak + ka − yk ≤ 2r. r]) = 2r. Existem x0 . (2) Dado ε > 0. Assim. ˜ dois abertos disjuntos tais que F ⊂ A e Logo. G) > 0 para todo x ∈ Rn . +∞)) sao G ⊂ B.2. r] e Seja u ∈ Rn com norma kuk = r. existem sempre dois abertos disjuntos A. ou seja.5. diam(T ) ≥ diam(T ). Logo Observaçao T ⊂ B[a. mesmo aberta e finita. ´ Como f(K) e´ um conjunto compacto contido no aberto U.12.´ Analise ˜ 12. Entao Logo f(T ) ⊂ B ⊂ U. ε) = B . Sejam x0 . δ > 0 tais que a imagem f(T ) de qualquer subconjunto T ⊂ K com cont´ınua. Teorema 12. +∞) e´ uma cobertura aberta e finita de R − {0}. y0 ∈ T tais que diam(T ) = kx0 − y0 k. diam(T ) = diam(T ). Como T ⊂ T . ˜ x ∈ T =⇒ kx − x0 k < δ =⇒ kf(x) − f(x0 )k < ε =⇒ f(x) ∈ B(f(x0 ). Seja T ⊂ K um subconjunto com diam(T ) < δ e tome x0 ∈ T . Observaçao ˜ 12. pelo corolario 12. Dado δ > 0. Entao diam(T ) < δ esta´ contida em alguma bola aberta B ⊂ U de raio ε.3. +∞) nem em (−∞. temos que diam(T ) ≤ diam(T ). existe. y ∈ K. E.14. entao ˜ kx − ak ≤ r para todo x ∈ T . existe δ > 0 tal que x. Prova. δ/4} tem diametro < δ.4. o conjunto {−δ/4. pode nao ˜ ter numero Observaçao de Lebes´ gue algum. 0). ˆ ˜ esta´ contido em (0. U ⊂ Rn aberto e f : K −→ U uma aplicaçao ˜ existem ε. kx−yk < δ =⇒ kf(x)−f(y)k < ε. λ∈L ˜ 12. Por exemplo. Seja T ⊂ Rn limitado e nao-vazio. ˜ ˜ diam(T ) = diam(T ). Sejam K ⊂ Rm compacto. R − {0} = (−∞. ˜ 12. Logo diam(T ) ≥ kxk − yk k para todo k ∈ N e. ´ 64 ´ Instituto de Matematica UFF .3. T ⊂ B[a. r] =⇒ diam(T ) ≤ 2r. pela continuidade uniforme de f. Dizemos que um numero Definiçao δ > 0 e´ numero de Lebesgue de uma cobertura ´ ´ X⊂ [ ˆ Cλ quando todo subconjunto de X com diametro < δ esta´ contido em algum Cλ . Assim.13. ε) ⊂ U para todo x ∈ K. Uma cobertura. diam(T ) ≥ lim kxk − yk k = kx0 − y0 k = diam(T ) . ˜ Teorema 12. 0) ∪ (0. portanto. mas nao ˜ existe numero Logo nao de Lebesgue para tal cobertura. Se diam(T ) = r e a ∈ T . Entao Prova. r]. ˜ existem sequencias ˆ Entao (xk ) e (yk ) de pontos de T tais que lim xk = x0 e lim yk = y0 . ε > 0 tal que B(f(x). sao ˜ 13. 13 Conexidade ˜ 13. Delgado . J. Seja δ > 0 tal que B(a. ´ Prova. com A e B abertos disjuntos em X. exista um subconjunto Sk ⊂ K com diam Sk < ˜ esta´ contido em algum Aλ . R e´ conexo. ˜ 13. 0) ∪ (0.3. k0 2 ˜ Assim. Todo subconjunto X ⊂ Rn possui pelo menos a cisao ˜ trivial X = X ∪ ∅. Exemplo 13. entao [ Aλ possui um λ∈L numero de Lebesgue. o que e´ uma contradiçao.6. 1 k Suponhamos. δ) =⇒ y ∈ Aλ0 . tome xk ∈ Sk . Se K ⊂ Rn e´ compacto.1. que nao Para cada k ∈ N. R − {0} e´ desconexo. que para todo k ∈ N. entao ˜ conjuntos conexos. ∅ e {x} sao Exemplo 13.1.Conexidade ˜ toda cobertura aberta K ⊂ Teorema 12.2). onde A e B Definiçao ˜ abertos em X e A ∩ B = ∅. existe N 0 ⊂ N infinito tal que a ˆ subsequencia (xk )k∈N 0 converge para um ponto a ∈ K. Dizemos que X e´ desconexo. Exemplo 13.1. Dizemos que um conjunto X ⊂ Rn e´ conexo quando so´ admite a cisao ˜ trivial.3. k0 2 2 ˜ y ∈ Sk0 =⇒ ky − ak ≤ ky − xk0 k + kxk0 − ak < Entao δ 1 + < δ =⇒ y ∈ B(a. Uma cisao ˜ de X e´ uma decomposiçao ˜ X = A ∪ B. Ou seja. δ) ⊂ Aλ0 e seja k0 ∈ N 0 tal que 1 δ δ < e kxk0 − ak < . por absurdo.K. Definiçao ˜ A = ∅ ou B = ∅. +∞) e´ uma cisao de R − {0}. se X e´ conexo. Frensel 65 . ˜ 13. Seja X ⊂ Rn .2. R − {0} = (−∞. Todo intervalo aberto da reta e´ conexo (ver Teorema 13. Sk0 ⊂ Aλ0 . Logo existe λ0 ∈ L tal que a ∈ Aλ0 . Em particular. quando existir uma cisao ˜ nao-trivial ˜ Definiçao X = A ∪ B.4. Como xk ∈ K para todo k ∈ N.2. Observaçao ˜ nao-trivial ˜ Exemplo 13. X = A ∪ B. (=⇒) Seja X ⊂ R conexo e sejam a. ˜ 13. • X = A ∪ B e´ uma cisao ˜ os unicos ˜ abertos e fechados em X. e seja ξ um numero irracional entre a e b. tal que c 6∈ X. seja X ⊂ Q tal que a. entao ˜ de seus pontos. entao ˜ A e B sao ˜ abertos e fechados em X. Seja f : X ⊂ Rm −→ Rn uma aplicaçao conexo. portanto. e so´ se. δ) ∩ X = {x}. Observaçao ˜ tambem. ˜ de X. ˜ {x} e´ aberto em X. +∞) ∩ X ) ˜ nao-trivial ˜ e´ uma cisao de X. fechados em X. que existe c ∈ R. ´ ´ conexo. e. pois e´ reuniao ˜ nao-trivial ˜ X = A ∪ (X − B) e´ uma cisao de X. Pela coSe A ⊂ f(X) e´ aberto e fechado em f(X). Todo subconjunto discreto X ⊂ Rn com mais de um elemento. ξ) ∩ X ) ∪ ( (ξ. Suponhamos. X possui um unico elemento. b ∈ X. a < c < b. ˜ pois se A e´ aberto e fechado em X e ∅ 6= A 6= X. Prova. e.1. a < b. portanto. • X e´ conexo ⇐⇒ ∅ e X sao subconjuntos de X que sao ´ ˜ X = A ∪ (X − A) e´ uma cisao ˜ nao-trivial. X ⊂ R e´ conexo se.2. Entao. A = ∅ ou A = f(X). Corolario 13. Prova. Entao. Todo subconjunto homeomorfo a um conjunto conexo e´ tambem Teorema 13. ˜ Entao pois a ∈ (−∞. entao ˜ B = X − A e A = X − B. se X = A ∪ B e´ uma cisao ˜ de X ⇐⇒ A e B sao ˜ disjuntos e fechados em X.4. e so´ se. Assim. b ∈ X. pois existe δ > 0 tal que B(x. ´ X = ( (−∞.1. entao nexidade de X temos que f−1 (A) = ∅ ou f−1 (A) = X. mas X ⊂ Q e´ conexo Observaçao racionais nao ´ se. todo De fato. ´ ˜ De fato. a < b. Assim: Ou seja. c) ∩ X ) ∪ ( (c. +∞) ∩ X. Se X = A ∪ B e´ uma cisao ˜ de X. entao ˜ cont´ınua. entao ˜ f(X) e´ Teorema 13. ˜ f−1 (A) e´ aberto e fechado em X. por absurdo. se x ∈ X. +∞) ∩ X ) e´ uma cisao ˜ nao-trivial. c) ∩ X e ˜ b ∈ (c. o que e´ uma contradiçao. ˜ 13. ˜ se A ⊂ X e ∅ 6= A 6= X. 66 ´ Instituto de Matematica UFF .2. ´ A e B sao. O conjunto Q dos numeros ˜ e´ discreto. X e´ um intervalo. e´ descoObservaçao nexo. ˜ X = ( (−∞.3.´ Analise ˜ 13. Se X e´ conexo. subconjunto de X e´ aberto em X. ˆ Teorema 13.3. ˜ trivial sendo. compactos. c 6∈ [a. (da alfandega) ´ Seja X ⊂ Rn um conjunto arbitrario e seja C ⊂ Rn conexo. temos que K e L sao ˜ Como K = A ∩ [a. e. f(u) = f(−u). por absurdo. temos que c 6∈ K e c 6∈ L. b ∈ X e d ∈ R tais que Seja X ⊂ Rn conexo e f : X −→ R uma aplicaçao ˜ existe c ∈ X tal que f(c) = d. definida no conjunto conexo R.Suponhamos. ˜ fechados no compacto [a. ou seja. entao ˜ f(X) e´ Corolario 13. pois K. b]. entao J. ˜ cont´ınua f : S1 −→ R e´ injetiva e.K. (do valor intermediario) ˜ cont´ınua. ˜ C contem ´ algum ponto da fronteira de X. ´ ˜ c ∈ [a. ˜ do corolario ´ • Uma reformulaçao acima e´ o seguinte teorema. Assim. f(a) < d < f(b) (ou f(b) < d < f(a)). I so´ possui a cisao ´ ˜ cont´ınua. portanto. Aplicaçao: ˜ cont´ınua definida no conexo S1 por g(z) = f(z) − f(−z).2. b]) ∪ (B ∩ [a. b].5. b] sao fechados em R e. b] = (A ∩ [a. L) = |x0 − y0 |. sen t). pois f(R) = S1 . b]. b ∈ B.Conexidade ˜ nao-trivial ˜ (⇐=) Seja I ⊂ R um intervalo. y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1} e´ conexo. seja g : S1 −→ R a funçao ´ Como g(z) = −g(−z).4. b]. conexo. portanto. b] ⊂ I e [a. ˜ [a. b] e L = B ∩ [a. Se C ∩ X 6= ∅ e C ∩ (R − X) 6= ∅. portanto. De fato. Se existem a. que existe u ∈ S1 tal que g(u) = 0. pelo Teorema do Valor Intermediario. Delgado . Seja c o ponto medio do intervalo de extremos x0 e y0 . Logo existem x0 ∈ K e y0 ∈ L tais que d(K. existe u ∈ S1 tal que f(u) = f(−u). b]) e´ uma cisao ˜ Sejam a ∈ A. a < b. O c´ırculo S1 = {(x. Se X ⊂ Rm e´ conexo e f : X −→ R e´ uma aplicaçao um intervalo. b]. nenhuma funçao a um subconjunto da reta. S1 nao ˜ e´ homeomorfo Em particular. portanto. f : R −→ R2 e´ a aplicaçao ˜ Dada f : S1 −→ R cont´ınua. Entao Mas. temos. ˜ uma contradiçao. entao Exemplo 13. como |x0 − c| < |x0 − y0 | e |y0 − c| < |x0 − y0 |. Frensel 67 . onde ˜ cont´ınua f(t) = (cos t. ´ Teorema 13. Entao ˜ nao-trivial de [a. que existe uma cisao I = A ∪ B de I. L ⊂ [a. 5. e´ um conjunto conexo.3.5. ! [ [ Assim.5. Prova. C ⊂ Rn − X ou C ⊂ X. e so´ se. ˜ X ∩ C e´ aberto em C. x∈X ˜ conexos e tem ˆ em comum o ponto a. λ ∈ L. para quaisquer a. A ∩ X e´ aberto em X. x ∈ Ca x . Logo A ∩ X = A0 ∩ Y ∩ X = A0 ∩ X. ˜ de C. pela observaçao ˜ 13. C e´ conexo.´ Analise Prova. Sem perda Seja a ∈ Rn tal que a ∈ Cλ para todo λ ∈ L e seja C = A ∪ B uma cisao de generalidade podemos supor a ∈ A. pois (Rn − X) ∩ C = int(Rn − X) ∩ C . 68 ´ Instituto de Matematica UFF . (=⇒) E ˜ para todo x ∈ X existe um conjunto conexo Ca x ⊂ X tal que (⇐=) Seja a ∈ X fixo. que A ∩ Cλ e B ∩ Cλ sao ˜ Como A e B sao abertos em Cλ para todo λ ∈ L. temos. Entao e (Rn − X) ∩ C e´ aberto em C. que C ∩ ∂X = ∅. [ a. com um λ∈L ponto em comum. entao ˜ A ∩ X e´ aberto em X. A reuniao [ Cλ de uma fam´ılia de conjuntos conexos Cλ . Suponhamos. por absurdo. Entao. Portanto.5. pelo Teorema 13. Um conjunto X ⊂ Rn e´ conexo se. ˜ 13. existe um conjunto conexo Ca b ⊂ X tal que a. entao. Prova. Logo X = Ca x . ˜ de Cλ . e. ˜ de C. como A ⊂ Y e´ aberto em Y. Logo Cλ = (A ∩ Cλ ) ∪ (B ∩ Cλ ) e´ uma cisao Como Cλ e´ conexo e A ∩ Cλ 6= ∅. pois X ∩ C = (int X) ∩ C. existe A0 ⊂ Rn aberto em Rn tal que A = A0 ∩ Y. B = B ∩ C = B ∩ Cλ = (B ∩ Cλ ) = ∅. λ∈L λ∈L ˜ que C so´ possui a cisao ˜ trivial. ˜ abertos em C e Cλ ⊂ C temos. Observaçao De fato. ´ evidente. portanto. temos que C ∩ X = ∅ ou Como C e´ conexo e C = (C ∩ X) ∪ (C ∩ (Rn − X)) e´ uma cisao ˜ C ∩ (Rn − X) = ∅. temos que B ∩ Cλ = ∅ para todo λ ∈ L. Como os conjuntos Ca x sao que C e´ conexo. b ∈ Ca b . Se X ⊂ Y ⊂ Rn e A ⊂ Y e´ aberto em Y. ˜ C= Teorema 13. ´ Corolario 13. Provamos. uma contradiçao. ou seja. b ∈ X. 6.8. x] e os conexos [x0 . temos que A Seja K = A ∪ B uma cisao. . temos que X e Y sao ˜ cont´ınuas. . x2 ) | x ∈ R} e G2 = {(x.5. x) | x ∈ R}. de conjuntos compactos conexos em Rn e´ um conjunto compacto e conexo. B ⊂ K e A ∩ B = ∅. X × Y e´ conexo. x] e´ conexo. Dados X ⊂ Rm e Y ⊂ Rn . b2 ) em comum. que Ca b e´ conexo. π1 (X × Y) = X e π2 (X × Y) = Y. X ˜ conexos. Prova. × Xk de um numero Observaçao ´ finito de fatores.Conexidade ´ Corolario 13. × R e´ conexo. 1] −→ X. ⊃ Ki ⊃ i=1 . ˜ 13. π2 : X × Y −→ Y sao ´ (⇐=) Sejam a = (a1 . f1 (x) = x2 . Logo G1 ∩ G2 e´ desconexo. Frensel 69 . pelo x∈X teorema 13. o produto cartesiano X × Y e´ conexo se. Rn = R × . ˜ fechados em Rn . . pois A ⊂ K. pois as projeçoes ˜ π1 : X × Y −→ X e (=⇒) Se X × Y e´ conexo. G2 e´ o grafico da funçao ˜ conexos. ˜ conjuntos conexos. ˜ a. x ∈ X.6. e. ˜ Como A e B sao ˜ fechados em K e K e´ fechado em Rn . . . ´ pelo teorema 13. seja x0 ∈ X fixo. b = (b1 . X × {b2 } e´ Entao homeomorfo ao conjunto conexo X e esses conjuntos tem o ponto (a1 . Logo. ∅ e Rn sao subconjuntos de Rn ´ ˜ simultaneamente abertos e fechados em Rn . Todo conjunto X ⊂ Rn convexo e´ conexo. b ∈ Ca b . pelo corolario 13.7.5. e´ conexo. . e so´ se. Alem ´ disso. (1. f2 (x) = x. pois G1 e G2 sao ˜ homeomorfos a R. 0). temos. como {a1 } × Y e´ homeomorfo ao conjunto conexo Y. A interseçao ∞ \ ˆ Ki de uma sequencia decrescente K1 ⊃ K2 ⊃ . [ Como X = [x0 . e B sao J. [x0 . que sao ˜ 13. A interseçao ˜ de conjuntos conexos pode nao ˜ ser um conjunto conexo. . b2 ) ∈ X × Y arbitrarios e Ca b = ({a1 } × Y) ∪ (X × {b2 }).K. Delgado . Observaçao ´ ˜ Por exemplo. compactos disjuntos. pois e´ a imagem da aplicaçao ˜ De fato. 1] ⊂ R. portanto. possuem em comum o ponto x0 . Observaçao ˜ para todo x ∈ X. que X e´ conexo. a2 ). e R cont´ınua f1 : R −→ R. x]. Como G1 e´ o grafico da funçao ´ ˜ cont´ınua f2 : R −→ R. definida no conjunto conexo [0. Portanto.3. cont´ınua αx : [0. G1 ∩ G2 = {(0. Entao. e Y sao Prova. ˜ os unicos Em particular. temos que G1 e G2 sao Mas. αx (t) = (1 − t)x0 + tx. ˜ K= Teorema 13. O mesmo vale para um produto cartesiano X1 × . toda bola aberta e toda bola fechada em Rn sao ˜ 13. ˜ conexos.4. 1)}. sejam G1 = {(x. . Em particular. temos. e´ conexo. portanto. δ) ∩ Y ⊂ A. . entao Prova. os conjuntos Fi = R × {0} ∪ R × {1} ∪ [i. +∞) × [0. O fecho de um conjunto conexo e´ conexo. δ) ∩ X 6= ∅.7. ˜ Seja A ⊂ Y aberto nao-vazio em Y e seja a ∈ A. so´ possui a cisao ˜ 13. Por exemplo. +∞) × [0. ˜ de X. .5. Se X e´ conexo. temos que X = (X∩A)∪(X∩B) Seja Y = A∪B uma cisao. . Ou seja. temos que Portanto. Assim. R × {1} e [i. ou seja. de F. ˜ de Ki0 . existe i0 ∈ N tal que Ki0 ⊂ U ∪ V. de conjuntos fechados conexos. Sejam X ⊂ Y ⊂ X em Rn . Ki0 = (Ki0 ∩ U) ∪ (Ki0 ∩ V) e´ uma cisao Ki0 ∩ U = ∅ ou Ki0 ∩ V = ∅. pois A ⊂ Ki0 ∩ U e B ⊂ Ki0 ∩ V. B ⊂ V e U ∩ V = ∅. 1] ˜ produtos cartesianos de dois conjuntos conexos da reta. portanto. Pela Observaçao \ ´ Logo K = Ki = A ∪ B ⊂ U ∪ V e. 70 ´ Instituto de Matematica UFF .´ Analise ˜ 12. Como Ki0 e´ conexo. R × {0} e [i. portanto. temos que a ∈ X e.9. pois F = R × {0} ∪ R × {1} e´ uma cisao ˜ nao ˜ trivial Fi = R × {0} ∪ R × {1} nao ˜ fechados disjuntos em R2 e. K e´ conexo. uma vez que R × {0} e R × {1} sao ˜ Y e´ conexo. . +∞) × [0.6. e´ uma cisao ˜ trivial e. Y so´ possui a cisao ´ Corolario 13. portanto. Como Y ⊂ X.. pelo Corolario 11. A = ∅ ou B = ∅. . 6: Conjuntos Fi Mas. existem U e V abertos em Rn tais que A ⊂ U. ⊃ Fi ⊃ . K ˜ trivial e. Fig. . F = \ ˜ e´ conexo. O mesmo nao ˜ vale para uma sequencia ˆ Observaçao decrescente F1 ⊃ F2 ⊃ . ˜ Como A e B sao ˜ abertos em Y e X ⊂ Y. . 2. pois R × {0}. formam uma ˆ sequencia decrescente de conjuntos fechados conexos. pelo provado acima. xi = 1} e´ conexa para todo n ≥ 1. Logo X ∩ A = ∅ ou X ∩ B = ∅. Entao B(a. 1] possuem sao um ponto em comum e R × {0} ∪ [i. +∞) × [0.8. Logo A ∩ X 6= ∅. ˜ existe δ > 0 tal que B(a. Teorema 13. 1] e R × {1} possuem um ponto em comum. em F. Logo A = ∅ ou B = ∅. 1].6. i = 1. A esfera Sn = {x ∈ Rn+1 | hx. Exemplo 13. e´ ´ conexa. 1) e´ o polo ´ norte) e´ homeomorfo a Rn . Seja a funçao de f. e´ cont´ınua. Observe que a esfera Snk k = {x ∈ Rn+1 | kxk = 1}. Portanto. . Sendo Sn − {pN } = Sn . e k −→ x = x. pelo corolario ´ 13. existe i ∈ {1. 0. . dada por f(x) = tambem f−1 : Snk k −→ Sn . temos. De fato. uma vez que kxk y . como Sn −{pN } (onde pN = (0. . atraves ´ Alem ˜ estereografica. . ˜ de Sn . 1] −→ R dada por f(x) = sen . . . ´ da projeçao temos que Sn − {pN } e´ um conjunto conexo. onde k k0 e´ a norma euclidiana.Conexidade ˜ de Sn . G(f) = x. ´ disso. pois f : Sn −→ Snk k . n + 1}.7. 0. dada por f−1 (y) = x e´ um homeomorfismo.5. como Sn e´ fechado. com respeito a qualquer norma k k de Rn+1 . temos que (Sn ) 0 = Sn . . kyk0 1 x ˜ cont´ınua f : (0. Primeiro observe que todo ponto x ∈ Sn e´ ponto de acumulaçao ˜ sao ˜ LD. sen 1 x . Como o grafico ´ Exemplo 13. (n + 1 ≥ 2) tal que x e ei nao ei ei x+ x+ k 6= x para todo k ∈ N. pois Sn − {pN } ⊂ Sn − {pN } ⊂ Sn e pN e´ ponto de acumulaçao que a esfera Sn e´ conexa. ei ei kxk x + x + k k Logo. . . G(f) ∪ I ⊂ G(f). t) |t ∈ [−1. J. Logo xk = 1 ˆ e´ uma sequencia em (0. x ∈ (0. Delgado . 1]. onde I = {(0. sen −→ (0. y0 ) = x0 . xk Logo x0 ∈ [0. y0 ) ∈ G(f).K. pois se (x0 . y0 ∈ [−1. 1]. 2π) tal que Seja. temos que G(f) e´ conexo e. G(f) e´ conexo. G(f) ∪ {(0. (0. e´ homeomorfo ao intervalo (0. Em particular. xk x0 x0 se x0 = 0. 0)} e´ conexo. (x0 . agora. y0 ) ∈ I. 1] . y0 ) ∈ G(f). sen de pontos de G(f) que converge a (x0 . para todo T ⊂ I. y0 ). Temos que G(f) = G(f) ∪ I. 1] tal que ξ0 + 2πk 1 xk . ´ Como G(f) e´ conexo. existe uma ⊂ G(f) 1 ˆ sequencia xk . y0 ). G(f) ∪ T e´ conexo. 1]. tambem. xk Fig. De fato. sen ∈ G(f) e. Entao sen ξ0 = y0 .temos que 1 1 1 sen −→ sen . 7: G(f) se acumulando num segmento Portanto. Se x0 ∈ (0. G(f) ∪ I. 1]}. Assim. ˜ existe ξ0 ∈ [0. 1]. ou seja (x0 . Frensel 71 . 1] e y0 ∈ [−1. pondo  h 1i f(2t) se t ∈ 0. 1 ] . h|[ 1 . f(0) = a. dado por f(t) = (1 − t)x + ty. Dados x.´ Analise ˜ que nos sugere um conjunto conexo como aquele forEste exemplo destoa da intuiçao. 1 . 1] −→ X. ˜ 13. Se a. As [x. Um caminho em X ⊂ Rn e´ uma aplicaçao ˜ cont´ınua f : I −→ X definida no Definiçao intervalo I. vamos nos referir a ele como o caminho chamado o caminho retil´ıneo que liga x a y. h 2i h(t) = g(2t − 1) se t ∈ 1 . b ∈ X podem ser ligados por um caminho f : I −→ X. Definimos o Definiçao caminho justaposto h = f ∨ g : [0.11. y ∈ Rn . g(1) = c. 2 Como f(2t) e g(2t − 1) definem o mesmo valor para h em t = 1 ˜ cont´ınuas. b ∈ X podem ser ligados por um caminho em X quando Definiçao existe um caminho f : I −→ X tal que a. g : [0.8.10. Sejam f. Sejam a.5. mado por ”um so´ pedaço”. Basta tomar g(t) = f((1 − t)α + tβ). 1] −→ Rn . Exemplo 13.4. b. Daremos. ˜ 13. c ∈ X ⊂ Rn . Dizemos que a.1] sao 2 2 2 ˜ h e´ cont´ınua. por isso. uma noçao ˜ 13. entao 72 ´ Instituto de Matematica UFF . e h|[0. ˜ 13. 1] −→ X caminhos em X com f(1) = g(0). 1] −→ X. 1] −→ X. b ∈ X podem ser ligados pelo caminho retil´ıneo [a. f(1) = b. Se X ⊂ Rn e´ convexo. onde f(α) = a e f(β) = b. g(0) = b. entao ˜ de f com g Fig. b ∈ f(I). 1] −→ X tal que g(0) = a e g(1) = b. y]. g : [0. dois pontos quaisquer a.9. 1] −→ R. ˜ mais ampla de conexidade.6. 8: Caminho h obtido pela justaposiçao ˜ 13. e os pontos b e c podem ser ligados por um caminho ˜ a e c podem ser ligados pelo caminho f∨g : [0. e´ ` vezes. o caminho f : [0. entao ˜ existe Observaçao um caminho g : [0. b]. Se a e b podem ser ligados por um caminho Observaçao f : [0. Exemplo 13. 7. b ∈ Sn . Entao Como f([0. t0 = Logo f : [0. para todo t ∈ [0. 1] −→ X tal que f(0) = a e f(1) = b. Se X ⊂ Rn e´ conexo por caminhos. b ∈ X. entao ˜ X e´ conexo. • A rec´ıproca e´ falsa. Observaçao ˜ conjuntos conexos por caminhos. pelo corolario 13. −a}. ligamos a com c e c com ´ entao. 1]. Observaçao ˜ ´ a 6= −b. 1] −→ Sn dada por f(t) = 1 ˜ e a = −b. tomamos um ponto c ∈ Sn − {a. ou seja. existe um conjunto ´ conexo Ca b = f([0.14. 1]) ⊂ X tal que a. se a = −b. sen 1 x .13. 1]). isto e. kα(t)k Agora. dados a. sejam a. O caminho justaposto ligara. b ∈ f([0. pois se existisse t0 ∈ (0. A esfera Sn = {x ∈ Rn+1 | kxk = 1} e´ conexa por caminhos. De fato. ˜ o ponto a com seu ant´ıpoda b = −a pelo processo acima. uma contradiçao. ˜ 13. ˜ 13. b ∈ X. b ∈ X podem ser ligados por um caminho em X.3. portanto. b ∈ Ca b . Logo. 1]) e´ conexo e a. provamos que dados a. ter´ıamos (1 − t0 )a = −t0 b e. toda bola aberta e toda bola fechada em Rn sao ˜ 13. a. Observaçao ˜ existe um caminho f : [0.Conexidade ˜ 13. entao ˜ α(t) = (1 − t)a + t(b) 6= 0 De fato. 1) tal que α(t0 ) = 0. Dizemos que um conjunto X ⊂ Rn e´ conexo por caminhos quando dois ponDefiniçao tos quaisquer a. b = −a. pois G(f) ∪ {(0. Todo conjunto convexo X ⊂ Rn e´ conexo por caminhos. 0)}. Em particular.12. onde G(f) = x. b ∈ Sn pontos nao-ant´ ıpodas. 2 α(t) e´ um caminho em Sn que liga f(0) = a a f(1) = b. (1 − t0 ) = (1 − t0 ) kak = t0 = t0 kbk. X e´ conexo. . 1] 1 x ˜ e´ conexo por caminhos. Delgado . Seja α(t) = π1 (λ(t)). λ(t) = (α(t). f(α(t))). 1] e α(t0 ) = 0. 0)} um caminho com λ(0) = (0. ˜ A e´ fechado e nao-vazio. onde estamos fazendo f(0) = 0. existe tn ∈ J tal que α(tn ) = ξn . J e´ aberto em [0. Como λ e´ cont´ınua em t0 . 1] −→ G(f) ∪ {(0. ´ ˜ f(x) = sen . Entao ˜ A e´ aberto em [0. Alem ´ 0 = α(t0 ). 0). existe n ∈ N tal que Logo α(J) e´ um intervalo que contem ξn = 1 ∈ α(J) e. ˜ J e´ um intervalo que contem ´ t0 . Frensel 73 . portanto. Seja J = [0. ou seja. seja λ : [0. 1]. ˜ Seja A = {t ∈ [0. Se α(J) nao ˜ e´ degenerado. Entao ´ disso. 1] e |t − t0 | < δ =⇒ |λ(t)| = |λ(t) − λ(t0 )| < 1. Afirmaçao: Seja t0 ∈ A. x ∈ (0. e´ um conjunto conexo que nao e´ o grafico da funçao De fato. t0 + δ). existe δ > 0 tal que t ∈ [0. (2n + 1) π2 J. 1] | α(t) = 0}. t0 ∈ [0. 1]. ou seja. 1] ∩ (t0 − δ.K. 1] e [0. sen(α(tn ))) = (ξn . Para tanto. ou seja. . pois B(b. δ) ⊂ A. ou seja. ou seja. aberto e fechado em [0. temos que U = A. aberto e fechado em A e A e´ conexo. Dizemos que f : [0. caso contrario. 1]. e´ um caminho em A que liga o ponto a ao ponto a. uma vez que o caminho retil´ıneo que liga y a c esta´ contido em B(c. an ) 74 ´ Instituto de Matematica UFF . Afirmaçao: ˜ todo ponto y ∈ B(c. e. ˜ 13. . . 0) para todo t ∈ [0. Como b ∈ U ⊂ A Seja b ∈ U. uma contradiçao. Se A ⊂ Rn e´ aberto e conexo. . ´ ˜ dois pontos quaisquer de A podem ser Teorema 13. Logo todo ponto y ∈ B(b. δ). e seja U o conjunto formado pelos pontos de A que podem ser ligados ao ponto a por um caminho poligonal contido em A. . No enunciado acima. λ(t) = (0. 1] −→ A. Afirmaçao: ˜ existe um caminho poligonal que liga o ponto a ao ponto b. δ) nao ˜ pode ser Seja c ∈ A − U e seja δ > 0 tal que B(c. yn ) pertencentes a` bola aberta B(a. . existe δ > 0 tal que B(b. . Prova. xn ) e y = (y1 . ˜ Como A e´ nao-vazio. Assim. em A.´ Analise ˜ λ(tn ) = (α(tn ) . . δ) ⊂ A. . . δ) ⊂ A − U. B(b. c poderia ser ligado ao ponto a. α(t) = 0 para todo t ∈ [0. temos que A = [0. α(J) = {0}. Dado y ∈ B(b. an +δ) de centro a = (a1 . o caminho retil´ıneo que liga b a y esta´ contido em B(b. |λ(tn )| > 1. α(t) = 0 para todo t ∈ J. Seja a ∈ A fixo. ou seja.8. ±1). podemos trocar caminhos poligonais por camiObservaçao nhos poligonais formados por segmentos paralelos aos eixos coordenados. 1]. ˜ 13. entao ligados por um caminho poligonal contido em A. 1] −→ X e´ um caminho poligonal em X quando f e´ a Definiçao ˜ de um numero justaposiçao finito de caminhos retil´ıneos. 1]. δ) ⊂ U. f(t) = a para todo t ∈ [0.8. Entao e A e´ aberto. . ja´ que f : [0. todo ponto de A pode ser ligado ao ponto a por meio de um caminho poligonal contido em A. . δ). ˜ Como U e´ nao-vazio. ˜ U e´ nao-vazio.×(an −δ. . 1]. pois. 0} que liga (0. δ) e´ convexo. ˜ U e´ aberto. portanto. 0) a um ponto do grafico ´ Entao de f.15. δ) = (a1 −δ. ˜ nao ˜ existe um caminho em G(f) ∪ {(0. δ) pode ser ligado ao ponto a por meio de um caminho poligonal em A. ˜ A − U e´ aberto. portanto. Entao ´ ligado ao ponto a por meio de um caminho poligonal. a1 +δ)×. ˜ Entao pois a ∈ U. Entao ˜ Portanto. . Logo B(c. δ) e. basta verificar que isso e´ poss´ıvel para quaisquer dois pontos x = (x1 . 1] e´ conexo. . (y1 . . . xn )] . y2 . e´ um caminho poligonal em B(a. como [xi . . formado por segmentos paralelos aos eixos coordenados. De fato. . . .Conexidade ´ e raio δ. . . na norma do maximo. x3 . xn ). xn ). xn ) ao ponto y = (y1 . Um aberto A ⊂ Rn e´ conexo se. n. . . yn−1 . . [(y1 . ˜ sao ˜ homeomorfos. yn )] . . . δ). . x2 . . temos que o caminho formado pela ˜ dos caminhos retil´ıneos justaposiçao [(x1 . . . . ˜ 13. . deve-se lançar mao ˜ de invariantes topologicos ´ Para garantir que X e Y nao como a compacidade e a conexidade. . dados sao ˜ homeomorfos e´ necessario ´ Para afirmar que X e Y sao definir um homeomorfismo entre eles. . xn )] . ai + δ) para todo i = 1. . . xn ). (y1 . .6. . .16. . (y1 . que liga o ponto x = (x1 . . x2 . . . e´ conexo por caminhos. . y2 . . [(y1 . . . yn−1 . y2 . e so´ se. . . O problema central da topologia e´ determinar se dois conjuntos X e Y Observaçao ˜ ou nao ˜ sao ˜ homeomorfos. . yi ] ⊂ (ai − δ. yn ) . . x2 . ´ Corolario 13. . 2 y2 2. y) ∈ R | x +y = 1} um c´ırculo. E = (x.10. x Exemplo 13. Sejam C = {(x. y) ∈ R 2 + 2 = 1 a b . 2 2 . y) ∈ R2 . H = (x. x y ´ uma elipse. r] ⊂ R2 nao ˜ homeomorfos. se x ∈ (a. apesar de ambos serem compactos e conexos. entao B[c.11. r]. enquanto que H e P • C e E nao ˜ sao ˜ compactos. r] − {y} continua sendo conexo. s]. • H e P nao ˜ Exemplo 13. y) ∈ R2 | y = px2 } uma 2 c 2 2 d ´ parabola. b). nao ˜ sao ˜ homeomorfos. s] ∪ [zs . ˜ sao ˜ homeomorfos a H nem a P. mas se De fato. O intervalo fechado X = [a. x)) ∪ (X ∩ (x. entao y ∈ B(c. B[c. s∈(0. pois H e´ desconexo e P e´ conexo. r] − {c} = [ (S[c. +∞)) e´ desconexo. z0 ]. sao ˜ X − {x} = (X ∩ (−∞. z0 ]) . e´ uma reuniao r possuem em comum o ponto z0 J. Frensel 75 . s] ∪ [zs . pois C e E sao ˜ compactos. ˜ homeomorfos e h : C −→ E dada por h(x.K. s ∈ (0. Delgado . pois se: ˜ • y = c e z0 ∈ S[c. r). que z0 ∈ S[c. y) = (ax. r]. a < b e a bola fechada Y = B[c.r] onde zs = 1 − s r c+ s ˜ de conexos. 2 − 2 = 1 uma hiperbole e P = {(x. S[c. by) e´ um homeomorfismo entre • C e E sao eles. b]. ter´ıamos que [a. 10: B[c. ˜ 13. y0 ] ) . Mas ˜ desse fato requer o uso de invariantes topologicos ´ ˜ a demonstraçao mais elaborados. s] ∪ [c. r].12. onde s0 = ky − ck. t0 = − ky − ck [ ( S[c. terior. uma contradiçao. B[c. pois se retirarmos um origem) e a parabola Y = {(x. y0 ] ) ∪ ( (S[c. s0 ] − {y}) ∪ [c. Se tentarmos provar. e´ uma reuniao ˜ de conjuntos conexos com um ponto em comum Fig. B[c. E´ verdade que uma bola em Rm so´ e´ homeomorfa a uma bola em Rn quando m = n. a < d < ˜ ja´ que [a. e B[c. nao ˜ chegar´ıamos a nada. r] ⊂ R2 nao pois as bolas B[a. r] − {c} como reuniao r . enquanto a retirada da origem 76 ´ Instituto de Matematica UFF . r] e B[b. r] − {y} como reuniao Logo. r] s 6= s0 ˜ de conjuntos conexos que possuem o ponto c em comum. O conjunto X = {(x. r] − {y} = s ∈ [0. que a bola B[a. b] − {d}. y) ∈ R2 | y = x2 } nao ponto a de Y. s] ⊂ R3 . b] − {d} e´ desconexo e b. y) ∈ R2 | x2 = y2 } (um par de retas que se cortam na ´ ˜ sao ˜ homeomorfos. o conjunto Y − {a} possui dois ”pedaços” conexos. que sao ´ estudados na Topologia Algebrica ou na Topologia Diferencial. 9: B[c.17.´ Analise ˜ de conjuntos conexos com um ponto em comum Fig. r] − {f(d)} e´ conexo. temos que • y 6= c e y0 = (1 − t0 )c + t0 y. b] −→ B[c. usando um racioc´ınio analogo ´ Observaçao ao do exemplo an˜ e´ homeomorfa a` bola B[b. se existisse um homeomorfismo f : [a. Exemplo 13. s] permanecem conexas ao retirar delas um ponto qualquer. r] − {f(d)} seriam homeomorfos. 0) e a componente conexa de 1 em X e´ (0. pelo teorema 13. e´ um conjunto conexo que contem ˜ 13. A componente conexa do ponto x no conjunto X e´ a Definiçao ˜ Cx de todos os subconjuntos conexos de X que contem ´ o ponto x. Fig. temos que C ⊂ Cx . Em particular. reuniao ˜ a componente conexa de qualquer ponto x ∈ X e´ {x}.K. 0) faz com que o conjunto X − {(0. 0) e (0. nenhum subconjunto conexo de X pode conter Cx propriamente. Exemplo 13. entao (−∞.14.13. entao pois todo subconjunto de Q com mais de um elemento e´ desconexo.15. se C ⊂ X e´ conexo e tem algum ponto em comum com Cx entao ´ x e. ou seja. +∞) e´ desconexo. enquanto Y − {a} tem apenas 2 pedaços ˜ vamos tornar precisa a ideia ´ de dividir um conjunto em ”pedaços” Na seguinte definiçao conexos. 0)} tem 4 pedaços. Frensel 77 . pois C ∪ Cx Mais ainda. Sejam x ∈ X ⊂ Rn . Se X = Q ⊂ R.9.18. +∞). a componente conexa Cx e´ o maior subconjunto Observaçao ´ o ponto x. J. Se X = (−∞. +∞). Delgado . ou seja. pois e´ uma reuniao possuem um ponto em comum. conexo de X que contem ´ o ponto x. portanto. Cx e´ conexo. pois qualquer subconjunto de X que ´ pontos de (−∞. Cx = Cy . Exemplo 13. Se X ⊂ Rn e´ conexo. dado um subconjunto conexo C de X que contem ˜ de todos os subconjuntos conexos de X que contem ´ x. e´ a reuniao ˜ de conjuntos conexos que Por outro lado. contem ˜ 13. Dados x ∈ X ⊂ Rn . entao ˜ a componente conexa de −1 em X e´ Exemplo 13. entao.19. pois se Cx ∩Cy 6= ∅. ˜ pela observaçao ˜ anterior. Cy ⊂ Cx Cy ou coincidem ou sao e Cx ⊂ Cy . ˜ 13. ˜ Cx = X para todo x ∈ X. ˜ C ⊂ Cx . C ⊂ Cx . C ∪ Cx ⊂ Cx .Conexidade (0. 0)} tenha quatro ”pedaços” conexos. 11: X − {(0. 0) ∪ (0.5. Entao ˜ suas componentes conexas Cx e Observaçao ˜ disjuntas. Sejam x e y dois pontos de X. pois Cx De fato. Logo Dy = h(Cx ). Logo Cx0 e´ aberto em Rn . ou seja. como Cx ⊂ Cx ∩ X ⊂ Cx e Cx e´ conexo. se A : Rm −→ Rn e´ uma transformaçao kAk = sup { kA xk2 | x ∈ Rm . ou seja. o homeomorfismo h : X −→ Y estabelece uma bijeçao de X e as componentes conexas de Y. pelo Teorema 13. Se Cx e´ a compoObservaçao ˜ h(Cx ) e´ a componente conexa de y = h(x) em Y. nente conexa de x em X. temos. a relaçao ˆ ˜ as componentes conexas dos pontos de X. portanto. δ) ⊂ Cx0 . Dy ⊂ h(Cx ). ˜ 13. ou seja. B(y0 . ˜ existe δ > 0 tal que B(y0 . entao De fato. Toda componente conexa Cx e´ um conjunto fechado em X. subconjunto conexo de X que contem ˜ pela Observaçao ˜ 13. Cx = Cx ∩ X e. δ) ∪ Cx0 ⊂ Cx0 . De fato.1. Cx e´ fechado em X. Como B(y0 . Ou seja. Por outro lado.´ Analise ˜ x e y pertencem a um subconjunto conexo de X e´ uma relaçao ˜ de equivalencia ˆ Assim.7. ou seja. ´ Assim. contem ˜ entre as componentes conexas Assim. como h−1 (Dy ) e´ um conjunto conexo que e contem ´ x. seja Dy a componente conexa de y em Y. δ) ⊂ U. ˜ 13.22. existe c > 0 tal que kAxk2 ≤ ckxk1 para todo x ∈ Rm . Entao temos que B(y0 .21. pelo Teorema 13. se x ∈ Rm e kxk1 = 1 =⇒ kAxk2 ≤ c. δ) ∪ Cx0 e´ conexo e contem ´ o ponto x0 . [x] = Cx . Entao. linear A : Rm −→ Rn . sejam x0 ∈ U e y0 ∈ Cx0 . que Cx ∩ X e´ um ´ x. Observaçao De fato. Rn ). 78 ´ Instituto de Matematica UFF .18. As componentes conexas de um conjunto aberto U ⊂ Rn sao ˜ subconObservaçao juntos abertos de Rn . Como. Rn ) = Rmn . entao ˜ • Se A ∈ L(Rm . e as classes de equivalencia sao ˜ x e y pertencem a um subconjunto conexo de X ⇐⇒ Cx = Cy . Seja h : X ⊂ Rm −→ Y ⊂ Rn um homeomorfismo. A transforma a esfera unitaria de Rm num subconjunto limitado de Rn . 14 ˜ linear A norma de uma transformaçao ˜ dada uma transformaçao ˜ Fixemos uma norma k k1 em Rm e uma norma k k2 em Rn . kxk1 = 1 } e´ uma norma em L(Rm . temos que h(Cx ) ⊂ Dy . Entao.20. h(Cx ) e´ conexo ´ y. Entao ˜ 13. entao ˜ h−1 (Dy ) ⊂ Cx . ˜ linear. A kxk1 ∀ x ∈ Rm . k k3 as normas tomadas em Rk .1. (2) (3) ∀ x ∈ Rn . m. kxk1 = 1 kA + Bk ≤ kAk + kBk . kxk1 = 1. (1) kλ Ak = sup { k(λA)(x)k2 | x ∈ Rm . k(AB)(x)k3 = kA(B(x))k3 ≤ kAk kB(x)k2 ≤ kAk kBk . . k k2 . respectivamente. a funçao ˜ A 7−→ kAk possui as seguintes propriedades: Alem (I) kA(x)k2 ≤ kAk kxk1 para todo x ∈ Rm . Por (I). entao para i = 1. kxk1 = 1 } = |λ| sup { kA(x)k2 | x ∈ Rm . . . k ∈ N. ∀ x ∈ Rm . . kA(y)k3 ≤ kAk kyk2 ∀ y ∈ Rm e kB(x)k2 ≤ kBk kxk1 ∀ x ∈ Rk . . Como duas normas no espaço vetorial L(Rm . . sejam k k1 . se A ∈ L(Rm . kxk1 = 1 kAk = 0 ⇐⇒ kA(x)k2 = 0 para todo x ∈ Rm . temos que se Ak ∈ L(Rm . B ∈ L(Rm . para todo x ∈ Rk . Rm ). a norma do sup de uma ˜ linear A : Rm −→ Rn e´ dada por transformaçao kAk = max m X 1≤i≤n ! |aij | . De fato. onde a norma em Rm deve ser tomada a mesma. Portanto. j=1 ´ e´ a maior ”norma da soma” entre as linhas. Rn ) e B ∈ L(Rk .˜ linear A norma de uma transformaçao De fato: se A. . isto e. J. ´ Exemplo 14. ˜ 14. Rn ) e λ ∈ R. . pois: kA(x)k2 ≤ kAk e kB(x)k2 ≤ kBk =⇒ k(A + B)(x)k2 ≤ kA(x)k2 + kB(x)k2 ≤ kAk + kBk =⇒ kA + Bk ≤ kAk + kBk . Rn ). kxk1 = 1 x = 0 para todo x ∈ Rm − {0} ⇐⇒ A kxk1 ⇐⇒ A(x) = 0 para todo x ∈ Rm ⇐⇒ A = 0 . Rn ). Frensel 79 .K. j = 1. ´ disso.1. kxk1 = 1 } = sup { |λ| kA(x)k2 | x ∈ Rm . kABk ≤ kAk kBk. n. x ≤ kAk ∀ x ∈ Rm − {0} =⇒ kA(x)k2 ≤ kAk kxk1 De fato. Logo. Rn ) = Rmn sao ˜ equivalenObservaçao ˜ kAk −Ak −→ 0 ⇐⇒ akij −→ aij tes. Considerando Rm e Rn com a norma do maximo. onde Ak = (akij ) e A = (aij ). Rm e Rn . kxk1 = 1 ⇐⇒ A(x) = 0 para todo x ∈ Rm . Delgado . 2 (II) kABk ≤ kAk kBk. kxk1 = 1 } = |λ| kAk . e A ∈ L(Rm . . seja x = (x1 . . .´ Analise ˜ De fato. xm ) ∈ Rm tal que kxkM = max |xk | = 1. 1≤k≤m . Entao. . ! . m . . X . . aij xj . ≤ max . 1≤i≤n . . . x0m ) ∈ Rm tal que j=1 = −1 se ai0 j ≤ 0. . n tal que m X |ai0 j | = max 1≤i≤n j=1 x0j = 1 se ai0 j > 0. e seja x0 = (x01 . ! m X Assim. kAk ≤ max |aij | . 1≤i≤n j=1 Seja i0 = 1. . . ˜ kxkM = 1 e Entao kA(x0 )kM = max 1≤i≤n . . . m. e x0j m X ! |aij | . . . j=1 ! m X |aij | . . . kA(x)kM = max 1≤i≤n ≤ max 1≤i≤n m X ! |aij xj | j=1 j=1 pois |xj | ≤ kxkM = 1 para todo j = 1. . . . ! . . m m m . X . . X . X . . . 0 0. aij xj . ≥ . ai0 j xj . . = |ai0 j | ≥ kAk . . . . . j=1 ou seja. kAk = m X |ai0 j | = max 1≤i≤n j=1 • Para outras escolhas de normas em R m m X ! |aij | . 80 ´ Instituto de Matematica UFF . Vol II de E. veja a tabela da pagina 66 do livro Curso de ´ Analise. j=1 n ´ e R . 0 kA(x )kM ≤ kAk ≤ m X j=1 |ai0 j | ≤ kA(x0 )kM . j=1 j=1 Logo. Lima. x→a para todo ε > 0. fn ) : I −→ R e´ cont´ınua no ponto a ∈ I ⇐⇒ fi : I −→ R e´ Observaçao n cont´ınua no ponto a ∈ I. . a < x < a + δ =⇒ kf(x) − bk < ε. ˜ 1. O vetor velocidade do caminho f : I −→ Rn no ponto a ∈ X e. .Cap´ıtulo 2 Caminhos no espaço Euclidiano 1 ´ Caminhos diferenciaveis ˜ 1. .2. ou seja. as n funçoes ˜ cont´ınuos. . para todo i = 1. existe δ > 0 tal que x ∈ X. x→a para todo ε > 0. definiçao. e so´ se. . De modo analogo. cont´ınuos. . . t ∈ I. . . Assim. ˜ chamadas as funçoes ˜ coordenadas de f. ou seja. . bn ) se. . fn (t)). .1. ˜ lim f(x) = b = (b1 . ˜ o Definiçao limite 83 . Se f(t) = (f1 (t).2. ´ por definiçao. x→a ˜ 1.3. . a e´ ponto de acumulaçao ˜ a` direita de X. n. . f = (f1 . entao ˜ Observaçao lim f(x) = b = (b1 . bn ) se. n. a e´ ponto de acumulaçao dizemos que lim− f(x) = b quando. . fn ) e´ definida no conjunto X ⊂ R e a ∈ X 0 . . . Se X ⊂ R e a ∈ X+0 . ´ ˜ a` esquerda de X. n. Observaçao dizemos que lim+ f(x) = b quando. .1. . . lim fi (x) = bi para todo i = 1. entao ± x→a lim± fi (x) = bi . . Se f = (f1 . . . . e so´ se. Mas. se X ⊂ R e a ∈ X−0 . . os ˜ ˜ caminhos nao serao por ˜ nida num intervalo I ⊂ R. . Um caminho em Rn e´ uma aplicaçao ˜ f : I −→ Rn defiDefiniçao Nota: Neste cap´ıtulo. x→a x→a ˜ 1. ˜ 1. . podemos provar que se a ∈ X±0 . . . fi : I −→ R sao ˜ a ser os caminhos voltarao ´ a partir do proximo cap´ıtulo. para todo i = 1. existe δ > 0 tal que x ∈ X. a − δ < x < a =⇒ kf(x) − bk < ε. . . . f e´ diferenciavel no ponto a ∈ I se. . r(t) = 0. . . existe um vetor v ∈ Rn tal que.´ Analise f 0 (a) = lim t→0 f(a + t) − f(a) . o vetor velocidade f 0 (a) determina a reta L = { f(a) + t f 0 (a) | t ∈ R }. • Quando f 0 (a) 6= 0. Fig. n. t→0 t onde lim ´ para t 6= 0. f 0 (a) = (f10 (a). f(a + t) − f(a) r(t) −v= . t quando tal limite existe. fn0 (a)). . A diferenciabilidade de f no ponto a ∈ I e o limite lim Observaçao pendem da norma considerada em Rn . . para a + t ∈ I. e so´ se. . ˜ 1.4. para a + t ∈ I. . . . v = f 0 (a). ˜ 1. a igualdade acima nos da. dizemos que f e´ diferenciavel nesse ponto. ´ • Quando f possui vetor velocidade no ponto a ∈ I. . ´ E se existe f 0 (a) para todo a ∈ I. t t ´ • Equivalentemente. f(a + t) = f(a) + [v + ρ(t)]t . . 1: Reta tangente a` curva f no ponto a f(a + t) − f(a) indet t→0 ˜ 1. temos f(a + t) = f(a) + t v + r(t) . e so´ se.5. fi : I −→ R e´ ´ derivavel no ponto a para todo i = 1. e so´ se. f = (f1 . A norma kf 0 (a)k chama-se velocidade escalar de f no ponto a. Observaçao ´ • Um caminho f : I −→ Rn e´ diferenciavel no ponto a ∈ I se. Neste caso. pois f(a + t) − f(a) para todo t ∈ I. dizemos que f e´ um caminho diferenciavel. De fato. t fi (a + t) − fi (a) ˜ as coordenadas do vetor sao t Neste caso. t→0 84 ´ Instituto de Matematica UFF . .6. existe v ∈ Rn tal que. fn ) e´ diferenciavel ´ Observaçao no ponto a ∈ I se. onde lim ρ(t) = 0. chamada reta tangente a` curva f no ponto a. o ponto. se f(t) 6= 0 . J. xi para todo x ∈ Rn . −1) sao ´ ˜ modulo ´ rentes. so´ podemos definir a derivada lateral de f a` direita no ponto Observaçao a: f 0 (a+ ) = lim+ t→0 f(a + t) − f(a) . 0).15). 2: h(R) = g(R) h 0 (t) = (3t2 . g(t)i = hf 0 (t). cuja posiçao ˆ ´ parada instantanea ao atingir o ponto anguloso (0. −1). existem e sao f 0 (a) = f 0 (a+ ) = f 0 (a− ). g 0 (t)i . pois as Mas g nao ˜ difederivadas laterais g 0 (0+ ) = (1. Seja g : R −→ R2 o caminho dado por g(t) = (t. −3t2 ). dt d hf(t).8. t2 |t|). A imagem de g e´ o grafico da funçao y = |x|. para todo t ∈ R. ˜ g 0 (t) = (1. cos t) = i eit . 0) de sua trajetoria (ver exerc´ıcio 1. b]. 1). Por exemplo. e ρ(0) = 0. que se a ∈ int I. g : I −→ Rn sao ˜ caminhos diferenciaveis ´ ˜ Observaçao e λ : I −→ R e´ uma funçao ´ diferenciavel. e so´ se. h 0 (t) = (3t2 . t ˜ f : I −→ R e´ diferenciavel ´ Podemos verificar facilmente. que apresenta um ponto anguloso na origem. nho h : R −→ R2 dado por h(t) = (t3 . Neste caso. f(R) = S1 e kf 0 (t)k = 1. so´ podemos definir a derivada lateral de f a` esquerda no ponto b: f 0 (b− ) = lim− t→0 f(b + t) − f(b) . Entao todo t > 0 e g 0 (t) = (1.2. descrever a mesma imagem por meio de ˜ outras ”parametrizaçoes” .. ˜ 1. b). t E se I = (a. Delgado . ˜ f e´ diferenciavel ´ entao em R. a velocidade escalar e´ constante igual a 1. 1) e g 0 (0− ) = (1.7. para descrever a rota h(R). temos que: d [f(t) + g(t)] = f 0 (t) + g 0 (t) . 0). Se f. Se f : R −→ R2 e´ o caminho f(t) = (cos(t). 3t2 ). g(t)i + hf(t). ou seja. para todo t < 0. f 0 (t) = (− sen t. dt (1) d hf(t). sen(t)) = eit . f 0 (t)i (4) kf(t)k = . ou seja. pois h 0 (0+ ) = h 0 (0− ) = (0. dt kf(t)k (3) ´ de um produto interno h . ˜ no tempo t e´ h(t). precisou dar uma Ou seja. i em Rn . se t 6= 0. t > 0.K. dt d (2) [λ(t) f(t)] = λ 0 (t) f(t) + λ(t) f 0 (t) . consideremos o cami˜ h(R) = g(R). Se I = [a.´ Caminhos diferenciaveis Basta por ρ(t) = r(t) . ponto a se. Entao Fig. Frensel 85 . Podemos. |t|). t ˜ 1. kxk = onde k k e´ a norma que provem p hx. t < 0 e h 0 (0) = (0. no entanto. entao no ˜ iguais as derivadas laterais de f no ponto a. ˜ possui vetor velocidade no ponto t = 0. para Exemplo 1. Exemplo 1.1. i. ´ de uma variavel real aplicadas as ˜ 1. ´ kf 0 (t)k = 1 para todo t ∈ R. temos que kf(t)kM = 1. sen t2 ). no ponto a ou o vetor aceleraçao Tem-se f 00 (a) = (f100 (a). dizemos que (f 0 ) 0 (a) = f 00 (a) e´ a derivada segunda de f ˜ do caminho f no ponto a. dizemos que f e´ de classe C1 . ´ E se f 0 e´ diferenciavel no ponto a ∈ I. Entao kf(t)k = 1 para todo t ∈ R e f 0 (t) = (− sen t. Seja f : I −→ Rn um caminho diferenciavel. se |t| ≥ 1. e so´ se. Se uma norma k k nao ˜ provem ´ de um produto interno. 2t cos t2 ) ˜ e´ perpendicular a g(t) para todo t ∈ R. 3: f(t) ⊥ f 0 (t) para todo t ∈ R ˜ 1. Fig. o vetor velocidade f 0 (t) e´ perpendicular ao vetor posiçao t ∈ I. fn00 (a)).´ Analise ˜ real As propriedades acima seguem das propriedades usuais da derivada de uma funçao ´ ` funçoes ˜ coordenadas de um caminho diferenciavel. seja f : R −→ R2 o caminho diferenciavel dado por f(t) = (1.3. De fato. ´ ˜ f(t) tem comprimento Observaçao Entao ˜ f(t) para todo constante se. dado por g(t) = (cos t2 . para o caminho diferenciavel g : R −→ R2 . ´ Definiçao Se f 0 : I −→ Rn e´ cont´ınuo. se |t| ≤ 1 e kf(t)kM = |t|. ´ ˜ Exemplo 1.3. com f(t) 6= 0 para todo t ∈ I. funçao ˜ 1. . k k provem ˜ 1.10. temos tambem mas isso e´ acidental. mas kg 0 (t)k = 2 |t| nao e´ constante. cos t) e´ perpendicular a f(t) para todo t ∈ R. Seja o caminho diferenciavel f : R −→ R2 dado por f(t) = (cos t. f 0 (t)i = 0 para todo t ∈ I ⇐⇒ f(t) ⊥ f 0 (t) para todo t ∈ I.9. 86 ´ Instituto de Matematica UFF . ´ Por exemplo.11. . f(t)i = a2 para todo t ∈ I ⇐⇒ 2hf(t). Logo a ˜ t 7−→ kf(t)kM nao ˜ possui derivada nos pontos t = −1 e t = 1. Considerando a ´ norma do maximo em R2 . ´ ϕ(t) = kf(t)k nao ´ Por exemplo. . Seja f : I −→ Rn um caminho diferenciavel. sen t). Sempre que tomarmos a derivada de kf(t)k estaremos considerando que Observaçao ´ de um produto interno h . t). podemos ter um Observaçao ´ ˜ caminho diferenciavel f : I −→ Rn . . g 0 (t) = (−2t sen t2 . temos kg(t)k = 1 para todo t ∈ R. para o qual a funçao ˜ e´ diferenciavel. Neste exemplo. kf(t)k = a para todo t ∈ I ⇐⇒ hf(t). dizemos que o caminho f : I −→ Rn e´ p + 1 vezes diferenciavel ´ ˜ ˜ quando o caminho f(p) : I −→ Rn (derivada de ordem p de f) existe e e´ derivavel. de classe Cp . f|I∩[tk . ´ Prosseguindo desta maneira. ˜ 1. entao.+∞) ˜ de classe Cp . n. Apesar disso. 0). − ((p + 1) − j)! e (j) f|[0. . . f e´ de classe C∞ por partes.+∞) ≡ 0 sao ˜ tambem ´ cont´ınuas para todo sao j > p + 1. . . onde f(p) (t) = ((p + 1)! t. J. Se existem as derivadas de todas as ordens do caminho f. Poe-se. −(p + 1)! t). Seja p > 0. ˜ dizemos que um caminho cont´ınuo e´ de classe C0 e que f = f(0) e´ sua propria ´ Por extensao. (p + 1)!) e f(p+1) (0− ) = ((p + 1)!. Dizemos que o caminho f : I −→ Rn e´ de classe Cp por partes Definiçao quando f e´ cont´ınua e existem t1 < . Frensel 87 . dizemos que f e´ de classe C∞ .5. . .4. . . Delgado . podemos provar.12. . para t ≤ 0. e so´ se. E se f 00 e´ cont´ınua.+∞) (t) = (p + 1)! tp+1−j ((p + 1) − j)! (p + 1)! (p + 1)! tp+1−j .4. . tp |t|). −(p + 1)!) . ˜ 1. e f(p) (0) = (0. Quando f(p) e´ de classe C1 . dizemos que f e´ de classe Cp+1 . . ˜ 1. Seja 0 ≤ p ≤ ∞.t1 ] .0] = f|[0. Entao ˜ f = (f1 .K. derivada de ordem zero. ˜ e´ p + 1 vezes diferenciavel ´ Entretanto f nao no ponto t = 0. Observaçao fi ∈ Cp para todo i = 1.tk ] . f|[t1 . dizemos que f e´ duas vezes diferenciavel. fn ) ∈ Cp (e´ de classe Cp ) se. sao Exemplo 1.´ Caminhos diferenciaveis ´ Se existe f 00 (t) para todo t ∈ I. (p + 1)! t) para t ≥ 0. dizemos que f e´ de classe C2 . f(p+1) = (f(p) ) 0 . f(p) (t) = ((p + 1)! t.t2 ] . . . Para todo p > 0. tp+1−j ((p + 1) − j)! ((p + 1) − j)! (j) (j) ˜ cont´ınuas para todo 0 ≤ j ≤ p + 1. Dizemos que o caminho f : I −→ Rn e´ p−vezes diferenciavel ´ no ponto a ∈ I Definiçao ´ quando existe δ > 0 tal que f e´ p − 1 vezes diferenciavel no intervalo J = {t ∈ I | |t − a| < δ} e ´ f(p−1) e´ diferenciavel no ponto a. por induçao. < tk pertencentes ao interior do intervalo I tais que f|I∩(−∞. . pois (p + 1)! (j) f|(−∞. pois f(p+1) (0+ ) = ((p + 1)!.0] (t) = tp+1−j . e f|(−∞. f|[tk−1 . ˜ que f e´ Como tp |t| = tp+1 para t ≥ 0 e tp |t| = −tp+1 para t ≤ 0. considere o caminho f : R −→ Rn dado por f(t) = (tp+1 . . b] e´ um conjunto finito P = {t0 < t1 < . . . Se f : [a. P ? ) = (ti − ti−1 ) f(ξi ) i=1 e´ chamado soma de Riemann. b]. . 88 ´ Instituto de Matematica UFF .b] sao ˜ inObservaçao e c ∈ [a.1. ´ De fato. n ⇐⇒ fi e´ integravel para todo ´ i = 1. . . b] −→ Rn e´ integravel ´ ˜ f|[a. entao ´ tegraveis e Zb Zc f(t) dt + f(t) dt = a Zb a f(t) dt . ´ Neste caso. . . . b]. e so´ se. . . fn (t) dt . onde P e´ uma partiçao ˜ e ξ = (ξ1 . k. e so´ se.1. . n ⇐⇒ f e´ integravel. ξ). . . . Di tem medida nula. b]. P ? ) quando a norma de P tende a zero se. ξk ) e´ tal Uma partiçao que ti−1 ≤ ξi ≤ ti para todo i = 1. . . fi : [a. ∪ Dn . ξ). . . .c] e f|[c.2. Seja D o conjunto dos pontos de descontinuidade do caminho limitado Observaçao f = (f1 . . |P|→0 a ˜ 2. onde t0 = a e tk = b. para todo ε > 0 dado. P ? ) .3. temos que f e´ integravel se. Seja f : [a. descontinuidade da i−esima funçao ´ ´ Como fi e´ integravel se. . o somatorio ´ Dados f e uma partiçao k X X (f. b] e chamamos v = lim |P|→a X (f. . P ? ) − v < ε . ˜ pontilhada P ? = (P. n. . c ˜ 2. b] −→ R ´ e´ integravel para todo i = 1. < tk }. ´ 0≤i≤k ˜ pontilhada e´ um par P ? = (P. fn ) : [a. para cada i = 1. Entao ˜ D = D1 ∪ . . e so´ se. D tem medida nula. . . . fn ) e´ integravel ´ Observaçao se. . Zb Zb b f(t) dt = f1 (t) dt. b] −→ R. . m(D) = 0 ⇐⇒ m(Di ) = 0 para todo i = 1. . . n.´ Analise 2 Integral de um caminho ˜ 2. • Dizemos que um vetor v ∈ Rn e´ o limite das somas de Riemann X (f. existe X δ > 0 tal que |P| < δ =⇒ (f. . [a. P ? ) ˜ a integral de f no intervalo [a. Usamos a notaçao Zb X f(t) dt = v = lim (f. b] −→ Rn um caminho limitado definido no intervalo compacto Definiçao ˜ de [a. . . . b] −→ Rn e. Uma partiçao ˜ P e´ o numero e a norma da partiçao |P| = max (ti − ti−1 ) . O caminho limitado f = (f1 . a a a ˜ 2. . seja Di o conjunto dos pontos de ´ ˜ coordenada fi : [a. Neste Z caso. . . dizemos que f e´ integravel no intervalo [a. . 5.1. sen t) e g(t) = (t. β ∈ R arbitrarios. b] −→ R e´ cont´ınuo e kf(t)k ≥ c > 0 para todo t ∈ [a. P ) = (ti − ti−1 ) f(ξi ) ≤ i=1 i=1 Logo. |P|→0 |P|→0 |P|→0 a a • Assim. b] −→ R e´ integravel. P ? ) . b]. Como Dkfk ⊂ Df . Veja o exemplo 2. P ? ).4.1. a J. b] −→ Rn um caminho Observaçao ´ ´ integravel.K. g(t) dt = = (0. se kf(t)k ≤ M para todo t ∈ [a.1. Seja k k uma norma qualquer em Rn e seja f : [a. f(t) dt = 0 0 0 0 sen t dt t2 dt t dt . Segue-se da definiçao ˜ que se f : [a. dada qualquer partiçao (f. Exemplo 2. f : [a. P ) = lim (f. a a X ˜ pontilhada De fato. ´ disso. A integrabilidade de f e o valor Observaçao ˜ dependem da norma consif(t) dt nao a derada em Rn . Zb Zb X X X ? ? ? f(t) dt = lim (f. Sejam f. b] −→ Rn caminhos integraveis ´ ´ Observaçao e α.Integral de um caminho Zb ˜ 2. a n ´ se n > 1. temos que kfk : [a. Frensel a 89 .6. Sejam f : [0. 2π] −→ R2 e g : [0. Zb concluir que f(t) dt 6= 0. temos que Z b f(t) dt ≤ M(b − a) . 0) . t2 ) . 0 2 3 ˜ 2. Delgado . 0 Z1 Z1 Z1 e Z 2π 1 1 = . Entao: Z 2π Z 2π cos t dt . temos que: n n X X X X ? (ti − ti−1 ) kf(ξi )k = (kfk. que o caminho αf + βg e´ integravel ´ Segue-se da definiçao e Zb Zb Zb ( αf + βg ) (t) dt = α f(t) dt + β g(t) dt . . P ) ≤ lim (kfk. b]. b] −→ Rn e´ integravel ´ A : Rm −→ Rn e´ uma transformaçao e Zb Zb (A ◦ f)(t) dt = A f(t) dt . 1] −→ R2 os caminhos C∞ dados por ˜ f(t) = (cos t. P ) = kf(t)k dt . nao ˜ se pode • Porem. a a a ˜ 2.7. a ˜ 2. (f. entao ˜ A ◦ f : [a. g : [a. ˜ ou da observaçao ˜ 2. Alem Zb Zb f(t) dt ≤ kfk(t) dt . b] −→ Rm e´ um caminho integravel ´ Observaçao e ˜ linear. b] e´ uma funçao ´ ˜ integravel. . . A funçao ˜ composta t 7−→ f(ϕ(t)) pode ser interpretada como uma mudança Observaçao ´ de variavel no caminho f. fn0 ) e a a a ˜ reais de uma variavel ´ coordenadas. a 0 ˜ 3. aplicando as f1 (t) dt . . entao Z ϕ(d) Zd f(ϕ(t)) ϕ 0 (t) dt . . fn ). Entao no ponto a e (f ◦ ϕ) 0 (a) = ϕ 0 (a)f 0 (ϕ(a)) . .1. d] −→ [a. Seja f : [a. ´ Definiçao A integral indefinida de f e´ o caminho F : [a. que equivale a descrever o mesmo percurso de outra maneira. . f(t) dt = f 0 = (f10 . . ´ Mudança de variavel na integral ˜ com derivada Se f : [a.1. . . e. sendo o vetor velocidade (f◦ϕ) 0 (a) = ϕ 0 (a)f 0 (ϕ(a)) no ponto a um multiplo escalar do vetor velocidade ´ de f no ponto ϕ(a).´ Analise 3 ´ ´ Os teoremas classicos do Calculo Regra da cadeia ˜ real diferenciavel ´ Sejam ϕ : I −→ J uma funçao no ponto a ∈ I e f : J −→ Rn um caminho ´ ˜ f ◦ ϕ : I −→ Rn e´ um caminho diferenciavel ´ diferenciavel no ponto b = ϕ(a). b] −→ Rn e´ um caminho com derivada integravel. . ˜ • Os seis teoremas abaixo se demonstram observando quese f = (f1 . o teorema correspondente para funçoes real. f(x) dx = ϕ(c) c ´ Teorema Fundamental do Calculo ´ ˜ Se f : [a. entao Zb Z1 f(b) − f(a) = f 0 (t) dt = f(a + (b − a)t) (b − a) dt . b] −→ Rn definido por Zx F(x) = f(t) dt . ˜ 3. ˜ • Basta aplicar a regra da cadeia em cada uma das funçoes coordenadas fi ◦ ϕ do caminho f ◦ ϕ. b] −→ Rn um caminho integravel. . entao Zb Zb Zb ` funçoes ˜ fn (t) dt . b] −→ Rn e´ um caminho cont´ınuo e ϕ : [c. . a 90 ´ Instituto de Matematica UFF . Teorema 3. se f e´ um caminho cont´ınuo. Um caminho f : [a. com f(p) ´ ˜ integravel. . . h→0 hp ˜ Entao lim ´ Formula de Taylor com resto integral ´ Seja f : [a. p! rp (h) = 0. b] −→ Rn e´ de classe C1 se. b] −→ Rn e´ uniformemente diferenciavel. Frensel 91 . b] −→ Rn e´ um caminho integravel cont´ınuo no ponto c ∈ [a. b]. ˜ da integral indefinida Derivaçao ´ ˜ F e´ diferenciavel ´ Se f : [a. f(a + h) = f(a) + f 0 (a) h + .K. a ´ Formula de Taylor infinitesimal ´ Seja f : I −→ Rn um caminho p vezes diferenciavel no ponto a ∈ I e escrevemos. F e´ lipschitziana.1. para todo ε > 0 dado. J. b]. . Em particular. x + h ∈ [a. entao neste ponto e F 0 (c) = f(c). (p − 1)! Z a+h (a + h − x)p−1 f(p) (x) dx . f(t) dt − f(t) dt kF(x) − F(y)k = a a y e. temos Zb F(b) − F(a) = f(t) dt . para todo h tal que a + h ∈ I. b] . + f(p) (a) hp + rp (h) .´ ´ Os teoremas classicos do Calculo ˜ pela observaçao ˜ 2. . e so´ se. f e´ uniformemente ´ diferenciavel. 0 < |h| < δ =⇒ kf(x + h) − f(x) − f 0 (x)hk < ε|h| . a + h].2. Entao. Em particular. f(a + h) = f(a) + f 0 (a) h + . Dizemos que um caminho f : [a. + f(p−1) (a) onde hp rp = (p − 1)! Z1 (1 − t) 0 p−1 (p) f 1 (a + th) dt = (p − 1)! hp−1 + rp . Entao. portanto. a ˜ 3. Seja M > 0 tal que kf(t)k ≤ M para todo t ∈ [a. a + h] −→ Rn um caminho p vezes diferenciavel no intervalo [a. Z x Zx Zy = f(t) dt ≤ M kx − yk . ´ Definiçao quando. Delgado . existe δ > 0 tal que x.6. F e´ cont´ınua. 0) e |f 0 (t)| = 1 para todo t ∈ [0. d] ⊂ (a. b]. n > 1. 2π]. temos Zd f 0 (t) dt . b] −→ R e´ uniformemente diferenciavel ´ • Uma funçao se. seja f : [0. fi e´ de classe C1 (ver ´ Curso de Analise. ´ de um produto interno. e existem sequencias (ck ) e (dk ) tais que a < ck < dk < b. pois duas normas • A diferenciabilidade uniforme de f nao ˜ equivalentes. 2π) tal que Como f(2π) − f(0) = (0. sen t). ˆ Como f e´ cont´ınua em [a. xi para todo x ∈ Rn . ´ suas funçoes ˜ fi : [a. ˜ 3. b] −→ Rn um caminho cont´ınuo em [a. na forma de desigualdade. cada uma de ˜ coordenadas fi e´ uniformemente diferenciavel. ˜ existe c ∈ (0. ˜ 2a Demonstraçao: Suponhamos que a norma k k provem kxk2 = hx. Se kf 0 (t)k ≤ M ˜ kf(b) − f(a)k ≤ M (b − a) . d] ⊂ (a. Tem-se. O Teorema do Valor Medio ´ ˜ vale para caminhos diferenciaveis ´ Observaçao nao em Rn . ´ Pelo Teorema Fundamental do Calculo. ou seja. I de E. entao ´ das hipoteses ´ ´ ˜ 1a Demonstraçao: Suponhamos que. para todo [c. ´ Por exemplo. b] e diferenciavel em (a. Vol. e so´ se. kf(b) − f(a)k ≤ M kb − ak . nao f(2π) − f(0) = 2π f 0 (c). temos que kf(b) − f(a)k = lim kf(ck ) − f(dk )k ≤ M lim |ck − dk | = M |b − a| . alem acima. Este teorema decorre do teorema analogo para funçoes Realmente: ˜ depende da norma considerada. Lima. ´ Teorema do Valor Medio ´ Seja f : [a. f(d) − f(c) = c Logo kf(d) − f(c)k ≤ M(d − c).2. f 0 e´ integravel em cada subintervalo compacto [c. 92 ´ Instituto de Matematica UFF .´ Analise ´ ˜ reais. b). k→∞ k→∞ ou seja. b). 2π] −→ R2 o caminho diferenciavel dado por f(t) = (cos t. e so´ se. para todo t ∈ (a. no entanto. b). quaisquer em Rn sao ´ ´ • Um caminho f e´ uniformemente diferenciavel na norma do maximo se. pag. b). com lim ck = a e lim dk = b. 277). portanto. Entao ˜ ϕ e´ cont´ınua em Seja ϕ : [a. Entao. Sejam N 0 = {k ∈ N | ak = c}. ´ ˜ reais. ˜ N = N 0 ∪ N 00 ∪ N 000 e N 0 . ˜ pela Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Sejam (ak ) e (bk ) ˆ ˜ sequencias tais que ak .K. tambem 000 • Resta.1. agora. N 00 . ou seja. ak − bk bk − ak Logo f(bk ) − f(ak ) − f 0 (c) = (1 − tk ) bk − ak J. Frensel f(bk ) − f(c) − f 0 (c) bk − c + tk f(ak ) − f(c) − f 0 (c) . Delgado . lim ak = lim bk = c. podemos escrever f(bk ) − f(ak ) f(bk ) − f(c) f(ak ) − f(c) = (1 − tk ) + tk . bk − ak k→∞ f 0 (c) = lim Prova. N 000 sao ˜ dois a dois disjuntos.´ ´ Os teoremas classicos do Calculo ˜ real dada por ϕ(t) = hf(t). k∈N 000 Como ak < c < bk . Seja f : I −→ Rn um caminho diferenciavel no ponto c ∈ I. a subsequencia f(c) − f(ak ) f(bk ) − f(ak ) = bk − ak c − ak k∈N 00 k∈N 00 0 ´ converge para f (c). existe c ∈ (a. ´ ˆ • De modo analogo. bk ∈ I. se N 00 ⊂ N e´ infinito. Entao ˆ • Se N 0 ⊂ N e´ infinito. pelo Teorema do Valor Medio para funçoes ϕ(b) − ϕ(a) = (b − a) hf 0 (c). kf(b) − f(a)k ≤ M (b − a) . ak ≤ c ≤ bk . b) e ϕ 0 (t) = hf 0 (t). mostrar que se N ⊂ N e´ infinito. f(bk ) − f(ak ) bk − ak converge para f 0 (c). kf(b) − f(a)k2 ≤ kf 0 (c)k kf(b) − f(a)k (b − a) ≤ M (b − a) kf(b) − f(a)k. f(b) − f(a)i. diferenciavel em (a. pois f e´ diferenciavel em c. b) tal que Logo. 3a Demonstraçao: ´ Lema 3. ˜ (Caso Geral) Se baseia nos dois lemas abaixo. b] −→ R a funçao ´ [a. Entao. b). ak − c 93 . f(b) − f(a)i para todo t ∈ (a. b]. temos que a subsequencia f(bk ) − f(ak ) f(bk ) − f(c) = bk − ak bk − c k∈N 0 k∈N 0 0 ´ converge para f (c). f(b) − f(a)i. f(bk ) − f(ak ) . ak 6= bk . N 00 = {k ∈ N | bk = c} e N 000 = {k ∈ N | k ∈ N | ak < c < bk }. bk − ak bk − c ak − c a −c b −c onde tk = k e. 1 − tk = k . b). tomando ϕ(t) = M t . para todo k ∈ N. as sequencias ˆ Alem (ak ) e (bk ) convergem para um mesmo ponto c ∈ [a. que kf(d) − f(c)k ≤ ϕ(d) − ϕ(c) para todo [c. bk − ak k∈N 000 f(ak ) − f(c) ak − c ´ Lema 3. temos que converge para f 0 (c). pelo lema 3. . ˜ cont´ınuas em [a. b1 ] ⊃ . pois (ak ) e´ ˜ ˜ nao-decrescente limitada. (a. b). que kf 0 (c)k = lim k→∞ ϕ(bk ) − ϕ(ak ) kf(bk ) − f(ak )k ≥ A lim = A ϕ 0 (c) > ϕ 0 (c) .1.2. ˜ existe A > 1 tal que Entao kf(b) − f(a)k > A (ϕ(b) − ϕ(a)) (> 0) . d] ⊂ (a. b1 ]. b] e admitamos que kf(b) − f(a)k > ϕ(b) − ϕ(a). entao Prova. Como ak 6= bk e ak ≤ c ≤ bk para todo k ∈ N temos. 2k ´ disso. ˜ diferenciaveis ´ Suponhamos que f e g sao no intervalo fechado [a. em pelo menos uma das metades [a2 . b] ao meio. Sejam ϕ : [a. ⊃ [ak . lim ck = a e lim dk = b. bk − ak bk − ak k→∞ ˜ diferenciaveis ´ • Se ϕ e f sao apenas no intervalo aberto (a. . b2 ] de [a1 . pelo provado acima. b] e diferenciaveis em ˜ kf(b) − f(a)k ≤ ϕ(b) − ϕ(a). . obtemos uma sequencia de intervalos [a. tais que bk − ak = b−a e kf(bk ) − f(ak )k > A (ϕ(bk ) − ϕ(ak )) . (bk ) e´ nao-crescente limitada e (bk − ak ) −→ 0. Se kf 0 (t)k ≤ ϕ 0 (t) e ϕ 0 (t) > 0 para todo t ∈ (a. . ˆ Prosseguindo desta maneira. [a1 . b). Analogamente. b1 ] temos que kf(b2 ) − f(a2 )k > A(ϕ(b2 ) − ϕ(a2 )). em pelo menos em uma das metades. b] −→ R e f : [a. b]. (1 − tk ) Assim. temos que kf(b) − f(a)k = lim kf(dk ) − f(ck )k ≤ lim (ϕ(dk ) − ϕ(ck )) = ϕ(b) − ϕ(a) k→∞ k→∞ ´ • A desigualdade do valor medio segue-se do lema 3. bk ] ⊃ . Dividindo o intervalo [a. como b − c k k∈N 000 k∈N 000 f(bk ) − f(ak ) ˜ sequencias ˆ sao limitadas.2.´ Analise f(bk ) − f(c) e convergem para f 0 (c) e (tk ). b) temos. 94 ´ Instituto de Matematica UFF . b] e existem sequencias ˆ Como ϕ e f sao (ck ) e (dk ) de pontos de (a. b] ⊃ [a1 . temos que kf(b1 ) − f(a1 )k > A (ϕ(b1 ) − ϕ(a1 )) . b) tais que ck < dk . b] −→ Rn cont´ınuas em [a. digamos. . Sejam x ∈ (a. a + h] −→ Rn um caminho de classe Cp−1 . Se kf(p) (t)k ≤ M para todo t ∈ (a. p! Prova. (p − 1)! (b − a)p . (p − 1)! hp . que kf(x) − f(a)k ≤ 1 para todo t ∈ (a. n→∞ n kf(x) − f(a)k ≤ kx − ak lim ou seja. temos. p vezes diferenciavel no intervalo aberto ˜ (a.2. entao Prova. . n 1 = 0. p! Ou equivalentemente. b]. b). (p − 1)! (b − a)p . + (b − t)p−1 (p−1) f (t) (p − 1)! ˜ g e´ um caminho cont´ınuo em [a. b] e possui derivada nula em ˜ f e´ constante. todos os pontos de (a. b] e n ∈ N. . Frensel (b − t)p−1 (p) f (t) . Se o caminho f : [a.K. b). a + h). a + h). (p − 1)! Fazendo ϕ(t) = −M (b − t)p . p! 95 . . b] −→ Rn o caminho dado por g(t) = f(t) + (b − t)f 0 (t) + . b] −→ Rn e´ cont´ınuo em [a. + onde krp k ≤ M (b − a)p−1 (p−1) f (a) + rp . f(x) = f(a). pelo Teorema do n 1 ˜ kx − ak. fazendo b = a + h. entao: f(a + h) = f(a) + h f 0 (a) + . ˜ 3. pelo lema 3. f(b) = f(a) + (b − a) f 0 (a) + .´ ´ Os teoremas classicos do Calculo ´ Corolario 3. Seja g : [a. + onde krp k ≤ M hp−1 (p−1) f (a) + rp .1. . Entao. funçao para funçoes ´ Formula de Taylor com resto de Lagrange ´ Seja f : [a. O corolario ´ ´ pode ser demonstrado aplicando-se a cada Observaçao acima tambem ˜ coordenada fi de f o resultado analogo ´ ˜ reais. b) e g 0 (t) = Logo kg 0 (t)k ≤ M (b − t)p−1 . Como kf 0 (t)k ≤ ´ Valor Medio. diferenciavel ´ Entao em (a. temos. .3. Delgado . que p! krp k = kg(b) − g(a)k ≤ ϕ(b) − ϕ(a) = M J. 1. temos que `(f. temos que o comprimento do caminho f e´ 2π. b] } Definiçao ´ e´ limitado. quando t varia de a ate´ b. π] −→ R2 dado por f(t) = (cos(t2 ).1. . ˜ 4. `(f. P). ˜ P = {t0 = a < t1 < . dizemos que o caminho f e´ retificavel e `(f) = sup `(f. . que Q = P ∪ {r}. Se P ⊂ Q. i = 0. k. ˜ Suponhamos. P) e´ o comprimento da poligonal de vertices f(ti ). Q).´ Analise 4 ´ Caminhos retificaveis ˆ Definimos o comprimento de um caminho f : [a. < tk = b} do • Seja f : [a. P) | P e´ partiçao ˜ de [a. b] −→ Rn um caminho. primeiro. . onde ti−1 < r < ti . entao Prova. para ir de f(a) ate´ f(b). √ √ Por exemplo. Dizemos que Q e´ mais fina que P Definiçao quando P ⊂ Q. i = 0. a imagem do caminho f : [− π. e´ o semi-c´ırculo S1+ = {(x. b] −→ Rn como sendo a distancia total ´ ˜ e´ o mesmo que o comprimento percorrida pelo ponto movel f(t). ´ Fig. ˜ `(f. A cada partiçao ˜ intervalo [a. i=1 ´ Intuitivamente. sen(t2 )). . Como kf(ti ) − f(ti−1 )k ≤ kf(ti ) − f(r)k + kf(r) − f(ti−1 )k. O caso geral prova-se aplicando o processo acima um numero finito de vezes. associamos o numero real nao-negativo ´ k X `(f. k. Mas como f percorre S1+ duas √ √ vezes quando t varia de − π a π. . Q) − `(f. ´ ˜ 4. Seja f : [a. Q) ≥ `(f. b]. Se o conjunto { `(f. P) ≤ `(f. cujo comprimento e´ π. Nao da imagem f([a. . Entao. . 96 ´ Instituto de Matematica UFF . . b] −→ Rn um caminho. P) = kf(ti ) − f(ti−1 )k . P) e´ o comprimento da poligonal inscrita no caminho f com vertices nos pontos f(ti ). `(f. . Sejam P e Q partiçoes ˜ do intervalo [a. 4: `(f. pois. b].2. y) ∈ S1 | y ≥ 0}. b]). Teorema 4. P) e´ chamado o comprimento P do caminho f. P) = kf(ti ) − f(r)k + kf(r) − f(ti−1 )k − kf(ti ) − f(ti−1 )k . . o ponto f(t) pode passar pelo mesmo trecho ´ varias vezes (ate´ infinitas). 1. P) . b]. temos que Como sup `(f. b]. Q⊃P0 P ˜ P. Q) . P Q⊃P0 Prova. b].b] sao ˜ retificaveis. Frensel 97 . sup `(f. existe uma partiçao ˜ 4. dada uma partiçao P e P0 . P2 ) . Q} e. P) | P e´ partiçao Q⊃P0 Assim. ou seja. Seja P0 uma partiçao sup `(f. P) = `(f1 .c] e f2 = f|[c. b]. P1 ) + `(f2 . (1) `(f) ≥ `(f. P) ≤ `(f. pelo teorema 4. um caminho retificavel ´ ˜ de variaçao ˜ Observaçao chama-se uma funçao ˜ total da funçao ˜ f no intervalo [a.K. Todo caminho retificavel ´ Observaçao f : [a.1. f e´ limitado. portanto. Seja c ∈ [a. ˜ De fato.1. P) para toda partiçao P sup `(f. kf(t)k ≤ kf(t) − f(a)k + kf(a)k ≤ `(f) + kf(a)k para todo t ∈ [a. Q⊃P0 ˜ de [a. Prova. ´ restriçoes Neste caso. ˜ de [c. Q) . b] −→ Rn e´ limitado. b}. Q) e´ uma cota superior do conjunto { `(f. b] −→ Rn e´ retificavel ´ Teorema 4. Quando n = 1. ˜ de [a. temos que Q 0 = P ∪ P0 e´ uma partiçao ˜ mais fina do que Por outro lado. P) = sup `(f. Entao se. P) ≥ `(f. t. Entao ˜ P = P1 ∪ P2 e´ uma Seja P2 uma partiçao ˜ de [a. ´ Suponhamos que f e´ retificavel. sup `(f. b] fixa e seja P1 uma partiçao ˜ de [a. Entao. `(f) = `(f1 ) + `(f2 ). onde t ∈ [a. Logo. portanto. b] e. e so´ se. kf(t) − f(a)k + kf(b) − f(t)k = `(f. P) = sup `(f. b] tal que `(f.´ Caminhos retificaveis ˜ `(f) e´ caracterizado por: Entao. ˜ P de [a. Q) ≤ sup `(f. b].2. b]}.2. P) > `(f) − ε. Entao. c]. partiçao J. `(f. P) ≤ `(f). b] e `(f. b]. ˜ P de [a. seja P = {a. limitada e o comprimento `(f) chama-se a variaçao ˜ 4. Q) . (2) Dado ε > 0. Q 0 ) ≤ sup `(f. suas ˜ f1 = f|[a. P) ≤ sup `(f. P) para toda partiçao ˜ P de [a. Delgado . sup `(f. P Q⊃P0 P Q⊃P0 ˜ o caminho f : [a. Logo. ˜ Lema 4. f1 e f2 sao e. `(f1 ) + `(f2 ) ≤ `(f). para todo i = 0. f1 e´ retificavel e `(f1 ) ≤ `(f) − `(f2 . . < tk = 1} uma partiçao kf(ti ) − f(ti−1 )k = k [ (1 − ti )A + ti B ] − [ (1 − ti−1 )A + ti−1 B ] k = k (ti − ti−1 ) (B − A) k = (ti − ti−1 ) kB − Ak . ´ • Em geral. P1 ) + `(f2 . ´ ˜ P de [a. B]. Q c∈Q ´ temos que f e´ retificavel e `(f) ≤ `(f1 ) + `(f2 ). c] e P2 e´ uma partiçao ˜ de [c. portanto. temos que f2 e´ retificavel ´ Alem e `(f2 ) ≤ `(f) − `(f1 ). 1] −→ Rn o caminho retil´ıneo f(t) = (1 − t) A + t B. 1+λ 1+λ 1 ∈ (0. P) − `(f2 . .3. • Se `(f) = kB − Ak e a norma de Rn provem De fato. b].´ Analise Logo. b]) tal que C 6∈ [A. e so´ se. ´ e. ˜ `(f) ≥ kf(b) − f(a)k = kB − Ak. Aqui. B ∈ Rn . P2 ) ≤ `(f) − `(f1 ) para toda partiçao ˜ P2 de [c. pois P = {a. Logo. Q) = sup `(f. B] e seja c ∈ [a. i=1 Logo `(f) = kB − Ak. P) = k X k X kf(ti ) − f(ti−1 )k = kB − Ak (ti − ti−1 ) = kB − Ak . P2 ) . ˜ e´ multiplo ´ Como C 6∈ [A. b]. P2 ) . Observaçao • Seja f : [0. onde t = uma contradiçao. 1+λ ´ de um produto interno. pois. kB − Ck + kC − Ak > kB − Ak. com A. que f e´ retificavel se. ˜ retificaveis. ´ disso. caso contrario. 1). B].se um caminho retificavel f : [a. `(f) = `(f1 ) + `(f2 ). b]) ⊂ [A. temos que P = P1 ∪ P2 . b]. Como P = {t0 = 0 < t1 < . . P1 ) = `(f. sup `(f. P) = `(f1 . Suponhamos agora que f1 e f2 sao Dada uma partiçao ˜ de [a. como a norma k k provem 98 ´ Instituto de Matematica UFF . ´ Provamos. entao ´ de um produto interno. P2 ) ≤ `(f) − `(f2 . b] −→ Rn tem extremidades A = f(a) e B = f(b). pelo lema anterior. Q). . onde P1 e´ uma partiçao Como `(f. entao ˜ f([a. temos que `(f. ´ ˜ retificaveis. 1]. . como `(f2 . existiria ´ λ > 0 tal que B − C = λ(C − A) =⇒ λC + C = B + λA =⇒ (1 + λ)C = λA + B =⇒ C = ˜ uma vez que C = (1 − t)A + tB. `(f1 . b] tal que f(c) = C. ˜ 4. k. temos que B − C nao positivo de C − A. b] que contem ´ c. P2 ) ≤ `(f1 ) + `(f2 ) e. ou seja. k i=1 k e´ uma norma qualquer de Rn . suponhamos que existe C ∈ f([a. assim. . e seja ˜ de [0. λ 1 A+ B. neste caso. b} e´ uma partiçao ˜ de [a. P) = kf(b) − f(c)k + kf(c) − f(a)k = kB − Ck + kC − Ak > kB − Ak . B] dada por g(t) = (1−t) A+t B . consideremos a aplicaçao g e´ cont´ınua. b}. 0) se t ∈ [1. b]) = [A. 0)kS = kf(2) − f(0)kS . ˜ pois estamos supondo que `(f) = kB − Ak. b]) esteja contido num segmento de reta. e sua inversa g−1 : [A. ˜ caminhos retil´ıneos.2] ) = k(0. Observaçao ˜ 4. e `(f) = `( f|[0. temos que: Assim. apesar de f([a. Por exemplo.1] ) + `( f|[1.2] sao Fig.2. f([a. uma contradiçao. 1) − (0. portanto. 1]) = [A. 0)kS + k(0. Delgado . pende da norma tomada em Rn . 1]. 5: `(f) = 2 ˜ estar contido Portanto. b]) nao num segmento de reta. 1] −→ [A. 1] e´ cont´ınua e. `(f) = 2 = k(0.´ Caminhos retificaveis ˜ P = {a. o que permite a existencia de um caminho f com `(f) = kf(b) − f(a)k sem que f([a. 0) − (−1. b] −→ [0. uma vez que f|[0. A aplicaçao ˜ De fato. para a partiçao `(f. b] −→ Rn e´ cont´ınuo. f e´ retificavel ´ Entao. 1 − t) se t ∈ [0. consideremos R2 com a norma da soma e seja o caminho cont´ ınuo f : [0. B]. norma k k provem ˜ f([a. 1]. b]) = g([0. Por exemplo. `(f) = 0 ⇐⇒ f e´ um caminho constante. agora. • Suponhamos. 1] f(t) = (1 − t. uma vez que f(a) = A e f(b) = B. Ser ou nao ˜ ser retificavel ´ ˜ deObservaçao e´ uma propriedade do caminho f que nao ˜ equivalentes.1] e f|[1. tambem ˜ g−1 ◦ f : [a. 1) − (−1. B]. no intervalo [0. g−1 (f[a. `(f) = kB − Ak = kf(b) − f(a)k e que a ´ de um produto interno. Entao ˜ g : [0. B] −→ [0. 2] −→ R2 dado por (0.K. dada por g−1 (x) = kx − Ak . Frensel 99 . b])) = [0. c. 0)kS = 2 . ˜ 4. que f : [a. g−1 (f([a. ou seja. o segmento de reta que liga os pontos J. 1] que contem Assim. B]. kB − Ak ´ e´ cont´ınua.4.5. b]) e´ um intervalo contido Logo a funçao ´ os extremos 0 e 1. uma vez que duas normas quaisquer em Rn sao mas o comprimento `(f) depende da norma. ˜ provem ´ de um produto interno. podemos ter kB − Ak = kB − Ck + kC − Ak • Se a norma nao ˆ sem que C ∈ [A. 2] ˜ pelo teorema 4. sobrejetora e injetora. i=1 ´ realmente. . . Em particular. b]. n e´ retificavel. ˜ 4.1. tem variaçao Prova. 6: `(f) = 4 1 + δ2 ≤ 1 + δ e 1 + ε2 ≤ 1 + ε. Logo. `(f) = 4 . n n n n para todo n ∈ N e. . b] −→ Rn e´ um caminho poligonal. cada uma de suas funçoes ´ ˜ limitada. . com vertices nos pontos f(ti ). 0) se t 6= 1 Exemplo 4. i = 1. b] −→ Rn e´ retificavel se. pelo teorema 4. e so´ se. b] −→ R. 2] que contem Sejam 0 < δ ≤ 1 e 0 < ε ≤ 1 tais que ti−1 = 1−δ e ti+1 = 1+ε. 2] −→ R2 dado por f(t) = e´ descont´ınuo. (t. . podemos tomar em Rn a norma da soma. o comprimento da poligonal inscrita em f. 4 = lim `(f. ˜ ser retificavel ´ Como ser ou nao independe da norma. p p `(f. O caminho f : [0. 1) e B = (1. P) = n X `(fi . k.6. dada Pn = 0. ˜ Entao. uma vez que p p Fig. . 2 . basta considerarmos as partiçoes P ´ o ponto ti = 1. . O caminho f : [a.´ Analise ´ A = (0. temos que n n r r 1 1 1 1 `(f. P) = ´ toda partiçao kf(ti ) − f(ti−1 )k e. n→∞ Assim. temos. . 1 + . i=1 ´ Portanto. portanto. Pn ) = 1 − + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 − ≤ `(f) . de [0. P) ≤ `(f) . i = 0. 1 na norma do maximo √ e 2 na norma euclidiana. `(f. 100 ´ Instituto de Matematica UFF . < tk = b} de [a. que Observaçao ˜ `(f) e´ a soma dos comprimentos dos segmentos de reta que o compoem. pelo lema 4. P) ≤ `(f. . se f e´ retificavel. ´ ˜ Teorema 4.3. . `(f. temos que `(fi . considerando R2 com a norma euclidiana.1. ˜ De fato. Mas. ou seja. 1 1 ´ Logo f e´ retificavel e `(f) ≤ 4. P) . coordenadas fi : [a.2. 1. para k X ˜ P = {t0 = a < t1 < . p p pois 1 − δ + 1 + δ2 ≤ 2 e 1 − ε + 1 + ε2 ≤ 2. 1 − . (1. 1) se t = 1 ´ mas e´ retificavel e `(f) = 4. Se f : [a. 0) no plano tem comprimento 2 na norma da soma. Pn ) ≤ `(f) . P) = (1 − δ) + 1 + δ2 + 1 + ε2 + 1 − ε ≤ 4 . + + + + + . n. 1] −→ R . 1] −→ R. i=1 i=1 ˜ P de [a. O caminho f : [0. podemos provar que g : [0. se t 6= 0 e f(0) = 0.. < tk = b} uma ˜ de [a. f =f = 0. portanto.2. f =− . . . . f = 0 e f(1) = 1 . ˜ limitada. m ∈ N. ˜ De fato. t e´ uma ˜ cont´ınua.. . k k k−2 k−2 5 5 3 3 e. dado por f(t) = t sen ˜ e´ retificavel. mas nao ˜ e´ retificavel. . suponhamos que f e´ nao-decrescente. . + + + + + 1. ´ funçao J. b] −→ R tem variaçao `(f) = |f(b) − f(a)|. entao ˜ Por outro lado. Entao: k+1 k 5 4 3 2 (4m − 1)π 1 1 1 sen =− . e´ 4m 1 1 1 1 1 1 ˜ . e´ limitado e. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + . Frensel 101 . . ´ cont´ınuo.1. temos que partiçao k k X X ( f(ti ) − f(ti−1 ) ) = f(b) − f(a) . ate´ 1 1 1 1 1 1 f = . . seja Pk = 1 1 1 f(0) = 0 . . . mas nao k+1 f k−1 2t . . . Se cada funçao entao Exemplo 4. . k+1 k k−1 k−2 6 5 4 3 2 X1 ´ ˆ ˜ de [0. f nao ´ De modo analogo. b] e todo i = 1.. .. Pk ) = 0 + 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + . Delgado . `(f. 5 5 4 3 3 2 Logo. 1 = sen 4m − 3 (4m − 3)π 2 1 1 = . g(t) =  t sen 1 se t 6= 0 0 se t = 0 . =− 4m − 1 2 4m − 1 k De fato. ´ Corolario 4. Dada P = {t0 = a < t1 < . 1 . portanto. P) . P) ≤ `(fi ) . n.7. Pk ) ≥ n≥1 ˜ tem variaçao ˜ limitada. ´ ˜ f e´ retificavel. 1] } nao ˜ Como a serie harmonica diverge. `(f. temos que o conjunto { `(f. P) = `(fi . se cada fi tem variaçao n n X X `(f. . f 4m − 2 k−2 0. 4m − 3 k−2 = e assim sucessivamente. b].K.´ Caminhos retificaveis ˜ P de [a. Entao ˜ fi tem variaçao ˜ limitada para todo para toda partiçao i = 1. P partiçao n `(f. ´ para toda partiçao ˜ 4. f = 1 π k 1 1 = sen(2m − 1)π = 0 . . P) = |f(ti ) − f(ti−1 )| = i=1 i=1 ´ ˜ coordenada do caminho f e´ monotona. . Logo f e´ retificavel. . . b]. f = 0. Toda funçao ˜ monotona ´ ˜ limitada e Observaçao f : [a. para todo k = 4m − 1. para cada c ∈ [a. entao t→a 102 ´ Instituto de Matematica UFF . 8: Caminho ξ(t) = O caminho espiralado ξ : [0. o caminho h : [0. ´ Observaçao ´ mas.b] e´ retificavel para todo c ∈ (a. b] −→ R tal que f|[c. ´ ponto c ∈ [a.   t. e´ retificavel. a descontinuidade de um caminho retificavel f : [a.c] ) ≤ K para todo c ∈ [a. dado por Entao. dado f : (a. ´ e´ cont´ınuo. quando t −→ 0. b] −→ Rn um caminho tal que. 0) dando infinitas voltas em torno dela. t sen 1t Fig. nao ˜ e´ retificavel. b).c] Teorema 4. ´ tem comprimento infinito. b). b] −→ Rn num ˜ pode ser arbitraria.4. No exemplo 4.8. ´ e´ injetivo (figura 8). com ˜ existe lim+ f(t). Se existe K > 0 tal que `(f|[a. como veremos abaixo. b]. Observe que o caminho ξ tambem ˜ 4. ˜ e´ retificavel. 1] −→ R2 dado por  tei/t = t cos 1 . “ ” Fig. mas nao Observe que h e´ um caminho injetivo (figura 7). 0) se t = 0 .´ Analise ˜ pelo teorema 4. b]. ou seja. Seja f : [a. `(f|[c. 0) “ t cos 1t . t sen 1 t t ξ(t) = (0. 7: Caminho h(t) = t. entao t→b n ´ Analogamente.1.3. t sen 1 t ” se t 6= 0 se t = 0 . vimos que um caminho descont´ınuo pode ser retificavel. 1] −→ R2 . ´ tambem Neste exemplo. t sen 1 se t 6= 0 t h(t) = (0. o ponto ξ(t) tende para a origem (0. b] nao ˜ f|[a. a restriçao ´ ˜ existe lim− f(t).b] ) ≤ K seja qual for c ∈ (a. f(c+ )] para todo ˜ f e´ bem regulado. se t→c ´ f so´ possui descontinuidade de 1a especie. Vol. . b] −→ Rn um caminho retificavel. Definiçao existem os limites laterais f(c− ) = lim− f(t) (se c 6= a) e f(c+ ) = lim+ f(t) (se c 6= b).K. Dizemos que um caminho f : [a. Frensel 103 . podemos apenas afirmar que se f(c) ∈ [f(c− ). pois o outro demonstra-se de modo analogo. . para todo c ∈ (a. t→b− ´ ´ ˜ existem os limites laterais Corolario 4. Lima. convergente. para uma norma arbitraria. b). Quando a norma provem ´ de um produto interno. pois a sequencia de suas i≥2 ˜ ˆ reduzidas e´ nao-decrescente e limitada superiormente por K. < tk < . 233. k→∞ ˜ para todo k ∈ N. t→c− t→c ˜ 4.4 do Cap´ıtulo 1. tk } e´ uma partiçao i=2 com c = tk . . se. k X ˜ de [a. . c].2. ´ Logo a serie de numeros reais ´ X ˆ kf(ti ) − f(ti−1 )k e´ convergente. temos que existe lim f(tk ). t1 .10. segue. e so´ se. uma sequencia crescente em [a. ˆ Seja t1 < t2 < . pela Observaçao lim f(t) existe. da serie de vetores i≥2 ´ e´ f(tk ) − f(t1 ). Delgado . portanto. pois P = {a. Dizemos que um caminho f : [a. Sendo a Como a reduzida de ordem k − 1 desta serie k→∞ ˆ ´ ˜ 8.4.9. . t→c Em particular. temos Observaçao kf(c+ ) − f(c− )k = kf(c+ ) − f(c)k + kf(c) − f(c− )k . b]. I de E. . Seja f : [a. kf(ti ) − f(ti−1 )k ≤ K. ˜ 4. Entao lim f(t) (se c 6= a) e lim+ f(t) (se c 6= b). b). c ∈ (a. ˜ 4. pag. para todo c ∈ [a.3. b) tal que lim tk = b. ˜ f(c− ) e f(c+ ). . Todo caminho retificavel ´ Observaçao e´ regulado. o conjunto dos pontos de descontinuidade de um caminho regulado e´ enu´ ´ meravel (ver Curso de Analise. b] −→ Rn e´ regulado se. ´ Vamos provar apenas o primeiro resultado. Teorema 11) ˜ 4. ou seja. a sequencia das reduzidas X ´ ( f(ti ) − f(ti−1 ) ) e´ de Cauchy e. Entao. que o limite sequencia crescente tk −→ b arbitraria. Assim. kf(c+ ) − f(c− )k = kf(c+ ) − f(c)k + kf(c) − f(c− )k . entao J. b] −→ Rn e´ bem regulado quando ele e´ Definiçao regulado e.´ Caminhos retificaveis Prova. f(c) pertence ao segmento de reta cujos extremos sao ´ Mas. . . P ∪ P0 ) . t1 .12. . 0) se t 6= 1 (1.5. b).11. P ∪ P0 ) − `(f. Q) = 4 . As seguintes afirmaçoes valentes: ´ (1) f e´ bem regulado e retificavel. b] −→ Rn regulado e´ bem regulado se. . 2 ´ pois `(f. ˜ P0 = {t0 = a. Todo caminho cont´ınuo e´ bem regulado. temos lim `(f. 2 Seja 0 < δ < min { (ti − ti−1 ) } tal que 1≤i≤k ti − δ < s < ti < t < ti + δ =⇒ kf(t) − f(ti )k + kf(ti ) − f(s)k − kf(t) − f(s)k < ε . P) = soma de no maximo k − 1 termos da ´ forma kf(t) − f(ti )k + kf(ti ) − f(s)k − kf(t) − f(s)k . k − 1 . `(f. se a partiçao ˜ P nao ˜ contem ´ o ponto 1. e so´ se. ˜ existe lim `(f. b] com |P| < δ.  2] −→ R dado por f(t) = (t. com `(f) = L. onde [s. b] −→ Rn sao ˜ equiTeorema 4.´ Analise ˜ 4. b). . Entao: ˜ Seja P uma partiçao L− ε < `(f. lateralmente cont´ınuo. pois f(1+ ) = f(1− ) = (1. nao |P|→0 ˜ Q que contem ´ 1. P ∪ P0 ) ≤ L . ˜ de [a. nao kf(1+ ) − f(1− )k = 0 6= kf(1+ ) − f(1)k + kf(1− ) − f(1)k . . para qualquer norma k k considerada em R2 . . tem-se lim t → c+ s → c− ( kf(t) − f(c)k + kf(c) − f(s)k − kf(t) − f(s)k ) = 0 . temos que Neste exemplo. t] e´ um intervalo de P que contem 104 ´ Instituto de Matematica UFF . tk = b} de [a. 1) se t = 1 . enquanto que. P0 ) ≤ L. (2) existe lim `(f. e 0 ≤ `(f. ˜ 4. f(c+ ) = f(c) ou f(c− ) = f(c) para todo c ∈ (a. Observaçao Todo caminho regulado. 2 ´ Exemplo 4. ˜ e´ bem regulado. e´ bem regulado. pois. P) = 2. P) = L.3. 2k para todo i = 1. P0 ) ≤ `(f. |P|→0 Prova. . O caminho retificavel f : [0. para Observaçao todo c ∈ (a. Um caminho f : [a. 0) e. P). ou seja. . b] tal que (1)=⇒(2) Dado ε > 0 existe uma partiçao L− ε < `(f. para partiçoes |Q|→0 ˜ a respeito de um caminho f : [a. portanto. pois 0 < δ < min {ti − ti−1 }. portanto. J. portanto. para todo intervalo [s. ´ Logo. 2 (2)=⇒(1) Dado ε > 0. seja Qk uma sequencia de partiçoes k→∞ ˜ lim `(f. temos lim sk = lim tk = c. P) < ε(k − 1) ε < . algum ti em seu interior. Qk ) ) = lim ( kf(c) − f(sk )k + kf(tk ) − f(c)k − kf(tk ) − f(sk )k ) k→∞ k→∞ − + = kf(c) − f(c )k + kf(c ) − f(c)k − kf(c+ ) − f(c− )k . e. P) ≥ `(f. Pk ) = lim `(f. ´ c em seu interior. P ∪ P0 ) − `(f. ˜ de [a. 2k 2 Assim. P) < L + ε . f e´ bem regulado. onde sk < c < tk . P)} = sup{`(f. ou seja. pela observaçao Vamos provar que f e´ bem regulado. pois os demais intervalos de P sao desaparecem na diferença `(f. k→∞ k→∞ k→∞ − ˜ lim f(sk ) = f(c ) e lim f(tk ) = f(c+ ) .´ Caminhos retificaveis ˜ tambem ´ de P ∪ P0 e. portanto. para todo c ∈ (a. L ≥ `(f. b). temos que f e´ retificavel e L − ε < `(f) ≤ L + ε para todo P⊃P0 P ε > 0. 0 ≤ `(f. `(f) = L e. P)}. Qk ) = L e Seja Pk = Qk ∪ {c}. Entao k→∞ 0 = k→∞ lim ( `(f. P ∪ P0 ) − `(f. P ∪ P0 ) − ε > L − ε.K. P). Seja P0 uma partiçao ˜ se P ⊃ P0 . Entao k→∞ k→∞ 0 ≤ `(f. como sup {`(f. b] fixa com |P0 | < δ. Dado c ∈ (a. entao algum ti em seu interior. que (kf(c+ ) − f(c)k + kf(c) − f(c− )k − kf(c+ ) − f(c− )k) = 0 . ˜ 4. Frensel 105 . P) < L + ε . ˆ ˜ com lim |Qk | = 0 e c 6∈ Qk . Entao. onde [sk . ˜ existe no maximo ´ Observe que se |P| < δ. t] de P que contem ´ Logo se |P| < δ. e. Delgado . b). Assim. tk ] e´ o intervalo de Qk que contem Como lim |Qk | = 0. portanto. Qk ) = kf(c) − f(sk )k + kf(tk ) − f(c)k − kf(tk ) − f(sk )k . Pk ) − `(f. Logo. 1≤i≤k ˜ ti − δ < s < ti < t < ti + δ.9. f e´ regulado. entao um ti no interior de seus subintervalos. temos que |P| ≤ |P0 | < δ e. L − ε < `(f. Pk ) − `(f. existe δ > 0 tal que |P| < δ =⇒ L − ε < `(f. ´ Analise ´ ˜ f e´ retificavel ´ Corolario 4.3. Seja f : [a, b] −→ Rn um caminho cont´ınuo. Entao com comprimento L se, e so´ se, lim `(f; P) = L. |P|→0 ˜ 4.13. Seja f : [a, b] −→ Rn um caminho lipschitziano tal que Observaçao kf(s) − f(t)k ≤ K |s − t| ˜ P = {t0 , t1 , . . . , tk } de [a, b], temos para s, t ∈ [a, b] quaisquer. Dada uma partiçao k X X `(f; P) = kf(ti ) − f(ti−1 )k ≤ K (ti − ti−1 ) = K(b − a) . i=1 ´ Logo f e´ retificavel e `(f) ≤ K(b − a) . ˜ f e´ lipschitziano, pois: • Em particular, se f : [a, b] −→ Rn e´ um caminho de classe C1 , entao ◦ f 0 ([a, b]) e´ limitado, ou seja, |f 0 (t)| ≤ M para todo t ∈ [a, b], uma vez que f 0 e´ cont´ınuo e [a, b] e´ um intervalo compacto; ´ ◦ e, portanto, pela Desigualdade do Valor Medio, kf(s) − f(t)k ≤ M |s − t| para s, t ∈ [a, b] quaisquer. ´ Logo todo caminho de classe C1 e´ retificavel. ´ Teorema 4.6. Todo caminho f : [a, b] −→ RZn de classe C1 e´ retificavel com b kf 0 (t)k dt. `(f) = a Prova. Basta mostrar que Zb kf 0 (t)k dt . lim `(f; P) = |P|→0 a ˜ de integral, dado ˜ Pela definiçao Zεb > 0, existe δ1 > 0 tal que |P| < δ1 , entao X ε kf 0 (t)k dt − (kf 0 k. P ? ) . . . < . ξi = ti−1 ∈ [ti−1 . i=1 E. tk−1 ). . ξ). . . entao: 106 ´ Instituto de Matematica UFF . ou seja. ti ]. 2(b − a) ˜ Logo se |P| < δ2 . . k. . 2 a ? onde P = (P. ξ = (t0 . para todo i = 1. pela diferenciabilidade uniforme de f. existe δ2 > 0 tal que |P| < δ2 =⇒ f(ti ) − f(ti−1 ) = (f 0 (ti−1 ) + ρi ) (ti − ti−1 ) . P ) = k X kf 0 (ti−1 )k (ti − ti−1 ) . . e X 0 ? (kf k. com |ρi | < ε . . . ˆ O comprimento de arco como parametro . . . . k k k . . . . X X X . . . . kf(ti ) − f(ti−1 )k − kf 0 (ti−1 )k |ti − ti−1 | . kf 0 (ti−1 )k (ti − ti−1 ) . = . . P) − . `(f. . . . i=1 ≤ ≤ = i=1 k X . . . kf(ti ) − f(ti−1 )k − kf 0 (ti−1 )k |ti − ti−1 | . i=1 k X i=1 k X i=1 = i=1 kf(ti ) − f(ti−1 ) − f 0 (ti−1 )(ti − ti−1 )k k X . . ε . ti − ti−1 . obtemos que: Entao . kρi (ti − ti−1 )k < 2(b − a) i=1 ε(b − a) ε = . 2(b − a) 2 ˜ se δ = min{ δ1 . δ2 } > 0 e |P| < δ . . . . Zb Zb . . X X ε ε 0 ? 0 ? 0 . P) − kf 0 (t)k dt . `(f. ≤ . . P) − . `(f. . P ) + (kf k. (kf k. P ) − kf (t)k dt . < + = ε. . . . . sen t). π] −→ R2 . temos Z √π Z √π Z √π . sen t2 ) .4. a 2 a 2 ˜ o comprimento de f e´ Exemplo 4. g(t) = (cos t2 . Entao Z 2π Z 2π 0 kf (t)k dt = `(f) = 0 1 dt = 2π . f(t) = (cos t. 0 √ √ E se g : [− π. 2π] −→ R2 . Seja f : [0. √π 0 2. 2 t dt = 2t . ϕ(a) = c e ϕ(b) = d. 232 do livro Curso de Analise. ϕ(a) = d e ϕ(b) = c. Delgado . pelo teorema 10 da pag. ϕ e´ constante em [s. ´ cont´ınua. d] e´ uma funçao sobrejetora (e.1. I de E. Seja g : [c. • ϕ(s) = ϕ(t) com s < t. t].K. d] −→ Rn um caminho. Frensel 107 . onde ϕ : [a. = 2π . ˜ • ϕ e´ nao-crescente. Quando ˜ • ϕ e´ nao-decrescente. b] −→ [c. J. b] −→ Rn . Lima). Vol. Uma reparametrizaçao ˜ de g e´ um caminho Definiçao ˜ monotona ´ g ◦ ϕ : [a. `(g) = √ kg (t)k dt = √ |2 t| dt = 2 − π 5 − π 0 0 ˆ O comprimento de arco como parametro ˜ 5. portanto. k. . tk } uma partiçao ˜ para todo i = 0.5 do Cap´ıtulo 1. ˜ P = {ξ0 . d]. 1. P = {s0 . basta considerarmos as partiçoes ˜ de [c. Se (⇐=) Suponhamos que g e´ retificavel. ´ ˜ de [c. b] tal que ϕ(si ) = ti . onde ξi = sk−i . . . . funçao ´ ˜ f = g ◦ ϕ : [a. . Q) ≤ `(g) . Neste caso. podemos tomar s0 = a. k. para calcularmos o comprimento de g ◦ ϕ. . . 1. . Q) = `(g ◦ ϕ. existe si ∈ [a. . . g ◦ ϕ e´ retificavel e `(g ◦ ϕ) ≤ `(g). Seja P = {s0 . d] e tais que ϕ|P seja injetora. d]. t1 . e teremos si−1 < si . 108 ´ Instituto de Matematica UFF . b] sobre o compacto [c. . ou seja. o caminho Teorema 5. ˜ P de [a. `(g) = `(g ◦ ϕ). P) . k. i=1 ´ Assim. Neste caso. b]. . b] Logo. podemos tomar s0 = b. `(g ◦ ϕ) = `(g). b] −→ Rn e´ cont´ınua ⇐⇒ o caminho Observaçao g : [c. P) ≤ `(g ◦ ϕ) para toda partiçao ˜ g e´ retificavel ´ Entao e `(g) ≤ `(g ◦ ϕ) e. 1.1. Q = ϕ(P) e´ uma partiçao k X `(g ◦ ϕ. . sk } uma partiçao ϕ(si−1 ) = ϕ(si ). sk = b. i = 0. ˜ segue-se do corolario ´ Essa observaçao 11. P) . d]. e so´ se. i=1 ˜ Se ϕ e´ nao-crescente. temos que kg(ϕ(si )) − g(ϕ(si−1 ))k = 0. . ξk }.1. . . . . A reparametrizaçao ´ g : [c. . P) = kg(ϕ(si )) − g(ϕ(si−1 ))k = `(g. Prova. b] −→ Rn e´ retificavel se. . d] e´ uma ˜ cont´ınua do compacto [a. sk = a. b]. . pois ϕ : [a. (=⇒) Suponhamos que g ◦ ϕ e´ retificavel e seja Q = {t0 . sk } e´ uma partiçao `(g. ξ1 . Logo. e teremos si−1 > si para todo i = 0. . portanto. . s1 . Logo `(g. . para todo ˜ de [a. Entao ˜ Se ϕ e´ nao-decrescente. d] −→ Rn e´ cont´ınuo. . Q) = k X kg(ti ) − g(ti−1 )k = i=1 k X kg(ϕ(si )) − g(ϕ(si−1 ))k = `(g ◦ ϕ. . ˜ Q de [c. b] −→ [c. Q) = = k X i=1 k X kg(ti ) − g(ti−1 )k = k X kg(ϕ(si )) − g(ϕ(si−1 ))k i=1 kg ◦ ϕ(ξk−i ) − g ◦ ϕ(ξk−(i−1) )k = i=1 k X kg ◦ ϕ(ξj ) − g ◦ ϕ(ξj−1 )k j=1 = `(g ◦ ϕ.´ Analise ˜ 5. b] tal que Entao `(g. . ´ ˜ de [a. d] −→ Rn e´ retificavel. s1 . e´ uma partiçao ˜ de [a. . A reparametrizaçao ˜ f = g ◦ ϕ : [a. por absurdo.2.c] ) < + = . Delgado . a a ˜ Reciprocamente. b] −→ Rn e´ um caminho cont´ınuo retificavel. portanto. f(t) = (cos t. c2 }. `(f|[t.t] ) = t − s. b].t] ). ´ ˜ Vamos mostrar que σ e´ cont´ınua no ponto a. c2 ] =⇒ kf(t) − f(a)k < A .1. entao Zτ d Logo |f 0 (t)| = kf 0 (s)k ds = 1. se kf 0 (t)k = 1 para todo t ∈ [a. pois f ∈ C∞ e kf 0 (t)k = 1 para todo t ∈ [0. Entao Logo A ≤ σ(t) ≤ σ(c1 ) < 4A . Entao. e´ cont´ınua. b] tal que A ≤ σ(c1 ) < Suponhamos. b] . Dizemos que um caminho retificavel ´ Definiçao f : [a. Um caminho f : [a.c] . quando `(f|[a. 3 ´ De modo analogo. se s < t. entao Teorema 5. Se f : [a. Frensel 109 . Zt Prova. e. existe A = lim+ σ(t) = inf{ σ(t) | t ∈ (a.1. e so´ se.ˆ O comprimento de arco como parametro ˜ 5. b] −→ R de classe C1 e´ parametrizado pelo comprimento de arco se. i=2 Logo σ(c) = `(f|[a. Neste caso. ´ ˜ a funçao ˜ σ : [a. L = `(f).c] ) ≤ 3 3 3 3 2A ˜ < A . b]. c].c1 ] ) = σ(c1 ) − σ(t) < . c1 ]. O caminho f : [0. a a Exemplo 5. b]. que A > 0 = σ(0). Como σ e´ monotona nao-decrescente. Prova. dτ kf 0 (s)k ds = t − a para todo t ∈ [a. b] −→ R e´ parametrizado pelo comprimento de arco ou cadenciado. ˜ `(f|[s.K. sen t). J. L]. P) = kf(t1 ) − f(a)k + kf(ti ) − f(ti−1 )k < + `(f|[t1 . sendo f cont´ınua em a. temos Seja c = min{ c1 . Como σ(b) = L. b] } t→a ˜ existe c1 ∈ (a. b] −→ Lema 5. b) } = L = σ(b) . existe c2 ∈ (a.t] ) = t − a para todo t ∈ [a. 3 3 Por outro lado. ˜ Se f e´ parametrizado pelo comprimento de arco. e´ parametrizado pelo comprimento de arco. definida por σ(t) = `(f|[a. podemos provar que sup { σ(t) | t ∈ [a. kf 0 (t)k = 1 para todo t ∈ [a. 3 A 4A para todo t ∈ (a. b) tal que t ∈ [a. 3 ˜ para toda partiçao ˜ P de [a. entao Zt Zt `(f|[a. uma contradiçao. 2π] −→ R2 . k X A A A 2A `(f|[a.t] ) = kf 0 (s)k ds = 1 ds = t − a . 2π]. σ e´ sobrejetiva.2. entao [0. t0 ] −→ Rn e´ um caminho cont´ınuo e retificavel. b] −→ Rn e´ um caminho cont´ınuo retificavel e ψ(t) = `(f|[t0 . pelo teorema 5.t0 ] ) .t0 ] ) = σ(t0 ) . ´ ˜ Para provar que g e´ parametrizado pelo comprimento de arco. cont´ınuo. Todo caminho cont´ınuo retificavel f : [a. temos.s] ) = `(g ◦ σ|[a. L] arbitrario. por outro lado.t] ) = σ(t) = s . ´ No caso geral. pois se σ(t) = σ(s) = u. b] −→ Rn e´ cont´ınuo e σ : [a. o qual e. L] −→ Rn da seguinte maneira: dado u ∈ [0. t→b− ou seja.t0 ] ) = `(f|[a. σ(t) = u. b). t] =⇒ f(s) = f(t). Pomos. pelo provado acima. b] f - Rn σ g ? [0. t→t0 ´ E. O caminho g esta´ bem definido. E. entao Como f = g ◦ σ. pelo teorema 5. t→t t→t 0 0 ´ ˜ de Teorema 5. como f|[t0 . Consideremos o diagrama abaixo: [a.t] ) = `(f|[a. σ(s) = σ(t) =⇒ `(f|[s. ´ ´ pelo corolario 11. uma vez ´ que f e´ retificavel. portanto. L].5 do cap´ıtulo 1. temos.t] ) . f : [a. existe t ∈ [a. b] tal que ˜ g(u) = f(t). L] −→ Rn . que lim+ ψ(t) = ψ(t0 ) = 0 e. portanto. b] −→ [0. L] Dado s < t em [a. lim σ(t) = sup{ σ(t) | t ∈ [a. entao. portanto.t] ) = σ(t) − `(f|[a. L = `(f). Como f|[a. Definimos g : [0. pelo observado acima. que g e´ cont´ınuo. b] −→ Rn e´ a reparametrizaçao ´ um caminho parametrizado pelo comprimento de arco g : [0. b]. t→t0 lim+ σ(t) = lim+ ψ(t) + `(f|[a.t0 ] : [a. L] e´ cont´ınua e sobrejetora.3.t] ) = 0 =⇒ f e´ constante em [s. 110 ´ Instituto de Matematica UFF . Prova. tome t0 ∈ (a. temos σ(t) = σ(s) + `(f|[s.1. temos.1.´ Analise e. ˜ f(s) = f(t). b) } = L = σ(b) . necessariamente. Entao existe t ∈ [a. σ e´ cont´ınua no ponto b. que lim− σ(t) = σ(t0 ).b] : [t0 . Portanto. g e´ retificavel. tome s ∈ [0. b] tal que σ(t) = s e. `(g|[0. temos que ψ(t) = `(g|[0.ψ(t)] ) = `(g ◦ ψ|[t. portanto.1. ˜ onde g˜ : [0. 1]. entao comprimento de arco. ´ pelo comprimento de arco tal que f = g ◦ ψ. L] −→ Rn e´ o caminho parametrizado pelo comprimento de arco tal que f = g˜ ◦ σ. nao sao mas nao lipschitziana. L] −→ Rn parametrizado ´ ˜ ´ o e. Um caminho pode ser retificavel ´ Observaçao sem ser lipschitziano.t] ) . g(s) = g(L ˜ − s) para todo s ∈ [0.b] ) = `(f|[a.ψ(t)] ) = `(g ◦ ψ|[a. onde g e´ parametrizado pelo (=⇒) Se f e´ um caminho cont´ınuo retificavel. nao-decrescente e sobrejetora. temos que g(L − s) = f(t) = g(σ(t)) ˜ = g(s).t] ) = L − σ(t) . L] −→ Rn . portanto. do qual f e´ uma reparametrizaçao. Logo ψ e´ determinada de modo unico e. e so´ se.3. Por exemplo. o caminho f : [0. se ψ : [a. L] e´ monotona nao-crescente e sobrejetora. Delgado . J.1.3. ˜ se f = g ◦ ψ. temos. Assim. Um caminho cont´ınuo e´ retificavel se. g e´ o caminho g˜ percorrido em sentido ´ contrario. dado s = σ(t) ∈ [0. e´ a reparametrizaçao caminho lipschitziano. 1] −→ R2 . L] e´ monotona ´ ˜ Entao. Prova. onde ψ : [a. que toda repa˜ de um caminho lipschitziano e´ retificavel. Dizemos que um caminho diferenciavel ´ Definiçao f : [a. ˜ 5. tambem ´ ˜ Agora. t ∈ [0. b] −→ Rn um caminho cont´ınuo retificavel.t] ) = |t − s| .b] ) = `(f|[t. pelo teorema 5. onde σ(t) = `(f|[a. o caminho g : [0.K. temos: ψ(t) = `(g|[0.ˆ O comprimento de arco como parametro ´ ´ ˜ de um Corolario 5.b] ) − `(f|[a. ´ (⇐=) Como todo caminho lipschitziano e´ retificavel. ´ Observaçao e seja um caminho ˜ parametrizado pelo comprimento de arco g : [0. L]. ou seja. com ψ nao-decrescente. ˜ 5.t] ) = `(f|[a. Frensel 111 . b] −→ [0.2.t] ). uma vez que a funçao ˜ t 7−→ t. ´ ˜ e´ lipschitziano. pois suas funçoes coordenadas √ ˜ e´ ˜ monotonas. Logo f(t) = g(ψ(t)) = g(L − σ(t)) e. L]. ˜ 5. √ ´ ˜ t) e´ retificavel. b]. b] −→ [0. ´ rametrizaçao ´ ˜ f = g ◦ σ. Seja f : [a. temos que g e´ lipschitziano. Como kg(t) − g(s)k ≤ `(g|[s. dado por f(t) = (t. b] −→ Rn e´ regular quando f 0 (t) 6= 0 para todo t ∈ [a. f0 1 e´ cont´ınua. • Suponhamos. Dizemos que uma funçao ˜ diferenciavel ´ Definiçao bijetora f : I −→ J e´ um difeomorfismo ´ quando f−1 : J −→ I e´ diferenciavel. se f ∈ Ck . entao ˜ f−1 ∈ Ck−1 . portanto. portanto. e. f0 1 e´ de classe Ck−1 . mas nao injetivo se b − a > 2π.4. se f ∈ Ck . que f−1 : J −→ I e´ diferenciavel e (f−1 ) 0 (y) = 1 f 0 (f−1 (y)) . onde f(I) = J. entao ˜ f 0 ◦ f−1 e´ cont´ınua. f e´ um difeomorfismo. f−1 e´ ◦ f−1 ˜ 5. entao. quando n > 1. ˜ pela observaçao ˜ E. ˜ regular. temos. Lima. entao de classe Ck . f−1 e´ de ◦ f−1 ˜ que se f ∈ Ck−1 . o caminho f : [a. portanto. (f−1 ) 0 = • Se f ∈ C1 . pois: E. entao classe C1 . No teorema abaixo. I. todo difeomorfismo f : I −→ J e´ regular. f 0 (f−1 (y))(f−1 ) 0 (y) = 1 para todo y ∈ J. um caminho f : I −→ Rn regular e´ injetivo. pela regra da cadeia. para todo y ∈ J. particular. b] −→ Rn um caminho regular de classe Ck (k ≥ 1). reciprocamente. b] −→ [0. sendo ´ f. ˜ f 0 ∈ Ck−1 . para a derivada (teorema de Darboux). L] −→ Rn um caminho parametrizado pelo comprimento de arco do qual f = g ◦ σ e´ uma ˜ Entao ˜ g ∈ Ck e σ : [a. L = `(f) e g : [0. ou f 0 (t) < 0 para todo t ∈ I. para n = 1. ˜ pelo Teorema do Valor Intermediario ´ Entao. L] e´ um difeomorfismo de classe Ck . sen t).4. por induçao. vamos considerar Rn com a norma euclidiana. (f−1 ) 0 = Assim. tambem. se f : I −→ J = f(I) e´ uma funçao acima. ˜ Inversa (ver Curso de Analise.4. corolario 6). diferenciavel ´ Observaçao com f 0 (t) 6= 0. para todo t ∈ I. ´ Se f : I → J e´ regular e f(I) = J. Sejam f : [a. 274. ou seja. Em particular. ˜ e´ Por exemplo. g = f ◦ σ−1 e´ uma reparametrizaçao 112 ´ Instituto de Matematica UFF . e. e´ regular. ˜ monotona ´ ou f 0 (t) > 0 para todo t ∈ I e f e. em Em particular. o que nao geral. crescente.´ Analise ˜ 5. ˜ de f pelo comprimento de arco. ´ ˜ f−1 ∈ Ck . ou seja. temos que ´ entao. Em reparametrizaçao. J intervalos da reta. pelo Teorema da Funçao ´ ´ Vol I de E. Seja f : I −→ J uma funçao ˜ regular. b] −→ R2 dado por f(t) = (cos t. monotona decrescente. Teorema 5. ou seja. ˜ e´ verdade. pag. pois f ◦ f−1 = Id e. J. f 0 (t)i ˜ f 0 e f 00 sao ˜ . k ≥ 2. E. ˜ angulo ˆ ˜ θ : [a. L] −→ Rn e´ um caminho de classe Ck . temos que σ 0 e´ ´ diferenciavel e σ 00 (t) = hf 00 (t). b] −→ S1 e´ uma funçao z(t) = (cos θ(t). se f ∈ Ck . cont´ınua. σ 0 e´ de classe Ck−1 . σ(t) = L − a ´ verifica-se. Como k k e´ a norma euclidiana. σ 0 e´ Seja f ∈ Ck+1 . L] e´ um difeomorfismo de classe Ck . portanto. Podemos. Entao ˜ que se f ∈ Ck . ˜ de Em qualquer caso. f 0 (t)i . pois f e σ−1 sao classe Ck . por induçao. se k = 2. k ≥ 2. escrever z : [a. ou seja. t ∈ [a. g = f ◦ σ−1 : [0. Frensel 113 . ˜ f 0 . t kf 0 (s)k ds . b] −→ [0. b] −→ R tal que Uma funçaopara o caminho z : [a. Entao de classe Ck . ´ ˜ ˜ 5. σ : [a. pelaZobservaçao t kf 0 (s)k ds . Delgado . onde k k e´ a norma euclidiana. b] −→ [0. sen θ(t)) para todo t ∈ [a. temos. que σ : [a. e as funçoes kf 0 (t)k ˜ σ e´ de classe C2 . σ : [a. De fato.K.˜ angulo ˆ A funçao- Prova. Suponhamos. b]. b] −→ R2 um caminho tal que kz(t)k = 1 para todo t ∈ [a. que • Se σ e´ monotona nao-decrescente. pois σ 0 = k k ◦ f 0 e´ Entao.2. portanto. k ≥ 2. b] −→ [0. b]. entao ˜ σ 0 ∈ Ck−1 . kf 0 (t)k caso f ∈ Ck . b] −→ S1 . L] e´ um difeomorfismo de classe Ck . ˜ se f ∈ C1 . de modo analogo ao anterior. 6 ˜ angulo ˆ A funçaoSeja z : [a. Z ou seja. Assim. σ 00 e´ de classe Ck−1 . ´ ˜ • No caso em que σ e´ monotona nao-crescente. pois σ 00 (t) = hf 00 (t). cont´ınuas. b]. 1] e´ um difeomorfismo de classe C1 . f 00 e σ 0 sao ˜ de classe Ck−1 e. σ(t) = `(f|[a.t] ) = a 0 0 Logo σ (t) = kf (t)k > 0 para todo t ∈ [a. b]. σ 00 e´ cont´ınuo. dado θ0 ∈ R tal que z(a) = (cos θ0 . ϕ : [a. ˜ angulo ˆ Teorema 6. ´ disso. z 0 (t) ⊥ z(t). De fato. temos que: 114 ´ Instituto de Matematica UFF . ´ Prova. b] −→ R duas funçoes ˜ θ(t) − ϕ(t) e´ um multiplo Entao inteiro de 2π para todo t ∈ [a. z 0 (t)i. b]. Logo θ e´ de classe Cr . temos que 2π 2π θ(t) − ϕ(t) = 2πk para algum k ∈ Z fixo. x(a) = cos θ0 e y(a) = sen θ0 . b] −→ R e´ uma funçao˜ angulo ˆ Entao para o caminho z se. Seja ξ : R −→ S1 a funçao ˜ θ : [a. 2 dt para todo t ∈ [a. Entao Agora vamos provar que x(t) = cos θ(t) e y(t) = sen θ(t) para todo t ∈ [a. b] −→ R sao ˜ de classe Cr . as funçoes ˜ coordenadas x. b] −→ R de classe Cr tal que θ(a) = θ0 . como θ 0 = λ. x 0 (t) = −λ(t) y(t) e y 0 (t) = λ(t) x(t). Portanto. b]. x 0 = −λy e y 0 = λx. temos que λ e´ de classe Cr−1 . ´ ´ para funçoes˜ ˆ Unicidade (valida tambem angulo cont´ınuas). possui uma funçaode classe Cr . para todo t ∈ [a. b]. para todo t ∈ [a. ´ ˜ t 7−→ Como a funçao θ(t) − ϕ(t) θ(t) − ϕ(t) e´ cont´ınua e ∈ Z para todo t ∈ [a. b]. temos k = 0 e. z admite uma ˜ angulo ˆ unica funçaoθ : [a. b]. b] −→ R definida por Zt λ(s) ds .´ Analise ˜ exponencial dada por ξ(t) = (cos t. Mais precisamente. Como |z(t)| = 1 para todo t ∈ [a. b]. com Entao. z(t)i = 1 d hz(t). temos que hz 0 (t). b]. b]. ou seja. Sejam θ. e so´ se. y : [a. ϕ(t) = θ(t) para todo t ∈ [a. ˆ Existencia Seja z : [a. z = ξ ◦ θ. r ≥ 1. sen t) = eit . b]. como λ(t) = hw(t). Logo. Alem Seja θ : [a. b]. ´ Assim. z 0 (t) e´ um multiplo do vetor w(t) = (−y(t).1. x(t)) para todo t ∈ [a. se ϕ(a) = θ(a) = θ0 . portanto. ˜ cont´ınuas tais que ξ ◦ θ = ξ ◦ ϕ = z. ou seja. para todo t ∈ [a. existe λ(t) ∈ R tal que z 0 (t) = λ(t) w(t). ˜ se z(t) = (x(t). z(t)i = 0 . θ(t) = θ0 + a ˜ θ(a) = θ0 e θ 0 (t) = λ(t) para todo t ∈ [a. y(t)). b] −→ S1 um caminho de classe Cr tal que z(a) = ξ(θ0 ). sen θ0 ). b]. b] −→ S1 de classe Cr . Todo caminho z : [a. observaçao J. θ : [a. b].K. cos θ(t) ) } e´ uma base ortonormal de R2 . y(t)) = h(x(t). b]. para todo t ∈ [a. b]. para todo t ∈ [a. y(t)). b]. (cos θ(t). • x(t) cos θ(t) + y(t) sen θ(t) = x(a) cos θ(a) + y(a) sen θ(a) = cos2 θ0 + sen2 θ0 = 1 (I) e • y(t) cos θ(t) − x(t) sen θ(t) = y(a) cos θ(a) − x(a) sen θ(a) = sen θ(a) cos θ(a) − cos θ(a) sen θ(a) = 0 . Frensel 115 . sen θ0 ). Dado θ0 ∈ R tal ˜ de classe Cr . ˜ para todo t ∈ [a. y(t)). uma vez que. r ≥ 1. cos θ(t)) . b]. Seja f : [a. para todo t ∈ [a. (II) para todo t ∈ [a. tal que que f(a) = kf(a)k (cos θ0 . Como. b]. ( − sen θ(t). existe uma unica funçao ´ θ(a) = θ0 e f(t) = kf(t)k (cos θ(t). para todo t ∈ [a. ´ Corolario 6. ˜ angulo ˆ Basta tomar a funçaoθ do caminho z(t) = f(t) com θ(a) = θ0 . sen θ(t))i (cos θ(t).8.˜ angulo ˆ A funçao- • ( x(t) cos θ(t) + y(t) sen θ(t) ) 0 = x 0 (t) cos θ(t) − x(t) θ 0 (t) sen θ(t) +y 0 (t) sen θ(t) + y(t) θ 0 (t) cos θ(t) = −λ(t) y(t) cos θ(t) − x(t) λ(t) sen θ(t) +λ(t) x(t) sen θ(t) + y(t) λ(t) cos θ(t) = 0 • ( y(t) cos θ(t) − x(t) sen θ(t) ) 0 = y 0 (t) cos θ(t) − y(t) θ 0 (t) sen θ(t) −x 0 (t) sen θ(t) − x(t) θ 0 (t) cos θ(t) = λ(t) x(t) cos θ(t) − y(t) λ(t) sen θ(t) +λ(t) y(t) sen θ(t) − x(t) λ(t) cos θ(t) = 0 . Entao. sen θ(t)) +h(x(t).1. b] −→ R2 − {0} um caminho de classe Cr . cos θ(t))i (− sen θ(t). sen θ(t)). Prova. obtemos z(t) = ( cos θ(t). Delgado . temos que z(t) = (x(t). b] −→ R. por (I) e (II). sen θ(t) ) . z e´ de classe Cr . { ( cos θ(t). Logo. sen θ(t) ) . (− sen θ(t). pela kf(t)k ˜ 1. b] −→ R2 −{0} um caminho de classe Cr por partes. .´ Analise ´ Corolario 6. ˜ pelo teorema anterior. b]. b] −→ R a funçaode classe Cr para o caminho z(t) = f(t) tal kf(t)k ˜ ˆ que ϕ(a) = θ(a). Como a unicidade no teorema 6. r ≥ 1.ti ] e´ de Seja P = {t0 = a < t1 < . ti ] −→ R para o caminho f|[ti−1 . ˜ a funçao ˜ θ : [a. Prova. k.2. para o caminho f|[t1 . Se z : [a. b] −→ R e´ tal que f(t) = kf(t)k (cos θ(t). θ e´ de classe Cr . temos que θ = ϕ e. . . Seja f : [a. ˜ 6. . ˜ 6. b] −→ R2 − {0} um caminho de classe Cr . . portanto. definida por θ(t) = θi (t). Seja f : [a. 116 ´ Instituto de Matematica UFF . θ1 : [a. existe uma unica funçao ´ R tal que θ(a) = θ0 e f(t) = kf(t)k(cos θ(t). obtemos. f|[a. sen θ0 ). com θi (ti−1 ) = θi−1 (ti−1 ). ti ]. . b] −→ R. Logo θ e´ de classe Cr por partes e e´ a unica funçao´ de classe Cr por partes do caminho f tal que θ(a) = θ0 . . b] tal que f|[ti−1 . . e´ cont´ınua e θ|[ti−1 . para todo t ∈ [a. < tk = b} uam partiçao classe Cr . k. sen θ0 ).1 foi provada para funçoesangulo cont´ınuas. .ti ] . com θ2 (t1 ) = θ1 (t1 ). b] (ver exerc´ıcio 7.t2 ] e´ de classe Cr .t2 ] . b] −→ que f(a) = kf(a)k (cos θ0 . k. t1 ] −→ R de classe Cr tal ˜ angulo ˆ que θ1 (a) = θ0 . uma funçao ˜ angulo ˆ De fato. entao ˜ Observaçao ˜ angulo ˆ existe uma unica funçaoθ : [a. Dado θ0 ∈ R tal ˜ de classe Cr por partes θ : [a. ˜ angulo ˆ Prosseguindo deste modo. para todo i = 1. para cada i = 2. ˜ do intervalo [a.t1 ] possui uma funçao˜ angulo ˆ Entao. b]. para todo t ∈ [a.ti ] e´ Entao. . t2 ] −→ R. seja ϕ : [a. . sen θ(t)). . sen θ(t)) para todo t ∈ [a. se t ∈ [ti−1 .2. existe uma funçaoθ2 : [t1 . b] −→ R cont´ınua tal que θ(a) = θ0 e ´ z(t) = (cos θ(t). . Se uma funçao ˜ Observaçao ˜ θ e´ cont´ınua θ : [a.1. . uma funçaode classe Cr θi : [ti−1 . entao ˜ de classe Cr . Como f|[t1 . ˜ angulo ˆ de classe Cr para todo i = 1. b] −→ S1 e´ um caminho cont´ınuo e z(a) = (cos θ0 .1). sen θ(t)) . e aplicando as ˜ em relaçao ˜ a esta variavel. exceto a i−esima. y. a imagem do caminho de classe C∞ Observaçao ´ λ : R −→ Rn . pois ∂xi f ◦ λ(t) − f ◦ λ(0) f(a + tei ) − f(a) ∂f = lim = (a) . (a. ´ regras usuais de derivaçao ˜ 1. Definiçao ´ Dado a ∈ U. . f(a. Quando n = 2. xn ) se faz • Assim. b) e e´ paralelo ”superf´ıcie” em R3 . . y) ∈ Dom(f)} e´ uma ˜ de f ao segmento de reta que passa por c = (a. ∂xi t t→0 ´ a notaçao ˜ ∂i f(a). o calculo pratico da i−esima derivada parcial de uma funçao ´ ´ considerando todas as variaveis como se fossem constantes. e´ o limite f(a + tei ) − f(a) ∂f (a) = lim . em relaçao 117 . Como U e´ aberto e a ∈ U. b) e´ a inclinaçao ∂x ˜ ao plano horizontal. (f ◦ λ) 0 (0) = lim t t ∂xi t→0 t→0 no ponto t = 0. Usa-se tambem ˜ 1. Dados o ponto a ∈ U e i ∈ {1. quando tal limite existe. ε) −→ R A i−esima derivada parcial de f no ponto a e. ´ ´ portanto. | (x.1.2. ou seja. G = {(x. .1. . uma vez que: no ponto (a. a i−esima derivada parcial de f no ponto a. ε) =⇒ λ(t) = a + tei ∈ U. e a restriçao ´ ao eixo das abscissas tem como grafico uma curva plana x 7−→ (x. existe ε > 0 tal que t ∈ (−ε.Cap´ıtulo 3 ˜ ´ Funçoes reais de n variaveis 1 Derivadas parciais ˜ 1. . 1 ≤ i ≤ n. b. b. ∂f (a) = (f ◦ λ) 0 (0). b)). b)) obtida na superf´ıcie fazendo y constante igual a b. Portanto. ∂f ˜ da reta tangente a esta curva. . e´ a reta que passa por a e e´ paralela ao i−esimo eixo. n}. f(x. ´ ´ ´ ˜ real f(x1 . . f(x. . a derivada da funçao ˜ f ◦ λ : (−ε. y)). o grafico ´ Observaçao de f. Seja f : U −→ R uma funçao ˜ real definida num subconjunto aberto U ⊂ Rn . λ(t) = a + tei . ∂f ˜ sobre o comportamento de da´ informaçoes ∂xi ´ f ao longo de um segmento de reta contido em U e paralelo ao i−esimo eixo. J = {(a. ´ disso. b) ∂x ˜ da reta r e´ a inclinaçao ∂f 1. entao ∂y 0 ≤ s < t ≤ 1 =⇒ f(a.2. 1]. t0 + ε) e (f ◦ λ) 0 (s) = ∂f (a + sei ) = 0 para todo ∂xi ˜ f ◦ λ(s) = f ◦ λ(0) para todo s ∈ (−ε. 1: ∂f (a. ou seja.´ Analise r= Fig. ˜ 1. entao variavel. b) ∂x |x ∈ R . b) t + (a. t0 ]. • Por exemplo. b] = {a + sei | s ∈ [0. ˜ 1. e. como veremos abaixo. como f ◦ λ e´ derivavel ´ Alem em (−ε. Neste caso. f(a. b ∈ U. portanto. Mas a rec´ıproca ∂xi nem sempre e´ verdadeira. se a. b ∈ U. (a. t]} ⊂ U. De fato. ∂f (a) = 0 ∂xi ˜ λ(s) = a + sei ∈ U. A i-esima ´ Observaçao derivada parcial = ∂f x. 1]} ⊂ U e ∂f ˜ f e´ crescente ao longo de J. 0. b. (a. Logo f(b) = f(a). para todo s ∈ [0.3. se U ⊂ Rn e´ um aberto i−convexo e f : U −→ R e´ uma funçao ˜ f independe da i−esima ´ ´ para todo a ∈ U. (a. ˜ tal que • Assim. entao 118 ´ Instituto de Matematica UFF . b = a + t0 ei . b)(x − a) + f(a. b. t) | t ∈ [0. se f : U −→ R esta´ definida num aberto U ⊂ R2 . t) > 0 para todo t ∈ [0. t0 + ε). t0 + ε).3. b = a + tei =⇒ f(a) = f(b). Um conjunto U ⊂ Rn e´ chamado i−convexo (1 ≤ i ≤ n) quando: Definiçao a. entao existe ε > 0 tal que λ(s) ∈ U para todo s ∈ (−ε. t0 + ε). b)) | t ∈ R ∂x ˜ 1. b ∈ U. existe ∂ f(a) em todos os pontos a ∈ U e e´ igual a zero. b = a + tei =⇒ [a. s) < f(a. Dizemos que uma funçao ˜ f : U ⊂ Rn −→ R nao ˜ depende da i−esima ´ ´ Definiçao variavel quando a. t). s ∈ (−ε. horizontalmente convexo.1. e f(x. definida por f(x.K. Delgado . e f(0. y) = x2 > 0 e Mas f nao pois se x > 0 e y > 0. em vez de Observaçao 1−convexo e 2−convexo. Entao ˜ e´ verticalmente convexo. 0) = lim = 0. Mas f nao J. onde r+ 0 = {(0. respectivamente.5. 0) ∈ R2 | x ≥ 0} o semi-eixo positivo fechado das abscissas. y) = 0. na origem: ∂f f(t. 0 0 ˜ e´ independente da segunda variavel. ´ ˜ f(x. 0) (0. mas nao Fig. temos que: ∂f y(x2 + y2 ) − xy(2x) y3 − x 2 y (z) = = ∂x (x2 + y2 )2 (x2 + y2 )2 e ∂f x(x2 + y2 ) − xy(2y) x3 − xy2 (z) = = . onde rx0 = {(x0 . Em R2 . entao f(x. dizemos horizontalmente e verticalmente convexo. de todas as derivadas ˜ implica a continuidade da funçao ˜ nesse ponto. ∂y (x2 + y2 )2 (x2 + y2 )2 e ∂f f(0. 0) = lim =0 ∂x t t→0 ˜ e´ cont´ınua na origem. a existencia ˆ o comportamento n−dimensional da funçao. Frensel 119 . Entao ∂f (p) = 0 para todo ponto p ∈ U. parciais num ponto nao Exemplo 1. + y2 Se z = (x. A existencia ˆ ˜ permite conclusoes ˜ sobre Observaçao apenas das derivadas parciais nao ˜ Por exemplo.4.Derivadas parciais ˜ 1. onde r− 0 = {(0. Seja Γ = {(x. onde r+ x0 = {(x0 . 0) = 0. t) − f(0. ˜ Exemplo 1. 0) − f(0. t) | t > 0} . Assim. 0). 0) (0. pois: ∂y • f|r+0 ≡ 0 . se (x. rx0 = {(x0 . −y) = 0. se x ≤ 0 ou Seja f : U −→ R a funçao ˜ f possui derivada parcial y ≤ 0. t) | t < 0} . t) | t > 0} . • f|rx0 ≡ 0 . t) | t < 0} e x0 > 0. se x > 0 e y > 0. y) 6= (0. Seja f : R2 −→ R. y) 6= (0. y) = x2 . • f|r−0 ≡ 0 . ∂y t t→0 E. 0). y) = x2 xy . t) | t ∈ R} e x0 < 0. 2: U = R2 − Γ ˜ definida por f(x. ˜ 1. f possui derivadas parciais em todos os pontos de R2 .2. − • f|r+x ≡ x20 e f|r−x ≡ 0 . U = R2 − Γ e´ aberto. 1. ∂v Fig. pois: 120 ´ Instituto de Matematica UFF . ∂xi ∂ei ˜ 2. bt) = a2 ab . as quais ∂v ˜ nulas. y) 6= (0. ε). portanto. por exemplo.3. b) 6= + b2 1 2 6= = lim f(t. 0) para todo v = (α. pois f(at. nao lim (x.´ Analise ˜ existe Mais ainda. As derivadas parciais sao ˜ casos particulares das derivadas direcionais.2. Entao xy . y). ε) −→ U e´ o caminho retil´ıneo. ε). 0).0) (0. e f(0. ∂v t t→0 quando tal limite existe. Observaçao pois: ∂f ∂f (a) = (a) e´ a derivada direcional de f no ponto a segundo o vetor ei . 0) ou v = (0.y)−→(0. Observaçao Assim. y) = Exemplo 2. entao ˜ Observaçao ∂f (a) = 0 para todo a ∈ U. t) = t→0 2 f(x.1. com λ(0) = a e λ 0 (t) = v para todo t ∈ (−ε. 2t). A Definiçao derivada direcional de f no ponto a segundo o vetor v e´ o limite: ∂f f(a + tv) − f(a) (a) = lim . 3: f ao longo do caminho retil´ıneo λ ˜ dada por f(x. para todo t ∈ R e todo (a. Seja f : R2 −→ R a funçao ˜ f possui as derivadas direcionais 0. β). Se v = 0. 2 5 t→0 Derivadas direcionais ˜ 2. mas f nao ˜ possui derivada direcional na origem segundo um vetor v = (α. 0). se λ : (−ε. a ∈ U e v ∈ Rn . existe ε > 0 tal que a + tv ∈ U para todo t ∈ (−ε. lim f(t. Dados a ∈ U e v ∈ Rn . Sejam f : U −→ R uma funçao ˜ definida no aberto U ⊂ Rn . 0) = x2 + y2 ∂f (0. (x. e. temos que: ∂f (a) = (f ◦ λ) 0 (0). ˜ 2.1. com sao α 6= 0 e β 6= 0. ∂v ˜ 2. β). 0). ∂g 2 (0. temos: ∂(αv) ∂f f(a + tαv) − f(a) f(a + tαv) − f(a) ∂f (a) = lim = α lim = α (a) . 0) v = (0. ∂(v + w) ∂v ∂w ˜ dada por Exemplo 2. ∂g (a) para todo a ∈ R2 e todo v ∈ R2 . uma hipotese mais forte do que possuir derivadas direcionais. no caso afirmativo. ∂v ∂w ∂(v + w) Por exemplo. nao ∂f (a) num ponto a se. 0) = lim = 2 . 0) = . ˜ que existe Pode-se provar. se v = (α. existe ∂v ˜ 2. 0) (0. β) . ∂(v + w) 13 ∂g ∂g ∂g (0. 0) 6= (0. 0) = . ∂v t α + β2 t→0 • ∂g (0. e somente se. ∂(αv) t αt ∂v t→0 t→0 Mas. 0) = 0. portanto. 0). Seja g : R2 −→ R a funçao g(x. nao ∂g ∂g ∂g (a) + (a) = (a) . 2): ∂g 1 (0. 0) α2 β ∂g (0. 0) (0. 0) = lim = 0. ∂v ∂w ∂(v + w) ˜ 2. tβ) − f(0. ∂v t t→0 v = (α. mostraremos que Observaçao ∂f depende linearmente de v se f e´ dife∂v ´ ´ renciavel. ∂v t t→0 ∂f f(0. e o limite f(αt. x2 + y2 se (x. ∂v 2 e. 1) e w = (1. 0) − f(0. sem que se tenha necessariamente: ∂f ∂f ∂f (a) = (a) + (a) .2. y) 6= (0. Se α ∈ R − {0}. 0) = 0 .Derivadas direcionais • • ∂f f(tα.4. pode ocorrer que a derivada direcional ∂f exista em todos os pontos do dom´ınio de f. tβ) − g(0.K.5. na origem: • g(tα. βt) − f(0. e g(0. ∂v e ˜ vale Evidentemente. Em ∂v particular. Frensel 121 . Delgado . para v = (1. ∂w 5 e ∂g 12 (0. 0). se v = (0. ∂v segundo todos os vetores v ∈ Rn . 0) + (0. β) 6= (0. a partir da definiçao. 0) . 0) = lim = 0. 0) = . Na seçao ˜ 3. J. para a = (0. 0). 0) αβ 1 = lim 2 t t→0 t→0 α + β2 t lim ˜ existe. y) = x2 y . entao ˜ existe Observaçao ∂f (a) e. 0)}. E para (a. ∂h (a. se β = 0 . a funçao 1 para 2 todo x 6= 0. 0). 0) = 0 e ϕ(x. ´ composta de duas funçoes seja tambem Exemplo 2. 0) = lim = lim 0 = 0 .4. a derivada (h ◦ λ) 0 (t) e´ dada por: 3(a + tα)2 α(b + tβ) + β(a + tα)3 (a + tα)6 + (b + tβ)2 − (a + tα)3 (b + tβ) 6α(a + tα)5 + 2β(b + tβ) 2 ( (a + tα)6 + (b + tβ)2 ) . b) + t(α. portanto. x4 + y2 ´ e´ cont´ı.3. y) 6= (0. x3 ) = Em R2 − {(0. existem as derivadas direcionais (a). 0) e v = (α. Logo. ´ ˜ e´ que a • Outra propriedade desejavel para um conceito adequado de derivada de uma funçao ˜ derivaveis ´ ´ derivavel. b + tβ). mas nao ˜ e´ A funçao ˆ verdade.´ Analise ˜ g do exemplo anterior e´ cont´ınua (ver exerc´ıcio 8:27. tβ) t4 α3 β tα3 β (0. para todo a ∈ R2 e todo v ∈ R2 . Seja h : R2 −→ R a funçao x3 y . b) = (0. y) = Exemplo 2. h(tα. ˜ h e´ cont´ınua. 0) = lim = lim 6 6 = lim = 0. pois h(x. β) ∈ R2 . Seja ϕ : R2 −→ R dada por ϕ(0. que a existencia de todas as derivadas direcionais implique em continuidade. mas h nao ˜ e´ cont´ınua na origem. e dependem ∂v e linearmente de v. ˜ definida por h(x. y) 6= (0. Para (a. 0) e v = (α. 0) ∂h (0. b) = (h ◦ λ) 0 (0) = ∂v (3a2 bα + βa3 )(a6 + b2 ) − a3 b(6αa5 + 2βb) (a6 + b2 )2 = −3a8 b + 3a2 b3 (a6 + b2 )2 α+ a9 − a3 b2 (a6 + b2 )2 β. β) = (a + tα. ∂v t t→0 t→0 ∂h Assim. ∂v t t→0 t→0 t(t α + t2 β2 ) t→0 t4 α6 + β2 se β 6= 0. em geral. 0) = 0. temos que. cap´ıtulo 1). b) 6= (0. β) ∈ R2 . 0) . ˜ entao: (h ◦ λ)(t) = (a + tα)3 (b + tβ) (a + tα)6 + (b + tβ)2 e. se (x. se λ(t) = (a. ∂h h(tα. se (x. y) = x3 y . e + y2 x6 h(0. y) 6= (0. para (x. 0). e em (0. ϕ e´ cont´ınua. 0)}. pois. Em R2 − {(0.nua. ϕ tambem 2 .0). . x y . y) | = . ≤ |x| . p | ϕ(x. . x p . 4 2 4 2 x +y x +y e. portanto. β) ∈ R2 . Alem 122 ´ Instituto de Matematica UFF . ´ disso. β 6= 0.0) ϕ(x. para todo v = (α.y)→(0. y) = 0 . lim (x. = lim = lim 5 t t t→0 t→0 1 + sen 1 t→0 t→0 t + t5 sen 1 t t ˜ existe.a+v] e´ cont´ınua Seja f : U −→ R uma funçao e existe a derivada direcional ∂f ˜ existe θ0 ∈ (0. 1] −→ U o caminho C∞ dado por λ(t) = a + tv. quando tn = n→∞ 1 . 0)} e verificar que elas dependem linearmente de v. tβ) tα3 β (0. ∂v t t→0 t→0 para v = (α. 1) tal que (f ◦ λ)(1) − (f ◦ λ)(0) = (f ◦ λ) 0 (θ0 ). a existencia de derivadas direcionais permite demonstrar o Teorema do Valor ´ ˜ ´ Medio para funçoes reais de n variaveis sob a forma de igualdade. t2 sen 1t sen 1t t5 sen 1t ϕ(λ(t)) − ϕ(λ(0)) lim = lim . ˜ a funçao ˜ Seja λ : [0. 1). De ´ modo analogo ao exemplo anterior. pois. pois o limite ϕ t. 1] e derivavel em (0. Entao ´ f ◦ λ : [0. ´ Teorema 2. Frensel ∂f (a + θ0 v) . se considerarmos o caminho derivavel λ : R −→ R2 . entao ∂v ∂f f(a + v) − f(a) = (a + θ0 v) ∂v Prova. Delgado .Derivadas direcionais ∂ϕ ϕ(tα. 0). λ(0) = (0. 0) ∈ R2 . Se [a. 0) (0. f|[a. 1) tal que f(a + v) − f(a) = J. (do Valor Medio) ˜ definida no aberto U ⊂ Rn . para funçoes real. b) ∈ R2 − {(0. se ˜ e´ derivavel ´ t 6= 0. como no caso de uma so´ ´ variavel. t ∈ [0. ou seja. a + v). existe θ0 ∈ (0. ∂v t t→0 t→0 t α + β2 e ∂ϕ ϕ(tα. dado por λ(t) = t. nπ 1 1 2 = . podemos calcular as derivadas direcionais de ϕ num ponto (a. (f ◦ λ)(θ + t) − f ◦ λ(θ) f(a + (θ + t)v) − f(a + θv) = lim t t t→0 t→0 f((a + θv) + tv) − f(a + θv) ∂f = lim = (a + θv) t ∂v t→0 (f ◦ λ) 0 (θ) = lim ´ ˜ reais de uma variavel ´ Assim. ∂v 123 . todas as derivadas direcionais existem na origem e dependem linearmente de v. n→∞ 2 2 (4n + 1)π = lim ˆ • No entanto. para θ ∈ (0. 1) tal que (x) para todo x ∈ (a. ´ Entretanto. quando tn = .1. 1] −→ R e´ cont´ınua em [0. 0) = lim = lim 0 = 0 . a + v] ⊂ U . 0) = lim = lim 2 4 = 0. 1]. existe θ0 ∈ (0. t2 sen 1t . temos que f ◦ λ : R −→ R nao em t = 0. Portanto. uma vez que: nao • lim n→∞ e • lim n→∞ sen t1n 1 + sen 1 tn sen t1n 1 + sen 1 tn = lim 0 = 0 . pelo Teorema do Valor Medio.K. 1). b] e´ cont´ınua. se xk = a+tk v. a1 . ou seja. b] ⊂ U. como foi provado acima. ak = x. que se [a. . entao. a + v) que converge para o ponto a + t0 v ∈ (a. ´ De fato. . . como a. Seja a ∈ U fixo. (x) = 0. i = 1. pela observaçao Cap´ıtulo 1. se x ∈ U existe. tk ∈ (0. como existe Alem ∂f ˜ anterior. Afirmaçao: • De fato. uma vez que tk = kxk − ak ka + t0 v − ak −→ = t0 . Portanto. portanto. . ´ disso. b ∈ U. entao. f(a) = f(a0 ) = f(a1 ) = . f(x) = f(a) para todo x ∈ U. ˆ ˜ e´ uma sequencia de pontos de (a. . n. 1) e. ˜ 2. . . Logo f e´ constante. f|[a. existe uma poligonal contida em U ligando os pontos a e b com lados paralelos a um dos eixos coordenados. ˜ do Teorema do Valor Medio. Neste corolario. que a (x) para todo x ∈ U. ˜ se [a. pois. existe ε > 0 tal que o segmento ( a − ε(b − a). = f(ak ) = f(x). a + v). dados a.8 do Cap´ıtulo 1.a+(1+ε)(b−a)) restriçao e´ cont´ınua. existam ∂xi ˜ 13. pela observaçao ∂(b − a) ˜ f|(a−ε(b−a).1. uma poligonal contida em U ´ com vertices a0 = a. existe θ0 ∈ (0. . Seja U ⊂ Rn aberto e conexo. f(b) = f(a). Se f : U −→ R possui derivadas direcionais em todo ponto x ∈ U e ∂f ˜ f e´ constante. pelo teorema 13. entao ∂v Prova. 1 + ε) } esta´ contido em U. 1) tal que f(b) − f(a) = f(a + (b − a)) − f(a) = ∂f (a + θ0 (b − a)) = 0 . 124 ´ Instituto de Matematica UFF . a + (1 + ε)(b − a) ) = { a + t(b − a) | t ∈ (−ε.5 do e sejam nulas em todos os pontos do aberto conexo U ⊂ Rn . A existencia ˆ Observaçao de ∂f em todo ponto de (a. entao f(xk ) = f(a + tk v) = f ◦ λ(tk ) −→ f ◦ λ(t0 ) = f(a + t0 v) .6. entao ˜ f|[a. kvk kvk ´ Corolario 2. 1). ´ • Resulta.´ Analise ˜ 2. . .b] e´ cont´ınua. ´ Observaçao basta que as derivadas parciais ∂f . b] ⊂ U. f◦λ e´ derivavel em (0. temos.7. que Temos. b ∈ U e U e´ aberto.a+v) . para todo x ∈ U e todo v ∈ Rn . Por outro lado. a + v) garante a continuidade de ∂v f|(a. ∂(b − a) ou seja. ˜ sucessivamente. αn ) ∈ Rn . . . temos que: f(a + v) = f(a) + A1 α1 + . . entao ponto a. e para todo v = (α1 . . ∂x1 ∂xn r(v) = 0. ˜ 3. as derivadas parciais ∂f (a). . r(tei ) ∂f = 0.1. v→0 kvk onde lim ˜ 3. αi = t. . Seja f : U −→ R uma funçao ˜ definida no aberto U ⊂ Rn . para todo i = 1. ou seja. n. n. . . αj = 0.˜ diferenciaveis ´ Funçoes 3 ˜ ´ Funçoes diferenciaveis ˜ de funçao ˜ diferenciavel ´ ´ A definiçao que daremos abaixo e´ devida a Maurice Frechet (França. . x→a x→a uma vez que v = x − a −→ 0 quando x → a. . .3. i = 1. Entao. αn ) ∈ Rn tal que a + v ∈ U.2. 1842-1905). Frensel 125 . j 6= i. An ∈ R tais que. . r(v) r(v) implica que lim r(v) = lim kvk = 0. . ´ funçao de uma so´ variavel para funçoes ˜ 3. . temos que v→0 kvk v→0 v→0 kvk De fato. . . . e so´ se. Seja f : U ⊂ Rn −→ R diferenciavel ´ ˜ se v = tei . . . existem. Se f : U ⊂ Rn −→ R e´ diferenciavel ´ ˜ f e´ cont´ınua no Observaçao no ponto a ∈ U. Dizemos que f e´ Definiçao ´ diferenciavel no ponto a ∈ U quando existem constantes A1 . . r(v) = 0 significa que r(v) tende a zero mais rapidamente v→0 kvk ˜ 3. para todo i = 1. . . temos que f(a + tei ) − f(a) r(tei ) r(tei ) = Ai + = Ai ± .2. + An (xn − an ) + r(x − a)) = f(a) . . . ´ ˜ adequada do conceito de 1878-1973) e Otto Stolz (Austria. . .K. . com a + v ∈ U. . n. temos ∂xi f(a + v) = f(a) + ∂f ∂f (a)α1 + .1. + An αn + r(v) . obtemos que a derivada parcial (a) existe ∂xi t→0 ktei k Logo. t t ktei k i = 1. f : U ⊂ Rn −→ R e´ diferenciavel no ponto a ∈ U se. Observaçao no ponto a. r(v) = 0. . Delgado . Ela e´ uma extensao ˜ derivavel ´ ´ ˜ de n variaveis. . para todo vetor v = (α1 . Dizemos que f : U −→ R e´ diferenciavel ´ ´ Definiçao quando f e´ diferenciavel em todos os pontos de U. v→0 kvk onde lim ˜ 3. . n . . como lim lim f(x) = lim (f(a) + A1 (x1 − a1 ) + . . ´ • Assim. + (a)αn + r(v) . A condiçao ˜ lim Observaçao J. como lim e e´ igual a Ai . . 4. . onde lim ρ(v) = 0. ˜ 3. temos que: kvk ˜ 3. ´ Observaçao independe da norma considerada em Rn . e De fato. . existem no ponto a e. ∂xi i = 1. Para funçoes ˜ f : I −→ R definidas num intervalo aberto I ⊂ R. para todo α ∈ R e v ∈ Rn . ∂v t ∂xi ∂xi t→0 t→0 i=1 i=1 ∂f (a) existe e depende linearmente de v. Entao n X ∂f (a)tαi + ρ(tv) |t| kvk .5. ∂v i=1 ∂xi ˜ existe ε > 0 tal que a + tv ∈ U para todo t ∈ (−ε.´ Analise ´ do que v. . todas as derivadas parciais ∂f (a). f(a + tv) = f(a) + i=1 ∂xi Como lim ρ(tv) = 0. . . . . entao derivada direcional no ponto a segundo qualquer vetor v = (α1 . i=1 ∂xi v→0 ´ ˜ real Ou seja. se f(a + t) = f(a) ρ(t) = ± f(a + t) − f(a) −A . . e so´ se. ε). temos que t→0 n n X X ∂f f(a + tv) − f(a) ∂f ∂f (a) = lim = (a)αi + lim (±ρ(tv) kvk) = (a)αi . e so´ se. . . f e´ diferenciavel no ponto a ∈ U se.6. (a) αi + (um resto infinitamente pequeno em relaçao i=1 ∂xi r(v) se v 6= 0. a funçao ρ : Va = {v ∈ Rn | a + v ∈ U} −→ R e´ cont´ınua no ponto v = 0. ∂(αv) ∂v ˜ Entao e 126 ´ Instituto de Matematica UFF . αn ) e n X ∂f ∂f (a) = (a) αi . seja v ∈ Rn . t→0 ˜ 3.7. ou seja: ∂v ∂f ∂f • (a) = α (a) . Isto se exprime dizendo-se que r(v) e´ um infinitesimo de ordem superior a v. e ρ(0) = 0. ˜ 3. αn ) ∈ Rn tal que a + v ∈ U vale: n X ∂f f(a + v) = f(a) + (a)αi + ρ(v) kvk . a + v ∈ U. . e so´ se. f ´ e´ diferenciavel no ponto a ∈ U quando f(a + v) − f(a) e´ igual a um funcional linear n X ∂f ˜ a v). diferenciabiObservaçao lidade e´ o mesmo que derivabilidade. Note que o conjunto Va e´ aberto em Rn e 0 ∈ Va . no ponto a e f 0 (a) = A. n. para todo v = (α1 . Fazendo ρ(v) = Observaçao ´ f : U −→ R e´ diferenciavel no ponto a ∈ U se. f e´ derivavel ´ entao. Assim. Se f : U ⊂ Rn −→ R e´ diferenciavel ´ ˜ f possui Observaçao no ponto a ∈ U. Ser ou nao ˜ ser diferenciavel. t ˜ lim ρ(t) = 0 se. pois + At + ρ(t) |t|. ou seja. . ∂xi ∂yk ∂xi k=1 Prova. por (I). . m . Seja o aberto U0 = {v ∈ Rm | a + v ∈ U} que contem Para cada v = (α1 . . . . temos. que g(f(a + v)) = g(f(a) + ω(v)) = g(b + ω(v)) = g(b) + n X ∂g k=1 ∂yk (b)βk (v) + σ(ω(v)) kω(v)k . . . onde σ ◦ ω : U2 −→ R e´ uma funçao Logo. por exemplo. ˜ cont´ınua no ponto 0. (Regra da cadeia) ˜ Sejam U ⊂ Rm e V ⊂ Rn abertos. portanto. ´ o vetor 0. . Se g : V −→ R e´ diferenciavel no ponto ˜ a funçao ˜ composta g ◦ f : U −→ R e´ diferenciavel ´ b = f(a). . i = 1. n. Como V0 e´ um aberto que contem ponto 0 e ω(0) = 0. (g ◦ f)(a + v) = g ◦ f(a) + n X ∂g k=1 J. . . cujas funçoes ˜ Seja a aplicaçao ˜ dadas por: coordenadas βk : U0 −→ R sao m X ∂fk (a)αi + ρk (v) kvk . n. . Delgado . . . . . k = 1. cada |αi | ≤ 1 para todo kvkS |βk (v)| kω(v)kS . como g : V −→ R e´ diferenciavel ´ Seja v ∈ U2 .1. . temos que v ∈ Rm − {0}. ∂(v + w) ∂v ∂w • Teorema 3. αm ) ∈ U0 e k = 1. . temos que m X ∂fk fk (a + v) = fk (a) + (a) αi + ρk (v) kvk . . f = (f1 . . n. . βk (v) = i=1 (II) ∂xi Considerando Rm com a norma da soma. βn ) : U0 −→ Rn cont´ınua no ponto 0. ˜ ω(v) + b ∈ V e. e´ limitada em U1 − {0}. . para todos v. w ∈ Rn . onde U1 e´ um kvkS kvkS aberto contido em U0 tal que 0 ∈ U1 e ρk |U1 limitada para todo k = 1. com σ ◦ ω(0) = 0. ˜ ω = (β1 . . . . por (II). .K.˜ diferenciaveis ´ Funçoes ∂f ∂f ∂f (a) = (a) + (a) . . Logo. entao no ponto a e suas derivadas ˜ parciais sao: n X ∂(g ◦ f) ∂g ∂f (a) = (f(a)) k (a) . Frensel ∂yk " (b) m X ∂fk i=1 ∂xi # (a)αi + ρk (v)kvk + σ ◦ ω(v) kω(v)k . e. ´ o ponto v = 0. com ω(0) = 0. fn ) : U −→ Rn tal que f(U) ⊂ V e cada funçao ´ ´ coordenada fi : U −→ R e´ diferenciavel no ponto a ∈ U. . . Entao em b = f(a). existe um aberto U2 ⊂ U1 tal que 0 ∈ U2 e ω(U2 ) ⊂ V0 . i=1 (I) ∂xi onde cada ρk : U0 −→ R e´ cont´ınua no ponto 0 e ρk (0) = 0. 127 . . ω e´ cont´ınua no Seja V0 = {w ∈ Rn | w + b ∈ V}. . xn (t)). . .. . df ˜ composta t 7−→ f ◦ λ(t) = f(x1 (t). lim σ ◦ ω(v) = 0 e e´ limitado em kvk v→0 kvk v→0 v→0 temos que lim U2 − {0}. xn (t)). a + ε) −→ R e´ diferenciavel no ponto a e n X ∂f 0 (f ◦ λ) (a) = (b) λi0 (a) .) i=1 ´ Corolario 3. k = 1. . . Se f : U ⊂ Rn −→ R e´ diferenciavel no ponto b ∈ U e λ = (λ1 . . λn ) : ´ ˜ a funçao ˜ composta (a − ε. ∂xi ∂yk Como. f : U −→ R uma ˜ diferenciavel ´ ´ funçao no ponto a ∈ U. entao ´ f ◦ λ : (a − ε. . i=1 ∂xi ˜ 3. ∂xi ∂yk ∂xi k=1 para todo i = 1. . a regra da a derivada da funçao dt cadeia nos da´ que: n X df ∂f dxi = dt ∂xi dt ˜ classica ´ ´ (notaçao do Calculo Diferencial. Pela Regra da Cadeia. n. i=1 onde Ai = n X ∂g k=1 ∂yk (b) n X ∂fk ∂g (a) e R(v) = (b) ρk (v) kvk + σ ◦ ω(v) kω(v)k. . ´ ´ Corolario 3. Sejam U ⊂ Rn um conjunto aberto. (g ◦ f)(a + v) = (g ◦ f)(a) + m X Ai αi + R(v) . ∂xi ∂xi para todo i = 1. Se escrevemos λ(t) = (x1 (t). . . n. dxn dt . entao ˜ λ 0 (t) = Observaçao Indicando com dx 1 dt . ˜ g ◦ f : U −→ R e´ diferenciavel ´ Entao no ponto a e ∂(g ◦ f) ∂f (a) = g 0 (b) (a) . . . . pois lim ρk (v) = 0.´ Analise ou seja. .1.. a + ε) −→ Rn e´ um caminho diferenciavel com λ(a) = b.2.9. . . ˜ 3. . (b) ρk (v) + σ ◦ ω(v) kvk ∂yk kvk k=1 R(v) kω(v)k = 0.. para calcularmos a derivada direcional 128 ∂f ˜ e´ necessario ´ (a) = (f ◦ λ) 0 (0) nao nos restringir ao ∂v ´ Instituto de Matematica UFF . se f : U ⊂ Rn −→ R e´ diferenciavel ´ Observaçao no ponto a ∈ U. . . I ⊂ R um intervalo aberto. g : I −→ R diferenciavel no ponto b = f(a). . ´ Logo g ◦ f e´ diferenciavel no ponto a e n X ∂(g ◦ f) ∂g ∂f (a) = (f(a)) k (a) . .8. m. k=1 n X R(v) ∂g kω(v)k = . . . com f(U) ⊂ I. que dependem linearmente de v. + y2 x2 y . λ(t) = (t. ˜ 3. De fato: ˜ e´ cont´ınua na origem nem possui derivada direcional segundo qualquer vetor na • f porque nao origem. 2. x + y2 x3 y ϕ(x. para todo v ∈ R2 . 0) = 0 . • h : R2 −→ R . t2 ). • ϕ e´ cont´ınua em R2 . possui derivadas direcionais ∂h (p).4: Observaçao • f : R2 −→ R . Ou seja. • ϕ : R2 −→ R . se λ : (−ε. y) = x2 ˜ diferenciaveis ´ sao na origem de R2 . para todo ∂v ∂ϕ segundo qualquer vetor v ∈ R2 . embora possua derivadas direcionais • h porque nao v ∈ R2 e todo p ∈ R2 . ∂v t t→0 De fato. 0) = 0 . 0) = 0. g(x. Frensel 129 . t ∂x t→0 t→0 t + t5 t→0 t + 1 (h ◦ λ) 0 (0) = lim (ver exemplo 2. 0). considere a funçao x3 y . (f ◦ λ) 0 (0) = n X ∂f i=1 ∂xi (a) λi0 (0) = n X ∂f i=1 ∂xi (a) αi = ∂f (a) . mas nao ˜ h : R2 −→ R dada por h(x. 0) = 0 . ε) −→ U e´ um caminho diferenciavel qualquer com λ(0) = a e λ 0 (0) = v. x + y2 f(x. com λ(0) = (0. que dependem linearmente de v. y) = 2 x + y2 x3 y h(x. as derivadas ∂v ˜ dependem linearmente de v. o mesmo nao ˜ e´ diferenciavel. Delgado . g(0. • g porque. y) = 6 .1.˜ diferenciaveis ´ Funçoes ´ caminho retil´ıneo λ(t) = a + tv. 0) = 0 . ´ segundo qualquer vetor. em todos ∂v os pontos do plano. h(λ(t)) − h(0) t5 1 ∂h = lim 7 = lim 2 = 1 6= (0. y) 6= (0. e x6 + y2 ´ h(0. ainda teremos ∂f f(λ(t)) − f(a) (a) = (f ◦ λ) 0 (0) = lim . y) = 4 . Nenhuma das funçoes ˜ definidas nos exemplos 2. xy .10.3). (x. embora seja cont´ınua na origem e existe ∂g (0. mas contraria a Regra da Cadeia.2. e seja λ : R −→ R2 o caminho diferenciavel. onde λ : R −→ R2 e´ o caminho diferenciavel dado por J. ∂v ˜ e´ verdade se f possui derivadas direcionais em todos os pontos do dom´ınio Mas. f(0. ϕ(0. 0) = 0 . 0). direcionais na origem nao ˜ e´ cont´ınua na origem. Entao.3 e 2. 2. y) = Por exemplo. pois ˜ e´ derivavel ´ ´ ϕ ◦ λ : R −→ R nao na origem. 0). pela Regra da Cadeia.K. 0) e ˜ λ 0 (0) = (1. • g : R2 −→ R . h(0. 0)β = 0 . embora cada uma das funçoes ˜ cumprem a condiçao: ˜ parciais na origem. r (h. Logo. t 6= 0. Neste caso. ja que para as sequencias αn = n n   1 αn βn  n  q √ ˆ ˜ converge. temos que 1 1 ˜ ´ ˆ e βn = . H = h + ik e r = r1 + ir2 .´ Analise 1 λ(t) = t . H ´ Fazendo A = a + ib. chamadas equaçoes 130 ´ Instituto de Matematica UFF . sequencia = nao 2 2 α2n + β2n αn + βn 2 2 ˜ 3. ∂x ∂y ∂y ∂x ˜ de Cauchy-Riemann. f(z) = u(z) + iv(z). f(z + H) = f(z) + (ah − bk) + i(bh + ak) + r1 (H) + ir2 (H) . k) onde lim √2 2 = 0. h + k2 r (h. Dizemos que uma funçao ˜ complexa f : U −→ C e´ Observaçao ´ derivavel no ponto z = x + iy ∈ U. 0) = 0 e f(α. ou seja. t ˜ acima possua derivadas • Diretamente. y) = − (x. k) . que convergem para zero.11. 0)α − (0. h. y) + ah − bk + r1 (h. se f = u + iv e´ derivavel no ponto z = x + iy. y + k) = v(x. H H→0 lim ˜ complexa f no ponto z. v→(0. temos que: • u(x + h. β). 0) = (0. y) e valem as identidades: ∂v ∂u ∂v ∂u (x.0) kvk α→0 β→0 α2 + β2 ∂x ∂y onde v = (α. y) (= −b). y) = (x. |H| H→0 |H| ´ ˜ f. ∂f ∂f αβ . para F = f.k→0 h + k2 h. β) − (0. elas nao r(v) 1 ∂F ∂F lim = lim p F(α. o limite (0. Seja U ⊂ C aberto. onde lim H→0 (I) r1 (H) r (H) = lim 2 = 0. f e´ derivavel no ponto z = x + iy se. v : U −→ R a parte real e a parte imaginaria da funçao ´ Em (I). k) . a nao existe.k→0 ´ ˜ u e v sao ˜ diferenciaveis ´ Assim. y + k) = u(x. podemos verificar que. separando a parte real e a parte imaginaria. onde lim H→0 r(H) = 0. entao no ponto (x. e so´ se. y) + bh + ak + r2 (h. k) onde lim √1 2 = 0. quando existe o limite f(z + H) − f(z) = A. A = f 0 (z) chama-se a derivada da funçao A derivabilidade de f no ponto z = x + iy e´ equivalente a dizer que: f(z + H) = f(z) + A H + r(H) . e λ(0) = 0. Sejam u. t2 sen . β) = 2 ∂x ∂y α + β2 r(v) 1 αβ lim = lim p 2 + β2 2 2 α v→0 kvk α→0 α +β β→0 Por exemplo. y) (= a) e (x. • v(x + h. . b + k). quando ela Mais geralmente. temos: r(v) = f(a + h. 1) tais que: r(v) = ∂f ∂f ∂f ∂f (a + θ1 h. k ≥ 1. pag. ∂x ∂y ∂y ∂x ˜ complexa f : U −→ C e´ holomorfa quando possui derivada f 0 (z) em todos os Uma funçao pontos do aberto U. revertendo cada etapa do zem as equaçoes ˜ complexa f = u + iv e´ derivavel ´ argumento anterior. existem θ1 . n.˜ diferenciaveis ´ Funçoes ˜ funçoes ˜ diferenciaveis ´ Reciprocamente. b + k) − f(a. Vol. b) e δ > 0 tal que BM (c. I de E. sendo todas as inclusoes ˜ estritas (ver Curso de Entao ´ Analise. b + tk) ⊂ U para todo t ∈ (−ε. dizemos que uma funçao ˜ possui derivadas parciais em todos os pontos de U e as funçoes ∂f : U −→ R. . . Finalmente. se u. b) − ∂f ∂f (c)h − (c)k . i = 1. Dizemos que uma funçao ˜ f : U −→ R e´ de classe C1 Definiçao quando f possui derivadas parciais ∂f ∂f ˜ (x) em todos os pontos x ∈ U e as funçoes (x). ∂xi ˜ de classe Ck−1 . Sejam c = (a. Frensel 131 . dizemos que f e´ de classe C∞ quando f e´ de classe Ck para todo k ≥ 0.K. Lima. entao no ponto c. v : U −→ R sao no ponto z = (x. 21). . ˜ 3. ∂x1 ∂xn ∂f ˜ cont´ınuas. Se uma funçao ˜ f e´ diferenciavel ´ do aberto U e cada uma delas e´ cont´ınua no ponto c ∈ U. b + δ) ⊂ U. y) e satisfa˜ de Cauchy-Riemann neste ponto. . dizemos que f e´ de classe C0 quando sao f e´ cont´ınua. (a. sao ∂xi ˜ f : U −→ R e´ de classe Ck .3. . δ) = (a − δ. k) = f(a + h. a + δ) × (b − δ. . 1 + ε). Seja U ⊂ Rn aberto. k) um vetor tal que c + v ∈ BM (c. . que a funçao no ponto z = x + iy e que: f 0 (z) = ∂u ∂u ∂v ∂v (z) − i (z) = (z) + i (z) . : U −→ R. . ˜ f : U ⊂ Rn −→ R possui derivadas parciais em todos os pontos Teorema 3. Para completar a definiçao ˜ indutiva. ex. b + k) − f(a. ˜ C0 ⊃ C1 ⊃ C2 ⊃ . Seja v = (h. b + k) − f(a. . existe ε > 0 tal que (a + th. . b) − ∂f ∂f (c)h − (c)k . ˜ f existem em todos os pontos de U. . ∂x ∂y ´ ˜ reais de uma variavel ´ Pelo Teorema do Valor Medio para funçoes real. Delgado . ∂x ∂y Reescrevendo. Para simplificar a notaçao. δ) ⊂ U e r(v) = r(h.2. as funçoes ˜ Como as derivadas parciais da funçao reais J. ˜ vamos considerar apenas o caso n = 2. ⊃ C∞ . b + θ2 k)k − (c)h − (c)k . ∂x ∂y ∂x ∂y De fato. θ2 ∈ (0. b + k)h + (a. . . b + k) + f(a. Prova. . 278. i = 1. ⊃ Ck ⊃ . . n. podemos provar. b + k) t t→0 • f10 (t0 ) = lim = lim h t→0 = h f((a + t0 h. sao derivada parcial restante apenas exista neste ponto. Toda funçao ˜ e´ verdadeira. ´ Corolario 3. ´ ˜ de classe C1 e´ diferenciavel. f e´ diferenciavel no ponto c = (a. b + t0 k) + kt(0. h2 + k2 ∂f ∂f ˜ cont´ınuas no ponto c = (a. 1 + ε) e f(a + (t0 + t)h. ∂f ∂f (a. que nele seja cont´ınua e que (a. 1) tal que r(v) f(a. ´ • Para funçoes a diferenciabilidade de f num ponto e´ assegurada quando n − 1 ˜ cont´ınuas neste ponto e a das suas derivadas parciais existem numa vizinhança do ponto. b + k) th ∂f (a + t0 h. b) k ∂f ∂f h ∂f = (a + θh. b + k) − f(a) ∂f = (a. = 0. θ ∈ (0. Na realidade. b + k) − ∂f ∂f (a. b + k) e f2 (t) = f(a. b + t0 k) . 1)) − f(a. b + k) − f(a + t0 h. r(v) = kvk Como √ ∂f ∂f h (a + θ1 h. b)h + f(a. b) exista. 0)) − f(a + t0 h. ∂y Logo.´ Analise ˜ derivaveis ´ f1 (t) = f(a + th. b + k) − (a. b + tk) sao em (−ε. ∂x ∂y De fato. Mas a rec´ıproca nao 132 ´ Instituto de Matematica UFF . b)k . escrevendo r(v) = f(a + h. b) e´ suficiente que ∂f ∂f exista numa vizinhança deste ponto. b) e kvk kvk ∂x v→0 kvk Logo lim lim k→0 f(a.12. b). ∂x ∂y ´ ˜ reais de uma variavel ´ existe. b) − (a. √ |k| h2 b2 ≤ 1. kvk ∂x ∂x kvk k kvk ∂y r(v) h k ∂f ˜ limitadas. b + k) ∂x f(a. b) + − (a. pelo Teorema do Valor Medio para funçoes real. b + k) − f(a. b + t0 k) t t→0 • f20 (t0 ) = lim = lim k t→0 = k f((a. b + k) − f(a. b) ∂y ∂y k √ . ou seja. b + k) − (a. pois e sao e´ cont´ınua no ponto (a. b) . b). v→0 kvk ˜ 3.3. b + k) + ht(1. b) . b + (t0 + t)k) − f(a. b + t0 k) tk ∂f (a. para que f seja diferenciavel ´ Observaçao no ponto (a. k ∂y ˜ de n variaveis. b + k) − f(a. temos que e sao ∂x ∂y + + r(v) ´ lim = 0. b + θ2 k) − (a. b) √ 2 + ∂x ∂x h + k2 |h| h2 b2 ≤ 1. ˜ diferenciaveis ´ Funçoes 1 x ˜ dada por f(x) = x2 sen . conclu´ımos. Entao ˜ Exemplo 3. y) = X aij xi yj . Logo f e´ diferenciavel em R. Seja f : R −→ R a funçao f 0 (x) = 2x sen 1 1 − cos . Se g : V −→ R e´ uma funçao ˜ de classe e cada funçao ˜ a composta g ◦ f : U −→ R e´ de classe Ck . . Assim. Frensel 133 . ˆ ´ Do mesmo modo.2. o resultado e´ verdadeiro. ˜ que o corolario ´ Para k = 0. podemos mostrar que todo polinomio f : Rn −→ R de n variaveis X f(x) = ai1 i2 ··· in xi11 · · · xinn . Como ∂f ∂f ∂f ∂f ˜ polinomios. e´ de classe C∞ .3. . V ⊂ Rn abertos. x x→0 f 0 (0) = lim ´ ˜ e´ de classe C1 . fi . todo polinomio e´ de classe C1 . tal que f(U) ⊂ V ˜ coordenada fi : U −→ R e´ de classe Ck . Delgado .4. e que g. portanto. fi . Um polinomio em duas variaveis e´ uma funçao f(x. ∂x ∂y ∂x ∂y ˆ ˜ todo Podemos provar. x x e x2 sen x1 = 0. por induçao. . Logo f ∈ C2 . mas f nao ˆ ´ ˜ f : R2 −→ R dada por Exemplo 3. . . . Sejam U ⊂ Rm . e´ de classe C∞ . Suponhamos. i = 1. k ≥ 1.13. . i = 1. n sao e. funçoes ˜ pelo corolario ´ ˜ funçoes ˜ diferenciaveis ´ Entao. temos que f e´ de classe C1 . entao ˆ ˜ que todo polinomio ˆ polinomio e´ de classe Ck+1 . entao Prova. ´ Corolario 3. pela Regra da Cadeia: J. funçoes ∂x ∂y ˆ Assim. f = (f1 . Ck . para x 6= 0 . e sao e. . x 6= 0 e f(0) = 0. ˆ e sao ∈ C1 e ∈ C1 . ou ˜ primeiro para a soma e depois para o produto. que se todo polinomio e´ de classe Ck . ∂x Como ∂y ∂f ∂f ˜ polinomios ˆ ˜ cont´ınuas. n sao ˜ funçoes ˜ de classe Ck . vale para ˜ de classe Ck−1 . por induçao. .K. . 3. fn ) : U −→ Rn . pois f 0 nao ˜ e´ cont´ınua em x = 0. A soma f + g e o produto fg de funçoes ˜ ˜ funçoes ˜ Observaçao de classe Ck sao de classe Ck .1. ´ ˜ ´ Este resultado segue do fato analogo ja´ provado para funçoes reais de uma variavel real. ˜ f e´ cont´ınuo em R2 e possui derivadas parciais Entao X X ∂f ∂f = iaij xi−1 yj e = jaij xi yj−1 . . pode ser provado por induçao. g. . ˜ 3. usando o argumento acima. a funçao • lim+ t→0 h(0 + tei ) − h(0) |t| = lim+ = 1 . . y) − ϕ(0.´ Analise n X ∂f ∂(g ◦ f) ∂g (x) = (f(x)) j (x) . . ˜ nao ˜ existe Por exemplo. ∂xi ∂(g ◦ f) ∈ Ck−1 para todo i = 1. . lim± t→0 134 ∂ϕ nos pontos (x. . ou seja. g(x) = kxk = x2i . onde ρ : R − {0} −→ R. .3. g ◦ f ∈ Ck . vale a igualdade de funçoes: n X ∂f ∂(g ◦ f) ∂g = ◦f · j . onde i=1 ˜ C ρ : (0. . pela hipotese ´ ˜ que e f sao de induçao. t t→0 t e • lim− t→0 h(0 + tei ) − h(0) |t| = lim− = −1 . . pois: Na origem. e´ uma funçao i=1 ˆ ´ C∞ . ˜ a funçao ˜ Entao classe C∞ . a funçao g : R −→ R. ∞ X n 2 ´ ˜ ˆ ´ Tambem. . Alem ∈ C . como para todo j = 1. y) e nao De fato. ∂xi ∂yj ∂xi Como para todo j = 1. a soma m X ∂g ∂yj j=1 Logo ∂f ◦ f · j e´ de classe Ck−1 . 0) |t| = lim± = ±1 . ou seja. v u n uX 2 ˜ a norma h : Rn − {0} −→ R. ∂xi ∂yj j=1 ∂xi ∂g ∂g ˜ de classe Ck−1 temos. ∂y ∂ϕ nos ∂x ϕ(t. pois h = ρ ◦ g. t t t→0 t t→0 t→0 t ´ Instituto de Matematica UFF . n. e portanto. y) = n n n X ˜ de classe xi yi . 0). . f(x. ˜ norma h nao ˜ possui derivadas parciais. m. . dada por ρ(x) = . o produto ◦ f · j e´ de classe Ck−1 . . ∂xi ˜ 3. e´ de g g x Exemplo 3. y) |t| ϕ(x. pois = ρ ◦ g. . 1 1 1 e´ de classe Ck . ◦ f e´ de classe Ck−1 ∂yj ∂y j ∂fj ∂f ∂g k−1 ´ disso. . entao ˜ existe pontos (0. com g(x) 6= 0 para todo Observaçao x ∈ U. O produto interno f : R × R −→ R. t t→0 t ˜ provem ´ de um produto interno nao ˜ sejam diferenciaveis ´ • Pode ocorrer que normas k k que nao em pontos x 6= 0. ∞) −→ R e´ a funçao ∞ √ dada por ρ(x) = x. y) = |x| + |y|. . n. m. por ser um polinomio de n variaveis. e´ de i=1 classe C∞ .14. t) − ϕ(x. h(x) = kxk = t Entao xi e´ de classe C∞ . e lim± = lim± = ±1 . . pois f e´ um polinomio de 2n variaveis (de grau 2). . se ϕ : R2 −→ R e´ a norma da soma ϕ(x. Seja g : U ⊂ Rn −→ R uma funçao ˜ de classe Ck . ∂xi ∂yj ∂xi j=1 ˜ para todo x ∈ U e todo i = 1. . αn ) ∈ Rn . pelo exemplo acima. . πn } e´ a base de (Rn )? dual da base canonica. Logo. . a projeçao coordenada. . A diferencial de f no ponto a e´ o funcional linear df(a) : Rn −→ R dado por n X ∂f ∂f df(a)v = (a) = (a)αi . Todo funcional linear ϕ : Rn −→ R e´ diferenciavel e dϕ(x) = ϕ. . πi (x) = xi . Entao ˆ {π1 . ´ se f e´ diferenciavel em todo ponto a ∈ U.˜ A diferencial de uma funçao 4 ˜ A diferencial de uma funçao ˜ 4. αn ) ∈ Rn . i=1 ∂xi ou seja. Delgado . ´ ˜ Quando f e´ diferenciavel em todo ponto de U. . . dϕ(x)v = n X ∂ϕ i=1 ∂xi ∂ϕ (x) = ai para todo x ∈ Rn e todo i = 1. . ∂v i=1 ∂xi onde v = (α1 . R) = (Rn )? ∂f (x) · · · que associa a cada x ∈ U o funcional df(x). . . . . que dxi (a)v = dπi (a)v = πi (v) = αi . . ˜ sobre a i−esima ´ ˜ Seja πi : Rn −→ R. Frensel 135 . ou seja. J. v ∈ Rn . podemos definir a aplicaçao df : U −→ L(Rn . dϕ(x)v = ϕ(v) para quaisquer x. . . podemos escrever: n X ∂f df(a)v = (a) dxi (a)(v) . Sejam U ⊂ Rn um aberto e f : U −→ R uma funçao ˜ diferenciavel ´ Definiçao no ponto a. + an xn . . . .1. . df = n X ∂f i=1 ∂xi dxi . . ∂xi ´ Exemplo 4. n. . . . para todo v = (α1 . ∂xi (x)αi = n X ai αi = ϕ(v) . temos que: df e´ uma aplicaçao ˜ coordenadas ⇐⇒ cada uma de suas funçoes ∂f : U −→ R e´ cont´ınua ⇐⇒ f e´ C1 . . Fazendo πi = xi . i = 1. ˜ Entao ∂f (a) · · · ∂x1 ∂f (a) ∂xn ˜ a` base e´ a matriz 1 × n do funcional linear df(a) em relaçao ˆ canonica {e1 .1. en } de Rn . n. temos Logo.K. como ϕ(x) = a1 x1 + . . . i=1 ˜ Notaçao. De fato. ∂xn ˜ cont´ınua Identificando o funcional df(x) com sua matriz. temos. cuja matriz e´ ∂x1 ∂f (x) . ´ (b) f · g : U −→ R e´ diferenciavel no ponto a e d(f · g)(a) = f(a) dg(a) + g(a) df(a) . Entao: ´ (a) f + g : U −→ R e´ diferenciavel no ponto a e d(f + g)(a) = df(a) + dg(a). . q : R × (R − {0}) −→ R dadas por s(x. y) = xy e q(x. g(x)). dt ∂xi dt i=1 ˜ diferenciaveis ´ ˜ Teorema 4. temos. ˜ Como as funçoes s. y) = x ˜ diferenciaveis. ˜ formal da regra da cadeia (no caso R −→ Rn −→ R) diz que se cada Assim. g(a) df(a) − f(a) dg(a) f f ´ (a) = (c) Se g(a) 6= 0. . . e a funçao y ´ F(x) = (f(x). g : U −→ R funçoes no ponto a ∈ U. m(x. ∂g (a) dxi ∂xi = g(a) df(a) − f(a) dg(a) . ˜ s ◦ F = f + g. a expressao ˜ de um parametro ˆ ˜ podemos ”dividir” ambos os membros da coordenada xi e´ funçao real t. m ◦ F = f · g e q ◦ F = que as funçoes ∂(f + g) (a) = ∂xi f ˜ diferenciaveis ´ ´ disso: sao no ponto a e. • d(f + g)(a) = n X ∂(f + g) i=1 • d(f·g)(a) = n X ∂(f · g) i=1 • d(f/g)(a) = ∂xi ∂xi n X ∂(f/g) i=1 ∂xi (a) dxi = n X ∂f i=1 (a) dxi = g(a) ∂xi n X ∂f i=1 g(a) (a) dxi = (a) dxi + n X i=1 ∂xi n X ∂g i=1 ∂xi (a) dxi +f(a) (a) dxi = df(a) + dg(a) . y) = x + y . Sejam f. g(a)2 136 ´ Instituto de Matematica UFF . m : R2 −→ R. ∂xi g(a)2 Assim. alem g ∂f ∂g (a) + (a) ∂xi ∂xi ∂(f · g) ∂f ∂g (a) = g(a) (a) + f(a) (a) ∂xi ∂xi ∂xi ∂f ∂g g(a) (a) − f(a) (a) ∂(f/g) ∂xi ∂xi (a) = .1. ´ ˜ F : U −→ R2 . e´ diferenciavel no ponto a e d . sao por serem de classe C∞ . . pela Regra da Cadeia. tem coordenadas diferenciaveis no ponto a. 2 g g g(a) Prova.´ Analise ˜ feita acima. n X ∂g i=1 ∂f (a) dxi − f(a) ∂xi g(a)2 n X i=1 ∂xi (a) dxi = g(a) df(a)+f(a) dg(a) . temos que {dx1 . dxn } e´ a base de (Rn )? dual da base Com a identificaçao ˆ canonica. entao igualdade acima por ”dt” e obter: n X df ∂f dxi = . a + v] ⊂ U. n) para todo x ∈ U. . ´ Corolario 4. Prova. . 1) tal que cont´ınua no segmento fechado [a. . f(a + v) − f(a) = (a + θv) = df(a + θv) v = ∂v i=1 ∂xi onde v = (α1 . para quaisquer x. y ∈ U. Entao n X ∂f ∂f (a + θv) αi . entao ∂xi ´ ˜ diferenciavel. ∂f ˜ f e´ constante. entao |f(x) − f(y)| ≤ M kx − yk . Seja U ⊂ Rn aberto conexo. ´ ´ ´ Corolario 4. (do Valor Medio) ˜ diferenciavel ´ Seja f : U −→ R uma funçao em todos os pontos do segmento aberto (a. i = 1. a + v) e ˜ existe θ ∈ (0. (x) = 0. Sejam U ⊂ Rn aberto convexo e f : U −→ R uma funçao Se ˜ kdf(x)k ≤ M para todo x ∈ U. . Se f : U −→ R e´ diferenciavel e df(x) = 0 (isto e.2. estamos assumindo que .2. αn ). . ´ Neste corolario. .˜ A diferencial de uma funçao ´ Teorema 4.1. . . ∂f . . . . . n kdf(x)k = sup { |df(x)v| | v ∈ R . kvk = 1 } = sup . (x). ou a norma da soma. y ∈ U. x + (y − x)] ⊂ U. |f(y) − f(x)| = |df(x + θ(y − x)) (y − x)| ≤ M ky − xk . ou a norma Observaçao ´ ˜ v do maximo. ˜ 4. portanto. ´ Assim. o segmento fechado [x. entao kdf(x)k assume. e. kvk = 1 . existe θ ∈ (0. n ∂v Logo. pelo Teorema do Valor Medio. Se tomarmos em Rn a norma euclidiana. 1) tal que f(y) − f(x) = df(x + θ(y − x)) (y − x) . v ∈ R . os valores: u n . uma vez que U e´ convexo.1. se x. respectivamente. . 2 X . . n . uX ∂f . ∂f . . ∂f . t . (x). . ou max . (x). . (x) . . . . . por exemplo. temosvque: v . se k k e´ a norma euclidiana. i=1 ∂xi i=1 ∂xi 1≤i≤n ∂xi De fato. n . v u n u 2 uX 2 n n . X . uX u uX ∂f ∂f ∂f . . t 2 |df(x)v| = . (x) αi . ≤ (x) t αi ≤ t (x) . ∂xi ∂xi ∂xi . . . i=1 J. Frensel 137 . . αn ) ∈ R com kvk = t α2i = 1. Delgado . i=1 i=1 i=1 i=1 v u n uX n para todo v = (α1 .K. . . y) ∈ s V. y) ≤ 4 . y) − f(0. y) ∈ U − {(x. 2 n X ∂f (x) ∂xi i=1 = kdf(x)k ≥ |df(x)v| = v uX 2 u n ∂f t (x) ∂xi v u n 2 uX ∂f t (x) . y) t2 f(t. y) = 0 Seja g = f|V . ∂x ∂y para todo (x. y) ∈ U | p x2 + y2 < 2}. temos que: n 2 zn − wn = 0. 1. y) + (x. t t t→0 t→0 t t→0 t→0 t ∂f ∂f ´ ˜ cont´ınuas em U. ∂x1 ∂xn v . Alem ´ Logo f e´ diferenciavel. Se V nao ˜ e´ convexo. ´ Observaçao com diferencial dg limitada em V. 0) | x ≥ 0}. . e • lim− = lim− = 0 . y) = 0 se ∂y ∂x ∂x ∂f ´ (x. uma vez que f(t. y) ∈ R2 | x ≥ 0 . kdf(x)k ≥ t i=1 ∂xi i=1 ∂xi ˜ 4. onde f : U −→ R e´ a funçao se x ≤ 0 ou y ≤ 0. se (x) 6= 0. ˜ definida por f(x. (x. − de pontos de V.2. y) = 0 para todo (x. kdf(x)k = t (x) . f e´ de classe C1 em U. . f nao 138 ´ Instituto de Matematica UFF . sejam U = R2 − X. y) ∈ U. 1 n e n ˜ e´ Lipschitziana em V. ou seja. temos que: Entao. ˜ e´ uniformemente cont´ınua em V. (0. −→ (0. Por outro lado. Em particular. onde X = {(x. pois. 2 ∂f 2 ∂f kdf(x. . Assim. . sem ser Lipschitziana. f nao zn = 1 wn = 1. Por exemplo. para as sequencias ˆ Mas. ∂f ∂f ∂f (x. y) − f(0. y) = x2 se x > 0 e y > 0 e f(x. tambem. y > 0}. uma funçao ˜ g : V −→ R pode ser diferenciavel. y) ∈ V. y) 0 = lim+ = 0 . u n 2 uX ∂f t (x) ∂xi i=1 v= ∂xi i=1 i=1 ˜ como kvk = 1 . ou seja. 0) e f(zn ) − f(wn ) = 1 −→ 1 . e V = {(x. pois e sao ∂x ∂y • lim+ disso. y)k = (x. como |x| < 2 para todo (x. (x. y) = 2x se x > 0. y > 0. i=1 ∂xi i=1 v v u n u n 2 2 uX ∂f uX ∂f (x) . y) = 0 para ∂x ˜ Entao y > 0. podemos tomar o vetor ∂xi ∂f ∂f (x) (x). pois f ≡ 0 neste aberto e.´ Analise v u n 2 2 n X uX ∂f ∂f Logo kdf(x)k ≤ t (x) . α1 . onde v = (ϕ(e1 ). αn e´ a matriz 1 × n do funcional v? Alem ˜ a` base canonica. ˆ propriedades mais importantes do gradiente de uma funçao ˜ dife• Veremos agora as tres ´ renciavel f : U −→ R. . Como consequencia ˆ ´ Observaçao do corolario 4. O gradiente aponta para uma direçao crescente. dxn } de (Rn )? . . f e´ a restriçao cont´ınua g : U −→ R. ˜ De fato. 5 ˜ diferenciavel ´ O gradiente de uma funçao ˆ O produto interno canonico induz um isomorfismo entre Rn e seu dual (Rn )? dado por: Rn −→ (Rn )? v 7−→ v? : Rn −→ x R 7−→ hv. . . . ϕ(en )). vi = df(a)v = (a) = (a) αi . ? ´ disso. . .K. ∂v ∂xi i=1 n para todo v = (α1 . ˆ em relaçao ˜ 5. . O gradiente de f no ponto a ∈ U e´ o vetor grad f(a) que corresponde ao funcional df(a) segundo o isomorfismo acima. ϕ = v? . . ˜ segundo a qual a funçao ˜ f e´ Primeira propriedade. As coordenadas de grad f(a) em relaçao ˜ a` base canonica ˆ ˜ iguais as ` Observaçao sao coordenadas de df(a) = n X ∂f i=1 ∂xi ˜ a` base {dx1 . Para isso. . xi . .3. n X ∂f ∂f hgrad f(a). entao ˜ de uma funçao ˜ uniformemente f e´ uniformemente cont´ınua em U. uma vez que ϕ(x1 . .2. Seja f : U −→ R uma funçao ˜ diferenciavel ´ Definiçao no aberto U ⊂ Rn . . (a) . ∂x1 ∂xn ˜ 5. . Delgado . . . + ϕ(en )xn . . . . ∂f ∂f Logo grad f(a) = (a). .1.˜ diferenciavel ´ O gradiente de uma funçao ˜ 4. . . se w = grad f(a). temos que se U ⊂ Rn e´ aberto e ˜ diferenciavel ´ ˜ convexo e f : U −→ R e´ uma funçao com derivadas parciais limitadas em U. Em particular. n.1. dual da base (a) dxi em relaçao ˆ canonica. . . Frensel 139 . . . i = 1. xn ) = ϕ(e1 )x1 + . seja a ∈ U tal que grad f(a) 6= 0. entao J. . . ou seja. αn ) ∈ R . como v (ei ) = αi . pois dado ϕ ∈ (Rn )? . wi = k grad f(a)k2 > 0 . ∂v ∂(grad f(a)) pois. existe ε > 0 tal que (f ◦ λ) 0 (t) > 0 para todo t ∈ (−ε. pela desigualdade de Cauchy-Schwarz. ∂f ∂f (a) = hgrad f(a). que provaremos depois. O gradiente de f no ponto a e´ perpendicular a` ”superf´ıcie” de n´ıvel de f que passa por esse ponto. pois De fato. ˜ Ou seja.´ Analise df(a) w = ∂f (a) = hgrad f(a). v = grad f(a). Entao. ˜ entao (f ◦ λ) 0 (0) = df(λ(0)) λ 0 (0) > 0 . entao ∂f ∂f (a) ≤ (a) . nao ˆ ˜ f cresce ao hgrad f(a). Dentre todas as direçoes ao longo das quais a funçao ˜ do gradiente e´ a de crescimento mais rapido. se λ : (−ε. que a igualdade ocorre se. 4: Gradiente de f no ponto a ˜ ˜ f cresce. ∂w ´ Assim. ε). a Segunda propriedade. ainda. vi > 0 para todo v que faz um angulo agudo com grad f(a). isto ´ x ∈ f−1 (c). dizemos que x esta´ no n´ıvel c ou que x tem n´ıvel c. Isto e. Terceira propriedade. e so´ se. se v e´ um vetor tal que kvk = k grad f(a)k. ˜ se f e λ sao ˜ de classe C1 . ´ direçao ˜ se tem df(a)v = hgrad f(a). e. vi > 0 apenas quando v = grad f(a). ∂v ∂(grad f(a)) Observe. chamamos f−1 (c) = {x ∈ U | f(x) = c} conjunto de n´ıvel de f e se f(x) = c. vi ≤ k grad f(a)k kvk = k grad f(a)k2 = (a) . Fig. ε) −→ U e´ um caminho diferenciavel tal que λ(0) = a e λ 0 (0) = grad f(a). Entao ˜ ˜ segundo a qual o crescimento de f e´ o mais longo destas direçoes. garante que f−1 (c) e´ uma suO Teorema da Funçao 140 ´ Instituto de Matematica UFF . ˜ Impl´ıcita. ´ f cresce na direçao ˜ do gradiente. f ◦ λ e´ crescente. Dado c ∈ R. portanto. e. mas grad f(a) e´ a direçao ´ rapido. como f(λ(t)) = c para todo t ∈ (−ε. sig´ nifica que w e´ perpendicular ao vetor velocidade λ 0 (0) de qualquer caminho diferenciavel em t = 0. y) ∈ R2 | x2 + y2 = c} a curva de n´ıvel c da funçao √ −1 −1 −1 g (c) = ∅ se c < 0. ε). perpendicular ao vetor tangente ao c´ırculo naquele ponto. Dizer que w = grad f(a) e´ perpendicular ao conjunto de n´ıvel f−1 (c). g. b) para • As curvas de n´ıvel de f sao ` retas ax + by = c. g(x. Assim. h : R2 −→ R dadas por: f(x. y) = x2 + y2 e h(x. Exemplo 5. Entao: ˜ • Seja c ∈ R e seja g−1 (c) = {(x. y) = x2 − y2 . y) = (a. (a. 0 = (f ◦ λ) 0 (0) = df(λ(0)) λ 0 (0) = hgrad f(a). g (c) e´ o c´ırculo de centro na origem e raio c. Fig. ε). Delgado . y) = (2x. ou uma curva (se n = 2). De fato. ˜ as retas ax+by = c para qualquer c ∈ R e grad f(x. 2y) e´ um vetor paralelo ao raio e. b) e´ o vetor normal as e´ o semi-plano para o qual o vetor (a. e grad f(x.1. e {(x. 6: Gradiente de g J.K. y) = ax + by. Fig. 0)}. b) aponta.˜ diferenciavel ´ O gradiente de uma funçao perf´ıcie (se n ≥ 3). y) ∈ R2 | ax + by > c} todo (x. λ 0 (0)i . Frensel 141 . com λ(0) = a e λ(t) ∈ f−1 (c) para todo t ∈ (−ε. quando grad f(x) 6= 0 para todo x ∈ f−1 (c). portanto. onde f(a) = c. Sejam f. a2 + b2 6= 0. y) ∈ R2 . 5: Gradiente de f ˜ g. g (0) = {(0. se c < 0. sendo grad h(x. perpendiculares que se cortam na origem. 0). ou h−1 (c) = {(x. −z) de revoluçao perpendicular a` superf´ıcie de n´ıvel que passa por (x. z) = x2 + y2 + z2 e h(x. o hiperboloide de revoluçao ˜ de duas folhas x2 +y2 −z2 = c de eixo z. ˜ h e´ o cone de revoluçao ˜ z2 = x2 +y2 de vertice ´ A superf´ıcie de n´ıvel c da funçao na origem e eixo ´ ˜ de uma folha x2 + y2 − z2 = c de eixo z. 7: Gradiente de h ` curvas de n´ıvel e indica a direçao ˜ O gradiente de h. ˜ g e´ o conjunto vazio. se c > 0. z). z) = x2 + y2 − z2 . y. y. y. Considere. se c > 0. 142 ´ Instituto de Matematica UFF . d ∈ R. z) = 2(x. todos perpendicuAs superf´ıcies de n´ıvel de f sao lares ao vetor (a. ˜ planos de equaçao ˜ ax + by + cz = d. se c > 0. e´ perpendicular as de crescimento de h. Um ponto onde o gradiente de uma funçao ou cr´ıtico. ˜ das • Nos pontos onde o gradiente se anula ocorre uma quebra de regularidade na disposiçao ˜ e´ o vetor nulo e´ chamado singular curvas de n´ıvel. z) 6= (0. se c < 0. g(x. y.2. y) ∈ R2 | x2 = y2 } = {(x. y) ∈ R2 | x = ±y} que consiste de duas retas. y. y. x = y e x = −y. y) ∈ R2 | x2 − y2 = c} ´ ´ que e´ uma hiperbole cuja reta focal e´ o eixo x.´ Analise ˜ h sao: ˜ • As curvas de n´ıvel c da funçao h−1 (0) = {(x. grad h(x. b. ˜ definidas no espaço R3 tridimensional: Exemplo 5. as funçoes f(x. z) perpendicular a` superf´ıcie de n´ıvel c que passa pelo ponto (x. A superf´ıcie de n´ıvel c da funçao √ se c = 0 e e´ a esfera de centro na origem e raio c. y. y. sendo grad g(x. se c < 0. e o hiperboloide ´ z. 0. c). z) = ax + by + cz . consiste apenas da origem. z) = 2(x. Fig. e uma hiperbole cuja reta focal e´ o eixo y. y) = (2x. −2y). y. que e´ o gradiente de f em qualquer ponto. agora. t) − (x0 . b] −→ R uma funçao ˜ t 7−→ f(x. t) dt. t) existe para todo (x. t) dt . possui i−esima derivada parcial em a todo ponto x ∈ U. funçao Prova. b]. ∂xi Ou seja. desde que o integrando resultante seja uma ˜ cont´ınua.A regra de Leibniz 6 A regra de Leibniz ˜ sob o sinal de integral) Teorema 6.1. x0 + sei ] ⊂ U. t) dt . t) ∈ U × [a. ´ pelo Teorema do Valor Medio. t) − f(x0 . ∂xi ∂xi ∂f : U × [a. ∂xi existe 0 < δ < δ0 tal que: . (Regra de Leibniz – derivaçao ˜ com as seguintes propriedades: Sejam U ⊂ Rn aberto e f : U × [a. ∂xi ∂f ˜ (x. que dado ε > 0. Entao. t) dt = − (x0 . pode-se derivar sob o sinal de integral. t) dt s a ∂xi a Zb = a Como s ∂xi ∂f ∂f (x0 + θsei . ˜ Dado x0 ∈ U. existe δ0 > 0 tal que [x0 . dada por ϕ(x) = Entao ´ f(x. existe θ ∈ (0. b] −→ R e´ cont´ınua. ´ (2) A i−esima derivada parcial ∂f : U × [a. temos. b] e a funçao ∂xi Zb ˜ a funçao ˜ ϕ : U −→ R. a funçao em [a. b] −→ R e´ cont´ınua. t) ∂f ϕ(x0 + sei ) − ϕ(x0 ) − (x0 .4 do cap´ıtulo 1. t) e´ integravel ´ (1) Para todo x ∈ U. para todo s ∈ R com |s| < δ0 . sendo ∂ϕ (x) = ∂xi Zb a ∂f (x. 1) tal que: Zb Zb ∂f f(x0 + sei . pelo teorema 11. . . . t) . t) − (x0 . ∂f ∂f ε (x0 + sθei . . < . |s| < δ =⇒ . . ∂xi ∂xi 2(b − a) ˜ . . b]. para todo t ∈ [a. Entao.se 0 < |s| < δ. Zb . . ϕ(x0 + sei ) − ϕ(x) ∂f . − (x0 . t) dt . . . < ε . ∂xi a ∂xi ´ Corolario 6. b] −→ R cont´ınuas. J. entao. entao ∂xi classe C1 . Frensel f(x. Delgado . dada por ϕ(x) = : U × [a.1. t) dt .K. s ∂xi a ˜ que ϕ possui i−esima ´ Provamos. Se f : U × [a. t) dt. b] −→ R e´ cont´ınua e possui as n derivadas parciais Zb ∂f ˜ ϕ : U −→ R. e´ de a 143 . derivada parcial no ponto x0 e Zb ∂ϕ ∂f (x0 ) = (x0 . i = 1.1. ∂g (x. b] × [c. t) ds dt . d] −→ R e´ uma funçao ˜ cont´ınua. t) ∈ [a. para todo i = 1. t) = f(s. Se f : [a. integravel. pela aplicaçao : U −→ R e´ cont´ınua para todo ∂xi i = 1. . . t) dt ds a f(s. t) dt = dt f(s. Alem : U × [a. dada por Zd ϕ(x) = Zd ´ e´ derivavel e ϕ 0 (x) = c Z d Z x g(x. t) dt. portanto. t) ds . t) dt a ds . t) dt . . b] × [c. que a funçao ∂x ϕ : [a. . n. a Zx ˜ t 7−→ Para cada x ∈ [a. b] × [c. (da Inversao ˜ cont´ınua. Alem a disso. Zb A integral ξ(s) ds se escreve como: a Zb Zd f(s. d] −→ R e´ uma funçao Zb Zd Zd Zb ds f(s. . e´ cont´ınua e. d] −→ R definida por g(x. . integravel. temos. que temos.4 do cap´ıtulo 1. . ϕ possui as n derivadas parciais e (x) = (x. ds c a c ˜ da Ordem nas Integrais Repetidas) Teorema 6. d]. temos. b] × [c.4 do cap´ıtulo 1. t) = f(x. ξ(s) = do teorema 11. t) dt = c ∂g (x. . temos. c Zb ou Zd f(s. pela aplicaçao ˜ Observaçao Z d ˜ ξ : [a. b] −→ R. . b] fixo. n. pois o integrando s 7−→ f(s. b] × [c. entao ˜ Se f : [a. a f(x. t) dt .´ Analise Prova. a funçao ´ ´ f(s. d]. n. . t) e´ cont´ınuo ∂x para todo t ∈ [c. Zb ∂f ∂ϕ Pelo teorema anterior. ∂xi ∂ϕ ˜ do teorema 11. como x ∈ U. Como ∂g ˜ = f : [a. d] −→ R e´ cont´ınua. t) ds dt. que a funçao ´ portanto.2. ˜ 6. que Zb 0 ϕ(b) − ϕ(a) = Z d Z b Sendo ϕ(a) = 0 e ϕ(b) = c 144 Z b Z d ϕ (s) ds = a f(s. t) ds e´ cont´ınua e. t) dt = ∂x c Zd f(s. t) ds . Seja g : [a. obtemos a ´ Instituto de Matematica UFF . . t) dt para todo ∂xi a ∂xi ∂f ´ disso. pela Regra de Leibniz. a c c a Zx Prova. pelo Teorema Fundamental do ´ Calculo. b] −→ R e´ cont´ınua. b] −→ R. t) para todo (x. c ´ Como ϕ 0 : [a. b] −→ R e´ integravel (por ser cont´ınua). . c f(s. Seja f : U×[a. que ∂xi ˜ Afirmaçao: dados x0 ∈ U. ∂xi ∂ξ : U × [a. . a c ´ ˜ cont´ınua. u) ∈ U × [a. n. pela Regra de Leibniz. ∂xi ∂xi para todo x ∈ U. a t 7−→ f(x. ∂u ∂ξ ´ disso.. existe δ > . onde U ⊂ Rn : U × [a. t) dt ds . u) = Seja ξ : U × [a. b] −→ R e´ cont´ınua. como : U × [a. b] uma funçao . t) e´ cont´ınua. para i = 1.... u) = ∂xi Zu a ∂f (x. t) ds dt = f(s. Zu Prova. . Alem (x. e´ de classe C1 e suas ˜ a funçao ˜ ϕ : U −→ R. u0 ∈ [a. ∂ξ (x. u) = f(x.2. ∂x1 ∂xn Z g(x) f(x. temos. b] −→ R e´ cont´ınua. . t) dt. t) dt + (x) f(x. b]. ˜ dada por ξ(x. ∂xi ∂f De fato. Entao a ˜ derivadas parciais sao: ∂ϕ (x) = ∂xi Z g(x) a ∂f ∂g (x. t) dt . g(x)) . Entao. com derivadas parciais cont´ınuas Corolario 6. u) para todo (x. b] −→ R uma funçao ∂f ∂f ˜ de classe C1 .A regra de Leibniz Z d Z b c a Z b Z d f(s. b] e ε > 0. t) dt. b] −→ R. b] −→ R a funçao ˜ como a funçao ˜ f(x.4 do cap´ıtulo 1. pelo teorema 11. definida por ϕ(x) = e´ aberto. e seja g : U −→ [a. . 0 tal que . . ∂f . ∂f kx − x0 k < δ =⇒ . . t) . t) − (x0 . (x. . onde ε 0 = ε ε se u0 = a e ε 0 = se u0 6= a. b]. < ε 0 . ∂xi ∂xi para todo t ∈ [a. 2 2(u0 − a) . . . ∂f . t) cont´ınua no compacto [a. ∂f Sendo t 7−→ (x0 . existe M > 0 tal que . b]. . (x0 . t) . . ≤ M para ∂xi ∂xi . . . ∂f . b]. . Assim. todo t ∈ [a. . (x. t) . . e kx − x0 k < δ. para todo t ∈ [a. ∂xi ε ˜ se |u − u0 | < Entao. ≤ N = ε 0 + M. 2N . b] e x ∈ B(x0 . δ). . . Zu . Z u0 . ∂ξ . . . ∂ξ ∂f ∂f . . = . . t) dt 0 0 0 . u) − (x . u ) (x. (x. t) dt − (x . ∂xi . . ∂xi . ∂xi a a ∂xi . Z u0 . . Zu . Z u0 . . . . ∂f ∂f ∂f ≤ . . (x. t) dt . t) dt − (x0 . . + . . (x. t) dt . . ∂xi ∂xi ∂xi a a ≤ ε 0 |u0 − a| + N |u0 − u| < Logo ξ e´ de classe C1 . Frensel u0 ε ε + = ε. i = 1. . . 2 2 ∂ξ ∂ξ ˜ cont´ınuas. . pois J. =fe . . n sao ∂u ∂xi 145 . Delgado .K. g(x)) . . = Fn(n−1) (0) = 0 e Fn(n) (x) = f(x) para todo x ∈ I. . ∂xi • ∂λ (x) = ∂xi g(x) ∂xi g(x) ∂f ∂h ∂g (x. Fn (0) = Fn0 (0) = . . pelo corolario ´ Entao acima. ∂xi Logo ∂xi ∂u ∂xi ∂xi a ∂xi ∂ϕ e´ cont´ınua para todo i = 1. = Fn (0) = 0 e Fn (x) = f(x) para todo x ∈ I. por induçao. h(x)) − (x) f(x. ∂xi . diferenciaveis. ou seja. portanto. x) = 0. n−1 (0) = 0 e Fn−1 (x) = f(x) . n − 1 ≥ 1. 0 (n − 2)! 0 (n − 2)! pois G(x. Z g(x) ∂f ∂ϕ ∂ξ ∂ξ ∂g ∂g (x) = (x. F1 e´ de classe C1 . ∂xi ˜ 6. Sejam as funçoes G : I × I −→ R e g : I −→ I dadas por G(x. t) dt . pela Regra da Cadeia. Seja f : I −→ R uma funçao ˜ cont´ınua definida no intervalo I. . = − − a Z h(x) Zb Z g(x) Zb Zb Z g(x) h(x) g(x) ˜ 6. . (n−1) (n) temos que Fn e´ de classe Cn . ϕ e´ de classe C1 . t) = (x − t)n−1 f(t) . ˜ Fn (0) = 0 e.´ Analise ˜ de classe C1 e. ´ ˜ Suponhamos o resultado valido para n − 1. definida por Zx (x − t)n−1 Fn (x) = f(t) dt . g(x)) e´ diferenciavel ´ funçao e. (n − 1)! e g(x) = x .3. g(x)) + (x. e λ(x) = f(x. = F(n−2) Como. Entao De fato. b] −→ R satisfaz as ´ ´ ˜ de classe C1 . t) dt + (x) f(x. De modo analogo. g(x)) (x) = (x.2. . . . = − g(x) a a e a . b] sao Z h(x) Zb f(x. n ≥ 1. F1 (0) = 0 e F10 (x) = f(x) para todo x ∈ I. Observaçao Seja F0 = f e Fn : I −→ R. com 0 ∈ I. 146 ´ Instituto de Matematica UFF . . g(x)) . 0 (n − 1)! ˜ Fn e´ de classe Cn . para todo i = 1. . x) g (x) = f(t) dt = Fn−1 (x) . ψ(x) = g(x) g(x) 1 ˜ de classe C e sao Zb ∂ψ ∂f ∂g • (x) = (x. ´ Sendo g e ξ sao temos. t) dt + (x) f(x. ∂xi ∂xi ∂xi Z h(x) Zb uma vez que. entao ˜ as funçoes ˜ hipoteses do corolario acima e g. (n−1) ˜ Fn−1 e´ de classe Cn−1 e Fn−1 (0) = . . . Fn (0) = Fn0 (0) = . t) dt . h : U −→ [a. n. Fn e´ de classe C1 e Zx Zx (x − t)n−2 (x − t)n−2 0 0 Fn (x) = f(t) dt + G(x. . g(x)) . . ´ Observaçao podemos provar que se f : U × [a. t) dt − (x) f(x. n. para n = 1. que a ˜ composta ϕ(x) = ξ(x. . ´ . sao num ponto a ∈ U. . ´ diferenciavel. i = 1. sao ∂xi ∂f ˜ k−vezes diferenciaveis. . entao. Prova. n. f e´ (k + 1)−vezes ∂xi ˜ determinar sob quais hipoteses ´ ˜ tomadas as derivadas Cabe. . ´ ˜ Se f : U −→ R e´ duas vezes diferenciavel em U. n. a + ε) × (b − ε. entao ˜ f e´ diferenciavel. . . b + ε) ⊂ U.K. i = 1. Delgado . portanto. Ja´ sabemos que se f ∈ C1 . ∂xj ∂xi 1 ≤ i. j = 1. ˜ suas derivadas parciais Seja f ∈ Ck+1 . existem as derivadas parciais de segunda ordem ∂ ∂f ∂2 f (a) = (a) . ∂f ˜ de classe Ck . sao e. ´ Observaçao ˜ que se uma funçao ˜ e´ de classe Ck . ˜ sao ˜ diferenciaveis ´ ˆ vezes Se todas estas funçoes num ponto a ∈ U. . . dizemos que f e´ duas ∂xi ´ vezes diferenciavel no ponto a. ∂x ∂y ∂y ∂x Seja ε > 0 tal que (a − ε. b) = (a. ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi para todo i. . por induçao. (de Schwarz) ´ ˜ Se f : U −→ R e´ duas vezes diferenciavel num ponto c ∈ U ⊂ Rn .O Teorema de Schwarz 7 O Teorema de Schwarz ˜ 7. a ordem em que sao ˜ influi no resultado final. ε) e x ∈ (a − ε. E assim por diante. . ˜ 7. Para todo t ∈ (−ε. Frensel 147 . entao ˜ ela e´ k−vezes difeSuponhamos. Entao ˜ Logo. Seja f : U −→ R uma funçao ˜ diferenciavel ´ Definiçao no aberto U ⊂ Rn . .1. ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi para quaisquer 1 ≤ i. j ≤ n. . para simplificar a notaçao. ´ renciavel. dizemos que f e´ tres ´ diferenciavel nesse ponto.1. i = 1. entao. ˜ provar Vamos supor. j ≤ n . Neste caso. ˜ que U ⊂ R2 e c = (a. a + ε). . ficam definidas n2 funçoes ∂2 f : U −→ R . . sejam: J. b). b). Se as derivadas parciais ∂f ˜ diferenciaveis ´ : U −→ R. n. parciais repetidas nao Teorema 7. Devemos. . . entao ∂2 f ∂2 f (c) = (c) .1. n. que ∂2 f ∂2 f (a. por induçao. . 0) = 0. 148 ´ Instituto de Matematica UFF . b + θt) t . b) . b) + 2 (a. b + t) − f(x. b + t) − (a + θt. b)t + 2 (a. Seja f : R2 −→ R a funçao xy(x2 − y2 ) . ∂x ∂y t→0 t Assim. b)θt + (a.1. • ξ(x) = f(x. b) + 2 (a. y) = Exemplo 7. agora. b). ou seja. b) ∂x ∂x t. b) + 2 (a. ∂x ∂x ∂x t→0 Logo ϕ(t) = ∂2 f (a. portanto. e. ∂f ´ : U −→ R e´ diferenciavel no ponto c = (a. ∂y ∂x ϕ(t) ∂2 f lim 2 = (a. b + θt) − (a. entao ∂2 f ∂2 f (x) = (x) ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi para todo x ∈ U e para todo 1 ≤ i. (II) ∂2 f ∂2 f (a. Se f : U −→ R e´ de classe C2 no aberto U ⊂ Rn . b) temos que: ∂x ∂f ∂2 f ∂2 f ∂f (a + θt. temos que: ∂y ∂f ∂f ∂2 f ∂2 f (a + t. b) = (a. ∂y ∂y ∂ y t→0 ∂2 f (a. y) 6= (0. b) − f(a. b + t) + f(a. ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x t→0 e • ∂f ∂f ∂2 f (a + θt. ou seja. b)θt + ρ2 t . b + t) = (a. ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y t→0 e • ∂f ∂f ∂2 f (a.1. ˜ dada por f(x. portanto. e x 2 + y2 f(0. ∂y ∂x ∂x ∂y ´ ˜ Corolario 7. 1) tal que ϕ(t) = η (b + θt) t. b)θt + ρ4 t . Logo ϕ(t) = ∂x∂y ϕ(t) ∂2 f lim 2 = (a. com lim ρ1 = 0 . b + θ t) = (a. existe θ ∈ (0. se (x. b)t2 + (ρ1 − ρ2 )t2 . com lim ρ3 = 0 . 0). ˜ ϕ(t) = ξ(a + t) − ξ(a). e. b + θt) = (a. b) . b)t + ρ1 t . y) − f(a. y). ϕ(t) = ˜ Como a funçao • ∂f ∂f (a + t. ∂y ∂x t→0 t (I) ˜ ϕ(t) = η(b + t) − η(b). η(y) = f(a + t. 1) tal que ϕ(t) = ξ 0(a + θt)t. por (I) e (II). b)θt + ρ3 t . b) = (a. com lim ρ2 = 0. ∂y ∂y ∂f ´ : U −→ R e´ diferenciavel no ponto c = (a. b) + (ρ3 − ρ4 ) t2 . com lim ρ4 = 0. b + t) − f(a + t. ϕ(t) = ˜ Como a funçao • ∂f ∂f (a + θt. Pelo teorema do Valor Seja. Entao 0 ´ Medio. Pelo Teorema do Valor Medio ´ ˜ de uma variavel ´ Entao para funçoes real. b) + (a. b). b) . b) .´ Analise • ϕ(t) = f(a + t. existe θ ∈ (0. j ≤ n. t) − (0. (x2 + y2 )2 ∂2 f (x. x ∈ R. x ∈ R. ´ disso. 0) = lim = lim = 1 . 0) − (0. mas ∂2 f ∂2 f (0. 0) − (0. ∂x ∂y t t→0 t→0 t Logo f possui derivadas parciais de segunda ordem em todos os pontos do plano. y) ty(t2 − y2 ) ∂f (0. f e´ de classe C1 em R2 . ∂y t t→0 • f(t. y ∈ R. Frensel (y(x2 − y2 ) + xy 2x)(x2 + y2 ) − 2x xy(x2 − y2 ) (x2 + y2 )2 (x4 − 5y4 + 12x2 y2 )(x2 + y2 )2 − (x4 y − y5 + 4x2 y3 )2(x2 + y2 )2y (x2 + y2 )4 (x4 − 5y4 + 12x2 y2 )(x2 + y2 ) − 4y(x4 y − y5 + 4x2 y3 ) . Delgado . como para (x. 0) ∂2 f ∂y ∂y • 2 (0. y) = ∂x = ((3x2 y − y3 ))(x2 + y2 ) − 2x2 y(x2 − y2 ) (x2 + y2 )2 = x4 y − y5 + 4x2 y3 . 0) ∂2 f ∂x • 2 (0. t) − (0. (x2 + y2 )3 149 . 0) − f(x. 0) = lim = lim = x. 0) = lim = 0. 0) ∂2 f −t ∂x ∂x • (0. 0) 6= (0. Logo f e´ diferenciavel na origem. e sao ∂x ∂y ∂f ∂f ˜ sao ˜ diferenciaveis ´ ´ ˜ e´ e nao na origem. y) = lim = lim = −y . ∂y t t→0 ∂f ∂f (0. ∂x t t→0 ∂f ∂f (t.K. 0) = lim = 0. Alem ´ disso. ∂y ∂x t t→0 t→0 t • f(x. ∂x. mas nao ∂x ∂y ´ duas-vezes diferenciavel na origem. y) 6= (0. ∂x t t→0 • • f(0. y) ∂f (0. t) − f(x. apesar das derivadas de segunda ordem Alem ∂2 f ∂2 f e existirem em todos os pontos ∂x ∂y ∂y ∂x ˜ sao ˜ cont´ınuas na origem. 0) xt(x2 − t2 ) ∂f (x. ou seja. 0) ∂2 f t ∂y ∂y • (0.O Teorema de Schwarz ˜ f e´ de classe C∞ em R2 − {(0. temos que: A funçao ∂f f(x + t. do plano. 0) . 0) = lim ∂x = 0. y + t) − f(0. ∂y t t→0 t→0 t(x2 + t2 ) ∂f ∂f (t. ∂f (x. y) − f(0. 0)}. ∂y ∂y ∂x ´ que Pode-se verificar tambem mas ∂f ∂f ˜ cont´ınuas em R2 . 0) (x. y) = ∂y ∂x = J. 0). y ∈ R . ∂x t t→0 t→0 t(t2 + y2 ) ∂f ∂f (0. elas nao De fato. y) = lim = 0. 0) = lim = lim = −1 . Entao. outra versao ∂f ∂2 f e em todos os ∂xi ∂xi ∂xj ∂f ∂2 f ∂2 f ˜ ˜ cont´ınuas.´ Analise temos que ∂2 f 8t4 · 2t2 − 16t6 ∂2 f ∂2 f (t. Pelo Teorema Fundamental do Calculo. y) 6= (0. 0) = −1 . portanto. ´ ˜ as seis Observaçao Entao derivadas mistas de terceira ordem satisfazem: ∂3 f ∂3 f ∂3 f = = ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂x e ∂3 f ∂3 f ∂3 f = = . y) ∈ I × J. Logo lim ∂x ∂y t→0 ∂x ∂y (x. ˜ a derivada pontos de U. ∂y ∂f ∂2 f ˜ cont´ınuas. Daremos. temos que ˜ do Teorema de Schwarz que decorre da Regra de Leibniz. portanto. t) dt . y) 6= (0. ∂y ∂f ´ e´ cont´ınua. duas vezes diferenciavel em todos os pontos ∂2 f ∂2 f (x. onde I = (x0 − ε. Dado (x0 . t) = = 0 e. ∂x ∂x b ∂x ∂y ∂2 f ´ ˜ e´ cont´ınuo. pelo Teorema de Schwarz. 2 ∂3 f ∂ ∂2 f ∂ ∂ f = = = ∂x ∂x ∂y 150 ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂3 f . t) = 0 6= (0. y0 ) ∈ U.2. y) ∈ I × J. b) + b para todo (x. y) = (x. x0 + ε) e J = (y0 − ε. integravel. agora. lim (t. y) . em todos os pontos de U e ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj ˜ tal que existem Teorema 7. b) + (x. portanto. temos. Z y b ∂2 f (x. y) = f(x. y) para todo (x. por hipotese. ∂y ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y De fato. Z temos que y f(x. e as funçoes . ∂x ∂y ∂x ´ Instituto de Matematica UFF . ˜ Vamos supor n = 2 para simplificar a notaçao. Seja f : U ⊂ R2 −→ R uma funçao ˜ tres ˆ vezes diferenciavel. ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ˜ 7. Seja f : U ⊂ Rn −→ R uma funçao Prova. t) dt e´ ∂x ∂y ∂2 f (x. como o integrando ∂x ∂y ´ ˜ aye derivavel em relaçao ∂ ∂y Assim. 0). t) dt . y) = (x. y) = (x. ´ . : I × J −→ R sao temos. e. 0) = 1 . que: ∂y ∂x ∂y Zy 2 ∂f ∂f ∂ f (x. : U −→ R sao existe ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ∂2 f ∂2 f ≡ . que a funçao Logo. 0). existe ε > 0 tal que I × J ⊂ U. t) dt ∂x ∂y = Zy b ∂2 f (x. ∂x ∂y ∂f ∂2 f ∂2 f ˜ aye possui derivada em relaçao (x. 0)}. uma vez que Como ∂f (x. ∂x ∂y ∂y ∂x ∂2 f ∂2 f (t. y) para todo (x. t) = 0 = 6 (0. e. tambem. pela Regra de Leibniz. ´ Seja b ∈ J.2. y0 + ε). ∂y ∂x 8t6 ∂y ∂x t→0 ∂y ∂x ´ Como f e´ de classe C∞ em R2 −{(0. . dfp (a) e´ um polinomio ˆ ˆ Observaçao homogeneo de grau p nas coordenadas de v. ´ uma vez que f e g sao ˆ igualdades acima. ∂xip ´ ˜ f no Para cada p > 0. a derivada de ordem α. pontos cr´ıticos. . . . se f : U ⊂ Rn −→ R e´ uma funçao no aberto U. . . Analogamente. . fazendo g = ∂f . . entao ˆ ˜ para toda sequencia de inteiros nao-negativos i1 . . temos que ∂x ∂ ∂3 f = ∂x ∂y ∂x ∂x ∂ ∂y ∂f ∂x = ∂2 g ∂2 g ∂ = = ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂ ∂f ∂x ∂x = ∂3 f . Usando a notaçao ˜ acima.. . αip . . ˜ p−vezes diferenciavel ´ Seja f : U ⊂ Rn −→ R uma funçao no ponto a. . ∂y ∂x ∂x ˜ duas vezes diferenciaveis. a Regra da Cadeia enuncia-se do seguinte modo: Observaçao ˜ tal que fi : U −→ R e´ diferenciavel ´ Seja f = (f1 . ∂2 f (a)αi αj .. fn ) : U ⊂ Rm −→ Rn uma aplicaçao em a J. .. in vezes ˜ a` variavel ´ ˜ depende da ordem em que essas derivaçoes ˜ foram efetuadas. a forma dp f(a) : Rn −→ R chama-se p−esima diferencial da funçao ponto a. Frensel 151 . podemos provar as outras tres ˜ p−vezes diferenciavel ´ ˜ No caso geral. n X i1 . .1. que consiste em derivar i1 vezes em relaçao x1 . . Delgado .. . ∂xinn ˜ a` variavel ´ . nao Para demonstrar o caso geral. ..K.´ Formula de Taylor. αn ) ∈ Rn .. escrevemos: df(a) v = n X ∂f i=1 d2 f(a) v2 = n X i. + in = α ≤ p. basta sabermos que podemos trocar a ordem de duas derivaˆ das sucessivas e que qualquer mudança de ordem numa sequencia finita pode ser obtida por ˜ sucessivas entre dois termos consecutivos da sequencia.ip =1 ∂p f (a)αi1 . . ∂xi ∂xj . . com i1 + . ˜ 8. .j=1 . ∂xi1 .2. . pontos cr´ıticos. . ˜ 8. . . e. Para cada vetor v = (α1 . in . em relaçao xn . dfp (a)(tv)p = tp dp f(a) vp . dp f(a) vp = ∂xi (a)αi .. . ˆ transposiçoes 8 ´ Formula de Taylor. ou seja. ∂α ∂xi11 . n X ∂f ∂f ϕ (t) = (a + tv) = df(a + tv) v = (a + tv) αi . + dp f(a) vp + rp (v) . . 1). . d(g ◦ f)(a) v = m X ∂(g ◦ f) i=1 = ∂xi (a) αi = m n X X ∂g i=1 k=1 ∂f (f(a)) k (a) ∂yk ∂xi ! αi n X m X ∂g k=1 i=1 m X ∂fk ∂g (f(a)) (a) αi = (f(a)) dfk (a) v ∂yk ∂xi ∂yk k=1 = dg(f(a))(df1 (a) v. . para uma funçao ˜ (p + 1)−vezes diferenciavel ´ ˜ Seja f : U −→ R uma funçao em (a. dfn (a) v) . . a + v). . . (p + 1)! onde rp (v) e´ dado pela igualdade: f(a + v) = f(a) + df(a) v + 1 2 1 d f(a) v2 + . (Formula de Taylor com resto de Lagrange) ˜ de classe Cp . ´ Suponhamos. tal que ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ 0 (0) + onde rp = ϕ 00 (0) ϕ(p) (0) + . (p + 1)! (I) ˜ ϕ(i) (t) = d(i) f(a + tv) vi . com f(U) ⊂ V. . t ∈ (0. . . a + v). 1 + ε) −→ Rn o ca˜ a funçao ˜ ϕ = f ◦ λ : (−ε. 1). + + rp . . 2! p! Prova. . 2! p! ϕ(p+1) (θ) . . Entao ´ em (−ε. . . Entao ´ g ◦ f : U −→ R e´ diferenciavel em a e. ´ Teorema 8.1. existe θ ∈ (0.. ´ ˜ real de uma variavel ´ Logo. com [a. e seja λ : (−ε. n. Seja ε > 0 tal que a + tv ∈ U para todo t ∈ (−ε. a + v] ⊂ U. dfn (a) v) = dg(f(a)) df(a) v .´ Analise ´ ˜ para todo i = 1. para todo i = 1. por induçao. d(g ◦ f)(a) v = dg(f(a)) · (df1 (a) v. 1 + ε). 1 + ε) −→ R e´ de classe Cp minho C∞ dado por λ(t) = a + tv. De fato. . n. 1) tal que: aberto (a. 1 ≤ i ≤ p + 1 . e seja g : V ⊂ Rn −→ R diferenciavel em f(a) = b. .. para todo v ∈ Rn . (p + 1)−vezes diferenciavel ´ Seja f : U ⊂ Rn −→ R uma funçao no segmento ˜ existe θ ∈ (0. 152 ∂f : U −→ R e´ ∂xi ´ Instituto de Matematica UFF . pela Formula de Taylor com resto de Lagrange para uma funçao real. 1). 1 + ε) e e´ (p + 1)−vezes diferenciavel em (0. Entao rp (v) = 1 df(p+1) (a + θv) vp+1 . ∂v ∂xi 0 i=1 ˜ o resultado valido ´ ˜ p−vezes diferenciavel. Afirmaçao: De fato. . Entao ´ p−vezes diferenciavel. . (i) λj (t) ´ ˜ Portanto. . . .. p e todo v ∈ Rn . . . αjk   αj ∂xj1 . . . . λj (t) = = d i ∂f ∂xj (a + tv)vi . Assim. . p! (1 − t)p ϕ(p+1) (t) dt . ϕ(0) = f(a) .´ Formula de Taylor. Frensel 153 .jk =1 ∂f  ∂xj (a + tv) αj1 .. entao ˜ Se f : U −→ R e´ uma funçao Z1 1 (1 − t)p dp+1 f(a + tv)vp+1 dt . rp (v) = p! 0 Prova. a + v] ⊂ U. + onde 1 rp (v) = p! 1 (p) d (a) vp + rp (v) .. ´ ´ e´ valida ´ ˜ temos. que ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ 0 (0) + ..K. pela Formula de Taylor com resto ˜ reais de uma variavel ´ integral para funçoes real. pela hipotese de induçao. . f(a + v) = f(a) + df(a) v + .. .. i = 1. . ϕ(i) (0) = di f(a) vi e ϕp+1 (θ) = df(p+1) (a + θv) vp+1 . 1 + ε). . ∂xjk ∂xj = dk+1 f(a + tv) vk+1 para todo k = 1. . + 1 onde rp = p! Z1 ϕ(p) (0) + rp . . . . 0 Logo. faremos algumas consideraçoes J. que a formula de Taylor com resto de Lagrange tambem para funçoes ´ reais de n−variaveis.jk =1 n X j. ∂xjk ∂k ∂k+1 f (a + tv) αj1 . p. onde ∂f (a + tv). (Formula de Taylor com resto integral) ˜ de classe Cp+1 e [a.. pontos cr´ıticos. por (I). p! Z1 0 (1 − t)p dp+1 f(a + tv) vp+1 dt . temos.2. Delgado . . • Como ϕ(1) = f(a + v) . . ´ Teorema 8.j1 . ´ Como ϕ = f ◦ λ e´ de classe Cp+1 em (−ε. ´ ˜ de Antes de provarmos a Formula de Taylor Infinitesimal. αjk αj ∂xj1 .. ∂xj ϕ (k+1) (t) = n X (k) λj (t)αj j=1  n n X  X  =  j=1 = n X ∂f k k = d (a + tv) v αj ∂xj j=1  j1 . . Seja f : Rn −→ R uma funçao ˜ k−homogenea ˆ Observaçao de classe Ck . . . . t ∈ R. . . . portanto. . j = 1. . . n. k ≥ 1. . . com i < j. g e´ um polinomio homogeneo de grau k e. × Rn −→ R e´ k−linear. p. . n. . . n. . ˜ se vj = (αj1 .. . . .1. temos que dk f(a) e´ simetrica. ˜ 8. . . . . . . para k = 1. t ∈ R. . . . × Rn −→ R definida por: transformaçao dk f(a)(v1 . . ij = 1. vk ) = n X i1 . . . n. k ≥ 1. onde ai1 . . . . . . . ˜ 1: Afirmaçao ∂j f ˜ (k − j)−homogenea ˆ e´ uma funçao para todo 1 ≤ j ≤ k e para quaisquer ∂xi1 . a ˜ k−linear dk f(a) : Rn × . Se L : Rn × . × Rn −→ R uma transformaçao se L(v1 .´ Analise ´ carater geral. x) e´ k−homogenea. . . . . ˜ 8. ∂xij i1 . se t 6= 0. . .ik =1 ∂k f(a) α1 .1. ∂xi ∂xi para todo x ∈ Rn . . . para quaisquer v1 . j = 1. ˜ k−linear dk f(a). . vk ) . . temos que ∂xi ∂xi ∂f ∂f (tx) = tk−1 (x) para todo x ∈ Rn . Dizemos que uma funçao ˜ f : Rn −→ R e´ k−homogenea ˆ Definiçao quando f(tx) = tk f(x) para todo x ∈ Rn e t ∈ R. ˜ g : Rn −→ R definida por Exemplo 8. . . . Como f(tx) = tk f(x). . × Rn o produto cartesiano de k−copias ´ Definiçao do espaço Rn e seja ˜ k−linear. . αjn ). Como f ∈ Ck . ∂f ∂f (tx) = tk−1 (x) para todo x ∈ Rn . . ...2. . .. k. ik = 1..3. ou melhor. chama-se k−esima diferencial da funçao ´ Por Schwarz. que ∂f ∂f (tx) t = tk (x) . Logo. . g e´ C∞ . temos Entao. vk ) = ai1 . . . . . . i = 1. .ik = L(ei1 . . .. . . . pela Regra da Cadeia. . Seja Rn × . . . . . ∂xi ∂xi 154 ´ Instituto de Matematica UFF .. . ∂xik i1 ´ ˜ f no ponto a. ˜ 8. . Dizemos que L e´ simetrica ´ L : Rn × . . . . v) e´ a forma associada a` aplicaçao ˜ 8. temos. . Observe que dk f(a)vk = dk f(a)(v.. . .. αkik . . vk ) = L(v1 . . X L(v1 . ∂xi1 . .. vbj . eik ) independe da ordem dos ´ındices i1 . . . .ik α1i1 . vk ∈ Rn e todo par i. . . vbj .. Se f : U ⊂ Rn −→ R e´ uma funçao ˜ p−vezes diferenciavel ´ Observaçao no ponto a. . . . . αkik . . . . entao ˆ ˆ ˆ g(x) = L(x. . . vbi . 1 ≤ k ≤ p.. . .4. vbi . . . . e ϕ(j) (t) = 0 para j > k. ˜ definida por f(x. ˜ que o resultado e´ valido ´ ˜ k − 1 homogeneas. . f nao ˜ e´ necessariamente a forma associada a uma transformaçao ˜ • Se f nao ´ k−linear simetrica. . dk f(tx)(v1 . . . . . ∂xi1 ∂j+1 f ∂j+1 f (tx) = tk−1−j (x) . ∂xij ∂xi para todo j + 1 = 2. . . Sendo f ∈ Ck . Seja f : R2 −→ R a funçao x2 − y2 . n e para todo j = 1. n. . k − 1. ik = 1. ˜ e´ de classe Ck . . ij . ϕ(i) (t) = di f(tx)xi . ˜ f(x) = L(x. y) 6= (0. . temos que i = 1. ∂xij ∂xi1 . i = 1. se j 6= k. entao dj f(tx)(v1 . x). . . n. k. ij = 1. . . . temos que dk f(x) = k! L para todo x ∈ Rn . . . . ˆ : Rn −→ R sao para todo ∂xi ´ ˜ para cada i = 1. . pela hipotese de induçao. n. ∂xij ∂xi ∂xi1 . para funçoes k − 1 ≥ 1. k! tk−i f(x). . . ∂xi1 . . ∂xik ˜ constantes. ∂f ˜ de classe Ck−1 e (k − 1)−homogeneas. ∂j ∂xi1 ∂f ∂f j ∂ ∂xi ∂xi k−1−j (tx) = t (x) .1.´ Formula de Taylor.K. 0). pontos cr´ıticos. . . Assim. . . . temos que todas as derivadas parciais de ordem k de f sao Logo f e´ de classe C∞ e dj f(x) = 0 para todo j > k e para todo x ∈ Rn . Afirmaçao (II) ˜ como foi provado no Teorema 8.2. . . . Frensel 155 . . (x. vk ) para todo t ∈ R e todo x ∈ Rn . por outro lado. ˜ 2: dk f(0)xk = k! f(x) e dj f(0)xj = 0 . ˜ k−homogenea ˆ ˜ • Logo. temos que: Logo. . e para quaisquer i1 . vk ) = dk f(x)(v1 . . . . . Ou seja. . . . e x2 + y2 f(0. por induçao. . vj ) = tk−j dj f(x)(v1 . . . para todo 1 ≤ i ≤ k. Entao. . . ˆ Suponhamos. temos: De fato. . ϕ(i) (t) = para todo i ∈ N. Mas. dk f(x) = dk f(0) independe do ponto x ∈ Rn . seja ϕ(t) = f(tx) = tk f(x). . y) = xy Exemplo 8. . ´ d f(0) e´ uma transformaçao k! Como dk f(x) = dk f(0) para todo x ∈ Rn . . . onde L = Entao 1 k ˜ k−linear simetrica. J. Em particular. . . . . Delgado . . . . . . ∂xij para quaisquer i1 . . . . n. . k. . . 0) = 0. . Como ∂k f ∂k f (x) = (0) para todo x ∈ R e para quaisquer i1 . . se f : Rn −→ R e´ uma funçao de classe Ck . . . . vj ) para todo j = 1. . ∂xik ∂xi1 . . . . (k − i)! Logo di f(0)xi = 0 para i 6= k e dk f(0)xk = k! f(x). . . . se T e´ simetrica.. x. . . . v1 .ij =1  n X `1 . .. . vk ) = T (vσ(1) . . . . . d(k−j) g(0)xk−j = (k − j)! g(x). . . . . . . . . . x) . . a transformaçao ˜ k−linear TS = • Dada uma transformaçao X ˜ de {1. . e´ chamada simetrizaçao ´ Observe que TS e´ k−linear simetrica e TS (x. . j. . . ij = 1. . . . . dfk (0)(x. . . × Rn −→ R uma transformaçao ˜ como f e´ k−homogenea ˆ por f(x) = T (x. . ˜ 3: dj f(x)(v1 . . . . . x). . . Logo. . . . . onde P e´ o conjunto de todas as permutaçoes σ∈P ˜ da transformaçao ˜ T. . x. . . f e´ uma funçao ˜ Entao ˆ ˜ e´ a forma quadratica ´ ˜ bilinear. ∂xi1 . . onde i1 . . seja T : Rn × . por (II). . x) = TS (x. x) = k! T (x. x) = 1 dfk (0)(x. Como ∂xi1 .. . . Tσ . . ˜ por (III). . . dk f(0)(x. . Mas. ∂xij ∂j f ∂j f (tx) = tk−j (x). . . . . x) . . .. vj ) = Afirmaçao Sejam 1 ≤ j ≤ k e g(x) = 1 dk f(0)(x. . jf ∂ ∂j f dk−j (0)xk−j = (k − j)! (x) . . . . . . . . . . . (III) ˜ k−linear T : Rn × . . . . (IV) ˜ 4: dk f(x) = dk f(0) = TS . ij ∈ {1. . ∂xij ˆ temos que g e´ (k − j)−homogenea e. . . Entao.`k−j =1 ∂k f(0) ∂x`1 . . temos que: j d f(x)(v1 .. ` = 1. ∂xij x`1 . . . k} e Tσ (v1 . por (II). . . . . . . αjij 1 dk f(0)(x. ty) = t2 f(x. . . y) ∈ R2 . . . ∂xij n X   i1 .. n}. αjij ∂xi1 . x`k−j  α1i1 . (k − j)! ˜ k−linear e f : Rn −→ R dada • Em particular. . . . v1 . vj ) . Em particular dk f(x) = dk f(0) = k! T . . vσ(k) ). . . Entao. ou seja. ∂x`k−j ∂xi1 . × Rn −→ R. ∂xij n para todo x ∈ R e quaisquer i1 . sendo v` = (α`1 . vj ) = n X i1 . vj ) para todo 1 ≤ j ≤ k.´ Analise ˜ f(tx. que f(x) = T (x. . f nao de uma transformaçao ˜ e´ duas vezes diferenciavel ´ porque f e´ de classe C1 . . . . y) para todo t ∈ R e todo (x. .. . ... . temos.. . . . Isso ocorre 2−homogenea. ´ Afirmaçao 156 ´ Instituto de Matematica UFF . . . . . . ∂xi1 . e de classe C∞ . ∂xij ∂xi1 . portanto. . . . (k − j)! ∂j f (x) . ∂xij ∂xi1 . . .. ou seja. . . k! ou seja.ij =1 = = 1 (k − j)! ∂j f (x) α1i1 . . mas f nao na origem (verifique!). x). α`n ).. . n. . x) = k! T (x. . x) . k−2 1 k−1 para todo t ∈ R. . a afirmaçao ´ ˜ (k − 1)−lineares. . . . . vj ) = v1 . w. . por (IV). w) + . . . . . w) = 0 para todo w ∈ Rn . . × Rn −→ R e´ uma transformaçao ´ ˜ U ≡ 0. . . vk−1 ) = 0 para quaisquer k − 1 Logo. . se j > k. . entao ˜ em k ∈ N. . . w. . . ´ ˜ U1 ≡ 0. Entao. . . se 1 ≤ j ≤ k. . . v1 . vetores v1 . . . k U(v. . . . w) = 0 para quaisquer v. . x. v1 . . . . . ˜ U1 Seja v ∈ Rn e defina U1 : Rn × . Suponhamos o resultado valido para transformaçoes ˜ k−linear simetrica ´ Seja U : Rn × . vk−1 ) = U(v. . . . . . v1 . × Rn −→ R uma transformaçao tal que U(x. . . se T Rn × . a + v ∈ U} −→ R e´ dada por: J. entao ◦ dk f(x) = dk f(0) = TS . entao rp : U0 = {v ∈ Rn . Entao Assim U ≡ 0. . ◦ dj f(x) = 0. w. . w. • Resumindo. v + tw. Logo U(v. . . . Frensel 157 . . w) = U(v. . . w ∈ Rn e t ∈ R. . se 1 ≤ j < k. ˜ k−linear De fato. rp (v) = 0. U1 (v1 . pela hipotese de induçao. ´ • Passamos. ˜ Sejam v. . . v1 . . . ou seja. + t U(v. .K. Entao ˜ (k − 1)−linear simetrica ´ e´ uma transformaçao tal que U1 (w. quaisquer que sejam (k − j)! ◦ dj f(0) = 0. vk−1 ). vk−1 ∈ Rn . . . Se k = 1. 1 TS (x. Vamos fazer a prova deste fato usando induçao ˜ e´ evidente. . . w) 0 = U(v + tw. . . w ∈ Rn . . . vj ). . x) = 0 para todo x ∈ Rn . . w) . . . v. . v. . . x).´ Formula de Taylor. vj ∈ Rn . . . . x) = 0 para todo x ∈ Rn . . ◦ dj f(x)(v1 . . pontos cr´ıticos. Delgado . . simetrica tal que g(x) = U(x. . agora. a analisar a Formula de Taylor Infinitesimal. . . . ˜ U(v. . . basta mostrar que se U : Rn × . . . × Rn : −→ ˜ k−linear e R e´ uma transformaçao ˜ para todo x ∈ Rn : f(x) = T (x. × Rn −→ R por U1 (v1 . onde v→0 kvkp ´ ˜ lim Se f : U −→ R e´ p−vezes diferenciavel no ponto a ∈ U. v + tw) = t k−1 k k k−2 +t U(v. . vk−1 ∈ Rn . . . . . . k − 1 ≥ 1. . vk−1 ) = 0 para quaisquer v. . 2! p! ˜ g e´ p−vezes diferenciavel ´ De fato. v→0 kvkp r(0) = dr(0) = . . ∂g ∂f (v) = (a + v) para todo i = 1. temos que f e´ diferenciavel numa vizinhança do ponto a e. Afirmaçao: ˜ que Basta mostrar. ∂xik (V) para 1 ≤ k ≤ p − 1.1. . = dp r(0) = 0 se. . 1 ≤ k ≤ p. p−1 ≥ 1. . . n}. . ∂xik ∂xi ∂xi1 . . . . ´ diferenciavel na origem e ∂k ∂k h (0) = ∂xi1 . . . ou seja. Entao ´ diferenciavel no ponto a. . ∂xik ˜ 8. . . . . . . quaisquer que sejam i1 .´ Analise rp (v) = f(a + v) − f(a) − df(a) v − 1 2 1 d f(a)v2 − . h(v) = ∂xi ∂g k ∂ ∂k+1 f ∂xi (0) = (a) . ´ ˜ a funçao ˜ h dada por h(v) = Pela hipotese de induçao. p e quaisquer i1 . ∂xik ∂xi1 . seja g : U0 −→ R dada por g(v) = f(a + v). . . . ik ∈ {1. lim 158 ´ Instituto de Matematica UFF . . ∂xik ∂xi1 ∂f e´ (p−1)−vezes ∂xi ∂f (a + v). ˜ p−vezes diferenciavel ´ ˜ Lema 8. . ik . . . i ∈ {1. n}. . . . . quaisquer i1 . . ˜ 8. . . Seja f uma funçao no ponto a. e todo v numa vizinhança da origem. e´ (p − 1)−vezes ∂xi ∂f ∂xi (a) . .2). . ∂xi1 ∂k+1 g ∂k+1 f (0) = (a) . n. . para todo 1 ≤ k ≤ p e para ∂xi1 . ∂k g ∂k f (0) = (a). 1 ≤ j ≤ p. por induçao. para todo i = 1. temos. . . . ∂xik ∂xi ou seja. − dp f(a)vp . . Assim. . . . p} e j 6= k. n}. . . . que dg(0)v = df(a)v para todo Para j = 1. . e somente se. . ˜ dj g(0) = dj f(a). . ∂g ∂f (0) = (a) para todo i = 1. ´ Logo. . ˜ v 7−→ a + v e´ de classe C∞ e f e´ p−vezes diferenciavel ´ pois a funçao em a. . ∂xi ∂xi ´ ˜ ´ Suponhamos que o resultado seja valido para funçoes (p − 1)−vezes diferenciaveis no ponto ˜ p−vezes diferenciavel ´ ˜ a ∈ U. n. por (V). Entao na origem. . . ik ∈ {1. . ∂xik ∂xi1 . . . . Seja r : U0 ⊂ Rn −→ R uma funçao no ponto 0 ∈ U0 . . • Sendo Hk : Rn −→ R.4. Logo rp (0) = 0 e dj rp (0) = dj f(a) − dj f(a) = 0 para todo j = 1. . temos. v ∈ U0 . Entao r(v) = 0. portanto. p. . e dk Hk (0) = k! dk f(a). pelo provado na observaçao que dj Hk (0) = 0 se j ∈ {1. pela Regra da Cadeia (ver observaçao v ∈ Rn . ∂xi ∂xi ∂g (v) e. Hk (v) = dk f(a)vk . ∂xik ∂xi para todo k + 1 = 2. ∂xi1 . . . . . n. . . . como p ≥ 2. . . . Logo. . portanto.   kθv vkp−1 kvk    . ∂r ´ : U0 −→ R e´ (p − 1)−vezes diferenciavel na origem e ∂xi ∂r (v) ∂x p−1 i ´ ˜ = 0. p − 1 ≥ 1. kvk v→0 kvk ´ ˜ ´ Suponhamos que o resultado e´ valido para funçoes (p − 1)−vezes diferenciaveis na origem. (=⇒) Para p = 0. pela hipotese de induçao. = dp r(0) = 0. ϕi (0) = dϕi (0) = . existe θv ∈ (0. 1) tal que r(v) = kvkp n X ∂r (θv v) αi ∂xi i=1 kvkp = n X i=1 ∂r (θ v)  ∂xi v  αi  |θv |p−1  . = d ϕi (0). ϕi = Entao. Prova. lim v→0 kvkp−1 ˜ para todo 1 ≤ i ≤ n. com lim ρ(v) = 0. lim = 0. ´ Para p = 1. estamos supondo r cont´ınua no ponto 0. portanto. . . temos que ρ(v) = v→0 r(v) r(v) . e. Logo. r e´ diferenciavel na origem e r(0) = dr(0) = 0.´ Formula de Taylor. ´ Como p ≥ 2. ˜ p−vezes diferenciavel ´ Seja r : U0 −→ R uma funçao na origem com r(0) = dr(0) = . pelo teorema do ´ valor medio. como r(v) = r(0) + dr(0)v + ρ(v)kvk . . para todo v ∈ U0 . r e´ diferenciavel numa vizinhança V0 ⊂ U0 da origem e. pontos cr´ıticos. . . αi . . . . temos que . . . ≤ 1. n. para todo i = 1. ´ Considerando R com a norma do maximo. . kvk . r(v) r(tv) r(tv) = 0. Frensel r(tv) r(tv) − ktvk ktvk = 0. para todo v ∈ Rn − {0} e para todo t ∈ R − {0}. .K. n. uma vez kvk = 0. r(v) = r(0) + dr(0)v + r(v) = dr(0)v + r(v) . Delgado . n ∂r (θv v) r(v) ∂xi Logo lim = 0. lim r(v) = 0. ktvk t→0 ktvk temos que r(tv) r(tv) dr(0)v = lim − lim = lim ±kvk t t t→0 t→0 t→0 J. . Alem na origem. r(0) = 0. . v→0 r(v) ˜ r(0) = 0. como f e´ diferenciavel ´ que r e´ diferenciavel neste ponto. uma vez que lim = 0. lim r(v) = lim v→0 ´ ´ disso. Logo. v→0 kvkp v→0 kθv vkp−1 (⇐=) Para p = 0. t t v→0 kvk onde lim Como lim t→0 r(tv) r(tv) = lim = 0. pois estamos supondo r cont´ınua na origem. Entao v→0 kvk Para p = 1. para todo i = 1. = dr(0)v + . pois r e´ cont´ınua na origem. 159 . portanto. e. . todo i = 1.3. . Entao ˜ 8. . pela observaçao ˜ de ϕi . . p. Logo ϕSi = di f(a). . (Unicidade da Formula ´ Observaçao de Taylor) ˜ p−vezes diferenciavel ´ Seja f : U −→ R uma funçao no ponto a ∈ U e. . pela hipotese de induçao. p e todo v ∈ Rn . onde ϕ(v) = dp+1 r(0)vp+1 . Se seja ϕi : Rn × . p. como rp e´ p−vezes diferenciavel no ponto 0 e lim ˜ 8. ou seja. . e dp+1 ϕ(0) = (p + 1)! dp+1 r(0). ´ ˜ p−vezes diferenciaveis ´ Suponhamos que o resultado e´ valido para funçoes no ponto 0. e. temos. 160 ´ Instituto de Matematica UFF . ˜ i−linear. ˜ (p + 1)−vezes diferenciavel ´ Seja r : U0 −→ R uma funçao na origem com lim v→0 r(v) = 0. que dp+1 r(0) = 0. . . . . ou seja. entao p i! v→0 kvk com lim rp (v) = 0. . p. ˜ para todo v ∈ Rn − {0}. Seja f : U ⊂ Rn −→ R uma funçao ˜ duas vezes diferenciavel ´ Definiçao no ponto a ∈ U. . onde ϕSi e´ a simetrizaçao ϕi vi = 1 S i 1 ϕi v = di f(a) vi . . . kvkp+1 ja´ que dj ϕ(0) = 0. Logo dr(0) = 0. . A ´ ˜ bilinear simetrica ´ forma Hessiana Hf(a). . . rp (v) 1 ˜ ϕi vi = di f(a)vi . ˜ 8. Ou seja. = dp rp (0) = 0. . . . = 0. . . pelo lema acima. dp+1 r(0)vp+1 = 0 para todo v ∈ Rn . Mostraremos. para que rp (0) = drp (0) = . temos. . para todo i = 1.´ Analise para todo v ∈ Rn − {0}. di rp (0) = di f(a) − ϕSi . portanto. temos que r(v) − lim v→0 1 dp+1 r(0)vp+1 (p + 1)! = 0. De fato. lim t→0+ 1 r(tv) − dp+1 r(0)(tv)p+1 (p + 1)! ktvkp+1 = 0.5. . para cada i = 1.4. . pelo provado na primeira parte do lema. Mas. × Rn −→ R uma funçao f(a + v) = f(a) + ϕ1 v + ϕ2 v2 + . . = dp r(0) = 0. (p + 1)! kvkp+1 t→0 ktvkp+1 ˜ dp+1 r(0) = 0. + ϕp vp + rp (v) . agora. . Como kvkp+1 r(v) r(p) ´ ˜ que = lim kvk = 0. p ≥ 1. 1 dp+1 r(0)vp+1 r(tv) = lim+ = 0. Entao. v→0 kvkp ´ De fato. de f no ponto a e´ a forma quadratica da transformaçao d2 f(a). . p v→0 kvk v→0 kvkp+1 lim r(0) = dr(0) = . p. j = 1. i! i! para todo i = 1. Se f : U −→ R e´ diferenciavel ´ ´ Observaçao no ponto a ∈ U e a e´ um ponto de maximo ˜ a e´ um ponto cr´ıtico de f local (ou de m´ınimo local). a e´ um ponto cr´ıtico de f. ∂xi ∂xj ´ e´ simetrica. . ∂f (a) = ϕi0 (0) = 0. • Pelo teorama de Schwarz. ˜ linear invert´ıvel. ou seja. e´ diferenciavel no ponto a ∈ U. Seja F = (f1 . ˜ 8.5. . . n.6. ou seja. a matriz ∂2 f (a) .3. . .6.K. J. . Entao ˜ 8.4. entao 0 < kx − ak < δ =⇒ F(x) 6= F(a) . ∂f ∂f (a) = 0. Seja H : Rn −→ Rn uma transformaçao kH(x)k ≥ ckxk para todo x ∈ Rn . ˜ onde cada func ˜ coordeTeorema 8. (a) = .2. ∂xi ∂xj n onde v = (α1 . i = 1. ˆ Este teorema e´ consequencia do seguinte resultado. referida no teorema acima. ˜ 8. . 2 2 2 Hf(a) v = d f(a) v = n X i. . . n. Logo todo i = 1. Frensel 161 . Entao ˜ existe c > 0 tal que Lema 8. para ∂xi ˜ df(a) = 0. fn ) : U ⊂ Rn −→ Rn uma funçao ¸ ao ´ nada fi : U −→ R. A matriz H. ˜ duas vezes diferenciavel.4. . ´ Teorema 8. f(a) ≤ f(a + v)) . chamada matriz Hessiana de f no ponto a. n. ou seja. . Se a matriz H = ∂fi (a) ∂xj n×n ˜ existe δ > 0 tal que tem determinante diferente de zero. Dizemos que a funçao ˜ f tem um maximo ´ Definiçao (respectivamente. Dizemos que um ponto cr´ıtico a de f e´ n ˜ Definiçao ao-degenerado quando a matriz Hessiana de f no ponto a e´ invert´ıvel. ´ Definiçao Um ponto a ∈ U e´ um ponto cr´ıtico de f (ou um ponto singular) quando df(a) = 0. Seja f : U ⊂ Rn −→ R uma funçao Todo ponto cr´ıtico ˜ nao-degenerado a ∈ U e´ um ponto cr´ıtico isolado. . i = 1. = ∂x1 ∂xn ˜ 8. . . pontos cr´ıticos. αn ) ∈ R . . neste caso o ponto 0 e´ um ponto de maximo (ou de m´ınimo) local para as funçoes ´ de uma variavel real dadas por: ϕi (t) = f(a + tei ). . um m´ınimo) local no ponto a ∈ U quando existe δ > 0 tal que kvk < δ =⇒ f(a + v) ≤ f(a) (respectivamente.j=1 ∂2 f (a) αi αj . .´ Formula de Taylor. . Delgado . . e´ chamada a matriz Jacobiana de f no ponto a. . . . Seja f : U −→ R uma funçao ˜ diferenciavel. det ∂2 f (a) ∂xi ∂xj 6= 0. entao ´ ˜ reais De fato. se 0 < kx − ak < δ. ∂xj Fazendo ρ(x) = (ρ1 (x). assim. . . existe δ > 0 tal que 0 < kx − ak < δ =⇒ kρ(x)k < . kH(x)k ≥ ckxk. kH−1 k c Como lim ρ(x) = 0.1.2. j=1 onde lim ρi (x) = 0 e hij = x→a ∂fi (a) . n. .´ Analise Prova. . 2 2 c kx − ak. Entao Prova. ´ ˜ ˜ duas vezes Corolario 8. ˜ do teorema 8. existe c = Logo. ˜ do teorema 8. ˜ x nao ˜ e´ um ponto cr´ıtico ou seja. Entao. . (x) .4. .3) (Demonstraçao ∂f ∂f ˜ F tem funçoes ˜ Seja F : U −→ R dada por F(x) = (x). Prova. kF(x) − F(a)k ≥ c c kx − ak = kx − ak . temos que: F(x) = F(a) + H(x − a) + ρ(x) kx − ak . obtemos: kF(x) − F(a)k = k H(x − a) + ρ(x)kx − ak k ≥ kH(x − a)k − kρ(x)k kx − ak ≥ ckx − ak − ou seja. grad f(x) 6= 0. Logo.4) (Demonstraçao ˜ fi : U −→ R e´ diferenciavel ´ Como a funçao no ponto a. . . ρn (x)). 2 ˜ F(x) 6= F(a) para todo x ∈ U tal que 0 < kx − ak < δ. existe δ > 0 tal que 0 < kx − ak < δ =⇒ F(x) 6= F(a) = 0. pelo teorema 8. x→a 2 Pelo lema 8. . onde lim ρ(x) = 0. Seja 1 ˜ para todo x ∈ Rn : = kH−1 k = sup kH−1 (x)k | kxk = 1 > 0. 162 ´ Instituto de Matematica UFF . . entao de f. x→a 1 > 0 tal que kH(x)k ≥ ckxk para todo x ∈ Rn . . . c kH(x)k . Entao coordenadas ∂x1 ∂xn 2 ∂fi ∂f ∂ f (a) = ´ fi = diferenciaveis no ponto a e a matriz (a) e´ a matriz Hessiana de ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi n f no ponto a. kxk = kH−1 (H(x))k ≤ kH−1 k kH(x)k = c ou seja. que se 0 < kx − ak < δ. Provamos. para cada i = 1. O conjunto dos pontos cr´ıticos nao-degenerados de uma funçao ´ ´ diferenciavel e´ enumeravel. temos: n X fi (x) = fi (a) + hij (xj − aj ) + ρi (x)kx − ak . ´ Formula de Taylor. Observaçao ´ ˜ positivos. ˜ 8. n. pontos cr´ıticos. . i e´ um produto interno de Rn . a matriz (hij ) e´ invert´ıvel. Logo o (x). Seja H : R −→ R a forma quadratica ´ Definiçao dada por H v = n 2 n X hij αi αj . a forma quadratica H v2 = α21 + . • H e´ positiva se.7. . . vi e´ negativa. . . ´ Se uma forma quadratica e´ positiva ou negativa. w ∈ Rn tais que H v2 > 0 e H w2 < 0.j=1 hij = hji .K. . e´ indefinida. ´ E. . H0 e´ invert´ıvel. + α2i − α2i+1 − . vi = 6 0 para todo v ∈ Rn − {0}. . o conjunto C dos pontos cr´ıticos e´ um subconjunto fechado de U. αn ) ∈ Rn . .3. ˜ 8. . . Frensel 163 . Se todos os pontos cr´ıticos de uma funçao ´ ˜ nao-degenerados. todos os autovalores da matriz simetrica (hij ) sao ˜ det(hij ) 6= 0. i. temos que C ∩ K e´ finito. Dizemos que H e´ positiva (respectivamente negativa) se H v2 > 0 (respectivamente H v2 < 0) para todo v ∈ Rn − {0}. J. compacto. . onde F e´ a funçao (x) . portanto. E dizemos que ´ uma forma quadratica H e´ indefinida quando existem v. . ou seja. n − 1. . Se h . j = 1. se H e´ definida entao ´ provar isto. Prova. Prova. onde H0 = (hij ). .2. e somente se. • H e´ negativa se. ∂f ∂f ˜ cont´ınua dada por F(x) = pois C = F−1 (0). ´ Basta lembrar que todo conjunto discreto e´ enumeravel. e somente se. Como f e´ de classe C1 . vi e´ positiva. . ´ e a forma quadratica H v2 = −hv. ˜ ˜ em cada compacto K ⊂ U ha´ apenas um numero renciavel. e v = (α1 . ´ ˜ f : U −→ R. . sao entao finito ´ deles. Logo H0 v 6= 0 para todo v ∈ Rn − {0} e. a forma quadratica H v2 = hv. • H e´ indefinida se. . Como C ∩ K e´ compacto e discreto. . todos os autovalores da matriz simetrica (hij ) sao ´ ˜ negativos. . observando que se Hv2 6= 0 para todo v ∈ Rn − {0} entao ˜ Podemos tambem Hv2 = hH0 v. duas vezes difeCorolario 8. ´ Exemplo 8. H0 = (hij ) possui um autovalor positivo e outro negativo. dizemos que ela e´ definida. Em particular. ∂x1 ∂xn ´ portanto. − α2n . e somente se.7. conjunto dos pontos cr´ıticos de f contidos num compacto K ⊂ U e´ fechado em K e e. para todo i = 1. Delgado . onde i. a e´ ponto de m´ınimo local nao-degenerado. ˜ a + v ∈ U se 0 < kvk < δ0 . Como a funçao temos que se H e´ positiva.8. Entao: ˜ (1) Se H e´ positiva. entao ˜ duas vezes diferenciavel ´ Teorema 8. pois f e´ duas vezes diferenciavel no ponto a. existe c > 0 tal que ϕ0 (u) ≥ c para todo u ∈ Sn−1 . (?) ˜ ϕ0 : Rn −→ R. df(a) = 0 e Hf(a) e´ positiva ou ˜ a e´ um ponto cr´ıtico nao-degenerado. Se f e´ duas vezes diferenciavel ´ Observaçao no ponto a. com 0 < kvk < δ0 . Seja δ0 > 0 tal que Bδ0 (a) ⊂ U. Entao Para todo v ∈ Rn . a nao local de f. ϕ0 (v) = Hv2 e´ cont´ınua e Sn−1 = {v ∈ Rn | kvk = 1} e´ compacto. a e´ ponto de maximo local nao-degenerado. ˜ negativa. kvk r(v) ´ = 0. ˜ e´ ponto de m´ınimo local nem de maximo ´ (3) Se H e´ indefinida. temos " 1 1 f(a + v) = f(a) + Hv2 + r(v) = f(a) + H 2 2 v kvk 2 r(v) + kr(v)k2 # kvk2 . Logo existe v→0 kvk2 . Prova. 2 v Logo H ≥ c para todo v ∈ Rn − {0}.5. Sejam f : U −→ R uma funçao no ponto cr´ıtico a ∈ U ´ ˜ e H a forma quadratica Hessiana de f no ponto a.´ Analise ˜ 8. ´ ˜ (2) Se H e´ negativa. . . r(v) . tal que 0 < kvk < δ =⇒ . c 0 < δ < δ0 . . 2 . . existem v. w ∈ Rn − {0} tais que Hv2 > 0 e Hw2 < 0. f(a+v)−f(a) ≥ c 2 − c c kvk2 = kvk2 > 0 para todo 0 < kvk < δ. para todo 0 < kvk < δ. f(a + tv) − f(a) r(tv) = Hv2 + 2 e 2 t t r(tv) r(tw) Como lim 2 = lim 2 = 0. segue-se que t→0 t t→0 t f(a + tv) − f(a) = Hv2 > 0 t2 t→0 lim e f(a + tw) − f(a) r(tw) = Hw2 + 2 . f(a+v) > f(a) 4 4 ˜ a e´ um ponto de m´ınimo local para f. ˜ e´ ponto de maximo ´ Portanto. ou seja. < . temos que H (tv)2 = t2 Hv2 > 0 e H (tw)2 = t2 Hw2 < 0. Entao. 2 t t f(a + tw) − f(a) = Hw2 < 0. 164 ´ Instituto de Matematica UFF . a nao local nem de m´ınimo local para f. por (?). Se H e´ indefinida. Logo. Entao ˜ (2) prova-se de modo analogo. ´ A afirmaçao ˜ para todo t 6= 0. temos que lim Alem Assim. kvk 4 ´ disso. t2 t→0 lim Logo existe δ > 0 tal que 0 < |t| < δ =⇒ f(a + tv) − f(a) > 0 e f(a + tw) − f(a) < 0. ´ A matriz Hessiana de f em qualquer ponto de Rm+n e´ a matriz diagonal cujas m primeiras ˜ iguais a 2 e as n ultimas ˜ iguais a −2.4. y) ∈ R2 | y > 0}.K. y) = x2 e g(x.˜ impl´ıcita O teorema da funçao ˜ definida por f(x.9. Logo grad f(x. y) ∈ R2 | x > 0} e U4 = {(x. e indefinida se mn 6= 0. Frensel 165 . se a e´ um ponto de m´ınimo local de f. ´ ˜ f(x. y) = x2 + y3 . De modo analogo. y) = (2x. portanto. Como vimos na demonstraçao ˜ do teorema 8. y) ∈ R2 | y < 0}. Entao ˜ se a e´ um para algum v ∈ Rn .5. ∂xi ∂yj a origem e´ o unico ponto cr´ıtico de f. β) ∈ ˜ e´ um m´ınimo local para g. isto e. −y) e. negativa se m = 0. ˜ admite m´ınimo nem maximo ´ Para mn 6= 0. e as hessianas de f e g no ponto cr´ıtico Entao ˜ nao-negativas. ou seja. 0)v2 = 2α2 para todo v = (α. sejam as funçoes f(x. y) ∈ R2 | x < 0}. Seja f : R2 −→ R dada por f(x. y) = x2 − y2 . ˜ f : R2 −→ R e g : R2 −→ R dadas por Por exemplo. que se chama um ponto de sela. 0)v2 = Hg(0. yi. y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. quando a forma hessiana de f num ponto Mas a rec´ıproca destas afirmaçoes ˜ se pode afirmar que a funçao ˜ tem um maximo ´ cr´ıtico e´ ≤ 0 (ou ≥ 0) nao (ou um m´ınimo) neste ponto. ou seja. se tomarmos U1 = {(x. y) = x2 + y2 . se grad f(a) = 0 e Hv2 > 0 Observaçao ˜ existe δ > 0 tal que 0 < |t| < δ =⇒ f(a + tv) > f(a). U3 = {(x. temos que: J. U2 = {(x. xi − hy. A equaçao globalmente. Exemplo 8. y) = hx. ´ ˜ a forma para todo v ∈ Rn . Mas. 0) coincidem e sao pois Hf(0. entao ˜ Hessiana de f no ponto a e´ nao-negativa. 3y2 ). ˜ sao ˜ falsas. Delgado . devido a` forma do grafico da funçao ˜ 8. Entao ˜ x2 + y2 = 1 nao ˜ define y como funçao ˜ de x. f nao na origem. y) = (2x. ˜ (0. grad g(x. R2 . Mas a origem e´ um ponto de m´ınimo para f e nao 9 ˜ impl´ıcita O teorema da funçao Começamos observando o seguinte exemplo: ˜ S1 = f−1 (1) = {(x. Assim. Hv2 ≥ 0 para todo v ∈ Rn . y) = 2(x. ˜ grad f(x. entradas na diagonal principal sao sao ´ ˜ a matriz Hessiana e´ positiva se n = 0. Entao ∂f ∂f = 2xi e = −2yj . Entao ´ a origem e´ ponto de m´ınimo se n = 0 e de maximo se m = 0. Seja f : Rm+n = Rm × Rn −→ R a funçao ˜ onde x ∈ Rm e y ∈ Rn . a forma Hessiana de f no ponto a e´ nao-positiva. entao ´ ˜ ´ Hv2 ≤ 0 ponto de maximo local de f. 0). nem x como funçao ˜ de y. Ou seja. 3. ˜ as funçoes ˜ de classe C∞ dadas por: onde ξi : (−1. ξ2 (x) = − 1 − x2 . y) ∈ S1 ∩ U1 ⇐⇒ y = Como S1 = (U1 ∩ S1 ) ∪ (U2 ∩ S1 ) ∪ (U3 ∩ S1 ) ∪ (U4 ∩ S1 ). Dizemos que um conjunto C ⊂ R2 e´ uma curva de classe Ck (0 ≤ k ≤ ∞) Definiçao ´ ˜ de classe Ck . • (x. 9: Uma curva de classe Ck e. e ξ4 (y) = − 1 − y2 . i = 1. 1) . 8: O c´ırculo unitario S1 = {(x. o grafico ´ ˜ de classe Ck Fig. ´ Logo todo ponto (x0 . p • (x. para todo ponto p ∈ C quando C e´ localmente o grafico de uma funçao ´ ˜ ξ de classe Ck definida existe um aberto V ⊂ R2 tal que p ∈ V e V ∩ C e´ o grafico de uma funçao num aberto de R. 1) −→ R. p • (x. y0 ) ∈ S1 pertence a um aberto V de R2 tal que V ∩ S1 e´ o grafico de ˜ de classe C∞ definida num aberto de R. 1) . sao p p p p ξ1 (x) = 1 − x2 . 1) . 2. de uma funçao 166 ´ Instituto de Matematica UFF . ´ localmente. y) ∈ S1 ∩ U2 ⇐⇒ y = − 1 − x2 e x ∈ (−1. y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1} p 1 − x2 e x ∈ (−1. 4. uma funçao ˜ 9. p • (x. temos que S1 = Graf ξ1 ∪ Graf ξ2 ∪ Graf ξ3 ∪ Graf ξ4 .1.´ Analise ´ Fig. 1) . y) ∈ S1 ∩ U4 ⇐⇒ x = − 1 − y2 e y ∈ (−1. y) ∈ S1 ∩ U3 ⇐⇒ x = 1 − y2 e y ∈ (−1. ξ3 (y) = 1 − y2 . Delgado . uma vez que C ∩ V contem cortam na origem. e p ´ ˜ C∞ ξ2 : R −→ R2 dada por ξ2 (y) = − 1 + y2 • V2 ∩ C e´ o grafico da funçao Analisaremos. onde V1 = {(x.˜ impl´ıcita O teorema da funçao Exemplo 9. 10: O conjunto C nao Exemplo 9. O conjunto C = {(x. y) ∈ R2 | x2 − y2 = 1} e´ uma curva desconexa de classe ˜ C∞ . y) ∈ R2 | x > 0} e V2 = {(x. agora.2.3. como o grafico de uma funçao J.1. ˜ e´ uma curva nem de classe C0 . y) ∈ R2 | x < 0} sao abertos de R2 tais que: Fig. Frensel 167 . pois C = (V1 ∩ C) ∪ (V2 ∩ C). Exemplo 9. para todo aberto V contendo a origem. O c´ırculo S1 e´ uma curva de classe C∞ . y) ∈ R2 | x2 − y2 = 0} nao ˜ e´ o grafico ´ ˜ y = ξ(x) nem pois. Fig. um exemplo de um subconjunto de Rn+1 que e´ dado localmente ´ ˜ definida num aberto de Rn . C ∩ V nao de uma funçao ´ sempre dois segmentos de reta de inclinaçao ˜ ±1 que se x = ξ(y).K. ˜ e´ uma curva nem de classe C0 . O conjunto C = {(x. 11: O conjunto C e´ uma curva desconexa de classe C∞ . ´ ˜ C∞ ξ1 : R −→ R2 dada por ξ1 (y) = • V1 ∩ C e´ o grafico da funçao p 1 + y2 . . . . entao ˜ n do espaço euclidiano Rn+1 . . ´ Quando M e´ uma hipersuperf´ıcie diferenciavel. para cada i = 1. . de Rn+1 quando M e´ localmente o grafico de uma funçao ´ ´ variaveis. Podemos tambem ´ considerar as hipersuperf´ıcies diferenciaveis ´ Observaçao (caso in´ ˜ localmente graficos ´ ˜ diferenciaveis. vetorial de dimensao 168 ´ Instituto de Matematica UFF . . . xi−1 . .1. ´ termediario entre C0 e C1 ) que sao de funçoes Exemplo 9.4. xn+1 ) ∈ U). xi = 1} ´ a esfera unitaria n−dimensional. n + 1. n + 1} tais que xi = ξ(x1 . Sn ∩ Vi e´ o grafico ´ ˜ Logo. Sn e´ uma hipersuperf´ıcie de classe C∞ de Rn+1 . . xi+1 . . xi−1 . . se ξ : U −→ R e´ a funçao da funçao xi = ´ ˜ xi = −ξ(x? ). e quando n = 2. 0 ≤ k ≤ ∞. xi+1 . xi−1 .2. . ˜ 9. . para cada p ∈ M. Para cada i = 1. Se M ⊂ Rn+1 e´ uma hipersuperf´ıcie diferenciavel. . xi+1 . . . Um conjunto M ⊂ Rn+1 chama-se uma hipersuperf´ıcie (ou hiperf´ıcie) de classe Definiçao ´ ˜ de classe Ck de n Ck . dizemos que M ⊂ R2 e´ uma curva. . xn+1 ) e x? = (x1 . . . . todo ponto p ∈ M pertence a um aberto V ⊂ Rn+1 tal que V ∩ M e´ o grafico ˜ de classe Ck definida num aberto de Rn (existem um aberto U ⊂ Rn . Definimos Tp M como sendo o conjunto de todos os vetores ´ velocidade λ 0 (0). . p ˜ C∞ dada por ξ(u) = 1 − hu. . Quando n = 1. Seja f : Rn+1 −→ R dada por f(x) = hx. x? i . . .5. uma funçao ˜ de uma funçao ξ : U −→ R de classe Ck e um inteiro i ∈ {1. tal que Z ∩ Sn e´ o grafico de uma funçao ˜ 9. Escrevendo x? = (x1 . dizemos que M ⊂ R3 e´ uma superf´ıcie. onde λ : (−ε. . ´ ˜ Tp M e´ um subespaço Teorema 9. . todo ponto p ∈ Sn pertence a um aberto Z de Rn+1 i=1 i=1 ´ ˜ de classe C∞ definida num aberto de Rn .1.´ Analise Exemplo 9. Seja M ⊂ Rn+1 e seja p ∈ M. . . n + 1. . Indiquemos por U ⊂ Rn a bola aberta de raio 1 e centro na origem. Ou seja. o conjunto Tp M chama-se o espaço tangente a M no ponto p. ε) −→ M ⊂ Rn+1 e´ um caminho diferenciavel em t = 0 e λ(0) = p. xi = ξ(x? ) e Sn ∩ Wi e´ o grafico da funçao ! ! n+1 n+1 [ [ Como Sn = Vi ∩ Sn ∪ Wi ∩ Sn . temos: x ∈ Sn ∩ Vi ⇐⇒ kx? k < 1 e p 1 − hx? . sejam Vi = {x ∈ Rn+1 | xi > 0} e Wi = {x ∈ Rn+1 | xi < 0}. xi e seja f−1 (1) = Sn = {x ∈ Rn+1 | hx. . . . . . x? i p x ∈ Sn ∩ Wi ⇐⇒ kx? k < 1 e xi = − 1 − hx? . xn ). . . ui . xi−1 . . ˜ Tp M = Afirmaçao: X ∂ξ . Dado p = (a1 . . existem abertos V ⊂ Rn+1 . . an+1 ) ∈ M. . com p ∈ V. . . U ⊂ Rn . . . xi+1 . .˜ impl´ıcita O teorema da funçao Prova. um inteiro ˜ ξ : U −→ R diferenciavel ´ i ∈ {1. . . . xn+1 ) ∈ U. n + 1} e uma funçao tais que x ∈ V ∩ M ⇐⇒ xi = ξ(x? ). onde x? = (x1 . . . . . . αn+1 ) ∈ Rn+1 . v = (α1 . . . . vn+1 ). ai+1 . . ´ ˜ v ∈ Tp M. a Logo λ e´ diferenciavel em t = 0. provando. com λ(0) = p e λ 0 (0) = v. . dado por X ϕ(v) = αi − cj αj . Como V e´ aberto. . ∂xj ˜ acima e´ dizer que ela caracteriza Tp M como o nucleo Outra maneira de interpretar a afirmaçao ´ ˜ do funcional linear nao-nulo ϕ : Rn+1 −→ R. . seja v ∈ Tp M. Logo λi (t) = ξ(λ1 (t). existe 0 < ε0 ≤ ε tal que λ(t) ∈ M ∩ V para todo t ∈ (−ε0 . . j 6= i. . . an+1 ) . . ai−1 . . λn+1 (t)) = ξ(p? + tv? ) . . . . . p ∈ V e λ e´ cont´ınuo em t = 0. e λi (t) = ξ(λ1 (t). Pela Regra da Cadeia. λi+1 (t). definir o caminho λ : (−ε. ε) −→ M. ε0 ). ε) −→ M ∩ V pondo λj (t) = aj + tαj . . αn+1 ) ∈ Rn+1 tal que αi = X ∂ξ j6=i ∂xj (p? )αj e ε > 0 tal que p? + tv? ∈ U para todo t ∈ (−ε. ei+1 + ci+1 ei . j6=i onde v = (α1 . . λi−1 (t). . αi = X ∂ξ j6=i ∂xj ∂xj (p? ) λj0 (0) . λn+1 (t)) para todo t ∈ (−ε0 . ε0 ). . . . λ(0) = p e λ 0 (0) = v. Entao ˜ afirmaçao. . . ei−1 + ci−1 ei . . . . ∂ξ (p? ) . . λi+1 (t). (p? )αj . Sejam agora v = (α1 . . vi+1 . . . assim. . . Tp M e´ o grafico do funcional linear 169 . . Tp M e´ um subespaço vetorial de dimensao independentes onde cj = e1 + c1 ei . αi = (p? ) αj j6=i ∂xj . . . . assim. . . onde p? = (a1 .K. λi0 (0) = X ∂ξ j6=i ou seja. Entao em t = 0. . ˜ existe um caminho diferenciavel ´ De fato. . ˜ n de Rn+1 gerado pelos vetores linearmente Assim. . vi−1 . ε). ∂xj ´ Ou ainda. Delgado . λi−1 (t). Frensel ∂ξ ? (p ). en+1 + cn+1 ei . . . . λ : (−ε. . . . αn+1 ) e cj = J. . . . onde v? = (v1 . Podemos. 12: Cone X de vertice na origem. dado por: v? = (α1 . para todo p ∈ Sn . ´ Instituto de Matematica UFF . Seja Sn = {x ∈ Rn+1 | hx. q v21 + v22 . αi+1 . 0. pi = 0 . z) ∈ R3 | z = p ´ x2 + y2 } o cone de vertice na origem e eixo−z. hv. . λ3 (t)). 0)}. λ3 (t) = (λ1 (t))2 + (λ2 (t))2 . Entao. ˜ como hλ(t).7. seja λ : (−ε. Afirmaçao: ´ De fato. ´ De fato. dimensao Exemplo 9. λ(t)i = 1 para todo t ∈ (−ε. ˜ ser um espaço vetorial de Para hipersuperf´ıcies M ⊂ Rn+1 de classe C0 . αn+1 ) 7−→ dξ(p? )v? = X ∂ξ j6=i ∂xj (p? )αj . e λ 0 (0) = (v1 . 0. portanto. pi = 0} = [p]⊥ . . Seja X = {(x. λ(0)i = 0 . seja λ : (−ε. . v2 . ε) −→ X uma curva diferenciavel em t = 0 com λ(0) = (0. ou seja. Exemplo 9. 0. ε) . y.6. 1p v3 = lim+ (λ1 (t))2 + (λ2 (t))2 = lim+ t→0 t t→0 r (λ1 (t))2 + (λ2 (t))2 = t2 1p v3 = lim− (λ1 (t))2 + (λ2 (t))2 = lim− − t→0 t t→0 r (λ1 (t))2 + (λ2 (t))2 =− t2 e 170 q v21 + v22 . Entao. temos que 2hλ 0 (0). ˜ Tp Sn = {v ∈ Rn+1 | hv. . 0) p ˜ se λ(t) = (λ1 (t). 0). pois dim Tp Sn = dim[p]⊥ = n. Tp M pode nao ˜ n. .´ Analise dξ(p? ) : Rn −→ R. xi = 1}. Entao. αi−1 . Tp Sn = [p]⊥ . Tp M = {(0. ε) −→ Sn uma curva diferenciavel em t = 0 com λ(0) = p e λ 0 (0) = v. . Logo Tp Sn ⊂ [p]⊥ e. . v1 = λ10 (0) = lim t→0 λ1 (t) λ (t) e v2 = λ20 (0) = lim 2 . t t t→0 Logo. v3 ) . ´ Fig. ˜ para p = (0. λ2 (t). . Ja´ sabemos que Sn e´ uma hipersuperf´ıcie de classe C∞ . 0) e λ 0 (0) = (v1 . ´ ˜ pode ser negativo. β. ε) −→ Y. Logo v1 = 0. Delgado . λ1 (t) . v ∈ {(0.2.3. λ(0) = (0. λ(t) = (λ1 (t). Seja f : R2 −→ R a funçao J. dizemos que c e´ um n´ıvel cr´ıtico de f . ˜ 9. Exemplo 9. ε0 ) e λ1 (t) < 0 Suponhamos que v1 > 0. Reciprocamente. λ3 (t)). Entao ˜ a curva λ : R −→ Y. diz-se que o n´ıvel c e´ regular. para p = (0. Seja Y a superf´ıcie de classe C0 dada por Y = {(x. v2 . ˜ 9. 0) ∈ Tp Y para todo β ∈ R. v3 = λ30 (0) = lim± t→0 λ3 (t) |λ (t)| λ (t) = lim± 1 = lim± ± 1 = ±v1 . q v21 + v22 = 0. c ∈ R e´ um valor regular de f quando nao grad f(x) 6= 0 para todo x ∈ f−1 (c). β. 0. 0) . uma curva diferenciavel em t = 0 com λ(0) = (0. β ∈ R. Entao para t ∈ (−ε0 . Tp Y = {(0. Dizemos que ˜ existem pontos cr´ıticos de f no n´ıvel c. Tp Y = {(0.9. t t→0 ˜ λ3 (t) = |λ1 (t)| e v1 = λ10 (0) = lim Entao ˜ existe 0 < ε0 < ε tal que λ1 (t) > 0 para t ∈ (0. λ2 (t). 0). Assim. y) = x2 + y2 . 0. Seja f : U ⊂ Rn −→ R uma funçao ˜ diferenciavel ´ Definiçao no aberto U. podemos provar que v1 nao ˜ v1 = 0 e. β. y. ˜ Exemplo 9. 0). Quando c e´ um valor regular de f. v3 ) = v. 0. ou seja. portanto. ˜ 1 (6= 2) em R3 . dada por λ(t) = (0. Observaçao ˜ de classe C∞ dada por f(x. t t t t→0 t→0 ˜ De modo analogo. Se f−1 (c) = ∅.K. Assim. Entao. v1 = v2 = v3 = 0. βt 0). Entao e´ de classe C∞ . entao ˜ c e´ um valor regular. seja v = (0. 0) | β ∈ R} e´ um espaço vetorial de dimensao Fig. Quando existem pontos cr´ıticos x ∈ U tais que f(x) = c. ´ De fato. Logo (0. 0) ∈ R3 | β ∈ R} . β. β. 13: Superf´ıcie Y. β. z) ∈ R3 | z = |x|}.˜ impl´ıcita O teorema da funçao Portanto.8. seja λ : (−ε. ou seja. ou seja. Frensel 171 . 0) e λ 0 (0) = (0. uma contradiçao. 0). v3 = 0. 0) ∈ R3 | β ∈ R}. . temos que grad f(x. grad f(p)i = 0}. ou seja. pois f(0. i. .j] . e so´ se. . . definida no aberto U. n. n + 1. e. Entao 2 ˜ det : U −→ R e´ uma funçao ˜ C∞ sem pontos cr´ıticos. Logo todo c ∈ R e´ um valor regular para a funçao 172 ´ Instituto de Matematica UFF . ou seja. . Assim. Sn√c e´ uma hipersuperf´ıcie de classe C∞ e Tp Sn√c (0) = {v ∈ Rn+1 | hv.´ Analise Como grad f(x. grad f(x) = 0 se. j = 1. . ˜ Impl´ıcita) Teorema 9. e f−1 (c) = Sn√c (0). para todo p ∈ M. para todo p ∈ Sn√c (0). se c > 0. sendo f−1 (c) = ∅. o gradiente da funçao ∂xij determinante no ponto I e´ a matriz identidade. .j] = 0 . . . n. se c < 0. ∂xij 2 para todo X ∈ Rn e todos i.j] e´ o determinante da matriz (n − 1) × (n − 1) que se obtem ´ ´ i−esima linha e a j−esima coluna. e somente se. 2pi = 0} = [p]⊥ . j=1 ´ da matriz X omitindo a onde X[i. xi. Seja det : Rn2 = Rn × . . f−1 (c) e´ um n´ıvel regular para todo c ∈ R − {0}. Entao Tp M = ker df(p) = {v ∈ Rn+1 | df(p)(v) = 0} = {v ∈ Rn+1 | hv. Logo f−1 (c) e´ um n´ıvel regular para todo c ∈ R − {0}. ˜ de det X pelas entradas da i−esima ´ Como a expansao linha e´ n X det X = (−1)i+j xij X[i. portanto. Como Exemplo 9. pelo teorema acima. . Seja f : Rn+1 −→ R a funçao grad f(x) = 2x. e so´ se. f(x) = 0.10. se a restriçao ˜ todo i. ∂xi x = 0. ˜ de classe C∞ que associa a Exemplo 9. 0) = 0. 0). ˜ de classe C∞ dada por f(x) = hx. para todo i = 1. n. × Rn −→ R a funçao cada matriz n × n. k ≥ 1. j=1 ˜ det : U → R. De fato. . . y) = (2x. .j] . pois ∂f (x) = 2xi .2. . y) = (0. 2y) para todo (x. no ponto X = I. X = (xij ). ˜ Seja U = {X ∈ Rn | det X 6= 0} o conjunto aberto formado pelas matrizes n × n invert´ıveis. .11. se. Em particular. (Teorema Global da Funçao ˜ de classe Ck . (x. temos ∂ det ˜ (I) = δij . o seu determinante. . . 0) se. y) ∈ R2 . j = 1. y) = (0. entao ∂ det (X) = 0 para ∂xij n X det X = (−1)i+j xij X[i. e c ∈ f(U) um Sejam f : U ⊂ Rn+1 −→ R uma funçao ˜ M = f−1 (c) e´ uma hipersuperf´ıcie de classe Ck e valor regular de f. Logo. temos que ∂ det (X) = (−1)i+j X[i. X 6∈ U. j = 1. ˆ determinante igual a 1) M = det−1 (1) = (conjunto das matrizes n × n que tem ˜ de e´ uma hipersuperf´ıcie de classe C∞ em Rn . portanto. M e´ um grupo relativamente a` multiplicaçao 2 matrizes. pois grad(det(I)) = I e. conhecido como o grupo unimodular de Rn . 2 ˜ n2 − 1 de Rn formado O espaço tangente TI (M) de M no ponto I e´ o subespaço de dimensao pelas matrizes n × n de traço nulo. n n .˜ impl´ıcita O teorema da funçao Em particular. X X 2 . TI M = X ∈ Rn . pois ξ(xn ) ∈ K para todo n ∈ N. . ˜ sao ˜ globalmente a imagem inversa de um Portanto. As hipersuperf´ıcies que admitem um campo cont´ınuo de vetores normais nao´ nulos ϕ : M −→ Rn+1 chamam-se hipersuperf´ıcies orientaveis. Frensel 173 . seja y0 = ξ(x0 ) ∈ K e seja {xn } uma sequencia de pontos de X tal que xn −→ x0 . n→∞ ˆ Como a sequencia {ξ(xn )} e´ limitada. . como a faixa de Mobius em R3 (ver §14. Ii = xij δij = xii = traço X = 0 . basta mostrar que toda ˆ subsequencia {ξ(xn )}n∈N 0 convergente em Rk tem limite y0 . Lema 9. xn+1 ) = ξ(x? ). sendo localmente o grafico ´ ˜ Observaçao de uma funçao ´ ´ localmente a imagem xi = ξ(x1 . de n variaveis. Sejam X ⊂ Rm . onde cada Ij e´ um intervalo aberto. existem hipersuperf´ıcies em Rn+1 que nao valor regular. xi+1 . estamos supondo V = n+1 Y Ij . . . Delgado . hX. Se f−1 (c) e´ ´ ˜ ξ : X −→ K (isto e. V). . xi−1 . . Mas nem toda hipersuperf´ıcie ´ ¨ em Rn+1 e´ orientavel. Cap. pois se M = f−1 (c).j=1 i=1 ˜ 9. i. que f(x. a aplicaçao ˜ cont´ınuo de vetores normais nao-nulos ao longo de M. J. pois ∂f (x) = 1 para todo x ∈ V e f−1 (0) = {x ∈ V | xi = ξ(x? )} = V ∩ M. e´ tambem ˜ f(x) = xi − ξ(x? ). ´ para todo x ∈ X existe um unico o grafico de uma aplicaçao y = ξ(x) ∈ K tal ´ ˜ ξ e´ cont´ınua.3. . Toda hipersuperf´ıcie M ⊂ Rn+1 . Queremos provar que lim ξ(xn ) = y0 . ξ(x)) = c) entao Prova. definida no aberto V ⊂ Rn+1 tal que inversa f−1 (0) do valor regular 0 da funçao ´ V ∩ M e´ o grafico de ξ. e U = j=1 Y Ij e´ o j6=i ˜ ξ. . uma vez que ϕ(p) = grad f(p) ⊥ v para ˜ todo v ∈ Tp M. f : X × K −→ Rp cont´ınua e c ∈ Rp . dom´ınio da funçao ˜ e´ verdade que toda hipersuperf´ıcie M ⊂ Rn+1 seja globalmente a imagem inversa de Mas nao ˜ ϕ = grad f : M −→ Rn+1 fornece um campo um valor regular. ∂xi Para isso. K ⊂ Rk compacto. ˆ Dado x0 ∈ X.1.K. y = y0 . 14: Funçao 174 ´ Instituto de Matematica UFF . Entao. 1) tal que f(x. n. Seja Seja f : U −→ R uma funçao p = (x0 . y) = c. Fig. y) = (x2 + y2 )(ye|x| − 1). 1). ´ Observaçao Por exem˜ cont´ınua definida por f(x. ´ para que B × J ⊂ U e f−1 (c) ∩ (B × J) e´ o grafico de uma funçao todo x ∈ B existe um unico y = ξ(x) ∈ J tal que f(x. y). ξ(x)) ∂y − i = 1. 1). 1) dada por ξ(0) = 0 e ξ(x) = e−|x| . ´ Para cada x ∈ B. (Teorema da Funçao ˜ de classe Ck . tem-se: ∂ξ (x) = ∂xi ∂f (x. . o lema acima nem sempre e´ valido. ξ(xn )) = c para todo n ∈ N. k ≥ 1. ξ(x)) ∂xi . y = e−|x| ∈ [0. pois K e´ compacto.´ Analise ˜ y ∈ K. n∈N Logo f(x0 . Supondo K apenas limitado. ξ(xn )) = f(x0 . ∂y ˜ existem uma bola aberta B = Bδ (x0 ) ⊂ Rn e um intervalo aberto J = (y0 − ε. e se x 6= 0. onde x ∈ Rn e y ∈ R. pela unicidade. uma para cada x ∈ R. temos c = lim0 f(xn .4. como f e´ Seja N 0 ⊂ N tal que lim0 ξ(xn ) = y. existe um unico y ∈ [0. seja f : R × [0. ´ ˜ ξ : R −→ [0. entao ´ vez que 1 6∈ [0. ˜ Impl´ıcita) Teorema 9. y) = f(x0 . y0 ) e. ˜ plo. Entao n∈N cont´ınua e f(xn . pois se x = 0. ∂f (x. . y0 ) ∈ U tal que f(p) = c e ∂f (p) 6= 0. Alem ´ disso. y). A funçao ˜ y = ξ(x) definida implicitamente no aberto U × J. ˜ y = ξ(x) diz-se definida implicitamente no aberto U × J pela equaçao ˜ f(x. se x ∈ R − {0}. y0 + ε) tais Entao ´ ˜ ξ : B −→ J de classe Ck (isto e. que nao No teorema abaixo. y) = 0. 1) −→ R a funçao ˜ y = 0. portanto. representaremos os pontos de Rn+1 por pares (x. . definida num aberto U ⊂ Rn+1 . ˜ 9. . y) = c). Logo f−1 (0) e´ o grafico da funçao ˜ e´ cont´ınua em x = 0.3. ´ Pelo Teorema do Valor Medio. entao ˜ ξ e´ de classe Ck−1 . ´ x ∈ B = Bδ (x0 ). Delgado . temos que f(x0 . n. existem δ 0 > 0 e ε > 0. Seja f ∈ Ck . Entao. δ0 ). ξ e´ de classe C1 . a Pela continuidade de ξ. y) > 0 para todo (x. . Entao. tais ∂y ∂y ∂f que B 0 × J ⊂ U e (x. Entao. k − 1 ≥ 1. ξ(x) + θk) . . . ξ(x) + k) = f(x. t→0 ∂ξ derivada parcial (x) existe e e´ igual a ∂xi ∂f (x. 1) tal que: 0 = f(x + tei . onde δ0 foi escolhido de modo que x + tei ∈ B para todo t ∈ (−δ0 . a funçao J = [y0 − ε. Logo y = ξ(x) ∈ J e f−1 (c) ∩ (B × J) = f−1 (c) ∩ (B × J) e´ o ´ ˜ ξ : B −→ J a qual. ξ e´ de classe Ck . . y0 ) > 0. ξ(x) + θk) ξ(x + tei ) − ξ(x) k ∂xi = =− ∂f t t (x + θtei . . ∂xi ˜ que se f e´ de classe Ck−1 . n. . ξ(x) + θk)k. ∂y ˜ pela continuidade das derivadas parciais de f.K. . y) e´ estritamente crescente no intervalo Entao. Suponhamos. Entao Assim.˜ impl´ıcita O teorema da funçao Prova. y0 − ε) < c e f(x. grafico de uma funçao Mostraremos agora que. para todo t ∈ (−δ0 . . existe 0 < δ < δ 0 tal que f(x. Como : U −→ R e´ cont´ınua. ξ(x) + θk)t + (x + θtei . ξ(x)) ∂ξ ∂x (x) = − i ∂f ∂xi (x. por (I). por (I). e´ cont´ınua. existem as derivadas parciais de ξ. ∂f (x + θtei . para todo t ∈ (−δ0 . em todo ponto x ∈ B. δ0 ). y0 + ε]. ξ(x + tei ) = ξ(x) + k e f(x + tei . ξ(x) + k) − f(x. que ou seja. existe θ = θ(t) ∈ (0. para todo x ∈ B 0 . . ∂y Suponhamos que ˜ ˜ y 7−→ f(x. ξ(x)) ∂y (I) para todo i = 1. ou seja. ∂xi ∂y Logo. n. ∂ξ e´ cont´ınua para todo i = 1. por induçao. Como f(x0 . Frensel 175 . ξ(x)) = c . . y0 ) = c. y) = c. ˜ Seja x ∈ B e tome k = k(t) = ξ(x + tei ) − ξ(x). onde B 0 = Bδ 0 (x0 ) e J = (y0 − ε. . lim k(t) = 0. ˜ ξ e´ de classe Ck−1 e as derivadas parciais de f sao ˜ de classe Ck−1 . y0 + ε) > c. existe. y) ∈ B 0 × J. para cada x ∈ B. δ0 ). Pela continuidade de f. Como f e´ de classe C1 e ξ e´ cont´ınua. ∂f ∂f (x0 . y0 + ε) > c para todo ˜ pelo Teorema do Valor Intermediario. temos. y0 − ε) < c e f(x0 . y0 + ε). ξ(x)) = ∂f ∂f (x + θtei . ∂ξ e´ de classe Ck−1 para todo i = 1. ∂xi J. um unico ´ y = ξ(x) ∈ J tal que f(x. . pelo lema anterior. . no aberto U ⊂ Rn+1 . para todo x ∈ B e todo j = 1. grad f(x. xn+1 ) ∂xj ∂ξ ? . . . ∂y Prova. 176 ´ Instituto de Matematica UFF . . . ou seja. . xn+1 ). existe i ∈ {1. vale o seguinte resultado: ˜ de classe Ck definida no aberto U ⊂ Rn+1 . xi−1 .1. vi = 0 para todo v ∈ Tp M. xi−1 . Seja f : U −→ R uma funçao ξ : W −→ R e´ cont´ınua no aberto W ⊂ Rn com (x. . dada por f(x. nao ˜ ha´ nada especial a respeito da ultima Observaçao ´ ´ variavel. No teorema da funçao ˜ impl´ıcita. para todo x ∈ W. x0k ∂f ˜ existe ε > 0 (p) 6= 0 para algum i = 1. ξ(x)) = c ∂y ˜ ξ e´ de classe Ck . ˜ existe uma curva λ : (−ε. . Tp M ⊂ [grad f(p)]⊥ e. ´ ˜ de classe Ck . Como grad f(p) 6= 0. . . Tp M = [grad f(p)]⊥ . pois dim Tp M = dim[grad f(p)]⊥ = n . n + 1} tal que ∂f (p) 6= 0. . . entao ∂xi ˜ ξ:B= + ε) ⊂ U e uma funçao k=1 n+1 Y (x0k − ε. ξ(x? ). onde x? = (x1 . . −3y2 ). No corolario ´ ˜ basta supor que c e´ um valor regular de f. pelo ∂xi ˜ impl´ıcita. ξ(x)) 6= 0 e f(x. pois f(λ(t)) = c para todo t ∈ (−ε. hgrad f(p).5. mas a funçao √ 3 ˜ e´ diferenciavel ´ dada por ξ(x) = x. Entao. ˜ como exemplo.6. n + 1 . . . . . Observe que ∂f (x. . . . . . existe um aberto V ⊂ Rn+1 tal que p ∈ V e V ∩ f−1 (c) e´ o grafico ´ teorema da funçao de ˜ de classe Ck definida num aberto de Rn . portanto. entao ˜ 9. y) = x − y3 . . xi−1 . xi+1 . . . . xn+1 ) ∂xi j 6= i. Ou seja. xn+1 ) ∈ Rn+1 | (x1 . . . Logo. o conjunto f (c) ∩ V e´ dado por: (x1 . ξ(x)) = 0 para todo x ∈ R e nao na origem. seja a funçao ˜ cont´ınua ξ : R −→ R. ε) −→ M diferenciavel ´ Seja v ∈ Tp M. . x0n+1 ) ∈ U e´ tal que f(p) = c e tal que V = n+1 Y (x0k − ε. . . Se um ponto p = Seja f : U −→ R uma funçao (x01 . . ∂f (x. y) = (1. ´ disso. xi+1 . . . . . Por Observaçao acima. xi+1 . xn+1 ) ∈ B e ξ(x1 . . xn+1 ) = xi . . . 0) = 0 para todo x ∈ R. xi+1 . . (x ) = − ∂f ∂xj (x1 . . . ξ(x? ). . nao ˜ f : R2 −→ R de classe C∞ . Logo df(p)v = (f ◦ λ) 0 (0) = 0. satisfaz f(x. . ou seja. . . x0i + ε) k=1 k 6= i −1 ´ de classe Ck cujo grafico e´ f−1 (c) ∩ V. xi−1 . ˜ Impl´ıcita) (do Teorema Global da Funçao Seja p ∈ f−1 (c). n + 1. ξ(x)) ∈ U. . . Entao em t = 0 tal que λ(0) = p e λ 0 (0) = v. . xi+1 . . . todo c ∈ R e´ valor regular de f. Se Corolario 9. ε).´ Analise ˜ 9. . Entao ˜ M = f−1 (c) e´ uma hipersuperf´ıcie uma funçao de classe Ck . Alem ∂f (x1 . x0k + ε) −→ (x0i − ε. . . . Assim. . . k ≥ 1. xi−1 . . . . vi = 0 para todo v ∈ Rn+1 . ε) −→ M diferenciavel em t = 0 com λ(0) = p. ∂f (x) = 0 para todo v ∈ Rn+1 . entao ´ cr´ıticos: os pontos onde f|M assume seus valores maximo e m´ınimo. entao ´ e´ um ponto cr´ıtico de f|M. portanto. Entao ˜ pontos cr´ıticos de f|M .Multiplicador de Lagrange 10 Multiplicador de Lagrange Seja M ⊂ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie de classe Ck . 0) para {(x. pois grad f(x. k ≥ 1. ´ no qual grad f Mas pode existir um ponto cr´ıtico de f|M que nao ˜ se anula. hgrad f(p). e ˜ de classe Ck . Dizemos que p ∈ M e´ um ponto cr´ıtico de f|M se (f ◦ λ) 0 (0) = 0 para todo Definiçao ´ caminho λ : (−ε. e so´ se. ou seja. 0 e´ ponto de maximo ou de m´ınimo local da funçao df(p)v = (f ◦ λ) 0 (0) = 0. y) ∈ R2 . neste caso. 1) 6= (0. f : U −→ R uma funçao ˜ como ja´ definimos anteriormente. ε) −→ U diferenciavel em t = 0 tal que λ(0) = x. contida num aberto U ⊂ Rn+1 . hgrad f(p). ε) −→ R e.2. se.1. p ∈ M e´ um ponto cr´ıtico de f|M se. (do Multiplicador de Lagrange) ˜ de classe Ck . Observaçao pois. pois para toda curva λ : (−ε. 1) sao ´ e (0. Todo ponto cr´ıtico de f em U que pertence a M e´ um ponto cr´ıtico de f|M . ˜ 10. portanto. Um ponto p ∈ M e´ ponto cr´ıtico de f|M regular de ϕ. e f : U −→ R uma funçao se. −1) e (0. y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. Sejam f : R2 −→ R a funçao ˜ f nao ˜ possui ponto cr´ıtico. ou seja. ´ J. Isto significa que ∂f (p) = 0 ∂v para todo v ∈ Tp M. 1) e´ o ponto de maximo de f|M . Frensel 177 . Delgado . ou ainda. ˜ e´ ponto cr´ıtico de f em U. se a hipersuperf´ıcie M ⊂ Rn+1 e´ compacta. ε) −→ M diferenciavel em t = 0 com ´ ˜ real f ◦ λ : (−ε. ˜ Por analogia. Se p ∈ M e´ um ponto de maximo ´ ˜ p Observaçao ou de m´ınimo local de f|M . tais que grad f(x) = 0. e M = S1 = Exemplo 10. Teorema 10. M = ϕ−1 (c). existe um numero real λ ∈ R tal que grad f(p) = λ grad ϕ(p). vi = 0 para todo v ∈ Tp M. e somente se. ˜ 10. onde c ∈ ϕ(U) e´ um valor Sejam ϕ : U ⊂ Rn+1 −→ R uma funçao ˜ de classe Ck . o vetor grad f(p) e´ normal a` hipersuperf´ıcie M no ponto p.1. os pontos x ∈ U Os pontos cr´ıticos de f : U −→ R sao. y) = y.1. Mas (0. isto e. pois (0. daremos a seguinte definiçao: ˜ 10. grad f(p) = 0 e. λ(0) = p. nao ˜ de classe C∞ dada por f(x. e so´ se. y) = (0.K. −1) e´ o ponto de m´ınimo todo (x. ˜ f|M admite pelo menos dois pontos Em geral. Isto equivale a dizer que ∂v ´ (f ◦ λ) 0 (0) = 0 para todo caminho λ : (−ε.1. ˜ 10. Para todo ponto p ∈ M. ´ A pesquisa dos pontos cr´ıticos de f|M reduz-se. . ou seja. e so´ se. b) ˜ multiplos. . .2. onde p = (x1 . No caso tangente a` hipersuperf´ıcie de n´ıvel de f que passa pelo ponto cr´ıtico p da funçao ˜ f. Alem ˜ n. ˜ 10. x1 . grad f(p) ⊥ Tp M. . onde ϕ : R2 −→ R e´ dada por ϕ(x. pois M e´ uma hipersuperf´ıcie de n´ıvel ´ disso. n + 1 . b) = λ(x. y) = (2x. p ´ seu valor maximo igual a` a2 + b2 . y) = ax + by.4. y) ∈ S1 onde grad f(x. ˜ e grad ϕ(x. grad f(p) ⊥ v para todo v ∈ Tp M. . de ϕ. . 178 Fig. pois p |f(x.3. .  ∂xi ∂xi i = 1. f|S1 assume. . a resolver o sistema de n + 2 ˜ equaçoes   ∂f (p) = λ ∂ϕ (p) . ´ Instituto de Matematica UFF . os pontos cr´ıticos de f|S1 sao pontos (x. . esta observaçao ˜ auxilia a localizar em que se podem esboçar as superf´ıcies de n´ıvel da funçao os pontos cr´ıticos (ver exemplo abaixo). p e´ ponto cr´ıtico de f|M se. . e so´ se. grad f(p) e´ um multiplo de grad ϕ(p). xn+1 ). Nestes pontos. y) e x2 + y2 = 1. 2y) sao Entao ´ (a. ϕ(p) = c . ´ nas n + 2 incognitas λ. os pontos cr´ıticos de f|M sao grad f(p) e´ normal a M. temos que p ∈ M e´ ponto cr´ıtico Como Tp M ⊂ Rn+1 e´ um subespaço vetorial de dimensao de f|M se. xn+1 .´ Analise Prova. Isto nos da´ x= p a a2 + b2 e y= p b a2 + b2 . e seja S1 = ϕ−1 (1). ou x = −p a a2 + b2 e y = −p b a2 + b2 . . . y) = x2 + y2 . Seja f : R2 −→ R a funçao a2 + b2 6= 0. com Exemplo 10. y) ∈ S1 . portanto. respectivamente. A condiçao ˜ grad f(p) = λ grad ϕ(p) significa que a hipersuperf´ıcie M e´ Observaçao ˜ f|M . ˜ de classe C∞ dada por f(x. temos Tp M = [grad ϕ(p)]⊥ . O numero λ chama-se o multiplica´ dor de Lagrange. e seu vap lor m´ınimo igual a − a2 + b2 . 15: Pontos cr´ıticos de f|S1 . y)| ≤ a2 + b2 para todo (x. y) = (a. Como 1 e´ valor ˜ os regular de ϕ. Quando a hipersuperf´ıcie M nao ˜ e´ dada como imagem inversa ϕ−1 (c) Observaçao ˜ simplesmente os pontos p ∈ M nos quais de um valor regular. pontos onde f|M assume seu valor m´ınimo. Frensel 179 . uma transformaçao ˜ de angulo ˆ rotaçao θ ∈ (0. 16: x − b e´ normal a M. os autovetores associados ao autovalor λ sao ˜ linear A : Rn −→ Rn nao ˜ precisa ter autovalores reais. ˜ f : Rn+1 − {b} −→ R de classe C∞ dada por f(x) = kx − bk. i. os pontos cr´ıticos de f|M . n.Multiplicador de Lagrange Exemplo 10. ´ De fato. E ´ ˜ os vetores x ∈ Rn tais que Ax = λx. Seja A : Rn −→ Rn uma transformaçao hx. um tal ponto sempre existe. pois kx − bk ∂f x − bi (x) = i . entre os quais se encontram ∂xi kx − bk ˆ ˜ os pontos x ∈ M tais que os pontos de M situados a uma distancia m´ınima do ponto b. estao ´ entre os pontos x ∈ M onde grad f(x) e´ normal a M. caso existam. yi = Exemplo 10. isto e. para todo i = 1. π) no plano. seja f : Rn −→ R a forma quadratica dada por f(x) = hAx. Os Consideremos a funçao ˜ entre os pontos cr´ıticos de f|M . ´ hAx. . entao ˜ existe uma base Afirmaçao: ortonormal de Rn formada por autovetores de A. sao x − b e´ normal a M. como a Em geral. em termos de n X coordenadas. Ayi para quaisquer x. Delgado . xi ou. Isto equivale a dizer que a matriz (aij ) de A com respeito a` ˆ ´ base canonica e´ simetrica. ˜ Se A : Rn −→ Rn e´ uma transformaçao ˜ linear autoadjunta. ´ determinar o ponto p ∈ M mais proximo a b. pois aij = hAej . Como grad f(x) = isto e.4. Fig. Dados uma hipersuperf´ıcie M ⊂ Rn+1 e um ponto b ∈ Rn+1 tal que b 6∈ M. ej i = aji .j=1 Para determinarmos uma base ortonormal de autovetores de A estudaremos os pontos cr´ıticos J. No caso em que M e´ fechada. Um numero real λ e´ um autovalor de A quando existe um vetor y ∈ Rn − {0} tal que Ay = λy. ei i = hAei . f(x) = aij xi xj .3. x−b . y ∈ Rn . . . ˜ linear autoadjunta.K. . un }. Entao Prosseguindo desta maneira. Ou seja. ´ ˜ Em particular. . n e a igualdade vale se. Au = λu. os vetores grad f(x) n X ∂f ˜ multiplos. . yn ) ∈ Rn | y1 + . . . ui = 1. ´ Vamos determinar o valor maximo de f na hipersuperf´ıcie Mc = {(y1 . yn ) = y1 + . . um ponto u ∈ Sn−1 e´ um ponto cr´ıtico de f|Sn−1 se. y1 > 0. + xn . . . e so´ se. . . . ˜ de classe C∞ dada De fato. . Logo A(E) ⊂ E e. num tal ponto. . . ˜ ϕ−1 (c) = Mc e´ uma hipersuperf´ıcie de classe C∞ de Rn . . . . linear autoadjunta A : E −→ E. yn ) = y1 · . entao λ1 e´ o maior autovalor de A e Au1 = λ1 u1 . . . . . . temos que grad f(x) = 2Ax. . pois grad ϕ(y) = (1. onde A : Rn −→ Rn e´ autoadjunta. . · yn e c = x1 + . . . . portanto. u1 i = 0} o complemento ortogonal do vetor u1 . se λ1 e´ o valor maximo de f no compacto Sn−1 atingido no ponto u1 ∈ Sn−1 . ˜ hAx. . xn n numeros reais positivos. . . Au1 i = λ1 hx. xn e´ menor do que ´ ´ ´ ´ ou igual a` media aritmetica destes numeros. .´ Analise ´ ˜ de f na esfera unitaria Sn−1 ⊂ Rn . e grad ϕ(x) = 2x sao Sendo (x) = 2 aij xj . xi. ui = λ. + yn = c . f : Rn −→ R a funçao ´ por f(y1 . formada por autovetores de A. . yn ) ∈ Rn | y1 > 0. xi. . . 1. sejam x1 . isto e. . . {u1 . . obtemos uma base ortonormal de Rn . temos f(u) = hλu. 0) para todo y ∈ U. Como Sn−1 = ϕ−1 (1). λ = f(u) e´ um autovalor de A e u e´ um autovetor de norma 1 associado ao autovalor λ. ´ Provamos. . . yn > 0} . . . ´ ´ ´ Seja λ2 o valor maximo da forma quadratica f entre os vetores unitarios pertencentes a E.5. Logo ´ ∂xi j=1 n−1 ˜ os pontos u ∈ S os pontos cr´ıticos de f|Sn−1 sao tais que Au = λu e. ´ √ n x1 · . + xn . = xn . ˜ ϕ : U −→ R de Consideremos o aberto U = {(y1 . ´ ´ Exemplo 10. Se x ∈ E. e so´ se. por restriçao. temos que x ∈ Sn−1 e´ um ponto cr´ıtico de f|Sn−1 se. u2 . . que dada a forma quadratica f : Rn −→ R. . yn > 0} e a funçao classe C∞ dada por ϕ(y1 . . . . assim. . . . f(x) = hAx. · xn ≤ x1 + . u2 ∈ E tal que |u2 | = 1 e f(u2 ) = λ2 . 0. u1 i = Seja E = {x ∈ Rn | hx. . . . . . x1 = . onde 1 e´ valor regular da funçao ϕ(x) = hx. u1 i = 0. 1) 6= Entao (0. . . 180 ´ Instituto de Matematica UFF . e so´ se. A media geometrica de n numeros reais positivos x1 . . entao ˜ obtemos uma transformaçao ˜ hx. pois hu. . + yn . . onde λ = f(u). e seja ˜ λ2 e´ um autovalor de A e Au2 = λ2 u2 . . pois z1 z2 .Multiplicador de Lagrange ´ Como Mc e´ compacto. . xin ). . Como. n para quaisquer numeros reais positivos x1 . . pois (x1 . . x n ≤ x1 + . . . pela hipotese de induçao. + zn = c. zn−1 zn . . ˜ Entao c Como z1 + . . . e zn 6= 0. . pelo metodo do multiplicador de LaSendo ∂yi j=1 j 6= i ˜ z1 + . J. . . Alem ˜ z1 = z2 = . . n. 0 i 6= i . pois f(y) = 0 para todo y ∈ Mc − Mc e f(y) > 0 para todo y ∈ Mc . xn ) ≤ f(z1 . . entao ˜ Se X e´ uma matriz n × n cujas linhas sao | det X| ≤ kX1 k . z1 = zn . n Y ˜ Se z1 . . onde k k e´ a norma Euclidiana. . . . c]. . . n ou seja. z1 = . de f|Mc . Frensel 181 . . . temos z1 = . . . n c n Logo f(x1 . . . j6=i para todo i = 1. . j=1 j 6= i 0 ´ disso. zn ) = . temos. zi > 0 e grange. . e so´ se. Entao Y zj = λ. . . n − 1 ≥ 2. n − 1}. . = zn−1 = zn . . . Sejam z1 . = zn . zn−1 = z2 z3 . Entao n Y ∂f ´ (y) = yj . . x1 = . . . . . . . existe z ∈ Mc tal que f(z) e´ o valor maximo ˜ z ∈ Mc . . . . i 0 ∈ {1. provando a afirmaçao. . kXn k. . . × [0. zj = λ para todo i = 1. . . . + x n n x1 . temos j=1 j 6= i 0 n−1 Y n−1 Y zj = j=1 j 6= i ´ ˜ zj . x n ≤ 1 . . n x + . . . . + zn = c. . . . Logo. zn ∈ R − {0} e Afirmaçao: ˜ z1 = . n. . . . Delgado . . . Assim. . xn ) ∈ Mc . . n. . λ). xn . n Y j=1 j 6= i n Y zj = j=1 j 6= i zj . . ´ Exemplo 10.K. para todo i = 1. zn n numeros reais nao´ n Y nulos tais que zj = λ para todo i = 1. c] × . Vamos provar esta afirmaçao Se n = 2. . que grad f(z) = λ grad ϕ(z) = (λ. . . . para todos i. . e´ claro que z1 = z2 . . = zn−1 . ´ ˜ Suponhamos o resultado valido para n − 1.6. . √ n x1 . e a igualdade vale se. entao j=1 j 6= i ˜ por induçao ˜ sobre n. = xn . . . . . . . = zn = . . . + xn . . n. pois Mc ⊂ [0. (Desigualdade de Hadamard) ˜ os vetores Xi = (xi1 . 2 ∂xij i.j] = 2λ wij = (det W) w2ij .j=1 (−1)i+j W[i. do Multiplicador de Lagrange. pela Se W e´ uma matriz onde f|M atinge seu valor maximo ou m´ınimo. Entao. n. . j=1 182 j=1 ´ Instituto de Matematica UFF . w2ij = n entao i. obtida de X pela omissao ´ linha e da j−esima coluna.j=1 Logo det W = 2λ. temos: Multiplicando (?) por wkj .j] = 2λwij . w2ij = n e grad f(W) = λ grad ϕ(W) para algum λ real. j = 1. i. . . ˜ de um determinante em relaçao ˜ Multiplicando por wij . Se det X 6= 0. os vetores-linha tem j=1 igual a 1. onde W e´ a matriz cujas linhas sao ´ os vetores unitarios W1 . temos: as n det W = n X (−1)i+j wij W[i. fixando i e somando em relaçao n n n X X X i+j 2 det W = (−1) wij W[i. . . M e´ a esfera em Rn de centro na origem e raio n. kXi k ˜ como Xi = kXi kWi . ou seja. Mais geralmente: ˜ Se W = (wij ) e´ uma matriz n × n tal que Afirmaçao: n X ˜ | det W| ≤ 1. . obtemos: Multiplicando agora (?) por wij . . ou seja. ϕ−1 (n) = M e´ uma hipersuperf´ıcie compacta de classe C∞ em Rn . ϕ : Rn −→ R as funçoes n X ∂ϕ ∂f ˜ para todos i. j = 1. .j] = 2λ i.j] .j=1 ∂xij ˜ da i−esima ´ onde X[i. i. . n. uma matriz W = (wij ) e´ um ponto cr´ıtico de n X f|M se. . . somando e levando em conta a expansao ` entradas de uma linha. i = 1. Assim. podemos considerar os vetores unitarios Wi = Xi ˜ . entao ´ nulos. kXi k2 = w2ij = 1 para todo i = 1. .j=1 n X w2ij = 2λn . n. a desigualdade e´ evidente. .j=1 ˜ de classe C∞ dadas por f(X) = det X e De fato. . kXn k det W. . √ 2 Mais precisamente. ˜ a j. e somando em relaçao n n X X (−1)i+j wkj W[i. entao n X ˆ norma igualdade acima. e so´ se.´ Analise ˜ todos os vetores-linhas sao ˜ nao˜ Se det X = 0. n. Entao. . para todo n ∈ N.j] = 2λ wkj wij = 2λhWk . . . Neste caso. 2 ˜ pelo metodo ´ Entao. (?) para quaisquer i. . Wn . j=1 j=1 j=1 ´ ˜ det W 6= 0 e. temos que det X = kX1 k . k 6= i. ϕ(X) = (xij )2 . ˜ a j. . (X) = 2xij e (X) = (−1)i+j X[i. A desigualdade ficara´ provada se mostrarmos que | det W| ≤ 1. Wi i . . . sejam f.j] e´ o determinante da matriz (n − 1) × (n − 1). Wi i = 0 para k 6= i. Frensel 183 . . se W e´ um ponto de m´ınimo. . −kX1 k . .K. . . que se mantivermos constantes (nao-nulos) os comprimentos des´ ses vetores. do determinante de uma matriz com duas linhas (a i−esima e a ´ k−esima) iguais a Wk . . . kXn k dos comprimentos de suas arestas. . todo ponto W ∈ M onde f|M atinge seu valor maximo ou m´ınimo e´ uma matriz cujas ˜ vetores unitarios ´ linhas sao dois a dois ortogonais. Xn sao ortogonais. por ser o desenvolvimento. ˜ 10. Entao −1 ≤ det W ≤ 1 para todo W ∈ M. . . kXn k ocorre se. ´ Assim. ˜ vetores dois a dois E a igualdade | det X| = kX1 k .Multiplicador de Lagrange Logo hWk . X1 . . no caso em que det X 6= 0. o volume do paralelep´ıpedo e´ o produto kX1 k . a desigualdade de Hadamard ˜ significa. Delgado . pois n X (−1)i+j wkj W[i.5. Xn da matriz X. ou seja. kXn k ≤ det X ≤ kX1 k . Logo ´ ˜ det W = +1. e so´ se.j] = 0. e det W = −1. J. . Assim. se W e´ um ponto de maximo. . | det X| torna-se maximo quando eles forem 2 a 2 ortogonais e. neste caso. geometricamente. kXn k para toda matriz X. . em j=1 ˜ a` i−esima ´ ´ relaçao linha. . ou seja W e´ uma matriz ortogonal. . O valor absoluto de det X e´ o volume do paralelep´ıpedo n−dimensional Observaçao determinado pelos vetores-linha X1 . 184 ´ Instituto de Matematica UFF . v→0 ˜ 1. ponto a ∈ U quando existe uma transformaçao com a + v ∈ U. Entao ˜ f e´ diferenciavel ´ U0 = {v ∈ Rm | a + v ∈ U} e´ um aberto que contem no ponto a se. para todo v ∈ Rm . (?) r(v) = 0. Seja f : U −→ Rn uma funçao ˜ definida num aberto U ⊂ Rm . lim ρ(v) = 0.Cap´ıtulo 4 ˜ ´ Aplicaçoes diferenciaveis 1 ˜ Diferenciabilidade de uma aplicaçao ˜ 1. ρ e´ cont´ınua na origem. pois r(v) kvk = f(a) .2. ou seja. definida no aberto U ⊂ Rm . e´ o limite ∂f f(a + tv) − f(a) (a) = lim ∈ Rn . e´ diferenciavel ´ Definiçao no ˜ linear T : Rm −→ Rn tal que. e ρ(0) = 0. v→0 kvk onde lim ˜ ρ : U0 −→ Rn . A derivada Definiçao direcional de f num ponto a ∈ U.1. dada por ρ(v) = Seja a aplicaçao r(v) . O fato de uma aplicaçao ˜ ser ou nao ˜ diferenciavel ´ Observaçao num determinado ponto independe das normas tomadas em Rn e Rm . ˜ 1. Uma aplicaçao ˜ f : U −→ Rn . v→0 kvk lim f(a + v) = f(a) + lim Tv + lim v→0 v→0 ˜ 1. onde kvk ´ a origem. se v 6= 0.1. ∂v t t→0 quando tal limite existe. tem-se f(a + v) = f(a) + Tv + r(v) . Toda aplicaçao ˜ diferenciavel ´ Observaçao no ponto a e´ cont´ınua neste ponto.2. e so´ se. 185 . relativamente a um vetor v ∈ Rm . ´ Analise Seja δ > 0 tal que o segmento (a − δv. 1: Derivada direcional de f em a relativamente a v ˜ Se f = (f1 . Para n = 1. (a) ∈ Rn . ∂ej ∂f (a) = ∂xj ∂f1 ∂f (a). ˜ 1. .3. . Esta transformaçao. ∂fn (a) . . δ) −→ U. . ∂xj ∂xj ˜ 1. pois (f ◦ λ) 0 (0) = lim t→0 ∂f (a) e´ o vetor velocidade do caminho ∂v f ◦ λ(t) − f ◦ λ(0) f(a + tv) − f(a) ∂f = lim = (a) . e´ chamada a matriz Jacobiana de f no ponto a e e´ indicada pela ˜ Jf(a). Entao f ◦ λ : (−δ. Como T (tv) = t Tv e ktvk = |t| kvk. . . . Em particular. dado por λ(t) = a + tv. . com lim ρ(tv) = 0. . e´ chamada a derivada de f no ponto a. obtemos que a transformaçao ´ ∂v ˜ designada por f 0 (a) ou Df(a). t t ∂v t→0 Fig. n (a) . em relaçao ˜ as ` Definiçao ˆ bases canonicas de Rm e Rn .3. Observaçao suficientemente pequeno. notaçao ˜ os vetores As m colunas da matriz Jacobiana Jf(a) sao ∂f ∂f1 ∂fn 0 f (a)ej = (a) = (a). ∂v ´ ˆ Quando v = ej e´ o j−esimo vetor da base canonica de Rm . f(a + tv) − f(a) = T (tv) + ρ(tv)ktvk . Seja f diferenciavel ´ ˜ para todo v ∈ Rm e para t ∈ R no ponto a. . A matriz n × m da transformaçao ˜ linear f 0 (a) : Rm −→ Rn . δ) −→ Rn no instante t = 0. . Entao. temos que t→0 f(a + tv) − f(a) = Tv ± lim ρ(tv)kvk = Tv . . (a). a + δv) esta´ contido em U e considere o caminho ˜ retil´ıneo λ : (−δ. escrevemos ∂f (a) em vez de ∂xj ∂f (a). . . Assim. ∂xj 186 ∂xj ∂xj ´ Instituto de Matematica UFF . fn ) entao ∂f (a) = ∂v ∂f 1 ∂v (a). . a derivada f 0 (a) e´ a diferencial df(a) estudada no cap´ıtulo anterior. . t t→0 t→0 lim Logo Tv = ∂f ˜ linear que satisfaz (?) e´ unica. . . . . . . entao kvk ´ coordenada de f e´ diferenciavel no ponto a e f 0 (a)v = (df1 (a)v. se f e´ diferenciavel no ponto a. rn (v)). dfi (a) : Rm −→ R. αm ) ∈ Rm . . f 0 (a)v = (df1 (a)v. . . . rn (v)) e lim v→0 r(v) ´ ˜ cada funçao˜ = 0. . . para todo v ∈ Rm . . . temos que n X ∂fi (a)αj + ri (v) . para todo i = 1. Neste caso. para todo v = (α1 . a i−esima ´ Observaçao linha ∂fi ∂f (a). . . . . kvk Assim. Entao (r1 (v). (a)αj j=1 ∂xj j=1 ∂xj j=1 ∂xj e. m X ∂fn j=1 ∂xj ! (a)αj + r(v) . (a)αj = (df1 (a)v. cada ˜ ´ uma de suas funçoes-coordenada fi : U −→ R. ∂xj Como. . dfn (a)v). . . . obtemos que fi (a + v) = fi (a) + m X ∂fi j=1 ∂xj (a)αj + ri (v) . dfn (a)v) . .˜ Diferenciabilidade de uma aplicaçao Assim. . . i (a) ∂x1 ∂xm da ma- ´ ˜ triz Jacobiana Jf(a) e´ a matriz 1 × m da diferencial. . . . . . . n. . . . para todo i = 1. Ou seja. . . . e so´ se. . . dfn (a)v) . Jf(a) = ∂fi ˜ as funçoes-coordenada ˜ (a) . . n. . se cada funçao-coordenada de f e´ diferenciavel no ponto a. e´ diferenciavel no ponto a. . . . ˜ 1. J. . Delgado . A aplicaçao no ponto a ∈ U se. Logo f e´ diferenciavel no ponto a e kvk ! m m X X ∂f1 ∂fn f 0 (a)v = (a)αj . .K. ˜ ´ Reciprocamente. . . . provamos o seguinte resultado: ˜ f : U ⊂ Rm −→ Rn e´ diferenciavel ´ Teorema 1. ! m m m X X X ∂f ∂f1 ∂fn f 0 (a)v = (a)αj = (a)αj . fn : U ⊂ Rm −→ R sao de f. Frensel 187 . r(v) ´ = 0. . . ∂xj ∂xj j=1 j=1 Com isto. como f(a + v) = f(a) + f 0 (a) v + r(v). n. . i = 1.1. . . . . n. Para cada i = 1. n. uma vez que r(v) = v→0 kvk ˜ lim para todo i = 1. se r(v) = (r1 (v). . . . . . ri (v) = 0. . onde f1 . fi (a + v) = fi (a) + j=1 com lim v→0 ∂xj ri (v) = 0.4. . . da i−esima funçao˜ a` base canonica ˆ coordenada fi de f em relaçao de Rm . f(a + v) = f(a) + m X ∂f1 j=1 com lim v→0 ∂xj (a)αj . f 0 (a) = (g 0 (a). sao ˜ as mn funçoes ˜ de uma aplicaçao ˜ ψij : X −→ R tais que. ∂v ∂f : U −→ Rn . A aplicaçao ´ ˜ coordenadas g : U −→ Rn e h : U −→ Rp diferenciavel no ponto a ∈ U se. Rn ) com Rmn . Rn ) das transformaçoes ˜ Observaçao lineares T : Rm −→ Rn possui uma norma natural. . fazendo corresponder a cada transformaçao ˜ as ` bases canonicas ˆ ˜ T : Rm −→ Rn sua matriz em relaçao de Rm e Rn . ∂v Logo. ∂v ∂v 1 temos que f 0 (a)v = ((f1 ◦ λ) 0 (0). ˜ ˜ as funçoes-coordenada ˜ Basta observar que as funçoes-coordenada de f sao de g seguidas ˜ das funçoes-coordenada de h. . e so´ se. . definida num conjunto X ⊂ Rp . h(x)). Neste caso.1. e´ Corolario 1. a transformaçao ´ definida.11 do cap´ıtulo 1. a aplicaçao ˜ ponto x. entao.´ Analise ´ ˜ f = (g. para todo i = 1. as aplicaçoes ˜ diferenciaveis ´ sao no ponto a. fica definida a aplicaçao f 0 : U −→ L(Rm . n (a) . h) : U ⊂ Rm −→ Rn × Rp . ˜ 1. . Neste caso. ε) −→ U e´ um caminho qualquer diferenciavel em t = 0. cada uma das funçoes 188 ´ Instituto de Matematica UFF . Rn ).9 do cap´ıtulo 3. ˜ linear f 0 (x) : Rm −→ Rn .4. . ∂v ˜ 3. Dizemos que uma aplicaçao ˜ f : U ⊂ Rm −→ Rn e´ diferenciavel ´ Definiçao no aberto U ´ ˜ derivada quando e´ diferenciavel em todos os pontos de U. ˜ ψij : U −→ R e´ cont´ınua. para todo v ∈ Rm . . derivada de f no que associa a cada ponto x ∈ U. dada por f(x) = (g(x). para cada x ∈ X. ˜ 1. . cujo valor num ∂v ˜ 1. Se ´ ˜ λ : (−ε. cont´ınua se. . ˜ linear Se identificarmos L(Rm . . Seja f : U ⊂ Rm −→ Rn uma aplicaçao ˜ diferenciavel ´ Observaçao no ponto a ∈ U. j)−entrada da matriz da transformaçao linear ψ(x). Rn ) e´ Resulta. Prova. dada por: kT k = sup{ kT (x)k | kxk = 1}. Fica tambem ponto x ∈ U e´ a derivada direcional ∂f (x) = f 0 (x)v. O espaço vetorial L(Rm . com λ(0) = a e λ 0 (0) = v.6. como ∂f f (a)v = (a) = ∂v 0 ∂f ∂f (a). que uma aplicaçao ˜ ψ : X −→ L(Rm . (fn ◦ λ) 0 (0)) = (f ◦ λ) 0 (0). as funçoes-coordenada ˜ ψ : X −→ L(Rm .5. pela observaçao ∂fi (a). e so´ se. . temos que (fi ◦λ) 0 (0) = De fato. entao f 0 (a)v = ∂f (a) = (f ◦ λ) 0 (0) . ˜ do teorema 6. h 0 (a)) : Rm −→ Rn × Rp . ψij (x) e´ a (i. Rn ) . . n. . ∂fi ˜ cont´ınuas.6. quando f cumpre uma das (e portanto todas as) condiçoes ˜ Em particular. Alem ˜ suas funçoes-coordenada. por hipotese.2. e so´ se.˜ Diferenciabilidade de uma aplicaçao ´ ˜ ϕ : U −→ L(Rm . . temos que e´ cont´ınua para todo ∂xj ∂xj ∂xj ∂f : U −→ Rn e´ cont´ınua. sao ∂xj ´ ˜ (2)=⇒(3) Seja v = (α1 . pois renciavel e. . Seja f : U −→ Rn uma aplicaçao ˜ sao ˜ equivalentes: afirmaçoes ´ ˜ derivada f 0 : U −→ L(Rm . para todo j = 1. . . definida no aberto U ⊂ Rm . . cont´ınua. Rn ) e´ diferenciavel ´ Tambem. e so´ se. cada uma das suas funçoes-coordenada e´ de classe C1 . ˜ Logo. temos. . Frensel 189 . uma aplicaçao no ponto ˜ ϕij : U −→ R e´ diferenciavel ´ a ∈ U se. Rn ) e´ cont´ınua. . αn ) ∈ Rm . Dizemos que uma aplicaçao ˜ f : U −→ Rn . (2) implica que cada funçao-coordenada fi e´ dife´ ´ ´ disso. m. . j = 1. .1 acima. Dizemos que uma aplicaçao ˜ f : U −→ Rn e´ de classe C1 no aberto U ⊂ Rm Definiçao ˜ do teorema acima. (1)=⇒(2) Por serem as derivadas parciais ∂fi ˜ ˜ f 0. . ∂v ∂f ´ (3)=⇒(2) Tomando v = ej . de e´ cont´ınua. pelo teorema 1. ∂v j=1 ∂xj ∂fi ∂f ∂f . ∂v ∂v ˜ (x) em todo ponto x ∈ U e a aplicaçao Prova. Delgado . m. . cada uma das funçoes-coordenada ∂fi : U −→ R existe e e´ cont´ınua . f ∈ C1 se. .1 acima. as funçoes-coordenada da aplicaçao ∂xj ˜ (2)=⇒(1) Pelo teorema 3. f e´ diferenciavel. ∂xj m (3) Para cada v ∈ R . . portanto. . ˜ 1. ˜ definida no aberto U ⊂ Rm . existe a derivada direcional ∂f ∂f : U −→ Rn e´ cont´ınua. Entao m X ∂f ∂f = αj . Logo. fn : U −→ R da aplicaçao ∂fi : U −→ R cont´ınuas. . que a derivada parcial : U −→ Rn existe e e´ ∂xj ˜ Como cada funçao-coordenada. f e´ diferenciavel pelo teorema 1. . para todo v ∈ Rm .5.2 do cap´ıtulo 3. cada uma das funçoes no ponto a.K. Pelo provado acima. (1) f e´ diferenciavel e a aplicaçao ˜ ˜ f possuem derivadas parciais (2) As funçoes-coordenada f1 . f 0 e´ cont´ınua. As seguintes Teorema 1. e´ Definiçao ´ ´ ˜ duas vezes diferenciavel no ponto a ∈ U quando f e´ diferenciavel em U e satisfaz as condiçoes abaixo: J. ∂xj ˜ 1. . . ∂xj ∂xk ∂ 2 fi (a) βk αj . (2) Cada derivada parcial ∂fi ´ : U −→ R e´ diferenciavel no ponto a.´ Analise ˜ derivada f 0 : U −→ L(Rm .k=1 ∂2 f (a) βk αj . n. . ∂xj ˜ derivada direcional (3) Para cada v ∈ Rm . .2. Logo. . definida no aberto U ⊂ Rm . . . ∂xj ∂xk ˜ Pelo teorema de Schwarz para funçoes. f 00 (a) · v · w = f 00 (a) · w · v .7. w) ∈ Rm × Rm e´ o vetor ∂ ∂f f 00 (a) · v · w = (a) ∈ Rn . Quando f : U −→ Rn e´ duas vezes diferenciavel ´ Definiçao no ponto a ∈ U. a aplicaçao ∂f ´ : U −→ Rn e´ diferenciavel no ponto a. f e´ duas vezes diferenciavel ´ Entao. cada funçao-coordenada fi e´ duas vezes diferenciavel no ponto a. entao 190 ´ Instituto de Matematica UFF . . . .3. ˜ 1. ∂v ˆ condiçoes ˜ ˜ equivalentes. podemos mostrar que as tres acima sao ˜ f satisfaz a uma delas se. ´ a ∈ U. . e so´ se. entao 00 f (a) · v · w = ∂f ∂ ∂v ∂ (a) = ∂w ∂v ˜ e´ o vetor de Rn cujas coordenadas sao: m X 00 fi (a) · v · w = j. (Teorema de Schwarz para aplicaçoes) ˜ f : U −→ Rn .k=1 m X ∂f k=1 ∂xk ! βk (a) = m X j. ∂2 f ∂2 f (a) = (a) ∂w ∂v ∂v ∂w ´ quando f : U −→ Rn e´ duas vezes diferenciavel no ponto a. e so´ se. e´ duas vezes diferenciavel ´ Se a aplicaçao no ponto ˜ a derivada segunda f 00 (a) : Rm × Rm −→ Rn e´ uma aplicaçao ˜ bilinear simetrica. αm ) e w = (β1 . . n. ˜ ´ no ponto a se. sua derivada ˜ bilinear segunda no ponto a e´ a aplicaçao f 00 (a) : Rm × Rm −→ Rn . i = 1. ˜ Se v = (α1 . . Rn ) e´ diferenciavel ´ (1) A aplicaçao no ponto a. satisfaz a todas. ou seja. segue que fi00 (a) · v · w = fi00 (a) · w · v para todo i = 1. . Assim. cujo valor no ponto (v. . Como no teorema 1. . βm ). . Isto prova o seguinte resultado: ˜ Teorema 1. ∂v Escrevemos ∂2 f ∂v ∂w (a) em vez de ∂f ∂ ∂v ∂w ∂w (a). Mas. m arbitrarios. cada ∂xk ´ E tambem. . Rn ). · · · . onde v = (α1 . Frensel 191 . podemos considerar a derivada segunda como ˜ bilinear f 00 (a) : Rm × Rm −→ Rn dada por sendo a transformaçao    m m X X 2 2 ∂ f1 (a) ∂ f1 (a)   αj  β  αj · · ·  1 ∂xj ∂xm   j=1 ∂xj ∂x1   j=1         .2. . f : U ⊂ Rm −→ Rn no ponto a ∈ U e´ uma transformaçao pois f 00 (a) = (f 0 ) 0 (a) e f 0 : U ⊂ Rm −→ L(Rm . .˜ Diferenciabilidade de uma aplicaçao ˜ 1. Delgado . . ∂xj ∂xk como foi definida anteriormente. Rn ) e´ de classe C1 . . a derivada segunda de uma aplicaçao ˜ diferenciavel ´ Observaçao ˜ linear f 00 (a) : Rm −→ L(Rm . ou ainda. e´ Por induçao.  . Rn ) das transformaçoes ˜ linear T : Rm −→ L(Rm . f 00 (a)(v. ou seja. . definida no aberto U ⊂ Rm . . . f e´ de classe C2 se. Rn )) e o espaço L2 (Rm . ∂xj derivada direcional J. isto equivale a dizer que para i = 1. . ou seja. αm ) e w = (β1 .. .  . como existe um isomorfismo natural ˜ bilineares de Rm × Rm em entre L(Rm .. ou ∂v ∂f ˜ funçoes ˜ (k − 1)−vezes diferenciaveis ´ ainda. w) = ((f 0 ) 0 (a) · v) · w =    . Na realidade.8. ´ ´ ˜ derivada k−vezes diferenciavel no ponto a ∈ U quando f e´ diferenciavel em U e a aplicaçao ´ f 0 : U −→ L(Rm . ˜ 1. Rn ) a transformaçao ˜ bilinear Rn . para todo v ∈ Rm . . a derivada direcional C1 para todo v ∈ Rm . . j=1 m X m X ∂2 fn (a) k=1 j=1 ∂xj ∂xk ∂xj ∂xm ! αj βk ∂2 f(a) αj βk .k=1 ∂xj ∂xk ∂xj ∂x1 αj βk . . . ∂2 fi ˜ : U −→ R das funçoes∂xj ∂xk ∂fi de f 0 e´ de classe C1 . w) = (Tv)w. . e so´ se. que associa a cada transformaçao m m n Te : R × R −→ R tal que Te(v. ∂f : U −→ Rn e´ de classe ∂v ˜ dizemos que a aplicaçao ˜ f : U −→ Rn .7. . . L(Rm .. . Rn ). Rn ) e´ (k − 1)−vezes diferenciavel no ponto a. . a ∂f ˜ (k − 1)−vezes diferenciavel ´ : U −→ Rn e´ uma aplicaçao no ponto a. .       m    m X ∂2 f (a) X 2   ∂ fn (a)  n   αj · · · αj βm j=1 = m X m X ∂2 f1 (a) k=1 j=1 = m X j. as derivadas parciais i : U −→ R sao no ponto a. βm ). ˜ cont´ınuas as derivadas parciais de segunda ordem existem e sao ˜ coordenada de f.K. ´ Pelo teorema 1.. Dizemos que uma aplicaçao ˜ f : U −→ Rn e´ de classe C2 no aberto U ⊂ Rm Definiçao ´ quando f e´ diferenciavel e sua derivada f 0 : U −→ L(Rm . cada funçao-coordenada ˜ funçao-coordenada fi de f e´ de classe C2 . n e j = 1. . . existem e sao ˜ ˜ ciais de ordem ≤ k das funçoes-coordenada de f. .8. . . definida no aberto U ⊂ Rm . e so´ se. f e´ de classe Ck se. v = (β1 . a k−esima ´ Como consequencia do Teorema de Schwarz (ver observaçao ˜ k−linear simetrica. ˜ 1. e so´ se. . v) sera´ indicado f(k) (a) vk . ˜ 1. suas aplicaçoes˜ k−vezes diferenciaveis ´ coordenadas g : U −→ Rn e h : U −→ Rp sao neste ponto (ou de classe Ck em U). por induçao. o valor da aplicaçao ˜ k−linear f(k) (a) na k−lista Observaçao (v. . a aplicaçao ∂f : U −→ Rn e´ de classe Ck−1 . quando e´ diferenciavel e sua derivada f 0 : U −→ L(Rm . Uma aplicaçao ˜ f : U −→ Rn . por induçao. 192 ´ Instituto de Matematica UFF . . ´ ˜ f : U ⊂ Rm −→ Rn e´ k−vezes diferenciavel no ponto a ∈ U se. . vk ) ∈ Rm × . . 1. αm ). cujo valor no ponto (v1 .9. ∂vk ˆ ˜ 7. ´ derivada f(k) (a) e´ uma aplicaçao Por exemplo. .10. ´ ´ Quando f : U −→ Rn e´ k−vezes diferenciavel no ponto a. ∂v1 ∂v2 . . Observaçao ˜ 1.9. para todo k ≥ 1. dizemos que f e´ de classe C0 quando f e´ cont´ınua. . . temos: m X ∂3 f f(3) (a) · u · v · w = (a) γk βj αi . ou ainda. . e so´ se. h) : U −→ Rn × Rp dada por f(x) = (g(x). . . βm ) e w = (γ1 . . .2 do cap´ıtulo 3). . para todo v ∈ Rm . Quando v1 = . . . . . . funçao ˜ cont´ınuas em U todas as derivadas parAssim. Observaçao ´ ˜ e´ k−vezes diferenciavel num ponto (ou de classe Ck em U) se. = vk = v. u = (α1 . . · vk = ∂k f (a) ∈ Rn . × Rm e´ o vetor f(k) (a) · v1 · . . e so´ se. . se k = 3.. e e´ de classe C∞ quando f ∈ Ck para todo k = 0. . basta provar.k=1 ∂xi ∂xj ∂xk ˜ 1. . cada Pode-se provar. i. cada funçao-coordenada ´ fi de f e´ k−vezes diferenciavel no ponto a. . Se f ∈ Ck entao ˜ f ∈ Ck−1 . e´ de classe Ck Definiçao ´ ˜ de classe Ck−1 . . γm ).´ Analise ˆ ˜ que uma aplicaçao ˜ Para verificar as equivalencias acima. ∂v Para completar. . h(x)). . Rn ) e´ uma aplicaçao ˜ que uma aplicaçao ˜ f : U −→ Rn e´ de classe Ck se. × Rm −→ Rn . definimos a k−esima derivada ˜ k−linear (ou derivada de ordem k) de f no ponto a como sendo a aplicaçao f(k) (a) : Rm × . ˜ coordenada fi de f e´ de classe Ck .j. A aplicaçao ˜ f = (g. b) + ϕ(a. b 0 ))(v. Toda aplicaçao ˜ linear T : Rm −→ Rn e´ diferenciavel ´ Exemplo 2. como ϕ(a + v. k(v. a aplicaçao ˜ derivada Alem ϕ 0 : Rm × Rn −→ L(Rm × Rn . b)(v. w)k ckvks kwks ≤ ≤ ckvks . ˜ pelo exemplo anterior. k(v. J. Rn ) e´ constante.43 do cap´ıtulo 1. b + w) = ϕ(a. portanto. De fato.1. b) 7−→ ϕ 0 (a. b) + ϕ(v. de classe C∞ . tomando a norma da soma em Rm . temos k(v. b + λb 0 )(v. w) + ϕ(v. k(v. w)k ˜ 6. r(v) = 0. como T (x + v) = Tx + Tv para todo v ∈ Rm . basta mostrar que lim (v. Em particular. portanto.3. e´ linear. Toda aplicaçao e. b) + ϕ(a. w) = 0. Delgado . Rp ) (a. w) = 0.0) ϕ(v. temos que r(v) = 0 e. b) + λϕ 0 (a 0 . b) ∈ Rm × Rn .w)→(0. Logo. w) ∈ Rm × Rn . b) : Rm × Rn −→ Rp . w) = ϕ(v. existe uma constante c > 0 tal que Pela observaçao kϕ(v. ϕ 0 e´ de classe C∞ e. lim Logo T 0 (x) = T para todo x ∈ Rm ou seja.K. w) . w) . v→0 kvk De fato. em cada ponto ˜ linear ϕ 0 (a. Entao. ˜ bilinear ϕ : Rm × Rn −→ Rp e´ diferenciavel ´ Exemplo 2. T e´ de classe C∞ . pois ϕ 0 (a + λa 0 .0) ϕ(v. a derivada T 0 : Rm −→ L(Rm . sua derivada e´ a transformaçao ϕ 0 (a. para todo v ∈ Rm e todo w ∈ Rn . b + λb 0 ) = ϕ(a. e. portanto.˜ diferenciaveis ´ Exemplos de aplicaçoes 2 ˜ ´ Exemplos de aplicaçoes diferenciaveis ˜ constante e´ de classe C∞ e sua derivada e´ nula. w)k ≤ ckvks kwks . w)ks ´ disso. w) + λϕ(a 0 . b) + λϕ(v. w).w)−→(0. w)ks kvks + kwks ˜ Entao lim (v. w) = ϕ(a + λa 0 . definida por: (a. ϕ e´ para todo (v. kϕ(v. Rn e Rm × Rn . Exemplo 2. w) + ϕ(v. b) . Frensel 193 . b 0 ) = (ϕ 0 (a. w) + ϕ(v.2. w)ks = kvks + kwks . Toda aplicaçao e T 0 (x) = T para todo x ∈ Rm . . y) = hx. . . vi . . vi . . ˜ de matrizes e a multiplicaçao M : Rpn × Rnm −→ Rpm (X. vk ) = ϕ(a1 . . . . ai−1 . . . b)(v1 . . . . . yi + hx. . M(k) sao 194 ´ Instituto de Matematica UFF . . . ak ) i=1 + X ϕ(a1 . . . . . . × Rmk −→ Rn e´ uma aplicaçao ˜ ˜ k−lineares e. ak + vk ) = ϕ(a1 . w2 )) = ((ϕ 0 ) 0 (a. Y)(V. podemos onde M(2) . . + ϕ(v1 . b)((v1 . . . polinomios ˆ classe C∞ . w1 ))(v2 . ak )(v1 . w) = hv. w1 ). . . . ´ temos que ϕ e´ diferenciavel em todo ponto (a1 . ak ) + n X ϕ(a1 . ˜ bilineares sao ˜ o produto interno Casos particulares de aplicaçoes m m ϕ:R ×R −→ R (x. . . . . . . . w2 ) = ϕ(v2 . ak ) + . . ˜ dadas por cujas derivadas sao ϕ 0 (x. portanto. . . . y) 7−→ ϕ(x. ai+1 . . w1 ))(v2 . i<j ˜ constantes positivas que dependem de ka1 ks . Y) 7−→ M(X. se ϕ : Rm1 × . que existe c > 0 tal que kϕ(v1 . . ´ Pode-se provar. aj+1 . . . . de modo analogo ao caso bilinear (k = 2). ˜ como Entao. . aj+1 . . (v2 . . aj−1 . . w2 ) = (ϕ 0 (v1 . ak ) i<j + . . W) = VY + XW . i=1 De fato. . . . . kak ks e c. . vk ) . . + mk variaveis.´ Analise Assim. . . . . y)(v. . pois suas funçoes-coordenada sao de grau k de ´ m1 + . como X ϕ(a1 . ai+1 . . . . ak ) ∈ Rm1 × . . + ϕ(v1 . · kvk ks . vj . ai−1 . kvk ks . + M(k) kv1 ks . . ai+1 . . vk )k ≤ ckv1 ks · . . . . vk ) i<j ≤ M(2) X kvi ks kvj ks + . vj . vi . . ak ) . . ˜ k−linear. . entao ˜ ϕ e´ de Mais geralmente. . . yi . . . . . . . . ai−1 . Y) = XY . ai−1 . aj−1 . . w1 ) + ϕ(v1 . . . b) : (Rm × Rn ) × (Rm × Rn ) −→ Rp de ϕ e´ dada por: ϕ 00 (a. . respectivamente. vi . . . × Rmk e k X 0 ϕ (a1 . ϕ(a1 + v1 . a derivada segunda ϕ 00 (a. . . . ai+1 . . w2 ) . . . . wi e M 0 (X. . . se k = 3. v. Vn ) e´ n X det 0 (X) · V = det(X1 . b. Xi+1 . . portanto. c) + ϕ(a. vj . . . Frensel 195 . c)(u. ai+1 .. . e. . 2 2 ´ ˜ linear f 0 (A) : Rn −→ Rn . . Vk . . . .. vk )ks (v1 . . multiplicando ambos os membros da igualdade. b. . . se r(V) = (A + V)−1 − A−1 + A−1 VA−1 . . aj−1 . um fato ja´ conhecido. aj+1 .. . . .K. . ϕ 0 (a. . j)−esima entrada e´ igual a 1 e as demais sao ˜ zero. De fato..˜ diferenciaveis ´ Exemplos de aplicaçoes provar. re-obtendo. . b. c) + ϕ(a. Xi−1 . 2 k=1 ´ ˜ iguais a Em particular. . sao ˜ Mostraremos que a aplicaçao 2 f : U −→ Rn X 7−→ f(X) = X−1 . . Xk−1 . . . . vk ) + . . . . vk ) i<j lim =0 k(v1 . Xn ) . que X ϕ(a1 .. ∂xij ˜ da i−esima ´ onde X[i. . Xn ) = (−1)i+j X[i. a` esquerda. . Xn sao det 0 (X) : Rn −→ R.j] .. . . . v. .. assim.vk )−→(0. . . . . Exemplo 2. vi . cujo valor na matriz V = (V1 . . entao ∂ det (X) = det 0 (X)Eij = det(X1 . . . obtemos. . × Rn −→ R X 7−→ det X = det(X1 . se V = Eij =matriz cuja (i. Xk+1 . w) = ϕ(u. . . . .. ej . . por A + V. Seja U = GL(Rn ) ⊂ Rn2 o conjunto aberto formado pelas matrizes n × n que ˜ invert´ıveis.0) Por exemplo. Delgado . . J. . + ϕ(v1 . . de modo similar ao caso k = 2. . . e´ diferenciavel e sua derivada no ponto A ∈ U e´ a transformaçao definida por f 0 (A)V = −A−1 VA−1 . Sua derivada no ponto X e´ o funcional linear onde X1 . . ai−1 .4. w) . r(V) = (A + V)−1 (VA−1 )2 . que: (A + V)r(V) = I − I − VA−1 + VA−1 + VA−1 VA−1 = VA−1 VA−1 = (VA−1 )2 .j] e´ o determinante da matriz (n − 1) × (n − 1) obtida de X pela omissao ´ linha e da j−esima coluna. Xn ) . ˜ n−linear e´ a funçao ˜ determinante Um exemplo de aplicaçao det : Rn × . ˜ os vetores-linha da matriz X. k(A + V)−1 k ≤ . Mostraremos agora que f e´ de classe C∞ . r(V) = 0. ∂f 2 2 = −ϕV ◦ (f. Entao 2kA−1 k kxk = kA−1 (Ax)k ≤ kA−1 k kA(x)k . f e´ um homeomorfismo de U sobre si mesmo. A + V e´ invert´ıvel e k(A + V)−1 k ≤ . ∂V ∂f 2 2 Logo : U −→ Rn e´ cont´ınua para todo V ∈ Rn e. com kVk ≤ c. 196 ´ Instituto de Matematica UFF . Prova. v→0 kVk Assim. Y) = X V Y . Se kVk ≤ c. para toda n × n Lema 2. f). entao kxk = k(A + V)(A + V)−1 (x)k ≥ ck(A + V)−1 (x)k . pelo lema abaixo. temos que Ck e´ de classe Ck (ver seçao Logo f e´ de classe C2 . se kVk ≤ c. onde (f. kA(x)k ≥ 2ckxk para todo x ∈ Rn . c ˜ de matrizes f : X 7−→ X−1 e´ uma aplicaçao ˜ cont´ınua. ∂f 2 = −ϕV ◦ (f. f e´ de classe C1 .1. Entao 1 c matriz V. f) e´ de classe C1 para todo V ∈ Rn . 1 ou seja. Como Em particular. ou seja. f) : U −→ Rn × Rn e´ dada por (f. lim ˜ existe c > 0 tal que. Seja c = 1 ˜ > 0. ∂V 2 2 2 ˜ bilinear ϕV : Rn × Rn −→ Rn definida por Seja a aplicaçao ϕV (X. portanto. temos que k(A + V)(x)k = kAx + Vxk ≥ kAxk − kVxk ≥ 2ckxk − ckxk = ckxk . ˜ A + V e´ invert´ıvel e Logo. A derivada direcional ∂f 2 : U −→ Rn e´ dada por ∂V ∂f (X) = −X−1 V X−1 . f e´ de classe C∞ . a inversao f(U) = U e f−1 = f. ∂V Prosseguindo desta maneira. Seja A ∈ Rn2 uma matriz invert´ıvel.´ Analise Logo kr(V)k ≤ k(A + V)−1 k kA−1 k2 kVk2 . X−1 ) . ou seja. 2 Seja V ∈ Rn fixo. ∂V ˜ Entao ˜ bilinear ϕV e´ de classe C∞ e a composta de duas aplicaçoes ˜ de classe Como a aplicaçao ˜ 3). obtemos que f e´ de classe Ck para todo k ∈ N. f)(X) = (X−1 . ˜ de matrizes f : U −→ U e´ um exemplo de difeomorfismo de classe C∞ . temos.1. como o Teorema da Funçao ˜ e´ diferenciavel. pois A inversao f−1 = f e f e´ de classe C∞ . . para todo n ∈ N. sem o qual nao Um processo. que e´ a candidata a ser f 0 (a)v. e´ o de desenvolver f(a + v) (ou cada uma de suas ˜ ´ ˆ funçoes-coordenada) em serie de potencias nas coordenadas de v. que perObservaçao indiretos. (A + V)−1 = A−1 (I + VA−1 )−1 = A−1 − A−1 VA−1 + r(V) . sabemos que se kXk < 1. Entao 2 X(v) = v. e destacar a parte de pri˜ a v. ˜ derivada. ˆ ´ ´ Na ausencia destes metodos indiretos.K. ´ mitem concluir que uma certa aplicaçao sem que se conheça sua derivada. Dizemos que uma bijeçao ˜ f : Definiçao ˜ diferenciaveis ´ U −→ V e´ um difeomorfismo de U sobre V quando f e f−1 sao (provaremos depois que n = m). kA−1 k Como kXk < 1. Dizemos que f : U −→ V e´ um difeomorfismo de classe Ck se f e´ um difeomorfismo e f ∈ Ck (provaremos depois que f e´ um difeomorfismo Ck se.1. Existem criterios ´ ˜ Impl´ıcita. ´ disso. e so´ se. fica o problema de obter um candidato razoavel para a ˜ se pode provar a diferenciabilidade da aplicaçao. pois se existisse v ∈ Rn − {0} tal que Seja X ∈ Rn tal que kXk < 1. quando pode ser aplicado. ˜ I − X e´ invert´ıvel. pois j=0 j j kX k ≤ kXk para todo j ∈ N. f(A + V) = (A + V)−1 = ((I + VA−1 )A)−1 = A−1 (I + VA−1 )−1 . como lim (I − Xn+1 ) = I. Logo. ˜ 2. ter´ıamos kXk ≥ 1. . temos que (I − X)−1 = ∞ X Xj (?) j=0 Seja X = −VA−1 tal que kVk < 1 . J. Frensel 197 . Sejam U ⊂ Rm e V ⊂ Rn conjuntos abertos. j=0 Logo. + Xn ) = I − Xn+1 . n→∞ e (I − X)(I + X + . meiro grau em relaçao No exemplo acima. a serie ´ Alem ∞ X Xj e´ absolutamente convergente. f−1 e´ um difeomorfismo Ck ).˜ diferenciaveis ´ Exemplos de aplicaçoes ˜ 2. que (I + VA−1 )−1 = ∞ X (−1)j (VA−1 )j . Delgado . por (?). e2 } na base positiva {f (z)e1 . Alem 198 ´ Instituto de Matematica UFF . ! positiva {e1 . definida no aberto U ⊂ C. A derivada da funçao ˜ ser vista como uma aplicaçao complexa no ponto z = x + iy e´ o numero complexo definido pelo limite ´ f(z + H) − f(z) . b a ´ disso. b). a −b uma vez que det = a2 + b2 > 0. j=0 j≥2 se kVk < ∞ X 1 . ∂y ∂x ˜ se f 0 (z) = a + ib 6= 0. Uma funçao complexa f : U −→ C. f 0 (z)e2 i = 0. f 0 (z) : R2 −→ R2 e´ uma transformaçao ˜ linear que preserva Entao. 2j j=0 ˜ lim Entao v→0 j=0 r(V) ´ = 0 e. pois ∞ ∞ X X 1 j −1 j (−1) (VA ) ≤ = 2. onde lim H→0 r(H) = 0. |H| ˜ complexa f : U −→ C e´ derivavel ´ ˜ Assim. por sua vez. 0 0 ˜ pois leva a base orientaçao. H H→0 f 0 (z) = lim quando tal limite existe. a)}. ou seja. a matriz Jacobiana Jf(z) tem a forma . temos que 2kA−1 k kr(V)k ≤ 2kVk2 kA−1 k3 . que. e so´ se. f 0 (z)e2 i = a2 + b2 = λ2 e hf 0 (z)e1 . kVk ˜ de variavel ´ Exemplo 2. equivale a dizer b a ´ ˜ complexa f = u + iv satisfazem as equaçoes ˜ que as partes real e imaginaria da funçao de Cauchy-Riemann: ∂u ∂v (z) = (z) (= a) ∂x ∂y e − ∂u ∂v (z) = (z) (= b) . pode ˜ f : U −→ R2 definida no aberto U ⊂ R2 . f 0 (z)e1 i = hf 0 (z)e2 . Isto equivale a dizer que f(z + H) = f(z) + f 0 (z)H + r(H) . y) e sua derivada f 0 (x. (−b. f e´ diferenciavel em A e f 0 (A)V = −A−1 VA−1 . kA−1 k 2 Para todo V ∈ Rn . como hf 0 (z)e1 . y) : R2 −→ R2 e´ uma ˜ linear no plano que consiste em multiplicar por transformaçao complexo a+ib = f 0 (z) ´ !um numero a −b fixo.5. a funçao no ponto z = x + iy se. a aplicaçao ´ f : U ⊂ R2 −→ R2 e´ diferenciavel no ponto (x. com kVk < 1 . f (z)e2 } = {(a. portanto.´ Analise onde r(V) = A−1 X (−1)j (VA−1 )j = A−1 (VA−1 )2 (−1)j (VA−1 )j . gp Sejam g1 . f 0 (z)Y)) = hf 0 (z)X. para quaisquer X = (x1 .A regra da cadeia temos que hf 0 (z)X. .1. Pela definiçao ´ dada no cap´ıtulo 2. Seja f : I −→ Rn um caminho definido no intervalo aberto I ⊂ R. ˜ diferenciaveis ´ ˜ ˜ sao no ponto f(a) e. . onde r(t) = f(a + t) − f(a) − vt. . Yi . . Y = (y1 . onde A e´ um numero Uma transformaçao complexo ´ ˜ ˜ positiva (multiplicaçao ˜ nao-nulo. gp : V −→ R as funçoes-coordenada de g. f e´ diferenciavel no ponto a ∈ I quando existe o vetor velocidade f(a + t) − f(a) . Prova. . . g1 . y2 ) ∈ R2 . ˜ linear que preserva angulo. Entao no ponto a e (g ◦ f) 0 (a) = g 0 (f(a)) ◦ f 0 (a) : Rm −→ Rp . Y)) . . t→0 t Isto equivale a dizer que lim ˜ linear T : R −→ Rn e´ da forma T (t) = t T (1). e´ chamada uma semelhança positiva: trata-se de uma rotaçao por A ˜ pelo numero = eiθ ) seguida de uma homotetia (multiplicaçao real |A| > 0). (Regra da Cadeia) ´ Sejam U ⊂ Rm . x2 ). . .6.K. um caminho e´ difeComo toda transformaçao ´ ´ renciavel no sentido do cap´ıtulo 2 se. e ´ ˜ g ◦ f : U −→ Rp e´ diferenciavel ´ g : V −→ Rp diferenciavel no ponto f(a). J. ˜ ˜ pelo teorema 1. . . y1 f 0 (z)e1 + y2 f 0 (z)e2 i = (x1 y1 + x2 y2 )λ2 = λ2 hX. pela Regra da Cadeia para funçoes. . V ⊂ Rn abertos. Yi = = = cos(∠(X. . t t→0 v = lim r(t) = 0 . ∂xj k=1 ∂yk ∂xj para todo i = 1. ´ |A| ˜ Exemplo 2. gp ◦ f da aplicaçao no ponto a e n X ∂gi ◦ f ∂gi ∂f (a) = (f(a)) k (a) . e so´ se. ˆ Logo f 0 (z) : R2 −→ R2 e´ uma transformaçao pois cos(∠(f 0 (z)X. com f(U) ⊂ V. 0 0 kf (z)Xk kf (z)Yk |λ| kXk |λ| kYk kXk kYk ˜ linear T : R2 −→ R2 do tipo T (z) = Az. . . f : U −→ Rn diferenciavel no ponto a. . Frensel 199 .1. Yi hX. Delgado . as funçoes-coordenada ˜ g ◦ f sao ˜ diferenciaveis ´ g1 ◦ f. p e todo j = 1. . 3 A regra da cadeia Teorema 3. . e´ diferenciavel no sentido deste cap´ıtulo. Entao. . f 0 (z)Yi = hx1 f 0 (z)e1 + x2 f 0 (z)e2 . m. f 0 (z)Yi λ2 hX. . . . p. m. g ◦ f e´ diferenciavel no ponto a. f ◦ λ(0) = f(a) e (f ◦ λ) 0 (0) = (df1 (a)v. . . Supondo f p×m ´ ´ diferenciavel no ponto a e g diferenciavel no ponto f(a).1. . com λ(0) = a e ˜ as funçoes ˜ fi ◦ λ : (−ε. Sejam Jf(a) = ∂(gi ◦ f) (a) ∂xj ∂fk (a) ∂xj . . ´ Por outro lado. como ((g◦f)◦λ)(0) = g(f(a)) e ((g ◦ f) ◦ λ) 0 (0) = (g ◦ f) 0 (a) v. . Logo (g ◦ f) 0 (a) = g 0 (f(a)) ◦ f 0 (a). . . ˜ esquematica ´ Fig. . (fi ◦ λ)(0) = fi (a) ´ e (fi ◦ λ) 0 (0) = dfi (a) · v. ´ ´ De modo analogo. Ou seja. . ´ Sejam v ∈ Rm e λ : (−ε. .´ Analise ´ Logo. . . Outra maneira de provar que (g ◦ f) 0 (a) = g 0 (f(a)) ◦ f 0 (a). . Jg(f(a)) = n×m ∂gi (f(a)) ∂yk e J(g ◦ f)(a) = p×n as matrizes Jacobianas de f. . (gp ◦ f) 0 (a)ej ) . Logo o caminho f ◦ λ e´ diferenciavel em t = 0. g e g ◦ f nos pontos indicados. fn0 (a)ej ) = n X ∂gi k=1 ∂yk (f(a)) ∂fk (a) = (gi ◦ f) 0 (a)ej . Como (g ◦ f) 0 (a)ej = ((g1 ◦ f) 0 (a)ej . dfn (a)v) = f 0 (a)v. ε) −→ R sao ˜ diferenciaveis ´ λ 0 (0) = v. temos que (g ◦ f) 0 (a)ej = (g 0 (f(a)) ◦ f 0 (a))ej . para todo j = 1. (g◦f)◦λ e´ um caminho diferenciavel em t = 0. ∂xj para todo i = 1. pelo teorema 1. ε) −→ U um caminho diferenciavel em t = 0. . com (g ◦ (f ◦ λ))(0) = g(f(a)) e (g ◦ (f ◦ λ)) 0 (0) = g 0 (f(a)) · (f 0 (a) v).1. . 200 ´ Instituto de Matematica UFF . tem-se J(g ◦ f)(a) = Jg(f(a)) · Jf(a). 2: Representaçao da Regra da Cadeia ´ Corolario 3. Entao em t = 0. . . Logo (g ◦ f) 0 (a) v = g 0 (f(a))(f 0 (a) v) para todo v ∈ Rn . e gi0 (f(a))(f 0 (a)ej ) = gi0 (f(a))(f10 (a)ej . (g ◦ f) 0 (a) = g 0 (f(a)) ◦ f 0 (a). temos que g ◦ (f ◦ λ) e´ um caminho em Rp diferenciavel em t = 0. f 0 . a Regra da Cadeia se exprime como: (g ◦ f) 0 = M ◦ (g 0 ◦ f. M(T. o que significa que g ◦ f ∈ C1 . g ∈ Ck . a igualdade acima pode ser escrita da seguinte maneira: (g ◦ f) 0 = (g 0 ◦ f) · f 0 : U −→ L(Rm . S) = T · S . duas aplicaçoes ´ ˜ Pelo corolario 3. . Rn ) −→ L(Rm . f 0 ) ∈ Ck−1 . f 0 ) : U −→ L(Rn . g ∈ Ck . m. . portanto. ∂xj ∂yk ∂xj k=1 para todo i = 1. entao ˜ g ◦ f e´ de classe Ck . A composta de duas aplicaçoes Prova. f 0 ) ∈ C0 . Delgado . isto e. Rn ) . Suponhamos que f. f 0 ) . M ◦ (g 0 ◦ f. f(U) ⊂ V. . . g ◦ f ∈ Ck . Rp ) .4 do cap´ıtulo 3. J. . Rp ) . ˜ f 0 . Rp ) . pois as funçoes˜ de classe Ck . Por (?). g ∈ C1 . . k − 1 ≥ 1. Sabemos que M ∈ C∞ . pela hipotese de induçao. Sejam f : U ⊂ Rm −→ Rn .2. Assim. portanto.A regra da cadeia Prova. g 0 : V −→ L(Rn . gi ◦ f e´ de classe Ck para todo i = 1.K. temos que: n X ∂(gi ◦ f)(a) ∂gi ∂f (J(g ◦ f)(a))ij = = (f(a)) k (a) = (Jg(f(a)) · Jf(a))ij . . ˜ que tem por coordenadas g 0 ◦ f e onde (g 0 ◦ f. f 0 ) ∈ Ck−1 e. p e todo j = 1. ˜ de aplicaçoes ˜ e · significa o produto de transformaçoes ˜ lineares. (g ◦ f) 0 = M ◦ (g 0 ◦ f. coordenada de f e g sao ˜ Outra demonstraçao: Pela Regra da Cadeia. . onde ◦ indica a composiçao ˜ de transformaçoes ˜ lineares como uma aplicaçao ˜ bilinear Considerando a multiplicaçao M : L(Rn . Provaremos. f 0 . Sejam f. . isto e. Entao Logo (g 0 ◦ f. ˜ que se f. ˜ derivadas Considerando as aplicaçoes f 0 : U −→ L(Rm . Corolario 3. ´ (g ◦ f) 0 ∈ Ck−1 . . Logo J(g ◦ f)(a) = Jg(f(a)) · Jf(a). . Frensel 201 . g : V ⊂ Rn −→ Rp . f 0 ) ∈ C0 e. g 0 ∈ C0 . por induçao. . g 0 ∈ Ck−1 e. ´ ˜ de classe Ck e´ uma aplicaçao ˜ de classe Ck . ´ ˜ de classe Ck−1 . ˜ de classe Ck . Rp ) × L(Rm . p. Rp ) × L(Rm . Entao ˜ Suponhamos o resultado valido para funçoes ´ ˜ g 0 ◦ f ∈ Ck−1 . (g ◦ f) 0 (x) = g 0 (f(x)) ◦ f 0 (x) para todo x ∈ U. Rn ) e´ a aplicaçao ´ M ∈ Ck para todo k. Logo (g 0 ◦ f. Rp ) e (g ◦ f) 0 : U −→ L(Rm . m = n. Assim. a funçao ˜ e´ diferenciavel ´ C∞ cujo inverso nao no ponto 0. e´ de classe C∞ . Seja f ∈ C1 . entao ˜ g = f−1 ’e´ de classe Ck . Logo.´ Analise ´ ˜ f : U −→ Rn . O Teorema da invariancia ˆ ˜ devido a L.4. pelo corolario ´ f 0 ∈ Ck−1 e. Diz-se abertos U. Como consequencia ˆ ´ acima. k ≥ 1. m = n. Como g ◦ f = IdU e f ◦ g = IdV temos. Entao ´ ˜ ˜ Suponhamos o resultado valido para funçoes de classe Ck−1 . Assim. pela hipotese de induçao. Prova. f(x) = x3 . k − 1 ≥ 1. V ⊂ Rm . Por exemplo. Seja f ∈ Ck . Entao ´ ˜ g ∈ Ck−1 . diz que Observaçao da dimensao. entao ˜ abertos do mesmo espaço Euclidiano. 202 ´ Instituto de Matematica UFF . g 0 (y) = [f 0 (g(y))]−1 . ´ ˜ derivada g 0 : V −→ L(Rm . ´ ˜ de classe Ck . ponto b = f(a). por induçao. entao Em particular. pois f ∈ Ck−1 . Rm ) pode Pelo corolario 3. entao ˜ m=n se U ⊂ Rm e V ⊂ Rn sao ˜ 3. isto e. Logo a aplicaçao ser escrita como g 0 = Inv ◦ f 0 ◦ g. pela Regra da Cadeia. g ∈ C1 . pelo exemplo 2.1. entre os abertos U ⊂ Rm e V ⊂ Rn . ˜ f 0 ∈ C0 . V ⊂ Rm sao ˜ 3. Assim. definida no aberto U ⊂ Rm e diferenciavel ´ Corolario 3.2. que g 0 (b) · f 0 (a) = Id : Rm −→ Rm e f 0 (a) · g 0 (b) = Id : Rn −→ Rn . entao Prova. e´ um homeomorfismo de classe renciavel. Brouwer. U. ou seja. cujo inverso e´ g 0 (b) : Rn −→ Rm . Logo Inv ◦ f 0 ◦ g e´ de classe C0 . g 0 (b) = (f 0 (a))−1 e m = n.4. ˜ que se f e´ de classe Ck . J. Vamos provar. Se uma aplicaçao no ´ ponto a.3. ˜ 3. 3. Em particular. Um difeomorfismo nao ˜ e´ a mesma coisa que um homeomorfismo difeObservaçao ´ ˜ f : R −→ R. g 0 = Inv ◦ f 0 ◦ g ∈ Ck−1 . ´ g 0 ∈ C0 . Se sua inversa g = f−1 : V −→ U e´ diferenciavel entao ˜ que f e´ um difeomorfismo de classe Ck .3. Seja f : U −→ V uma bijeçao ´ ˜ f−1 ∈ Ck .3. se f : U −→ V e´ um difeomorfismo Observaçao do corolario ˜ f 0 (x) : Rm −→ Rn e´ um isomorfismo para todo x ∈ U. ˜ abertos homeomorfos. entre os subconjuntos Corolario 3. g ∈ Ck . admite uma inversa g = f−1 : V −→ Rm definida no aberto V ⊂ Rn e diferenciavel no ˜ f 0 (a) : Rm −→ Rn e´ um isomorfismo. E.2. ˜ Sejam GL(Rm ) o conjunto das transformaçoes lineares invert´ıveis de Rm em si mesmo e ˜ de transformaçoes ˜ Inv : GL(Rm ) −→ GL(Rm ) a inversao lineares que. (5) Se f. pelo corolario 3. Quando f : U −→ Rm e´ diferenciavel ´ Observaçao no aberto U ⊂ Rm tem sentido.K. cf = c? ◦ f . fornece uma rec´ıproca local O Teorema da Aplicaçao para este fato. 203 . diferenciaveis no ponto a ∈ U. entao ˜ Inversa. c? : Rn −→ Rn e q : Rn × (R − {0}) −→ Rn . quando g(x) 6= 0 e g(x) ∈ R para todo x ∈ U.4. [ϕ(f.A regra da cadeia ˜ 3. α : Rn × Rn −→ Rn . g) ∈ Ck . para todo v ∈ Rm . temos. g(x)).1 do cap´ıtulo 3 aplicado as ` funçoes˜ As tres coordenada de f e g. Entao: ´ ´ (1) f + g : U −→ Rn e´ diferenciavel no ponto a e (f + g) 0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a) . g(a)) (f 0 (a) v. se f e´ um difeomorfismo. . g)] 0 (a) v = (ϕ ◦ (f. g) : U −→ Rp . g) . g) g e ϕ(f. Sejam f. g 0 (a) v) . Assim. ´ (2) cf : U −→ Rn e´ diferenciavel no ponto a e (cf) 0 (a) = cf 0 (a) .3. Delgado . definida por ϕ(f. g)) 0 (a) v = ϕ(f 0 (a) v. (4) Pela Regra da Cadeia e pelo exemplo 2. que provaremos mais adiante. g(a)) + ϕ(f(a). g) = ϕ ◦ (f. z) = y + z. α(y. Frensel f = q ◦ (f. chamado o ´ determinante Jacobiano de f no ponto x. g) : U −→ Rn × Rp . dadas por (f. z ˜ Entao. f + g = α ◦ (f. z) = y . g ∈ Ck . g(a)) + ϕ(f(a). em cada ponto x ∈ U. ˆ primeiras propriedades resultam do teorema 4. g)(x) = ϕ(f(x). g) . cf. g)) 0 (a) v = ϕ 0 (f(a). ϕ(f. g 0 (a) v)) = ϕ(f 0 (a) v. g : U −→ Rn aplicaçoes no ponto a ∈ U ⊂ Rm e c um ˜ numero real. c? (y) = c y e q(y.3. entao Prova. (g(a))2 ˜ bilinear. f g ˜ f + g.5. J. ˜ det Jf(x) 6= 0 para todo x ∈ U. e g 0 f g (a) = g(a) f 0 (a) − f(a) g 0 (a) . g)(x) = (f(x). considerar o determinante det Jf(x) da matriz Jacobiana Jf(x). (3) f ´ : U −→ Rn e´ diferenciavel no ponto a. g 0 (a) v) . ˜ (5) Considere as aplicaçoes (f. ´ ˜ diferenciaveis ´ Corolario 3. entao ´ e´ diferenciavel no ponto a e (ϕ(f. f : U ⊂ Rm −→ Rn e g : U ⊂ Rm −→ Rk sao ˜ (4) Se ϕ : Rn × Rk −→ Rp e´ uma aplicaçao ´ ˜ ϕ(f. g(x)). y) = xy. . temos que q tambem ´ e´ de aplicaçao classe C∞ . pois q = m ◦ (Id. temos.5. para todo x ∈ U e todo v ∈ Rm . g ∈ Ck . Como m. kf(x)k para todo v ∈ Rm . Sejam f. Inv). ξ(x) = hf(x). definida no aberto U ⊂ Rm . onde Id : Rn −→ Rn e´ a identidade. Inv : R − {0} −→ R − {0} e´ ˜ de numeros ˜ a inversao reais nao-nulos (matrizes invert´ıveis 1 × 1) e m : Rn × R −→ Rn e´ a ´ ˜ bilinear dada por m(x. a No caso de uma aplicaçao ´ formula de Taylor se escreve: f(a + v) = f(a) + f 0 (a) v + onde ∂2 f ∂ f (a) · v = 2 (a) = ∂v ∂v 00 204 2 ∂f ∂v 1 00 1 f (a) v2 + . temos ξ(x) = kf(x)k2 e ξ 0 (x) v = 2hf 0 (x) v. se f. e´ diferenciavel no ponto x e ψ 0 (x) v = hf 0 (x) v. . f(x)i . A aplicaçao ˜ q e´ tambem ´ de classe As aplicaçoes C∞ . y) = xy. Em particular. g : U −→ Rn aplicaçoes (respectivamente de classe Ck ) ˜ ξ : U −→ R. g(x)i + hf(x). que f + g. ´ Logo. g(x)i e´ diferenciavel ´ definidas no aberto U ⊂ Rm . tomando f = g. pois sao ˜ lineares. ´ pela Regra da Cadeia que. g) sao g ˜ 3. a + v ∈ U. g 0 (x) vi . f(x)i . . f ∂p f ∂ (a) v = p (a) = ∂v ∂v p ∂p−1 f ∂vp−1 (?) (a) . + f(p) (a) vp + rp (v) . se ϕ : Rn × R −→ Rn e´ a multiplicaçao ˜ ϕ(x. 4 ´ As formulas de Taylor ˜ f : U −→ Rn . 2 p! (p) (a).2. . com a. cf. Em particular. g) = f g e (f g) 0 (a) v = g(a) f 0 (a) v + f(a) g 0 (a) v . .1.´ Analise ˜ α e c? sao ˜ de classe C∞ . e ϕ(f. Inv e Id sao ˜ C∞ . ˜ diferenciaveis ´ Exemplo 3. ´ Instituto de Matematica UFF . . Entao (respectivamente de classe Ck ) e ξ 0 (x) · v = hf 0 (x) v. pelo corolario 3. dada por ψ(x) = kf(x)k = hf(x). f(x)i . a funçao ˜ Segue-se tambem p ´ ϕ : U −→ R. para todo v ∈ Rm . f ˜ de classe Ck . temos Observaçao que ϕ(f. em cada ponto x ∈ U onde f(x) 6= 0. (p + 1)− Seja o caminho ϕ : [0. . ˜ pela Formula ´ Entao.. entao rp (v) = 0.. Entao ´ vezes diferenciavel no intervalo aberto (0. Delgado . a + v] ⊂ U. temos que a formula de Tay´ ´ ´ ˜ lor (?) equivale a n igualdades numericas que correspondem a` formula de Taylor para funçoes ˜ as formulas ´ ´ ´ ˜ reais. ϕ 0 (t) = f 0 (a + tv) v . de Taylor (1) e (2) seguem das formulas analogas para funçoes ˜ 8 do cap´ıtulo 3. Entao. 2! p! M kvkp+1 . + + rp (v) . para cada j = 0. Entao krp (v)k ≤ M kvkp+1 . a + v) e todo w ∈ Rm . com kϕ(p+1) (t)k ≤ M kvkp+1 . . Frensel f 00 (a) v2 f(p) (a) vp + . f uma aplicaçao ´ classe Cp que e´ p + 1 vezes diferenciavel em todo ponto do segmento aberto (a. 1] −→ Rn dado por ϕ(t) = f(a + tv).. ϕ(p) (t) = f(p) (a + tv) vp . temos ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ 0 (0) + com krp k ≤ ϕ 00 (0) ϕ(p) (0) + . reais. . . . . ˜ ϕ e´ de classe Cp . com ˜ kf(p+1) (x) wp+1 k ≤ M kwkp+1 para todo x ∈ (a. p! 0 ˜ os Como. v→0 kvkp lim ˜ ´ (2) Formula de Taylor com resto integral: Se f e´ de classe Cp+1 e [a. 1. de Taylor com resto de Lagrange para caminhos. e ϕ(p+1) (t) = f(p+1) (a + tv) vp+1 . para todo t ∈ (0. 2! p! M kvkp+1 . f(a + v) = f(a) + f 0 (a) v + com krp (v)k ≤ J. (p + 1)! 205 . 1]. provadas na seçao ˜ de ´ (3) Formula de Taylor com resto de Lagrange: Sejam [a. . provada no cap´ıtulo 2. 1). .´ As formulas de Taylor ´ ˜ ´ (1) Formula de Taylor infinitesimal: Se f e´ p−vezes diferenciavel no ponto a.K.. p. 1). (p + 1)! ou seja. para todo t ∈ [0. ϕ 00 (t) = f 00 (a + tv) v2 . + + rp . a + v). f(j) (a) vj e´ o vetor de Rn cujas coordenadas sao ˜ as funçoes-coordenada ˜ ´ numeros d(j) fi (a) vj . onde fi sao de f. (p + 1)! Prova. a + v] ⊂ U. entao Z1 1 rp (v) = (1 − t)p fp+1 (a + tv) vp+1 dt . que kf(y) − f(x)k = kf(x + (y − x)) − f(x)k ≤ M ky − xk . λ(1) = f(a + v) e. para caminhos. pois kf 0 (z)k ≤ M para todo z ∈ (x. demonstrado no cap´ıtulo 2. λ(0) = f(a). (a. com kf(x) − f(y)k ≤ Mkx − yk para todos x. para todo x ∈ U. entao Prova. e´ cont´ınuo em [0. Logo kλ 0 (t)k ≤ kf 0 (a + tv)k kvk ≤ M kvk para todo t ∈ (0. a + v). y] e ´ diferenciavel em todos os pontos do segmento aberto (x. 1). Se f : U −→ Rn e´ diferenciavel e kf 0 (x)k ≤ M ˜ f e´ Lipschitziana. y] ⊂ U. pela Regra da Cadeia. ´ O caminho λ : [0. y ∈ U. . como f e´ cont´ınua em [x. como cada funçao-coordenada de ϕi e´ uma funçao ´ ˜ reais provada no cap´ıtulo 3 (ver observaçao ˜ 8. entao v→0 kvkp com lim ˜ ˜ i−linear. para cada ˜ i−linear ϕi : Rm × . p e todo v ∈ Rm . y ∈ U. Logo. definido por λ(t) = f(a + tv).1. a + v) entao Prova. . um Assim como para os caminhos. temos que [x. Vale porem ´ ˜ cont´ınua Desigualdade do Valor Medio: Sejam U ⊂ Rm aberto e f : U −→ Rn uma aplicaçao ´ no segmento fechado [a. nao ´ ´ a desigualdade abaixo. p. Teorema do Valor Medio sob a forma de igualdade. Como U e´ convexo. 206 ´ Instituto de Matematica UFF .1. 1). . .´ Analise ˜ 4. 1]. . n > 1. kf(a + v) − f(a)k ≤ M kvk. e´ dada uma aplicaçao p X 1 f(a + v) = f(a) + ϕi vi + rp (v) . dados x. temos que kλ(1) − λ(0)k ≤ Mkvk. . . ˜ pelo Teorema do Valor Medio ´ Entao. (Unicidade da formula ´ Observaçao de Taylor) ˜ p−vezes diferenciavel ´ Se f : U −→ Rn e´ uma aplicaçao no ponto a ∈ U ⊂ Rm e. y). i=1 i! rp (v) ˜ ϕi vi = f(i) (a) vi para todo i = 1. × Rm −→ Rn de modo que i = 1. temos. . 1] −→ Rn . Seja U ⊂ Rn aberto e convexo. ´ ´ Corolario 5.5). o resultado segue da De fato. 2. pela Desigualdade do Valor ´ Medio. diferenciavel no intervalo aberto (0. = 0. λ 0 (t) = f 0 (a + tv) v. ou seja. a + v] ⊂ U e diferenciavel em todos os pontos do segmento aberto ˜ kf(a + v) − f(a)k ≤ Mkvk. unicidade da formula de Taylor para funçoes 5 ´ A desigualdade do valor medio ˜ ha´ para as aplicaçoes ˜ f : U ⊂ Rm −→ Rn . . y). Se kf 0 (x)k ≤ M para todo x ∈ (a. . temos que [x. entao Prova. pois a ∈ A. Entao. Seja T : Rm −→ Rn uma ˜ linear tal que kf 0 (x) − T k ≤ M para todo x ∈ (a. ˜ A e´ aberto. a + v] ⊂ U. ˜ dada por g(x) = f(x) − Tx. Consideremos os conjuntos A = {x ∈ U | f(x) = f(a)} e B = {x ∈ U | f(x) 6= f(a)} . A convexidade de U e´ essencial para a validade do corolario ´ Observaçao acima (ver ˜ 4. Sejam U ⊂ Rm aberto. ´ para todo x ∈ (a. f : U −→ Rn uma aplicaçao em todos os pontos do segmento aberto (a. ´ ˜ diferenciavel ´ Corolario 5. pois f 0 (y) ≡ 0 para todo y ∈ U. ˜ Como U e´ conexo e A 6= ∅. J. portanto. x + v] ⊂ U De fato.2 do cap´ıtulo 3). B e´ aberto. obtemos que U = A. observaçao ´ ´ Corolario 5. ou Assim. a` qual se reduz quando T = 0.K. e representa uma forma mais refinada da Desigualdade do Valor Medio. pela Desigualdade do Valor Medio aplicada a g. Logo f(x + v) = f(x) = f(a) para todo v com kvk < δ. Prova.´ A desigualdade do valor medio ˜ 5. seja.3. kf(x + v) − f(x)k ≤ ε kvk para todo ε > 0.2. Frensel 207 . pela Desigualdade do Valor Medio. quando O corolario ´ T = f 0 (a). ´ e. Afirmaçao: ˜ se |v| < δ. existe δ > 0 tal que Bδ (x) ⊂ U.1. a + v). Seja a ∈ U. a + v) e f|[a. Delgado . Entao ˜ transformaçao kf(a + v) − f(a) − T vk ≤ M kvk . ´ abaixo fornece uma estimativa para o resto r(v) = f(a + v) − f(a) − T v.a+v] cont´ınua. Como g 0 (x) = f 0 (x) − T . a + v). obtemos que kg(a + v) − g(a)k ≤ M kvk . U = A ∪ B e´ uma cisao. f(x) = f(a) para todo x ∈ U. ou seja kf(a + v) − f(a) − Tvk ≤ M kvk . temos Seja g : U −→ Rn a aplicaçao que kg 0 (x)k = kf 0 (x) − T k ≤ M . [a. x ∈ U. dado x ∈ A. Como f e´ cont´ınua. ou seja f(y) = f(a) para todo y ∈ Bδ (x). Logo. Se f : U −→ Rn e´ diferenciavel no aberto conexo U ⊂ Rm e f 0 (x) = 0 para todo ˜ f e´ constante. ´ Analise ˜ 5. Se a aplicaçao ´ ˜ f e´ diferenciavel ´ diferenciavel em U − {c} e existe lim f 0 (x) = T ∈ L(Rm . para todo ε > 0 dado. Uma aplicaçao em todo compacto K ⊂ U.5. x + v] ⊂ U. existe δ 0 > 0 tal que se x ∈ K e kvk < δ 0 . 1] =⇒ kf 0 (x + tv) − f 0 (x)k < ε . Dizemos que uma aplicaçao ˜ diferenciavel ´ Definiçao f : U −→ Rn e´ uniformemente dife´ renciavel num subconjunto X ⊂ U quando. 1). Rn ) e´ cont´ınua. ´ Logo. ou seja. tomando T = f 0 (x). kvk < δ. x ∈ K. pelo teorema 11. Pelo corolario 12. ˜ [c. x + v] =⇒ kf 0 (y) − f 0 (x)k < ε . ˜ pelo corolario ´ Entao. Sejam U ⊂ Rm aberto e c ∈ U. obtemos que kf(x + v) − f(x) − f 0 (x) · vk ≤ ε kvk . Pela definiçao ˜ de limite.3. kvk < δ =⇒ kf 0 (x + v) − f 0 (x)k < ε . ´ ˜ cont´ınua f : U −→ Rn e´ Corolario 5. t ∈ [0. dado ε > 0. para todo v com kvk < δ e para todo x ∈ K. ˜ Entao. x→c Prova.1.3 do cap´ıtulo 1. existe δ > 0 tal que kvk < δ =⇒ kf(x + v) − f(x) − f 0 (x) vk < ε kvk . para todo x ∈ X. kr(v)k ≤ εkvk para todo 0 < kvk < δ. para todo t ∈ (0. Prova. com x + v ∈ U. Seja δ 0 > 0 tal que se kvk < δ 0 entao existe 0 < δ < δ 0 tal que 0 < kvk < δ =⇒ kf 0 (c + tv) − T k < ε . pelo corolario 5. ´ Logo. Rn ) entao no ponto c e f 0 (c) = T . ´ ˜ [x. entao Como f 0 : U −→ L(Rm .3 do cap´ıtulo 1. f e´ diferenciavel no ponto c e f 0 (c) = T . 5. y ∈ [x. c + v] ⊂ U. ´ ˜ f : U −→ Rn de classe C1 e´ uniformemente diferenciavel ´ Corolario 5. x ∈ K . 208 ´ Instituto de Matematica UFF . onde r(v) = f(c + v) − f(c) − T v. dado ε > 0 existe 0 < δ < δ 0 tal que x ∈ K.4. kvk < δ .3. convergencia ˆ ˆ Observaçao uniforme =⇒ convergencia localmente uniˆ ´ lim fk (x) = f(x) para todo x ∈ X).1. definidas num ˜ f : X −→ Rn quando. ˜ da norma do sup. J. . e so´ ˜ se.2. Rn ) converge para a aplicaçao mente em X se. . Seja X ⊂ Rm . ˜ 6.2. para todo x ∈ X e todo v ∈ Rm . ˜ 6. Dizemos que uma sequencia ˆ ˜ Definiçao de aplicaçoes fk : X −→ Rn ˜ f : X −→ Rn quando para converge de modo localmente uniforme em X para uma aplicaçao todo x ∈ X existe uma bola aberta B de centro x tal que fk −→ f uniformemente em X ∩ B. dadas por fk (x) = . existe k0 ∈ N tal que k ≥ k0 =⇒ kfk (x) − f(x)k < ε . Delgado . . fn : X −→ R sao ˜ as funçoes˜ as funçoes-coordenada da aplicaçao coordenada de f. fkn : X −→ R sao ˜ ˜ fk : X −→ Rn e f1 . . onde fk1 . Como a afirmaçao ˜ ”lim fk = f uniformemente em X” nao ˜ depende da norma Observaçao que se considera no espaço euclidiano.3. fki −→ fi uniformemente em X. . temos que fk −→ f uniformemente em X se. para todo x ∈ X. para todo v ∈ Rn . Frensel 209 . . pela definiçao kgk (x) − g(x)k ≤ ε ⇐⇒ kgk (x) v − g(x) vk ≤ ε kvk . Se considerarmos o espaço L(Rm . . A sequencia de funçoes ˜ identicamente nula. uma sequencia ˆ Observaçao ˜ ˜ g : X −→ L(Rm . . Evidentemente. para todo ε > 0 conjunto X. e so´ se. ˜ de abertos U ⊂ Rm tais que fk −→ f Isto equivale a dizer que X esta´ contido numa reuniao uniformemente em cada U ∩ X. para cada i = 1. k→∞ ´ ˜ falsas. . para todo ε > 0 dado. ˜ 6. . ˜ 6. tem-se De fato. As implicaçoes ˜ forme =⇒ convergencia simples (isto e.ˆ ˜ diferenciaveis ´ Sequencias de aplicaçoes 6 ˆ ˜ ´ Sequencias de aplicaçoes diferenciaveis ˜ 6. Dizemos que uma sequencia ˆ ˜ Definiçao de aplicaçoes fk : X −→ Rn .1. mas nao ˜ converge uniformemente localmente uniforme em R para a funçao em R. . existe k0 ∈ N tal que k ≥ k0 =⇒ kgk (x) v − g(x) vk ≤ ε kvk . contrarias sao x k ˆ ˜ fk : R −→ R.K. .1. n. converge uniformemente para uma aplicaçao dado. Rn ) com a norma do sup. converge de modo Exemplo 6. Rn ) uniformede aplicaçoes gk : X −→ L(Rm . e so´ se. existe k0 ∈ N tal que k. j ≥ k0 =⇒ kfk (x) − fj (x)k < ε . que chamaremos de f(x). Alem fk converge X ´ a serie ´ absoluta e uniformemente em X. kfk k converge uniformemente em X. Se a ˆ ˜ f : X −→ Rn . k ≥ k0 =⇒ kfk (x) − fj (x)k < ε . cujos termos sao ´ X ˜ ´ disso. isto e. entao fk . ˜ dado ε > 0. ˜ f : X −→ R tal que converge para um vetor. tem-se kfk (x)k ≤ ck . Dado ε > 0. Logo. existe k0 ∈ N tal que j. a sequencia de vetores {fk (x)} e´ de Cauchy e. para todo x ∈ X. Entao. Fixando k ≥ k0 e x ∈ X e fazendo j → ∞. 2 Logo kfk (x) − f(x)k < ε para todo k ≥ k0 e todo x ∈ X. existe k0 ∈ N tal que k ≥ k0 =⇒ kfk (x) − f(x)k < 210 ε . obtemos o X Teste de Weierstrass: Se. 3 ´ Instituto de Matematica UFF . 2 para todo x ∈ X. a serie ´ aplicaçoes fk : X −→ Rn . se k. (da continuidade do limite uniforme) ˆ ˜ Seja fk : X −→ Rn uma sequencia de aplicaçoes cont´ınuas no ponto a ∈ X ⊂ Rm . obtemos que kfk (x) − f(x)k ≤ ε . entao ˜ f e´ cont´ınua sequencia fk converge uniformemente em X para a aplicaçao no ponto a. converge uniformemente em X. temos que kfk (x) − fj (x)k ≤ kfk (x) − f(x)k + kf(x) − fj (x)k < ε ε + = ε. fk −→ f uniformemente em X. para cada k ∈ N e cada x ∈ X. Prova.´ Analise ´ ˆ ˜ fk : X −→ Rn converge uniformemente em X Criterio de Cauchy: Uma sequencia de aplicaçoes se. portanto. ˆ ´ Como consequencia do Criterio de Cauchy. para cada x ∈ X.1. Ou seja. j ≥ k0 . onde ck X ´ ˜ a serie ´ ˜ as e´ uma serie convergente de numeros reais positivos. Teorema 6. para todo ε > 0 dado. Isto define uma funçao f(x) = lim fk (x) para todo x ∈ X. k ≥ k0 =⇒ kfk (x) − f(x)k < ε . Prova. 2 2 para todo x ∈ X. 2 para todo x ∈ X. ˆ Reciprocamente. existe k0 ∈ N tal que Suponhamos que fk −→ f uniformemente em X. k→∞ Dado ε > 0. (3) ´ Como cada fk e´ diferenciavel no ponto x0 . pelo corolario 5. Rn ) converge uniformemente em U para uma aplicaçao ˜ (fk ) converge uniformemente em U para uma aplicaçao ˜ diferenciavel ´ entao f : U −→ Rn .K. para todo y ∈ U. existe δk (x0 ) > 0 tal que kvk < δk (x0 ) =⇒ kfk (x0 + v) − fk (x0 ) − fk0 (x0 ) vk < ε 0 kvk . Como fk0 e´ cont´ınua no ponto a. 3 (1) 2M ´ Como U e´ convexo. j ≥ k0 =⇒ kfj0 (x) − fk0 (x)k < ε 0 ε ε para todo x ∈ U. f e´ cont´ınua no ponto a. Frensel (4) 211 .1. para quaisquer x. aplicado a fj − fk . J. Se a sequencia de aplicaçoes dife´ ˆ ˜ renciaveis fk : U −→ Rn converge num ponto c ∈ U e a sequencia das aplicaçoes derivadas ˜ g : U −→ L(Rm . 3 ˜ Logo. y ∈ U. entao kf(x) − f(a)k ≤ kf(x) − fk0 (x)k + kfk0 (x) − fk0 (a)k + kfk0 (a) − f(a)k < ε ε ε + + = ε. 2 2 ˆ pois ky − xk ≤ M para todos x. que. existe k00 ≥ k0 tal que k. temos que. fazendo j −→ ∞ em (2) e tomando y = x0 + v. Assim. kx − ak < δ =⇒ kfk0 (x) − fk0 (a)k < ε . De fato. existe δ > 0 tal que x ∈ X. j ≥ k00 =⇒ kfj (y) − fk (y)k < ε ε + = ε. 2M ε . para todo y ∈ U. Seja U ⊂ Rm um aberto convexo e limitado. Rn ). (2) Tomando x = c. Delgado . Prova. y ∈ U. j ≥ k0 =⇒ kfj (y) − fk (y)k ≤ kfj (c) − fk (c)k + ˆ Como a sequencia (fk (c)) converge. se x ∈ X e kx − ak < δ. j. existe k0 ∈ N tal que k. fk0 : U −→ L(Rm .1.ˆ ˜ diferenciaveis ´ Sequencias de aplicaçoes para todo x ∈ X. 2 Logo. e M = diam U. k. ˆ ˜ Lema 6. com f 0 = g. k ≥ k0 =⇒ k(fj (y) − fk (y)) − (fj (x) − fk (x))k ≤ ε 0 ky − xk . uma aplicaçao ´ Mostraremos agora que f e´ diferenciavel em todo ponto x0 ∈ U e f 0 (x0 ) = g(x0 ). 3 3 3 Portanto. k. j ≥ k00 =⇒ kfj (c) − fk (c)k < ε ky − ck . Dado ε > 0. temos que k ≥ k0 =⇒ kf(x0 + v) − f(x0 ) − [fk (x0 + v) − fk (x0 )]k ≤ ε 0 kvk . a sequencia (fk ) converge uniformemente para ˜ f : U −→ Rn . para cada k ∈ N. onde ε 0 = min . temos. 1) que (fk ) converge uniformemente em U.4. se (fk0 ) convergir uniformemente em U e (fk (c)) convergir para algum c ∈ U. 212 ´ Instituto de Matematica UFF . Rn ) converge de modo ˜ g : U −→ L(Rm . (4) e (5). se (fk ) aberta Bx ⊂ U tal que fk0 −→ g uniformemente em Bx . Rn ). obtemos: k ≥ k0 =⇒ kfk0 (x) − g(x)k ≤ ε 0 . Se a sequencia de aplicaçoes diferenciaveis fk : U −→ Rn ˆ converge num ponto c ∈ U e a sequencia das derivadas fk0 : U −→ L(Rm . Prova. mas (fk ) nao k Mas se existir um numero real M > 0 tal que dois pontos quaisquer de U podem ser ligados ´ por uma poligonal de comprimento ≤ M contida em U.´ Analise Fazendo j → ∞ em (1). Mesmo supondo fk0 −→ g uniformemente no aberto conexo U e (fk (c)) Observaçao convergente para algum c ∈ U. converge em algum ponto de Bx . por (3). ˜ 6. existe uma bola [ Bx e. entao ˜ das bolas Bx nas quais (fk ) converge uniformemente. para todo x ∈ U. temos que U = A. ´ Logo f e´ diferenciavel em x0 e f 0 (x0 ) = g(x0 ). −→ g ≡ 0 uniformemente em R. pois Bc ⊂ A. U e´ Bx nas quais nao em ponto algum. (da derivaçao ˆ ˜ ´ Seja U ⊂ Rm um aberto conexo. ou seja.2. f e´ diferenciavel ´ uniforme em U para uma aplicaçao e f 0 = g. Quando U e´ convexo e limitado isto ocorre. Como fk0 converge de modo localmente uniforme para g. nem sempre e´ verdadeiro que (fk ) converge uniformemente em x k ˆ ˜ dadas por fk (x) = . ´ de modo localmente uniforme para uma aplicaçao com f 0 = g. temos. kvk < δ =⇒ kf(x0 + v) − f(x0 ) − g(x0 ) vk ≤ kf(x0 + v) − f(x0 ) − [fk0 (x0 + v) − fk0 (x0 )]k +kfk0 (x0 + v) − fk0 (x0 ) − fk0 0 (x0 )vk + kfk0 0 (x0 )v − g(x0 )vk ≤ 3ε 0 kvk ≤ εkvk . pelo lema 6. Por exemplo. Logo U = x∈U ˜ (fk ) converge uniformemente em Bx . entao ˜ a sequencia ˆ localmente uniforme para uma aplicaçao (fk ) converge ˜ f : U −→ Rn diferenciavel. Como U = A ∪ B e´ uma cisao conexo e A 6= ∅. temos (por (2) do lema 6. ˜ pelo lema 6. seja fk : R −→ R a sequencia de funçoes ˜ fk0 ≡ Entao 1 ˜ converge uniformemente em R. Entao. que: Entao. ˜ termo a termo) Teorema 6. (fk ) converge de modo localmente ˜ f : U −→ Rn . ˜ tomando k = k0 e δ = δk0 (x0 ). e B a reuniao ˜ das bolas Seja A a reuniao ˜ ha´ convergencia ˆ ˜ de U.1. U. (5) para todo x ∈ U.1. entao ˜ f : U −→ Rn diferenciavel. kx − ak < δ =⇒ kf(x) − f(a)k ≥ kf 0 (a)(x − a)k − kR(x)k ≥ 2ckx − ak − ckx − ak = ckx − ak . J.K. f(a) 6= 0.1. Entao da funçao ´ disso. pontos y tais que kf(y)k < kf(a)k. ´ uma aplicaçao com f 0 = g. ˜ linear f 0 (a) : Rm −→ Rn e´ injetora.1. pois f 0 (a) ´ disso. como f e´ diferenciavel ´ e´ injetora. caso contrario. kf(a)k para todo x ∈ Bδ (a). Logo. Se a serie X ˜ ´ fk . Derivaçao ´ Seja U ⊂ Rm aberto e conexo. pois. Trata-se da noçao ´ dade forte que veremos mais abaixo. Logo 2c = kf 0 (a) v0 k > 0. temos que a funçao v0 ∈ Sm−1 tal que kf 0 (a) vk ≥ kf 0 (a) v0 k para todo v ∈ Sm−1 . x→a kx − ak com lim kx − ak < δ =⇒ kR(x)k ≤ ckx − ak . f(x) = f(a) + f 0 (a)(x − a) + R(x) . (b) Seja Bδ (a) ⊂ U a bola de centro a e raio δ > 0. Sendo Sm−1 compacta. ˜ em qualquer bola de centro a existem pontos x (b) Se f 0 (a) : Rm −→ Rn e´ sobrejetora. Alem no ponto a.˜ fortemente diferenciaveis ´ Aplicaçoes ´ ˜ termo a termo para series ´ Corolario 6. que kf(x)k ≤ ˜ a e´ um ponto de maximo ´ ˜ ξ : Bδ (a) −→ R. Seja f : U −→ Rn uma aplicaçao. mas onde Existe uma noçao ˜ que a aplicaçao ˜ e´ diferenciavel ´ ˜ de diferenciabilise supoe num unico ponto. Prova. por absurdo. R(x) ˜ existe δ > 0 tal que = 0. diferenciavel ´ Teorema 7. entao tais que kf(a)k < kf(x)k e. ´ ξ(x) = kf(x)k. X ´ das derivadas converge num ponto c ∈ U e a serie fk0 converge de modo localmente uniforme X X ˜ fk converge de modo localmente uniforme em U para em U para a soma g = fk0 . se f(a) 6= 0. por ser a restriçao ˜ de uma aplicaçao ˜ (a) Como a aplicaçao ˜ kf 0 (a)k : Sm−1 −→ R e´ cont´ınua. Suponhamos. existe linear. ˜ f 0 (a) : Sm−1 −→ Rn e´ cont´ınua. Frensel 213 . de aplicaçoes diferenciaveis fk : U −→ Rn . ˜ definida no aberto U ⊂ Rm . Delgado . Entao. correspondente ao que seria classe C1 . no ponto a ∈ U. 7 ˜ ´ Aplicaçoes fortemente diferenciaveis ˜ de diferenciabilidade. Alem f(x) = 0 para todo x ∈ Bδ (a) e. entao ˜ existem c > 0 e δ > 0 tais que (a) Se a transformaçao kx − ak < δ =⇒ kf(x) − f(a)k ≥ ckx − ak . para 2π k0 todo k ≥ k0 par. π 4 8k 1 1 ˜ ≤ . portanto. Logo. entao ˜ como acima. o que leva a kf(y)k < kf(a)k. Como f ećont´ınua.´ Analise ˜ seria sobrejetora. f e´ crescente. ˜ 7. δ). existe uma bola B de centro a tal Observaçao que f|B e´ injetora? E se f 0 (a) e´ sobrejetora.1. No caso n = m = 1. π 4 ´ Instituto de Matematica UFF . Em particular.1. ˜ pois f 0 (a) e´ sobrejetora. x ∈ Bδ (a). x 6= a =⇒ f(x) 6= f(a) .1. Mas f nao ´ De fato. 2 ˜ e´ injetora em intervalo algum da forma (−δ. f(a)i . portanto. kf(a)k ´ Logo hf 0 (a) v. uma contradiçao. que ξ e´ diferenciavel em a e ξ 0 (a) v = hf 0 (a) v. e f(0) = 0. para algum δ > 0. f 0 (a) v 6= f(a) para todo v ∈ Rm . f 0 (a) 6= 0 equivale a dizer que f 0 (a) e´ injetora ou sobrejetora. Se f : U −→ Rn e´ diferenciavel no ponto a ∈ U ⊂ Rm e f 0 (a) e´ injetora. temos que f e´ monotona. temos: 2 f (2k + 1) π 2πk0 <f 2 2πk 2πk0 ⇐⇒ 4 1 1 + < ((2k + 1)π)2 (2k + 1)π 2kπ ⇐⇒ 1 (2k + 1)π ⇐⇒ 4 1 +1<1+ (2k + 1)π 2k 4 +1 (2k + 1)π ⇐⇒ 8k < (2k + 1)π ⇐⇒ e. δ). ´ ˜ existirem pontos y ∈ Bδ (a). 214 < 1 2kπ 1 1 1 < + . 2 1 1 Seja k0 ∈ N. suponhamos que f e´ injetora em (−δ. f(a) ∈ int f(U)? A resposta a estas perguntas e´ ´ ˜ sem hipoteses nao. tal que < δ. adicionais. pelo exemplo 3. x 2 1 6= 0. entao existe uma bola de centro a tal que: x ∈ B . f 0 (a) = 0 nao ´ Como f(a) 6= 0 temos. se f(a) 6= 0 e nao ˜ a seria um m´ınimo para a funçao ˜ ξ(x) = kf(x)k. pois a e´ um ponto de maximo. Exemplo 7. ˜ dada por f(x) = x2 sen Seja f : R −→ R a funçao ˜ f e´ diferenciavel ´ Entao em R e f 0 (0) = 1 x + .1. uma contradiçao ´ ´ ˜ Corolario 7. Cabem as perguntas: se f 0 (a) e´ injetora. Sendo f(0) = 0 < f = . se x 6= 0. uma contradiçao. f(a)i = 0 para todo v ∈ Rm . com De modo analogo. Sejaf : R2 −→ R2 a aplicaçao f(x.2. . x2 ) se (x. mas f nao ˜ e´ injetora em vizinhança alguma de 0. f(a) ∈ int f(I). para todo aberto U contendo 0. y) se (x. derivavel ´ Observaçao no ponto a ∈ I e f 0 (a) > 0. ˜ f : R2 −→ R2 diferenciavel ´ O exemplo abaixo exibe uma aplicaçao na origem. entao Em particular. Se a funçao ˜ f : I ⊂ R −→ R e´ cont´ınua. cuja derivada ˜ identidade. O mesmo ter´ıamos se f 0 (a) < 0.2. ˜ dada por Exemplo 7. nem f 0 (0) : R2 −→ R2 e´ a aplicaçao f(0) ∈ int f(U). ˜ existe δ > 0 tal que (a − δ. y) 6∈ Γ . y) ∈ Γ = (x. a + δ) ⊂ I e a − δ < y < a < x < a + δ =⇒ f(y) < f(a) < f(x). y) = (x.˜ fortemente diferenciaveis ´ Aplicaçoes ˜ 7. y) ∈ R2 . (x. x > 0 Fig. E´ facil ˜ f e´ diferenciavel ´ ˜ identidade. seja x > 0 e consideremos a sequencia pn = x. x2 − y) se x > 0 e 0 < y < x2 . e r(v) = 0 nos demais pontos. x > 0 e 0 < y < x2 Fig. Como a primeira coordenada e´ sempre zero e a 2 segunda esta´ sempre compreendida . 0). Afirmaçao: ˆ De fato. 3: A parte sombreada transforma-se por f na curva y = x2 . 0) = Id e´ a transformaçao De fato. onde r(v) = (0. 0). f(v) = f(0) + v + r(v). mas f(pn ) nao n0 para todo n ≥ n0 . Entao n 1 ˜ converge para f(x. com x > 0. x2 ) < x2 . y) ∈ R2 . 0) = (x. Logo pn −→ (x. 1 ˜ existe n0 ∈ N tal que . 4: A parte sombreada e´ a imagem de f ˜ f e´ descont´ınua nos pontos (x. Afirmaçao: na origem e f 0 (0. ´ verificar que f e´ cont´ınua nos demais pontos de R2 . pois f(pn ) = (x. para todo v = (x. 0). . temos que 2 . entre 0 e x . r(v) . . . = p |r(v)| ≤ p x ≤ |x| . . kvk . x 2 + y2 x2 + y2 J.K. Delgado . Frensel 215 . y) ∈ R2 − Γ (x. 0) e (x. onde lim ρa (x. x2 x. com o aux´ılio da Teoria do Grau. para todos x. ˜ f(a) ∈ int f(U). x2 ). f e´ diferenciavel na origem e f 0 (0) v = v para todo v ∈ R2 . Alem ´ disso. Alem f(R2 ) = R2 . Entao. ˜ para x > 0 suficientemente pequeno. Ou seja. ˜ f : R2 −→ R2 definida por Exemplo 7. y) |x − y| .3. pertence a` imagem de f. y) se (x. onde   4y . 2 0≤y≤ Pode-se provar. 0) existe um segmento de reta vertical de extremos (x. e´ poss´ıvel mostrar que se f : U −→ Rn e´ cont´ınua no aberto U ⊂ Rn e possui. que f e´ cont´ınua ´ ´ disso. 0).y→a 216 ´ Instituto de Matematica UFF . 3 3 x2 4 x2 x2 ≤y≤ 4 2 x2 ≤ y ≤ x2 .  3     2 y + 1 x2 . x2 ) = (x. com um pouco mais de trabalho que no exemplo anterior. y) =  (x. ˜ 7. e´ Definiçao ´ ˜ linear T : Rm −→ Rn fortemente diferenciavel no ponto a ∈ U quando existe uma transformaçao tal que. y) = 0. temos que f|U nao em vizinhança alguma da origem. 4 ˜ e´ injetora. y ∈ U. com f 0 (0) = Id. com f 0 (0) = Id. 4 x2 Logo. x.1. y). como nenhum ponto (x.    g(x. Podemos modificar um pouco o exemplo acima de modo a obter uma Observaçao ˜ cont´ınua f : R2 −→ R2 diferenciavel ´ ˜ e´ aplicaçao na origem.3. y)) se (x. Seja a aplicaçao f(x. em todos os pontos do plano e que f e´ diferenciavel na origem. temos que f(0) = 0 nao todo aberto U ⊂ R2 contendo (0. Assim. uma derivada f 0 (a) : Rn −→ Rn que e´ um isomorfismo. x2 ) . Isto mostra que a descontinuidade da aplicaçao ˜ f do exemplo acima e´ entao essencial para termos f(a) 6∈ int f(U). temos que f ´ ˜ e´ injetora em vizinhança alguma de 0. e (x. v→0 kvk Logo lim Como em qualquer aberto contendo (0. g(x. ˜ 7. y) ∈ Γ .´ Analise r(v) ´ = 0. tal que f nao injetora em nenhuma bola de centro 0 (ver exemplo abaixo). como f x. x2 ). no ponto a ∈ U. y) = 4 (x2 − y) . Seja Uum aberto qualquer contendo a origem. Dizemos que uma aplicaçao ˜ f : U −→ Rn definida num aberto U ⊂ Rm . com x > 0. com x > 0 nao ˜ e´ um ponto interior a f(U) para e 0 < y < x2 . o qual e´ transformado por f num unico ponto (x. x2 ) pertencem a U. f nao ˜ e´ injetora = f(x. Mas. vale f(x) = f(y) + T (x − y) + ρa (x. existe δ > 0 tal que x. f(a)) quando x → a. f e´ cont´ınua.5. y) = f(x) − f(y) − f 0 (a) (x − y) . temos apenas que a secante ao grafico ´ Na definiçao que passa pelos pontos (a. dado ε > 0. Frensel 217 . ˜ 7. x. y)k < ε =⇒ kf(x) − f(y)k ≤ kf 0 (a)(x − y)k + kρa (x. y ∈ Bδ (a) =⇒ kf(x) − f(y)k ≥ ckx − yk . y)| < ε . f e´ injetora na bola Bδ (a). f(x)) tende a` tangente no ponto (a. Tomando y = a. e´ fortemente diferenciavel no ponto a ∈ I quando.˜ fortemente diferenciaveis ´ Aplicaçoes ˜ 7. y ∈ Bδ (a) =⇒ |ρa (x. y ∈ Bδ (a) =⇒ kρa (x. ´ Assim. ou melhor. Logo f e´ um homeomorfismo da bola Bδ (a) sobre sua imagem e. onde ρa (x. y ∈ Bδ (a) =⇒ kf(x) − f(y)k ≤ (kf 0 (a)k + ε) kx − yk . ˜ para ε = c > 0. Prova. obtemos que toda aplicaçao ˜ fortemente diferenciavel ´ Observaçao no ´ ponto a e´ diferenciavel neste ponto e T = f 0 (a). De fato. a reta secante ao ´ grafico de f que passa pelos pontos (x. onde ra (x. Como f 0 (a) e´ injetora. ˜ 7. ja´ sabemos que existe c > 0 tal que kf 0 (a) vk ≥ 2ckvk para todo v ∈ Rm . entao. em particular. f e´ Lipschitziana numa bola de centro a. ´ Teorema 7. Em particular. existe δ > 0 tal que x.2. Se f : U −→ Rn e´ fortemente diferenciavel ´ ˜ para todo Observaçao no ponto a. f(a)) quando x → a e y → a.4. definida no intervalo aberto Observaçao ´ I ⊂ R. para todo ε > 0 dado. y)k kx − yk ≤ (kf 0 (a)k + ε) kx − yk . Se f : U ⊂ Rm −→ Rn e´ fortemente diferenciavel no ponto a e f 0 (a) : Rm −→ Rn ˜ existem c > 0 e δ > 0 tais que e´ injetora.6. e so´ se. Delgado . para x 6= y em I. f e´ fortemente diferenciavel no ponto a ∈ U se. ε > 0 dado. existe δ > 0 tal que Entao.K. Quando m = n = 1. f(x)) e (y. existe δ > 0. y ∈ Bδ (a) =⇒ kra (x. f(y)) tende para a reta tangente no ponto (a. J. tal que x. y)k < ckx − yk . f(a)) e (x. entao x. y) |x − y| = f(x) − f(y) − f 0 (a)(x − y) . uma funçao ˜ f : I −→ R. ˜ usual de derivada. para todo ε > 0 dado. Entao ´ ra e´ diferenciavel. ˜ 7. ˜ e a inversa f−1 : Y −→ Bδ (a) e´ cont´ınua. Provaremos na seçao ˜ 11 (Forma local das submersoes) ˜ Observaçao que se f : U ⊂ ´ ˜ Rm −→ Rn e´ fortemente diferenciavel no ponto a e f 0 (a) : Rm −→ Rn e´ sobrejetora. Portanto. Logo. f e´ fortemente diferenciavel no ponto a. pelo teorema 7. a aplicaçao ponto a. Prova. Seja ra (x) = f(x) − f(a) − f 0 (a)(x − a).3. y ∈ Bδ (a) =⇒ kf(x) − f(y)k ≥ kf 0 (a)(x − y)k − kra (x. Rn ) e´ cont´ınua no diferenciavel no ponto a se. ´ ˜ kra (x) − ra (y)k ≤ Como Bδ (a) e´ convexo.4. x.´ Analise Assim. Seja f : U ⊂ Rm −→ Rn uma aplicaçao Entao ´ ˜ derivada f 0 : U −→ L(Rm . pelo corolario 5. A aplicaçao no ponto a ∈ U se. existe δ > 0 tal que Bδ (a) ⊂ U e x ∈ Bδ (a) =⇒ kra0 (x)k < ε. y)k ≥ 2ckx − yk − ckx − yk = ckx − yk . e so´ se. ˜ f : U ⊂ Rm −→ Rn e´ fortemente diferenciavel ´ Teorema 7. y ∈ Bδ (a). Prova. e´ diferenciavel no ponto a e. Basta observar que ra (x. ra (x) = f(x) − f(a) − f 0 (a)(x − a) e ra (y) = f(y) − f(a) − f 0 (a)(y − a). 218 ´ Instituto de Matematica UFF . y ∈ Bδ (a). que se x. pois Logo f : Bδ −→ Y = f(Bδ (a)) e´ uma bijeçao 1 c kf−1 (w) − f−1 (z)k ≤ kw − zk para quaisquer z. ´ e so´ se. para todo ε > 0.3. entao f(a) ∈ int f(U). w ∈ Y. Assim. ´ ˜ f e´ fortemente Teorema 7. entao ´ εkx − yk. temos. com derivada ra0 (x) = f 0 (x) − f 0 (a) cont´ınua no ponto a e ra0 (a) = 0. y) = ra (x) − ra (y). pois ra (x. f : Bδ (a) −→ Y e´ um homeomorfismo.1. O teorema abaixo mostra que a unica diferença entre a diferenciabilidade forte e a con´ ˜ e´ diferenciavel ´ tinuidade da derivada e´ que a primeira faz sentido mesmo quando a aplicaçao num unico ponto ´ ˜ diferenciavel.7. para todos x. existe δ > 0 tal que o resto ra (x) = ˜ de Lipschitz: f(x) − f(a) − f 0 (a)(x − a) satisfaz a condiçao kra (x) − ra (y)k ≤ εkx − yk . y) = f(x) − f(y) − f 0 (a)(x − y). ˜ Suponhamos que f 0 e´ cont´ınua no ponto a. existe δ > 0 tal que x. para todo n ∈ N. y ∈ B2δ (a) =⇒ kra (x. k(f 0 (x) − f 0 (a)) ε ε kx − yk + kx − yk .an ] e´ linear para todo n ∈ N.K. Daremos agora um exemplo de uma funçao ´ ˜ e´ diferenciavel ´ renciavel num ponto a ∈ R que nao em vizinhança alguma de a. J. • f|[an+1 . ou seja. Somando as igualdades f(x) − f(y) = f 0 (a)(x − y) + ra (x. para todo x ∈ U. 0] ∪ [a1 . • f(an ) = g(an ).˜ fortemente diferenciaveis ´ Aplicaçoes ´ Reciprocamente. consideramos a funçao an = 1 . ˜ f nao ˜ e´ diferenciavel ´ Entao em an para todo n ∈ N. por (?). 2 2 Portanto.4. y) f(y) − f(x) = f 0 (x)(y − x) + rx (y) . Frensel 219 . an ]. ou seja. 2 ´ Seja u ∈ Rm um vetor unitario e seja x ∈ U tal que kx − ak < δ. y)k ≤ ε kx − yk . tal que ky − xk < δx =⇒ krx (y)k ≤ ε ky − xk . pois a2n − a2n+1 (x − an+1 + an − an ) + a2n+1 − a2n a2 − a2n+1 f(x) − f(an ) an − an+1 = lim− = lim− n = an + an+1 . x − an x − an x→a+ x→an n 0 + e. n ˜ definida por: Seja f : R −→ R a funçao • f(x) = g(x) para todo x ∈ (−∞. f(x) = a2n − a2n+1 (x − an+1 ) + a2n+1 para todo an − an+1 x ∈ [an+1 . kf 0 (x) − f 0 (a)k ≤ ε. ˜ g : R −→ R de classe C∞ dada por g(x) = x2 e a sequencia ˆ Para isso. 2 2 δx δx ´ uk ≤ ε . Tome y = x + (? ? ?) δx u. lim− x − an x − an x→an x→an an − an+1 x→an a2n−1 − a2n (x − an ) + a2n − a2n f(x) − f(an ) an−1 − an lim = lim+ = an−1 + an . existe 0 < δx < δ. ˜ f : R −→ R fortemente difeExemplo 7. (?) Dado ε > 0. Delgado . 2 ˜ ky − ak < 2δ e ky − xk < δx . +∞). Entao k(f 0 (x) − f 0 (a)) (y − x)k ≤ Assim. k(f 0 (x) − f 0 (a)) uk ≤ ε para u ∈ Rm unitario. y) + rx (y)) . Logo. portanto. suponhamos que f e´ fortemente diferenciavel no ponto a. 2 (??) e. e obtemos que (f 0 (x) − f 0 (a))(y − x) = −(ra (x. (??) e (? ? ?). f 0 (a− n ) = an + an+1 6= an−1 + an = f (an ). Sejam x. existe n ∈ N tal que y ∈ n0 n+1 n n+1 n n0 . existe n0 ∈ N tal que n0 4 1 1 .´ Analise ´ Mas f e´ fortemente diferenciavel na origem e f 0 (0) = 0. Entao < ≤ e • Se x ≤ 0 e 0 < y < . n0 n0 ra (x. y ∈ De fato: Dado ε > 0. . n0 i h 1 1 1 1 1 1 ˜ . ˜ • Se x ≤ 0 e y ≤ 0. y)| = |f(x) − f(y)| = |x2 − y2 | = |x + y| |x − y| ≤ |x − y| < ε |x − y| . y) = f(x) − f(y). entao 2 |ra (x. ε 1 < . x < y e − . . 1 . . 1 . . . . |ra (x. y)| = |f(x) − f(y)| ≤ . f(x) − f − f(y) + f . . . n+1 n+1 . . . . . 2 1 2 . 1 1 1 . . . . = . x − + . y − . . + n+1 . . = . x + . . 1 . . . . x − n+1 1 n n+1 n+1 . 1 . 1 + . + n+1 n ε −x + y− 1 n+1 1 1 . . . y − . 2 2 n+1 2 . n+1 n+1 < ε 2 = ε ε (y − x) = |y − x| < ε |y − x| . . ey∈ j+1 j k+1 k Como i h 1 1 1 1 1 1 < ≤ e < ≤ . no caso j < k. 1 1 1 1 • Se x > 0 e y > 0. . tais que x ∈ . temos. existem j. j ≥ k. que: j+1 j n0 k+1 k n0 . k ∈ N. . . . . 1 . . . 1 . 1 . . . . 1 . . . + . . f |ra (x. y)| = |f(x) − f(y)| ≤ . f(x) − f + f − f(y) − f . . . . j j k+1 k+1 . 2 . . 2 . 2 . aj − a2j+1 . . . a − a k+1 = . . (x − aj+1 ) + a2j+1 − a2j . . + |a2j − a2k+1 | + . . k (y − ak+1 ). . temos que: j+1 j n0 ε 2 |f(y) − f(x)| = (aj + aj+1 ) (y − x) ≤ (y − x) < ε |y − x| . 220 ´ Instituto de Matematica UFF . 1 1 1 ≤ x < y ≤ ≤ . aj − aj+1 = |a2j − a2j+1 | |aj − aj+1 | ak − ak+1 |x − aj | + |aj + ak+1 | |aj − ak+1 | + |ak + ak+1 | |y − ak+1 | = |aj + aj+1 | |x − aj | + |aj + ak+1 | |aj − ak+1 | + |ak + ak+1 | |y − ak+1 | ≤ ε | (aj − x) + (ak+1 − aj ) + (y − ak+1 )| 2 = ε (y − x) < ε |y − x| . ou seja. 2 E quando j = k. y) ∈ R2 .˜ inversa O teorema da aplicaçao ˜ inversa O teorema da aplicaçao 8 ˜ sua derivada f 0 (x) : Rn −→ Rn Se f : U ⊂ Rn −→ V ⊂ Rn e´ um difeomorfismo. ∂xj ij ´ valida. z ˜ pelo numero ou seja. Portanto. para n = 1. onde Jf(x) = ∂fi ˜ indagar se a rec´ıproca e´ (x) e´ a matriz Jacobiana de f no ponto x. Seja f : R2 −→ R2 a aplicaçao ´ ˜ f e´ de classe C∞ e f 0 (x. Mas f nao Geometricamente. No primeiro caso. cujo inverso e´ a aplicaçao 1 − hx. 1 + hy. vamos analisar alguns exemplos. ou. sen b). sen y). Uma funçao f : I −→ J do intervalo aberto I sobre o intervalo aberto J ⊂ R e´ um difeomorfismo se. f 0 (x) 6= 0 para todo x ∈ I. Logo. no segundo caso. J. entao e´ um isomorfismo em todo ponto x ∈ U. em Exemplo 8. x1 = x2 e y2 = y1 + 2π k . Temos. Lima) f−1 : J −→ I e´ diferenciavel. ˜ e´ injetora. entao. E. pelo Teorema ˜ Inversa para funçoes ˜ ´ ´ da Funçao reais de uma variavel real (ver Curso de Analise. ˜ g : U −→ Exemplo 8. Seja U ⊂ Rn a bola aberta de centro na origem e raio 1.3. E´ natural.2. Delgado . ˜ diferenciavel ´ Exemplo 8. entao. Frensel 221 . ˜ que f(R2 ) = R2 − {0}. Vol. A aplicaçao Rn definida por f(x) = p x ˜ e´ um difeomorfismo de classe C∞ . a resposta a nossa pergunta e´ afirmativa. ex cos y −ex sen y det Jf(x. k ∈ Z. f e´ um homeomorfismo decrescente. onde w = u + iv. e so´ se. yi ˜ dada por f(x. y) = ex (cos y. em qualquer caso. temos que ou f 0 (x) > 0 De fato. ˜ pelo Teorema de Darboux. ou seja. y)(u. y) = det x = e2x 6= 0 x e sen y e cos y para todo (x. e cada reta horizontal y = b numa semi-reta aberta que parte da origem e passa pelo ponto (cos b. y) : R2 −→ R2 termos da variavel complexa z = x + iy. f e´ um homeomorfismo crescente. entao. y2 ) se. y1 ) = f(x2 .1.K. f 0 (z) w = ez w e´ a multiplicaçao complexo ´ ! e . e. xi y n g : R −→ U dada por g(y) = p . para todo x ∈ I ou f 0 (x) < 0 para todo x ∈ I. Entao e´ dada por: f 0 (x. pois f(x1 . I de ´ E. f(z) = ez . det Jf(x) 6= 0 para todo x ∈ U. Antes de responder a esta pergunta. v) = ex cos y −ex sen y ex sen y ! ex cos y ! u v . se f 0 (x) 6= 0 para todo x ∈ I. e so´ se. f transforma cada reta vertical x = a num c´ırculo de raio ea e centro na origem. O Teorema da Aplicaçao no caso em que f ∈ Ck (k ≥ 1). e normas em Rm e Rn . f e´ um difeomorfismo (global) de f sobre sua imagem J = f(I). ˜ 8. e so´ Observaçao se. como consequencia do Teorema da Aplicaçao difeomorfismo local. isto Observaçao ´ f(V) e´ aberto em Rn para todo V ⊂ U aberto em Rn . Dizemos que uma aplicaçao ˜ f : X −→ Rn e´ uma contraçao ˜ Definiçao quando existem λ ∈ R.1. existe um aberto Vx ⊂ U. ˜ 8. alem pois f−1 ´ ´ e´ diferenciavel em todos os pontos f(x) ∈ V. Um difeomorfismo local f : U −→ Rn e´ um difeomorfismo (global) sobre Observaçao ˜ injetora.tais que kf(x) − f(y)k ≤ λ kx − yk para quaisquer x. ˜ Inversa utilizaremos o Metodo ´ ˜ Para demonstrar o Teorema da Aplicaçao das Aproximaçoes Sucessivas. sua imagem f(U) = V se. Neste caso. isomorfismo para todo x ∈ U. definida no intervalo aberto I. ˜ 8. ˜ 8. Observaçao ˜ 8. ˜ para cada x ∈ V.´ Analise ˆ ˜ Inversa. e so´ se. Seja X ⊂ Rm .3.1. De fato. seja V ⊂ U um aberto em Rn . De fato. f : I −→ R. portanto. Se f : U −→ Rn e´ um difeomorfismo local. ´ Se. pela observaçao ´ disso. 0 ≤ λ < 1. ˜ de f a Vx e´ um difeomorfismo sobre um aberto Wx ⊂ Rn . uma vez que f−1 |Wx : Wx −→ Vx e´ diferenciavel. Logo f(V ∩ Vx ) e´ aberto para [ todo x ∈ V e. f e´ uma aplicaçao ˜ acima. que f : R2 −→ R2 − {0} e´ um Obteremos. definida no aberto U ⊂ Rn . temos. Se f ∈ Ck . f : U −→ V e´ uma bijeçao. x ∈ Vx . x∈V Em particular. f(V) = f(V ∩ Vx ) e´ um conjunto aberto de Rn . f(U) e´ um conjunto aberto de Rn . e um aberto Wx ⊂ Rn tais que f : Vx −→ Wx e´ um difeomorfismo. dizemos tal que a restriçao ˜ inversa que f e´ um difeomorfismo local de classe Ck . Todo difeomorfismo (global) e´ um difeomorfismo local.4. a aplicaçao ´ de classe Ck pelo corolario ´ (f|Vx )−1 : Wx −→ Vx e´ tambem 3. com x ∈ Vx ⊂ U. f(x) ∈ Wx e a diferenciabilidade e´ uma propriedade local. Todo difeomorfismo local f : U ⊂ Rn −→ Rn e´ uma aplicaçao ˜ aberta. ˜ 8. ˜ temos que f−1 : V −→ U e´ diferenciavel. 222 ´ Instituto de Matematica UFF .2. ˜ 8. entao ˜ f 0 (x) : Rn −→ Rn e´ um Observaçao ˜ Inversa nos dara´ a rec´ıproca deste fato. se f e´ um difeomorfismo local.2. e. e´ um difeomorfismo local quando para todo x ∈ U existe um aberto Vx . para todo x ∈ U. e´ um difeomorfismo local se.5. Entao.4. que f(U) = V e´ aberto. Dizemos que uma aplicaçao ˜ diferenciavel ´ Definiçao f : U −→ Rn . y ∈ X. y ∈ F. 1−λ para todos k. Observaçao ˜ 8. ou seja. . . temos. p ∈ N. ˆ x0 ∈ F. ´ Prova. Unicidade: Sejam a.8. que kf(x) − f(y)k ≤ ˜ λkx − yk para quaisquer x. . ˜ podemos provar que para todo k ≥ 1. e. .6. Entao ka − bk = kf(a) − f(b)k ≤ λka − bk . f e´ uma λ−contraçao.K. pois 1 − λ > 0 e ka − bk ≥ 0. e seja 0 ≤ λ < 1 tal que kf(x) − f(y)k ≤ ˜ λkx − yk para quaisquer x. ˜ 8. J. para todo k ≥ 0. b ∈ F tais que f(a) = a e f(b) = b. e´ um ponto x ∈ X tal Definiçao que f(x) = x. f(x) = b. xk+1 = f(xk ). Assim. e procura de um ponto fixo para a aplicaçao so´ se. converge para um ponto a ∈ F. uniformemente cont´ınua. a sequencia x1 = f(x0 ). ˜ – metodo ´ ˜ sucessivas) Teorema 8. ˜ Entao kxk+1 − xk k = kf(xk ) − f(xk−1 )k ≤ λkxk − xk−1 k . kxk+1 − xk k ≤ λk kx1 − x0 k . (1 − λ)ka − bk ≤ 0.7. .1. Logo. X ⊂ Rm . Seja U ⊂ Rm aberto e convexo. A busca de uma soluçao ˜ x para uma equaçao ˜ do tipo f(x) = b reduz-se a` Observaçao ˜ ξ. ˜ Observaçao ˜ 8. Toda contraçao ˜ e´ Lipschitziana. (do ponto fixo para contraçoes das aproximaçoes ˜ ˜ dado qualquer Sejam F ⊂ Rm um subconjunto fechado e f : F −→ F uma contraçao. ˆ ˆ Existencia: Seja x0 ∈ F e consideremos a sequencia {xk } onde xk+1 = f(xk ) para todo k ≥ 0. pelo corolario 5. x2 = f(x1 ). ˜ 8.3. Um ponto fixo de uma aplicaçao ˜ f : X −→ Rm . Logo a = b. dada por ξ(x) = f(x) − b + x. kxk+p − xk k ≤ p−1 X i=0 kxk+i+1 − xk+i k ≤ p−1 X i=0 λk+i kx1 − x0 k ≤ λk kx1 − x0 k .˜ inversa O teorema da aplicaçao ˜ 8. Ao precisarmos especificar a constante λ diremos que f e´ uma λ−contraçao. pois ξ(x) = x se. . ou seja.1.9. Delgado . . Entao. y ∈ U. portanto. Frensel 223 . por induçao. Se f : U −→ Rn e´ uma aplicaçao ˜ difeObservaçao ´ ´ renciavel e kf 0 (x)k ≤ λ < 1 para todo x ∈ U. que e´ o unico ponto fixo de f. existe k0 ∈ N tal que k ≥ k0 =⇒ kxk+p − xk k < ε . temos que f(a) = lim f(xk ) = lim xk+1 = a. seja f : R −→ R a funçao x + 1 + x2 . onde a ∈ F. ˆ para todo p ∈ N. isto e. Ou seja.´ Analise Mas. portanto. Como f 0 (x) = 1+ p . converge para um ponto a. O ponto fixo de uma aplicaçao apenas kf(x) − f(y)k < kx − yk para quaisquer x. como f e´ cont´ınua. y ∈ F. dado ε > 0. como λk −→ 0. 2 2 1 + x2 . ˜ f : F −→ F pode nao ˜ existir quando tivermos Exemplo 8. x 6= y.4. ´ disso. pois F e´ fechado. a sequencia {xk } e´ de Cauchy e. ´ a e´ um ponto Alem k→∞ k→∞ fixo de f. p 1 x 1 ˜ f(x) = De fato. . . . x . pois . Logo |f(x) − f(y)| < |x − y| para temos que 0 < f 0 (x) < 1. < 1 para todo x ∈ R. . p . atinge Com efeito. ponto fixo de f. r] ⊂ X e kf(a) − ak ≤ (1 − λ) r. Logo f(a) = a.1. ˜ pois ϕ(f(a)) seria menor do que o m´ınimo c. r]. 1 + x2 ˜ possui um ponto fixo. ˜ cont´ınua ϕ : K −→ R. basta provar que f(B[a. a e´ um uma contradiçao.10. Seja f : X −→ Rm uma λ−contraçao. r] =⇒ kx − ak ≤ r =⇒ kf(x) − ak ≤ kf(x) − f(a)k + kf(a) − ak ≤ λkx − ak + (1 − λ)r ≤ λr + (1 − λ)r = r . ter´ıamos kf(f(a)) − f(a)k < kf(a) − ak = c . ϕ(x) = kf(x) − xk. entao ˜ Lema 8. x 6= y. Se c 6= 0. Entao um absurdo. y ∈ F. pois x ∈ B[a. entao ponto fixo ´ em K. f admite um unico ponto fixo em B[a. ´ ˜ f : X −→ Rm possui um ponto fixo. seja a ∈ K o ponto onde a funçao seu m´ınimo c = kf(a) − ak. ˜ Se B[a. r]. Logo f possui um unico ponto fixo. f(a) 6= a. mas f nao ˜ 8. 224 ´ Instituto de Matematica UFF . Se K ⊂ Rm e´ compacto e a aplicaçao ˜ f : K −→ K satisfaz a condiçao ˜ Observaçao ˜ f possui um unico kf(x) − f(y)k < kx − yk para todo par de pontos x 6= y em K. f(b) = b e a 6= b. ou seja. ´ Prova. Pelo teorema anterior. o que ocorre. pois f(x) > x para todo x ∈ R. basta encontrar um Para garantir que uma contraçao subconjunto F ⊂ X fechado em Rm tal que f(F) ⊂ F. Suponhamos agora que f(a) = a. ou seja. ˜ ka − bk = kf(a) − f(b)k < ka − bk. r]) ⊂ B[a. quaisquer x. (Perturbaçao ˜ da forma f(x) = Tx + ϕ(x). Se tomarmos rk = 1−λ [ Rm = B[f(a). Entao ˜ a aplicaçao ˜ f : U −→ Rm Seja ϕ : U −→ Rm uma λ−contraçao ´ dada por f(x) = x + ϕ(x). f e´ um homeomorfismo de U sobre f(U). com c = 1 . temos kf(x) − f(y)k = kx − y + ϕ(x) − ϕ(y)k ≥ kx − yk − kϕ(x) − ϕ(y)k ≥ kx − yk − λkx − yk = (1 − λ)kx − yk . r] ⊂ Rm para todo r > 0. e consideremos a aplicaçao ˜ ξy e´ uma λ−contraçao ˜ e ξy (x) = x ⇐⇒ y = x + ϕ(x) = f(x). ou seja. k > 0. com λkT −1 k < 1.1. ξy (B[a. Alem ˜ f(U) = Rm . por ξy (x) = y − ϕ(x). se U = Rm entao Prova. y ∈ U.K. (1 − λ)r] ⊂ f(U) e. ˜ Entao. Como b ∈ f(U) e´ arbitrario. Seja b ∈ f(U). k] ⊂ f(U). temos que ky − bk ≤ (1 − λ)r =⇒ kξy (a) − ak ≤ (1 − λ)r . ´ B[b. Assim. k] ⊂ f(U) para todo k ∈ N. ˜ pelo lema 8. δ) ⊂ f(U). k∈N ´ ˜ de um isomorfismo) Corolario 8. para todos z. se U = Rm entao B[f(a). r] ⊂ U tal que ξy (x) = x. ou seja. f(U) = Rm . k ∈ N. J. Em particular.˜ inversa O teorema da aplicaçao ˜ da identidade) Teorema 8. Afirmaçao: ˜ ξy : B[a. Para quaisquer x. Delgado . Logo. pelo Teorema do Ponto Fixo para Contraçoes. Sejam U ⊂ Rm um conjunto aberto e f : U −→ Rm uma aplicaçao ˜ linear invert´ıvel e a aplicaçao ˜ ϕ : U −→ Rm satisfaz onde T : Rm −→ Rm e´ uma transformaçao kϕ(x) − ϕ(y)k ≤ λkx − yk. Frensel 225 . Entao ˜ Existe δ > 0 tal que B(b. existe x ∈ U tal que f(x) = y. e´ um homeomorfismo de U sobre o conjunto aberto f(U) ⊂ Rm . portanto. w ∈ f(U). Finalmente. r] e portanto. provamos que f(U) e´ aberto em Rm . disso. (da perturbaçao ˜ definida no aberto U ⊂ Rm .2. Logo. 1−λ ˜ existe a ∈ U tal que b = f(a) = ϕ(a) + a. ˜ B[a. pelo provado acima. Entao Sendo ξy (a) − a = y − a − ϕ(a) = y − b.1. existe x ∈ B[a. (1 − λ)r] ⊂ f(U) para todo r > 0. r] −→ Rm dada Sejam y ∈ Rm e r > 0 tal que B[a. r]) ⊂ B[a. b ∈ int f(U). r] ⊂ U. teremos que B[f(a). ˜ f e´ uma bijeçao ˜ de U sobre f(U) e a aplicaçao ˜ inversa f−1 : f(U) −→ U satisfaz a condiçao ˜ Entao de Lipschitz kf−1 (z) − f−1 (w)k ≤ c kz − wk . temos que v → 0 se. w → 0. Se f e´ fortemente diferenciavel no ponto a. temos. f(a + v) − f(a) = f 0 (a)v + r(v). se U = Rm . pelo teorema acima. Entao tem-se f(U) = Rm . Se f e´ diferenciavel num ponto ˜ o homeomorfismo inverso f−1 : V −→ U a ∈ U e f 0 (a) : Rm −→ Rm e´ um isomorfismo. temos que f = T ◦ g e´ um homeomorfismo de U sobre o aberto f(U) e f(U) = T (T −1 (f(U))) = T (Rm ) = Rm quando U = Rm . Prova. pois e T −1 (f(U)) = Rm quando U = Rm . Alem ´ disso. (da diferenciabilidade do homeomorfismo inverso) ´ Seja f : U −→ V um homeomorfismo entre os abertos U.´ Analise ˜ f e´ um homeomorfismo de U sobre o conjunto aberto f(U) ⊂ Rm . 226 ´ Instituto de Matematica UFF . v→0 kvk onde lim (2) Como v = g(b + w) − g(b) e w = f(a + v) − f(a). r(v) = 0. Lema 8.2. Prova. Entao. e so´ se. entao ´ ´ ˜ f−1 e´ e´ diferenciavel no ponto b = f(a). Logo. entao ´ fortemente diferenciavel no ponto b = f(a). V ⊂ Rm . que v = (f 0 (a))−1 (f(a + v) − f(a)) + s(w) = (f 0 (a))−1 (f 0 (a)v + r(v)) + s(w) = v + (f 0 (a))−1 r(v) + s(w) . g = T −1 ◦ f e´ um homeomorfismo de U sobre o aberto T −1 (f(U)) ˜ como T : Rm −→ Rm e´ um homeomorfismo. pois: Entao kψ(x) − ψ(y)k = kT −1 (ϕ(x)) − T −1 (ϕ(y))k ≤ kT −1 k kϕ(x) − ϕ(y)k ≤ kT −1 kλkx − yk . ˜ com µ = λkT −1 k < 1. Fazendo g = f−1 e s(w) = g(b + w) − g(b) − f 0 (a)−1 w . ˜ cont´ınuas. kwk ˜ Seja v = g(b + w) − g(b). Logo. por (1) e (2). ˜ g : U −→ Rm e ψ : U −→ Rm dadas por Consideremos as aplicaçoes g(x) = (T −1 ◦ f)(x) = x + (T −1 ◦ ϕ)(x) e ψ(x) = (T −1 ◦ ϕ)(x) . como f e´ diferenciavel ´ Alem no ponto a. T e´ um isomorfismo. Entao f(a + v) − f(a) = f(a + g(b + w) − g(b)) − f(a) = f(g(b + w)) − b = b + w − b = w . precisamos mostrar que lim w→0 (1) s(w) = 0. Como f e g sao ´ disso. ˜ ψ e´ uma µ−contraçao. J. kwk kf(a + v) − f(a)k c (5) quando kvk < µ . kwk kvk kwk (4) e Pelo Teorema 7. (5). (8) ´ disso. para todo v ∈ Rm com kvk < µ. ´ Suponhamos agora que f e´ fortemente diferenciavel no ponto a. (6). (7) ´ Como f e´ fortemente diferenciavel no ponto a e f 0 (a) : Rm −→ Rm e´ injetora temos.K. µ 0 ) =⇒ kr(u) − r(v)k ≤ cε k(f 0 (a))−1 k ku − vk . c cε k(f 0 (a))−1 k ku − vk ´ Finalmente. (8).3. v ∈ B(0. (3) s(w) r(v) kvk = −(f 0 (a))−1 . como g e´ cont´ınua no ponto b = f(a) e v = g(b + w) − g(b). kwk < δ =⇒ ks(w)k kwk = k(f 0 (a))−1 r(v)k kvk kr(v)k kvk ≤ k(f 0 (a))−1 k kvk kwk kvk kwk ≤ k(f 0 (a))−1 k εc k(f 0 (a))−1 k 1 = ε. kwk < δ e kzk < δ =⇒ ks(w) − s(z)k ≤ k(f 0 (a))−1 k kr(u) − r(v)k ≤ k(f 0 (a))−1 k ≤ cε kf(a + u) − f(a + v)k = εkz − wk . Logo. 0 < µ 0 < µ tal que Alem u. kvk 1 kvk = ≤ . pelo teorema 7. (9). Logo. kvk < µ 0 . que s(w) − s(z) = (f 0 (a))−1 [r(u) − r(v)] . Delgado . kwk < δ =⇒ kuk < µ 0 . 0 kvk k(f (a))−1 k (6) Por outro lado. existe. c ´ Logo g = f−1 e´ diferenciavel no ponto b = f(a) e g 0 (b) = (f 0 (a))−1 . Ou seja. pelo teorema 7. por (4). como lim Alem v→0 r(v) = 0.2. v = g(b + w) − g(b). existem c > 0 e µ > 0 tais que kf(a + v) − f(a)k ≥ ckvk . (9) Como g e´ cont´ınua em b e u = g(b + z) − g(b). por (7). por (3). existe δ > 0 tal que kzk < δ . Frensel 227 . que existem c > 0 e µ > 0 tais que kuk < µ e kvk < µ =⇒ kf(a + u) − f(a + v)k ≥ cku − vk . pelo teorema 7.1. dado ε > 0. Fazendo v = g(b + w) − g(b) e u = g(b + z) − g(b) temos. g = f−1 e´ fortemente diferenciavel no ponto b = f(a). existe δ > 0 tal que kwk < δ =⇒ kvk < µ 0 . dado ε > 0. existe 0 < µ 0 < µ tal que kvk kr(v)k εc kvk < µ 0 =⇒ ≤ .3.˜ inversa O teorema da aplicaçao s(w) = −(f 0 (a))−1 r(v) . ´ disso. δ) =⇒ kr(x) − r(y)k ≤ λkx − yk . k ≥ 1. Entao. a inversa f−1 : W −→ V e´ fortemente diferenciavel no ponto b = f(a). que f−1 : W 0 −→ V 0 e´ diferenciavel em todos os pontos de W 0 . (da Aplicaçao ˜ fortemente diferenciavel ´ Sejam U ⊂ Rm um conjunto aberto e f : U −→ Rm uma aplicaçao no ˜ f e´ um homeomorfismo de um ponto a ∈ U tal que f 0 (a) : Rm −→ Rm e´ um isomorfismo. • f(x) = f 0 (a) x + r(x) + f(a) − f 0 (a) · a x. definida no Corolario 8. e. e f 0 (a) : Rm −→ Rm e´ um isomorfismo. temos.2. existe δ > 0 tal que f e´ um homeomorfismo de V = B(a. e so´ se. Como • f 0 (a) : Rm −→ Rm e´ um isomorfismo. f 0 (x) : Rm −→ Rm e´ um isomorfismo (ou seja. pelo ´ lema 8. ´ Sendo W 0 = f(V 0 ) aberto em Rm e f : V 0 −→ W 0 um homeomorfismo diferenciavel. existe δ > 0 tal que x. Logo f : V 0 −→ W 0 e´ um difeomorfismo. para todo x ∈ U. ´ de classe Ck ). que dado 0 < λ < 1 k(f 0 (a))−1 k . e kϕ(x) − ϕ(y)k ≤ λkx − yk . para quaisquer onde ϕ(x) = r(x) + f(a) − f 0 (a) · a. δ).2. existe 0 < δ 0 < δ tal que f 0 (x) ∈ GL(Rm ) para todo x ∈ B(a. y ∈ B(a. y ∈ V = B(a. ´ pelo teorema 7.4. tem-se que f−1 e. ´ W (e pelo corolario 3. Se f e´ de ˜ V pode ser tomado de modo que f seja um difeomorfismo de V sobre classe Ck . Entao aberto V contendo a sobre um aberto W contendo f(a). Prova. ´ temos. Rm ) e´ cont´ınua.2. pelo provado acima. δ) sobre o aberto W = f(V). e´ um difeomorfismo local se.´ Analise ˜ Inversa) Teorema 8. que f e´ um homeomorfismo do aberto V sobre o aberto W = f(V). δ 0 ) = V 0 ⊂ V. f e´ fortemente diferenciavel no ponto a. Uma aplicaçao aberto U ⊂ Rm . 228 ´ Instituto de Matematica UFF . entao ´ tambem.1.3. pelo corolario 8. o conjunto GL(Rm ) dos isomorComo a aplicaçao fismos lineares de Rm e´ aberto em L(Rm . ´ Seja r(x) = f(x) − f(a) − f 0 (a)(x − a). pelo lema 8.4. temos. ˜ derivada f 0 : U −→ L(Rm . det Jf(x) 6= 0).3. • 0 < λ k(f 0 (a))−1 k < 1. o homeomorfismo inverso f−1 : W −→ V ´ e´ fortemente diferenciavel no ponto b = f(a) e sua derivada neste ponto e´ (f 0 (a))−1 . pelo teorema 7. ˜ Suponhamos agora que f e´ de classe Ck . Como f e´ fortemente diferenciavel no ponto a. ´ ˜ f : U ⊂ Rm −→ Rm de classe Ck (1 ≤ k ≤ ∞). k ≥ 1. ´ Portanto. Rm ) e f 0 (a) ∈ GL(Rm ). K. caso contrario. . . temos. como f = L ◦ h. ˜ definida por f(X) = Xk . · Xk . nao-sim etrica dada por L(X1 . . . (Perturbaçao da identidade) Seja U ⊂ Rm um aberto convexo. . . temos. que ϕ e´ uma λ−contraçao. Seja f : Rn2 −→ Rn2 a aplicaçao de classe C∞ e 0 f (X) V = k X Xi−1 V Xk−i . e´ um difeomorfismo de U sobre sua todo x ∈ U. como f 0 (x) = Id + ϕ 0 (x) e kϕ 0 (x)k ≤ λ < 1. Xk ) = X1 · . uma vez que ϕ (x) kvk ´ Portanto. pelo corolario 8. alem Prova. U = Rm . imagem f(U). .{z | · . onde k ∈ N. . . onde L : Rn × . 2 ˜ Inversa. . .5. . como f(X) = L(X. . Como f : U −→ f(U) e´ injetora. ´ disso. |{z} V . . · X} ·V · X .3. f e´ um difeomorfismo local. . Delgado . existiria v ∈ Rm − {0} tal que ϕ 0 (x) v = −v. f e´ um difeomorfismo (global). . . ´ ´ ˜ de classe C∞ de Y. um absurdo.2. i=1 2 2 2 ˜ k−linear.{z 2 2 2 k ˜ f e´ de classe C∞ e. entao ˜ f(U) = Rm . Se ϕ : U −→ Rm e´ de classe C1 . X). . temos que f 0 (x) e´ um Alem ´ isomorfismo para todo x ∈ U. . W ⊂ Rn tais que Id ∈ V. Frensel 229 . V) = X . f(Id) = Id ∈ W Pelo teorema da Aplicaçao ´ para todo Y ∈ W. . X) · (V. Entao ˜ f e´ Exemplo 8.{z (k − 1)! (k − 1)! 0 i=1 i−1 k−i i=1 n ˜ de classe C∞ dada Ou ainda. Logo. com kϕ 0 (x)k ≤ λ < 1 para ˜ f : U −→ Rm . × Rn −→ Rn e´ a aplicaçao ˜ ´ ˜ 8. entao ´ disso. . | · . . entao f 0 (X) · V = L 0 (X. X . onde h : Rn −→ R . . X. pois. . .˜ o Lema de Morse Aplicaçao: ´ ˜ diferenciavel ´ Corolario 8.3. pela Regra da Cadeia e pelo exemplo 2. . · X} = Xi−1 · V · Xk−i . . pelo teorema da perturbaçao homeomorfismo de U sobre o aberto f(U). . Se. existem abertos V.4 do cap´ıtulo 3. . V) k k X X = L(X. . existe uma unica e f : V −→ W e´ um difeomorfismo de classe C∞ . .1. . ´ Como U ⊂ Rm e´ aberto e convexo e kϕ 0 (x)k ≤ λ para todo x ∈ U. . . X). De fato. Isto e. pelo corolario ˜ ˜ da identidade. . X. pela observaçao que f e´ de classe C∞ e k k X 1 (k − 1)! X f (X) V = LS (X. Logo f 0 (Id) : R n2 2 −→ Rn e´ um isomorfismo. . × Rn} e´ a aplicaçao | × . temos f 0 (Id) · V = kV. . . para todo x ∈ U. 0 v = 1 ≤ kϕ 0 (x)k. . por h(X) = (X. X) ◦ h 0 (X) · V = L 0 (X. matriz X ∈ V tal que Xk = Y e X (raiz k−esima de Y) e´ uma aplicaçao J. . X) = Xi−1 VXk−i i=1 i=1 i No ponto X = Id. dada por f(x) = x + ϕ(x). . . f e´ um 5. como Com isto. 0) faz com o semi-eixo positivo dos x. z) ∈ R3 | x ≥ 0 e seja V = (0. . . θ) entao de P a` origem e θ e´ o angulo. se P = (x.2. Os numeros r e θ sao ´ as coordenadas polares do ponto P = (x. θ) = (r sen ϕ cos θ. 2π) por ξ(r. ϕ e´ o angulo que o raio ˆ OP faz com o semi-eixo positivo dos z e θ e´ o angulo que (x. definido no aberto V = (0. . ∞) × (θ0 . podemos introduzir Exemplo 9.1. ˜ ξ : V −→ R3 − P definida por aplicaçao ξ(r. 0) ∈ R2 | x ≥ 0}. . As coordenadas de um ponto ˜ os numeros p ∈ U no sistema ξ sao y1 . r sen ϕ sen θ. Entao. y. r cos ϕ) . na vizinhança de um ponto cr´ıtico nao-degenerado de uma funçao ˜ ao qual f se exprime como uma forma e´ poss´ıvel tomar um sistema de coordenadas em relaçao ´ quadratica com coeficientes constantes: f(y) = X aij yi yj . ´ verificar que ξ e´ injetora e ξ(V) = R3 − P.´ Analise 9 ˜ o Lema de Morse Aplicaçao: ˜ sobre o emprego do Teorema da Aplicaçao ˜ Inversa. como ξ e´ injetora. y). ˜ a Exemplo 9. Um sistema de coordenadas de classe Ck num aberto U ⊂ Rm e´ um difeoDefiniçao morfismo ξ : V −→ U de classe Ck definido num aberto V ⊂ Rm . ˆ Mais geralmente. 2π). sen θ r cos θ ˜ Inversa. ´ ˜ no aberto U = R2 − P. Seja P = (x. θ) = det ˜ chamados radianos. ξ(V) = U e det Jξ(r. Entao. y. ϕ. ˜ 9. θ) = reiθ . que OP faz com o semi-eixo positivo das abscissas. ∞) × (0. Alem ´ disso. r sen θ). segundo o qual. que ξ e´ um difeomorfismo de classe C∞ . um sistema de coordenadas ξ : V −→ U de classe C∞ . θ). de Morse. Seja P = {(x. entao de P a` origem. y) = ξ(r. θ0 + 2π) −→ U = R2 − P pela mesma formula ξ(r. . ϕ. +∞) × (0. ˜ r e´ a distancia ˆ ˆ De fato.1. podemos definir um sistema de coordenadas polares ´ ξ : (0. temos. 0. . cos θ −r sen θ ! = r 6= 0. θ) = reiθ = (r cos θ. se P ⊂ R2 e´ qualquer semi-reta fechada partindo da origem que faz um angulo θ0 com o semi-eixo positivo das abscissas. π) × (0. provaremos o Lema Como ilustraçao ˜ ˜ f. yn tais que y = (y1 . . e´ facil 230 ´ Instituto de Matematica UFF . ym ) ∈ V e ξ(y) = p. e´ um sistema de coordenadas de classe C∞ no aberto R3 − P. em De fato. pelo Teorema da Aplicaçao p ˜ r = x2 + y2 e´ a distancia ˆ ˆ Se P = (x. z) = ξ(r. . Lema 9. Como f e´ de classe C2 e [a. ´ temos. ϕ. 2 ∂xi ∂xj Prova. y. 0 ∈ V e ξ(0) = a. (Lema de Morse) ˜ ˜ f : U −→ R de classe Ck . θ). p ´ ˜ f(x. y. 5: Coordenadas esfericas (r. esfera x2 + y2 + z2 = c2 e´ descrita pela equaçao ˜ O Lema de Morse diz que numa vizinhança de um ponto cr´ıtico nao-degenerado e´ poss´ıvel ˜ obter um sistema de coordenadas que simplifica bastante a forma da funçao. z) = ξ(r. . . ϕ. definida Seja a um ponto cr´ıtico nao-degenerado de uma funçao ˜ existe um sistema de coordenadas ξ : V −→ W de classe Ck−2 . que J. pela Formula de Taylor com resto integral. θ) do ponto P = (x. a funçao ˜ r = c. A introduçao ˜ de um novo sistema de coordenadas numa regiao ˜ do espaço Observaçao ˜ de certos conjuntos ou funçoes. θ sao do ´ ponto P ∈ R3 − P ´ Fig.1. z) = x2 + y2 + z2 torna-se f ◦ ξ(r. Delgado .˜ o Lema de Morse Aplicaçao:   sen ϕ cos θ r cos ϕ cos θ −r sen ϕ sen θ   2  det Jξ(r. ϕ. x] ⊂ U para todo x ∈ B(a. ϕ . θ) = r e a em coordenadas esfericas. cos ϕ −r sen ϕ 0 temos que ξ e´ um difeomorfismo de classe C∞ . ˜ euclidiano tem por objetivo simplificar a descriçao Por exemplo. os numeros r . δ) ⊂ U. ϕ. . k ≥ 3. i. z) ˜ 9. onde aij = ∂2 f 1 (a) . tal que n X f(ξ(y)) − f(a) = aij yi yj . com num aberto U ⊂ Rn . δ). . Frensel 231 . Entao a ∈ W ⊂ U. yn ) ∈ V. Seja δ > 0 tal que B(a. ˜ chamados as coordenadas esfericas ´ Se P = (x.j=1 para todo y = (y1 .K. θ) = det sen ϕ sen θ r cos ϕ sen θ r sen ϕ cos θ  = r sen ϕ > 0 .1. y. . podemos escrever Como A0 = A(a) = 1 2 f(x) = f(a) + hA(x)(x − a). n. Assim. Como C : B(a. B(x)(x − a)i . que as sao ∂xi ∂xj ˜ ˜ de classe Ck−2 . que: A(x) = A0 B(x)2 = B(x)T 2 A0 =⇒ B(x)2 = A−1 B(x)T 0 2 T A0 = A−1 0 B(x) A0 2 . (x − a)i = B(x)T A0 B(x)(x − a). j = 1. 232 ´ Instituto de Matematica UFF . e´ um difeomorfismo de classe C∞ . δ) −→ Rn e´ de classe Ck−2 . 2 existe 0 < δ 0 < δ tal que C(B(a. . δ 0 )) ⊂ V2 . δ ) −→ R ˜ cont´ınuas. Logo B(x) = A0−1 B(x)T A0 para todo x ∈ B(a. i. Logo B = ϕ−1 ◦ C e´ de classe Ck−2 . f(x) − f(a) = hA(x)(x − a). portanto. temos. temos. . B(a) = Id e as aplicac B : B(a. . j = 1. (x − a)i . para todos i. V2 ⊂ Rn tais que Id ∈ V1 . E. . ˜ como A(x) = A0 C(x) = A0 B(x)2 e A(x) e´ simetrica ´ Entao. Assim. k − 2 ≥ 1. ϕ(X) = X2 . Entao x ∈ B(a. . B(x)2 = C(x) para todo x ∈ B(a. δ). δ). pela Regra de Leibniz. δ 0 ) −→ Rn 2 2 T 0 n e A−1 0 B(x) A0 : B(a. ∂xi ∂xj i. . Id ∈ V2 e ϕ : V1 −→ V2 . δ 00 ). δ 00 ) =⇒ A−1 0 B(x) A0 ∈ V1 e B(x) ∈ V1 . tomando transpostas. ∂2 f ˜ de classe Ck−2 . δ 0 ) e B(a) = Id.j=1 onde. pois ϕ : V1 −→ V2 e´ um difeomorfismo. pelo Teorema de funçoes aij : B(a. existe 0 < δ 00 < δ 0 tal que sao T x ∈ B(a. Z1 (1 − t) aij (x) = 0 ˜ Como as funçoes ∂2 f (a + t(x − a)) dt . 2 ˜ C : B(a. 2 Pelo exemplo 8. ∂2 f ˜ (a) e a e´ um ponto cr´ıtico nao-degenerado. a matriz A(x) = (aij (x)) e´ simetrica para todo x ∈ B(a. existem abertos V1 . temos que A0 e´ ∂xi ∂xj ´ uma matriz simetrica invert´ıvel. δ) −→ Rn e´ cont´ınua e C(a) = Id. δ) e C(a) = Id. para todo x ∈ B(a. δ) =⇒ f(x) = f(a) + 0 = f(a) + n X aij (x)(xi − a)(xj − a) .´ Analise Z1 (1 − t)d2 f (a + t(x − a))(x − a)2 dt x ∈ B(a.5. n. δ) −→ R sao ´ Schwarz. . A0 B(x) = B(x)T A0 e A(x) = A0 B(x)2 = B(x)T A0 B(x) e. A(x) = A0 C(x) para todo Seja C(x) = A0−1 A(x). (x − a) = hA0 B(x)(x − a). T ˜ Como A−1 ¸ oes 0 B(a) A0 = Id. . . v) = ∂B (x)(x − a) + B(x)v . Seja a um ponto cr´ıtico nao-degenerado de uma funçao ˜ existe um sistema de coordenadas η : V0 −→ W Ck . . − z2i + z2i+1 + . Prova. . m. onde V e´ o aberto que contem Morse. . existe 0 < δ 000 < δ 00 e um aberto V ⊂ Rn tais que Entao. temos que ξ e´ um sistema de coordenadas de classe Ck−2 no aberto W tal que ξ(0) = a e n X f(ξ(y)) − f(a) = hA0 y. ψ 0 (a) : Rn −→ Rn e´ a ˜ identidade. . . . Frensel 233 . ´ Seja A0 = (aij ) a matriz simetrica de entradas aij = 1 ∂2 f (a). Rn ) × Rn −→ Rn e´ a aplicaçao Regra da Cadeia. . Entao de classe Ck−2 . 2 ∂xi ∂xj ˜ existe uma base ortonormal {u1 . . vk i = −1    1 λj tal que se j 6= k se j = k e j ≤ i se j = k e j > i . vm } e´ uma base ortogonal de Entao R  0    hA0 vj . temos que η = ξ ◦ T : V0 −→ W e´ um difeomorfismo de classe Ck−2 tal que J. ˜ pela Se φ : L(Rn . temos que ψ 0 (x) v = φ 0 (B(x). os autovalores negativos e positivos de A0 . Assim. com a ∈ W.˜ o Lema de Morse Aplicaçao: ˜ de classe Ck−2 dada por ψ(x) = B(x)(x − a). i. . m. para todo x ∈ B(a. ˜ linear invert´ıvel T : Rm −→ Rm tal que Tej = vj para todo Consideremos agora a transformaçao ´ a origem obtido no Lema de j = 1. dada pelo Lema de Morse. . . . . . Delgado . + z2m . uj Para j ≤ i.K. . . m ˜ {v1 . ψ 0 (a) · v = B(a) · v = v para todo v ∈ Rn . δ 000 ). m. se ξ = ψ−1 : V −→ W. ∂v Logo. λj 6= 0 para todo j = 1. Seja ψ : B(a. . v) = φ(B 0 (x) v. (x − a)) (B 0 (x) v.1. . seja vj = p j . . yi = aij yi yj .j=1 ´ ˜ ˜ f : U −→ R de classe Corolario 9. λm > 0. . ou seja. um } de Rm tal que A0 uj = λj uj para todo j = 1. λi < 0 e λi+1 > 0. . . Sendo V0 = T −1 (V). . seja vj = p −λj u e. . . . δ 00 ) e v ∈ Rn . . . para x = a. 0 ∈ V0 . aplicaçao ˜ pelo Teorema da Aplicaçao ˜ Inversa. Entao Como A0 e´ invert´ıvel. (x − a)) + φ(B(x). Sejam λ1 < 0. 0 = ψ(a) ∈ V e ψ : W −→ V e´ um difeomorfismo de classe Ck−2 . . δ 00 ) −→ Rn a aplicaçao ˜ bilinear dada por φ(B. η(0) = a e f(η(z)) − f(a) = −z21 − . y) = B · y entao. k ≥ 3. onde W = B(a. . definida num aberto U ⊂ Rm . para j > i. T (z)i * ! m + m X X = A0 z j vj .2. a e´ um ponto de m´ınimo local. No caso m = 2.´ Analise f ◦ η(z) − f(a) = (f ◦ ξ)(T (z)) − f(a) = hA0 T (z). a e´ um ponto de sela de ´ındice i. seja a ∈ U um ponto cr´ıtico nao-degenerado ˜ ˜ Observaçao da funçao f : U −→ R de classe Ck . η(0) = a. 6: Curvas de n´ıvel de f proximas do ponto cr´ıtico a ´ Fig. obter sistemas de coordenadas convenientes.3. − z2i + z2i+1 + . se i = 0. .4. ˜ 9. E quando a e´ um ponto de sela. z k vk j=1 = m X k=1 zj zk hA0 vj . . Logo as curvas de n´ıvel de f proximas de a sao imagens pelo difeomorfismo η dos c´ırculos z21 + z22 = const. com 0 ∈ V0 . temos que f ◦ η(z) = f(a) − z21 + z22 . a forma dada pela figura 6. respectivamente. Quando i = m. Logo. ˜ 9. . 7: Curvas de n´ıvel de f proximas do ponto cr´ıtico a ˜ 9. Os tres ˆ paragrafos ´ ˆ objetivo semelhante ao deste: a partir de Observaçao seguintes tem ´ ˜ aos quais hipoteses sobre a derivada. em relaçao ˜ se exprime por meio de formulas ´ a aplicaçao simples. ´ concluindo a prova do corolario. tal que f ◦ η(z) − f(a) = ±(z21 + z22 ) ou f ◦ η(z) − f(a) = −z21 + z22 . ´ Quando a e´ um ponto de maximo ou de m´ınimo local de f. . a e´ um ponto de maximo local para f. tendo. as curvas ´ ˜ imagens pelo difeomorfismo η das curvas −y21 + y22 = const. portanto. vk i j. Pelo Lema de Morse. Para 0 < i < m. existe um sistema de coordenadas η : Vo −→ W de classe Ck−2 . O numero ´ Observaçao i que aparece no corolario acima chama-se o ´ındice do ponto ´ ´ cr´ıtico a. definida no aberto U ⊂ R2 . 234 ´ Instituto de Matematica UFF .. temos que f ◦ η(z) = f(a) − (z21 + z22 ) ´ ˜ e f ◦ η(z) = f(a) + z21 + z22 .k=1 = −z21 − .. a ∈ W ⊂ U. k ≥ 3. + z2m . de n´ıvel de f proximas de a sao tendo a forma dada pela figura 7. ´ Fig. t2 ). Seja f : Rm −→ Rm × Rn a aplicaçao ˜ C∞ . apos ´ uma mudança Mostraremos que toda imersao ˜ f acima. Delgado . f e´ fortemente diferenciavel no ponto a. Ja´ vimos que a derivada f 0 : U −→ L(Rm . 2) e f 0 (−1) = (2. L1 = {f(t1 ) + sf 0 (t1 ) | s ∈ R} e L2 = {f(t2 ) + sf 0 (t2 ) | s ∈ R} podem ˜ ser distintas. Um caminho diferenciavel f : I −→ Rn e´ uma ˜ se. ˜ 10.1. Em entao.2. 8: Retas L1 e L2 tangentes a` curva f tangente no ponto f(t1 ) para o caminho f|J . f 0 (x) = f para todo x ∈ Rm . δ)) e´ um homeomorfismo. 1−cos t). Como f 0 (1) = (2. f : R −→ R2 .3. Exemplo 10. Como g 0 (t) = (1 − cos t. Seja o caminho g : R −→ R2 de classe C∞ dado por g(t) = (t−sen t. f(t) = (t3 − t. Uma imersao ˜ do aberto U ⊂ Rm no espaço euclidiano Rn e´ uma aplicaçao ˜ Definiçao ´ ˜ linear diferenciavel f : U −→ Rn tal que a derivada f 0 (x) : Rm −→ Rn e´ uma transformaçao injetora para todo x ∈ U. Seja I ⊂ R um intervalo aberto. ˜ e´ imersao. 1). sen t). A composta de duas imersoes ˜ e´ uma imersao. k ∈ Z. E. f|B(a.˜ Forma Local das Imersoes 10 ˜ Forma Local das Imersoes ˜ 10. 1) + s(1. k ≥ 1. (ou nao) Mas.1. Em particular m ≤ n. −2). L1 e´ a unica reta ´ Fig. 0). seu vetor velocidade f 0 (t) 6= 0 para todo t ∈ I. se f 0 (a) : Rm −→ Rn e´ injetora ˜ pelo teorema 7. temos que L1 = {(0. 1) | s ∈ R} 6= L2 = {(0. Rn ) e´ cont´ınua no ponto a se. ˜ de inclusao ˜ dada por f(x) = (x.1. coincide localmente. existe δ > 0 tal que f(t) 6= f(t1 ) para todo t ∈ J = (t1 − δ. ˜ pode nao ˜ gente a` imagem f(I) no ponto f(t). t 6= t1 . Como uma imersao ˜ quando f(t1 ) = f(t2 ).1. neste caso.2. Observaçao ´ e so´ se.δ) e´ injetora. ˜ Observaçao ˜ 10. e´ uma imersao que f(1) = f(−1) = (0. Logo f e´ uma imersao ˜ de classe Ck .2. entao. L = {f(t) + sf 0 (t) | s ∈ R} e´ uma reta tanEntao. −1) | s ∈ R} . temos que g nao J. com a imersao ´ Exemplo 10. do sistema de coordenadas. as duas retas tangentes ser injetora. particular. pelo teorema 7. Exemplo 10. imersao ˜ para todo t ∈ I. δ) −→ f(B(a. Como f e´ linear. existe δ > 0 tal que f : B(a. 1) + s(1. ˜ pois g 0 (t) = 0 para t = 2πk. ˜ de classe C∞ da reta no plano tal Por exemplo. e so´ se. Assim. t1 + δ) ⊂ I. Frensel 235 .K. para todo x ∈ V e h. Se a derivada f 0 (a) : Rm −→ Rm+n e´ injetora. ´ Se f e´ de classe Ck . f(t) = (t3 . a imagem do caminho f : R −→ R2 . W e Z. ´ ´ f(a) sobre um fortemente diferenciavel no ponto f(a). de modo que h seja um difeomorfismo de classe Ck . de um aberto Z em Rm+n que contem ´ (a. tal que aberto V × W em Rm × Rn que contem h ◦ f(x) = (x. 9: Cicloide ´ A imagem deste caminho e´ a curva chamada cicloide. ´ ˜ 10. (Forma Local das Imersoes) ˜ fortemente diferenciavel ´ Sejam U ⊂ Rm um aberto e f : U −→ Rm+n uma aplicaçao no ponto a ∈ U. e´ uma reta. Por exemplo. se necessario. e´ poss´ıvel restringir V. k ≥ 1.´ Analise ´ Fig. 0). 10: Representaçao do Teorema da Forma Local das Imersoes 236 ´ Instituto de Matematica UFF . Ela possui uma infinidade de pontos angulares (cuspides). Nem sempre podemos identificar os pontos onde a derivada de uma Observaçao ˜ nao ˜ e´ injetora pela forma geometrica ´ aplicaçao de sua imagem. nos quais o vetor velocidade e´ igual a zero. Para t = 0. existe um homeomorfismo h : Z −→ V ×W. ˜ esquematica ´ ˜ Fig. t3 ). que nao ˜ Teorema 10. 0) . mas a` maneira como a reta esta´ parametrizada por f. 0).1.3. o vetor velocidade f 0 (0) = (0. o ˜ se deve ao aspecto de f(R). . que Alem ϕ 0 (a. 0) = (x. . 0) · (x − a. . . ϕ(x. vn . como f 0 (a) : Rm −→ Rm+n e´ injetora e Rm+n = f 0 (a)(Rm ) ⊕ F. . Seja E = f 0 (a)(Rm ). onde 0 ∈ W ⊂ Rn e a ∈ V ⊂ U. o qual podemos supor Pelo Teorema da Aplicaçao da forma V × W. tais que ´ ϕ : V × W −→ Z e´ um homeomorfismo e h = ϕ−1 : Z −→ V × W e´ fortemente diferenciavel no ponto f(a). y 0 ) ∈ B(a. y )k = kra (x ) − ra (x)k ≤ εkx − x kS ≤ ε (kx 0 − xkS + ky 0 − ykS ) = ε k(x. Entao ˜ definida por Seja ϕ : U × Rn −→ Rm+n a aplicaçao ϕ(x. . Como ϕ(x. Entao.K. . temos que hf(x) = hϕ(x. .0) (x . . βn ) ∈ Rn .0) (x. n X 0 0 ϕ (a. y) = f(x) + n X yi vi . 0). . k ≥ 1. v1 . x 0 ∈ B(a. 0) para todo x ∈ V. y) + rϕ (a. y) i=1 =⇒ rϕ (a. . vn vetores linearmente independentes tais que {w1 . ˜ Entao. . v1 . por (1). onde y = (y1 . . i=1 m ˜ se v ∈ R e w = (β1 . δ) × Rn =⇒ krϕ (a. . De fato. (1) i=1 ˜ ϕ e´ fortemente diferenciavel ´ Afirmaçao: no ponto (a. existem um aberto contendo (a. yn ). . entao Inversa. 0) + ϕ 0 (a. ´ disso. y 0 )kS . cujo inverso h e´ tambem J. ˜ Inversa. . y) − r(a. Rm+n e F o subespaço gerado pelos vetores v1 . Pelo Teorema da Aplicaçao ˜ Quando f e´ de classe Ck . δ) ⊂ Rm =⇒ krfa (x) − rfa (x 0 )k ≤ εkx − x 0 kS . y) − (x 0 . Sejam {w1 .0) (x.0) (x. concluindo a prova da afirmaçao. 0) = f(x). 0)(v. ˜ ϕ tambem ´ e´ de classe Ck . classe Ck . . y) = f(x) − f(a) − f 0 (a) (x − a) = rfa (x) . existe δ > 0 tal que x. y). temos.˜ Forma Local das Imersoes Prova. vn } e´ uma base de ˜ Rm+n = E ⊕ F. 0). . . Frensel 237 . . Como f 0 (a) e´ injetora. . . . ´ ˜ Logo ϕ e´ fortemente diferenciavel no ponto (a. V. wm } uma base de E. . dim E = m. ϕ 0 0 f 0 f 0 (x. wm . . y) = f(x) + n X yi vi = ϕ(a. w) = f (a) v + β i vi . . 0) : Rm+n −→ Rm+n e´ um isomorfismo. ´ Como f e´ fortemente diferenciavel no ponto a. (x 0 . . e um aberto Z ⊂ Rm+n . . Delgado . W e Z podem ser tomados de modo que ϕ : V × W −→ Z seja um difeomorfismo de ´ de classe Ck . 0). com f(a) ∈ Z.0) (x. y) i=1 = f(a) + f 0 (a) (x − a) + n X yi vi + rϕ (a. dado ε > 0. y). 1). restriçao ´ ˜ ξ pode ser tomada de fortemente diferenciavel no ponto f(a). a matriz Jacobiana de f no ponto a. e3 }. onde e3 = (0. I ⊂ R. Observe que ∂f1 (a)  ∂x  ∂f2 det Jϕ(a. f(V) ⊂ Z. y ∈ V. Seja ξ : Z −→ V a Seja h : Z −→ V × W a aplicaçao ˜ definida por ξ(z) = π ◦ h(z). Nesse caso. Prova. f(a) ∈ Z. e´ a projeçao ˜ sobre a aplicaçao primeira coordenada. Seja f : U ⊂ R2 −→ R3 . ponto a ∈ U. y) + z) . Entao ˜ f(V) ⊂ Z. y). Z ⊂ R3 tais que a ∈ V. a2 ) ∈ U. 0 ∈ I. k ≥ 1. f3 (x. deinimos entao ϕ : U × R −→ R3 por ϕ(x. 0) = det   ∂x (a)  ∂f 3 (a) ∂x  ∂f1  (a) 0 ∂f1  ∂y  ∂f2  ∂x (a) (a) 0 = det  ∂f2  ∂y  (a) ∂f3 ∂x (a) 1 ∂y   ∂f1 (a) ∂y  6= 0 . com f 0 (a) : Rm −→ Rm+n injetora. existem abertos V ⊂ R2 . z) = (f1 (x. f2 (x.1. ∂f2 (a) ∂y ˜ {f 0 (a)e1 . k ≥ 1. π(x. Entao. Se f e´ de classe Ck . y) = x. fortemente diferenciavel no ˜ existe um aberto V. f 0 (a)e2 . com a ∈ V ⊂ U. ∂y  ∂f3 (a) ∂y   tem posto 2. ∂f1 (a)  ∂x  ∂f2 Jf(a) =   ∂x (a)  ∂f 3 (a) ∂x ∂f1 (a)  ∂y  ∂f2 (a) . onde π : V × W −→ V. f3 ) uma aplicaçao que f 0 (a) : R2 −→ R3 e´ injetora no ponto a = (a1 . ˜ obtida no teorema acima. y) = (x. por exemplo.4. onde h = ϕ−1 : Z −→ V × I e´ tambem ´ ´ Corolario 10. f = (f1 . ∂f2 (a) ∂y ˜ Pela forma local das imersoes. e´ uma base de R3 . x. y. tal Exemplo 10. 238 ´ Instituto de Matematica UFF . y. Seja f : U −→ Rm+n definida no aberto U ⊂ Rm . ˜ Jf(a) possui um menor de ordem 2 nao-nulo. tal que f : V −→ f(V) e´ um homeomorfismo e o homeomorfismo inverso f−1 : f(V) −→ V e´ a ˜ de uma aplicaçao ˜ cont´ınua ξ : Z −→ V definida num aberto Z em Rm+n .  ∂f1  ∂x (a) det  ∂f 2 (a) ∂x  ∂f1 (a) ∂y  6= 0 . ou seja. 0) para todo ´ de classe Ck . 0. ϕ : V × I −→ Z e´ um difeomorfismo de classe Ck e h ◦ f(x.´ Analise ˜ de classe Ck . f2 . entao classe Ck . ˜ Entao Se. Este resultado pode ser provado diretamente.˜ Forma Local das Imersoes ˜ ξ e´ cont´ınua. temos que f : V −→ f(V) e´ uma bijeçao e ξ|f(V) = f−1 : f(V) −→ V. ˜ 10. ξ 0 (f(a))(w) = π 0 (h(f(a))) ◦ h 0 (f(a))(w) = π(h 0 (f(a))(w)) . temos que z. temos que se f e´ de classe Ck . existe δ > 0 tal que z. δ) =⇒ krξf(a) (z) − rξf(a) (w)kS = kπ(rhf(a) (z) − rhf(a) (w))kS ≤ krhf(a) (z) − rhf(a) (w)kS ≤ εkz − wk .K. Como h e´ fortemente diferenciavel ´ Entao em f(a). ˜ f : V −→ f(V) e´ um homeomorfismo. 0) = x para todo x ∈ V.6. como kπk = sup {kπ(x. pela observaçao ˜ 7. pois. e. ˜ rξf(a) (z) = π(rhf(a) (z)). podemos tomar V ⊂ Rm . temos que ξ 0 (f(x)) ◦ f 0 (x) = Id : Rm −→ Rm . e f 0 (a) : Rm −→ Rm+n e´ injetora. dado ε > 0. Entao ´ a ∈ V. temos.4. Alem ´ disso. de modo que f : V −→ f(V) seja cont´ınua. que h e´ de classe Ck . Se f e´ de classe Ck . Como consequencia ˆ ´ Observaçao deste corolario. ˜ Como ξf(x) = πh(f(x)) = π(x. w ∈ B(f(a). w ∈ B(f(a). y)kS = 1} = sup {kxkS | kxkS + kykS = 1} = 1 . num aberto V de Rm que contem De fato. como ξ ◦ f(x) = x para todo x ∈ V. Logo ξ = π ◦ h e´ de classe Ck . ξ e´ fortemente difeEntao ´ renciavel no ponto f(a). portanto. uma vez que f e´ fortemente diferenciavel em a. entao ´ a. Frensel 239 . pelo teorema acima. ξ(f(a)) = π ◦ h(f(a)) = a. Logo. ξ(z) = π(h(z)) = ξ(f(a)) + ξ 0 (f(a)) (z − f(a)) + rξf(a) (z) = π(h(f(a))) + π(h 0 (f(a))(z − f(a))) + rξf(a) (z) . ´ Portanto ξ e´ fortemente diferenciavel no ponto f(a). pois h e´ cont´ınua e π e´ de classe C∞ . Delgado . J. Logo f 0 (x) e´ injetora para todo x ∈ V. δ) =⇒ krhf(a) (z) − rhf(a) (w)kS ≤ εkz − wk . De fato. y)kS | k(x. ˜ f 0 (x) : Rm −→ Rm+n e´ injetora para todo x k ≥ 1. . . . . . im } e J = {j1 . δ). . . grad f(x) 6= 0 para todo x ∈ U. m + n}. m ≥ n. Como Aik ∈ Rm para todo k = 1. i1 . 11 ˜ Forma Local das Submersoes ˜ 11. portanto. . tomando T = f 0 (a). . como o subespaço gerado por {ei1 . f 0 (x) tem posto m e. . . . im ∈ {1. . df(x) 6= 0 para todo x ∈ U. ejn }. portanto. Sejam Ai1 = (ai1 1 . . . δ). . Como um funcional linear e´ sobrejetivo ou nulo. . . . ´ disso. pois posto-linha de uma matriz = posto-coluna da matriz. . {Ai1 . . Aim } e´ uma base de Rm e. . . . portanto. .2. e´ injetora para todo x ∈ B(a. o deter˜ Ai1 . Aim e´ diferente de zero. aim m ) os m vetores-linha de A linearmente independentes. . se fez uma partiçao m+n ˜ consideramos Rm Dada a partiçao.1. . e so´ se. . Rm+n ) −→ R. minante da matriz m × m cujas linhas sao ˜ ϕ : L(Rm . . . m linhas linearmente independentes. 240 ´ Instituto de Matematica UFF .1. Uma decomposiçao ˜ em soma direta do tipo Rm+n = Rm Definiçao I ⊕ RJ significa que ˜ {1. . . onde I = {i1 . ou diferenciavel f : U ⊂ Rm −→ R e´ uma submersao seja. . . De fato. e so´ se. . . existe δ > 0 tal que Alem kx − ak < δ =⇒ kf 0 (x) − f 0 (a)k < ε .2. ou seja. . m + n} = I ∪ J. . e´ cont´ınua e ϕ(T ) 6= 0. . . Rm+n ) e´ cont´ınua. . . . im da matriz de S em relaçao ˜ as ` bases minante da matriz m×m cujas linhas sao ˆ canonicas de Rm e Rm+n . ˜ 11. . jn } sao ˜ disjuntos. Aim = (aim 1 . ai1 m ). Logo ϕ(f 0 (x)) 6= 0 para todo x ∈ B(a. A composta de duas submersoes ˜ e´ uma submersao. eim } e I ⊂ R RnJ ⊂ Rm+n como o subespaço gerado por {ej1 . ˜ Observaçao n ˜ 11. . e´ ˜ quando f 0 (x) : Rm −→ Rn e´ uma transformaçao ˜ linear sobrejetora para todo uma submersao x ∈ U. . temos que uma funçao ˜ Observaçao ´ ˜ se. . . existe ε > 0 tal que kS − T k < ε =⇒ ϕ(S) 6= 0. . . . Em particular. Uma aplicaçao ˜ diferenciavel ´ Definiçao f : U −→ Rn definida num aberto U ⊂ Rm . . que associa a cada transformaçao ˜ linear S o deterSendo a aplicaçao ˜ as linhas i1 .´ Analise ˜ linear injetora. se. . como f 0 : U −→ L(Rm . seja T : Rm −→ Rm+n uma transformaçao ˜ a matriz A = (aij ) de T em relaçao ˜ as ` bases canonicas ˆ Entao de Rm e Rm+n tem m colunas linearmente independentes e. m. . ˜ 11. . . Tem+n } geram Rn . . . . y). f(x. R2I e´ gerado por {e1 . seja ˜ sobre a segunda coordenada. existe J = {j1 . . . . . z3 ) gerado por {e2 }. m + n} = I ∪ J fornece a Se I = {i1 . . Tejn } e´ uma base de Rn . com lim v→0 v∈E r(v) = 0. ˜ {1. . .3. . . escrevemos os elementos de n Rm+n como pares z = (x.3. kvk J. Dada uma decomposiçao I ⊕ RJ . . yjn ).˜ Forma Local das Submersoes n ˜ todo vetor z ∈ Rm+n se escreve. seja R3 = R2I ⊕ RJ . 0.1. onde I = {1. . como os vetores {Te1 . . de modo unico. . Entao como z = x + y. . onde x = (z1 . e so´ se. . Logo f e´ uma submersao ˆ matriz Jacobiana de f tem como linhas os vetores ej1 . ejn da base canonica de Rm+n . ˜ 11. ˜ T |RnJ e´ um isomorfismo se. . Dizemos que f e´ diferenciavel ao longo de E no ponto a quando existe uma transformaçao linear ∂E f(a) : E −→ Rn . onde x ∈ Rm I e y ∈ RJ . Rm+n = Rm I ⊕ RJ e I e RJ . Entao e y = (0. m + n} tal que {Tej1 . chamada a derivada de f ao longo de E no ponto a. ˜ T |RnJ : RnJ −→ Rn e´ um isomorfismo. . e3 } e RJ e´ ˜ todo z = (z1 . a + v ∈ U =⇒ f(a + v) = f(a) + ∂E f(a) · v + r(v) . . onde x ∈ Rm ´ I e y ∈ RJ . ˜ linear T em relaçao ˜ as ` bases canonicas ˆ Seja A = (aij ) a matriz n × (m + n) da transformaçao de Rm+n e Rn . Delgado . . . existe uma Observaçao n ˜ T |RnJ : RnJ −→ Rn e´ ˜ em soma direta do tipo Rm+n = Rm ¸ ao decomposiçao I ⊕ RJ tal que a restric um isomorfismo. . f : Rm+n −→ Rn a projeçao ˜ ea Como f e´ linear. . n n ´ a soma direta dos subespaços Rm Assim. ou seja.K. Seja f : U −→ Rn definida no aberto U ⊂ Rm e seja E ⊂ Rm um subespaço Definiçao ´ ˜ vetorial. jn } ⊂ {1. y) = f para todo z = (x. Tejn } de Rn . Dada uma transformaçao ˜ linear sobrejetora T : Rm+n −→ Rn . ou seja. . . . . . z2 . . . a partiçao n ˜ em soma direta Rm+n = Rm decomposiçao I ⊕ RJ . Por exemplo. pois transforma a base {ej1 . a submatriz n × n da matriz A cujas colunas sao ˜ as n Entao colunas da matriz A cujos ´ındices pertencem ao conjunto J tem determinante diferente de zero. y). temos f 0 (x. . . tal que v ∈ E . y) ∈ Rm+n . z3 ) ∈ R3 se escreve como z = (x. n ˜ em soma direta do tipo Rm+n = Rm Exemplo 11. 3} e J = {2}. Frensel 241 . . . ˜ 11. z2 . . . 0). De fato. ejn } de RnJ na base Entao {Tej1 . im } e´ o conjunto dos ´ındices restantes. y) = y = (yj1 . . n ˜ em soma direta Rm+n = Rm Uma vez dada a decomposiçao I ⊕ RJ . . 5. f(a)) tal que f ◦ h(e x. Rm I . . . o exemplo 11. o caso mais geral de uma as n ultimas coordenadas. dada uma submersao ˜ sobre coordenadas em torno de cada ponto do seu dom´ınio de modo que f seja a projeçao ´ localmente. y)) = ((zi1 . e´ poss´ıvel obter novas O teorema abaixo diz que. . onde a ´ restringir V. ˜ ϕ : U −→ Rm × Rn definida por Seja c = f(a) e consideremos a funçao ϕ(x. . f(x. y) = (e x. aim ). W e Z. w) ∈ Rm I ⊕ RJ . k ≥ 1.6. a derivada de f no ponto a ao longo de aplicaçao ´ indicada por ∂1 f(a) e a derivada de f no ponto a ao longo de RnJ . Mesmo no caso da decomposiçao ˜ usual R2 = R ⊕ R. ˜ onde z = x + y.1 e.´ Analise ˜ 11. n ˜ 11. f1 = (ai1 .4. ou seja. caso exista. ˜ 11. se necessario. w) ∈ V × W. entao . . Entao. Dadas uma decomposiçao ˜ em soma direta do tipo Rm+n = Rm Definiçao I ⊕ RJ e uma ˜ f : U −→ Rp definida no aberto U ⊂ Rm+n . ˜ Teorema 11. com a ∈ Z ⊂ U ⊂ Rm+n . y)) . a ´ fortemente diferenciavel no ponto (f a1 . Estas sao n ˜ Rm+n = Rm decomposiçao I ⊕ RJ . Prova. entao neste ponto ao longo de qualquer subespaço E ⊂ Rm com ∂E f(a) = f 0 (a)|E . I n ∂2 f(a) = f 0 (a)|RnJ e. para qualquer u = (v. entao f1 ∈ V ⊂ Rm . podemos para todo (e x. e ˜ as derivadas parciais de f no ponto a relativamente a` e´ representada por ∂2 f(a). Se f e´ de classe Ck . . mais precisamente. (Forma Local das Submersoes) ˜ definida no aberto U ⊂ Rm+n e fortemente diferenciavel ´ Seja f : U −→ Rn uma aplicaçao no ponto a ∈ U. ˜ f de classe C1 . se e´ dada uma n ˜ em soma direta do tipo Rm+n = Rm decomposiçao I ⊕ RJ tal que a = a1 + a2 = (a1 . de modo que h seja um difeomorfismo de classe Ck . .1. w) = w . f(x. . Se f : U −→ Rp e´ diferenciavel ´ ˜ ∂1 f(a) = f 0 (a)|Rm Observaçao no ponto a. f 0 (a)u = f 0 (a)(v + w) = f 0 (a) v + f 0 (a) w = ∂1 f(a)v + ∂2 f(a)w . W e derivada parcial ∂2 f(a) = f 0 (a)|RnJ : RnJ −→ Rn e´ um isomorfismo. Se f e´ diferenciavel ´ ˜ f e´ diferenciavel ´ Observaçao no ponto a. a2 ) e a ˜ existem abertos V. ´ ˜ submersao. 242 ´ Instituto de Matematica UFF .4. Se f 0 (a) : Rm+n −→ Rn e´ sobrejetora ou. f(a) ∈ W ⊂ Rn e um homeomorfismo h : V × W −→ Z Z. uma funçao ˜ Observaçao ´ f : U ⊂ R2 −→ R pode ser diferenciavel ao longo de cada um dos subespaços R sem ser ´ diferenciavel em R2 . zim ). ˜ 11. caso exista. . ´ Logo ϕ e´ fortemente diferenciavel no ponto a = (a1 . k=1 J. . . Delgado . y) = (0. f(x. ∂1 f(a)v + ∂2 f(a)w) . δ) =⇒ krfa (x + y) − rfa (x 0 + y 0 )kS ≤ εkx + y − (x 0 + y 0 )k = εkz − z 0 k ϕ 0 0 f f 0 0 =⇒ krϕ a (x. vf m ). y) − ra (x . dado ε > 0. como f1 ). a2 ). ´ Como f e´ fortemente diferenciavel no ponto a = a1 + a2 .˜ Forma Local das Submersoes 0 0 ϕ (a)(v. z 0 = x 0 + y 0 ∈ B(a. 11: Representaçao do teorema da forma local das submersoes ˜ ϕ e´ fortemente diferenciavel ´ Afirmaçao: no ponto a = (a1 . ϕ 0 (a) : Rm+n −→ Rm × Rn e´ um isomorfismo. k=1 ˜ esquematica ´ ˜ Fig. z) ∈ Rm × Rn e. ra (x + y)) . onde v = m X vek eik e e v = (ve1 . Frensel 243 . f (a)(v. pois dado (e Alem v. w) = (e v. ´ disso. ra (x + y) − ra (x + y ))kS = krfa (z) − rfa (z 0 )kS ≤ εkz − z 0 k . y )kS = k(0. considerando os vetores m X v= vek eik ∈ Rm I e w = (∂2 f(a))−1 (z − ∂1 f(a)v) ∈ RnJ . y) . f 0 (a)(x + y − (a1 + a2 ))) + rϕ ϕ(x. y) = (e x. a2 ) = a1 + a2 . existe δ > 0 tal que z = x + y . temos que f rϕ a (x. y)) = (f a1 . De fato.K. w)) = (e v. f(a)) + ((e x−a a (x. . . f(a)) = (f a1 . entao Z podem ser tomados de modo que ϕ seja um difeomorfismo de classe Ck de Z sobre V × W ´ e´ de classe Ck . Entao f(A) = f ◦ h ◦ h−1 (A) = π ◦ h−1 (A) . w) = m X x k ei k e k=1 f(h(e x. . w)) = w para todo (e x. Entao ∂2 f(a) : RnJ −→ Rn e´ um isomorfismo se. para u = (v. h2 (e x. o qual pode ser tomado da forma V × W. que: ϕ 0 (a)u = (e v. k ≥ 1. Pelo Teorema da Aplicaçao ˜ Inversa. ˜ Entao h(e x. para todo A ⊂ Z aberto. e seja A ⊂ Z um con˜ junto aberto.´ Analise temos. ∂1 f(a)v + z − ∂1 f(a)v) = (e v. . c ∈ W. w)) . ´ ˜ de classe Ck . com inverso h fortemente Pelo Teorema da Aplicaçao ´ diferenciavel no ponto ϕ(a) = (f a1 . ∂1 f(a)v + ∂2 f(a)w) = (e v. ou seja. e so´ se. ˜ ϕ e´ de classe Ck . w)) . f(A) contendo a em Rm+n tal que f|Z e´ uma aplicaçao e´ aberto em Rn . h−1 (A) e´ um conjunto aberto e. w) = v + w. temos que h1 (e x. xm ). Toda submersao Corolario n n ˜ 11. . onde e x = (x1 . w) + h2 (e x. ˜ Inversa. Seja f : U −→ Rn uma aplicaçao ´ ˜ existe um aberto Z diferenciavel no ponto a ∈ U. Logo ϕ 0 (a) : Rm+n −→ Rm × Rn e´ sobrejetora e. a matriz 244 ´ Instituto de Matematica UFF . π : V × W −→ W e´ uma aplicaçao Logo f(A) e´ aberto para todo aberto A ⊂ Z. π(h−1 (A)) e´ aberto.7. z) . com V aberto em Rm . de um aberto Z ⊂ Rm+n contendo a sobre um f1 ∈ V. Na decomposiçao ˜ Rm+n = Rm ´ o subespaço de Rm+n gerado Observaçao I ⊕ RJ . w) ∈ V × W. aberto contendo (f a1 . portanto. entao ˜ aberta. . w) = ϕh(e x. ϕ e´ um homeomorfismo. Prova. c). jn } da base canonica de Rm+n . fortemente Corolario 11. j ∈ J = {j1 . Seja h : V × W −→ Z o homeomorfismo dado pelo teorema acima. w). .2. ˜ Como h e´ cont´ınua. f(a) ∈ int f(U). portanto. . seu inverso h tambem ´ ˜ definida no aberto U ⊂ Rm+n . a e W aberto em Rn .1. Se f 0 (a) : Rm+n −→ Rn e´ sobrejetora. Em particular. Como (e x. w) = h1 (e x. c). W e Se f e´ de classe Ck . w) = (h1 (e x. e´ uma aplicaçao ˜ aberta. um isomorfismo. pois a projeçao ˜ aberta. w) + h2 (e x. V. e. 11. RJ e ˆ ˜ a derivada parcial pelos vetores ej . w) = ϕ(h1 (e x. . portanto. n onde h1 : V × W −→ Rm I e h2 : V × W −→ RJ . ´ pode ser provado diretamente como no caso das imersoes. . ˜ Este resultado tambem pois f 0 (a) : Rm+n −→ Rn e´ sobrejetora se. . Se f e´ de classe Ck . . ordem n com determinante 6= 0 (ver observaçao ˜ Impl´ıcita) Teorema 11. a matriz Jacobiana Jf(a) tem um menor de ˜ 10. tem determinante diferente de zero. onde e x = (x1 . . w)) h 0 (x. ξ(x))]−1 ◦ [∂1 f(x. Como f ◦ h = π. xm ) e x = xk eik . jn } . w) = π . Se f : U ⊂ Rm+n −→ Rn e´ de classe Ck e f 0 (a) : Rm+n −→ Rn e´ sobreObservaçao ˜ f 0 (z) : Rm+n −→ Rn e´ sobrejetora para todo z num aberto Z jetora para algum a ∈ U. vm ) ∈ R . e so´ se. Delgado . f 0 (h(x. ˜ linear Logo f 0 (z) e´ sobrejetora para todo z ∈ Z. i=1 f1 e sua derivada ˜ ξ : V −→ RnJ assim definida e´ fortemente diferenciavel ´ A aplicaçao no ponto a neste ponto e´ ξ 0 (f a1 ) · e v = −(∂2 f(a))−1 ◦ (∂1 f(a)) · v . n}. j ∈ {j1 . .8. . . ´ ˜ ξ : V −→ RnJ fortemente diferenciavel ´ Em resumo: f−1 (c) ∩ Z e´ o grafico da aplicaçao no ponto f1 . ξ(e x)) = c. entao ˜ ξ e´ de classe Ck . . que para todo (x. entao x ∈ V e´ ξ 0 (e x) = −[∂2 f(x. onde v = m X vk e i k . fortemente diferenciavel ´ Seja f : U −→ Rn uma aplicaçao no ponto a ∈ U. m para todo e v = (v1 . .˜ Forma Local das Submersoes ∂fi (a) ∂xj . w) = π 0 (x. seja h : V × W −→ Z o difeomorfismo de classe Ck dado pela forma local das sub˜ mersoes. Se f 0 (a) : Rm+n −→ Rn e´ sobrejetora ou. . com a seguinte propriedade: para cada e x ∈ V ha´ um unico ξ(e x) ∈ RnJ tal que ´ m X (x.2. temos. ˜ 11. De fato. . . entao contendo a. .4). . entao Rm+n contendo a. i ∈ {1. k=1 ˜ ξ e´ de classe Ck e sua derivada num ponto qualquer e Se f e´ de classe Ck . n ´ uma decomposiçao ˜ em soma direta tal que a = (a1 . a J. a2 ) e a derivada se Rm+n = Rm I ⊕ RJ e f1 e Z ⊂ U ⊂ ˜ existem abertos V ⊂ Rm contendo a ∂2 f(a) : RnJ −→ Rn e´ um isomorfismo. Frensel 245 . pois Z = h(V × W) e π e´ uma transformaçao sobrejetora. (Teorema da Aplicaçao ˜ definida no aberto U ⊂ Rm+n . w) ∈ V × W. com f(a) = c. v2 . mais precisamente. n×n obtida da matriz Jacobiana de f no ponto a escolhendo as n colunas cujos ´ındices pertencem a J. k ≥ 1. . pela Regra da Cadeia. ξ(x))] . ξ(e x)) ∈ Z e f(x.K. . Se ξ(ex) = Observaçao Graf(ξ) = n X ˜ ξ` (e x)ej` .9.´ Analise ˜ ξ diz-se definida implicitamente pela equaçao ˜ f(x. y) = c. A aplicaçao ˜ 11. entao `=1 m X xk eik + k=1 m X `=1 . . . ξ` (e x)ej` . . . . . e x = (x1 . . xm ) ∈ V . ou seja. k=1 ξ 0 (e x) e v = −[∂2 f(x. Reciprocamente. ξ(e x)) = c. para todo e v ∈ Rm : ξ 0 (f a1 ) e v = −[∂2 f(a)]−1 [∂1 f(a)] v . h2 (e x. xk eik + ξ(e x) ∈ Z e (x. c). ξ(e x)) = f(h(e x. y) = h(e x. Logo y = ξ(e x). pela regra da cadeia. ´ ´ Como ξ(e x) = h2 (e x. a2 ). y) = m X k=1 x k ei k + n X ˜ y` ej` ∈ Z. temos que ξ e´ fortemente difef1 e (a1 . f(a)) = a e m X h(e x. Prova. ξ(e x)) ∈ Z e f(x. vm ). . ξ(e x))] · v . y) = h ◦ ϕ(x. se f e´ de classe Ck . ξ(e x))]−1 [∂1 f(x. Alem Finalmente. Entao. xk ) ∈ V e f(x. ˜ dado pela forma local das submersoes. derivando a igualdade f(x. ξ(e x)) = f(x. w) = (x. quando f e´ de classe Ck . . x ∈ V existe um unico ξ(e x) ∈ RnJ tal que (x. . xk ) ∈ V. w)) = xk eik + h2 (e x. ξ(e x)) = c. . c) = a. k=1 para todo e x = (x1 . pela Regra da Cadeia. w) . ´ Seja h : V × W −→ Z o homeomorfismo fortemente diferenciavel no ponto (f a1 . ˜ para cada e Entao. que: 0 = f 0 (x. . f(a)) = (f a1 . ξ(e x))v + ∂2 f(x. pois h2 e´ de classe Ck . . ξ(f ´ renciavel no ponto a a1 )) = h(f a1 . . ξ(e x))(v. y) = c. c) para todo e x ∈ V e h2 : V × W −→ RnJ e´ fortemente diferenciavel no ponto f1 . . e x = (x1 . temos que ξ e´ fortemente diferenciavel no ponto a ´ disso. entao ˜ ξ e´ de classe Ck . c) = (x. obtemos. . entao `=1 (x. ξ(e x)) · ξ 0 (e x) v . h2 (e x. 246 ´ Instituto de Matematica UFF . para todo e v ∈ Rm . se (x. ´ (f a1 . . onde v = m X vk eik e e v = (v1 . Logo. . k=1 ˜ ξ:V Defina a aplicaçao −→ RnJ m X ˜ por ξ(e x) = h2 (e x. ξ(e x)) . onde h(f a1 . ´ Se f e´ apenas fortemente diferenciavel no ponto a = (a1 . c). c). c)) = c . . ξ 0 (e x)e v) = ∂1 f(x. c)) = (x. z). z). k ≥ 1. ϕ : Z −→ I × W e´ um difeomorfismo de classe Ck . temos que Entao. Logo f−1 (c) ∩ Z e´ o grafico da aplicaçao (1) (2) ξ(x) = h2 (x. y. c2 )) = (c1 . c1 . f2 ). tais que a ∈ Z. f(a))  Entao e    1 0   0 ∂f1 ∂f1   (a)  ∂f   (a) ∂f1 ∂f1 1 ∂x ∂z   = Jϕ(a) = det  = − det  ∂x (a) ∂y (a) ∂z (a)  ∂f  6 0. y. y.O Teorema do Posto ˜ de classe Ck . ∂f2 2   (a) (a)  ∂f  ∂f2 ∂f2 ∂x ∂z 2 (a) (a) (a) ∂x ∂y ∂z pois estamos supondo que {f 0 (a)e1 . tal Exemplo 11. h2 (x. y. onde I = {2}. c1 . f = (f1 . z)) . c1 . y. 3}. z) = (y. f2 (x. existem abertos Z ⊂ R3 . x.2. e´ tambem (2) (1) f(h2 (x. y. uma aplicaçao que. z) = (h2 (x. z) ∈ I × W. c2 )e1 + h2 (x. z) para todo (x. alem Definimos ϕ : U −→ R × R2 por ϕ(x. ´ ˜ de classe Ck ξ : I −→ R2J . ou seja. c1 . f1 (x. ˜ ϕ(a) = (a2 . ˜ se f(a) = c = (c1 . a2 . c2 ) = c . Seja f : U ⊂ R3 −→ R2 . f 0 |R2J (a) e´ um isomorfismo. x. c2 ). no ponto a = (a1 . e´ gerado por {e2 } e R2J e´ gerado por {e1 . f ◦ h(x. e3 } e. ˜ de R3 . J = {1. f−1 (c) ∩ Z = 12 . f 0 (a)e3 } e´ uma base de R2 . z) = (y. ou seja. (2) (1) h(x. f 0 (a) : R3 −→ R2 e´ sobrejetora. z)) = (y. z)) ´ de classe Ck . dada por para todo x ∈ I. h2 (x. c2 ). z). h2 (x. a2 ∈ I. RI Suponhamos que R3 = RI ⊕ R2J e´ uma decomposiçao ´ disso. y. x. y. pela forma local das submersoes. z). a3 ) ∈ U. ˜ Logo. y. h = ϕ−1 : I × W −→ Z. W ⊂ R2 . ou seja. c2 )e3 . I ⊂ R. (2) (1) f(h2 (x. f(a) ∈ W. y. . (1) (2) h2 (x. c1 . x. h2 (x. c1 . c2 ) . e2 ). O Teorema do Posto ˜ 12. Portanto. . Delgado . ou seja. ´ ´ equivalentemente. . .K. x ∈ I . O posto de uma transformaçao ˜ linear T : Rm −→ Rn e´ a dimensao ˜ da imaDefiniçao ´ gem T (Rm ). o numero maximo de colunas LI da matriz de T . ou. Frensel 247 . T (em ). . o numero maximo de vetores LI entre os vetores T (e1 ). o posto de T e´ ´ J.1. y) ∈ U so´ pode Se f : U ⊂ R2 −→ R2 e´ holomorfa e f = u + iv. ∂x ∂y ˜ f : R2 −→ R2 . y) ∂y 2 =0 ∂u ∂u (x. y) = 0. Observaçao ˜ f : U −→ Rn . y) = (x. Jf(x. mas qualquer determinante menor de ordem r + 1 e´ igual a zero. 248 ´ Instituto de Matematica UFF . definida no aberto U ⊂ Rm . tem posto m em todos os pontos x ∈ U • Uma imersao e m ≤ n. y) ∂x Logo det Jf(x. imersoes ˜ 12. y). y)  Jf(x. com y 6= 0. y2 ). y) = (x3 . o posto de f e´ 1 nos pontos regulares e zero nos pontos cr´ıticos de f.1. y) 2 + ∂u (x. y) ∂y . O posto de T e´ igual a r se. e so´ se. 0 2y Logo: • f tem posto 2 nos pontos (x. a matriz de T possui um determinante Observaçao ˜ menor r × r nao-nulo. y) = se. com x 6= 0 e nos pontos (0. O posto de f no ponto x e´ ≤ m e ≤ n. pelas equaçoes  ∂u (x. O posto de uma aplicaçao ˜ diferenciavel ´ Observaçao f : U ⊂ Rm −→ Rn . ∂u (x. ˜ 12.´ Analise ´ o numero ´ tambem maximo de linhas linearmente independentes da matriz de T . em geral. Quando n = 1. ˜ g : U ⊂ Rm −→ Rn tem posto n em todos os pontos x ∈ U e m ≥ n. varia de ponto para ponto. y) = . y) e´ a matriz nula. y) =  ∂x ∂u − (x. tem matriz Jacobiana Finalmente.2. y) ∂y  ∂u (x. ˜ 12. • Uma submersao ˜ e submersoes ˜ sao ˜ aplicaçoes ˜ de posto maximo. se. ∂u ∂x (x. entao ser 2 ou 0. • f tem posto 0 na origem. ˜ de Cauchy-Riemann De fato. O posto de uma aplicaçao ˜ diferenciavel ´ Definiçao f : U −→ Rn num ponto x ∈ U ⊂ Rm e´ o posto da sua derivada f 0 (x) : Rm −→ Rn . ˜ seu posto em um ponto (x. ou seja. e so´ se. e so´ se. y).2. • f tem posto 1 nos pontos (x. ´ Portanto.3. 0). dada por f(x. com x 6= 0 e y 6= 0. ´ ˜ 12. a aplicac ! ¸ ao 3x2 0 Jf(x. como f 0 : U −→ L(Rn . Exemplo 12. segunda variavel. existe δ > 0 tal que este menor e´ nao-nulo em todos os pontos da bola de centro a e raio δ. y1 ) = f(x. ˜ pela observaçao ˜ 12. o posto de f em x e´ ≥ r para todo x ∈ B(a. y 0 ). J. Se X = V ⊕ W = {x + y | x ∈ V . Isto e. Rm ) e´ cont´ınua. para todo t ∈ [0. entao ´ ´ f(x. aplica E isomorficamente sobre RI . ou seja.4. x + (1 − t)y 0 + ty 00 ∈ X para todo t ∈ [0. y) = x.2. ˜ como y2 − y1 ∈ RnJ . 1]. 1]. ˜ m.O Teorema do Posto ˜ 12. n ˜ 12. y 0 ) . Logo λ e´ constante em [0. Seja U ⊂ Rm+n = Rm I ⊕ RJ um aberto verticalmente convexo. 1] −→ Rp o caminho λ(t) = f(x + (1 − t)y1 + ty2 ). y 00 )] ⊂ X . y 00 ) ∈ X =⇒ [(x. λ 0 (t) = lim s→0 f(x + y1 + (t + s)(y2 − y1 )) − f(x + y1 + t(y2 − y1 )) s = ∂2 f(x + y1 + t(y2 − y1 )) (y2 − y1 ) = 0 . o posto de f e´ uma Observaçao ˜ semi-cont´ınua inferiormente com valores inteiros. Frensel 249 .1. Sejam (x. De fato. y ∈ W}. ´ se posto f(a) = r. δ) ⊂ U e o posto de f em x e´ ≥ r para todo x ∈ B(a.1. onde V ⊂ Rm I e W ⊂ RJ e ˜ X e´ verticalmente convexo.K. (x. entao n p Lema 12. y1 ). existe um determinante menor r × r da matriz Jf(a) que e´ diferente de zero. λ(0) = λ(1). Prova. Seja E ⊂ Rm+p um subespaço vetorial de dimensao p ˜ em soma direta Rm+p = Rm ˜ sobre a primeira coordenada posiçao ¸ ao I ⊕ RJ tal que a projec m π : Rm+p −→ Rm I . δ). entao ˜ existe funçao δ > 0 tal que B(a. y2 ). (x. (x. como o posto de f em a e´ igual a r. Se f : U −→ R ˜ f independe da possui segunda derivada parcial ∂2 f. ˜ Logo. Se f : U ⊂ Rm −→ Rn e´ uma aplicaçao ˜ de classe C1 . y2 ) para quaisquer (x. ou seja. Entao ˜ existe uma decomLema 12. Em particular. Entao. Entao. Dada uma decomposiçao ˜ Rm+n = Rm Definiçao I ⊕ RJ . y2 ) ∈ U. 1]. y1 ) = f(x. e seja λ : [0. n ´ convexo. π(x. isto e. a qual e´ identicamente nula em U. f(x. y1 ). y2 ) ∈ U. δ).3. dizemos que um conjunto X ⊂ Rm+n e´ verticalmente convexo quando (x.1. Delgado . (x. π|E : E −→ Rm I e m ´ um isomorfismo. . Entao ´ sobrejetora. ej1 . ejp . x ∈ Rm ¸ ao Seja π : Rm I I ⊕ RJ −→ RI a projec ˜ π(z) = x. . . ejp } e´ uma base de Rm+p . . e posto constante m em cada ponto Seja f : U −→ Rm+p uma aplicaçao ˜ para cada ponto a ∈ U. . 250 ´ Instituto de Matematica UFF . . . . tais que. m + p} − {j1 . Se E1 6= Rm+p . . para todo (x. . ej2 } sao ˜ LI e geram um subespaço de Rm+p de dimensao ˜ m + 2. . 0) . . 0). . ProsEntao ˆ seguindo desta maneira. . . ˜ do Teorema do Posto: Cada uma das fibras da vizinhança Z de a e´ transformada por Descriçao f num unico ponto. . Seja x ∈ Rm I . . . . . ambos de classe Ck . V × W em Rm × Rn sobre um aberto Z ⊂ U contendo o ponto a e um difeomorfismo β de um aberto Z 0 ⊂ Rm+p . . Rm+p = Rm I ⊕ RJ e R p m ˜ sobre a primeira coordenada. Se E 6= Rm+p . . . E1 de Rm+p de dimensao ˜ {u1 . p m+p = E ⊕ RpJ . existe j2 ∈ {1. . . ej1 . Assim. . Como dim E = m = dim Rm I . ou seja. onde Sejam RpJ o subespaço gerado por {ej1 . tal que f(Z) ⊂ Z 0 .´ Analise ˜ π e´ um isomorfismo de E sobre Rm Fig. im } = {1. k ≥ 1. . m + p} tal que ej2 6∈ E1 . portanto. ej1 } sao ˜ LI e geram um subespaço existe j1 ∈ {1. . obtemos p vetores ej1 . . . entao ˜ existem x1 ∈ E e y1 ∈ RpJ tais que x = x1 + y1 . do mesmo modo que cada segmento vertical x×W em V ×W e´ transformado ´ por β ◦ f ◦ α no ponto (x. se z = x + y. m + p} tal que ej1 6∈ E. um . 12: A projeçao I Prova. y) ∈ V × W: β ◦ f ◦ α(x. . . . . . . Se E = Rm+p . . Seja {u1 .1. existem um difeomorfismo α de um aberto do aberto U ⊂ Rm+n . . da base canonica de Rm+p tais que {u1 . . . (Teorema do Posto) ˜ de classe Ck . ˜ ha´ nada a demonstrar. um . . um } uma base de E. jp }. Entao ˜ m + 1. y) = (x. . . ¸ o gerado por {ei1 . . . . sobre um aberto V × W 0 em Rm × Rp . . . Logo x = π(x) = π(x1 + y1 ) = π(x1 ) e. Entao. temos que π|E : E −→ RI e Teorema 12. . . . nao ˜ {u1 . eim }. um . . ejp } e Rm I o subespac {i1 . e y ∈ RpJ . existe uma decomposiçao I ⊕ RJ ˜ sobre a primeira coordenada π : Rm+p −→ Rm ´ um isomorfismo tal que a projeçao I . e ´ um isomorfismo. . Seja T : Rm+p −→ Rm+p a transformaçao k = m + 1. . y)ej` . w) = x. y) = λ(x. y)). y) = p X m X ˜ λ : V0 × W −→ RpJ . π(x. π : E −→ Rm I e ˜ linear tal que T (ek ) = eik . w) = x. e´ de classe Ck . x2 . . existe um difeomorfismo α de classe Ck de um aberto V0 × W ⊂ Rm × Rn sobre um aberto Z0 contendo a em Rm+n tal que π ◦ f ◦ α(x. ˜ mersoes. dada por xk eik + λ(x. . m e T (ek ) = ejk−m . e seja π = L ◦ T −1 ◦ π.2. λ1 (x. . . λp (x. . m + p. Delgado . y). ∂yk . y) = (x1 . a matriz Jacobiana de T −1 ◦ f ◦ α tem a forma e´ a matriz identidade m × m. `=1 Observe que T −1 ◦ f ◦ α(x. Assim. p ˜ em soma direta Rm+p = Rm Como dim E = m. . k = 1.K. xm . Frensel Im×m Om×n ! Ap×m Bp×n (m+p)×(m+n) ∂λi e´ a matriz nula m × n e B = . onde a aplicaçao k=1 λ` (x. Seja E = f 0 (a)(Rm+n ) ⊂ Rm+p . f ◦ α(x. . y). Entao. . ou seja. quando restrita a E. 0) = x. . ˜ ∂2 λ = 0. Om×n J. onde Im×m p×n 251 . . . ˜ pela Forma Local das SubLogo (π ◦ f) 0 (a) = π ◦ f 0 (a) : Rm+n −→ Rm e´ sobrejetora.O Teorema do Posto ˜ esquematica do Teorema do Posto Fig. Afirmaçao: De fato. . 13: Representaçao Prova. . pelo lema 12. . onde L : Rm × {0} −→ Rm e´ dada por L(x. Entao ˜ a Seja α(a1 .´ Analise Como posto(T −1 ◦ f ◦ α) = posto(f ◦ α) = posto(f) = m. e´ injetora. (f ◦ α ◦ i) 0 (a1 ) : Rm −→ Rm+p . 0). ou seja. pelo teorema 7. Logo f|V e´ injetora. para todo (x. pois 0 0 0 (f ◦ α) (i(a1 ))(i (a1 )) v = (f ◦ α) (a1 . 0) para todo x ∈ V. a2 ). Prova. e so´ se. y) nao y. ˜ de classe C1 . um Como β e α sao absurdo. ˜ (b) f e´ aberta se. 0) para todo x ∈ V. pela Forma Local das Imersoes. para cada a ∈ U. y) 7−→ (x.2. a aplicaçao ˜ β◦f◦α : (⇒) Suponhamos que posto(f) = p < m. f e´ uma imersao. existe um aberto V ⊂ Rm . Logo. e´ de classe Ck e sua derivada k=1 no ponto a1 . a2 ) (v. Entao. e um difeomorfismo β : Z −→ V × W tal que β ◦ f(x) = (x. ˜ e´ injetora. com posto constante no aberto U ⊂ Rm . f e´ uma submersao. Logo. a2 ). Seja f : U −→ Rn de classe C1 . com V ⊂ U e a ∈ V. pelo lema 12. ˜ provando a afirmaçao. como λ independe de y. V ⊂ V0 aberto de Rm com a1 ∈ V. y) . f e´ uma imersao. a2 ) = a e consideremos a injeçao m X ˜ f ◦ α ◦ i : V0 −→ Rm+p . existe um difeomorfismo β : Z 0 −→ V × W 0 de classe Ck tal que Z 0 e´ um aberto contendo f(a) em Rm+p . ´ disso. entao ˜ f e´ fortemente diferenciavel ´ (a) (⇐) Se f e´ uma imersao no ponto a e f 0 (a) : Rm −→ Rn e´ injetora para todo a ∈ U. f e´ localmente injetora. temos que B = 0. temos que f nao ˜ e´ injetora em aberto algum contendo a. a2 ) = f ◦ α(x. k=1 ´ disso. ˜ Entao: ˜ (a) f e´ localmente injetora se. (x.1. ˜ Ou ainda. ou seja. ˜ i : V0 −→ V0 × W dada por i(x) = (x. 0). e so´ se. a2 ) (v. y) = (x. y) ∈ V × W . β ◦ f ◦ α(x. como W pode ser tomado convexo. temos que V0 × W e´ verticalmente convexo e. ´ Corolario 12. λ(x. 0) para todo (x. ˜ pelo Teorema do Posto. y) ∈ V0 × W: Alem f ◦ α ◦ i(x) = f ◦ α(x.1. Alem ˜ depende da variavel ´ portanto. ∂2 λ = 0. ˜ Logo posto(f) = m. 0) = m X vk eik + λ 0 (a1 . ˜ Pela Forma Local das Imersoes. 252 ´ Instituto de Matematica UFF . W 0 aberto de Rp com 0 ∈ W 0 e β ◦ f ◦ α ◦ i(x) = (x. f ◦ α ◦ i(x) = aplicaçao xk eik + λ(x. definida no produto V × W dos abertos V ⊂ Rp e W ⊂ Rm−p nao ˜ difeomorfismos. ˜ V ∩ A 6= ∅. posto(f) = n. Ar = ∅ para alguns r = 0. nao ˜ precisamos tomar o interior. no caso r = p. (x. Portanto. uma contradiçao. pois. mas Logo β ◦ f ◦ α(V × W) = β ◦ f(Z) = V × {0}. x ∈ B(a. δ) ⊂ V e posto(f(x)) ≥ r para todo Entao. ou seja. δ). aberto. n}. pois tal conjunto e´ sempre ˜ 12. . . ´ a. Seja o conjunto aberto e denso A = A0 ∪ . y ∈ W. existe a ∈ V tal que ´ r = posto(f(a)) = max{posto(f(x)) | x ∈ V}. f e´ uma submersao. δ) e. . (⇒) Suponhamos que posto(f) = p < n. δ) ⊂ Ar .2. Delgado .2. 0) para todo x ∈ V. . . ´ C ∩ Aj 6= ∅ para algum j = 0. . A1 . y) = (x. . ∅ 6= B(a.O Teorema do Posto ´ (b) (⇐) Segue do corolario 11.4. .K. Como os abertos ˜ dois a dois disjuntos. . ˜ de classe C1 no aberto U ⊂ Rm e. seja Ar o interior do conjunto dos pontos de U nos quais f tem posto ˜ o conjunto aberto A = A0 ∪ A1 ∪ . Afirmaçao: De fato. Prova. . p = min{m. Ap sao ˜ C ⊂ Aj . Entao ˜ Corolario 12. B(a. Seja f : U −→ Rn uma aplicaçao existe um subconjunto aberto e denso A ⊂ U tal que f tem posto constante em cada componente conexa de A. . Observaçao ˜ 12. temos que se C e´ uma componente conexa de A e A0 . . entao J. . ˜ Seja V ⊂ U um aberto nao-vazio. .5.6. . ˜ f(Z) = β−1 (V × {0}) nao ˜ Assim. onde V e´ um aberto de Rp .2. W e´ do Posto. ˜ pela observaçao ˜ 12. O conjunto Ap (que e´ igual a Am se m ≤ n e igual a An se n ≤ m) e´ o Observaçao conjunto dos pontos x ∈ U nos quais o posto de f 0 (x) e´ igual a p. Entao um aberto de Rm−p . como o posto de f so´ assume um numero finito de valores. p. . Frensel 253 . 1. Sejam os difeomorfismos β e α dados pelo Teorema ˜ β ◦ f ◦ α(x. ˜ 12. 0) ∈ Rp × Rn−p . r. 1. Entao Prova. ∪ Ap e´ denso em U. portanto. pela observaçao ´ ˜ de classe C1 no aberto U ⊂ Rm . . caso contrario. onde Z e´ um aberto de Rm que contem ˜ e´ um aberto de Rn . Em geral. existe δ > 0 tal que B(a. Seja f : U −→ Rn uma aplicaçao r = 0. . Assim. r) ⊂ Ar ∩ V ⊂ A ∩ V. para cada Teorema 12. r. 1. . ∪ Ap dado pelo teorema anterior.4. Logo posto(f(x)) = r para todo x ∈ B(a. . ˜ A = A0 ∪ . Entao. que f|Ai e´ ˜ Logo n ≤ m e Ai = ∅ para todo i = 0.6. Seja a decomposiçao ´ i = 0.6. . como f e´ localmente injetora. Alem ´ imersao. Como em cada aberto Seja a decomposiçao ˜ aberta de posto constante temos. Em cada aberto Ai 6= ∅. ∪ Ap dada pelo teorema 12. . o conjunto A = {x ∈ I | f 0 (x) 6= 0} e´ aberto. o corolario ´ Observaçao 12. ou seja. p = n e A = An . pela observaçao Portanto. se f : I −→ Rn e´ um caminho diferenciavel. . neste caso. . uma submersao. pois. . ˜ A = A0 ∪ . ´ ˜ f : U −→ Rn de classe C1 no aberto U ⊂ Rm e´ localmente 12. Se a aplicaçao Corolario ˜ m ≤ n e o cojunto dos pontos x ∈ U nos quais f 0 (x) : Rm −→ Rn e´ injetora e´ injetora. .3 pode ser demonstrado sem a ajuda do Teorema do Posto. nao ˜ seria localmente injetora. entao ˜ Corolario 12. Assim. An = {x ∈ U | f 0 (x) e´ sobrejetora}. o conjunto {x ∈ U | f 0 (x) e´ sobrejetora} e´ aberto e denso em U.2.´ Analise  p    [   C = (Aj ∩ C) ∪  Ak  ∩ C  k=1 k 6= j ˜ nao-trivial ˜ seria uma cisao de C. f nao 254 ´ Instituto de Matematica UFF . f e´ localmente injetora e tem posto constante.2. p. . n − 1. ˜ pela observaçao ˜ 12. Se a aplicaçao n ≤ m e o conjunto dos pontos x ∈ U nos quais a derivada f 0 (x) : Rm −→ Rn e´ sobrejetora e´ aberto e denso em U. ´ De fato. ˜ 12. . e assim. f A ∩ J = ∅. Am = {x ∈ U | f 0 (x) e´ injetora}. ∪ Ap dada pelo teorema 12. . f|Ai e´ uma aplicaçao 12. .4. disso. o conjunto dos pontos x ∈ U nos quais f 0 (x) : Rm −→ Rn e´ injetora e´ um conjunto aberto e denso em U. Ou seja.1. dizer que f 0 (x) e´ injetora equivale a dizer que o vetor velocidade e´ 6= 0 no ponto x ∈ I.1. . ´ disso. p = m e A = Am . seria constante em J. . . nao ˜ pode existir um intervalo aberto J ⊂ I tal que Alem ˜ pode existir J ⊂ I tal que f 0 (x) = 0 para todo x ∈ J. ´ ˜ f : U −→ Rn de classe C1 no aberto U ⊂ Rm e´ aberta. m − 1. f|Ai e´ uma ˜ Entao ˜ m ≤ n e Ai = ∅ para todo i = 0. . Prova. Quando m = 1. entao aberto e denso em U. Prova. ou seja. pelo corolario 12. Como f e´ de classe C1 . Logo f tem posto constante j em C. . ˜ 12. Logo.7. .3. pelo corolario ´ Ai 6= ∅. Consideremos a aplicaçao ˜ F e´ de classe Ck . De fato. logo nao ˆ Apendice I ˜ Impl´ıcita pode ser obtido a partir do Teorema da Ja´ vimos que o Teorema da Aplicaçao ˜ Inversa. ´ Como f e´ fortemente diferenciavel no ponto a e f 0 (a) e´ injetora. se f : U ⊂ Rm −→ R e´ uma funçao entao se. seja f : U ⊂ Rm −→ Rm uma aplicaçao no ponto a ∈ U (ou de classe Ck ) tal que f 0 (a) : Rm −→ Rm e´ um isomorfismo. y) .a) (x 0 .O Teorema do Posto ´ ´ pode ser provado diretamente. e se f e´ fortemente diferenciavel ´ ˜ Se f e´ de classe Ck entao no ponto a entao ´ F e´ fortemente diferenciavel no ponto (f(a). existe δ > 0 tal que x. y 0 ∈ Rm . x 0 ) − (y.2. temos que rF(f(a). Delgado . a) + (x − f(a)) − f 0 (a)(y − a) + rF(f(a). como f e´ de classe C1 .a) (x. f(B) seria um conjunto ˜ poderia ser aberto. e so´ De fato. existe. tal que f : U0 −→ f(U0 ) e´ um homeomorfismo. Aplicaçao Prova.K. J. y 0 ) − rF(f(a). y) = −f(y) + f(a) + f 0 (a)(y − a) = −rfa (y) . o corolario 12. ˜ fortemente diferenciavel ´ De fato. x)kS . temos que A = {x ∈ U | df(x) 6= 0} e´ um conjunto aberto. como F(x. Frensel 255 . Logo. ´ ˜ f 0 (x) e´ sobrejetora se. formado por apenas um ponto. y) = x − f(y). a).4 tambem ˜ diferenciavel. portanto. Como Alem df(x) = 0 para x ∈ B e B e´ conexo. Vamos provar que a rec´ıproca tambem ´ e´ verdadeira. dado ε > 0. y) = x − f(y) = F(f(a).a) (x. y)k = krfa (y 0 ) − rfa (y)k ≤ ε ky 0 − ykS ≤ ε (ky 0 − ykS + kx 0 − xkS ) = εk(y 0 . df(x) 6= 0. pelo teorema 7. ˜ F : Rm × U0 −→ Rm dada por F(x. No caso n = 1. um aberto U0 ⊂ U.a) (x. seu complementar conteria uma bola aberta B. f seria constante em B e. Logo. δ) =⇒ krfa (y 0 ) − rfa (y)k ≤ ε ky 0 − ykS =⇒ krF(f(a). com a ∈ U0 . A e´ denso em U. se A nao ˜ fosse denso em U. ´ disso. Assim. para todos y. x 0 ∈ B(a. 256 ´ Instituto de Matematica UFF . Assim. no ponto f(a). f(a) ∈ V e (f(a). ϕ(x)) ∈ Z e f(ϕ(x)) = x. ˆ Apendice II ˜ Impl´ıcita (simplificado) e da Aplicaçao ˜ Lembremos os enunciados dos Teoremas da Aplicaçao Inversa. Seja F : Rn × U → Rn a aplicaçao ˜ F e´ uma aplicaçao ˜ de classe Ck e ∂2 F(b. f : U1 −→ V e´ um difeomorfismo de classe Ck . a)(0. k ≥ 1. portanto. a) : Rm −→ Rm e´ um isomorfismo. ou seja. a) = −f 0 (a) : Rn → Rn e´ um isomorfismo. (da Aplicaçao ˜ de classe Ck . ϕ(x)) ∈ Z e F(x. Entao onde b = f(a) e F(b. U1 = f|−1 ´ um aberto que Entao U0 (V) e ´ o ponto a. para todo x ∈ V existe um unico aplicaçao y = ϕ(x) ∈ Rn tal ´ que (x. ∂2 F(f(a). uma vez que f 0 (a) : Rm −→ Rm e´ um isomorfismo. como g 0 (f(a). ´ para cada x ∈ V existe um unico y = ϕ(x) ∈ U0 tal que (x. a) ∈ Z. Provaremos o Teorema da Aplicaçao ˜ dada por F(x. um isomorfismo para um certo a ∈ U. f : U1 −→ V e´ um homeomorfismo do aberto U1 sobre o aberto V. existem um aberto V Pelo Teorema da Aplicaçao ⊂ Rm e um aberto Z ⊂ Rm × U0 . fortemente diferenciavel ´ cuja inversa ϕ = f−1 e. ˜ Impl´ıcita. Entao tais que f : V → W e´ um difeomorfismo de classe Ck . Entao ´ Z ⊂ U. como f : U0 −→ f(U0 ) e´ um homeomorfismo. com (xo . a) = f(a) − f(a) = 0. yo ) ∈ Z. e V ⊂ Rm . ϕ(x)) ∈ Z e g(x. (da Aplicaçao ˜ de classe Ck . ϕ(x)) = x − f(ϕ(x)) = F(f(a). ϕ = f−1 e´ de classe Ck e. a) = 0. a)(v. temos que F 0 (f(a). yo ) : Rn → Rn seja um isomorfismo para um certo (xo . y) = x − f(y). yo ) ∈ U. yo ) = c e Seja g : U ⊂ Rm × Rn → Rn uma aplicaçao ˜ existem abertos ∂2 g(xo . tais que g−1 (c) ∩ Z e´ o grafico de uma ˜ ϕ : V → Rn de classe Ck . E se f e´ de classe Ck . com xo ∈ V. ˜ Inversa) Teorema. w) = v − f 0 (a) w . w) = −f 0 (a)w e. com a ∈ V ⊂ U. ˜ Inversa usando duas vezes o Teorema da Aplicaçao ˜ Impl´ıcita. ´ ˜ V ⊂ f(U0 ) e. (k ≥ 1). Alem portanto. Suponha que g(xo . ˜ Impl´ıcita) Teorema. Suponha que f 0 (a) : Rn → Rn seja Seja f : U ⊂ Rn → Rn uma aplicaçao ˜ existem abertos V e W em Rn . com a seguinte propriedade: para cada x ∈ V existe um unico y = ϕ(x) ∈ Rm tal que (x. ϕ(x)) = c.´ Analise ´ disso. contem ´ pelo Teorema da Aplicaçao ˜ Impl´ıcita. ou seja. ϕ(f(z)) = z. temos Como ϕ(f(V) = V. para todo x ∈ V1 . isto e. como ϕ : f(V) → V e´ a inversa de f : V → f(V) e ϕ : f(V) → V e´ uma Alem ˜ de classe Ck . de Rn . usando a versao do Teorema da Aplicaçao ˜ acima. w) = z − ϕ(w). temos que f e´ injetora em V. tais que F−1 (0) ∩ Z1 e´ o grafico de uma aplicaçao ´ para cada x ∈ V1 existe um unico classe Ck . Logo ϕ 0 (b) : Rn → Rn e´ um isomorfismo. b) = −ϕ 0 (b) : Rn → Rn e´ um isomorfismo. portanto. ϕ(x)) = x − f(ϕ(x)) = 0. temos que ξ(z) = f(z) e portanto. e´ fortemente diferenciavel ´ Assim. para todo z ∈ V. e´ fortemente cessitamos apenas provar que a aplicaçao˜ F. ˜ cont´ınua e injetora. Assim. temos que f : V → f(V) e´ um difeomorfismo de classe Ck do aberto V. tais que G−1 (0) ∩ Z e´ o grafico de uma aplicaçao ´ para cada z ∈ V existe um unico de classe Ck . Neanalogo. ˜ G : U × V1 → Rn dada por G(z. ´ disso. definida na demonstraçao ´ ˆ diferenciavel em (f(a). com Pelo Teorema da Aplicaçao ´ ˜ ϕ : V1 → Rn de b ∈ V1 e (b. ˜ f : V → f(V) e´ um difeomorfismo de classe Ck sobre o aberto f(V). a) (ver Apendice I). ˜ ϕ : V1 → U. Como f(ϕ(x)) = x para todo x ∈ V1 . neste caso. Delgado . para todo z ∈ V. Entao ˜ G e´ Considere agora a aplicaçao ˜ de classe Ck e ∂2 G(ϕ(b). f(V) ⊂ V1 e ϕ : V1 → Rn e´ uma aplicaçao que ϕ−1 (V) = f(V) e´ um aberto de V1 e. isto e. portanto. a) ∈ Z1 . ξ(z) ∈ V1 e ϕ(ξ(z)) = z. Como f ◦ ϕ(x) = x. para todo z ∈ V. com ϕ(b) = Pelo Teorema da Aplicaçao ´ ˜ ξ : V → Rn a ∈ V e (ϕ(b). para todo z ∈ V.K. ξ(z)) ∈ Z e ´ G(z. sendo ϕ(f(z)) = z. Logo f(ϕ(ξ(z))) = f(z). ξ(z)) = z − ϕ(ξ(z)) = 0. Afirmaçao: De fato. ξ(a) = f(a). V1 pode ser tomado de modo que ϕ seja cont´ınua em V1 . temos que ϕ e´ injetora e f 0 (ϕ(x) · ϕ 0 (x) · v = v para todos x ∈ V1 e v ∈ Rn . aplicaçao ´ a. f(a)) ∈ Z. y = ϕ(x) ∈ U tal que (x. existem abertos V ⊂ Rn e Z ⊂ U × V1 . sobre o aberto W = f(V). que contem ˜ “fortemente diferenciavel” ´ ˜ Inversa se prova de modo A versao do Teorema da Aplicaçao ´ ˜ “fortemente diferenciavel” ´ ˜ Impl´ıcita. ϕ(x)) ∈ Z1 e ´ F(x. uma aplicaçao ˜ Impl´ıcita. FIM J. b) = (a.O Teorema do Posto ˜ Impl´ıcita. Frensel 257 . existem abertos V1 ⊂ Rn e Z1 ⊂ Rn × U. a aplicaçao em b e. Observe que ϕ(b) = a. w = ξ(z) ∈ Rn tal que (z.

Análise no Rn - J. Delgado & K. Frensel.pdf

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