Análise Funcional

INTRODUÇ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Marcelo M. Cavalcanti e Valéria N. Domingos Cavalcanti Universidade Estadual de Maringá Departamento de Matemática Maringá - Maio de 2007 Maringá 2007 ii INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Ficha Catalográfica Cavalcanti, Marcelo M. e Domingos Cavalcanti, Valéria N. Introdu¸cão à Análise Funcional / Marcelo M. Cavalcanti e Valéria Neves Domingos Cavalcanti/ Maringá: UEM/DMA, 2007. iii, 00p. il. Livro Texto - Universidade Estadual de Maringá, DMA. 1. Análise Funcional. 2. Teoria Espectral. nome da se¸cão iii Ao Professor Alvércio Moreira Gomes. iv INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Prefácio Os autores. Conte´ udo Introdu¸cão 1 1 Os Teoremas de Hahn-Banach e a Teoria das Fun¸cões Convexas Conju- gadas 3 1.1 Formas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Dual Algébrico de 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Dual Algébrico de E F, onde E, F são Espa¸cos Vetoriais Reais . 5 1.1.3 Formas Lineares Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Prolongamento de uma Forma Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Um Repasso ao Lema de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3 O Teorema de Hahn-Banach - Forma Anal´ıtica . . . . . . . . . . . 16 1.2.4 Formas Geométricas do Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . 22 1.3 Fun¸ cões Convexas e Semicont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Os Teoremas de Banach-Steinhaus e do Gráfico Fechado 51 2.1 Um Repasso ao Teorema de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2 Teorema de Banach-Steinhaus ou da Limita¸cão Uniforme . . . . . . . . . . 55 2.3 Teorema da Aplica¸cão Aberta e do Gráfico Fechado . . . . . . . . . . . . . 61 2.4 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.5 Operadores Não Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.6 Adjunto de um Operador Linear Não Limitado . . . . . . . . . . . . . . . . 79 v vi INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL 3 Topologias Fracas - Espa¸cos Reflexivos e Separáveis 87 3.1 Espa¸cos Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.1.1 Topologias Fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.2 A Topologia Fraca σ(E, E ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.3 Topologia Fraca, Conjuntos Convexos e Operadores Lineares . . 108 3.4 A Topologia Fraco ∗ σ(E , E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.5 Espa¸cos Reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.6 Espa¸cos Separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.7 Espa¸cos Uniformemente Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4 Os Espa¸cos de Hilbert 147 4.1 Defini¸cão, Propriedades Elementares. Proje¸c˜ ao sobre um convexo fechado . 148 4.2 Teorema da Representa¸cão de Riesz-Fréchet. . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.3 Os Teoremas de Lions-Stampacchia e Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . 161 4.4 Soma Hilbertiana. Base Hilbertiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5 Teoria Espectral 175 5.1 Formas Sesquilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.2 Formas Sesquilineares Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.3 Operadores Lineares Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 5.4 Conjuntos Ortonormais Completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 5.5 Subespa¸cos Fechados e o Teorema da Proje¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.6 Adjunto de um Operador Linear Limitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 5.7 Operadores Compactos - O Teorema Espectral para Operadores Compactos Simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 5.8 Alternativa de Riesz-Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 5.9 Operadores Não Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 5.10 Constru¸c˜ ao de Operadores Não Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 5.11 Extensões do operador A definido pela terna ¦V, H, a(u, v)¦ . . . . . . . . . 314 5.12 Conseq¨ uências da Alternativa de Riesz-Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . 319 nome da se¸cão vii 5.12.1 O Resolvente e o Espectro de um Operador . . . . . . . . . . . . . 319 5.12.2 A Alternativa de Riesz-Fredholm. Operadores Não Limi tados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 5.13 O Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos não limitados . . . . . 330 5.14 Cálculo Funcional - Raiz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 Referências bibliográficas 364 Introdu¸cão 1 2 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Cap´ıtulo 1 Os Teoremas de Hahn-Banach e a Teoria das Fun¸cões Convexas Conjugadas Figura 1.1: Hahn-Banach. Hans Hahn (1879 - 1934), à esquerda, foi um matemático Austr´ıaco que é mais lembrado pelo Teorema Hahn-Banach. Ele também realizou contribui¸c˜ oes importantes no Cálculo das Varia¸ cões, desenvolvendo idéias de Weierstrass. Stefan Banach (1892 - 1945), à direita, foi um matemático Polonês que fundou a Análise Funcional Moderna e fez maiores contribui¸ cões à teoria de espa¸cos vetoriais topológicos. Além disso, ele contribuiu na teoria de medida e integra¸cão e séries ortogonais. 3 4 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL 1.1 Formas Lineares Seja E um espa¸co vetorial. Dizemos que uma aplica¸c˜ ao f : E → 1 é uma forma linear sobre o espa¸co E se f(x + y) = f(x) + f(y), para todo x, y ∈ E, (1.1) f(λx) = λf(x), para todo x ∈ E e λ ∈ 1. (1.2) Vejamos alguns exemplos. Seja C(a, b) o espa¸co das fun¸cões reais e cont´ınuas em [a, b]. Consideremos: f : C(a, b) →1, x →f(x), onde (1.3) f(x) = _ b a x(t) dt. δ t 0 : C(a, b) →1, x →δ t 0 (x), onde (1.4) δ t 0 (x) = x(t 0 ), t 0 ∈ [a, b]. Verifique que os exemplos acima, além de estarem bem definidos, constituem formas lineares sobre C(a, b). Seja f : E → 1 uma forma linear não nula e consideremos x ∈ E tal que f(x) ,= 0. Seja, ainda, β ∈ 1 e definamos λ = β f(x) . Então, f(λx) = λf(x) = β f(x) f(x) = β, ou seja, toda forma linear não nula sobre E assume todos os valores reais, isto é, f(E) = 1. Como conseq¨ uências, podemos escrever que 1) Se f é uma forma linear sobre E e f(x) > α, para todo x ∈ E, ent˜ ao a) α < 0, b) f(x) = 0, para todo x ∈ E, 2) Se f é uma forma linear sobre E e f(x) < α, para todo x ∈ E, ent˜ ao a) α > 0, b) f(x) = 0, para todo x ∈ E. FORMAS LINEARES 5 Sendo E um espa¸co vetorial, designaremos por E ∗ o conjunto das formas lineares sobre E, munido das opera¸cões definidas por: (f + g)(x) = f(x) + g(x), para todo x ∈ E, (1.5) (λf)(x) = λf(x), para todo x ∈ E e λ ∈ 1. (1.6) Então, E ∗ é um espa¸co vetorial denominado dual algébrico de E. 1.1.1 Dual Algébrico de 1 Sejam α ∈ 1 e f α : 1 → 1 definida por f α (x) = αx, para todo x ∈ 1. ´ E claro que f α ∈ 1 ∗ . Por outro lado, seja f ∈ 1 ∗ e definamos f(1) = α. Logo, f(x) = f(x 1) = xf(1) = αx = f α (x), ou seja, f = f α . Logo, f ∈ 1 ∗ ⇔f(x) = αx, para todo x ∈ 1 (para algum α ∈ 1). (1.7) Definamos, ϕ : 1 →1 ∗ α →f α . ϕ é sobrejetora pois dada f ∈ 1 ∗ existe α = f(1) tal que f = f α = ϕ(α). Além disso, se ϕ(α) = ϕ(β), segue que f α = f β e portanto f α (x) = f β (x), para todo x ∈ 1. Logo, αx = β x para todo x ∈ 1 o que implica que α = β. Logo, ϕ é injetiva. Sendo ϕ linear resulta que é um isomorfismo de 1 sobre 1 ∗ . Representaremos o isomorfismo entre 1 e 1 ∗ (ou entre dois conjuntos quaisquer) através da seguinte nota¸c˜ ao: 1 ≈ 1 ∗ . (1.8) 1.1.2 Dual Algébrico de EF, onde E, F são Espa¸cos Vetoriais Reais Definimos E F = ¦(x, y); x ∈ E, y ∈ F¦ 6 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL munido das opera¸cões: (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ), para todo x 1 , x 2 ∈ E e para todo y 1 , y 2 ∈ F λ(x 1 , y 1 ) = (λx 1 , λy 1 ), para todo x 1 ∈ E, y 1 ∈ F e para todo λ ∈ 1, que o tornam um espa¸co vetorial. Lema 1.1 (E F) ∗ ≈ E ∗ F ∗ . Demonstra¸cão: Seja f ∈ (E F) ∗ . Definamos f E (x) = f(x, 0), para todo x ∈ E e f F (y) = f(0, y), para todo y ∈ F. Como f : E F →1 é linear temos que f E ∈ E ∗ , f F ∈ F ∗ e, além disso, f(x, y) = f((x, 0) + (0, y)) = f(x, 0) + f(0, y) = f E (x) + f F (y). (1.9) Do exposto acima, definamos ψ : (E F) ∗ →E ∗ F ∗ f → ψ(f) = (f E , f F ). Notemos que ψ é uma aplica¸c˜ ao injetiva. De fato, sejam f, g ∈ (E F) ∗ tais que ψ(f) = ψ(g). Ent˜ ao, da defini¸cão de ψ vem que (f E , f F ) = (g E , g F ), ou seja, f E = g E e f F = g F , e consequentemente de (1.9) resulta que f(x, y) = f E (x) + f F (y) = g E (x) + g F (y) = g(x, y), para todo x ∈ E e y ∈ F, o que implica que f = g e prova a injetividade. Provaremos, a seguir, que ψ é sobrejetiva. Com efeito, seja (e, h) ∈ E ∗ F ∗ e definamos g(x, y) = e(x) + h(y). Então, g ∈ (E F) ∗ posto que e, h são formas lineares sobre E e F, respectivamente. Além disso, ψ(g) = (g E , g F ) = (e, h), posto que g E (x) = g(x, 0) = e(x) + h(0) e g F (y) = g(0, y) = e(0) + h(y) FORMAS LINEARES 7 e como h(0) = e(0) = 0, uma vez que e e h são lineares, temos que g E (x) = e(x), para todo x ∈ E e g F (y) = h(y), para todo y ∈ F, o que prova a sobrejetividade. Finalmente, observemos que ψ é uma aplica¸c˜ ao linear. De fato, sejam f, g ∈ (EF) ∗ . Ent˜ ao, ψ(f + g) = ((f + g) E , (f + g) F ) = (f E + g E , f F + g F ) = (f E , f F ) + (g E , g F ) = ψ(f) + ψ(g). Analogamente prova-se que ψ(λf) = λψ(f) para todo f ∈ (E F) ∗ e para todo λ ∈ 1. Logo, ψ é um isomorfismo de (EF) ∗ sobre E ∗ F ∗ o que nos permite identificar tais espa¸cos, o que faremos, conforme já mencionado anteriormente, através da seguinte nota¸c˜ ao: (E F) ∗ ≈ E ∗ F ∗ 2 Em particular, se E = F = 1, ent˜ ao (1 2 ) ∗ ≈ 1 ∗ 1 ∗ ≈ 11 = 1 2 . Da´ı resulta que se f é uma forma linear sobre o 1 2 , ent˜ ao existem α, β ∈ 1 tais que f(x, y) = αx+βy; x, y ∈ 1. Se f é uma forma linear sobre E 1, então existe g ∈ E ∗ e α ∈ 1 tais que f(x, y) = g(x) + αy, x ∈ E, y ∈ 1. 1.1.3 Formas Lineares Limitadas No que segue, ao longo desta se¸cão, E representará um espa¸co vetorial normado com norma [[ [[ E e seja f ∈ E ∗ . Se sup ||x|| E ≤1 [f(x)[ < +∞, (1.10) dizemos que f é limitada. Observa¸cão 1.2 Sendo f : E →1 linear, não é necessário considerarmos na expressão acima o módulo de f, a menos que estejamos trabalhando com n´ umeros complexos. Com efeito, seja [f(x)[ = _ f(x), f(x) ≥ 0 −f(x), f(x) < 0. 8 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Assim, se x ∈ E temos que [f(x)[ = f(x) se f(x) ≥ 0 e [f(x)[ = −f(x) se f(x) < 0. Mas, pela linearidade de f temos que −f(x) = f(−x) e portanto [f(x)[ = _ f(x), f(x) ≥ 0 f(−x), f(x) < 0, e, além disso, se [[x[[ E ≤ 1, como [[x[[ E = [[ −x[[ E ≤ 1 resulta que sup ||x|| E ≤1 [f(x)[ = sup ||x|| E ≤1 f(x). Notemos, entretanto, que se f : E →C o módulo é fundamental. Definamos no espa¸co das formas lineares e limitadas sobre E, o qual designaremos por /(E, 1), a norma [[f[[ L(E,R) = sup ||x|| E ≤1 [f(x)[. (1.11) A expressão acima realmente define uma norma sobre /(E, 1). De fato, verifiquemos primeiramente a propriedade (N1) [[f[[ L(E,R) = 0 ⇔f = 0. Se f = 0 evidentemente tem-se [[f[[ L(E,R) = 0. Agora se sup ||x|| E ≤1 [f(x)[ = 0, consequentemente f(x) = 0 para todo x ∈ E tal que [[x[[ E ≤ 1. Se y ∈ E é tal que y ,= 0 ent˜ ao, f(y) = [[y[[ E f(y) ||y|| E = [[y[[ E f _ y ||y|| E _ = 0 e como f(0) = 0 resulta que f(y) = 0 para todo y ∈ E. A seguir, veriquemos que se cumpre também a seguinte propriedade (N2) [[f + g[[ L(E,R) ≤ [[f[[ L(E,R) +[[g[[ L(E,R) . De fato, notemos que [f(x) + g(x)[ ≤ [f(x)[ +[g(x)[ ≤ [[f[[ L(E,R) +[[g[[ L(E,R) , para todo x ∈ E com [[x[[ E ≤ 1, o que prova que [[f[[ L(E,R) + [[g[[ L(E,R) é uma cota superior para o conjunto ¦[f(x) + g(x)[; x ∈ E tal que [[x[[ E ≤ 1¦ e portanto sup ||x|| E ≤1 [(f + g)(x)[ = [[f + g[[ L(E,R) ≤ [[f[[ L(E,R) +[[g[[ L(E,R) , FORMAS LINEARES 9 o que prova o desjado. Resta-nos provar que (N3) [[λf[[ L(E,R) = [λ[[[f[[ L(E,R) , para todoλ ∈ 1. Com efeito, notemos inicialmente que [λf(x)[ = [λ[[f(x)[ ≤ [λ[ [[f[[ L(E,R) , para todo x ∈ E com [[x[[ E ≤ 1, e, portanto sup ||x|| E ≤1 [λf(x)[ = [[λf[[ L(E,R) ≤ [λ[ [[f[[ L(E,R) . Por outro lado, [λ[ [f(x)[ = [λf(x)[ ≤ [[λf[[ L(E,R) ⇒[f(x)[ ≤ 1 [λ[ [[λf[[ L(E,R) ( se λ ,= 0), donde [[f[[ L(E,R) ≤ 1 [λ[ [[λf[[ L(E,R) ⇒[λ[ [[f[[ L(E,R) ≤ [[λf[[ L(E,R) ( se λ , = 0). Combinando as desigualdades acima e notando-se que para λ = 0 a identidade segue trivialmente, tem-se o desejado. Lema 1.3 Temos as seguintes igualdades: [[f[[ L(E,R) = sup x∈E:||x|| E =1 [f(x)[ = sup x∈E:x=0 [f(x)[ [[x[[ E Demonstra¸cão: Provemos a primeira das igualdades acima. Como ¦x ∈ E; [[x[[ E = 1¦ ⊂ ¦x ∈ E; [[x[[ E ≤ 1¦, temos que sup x∈E:||x|| E =1 [f(x)[ ≤ sup x∈E:||x|| E ≤1 [f(x)[, ou seja, sup x∈E:||x|| E =1 [f(x)[ ≤ [[f[[ L(E,R) . (1.12) 10 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Por outro lado, dado ε > 0, existe y ∈ E tal que [[y[[ E ≤ 1, y ,= 0 e [f(y)[ > [[f[[ L(E,R) −ε. Pondo-se x = y ||y|| E ent˜ ao, [[x[[ E = 1 e, além disso, [f(x)[ = [f(y)[ [[y[[ E = 1 [[y[[ E [f(y)[ ≥ [f(y)[ ( já que 1 [[y[[ E ≥ 1). Assim, [f(x)[ ≥ [f(y)[ > [[f[[ L(E,R) −ε ⇒[[f[[ L(E,R) −ε < sup x∈E:||x|| E =1 [f(x)[. Pela arbitrariedade de ε vem que [[f[[ L(E,R) ≤ sup x∈E:||x|| E =1 [f(x)[. (1.13) Combinando-se (1.12) e (1.13) tem-se a primeira das identidades. A seguir, provaremos a segunda das identidades. Seja, então, x ,= 0. Temos que ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x ||x|| E ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E = 1 e portanto [f(x)[ [[x[[ E = ¸ ¸ ¸ ¸ f _ x [[x[[ E _¸ ¸ ¸ ¸ ≤ sup x∈E:||x|| E =1 [f(x)[, donde sup x∈E:x=0 [f(x)[ [[x[[ E ≤ sup x∈E:||x|| E =1 [f(x)[. (1.14) Por outro lado, dado ε > 0, existe y ∈ E tal que [[y[[ E = 1 e [f(y)[ > [[f[[ L(E,R) − ε (note que [[f[[ L(E,R) = sup x∈E:||x|| E =1 [f(x)[). Defindo-se x = λy, onde λ ∈ 1¸¦0¦, resulta que [[x[[ E = [λ[ [[y[[ E . ¸¸ . =1 = [λ[. Logo, [f(x)[ [[x[[ E = [λ[ [f(y)[ [λ[ = [f(y)[ > [[f[[ L(E,R) −ε, donde se conclui [[f[[ L(E,R) −ε ≤ sup x∈E:x=0 [f(x)[ [[x[[ E , e pela arbitrariedade do ε resulta que [[f[[ L(E,R) ≤ sup x∈E:x=0 [f(x)[ [[x[[ E . (1.15) FORMAS LINEARES 11 De (1.14), (1.15) e da primeira identidade tem-se a segunda identidade. Isto encerra a prova. 2 Do lema 1.3 decorre que se f : E →1 é uma forma linear limitada, então [f(x)[ ≤ [[f[[ L(E,R) [[x[[ E , para todo x ∈ E. (1.16) Denotaremos, por simplicidade, E o conjunto /(E, 1) das formas lineares e limitadas sobre E bem como [[f[[ L(E,R) simplesmente por [[f[[ E . Usualmente as nota¸c˜ oes acima são usadas para formas lineares e cont´ınuas sobre E. Contudo, a limita¸c˜ ao da forma implica na contiuidade da mesma conforme veremos na proposi¸cão a seguir. Proposi¸cão 1.4 Seja f ∈ E ∗ . As seguintes expressões são equivalentes: (1) f é limitada, (2) f é cont´ınua no ponto x = 0, (3) f é cont´ınua em E. Demonstra¸cão: (1) ⇒ (2) Seja f limitada. Então, de acordo com (1.16) resulta que [f(x)[ ≤ [[f[[ E [[x[[ E , para todo x ∈ E. Como f(0) = 0 então dado ε > 0 decorre imediatamente que existe δ = ε ||f|| E tal que se [[x[[ E < δ ent˜ ao [f(x)[ < ε, o que prova a continuidade de f em x = 0. (2) ⇒ (3) Assumamos que f seja cont´ınua em x = 0 e consideremos x 0 ∈ E. Ent˜ ao, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se [[x[[ E < δ então [f(x)[ < ε. Reulta da´ı que se x ∈ E é tal que [[x − x 0 [[ E < δ, então, em virtude da linearidade de f tem-se [f(x) − f(x 0 )[ = [f(x −x 0 )[ < ε, o que prova a continuidade de f em todo o espa¸co E. (3) ⇒ (1) Suponhamos que f seja cont´ınua em todo o espa¸co E. Em particular, f é cont´ınua em x = 0 e portanto, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que se [[x[[ E < δ então [f(x)[ < ε. Consideremos, então, 0 < µ < δ e x ∈ E tal que [[x[[ E = 1. Ent˜ ao, [[µx[[ E = µ < δ e assim [f(µx)[ < ε, o que implica que sup x∈E:||x|| E =1 [f(µx)[ ≤ ε, 12 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL e, consequentemente, sup x∈E:||x|| E =1 [f(x)[ ≤ ε µ , o que prova a limita¸c˜ ao de f, e encerra a prova. 2 Como a soma de fun¸cões cont´ınuas é uma fun¸c˜ ao cont´ınua e o produto de uma fun¸c˜ ao cont´ınua por um escalar é uma fun¸cão cont´ınua, decorre que E é um espa¸co vetorial. Designaremos, ent˜ ao, por E o espa¸co vetorial das formas lineares e limitadas (cont´ınuas) sobre E e o denominaremos o dual topológico de E. Daqui pra frente E será dotado da norma dual, [[f[[ E = sup x∈E:||x|| E ≤1 [f(x)[, a menos que se fa¸ca men¸c˜ ao ao contr´ ario. Quando não houver ambiguidade na inter- preta¸c˜ ao, designaremos [[f[[ E simplesmente por [[f[[ bem como [[x[[ E simplesmente por [[x[[. Evidentemente E ⊂ E ∗ . No entanto, E _ E ∗ , ou seja existem formas lineares que não são cont´ınuas. Como exemplo, consideremos o espa¸co das fun¸c˜ oes reais e cont´ınuas em [0, 1], C(0, 1), munido da norma [[f[[ = _ 1 0 [f(t)[ dt. Consideremos a aplica¸cão δ 0 : C(0, 1) → 1 definida por δ 0 (f) = f(0). Observe que δ 0 ∈ (C(0, 1)) ∗ . Contudo, provaremos que δ 0 / ∈ (C(0, 1)) . Com efeito, seja ¦f n ¦ uma seq¨ uência de fun¸cões cont´ınuas dada por f n (t) = _ −2n 2 t + 2n, 0 ≤ t < 1/n, 0, 1/n ≤ t ≤ 1, (n ∈ N ∗ ), conforme figura abaixo: E T 0 d d d d d d 1/n 2n 1 Figura 1.2: f n (t) FORMAS LINEARES 13 Temos: [[f n [[ = _ 1 0 [f n (t)[ dt = _ 1/n 0 [ −2n 2 t + 2n[dt = _ 1/n 0 (−2n 2 t + 2n) dt = −n 2 t 2 [ 1/n 0 + 2nt[ 1/n 0 = 1, para todo n ∈ N ∗ . Assim, [[δ 0 [[ (C(0,1)) = sup x∈C(0,1);||x|| C(0,1) =1 [δ 0 (x)[ ≥ sup n [δ 0 (f n )[ = sup n 2n = +∞, o que prova que δ 0 não é limitada. No entanto, quando E tem dimensão finita, temos que E ∗ = E . Vejamos tal fato. Seja E um espa¸co vetorial de dimensão n e consideremos ¦e 1 , , e n ¦ uma base para E. Se x ∈ E, ent˜ ao x = x 1 e 1 + + x n e n . Consideremos [[ [[ uma norma em E e consideremos [x[ ∞ = max¦[x 1 [, , [x n [¦. Logo, [x[ ∞ também define uma norma em E. Como em um espa¸co vetorial de dimensão finita todas as normas são equivalentes (verifique tal afirma¸c˜ ao) temos C 1 [x[ ∞ ≤ [[x[[ ≤ C 2 [x[ ∞ , para todo x ∈ E, onde C 1 , C 2 são constantes positivas. Seja, ent˜ ao, g ∈ E ∗ . Temos g(x) = g(x 1 e 1 + + x n e n ) = x 1 g(e 1 ) + + x n g(e n ), e, portanto, [g(x)[ ≤ [x 1 [ [g(e 1 )[ + +[x n [ [g(e n )[ ≤ [x[ ∞ ([g(e 1 )[ + +[g(e n )[) . ¸¸ . =M ≤ M C 1 [[x[[, de onde conclu´ımos, em vista da proposi¸c˜ ao 1.4, que g ∈ E . Observa¸cão 1.5 No 1 n as seguintes normas são equivalentes: [[x[[ 1 = [x 1 [ + +[x n [, [[x[[ 2 = _ x 2 1 + + x 2 n , [[x[[ p = p _ [x 1 [ p + +[x n [ p e [[x[[ ∞ = max¦[x 1 [, , [x n [¦, onde x = n i=1 x i e i e ¦e 1 , , e n ¦ é uma base para o 1 n . 14 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL A nota¸cão [[x[[ ∞ provém do fato que lim p→+∞ [[x[[ p = [[x[[ ∞ . Com efeito, notemos que _ max 1≤i≤n ¦[x i [¦ _ p ≤ [x 1 [ p + +[x n [ p , donde max 1≤i≤n ¦[x i [¦ ≤ [[x 1 [ p + +[x n [ p ] 1/p ≤ _ n _ max 1≤i≤n ¦[x i [¦ _ p _ 1/p = p √ n max 1≤i≤n ¦[x i [¦. Como lim p→+∞ p √ n = 1 da desigualdade acima resulta que lim p→+∞ [[x 1 [ p + +[x n [ p ] 1/p = max 1≤i≤n ¦[x i [¦. 1.2 Teorema de Hahn-Banach Antes de apresentarmos o teorema em questão, fa¸camos algumas considera¸c˜ oes iniciais. 1.2.1 Prolongamento de uma Forma Linear Defini¸cão 1.6 Seja E um espa¸co vetorial, G um subespa¸co de E e g uma forma linear em G, isto é, g ∈ G ∗ . Dizemos que uma forma linear h é um prolongamento de g se h(x) = g(x), para todo x ∈ G. Da defini¸cão acima resulta imediatamente que g é um prolongamento de g. Quando h é um prolongamento de g e D(h) ,= G (aqui D(h) designa o dom´ınio de h), então h é dito um prolongamento próprio de g. Se h é um prolongamento de g escrevemos g ≤ h. 1.2.2 Um Repasso ao Lema de Zorn Nesta se¸c˜ ao, as no¸c˜ oes de conjunto ordenado, limita¸c˜ ao superior e elemento maximal serão discutidas. Todas essas no¸c˜ oes serão apresentadas juntas para obtermos a no¸c˜ ao de TEOREMA DE HAHN-BANACH 15 conjunto indutivamente ordenado e uma vez feito isto, estabeleceremos o Lema de Zorn. Para nossos propósitos é suficiente considerarmos o Lema de Zorn como um axioma. Defini¸cão 1.7 Seja X um conjunto e 1 uma rela¸cão definida entre alguns elementos desse conjunto. X é dito parcialmente ordenado sob a rela¸cão 1 se as seguintes condi¸cões são satisfeitas entre os elementos de X que são comparáveis com respeito à 1: (1) Seja a ∈ X. Então a1a (reflexividade) (2) Sejam a, b, c ∈ X. Então a1b e b1c ⇒ a1c (transitividade) (3) Para a, b ∈ X se a1b e b1a, então a = b. Além disso, se dado dois quaisquer elementos de X uma das rela¸cões a1b ou b1a acontece, então X é dito ser totalmente ordenado. Exemplo 1: Seja X o conjunto dos n´ umeros reais e seja 1 a rela¸c˜ ao dada por ≤. ´ E claro que para quaisquer n´ umeros reais a, b e c (1) a ≤ a, (2) a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c, (3) a ≤ b e b ≤ a ⇒ a = b. Além disso, dados a, b ∈ 1, uma das rela¸cões acontece a ≤ b ou b ≤ a. Consequentemente os n´ umeros reais são totalmente ordenados. Exemplo 2: Seja X um conjunto arbitrário e S qualquer cole¸cão de subconjuntos de X. ´ E claro que considerando 1 como a inclusão de conjuntos (1) Para qualquer A ∈ S temos que A ⊂ A, (2) Se A, B, C ∈ S, A ⊂ B e B ⊂ C então A ⊂ C, (3) Para A, B ∈ S se A ⊂ B e B ⊂ A então A = B. Conforme vemos, a inclusão de conjuntos constitui uma ordem parcial sobre S. Con- tudo, se dois conjuntos são disjuntos, por exemplo, eles não são comparáveis com respeito a 1. Consequentemente S não é totalmente ordenado. 16 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Se um conjunto X é parcialmente ordenado sob a rela¸c˜ ao 1 é natural argumentar- mos sob que condi¸c˜ oes existe um ‘maior’ elemento em X. Isto motiva-nos as seguintes defini¸c˜ oes: Defini¸cão 1.8 Seja X um conjunto parcialmente ordenado sob a rela¸cão 1 e consideremos A um subconjunto de X. O elemento a ∈ X (não necessariamente pertencente a A) é dito uma limita¸cão superior de A se para todo y ∈ A, y1a. Convém notar que necessitamos uma limita¸c˜ ao superior para um elemento ser ‘com- parável’ a todo membro do conjunto. Defini¸cão 1.9 Seja X como na defini¸cão anterior. O elemento a ∈ X é dito ser um elemento maximal de X se a1y implica que a deve ser igual a y. No exemplo 2 acima, se estendermos a ordem parcial à cole¸c˜ ao T(X) de todos os subconjuntos de X, é claro que o conjunto formado pela união de todos os conjuntos em S é uma limita¸c˜ ao superior para S e, qualquer outro subconjunto de T(X) contendo S é também uma limita¸cão superior para S ou qualquer subconjunto deste. Essa união pode não ser um elemento maximal de S uma vez que pode não ser um membro de S Falando-se claramente, o elemento maximal é uma limita¸cão superior que nenhuma outra supera. Defini¸cão 1.10 Um conjunto X parcialmente ordenado sob uma rela¸cão 1é dito indutivamente ordenado se qualquer subconjunto totalmente ordenado de X tem uma limita¸cão superior. Lema 1.11 (Lema de Zorn) Todo conjunto indutivamente ordenado e não vazio possui um elemento maximal. 1.2.3 O Teorema de Hahn-Banach - Forma Anal´ıtica Comecemos por um lema. TEOREMA DE HAHN-BANACH 17 Lema 1.12 Sejam E um espa¸co vetorial e p : E →1 uma aplica¸cão tal que p(λx) = λp(x), para todo x ∈ E e λ > 0 p(x + y) ≤ p(x) + p(y), para todo x, y ∈ E, isto é, p é um funcional positivamente homogêneo e subaditivo em E. Sejam G um subespa¸co próprio de E e g ∈ G ∗ tal que g(x) ≤ p(x), para todo x ∈ G. Então existe um prolongamento próprio h, de g, verificando h(x) ≤ p(x) para todo x ∈ D(h). Demonstra¸cão: Seja x 0 ∈ E tal que x 0 / ∈ G e definamos H = G +1x 0 , ou seja, H é o subespa¸co de E definido por H = ¦x + tx 0 ; x ∈ G e t ∈ 1¦. Sejam x 1 , x 2 ∈ G. Então, g(x 1 ) + g(x 2 ) = g(x 1 +x 2 ) ≤ p(x 1 + x 2 ) = p(x 1 −x 0 + x 0 + x 2 ) ≤ p(x 1 −x 0 ) + p(x 0 +x 2 ), o que implica que g(x 1 ) −p(x 1 −x 0 ) ≤ p(x 0 + x 2 ) −g(x 2 ), para todo x 1 , x 2 ∈ G. Logo, sup x 1 ∈G ¦g(x 1 ) −p(x 1 −x 0 )¦ ≤ inf x 2 ∈G ¦p(x 0 +x 2 ) −g(x 2 )¦. Seja α ∈ 1 tal que sup x 1 ∈G ¦g(x 1 ) −p(x 1 −x 0 )¦ ≤ α ≤ inf x 2 ∈G ¦p(x 0 + x 2 ) −g(x 2 )¦. (1.17) Definamos h(y) = g(x) + t α, para x ∈ G, t ∈ 1 tal que y = x + t x 0 , i.é. , y ∈ H. 18 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Observemos que h está bem definida, pois dado y ∈ H suponhamos que existam x 1 , x 2 ∈ G e t 1 , t 2 ∈ 1 tais que y = x 1 +t 1 x 0 e y = x 2 +t 2 x 0 . Então, (x 1 −x 2 )+(t 1 −t 2 )x 0 = 0. Se t 1 −t 2 ,= 0 temos que x 0 = x 2 −x 1 t 1 −t 2 ∈ G, o que é um absurdo! Logo, t 1 = t 2 , e portanto, x 1 − x 2 = 0, isto é, x 1 = x 2 , provando que h está bem definida. Além disso, h é linear. De fato, sejam y 1 , y 2 ∈ H e λ ∈ 1. Temos: h(y 1 +y 2 ) = h[(x 1 + t 1 x 0 ) + (x 2 + t 2 x 0 )] = h[(x 1 + x 2 ) + (t 1 + t 2 )x 0 ] = g(x 1 + x 2 ) + (t 1 + t 2 )α = g(x 1 ) + g(x 2 ) + t 1 α + t 2 α = h(y 1 ) + h(y 2 ); h(λy 1 ) = h(λx 1 + (λt 1 )x 0 ) = g(λx 1 ) + (λt 1 )α = λg(x 1 ) + λ(t 1 α) = λh(y 1 ), o que prova a linearidade de h. Do que vimos acima, h ∈ H ∗ , G _ H e g(x) = h(x) para todo x ∈ G (basta tomar t = 0); ou seja, h é um prolongamento próprio de g. Resta-nos demonstrar que h(y) ≤ p(y) para todo y ∈ H, ou seja, h(x + t x 0 ) ≤ p(x + t x 0 ), ou ainda, g(x) + t α ≤ p(x + t x 0 ), para todo x ∈ G e t ∈ 1. (1.18) Seja t > 0. Temos de (1.17), g(x) + t α = t _ g _ x t _ + α _ ≤ t _ g _ x t _ + inf x 2 ∈G ¦p(x 2 + x 0 ) −g(x 2 )¦ _ ≤ t _ g _ x t _ + p _ x t + x 0 _ −g _ x t __ ( para x 2 = x/t) = t p _ x t + x 0 _ = p(x + t x 0 ). Seja t < 0 e ponhamos τ = −t > 0. Então, g(x) + t α = τ _ g _ x τ _ −α _ ≤ τ _ g _ x τ _ − sup x 1 ∈G ¦g(x 1 ) −p(x 1 −x 0 )¦ _ ≤ τ _ g _ x τ _ +p _ x τ −x 0 _ −g _ x τ __ ( para x 1 = x/τ) = τ p _ x τ −x 0 _ = p(x −τ x 0 ) = p(x +t x 0 ), TEOREMA DE HAHN-BANACH 19 o que prova o desejado em (1.18). Se t = 0, ent˜ ao, por hipótese, g(x) + t α = g(x) ≤ p(x) = p(x + t x 0 ), o que finaliza a demonstra¸cão do lema. 2 Teorema 1.13 (Hahn-Banach - Forma Anal´ıtica) Sejam E um espa¸co vetorial e p um funcional positivamente homogêneo e subaditivo, definido em E. Se G é um subespa¸co próprio de E, g ∈ G ∗ e g(x) ≤ p(x), para todo x ∈ G, então existe um prolongamento h de g a E tal que h(x) ≤ p(x), para todo x ∈ E. Demonstra¸cão: Seja T a fam´ılia de todos os prolongamentos, h, de g, tais que h é linear e h(x) ≤ p(x), para todo x ∈ D(h), onde D(h) é um subespa¸co vetorial e ordenemos T pondo h 1 ≤ h 2 se, e somente se, h 2 é um prolongamento próprio de h 1 (ou seja, D(h 1 ) _ D(h 2 )). Temos que T ,= ∅ pois g ∈ T. Além disso, se Q é um subconjunto de T, totalmente ordenado, onde Q = ¦h i ¦ i∈I , I um conjunto de ´ındices, podemos definir h pondo D(h) = ∪ i∈I D(h i ) e h(x) = h i (x) se x ∈ D(h) tal que x ∈ D(h i ). Note que h está bem definida uma vez que Q é totalmente ordenado e portanto se i 1 , i 2 ∈ I uma das duas possibilidades ocorre D(h i 1 ) ⊂ D(h i 2 ) ou D(h i 2 ) ⊂ D(h i 1 ). No primeiro caso h i 2 é um prolongamento de h i 1 e no segundo caso h i 1 é um prolongamento de h i 2 , de modo que se x ∈ D(h i 1 ) ∩D(h i 2 ) resulta que h i 1 (x) = h i 2 (x). Além disso, D(h) = ∪ i∈I D(h i ) é um espa¸co vetorial sendo h claramente linear, uma vez que, cada h i o é. Como h i ≤ p para todo i ∈ I, resulta que h(x) ≤ p(x), e, portanto, h ∈ T. Logo, T é indutivamente ordenado (note que h é cota superior de Q em T) e pelo lema de Zorn temos que T possui um elemento maximal f. Como f ∈ T, temos que f ≤ p. Resta-nos verificar que D(f) = E. Com efeito, suponhamos o contr´ ario, ou seja, que D(f) é um subespa¸co próprio de E. Pelo lema 1.12 conclu´ımos que existe um prolongamento próprio h, de f, verificando h(x) ≤ p(x), o que contradiz o fato de f ser elemento maximal de T. Logo, D(f) = E, o que finaliza a prova. 2 A seguir, apresentaremos alguns resultados decorrentes do Teorema de Hahn-Banach quando E é um espa¸co vetorial normado. Observa¸cão 1.14 Sejam E é um espa¸co vetorial normado e E o seu dual topológico. Quando f ∈ E e x ∈ E escrevemos ¸f, x) em lugar de f(x). Ainda, se diz que ¸, ) é o produto escalar na dualidade E , E. 20 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Corolário 1.15 Sejam E um espa¸co vetorial normado, G um subespa¸co de E e g ∈ G . Então, existe um prolongamento f de g tal que f ∈ E e [[f[[ E = [[g[[ G . Demonstra¸cão: Definindo-se p(x) = [[g[[ G [[x[[, x ∈ E, temos que g(x) ≤ [g(x)[ ≤ [[g[[ G = p(x), ∀x ∈ G. Assim, pelo Teorema de Hahn-Banach existe um prolongamento f de g a todo E tal que f(x) ≤ p(x), ∀x ∈ E. Contudo, temos também que −f(x) = f(−x) ≤ p(−x) = [[g[[ G [[ −x[[ = p(x), ∀x ∈ E. Consequentemente, [f(x)[ ≤ p(x) = [[g[[ G [[x[[, ∀x ∈ E o que implica, [[f[[ E = sup x∈X,||x||≤1 [f(x)[ ≤ [[g[[ G , ou seja, [[f[[ E ≤ [[g[[ G . Por outro lado, como f(x) = g(x) para todo x ∈ G, temos que [[f[[ E = sup x∈E,||x||≤1 [f(x)[ ≥ sup x∈G,||x||≤1 [g(x)[ = [[g[[ G . Das duas ´ ultimas desigualdades acima conclu´ımos que [[f[[ E = [[g[[ G . 2 Corolário 1.16 Seja E um espa¸co vetorial normado. Então, para cada x 0 ∈ E, existe uma forma f 0 ∈ E tal que [[f 0 [[ E = [[x 0 [[ e < f 0 , x 0 >= [[x 0 [[ 2 . TEOREMA DE HAHN-BANACH 21 Demonstra¸cão: Se x 0 = 0, temos que f 0 ≡ 0 satisfaz o desejado. Seja x 0 ,= 0 e G := 1x 0 = ¦tx 0 ; t ∈ 1¦. Definimos g(tx 0 ) = t[[x 0 [[ 2 , para todo t ∈ 1. Assim, sup x∈G, ||x||=1 [g(x)[ = sup t∈R, |t|= 1 ||x 0 || [t[[[x 0 [[ 2 = [[x 0 [[. Sendo g claramente linear, resulta que g ∈ G e [[g[[ G = [[x 0 [[. Pelo Corolário (1.15) existe um prolongamento f 0 de g a E tal que f 0 ∈ E e [[f 0 [[ E = [[g[[ G = [[x 0 [[. Além disso, como x 0 ∈ G, temos ¸f 0 , x 0 ) = ¸g, x 0 ) = [[x 0 [[ 2 . 2 Seja E um espa¸co normado. De um modo geral, se designa para cada x 0 ∈ E o conjunto F(x 0 ) = ¦f 0 ∈ E ; ¸f 0 , x 0 ) = [[x 0 [[ 2 = [[f 0 [[ 2 ¦, (1.19) Observa¸cão 1.17 Pelo Corolário (1.16) resulta imediatamente que F(x 0 ) ,= ∅ para todo x 0 ∈ E. Além disso, se E é estritamente convexo (o que é sempre verdade se E é um espa¸co de Hilbert, ou se E = L p (Ω) com 1 < p < +∞ e Ω ⊂ 1 n , aberto, por exemplo), então F(x 0 ) é um conjunto unitário. Os espa¸cos estritamente convexos serão estudados posteriormente. Corolário 1.18 Seja E um espa¸co vetorial normado. Então, para todo x ∈ E se tem [[x[[ = sup f∈E ,||f||≤1 [ ¸f, x) [ = max f∈E ,||f||≤1 [ ¸f, x) [. Demonstra¸cão: Se x = 0, o resultado segue trivialmente posto que ¸f, x) = 0, para todo f ∈ E . Seja, então, x ,= 0 e consideremos f ∈ E tal que [[f[[ ≤ 1. Ent˜ ao, [ ¸f, x) [ ≤ [[f[[ E [[x[[ ≤ [[x[[ ⇒ sup f∈E ,||f||≤1 [ ¸f, x) [ ≤ [[x[[. (1.20) Por outro lado, pelo corolário 1.16, existe uma forma f 0 ∈ E tal que [[f 0 [[ E = [[x[[ e ¸f 0 , x) = [[x[[ 2 , ou seja, f 0 ∈ F(x). Definamos f 1 = f 0 ||x|| . Então, [[f 1 [[ E = 1 e ¸f 1 , x) = [[x[[. Portanto, sup f∈E ,||f||≤1 [ ¸f, x) [ ≥ [ ¸f 1 , x) [ = [[x[[. (1.21) Combinando (1.20) e (1.21) temos o desejado. 2 22 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Observa¸cão 1.19 Observemos que no corolário 1.18 temos estabelecido que o supremo realmente é atingido e consequentemente o ‘supremo’ se transforma em ‘máximo’. Com efeito, sup f∈E ,||f||≤1 [ ¸f, x) [ = [[x[[ = ¸f 1 , x) , onde f 1 ∈ E e [[f 1 [[ = 1. 1.2.4 Formas Geométricas do Teorema de Hahn-Banach Dizemos que um conjunto C é convexo se [t x + (1 −t) y] ∈ C, para todo x, y ∈ C e para todo t ∈ [0, 1]. (1.22) Seja E um espa¸co vetorial normado, C ⊂ E um conjunto aberto e convexo tal que 0 ∈ C. Para cada x ∈ E, definimos p(x) = inf¦α > 0; x α ∈ C¦. (1.23) O funcional p : E → 1 é denominado funcional de Minkowski para o convexo C. Notemos que o funcional de Minkowski está bem definido. Com efeito, seja x ∈ E. Se x = 0 então x ∈ C (por hipótese) e, portanto, o conjunto ¦α > 0; x α ∈ C¦ ,= ∅. Se x ,= 0 ent˜ ao [[x[[ ,= 0 e, como 0 ∈ C e C é aberto, temos que existe r > 0 tal que B r (0) ⊂ C. Assim, se y = µx ||x|| com 0 < µ < r resulta que [[y[[ = µ < r ⇒y ∈ B r (0) ⊂ C. Desta forma, α = ||x|| µ ∈ ¦α > 0; x α ∈ C¦. Logo, em ambos os casos, temos quje ¦α > 0; x α ∈ C¦ ,= ∅, qualquer que seja x ∈ E tendo sentido tomarmos o ´ınfimo deste conjunto. Propriedades do Funcional p 1) p(λx) = λp(x), para todo λ ≥ 0 e para todo x ∈ E. 2) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), para todo x, y ∈ E. 3) Existe M > 0 tal que p(x) ≤ M[[x[[, para todo x ∈ E. 4) C = ¦x ∈ E; p(x) < 1¦. Demonstra¸cão: Provemos as propriedades acima. TEOREMA DE HAHN-BANACH 23 1) Temos que p(λx) = inf¦α > 0; λx α ∈ C¦. Se λ = 0, a identidade segue trivialmente. Agora se λ ,= 0, pondo β = α λ temos que α = λβ e, conseq¨ uentemente, p(λx) = inf¦λβ > 0; x β ∈ C¦ = λinf¦β > 0; x β ∈ C¦ = λp(x). 2) Seja ε > 0 e consideremos x, y ∈ E. Então, em virtude da defini¸c˜ ao do funcional de Minkowski, existem α, β > 0 tais que x α ∈ C, y β ∈ C, α < p(x) + ε 2 e β < p(y) + ε 2 . Como 0 < α α+β < 1, 0 < β α+β < 1 e α α+β + β α+β = 1, vem, pela convexidade de C, que α α +β x α + β α + β y β ∈ C, ou seja , x + y α + β ∈ C. Logo, p(x +y) ≤ α + β < p(x) + p(y) + ε. Pela arbitrariedade de ε segue o desejado. 3) Como C é aberto e 0 ∈ C temos que existe r > 0 tal que B r (0) ⊂ C. Consideremos 0 < ρ < r. Então, qualquer que seja x ∈ E, x ,= 0 satisfaz ρ x ||x|| ∈ B r (0), uma vez que ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ρ x ||x|| ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = ρ < r. Assim, ρ x ||x|| ∈ C e, portanto, p(x) ≤ ||x|| ρ , isto é, p(x) ≤ M[[x[[, onde M = 1 ρ . 4) Seja x ∈ C. Se x = 0, temos que p(x) = 0 < 1. Suponhamos, então, x ,= 0 e consideremos r > 0 tal que B r (x) ⊂ C. Tomemos ε > 0 tal que 0 < ε < r ||x|| , logo [[x + εx −x[[ = ε[[x[[ < r. Assim, x + εx ∈ B r (x) ⊂ C, ou seja, (1 + ε)x ∈ C, ou ainda, x 1 1+ε ∈ C. Donde, p(x) ≤ 1 1+ε < 1. Conseq¨ uentemente, C ⊂ ¦x ∈ E; p(x) < 1¦. Reciprocamente, seja x ∈ E tal que p(x) < 1. Então, dado ε > 0 suficientemente pequeno, temos que existe α > 0 tal que x α ∈ C e p(x) ≤ α < p(x)+ε < 1. Assim, α x α +(1−α)0 ∈ C, ou seja, x ∈ C, o que prova que ¦x ∈ E; p(x) < 1¦ ⊂ C. 2 Defini¸cão 1.20 Seja E um espa¸co vetorial real. Um hiperplano afim de E é um conjunto da forma H = ¦x ∈ E; f(x) = α¦, onde α ∈ 1 e f ∈ E ∗ tal que f ,= 0 (ou seja, f não identicamente nula). 24 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Dizemos que H é um hiperplano de equa¸cão [f = α]. Exemplo: Seja E = 1 2 . Então f(x, y) = ax + by onde a, b ∈ 1¸¦0¦. Temos, H = ¦(x, y) ∈ 1 2 ; ax + by = α¦. Analogamente, se E = 1 3 , temos que H = ¦(x, y, z) ∈ 1 3 ; ax +by + cz = α¦. Podemos usar ainda a seguinte nota¸cão para o 1 2 : f = (a, b), X = (x, y) e ¸f, X) = ¸(a, b), (x, y)) = ax + by. Sejam H o hiperplano de E de equa¸c˜ ao [f = α] e a ∈ H. Ent˜ ao, H −a é um subespa¸co de E. (1.24) Com efeito, seja x ∈ H −a. Ent˜ ao, x = y −a com y ∈ H donde f(x) = f(y) −f(a) = α−α = 0. Reciprocamente, seja x ∈ E tal que f(x) = 0. Então, f(x+a) = f(x)+f(a) = 0 + α = α, isto é, x + a ∈ H e portanto x ∈ H −a. Logo, H −a = ¦x ∈ E; f(x) = 0¦ = f −1 (¦0¦) = ker(f)(subespa¸co de E), o que prova (1.24). Temos ainda que E = (H −a) ⊕1x 0 , para algum x 0 ∈ E. (1.25) De fato, observemos que H−a ,= E posto que f ,= 0 (f não identicamente nula). Seja x 0 ∈ E¸(H−a) tal que f(x 0 ) = 1. Tal x 0 é obtido da seguinte forma: seja x 1 ∈ E¸(H−a) tal que f(x 1 ) ,= 0 (lembre que toda forma linear não nula assume todos os valores de 1), isto é, f(x 1 ) = α 1 ,= 0. Assim, f _ x 1 α 1 _ = 1 e basta tomarmos x 0 = x 1 α 1 . Então, sempre podemos escolher x 0 ∈ E¸(H − a) tal que f(x 0 ) = 1. Isto posto, H − a e 1x 0 são subespa¸cos de E com (H −a) ∩ 1x 0 = ¦0¦. Obviamente, (H −a) ⊕1x 0 ⊂ E. Resta-nos mostrar que E ⊂ (H − a) ⊕ 1x 0 . Com efeito, seja x ∈ E e definamos y = x − f(x) x 0 . Temos f(y) = f(x) −f(x) f(x 0 ) . ¸¸ . =1 = 0, e, portanto, y ∈ H −a. Logo, x = y + f(x) x 0 ∈ (H −a) ⊕1x 0 , o que prova o desejado em (1.25). TEOREMA DE HAHN-BANACH 25 Proposi¸cão 1.21 O hiperplano H de equa¸cão [f = α] é fechado se, e somente se, f é cont´ınua. Demonstra¸cão: Se f é cont´ınua temos, pelo fato de [f = α] = f −1 (¦α¦) e a imagem inversa de um conjunto fechado ser fechada, que H = [f = α] é fechado. Reciprocamente, seja H fechado. Como E¸H ,= ∅, posto que f(E) = 1 e f(H) = ¦α¦, resulta que existe x 0 ∈ E tal que x 0 / ∈ H. Como E¸H é aberto, então existe r > 0 tal que B r (x 0 ) ⊂ E¸H. Como x 0 ∈ E¸H segue que f(x 0 ) ,= α e consequentemente podemos supor, sem perda da generalidade que f(x 0 ) < α. Mostraremos que para todo x ∈ B r (x 0 ) temos que f(x) < α. Com efeito, suponhamos o contrário, que exista x 1 ∈ B r (x 0 ) tal que f(x 1 ) ≥ α. Como B r (x 0 ) é um conjunto convexo temos que t x 1 + (1 −t)x 0 ∈ B r (x 0 ), para todo t ∈ [0, 1], e pelo fato de B r (x 0 ) ⊂ E¸H decorre que f(t x 1 + (1 −t)x 0 ) ,= α, para todo t ∈ [0, 1]. Por outro lado, f(x 1 ) ≥ α implica que f(x 1 ) −f(x 0 ) ≥ α −f(x 0 ) ⇒0 < α −f(x 0 ) f(x 1 ) −f(x 0 ) ≤ 1. Definamos, em particular, t = α−f(x 0 ) f(x 1 )−f(x 0 ) . Conseq¨ uentemente, f(t x 1 + (1 −t)x 0 ) = f(t(x 1 −x 0 ) + x 0 ) = t f(x 1 −x 0 ) + f(x 0 ) = t[f(x 1 ) −f(x 0 )] + f(x 0 ) = α −f(x 0 ) + f(x 0 ) = α, o que é um absurdo! Logo, para todo x ∈ B r (x 0 ) temos que f(x) < α. Seja r 1 > 0 tal que B r 1 (x 0 ) ⊂ B r (x 0 ). Note que se x ∈ B r 1 (x 0 ) temos que x = x 0 +r 1 z, onde z ∈ B 1 (0). Assim, f(x) = f(x 0 + r 1 z) < α ⇒ f(x 0 ) + r 1 f(z) < α, ou ainda, f(z) < α −f(x 0 ) r 1 < +∞, para todo z ∈ B 1 (0). Logo, sup z∈E;||z||≤1 [f(z)[ < +∞, o que prova que f é limitada e portanto cont´ınua. 2 26 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Observa¸cão 1.22 Se tivéssemos suposto na proposi¸cão anterior que f(x 0 ) > α, mostrar´ıamos que para todo x ∈ B r (x 0 ) ter´ıamos f(x) > α. Usar´ıamos, neste caso, t = f(x 0 )−α f(x 0 )−f(x 1 ) para gerar o absurdo. Da mesma forma, então, f(x) = f(x 0 + r 1 z) > α, isto é, f(x 0 ) + r 1 f(z) > α ou ainda, f(−z) = −f(z) < f(x 0 ) −α r 1 , para todo z ∈ B 1 (0) ⇒ sup z∈E;||z||≤1 [f(z)[ < +∞. Defini¸cão 1.23 Seja E um espa¸co vetorial normado e consideremos A, B ⊂ E. Dizemos que o hiperplano H de equa¸cão [f = α] separa A e B no sentido lato(generalizado) se f(x) ≤ α, para todo x ∈ A e f(y) ≥ α, para todo y ∈ B. Dizemos que o hiperplano H separa A e B no sentido estrito se existe ε > 0 tal que f(x) ≤ α −ε, para todo x ∈ A e f(y) ≥ α + ε, para todo y ∈ B. Geometricamente, a separa¸cão significa que A e B se situam em lados opostos de H. A B H Figura 1.3: H separa A e B Lema 1.24 Sejam E um espa¸co normado, C ⊂ E um conjunto convexo, aberto e não- vazio e x 0 ∈ E tal que x 0 / ∈ C. Então existe f ∈ E tal que f(x) < f(x 0 ), para todo x ∈ C. Em particular, o hiperplano de equa¸cão [f = f(x 0 )] separa ¦x 0 ¦ de C no sentido lato. Demonstra¸cão: Suponhamos, sem perda da generalidade, que 0 ∈ C, pois caso 0 / ∈ C, consideramos o conjunto C = C − a, onde a ∈ C. Temos que C ,= ∅, convexo e aberto posto que C o é. Admitindo-se que o resultado seja verdadeiro para C , isto é, que exista f ∈ E tal que f(x) < f(x 0 ), para todo x ∈ C com x 0 / ∈ C , ent˜ ao o mesmo se verifica para C. De fato, seja x 0 ∈ E tal que x 0 / ∈ C. Ent˜ ao, existe f ∈ E tal que TEOREMA DE HAHN-BANACH 27 f(x) < f(x 0 −a . ¸¸ . / ∈C ), para todo x ∈ C . Logo, f(y − a) < f(x 0 − a), para todo y ∈ C e, portanto, f(y) − f(a) < f(x 0 ) − f(a), para todo y ∈ C donde f(y) < f(x 0 ), para todo y ∈ C. Podemos, então, supor, sem perda da generalidade, que 0 ∈ C e mostrar o desejado. Seja 0 ∈ C e consideremos p o funcional de Minkowski para o convexo C. Seja x 0 ∈ E tal que x 0 / ∈ C. Então, p(x 0 ) ≥ 1 posto que C = ¦x ∈ E; p(x) < 1¦. Ponhamos G = 1x 0 e g : G →1 dada por g(t x 0 ) = t. Temos que g ∈ G ∗ . Além disso, Se t ≥ 0, g(t x 0 ) = t ≤ .¸¸. p(x 0 )≥1 t p(x 0 ) = p(t x 0 ) Se t < 0, g(t x 0 ) = t < 0 ≤ p(t x 0 ). Logo, g(x) ≤ p(x), para todo x ∈ 1x 0 . Como o funcional de Minkowski é positivamente homogêneo e subaditivo vem pelo Teorema de Hahn-Banach (Forma Anal´ıtica) que existe um prolongamento f de g a todo E tal que f(x) ≤ p(x), para todo x ∈ E. Assim, f(x) ≤ p(x) ≤ M[[x[[, para todo x ∈ E (veja propriedade 3 do Funcional de Minkowski) e, portanto, f ∈ E , e além disso, f(x) ≤ p(x) < 1, para todo x ∈ C com f(x 0 ) = g(x 0 ) = 1. Conseq¨ uentemente, Existe f ∈ E tal que f(x) < f(x 0 ), para todo x ∈ C, o que finaliza a demonstra¸cão. 2 Teorema 1.25 (1 a Forma Geométrica do Teorema de Hahn-Banach) Sejam E um espa¸co vetorial normado e A, B ⊂ E subconjuntos convexos, disjuntos e não vazios. Se A é aberto, então existe um hiperplano fechado que separa A e B no sentido lato. Demonstra¸cão: Sejam a ∈ A, b ∈ B e x 0 = b − a. Definamos C = A − B + x 0 . Afirmamos que 1) C é convexo. (1.26) De fato, sejam w = a 1 − b 1 + x 0 e v = a 2 − b 2 + x 0 pontos de C e t ∈ [0, 1] com a 1 , a 2 ∈ A e b 1 , b 2 ∈ B. Então, t w + (1 −t) v = t[a 1 −b 1 + x 0 ] + (1 −t)[a 2 −b 2 + x 0 ] = [t a 1 + (1 −t)a 2 ] . ¸¸ . ∈A −[t b 1 + (1 −t)b 2 ] . ¸¸ . ∈B +x 0 ∈ A −B + x 0 = C, 28 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL o que prova (1.26). A seguir, provaremos que 2) C é aberto. (1.27) Com efeito, podemos escrever C = ∪ y∈B ¦A − y + x 0 ¦ e, portanto, C é a união de uma fam´ılia de conjuntos abertos, uma vez que A é aberto e a transla¸c˜ ao de um conjunto aberto é um conjunto aberto, o que prova (1.27). Finalmente afirmamos que x 0 / ∈ C. (1.28) De fato, suponhamos que x 0 ∈ C. Ent˜ ao, existem a ∈ A e b ∈ B tais que x 0 = a−b+x 0 , isto é, a = b, e, portanto, A ∩ B ,= ∅, o que é um absurdo, ficando provado (1.28). Logo, pelo lema 1.24 existe f ∈ E tal que f(x) < f(x 0 ), para todo x ∈ C, ou seja, f(a −b +x 0 ) < f(x 0 ), para todo a ∈ A e para todo b ∈ B, isto é, f(a) < f(b), para todo a ∈ A e para todo b ∈ B. Assim, sup x∈A f(x) ≤ inf y∈B f(y). Seja α ∈ 1 tal que sup x∈A f(x) ≤ α ≤ inf y∈B f(y). Então, f(x) ≤ α ≤ f(y), para todo x ∈ A e para todo y ∈ B. Como f ∈ E segue da proposi¸cão 1.21 que o hiperplano de equa¸c˜ ao [f = α] é fechado e, em virtude da desigualdade anterior, a prova está completa. 2 Teorema 1.26 (2 a Forma Geométrica do Teorema de Hahn-Banach) Sejam E um espa¸co vetorial normado, A, B ⊂ E subconjuntos convexos, disjuntos e não vazios. Se A for fechado e B for um compacto, então existe um hiperplano fechado que separa A e B no sentido estrito. Demonstra¸cão: Seja ε > 0 e ponhamos A ε = A + B ε (0), conforme ilustra a figura abaixo. TEOREMA DE HAHN-BANACH 29 A A ε ε Figura 1.4: A ε = A + B ε (0) Afirmamos que A ε é convexo. (1.29) De fato, sejam w, v ∈ A ε e t ∈ [0, 1]. Ent˜ ao, w = a 1 + ε z 1 e v = a 2 + ε z 2 onde a 1 , a 2 ∈ A e z 1 , z 2 ∈ B 1 (0). Temos: t w + (1 −t)v = t[a 1 + ε z 1 ] + (1 −t)[a 2 + ε z 2 ] = [t a 1 + (1 −t)a 2 ] . ¸¸ . ∈A +ε [t z 1 + (1 −t)z 2 ] . ¸¸ . ∈B 1 (0) ∈ A ε , o que prova (1.29). Analogamente prova-se que B ε = B + B ε (0) é convexo. (1.30) Notemos que A ε é aberto pois A ε = ∪ x∈A (x +B ε (0)). (1.31) A seguir, provaremos que A ε ∩ B ε = ∅ para algum ε > 0. (1.32) De fato, suponhamos o contr´ ario, ou seja, que para todo ε > 0, A ε ∩ B ε ,= ∅. Ent˜ ao, pondo ε n = 1 n , temos que para cada n ∈ N ∗ , existem x n ∈ A, y n ∈ B e z 1n , z 2n ∈ B 1 (0) tais que x n + ε n z 1n = y n + ε n z 2n . Portanto, [[x n −y n [[ = ε n [[z 2n −z 1n [[ ≤ 1 n [[[z 1n [[ +[[z 2n [[] ≤ 2 n . 30 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Como B é compacto, existe ¦y n k ¦ ⊂ ¦y n ¦ tal que y n k → y em B quando k → +∞. Assim, [[x n k −y[[ ≤ [[x n k −y n k [[ +[[y n k −y[[ → 0, quando k →+∞, o que implica que x n k → y, onde, como já vimos, y ∈ B. Como A é fechado, resulta que y ∈ A e, desta forma, A ∩ B ,= ∅, o que um absurdo já que tais conjuntos são disjuntos. Isto prova (1.32) Logo, existe ε 0 > 0 tal que A ε 0 ∩B ε 0 = ∅. Pela 1 a Forma Geométrica do Teorema de Hahn-Banach, existe um hiperplano fechado de equa¸c˜ ao [f = α] que separa A ε 0 e B ε 0 no sentido lato, isto é, f(x +ε 0 z 1 ) ≤ α ≤ f(y + ε 0 z 2 ), para todo x ∈ A, y ∈ B e z 1 , z 2 ∈ B 1 (0). Em particular, se z 2 = −z 1 resulta que f(x) + ε 0 f(z 1 ) ≤ α ≤ f(y) −ε 0 f(z 1 ), para todo x ∈ A, y ∈ B e z 1 ∈ B 1 (0). (1.33) Tomando o supremo em z 1 na 1 a desigualdade em (1.33) obtemos f(x) + ε 0 [[f[[ ≤ α ⇒f(x) ≤ α −ε 0 [[f[[, para todo x ∈ A. Analogamente tomando o supremo em z 1 na 2 a desigualdade em (1.33) vem que f(y) ≥ α + ε 0 [[f[[, para todo y ∈ B. Combinando as duas ´ ultimas desigualdades acima, fica provado o desejado. 2 Observa¸cão 1.27 ´ E imprescind´ıvel no Teorema acima que B seja compacto pois se B fosse apenas fechado nem sempre o Teorema se verifica. Vejamos o exemplo abaixo. Mais além, se a dimensão de E é infinita, se constrói um exemplo onde A e B são dois conjuntos convexos, não vazios e disjuntos tais que não existe nenhum hiperplano fechado que separa A e B no sentido lato. Contudo, se E é um espa¸co de dimensão finita sempre podem ser separados em sentido lato dois convexos A e B não vazios e disjuntos. Corolário 1.28 Sejam E um espa¸co vetorial e F um subespa¸co de E tal que F ,= E. Então existe f ∈ E , f ,= 0 (não identicamente nula) tal que ¸f, x) = 0, para todo x ∈ F. FUNÇ ˜ OES CONVEXAS E SEMICONT ´ INUAS 31 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ © hipérbole B (fechado) fechado A Figura 1.5: A é um hiperplano fechado e B é a região fechada de um lado da hipérbole que tem o hiperplano como ass´ıntota. Demonstra¸cão: Seja x 0 ∈ E talque x 0 / ∈ F. Como F é subespa¸co de E temos que F também o é e, consequentemente é convexo. Logo, F é convexo e fechado; ¦x 0 ¦ é convexo e compacto e F ∩¦x 0 ¦ = ∅. Pela 2 a Forma geométrica do teorema de Hahn-Banach, existe um hiperplano fechado que separa F e ¦x 0 ¦ no sentido estrito, isto é, existem f ∈ E ( veja proposi¸c˜ ao 1.21), f ,= 0 e α ∈ 1 tais que f(x) ≤ α −ε, para todo x ∈ F e f(x 0 ) ≥ α + ε, para algum ε > 0. Em particular, f(x) < α < f(x 0 ), para todo x ∈ F. Considerando g = f[ F , conclu´ımos que g(x) < α para todo x ∈ F o que implica que g ≡ 0 (veja in´ıcio da se¸c˜ ao 1.1), ou seja, ¸f, x) = 0 para todo x ∈ F, o que encerra a prova. 2 Aplica¸c˜ ao do Corolário Anterior: O corolário acima é frequentemente aplicado para demonstrar quando um subespa¸co vetorial F ⊂ E é denso em E, ou seja, para mostrar o seguinte resultado: Corolário 1.29 Sejam E um espa¸co vetorial normado e F um subespa¸co vetorial de E. Se para toda forma f ∈ E tal que ¸f, x) = 0, para todo x ∈ F se tem f ≡ 0 (i.é. ¸f, x) = 0 para todo x ∈ E), então F é denso em E (ou seja, F = E). 1.3 Fun¸c˜ oes Convexas e Semicont´ınuas Come¸camos com uma defini¸c˜ ao. Defini¸cão 1.30 Sejam E um conjunto genérico e f : E →] −∞, +∞] uma aplica¸cão. 32 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL • a) O dom´ınio efetivo de f é o conjunto D e (f) = ¦x ∈ E; f(x) ,= +∞¦. Se D e (f) ,= ∅ ou, equivalentemente, f ,= +∞ (f não é identicamente infinito), dizemos que f é uma fun¸cão própria. • b) O epigráfico de f é o conjunto epi(f) = ¦(x, λ) ∈ E 1; f(x) ≤ λ¦. • c) O conjunto de n´ıvel λ de f é o conjunto N(λ, f) = ¦x ∈ E; f(x) ≤ λ¦. Para fixar idéias consideremos a figura 1.5 abaixo. E E T T epi(f) E E 1 1 λ N(λ, f) Figura 1.6: Epigráfico e Conjunto de N´ıvel. Seja E um espa¸co topológico e f : E →[−∞, +∞] uma fun¸c˜ ao. Dizemos que f é semicont´ınua inferiormente (s.c.i.) no ponto x 0 ∈ E se para todo ε > 0 existe uma vizinhan¸ca de x 0 , V (x 0 ) tal que f(x) > f(x 0 ) −ε, para todo x ∈ V (x 0 ). Dizemos que f é s.c.i. em F ⊂ E se f é s.c.i. em cada ponto de F. Dizemos que f é semicont´ınua superiormente (s.c.s.) no ponto x 0 ∈ E se para todo ε > 0 existe uma vizinhan¸ca de x 0 , V (x 0 ), tal que f(x) < f(x 0 ) + ε, para todo x ∈ V (x 0 ). FUNÇ ˜ OES CONVEXAS E SEMICONT ´ INUAS 33 E E T T f f • ◦ ◦ • x 0 V (x 0 ) x 0 V (x 0 ) 1 1 E E Figura 1.7: ` A esquerda f é s.c.i. em x 0 enquanto que à direita f é s.c.s. em x 0 . Dizemos que f é s.c.s. em F ⊂ E se f é s.c.s. em cada ponto de F. Note que se f for s.c.s. ent˜ ao −f será s.c.i. As figuras acima ilustram exemplos de fun¸c˜ oes s.c.i e s.c.s. x 0 . Se E = 1, por exemplo, a s.c.i. em x 0 seria uma espécie de continuidade pela esquerda de x 0 , sendo que os valores de f(x) para x > x 0 devem se manter estritamente maiores que f(x 0 ) −ε, enquanto que a s.c.s. seria uma espécie de continuidade pela direita, sendo que os valores de f(x) para x < x 0 devem se manter estritamente menores que f(x 0 ) + ε. Para facilitar a compreensão, veremos, a seguir, uma forma diferente de enfocar os conceitos acima quando E é um espa¸co métrico. Para isso, recordemos o conceito de limite inferior e superior que passamos a definir. Sejam E um espa¸co métrico, f : E →[−∞, +∞] uma fun¸c˜ ao e x 0 ∈ E. Denominamos limite superior da fun¸cão f em x 0 , e denotamos por limsup ε→0 f(x), à quantidade (finita ou infinita) lim ε→0 _ sup x∈Bε(x 0 ) f(x) _ . De maneira análoga, denominamos limite inferior da fun¸cão f em x 0 e denotamos por liminf ε→0 f(x), à quantidade (finita ou infinita) lim ε→0 _ inf x∈B ε (x 0 ) f(x) _ . Uma defini¸c˜ ao equivalente à de semicontinuidade é a seguinte: a) Dizemos que f é semicont´ınua superiormente no ponto x 0 se limsup x→x 0 f(x) ≤ f(x 0 ). 34 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL b) Dizemos que f é semicont´ınua inferiormente no ponto x 0 se liminf x→x 0 f(x) ≥ f(x 0 ). Mostremos a equivalência das defini¸cões para as fun¸c˜ oes s.c.i. em x 0 , ou seja, provaremos que liminf x→x 0 f(x) ≥ f(x 0 ) ⇔∀ε > 0, ∃V (x 0 ) tal que f(x) > f(x 0 ) −ε, ∀x ∈ V (x 0 ) ∩ E.(1.34) Demonstra¸cão: (⇐) Seja ε > 0 dado. Ent˜ ao, existe V (x 0 ) tal que f(x) > f(x 0 )−ε, para todo x ∈ V (x 0 ). Assim, existe B r ε (x 0 ) tal que f(x) > f(x 0 ) − ε, para todo x ∈ B r ε (x 0 ). Se r ε ≥ ε temos que f(x) > f(x 0 ) −ε para todo x ∈ B ε (x 0 ) e, portanto, inf x∈B ε (x 0 ) f(x) ≥ f(x 0 ) −ε ⇒ lim ε→0 _ inf x∈B ε (x 0 ) f(x) _ ≥ f(x 0 ). Se r ε < ε, temos que f(x) > f(x 0 ) − ε, para todo x ∈ B r ε (x 0 ) e 0 ≤ lim ε→0 r ε ≤ lim ε→0 ε = 0. Assim, inf x∈Br ε (x 0 ) f(x) ≥ f(x 0 ) −ε ⇒ lim ε→0 _ inf x∈Br ε (x 0 ) f(x) _ ≥ f(x 0 ), o que implica que lim r ε →0 f(x) _ inf x∈Br ε (x 0 ) f(x) _ ≥ f(x 0 ). (⇒) Suponhamos o contrário, ou seja, que exista ε 0 > 0 tal que para toda V (x 0 ) exista x ∈ V (x 0 ) tal que f(x) ≤ f(x 0 ) − ε 0 . Em particular, se V (x 0 ) = B 1/n (x 0 ) temos que existe x n ∈ B 1/n (x 0 ) tal que f(x n ) ≤ f(x 0 ) −ε 0 , para todo n ∈ N ∗ , isto é, inf x∈B 1/n (x 0 ) f(x) ≤ f(x n ) ≤ f(x 0 ) −ε 0 . Assim, lim n→+∞ _ inf x∈B 1/n (x 0 ) f(x) _ ≤ f(x 0 ) −ε 0 < f(x 0 ), o que é um absurdo (!) pois, por hipótese, lim ε→0 _ inf x∈B ε (x 0 ) f(x) _ ≥ f(x 0 ), FUNÇ ˜ OES CONVEXAS E SEMICONT ´ INUAS 35 o que prova a equivalência em (1.34). 2 Exemplos: Consideremos a fun¸c˜ ao f : 1 →1 dada por f(x) = _ 1, x > 0, −1, x ≤ 0 T E ◦ • 1 −1 x 0 Figura 1.8: f é s.c.i. em 1 mas não é s.c.s. em 0. f é s.c.i. em 1 posto que é cont´ınua em 1¸¦0¦ e f(0) = −1 ≤ liminf x→0 f(x). Porém, f não é s.c.s. em x = 0. Analogamente, a fun¸c˜ ao f : 1 →1 dada por f(x) = _ 1, x ≥ 0, −1, x < 0 T E • ◦ 1 −1 x 0 Figura 1.9: f é s.c.s. em 1 mas não é s.c.i. em 0. é s.c.s. em 1 posto que é continua em 1¸¦0¦ e f(0) = 1 ≥ liminf x→0 f(x). Porém, f não é s.c.i. em x = 0. 36 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Veremos, a seguir, alguns resultados que nos serão ´ uteis posteriormente. Lema 1.31 (Resultado 1) Seja E um conjunto. f : E → 1 é cont´ınua em x 0 ∈ E se, e somente se, f é s.c.i. e s.c.s. em x 0 ∈ E. Aqui estamos excluindo f assumir +∞ ou −∞. Demonstra¸cão: Imediata. 2 Lema 1.32 (Resultado 2) Para que f : E → 1 seja s.c.i. no ponto x 0 é necessário e suficiente que para cada λ ∈ 1 tal que λ < f(x 0 ), exista uma vizinhan¸ca de x 0 , V (x 0 ) tal que λ < f(x), para todo x ∈ V (x 0 ). Demonstra¸cão: (⇒) Fa¸camos ε = f(x 0 ) −λ. Então, existe V (x 0 ) tal que f(x) > f(x 0 ) −ε = f(x 0 ) −f(x 0 ) + λ = λ, para todo x ∈ V (x 0 ). (⇐) Reciprocamente, seja ε > 0 e consideremos λ = f(x 0 )−ε. Como f(x 0 )−ε < f(x 0 ), isto é, λ < f(x 0 ), temos que existe uma vizinhan¸ca V (x 0 ) tal que f(x) > λ, para todo x ∈ V (x 0 ), ou seja, f(x) > f(x 0 ) −ε, para todo x ∈ V (x 0 ), o que conclui a prova. 2 Lema 1.33 (Resultado 3) Para que f : E → 1 seja s.c.i. em E é necessário e suficiente que todos os conjuntos de n´ıvel de f sejam fechados. Demonstra¸cão: Para provar este lema usaremos o Resultado 2. (⇒) Para mostrar que N(λ, f) é fechado, para todo λ ∈ 1, basta mostrarmos que E¸N(λ, f) = ¦x ∈ E; f(x) > λ¦ é aberto. Com efeito, seja x o ∈ E¸N(λ, f). Ent˜ ao, f(x 0 ) > λ e existe V (x 0 ) tal que λ < f(x), para todo x ∈ V (x 0 ), de onde se conclui que V (x 0 ) ⊂ E¸N(λ, f) provando que E¸N(λ, f) é aberto. (⇐) Supondo que N(λ, f) fechado, temos que E¸N(λ, f) é aberto e conseq¨ untemente dado x 0 ∈ E¸N(λ, f), ou seja, f(x 0 ) > λ, existe uma vizinhan¸ca de x 0 , V (x 0 ) tal que V (x 0 ) ⊂ E¸N(λ, f), ou seja, f(x) > λ, para todo x ∈ V (x 0 ). Isto conclui a prova. 2 FUNÇ ˜ OES CONVEXAS E SEMICONT ´ INUAS 37 Exemplos: a) A fun¸c˜ ao caracter´ıstica de um conjunto aberto A ⊂ E, χ A , dada por χ A (x) = _ 1, x ∈ A, 0, x / ∈ A, é s.c.i.. Com efeito, N(λ, χ A ) = ¦x ∈ E; χ A (x) ≤ λ¦. Se λ < 0, N(λ, χ A ) = ¦x ∈ E; χ A (x) ≤ λ¦ = ∅. Se λ = 0, N(0, χ A ) = ¦x ∈ E; χ A (x) ≤ 0¦ = E¸A. Se 0 < λ < 1, N(λ, χ A ) = ¦x ∈ E; χ A (x) ≤ λ¦ = E¸A. Se λ = 1, N(1, χ A ) = ¦x ∈ E; χ A (x) ≤ 1¦ = E. Se λ > 1, N(λ, χ A ) = ¦x ∈ E; χ A (x) ≤ λ¦ = E. Esses conjuntos são todos fechados. b) A fun¸c˜ ao indicatriz de um conjunto fechado A, I A , dada por I A (x) = _ 0, x ∈ A, +∞, x / ∈ A, é s.c.i. Com efeito Se λ < 0, N(λ, I A ) = ¦x ∈ E; I A (x) ≤ λ¦ = ∅. Se λ = 0, N(0, I A ) = ¦x ∈ E; I A (x) ≤ 0¦ = A. Se λ > 0, N(λ, I A ) = ¦x ∈ E; I A (x) ≤ λ¦ = A. Analogamente ao exemplo anterior os conjuntos acima são todos fechados. Lema 1.34 (Resultado 4) Para que f : E →1 seja s.c.i. é necessário e suficiente que o epigráfico de f seja fechado em E 1. Demonstra¸cão: (⇒) Seja f s.c.i. e ent˜ ao mostraremos que (E 1)¸epi(f) é aberto em E 1. Como (E 1)¸epi(f) = ¦(x, λ) ∈ E 1; f(x) > λ¦, 38 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL se (x 0 , λ 0 ) ∈ (E 1)¸epi(f) temos que f(x 0 ) > λ 0 . Pelo Resultado 2, decorre que existe V (x 0 ), vizinhan¸ca de x 0 em E, tal que f(x) > µ para todo x ∈ V (x 0 ), onde λ 0 < µ < f(x 0 ). Afirmamos que V (x 0 , λ 0 ) = V (x 0 )] −∞, µ[⊂ (E 1)¸epi(f). (1.35) De fato, seja (x, λ) ∈ V (x 0 , λ 0 ). Ent˜ ao, x ∈ V (x 0 ) e −∞ < λ < µ. Como f(x) > µ, resulta que f(x) > λ e, portanto, (x, λ) ∈ (E 1)¸epi(f), o que prova (1.35) implicando que (E 1)¸epi(f) é aberto conforme quer´ıamos provar. (⇐) Reciprocamente se epi(f) é fechado, então (E1)¸epi(f) é aberto e desta forma, se (x 0 , λ 0 ) ∈ (E 1)¸epi(f), existe uma vizinhan¸ca V (x 0 , λ 0 ) ⊂ (E 1)¸epi(f), ou seja Se (x 1 , λ 1 ) ∈ V (x 0 , λ 0 ) então f(x 1 ) > λ 1 . Mostraremos que f é s.c.i. em E, utilizando o Resultado 2. Com efeito, seja x 0 ∈ E e λ ∈ 1 tal que λ < f(x 0 ). Ent˜ ao, (x 0 , λ) ∈ (E 1)¸epi(f) e, portanto, existe uma vizinhan¸ca V (x 0 , λ) tal que V (x 0 , λ) ⊂ (E 1)¸epi(f). Seja π E [B r (x 0 , λ)] a proje¸c˜ ao de B r (x 0 , λ) ⊂ V (x 0 , λ) sobre E e consideremos y ∈ π E [B r (x 0 , λ)]. Assim, f(y) > λ, pois (y, λ) ∈ V (x 0 , λ) ⊂ (E 1)¸epi(f). Logo, pondo V (x 0 ) = π E [B r (x 0 , λ)] (veja diagrama¸c˜ ao abaixo) segue do Resultado 2 o desejado. T E 1 E epi(f) (E 1)¸epi(f) x 0 ( ) λ V (x 0 , λ) π E [B r (x 0 , λ)] d ds r Figura 1.10: diagrama¸c˜ ao 2 Defini¸cão 1.35 Sejam E um espa¸co topológico e ¦f i ¦ i∈I uma fam´ılia de fun¸cões f i : E → [−∞, +∞]. A fun¸cão ϕ : E →[−∞, +∞] definida por ϕ(x) = sup i∈I ¦f i (x)¦, é denominada invólucro superior de ¦f i ¦ i∈I . Analogamente, a fun¸cão ψ : E →[−∞, +∞], definida por ψ(x) = inf i∈I ¦f i (x)¦, FUNÇ ˜ OES CONVEXAS E SEMICONT ´ INUAS 39 é denominada invólucro inferior de ¦f i ¦ i∈I . Lema 1.36 (Resultado 5) O invólucro superior de uma fam´ılia ¦f i ¦ i∈I , é s.c.i. é uma fun¸cão s.c.i.. Demonstra¸cão: Seja ϕ(x) = sup i∈I ¦f i (x)¦. Afirmamos que epi(ϕ) = i∈I epi(f i ). (1.36) Com efeito, se (x, λ) ∈ epi(ϕ), temos que ϕ(x) ≤ λ e, conseq¨ uentemente, f i (x) ≤ λ, para todo x ∈ I. Logo, (x, λ) ∈ epi(f i ), para todo i ∈ I. Reciprocamente, seja (x, λ) ∈ i∈I epi(f i ). Ent˜ ao, f i (x) ≤ λ para todo i ∈ I donde sup i∈I ¦f i (x)¦ ≤ λ. Assim, ϕ(x) ≤ λ, e portanto, (x, λ) ∈ epi(ϕ), o que prova (1.36). Como cada epi(f i ) é fechado, posto que cada f i é s.c.i. (Resultado 4), e a interse¸ cão arbitrária de fechados é fechada, vem que epi(ϕ) é fechado e consequentemente ϕ é s.c.i. 2 A seguir, apresentamos dois resultados cujas demonstra¸cões são imediatas e portanto serão suprimidas. São eles: Lema 1.37 (Resultado 6) A soma de duas fun¸cões s.c.i. é s.c.i.. Lema 1.38 (Resultado 7) O produto de duas fun¸cões não-negativas s.c.i. é s.c.i.. Lema 1.39 (Resultado 8) Se f : E → 1 é uma aplica¸cão própria, s.c.i. e E é compacto, então f atinge seu ´ınfimo em D(f). Demonstra¸cão: Definamos m = inf x∈E f(x). Note que m está bem definido, pois como f é própria, f ,= +∞(f é não identicamente +∞) e, portanto, m < +∞. Para cada λ > m, temos que N(λ, f) = ¦x ∈ E; f(x) ≤ λ¦ é fechado em virtude do Resultado 3 e a fam´ılia N(λ, f) é totalmente ordenada por inclusão, ou seja, se λ 1 ≤ λ 2 temos que N(λ 1 , f) ⊂ N(λ 2 , f). Além disso, pela propriedade de ´ınfimo segue que N(λ, f) ,= ∅, para todo λ > m [Note que se existir λ > m tal que 40 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL f(x) > λ para todo x ∈ E temos que λ é uma cota inferior maior que ´ınfimo, o que é um absurdo(!)]. Como cada N(λ, f) é fechado em E, e E, por sua vez é compacto, vem que N(λ, f) é compacto qualquer que seja λ > m. Assim, temos uma cole¸c˜ ao ¦N(λ, f)¦ λ>m de compactos tais que a interse¸c˜ ao de qualquer cole¸c˜ ao finita é não vazia, o que implica que λ>m N(λ, f) ,= ∅. Mais além, se x ∈ λ>m N(λ, f), então f(x) ≤ λ, para todo λ > m. Desta forma, considerando ¦λ n ¦ n∈N tal que λ n > m e λ n →m resulta que f(x) ≤ λ n , para todo n ∈ N, e, conseq¨ uentemente, f(x) ≤ m, para todo x ∈ ∩ λ>m N(λ, f). Por outro lado, como f(x) ≥ m, para todo x ∈ E, vem que f(x) = m, para todo x ∈ λ>m N(λ, f). Assim, existe x 0 ∈ E tal que f(x 0 ) = inf x∈E f(x) = m. 2 Defini¸cão 1.40 Sejam E um espa¸co vetorial e C um subconjunto convexo de E. Dizemos que ϕ : C →] −∞, +∞] é uma fun¸cão convexa sobre C se ϕ(t x + (1 −t) y) ≤ t ϕ(x) + (1 −t) ϕ(y), para todo x, y ∈ C e t ∈ [0, 1]. Exemplos: a) A norma [[ [[ em um espa¸co vetorial normado E é uma fun¸cão convexa sobre E. A verifica¸c˜ ao deste fato decorre imediatamente da desigualdade triangular. b) Toda fun¸c˜ ao linear afim sobre E, isto é, ϕ : E →1 definida por ϕ(x) = ¸f, x) +α, para algum α ∈ 1 e f ∈ E ∗ , é convexa, o que segue diretamente das propriedades de uma fun¸c˜ ao linear. Lema 1.41 (Resultado 9) A fun¸cão ϕ : C →] −∞, +∞], onde C é convexo, é convexa, se, e somente se, o epi(ϕ) é convexo. Demonstra¸cão: (⇒) Sejam (x, λ), (y, µ) ∈ epi(ϕ) e t ∈ [0, 1]. Então, ϕ(x) ≤ λ e ϕ(y) ≤ µ. Logo, ϕ(t x + (1 −t) y) ≤ t ϕ(x) + (1 −t) ϕ(y) ≤ t λ + (1 −t)µ, FUNÇ ˜ OES CONVEXAS E SEMICONT ´ INUAS 41 donde (t x + (1 −t) y, t λ + (1 −t) µ) ∈ epi(ϕ), ou seja, t(x, λ) + (1 −t)(y, µ) ∈ epi(ϕ). (⇐) Reciprocamente, sejam x, y ∈ C e t ∈ [0, 1]. Como ϕ(x) ≤ ϕ(x) e ϕ(y) ≤ ϕ(y) vem que (x, ϕ(x)), (y, ϕ(y)) ∈ epi(ϕ). Logo, t(x, ϕ(x)) + (1 −t)(y, ϕ(y)) = (t x + (1 −t)y, t ϕ(x) + (1 −t) ϕ(y)) ∈ epi(ϕ), ou seja, ϕ(t x + (1 −t)y) ≤ t ϕ(x) + (1 −t) ϕ(y). 2 Lema 1.42 (Resultado 10) Se a fun¸cão ϕ : C →] − ∞, +∞], onde C é convexo, é convexa, então N(λ, ϕ), λ ∈ 1, é um conjunto convexo. Demonstra¸cão: Sejam λ ∈ 1, x, y ∈ N(λ, ϕ) e t ∈ [0, 1]. Ent˜ ao, ϕ(x) ≤ λ e ϕ(y) ≤ λ. Logo, ϕ(t x + (1 −t)y) ≤ t ϕ(x) + (1 −t) ϕ(y) ≤ t λ + (1 −t)λ = λ. 2 Observa¸cão 1.43 Notemos que a rec´ıproca do resultado 10 não é verdadeira. Consider- emos a fun¸cão: ϕ(x) = _ x 2 , x ≤ 0, x 2 + 1, x > 0. T E 1 x ◦ 1 • − √ λ √ λ −1 λ Figura 1.11: diagrama¸c˜ ao 42 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Então, N(λ, ϕ) = ¦x ∈ 1; ϕ(x) ≤ λ¦. Se λ < 0, ¦x ∈ 1; ϕ(x) ≤ λ¦ = ∅. Se λ = 0, ¦x ∈ 1; ϕ(x) ≤ 0¦ = ¦0¦. Se 0 < λ < 1, ¦x ∈ 1; ϕ(x) ≤ λ¦ = [− √ λ, 0]. Se λ = 1, ¦x ∈ 1; ϕ(x) ≤ 1¦ = [−1, 0]. Se λ > 1, ¦x ∈ 1; ϕ(x) ≤ λ¦ = [− √ λ, 0]∪]0, √ λ −1[= [− √ λ, √ λ −1]. Os conjuntos acima são convexos, mas ϕ não é convexa. De fato, considere x = − 1 2 , y = 1 2 e t = 1 4 (1 −t = 3 4 ). Da´ı, ϕ(−1/2) = 1/4, ϕ(1/2) = 5/4, e t ϕ(x) + (1 −t) ϕ(y) = 1 4 1 4 + 3 4 5 4 = 1 16 + 15 16 = 1. Por outro lado, t x + (1 −t)y = 1 4 _ − 1 2 _ + 3 4 1 2 = − 1 8 + 3 8 = 1 4 , e, assim, ϕ(t x + (1 −t)y) = ϕ(1/4) = 1 16 + 1 > 1 = t ϕ(x) + (1 −t) ϕ(y), o que prova o desejado. No que segue, consideraremos E um espa¸co vetorial normado. Proposi¸cão 1.44 Seja ϕ : E →] − ∞, +∞] uma aplica¸cão convexa, s.c.i. e própria. Então, existe uma reta afim, f −β, onde f ∈ E e β ∈ 1 tal que f(x) −β < ϕ(x), para todo x ∈ E. Demonstra¸cão: Como ϕ é própria, existe x 0 ∈ E tal que x 0 ∈ D e (ϕ), ou seja, ϕ(x 0 ) < +∞. Seja λ 0 ∈ 1 tal que ϕ(x 0 ) > λ 0 . Ent˜ ao, (x 0 , λ 0 ) / ∈ epi(ϕ). Como epi(ϕ) é um conjunto convexo ( Resultado 9), fechado (Resultado 4) e não vazio (pois ϕ é uma fun¸c˜ ao própria) de E1 e ¦(x 0 , λ 0 )¦ é um conjunto convexo e compacto de E1 onde epi(ϕ) ∩ ¦(x 0 , λ 0 )¦ = ∅, vem, pela 2 a Forma Geométrica do Teorema de Hahn-Banach que existem φ ∈ (E 1) e α ∈ 1 tais que φ(x, λ) ≤ α −ε < α ≤ α + ε ≤ φ(x 0 , λ 0 ), para todo (x, λ) ∈ epi(ϕ). FUNÇ ˜ OES CONVEXAS E SEMICONT ´ INUAS 43 Como φ ∈ (E 1) , existem g ∈ E e k ∈ 1 (veja subse¸c˜ ao 1.1.2) tais que φ(x, λ) = ¸g, x) + k λ, para todo x ∈ E e λ ∈ 1. Assim, ¸g, x) +k λ ≤ α −ε < α ≤ α + ε ≤ ¸g, x 0 ) + k λ 0 , para todo (x, λ) ∈ epi(ϕ). Em particular, para (x 0 , ϕ(x 0 )) ∈ epi(ϕ) resulta que k ϕ(x 0 ) < α < k λ 0 ⇒k(ϕ(x 0 ) −λ 0 ) < 0. Mas, como ϕ(x 0 ) > λ 0 , a desigualdade acima implica que k < 0. Em particular, para x ∈ D e (ϕ) resulta que (x, ϕ(x)) ∈ epi(ϕ) e, portanto, ¸g, x) + k ϕ(x) < α ≤ ¸g, x 0 ) + k λ 0 , donde _ − g k , x _ −ϕ(x) < − α k . Pondo f = − g k e β = − α k , obtemos ¸f, x) −ϕ(x) < β ⇒¸f, x) −β < ϕ(x), para todo x ∈ D e (ϕ). Se x / ∈ D e (ϕ) temos que ϕ(x) = +∞ e a desigualdade segue trivialmente. Logo, ¸f, x) −β < ϕ(x), para todo x ∈ E, conforme quer´ıamos demonstrar. 2 Observa¸cão 1.45 Da proposi¸cão acima resulta que ¸f, x) −β < ϕ(x), para todo x ∈ E, e, portanto, sup x∈E ¦¸f, x) −ϕ(x)¦ ≤ β. Portanto, definindo-se ϕ ∗ : E →1; f →ϕ ∗ (f) = sup x∈E ¦¸f, x) −ϕ(x)¦ , (1.37) temos que ϕ ∗ (f) é o menor dos valores de β para os quais f −β minora ϕ. 44 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL A fun¸c˜ ao ϕ ∗ definida acima é denominada conjugada (ou polar) da ϕ. Vejamos um exemplo: Seja ϕ : 1 →1 dada por ϕ(x) = x 2 . Como ϕ está nas condi¸c˜ oes da proposi¸cão 1.44, existe f ∈ 1 ≡ 1 e β ∈ 1 tais que ¸f, x) − β < ϕ(x). Logo, existe a ∈ 1 tal que ¸f, x) = a x para todo x ∈ 1 e, portanto, a x −β < ϕ(x), para todo x ∈ 1, ou ainda, a x −x 2 < β, para todo x ∈ 1. Logo, pondo (x 2 ) ∗ (a) = sup x∈R ¦a x −x 2 ¦ temos que (x 2 ) ∗ (a) = a 2 4 pois o máximo é assumido quando d dx (a x −x 2 ) = 0, ou seja, em x = a 2 . Portanto, (x 2 ) ∗ (a) = sup x∈R (a x −x 2 ) = a a 2 − a 2 4 = a 2 4 . T E 1 1 a 2 a 2 4 ϕ(x) = x 2 y = a x − a 2 4 Figura 1.12: diagrama¸c˜ ao Então, a reta y = a x − a 2 4 é a reta que minora ϕ(x) = x 2 . Note que realmente esta reta é tangente ao gráfico de ϕ no ponto (a/2, a 2/4). FUNÇ ˜ OES CONVEXAS E SEMICONT ´ INUAS 45 Proposi¸cão 1.46 A conjugada de uma fun¸cão ϕ : E →] − ∞, +∞], ϕ ∗ , é convexa e s.c.i.. Demonstra¸cão: Para cada x ∈ E, temos que ¸f, x) é uma fun¸c˜ ao linear e cont´ınua sobre E, pois f ∈ E e ϕ(x) é um n´ umero fixo. Com efeito, definamos, para cada x ∈ E, a fun¸c˜ ao ξ x : E →]−∞, +∞] dada por ξ x (f) = ¸f, x)−ϕ(x). Pelo que vimos anteriormente (veja exemplo (b) na página 39) ξ x é uma fun¸cão linear afim sobre E e portanto convexa. Além disso, ξ x é cont´ınua em E . De fato, seja ¦f n ¦ n∈N uma seq¨ uência de fun¸c˜ oes em E tal que f n →f em E , ou seja, sup x∈E;||x||≤1 [ ¸f n −f, x) [ → 0, quando n →+∞. Da convergência acima resulta que [ ¸f n , x) −¸f, x) [ → 0 quando n →+∞, para todo x ∈ E tal que [[x[[ ≤ 1. Se y ∈ E é tal que y ,= 0, então ¸ ¸ ¸ ¸ _ f n , y [[y[[ _ − _ f, y [[y[[ _¸ ¸ ¸ ¸ →0 quando n → +∞, ou seja, [ ¸f n , y) −¸f, y) [ → 0 quando n →+∞, para todo y ∈ E. Da´ı resulta que [ξ y (f n ) −ξ y (f)[ = [ ¸f n , y) −ϕ(y) −[¸f, y) −ϕ(y)][ →0 quando n →+∞, para todo y ∈ E, o que prova a continuidade de ξ x . Assim, ξ x (f) = ¸f, x) − ϕ(x) é, para cada, x ∈ E, convexa e s.c.i. (posto que é cont´ınua). Como ϕ ∗ é o inv´ olucro superior da fam´ılia ¦¸f, x) −ϕ(x)¦ x∈E , onde cada elemento é s.c.i., temos, em virtude do Resultado 5 que ϕ ∗ é s.c.i.. Além disso, se t ∈ [0, 1] e f, g ∈ E , resulta que ¸t f + (1 −t)g, x) −ϕ(x) = t ¦¸f, x) −ϕ(x)¦ + (1 −t) ¦¸g, x) −ϕ(x)¦ ≤ t ϕ ∗ (f) + (1 −t) ϕ ∗ (g), e, portanto, ϕ ∗ (t f + (1 −t)g) = sup x∈E ¦¸t f + (1 −t)g, x) −ϕ(x)¦ ≤ t ϕ ∗ (f) + (1 −t) ϕ ∗ (g), 46 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL o que prova que ϕ ∗ é convexa. 2 Proposi¸cão 1.47 Suponhamos que ϕ : E →] − ∞, +∞] é uma aplica¸cão convexa, s.c.i. e própria. Então ϕ ∗ é própria. Demonstra¸cão: De acordo com a Proposi¸c˜ ao 1.44, existe f ∈ E e β ∈ 1 tais que ¸f, x) − β ≤ ϕ(x), para todo x ∈ E. Logo, ¸f, x) − ϕ(x) ≤ β, para todo x ∈ E, o que implica que ϕ ∗ (f) = sup x∈E ¦¸f, x) −ϕ(x)¦ ≤ β, de onde conclu´ımos que f ∈ D e (ϕ ∗ ), o que mostra o desejado. 2 No que segue, a nota¸c˜ ao E representar´ a (E ) , o dual do dual, ou bidual de um espa¸co E. Proposi¸cão 1.48 A aplica¸cão J : E → E definida por J x (f) = ¸f, x), f ∈ E é um isomorfismo isométrico de E em J(E). Demonstra¸cão: Em verdade temos J : E → E x →J x , onde J x : E → 1 é definida por J x (f) = ¸f, x). A fun¸c˜ ao J está bem definida uma vez que, para cada x ∈ E, fixado, J x é claramente linear e, além disso, pelo Corolário 1.18 da Forma Anal´ıtica do teorema de Hahn-Banach, temos sup f∈E ,||f||≤1 [J x (f)[ = sup f∈E ,||f||≤1 [ ¸f, x) [ = [[x[[ < +∞, para todo x ∈ E, o que resulta na limita¸cão, portanto, continuidade de J x . Assim, J x ∈ E e [[J x [[ E = [[x[[, para todo x ∈ E. Além disso, J é linear pois J x+y (f) = ¸f, x + y) = ¸f, x) +¸f, y) = J x (f) + J y (f) = (J x + J y )(f), para todo f ∈ E , FUNÇ ˜ OES CONVEXAS E SEMICONT ´ INUAS 47 provando que J x+y = J x +J y para todo x, y ∈ E. Analogamente, prova-se que J λx = λJ x para todo λ ∈ 1 e x ∈ E. J é, ent˜ ao, uma aplica¸c˜ ao isomorfa e isométrica de E em J(E) ⊂ E , conforme quer´ıamos demonstrar. 2 Observa¸cão 1.49 Em virtude do isomorfismo acima, identifica-se E a J(E) e escreve-se E ⊂ E . Quando J(E) = E , então E = E . Neste caso, o espa¸co E é denominado reflexivo. No Cap´ıtulo 3, estudaremos algumas propriedades relacionadas a tais espa¸cos. Teorema 1.50 (Fenchel-Moreau) Suponhamos que ϕ : E →]−∞, +∞] é uma aplica¸cão convexa, s.c.i. e própria. Então, ϕ ∗∗ = ϕ Demonstra¸cão: De acordo com as Proposi¸c˜ oes 1.46 e 1.47, ϕ ∗ : E → 1 é própria, convexa e s.c.i. e consequentemente existe ϕ ∗∗ : E → 1. Desta forma, como provar que ϕ ∗∗ = ϕ em dom´ınios diferentes ? ´ E a´ı que usamos fortemente a identifica¸c˜ ao E ≡ J(E) ⊂ E descrita na proposi¸c˜ ao 1.48. Assim, ao invés de representarmos ϕ ∗∗ (ξ) = sup f∈E ¦¸ξ, f) −ϕ ∗ (f)¦ , ξ ∈ E , escrevemos, via identifica¸c˜ ao acima, ϕ ∗∗ (x) = sup f∈E ¦¸f, x) −ϕ ∗ (f)¦ , x ∈ E, onde estamos subentendendo que ξ ∈ J(E) ≡ E ⊂ E . Notemos que pelo fato de ϕ ∗ (f) = sup x∈E ¦¸f, x) −ϕ(x)¦ , resulta que ϕ ∗ (f) ≥ ¸f, x) −ϕ(x), para todo x ∈ E e f ∈ E , e, assim ϕ(x) ≥ ¸f, x) −ϕ ∗ (f), para todo x ∈ E e f ∈ E , o que implica que ϕ(x) ≥ sup f∈E ¦¸f, x) −ϕ ∗ (f)¦ , para todo x ∈ E, 48 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL ou ainda, ϕ(x) ≥ ϕ ∗∗ (x), para todo x ∈ E. (1.38) O nosso intuito é provar que ϕ(x) = ϕ ∗∗ (x), para todo x ∈ E. Suponhamos, inicialmente que ϕ ≥ 0 e, tendo (1.38) em mente, admitamos que que exista x 0 ∈ E tal que a igualdade estrita ocorra, ou seja, ϕ(x 0 ) > ϕ ∗∗ (x 0 ). Chegaremos a uma contradi¸c˜ ao, o que nos garantirá a igualdade para fun¸c˜ oes ϕ não negativas, em um primeiro momento. Com efeito, da hipótese feita, decorre que ϕ ∗∗(x 0 ) < +∞ (observe que é poss´ıvel que ϕ(x 0 ) = +∞) e (x 0 , ϕ ∗∗ (x 0 )) / ∈ epi(ϕ). Logo, podemos aplicar a 2 a Forma Geométrica do Teorema de Hahn-Banach aos conjuntos epi(ϕ) e ¦(x 0 , ϕ ∗∗ (x 0 )¦, isto é, existem φ ∈ (E 1) , α ∈ 1 e ε > 0, tais que φ(x, λ) ≥ α + ε > α > α −ε ≥ φ(x 0 , ϕ ∗∗ (x 0 )), para todo (x, λ) ∈ epi(ϕ), ou ainda, existe f ∈ E e k ∈ 1 tais que ¸f, x) + k λ > α > ¸f, x 0 ) + kϕ ∗∗ (x 0 ), para todo (x, λ) ∈ epi(ϕ). (1.39) Sejam x ∈ D e (ϕ), λ suficientemente grande e n 0 ∈ N tal que ϕ(x) ≤ λ ≤ n, para todo n ≥ n 0 . Ent˜ ao, (x, n) ∈ epi(ϕ), para todo n ≥ n 0 e, conseq¨ uentemente ¸f, x) + k n > α ⇔ k > α −¸f, x) n , para todo x ∈ D e (ϕ). Logo, tomando o limite quando n →+∞na expressão acima resulta que k ≥ 0. [Note que não podemos usar o racioc´ınio feito anteriormente para (x 0 , ϕ(x 0 )) pois não sabemos se x 0 ∈ D e (ϕ) e conseq¨ uentemente não podemos garantir que (x 0 , ϕ(x 0 )) ∈ epi(ϕ)]. Assim, se x ∈ D e (ϕ) ¸f, x) + k ϕ(x) > α, onde k ≥ 0. Como ϕ(x) ≥ 0, segue que para ε > 0 dado ¸f, x) + (k + ε) ϕ(x) > α, para todo x ∈ D e (ϕ), [note que tomamos ε pois o próximo passo seria uma divisão por k e como k ≥ 0 isto não poderia ser feito], ou seja, _ − f (k + ε) , x _ −ϕ(x) < − α k + ε , para todo x ∈ D e (ϕ). FUNÇ ˜ OES CONVEXAS E SEMICONT ´ INUAS 49 Assim, ϕ ∗ _ − f k + ε _ = sup x∈E __ − f (k + ε) , x _ −ϕ(x) _ = sup x∈D e (ϕ) __ − f (k + ε) , x _ −ϕ(x) _ ≤ − α k + ε , pois se ϕ(x) = +∞ ent˜ ao −ϕ(x) = −∞. Logo, ϕ ∗∗ (x 0 ) = sup g∈E ¦¸g, x 0 ) −ϕ ∗ (g)¦ ≥ _ − f (k + ε) , x 0 _ −ϕ ∗ _ − f k + ε _ ≥ _ − f (k + ε) , x 0 _ + α k + ε . Por conseguinte, ¸f, x 0 ) + (k +ε)ϕ ∗∗ (x 0 ) ≥ α, para todo ε > 0, e, pela arbitrariedade de ε, ¸f, x 0 ) +kϕ ∗∗ (x 0 ) ≥ α, o que é um absurdo (!) pois de (1.39) temos que ¸f, x 0 ) + kϕ ∗∗ (x 0 ) < α. Assim, se ϕ ≥ 0, temos que ϕ(x) = ϕ ∗∗ (x), para todo x ∈ E. Consideremos, agora, o caso geral, ou seja, ϕ não necessariamente não negativa. Das hipóteses feitas sobre ϕ, temos, pela proposi¸c˜ ao 1.47 que ϕ ∗ é própria. Assim, existe f 0 ∈ E tal que f 0 ∈ D e (ϕ ∗ ). Definamos, ent˜ ao ϕ(x) = ϕ(x) −¸f 0 , x) + ϕ ∗ (f 0 ). Das propriedades das fun¸cões envolvidas, resulta que ϕ é convexa, s.c.i. e própria. Além disso, ϕ(x) ≥ 0, para todo x ∈ E pois ϕ ∗ (f 0 ) = sup x∈E ¦¸f 0 , x) −ϕ(x)¦ ≥ ¸f 0 , x) −ϕ(x), para todo x ∈ E, 50 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL o que implica ϕ ∗ (f 0 ) −¸f 0 , x) + ϕ(x) ≥ 0, para todo x ∈ E. Da primeira parte da demonstra¸c˜ ao conclu´ımos que ϕ ∗∗ (x) = ϕ(x), para todo x ∈ E. (1.40) Mas, ϕ ∗ (f) = sup x∈E ¦¸f, x) −ϕ(x)¦ = sup x∈E ¦¸f, x) −ϕ(x) +¸f 0 , x) −ϕ ∗ (f 0 )¦ = sup x∈E ¦¸f + f 0 , x) −ϕ(x)¦ −ϕ ∗ (f 0 ) = ϕ ∗ (f + f 0 ) −ϕ ∗ (f 0 ), e, portanto, ϕ ∗∗ (x) = sup f∈E ¦¸f, x) −ϕ ∗ (f)¦ = sup f∈E ¦¸f, x) −ϕ ∗ (f + f 0 )¦ + ϕ ∗ (f 0 ) = sup f∈E ¦¸f + f 0 , x) −ϕ ∗ (f +f 0 )¦ −¸f 0 , x) + ϕ ∗ (f 0 ) = ϕ ∗∗ (x) −¸f 0 , x) +ϕ ∗ (f 0 ) = ϕ ∗∗ (x) + ϕ(x) −ϕ(x). Desta ´ ultima identidade e de (1.40) resulta que ϕ ∗∗ (x) = ϕ(x), para todo x ∈ E, o que encerra a prova. 2 Observa¸cão 1.51 A Primeira Forma Geométrica do teorema de Hahn-Banach se estende aos espa¸cos vetoriais topológicos gerais enquanto que a Segunda Forma se estende aos espa¸cos localmente convexos espa¸cos extremamente importantes na Teoria das Distribui¸cões. ` Aqueles interessados em tal assunto, sugerimos os clássicos Horváth [12] e Schwartz [19]. Cap´ıtulo 2 Os Teoremas de Banach-Steinhaus e do Gráfico Fechado Figura 2.1: Steinhaus-Baire. Hugo Dyonizy Steinhaus (1887 - 1972), à esquerda, foi um matemático polonês (nasceu na antiga Gal´ıcia, hoje Polônia) que trabalhou na teoria da medida, inspirado por Lebesgue, e no princ´ıpio da condensa¸c˜ ao de singularidades juntamente com Banach. René-Louis Baire (1874 - 1932), à direita, foi um matemático francês que trabalhou na teoria de fun¸c˜ oes e no conceito de limite. 51 52 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL 2.1 Um Repasso ao Teorema de Baire Comecemos por uma defini¸c˜ ao. Defini¸cão 2.1 Seja X um espa¸co métrico e A ⊂ X. Dizemos que A é rarefeito (nowhere dense - nunca denso) se intA = ∅. Como exemplos de conjuntos rarefeitos podemos considerar aqueles formados por pontos isolados de X. Proposi¸cão 2.2 Seja X um espa¸co métrico. A ⊂ X é rarefeito se, e somente se, X¸A é denso em X. Demonstra¸cão: (⇒) Seja A rarefeito, isto é, tal que intA = ∅. Devemos mostrar que X¸A é denso em X. Com efeito, raciocinemos por contradi¸cão, ou seja, que exista x 0 ∈ X e ε 0 > 0 tal que B ε 0 (x 0 ) ∩(X¸A) = ∅. Assim, B ε 0 (x 0 ) ⊂ A, o que implica que x 0 ∈ intA, o que é um absurdo (!) pois intA = ∅. (⇐) Suponhamos que X¸A = X e que A não seja rarefeito, ou seja, que intA ,= ∅. Ent˜ ao, existem x 0 ∈ A e r 0 > 0 tais que B r 0 (x 0 ) ⊂ intA ⊂ A, o que implica que B r 0 (x 0 ) ∩(X¸A) = ∅, o que contraria o fato de X¸A ser denso em X. Logo, intA = ∅. 2 Defini¸cão 2.3 Seja X um espa¸co métrico. Dizemos que A ⊂ X é de categoria I (ou de 1 a categoria) se A = n∈J A n , onde J é enumerável e os conjuntos A n são rarefeitos, para todo natural n ∈ J. Os conjuntos que não são de categoria I, são denominados de categoria II (ou de 2 a categoria). Os conjuntos de categoria I são também denominados conjuntos magros em X. Exemplo: O conjunto dos n´ umeros racionais é de 1 a categoria pois ¸ = _ q∈Q ¦q¦ e int¦q¦ = ∅. Proposi¸cão 2.4 Seja X um espa¸co métrico. Se A ⊂ X é de 1 a categoria e B ⊂ A, então B é de 1 a categoria (ou de categoria I). UM REPASSO AO TEOREMA DE BAIRE 53 Demonstra¸cão: Como A é de 1 a categoria, temos que A = n∈J A n e intA n = ∅, para todo natural n ∈ J, com J enumer´ avel. Assim, B = A ∩ B = _ _ n∈J A n _ ∩ B = _ n∈J (A n ∩ B) = _ n∈J B n , B n = A n ∩ B e intB n ⊂ intA n , o que implica que intB n = ∅, para todo n ∈ J. 2 Proposi¸cão 2.5 Seja X um espa¸co métrico. São equivalentes: 1) Todo subconjunto aberto e não-vazio de X é de categoria II. 2) A = n∈J A n ; onde A n é fechado e intA n = ∅, para todo n ∈ J (J enumerável ) ⇒ intA = ∅. 3) A = n∈J A n ; onde A n é aberto e A n = X, para todo n ∈ J (J enumerável ) ⇒ A = X. 4) Se A é de categoria I, então X¸A = X. Demonstra¸cão: (1) ⇒ (2) Seja A = n∈J A n , onde A n é fechado e intA n = ∅ para todo n ∈ J. Ent˜ ao, cada A n , para n ∈ J é rarefeito pois A n = A n e, portanto, A é de categoria I. Como intA ⊂ A, temos, pela proposi¸c˜ ao 2.4 que intA é de categoria I. Como intA é aberto e de categoria I, temos que intA = ∅ pois, caso contrário, se intA ,= ∅, então, por hipótese, intA seria de categoria II, o que é um absurdo(!). (2) ⇒ (3) Seja A = n∈J A n , onde, para cada n ∈ J, A n é aberto e A n = X. Então, X¸A = X¸ n∈J A n = _ n∈J (X¸A n ), e X¸A n é fechado (pois A n é aberto) e como A n = X, temos que X¸A n = ∅. Afirmamos que int(X¸A n ) ⊂ X¸A n , para cada n ∈ J. (2.1) De fato, para cada n ∈ J, seja x ∈ int(X¸A n ). Então, existe r > 0 tal que B r (x) ⊂ X¸A n e, portanto, B r (x) ∩ A n = ∅, donde x / ∈ A n , isto é x ∈ X¸A n , o que prova (2.1). Logo, int(X¸A n ) = ∅ e, por hipótese, temos que int(X¸A) = ∅, já que X¸A = 54 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL n∈J (X¸A n ). Resta-nos provar que A = X. Suponhamos, o contr´ ario, que exista x 0 ∈ X tal que x 0 / ∈ A. Então, existe r 0 > 0 tal que B r 0 (x 0 ) ∩A = ∅ e, portanto, B r 0 (x 0 ) ⊂ X¸A. Logo, x 0 ∈ int(X¸A), o que é um absurdo (!) pois int(X¸A) = ∅. Assim, A = X. (3) ⇒ (4) Seja A ⊂ X tal que A é de categoria I, isto é, A = ∪ n∈J A n onde intA n = ∅, para cada n ∈ J. Logo, A ⊂ n∈J A n , e, portanto, X¸ n∈J A n ⊂ X¸A, ou seja, n∈J X¸A n ⊂ X¸A. Pondo-se B = n∈J X¸A n , temos que X¸A n é aberto e X¸A n = X. [Mostra-se de maneira análoga ao ´ıtem anterior]. Por hipótese, B = X. Como B ⊂ X¸A, temos que X¸A = X. (4) ⇒(1) Seja A ⊂ X tal que Aé aberto e não vazio. Logo, X¸Aé fechado e X¸A ,= X e portanto X¸A ,= X (note que X¸A = X¸A). Por hipótese (contra -positiva), A não é de categoria I e, portanto, A é de categoria II. 2 Teorema 2.6 (Teorema de Baire) Todo subconjunto aberto e não vazio de um espa¸co métrico completo é de categoria II. Demonstra¸cão: De acordo com a Proposi¸c˜ ao anterior, basta demonstrar uma das afirma¸c˜ oes posto que elas são equivalentes. Escolhamos ent˜ ao a n´ umero 3, isto é, supondo que A = n∈J A n , A n é aberto e A n = X, para cada n ∈ J e mostraremos que A = X. Seja, então, x 0 ∈ X e ε 0 > 0. Devemos mostrar que B ε 0 (x 0 ) ∩ A ,= ∅. Seja r 0 > 0 suficientemente pequeno tal que B r 0 (x 0 ) ⊂ B ε 0 (x 0 ). Como A 1 = X, então A 1 ∩B r 0 (x 0 ) ,= ∅ e, pelo fato de A 1 ∩B r 0 (x 0 ) ser aberto, temos que existem x 1 ∈ A 1 ∩B r 0 (x 0 ) e 0 < r 1 < r 0 2 tal que B r 1 (x 1 ) ⊂ A 1 ∩ B r 0 (x 0 ). Analogamente, como A 2 = X, ent˜ ao A 2 ∩ B r 1 (x 1 ) ,= ∅ e existem x 2 ∈ A 2 ∩ B r 1 (x 1 ) e 0 < r 2 < r 1 2 < r 0 2 2 tal que B r 2 (x 2 ) ⊂ A 2 ∩ B r 1 (x 1 ). Obtemos, por indu¸c˜ ao, a existência de uma seq¨ uência ¦x n ¦ n∈N com x n+1 ∈ A n+1 ∩B r n (x n ) e 0 < r n+1 < r 0 2 n+1 tal que B r n+1 (x n+1 ) ⊂ (A n+1 ∩ B r n (x n )) , para todo n = 0, 1, 2, . Assim, dado ε > 0, existe n 0 ∈ N tal que se m, n > n 0 temos que d(x n , x m ) ≤ d(x n , x n 0 ) + d(x m , x n 0 ) < r n 0 + r n 0 = 2 r n 0 < 2 r 0 2 n 0 = r 0 2 n 0 −1 < ε, TEOREMA DE BANACH-STEINHAUSS OU DA LIMITAÇ ˜ AO UNIFORME 55 [Basta tomarmos n 0 ∈ N tal que 2 n 0 −1 > r 0 ε ⇔n 0 > 1 + log 2 _ r 0 ε _ ]. Logo, ¦x n ¦ n∈N é de Cauchy e como X é completo temos que existe x ∈ X tal que x n →x em X, quando n →+∞. Por outro lado, seja n 0 ∈ N arbitrário, porém fixado. Ent˜ ao, se n > n 0 temos que x n ∈ B r n 0 (x n 0 ) ⊂ B r n 0 (x n 0 ) e consequentemente x ∈ B r n 0 (x n 0 ) posto que B r n 0 (x n 0 ) é fechado. Pela arbitrariedade de n 0 ∈ N temos que x ∈ B rn (x n ), para todo n ∈ N, ou seja, x ∈ n∈N B r n (x n ). Como B r n (x n ) ⊂ A n , temos que x ∈ A n , para cada n ∈ N, ou seja, x ∈ A. Além disso, x ∈ B r n 0 (x n 0 ) ⊂ B r 0 (x 0 ) ⊂ B r 0 (x 0 ) ⊂ B ε 0 (x 0 ), donde x ∈ A ∩ B ε 0 (x 0 ), o que finaliza a demonstra¸cão. 2 Defini¸cão 2.7 Um espa¸co topológico é dito Espa¸co de Baire, se satisfaz a uma das afirma¸cões da Proposi¸cão 2.5. Observa¸cão 2.8 Do Teorema de Baire conclu´ımos que todo espa¸co métrico completo é um espa¸co de Baire. Corolário 2.9 Seja A um subconjunto aberto e não-vazio de um espa¸co de Baire X tal que A = +∞ n=1 A n , onde A n é fechado para n = 1, 2, . Então, existe um ´ındice n 0 ∈ N para o qual intA n 0 ,= ∅. Demonstra¸cão: Como X é um espa¸co de Baire, então A é, em virtude do Teorema de Baire, de categoria II. Argumentemos por contradi¸cão, ou seja, que intA n = ∅ para todo n ∈ N. Então, A é, por defini¸cão, de categoria I o que uma contradi¸c˜ ao (!). Logo, existe n 0 ∈ N tal que intA n 0 ,= ∅. 2 2.2 Teorema de Banach-Steinhaus ou da Limita¸cão Uniforme Sejam E e F espa¸cos vetoriais normados. Denotamos por /(E, F) o espa¸co dos operadores lineares e cont´ınuos de E em F, munido da norma [[T[[ L(E,F) = sup x∈E;||x|| E ≤1 [[Tx[[ F . 56 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Quando E = F escreve-se simplesmente /(E) = /(E, E). Proposi¸cão 2.10 (Princ´ıpio da Limita¸cão Uniforme) Sejam X um espa¸co métrico completo e T uma fam´ılia de fun¸cões cont´ınuas f : X → 1 tais que, para cada x ∈ X, temos sup f∈F [f(x)[ < M x < +∞. Então, existem M > 0 e G ⊂ X, aberto, tais que [f(x)[ ≤ M, para todo x ∈ G e para toda f ∈ T. Demonstra¸cão: Definamos X n,f = ¦x ∈ X; [f(x)[ ≤ n¦ = f −1 ([−n, n]). Como as fun¸c˜ oes f são cont´ınuas, temos que X n,f é fechado para todo n ∈ N e para toda f ∈ T. Definamos, agora, X n = f∈F X n,f = ¦x ∈ X; [f(x)[ ≤ n, para toda f ∈ T¦, para todo n ∈ N. Como os X n,f são fechados e a interse¸cão arbitrária de conjuntos fechados é um conjunto fechado, resulta que cada X n é fechado. Provaremos, a seguir, que X = _ n∈N X n . (2.2) A inclusão n∈N X n ⊂ X é evidente. Resta-nos provar que X ⊂ n∈N X n . Com efeito, seja x 0 ∈ X. Temos, por hipótese, que sup f∈F [f(x 0 )[ < M x 0 < +∞. Assim, existe n 1 ∈ N tal que [f(x 0 )[ ≤ n 1 , para todo f ∈ T, e, portanto, x 0 ∈ n∈N X n , o que prova (2.2). Temos, ent˜ ao, que X ,= ∅, X = n∈N X n onde os X n são fechados e X é aberto (pois é o espa¸co todo). Pelo Corolário 2.9 existe n 0 ∈ N tal que intX n 0 ,= ∅. Pondo-se G = intX n 0 , temos que [f(x)[ ≤ n 0 , para toda f ∈ T. 2 TEOREMA DE BANACH-STEINHAUSS OU DA LIMITAÇ ˜ AO UNIFORME 57 Teorema 2.11 (Banach-Steinhaus) Sejam E e F espa¸cos de Banach e ¦T λ ¦ λ∈Λ uma fam´ılia de aplica¸cões lineares e cont´ınuas de E em F satifazendo a condi¸cão sup λ∈Λ [[T λ x[[ F < +∞, para todo x ∈ E. Então, sup λ∈Λ [[T λ [[ L(E,F) < +∞, isto é, existe C > 0 tal que [[T λ x[[ F ≤ C [[x[[ E , para todo x ∈ E e para todo λ ∈ Λ. Demonstra¸cão: Consideremos a seq¨ uência de fun¸c˜ oes f λ : E →1, definida por f λ (x) = [[T λ x[[ F , λ ∈ Λ. Temos que f λ é cont´ınua para todo λ ∈ Λ. De fato, sejam x, x 1 ∈ E. Então, [f λ (x) −f λ (x 1 )[ = [ [[T λ x[[ F −[[T λ x 1 [[ F [ ≤ [[T λ (x −x 1 )[[ F ≤ [[T λ [[ L(E,F) [[x −x 1 [[ E , o que prova a continuidade de f λ em x 1 . Ainda, para cada x ∈ E, temos, por hipótese, que sup λ∈Λ [f λ (x)[ = sup λ∈Λ [[T λ x[[ F < +∞. Pelo Princ´ıpio da Limita¸c˜ ao Uniforme temos que existem G ⊂ E, aberto, e M > 0 tais que [f λ (x)[ = [[T λ x[[ F ≤ M, para todo x ∈ G e para todo λ ∈ Λ. (2.3) Seja x 0 ∈ G. Sendo G aberto, existe r > 0 suficientemente pequeno tal que B r (x 0 ) ⊂ G. Mas, se x ∈ B r (x 0 ), temos que x = x 0 + r z, onde z ∈ B 1 (0) e, portanto, de (2.3) resulta que [[T λ (x 0 +r z)[[ F ≤ M, para todo z ∈ B 1 (0) e para todo λ ∈ Λ. No entanto, se z ∈ B 1 (0) vem que −z ∈ B 1 (0) e, por conseguinte, M ≥ [[T λ (x 0 −r z)[[ F = [[T λ x 0 −r T λ z[[ F = [[r T λ z −T λ x 0 [[ F ≥ r[[T λ z[[ F −[[T λ x 0 [[ F , 58 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL o que implica que [[T λ z[[ F ≤ M +[[T λ x 0 [[ F r ≤ 2M r , posto que x 0 ∈ G. Assim, [[T λ z[[ F ≤ 2M r , para todo λ ∈ Λ, e z ∈ B 1 (0), e, ent˜ ao, sup z∈E;||z||≤1 [[T λ z[[ F < +∞, par todo λ ∈ Λ, ou seja, existe C > 0 que verifica [[T λ x[[ F ≤ C [[x[[ E , para todo x ∈ E e para todo λ ∈ Λ, o que finaliza a prova. 2 Corolário 2.12 Sejam E e F espa¸cos de Banach e consideremos ¦T n ¦ n∈N uma sucessão de aplica¸cões lineares e cont´ınuas de E em F, tal que para cada x ∈ E, a seq¨ uência ¦T n x¦ n∈N converge em F. Então, pondo Tx = lim n→+∞ T n x, temos que T é uma aplica¸cão linear e cont´ınua de E em F. Mais além, [[T[[ L(E,F) ≤ liminf n [[T n [[ L(E,F) . Demonstra¸cão: Notemos inicialmente que T : E →F está bem definida em fun¸c˜ ao da unicidade do limite em F. Ainda, T(x +y) = lim n→+∞ T n (x + y) = lim n→+∞ T n x + lim n→+∞ T n y = Tx +Ty, para todo x, y ∈ E. Analogamente, T(λx) = λTx, para todo x ∈ E e para todo λ ∈ 1, o que implica a linearidade de T. Sendo ¦T n x¦ n∈N convergente, então, para cada x ∈ E, existe M x > 0 tal que [[T n x[[ F ≤ M x < +∞, para todo n ∈ N, TEOREMA DE BANACH-STEINHAUSS OU DA LIMITAÇ ˜ AO UNIFORME 59 donde sup n∈N [[T n x[[ F ≤ M x +∞, para todo x ∈ E. Logo, pelo Teorema de Banach-Steinhaus, existe uma constante C > 0 tal que [[T n x[[ F ≤ C[[x[[ E , para todo x ∈ E e para todo n ∈ N. Assim, tomando o limite na desigualdade acima resulta que [[Tx[[ F ≤ C[[x[[ E , para todo x ∈ E, o que prova a continuidade de T. Temos ainda que [[T n x[[ F ≤ [[T n [[ L(E,F) [[x[[ E , para todo x ∈ E e para todo n ∈ N, o que implica, tomando-se o limite inferior, que [[Tx[[ F ≤ _ liminf n [[T n [[ L(E,F) _ [[x[[ E , para todo x ∈ E, ou ainda, [[T[[ L(E,F) ≤ liminf n [[T n [[ L(E,F) . 2 Corolário 2.13 Sejam G um espa¸co de Banach e B um subconjunto de G. Suponhamos que, para toda f ∈ G , o conjunto f(B) = x∈B ¸f, x) é limitado em 1. Então B é limitado. Demonstra¸cão: Para cada b ∈ B, definamos T b (f) = ¸f, b) , onde T b : G →1. Por hipótese, temos que sup b∈B [T b (f)[ < +∞, para toda f ∈ G . Pelo Teorema de Banach-Steinhaus, temos que sup b∈B [[T b [[ L(G ,R) < +∞, 60 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL ou seja, existe C > 0 tal que [T b (f)[ = [ ¸f, b) [ ≤ C [[f[[ G , para toda f ∈ G e para todo b ∈ B. Assim, ¸ ¸ ¸ ¸ _ f [[f[[ G , b _¸ ¸ ¸ ¸ ≤ C, para toda f ∈ G , f ,= 0(f não identicamente nula), e para todo b ∈ B. Logo, pelo Corolário 1.18 do Teorema de Hahn-Banach resulta que [[b[[ G = sup f∈G ;||f|| G ≤1 [ ¸f, b) [ ≤ C, para todo b ∈ B. 2 O próximo resultado pode ser denominado ‘resultado dual’ do corolário anterior. Corolário 2.14 Seja G um espa¸co de Banach e consideremos B ⊂ G . Suponhamos que para todo x ∈ G o conjunto ¸B , x) = f∈B ¸f, x) é limitado em 1. Então, B é limitado. Demonstra¸cão: Para cada f ∈ B definamos T f (x) = ¸f, x) , para todo x ∈ G. Por hipótese, sup f∈B [T f (x)[ = sup f∈B [ ¸f, x) [ < +∞, para todo x ∈ G. Pelo Teorema de Banach-Steinhaus resulta que sup f∈B [[T f [[ L(G,R) < +∞, ou seja, existe C > 0 tal que [T f (x)[ ≤ C [[x[[ G , para todo x ∈ G e para todo f ∈ B . Equivalentemente, [ ¸f, x) [ ≤ C [[x[[ G , para todo x ∈ G e para todo f ∈ B , o que implica que [[f[[ G ≤ C, para toda f ∈ B . 2 TEOREMA DA APLICAÇ ˜ AO ABERTA E DO GR ´ AFICO FECHADO 61 2.3 Teorema da Aplica¸cão Aberta e do Gráfico Fechado Os dois principais resultados que veremos nesta se¸c˜ ao são devidos a Banach. Antes de enunciarmos os Teoremas em questão, precisamos de alguns lemas técnicos que passamos a comentar. Lema 2.15 Sejam E e F espa¸cos vetoriais, C um subconjunto convexo de E e T : E →F uma aplica¸cão linear. Então, TC é um subconjunto convexo de F. Demonstra¸cão: No lema acima entendemos por TC, a imagem de C pela aplica¸c˜ ao T, ou seja, TC = ¦Tx, x ∈ C¦. Sejam ent˜ ao, y, y ∈ TC. Logo, existem x, x ∈ C tais que y = Tx e y = Tx. Ent˜ ao, para todo t ∈ [0, 1] resulta, em virtude da convexidade de C, que t y + (1 −t)y = t Tx + +(1 −t) Tx = T(t x) + T((1 −t)x) = T(t x + (1 −t)x . ¸¸ . ∈C ) ∈ TC, o que prova o desejado. 2 Lema 2.16 Seja E um espa¸co de Banach e C um subconjunto convexo de E. Então, C é convexo. Demonstra¸cão: Sejam x, y ∈ C. Então, existe ¦x n ¦, ¦y n ¦ ⊂ C tais que x n → x e y n →y. Ent˜ ao para todo t ∈ [0, 1] e para todo n ∈ N, temos, em virtude da convexidade de C, que t x n + (1 −t)y n ∈ C. Resulta da´ı, das convergências acima e do fato de C ser um conjunto fechado, que o limite t x +(1 −t)y ∈ C, conforme quer´ıamos demonstrar. 2 Lema 2.17 Sejam E e F espa¸cos de Banach e T : E →F uma aplica¸cão linear. Então, T(B 1 (0)) é um subconjunto convexo de F. Além disso, T(B 1 (0)) + T(B 1 (0)) = 2T(B 1 (0)). 62 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Demonstra¸cão: Sendo B 1 (0) um subconjunto convexo de E, resulta, em vista do lema 2.15, que T(B 1 (0)) é um subconjunto convexo de F. Do lema 2.16 vem então que T(B 1 (0)) é um subconjunto convexo de F. Seja, agora, y ∈ 2T(B 1 (0)). Então, vem que y/2 ∈ T(B 1 (0)), e portanto, y = y 2 + y 2 ∈ T(B 1 (0)) + T(B 1 (0)). (2.4) Reciprocamente, sejamy 1 , y 2 ∈ T(B 1 (0)). Logo, 2y 1 , 2y 2 ∈ 2T(B 1 (0)). Como 2T(B 1 (0)) é um conjunto convexo, deduzimos que y 1 +y 2 = 1 2 2y 1 + 1 2 2y 2 ∈ 2T(B 1 (0)). Logo, decorre que T(B 1 (0)) + T(B 1 (0)) ⊂ 2T(B 1 (0)), (2.5) e de (2.4) e (2.5) resulta o desejado. 2 Lema 2.18 Sejam E e F espa¸cos de Banach e T : E → F uma aplica¸cão linear e sobrejetiva. Então, existe C > 0 tal que B 3C (0) ⊂ T(B 1 (0)). Demonstra¸cão: Como E = +∞ _ n=1 nB 1 (0), ent˜ ao, resulta que F = +∞ _ n=1 nT(B 1 (0)). De fato, basta mostrarmos que F ⊂ +∞ n=1 nT(B 1 (0)) uma vez que a outra inclusão é óbvia. Com efeito, seja y ∈ F. Como T é sobrejetiva, existe x ∈ E tal que y = Tx. Por outro lado, se x ∈ E, temos, em virtude da primeira identidade acima, que x = n 0 z, para algum n 0 ∈ N e z ∈ B 1 (0). Logo, y = T(n 0 z) = n 0 Tz, z ∈ B 1 (0) e n 0 ∈ N, o que implica que y ∈ +∞ _ n=1 nT(B 1 (0)) ⊂ +∞ _ n=1 nT(B 1 (0)), TEOREMA DA APLICAÇ ˜ AO ABERTA E DO GR ´ AFICO FECHADO 63 o que mostra o desejado. Assim, F é aberto (posto que é o espa¸co todo), não vazio, e pode ser escrito como F = +∞ n=1 nT(B 1 (0)), onde T(B 1 (0)) é, evidentemente, um subconjunto fechado de F. Pelo corolário 2.9, temos que existe n ∗ 0 ∈ N tal que int(n ∗ 0 T(B 1 (0))) ,= ∅, ou ainda, int(T(B 1 (0))) ,= ∅. Consideremos, ent˜ ao, y ∈ int(T(B 1 (0))). Logo, existe r > 0 tal que B r (y) ⊂ T(B 1 (0)). Seja C ∈ 1, suficientemente pequeno de modo que 6C < r. Logo, B 6C (y) ⊂ T(B 1 (0)). (2.6) Além disso, como y ∈ T(B 1 (0)), resulta que −y ∈ T(B 1 (0)). Com efeito, para cada ε > 0, temos que B ε (y) ∩ T(B 1 (0)) ,= ∅, ou seja, existe x ∈ B 1 (0) tal que [[Tx −y[[ < ε, e, portanto, [[Tx −y[[ = [[ −T(−x) −y[[ = [[(−y) −T( −x .¸¸. ∈B 1 (0) )[[ < ε, isto é, T(−x) ∈ B ε (−y), onde −x ∈ B 1 (0), o que prova o desejado. Resulta da´ı, de (2.6) e do lema 2.17 que B 6C (y) −y ⊂ T(B 1 (0)) + T(B 1 (0)) = 2T(B 1 (0)). Contudo, B 6C (y) − y = B 6C (0), posto que B 6C (y) = y + B 6C (0). Assim, deste fato e da inclusão acima segue, imediatamente, que B 6C (0) ⊂ 2T(B 1 (0)) ⇒2B 3C (0) ⊂ 2T(B 1 (0)) ⇒B 3C (0) ⊂ T(B 1 (0)), o que finaliza a prova. 2 Defini¸cão 2.19 Sejam E e F espa¸cos topológicos. Dizemos que a aplica¸cão f : E → F é aberta quando, para todo aberto U ⊂ E, f(U) é aberto em F. Teorema 2.20 (Teorema da Aplica¸cão Aberta) Sejam E e F espa¸cos de Banach e T : E → F uma aplica¸cão linear, cont´ınua e sobrejetiva. Então, T é uma aplica¸cão aberta. Demonstra¸cão: Pelo lema 2.18, existe C > 0 tal que B 3C (0) ⊂ T(B 1 (0)). Segue da´ı que para todo r > 0, tem-se B 3rC (0) ⊂ T(B r (0)) (2.7) 64 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Logo, dado w ∈ B 3rC (0), temos que w ∈ T(B r (0)) e, portanto, dado ε > 0 temos que B ε (w) ∩ T(B r (0)) ,= ∅, isto é, para todo ε > 0 existe x ∈ B r (0) tal que, [[w −Tx[[ < ε, com w ∈ B 3rC (0). (2.8) Afirmamos que B C (0) ⊂ T(B 1 (0)). (2.9) De fato, tomemos y ∈ B C (0). Devemos mostrar que existe x ∈ B 1 (0) tal que y = Tx. Com efeito, sejam ε = C 3 e r = 1 3 . De (2.8) resulta que existe z 1 ∈ B 1/3 (0) tal que [[y −Tz 1 [[ < C 3 , pois B C (0) ⊂ T(B 1/3 (0)) e y ∈ B C (0). Sejam ε = C 9 e r = 1 9 . Analogamente, temos para w = y −Tz 1 que existe z 2 ∈ B 1/9 (0) tal que [[(y −Tz 1 ) −Tz 2 [[ < C 9 , pois B C/3 (0) ⊂ T(B 1/9 (0)) e y −Tz 1 ∈ B C/3 (0). Por recorrência, obtemos uma seq¨ uência ¦z n ¦ n∈N ∗ tal que z n ∈ B 1/3 n(0) e [[y −T(z 1 + + z n )[[ < C 3 n . Como [[z n [[ < 1 3 n e ∞ n=1 1 3 n = 1 2 temos que a série ∞ n=1 z n converge absolutamente. Assim, a seq¨ uência ¦ n k=1 z k ¦ n∈N ∗ converge para x ∈ E, pois E é Banach. Por outro lado, como ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ y −T _ n k=1 z k _¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ < C 3 n , tomando o limite quando n →+∞, obtemos, emvirtude da continuidade de T [[y −Tx[[ = 0 ⇒y = Tx. Além disso, x = +∞ n=1 z n e como ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n k=1 z k ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ≤ n k=1 [[z k [[ < n k=1 1 3 k , e +∞ n=1 1 3 n = 1 2 , resulta que [[x[[ ≤ 1 2 < 1, ou seja, x ∈ B 1 (0). Logo, para y ∈ B C (0) tomado arbitrariamente, existe x ∈ B 1 (0) tal que y = Tx, o que prova o desejado em (2.9). TEOREMA DA APLICAÇ ˜ AO ABERTA E DO GR ´ AFICO FECHADO 65 Consideremos, então, U ⊂ E, aberto. Mostraremos que TU é aberto em F. Com efeito, seja y ∈ TU. Ent˜ ao, existe x ∈ U tal que y = Tx. Sendo U aberto, existe r > 0 tal que B r (x) ⊂ U, ou seja, x + B r (0) ⊂ U. Logo, Tx + T (B r (0)) ⊂ TU, isto é, y + T (B r (0)) ⊂ TU. Mas de (2.9), existe C > 0 tal que B C (0) ⊂ T (B 1 (0)) e, por conseguinte, B rC (0) ⊂ T (B r (0)). Logo, y +B rC (0) ⊂ TU ⇒ B rC (y) ⊂ TU, o que finaliza a prova. 2 Corolário 2.21 Sejam E e F espa¸cos de Banach e T : E → F um operador linear, cont´ınuo e bijetivo. Então, i) T −1 é um operador linear e cont´ınuo de F sobre E. ii) Existem m, M > 0 tais que m[[x[[ E ≤ [[Tx[[ F ≤ M[[x[[ E , para todo x ∈ E. Demonstra¸cão: (i) Como T é bijetivo, ent˜ ao existe T −1 : F → E. Além disso, T −1 é linear. De fato, sejam y 1 , y 2 ∈ F. Então, existem x 1 , x 2 ∈ E tais que y 1 = Tx 1 e y 2 = Tx 2 . Logo, T −1 (y 1 + y 2 ) = T −1 (Tx 1 + Tx 2 ) = T −1 (T(x 1 +x 2 )) = x 1 +x 2 = T −1 y 1 + T −1 y 2 . Analogamente, prova-se que T −1 (λy) = λT −1 y, para todo y ∈ F e para todo λ ∈ 1. Também, T −1 é cont´ınua. Com efeito, basta mostrar que (T −1 ) −1 U é aberto, para todo U ⊂ E, aberto. De fato, seja U aberto. Pelo teorema da Aplica¸c˜ ao Aberta temos que TU é aberto e como (T −1 ) −1 = T, segue o desejado. (ii) Como T e T −1 são cont´ınuos vem que existem M, C > 0 tais que [[Tx[[ F ≤ M[[x[[ E , para todo x ∈ E, [[T −1 y[[ E ≤ C [[y[[ F , para todo y ∈ F. 66 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Seja x ∈ E. Ent˜ ao, Tx ∈ F e ainda, [[T −1 (Tx)[[ E = [[x[[ E ≤ C [[Tx[[ F , ou seja, m[[x[[ E ≤ [[Tx[[ F , onde m = 1 C . Isto encerra a prova. 2 Observa¸cão 2.22 Seja E um espa¸co vetorial munido de duas normas [[ [[ 1 e [[ [[ 2 . Suponhamos que E munido de cada uma dessas normas é um espa¸co de Banach e que existe C 1 > 0 tal que [[x[[ 2 ≤ C 1 [[x[[ 1 , para todo x ∈ E. Então, existe C 2 > 0 tal que [[x[[ 1 ≤ C 2 [[x[[ 2 , para todo x ∈ E, ou seja, as normas [[ [[ 1 e [[ [[ 2 são ditas equivalentes. Para verificar tal afirma¸cão, basta considerarmos E = (E; [[ [[ 1 ) e F = (E; [[ [[ 2 ) e T = identidade. Então, T : E → F é linear, cont´ınua e bijetiva. Do corolário 2.21 decorre a desigualdade desejada. Defini¸cão 2.23 O gráfico de uma fun¸cão ϕ : E →F é o conjunto dos pontos (x, ϕ(x)) ∈ E F, isto é, G(ϕ) = ¦(x, y) ∈ E F; y = ϕ(x)¦. Defini¸cão 2.24 Sejam E e F espa¸cos de Banach e T : E → F uma aplica¸cão linear. Pondo [[x[[ 1 = [[x[[ E +[[Tx[[ F , para todo x ∈ E, temos que [[ [[ 1 é uma norma em E e é denominada norma do gráfico. Proposi¸cão 2.25 Sejam E e F espa¸cos de Banach e T : E → F uma aplica¸cão linear. Se o gráfico de T é fechado em E F, então E munido da norma do gráfico é um espa¸co de Banach. Demonstra¸cão: Seja ¦x n ¦ n∈N uma seq¨ uência de Cauchy em (E; [[ [[ 1 ), onde [[ [[ 1 é a norma do gráfico. Ent˜ ao, [[x n −x m [[ E →0 e [[Tx n −Tx m [[ F → 0, quando m, n →+∞, o que implica que existem x ∈ E e y ∈ F tais que x n →x em E e Tx n → y em F. Entretanto, como (x n , Tx n ) ∈ G(T) e G(T) é fechado, vem que (x, y) ∈ G(T), ou seja, y = Tx. Assim, x n →x em (E, [[ [[ 1 ). 2 Teorema 2.26 (Teorema do Gráfico fechado) Sejam E e F espa¸cos de Banach e T : E → F um operador linear. Se o gráfico de T é fechado em E F, então T é cont´ınuo. ORTOGONALIDADE 67 Demonstra¸cão: Temos, em virtude da proposi¸c˜ ao 2.25, que E munido da norma do gráfico, [[ [[ 1 , é um espa¸co de Banach e, além disso, [[x[[ E ≤ [[x[[ 1 , para todo x ∈ E. Pela observa¸cão 2.22, temos que existe C > 0 tal que [[x[[ 1 ≤ C[[x[[ E , para todo x ∈ E, ou seja, [[x[[ E +[[Tx[[ F ≤ C[[x[[ E , para todo x ∈ E. Mas, evidentemente [[Tx[[ F ≤ [[x[[ E +[[Tx[[ F . Combinando-se as duas ´ ultimas desigualdades resulta que [[Tx[[ F ≤ C [[x[[ E , para todo x ∈ E, o que encerra a prova. 2 2.4 Ortogonalidade Comecemos por uma defini¸c˜ ao. Defini¸cão 2.27 Seja X um espa¸co de Banach. Se M ⊂ X é um subespa¸co vetorial, então o conjunto M ⊥ = ¦f ∈ X ; ¸f, x) = 0, para todo x ∈ M¦, é denominado ortogonal de M. Se N ⊂ X é um subespa¸co vetorial, então o conjunto N ⊥ = ¦x ∈ X; ¸f, x) = 0, para todo f ∈ N¦, é dito o ortogonal de N. Observa¸cão 2.28 Notemos que, por analogia à defini¸cão de M ⊥ , acima, dever´ıamos ter N ⊥ = ¦ξ ∈ J(X) ⊂ X ; ¸ξ, f) = 0, para todo f ∈ N¦, onde, conforme já vimos anteriormente, J : X → X é a aplica¸cão linear e isométrica dada por J x (f) = ¸f, x), para todo f ∈ X definida na proposi¸cão 1.48. Entretanto, se ξ ∈ J(X), temos que existe x ∈ X tal que ξ = J x . Logo, ¸ξ, f) = ¸J x , f) = ¸f, x) . 68 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Assim, podemos escrever N ⊥ = ¦x ∈ X; ¸f, x) = 0, para todo f ∈ N¦, como acima definido. Proposi¸cão 2.29 i) M ⊥ é um subespa¸co fechado de X . ii) N ⊥ é um subespa¸co fechado de X. Demonstra¸cão: Verifica-se facilmente que M ⊥ bem como N ⊥ são subespa¸cos. Prove- mos que são fechados. (i) Para cada x ∈ X, temos que J x : X → 1 é uma aplica¸c˜ ao linear e cont´ınua dada por J x (f) = ¸f, x). Assim o conjunto ¦f ∈ X ; J x (f) = 0¦ = J −1 x (¦0¦), ou seja, ¦f ∈ X ; ¸f, x) = 0¦ = J −1 x (¦0¦), é fechado, posto que é dado pela imagem inversa de um conjunto fechado, por uma fun¸cão cont´ınua. Logo, x∈M J −1 x (¦0¦) = ¦f ∈ X ; ¸f, x) = 0, para todo x ∈ M¦ = M ⊥ é fechado. (ii) Seja f ∈ N. Logo, f é uma forma linear e cont´ınua sobre X e, portanto, ¦x ∈ X; ¸f, x) = 0¦ = f −1 (¦0¦), é fechado, e, conseq¨ uentemente f∈N f −1 (¦0¦) = N ⊥ é fechado. 2 Proposi¸cão 2.30 (i) (M ⊥ ) ⊥ = M. (ii) (N ⊥ ) ⊥ ⊃ N. ORTOGONALIDADE 69 Demonstra¸cão: (i) Provaremos, incialmente, que M ⊂ (M ⊥ ) ⊥ . (2.10) Com efeito, seja x ∈ M. Ent˜ ao, existe ¦x n ¦ n∈N ⊂ M tal que x n →x quando n →+∞. Tendo em mente que (M ⊥ ) ⊥ = ¦x ∈ X; ¸f, x) = 0, para todo f ∈ M ⊥ ¦, ent˜ ao, se f ∈ M ⊥ , resulta imediatamente que ¸f, x n ) = 0, para todo n ∈ N e, conseq¨ uentemente ¸f, x) = 0, o que prova que x ∈ (M ⊥ ) ⊥ ficando provado (2.10). Reciprocamente, provemos que (M ⊥ ) ⊥ ⊂ M. (2.11) Com efeito, suponhamos que (2.11) não ocorra, isto é, suponhamos que exista x 0 ∈ (M ⊥ ) ⊥ tal que x 0 / ∈ M. Como ¦x 0 ¦ é compacto e M é fechado, e ambos convexos e disjuntos, vem, pela 2 a Forma Geométrica do Teorema de Hahn-Banach, que existe um hiperplano de equa¸c˜ ao [f = α] que separa ¦x 0 ¦ e M no sentido estrito, ou seja, ¸f, x) < α < ¸f, x 0 ) , para todo x ∈ M. Em particular, ¸f, x) < α, para todo x ∈ M. Como M é subespa¸co e f é uma aplica¸c˜ ao linear tal que ¸f, x) < α, para todo x ∈ M, vem que ¸f, x) = 0, para todo x ∈ M. Mas, 0 < α < ¸f, x 0 ), ou seja, ¸f, x 0 ) ,= 0. Também, f ∈ M ⊥ pois ¸f, x) = 0, para todo x ∈ M. Como f ∈ M ⊥ e x 0 ∈ (M ⊥ ) ⊥ , resulta que ¸f, x 0 ) = 0, o que é uma contradi¸ cão (!), ficando provado (2.11). (ii) A demonstra¸c˜ ao desta inclusão é análoga a prova de (2.10) e, portanto, será omitida. 2 70 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Observa¸cão 2.31 Se tentarmos mostrar que (N ⊥ ) ⊥ ⊂ N usando a técnica anterior, ter´ıamos f 0 ∈ (N ⊥ ) ⊥ tal que f 0 / ∈ N. Pela 2 a Forma Geométrica do Teorema de Hahn- Banach, existe um hiperplano de equa¸cão [ϕ = α], ϕ ∈ X , tal que ¸ϕ, f) < α < ¸ϕ, f 0 ) , para toda f ∈ N (em particular). Portanto, ¸ϕ, f) = 0, para toda f ∈ N e ¸ϕ, f 0 ) ,= 0. No entanto, isto não implica que ϕ ∈ N ⊥ pois ϕ pode não pertencer a J(X). Isto ocorre, entretanto, quando X é reflexivo, isto é, quando J(X) = X . Proposi¸cão 2.32 i) Se M 1 ⊂ M 2 ⇒ M ⊥ 1 ⊃ M ⊥ 2 . ii) Se N 1 ⊂ N 2 ⇒N ⊥ 1 ⊃ N ⊥ 2 . Demonstra¸cão: i) Seja f ∈ M ⊥ 2 . Ent˜ ao, ¸f, x) = 0, para todo x ∈ M 2 . Por hipótese, ¸f, x) = 0, para todo x ∈ M 1 , e, portanto, f ∈ M ⊥ 1 . ii) Análoga ao item (i). 2 Proposi¸cão 2.33 Sejam G e L subespa¸cos fechados de X. Então, i) G∩ L = (G ⊥ + L ⊥ ) ⊥ . ii) G ⊥ ∩ L ⊥ = (G + L) ⊥ . Demonstra¸cão: i) Provaremos incialmente que G∩ L ⊃ (G ⊥ + L ⊥ ) ⊥ . (2.12) De fato, temos, pela proposi¸cões 2.30 e 2.32, que G ⊥ ⊂ (G ⊥ +L ⊥ ) L ⊥ ⊂ G ⊥ +L ⊥ ⇒ (G ⊥ + L ⊥ ) ⊥ ⊂ (G ⊥ ) ⊥ = G = G. (G ⊥ + L ⊥ ) ⊥ ⊂ (L ⊥ ) ⊥ = L = L. , o que prova (2.12) ORTOGONALIDADE 71 Reciprocamente, provaremos que G∩ L ⊂ (G ⊥ + L ⊥ ) ⊥ . (2.13) Com efeito, notemos inicialmente que (G ⊥ + L ⊥ ) ⊥ = ¦x ∈ X; ¸f, x) = 0; para todo f ∈ (G ⊥ + L ⊥ )¦. Além disso, observemos que se f ∈ (G ⊥ +L ⊥ ), então f = g +h onde g ∈ G ⊥ e h ∈ L ⊥ . Logo, ¸g, x 1 ) = 0, para todo x 1 ∈ G, ¸h, x 2 ) = 0, para todo x 2 ∈ L. Consideremos, ent˜ ao, x ∈ G ∩ L. devemos provar que ¸f, x) = 0; para todo f ∈ (G ⊥ + L ⊥ ). Seja, ent˜ ao, f ∈ (G ⊥ + L ⊥ ). Pelo que foi visto acima, ¸f, x) = _ g + h, x .¸¸. ∈G∩L _ = 0, o que prova que x ∈ (G ⊥ + L ⊥ ) ⊥ , e, portanto (2.13). (ii) Provaremos, inicialmente que G ⊥ ∩ L ⊥ ⊃ (G +L) ⊥ . (2.14) De fato, temos, pela proposi¸cão 2.32, que G ⊂ G + L L ⊂ G + L ⇒ (G +L) ⊥ ⊂ G ⊥ (G +L) ⊥ ⊂ L ⊥ ⇒(G + L) ⊥ ⊂ G ⊥ ∩ L ⊥ , o que prova (2.14). Finalmente, resta-nos provar que (G+ L) ⊥ ⊃ G ⊥ ∩ L ⊥ . (2.15) Com efeito, sefa f ∈ G ⊥ ∩ L ⊥ . Ent˜ ao, ¸f, x) = 0, para todo x ∈ G e ¸f, y) = 0, para todo y ∈ L, ou seja, ¸f, x +y) = 0, para todo x ∈ G e y ∈ L, o que implica que f ∈ (G+ L) ⊥ , provando (2.15). 2 Corolário 2.34 Sejam G e L subespa¸cos fechados de X. Então, i) (G∩ L) ⊥ ⊃ G ⊥ + L ⊥ . ii) (G ⊥ ∩ L ⊥ ) ⊥ = G+ L. 72 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Demonstra¸cão: i) Temos, pela proposi¸c˜ ao 2.33, que G∩L = (G ⊥ +L ⊥ ) ⊥ , donde, pela proposi¸c˜ ao 2.30, (G∩ L) ⊥ = _ (G ⊥ + L ⊥ ) ⊥ ¸ ⊥ ⊃ G ⊥ + L ⊥ . ii) Analogamente, G ⊥ ∩ L ⊥ = (G +L) ⊥ , donde _ G ⊥ ∩ L ⊥ _ ⊥ = _ (G+ L) ⊥ ¸ ⊥ = G + L. 2 2.5 Operadores Não Limitados Sejam E e F espa¸cos de Banach. Denominamos operador linear não limitado de E em F, a toda aplica¸cão linear A : D(A) ⊂ E → F, definida sobre um subespa¸co vetorial D(A) ⊂ E, com valores em F. O subespa¸co D(A) é dito o dom´ınio de A. Dizemos que A é limitado se existir uma constante C > 0 tal que [[Au[[ F ≤ C [[u[[ E , para todo u ∈ D(A). Observa¸cão 2.35 Quando usamos a terminologia não limitado, estamos entendendo que o operador A pode ser limitado ou não. No caso em que A é limitado, então, em virtude da proposi¸cão 1.4, A é cont´ınuo em D(A), com a topologia induzida por E. Isto significa que se x n →x no espa¸co topológico (D(A), [[ [[ E ) então Ax n →Ax em (F, [[ [[ F ). Aten¸cão, isto não implica que o gráfico G(A) seja fechado em E F, ou equivalentemente que D(A) seja fechado em E. Observe que não temos a garantia que D(A) seja um espa¸co de Banach com a topologia induzida por E. Em outras palavras, se x n → x em E, com x n ∈ D(A), não temos a garantia que o limite x ∈ D(A). Nota¸cões: Gráfico de A = G(A) = ¦(u, Au) ∈ E F; u ∈ D(A)¦, Imagem de A = Im(A) = ¦Au ∈ F; u ∈ D(A)¦ N´ ucleo de A = N(A) = ¦u ∈ D(A); Au = 0.¦ Defini¸cão 2.36 Dizemos que um operador A : D(A) ⊂ E → F é fechado se o gráfico G(A) for fechado em E F. OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 73 Lema 2.37 Se A é fechado, então N(A) é fechado. Demonstra¸cão: De fato, seja x ∈ N(A). Ent˜ ao, existe uma seq¨ uência ¦x n ¦ n∈N ⊂ N(A) tal que x n → x, quando n → +∞. Como ¦x n ¦ n∈N ⊂ N(A), temos que Ax n = 0, para todo n ∈ N, e, consequentemente, Ax n →0. Logo, (x n , Ax n ) →(x, 0), com (x n , Ax n ) ∈ G(A). Como G(A) é fechado, temos que (x, 0) ∈ G(A), ou seja, Ax = 0 , o que implica que x ∈ N(A). 2 Lema 2.38 Se D(A) = E então A é fechado se, e somente se, A é cont´ınuo. Demonstra¸cão: Aplica¸c˜ ao imediata do teorema do Gráfico Fechado. 2 Se D(A) ,= E, A pode ser fechado e não ser limitado. Vejamos um exemplo. Exemplo: Sejam E = F = C(0, 1) o espa¸co das fun¸cões cont´ınuas em [0, 1], ambos, munidos da norma do supremo. Seja D(A) = C 1 (0, 1) A : D(A) ⊂ E →F, f → df dt . Mostremos, inicialmente, que G(A) é fechado. Com efeito, seja (x, y) ∈ G(A). Logo, existe ¦(x n , Ax n )¦ ⊂ G(A) tal que (x n , Ax n ) →(x, y) em EF. Como, ¦x n ¦ n∈N ⊂ D(A) e Ax n = dxn dt , para cada n, temos que x n → x em E e dxn dt → y em F. Por um resultado bem conhecido, em fun¸cão das convergências serem uniformes, (veja, por exemplo [18] Teorema 7.17) resulta que x é derivável e, além disso, dx dt = y. Logo, y = dx dt = Ax, o que prova que A é fechado. No entanto, A não é limitado. De fato, seja x n = sennt, n ∈ N. Temos que ¦x n ¦ n∈N ⊂ D(A) e, além disso, d dt (sennt) = ncos nt. 74 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Notemos que [[x n [[ E = [[sennt[[ E = sup t∈[0,1] [sennt[ = 1, n ≥ 2 _ note que π 2 ∈ [0, n], n ≥ 2 _ , e [[Ax n [[ F = sup t∈[0,1] [ncos nt[ = n, [ note que 0 ∈ [0, n], para todo n ≥ 1] . Logo, [[A[[ = sup x∈D(A);||x||≤1 [[Ax[[ F ≥ [[Ax n [[ = n, para todo n ∈ N, de onde resulta que A não é limitado. Veremos, as seguir, que existem operadores que são limitados mas não são fechados. Basta, para isso, que o dom´ınio D(A) não seja fechado em E, conforme mostra a próxima proposi¸c˜ ao. Proposi¸cão 2.39 Sejam E e F espa¸cos de Banach e A : D(A) ⊂ E → F um operador limitado. Então, A é fechado se, e somente se, D(A) é fechado. Demonstra¸cão: (⇒) Suponhamos A fechado, isto é, que G(A) é fechado em E F. Seja x ∈ D(A) E . Ent˜ ao, existe ¦x n ¦ n∈N ⊂ D(A) tal que x n → x em E. Como A é limitado, temos que ¦Ax n ¦ n∈N é uma seq¨ uência de Cauchy em F pois [[Ax n −Ax m [[ F = [[A(x n −x m )[[ F ≤ C [[x n −x m [[ E →0, quando m, n → +∞, o que implica que ¦Ax n ¦ é convergente, pois F é um espa¸co de Banach. Assim, existe y ∈ F tal que Ax n →y em F. Logo, ¦(x n , Ax n )¦ n∈N ⊂ G(A) e (x n , Ax n ) →(x, y) em E F. Como o gráfico G(A) é fechado, resulta que da convergência acima que x ∈ D(A) e y = Ax, o que prova que D(A) é fechado. (⇐) Reciprocamente, suponhamos que D(A) seja fechado e consideremos (x, y) ∈ G(A). Então, existe ¦(x n , Ax n )¦ n∈N ⊂ G(A) tal que x n → x e Ax n → y. Como ¦x n ¦ ⊂ D(A), e D(A) é fechado, resulta que x ∈ D(A) e, pela limita¸c˜ ao de A vem que Ax n →Ax, já que [[Ax n −Ax[[ F ≤ C[[x n −x[[ E →0, quando n → +∞. Pela unicidade do limite em F resulta que y = Ax, e, portanto, (x, y) ∈ G(A), provando que G(A) = G(A), ou seja, que A é fechado. Isto encerra a prova. 2 OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 75 Defini¸cão 2.40 Sejam E e F espa¸cos de Banach. Um operador linear A : D(A) ⊂ E → F é denominado fechável se existir uma extensão linear fechada de A. Exemplo: Consideremos E = F = C(0, 1) o espa¸co das fun¸cões cont´ınuas em [0, 1] munido com a norma do supremo e A : D(A) ⊂ E →F tal que D(A) = ¦p ∈ C(0, 1); p é polinômio¦, p →Ap = dp dt . Seja B : D(B) ⊂ E →F tal que D(B) = ¦x ∈ C(0, 1); x é derivável e dx dt ∈ C(0, 1)¦, e Bx = dx dt . Temos que B é fechado pois se (x, y) ∈ G(B), ent˜ ao existe ¦x n , Bx n ¦ n∈N ⊂ G(B) tal que x n → x em E e Bx n → y em F. Como a convergência é uniforme, temos que x é derivável e y = dx dt . Além disso, como ¦x n ¦ ⊂ C 1 (0, 1) temos que x ∈ C 1 (0, 1), isto é, (x, y) ∈ G(B), o que prova que B é fechado. Como B estende A, temos que A é fech´ avel. Teorema 2.41 Sejam E e F espa¸cos de Banach e A : D(A) ⊂ E → F um operador linear. A é fechável se, e somente se, a seguinte condi¸cão é satisfeita: se ¦x n ¦ n∈N ⊂ D(A), x n →0 em E e Ax n → y em F quando n →+∞ então y = 0. Demonstra¸cão: (⇒) Como A é fech´ avel, existe B, extensão linear e fechada de A, isto é, D(A) ⊂ D(B) e Ax = Bx, para todo x ∈ D(A). Seja ¦x n ¦ ⊂ D(A) tal que x n → 0 e Ax n → y. Ent˜ ao, ¦x n ¦ ⊂ D(B), x n → 0 e Bx n →y. Como B é linear e fechado, (0, y) ∈ D(B) e 0 = B0 = y, ou seja, y = 0. (⇐) Temos, por hipótese, que se ¦x n ¦ ⊂ D(A) é tal que x n → 0 e Ax n → y,então y = 0. Queremos mostrar que A é fech´ avel. Definamos: D( ˜ A) = ¦x ∈ E; existe ¦x n ¦ n∈N ⊂ D(A) tal que x n → x e existe lim n→+∞ Ax n ¦ e , ˜ A : D( ˜ A) ⊂ E →F; x → ˜ Ax = lim n→+∞ Ax n . Notemos inicialmente que ˜ A está bem definido . (2.16) Com efeito, se x ∈ D(A), existe x n = x, para todo n ∈ N, tal que x n → x em E. Logo, Ax n = Ax e, portanto, Ax n → Ax em F, implicando que D(A) ⊂ D( ˜ A). Sejam, 76 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL agora, x ∈ D( ˜ A) e ¦x n ¦ n∈N , ¦y n ¦ n∈N ⊂ D(A) tais que x n → x e y n → x em E e existem os limites lim n→+∞ Ax n e lim n→+∞ Ay n . Ent˜ ao, ¦x n − y n ¦ n∈N ⊂ D(A), pois D(A) é subespa¸co, (x n −y n ) →0, quando n → +∞ e existe o limite lim n→+∞ A(x n −y n ) = lim n→+∞ (Ax n −Ay n ) = lim n→+∞ Ax n − lim n→+∞ Ay n . Então, por hipótese, lim n→+∞ A(x n −y n ) = 0 ⇒ lim n→+∞ Ax n = lim n→+∞ Ay n , o que prova (2.16). Observemos que é imediato concluir que ˜ A é linear , (2.17) em virtude das propriedades de limite e da linearidade de A. O ´ ultimo passo é provar que ˜ A é fechado. (2.18) Seja (x, y) ∈ G( ˜ A). Então, existe ¦(x n , ˜ Ax n )¦ n∈N ⊂ G( ˜ A) tal que x n → x em E e ˜ Ax n →y em F, quando n →+∞. Ent˜ ao, para cada n ∈ N, existe ¦x nm ¦ ⊂ D(A) tal que lim m→+∞ x n m = x n e ˜ Ax n = lim m→+∞ Ax n m . (2.19) Seja ε > 0 dado. Das convergências acima, existe n 1 ∈ N tal que [[x n −x[[ < ε 2 , para todo n ≥ n 1 , e existe n 2 ∈ N tal que [[ ˜ Ax n −y[[ < ε 2 , para todo n ≥ n 2 . Pondo, n 0 = max¦n 1 , n 2 ¦, resulta que [[x n 0 −x[[ < ε 2 e [[ ˜ Ax n 0 −y[[ < ε 2 . (2.20) Por outro lado, de maneira análoga, de (2.19) existe m 0 = max¦m 1 , m 2 ¦ tal que [[x n 0m −x n 0 [[ < ε 2 e [[Ax n 0m − ˜ Ax n 0 [[ < ε 2 , para todo m ≥ m 0 . (2.21) OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 77 Assim, de (2.20) e (2.21), obtemos [[x n 0m −x[[ ≤ [[x n 0m −x n 0 [[ +[[x n 0 −x[[ < ε, e [[Ax n 0m −y[[ ≤ [[Ax n 0m − ˜ Ax n 0 [[ +[[ ˜ Ax n 0 −y[[ < ε, para todo m ≥ m 0 . Logo, ¦x n 0m ¦ n∈N ⊂ D(A) e é tal que lim m→+∞ x n 0m = x e lim m→+∞ Ax n 0m = y, o que implica que x ∈ D( ˜ A) e y = ˜ Ax, ou seja, (x, y) ∈ G( ˜ A). Portanto, ˜ A é fechado e como ˜ A estende A resulta que A é fech´ avel, conforme quer´ıamos demonstrar. 2 Exemplo de operador não fechável: Seja A : C(0, 1) →1 definido por D(A) = C 1 (0, 1) e Ax = dx dt (1/2). Temos que A = δ 1/2 ◦ d dt . Logo, A é linear. Consideremos x n (t) = 1 n sen(4nπt). Temos que [[x n [[ C(0,1) = sup t∈[0,1] [x n (t)[ = 1 n , e, portanto, x n → 0 em C(0, 1) quando n →+∞. No entanto, Ax n = dx n dt = 4nπ n cos _ 4nπ 1 2 _ = 4π cos(2nπ) . ¸¸ . =1 = 4π, para todo n ∈ N. Desta forma, Ax n → 4π em 1 e, assim, Ax n ÷ 0, quando n → +∞. Pelo teorema 2.41 segue que A não é fech´ avel. Teorema 2.42 (Prolongamento por Densidade) Sejam E e F espa¸cos de Banach e A : D(A) ⊂ E → F um operador linear e limitado. Se D(A) for denso em E, então A admite um ´ unico prolongamento linear limitado ˜ A a todo espa¸co E. Além disso, [[A[[ L(D(A),F) = [[ ˜ A[[ L(E,F) Demonstra¸cão: Como D(A) é denso em E, para cada x ∈ E, existe ¦x n ¦ n∈N ⊂ D(A) tal que x n →x em E. Definamos: ˜ A : E →F; x → ˜ Ax = lim n→+∞ Ax n . (2.22) 78 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Provemos inicialmente que ˜ A está bem definido. De fato, seja x ∈ E e consideremos ¦x n ¦ n∈N , ¦y n ¦ n∈N ⊂ D(A) tais que x n →x e y n →x em E, quando n →+∞. Pondo-se z = lim n→+∞ Ax n e w = lim n→+∞ Ay n , ent˜ ao, em virtude da limita¸cão de A, tem-se [[Ax n −Ay n [[ F ≤ [[A[[ L(D(A),F) [[x n −y n [[ E →0, quando n → +∞ o que implica que A(x n −y n ) →0 em F, quando n →+∞, resultando, pela unicidade do limite em F, que z = w. Além disso, notemos, ainda, que se ¦x n ¦ n∈N ⊂ D(A) é tal que x n →x em E, quando n →+∞, ent˜ ao ¦Ax n ¦ é convergente em F pois [[Ax n −Ax m [[ F ≤ [[A[[ L(D(A),F) [[x n −x m [[ E →0 quando n, m → +∞, e como F é Banach, resulta que existe y ∈ F tal que y = lim n→+∞ Ax n . Isto prova que ˜ A está bem definido. Mais ainda, ˜ A é claramente linear em virtude da linearidade de A e das propriedades de limite. Provaremos, a seguir, que ˜ A é limitado. Com efeito, seja x ∈ E e ¦x n ¦ n∈N ⊂ D(A) tal que x n →x em E, quando n →+∞. Como [[Ax n [[ F ≤ [[A[[ L(D(A),F) [[x n [[ E , para todo n ∈ N, ent˜ ao de (2.22) e da convergência x n →x em E, resulta que [[ ˜ Ax[[ F ≤ [[A[[ L(D(A),F) [[x[[ E , para todo x ∈ E, o que prova a limita¸c˜ ao de ˜ A. Mais ainda, da desigualdade acima conclu´ımos que [[ ˜ A[[ L(E,F) ≤ [[A[[ L(D(A),F) . (2.23) Provaremos, a seguir, que ˜ A, de fato, estende A. De fato, seja x ∈ D(A). Ent˜ ao a seq¨ uência ¦x n ¦ n∈N tal que x n = x, para todo n satisfaz x n →x em E quando n →+∞ e além disso ˜ Ax = lim n→+∞ Ax n = Ax. Assim D(A) ⊂ D( ˜ A) = E e ˜ Ax = Ax, para todo x ∈ D(A), o que prova o desejado. ADJUNTO DE UM OPERADOR LINEAR N ˜ AO LIMITADO 79 Por outro lado, observemos que [[A[[ L(D(A),F) = sup ||x|| E ≤1; x∈D(A) [[Ax[[ F = sup ||x|| E ≤1; x∈D(A) [[ ˜ Ax[[ F (2.24) ≤ sup ||x|| E ≤1; x∈E [[ ˜ Ax[[ F = [[ ˜ A[[ L(E,F) . De (2.23) e (2.24) conclu´ımos que [[ ˜ A[[ L(E,F) = [[A[[ L(D(A),F) . Para concluir o teorema, provaremos que ˜ A é o ´ unico prolongamento linear e limitado de A a todo espa¸co E. De fato, seja B : E → F um prolongamento linear e limitado de A. Então, Bx = Ax = ˜ Ax, para todo x ∈ D(A). Considermos, ent˜ ao, x ∈ E¸D(A). Logo, existe ¦x n ¦ n∈N ⊂ D(A) tal que x n → x em E, quando n → +∞, e, pela continuidade de B resulta que, Bx n → Bx em F, quando n → +∞, ou seja, Ax n → Bx em F, quando n → +∞. Conseq¨ uentemente, de (2.22) e pela unicidade do limite em F conclu´ımos que Bx = ˜ Ax, para todo x ∈ E. Isto conclui a demonstra¸c˜ ao. 2 2.6 Adjunto de um Operador Linear Não Limitado Sejam E e F espa¸cos de Banach e A : D(A) ⊂ E → F um operador linear não limitado tal que D(A) é denso em E. Definamos o seguinte conjunto D(A ∗ ) = ¦v ∈ F ; v ◦ A é limitada¦. (2.25) Em outras palavras, D(A ∗ ) = ¦v ∈ F ; existe C ≥ 0 tal que [ ¸v, Au) [ ≤ C [[u[[ E , para todo u ∈ D(A)¦. Como v ∈ F e A é linear temos que v ◦ A é linear e limitada, e, D(v ◦ A) = D(A) é denso em E. Logo, pelo Teorema 2.42 temos que existe um ´ unico prolongamento f v : 80 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL T D(A) E F 1 A v Figura 2.2: Operador Adjunto E → 1 linear e limitado que estende v ◦ A : D(A) → 1 a todo espa¸co E. Além disso, [[f v [[ E = [[v ◦ A[[ D(A) . Definamos: A ∗ : D(A ∗ ) ⊂ F →E , v →A ∗ v = f v . (2.26) Como f v estende v ◦ A, ent˜ ao coincidem em D(A), ou seja f v (u) = (v ◦ A)(u), para todo u ∈ D(A). Resulta da´ı e de (2.26) a seguinte rela¸cão de adjun¸cão: ¸A ∗ v, u) E ,E = ¸v, Au) F ,F , para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ D(A ∗ ). (2.27) D(A ∗ ) é claramente um subespa¸co vetorial. Mais além, A ∗ é um operador linear. Com efeito, sejam v 1 , v 2 ∈ D(A ∗ ). Ent˜ ao, A ∗ (v 1 + v 2 ) = f v 1 +v 2 , onde f v 1 +v 2 é a ´ unica extensão linear e limitada de (v 1 + v 2 ) ◦ A a todo E. No entanto, f v 1 = A ∗ v 1 e f v 2 = A ∗ v 2 são tais que estendem v 1 ◦ A e v 2 ◦ A a E, respectivamente. Assim, A ∗ v 1 + A ∗ v 2 = f v 1 + f v 2 estende (v 1 +v 2 ) ◦ A a todo E. Pela unicidade da extensão resulta que f v 1 +v 2 = f v 1 +f v 2 , ou seja, A ∗ (v 1 + v 2 ) = A ∗ v 1 + A ∗ v 2 , o que prova a linearidade de A ∗ . Defini¸cão 2.43 O operador linear A ∗ : D(A ∗ ) ⊂ F → E acima referido se denomina adjunto de A. Observa¸cão 2.44 • 1) Para estender v ◦ A poder´ıamos ter recorrido à Forma Anal´ıtica do Teorema de Hahn-Banach (Teorema 1.13). • 2) Se A é limitado, então v ◦ A é limitado para todo v ∈ F . Logo, D(A ∗ ) = ¦v ∈ F ; existe C ≥ 0 tal que [ ¸v, Au) [ ≤ C [[u[[ E , para todo u ∈ D(A)¦ = F . Além disso, se D(A) = E vem que A ∗ v = v ◦ A pois A ∗ v[ D(A) = v ◦ A. ADJUNTO DE UM OPERADOR LINEAR N ˜ AO LIMITADO 81 Proposi¸cão 2.45 O adjunto A ∗ de A : D(A) ⊂ E →F é um operador fechado. Demonstra¸cão: Temos que G(A ∗ ) = ¦(v, A ∗ v); v ∈ D(A ∗ )¦ ⊂ F E . Seja (f, g) ∈ G(A ∗ ). Ent˜ ao, existe ¦v n , A ∗ v n ¦ n∈N ⊂ G(A ∗ ) tal que (v n , A ∗ v n ) → (f, g) em F E . (2.28) Como A ∗ é o adjunto de A, temos que ¸A ∗ v, u) = ¸v, Au) , para todo v ∈ D(A ∗ ) e para todo u ∈ D(A). Assim , para todo u ∈ D(A), podemos escrever ¸A ∗ v n , u) = ¸v n , Au) , para todo n ∈ N. Segue dessa ´ ultima rela¸c˜ ao e das convergências em (2.28) que ¸g, u) = ¸f, Au) , para todo u ∈ D(A), o que implica que g[ D(A) = f ◦ A e, pelo fato de g ∈ E temos que g é limitado e, por conseguinte, f ◦ A é limitada. Agora, como f ∈ F , segue que f ∈ D(A ∗ ). Como g é uma extensão linear limitada de f ◦ A, que é ´ unica, vem que g = A ∗ f. Assim, f ∈ D(A ∗ ) e g = A ∗ f. Portanto, (f, g) ∈ G(A ∗ ), o que encerra a prova. 2 Observa¸cão 2.46 Sejam E e F espa¸cos de Banach. Os gráficos de A e A ∗ estão ligados por uma rela¸cão de ortogonalidade. Com efeito, consideremos a aplica¸cão J : F E → E F ; J([v, f]) = [−f, v], (2.29) e seja A : D(A) ⊂ E →F um operador linear não limitado tal que D(A) = E. Então, se tem J(G(A ∗ )) = G(A) ⊥ . (2.30) De fato, seja [v, f] ∈ G(A ∗ ). Então, ¸f, u) = ¸v, Au) , f = A ∗ u, para todo u ∈ D(A). 82 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Da´ı resulta que −¸f, u) +¸v, Au) = 0, para todo u ∈ D(A) ⇒¸[−f, v], [u, Au]) = 0, para todo u ∈ D(A), o que implica que [−f, v] ∈ G(A) ⊥ , isto é, J([v, f]) ∈ G(A) ⊥ . Reciprocamente, seja [f, v] ∈ G(A) ⊥ . Então, ¸[f, v], [u, Au]) = 0, para todo u ∈ D(A), o que implica que ¸f, u) +¸v, Au) = 0, para todo u ∈ D(A) ⇒¸−f, u) = ¸v, Au) para todo u ∈ D(A), ou seja, v ∈ D(A ∗ ) e A ∗ v = −f, ou ainda, [v, −f] ∈ G(A ∗ ) e, conseq¨ uentemente, [f, v] = J[v, −f] ∈ J(G(A ∗ )), o que prova (2.30). Teorema 2.47 Sejam E e F espa¸cos de Banach e A : D(A) ⊂ E → F um operador linear e não limitado tal que D(A) = E. Estabeleceremos, por simplicidade, as seguintes nota¸c˜ oes: G = G(A) e L = E ¦0¦. Então, são válidas: (i) N(A) ¦0¦ = G∩ L. (ii) ¦0¦ N(A ∗ ) = G ⊥ ∩ L ⊥ . (iii) E Im(A) = G + L. (iv) Im(A ∗ ) F = G ⊥ + L ⊥ . Demonstra¸cão: (i) Seja (x, y) ∈ N(A) ¦0¦. Ent˜ ao Ax = 0 e y = 0. Assim, y = Ax e, portanto, (x, y) ∈ G e (x, y) ∈ L, o que implica (x, y) ∈ G ∩ L. Reciprocamente, se (x, y) ∈ G ∩ L temos que y = Ax e y = 0. Assim, Ax = 0, e, então, x ∈ N(A), o que implica (x, y) ∈ N(A) ¦0¦. (ii) Seja (x, y) ∈ ¦0¦ N(A ∗ ). Então, x = 0 e A ∗ y = 0. Assim, de (2.29), resulta que (x, y) = (A ∗ y, y) = (−A ∗ y, y) = J([y, A ∗ y]) ∈ J(G(A ∗ )). Além disso, (x, y) = (0, y) e se (u, v) ∈ L, ent˜ ao ¸(x, y), (u, v)) = ¸(0, y), (u, 0)) = 0, para todo (u, v) ∈ L. ADJUNTO DE UM OPERADOR LINEAR N ˜ AO LIMITADO 83 Logo, (x, y) ∈ L ⊥ , ou seja, ¦0¦ N(A ∗ ) ⊂ G ⊥ ∩ L ⊥ . Analogamente, se mostra a outra inclusão. (iii) Seja (x, y) ∈ E Im(A). Ent˜ ao, x ∈ E e y = Az com z ∈ D(A). Assim, (x, y) = (x, Az) = (x −z + z, Az) = (x −z . ¸¸ . ∈E , 0) + (z, Az) ∈ G +L. A outra inclusão é imediata. (iv) Seja (f, v) ∈ Im(A ∗ ) F . Ent˜ ao, f = A ∗ w, para algum w ∈ D(A ∗ ) e v ∈ F . Portanto, de (2.30), (f, v) = (A ∗ w, v) = (A ∗ w, v + w −w) = (A ∗ w, −w) + (0, v + w) = J([w, A ∗ w]) + (0, v + w) ∈ J(G(A ∗ )) + L ⊥ = G ⊥ +L ⊥ . A outra inclusão é imediata. 2 Corolário 2.48 Seja A : D(A) ⊂ E → F um operador linear, fechado com D(A) = E. Então: (i) N(A) = [Im(A ∗ )] ⊥ . (ii) N(A ∗ ) = [Im(A)] ⊥ . (iii) [N(A)] ⊥ ⊃ Im(A ∗ ) [N(A) ⊥ = Im(A ∗ ), se E é reflexivo]. (iv) [N(A ∗ )] ⊥ = Im(A). Demonstra¸cão: (i) Do Teorema 2.47(iv) resulta que [Im(A ∗ )] ⊥ ¦0¦ = (G ⊥ + L ⊥ ) ⊥ = G∩ L (em virtude da proposi¸cao 2.33 (i)) = N(A) ¦0¦( em virtude do Teorema 2.47 (i)). (ii) Do Teorema 2.47 (iii) resulta que ¦0¦ [Im(A)] ⊥ = (G + L) ⊥ = G ⊥ ∩ L ⊥ (devido a proposi¸c˜ ao 2.33 (ii)) = ¦0¦ N(A ∗ ) ( devido ao Teorema 2.47 (ii)). 84 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL (iii) e (iv) Utilizar (i) (respectivamente (ii)), passar ao ortogonal, e aplicar a proposi¸c˜ ao 2.30. 2 Teorema 2.49 Sejam E e F espa¸cos de Banach e A : D(A) ⊂ E → F um operador linear não limitado, fechado com D(A) = E. As seguintes propriedades são equivalentes: (i) Im(A) é fechada. (ii) Im(A ∗ ) é fechada. (iii) Im(A) = N(A ∗ ) ⊥ . (iv) Im(A ∗ ) = N(A) ⊥ . Demonstra¸cão: (i) ⇔ G+ L é fechado em E F (conforme Teorema 2.47 (iii)). (ii) ⇔ G ⊥ +L ⊥ é fechado em (E F) (conforme Teorema 2.47 (iv)). (iii) ⇔ G+ L = (G ⊥ ∩ L ⊥ ) ⊥ (conforme Teorema 2.47 (ii)). (iv) ⇔ (G∩ L) ⊥ = G ⊥ + L ⊥ (conforme Teorema 2.47 (i) e (iv)). 2 Teorema 2.50 Sejam E e F espa¸cos de Banach e A : D(A) ⊂ E → F um operador linear, fechado com D(A) = E. Então, (i) A é limitado. (ii) D(A ∗ ) = F . (iii) A ∗ é limitado. Além disso, [[A[[ L(E,F) = [[A ∗ [[ L(F ,E ) . Demonstra¸cão: (i) Pelo Teorema do Gráfico Fechado segue o desejado. (ii) Lembremos que D(A ∗ ) = ¦v ∈ F ; v ◦ A é limitado ¦. Como A é limitado, então, para todo v ∈ F , v ◦ A é limitado. Assim, D(A ∗ ) = F . ADJUNTO DE UM OPERADOR LINEAR N ˜ AO LIMITADO 85 (iii) Pela rela¸c˜ ao de adjun¸c˜ ao, temos ¸A ∗ v, u) = ¸v, Au) , para todo u ∈ E e para todo v ∈ F , para todo u ∈ E, v ∈ F . Assim, da rela¸c˜ ao acima obtemos [ ¸A ∗ v, u) [ ≤ [[v[[ [[Au[[ ≤ [[v[[ [[A[[ [[u[[, ou seja, [[A ∗ v[[ = sup u∈E,||u||≤1 [ ¸A ∗ v, u) [ ≤ [[A[[ [[v[[, para todo v ∈ F , o que prova a limita¸c˜ ao de A ∗ . Além disso, da desigualdade acima resulta que [[A ∗ [[ ≤ [[A[[. (2.31) Por outro lado, de (iii) resulta que [[Au[[ = sup v∈F ,||v||≤1 [ ¸Au, v) [ ≤ sup ||v||≤1 [[A ∗ [[ [v[[ [[u[[ ≤ [[A ∗ [[ [u[[, para todo u ∈ E, o que implica que [[A[[ ≤ [[A ∗ [[. (2.32) De (2.31) e (2.32) fica provado a ´ ultima afirma¸cão. Isto encerra a prova. 2 86 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Cap´ıtulo 3 Topologias Fracas - Espa¸cos Reflexivos e Separáveis Figura 3.1: Tikhonov-Alaoglu . Andrei Nikolaevich Tikhonov (1906-1993), à esquerda, foi um matemático Russo. Ele trabalhou em diferentes campos da Matemática. Fez importantes contribui¸ cões em Topologia, Análise Funcional, F´ısica-Matemática, e certas classes de problemas mal postos. Ele é muito conhecido pelo seu trabalho em Topologia, incluindo o Teorema de metriza¸cão. Em sua honra, espa¸cos topológicos completamente regulares são também conhecidos como espa¸cos de Tychonoff. Leonidas Alaoglu (1914 - 1981), à direira, foi um matemático Canadense. Sua Tese de Dou- tourado é uma fonte de resultados largamente citados e um dos mais importantes é denominado 87 88 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL o Teorema de Alaoglu sobre a compacidade fraca estrela da bola unitária fechada no dual de um espa¸co normado, também conhecido como Teorema de Banach-Alaoglu. O Teorema de Bourbaki-Alaoglu é uma generaliza¸cão do resultado de Bourbaki para topologias duais. 3.1 Espa¸cos Topológicos Nesta se¸cão faremos uma recorda¸cão de algumas no¸cões básicas sobre os espa¸cos topológicos que serão indispensáveis no decorrer deste manuscrito. Denominamos espa¸co topológico a um conjunto X munido de uma cole¸c˜ ao τ = ¦G α ¦ α de subconjuntos de X, satisfazendo aos axiomas: (A.1) ∅ e X pertencem à τ. (A.2) A união arbitrária de elementos de τ pertence à τ. (A.3) A interse¸c˜ ao de um n´ umero finito de elementos de τ pertence à τ. Desta forma, o par (X, τ) satisfazendo às condi¸cões acima é denominado um espa¸co topológico e a cole¸c˜ ao τ = ¦G α ¦ α é denominada uma topologia para X. Usualmente, nos referimos a X como um espa¸co topológico, ficando bem entendido que estamos considerando uma topologia fixa τ para X. Os elementos de τ, isto é, os G α , são denominados os abertos de X. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 1: Seja X um conjunto arbitrário e consideremos τ = ¦∅, X¦. ´ E evidente que τ satisfaz aos axiomas (A.1)-(A.3) acima, e portanto (X, τ) é um espa¸co topológico. A topologia τ é denominada topologia trivial. Exemplo 2: Seja X um conjunto arbitário e consideremos τ = T(X) o conjunto das partes de X, isto é, a cole¸c˜ ao de todos os subconjuntos de X. Evidentemente τ é uma topologia para X a qual é denominada topologia discreta, já que todo subconjunto de X, mesmo àqueles formados por pontos discretos, são conjuntos abertos. Exemplo 3: Seja (X, d) um espa¸co métrico. Tomemos τ como sendo a cole¸cão de todos os subconjuntos abertos em rela¸c˜ ao à métrica d. τ é uma topologia para X, que o torna um espa¸co topológico. Esta topologia é dita métrica. Um sunconjunto F em um espa¸co topológico (X, τ) denomina-se fechado se X¸F é aberto, ou, dito de outra forma, se X¸F ∈ τ. Um subconjunto V ⊂ X é dito uma vizinhan¸ca de um ponto x ∈ X, no espa¸co topológico (X, τ), se existir A, aberto de X, isto é, A ∈ τ, tal que x ∈ A ⊂ V . ESPAÇ OS TOPOL ´ OGICOS 89 Seja (X, τ) um espa¸co topológico. Um ponto x ∈ X é dito aderente a um subconjunto E de X, se todo aberto contendo x contém um ponto de E. Denota-se por E o conjunto de todos os pontos de X aderentes à E. Tal conjunto denomina-se aderência ou fecho de E em X. Denotando-se por 1(x), o conjunto de todas as vizinhan¸cas de x resulta imediatamente que x ∈ E ⇔ Para todo V ∈ 1(x), V ∩ E ,= ∅. Seja (X, τ) um espa¸co topológico. Uma condi¸cão necessária e suficiente para que um subconjunto F de X seja fechado, é que F = F. Sejam (X 1 , τ 1 ) e (X 2 , τ 2 ) dois espa¸cos topológicos e f : X 1 → X 2 uma aplica¸cão. A fun¸c˜ ao f é dita cont´ınua em um ponto x ∈ X 1 se dada V , vizinhan¸ca de f(x) em X 2 , existe uma vizinhan¸ca U de x em X 1 tal que f(U) ⊂ V . Dizemos que f é cont´ınua em X 1 quando for cont´ınua em todo ponto x ∈ X 1 . Sejam (X 1 , τ 1 ) e (X 2 , τ 2 ) dois espa¸cos topológicos e f : X 1 →X 2 uma aplica¸c˜ ao. Uma condi¸c˜ ao necessária e suficiente para que f seja cont´ınua em X 1 é que dado G 2 ∈ τ 2 , f −1 (G 2 ) ∈ τ 1 . Seja (X, τ) um espa¸co topológico e ¦x n ¦ uma seq¨ uência de elementos de X. Dizemos que ¦x n ¦ converge para um ponto x ∈ X e, denotamos x n → x, quando n → +∞, se para qualquer aberto G contendo x, existe n 0 ∈ N (dependendo em geral de G) tal que x n ∈ G, para todo n ≥ n 0 . ` As vezes, não é necessário dar uma cole¸cão inteira τ de abertos em X para gerarmos o espa¸co topológico (X, τ). Na realidade, necessitamos apenas de uma subcole¸cão de τ para gerarmos a mesma topologia. A essa subcole¸c˜ ao denominamos base, conforme veremos a seguir. Seja (X, τ) um espa¸co topológico. Uma cole¸cão β de conjuntos abertos tal que qualquer subconjunto aberto de X pode ser escrito como uma reunião de conjuntos de β, é denominada uma base para X. Observe que uma base sempre existe pois podemos considerar, em particular, β = τ. Sejam (X 1 , τ 1 ) e (X 2 , τ 2 ) dois espa¸cos topológicos, f : X 1 → X 2 uma aplica¸c˜ ao e β uma base de X 2 . Uma condi¸cão necessária e suficiente para que f seja cont´ınua em X 1 é que f −1 (B) seja aberto em X 1 , (ou seja, perten¸ca à τ 1 ) para todo B ∈ β. Uma condi¸c˜ ao necessária e suficiente para que uma cole¸c˜ ao β = ¦B α ¦ α de conjuntos abertos de um espa¸co topológico (X, τ) seja uma base para X, é que para todo aberto G 90 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL de X e para todo x ∈ G, exista B α(x) ∈ β tal que x ∈ B α(x) ⊂ G. Sejam (X, τ) um espa¸co topológico e β uma base de abertos. Ent˜ ao, β satisfaz às seguintes condi¸c˜ oes: (B.1) Para cada x ∈ X, existe B x ∈ β tal que x ∈ B x . (B.2) Dados quaisquer dois conjuntos B 1 , B 2 ∈ β e x ∈ B 1 ∩B 2 , ent˜ ao existe um outro conjunto B 3 ∈ β tal que x ∈ B 3 ⊂ B 1 ∩ B 2 . Reciprocamente, se X é um conjunto arbitrário e β é uma cole¸c˜ ao de subconjuntos abertos satisfazendo às condi¸c˜ oes (B.1) e (B.2) acima, então, uma topologia τ pode ser induzida em X para a qual β é uma base. Dadas duas bases β 1 e β 2 de X, ou seja, duas cole¸c˜ oes de subconjuntos abertos de X satisfazendo ás condi¸cões (B.1) e (B.2) acima, elas são ditas equivalentes se determinam a mesma topologia em X. Isto significa dizer que para cada B 1 ∈ β 1 e cada x ∈ B 1 , existe B 2 ∈ β 2 tal que x ∈ B 2 ⊂ B 1 e reciprocamente, para cada ˜ B 2 ∈ β 2 e cada y ∈ ˜ B 2 , existe ˜ B 1 ∈ β 1 tal que y ∈ ˜ B 1 ⊂ ˜ B 2 . Uma cole¸c˜ ao β x de conjuntos abertos de um espa¸co topológico (X, τ) é denominada uma base no ponto x ∈ X , se para qualquer aberto G contendo x, existe um conjunto B ∈ β x tal que x ∈ B ⊂ G. Em um espa¸co métrico, a cole¸cão de todas as bolas B ε (x 0 ) onde ε percorre os n´ umeros reais positivos, constitui uma base para o dado ponto x 0 . Da mesma forma, a cole¸cão de todas as bolas B r (x 0 ) onde r percorre os n´ umeros racionais constitui também uma base para o ponto x 0 , só que, neste caso, tal base é enumer´ avel. Isto nos conduz as seguintes defini¸c˜ oes. Um espa¸co topológico (X, τ) satisfaz ao 1 0 Axioma da Enumerabilidade, se existe uma base enumer´ avel em todo ponto x ∈ X e satisfaz ao 2 0 Axioma da Enumerabilidade se existe uma base enumer´ avel de abertos para X. Claramente o 2 0 implica no 1 0 . Seja (X, τ) um espa¸co topológico que satisfaz ao 2 0 Axioma da Enumerabilidade. Ent˜ ao, existe nele, obrigatoriamente um conjunto enumerável e denso. Ainda, de toda cobertura aberta se pode extrair uma subcobertura enumer´ avel. Agora, se (X, τ) é um espa¸co topológico que satisfaz ao 1 0 Axioma da Enumerabilidade ent˜ ao a fam´ılia das vizinhan¸cas da cada ponto de X, admite uma base ¦B n ¦ tal que B n+1 ⊂ B n . Mais além, se A ⊂ X, uma condi¸c˜ ao necessária e suficiente para que x ∈ A é que exista uma seq¨ uência ¦x n ¦ ⊂ A tal que x n →x. ESPAÇ OS TOPOL ´ OGICOS 91 3.1.1 Topologias Fracas Sejam (X, τ 1 ) e (X, τ 2 ) espa¸cos topológicos. Se τ 1 ⊂ τ 2 , dizemos que a topologia τ 1 é mais grossa que τ 2 ou que τ 2 é mais fina que τ 1 . Se X é um conjunto arbitrário, ent˜ ao a topologia trivial é claramente mais grossa do que qualquer outra topologia sobre X e a topologia discreta é a mais fina do que qualquer outra. No conjunto de todas as topologias sobre X, podemos induzir a rela¸c˜ ao de ordem, a saber, ‘ ... mais fina que ...’ Proposi¸cão 3.1 Seja ¦τ λ ¦ λ uma fam´ılia de topologias sobre X. Então, τ = λ τ λ é uma topologia sobre X. Demonstra¸cão: (i) Note que ∅, X ∈ τ λ para todo λ, o que implica que ∅, X ∈ τ. (ii) Seja α G α uma união arbitrária, onde os G α ∈ τ, para todo α. Então, para cada α, G α ∈ τ λ , para todo λ, o que implica que α G α ∈ τ λ , para todo λ, isto é, α G α ∈ τ. (iii) Seja n α=1 G α uma interse¸ cão finita onde G α ∈ τ, para todo α = 1, , n. Analogamente, para cada α = 1, , n, G α ∈ τ λ , para todo λ, o que implica que n α=1 ∈ τ. Isto encerra a prova. 2 Segue da Proposi¸cão 3.1 que a topologia τ = λ τ λ satisfaz as seguintes propriedades: (1 a ) τ é mais grossa que qualquer τ λ , já que τ ⊂ τ λ , para todo λ. (2 a ) Se τ é mais grossa que qualquer τ λ , ent˜ ao, τ é mais grossa que τ, ou, dito de outra forma, se existir, τ tal que τ ⊂ τ λ , para todo λ, ent˜ ao τ ⊂ τ. Por causa das propriedades acima, a topologia τ = λ τ λ é denominada o ´ınfimo, (isto é, a maior limita¸c˜ ao inferior) das topologias τ λ . Apesar de τ = λ τ λ ser mais grossa que todas as topologias τ λ , temos também que τ = λ τ λ é mais fina que todas as topologias que são mais grossas que as τ λ . Consideremos, agora, uma cole¸c˜ ao c arbitrária de subconjuntos de X. Pelo exposto acima, existe uma ´ unica topologia contendo c que é a mais grossa que todas as outras topologias que contêm c. Essa topologia é obtida tomando-se a interse¸c˜ ao de todas as topologias que contêm c. Notemos que existe, pelo menos, uma topologia contendo c, 92 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL a saber, a topologia discreta. Veremos, a seguir, um outro modo de caracterizar essa ´ unica topologia mais grossa contendo c. Basta considerarmos as uniões arbitrárias de interse¸c˜ oes finitas de conjuntos de c. Não é dif´ıcil ver que essa cole¸c˜ ao de conjuntos forma uma topologia adotando-se as usuais conven¸c˜ oes para interse¸cões e uniões vazias. A prova segue diretamente de nossa discussão na se¸c˜ ao anterior sobre bases, se observarmos que a cole¸c˜ ao β de todas as interse¸cões finitas de conjuntos de c, juntamente com ∅ e X, for- mam uma base, ou seja, satisfaz as condi¸c˜ oes (B.1) e (B.2) vistas na se¸cão anterior. Com efeito, (B.1) é satisfeita posto que X ∈ β e (B.2) também se verifica pois dados B 1 , B 2 ∈ β e x ∈ B 1 , B 2 , ent˜ ao, tanto B 1 quanto B 2 são dados por interse¸c˜ oes finitas de conjuntos de c e conseq¨ uentemente B 3 = B 1 ∩ B 2 é dado por uma interse¸c˜ ao finita de conjuntos de c e x ∈ B 3 ⊂ B 1 ∩ B 2 . Desta forma, uma topologia τ ∗ é introduzida sobre X para a qual β é uma base. Resta-nos provar que τ ∗ = τ. De fato, seja ¦τ λ ¦ a cole¸c˜ ao de todas as topologias que contêm c e τ = λ τ λ . Ora, como c ⊂ τ λ , para todo λ, então c ⊂ τ e pelo fato de τ ser uma topologia, segue que β ∈ τ, ou seja, τ contém as interse¸c˜ oes finitas de elementos de c. Do mesmo modo, vemos que τ contém as uniões arbitrárias de elementos de β, isto é, τ ∗ ⊂ τ. Por outro lado, como τ ∗ é uma topologia que contém c e pelo fato de τ ser a mais grossa das topologias que contêm c, ent˜ ao τ ⊂ τ ∗ . Logo, τ = τ ∗ . Uma cole¸c˜ ao não vazia c de subconjuntos abertos de um espa¸co topológico X é denominada uma sub-base se a cole¸c˜ ao de todas as interse¸c˜ oes finitas de conjuntos de c forma uma base. Neste caso, a topologia τ, obtida através das uniões arbitrárias de interse¸c˜ oes finitas de elementos de c é denominada topologia gerada por c. A discussão acima nos leva a seguinte proposi¸cão: Proposi¸cão 3.2 Sejam X um conjunto arbitrário e c uma cole¸cão de subconjuntos de X. Então, existe uma topologia em X para a qual c é uma sub-base. Seja ¦τ i ¦ i uma fam´ılia de topologias em X. De maneira análoga, existe uma topologia τ sobre X, que é a menor limita¸c˜ ao superior, isto é, o supremo das topologias τ i , ou seja, a topologia que tem as seguintes propriedades: (1 a ) τ é mais fina que qualquer τ i . (2 a ) Se τ é mais fina que qualquer τ i , então τ é mais fina que τ. Com efeito, seja φ a cole¸c˜ ao de todas as topologias que são mais finas que qualquer τ i . Tal cole¸c˜ ao é não vazia posto que a topologia discreta pertence a ela. Ent˜ ao, τ é o ´ınfimo, ESPAÇ OS TOPOL ´ OGICOS 93 isto é, a maior limita¸c˜ ao inferior de φ. Em outras palavras: τ é o menor elemento dentre todas as topologias que são mais finas que todas as τ i . Analogamente e conforme vimos anteriormente, τ, o ´ınfimo das topologias τ i , é o maior elemento da cole¸c˜ ao de todas as topologias que são mais grossas que as τ i . Consideremos, agora, c = i τ i e β a cole¸cão de todas as interse¸ cões finitas de elementos de c. Provaremos que β é uma base, e, por conseguinte, que c é uma sub-base de X. Com efeito, a condi¸cão (B.1) acima aludida, é claramente satisfeita. Para provarmos (B.2), sejam B 1 = n α=1 _ i(α) τ i(α) e B 2 = m δ=1 _ j(δ) τ j(δ) , elementos de β e consideremos x ∈ B 1 ∩ B 2 = B 3 . Ent˜ ao, x ∈ B 3 = m+n γ=1 _ i(γ) τ j(γ) , e, evidentemente, B 3 ∈ β. Desta forma, uma topologia τ ∗ é induzida sobre X para a qual β é uma base. Provare- mos que, na verdade, que τ ∗ = τ. De fato, como c = i τ i ⊂ τ e τ é uma topologia, ent˜ ao, τ é fechada para as uniões arbitrárias de interse¸c˜ oes finitas de elementos de c, ou seja, τ ∗ ⊂ τ. Por outro lado, como τ i ⊂ τ ∗ , para todo i, e, pelo fato de τ ser o menor elemento da cole¸c˜ ao de todas as topologias que são mais finas do que as τ i , segue que τ ⊂ τ ∗ . Portanto, τ = τ ∗ , o que prova ser c = i τ i uma sub-base para a topologia τ. Logo, τ é a topologia gerada por c = i τ i . Proposi¸cão 3.3 Sejam X um conjunto arbitrário, Y um espa¸co topológico e ϕ : X →Y uma aplica¸cão. Então, a fam´ılia de todos os subconjuntos de X da forma ϕ −1 (V ), onde V é um aberto em Y , constitui uma topologia sobre X. Demonstra¸cão: Definamos τ = ¦ϕ −1 (V ); V é aberto em Y ¦. Provaremos que τ é uma topologia sobre X. De fato: (i) ∅ ∈ τ pois ϕ(∅) = ∅. Também, X ∈ τ, pois ϕ −1 (Y ) = X. 94 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL (ii) Seja A = λ A λ uma união arbitrária de elementos de τ. Provaremos que A ∈ τ. Com efeito, como para cada λ, A λ ∈ τ,, então temos que A λ = ϕ −1 (V λ ), para algum V λ aberto em Y . Logo, pondo-se V = λ V λ , obtemos A = _ λ A λ = _ λ ϕ −1 (V λ ) = ϕ −1 ( _ λ V λ ) = ϕ −1 (V ), e, pelo fato de V ser aberto em Y segue que A ∈ τ. (iii) Seja A = n i=1 A i , uma interse¸ cão finita de elementos de τ. Analogamente, para cada i = 1, , n, A i = ϕ −1 (V i ), onde V i é um aberto em Y . Assim, pondo-se V = n i=1 V i , e observando que V é um aberto em Y , resulta que A = n i=1 A i = n i=1 ϕ −1 (V i ) = ϕ −1 ( n i=1 V i ) = ϕ −1 (V ), o que prova ser A ∈ τ. 2 A topologia mencionada na proposi¸c˜ ao 3.3 é denominada Topologia Induzida em X por Y . Notemos que com essa topologia ϕ é claramente cont´ınua e, além disso, essa topologia é a mais grossa (menos abertos) para a qual ϕ é cont´ınua. Com efeito, se por acaso retirarmos algum dos conjuntos ϕ −1 (V 0 ) da topologia τ, para algum V 0 aberto em Y , isto acarretará a não continuidade da ϕ. Proposi¸cão 3.4 Sejam X e Y espa¸cos topológicos e ϕ : X → Y uma aplica¸cão. Para que ϕ seja cont´ınua em X é necessário e suficiente que ϕ −1 (V ) perten¸ca a topologia de X, para todo V pertencente a uma sub-base da topologia de Y . Demonstra¸cão: A necessidade da demonstra¸c˜ ao é imediata pois, sendo ϕ cont´ınua, ent˜ ao ϕ −1 (V ) pertence à topologia de X, seja qual for o V aberto em Y . Em particular, ϕ −1 (V ) pertence à topologia de X, para todo V pertencente a uma sub-base de Y . Re- ciprocamente, para provarmos a suficiência, consideremos V aberto em Y , e seja β uma sub-base da topologia de Y . Ent˜ ao, V = _ α m(α) γ(α)=1 G γ(α) , isto é, V é dada pela união arbitrária de interse¸c˜ oes finitas de elementos G γ(α) de c. Assim, ϕ −1 (V ) = _ α m(α) γ(α)=1 ϕ −1 (G γ(α) ) ESPAÇ OS TOPOL ´ OGICOS 95 e como os ϕ −1 (G γ(α) ) pertencem à topologia de X e pelo fato de toda topologia ser fechada para interse¸c˜ oes finitas e uniões arbitrárias, segue que ϕ −1 (V ) pertence também à topologia de X, conforme quer´ıamos demonstrar. 2 Consideremos, agora, X um conjunto arbitrário, ¦Y i , σ i ¦ i∈I uma fam´ılia de espa¸cos topológicos e ¦ϕ i ¦ i∈I uma fam´ılia de aplica¸cões ϕ i : X → Y i . Ora, cada i ∈ I, (conforme proposi¸c˜ ao 3.3) induz uma topologia τ i sobre X, para a qual ϕ i é cont´ınua. Não é verdade, porém, que uma vez fixado i, todas as ϕ j sejam cont´ınuas sobre o espa¸co topológico (X, τ i ). Uma topologia em X para a qual todas as ϕ j sejam cont´ınuas deve conter todas as τ i . Assim, por exemplo, a topologia discreta contém todas as τ i e desta forma, se munirmos X desta topologia, então, cada ϕ i é evidentemente cont´ınua. Assim, o conjunto φ das topologias sobre X para as quais todas as aplica¸cões ϕ i são cont´ınuas é certamente não vazio. Consideremos, ent˜ ao, a mais grossa (menos abertos) topologia de φ, isto é, aquela que possui menos abertos para a qual todas as ϕ i são cont´ınuas. Essa topologia é denominada topologia fraca gerada ou induzida pelas ϕ i . Em verdade, a topologia fraca é o ´ınfimo de φ e, conforme argumentamos anteriormente, ela é gerada pela união de todas as topologias τ i , ou, dito de outra forma, o conjunto c = i τ i é uma sub-base da topologia fraca. Proposi¸cão 3.5 Sejam X um conjunto arbitrário, ¦(Y i , σ i )¦ i∈I uma fam´ılia de espa¸cos topológicos e ϕ i : X →Y i uma fam´ılia de aplica¸cões. Considere em X a topologia fraca τ induzida pela fam´ılia ¦ϕ i ¦ i∈I . Então, são válidas: (1) Se c i , i ∈ I, é uma sub-base para a topologia σ i de Y i , então τ coincide com a topologia gerada por c ∗ = _ i ϕ −1 i (c i ) = _ i ¦ϕ −1 i (V ); V ∈ c i ¦. (2) Se para todo x ∈ X, β ϕ i (x) é uma base para a fam´ılia das vizinhan¸cas de ϕ i (x), então, a fam´ılia de subconjuntos da forma i∈J ϕ −1 i (V i ), onde V i ∈ β ϕ i (x) e J ⊂ I é um conjunto finito de ´ındices, é uma base para a fam´ılia das vizinhan¸cas de x. Demonstra¸cão: (1) Provaremos que τ = _ _ arb. _ finitas de elementos de c __ = _ _ arb. _ finitas de elementos de c ∗ __ = τ ∗ , 96 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL onde c = i τ i e τ i é a topologia induzida por ϕ i em X, ou seja, τ i = _ ϕ −1 i (V ); V ∈ σ i _ . Primeiramente, observemos que a topologia τ ∗ mantém as ϕ i cont´ınuas. Com efeito, seja i 0 ∈ I, genérico e V um aberto em σ i 0 . Provaremos que ϕ −1 i 0 (V ) é um aberto em X para a topologia τ ∗ . De fato, temos V = _ λ _ j∈J λ A j,λ _ , onde A j,λ ∈ c i 0 e J λ é um conjunto finito de ´ındices. Logo, ϕ −1 i 0 (V ) = _ λ _ j∈J λ ϕ −1 i 0 (A j,λ ) _ , e pelo fato de ϕ −1 i 0 (A j,λ ) ∈ _ ϕ −1 i 0 (A); A ∈ c i 0 _ ⊂ c ∗ , segue que ϕ −1 i 0 (V ) pertence ao conjunto formado pelas uniões arbitrárias de interse¸c˜ oes finitas de elementos de c ∗ , ou seja, ϕ −1 i 0 (V ) ∈ τ ∗ , o que prova o desejado. Agora, como τ é a topologia mais grossa para a qual todas as ϕ i são cont´ınuas, ent˜ ao já temos que τ ⊂ τ ∗ . Portanto, resta-nos mostrar a outra inclusão, isto é, τ ∗ ⊂ τ. Na verdade, é suficiente provarmos que c ∗ ⊂ c. Com efeito, lembremos que c ∗ = _ i ¦ϕ −1 i (A); A ∈ c i ¦ e c = _ i ¦ϕ −1 i (A); A ∈ σ i ¦. Contudo, como c i ⊂ σ i , posto que c i é uma sub-base de σ i , resulta que c ∗ ⊂ c e, por conseguinte, τ ∗ ⊂ τ. (2) Seja x ∈ X e β ϕ i (x) uma base para a fam´ılia de vizinhan¸cas de ϕ i (x). Provaremos que a fam´ılia de subconjuntos de X da forma i∈J ϕ −1 i (V i ), onde V i ∈ β ϕ i (x) e J ⊂ I, é um conjunto finito de ´ındices, é uma base para a fam´ılia das vizinhan¸cas de x. De fato, seja U uma vizinhan¸ca aberta de x. Ent˜ ao, U ∈ τ. Logo, U = _ λ _ i∈J λ ϕ −1 i (A λ,i ) _ , onde J λ é um conjunto finito de´ındices e A λ,i ∈ σ i . Como x ∈ U, ent˜ ao, x ∈ i∈J λ 0 ϕ −1 i (A λ 0 ,i ), para algum λ 0 . Assim, x ∈ ϕ −1 i (A λ 0 ,i ), para todo i ∈ J λ 0 , o que implica que ϕ i (x) ∈ A λ 0 ,i , ESPAÇ OS TOPOL ´ OGICOS 97 para todo i ∈ J λ 0 . Entretanto, pelo fato de β ϕ i (x) ser uma base para as vizinhan¸cas de ϕ i (x), existe, para cada i ∈ J λ 0 , V i ∈ β ϕ i (x) , tal que ϕ i (x) ∈ V i e tal que V i ⊂ A λ 0 ,i . Logo, i∈J λ 0 V i ⊂ i∈J λ 0 A λ 0 ,i , de onde conclu´ımos que ϕ −1 i _ _ i∈J λ 0 V i _ _ ⊂ ϕ −1 i _ _ i∈J λ 0 A λ 0 ,i _ _ = i∈J λ 0 ϕ −1 i (A λ 0 ,i ). Assim, i∈J λ 0 ϕ −1 i (V i ) ⊂ i∈J λ 0 ϕ −1 i (A λ 0 ,i ) ⊂ U, e, evidentemente, x ∈ i∈J λ 0 ϕ −1 i (V i ), o que encerra a prova. 2 Proposi¸cão 3.6 Sejam X um conjunto arbitrário, ¦(Y i , σ i )¦ i∈I uma fam´ılia de espa¸cos topológicos e ϕ i : X → Y i uma fam´ılia de aplica¸cões. Uma sucessão ¦x n ¦ de elementos de X converge a x ∈ X na topologia fraca induzida pelas aplica¸cões ϕ i : X → Y i , se, e somente se, para cada i ∈ I, ϕ i (x n ) →ϕ i (x), na topologia σ i de Y i . Demonstra¸cão: Suponhamos inicialmente que x n → x na topologia fraca e seja i ∈ I, genérico. Ora, para tal topologia, sabemos que as ϕ i são cont´ınuas. Logo, em particular, para a ϕ i tomada arbitrariamente, porém fixada. Provaremos que ϕ i (x n ) → ϕ i (x). Com efeito, seja V uma vizinhan¸ca aberta de ϕ i (x) em Y i . Logo, ϕ −1 i (V ) é uma vizinhan¸ca aberta de x em X. Desta forma, existe n 0 ∈ N tal que x n ∈ ϕ −1 i (V ), para todo n ≥ n 0 , e, conseq¨ uentemente, ϕ i (x n ) ∈ V , para todo n ≥ n 0 , o que prova o desejado. Reciprocamente, seja U uma vizinhan¸ca de x. Ent˜ ao, de acordo com o item (2) da proposi¸c˜ ao 3.5, U ⊃ i∈J ϕ −1 i (V i ), onde J ⊂ I é um subconjunto finito de ´ındices e V i ∈ β ϕ i (x) , sendo β ϕ i (x) uma base para a fam´ılia de vizinhan¸cas de ϕ i (x). Note que as V i são vizinhan¸cas de ϕ i (x). Ent˜ ao, como ϕ i (x n ) → ϕ i (x), por hipótese, para cada i ∈ J, existe n i tal que ϕ i (x n ) ∈ V i para todo n ≥ n i . Seja n 0 = max i∈J ¦n i ¦. Assim, ϕ i (x n ) ∈ V i , para todo n ≥ n 0 e para todo i ∈ J. Segue da´ı que x n ∈ ϕ −1 i (V i ), para todo i ∈ J e para todo n ≥ n 0 , o que implica que x n ∈ i∈J ϕ −1 i (V i ) ⊂ U, para todo n ≥ n 0 , 98 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL o que encerra a prova. 2 Dada uma fam´ılia ¦X α ¦ α∈A , de espa¸cos topológicos, introduziremos uma topologia sobre o produto cartesiano X = α∈A X α dos espa¸cos X α . Lembremos que o produto cartesiano X consiste de todas as fun¸c˜ oes x : A → α∈A X α α →x(α). Para cada α ∈ A, há uma fun¸c˜ ao associada pr α : X →X α x →pr α (x) = x(α), denominada proje¸cão de X sobre X α . Muniremos X com a topologia fraca induzida pela fam´ılia ¦pr α ¦ α∈A . Assim, de acordo com a proposi¸c˜ ao 3.6 temos x n →x em X = α∈A X α ⇔pr α (x n ) → pr α (x). (3.1) Esta topologia no produto cartesiano é frequentemente denominada topologia de Ty- chonoff. Proposi¸cão 3.7 Sejam X um conjunto arbitrário, (Z, θ) um espa¸co topológico e (Y i , τ i ) i∈I uma cole¸cão de espa¸cos topológicos. Consideremos também ψ : Z → X uma aplica¸cão e ϕ i : X → Y i uma cole¸cão de aplica¸cões. Introduzamos sobre X a topologia fraca induzida pela fam´ılia ¦ϕ i ¦ i∈I . Então, ψ é cont´ınua se, e somente se, ϕ i ◦ ψ é cont´ınua, para todo i ∈ I. Demonstra¸cão: Considere a diagrama¸cão abaixo: Se ψ é cont´ınua, como as ϕ i são cont´ınuas, para todo i ∈ I, segue que ϕ i ◦ ψ é claramente cont´ınua. Reciprocamente, suponhamos que, para cada i ∈ I, ϕ i ◦ψ é cont´ınua. Provaremos que ψ é cont´ınua. De fato, seja U aberto em X. Ent˜ ao, U = _ λ _ i∈J λ ϕ −1 i (B λ,i ) _ , A TOPOLOGIA σ(E, E ) 99 (Z, θ) (X, τ fraca ) (Y i , τ i ) ψ ϕ i Figura 3.2: Composi¸c˜ ao onde B λ,i ∈ τ i e J λ é um conjunto finito de ´ındices, para todo λ. Da´ı vem que ψ −1 (U) = ψ −1 _ _ λ _ i∈J λ ϕ −1 i (B λ,i ) __ = _ λ _ i∈J λ _ ψ −1 ◦ ϕ −1 i (B λ,i ) _ _ = _ λ _ i∈J λ _ (ϕ i ◦ ψ) −1 (B λ,i ) _ _ . Como (ϕ i ◦ ψ) é cont´ınua, para todo i ∈ I, resulta, em particular, que (ϕ i ◦ ψ) −1 (B λ,i ) são abertos em Z, para todo i ∈ J λ e para todo λ. Sendo θ uma topologia, ela é fechada para a união arbitrária de interse¸c˜ oes finitas, o que prova que ψ −1 (U) ∈ θ, isto é, é um aberto em Z. Isto prova a continuidade de ψ e encerra a demonstra¸c˜ ao da proposi¸c˜ ao. 2 3.2 A Topologia Fraca σ(E, E / ) Seja E um espa¸co de Banach e consideremos f ∈ E . Designaremos por ϕ f : E → 1, a aplica¸c˜ ao dada por ϕ f (x) = ¸f, x), para todo x ∈ E. ` A medida que f percorre E , se obtém uma fam´ılia ¦ϕ f ¦ f∈E de aplica¸cões de E em 1. Defini¸cão 3.8 A topologia fraca σ(E, E ), sobre E, é a topologia menos fina (ou mais grossa) em E para a qual são cont´ınuas todas as aplica¸cões ϕ f , f ∈ E . Proposi¸cão 3.9 Munido da topologia fraca σ(E, E ), E é um espa¸co de Hausdorff. Demonstra¸cão: Sejam x, y ∈ E tais que x ,= y. Temos que os conjuntos ¦x¦ e ¦y¦ satisfazem às hipóteses da 2 a Forma Geométrica do teorema de Hahn-Banach e, portanto, 100 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL existe um hiperplano fechado de equa¸c˜ ao [f = α], tal que ¸f, x) < α < ¸f, y) . Definindo-se U x = ¦z ∈ E; ¸f, z) . ¸¸ . =ϕ f (z) < α¦ = f −1 (] −∞, α[) = ϕ −1 f (] −∞, α[) , U y = ¦z ∈ E; ¸f, z) . ¸¸ . =ϕ f (z) > α¦ = f −1 (]α, +∞[) = ϕ −1 f (]α, +∞[) , ent˜ ao, U x e U y são abertos na topologia σ(E, E ). Com efeito, note que ϕ f é um elemento da fam´ılia ¦ϕ f ¦ f∈E , e, como estamos munindo E da topologia fraca σ(E, E ), resulta que ϕ f é uma aplica¸c˜ ao cont´ınua com esta topologia. Sendo ] − ∞, α[ (respec.]α, +∞[) um conjunto aberto em 1 resulta que ϕ −1 f (] −∞, α[) (respec. ϕ −1 f (]α, +∞[)) é aberto em E na topologia σ(E, E ). Além disso, x ∈ U x , y ∈ U y e U x ∩ U y = ∅, o que encerra a prova. 2 Proposi¸cão 3.10 Seja x 0 ∈ E. Se obtém uma base de vizinhan¸cas de x 0 para a topologia σ(E, E ), ao considerarmos todos os conjuntos da forma V = ¦x ∈ E; [¸f i , x −x 0 )[ < ε, para todo i ∈ I¦ , onde I é finito, f i ∈ E e ε > 0. Demonstra¸cão: Mostraremos inicialmente que o conjunto V acima definido é um elemento da base β x 0 de vizinhan¸cas de x 0 na topologia fraca σ(E, E ). Com efeito, seja I finito, ε > 0 e consideremos a i = ¸f i , x 0 ), i ∈ I. Ent˜ ao, sendo ]a i −ε, a i + ε[ um aberto em 1, resulta que ϕ −1 f i (]a i −ε, a i + ε[) é aberto em σ(E, E ), e, conseq¨ uentemente V = i∈I ϕ −1 f i (]a i −ε, a i +ε[) , é aberto em σ(E, E ) (lembre que as topologias são fechadas para interse¸ cões finitas e uniões arbitrárias) e contém x 0 . Reciprocamente, seja U uma vizinhan¸ca de x 0 em σ(E, E ). Ent˜ ao, de acordo com a proposi¸cão 3.5 (2) existe um aberto W que contém x 0 na forma W = i∈I ϕ −1 f i (W i ), com I finito e W i uma vizinhan¸ca de a i = ¸f i , x 0 ) em 1, A TOPOLOGIA σ(E, E ) 101 e tal que W ⊂ U. Assim, existe ε > 0 tal que, para cada i ∈ I, ]a i − ε, a i + ε[⊂ W i , e portanto, V = i∈I ϕ −1 f i (]a i −ε, a i + ε[) ⊂ W ⊂ U. 2 Observa¸cão 3.11 Quando E possui dimensão infinita, a topologia fraca σ(E, E ) não é metrizável, isto é, não existe uma métrica definida em E que induza sobre E a topologia σ(E, E ) pois E não satisfaz ao 1 0 Axioma da Enumerabilidade. E todo espa¸co métrico satisfaz ao 1 0 Axioma da Enumerabilidade. Dada uma sucessão ¦x n ¦ n∈N ⊂ E, se designa por x n x a convergência de x n para x na topologia fraca σ(E, E ). Dizemos, neste caso, que x n converge fraco para x em E. Proposi¸cão 3.12 Seja ¦x n ¦ n∈N , uma sucessão de elementos de E. Então: (i) x n x em σ(E, E ) se, e somente se, ¸f, x n ) →¸f, x) , para todo f ∈ E . (ii) Se x n → x fortemente em E, então x n x. (iii) Se x n x em σ(E, E ), então [[x n [[ é limitada e [[x[[ ≤ liminf [[x n [[ (iv) Se x n x em σ(E, E ) e se f n → f fortemente em E , então ¸f n , x n ) →¸f, x) em 1. Demonstra¸cão: (i) Resulta da defini¸cão de topologia fraca σ(E, E ) e da proposi¸c˜ ao 3.6. (ii) Seja f ∈ E . Ent˜ ao, [¸f, x n ) −¸f, x)[ ≤ [[f[[ E [[x n −x[[ E →0, quando n →+∞. Assim, ¸f, x n ) →¸f, x) , para todo f ∈ E ⇒x n x, em virtude de (i). (iii) Se x n x, então, ¸f, x n ) →¸f, x) , para todo f ∈ E . (3.2) 102 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Logo, a seq¨ uência de n´ umeros reais ¦¸f, x n )¦ n∈N é limitada e, conseq¨ uentemente, sup n∈N [¸f, x n )[ < +∞, para todo f ∈ E . (3.3) Definamos T n : E →1, f →T n (f) = ¸f, x n ) . Ent˜ ao, de (3.3) e, pelo Teorema de Banach-Steinhaus existe C > 0 tal que [T n (f)[ ≤ C [[f[[ E , para todo f ∈ E e para todo n ∈ N, ou seja, [ ¸f, x n ) [ ≤ C [[f[[ E , para todo f ∈ E e para todo n ∈ N. Desta ´ ultima desigualdade e do corolário 1.18 resulta que [[x n [[ E = sup f∈E ;||f|| E ≤1 [ ¸f, x n ) [ ≤ C, para todo n ∈ N, o que prova a limita¸c˜ ao de ¦x n ¦. Além disso, como [ ¸f, x n ) [ ≤ [[f[[ E [[x n [[ E , ent˜ ao, tomando-se o limite inferior, de (3.2) obtemos [ ¸f, x) [ ≤ [[f[[ E liminf n [[x n [[ E . Mas, [[x[[ E = sup f∈E ;||f|| E ≤1 [ ¸f, x) [ ≤ liminf n [[x n [[ E . (iv) Temos [¸f n , x n ) −¸f, x)[ ≤ [¸f n , x n ) −¸f, x n )[ +[¸f, x n ) −¸f, x)[ ≤ [[f n −f[[ E . ¸¸ . 0 [[x n [[ E . ¸¸ . é limitada(iii) +[¸f, x n ) −¸f, x)[ . ¸¸ . 0 →0, quando n →+∞. 2 A TOPOLOGIA σ(E, E ) 103 Observa¸cão 3.13 Do item (iii) da proposi¸cão 3.12 conclu´ımos que a norma é seq¨ uencialmente s.c.i. na topologia fraca. [Lembre que se X é um espa¸co topológico que satisfaz ao 1 0 Axioma da Enumerabilidade temos que a continuidade seq¨ uencial implica na continuidade. Contudo tal afirma¸cão nem sempre é verdadeira quando X é um espa¸co topológico qualquer]. Proposi¸cão 3.14 Seja E um espa¸co de Banach. Temos que x n x em E se, e somente se, as seguintes condi¸cões forem satisfeitas: (i) [[x n [[ E ≤ M, para todo n ∈ N. (ii) ¸g, x n ) → ¸g, x), para todo g ∈ B , onde B é um subconjunto de E que gera um subespa¸co denso em E . Demonstra¸cão: Se x n x temos que (i) e (ii) se verificam em virtude da proposi¸c˜ ao 3.12. Por outro lado, suponhamos que exista ¦x n ¦ tal que (i) e (ii) se verifique. Seja f ∈ [B ], (onde [B ] designa o subespa¸co gerado por B ). Ent˜ ao, existem α i ∈ 1 e g i ∈ B tais que f = m(f) i=1 α i g i . Resulta da´ı e da hipótese (ii) que ¸f, x n ) = m(f) i=1 α i ¸g i , x n ) → m(f) i=1 α i ¸g i , x) = ¸f, x) , quando n →+∞. (3.4) Consideremos, agora, f ∈ [B ] = E . Então, existe ¦f m ¦ ⊂ [B ] tal que f m → f em E . Logo, dado ε > 0, existe m 0 ∈ N tal que [[f m −f[[ E < L, para todo m ≥ m 0 , onde L = min _ ε 3M , ε 3[[x[[ _ , se x ,= 0, (3.5) ou L = 2ε 3M , se x = 0. (3.6) Por outro lado, em virtude da hipótese (ii), seja n 0 ∈ N tal que [¸f m 0 , x n ) −¸f m 0 , x)[ < ε 3 , para todo n ≥ n 0 . (3.7) 104 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Assim, para todo n ≥ n 0 , resulta de (3.5) e (3.7) que [¸f, x n ) −¸f, x)[ ≤ [¸f, x n ) −¸f m 0 , x n )[ +[¸f m 0 , x n ) −¸f m 0 , x)[ +[¸f m 0 , x) −¸f, x)[ ≤ [[f −f m 0 [[ E [[x n [[ + ε 3 +[[f m 0 −f[[ E [[x[[ E < LM + ε 3 + L[[x[[ < ε 3M M + ε 3 + ε 3||x|| [[x[[ = ε, o que prova que ¸f, x n ) →¸f, x) , para todo f ∈ E ⇒x n x. 2 Observa¸cão 3.15 Lembremos que σ(E, E ) é a topologia mais grossa sobre E para a qual todas as ϕ f , f ∈ E são cont´ınuas. Como as fun¸cões da fam´ılia ¦ϕ f ¦ f∈E (onde ϕ f : E →1 é definida por ϕ f (x) = ¸f, x)) são cont´ınuas na topologia forte, resulta que a topologia fraca σ(E, E ) é mais grossa (menos abertos) que a topologia forte. Proposi¸cão 3.16 Se E tem dimensão finita, então a topologia fraca coincide com a forte. Em particular, uma sucessão ¦x n ¦ em E converge fracamente se, e somente se, converge fortemente. Demonstra¸cão: Já vimos que σ(E, E ) é mais grossa que a topologia forte. Assim, todo aberto fraco é um aberto forte. Reciprocamente, temos que mostrar que todo aberto forte é um aberto fraco. Com efeito, sejam U um aberto na topologia forte, x 0 ∈ U e r > 0 tais que B r (x 0 ) ⊂ U. Como E tem dimensão finita, E admite uma base ¦e 1 , , e n ¦ tal que [[e i [[ = 1, i = 1, , n. Ent˜ ao, dado qualquer x ∈ E podemos escrever x = n i=1 x i e i . Devemos construir uma vizinhan¸ca V de x 0 na topologia fraca σ(E, E ) tal que V ⊂ U, ou seja, de acordo com a proposi¸c˜ ao 3.10, devemos exibir um conjunto finito de fun¸c˜ oes ¦f i ¦ i∈I ⊂ E (e, portanto, I é um conjunto finito de ´ındices) e ε > 0 tais que V = ¦x ∈ E; [ ¸f i , x −x 0 ) [ < ε, para todo i ∈ I¦ ⊂ U. Consideremos as aplica¸c˜ oes f i : E →1, x →x i , onde x = n i=1 x i e i , i = 1, , n. A TOPOLOGIA σ(E, E ) 105 O fato de ¦e 1 , , e n ¦ ser um conjunto l.i. faz com que as fun¸c˜ oes f i estejam bem definidas. De fato, Se x = n i=1 x i e i = n i=1 y i e i ⇒ n i=1 (x i −y i )e i = 0 ⇒x i = y i , i = 1, , n. Além disso, f i ∈ E pois, para todo i = 1, , n, [ ¸f i , x) [ = [x i [ ≤ ([x 1 [ + +[x n [) ≤ C [[x[[ E , para algum C > 0, onde a ´ ultima desigualdade vem do fato que em um espa¸co de dimensão finita todas as normas são equivalentes. Do exposto acima, definamos, ent˜ ao, I = ¦1, , n¦, ε = r/n, e V = _ x ∈ E; [ ¸f i , x −x 0 ) [ < r n , para todo i = 1, , n _ . Tome x ∈ V . Temos [[x −x 0 [[ = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n i=1 ¸f i , x −x 0 ) e i ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ≤ n i=1 [ ¸f i , x −x 0 ) [ < n r n = r, o que implica que x ∈ B r (x 0 ) e, conseq¨ uentemente, V ⊂ B r (x 0 ) ⊂ U, conforme quer´ıamos demonstrar. 2 Vimos na proposi¸c˜ ao anterior que se dimE < +∞então a topologia forte coincide com a topologia fraca. Contudo, quando dimE = +∞, a topologia fraca σ(E, E ) é estritamente menos fina do que a topologia forte, ou seja, existem abertos na topologia forte que não são abertos na topologia fraca. Consideremos o seguinte resultado. Proposi¸cão 3.17 Se dimE = +∞, então a bola B 1 (0) não é aberta na topologia fraca σ(E, E ). Demonstra¸cão: Sejam x 0 ∈ B 1 (0) e V = ¦x ∈ E; [ ¸f i , x −x 0 ) [ < ε, i = 1, , n¦ com f i ∈ E e ε > 0, uma vizinhan¸ca arbitrária de x 0 na topologia σ(E, E ). Provaremos que V ¿ B 1 (0), ou seja, V não está contido na bola B 1 (0). De fato, seja y 0 ∈ E tal que y 0 ,= 0 e ¸f i , y 0 ) = 0, para todo i = 1, , n. Observemos que tal y 0 existe pois, caso contr´ ario, se para todo y 0 ∈ E, y 0 ,= 0 tivéssemos ¸f i , y 0 ) ,= 0, para algum i, a aplica¸c˜ ao ϕ : E →1 n , x →ϕ(x) = (¸f 1 , x) , , ¸f n , x)) 106 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL que é claramente linear, seria injetiva pois o n´ ucleo de ϕ, N(ϕ) = ¦x ∈ E; ϕ(x) = 0¦ = ¦0¦, e consequentemente um isomorfismo de E sobre ϕ(E) o que implicaria que dimE ≤ n, o que é um absurdo(!), pois E tem dimensão infinita, por hipótese. Notemos que (x 0 +t y 0 ) ∈ V, para todo t ∈ 1, (3.8) pois [ ¸f i , (x 0 + t y 0 ) −x 0 ) [ = [t[ [ ¸f i , y 0 ) [ = 0 < ε, para todo i = 1, , n. No entanto, Existe t ∈ 1 tal que (x 0 + t y 0 ) / ∈ B 1 (0). (3.9) Com efeito, definamos a fun¸c˜ ao g : 1 →1 + , t →g(t) = [[x 0 + t y 0 [[. Temos que g é cont´ınua com g(0) = [[x 0 [[ < 1 e lim t→+∞ g(t) = +∞. Logo, pelo Teorema do Valor Intermedi´ ario, existe t 0 ∈ 1 + ¸¦0¦ tal que g(t 0 ) = 1, ou seja, [[x 0 + t 0 y 0 [[ = 1 e, assim, (x 0 + t 0 y 0 ) / ∈ B 1 (0), o que prova (3.9). De (3.8) e (3.9) resulta que V ¿ B 1 (0), o que finaliza a prova. 2 Observa¸cão 3.18 Da demonstra¸cão da proposi¸cão anterior fica provado que em todo espa¸co de dimensão infinita, toda vizinhan¸ca V de x 0 ∈ E na topologia fraca σ(E, E ) contém uma reta que passa por x 0 (veja (3.8)). &% '$ 0 • x 0 • • y 0 x 0 +ty 0 Figura 3.3: A vizinhan¸ca fraca do ponto x 0 contém a reta x 0 +t y 0 TOPOLOGIA FRACA, CONJUNTOS CONVEXOS E OPERADORES LINEARES 107 Proposi¸cão 3.19 Se dimE = +∞, então o conjunto S = ¦x ∈ E; [[x[[ = 1¦ não é fechado na topologia fraca σ(E, E ). Mais precisamente, temos que S σ(E,E ) = ¦x ∈ E; [[x[[ ≤ 1¦, ( isto é S σ(E,E ) ,= S). Demonstra¸cão: Provaremos inicialmente que S σ(E,E ) ⊂ ¦x ∈ E; [[x[[ ≤ 1¦. (3.10) De fato, seja x ∈ S σ(E,E ) . Então, existe ¦x n ¦ ⊂ S tal que x n x. Logo, da proposi¸c˜ ao 3.12(iii), temos [[x[[ ≤ liminf n [[x n [[ com [[x n [[ = 1, para todo n ∈ N, o que implica que [[x[[ ≤ 1 provando (3.10). Resta-nos provar que ¦x ∈ E; [[x[[ ≤ 1¦ ⊂ S σ(E,E ) . (3.11) Claramente S ⊂ S σ(E,E ) . Seja, então, x 0 ∈ E tal que [[x 0 [[ < 1. Provaremos que x 0 ∈ S σ(E,E ) , isto é, provaremos que dada V , uma vizinhan¸ca de x 0 emσ(E, E ), V ∩S ,= ∅. Com efeito, sempre podemos obter, conforme proposi¸c˜ ao 3.10, que V = ¦x ∈ E; [ ¸f i , x −x 0 ) [ < ε, i = 1, , n¦, com ε > 0 e f 1 , , f n ∈ E . Fixemos, como na demonstra¸c˜ ao da proposi¸c˜ ao 3.17, y 0 ∈ E tal que y 0 ,= 0 e ¸f i , y 0 ) = 0, para todo i = 1, , n. Ent˜ ao, conforme vimos anteriormente, (x 0 +t y 0 ) ∈ V, para todo t ∈ 1, e definindo-se, como antes, g : 1 →1 + , t →g(t) = [[x 0 + t y 0 [[, temos que g é cont´ınua com g(0) = [[x 0 [[ < 1 e lim t→+∞ g(t) = +∞. Novamente, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe t 0 ∈ 1 + ¸¦0¦ tal que [[x 0 + t 0 y 0 [[ = 1. Assim, (x 0 +t 0 y 0 ) ∈ V ∩S, o que implica que V ∩S ,= ∅, o que prova (3.11). Combinando (3.10) e (3.11) tem-se o desejado. Isto completa a prova. 2 Observa¸cão 3.20 Notemos que se dimE = +∞, resulta da proposi¸cão 3.19, que o conjunto S = ¦x ∈ E; [[x[[ = 1¦ não é fechado na topologia fraca σ(E, E ), mas o conjunto ¦x ∈ E; [[x[[ ≤ 1¦ é fechado em σ(E, E ). 108 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL 3.3 Topologia Fraca, Conjuntos Convexos e Operadores Lineares Vimos que todo conjunto fechado na topologia fraca σ(E, E ) é fechado na topologia forte, uma vez que a topologia fraca σ(E, E ) é mais grossa do que a topologia forte. No entanto, a rec´ıproca não é verdadeira em espa¸cos de dimensão infinita. Mostraremos, nesta se¸c˜ ao, que em conjuntos convexos essas no¸c˜ oes coincidem. Teorema 3.21 Sejam E um espa¸co de Banach e C ⊂ E um conjunto convexo. Então, C é fracamente fechado em σ(E, E ) se, e somente se, é fortemente fechado. Demonstra¸cão: Como todo aberto (fechado) fraco é aberto (fechado) forte é suficiente provarmos que se C ⊂ E é convexo e fortemente fechado ent˜ ao é fracamente fechado. Com efeito, mostraremos que E¸C é aberto na topologia fraca σ(E, E ). De fato, seja x 0 ∈ E¸C. Como C é fechado e ¦x 0 ¦ é compacto na topologia forte, além de serem ambos convexos e disjuntos, vem, pela 2 a Forma Geométrica do Teorema de Hahn-Banach que existe um hiperplano fechado de equa¸c˜ ao [f = α] tal que ¸f, x) < α < ¸f, x 0 ) , para todo x ∈ C e f ∈ E , f ,= 0. Consideremos V = ¦x ∈ E; ¸f, x) > α¦. Temos que • (i) x 0 ∈ V. • (ii) V ∩ C = ∅, pois se x ∈ C temos que ¸f, x) < α, e, portanto, V ⊂ E¸C. • (iii) V é aberto em σ(E, E ) pois V = f −1 (]α, +∞[) onde f ∈ E e ]α, +∞[ é um aberto em 1. Logo, E¸C é aberto em σ(E, E ) donde se conclui que C é fechado em σ(E, E ), conforme quer´ıamos demonstrar. 2 TOPOLOGIA FRACA, CONJUNTOS CONVEXOS E OPERADORES LINEARES 109 Corolário 3.22 Sejam E um espa¸co de Banach e ¦x n ¦ ⊂ E tal que x n x. Então, existe uma seq¨ uência ¦y n ¦ de combina¸cões convexas de ¦x n ¦ tal que y n →x forte. Demonstra¸cão: Denotaremos por conv¦x n ¦ = _ m i=1 t i x n i ; 0 ≤ t i ≤ 1, m i=1 t i = 1, x n i ∈ ¦x n ¦ _ . Temos que conv¦x n ¦ é convexo e portanto, conv¦x n ¦ (na topologia forte) também o é. Como conv¦x n ¦ é fortemente fechado, resulta, pelo teorema anterior, que é fracamente fechado e portanto x ∈ conv¦x n ¦ (posto que ¦x n ¦ ⊂ conv¦x n ¦ ⊂ conv¦x n ¦). Logo, existe ¦y n ¦ ⊂ conv¦x n ¦ tal que y n →x forte. 2 Corolário 3.23 Seja ϕ : E →] − ∞, +∞] uma fun¸cão convexa e s.c.i. na topologia forte. Então, ϕ é s.c.i. na topologia fraca σ(E, E ). Em particular, se x n x temos que ϕ(x) ≤ liminf n ϕ(x n ). Demonstra¸cão: Lembremos que o conjunto de n´ıvel λ de ϕ é dado por N(λ, ϕ) = ¦x ∈ E; ϕ(x) ≤ λ¦. Temos que N(λ, ϕ) é convexo, uma vez que ϕ é convexa e, além disso, é fechado na topologia forte pois ϕ é s.c.i. na topologia forte. Logo, de acordo com o lemma 1.33 (Resultado 3), N(λ, ϕ) é fechado na topologia forte e pelo teorema 3.21 resulta que N(λ, ϕ) é fechado na topologia fraca σ(E, E ). 2 Observa¸cão 3.24 • 1) ´ E fundamental no resultado acima que ϕ seja convexa para que os conjuntos de n´ıvel N(λ, ϕ) sejam convexos. • 2) A fun¸cão ϕ(x) = [[x[[ é convexa e s.c.i. na topologia forte (pois é cont´ınua na topologia forte). Logo, é s.c.i. na topologia fraca σ(E, E ). Em particular, como já vimos, se x n x temos que [[x[[ ≤ liminf n [[x n [[. Teorema 3.25 Sejam E e F espa¸cos de Banach e T um operador linear e cont´ınuo de E em F. Então, T é cont´ınuo em E, onde E está munido da topologia fraca σ(E, E ), em F, com F munido da topolia fraca σ(F, F ). A rec´ıproca também é verdadeira. 110 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Demonstra¸cão: Seja T : E → F linear e cont´ınuo quando E e F estão munidos da topologia forte. Temos, de acordo com a proposi¸c˜ ao 3.7, que T é cont´ınuo de E em F, com E e F munidos da topologia fraca σ(E, E ) e σ(F, F ), respectivamente, se, e somente se, f ◦ T : E →1 é cont´ınuo em E munido da topolgia fraca σ(E, E ), qualquer que seja f ∈ F . Porém a aplica¸cão x → ¸f, Tx) é uma forma linear e cont´ınua sobre E, qualquer que seja f ∈ F . Assim, f ◦ T ∈ E e, consequentemente, f ◦ T é cont´ınua com E munido da topologia fraca σ(E, E ) (note que na topologia fraca todas as fun¸cões de E são cont´ınuas). Reciprocamente, suponhamos que T : E → F é linear e cont´ınuo com ambos, E e F, munidos da topologia fraca. Então, G(T) é fechado em E F munido da topologia fraca σ(E F, E F ). Como o G(T) é subespa¸co, temos que G(T) é convexo e, portanto, G(T) é fechado na topologia forte (Teorema 3.21). Pelo Teorema do Gráfico Fechado se conclui que T é cont´ınuo de E em F com ambos munidos da topologia forte. Isto encerra a prova. 2 3.4 A Topologia Fraco ∗ σ(E / , E) Seja E um espa¸co de Banach, consideremos E o seu dual dotado da norma dual [[f[[ E = sup x∈E;||x||≤1 [ ¸f, x) [, e seja E seu bidual, ou seja, o dual de E , dotado da norma [[ξ[[ E = sup f∈E ;||f||≤1 [ ¸ξ, f) [. Lembremos da inje¸c˜ ao canônica definida na proposi¸cão 1.48 J : E →E , x →J x , ¸J x , f) = ¸f, x) , para todo f ∈ E e para todo x ∈ E. Temos que J é linear, cont´ınua e mais ainda, J é uma isometria pois [[J x [[ E = sup f∈E ;||f|| E ≤1 [ ¸J x , f) [ = sup f∈E ;||f|| E ≤1 [ ¸f, x) [ = [[x[[. Logo, J é um isomorfismo de E sobre o conjunto J(E) ⊂ E , o que permite identificar J(E) = E. A TOPOLOGIA FRACO ∗ σ(E , E) 111 Sobre E podemos definir as seguintes topologias: (i) A topologia forte, dada pela norma de E . (ii) A topologia fraca σ(E , E ), que é a topologia mais grossa para a qual todas as ξ ∈ E são cont´ınuas em E . (iii) A topologia fraca σ(E , J(E)), que é a topologia mais grossa para a qual todas as ξ ∈ J(E) são cont´ınuas em E . Como J : E → E nos permite a identifica¸c˜ ao de E com J(E) e J x (f) = ¸f, x), para toda f ∈ E , o ´ıtem (iii) acima é equivalente a dizer que podemos induzir em E a topologia fraca σ(E , E) que é a topologia mais grossa para a qual as fun¸c˜ oes J x , x ∈ E, são cont´ınuas em E . Temos, ent˜ ao, a seguinte defini¸c˜ ao. Defini¸cão 3.26 A topologia fraco ∗, designada por σ(E , E), é a topologia mais grossa sobre E para a qual todas as fun¸cões J x , x ∈ E, são cont´ınuas. Observa¸cão 3.27 A terminologia fraco ∗ nos lembra que estamos trabalhando no espa¸ co dual, designado por E ∗ , na literatura americana. Como E ⊂ E , resulta que a topologia σ(E , E) é menos fina que a topologia σ(E , E ). Por sua vez, a topologia σ(E , E ) é menos fina do que a topologia forte em E Proposi¸cão 3.28 Munido da topologia fraco ∗ σ(E , E), E é um espa¸co de Hausdorff. Demonstra¸cão: Sejamf 1 , f 2 ∈ E tais que f 1 ,= f 2 . Ent˜ ao, existe x ∈ E tal que ¸f 1 , x) ,= ¸f 2 , x). Suponhamos, sem perda da generalidade, que ¸f 1 , x) < ¸f 2 , x) e consideremos α ∈ 1 tal que ¸f 1 , x) < α < ¸f 2 , x). Definamos: U 1 = ¦f ∈ E ; ¸f, x) < α¦ = ¦f ∈ E ; ¸J x , f) < α¦ = J −1 x (] −∞, α[) U 2 = ¦f ∈ E ; ¸f, x) > α¦ = ¦f ∈ E ; ¸J x , f) > α¦ = J −1 x (]α, +∞[) . Como J x é cont´ınua e ] − ∞, α[ e ]α, +∞[ são abertos em 1, temos que U 1 e U 2 são abertos em σ(E , E), U 1 ∩ U 2 = ∅ e f 1 ∈ U 1 e f 2 ∈ U 2 . Isto conclui a prova. 2 Proposi¸cão 3.29 Se obtém uma base de vizinhan¸cas de f 0 ∈ E para a topologia σ(E , E) ao se considerar todos os conjuntos da forma V = ¦f ∈ E ; [ ¸f −f 0 , x i ) [ < ε, para todo i ∈ I¦, 112 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL onde I é finito, x i ∈ E e ε > 0. Demonstra¸cão: A demonstra¸c˜ ao é análoga à demonstra¸c˜ ao da proposi¸cão 3.10 feita para a topologia σ(E, E ). 2 Nota¸cão: Dada uma sucessão ¦f n ¦ ⊂ E , se designa por f n ∗ f a convergência de f n à f na topologia fraco ∗ σ(E , E). Assim, f n →f em E ⇔[[f n −f[[ E →0, f n f em σ(E , E ) ⇔¸ξ, f n ) →¸ξ, f) , para todo ξ ∈ E , f n ∗ f em σ(E , E) ⇔¸J x , f n ) →¸J x , f) , para todo x ∈ E. Proposi¸cão 3.30 Seja ¦f n ¦ uma sucessão em E . Se verifica: (i) f n ∗ f em σ(E , E) ⇔¸f n , x) →¸f, x) , para todo x ∈ E. (ii) f n →f forte em E ⇒ f n f em σ(E , E ). f n f em σ(E , E ) ⇒ f n ∗ f em σ(E , E). (iii) f n ∗ f em σ(E , E), ⇒[[f n [[ E é limitada e [[f[[ E ≤ liminf n [[f n [[ E . (iv) f n ∗ f em σ(E , E) e x n →x forte em E, ⇒¸f n , x n ) →¸f, x) . Demonstra¸cão: Análoga à demonstra¸cão da proposi¸cão 3.12 feita para σ(E, E ). 2 Observa¸cão 3.31 Quando E possui dimensão finita, as três topologias coincidem, isto é, as topologias forte, σ(E , E ) e σ(E , E) coincidem. Com efeito, se dimE = n, temos que as aplica¸cões I : E →1 n , x →(x 1 , , x n ), onde x = n i=1 x i e i e, I ∗ : [1 n ] ∗ →E ∗ , onde ¸I f , x) = ¸f, (x 1 , , x n )) , com x ∈ E tal que x = n i=1 x i e i , são isomorfismos. Além disso, como [1 n ] ∗ = 1 n e E ∗ = E, resulta que I ∗ ◦ I é um isomorfismo de E em E . Assim, dimE = dimE = n. De maneira análoga, conclu´ımos A TOPOLOGIA FRACO ∗ σ(E , E) 113 que dimE = dimE = n. Assim, dimE = dimE = dimE e, por conseguinte, J(E) = E , ou seja, J : E → E é sobrejetiva [note que pelo Teorema do N´ ucleo e da Imagem dimN(J) + dimIm(J) = dimE = n. Como J(x) = 0 se, e só se, x = 0, pois J é injetiva, então dimN(J) = 0, e, conseq¨ uentemente, dimIm(J) = n, isto é, J(E) = E ]. Logo, σ(E , E ) = σ(E , E) e, como já vimos que as topologias forte e fraca coincidem em espa¸cos de dimensão finita, segue o desejado. Lema 3.32 Sejam X um espa¸co vetorial e ϕ, ϕ 1 , , ϕ n formas lineares sobre X que verificam a condi¸cão ϕ i (x) = 0; i = 1, , n ⇒ϕ(x) = 0, para todo x ∈ X. (3.12) Então, existem λ ∗ 1 , , λ ∗ n ∈ 1 tais que ϕ = n i=1 λ ∗ i ϕ i . Demonstra¸cão: Consideremos a aplica¸cão F : X →1 n+1 dada por F(x) = (ϕ(x), ϕ 1 (x), , ϕ n (x)), x ∈ X. Da hipótese (3.12) conclu´ımos que a = (1, 0, , 0) / ∈ Im(F). Assim, temos que ¦a¦ é compacto e Im(F) é fechado, posto que Im(F) é um subespa¸co de 1 n+1 . Logo, pela 2 a Forma Geométrica do Teorema de Hahn-Banach, existe um hiperplano de 1 n+1 que separa estritamente ¦a¦ e Im(F), ou seja, existem λ, λ 1 , , λ n ∈ 1 e α ∈ 1 tal que ¸(λ, λ 1 , , λ n ), a) < α < ¸(λ, λ 1 , , λ n ), F(x)) , para todo x ∈ X, isto é, λ < α < λϕ(x) + n i=1 λ i ϕ i (x), para todo x ∈ X. Como G(x) = λϕ(x) + n i=1 λ i ϕ i (x), x ∈ X é uma forma linear sobre X e α < G(x), para todo x ∈ X, segue que G(x) = 0, para todo x ∈ X, bem como α < 0 (veja o in´ıcio da se¸c˜ ao 1). Assim, λϕ(x) + n i=1 λ i ϕ i (x) = 0, para todo x ∈ X. Sendo λ < 0 (pois λ < α < 0) e, portanto, λ ,= 0, da identidade acima podemos escrever que ϕ(x) = n i=1 _ λ i −λ _ . ¸¸ . =λ ∗ i ϕ i (x), para todo x ∈ X, 114 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL o que conclui a prova. 2 Proposi¸cão 3.33 Seja ϕ : E → 1 uma aplica¸cão linear e cont´ınua para a topologia σ(E , E). Então, existe x ∈ E tal que ϕ(f) = ¸f, x) , para todo f ∈ E . Em outras palavras, existe x ∈ E tal que ϕ = J x , isto é, ϕ ∈ J(E). Demonstra¸cão: Como ϕ é cont´ınua para a topologia σ(E , E) ent˜ ao ϕ −1 (] −1, 1[) = ¦f ∈ E ; ϕ(f) ∈] −1, 1[¦ é aberto em σ(E , E) que contém a origem 0 ∈ E . Logo, de acordo com a proposi¸c˜ ao 3.29 existe uma vizinhan¸ca V de 0 (origem) tal que V ⊂ ϕ −1 (] −1, 1[) e V pode ser escrita na seguinte forma: V = ¦f ∈ E ; [ ¸f, x i ) [ < ε; i = 1, , n¦, com x i ∈ E e ε > 0. Seja f ∈ E tal que ¸f, x i ) . ¸¸ . = ¸ J x i ,f ) = 0, i = 1, , n. Então ϕ(f) = 0. (3.13) Com efeito, suponhamos o contr´ ario, ou seja, que ϕ(f) ,= 0. Então, ¸ ¸ ¸ ¸ _ f ϕ(f) , x i _¸ ¸ ¸ ¸ = [¸f, x i )[ 1 [ϕ(f)[ = 0 < ε, i = 1, , n. Logo, f ϕ(f) ∈ V e, além disso, ϕ _ f ϕ(f) _ = ϕ(f) ϕ(f) = 1, o que é um absurdo (!) pois [ϕ(f)[ < 1, para todo f ∈ V. Logo, de (3.13) e pelo lema 3.32 existem λ 1 , , λ n ∈ 1 tais que para toda f ∈ E tem-se ϕ(f) = n i=1 λ i J x i (f) = n i=1 λ i ¸f, x i ) = _ f, n i=1 λ i x i _ = ¸f, x) = ¸J x , f) , o que implica que ϕ = J x , onde x = n i=1 λ i x i . Isto encerra a prova. 2 A TOPOLOGIA FRACO ∗ σ(E , E) 115 Corolário 3.34 Seja H um hiperplano de E fechado na topologia σ(E , E). Então, H = ¦f ∈ E ; ¸f, x) = α¦, para algum x ∈ E tal que x ,= 0 e α ∈ 1. Demonstra¸cão: O conjunto H, é, na realidade, da forma H = ¦f ∈ E ; ¸ϕ, f) = α¦, onde ϕ : E →1 é uma aplica¸cão linear, com ϕ ,= 0. Notemos que E ¸H ,= ∅ pois ϕ ,= 0 e, portanto, ϕ(E ) = 1 e ¸ϕ, f) = α para todo f ∈ H. Consideremos, ent˜ ao, f 0 ∈ E tal que f 0 / ∈ H. Como H é, por hipótese, fechado na topologia σ(E , E) temos que E ¸H é aberto em σ(E , E) e, portanto, existe uma vizinhan¸ca V de f 0 na topologia σ(E , E), tal que V = ¦f ∈ E ; [ ¸f −f 0 , x i ) [ < ε; i = 1, , n¦ ⊂ E ¸H, onde x i ∈ E e ε > 0. Resulta da´ı que ¸ϕ, f) ,= α, para todo f ∈ V. Afirmamos V é convexo. Com efeito, sejam f 1 , f 2 ∈ V e t ∈ [0, 1]. Então, [¸(1 −t)f 1 +t f 2 −f 0 , x i )[ = [¸(1 −t)f 1 +t f 2 −[(1 −t)f 0 + t f 0 ], x i )[ ≤ (1 −t) [¸f 1 −f 0 , x i )[ +t [¸f 2 −f 0 , x i )[ < (1 −t)ε + t ε = ε, o que prova a convexidade de V . Sendo ϕ : E →1 linear vem que ϕ(V ) ⊂ 1 é convexo. Logo, ϕ(V ) é um intervalo e como qualquer que seja f ∈ V temos que ¸ϕ, f) ,= α, segue que ¸ϕ, f) > α, para toda f ∈ V ou ¸ϕ, f) < α, para toda f ∈ V . Suponhamos, sem perda da generalidade, que ¸ϕ, f) < α, para toda f ∈ V . Ent˜ ao, ¸ϕ, f −f 0 ) < α −¸ϕ, f 0 ) , para toda f ∈ V. 116 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Pondo W = V −f 0 , resulta que ¸ϕ, g) < α −¸ϕ, f 0 ) , para toda g ∈ W. (3.14) Observamos que se g ∈ W, ent˜ ao −g ∈ W. De fato, seja g ∈ W. Então, g = f − f 0 , para algum f ∈ V . Logo, −g = −(f −f 0 ) = −f + f 0 = (−f + 2f 0 ) −f 0 e ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ −f + 2f 0 −f 0 . ¸¸ . =−g , x i _ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = [¸f −f 0 , x i )[ < ε, pois f ∈ V. Portanto, −g = −f + 2f 0 . ¸¸ . ∈V −f 0 , isto é, −g ∈ W. Por conseguinte, de (3.14) resulta que −¸ϕ, g) < α −¸ϕ, f 0 ) , para toda g ∈ W, (3.15) e de (3.14) e (3.15) conclu´ımos que [ ¸ϕ, g) [ < α −ϕ(f 0 ), para toda g ∈ W. Pondo C = α −¸ϕ, f 0 ) > 0, da desigualdade acima inferimos que [ ¸ϕ, g) [ < C, para toda g ∈ W. (3.16) Como W = V −f 0 e V é uma vizinhan¸ca de f 0 na topologia σ(E , E) resulta que W é uma vizinhan¸ca de 0 nesta topologia. Logo, de (3.16) e dado ε > 0, existe ε C W := V 0 , vizinhan¸ca de 0 na topologia σ(E , E) tal que [ ¸ϕ, f) [ = ¸ ¸ ¸ _ ϕ, ε C g _¸ ¸ ¸ = ε C [ ¸ϕ, g) [ < ε C C = ε, para toda f ∈ V 0 . Assim, ϕ é cont´ınua em 0 na topologia σ(E , E). Sendo ϕ linear resulta que ϕ é cont´ınua em E na topologia σ(E , E). Pela proposi¸c˜ ao 3.33 existe x ∈ E tal que ¸ϕ, f) = ¸f, x), para toda f ∈ E e x ,= 0 pois ϕ ,= 0. Conseq¨ uentemente, H = ¦f ∈ E ; ¸f, x) = α¦, para algum x ∈ E tal que x ,= 0 e α ∈ 1, conforme quer´ıamos demonstrar. 2 A TOPOLOGIA FRACO ∗ σ(E , E) 117 Observa¸cão 3.35 O leitor pode estar se perguntando o porque do motivo de se ‘em- pobrecer’ as topologias. O motivo é o seguinte: Se uma topologia possui menos abertos também possui mais compactos. O teorema a seguir mostra que a bola unitária de E tem a propriedade de ser compacta na topologia fraco ∗, σ(E , E). Teorema 3.36 (Banach-Alaoglu-Bourbaki) Seja E um espa¸co de Banach. O conjunto B E = ¦f ∈ E ; [[f[[ E ≤ 1¦ é compacto na topologia fraco ∗ σ(E , E). Demonstra¸cão: Consideremos X = x∈E X x , onde X x = 1, para todo x ∈ E. Recordemos que os elementos do produto cartesiano X são todas as fun¸c˜ oes f : E →1, x →f x = ¸f, x) ∈ X x = 1. Podemos, ainda, denotar X = 1 E e f = ¦f x ¦ x∈E . Para cada f ∈ X, definimos a proje¸c˜ ao de f sobre 1 pr x : X →1, f →pr x (f) = f x . Muniremos X da topologia fraca induzida pela fam´ılia de fun¸cões ¦pr x ¦ x∈E , isto é, a topologia menos fina sobre X que faz cont´ınuas todas as aplica¸c˜ oes pr x , x ∈ E. Tal topologia é denominada topologia produto ou topologia de Tychonoff. Observemos que E ⊂ X, e, além disso, a restri¸cão desta topologia (produto) à E coincide com a topologia fraco ∗ σ(E , E). Com efeito, notemos que pr x : E →1, f →pr x (f) = ¸f, x) = J x (f), isto é , pr x [ E = J x . Assim, pr x [ E é cont´ınua se, e só se, J x é cont´ınua. Desta forma, a topologia induzida pela fam´ılia ¦pr x ¦ x∈E em E é equivalente à topologia induzida pela fam´ılia ¦J x ¦ x∈E . Definamos, para cada x ∈ E I x = [−[[x[[, [[x[[], para todo x ∈ E. Temos que I x ⊂ 1 = X x , para todo x ∈ E e, portanto, x∈E I x ⊂ X. 118 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL No que segue, consideraremos o seguinte resultado clássico devido a Tychonoff: ‘O produto cartesiano de uma cole¸cão arbitrária de compactos é compacto na topologia produto’. Assim sendo, como cada I x é compacto em 1, temos que I = x∈E I x é compacto na topologia produto. Afirmamos que B E = ¦f ∈ E ; [[f[[ E ≤ 1¦ ⊂ I. (3.17) De fato, seja f ∈ B E . Então, f ∈ E e [[f[[ E ≤ 1. Por outro lado, se x ∈ E, então [pr x (f)[ = [ ¸f, x) [ ≤ [[f[[ E [[x[[ ≤ [[x[[, logo [pr x (f)[ ≤ [[x[[, ou seja, −[[x[[ ≤ pr x (f) ≤ [[x[[. Por conseguinte, pr x (f) ∈ I x , isto é, f x ∈ I x e da´ı segue que f ∈ I o que prova (3.17). Como I é compacto na topologia produto, para mostrarmos que B E é compacto nesta topologia em virtude de (3.17), basta mostrarmos que B E é fechado nela. Vamos ent˜ ao provar que B E TP = B E , onde B E TP = fecho de B E na topologia produto. (3.18) Trivialmente temos que B E ⊂ B E TP . Resta-nos provar que B E TP ⊂ B E . (3.19) Consideremos g 0 ∈ B E TP . Devemos mostrar que: (i) g 0 : E →1 é linear. (ii) g 0 é cont´ınua na topologia forte de E. (iii) [[g 0 [[ E ≤ 1. Com efeito, como g 0 ∈ B E TP resulta que V ∩ B E ,= ∅, para toda V, vizinhan¸ca de g 0 na topologia produto. (3.20) Recordemos que uma vizinhan¸ca de g 0 na topologia produto é dada por V = ¦g ∈ X; [pr x i (g) −pr x i (g 0 )[ < ε, i = 1, , n¦, A TOPOLOGIA FRACO ∗ σ(E , E) 119 onde ε > 0 e x i ∈ E, ou ainda, V = ¦g ∈ X; [ ¸g −g 0 , x i ) [ < ε, i = 1, , n¦. Sejam x, y ∈ E e ε > 0 arbitrários e consideremos a vizinhan¸ca V = ¦g ∈ X; [ ¸g −g 0 , z) [ < ε 3 , z ∈ ¦x, y, x + y¦¦. Então, de acordo com (3.20) existe f ∈ V ∩ B E com [[f[[ E ≤ 1 tal que [ ¸f −g 0 , x) [ < ε 3 ; [ ¸f −g 0 , y) [ < ε 3 [; ¸f −g 0 , x + y) [ < ε 3 , e, portanto, [g 0 (x) + g 0 (y) −g 0 (x +y)[ ≤ [g 0 (x) −f(x)[ +[g 0 (y) −f(y)[ +[f(x + y) −g 0 (x +y)[ +[ f(x) + f(y) −f(x + y) . ¸¸ . =0 [ < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Pela arbitrariedade de ε resulta que g 0 (x) + g 0 (y) = g 0 (x + y). (3.21) Consideremos, agora, x ∈ E, λ ∈ 1¸¦0¦ e ε > 0 e tomemos a vizinhan¸ca V = _ g ∈ X; [ ¸g −g 0 , z) [ < min _ ε 2 , ε 2[λ[ _ , z ∈ ¦x, λx¦ _ . Analogamente, de (3.20) existe f ∈ V ∩ B E com [[f[[ E ≤ 1 tal que [ ¸f −g 0 , x) [ < ε 2[λ[ e [ ¸f −g 0 , λx) [ < ε 2 , o que implica que [g 0 (λx) −λg 0 (x)[ ≤ [g 0 (λx) −f(λx)[ +[λf(x) −λg 0 (x)[ +[ f(λx) −λf(x) . ¸¸ . =0 [ < ε 2 +[λ[ ε 2[λ[ = ε, e pela arbitrariedade de ε obtemos g 0 (λx) = λg 0 (x), para todo x ∈ E e para todo λ ∈ 1¸¦0¦. (3.22) 120 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Se λ = 0, basta elegermos a vizinhan¸ca V = ¦g ∈ X; [ ¸g −g 0 , z) [ < ε, z ∈ ¦0¦¦. Assim, existe f ∈ V ∩ B E , e portanto, [g 0 (0)[ = [g 0 (0) −f(0) + f(0) .¸¸. =0 [ < ε, e, novamente pela arbitrariedade de ε conclu´ımos que g 0 (0) = 0, o que implica que g 0 (λx) = λg 0 (x), para todo x ∈ E e λ = 0. (3.23) De (3.21), (3.22) e (3.23) fica provado o item (i). Consideremos x ∈ E, ε > 0, a vizinhan¸ca de g 0 dada por V = ¦g ∈ X; [ ¸g −g 0 , x) [ < ε¦. e f ∈ V ∩ B E . Ent˜ ao, [ ¸f −g 0 , x) [ < ε ⇒[ ¸g 0 , x) [ < ε +[ ¸f, x) [ ≤ ε +[[f[[ E [[x[[ E ≤ ε +[[x[[ E , e pela arbitrariedade de ε conclu´ımos que [ ¸g 0 , x) [ ≤ [[x[[ E , para todo x ∈ E, (3.24) o que implica que g 0 ∈ E e, além disso, [[g 0 [[ E ≤ 1, o que prova os itens (ii) e (iii) acima ficando provado (3.19). Logo, B E é compacta na topologia produto. Como a topologia produto coincide com a topologia fraco ∗ σ(E , E) em E , decorre que B E é compacto na topologia fraco ∗ σ(E , E). 2 Observa¸cão 3.37 Provaremos mais adiante que se E é um espa¸co normado de dimensão infinita, a bola unitária nunca é compacta na topologia forte. Fica, agora, bem clara a fundamental importância da topologia fraco ∗ σ(E , E) e, obviamente do teorema acima. ESPAÇ OS REFLEXIVOS 121 3.5 Espa¸cos Reflexivos Defini¸cão 3.38 Seja E um espa¸co de Banach e consideremos J a inje¸cão canônica de E em E , definida por J x (f) = ¸f, x) , para todo x ∈ E e para toda f ∈ E . Dizemos que E é reflexivo se J(E) = E . Quando E for reflexivo se identificam implicitamente E e E , através do isomorfismo J. Uma caracteriza¸c˜ ao dos espa¸cos reflexivos é dada a seguir. Antes, porém, necessitamos de dois lemas. Lema 3.39 (Helly) Sejam E um espa¸co de Banach; f 1 , , f n ∈ E e α 1 , , α n ∈ 1. As seguintes propriedades são equivalentes: (i) Para todo ε > 0, existe x ε ∈ E tal que [[x ε [[ ≤ 1, e [ ¸f i , x ε ) −α i [ < ε, i = 1, , n. (ii) ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n i=1 β i α i ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ≤ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n i=1 β i f i ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E , para todo β 1 , , β n ∈ 1. Demonstra¸cão: (i) ⇒ (ii) Sejam β 1 , , β n ∈ 1. Temos, por hipótese, que dado ε > 0, existe x ε ∈ E tal que [[x ε [[ E ≤ 1 e [ ¸f i , x ε ) −α i [ < ε, i = 1, , n. Assim, para cada i = 1, , n, temos [β i [ [ ¸f i , x ε ) −α i [ < ε [β i [ ⇒ n i=1 [β i α i −β i ¸f i , x ε )[ ≤ ε n i=1 [β i [ = ε [[β[[ R n, onde β = (β 1 , , β n ). Logo, ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n i=1 β i α i ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ − ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n i=1 β i ¸f i , x ε ) ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ≤ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n i=1 (β i α i −β i ¸f i , x ε )) ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ≤ n i=1 [β i α i −β i ¸f i , x ε )[ ≤ ε[[β[[ R n, 122 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL ou seja, ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n i=1 β i α i ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ≤ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n i=1 β i ¸f i , x ε ) ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ +ε[[β[[ R n ≤ [[ n i=1 β i f i [[ E [[x ε [[ E + ε[[β[[ R n ≤ [[ n i=1 β i f i [[ E +ε[[β[[ R n. Pela arbitrariedade de ε segue o desejado. (ii) ⇒ (i) Definamos α = (α 1 , , α n ) ∈ 1 n e consideremos a aplica¸cão ϕ : E →1 n , definida por ϕ(x) = (¸f 1 , x) , , ¸f n , x)) . Note que a propriedade (i) expressa que α ∈ ϕ(B E ) R n , onde B E = ¦x ∈ E; [[x[[ E < 1¦. Suponhamos, então (ii) verdadeira, e raciocinemos por contradi¸cão, ou seja, que α / ∈ ϕ(B E ) R n . Ent˜ ao, pela 2 a Forma Geométrica do Teorema de Hahn-Banach, existe um hiperplano no 1 n que separa estritamente ¦α¦ e ϕ(B E ) R n , ou seja, existe β = (β 1 , , β n ) ∈ 1 n e γ ∈ 1 tais que β ϕ(x) < γ < β α, para todo x ∈ B E , ou ainda, n i=1 β i ¸f i , x) < γ < n i=1 β i α i , para todo x ∈ B E . Note que se x ∈ B E temos que −x ∈ B E e, portanto, da desigualdade acima resulta que − n i=1 β i ¸f i , x) = n i=1 β i ¸f i , −x) < γ. Logo, ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n i=1 β i ¸f i , x) ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ < γ < n i=1 β i α i , para todo x ∈ B E ⇒ sup x∈E;||x|| E ≤1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n i=1 ¸β i f i , x) ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ≤ γ < n i=1 β i α i , donde conclu´ımos que ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n i=1 β i f i ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E ≤ γ < n i=1 β i α i , ESPAÇ OS REFLEXIVOS 123 o que contraria (ii), ficando provado o lema. 2 Lema 3.40 (Goldstine) Seja E um espa¸co de Banach. Então J(B E ) é denso em B E para a topologia σ(E , E ). Demonstra¸cão: Observe, inicialmente, que σ(E , E ) é a topologia fraco ∗ definida sobre E , onde considerando a aplica¸c˜ ao J : E →E , f →J f , definida por J f (ξ) = ¸ξ, f) , para toda ξ ∈ E , estamos identificando J(E ) ⊂ E com E , isto é, J(E ) ≡ E . Lembremos, ainda, que J é uma isometria pois [[J f [[ E = [[f[[ E , para toda f ∈ E . J J &% '$ E E E E B E J(B E ) &% '$ Figura 3.4: Inje¸c˜ oes isométricas Notemos que J(B E ) ⊂ B E onde, J : E → E , x → J x tal que J x (f) = ¸f, x) para toda f ∈ E , pois se x ∈ B E , ent˜ ao sendo J isometria resulta que [[J x [[ E = [[x[[ E ≤ 1, o que prova a afirma¸cão. Da´ı e do fato de B E ser convexo e fechado na topologia fraco ∗ σ(E , E ), resulta que J(B E ) σ(E ,E ) ⊂ B E = B E σ(E ,E ) . Mostraremos que J(B E ) σ(E ,E ) ⊃ B E . (3.25) Em outras palavras, dada ξ ∈ B E , provaremos que para toda uma vizinhan¸ca V de ξ na topologia fraco ∗ σ(E , E ) tem-se que V ∩ J(B E ) ,= ∅. Com efeito, seja, ent˜ ao, ξ ∈ B E e V uma vizinhan¸ca de ξ na topologia σ(E , E ), ou seja, V = ¦η ∈ E ; [ ¸η −ξ, f i ) [ < ε, i = 1, , n¦, 124 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL onde f i ∈ E e ε > 0. Devemos mostrar que existe x ∈ B E tal que J x ∈ V , isto é, [ ¸J x −ξ, f i ) [ < ε, i = 1, , n, ou seja, [ ¸f i , x) −¸ξ, f i ) [ < ε, i = 1, , n, ou ainda, [ ¸f i , x) −α i [ < ε, i = 1, , n, onde α i = ¸ξ, f i ) . Seja, ent˜ ao, β = (β 1 , , β n ) ∈ 1 n . Ent˜ ao, ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n i=1 β i α i ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n i=1 β i ¸ξ, f i ) ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ξ, n i=1 β i f i _¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ≤ [[ξ[[ E . ¸¸ . ≤1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n i=1 β i f i ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E ≤ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n i=1 β i f i ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E . Da desigualdade acima resulta, em virtude do Lema de Helly, que existe Jx ∈ B E tal que x ∈ J(B E ) ∩ V , conforme quer´ıamos demonstrar. 2 Teorema 3.41 Seja E um espa¸co de Banach. Então, E é reflexivo se, e somente se, B E = ¦x ∈ E; [[x[[ E ≤ 1¦ é compacta na topologia fraca σ(E, E ). Demonstra¸cão: (⇒) Suponhamos E reflexivo. Ent˜ ao J(E) = E e, portanto, do fato de [[J x [[ E = [[x[[ E resulta que x ∈ B E ⇒ J x ∈ B E , ou seja J(B E ) ⊂ B E . Agora, se y ∈ B E temos que y = J x , para algum x ∈ B E , pois 1 ≥ [[y[[ E = [[J x [[ E = [[x[[ E , o que implica que B E ⊂ J(B E ). Assim, a reflexividade de E implica que J(B E ) = B E . Pelo Teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki, B E é compacta na topologia fraco ∗ σ(E , E ). Como B E = J −1 (B E ), basta mostrar que J −1 : (E , σ(E , E )) →(E, σ(E, E )) é cont´ınua, pois toda fun¸c˜ ao cont´ınua leva conjuntos compactos em conjuntos compactos. De fato, de acordo com a proposi¸c˜ ao 3.7, J −1 : (E , σ(E , E )) →(E, σ(E, E )) é cont´ınua, ESPAÇ OS REFLEXIVOS 125 se, e somente se, f ◦ J −1 : (E , σ(E , E )) → 1 é cont´ınua, para toda f ∈ E . Notemos que (f ◦ J −1 )(ξ) = ¸ f, J −1 (ξ) _ = ¸f, x) = ¸J x , f) = ¸ξ, f) , para toda ξ ∈ E . ( observe que ξ = J x , x ∈ E pela sobrejetividade da aplica¸c˜ ao J : E →E ). Além disso, E munido da topologia fraco ∗ σ(E , E ), torna cont´ınua todas as aplica¸c˜ oes ¦J f ¦ f∈E , onde J f : E →1, ξ → J f (ξ) = ¸ξ, f) . Do exposto acima, e como E está munido da topologia fraco ∗ σ(E , E ), temos que a fun¸c˜ ao f ◦ J −1 : (E , σ(E , E )) → 1 é cont´ınua, o que prova a continuidade de J −1 : (E , σ(E , E )) →(E, σ(E, E )) e, conseq¨ uentemente a compacidade da bola B E na topologia fraca σ(E, E ). (⇐) Reciprocamente, suponhamos que B E é compacta na topologia σ(E, E ). Como J : (E, [[ [[ E ) →(E , [[ [[ E ), isomorfismo canônico é cont´ınuo (J é isometria), vem, pelo teorema 3.25, que J : (E, σ(E, E )) → (E , σ(E , E )) é cont´ınuo. Como σ(E , E ) ⊂ σ(E , E ) resulta imediatamente que J : (E, σ(E, E )) → (E , σ(E , E )) é também cont´ınuo. Como, por hipótese, B E é compacta na topologia σ(E, E ), resulta que J(B E ) é compacta na topologia σ(E , E ). Por outro lado, pelo lema de Goldstine, temos que J(B E ) é denso em B E na topologia σ(E , E ), ou seja, J(B E ) σ(E ,E ) = B E . Mas, como J(B E ) é fechado, (posto que é compacto) na topologia σ(E , E ) resulta que J(B E ) = B E . (3.26) Afirmamos que J(E) = E . (3.27) Com efeito, seja ξ ∈ E ¸¦0¦. Ent˜ ao, γ = ξ ||ξ|| E ∈ B E e de (3.26) existe x ∈ B E tal que γ = J x , isto é, J x = ξ ||ξ|| E , ou seja, J ||ξ|| E x = ξ. Pondo y = [[ξ[[ E x ∈ E vem que ξ = J y , o que implica que E ⊂ J(E) (já que 0 ∈ J(E)). Como J(E) ⊂ E , fica provado (3.27) e conseq¨ uentemente o teorema. 2 126 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Observa¸cão 3.42 Evidentemente os espa¸cos de dimensão finita são reflexivos. Proposi¸cão 3.43 Sejam E um espa¸co de Banach reflexivo e M ⊂ E um subespa¸co vetorial fechado. Então, M, munido da topologia induzida por E, é um espa¸co de Banach reflexivo. Demonstra¸cão: Como M ⊂ E é fechado, temos que M, munido da norma induzida por E é um espa¸co de Banach. Resta-nos mostrar que M é reflexivo, ou seja, de acordo com o Teorema 3.41, que B M = B E ∩ M é compacta na topologia σ(M, M ). Antes, provaremos que as topologias σ(M, M ) (topologia induzida pelas fam´ılia ¦f : M → 1, lineares e cont´ınuas ¦) e σ(E, E )[ M = σ(E, E ) ∩ M coincidem. Com efeito, seja f ∈ M . Pelo corolário 1.15 temos que existe g ∈ E tal que g[ M = f. Por outro lado, dado g ∈ E , ent˜ ao f = g[ M ∈ M . Sejam x 0 ∈ M e V ∈ σ(M, M ), vizinhan¸ca de x 0 na topologia fraca. Assim, V = ¦x ∈ M; [¸f i , x −x 0 )[ < ε, i = 1, , n¦ ( onde f i ∈ M e ε > 0) = ¦x ∈ M; [¸g i , x −x 0 )[ < ε, i = 1, , n¦ ( onde g i ∈ E , g i [ M = f i e ε > 0) = ¦x ∈ E; [¸g i , x −x 0 )[ < ε, i = 1, , n¦ ∩ M ( onde g i ∈ E e ε > 0) = V 0 ∩ M, com V 0 ∈ σ(E, E ). A rec´ıproca é análoga, o que prova que as topologias σ(M, M ) e σ(E, E ) ∩M coincidem. Como B M = B E ∩M e B E e M são fechados na topologia forte de E vem que B M é fechada na topologia forte de E. Além disso, como B E e M são convexos, resulta que B M é convexa. Logo, em virtude do teorema 3.21 conclu´ımos que B M é fechada na topologia fraca σ(E, E ) de E. Como B M ⊂ B E e B E é compacta na topologia fraca σ(E, E )( em virtude da reflexividade de E) e B M é a´ı fechada, resulta que B M é compacta na topologia fraca σ(E, E ), ou equivalentemente, que B M é compacta na topologia fraca σ(M, M ). 2 Corolário 3.44 Seja E um espa¸co de Banach. E é reflexivo se, e somente se, E é reflexivo. Demonstra¸cão: (⇒) Seja E reflexivo. Basta mostrar, em virtude do teorema 3.41, que B E é compacta na topologia σ(E , E ). Por hipótese, J(E) = E e pelo Teorema de ESPAÇ OS REFLEXIVOS 127 Alaoglu temos que B E é compacta na topologia fraco∗ σ(E , E) de E . Como, através do isomorfismo J : E → E , identificamos E com J(E) ≡ E , decorre que σ(E , E) ≡ σ(E , E ) e, portanto, B E é compacta na topologia σ(E , E ). (⇐) Consideremos E reflexivo. Pelo que acabamos de provar E é reflexivo. Afir- mamos que J(E) é subespa¸co fechado de E . (3.28) Com efeito, seja y ∈ J(E) ||·|| E . Ent˜ ao, existe ¦x n ¦ n∈N ⊂ E tal que Jx n → y em E fortemente. Logo, ¦Jx n ¦ n∈N é de Cauchy em E e como [[Jx[[ E = [[x[[ E resulta que ¦x n ¦ n∈N é de Cauchy em E. Sendo E Banach, existe x ∈ E tal que x n → x fortemente em E e, pela continuidade da aplica¸cão J, Jx n → Jx fortemente em E . Pela unicidade do limite conclu´ımos que y = Jx ∈ J(E), o que prova o desejado em (3.28). Assim, pela proposi¸c˜ ao 3.43 deduzimos que J(E) é reflexivo. Como J(E) se identifica com E através do isomorfismo J, segue que E é reflexivo, o que conclui a prova. 2 Corolário 3.45 Sejam E um espa¸co de Banach reflexivo e K um subconjunto convexo, fechado e limitado de E. Então K é compacto na topologia fraca σ(E, E ). Demonstra¸cão: Sendo E reflexivo temos, de acordo com o teorema 3.41 que a bola B E é compacta na topologia fraca σ(E, E ). Por outro lado, como K é convexo e fechado na topologia forte de E resulta, em virtude do teorema 3.21 que K é fechado na topologia fraca σ(E, E ). Como K é limitado, existe m ∈ N tal que K ⊂ mB E . Sendo K fechado e mB E é compacto na topologia fraca σ(E, E ) vem que K é compacto na topologia fraca σ(E, E ). Isto encerra a prova. 2 Teorema 3.46 Sejam E um espa¸co de Banach reflexivo, A ⊂ E um conjunto convexo, fechado e não vazio e ϕ : A →] − ∞, +∞] uma fun¸cão convexa, s.c.i., ϕ ,= +∞ (não identicamente +∞) e tal que lim ||x||→+∞, x∈A ϕ(x) = +∞ ( se A for limitado se omite tal hipótese). Então, ϕ atinge seu m´ınimo em A, ou seja, existe x 0 ∈ A tal que ϕ(x 0 ) = min x∈A ϕ(x). 128 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Demonstra¸cão: Pelo fato de ϕ ,= +∞, existe a ∈ A tal que ϕ(a) = λ 0 < +∞. Consideremos o conjunto de n´ıvel associado a λ 0 , isto é, N(λ 0 , ϕ) = ¦x ∈ A; ϕ(x) ≤ λ 0 ¦. Como ϕ é convexa e s.c.i. temos, em virtude dos lemas 1.33 e 1.42 que N(λ 0 , ϕ) é convexo e fechado. A seguir, provaremos que N(λ 0 , ϕ) é limitado. (3.29) Se A for limitado, nada temos a provar posto que N(λ 0 , ϕ) ⊂ A. Se A não for limitado, suponhamos, por contradi¸ cão, que N(λ 0 , ϕ) não seja limitado. Então, existe ¦x n ¦ n∈N ⊂ N(λ 0 , ϕ) tal que [[x n [[ →+∞ quando n →+∞, ou seja, Existe ¦x n ¦ n∈N ⊂ N(λ 0 , ϕ) tal que ϕ(x n ) ≤ λ 0 , para todo n ∈ N e [[x n [[ → +∞. Mas, por hipótese, lim ||x||→+∞, x∈A ϕ(x) = +∞, o que é uma contradi¸cão, provando o desejado em (3.29). Logo, N(λ 0 , ϕ) é um conjunto convexo, fechado e limitado de E. Pelo corolário 3.45 resulta que N(λ 0 , ϕ) é compacto na topologia fraca σ(E, E ). Resulta da´ı, do fato que ϕ é s.c.i. na topologia fraca σ(E, E ), e, em virtude do lema 1.39, que existe x 0 ∈ N(λ 0 , ϕ) tal que ϕ(x 0 ) ≤ ϕ(x), para todo x ∈ N(λ 0 , ϕ). Além disso, se x ∈ A¸N(λ 0 , ϕ) vem que ϕ(x) > λ 0 ≥ ϕ(x 0 ) (x 0 ∈ N(λ 0 , ϕ)). Logo, ϕ(x 0 ) ≤ ϕ(x), para todo x ∈ A. Como x 0 ∈ A, resulta que ϕ(x 0 ) = min x∈A ϕ(x). Isto conclui a prova. 2 Antes de enunciarmos o próximo resultado, relembremos o conceito de adjunto de um operador linear não limitado introduzido na se¸c˜ ao 2.6. Sejam E e F espa¸cos de Banach e A : D(A) ⊂ E → F um operador linear não limitado com D(A) = E. Consideremos v ∈ F tal que a composi¸cão v ◦ A é uma forma linear limitada. Como D(v ◦ A) = D(A), temos que v ◦ A é uma forma linear limitada com dom´ınio denso em E. Assim, existe um ´ unico prolongamento f v de v ◦ A a todo E. Definamos D(A ∗ ) = ¦v ∈ F ; v ◦ A é limitado ¦ , A ∗ : D(A ∗ ) ⊂ F →E , v →A ∗ v = f v . ESPAÇ OS REFLEXIVOS 129 Temos, ainda, a rela¸c˜ ao de adjun¸c˜ ao ¸A ∗ v, u) = ¸v, Au) , para todo v ∈ D(A ∗ ) e u ∈ D(A). Se D(A ∗ ) = F , podemos definir A ∗∗ da seguinte forma D(A ∗∗ ) = ¦ξ ∈ E ; ξ ◦ A ∗ é limitado ¦ , A ∗∗ : D(A ∗∗ ) ⊂ E → F , ξ →A ∗∗ ξ = f ξ . Temos ainda que ¸A ∗∗ ξ, v) = ¸ξ, A ∗ v) , para todo ξ ∈ D(A ∗∗ ) e v ∈ D(A ∗ ). Teorema 3.47 Sejam E e F espa¸cos de Banach reflexivos e A : D(A) ⊂ E → F um operador linear, não limitado, fechado e com D(A) = E. Então: (i) D(A ∗ ) é denso em F . (ii) A ∗∗ = A. Demonstra¸cão: (i) Para mostrar este item usaremos o corolário 1.29. Seja, então, ϕ ∈ F tal que ¸ϕ, v) F ,F = 0, para todo v ∈ D(A ∗ ) ⊂ F . Como F é reflexivo, temos que ϕ se identifica com um elemento de F pelo isomorfismo J e, desta forma, podemos ent˜ ao dizer que ϕ ∈ F. Logo, ¸v, ϕ) F ,F = 0, para todo v ∈ D(A ∗ ). Afirmamos que ϕ ≡ 0 em F. (3.30) De fato, suponhamos, por contradi¸c˜ ao, que ϕ ,= 0 (não é identicamente nula). Ent˜ ao o ponto (0, ϕ) / ∈ G(A) pois A0 = 0. Como G(A) é fechado, por hipótese, e G(A) é subspa¸co, (em virtude da linearidade de A), existe, em decorrência da 2 a Forma Geométrica do Teorema de Hahn-Banach, um hiperplano fechado em E F que separa estritamente G(A) e ¦(0, ϕ)¦, ou seja, existem (f, v) ∈ E F e α ∈ 1 tais que ¸f, u) +¸v, Au) < α < ¸v, ϕ) , para todo u ∈ D(A). (3.31) Definamos Φ : G(A) ⊂ E F →1 (u, Au) →Φ(u, Au) = ¸f, u) +¸v, Au) . 130 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Como Φ é uma forma linear definida sobre G(A), que é um subespa¸co vetorial, e tal que, em virtude de (3.31), Φ(u, Au) < α, ent˜ ao, Φ ≡ 0 em G(A). Resulta da´ı que ¸−f, u) = ¸v, Au) , para todo u ∈ D(A) e 0 < α < ¸v, ϕ) . Das rela¸c˜ oes acima conclu´ımos que v ∈ D(A ∗ ), A ∗ v = −f e ¸v, ϕ) , = 0, o que é uma contradi¸ cão pois ¸v, ϕ) F ,F = 0, para todo v ∈ D(A ∗ ). Isto prova (3.30). Resulta da´ı que ϕ ≡ 0 em F , ou ainda, ¸ϕ, v) F ,F = 0, para todo v ∈ F , o que prova a densidade de D(A ∗ ) em F . (ii) Pelo ´ıtem (i) faz sentido definirmos A ∗∗ : D(A ∗∗ ) ⊂ E → F, pois, pela reflexividade, E ≡ E e F ≡ F . Consideremos a aplica¸c˜ ao J definida em (2.29) dada por J : F E →E F ; J([v, f]) = [−f, v], e A : D(A) ⊂ E →F um operador linear não limitado tal que D(A) = E. Então, J(G(A ∗ )) = G(A) ⊥ . Analogamente, em fun¸c˜ ao da reflexividade E ≡ E e F ≡ F , temos J : E F →F E; J([v, f]) = [−f, v], e como A ∗ : D(A ∗ ) ⊂ F →E é um operador linear não limitado tal D(A ∗ ) = F podemos escrever J(G(A ∗∗ )) = G(A ∗ ) ⊥ . Além disso, [J(G(A ∗ ))] ⊥ = _ _ _ [x, y] ∈ E F . ¸¸ . ≡E ×F ; ¸[−A ∗ v, v], [x, y]) = 0, para todo v ∈ D(A ∗ ) _ _ _ = ¦[x, y] ∈ E F; ¸A ∗ v, x) = ¸v, y) , para todo v ∈ D(A ∗ )¦ . Por outro lado, G(A ∗ ) ⊥ = ¦[x, y] ∈ F E; ¸[−A ∗ v, v], [x, y]) = 0, para todo v ∈ D(A ∗ )¦ . ESPAÇ OS SEPAR ´ AVEIS 131 Assim, [x, y] ∈ [J(G(A ∗ ))] ⊥ ⇔ ¸[−A ∗ v, v], [x, y]) = 0, para todo v ∈ D(A ∗ ) ⇔ ¸−A ∗ v, x) +¸v, y) = 0, para todo v ∈ D(A ∗ ) ⇔ ¸[v, A ∗ v], [y, −x]) = 0, para todo v ∈ D(A ∗ ) ⇔ [y, −x] ∈ G(A ∗ ) ⊥ ⇔ [x, y] ∈ J _ G(A ∗ ) ⊥ _ , o que prova que [J(G(A ∗ ))] ⊥ = J _ G(A ∗ ) ⊥ _ . (3.32) Por conseguinte, como G(A) é fechado, e, portanto G(A) = G(A) = _ G(A) ⊥ ¸ ⊥ , segue de (3.32) e das rela¸c˜ oes acima que G(A) = _ G(A) ⊥ ¸ ⊥ = [J(G(A ∗ ))] ⊥ = J _ G(A ∗ ) ⊥ _ = J ◦ J . ¸¸ . =−I (G(A ∗∗ )) = −G(A ∗∗ ) = G(A ∗∗ ). Portanto, D(A) = D(A ∗∗ ) e A ≡ A ∗∗ , o que conclui a prova. 2 3.6 Espa¸cos Separáveis Defini¸cão 3.48 Dizemos que um espa¸co topológico E é separável se existe um conjunto D ⊂ E enumerável e denso em E. Equivalentemente, dizemos que E é separável se existe uma seq¨ uência ¦x n ¦ n∈N ⊂ E tal que ¦x n ¦ n∈N = E. São exemplos de espa¸cos separáveis: 1 ou, mais geralmente, 1 n pois ¸ n = 1 n , para n = 1, 2, . Um outro exemplo interessante é o espa¸co das fun¸c˜ oes cont´ınuas C(a, b) munido da norma do supremo pois, pelo teorema de Weirstrass, toda fun¸c˜ ao cont´ınua pode ser aproximada por polinômios de coeficientes reais e estes por polinômios de coeficientes racionais. 132 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Proposi¸cão 3.49 Todo espa¸co topológico X que satisfa¸ca ao 2 0 Axioma da Enumerabi- lidade é separável. Demonstra¸cão: Se X satisfaz ao 2 0 Axioma da Enumerabilidade, ent˜ ao existe uma base enumer´ avel ¦A n ¦ n∈N para a topologia de X (reveja se¸cão 3.1). Para cada n ∈ N, escolhamos a n ∈ A n e definamos A = ¦a n ¦ n∈N . Afirmamos que X¸A = ∅. (3.33) De fato, suponhamos, por contradi¸cão, que (3.33) não ocorra. Como X¸A é aberto e por ser ¦A n ¦ uma base, então, para todo x ∈ X¸A existe A n x ∈ A n tal que x ∈ A nx ⊂ X¸A. (3.34) Por outro lado, como A ⊂ A e A ∩ (X¸A) = ∅, resulta que A ∩ (X¸A) = ∅. Logo, a n / ∈ (X¸A), para todo n ∈ N e, portanto, A n _ (X¸A), para todo n ∈ N, o que contraria (3.34) ficando provado (3.33). Resulta da´ı que A = X, o que conclui a prova. 2 Proposi¸cão 3.50 Seja E um espa¸co métrico separável. Então, E satisfaz o 2 0 Axioma da Enumerabilidade. Demonstra¸cão: Seja ¦x n ¦ n∈N ⊂ E um subconjunto enumer´ avel e denso em E. Provare- mos que: ¦B rn (x n ); r n > 0 tais que r n ∈ ¸, para todo n ∈ N¦ (3.35) é uma base para a fam´ılia de abertos de E. De fato, sejam U um aberto de E e x ∈ U. Ent˜ ao, existe r > 0 tal que B r (x) ⊂ U. Seja ρ ∈ ¸ com 0 < ρ < r. Então, B ρ (x) ⊂ U. Como ¦x n ¦ n∈N = E, existe n ∈ N tal que x n ∈ B ρ/3 (x). Assim, x ∈ B ρ/3 (x n ) ⊂ B 2ρ/3 (x n ). Afirmamos que B 2ρ/3 (x n ) ⊂ B ρ (x). (3.36) Com efeito, seja y ∈ B 2ρ/3 (x n ). Então, d(y, x n ) < 2ρ 3 , o que implica que d(y, x) ≤ d(y, x n ) + d(x, x n ) < 2ρ 3 + ρ 3 = ρ ⇒y ∈ B ρ (x), o que prova (3.36). Segue da´ı que x ∈ B 2ρ/3 (x n ) ⊂ B ρ (x) ⊂ U, onde 2ρ 3 ∈ ¸, o que prova o desejado em (3.35). 2 ESPAÇ OS SEPAR ´ AVEIS 133 Observa¸cão 3.51 A proposi¸cão acima não é válida para espa¸cos topológicos em geral, ou seja, existem espa¸cos topológicos separáveis que não satisfazem ao 2 0 Axioma da Enu- merabilidade. Proposi¸cão 3.52 Seja E um espa¸co métrico separável e F um subconjunto de E. Então F é separável. Demonstra¸cão: Como E é um espa¸co métrico separável, temos, pela proposi¸c˜ ao 3.50 que E satisfaz ao 2 0 Axioma da Enumerabilidade e, portanto, existe ¦A n ¦ n∈N uma base enumer´ avel de abertos de E. Afirmamos que: ¦B n ¦ n∈N , onde B n = A n ∩ F, é uma base enumerável de abertos de F. (3.37) De fato, sejam U aberto de F e x ∈ U. Então, x ∈ U = A∩F, onde A é aberto de E. Assim, x ∈ A e x ∈ F. Por outro lado, existe n ∈ N tal que x ∈ A n ⊂ A e, desta forma, x ∈ A n ∩ F . ¸¸ . =Bn ⊂ A ∩ F = U, o que prova (3.37). Assim, F, com a métrica induzida de E, é um espa¸co métrico que satisfaz ao 2 0 Axioma da Enumerabilidade e, por conseguinte, é separável. 2 Teorema 3.53 Seja E um espa¸co de Banach. Se E é separável, então E é separável. Demonstra¸cão: Como E é separável, existe uma seq¨ uência ¦f n ¦ n∈N ⊂ E tal que ¦f n ¦ n∈N = E . Também, pelo fato de [[f n [[ E = sup x∈E,||x||=1 [¸f n , x)[ , e pela defini¸c˜ ao de supremo, temos que, para cada n ∈ N, existe x n ∈ E tal que [[x n [[ = 1, e além disso, 1 2 [[f n [[ E < [¸f n , x n )[ ≤ [[f n [[ E . (3.38) 134 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Seja L 0 o espa¸co vetorial sobre ¸ gerado pelos ¦x n ¦ n∈N , isto é, L 0 é o conjunto das combina¸ cões lineares finitas, com coeficientes em ¸, de elementos de ¦x n ¦ n∈N . Afirmamos que: L 0 é enumerável. (3.39) Com efeito, seja Λ n = [x 1 , , x n ] o subespa¸co gerado por ¦x 1 , , x n ¦ com coeficientes em ¸. Ent˜ ao, a aplica¸c˜ ao Φ : Λ n →¸ n x → (α 1 , , α n ) onde x = n i=1 α i x i é bijetora, e conseq¨ uentemente Λ n é enumerável. Além disso, L 0 = n∈N Λ n , o que prova (3.39) já que L 0 é dado pela união enumer´ avel de conjuntos enumer´ aveis. Consideremos, agora, L o espa¸co vetorial sobre 1 gerado pelos ¦x n ¦ n∈N . Afirmamos que L 0 é denso em L. (3.40) De fato, seja y ∈ L. Devemos mostrar que existe y 0 ∈ L 0 tal que [[y − y 0 [[ E < ε, para ε > 0 dado. Com efeito, como y ∈ L, y = n i=1 α i x i , α i ∈ 1. Sejam ε > 0 e (r 1 , , r n ) ∈ ¸ n tais que [[(r 1 , , r n ) −(α 1 , , α n )[[ R n < ε n , o que é poss´ıvel já que ¸ n = 1 n . Segue da´ı que [[y −y 0 [[ E = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n i=1 (r i −α i )x i ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ≤ n i=1 [r i −α i [ [[x i [[ E . ¸¸ . =1 < n ε n = ε, o que prova (3.40). Mostraremos, a seguir, que L é denso em E e, portanto, em virtude de (3.40) teremos que L 0 é denso em E. Com efeito, seja f ∈ E tal que ¸f, x) = 0 para todo x ∈ L. Para concluir o desejado devemos mostrar, de acordo com corolário 1.29, que ¸f, x) = 0, para ESPAÇ OS SEPAR ´ AVEIS 135 todo x ∈ E. Temos, de (3.38) que 1 2 [[f n [[ E < [¸f n , x n )[ (3.41) ≤ [¸f n −f, x n )[ + [¸f, x n )[ . ¸¸ . =0,pois x n ∈L ≤ [[f n −f[[ E [[x n [[ E . ¸¸ . =1 ≤ [[f n −f[[ E , para todo n ∈ N. Seja ε > 0. Pela densidade de ¦f n ¦ n∈N em E , existe n 0 ∈ N tal que [[f n 0 −f[[ E < ε. (3.42) Logo, de (3.41) e (3.42) resulta que [[f n 0 [[ E < 2ε, o que implica que [[f[[ E ≤ [[f −f n 0 [[ E +[[f n 0 [[ E < ε + 2ε = 3ε. Pela arbitrariedade de ε > 0 segue que [[f[[ E ≡ 0, ou seja, f = 0, o que prova o desejado. Isto conclui a prova do teorema. 2 Observa¸cão 3.54 Notemos que a rec´ıproca do Teorema anterior não é verdadeira, isto é, não é sempre verdade que se E é separável então E é separável. Por exemplo, consideremos os espa¸cos L p (Ω), Ω ⊂ 1 n , aberto. Temos que L p (Ω) é separável para 1 ≤ p < +∞. Na demonstra¸cão utiliza-se que C 0 (Ω) é denso em L p (Ω), 1 ≤ p < +∞, onde C 0 (Ω) é o espa¸co das fun¸cões cont´ınuas com suporte compacto contido em Ω. Contudo, L ∞ (Ω) não é separável. Como [L 1 (Ω)] ≡ L ∞ (Ω) temos que L 1 (Ω) é separável enquanto que [L 1 (Ω)] ≡ L ∞ (Ω) não é separável. Corolário 3.55 Seja E um espa¸co de Banach. Então, E é reflexivo e separável se e somente se E é reflexivo e separável. Demonstra¸cão: (⇐) Suponhamos que E é reflexivo e separável. Pelo corlário 3.44 e pelo teorema 3.53 segue que E é reflexivo e separável. (⇒) Suponhamos, reciprocamente, que E seja reflexivo e separável. Pelo corolário 3.44 resulta que E é reflexivo. Sendo E reflexivo, E ≡ E e como E é separável E também o é. Pelo teorema 3.53 vem então que E é separável, o que conclui a prova. 2 136 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Teorema 3.56 Seja E um espa¸co de Banach separável. Então, B E = ¦f ∈ E ; [[f[[ E ≤ 1¦ é metrizável para a topologia fraco∗ σ(E , E), isto é, existe uma métrica definida sobre B E tal que a topologia induzida pela métrica coincide com a topologia fraco∗ σ(E , E) sobre B E . Reciprocamente, se B E é metrizável para σ(E , E), então, E é separável. Demonstra¸cão: (⇒) Seja ¦x n ¦ n∈N um subconjunto enumerável e denso em B E (este conjunto é obtido interceptando-se o conjunto existente para E com B E ). Definimos a seguinte aplica¸c˜ ao: d : B E B E →1 + (3.43) (f, g) →d(f, g) = +∞ n=1 1 2 n [¸f −g, x n )[ . • d(, ) está bem definida, pois [¸f −g, x n )[ ≤ [[f −g[[ E [[x n [[ E ≤ [[f −g[[ E , o que implica que d(f, g) = +∞ n=1 1 2 n [¸f −g, x n )[ ≤ [[f −g[[ E +∞ n=1 1 2 n < +∞. • d(, ) define claramente uma métrica (verifique tal fato). Mostraremos que a métrica acima induz em B E uma topologia coincidente com σ(E , E). Com efeito, (a) Sejam f 0 ∈ B E e V uma vizinhan¸ca de f 0 em B E na topologia σ(E , E). Provare- mos que existe r > 0 tal que U = ¦f ∈ B E ; d(f, f 0 ) < r¦ ⊂ V. (3.44) Podemos supor, sem perda da generalidade (de acordo com a proposi¸c˜ ao 3.29), que V é da forma V = ¦f ∈ B E ; [ ¸f −f 0 , z i ) [ < ε; i = 1, , n¦, onde z i ∈ B E e ε > 0. Como ¦x n ¦ n∈N é denso em B E , para cada i ∈ ¦1, , n¦, existe n i ∈ N tal que [[z i −x n i [[ E < ε 4 . (3.45) ESPAÇ OS SEPAR ´ AVEIS 137 Seja r > 0 tal que 2 n i +1 r < ε 2 , para todo i = 1, , n, ou seja, 0 < r < ε 2 n i +1 , para todo i = 1, , n. (3.46) e consideremos f ∈ B E tal que d(f, f 0 ) < r, com r > 0 acima definido, isto é, f ∈ U. Ent˜ ao, r > d(f, f 0 ) = +∞ n=1 1 2 n [¸f −f 0 , x n )[ ≥ 1 2 n [¸f −f 0 , x n )[ , para todo n ∈ N, o que implica que [¸f −f 0 , x n )[ < r2 n , para todo n ∈ N. (3.47) Tome i ∈ ¦1, , n¦. Ent˜ ao, de (3.45), (3.46) e (3.47) resulta que [¸f −f 0 , z i )[ ≤ [¸f −f 0 , z i −x n i )[ +[¸f −f 0 , x n i )[ < [[f −f 0 [[ E [[z i −x n i [[ E + r2 n i ≤ ([[f[[ E +[[f 0 [[ E . ¸¸ . ≤1+1 ) ε 4 + ε 2 < ε 2 + ε 2 = ε, o que prova que f ∈ V , e consequentemente, fica provado (3.44). (b) Sejam f 0 ∈ B E e r > 0. Demonstraremos que existe uma vizinhan¸ca V uma vizinhan¸ca de f 0 em σ(E , E), tal que V ⊂ U = ¦f ∈ B E ; d(f, f 0 ) < r¦. (3.48) De fato, tomemos V da forma V = ¦f ∈ B E ; [ ¸f −f 0 , x i ) [ < ε, i = 1, , k¦, onde 0 < ε < r 2 e k ∈ N suficientemente grande tal que 1 2 k−1 < r 2 . Assim, se f ∈ V , temos d(f, f 0 ) = k n=1 1 2 n [ ¸f −f 0 , x n ) [ + +∞ n=k+1 1 2 n [ ¸f −f 0 , x n ) [ < ε k n=1 1 2 n + +∞ n=k+1 1 2 n [[f −f 0 [[ E . ¸¸ . ≤2 [[x n [[ . ¸¸ . ≤1 < ε +∞ n=1 1 2 n + +∞ n=k+1 2 2 n ≤ ε + +∞ n=k+1 1 2 n−1 = ε + 1 2 k−1 < r 2 + r 2 = r, 138 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL o que prova o desejado em (3.48). De (a) e (b) conclu´ımos que B E é metrizável. (⇐) Reciprocamente, suponhamos B E metrizável para a topologia σ(E , E). Sejam U n = ¦f ∈ B E ; d(f, 0) < 1 n ¦ (3.49) e V n uma vizinhan¸ca de 0 em σ(E , E) tal que V n ⊂ U n , para cada n ∈ N. Podemos supor ainda, como visto anteriormente, que, para cada n ∈ N, V n = ¦f ∈ B E ; [ ¸f, x) [ < ε n , para todo x ∈ Φ n ¦, (3.50) onde Φ n ⊂ E é um conjunto finito e ε n > 0. Observemos que D = +∞ _ n=1 Φ n é enumerável pois é a união enumerável de conjuntos finitos. Além disso, +∞ n=1 V n = ¦0¦. (3.51) Com efeito, Como V n ⊂ U n , então +∞ n=1 V n ⊂ +∞ n=1 U n = ¦0¦, pois de (3.49), 0 ≤ d(f, 0) < 1 n , ∀n ⇒f ≡ 0, o que prova (3.51). Seja L 0 o subespa¸co gerado por D sobre ¸. Ent˜ ao, L 0 = n∈N L n , onde L n = _ n i=1 α i x i ; x i ∈ D e α i ∈ ¸ _ . Como D e ¸ são enumeráveis vem que L n é enumer´ avel, seja qual for o n ∈ N. Portanto, L 0 é enumer´ avel. Ainda, como ¸ é denso em 1, segue que se L é o subespa¸co gerado por D sobre 1, temos que L 0 = L. (3.52) Afirmamos que L = E. (3.53) ESPAÇ OS SEPAR ´ AVEIS 139 Com efeito, basta mostrarmos que se f ∈ E é tal que ¸f, x) = 0, para todo x ∈ L, ent˜ ao f ≡ 0 em E. Consideremos, ent˜ ao, f ∈ E tal que ¸f, x) = 0, para todo x ∈ L e, suponhamos, por contradi¸c˜ ao, que f não é identicamente nula em E, ou seja, que existe x 0 ∈ E tal que ¸f, x 0 ) ,= 0. Seja x ∈ D. Logo, x ∈ L e, por hipótese, ¸f, x) = 0, ou seja ¸f, x) = 0, para todo x ∈ D. (3.54) Por outro lado, como f não é identicamente nula em E, temos que [[f[[ E ,= 0 e, portanto, de (3.54) resulta que _ f [[f[[ E , x _ = 0 para todo x ∈ D. Assim, de (3.50) e (3.51) obtemos f [[f[[ E ∈ +∞ n=1 V n = ¦0¦, o que implica que f ≡ 0 em E, o que é uma contradi¸ cão com o fato de existe x 0 ∈ E tal que ¸f, x 0 ) ,= 0, ficando provado (3.53). Desta forma, de (3.52) e (3.53) decorre que L 0 = E, com L 0 enumer´ avel. Assim, E é separável, o que conclui a prova. 2 Teorema 3.57 Seja E um espa¸co de Banach tal que E é separável. Então, B E é metrizável na topologia fraca σ(E, E ). Demonstra¸cão: E é separável implica que B E é metrizável na topologia σ(E, E ) se obtém utilizando um racioc´ınio análogo ao teorema anterior. A demonstra¸cão da rec´ıproca é muito mais delicada e foge ao contexto deste livro. 2 Antes de enunciarmos os próximos resultados, de extrema importância na passagem ao limite no contexto das equa¸c˜ oes diferenciais, relembremos alguns resultados sobre Espa¸cos Topológicos e Métricos, cujas demonstra¸c˜ oes podem ser encontradas em [12] e [18]. Lema 3.58 Sejam E um espa¸co topológico e K ⊂ E um compacto. Então K tem pelo menos um ponto de acumula¸cão. Lema 3.59 Seja E um espa¸co topológico. Se E satisfaz ao 1 0 Axioma da Enumerabil- idade e K ⊂ E é um compacto, então K é seq¨ uencialmente compacto, isto é, de toda seq¨ uência de pontos de K pode-se extrair uma subseq¨ uência convergente. 140 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Lema 3.60 Seja E um espa¸co métrico. Então, K ⊂ E é compacto se, e somente se, é seq¨ uencialmente compacto. Corolário 3.61 Sejam E um espa¸co de Banach separável e ¦f n ¦ n∈N uma seq¨ uência limitada de E . Então, existe uma subseq¨ uência ¦f n k ¦ k∈N de ¦f n ¦ n∈N que converge na topologia fraco∗ σ(E , E). Demonstra¸cão: Seja ¦f n ¦ n∈N uma seq¨ uência limitada de E . Podemos, sem perda de generalidade, supor que f n ∈ B E , para todo n ∈ N. Com efeito, como por hipótese, existe M > 0 tal que [[f n [[ E ≤ M, para todo n ∈ N, ent˜ ao, [[ fn M [[ E ≤ 1, para todo n ∈ N. Desta forma, basta considerarmos a seq¨ uência _ f n M _ n∈N . Como E é separável, temos, em virtude do teorema 3.56, que B E é metrizável na topologia fraco∗ σ(E , E). Como B E é compacta (em virtude do Teorema de Alaoglu- Bourbaki) em σ(E , E), tem-se que B E é compacta na topologia dada por uma métrica d. Assim, munido desta métrica, B E é um espa¸co métrico. Segue do lema 3.60 que B E é seq¨ uencialmente compacta e, portanto, de ¦f n ¦ n∈N podemos extrair uma subseq¨ uência ¦f n k ¦ k∈N convergente na topologia métrica e, portanto, na topologia fraco∗ σ(E , E). 2 Observa¸cão 3.62 O Corolário 3.61 é equivalente ao seguinte resultado: Seja E um espa¸co de Banach separável. Então, a bola B E é seq¨ uencialmente compacta na topologia fraco∗ σ(E , E). De fato: Corolário 3.61 ⇒ Observa¸c˜ ao 3.62. Se ¦f n ¦ n∈N ⊂ B E , ent˜ ao, ¦f n ¦ n∈N é limitada e portanto existe ¦f n k ¦ k∈N ⊂ ¦f n ¦ n∈N tal que ¦f n k ¦ k∈N converge na topologia fraco∗ σ(E , E). Observa¸c˜ ao 3.62 ⇒ Corolário 3.61. Se ¦f n ¦ n∈N é limitada, ent˜ ao existe M > 0 tal que [[f n [[ E ≤ M, para todo n ∈ N, o que implica que _ f n M _ n∈N ⊂ B E e, por conseguinte, ¦f n ¦ n∈N ⊂ M B E . Como B E é seq¨ uencialmente compacta na topologia σ(E , E) vem que M B E também o é. Assim, existem ¦f n k ¦ k∈N ⊂ ¦f n ¦ n∈N e f ∈ E tais que f n k ∗ f. 2 ESPAÇ OS UNIFORMEMENTE CONVEXOS 141 Teorema 3.63 Seja E um espa¸co de Banach reflexivo. Seja ¦x n ¦ uma sucessão limitada em E. Então, existe uma subseq¨ uência ¦x n k ¦ k∈N que converge na topologia fraca σ(E, E ). Equivalentemente, B E é seq¨ uencialmente compacta na topologia σ(E, E ). Demonstra¸cão: Sejam¦x n ¦ n∈N ⊂ B E e M 0 o subespa¸co gerado por ¦x n ¦ n∈N . Definindo- se M = M 0 , afirmamos que B M = B E ∩ M é metrizável e compacta na topologia σ(M, M ). (3.55) De fato, temos que M 1 = n∈N Λ n , onde Λ n = [x 1 , , x n ] sobre ¸, ou seja, o subespa¸co gerado por ¦x n ¦ n∈N sobre ¸, é enumerável e denso em M 0 . Logo, é também denso em M (note que M 1 = M 0 e M 0 = M). Assim, M é separável. Como M é um subespa¸co vetorial fechado de E e E é Banach reflexivo, resulta, da proposi¸cão 3.43 que M é reflexivo. Portanto, M é um subespa¸co de Banach separável e reflexivo o que implica, em virtude do corolário 3.55, que M é separável e reflexivo. Pelo teorema 3.56 (fazendo E = M ), B M é metrizável para a topologia σ(M , M ). Resulta da´ı e do fato que M é reflexivo, ou seja, M ≡ M , que B M é metrizável na topologia σ(M, M ). Por outro lado, como M é reflexivo, temos, pelo teorema 3.41, que B M é compacta na topologia fraca σ(M, M ), o que prova (3.55). Resulta da´ı e do lema 3.56 que B M é seq¨ uencialmente compacta na topologia σ(M, M ). Assim, como ¦x n ¦ n∈N ⊂ B M , pois ¦x n ¦ n∈N ⊂ M e [[x n [[ E ≤ 1, para todo n ∈ N, vem que existe ¦x n k ¦ k∈N ⊂ ¦x n ¦ n∈N tal que ¦x n k ¦ k∈N converge na topologia σ(M, M ) ≡ σ(E, E )[ M . Logo, ¦x n k ¦ k∈N converge na topologia σ(E, E ) pois se f ∈ E temos que f[ M ∈ M . Isto conclui a prova. 2 A rec´ıproca da proposi¸c˜ ao é verdadeira mas a demonstra¸cão, por ser muito técnica, será omitida. Teorema 3.64 (Eberlein- ˘ Smulian) Seja E um espa¸co de Banach tal que toda sucessão limitada ¦x n ¦ n∈N possui uma subsucessão ¦x n k ¦ k∈N convergente na topologia fraca σ(E, E ). Então, E é reflexivo. 3.7 Espa¸cos Uniformemente Convexos Defini¸cão 3.65 Dizemos que um espa¸co de Banach E é uniformemente convexo se dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se x, y ∈ B E e [[x −y[[ E > ε então ¸ ¸ ¸ ¸ x+y 2 ¸ ¸ ¸ ¸ E < 1 −δ. 142 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Exemplo: Considere E = 1 2 . Com a norma [[x[[ 2 = ([x 1 [ 2 +[x 2 [ 2 ) 1/2 E é uniformemente convexo enquanto que com a norma [[x[[ 1 = [x 1 [ + [x 2 [ E não é uniformemente convexo. Podemos nos convencer disso observando as figuras abaixo E T &% '$ E T Figura 3.5: ` A esquerda bola unitária de E para [[ [[ 2 enquanto que à direita bola unitária para a norma [[ [[ 1 . Teorema 3.66 (Milman) Todo espa¸co de Banach uniformemente convexo é reflexivo. Demonstra¸cão: Seja E um espa¸co de Banach uniformemente convexo. Provaremos que E ≡ J(E). Para isso, basta mostrarmos que B E = J(B E ), (3.56) pois, de (3.56) resulta que mB E = J(mB E ), para todo m ∈ N o que implica o desejado. Entretanto, como J(B E ) é um subconjunto fechado de E , temos que J(B E ) = J(B E ). Resulta da´ı e de (3.56) que é suficiente provarmos que J(B E ) é denso em B E , (3.57) ou seja, dados ε > 0 e ξ ∈ E tal que [[ξ[[ E ≤ 1, existe x ∈ B E tal que [[Jx −ξ[[ E ≤ ε. Podemos supor, sem perda da generalidade que [[ξ[[ E = 1, pois caso 0 < [[ξ[[ E < 1 podemos considerar ξ ||ξ|| E e portanto, dado ε > 0, existe x ∈ B E tal que ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ Jx − ξ [[ξ[[ E ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E ≤ ε ⇒[[Jx [[ξ[[ E −ξ[[ E ≤ ε [[ξ[[ E < ε. Mas, Jx [[ξ[[ E = J([[ξ[[ E x) e como [[x[[ E ≤ 1, ent˜ ao [[ξ[[ E [[x[[ E ≤ [[ξ[[ E < 1, o que implica que x = x [[ξ[[ E ∈ B E e, assim, dado ε > 0 e ξ ∈ B E , existe x ∈ B E tal que [[Jx − ξ[[ E < ε, mostrando que J(B E ) = B E . Desta forma, provar (3.57) é o mesmo que provar que Dados ε > 0 e ξ ∈ B E com [[ξ[[ E = 1, existe x ∈ B E tal que [[Jx −ξ[[ E ≤ ε. (3.58) ESPAÇ OS UNIFORMEMENTE CONVEXOS 143 De fato, sejam ε > 0 e ξ ∈ E tal que [[ξ[[ E = 1. Como E é uniformemente convexo, para ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que para todos x, y ∈ B E e [[x −y[[ E > ε temos que ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x + y 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E < 1 −δ. (3.59) Por outro lado, como [[ξ[[ E = sup f∈E , ||f|| E =1 [ ¸ξ, f) [, resulta que [[ξ[[ E − δ 2 < [ ¸ξ, f 0 ) [, para algum f 0 ∈ E com [[f 0 [[ E = 1. (3.60) Seja V = V (ξ, δ/2, f 0 ) uma vizinhan¸ca fraca de ξ em σ(E , E ), ou seja, V = ¦η ∈ E ; [ ¸η −ξ, f 0 ) [ < δ/2¦. Recordemos que o lema de Goldstine nos garante que J(B E ) é denso em B E na topologia σ(E , E ) e, desta forma, para a vizinhan¸ca V acima, existirá x ∈ B E tal que Jx ∈ V . Afirmamos que [[Jx −ξ[[ ≤ ε, como queremos demonstrar em (3.58). Suponhamos o contr´ ario, isto é, que [[Jx−ξ[[ > ε. Isto implica que ξ / ∈ B ε (Jx) E = Jx+εB E e, conseq¨ uentemente, ξ ∈ [E ¸(Jx+εB E )] = W. Pelo Teorema de Alaoglu temos que B E é compacta na topologia σ(E , E ) o que implica que Jx + εB E é compacto na topologia σ(E , E ) e, portanto é fechado nesta topologia. Logo, W é aberto na topologia σ(E , E ) e obviamente W é uma vizinhan¸ca de ξ. Como ξ ∈ W e ξ ∈ V resulta que V ∩ W ,= ∅ além de V ∩ W ser uma vizinhan¸ca fraca de ξ em σ(E , E ). Novamente, pelo lema de Goldstine, existe x ∈ B E tal que Jx ∈ V ∩ W. Contudo, como Jx, Jx ∈ V , resulta que _ [ ¸Jx, f 0 ) −¸ξ, f 0 ) [ < δ/2 [ ¸Jx, f 0 ) −¸ξ, f 0 ) [ < δ/2 ⇒ _ [ ¸f 0 , x) −¸ξ, f 0 ) [ < δ/2 [ ¸f 0 , x) −¸ξ, f 0 ) [ < δ/2 , e, conseq¨ uentemente, 2[ ¸ξ, f 0 ) [ < (δ/2 +[ ¸f 0 , x) [) + (δ/2 +[ ¸f 0 , x) [) = δ +[ ¸f 0 , x + x) [. 144 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Da desigualdade acima obtemos [ ¸ξ, f 0 ) [ < δ 2 + ¸ ¸ ¸ ¸ _ f 0 , x + x 2 _¸ ¸ ¸ ¸ ≤ δ 2 +[[f 0 [[ E . ¸¸ . =1 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x + x 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E . (3.61) De (3.60), (3.61) e tendo em mente que [[ξ[[ E = 1 podemos escrever 1 − δ 2 < ¸ξ, f 0 ) ≤ δ 2 + ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x + x 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E ⇒ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x + x 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E > 1 −δ. Da desigualdade acima e do fato de E ser uniformemente convexo conclu´ımos que [[x −x[[ E ≤ ε. (3.62) Por outro lado, como J é uma isometria, vem que [[x −x[[ E = [[J(x −x)[[ E = [[Jx −Jx[[ E . Mas, como Jx ∈ W, ent˜ ao Jx ∈ E ¸B ε (Jx) E , o que implica que Jx / ∈ B ε (Jx) E , e, conseq¨ uentemente, [[Jx −Jx[[ E > ε. Segue da´ı e da identidade acima que [[x −x[[ E > ε. (3.63) Logo, por (3.62) e (3.63) chegamos a uma contradi¸c˜ ao ficando provado (3.58). Isto conclui a prova do teorema. 2 Teorema 3.67 Sejam E um espa¸co de Banach uniformemente convexo e ¦x n ¦ n∈N uma seq¨ uência de elementos de E tal que x n x na topologia fraca σ(E, E ) e limsup n [[x n [[ E ≤ [[x[[ E . Então x n → x forte. Demonstra¸cão: Suponhamos inicialmente que x = 0. Como x n 0 (fracamente), ent˜ ao da proposi¸c˜ ao 3.12(iii) resulta que existe C > 0 tal que [[x n [[ E ≤ C e, além disso, 0 ≤ liminf n [[x n [[ E . Resulta da´ı e da hipótese que 0 ≤ liminf n [[x n [[ E ≤ limsup n [[x n [[ E ≤ 0, resultando que x n →0 fortemente em E. ESPAÇ OS UNIFORMEMENTE CONVEXOS 145 Consideremos, agora, x ,= 0 e definamos, para cada n ∈ N, λ n = max¦[[x n [[ E , [[x[[ E ¦. Evidentemente λ n > 0, y n = x n λ n e y = x [[x[[ E . Temos que λ n →[[x[[ E quando n →+∞. Afirmamos que: y n y fracamente quando n →+∞. (3.64) Com efeito, como x n x fracamente, ent˜ ao ¸f, x n ) →¸f, x) para todo f ∈ E e como λ n →[[x[[ E vem que 1 λ n ¸f, x n ) → 1 [[x[[ E ¸f, x) para todo f ∈ E , o que prova (3.64). Definindo z n = y, para todo n ∈ N, resulta obviamente que z n → y quando n → +∞ e, portanto, z n y fracamente quando n →+∞. (3.65) De (3.64) e (3.65) resulta que y n +z n 2 y fracamente quando n → +∞, o que implica, tendo em mente que [[z n [[ E = [[y[[ E para todo n ∈ N, que [[y[[ E ≤ liminf n ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ y n + y 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E . Mas como [[y[[ E = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x ||x|| E ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E = 1, da desigualdade anterior podemos escrever 1 ≤ liminf n ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ y n + y 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E . (3.66) Por outro lado, notemos que ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ y n + y 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E ≤ 1 2 ([[y n [[ E +[[y[[ E . ¸¸ . =1 ) = 1 2 _ [[x n [[ E λ n + 1 _ , o que implica limsup n ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ y n + y 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E ≤ 1 2 limsup n _ [[x n [[ E λ n + 1 _ = 1 2 _ limsup n _ [[x n [[ E λ n _ + 1 _ ≤ 1 2 (1 + 1) = 1, 146 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL ou seja, limsup n ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ y n + y 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E ≤ 1. (3.67) De (3.66) e (3.67) conclu´ımos que lim n→+∞ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ y n + y 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E = 1. (3.68) Provaremos, a seguir, que [[y n −y[[ E →0 fortemente quando n →+∞, (3.69) ou seja, dado ε > 0 devemos exibir n 0 ∈ N tal que [[y n − y[[ E < ε, para todo n ≥ n 0 . Suponhamos, por contradi¸c˜ ao, que (3.69) não ocorra. Ent˜ ao existirá ε 0 > 0 tal que, seja qual for o n ∈ N, teremos [[y n −y[[ E ≥ ε 0 . Como y n , y ∈ B E , pela convexidade uniforme de E resulta que existirá δ 0 > 0 tal que ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ y n + y 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E < 1 −δ 0 , para todo n ∈ N, o que implica que lim n→+∞ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ y n +y 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E ≤ 1 −δ 0 < 1, o que é uma contradi¸ cão em vista de (3.68), ficando provado (3.69). Assim, de (3.69) e do fato que λ n →[[x[[ E , deduzimos que [[x n −x[[ E = [[x[[ E ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x n [[x[[ E − x [[x[[ E ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E ≤ [[x[[ E _¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x n [[x[[ E − x n λ n ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E + ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ x n λ n − x [[x[[ E ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ E _ ≤ [[x[[ E _ ¸ ¸ ¸ _ [[x n [[ E . ¸¸ . é limitado _ _ _ _ _ 1 [[x[[ E − 1 λ n . ¸¸ . 0 _ _ _ _ _ +[[y n −y[[ E . ¸¸ . 0 _ ¸ ¸ ¸ _ →0, quando n → +∞. Isto conclui a prova. 2 Cap´ıtulo 4 Os Espa¸cos de Hilbert Figura 4.1: Hilbert-Lions. David Hilbert (1862 - 1943), à esquerda. O trabalho de Hilbert em Geometria teve uma das maiores influências na área depois de Euclides. Um estudo sistemático dos axiomas da Geometria Euclidiana levou Hilbert a propor 21 axiomas os quais ele analisou sua significância. Ele deixou contribui¸c˜ oes em diversas áreas da Matemática e da F´ısica. Jacques-Louis Lions (1928 - 2001), à direita, foi um matemático Francês que fez contribui¸c˜ oes importantes na teoria de equa¸c˜ oes diferenciais parciais e controle estocástico, além de outras áreas. Ele recebeu o prêmio SIAM’s John Von Neumann em 1986. 147 148 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL 4.1 Defini¸cão, Propriedades Elementares. Proje¸cão sobre um convexo fechado Defini¸cão 4.1 Seja H um espa¸co vetorial real. Dizemos que uma aplica¸cão (, ) : H H → 1 é um produto interno (ou produto escalar), se, para todo u, v, w ∈ H e α, β ∈ 1 valem as seguintes condi¸cões: • (a) (αu +βv, w) = α(u, w) + β(v, w), • (b) (u, αv + βw) = α(u, v) + β(u, w), • (c) (u, u) ≥ 0 e (u, u) = 0 ⇔ u = 0, • (d) (u, v) = (v, u). Dizemos que H = (H, (, )) é um espa¸co com produto interno. Proposi¸cão 4.2 Seja H um espa¸co com produto interno. Então: (1) Para todo u, v ∈ H, [(u, u)[ ≤ (u, v) 1/2 (v, v) 1/2 . (2) A aplica¸cão u → [[u[[ = (u, u) 1/2 define uma norma em H, que será a norma induzida pelo produto interno (, ). (3) Para todo u, v ∈ H, vale a Identidade do Paralelogramo: ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ u + v 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 + ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ u −v 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 = 1 2 _ [[u[[ 2 +[[v[[ 2 _ . Demonstra¸cão: (1) Sejam λ ∈ 1 e u, v ∈ H. Temos 0 ≤ (λu −v, λu −v) = λ 2 (u, u) −2λ(u, v) + (v, v) = aλ 2 + bλ + c = p(λ), onde a = (u, u), b = −2(u, v) e c = (v, v). Logo, p(λ) ≥ 0 ⇔ 4(u, v) 2 −4(u, u)(v, u) ≤ 0 ⇔ (u, v) 2 ≤ (u, u)(v, v), e, portanto [(u, v)[ ≤ (u, u) 1/2 (v, v) 1/2 . PROJEÇ ˜ AO SOBRE UM CONVEXO FECHADO 149 (2) (a) Sejam u, v ∈ H. Temos, por (1) [[u + v[[ 2 = (u + v, u +v) = (u, u) + 2(u, v) + (v, v) ≤ (u, u) + 2[[u[[ [[v[[ + (v, v) = [[u[[ 2 + 2[[u[[ [[v[[ +[[v[[ 2 = ([[u[[ +[[v[[) 2 , de onde resulta que [[u + v[[ 2 ≤ ([[u[[ +[[v[[) 2 , o que prova a desigualdade triangular. (b) Seja v ∈ H, com v ,= 0. Então, (v, v) > 0 ⇒[[v[[ > 0. Obviamente. (v, v) = [[v[[ 2 = 0 ⇔v = 0 (c) Sejam α ∈ 1 e u ∈ H. Então [[αu[[ 2 = (αu, αu) = α 2 (u, u), e, conseq¨ uentemente tem-se [[αu[[ = [α[ [[u[[. (3) Sejam u, v ∈ H. Temos: ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ u +v 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 = _ u +v 2 , u + v 2 _ = 1 4 [(u, u) + 2(u, v) + (v, v)] , (4.1) ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ u −v 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 = _ u −v 2 , u −v 2 _ = 1 4 [(u, u) −2(u, v) + (v, v)] . (4.2) Somando (4.1) e (4.2) obtém-se ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ u + v 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 + ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ u −v 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 = 1 2 _ [[u[[ 2 +[[v[[ 2 _ , o que mostra o desejado e encerra a prova. 2 Observa¸cão 4.3 Em (1) obtemos a igualdade quando u = λv, ou quando v = λu. Ainda, usando a norma definida em (2), a desigualdade dada em (1) pode ser escrita como [(u, v)[ ≤ [[u[[ [[v[[, para todo u, v ∈ H, (4.3) que é conhecida como Desigualdade de Cauchy-Schwarz. 150 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Defini¸cão 4.4 Um espa¸co de Hilbert é um espa¸co vetorial H dotado de um produto interno, tal que H é Banach relativamente à norma induzida pelo produto interno. Exemplo: O espa¸co L 2 (Ω), onde Ω é um subconjunto aberto de 1 n , munido do produto interno (f, g) L 2 (Ω) = _ Ω f(x)g(x) dx, é um espa¸co de Hilbert. Proposi¸cão 4.5 Seja H um espa¸co de Hilbert com produto interno (, ) : H H → 1. Então, H é uniformemente convexo e, portanto, em virtude do teorema de Milman (teorema 3.66) é reflexivo. Demonstra¸cão: Sejam u, v ∈ H e ε > 0 tais que [[u[[ H ≤ 1, [[v[[ H ≤ 1 e [[u −v[[ H > ε. Pela identidade do paralelogramo obtida no item (3) da proposi¸c˜ ao 4.2, resulta que ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ u + v 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 H = 1 − ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ u −v 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 H < 1 − ε 2 4 . Tomando δ = 1 − _ 1 − ε 2 4 _ 1/2 deduzimos que ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ u + v 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ H < 1 −δ, mostrando que H é uniformemente convexo. 2 Teorema 4.6 (Proje¸cão sobre um convexo fechado) Seja K um subconjunto convexo, fechado e não vazio de um espa¸co de Hilbert (H, (, )). Então, para todo f ∈ H, existe um ´ unico u ∈ K tal que (i) [[f −u[[ = min v∈K [[f −v[[, isto é [[f −u[[ ≤ [[f −v[[, para todo v ∈ K. Além disso, u se caracteriza por (ii) _ u ∈ K (f −u, v −u) ≤ 0, para todo v ∈ K. denotamos u = P K f a proje¸cão de f sobre K. PROJEÇ ˜ AO SOBRE UM CONVEXO FECHADO 151 Demonstra¸cão: Dividiremos a demonstra¸cão em três partes. (a) Existência. Faremos duas demonstra¸c˜ oes para o ´ıtem (a). A primeira é uma demonstra¸c˜ ao mais direta e a segunda utilizando os argumentos da Análise Funcional convexa. Demonstra¸cão 1: Se f ∈ K, nada temos a fazer. Suponhamos, ent˜ ao, que f / ∈ K e seja ¦v n ¦ n∈N uma seq¨ uência minimizante para (i), isto é, d n = [[f −v n [[ → d = inf v∈K [[v −f[[, notando que o ´ınfimo existe pois [[f −v[[ ≥ 0, para todo f ∈ H e v ∈ K. Afirmamos que: ¦v n ¦ n∈N é uma seq¨ uência de Cauchy em H. (4.4) De fato, aplicando a identidade do paralelogramo para f −v n e f −v m , obtemos ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ (f −v n ) + (f −v m ) 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 + ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ (f −v n ) −(f −v m ) 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 = 1 2 [[f −v n [[ 2 + 1 2 [[f −v m [[ 2 , ou ainda, ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ f − v n + v m 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 + ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ v n −v m 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 = 1 2 (d 2 n + d 2 m ). (4.5) Como K é convexo e v n , v m ∈ K, implica que v m +v n 2 ∈ K e, portanto, ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ f − v n + v m 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 ≥ d, e de (4.5) resulta que ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ v n −v m 2 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 ≤ 1 2 (d 2 n + d 2 m ) −d 2 → 0, quando m, n →+∞, o que prova (4.4). Sendo H um espa¸co de Hilbert deduzimos que ¦v n ¦ n∈N é convergente para um elemento u ∈ H. Contudo, sendo K fechado, e como ¦v n ¦ n∈N ⊂ K segue que v n →u. A continuidade da norma implica que d = [[f −v[[. Demonstra¸cão 2: 152 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Consideremos, como antes, ¦v n ¦ n∈N uma seq¨ uência minimizante para (i), isto é, d n = [[f −v n [[ → d = inf v∈K [[v −f[[. A sucessão ¦v n −f¦ n∈N é limitada, posto que é convergente. Resulta imediatamente que a seq¨ uência ¦v n ¦ n∈N também o é. Sendo H um espa¸co de Hilbert,e portanto reflexivo (veja proposi¸c˜ ao 4.5). Resulta da´ı e do teorema 3.63 que existem u ∈ H e uma subseq¨ uência de ¦v n ¦ n∈N , que ainda representaremos pela mesma nota¸cão tais que v n u fracamente em H ⇒ v n −f u −f fracamente em H. Entretanto, como ¦v n ¦ n∈N ⊂ K e sendo K convexo, as topologias forte e fraca coincidem (veja teorema 3.21). Como K é fortemente fechado então é fracamente fechado e conseq¨ uentemente u ∈ K. Resulta da convergência acima que e da proposi¸c˜ ao 3.12(iii) que existe u ∈ K tal que [[u −f[[ ≤ liminf n∈N [[v n −f[[ = d = inf v∈K [[v −f[[ ≤ [[v −f[[, para todo v ∈ K, o que prova o desejado. Observa¸cão 4.7 Uma outra forma de demonstrar a existência do elemento u ∈ K verificando (i) seria definirmos o seguinte funcional: ϕ : K →K, ϕ(v) = [[v −f[[. Não é dif´ıcil provar que ϕ é fortemente cont´ınuo, convexo e coercivo, ou seja, verifica a condi¸cão: lim v∈K,||v||→+∞ ϕ(v) = +∞. Quando K for limitado omite-se a condi¸cao acima. Então aplicando-se o teorema 3.46 tem-se o desejado. Deixamos ao leitor a verifica¸cão de fal fato. (b) Equivalência entre (i) e (ii). (i) ⇒(2). Suponhamos que exista u ∈ K que verifica [[f −u[[ ≤ [[f −v[[, para todo v ∈ K. PROJEÇ ˜ AO SOBRE UM CONVEXO FECHADO 153 Tomemos v ∈ K e λ ∈ (0, 1]. Logo, w = (1 −λ)u + λv ∈ K e da desigualdade acima resulta que [[f −u[[ ≤ [[f −[(1 −λ)u +λv][[ = [[(f −u) −λ(v −u)[[, o que implica que [[f −u[[ 2 ≤ [[(f −u) −λ(v −u)[[ 2 = [[f −u[[ 2 −2λ(f −u, v −u) + λ 2 [[v −u[[ 2 , ou seja, 2(f −u, v −u) ≤ λ[[v −u[[ 2 . Fazendo λ →0 na desigualdade acima obtemos (f −u, v −u) ≤ 0, para todo v ∈ K, obtendo (ii). (ii) ⇒ (i). Reciprocamente, suponhamos que exista u ∈ K tal que (f −u, v −u) ≤ 0, para todo v ∈ K. Seja v ∈ K. Então, da desigualdade acima podemos escrever 2(f −u, v −u) ≤ 0 ≤ [[v −u[[ 2 , para todo v ∈ K. Da´ı resulta que [[f −u[[ 2 + 2(f −u, v −u) ≤ [[v −u[[ 2 +[[f −u[[ 2 , para todo v ∈ K, ou seja, [[f −u[[ 2 ≤ [[(v −u) −(f −u)[[ 2 = [[v −f[[ 2 , para todo v ∈ K, o que mostra (i). (c) Unicidade. 154 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Sejam u 1 , u 2 ∈ K verificando (ii). Ent˜ ao, (f −u 1 , v −u 1 ) ≤ 0 para todo v ∈ K, (4.6) (f −u 2 , v −u 2 ) ≤ 0 para todo v ∈ K. (4.7) Fazendo v = u 2 em (4.6) e v = u 1 em (4.7) obtemos (f −u 1 , u 2 −u 1 ) + (f −u 2 , u 1 −u 1 ) ≤ 0, ou ainda, eliminando os termos iguais, vem que (u 1 , u 1 −u 2 ) −(u 2 , u 1 −u 2 ) ≤ 0, isto é (u 1 −u 2 , u 1 −u 2 ) ≤ 0 ⇒[[u 1 −u 2 [[ 2 ≤ 0, de onde resulta que u 1 = u 2 , o que prova a unicidade e encerra a demonstra¸c˜ ao. 2 Proposi¸cão 4.8 Seja K um subconjunto convexo, fechado e não vazio de um espa¸co de Hilbert H. Então, [[P K f 1 −P K f 2 [[ ≤ [[f 1 −f 2 [[, para todo f 1 , f 2 ∈ H. Em outras palavras, a proje¸cão P K : H →K é uniformemente cont´ınua. Demonstra¸cão: Vimos, de acordo com o teorema 4.6, que para cada f ∈ H, existe um ´ unico u ∈ K tal que [[f −u[[ = min v∈K [[f −v[[, ou equivalentemente, (f −u, v −u) ≤ 0, para todo v ∈ K, ficando bem definida a aplica¸cão P K : H →K f →P K (f) = u. Sejam f 1 , f 2 ∈ H. Do exosto acima resulta que (f 1 −P k f 1 , v −P K f 1 ) ≤ 0, para todo v ∈ K, (f 2 −P k f 2 , v −P K f 2 ) ≤ 0, para todo v ∈ K. PROJEÇ ˜ AO SOBRE UM CONVEXO FECHADO 155 Fazendo v = P K f 2 na primeira desigualdade acima e v = P K f 1 na segunda, e, somando membro a membro, inferimos (f 1 −P k f 1 , P K f 2 −P K f 1 ) + (f 2 −P K f 2 , P K f 1 −P K f 2 ) ≤ 0, para todo v ∈ K. Desta ´ ultima desigualdade resulta que (P K f 1 −P K f 2 , P K f 1 −P K f 2 ) ≤ (f 1 −f 2 , P K f 1 −P K f 2 ) , o que implica, em virtude da desigualdade de cauchy-Schwarz, [[P K f 1 −P K f 2 [[ 2 ≤ [[f 1 −f 2 [[ [[P K f 1 −P K f 2 [[. Se [[P K f 1 −P K f 2 [[ ,= 0, ent˜ ao [[P K f 1 −P K f 2 [[ ≤ [[f 1 −f 2 [[. Agora, se [[P K f 1 − P K f 2 [[ = 0, a desigualdade a ser provada segue trivialmente. Isto conclui a prova. 2 Corolário 4.9 Sejam M um subespa¸co vetorial fechado de um espa¸co de Hilbert H e f ∈ H. Então, u = P M f se caracteriza por _ Existe um ´ unico u ∈ M tal que (f −u, v) = 0, para todo v ∈ M. Além disso, P M é um operador linear. Demonstra¸cão: Seja f ∈ M. Sabemos que existe um ´ unico elemento u ∈ M tal que (f −u, v) ≤ 0, para todo v ∈ M. Sendo M subespa¸co, em particular, para −v ∈ M temos (f −u, −v) ≤ 0 ⇒(f −u, v) ≥ 0, para todo v ∈ M, de onde conclu´ımos que (f −u, v) = 0 para todo v ∈ M. 156 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Resta-nos provar que P M : H →M f →P M (f) = u é linear. De fato, sejam f 1 , f 2 ∈ M. Provaremos, primeiramente que P M (f 1 + f 2 ) = P M (f 1 ) + P M (f 2 ). (4.8) Com efeito, denotemos f = f 1 + f 2 . Sabemos que: Existe um ´ unico u 1 = P M (f 1 ) tal que (f 1 −u 1 , v) = 0, para todo v ∈ M. (4.9) Existe um ´ unico u 2 = P M (f 2 ) tal que (f 2 −u 2 , v) = 0, para todo v ∈ M.(4.10) Existe um ´ unico u = P M (f) tal que (f −u, v) = 0, para todo v ∈ M. (4.11) De (4.9) e (4.10) obtemos (f −(u 1 + u 2 ), v) = 0, para todo v ∈ M, (4.12) e de (4.11) e (4.12) resulta que (u 1 + u 2 , v) = (u, v) , para todo v ∈ M, ou seja, (u 1 + u 2 −u, v) = 0, para todo v ∈ M. Tomando v = (u 1 + u 2 − u) ∈ M, pois M é subespa¸co, da identidade acima resulta que [[u 1 +u 2 −u[[ 2 = 0, o que implica que u = u 1 +u 2 , o que prova (4.8). Analogamente, dado f ∈ M e λ ∈ 1 prova-se que P M (λf) = λP M (f). 2 4.2 Teorema da Representa¸cão de Riesz-Fréchet. Teorema 4.10 (Teorema da Representa¸cão de Riesz-Fréchet) Seja H um espa¸co de Hilbert com produto interno (, ) e norma [[ [[. Dado ϕ ∈ H , existe um ´ unico f ∈ H tal que ¸ϕ, v) H ,H = (f, v), para todo v ∈ H. O TEOREMA DA REPRESENTAÇ ˜ AO DE RIESZ-FR ´ ECHET 157 Além disso, [[f[[ = [[ϕ[[ H . Demonstra¸cão: Consideremos a seguinte aplica¸cão T : H →H (4.13) f →Tf, definida por ¸Tf, v) H ,H = (f, v), para todo v ∈ H. (4.14) Tf : H →1 é claramente linear e cont´ınua pois de (4.14) obtemos ¸ ¸ ¸¸Tf, v) H ,H ¸ ¸ ¸ ≤ [[f[[ [[v[[, para todo v ∈ H, o que implica que Tf ∈ H . Assim, T : H → H está bem definida e é linear pois dados f, g, v ∈ H e α, β ∈ 1, temos ¸T(αf +βg), v) = (αf + βg, v) = α(f, v) + β(g, v) = α¸Tf, v) + β ¸Tg, v) = ¸αTf +β Tg) , o que implica que T(αf + βg) = αTf + β Tg provando a linearidade de T. A seguir, provaremos que [[Tf[[ H = [[f[[, para todo f ∈ H. (4.15) De fato, dados f, v ∈ H de (4.14) vem que [ ¸Tf, v) [ ≤ [[f[[ [[v[[ ⇒[[Tf[[ H ≤ [[f[[. (4.16) Por outro lado, notemos que se f ,= 0 (é não identicamente nula), então [[f[[ 2 = (f, f) = ¸Tf, f) = _ Tf, f [[f[[ _ ≤ [[f[[ sup v∈H,||v||≤1 [ ¸Tf, v) [ = [[f[[ [[Tf[[ H , ou seja, [[f[[ ≤ [[Tf[[ H . (4.17) 158 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Observe que se f = 0 a desigualdade (4.17) segue trivialmente. Combinando (4.16) e (4.17) obtemos o desejado em (4.15). Assim, a aplica¸cão T : H → H é uma aplica¸cão linear isométrica, portanto injetora. Resta-nos provar que TH = H , (4.18) isto é, T é sobrejetora. Com efeito, afirmamos que TH é um subespa¸co fechado de H , (4.19) pois se ¦Tv ν ¦ ν∈N ⊂ TH é tal que Tv ν →w em H , ent˜ ao, pelo fato de [[v ν −v µ [[ = [[Tv ν −Tv µ [[ H →0 quando ν, µ →+∞, segue que a seq¨ uência ¦v ν ¦ ν∈N é de Cauchy em H e portanto é convergente, digamos, existe v ∈ H tal que v ν → v em H. Pela continuidade da aplica¸cão T : H → H resulta que Tv ν → Tv em H e, portanto, face a unicidade do limite em H conclu´ımos que w = Tv ∈ TH, o que prova (4.19). Logo, se mostrarmos que TH é denso em H , (4.20) ent˜ ao, por (4.19) e (4.20) resulta que TH = TH = H , ou seja, TH = H , ficando provado (4.18). Logo, basta mostrarmos (4.20). Seja, ent˜ ao, ξ ∈ H tal que ¸ξ, Tf) H ,H = 0, para todo f ∈ H. Queremos provar que ξ ≡ 0 em E . Com efeito, sendo H reflexivo (posto que é Hilbert) segue que H ≡ H. Assim ξ ∈ H ≡ H, o que implica que ¸Tf, ξ) H ,H = (f, ξ) = 0, para todo f ∈ H. Em particular, se f = ξ obtemos (ξ, ξ) = [[ξ[[ 2 = 0, o que implica que ξ ≡ 0, o que prova o desejado. 2 Observa¸cão 4.11 A aplica¸cão T : H →H definida em (4.13) nos permite identificar H com H . Esta identifica¸cão poderá sempre ser feita, a menos que não seja interessante. Descrevamos uma situa¸cão deste tipo. Seja H um espa¸co de Hilbert com norma [ [ e V um subespa¸co vetorial denso em H. Suponhamos que V dotado da norma [[ [[ se torna um espa¸co de Banach reflexivo e que V → H, ou seja, existe C > 0 tal que [v[ ≤ C[[v[[, para todo v ∈ V . Identifiquemos H com H . Podemos sempre ter H ⊂ V , basta para isso definirmos a aplica¸cão linear T : H →V f →Tf, O TEOREMA DA REPRESENTAÇ ˜ AO DE RIESZ-FR ´ ECHET 159 definida por ¸Tf, v) V ,V = (f, v), para todo v ∈ H. Afirmamos que que: • [[Tf[[ V ≤ C[f[ ( ou seja, T é cont´ınua). (4.21) • T é injetora. (4.22) • TH é denso em V . (4.23) Prova de (4.21). De [v[ ≤ C[[v[[, para todo v ∈ V e da desigualdade de Cauchy-Scwarz chegamos a [[Tf[[ V = sup v∈V,||v||=1 [ ¸Tf, v) [ = sup v∈V,||v||=1 [(f, v)[ ≤ C[f[, o que prova o desejado. Prova de 4.22. De fato, sejam f, f ∈ H e consideremos Tf = Tg. Logo, ¸Tf, v) = ¸Tg, v) ⇒ (f, v) = (g, v), para todo v ∈ V, o que implica que (f −g, v) = 0, para todo v ∈ V. (4.24) Por outro lado, seja h ∈ H. Como V é denso em H, existe ¦h ν ¦ ν∈N ⊂ V tal que h ν →h em H quando ν →+∞. (4.25) Logo, de (4.24) resulta, em particular, que (f −g, h ν ) = 0, para todo ν ∈ N. (4.26) Entretanto, da convergência forte em (4.25) resulta a convergência fraca, ou seja, ¸ϕ, h ν ) H ,H →¸ϕ, h) H ,H , para todo ϕ ∈ H . Como estamos identificando H com o seu dual H , então, em particu¸car, para ϕ = f−g podemos escrever (f −g, h ν ) →(f −g, h) , para todo h ∈ H, 160 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL e de (4.26) resulta que (f −g, h) = 0, para todo h ∈ H. Em particular para h = f −g obtemos [f −g[ 2 = 0 o que implica que f = g provando (4.22). Prova de (4.23). Com efeito, consideremos ξ ∈ V ≡ V (já que V é reflexivo) tal que ¸Tf, ξ) V ,V = 0, para todo f ∈ H. (4.27) Provaremos que ξ ≡ 0. de fato, de (4.27) e da defini¸cão de Tf obtemos (f, ξ) = 0, para todo f ∈ H e, em particular, para f = ξ chegamos a [ξ[ 2 = 0, ou seja, ξ ≡ 0. Do exposto acima, e com a ajuda da aplica¸cão T : H → V acima definida e em decorrência das propriedades (4.21), (4.22) e (4.23), H submerge-se em V e tem-se o seguinte esquema: V →H ≡ H →V (4.28) onde as imersões são cont´ınuas e densas. Neste caso, dizemos que H é o espa¸co pivô. Observemos que com esta identifica¸cão podemos escrever ¸f, v) V ,V = (f, v), para todo f ∈ H e v ∈ V. Suponhamos, agora, que V em lugar de ser um espa¸co de banach reflexivo seja também um espa¸co de Hilbert com seu próprio produto interno ((, )). Poder´ıamos, então, identificar V e V via produto escalar ((, )), como fizemos anteriormente. Entretanto, se fizermos as duas identifica¸cões simultaneamente então de (4.28) vem que H ≡ V , o que é um absurdo. Isto mostra que não se pode fazer as duas identifica¸cões simultãneas, devendo-se escolher apropriadamente uma delas. OS TEOREMAS DE LIONS-STAMPACCHIA E LAX-MILGRAM 161 4.3 Os Teoremas de Lions-Stampacchia e Lax-Milgram Defini¸cão 4.12 Seja H um espa¸co vetorial com produto interno (, ) e norma [ [. Dize- mos que uma forma bilinear a(u, v) : H H →1 é (i) cont´ınua se existe uma constante C tal que [a(u, v)[ ≤ C[u[ [v[, para todo u, v ∈ H. (ii) coerciva se existe uma constante α tal que a(u, v) ≥ α[v[ 2 , para todo v ∈ H. Teorema 4.13 (Lions-Stampacchia) Sejam H um espa¸co de Hilbert com produto interno (, ) e norma [ [ e a(u, v) uma forma bilinear, cont´ınua e coerciva em H. Seja K ⊂ H convexo, fechado e não vazio. Então, dado ϕ ∈ H , existe um ´ unico u ∈ K tal que a(u, v −u) ≥ ¸ϕ, v −u) H ,H , para todo v ∈ K. Além disso, se a(u, v) é simétrica, então u se caracteriza pela seguinte propriedade _ _ _ Existe um ´ unico u ∈ K tal que 1 2 a(u, u) −¸ϕ, u) H ,H = min v∈K _ 1 2 a(u, v) −¸ϕ, v) H ,H _ . Demonstra¸cão: (a) Seja ϕ ∈ H . Pelo teorema da Representa¸ cão de Riesz, existe um ´ unico f ∈ H tal que ¸ϕ, v) H ,H = (f, v), para todo v ∈ H. (4.29) Por outro lado, para cada u ∈ H, definamos a seguinte aplica¸c˜ ao ψ u : H →1 (4.30) v →¸ψ u , v) = a(u, v). A aplica¸cão ψ u está claramente bem definida e, além disso, é linear e cont´ınua uma vez que a(u, v) é bilinear e cont´ınua. Assim, para cada u ∈ H, temos que ψ u ∈ H . Logo, pelo Teorema de Representa¸cão de Riesz, para cada u ∈ H, existe um ´ unico f u ∈ H tal que ¸ψ u , v) H ,H = (f u , v), para todo v ∈ H. (4.31) 162 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Do exposto acima, podemos definir a seguinte aplica¸cão: A : H →H u →A(u) = f u , onde ¸ψ u , v) H ,H = (f u , v), para todo v ∈ H. ou, equivalentemente, de (4.30) e (4.31) a(u, v) = (Au, v), para todo u, v ∈ H. (4.32) Afiramos que: A é linear. (4.33) De fato, sejam u 1 , u 2 ∈ H e α, β ∈ 1. Ent˜ ao, para todo v ∈ H temos, de (4.32) (A(αu 1 + βu 2 ), v) = a (αu 1 + βu 2 , v) = αa(u 1 , v) + βa(u 2 , v) = α(Au 1 , v) + β(Au 2 , v) = (αAu 1 +βAu 2 , v) , o que implica que A(αu 1 + βu 2 ) = αAu 1 + βAu 2 em H, provando (4.33). A seguir, provaremos que A é um operador linear coercivo, ou seja, existe α > 0 tal que (4.34) (Au, u) ≥ α[u[ 2 , para todo u ∈ H. De fato, de (4.32) e em virtude da coercividade de a(u, v) obtemos (Au, u) = a(u, u) ≥ α[u[ 2 , para todo u ∈ H, onde a constante α > 0 provêm da coercividade de a(u, v). Isto prova (4.34). Na seq¨ uência, mostraremos que A é cont´ınua. (4.35) Com efeito, de (4.32) e para todo u ∈ H resulta que [Au[ 2 = (Au, Au) = a(u, Au) ≤ C[u[ [Au[, onde C é uma constante positiva resultante da continuidade da forma bilinear a(u, v). Se Au ,= 0 segue que [Au[ ≤ C[u[, para todo u ∈ H. Se Au = 0, então, em fun¸c˜ ao da coercividade de A, resulta que u = 0 e a desigualdade segue trivialmente. OS TEOREMAS DE LIONS-STAMPACCHIA E LAX-MILGRAM 163 Do exposto acima, dado ϕ ∈ H , resolver o problema _ Existe um ´ unico u ∈ K tal que a(u, v −u) ≥ ¸ϕ, v −u) H ,H , para todo v ∈ K, (4.36) é equivalente a resolver o problema _ Existe um ´ unico u ∈ K tal que (Au, v −u) ≥ ¸ϕ, v −u) H ,H , para todo v ∈ K. (4.37) Contudo, como vimos em (4.29), para ϕ ∈ H , existe um ´ unico f ∈ H tal que ¸ϕ, v) H ,H = (f, v), para todo v ∈ V . Resulta da´ı e de (4.37) que basta resolvermos o problema equivalente _ Existe um ´ unico u ∈ K tal que (Au, v −u) ≥ (f, v −u), para todo v ∈ K. (4.38) Notemos que de (4.38) podemos escrever que (f −Au, v −u) ≤ 0, para todo v ∈ K. Seja ρ > 0 uma constante que será fixada mais adiante. Da ´ ultima desigualdade resulta que (ρf −ρAu, v −u) ≤ 0, para todo v ∈ K, ou ainda, (ρf −ρAu + u −u, v −u) ≤ 0, para todo v ∈ K. Decorre da´ı e de (4.38) que basta provarmos que _ Existe um ´ unico u ∈ K tal que (ρf −ρAu + u −u, v −u) ≥ 0, para todo v ∈ K. (4.39) De acordo com o teorema 4.6 (Proje¸cão sobre um convexo fechado), deduzimos que o elemento u ∈ K procurado, é a proje¸c˜ ao sobre K de (ρf −ρAu + u) ∈ H, ou seja, u = P K (ρf −ρAu + u), para algum ρ > 0, a determinar. 164 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Definamos, ent˜ ao, a seguinte aplica¸c˜ ao: S : K →K (4.40) v →Sv = P K (ρf −ρAv + v). Demonstraremos que se ρ > 0 for escolhido adequadamente, ent˜ ao S é uma contra¸ cão estrita, ou seja, existirá K < 1 tal que [Sv 1 −Sv 2 [ ≤ K[v 1 −v 2 [, para todo v 1 , v 2 ∈ K. (4.41) Com efeito, sejam v 1 , v 2 ∈ K. Temos, em virtude da proposi¸c˜ ao 4.8 que [Sv 1 −Sv 2 [ = [P K (ρf −ρAv 1 +v 1 ) −P K (ρf −ρAv 2 + v 2 )[ ≤ [ρf −ρAv 1 + v 1 −(ρf −ρAv 2 + v 2 )[ = [(v 1 −v 2 ) −ρ(Av 1 −Av 2 )[, de onde resulta que, em virtude da linearidade, continuidade e coercividade de A que [Sv 1 −Sv 2 [ 2 ≤ [(v 1 −v 2 ) −ρ(Av 1 −Av 2 )[ 2 = [v 1 −v 2 [ 2 −2ρ(v 1 −v 2 , Av 1 −Av 2 ) + ρ 2 [Av 1 −Av 2 [ 2 ≤ [v 1 −v 2 [ 2 −2ρα[v 1 −v 2 [ 2 + C 2 ρ 2 [v 1 −v 2 [ 2 = (1 −2ρα + C 2 ρ 2 )[v 1 −v 2 [ 2 . Assim, tomando-se 0 < ρ < 2α C 2 resulta que 0 < 1 + C 2 ρ 2 −2ρα . ¸¸ . =K 2 < 1. Logo, definindo- se K = _ 1 + C 2 ρ 2 −2ρα, com 0 < ρ < 2α C 2 , resulta o desejado em (4.41). Logo, S é uma contra¸ cão estrita e como K é um subconjunto fechado de um espa¸co de Hilbert, segue que K é completo com a topologia induzida por H. Portanto, pelo Teorema do ponto fixo de Banach (ver Lima [15] proposi¸c˜ ao 23, pág. 198 [Teorema de Banach sobre pontos fixos de contra¸c˜ oes]) existe um ´ unico u ∈ K tal que Su = u, ou seja, existe um ´ unico u ∈ K tal que u = P K (ρf − ρAu + u) com ρ > 0 nas condi¸cões acima mencionadas. Isto prova a primeira parte do teorema. (b) Suponhamos, agora, que a(u, v) seja também simétrica. Provaremos que os problemas (1) _ Existe um ´ unico u ∈ K tal que a(u, v −u) ≥ ¸ϕ, v −u) H ,H , para todo v ∈ K, OS TEOREMAS DE LIONS-STAMPACCHIA E LAX-MILGRAM 165 e (2) _ _ _ Existe um ´ unico u ∈ K tal que 1 2 a(u, u) −¸ϕ, u) H ,H = min v∈K _ 1 2 a(v, v) −¸ϕ, v) H ,H _ , são equivalentes. De fato. (1) ⇒(2) Como a(u, v) é simétrica e estriramente positiva, gra¸cas a coercividade, define um novo produto interno em H cuja norma associada é a(u, u) 1/2 . Além disso, que as normas a(u, u) 1/2 e [u[ são equivalentes em H pois α[u[ 2 ≤ .¸¸. coerc. a(u, u) ≤ .¸¸. cont. C [u[ 2 ⇒ √ α[u[ ≤ a(u, u) 1/2 ≤ √ C[u[, para todo u ∈ H. Logo, H também é um espa¸co de Hilbert munido da norma a(u, u) 1/2 . Feitas estas considera¸c˜ oes, seja ϕ ∈ H . Por hipótese, existe um ´ unico u ∈ K tal que a(u, v −u) ≥ ¸ϕ, v −u) , para todo v ∈ K (4.42) Por outro lado, face ao Teorema da representa¸c˜ ao de Riesz, existe um ´ unico g ∈ H tal que ¸ϕ, v) = a(g, v), para todo v ∈ H. (4.43) Logo, combinando (4.42) e (4.43) resulta que a(u, v −u) ≥ a(g, v −u) ⇒a(g −u, v −u) ≤ 0, para todo v ∈ K. Resulta da´ı e pela caracteriza¸cão de proje¸cão no sentido do produto interno definido por a(u, u) 1/2 (Teorema 4.6) que u = P K g, e a(g −u, g −u) 1/2 = min v∈K a(g −v, g −v) 1/2 . Da´ı, a(g −u, g −u) = min v∈K a(g −v, g −v), e pelo fato de a(g −v, g −v) = a(g, g) −2a(g, v) + a(v, v), a(g −u, g −u) = a(g, g) −2a(g, u) + a(u, u), 166 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL resulta que a(u, u) −2a(g, u) = min v∈K ¦a(v, v) −2a(g, v)¦, e de (4.43) conclu´ımos que existe um ´ unico u ∈ K tal que 1 2 a(u, u) −¸ϕ, u) = min v∈K _ 1 2 a(v, v) −¸ϕ, v) _ . (2) ⇒(1) Para mostrarmos esta implica¸cão, basta retrocedermos com o que fizemos na ida, ou seja, suponhamos que exista um ´ unico u ∈ K tal que 1 2 a(u, u) −¸ϕ, u) = min v∈K _ 1 2 a(v, v) −¸ϕ, v) _ . Da´ı chegamos a a(u, v −u) ≥ a(g, v −u), para todo v ∈ K. Mas, como ¸ϕ, v) = a(g, v), para todo v ∈ H conclu´ımos que a(u, v −u) ≥ ¸ϕ, v −u), para todo v ∈ K. Isto finaliza a prova. 2 Observa¸cão 4.14 Sejam ϕ 1 , ϕ 2 ∈ H . Vimos que _ Existe um ´ unico u 1 ∈ K tal que a(u 1 , v −u 1 ) ≥ ¸ϕ 1 , v −u 1 ) H ,H , para todo v ∈ K. e _ Existe um ´ unico u 2 ∈ K tal que a(u 2 , v −u 2 ) ≥ ¸ϕ 2 , v −u 2 ) H ,H , para todo v ∈ K. Da´ı resulta tomando v = u 2 e v = u 1 , respectivamente, que a(u 1 , u 2 −u 1 ) ≥ ¸ϕ 1 , u 2 −u 1 ) e a(u 2 , u 1 −u 2 ) ≥ ¸ϕ 2 , u 1 −u 2 ) , o que implica que a(u 1 , u 2 −u 1 ) + a(−u 2 , u 2 −u 1 ) ≥ ¸ϕ 1 , u 2 −u 1 ) +¸−ϕ 2 , u 2 −u 1 ) , ou ainda, a(u 2 −u 1 , u 2 −u 1 ) ≤ ¸ϕ 2 −ϕ 1 , u 2 −u 1 ) (4.44) OS TEOREMAS DE LIONS-STAMPACCHIA E LAX-MILGRAM 167 Mas, pela coercividade de a(u, v) podemos escrever a(u 2 −u 1 , u 2 −u 1 ) ≥ α[u 1 −u 2 [ 2 . (4.45) Combinando (4.44) e (4.45) e fazendo o uso da desigualdade e Cauchy-Schwarz resulta que [u 1 −u 2 [ ≤ 1 α [[ϕ 1 −ϕ 2 [[ H , (4.46) provando que a aplica¸cão τ : H →K ϕ →u é Lipschtiziana. Corolário 4.15 (Lax-Milgram) Sejam H um espa¸co de Hilbert e a(u, v) : HH → R uma forma bilinear, cont´ınua e coerciva. Então, para todo ϕ ∈ H , existe um ´ unico u ∈ H tal que a(u, v) = ¸ϕ, v) H ,H , para todo v ∈ H. Além disso, se a(u, v) for simétrica, então u se caracteriza por: _ _ _ Existe um ´ unico u ∈ H tal que 1 2 a(u, u) −¸ϕ, u) H ,H = min v∈H _ 1 2 a(v, v) −¸ϕ, v) H ,H _ . Demonstra¸cão: Seja ϕ ∈ H . Neste caso, K = H e portanto, pelo Teorema de Lions-Stampacchia existe um ´ unico u ∈ H tal que a(u, v −u) ≥ ¸ϕ, v −u) , para todo v ∈ H. Tome w ∈ H e fa¸ca v = w + u. Da desigualdade acima decorre que a(u, w) ≥ ¸ϕ, w) , para todo w ∈ H. Em particular para −w, temos a(u, w) ≤ ¸ϕ, w) , para todo w ∈ H, o que prova a identidade a(u, w) = ¸ϕ, w), para todo w ∈ H. O resto da demonstra¸cão decorre da aplica¸cão imediata da segunda parte do teorema de Lions-Stampacchia. 2 168 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Observa¸cão 4.16 Sejam H um espa¸co de Hilbert, a(u, v) uma forma bilinear, cont´ınua e coerciva e K ⊂ H um subconjunto convexo, fechado e não vazio. Consideremos L ∈ H e definamos o seguinte funcional: J : K →1 v →J(v) = 1 2 a(v, v) −¸L, v) . Aplicando-se o teorema de Lions-Stampacchia, temos que _ Existe um ´ unico u ∈ K tal que a(u, v −u) ≥ ¸L, v −u) , para todo v ∈ K. Além disso, se a(u, v) for simétrica, temos J(u) = min v∈K J(v). As vezes, na teoria de equa¸cões el´ıpticas, é conveniente expressar o Teorema de Lions- Stampacchia em termos do funcional J acima definido. 4.4 Soma Hilbertiana. Base Hilbertiana Defini¸cão 4.17 Sejam H um espa¸co de Hilbert com produto interno (, ) e norma [ [ e ¦E n ¦ n∈N uma seq¨ uência de subespa¸cos fechados de H. Dizemos que H é uma soma Hilbertiana dos E n , (i) quando os E n são dois a dois ortogonais, ou seja, (u, v) = 0, para todo u ∈ E n e para todo v ∈ E m , com n ,= m. (ii) O espa¸co vetorial gerado pelos subespa¸cos E n é denso em H, ou seja, o conjunto das combina¸cões lineares finitas de elementos de E n é denso em H. Se H é uma soma Hilbertiana dos E n denotamos H = ⊕ n E n . SOMA HILBERTIANA. BASE HILBERTIANA 169 Teorema 4.18 Sejam H = ⊕ n E n e P E n : H → E n , a proje¸cão de H sobre E n , definida por P En u = u n . Então, a) u = +∞ n=1 u n , ou seja, lim n→+∞ n k=1 u k = u, para todo u ∈ H. b) [u[ 2 = +∞ n=1 [u n [ 2 .(Identidade de Bessel-Parseval). Demonstra¸cão: a) Inicialmente, observemos que, de acordo com a proposi¸c˜ ao 4.8, P E n : H → E n ⊂ H é um operador linear e cont´ınuo de H em H, para todo n ∈ N. Portanto, segue que S n = n k=1 P E k , para todo n ∈ N, é um operador linear e cont´ınuo de H em H. Logo, dado u ∈ H, um elemento arbitrário de H, tem-se que S n u = n k=1 P E k u = n k=1 u k , o que implica que [S n u[ 2 = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n k=1 u k ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 = _ n k=1 u k , n k=1 u k _ = n k=1 [u k [ 2 , ou seja, [S n u[ 2 = n k=1 [u k [ 2 , para todo u ∈ H e n ∈ N. (4.47) Por outro lado, pelo corolário 4.9, temos que P En se caracteriza por: _ Dado f ∈ H, e tomando-se f k = P E k f, tem-se f k ∈ H e (f −f k , v) = 0, para todo v ∈ E k . Da carecteriza¸c˜ ao acima e, em particular, para u ∈ H, implica que u k = P E k u, e, assim, (u −u k , u k ) = 0 ⇒(u, u k ) = (u k , u k ) = [u k [ 2 , para todo k ∈ N e u ∈ H. 170 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Resulta da´ı, somando de 1 até n, que n k=1 (u, u k ) = n k=1 [u k [ 2 ⇒ _ u, n k=1 u k _ = n k=1 [u k [ 2 , ou seja, (u, S n u) = n k=1 [u k [ 2 , para todo n ∈ N e u ∈ H. (4.48) De (4.47) e (4.48) vem que [S n u[ 2 = (u, S n u) , e, em virtude da desigualdade de Cauchy-Shwarz decorre que [S n u[ ≤ [u[, para todo n ∈ N e u ∈ H. (4.49) Agora, considerando que H = ⊕ n E n , temos que o espa¸co gerado pelos ¦E n ¦ n∈N , que designaremos por F, é denso em E. Portanto, dados ε > 0 e u ∈ H, existe u ∈ F tal que [u −u[ < ε 2 , (4.50) o que implica que [S n u −S n u[ = [S n (u −u)[ ≤ [u −u[ < ε 2 , e, por conseguinte, [S n u −u[ ≤ [S n u −S n u[ +[S n u −u[ (4.51) < ε 2 +[S n u −u[. Mas, pelo fato de u ∈ F, então u é uma combina¸cão linear finita de elementos de ¦E n ¦ n∈N , ou seja u = j∈J u j onde u j ∈ E j e J é finito. Logo, existe n 0 ∈ N, suficientemente grande, tal que S n u = n k=1 P E k u = n k=1 u k = u, para todo n ≥ n 0 . (4.52) SOMA HILBERTIANA. BASE HILBERTIANA 171 Portanto, combinando (4.50), (4.51) e (4.52) resulta que dados ε > 0 e u ∈ H, existe n 0 ∈ N tal que [S n u −u[ < ε 2 +[S n u −u[ = [u −u[ < ε 2 + ε 2 = ε, para todo n ≥ n 0 , de onde resulta que lim n→+∞ S n u = u ⇒u = +∞ n=1 u n , para todo u ∈ H. Isto prova a primeira parte do teorema. (b)De (4.47) tem-se [S n u[ 2 = n k=1 [u k [ 2 , para todo u ∈ H e n ∈ N. Tomando-se o limite na identidade acima, obtemos, em fun¸cão da ´ ultima convergência obtida acima que [u[ 2 = +∞ k=1 [u k [ 2 . Isto conclui a prova. 2 Defini¸cão 4.19 Sejam H um espa¸co de Hilbert com produto interno (, ) e norma [ [ e ¦e n ¦ n∈N , uma seq¨ uência de elementos de H tal que • (i) [e n [ = 1, para todo n ∈ N. • (ii) (e n , e m ) = 0, para todo n ,= m. • (iii) O espa¸co G gerado pelos ¦e n ¦ n∈N é denso em H. Nestas condi¸cões, dizemos que ¦e n ¦ n∈N é uma base Hilbertiana de H. Proposi¸cão 4.20 Sejam H um espa¸co de Hilbert e ¦e n ¦ n∈N uma base Hilbertiana de H. Então, u = +∞ n=1 (u, e n ) e n e [u[ 2 = +∞ n=1 [(u, e n )[ 2 . 172 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Demonstra¸cão: Consideremos uma seq¨ uência ortogonal ¦E n ¦ n∈N de subespa¸cos fechados de H definida por E n = ¦te n ; t ∈ 1¦, para todo n ∈ N. Evidentemente o espa¸co gerado pelos ¦E n ¦ n∈N é denso em H. Logo, H = ⊕ n E n e pelo teorema 4.18 resulta que u = +∞ n=1 P E n u = +∞ n=1 u n . Mas, para cada n ∈ N, tem-se que u = u n + w, onde u n ∈ E n e w ∈ E ⊥ n . Conseq¨ uentemente, w = +∞ k=1,k=n c k e k e u n = t e n , o que nos leva a u = t e n + +∞ k=1,k=n c k e k . Assim, fazendo o produto interno na identidade acima com e k , k ,= n, obtemos os valores de c k , isto é, (u, e k ) = c k , para todo n ∈ N e k ,= n. (4.53) Analogamente, (u, e n ) = t (e n , e n ) = t. Consequentemente, u = (u, e n ) e n + +∞ k=1,k=n (u, e k ) e k ⇒u = +∞ k=1 (u, e k ) e k Por outro lado, notemos que P E n u = u n = (u, e n )e n , e portanto, [u n [ 2 = [(u, e n ) e n [ 2 = [(u, e n )[ 2 R [e n [ 2 = [(u, e n )[ 2 R , para todo n ∈ N. Logo, em virtude do teorema 4.18 obtemos [u[ 2 = +∞ k=1 [u k [ 2 = +∞ k=1 [(u, e k )[ 2 R para todo u ∈ H. Isto conclui a prova. 2 SOMA HILBERTIANA. BASE HILBERTIANA 173 Teorema 4.21 Todo espa¸co de Hilbert separável admite uma base Hilbertiana. Demonstra¸cão: Seja H um espa¸co de Hilbert separável. Logo, existe um subconjunto D ⊂ H denso e enumerável. Consideremos D = ¦v 1 , v 2 , , v n , ¦ e denotemos por E n , o subespa¸co gerado pelos vetores v 1 , v 2 , , v n . Deste modo, temos uma seq¨ uência ¦E n ¦ n∈N de subespa¸cos de dimensão finita tais que (i) E n ⊂ E n+1 , para todo n ∈ N. (ii) D = +∞ _ n=1 E n é denso em H. Seja β 1 uma base ortonormal de E 1 . Em seguida, considerando que E 1 ⊂ E 2 , completamos β 1 de modo a obter uma base ortonormal β 2 de E 2 . Repetimos o processo obtendo uma base β 3 ortonormal de E 3 tal que β 2 ⊂ β 3 . Procedendo desta forma, indefinidamente, teremos determinado uma seq¨ uência ¦β n ¦ n∈N de bases para os E s n tal que β n é finito para todo n ∈ N. β n ⊂ β n+1 para todo n ∈ N. Logo, β = +∞ n=1 β n é um subconjunto ortonormal e enumerável de H. Além disso, o subespa¸co gerado por β é denso em H. β é a base Hilbertiana procurada de H. 2 174 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Cap´ıtulo 5 Teoria Espectral Figura 5.1: Riesz-Fredholml. Frigyes Riesz (1880 – 1956), à esquerda, foi um matemático nascido em Gyor, ` Austria- Hungria (agora Hungria) e faleceu em Budapest, Hungria. Ele foi reitor e professor da Universidade de Szeged. Riesz fez contribui¸c˜ oes fundamentais no desenvolvimento da Análise Funcional e seu trabalho teve um n´ umero de aplica¸c˜ oes importantes em F´ısica. Seu ntrabalho foi constru´ıdo baseado em idéias introducidas por Fréchet, Lebesgue, Hilbert e outros. Ele também tem algumas contribui¸c˜ oes em outras áreas incluindo a teoria ergódica e ele deu uma prova elementar do principal teorema ergódico. Erik Ivar Fredholm (1866 - 1927), à direita, foi um matemático Sueco que estabeleceu a teoria moderna de equa¸c˜ oes integrais. Seu trabalho publicado em 1903 na revista Acta Mathematica é considerado um dos principais marcos no estabelecimento da teoria de operadores. 175 176 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL 5.1 Formas Sesquilineares Até agora trabalhamos em espa¸cos vetoriais sobre o corpo dos n´ umeros reais. Daqui por diante trabalharemos em espa¸cos vetoriais complexos. Alguns resultados apresenta- dos anteriormente estendem-se naturalmente para o caso complexo. De qualquer forma, de modo que o presente livro texto seja auto-suficiente, introduziremos novos conceitos bem como redemonstraremos alguns resultados que achamos convenientes para um bom entendimento da teoria espectral. Defini¸cão 5.1 Seja E um espa¸co vetorial complexo. Uma forma sesquilinear de E, é uma aplica¸cão a : E E →C, (u, v) →a(u, v), que satisfaz as seguintes condi¸cões: (i) a(u + v, w) = a(u, v) + a(v, w) para todo u, v, w ∈ E. (ii) a(λu, v) = λa(u, v), para todo u, v ∈ E e λ ∈ C. (iii) a(u, v + w) = a(u, v) + a(u, w), para todo u, v, w ∈ E. (iv) a(u, λv) = λa(u, v), para todo u, v ∈ E e λ ∈ C. Observa¸cão 5.2 No caso em que E é um espa¸co vetorial real e a(u, v) satisfaz as condi¸cões acima, dizemos que a(u, v) é uma forma bilinear, conforme vimos anteriormente. Defini¸cão 5.3 Seja E um espa¸co vetorial complexo. Uma forma sesquilinear a(u, v) que satisfaz a condi¸cão: a(u, v) = a(v, u) para todo u, v ∈ E, é denominada hermitiana. Observa¸cão 5.4 No caso em que E é um espa¸co vetorial real e a(u, v) é uma forma sesquilinear hermitiana, dizemos que a(u, v) é uma forma bilinear simétrica, conforme já vimos anteriormente. Convém notar que se a(u, v) é uma forma sesquilinear que verifica a condi¸c˜ ao de simetria, ou seja, a(u, v) = a(v, u), para todo u, v ∈ E, ent˜ ao a(u, v) é identicamente nula. De fato, dados u, v ∈ E e λ ∈ C, por um lado a(λu, v) = a(v, λu) = λa(v, u) = λa(u, v). (5.1) FORMAS SESQUILINEARES 177 Por outro lado, a(λu, v) = λa(u, v). (5.2) Portanto, de (5.1) e (5.2) conclu´ımos que λa(u, v) = λa(u, v) ⇒(λ −λ)a(u, v) = 0, para todo u, v ∈ E e λ ∈ C. Segue da´ı que a(u, v) = 0, pois, caso contrário, λ = λ, para todo λ ∈ C, o que é um absurdo. Logo, a ´ unica forma sesquilinear simétrica é a identicamente nula, isto é, a trivial. Como consequência disto não sentido falarmos em formas sesquilineares simétricas no contexto das formas sesquilineares. Defini¸cão 5.5 A restri¸cão de uma forma sesquilinear a(u, v) à diagonal de E E, a qual representaremos por a(u), ou seja, a(u) = a(u, u), é denominada forma quadrática associada a a(u, v). Proposi¸cão 5.6 Sejam E um espa¸co vetorial complexo e a(u, v) uma forma sesquilinear. Então, a(u, v) é hermitiana se e somente se a(u) é real. Demonstra¸cão: Suponhamos a(u, v) hermitiana. Ent˜ ao, a(u, v) = a(v, u), para todo u, v ∈ E. Em particular, a(u) = a(u), para todo u ∈ E, ou seja, a(u) ∈ 1, para todo u ∈ E. Reciprocamente, suponhamos que a(u) ∈ 1, para todo u ∈ E. Temos, para todo u, v ∈ E a(u + v, u + v) = a(u, u) + a(u, v) + a(v, u) + a(v, v), o que implica a(u, v) + a(v, u) = a(u + v, u +v) −a(u, u) −a(v, v) = α ∈ 1. (5.3) Por outro lado, para todo u, v ∈ E, temos a(i u +v, i u + v) = a(i u, i u) + a(i u, v) + a(v, i u) + a(v, v) = i a(u, i u) + i a(u, v) −i a(v, u) + a(v, v) = −i 2 a(u, u) + i a(u, v) −i a(v, u) + a(v, v) = a(u, u) + i a(u, v) −i a(v, u) + a(v, v), 178 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL de onde conclu´ımos que i a(u, v) −i a(v, u) = a(i u + v, i u + v) −a(u, u) −a(v, v) = β ∈ 1. (5.4) de (5.3) e (5.4) podemos escrever _ a(u, v) i + a(v, u) i = αi a(u, v) i −a(v, u) i = β e _ −a(u, v) i −a(v, u) i = −αi a(u, v) i −a(v, u) i = β. Consequentemente, 2a(u, v) i = β + αi e −2a(v, u) i = β −αi, e da´ı vem que a(u, v) = β + αi 2 i e a(v, u) = −β + αi 2 i . (5.5) Entretanto, β + αi 2 i = −β i −αi 2 −2 i 2 = α −β i 2 , −β + αi 2 i = β i −αi 2 −2 i 2 = α + β i 2 , e de (5.5) resulta que a(u, v) = α −β i 2 e a(v, u) = α + β i 2 , o que implica que a(u, v) = a(v, u), para todo u, v ∈ E, ou seja, a(u, v) é hermitiana. 2 Para uma forma sesquilinear a(u, v) : E E →C é válida a seguinte fórmula de fácil constata¸c˜ ao: 4a(u, v) = a(u + v, u + v) −a(u −v, u −v) (5.6) + i a(u +i v, u + i v) −i a(u − iv, u − iv), para todo u, v ∈ E. Notemos que a expressão em (5.6) permite-nos conhecer a(u, v) em todo E E, bas- tando para isso, conhecermos a(u, v) sobre a diagonal de EE. Infelizmente, no caso real não podemos obter uma fórmula semelhante, a menos que tenhamos uma forma bilinear simétrica. Desta forma,se a(u, v) for uma forma bilinear simétrica vale a seguinte fórmula: 2a(u, v) = a(u + v, u + v) −a(u, u) −a(v, v), para todo u, v ∈ E. (5.7) FORMAS SESQUILINEARES 179 Defini¸cão 5.7 Uma forma sesquilinear hermitiana a(u, v) é denominada positiva se a(u, u) ≥ 0, para todo u ∈ E e estritamente positiva se a(u, u) > 0, para todo u ∈ E com u ,= 0. Proposi¸cão 5.8 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Sejam E um espa¸co vetorial complexo e a(u, v) uma forma sesquilinear hermitiana estritamente positiva de E E. Então: [a(u, v)[ 2 ≤ a(u, u) a(v, v), para todo u, v ∈ E. (5.8) Além disso, se u e v forem linearmente dependentes, então dá-se a igualdade em (5.8) e se u e v forem linearmente independentes dá-se a rela¸cão menor. Demonstra¸cão: Consideremos u, v ∈ E dois vetores linearmente dependentes. Ent˜ ao, u = αv, para algum α ∈ C. Temos [a(u, v)[ 2 = [a(αv, v)[ 2 = [αa(v, v)[ 2 = [α[ 2 [a(v, v)[ 2 . Por outro lado, a(u, u) = a(αv, αv) = ααa(v, v) = [α[ 2 a(v, v). Combinando as duas rela¸c˜ oes acima, considerando-se a proposi¸c˜ ao 5.6 (note que a(u, v) é hermitiana) e sendo a(u, v) estritamente positiva, resulta que [a(u, v)[ 2 = [α[ 2 [a(v, v)[ [a(v, v)[ = a(u, u) a(v, v). Suponhamos, agora, que u, v ∈ E sejam linearmente independentes. Ent˜ ao, u +λv ,= 0, para todo λ ∈ C. Sendo a(u, v) estritamente positiva, temos a(u + λv, u + λv) > 0. (5.9) Por outro lado,sendo a(u, v) hermitiana, obtemos a(u + λv, u + λv) = a(u, u) + λa(v, u) + λa(v, u) +[λ[ 2 a(v, v) = a(u, u) + λa(v, u) + λa(v, u) +[λ[ 2 a(v, v) = a(u, u) + 2Re (λa(v, u)) +[λ[ 2 a(v, v) = a(u, u) + 2Re _ λa(v, u) _ +[λ[ 2 a(v, v) = a(u, u) + 2Re _ λa(v, u) _ +[λ[ 2 a(v, v) = a(u, u) + 2Re _ λa(u, v) _ +[λ[ 2 a(v, v), 180 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL e de (5.9) vem que a(u + λv, u + λv) = a(u, u) + 2Re _ λa(u, v) _ +[λ[ 2 a(v, v) > 0. (5.10) Pondo-se p = a(v, v), r = a(u, u) e a(u, v) = q e iθ , onde q = [a(u, v)[ e θ = arg(a(u, v)), ent˜ ao, escolhendo-se λ da forma λ = t e iθ , t ∈ 1, obtemos [λ[ 2 = ¸ ¸ t e iθ ¸ ¸ 2 = t 2 (cos 2 θ + sen 2 θ) . ¸¸ . =1 = t 2 . (5.11) Também, λa(u, v) = t e iθ q e iθ = t q e iθ e iθ = t q ¸ ¸ e iθ ¸ ¸ 2 = t q. (5.12) Assim, de (5.10), (5.11) e (5.12) conclu´ımos que f(t) = p t 2 + 2q t +r > 0, para todo t ∈ 1. (5.13) Se p = a(v, v) = 0, ent˜ ao v = 0 e, por conseguinte, a desigualdade em (5.8) segue trivialmente. Agora, se p ,= 0, ent˜ ao a fun¸c˜ ao quadrática em (5.13) não possui ra´ızes reais. Segue da´ı que ∆ = (2q) 2 −4pr < 0, ou seja, q 2 < pr, ou ainda, [a(u, v)[ ≤ a(u, u) a(v, v), o que conclui a prova. 2 Proposi¸cão 5.9 (Desigualdade de Minkowski) Sejam E um espa¸co vetorial complexo e a(u, v) uma forma sesquilinear hermitiana estritamente positiva. Então, [a(u + v, u + v)] 1/2 ≤ [a(u, u)] 1/2 + [a(v, v)] 1/2 , para todo u, v ∈ E. FORMAS SESQUILINEARES 181 Demonstra¸cão: Seja u, v ∈ E. Temos a(u + v, u + v) = a(u, u) + a(u, v) + a(v, u) + a(v, v) = a(u, u) + a(u, v) + a(u, v) + a(v, v) = a(u, u) + 2Re (a(u, v)) + a(v, v) ≤ a(u, u) + 2 [a(u, v)[ + a(v, v), e, da desigualdade de cauchy-Schwarz, resulta que a(u + v, u +v) ≤ a(u, u) + 2 _ a(u, u) 1/2 a(v, v) 1/2 ¸ +a(v, v) = _ a(u, u) 1/2 + a(v, v) 1/2 ¸ 2 . Sendo a(u, v) positiva, da desigualdade anterior em que [a(u + v, u +v)] 1/2 ≤ _ a(u, u) 1/2 +a(v, v) 1/2 ¸ , o que prova o desejado. 2 Defini¸cão 5.10 Sejam E um espa¸co vetorial complexo e a(u, v) uma forma sesquilinear de E. a(u, v) é denominada um produto interno em E se for hermitiana e estritamente positiva. Um espa¸co vetorial complexo E munido com um produto interno é denominado espa¸co com produto interno. Neste caso, o produto interno será denotado por (, ). Em outras palavras, um produto interno é uma aplica¸c˜ ao (, ) : E E →C, [u, v] ∈ E E →(u, v), que satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes para todo u, v, w ∈ E e λ ∈ C: (P1) (u, u) ≥ 0 e (u, u) = 0 ⇔u = 0. (P2) (λu, v) = λ(u, v). (P3) (u +v, w) = (u, w) + (v, w) (P4) (u, v) = (v, u). Observa¸cão 5.11 Note que as condi¸cões (iii) e (iv) da defini¸cão 5.1 não necessitam ser englobadas às quatro condi¸cões acima, pois decorrem das mesmas. Com efeito, para todo u, v, w ∈ E temos (P5) (u, v + w) = (u, v) + (u, w), 182 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL pois de (P3) e (P4) resulta que (u, v + w) = (v + w, u) = (v, u) + (w, u) = (v, u) + (w, u) = (u, v) + (u, w). Ainda, para todo u, v ∈ E e λ ∈ C, temos (P6) (u, λv) = λ(u, v), já que de (P2) e (P4) inferimos que (u, λv) = (λv, u) = λ(v, u) = λ(v, u) = λ(u, v). Defini¸cão 5.12 Um espa¸co com produto interno E é denominado um espa¸co de Hilbert se E, considerado como um espa¸co normado, com norma [[u[[ = (u, u) 1/2 é completo. Nem toda norma, entretanto, provém de algum produto interno conforme mostra o seguinte resultado. Teorema 5.13 (M. Fréchet-J. Von Neumann - P. Jordan) Seja E um espa¸co vetorial normado, com norma [[ [[. Então, sua norma provém de algum produto interno se e somente se é válida a identidade do paralelogramo: [[u + v[[ 2 +[[u −v[[ 2 = 2 _ [[u[[ 2 +[[v[[ 2 _ , para todo u, v ∈ E. (5.14) Demonstra¸cão: Suponhamos que exista um produto interno (, ) em E, tal que (u, u) 1/2 = [[u[[, para todo u ∈ E. Logo, para todo u, v ∈ E, temos [[u + v[[ 2 +[[u −v[[ 2 = (u + v, u +v) + (u −v, u −v) = (u, u) + (u, v) + (v, u) + (v, v) + (u, u) −(u, v) −(v, u) + (v, v) = 2[(u, u) + (v, v)] = 2 _ [[u[[ 2 +[[v[[ 2 ¸ . Reciprocamente, suponhamos que a identidade do paralelogramo seja satisfeita e definamos a aplica¸cão: f : E E →1 (5.15) (u, v) →f(u, v) = 1 4 _ [[u +v[[ 2 −[[u −v[[ 2 _ . FORMAS SESQUILINEARES 183 Provaremos, a seguir, que f satisfaz as seguintes propriedades: Para todo u, v, w ∈ E e α ∈ 1, temos (i) f(u + v, w) = f(u, w) + f(v, w). (ii) f(αu, v) = αf(u, v). (iii) f(u, v) = f(v, u). (iv) f(u, u) = [[u[[ 2 . De fato, as condi¸c˜ oes (iii) e (iv) são satisfeitas imediatamente. Mostraremos que (i) e (ii) também se cumprem. • Prova de (i). Definamos a fun¸c˜ ao auxiliar Φ : E E E →1 (u, v, w) →Φ(u, v, w), definida por Φ(u, v, w) = 4 [f(u +v, w) −f(u, w) −f(v, w)] . Provaremos que Φ(u, v, w) = 0, para todo u, v, w ∈ E. (5.16) Com efeito, temos, de (5.15), que f(u + v, w) = 1 4 _ [[u + v +w[[ 2 −[[u +v −w[[ 2 ¸ , f(u, w) = 1 4 _ [[u + w[[ 2 −[[u −w[[ 2 ¸ , f(v, w) = 1 4 _ [[v + w[[ 2 −[[v −w[[ 2 ¸ . Logo, Φ(u, v, w) = [[u + v + w[[ 2 −[[u +v −w[[ 2 −[[u + w[[ 2 +[[u −w[[ 2 −[[v +w[[ 2 +[[v −w[[ 2 , ou seja, Φ(u, v, w) = [[(u +w) + v[[ 2 −[[(u −w) + v[[ 2 (5.17) − [[u +w[[ 2 +[[u −w[[ 2 −[[v + w[[ 2 +[[v −w[[ 2 . 184 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Entretanto, por hipótese, [[(u + w) + v[[ 2 +[[(u + w) −v[[ 2 = 2 _ [[u + w[[ 2 +[[v[[ 2 _ [[(u −w) + v[[ 2 +[[(u −w) −v[[ 2 = 2 _ [[u −w[[ 2 +[[v[[ 2 _ (5.18) Assim, substituindo-se (5.18) em (5.17) obtemos Φ(u, v, w) = 2[[u +w[[ 2 + 2[[v[[ 2 −[[u + w −v[[ 2 −2[[u −w[[ 2 −2[[v[[ 2 + [[u −w −v[[ 2 −[[u + w[[ 2 +[[u −w[[ 2 −[[v + w[[ 2 +[[v −w[[ 2 , ou seja, Φ(u, v, w) = [[u +w[[ 2 −[[u +w −v[[ 2 −[[u −w[[ 2 +[[u −w −v[[ 2 (5.19) − [[v + w[[ 2 +[[v −w[[ 2 . Somando (5.17) e (5.19), membro a membro, resulta que 2Φ(u, v, w) = [[u + w + v[[ 2 −[[u −w + v[[ 2 −[[u + w −v[[ 2 +[[u −w −v[[ 2 − 2[[v + w[[ 2 + 2[[v −w[[ 2 = _ [[u + w + v[[ 2 +[[u −w −v[[ 2 ¸ − _ [[u −w + v[[ 2 +[[u + w −v[[ 2 ¸ − 2[[v + w[[ 2 + 2[[v −w[[ 2 , ou seja, 2Φ(u, v, w) = _ [[u + (w + v)[[ 2 +[[ −u + (v + w)[[ 2 ¸ − _ [[(v −w) + u[[ 2 +[[(v −w) −u[[ 2 ¸ − 2[[v + w[[ 2 + 2[[v −w[[ 2 . (5.20) Mas, por hipótese, [[u + (w + v)[[ 2 +[[ −u + (v + w)[[ 2 = 2 _ [[u[[ 2 +[[v + w[[ 2 _ [[(v −w) + u[[ 2 +[[(v −w) −u[[ 2 = 2 _ [[v −w[[ 2 +[[u[[ 2 _ (5.21) Portanto, substituindo-se (5.21) em (5.20) obtemos 2Φ(u, v, w) = 2 _ [[u[[ 2 +[[v + w[[ 2 _ −2 _ [[v −w[[ 2 +[[u[[ 2 _ −2[[v + w[[ 2 + 2[[v −w[[ 2 = 2[[u[[ 2 + 2[[v + w[[ 2 −2[[v −w[[ 2 −2[[u[[ 2 −2[[v + w[[ 2 + 2[[v −w[[ 2 = 0, o que prova (5.16), e por conseguinte (i). • Prova de (ii). FORMAS SESQUILINEARES 185 De maneira análoga, definamos a fun¸c˜ ao auxiliar ϕ : 1 →1 α → ϕ(α) = f(αu, v) −αf(u, v), para u, v ∈ E arbitrários e fixados. Provaremos que ϕ(α) = 0, para todo α ∈ 1. (5.22) Com efeito, • Se α = 0, ent˜ ao ϕ(0) = f(0, v) = 1 4 _ [[v[[ 2 −[[ −v[[ 2 ¸ = 0 ⇒ϕ(0) = 0. • Se α = −1, ent˜ ao ϕ(−1) = f(−u, v) + f(u, v) = 1 4 _ [[ −u +v[[ 2 −[[ −u −v[[ 2 +[[u + v[[ 2 −[[u −v[[ 2 ¸ = 0 ⇒ϕ(−1) = 0. • Se α = 1, ent˜ ao ϕ(1) = f(u, v) −f(u, v) = 0 ⇒ϕ(1) = 0. Tomemos, agora, n ∈ Z ∗ . Assim, da propriedade (i) e do exposto acima, vem que ϕ(n) = f(nu, v) −nf(u, v) = f(sign(u + + u . ¸¸ . n parcelas ), v) −nf(u, v) = sign(f(u, v) + +f(u, v) . ¸¸ . n parcelas ) −nf(u, v) = sign[n[ f(u, v) −nf(u, v) = nf(u, v) −nf(u, v) = 0, ou seja, ϕ(n) = 0 para todo n ∈ Z. (5.23) 186 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Consideremos, agora, p, q ∈ Z e q ,= 0. Ent˜ ao, de (5.23) e da defini¸c˜ ao de ϕ, obtemos ϕ _ p q _ = f((p/q) u, v) − p q f(u, v) = p f _ 1 q u, v _ − p q f(u, v) = p q q _ 1 q u, v _ − p q f(u, v) = p q f(u, v) − p q f(u, v) = 0, o que implica que ϕ(α) = 0, para todo α ∈ ¸. (5.24) Resulta da´ı, da densidade de ¸ em 1 e da continuidade da fun¸cão ϕ o desejado em (5.22). Assim, a fun¸c˜ ao f definida em (5.15) verifica as quatro condi¸cões (i) −(iv) acima mencionadas. Definamos, então, (, ) : E E →C (5.25) [u, v] →(u, v) = f(u, v) + i f(u, i v), com f definida em (5.15). Provaremos que a aplica¸c˜ ao (5.25) define um produto interno em E, já que cumpre as condi¸c˜ oes (P1) −(P4) da defini¸c˜ ao de produto interno. Prova de (P1). Com efeito, notemos inicialmente que da defini¸cão de f, temos (u, u) = f(u, u) + i f(u, i u) = 1 4 _ [[u +u[[ 2 ¸ + i 4 _ [[u + i u[[ 2 −[[u −i u[[ 2 ¸ = 1 4 [[2u[[ 2 + i 4 _ [[u(1 + i)[[ 2 −[[u(1 −i)[[ 2 ¸ = [[u[[ 2 + i 4 _ [1 + i[ 2 [[u[[ 2 −[1 −i[ 2 [[u[[ 2 ¸ = [[u[[ 2 + i 4 [[u[[ 2 [2 −2] = [[u[[ 2 , ou seja, (u, u) = [[u[[ 2 para todo u ∈ E. (5.26) Segue de (5.26) que a condi¸cão (P1) da defini¸c˜ ao de produto interno se cumpre imediatamente posto que [[ [[ é uma norma em E. FORMAS SESQUILINEARES 187 Prova de (P2). Temos, da propriedade (i) de f e da defini¸cão do produto interno (5.25), obtemos (u +v, w) = f(u +v, w) + i f(u + v, i w) = f(u, w) + f(v, w) + i f(u, i w) + i f(v, i w) = [f(u, v) + i f(u, i w)] + [f(v, w) + i f(v, i w)] = (u, w) + (v, w), ou seja, (u + v, w) = (u, w) + (v, w), para todo u, v, w ∈ E, (5.27) o que prova (P2). Prova de (P4). Temos, da defini¸cão de f, que f(i u, i v) = 1 4 _ [[i u +i v[[ 2 −[[i u −i v[[ 2 ¸ = 1 4 _ i(u +v)[[ 2 −[[i(u −v)[[ 2 ¸ = 1 4 _ [i[ 2 [[u + v[[ 2 −[i[ 2 [[u −v[[ 2 ¸ = 1 4 _ [[u + v[[ 2 −[[u −v[[ 2 ¸ = f(u, v). Logo, f(i u, i v) = f(u, v), para todo u, v ∈ E. Por outro lado, da identidade anterior e da propriedade (iii) de f podemos escrever f(v, i u) = f(−i i v, i u) = f(i (−i v), i u) = f(−i v, u) = −f(i v, u) = −f(u, i v), ou seja, f(v, i u) = −f(u, i v), para todo u, v ∈ E. Da´ı resulta da defini¸cão de produto interno (5.25) e novamente pela propriedade (iii) de f, que (v, u) = f(v, u) + i f(v, i u) = f(u, v) −i f(u, i v) = (u, v), 188 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL isto é, (v, u) = (u, v), para todo u, v ∈ E, (5.28) o que prova (P4). Prova de (P3). Notemos incialmente que dafini¸c˜ ao de produto interno dada em (5.25), e das rela¸c˜ oes obtidas na demonstra¸cão de (P4) chegamos a (i u, v) = f(i u, v) + i f(i u, i v) = f(v, i u) + i f(u, v) = i f(u, v) −f(u, i v) = i f(u, v) + i 2 f(u, i v) = i [f(u, v) + i f(u, i v)] = i (u, v), ou seja, (i u, v) = i (u, v), para todo u, v ∈ E. Seja λ = α +i β ∈ C. Da ´ ultima identidade, de (5.27) e do fato que (ξ u, v) = ξ (u, v), para todo ξ ∈ 1, resulta que (λu, v) = ((α + i β)u, v) = (αu + β i u, v) = (αu, v) + (β i u, v) = α(u, v) + i β (u, v) = (α + i β) (u, v) = λ(u, v), ou seja, (λu, v) = λ(u, v), para todo u, v ∈ E e λ ∈ C, (5.29) o que prova (P3) e conclui a demonstra¸cão do teorema. 2 5.2 Formas Sesquilineares Limitadas No que segue nesta se¸cão, H será um espa¸co de Hilbert com produto interno (, ) e norma [[ [[ = (, ) 1/2 . FORMAS SESQUILINEARES LIMITADAS 189 Defini¸cão 5.14 Uma forma sesquilinear de H é denominada limitada, se existe uma constante C > 0 tal que [a(u, v)[ ≤ C [[u[[ [[v[[, para todo u, v ∈ H. Exemplo: O produto interno definido em H é uma forma sequilinear limitada. Com efeito, definamos a : H H →C (u, v) →a(u, v) = (u, v). Obviamente, por ser um produto interno, a(u, v) é uma forma sesquilinear hermitiana e estritamente positiva, por defini¸cão. resta-nos provar que é limitada. Com efeito, temos, em virtude da desigualdade de Cauchy-Scwarz, [a(u, v)[ 2 ≤ a(u, u) a(v, v), para todo u, v ∈ H, ou ainda, [(u, v)[ 2 ≤ (u, u) (v, v) = [[u[[ 2 [[v[[ 2 ⇒[(u, v)[ ≤ [[u[[ [[v[[, para todo u, v ∈ H, o que prova que o produto interno em um espa¸co de Hilbert H é uma forma sesquilinear hermitiana estritamente positiva e limitada. Nota¸cão: Seja a(u, v) uma forma sesquilinear limitada de H. Denotaremos por [[a[[ o n´ umero: [[a[[ = sup _ [a(u, v)[ [[u[[, [[v[[ ; u, v ∈ H e u, v ,= 0 _ . (5.30) Note que, em fun¸c˜ ao da defini¸c˜ ao de forma sesqulinear limitada, o supremo do conjunto acima está bem definido. Seja S o espa¸co constitu´ıdo de todas as formas sesquilineares limitadas. Proposi¸cão 5.15 A aplica¸cão a ∈ S → [[a[[ ∈ 1 definida em (5.30) define uma norma em S. Demonstra¸cão: Provaremos inicialmente que [[a[[ ≥ 0, para todo a ∈ S e [[a[[ = 0 ⇔ a ≡ 0. (5.31) 190 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Com efeito, seja a ∈ S. Temos que |a(u,v)| ||u|| ||v|| ≥ 0, para todo u, v ∈ H tal que u, v ,= 0 e portanto [[a[[ = sup u,v∈H;u,v=0 [a(u, v)[ [[u[[ [[v[[ ≥ 0. Além disso, se [[a[[ = 0, ent˜ ao, sup u,v∈H;u,v=0 [a(u, v)[ [[u[[ [[v[[ = 0, o que implica que 0 ≤ [a(u, v)[ [[u[[ [[v[[ ≤ sup u,v∈H;u,v=0 [a(u, v)[ [[u[[ [[v[[ = 0 ⇒ [a(u, v)[ [[u[[ [[v[[ = 0 para todo u, v ∈ H tal que u, v ,= 0. Resulta da´ı que a(u, v) = 0 para todo u, v ∈ H tal que u, v ,= 0. Agora se u = 0 ou v = 0 ent˜ ao a(u, v) = 0 de onde conclu´ımos, em virtude da identidade acima que a(u, v) = 0, para todo u, v ∈ E. Por outro lado, se a ≡ 0, ent˜ ao resulta imediatamente que |a(u,v)| ||u|| ||v|| = 0, para todo u, v ∈ H com u, v ,= 0. Da´ı vem que sup u,v∈H;u,v=0 [a(u, v)[ [[u[[ [[v[[ = 0, ou seja, [[a[[ = 0, o que prova (5.31). A seguir, provaremos que [[λa[[ = [λ[ [[a[[, para todo a ∈ S e λ ∈ C. (5.32) De fato, sejam a ∈ S e λ ∈ C. Temos [[λa[[ = sup u,v∈H;u,v=0 [λa(u, v)[ [[u[[ [[v[[ = sup u,v∈H;u,v=0 [λ[ [a(u, v)[ [[u[[ [[v[[ = [λ[ sup u,v∈H;u,v=0 [a(u, v)[ [[u[[ [[v[[ = [λ[ [[a[[, o que prova (5.32). Para finalizar, provaremos a desigualdade triangular, ou seja, [[a + b[[ ≤ [[a[[ +[[b[[, para todo a, b ∈ S. (5.33) FORMAS SESQUILINEARES LIMITADAS 191 Com efito, sejam a, b ∈ S e u, v ∈ H tais que u, v ,= 0. Ent˜ ao, [(a + b) (u, v)[ [[u[[ [[v[[ = [a(u, v) + b(u, v)[ [[u[[ [[v[[ ≤ [a(u, v)[ [[u[[ [[v[[ + [b(u, v)[ [[u[[ [[v[[ ≤ sup u,v∈H;u,v=0 [a(u, v)[ [[u[[ [[v[[ + sup u,v∈H;u,v=0 [b(u, v)[ [[u[[ [[v[[ = [[a[[ +[[b[[, de onde resulta que sup u,v∈H;u,v=0 [(a + b) (u, v)[ [[u[[ [[v[[ ≤ [[a[[ +[[b[[, o que prova (5.33) e encerra a demonstra¸c˜ ao. 2 Proposi¸cão 5.16 Sejam H um espa¸co de Hilbert e a(u, v) uma forma sesquilinear limitada de H. Então, as seguintes igualdades se verificam: [[a[[ = sup¦[a(u, v)[; u, v ∈ H tal que [[u[[ ≤ 1 e [[v[[ ≤ 1¦ = inf¦C > 0; [a(u, v)[ ≤ C [[u[[ [[v[[, para todo u, v ∈ H¦, = sup¦[a(u, v)[; u, v ∈ H tal que [[u[[ = [[v[[ = 1¦, onde [[a[[ foi definida em (5.30). Demonstra¸cão: Provaremos primeiramente que [[a[[ = sup¦[a(u, v)[; u, v ∈ H tal que [[u[[ = [[v[[ = 1¦. (5.34) Sejam u, v ∈ H tais que u, v ,= 0. Temos [a(u, v)[ [[u[[ [[v[[ = ¸ ¸ ¸ ¸ a _ u [[u[[ , v [[v[ _¸ ¸ ¸ ¸ ≤ sup u,v∈H;||u||=||v||=1 [a(u, v)[, o que implica que [[a[[ ≤ sup u,v∈H;||u||=||v||=1 [a(u, v)[. (5.35) Por outro lado, ¦a(u, v); u, v ∈ H tal que [[u[[ = [[v[[ = 1¦ ⊂ ¦a(u, v); u, v ∈ H tal que u ,= 0 e v ,= 0¦. 192 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Da´ı, ¦[a(u, v)[; u, v ∈ H tal que [[u[[ = [[v[[ = 1¦ ⊂ _ [a(u, v)[ [[u[[ [[v[[ ; u, v ∈ H e u ,= 0 e v ,= 0 _ , o que implica que sup u,v∈H;||u||=||v||=1 [a(u, v)[ ≤ [[a[[. (5.36) Combinando (5.35) e (5.36) tem-se o desejado em (5.34). Provaremos, a seguir, que [[a[[ = inf¦C > 0; [a(u, v)[ ≤ C [[u[[ [[v[[, para todo u, v ∈ H¦. (5.37) Se [[a[[ = 0 temos que a ≡ 0 e portanto a igualdade segue trivialmente. Consideremos [[a[[ ,= 0 e C > 0 tal que [a(u, v)[ ≤ C [[u[[ [[v[[ ⇒ [a(u, v)[ [[u[[ [[v[[ ≤ C, para todo u, v ∈ H, tal que u, v ,= 0, o que acarreta que [[a[[ = sup u,v∈H;u,v=0 [a(u, v)[ [[u[[ [[v[[ ≤ C. Desta forma, [[a[[ ≤ C, para todo C > 0 tal que [a(u, v)[ ≤ C [[u[[ [[v[[, para todo u, v ∈ H. Assim, tomando-se o ´ınfimo obtemos [[a[[ ≤ inf¦C > 0; [a(u, v)[ ≤ C [[u[[ [[v[[, para todo u, v ∈ H¦. (5.38) Por outro lado, notemos que [a(u, v)[ [[u[[ [[v[[ ≤ [[a[[ ⇒[a(u, v)[ ≤ [[a[[ [[u[[ [[v[[, para todo u, v ∈ H com u, v ,= 0. Evidentemente, se u = 0 ou v = 0 temos imediatamente que [a(u, v)[ = [[a[[ [[u[[ [[v[[ = 0. Assim, conclu´ımos que [a(u, v)[ ≤ [[a[[ [[u[[ [[v[[, para todo u, v ∈ H, o que implica que [[a[[ ∈ ¦C > 0; [a(u, v)[ ≤ C [[u[[ [[v[[, para todo u, v ∈ H¦. Conse- quentemente, [[a[[ ≥ inf¦C > 0; [a(u, v)[ ≤ C [[u[[ [[v[[, para todo u, v ∈ H¦. (5.39) FORMAS SESQUILINEARES LIMITADAS 193 Combinando (5.38) e (5.39) tem-se o desejado em (5.37). Finalmente, provaremos que [[a[[ = sup¦[a(u, v)[; u, v ∈ H tal que [[u[[ ≤ 1 e [[v[[ ≤ 1¦. (5.40) Contudo, devido a (5.34), é suficiente provarmos que sup¦[a(u, v)[; u, v ∈ H tal que [[u[[ = [[v[[ = 1¦ (5.41) = sup¦[a(u, v)[; u, v ∈ H tal que [[u[[ ≤ 1 e [[v[[ ≤ 1¦. De fato, como ¦[a(u, v)[; u, v ∈ H tal que [[u[[ = [[v[[ = 1¦ ⊂ ¦[a(u, v)[; u, v ∈ H tal que [[u[[ ≤ 1 e [[v[[ ≤ 1¦, resulta que sup¦[a(u, v)[; u, v ∈ H tal que [[u[[ = [[v[[ = 1¦ (5.42) ≤ sup¦[a(u, v)[; u, v ∈ H tal que [[u[[ ≤ 1 e [[v[[ ≤ 1¦. Por outro lado, sejam u, v ∈ H tais que [[u[[ ≤ 1, [[v[[ ≤ 1 e u, v ,= 0. Ent˜ ao, [[u[[ [[v[[ ≤ 1, e portanto, 1 ≤ 1 ||u|| ||v|| , o que nos leva a [a(u, v)[ ≤ [a(u, v)[ [[u[[ [[v[[ ≤ [[a[[ = sup u,v∈H;||u||=||v||=1 [a(u, v)[. Se u = 0 ou v = 0 temos que [a(u, v)[ = 0 ≤ sup u,v∈H;||u||=||v||=1 [a(u, v)[. Logo, [a(u, v)[ ≤ sup u,v∈H;||u||=||v||=1 [a(u, v)[ para todo u, v ∈ H com [[u[[ ≤ 1 e [[v[[ ≤ 1, o que implica que sup¦[a(u, v)[; u, v ∈ H tal que [[u[[ ≤ 1 e [[v[[ ≤ 1¦ (5.43) ≤ sup¦[a(u, v)[; u, v ∈ H tal que [[u[[ = [[v[[ = 1¦. Combinando (5.42) e (5.43) tem-se o desejado em (5.41), o que conclui a prova. 2 Observa¸cão 5.17 De acordo com o que vimos acima, se a(u, v) é uma forma sesquilinear limitada, podemos escrever [a(u, v)[ ≤ [[a[[ [[u[[ [[v[[, para todo u, v ∈ H. 194 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Defini¸cão 5.18 Uma forma sesquilinear a(u, v) de H é dita cont´ınua em H se ela for uma fun¸cão cont´ınua de H H →C. Proposi¸cão 5.19 Sejam H um espa¸co de Hilbert com produto interno (, ) e norma [[ [[ = (, ) 1/2 e a : H H → C uma forma sesquilinear de H. As seguintes afirma¸cões são equivalentes: (i) a(u, v) é cont´ınua em H H. (ii) a(u, v) é cont´ınua no ponto (0, 0) ∈ H H. (iii) Existe C > 0 tal que [a(u, v)[ ≤ C [[u[[ [[v[[ para todo u, v ∈ H (iv) a(u, v) é Lipschitziana em cada parte limitada de H H. Demonstra¸cão: (i) ⇒(ii) Evidente. (ii) ⇒ (iii) Suponhamos que a(u, v) é cont´ınua no ponto (0, 0). Ent˜ ao, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que [[(u, v)[[ = [[u[[ +[[v[[ < δ ⇒[a(u, v)[ < ε. Considerando-se ε = 1, existira δ 1 > 0 tal que [[(u, v)[[ = [[u[[ +[[v[[ < δ 1 ⇒[a(u, v)[ < 1. (5.44) Seja C > 0 tal que 0 < 1 C < δ 1 e sejam u, v ∈ H com u, v ,= 0. Logo, _ u 2C ||u|| , v 2C ||v|| _ ∈ H H e, conseq¨ uentemente, ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ u 2C [[u[[ , v 2C [[v[[ _¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = [[u[[ 2C [[u[[ + [[v[[ 2c [[v[[ = 1 2C + 1 2C = 1 C < δ 1 . Resulta da´ı e de (5.44) que ¸ ¸ ¸ ¸ a _ u 2C [[u[[ , v 2C [[v[[ _¸ ¸ ¸ ¸ < 1, e, portanto, [a(u, v)[ ≤ 4C 2 [[u[[ [[v[[, para todo u, v ,= 0. Se u = 0 ou v = 0, temos que a(u, v) = 0 e, desta forma, a desigualdade (iii) se verifica trivialmente. Isto conclui a prova. FORMAS SESQUILINEARES LIMITADAS 195 (iii) ⇒(iv) Suponhamos que existe C > 0 tal que [a(u, v)[ ≤ C [[u[[ [[v[[, para todo u, v ∈ H. (5.45) Consideremos, E ⊂ H H um conjunto limitado. Então, existe r > 0 tal que E ⊂ B r (0) ⊂ E E, ou seja, para todo (u, v) ∈ E temos que [[(u, v)[[ < r, ou seja [[u[[ +[[v[[ < r para todo u, v ∈ E. Provaremos que a(u, v) é Lipschitziana em E. Com efeito, sejam (u 1 , v 1 ), (u 2 , v 2 ) ∈ E. Logo, da ultima desigualdade e de (5.45) resulta que [a(u 1 , v 1 ) −a(u 2 , v 2 )[ = [a(u 1 , v 1 ) −a(u 1 , v 2 ) + a(u 1 , v 2 ) −a(u 2 , v 2 )[ ≤ [a(u 1 , v 1 −v 2 )[ +[a(u 1 −u 2 , v 2 )[ ≤ C r [[[u 1 −u 2 [[ +[[v 1 −v 2 [[] = C r [[(u 1 , v 1 ) −(u 2 , v 2 )[[ H×H , o que prova que a(u, v) é Lipschitziana em E com constante de Lipschitz L igual a C r. (iv) ⇒(i) Suponhamos que a(u, v) é Lipschitziana em limitados de HH. Mostraremos que a(u, v) é cont´ınua em H H. De fato, sejam (u 0 , v 0 ) ∈ H H e ε > 0. Ent˜ ao, por hipótese, a(u, v) é Lipschitziana em B r ((u 0 , v 0 )) ⊂ HH, para todo r > 0, com constante de Lipschitz dependendo de r, é claro, ou seja, [a(u 1 , v 1 ) −a(u 0 , v 0 )[ ≤ L[[(u 1 , v 1 ) −(u 0 , v 0 )[[ H×H , para todo (u 1 , v 1 ) ∈ B r ((u 0 , v 0 )). Em particular, [a(u, v) −a(u 0 , v 0 )[ ≤ L[[(u −u 0 , v −v 0 )[[ H×H , para todo (u, v) ∈ B r ((u 0 , v 0 )). Escolhamos δ < min¦ε/L, r¦. Ent˜ ao, se [[(u − u 0 , v − v 0 )[[ H×H < δ, da desigualdade acima decorre que [a(u, v) − a(u 0 , v 0 )[ < ε, o que mostra a continuidade de a(u, v) em (u 0 , v 0 ). Pela arbitrariedade de (u 0 , v 0 ) resulta que a(u, v) é cont´ınua em H H. Isto conclui a prova. 2 Observa¸cão 5.20 Decorre dos ´ıtens (i) e (iii) da Proposi¸cão acima que os conceitos de forma sesquilinear cont´ınua e forma sesquilinear limitada são equivalentes. 196 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Proposi¸cão 5.21 Sejam H um espa¸ co de Hilbert e a(u, v) uma forma sesquilinear de H. Se a(u, v) é limitada na diagonal de H H, então a(u, v) é limitada. Demonstra¸cão: Sejam u, v ∈ H. Da identidade 4 a(u, v) = a(u + v, u + v) −a(u −v, u −v) + i a(u + i v, u + i v) −i a(u −i v, u −i v), resulta que [a(u, v)[ ≤ 1 4 [[a(u + v, u +v)[ +[a(u −v, u −v)[ (5.46) + [a(u + i v, u + i v)[ +[a(u −i v, u −i v)[] ≤ C 4 _ [[u + v[[ 2 +[[u −v[[ 2 +[[u + i v[[ 2 +[[u −i v[[ 2 ¸ , onde C > 0 é uma constante que provém da limita¸c˜ ao de a(u, v) na diagonal. Como H é um espa¸co de Hilbert, temos que é válida a identidade do paralelogramo e, portanto, [[u + v[[ 2 +[[u −v[[ 2 = 2 _ [[u[[ 2 +[[v[[ 2 _ , [[u + i v[[ 2 +[[u −i v[[ 2 = 2 _ [[u[[ 2 +[[i v[[ 2 _ = 2 _ [[u[[ 2 +[[v[[ 2 _ . Logo, combinando as identidades acima com (5.46) chegamos a [a(u, v)[ ≤ C 4 _ 2 _ [[u[[ 2 +[[v[[ 2 _ + 2 _ [[u[[ 2 +[[v[[ 2 _¸ = C _ [[u[[ 2 +[[v[[ 2 _ , para todo u, v ∈ H. Em particular, se [[u[[ = [[v[[ = 1, da desigualdade acima resulta que [a(u, v) ≤ 2C para todo u, v ∈ H com [[u[[ = [[v[[ = 1. (5.47) Sejam, agora, u, v ∈ H tais que u, v ,= 0. Então, de (5.47) conclu´ımos que ¸ ¸ ¸ ¸ a _ u [[u[[ , v [[v[[ _¸ ¸ ¸ ¸ ≤ 2C ⇒[a(u, v)[ ≤ 2C [[u[[ [[v[[. Se u = 0 ou v = 0, a(u, v) = 0 e, portanto, [a(u, v)[ = 0 = 2C [[u[[ [[v[[, o que prova que [a(u, v)[ ≤ 2C [[u[[ [[v[[, para todo u, v ∈ H, e encerra a prova. 2 FORMAS SESQUILINEARES LIMITADAS 197 Proposi¸cão 5.22 Sejam H um espa¸co de Hilbert e a(u, v) uma forma sesquilinear de H. Se a(u, v) é limitada na diagonal e, além disso, [a(u, v)[ = [a(v, u)[ para todo u, v ∈ H, então, [[a[[ = sup u∈H;u=0 [a(u, u)[ [[u[[ 2 . Demonstra¸cão: Consideremos o conjunto B = ¦C > 0; [a(u, u)[ ≤ C [[u[[ 2 , para todo u ∈ H¦. Como, por h´ıpótese, a(u, v) é limitada na diagonal, temos que B ,= ∅ e limitado inferiormente por 0. Logo, B possui ´ınfimo. Seja C ∈ B. Ent˜ ao, [a(u, u)[ [[u[[ 2 ≤ C para todo u ∈ H com u ,= 0. Logo, sup u∈H;u=0 [a(u, u)[ [[u[[ 2 ≤ C, para todo C ∈ B, o que implica que sup u∈H;u=0 [a(u, u)[ [[u[[ 2 ≤ inf B, uma vez que sup u∈H;u=0 |a(u,u)| ||u|| 2 é cota inferior para B. Definamos: α = sup u∈H;u=0 [a(u, u)[ [[u[[ 2 e β = inf B. Então, do exposto acima, temos que α ≤ β. Afirmamos, em verdade, que α = β (5.48) Com efeito, suponhamos, por contradi¸c˜ ao que α < β. Ent˜ ao, existe γ ∈ 1 tal que α < γ < β. Como α = sup u∈H;u=0 |a(u,u)| ||u|| 2 , temos que |a(u,u)| ||u|| 2 < γ para todo u ∈ H, com u ,= 0, ou seja, [a(u, u)[ < γ [[u[[ 2 , para todo u ∈ H com u ,= 0. Se u = 0, temos que [a(u, u)[ = γ[[u[[ 2 = 0 e portanto [a(u, u)[ ≤ γ [[u[[ 2 , para todo u ∈ H. 198 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Além disso, temos que γ > 0 pois γ > α ≥ 0. Logo, γ ∈ B. Então, γ ∈ B e γ < inf B, o que é uma contradi¸ cão, ficando provado a afirma¸c˜ ao feita em (5.48). Da´ı vem que α = sup u∈H;u=0 [a(u, u)[ [[u[[ 2 = inf B. (5.49) Por outro lado, sejam u, v ∈ H. Das rela¸c˜ oes a(u + v, u + v) = a(u, u) + a(u, v) + a(v, u) + a(v, v), a(u −v, u −v) = a(u, u) −a(u, v) −a(v, u) + a(v, v), resulta que a(u +v, u + v) −a(u −v, u −v) = 2[a(u, v) + a(v, u), ] ou seja, a(v, v) + a(v, u) = 1 2 [a(u + v, u + v) −a(u −v, u −v)] . Resulta da´ı, do fato que a(u, v) é limitada na diagonal de H H e da identidade do paralelogramo que [a(u, v) + a(v, u)[ ≤ 1 2 [[a(u + v, u + v)[ +[a(u −v, u −v)[] ≤ C 2 _ [[u + v[[ 2 +[[u −v[[ 2 ¸ = C 2 _ 2 _ [[u[[ 2 +[[v[[ 2 _¸ , ou seja, [a(u, v) + a(v, u)[ ≤ C _ [[u[[ 2 +[[v[[ 2 _ , para todo u, v ∈ H, (5.50) onde C > 0 provém da limita¸c˜ ao de a(u, v) na diagonal. Tomemos, em particular, u, v ∈ H tais que [[u[[ ≤ 1 e [[v[[ ≤ 1 e λ ∈ C tal que [λ[ = 1. Ent˜ ao, de (5.50) resulta que [a(u, λv) + a(λv, u)[ ≤ C _ [[u[[ 2 +[[λv[[ 2 _ = C _ [[u[[ 2 +[[v[[ 2 _ ≤ 2C. Por outro lado, a(u, λv) = λa(u, v) e a(λv, u) = λa(v, u) e portanto, da desigualdade acima vem que [λa(u, v) + λa(v, u)[ ≤ 2C, para todo u, v ∈ H tais que (5.51) [[u[[ ≤ 1 e [[v[[ ≤ 1 e para todo λ ∈ C com [λ[ = 1. FORMAS SESQUILINEARES LIMITADAS 199 Como a(u, v), a(v, u) em (5.51) são complexos, temos que existem θ, δ ∈ [0, 2π] tais que a(u, v) = [a(u, v)[e i θ e a(v, u) = [a(v, u)[e i δ . Tomemos, em particular, λ = e i(θ−δ) 2 . Ent˜ ao, [λ[ = 1 e de (5.51) vem que ¸ ¸ ¸e i(−θ+δ) 2 [a(u, v)[e i θ +e i(θ−δ) 2 [a(v, u)[e i δ ¸ ¸ ¸ ≤ 2C, ou ainda, ¸ ¸ ¸e i(θ+δ) 2 [a(u, v)[ + e i(θ+δ) 2 [a(v, u)[ ¸ ¸ ¸ ≤ 2C, e como, por hipótese, [a(u, v)[ = [a(v, u)[ decorre que [a(u, v)[2 ¸ ¸ ¸e i(θ+δ) 2 ¸ ¸ ¸ ≤ 2C ⇒[a(u, v)[ ≤ C, para todo u, v ∈ H com [[u[[ ≤ 1 e [[v[[ ≤ 1. Assim, sup u,v∈H;||u||≤1,||v||≤1 [a(u, v)[ ≤ C, o que acarreta que [[a[[ ≤ C. Como C foi tomado arbitrariamente em B temos que [[a[[ é uma cota inferior para B e, por conseg¨ uinte, [[a[[ ≤ inf B = β. Resulta da´ı e de (5.49) que [[a[[ ≤ sup u∈H;u=0 [a(u, u)[ [[u[[ 2 (5.52) Agora, como _ |a(u,u)| ||u|| 2 ; u ∈ H tal que u ,= 0 _ ⊂ _ |a(u,v)| ||u|| ||v|| ; u, v ∈ H tal que u, v ,= 0 _ , ent˜ ao sup u∈H;u=0 [a(u, u)[ [[u[[ 2 ≤ sup u,v∈H;u,v=0 [a(u, v)[ [[u[[ [[v[[ = [[a[[. (5.53) Combinando (5.52) e (5.53) conclu´ımos que [[a[[ = sup u∈H;u=0 [a(u, u)[ [[u[[ 2 , conforme quer´ıamos demonstrar. 2 200 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Observa¸cão 5.23 De maneira análoga ao que já provamos, mostra-se que se a(u, v) é limitada na diagonal, então: sup u∈H;u=0 [a(u, u)[ [[u[[ 2 = sup u∈H;||u||≤1 [a(u, v)[ = inf¦C > 0; [a(u, u)[ ≤ C [[u[[ 2 , para todo u ∈ H¦. Além disso, se a(u, v) for limitada na diagonal e hermitiana, a proposi¸cão 5.22 se cumpre e então temos [[a[[ = sup u∈H;u=0 [a(u, u)[ [[u[[ 2 = sup u∈H;||u||≤1 [a(u, v)[ = inf¦C > 0; [a(u, u)[ ≤ C [[u[[ 2 , para todo u ∈ H¦. 5.3 Operadores Lineares Limitados Nesta se¸cão estenderemos o conceito de operadores lineares limitados para espa¸cos de Hilbert complexos e provaremos que existe um isomorfismo isométrico entre as formas sesquilineares limitadas de H e os operadores lineares limitados de H. Defini¸cão 5.24 Sejam H um espa¸co de Hilbert complexo com produto interno (, ) e norma [[ [[ = (, ) 1/2 e A : H → H um operador linear. Dizemos que A é limitado se existir uma constante C > 0 tal que [[Au[[ ≤ C [[u[[, para todo u ∈ H. Nota¸cão: O espa¸co vetorial dos operadores lineares A de H em H, que são limitados é denotado por /(H). Assim /(H) = ¦A : H →H; A é linear e limitado¦. (5.54) No espa¸co /(H), denotaremos por [[A[[ o n´ umero [[A[[ = sup u∈H;u=0 [[Au[[ [[u[[ , cuja aplica¸c˜ ao A ∈ /(H) →[[A[[ define uma norma em /(H). Analogamente ao que fizemos para as formas sesquilineares limitadas, fazemos para os operadores lineares limitados de H e obtemos [[A[[ = sup u∈H;||u||=1 [[Au[[ = sup u∈H;||u||≤1 [[Au[[ = inf¦C > 0; [[Au[[ ≤ C [[u[[, para todo u ∈ H¦. (5.55) OPERADORES LINEARES LIMITADOS 201 Então, se A é um operador linear limitado de H, podemos escrever [[Au[[ ≤ [[A[[ [[u[[, para todo u ∈ H. (5.56) Obtemos igualmente como no caso das formas sesquilineares limitadas o seguinte resultado: Proposi¸cão 5.25 Sejam H um espa¸co de Hilbert e A : H → H um operador linear de H. As seguintes afirma¸cões são equivalentes: (i) A é cont´ınuo em H. (ii) A é cont´ınua no ponto 0 ∈ H. (iii) A é limitado em H. (iv) A é Lipschitziano em H. Demonstra¸cão: (i) ⇒(ii). Evidente. (ii) ⇒ (iii). Suponhamos que A é cont´ınuo no ponto 0 ∈ H. Assim, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se [[u[[ < δ então [[Au[[ < ε. Tomemos, em particular, ε = 1. Então, por hipótese, existe δ 1 > 0 tal que Se [[u[[ < δ 1 ent˜ ao [[Au[[ < 1. (5.57) Sejam u ∈ H tal que u ,= 0 e C ∈ 1 tal que 0 < 1 C < δ 1 . Então ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ u C ||u|| ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = 1 C < δ 1 e, portanto, de (5.57) resulta que ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ A _ u C [[u[[ _¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ < 1 ⇒[[Au[[ ≤ C [[u[[, para todo u ∈ H com u ,= 0. Além disso, se u = 0, temos que [[Au[[ = 0 = C[[u[[. Desta forma conclu´ımos que [[Au[[ ≤ C [[u[[, para todo u ∈ H. (iii) ⇒ (iv). Suponhamos A limitado em H, isto é, existe C > 0 talq que [[au[[ ≤ C [[u[[, para todo u ∈ H. Ent˜ ao, se u, v ∈ H, face a linearidade de A, resulta que [[Au −Av[[ = [[A(u −v)[[ ≤ C [[u −v[[, o que prova ser A Lipschitziano. (iv) ⇒(i) Evidente. 202 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL 2 Decorre da Proposi¸cão acima que os conceitos de operadores lineares limitados e operadores lineares cont´ınuos são equivalentes. A seguir, mostraremos que existe uma rela¸c˜ ao estreita entra as formas sesquilineares limitadas e os operadores lineares limitados. Com efeito, (I) Seja A um operador linear limitado de H. Definamos a seguinte aplica¸c˜ ao: a : H H →C (u, v) →a(u, v), onde, a(u, v) = (Au, v), para todo u, v ∈ H. (5.58) Afirmamos que a(u, v) é uma forma sesquilinear de H. De fato, a(u, v) está bem definida uma vez que A é um operador. Além disso, em virtude da linearidade de A e das propriedades do produto interno (, ) de H, temos que para todo u, v, w ∈ H e λ ∈ C, (i) a(u +w, v) = (A(u +w), v) = (Au + Aw, v) = (Au, v) + (Aw, v) = a(u, v) + a(w, v). (ii) a(λu, v) = (A(λu), v) = (λAu, v) = λ(Au, v) = λa(u, v). (iii) a(u, v + w) = (Au, v + w) = (Au, v) + (Au, w) = a(u, v) + a(u, w). (iv) a(u, λv) = (Au, λv) = λ(Au, v) = λa(u, v), o que prova ser A uma forma sesquilinear. Além disso, como o produto interno é uma forma sesquilinear, hermitiana, estritamente positiva, ent˜ ao, pela desigualdade de Cauchy- Schwarz e de (5.56), obtemos [a(u, v)[ = [(Au, v)[ ≤ [[Au[[ [[v[[ ≤ [[A[[ [[u[[ [[v[[ para todo u, v ∈ H, (5.59) o que prova que a(u, v) é limitada. Se A ≡ 0, então a ≡ 0 e da´ı vem que [[A[[ = [[a[[. Agora, se A ,= 0 (não identicamente nulo), ent˜ ao [[A[[ > 0 e, de (5.59) resulta que [[A[[ ∈ ¦C > 0; [a(u, v)[ ≤ C [[u[[ [[v[[, para todo u, v ∈ H¦, o que implica que [[A[[ ≥ inf¦C > 0; [a(u, v)[ ≤ C [[u[[ [[v[[, para todo u, v ∈ H¦ = [[a[[, (5.60) OPERADORES LINEARES LIMITADOS 203 Por outro lado, lembremos que [[a[[ = sup u,v∈H;u,v=0 [a(u, v)[ [[u[[ [[v[[ = sup u,v∈H;u,v=0 [(Au, v)[ [[u[[ [[v[[ . Como _ [(Au, v)[ [[u[[ [[v[[ ; u, v ∈ H e u, v ,= 0 _ ⊃ _ [(Au, Au)[ [[u[[ [[Au[[ ; u ∈ H e u, Au ,= 0 _ , vem que sup u,v∈H;u,v=0 [(Au, v)[ [[u[[ [[v[[ ≥ sup u∈H;u,Au=0 [(Au, Au)[ [[u[[ [[Au[[ , o que prova que [[a[[ ≥ sup u∈H;u,Au=0 [(Au, Au)[ [[u[[ [[Au[[ = sup u∈H;u,Au=0 [[Au[[ 2 [[u[[ [[Au[[ = sup u∈H;u,Au=0 [[Au[[ [[u[[ . (5.61) Como _ [[Au[[ [[u[[ ; u ∈ H e u, Au ,= 0 _ ⊂ _ [[Au[[ [[u[[ ; u ∈ H, u ,= 0 _ , resulta que sup u∈H;u,Au=0 [[Au[[ [[u[[ ≤ sup u∈H;u=0 [[Au[[ [[u[[ . (5.62) Por outro lado note que [[Au[[ [[u[[ ≤ sup u∈H;u,Au=0 [[Au[[ [[u[[ , para todo u ∈ H tal que u, Au ,= 0, e a desigualdade acima continua válida mesmo que Au = 0 e u ,= 0. Logo, [[Au[[ [[u[[ ≤ sup u∈H;u,Au=0 [[Au[[ [[u[[ , para todo u ∈ H, u ,= 0, e, consequentemente, sup u∈H;u=0 [[Au[[ [[u[[ ≤ sup u∈H;u,Au=0 [[Au[[ [[u[[ . (5.63) De (5.62) e (5.63) obtemos sup u∈H;u,Au=0 [[Au[[ [[u[[ = sup u∈H;u=0 [[Au[[ [[u[[ = [[A[[. (5.64) 204 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Assim, de (5.61) e (5.64) resulta que [[a[[ ≥ [[A[[ e da´ı e de (5.60) conclu´ımos que [[a[[ = [[A[[. (II) Seja, agora, a(u, v) uma forma sesquilinear limitada de H. Definamos, para cada u ∈ H, u ,= 0, a seguinte aplica¸cão: fu : H →C (5.65) v →¸fu, v) = a(u, v). Afirmamos que fu é uma aplica¸cão linear. Com efeito, se a ≡ 0 ent˜ ao fu ≡ 0 e portanto nada temos a provar. Seja, ent˜ ao, a ,= 0 (não identicamente nula). Para todo u, v, w ∈ H e λ ∈ C, temos (i) ¸fu, v + w) = a(u, v + w) = a(u, v) + a(u, w) = a(u, v) + a(u, w) = ¸fu, v) +¸fu, w) , (ii) ¸fu, λv) = a(u, λv) = λa(u, v) = λa(u, v) = λ ¸fu, v) , o que prova a linearidade de fu. Além disso, da observa¸c˜ ao 5.17 decorre que [¸fu, v)[ = ¸ ¸ ¸a(u, v) ¸ ¸ ¸ ≤ [[a[[ [[u[[ [[v[[, para todo v ∈ H. (5.66) Pondo-se, para u ,= 0, k = [[a[[ [[u[[ > 0, então [¸fu, v)[ ≤ k [[v[[, para todo v ∈ H. Desta forma, fu, é, para u ,= 0, uma forma linear limitada de H. Se u = 0, fu ≡ 0 e é trivialmente uma forma linear limitada de H. Do exposto acima, e para cada u ∈ H, temos que fu é uma forma linear limitada de H. Pelo Teorema de Representa¸c˜ ao de Riez, para cada u ∈ H, existe um ´ unico w u ∈ H tal que ¸fu, v) = (v, w u ) , para todo v ∈ H. (5.67) Estamos, portanto, aptos a definir a seguinte fun¸c˜ ao: A : H →H (5.68) u →Au = w u , onde w u é dado pelo teorema de Riesz. Provaremos, a seguir, que o operador A definido acima é linear e limitado. Com efeito, notemos inicialmente que A está bem definido pois se u 1 = u 2 , então a(u 1 , v) = a(u 2 , v) e portanto, a(u 1 , v) = a(u 2 , v), para todo v ∈ H. Logo, ¸fu 1 , v) = ¸fu 2 , v), para todo v ∈ H, ou ainda, (v, w u 1 ) = (v, w u 2 ), para todo v ∈ H, onde w u 1 e w u 2 são dados pelo OPERADORES LINEARES LIMITADOS 205 Teorema de Riesz. Resulta da ´ ultima identidade em particular para v = w u 1 − w u 2 que w u 1 = w u 2 , o que prova que Au 1 = Au 2 . Consideremos, agora, u, v ∈ H. Temos, de (5.67) e (5.68) que, a(u, v) = ¸fu, v) = (v, w u ) = (v, Au) = (Au, v), e, portanto, a(u, v) = (Au, v), para todo u, v ∈ H. (5.69) Sejam u 1 , u 2 ∈ H e λ ∈ C. Ent˜ ao, de (5.69) obtemos (i) (A(u 1 + u 2 ), v) = a(u 1 + u 2 , v) = a(u 1 , v) + a(u 2 , v) = (Au 1 , v) + (Au 2 , v) , para todo v ∈ H. Então, (A(u 1 + u 2 ) −Au 1 −Au 2 , v) = 0, para todo v ∈ H, e conseq¨ uentemente, A(u 1 + u 2 ) = Au 1 + Au 2 . Além disso, (ii) (A(λu 1 ), v) = a(λu 1 , v) = λa(u 1 , v) = λ (Au 1 , v) = (λAu 1 , v) , para todo v ∈ H. Assim, (A(λu 1 ) −λAu 1 , v) = 0 para todo v ∈ H, o que implica que A(λu 1 ) = λA(u 1 ), o que prova a linearidade de A. Também, seja u ∈ H tal que Au ,= 0 ( e, portanto u ,= 0). Logo, [[Au[[ [[u[[ = [[Au[[ 2 [[u[[ [[Au[[ = [(Au, Au)[ [[u[[ [[Au[[ ≤ sup u,v∈H;u,v=0 [a(u, v)[ [[u[[ [[v[[ = [[a[[, o que nos leva a [[Au[[ ≤ [[a[[ [[u[[, para todo u ∈ H tal que Au ,= 0 e u ,= 0. Se u = 0, temos que Au = 0 e, portanto, [[Au[[ = [[a[[ [[u[[ = 0. Se Au = 0 temos que [[Au[[ = 0 ≤ [[a[[ [[u[[. Do exposto vem que [[Au[[ ≤ [[a[[ [[u[[, para todo u ∈ H, o que prova ser A limitado. De modo análogo ao que foi feito em (I), temos que [[A[[ = [[a[[. 206 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Observa¸cão 5.26 Do que vimos acima, dado um operador linear A limitado de um espa¸co de Hilbert H, constru´ımos uma forma sesquilinear limitada de H, ou seja, a(u, v) = (Au, v), para todo u, v ∈ H tal que [[a[[ = [[A[[. Reciprocamente, dada uma forma sesquilinear limitada de H, a(u, v), constru´ımos um operador A linear limitado de H, dado por (Au, v) = a(u, v), para todo u, v ∈ H, onde [[A[[ = [[a[[. Denotaremos por o(H) o espa¸co das formas sesquilineares limitadas de H e como vimos, por /(H) o espa¸co das formas lineares limitadas de H. Proposi¸cão 5.27 Seja H um espa¸co de Hilbert. Então existe um isomorfismo isométrico entre o(H) e /(H) dado pela seguinte aplica¸cão: F : o(H) →/(H) a →F(a) = A, onde a(u, v) = (Au, v), para todo u, v ∈ H. Demonstra¸cão: (i) F está bem definida. Seja, a 1 , a 2 ∈ o(H) tais que a 1 = a 2 . Então, a 1 (u, v) = a 2 (u, v), para todo u, v ∈ H e portanto, (F(a 1 )u, v) = (F(a 2 )u, v) , para todo u, v ∈ H, o que implica que F(a 1 )u = F(a 2 )u, para todo u ∈ H, donde F(a 1 ) = F(a 2 ). (ii) F é injetora. Sejam a 1 , a 2 ∈ o(H) e suponhamos que F(a 1 ) = F(a 2 ). Então, A 1 = A 2 onde a 1 (u, v) = (A 1 u, v) e a 2 (u, v) = (A 2 u, v) para todo u, v ∈ H. Como A 1 = A 2 , (A 1 u, v) = (A 2 u, v), para todo u, v ∈ H e, desta forma, a 1 (u, v) = a 2 (u, v), para todo u, v ∈ H, ou seja, a 1 = a 2 . (iii) F é linear. Sejam a 1 , a 2 ∈ o(H) e λ ∈ C. (a) Temos, F(a 1 + a 2 ) = A 3 , onde (a 1 + a 2 )(u, v) = (A 3 u, v), para todo u, v ∈ H, ou seja, (A 3 u, v) = (a 1 +a 2 )(u, v) = a 1 (u, v) + a 2 (u, v) = (A 1 u, v) + (A 2 u, v) = ((A 1 + A 2 )u, v), para todo u, v ∈ H, onde A 1 = F(a 1 ) e A 2 = F(a 2 ), CONJUNTOS ORTONORMAIS COMPLETOS 207 o que implica que A 3 = A 1 + A 2 , isto é, F(a 1 + a 2 ) = F(a 1 ) + F(a 2 ). (b) Temos, F(λa 1 ) = B, onde (λa 1 )(u, v) = (Bu, v), para todo u, v ∈ H, ou seja, (Bu, v) = λa 1 (u, v) = λ(A 1 u, v) = ((λA 1 )u, v), para todo u, v ∈ H, onde A 1 = F(a 1 ), o que acarreta que B = λA 1 , isto é, F(λa 1 ) = λF(a 1 ). (iv) A sobrejetividade é imediata. (v) F é isometria. Temos que [[Fa[[ = [[A[[. Mas, pelo que já foi provado anteriormente, [[A[[ = [[a[[ e, por conseguinte, [[Fa[[ = [[a[[, para todo a ∈ o(H). 2 5.4 Conjuntos Ortonormais Completos Seja H um espa¸co de Hilbert munido de um produto interno que designaremos por (, ) e norma [[ [[ = (, ) 1/2 . Dois vetors u, v ∈ H são ditos ortogonais quando (u, v) = 0. Evidentemente o vetor nulo é ortogonal a qualquer outro, pela própria defini¸cão. As vezes denotamos u ⊥ v para indicar que u é ortogonal a v. Um conjunto de vetores A ⊂ H é dito ortogonal quando (u, v) = 0, para todo u, v ∈ A com u ,= v. Um conjunto é dito ortonormal quando for ortogonal, e, além disso, [[u[[ = 1, para todo u ∈ A. Defini¸cão 5.28 Seja A um conjunto ortonormal em um espa¸co de Hilbert H. A é dito completo se não existir outro conjunto ortonormal contendo A, ou seja, A deve ser o conjunto ortonormal maximal. Veremos, a seguir, um critério para a caracteriza¸cão de conjuntos ortonomais completos em um espa¸co de Hilbert H. Proposi¸cão 5.29 Um conjunto ortonormal A é completo se e somente se para todo u ∈ H tal que u ⊥ A, então u deve ser o vetor nulo. Demonstra¸cão: Suponhamos incialmente que A seja ortonormal completo e, por contradi¸c˜ ao, que exista u ∈ H tal que u ⊥ A e u ,= 0. Ent˜ ao, u ||u|| é um vetor unitário tal que u [[u[[ ⊥ A ⇒ _ u [[u[[ , v _ = 0, para todo v ∈ A. (5.70) 208 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Além disso, u ||u|| / ∈ A, pois, caso contr´ ario, de (5.70) e, em particular, ter´ıamos 0 = _ u [[u[[ , u [[u[[ _ = 1, o que é um absurdo. Logo, M = _ u ||u|| _ ∪ A é um conjunto ortonormal em H contendo A estritamente, o que é uma contradi¸c˜ ao. Reciprocamente, suponhamos que para todo u ∈ H tal que u ⊥ A tenhamos u = 0 e, por contradi¸c˜ ao, suponhamos que A não seja completo. Então, existe B, conjunto ortonormal em H, tal que A está contido propriamente em B. Logo, existe w ∈ B¸A. Ent˜ ao, [[w[[ 2 = (w, w) = 1, (5.71) pois w ∈ B e B é ortonormal em H. Além disso, como para todo v ∈ A tem-se que w ,= v resulta que (w, v) = 0, para todo v ∈ A ⇒ w ⊥ A, (5.72) já que B é ortonormal e A ⊂ B. Segue de (5.72) e, por hipótese, que w = 0, o que é uma contradi¸ cão com (5.71). Isto prova o critério. 2 Proposi¸cão 5.30 Seja H um espa¸co de Hilbert, não trivial. Então, qualquer conjunto ortonormal pode ser estendido a um conjunto ortonormal completo. Demonstra¸cão: Incialmente notemos que a existência de um conjunto ortonormal está garantida pois como H é não trivial ent˜ ao existe u ∈ H, u ,= 0 e portanto o conjunto _ u [[u[[ _ , é trivialmente ortonormal em H. Consideremos, ent˜ ao, A um conjunto ortonormal em H. Se A não é completo, então existe B ortonormal em H tal que A ⊂ B. Seja S a cole¸cão de todos os conjuntos ortonormais que contêm A. S é não vazio pois B ∈ S. ´ E claro que a cole¸cão S é parcialmente ordenada pela inclusão de conjuntos. Mostraremos agora que todo subconjunto CONJUNTOS ORTONORMAIS COMPLETOS 209 de S totalmente ordenado tem uma limita¸c˜ ao superior em S, ou seja, S é indutivamente ordenado. Poderemos, ent˜ ao, aplicar o Lema de Zorn, que garante que todo conjunto não vazio indutivamente ordenado tem um elemento maximal, para obtermos um conjunto ortonormal maximal. Consideremos, ent˜ ao, T = ¦A α ¦ α∈I , uma subcole¸cão de S totalmente ordenada. ´ E claro que A α ⊂ _ α∈I A α , para todo α ∈ I, e A ⊂ _ α∈I A α. Logo, α∈I A α é uma cota superior para T. Mostraremos que α∈I A α ∈ S, ou seja, que α∈I A α é ortonormal em H. De fato, sejam u, v ∈ α∈I A α . Isto implica que existem A α e A β tais que u ∈ A α e v ∈ A β . Como T é totalmente ordenado, ent˜ ao A α ⊂ A β ou A β ⊂ A α . Sem perda da generalidade suponhamos que a primeira das inclusões ocorra. Então, u, v ∈ A β . Se u = v, ent˜ ao [[u[[ = [[v[[ = 1 pois A β é ortonormal em H. Agora, sendo u ,= v, ent˜ ao, pelo mesmo motivo (u, v) = 0 ⇒u ⊥ v. Se tivéssemos suposto que A β ⊂ A α , concluir´ıamos o mesmo. Logo, α∈I A α é ortonormal em H e portanto _ α∈I A α ∈ S. Logo, o conjunto α∈I A α é uma limita¸cão superior para T em S. Pelo Lema de Zorn existe um elemento maximal A em S. Assim, A é ortonormal e completo pois se existir B ∈ S tal que A ⊂ B, então, por ser A maximal, A = B. Isto conclui a prova. 2 210 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Proposi¸cão 5.31 Seja H um espa¸co de Hilbert. Suponha que A = ¦v ν ¦ ν∈N é um conjunto ortonormal em H e consideremos u ∈ H. Então: (1) v = +∞ ν=1 (u, v ν )v ν , isto é série converge para um vetor v ∈ H. (2) O vetor v mencionado no ´ıtem (1) acima pertence a [A]. (3) u ∈ [A] ⇔u = v. (4) u −v ⊥ [A]. Demonstra¸cão: (1) Definamos: S n = n ν=1 (u, v ν )v ν . Temos, das propriedades de produto interno e pelo fato de A = ¦v ν ¦ ν∈N ser ortonormal, que 0 ≤ [[u −S n [[ 2 = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ u − n ν=1 (u, v ν )v ν ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 = _ u − n ν=1 (u, v ν )v ν , u − n ν=1 (u, v ν )v ν _ = (u, u) − _ u, n ν=1 (u, v ν )v ν _ − _ n ν=1 (u, v ν )v ν , u _ + _ n ν=1 (u, v ν )v ν , n ν=1 (u, v ν )v ν _ = [[u[[ 2 − _ n ν=1 (u, v ν )v ν , u _ − _ n ν=1 (u, v ν )v ν , u _ + n ν=1 (u, v ν )(u, v ν ) (v ν , v ν ) . ¸¸ . =1 = [[u[[ 2 − n ν=1 (u, v ν )(v ν , u) − n ν=1 (u, v ν )(v ν , u) + n ν=1 [(u, v ν )[ 2 = [[u[[ 2 − n ν=1 (u, v ν )(u, v ν ) − n ν=1 (u, v ν )(u, v ν ) + n ν=1 [(u, v ν )[ 2 = [[u[[ 2 −2 n ν=1 [(u, v ν )[ 2 + n ν=1 [(u, v ν )[ 2 = [[u[[ 2 − n ν=1 [(u, v ν )[ 2 , o que implica que n ν=1 [(u, v ν )[ 2 ≤ [[u[[ 2 . CONJUNTOS ORTONORMAIS COMPLETOS 211 Resulta da desigualdade acima, gra¸cas ao Teorema da Seq¨ uência Monótona, que ∞ ν=1 [(u, v ν )[ 2 ≤ [[u[[ 2 . (5.73) A desigualdade em (5.73) é conhecida como Desigualdade de Bessel. Portanto, dados m, n ∈ N, com m ≥ n, temos [[S n −S m [[ 2 = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ m ν=n+1 (u, v ν )v ν ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 = _ m ν=n+1 (u, v ν )v ν , m ν=n+1 (u, v ν )v ν _ = m ν=n+1 [(u, v ν )[ 2 →0, quando m, n →+∞, o que implica que ¦S n ¦ n∈N é de Cauchy, acarretando a convergência da série. (2) ´ E claro que S n = n ν=1 (u, v ν )v ν ∈ [A] para todo n ∈ N e, por (1), existe v ∈ H tal que S n →v em H. Aqui [A] representa o subespa¸co gerado por A. Logo, existe ¦S n ¦ n∈N ⊂ [A] tal que S n → v em H quando n →+∞. Isto significa que v ∈ [A]. (4) Temos, para cada µ ∈ N, de acordo com o ´ıtem (1), que (u −v, v µ ) = (u, v µ ) −(v, v µ ) = (u, v µ ) − _ ∞ ν=1 (u, v ν )v ν , v µ _ = (u, v µ ) −(u, v µ ) = 0, o que implica que u −v ⊥ A, e por conseguinte, u −v ⊥ [A]. Agora, dado w ∈ [A], existe ¦w n ¦ n∈N ⊂ [A] tal que w n → w em H. Mas, para cada n ∈ N, resulta de (4) que (u −v, w n ) = 0, para todo n ∈ N. decorre da´ı, na situa¸cão limite que (u −v, w) = 0, para todo w ∈ [A], ou seja, u −v ⊥ [A]. 212 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL (3) ´ E claro que se u = v, ent˜ ao, em virtude de (2), u ∈ [A]. Reciprocamente, suponhamos que u ∈ [A]. Como de (2) temos que v ∈ [A], então, uma vez que [A] é subspa¸co resulta que u −v ∈ [A]. (5.74) Por outro lado, do ´ıtem (4) vem que u −v ⊥ [A]. (5.75) Assim, de (5.74) e (5.75) resulta que (u −v, u −v) = 0 ⇒u = v, o que encerra a prova. 2 Proposi¸cão 5.32 Seja H um espa¸co de Hilbert e consideremos A ⊂ H um conjunto ortonormal tal que [A] = H. Então, A é completo. Demonstra¸cão: Faremos a prova por contradi¸c˜ ao. Com efeito, suponhamos ent˜ ao que A é um conjunto ortonormal em H tal que [A] = H e, no entanto, A não seja completo. Ent˜ ao, de acordo com a proposi¸cão 5.29 deve existir u ∈ H, u ,= 0 e tal que u ⊥ A. Isto implica que u ⊥ [A], e, que por sua vez, acarreta que u ⊥ [A]. (5.76) Como [A] = H, por hipótese, resulta de (5.76) que (u, v) = 0, para todo v ∈ H, e, em particular, que 0 = (u, u) = [[u[[ 2 , o que implica u = 0. Mas isto é uma coontradi¸c˜ ao. 2 CONJUNTOS ORTONORMAIS COMPLETOS 213 Proposi¸cão 5.33 Suponhamos que A = ¦v ν ¦ ν∈N é um conjunto ortonormal completo em um espa¸co de Hilbert H. Então, [A] = H. Demonstra¸cão: Faremos a demonstra¸c˜ ao por contradi¸c˜ ao. Assumamos, ent˜ ao, que A é um conjunto ortonormal em H e que [A] ,= H. Logo, existe u ∈ H, u ,= 0 e tal que u / ∈ [A]. Agora, como H é um espa¸co de Hilbert, podemos aplicar as partes (1) e (2) da proposi¸c˜ ao 5.31 que garante a existência de um vetor v ∈ H tal que ∞ ν=1 (u, v ν )v ν = v ∈ [A]. Agora, aplicando-se a parte (4) da mesma proposi¸c˜ ao, obtemos u −v ⊥ [A], o que acarreta que u −v [[u −v[[ ⊥ [A], (5.77) já que u ,= v, (conforme é garantido na parte (3) da proposi¸c˜ ao 5.31) e [A] é um subespa¸co de H. Segue de (5.77), e, em particular, que u −v [[u −v[[ ⊥ [A]. (5.78) Encontramos, ent˜ ao, um vetor unitário, ortonormal à todo A. Além disso, u−v ||u−v|| / ∈ A, pois, caso contr´ ario, de (5.78) ter´ıamos u −v [[u −v[[ = 0, o que é um absurdo. Em vista disso, podemos dizer que A não é completo pois A _ _ u −v [[u −v[[ _ ∪ A, isto é, existe um conjunto ortonormal contendo A estritamente, o que é uma contradi¸c˜ ao. 2 214 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Corolário 5.34 Sejam H um espa¸co de Hilbert e A = ¦v ν ¦ ν∈N um conjunto ortonormal em H. Então A é completo se e somente se [A] = H. Demonstra¸cão: Aplica¸c˜ ao imediata das proposi¸cões 5.32 e 5.33. 2 Proposi¸cão 5.35 Sejam H um espa¸co de Hilbert e A = ¦v ν ¦ ν∈N um conjunto ortonormal em H. Então, A é completo se e somente se, para todo u ∈ H é válida a identidade: [[u[[ 2 = ∞ ν=1 [(u, v ν )[ 2 . (5.79) Demonstra¸cão: Suponhamos inicialmente que A seja completo e consideremos u ∈ H. Pela proposi¸c˜ ao 5.33 decorre que [A] = H. Logo, u ∈ [A]. Aplicando-se a proposi¸c˜ ao 5.31 ´ıtens (3) e (1) obtemos u = +∞ ν=1 (u, v ν )v ν . (5.80) Contudo, ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n ν=1 (u, v ν )v ν ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 = _ n ν=1 (u, v ν )v ν , n ν=1 (u, v ν )v ν _ = n ν=1 [(u, v ν )[ 2 , e de (5.80), na situa¸cão limite vem que [[u[[ 2 = +∞ ν=1 [(u, v ν )[ 2 , o que prova (5.79). Reciprocamente, suponhamos que para todo u ∈ H é válida a identidade (5.79) e, por contradi¸ cão, que A não seja completo. Então, conforme proposi¸c˜ ao 5.29 deve existir u ∈ H, u ,= 0, tal que u ⊥ A. (5.81) Segue de (5.79) e (5.81) em particular para este u, que [[u[[ 2 = +∞ ν=1 [(u, v ν )[ 2 = 0, o que é uma contradi¸cão. Conseq¨ uentemente, A deve ser completo. Isto encerra a prova. 2 SUBESPAÇ OS FECHADOS E O TEOREMA DA PROJEÇ ˜ AO 215 Observa¸cão 5.36 A identidade dada em (5.79) é conhecida como Identidade de Parseval. Do exposto acima, enunciaremos o principal resultado desta se¸cão. Teorema 5.37 Seja A = ¦v ν ¦ ν∈N um conjunto ortonormal em um espa¸co de Hilbert H. Então, as asser¸cões abaixo são equivalentes (1) A é completo. (2) u ⊥ A ⇒u = 0. (3) u ∈ H ⇒u = +∞ ν=1 (u, v ν )v ν . (4) [A] = H. (5) [[u[[ 2 = +∞ ν=1 [(u, v ν )[ 2 . (6) Para todo u, w ∈ H, (u, w) = +∞ ν=1 (u, v ν )(w, v ν ). Observa¸cão 5.38 A proposi¸cão 5.30 nos garante que todo espa¸co de Hilbert H, não trivial, admite um conjunto ortonormal completo, não necessariamente enumerável. Con- tudo, se tal conjunto for enumerável, são válidas as equivalências dadas no Teorema 5.37. Surge então uma pergunta natural: Quando é que um espa¸co de Hilbert admite um conjunto ortonormal enumerável e completo? Por exemplo, quando H é separável pois todo conjunto ortonormal é no máximo enumerável (ver demonstra¸cão adiante no lema 5.71). Denomina-se base Hilbertiana à toda sucessão ¦v ν ¦ ν∈N de elementos de H tais que (i) [[v ν [[ = 1 para todo ν ∈ N e (v ν , v µ ) = 0, para todo ν, µ ∈ N, ν ,= µ. (ii) O espa¸co vetorial gerado pelos ¦v ν ¦ ν∈N é denso em H. Logo, todo espa¸co de Hilbert separável admite uma base Hilbertiana, conforme já t´ınhamos provado no teorema 4.21 para espa¸cos de Hilbert reais. 5.5 Subespa¸cos Fechados e o Teorema da Proje¸cão No que segue nesta se¸cão seja H um espa¸co de Hilbert com produto interno (, ) e norma [[ [[ = (, ) 1/2 . 216 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Lema 5.39 Sejam M um subespa¸co fechado de um espa¸co de Hilbert H e u ∈ H. Então, se d = inf v∈M [[u −v[[, existe v 0 ∈ M tal que d = [[u −v 0 [[. Demonstra¸cão: Definindo-se d = inf v∈M [[u −v[[, ent˜ ao, existe ¦v n ¦ n∈N ⊂ M tal que [[u −v n [[ →d quando n →+∞. (5.82) Consideremos, ent˜ ao, m, n ∈ N. Temos: [[v n + v m −2u[[ 2 +[[v n −v m [[ 2 = [[(v n −u) + (v m −u)[[ 2 +[[(v n −u) −(v m −u)[[ 2 , que pela identidade do paralelogramo é igual a 2[[v n −u[[ 2 + 2[[v m −u[[ 2 . Assim, combinando as identidades acima resulta que [[v n −v m [[ 2 = 2[[v n −u[[ 2 + 2[[v m −u[[ 2 −[[v n + v m −2u[[ 2 (5.83) = 2[[v n −u[[ 2 + 2[[v m −u[[ 2 −4[[ v n +v m 2 −u[[ 2 . Por outro lado, como vn+vm 2 ∈ M resulta que [[ v n + v m 2 −u[[ ≥ inf v∈M [[v −u[[ = d, o que implica que −[[ v n + v m 2 −u[[ 2 ≤ −d 2 . (5.84) Logo, combinando (5.83) e (5.84) obtemos [[v n −v m [[ 2 ≤ 2[[v n −u[[ 2 + 2[[v m −u[[ 2 −4d 2 . SUBESPAÇ OS FECHADOS E O TEOREMA DA PROJEÇ ˜ AO 217 Resulta da desigualdade acima e da convergência (5.82) que 0 ≤ lim n,m→+∞ [[v n −v m [[ 2 ≤ 2d 2 + 2d 2 −4d 2 = 0, resultando que [[v n −v m [[ → 0 quando n, m → +∞, o que acarreta que ¦v n ¦ n∈N é uma seq¨ uência de Cauchy em H,e, portanto, converge. Sendo M fechado e como ¦v n ¦ n∈N ⊂ M, existe v 0 ∈ M tal que v n →v 0 quando n →+∞. Logo [[u −v n [[ →[[u −v 0 [[, quando n →+∞. (5.85) Das convergências (5.82) e (5.85) e pela unicidade do limite conclu´ımos que d = [[u −v 0 [[, com v 0 ∈ M, o que encerra a prova. 2 Proposi¸cão 5.40 Seja M um subespa¸co fechado de um espa¸co de Hilbert H e consideremos N um subspa¸co que contém M propriamente. Então, existe um vetor w ∈ N, não nulo, e tal que w ⊥ M. Demonstra¸cão: Como a inclusão M ⊂ N é própria, existe u ∈ N e u / ∈ M. Para esse u consideremos d = d(u, M) = inf v∈M [[u −v[[. Aplicando-se o lema precedente, deve existir v ∈ M tal que d = [[u −v[[. Consideremos, ent˜ ao, w = v −u. Claramente w ,= 0 pois, caso contr´ ario, v seria igual a u o que é um absurdo pois u / ∈ M e v ∈ M (note também que u = v = 0 não pode ocorrer). Além disso, w ∈ N pois v ∈ M ⊂ N e u ∈ N. Resta-nos provar ent˜ ao que w ⊥ M. (5.86) 218 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Com efeito, para esse propósito, seja z ∈ M e α ∈ C. Temos, [[w +αz[[ = [[v −u + αz[[ = [[v + αz −u[[ ≥ d = [[w[[, onde a ´ ultima desigualdade decorre da defini¸cão de d = d(u, M) e do fato que (v +αz) ∈ M. Ent˜ ao, [[w + αz[[ 2 ≥ [[w[[ 2 , e, por conseguinte, 0 ≤ [[w + αz[[ 2 −[[w[[ 2 = (w +αz, w + αz) −(w, w) (5.87) = α(w, z) + α(z, w) +[α[ 2 [[z[[ 2 . Assumamos, em particular, α = β(w, z) com β ∈ 1. Logo, α = β (w, z). Substituindo- se α dado acima em (5.87) obtemos α(w, z) + α(z, w) +[α[ 2 [[z[[ 2 = β (w, z) (w, z) + β (w, z) (z, w) + β 2 [(w, z)[ 2 [[z[[ 2 = β [(w, z)[ 2 + β [(w, z)[ 2 + β 2 [(w, z)[ 2 [[z[[ 2 = 2β [(w, z)[ 2 + β 2 [(w, z)[ 2 [[z[[ 2 , e portanto, de (5.87) podemos escrever 2β [(w, z)[ 2 + β 2 [(w, z)[ 2 [[z[[ 2 ≥ 0 para todo β ∈ 1 e z ∈ M. (5.88) Lembremos que queremos provar que (w, z) = 0 para todo z ∈ M. Suponhamos, por contradi¸ cão, que tal fato não ocorra, ou seja, que (w, z) ,= 0, para algum z ∈ M. Ent˜ ao, podemos escolher β de modo que 2β [(w, z)[ 2 + β 2 [(w, z)[ 2 [[z[[ 2 < 0. (5.89) Com efeito, como (w, z) ,= 0, o discriminante ∆ da fun¸c˜ ao quadrática f(β) = [(w, z)[ 2 [[z[[ 2 β 2 + 2β [(w, z)[ 2 é dado por ∆ = 4[(w, z)[ 4 > 0, o que garante a exist encia de ra´ızes reais distintas e, conseq¨ uentemente existe β entre tais raizes tal que f(β) < 0, o que prova (5.89), o que é uma contradi¸c˜ ao com (5.88), ficando provado (5.86). Isto termina a prova. 2 SUBESPAÇ OS FECHADOS E O TEOREMA DA PROJEÇ ˜ AO 219 Defini¸cão 5.41 Sejam H um espa¸co de Hilbert e S um subconjunto de H. A cole¸cão de vetores S ⊥ = ¦v ∈ H; (v, u) = 0, para todo u ∈ S¦, é denominada o complemento ortogonal de S. Observa¸cão 5.42 Fazendo-se a identifica¸cão de H com o seu dual, via Teorema de Riez, então, o complemento ortogonal M ⊥ de um subespa¸co M ⊂ H, já definido anteriormente, é um subespa¸co de H definido por M ⊥ = ¦v ∈ H; (v, u) = 0, para todo u ∈ M¦. Desta forma, as defini¸cões coincidem. Covém observar que mesmo que S seja um conjunto genérico, S ⊥ é um subespa¸co fechado de H. de fato, seja ¦v ν ¦ ν∈N ⊂ S ⊥ tal que v ν → v em H, quando ν → +∞. Temos, para cada ν ∈ N, (v ν , u) = 0, para todo u ∈ S. Na situa¸c˜ ao limite, obtemos (v, u) = 0, para todo u ∈ S, o que prova que v ∈ S ⊥ o que prova que S ⊥ é fechado. Proposi¸cão 5.43 Sejam H um espa¸co de Hilbert e S ⊂ H. Então, (i) S ∩ S ⊥ ⊂ ¦0¦ e temos a igualdade se S é subespa¸co. (ii) S ⊂ _ S ⊥ _ ⊥ . Demonstra¸cão: (i) Seja v ∈ S ∩ S ⊥ . Ent˜ ao, v ∈ S e (v, u) = 0, para todo u ∈ S. Em particular, (v, v) = [[v[[ 2 = 0, para todo v ∈ S o que implica que v = 0, ou seja, S ∩ S ⊥ ⊂ ¦0¦. Agora, sendo S um subespa¸co, evidentemente ¦0¦ ⊂ S ⊥ ⊂ ¦0¦ e assim temos a igualdade. (ii) Notemos que _ S ⊥ _ ⊥ = ¦w ∈ H; (w, v) = 0, para todo v ∈ S ⊥ ¦. 220 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Seja u ∈ S. Ent˜ ao, (u, v) = 0, para todo v ∈ S ⊥ o que implica que u ∈ _ S ⊥ _ ⊥ , o que conclui a prova. 2 Proposi¸cão 5.44 Sejam H um espa¸co de Hilbert e S 1 e S 2 subconjuntos de H tais que S 1 ⊂ S 2 . Então, S ⊥ 1 ⊃ S ⊥ 2 . Demonstra¸cão: Seja u ∈ S ⊥ 2 . Ent˜ ao, (u, v) = 0, para todo v ∈ S 2 . Como S 1 ⊂ S 2 , temos, em particular, que (u, v) = 0, para todo v ∈ S 1 , ou seja, u ∈ S ⊥ 1 . 2 Proposi¸cão 5.45 Se M é um subespa¸co fechado de um espa¸co de Hilbert H, então M = _ M ⊥ _ ⊥ . Demonstra¸cão: De acordo com a proposi¸c˜ ao 5.43(ii), temos que M ⊂ _ M ⊥ _ ⊥ . Supo- nhamos, por contradi¸cão, que a inclusão seja própria, ou seja, admitamos que M _ _ M ⊥ _ ⊥ . Então, pela proposi¸cão 5.40 existe w ∈ _ M ⊥ _ ⊥ tal que w ,= 0 e w ⊥ M, isto é, w ∈ M ⊥ . Assim, w ∈ M ⊥ ∩ _ M ⊥ _ ⊥ e como M ⊥ é subespa¸co, da proposi¸c˜ ao 5.43(i), que ∈ M ⊥ ∩ _ M ⊥ _ ⊥ = ¦0¦, e, portanto, w = 0, o que gera uma contradi¸c˜ ao. Logo, a inclusão não pode ser própria e devemos ter M = _ M ⊥ _ ⊥ , conforme quer´ıamos demonstrar. 2 Corolário 5.46 Sejam H um espa¸co de Hilbert e S ⊂ H. Então, S ⊥ = _ _ S ⊥ _ ⊥ _ ⊥ . Proposi¸cão 5.47 Sejam H um espa¸co de Hilbert e S ⊂ H. Então, _ S ⊥ _ ⊥ = [S]. Demonstra¸cão: De acordo com a proposi¸cão 5.43(ii), _ S ⊥ _ ⊥ é um subespa¸co fechado contendo S e, desta forma, _ S ⊥ _ ⊥ contém o menor subespa¸co fechado que contém S, ou seja, _ S ⊥ _ ⊥ ⊃ [S] (5.90) Reciprocamente, é claro que S ⊂ [S]. Pela proposi¸c˜ ao 5.44, temos S ⊥ ⊃ [S] ⊥ , SUBESPAÇ OS FECHADOS E O TEOREMA DA PROJEÇ ˜ AO 221 o que implica que _ S ⊥ _ ⊥ ⊂ _ [S] ⊥ _ ⊥ (5.91) Contudo, notemos que [S] é um subespa¸co fechado de H. Logo, podemos aplicar a proposi¸c˜ ao 5.45 para concluir que [S] = _ [S] ⊥ _ ⊥ . (5.92) Assim, de (5.91) e (5.92) conclu´ımos que _ S ⊥ _ ⊥ ⊂ [S]. (5.93) Combinando (5.90) e (5.93) conclu´ımos o desejado. 2 Sejam M e N subespa¸cos de um espa¸co de Hilbert H. Então, o conjunto M + N = ¦u + v; u ∈ M, v ∈ N¦, (5.94) é claramente um subespa¸co de H. Se, além disso, tivermos M ⊥ N, ent˜ ao, M ∩ N = ¦0¦. (5.95) Com efeito, é claro que ¦0¦ ⊂ M ∩ N. Agora, se u ∈ M ∩ N, ent˜ ao, u ∈ M e u ∈ N. Mas, pelo fato de (v, w) = 0, para todo v ∈ M e w ∈ N, resulta que [[u[[ 2 = 0 e portanto u = 0, o que prova que M∩N ⊂ ¦0¦, o que prova (5.95). Neste caso a soma é dita direta e representamos por M ⊕N Proposi¸cão 5.48 Sejam M e N subespa¸cos fechados de um espa¸co de Hilbert e suponhamos que M ⊥ N. Então, M ⊕N é um subespa¸co fechado. Demonstra¸cão: Seja ¦w ν ¦ ν∈N ⊂ M +N tal que w ν → w em H quando ν →+∞. Ora, para cada ν ∈ N, existem u ν ∈ M e v ν ∈ N tais que w ν = u ν + v ν . Temos, pelo teorema de Pitágoras que [[w ν −w µ [[ 2 = [[(u ν + v ν ) −(u µ + v µ )[[ 2 = [[(u ν −u µ ) + (v ν −v µ )[[ 2 (5.96) = [[u ν −u µ [[ 2 +[[v ν −v µ [[ 2 , 222 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL já que (u ν − u µ ) ⊥ (v ν − v µ ), para todo ν, µ ∈ N. Como ¦w ν ¦ ν∈N é de Cauchy, resulta de (5.96) na passagem ao limite que ¦u ν ¦ ν∈N e ¦v ν ¦ ν∈N são seq¨ uências de Cauchy em H. Logo, existem u, v ∈ H tais que u ν →u e v ν → v em H. (5.97) Contudo, como ¦u ν ¦ ν∈N ⊂ M e ¦v ν ¦ ν∈N ⊂ N e M e N são fechados, resulta que u ∈ M e v ∈ N. Assim, de (5.97) obtemos w ν = u ν +v ν →u + v ∈ M + N, e pela unicidade do limite em H conclu´ımos que w = u +v, o que prova que w ∈ M +N e, por conseguinte, que M + N é fechado. Isto conclui a prova. 2 Teorema 5.49 Se M é um subespa¸co fechado de um espa¸co de Hilbert H, então H = M ⊕M ⊥ . Demonstra¸cão: Da proposi¸c˜ ao 5.43(i), resulta que M ∩ M ⊥ = ¦0¦. Resta-nos provar que H = M + M ⊥ . Para isso, definamos N = M +M ⊥ . De acordo com a proposi¸cão 5.48 temos que N é um subespa¸co fechado de H. Além disso, temos M ⊂ N e M ⊥ ⊂ N. Pelasproposi¸cões 5.44 e 5.45 vem que N ⊥ ⊂ M ⊥ e N ⊥ ⊂ _ M ⊥ _ ⊥ = M, o que implica que N ⊥ ⊂ M ⊥ ∩ M = ¦0¦. Portanto, N ⊥ = ¦0¦, e da proposi¸c˜ ao 5.45 resulta que N = _ N ⊥ _ ⊥ = ¦0¦ ⊥ = H, o que completa a prova. 2 ADJUNTO DE UM OPERADOR LINEAR LIMITADO 223 5.6 Adjunto de um Operador Linear Limitado Sejam H um espa¸co de Hilbert, A ∈ /(H) e a(u, v) uma forma sesquilinear associada. Definamos, para cada v ∈ H, a seguinte aplica¸c˜ ao: fv : H →C u →¸fv, u) = a(u, v). De maneira análoga ao que já foi feito anteriormente, mostra-se que fv ∈ /(H) e portanto, pelo Teorema de Representa¸c˜ ao de Riesz, existe um ´ unico w v ∈ H tal que ¸fv, u) = (u, w v ) , para todo u ∈ H. Definamos a seguinte aplica¸cão: A ∗ : H →H (5.98) v →A ∗ (v) = w v , onde w v é dado acima . Do exposto podemos escrever a(u, v) = ¸fv, u) = (u, w v ) = (u, A ∗ v) , para todo u, v ∈ H, ou seja, a(u, v) = (u, A ∗ v) , para todo u, v ∈ H, De modo análogo ao que fizemos anteriormente (veja (5.65)-(5.69) e o procedimento usado nesta se¸c˜ ao) tem-se que A ∗ ∈ /(H) e, além disso, [[A ∗ [[ = [[a[[. Logo, do exposto, vem que (Au, v) = a(u, v) = (u, A ∗ v), para todo u, v ∈ H e [[A ∗ [[ = [[a[[ = [[A[[, ou seja, (Au, v) = (u, A ∗ v), para todo u, v ∈ H e [[A ∗ [[ = [[A[[. (5.99) Defini¸cão 5.50 O operador A ∗ definido acima é denominado o adjunto de A e é caracterizado pela rela¸cão dada em (5.99). (rela¸cão análoga àquela obtida em (2.27)) 224 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Observa¸cão 5.51 Notemos que a forma sesqulinear limitada de H, a ∗ (u, v), determinada por A ∗ é: a ∗ (u, v) = a(v, u), para todo u, v ∈ H. De fato, sejam u, v ∈ H. Temos a ∗ (u, v) = (A ∗ u, v) = (v, A ∗ u) = (Av, u) = a(v, u). A limita¸cão de a ∗ provém do fato que a é limitada. Proposi¸cão 5.52 Seja H um espa¸co de Hilbert. Consideremos A ∈ /(H) e A ∗ o seu adjunto. Então, A ∗∗ = (A ∗ ) ∗ = A. Demonstra¸cão: Como A, A ∗ e A ∗∗ pertencem a /(H), ent˜ ao, existem, respectivamente, a, a ∗ e a ∗∗ , formas sesquilineares limitadas de H a eles relacionas. Ainda, pela observa¸c˜ ao anterior, a ∗ (u, v) = a(v, u), para todo u, v ∈ H. e, portanto, a ∗∗ (u, v) = a ∗ (v, u) = a(u, v) = a(u, v), para todo u, v ∈ H. Assim, a ∗∗ = a e, desta forma (A ∗∗ u, v) = a ∗∗ (u, v) = a(u, v) = (Au, v), para todo u, v ∈ H. Resulta da´ı que (A ∗∗ u − Au, v) = 0, para todo u, v ∈ H e, portanto, A ∗∗ u = Au, para todo u ∈ H, ou ainda, A ∗∗ = A, o que prova o desejado. 2 Defini¸cão 5.53 Um operador linear limitado A de um espa¸co de Hilbert H é denominado simétrico se A ∗ = A, isto é, (Au, v) = (u, Av), para todo u, v ∈ H. ADJUNTO DE UM OPERADOR LINEAR LIMITADO 225 Proposi¸cão 5.54 Seja H um espa¸co de Hilbert. Se A ∈ /(H) é simétrico, então sua forma sesquilinear limitada associada a(u, v) é hermitiana. Demonstra¸cão: Sejam u, v ∈ H. Ent˜ ao, em virtude da simetria e A, temos a(u, v) = (Au, v) = (u, Av) = (Av, u) = a(v, u), o que prova o desejado. 2 Proposi¸cão 5.55 Seja H um espa¸co de Hilbert. Consideremos A ∈ /(H) um operador simétrico e a(u, v) sua forma sesquilinear limitada associada. Definamos m = inf u∈H;u=0 (Au, u) [[u[[ 2 e M = sup u∈H;u=0 (Au, u) [[u[[ 2 . Então, (i) m[[u[[ 2 ≤ (Au, u) ≤ M[[u[[ 2 , para todo u ∈ H. (ii) [[A[[ = max¦[M[, [m[¦. Demonstra¸cão: Observemos, inicialmente, que pelas proposi¸c˜ oes 5.54 e 5.6, a(u, v) é hermitiana e portanto a(u) = a(u, u) ∈ 1. Como (Au, u) = a(u, u), ent˜ ao faz sentido as defini¸c˜ oes de m e M. (i) Pelas defini¸c˜ oes de m e M resulta que m ≤ (Au, u) [[u[[ 2 ≤ M, para todo u ∈ H, u ,= 0. Logo, m[[u[[ 2 ≤ (Au, u) ≤ M, para todo u ∈ H com u ,= 0. Como a desigualdade é trivialmente verificada para u = 0, temos o desejado. (ii) Temos que [[A[[ = [[a[[, e, portanto, [(Au, u)[ = [a(u, u)[ ≤ [[a[[ [[u[[ 2 = [[A[[ [[u[[ 2, para todo u ∈ H. Assim, −[[A[[ [[u[[ 2 ≤ (Au, u) ≤ [[A[[ [[u[[ 2 , para todo u ∈ H, e, desta forma, −[[A[[ ≤ (Au, u) [[u[[ 2 ≤ [[A[[, para todo u ∈ H, u ,= 0. 226 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Resulta da ´ ultima desigualdade que −[[A[[ ≤ inf u∈H;u=0 (Au, u) [[u[[ 2 ≤ sup u∈H;u=0 (Au, u) [[u[[ 2 ≤ [[A[[, para todou ∈ H, u ,= 0, ou seja, −[[A[[ ≤ m ≤ M ≤ [[A[[, o que prova que [m[ ≤ [[A[[ e [M[ ≤ [[A[[. Portanto max¦[m[, [M[¦ ≤ [[A[[. (5.100) Por outro lado, afirmamos que [[A[[ ≤ max¦[m[, [M[¦. (5.101) Com efeito, temos dois casos a considerar: (a) [M[ ≥ [m[. Temos [M[ ≥ M = sup u∈H;u=0 (Au, u) [[u[[ 2 ≥ (Au, u) [[u[[ 2 , para todo u ∈ H, u ,= 0. Pela hipótese [M[ ≥ [m[, vem que [M[ ≥ [m[ ≥ −m = − inf u∈H;u=0 (Au, u) [[u[[ 2 para todo u ∈ H, u ,= 0. Assim, [M[ ≥ [(Au, u)[ [[u[[ 2 , para todo u ∈ H, u ,= 0, o que implica que sup u∈H;u=0 [(Au, u)[ [[u[[ 2 ≤ [M[, isto é, [[A[[ ≤ [M[ = max¦[M[, [m[¦, o que prova (5.101). (b) [m[ ≥ [M[. Temos, [m[ ≥ −m = − inf u∈H;u=0 (Au, u) [[u[[ 2 ≥ − (Au, u) [[u[[ 2 , para todo u ∈ H, u ,= 0. Agora, da hipótese [m[ ≥ [M[ resulta que [m[ ≥ [M[ ≥ M = sup u∈H;u=0 (Au, u) [[u[[ 2 ≥ (Au, u) [[u[[ 2 , para todo u ∈ H, u ,= 0. OPERADORES COMPACTOS - O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES SIM ´ ETRICOS 227 Assim, [m[ ≥ [(Au, u)[ [[u[[ 2 para todo u ∈ H, u ,= 0. Logo, sup u∈H;u=0 [(Au, u)[ [[u[[ 2 ≤ [m[, ou seja, [[A[[ ≤ [m[ = max¦[M[, [m[¦, o que prova o desejado em (5.101). Assim, de (5.100) e (5.101) fica provado o desejado. 2 5.7 Operadores Compactos - O Teorema Espectral para Operadores Compactos Simétricos No que segue, H representar´ a um espa¸co de Hilbert sobre C munido do produto interno (, ) e norma [[ [[ = (, ) 1/2 . Defini¸cão 5.56 Um operador A de H é denominado compacto, quando para toda sucessão limitada ¦u ν ¦ ν∈N de vetores de H, podemos extrair de ¦Au ν ¦ ν∈N uma subsucessão convergente em H. Em outras palavras, A leva conjuntos limitados em conjunto relativamente compactos. Exemplo: Seja A : L 2 (a, b) → L 2 (a, b) definido por Au = (u, e)e, onde u ∈ L 2 (a, b) e e é um vetor unitário de L 2 (a, b). Mostraremos que A é um operador compacto. De fato, se ¦u ν ¦ ν∈N é uma seq¨ uência limitada em L 2 (a, b), então, em virtude do teorema 3.63, existe ums subseq¨ uência u ν tal que u ν u fracamente em L 2 (a, b) e, desta forma, (u ν , e) →(u, e) forte em C e, conseq¨ uentemente, (u ν , e)e →(u, e)e em L 2 (a, b). Proposi¸cão 5.57 Se A é um operador compacto de H, então A é limitado. Demonstra¸cão: Suponhamos, por contradi¸ cão, que A não seja limitado. Ent˜ ao, existe uma sucessão ¦u ν ¦ ν∈N de vetores de H com[[u ν [[ = 1, para todo ν ∈ N, tal que [[Au ν [[ ≥ ν. Logo, da sucessão ¦Au ν ¦ ν∈N não podemos extrair nenhuma subsusessão convergente, o que contradiz o fato de A ser compacto. Assim, A é limitado. 2 228 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Teorema 5.58 (Arzelá-Ascoli) Sejam K um espa¸co métrico compacto e H um subconjunto limitado de C(K). Suponhamos que H é uniformemente equicont´ınua, isto é, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que d(x 1 , x 2 ) < δ implica que [f(x 1 ) − f(x 2 )[ < ε, seja qual for a f ∈ H. Então, H é relativamente compacto em C(K). Demonstra¸cão: Ver Yosida [21]-página 85. 2 Teorema 5.59 Um operador A de H é compacto se, e somente se, A ∗ é compacto. Demonstra¸cão: ⇒ Suponhamos que A seja compacto. Seja ¦u ν ¦ ν∈N uma sucessão limitada em H. Mostraremos que ¦A ∗ u ν ¦ ν∈N possui uma subsucessão convergente. Pode- mos supor, sem perda da generalidade, que [[u ν [[ ≤ 1, para todo ν ∈ N. Consideremos K = A(B 1 (0)), que é um espa¸co métrico compacto posto que A é um operador compacto, por hipótese. Consideremos H ⊂ C(K) definido por H = ¦ϕ ν : K →C; x ∈ K →(x, u ν ), ν = 1, 2, ¦. Temos: [ϕ ν (x) −ϕ ν (y)[ = [(x, u ν ) −(y, u ν )[ ≤ [[x −y[ [[u ν [[ ≤ [[x −y[[, para todo ν ∈ N e x, y ∈ K. Assim, dado ε > 0, existe δ = ε > 0 tal que se [[x −y[[ < δ ⇒[ϕ ν (x) −ϕ ν (y)[ < ε, para todo ν ∈ N. (5.102) Além disso, sendo K limitado resulta que [[ϕ ν [[ = sup x∈K [ϕ ν (x)[ = sup x∈K [(x, u ν )[ ≤ sup x∈K [[x[[ [[u ν [[ ≤ C, para todo ν ∈ N, (5.103) onde C é uma constante positiva. De (5.102) e (5.103) segue que Hé um subconjunto de C(K) satisfazendo as condi¸c˜ oes do Teorema de Arzelá-Ascoli e portanto, H é relativamente compacto em C(K). Assim, podemos extrair uma subsucessão ¦ϕ ν ¦ que converge em C(K) para uma fun¸c˜ ao ϕ em C(K), já que C(K) é um espa¸co de Banach, ou seja, [[ϕ ν −ϕ[[ = sup x∈K [(x, u ν ) −ϕ(x)[ → 0 quando ν → +∞. OPERADORES COMPACTOS - O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES SIM ´ ETRICOS 229 Em particular, sup u∈H;||u||≤1 [(Au, u ν ) −ϕ(Au)[ →0 quando ν →+∞, ou seja, sup u∈H;||u||≤1 [(Au, u ν ) −(Au, u µ )[ → 0 quando ν , µ →+∞, ou ainda, sup u∈H;||u||≤1 [(u, A ∗ u ν ) −(u, A ∗ u µ )[ → 0 quando ν , µ →+∞, o que implica sup u∈H;||u||≤1 [(u, A ∗ (u ν −u µ ))[ → 0 quando ν , µ → +∞, e, portanto, [[A ∗ u ν −A ∗ u µ [[ → 0 quando ν , µ →+∞, o que prova o desejado. ⇐Se A ∗ é compacto ent˜ ao, em virtude das proposi¸cões 5.52 e 5.57 resulta que A ∗∗ = A é compacto. Isto encerra a prova. 2 Proposi¸cão 5.60 / c (H) = ¦A ∈ /(H); A é compacto¦ é um subespa¸co vetorial de /(H). Na verdade, / c (H) é um subespa¸co fechado de /(H). Demonstra¸cão: Obviamente / c (H) é um subespa¸co vetorial. Mostraremos que / c (H) é fechado. Com efeito, seja A n ∈ / c (H), para todo n ∈ N, talq que A n → A em /(H). Provaremos que A ∈ / c (H). Com efeito, seja ¦u n ¦ n∈N uma sucesssão limitada de H, isto é, existe M > 0 tal que [[u n [[ ≤ M, para todo n ∈ N. Como A 1 é compacto podemos extrair de ¦A 1 u 1,k ¦ k∈N uma subsucessão convergente. Seja ¦u 1,k ¦ k∈N uma subsucessão de ¦u n ¦ n∈N tal que ¦A 1 u 1,k ¦ k∈N seja convergente. De forma análoga, podemos extrair de ¦u 1,k ¦ k∈N uma subsucessão ¦u 2,k ¦ k∈N tal que ¦A 2 u 2,k ¦ k∈N seja convergente. Repetindo o processo n −1 vezes, podemos extrair de ¦u n−1,k ¦ k∈N uma subsucessão ¦u n,k ¦ k∈N tal que ¦A n u n,k ¦ k∈N seja convergente. Temos: u 1,1 u 1,2 u 1,3 onde ¦A 1 u 1,k ¦ k∈N converge u 2,1 u 2,2 u 2,3 onde ¦A 2 u 2,k ¦ k∈N , ¦A 1 u 2,k ¦ k∈N convergem u 3,1 u 3,2 u 3,3 onde ¦A 3 u 3,k ¦ k∈N , ¦A 2 u 3,k ¦ k∈N , ¦A 1 u 3,k ¦ k∈N convergem . . . . . . . . . . . . u n,1 u n,2 u n,3 onde ¦A n u n,k ¦ k∈N , ¦A n−1 u n,k ¦ k∈N , , ¦A 1 u n,k ¦ k∈N convergem 230 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Consideremos a sucessão diagonal ¦u 1,1 , u 2,2 , , u n,n , ¦. ostraremos que ¦Au k,k ¦ k∈N converge. Notemos que ¦A n u k,k ¦ k∈N é convergente para todo n ∈ N. Afirmamos que ¦Au k,k ¦ k∈N é uma sucessão de Cauchy. (5.104) Com efeito, temos [[Au k,k −A l,l [[ ≤ [[Au k,k −A m u k,k [[ +[[A m u k,k −A m u l,l [[ +[[A m u l,l −Au l,l [[. (5.105) Como A n →A em /(H), então, dado ε > 0, existe m 0 ∈ N tal que [[A m 0 −A[[ < ε 3M . Asssim, [[Au k,k −A m 0 u k,k [[ ≤ [[A −A m 0 [[ [[u k,k [[ ≤ M[[A −A m 0 [[ < ε 3 , [[Au l,l −A m 0 u l,l [[ ≤ [[A −A m 0 [[ ≤ [[A −A m 0 [[ [[u l,l [[ ≤ M ε 3M = ε 3 . (5.106) Por outro lado, temos que ¦A m 0 u k,k ¦ é convergente, e portanto, de Cauchy. Logo, existe n 0 ∈ N tal que para todo k, l > n 0 resulta que [[A m 0 u k,k −A m 0 u l,l [[ < ε 3 . (5.107) Portanto, tomando m = m 0 em (5.105), de (5.106) e (5.107) resulta que [[Au k,k − A u l, l[[ < ε, se k, l > n 0 , o que implica que ¦Au k,k ¦ k∈N é de Cauchy em H e como H é completo segue que ¦Au k,k ¦ k∈N é convergente, o que encerra a prova. 2 Teorema 5.61 Seja A um operador compacto e simétrico de H, diferente do operador nulo. Então, A possui um valor próprio λ ,= 0, λ ∈ 1. Demonstra¸cão: Sendo A compacto, ent˜ ao em virtude da proposi¸c˜ ao 5.57 A é cont´ınuo. Além disso, por ser simétrico, então, da proposi¸c˜ ao 5.55 decorre que se [[A[[ = sup ||u||=1 [(Au, u)[, e se m = inf u∈H;||u||=1 (Au, u) e M = sup u∈H;||u||=1 (Au, u), ent˜ ao [[A[[ = max¦[m[, [M[¦, onde m e M são reais. OPERADORES COMPACTOS - O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES SIM ´ ETRICOS 231 Consideremos λ = m ou λ = M de modo que [λ[ = [[A[[. Mostraremos que λ é valor próprio de A. Pelas defini¸c˜ oes de m e M e λ, existe uma sucessão ¦u ν ¦ ν∈N de vetores de H, com [[u ν [[ = 1, e tal que (Au ν , u ν ) → λ quando ν →+∞. (5.108) Como A é compacto, existe uma subsucessão ¦w k ¦ de ¦u k ¦ e u ∈ H tais que Aw k →u quando k →+∞. (5.109) Temos, em virtude de A ser simétrico e λ real que 0 ≤ [[Aw k −λw k [[ 2 = [[Aw k [[ 2 −2λ(Aw k , w k ) + λ 2 . Passando o limite na desigualdade acima, resulta, em virtude de (5.108) e (5.109) que 0 ≤ lim k→+∞ [[Aw k −λw k [[ 2 = [[u[[ 2 −2λ 2 + λ 2 = [[u[[ 2 −λ 2 , (5.110) de onde segue que [λ[ ≤ [[u[[. Como A é limitado, resulta que [[Au k [[ ≤ [[A[[ [[w k [[ = [[A[[ = [λ[. Tomando o limite na ´ ultima desigualdade obtemos de (5.109) que [[u[[ ≤ [λ[. Das desigualdades acima resulta que [[u[[ = [λ[. Resulta da´ı e de (5.110) que lim k→+∞ [[Aw k −λw k [[ = 0, (5.111) e de (5.109) que acarreta que λw k →u, quando k →+∞ (5.112) Seja v = u λ . Então, [[v[[ = 1 e de (5.112) vem que λw k → λv. Sendo A limitado resulta que A(λw k ) → A(λv), de onde resulta que Aw k → Av. Desta ´ ultima convergência, de (5.111), (5.112) e do fato que u = λv conclu´ımos que Av = λv, o que encerra a prova. 2 Observa¸cão 5.62 Decorre da demonstra¸cão do teorema 5.61 que se [M[ ≥ [m[ então [[A[[ = [M[ e, portanto, M é um valor próprio de A e se [m[ ≥ [M[, então m é um valor próprio de A. Além disso, [[A[[ ou −[[A[[ são valores próprios de A. 232 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Defini¸cão 5.63 Sejam A um operador de H e λ ∈ C um valor próprio de A. A dimensão do espa¸co N(A −λI) é chamado multiplicidade do valor próprio de λ. Proposi¸cão 5.64 A multiplicidade de cada valor próprio λ ,= 0 de um operador compacto A não nulo de H é finita. Demonstra¸cão: Seja λ ,= 0 um valor próprio de A. Suponhamos, por contradi¸ cão, que o espa¸co H λ = ¦u ∈ H; Au = λu¦ não possua dimensão finita, isto é dim[N(A −λI)] = +∞. Então, podemos considerar em N(A − λI) uma sucessão ¦ϕ n ¦ n∈N de vetores linearmente independentes. Pelo processo de ortogonaliza¸cão de Gram-Schmit, podemos supor que (ϕ n , ϕ m ) = 0, para todo n, m ∈ N, n ,= m. Dividindo cada elemento ¦ϕ n ¦ n∈N por sua norma, obtemos finalmente uma subsucessão de vetores ¦e n ¦ n∈N tais que [[e n [[ = 1, para todo n ∈ N, (e n , e m ) = 0, para todo n, m ∈ N, n ,= m. Por outro lado, [[Ae n −Ae m [[ 2 = [[A(e n −e m )[[ 2 = [[λ(e n −e m )[[ 2 = [λ[ 2 [[e n −e m [[ 2 . Contudo, [[e n −e m [[ 2 = [[e n [[ 2 . ¸¸ . =1 +[[e m [[ 2 . ¸¸ . =1 −(e n , e m ) . ¸¸ . =0 −(e m , e n ) . ¸¸ . =0 . Logo, [[Ae n −Ae m [[ 2 = 2 λ 2 , OPERADORES COMPACTOS - O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES SIM ´ ETRICOS 233 o que implica que ¦Ae n ¦ n∈N não possui subsucessão alguma convergente, o que contradiz o fato que A é um operador compacto. Assim, a multiplicidade do valor próprio λ ,= 0 é finita. 2 Observa¸cão 5.65 Sendo ¦u 1 , u 2 , , u n , ¦ uma base de vetores de um espa¸co vetorial V , então, definindo-se v 1 = u 1 [[u 1 [[ , v 2 = u 2 −(u 2 , v 1 )v 1 , v 3 = u 3 −(u 3 , v 1 )v 1 −(u 3 , v 2 )v 2 , . . . v n = u n −(u n , v 1 )v 1 −(u n , v 2 )v 2 − −(u n , v n−1 )v n−1 , . . . então a cole¸cão o conjunto de vetores ¦v 1 , v 2 , , v n , ¦ é uma base ortogonal de V . Este é processo de orgotonaliza¸cão de Gram-Schmidt. Teorema 5.66 Seja A um operador compacto simétrico não-nulo de H. Então, podemos construir uma cole¸cão finita ou enumerável ¦λ ν ¦ de valores próprios não-nulos de A e uma cole¸cão ¦v ν ¦ de correspondentes vetores próprios tais que (i) Se ¦λ ν ¦ é enumerável, então [λ ν [ ≥ [λ ν+1 [, para todo ν e λ ν →0. (ii) ¦v ν ¦ é um sistema ortonormal de H e é válida a representa¸cão Au = ν (Au, v ν )v ν = ν λ ν (u, v ν )v ν , para todo u ∈ H. (5.113) ( ν indica soma finita ou enumerável.) (iii) Todos os valores próprios não-nulos de A estão na cole¸cão ¦λ ν ¦, portanto, a cole¸cão de valores próprios não-nulos de A é no máximo enumerável. Demonstra¸cão: Faremos a demonstra¸c˜ ao em três etapas. Primeira Etapa: Constru¸c˜ ao dos ¦λ ν ¦ e ¦v ν ¦. 234 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL O teorema 5.61 nos proporciona o primeiro valor próprio λ 1 ,= 0, com correspondente valor próprio v 1 , [[v 1 [[ = 1. Seja H 2 o complemento ortogonal de v 1 , isto é, H 2 = ¦u ∈ H; (u, v 1 ) = 0¦ e definamos H 1 = H. Sendo A simétrico, A é invariante por H 2 , ou seja, A : H 2 → H 2 . Com efeito, para u ∈ H 2 , temos (Au, v 1 ) = (u, Av 1 ) = (u, λv 1 ) = λ(u, v 1 ) = 0, o que implica que Au ∈ H 2 , o que prova a afirma¸c˜ ao. Seja A 2 = A[ H 2 . Então, admitindo-se que A 2 ,= 0 (não identicamente nulo, obtemos, aplicando o teorema 5.61 a A 2 e H 2 , o segundo valor próprio λ 2 com correspondente vetor próprio v 2 ∈ H 2 , [[v 2 [[ = 1. Notemos que v 2 é ortogonal a v 1 e sendo [λ 2 [ = sup u∈H 2 ,||u||=1 [(Au, u)[ ≤ sup u∈H 1 ;||u||=1 [(Au, u)[ = [λ 1 [, resulta que [λ 1 [ ≥ [λ 2 [. Consideremos, da mesma forma, H 3 = ¦u ∈ H; (u, v 1 ) = (u, v 2 ) = 0¦, isto é, H 3 é o complemento ortogonal de v 1 e v 2 . Se u ∈ H 3 , temos (Au, v 1 ) = (u, Av 1 ) = λ 1 (u, v 1 ) = 0 e (Au, v 2 ) = (u, Av 2 ) = λ 2 (u, v 2 ) = 0, o que acarreta que Au ∈ H 3 . Definamos A 3 = A[ H 3 . Admitindo-se que A 3 ,= 0(não identicamente nulo), obtemos λ 3 ,= 0 e v 3 ∈ H 3 , [[v 3 [[ = 1, tais que [λ 2 [ ≥ [λ 3 [ e v 3 é ortogonal a v 1 e v 2 . Admitindo-se que A 2 , A 3 , , A ν são não identicamente nulos, obtemos, aplicando-se sucessivamente o racioc´ınio feito acima, os valores próprios λ 1 , λ 2 , , λ ν não nulos de A com correspondentes vetores próprios v 1 , v 2 , , v ν , tais que [λ 1 [ ≥ [λ 2 [ ≥ ≥ [λ ν [, e ¦v 1 , v 2 , , v ν ¦ sendo um conjunto ortonormal de H, v ν ∈ H ν , onde H ν é o complemento ortogonal de v 1 , v 2 , , v ν−1 . Se todos os A ν são não nulos, obtemos uma cole¸c˜ ao enu- merável ¦λ ν ¦ de valores próprios de A com correspondentes vetores próprios ¦v ν ¦. Caso contr´ ario, paramos a constru¸c˜ ao dos λ ν no momento que em que A ν ≡ 0. Mostraremos que se ¦λ ν ¦ é enumerável, então λ ν → 0. Com efeito, como ¦λ ν ¦ é limitada (por [λ 1 [), OPERADORES COMPACTOS - O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES SIM ´ ETRICOS 235 existe uma subsucessão ¦λ ν ¦ de ¦λ ν ¦ e a ∈ 1 tais que lim ν →+∞ λ ν = a. Suponhamos, por contradi¸ cão, que a ,= 0. Ent˜ ao, _ v ν λ ν _ é limitada e, como A é compacto, existirão uma subsucessão da mesma, a qual continuaremos denotando pela mesma nota¸cão, e v ∈ H tais que A _ v ν λ ν _ = v ν →v, quando ν →+∞. Mas a convergência acima não pode ocorrer uma vez que [[v ν 1 −v ν 2 [[ 2 = [[v ν 1 [[ 2 +[[v ν 2 [[ 2 , ou seja, ¦v ν ¦ não é de Cauchy. Isto nos leva a uma contradi¸c˜ ao provando que lim ν →+∞ λ ν = 0. Decorre da convergência acima que lim ν→+∞ [λ ν [ = 0 uma vez que ¦[λ ν [¦ é uma sucessão decrescente e limitada de n´ umeros reais e portanto covergirá para o seu ´ınfimo, que, neste caso, é zero. Do exposto conclu´ımos que lim ν→+∞ λ ν = 0 Segunda Etapa: A Representa¸c˜ ao (5.113) é válida Suponhamos que ¦v ν ¦ seja um sistema enumer´ avel. Ent˜ ao, ¦λ ν ¦ é enumer´ avel. Seja u ∈ H e definamos, para cada ν ∈ N w ν = u − ν−1 i=1 (u, v i )v i . (5.114) O resultado seguirá se mostrarmos que Aw ν →0 quando ν →+∞. (5.115) Com efeito, notemos que de (5.114) temos Aw ν = Au − ν−1 i=1 (u, v i )Av i = Au − ν−1 i=1 λ i (u, v i )v i = Au − ν−1 i=1 (u, Av i )v i = Au − ν−1 i=1 (Au, v i )v i . 236 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Da ´ ultima identidade e assumindo a convergência em (5.115) fica provado (5.113). Portanto é suficiente provarmos (5.115). Com efeito, temos de (5.114) que (w ν , v j ) = (u, v j ) − ν−1 i=1 (u, v i )(v i , v j ) = 0, j = 1, 2, , ν −1, o que implica que w ν ∈ H ν , para todo ν ∈ N. Pelo Teorema de Pitágoras segue que [[w ν [[ 2 = (w ν , w ν ) = _ u − ν−1 i=1 (u, v i )v i , u − ν−1 j=1 (u, v j )v j _ = [[u[[ 2 − ν−1 j=1 (u, v j )(u, v j ) − ν−1 j=1 (u, v i )(v i , u) + _ ν−1 i=1 (u, v i )v i , ν−1 j=1 (u, v j )v j _ , de onde vem que [[w ν [[ 2 = [[u[[ 2 − ν−1 j=1 [(u, v i )[ 2 , o que acarreta que [[w ν [[ ≤ [[u[[, para todo ν ∈ N. (5.116) Se w ν 0 = 0, para algum ν 0 , temos u = ν 0 −1 i=1 (u, v i )v i , e, por conseguinte, (u, v µ ) = _ ν 0 −1 i=1 (u, v i )v i , v µ _ = ν 0 −1 i=1 (u, v i )(v i , v µ ) = 0 se µ ≥ ν 0 , de onde vem que (u, v µ ) = 0 para todo µ ≥ ν 0 e a representa¸ cão em (5.113) segue de modo simples. Suponhamos, ent˜ ao, que w ν ,= 0 para todo ν ∈ N e definamos z ν = w ν ||w ν || , para todo ν ∈ N. Então, z ν ∈ H ν (posto que w ν ∈ H ν ), [[z ν [[ = 1 e, além disso, [λ ν [ ≥ [[Az ν [[, pois (5.117) [λ ν [ = sup u∈Hν;||u||=1 [(Au, u)[ = sup u∈Hν;||u||=1 [[Au[[ ≥ [[Az ν [[. OPERADORES COMPACTOS - O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES SIM ´ ETRICOS 237 (Note que a identidade acima é válida pois A é invariante para cada H ν e portanto [[Au[[ = (Au,Au) ||Au|| ≤ _ Au, Au ||Au|| _ ≤ sup u∈Hν;||u||=1 [(Au, u)[). Assim, de (5.116) e (5.117) obtemos [[Aw ν [[ = [[w ν [[ [[Az ν [[ ≤ [[u[[ [λ ν [, para todo ν ∈ N. Tomando o limite na desigualdade acima notando que λ ν → 0 segue que Aw ν → 0, o que prova (5.115), conforme desejado. Suponhamos que tenhamos apenas um n´ umero finito de vetores próprios v 1 , v 2 , , v ν−1 . Seja w ν como em (5.114). Então, w ν ∈ H ν . Se Aw ν fosse diferente de zero, ter´ıamos que A ν = A[ H ν seria diferente do operador nulo e ent˜ ao poder´ıamos obter mais um vetor próprio v ν , mas isto não pode ocorrer. Assim, Aw ν = 0 e o resultado segue. Terceira Etapa: Demonstra¸cão de (iii) Suponhamos que A tenha um valor próprio λ ,= 0 com correspondente vetor próprio v, tal que λ seja diferente de todos os λ ν obtidos na primeira etapa. Então, por ser A simétrico, resulta que (v, v ν ) = 0, para todo ν ∈ N, pois (Av, v ν ) = (v, Av ν ) = λ ν (v, v ν ) ⇒(λ −λ ν )(v, v ν ) = 0, para todo ν ∈ N, implicando que (v, v ν ) = 0 para todo ν ∈ N, já que estamos admitindo que (λ −λ ν ) ,= 0,, para todo ν ∈ N. De (5.113) resulta que Av = ν λ ν (v, v ν )v ν = 0, o que é uma contradi¸c˜ ao já que Av = λv ,= 0. Assim, em ¦λ ν ¦ estão todos os valores próprios e não nulos de A. Isto encerra a prova do teorema. 2 Seja AH →H um operador linear de um espa¸co de Hilbert H. O n´ ucleo de A, N(A) = ¦u ∈ H; Au = 0¦, é um subespa¸co de H. Sendo A limitado, ent˜ ao N(A) é fechado. Com efeito, seja ¦u ν ¦ ν∈N ⊂ N(A) tal que u ν → u em H. Ora, pela continuidade de A, resulta que Au ν → Au. Contudo, como para cada ν ∈ N, Au ν = 0, vemk que Au = 0, o que prova que u ∈ N(A) e portanto N(A) é um subespa¸co fechado de H. Assim, de acordo com o teorema 5.49, sendo A limitado, podemos escrever que H = N(A) ⊕N(A) ⊥ . (5.118) 238 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Lema 5.67 Seja A um operador compacto, simétrico e não nulo de um espa¸co de Hilbert H. Então, dado u ∈ H, existe um ´ unico w ∈ N(A) tal que u = w + ν (u, v ν )v ν , (5.119) onde ¦v ν ¦ é o sistema ortonormal de H obtido no teorema 5.66. Além disso, a representa¸c˜ ao dada em (5.119) é ´ unica. Demonstra¸cão: De acordo com a proposi¸cão 5.31 temos que a série ν (u, v ν )v ν é convergente em H. Definindo-se w = u − ν (u, v ν )v ν ∈ H, (5.120) ent˜ ao, pela linearidade de A obtemos Aw = Au −A _ ν (u, v ν )v ν _ . (5.121) Por outro lado, A _ n ν (u, v ν )v ν _ = n ν=1 (u, v ν )Av ν = n ν=1 λ ν (u, v ν )v ν , e do teorema 5.66(ii) resulta que lim n→+∞ A _ n ν (u, v ν )v ν _ = lim n→+∞ _ n ν=1 λ ν (u, v ν )v ν _ = Au. (5.122) Portanto, de (5.121) e (5.122) podemos escrever que Aw = Au −Au = 0, (5.123) o que prova que w ∈ N(A). Logo, de (5.120) e (5.123) temos a existência de w ∈ N(A) que verifica (5.119). Resta-nos provar a unicidade da representa¸c˜ ao. Com efeito, provaremos inicialmente que para todo n ∈ N, temos ¦v ν ¦ ⊂ N(A) ⊥ = ¦v ∈ H; (v, w) = 0, para todo w ∈ N(A)¦. (5.124) OPERADORES COMPACTOS - O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES SIM ´ ETRICOS 239 Para isso, é suficiente provarmos que para cada ν ∈ N tenhamos (v ν , w) = 0, para todo w ∈ N(A). De fato, se w ∈ N(A) então Aw = 0 e da´ı decorre que 0 = (v ν , Aw) = (Av ν , w) = λ ν (v ν , w) ⇒(v ν , w) = 0, o que prova o desejado em (5.124). Assim, para cada ν ∈ N, tem-se (u, v ν )v ν ∈ N(A) ⊥ , pois N(A) ⊥ é um subespa¸co. Sendo o mesmo fechado, resulta que ν (u, v ν )v ν ∈ N(A) ⊥ . Segue da´ı e de (5.118) que a representa¸c˜ ao dada em (5.119) é ´ unica. Isto encerra a prova. 2 Proposi¸cão 5.68 Seja A um operador compacto e simétrico de um espa¸co de Hilbert H. Então o sistema ¦v ν ¦ ν∈N de vetores próprios de A obtido no teorema 5.66 é completo em N(A) ⊥ . Demonstra¸cão: Conforme já demonstrado no lema 5.67, temos que ¦v ν ¦ ν∈N ⊂ N(A) ⊥ . Sendo N(A) ⊥ um subespa¸co fechado de um espa¸co de Hilbert segue que N(A) ⊥ é Hilbert. Resta-nos provar que ¦v ν ¦ ν∈N é completo em N(A) ⊥ . Usaremos a proposi¸cão 5.29. Consideremos, ent˜ ao, u ∈ N(A) ⊥ tal que u ⊥ v ν para todo ν ∈ N. Provaremos que u = 0. Com efeito, pelo lema 5.67 existe um ´ unico w ∈ N(A) que verifica u = w + +∞ ν=1 (u, v ν )v ν . Mas, por hipótese, como u ⊥ v ν , para todo ν ∈ N resulta da expressão acima que u = w e, conseq¨ uentemente, que u ∈ N(A) ∩ N(A) ⊥ , ou seja, u = 0. Isto prova o desejado. 2 240 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Observa¸cão 5.69 Como conseq¨ uência da proposi¸cão 5.68 e do fato que H = N(A) ⊕ N(A) ⊥ , vem que ¦v ν ¦ ν∈N é completo em H se, e somente se, A é injetor. Com efeito, se A é injetor, então, N(A) = ¦0¦, e, portanto, H = N(A) ⊥ . Logo, ¦v ν ¦ ν∈N é completo em H. Reciprocamente, suponhamos que ¦v ν ¦ ν∈N é completo em H. Pela proposi¸cão 5.33 resulta que [¦v ν ¦ ν∈N ] = H e [¦v ν ¦ ν∈N ] = N(A) ⊥ . Logo, H = N(A) ⊥ , o que implica que N(A) = ¦0¦, ou seja, A é injetor. Observa¸cão 5.70 Se H não é separável, então não pode existir um operador compacto e simétrico de H que seja injetor. Com efeito, suponhamos, por contradi¸cão, que exista um operador A, compacto, simétrico e injetor. Então, pela proposi¸cão 5.68 vem que ¦v ν ¦ ν∈N é ortonormal completo em H. Logo, [¦v ν ¦ ν∈N ] = H, ou seja, existe um subconjunto enumerável e denso em H, a saber, [¦v ν ¦ ν∈N ]. Mas isto é uma contradi¸cão pois H não é separável. Lema 5.71 Seja H um espa¸co de Hilbert separável. Então, todo conjunto ortonormal em H é enumerável (no máximo). Demonstra¸cão: Seja A um subconjunto ortonormal de H. Provaremos que A é enu- merável. De fato, para todo x, y ∈ A, x ,= y, temos [[x −y[[ 2 = [[x[[ 2 −(x, y) . ¸¸ . =0 −(y, x) . ¸¸ . =0 +[[y[[ 2 = 2, de onde vem que [[x −y[[ = √ 2, para todo x, y ∈ A, x ,= y. Segue da´ı que se x, y ∈ A e x ,= y, ent˜ ao B √ 2 2 (x) ∩ B √ 2 2 (y) = ∅ (5.125) e, além disso, para cada x ∈ A B √ 2 2 (x) ∩ A = ¦x¦. OPERADORES COMPACTOS - O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES SIM ´ ETRICOS 241 Por outro lado, como H é separável, existe um subconjunto M de H, enumer´ avel e denso em H. Segue da´ı que para cada x ∈ A, existe z x ∈ M ∩ B √ 2 2 (x). Notemos que se x ,= y, ent˜ ao z x ,= z y , pois, caso contr´ ario, B √ 2 2 (x) ∩ B √ 2 2 (y) ,= ∅, o que contradiz 5.125. Logo, cada par de bolas distintas, possui elementos distintos de M. Agora, para cada x ∈ A, escolhamso um ´ unico z x ∈ M ∩ B √ 2 2 (x) de modo que fica definida uma bije¸cão τ : A → N, x → z x , onde N é um subconjunto enumerável de M. Sendo N enumer´ avel, existe uma bije¸c˜ ao σ deste conjunto com um subconjunto P dos n´ umeros naturais. Logo, a composi¸cão σ ◦ τ é uma bije¸c˜ ao de A em P, o que prova o desejado. 2 Proposi¸cão 5.72 Seja H um espa¸co de Hilbert separável e A um operador compacto e simétrico de H. Então, existe um sistema ortonormal e completo ¦e µ ¦ µ∈N de H, formado por vetores próprios de A. Demonstra¸cão: Se A é injetor, então N(A) = ¦0¦ e, por conseguinte, H = N(A) ⊥ . Pela proposi¸c˜ ao 5.68 existe um sistema ortonormal completo em H formado por vetores próprios de A. Agora, se A não é injetor, ent˜ ao N(A) ,= ¦0¦. Sendo N(A) um subespa¸co fechado de H resulta, conforme proposi¸c˜ ao 5.30, a existência de um sistema ortonormal completo ¦w α ¦ α em N(A). Sendo H separável e N(A) fechado em H, segue que N(A) é um espa¸co de Hilbert separável (veja proposi¸c˜ ao 3.52). Logo, do lema 5.71 vem que ¦w α ¦ α é enumer´ avel. Sendo ¦v ν ¦ ν o sistema ortonormal completo em N(A) ⊥ obtido na proposi¸c˜ ao 5.68, definamos ¦e µ ¦ µ = ¦w α ¦ α ∪ ¦v ν ¦ ν . (5.126) ´ E claro que ¦e µ ¦ µ é enumerável. Além disso, w α ⊥ v ν , para todo α e para todo ν, (5.127) pois N(A) ⊥ N(A) ⊥ . Provaremos que o sistema dado em (5.126) é otonormal completo em H. Com efito, a ortogonalidade vem garantida de (5.127) e do fato que ¦w α ¦ α e ¦v ν ¦ ν são ortonormais em N(A) e em N(A) ⊥ , respectivamente. Além disso, temos também que [[w α [[ = 1 e [[v ν [[ = 1, para todo α, ν. 242 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Resta-nos provar que o sistema dado em (5.126) é completo. Com efeito, usaremos a proposi¸c˜ ao 5.29. Seja, ent˜ ao, u ∈ H tal que u ⊥ e µ , para todo µ. Segue de (5.126) que u ⊥ w α para todo α e u ⊥ v ν para todo ν. (5.128) Por outro lado, como H = N(A) ⊕ N(A) ⊥ , ent˜ ao, existe um ´ unico w ∈ N(A) e um ´ unico v ∈ N(A) ⊥ tais que u = v + w. (5.129) Logo, de (5.128) e (5.129) e do fato que N(A) ⊥ N(A) ⊥ temos 0 = (u, w α ) = (v + w, w α ) = (v, w α ) . ¸¸ . =0 +(w, w α ) = (w, w α ) para todo α, 0 = (u, v ν ) = (v + w, v ν ) = (v, v ν ) + (w, v ν ) . ¸¸ . =0 = (v, v ν ), para todo ν. (5.130) Como ¦w α ¦ α e ¦v ν ¦ ν são ortonormais completos em N(A) e N(A) ⊥ , respectivamente, ent˜ ao, resulta de (5.130) e da proposi¸cão 5.29 que w = 0 e v = 0, ou seja, u = 0, de onde se conclui, aplicando-se novamente a proposi¸c˜ ao 5.29 que ¦e µ ¦ µ é completo. Isto encerra a prova. 2 Sejam H um espa¸co de Hilbert e A um operador compacto, simétrico e não-nulo. Temos, conforme já vimos anteriormente, que H = N(A) ⊕N(A) ⊥ . Logo, se u ∈ H, existem ´ unicos w ∈ N(A) e v ∈ N(A) ⊥ tais que u = w + v. Em verdade, temos, de acordo com (5.119) que u = w + ν (u, v ν )v ν , w ∈ N(A), onde ¦v ν ¦ ν é o sistema ortonormal de H obtido no teorema 5.66. Consideremos, ent˜ ao, P 0 : H →N(A) u →P 0 u = w, OPERADORES COMPACTOS - O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES SIM ´ ETRICOS 243 a proje¸c˜ ao ortogonal de H sobre N(A). (Neste caso colocamos λ 0 = 0). Agora, para cada ν 0 ∈ N, temos também que H = [v ν 0 ] ⊕[v ν 0 ] ⊥ , uma vez que [v ν 0 ] é um subespa¸co fechado de H. Segue da´ı que dado u ∈ H, existem ´ unicos w 1 ∈ [v ν 0 ] e z 1 ∈ [v ν 0 ] ⊥ tais que u = w 1 + z 1 . Também, do exposto acima, temos a existência de um ´ unico w ∈ N(A) tal que u = w + ν (u, v ν )v ν , ou seja, u = (u, v ν 0 )v ν 0 +w + ν=ν 0 (u, v ν )v ν . Contudo, (u, v ν 0 )v ν 0 ∈ [v ν 0 ], w ∈ [v ν 0 ] ⊥ (pois w ∈ N(A), N(A) ⊥ N(A) ⊥ e v ν 0 ∈ N(A) ⊥ ) e ν=ν 0 (u, v ν )v ν ∈ [v ν 0 ] ⊥ (pois v ν ⊥ v ν 0 , para todo ν ,= ν 0 e [v ν 0 ] ⊥ é um subespa¸co fechado). Logo, pela unicidade da representa¸cão vem que (u, v ν 0 )v ν 0 = w 1 e w + ν=ν 0 (u, v ν )v ν = z 1 . Consideremos, ent˜ ao, para cada ν ≥ 1: P ν : H →[v ν ] u →P ν u = (u, v ν )v ν , a proje¸cão ortogonal de H sobre o subespa¸co gerado por v ν . Então: (i) P ν e P µ são ortogonais entre si. De fato, se ν ,= µ, temos, para todo u, v ∈ H, (P ν u, P µ v) = ((u, v ν )v ν , (v, v µ )v µ ) = (u, v ν ) (v, v µ ) (v ν , v µ ) . ¸¸ . =0 = 0, isto é, (P ν u, P µ v) = 0, para todo µ ,= ν e para todo u, v ∈ H. 244 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL (ii) ν≥0 P ν = I. Com efeito, para todo u ∈ H, de (5.119) temos que u = w + ν (u, v ν )v ν , w ∈ N(A), onde a representa¸cão é ´ unica. Logo, _ ν≥0 P ν _ u = P 0 u + ν≥1 P ν u = w + ν≥1 (u, v ν )v ν = u. (iii) A = ν≥0 λ ν P ν . De fato, para todo u ∈ H temos, de acordo com o teorema 5.66(ii), _ ν≥0 λ ν P ν _ u = ν≥0 λ ν P ν u = λ 0 P 0 u . ¸¸ . =0 + ν≥1 λ ν (u, v ν )v ν = Au. O resultado obtido acima é conhecido como o Teorema Espectral para Operadores Compactos Simétricos. Veremos, a seguir, uma espécie de rec´ıproca para o teorema 5.66. Observa¸cão 5.73 Seja A ∈ /(H) um operador tal que dim(Im(A)) < +∞. Então A é compacto. De fato, seja L ⊂ H um conjunto limitado. Então, existe M > 0 tal que [[x[[ ≤ M, para todo x ∈ L. Sendo A limitado resulta que [[Ax[[ ≤ [[A[[ [[x[[ ≤ [[A[[ M, para todo x ∈ L. SEgue da´ı que o conjunto Im(L) = ¦Ax; x ∈ L¦, é um subconjunto limitado do espa¸co Im(A) que, por hipótese, tem dimensão finita. Logo, Im(L) é compacto e portanto A é compacto. Lema 5.74 Seja ¦A n ¦ n∈N uma sucess˜ ao de operadores de /(H), de imagem finita (ou seja, dim(Im(A n )) < +∞ para todo n) e consideremos A ∈ /(H) tal que [[A n −A[[ → 0 quando n →+∞. Então A é compacto. OPERADORES COMPACTOS - O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES SIM ´ ETRICOS 245 Demonstra¸cão: Como para cada n ∈ N, dim(Im(A n )) < +∞, então, pela observa¸cão 5.73 A n ∈ / c (H), sendo este um subespa¸co fechado de /(H) (veja proposi¸cão 5.60) e como A n →A em /(H) resulta que A ∈ / c (H). 2 Proposi¸cão 5.75 Seja A um operador de um espa¸co de Hilbert H que satisfaz Au = +∞ ν=1 λ ν (u, v ν )v ν , para todo u ∈ H, onde ¦λ ν ¦ ν∈N converge para zero e ¦v ν ¦ ν∈N é um sistema ortonormal de H. Então, A é compacto e simétrico. Demonstra¸cão: Seja ¦A n ¦ n∈N , uma sucessão de operadores de /(H) definida por A n u = n ν=1 λ ν (u, v ν )v ν , u ∈ H. Tem-se dim(Im(A)) < +∞, para todo n ∈ N. Pela observa¸cão 5.73 temos, para cada n ∈ N, que A n ∈ / c (H). Provaremos que A n →A em /(H). (5.131) Como λ n → 0, ent˜ ao, dado ε > 0, existe n 0 ∈ N tal que para todo n ≥ n 0 tem-se [λ n [ < ε. Assim, para todo u ∈ H, temos [[A n −Au[[ 2 = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n ν=1 λ ν (u, v ν )v ν − +∞ ν=1 λ ν (u, v ν )v ν ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 (5.132) = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ +∞ ν=n+1 λ ν (u, v ν )v ν ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 . Contudo, se n ≥ n 0 e m > n + 1, temos ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ m ν=n+1 λ ν (u, v ν )v ν ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 = _ m ν=n+1 λ ν (u, v ν )v ν , m ν=n+1 λ µ (u, v µ )v µ _ = m ν=n+1 [λ ν (u, v ν )[ 2 ≤ ε 2 m ν=n+1 [(u, v ν )[ 2 Logo, para todo n ≥ n 0 e m > n+1 da desigualdade de Bessel (veja 5.73) e na situa¸c˜ ao limite vem que ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ +∞ ν=n+1 λ ν (u, v ν )v ν ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 ≤ ε 2 [[u[[ 2 . (5.133) 246 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Assim, de (5.132) e (5.133) resulta que [[A n −Au[[ 2 ≤ ε 2 [[u[[ 2 , para todo n ≥ n 0 e u ∈ H. (5.134) Como A da forma que foi definido é linear e cont´ınuo temos de (5.134) que [[A n −A[[ L(H) ≤ ε, para todo n ≥ n 0 , o que prova (5.131). Pelo lema 5.74 segue que A é compacto. Além disso, A é simétrico pois para todo u, v ∈ H resulta que (Au, v) = _ +∞ ν=1 λ ν (u, v ν )v ν , v _ = +∞ ν=1 λ ν (u, v ν )(v ν , v), (u, Av) = _ u, +∞ ν=1 λ ν (v, v ν )v ν _ = +∞ ν=1 λ ν (v, v ν )(u, v ν ) = +∞ ν=1 λ ν (v ν , v)(u, v ν ), isto é, (Au, v) = (u, Av), o que encerra a prova. 2 5.8 Alternativa de Riesz-Fredholm Estamos interessados em determinar solu¸c˜ oes do problema u −λAu = v, (5.135) ou ainda, (I −λA)u = v, onde são dados o operador compacto simétrico A de H, v ∈ H e λ ∈ C tal que λ ,= 0. Antes de enunciarmos e demonstrarmos um resultado que nos permite determinar solu¸c˜ oes da equa¸c˜ ao (5.135), motivaremos o porquê da solu¸c˜ ao u ter a forma apresentada no resultado correspondente. Suponhamos que u seja uma solu¸cão da equa¸c˜ ao (5.135). Pelo fato de u, v ∈ H, temos em virtude do lema 5.67, que u = w 1 + ν (u, v ν )v ν (5.136) v = w 2 + ν (v, v ν )v ν , (5.137) A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 247 onde w 1 , w 2 ∈ N(A). Além disso, pela teorema 5.66, resulta que Au = ν λ ν (u, v ν )v ν . (5.138) Pelo fato de u ser solu¸cão da equa¸c˜ ao 5.135 obtemos de (5.135), (5.136) e (5.137), que w 2 + ν (v, v ν )v ν = _ w 1 + ν (u, v ν )v ν _ −λ _ ν λ ν (u, v ν )v ν _ (5.139) = w 1 + ν (1 −λλ ν )(u, v ν )v ν . Compondo-se com v ν os dois lados da identidade acima, vem que (w 2 , v ν ) + µ (v, v µ )(v µ , v ν ) = (w 1 , v ν ) + µ (1 −λλ µ )(u, v µ )(v µ , v ν ). Como os ¦v ν ¦ ν∈N são ortonormais temos que (v µ , v ν ) = _ 0, se µ ,= ν, 1, se µ = ν, e pelo fato de w 1 , w 2 ∈ N(A) e ¦v ν ¦ ν∈N ∈ N(A) ⊥ temos que (w 1 , v ν ) = (w 2 , v ν ) = 0, para todo ν ∈ N. Logo, (v, v ν ) = (1 −λλ ν )(u, v ν ), para todo ν ∈ N. (5.140) Ainda, como H = N(A) ⊕N(A) ⊥ , temos, aplicando a proje¸cão ortogonal de H sobre N(A) na expressão dada em (5.136) que w 1 = w 2 . (5.141) Temos dois casos a considerar: • i) λ ,= 1 λν , para todo ν ∈ N. • ii) λ = 1 λν 0 , para algum ν 0 ∈ N. 248 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL (i) Neste caso, de (5.136), (5.138) e (5.140) deduzimos que λAu = ν λλ ν (u, v ν )v ν = ν λλ ν 1 −λλ ν (v, v ν )v ν . Mas como λAu = u −v resulta que u −v = ν λλ ν 1 −λλ ν (v, v ν )v ν , ou seja, u = v + ν λλ ν 1 −λλ ν (v, v ν )v ν , (5.142) (ii) Neste caso, estamos considerando que λ = 1 λ ν 0 , para algum ν 0 ∈ N. Seja r a multiplicidade (geométrica) de λ ν 0 , isto é, dimN(A −λ ν 0 I) = r. Então, pela proposi¸c˜ ao 5.64, r < +∞. Como Av ν 0 = λ ν 0 v ν 0 temos que v ν 0 ∈ N(A − λ ν 0 I) e, portanto, podemos completar o conjunto ¦v ν 0 ¦ de modo a obtermos uma base para N(A−λ ν 0 I) posto que v ν 0 ,= 0. Tal completamento será feito de modo a obtermos, nessa base, o máximo de elementos de ¦v ν ¦ poss´ıveis. Seja ¦v ν 0 , u 1 , , u r−1 ¦ tal base. Sem perda de generalidade, podemos supor tais vetores u i unitários pois se eles não o forem, basta unitarizá-los que eles ainda continuam formando uma base para N(A −λ ν 0 I). Provaremos que u i ∈ ¦v ν ¦ ν∈N , para todo i = 1, , r −1. (5.143) Com efeito, suponhamos, por contradi¸c˜ ao, que existe i 0 ∈ ¦1, , r − 1¦ tal que u i 0 / ∈ ¦v ν ¦ ν∈N . Consideremos a sucesão ¦v ∗ ν ¦ ν∈N dada por v ∗ ν = _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ v ν , ν ≤ ν 0 , u i 0 , ν = ν 0 + 1 v ν−1 , ν ≥ ν 0 + 2, cujos autovalores de A são dados por λ ∗ ν = _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ λ ν , ν ≤ ν 0 , λ ν 0 , ν = ν 0 + 1 λ ν−1 , ν ≥ ν 0 + 2. A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 249 Observemos que as seq¨ uências ¦λ ∗ ν ¦ ν∈N e ¦v ∗ ν ¦ ν∈N tem as mesmas propriedades das seq¨ uências ¦λ ν ¦ ν∈N e ¦v ν ¦ ν∈N . De fato, i) Av ∗ ν = λ ∗ ν v ∗ ν , para todo ν ∈ N, ii) [λ ∗ ν [ ≥ [λ ∗ ν+1 [, para todo ν ∈ N e λ ∗ ν →0 quando ν →+∞, iii) [[v ∗ ν [[ = 1, para todo ν ∈ N, iv) (v ∗ ν , v ∗ µ ) = 0, para todo ν, µ ∈ N tais que ν ,= µ. Temos que (v ν , v µ ) = 0, para todo ν, µ ∈ N, ν ,= µ pela própria constru¸c˜ ao dos ¦v ν ¦. Resta-nos mostrar que (v ν , u i 0 ) = 0, para todo n ∈ N. Se v ν fizer parte da base de N(A − λ 0 I) temos que v ν e u i 0 são ortogonais e portanto (v ν , u i 0 ) = 0. Se v ν não fizer parte da base de N(A − λ 0 I) temos que λ ν ,= λ ν 0 e pela simetria de A resulta que (Au i 0 , v ν ) = (u i 0 , Av ν ), isto é, λ ν 0 (u i 0 , v ν ) = λ ν (u i 0 , v ν ) posto que os λ ν ∈ 1, para todo ν ∈ N. Da´ı conclu´ımos que (u i 0 , v ν ) = 0 para todo ν ∈ N, pois, caso contrário, λ ν 0 = λ ν , o que geraria uma contradi¸c˜ ao. v) Au = ν λ ∗ ν (u, v ∗ ν )v ∗ ν , para todo u ∈ H. Seja u ∈ H e definamos w ν = u − ν−1 i=1 (u, v ∗ i )v ∗ i . O resultado seguirá se mostrarmos que Aw ν →0 quando ν →+∞. De fato, observemos que (w ν , v ∗ i ) = (u, v ∗ i ) −(u, v ∗ i ) = 0, i = 1, 2, , ν −1. Portanto, w ν ∈ H ν = ¦v ∈ H; (v, v ∗ i ) = 0, i = 1, 2, , ν −1¦. 250 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Por outro lado, [[w ν [[ 2 = (w ν , w ν ) = _ u − ν−1 i=1 (u, v ∗ i v ∗ i , u − ν−1 i=1 (u, v ∗ i v ∗ i _ = [[u[[ 2 − ν−1 i=1 (u, v ∗ i )(u, v ∗ i ) − ν−1 i=1 (u, v ∗ i ) (v ∗ i , u) . ¸¸ . =(u,v ∗ i ) + _ ν−1 i=1 (u, v ∗ i )v ∗ i , ν−1 i=1 (u, v ∗ i )v ∗ i _ = [[u[[ 2 − ν−1 i=1 [(u, v ∗ i )[ 2 − ν−1 i=1 [(u, v ∗ i )[ 2 + ν−1 i=1 [(u, v ∗ i )[ 2 , o que implica [[w ν [[ 2 = [[u[[ 2 − ν−1 i=1 [(u, v ∗ i )[ 2 . Assim, [[w ν [[ 2 ≤ [[u[[ 2 , ou seja, [[w ν [[ ≤ [[u[[. Se w ν 0 = 0, para alguma ν 0 , ent˜ ao u = ν−1 i=1 (u, v ∗ i )v ∗ i , e, portanto, (u, v ∗ ν ) = 0, para todo ν ≥ ν 0 . Logo, Au = ν−1 i=1 λ ∗ i (u, v ∗ i )v ∗ i = ν λ ∗ ν (u, v ∗ ν )v ∗ ν , o que prova o desejado. Suponhamos, ent˜ ao, que w ν ,= 0 e definamos z ν = wν ||wν|| . Então, z ν ∈ H ν e [[z ν [[ = 1. Além disso, como [λ ∗ ν [ = sup u∈H ν ,||u||=1 [(Au, u)[ = [[A[ H ν [[ = sup u∈H ν ,||u||=1 [[Au[[, temos que [λ ∗ ν [ ≥ [[Az ν [[. Assim, [[Az ν [[ = ||Aw ν || ||w ν || , ou seja, [[Aw ν [[ = [[Az ν [[ [[w ν [[ ≤ [λ ∗ ν [ [[w ν [ ≤ [λ ∗ ν [ [[u[[. Como λ ν → 0 quando ν → +∞ temos que [[Aw ν [[ → 0 quando ν → +∞ e desta forma segue o resultado em (v). Assim, ¦v ∗ ν ¦ n∈N é uma seq¨ uência nos moldes do Teorema 5.66 e tal que ¦v ν ¦ ν∈N _ ¦v ∗ ν ¦ ν∈N (5.144) A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 251 Mas, da proposi¸c˜ ao 5.68 resulta que ¦v ν ¦ ν∈N e ¦v ∗ ν ¦ ν∈N são completos em N(A) ⊥ . Pelo fato de ¦v ν ¦ ν∈N ser ortonormal completo temos, por defini¸c˜ ao, que ¦v ν ¦ ν∈N é maximal em N(A) ⊥ e de (5.144) temos uma contradi¸cão ficando provado (5.143). Portanto, u i ∈ ¦v ν ¦ ν∈N , i = 1, 2, , r −1. Além disso, como Au i = λ ν 0 u i , para todo i = 1, 2, , r − 1, podemos impor que v ν 0 +i = u + i, i = 1, , r − 1, sem que isso altere qualquer propriedade da seq¨ uência ¦v ν ¦ ν∈N . Assim, ¦v ν ¦ ν∈N é tal que Av ν = λ 0 v ν para todo ν = ν 0 , , ν 0 + r −1. Suponhamos, ent˜ ao, que u seja uma solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao (5.135). Por (5.140) resulta que (v, v ν ) = (1 −λλ ν )(u, v ν ), para todo ν ∈ N. Como λ = 1 λ ν 0 e λ ν = λ ν 0 para todo ν = ν 0 , , ν 0 +r −1, temos que (v, v ν ) = 0, para todo ν = ν 0 , , ν 0 + r −1, (5.145) (u, v ν ) = (v, v ν ) 1 −λλ ν , ν ∈ N tais que ν ,= ν 0 , , ν 0 +r −1. (5.146) Como u = v + λAu, para determinarmos uma expressão para u, devemos determinar λAu. Temos, pelo teorema 5.66 que Au = ν λ ν (u, v ν )v ν = ν=ν 0 ,··· ,ν 0 +r−1 λ ν (u, v ν )v ν + ν 0 +r−1 ν=ν 0 λ ν 0 (u, v ν )v ν . Por (5.146) vem que Au = ν=ν 0 ,··· ,ν 0 +r−1 λ ν 1 −λλ ν (v, v ν )v ν + ν 0 +r−1 ν=ν 0 λ ν 0 (u, v ν )v ν . Notemos, no entanto, que independentemente do valor assumido por (u, v ν ), ν = ν 0 , , ν 0 + r − 1 temos que (v, v ν ) = 0 para todo ν = ν 0 , , ν 0 + r − 1. Portanto, podemos supor que (u, v ν 0 +i ) = a i , i = 0, , r −1 onde a i ∈ C é qualquer. Conseq¨ uentemente λAu = ν=ν 0 ,··· ,ν 0 +r−1 λλ ν 1 −λλ ν (v, v ν )v ν + λ r−1 i=0 λ ν 0 a i v ν 0 +i . 252 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Pondo λ ν 0 a i = c i obtemos λAu = λ _ ν=ν 0 ,··· ,ν 0 +r−1 λ ν 1 −λλ ν (v, v ν )v ν + r−1 i=0 c i v ν 0 +i _ , de onde concluimos que u = v + λ _ ν=ν 0 ,··· ,ν 0 +r−1 λ ν 1 −λλ ν (v, v ν )v ν + r−1 i=0 c i v ν 0 +i _ , c i ∈ C, i = 0, , r −1. Feitas as considera¸cões acima podemos enunciar o próximo teorema. Teorema 5.76 Sejam A um operador compacto simétrico não nulo de H, v ∈ H e λ ∈ C, λ ,= 0. Então, com rela¸cão a equa¸cão u −λAu = v, são válidas as seguintes afirma¸cões: i) Se λ ,= 1 λν , para todo ν ∈ N a equa¸cão tem uma ´ unica solu¸cão u dada por u = v + ν λλ ν 1 −λλ ν (v, v ν )v ν . (5.147) ii) Se λ = 1 λ ν 0 , para algum ν 0 ∈ N, a equa¸cão 5.135 tem pelo menos uma solu¸cão u se, e somente se, v é ortogonal à v ν 0 , v ν 0 +1 , , v ν 0 +r−1 , onde r é a multiplicidade de λ ν 0 . Além disso, a equa¸cão tem infinitas solu¸cões u e todas são da forma u = v + λ _ ν=ν 0 ,··· ,ν 0 +r−1 λ ν 1 −λλ ν (v, v ν )v ν + r−1 i=0 c i v ν 0 +i _ , (5.148) onde c i ∈ C, i = 0, 1, , r −1. Demonstra¸cão: i) Suponhamos que λ ,= 1 λν , para todo ν ∈ N. Mostraremos que u dada em (5.147) é solu¸c˜ ao da equa¸cão u−λAu = v. Com efeito, inicialmente mostraremos que a série ν λλ ν 1 −λλ ν (v, v ν )v ν , converge em H. Para tal, mostraremos que a seq¨ uência das somas parciais é de Cauchy. Temos, para A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 253 ν > µ, [[S ν −S µ [[ 2 = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ν i=1 λλ i 1 −λλ i (v, v i )v i − µ i=1 λλ i 1 −λλ i (v, v i )v i ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ν i=µ+1 λλ i 1 −λλ i (v, v i )v i ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 = ν i=µ+1 ¸ ¸ ¸ ¸ λλ i 1 −λλ i ¸ ¸ ¸ ¸ 2 [(v, v i )[ 2 . Como λ ν →0 quando ν → +∞, temos que λλ ν →0 e 1 −λλ ν →1 quando ν → +∞ e, portanto, λλ ν 1−λλν → 0 quando ν →+∞. desta forma, existe C > 0 tal que ¸ ¸ ¸ ¸ λλ ν 1 −λλ ν ¸ ¸ ¸ ¸ ≤ C, para todo ν ∈ N. Asiim, [[S ν −S µ [[ 2 ≤ C 2 ν i=µ+1 [(v, v i )[ 2 . Como pela Desigualdade de Bessel, +∞ i=1 [(v, v ν )[ 2 ≤ [[v[[ 2 < +∞, temos que ν i=µ+1 [(v, v i )[ 2 → 0 quando µ, ν → +∞, o que implica que [¸ ν − S µ [[ → 0, quando ν, µ → +∞. Logo faz sentido a expressão dada em (5.147). Consideremos, ent˜ ao, u = v + ν λλ ν 1 −λλ ν (v, v ν )v ν . (5.149) Logo, Au = Av + A _ lim ν→+∞ ν i=1 λλ i 1 −λλ i (v, v i )v i _ = Av + lim ν→+∞ ν i=1 λλ i 1 −λλ i (v, v i )Av i . Por outro lado, pelo teorema 5.66 podemos escrever Av = ν λ ν (v, v ν )v ν , 254 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL e, portanto, Au = ν λ ν (v, v ν )v ν + ν λλ 2 ν 1 −λλ ν (v, v ν )v ν = ν _ λ ν + λλ 2 ν 1 −λλ ν _ (v, v ν )v ν = ν λ ν 1 −λλ ν (v, v ν )v ν , de onde resulta que λAu = ν λλ ν 1 −λλ ν (v, v ν )v ν . (5.150) De (5.149) e (5.150) resulta que u − v = λAu o que mostra que u dada em (5.147) é solu¸cão da equa¸c˜ ao u − λAu = v. Resta-nos mostrar a unicidade de solu¸c˜ ao. Para tal suponhamos que u 1 e u 2 sejam solu¸c˜ oes da equa¸cão u − λAu = v. Ent˜ ao, (u 1 − u 2 ) − λA(u 1 − u 2 ) = 0, o que implica que A(u 1 − u 2 ) = 1 λ (u 1 − u 2 ). Afirmamos que u 1 = u 2 , pois, caso contr´ ario, u 1 − u 2 ,= 0 e 1 λ seria um valor próprio de A diferente de λ ν , o que contraria o teorema 5.66 (iii). ii) Suponhamos que λ = 1 λ ν 0 para alguma ν 0 ∈ N e seja r a multiplicidade de λ ν 0 . Pelo que já vimos anteriormente (na motiva¸cão) λ ν = λ ν 0 , ν = ν 0 , , ν 0 + r −1, λ ν ,= λ ν 0 , ν ,= ν 0 , , ν 0 + r −1. Mostraremos que u é solu¸c˜ ao (5.135) se, e somente se, v é ortogonal a v ν , ν = ν 0 , , ν 0 + r −1.(5.151) Então, por (5.140) temos (v, v ν ) = (1 −λλ ν )(u, v ν ), para todo ν ∈ N. Como λ = 1 λ ν 0 e λ ν = λ ν 0 para ν = ν 0 , , ν 0 + r −1, temos que (v, v ν ) = 0, ν = ν 0 , , ν 0 + r −1. Reciprocamente, suponhamos que v é ortogonal à v ν , para ν = ν 0 , , ν 0 + r − 1 e consideremos u dado como em (5.148). Temos Au = Av + λ _ ν=ν 0 ,··· ,ν 0 +r−1 λ 2 ν 1 −λλ ν (v, v ν )v ν + r−1 i=0 λ ν 0 c i v ν 0 +i _ . A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 255 Pelo teorema 5.66(ii) temos que Av = ν λ ν (v, v ν )v ν , mas como (v, v ν ) = 0, ν = ν 0 , , ν 0 + r −1, segue que Av = ν=ν 0 ,··· ,ν 0 +r−1 λ ν (v, v ν )v ν . Logo, Au = ν=ν 0 ,··· ,ν 0 +r−1 λ ν (v, v ν )v ν + ν=ν 0 ,··· ,ν 0 +r−1 λλ 2 ν 1 −λλ ν (v, v ν )v ν + λλ ν 0 .¸¸. =1 r−1 i=0 c i v ν 0 +i = ν=ν 0 ,··· ,ν 0 +r−1 _ λ ν + λλ 2 ν 1 −λλ ν _ (v, v ν )v ν + r−1 i=0 c i v ν 0 +i = ν=ν 0 ,··· ,ν 0 +r−1 λ ν 1 −λλ ν (v, v ν )v ν + r−1 i=0 c i v ν 0 +i , o que implica que λAu = λ _ ν=ν 0 ,··· ,ν 0 +r−1 λ ν 1 −λλ ν (v, v ν )v ν + r−1 i=0 c i v ν 0 +i _ = u −v, o que prova que a equa¸cão (5.135) possui pelo menos uma solu¸c˜ ao, quaisquer que sejam c i ∈ C. Portanto, a equa¸cão (5.135) possui uma infinidade de solu¸c˜ oes. Resta-nos mostrar que qualquer solu¸c˜ ao de (5.135) é dada da forma (5.148). Com efeito, seja u 0 solu¸c˜ ao de (5.135). Ent˜ ao, se u é dada na forma (5.148) temos que A(u 0 −u) −λ ν 0 (u 0 −u) = 0, ou seja, A(u 0 −u) = 1 λ (u 0 −u) = λ ν 0 (u 0 −u). Logo, A(u 0 −u) −λ ν 0 (u 0 −u) = 0, e, portanto, u 0 −u ∈ N(A −λ ν 0 I). Como N(A −λ ν 0 I) = [v ν 0 , , v ν 0 +r−1 ] (feito na motiva¸ cão) 256 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL temos que u 0 −u = k 0 v ν 0 + k 1 v ν 0 +1 + + k r−1 v ν 0 +r−1 , para k i ∈ C, i = 0, , r −1. Assim, u 0 = u + r−1 i=0 k 0 v ν 0 +i , isto é, u 0 = v + λ _ ν=ν 0 ,··· ,ν 0 +r−1 λ ν 1 −λλ ν (v, v ν )v ν + r−1 i=0 _ c i + k i λ _ v ν 0 +i _ . Como c i + k i λ ∈ c, resulta que a demonstra¸cão do teorema está conclu´ıda. 2 Antes de demostrarmos o principal resultado deste parágrafo, a Alternativa de Riesz- Fredholm, provaremos alguns resultados preliminares necessários na demonstra¸cão do mesmo. Lema 5.77 (Lema de Riesz) Sejam E um espa¸co vetorial normado e M ⊂ E um subespa¸co fechado tal que M ,= E. Então, Para todo ε > 0, existe u ∈ E tal que [[u[[ = 1 e d(u, M) ≥ 1 −ε. Demonstra¸cão: Seja v ∈ E tal que v / ∈ M. Como M é fechado, então, d = d(v, M) > 0. Seja ε > 0. Logo, 1 −ε < 1 e, portanto, 1 1−ε > 1. Assim, d < d 1−ε . Como d = inf w∈M [[v −w[[, temos que existe w 0 ∈ M tal que d ≤ [[v −w 0 [[ ≤ d 1 −ε . definamos u = v −w 0 [[v −w 0 [[ . A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 257 Então, [[u[[ = 1 e se m ∈ M temos [[u −m[[ = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ v −w 0 [[v −w 0 [[ −m ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = 1 [[v −w 0 [[ [[v −w 0 −m[[v −w 0 [[ [[ ≥ (1 −ε) d [[v −[w 0 + m[[v −w 0 [[ . ¸¸ . ∈M ] [[ ≥ (1 −ε) d d. Logo, [[u − m[[ ≥ 1 − ε, para todo m ∈ M e, desta forma, d(u, M) ≥ 1 − ε, o que prova que u é o elemento procurado. 2 Lema 5.78 (Teorema de Riesz) Seja E um espa¸co vetorial normado tal que B E = ¦u ∈ E; [[u[[ E ≤ 1¦ é compacta. Então E é de dimensão finita. Demonstra¸cão: Suponhamos, por contradi¸cão, que E não possua dimensão finita. Ent˜ ao, existe ¦v n ¦ n∈N ⊂ E tal que ¦v n ¦ n∈N é uma base para E. definamos: E n = [v 1 , , v n ] , n ∈ N. Então, a cole¸c˜ ao ¦E n ¦ n∈N é formada por subespa¸cos de E que possuem dimensão finita e tais que E n−1 _ E n , para todo n ∈ N ∗ . Em virtude do lema 5.77, dado ε = 1/2 garantimos a exist encia de u n ∈ E n tal que [[u n [[ = 1 e d(u n , E n−1 ) ≥ 1/2, para todo n ∈ N ∗ . Em particular, se m < n temos que 1 2 ≤ d(u n , E n−1 ) ≤ [[u n −u m [[, posto que u m ∈ E m ⊂ E n−1 . Assim, [[u n −u m [[ ≥ 1 2 , se m < n; para todo m, n ∈ N. Desta forma, ¦u n ¦ não possui subseq¨ uência convergente pois, caso contrário, se ex- istisse ¦u n k ¦ ⊂ ¦u n ¦, com ¦u n k ¦ convergente, ent˜ ao ¦u n k ¦ seria de Cauchy e portanto existiria k 0 ∈ N tal que [[u n k 1 − u n k 2 [[ < 1 2 , para todo k 1 > k 2 ≥ k 0 , o que geraria um absurdo. Logo, ¦u n ¦ é uma seq¨ uência limitada (pois [[u n [[ = 1 para todo n ∈ N) tal que não possui nenhuma subseq¨ uência convergente, o que é um absurdo pois, por hipótese, B E é compacta na topolgia forte. Conclu´ımos ent˜ ao que E é de dimensão finita. 2 258 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Observa¸cão 5.79 Resulta do lema acima que se E é um espa¸co vetorial normado de dimensão infinita a bola B E = ¦x ∈ E; [[x[[ E ≤ 1¦ nunca será compacta. Lema 5.80 Sejam M um subespa¸co fechado de um espa¸co de Hilbert H e u ∈ H. Então, se d = inf v∈M [[u −v[[, existe v 0 ∈ M tal que d = [[u −v 0 [[. Demonstra¸cão: Seja d = inf v∈M [[u −v[[. Ent˜ ao, existe ¦v n ¦ ⊂ M tal que [[u −v n [[ → d, quando n → +∞. Sejam m, n ∈ N. Temos: [[v n + v m −2u[[ 2 +[[v n −v m [[ 2 = [[(v n −u) + (v m −u)[[ 2 +[[(v n −u) −(v m −u)[[ 2 . Pela identidade do paralelogramo, [[v n + v m −2u[[ 2 +[[v n −v m [[ 2 = 2[[v n −u[[ 2 + 2[[v m −u[[ 2 . Logo, [[v n −v m [[ 2 = 2[[v n −u[[ 2 + 2[[v m −u[[ 2 −[[v n + v m −2u[[ 2 = 2[[v n −u[[ 2 + 2[[v m −u[[ 2 −4 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ v n +v m 2 −u ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 . Como v n +v m 2 ∈ M resulta que ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ v n + v m 2 −u ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ≥ inf v∈M [[v −u[[ = d. Assim, − ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ v n + v m 2 −u ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 ≤ −d 2 . Portanto, [[v n −v m [[ 2 ≤ 2[[v n −u[[ 2 + 2[[v m −u[[ 2 −4d 2 . Observando que [[v n −u[[ → d quando n → +∞ e [[v m −u[[ → d quando m → +∞,, obtemos, da ´ ultima desigualdade que 0 ≤ lim m,n→=∞ [[v n = v m [[ 2 ≤ 2d 2 + 2d 2 −4d 2 = 0, o que implica que [[v n − v m [[ → 0 quando n, m → +∞, ou seja, ¦v n ¦ é de Cauchy em H e portanto, converge. Logo, existe v 0 ∈ M (posto que M é fechado e ¦v n ¦ ⊂ M) tal que v n → v 0 quando n → +∞. Pela unicidade do limite resulta que d = [[u − v 0 [[, com v 0 ∈ M. Isto conclui a prova. 2 A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 259 Teorema 5.81 (Alternativa de Riesz-Fredholm) Sejam A ∈ / C (H) e λ ∈ C tal que λ ,= 0. Então: a) N(I −λA) possui dimensão finita. b) Im(I −λA) é fechado e, mais ainda, Im(I −λA) = N(I −λA ∗ ) ⊥ . c) N(I −λA) = ¦0¦ se, e somente se, Im(I −λA) = H. d) dimN(I −λA) = dimN(I −λA ∗ ). Demonstra¸cão: a) Definamos E 1 = N(I −λA). Observemos que N(I −λA) é um subespa¸co fechado de H e portanto E 1 , munido da norma de H, é um espa¸co de Hilbert. Afirmamos que B E 1 ⊂ λA(B E ) = A(λB E ). (5.152) Com efeito, seja u ∈ B E 1 = ¦v ∈ E 1 ; [[v[[ ≤ 1¦. Ent˜ ao, u ∈ N(I −λA) e [[u[[ ≤ 1, ou seja, u = λA e [[u[[ ≤ 1. Como A(λB E ) = ¦y = λAu; u ∈ E e [[u[[ ≤ 1¦, temos que u ∈ A(λB E ). Logo, B E 1 ⊂ A(λB E ) ⊂ A(λB E ), o que prova (5.152). Mas, pelo fato de λB E ser limitado e A compacto resulta que A(λB E ) é compacto. Logo, B E 1 é compacto posto que é fechado e está contido em um compacto. Pelo lema 5.78 conclu´ımos que E 1 é de dimensão finita. b) Seja ¦f n ¦ ⊂ Im(I − λA) tal que f n → f em H. Devemos mostrar que f ∈ Im(I −λA), ou seja, provaremos que Existe u ∈ H tal que f = u −λAu. (5.153) Com efeito, como ¦f n ¦ ⊂ Im(I −λA) temos que, para cada n ∈ N, f n = u n −λAu n , onde ¦u n ¦ ⊂ H. Podemos supor, sem perda de generalidade, que u n / ∈ N(I −λA), para todo n ∈ N, pois, caso contr´ ario, temos duas possibilidades a considerar: (i) Existe uma infinidade de n ∈ N tais que u n ∈ N(I −λA). (ii) Existe apenas um n´ umero finito de n ∈ N tais que u n ∈ N(I −λA). Se (i) acontece, garantimos a existência de uma subseq¨ uência ¦u n k ¦ ⊂ ¦u n ¦ tal que ¦u n k ¦ ⊂ N(I − λA), isto é, u n k = λAu n k . Desta forma, f n k = 0 para todo k ∈ N. Mas, pelo fato de ¦f n k ¦ ⊂ ¦f n ¦ e f n → f em H resulta que f n k → f em H e, portanto, f ≡ 0 = 0 + λA0, ou seja, f ∈ Im(I −λA). 260 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Se (ii) ocorre, existem n 1 , , n k 0 tais que u n i ∈ N(I − λA), i = 1, , k 0 . Seja n 0 = max¦n i ; i = 1, , k 0 ¦. Então, a seq¨ uência v n = u n 0 +n , n ∈ N é tal que f n = v n −λAv n → f e v n / ∈ N(I −λA), para todo n ∈ N. Logo, o mesmo procedimento usado para u n / ∈ N(I −λA), para todo n ∈ N pode ser usado para v n . Desta forma, suponhamos, ent˜ ao, sem perda de generalidade que u n / ∈ N(I − λA), para todo n ∈ N. Com isto em mente, definamos d n = d(u n , N(I −λA)), n ∈ N. (5.154) Pelo fato de ¦u n ¦ / ∈ N(I − λA), para todo n ∈ N e N(I − λA) ser um subespa¸co fechado de H, segue que d n > 0, para todo n ∈ N. Por outro lado, como N(I −λA) é um subespa¸co fechado de H, temos pelo lema 5.80 que, para cada n ∈ N, existe v n ∈ N(I −λA) tal que d n = [[v n −u n [[ > 0, para todo n ∈ N. (5.155) Afirmamos que: Existe M > 0 tal que [[v n −u n [[ ≤ M, para todo n ∈ N. (5.156) De fato, suponhamos, por contradi¸c˜ ao, que ¦[[v n − u n [[¦ não seja limitada. Ent˜ ao, existe uma subseq¨ uência ¦[[u n k −v n k [[¦ de ¦[[v n −u n [[¦ tal que [[u n k −v n k [[ → +∞, quando k →+∞. Definindo-se w n = u n −v n [[u n −v n [[ , n ∈ N, resulta que [[w n [[ = 1, para todo n ∈ N. (5.157) Por outro lado, notemos que w n k −λAw n k = u n k −v n k [[u n k −v n k [[ − λA(u n k −v n k ) [[u n k −v n k [[ = 1 [[u n k −v n k [[ ¦u n k −λAu n k −[v n k −λAv n k ]¦ . A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 261 Como v n ∈ N(I −λA), para todo n ∈ N, temos que v n k −λAv n k = 0, para todo k ∈ N. Resulta da´ı e da ´ ultima identidade que w n k −λAw n k = 1 [[u n k −v n k [[ (u n k −λAu n k ) . No entanto, como u n k − λAu n k → f quando k → +∞ e 1 ||u n k −v n k || → 0, quando k →+∞, resulta que w n k −λAw n k →0, quando k →+∞. (5.158) Por outro lado de (5.157) e pelo fato de A ser compacto, existe uma subseq¨ uência de ¦w n k ¦, que continuaremos denotando por ¦w n k ¦, tal que λAw n k →z, para algum z ∈ H. (5.159) Como [[w n k −z[[ ≤ [[w n k −λAw n k [[ +[[λAw n k −z[[, temos, em virtude de (5.158) e (5.159) que w n k →z, quando k →+∞, (5.160) o que implica que w n k −λAw n k → z −λAz, quando k →+∞, uma vez que A é cont´ınuo. Logo, de (5.158) resulta que z − λAz = 0, ou seja, z ∈ N(I −λA). No entanto, d(w n , N(I −λA)) = inf v∈N(I−λA) [[w n −v[[ = inf v∈N(I−λA) ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ u n −v n [[u n −v n [[ −v ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = inf v∈N(I−λA) 1 [[u n −v n [[ [[u n −(v n + v[[u n −v n [[ . ¸¸ . ∈N(A−λI) )[[ = 1 [[u n −v n [[ inf w∈N(I−λA) [[u n −w[[ = .¸¸. (5.154) d n [[u n −v n [[ = 1. 262 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Assim 1 = d(w n , N(I −λA)) ≤ [[w k −w[[, para todo n ∈ N e para todo w ∈ N(I −λA). Em particular, 1 ≤ [[w n k −z[[, para todo k ∈ N, o que é um absurdo em virtude de (5.160). Tal contradi¸c˜ ao foi proveniente da suposi¸cão de que ¦v n − u n ¦ não é limitada, ficando provado (5.156). Resulta da´ı e pelo fato de A ser compacto, que existe uma subseq¨ uência ¦u n k −v n k ¦ ⊂ ¦u n −v n ¦ tal que λA(u n k −v n k ) →l, quando k →+∞. Ainda, f n k = u n k −λAu n k = u n k −λAu n k −(v n k −λAv n k . ¸¸ . =0 ) = (u n k −v n k ) −λA(u n k −v n k ). Portanto, u n k −v n k = f n k + λA(u n k −v n k ) →f + l, quando k →+∞. Pondo-se g = f +l, ent˜ ao, como f n k = (u n k −v n k ) −λA(u n k −v n k ), f n k →f quando k →+∞ e u n k −v n k →g quando k →+∞, obtemos, tomando o limite quando k →+∞ que f = g − λAg, posto que A é cont´ınuo. Logo, f = (I − λA)g, para algum g ∈ H e, portanto, f ∈ Im(I −λA), o que prova (5.153). Além disso, pelo corolário 2.48(iV) temos que Im(I −λA) = Im(I −λA) = N(I −λA ∗ ) ⊥ . c) Provaremos que N(I −λA) = ¦0¦ ⇔ Im(I −λA) = H. (⇒) Suponhamos que N(I −λA) = ¦0¦e, por contradi¸ cão, que E 1 = Im(I −λA) ,= H. Como Im(I−λA) é fechado, pelo item (b) resulta que E 1 é um espa¸co de Hilbert (pois todo subespa¸co vetorial fechado de um espa¸co completo é completo). Além disso, A(E 1 ) ⊂ E 1 . Com efeito, seja u ∈ A(E 1 ). Ent˜ ao, u = Av, para algum v ∈ Im(I − λA), ou seja, A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 263 v = w−λAw, para algum w ∈ H. Logo, u = A(w−λAw) = Aw−λA(Aw) ∈ E 1 . Sendo assim, o operador A 1 : E 1 →E 1 u → A 1 u = Au, é tal que A 1 ∈ / c (E 1 ). Definamos E 2 = Im(I−λA 1 ) = (I−λA)(E 1 ). Usando o mesmo racioc´ınio desenvolvido no item (b) para o espa¸co de Hilbert E 1 e para o operador A 1 , temos que E 2 é subespa¸co fechado de E 1 . Além disso, E 2 _ E 1 pois E 2 = (I − λA)(E 1 ) ⊂ (I − λA)(H) = E 1 , e, além disso, se supusermos que E 2 = E 1 , então, dado u ∈ H temos que u − λAu ∈ E 1 e, portanto, u −λAu ∈ E 2 , ou seja, u −λAu = u 1 −λAu 1 , para algum u 1 ∈ E 2 . Como, por hipótese, N(I −λA) = ¦0¦ temos que (I −λA) é injetivo e portanto u = u 1 ∈ E 2 . Desta forma, dado u ∈ H temos que u ∈ E 2 e, desta forma, H ⊂ E 2 ⊂ E 1 ⊂ H. Logo, H = E 1 , o que é uma contradi¸ cão, provando realmente que E 2 _ E 1 . Assim, (i) E 1 = (I −λA)(E 0 ) = Im(I −λA 0 ), onde E 0 = H e A 0 : H →H, u →A 0 u = Au, possui as seguintes propriedades: E 1 é fechado em H e E 1 _ E 0 . (ii) E 2 = (I −λA)(E 1 ) = Im(I −λA 1 ), onde E 1 = Im(I −λA) e A 1 : E 1 →E 1 , u →A 1 u = Au, possui as seguintes propriedades: E 2 é fechado em E 1 e E 2 _ E 1 . De um modo geral, para cada n ∈ N ∗ , E n = (I − λA)(E n−1 ) = Im(I − λA n−1 ) onde E 0 = H e A n−1 : E n−1 →E n−1 u →A n−1 u = Au, possui as seguintes propriedades: E n é fechado em E n−1 e E n _ E n−1 . 264 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Pelo lema 5.77, dado ε = 1 2 , para cada n ∈ N, existe u n ∈ E n tal que [[u n [[ = 1 e d(u n , E n+1 ) ≥ 1 2 . Temos, λAu n −λAu m = −(u n −λAu n ) + (u m −λAu m ) + (u n −u m ), para todo n, m ∈ N. Tomemos, para fixar idéias, n > m. Então, E n+1 ⊂ E n ⊂ E m+1 ⊂ E m . Além disso, −(u n −λAu n ) = (I −λA)(−u n .¸¸. ∈E n ) ∈ E n+1 ⊂ E m+1 , u m −λAu m = (I −λA)( u m .¸¸. ∈E m ) ∈ E m+1 , u n ∈ E n ⊂ E m+1 . Logo, −(u n −λAu n ) + (u m −λAu m ) + u n ∈ E m+1 . Portanto, 1 2 ≤ d(u m , E m+1 ) ≤ [[ −(u n −λAu n ) + (u m −λAu m ) + (u n −u m )[[ = [[λAu n −λAu m [[ = [λ[ [[Au n −Au m [[, o que implica que [[Au n −Au m [[ ≥ 1 2[λ[ , para todo n, m ∈ N tal que n > m. Desta forma, qualquer subseq¨ uência ¦u n k ¦ de ¦u n ¦ é tal que ¦Au n k ¦ não é de cauchy e, portanto, não pode ser convergente. Logo, existe uma seq¨ uência limitada ¦u n ¦ tal que ¦Au n ¦ não possui subseq¨ uência convergente, o que é um absurdo, uma vez que A é compacto. Da´ı conclu´ımos que Im(I −λA) = H o que prova o desejado. (⇐) Reciprocamente, suponhamos que Im(I − λA) = H. Então, pelo corolário 2.48 (ii) resulta que N(I −λA ∗ ) = [Im(I −λA)] ⊥ = H ⊥ = ¦0¦. Logo, N(I −λA ∗ ) = ¦0¦. Como A ∗ ∈ / c (H) (teorema 5.59) temos, aplicando o msmo racioc´ınio anterior à A ∗ que Im(I − λA ∗ ) = H. Lembrando que A ∗∗ = A (proposi¸c˜ oes 5.52 e 5.57) temos novamente pelo corolário 2.48 (ii) que N(I −λA) = [Im(I −λA ∗ )] ⊥ = H ⊥ = ¦0¦, A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 265 o que prova que N(I −λA) = ¦0¦, o que prova o desejado. d) Provaremos que dimN(I −λA) = dim(I −λA ∗ ). Temos, pelo item (a) que ambas as dimensões são finitas. Sejam, então, d = dimN(I −λA) e d ∗ = dim(I −λA ∗ ). Afirmamos que d ∗ ≤ d. (5.161) Com efeito, suponhamos o contr´ ario, que d < d ∗ . Temos, em virtude do teorema 5.49, que H pode ser escrito como H = N(I −λA) ⊕[N(I −λA)] ⊥ Seja P a proje¸c˜ ao cont´ınua de H sobre N(I −λA), ou seja, P : H →N(I −λA) u →Pu = w, onde u = w +v. Como estamos supondo que d < d ∗ , existe uma aplica¸c˜ ao Λ linear, injetiva e não sobrejetiva de N(I − λA) em N(I − λA ∗ ). De fato, sejam ¦v 1 , , v d ¦ e ¦v ∗ 1 , , v d ∗¦, bases de N(I −λA) e N(I −λA ∗ ), respectivamente. Definamos a seguinte aplica¸cão: Λ : N(I −λA) →N(I −λA ∗ ) v →w, onde se v = a 1 v 1 + + a d v d , ent˜ ao, w = a 1 v ∗ 1 + + a d v ∗ d + 0 v ∗ d+1 + + 0 v ∗ d ∗. Temos que: • Λ é linear. Com efeito, Λ(u 1 + u 2 ) = Λ((a 1 + b 1 )v 1 + + (a d + b d )v d ) = (a 1 +b 1 )v ∗ 1 + + (a d +b d )v ∗ d + 0 v ∗ d+1 + + 0 v ∗ d ∗ = [a 1 v ∗ 1 + + a d v ∗ d + 0 v ∗ d+1 + + 0 v ∗ d ∗] + [b 1 v ∗ 1 + + b d v ∗ d + 0 v ∗ d+1 + + 0 v ∗ d ∗] = Λ(u 1 ) + Λ(u 2 ), para todo u 1 , u 2 ∈ N(I −λA). 266 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Analogamente prova-se que Λ(µu) = µΛ(u), para todo u ∈ N(I −λA) e µ ∈ C. • Λ é injetiva. De fato, Λ(u 1 ) = Λ(u 2 ) ⇒a 1 v ∗ 1 + + a d v ∗ d = b 1 v ∗ 1 + +b d v ∗ d , e, portanto, a i = b i para todo i = 1, , d. Como u 1 = d i=1 a i v i e u 2 = d i=1 b i v i , resulta que u 1 = u 2 . • Λ não é sobrejetiva pois dado v ∗ d ∗ ∈ N(I −λA ∗ ), não existe u ∈ N(I −λA) tal que Λu = v ∗ d ∗, o que prova o desejado. Observemos, ainda, que Λ é cont´ınua posto que as dimensões envolvidas são finitas. Assim, a aplica¸cão Λ ◦ P : H →N(I −λA ∗ ), é cont´ınua e dimIm(Λ ◦ P) é finita de onde conclu´ımos, em virtude da observa¸c˜ ao 5.73, que Λ ◦ P ∈ / c (H). Definamos, a seguir, o seguinte operador S = λA + (Λ ◦ P) : H →H. Então, S ∈ / c (H). Afirmamos que N(I −S) = ¦0¦. Com efeito, seja u ∈ H tal que u−Su = 0. Então, 0 = u−Su = u−λAu−(Λ◦P)(u) . Mas, pelo item (b) u−λAu ∈ Im(I −λAu) = N(I −λA ∗ ) ⊥ . Logo, u−λAu ∈ N(I −λA ∗ ) ⊥ enquanto que (Λ ◦ P)u ∈ N(I − λA ∗ )e, além disso, 0 = u − λAu − (Λ ◦ P)(u). Resulta da´ı que u −λAu = 0 e (λ ◦ P)u = 0. Portanto, u ∈ N(I − λA) = 0 e pela injetividade de Λ resulta que u = 0, de onde conclu´ımos que N(I − S) = ¦0¦. Aplicando-se o item (c) a este operador obtemos que A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 267 Im(I − S) = H. Desta forma, dado v ∗ d ∗ ∈ H, existe u ∈ H tal que (I − S)u = v ∗ d ∗, ou seja, v ∗ d ∗ = u −Su = u −λAu + (Λ ◦ P)u. Mas, pelo item (b) temos que Im(I − λA) = [N(I − λA ∗ )] ⊥ e, portanto, u − λAu ∈ [N(I −λA ∗ )] ⊥ . Como v ∗ d ∗, (Λ◦P)u ∈ N(I −λA ∗ ) temos que v ∗ d ∗ −(Λ◦P)u ∈ N(I −λA ∗ ). Resulta da´ı e do fato que [v ∗ d ∗ −(Λ ◦ P)u] −(u −λAu) = 0, que v ∗ d ∗ −(Λ◦P)u = 0, ou seja, v ∗ d ∗ = (Λ◦P)u, o que é um absurdo posto que já mostramos que não existe v ∈ N(I − λA) tal que Λv = v ∗ d ∗. Tal contradi¸c˜ ao veio da suposi¸cão que d < d ∗ . Logo, d ∗ ≤ d. Seja, agora, d ∗∗ = dimN(I −λA ∗∗ ). Usando o mesmo racioc´ınio anterior obtemos que d ∗∗ ≤ d ∗ . Porém, como A ∗∗ = A resulta que N(I − λA ∗∗ ) = N(I − λA), o que implica que d = d ∗∗ . Logo, d ≤ d ∗ . Conclu´ımos, então, que d = d ∗ , o que encerra a prova. 2 Corolário 5.82 Sejam A ∈ / c (H) e λ ∈ C, λ ,= 0. Então: (i) Cada uma das equa¸cões (I) u −λAu e (II) v −λA ∗ v = z, tem solu¸cões ´ unicas u, v para cada w, z ∈ H, ou ambas as equa¸ cões (III) φ −λAφ = 0 e (IV ) ψ −λA ∗ ψ = 0, tem solu¸cões não nulas, sendo o n´ umero de solu¸cões linearmente independentes, finito, e o mesmo para ambas as equa¸cões. (ii) A equa¸cão (I) tem pelo menos uma solu¸cão se, e somente se, w é ortogonal a todas as solu¸cões ψ de (IV ) (iii) A equa¸cão (II) tem pelo menos uma solu¸cão se, e somente se, z é ortogonal a todas as solu¸cões φ de (III). 268 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Demonstra¸cão: (i) Suponhamso que (I) e (II) não tenham solu¸c˜ oes ´ unicas para algum w, z ∈ H. Então, existem u 1 , u 2 solu¸c˜ oes de (I) e v 1 , v 2 solu¸c˜ oes de (II) tais que u 1 ,= u 2 e v 1 ,= v 2 . Definamos: u = u 1 − u 2 e v = v 1 − v 2 . Então, u, v ,= 0 e u e v são solu¸c˜ oes de (III) e (IV ), respectivamente. Portanto (III) e (IV ) admitem solu¸c˜ oes não nulas. Além disso, pelo teorema 5.81 (a) e (d), temos que N(I − λA) possui dimensão finita e dim[N(A − λI)] = dim[N(I − λA ∗ )]. Logo, o n´ umero de solu¸c˜ oes linearmente independentes é finito e o mesmo para ambas as equa¸cões. (ii) Pelo item (b) do teorema 5.81 temos que Im(I −λA) é fechado e Im(I −λA) = N(I−λA ∗ ) ⊥ . Assim, a equa¸c˜ ao (I) admite solu¸c˜ ao ⇔w ∈ Im(I−λA) ⇔w ∈ N(I−λA ∗ ) ⊥ ⇔ w ⊥ N(I −λA ∗ ) ⇔ w é ortogonal a toda solu¸c˜ ao de (IV ). (iii) Lembrando que A ∗ ∈ / c (H) e A ∗∗ = A, conclu´ımos, em virtude do teorema 5.81 (b) que Im(I −λA ∗ ) é fechado e Im(I −λA ∗ ) = N(I −λA ∗∗ ) ⊥ = N(I −λA) ⊥ . Assim, a equa¸c˜ ao (II) admite solu¸c˜ ao ⇔ v ∈ Im(I − λA) ⊥ ⇔ v ⊥ N(I −λA) ⇔ v é ortogonal a toda solu¸cão de (III). 2 Observa¸cão 5.83 No caso de A ser um operador compacto e simétrico e portanto A = A ∗ , o corolário 5.82 é uma conseq¨ uência do teorema 5.76. Com efeito, neste caso o corolário 5.82 fica assim: Seja A ∈ / c (H), simétrico e λ ∈ C tal que λ ,= 0. Então: (i) u − λAu = v possui solu¸cão ´ unica para cada v ∈ H, ou a equa¸cão u − λAu = 0 possui solu¸cão não nula e o n´ umero de solu¸cões linearmente independentes é finito. (ii) A equa¸cão u −λAu = v possui solu¸cão se, e somente se, v é ortogonal a todas as solu¸cões de u −λAu = 0. Demonstra¸cão: Como A é compacto simétrico temos pelo teorema 5.66 que existe ¦λ ν ¦ ν∈N ⊂ 1 tal que tal seq¨ uência contém todos os auto valores de A. (i) Se λ ,= 1 λ ν , para todo ν ∈ N, temos, pelo teorema 5.76 que u − λAu = v possui solu¸c˜ ao ´ unica para cada v ∈ H. Se λ = 1 λν 0 para algum ν 0 , temos que u − 1 λν 0 Au = 0, para u = v ν 0 ,= 0 e o n´ umero de solu¸cões linearmente independentes é finito posto que dimN(I − 1 λν 0 A) é finito. (ii) Se λ = 1 λν 0 , para algum ν 0 , o resultado decorre do teorema 5.76. Se λ ,= 1 λν , OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 269 para todo ν ∈ N, temos que u − λAu = v possui uma ´ unica solu¸cão e u − λAu = 0 não possui solu¸cão diferente da trivial, pois, ¦λ ν ¦ ν∈N coleciona todos os auto-valores não nulos. Assim, decorre trivialmente o resultado. 2 Observa¸cão 5.84 Convém observar que se E e F são espa¸cos de Banach, então a aplica¸cão ψ : /(E, F) →/(F , E ) A →A ∗ , onde ¸v, Au) F ,F = ¸A ∗ v, u) E ,E , para todo u ∈ D(A) e v ∈ D(A ∗ ), é linear. Igualmente, se H é um espa¸co de Hilbert, e portanto um espa¸co de Banach reflexivo, a aplica¸cão φ : /(H, H ) →/(H , H) A →A ∗ , também é linear. No entanto, ao identificarmos H com o seu dual H a aplica¸cão φ : /(H) →/(H) A →A ∗ , passa a ser anti-linear, posto que devido a essa identifica¸cão temos que ¸u , v) H ,H = (u, v) H , para todo u ∈ H e v ∈ H, e o produto interno é anti-linear na segunda compo- nente. Desta forma é necessário tomarmos o cuidado quando identificarmos H com H pois, neste caso, (λA) ∗ = λA ∗ , para todo λ ∈ C. 5.9 Operadores Não Limitados No que segue estaremos considerando H um espa¸co de Hilbert. Defini¸cão 5.85 Diremos que uma aplica¸cão A : H → H é um operador de H se A é linear e A está definido num subespa¸co vetorial D(A) de H. 270 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Defini¸cão 5.86 Sejam A e B dois operadores de H. (i) Diremos que A é igual a B se D(A) = D(B) e Au = Bu, para todo u ∈ D(A). Neste caso escrevemos A = B. (ii) Diremos que A é uma extensão de B à D(A), e escrevemos A ⊇ B, ou que B é uma restri¸cão de A à D(B), e escrevemos B ⊆ A, se D(B) ⊂ D(A) e Au = Bu, para todo u ∈ D(B). Observemos que se A e B são operadores de H, então (A + B) e A ◦ B também são operadores de H cujos dom´ınios são, respectivamente D(A + B) = D(A) ∩ D(B) e D(A ◦ B) = ¦u ∈ D(B); Bu ∈ D(A)¦, que são subespa¸cos vetoriais de H. Proposi¸cão 5.87 Sejam E e F espa¸cos de Banach, D(A) subespa¸co de E e A : D(A) ⊂ E →F um operador linear limitado. Então, existe um ´ unico operador ˜ A : E →F, linear e limitado, extensão de A à D(A), e tal que [[ ˜ A[[ = [[A[[. Demonstra¸cão: Notemos que se u ∈ D(A), ent˜ ao existe ¦u n ¦ n∈N ⊂ D(A) tal que u n → u em E e, portanto, ¦u n ¦ n∈N é de Cauchy em E. Por outro lado, pela linearidade e limita¸c˜ ao de A, temos, [[Au m −Au n [[ F +[[A(u n −u m )[[ F ≤ [[A[[ [[u m −u n [[ E →0, quando n, m →+∞. Assim, pela completude de E, existe um ´ unico v ∈ F tal que Au n → v em F. Com isso em mente, definamos a seguinte aplica¸c˜ ao: ˜ A : D(A) →F u → ˜ Au = v = lim n→+∞ A(u n ), onde lim n→+∞ u n = u. Notemos que • ˜ A está bem definida pois se ¦u n ¦, ¦v n ¦ ⊂ D(A) são tais que u n →u e v n →v em E, então, u n −v n → 0 e, pela linearidade e limita¸c˜ ao de A, A(u n −v n ) = Au n −Av n →0 em F. Logo, lim n→+∞ Au n = lim n→+∞ Av n . OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 271 • ˜ A é linear pois se λ 1 , λ 2 ∈ C (corpo associado ao espa¸co E) e u, v ∈ D(A), ent˜ ao, se u n → u e v n →v em E temos que λ 1 u n + λ 2 v n →λ 1 u +λ 2 v em E, e, portanto, ˜ A(λ 1 u + λ 2 v) = lim n→+∞ A(λ 1 u n + λ 2 v n ) = λ 1 lim n→+∞ Au n + λ 2 lim n→+∞ Av n = λ 1 ˜ Au +λ 2 ˜ Av. • ˜ A ⊆ ˜ A pois D(A) ⊂ D(A) e, além disso, se u ∈ D(A), então u n = u, para todo n ∈ N é tal que u n →u em E. Logo, ˜ Au = lim n→+∞ Au n = lim n→+∞ Au = Au. • ˜ A é limitada. Com efeito, seja u ∈ D(A). Então, existe ¦u n ¦ ⊂ D(A) tal que u n →u em E e, [[Au n [[ ≤ [[A[[ [[u n [[, para todo n ∈ N. (5.162) Mas, Au n → ˜ Aue, portanto, [[Au n [[ →[[ ˜ Au[[. Logo, tomando-se o limite em (5.162) quando n →+∞, obtemos [[ ˜ Au[[ ≤ [[A[[ [[u[[, para todo u ∈ D(A). (5.163) Resta-nos provar que • [[ ˜ A[[ = [[A[[. De fato, de (5.163) temos que [[ ˜ A[[ ≤ [[A[[. Por outro lado, [[ ˜ A[[ = sup u∈D(A),u=0 [[ ˜ Au[[ [[u[[ ≥ sup u∈D(A),u=0 [[ ˜ Au[[ [[u[[ = sup u∈D(A),u=0 [[Au[[ [[u[[ = [[A[[, ou seja, [[ ˜ A[[ ≥ [[A[[, de onde conclu´ımos que [[ ˜ A[[ = [[A[[. Então, ˜ A é um operador nas condi¸c˜ oes desejadas. resta-nos mostrar que é ´ unico. Com efeito, seja A 1 um operador linear de E em F, limitado, extensão de A à D(A) e tal que [[A[[ = [[A 1 [[. Ent˜ ao, A 1 u = Au, para todo u ∈ D(A) e, portanto, A 1 u = ˜ Au, para todo u ∈ D(A). Logo, se u ∈ D(A), existe ¦u n ¦ ⊂ D(A) tal que u n → u em E, e, consequentemente, A 1 u = A 1 ( lim n→+∞ u n ) = lim n→+∞ A 1 u n = lim n→+∞ Au n = ˜ Au, o que prova que A 1 u = ˜ Au, para todo u ∈ D(A). 2 272 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Proposi¸cão 5.88 Sejam H um espa¸co de Hilbert e A : D(A) ⊂ H →H um operador de H limitado. Então A possui uma extensão ˆ A linear e limitada, definida em todo H, tal que [[ ˆ A[[ = [[A[[. Demonstra¸cão: Se D(A) = H, ent˜ ao a conclusão segue da proposi¸c˜ ao 5.87. Se D(A) ,= H, ent˜ ao D(A) ⊥ ,= ¦0¦ e como D(A) é um subespa¸co fechado de H podemos escrever H = D(A) ⊕[D(A)] ⊥ . Sendo assim, cada u ∈ H pode ser escrito de maneira ´ unica como u = v + w, onde v ∈ D(A) e w ∈ [D(A)] ⊥ . Definamos a seguinte aplica¸c˜ ao: ˆ A : H → H u → ˆ Au = ˜ Av, onde ˜ A é a extensão de A à D(A) dada pela proposi¸c˜ ao 5.87 e u = v + w, v ∈ D(A) e w ∈ [D(A)] ⊥ . Provaremos, a seguir, que ˆ A está bem definida. Com efeito, sejam u 1 , u 2 ∈ H com u 1 = u 2 . Então, u 1 = v 1 + w 1 e u 2 = v 2 + w 2 , reprenta¸c˜ oes ´ unicas, e pelo fato que u 1 = u 2 resulta que v 1 = v 2 e, conseq¨ uentemente, ˜ Av 1 = ˜ Av 2 , o que prova que ˆ A está, de fato, bem definida. Provaremos, agora, que ˆ A é linear. Para issso sejam u 1 , u 2 ∈ H e λ 1 , λ 2 ∈ C. Ent˜ ao, conforme viimos anteriormente u 1 = v 1 + w 1 e u 2 = v 2 + w 2 , e, portanto, λ 1 u 1 + λ 2 u 2 = (λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) + (λ 1 w 1 + λ 2 w 2 ). Logo, ˆ A(λ 1 u 1 + λ 2 u 2 ) = ˜ A(λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = λ 1 ˜ Av 1 + λ 2 ˜ Av 2 = λ 1 ˆ Au 1 + λ 2 ˆ Au 2 , o que prova a linearidade de ˆ A. Além disso, notemos que ˆ A é limitado pois se u ∈ H ent˜ ao podemos escrever u = v + w e [[u[[ 2 = (v + w, v + w) = [[v[[ 2 +[[w[[ 2 , ou seja, [[u[[ = _ [[v[[ 2 +[[w[[ 2 _ 1/2 . Logo, [[ ˆ Au[[ = [[ ˜ Av[[ ≤ [[ ˜ A[[ [[v[[ = [[ ˜ A[[ [[[v[[ 2 ] 1/2 ≤ [[ ˜ A[[ _ [[v[[ 2 +[[w[[ 2 _ 1/2 = [[ ˜ A[[ [[u[[, ou seja [[ ˆ Au[[ ≤ [[ ˜ A[[ [[u[[, (5.164) OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 273 o que prova que ˆ A é limitado. Finalmente de (5.164) resulta que [[ ˆ A[[ ≤ [[ ˜ A[[ = [[A[[. Por outro lado, [[ ˆ A[[ = sup u∈H,u=0 [[ ˆ Au[[ [[u[[ ≥ sup u∈D(A),u=0 [[ ˆ Au[[ [[u[[ = sup u∈D(A),u=0 [[Au[[ [[u[[ = [[A[[, ou seja, [[ ˆ A[[ ≥ [[A[[, de onde conclu´ımos que [[ ˆ A[[ = [[A[[, e encerra a prova. 2 Teorema 5.89 (Hellinger-Toeplitz) Se A é um operador de H com D(A) = H e A é simétrico, isto é, (Au, v) = (u, Av), para todo u, v ∈ H, então A é limitado. Demonstra¸cão: Suponhamos, por contradi¸c˜ ao, que A não seja limitado, isto é, para todo C > 0, existe u C ∈ H, u C ,= 0 e tal que [[Au C [[ > C [[u C [[, pois se u C = 0 ent˜ ao Au C = 0 e, portanto, [[Au C [[ = C[[u C [[ = 0. Em particular, se C = n, n ∈ N ∗ , temos que existe u n ∈ H tal que [[A(u n )[[ [[u n [[ > n, para todo n ∈ N ∗ . Definindo-se v n = u n ||un|| , para todo n ∈ N ∗ , ent˜ ao, do exposto acima Existe ¦v n ¦ ⊂ H tal que [[v n [[ = 1 e [[Av n [[ > n, para todo n ∈ N ∗ . (5.165) Definamos, para cada n ∈ N ∗ , o seguinte funcional f n : H →C u →f n (u) = (u, Av n ). Temos, [f n (u)[ = [(u, Av n )[ ≤ [[Av n [[ [[u n [[, para todo u ∈ H, o que implica que, para cada n ∈ N ∗ , f n é um funcional linear e cont´ınuo. Além disso, pela simetria de A, obtemos [f n (u)[ = [(u, Av n )[ = [(Au, v n )[ ≤ [[Au[[ [[v n [[ = [[Au[[, para todo u ∈ H, 274 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL ou seja, a seq¨ uência ¦f n ¦ é pontualmente limitada. Assim, pelo Teorema de Banach- Steinhaus (Teorema 2.11) existe C > 0 tal que [[f n [[ H ≤ C, para todo n ∈ N ∗ . Então, [[Av n [[ 2 = (Av n , Av n ) = f n (Av n ) ≤ [[f n [[ [[Av n [[ ≤ C [[Av n [[, para todo n ∈ N ∗ , ou seja, [[Av n [[ ≤ C, para todo n ∈ N ∗ tal que Av n ,= 0. Mas, se Av n = 0 ent˜ ao [[Av n [[ = 0 < C, e, desta forma [[Av n [[ ≤ C, para todo n ∈ N ∗ . (5.166) De (5.165) e (5.166) resulta que n < [[Av n [[ ≤ C, para todo n ∈ N ∗ , isto é, n < C, para todo n ∈ N ∗ , o que é uma contradi¸c˜ ao. Isto encerra a prova. 2 Como estamos interessados nos operadores auto-adjuntos (simétricos) e não limitados, que é o caso dos operadores diferenciais, como conseq¨ uência do teorema 5.89 nos vemos obrigados a trabalhar com operadores que estão definidos num subespa¸co próprio de H. Motivados pelo caso limitado onde o adjunto satisfaz a rela¸cão (Au, v) = (u, A ∗ v), para todo u, v ∈ H, definiremos o adjunto de um operador não necessariamente limitado, definido em um subespa¸co próprio de H. Seja A um operador de H com dom´ınio D(A) denso em H. Denotaremos por D(A ∗ ) o seguinte conjunto D(A ∗ ) = ¦v ∈ H; existe v ∗ ∈ H tal que (Au, v) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(A)¦.(5.167) Do fato de D(A) ser denso em H conclu´ımos que para cada v ∈ D(A ∗ ), existe um ´ unico v ∗ ∈ H tal que (Au, v) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(A). Com efeito, suponhamos que existe v ∈ D(A ∗ ) para o qual existam v ∗ 1 e v ∗ 2 pertencentes a H tais que (Au, v) = (u, v ∗ 1 ) e (Au, v) = (u, v ∗ 2 ), para todo u ∈ D(A). OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 275 Assim, (u, v ∗ 1 ) = (u, v ∗ 2 ), para todo u ∈ D(A), ou seja, (u, v ∗ 1 − v ∗ 2 ) = 0, para todo u ∈ D(A). Pela densidade de D(A) em H vem que se u ∈ H, existe ¦u n ¦ ⊂ D(A) tal que u n → u quando n → +∞. Como (u n , v ∗ 1 − v ∗ 2 ) = 0, para todo n ∈ N, segue que, na situa¸c˜ ao limite obtemos (u, v ∗ 1 − v ∗ 2 ) = 0, para todo u ∈ H. Em particular, tomando u = v ∗ 1 − v ∗ 2 resulta que [[v ∗ 1 − v ∗ 2 [[ = 0 e, portanto, v ∗ 1 = v ∗ 2 . Sendo assim, para cada v ∈ D(A ∗ ) associamos um ´ unico v ∗ ∈ H satisfazendo (Au, v) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(A). Além disso, D(A ∗ ) ,= ∅ posto que 0 ∈ D(A ∗ ) pois (Au, 0) = 0(u, 0), para todo u ∈ D(A). Mais além, D(A ∗ ) é um subespa¸co vetorial de H. Com efeito, sejam v 1 , v 2 ∈ D(A ∗ ) e λ 1 , λ 2 ∈ C. Ent˜ ao, existem v ∗ 1 , v ∗ 2 ∈ H tais que (Au, v 1 ) = (u, v ∗ 1 ) e (Au, v 2 ) = (u, v ∗ 2 ), para todo u ∈ D(A). Logo, (Au, λ 1 v 1 +λ 2 v 2 ) = λ 1 (Au, v 1 ) + λ 2 (Au, v 2 ) = λ 1 (u, v ∗ 1 ) + λ 2 (u, v ∗ 2 ) = (u, λ 1 v ∗ 1 + λ 2 v ∗ 2 ), para todo u ∈ D(A). Desta forma, para (λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) ∈ H, existe (λ 1 v ∗ 1 + λ 2 v ∗ 2 ) ∈ H tal que (Au, λ 1 v 1 +λ 2 v 2 ) = (u, λ 1 v ∗ 1 + λ 2 v ∗ 2 ), para todo u ∈ D(A), (5.168) o que implica que (λ 1 v 1 +λ 2 v 2 ) ∈ D(A ∗ ), para todo v 1 , v 2 ∈ D(A ∗ ) e para todo λ 1 , λ 2 ∈ C. Do exposto, fica bem definida a seguinte aplica¸c˜ ao: A ∗ : D(A ∗ ) ⊂ H →H (5.169) v →A ∗ v = v ∗ , onde (Au, v) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(A), que é linear pois, de (5.168) resulta que A ∗ (λ 1 v 1 +λ 2 v 2 ) = λ 1 v ∗ 1 + λ 2 v ∗ 2 , para todo v 1 , v 2 ∈ D(A ∗ ) e λ 1 , λ 2 ∈ C, e pelo fato de A ∗ v 1 = v 1 e A ∗ v 2 = v 2 segue que A ∗ (λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = λ 1 A ∗ v 1 + λ 2 A ∗ v 2 , para todo v 1 , v 2 ∈ D(A ∗ ) e λ 1 , λ 2 ∈ C. O operador A ∗ : D(A ∗ ) ⊂ H →H definido em (5.169) é denominado operador adjunto de A. Note que se A ∗ é adjunto de A, ent˜ ao: (Au, v) = (u, A ∗ v), para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ D(A ∗ ). (5.170) 276 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Proposi¸cão 5.90 Sejam A e B operadores de H densamente definidos e A ∗ e B ∗ os adjuntos de A e B, respectivamente. Então, as seguintes propriedades são verificadas, supondo-se que D(A + B) e D(AB) são densos em H. (i) (λA) ∗ = λA ∗ , para todo λ ∈ C. (ii) A ∗ + B ∗ ⊆ (A +B) ∗ . (iii) B ∗ A ∗ ⊆ (AB) ∗ . (iv) Se A ⊆ B então B ∗ ⊆ A ∗ . Demonstra¸cão: (i) Sejam λ ∈ C ∗ , u ∈ D(A) e v ∈ D(A ∗ ). Então, ((λA)u, v) = (λAu, v) = λ(Au, v) = λ(u, A ∗ v) = (u, λA ∗ v) = (u, (λA ∗ v)), para todo u ∈ D(A) e v ∈ D(A ∗ ). Por outro lado, ((λA)u, v) = (u, (λA ∗ )v), para todo u ∈ D(A) e v ∈ D((λA) ∗ ). Mas, D((λA) ∗ ) = ¦v ∈ H; existe v ∗ ∈ H tal que (λAu, v) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(A)¦ = ¦v ∈ H; existe v ∗ ∈ H tal que (Au, λv) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(A)¦ = ¦ z λ ∈ H; existe z ∗ ∈ H tal que (Au, z) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(A)¦ = 1 λ D(A ∗ ) = D(A ∗ ). Desta forma, D((λA) ∗ ) = D(A ∗ ) e, portanto, ((λAu), v) = (u, (λA ∗ )v), para todo u ∈ D(A), v ∈ D(A ∗ ), ((λAu), v) = (u, (λA) ∗ v), para todo u ∈ D(A), v ∈ D(A ∗ ), Sendo assim, _ u, [(λA ∗ ) −(λA) ∗ ]v _ = 0, para todo u ∈ D(A), v ∈ D(A ∗ ). Pela densidade de D(A) em H conclu´ımos que λA ∗ v = (λA) ∗ v, para todo v ∈ D(A ∗ ), OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 277 ou seja, λA ∗ = (λA) ∗ , para todo λ ,= 0. Se λ = 0 temos que λA = 0 e, portanto, (λA) ∗ = 0. Também λA ∗ = 0 e da´ı, trivialmente, temos que λA ∗ = (λA) ∗ . (ii) D(A ∗ + B ∗ ) = D(A ∗ ) ∩ D(B ∗ ) = ¦v ∈ H; existem v ∗ 1 , v ∗ 2 ∈ H tais que (Au, v) = (u, v ∗ 1 ), para todo u ∈ D(A) e (Bu , v) = (u , v ∗ 2 ), para todo u ∈ D(B)¦. Seja, ent˜ ao, v ∈ D(A ∗ + B ∗ ). Logo, existem v ∗ 1 , v ∗ 2 ∈ H tais que (Au, v) = (u, v ∗ 1 ), para todo u ∈ D(A), e (Bu, v)(u, v ∗ 2 ), para todo u ∈ D(B). Em particular, se u ∈ D(A) ∩ D(B), temos que (Au, v) = (u, v ∗ 1 ) e (Bu, v) = (u, v ∗ 2 ). Consequentemente, ((A + B)u, v) = (Au, v) + (Bu, v) = (u, v ∗ 1 ) + (u, v ∗ 2 ) = (u, v ∗ 1 + v ∗ 2 ), para todo u ∈ D(A) ∩ D(B), o que implica que v ∈ D((A+B) ∗ ). Resulta da´ı se v ∈ D(A ∗ +B ∗ ) então v ∈ D((A+B) ∗ ), ou seja, D(A ∗ +B ∗ ) ⊂ D((A + B) ∗ ). Além disso, se v ∈ D((A +B) ∗ ), ((A + B)u, v) = (u, v ∗ 1 + v ∗ 2 ) = (u, A ∗ v + B ∗ v) (5.171) = (u, (A ∗ +B ∗ )v), para todo u ∈ D(A + B). Por outro lado, ((A + B)u, v) = (u, (A + B) ∗ v), para todo u ∈ D(A + B). (5.172) Como existe (A + B) ∗ , temos que D(A + B) é denso em H e, portanto, de (5.171) e (5.172) conclu´ımos que (A + B) ∗ v = (A ∗ + B ∗ )v, para todo v ∈ D(A ∗ + B ∗ ). Assim, D(A ∗ +B ∗ ) ⊂ D((A + B) ∗ ) e (A + B) ∗ v = (A ∗ + B ∗ )v, para todo v ∈ D(A ∗ + B ∗ ), 278 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL de onde conclu´ımos que A ∗ + B ∗ ⊆ (A + B) ∗ . (iii) Temos que D(B ∗ A ∗ ) = ¦v ∈ D(A ∗ ); A ∗ v ∈ D(B ∗ )¦ = ¦v ∈ H; existem v ∗ A , v ∗ B ∈ H tais que (Au, v) = (u, v ∗ A ), para todo u ∈ D(A) e (Bu, A ∗ v) = (u, v ∗ B ), para todo u ∈ D(B)¦. Afirmamos que D(B ∗ A ∗ ) ⊂ D((AB) ∗ ). Com efeito, seja v ∈ D(B ∗ A ∗ ). Então, existem v ∗ A , v ∗ B ∈ H tais que (Au, v) = (u, v ∗ A ) para todo u ∈ D(A) e (Bu, A ∗ v) = (u, v ∗ B ), para todo u ∈ D(B). Em particular, se u ∈ D(B) é tal que Bu ∈ D(A), temos que (A(Bu)), v) = (Bu, v ∗ A ) = (Bu, A ∗ v) = (u, v ∗ B ) = (u, B ∗ (A ∗ v)), ou seja, ((AB)u, v) = (u, (B ∗ A ∗ )v), para todo u ∈ D(B) tal que Bu ∈ D(A). (5.173) Logo, se v ∈ D(B ∗ A ∗ ) então v ∈ D((AB) ∗ ). Além disso, se v ∈ D(B ∗ A ∗ ), temos de (5.173) que ((AB)u, v) = (u, (B ∗ A ∗ )v), para todo u ∈ D(AB). (5.174) Por outro lado, ((AB)u, v) = (u, (AB) ∗ v), para todo u ∈ D(AB). (5.175) Portanto, de (5.174) e (5.175) e do fato que D(AB) é denso em H, pois existe (AB) ∗ , vem que (AB) ∗ v = (B ∗ A ∗ )v, para todo v ∈ D(B ∗ A ∗ ). Logo, D(B ∗ A ∗ ) ⊂ D((AB) ∗ ) e (AB) ∗ v = (B ∗ A ∗ )v, para todo v ∈ D(B ∗ A ∗ ), o que prova que B ∗ A ∗ ⊆ (AB) ∗ . OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 279 (iv) Suponhamos que A ⊆ B, ou seja, D(A) ⊂ D(B) e Bu = Au, para todo u ∈ D(A). Ent˜ ao, D(A ∗ ) = ¦v ∈ H; existe v ∗ ∈ H tal que(Au, v) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(A)¦, D(B ∗ ) = ¦v ∈ H; existe v ∗ ∈ H tal que (Bu, v) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(B)¦. Seja v ∈ D(B ∗ ). Ent˜ ao, existe v ∗ ∈ H tal que (Bu, v) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(B) e, portanto, em particular, (Bu, v) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(A). Como Bu = Au, para todo u ∈ D(A) temos que (Au, v) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(A), isto é, v ∈ D(A ∗ ). Além disso, se v ∈ D(B ∗ ), (Bu, v) = (u, v ∗ ) = (u, B ∗ v), para todo u ∈ D(B), e, portanto, (Au, v) = (u, B ∗ v), para todo u ∈ D(A). (5.176) Por outro lado, (Au, v) = (u, A ∗ v), para todo u ∈ D(A). (5.177) De (5.176) e (5.177) e do fato que D(A) é denso em H conclu´ımos que A ∗ v = B ∗ v, para todo v ∈ D(B ∗ ). Logo, D(B ∗ ) ⊂ D(A ∗ ) e A ∗ v = B ∗ v, para todo v ∈ D(B ∗ ), o que implica que B ∗ ⊆ A ∗ . 2 Defini¸cão 5.91 Dizemos que um operador A de H é fechado se ¦u ν ¦ ν∈N ⊂ D(A) verifica, para algum u, v ∈ H, as condi¸cões u ν →u e Au ν → v em H, então u ∈ D(A) e Au = v. Proposi¸cão 5.92 Seja A um operador de H densamente definido. Então, A ∗ é um operador fechado. 280 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Demonstra¸cão: Sejam ¦v ν ¦ ⊂ D(A ∗ ) e v, w ∈ H tais que v ν →v e A ∗ v ν →w em H. Provaremos que v ∈ D(A ∗ ) e A ∗ v = w. Com efeito, como ¦v ν ¦ ⊂ D(A ∗ ) temos que, para cada ν ∈ N, (Au, v ν ) = (u, A ∗ v ν ), para todo u ∈ D(A). (5.178) Por outro lado, como v ν →v e A ∗ v ν →w em H, conclu´ımos que (Au, v ν ) →(Au, v) e (u, A ∗ v ν ) → (u, w) em C. (5.179) De (5.178) e (5.179) resulta que (Au, v) = (u, w), para todo u ∈ D(A) e A ∗ v = w, o que encerra a prova. 2 Denotaremos por H 2 ao produto cartesiano de H por H e por [u, v] os elemtos de H 2 , ou seja, H 2 = H H = ¦[u, v]; u, v ∈ H¦. Muniremos H 2 do produto interno ([u 1 , v 1 ], [u 2 , v 2 ]) H 2 = (u 1 , u 2 ) H + (v 1 , v 2 ) H ; para todo [u 1 , v 1 ], [u 2 , v 2 ] ∈ H. H 2 munido do produto interno acima é um espa¸co de Hilbert. Com efeito, seja ¦w n ¦ n∈N ⊂ H 2 uma seq¨ uência de Cauchy. Então, w n = [u n , v n ] e, além disso, [[w n −w m [[ 2 H 2 = ([u n −u m ], [v n −v m ]) H 2 = [[u n −u m [[ 2 H +[[v n −v m [[ 2 H . Como [[w n − w m [[ 2 H 2 → 0 quando n, m → +∞, temos que [[u n − u m [[ H → 0 e [[v n − v m [[ H → 0 quando n, m → +∞. Logo, ¦u n ¦ n∈N e ¦v n ¦ n∈N são seq¨ uências de Cauchy em H e, portanto, existem u, v ∈ H tais que u n → u e v n → v quando n → +∞. Pondo-se w = [u, v] conclu´ımos que w n →w em H 2 uma vez que [[w n −w[[ 2 H 2 = [[[u n , v n ] −[u, v][[ 2 H 2 = [[[u n −u, v n −v][[ 2 H 2 = [[u n −u[[ 2 H +[[v n −v[[ 2 H →0, quando n → +∞. OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 281 Proposi¸cão 5.93 G(A) = ¦[u, Au]; u ∈ D(A)¦ é fechado em H 2 se, e somente se, A é um operador fechado. Demonstra¸cão: Suponhamos, inicialmente, que G(A) é fechado em H 2 e seja ¦u n ¦ ⊂ D(A) tal que u n →u e Au n → v em H. Então, ([u n , Au n ]) n∈N ⊂ G(A) e [u n , Au n ] →[u, v] em H 2 . Pelo fato de G(A) ser fechado conclu´ımos que [u, v] ∈ G(A), ou seja, u ∈ D(A) e Au = v. Reciprocamente, suponhamos que Aseja um operador fechado e consideremos ¦w n ¦ n∈N ⊂ G(A) tal que w n →w em H 2 . Logo, w n = [u n , Au n ], onde u n ∈ D(A), para todo n ∈ N e w = [u, v] com u n →u e Au n →v em H. Pelo fato e A ser fechado, u ∈ D(A) e v = Au. Assim, [u, v] = w ∈ G(A). 2 Defini¸cão 5.94 Seja A um operador injetivo de H tal que D(A) seja denso em H. Dize- mos que A é unitário se A ∗ = A −1 , onde A −1 : Im(A) ⊂ H →H. Proposi¸cão 5.95 Seja A um operador unitário de um espa¸co de Hilbert H. Então A é uma isometria, e portanto, limitado. Demonstra¸cão: Seja u ∈ D(A). Tendo em mente que Im(A) = D(A −1 ) = D(A ∗ ) (pois A é unitário), resulta que [[Au[[ 2 = (Au, Au) = (u, A ∗ (Au)) = (u, A −1 (Au)) = (u, u) = [[u[[ 2 , para todo u ∈ D(A), o que conclui o desejado. 2 Consideremos os operadores: U : H 2 →H 2 [u, v] →[v, u] e V : H 2 →H 2 [u, v] →[v, −u] (5.180) Proposi¸cão 5.96 Considere os operadores definidos em (5.180). Então: (i) U e V são operadores unitários de H 2 . (ii) UV = −V U. (iii) U 2 = I e V 2 = −I, onde I é o operador identidade de H 2 . 282 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Demonstra¸cão: (i) Observemos que tanto U quanto V são bijetivos e, além disso, U −1 [u, v] = [v, u] e V −1 [u, v] = [−v, u], para todo [u, v] ∈ H 2 . Por outro lado, sejam [u 1 , v 1 ], [u 2 , v 2 ] ∈ H 2 . Ent˜ ao, (U[u 1 , v 1 ], [u 2 , v 2 ]) = ([v 1 , u 1 ], [u 2 , v 2 ]) = (v 1 , u 2 ) + (u 1 , v 2 ) = (u 1 , v 2 ) + (v 1 , u 2 ) = ([u 1 , v 1 ], [v 2 , u 2 ]) = _ [u 1 , v 1 ], U −1 [u 2 , v 2 ] _ , ou seja, (U[u 1 , v 1 ], [u 2 , v 2 ]) = _ [u 1 , v 1 ], U −1 [u 2 , v 2 ] _ , para todo [u 1 , v 1 ], [u 2 , v 2 ] ∈ H 2 , o que implica que D(U ∗ ) = H 2 = D(U −1 ) e U ∗ [u, v] = U −1 [u, v], para todo [u, v] ∈ H 2 . Analogamente, sejam [u 1 , v 1 ], [u 2 , v 2 ] ∈ H 2 . Temos, (V [u 1 , v 1 ], [u 2 , v 2 ]) = ([v 1 , −u 1 ], [u 2 , v 2 ]) = (v 1 , u 2 ) + (−u 1 , v 2 ) = (v 1 , u 2 ) + (u 1 , −v 2 ) = (u 1 , −v 2 ) + (v 1 , u 2 ) = ([u 1 , v 1 ], [−v 2 , u 2 ]) = _ [u 1 , v 1 ], V −1 [u 2 , v 2 ] _ , isto é, (V [u 1 , v 1 ], [u 2 , v 2 ]) = _ [u 1 , v 1 ], V −1 [u 2 , v 2 ] _ , para todo [u 1 , v 1 ], [u 2 , v 2 ] ∈ H 2 , de onde deduzimos que D(V ∗ ) = H 2 = D(V −1 ) e V ∗ [u, v] = V −1 [u, v], para todo [u, v] ∈ H 2 . Portanto, U ∗ = U 1 e V ∗ = V −1 , o que prova o desejado. (ii) Seja [u, v] ∈ H 2 . Temos (UV )[u, v] = U(V ([u, v])) = U[v, −u] = [−u, v], (−V U)[u, v] = −V (U[u, v]) = −V [v, u] = −[u, −v] = [−u, v], de onde segue que UV = −V U. OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 283 (iii) Temos, U 2 [u, v] = U(U[u, v]) = U[v, u] = [u, v], para todo [u, v] ∈ H 2 , V 2 [u, v] = V (V [u, v]) = V [v, −u] = [−u, −v] = −[u, v], para todo [u, v] ∈ H 2 , e, conseq¨ uentemente, U 2 = I e V 2 = −I. 2 Proposi¸cão 5.97 Sejam A um operador de H tal que D(A) = H. Então, [V (G(A))] ⊥ = G(A ∗ ), onde V : H 2 →H 2 é o operador definido em (5.180). Demonstra¸cão: Como A é um operador de H tal que D(A) é denso em H fica bem definido o operador adjunto, carcterizado pela rela¸cão de adjun¸cão (Au, v) = (u, A ∗ v), para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ D(A ∗ ). Portanto, (Au, v) + (−u, A ∗ v) = 0, para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ D(A ∗ ), ou seja, ([Au, −u], [v, A ∗ v]) = 0 para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ D(A ∗ ), ou ainda, de (5.180), (V [u, Au], [v, A ∗ v]) = 0, para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ D(A ∗ ). (5.181) De (5.181) conclu´ımos que V (G(A)) ⊥ G(A ∗ ), isto é, G(A ∗ ) ⊂ [V (G(A))] ⊥ . (5.182) Por outro lado, se w ∈ [V (G(A))] ⊥ = ¦[v 1 , v 2 ] ∈ H 2 ; ([v 1 , v 2 ], [Au, −u]) = 0, para todo u ∈ D(A)¦, temos que w = [w 1 , w 2 ] e ([w 1 , w 2 ], [Au, −u]) = 0, para todo u ∈ D(A), 284 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL ou seja, ([Au, −u], [w 1 , w 2 ]) = 0, para todo u ∈ D(A). Da´ı vem que ([Au, −u], [w 1 , w 2 ]) = 0 para todo u ∈ D(A). Pela defini¸c˜ ao de A ∗ temos que w 1 ∈ D(A ∗ ) e, além disso, w 2 = A ∗ w 1 , isto é, w = [w 1 , w 2 ] ∈ G(A ∗ ). Assim, [V (G(A))] ⊥ ⊂ G(A ∗ ). (5.183) De (5.182) e (5.183) fica provado o desejado. 2 Observa¸cão 5.98 Se M é um subconjunto de H temos que M ⊥ = [M] ⊥ . Com efeito, seja u ∈ [M] ⊥ . Então, (u, v) = 0 para todo v ∈ M e, portanto, (u, v) = 0, para todo v ∈ M. Logo, u ∈ M ⊥ . Reciprocamente, se u ∈ M ⊥ , então (u, v) = 0 para todo v ∈ M. Seja w ∈ M. Logo, existe ¦v ν ¦ ν∈N ⊂ M tal que v ν → w e (u, v ν ) = 0, para todo ν ∈ N. Desta forma, (u, w) = 0. Como w foi tomado arbitrariamente em M, conclu´ımos que u ∈ [M] ⊥ . Observa¸cão 5.99 Seja T uma isometria linear de H em H. Então, se M ⊂ H 2 , então T(M) = T(M). De fato, seja [u, v] ∈ T(M). Então, existe [u ν , v ν ] ⊂ M tal que T[u ν , v ν ] → [u, v]. Mas, pelo fato de T ser uma isometria linear temos que [[T[u ν , v ν ] −T[u µ , v µ ][[ = [[T ([u ν , v ν ] −[u µ , v µ ])[[ = [[[u ν , v ν ] −[u µ , v µ ][[ , para todo ν, µ ∈ N. Como ¦T[u ν , v ν ]¦ ν∈N é uma seq¨ uência de cauchy, temos também que ¦[u ν , v ν ]¦ ν∈N também o é e, portanto, existe [˜ u, ˜ v] ∈ H 2 tal que [u ν , v ν ] → [˜ u, ˜ v]. Pela continuidade de T resulta que T[u ν , v ν ] → T[˜ u, ˜ v] e, pela unicidade do limite conclu´ımos que T[˜ u, ˜ v] = [u, v], onde [˜ u, ˜ v] ∈ M posto que é limite de uma seq¨ uência de elementos de M. Logo, [u, v] ∈ T(M) e, portanto, T(M) ⊂ T(M). Reciprocamente, seja [u, v] ∈ T(M). Assim, [u, v] = T[˜ u, ˜ v], onde [˜ u, ˜ v] ∈ M, ou seja, existe ¦[u ν , v ν ]¦ ν∈N ⊂ M tal que [u ν , v ν ] →[˜ u, ˜ v], e, portanto, T[u ν , v ν ] →T[˜ u, ˜ v] = [u, v]. Como ¦T[u ν , v ν ]¦ ν∈N ⊂ T(M) resulta que [u, v] ∈ T(M) e, por conseguinte, T(M) ⊂ T(M). OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 285 Pela proposi¸c˜ ao 5.97 e pelas observa¸cões (5.98)e (5.99) conclu´ımos que _ V (G(A)) _ ⊥ = _ V (G(A)) _ = G(A ∗ ). (5.184) Como G(A) é um subespa¸co de H 2 e V é um operador linear de H 2 temos que V (G(A)) é um subespa¸co de H 2 e, portanto, V (G(A)) é um subespa¸co fechado de H 2 . Assim, podemos escrever H 2 = V (G(A)) ⊕ _ V (G(A)) _ ⊥ , ou ainda, da observa¸ cão 5.99 e de (5.184) chegamos a seguinte identidade: H 2 = V (G(A)) ⊕G(A ∗ ). (5.185) Observa¸cão 5.100 Seja H um espa¸co de Hilbert e M e N subespa¸cos fechados de H tais que H = M ⊕N. Se definirmos H ¸M = ¦P N u; u ∈ H¦, (5.186) então, N = H ¸M. Com efeito, seja w ∈ N. Então, P N w = w e, portanto, w ∈ H ¸M. Reciprocamente, seja v ∈ H ¸M. Logo, existe u ∈ H tal que v = P N u ∈ N. Observa¸cão 5.101 Seja H um espa¸co de Hilbert e M e N subespa¸cos fechados de H tais que H = M ⊕N. Se T é um isomorfismo de H em H, então H = T(M) ⊕T(N). De fato, seja w ∈ T(M) + T(N). Como T(M) ⊂ H e T(N) ⊂ H temos que T(M) + T(N) ⊂ H + H = H. Portanto, w ∈ H, ou seja, T(M) + T(N) ⊂ H. Por outro lado, seja w ∈ H. Pela sobrejetividade de T temos que existe u ∈ H tal que w = Tu. Como H = M ⊕ N, temos que u = v M + v N , para v M ∈ M e v N ∈ N. Logo, w = Tu = T(v N + v M ) = T(v M ) + T(v N ) ⊂ T(M) + T(N). Então, H ⊂ T(M) + T(N). Assim, H = T(M) + T(N). Além disso, T(M) ∩ T(N) = ¦0¦ pois como T(N) e T(M) são subespa¸cos temos que 0 ∈ T(M) ∩ T(N). Mais ainda, se u ∈ T(M) ∩ T(N), então u = T(v M ) e u = T(v N ), para algum v M ∈ M e v N ∈ N, ou seja, T(v M ) = T(v N ) = u. Pela injetividade de T temos que v M = v N . Porém, como M ∩ N = ¦0¦ resulta que v N = v M = 0 e da´ı, u = 0. Logo H = T(M) ⊕T(N). 286 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Observa¸cão 5.102 Pelas observa¸cões 5.98 e (5.99) temos que se M e N são subespa¸cos fechados de H, H = M⊕M e V é um isomorfismo de H em H, então T(M) = H¸T(N). Proposi¸cão 5.103 Seja A um operador injetivo de H tal que D(A) e Im(A) são densos em H. Então, existe (A ∗ ) −1 e (A ∗ ) −1 = (A −1 ) ∗ . Demonstra¸cão: Como A : D(A) ⊂ H → H e A −1 : Im(A) ⊂ H → H são densamente definidos, ent˜ ao existem A ∗ e (A −1 ) ∗ . Provaremos que existe (A ∗ ) −1 e, além disso, que (A ∗ ) −1 = (A −1 ) ∗ . Com efeito, sejam v 1 , v 2 ∈ D(A ∗ ) tais que A ∗ v 1 = A ∗ v 2 . Logo, pela defini¸c˜ ao de A ∗ temos que (Au, v 1 ) = (u, A ∗ v 1 ) e (Au, v 2 ) = (u, A ∗ v 2 ), para todo u ∈ D(A), o que implica que (Au, v 1 ) = (Au, v 2 ), para todo u ∈ D(A), ou seja, (Au, v 1 −v 2 ) = 0, para todo u ∈ D(A). Como Im(A) é denso em H, temos que v 1 = v 2 , o que prova a injetividade de A ∗ . Logo, existe (A ∗ ) −1 : Im(A) ⊂ H → H. Além disso de (5.185) resulta que H 2 = V _ G(A −1 ) _ ⊕G _ (A −1 ) ∗ _ . (5.187) Provaremos que G(A −1 ) = U(G(A)), (5.188) onde U está definido em (5.180). De fato, seja [u, v] ∈ G(A −1 ). Ent˜ ao, u ∈ Im(A) e v = A −1 u ∈ D(A), isto é, [u, v] = [Av, v], com v ∈ D(A), ou ainda, [u, v] = U[v, Av] com v ∈ D(A). Logo, [u, v] ∈ U(G(A)). Por outro lado, seja [u, v] ∈ U(G(A)). Ent˜ ao, [u, v] = [Aw, w], para algum w ∈ D(A). Pondo-se z = Aw resulta que z ∈ Im(A) e w = A −1 z. Assim, [u, v] = [z, A −1 z], z ∈ Im(A), e, portanto, [u, v] ∈ G(A −1 ), o que prova (5.188). Resulta da´ı que V _ G(A −1 ) _ = V _ UG(A) _ . Pela observa¸c˜ ao 5.99 vem que UG(A) = U(G(A)), OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 287 e, portanto, V _ G(A −1 ) _ = V (U(G(A))) = V U(G(A)), e de (5.187) conclu´ımos que H 2 = UV (G(A)) ⊕G((A −1 ) ∗ ). Da observa¸cão 5.100 resulta que G _ (A −1 ) ∗ _ = H 2 ¸UV (G(A)). (5.189) Mas por (5.185), temos H 2 = V (G(A)) ⊕G(A ∗ ). Como U é um isomorfismo isométrico de H 2 em H 2 temos, em virtude da observa¸c˜ ao 5.102 que U(G(A ∗ )) = H 2 ¸UV (G(A)). (5.190) De (5.189) e (5.190) obtemos G((A −1 ) ∗ ) = UG(A ∗ ). Mas, G((A −1 ) ∗ ) = ¦[A ∗ u, u]; para todo u ∈ D(A ∗ )¦ = G((A ∗ ) −1 ), o que nos leva a G((A −1 ) ∗ ) = G((A ∗ ) −1 ), ou seja, D((A −1 ) ∗ ) = D((A ∗ ) −1 ) e (A −1 ) ∗ u = (A ∗ ) −1 u, para todo u ∈ D((A −1 ) ∗ ), ou seja, (A ∗ ) −1 = (A −1 ) ∗ , o que encerra a prova. 2 Proposi¸cão 5.104 Seja A um operador fechado de H com dom´ınio D(A) denso em H. Então, D(A ∗ ) é denso em H, portanto existe (A ∗ ) ∗ = A ∗∗ , e A ∗∗ = A. 288 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Demonstra¸cão: Suponhamos, por contradi¸c˜ ao, que D(A ∗ ) não seja denso em H. Então D(A ∗ ) ,= H e como H = D(A ∗ ) ⊕[D(A ∗ )] ⊥ , resulta da´ı e da observa¸c˜ ao 5.98 que [D(A ∗ )] ⊥ ,= ¦0¦. Logo, existe v ,= 0 tal que v ∈ [D(A ∗ )] ⊥ . Afirmamos que [0, v] ∈ [V (G(A ∗ ))] ⊥ (5.191) Com efeito, seja [u, v] ∈ V (G(A ∗ )). Então, [u, v] = [A ∗ z, −z], para algum z ∈ D(A ∗ ). Logo, ([0, v], [u, w]) = ([0, v], [A ∗ z, −z]) = −(v, z) = 0, pois z ∈ D(A ∗ ) e v ∈ [D(A ∗ )] ⊥ . Desta forma, [0, v] ⊥ [u, w] para todo [u, w] ∈ V (G(A ∗ )) o que prova (5.191). Por (5.185) temos que H 2 = V (G(A)) ⊕G(A ∗ ). Mas, como A é fechado temos que G(A) = G(A), e, portanto H 2 = V (G(A)) ⊕G(A ∗ ). Além disso, como V é um isomorfismo isométrico de H 2 em H 2 resulta, pela observa¸ cão 5.101, que H 2 = V 2 (G(A)) ⊕V (G(A ∗ )). Como V 2 = −I e G(A) é um subespa¸co de H 2 segue que H 2 = G(A) ⊕V (G(A ∗ )). (5.192) Logo, pelo fato de [0, v] ∈ H 2 e [0, v] / ∈ [V (G(A ∗ ))] posto que [0, v] ∈ [V (G(A ∗ ))] ⊥ , resulta de (5.192) que [0, v] ∈ G(A), ou seja, 0 ∈ D(A) e A0 = v. Contudo, como A é linear temos que A0 = 0 e, portanto, v = 0, o que é um absurdo. Tal absurdo veio de fato de supormos que D(A ∗ ) não é denso em H. Conseq¨ uentemente, D(A ∗ ). Sendo assim, existe (A ∗ ) ∗ e denotaremos tal operador por A ∗∗ . De ((5.185)) resulta que H 2 = V (G(A ∗ )) ⊕G(A ∗∗ ). OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 289 Contudo, como A é um operador fechado, ent˜ ao G(A ∗ ) = G(A ∗ ) e, assim, H 2 = V (G(A ∗ )) ⊕G(A ∗∗ ). (5.193) De (5.192), (5.193) e da observa¸cão 5.100 conclu´ımos que G(A) = G(A ∗∗ ), ou seja, D(A) = D(A ∗∗ ) e A ∗∗ u = Au, para todo u ∈ D(A), o que implica que A ∗∗ = A. Isto conclui a prova. 2 Proposi¸cão 5.105 Seja A um operador limitado de H com dom´ınio D(A) denso em H. Então, A ∗ é limitado e D(A ∗ ) = H. Demonstra¸cão: Seja A um operador limitado de H tal que D(A) = H. Ent˜ ao, pela proposi¸c˜ ao 5.87 existe um ´ unico ˜ A, operador limitado de H tal que D( ˜ A) = H e A ⊆ ˜ A. Pela teoria desenvolvida na se¸cão 5.6 para operadores limitados temos que ( ˜ A) ∗ é um operador limitado de H e D(( ˜ A) ∗ ) = H. Além disso, da defini¸c˜ ao de operador adjunto vem que ( ˜ Au, v) = (u, ( ˜ A) ∗ v), para todo u, v ∈ H. Em particular, temos que (Au, v) = (u, ( ˜ A) ∗ v), para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ H. Assim, D(A ∗ ) = H e (u, A ∗ v) = (u, ( ˜ A) ∗ v), para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ H. Pela densidade de D(A) em H vem que A ∗ v = ( ˜ A) ∗ v, para todo v ∈ H, ou seja, A ∗ = ( ˜ A) ∗ . Como ( ˜ A) ∗ é limitado segue que A ∗ também o é. 2 Mostraremos na proposi¸c˜ ao, a seguir, algumas propriedades equivalentes quando o operador A é fechado. Proposi¸cão 5.106 Seja A um operador fechado de H cujo dom´ınio D(A) é denso em H. Então, as seguintes propriedades são equivalentes: i) D(A) = H. ii) A é limitado. iii) D(A ∗ ) = H. iv) A ∗ é limitado. 290 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Nestas condi¸cões se verifica [[A[[ L(H) = [[A ∗ [[ L(H) Demonstra¸cão: i) ⇒ ii). A implica¸c˜ ao é verdadeira pelo teorema do Gráfico fechado. ii) ⇒ iii). A implica¸cão é verdadeira pela proposi¸c˜ ao 5.105. iii) ⇒ iv). Temos, pela proposi¸c˜ ao 5.92 que A ∗ é fechado. De D(A ∗ ) = H segue pelo teorema do Gráfico Fechado que A ∗ é limitado. iv) ⇒ i). Pela proposi¸c˜ ao 5.104 temos que D(A ∗ ) é denso em H e A ∗∗ = A. Além disso, como, por hipótese, A ∗ é limitado, temos pela proposi¸c˜ ao 5.105 que A ∗∗ é limitado e D(A ∗∗ ) = H. Como A ∗∗ = A segue que D(A) = H. Nestas condi¸c˜ oes, temos que A é limitado e D(A) = H e A ∗ é limitado e D(A ∗ ) = H. Ent˜ ao, pela teoria desenvolvida na se¸c˜ ao 5.6 resulta que [[A[[ L(H) = [[A ∗ [[ L(H) . 2 Proposi¸cão 5.107 Seja A : D(A) ⊂ H → H um operador de H tal que D(A) ⊂ H é denso em H. Assim, A possui uma extensão linear fechada se, e somente se, D(A ∗ ) ⊂ H é denso em H. Demonstra¸cão: (⇒) Suponhamos que o operador A : D(A) ⊂ H → H de H possua uma extensão linear e fechada e denotemos tal extensão por ˜ A. Logo, A ⊆ ˜ A implica que D(A) ⊂ D( ˜ A). Mas como D(A) é denso em H temos que D( ˜ A) também é denso em H. Portanto, existe ( ˜ A) ∗ e ( ˜ A) ∗ ⊆ A ∗ , de onde resulta que D(( ˜ A) ∗ ) ⊂ D(A ∗ ) (5.194) Por outro lado, como ˜ A : D( ˜ A) ⊂ H → H é um operador linear e fechado com dom´ınio D( ˜ A) denso em H, segue pela proposi¸c˜ ao 5.104 que D(( ˜ A) ∗ ) ⊂ H é denso em H. De (5.194) segue que D(A ∗ ) é denso em H. (⇐) Suponhamos, agora, que o operador A : D(A) ⊂ H → H de H seja tal que D(A ∗ ) ⊂ H é denso em H. Logo, existe A ∗∗ e (A ∗ u, v) = (u, A ∗∗ v), para todo u ∈ D(A ∗ ) e para todo v ∈ D(A ∗∗ ). Provaremso que A ∗∗ é uma extensão linear fechada de A. Com efeito, se v ∈ D(A), ent˜ ao (Av, u) = (v, A ∗ u), para todo u ∈ D(A ∗ ). OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 291 ou seja, (A ∗ u, v) = (u, Av), para todo u ∈ D(A ∗ ). Desta forma, dado v ∈ D(A), existe v ∗∗ = Av ∈ H tal que (A ∗ u, v) = (u, v ∗∗ ), para todo u ∈ D(A ∗ ). Portanto, v ∈ D(A ∗∗ ) e A ∗∗ v = v ∗∗ = Av. Isto mostra que D(A) ⊆ D(A ∗∗ ) e A ∗∗ [ D(A) = A. Conclu´ımos, ent˜ ao, que A ∗∗ é uma extensão de A. Como o adjunto é fechado, A possui uma extensão linear fechada A ∗∗ . 2 Corolário 5.108 Seja A : D(A) ⊂ H → H um operador linear com dom´ınio D(A) denso em H tal que A possui extensão linear fechada. Então A ∗∗ é a menor delas. Demonstra¸cão: Pela proposi¸c˜ ao 5.107, A ∗∗ é uma extensão linear fechada de A. Para provarmos que A ∗∗ é a menor extensão linear fechada de A, tomemos B uma extensão linear fechada de A e provemos que A ∗∗ ⊆ B. Com efeito, pelo fato de B ser uma extensão de A temos que D(A) ⊂ D(B). Por outro lado, como D(A) é denso em H, D(B) também o é. Logo, B é um operador fechado de H com dom´ınio D(B) denso em H. Logo, pela proposi¸c˜ ao 5.104 tem-se que existe B ∗∗ e B ∗∗ = B. Além disso, como A ⊆ B, ent˜ ao, B ∗ ⊆ A ∗ (veja proposi¸c˜ ao 5.90(iv)) o que implica que A ∗∗ ⊆ B ∗∗ = B, o que conclui a prova. 2 Proposi¸cão 5.109 Seja A um operador de H com D(A) = H. Então A ∗ é limitado e D(A ∗ ) é fechado em H. Demonstra¸cão: (i) A ∗ é limitado. Suponhamos, por contradi¸cão, que A ∗ não seja limitado. Ent˜ ao, existe uma sucessão ¦v ν ¦ ν∈N de vetores de D(A ∗ ) tal que [[v ν [[ = 1 e [[A ∗ v ν [[ > ν, para todo ν ∈ N. 292 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Para cada ν ∈ N, seja f ν : H →C definida por ¸f ν , u) = (Au, v ν ), para todo u ∈ H. Temos, entaõ, uma seq¨ uência ¦f ν ¦ ν∈N de funcionais de H tais que dado ν ∈ N, tem-se [¸f ν , u)[ ≤ [[u[[ [[A ∗ v ν [[ = C ν [[u[[, para todo u ∈ H. Assim, [¸f ν , u)[ ≤ C ν [[u[[, para todo u ∈ H, ou seja, para cada ν ∈ N, f ν é uma forma linear limitada sobre H e da defini¸cão de f ν resulta que [¸f ν , u)[ ≤ [[Au[[ [[v ν [[ = [[Au[[, para todo u ∈ H e para todo ν ∈ N. Portanto, dado u ∈ H, existe uma constante K(u) tal que [¸f ν , u)[ ≤ K(u), para todo ν ∈ N. Logo, pelo Teorema de Banach-Steinhaus temos que existe uma constante α > 0 tal que [¸f ν , u)[ ≤ α, para todo u ∈ H e para todo ν ∈ N, o que implica que [[f ν [[ L(H) ≤ α, para todo ν ∈ N. Deste modo, como ¸f ν , u) = (u, A ∗ v ν ), para todo u ∈ H, tomando u = A ∗ v ν resulta que ¸f ν , A ∗ v ν ) = [[A ∗ v ν [[ 2 , o que implica _ f ν , A ∗ v ν [[A ∗ v ν [[ _ = [[A ∗ v ν [[, e, portanto, [[A ∗ v ν [[ ≤ sup ||u||=1 [¸f ν , u)[ = [[f ν [[ L(H) ≤ α, para todo ν ∈ N. Da´ı segue que ν < [[A ∗ v ν [[ ≤ α, para todo ν ∈ N, OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 293 de onde resulta que N é limitado o que é um absurdo. Portanto, A ∗ é limitado. (ii) D(A ∗ ) é fechado. Com efeito, seja ¦v ν ¦ ν∈N uma seq¨ uência de vetores de D(A ∗ ) tal que v ν → v em H. Como A ∗ é limitado tem-se [[A ∗ v ν −A ∗ v µ [[ ≤ [[A ∗ [[ [[v ν −v µ [[ → 0, quando ν, µ →+∞. Portanto, existe w ∈ H tal que ¦A ∗ v ν ¦ ν∈N converge para w. Notando que A ∗ é fechado, segue que v ∈ D(A ∗ ) e A ∗ v = w, o que prova o desejado. 2 Defini¸cão 5.110 Dizemos que um operador A de H é simétrico se seu dom´ınio D(A) é denso em H e (Au, v) = (u, Av), para todo u, v ∈ D(A). Proposi¸cão 5.111 Seja A um operador de H. Então A é simétrico se, e somente se, A ⊆ A ∗ . Demonstra¸cão: (⇒) Suponhamos que A seja simétrico. Como D(A) = H, podemos definir A ∗ : D(A ∗ ) ⊂ H →H, onde D(A ∗ ) = ¦v ∈ H; existe v ∗ ∈ H onde (Au, v) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(A)¦. Se v ∈ D(A), temos que (Au, v) = (u, Av), para todo u ∈ D(A), pois, por hipótese, A é simétrico. Da´ı segue que v ∈ D(A ∗ ) e A ast v = Av, ou seja, D(A) ⊂ D(A ∗ ) e A ∗ [ D(A) = A. Isto prova que A ⊆ A ∗ . (⇐) Reciprocamente, suponhamos que A ⊆ A ∗ . Logo, está hipótese já admite a existência de A ∗ como extensão de A bem como o fato de D(A) ser denso em H. Pela defini¸c˜ ao de A ∗ tem-se que (Au, v) = (u, A ∗ v), para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ D(A ∗ ). Em particular, se v ∈ D(A) ⊂ D(A ∗ ), temos ainda que (Au, v) = (u, A ∗ v), para todo u ∈ D(A). 294 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Mas como A ∗ [ D(A) = A, segue que (Au, v) = (u, Av), para todo u ∈ D(A), de onde conclu´ımos que (Au, v) = (u, Av), para todo u, v ∈ D(A), ou seja, A é simétrico. Isto conclui a prova. 2 Corolário 5.112 Seja A : D(A) ⊂ H → H um operador de H. Se A é simétrico e D(A) = H, então A = A ∗ . Demonstra¸cão: Como A é simétrico, A ⊆ A ∗ . Mas, por hipótese, D(A) = H e, conseq¨ uentemente, D(A ∗ ) = H. Portanto, A = A ∗ . 2 Retomemos, agora, o Teorema de Hellinger-Toeplitz e vejamos que neste novo contexto ele se torna trivial. Proposi¸cão 5.113 (Hellinger-Toeplitz) Se A é um operador simétrico de H e D(A) = H, então A é limitado. Demonstra¸cão: Pela Proposi¸c˜ ao 5.109 segue que A ∗ é limitado. Pelo corolário 5.112, A ∗ = A. Portanto A é limitado. 2 Uma outra aplica¸c˜ ao é o teorema do Gráfico Fechado. Teorema 5.114 (Gráfico Fechado) Seja A um operador de H com D(A) = H. Se A é fechado, então A é limitado. Demonstra¸cão: Como A é um operador de H com D(A) = H, pela Proposi¸c˜ ao 5.109 tem-se que A ∗ é limitado e D(A ∗ ) é fechado. Por outro lado, considerando que A é um operador fechado com dom´ınio D(A) = H denso em H, pela proposi¸c˜ ao 5.104 vem que D(A ∗ ) é denso em H e A ∗∗ = A. Assim, D(A ∗ ) é fechado e denso em H, o que implica que D(A ∗ ) = H, ou seja, A ∗ : H → H é limitado. Pela proposi¸c˜ ao 5.109, A ∗∗ é limitado e como A ∗∗ = A resulta que A é limitado. 2 OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 295 Proposi¸cão 5.115 Se A : D(A) ⊂ H → H é simétrico, então A ∗∗ existe e A ∗∗ é simétrico. Demonstra¸cão: Se A é simétrico, então D(A) = H e D(A) ⊆ D(A ∗ ) ⊆ H. Da´ı segue que D(A ∗ ) é denso em H e, portanto, A ∗∗ existe. Além disso, como A ∗ : D(A ∗ ) ⊂ H →H é fechado e D(A ∗ ) = H temos, pela proposi¸c˜ ao 5.104, que A ∗∗ existe e (A ∗ ) ∗∗ = A ∗∗∗ = A ∗ . Assim, A ⊆ A ∗ , o que implica que A ∗∗ ⊆ A ∗ e, portanto, A ∗∗ é simétrico. 2 Defini¸cão 5.116 Um operador A : D(A) ⊂ H → H é dito auto-adjunto quando existe A ∗ e A ∗ = A. Proposi¸cão 5.117 Se A é um operador simétrico de H e A é sobrejetivo, ou seja, A(D(A)) = H, então A é auto-adjunto. Demonstra¸cão: Como, por hipótese, já temos que A ⊆ A ∗ , resta-nos mostrar que D(A ∗ ) ⊂ D(A). De fato, consideremos v ∈ D(A ∗ ) e A ∗ v = v ∗ ∈ H. Como A é sobrejetivo, existe w ∈ D(A) tal que Aw = v ∗ . Resulta, para todo u ∈ D(A) que (Au, v) = (u, A ∗ v) = (u, v ∗ ) = (u, Aw) = (Au, w). Portanto, (Au, v − w) = 0, para todo u ∈ D(A) e como A(D(A)) = H resulta que (h, v −w) = 0, para todo h ∈ H, o que implica que v −w = 0, e, portanto, v = w ∈ D(A), de onde conclu´ımos que D(A ∗ ) ⊆ D(A), o que conclui a prova. 2 Proposi¸cão 5.118 Seja A um operador auto-adjunto de H. Se A é invers´ıvel, então sua inversa A −1 é um operador auto-adjunto. Demonstra¸cão: Mostramos na proposi¸c˜ ao 5.103 que se existem A −1 , (A −1 ) ∗ então existe (A ∗ ) −1 e (A ∗ ) −1 = (A −1 ) ∗ . Sendo A = A ∗ , será suficiente mostrarmos que existe (A −1 ) ∗ , ou seja, D(A −1 ) é denso em H. Suponhamos o contrário, que D(A −1 ) não seja denso em H. Ent˜ ao, em virtude do corolário 1.29, existe v ,= 0 em H tal que (Au, v) = 0, para todo u ∈ D(A) (notemos que D(A −1 ) = Im(A)). Mas, então, (Au, v) = (u, 0), para todo u ∈ D(A). Logo, v ∈ D(A ∗ ) e A ∗ v = Av = 0, o que acarreta a não existência de A −1 , 296 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL pois A não é injetor, o que é um absurdo uma vez que A é invers´ıvel. Esta contradi¸c˜ ao veio do fato de supormos que D(A −1 ) não é denso em H. Assim, D(A −1 ) é denso em H e portanto existe (A −1 ) ∗ , o que encerra a prova. 2 Observa¸cão 5.119 Se A é auto-adjunto, então A não possui uma extensão própria que seja auto-adjunta. De fato, se B é auto-adjunto e A ⊆ B, então A ∗ ⊇ B ∗ , isto é, A ⊇ B, e, portanto, A = B. Observa¸cão 5.120 Se A é auto-adjunto e λ ∈ 1, então A + λI é auto-adjunto. Com efeito, por hipótese, A = A ∗ . da´ı segue que se v ∈ D(A), então, ((A + λI)u, v) = (Au, v) + (λ(u, v) = (u, Av) + (u, λv) = (u, (A + λI)v), para todo u ∈ D(A), o que implica que A +λI é simétrico. (5.195) Por outro lado, se v ∈ D((A + λI) ∗ ), temos ((A + λI)u, v) = (u, (A + λI) ∗ v), para todo u ∈ D(A), o que implica (Au, v) = (u, (A +λI) ∗ v) −(u, λv) = (u, (A +λI) ∗ v −λv), para todo u ∈ D(A). Da´ı segue que v ∈ D(A) = D(A + λI) e Av = (A + λI) ∗ v −λv ⇒(A −λI)v = (A + λI) ∗ v. (5.196) De (5.195) e (5.196) resulta que (A + λI) = (A + λI) ∗ . 5.10 Constru¸cão de Operadores Não Limitados Sejam V e H espa¸cos de Hilbert complexos, cujos produtos internos e normas denotaremos, respectivamente, por ((, )), [[ [[ e (, ), [ [, tais que V →H, (5.197) CONSTRUÇ ˜ AO DE OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 297 onde → designa a imersão cont´ınua de um espa¸co no outro. Suponhamos, também que V é denso em H. (5.198) Seja a(, ) : V V →C; (u, v) →a(u, v), uma forma sesquilinear cont´ınua. (5.199) Definamos: D(A) = ¦u ∈ V ; a forma antilinear v ∈ V → a(u, v) é cont´ınua (5.200) com a topologia induzida por H¦ . Em outras palavras, estamos colecionando em D(A) os elementos u ∈ V tais que a forma antilinear g u : V →C (5.201) v →g u (v) = a(u, v) é cont´ınua quando induzimos em V a topologia de H. Evidentemente D(A) ,= ∅ pois 0 ∈ D(A). Sendo V denso em H, podemos estender a aplica¸cão (5.201) a uma aplica¸cão ˜ g u : H →C, antilinear e cont´ınua tal que ˜ g u (v) = g u (v), para todo v ∈ V. (5.202) Logo, pelo Teorema de Representa¸cão de Riesz, existe um ´ unico f u ∈ H tal que ˜ g u (v) = (f u , v), para todo v ∈ H. (5.203) Em particular, segue de (5.201), (5.202) e (5.203) que a(u, v) = (f u , v), para todo v ∈ V. (5.204) Desta forma, temos definida a aplica¸cão A : D(A) →H (5.205) u → Au = f u . 298 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Conseq¨ uentemente, chegamos a uma nova caracteriza¸cão para D(A), a saber: D(A) = ¦u ∈ V ; existe f ∈ H que verifica a(u, v) = (f, v), para todo v ∈ V ¦. (5.206) Com efeito, se u pertence a caracteriza¸c˜ ao dada em (5.200), então, pelo que acabamos de ver, u pertence a caracteriza¸cão dada em (5.206). Reciprocamente, seja u ∈ V tal que exista f ∈ H que verifique a(u, v) = (f, v), para todo v ∈ V . Provaremos que a aplica¸c˜ ao dada em (5.201) é cont´ınua quando induzimos em V a topologia de H. Com efeito, temos [g u (v)[ = [a(u, v)[ = [(f, v)[ ≤ [f[ [v[, para todo v ∈ V, o que prova a continuidade de g u e a equivalência entre (5.200) e (5.206). Desta nova carecteriza¸cão vem que D(A), em verdade, é um subespa¸co de H. Evi- dentemente 0 ∈ D(A). Sejam u 1 , u 2 ∈ D(A) e α 1 , α 2 ∈ C. Ent˜ ao, existem f 1 , f 2 ∈ H tais que a(u 1 , v) = (f 1 , v) e a(u 2 , v) = (f 2 , v), para todo v ∈ V . Contudo, (α 1 f 1 + α 2 f 2 ) ∈ H e como a(α 1 u 1 +α 2 u 2 ) = α 1 a(u 1 , v) + α 2 a(u 2 , v) = (α 1 f 1 +α 2 f 2 , v), para todo v ∈ V, resulta que (α 1 u 1 +α 2 u 2 ) ∈ D(A), o que prova a afirma¸cão. Conseq¨ uentemente de (5.204) e (5.205) e do fato que D(A) é um subespa¸co vetorial fica definido um operador linear A : D(A) →H u →Au, onde (Au, v) = a(u, v) para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ V. (5.207) Notemos que se H tem dimensão finita, ent˜ ao a condi¸c˜ ao (5.198) é satisfeita se e somente se V = H. Com efeito, se V = H nada temos a provar. Agora, se H tem dimensão finita, ent˜ ao V também o tem e, neste caso, V é um subespa¸co fechado de H, pois V é Hilbert e as topologias de V e H são equivalentes. Sendo V denso em H resulta que V = H, o que prova o desejado. Neste caso, A será um operador linear limitado pois de (5.207) e do fato que V →H vem que (Au, Au) = a(u, Au) ⇒[Au[ 2 ≤ C 1 [[u[[ [[Au[[ ≤ C 2 [u[ [Au[, ou seja, [Au[ ≤ C 2 [u[, para todo u ∈ H. CONSTRUÇ ˜ AO DE OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 299 Devido a este fato, já que estamos interessados em operadores A não limitados, no que segue nesta se¸cão, faremos a hipótese que H é de dimensão infinita e, portanto, V também o será, já que se V tivesse dimensão finita ent˜ ao V = V (pois seria fechado) e como V = H ter´ıamos que V = H, o que é um absurdo. Também, em toda esta se¸c˜ ao, faremos a hipótese que V , H e a(u, v) estão nas condi¸cões (5.197), (5.198) e (5.199). Neste contexto, diremos que o operador A é definido pela terna ¦V, H; a(u, v)¦ e denotaremos tal fato escrevendo: A ←→¦V, H; a(u, v)¦ (5.208) As propriedades interessantes de A aparecem quando a forma sesquilinear a(u, v), além da continuidade satisfaz a condi¸c˜ ao de coercividade dada por Existe uma constante α > 0 tal que (5.209) [a(v, v)[ ≥ α[[v[[ 2 , para todo v ∈ V. Esta condi¸c˜ ao será fundamental na teoria que vamos construir ao longo das próximas se¸c˜ oes. Teorema 5.121 Sejam V e H espa¸cos de Hilbert com V → H sendo V denso em H. Se a(u, v) é uma forma sequilinear, cont´ınua e coerciva em V , então, para cada f ∈ H, existe um ´ unico u ∈ D(A) tal que Au = f. Demonstra¸cão: Pela caracteriza¸c˜ ao de D(A) dada em (5.206) e do operador A dada em (5.207), os problemas (A) e (B) abaixo (A) _ Dado f ∈ H, existe u ∈ D(A) tal que Au = f, e (B) _ Dado f ∈ H, existe u ∈ V tal que a(u, v) = (f, v), para todo v ∈ V, são equivalentes. Com efeito: (A) ⇒ (B). Seja f ∈ H. Ent˜ ao por (A) existe u ∈ D(A) ⊂ V tal que Au = f. Como u ∈ D(A) então por (5.206) existe g ∈ H tal que a(u, v) = (g, v), para todo v ∈ V . Contudo de (5.207) resulta que (Au, v) = a(u, v),para todo v ∈ V e, por transitividade, vem ent˜ ao que (Au, v) = (g, v), para todo v ∈ V . Segue da´ı, face a densidade de V em H que Au = g. Logo, a(u, v) = (f, v), para todo v ∈ V . 300 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL (B) ⇒ (A). Seja f ∈ H. Então, por (B) existe u ∈ V tal que a(u, v) = (f, v), para todo v ∈ V . Segue de (5.206) que u ∈ D(A) e de (5.207) que (Au, v) = (f, v), para todo v ∈ V . Logo, pela densidade de V em H conclu´ımos que Au = f, o que prova a equivalência entre os problemas (A) e (B). Como a(u, v) é uma forma sesquilinear cont´ınua, ent˜ ao, de acordo com a teoria desen- volvidade nas se¸cões 5.2 e 5.3, existe um operador / ∈ /(V ) tal que a(u, v) = ((/u, v)), para todo u, v ∈ V. (5.210) Por outro lado, para cada f ∈ H, fixado, a forma antilinear g f : V →C v →g f (v) = (f, v) é cont´ınua pois V → H. Pelo Teorema de Representa¸ cão de Riesz, existe um ´ unico Tf ∈ V tal que g f (v) = ((Tf, v)), para todo v ∈ V, ou seja, (f, v) = ((Tf, v)), para todo v ∈ V. (5.211) Segue imediatamente de (5.210) e (5.211) que os problemas (B) e (C) abaixo (B) _ Dado f ∈ H, existe u ∈ V tal que a(u, v) = (f, v), para todo v ∈ V e (C) _ Dado f ∈ H, existe u ∈ V tal que ((/u, v)) = ((Tf, v)), para todo v ∈ V, são equivalentes. Portanto, basta resolvermos um dos problemas (A), (B) ou (C), acima. Em verdade, resolveremos o problema (C). Assim, o Teorema resultará se provarmos que Dado f ∈ H, existe um ´ unico u ∈ V tal que /u = Tf, (5.212) ou, equivalentemente, que / é um isomorfismo. (5.213) ´ E o que faremos a seguir. Temos de (5.210) que [((/v, v))[ = [a(v, v)[ ≥ α[[v[[ 2 , para todo v ∈ V, (5.214) CONSTRUÇ ˜ AO DE OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 301 onde α > 0 é a constante de coecividade de a(u, v). Logo, supondo que /v = 0 resulta de (5.214) que v = 0, o que prova a injetividade do operador /. Provaremos, a seguir, a sobrejetividade do mesmo. Antes, porém, provaremos que /V é fechado. (5.215) De fato, seja ¦v ν ¦ ν∈N uma sucessão de elementos de V e w ∈ V tais que /v ν →w em V quando ν →+∞. (5.216) Segue (5.214) que, para todo ν, µ ∈ N, temos [((/v ν −/v µ , v ν −v µ ))[ ≥ α[[v ν −v µ [[ 2 , o que implica [[/v ν −/v µ [[ ≥ α[[v ν −v µ [[. (5.217) Contudo de (5.216) resulta que ¦/v ν ¦ é uma seq¨ uência de Cauchy posto que é convergente e de (5.217) vem ent˜ ao que ¦v ν ¦ também é de Cauchy em V . Logo, existe v ∈ V tal que v ν → v em V quando ν →+∞. (5.218) Pela continuidade de / conclu´ımos que /v ν →/v em V quando ν →+∞. (5.219) Logo, de (5.216) e (5.219), pela unicidade do limite, resulta que w = /v e portanto /V é fechado, o que prova (5.215). Resulta da´ı e sendo V um espa¸co de Hilbert que podemos escrever V = /V ⊕/V ⊥ . Para concluirmos a demostra¸cão, basta provarmos que /V ⊥ = ¦0¦. (5.220) Suponhamos, por contradi¸cão, que exista w ∈ /V ⊥ com w ,= 0. Então, ((/v, w)) = 0, para todo v ∈ V, 302 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL e, em particular, para v = /w resulta que 0 = ((/w, w)) ≥ α[[w[[ 2 , o que implica que w = 0, o que é uma contradi¸c˜ ao. Logo, fica provada a afirma¸c˜ ao em (5.220), o que prova que V = /V , ou seja, / é sobrejetor. Isto prova (5.213) e conseq¨ uentemente o teorema. 2 Observa¸cão 5.122 No decorrer da demonstra¸cão do teorema anterior, definimos uma aplica¸cão antilinear e cont´ınua g f : V →C (5.221) v →g f (v) = (f, v). Pelo Teorema de Riesz vinha então a existência de um ´ unico Tf ∈ V tal que g f (v) = ((Tf, v)), para todo v ∈ V. Mais além, temos também que [[g f [[ V = [[Tf[[. Decorre da´ı e de (5.221) e em virtude de V →H que [[Tf[[ = [[g f [[ V = sup v∈V ;||v||=1 [g f (v)[ = sup v∈V ;||v||=1 [(f, v)[ (5.222) ≤ sup v∈V ;||v||=1 [f[ [v[ ≤ C sup v∈V ;||v||=1 [f[ [[v[[ = C [f[. Do exposto, fica definida uma aplica¸cão T : H →V (5.223) f →Tf, onde ((Tf, v)) = (f, v)), para todo v ∈ V. Observamos que T é claramente linear e de (5.222) resulta que T é limitada, isto é, T ∈ /(H, V ). Agora de (5.212) resulta que a solu¸cão do problema (A) acima mencionado é da forma u = / −1 Tf. (5.224) (vide esquema abaixo) CONSTRUÇ ˜ AO DE OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 303 H V V E E ' f Tf = /u u = / −1 Tf T / −1 / Figura 5.2: Isomorfismo / Corolário 5.123 (Lema de Lax-Milgram) Seja L(v) uma forma antilinear e cont´ınua em V e a(u, v) uma forma sesquilinear cont´ınua e coerciva em V . Então, existe um ´ unico u ∈ V tal que a(u, v) = L(v), para todo v ∈ V . Demonstra¸cão: Sendo L(v) uma forma antilinear, existe, pelo Teorema de Repre- senta¸ cão de Riesz, w ∈ V tal que L(v) = ((w, v)), para todo v ∈ V.. Pondo, u = / −1 w, ent˜ ao, L(v) = ((w, v)) = ((// −1 w, v)) = ((/u, v)) = a(u, v), conforme quer´ıamos demonstrar. 2 Proposi¸cão 5.124 Seja A um operador definido pela terna ¦V, H, a(u, v)¦ nas condi¸cões (5.197), (5.198) e (5.199). Suponhamos também que a(u, v) verifica a condi¸cão de core- cividade em (5.209). Então, D(A) é denso em H e A é um operador fechado de H. Demonstra¸cão: Sendo H um espa¸co de Hilbert e D(A) um subespa¸co de H, podemos escrever H = D(A) ⊕D(A) ⊥ , já que D(A) ⊥ = D(A) ⊥ . Para concluirmos que D(A) é denso em H, basta provarmos que D(A) ⊥ = ¦0¦. (5.225) 304 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Com efeito, seja f ∈ D(A) ⊥ . Então, (f, u) = 0 para todo u ∈ D(A). (5.226) De acordo com o teorema 5.121, existe u 0 ∈ D(A) tal que Au 0 = f. Temos, de (5.226) e de (5.207) que 0 = (f, u) = (Au 0 , u) = a(u 0 , u), para todo u ∈ D(A). Em particular, 0 = a(u 0 , u 0 ) ≥ α[[u 0 [[ 2 , o que implica que u 0 = 0 e conseq¨ uentemente que f = 0. Logo, fica provado que D(A) ⊥ ⊂ ¦0¦. Como a outra inclusão é verificada trivialmente resulta (5.225) e, portanto, H = D(A), o que prova a densidade de D(A) em H. Provaremos, a seguir, que Aé um operador fechado de H. Com efeito, seja ¦u ν ¦ ν∈N ⊂ D(A) tal que u ν →u em H e Au ν = f ν →f em H. (5.227) Segue da observa¸ cão 5.122, pela continuidade da aplica¸cão T : H →V dada em (5.223) que Tf ν →Tf em V. (5.228) Mas, sendo / : V →V um isomorfismo cont´ınuo, resulta, pelo Teorema da Aplica¸c˜ ao Aberta que / −1 : V →V é cont´ınuo. Da´ı e de (5.228) vem que / −1 Tf ν →/ −1 Tf em V, e novamente pela observa¸c˜ ao 5.122 resulta que / −1 Tf ν = u ν , e, portanto u ν →/ −1 Tf em V. Mas, pela imersão V →H, esta ´ ultima convergência é válida em H, ou seja u ν →/ −1 Tf em H. (5.229) De (5.227) e (5.229) pela unicidade do limite conclu´ımos que u = / −1 Tf, CONSTRUÇ ˜ AO DE OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 305 o que acarreta, pela observa¸c˜ ao 5.122 que u ∈ D(A) e Au = f. Assi, A é um operador fechado de H e a demonstra¸c˜ ao fica conclu´ıda. 2 Denotaremos por a ∗ (u, v) a forma sesquilinear adjunta de a(u, v), isto é a ∗ (u, v) = a(v, u). (5.230) Temos que a ∗ (u, v) é uma forma sesquilinear cont´ınua de V V e é também coeciva desde que a(u, v) também o seja. Por A ∗ será denotado o operador definido pela terna ¦V, H; a ∗ (u, v)¦, que denotaremos por A ∗ ←→¦V, H; a ∗ (u, v)¦. (5.231) Convém notar que se a(u, v) for coerciva, ent˜ ao A ∗ possuirá todas as propriedades que foram obtidas para A no Teorema 5.121 e na proposi¸cão 5.124 . Em verdade, temos o seguinte resultado. Proposi¸cão 5.125 O operador A ∗ definido pela terna ¦V, H; a ∗ (u, v)¦, com a(u, v) coerciva, é o adjunto de A definido pela terna ¦V, H, a(u, v)¦. Demonstra¸cão: Seja A 1 o adjunto de A, que existe em virtude da proposi¸c˜ ao 5.124. Lembremos que D(A 1 ) = ¦v ∈ H; existe v ∗ ∈ H que verifica A ∗ u = A 1 u para todo u ∈ D(A ∗ )¦. (5.232) Provaremos que D(A ∗ ) = D(A 1 ) e A ∗ u = A 1 u, para todo u ∈ D(A ∗ ). (5.233) Mostraremos, inicialmente, que D(A ∗ ) ⊂ D(A 1 ). (5.234) Com efeito, seja v ∈ D(A ∗ ) e consideremos u ∈ D(A). Temos de (5.207) que (Au, v) = a(u, v) = a ∗ (v, u) = (A ∗ v, u) = (u, A ∗ v). (5.235) 306 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Logo, de (5.232) e (5.235) resulta que v ∈ D(A 1 ), o que prova (5.234). Reciprocamente, provaremos que D(A 1 ) ⊂ D(A ∗ ). (5.236) de fato, seja v ∈ D(A 1 ). Sendo A ∗ sobrejetor (c.f. Teorema 5.121 adaptado) existe v 0 ∈ D(A ∗ ) tal que A ∗ v 0 = A 1 v. Temos, para todo u ∈ D(A) em virtude de A 1 ser o adjunto de A e por (5.235) que (Au, v) = (u, A 1 v) = (u, A ∗ v 0 ) = (Au, v 0 ), para todo u ∈ D(A), ou ainda, (Au, v −v 0 ) = 0, para todo u ∈ D(A). Como A é um operador sobrejetor resulta que v = v 0 , o que implica que v ∈ D(A ∗ ) o que prova (5.236), e, além disso, A ∗ v = A 1 v, para todo v ∈ D(A 1 ). Assim, a demonstra¸c˜ ao está conclu´ıda. 2 Observa¸cão 5.126 Como conseq¨ uência da Proposi¸cão 9, vem que A é auto-adjunto, isto é, A = A ∗ , se a(u, v) é hermitiana. Com efeito, sendo a(u, v) hermitiana, então a(u, v) = a(v, u) e portanto a ∗ (u, v) = a(u, v) ⇒ A ∗ = A. Proposi¸cão 5.127 Seja A um operador definido pela terna ¦V, H; a(u, v)¦ nas condi¸cões (5.197), (5.198) e (5.199). Suponhamos que V está contido estritamente em H e que a(u, v) seja coerciva. Então, A é um operador não limitado de H. Demonstra¸cão: Suponhamos, por contradi¸c˜ ao, que A seja limitado. Então, existe uma constante C > 0 tal que [Au[ ≤ C [u[, para todo u ∈ D(A). Temos, em virtude da corcividade de a(u, v) que α[[u[[ 2 ≤ [a(u, u)[ = [(Au, u)[ ≤ [Au[ [u[ ≤ C [u[ 2 , para todo u ∈ D(A). CONSTRUÇ ˜ AO DE OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 307 Da´ı, [[u[[ ≤ C 1 [u[, para todo u ∈ D(A). (5.237) Agora, como V → H resulta de (5.237) que, em D(A), as normas [[ [[ e [ [ são equivalentes. Consideremos, ent˜ ao, v ∈ H. Pela proposi¸c˜ ao 5.124 temos que D(A) é denso em H. Logo, existe uma seq¨ uência ¦v ν ¦ ⊂ D(A) tal que v ν →v em H. (5.238) Resulta da convergência em (5.238) e da equivalência das normas em D(A) que ¦v ν ¦ é uma sucesão de Cauchy com a norma [[ [[. Logo, existe w ∈ V tal que v ν →w em V, (5.239) convergência esta que também é válida em H. Portanto, pela unicidade do limite em H, resulta de (5.238) e (5.239) que v = w, ou seja, V = H, o que é um absurdo, o que prova que A é não limitado. 2 A seguir, veremos alguns exemplos de operadores A definidos pela terna V, H; a(u, v). Exemplo 1: Sejam V = H 1 (1 n ), H = L 2 (1 n ), a(u, v) = n i=1 _ R n ∂u ∂x i ∂v ∂x i dx + _ R n uv dx; u, v ∈ H 1 (1 n ). Então, V e H satisfazem as condi¸c˜ oes (5.197) e (5.198) e a(u, v) satisfaz as condi¸c˜ oes (5.199) e (5.209) pois a(u, v) = ((u, v)). Denotaremos por M ao subespa¸co M := ¦u ∈ H 1 (1 n ); ∆u ∈ L 2 (1 n )¦. Mostraremos que D(A) = M e A = −∆ + I. (5.240) Com efeito, seja u ∈ D(A). Então, por (5.206) vem que u ∈ H 1 (1 n ) e existe f ∈ L 2 (1 n ) tal que n i=1 _ R n ∂u ∂x i ∂v ∂x i dx + _ R n uv dx = _ R n fv dx, para todo v ∈ H 1 (1 n ). 308 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Tomando-se ϕ ∈ C ∞ 0 (1 n ) na identidade acima resulta que ¸−∆u + u, ϕ) = ¸f, ϕ) , para todo ϕ ∈ C ∞ 0 (1 n ), isto é, ∆u ∈ L 2 (1 n ). Logo, u ∈ M e, portanto, D(A) ⊂ M. (5.241) Reciprocamente, consideremos u ∈ M. Então, u ∈ H 1 (1 n ) e (−∆u + u) ∈ L 2 (1 n ), donde, para todo ϕ ∈ C ∞ 0 resulta que (−∆u + u, ϕ) = a(u, ϕ). (5.242) Agora, se v ∈ H 1 (1 n ), existe ¦ϕ ν ¦ ν∈N ⊂ C ∞ 0 (1 n ) tal que ϕ ν →v em H 1 (1 n ), quando ν →+∞. (5.243) Assim, de (5.242), para todo ν ∈ N, obtemos (−∆u + u, ϕ ν ) = a(u, ϕ ν ). Tomando-se o limite na identidade acima, resulta de (5.243) que (−∆u + u, v) = (a(u, v), para todo v ∈ H 1 (1 n ). (5.244) Assim, em virtude de (5.206) e (5.244) vem que u ∈ D(A) e, desta forma, M ⊂ D(A). (5.245) As inclusões em (5.241) e (5.245) provam que M = D(A) e de (5.244) e (5.207) temos também que Au = −∆U +u, o que prova (5.240). Da Observa¸c˜ ao 5.126 e da proposi¸c˜ ao 5.127 resulta que A é um operador auto-adjunto e não limitado. Observamos que pelo Teorema 5.121 resolveu-se o seguinte problema: _ Dado f ∈ L 2 (1 n ), existe um ´ unico u ∈ H 1 (1 n ) tal que −∆u + u = f q. s. em 1 n . Provaremos, a seguir, que na verdade H 2 (1 n ) = D(A), ou seja, H 2 (1 n ) = ¦u ∈ L 2 (1 n ); ∆u ∈ L 2 (1 n )¦. (5.246) CONSTRUÇ ˜ AO DE OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 309 Evidentemente, é imediato que H 2 (1 n ) ⊂ ¦u ∈ L 2 (1 n ); ∆u ∈ L 2 (1 n )¦. Reciprocamente, seja u ∈ L 2 (1 n ) tal que ∆u ∈ L 2 (1 n ). Temos, ¯ ∂ 2 u ∂x 2 j (ξ) = (2πiξ j ) 2 ˆ u(ξ), o que implica que ´ ∆u(ξ) = ¯n j=1 ∂ 2 u ∂x 2 j (ξ) = −2π _ n j=1 ξ 2 j _ 2 ˆ u(ξ) = −2π[[ξ[[ 2 ˆ u(ξ) Segue desta ´ ultima identidade que [[ξ[[ 2 ˆ u(ξ) ∈ L 2 (1 n ), o que implica que (1 +[[ξ[[ 2 )ˆ u(ξ) ∈ L 2 (1 n ). (5.247) Contudo, lembrando que H 2 (1 n ) = ¦u ∈ o (1 n ); (1 +[[ξ[[ 2 )ˆ u(ξ) ∈ L 2 (1 n )¦, resulta de (5.247) que u ∈ H 2 (1 n ), o que prova (5.246). Exemplo 2: Ao contr´ ario do exemplo 1 no qual primeiro deu-se V , H e a(u, v) e depois determinou-se o operador A e o correspondente problema em equa¸cões diferenciais parciais, aqui primeiro formularemos o problema, conseq¨ uentemente o operador A e, depois, para a resolu¸cão do mesmo, determinaremos V, H e a(u, v). Seja Ω um aberto limitado de 1 n com fronteira Γ regular. Consideremos o seguinte problema de Dirichlet: _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ Dado f : Ω →C, existe uma ´ unica u : Ω →C tal que −∆u = f em Ω, u[ Γ = 0. (5.248) Usaremos o Lema de Lax-Milgram para resolver este problema. No que segue, procedermos formalmente. Multipliando-se a equa¸cão (5.248) por uma fun¸cão v admiss´ıvel e integrando-se em Ω, obtemos − _ Ω ∆uv dx = _ Ω fv dx. 310 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Pela fórmula de Green, resulta da identidade acima que n i=1 _ Ω ∂u ∂x i ∂v ∂x i dx − _ Γ ∂ ν uv dΓ = _ Ω fv dx. Admitindo-se que v = 0 em Γ resulta que n i=1 _ Ω ∂u ∂x i ∂v ∂x i dx = _ Ω fv dx. ´ E natural ent˜ ao considerarmos V = H 1 0 (Ω), H = L 2 (Ω) e a(u, v) = n i=1 _ Ω ∂u ∂x i ∂v ∂x i dx, para todo u, v ∈ H 1 0 (Ω). Pela desigualdade de Poincaré vem que a(u, v) é um produto interno em H 1 0 (Ω), portanto uma forma sequilinear hermitiana estritamente positiva e coreciva. Também, a aplica¸c˜ ao v → (f, v) é uma forma antilinear cont´ınua em V . Assim, pelo Lema de Lax Milgram, existe uma solu¸c˜ ao u do seguinte problema _ Dado f ∈ L 2 (Ω), existe um ´ unico u ∈ H 1 0 (Ω) tal que a(u, v) = (f, v) para todo v ∈ H 1 0 (Ω). (5.249) Tomando-se v ∈ C ∞ 0 (Ω), resulta da igualdade em (5.249) que −∆u = f em T (Ω), e, portanto, quase sempre em Ω, pois f ∈ l 2 (Ω). Assim, temos determinado uma solu¸cão u do problema _ Dado f ∈ L 2 (Ω), existe um ´ unico u ∈ H 1 0 (Ω) tal que −∆u = f q.s. em Ω, (5.250) que é denominada uma solu¸cão fraca do problema (5.248). Observamos que a condi¸c˜ ao γ 0 u = u[ Γ = 0 para a solu¸cão u de (5.250) só faz sentido se Ω for bem regular (ou Γ for de classe C 1 por partes). Claramente V , H e a(u, v) satisfazem as condi¸cões (5.197), (5.198), (5.199) e (5.209) e o operador A determinado por esta terna é caracterizado por D(A) = ¦u ∈ H 1 0 (Ω); ∆u ∈ L 2 (Ω)¦, A = −∆. (5.251) Com efeito, seja u ∈ D(A). Ent˜ ao, existe f ∈ L 2 (Ω) tal que a(u, v) = (f, v), para todo v ∈ H 1 0 (Ω). Donde, tomando-se ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω), resulta que ¸−∆u, ϕ) = ¸f, ϕ), o que implica CONSTRUÇ ˜ AO DE OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 311 que −∆u = f ∈ L 2 (Ω) e, portanto, u ∈ ¦u ∈ H 1 0 (Ω); ∆u ∈ L 2 (Ω)¦. Reciprocamente, seja u ∈ H 1 0 (Ω) tal que ∆u ∈ L 2 (Ω). Assim, para toda ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω), obtemos (−∆u, ϕ) = a(u, ϕ). Agora, se v ∈ H 1 0 (Ω), ent˜ ao existe ¦ϕ ν ¦ ν∈N ⊂ C ∞ 0 (Ω) tal que ϕ ν →v em H 1 0 (Ω). Logo, para cada ν ∈ N tem-se (−∆u, ϕ ν ) = a(u, ϕ ν ), e, na situa¸cão limite resulta que (−∆u, v) = a(u, v), para todo v ∈ H 1 0 (Ω), donde se conclui que u ∈ D(A) e Au = −∆u, o que prova (5.251). Da observa¸c˜ ao 5.126 e da proposi¸cão 5.127 vem que A é um operador auto-adjunto não limitado de L 2 (Ω). Observamos que Ω for bem regular (ou C 2 por partes) a solu¸c˜ ao u de (5.250) pertence a H 2 (Ω). Neste caso, D(A) = H 2 (Ω) ∩ H 1 0 (Ω). Exemplo 3: Seja Ω ⊂ 1 n um aberto limitado com fronteira bem regular. Estudaremos, neste exemplo, o problema de Neumann _ ¸ ¸ _ ¸ ¸ _ Dado f : Ω →C, existe uma ´ unica u : Ω →C tal que −∆u + u = f em Ω, ∂ ν u[ Γ = 0. (5.252) Procederemos formalmente como no exemplo anterior. Seja v uma fun¸c˜ ao admiss´ıvel. Multiplicando-se a equa¸cão (5.252) por v, obtemos − _ Ω ∆uv dx + _ Ω uv dx = _ Ω fv dx. Aplicando-se a fórmula de Grenn, resulta que n i=1 _ Ω ∂u ∂x i ∂v ∂x i dx + _ Γ ∂ ν uv dΓ + _ Ω uv dx = _ Ω fv dx. Mas, da condi¸c˜ ao de fronteira dada em (5.252) obtemos n i=1 _ Ω ∂u ∂x i ∂v ∂x i dx + _ Ω uv dx = _ Ω fv dx. 312 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Da identidade acima é natural considerarmos V = H 1 (Ω), H = L 2 (Ω), a(u, v) = n i=1 _ Ω ∂u ∂x i ∂v ∂x i dx + _ Ω uv dx, u, v ∈ H 1 (Ω), ou seja, a(u, v) = ((u, v)). Pelo Lema de Lax-Milgram e face a linearidade do problema em questão, existe uma ´ unica solu¸cão do problema _ Dado f ∈ L 2 (Ω), existe um ´ unico u ∈ H 1 (Ω) tal que a(u, v) = (f, v) para todo v ∈ H 1 (Ω). (5.253) Fazendo v percorrer C ∞ 0 (Ω) resulta que −∆u +u = f. Logo, temos determinado uma solu¸c˜ ao u do problema _ Dado f ∈ L 2 (Ω), existe um ´ unico u ∈ H 1 (Ω) tal que −∆u +u = f quase sempre em Ω. (5.254) Claramente V , H e a(u, v) satisfazem as condi¸cões (5.197), (5.198), (5.199) e (5.209) e o operador A determinado por esta terna é caracterizado por D(A) = ¦u ∈ H 1 (Ω); ∆u ∈ L 2 (Ω)¦, A = −∆u + u. De novo, segue da observa¸cão 5.126 e da proposi¸cão 5.127 que A é um operador auto- adjunto não limitado de L 2 (Ω). Ainda, como Ω é bem regular, mostra-se que a solu¸c˜ ao u de (5.254) pertence a H 2 (Ω). Logo, γ 1 u ∈ H 1/2 (Γ), onde γ 1 ( é tra¸co de ordem 1) (5.255) Pela fórmula de Green generalizada e para todo v ∈ H 1 (Ω) resulta de (5.254) que _ Ω fv dx = _ Ω (−∆u + u)v dx = a(u, v) −(γ 1 u, γ 0 v) L 2 (Γ) , e de (5.253) vem que (γ 1 u, γ 0 v) L 2 (Γ) = 0, para todo v ∈ H 1 (Ω). (5.256) Identificando-se o L 2 (Γ) com o seu dual (L 2 (Γ)) , via Teorema de Riesz, temos a cadeia de imersões cont´ınuas e densas H 1/2 (Γ) →L 2 (Γ) → _ L 2 (Γ) _ →H −1/2 (Γ). CONSTRUÇ ˜ AO DE OPERADORES N ˜ AO LIMITADOS 313 Resulta da´ı, de (5.255), (5.256) e do fato que γ 0 v ∈ H 1/2 (Γ), que ¸γ 1 u, γ 0 v) H −1/2 (Γ),H 1/2 (Γ) = 0, para todo v ∈ H 1 (Ω) (5.257) e pela sobrejetividade da aplica¸cão tra¸co γ 0 H 1 (Ω) →H 1/2 (Γ) obtemos de (5.257) que γ 1 u = 0. (5.258) Assim, determinou-se uma solu¸cão u do problema _ Dado f ∈ L 2 (Ω), existe um ´ unico u ∈ H 1 (Ω) tal que −∆u + u = f quase sempre em Ω e γ 1 u = 0, que é uma solu¸c˜ ao fraca do problema (5.252). Temos, a partir da´ı, uma nova caracteriza¸c˜ ao de D(A) D(A) = ¦u ∈ H 2 (Ω); γ 1 u = 0¦, (5.259) onde aqui usamos o resultado de regularidade el´ıptica acima mencionado. Observa¸cão 5.128 Seja Ω um aberto limitado de 1 n com fronteira bem regular. Con- sideremos os operadores de L 2 (Ω): A 1 = −∆ + I, com D(A 1 ) = C ∞ 0 (Ω), A 2 = −∆ + I, com D(A 2 ) = H 2 (Ω) ∩ H 1 0 (Ω), A 3 = −∆ + I, com D(A 3 ) = ¦u ∈ H 2 (Ω); γ 1 u = 0¦. Temos que A 1 é um operador simétrico. Com efeito, sabemos que C ∞ 0 (Ω) é denso em L 2 (Ω). Agora, para todo u, v ∈ C ∞ 0 (Ω) temos que, em virtude da fórmula de Green que (A 1 , u, v) = (−∆u + u, v) = − _ Ω ∆uv dx + _ Ω uv dx = n i=1 _ Ω ∂u ∂x i ∂v ∂x i dx + _ Ω uv dx = − _ Ω u∆v dx + _ Ω uv dx = (u, −∆v + v) = (u, A 1 v). 314 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Segue dos exemplos 2 e 3 que A 2 e A 3 são extensões auto-adjuntas de A 1 . Claramente, A 2 ,= A 3 . Assim, vemos que o operador simétrico A 1 possui mais de uma extensão auto- adjunta. Por outro lado, o operador determinado no exemplo 2, ou seja A 1 = −∆ com D(A 1 ) = H 2 (Ω) ∩ H 1 0 (Ω), é um operador não limitado de L 2 (Ω) (c.f proposi¸cão 5.127). No entanto, se considerarmos o operador A 2 = −∆ com D(A 2 ) = H 1 0 (Ω), assumindo valortes em h −1 (Ω) (antidual de H 1 0 (Ω), ou seja, ¸−∆u, v) H −1 (Ω),H 1 0 (Ω) = n i=1 _ Ω ∂u ∂x i ∂v ∂x i dx = a(u, v), ele é um operador limitado. Disto decorre que a escolha do dom´ınio de A é fundamental para a determina¸cão das propriedades de A. Qual a rela¸cão que existe entre os operadores A 1 e A 2 anteriores ? Esta questão responderemos a seguir. 5.11 Extensões do operador A definido pela terna ¦V, H, a(u, v)¦ Sejam ¦V, H, a(u, v)¦ nas condi¸c˜ oes (5.197), (5.198), (5.199) e (5.209). Consideremos V , H antiduais de V e H, respectivamente. Definamos B : V →V (5.260) u →Bu, onde Bu : V →C é definido por ¸Bu, v) V ,V = a(u, v). Notemos que a aplica¸cão acima está bem definida. Com efeito, em virtude da continuidade de a(u, v), temos [ ¸Bu, v) [ = [a(u, v)[ ≤ C [[u[[ [[v[[, onde C é uma constante positiva , o que prova que Bu ∈ V . Logo, B : V → V está bem definida além de ser claramente linear. Notemos também que [[Bu[[ V = sup v∈V ;||v||≤1 [ ¸Bu, v) [ ≤ sup v∈V ;||v||≤1 ¦C [[u[[ [[v[[¦ ≤ C [[u[[. EXTENS ˜ OES DO OPERADOR DEFINIDO PELA TERNA ¦V, H, a(u, v)¦ 315 Portanto, B ∈ /(V, V ). Identificando-se H com o seu antidual H , temos a cadeia de imersões cont´ınuas e densas V →H →V . Logo, para todo u ∈ D(A) resulta que ¸Bu, v) V ,V = a(u, v) = (Au, v) = ¸Au, v) V ,V , para todo v ∈ V, de onde se conclui que Bu = Au, para todo u ∈ D(A), (5.261) ou seja, B é uma extensão de A a todo V . Conforme já vimos anteriormente, temos [[B[[ L(V,V ) = [[a[[ L(V ) , onde [[B[[ L(V,V ) = inf¦C > 0; [[Bu[[ V ≤ C[[u[[, para todo u ∈ V ¦ [[a[[ L(V ) = inf¦C > 0; [a(u, v)[ ≤ C [[u[[ [[v[[, para todo u, v ∈ V ¦. No caso particular em que a(u, v) = ((u, v)) onde ((, )) é produto interno em V, ent˜ ao, a extensão do operador A dada em (5.260) é uma isometria. Com efeito, neste caso, [ ¸Bu, v) [ = [((u, v))[ ≤ [[u[[ [[v[[, para todo u, v ∈ V, donde conclu´ımos que [[Bu[[ V ≤ [[u[[, para todo u ∈ V. (5.262) Por outro lado, como [[u[[ 2 = ((u, u)) = [ ¸Bu, u) [ ≤ [[Bu[[ V [[u[[, para todo u ∈ V, ent˜ ao, [[u[[ ≤ [[Bu[[ V . (5.263) 316 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Logo, de (5.262) e (5.263) conclu´ımos que [[Bu[[ V = [[u[[, para todo u ∈ V, (5.264) o que prova a afirma¸c˜ ao. Se introduzirmos em D(A) o produto interno (u, v) D(A) = (u, v) + (Au, Av), para todo u, v ∈ D(A), (5.265) ent˜ ao, pelo fato de A ser fechado, resulta que D(A) é um espa¸co de Hilbert. Com efeito, seja ¦u ν ¦ ν∈N uma seq¨ uência de cauchy em D(A). Temos, para todo ν, µ ∈ N, [[u ν −u µ [[ 2 D(A) = [u ν −u µ [ 2 +[Au ν −Au µ [ 2 . Como lim ν,µ→+∞ [[u ν −u µ [[ 2 D(A) = 0, resulta que lim ν,µ→+∞ [u ν −u µ [ = 0 e lim ν,µ→+∞ [Au ν −Au µ [ = 0. Logo, ¦u ν ¦ e ¦Au ν ¦ são seq¨ uências de Cauchy em H e, portanto, existem u, v ∈ H tais que u ν →u e Au ν → v em H quando ν →+∞. Mas, pelo fato de A ser fechado, vem que u ∈ D(A) e Au = v. Então, u ν → u em D(A) o que prova que _ D(A), [[ [[ D(A) _ é um espa¸co de Hilbert. Provaremos, a seguir, que D(A) → V. (5.266) Com efeito, para todo u ∈ D(A) temos, plea coercividade de a(u, v) que [[u[[ 2 ≤ 1 α [a(u, u)[ = 1 α [(Au, u)[ ≤ 1 α [Au[ [u[ ≤ 1 2α _ [u[ 2 +[Au[ 2 _ , ou seja, [[u[[ ≤ C[[u[[ D(A) , para todo u ∈ D(A), EXTENS ˜ OES DO OPERADOR DEFINIDO PELA TERNA ¦V, H, a(u, v)¦ 317 o que prova (5.266). Identificando-se H com o seu antidual H resulta a cadeia de imersões cont´ınuas e densas. D(A) →V →H ≡ H →V → (D(A)) . Definamos A ∗ : H →(D(A)) (5.267) u → A ∗ u, onde A ∗ u : V →C é definido por ¸A ∗ u, v) (D(A)) ,D(A) = (u, Av). A aplica¸c˜ ao acima está bem definida. Com efeito, para todo u ∈ H e para todo v ∈ D(A) temos [ ¸A ∗ u, v) [ = [(u, Au)[ ≤ [u[ [Av[ ≤ [u[ _ [v[ 2 +[Av[ 2 _ 1/2 = [u[ [[v[[ D(A) , (5.268) o que prova que A ∗ u ∈ (D(A)) . Além disso, para todo u, v ∈ D(A), supondo que a(u, v) seja hermitiana, obtemos, em virtude da observa¸c˜ ao 5.126, que ¸A ∗ u, v) D(A) ,D(A) = (u, Av) = (Au, v) = ¸Au, v) D(A) ,D(A) , para todo u, v ∈ D(A), A ∗ u = Au, para todo u ∈ D(A), o que prova que A ∗ estende A. Observamos que em D(A) as normas [[[u[[[ D(A) = [Au[ e [[u[[ D(A) _ [u[ 2 +[Au[ 2 _ 1/2 , (5.269) são equivalentes. De fato, é claro que [[[u[[[ D(A) ≤ [[u[[ D(A) . Provaremos a outra inclusão. Temos, para todo u ∈ D(A), [u[ 2 ≤ C 1 [[u[[ 2 ≤ C 1 α [a(u, u)[ = C 1 α [(Au, u)[ ≤ C 2 [Au[ [u[, o que implica que [u[ ≤ C 2 [Au[, para todo u ∈ D(A), e, portanto, [[u[[ D(A) = _ [u[ 2 +[Au[ 2 _ 1/2 ≤ C 4 [Au[, ou ainda, [[u[[ D(A) ≤ C[[[u[[[ D(A) , (5.270) para alguma C > 0, o que prova a equivalência das normas em (5.269). 318 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Provaremos, a seguir, que munindo-se D(A) da topologia [[[u[[[ D(A) = [Au[ resulta que a extensão 5.267 é uma isometria. Com efeito, de (5.268) temos que [ ¸A ∗ u, v) [ ≤ [u[ [Av[ = [u[ [[[u[[[ D(A) , donde [[A ∗ u[[ (D(A)) ≤ [u[, para todo u ∈ H. (5.271) Reciprocamente, dado u ∈ H, existe v ∈ D(A) tal que Av = u. Temos, [u[ 2 ≤ [[A ∗ u[[ D(A) [Av[ = [[A ∗ u[[ D(A) [u[, o que acarreta que [u[ ≤ [[A ∗ u[[ D(A) , para todo u ∈ H. (5.272) Assim, de (5.271) e (5.272) temos provado o desejado. Observamos, finalmente, que as extensões (5.260) e (5.267) são, em verdade, bije¸c˜ oes isométricas, respeitando-se as particularidades acima mencionadas. Com efeito, a injetividade resulta imediatamente do fato de serem isometrias. Agora, a sobrejetividade vem do Lema de Lax-Milgram. de fato: • B é sobrejetiva. Seja f ∈ V . Ent˜ ao, pelo Lema de Lax-Milgram, existe um ´ unico u ∈ V tal que ¸f, v) V ,V = ((u, v)), para todo v ∈ V. Resulta dái e de (5.260) que ¸Bu, v) V ,V = ¸f, v) V ,V , para todo v ∈ V, o que implica que Bu = f e portanto a sobrejetividade de B. • A ∗ é sobrejetiva. Seja f ∈ (D(A)) . Logo, por Lax-Milgram, existe um ´ unico w ∈ D(A) tal que ¸f, v) D(A) ,D(A) = (((w, v))) D(A) , para todo v ∈ D(A). CONSEQU ˆ ENCIAS DA ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 319 Contudo, de (5.267) vem que (((w, v))) D(A) = (Aw, v) = ¸A ∗ (Aw), v) D(A) ,D(A) , e pelo fato de A : D(A) →H ser uma bije¸cão, resulta que existe um ´ unico u ∈ D(A) tal que Au = w. Assim existe um ´ unico u ∈ D(A) que verifica ¸f, v) = ¸a ∗ u, v) , para todo v ∈ D(A). Segue da´ı que A ∗ u = f, o que prova a sobrejetividade de A ∗ . 5.12 Conseq¨ uências da Alternativa de Riesz-Fredholm 5.12.1 O Resolvente e o Espectro de um Operador No que segue, H será um espa¸co de Hilbert com produto interno (, ). Seja S um operador fechado de H com dom´ınio D(S) ⊂ H. Então, conforme vimos anteriormente, munindo-se D(S) do produto interno (u, v) D(S) = (u, v) + (Su, Sv), u, v ∈ D(S) (5.273) tem-se que (D(S), [[ [[ D(S) ) é um espa¸co de Hilbert. Seja S : D(S) ⊂ H → H um operador de H. Dizemos que λ ∈ C está no conjunto resolvente de S, o qual será denotado por ρ(S), se o operador R(λ, S) = (S −λI) −1 existe, está densamente definido em H e é limitado. Em outras palavras: ρ(S) = ¦λ ∈ C; (S −λI) −1 existe D((S −λI) −1 ) é denso em H e (S −λI) −1 é limitado¦ Neste caso, R(λ, S) denomina-se o operador resolvente de S. Se λ não pertence a ρ(S), dizemos que λ pertence ao espectro de S, o qual será denotado por σ(S). Assim, σ(S) = Çρ(S). Dividiremos o espectro de S em três partes disjuntas: (i) Dizemos que λ ∈ σ p (espectro puntual) de S se λ é um valor próprio de S. 320 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL (ii) Dizemos que λ ∈ σ c (espectro cont´ınuo) de S se o operador (S −λI) −1 existe, está densamente definido em H, porém não é limitado. (iii) Dizemos que λ ∈ σ r (espectro residual) de S se (S −λI) −1 existe, porém não está densamente definido em H, podendo (S −λI) −1 ser limitado ou não. Observemos que σ(S) = σ p (S) ∪ σ c (S) ∪ σ r (S) e σ p ∩ σ c = σ p ∩ σ r = σ c ∩ σ r = ∅. Também, C = ρ(S) ∪ σ(S). Sendo S fechado, então, para todo λ ∈ ρ(S) temos que R(λ, S) ∈ /(H). Com efeito, em verdade provaremos que D(R(λ, S)) = H. (5.274) De fato, seja y ∈ H. Sendo D(R(λ, S)) denso emH, existe uma seq¨ uência ¦y n ¦ subsetD(R(λ, S)) tal que y n →y quando n → +∞. (5.275) Contudo, para cada n ∈ N, existe x n ∈ D(S −λI) = D(S) tal que y n = (S −λI)x n . (5.276) Por outro lado, para todo x ∈ D(S) temos, pela continuidade de R(λ, S) que [x[ = [R(λ, S)(S −λI)x[ ≤ C 1 [(S −λI)x[, para algum C 1 > 0. Logo, [(S −λI)x[ ≥ C 2 [x[, para todo x ∈ D(S). (5.277) Em particular, para a seq¨ uência ¦x n ¦, resulta de (5.277) que [(S −λI)x n −(S −λI)x m [ ≥ C 2 [x n −x m [, para todo m, n ∈ N, ou seja, [y n −y m [ ≥ C 2 [x n −x m [, para todo m, n ∈ N, (5.278) CONSEQU ˆ ENCIAS DA ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 321 Assim, de (5.275) e (5.279) resulta que a seq¨ uência ¦x n ¦ é de Cauchy em H e portanto existe x ∈ H tal que x n →x em H quando n →+∞. (5.279) Mas de (5.275) e (5.276) resulta que (S −λI)x n →y em H quando n →+∞. (5.280) Contudo, sendo S fechado, (S −λI) também o é e de (5.279) e (5.280) conclu´ımos que x ∈ D(S) e (S −λI)x = y, ou seja, y ∈ Im(S − λI), o que prova (5.274) e conseq¨ uentemente que R(λ, S) ∈ /(H). Assim, sempre que S for fechado temos necessariamente que R(λ, S) = (S −λI) −1 ∈ /(H), para todo λ ∈ ρ(S). Em particular, se S ∈ /(H), ent˜ ao, pelo Teorema do Gráfico fechado, S é fechado e, portanto, R(λ, S) ∈ /(H), para todo ρ ∈ ρ(S). Lema 5.129 Seja A ∈ /(H). Então: (i) ρ(A) é um conjunto aberto. (ii) σ(A) é um subconjunto compacto e σ(A) ⊂ ¦λ ∈ C; [λ[ ≤ [[A[[¦. Demonstra¸cão: (i) Seja ρ 0 ∈ ρ(A). Dados λ ∈ C e f ∈ H consideremos a equa¸cão Au −λu = f, (5.281) que pode ser reescrita como Au −λ 0 u = f + (λ −λ 0 )u, ou ainda, (A −λ 0 I)u = f + (λ −λ 0 )u. Pelo fato de (A −λ 0 I) ser invers´ıvel, temos que u = (A −λ 0 I) −1 [f + (λ −λ 0 )u]. 322 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL definamos a seguinte aplica¸cão: G : H →H (5.282) u →G(u) = (A −λ 0 I) −1 [f + (λ −λ 0 )u]. Notemos que G é uma aplica¸c˜ ao cont´ınua posto que (A − λ 0 I) −1 é cont´ınuo. Além disso, temos, para todo u, v ∈ H, que [Gu −Gv[ = ¸ ¸ (A −λ 0 I) −1 [f + (λ −λ 0 )u] −(A −λ 0 I) −1 [f + (λ −λ 0 )v] ¸ ¸ = ¸ ¸ (A −λ 0 I) −1 [(λ −λ 0 )(u −v)] ¸ ¸ ≤ [[(A −λ 0 I) −1 [[ L(H) [λ −λ 0 [ [u −v[. Considerando λ ∈ C tal que [λ −λ 0 [ < 1 [[(A −λ 0 I) −1 [[ L(H) := r 0 , ent˜ ao, a aplica¸c˜ ao (5.282) será uma contra¸ cão e pelo Teorema do Ponto Fixo, existirá uma ´ unica u ∈ H, solu¸cão da equa¸cão (5.281). Em outras palavras, o operador (A−λI) se rá uma bije¸c˜ ao e, portanto, admitirá uma inversa (A −λI) −1 ∈ /(H), qualquer que seja λ ∈ ¦λ ∈ C; [λ −λ 0 [ < r 0 ¦ = B r 0 (λ 0 ), o que prova que a bola aberta B r 0 ⊂ ρ(A) e conseq¨ uentemente que A é aberto. (ii) Segue de (i) imediatamente que o conjunto σ(A) é fechado posto que σ(A) = Çρ(A). Afirmamos que: σ(A) ⊂ ¦λ ∈ C; [λ[ ≤ [[A[[¦. (5.283) Com efeito, sejam f ∈ H e λ ∈ C com [λ > [[A[[[ e consideremos a equa¸cão Au −λu = f, (5.284) ou equivalentemente u = 1 λ (Au −f). definamos a aplica¸c˜ ao F : H →H u →Fu = 1 λ (Au −f). CONSEQU ˆ ENCIAS DA ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 323 F é claramente cont´ınua. Agora, dados u, v ∈ H, temos [Fu −Fv[ = 1 [λ[ (Au −Av) ≤ 1 [λ[ [[A[[ [u −v[ < [u −v[. Logo, F é uma contra¸c˜ ao e portanto existe um ´ unico u ∈ H solu¸cão da equa¸cão (5.284). Isto significa que o operador (A − λI) é uma bije¸c˜ ao e portanto invers´ıvel com inversa (A −λI) −1 ∈ /(H). Donde ¦λ ∈ C; [λ[ > [[A[[¦ ⊂ ρ(A), o que prova (5.283) e encerra a demonstra¸c˜ ao. 2 5.12.2 A Alternativa de Riesz-Fredholm. Operadores Não Limi tados Sejam H e V espa¸cos de Hilbert com produtos internos e normas dados, respectivamente, por (, ), ((, )) e [ [, [[ [[. Adimitamos que V → H e que V seja denso em H. Suponhamos que sejam satisfeitas as seguntes condi¸cões: _ Existem α 0 , α ∈ 1, com α > 0, tais que Re [a(v, v) + α 0 (v, v)] ≥ α[[v[[ 2 , para todo v ∈ V (5.285) onde a(u, v) é uma forma sesquilinear cont´ınua em V V . A inje¸c˜ ao de V em H é compacta que denotaremos escrevendo V c →H. (5.286) Nestas condi¸c˜ oes, consideremos os operadores A ←→¦V, H; a(u, v)¦, (5.287) B ←→¦V, H; b(u, v)¦, (5.288) onde b(u, v) = a(u, v) + α 0 (u, v). (5.289) Provaremos, a seguir, que D(A) = D(B) e B = A + α 0 I. (5.290) 324 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Com efeito, seja u ∈ D(B). Logo, b(u, v) = (Bu, v), para todo v ∈ V, (5.291) ou ainda, a(u, v) + α 0 (u, v) = (Bu, v), para todo v ∈ V. Donde, a(u, v) = (Bu −α 0 u, v), para todo v ∈ V, o que implica que u ∈ D(A) . Reciprocamente, se u ∈ D(A), então, a(u, v) = (Au, v), para todo v ∈ V, e da´ı vem que b(u, v) = a(u, v) + α 0 (u, v) = (Au + α 0 v, v), para todo v ∈ V. (5.292) Logo, u ∈ D(B), o que prova que D(A) = D(B). Mais além, de (5.291) e (5.292) resulta, pela densidade de V em H que Bu = (A + α 0 I)u, para todo u ∈ D(A) = D(B), o que prova a afirma¸c˜ ao em (5.290). Seja B ∈ /(V ) o operador determinado pela forma sesquilinear b(u, v), isto é, b(u, v) = ((Bu, v)), para todo u, v ∈ V. De (5.285) vem que b(u, v) é coerciva em V . Logo, pelo teorema 5.121 e por (5.290) resulta que o problema _ u ∈ D(A) Au + α 0 u = f, possui uma ´ unica solu¸cão u, para cada f ∈ H. Pela observa¸ cão 5.122 u é da forma u = B −1 Tf. Assim, fica bem definido o operador G(α 0 ) := (A + α 0 I) −1 : H → D(A) (5.293) CONSEQU ˆ ENCIAS DA ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 325 Procedendo de modo análogo ao que foi feito na observa¸c˜ ao 5.122 conclu´ımos uqe B −1 Tf = B −1 f = (A + α 0 I) −1 f = G(α 0 )f, para todo f ∈ H. (5.294) Como b(u, v) é coerciva e B é o operador definido pela terna ¦V, H; b(u, v)¦, temos que B(B) é denso em H e B é um operador fechado ( conforme proposi¸c˜ ao 5.124). Resulta, portanto, de (5.290) que D(A) é igualmente denso em H e A é um operador fechado de H. Mais além, existe também o adjunto A ∗ de A. No que segue, muniremos D(A) com o produto interno (u, v) D(A) = (u, v) + (Au, Av). (5.295) Sendo A fechado, resulta que D(A) munido do produto interno dado em (5.295) é um espa¸co de Hilbert. Provaremos, a seguir, que o operador G(α 0 ) definido em (5.293) é um operador compacto de H em H. Para isso, provaremos primeiramente que G(α 0 ) ∈ /(H, D(A)), (5.296) e depois que A inje¸c˜ ao de D(A) em V é cont´ınua. (5.297) Com efeito, seja f ∈ H e u = G(α 0 )f. Ent˜ ao, u ∈ D(A) e de (5.294), do fato que V →H, T ∈ /(H, V ) e B −1 ∈ /(V ) resulta que [u[ = [G(α 0 )f[ = [B −1 Tf[ ≤ C 1 [[B −1 Tf[[ ≤ C 2 [[Tf[[ ≤ C 3 [f[, (5.298) e do fato que Au + α 0 u = f obtemos [Au[ = [f −α 0 u[ ≤ [f[ +[α 0 [ [u[ ≤ C 4 [f[. (5.299) Logo, de (5.298) e (5.299) conclu´ımos que [u[ 2 +[Au[ 2 ≤ C[f[ 2 , ou ainda, [G(α 0 )f[ 2 +[A(G(α 0 )f)[ 2 ≤ C[f[ 2 , 326 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL o que implica [[G(α 0 )f[[ D(A) ≤ C [f[, para todo f ∈ H, e alguma C > 0, o que prova (5.296). Provaremos, a segiur, a afirma¸c˜ ao (5.297). Consideremos, ent˜ ao, u ∈ D(A). Por (5.285) e (5.289) temos que α[[u[[ 2 ≤ [b(u, u)[ = [a(u, u) + α 0 (u, u)[ = [(Au, u) + α 0 (u, u)[ ≤ [u[ [[Au[ +[α 0 [[u[] ≤ C 5 [[u[[ [[Au[ +[u[] ≤ C [[u[[ [[u[[ D(A) , onde C é uma constante positiva, o que implica que [[u[[ ≤ ˜ C [[u[[ D(A) , para todo u ∈ D(A), o que prova o desejado. Temos de (5.286), (5.296) e (5.297) o seguinte esquema: H G(α 0 ) → D(A) I 1 →V I 2 → c H Seja ¦u ν ¦ ν∈N ⊂ H tal que [u ν [ ≤ M, para todo ν ∈ N, onde M é uma constante positiva. Como G(α 0 ) ∈ /(H, D(A)) temos que [[G(α 0 )u ν [[ D(A) ≤ C 0 [u ν [ ≤ C 0 M, para todo ν ∈ N, para algum C 0 > 0, e, portanto, [[G(α 0 )u ν [[ D(A) ≤ K, para alguma K > 0 e para todo ν ∈ N. Agora, como [[v[[ ≤ C 1 [[v[[ D(A) , para algum C 1 > 0 e para todo v ∈ D(A) então, [[G(α 0 )u ν [[ V ≤ C, para algum C > 0, e para todo ν ∈ N. Resulta da ´ ultima desigualdade e do fato que V c → H, que existe uma subseq¨ uência ¦u µ ¦ de ¦u ν ¦ e v ∈ H tais que G(α 0 )u ν →v em H quando µ →+∞, o que prova que G(α 0 ) : H →H é um operador compacto. (5.300) CONSEQU ˆ ENCIAS DA ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 327 Provaremos, a seguir, que D(A ∗ ) = D(B ∗ ) e B ∗ = A ∗ +α 0 I. (5.301) De fato, seja v ∈ D(A ∗ ). Então, existe v ∗ ∈ H tal que (Au, v) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(A) = D(B). Donde, (Au +α 0 u, v) = (u, v ∗ ) + (u, α 0 v), para todo u ∈ D(A) = D(B), ou seja, (Bu, v) = (u, v ∗ +α 0 v), para todo u ∈ D(B), o que prova que D(A ∗ ) ⊂ D(B ∗ ) e, além diso, (u, B ∗ v) = (u, v ∗ + α 0 v), para todo u ∈ D(B), ou seja, B ∗ v = (A ∗ +α 0 I) v, para todo v ∈ D(A ∗ ). (5.302) Reciprocamente, suponhamos que v ∈ D(B ∗ ). Ent˜ ao, existe v ∗ ∈ H, v ∗ = B ∗ v, tal que (Bu, v) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(B). Logo, (Au +α 0 u, v) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(B) = D(A). Donde (Au, v) = (u, v ∗ −α 0 v), para todo u ∈ D(A). Portanto, v ∈ D(A ∗ ). Logo, D(B ∗ ) = D(A ∗ ) e de (5.302) vem que B ∗ v = (A ∗ +α 0 I) v, para todo v ∈ D(B ∗ ), o que prova (5.301). 328 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Por outro lado, como b(u, v) é coerciva, resulta que o operador B ∗ é definido pela terna ¦V, H, b ∗ (u, v)¦ onde b ∗ (u, v) = b(u, v). Sendo b(u, v) coerciva, resulta que b ∗ (u, v) também o é. Logo, pelo teorema 5.121 e por (5.301) resulta que o problema _ v ∈ D(A ∗ ) A ∗ v +α 0 v = g, (5.303) possui solu¸c˜ ao ´ unica v, para cada v ∈ H. De maneira análoga ao que fizemos para o operador G(α 0 )H →D(A) conclu´ımos que o operador S := (A ∗ + α 0 I) −1 : H → D(A ∗ ) g → Sg = (A ∗ + α 0 I) −1 g = v, onde v é a ´ unica solu¸cão de (5.303), é um operador compacto de H. Para u = G(α 0 ) ∈ D(A), v = Sg ∈ D(A ∗ ), f, g ∈ H, temos (Au +α 0 u, v) = (u, A ∗ v + α 0 v). Donde, (G(α 0 )f, g) = _ (A + α 0 I) −1 f, (A ∗ +α 0 I)v _ = (u, A ∗ v + α 0 v) = (Au + α 0 u, v) = (f, Sg), ou seja, (G(α 0 )f, g) = (f, Sg), para todo f, g ∈ H, (5.304) donde se conclui que S = G ∗ (α 0 ). (5.305) Do exposto, temos o seguinte resultado: Teorema 5.130 Nas condicões (5.285)-(5.289) existe A ∗ e para λ ∈ C, cada uma das equa¸cões (l 1 ) _ u ∈ D(A) Au + λu = f (l 2 ) _ v ∈ D(A ∗ ) A ∗ v + λv = g têm solu¸cões ´ unicas u e v para cada f e g em H, ou as equa¸cões homogêneas (l 3 ) _ ϕ ∈ D(A) Aϕ + λϕ = 0 (l 4 ) _ ψ ∈ D(A ∗ ) A ∗ ψ + λψ = 0, CONSEQU ˆ ENCIAS DA ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 329 têm solu¸cões não nulas e o n´ umero máximo de solu¸cões linearmente independentes é finito e o msmo para ambas as equa¸cões. A equa¸cão (l 1 ) tem, pelo menos, uma solu¸cão se e somente se f é ortogonal a todas as solu¸cões ψ de (l 4 ) e a equa¸cão (l 2 ) tem uma solu¸cão se e somente se g é ortogonal a todas as solu¸cões ϕ de (l 3 ). Demonstra¸cão: Se λ = α 0 , pelo exposto acima, as equa¸cões (l 1 ) e (l 3 ) têm solu¸c˜ oes ´ unicas u e v para cada f e g em H e as equa¸cões (l 3 ) e (l 4 ) só admitem solu¸c˜ oes triviais nulas. Agora, se λ ,= α 0 , temos, para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ D(A ∗ ) que Au + λu = f ⇔Au + α 0 u + λu −α 0 u = f ⇔ (A +α 0 I)u + (λ −α 0 )u = f, A ∗ v + λv = g ⇔A ∗ v + α 0 v + λv −α o v = g ⇔(A ∗ + α 0 I)v + (λ −α 0 )v = g, ou seja, _ Au + λu = f ⇔ u + (λ −α 0 )G(α 0 )u = G(α 0 )f, A ∗ v + λv = g ⇔ v + (λ −α 0 )G ∗ (α 0 )v = G ∗ (α 0 )g. (5.306) Consideremos, ent˜ ao, as equa¸c˜ oes (l 1 ) u −(λ −α 0 )G(α 0 )u = G(α 0 )f (l 2 ) v −(α 0 −λ)G ∗ (α 0 )v = G ∗ (α 0 )g, (l 3 ) ϕ −(α 0 −λ)G(α 0 )ϕ = 0 (l 4 ) ψ −(α 0 −λ)G ∗ (α 0 )ψ = 0. Então, por (5.306) resulta que as equa¸c˜ oes (l j ) e (l j ), j = 1, 2, 3, 4, têm as mesmas solu¸c˜ oes. Aplicando-se a alternativa de Riesz-Fredholm vista no parágrafo 5.8 (Corolário 5.82) ao operador G(α 0 ), a menos das condi¸cões de ortogonalidade, segue o teorema. Provaremos, então, tais rela¸cões. De (l 3 ) e (l 4 ) temos G(α 0 )ϕ = ϕ α 0 −λ e G ∗ (α 0 )ψ = ψ α 0 −λ . Segue de (5.304) que (G(α 0 )f, ψ) = (f, G ∗ (α 0 )ψ) = 1 α 0 −λ (f, ψ), ou seja, (G(α 0 )f, ψ) = 1 α 0 −λ (f, ψ). (5.307) Também (G ∗ (α 0 )g, ϕ) = (g, G(α 0 )ϕ) = 1 α 0 −λ (g, ϕ), 330 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL isto é, (G ∗ (α 0 )g, ϕ) = 1 α 0 −λ (g, ϕ). (5.308) Das rela¸c˜ oes (5.307) e (5.308) e do corolário 5.82 segue a parte que resta do teorema. Em verdade, temos o seguinte diagrama: (l 1 ) tem pelo menos uma solu¸c˜ ao ⇔ (l 1 ) tem pelo menos uma solu¸c˜ ao ¸ ¸ f é ortogonal a todas as solu¸cões ψ de (l 4 ) ⇔ G(α 0 )f é ortogonal a todas as solu¸cões ψ de (l 4 ) (l 2 ) tem pelo menos uma solu¸cão ⇔ (l 2 ) tem pelo menos uma solu¸c˜ ao ¸ ¸ g é ortogonal a todas as solu¸cões ϕ de (l 3 ) ⇔ G ∗ (α 0 )g é ortogonal a todas as solu¸c˜ oes ϕ de (l 3 ) 2 5.13 O Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos não limitados Antes de enunciarmos o principal resultado desta se¸c˜ ao, necessitamos definir conceitos e demonstrar alguns resultados preliminares. Defini¸cão 5.131 Seja E um espa¸co de Banach e T ∈ /(E). (i) Denominamos conjunto resolvente de T o conjunto ρ(T) = ¦λ ∈ C; T −λI é bijetor¦. (ii) Denomonamos espectro de T, e denotamos por σ(T), o complementar de ρ(T) em rela¸cão aos n´ umeros complexos, ou seja, σ(T) = Çρ(T). (iii) Denominamos conjunto de valores próprios de T (ou autovalores de T), e denotaremos por V P(T), o conjunto V P(T) = ¦λ ∈ C; N(T −λI) ,= ¦0¦¦ O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS N ˜ AO LIMITADOS 331 Observa¸cão 5.132 Notemos que V P(T) ⊂ σ(T). De fato, seja λ ∈ V P(T). Então, λ ∈ C e N(T − λI) ,= ¦0¦ e portanto T − λI não é injetor. Logo, T − λI não pode ser bijetivo e então λ / ∈ ρ(T). Como C = ρ(T) ∪ σ(T) temso que λ ∈ σ(T). Em geral, tal conclusão é estrita. Observa¸cão 5.133 Notemos, também, que a defini¸cão 5.131(i) não se opõe à defini¸cão dada anteriormente (veja se¸cão 5.12.1) posto que, neste caso, se T −λI é bijetivo segue imediatamente que existe (T − λI) −1 e D((T − λI) −1 ) = E. Além disso, pelo corolário 2.21, como T −λI ∈ /(E) resulta que (T −λI) −1 ∈ /(E). Proposi¸cão 5.134 Sejam H um espa¸co de Hilbert de dimensão infinita e T ∈ / c (H). Então: (i) 0 ∈ σ(T). (ii) σ(T)¸¦0¦ = V P(T)¸¦0¦. Demonstra¸cão: (i) Suponhamos, por contradi¸c˜ ao, que 0 / ∈ σ(T). Logo, 0 ∈ ρ(T) e portanto T é bijetor. Logo, existe T −1 e T −1 ∈ /(H). Sendo assim, como T ∈ / c (H) e T −1 ∈ /(H), temos que T ◦T −1 ∈ / c (H), ou seja, I ∈ / c (H). Desta forma, a bola unitária é compacta. Com efeito, seja A ⊂ B H = ¦u ∈ H; [u[ ≤ 1¦ um conjunto infinit. Então, [v[ ≤ 1, para todo v ∈ A e, da´ı, como I ∈ / c (H) temos que existe ¦v ν ¦ ν∈N ⊂ A tal que Iv ν → w, ou seja, v ν → w. Além disso, como [v ν [ ≤ 1, para todo ν ∈ N, ent˜ ao, [w[ ≤ 1 e, portanto, v ν → w onde w ∈ B H . Logo, todo conjunto infinito de B H possui um ponto de acumula¸ cão em B H , ou equivalentemente, B H é compacto. Pelo lema 5.78 conclu´ımos que a dimensão de H é finita, o que é uma contradi¸c˜ ao. Desta forma, 0 ∈ σ(T). (ii) Seja λ ∈ σ(T)¸¦0¦, isto é, λ ∈ σ(T) e λ ,= 0. Provaremos que λ ∈ V P(T). Com efeito, suponhamos, por contradi¸c˜ ao, que λ / ∈ V P(T). Ent˜ ao, N(T − λI) = ¦0¦ e portanto N _ I − 1 λ T _ = ¦0¦. Pelo Teorema 5.81(c) (Alternativa de Riez-Fredholm) temos que Im _ I − 1 λ T _ = H e consequentemente Im(T −λI) = H. Logo, N(T −λI) = ¦0¦ e Im(T − λI) = H, ou seja, T − λI é bijetivo e portanto λ ∈ ρ(T), o que é um absurdo pois σ(T) = Çρ(T). Então, λ ∈ V P(T) e como λ ,= 0, λ ∈ V P(T)¸¦0¦. Por outro lado, seja λ ∈ V P(T)¸¦0¦, isto é, λ ∈ V P(T) e λ ,= 0. Pela observa¸cão 5.132, λ ∈ σ(T) e λ ,= 0, ou seja, λ ∈ σ(T)¸¦0¦. 2 Lema 5.135 Sejam H um espa¸co de Hilbert tal que dimH = ∞ e T ∈ / c (H). Considere ¦λ ν ¦ ν∈N ∗ ⊂ σ(T)¸¦0¦ tal que λ ν ,= λ µ se ν ,= µ e λ ν →λ em C. Então, λ = 0. 332 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Demonstra¸cão: Seja ¦λ ν ¦ ν∈N ∗ ⊂ σ(T)¸¦0¦ tal que λ ν ,= λ µ se ν ,= µ e λ ν → λ em C. Pelo item (ii) da proposi¸cão 5.134 temos que ¦λ ν ¦ ν∈N ∗ ⊂ V P(T)¸¦0¦ e, portanto, N(T −λ ν I) ,= ¦0¦, qualquer que seja o ν ∈ N ∗ . Logo, para cada ν ∈ N ∗ , existe u ν ∈ H, u ν ,= 0 tal que (T −λ ν I)u ν = 0. Definamos, para cada ν ∈ N ∗ , o seguinte conjunto E ν = [u 1 , u 2 , , u ν ] . Claramente, E ν é fechado para todo ν ∈ N ∗ e, além disso, E ν _ E ν+1 , para todo ν ∈ N ∗ . Com efeito, se provarmos que o conjunto ¦u ν ¦ ν∈N ∗ é linearmente independente teremos provado o desejado uma vez que , assim sendo, u ν+1 / ∈ E ν , para todo ν ∈ N ∗ . Provaremos, ent˜ ao, que os vetores u ν , ν ∈ N ∗ são linearmente independentes. Tal prova será feita por indu¸cão. Se ν = 1, u 1 é linearmente independente pois u 1 ,= 0. Suponhamos a afirama¸c˜ ao verdadeira para ν e provemos para ν + 1, ou seja, suponhamos que u 1 , u 2 , cdots, u ν são linearmente independentes e devemos mostrar que u 1 , u 2 , cdots, u ν , u ν+1 são linearmente independentes. Suponhamos, por contradi¸ cão, que u ν+1 não seja linearmente independente com u 1 , u 2 , cdots, u ν . Então, u ν+1 = ν i=1 α i u i , (5.309) e, consequentemente, λ ν+1 u ν+1 = T(u ν+1 ) = ν i=1 α i T(u i ) = ν i=1 α i λ i u i , ou seja, λ ν+1 ν i=1 α i u i = ν i=1 α i λ i u i ⇔ ν i=1 α i (λ i −λ ν+1 )u i = 0. Pela hipótese indutiva temos que u 1 , , u ν são linearmente independentes e por, conseguinte, α i (λ i −λ ν+1 ) = 0, i = 1, 2, , ν. Como a seq¨ uência ¦λ ν ¦ ν∈N ∗ é formada por n´ umeros complexos distintos, resulta que α i = 0, i = 1, 2, , ν. (5.310) O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS N ˜ AO LIMITADOS 333 De (5.309) e (5.310) segue que u ν+1 = 0, o que é um absurdo pois u ν ,= 0 para todo ν ∈ N ∗ , o que prova que u 1 , u 2 , , u ν , u ν+1 são linearmentes independentes. Portanto, Para todo ν ∈ N ∗ , temos que E ν são subespa¸cos fechados de H (5.311) tais que E ν _ E ν+1 . Além disso, (T −λ ν I)E ν ⊂ E ν−1 , para todo ν ≥ 2. (5.312) De fato, seja w ∈ E ν . Ent˜ ao, w = ν i=1 α i u i e, portanto, (T −λ ν I)w = Tw −λ ν w = ν i=1 α i λ i u i − ν i=1 λ ν α i u i = ν−1 i=1 α i (λ i −λ ν )u i + λ ν α ν u ν −λ ν α ν u ν = ν−1 i=1 α i (λ i −λ ν )u i , ou seja, (T −λ ν I)w = ν−1 i=1 α i (λ i −λ ν )u i ∈ E ν−1 . Desta forma, observando (5.311), vem do Lema de Riesz (lema 5.77) que dado ε = 1 2 , para cada ν ≥ 2, existe w ν ∈ E ν tal que [[w ν [[ = 1 e d (w ν , E ν−1 ) ≥ 1 2 . Por outro lado, seja ν > µ ≥ 2. Temos: ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ T(w ν ) λ ν − T(w µ ) λ µ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ T(w ν ) −λ ν w ν λ ν − _ T(w µ ) −λ µ w µ λ µ _ + w ν −w µ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ (5.313) = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ (T −λ ν I) _ w ν λ ν _ −(T −λ µ I) _ w µ λ µ _ −w µ + w ν ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ . Pelo fato de 2 ≤ µ < ν, temos que 1 ≤ µ −1 < µ ≤ ν −1 < ν e, então, E µ−1 ⊂ E µ ⊂ E ν−1 ⊂ E ν (5.314) Como w ν ∈ E ν e w µ ∈ E µ , segue que w ν λν ∈ E ν e w µ λµ ∈ E µ e, portanto, de (5.312) vem que (T −λ ν I) _ w ν λ ν _ ∈ E ν−1 e (T −λ µ I) _ w µ λ µ _ ∈ E ν−1 , por (5.314). 334 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Além disso, como w µ ∈ E µ , temos por (5.314) que w µ ∈ E ν−1 e pelo fato de R ν−1 ser um subespa¸co vetorial, segue que (T −λ ν I) _ w ν λ ν _ −(T −λ µ I) _ w µ λ µ _ −w µ ∈ E ν−1 . (5.315) De (5.313) e (5.315) resulta que ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ T(w ν ) λ ν − T(w µ ) λ µ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ≥ d(w ν , E ν−1 ) ≥ 1 2 , para todo ν > µ ≥ 2. (5.316) Afirmamos que λ = 0. De fato, suponhamos o contr´ ario, que λ ,= 0. Então 1 λν → 1 λ e, portanto, existe M > 0 tal que ¸ ¸ ¸ 1 λν ¸ ¸ ¸ ≤ M, para todo ν ∈ N ∗ . Logo, ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ w ν λ ν ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = [[w ν [[ 1 [λ ν [ = 1 [λ ν [ ≤ M, para todo ν ∈ N ∗ . Como T ∈ / c (H), existe uma subseq¨ uência _ wµ λ µ _ ⊂ _ w ν λ ν _ tal que _ T _ wµ λ µ __ é convergente em H, o que é uma contradi¸c˜ ao com (5.316), pois de (5.316) vem que _ T _ wµ λ µ __ não possui nenhuma seq¨ uência de Cauchy e portanto não possui subseq¨ uência convergente. Logo, λ = 0, o que encerra a prova. 2 Corolário 5.136 Sejam H um espa¸co de Hilbert tal que dimH = ∞ e T ∈ / c (H). Então, os pontos de σ(T)¸¦0¦ são isolados, isto é, nenhum ponto de σ(T)¸¦0¦ é ponto de acumula¸cão de σ(T)¸¦0¦. Demonstra¸cão: Pelo lema 5.135 temos que o ´ unico ponto de acumula¸c˜ ao de σ(T)¸¦0¦ é 0 e portanto nenhum ponto de σ(T)¸¦0¦ é ponto de acumula¸c˜ ao de σ(T)¸¦0¦. Logo, todos os pontos de σ(T)¸¦0¦ são isolados. 2 Proposi¸cão 5.137 Sejam H um espa¸co de Hilbert tal que dimH = ∞ e T ∈ / c (H). Então, uma das seguintes situa¸cões se verifica: Ou σ(T) = ¦0¦. Ou σ(T)¸¦0¦ é finito e não vazio. Ou σ(T)¸¦0¦ = ¦λ ν ¦ ν∈N tal que λ ν →, ν → +∞. O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS N ˜ AO LIMITADOS 335 Demonstra¸cão: Temos dois casos a comsiderar: σ(T) finito ou σ(T) infinito. 1 0 Caso: σ(T) finito. Se σ(T) é finito e unitário, temos pelo ´ıtem (i) da proposi¸c˜ ao 5.134 que σ(T) = ¦0¦. Se σ(T) não é unitário, porém finito, temos que σ(T)¸¦0¦ é finito e não vazio. 2 0 Caso: σ(T) infinito. Definamos, para cada n ∈ N ∗ , o conjunto E n = σ(T) ∩ ¦λ ∈ C; [λ[ ≥ 1 n ¦. Afirmamos que E n é vazio ou finito, para todo n ∈ N ∗ . Com efeito, suponhamos, por contradi¸c˜ ao, que existe n 0 ∈ N tal que E n 0 é infinito. Como E n 0 ⊂ σ(T) e σ(T) é compacto (veja lema 5.129 (ii)) temos que E n 0 possui um ponto de acumula¸c˜ ao λ em σ(T), ou seja, existe ¦λ ν ¦ ν∈N ⊂ E n 0 , λ ν ,= λ µ se ν ,= µ tal que λ ν →λ. Além disso, como ¦λ ν ¦ ⊂ E n 0 , temos que ¦λ ν ¦ ⊂ σ(T)¸¦0¦. Pelo lemma 5.135 segue que λ = 0, o que é um absurdo posto que [λ ν [ ≥ 1 n , para todo ν ∈ N e, portanto, [λ[ ≥ 1 n 0 . Logo, E n é vazio ou finito, para todo n ∈ N ∗ . Notemos ainda que σ(T)¸¦0¦ = ∪ n∈N ∗E n . (5.317) De fato, como cada E n ⊂ σ(T)¸¦0¦ temos que ∪ n∈N ∗E n ⊂ σ(T)¸¦0¦ ⊂ σ(T). Reciprocamente, seja λ ∈ σ(T)¸¦0¦. Ent˜ ao, [λ[ > 0 e portanto existe n ∈ N ∗ tal que [λ[ ≥ 1 n 0 . Logo, λ ∈ E n 0 ⊂ ∪ n∈N ∗E n , o que prova (5.317). Como cada E n é finito ou vazio e σ(T)¸¦0¦ é infinito segue de (5.317) que σ(T)¸¦0¦ é enumer´ avel. Resta-nos, agora, enumerar σ(T)¸¦0¦ de modo a formar uma seq¨ uência que converge para zero. Notemos que: E n ⊂ E n+1 , para todo n ∈ N ∗ e (5.318) Se λ ∈ E n+1 é tal que λ / ∈ E n , então [λ[ < [λ ∗ [, para todo λ ∗ ∈ E n . Com efeito, seja λ ∈ E n . Ent˜ ao, λ ∈ σ(T) e [λ[ ≥ 1 n . Como 1 n > 1 n+1 , resulta que [λ[ > 1 n+1 e, portanto, λ ∈ E n+1 . Seja, ainda, λ ∈ E n+1 tal que λ / ∈ E n . Logo, [λ[ ≥ 1 n+1 336 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL e [λ[ < 1 n , ou seja, 1 n + 1 ≤ [λ[ < 1 n ≤ [λ[ ∗ , para todo λ ∗ ∈ E n . Assim, [λ[ < [λ ∗ [, para todo λ ∗ ∈ E n , o que prova (5.318). A partir das propriedades dos conjuntos E n dadas em (5.318) enumeremos σ(T)¸¦0¦ da seguinte forma: Como E 1 é finito podemos escrever: E 1 = ¦λ 11 , λ 12 , , λ 1m ¦, de forma que [λ 11 [ ≥ [λ 12 [ ≥ ≥ [λ 1m [. Come E 2 é finito, de acordo com (5.318), E 1 ⊂ E 2 e [λ[ < [λ 1j [, j = 1, 2, , m se λ ∈ E 2 ¸E 1 , podemos escrever: E 2 = ¦λ 11 , λ 12 , , λ 1m , λ 21 , λ 22 , , λ 2k ¦, de forma que [λ 21 [ ≥ [λ 22 [ ≥ ≥ [λ 2k [. Procedendo desta forma, conseguimos enumerar σ(T)¸¦0¦ de tal forma que σ(T)¸¦0¦ = ¦λ ν ; ν ∈ N¦ e [λ ν [ ≥ [λ ν+1 [, para todo ν ∈ N ∗ . Como ¦λ ν ¦ ν∈N ∗ é uma seq¨ uência em módulo crescente e limitada (posto que ¦λ ν ¦ ν∈N ∗ ⊂ σ(T) e σ(T) é compacto, resulta que [λ ν [ → inf ν∈N [λ ν [. (5.319) Por outro lado, como ¦λ ν ¦ ν∈N ∗ é um conjunto infinito de σ(T), que é por sua vez um conjunto compacto, garantimos a exist encia de uma subseq¨ uência ¦λ ν k ¦ ⊂ ¦λ ν ¦ tal que λ ν k 1 ,= λ ν k 2 se k 1 ,= k 2 e ¦λ ν k ¦ ⊂ σ(T)¸¦0¦ ( já que ¦λ nu ¦ ⊂ σ(T)¸¦0¦) tal que λ ν k → λ. Pelo lema 5.135, conclu´ımos que λ = 0 e, desta forma, λ ν k →0, (5.320) o que implica [λ ν k [ → 0, (5.321) De (5.319) e (5.321) conclu´ımos que inf ν∈N [λ ν [ = 0. O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS N ˜ AO LIMITADOS 337 Portanto, de (5.319) vem que [λ ν [ → 0 e, por conseguinte, λ ν →0. Assim, σ(T)¸¦0¦ = ¦λ ν ¦ ν∈N ∗, onde λ ν →0, quando ν → +∞, o que encerra a prova. 2 Consideremos: • V e H espa¸cos de Hilbert tais que V c →H com V denso em H e dim(H) = +∞. • a(u, v) uma forma sesquilinear, cont´ınua em V tal que existem α 0 , α ∈ 1, com α > 0 satisfazendo Re [a(v, v) + α 0 (v, v)] ≥ α[[v[[ 2 V , para todo v ∈ V. • A é o operador definido pela terna ¦V, H; a(u, v)¦. Conforme considera¸c˜ oes estabelecidas na se¸cão 5.12.2, temos que G(α 0 ) = (A + α 0 I) −1 existe e G(α 0 ) ∈ / c (H). Portanto, de acordo com a proposi¸c˜ ao 5.137, temos que σ(G(α 0 ))¸¦0¦ é no máximo enumer´ avel e, no caso de ser infinito, é uma sequência que converge para zero. Porém, pela proposi¸caõ 5.134(ii), temos que σ(G(α 0 ))¸¦0¦ = V P(G(α 0 ))¸¦0¦, e consequentemente o conjunto de valores próprios de G(α 0 ) não nulos é no máximo enumer´ avel. No entanto, como G(α 0 ) é invers´ıvel, uma vez que [G(α 0 )] −1 = A + α 0 I, temos que G(α 0 ) é injetivo e, desta forma, λ = 0 não é um valor próprio de G(α 0 ) já que N(G(α 0 )) = ¦0¦ e portanto G(α 0 )u = 0 se e somente se u = 0. Assim, V P(G(α 0 ))¸¦0¦ = V P(G(α 0 )). Conclu´ımos ent˜ ao que V P(G(α 0 )) é no máximo enumer´ avel, não contém λ = 0, e no caso de (5.322) ser infinito se V P(G(α 0 )) = ¦β ν ¦ ν∈N , temos que [β ν [ ≥ [β ν+1 [, para todo ν ∈ N, e β ν →0. 338 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Proposi¸cão 5.138 Sejam V e H espa¸cos de Hilbert tais V é denso em H, V c → H e dimH = +∞. Considere a(u, v) uma forma sesquilinear e cont´ınua em V e assuma que existam α 0 , α ∈ 1, com α > 0 tais que Re [a(v, v) + α 0 (v, v)] ≥ α[[v[[ 2 V , para todo v ∈ V. Seja A o operador definido pela terna ¦V, H; a(u, v)¦. Então: (i) Se λ ∈ C, temos que λ ∈ ρ(A) ou λ é um valor próprio de A. Analogamente temos que se λ ∈ C, ou λ ∈ ρ(A ∗ ) ou λ é um valor própriode A ∗ . (ii) O conjunto dos valores próprios de A é no máximo enumerável e estes são da forma λ ν = 1 −α 0 β ν β ν , onde β ν é a cole¸cão dos valores próprios de G(α 0 ). Além disso, se β ν é enumerável, então [λ ν [ → +∞ quando ν → +∞. (iii) O conjunto dos valores próprios de A ∗ é no máximo enumerável e estes são dados pelo conjugado dos valores próprios de A. Demonstra¸cão: (i) Seja λ ∈ C. Se λ = −α 0 , temos que λ ∈ ρ(A) pois (A −(−α 0 )I) −1 = (A + α 0 I) −1 = G(α 0 ), existe, D(G(α 0 )) = H e G(α 0 ) é cont´ınuo conforme visto anteriormente. Se λ ,= −α 0 , temos que −λ ,= α 0 e, portanto, as equa¸cões (l 1 ) _ u ∈ D(A) Au −λu = f (l 3 ) _ ϕ ∈ D(A) Aϕ −λϕ = 0 são, respectivamente, equivalentes as equa¸c˜ oes (l 1 ) u −(α 0 + λ)G(α 0 )u = G(α 0 )f (l 3 ) ϕ −(α 0 +λ)G(α 0 )ϕ = 0, de acordo com a demonstra¸cão do teorema 5.130. Suponhamos que λ não seja valor próprio do operador A. Devemos mostrar que λ ∈ ρ(A). Com efeito, se λ / ∈ V P(A), ent˜ ao a equa¸c˜ ao (l 3 ) não posssui solu¸cão diferente da trivial e, portanto, pelo teorema 5.130 temos que (l 1 ) possui, para cada f ∈ H, uma O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS N ˜ AO LIMITADOS 339 solu¸c˜ ao ´ unica que denotaremos por u. Pela equivalência das equa¸cões (l 1 ) e (l 1 ) temos que, para cada f ∈ H, existe um ´ unico u ∈ D(A) tal que Au −λu = f (5.323) e u −(α 0 + λ)G(α 0 )u = G(α 0 )f. (5.324) Logo, o operador (A −λI) é bijetivo e portanto G(−λ) = (A −λI) −1 existe e D(G(−λ)) = Im(A −λI) = H. (5.325) Por outro lado, seja f = 0. Como G(α 0 )f = 0 e a equa¸cão (l 1 ) só possui uma ´ unica solu¸c˜ ao para cada f ∈ H, temos que u = 0 é a ´ unica solu¸cão da equa¸cão (l 1 ), isto é, u = 0 ⇔G(α 0 )u = 1 (α 0 + λ) u. Portanto, 1 (α 0 + λ) não é valor próprio de G(α 0 ). (5.326) Como G(α ) ∈ / c (H) temos, pela proposi¸c˜ ao 5.134(ii) que V P(G(α 0 ))¸¦0¦ = σ(G(α 0 ))¸¦0¦, e, desta forma, de (5.326) e do fato que 1 α 0 +λ ,= 0 resulta que 1 α 0 + λ / ∈ σ(G(α 0 )), ou ainda, 1 α 0 + λ ∈ ρ(G(α 0 )). (5.327) Seja f ∈ H. Ent˜ ao, existe um ´ unico u ∈ D(A), solu¸cão de (5.323) e (5.324). De (5.323) resulta que G(−λ)(A −λI)u = G(−λ)f, ou ainda, de (5.325) obtemos u = G(−λ)f. (5.328) 340 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL De (5.324) vem que −1 α 0 +λ [u −(α 0 + λ)G(α 0 )u] = − 1 α 0 + λ [G(α 0 )f] , isto é, _ G(α 0 ) − 1 (α 0 + λ) I _ u = − −1 (α 0 +λ) G(α 0 )f. (5.329) Substituindo (5.328) em (5.329) obtemos _ G(α 0 ) − 1 (α 0 + λ) I _ (G(−λ)f) = − −1 (α 0 +λ) G(α 0 )f. Compondo a equa¸c˜ ao acima com o operador _ G(α 0 ) − 1 (α 0 +λ) I _ −1 , que existe por (5.327), resulta que G(−λ)f = − 1 α 0 + λ _ _ G(α 0 ) − 1 α 0 + λ I _ −1 ◦ G(α 0 ) _ f. (5.330) Pela aarbitrariedade de f ∈ H, conclu´ımos de (5.330) que G(−λ) = − 1 α 0 + λ _ _ G(α 0 ) − 1 α 0 + λ I _ −1 ◦ G(α 0 ) _ (5.331) Como G(α 0 ) é compacto e _ G(α 0 ) − 1 α 0 +λ I _ −1 é cont´ınuo (por (5.327)), segue de (5.331) que G(−λ) ∈ / c (H). (5.332) Logo, G(−λ) ∈ /(H). (5.333) De (5.325) e (5.333) vem que λ ∈ ρ(A). Conclu´ımos então que se λ ∈ C, ou λ ∈ ρ(A) ou λ é um valor próprio de A. Observemos, ainda, que nas hipóteses desta proposi¸cão, A ∗ existe, existe (A ∗ +α 0 I) −1 , [G(α 0 )] ∗ = (A ∗ +α 0 I) −1 e [G(α 0 )] ∗ ∈ / c (H), conforme vimos na se¸c˜ ao 5.12.2. Seja λ ∈ C. Se λ = −α 0 , temos que λ ∈ ρ(A) pelo que foi dito acima. Se λ ,= −α 0 , temos que −λ ,= α 0 e, portanto, as equa¸cões (l 2 ) _ v ∈ D(A ∗ ) A ∗ v −λv = f (l 4 ) _ ψ ∈ D(A ∗ ) A ∗ ψ −λψ = 0 O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS N ˜ AO LIMITADOS 341 são, respectivamente, equivalentes as equa¸c˜ oes (l 2 ) v −(α 0 + λ)G ∗ (α 0 )v = G(α 0 )f (l 4 ) ψ −(α 0 + λ)G ∗ (α 0 )ψ = 0, de acordo com a demonstra¸cão do teorema 5.130. Supondo que λ não seja valor próprio do operador A ∗ , mostra-se, de maneira análoga a feita para A, que λ ∈ ρ(A ∗ ) e, portanto, conclui-se o mesmo resultado para A ∗ , ou seja, se λ ∈ C, ou λ ∈ ρ(A ∗ ) ou λ é valor próprio de A ∗ . (ii) Afirmamos que: ¦λ ∈ C, existe u ,= 0 tal que Au = λu¦ (5.334) = _ 1 −α 0 β ν β ν ; onde β ν é a cole¸cão dos autovalores de G(α 0 ) _ Com efeito, seja λ ∈ C tal que exista u ,= 0 tal que Au = λu, ou seja, λ é valor próprio de A. Então, λ ,= −α 0 , pois A + α 0 I é um operador injetivo e, desta forma, −α 0 não é valor próprio de A. Logo, se u ,= 0 é tal que Au = λu, ent˜ ao, Au +α 0 u = (λ +α 0 )u, isto é, (A + α 0 I)u = (λ + α 0 )u. Como G(α 0 ) = (A + α 0 I) −1 , temos que u = (λ + α 0 )G(α 0 )u e portanto G(α 0 )u = 1 λ + α 0 u. (5.335) Logo, 1 (λ+α 0 ) é uma valor próprio de G(α 0 ). Seja ¦β ν ¦ a cole¸c˜ ao dos autovalores de G(α 0 ). Pelo que vimos anteriormente, ¦β ν ¦ é no máximo enumerável, β ν ,= 0 e se ¦β ν ¦ é infinito, ent˜ ao β ν → 0 quando ν → +∞. Como 1 λ+α 0 é um autovalor de G(α 0 ), temos que existe ν ∈ N tal que 1 λ+α 0 = β ν , ou seja, 1 β ν = λ +α 0 ⇔λ = 1 −α 0 β ν β ν , e, assim, λ ∈ _ 1 −α 0 β ν β ν ; onde β ν é a cole¸c˜ ao dos autovalores de G(α 0 ) _ . (5.336) Reciprocamente, seja λ = 1−α 0 βν β ν , para algum ν ∈ N. Então, λ + α 0 = 1 β ν , isto é, β ν = 1 λ+α 0 . Assim, existe u ,= 0 tal que G(α 0 )u = 1 (λ+α 0 ) u pois β ν é valor próprio de G(α 0 ). Consequentemente, u = (A + α 0 I)G(α 0 )u = 1 (λ + α 0 ) (A + α 0 I)u, 342 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL ou seja, Au + α 0 u = λu + α 0 u se e somente se Au = λu. Portanto, existe u ,= 0 tal que Au = λu e, consequentemente, λ ∈ ¦λ ∈ C, existe u ,= 0 tal que Au = λu¦ . (5.337) Combinando (5.336) e (5.337) fica provado (5.334). Logo, a cole¸c˜ ao dos valores próprios de A é dada por λ ν = 1 −α 0 β ν β ν , (5.338) e, por conseguinte, a cole¸c˜ ao dos valores próprios de A é no máximo enumer´ avel. Além disso, se ¦β ν ¦ é enumer´ avel temos que β ν →0 quando ν →+∞ e como [λ ν [ = ¸ ¸ ¸ ¸ 1 −α 0 β ν β ν ¸ ¸ ¸ ¸ = ¸ ¸ ¸ ¸ 1 β ν −α 0 ¸ ¸ ¸ ¸ ≥ ¸ ¸ ¸ ¸ 1 β ν ¸ ¸ ¸ ¸ −[α 0 [ = 1 [β ν [ −[α 0 [ → +∞, temos que [λ ν [ →+∞, quando ν → +∞. (5.339) (iii) Seja λ ν = 1−α 0 βν β ν . De acordo com o ´ıtem (ii), a equa¸c˜ ao Au − λ ν u = 0, possui, para cada ν, solu¸c˜ ao não nula e, portanto, pelo Teorema 5.130, temos que a equa¸c˜ ao A ∗ v −λ ν v = 0 possui, para cada ν, solu¸c˜ ao não nula. Logo, a cole¸cão ¦λ ν ¦ é formada por valores próprios de A ∗ . Além disso, como os valores próprios de A são dados pela cole¸c˜ ao ¦λ ν ¦, temos que os valores próprios de A ∗ são dados pela cole¸c˜ ao ¦λ ν ¦. Com efeito, já vimos que ¦λ ν ¦ está contido no conjunto de valores de A ∗ . Resta-nos provar que qualquer valor próprio de A ∗ pertence a ¦λ ν ¦. Suponhamos, por contradi¸c˜ ao, que exista λ ∈ C, valor próprio de A ∗ tal que λ ,= λ ν , para todo ν. Ent˜ ao, a equa¸c˜ ao A ∗ u − λu = 0 não possui solu¸c˜ ao ´ unica e pelo Teorema 5.130 temos que Au − λu = 0 possui solu¸c˜ ao não nula, ou seja, λ é autovalor de A. Mas, como λ ,= λ ν , para todo ν, temos que λ ,= λ ν , para todo ν, o que é um absurdo. Isto conclui a prova. 2 Observa¸cão 5.139 Se A é o operador definido pela terna ¦V, H, a(u, v)¦ de acordo com (5.287) temos pela proposi¸cão 5.138 que se λ ∈ C, então λ ∈ ρ(A) ou λ é valor próprio de A. Supondo-se, na demonstra¸cão da referida proposi¸cão, que λ não fosse valor próprio de A obt´ınhamos, (conforme (5.332)), que (A−λI) −1 ∈ / c (H). Analogamente, se λ ∈ ρ(A ∗ ) resulta que (A ∗ −λI) −1 ∈ / c (H). O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS N ˜ AO LIMITADOS 343 Observa¸cão 5.140 Seja A o operador definido pela terna ¦V, H, a(u, v)¦ de acordo com (5.287). Então, novamente, de acordo com a proposi¸cão 5.138, obtemos os seguintes resultados: • De (i) vem que C = ρ(A) ∪V P(A), onde V P(A) é o conjunto dos valores próprios de A e ρ(A) ∩V P(A) = ∅. Assim, σ(A) = V P(A) e, portanto, não existe λ ∈ σ(A) tal que A−λI é invers´ıvel. Logo, o espectro cont´ınuo de A e o espectro residual de A são vazios. • De (ii) resulta que o espectro pontual de A (que é o conjunto dos valores próprios de A) não possui nenhum ponto de acumula¸cão finito. Com efeito, se σ(A) é finito, nada temos a provar posto que todos os seus pontos são isolados. Suponhamos, então, σ(A) infinito e assumamos, por contradi¸cão, que σ(A) possua um ponto de acumula¸cão finito. Logo, existe ¦γ m ¦ ⊂ σ(A) e γ ∈ C tais que γ m → γ. Portanto, existe M > 0 tal que [γ m [ ≤ C, para todo m ∈ N. Porém, como ¦γ m ¦ ⊂ σ(A) = ¦λ ν ¦ ν∈N , temos que para cada m ∈ N, γ m é um dos λ ν . Logo, existe uma infinidade de λ ν cujos módulos são menores ou iguais a M. Por outro lado, como [λ ν [ → +∞, temos que existe ν 0 ∈ N tal que [λ ν [ > M, para todo ν ≥ ν 0 e, por conseguinte, apenas um n´ umero finito de λ ν possui módulo menor ou igual a M, o que é uma contradi¸cão. Desta forma, σ(A) não possui ponto de acumula¸cão finito e então, é formado apenas por pontos isolados. Em outras palavras, σ(A) é um conjunto discreto. Teorema 5.141 (Teorema Espectral) Sejam (V, [[ [[) e (H, [ [) espa¸cos de Hilbert tais que V é denso em H, V c →H e dimH = +∞. Seja a(u, v) uma forma sesquilinear, cont´ınua e hermitiana em V tal que existem α 0 , α ∈ 1, com α > 0 de modo que Re [a(v, v) + α 0 (v, v)] ≥ [[v[[ 2 , para todo v ∈ V. Considere A o operador definido pela terna ¦V, H; a(u, v)¦. Então: (i) A é auto-adjunto e existe um sistema ortonormal completo de H, enumerável, que denotaremos por ¦ω ν ¦ ν∈N , constit´ uido por vetores próprios de A. (ii) Se ¦λ ν ¦ ν∈N são os valores próprios de A correspondentes aos ¦ω ν ¦ ν∈N , então 344 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL λ ν →+∞, D(A) = _ u ∈ H; +∞ ν=1 λ 2 ν [(u, ω ν )[ 2 < +∞ _ , Au = +∞ ν=1 λ ν (u, ω ν )ω ν , para todo u ∈ D(A). Demonstra¸cão: (i) Consideremos o operador B definido pela terna V, H; b(u, v) onde b(u, v) = a(u, v) + α 0 (u, v), u, v ∈ V, conforme (5.288). Pelo fato de b(u, v) ser coercivo temos pela proposi¸c˜ ao 5.124 que D(B) é denso em H. (5.340) Além disso, pelo fato de a(u, v) ser hermitiana, temos que b(u, v) também o é, pois b(u, v) = a(u, v) + α 0 (u, v) = a(u, v) + α 0 (u, v) = a(v, u) + α 0 (v, u) = b(v, u), para todo u, v ∈ V. Logo, (Bu, v) = b(u, v) = b(v, u) = (Bv, u) = (u, Bv), para todo u, v ∈ D(B). (5.341) De (5.340) e (5.341) temos que B é simétrico. Também, pelo Teorema 5.121 resulta que D(D(B)) = H, ou seja, B é sobrejetor. Então, pela proposi¸c˜ ao 5.117 segue que B é auto-adjunto , isto é, B = B ∗ . (5.342) Por outro lado, por (5.290) e (5.301) temos que D(A) = D(B) e B = A + α 0 I, (5.343) existe A ∗ e, além disso, D(A ∗ ) = D(B ∗ ) e B ∗ = A ∗ +α 0 I. (5.344) Assim, de (5.342), (5.343) e (5.344) resulta que A +α 0 I = B = B ∗ = A ∗ + α 0 I e D(A ∗ ) = D(B ∗ ) = D(B) = D(A), O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS N ˜ AO LIMITADOS 345 ou seja, A = A ∗ , isto é, A é auto-adjunto. (5.345) Ademais, de (5.293) e (5.303) temos que o operador G(α 0 ) = (A+α 0 I) −1 é compacto e D(G(α 0 )) = H. Também, [G(α 0 )] ∗ = (A ∗ + α 0 I) −1 com D([G(α 0 )] ∗ ) = H. De (5.345) resulta que G(α 0 ) = [G(α 0 )] ∗ , ou seja, G(α 0 ) é auto-adjunto e portanto simétrico. Donde, G(α 0 ) é um operador compacto, simétrico e não nulo de H. Pelo Teorema 5.66 garantimos a existência de uma cole¸c˜ ao no máximo enumerável ¦β ν ¦ de valores próprios não nulos de G(α 0 ), que contém todos os valores próprios de G(α 0 ) (posto que todos eles são nulos) e, uma cole¸c˜ ao ¦ω ν ¦ de correspondentes vetores próprios tais que Se ¦β ν ¦ é enumerável, ent˜ ao [β ν [ ≥ [β ν+1 [ e β ν →0, (5.346) ¦ω ν ¦ é um sistema ortonormal completo de H, (5.347) G(α 0 )u = ν (G(α 0 )u, ω ν ) ω ν = ν β ν (u, ω ν )ω ν , para todo u ∈ H. (5.348) Observamos que pelas caracter´ısticas da cole¸c˜ ao ¦β ν ¦, ela satisfaz (5.322) e portanto temos válido o ´ıtem (ii) da proposi¸cão 5.138, ou seja, os autovalores do operador A são dados por λ ν = 1 −α 0 β ν β ν . (5.349) Afirmamos que: L A = ¦u ∈ H, u ,= 0 tal que Au = λ ν u, para algum ν ∈ N¦ (5.350) = ¦u ∈ H, u ,= 0 tal que G(α 0 )u = β ν u, para algum ν ∈ N¦ = L G(α 0 ) . Com efeito, seja u ∈ L A . Ent˜ ao, u ,= 0 com Au = λ ν u, para algum ν. Logo, (A + α 0 I)u = (λ ν +α 0 )u, e, portanto, u = (λ ν + α 0 )G(α 0 )u, donde G(α 0 u) = 1 (λ ν +α 0 ) u (λ ν ,= −α 0 , pois −α 0 ∈ ρ(A)). Desta forma, de (5.349) temos G(α 0 )u = 1 1−α 0 βν β ν + α 0 u = β ν u, donde u ∈ L G(α 0 ) . 346 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Reciprocamente, seja u ∈ L G(α 0 ) . Ent˜ ao, u ,= 0 com G(α 0 )u = β ν u, para algum ν. Logo, u = β ν (A +α 0 I)u ⇒u = β ν [Au + α 0 u] , ou seja, Au = (1 −α 0 β ν ) β ν u = λ ν u, portanto u ∈ L A , o que prova que (5.350). Sendo assim, de (5.347) e (5.350) temos que ¦ω ν ¦ é um sistema ortonormal completo de H formado por (5.351) autovetores de A cujos autovalores associados são dados por (5.349). Porém, do fato que dimH = +∞ e [ω ν ] = H, temos que a cole¸cão ¦ω ν ¦ é infinita e, portanto, enumer´ avel pois, caso contrário, se ¦ω ν ¦ fosse finita ter´ıamos [ω 1 , , ω m ] = [ω 1 , , ω m ] = H, o que implica que dimH < +∞ o que é um absurdo. (ii) Observemos que pelo fato de G(α 0 ) ser simétrico, temos: β ν (ω ν , ω ν ) = (β ν ω ν , ω ν ) = (G(α 0 )ω ν , ω ν ) = (ω ν , G(α 0 )ω ν ) = β ν (ω ν , ω ν ), para todo ν, e, portanto, (β ν −β ν )[ω ν [ 2 = 0, para todo ν. Mas como [ω ν [ 2 = 1 (por (5.347)) temos que β ν = β ν , para todo ν, ou seja, β ν ∈ 1, para todo ν. (5.352) Como α 0 ∈ 1, temos por (5.349) que λ ν ∈ 1, para todo ν. (5.353) Além disso, seja f ,= 0. Então, G(α 0 )f ,= 0 e pondo G(α 0 )f = v, de (5.342) resulta que (G(α 0 )f, f) = (v, (A + α 0 I)v) = (v, Bv) = (Bv, v) = b(u, v) ≥ α[[v[[ 2 > 0, ou seja, (G(α 0 )f, f) > 0, para todo f ,= 0. O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS N ˜ AO LIMITADOS 347 Desta forma, 0 < (G(α 0 )ω ν , ω ν ) = β ν (ω ν , ω ν ) = β ν [ω ν [ 2 , para todo ν, o que implica que β ν > 0, para todo ν. (5.354) Assim, como de (5.349) λ ν = 1 β ν −α 0 e de (5.346) e (5.354), 1 β ν →+∞, segue que, λ ν → +∞ quando ν →+∞, (5.355) se ¦β ν ¦ for uma cole¸cão infinita. Provaremos, a seguir, que D(A) = _ u ∈ H; ν λ 2 ν [(u, ω ν )[ 2 < +∞ _ . (5.356) De fato, seja u ∈ D(A). Ent˜ ao, Au ∈ H e pelo fato de ¦ω ν ¦ ser um sistema ortonormal completo de H temos pelo Teorema 5.37(3) resulta que Au = ν (Au, ω ν )ω ν . (5.357) Pelo fato de A ser auto-adjunto, temos que (Au, ω ν ) = (u, Aω ν ) = λ ν (u, ω ν ) e portanto, substituindo tal expressão em (5.357) obtemos Au = ν λ ν (u, ω ν )ω ν . (5.358) Pelo Teorema 5.37(5) vem ent˜ ao que [Au[ 2 = ν λ 2 ν [(u, ω ν )[ 2 , e, ent˜ ao, ν λ 2 ν [(u, ω ν )[ 2 < +∞. Por outro lado, assumamos que u ∈ H é tal que ν λ 2 ν [(u, ω ν )[ 2 < +∞. (5.359) 348 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Seja S n = n ν=1 λ ν (u, ω ν )ω ν . Então, para m, n ∈ N tais que m > n, resulta que [S n −S m [ 2 = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ m ν=n+1 λ ν (u, ω ν )ω ν ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 = m ν=n+1 λ 2 ν [(u, ω ν )[ 2 →0, quando n, m →+∞, uma vez que de (5.359) a série é convergente. Logo, ¦S n ¦ n é de Cauchy e, desta forma, como H é completo, existe z ∈ H tal que z = λν (u, ω ν )ω ν . Pondo g = z + α 0 u, então g = ν λ ν (u, ω ν )ω ν + ν α 0 (u, ω ν )ω ν (5.360) = ν (λ ν + α 0 )(u, ω ν )ω ν . Como λ ν = 1−α 0 βν β ν temos que λ ν = 1 β ν −α 0 o que implica λ ν + α 0 = 1 β ν . Substituindo esta ´ ultim a expressão em (5.360) obtemos g = ν 1 β ν (u, ω ν )ω ν , e pelo fato de G(α 0 ) ser cont´ınuo resulta que G(α 0 )g = ν 1 β ν (u, ω ν )G(α 0 )ω ν = ν 1 β ν (u, ω ν )β ν ω ν = ν (u, ω ν )ω ν = u. Assim, G(α 0 )g = u e como Im(G(α 0 )) = D(A) segue que u ∈ D(A). Além disso, de (5.358) resulta que Au = ν λ ν (u, ω ν )ω ν , para todo u ∈ D(A), o que prova (5.356). Isto conclui a prova. 2 O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS N ˜ AO LIMITADOS 349 Como consequ encia do ´ıtem (i) do Teorema 5.141 fica resolvido o problema de valores próprios e vetores próprios para A: _ ω ∈ D(A) Aω = λω, (5.361) ou, equivalentemente, o problema espectral: a(ω, v) = λ(ω, v), para todo v ∈ V. (5.362) Observa¸cão 5.142 Sejam (V, [[ [[) e (H, [ [) espa¸cos de Hilbert tais que V é denso em H, V c → H e dimH = +∞. Seja a(u, v) uma forma sesquilinear, cont´ınua e hermitiana em V tal que existem α 0 , α ∈ 1, com α > 0 de modo que Re [a(v, v) + α 0 (v, v)] ≥ [[v[[ 2 , para todo v ∈ V. Considere A o operador definido pela terna ¦V, H; a(u, v)¦ e B o operador definido pela terna ¦V, H; b(u, v)¦, onde b(u, v) = a(u, v) + α 0 (u, v). Notemos que em D(B) os seguintes produtos internos são equivalentes: (u, v) D(B) = (u, v) + (Bu, Bv), (5.363) (u, v) 1 = (Bu, Bv). (5.364) Com efeito, notemos inicialmente, que munido do produto interno dado em (5.363) D(B) é um espa¸co de Hilbert, pois pela proposi¸cão 5.124 temos que B é um operador fechado. Portanto, se mostrarmos que os produtos internos dados em (5.363) e (5.364) são equivalentes, então D(B) é um espa¸co de Hilbert munido com ambos produtos internos. Com efeito, seja u ∈ D(B). Temos [u[ 2 ≤ C 1 [[u[[ 2 ≤ C 1 1 α b(u, u) = C 2 (Bu, u) ≤ C 2 [Bu[ [u[, o que implica [u[ ≤ C 2 [Bu[, para todo u ∈ D(B). Portanto, [[u[[ 2 D(B) = [u[ 2 +[Bu[ 2 ≤ (1 + C 2 2 )[Bu[ 2 , 350 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL donde, [[u[[ D(B) ≤ _ 1 + C 2 2 _ 1/2 [Bu[ = _ 1 + C 2 2 _ 1/2 [u[ 1 , para todo u ∈ D(B). Também, [u[ 1 = [Bu[ ≤ _ [u[ 2 +[Bu[ 2 _ 1/2 = [[u[[ D(B) , para todo u ∈ D(B), o que prova a equivalencia entre os produtos internos dados em (5.363) e (5.364). Pelo ´ıtem (i) do Teorema 5.141 resulta que existe uma cole¸cão enumerável ¦ω ν ¦ ν , formada por autovetores de A, e portanto de B = A + α 0 I, que constituem um sistema ortonormal completo de H. Denotemos por ¦τ ν ¦ ν , onde τ ν = λ ν +α 0 , os correspondentes autovalores de B. Temos o seguinte resultado: Proposi¸cão 5.143 Nas condi¸cões da observa¸cão 5.142 resulta: (i) ¦ω ν ¦ ν é um sistema completo em V , τ ν = b(ω ν , ω ν ) > 0 e τ ν → +∞, quando ν →+∞. (ii) ¦ω ν ¦ ν é um sistema ortogonal completo em D(B), onde D(B) está munido com qualquer um dos produtos internos (5.363) e (5.364) e τ ν = [Bω ν [. Demonstra¸cão: (i) Temos que τ ν = λ ν +α 0 . Portanto, se τ ν é infinito, então λ ν também o é e como λ ν → +∞ (pelo Teorema 5.141) temos que τ ν → +∞. Também, como ω ν ,= 0, para todo ν, segue que 0 < α[[ω ν [[ 2 ≤ b(ω ν , ω ν ) = (Bω ν , ω ν ) = τ ν (ω ν , ω ν ) = τ ν [ω ν [ 2 = τ ν , pois [ω ν [ = 1. Assim, τ ν = b(ω ν , ω ν ) > 0 para todo ν. Resta-nos, portanto, provar que ¦ω ν ¦ é um sistema completo em V , ou seja, as combina¸c˜ oes lineares finitas dos ω s ν é um conjunto denso em V . Inicialmente, afirmamos que: Os produtos internos ((, )) e (, ) 2 = b(, ) (5.365) definem normas equivalentes em V. De fato, seja u ∈ V . Então, pela continuidade da forma b(u, v) resulta que [[u[[ 2 ≤ 1 α b(u, u), O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS N ˜ AO LIMITADOS 351 ou seja, [[u[[ ≤ C 0 [u[ 2 , C 0 = 1 √ α . (5.366) Além disso, sendo a(u, v) cont´ınua em V e pelo fato de V →H, obtemos b(u, u) = a(u, u) + α 0 (u, u) ≤ [a(u, u)[ + α 0 [u[ 2 ≤ C 1 [[u[[ 2 + α 0 [u[ 2 ≤ C 2 [[u[[ 2 , onde C 1 e C 2 são constantes positivas. Logo, [u[ 2 ≤ C 3 [[u[[, C 3 = _ C 2 . (5.367) Assim, de (5.366) e (5.367) existem α 1 , α 2 > 0 tais que α 1 [[u[[ ≤ [u[ 2 ≤ α 2 [[u[[, para todo u ∈ V, (5.368) o que prova a afirma¸c˜ ao em (5.365). Então, basta provarmos que ¦ω ν ¦ é completo em V com V munido do produto interno (, ) 2 . Para isto, usaremos o critério: (u, ω ν ) 2 = 0 para todo ν implica que u = 0. Suponhamos, ent˜ ao, que (u, ω ν ) = 0 para todo ν, ou seja, b(u, ω ν ) = 0 para todo ν. Como b(u, ω ν ) = (Bu, ω ν ) = (u, Bω ν ) = τ ν (u, ω ν ), temos que τ ν (u, ω ν ) = 0, para todo ν. Sendo τ + ν > 0, segue que (u, ω ν ) = 0 para todo ν e do fato de ¦ω ν ¦ ser completo em H resulta que u = 0, o que prova o desejado. (ii) Temos que os produtos internos (5.363) e (5.364) são equivalentes em D(B) e, portanto, se ¦ω ν ¦ for completo em V com um dos produtos internos o será com o outro. Seja, ent˜ ao, v ∈ D(B) tal que (ω ν , v) 1 = 0, para todo ν. Logo, 0 = (Bω ν , Bv) = τ ν (ω ν , Bv) = τ ν (Bω ν , v) = τ 2 ν (ω ν , v), para todo ν. Como ¦ω ν ¦ é completo em H resulta que v = 0, o que mostra que ¦ω ν ¦ é completo em D(B) munido de qualquer um dos produtos internos (5.363) e (5.364). Além disso, sejam ν ,= µ. Temos (ω ν , ω µ ) D(B) = (ω ν , ω µ ) + (Bω ν , Bω µ ) = (ω ν , ω µ ) + τ ν τ µ (ω ν , ω µ ) = (1 + τ ν τ µ )(ω ν , ω µ ), 352 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL e (ω ν , ω µ ) 1 = (Bω ν , Bω µ ) = τ ν τ µ (ω ν , ω µ ). Como ¦ω ν ¦ é ortogonal em H vem que (ω ν , ω µ ) D(B) = 0 = (ω ν , ω µ ) 1 e, desta forma, ¦ω ν ¦ é ortogonal em D(B) munido de qualquer um dos produtos internos (5.363) e (5.364). Também [Bω ν [ 2 = (Bω ν , Bω ν ) = τ 2 ν (ω ν , ω µ ) = τ 2 ν [ω ν [ 2 = τ 2 ν , para todo ν, e, assim, Bω ν = τ ν , para todo ν (já que τ ν > 0). Isto completa a prova. 2 Observa¸cão 5.144 Se a(u, v) = ((u, v)) e α 0 = 0, então B = A e ((u, v)) = (Bu, v) = (Au, v). Logo, ¦ω ν ¦ além de ser completo também é ortogonal em V pois se ν ,= µ vem que ((ω ν , ω µ )) = (Bω ν , ω µ ) = (Aω ν , ω µ ) = λ ν (ω ν , ω µ ) = 0, pois ¦ω ν ¦ é ortogonal em H. Ademais, [[ω ν [[ 2 = ((ω ν , ω ν )) = τ ν (ω ν , ω ν ) . ¸¸ . =1 = λ ν (ω ν , ω ν ) . ¸¸ . =1 , para todo ν, ou seja, [[ω ν [[ 2 = τ ν = λ ν , para todo ν. Como consequência da proposi¸c˜ ao 5.143 fica resolvido o problema de valores próprios e vetores próprios de B: _ w ∈ D(B) Bw = τw, (5.369) ou equivalentemente, o problema espectral a(w, v) = λ(w, v), para todo v ∈ V. (5.370) Exemplos: Exemplo 4: Seja Ω um subconjunto aberto limitado de 1 n cuja fronteira denotaremos por Γ. Consideremos A o operador definido pela terna ¦H 1 0 (Ω), L 2 (Ω), a(u, v)¦ onde a(u, v) := _ Ω ∇u(x) ∇v(x) dx, u, v ∈ H 1 0 (Ω). (5.371) O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS N ˜ AO LIMITADOS 353 Conforme visto no exemplo 2 da se¸cão 5.10, tem-se D(A) = ¦u ∈ H 1 0 (Ω); ∆u ∈ L 2 (Ω)¦ e A = −∆. Como H 1 0 (Ω) c → L 2 (Ω) e a(u, v) define um produto interno em H 1 0 (Ω) equivalente ao produto interno induzido por H 1 (Ω), vem do Teorema 5.141, proposi¸c˜ ao 5.143 e da observa¸cão 5.144 que existe uma sequência ¦ω ν ¦ ν∈N de autovetores de −∆ tal que: ¦ω ν ¦ ν∈N é um sistema ortonormal completo em L 2 (Ω), ¦ω ν ¦ ν∈N é um sistema ortogonal completo em H 1 0 (Ω), ¦ω ν ¦ ν∈N é um sistema ortogonal completo em D(−∆). Além disso, λ ν = [[ω ν [[ 2 H 1 0 (Ω) > 0 e λ ν → +∞ quando ν → +∞. Assim, fica resolvido o problema de valores e vetores próprios _ w ∈ D(−∆) −∆w = λw. Além disso, se Ω possuir uma fronteira regular temos que γ 0 w = 0, aqui γ 0 : H 1 (Ω) → H 1/2 (Γ) é o operador tra¸co de ordem zero. Desta froma, fica resolvido o problema de Dirichlet _ −∆w = λw w[ Γ = 0. Notemos ainda que [[ω ν [[ D(−∆) = [ −∆ω ν [ L 2 (Ω) = λ ν [ω ν [ L 2 (Ω) = λ ν o que implica ¦ω ν ¦ ν∈N é um sistema ortonormal completo em L 2 (Ω), _ ω ν √ λ ν _ ν∈N é um sistema ortonormal completo em H 1 0 (Ω), _ ω ν λ ν _ ν∈N é um sistema ortonormal completo em D(−∆). Exemplo 5: Seja Ω um subconjunto aberto limitado bem regular de 1 n e consideremos B o operador definido pela terna ¦H 1 (Ω), L 2 (Ω); b(u, v)¦ onde b(u, v) = a(u, v)+(u, v) L 2 (Ω) e a(u, v) := _ Ω ∇u(x) ∇v(x) dx, u, v ∈ H 1 0 (Ω). Conforme visto no exemplo 3 da se¸cão 5.10, tem-se: D(B) = ¦u ∈ H 2 (Ω); γ 1 u = 0¦ e B = −∆ + I. 354 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL De (5.287)-(5.290) resulta que D(A) = D(B) e B = A + I, e como A = −∆, podemos escrever D(−∆) = ¦u ∈ H 2 (Ω); γ 1 = 0¦. Também, pelo Teorema Espectral, existe uma sequência ¦ω ν ¦ ν∈N de autovetores de −∆ que cosnstituem um sistema ortonormal completo em L 2 (Ω). Logo, λ ν = λ ν [ω ν [ 2 L 2 (Ω) = λ ν (ω ν , ω ν ) L 2 (Ω) = (λ ν ω ν , ω ν ) L 2 (Ω) = (Aω ν , ω ν ) L 2 (Ω) = a(ω ν , ω ν ) ≥ 0. Assim, fica resolvido o problema de vetores e valores próprios: _ w ∈ D(−∆) −∆w = λw, ou seja, fica resolvido o problema de Neumann _ −∆w = λw ∂ ν w[ Γ = 0. Observa¸cão 5.145 Se Ω tiver fronteira bem regular, digamos C ∞ , usando resultados de regularidade para solu¸cões de problemas el´ıpticos (veja Brézis [4]) resulta que o sistema completo ¦ω ν ¦ dos exemplos acima é tal que ω ν ∈ H m (Ω), para todo ν ∈ N e para todo m ∈ N. Resulta da´ı, em virtude dos resultados de imersão de Sobolev que ω ν ∈ C ∞ (Ω). 5.14 Cálculo Funcional - Raiz Quadrada No decorrer desta se¸c˜ ao estaremos supondo que V em H são espa¸cos de Hilbert munidos com produtos internos ((, )) e (, ), respectivamente. Além disso, i) a(u, v) é uma forma sesquilinear, cont´ınua e hermitiana em V V . ii) Existem α 0 , α ∈ 1, com α > 0 tais que Re[a(v, v) + α 0 (v, v)] ≥ α[[v[[ 2 , para todo v ∈ V. iii) A inje¸c˜ ao de V em H é compacta e V é denso em H. iv) A é o operador definido pela terna ¦V, H; a(u, v)¦. C ´ ALCULO FUNCIONAL - RAIZ QUADRADA 355 v) B é o operador definido pela terna ¦V, H; b(u, v)¦, onde b(u, v) = a(u, v) +α 0 (u, v), para todo u, v ∈ V . Satisfeitas as condi¸c˜ oes i), ii) iii) e iv), o Teorema Espectral nos garante que a) Aé auto-adjunto e existe um sistema ortonormal completo ¦ω ν ¦ ν∈N de H constitu´ıdo por vetores próprios de A. b) Se ¦λ ν ¦ ν∈N são os valores próprios de A correspondentes aos ¦ω ν ¦ ν∈N , então λ ν → +∞, D(A) = _ u ∈ H; ∞ ν=1 λ 2 ν [(u, ω ν )[ 2 < +∞ _ , Au = ∞ ν=1 λ ν (u, ω ν )ω ν , para todo u ∈ D(A). Se B é o operador definido por b(u, v) = a(u, v) +α 0 (u, v), já vimos que B = A+α 0 I. Supondo que A e B estejam nas condi¸c˜ oes i)- v) acima, temos, em virtude do Teorema Espectral que a) se verifica. Assim, Aω ν = λ ν ω ν , para todo ν ∈ N, o que implica Bω ν = (A + α 0 I)ω ν = Aω ν +α 0 ω ν = λ ν ω ν + α 0 ω ν = (λ ν +α 0 )ω ν , para todo ν ∈ N. Portanto, ¦ω ν ¦ ν∈N também forma uma cole¸cão de vetores próprios de B cujos valores próprios são τ ν = λ ν + α 0 . Proposi¸cão 5.146 Tem-se: D(A m ) = _ u ∈ H; ∞ ν=1 λ 2m ν [(u, ω ν )[ 2 < +∞ _ , A m u = ∞ ν=1 λ m ν (u, ω ν )ω ν , para todo u ∈ D(A m ), onde m ∈ N. Demonstra¸cão: Para m = 1, o Teorema Espectral nos diz que a proposi¸c˜ ao é válida. Para cada m ∈ N, denotemos: M m = _ u ∈ H; ∞ ν=1 λ 2m ν [(u, ω ν )[ 2 < +∞ _ . 356 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Seja u ∈ D(A m ), com m ≥ 2. Ent˜ ao, u ∈ D(A), Au ∈ D(A), , A m−1 u ∈ D(A), A m u ∈ H. Como ¦ω ν ¦ ν∈N é um sistema ortonormal completo e A é auto-dajunto resulta que A m u = ∞ ν=1 (A m u, ω ν )ω ν = ∞ ν=1 (u, A m ω ν )ω ν = ∞ ν=1 (u, λ m ν ω ν )ω ν (5.372) = ∞ ν=1 λ m ν (u, ω ν )ω ν , para todo u ∈ D(A m ). Pela identidade de Parseval e por (5.372) temos que [A m u[ 2 = ∞ ν=1 λ 2m ν [(u, ω ν )[ 2 < +∞, para todo u ∈ D(A m ), o que implica que u ∈ M m , e consequentemente fica provado que D(A m ) ⊂ M m , para todo m ∈ N. (5.373) Mostraremos, agora, que M m ⊂ D(A m ), usando indu¸c˜ ao sobre m. Temos, em virtude do Teorema Espectral que M 1 ⊂ D(A). Suponhamos válida a inclusão para m ≥ 2 e provemos que a inclusão é válida para m+ 1, isto é, M m+1 ⊂ D(A m+1 ). Com efeito, seja u ∈ M m+1 . Então, por defini¸c˜ ao, u ∈ H e ∞ ν=1 λ 2(m+1) ν [(u, ω ν )[ 2 < +∞. (5.374) Temos, pelo Teorema Espectral que λ ν → +∞ quando ν →+∞, o que implica que E = ¦ν ∈ N; 0 ≤ [λ ν [ ≤ 1¦ , é um conjunto finito. Por outro lado, é fácil verificar que λ 2(m+1) ν ≤ λ 2m ν , para todo ν ∈ N. Contudo, para cada ν ∈ N, existe C ν ≥ 1 tal que λ 2m ν ≤ C ν λ 2(m+1) ν . Seja C = max¦C ν , ν ∈ E¦. Ent˜ ao, λ 2m ν ≤ Cλ 2(m+1) ν , para todo ν ∈ E. Mas, se ν ,= E, temos que [λ ν [ > 1 e, portanto, λ 2m ν < Cλ 2(m+1) ν , pois C ≥ 1. Da´ı resulta que λ 2m ν ≤ Cλ 2(m+1) ν , para todo ν ∈ N. C ´ ALCULO FUNCIONAL - RAIZ QUADRADA 357 Assim, da desigualdade acima e por (5.374) ∞ ν=1 λ 2m ν [(u, ω ν )[ 2 ≤ C ∞ ν=1 λ 2(m+1) ν [(u, ω ν )[ 2 < +∞, e, consequentemente, u ∈ M m . Pela hipótese indutiva resulta então que u ∈ D(A m ). Resta-nos provar que A m u ∈ D(A), o que implicará que u ∈ D(A m+1 ). De fato, temos ∞ ν=1 λ m+1 ν (u, ω ν )ω ν = ∞ ν=1 λ ν (u, λ m ν ω ν )ω ν = ∞ ν=1 λ ν (u, A m ω ν )ω ν (5.375) = ∞ ν=1 λ ν (A m u, ω ν )ω ν . Como H é um espa¸co de Hilbert, para se concluir que S n = n ν=1 λ m+1 ν (u, ω ν )ω ν é convergente, basta mostrar que ¦S n ¦ é de Cauchy. De fato, se k < n, ent˜ ao [S n −S k [ 2 = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n ν=K=1 λ m+1 ν (u, ω ν )ω ν ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 = n ν=K=1 λ 2(m+1) ν [(u, ω ν )[ 2 . Por (5.374) temos que n ν=K=1 λ 2(m+1) ν [(u, ω ν )[ 2 →0, quando k, n → +∞. Portanto, [S n −S m [ → 0 quando k, n →+∞, donde ¦S n ¦ é de Cauchy. Do exposto e de ()5.374 podemos concluir que ∞ ν=1 λ ν (A m u, ω ν )ω ν é convergente. Consequentemente ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ n ν=k+1 λ ν (A m u, ω ν )ω ν ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ 2 = n ν=K=1 λ 2 ν [(A m u, ω ν ) 2 [ → 0 quando k, n → +∞, ou seja, ∞ ν=1 λ 2 ν [(A m u, ω ν )[ 2 < +∞. Pelo ´ıtem (ii) do Teorema Espectral temos que A m u ∈ D(A), isto é, u ∈ D(A m+1 ), da´ı, M m ⊂ D(A m ), para todo m ∈ N. (5.376) De (5.373) e (5.376) vem que M m = D(A m ), para todo m ∈ N, (5.377) e de (5.372) e (5.377) segue a proposi¸c˜ ao. 2 358 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Observa¸cão 5.147 Faremos a conven¸cão A 0 = I. Assim, D(A 0 ) = H e A 0 u = ∞ ν=1 (u, ω ν )ω ν , pois A 0 u = u. Note que λ ν pode ser zero e quando isto acontece não está definido λ 0 ν . Defini¸cão 5.148 Um operador R de H é denominado positivo se (Ru, u) ≥ 0, para todo u ∈ D(R). Proposi¸cão 5.149 Seja A o operador definido na introdu¸cão desta se¸cão. Então, A é positivo se, e somente se, λ ν ≥ 0, para todo ν ∈ N. Demonstra¸cão: (⇒) Suponhamos que A seja positivo, ou seja, (Au, u) ≥ 0 para todo u ∈ D(A). Então, do fato que 0 ≤ (Au ν , u ν ) = λ ν (u ν , u ν ) = λ ν [u ν [ 2 .¸¸. =1 , resulta imediatamente que λ ν ≥ 0 para todo ν ∈ N. (⇐) Reciprocamente, suponhamos que λ ν ≥ 0, para todo ν ∈ N e considermos u ∈ D(A). Provaremos que (Au, u) ≥ 0. de fato, sabemos que Au = ∞ ν=1 λ ν (u, ω ν )ω ν . Agora, tomando A n u = n ν=1 λ ν (u, ω ν )ω ν , obtemos (A n u, u) = _ n ν=1 λ ν (u, ω ν )ω ν , u _ = n ν=1 λ ν (u, ω ν )(ω ν , u) = n ν=1 λ ν (u, ω ν )(u, ω ν ) = n ν=1 λ ν (u, ω ν )[(u, ω ν )[ 2 ≥ 0, pois λ ν ≥ 0, para todo ν ∈ N. Consequentemente, lim n→+∞ (A n u, u) ≥ 0, C ´ ALCULO FUNCIONAL - RAIZ QUADRADA 359 ou seja, (Au, u) ≥ 0 posto que lim n→+∞ (A n u, u) = (Au, u). Com efeito, temos [(A n u, u) −(Au, u)[ = [(A n u −Au, u)[ ≤ [A n u −Au[ [u[ → 0 quando n →+∞, o que prova a convergência acima. Pela artitrariedade de u ∈ D(A) segue que (Au, u) ≥ 0 para todo u ∈ D(A), ou seja, A é positivo. 2 Vamos dar um exemplo para motivar a defini¸c˜ ao que virá a seguir. Exemplo 1: Seja A um operador satisfazendo i), ii), iii) e iv) e assumamos que A é positivo. Consideremos p : 1 →1 λ →p(λ) = a 0 + a 1 λ + + a k λ k , coma 0 , a 1 , , a k n´ umeros reais positivos ou nulos, isto é, a i ≥ 0 para todo i ∈ ¦0, 1, , k¦, a k ,= 0. Definamos o seguinte operador: C = a 0 I + a 1 A + + a k A k . Afirmamos que: D(C) = _ u ∈ H; ∞ ν=1 p(λ ν ) 2 [(u, ω ν )[ 2 < +∞ _ . (5.378) Notemos que D(C) = D(a 0 I +a 1 A + +a k A k ) = D(a 0 I) ∩ D(a 1 A) ∩ ∩ D(a k A k ) = D(a 1 A) ∩ ∩ D(a k A k ), pois D(a 0 I) = H. Além disso, observemos que D(a 1 A) = D(A), , D(a k A k ) = D(A k ), e, portanto, D(C) = D(A) ∩ ∩ D(A k ) = _ u ∈ H; ∞ ν=1 λ 2 ν [(u, ω ν )[ 2 < +∞, , ∞ ν=1 λ 2k ν [(u, ω ν )[ 2 < +∞ _ = _ u ∈ H; ∞ ν=1 λ 2k ν [(u, ω ν )[ 2 < +∞ _ . 360 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Por outro lado, notemos que [p(λ ν )] 2 = _ a 0 +a 1 λ ν + , +a k λ k ν ¸ 2 = __ a 0 + a 1 λ ν + +a k−1 λ k−1 ν _ + a k λ k ν ¸ 2 = _ a 0 +a 1 λ ν + + a k−1 λ k−1 ν ¸ 2 + 2a k _ a 0 +a 1 λ ν + + a k−1 λ k−1 ν _ λ k ν + (a k λ k ν ) 2 ≤ 2 _ a 0 + a 1 λ ν + + a k−1 λ k−1 ν ¸ 2 + 2(a k λ ν ) 2 ≤ 2 2 _ a 0 + a 1 λ ν + + a k−2 λ k−2 ν ¸ 2 + 2 2 (a k−1 λ k−1 ν ) 2 + 2 2 (a k λ k ν ) 2 ≤ 2 k _ a 2 0 + a 2 1 λ 2 ν + + a 2 k λ 2k ν ¸ . Do exposto acima e se u ∈ D(C) resulta que ∞ ν=1 [p(λ ν )] 2 [(u, ω ν )[ 2 ≤ 2 k ∞ ν=1 _ a 2 0 +a 2 1 λ 2 ν + + a 2 k λ 2k ν ¸ [(u, ω ν )[ 2 = 2 k a 2 0 ∞ ν=1 [(u, ω ν )[ 2 + 2 k a 2 1 ∞ ν=1 [λ 2 ν (u, ω ν )[ 2 + + a 2 k 2 k ∞ ν=1 [λ 2k ν (u, ω ν )[ 2 < +∞, o que implica que D(C) ⊂ _ u ∈ H; ∞ ν=1 [p(λ ν )] 2 [(u, ω ν )[ 2 < +∞ _ . (5.379) Seja, agora, u ∈ H tal que ∞ ν=1 p(λ ν ) 2 [(u, ω ν )[ 2 < +∞. Ora, p(λ ν ) 2 = _ a 0 + a 1 λ ν + + a k λ k ν ¸ 2 ≥ a 2 k λ 2k ν , para todo ν ∈ N, pois λ ν ≥ 0 e a k > 0, por hipótese. Da´ı segue que ∞ ν=1 a 2 k λ 2k ν [(u, ω ν )[ 2 ≤ ∞ ν=1 p(λ ν ) 2 [(u, ω ν )[ 2 , ou seja, ∞ ν=1 λ 2k ν [(u, ω ν )[ 2 < +∞, pois a k ,= 0. C ´ ALCULO FUNCIONAL - RAIZ QUADRADA 361 Como λ ν →+∞ quando ν →+∞, existe somente um n´ umero finito de ´ındices ν ∈ N satisfazendo 0 ≤ [λ ν [ ≤ 1. A partir da´ı, usando o mesmo racioc´ınio aplicado na proposi¸cão 5.146, mostra-se que ∞ ν=1 λ 2i ν [(u, ω ν )[ 2 < +∞, para todo 1 < i ≤ k, o que implica que u ∈ C, e, portanto, _ u ∈ H; ∞ ν=1 [p(λ ν )] 2 [(u, ω ν )[ 2 < +∞ _ ⊂ D(C). (5.380) De (5.379) e (5.380) resulta (5.378). Provaremos, a seguir que Cu = ∞ ν=1 p(λ ν )(u, ω ν )ω ν , para todo u ∈ D(C). (5.381) Com efeito, pela proposi¸c˜ ao 5.146 podemos escrever Cu = _ a 0 I +a 1 A + +a k A k _ u = a 0 u + a 1 Au + + a k A k u = a 0 ∞ ν=1 (u, ω ν )ω ν + a 1 ∞ ν=1 λ ν (u, ω ν )ω ν + +a k ∞ ν=1 λ k ν (u, ω ν )ω ν = ∞ ν=1 _ a 0 + a 1 λ ν + + a k λ k ν _ (u, ω ν )ω ν = ∞ ν=1 p(λ ν )(u, ω ν )ω ν , o que prova (5.381). Defini¸cão 5.150 Seja h(λ) uma fun¸cão qualquer de 1 em 1. Definimos h(A) como o operador de H com dom´ınio D(h(A)) = _ u ∈ H; ∞ ν=1 [h(λ ν )] 2 [(u, ω ν )[ 2 < +∞ _ , h(A)u = ∞ ν=1 h(λ ν )(u, ω ν )ω ν , para todo u ∈ D(h(A)). Proposi¸cão 5.151 h(A) é um operador auto-adjunto de H. 362 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Demonstra¸cão: Notemos inicialmente que D(h(A)) é um subespa¸co linear de H. ´ E fácil ver que 0 ∈ D(h(A)). Sejam u, v ∈ D(h(A)) e α, β ∈ C. Como H é um espa¸co vetorial, αu + βv ∈ H. Logo, ∞ ν=1 [h(λ ν )] 2 [(αu +βv, ω ν )[ 2 = ∞ ν=1 [h(λ ν )] 2 [α(u, ω ν ) + β(v, ω ν )[ 2 ≤ 2[α[ 2 ∞ ν=1 [h(λ ν )] 2 [(u, ω ν )[ 2 + 2[β[ 2 ∞ ν=1 [h(λ ν )] 2 [(v, ω ν )[ 2 < +∞, o que implica que αu + βv ∈ D(h(A)). Por outro lado, note que ω ν ∈ D(h(A)), para todo ν ∈ N, (5.382) pois, para cada ν ∈ N arbitrário, porém fixado, tem-se ∞ n=1 [h(λ n )] 2 [(ω ν , ω n )[ 2 = [h(λ ν )] 2 < +∞. Além disso, como D(h(A)) é um subespa¸co vetorial, D(h(A)) contém o conjunto W de todas as combina¸c˜ oes lineares finitas dos ω s ν . Sendo ¦ω ν ¦ ν∈N completo em H resulta que W = H e, consequentemente D(h(A)) é denso em H. (5.383) Afirmamos que h(A) é um operador linear. (5.384) Com efeito, sejam u, v ∈ D(h(A)) e α, β ∈ C. Temos, h(A)(αu + βv) = ∞ ν=1 h(λ ν )(αu + βv, ω ν )ω ν = ∞ ν=1 h(λ ν ) [α(u, ω ν ) + β(v, ω ν )] ω ν = α ∞ ν=1 h(λ ν )(u, ω ν )ω ν + β ∞ ν=1 h(λ ν )(v, ω ν )ω ν = αh(A)u + βh(A)v, o que prova (5.384). De (5.383) e (5.384) tem sentido falarmos no operador adjunto [h(A)] ∗ . Mostraremos primeiramente que h(A) é simétrico, (5.385) C ´ ALCULO FUNCIONAL - RAIZ QUADRADA 363 ou seja, D(h(A)) ⊂ D([h(A)] ∗ ) e h(A)u = [h(A)] ∗ u, para todo u ∈ D(h(A)). Sejam u, v ∈ D(h(A)). Temos (h(A)u, v) = _ ∞ ν=1 h(λ ν )(u, ω ν )ω ν , v _ = ∞ ν=1 h(λ ν )(u, ω ν )(ω ν , v), (5.386) (u, h(A)v) = _ u, ∞ ν=1 h(λ ν )(v, ω ν )ω ν _ = ∞ ν=1 h(λ ν )(v, ω ν )(u, ω ν ) (5.387) = ∞ ν=1 h(λ ν )(u, ω ν )(ω ν , v). Comparando (5.386) e (5.388) conclu´ımos que (h(A)u, v) = (u, h(A)v), para todo u, v ∈ D(h(A)), o que prova que h(A) é simétrico. Provaremos, a seguir, que D([h(A)] ∗ ) ⊂ D(h(A)). (5.388) Se v ∈ D([h(A)] ∗ ), pela defini¸c˜ ao de D([h(A)] ∗ ), existe v ∗ ∈ H tal que (h(A)u, v) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(h(A)). Logo, _ ∞ ν=1 h(λ ν )(u, ω ν )ω ν , v _ = _ ∞ ν=1 (u, ω ν )ω ν , v ∗ _ para todo u ∈ D(h(A)), ∞ ν=1 h(λ ν )(u, ω ν )(ω ν , v) = ∞ ν=1 (u, ω ν )(ω ν , v ∗ ), para todo u ∈ D(h(A)). Fazendo u = ω k nesta ´ ultima igualdade, obtemos h(λ k )(ω k , v) = (ω k , v ∗ ), para todo k ∈ N, ou ainda, [h(λ k )[ 2 [(v, ω k )[ 2 = [(ω k , v ∗ )[ 2 = [(v ∗ , ω k )[ 2 , para todo k ∈ N. 364 INTRODUÇ ˜ AO ` A AN ´ ALISE FUNCIONAL Como v ∗ ∈ H, por Parseval temos que [v[ 2 = ∞ ν=1 [(v ∗ , ω ν )[ 2 < +∞, e da´ı e da identidade anterior a esta segue que ∞ ν=1 [h(λ ν )] 2 [(v, ω ν )[ 2 < +∞, o que prova que v ∈ D(h(A)) donde se conclui (5.388). Do exposto fica provado que h(A) é auto-adjunto, o que finaliza a prova. 2 Bibliografia [1] G. Backman and L. Narici. Functional Analysis. Academic Press, New York, 1972 [2] N. Bourbaki. Topologie Générale, Livre III, Ch. 1,2 et 9. 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Conte´ do u Introdu¸õ ca 1 Os Teoremas de Hahn-Banach e a Teoria das Fun¸˜es Convexas Conjuco gadas 1.1 Formas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 Dual Alg´brico de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Dual Alg´brico de E × F , onde E, F sõ Espa¸os Vetoriais Reais . e a c Formas Lineares Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 4 5 5 7 Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 Prolongamento de uma Forma Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Um Repasso ao Lema de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 O Teorema de Hahn-Banach - Forma Anal´ ıtica . . . . . . . . . . . 16 Formas Geom´tricas do Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . 22 e 1.3 Fun¸˜es Convexas e Semicont´ co ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 51 2 Os Teoremas de Banach-Steinhaus e do Gr´fico Fechado a 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Um Repasso ao Teorema de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Teorema de Banach-Steinhaus ou da Limita¸õ Uniforme . . . . . . . . . . 55 ca Teorema da Aplica¸õ Aberta e do Gr´fico Fechado . . . . . . . . . . . . . 61 ca a Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Operadores Nõ Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 a Adjunto de um Operador Linear Nõ Limitado . . . . . . . . . . . . . . . . 79 a v vi ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` 87 3 Topologias Fracas - Espa¸os Reflexivos e Separ´veis c a 3.1 Espa¸os Topol´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 c o 3.1.1 Topologias Fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 A Topologia Fraca σ(E, E ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Topologia Fraca, Conjuntos Convexos e Operadores Lineares . . 108 A Topologia Fraco ∗ σ(E , E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Espa¸os Reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 c Espa¸os Separ´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 c a Espa¸os Uniformemente Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 c 147 4 Os Espa¸os de Hilbert c 4.1 4.2 4.3 4.4 Defini¸õ, Propriedades Elementares. Proje¸ao sobre um convexo fechado . 148 ca c˜ Teorema da Representa¸õ de Riesz-Frćhet. . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 ca e Os Teoremas de Lions-Stampacchia e Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . 161 Soma Hilbertiana. Base Hilbertiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 175 5 Teoria Espectral 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Formas Sesquilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Formas Sesquilineares Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Operadores Lineares Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Conjuntos Ortonormais Completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Subespa¸os Fechados e o Teorema da Proje¸õ . . . . . . . . . . . . . . . . 215 c ca Adjunto de um Operador Linear Limitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Operadores Compactos - O Teorema Espectral para Operadores Compactos Sim´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 e Alternativa de Riesz-Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Operadores Nõ Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 a 5.10 Constru¸ao de Operadores Nõ Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 c˜ a 5.11 Extens˜es do operador A definido pela terna {V, H, a(u, v)} . . . . . . . . . 314 o 5.12 Conseq¨ˆncias da Alternativa de Riesz-Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . 319 ue nome da se¸õ ca vii 5.12.1 O Resolvente e o Espectro de um Operador . . . . . . . . . . . . . 319 5.12.2 A Alternativa de Riesz-Fredholm. Operadores Nõ Limi a tados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 5.13 O Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos nõ limitados . . . . . 330 a 5.14 C´lculo Funcional - Raiz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 a Referˆncias bibliogr´ficas e a 364 Introdu¸õ ca 1 . 2 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` . ` direita. e ca e 3 .1934). foi um matem´tico Polonˆs que fundou a An´lise a a e a Funcional Moderna e fez maiores contribui¸˜es ` teoria de espa¸os vetoriais topol´gicos. co a c o Al´m disso. Hans Hahn (1879 .Cap´ ıtulo 1 Os Teoremas de Hahn-Banach e a Teoria das Fun¸˜es Convexas co Conjugadas Figura 1. ele contribuiu na teoria de medida e integra¸õ e s´ries ortogonais. co e Stefan Banach (1892 .1945). Ele tamb´m realizou contribui¸oes importantes no C´lculo e c˜ a das Varia¸˜es. foi um matem´tico Austr´ a a ıaco que ´ mais lembrado e pelo Teorema Hahn-Banach. ` esquerda. desenvolvendo idías de Weierstrass.1: Hahn-Banach. 1 Formas Lineares Seja E um espa¸o vetorial. para todo x ∈ E. f (x) f (λx) = λf (x) = ou seja. (1. constituem formas e lineares sobre C(a. y ∈ E. x → δt0 (x). isto ´. onde f (x) = b a (1. b]. podemos escrever que ue 1) Se f ´ uma forma linear sobre E e f (x) > α. b) → R. f (λx) = λf (x). . b) f (x) = 0.1) (1. Seja C(a.2) Vejamos alguns exemplos. f (E) = R. entõ e a a) α < 0. b]. x → f (x). para todo x ∈ E. para todo x ∈ E. ainda. δt0 : C(a. entõ e a a) α > 0. b) o espa¸o das fun¸˜es reais e cont´ c co ınuas em [a. Seja f : E → R uma forma linear nõ nula e consideremos x ∈ E tal que f (x) = 0. toda forma linear nõ nula sobre E assume todos os valores reais. Dizemos que uma aplica¸ao f : E → R ´ uma forma linear c c˜ e sobre o espa¸o E se c f (x + y) = f (x) + f (y). b) → R. b).4 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` 1. a β f (x) = β. al´m de estarem bem definidos. t0 ∈ [a.3) x(t) dt. (1. a Seja. b) f (x) = 0. para todo x ∈ E. 2) Se f ´ uma forma linear sobre E e f (x) < α. para todo x ∈ E e λ ∈ R. para todo x. β ∈ R e definamos λ = β . Consideremos: f : C(a. onde δt0 (x) = x(t0 ). a e Como conseq¨ˆncias. f (x) Entõ.4) Verifique que os exemplos acima. (1. Entõ. seja f ∈ R∗ e definamos f (1) = α. Logo. ϕ : R → R∗ α → fα . f ∈ R∗ ⇔ f (x) = α x. f (x) = f (x · 1) = xf (1) = α x = fα (x).8) para todo x ∈ R (para algum α ∈ R). para todo x ∈ E. se ϕ(α) = ϕ(β). (λf )(x) = λf (x). ϕ ´ sobrejetora pois dada f ∈ R∗ existe α = f (1) tal que f = fα = ϕ(α). a e c e (1. Definamos. Logo. designaremos por E ∗ o conjunto das formas lineares sobre c E.2 Dual Alg´brico de E × F .1 Dual Alg´brico de R e ´ Sejam α ∈ R e fα : R → R definida por fα (x) = αx. x ∈ E.1. (1. E claro que fα ∈ R∗ . y ∈ F } . segue que fα = fβ e portanto fα (x) = fβ (x). para todo x ∈ E e λ ∈ R. Sendo ϕ linear resulta que ´ um isomorfismo de R sobre R∗ .1. Logo. Logo. onde E. ϕ ´ e injetiva. e Al´m disso. y). E ∗ ´ um espa¸o vetorial denominado dual alg´brico de E.7) 1. ou seja. F sõ Espa¸os Vetoriais e a c Reais Definimos E × F = {(x. para todo x ∈ R. para e todo x ∈ R. α x = β x para todo x ∈ R o que implica que α = β. munido das opera¸˜es definidas por: co (f + g)(x) = f (x) + g(x). f = fα .FORMAS LINEARES 5 Sendo E um espa¸o vetorial. Por outro lado. Representaremos o e isomorfismo entre R e R∗ (ou entre dois conjuntos quaisquer) atrav´s da seguinte nota¸ao: e c˜ R ≈ R∗ .6) 1.5) (1. y) = f ((x. da defini¸õ de ψ vem que (fE . para todo x ∈ E e fF (y) = f (0. (1. gF ) = (e. y) = e(x) + h(y). definamos ψ : (E × F )∗ → E ∗ × F ∗ f → ψ(f ) = (fE . Provaremos. g ∈ (E × F )∗ tais que e c˜ ψ(f ) = ψ(g). e ψ(g) = (gE . que o tornam um espa¸o vetorial. 0) + f (0.9) . y). 0). fF ∈ F ∗ e. ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` para todo x1 . que ψ ´ sobrejetiva. o que implica que f = g e prova a injetividade. fF ). g ∈ (E × F )∗ posto que e. Entõ. y).6 munido das opera¸˜es: co (x1 . h).1 (E × F )∗ ≈ E ∗ × F ∗ . 0) = e(x) + h(0) e gF (y) = g(0. x2 ∈ E e para todo y1 . e consequentemente de (1. Entõ. h sõ formas lineares sobre E e a a F . y1 ∈ F e para todo λ ∈ R. ou seja. y2 ∈ F para todo x1 ∈ E. y) = fE (x) + fF (y) = gE (x) + gF (y) = g(x. fE = gE e a ca fF = gF . h) ∈ E ∗ ×F ∗ e definamos e g(x. Al´m disso. 0) + (0. Demonstra¸õ: Seja f ∈ (E × F )∗ . De fato. λy1 ). al´m disso. y1 ) + (x2 . sejam f. gF ). y2 ) = (x1 + x2 . Do exposto acima. seja (e. Notemos que ψ ´ uma aplica¸ao injetiva. y)) = f (x. a seguir. y) = fE (x) + fF (y). para todo y ∈ F.9) resulta que f (x. y1 ) = (λx1 . fF ) = (gE . posto que gE (x) = g(x. e e f (x. λ(x1 . y) = e(0) + h(y) para todo x ∈ E e y ∈ F. Definamos ca fE (x) = f (x. respectivamente. c Lema 1. Com efeito. Como f : E × F → R ´ linear temos que fE ∈ E ∗ . y1 + y2 ). E representar´ um espa¸o vetorial normado com ca a c norma || · ||E e seja f ∈ E ∗ . y ∈ e a R. se E = F = R. entõ existe g ∈ E ∗ e α ∈ R tais que f (x. entõ (R2 )∗ ≈ R∗ ×R∗ ≈ R×R = R2 . ||x||E ≤1 (1. β ∈ R tais que f (x. f (x) ≥ 0 − f (x). (f + g)F ) = (fE + gE . Se f ´ uma forma linear sobre E × R. y) = e a g(x) + αy. 1. ψ ´ um isomorfismo de (E × F )∗ sobre E ∗ × F ∗ o que nos permite identificar e tais espa¸os. y) = αx+βy. Analogamente prova-se que ψ(λ f ) = λ ψ(f ) para todo f ∈ (E × F )∗ e para todo λ ∈ R.2 Sendo f : E → R linear. . e c˜ Entõ.FORMAS LINEARES e como h(0) = e(0) = 0. Da´ resulta que se a ı f ´ uma forma linear sobre o R2 . a ψ(f + g) = ((f + g)E . o que prova a sobrejetividade. x.10) dizemos que f ´ limitada. sejam f. a menos que estejamos trabalhando com n´meros complexos. seja |f (x)| = f (x). gF ) = ψ(f ) + ψ(g). Com o u efeito. nõ ´ necess´rio considerarmos na expressõ ca a e a a acima o m´dulo de f .3 Formas Lineares Limitadas No que segue. o que faremos. g ∈ (E × F )∗ . para todo x ∈ E e gF (y) = h(y). y ∈ R. para todo y ∈ F. atrav´s da seguinte c a e nota¸ao: c˜ (E × F )∗ ≈ E ∗ × F ∗ 2 Em particular. temos que a gE (x) = e(x). conforme j´ mencionado anteriormente. x ∈ E. fF + gF ) = (fE . observemos que ψ ´ uma aplica¸ao linear. f (x) < 0. De fato. Logo. fF ) + (gE . 7 Finalmente. entõ existem α. ao longo desta se¸õ. uma vez que e e h sõ lineares. e Observa¸õ 1.1. Se sup |f (x)| < +∞. 11) A expressõ acima realmente define uma norma sobre L(E. o que prova que ||f ||L(E.R) ≤ ||f ||L(E. se x ∈ E temos que |f (x)| = f (x) se f (x) ≥ 0 e |f (x)| = −f (x) se f (x) < 0.8 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Assim. R). ||x||E ≤1 . x ∈ E tal que ||x||E ≤ 1} e portanto sup |(f + g)(x)| = ||f + g||L(E. entretanto. veriquemos que se cumpre tamb´m a seguinte propriedade e (N 2) De fato. Mas. De fato. que se f : E → C o m´dulo ´ fundamental.R) . verifiquemos a primeiramente a propriedade (N 1) ||f ||L(E.R) + ||g||L(E.R) ´ uma cota superior para o conjunto {|f (x) + e g(x)|.R) ≤ ||f ||L(E.R) = 0. se ||x||E ≤ 1.R) . o qual designaremos por c L(E.R) = sup |f (x)|.R) . e. como ||x||E = || − x||E ≤ 1 resulta que e sup |f (x)| = sup f (x). ||x||E ≤1 ||x||E ≤1 Notemos. notemos que |f (x) + g(x)| ≤ |f (x)| + |g(x)| ≤ ||f ||L(E. pela linearidade de f temos que −f (x) = f (−x) e portanto |f (x)| = f (x). f (y) = ||y||E ||y||E = ||y||E f a y ||y||E = 0 e como f (0) = 0 resulta que f (y) = 0 para todo y ∈ E.R) + ||g||L(E. f (x) < 0. para todo x ∈ E com ||x||E ≤ 1. ||x||E ≤1 (1. f (x) ≥ 0 f (−x). A seguir.R) = 0 ⇔ f = 0.R) + ||g||L(E. a norma ||f ||L(E. Agora se sup||x||E ≤1 |f (x)| = 0. consequentemente f (x) = 0 para todo x ∈ E tal que ||x||E ≤ 1. al´m disso. Se y ∈ E ´ tal que y = 0 e f (y) entõ.R) + ||g||L(E. R). ||f + g||L(E. o e Definamos no espa¸o das formas lineares e limitadas sobre E. Se f = 0 evidentemente tem-se ||f ||L(E. R) ( se λ = 0).3 Temos as seguintes igualdades: ||f ||L(E. ||x||E = 1} ⊂ {x ∈ E. Resta-nos provar que (N 3) ||λ f ||L(E. ou seja.R) ⇒ |λ| ||f ||L(E.R) ≤ 1 ||λ f ||L(E.R) ≤ ||λ f ||L(E.R) ( se λ = 0).R) . temos que sup x∈E:||x||E =1 |f (x)| ≤ sup x∈E:||x||E ≤1 |f (x)|.R) = sup x∈E:||x||E =1 |f (x)| = |f (x)| x∈E:x=0 ||x||E sup Demonstra¸õ: Provemos a primeira das igualdades acima.FORMAS LINEARES o que prova o desjado.R) ⇒ |f (x)| ≤ donde ||f ||L(E. |λ| |f (x)| = |λ f (x)| ≤ ||λ f ||L(E.R) . ||x||E ≤1 para todo x ∈ E com ||x||E ≤ 1. tem-se o desejado. 9 Com efeito. Como ca {x ∈ E. notemos inicialmente que |λf (x)| = |λ||f (x)| ≤ |λ| ||f ||L(E. Lema 1. (1. sup x∈E:||x||E =1 |f (x)| ≤ ||f ||L(E. ||x||E ≤ 1}.R) = |λ|||f ||L(E. Por outro lado. e. |λ| 1 ||λ f ||L(E. para todoλ ∈ R. portanto sup |λf (x)| = ||λ f ||L(E.12) .R) .R) ≤ |λ| ||f ||L(E. |λ| Combinando as desigualdades acima e notando-se que para λ = 0 a identidade segue trivialmente.R) . Temos que a x ||x||E E = 1 e portanto |f (x)| = f ||x||E x ||x||E ≤ sup x∈E:||x||E =1 |f (x)|. al´m disso. ||x||E = 1 e. x = 0. (1. x∈E:x=0 ||x||E sup .13) tem-se a primeira das identidades. Defindo-se x = λ y. resulta que ||x||E = |λ| ||y||E = |λ|. onde λ ∈ R\{0}.15) |f (x)| . Pondo-se x = |f (x)| = Assim.R) − ε ≤ e pela arbitrariedade do ε resulta que ||f ||L(E.R) = supx∈E:||x||E =1 |f (x)|). existe y ∈ E tal que ||y||E = 1 e |f (y)| > ||f ||L(E. |f (x)| ≥ |f (y)| > ||f ||L(E.R) ≤ sup x∈E:||x||E =1 y ||y||E entõ. x∈E:x=0 ||x||E x∈E:||x||E =1 sup (1.R) − ε. A seguir. entõ.R) − ε ⇒ ||f ||L(E.R) − ε < Pela arbitrariedade de ε vem que ||f ||L(E. ||x||E |λ| donde se conclui ||f ||L(E.R) − ε. y = 0 e |f (y)| > ||f ||L(E. provaremos a segunda das identidades.13) Combinando-se (1. x∈E:x=0 ||x||E sup (1. =1 |λ| |f (y)| |f (x)| = = |f (y)| > ||f ||L(E.10 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Por outro lado. Seja. dado ε > 0.R) − ε (note que ||f ||L(E. dado ε > 0. donde |f (x)| ≤ sup |f (x)|. ||y||E ||y||E ||y||E sup x∈E:||x||E =1 |f (x)|.14) Por outro lado. |f (x)|. Logo. a e |f (y)| 1 1 = |f (y)| ≥ |f (y)| ( j´ que a ≥ 1). existe y ∈ E tal que ||y||E ≤ 1.R) ≤ |f (x)| .12) e (1. Em particular. Entõ.16) Denotaremos. Entõ. Consideremos. a a ||µ x||E = µ < δ e assim |f (µ x)| < ε. que existe δ = f em x = 0. c (3) ⇒ (1) Suponhamos que f seja cont´ ınua em todo o espa¸o E. o que prova a continuidade de f em todo o espa¸o E. (1. por simplicidade. (2) ⇒ (3) Assumamos que f seja cont´ ınua em x = 0 e consideremos x0 ∈ E. para todo x ∈ E.15) e da primeira identidade tem-se a segunda identidade. Demonstra¸õ: ca (1) ⇒ (2) Seja f limitada. R) das formas lineares e limitadas c˜ a sobre E bem como ||f ||L(E. ca Proposi¸õ 1. para todo x ∈ E. o que prova a continuidade de a |f (µ x)| ≤ ε. existe δ > 0 tal que se ||x||E < δ entõ |f (x)| < ε. a dado ε > 0. f c ´ cont´ e ınua em x = 0 e portanto. Contudo.14).R) simplesmente por ||f ||E . em virtude da linearidade de f tem-se |f (x) − f (x0 )| = e a |f (x − x0 )| < ε. de acordo com (1. Reulta da´ que se x ∈ E a ı ´ tal que ||x − x0 ||E < δ. dado ε > 0 existe δ > 0 tal que se ||x||E < δ entõ a |f (x)| < ε. As seguintes express˜es sõ equivalentes: ca o a (1) f ´ limitada. (1. entõ. Como f (0) = 0 entõ dado ε > 0 decorre imediatamente a tal que se ||x||E < δ entõ |f (x)| < ε. Usualmente as nota¸oes acima sõ usadas para formas lineares e cont´ ınuas sobre E. Isto encerra a prova. entõ e a |f (x)| ≤ ||f ||L(E. e (2) f ´ cont´ e ınua no ponto x = 0.4 Seja f ∈ E ∗ . E o conjunto L(E. a limita¸ao da forma implica c˜ na contiuidade da mesma conforme veremos na proposi¸õ a seguir. entõ. o que implica que sup x∈E:||x||E =1 ε ||f ||E Entõ. (3) f ´ cont´ e ınua em E.FORMAS LINEARES 11 De (1.R) ||x||E .3 decorre que se f : E → R ´ uma forma linear limitada. 2 Do lema 1.16) resulta que |f (x)| ≤ a ||f ||E ||x||E . 0 < µ < δ e x ∈ E tal que ||x||E = 1. . entõ. 1). No entanto. 1]. C(0. Evidentemente E ⊂ E ∗ . 1) → R definida por δ0 (f ) = f (0). ||f ||E = sup x∈E:||x||E ≤1 |f (x)|. Quando nõ houver ambiguidade na interc c˜ a a preta¸ao. e c Designaremos. consideremos o espa¸o das fun¸oes reais e cont´ c c˜ ınuas Consideremos a aplica¸õ δ0 : C(0. 0 ≤ t < 1/n. sup x∈E:||x||E =1 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` |f (x)| ≤ ε . c˜ 2 Como a soma de fun¸˜es cont´ co ınuas ´ uma fun¸ao cont´ e c˜ ınua e o produto de uma fun¸ao c˜ cont´ ınua por um escalar ´ uma fun¸õ cont´ e ca ınua. E em [0. Daqui pra frente E ser´ dotado da o a norma dual. e encerra a prova. Com efeito. decorre que E ´ um espa¸o vetorial. 1)) . munido da norma ||f || = 1 0 E ∗ . T 2n d d d d d d 0 1/n 1 E Figura 1. (n ∈ N∗ ). ou seja existem formas lineares que |f (t)| dt. consequentemente. Observe que ca δ0 ∈ (C(0. Contudo. 1))∗ . Como exemplo. nõ sõ cont´ a a ınuas.12 e.2: fn (t) . designaremos ||f ||E simplesmente por ||f || bem como ||x||E simplesmente por c˜ ||x||. por E o espa¸o vetorial das formas lineares e limitadas (cont´ a c ınuas) sobre E e o denominaremos o dual topol´gico de E. seja {fn } uma / seq¨ˆncia de fun¸˜es cont´ ue co ınuas dada por fn (t) = conforme figura abaixo: − 2n2 t + 2n. µ o que prova a limita¸ao de f . a menos que se fa¸a men¸ao ao contr´rio. 0. provaremos que δ0 ∈ (C(0. 1/n ≤ t ≤ 1. Vejamos tal fato. temos que E ∗ = E . Logo. Como em um espa¸o vetorial de dimensõ e c a finita todas as normas sõ equivalentes (verifique tal afirma¸ao) temos a c˜ C1 |x|∞ ≤ ||x|| ≤ C2 |x|∞ . en } uma base para c a E. · · · . · · · .1)) = sup x∈C(0. para todo n ∈ N∗ . g ∈ E ∗ .4. portanto.5 No Rn as seguintes normas sõ equivalentes: ca a ||x||1 = |x1 | + · · · + |xn |. e . |xn |}. a Seja E um espa¸o vetorial de dimensõ n e consideremos {e1 . c˜ Observa¸õ 1. 1 n ||x||p = p |x1 |p + · · · + |xn |p e ||x||∞ = max{|x1 |. ||x||2 = x2 + · · · + x2 .||x||C(0. que g ∈ E . · · · . |xn |}. ||δ0 ||(C(0. Seja. Assim. Consideremos || · || uma norma em E e a consideremos |x|∞ = max{|x1 |. C2 sõ constantes positivas. entõ x = x1 e1 + · · · + xn en . · · · . para todo x ∈ E. n n o que prova que δ0 nõ ´ limitada. e. |g(x)| ≤ |x1 | |g(e1 )| + · · · + |xn | |g(en )| ≤ |x|∞ (|g(e1 )| + · · · + |g(en )|) ≤ =M M ||x||. |x|∞ tamb´m define uma norma em E. Temos a a g(x) = g(x1 e1 + · · · + xn en ) = x1 g(e1 ) + · · · + xn g(en ). onde x = n i=1 xi ei e {e1 . quando E tem dimensõ finita. onde C1 . en } ´ uma base para o Rn . a e No entanto. Se x ∈ E. entõ.FORMAS LINEARES Temos: 1 1/n 13 ||fn || = 0 |fn (t)| dt = 0 1/n | − 2n2 t + 2n|dt (−2n2 t + 2n) dt = −n2 t2 |0 1/n = 0 + 2nt|0 1/n = 1. em vista da proposi¸ao 1. C1 de onde conclu´ ımos.1).1) =1 |δ0 (x)| ≥ sup |δ0 (fn )| = sup 2n = +∞. G um subespa¸o de E e g uma forma linear ca c c em G. e 1. notemos que p 1≤i≤n max {|xi |} ≤ |x1 |p + · · · + |xn |p . Dizemos que uma forma linear h ´ um prolongamento de g se e e h(x) = g(x).2 Teorema de Hahn-Banach Antes de apresentarmos o teorema em questõ.2. isto ´. limita¸ao superior e elemento maximal c˜ c˜ c˜ serõ discutidas. as no¸oes de conjunto ordenado.1 Prolongamento de uma Forma Linear Defini¸õ 1.2. Com efeito.14 A nota¸õ ||x||∞ prov´m do fato que ca e p→+∞ ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` lim ||x||p = ||x||∞ . Da defini¸õ acima resulta imediatamente que g ´ um prolongamento de g. Todas essas no¸oes serõ apresentadas juntas para obtermos a no¸ao de a c˜ a c˜ . o Se h ´ um prolongamento de g escrevemos g ≤ h. donde 1≤i≤n max {|xi |} ≤ [|x1 |p + · · · + |xn |p ]1/p p 1/p ≤ n max {|xi |} 1≤i≤n √ p = n max {|xi |}. 1≤i≤n 1.2 Um Repasso ao Lema de Zorn Nesta se¸ao. a c c˜ 1. Quando ca e h ´ um prolongamento de g e D(h) = G (aqui D(h) designa o dom´ e ınio de h). 1≤i≤n Como limp→+∞ √ p n = 1 da desigualdade acima resulta que p→+∞ lim [|x1 |p + · · · + |xn |p ]1/p = max {|xi |}. entõ h ´ a e dito um prolongamento pr´prio de g. fa¸amos algumas considera¸oes iniciais.6 Seja E um espa¸o vetorial. para todo x ∈ G. g ∈ G∗ . uma das rela¸˜es acontece e co a ≤ b ou b ≤ a. B. b. (2) Se A. E claro u c˜ que para quaisquer n´meros reais a. a inclusõ de conjuntos constitui uma ordem parcial sobre S. a Conforme vemos. Entõ aRa (reflexividade) a (2) Sejam a. a ca ´ E claro que considerando R como a inclusõ de conjuntos a (1) Para qualquer A ∈ S temos que A ⊂ A. A ⊂ B e B ⊂ C entõ A ⊂ C. a e . por exemplo. entõ X ´ dito ser totalmente ordenado. o e Defini¸õ 1. Entõ aRb e bRc ⇒ aRc (transitividade) a (3) Para a. a Al´m disso.7 Seja X um conjunto e R uma rela¸õ definida entre alguns elementos ca ca desse conjunto. u a Exemplo 2: Seja X um conjunto arbitr´rio e S qualquer cole¸õ de subconjuntos de X. (3) a ≤ b e b ≤ a ⇒ a = b. Cona tudo. a (3) Para A. a e ´ Exemplo 1: Seja X o conjunto dos n´meros reais e seja R a rela¸ao dada por ≤. estabeleceremos o Lema de Zorn. se dado dois quaisquer elementos de X uma das rela¸˜es e co aRb ou bRa acontece. b e c u (1) a ≤ a. b ∈ X se aRb e bRa. (2) a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c. C ∈ S. X ´ dito parcialmente ordenado sob a rela¸õ R se as seguintes condi¸˜es e ca co sõ satisfeitas entre os elementos de X que sõ compar´veis com respeito ` R: a a a a (1) Seja a ∈ X. se dois conjuntos sõ disjuntos. entõ a = b. b ∈ R. Al´m disso.TEOREMA DE HAHN-BANACH 15 conjunto indutivamente ordenado e uma vez feito isto. dados a. B ∈ S se A ⊂ B e B ⊂ A entõ A = B. Para nossos prop´sitos ´ suficiente considerarmos o Lema de Zorn como um axioma. c ∈ X. eles nõ sõ compar´veis com respeito a a a a a R. Consequentemente os n´meros reais sõ totalmente ordenados. Consequentemente S nõ ´ totalmente ordenado. Forma Anal´ ıtica Comecemos por um lema. qualquer outro subconjunto de P(X) contendo S ´ e c˜ e tamb´m uma limita¸õ superior para S ou qualquer subconjunto deste. ´ claro que o conjunto formado pela uniõ de todos os conjuntos em e a S ´ uma limita¸ao superior para S e. a Defini¸õ 1.8 Seja X um conjunto parcialmente ordenado sob a rela¸õ R e considereca ca mos A um subconjunto de X.16 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Se um conjunto X ´ parcialmente ordenado sob a rela¸ao R ´ natural argumentare c˜ e mos sob que condi¸oes existe um ‘maior’ elemento em X. Defini¸õ 1. Lema 1.2.10 Um conjunto X parcialmente ordenado sob uma rela¸õ R ´ dito indutivaca ca e mente ordenado se qualquer subconjunto totalmente ordenado de X tem uma limita¸õ ca superior. .9 Seja X como na defini¸õ anterior. Isto motiva-nos as seguintes c˜ defini¸oes: c˜ Defini¸õ 1. 1. se estendermos a ordem parcial ` cole¸ao P(X) de todos os a c˜ subconjuntos de X. o elemento maximal ´ uma limita¸õ superior que nenhuma e ca outra supera. Conv´m notar que necessitamos uma limita¸ao superior para um elemento ser ‘come c˜ par´vel’ a todo membro do conjunto. O elemento a ∈ X ´ dito ser um ca ca e elemento maximal de X se aRy implica que a deve ser igual a y.3 O Teorema de Hahn-Banach . e ca yRa. Essa uniõ pode e ca a nõ ser um elemento maximal de S uma vez que pode nõ ser um membro de S a a Falando-se claramente.11 (Lema de Zorn) Todo conjunto indutivamente ordenado e nõ vazio possui a um elemento maximal. No exemplo 2 acima. O elemento a ∈ X (nõ necessariamente pertencente a A) a ´ dito uma limita¸õ superior de A se para todo y ∈ A. TEOREMA DE HAHN-BANACH Lema 1. para todo x ∈ E e λ > 0 p(x + y) ≤ p(x) + p(y). Entõ. x2 ∈ G. Demonstra¸õ: Seja x0 ∈ E tal que x0 ∈ G e definamos ca / H = G + Rx0 . y ∈ H. ou seja. isto ´. c o Entõ existe um prolongamento pr´prio h. H ´ o subespa¸o de E definido por e c H = {x + tx0 . para todo x ∈ G.12 Sejam E um espa¸o vetorial e p : E → R uma aplica¸õ tal que c ca p(λ x) = λ p(x). t ∈ R tal que y = x + t x0 . o que implica que g(x1 ) − p(x1 − x0 ) ≤ p(x0 + x2 ) − g(x2 ). i. e e e 17 Sejam G um subespa¸o pr´prio de E e g ∈ G∗ tal que g(x) ≤ p(x). para todo x. verificando h(x) ≤ p(x) para todo x ∈ a o D(h). . Logo. x1 ∈G Seja α ∈ R tal que sup {g(x1 ) − p(x1 − x0 )} ≤ α ≤ inf {p(x0 + x2 ) − g(x2 )}.´. p ´ um funcional positivamente homogˆneo e subaditivo em E. de g. y ∈ E. sup {g(x1 ) − p(x1 − x0 )} ≤ inf {p(x0 + x2 ) − g(x2 )}. x2 ∈G para todo x1 . x ∈ G e t ∈ R}. x2 ∈ G. Sejam x1 . e . a g(x1 ) + g(x2 ) = g(x1 + x2 ) ≤ p(x1 + x2 ) = p(x1 − x0 + x0 + x2 ) ≤ p(x1 − x0 ) + p(x0 + x2 ).17) x1 ∈G Definamos h(y) = g(x) + t α. x2 ∈G (1. para x ∈ G. provando que h est´ bem definida. ou ainda. ou seja. g(x) + t α ≤ p(x + t x0 ). h(x + t x0 ) ≤ p(x + t x0 ). y2 ∈ H e λ ∈ R. sejam y1 . Al´m disso. h ´ um prolongamento pr´prio de g. Resta-nos demonstrar que h(y) ≤ p(y) e o Seja t < 0 e ponhamos τ = −t > 0. Do que vimos acima. (1. t2 ∈ R tais que y = x1 +t1 x0 e y = x2 +t2 x0 . t1 = t2 . Entõ. pois dado y ∈ H suponhamos que existam a x1 . e x1 − x2 = 0. t para todo x ∈ G e t ∈ R. isto ´. e a e e De fato. h ∈ H ∗ . e portanto. o que prova a linearidade de h. h ´ linear.17). a g(x) + t α = τ g x −α τ x ≤ τ g − sup {g(x1 ) − p(x1 − x0 )} τ x1 ∈G x x x ≤ τ g +p − x0 − g ( para x1 = x/τ ) τ τ τ x = τp − x0 = p(x − τ x0 ) = p(x + t x0 ). Temos: h(y1 + y2 ) = h[(x1 + t1 x0 ) + (x2 + t2 x0 )] = h[(x1 + x2 ) + (t1 + t2 )x0 ] = g(x1 + x2 ) + (t1 + t2 )α = g(x1 ) + g(x2 ) + t1 α + t2 α = h(y1 ) + h(y2 ). Se t1 −t2 = 0 temos que x0 = x2 −x1 t1 −t2 ∈ G. Entõ. G para todo y ∈ H. Seja t > 0.18) H e g(x) = h(x) para todo x ∈ G (basta tomar t = 0). τ . x2 ∈ G e t1 . o que ´ um absurdo! Logo. (x1 −x2 )+(t1 −t2 )x0 = a 0. Temos de (1. x1 = x2 . h(λ y1 ) = h(λ x1 + (λ t1 )x0 ) = g(λ x1 ) + (λ t1 )α = λg(x1 ) + λ(t1 α) = λ h(y1 ). ou seja. g(x) + t α = t g x +α t x ≤ t g + inf {p(x2 + x0 ) − g(x2 )} x2 ∈G t x x x +p ( para x2 = x/t) ≤ t g + x0 − g t t t x = tp + x0 = p(x + t x0 ).18 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Observemos que h est´ bem definida. h. Demonstra¸õ: ca Seja P a fam´ de todos os prolongamentos. D(h) = ∪i∈I D(hi ) ´ um espa¸o vetorial sendo e e c h claramente linear. de modo que se x ∈ D(hi1 ) ∩ D(hi2 ) e resulta que hi1 (x) = hi2 (x). Se G ´ um subespa¸o e e c pr´prio de E. e c Observa¸õ 1.Forma Anal´ ıtica) Sejam E um espa¸o vetorial e p c um funcional positivamente homogˆneo e subaditivo. ou seja. tais que h ılia ´ linear e h(x) ≤ p(x). Logo. i2 ∈ I uma das duas possibilidades e ocorre D(hi1 ) ⊂ D(hi2 ) ou D(hi2 ) ⊂ D(hi1 ). se Q ´ um subconjunto de P. o que o contradiz o fato de f ser elemento maximal de P. P ´ indutivamente ordenado (note que h ´ e e cota superior de Q em P) e pelo lema de Zorn temos que P possui um elemento maximal f . D(h1 ) D(h2 )). x em lugar de f (x). uma vez que. Se t = 0. . Resta-nos verificar que D(f ) = E. para todo x ∈ E. totalmente e e ordenado. E. se diz que ·. podemos definir h pondo D(h) = ∪i∈I D(hi ) e h(x) = hi (x) se x ∈ D(h) tal que x ∈ D(hi ). No primeiro caso hi2 ´ um prolongamento de e hi1 e no segundo caso hi1 ´ um prolongamento de hi2 . Al´m disso. apresentaremos alguns resultados decorrentes do Teorema de Hahn-Banach quando E ´ um espa¸o vetorial normado. Al´m disso. D(f ) = E. entõ existe um prolongamento h o a de g a E tal que h(x) ≤ p(x). · ´ o e produto escalar na dualidade E .14 Sejam E ´ um espa¸o vetorial normado e E o seu dual topol´gico. resulta e que h(x) ≤ p(x). e. Como hi ≤ p para todo i ∈ I.18). onde D(h) ´ um subespa¸o vetorial e e e c ordenemos P pondo h1 ≤ h2 se. o que finaliza a prova. verificando h(x) ≤ p(x). onde Q = {hi }i∈I . que D(f ) ´ um subespa¸o pr´prio de E. Temos que P = ∅ pois g ∈ P.12 a e c o conclu´ ımos que existe um prolongamento pr´prio h.13 (Hahn-Banach . Logo. Pelo lema 1. suponhamos o contr´rio. Note que h est´ bem definida a uma vez que Q ´ totalmente ordenado e portanto se i1 . Ainda. h ∈ P. Como f ∈ P. por hip´tese. entõ. cada hi o ´. portanto. para todo x ∈ D(h). ca e c o Quando f ∈ E e x ∈ E escrevemos f. de g. I um conjunto de ´ ındices. de f . g(x) + t α = g(x) ≤ a o p(x) = p(x + t x0 ). ca 2 Teorema 1. para todo x ∈ G. temos que f ≤ p. o que finaliza a demonstra¸õ do lema. g ∈ G∗ e g(x) ≤ p(x). definido em E.TEOREMA DE HAHN-BANACH 19 o que prova o desejado em (1. h2 ´ um prolongamento pr´prio de h1 (ou e o seja. e somente se. Com efeito. 2 A seguir. temos tamb´m que e −f (x) = f (−x) ≤ p(−x) = ||g||G || − x|| = p(x). pelo Teorema de Hahn-Banach existe um prolongamento f de g a todo E tal que f (x) ≤ p(x). Por outro lado. ∀x ∈ E sup x∈X. existe um prolongamento f de g tal que f ∈ E e ||f ||E = ||g||G . Consequentemente. x0 >= ||x0 ||2 . Das duas ultimas desigualdades acima conclu´ ´ ımos que ||f ||E = ||g||G . G um subespa¸o de E e g ∈ G . a Demonstra¸õ: Definindo-se ca p(x) = ||g||G ||x||.||x||≤1 |g(x)| = ||g||G . |f (x)| ≥ sup x∈G.16 Seja E um espa¸o vetorial normado. o que implica.15 Sejam E um espa¸o vetorial normado. temos que g(x) ≤ |g(x)| ≤ ||g||G = p(x). Contudo. para cada x0 ∈ E. Entõ. ∀x ∈ G. |f (x)| ≤ p(x) = ||g||G ||x||.20 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Corol´rio 1.||x||≤1 |f (x)| ≤ ||g||G . . 2 Corol´rio 1. ||f ||E ≤ ||g||G . existe a c a uma forma f0 ∈ E tal que ||f0 ||E = ||x0 || e < f0 . temos que ||f ||E = sup x∈E. como f (x) = g(x) para todo x ∈ G.||x||≤1 ∀x ∈ E. Assim. ||f ||E = ou seja. x ∈ E. a c c Entõ. ∀x ∈ E. ||f ||≤1 | f. (1. x0 = ||x0 ||2 = ||f0 ||2 }. pelo corol´rio 1. temos que f0 ≡ 0 satisfaz o desejado. para todo f ∈ E . x = a | f. x0 = ||x0 ||2 . entõ. Se x = 0. Entõ. resulta que g ∈ G e ||g||G = ||x0 ||. c entõ F (x0 ) ´ um conjunto unit´rio. sup x∈G. De um modo geral. Corol´rio 1. se designa para cada x0 ∈ E o c conjunto F (x0 ) = {f0 ∈ E . Seja x0 = 0 e G := Rx0 = {tx0 . x | ≤ ||f ||E ||x|| ≤ ||x|| ⇒ sup f ∈E . x | ≥ | f1 . ||x||=1 |g(x)| = sup 1 t∈R.18 Seja E um espa¸o vetorial normado. como x0 ∈ G. x = 0. se E ´ estritamente convexo (o que ´ sempre verdade se E ´ um e e e e espa¸o de Hilbert.16) resulta imediatamente que F (x0 ) = ∅ para todo ca a x0 ∈ E. t ∈ R}.||f ||≤1 max | f. Pelo Corol´rio (1. x0 = g.20) Por outro lado. |t|= ||x || 0 |t|||x0 ||2 = ||x0 ||. 2 Seja E um espa¸o normado.20) e (1. Al´m disso.||f ||≤1 f0 .15) a existe um prolongamento f0 de g a E tal que f0 ∈ E e ||f0 ||E = ||g||G = ||x0 ||. ou seja. Entõ. x |. ||f1 ||E = 1 e f1 . f0 .21) Combinando (1. aberto. ou se E = Lp (Ω) com 1 < p < +∞ e Ω ⊂ Rn . x | = ||x||. Assim. (1. x | = f ∈E . ||x|| Entõ. 2 . (1. a a | f. Seja.||f ||≤1 | f.17 Pelo Corol´rio (1. o resultado segue trivialmente posto que f. para todo x ∈ E se tem a c a ||x|| = Demonstra¸õ: ca sup f ∈E . f0 ∈ F (x). Al´m e disso.16. Os espa¸os estritamente convexos serõ estudados a e a c a posteriormente. por exemplo).TEOREMA DE HAHN-BANACH Demonstra¸õ: ca 21 Se x0 = 0. x = ||x||2 . x = 0 e consideremos f ∈ E tal que ||f || ≤ 1. Sendo g claramente linear.19) Observa¸õ 1. x | ≤ ||x||. existe uma forma f0 ∈ E tal que ||f0 ||E = ||x|| e a f0 . Portanto. Definimos g(tx0 ) = t||x0 ||2 .21) temos o desejado. para todo t ∈ R. Definamos f1 = ||x||. sup f ∈E . temos f0 . como 0 ∈ C e C ´ aberto. y ∈ C e para todo t ∈ [0. 1. Com efeito. Demonstra¸õ: Provemos as propriedades acima. 1]. seja x ∈ E. temos quje x {α > 0. x ∈ C}. em ambos os casos. qualquer que seja x ∈ E tendo sentido tomarmos o ´ ınfimo deste . Desta forma. definimos p(x) = inf{α > 0. portanto. 2) p(x + y) ≤ p(x) + p(y). Assim. 4) C = {x ∈ E. x . e Notemos que o funcional de Minkowski est´ bem definido. se y = µx ||x|| com 0 < µ < r resulta que ||y|| = µ < r ⇒ y ∈ Br (0) ⊂ C. Logo. a x Se x = 0 entõ x ∈ C (por hip´tese) e. p(x) < 1}. Para cada x ∈ E.22 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Observa¸õ 1. ca ||x|| µ x ∈ {α > 0. Com e a efeito. α ∈ C} = ∅. x | = ||x|| = f1 .19 Observemos que no corol´rio 1.18 temos estabelecido que o supremo ca a realmente ´ atingido e consequentemente o ‘supremo’ se transforma em ‘m´ximo’. onde f1 ∈ E e ||f1 || = 1. C ⊂ E um conjunto aberto e convexo tal que c 0 ∈ C. para todo λ ≥ 0 e para todo x ∈ E. 3) Existe M > 0 tal que p(x) ≤ M ||x||.||f ||≤1 | f. (1.4 Formas Geom´tricas do Teorema de Hahn-Banach e Dizemos que um conjunto C ´ convexo se e [t x + (1 − t) y] ∈ C. α (1. sup f ∈E . o conjunto {α > 0. Se a o x = 0 entõ ||x|| = 0 e. para todo x. α ∈ C}. para todo x.23) O funcional p : E → R ´ denominado funcional de Minkowski para o convexo C. y ∈ E. α = conjunto. para todo x ∈ E.2. α ∈ C} = ∅. Propriedades do Funcional p 1) p(λ x) = λ p(x).22) Seja E um espa¸o vetorial normado. temos que existe r > 0 tal que a e Br (0) ⊂ C. o que prova que {x ∈ E. Tomemos ε > 0 tal que 0 < ε < x r . Entõ. p(x) < 1}. e 1 p(x) ≤ M ||x||. Entõ. β β y ∈ C. Reciprocamente. 1 1+ε ∈ C. dado ε > 0 suficientemente pequeno. a identidade segue trivialmente. p(x) ≤ ||x|| . entõ. que α x β y x+y + ∈ C. vem. x ∈ C. pondo β = α λ temos que α = λ β e. Assim. ∈ C. Assim. 2) Seja ε > 0 e consideremos x. f nõ identicamente nula). 2 Defini¸õ 1. u x x ∈ C} = λ inf{β > 0. Assim. Entõ. onde M = . ||x|| logo ||x + εx − x|| = ε||x|| < r. x = 0 satisfaz a ρx ||x|| ρx ||x|| ∈ Br (0). qualquer que seja x ∈ E. temos que p(x) = 0 < 1. p(x + y) ≤ α + β < p(x) + p(y) + ε. a temos que existe α > 0 tal que x α x ∈ C e p(x) ≤ α < p(x)+ε < 1. pela convexidade de C. ρx ||x|| ∈ C e. p(x) ≤ 1 1+ε < 1. ou seja. f (x) = α}. Pela arbitrariedade de ε segue o desejado.TEOREMA DE HAHN-BANACH 23 1) Temos que p(λ x) = inf{α > 0. portanto. Um hiperplano afim de E ´ um conjunto ca c e da forma H = {x ∈ E. Se λ = 0. existem α.20 Seja E um espa¸o vetorial real. < 1. Consideremos e 0 < ρ < r. ∈ C} = λ p(x). λαx ∈ C}. ou seja. y ∈ E. seja x ∈ E tal que p(x) < 1. u C ⊂ {x ∈ E. 3) Como C ´ aberto e 0 ∈ C temos que existe r > 0 tal que Br (0) ⊂ C. α+βα α+ββ α+β Logo. ou ainda. conseqëntemente. x = 0 a e consideremos r > 0 tal que Br (x) ⊂ C. β > 0 tais que Como 0 < α α+β x α ε 2 ε e β < p(y) + 2 . x + εx ∈ Br (x) ⊂ C. em virtude da defini¸ao do funcional a c˜ de Minkowski. Se x = 0. β ∈ C. p(x) < 1} ⊂ C. Agora se λ = 0. Suponhamos. ou seja . α < p(x) + p(λ x) = inf{λ β > 0. a . 0 < β α+β <1e α α+β + β α+β = 1. Donde. Conseqëntemente. ρ isto ´. uma vez que = ρ < r. (1 + ε)x ∈ C. α α +(1−α)0 ∈ C. ρ 4) Seja x ∈ C. onde α ∈ R e f ∈ E ∗ tal que f = 0 (ou seja. Analogamente. observemos que H − a = E posto que f = 0 (f nõ identicamente nula). (H − a) ⊕ Rx0 ⊂ E. x + a ∈ H e portanto x ∈ H − a. b). x = y + f (x) x0 ∈ (H − a) ⊕ Rx0 . isto ´. Tal x0 ´ obtido da seguinte forma: seja x1 ∈ E\(H −a) e tal que f (x1 ) = 0 (lembre que toda forma linear nõ nula assume todos os valores de R). e c (1. a H = {(x. f (x) = 0} = f −1 ({0}) = ker(f )(subespa¸o de E).25). Reciprocamente. Isto posto. f e x1 α1 = 1 e basta tomarmos x0 = x1 . b ∈ R\{0}. c˜ a H − a ´ um subespa¸o de E. ax + by = α}.25) De fato. seja x ∈ H − a. X = (x. b). y) e f. temos que H = {(x. f (x+ a) = f (x)+ f (a) = a 0 + α = α. Logo. Entõ. f (x1 ) = α1 = 0. x = y − a com y ∈ H donde f (x) = f (y) − f (a) = a α − α = 0. Resta-nos c mostrar que E ⊂ (H − a) ⊕ Rx0 . Entõ f (x. . (1. y) ∈ R2 . para algum x0 ∈ E. Seja a x0 ∈ E\(H −a) tal que f (x0 ) = 1. y ∈ H − a. ax + by + cz = α}. Obviamente. Temos ainda que E = (H − a) ⊕ Rx0 . e H − a = {x ∈ E. X = ca (a.24). seja x ∈ E tal que f (x) = 0. Entõ. Sejam H o hiperplano de E de equa¸ao [f = α] e a ∈ H. Podemos usar ainda a seguinte nota¸õ para o R2 : f = (a. seja x ∈ E e definamos y = x − f (x) x0 . Com efeito. (x. α1 Entõ. H − a e Rx0 sõ a subespa¸os de E com (H − a) ∩ Rx0 = {0}. y) = ax + by. sempre a podemos escolher x0 ∈ E\(H − a) tal que f (x0 ) = 1. Logo. Temos. a isto ´. portanto. c o que prova (1.24) Com efeito. y) = ax + by onde a. Entõ.24 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Dizemos que H ´ um hiperplano de equa¸õ [f = α]. e ca Exemplo: Seja E = R2 . y. o que prova o desejado em (1. z) ∈ R3 . Temos f (y) = f (x) − f (x) f (x0 ) = 0. =1 e. Assim. se E = R3 . sem perda da generalidade que f (x0 ) < α. seja H fechado. suponhamos o contr´rio. e Reciprocamente. Com efeito. pelo fato de [f = α] = f −1 ({α}) e a imagem inversa de um conjunto fechado ser fechada. r1 para todo z ∈ B1 (0). Como x0 ∈ E\H segue que f (x0 ) = α e consequentemente podemos supor. e pelo fato de Br (x0 ) ⊂ E\H decorre que f (t x1 + (1 − t)x0 ) = α.TEOREMA DE HAHN-BANACH 25 Proposi¸õ 1. ou ainda. f (x1 ) ≥ α implica que f (x1 ) − f (x0 ) ≥ α − f (x0 ) ⇒ 0 < Definamos. supz∈E. em particular. onde z ∈ B1 (0). Assim.21 O hiperplano H de equa¸õ [f = α] ´ fechado se. f (z) < α − f (x0 ) < +∞. t = α−f (x0 ) . que exista x1 ∈ Br (x0 ) tal que a f (x1 ) ≥ α. para todo x ∈ Br (x0 ) temos que f (x) < α. o que prova que f ´ limitada e portanto cont´ e ınua. Seja r1 > 0 tal e que Br1 (x0 ) ⊂ Br (x0 ).||z||≤1 |f (z)| < +∞. Logo. que H = [f = α] ´ fechado. f (x1 ) − f (x0 ) Conseqëntemente. Note que se x ∈ Br1 (x0 ) temos que x = x0 + r1 z. entõ existe r > 0 tal / e a que Br (x0 ) ⊂ E\H. o que ´ um absurdo! Logo. Como Br (x0 ) ´ um conjunto convexo temos que e t x1 + (1 − t)x0 ∈ Br (x0 ). para todo t ∈ [0. 1]. f ´ ca ca e e contńua. u f (t x1 + (1 − t)x0 ) = f (t(x1 − x0 ) + x0 ) = t f (x1 − x0 ) + f (x0 ) = t[f (x1 ) − f (x0 )] + f (x0 ) = α − f (x0 ) + f (x0 ) = α. 2 . 1]. posto que f (E) = R e f (H) = {α}. resulta que existe x0 ∈ E tal que x0 ∈ H. ı Demonstra¸õ: ca Se f ´ cont´ e ınua temos. Por outro lado. f (x1 )−f (x0 ) para todo t ∈ [0. α − f (x0 ) ≤ 1. Como E\H ´ aberto. Como E\H = ∅. f (x) = f (x0 + r1 z) < α ⇒ f (x0 ) + r1 f (z) < α. Mostraremos que para todo x ∈ Br (x0 ) temos que f (x) < α. e somente se. 23 Seja E um espa¸o vetorial normado e consideremos A. que 0 ∈ C. Dizemos que o hiperplano H separa A e B no sentido estrito se existe ε > 0 tal que f (x) ≤ α − ε. Dizemos ca c que o hiperplano H de equa¸õ [f = α] separa A e B no sentido lato(generalizado) se ca f (x) ≤ α. Demonstra¸õ: Suponhamos. entõ o mesmo se / a verifica para C. neste caso. Temos que C = ∅. C ⊂ E um conjunto convexo.22 Se tiv´ssemos suposto na proposi¸õ anterior que f (x0 ) > α. t = f (x0 ) + r1 f (z) > α ou ainda.3: H separa A e B Lema 1. existe f ∈ E tal que / a . mostrar´ ca e ca ıamos que para todo x ∈ Br (x0 ) terámos f (x) > α. isto ´. sem perda da generalidade. ca H A B Figura 1. onde a ∈ C. para todo x ∈ C com x0 ∈ C . para todo x ∈ A e f (y) ≥ α. aberto e nõc a vazio e x0 ∈ E tal que x0 ∈ C. o hiperplano de equa¸õ [f = f (x0 )] separa {x0 } de C no sentido ca lato. De fato. f (x) = f (x0 + r1 z) > α. Usar´ ı ıamos.||z||≤1 f (x0 )−α f (x0 )−f (x1 ) para gerar o absurdo. para todo x ∈ A e f (y) ≥ α + ε. f (−z) = −f (z) < f (x0 ) − α . r1 para todo z ∈ B1 (0) ⇒ sup z∈E. B ⊂ E.24 Sejam E um espa¸o normado. convexo e aberto posto que C o ´.26 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Observa¸õ 1. Defini¸õ 1. Em particular. Admitindo-se que o resultado seja verdadeiro para C . seja x0 ∈ E tal que x0 ∈ C. isto ´. que e e exista f ∈ E tal que f (x) < f (x0 ). a e |f (z)| < +∞. para todo y ∈ B. ca / consideramos o conjunto C = C − a. entõ. para todo / a x ∈ C. Da mesma forma. Entõ existe f ∈ E tal que f (x) < f (x0 ). Entõ. pois caso 0 ∈ C. para todo y ∈ B. Geometricamente. a separa¸õ significa que A e B se situam em lados opostos de H. portanto. para todo x ∈ Rx0 . f ∈ E . disjuntos e nõ vazios. 1] com a1 . entõ existe um hiperplano fechado que separa A e B no sentido lato. u Existe f ∈ E tal que f (x) < f (x0 ).TEOREMA DE HAHN-BANACH 27 f (x) < f (x0 − a). B ⊂ E subconjuntos convexos. Conseqëntemente. De fato. Definamos C = A − B + x0 . p(x0 ) ≥ 1 posto que C = {x ∈ E. Logo. b ∈ B e x0 = b − a. Entõ. Assim. supor. g(t x0 ) = t < 0 ≤ p(t x0 ). Se c a A ´ aberto. para todo x ∈ C. Ponhamos G = Rx0 / a e g : G → R dada por g(t x0 ) = t. a t w + (1 − t) v = t[a1 − b1 + x0 ] + (1 − t)[a2 − b2 + x0 ] = [t a1 + (1 − t)a2 ] − [t b1 + (1 − t)b2 ] +x0 ∈ A − B + x0 = C.26) Sejam a ∈ A.25 (1a Forma Geom´trica do Teorema de Hahn-Banach) Sejam E um e espa¸o vetorial normado e A. Entõ. o que finaliza a demonstra¸õ. f (x) ≤ p(x) < 1. para todo y ∈ C donde f (y) < f (x0 ). para todo x ∈ E (veja propriedade 3 do Funcional de Minkowski) e. entõ. Podemos. Seja 0 ∈ C e consideremos p o funcional de Minkowski para o convexo C. sem perda da generalidade. g(t x0 ) = t ≤ p(x0 )≥1 ∈C / t p(x0 ) = p(t x0 ) Se t < 0. e a Demonstra¸õ: ca Afirmamos que 1) C ´ convexo. f (y) − f (a) < f (x0 ) − f (a). f (x) ≤ p(x) ≤ M ||x||. sejam w = a1 − b1 + x0 e v = a2 − b2 + x0 pontos de C e t ∈ [0. Al´m disso. ∈A ∈B . ca 2 Teorema 1. Temos que g ∈ G∗ . p(x) < 1}. e (1. Como o funcional de Minkowski ´ positie vamente homogˆneo e subaditivo vem pelo Teorema de Hahn-Banach (Forma Anal´ e ıtica) que existe um prolongamento f de g a todo E tal que f (x) ≤ p(x). e Se t ≥ 0. para todo x ∈ C com e f (x0 ) = g(x0 ) = 1. para todo y ∈ C. g(x) ≤ p(x). f (y − a) < f (x0 − a). para todo x ∈ E. Logo. para todo x ∈ C . portanto. para todo y ∈ C e. b2 ∈ B. Seja x0 ∈ E tal que x0 ∈ C. e al´m disso. que 0 ∈ C e mostrar o a desejado. a2 ∈ A e b1 . x∈A y∈B Entõ. f (x) ≤ α ≤ f (y). e.28) De fato. a prova est´ completa. f (a − b + x0 ) < f (x0 ). a isto ´. isto ´.27). entõ existe um hiperplano fechado que separa A e B a no sentido estrito. pelo lema 1. para todo e a ∈ A e para todo b ∈ B. suponhamos que x0 ∈ C.24 existe f ∈ E tal que f (x) < f (x0 ). para todo a ∈ A e para todo b ∈ B. o que ´ um absurdo. ou seja. A seguir. A ∩ B = ∅. a 2 Teorema 1. Assim.21 que o hiperplano de equa¸ao [f = α] ´ fechado e. existem a ∈ A e b ∈ B tais que x0 = a−b+x0 . o que prova (1. em virtude da ca c˜ e desigualdade anterior. x∈A y∈B Seja α ∈ R tal que sup f (x) ≤ α ≤ inf f (y). Entõ. e (1. ficando provado (1. Se A c a for fechado e B for um compacto.27) Com efeito. f (a) < f (b). sup f (x) ≤ inf f (y). conforme ilustra a figura . B ⊂ E subconjuntos convexos. Seja ε > 0 e ponhamos Aε = A + Bε (0).28). C ´ a uniõ de e a uma fam´ de conjuntos abertos. e e Logo. Demonstra¸õ: ca abaixo. provaremos que ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` 2) C ´ aberto. uma vez que A ´ aberto e a transla¸ao de um conjunto ılia e c˜ aberto ´ um conjunto aberto. portanto. e Finalmente afirmamos que x0 ∈ C. para todo x ∈ C. / (1. para todo x ∈ A e para todo y ∈ B.28 o que prova (1. Como f ∈ E segue a da proposi¸õ 1. portanto. disjuntos e nõ vazios. a = b. A.26). podemos escrever C = ∪y∈B {A − y + x0 } e.26 (2a Forma Geom´trica do Teorema de Hahn-Banach) Sejam E um e espa¸o vetorial normado. 31) (1. sejam w.29) De fato. provaremos que Aε ∩ Bε = ∅ para algum ε > 0. Temos: t w + (1 − t)v = t[a1 + ε z1 ] + (1 − t)[a2 + ε z2 ] = [t a1 + (1 − t)a2 ] +ε [t z1 + (1 − t)z2 ] ∈ Aε . suponhamos o contr´rio. que para todo ε > 0. e (1. Entõ. n n .4: Aε = A + Bε (0) Afirmamos que Aε ´ convexo.32) (1. v ∈ Aε e t ∈ [0. e Notemos que Aε ´ aberto pois Aε = ∪x∈A (x + Bε (0)). a a 1 pondo εn = n . yn ∈ B e z1n .TEOREMA DE HAHN-BANACH Aε A ε 29 Figura 1. ∈A ∈B1 (0) o que prova (1. w = a1 + ε z1 e v = a2 + ε z2 onde a a1 . ||xn − yn || = εn ||z2n − z1n || ≤ 1 2 [||z1n || + ||z2n ||] ≤ . a2 ∈ A e z1 . (1. Aε ∩ Bε = ∅. e A seguir. z2n ∈ B1 (0) tais que xn + εn z1n = yn + εn z2n . Portanto. existem xn ∈ A. Entõ. 1]. temos que para cada n ∈ N∗ .30) De fato. z2 ∈ B1 (0). Analogamente prova-se que Bε = B + Bε (0) ´ convexo.29). ou seja. existe um hiperplano fechado de equa¸ao [f = α] que separa c˜ Aε0 e Bε0 no sentido lato. a c c Entõ existe f ∈ E . se a dimensõ de E ´ infinita.27 E imprescind´vel no Teorema acima que B seja compacto pois se B ca ı fosse apenas fechado nem sempre o Teorema se verifica.33) Tomando o supremo em z1 na 1a desigualdade em (1. nõ vazios e disjuntos tais que nõ existe nenhum hiperplano a a fechado que separa A e B no sentido lato. (1. x = 0. a a . onde. existe {ynk } ⊂ {yn } tal que ynk → y em B quando k → +∞.33) vem que f (y) ≥ α + ε0 ||f ||. Pela 1a Forma Geom´trica do e Teorema de Hahn-Banach. Mais al´m. Em particular. para todo x ∈ A. Como A ´ fechado. quando k → +∞.30 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Como B ´ compacto. se z2 = −z1 resulta que f (x) + ε0 f (z1 ) ≤ α ≤ f (y) − ε0 f (z1 ). ´ 2 ´ Observa¸õ 1. Contudo. a Corol´rio 1. y ∈ B e z1 ∈ B1 (0).28 Sejam E um espa¸o vetorial e F um subespa¸o de E tal que F = E. o que implica que xnk → y. o que um absurdo j´ que tais conjuntos sõ disjuntos. ||xnk − y|| ≤ ||xnk − ynk || + ||ynk − y|| → 0. existe ε0 > 0 tal que Aε0 ∩ Bε0 = ∅. resulta que a e y ∈ A e. desta forma. y ∈ B e z1 . isto ´. A ∩ B = ∅. se E ´ um espa¸o de dimensõ finita e c a sempre podem ser separados em sentido lato dois convexos A e B nõ vazios e disjuntos.33) obtemos f (x) + ε0 ||f || ≤ α ⇒ f (x) ≤ α − ε0 ||f ||. se constrí um exemplo onde A e B sõ e a e o a dois conjuntos convexos. para todo y ∈ B. e f (x + ε0 z1 ) ≤ α ≤ f (y + ε0 z2 ). Combinando as duas ultimas desigualdades acima. e Assim. para todo x ∈ F . fica provado o desejado. para todo x ∈ A. y ∈ B.32) Logo. Vejamos o exemplo abaixo. f = 0 (nõ identicamente nula) tal que f. para todo x ∈ A. a a Isto prova (1. Analogamente tomando o supremo em z1 na 2a desigualdade em (1. z2 ∈ B1 (0). como j´ vimos. consequentemente ´ convexo. conclu´ ımos que g(x) < α para todo x ∈ F o que implica que g ≡ 0 (veja in´ da se¸ao 1. para todo x ∈ F. x = 0. f = 0 e α ∈ R tais que c˜ f (x) ≤ α − ε. Demonstra¸õ: Seja x0 ∈ E talque x0 ∈ F . x = 0 para todo x ∈ F .29 Sejam E um espa¸o vetorial normado e F um subespa¸o vetorial de E. Em particular. ca e ca . f.21). existem f ∈ E ( e veja proposi¸ao 1.30 Sejam E um conjunto gen´rico e f : E →] − ∞. o que encerra a ıcio c˜ prova. Como F ´ subespa¸o de E temos que F ca / e c tamb´m o ´ e. F = E). +∞] uma aplica¸õ.5: A ´ um hiperplano fechado e B ´ a regiõ fechada de um lado da hip´rbole e e a e que tem o hiperplano como ass´ ıntota. {x0 } ´ convexo e e e e e e compacto e F ∩{x0 } = ∅. x = 0 e para todo x ∈ E). a c c Se para toda forma f ∈ E tal que f. f.´. existe e um hiperplano fechado que separa F e {x0 } no sentido estrito.3 Fun¸oes Convexas e Semicont´ c˜ ınuas Come¸amos com uma defini¸ao. entõ F ´ denso em E (ou seja. Considerando g = f |F . Logo. a e 1. para todo x ∈ F se tem f ≡ 0 (i. para todo x ∈ F e f (x0 ) ≥ α + ε. para mostrar o seguinte c e resultado: Corol´rio 1.FUNCOES CONVEXAS E SEMICONT´ ¸˜ INUAS ¡¡ B (fechado) ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ hip´rbole e fechado A ¡¡ ¡ © 31 Figura 1. isto ´. F ´ convexo e fechado. c c˜ Defini¸õ 1. 2 Aplica¸ao do Corol´rio Anterior: O corol´rio acima ´ frequentemente aplicado para demonsc˜ a a e trar quando um subespa¸o vetorial F ⊂ E ´ denso em E. f (x) < α < f (x0 ).1). Pela 2a Forma geom´trica do teorema de Hahn-Banach. para algum ε > 0. ou seja. ou seja. para todo x ∈ V (x0 ).i. e ca o • b) O epigr´fico de f ´ o conjunto a e epi(f ) = {(x.32 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` • a) O dom´ ınio efetivo de f ´ o conjunto e De (f ) = {x ∈ E. Se De (f ) = ∅ ou. em cada ponto de F . f (x) ≤ λ}. c o c˜ Dizemos que f ´ semicont´ e ınua inferiormente (s.c. a e dizemos que f ´ uma fun¸õ pr´pria.i. Seja E um espa¸o topol´gico e f : E → [−∞. e e Dizemos que f ´ semicont´ e ınua superiormente (s. f = +∞ (f nõ ´ identicamente infinito).s. Dizemos que f ´ s. em F ⊂ E se f ´ s. Para fixar idías consideremos a figura 1.c.c. f ) = {x ∈ E.c. f ) E E Figura 1.i. V (x0 ) tal que c f (x) > f (x0 ) − ε. • c) O conjunto de n´vel λ de f ´ o conjunto ı e N (λ.) no ponto x0 ∈ E se para todo ε > 0 existe uma vizinhan¸a de x0 . e R T R T λ epi(f ) E E N (λ. tal que c f (x) < f (x0 ) + ε.) no ponto x0 ∈ E se para todo ε > 0 existe uma vizinhan¸a de x0 . para todo x ∈ V (x0 ).6: Epigr´fico e Conjunto de N´ a ıvel. equivalentemente. V (x0 ). . f (x) = +∞}. f (x) ≤ λ}.5 abaixo. +∞] uma fun¸ao. λ) ∈ E × R. Para isso. sendo que os valores de f (x) para e x < x0 devem se manter estritamente menores que f (x0 ) + ε. x0 .s. por exemplo.i.c. x∈Bε (x0 ) ε→0 De maneira an´loga.s.i e s. veremos.c. Se E = R. e denotamos por lim supε→0 f (x). a a As figuras acima ilustram exemplos de fun¸oes s. e e Note que se f for s.i.FUNCOES CONVEXAS E SEMICONT´ ¸˜ INUAS R T 33 R T f ◦ • E f • ◦ E V (x0 ) x0 E V (x0 ) x0 E ` Figura 1. e a e Dizemos que f ´ s. Uma defini¸ao equivalente ` de semicontinuidade ´ a seguinte: c˜ a e a) Dizemos que f ´ semicontńua superiormente no ponto x0 se e ı lim sup f (x) ≤ f (x0 ). Para facilitar a compreensõ. uma forma diferente de enfocar os a conceitos acima quando E ´ um espa¸o m´trico.s.s.c.c.c. +∞] uma fun¸ao e x0 ∈ E. em x0 seria uma espćie de continuidade pela esquerda de x0 .s. em cada ponto de F . x→x0 . ` quantidade (finita ou infinita) a ε→0 lim x∈Bε (x0 ) inf f (x) . em x0 enquanto que ` direita f ´ s.c. em x0 . Denominamos c e c˜ limite superior da fun¸õ f em x0 .c. seria uma espćie de continuidade pela direita. em F ⊂ E se f ´ s. enquanto que a s. recordemos o conceito de e c e limite inferior e superior que passamos a definir. a seguir. entõ −f ser´ s.c. denominamos limite inferior da fun¸õ f em x0 e denotamos por a ca lim inf ε→0 f (x). ` quantidade (finita ca a ou infinita) lim sup f (x) . c˜ a s. sendo que os valores e de f (x) para x > x0 devem se manter estritamente maiores que f (x0 ) − ε. f : E → [−∞.c.s.i.7: A esquerda f ´ s. Sejam E um espa¸o m´trico.c. para todo x ∈ Brε (x0 ) e 0 ≤ limε→0 rε ≤ limε→0 ε = 0. existe Brε (x0 ) tal que f (x) > f (x0 ) − ε. ou seja. inf f (x) ≥ f (x0 ) − ε ⇒ lim inf f (x) ≥ f (x0 ).(1. isto ´. em x0 .34) x→x0 Demonstra¸õ: (⇐) Seja ε > 0 dado. Entõ. para todo x ∈ Brε (x0 ). para ca a todo x ∈ V (x0 ). n→+∞ x∈B1/n (x0 ) o que ´ um absurdo (!) pois. existe V (x0 ) tal que f (x) > f (x0 )−ε. ∃V (x0 ) tal que f (x) > f (x0 ) − ε. inf f (x) ≥ f (x0 ) − ε ⇒ lim inf f (x) ≥ f (x0 ). rε →0 x∈Brε (x0 ) (⇒) Suponhamos o contr´rio. e o lim inf f (x) ≥ f (x0 ). Assim.i. Assim. e x∈B1/n (x0 ) inf f (x) ≤ f (xn ) ≤ f (x0 ) − ε0 . se V (x0 ) = B1/n (x0 ) temos que existe xn ∈ B1/n (x0 ) tal que f (xn ) ≤ f (x0 ) − ε0 . temos que f (x) > f (x0 ) − ε. x∈Bε (x0 ) ε→0 x∈Bε (x0 ) Se rε < ε. ou seja. Se rε ≥ ε temos que f (x) > f (x0 ) − ε para todo x ∈ Bε (x0 ) e. Assim. ∀x ∈ V (x0 ) ∩ E.34 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` b) Dizemos que f ´ semicontńua inferiormente no ponto x0 se e ı lim inf f (x) ≥ f (x0 ). x→x0 Mostremos a equivalˆncia das defini¸˜es para as fun¸oes s. provaree co c˜ mos que lim inf f (x) ≥ f (x0 ) ⇔ ∀ε > 0. ε→0 x∈Bε (x0 ) . portanto.c. por hip´tese. para todo n ∈ N∗ . lim inf f (x) ≤ f (x0 ) − ε0 < f (x0 ). que exista ε0 > 0 tal que para toda V (x0 ) exista a x ∈ V (x0 ) tal que f (x) ≤ f (x0 ) − ε0 . Em particular. x∈Brε (x0 ) ε→0 x∈Brε (x0 ) o que implica que lim f (x) inf f (x) ≥ f (x0 ). em 0.c.c.c. em R mas nõ ´ s. a e Analogamente.i. em R mas nõ ´ s. em x = 0.9: f ´ s. x ≥ 0. em 0.8: f ´ s. x < 0 T E x 1• 0 ◦ −1 Figura 1.s.34).c. em R posto que ´ continua em R\{0} e f (0) = 1 ≥ lim inf x→0 f (x). e a e f ´ s.c.c. − 1. x ≤ 0 T 35 2 1◦ 0 • −1 Figura 1. Por´m. a e E x . em R posto que ´ cont´ e e ınua em R\{0} e f (0) = −1 ≤ lim inf x→0 f (x).s. e Exemplos: Consideremos a fun¸ao f : R → R dada por c˜ f (x) = 1. e a e ´ s.s.c.c. x > 0. − 1. e f nõ ´ s.i. a fun¸ao f : R → R dada por c˜ f (x) = 1.FUNCOES CONVEXAS E SEMICONT´ ¸˜ INUAS o que prova a equivalˆncia em (1. em x = 0.s. Por´m.i.i. f e e e nõ ´ s. f ) fechado. f ). (⇐) Reciprocamente. f ´ s. V (x0 ) tal c que λ < f (x). existe uma vizinhan¸a de x0 . ou seja.32 (Resultado 2) Para que f : E → R seja s. Entõ. em E ´ necess´rio e sufie a ciente que todos os conjuntos de n´vel de f sejam fechados. 2 Lema 1. alguns resultados que nos serõ uteis posteriormente. para todo λ ∈ R. Com efeito.31 (Resultado 1) Seja E um conjunto. e a f (x0 ) > λ e existe V (x0 ) tal que λ < f (x). a ´ Lema 1.s. f ) provando que E\N (λ. no ponto x0 ´ necess´rio e suficiente que para cada λ ∈ R tal que λ < f (x0 ). temos que existe uma vizinhan¸a V (x0 ) tal que f (x) > λ. para todo e c x ∈ V (x0 ).36 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Veremos. ou seja. Demonstra¸õ: Imediata. f ). f : E → R ´ cont´ e ınua em x0 ∈ E se. e (⇐) Supondo que N (λ. seja xo ∈ E\N (λ. f ) = {x ∈ E. f (x0 ) > λ. f ) ´ fechado. Demonstra¸õ: (⇒) ca Fa¸amos ε = f (x0 ) − λ. f (x) > λ} ´ aberto. Isto conclui a prova. ca (⇒) Para mostrar que N (λ. f (x) > f (x0 ) − ε.c. f (x) > λ. seja ε > 0 e consideremos λ = f (x0 )−ε. o que conclui a prova. a seguir. para todo x ∈ V (x0 ). para todo x ∈ V (x0 ). para todo x ∈ V (x0 ).i. 2 . λ < f (x0 ). ca 2 e a Lema 1.i. em x0 ∈ E. temos que E\N (λ. de onde se conclui que V (x0 ) ⊂ E\N (λ. para todo x ∈ V (x0 ). ou seja. basta mostrarmos que e E\N (λ. exista uma vizinhan¸a de x0 . Entõ.33 (Resultado 3) Para que f : E → R seja s. Aqui estamos excluindo f assumir +∞ ou e −∞.c. isto ´. f ) ´ aberto. f ) ´ aberto e conseq¨ntemente e u dado x0 ∈ E\N (λ. f ). Como f (x0 )−ε < f (x0 ). e somente se. V (x0 ) tal que c V (x0 ) ⊂ E\N (λ. para todo x ∈ V (x0 ).i.c. ı Demonstra¸õ: Para provar este lema usaremos o Resultado 2.c. existe V (x0 ) tal que c a f (x) > f (x0 ) − ε = f (x0 ) − f (x0 ) + λ = λ. e s. x ∈ A.c.i.c. Se λ > 0. Se λ = 0. N (λ. Se 0 < λ < 1. χA (x) ≤ 1} = E. Como (E × R)\epi(f ) = {(x. (⇒) Seja f s. χA . N (0. N (λ. Se λ = 0. N (λ. IA (x) ≤ 0} = A. χA (x) ≤ 0} = E\A. dada por c˜ IA (x) = ´ s. χA ) = {x ∈ E. Se λ > 1. e N (λ. Com efeito e Se λ < 0. χA ) = {x ∈ E. e entõ mostraremos que (E × R)\epi(f ) ´ aberto a e . IA . χA (x) ≤ λ} = E..c. N (λ. IA ) = {x ∈ E. N (λ. N (1. x ∈ A. Se λ = 1. IA (x) ≤ λ} = A. IA (x) ≤ λ} = ∅. χA ) = {x ∈ E. χA (x) ≤ λ} = ∅. 0. a 0. IA ) = {x ∈ E. / 37 Lema 1.c. χA ) = {x ∈ E. a b) A fun¸ao indicatriz de um conjunto fechado A. Analogamente ao exemplo anterior os conjuntos acima sõ todos fechados. χA (x) ≤ λ}. ´ necess´rio e suficiente que e a o epigr´fico de f seja fechado em E × R. χA ) = {x ∈ E.FUNCOES CONVEXAS E SEMICONT´ ¸˜ INUAS Exemplos: a) A fun¸ao caracter´ c˜ ıstica de um conjunto aberto A ⊂ E.i. Com efeito. dada por χA (x) = ´ s. f (x) > λ}.i. N (0. Esses conjuntos sõ todos fechados. x ∈ A. / 1. χA ) = {x ∈ E.i. IA ) = {x ∈ E. χA (x) ≤ λ} = E\A. + ∞. x ∈ A. a Demonstra¸õ: ca em E × R.34 (Resultado 4) Para que f : E → R seja s. λ) ∈ E × R. Se λ < 0. pondo V (x0 ) = πE [Br (x0 . (1. x ∈ V (x0 ) e −∞ < λ < µ. f (y) > λ. a Mostraremos que f ´ s. seja (x. λ)] (veja diagrama¸ao abaixo) segue do Resultado 2 o desejado. decorre que existe V (x0 ). µ[⊂ (E × R)\epi(f ). Seja πE [Br (x0 . onde c λ0 < µ < f (x0 ). λ0 ) = V (x0 )×] − ∞. tal que f (x) > µ para todo x ∈ V (x0 ). λ)] a proje¸ao c c˜ de Br (x0 . entõ (E × R)\epi(f ) ´ aberto e desta forma.i. λ) ⊂ V (x0 . seja x0 ∈ E e e λ ∈ R tal que λ < f (x0 ). λ) ∈ V (x0 . λ0 ) ⊂ (E × R)\epi(f ). existe uma a vizinhan¸a V (x0 . λ0 ). λ) ∈ (E × R)\epi(f ). Afirmamos que V (x0 . utilizando o Resultado 2. λ0 ) ∈ (E × R)\epi(f ) temos que f (x0 ) > λ0 . Pelo Resultado 2.35) De fato. λ) ∈ (E × R)\epi(f ) e.38 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` se (x0 . e a e se (x0 . portanto. Assim. (x0 . a resulta que f (x) > λ e. λ) ⊂ (E × R)\epi(f ). λ)]. λ0 ) entõ f (x1 ) > λ1 . o que prova (1. λ) ∈ V (x0 . c˜ R T epi(f ) λ . Logo. pois (y. Como f (x) > µ. (x. λ0 ) ∈ (E × R)\epi(f ). λ) ⊂ (E × R)\epi(f ). (⇐) Reciprocamente se epi(f ) ´ fechado. vizinhan¸a de x0 em E.35) implicando que (E × R)\epi(f ) ´ aberto conforme quer´ e ıamos provar. λ1 ) ∈ V (x0 . Entõ. λ) tal que V (x0 . λ) sobre E e consideremos y ∈ πE [Br (x0 . Entõ. portanto. em E. Com efeito. ou seja c Se (x1 . existe uma vizinhan¸a V (x0 .c. 35 Sejam E um espa¸o topol´gico e {fi }i∈I uma fam´ de fun¸˜es fi : E → ca c o ılia co [−∞. +∞]. e o ca definida por ψ(x) = inf {fi (x)}. Analogamente.10: diagrama¸ao c˜ 2 Defini¸õ 1. +∞]. i∈I . i∈I ´ denominada inv´lucro superior de {fi }i∈I . λ) E ( x0) E d s d πE [Br (x0 . (E × R)\epi(f ) V (x0 . a fun¸õ ψ : E → [−∞. λ)] r Figura 1. A fun¸õ ϕ : E → [−∞. +∞] definida por ca ϕ(x) = sup{fi (x)}. x∈E Note que m est´ bem definido. co e Lema 1. (1. ´ s. para todo λ > m [Note que se existir λ > m tal que .. Sõ eles: a a Lema 1. se (x. co a e Lema 1.i. conseqëntemente.i. Reciprocamente. a e portanto. f ) = ∅. portanto. ca Demonstra¸õ: Seja ϕ(x) = supi∈I {fi (x)}. f = +∞ (f ´ nõ identicamente a e o e a +∞) e. ´ s. Al´m disso. Assim. Demonstra¸õ: Definamos ca m = inf f (x).36) Com efeito. s. posto que e cada fi ´ s. (x.c. (Resultado 4). λ) ∈ i∈I epi(fi ). pois como f ´ pr´pria. ılia e a ou seja. e a interse¸õ arbitr´ria de fechados ´ fechada. ´ uma o ılia e e fun¸õ s. u para todo x ∈ I.39 (Resultado 8) Se f : E → R ´ uma aplica¸õ pr´pria. vem que e ca a e epi(ϕ) ´ fechado e consequentemente ϕ ´ s.c. temos que N (λ. f ). pela propriedade de e ´ ınfimo segue que N (λ. e E ´ come ca o e pacto.c. apresentamos dois resultados cujas demonstra¸˜es sõ imediatas e portanto co a serõ suprimidas. seja (x. f (x) ≤ λ} ´ e fechado em virtude do Resultado 3 e a fam´ N (λ.i.. fi (x) ≤ λ.i. Para cada λ > m. e o 39 Lema 1.36). e e 2 A seguir. (x. λ) ∈ epi(fi ). f ) ´ totalmente ordenada por inclusõ.c. Entõ. o que prova (1.c. ϕ(x) ≤ λ.38 (Resultado 7) O produto de duas fun¸˜es nõ-negativas s. entõ f atinge seu ´ a ınfimo em D(f ). f ) ⊂ N (λ2 .i.FUNCOES CONVEXAS E SEMICONT´ ¸˜ INUAS ´ denominada inv´lucro inferior de {fi }i∈I .. ´ s.c. f ) = {x ∈ E.c. λ) ∈ epi(ϕ). λ) ∈ epi(ϕ). fi (x) ≤ λ para todo i ∈ I donde supi∈I {fi (x)} ≤ λ.i.c.37 (Resultado 6) A soma de duas fun¸˜es s. m < +∞. para todo i ∈ I.i. Afirmamos que ca epi(ϕ) = i∈I epi(fi ). Como cada epi(fi ) ´ fechado.i. se λ1 ≤ λ2 temos que N (λ1 . temos que ϕ(x) ≤ λ e. Logo.c.i.36 (Resultado 5) O inv´lucro superior de uma fam´ {fi }i∈I . f ) = ∅. µ) ∈ epi(ϕ) e t ∈ [0. . Logo. Assim. ϕ(x) ≤ λ e a para todo x. Entõ. entõ f (x) ≤ λ. (⇒) Sejam (x. f )}λ>m e c˜ de compactos tais que a interse¸ao de qualquer cole¸ao finita ´ nõ vazia. ´ convexa. a considerando {λn }n∈N tal que λn > m e λn → m resulta que f (x) ≤ λn . existe x0 ∈ E tal que f (x0 ) = inf x∈E f (x) = m. onde C ´ convexo. λ>m Mais al´m.40 Sejam E um espa¸o vetorial e C um subconjunto convexo de E.41 (Resultado 9) A fun¸õ ϕ : C →]−∞. (y. f ). conseqëntemente. λ). ca e e se. vem que f (x) = m. y ∈ C e t ∈ [0. +∞] ´ uma fun¸õ convexa sobre C se e ca ϕ(t x + (1 − t) y) ≤ t ϕ(x) + (1 − t) ϕ(y). para todo x∈ λ>m N (λ. Desta forma. f ). ϕ(t x + (1 − t) y) ≤ t ϕ(x) + (1 − t) ϕ(y) ≤ t λ + (1 − t)µ. para todo x ∈ ∩λ>m N (λ. se x ∈ e e. e somente se. e E. ϕ : E → R definida por ϕ(x) = f. ´ convexa. Como cada N (λ. Exemplos: a) A norma || · || em um espa¸o vetorial normado E ´ uma fun¸õ convexa sobre E. 2 Defini¸õ 1. isto ´. f ) ´ compacto qualquer que seja λ > m. por sua vez ´ compacto. temos uma cole¸ao {N (λ. Por outro lado. o que ´ um e absurdo(!)]. para todo λ > m. o epi(ϕ) ´ convexo. Dizemos ca c que ϕ : C →] − ∞. para todo x ∈ E. +∞]. x + α. f ) ´ fechado em E.40 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` f (x) > λ para todo x ∈ E temos que λ ´ uma cota inferior maior que ´ e ınfimo. c˜ e para algum α ∈ R e f ∈ E ∗ . u λ>m N (λ. c e ca A verifica¸ao deste fato decorre imediatamente da desigualdade triangular. c˜ Lema 1. f (x) ≤ m. para todo n ∈ N. 1]. o que segue diretamente das propriedades de uma e fun¸ao linear. 1]. c˜ b) Toda fun¸ao linear afim sobre E. e Demonstra¸õ: ca ϕ(y) ≤ µ. f ). Assim. vem que e e N (λ. o que implica c˜ c˜ e a que N (λ. como f (x) ≥ m. x ≤ 0. (⇐) Reciprocamente. ´ um conjunto convexo.FUNCOES CONVEXAS E SEMICONT´ ¸˜ INUAS 41 donde (t x + (1 − t) y. +∞]. Entõ. ´ ca e e convexa. x > 0. ϕ(t x + (1 − t)y) ≤ t ϕ(x) + (1 − t) ϕ(y). x. 1]. 2 ı a e Observa¸õ 1. a e Demonstra¸õ: Sejam λ ∈ R.42 (Resultado 10) Se a fun¸õ ϕ : C →] − ∞. 2 Lema 1. t(x. ϕ(t x + (1 − t)y) ≤ t ϕ(x) + (1 − t) ϕ(y) ≤ t λ + (1 − t)λ = λ. RT λ 1◦ √ − λ • √ λ−1 E x Figura 1. ϕ) e t ∈ [0.43 Notemos que a rec´proca do resultado 10 nõ ´ verdadeira. t(x. t ϕ(x) + (1 − t) ϕ(y)) ∈ epi(ϕ). 1]. sejam x. ϕ(y)) ∈ epi(ϕ). λ) + (1 − t)(y. µ) ∈ epi(ϕ). ou seja. ca a Logo. entõ N (λ. y ∈ C e t ∈ [0. ϕ(y)) = (t x + (1 − t)y.11: diagrama¸ao c˜ . λ ∈ R. (y. Como ϕ(x) ≤ ϕ(x) e ϕ(y) ≤ ϕ(y) vem que (x. x2 + 1. Logo. onde C ´ convexo. ϕ(x)) + (1 − t)(y. ϕ(x) ≤ λ e ϕ(y) ≤ λ. Considerca emos a fun¸õ: ca ϕ(x) = x2 . y ∈ N (λ. ϕ(x)). t λ + (1 − t) µ) ∈ epi(ϕ). ou seja. ϕ). λ0 ). onde f ∈ E e β ∈ R tal que f (x) − β < ϕ(x). ϕ(x) ≤ λ}. 0]. Se λ = 1. √ √ √ √ Se λ > 1. mas ϕ nõ ´ convexa. ou seja. No que segue. √ Se 0 < λ < 1. ϕ(t x + (1 − t)y) = ϕ(1/4) = o que prova o desejado.c. ϕ(x) ≤ 1} = [−1. λ − 1[= [− λ. fechado (Resultado 4) e nõ vazio (pois ϕ ´ uma fun¸ao a e c˜ pr´pria) de E × R e {(x0 . Como epi(ϕ) ´ um a / e conjunto convexo ( Resultado 9). et= 1 4 (1 − t = 3 ). Se λ < 0. 44 44 16 16 Por outro lado. Demonstra¸õ: Como ϕ ´ pr´pria. λ0 ) ∈ epi(ϕ). +∞] uma aplica¸õ convexa. λ0 )} = ∅. λ0 )} ´ um conjunto convexo e compacto de E × R onde epi(ϕ) ∩ o e {(x0 . para a todo x ∈ E. considere x = − 1 . c Proposi¸õ 1. e pr´pria. ϕ(−1/2) = 1/4. Da´. {x ∈ R.i. Seja λ0 ∈ R tal que ϕ(x0 ) > λ0 . ϕ) = {x ∈ R. (x0 . ϕ(x) ≤ λ} = ∅. ϕ(x) ≤ λ} = [− λ. e ı 4 t ϕ(x) + (1 − t) ϕ(y) = 11 35 1 15 + = + = 1.44 Seja ϕ : E →] − ∞. {x ∈ R. 0].42 Entõ. Os conjuntos acima sõ convexos. pela 2a Forma Geom´trica do Teorema de Hahn-Banach que existem e φ ∈ (E × R) e α ∈ R tais que φ(x. a ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` N (λ. De fato. ϕ(x0 ) < ca e o +∞. assim. s. ϕ(x) ≤ 0} = {0}. {x ∈ R. Entõ. {x ∈ R. λ) ≤ α − ε < α ≤ α + ε ≤ φ(x0 . t x + (1 − t)y = e. consideraremos E um espa¸o vetorial normado. 42 8 8 4 . vem. 0]∪]0. ϕ(1/2) = 5/4. para todo (x. λ − 1]. existe uma reta afim. ca ca o Entõ. 16 1 4 − 1 2 + 31 1 3 1 =− + = . a a e 2 y= 1 2 Se λ = 0. {x ∈ R. ϕ(x) ≤ λ} = [− λ. existe x0 ∈ E tal que x0 ∈ De (ϕ). f − β. λ) ∈ epi(ϕ). 1 + 1 > 1 = t ϕ(x) + (1 − t) ϕ(y). Logo. conforme quer´ ıamos demonstrar. para todo x ∈ E e λ ∈ R. para x ∈ De (ϕ) resulta que (x. para todo x ∈ E. obtemos k f. x∈E Portanto. λ) ∈ epi(ϕ). para todo x ∈ E. existem g ∈ E e k ∈ R (veja subse¸ao 1. x − ϕ(x) < − . 43 Mas.45 Da proposi¸õ acima resulta que f. Se x ∈ De (ϕ) temos que ϕ(x) = +∞ e a desigualdade segue trivialmente. ϕ(x0 )) ∈ epi(ϕ) resulta que k ϕ(x0 ) < α < k λ0 ⇒ k(ϕ(x0 ) − λ0 ) < 0. x + k λ ≤ α − ε < α ≤ α + ε ≤ g.2) tais que c˜ φ(x. a desigualdade acima implica que k < 0. Assim. ϕ(x)) ∈ epi(ϕ) e. definindo-se ϕ∗ : E → R. x − β < ϕ(x).1. para todo (x. ca ca e. (1. x − β < ϕ(x). x − ϕ(x)} ≤ β. k k g Pondo f = − k e β = − α . x + k λ. para (x0 .37) temos que ϕ∗ (f ) ´ o menor dos valores de β para os quais f − β minora ϕ. como ϕ(x0 ) > λ0 . x0 + k λ0 . portanto. f → ϕ∗ (f ) = supx∈E { f. x + k ϕ(x) < α ≤ g. 2 Observa¸õ 1. x0 + k λ0 . portanto. x − ϕ(x)} . Em particular. para todo x ∈ De (ϕ). / f. Em particular. x − ϕ(x) < β ⇒ f. x − β < ϕ(x). g. sup { f. e . g. λ) = g. donde g α − .FUNCOES CONVEXAS E SEMICONT´ ¸˜ INUAS Como φ ∈ (E × R) . a x − β < ϕ(x). c˜ e Vejamos um exemplo: Seja ϕ : R → R dada por ϕ(x) = x2 . para todo x ∈ R.44 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` A fun¸ao ϕ∗ definida acima ´ denominada conjugada (ou polar) da ϕ. Como ϕ est´ nas condi¸oes a c˜ da proposi¸õ 1. Logo. pondo (x2 )∗ (a) = sup{a x − x2 } x∈R temos que (x2 )∗ (a) = x = a . para todo x ∈ R. x − β < ϕ(x). Logo. 2 4 4 RT ϕ(x) = x2 y = ax − E a2 4 a2 4 a 2 R Figura 1. x = a x para todo x ∈ R e.12: diagrama¸ao c˜ Entõ. portanto. ou ainda. a reta y = a x − a a2 4 ´ a reta que minora ϕ(x) = x2 .44. ou seja. existe f ∈ R ≡ R e β ∈ R tais que f. 2 a2 4 pois o m´ximo ´ assumido quando a e d (a x dx − x2 ) = 0. em (x2 )∗ (a) = sup(a x − x2 ) = a x∈R a a2 a2 − = . a 2/4). a x − x2 < β. e a . Portanto. existe ca a ∈ R tal que f. Note que realmente esta e reta ´ tangente ao gr´fico de ϕ no ponto (a/2. Se y ∈ E ´ tal que y = 0. x | → 0.i. pois f ∈ E e ϕ(x) ´ um n´mero fixo. x − ϕ(x) ´. a e ca Al´m disso. Da´ resulta que ı |ξy (fn ) − ξy (f )| = | fn . y − ϕ(y)]| → 0 quando n → +∞. em virtude do Resultado 5 que ϕ∗ e ´ s. x − f.c.. seja {fn }n∈N uma seq¨ˆncia de fun¸oes em E ue c˜ tal que fn → f em E . portanto. x | → 0 quando n → +∞. | fn . Al´m disso.i. x − ϕ(x)}x∈E . o que prova a continuidade de ξx . e convexa e s. ϕ∗ . definamos. x − ϕ(x)} + (1 − t) { g. x∈E ∗ y ||y|| − f. Demonstra¸õ: ca Para cada x ∈ E. quando n → +∞. Como ϕ∗ ´ o inv´lucro superior da fam´ e o ılia { f. x ∈ E. De fato. x −ϕ(x). +∞] dada por ξx (f ) = f.46 A conjugada de uma fun¸õ ϕ : E →] − ∞. para cada. ϕ∗ (t f + (1 − t)g) = sup { t f + (1 − t)g. sup x∈E. g ∈ E . para todo x ∈ E tal que ||x|| ≤ 1.||x||≤1 | fn − f. ou seja. ξx ´ cont´ e e ınua em E . temos que f. y − f. e. para todo y ∈ E.c.c. ξx (f ) = f. Com efeito. ´ convexa e ca ca e s. temos.. y ||y|| → 0 quando n → +∞. x − ϕ(x) = t { f. se t ∈ [0. onde cada elemento ´ s. para todo y ∈ E.c. para cada x ∈ E. 1] e f. ou seja. resulta que e e t f + (1 − t)g.i. (posto que ´ cont´ e ınua). entõ e a fn . a e u fun¸ao ξx : E →]−∞.FUNCOES CONVEXAS E SEMICONT´ ¸˜ INUAS 45 Proposi¸õ 1. Da convergˆncia acima resulta que e | fn . Pelo que vimos anteriormente c˜ (veja exemplo (b) na p´gina 39) ξx ´ uma fun¸õ linear afim sobre E e portanto convexa. y − ϕ(y) − [ f. . x − ϕ(x)} ≤ t ϕ∗ (f ) + (1 − t) ϕ∗ (g). +∞]. y | → 0 quando n → +∞. x ´ uma fun¸ao linear e cont´ e c˜ ınua sobre E..i. Assim. x − ϕ(x)} ≤ t ϕ (f ) + (1 − t) ϕ∗ (g). 47 Suponhamos que ϕ : E →] − ∞. al´m disso. x + f. J ´ linear pois e e Jx+y (f ) = f. Proposi¸õ 1. s. temos sup f ∈E . a nota¸ao E representar´ (E ) . A fun¸ao J est´ bem definida uma vez e c˜ a que. x − ϕ(x) ≤ β. o que de onde conclu´ ımos que f ∈ De (ϕ∗ ). para cada x ∈ E.i. ou bidual de um espa¸o c˜ a c E. x − ϕ(x)} ≤ β. +∞] ´ uma aplica¸õ convexa. o que mostra o desejado. y = Jx (f ) + Jy (f ) = (Jx + Jy )(f ). Al´m disso.18 da e e a Forma Anal´ ıtica do teorema de Hahn-Banach.||f ||≤1 |Jx (f )| = sup f ∈E . para todo x ∈ E. pelo Corol´rio 1. para todo f ∈ E . para todo x ∈ E. x + y = f. Entõ ϕ∗ ´ pr´pria. Assim. e Demonstra¸õ: Em verdade temos ca J :E→E x → Jx . x∈E De acordo com a Proposi¸ao 1.||f ||≤1 | f. Logo. para todo x ∈ E. existe f ∈ E e β ∈ R tais que c˜ f. onde Jx : E → R ´ definida por Jx (f ) = f.46 o que prova que ϕ∗ ´ convexa. Jx ´ claramente linear e. o a e o Demonstra¸õ: ca implica que ϕ∗ (f ) = sup{ f. portanto. x | = ||x|| < +∞. continuidade de Jx . . f ∈ E ´ um ca ca e isomorfismo isom´trico de E em J(E). para todo x ∈ E. o que resulta na limita¸õ. x . f. e ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` 2 Proposi¸õ 1. x − β ≤ ϕ(x).44. ca e ca e pr´pria. 2 No que segue. x . o dual do dual. fixado.c. ca Jx ∈ E e ||Jx ||E = ||x||.48 A aplica¸õ J : E → E definida por Jx (f ) = f. x − ϕ∗ (f ). c˜ e o convexa e s. para todo x ∈ E. o espa¸o E ´ denominado a c e reflexivo. f − ϕ∗ (f )} . ϕ∗ : E → R ´ pr´pria.48. assim ϕ(x) ≥ f.50 (Fenchel-Moreau) Suponhamos que ϕ : E →]−∞. entõ. +∞] ´ uma aplica¸õ e ca convexa. uma aplica¸ao isomorfa e isom´trica de E em J(E) ⊂ E . e pr´pria.c.49 Em virtude do isomorfismo acima. s. x ∈ E. identifica-se E a J(E) e escreve-se ca E ⊂ E . Neste caso. c Teorema 1. x − ϕ∗ (f )} . para todo x ∈ E e f ∈ E . e. como provar ´ ı que ϕ∗∗ = ϕ em dom´ ınios diferentes ? E a´ que usamos fortemente a identifica¸ao E ≡ c˜ J(E) ⊂ E descrita na proposi¸ao 1. entõ E = E .i. ϕ∗∗ = ϕ o a Demonstra¸õ: ca De acordo com as Proposi¸oes 1. Assim.c. Entõ. para todo x ∈ E e f ∈ E . y ∈ E. Analogamente. J ´. o que implica que ϕ(x) ≥ sup { f. f ∈E escrevemos. conforme e a c˜ e quer´ ıamos demonstrar. Notemos que pelo fato de ϕ∗ (f ) = sup { f. prova-se que Jλ x = λ Jx para todo λ ∈ R e x ∈ E. e consequentemente existe ϕ∗∗ : E → R. f ∈E onde estamos subentendendo que ξ ∈ J(E) ≡ E ⊂ E . ao inv´s de representarmos c˜ e ϕ∗∗ (ξ) = sup { ξ.46 e 1. ξ ∈ E .FUNCOES CONVEXAS E SEMICONT´ ¸˜ INUAS 47 provando que Jx+y = Jx + Jy para todo x. Desta forma. No Cap´ ıtulo 3. 2 Observa¸õ 1. x − ϕ(x)} . Quando J(E) = E . estudaremos algumas propriedades relacionadas a tais espa¸os. via identifica¸ao acima. f ∈E . x − ϕ(x). c˜ ϕ∗∗ (x) = sup { f.47.i. x − ϕ∗ (f )} . x∈E resulta que ϕ∗ (f ) ≥ f. conseqëntemente a u f. decorre que ϕ ∗∗(x0 ) < +∞ (observe que ´ o e poss´ que ϕ(x0 ) = +∞) e (x0 . λ) ∈ epi(ϕ). x + k n > α ⇔ k > α − f. ϕ(x0 ) > ϕ∗∗ (x0 ). ϕ(x0 )) ∈ epi(ϕ)]. inie cialmente que ϕ ≥ 0 e. ou seja. para todo x ∈ E. x − ϕ(x) < − . n Logo. (1. Chegaremos a uma contradi¸ao. ϕ∗∗ (x0 )). [Note a que nõ podemos usar o racioc´ a ınio feito anteriormente para (x0 . existe f ∈ E e k ∈ R tais que f. para todo x ∈ E. da hip´tese feita. n) ∈ epi(ϕ). para todo x ∈ De (ϕ). x + k ϕ(x) > α. α ∈ R e ε > 0. x0 + kϕ∗∗ (x0 ). e e existem φ ∈ (E × R) . ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` ϕ(x) ≥ ϕ∗∗ (x). para todo x ∈ De (ϕ). o que nos garantir´ a igualdade para fun¸oes ϕ nõ negativas. (x.48 ou ainda. ou seja. u a se x ∈ De (ϕ) f. Suponhamos. Logo. ϕ∗∗ (x0 )}. (k + ε) k+ε . λ) ∈ epi(ϕ). Entõ. isto ´. para todo x ∈ De (ϕ). em um primeiro c˜ a c˜ a momento. podemos aplicar a 2a Forma ıvel / Geom´trica do Teorema de Hahn-Banach aos conjuntos epi(ϕ) e {(x0 . para todo (x. λ) ≥ α + ε > α > α − ε ≥ φ(x0 . x + (k + ε) ϕ(x) > α. tomando o limite quando n → +∞ na expressõ acima resulta que k ≥ 0. segue que para ε > 0 dado f. ϕ(x0 )) pois nõ sabemos a se x0 ∈ De (ϕ) e conseqëntemente nõ podemos garantir que (x0 . para todo n ≥ n0 e. ϕ∗∗ (x0 )) ∈ epi(ϕ). λ suficientemente grande e n0 ∈ N tal que ϕ(x) ≤ λ ≤ n. tais que φ(x. Assim. para todo n ≥ n0 . x . [note que tomamos ε pois o pr´ximo passo seria uma divisõ por k e como k ≥ 0 isto nõ o a a poderia ser feito]. Com efeito. (1. onde k ≥ 0. − f α . Como ϕ(x) ≥ 0. ou ainda.39) Sejam x ∈ De (ϕ).38) em mente. tendo (1.38) O nosso intuito ´ provar que ϕ(x) = ϕ∗∗ (x). x + k λ > α > f. para todo (x. admitamos que que exista x0 ∈ E tal que a igualdade estrita ocorra. c. pela arbitrariedade de ε. x + ϕ∗ (f0 ). ϕ nõ necessariamente nõ negativa. entõ a ϕ(x) = ϕ(x) − f0 . s. x0 + kϕ∗∗ (x0 ) < α. o caso geral. x − ϕ(x) (k + ε) ≤− α . k+ε pois se ϕ(x) = +∞ entõ −ϕ(x) = −∞. x∈E . para todo x ∈ E pois e ϕ∗ (f0 ) = sup { f0 . pela proposi¸ao 1.39) temos que e f. f . ϕ(x) ≥ 0. e. x0 − ϕ∗ (g)} g∈E ≥ ≥ Por conseguinte. para todo x ∈ E. x − ϕ(x) (k + ε) f − .i. x − ϕ(x). x0 + (k + ε)ϕ∗∗ (x0 ) ≥ α. Definamos. agora. temos que ϕ(x) = ϕ∗∗ (x). a Logo. x0 (k + ε) f − .47 que ϕ∗ ´ pr´pria. Das propriedades das fun¸˜es envolvidas. ou seja. ϕ∗ − f k+ε = sup x∈E 49 − = sup x∈De (ϕ) f . co e o Al´m disso. para todo x ∈ E. x − ϕ(x)} ≥ f0 . existe o c˜ e o f0 ∈ E tal que f0 ∈ De (ϕ∗ ). x0 + kϕ∗∗ (x0 ) ≥ α. f. o que ´ um absurdo (!) pois de (1. Assim. temos. x0 (k + ε) − − ϕ∗ − + α . e pr´pria.FUNCOES CONVEXAS E SEMICONT´ ¸˜ INUAS Assim. k+ε f k+ε f. Consideremos. Assim. resulta que ϕ ´ convexa. ϕ∗∗ (x0 ) = sup { g. para todo ε > 0. se ϕ ≥ 0. Das a a hip´teses feitas sobre ϕ. x + ϕ∗ (f0 ) = ϕ∗∗ (x) + ϕ(x) − ϕ(x). para todo x ∈ E. Mas.40) = sup { f. o ´ que encerra a prova. sugerimos os cl´ssicos Horv´th [12] e co a a Schwartz [19]. x − ϕ(x)} − ϕ∗ (f0 ) x∈E = ϕ∗ (f + f0 ) − ϕ∗ (f0 ). x + ϕ(x) ≥ 0. x − ϕ∗ (f + f0 )} − f0 .40) resulta que ϕ∗∗ (x) = ϕ(x). .51 A Primeira Forma Geom´trica do teorema de Hahn-Banach se esca e tende aos espa¸os vetoriais topol´gicos gerais enquanto que a Segunda Forma se estende c o aos espa¸os localmente convexos espa¸os extremamente importantes na Teoria das c c ` Distribui¸˜es. x − ϕ∗ (f + f0 )} + ϕ∗ (f0 ) f ∈E = sup { f + f0 . ϕ∗ (f ) = sup { f. x − ϕ∗ (f )} f ∈E = sup { f. Da primeira parte da demonstra¸ao conclu´ c˜ ımos que ϕ∗∗ (x) = ϕ(x). portanto. Desta ultima identidade e de (1. x + ϕ∗ (f0 ) = ϕ (x) − f0 .50 o que implica ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` ϕ∗ (f0 ) − f0 . 2 f ∈E ∗∗ Observa¸õ 1. x − ϕ∗ (f0 )} x∈E = sup { f + f0 . x − ϕ(x) + f0 . x − ϕ(x)} x∈E (1. e. para todo x ∈ E. Aqueles interessados em tal assunto. ϕ∗∗ (x) = sup { f. para todo x ∈ E. Hugo Dyonizy Steinhaus (1887 . ` esquerda.1932). foi um matem´tico francˆs que trabalhou e a a e na teoria de fun¸oes e no conceito de limite. ` direita.1: Steinhaus-Baire. hoje Polˆnia) que trabalhou na teoria da medida. c˜ 51 . foi um matem´tico polonˆs a a e (nasceu na antiga Gal´ ıcia. inspirado o por Lebesgue.1972). e no princ´ ıpio da condensa¸ao de singularidades juntamente com Banach. c˜ Ren´-Louis Baire (1874 .Cap´ ıtulo 2 Os Teoremas de Banach-Steinhaus e do Gr´fico Fechado a Figura 2. Dizemos que A ´ rarefeito (nowhere ca c e e dense . a e Exemplo: O conjunto dos n´meros racionais ´ de 1a categoria pois u e Q= q∈Q {q} e int{q} = ∅.2 Seja X um espa¸o m´trico. sõ denominados de categoria II (ou de 2a a a a categoria). Com efeito. o que contraria o fato de X\A ser denso em X. c˜ Defini¸õ 2. Dizemos que A ⊂ X ´ de categoria I (ou de ca c e e 1a categoria) se A = n∈J An . Assim. e a a para todo natural n ∈ J. tal que intA = ∅. Devemos mostrar que ca e X\A ´ denso em X. Logo. isto ´. raciocinemos por contradi¸õ. ou seja.1 Seja X um espa¸o m´trico e A ⊂ X. 2 Defini¸õ 2. Os conjuntos que nõ sõ de categoria I. Se A ⊂ X ´ de 1a categoria e B ⊂ A. entõ ca c e e a B ´ de 1a categoria (ou de categoria I). A ⊂ X ´ rarefeito se. intA = ∅.4 Seja X um espa¸o m´trico. Proposi¸õ 2.nunca denso) se intA = ∅.1 Um Repasso ao Teorema de Baire Comecemos por uma defini¸ao. que exista x0 ∈ X e ca e ε0 > 0 tal que Bε0 (x0 ) ∩ (X\A) = ∅.52 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` 2. ou seja. e (⇐) Suponhamos que X\A = X e que A nõ seja rarefeito. Proposi¸õ 2. o que ´ um absurdo (!) pois intA = ∅. o que implica que x0 ∈ intA. que intA = ∅. e . a Entõ.3 Seja X um espa¸o m´trico. existem x0 ∈ A e r0 > 0 tais que Br0 (x0 ) ⊂ intA ⊂ A. Bε0 (x0 ) ⊂ A. Os conjuntos de categoria I sõ tamb´m denominados conjuntos magros em X. onde J ´ enumer´vel e os conjuntos An sõ rarefeitos. Como exemplos de conjuntos rarefeitos podemos considerar aqueles formados por pontos isolados de X. o que implica que a Br0 (x0 ) ∩ (X\A) = ∅. e somente se. e Demonstra¸õ: (⇒) Seja A rarefeito. X\A ca c e e ´ denso em X. 2 Proposi¸õ 2. para cada n ∈ J. se intA = ∅. o que implica que intBn = ∅. Como e e intA ⊂ A. entõ. A ´ de categoria I. Logo. por hip´tese.1). com J enumer´vel. a B =A∩B = n∈J 53 An e intAn = ∅. isto ´ x ∈ X\An . portanto. Bn = An ∩ B e intBn ⊂ intAn . entõ X\A = X. o que prova / e (2. Br (x) ∩ An = ∅.UM REPASSO AO TEOREMA DE BAIRE Demonstra¸õ: Como A ´ de 1a categoria. temos que A = ca e todo natural n ∈ J. Entõ. a e 2) A = intA = ∅. Sõ equivalentes: ca c e a 1) Todo subconjunto aberto e nõ-vazio de X ´ de categoria II. Entõ.1) De fato. para cada n ∈ J. 4) Se A ´ de categoria I. para todo n ∈ J (J enumer´vel ) ⇒ e a An . para n∈J An ∩B = n∈J (An ∩ B) = n∈J Bn . j´ que X\A = o a . (2. existe r > 0 tal que Br (x) ⊂ a X\An e. Entõ. onde An ´ fechado e intAn = ∅. temos que intA = ∅ pois. pela proposi¸ao 2. e a Demonstra¸õ: ca (1) ⇒ (2) Seja A = n∈J n∈J n∈J An . portanto. onde An ´ fechado e intAn = ∅ para todo n ∈ J. onde. e X\An ´ fechado (pois An ´ aberto) e como An = X. Afirmamos e e que int(X\An ) ⊂ X\An . para todo n ∈ J (J enumer´vel ) ⇒ e a An . Assim. temos que int(X\A) = ∅. temos.4 que intA ´ de categoria I. o que ´ um absurdo(!). Como intA ´ aberto e c˜ e e de categoria I. para cada n ∈ J. seja x ∈ int(X\An ). a a o intA seria de categoria II. e a An = n∈J n∈J X\A = X\ (X\An ). onde An ´ aberto e An = X. 3) A = A = X. temos que X\An = ∅. para n ∈ J ´ rarefeito pois An = An e. e a cada An . para todo n ∈ J. por hip´tese. donde x ∈ An .5 Seja X um espa¸o m´trico. An ´ aberto e An = X. int(X\An ) = ∅ e. e (2) ⇒ (3) Seja A = n∈J An . caso contr´rio. Por hip´tese (contra -positiva). temos que o (4) ⇒ (1) Seja A ⊂ X tal que A ´ aberto e nõ vazio. ou seja. para todo n = 0. Escolhamos entõ a n´mero 3. Devemos mostrar que Bε0 (x0 ) ∩ A = ∅. Como A1 = X. A ´ de categoria II. An ´ aberto e An = X. A = X. por indu¸ao. dado ε > 0. x0 ∈ X e ε0 > 0. · · · . n > n0 temos que d(xn . xm ) ≤ d(xn . que exista x0 ∈ X a tal que x0 ∈ A. como A2 = X. n∈J An ⊂ X\A. existe n0 ∈ N tal que se m. X\A ´ fechado e X\A = X e a e e portanto X\A = X (note que X\A = X\A). A ⊂ n∈J An . supondo c˜ a a u e n∈J An . Logo.54 n∈J (X\An ). / a Logo. portanto. Analogamente. a existˆncia de uma seq¨ˆncia {xn }n∈N com xn+1 ∈ An+1 ∩Brn (xn ) c˜ e ue tal que Brn+1 (xn+1 ) ⊂ (An+1 ∩ Brn (xn )) . n∈J X\An . Seja r0 > 0 a suficientemente pequeno tal que Br0 (x0 ) ⊂ Bε0 (x0 ). e e para cada n ∈ J. Br0 (x0 ) ⊂ X\A. e Seja. basta demonstrar uma das c˜ afirma¸oes posto que elas sõ equivalentes. e e Demonstra¸õ: ca que A = De acordo com a Proposi¸ao anterior. pelo fato de A1 ∩ Br0 (x0 ) ser aberto. Assim. e 2 Teorema 2. Suponhamos. existe r0 > 0 tal que Br0 (x0 ) ∩ A = ∅ e. Entõ. xn0 ) + d(xm . isto ´. Logo. isto ´. x0 ∈ int(X\A).6 (Teorema de Baire) Todo subconjunto aberto e nõ vazio de um espa¸o a c m´trico completo ´ de categoria II. [Mostra-se de e maneira an´loga ao ´ a ıtem anterior]. o que ´ um absurdo (!) pois int(X\A) = ∅. 2. A = ∪n∈J An onde intAn = ∅. X\ X\An ⊂ X\A. portanto. para cada n ∈ J e mostraremos que A = X. e. Como B ⊂ X\A. xn0 ) < rn0 + rn0 2 r0 r0 = 2 rn0 < n0 = n0 −1 < ε. ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Resta-nos provar que A = X. entõ A2 ∩ Br1 (x1 ) = ∅ a < r0 22 tal que Br2 (x2 ) ⊂ A2 ∩ Br1 (x1 ). entõ. temos que existem x1 ∈ A1 ∩ Br0 (x0 ) e 0 < r1 < e existem x2 ∈ A2 ∩ Br1 (x1 ) e 0 < r2 < e 0 < rn+1 < r0 2n+1 r1 2 r0 2 tal que Br1 (x1 ) ⊂ A1 ∩ Br0 (x0 ). entõ A1 ∩Br0 (x0 ) = ∅ a e. portanto. e (3) ⇒ (4) Seja A ⊂ X tal que A ´ de categoria I. temos que X\An ´ aberto e X\An = X. 1. Por hip´tese. A nõ ´ o a e de categoria I e. Obtemos. B = X. n∈J Pondo-se B = X\A = X. o contr´rio. 2 2 . Assim. de categoria I o que uma contradi¸ao (!). 2 2. Denotamos por L(E. Demonstra¸õ: Como X ´ um espa¸o de Baire. para todo n ∈ N. F ) o espa¸o dos operadores c c lineares e contńuos de E em F . onde An ´ fechado para n = 1. por´m fixado. ca 2 Defini¸õ 2. Logo. r0 ε 55 ⇔ n0 > 1 + log2 r0 ε ]. de categoria II.9 Seja A um subconjunto aberto e nõ-vazio de um espa¸o de Baire X tal a a c que A = +∞ n=1 An . Entõ. seja n0 ∈ N arbitr´rio.TEOREMA DE BANACH-STEINHAUSS OU DA LIMITACAO UNIFORME ¸˜ [Basta tomarmos n0 ∈ N tal que 2n0 −1 > xn → x em X.F ) = sup x∈E. 2.7 Um espa¸o topol´gico ´ dito Espa¸o de Baire. se satisfaz a uma das afirma¸˜es ca c o e c co da Proposi¸õ 2. Como Brn (xn ) ⊂ An . ca ımos que todo espa¸o m´trico completo ´ c e e Observa¸õ 2. {xn }n∈N ´ de Cauchy e como X ´ completo temos que existe x ∈ X tal que e e Por outro lado. ou seja. x∈ n∈N Brn (xn ). entõ A ´. A ´. existe a e ca c˜ n0 ∈ N tal que intAn0 = ∅. quando n → +∞. em virtude do Teorema de ca e c a e Baire. para cada n ∈ N. donde x ∈ A ∩ Bε0 (x0 ). Pela arbitrariedade de n0 ∈ N temos que x ∈ Brn (xn ). . munido da norma ı ||T ||L(E. · · · . o que finaliza a demonstra¸õ. Entõ.||x||E ≤1 ||T x||F .5. existe um ´ e a ındice n0 ∈ N para o qual intAn0 = ∅. x ∈ A. Entõ. temos que x ∈ An . Al´m disso.2 Teorema de Banach-Steinhaus ou da Limita¸õ ca Uniforme Sejam E e F espa¸os vetoriais normados. se n > n0 temos que a e a xn ∈ Brn0 (xn0 ) ⊂ Brn0 (xn0 ) e consequentemente x ∈ Brn0 (xn0 ) posto que Brn0 (xn0 ) ´ e fechado. e x ∈ Brn0 (xn0 ) ⊂ Br0 (x0 ) ⊂ Br0 (x0 ) ⊂ Bε0 (x0 ). que intAn = ∅ para todo ca n ∈ N. por defini¸õ. ou seja. c Corol´rio 2. Argumentemos por contradi¸õ. Logo. ou seja.8 Do Teorema de Baire conclu´ ca um espa¸o de Baire. por hip´tese.f = {x ∈ X. e.10 (Princ´ ca ıpio da Limita¸õ Uniforme) Sejam X um espa¸o m´trico ca c e completo e F uma fam´lia de fun¸˜es cont´ ı co ınuas f : X → R tais que. Temos. |f (x)| ≤ n} = f −1 ([−n. tais que |f (x)| ≤ M . Xn onde os Xn sõ fechados e X ´ aberto a e (pois ´ o espa¸o todo). Como os Xn. que o sup |f (x0 )| < Mx0 < +∞. Pondo-se e c a G = intXn0 .2) Xn . Provaremos. temos que Xn. que e X= n∈N Xn . existe n1 ∈ N tal que |f (x0 )| ≤ n1 . Xn = f ∈F Xn.56 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Quando E = F escreve-se simplesmente L(E) = L(E. Pelo Corol´rio 2. para todo n ∈ N. Definamos. A inclusõ a n∈N Xn ⊂ X ´ evidente. f ∈F Assim.f ´ fechado para todo n ∈ N e para e toda f ∈ F . Demonstra¸õ: Definamos ca Xn. existem M > 0 e G ⊂ X. Temos. para cada x ∈ X. n]). temos que |f (x)| ≤ n0 . Com efeito. (2. aberto. resulta que cada Xn ´ fechado.f = {x ∈ X. temos sup |f (x)| < Mx < +∞.2). Como as fun¸oes f sõ cont´ c˜ a ınuas.9 existe n0 ∈ N tal que intXn0 = ∅. f ∈F Entõ. para toda f ∈ F}. X = a n∈N n∈N Xn . Resta-nos provar que X ⊂ e n∈N seja x0 ∈ X. agora. E). para todo f ∈ F. para toda f ∈ F. que X = ∅. 2 . x0 ∈ o que prova (2. Proposi¸õ 2. a seguir. para todo x ∈ G e para a toda f ∈ F. |f (x)| ≤ n. portanto. entõ.f sõ fechados e a interse¸õ arbitr´ria de conjuntos fechados ´ um cona ca a e junto fechado. x1 ∈ E. M ≥ ||Tλ (x0 − r z)||F = ||Tλ x0 − r Tλ z||F = ||r Tλ z − Tλ x0 ||F ≥ r||Tλ z||F − ||Tλ x0 ||F . temos. para cada x ∈ E. Sendo G aberto. por conseguinte. Demonstra¸õ: Consideremos a seq¨ˆncia de fun¸oes fλ : E → R. e M > 0 c˜ tais que |fλ (x)| = ||Tλ x||F ≤ M. Mas. λ∈Λ isto ´. se x ∈ Br (x0 ). para todo x ∈ E e para todo λ ∈ Λ. sejam x. onde z ∈ B1 (0) e.11 (Banach-Steinhaus) Sejam E e F espa¸os de Banach e {Tλ }λ∈Λ uma c fam´lia de aplica¸˜es lineares e contńuas de E em F satifazendo a condi¸õ ı co ı ca sup ||Tλ x||F < +∞. portanto.F ) ||x − x1 ||E . se z ∈ B1 (0) vem que −z ∈ B1 (0) e. temos que x = x0 + r z. Entõ. . para todo x ∈ G e para todo λ ∈ Λ. definida por ca ue c˜ fλ (x) = ||Tλ x||F . existe r > 0 suficientemente pequeno tal que Br (x0 ) ⊂ G. No entanto. De fato. a sup ||Tλ ||L(E. aberto. a |fλ (x) − fλ (x1 )| = | ||Tλ x||F − ||Tλ x1 ||F | ≤ ||Tλ (x − x1 )||F ≤ ||Tλ ||L(E. para todo x ∈ E. λ ∈ Λ. por hip´tese.3) resulta que ||Tλ (x0 + r z)||F ≤ M. para todo z ∈ B1 (0) e para todo λ ∈ Λ. λ∈Λ Entõ.F ) < +∞. existe C > 0 tal que e ||Tλ x||F ≤ C ||x||E . Temos que fλ ´ cont´ e ınua para todo λ ∈ Λ. Ainda. de (2. o que prova a continuidade de fλ em x1 . o que sup |fλ (x)| = sup ||Tλ x||F < +∞. (2. λ∈Λ λ∈Λ Pelo Princ´ ıpio da Limita¸ao Uniforme temos que existem G ⊂ E.TEOREMA DE BANACH-STEINHAUSS OU DA LIMITACAO UNIFORME ¸˜ 57 Teorema 2.3) Seja x0 ∈ G. a sup z∈E. para todo x. r r 2M . tal que para cada x ∈ E. a existe Mx > 0 tal que ||Tn x||F ≤ Mx < +∞. T (x + y) = lim Tn (x + y) = lim Tn x + lim Tn y = T x + T y. Mais al´m. Entõ. entõ. entõ. par todo λ ∈ Λ. para todo x ∈ E e para todo λ ∈ Λ. pondo T x = limn→+∞ Tn x. .58 o que implica que ||Tλ z||F ≤ Assim. r ||Tλ z||F < +∞. posto que x0 ∈ G. para todo n ∈ N. e z ∈ B1 (0). ||Tλ z||F ≤ e. para todo x ∈ E e para todo λ ∈ R. existe C > 0 que verifica ||Tλ x||F ≤ C ||x||E . Sendo {Tn x}n∈N convergente.F ) . Ainda. temos que T ´ uma aplica¸õ a e ca linear e contńua de E em F . a seq¨ˆncia co ı ue {Tn x}n∈N converge em F . para todo λ ∈ Λ. 2 Corol´rio 2. T (λx) = λT x.12 Sejam E e F espa¸os de Banach e consideremos {Tn }n∈N uma sucessõ a c a de aplica¸˜es lineares e contńuas de E em F . o que finaliza a prova. para cada x ∈ E. n Demonstra¸õ: Notemos inicialmente que T : E → F est´ bem definida em fun¸ao da ca a c˜ unicidade do limite em F . y ∈ E. o que implica a linearidade de T . ou seja.||z||≤1 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` M + ||Tλ x0 ||F 2M ≤ .F ) ≤ lim inf ||Tn ||L(E. ı e ||T ||L(E. n→+∞ n→+∞ n→+∞ Analogamente. b . para toda f ∈ G .F ) . definamos ca Tb (f ) = f. ||T ||L(E. Temos ainda que ||Tn x||F ≤ ||Tn ||L(E.F ) ||x||E .13 Sejam G um espa¸o de Banach e B um subconjunto de G. para toda f ∈ G . Por hip´tese. x ´ limitado em R. tomando o limite na desigualdade acima resulta que ||T x||F ≤ C||x||E . o que prova a continuidade de T . Entõ B ´ e a e Pelo Teorema de Banach-Steinhaus. n ou ainda. Suponhamos a c que.F ) ≤ lim inf ||Tn ||L(E. para todo x ∈ E.TEOREMA DE BANACH-STEINHAUSS OU DA LIMITACAO UNIFORME ¸˜ donde sup ||Tn x||F ≤ Mx + ∞. existe uma constante C > 0 tal que ||Tn x||F ≤ C||x||E . para todo x ∈ E. b∈B . Demonstra¸õ: Para cada b ∈ B. temos que sup ||Tb ||L(G . b∈B x∈B f. n∈N 59 Logo. para todo x ∈ E e para todo n ∈ N. Assim. o que implica. tomando-se o limite inferior. para todo x ∈ E e para todo n ∈ N. o conjunto f (B) = limitado. n 2 Corol´rio 2. para todo x ∈ E.F ) ||x||E . temos que o sup |Tb (f )| < +∞. onde Tb : G → R. pelo Teorema de Banach-Steinhaus.R) < +∞. que ||T x||F ≤ lim inf ||Tn ||L(E. para todo x ∈ G e para todo f ∈ B . para todo x ∈ G. Suponhamos que a c para todo x ∈ G o conjunto B . x ´ limitado em R. x = f ∈B f. existe C > 0 tal que |Tf (x)| ≤ C ||x||G . a Logo. b | ≤ C. ou seja. x | < +∞. existe C > 0 tal que ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` |Tb (f )| = | f.||f ||G ≤1 | f. b | ≤ C ||f ||G . Assim. o f ∈B sup |Tf (x)| = sup | f. para todo x ∈ G e para todo f ∈ B . e a e Demonstra¸õ: Para cada f ∈ B definamos ca Tf (x) = f. para toda f ∈ G .14 Seja G um espa¸o de Banach e consideremos B ⊂ G . 2 . 2 O pr´ximo resultado pode ser denominado ‘resultado dual’ do corol´rio anterior. x .b ||f ||G ≤ C. Por hip´tese. para todo b ∈ B. pelo Corol´rio 1. f . para todo x ∈ G. x | ≤ C ||x||G . o a Corol´rio 2. para toda f ∈ B . Equivalentemente. o que implica que ||f ||G ≤ C.R) < +∞. f = 0(f nõ identicamente nula). Entõ.60 ou seja. | f. f ∈B Pelo Teorema de Banach-Steinhaus resulta que f ∈B sup ||Tf ||L(G. e para todo b ∈ B. para toda f ∈ G e para todo b ∈ B.18 do Teorema de Hahn-Banach resulta que a ||b||G = sup f ∈G . B ´ limitado. c ca a T (B1 (0)) ´ um subconjunto convexo de F . T C = {T x. y ∈ C. conforme quer´ Lema 2. Sejam entõ. que t y + (1 − t)y = t T x + +(1 − t) T x = T (t x) + T ((1 − t)x) = T (t x + (1 − t)x) ∈ T C. e ıamos demonstrar. que t xn + (1 − t)yn ∈ C. y ∈ T C. Antes de c˜ a enunciarmos os Teoremas em questõ. . Logo. ca c˜ ou seja. Al´m disso. e e T (B1 (0)) + T (B1 (0)) = 2T (B1 (0)). x ∈ C tais que y = T x e y = T x. Entõ para todo t ∈ [0. Lema 2. em virtude da convexidade de C. existem x. T C ´ um subconjunto convexo de F . 2 Lema 2. e Demonstra¸õ: ca Sejam x.16 Seja E um espa¸o de Banach e C um subconjunto convexo de E. x ∈ C}. Entõ.17 Sejam E e F espa¸os de Banach e T : E → F uma aplica¸õ linear. Entõ. Entõ. existe {xn }. 1] e para todo n ∈ N. C um subconjunto convexo de E e T : E → F c uma aplica¸õ linear. ca a e Demonstra¸õ: No lema acima entendemos por T C. que o limite t x + (1 − t)y ∈ C. ∈C o que prova o desejado. Entõ. 1] resulta. precisamos de alguns lemas tćnicos que passamos a e a comentar. a a para todo t ∈ [0.15 Sejam E e F espa¸os vetoriais.3 Teorema da Aplica¸õ Aberta e do Gr´fico Fechado ca a Os dois principais resultados que veremos nesta se¸ao sõ devidos a Banach. em virtude da convexidade a de C. 2 um conjunto fechado. temos. {yn } ⊂ C tais que xn → x e a yn → y. Resulta da´ das convergˆncias acima e do fato de C ser ı. Entõ. a imagem de C pela aplica¸ao T . y. C c a ´ convexo.´ TEOREMA DA APLICACAO ABERTA E DO GRAFICO FECHADO ¸˜ 61 2. 4) Reciprocamente. Como T ´ sobrejetiva.4) e (2. Com efeito. seja y ∈ F . 2y1 . existe x ∈ E tal que y = T x. que x = n0 z. 2 2 Lema 2. Logo. e portanto. 2y2 ∈ 2T (B1 (0)).15. e Seja. . decorre que T (B1 (0)) + T (B1 (0)) ⊂ 2T (B1 (0)). resulta que a +∞ F = n=1 nT (B1 (0)). em virtude da primeira identidade acima. +∞ n=1 De fato. Logo. entõ. z ∈ B1 (0) e n0 ∈ N. temos. vem que y/2 ∈ T (B1 (0)).16 vem entõ que T (B1 (0)) e a ´ um subconjunto convexo de F . y = T (n0 z) = n0 T z. Por o e outro lado. a Demonstra¸õ: Como ca +∞ E= n=1 nB1 (0). em vista do lema ca 2. para algum n0 ∈ N e z ∈ B1 (0). Do lema 2. y ∈ 2T (B1 (0)).62 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Demonstra¸õ: Sendo B1 (0) um subconjunto convexo de E. se x ∈ E. deduzimos que e y1 + y2 = Logo. y2 ∈ T (B1 (0)). agora.5) resulta o desejado. Como 2T (B1 (0)) ´ um conjunto convexo. 2 (2.5) 1 1 2y1 + 2y2 ∈ 2T (B1 (0)). que T (B1 (0)) ´ um subconjunto convexo de F .18 Sejam E e F espa¸os de Banach e T : E → F uma aplica¸õ linear e c ca sobrejetiva. resulta. sejam y1 . Entõ. basta mostrarmos que F ⊂ nT (B1 (0)) uma vez que a outra inclusõ ´ a e ´bvia. o que implica que +∞ +∞ y∈ n=1 nT (B1 (0)) ⊂ n=1 nT (B1 (0)). a y= y y + ∈ T (B1 (0)) + T (B1 (0)). existe C > 0 tal que B3C (0) ⊂ T (B1 (0)). Entõ. e de (2. 2 2 (2. evidentemente. entõ. para cada e ε > 0. Pelo corol´rio 2. resulta que −y ∈ T (B1 (0)). Entõ. F ´ aberto (posto que ´ o espa¸o todo).20 (Teorema da Aplica¸õ Aberta) Sejam E e F espa¸os de Banach e ca c T : E → F uma aplica¸õ linear. B6C (y) − y = B6C (0). e. o que prova o desejado. um subconjunto e fechado de F . Logo. B6C (y) ⊂ T (B1 (0)). onde −x ∈ B1 (0). Contudo. portanto. existe C > 0 tal que B3C (0) ⊂ T (B1 (0)). suficientemente pequeno de modo que 6C < r. que a B6C (0) ⊂ 2T (B1 (0)) ⇒ 2B3C (0) ⊂ 2T (B1 (0)) ⇒ B3C (0) ⊂ T (B1 (0)). a 0 0 ou ainda. 2 Defini¸õ 2. temos que existe n∗ ∈ N tal que int(n∗ T (B1 (0))) = ∅. Resulta da´ de (2. Dizemos que a aplica¸õ f : E → F ca c o ca ´ aberta quando. cont´ ca ınua e sobrejetiva. existe r > 0 a tal que Br (y) ⊂ T (B1 (0)). deste fato e da inclusõ acima segue. posto que B6C (y) = y + B6C (0). (2. Com efeito.17 que B6C (y) − y ⊂ T (B1 (0)) + T (B1 (0)) = 2T (B1 (0)). imediatamente. T ´ uma aplica¸õ a e ca aberta. f (U ) ´ aberto em F . Assim.7) . ∈B1 (0) isto ´. onde T (B1 (0)) ´.6) e ı. nõ vazio. Assim. ||T x − y|| = || − T (−x) − y|| = ||(−y) − T ( −x )|| < ε. o que finaliza a prova. Consideremos.19 Sejam E e F espa¸os topol´gicos.9. T (−x) ∈ Bε (−y). e do lema 2. temos que Bε (y) ∩ T (B1 (0)) = ∅. Logo. ou seja. existe x ∈ B1 (0) tal que ||T x − y|| < ε.´ TEOREMA DA APLICACAO ABERTA E DO GRAFICO FECHADO ¸˜ 63 o que mostra o desejado. y ∈ int(T (B1 (0))). como y ∈ T (B1 (0)).18. int(T (B1 (0))) = ∅. e pode e e c a ser escrito como F = +∞ n=1 nT (B1 (0)). para todo aberto U ⊂ E.6) Al´m disso. Demonstra¸õ: ca Pelo lema 2. e e Teorema 2. tem-se B3rC (0) ⊂ T (Br (0)) (2. Seja C ∈ R. Segue da´ ı que para todo r > 0. sejam ε = C 3 e r = 1 . obtemos uma seq¨ˆncia {zn }n∈N∗ tal que zn ∈ B1/3n (0) e e ue ||y − T (z1 + · · · + zn )|| < Como ||zn || < como n 1 3n C . para y ∈ BC (0) tomado arbitrariamente.64 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Logo. isto ´. e ||w − T x|| < ε. com w ∈ B3rC (0). Afirmamos que BC (0) ⊂ T (B1 (0)). pois E ´ Banach. Por outro lado. obtemos. e 3k +∞ n=1 1 1 = . a seq¨ˆncia { ue n k=1 zk }n∈N∗ converge para x ∈ E. emvirtude da continuidade de T ||y − T x|| = 0 ⇒ y = T x.9). 3 ||y − T z1 || < Sejam ε = tal que ||(y − T z1 ) − T z2 || < C 9 e r = 1 . 3n ∞ n=1 zn e ∞ 1 n=1 3n = 1 2 temos que a s´rie e converge absolutamente. Al´m disso. . Analogamente.9) (2. para todo ε > 0 existe x ∈ Br (0) tal que. 9 Por recorrˆncia. Logo. n 3 2 resulta que ||x|| ≤ 1 2 < 1. existe x ∈ B1 (0) tal que y = T x. temos que w ∈ T (Br (0)) e. (2. pois BC/3 (0) ⊂ T (B1/9 (0)) e y − T z1 ∈ BC/3 (0). De (2.8) De fato. tomemos y ∈ BC (0). temos para w = y − T z1 que existe z2 ∈ B1/9 (0) 9 C . o que prova o desejado em (2. portanto. dado w ∈ B3rC (0). 3n tomando o limite quando n → +∞. Com efeito.8) resulta que existe z1 ∈ B1/3 (0) tal que 3 C . x = e +∞ n=1 zn n e como n n zk k=1 ≤ k=1 ||zk || < k=1 1 . x ∈ B1 (0). pois BC (0) ⊂ T (B1/3 (0)) e y ∈ BC (0). dado ε > 0 temos que Bε (w) ∩ T (Br (0)) = ∅. e y−T k=1 zk < C . Assim. Devemos mostrar que existe x ∈ B1 (0) tal que y = T x. ou seja. De fato.´ TEOREMA DA APLICACAO ABERTA E DO GRAFICO FECHADO ¸˜ 65 Consideremos. Pelo teorema da Aplica¸ao Aberta temos c˜ que T U ´ aberto e como (T −1 )−1 = T . 2 Corol´rio 2. De fato. Mostraremos que T U ´ aberto em F . Entõ. a T −1 (y1 + y2 ) = T −1 (T x1 + T x2 ) = T −1 (T (x1 + x2 )) = x1 + x2 = T −1 y1 + T −1 y2 . por conseguinte. ou seja. segue o desejado. Logo. existe x ∈ U tal que y = T x. y2 ∈ F . Logo. Mas de (2. T −1 ´ cont´ e e ınua. isto ´. para todo x ∈ E. ||T −1 y||E ≤ C ||y||F . Tamb´m. seja y ∈ T U . Entõ. a c contńuo e bijetivo. x2 ∈ E tais que y1 = T x1 e y2 = T x2 . para todo y ∈ F. Entõ. . Com a e efeito. Demonstra¸õ: ca (i) Como T ´ bijetivo. Analogamente. para todo x ∈ E. Sendo U aberto. aberto. e (ii) Como T e T −1 sõ cont´ a ınuos vem que existem M. ii) Existem m. prova-se que T −1 (λ y) = λT −1 y.9). seja U aberto. Logo. entõ existe T −1 : F → E. e y + T (Br (0)) ⊂ T U. aberto. T −1 ´ linear. existe C > 0 tal que BC (0) ⊂ T (B1 (0)) e. U ⊂ E. ı a i) T −1 ´ um operador linear e cont´ e ınuo de F sobre E. x + Br (0) ⊂ U . entõ. para todo y ∈ F e para todo λ ∈ R. y + BrC (0) ⊂ T U ⇒ BrC (y) ⊂ T U. basta mostrar que (T −1 )−1 U ´ aberto. para e todo U ⊂ E. existem x1 . Al´m disso. T x + T (Br (0)) ⊂ T U. BrC (0) ⊂ T (Br (0)). o que finaliza a prova. Com efeito. existe r > 0 a tal que Br (x) ⊂ U .21 Sejam E e F espa¸os de Banach e T : E → F um operador linear. e a e e sejam y1 . C > 0 tais que ||T x||F ≤ M ||x||E . M > 0 tais que m ||x||E ≤ ||T x||F ≤ M ||x||E . 66 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Seja x ∈ E. Entõ, T x ∈ F e ainda, ||T −1 (T x)||E = ||x||E ≤ C ||T x||F , ou seja, a m ||x||E ≤ ||T x||F , onde m = 1 . C Isto encerra a prova. 2 c Observa¸õ 2.22 Seja E um espa¸o vetorial munido de duas normas || · ||1 e || · ||2 . ca Suponhamos que E munido de cada uma dessas normas ´ um espa¸o de Banach e que e c existe C1 > 0 tal que ||x||2 ≤ C1 ||x||1 , para todo x ∈ E. Entõ, existe C2 > 0 tal que a ||x||1 ≤ C2 ||x||2 , para todo x ∈ E, ou seja, as normas || · ||1 e || · ||2 sõ ditas equivalentes. a Para verificar tal afirma¸õ, basta considerarmos E = (E; || · ||1 ) e F = (E; || · ||2 ) ca e T = identidade. Entõ, T : E → F ´ linear, cont´ a e ınua e bijetiva. Do corol´rio 2.21 a decorre a desigualdade desejada. Defini¸õ 2.23 O gr´fico de uma fun¸õ ϕ : E → F ´ o conjunto dos pontos (x, ϕ(x)) ∈ ca a ca e E × F , isto ´, e G(ϕ) = {(x, y) ∈ E × F ; y = ϕ(x)}. Defini¸õ 2.24 Sejam E e F espa¸os de Banach e T : E → F uma aplica¸õ linear. ca c ca Pondo ||x||1 = ||x||E + ||T x||F , para todo x ∈ E, temos que || · ||1 ´ uma norma em E e ´ e e denominada norma do gr´fico. a Proposi¸õ 2.25 Sejam E e F espa¸os de Banach e T : E → F uma aplica¸õ linear. ca c ca Se o gr´fico de T ´ fechado em E × F , entõ E munido da norma do gr´fico ´ um espa¸o a e a a e c de Banach. Demonstra¸õ: Seja {xn }n∈N uma seq¨ˆncia de Cauchy em (E; || · ||1 ), onde || · ||1 ´ a ca ue e norma do gr´fico. Entõ, a a ||xn − xm ||E → 0 e ||T xn − T xm ||F → 0, quando m, n → +∞, o que implica que existem x ∈ E e y ∈ F tais que xn → x em E e T xn → y em F . Entretanto, como (xn , T xn ) ∈ G(T ) e G(T ) ´ fechado, vem que (x, y) ∈ G(T ), ou seja, e y = T x. Assim, xn → x em (E, || · ||1 ). 2 Teorema 2.26 (Teorema do Gr´fico fechado) Sejam E e F espa¸os de Banach e a c T : E → F um operador linear. Se o gr´fico de T ´ fechado em E × F , entõ T ´ a e a e cont´ ınuo. ORTOGONALIDADE Demonstra¸õ: ca 67 Temos, em virtude da proposi¸ao 2.25, que E munido da norma do c˜ gr´fico, || · ||1 , ´ um espa¸o de Banach e, al´m disso, ||x||E ≤ ||x||1 , para todo x ∈ E. Pela a e c e observa¸õ 2.22, temos que existe C > 0 tal que ||x||1 ≤ C||x||E , para todo x ∈ E, ou ca seja, ||x||E + ||T x||F ≤ C||x||E , para todo x ∈ E. Mas, evidentemente ||T x||F ≤ ||x||E + ||T x||F . Combinando-se as duas ultimas desigualdades resulta que ||T x||F ≤ C ||x||E , para ´ todo x ∈ E, o que encerra a prova. 2 2.4 Ortogonalidade Comecemos por uma defini¸ao. c˜ Defini¸õ 2.27 Seja X um espa¸o de Banach. Se M ⊂ X ´ um subespa¸o vetorial, ca c e c entõ o conjunto a M ⊥ = {f ∈ X ; f, x = 0, para todo x ∈ M }, ´ denominado ortogonal de M . e Se N ⊂ X ´ um subespa¸o vetorial, entõ o conjunto e c a N ⊥ = {x ∈ X; f, x = 0, para todo f ∈ N }, ´ dito o ortogonal de N . e Observa¸õ 2.28 Notemos que, por analogia ` defini¸õ de M ⊥ , acima, dever´ ca a ca ıamos ter N ⊥ = {ξ ∈ J(X) ⊂ X ; ξ, f = 0, para todo f ∈ N }, onde, conforme j´ vimos anteriormente, J : X → X ´ a aplica¸õ linear e isom´trica a e ca e dada por Jx (f ) = f, x , para todo f ∈ X definida na proposi¸õ 1.48. Entretanto, se ca ξ ∈ J(X), temos que existe x ∈ X tal que ξ = Jx . Logo, ξ, f = Jx , f = f, x . 68 Assim, podemos escrever ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` N ⊥ = {x ∈ X; f, x = 0, para todo f ∈ N }, como acima definido. Proposi¸õ 2.29 ca i) M ⊥ ´ um subespa¸o fechado de X . e c ii) N ⊥ ´ um subespa¸o fechado de X. e c Demonstra¸õ: Verifica-se facilmente que M ⊥ bem como N ⊥ sõ subespa¸os. Proveca a c mos que sõ fechados. a (i) Para cada x ∈ X, temos que Jx : X → R ´ uma aplica¸ao linear e cont´ e c˜ ınua dada por Jx (f ) = f, x . Assim o conjunto −1 {f ∈ X ; Jx (f ) = 0} = Jx ({0}), ou seja, −1 {f ∈ X ; f, x = 0} = Jx ({0}), ´ fechado, posto que ´ dado pela imagem inversa de um conjunto fechado, por uma fun¸õ e e ca cont´ ınua. Logo, −1 Jx ({0}) = {f ∈ X ; f, x = 0, para todo x ∈ M } = M ⊥ ´ fechado. e x∈M (ii) Seja f ∈ N . Logo, f ´ uma forma linear e cont´ e ınua sobre X e, portanto, {x ∈ X; f, x = 0} = f −1 ({0}), ´ fechado, e, conseqëntemente e u f −1 ({0}) = N ⊥ ´ fechado. e f ∈N 2 Proposi¸õ 2.30 ca (i) (M ⊥ )⊥ = M . (ii) (N ⊥ )⊥ ⊃ N . ORTOGONALIDADE Demonstra¸õ: (i) Provaremos, incialmente, que ca M ⊂ (M ⊥ )⊥ . 69 (2.10) Com efeito, seja x ∈ M . Entõ, existe {xn }n∈N ⊂ M tal que xn → x quando n → +∞. a Tendo em mente que (M ⊥ )⊥ = {x ∈ X; f, x = 0, para todo f ∈ M ⊥ }, entõ, se f ∈ M ⊥ , resulta imediatamente que f, xn = 0, para todo n ∈ N e, conseqëna u temente f, x = 0, o que prova que x ∈ (M ⊥ )⊥ ficando provado (2.10). Reciprocamente, provemos que (M ⊥ )⊥ ⊂ M . (2.11) Com efeito, suponhamos que (2.11) nõ ocorra, isto ´, suponhamos que exista x0 ∈ a e (M ) ⊥ ⊥ tal que x0 ∈ M . Como {x0 } ´ compacto e M ´ fechado, e ambos convexos e / e e disjuntos, vem, pela 2a Forma Geom´trica do Teorema de Hahn-Banach, que existe um e hiperplano de equa¸ao [f = α] que separa {x0 } e M no sentido estrito, ou seja, c˜ f, x < α < f, x0 , para todo x ∈ M . Em particular, f, x < α, para todo x ∈ M . Como M ´ subespa¸o e f ´ uma aplica¸ao e c e c˜ linear tal que f, x < α, para todo x ∈ M , vem que f, x = 0, para todo x ∈ M. Mas, 0 < α < f, x0 , ou seja, f, x0 = 0. Tamb´m, f ∈ M ⊥ pois f, x = 0, para todo x ∈ M . Como f ∈ M ⊥ e x0 ∈ (M ⊥ )⊥ , e resulta que f, x0 = 0, o que ´ uma contradi¸õ (!), ficando provado (2.11). e ca (ii) A demonstra¸ao desta inclusõ ´ an´loga a prova de (2.10) e, portanto, ser´ omic˜ a e a a tida. 2 70 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Observa¸õ 2.31 Se tentarmos mostrar que (N ⊥ )⊥ ⊂ N usando a tćnica anterior, ca e terámos f0 ∈ (N ⊥ )⊥ tal que f0 ∈ N . Pela 2a Forma Geom´trica do Teorema de Hahnı / e Banach, existe um hiperplano de equa¸õ [ϕ = α], ϕ ∈ X , tal que ca ϕ, f < α < ϕ, f0 , para toda f ∈ N (em particular). Portanto, ϕ, f = 0, para toda f ∈ N e ϕ, f0 = 0. No entanto, isto nõ implica que ϕ ∈ N ⊥ pois ϕ pode nõ pertencer a J(X). Isto a a ocorre, entretanto, quando X ´ reflexivo, isto ´, quando J(X) = X . e e Proposi¸õ 2.32 ca ⊥ ⊥ i) Se M1 ⊂ M2 ⇒ M1 ⊃ M2 . ⊥ ⊥ ii) Se N1 ⊂ N2 ⇒ N1 ⊃ N2 . ⊥ Demonstra¸õ: i) Seja f ∈ M2 . Entõ, f, x = 0, para todo x ∈ M2 . Por hip´tese, ca a o ⊥ f, x = 0, para todo x ∈ M1 , e, portanto, f ∈ M1 . ii) An´loga ao item (i). a 2 Proposi¸õ 2.33 Sejam G e L subespa¸os fechados de X. Entõ, ca c a i) G ∩ L = (G⊥ + L⊥ )⊥ . ii) G⊥ ∩ L⊥ = (G + L)⊥ . Demonstra¸õ: i) Provaremos incialmente que ca G ∩ L ⊃ (G⊥ + L⊥ )⊥ . De fato, temos, pela proposi¸˜es 2.30 e 2.32, que co G⊥ ⊂ (G⊥ + L⊥ ) L⊥ ⊂ G⊥ + L⊥ o que prova (2.12) (G⊥ + L⊥ )⊥ ⊂ (G⊥ )⊥ = G = G. ⇒ , (G⊥ + L⊥ )⊥ ⊂ (L⊥ )⊥ = L = L. (2.12) ORTOGONALIDADE Reciprocamente, provaremos que G ∩ L ⊂ (G⊥ + L⊥ )⊥ . Com efeito, notemos inicialmente que (G⊥ + L⊥ )⊥ = {x ∈ X; f, x = 0; para todo f ∈ (G⊥ + L⊥ )}. 71 (2.13) Al´m disso, observemos que se f ∈ (G⊥ + L⊥ ), entõ f = g + h onde g ∈ G⊥ e h ∈ L⊥ . e a Logo, g, x1 = 0, para todo x1 ∈ G, h, x2 = 0, para todo x2 ∈ L. Consideremos, entõ, x ∈ G ∩ L. devemos provar que f, x = 0; para todo f ∈ a (G + L⊥ ). Seja, entõ, f ∈ (G⊥ + L⊥ ). Pelo que foi visto acima, a f, x = g + h, x ∈G∩L ⊥ = 0, o que prova que x ∈ (G⊥ + L⊥ )⊥ , e, portanto (2.13). (ii) Provaremos, inicialmente que G⊥ ∩ L⊥ ⊃ (G + L)⊥ . De fato, temos, pela proposi¸õ 2.32, que ca G⊂G+L L⊂G+L ⇒ (G + L)⊥ ⊂ G⊥ (G + L) ⊂ L ⊥ ⊥ (2.14) ⇒ (G + L)⊥ ⊂ G⊥ ∩ L⊥ , o que prova (2.14). Finalmente, resta-nos provar que (G + L)⊥ ⊃ G⊥ ∩ L⊥ . (2.15) Com efeito, sefa f ∈ G⊥ ∩ L⊥ . Entõ, f, x = 0, para todo x ∈ G e f, y = 0, a para todo y ∈ L, ou seja, f, x + y = 0, para todo x ∈ G e y ∈ L, o que implica que f ∈ (G + L)⊥ , provando (2.15). Corol´rio 2.34 Sejam G e L subespa¸os fechados de X. Entõ, a c a i) (G ∩ L)⊥ ⊃ G⊥ + L⊥ . ii) (G⊥ ∩ L⊥ )⊥ = G + L. 2 72 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Demonstra¸õ: i) Temos, pela proposi¸ao 2.33, que G ∩ L = (G⊥ + L⊥ )⊥ , donde, pela ca c˜ proposi¸ao 2.30, c˜ (G ∩ L)⊥ = (G⊥ + L⊥ )⊥ ⊥ ⊃ G⊥ + L⊥ . ii) Analogamente, G⊥ ∩ L⊥ = (G + L)⊥ , donde G⊥ ∩ L⊥ ⊥ = (G + L)⊥ ⊥ = G + L. 2 2.5 Operadores Nõ Limitados a Sejam E e F espa¸os de Banach. Denominamos operador linear nõ limitado de E em c a F , a toda aplica¸õ linear A : D(A) ⊂ E → F , definida sobre um subespa¸o vetorial ca c D(A) ⊂ E, com valores em F . O subespa¸o D(A) ´ dito o dom´ c e ınio de A. Dizemos que A ´ limitado se existir uma constante C > 0 tal que ||Au||F ≤ C ||u||E , e para todo u ∈ D(A). Observa¸õ 2.35 Quando usamos a terminologia nõ limitado, estamos entendendo que ca a o operador A pode ser limitado ou nõ. No caso em que A ´ limitado, entõ, em virtude da a e a proposi¸õ 1.4, A ´ contńuo em D(A), com a topologia induzida por E. Isto significa que ca e ı se xn → x no espa¸o topol´gico (D(A), || · ||E ) entõ Axn → Ax em (F, || · ||F ). Aten¸õ, c o a ca isto nõ implica que o gr´fico G(A) seja fechado em E × F , ou equivalentemente que a a D(A) seja fechado em E. Observe que nõ temos a garantia que D(A) seja um espa¸o a c de Banach com a topologia induzida por E. Em outras palavras, se xn → x em E, com xn ∈ D(A), nõ temos a garantia que o limite x ∈ D(A). a Nota¸˜es: co Gr´fico de A = G(A) = {(u, Au) ∈ E × F ; u ∈ D(A)}, a Imagem de A = Im(A) = {Au ∈ F ; u ∈ D(A)} Nćleo de A = N (A) = {u ∈ D(A); Au = 0.} u Defini¸õ 2.36 Dizemos que um operador A : D(A) ⊂ E → F ´ fechado se o gr´fico ca e a G(A) for fechado em E × F . 37 Se A ´ fechado. e a e 73 Demonstra¸õ: De fato. Como {xn }n∈N ⊂ N (A). Demonstra¸õ: Aplica¸ao imediata do teorema do Gr´fico Fechado. dt dx dt = y. Axn ) ∈ G(A). inicialmente. Como. Vejamos um exemplo. 2 ca c˜ a Se D(A) = E.38 Se D(A) = E entõ A ´ fechado se. Logo. {xn }n∈N ⊂ D(A) e Axn = dxn . Axn ) → (x. y) ∈ G(A). n ∈ N. e No entanto. Seja D(A) = C 1 (0. temos que Axn = 0. Temos que {xn }n∈N ⊂ D(A) e. seja (x. A ´ cont´ a e e ınuo. Entõ. y) em E × F . Axn → 0. al´m disso. Com efeito. existe uma seq¨ˆncia {xn }n∈N ⊂ N (A) ca a ue tal que xn → x. entõ N (A) ´ fechado. e a e prova que A ´ fechado. o que . o que implica que e x ∈ N (A). 2 Lema 2. seja a e xn = sen nt. temos que xn → x em E e dxn dt → y em F . que G(A) ´ fechado.˜ OPERADORES NAO LIMITADOS Lema 2. al´m disso. com (xn . Axn )} ⊂ G(A) tal que (xn . seja x ∈ N (A). 1) o espa¸o das fun¸˜es cont´ c co ınuas em [0. em fun¸õ das convergˆncias serem uniformes. 0). ou seja. quando n → +∞. y = = Ax. consequentemente. 0) ∈ G(A). para todo n ∈ N. dt para cada n.17) resulta que x ´ deriv´vel e. (xn . A nõ ´ limitado. e somente se. e. Ax = 0 . por exemplo [18] ca e Teorema 7. ambos. e existe {(xn . 1) A : D(A) ⊂ E → F. e d (sen nt) = n cos nt. munidos da norma do supremo. a Exemplo: Sejam E = F = C(0. Por um resultado dx dt bem conhecido. A pode ser fechado e nõ ser limitado. Axn ) → (x. Como G(A) ´ fechado. f→ df . Logo. 1]. dt Mostremos. Logo. (veja. temos que (x. De fato. para todo n ≥ 1] . e c˜ j´ que a ||Axn − Ax||F ≤ C||xn − x||E → 0. Como o gr´fico G(A) ´ fechado. Logo. Axn ) → (x. a e Veremos. pois F ´ um espa¸o de Banach.1] [ note que 0 ∈ [0. de onde resulta que A nõ ´ limitado. y) ∈ G(A). quando m. que G(A) ´ fechado em E × F . e (⇐) Reciprocamente. y) ∈ G(A). Pela unicidade do limite em F resulta que y = Ax. {(xn . Isto encerra a prova. e. isto ´. provando que G(A) = G(A). o que prova que D(A) ´ fechado. Assim. que existem operadores que sõ limitados mas nõ sõ fechados. existe e e c y ∈ F tal que Axn → y em F . Entõ. portanto.74 Notemos que ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` ||xn ||E = ||sen nt||E = sup |sen nt| = 1. Axn )}n∈N ⊂ G(A) tal que xn → x e Axn → y. (x. conforme mostra a pr´xima ınio a o proposi¸ao. suponhamos que D(A) seja fechado e consideremos (x. para isso. D(A) ´ fechado. para todo n ∈ N. n]. temos que {Axn }n∈N ´ uma seq¨ˆncia de Cauchy em F pois e ue ||Axn − Axm ||F = ||A(xn − xm )||F ≤ C ||xn − xm ||E → 0. quando n → +∞. n → +∞. t∈[0. que A ´ fechado. existe {xn }n∈N ⊂ D(A) tal que xn → x em E. Entõ. Entõ. resulta que x ∈ D(A) e. a a a Basta. o que implica que {Axn } ´ convergente. Como {xn } ⊂ a D(A).39 Sejam E e F espa¸os de Banach e A : D(A) ⊂ E → F um operador ca limitado.1] n≥2 note que π ∈ [0. as seguir. n ≥ 2 .||x||≤1 ||Ax||F ≥ ||Axn || = n. e e a e Seja x ∈ D(A) . resulta que da convergˆncia acima que x ∈ D(A) e a e e y = Ax. ou seja. e D(A) ´ fechado. t∈[0. e 2 ||Axn ||F = sup |n cos nt| = n. que o dom´ D(A) nõ seja fechado em E. y) em E × F. existe {(xn . A ´ fechado se. e somente se. n]. Axn )}n∈N ⊂ G(A) e (xn . c˜ c Proposi¸õ 2. e 2 . Logo. pela limita¸ao de A vem que Axn → Ax. ||A|| = sup x∈D(A). a e e Demonstra¸õ: ca E (⇒) Suponhamos A fechado. Como A ´ limitado. Bxn }n∈N ⊂ G(B) tal e a que xn → x em E e Bxn → y em F . e a a Exemplo: Consideremos E = F = C(0. 1). portanto. Sejam. extensõ linear e fechada de A. y) ∈ G(B). existe xn = x. isto ´. ˜ Logo.16) ˜ x → Ax = limn→+∞ Axn . ou seja. xn → 0 e a Bxn → y. tal que xn → x em E. dt Temos que B ´ fechado pois se (x. Um operador linear A : D(A) ⊂ E → ca c F ´ denominado fech´vel se existir uma extensõ linear fechada de A. por hip´tese. a Demonstra¸õ: (⇒) Como A ´ fech´vel. e e (x.40 Sejam E e F espa¸os de Banach. 1). A ´ fech´vel se.entõ o e a y = 0. Entõ. temos que x ´ e e e deriv´vel e y = a dx . implicando que D(A) ⊂ D(A). p ´ polinˆmio}. e e a c Teorema 2. a (2. se x ∈ D(A). {xn } ⊂ D(B). 1] munido com a norma do supremo e A : D(A) ⊂ E → F tal que D(A) = {p ∈ C(0. Como B estende A. que se {xn } ⊂ D(A) ´ tal que xn → 0 e Axn → y. y) ∈ D(B) e 0 = B0 = y. a seguinte condi¸õ ´ satisfeita: se {xn }n∈N ⊂ D(A). e somente se. dt dt p → Ap = dp . como {xn } ⊂ C 1 (0. para todo n ∈ N. Notemos inicialmente que ˜ A est´ bem definido .˜ OPERADORES NAO LIMITADOS 75 Defini¸õ 2. o que prova que B ´ fechado. temos que A ´ fech´vel. Como B ´ linear e fechado. Definamos: e a ˜ D(A) = {x ∈ E. x ´ deriv´vel e e a dx dx ∈ C(0. y) ∈ G(B). existe {xn }n∈N ⊂ D(A) tal que xn → x e existe limn→+∞ Axn } e . existe B. 1)}. Como a convergˆncia ´ uniforme. y = 0. ˜ ˜ A : D(A) ⊂ E → F . Axn → Ax em F . isto ca e a a ´. para todo x ∈ D(A). 1) temos que x ∈ C 1 (0. (0. Queremos mostrar que A ´ fech´vel. Com efeito. dt Al´m disso. .41 Sejam E e F espa¸os de Banach e A : D(A) ⊂ E → F um operador linear. Axn = Ax e. e a ca e xn → 0 em E e Axn → y em F quando n → +∞ entõ y = 0. 1) o espa¸o das fun¸˜es cont´ c co ınuas em [0. e Bx = . D(A) ⊂ D(B) e Ax = Bx. e o Seja B : D(B) ⊂ E → F tal que D(B) = {x ∈ C(0. 1). e (⇐) Temos. entõ existe {xn . e Seja {xn } ⊂ D(A) tal que xn → 0 e Axn → y. para todo n ≥ n1 . 2 Pondo. y) ∈ G(A).17) ˜ ˜ ˜ Seja (x. Entõ. m→+∞ (2. por hip´tese. a o n→+∞ lim A(xn − yn ) = 0 ⇒ lim Axn = lim Ayn .20) Por outro lado. quando n → +∞ e existe o limite c n→+∞ lim A(xn − yn ) = lim (Axn − Ayn ) = lim Axn − lim Ayn . x ∈ D(A) e {xn }n∈N .21) .18) (2. n0 = max{n1 . 2 2 (2. pois D(A) ´ a e subespa¸o. 2 e existe n2 ∈ N tal que ε ˜ ||Axn − y|| < . para cada n ∈ N. Entõ. Axn )}n∈N ⊂ G(A) tal que xn → x em E e a ˜ Axn → y em F . {xn − yn }n∈N ⊂ D(A).19) Seja ε > 0 dado. n→+∞ n→+∞ n→+∞ Entõ. Das convergˆncias acima. (xn − yn ) → 0.76 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` ˜ agora. para todo m ≥ m0 . {yn }n∈N ⊂ D(A) tais que xn → x e yn → x em E e existem os limites limn→+∞ Axn e limn→+∞ Ayn .19) existe m0 = max{m1 . n→+∞ n→+∞ o que prova (2. em virtude das propriedades de limite e da linearidade de A. existe {(xn . de maneira an´loga.16). m2 } tal que a ||xn0 m − xn0 || < ε ε ˜ e ||Axn0 m − Axn0 || < . para todo n ≥ n2 . existe n1 ∈ N tal que e ε ||xn − x|| < . O ultimo passo ´ provar que ´ e ˜e A ´ fechado. n2 }. Observemos que ´ imediato concluir que e ˜ e A ´ linear . Entõ. de (2. (2. 2 2 (2. existe {xnm } ⊂ D(A) tal que a m→+∞ ˜ lim xnm = xn e Axn = lim Axnm . quando n → +∞. resulta que ||xn0 − x|| < ε ε ˜ e ||Axn0 − y|| < . F ) Demonstra¸õ: Como D(A) ´ denso em E. Logo.F ) = ||A||L(E. ou seja. n xn (t) = Temos que ||xn ||C(0. No entanto.1) = sup |xn (t)| = t∈[0. Axn → 4π em R e. ˜ ˜ ˜ ˜e o que implica que x ∈ D(A) e y = Ax. para todo m ≥ m0 .˜ OPERADORES NAO LIMITADOS Assim. 1) e a a Ax = dx (1/2). a e a 0. =1 Desta forma. 1) → R definido por D(A) = C 1 (0.1] 1 . quando n → +∞.22) .42 (Prolongamento por Densidade) Sejam E e F espa¸os de Banach e c A : D(A) ⊂ E → F um operador linear e limitado. 1) quando n → +∞.20) e (2. para todo n ∈ N. Portanto. Consideremos e 1 sen(4nπt). Axn 2. {xn0 m }n∈N ⊂ D(A) e ´ tal que e m→+∞ 77 lim xn0 m = x e m→+∞ lim Axn0 m = y. ˜ x → Ax = lim Axn . 2 Exemplo de operador nõ fech´vel: Seja A : C(0. A ´ linear. Al´m disso. conforme quer´ e a ıamos demonstrar. Se D(A) for denso em E. e ˜ ˜ ||Axn0 m − y|| ≤ ||Axn0 m − Axn0 || + ||Axn0 − y|| < ε. Pelo teorema Teorema 2. assim.21). Definamos: ˜ A : E → F. xn → 0 em C(0. obtemos ||xn0 m − x|| ≤ ||xn0 m − xn0 || + ||xn0 − x|| < ε. A ´ fechado e ˜ como A estende A resulta que A ´ fech´vel. entõ A a ˜ admite um unico prolongamento linear limitado A a todo espa¸o E. dt Logo. para cada x ∈ E. y) ∈ G(A). portanto. ´ c e ˜ ||A||L(D(A). (x.41 segue que A nõ ´ fech´vel. de (2. dt Temos que A = δ1/2 ◦ d . existe {xn }n∈N ⊂ D(A) ca e tal que xn → x em E. Axn = dxn 4nπ 1 = cos 4nπ dt n 2 = 4π cos(2nπ) = 4π. n e. n→+∞ (2. F ) ||xn − xm ||E → 0 quando n. e como F ´ Banach. para todo x ∈ E. resultando. que A. seja x ∈ E e consideremos a {xn }n∈N .22) e da convergˆncia xn → x em E. quando n → +∞ o que implica que A(xn − yn ) → 0 em F . a seguir. quando n → +∞. para todo n satisfaz xn → x em E quando n → +∞ e ue al´m disso e ˜ Ax = lim Axn = Ax. ainda. ˜ o que prova a limita¸ao de A. quando n → +∞. que z = w. Entõ a a seq¨ˆncia {xn }n∈N tal que xn = x. ˜e Provaremos. da desigualdade acima conclu´ c˜ ımos que ˜ ||A||L(E. m → +∞.78 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` ˜ Provemos inicialmente que A est´ bem definido. estende A. seja x ∈ D(A). Com efeito. Mais ainda. que A ´ limitado. pela unicidade do limite em F . para todo n ∈ N. em virtude da limita¸õ de A. que se {xn }n∈N ⊂ D(A) ´ tal que e e xn → x em E. Al´m disso. Mais ainda. De fato.F ) ||xn ||E . n→+∞ n→+∞ entõ. (2. tem-se a ca ||Axn − Ayn ||F ≤ ||A||L(D(A). entõ de (2.F ) ≤ ||A||L(D(A). {yn }n∈N ⊂ D(A) tais que xn → x e yn → x em E. n→+∞ ˜ ˜ Assim D(A) ⊂ D(A) = E e Ax = Ax.23) ˜ Provaremos. Isto prova que e ˜ ˜e A est´ bem definido. Pondo-se z = lim Axn e w = lim Ayn .F ) . quando n → +∞. De fato. . entõ {Axn } ´ convergente em F pois a e ||Axn − Axm ||F ≤ ||A||L(D(A).F ) ||x||E . para todo x ∈ D(A). Como ||Axn ||F ≤ ||A||L(D(A). quando n → +∞. A ´ claramente linear em virtude da linearidade de A a e das propriedades de limite. resulta que a e ˜ ||Ax||F ≤ ||A||L(D(A). resulta que existe y ∈ F tal que y = limn→+∞ Axn . seja x ∈ E e {xn }n∈N ⊂ D(A) tal que xn → x em E. o que prova o desejado. notemos. de fato.F ) ||xn − yn ||E → 0. a seguir. v ◦ A ´ limitada}.F ) .F ) .42 temos que existe um unico prolongamento fv : e ´ (2. pelo Teorema 2.23) e (2. D(v ◦ A) = D(A) e e ´ denso em E. Au | ≤ C ||u||E . c˜ 2 2. Axn → Bx em F . para todo x ∈ E. entõ. para todo u ∈ D(A)}. a ˜ Bx = Ax = Ax. quando n → +∞.F ) = ≤ sup ||x||E ≤1. quando n → +∞. ˜e ´ Para concluir o teorema. ou seja. Como v ∈ F e A ´ linear temos que v ◦ A ´ linear e limitada. Logo. x∈E ˜ ˜ ||Ax||F = ||A||L(E. e. provaremos que A ´ o unico prolongamento linear e limitado de A a todo espa¸o E. De fato. existe C ≥ 0 tal que | v.F ) = ||A||L(D(A). Entõ.24) sup ||x||E ≤1.25) . Considermos. De (2. Isto conclui a demonstra¸ao. Logo.˜ ADJUNTO DE UM OPERADOR LINEAR NAO LIMITADO Por outro lado. Bxn → Bx em F . x∈D(A) ˜ ||Ax||F (2. quando n → +∞. existe {xn }n∈N ⊂ D(A) tal que xn → x em a E.6 Adjunto de um Operador Linear Nõ Limitado a Sejam E e F espa¸os de Banach e A : D(A) ⊂ E → F um operador linear nõ limitado c a tal que D(A) ´ denso em E. D(A∗ ) = {v ∈ F . seja B : E → F um prolongamento linear e limitado de c A.24) conclu´ ımos que ˜ ||A||L(E. x ∈ E\D(A). e Em outras palavras. pela continuidade de B resulta que. Conseqëntemente. Definamos o seguinte conjunto e D(A∗ ) = {v ∈ F . para todo x ∈ D(A). observemos que ||A||L(D(A). x∈D(A) 79 ||Ax||F = sup ||x||E ≤1. de (2.22) e u ˜ pela unicidade do limite em F conclu´ ımos que Bx = Ax. e. para todo u ∈ D(A). A∗ (v1 + v2 ) = fv1 +v2 .E (2.2: Operador Adjunto E → R linear e limitado que estende v ◦ A : D(A) → R a todo espa¸o E. Resulta da´ e de (2. u E . respectivamente. existe C ≥ 0 tal que | v. o que prova a linearidade de A∗ .80 A E D(A) ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` v F R T Figura 2. Com e c e e efeito. Al´m disso. Entõ. e a e D(A∗ ) = {v ∈ F . fv1 = A∗ v1 e fv2 = A∗ v2 sõ a tais que estendem v1 ◦ A e v2 ◦ A a E. No entanto. a ou seja. entõ v ◦ A ´ limitado para todo v ∈ F . Assim. Pela unicidade da extensõ resulta que fv1 +v2 = fv1 + fv2 . v → A∗ v = fv .26) = v.27) D(A∗ ) ´ claramente um subespa¸o vetorial. para todo u ∈ D(A)} = F . A∗ (v1 + v2 ) = A∗ v1 + A∗ v2 .F . Au | ≤ C ||u||E . v2 ∈ D(A∗ ).43 O operador linear A∗ : D(A∗ ) ⊂ F → E acima referido se denomina ca adjunto de A. onde fv1 +v2 ´ a unica extensõ a e ´ a linear e limitada de (v1 + v2 ) ◦ A a todo E. para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ D(A∗ ). Defini¸õ 2. • 2) Se A ´ limitado. (2. Como fv estende v ◦ A. Logo. Al´m disso. Definamos: A∗ : D(A∗ ) ⊂ F → E . Observa¸õ 2. entõ coincidem em D(A). A∗ ´ um operador linear. c e ||fv ||E = ||v ◦ A||D(A) . sejam v1 .44 ca • 1) Para estender v ◦ A poderámos ter recorrido ` Forma Anal´ ı a ıtica do Teorema de Hahn-Banach (Teorema 1.26) a seguinte rela¸õ de adjun¸õ: ı ca ca A∗ v. ou seja a fv (u) = (v ◦ A)(u). e . Au F . A∗ v1 + A∗ v2 = fv1 + fv2 estende (v1 + v2 ) ◦ A a todo E.13). Mais al´m. se D(A) = E vem que A∗ v = v ◦ A pois A∗ v|D(A) = v ◦ A. Au .46 Sejam E e F espa¸os de Banach. para todo u ∈ D(A). g) em F × E . f = A∗ u. Au . v]. A∗ vn }n∈N ⊂ G(A∗ ) tal que a (vn . pelo fato de g ∈ E temos que g ´ limitado e. Entõ. como f ∈ F .˜ ADJUNTO DE UM OPERADOR LINEAR NAO LIMITADO Proposi¸õ 2. o que encerra a prova. f ◦ A ´ limitada. f ] ∈ G(A∗ ). Portanto. temos que e A∗ v. (f. A∗ vn ) → (f. A∗ v).30) (2. g) ∈ G(A∗ ).28) que ´ c˜ e g. u = vn . Au . Como g ´ uma e e extensõ linear limitada de f ◦ A. Como A∗ ´ o adjunto de A. f ]) = [−f. Os gr´ficos de A e A∗ estõ ligados ca c a a por uma rela¸õ de ortogonalidade. J([v. se tem a J(G(A∗ )) = G(A)⊥ . para todo v ∈ D(A∗ ) e para todo u ∈ D(A). ca e Demonstra¸õ: Temos que ca G(A∗ ) = {(v. Assim. a Entõ.28) o que implica que g|D(A) = f ◦ A e. consideremos a aplica¸õ ca ca J : F × E → E × F . por e conseguinte. De fato.45 O adjunto A∗ de A : D(A) ⊂ E → F ´ um operador fechado. (2. Seja (f. 81 (2. seja [v. Au . para todo u ∈ D(A). para todo u ∈ D(A). que ´ unica. u = v. Com efeito. vem que g = A∗ f . g) ∈ G(A∗ ). Agora. podemos escrever A∗ vn . e seja A : D(A) ⊂ E → F um operador linear nõ limitado tal que D(A) = E. Entõ. a f. f ∈ D(A∗ ) e a e´ g = A∗ f . Segue dessa ultima rela¸ao e das convergˆncias em (2. existe {vn . 2 Observa¸õ 2. segue que f ∈ D(A∗ ). v ∈ D(A∗ )} ⊂ F × E . para todo n ∈ N.29) . Assim . u = v. u = f. y) e se (u. −f ] ∈ J(G(A∗ )). Entõ. se (x. y) = J([y. (x. v] ∈ G(A)⊥ . 0) = 0. Entõ. para todo u ∈ D(A) ⇒ −f. Reciprocamente. para todo u ∈ D(A). de (2. y = Ax e. e. Ax = 0.29). (ii) {0} × N (A∗ ) = G⊥ ∩ L⊥ . isto ´. (u. Reciprocamente.82 Da´ resulta que ı ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` − f. y). para todo (u. [u. seja e [f.30). J([v. o que implica que f. Demonstra¸õ: ca (i) Seja (x. . por simplicidade. sõ v´lidas: c˜ a a a (i) N (A) × {0} = G ∩ L. (iv) Im(A∗ ) × F = G⊥ + L⊥ . [f. (iii) E × Im(A) = G + L. v) = (0. [u. Assim. o que implica que [−f. conseqëntemente. o que implica a (x. y) ∈ N (A) × {0}. Al´m disso. v ∈ D(A∗ ) e A∗ v = −f . Au] = 0. a (x. y) ∈ N (A) × {0}. y) = (0. x = 0 e A∗ y = 0. x ∈ N (A). c Teorema 2. o que implica (x. y) = (−A∗ y. Assim. (ii) Seja (x. para todo u ∈ D(A) ⇒ [−f. Estabeleceremos. Entõ Ax = 0 e y = 0. para todo u ∈ D(A). y) ∈ {0} × N (A∗ ). [v. y). v) ∈ L. −f ] ∈ G(A∗ ) e. Au = 0. Au para todo u ∈ D(A). Entõ. y) ∈ G e (x. y) ∈ G ∩ L temos que y = Ax e y = 0. as seguintes a nota¸oes: G = G(A) e L = E × {0}. v] = u J[v. entõ. Assim. y) ∈ G ∩ L. A∗ y]) ∈ J(G(A∗ )). f ]) ∈ G(A)⊥ . u = v. y) = (A∗ y. ou ainda. u + v. resulta que a (x. Au] = 0. Au = 0. v]. v) ∈ L. u + v. v] ∈ G(A)⊥ . ou seja. (u. entõ e a (x. a [f. v]. o que prova (2. y) ∈ L.47 Sejam E e F espa¸os de Banach e A : D(A) ⊂ E → F um operador linear e nõ limitado tal que D(A) = E. portanto. 48 Seja A : D(A) ⊂ E → F um operador linear. . (ii) N (A∗ ) = [Im(A)]⊥ .47(iv) resulta que [Im(A∗ )]⊥ × {0} = (G⊥ + L⊥ )⊥ = G ∩ L (em virtude da proposi¸ao 2.˜ ADJUNTO DE UM OPERADOR LINEAR NAO LIMITADO Logo. e (iv) [N (A∗ )]⊥ = Im(A). ∈E 83 A outra inclusõ ´ imediata. (x. A∗ w]) + (0. a Entõ: a (i) N (A) = [Im(A∗ )]⊥ . a (iii) Seja (x. Az) ∈ G + L. a Portanto. v + w − w) = (A∗ w. Assim. de (2. a (x. fechado com D(A) = E. x ∈ E e y = Az com z ∈ D(A). se E ´ reflexivo]. Entõ. a e 2 Corol´rio 2.33 (ii)) c˜ = {0} × N (A∗ ) ( devido ao Teorema 2. a e (iv) Seja (f. v + w) = J([w. −w) + (0. v + w) ∈ J(G(A∗ )) + L⊥ = G⊥ + L⊥ . Analogamente. y) ∈ L⊥ .33 (i)) c = N (A) × {0}( em virtude do Teorema 2. ou seja.47 (iii) resulta que {0} × [Im(A)]⊥ = (G + L)⊥ = G⊥ ∩ L⊥ (devido a proposi¸ao 2. Az) = (x − z . {0} × N (A∗ ) ⊂ G⊥ ∩ L⊥ .30). y) ∈ E × Im(A). 0) + (z. se mostra a outra inclusõ. Az) = (x − z + z. y) = (x. v) ∈ Im(A∗ ) × F . Entõ. (iii) [N (A)]⊥ ⊃ Im(A∗ ) [N (A)⊥ = Im(A∗ ). para algum w ∈ D(A∗ ) e v ∈ F . A outra inclusõ ´ imediata. Demonstra¸õ: ca (i) Do Teorema 2.47 (ii)).47 (i)). f = A∗ w. (ii) Do Teorema 2. v) = (A∗ w. v) = (A∗ w. (f. e (ii) Im(A∗ ) ´ fechada. fechado com D(A) = E. (iii) A∗ ´ limitado. a (ii) Lembremos que D(A∗ ) = {v ∈ F . . v ◦ A ´ limitado }.F ) = ||A∗ ||L(F Demonstra¸õ: ca (i) Pelo Teorema do Gr´fico Fechado segue o desejado. e ||A||L(E. e a e .47 (iii)). v ◦ A ´ limitado. passar ao ortogonal.49 Sejam E e F espa¸os de Banach e A : D(A) ⊂ E → F um operador c linear nõ limitado.47 (ii)). 2 Teorema 2. e (iii) ⇔ G + L = (G⊥ ∩ L⊥ )⊥ (conforme Teorema 2.50 Sejam E e F espa¸os de Banach e A : D(A) ⊂ E → F um operador c linear.47 (i) e (iv)). (iv) Im(A∗ ) = N (A)⊥ . 2 Teorema 2. (iv) ⇔ (G ∩ L)⊥ = G⊥ + L⊥ (conforme Teorema 2. e Como A ´ limitado. e aplicar a proposi¸ao c˜ 2. e Al´m disso. e (ii) ⇔ G⊥ + L⊥ ´ fechado em (E × F ) (conforme Teorema 2. e (iii) Im(A) = N (A∗ )⊥ . a (i) A ´ limitado.84 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` (iii) e (iv) Utilizar (i) (respectivamente (ii)). fechado com D(A) = E.E ) . As seguintes propriedades sõ equivalentes: a a (i) Im(A) ´ fechada. Demonstra¸õ: ca (i) ⇔ G + L ´ fechado em E × F (conforme Teorema 2.47 (iv)). Entõ. entõ. D(A∗ ) = F . Assim. e (ii) D(A∗ ) = F . para todo v ∈ F .30. ˜ ADJUNTO DE UM OPERADOR LINEAR NAO LIMITADO (iii) Pela rela¸ao de adjun¸ao. o que prova a limita¸ao de A∗ .||v||≤1 (2. u | ≤ ||v|| ||Au|| ≤ ||v|| ||A|| ||u||. ´ ca 2 (2. ou seja.||u||≤1 | A∗ v. da desigualdade acima resulta que c˜ e ||A∗ || ≤ ||A||. Al´m disso. u = v.31) | Au. para todo v ∈ F . ||A∗ v|| = sup u∈E.32) fica provado a ultima afirma¸õ.32) . de (iii) resulta que ||Au|| = sup v∈F . u | ≤ ||A|| ||v||. ||v||≤1 o que implica que ||A|| ≤ ||A∗ ||.31) e (2. para todo u ∈ E. Assim. Por outro lado. v ∈ F . para todo u ∈ E. Au . v | ≤ sup ||A∗ || |v|| ||u|| ≤ ||A∗ || |u||. De (2. 85 para todo u ∈ E e para todo v ∈ F . Isto encerra a prova. da rela¸ao acima obtemos c˜ | A∗ v. temos c˜ c˜ A∗ v. 86 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` . espa¸os ca c topol´gicos completamente regulares sõ tamb´m conhecidos como espa¸os de Tychonoff.Espa¸os c Reflexivos e Separ´veis a Figura 3. An´lise a co a Funcional. ` esquerda.1: Tikhonov-Alaoglu . e certas classes de problemas mal postos. foi um matem´tico Canadense. Ele trabala a hou em diferentes campos da Matem´tica. o a e c Leonidas Alaoglu (1914 . incluindo o Teorema de metriza¸õ. ` direira. F´ ısica-Matem´tica. Em sua honra. Fez importantes contribui¸˜es em Topologia. Andrei Nikolaevich Tikhonov (1906-1993).Cap´ ıtulo 3 Topologias Fracas .1981). foi um matem´tico Russo. Ele ´ muito conhecido a e pelo seu trabalho em Topologia. Sua Tese de Doua a tourado ´ uma fonte de resultados largamente citados e um dos mais importantes ´ denominado e e 87 . 2) A uniõ arbitr´ria de elementos de τ pertence ` τ .3) acima. satisfazendo aos axiomas: (A. Esta topologia ´ dita m´trica.1)-(A. A e c o topologia τ ´ denominada topologia trivial. o c˜ e nos referimos a X como um espa¸o topol´gico. os Gα . dito de outra forma. Vejamos alguns exemplos. e Exemplo 2: Seja X um conjunto arbit´rio e consideremos τ = P(X) o conjunto das partes a de X. o e . isto ´. que o torna c˜ a e e um espa¸o topol´gico. isto ´.88 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` o Teorema de Alaoglu sobre a compacidade fraca estrela da bola unit´ria fechada no dual de a um espa¸o normado. no espa¸o e c c topol´gico (X. O Teorema de c e Bourbaki-Alaoglu ´ uma generaliza¸õ do resultado de Bourbaki para topologias duais. Evidentemente τ ´ uma topologia e c˜ e para X a qual ´ denominada topologia discreta. tal que x ∈ A ⊂ V .1) ∅ e X pertencem ` τ . a cole¸ao de todos os subconjuntos de X.1 Espa¸os Topol´gicos c o Nesta se¸õ faremos uma recorda¸õ de algumas no¸˜es b´sicas sobre os espa¸os topol´gicos ca ca co a c o que serõ indispens´veis no decorrer deste manuscrito. j´ que todo subconjunto de X. sõ conjuntos abertos. o par (X. ou. a (A.3) A interse¸ao de um n´mero finito de elementos de τ pertence ` τ . τ ) denomina-se fechado se X\F ´ c o e aberto. isto ´. A ∈ τ . e portanto (X. X}. Um subconjunto V ⊂ X ´ dito uma vizinhan¸a de um ponto x ∈ X. c˜ u a Desta forma. τ ´ uma topologia para X. a a a (A. sõ denominados e a os abertos de X. c o e e Um sunconjunto F em um espa¸o topol´gico (X. tamb´m conhecido como Teorema de Banach-Alaoglu. Tomemos τ como sendo a cole¸õ de todos c e ca os subconjuntos abertos em rela¸ao ` m´trica d. d) um espa¸o m´trico. ´ Exemplo 1: Seja X um conjunto arbitr´rio e consideremos τ = {∅. τ ) ´ um espa¸o topol´gico. τ ). ficando bem entendido que estamos conc o siderando uma topologia fixa τ para X. a a Denominamos espa¸o topol´gico a um conjunto X munido de uma cole¸ao τ = {Gα }α c o c˜ de subconjuntos de X. E evidente que a τ satisfaz aos axiomas (A. τ ) satisfazendo `s condi¸˜es acima ´ denominado um espa¸o a co e c topol´gico e a cole¸ao τ = {Gα }α ´ denominada uma topologia para X. se X\F ∈ τ . e ca 3. a a Exemplo 3: Seja (X. Usualmente. Os elementos de τ . se existir A. aberto de X. mesmo e a `queles formados por pontos discretos. Sejam (X1 . β = τ . para todo n ≥ n0 . Uma c o c˜ condi¸ao necess´ria e suficiente para que f seja cont´ c˜ a ınua em X1 ´ que dado G2 ∈ τ2 . Sejam (X1 . τ ) um espa¸o topol´gico. Uma condi¸õ necess´ria e suficiente para que um c o ca a subconjunto F de X seja fechado. e Sejam (X1 . se para qualquer aberto G contendo x. Um ponto x ∈ X ´ dito aderente a um subconjunto c o e E de X. existe n0 ∈ N (dependendo em geral de G) tal que xn ∈ G. Uma cole¸õ β de conjuntos abertos tal que qualc o ca quer subconjunto aberto de X pode ser escrito como uma reuniõ de conjuntos de β. Dizemos c o ue que {xn } converge para um ponto x ∈ X e. em particular. ´ que para todo aberto G c o e . τ1 ) e (X2 . vizinhan¸a de f (x) em X2 . Na realidade. A c o ca c fun¸ao f ´ dita cont´ c˜ e ınua em um ponto x ∈ X1 se dada V . τ1 ) e (X2 . Dizemos que f ´ cont´ c e ınua em X1 quando for cont´ ınua em todo ponto x ∈ X1 . ´ que F = F . (ou seja. nõ ´ necess´rio dar uma cole¸õ inteira τ de abertos em X para gerarmos o a e a ca espa¸o topol´gico (X. Seja (X. Denota-se por E o conjunto e de todos os pontos de X aderentes ` E. τ1 ) e (X2 . V ∩ E = ∅. Seja (X. e f −1 (G2 ) ∈ τ1 . existe uma vizinhan¸a U de x em X1 tal que f (U ) ⊂ V . Uma condi¸õ necess´ria e suficiente para que f seja cont´ ca a ınua em X1 ´ e que f −1 (B) seja aberto em X1 . Seja (X. Observe que uma base sempre existe pois podemos e considerar. conforme veremos a c˜ seguir. ` As vezes. τ2 ) dois espa¸os topol´gicos e f : X1 → X2 uma aplica¸ao. c a Uma condi¸ao necess´ria e suficiente para que uma cole¸ao β = {Bα }α de conjuntos c˜ a c˜ abertos de um espa¸o topol´gico (X. denotamos xn → x. f : X1 → X2 uma aplica¸ao e β c o c˜ uma base de X2 . quando n → +∞. τ2 ) dois espa¸os topol´gicos. a ´ denominada uma base para X. τ ) um espa¸o topol´gico e {xn } uma seq¨ˆncia de elementos de X. o conjunto de todas as vizinhan¸as de x resulta c imediatamente que x ∈ E ⇔ Para todo V ∈ V(x). τ2 ) dois espa¸os topol´gicos e f : X1 → X2 uma aplica¸õ. τ ). τ ) seja uma base para X. τ ) um espa¸o topol´gico. se todo aberto contendo x cont´m um ponto de E. τ ) um espa¸o topol´gico. necessitamos apenas de uma subcole¸õ de τ para c o ca gerarmos a mesma topologia. A essa subcole¸ao denominamos base. Tal conjunto denomina-se aderˆncia ou fecho a e de E em X. Denotando-se por V(x). perten¸a ` τ1 ) para todo B ∈ β.´ ESPACOS TOPOLOGICOS ¸ 89 Seja (X. entõ existe um outro a conjunto B3 ∈ β tal que x ∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2 . Sejam (X. se existe uma c o base enumer´vel em todo ponto x ∈ X e satisfaz ao 20 Axioma da Enumerabilidade se a existe uma base enumer´vel de abertos para X. (B. se X ´ um conjunto arbitr´rio e β ´ uma cole¸ao de subconjuntos e a e c˜ abertos satisfazendo `s condi¸oes (B.2) acima. e Dadas duas bases β1 e β2 de X. neste caso. para cada B2 ∈ β2 e cada y ∈ B2 . duas cole¸oes de subconjuntos abertos de X c˜ satisfazendo ´s condi¸˜es (B. Isto significa dizer que para cada B1 ∈ β1 e cada x ∈ B1 . admite uma base {Bn } tal que a ılia c Bn+1 ⊂ Bn . τ ) ´ um espa¸o topol´gico que satisfaz ao 10 Axioma da Enumerabilidade e c o entõ a fam´ das vizinhan¸as da cada ponto de X. entõ. se (X.1) e (B. τ ) um espa¸o topol´gico que satisfaz ao 20 Axioma da Enumerabilidade.2) Dados quaisquer dois conjuntos B1 . τ ) um espa¸o topol´gico e β uma base de abertos. Isto nos conduz as seguintes o e a defini¸oes. τ ) satisfaz ao 10 Axioma da Enumerabilidade.1) Para cada x ∈ X. a cole¸õ de ca todas as bolas Br (x0 ) onde r percorre os n´meros racionais constitui tamb´m uma base u e para o ponto x0 . uma topologia τ pode ser a c˜ a induzida em X para a qual β ´ uma base. uma condi¸ao necess´ria e suficiente para que x ∈ A e c˜ a ´ que exista uma seq¨ˆncia {xn } ⊂ A tal que xn → x.1) e (B. Da mesma forma.90 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` de X e para todo x ∈ G. Uma cole¸ao βx de conjuntos abertos de um espa¸o topol´gico (X. a Seja (X. existe nele. se A ⊂ X.2) acima. c˜ Um espa¸o topol´gico (X. ou seja. Entõ. existe Bx ∈ β tal que x ∈ Bx . constitui uma base para o dado ponto x0 . a Agora. Reciprocamente. a cole¸õ de todas as bolas Bε (x0 ) onde ε percorre os n´meros c e ca u reais positivos. Claramente o 20 implica no 10 . c o Entõ. elas sõ ditas equivalentes se determinam a co a a mesma topologia em X. Ainda. existe ˜ ˜ B2 ∈ β2 tal que x ∈ B2 ⊂ B1 e reciprocamente. s´ que. tal base ´ enumer´vel. obrigatoriamente um conjunto enumer´vel e denso. de toda a a cobertura aberta se pode extrair uma subcobertura enumer´vel. existe ˜ ˜ ˜ B1 ∈ β1 tal que y ∈ B1 ⊂ B2 . existe um conjunto B ∈ βx tal que x ∈ B ⊂ G. Mais al´m. B2 ∈ β e x ∈ B1 ∩ B2 . Em um espa¸o m´trico. β satisfaz `s c o a a seguintes condi¸oes: c˜ (B. τ ) ´ denominada c˜ c o e uma base no ponto x ∈ X . e ue . exista Bα(x) ∈ β tal que x ∈ Bα(x) ⊂ G. se para qualquer aberto G contendo x. para todo λ. Apesar de τ = e c˜ todas as topologias τλ .1 Topologias Fracas Sejam (X.´ ESPACOS TOPOLOGICOS ¸ 91 3. pelo menos. Demonstra¸õ: ca (i) Note que ∅. mais fina que . Essa topologia ´ obtida tomando-se a interse¸ao de todas as e e c˜ topologias que contˆm C. Se τ1 ⊂ τ2 . a λ τλ ´ mais fina que todas as topologias e Consideremos. Notemos que existe. No conjunto de todas as topologias sobre X. Gα ∈ τλ . Pelo exposto c˜ a acima.’ Proposi¸õ 3. podemos induzir a rela¸ao de ordem. X ∈ τλ para todo λ. para todo λ. para todo α = 1. τ = ca ı a topologia sobre X. dito de e a e outra forma. o que implica que (iii) Seja n α=1 Gα ∈ τ .. existe uma unica topologia contendo C que ´ a mais grossa que todas as outras ´ e topologias que contˆm C.. agora. Analogamente.. ca ∈ τ. a topologia τ = λ τλ ´ denominada o ´ e ınfimo. para todo λ. τ tal que τ ⊂ τλ . para todo λ. e α α n α=1 α. n. a Por causa das propriedades acima. Gα uma interse¸õ finita onde Gα ∈ τ . dizemos que a topologia τ1 ´ c o e mais grossa que τ2 ou que τ2 ´ mais fina que τ1 . entõ τ ⊂ τ . τ2 ) espa¸os topol´gicos. temos tamb´m que τ = e que sõ mais grossas que as τλ . Entõ. se existir. entõ. e a (2a ) Se τ ´ mais grossa que qualquer τλ . (isto τλ ser mais grossa que λ ´. τ ´ mais grossa que τ . entõ a topologia trivial ´ claramente mais grossa do e a a e que qualquer outra topologia sobre X e a topologia discreta ´ a mais fina do que qualquer e outra. o que implica que ∅. e . uma topologia contendo C.1 Seja {τλ }λ uma fam´lia de topologias sobre X. uma cole¸ao C arbitr´ria de subconjuntos de X. c˜ a saber. e Se X ´ um conjunto arbitr´rio. 2 Segue da Proposi¸õ 3. para todo λ. Entõ.1 que a topologia τ = ca λ τλ satisfaz as seguintes propriedades: (1a ) τ ´ mais grossa que qualquer τλ . (ii) Seja α λ τλ ´ uma e Gα uma uniõ arbitr´ria. · · · . n. onde os Gα ∈ τ . Gα ∈ τλ .. para cada a a a Gα ∈ τλ . para todo α. τ1 ) e (X. a maior limita¸ao inferior) das topologias τλ . o que implica que Isto encerra a prova. · · · . isto ´. j´ que τ ⊂ τλ .1. ou. X ∈ τ . para cada α = 1. ‘ . seja φ a cole¸ao de todas as topologias que sõ mais finas que qualquer τi . Entõ. como C ⊂ τλ . . obtida atrav´s das uni˜es arbitr´rias de interse¸oes e o a c˜ finitas de elementos de C ´ denominada topologia gerada por C. e (2a ) Se τ ´ mais fina que qualquer τi . entõ. forc˜ co mam uma base. que ´ a menor limita¸ao superior. Por outro lado. τ = τ ∗ . seja {τλ } a cole¸ao de todas as topologias que c˜ contˆm C e τ = e λ τλ . Do mesmo modo. se observarmos que a a c˜ cole¸ao β de todas as interse¸˜es finitas de conjuntos de C. isto e o a ´. e c˜ e a topologia que tem as seguintes propriedades: (1a ) τ ´ mais fina que qualquer τi . um outro modo de caracterizar essa unica ´ topologia mais grossa contendo C. a e Seja {τi }i uma fam´ de topologias em X. ou seja.1) e (B. a seguir. τ ´ o ´ c˜ e a a e ınfimo. como τ ∗ ´ uma topologia que cont´m C e pelo fato de τ ser a e e e mais grossa das topologias que contˆm C. B2 ∈ β e e e x ∈ B1 . (B. entõ τ ´ mais fina que τ . existe uma topologia em X para a qual C ´ uma sub-base. A discussõ acima nos e a leva a seguinte proposi¸õ: ca Proposi¸õ 3. B2 . ou seja. uma topologia τ ∗ ´ introduzida sobre X para a qual β ´ uma base. a topologia discreta. Com c˜ ca efeito. Neste caso. Ora. a topologia τ . Entõ. tanto B1 quanto B2 sõ dados por interse¸oes finitas de conjuntos de a a c˜ C e conseqëntemente B3 = B1 ∩ B2 ´ dado por uma interse¸ao finita de conjuntos de C u e c˜ e x ∈ B 3 ⊂ B1 ∩ B2 . entõ τ ⊂ τ ∗ . Logo. Veremos. Desta forma. e a Uma cole¸ao nõ vazia C de subconjuntos abertos de um espa¸o topol´gico X ´ denomic˜ a c o e nada uma sub-base se a cole¸ao de todas as interse¸oes finitas de conjuntos de C forma c˜ c˜ uma base.2) vistas na se¸õ anterior. vemos que τ cont´m as uni˜es arbitr´rias de elementos de β. existe uma topologia ılia a τ sobre X. Basta considerarmos as uni˜es arbitr´rias de interse¸oes o a c˜ finitas de conjuntos de C. para todo λ.92 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` a saber. A prova c˜ co o segue diretamente de nossa discussõ na se¸ao anterior sobre bases. entõ C ⊂ τ e pelo fato de τ ser a uma topologia. τ ∗ ⊂ τ . e a e Com efeito. ou seja.1) ´ satisfeita posto que X ∈ β e (B. Nõ ´ dif´ ver que essa cole¸ao de conjuntos forma uma a e ıcil c˜ topologia adotando-se as usuais conven¸oes para interse¸˜es e uni˜es vazias. o supremo das topologias τi . De maneira an´loga.2) tamb´m se verifica pois dados B1 . De fato. isto ´. juntamente com ∅ e X. segue que β ∈ τ .2 Sejam X um conjunto arbitr´rio e C uma cole¸õ de subconjuntos de ca a ca X. e e Resta-nos provar que τ ∗ = τ . τ cont´m as interse¸oes finitas de elementos de e c˜ C. c˜ a Tal cole¸ao ´ nõ vazia posto que a topologia discreta pertence a ela. satisfaz as condi¸oes (B. Por outro lado. que τ ∗ = τ .´ ESPACOS TOPOLOGICOS ¸ 93 isto ´. De fato: e (i) ∅ ∈ τ pois ϕ(∅) = ∅. ´ claramente satisfeita. para todo i. pois ϕ−1 (Y ) = X. i τi . como C = i τi ⊂ τ e τ ´ uma topologia. a Consideremos. De fato. Para provarmos ca e (B.3 Sejam X um conjunto arbitr´rio. X ∈ τ . e e o a c˜ entõ. segue que c˜ a τ ⊂ τ ∗ . pelo fato de τ ser o menor elemento da cole¸ao de todas as topologias que sõ mais finas do que as τi . Tamb´m. sejam n m B1 = α=1 i(α) τi(α) e B2 = δ=1 j(δ) τj(δ) . uma topologia τ ∗ ´ induzida sobre X para a qual β ´ uma base. C = i τi e β a cole¸õ de todas as interse¸˜es finitas de elementos ca co de C. e. e. V ´ aberto em Y }. Analogamente e conforme vimos a anteriormente. Proposi¸õ 3. Entõ. a m+n x ∈ B3 = γ=1 i(γ) τj(γ) . ou a seja. Em outras palavras: τ ´ o menor elemento dentre e c˜ e todas as topologias que sõ mais finas que todas as τi . o ´ ınfimo das topologias τi . na verdade. elementos de β e consideremos x ∈ B1 ∩ B2 = B3 .1) acima aludida. o que prova ser C = Logo. a maior limita¸ao inferior de φ. evidentemente. e Provaremos que τ ´ uma topologia sobre X. ´ o maior elemento da cole¸ao de todas as e c˜ topologias que sõ mais grossas que as τi . τ ´ fechada para as uni˜es arbitr´rias de interse¸oes finitas de elementos de C. Provaree e mos que. como τi ⊂ τ ∗ . Entõ. τ ∗ ⊂ τ . onde ca a ı V ´ um aberto em Y . agora. B3 ∈ β. por conseguinte. e e Com efeito. que C ´ uma sub-base de X. τ ´ a topologia gerada por C = e i τi uma sub-base para a topologia τ .2). Y um espa¸o topol´gico e ϕ : X → Y ca a c o uma aplica¸õ. a condi¸õ (B. τ . τ = τ ∗ . Provaremos que β ´ uma base. e. a fam´lia de todos os subconjuntos de X da forma ϕ−1 (V ). e . Desta forma. Portanto. e Demonstra¸õ: Definamos ca τ = {ϕ−1 (V ). constitui uma topologia sobre X. n. para algum Vλ a aberto em Y . resulta que e n n n Vi . Notemos que com essa topologia ϕ ´ claramente cont´ e ınua e.94 (ii) Seja A = λ ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Aλ uma uniõ arbitr´ria de elementos de τ . Com efeito. e e a a c˜ Assim. Provaremos que A ∈ τ . Analogamente. consideremos V aberto em Y . Aλ ∈ τ . · · · . A = i=1 Ai = i=1 ϕ (Vi ) = ϕ ( i=1 −1 −1 Vi ) = ϕ−1 (V ). sendo ϕ cont´ c˜ e ınua. Em particular. para algum V0 aberto em Y . pelo fato de V ser aberto em Y segue que A ∈ τ . m(α) ϕ (V ) = α γ(α)=1 −1 ϕ−1 (Gγ(α) ) . A topologia mencionada na proposi¸ao 3. onde Vi ´ um aberto em Y . isto ´. e seja β uma e sub-base da topologia de Y . entõ ϕ−1 (V ) pertence ` topologia de X. se por acaso retirarmos algum dos conjuntos ϕ−1 (V0 ) da topologia τ . uma interse¸õ finita de elementos de τ . a a Vλ . para todo V pertencente a uma sub-base de Y . Para ca c o ca que ϕ seja contńua em X ´ necess´rio e suficiente que ϕ−1 (V ) perten¸a a topologia de ı e a c X. (iii) Seja A = n i=1 Ai .4 Sejam X e Y espa¸os topol´gicos e ϕ : X → Y uma aplica¸õ. 2 o que prova ser A ∈ τ . essa e topologia ´ a mais grossa (menos abertos) para a qual ϕ ´ cont´ e e ınua. V ´ dada pela uniõ arbitr´ria de interse¸oes finitas de elementos Gγ(α) de C. pondo-se V = A= λ Aλ = λ ϕ−1 (Vλ ) = ϕ−1 ( λ Vλ ) = ϕ−1 (V ). para provarmos a suficiˆncia.3 ´ denominada Topologia Induzida em X c˜ e por Y . isto acarretar´ a nõ continuidade da ϕ. obtemos λ Com efeito. Rea ciprocamente. a a ϕ−1 (V ) pertence ` topologia de X. Demonstra¸õ: ca A necessidade da demonstra¸ao ´ imediata pois. para ca n i=1 cada i = 1. pondo-se V = e e observando que V ´ um aberto em Y . e. para todo V pertencente a uma sub-base da topologia de Y . entõ temos que Aλ = ϕ−1 (Vλ ). a m(α) V = α γ(α)=1 Gγ(α) . como para cada λ. a a Proposi¸õ 3. Entõ. Ai = ϕ−1 (Vi ). al´m disso. Assim. Logo. seja qual for o V aberto em Y .. e ılia c Demonstra¸õ: ca (1) Provaremos que τ= arb. o conjunto C = fraca. a a e aquela que possui menos abertos para a qual todas as ϕi sõ cont´ a ınuas. 2 Consideremos. {Yi . cada i ∈ I. Nõ ´ verdade. σi )}i∈I uma fam´ de espa¸os ca a ılia c topol´gicos e ϕi : X → Yi uma fam´lia de aplica¸˜es. V ∈ Ci }. Consideremos. {(Yi . Considere em X a topologia fraca τ o ı co induzida pela fam´lia {ϕi }i∈I . . entõ τ coincide com a e a topologia gerada por C∗ = i ϕ−1 (Ci ) = i i {ϕ−1 (V ). X um conjunto arbitr´rio. e ılia c entõ. Essa topologia ´ e denominada topologia fraca gerada ou induzida pelas ϕi . a topologia discreta cont´m todas as τi e desta forma. sõ v´lidas: ı a a a (1) Se Ci . f initas de elementos de C ∗ = τ ∗. Assim. f initas de elementos de C = arb. βϕi (x) ´ uma base para a fam´ das vizinhan¸as de ϕi (x). conforme argumentamos anteriormente. i τi ´ uma sub-base da topologia e Proposi¸õ 3. a fam´lia de subconjuntos da forma a ı i∈J ϕ−1 (Vi ). conforme quer´ a ıamos demonstrar.5 Sejam X um conjunto arbitr´rio. todas as ϕj sejam cont´ e ınuas sobre o espa¸o topol´gico c o (X. σi }i∈I uma fam´ de espa¸os a ılia c topol´gicos e {ϕi }i∈I uma fam´ de aplica¸˜es ϕi : X → Yi . τi ). agora. Assim. Em verdade. ou. i (2) Se para todo x ∈ X.´ ESPACOS TOPOLOGICOS ¸ 95 e como os ϕ−1 (Gγ(α) ) pertencem ` topologia de X e pelo fato de toda topologia ser a fechada para interse¸oes finitas e uni˜es arbitr´rias. ´ uma sub-base para a topologia σi de Yi . Ora. entõ. o conjunto φ das topologias sobre X para as quais todas as aplica¸˜es ϕi sõ cont´ co a ınuas ´ certamente e nõ vazio. isto ´. ela ´ gerada pela uniõ de todas e a as topologias τi . que uma vez fixado i. a mais grossa (menos abertos) topologia de φ. (conforme o ılia co proposi¸ao 3. entõ. onde Vi ∈ βϕi (x) e J ⊂ I ´ um e i conjunto finito de ´ ındices.3) induz uma topologia τi sobre X. a topologia fraca ´ e o´ ınfimo de φ e. para a qual ϕi ´ cont´ c˜ e ınua. ´ uma base para a fam´ das vizinhan¸as de x. cada ϕi ´ evidentemente cont´ a e ınua. dito de outra forma. Entõ. se e munirmos X desta topologia. Uma topologia em X para a qual todas as ϕj sejam cont´ ınuas deve conter todas as τi . i ∈ I. segue que ϕ−1 (V ) pertence tamb´m c˜ o a e ` topologia de X. a e por´m. por exemplo. i ∈ σi . U ∈ τ . como τ ´ a topologia mais grossa para a qual todas as ϕi sõ cont´ e a ınuas.λ ) .λ ∈ Ci0 e Jλ ´ um conjunto finito de ´ e ındices. entõ. Como x ∈ U .i ). c a U= λ i∈Jλ ϕ−1 (Aλ. gen´rico e V um aberto em σi0 . Logo. temos V = λ j∈Jλ Aj. resulta que C ∗ ⊂ C e. i ϕ−1 (Aλ0 . i0 Agora. A ∈ Ci } e C = i i {ϕ−1 (A). ´ uma base para a fam´ das vizinhan¸as de x. x ∈ ϕ−1 (Aλ0 . lembremos que e C∗ = i {ϕ−1 (A). isto ´. V ∈ σi . Com efeito. τ ∗ ⊂ τ . Entõ. i i∈Jλ0 para todo i ∈ Jλ0 . seja e ılia c U uma vizinhan¸a aberta de x. como Ci ⊂ σi . seja i0 ∈ I. i0 e pelo fato de ϕ−1 (Aj. ϕ−1 (V ) ∈ τ ∗ .i ) . o que implica que ϕi (x) ∈ Aλ0 . Com efeito. (2) Seja x ∈ X e βϕi (x) uma base para a fam´ de vizinhan¸as de ϕi (x). Portanto.96 onde C = i τi ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` e τi ´ a topologia induzida por ϕi em X. i0 i0 segue que ϕ−1 (V ) pertence ao conjunto formado pelas uni˜es arbitr´rias de interse¸oes o a c˜ i0 finitas de elementos de C ∗ . A ∈ σi }. ou seja. entõ a j´ temos que τ ⊂ τ ∗ . Assim. i Contudo. i onde Jλ ´ um conjunto finito de ´ e ındices e Aλ.λ . De fato. o que prova o desejado. De fato. por e conseguinte. x ∈ a para algum λ0 . e τi = ϕ−1 (V ). onde Aj. ϕ−1 (V ) = i0 λ j∈Jλ ϕ−1 (Aj.i . resta-nos mostrar a outra inclusõ. ´ um e i conjunto finito de ´ ındices. Provaremos ılia c que a fam´ de subconjuntos de X da forma ılia i∈J ϕ−1 (Vi ). Provaremos que ϕ−1 (V ) ´ um aberto em X e e i0 para a topologia τ ∗ . A ∈ Ci0 ⊂ C ∗ . posto que Ci ´ uma sub-base de σi . Na a a e verdade. observemos que a topologia τ ∗ mant´m as ϕi cont´ e ınuas. τ ∗ ⊂ τ . ou seja.λ ) ∈ ϕ−1 (A). ´ suficiente provarmos que C ∗ ⊂ C. . onde Vi ∈ βϕi (x) e J ⊂ I.i ). i Primeiramente. Logo. Entretanto. Segue da´ que xn ∈ ϕ−1 (Vi ). ϕi (xn ) ∈ V . onde J ⊂ I ´ um subconjunto finito de ´ e ındices e i Vi ∈ βϕi (x) .i ). ϕi (xn ) ∈ Vi . U ⊃ c˜ i∈J ϕ−1 (Vi ). se. o que encerra a prova. x ∈ i∈Jλ0 ϕ−1 (Vi ). {(Yi . por´m fixada. por hip´tese. pelo fato de βϕi (x) ser uma base para as vizinhan¸as de c ϕi (x). Logo. para todo n ≥ n0 . para cada i ∈ Jλ0 . Ora. para todo n ≥ n0 e para todo i ∈ J.6 Sejam X um conjunto arbitr´rio. i e. Provaremos que ϕi (xn ) → ϕi (x). Entõ. para cada i ∈ J. sabemos que as ϕi sõ cont´ e a ınuas. i Proposi¸õ 3.i  = i∈Jλ0 Vi  ⊂ ϕ−1  i ϕ−1 (Aλ0 . existe. ϕ−1 (Vi ) ⊂ i i∈Jλ0 i∈Jλ0 ϕ−1 (Aλ0 . Logo. Assim. σi )}i∈I uma fam´ de espa¸os ca a ılia c topol´gicos e ϕi : X → Yi uma fam´lia de aplica¸˜es. Vi ∈ βϕi (x) . i 2 e. Entõ. ϕi (xn ) → ϕi (x). para cada i ∈ I.i .5. sendo βϕi (x) uma base para a fam´ de vizinhan¸as de ϕi (x). na topologia σi de Yi .´ ESPACOS TOPOLOGICOS ¸ 97 para todo i ∈ Jλ0 . para a ϕi tomada arbitrariamente. ca gen´rico. Vi ⊂ i∈Jλ0 i∈Jλ0 Aλ0 . seja V uma vizinhan¸a aberta de ϕi (x) em Yi . existe n0 ∈ N tal que xn ∈ ϕ−1 (V ). u Reciprocamente. seja U uma vizinhan¸a de x. Uma sucessõ {xn } de elementos o ı co a de X converge a x ∈ X na topologia fraca induzida pelas aplica¸˜es ϕi : X → Yi . para tal topologia. ϕ−1 (V ) ´ uma vizinhan¸a c e c i aberta de x em X. para todo n ≥ n0 . de acordo com o item (2) c a da proposi¸ao 3. como ϕi (xn ) → ϕi (x). Desta forma. para todo i ∈ J e para ı i todo n ≥ n0 . i . Logo. em particular.i . Note que as Vi ılia c sõ vizinhan¸as de ϕi (x). Seja n0 = max{ni }. evidentemente. Com e efeito. o que implica que xn ∈ i∈J i∈J ϕ−1 (Vi ) ⊂ U. de onde conclu´ ımos que  ϕ−1  i i∈Jλ0   i∈Jλ0  Aλ0 . e co somente se. o que prova o desejado. Demonstra¸õ: Suponhamos inicialmente que xn → x na topologia fraca e seja i ∈ I. a c a o existe ni tal que ϕi (xn ) ∈ Vi para todo n ≥ ni . conseqëntemente. i Assim.i ) ⊂ U. para todo n ≥ n0 . tal que ϕi (x) ∈ Vi e tal que Vi ⊂ Aλ0 . de espa¸os topol´gicos. ca Muniremos X com a topologia fraca induzida pela fam´ {prα }α∈A .98 o que encerra a prova. ϕi ◦ ψ ´ cont´ ılia a e ı e ınua. Introduzamos sobre X a topologia fraca induzida ca co pela fam´ {ϕi }i∈I . para todo i ∈ I. Entõ. ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` 2 Dada uma fam´ {Xα }α∈A . introduziremos uma topologia ılia c o sobre o produto cartesiano X= α∈A Xα dos espa¸os Xα . denominada proje¸õ de X sobre Xα . seja U aberto em X. Para cada α ∈ A. suponhamos que. (Z. para todo i ∈ I. Demonstra¸õ: Considere a diagrama¸õ abaixo: ca ca Se ψ ´ cont´ e ınua. ψ ´ contńua se. e somente se. de acordo ılia com a proposi¸ao 3. Proposi¸õ 3. como as ϕi sõ cont´ a ınuas. θ) um espa¸o topol´gico e (Yi .1) Esta topologia no produto cartesiano ´ frequentemente denominada topologia de Tye chonoff. ϕi ◦ ψ ´ cont´ e ınua.6 temos c˜ xn → x em X = α∈A Xα ⇔ prα (xn ) → prα (x). para cada i ∈ I. h´ uma fun¸ao associada a c˜ prα : X → Xα x → prα (x) = x(α). i . Assim. Consideremos tamb´m ψ : Z → X uma aplica¸õ e ca c o e ca ϕi : X → Yi uma cole¸õ de aplica¸˜es.i ) . Provaremos que ψ ´ cont´ e ınua. a U= λ i∈Jλ ϕ−1 (Bλ. De fato. Entõ. Lembremos que o produto cartesiano X consiste de todas as fun¸oes c c˜ x:A→ α∈A Xα α → x(α). segue que ϕi ◦ ψ ´ e claramente cont´ ınua. Reciprocamente. (3. τi )i∈I ca a c o uma cole¸õ de espa¸os topol´gicos.7 Sejam X um conjunto arbitr´rio. E ). para todo x ∈ E. E ). portanto. c˜ c˜ 2 3. para todo λ.i ) .2 A Topologia Fraca σ(E. ´ a topologia menos fina (ou mais ca grossa) em E para a qual sõ contńuas todas as aplica¸˜es ϕf .i ∈ τi e Jλ ´ um conjunto finito de ´ e ındices. E ) ψ (Z. ca e c Demonstra¸õ: ca Sejam x. a o e . e ılia co e Defini¸õ 3. Isto prova a continuidade de ψ e encerra a demonstra¸ao da proposi¸ao. o que prova que ψ −1 (U ) ∈ θ. Da´ vem que ı ψ −1 (U ) = ψ −1 λ i∈Jλ ϕ−1 (Bλ. ´ um a a c˜ e e aberto em Z.i ) sõ abertos em Z. E ) Seja E um espa¸o de Banach e consideremos f ∈ E . ela ´ fechada a e para a uniõ arbitr´ria de interse¸oes finitas.i ) i ψ −1 ◦ ϕ−1 (Bλ. f ∈ E . que (ϕi ◦ ψ)−1 (Bλ.9 Munido da topologia fraca σ(E. em particular.8 A topologia fraca σ(E. resulta. para todo i ∈ I. A medida que f percorre E . E ´ um espa¸o de Hausdorff. isto ´.A TOPOLOGIA σ(E. Sendo θ uma topologia. para todo i ∈ Jλ e para todo λ. a ı co Proposi¸õ 3. τi ) Figura 3.i ) i = λ i∈Jλ = λ i∈Jλ (ϕi ◦ ψ)−1 (Bλ. se c˜ obt´m uma fam´ {ϕf }f ∈E de aplica¸˜es de E em R. θ) (X. x . y ∈ E tais que x = y. sobre E. a c ` aplica¸ao dada por ϕf (x) = f.2: Composi¸ao c˜ onde Bλ. Designaremos por ϕf : E → R. Temos que os conjuntos {x} e {y} satisfazem `s hip´teses da 2a Forma Geom´trica do teorema de Hahn-Banach e. Como (ϕi ◦ ψ) ´ cont´ e ınua. τf raca ) 99 ϕi (Yi . e Demonstra¸õ: ca Mostraremos inicialmente que o conjunto V acima definido ´ um e elemento da base βx0 de vizinhan¸as de x0 na topologia fraca σ(E. resulta que ϕ−1 (]ai − ε. E ). f. de acordo com a proposi¸õ 3. Se obt´m uma base de vizinhan¸as de x0 para a topologia ca e c σ(E. E ).100 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` existe um hiperplano fechado de equa¸ao [f = α]. +∞[)) ´ aberto em E e f f na topologia σ(E. como estamos munindo E da topologia fraca σ(E. E ). α[) . +∞[) um conjunto aberto em R resulta que ϕ−1 (] − ∞. x − x0 | < ε. f =ϕf (z) Uy = {z ∈ E. α[) (respec. Al´m disso. e 2 Proposi¸õ 3. Reciprocamente. E ) (lembre que as topologias sõ fechadas para interse¸˜es finitas e a co e uni˜es arbitr´rias) e cont´m x0 . Com efeito. fi ´ aberto em σ(E. e. ϕ−1 (]α. E ). z > α} = f −1 (]α. sendo ]ai − ε. Entõ. resulta que ılia ϕf ´ uma aplica¸ao cont´ e c˜ ınua com esta topologia. Ux e Uy sõ abertos na topologia σ(E. note que ϕf ´ um elemento a a e da fam´ {ϕf }f ∈E . tal que c˜ f. onde I ´ finito.5 (2) existe um aberto W que cont´m x0 a ca e na forma W = i∈I ϕ−1 (Wi ). E ). seja c I finito. c fi . E ). ai + ε[) . +∞[) = ϕ−1 (]α. +∞[) . o que encerra a prova. y . para todo i ∈ I} . x < α < f. ao considerarmos todos os conjuntos da forma V = {x ∈ E. y ∈ Uy e Ux ∩ Uy = ∅. ε > 0 e consideremos ai = fi . ai + ε[ um aberto a em R. x ∈ Ux . Entõ. fi ∈ E e ε > 0.]α. Definindo-se Ux = {z ∈ E. x0 em R. Sendo ] − ∞. conseqëntemente e u fi V = i∈I ϕ−1 (]ai − ε. x0 . α[ (respec. Com efeito. α[) = ϕ−1 (] − ∞. | fi . z < α} = f −1 (] − ∞. f =ϕf (z) entõ. ai + ε[) ´ aberto em σ(E. i ∈ I. seja U uma vizinhan¸a de x0 em o a e c σ(E. com I finito e Wi uma vizinhan¸a de ai = fi . f. E ). e.10 Seja x0 ∈ E. 12 Seja {xn }n∈N . x em R. quando n → +∞. isto a a e a ´. (ii) Seja f ∈ E . xn → f. se designa por xn a x a convergˆncia de xn para x e na topologia fraca σ(E. e somente se. ai + ε[) ⊂ W ⊂ U. nõ existe uma m´trica definida em E que induza sobre E a topologia σ(E. . neste caso. uma sucessõ de elementos de E. ]ai − ε. a (i) Resulta da defini¸õ de topologia fraca σ(E. Dada uma sucessõ {xn }n∈N ⊂ E. x . entõ ||xn || ´ limitada e ||x|| ≤ lim inf ||xn || a e x em σ(E. a topologia fraca σ(E. entõ. em virtude de (i). para todo f ∈ E ⇒ xn (iii) Se xn x. Entõ: ca a a (i) xn x em σ(E.A TOPOLOGIA σ(E. x . Dizemos. Assim. fi 2 Observa¸õ 3. Assim. para todo f ∈ E . (3. Entõ. x | ≤ ||f ||E ||xn − x||E → 0. x. ai + ε[⊂ Wi . E ) e da proposi¸ao ca c˜ | f. E ). E ). xn − f. entõ xn a (iii) Se xn (iv) Se xn Demonstra¸õ: ca 3. V = i∈I ϕ−1 (]ai − ε. a x em σ(E. E ) e se fn → f fortemente em E . e portanto. xn → f.6. f. entõ fn . Proposi¸õ 3. xn → f. E todo espa¸o m´trico satisfaz ao 10 a c e Axioma da Enumerabilidade. existe ε > 0 tal que. que xn converge fraco para x em E. E ) 101 e tal que W ⊂ U . a f. f. E ) nõ ´ metriz´vel. x . (ii) Se xn → x fortemente em E. xn → f.11 ca Quando E possui dimensõ infinita. E ) se. para todo f ∈ E .2) x. para cada i ∈ I. E ) pois e a e E nõ satisfaz ao 10 Axioma da Enumerabilidade. Desta ultima desigualdade e do corol´rio 1. ||x||E = (iv) Temos | fn . x | ≤ ||f ||E lim inf ||xn ||E .3) Definamos Tn : E → R. xn }n∈N ´ limitada e. pelo Teorema de Banach-Steinhaus existe C > 0 tal que a |Tn (f )| ≤ C ||f ||E . como c˜ e | f. f → Tn (f ) = f.||f ||E ≤1 | f. ou seja. xn − f. 0 2 . x | ≤ lim inf ||xn ||E . Al´m disso. xn − f.3) e. xn | + | f. tomando-se o limite inferior. xn | ≤ C ||f ||E . x | → 0. x | ≤ ||fn − f ||E 0 sup f ∈E . de (3.102 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Logo.18 resulta que ´ a ||xn ||E = sup f ∈E . x | ≤ | fn . xn | ≤ ||f ||E ||xn ||E . para todo n ∈ N. xn . de (3.2) obtemos a | f. xn | ≤ C. xn − f. quando n → +∞.||f ||E ≤1 | f. conseqëntemente. para todo f ∈ E e para todo n ∈ N. para todo f ∈ E e para todo n ∈ N. n ||xn ||E ´ limitada(iii) e + | f. Entõ. xn − f. | f. ue u e u sup | f. xn | < +∞. a seq¨ˆncia de n´meros reais { f. n Mas. para todo f ∈ E . o que prova a limita¸ao de {xn }. n∈N (3. entõ. x . para todo m ≥ m0 . dado ε > 0. c x em E se. para todo g ∈ B . Contudo tal afirma¸õ nem sempre ´ verdadeira quando X ´ um espa¸o ca e e c topol´gico qualquer]. seja n0 ∈ N tal que o ε | fm0 . (ii) g. xn → i=1 αi gi . na topologia fraca.12. x = f. E ) 103 Observa¸õ 3. (3. (onde [B ] designa o subespa¸o gerado por B ). Entõ. (3.c. agora. se x = 0. existe m0 ∈ N tal que ||fm − f ||E < L. Seja f ∈ [B ]. [Lembre que se X ´ um espa¸o topol´gico que sae c o tisfaz ao 10 Axioma da Enumerabilidade temos que a continuidade seqëncial implica na u continuidade. se x = 0. Entõ.A TOPOLOGIA σ(E. f ∈ [B ] = E . x temos que (i) e (ii) se verificam em virtude da proposi¸ao c˜ Por outro lado. suponhamos que exista {xn } tal que (i) e (ii) se verifique. Temos que xn ca c se. xn = i=1 αi gi . xn − fm0 . para todo n ≥ n0 . xn → g. onde L = min ε ε . (3. para todo n ∈ N.14 Seja E um espa¸o de Banach. Logo.i. x | < .12 conclu´ ca ca ımos que a norma ´ seqëne u cialmente s. existem αi ∈ R e gi ∈ B tais que c a m(f ) f= i=1 αi gi . onde B ´ um subconjunto de E que gera um e subespa¸o denso em E . o Proposi¸õ 3. as seguintes condi¸˜es forem satisfeitas: co (i) ||xn ||E ≤ M . .7) . e somente Demonstra¸õ: Se xn ca 3. x . 3 (3.4) Consideremos.5) 3M 3||x|| 2ε .13 Do item (iii) da proposi¸õ 3. existe {fm } ⊂ [B ] tal que fm → f em a E . em virtude da hip´tese (ii). quando n → +∞.6) ou L = 3M Por outro lado. Resulta da´ e da hip´tese (ii) que ı o m(f ) m(f ) f. a Entõ. x ) sõ cont´ e a ınuas na topologia forte. temos que mostrar que todo aberto forte ´ um aberto fraco. · · · . resulta que a topologia fraca σ(E. E admite uma base {e1 . · · · . x | ε ≤ ||f − fm0 ||E ||xn || + 3 + ||fm0 − f ||E ||x||E ε < LM + 3 + L||x|| < ε M 3M ε +3+ ε ||x|| 3||x|| = ε. x → xi .16 Se E tem dimensõ finita. i = 1. x | + | fm0 . resulta de (3. | fi . converge a fortemente. x | ≤ | f. para todo n ≥ n0 . para todo f ∈ E ⇒ xn x. entõ a topologia fraca coincide com a forte.15 Lembremos que σ(E. de acordo com a c proposi¸ao 3. Como E tem dimensõ finita. · · · . xn − f. devemos exibir um conjunto finito de fun¸oes {fi }i∈I ⊂ E (e.104 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Assim. portanto. Consideremos as aplica¸oes c˜ n fi : E → R. 2 e Observa¸õ 3. xn | + | fm0 . Como as fun¸˜es da fam´ {ϕf }f ∈E (onde a ı co ılia ϕf : E → R ´ definida por ϕf (x) = f. e somente se. i = 1. xn → f. f ∈ E sõ contńuas. n.5) e (3. x − x0 | < ε. a e todo aberto fraco ´ um aberto forte. xn − fm0 . Devemos construir uma vizinhan¸a V de x0 na topologia fraca σ(E. e Reciprocamente.7) que | f. x0 ∈ U e r > 0 tais que Br (x0 ) ⊂ U . n. Assim. x − f. ou seja. onde x = i=1 xi ei .10. uma sucessõ {xn } em E converge fracamente se. x . c˜ c˜ I ´ um conjunto finito de ´ e ındices) e ε > 0 tais que V = {x ∈ E. E ) ´ mais grossa (menos abertos) que a topologia forte. para todo i ∈ I} ⊂ U. en } tal que ||ei || = 1. Com e efeito. E ) ´ a topologia mais grossa sobre E para a ca qual todas as ϕf . o que prova que f. ca a a Em particular. E ) tal que V ⊂ U . xn − fm0 . . dado qualquer x ∈ E podemos escrever x = a n i=1 xi ei . E ) ´ mais grossa que a topologia forte. e Proposi¸õ 3. Demonstra¸õ: ca J´ vimos que σ(E. sejam U um aberto na topologia forte. n o que implica que x ∈ Br (x0 ) e. E ). · · · .i. n . se para todo a y0 ∈ E. caso contr´rio. ou seja. De fato. n n n Se x = i=1 xi e i = i=1 yi e i ⇒ i=1 (xi − yi )ei = 0 ⇒ xi = yi . y0 = 0. V nõ est´ contido na bola B1 (0). y0 = 0. · · · . x | = |xi | ≤ (|x1 | + · · · + |xn |) ≤ C ||x||E . n. e a V = x ∈ E. i = 1. a Do exposto acima. quando dim E = +∞. Provaremos que V c a B1 (0). E ) 105 O fato de {e1 . onde a ultima desigualdade vem do fato que em um espa¸o de dimensõ finita todas as ´ c a normas sõ equivalentes. conforme quer´ u ıamos demonstrar. definamos. para algum i. n}.A TOPOLOGIA σ(E. n. Demonstra¸õ: Sejam x0 ∈ B1 (0) e ca V = {x ∈ E. · · · . 2 Vimos na proposi¸ao anterior que se dim E < +∞ entõ a topologia forte coincide com c˜ a a topologia fraca. seja y0 ∈ E tal que y0 = 0 e fi . entõ. e | fi . existem abertos na topologia forte que nõ a sõ abertos na topologia fraca.17 Se dim E = +∞. entõ a bola B1 (0) nõ ´ aberta na topologia fraca ca a a e σ(E. | fi . en } ser um conjunto l. x → ϕ(x) = ( f1 . x . · · · . V ⊂ Br (x0 ) ⊂ U . x − x0 | < ε. Temos n n r . I = {1. · · · . n. para todo i = 1. fn . a Proposi¸õ 3. x ) . ou seja. · · · . Consideremos o seguinte resultado. x − x0 | < n r = r. conseqëntemente. | fi . para algum C > 0. x − x0 e i ≤ i=1 | f i . uma vizinhan¸a arbitr´ria de x0 na topologia σ(E. n} com fi ∈ E e ε > 0. E ). De fato. · · · . Observemos que tal y0 existe pois. · · · . Contudo. fi ∈ E pois. n ||x − x0 || = i=1 f i . ε = r/n. E ) ´ estritamente e menos fina do que a topologia forte. para todo i = 1. i = 1. a topologia fraca σ(E. x − x0 | < Tome x ∈ V . Al´m disso. a a para todo i = 1. faz com que as fun¸oes fi estejam bem c˜ definidas. a aplica¸ao e c˜ ϕ : E → Rn . y0 = 0 tiv´ssemos fi . e consequentemente um isomorfismo de E sobre ϕ(E) o que implicaria que dim E ≤ n.8)). e a o Notemos que (x0 + t y0 ) ∈ V. existe t0 ∈ R+ \{0} tal que g(t0 ) = 1. para todo i = 1. toda vizinhan¸a V de x0 ∈ E na topologia fraca σ(E.9) Observa¸õ 3. · · · . (x0 + t0 y0 ) ∈ B1 (0). No entanto. De (3. o que ´ um absurdo(!).106 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` que ´ claramente linear. n.3: A vizinhan¸a fraca do ponto x0 cont´m a reta x0 + t y0 c e . para todo t ∈ R. ||x0 + t0 y0 || = 1 e. y0 | = 0 < ε. / Com efeito. E ) c a c cont´m uma reta que passa por x0 (veja (3. pelo Teorema do Valor Intermedi´rio.8) (3.8) e (3. pois E tem dimensõ infinita. (x0 + t y0 ) − x0 | = |t| | fi .9). o t→+∞ (3. seria injetiva pois o nćleo de ϕ. ϕ(x) = 0} = e u {0}.9) resulta que V / que finaliza a prova. definamos a fun¸ao c˜ g : R → R+ . Logo. t → g(t) = ||x0 + t y0 ||. N (ϕ) = {x ∈ E. pois | fi . por hip´tese. o que prova (3.18 Da demonstra¸õ da proposi¸õ anterior fica provado que em todo ca ca ca espa¸o de dimensõ infinita. ou seja. 2 B1 (0). a assim. Existe t ∈ R tal que (x0 + t y0 ) ∈ B1 (0). e '$ 0 x • • x + ty 0 0 &% 0 • y0 Figura 3. Temos que g ´ cont´ e ınua com g(0) = ||x0 || < 1 e lim g(t) = +∞. x0 ∈ E tal que ||x0 || < 1. entõ.12(iii).17. (3. provaremos que dada V . que o conca ca junto S = {x ∈ E. ||x|| ≤ 1} ⊂ S Claramente S ⊂ S x0 ∈ S σ(E. conforme vimos a anteriormente. temos que S σ(E. com ε > 0 e f1 .TOPOLOGIA FRACA. para todo i = 1. seja x ∈ S 3.E ) σ(E. conforme proposi¸ao 3. E ). e definindo-se. n. Demonstra¸õ: Provaremos inicialmente que ca S De fato.E ) = {x ∈ E.E ) σ(E. · · · . E ).10. e . o que implica que V ∩ S = ∅. · · · . temos ||x|| ≤ lim inf ||xn || com ||xn || = 1.E ) σ(E. pelo Teorema do Valor Intermedi´rio. existe {xn } ⊂ S tal que xn a o que implica que ||x|| ≤ 1 provando (3. y0 = 0. E ). Logo. | fi . ||x|| ≤ 1}.19. · · · . como na demonstra¸ao da proposi¸ao 3.11) tem-se o desejado. como antes. g : R → R+ . ||x|| = 1} nõ ´ ca a a e fechado na topologia fraca σ(E. ||x|| ≤ 1}. 2 t→+∞ Observa¸õ 3. Provaremos que a . Combinando (3. c˜ c˜ y0 ∈ E tal que y0 = 0 e fi . i = 1. da proposi¸ao c˜ . n σ(E.E ) ⊂ {x ∈ E. (x0 + t y0 ) ∈ V. uma vizinhan¸a de x0 em σ(E. a (x0 + t0 y0 ) ∈ V ∩ S. Mais precisamente.10). Assim.20 Notemos que se dim E = +∞.10) e (3. resulta da proposi¸õ 3.10) x. (3. Isto completa a prova. ||x|| = 1} nõ ´ fechado na topologia fraca σ(E. x − x0 | < ε.11) . t → g(t) = ||x0 + t y0 ||.19 Se dim E = +∞. que c˜ V = {x ∈ E. sempre podemos obter. ( isto ´ S e = S). entõ o conjunto S = {x ∈ E. ||x|| ≤ 1} ´ fechado em σ(E. fn ∈ E . Fixemos. mas o conjunto a e {x ∈ E. V ∩S = ∅. Entõ. Seja.E ) . existe t0 ∈ R+ \{0} tal que ||x0 + t0 y0 || = 1.11). o que prova (3. n}. e c Com efeito. Resta-nos provar que {x ∈ E. CONJUNTOS CONVEXOS E OPERADORES LINEARES 107 Proposi¸õ 3.E ) σ(E. E ). Novamente. Entõ. para todo n ∈ N. temos que g ´ cont´ e ınua com g(0) = ||x0 || < 1 e lim g(t) = +∞. isto ´. para todo t ∈ R. nesta se¸ao. e a rec´ ıproca nõ ´ verdadeira em espa¸os de dimensõ infinita. x0 . • (iii) V ´ aberto em σ(E. C ´ fracamente fechado em σ(E. c˜ c a Teorema 3. al´m de serem ambos e e e convexos e disjuntos.3 Topologia Fraca. • (ii) V ∩ C = ∅. No entanto. Mostraremos. x > α}. Consideremos V = {x ∈ E. vem. f = 0. Entõ. E ) ´ fechado na topologia forte. x < α. e uma vez que a topologia fraca σ(E. e a e Com efeito. E ). E ) se. e e Demonstra¸õ: Como todo aberto (fechado) fraco ´ aberto (fechado) forte ´ suficiente ca e e provarmos que se C ⊂ E ´ convexo e fortemente fechado entõ ´ fracamente fechado. 2 . x < α < f. ´ fortemente fechado. mostraremos que E\C ´ aberto na topologia fraca σ(E.21 Sejam E um espa¸o de Banach e C ⊂ E um conjunto convexo. Conjuntos e Operadores Lineares Convexos Vimos que todo conjunto fechado na topologia fraca σ(E. +∞[) onde f ∈ E e ]α. portanto. Temos que • (i) x0 ∈ V.108 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` 3. E ) donde se conclui que C ´ fechado em σ(E. a e c a c˜ que em conjuntos convexos essas no¸oes coincidem. Logo. E ). +∞[ ´ um e e aberto em R. seja e x0 ∈ E\C. V ⊂ E\C. Como C ´ fechado e {x0 } ´ compacto na topologia forte. para todo x ∈ C e f ∈ E . pois se x ∈ C temos que f. f. pela 2a Forma Geom´trica do Teorema de Hahn-Banach que e existe um hiperplano fechado de equa¸ao [f = α] tal que c˜ f. e. e somente se. E\C ´ aberto em σ(E. E ) pois V = f −1 (]α. E ) ´ mais grossa do que a topologia forte. e e conforme quer´ ıamos demonstrar. De fato. e Observa¸õ 3. existe {yn } ⊂ conv{xn } tal que yn → x forte. onde E est´ munido da topologia fraca σ(E. a existe uma seq¨ˆncia {yn } de combina¸˜es convexas de {xn } tal que yn → x forte.24 ca ´ • 1) E fundamental no resultado acima que ϕ seja convexa para que os conjuntos de n´vel N (λ. ϕ) ´ convexo.c. ϕ(x) ≤ λ}. E ).c. de acordo com o lemma e 1.23 Seja ϕ : E →] − ∞. ϕ ´ s. ´ fechado e e e e na topologia forte pois ϕ ´ s. na topologia forte. como j´ e a vimos.25 Sejam E e F espa¸os de Banach e T um operador linear e cont´ c ınuo de E em F . com F munido da topolia fraca σ(F. ϕ) = {x ∈ E. Temos que conv{xn } ´ convexo e portanto. conv{xn } (na topologia forte) tamb´m o e e ´. al´m disso. ı • 2) A fun¸õ ϕ(x) = ||x|| ´ convexa e s. pelo teorema anterior. na topologia fraca σ(E. N (λ. Como conv{xn } ´ fortemente fechado. Entõ. ϕ) ´ fechado na topologia fraca σ(E. na topologia a ca forte. Temos que N (λ. xni ∈ {xn } .c. E ). ´ s. Em particular. Entõ. F ).i. e e .22 Sejam E um espa¸o de Banach e {xn } ⊂ E tal que xn a c 109 x. se xn a e ϕ(x) ≤ lim inf ϕ(xn ).33 (Resultado 3). ϕ) sejam convexos.i. se xn x temos que ||x|| ≤ lim inf ||xn ||. Logo.i.c. Logo. Logo. T ´ contńuo em E. n 2 Teorema 3. na topologia forte (pois ´ cont´ ca e e ınua na topologia forte).i. CONJUNTOS CONVEXOS E OPERADORES LINEARES Corol´rio 3. ϕ) ´ fechado na topologia forte e pelo teorema 3. E ).i. Em particular. 2 Corol´rio 3.TOPOLOGIA FRACA. uma vez que ϕ ´ convexa e. Entõ. resulta. n x temos que Demonstra¸õ: Lembremos que o conjunto de n´ λ de ϕ ´ dado por ca ıvel e N (λ.21 resulta que e N (λ. ue co Demonstra¸õ: Denotaremos por ca m m conv{xn } = i=1 ti xni . na topologia fraca σ(E.c. +∞] uma fun¸õ convexa e s. A rec´ ıproca tamb´m ´ verdadeira. E ). a e ı a em F . 0 ≤ ti ≤ 1. i=1 ti = 1. que ´ fracamente e e e fechado e portanto x ∈ conv{xn } (posto que {xn } ⊂ conv{xn } ⊂ conv{xn }). . se. E e F .||f ||≤1 | ξ.7. J ´ uma isometria pois e ||Jx ||E = sup f ∈E . munidos da topologia fraca.48 c˜ o ca J : E → E . respectivamente. x → Jx .||f ||E ≤1 | f. f ◦ T : E → R ´ cont´ e ınuo em E munido da topolgia fraca σ(E. Logo. o dual de E . consideremos E o seu dual dotado da norma dual c ||f ||E = sup x∈E. J ´ um isomorfismo de E sobre o conjunto J(E) ⊂ E . ou seja. Entõ. f ◦ T ´ cont´ e ınua com E munido da topologia fraca σ(E. com E e F munidos da topologia fraca σ(E. T x ´ uma forma linear e cont´ e ca e ınua sobre E. f = f. Como o G(T ) ´ subespa¸o. Reciprocamente. f |. f | = sup f ∈E . e c e G(T ) ´ fechado na topologia forte (Teorema 3.||x||≤1 | f. Jx . Temos que J ´ linear. Pelo Teorema do Gr´fico Fechado se e a conclui que T ´ cont´ e ınuo de E em F com ambos munidos da topologia forte. o que permite identificar e J(E) = E. E × F ). F ). Lembremos da inje¸ao canˆnica definida na proposi¸õ 1. e somente se. 2 3.110 Demonstra¸õ: ca ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Seja T : E → F linear e cont´ ınuo quando E e F estõ munidos da a topologia forte. x |. f ◦ T ∈ E e. Por´m a aplica¸õ x → f. E ) e σ(F.21). temos que G(T ) ´ convexo e. qualquer que seja f ∈ F . dotado da norma ||ξ||E = sup f ∈E . x . E ). Temos.4 A Topologia Fraco ∗ σ(E . consequentemente. Assim. para todo f ∈ E e para todo x ∈ E. E) Seja E um espa¸o de Banach. qualquer que seja f ∈ F .||f ||E ≤1 | Jx . que T ´ cont´ c˜ e ınuo de E em F . Isto encerra a prova. de acordo com a proposi¸ao 3. x | = ||x||. cont´ e ınua e mais ainda. E ) (note que na topologia fraca todas as fun¸˜es de co E sõ cont´ a ınuas). e seja E seu bidual. G(T ) ´ fechado em E × F munido da topologia fraca a e σ(E × F. suponhamos que T : E → F ´ linear e cont´ e ınuo com ambos. portanto. E) que ´ a topologia mais grossa para a qual as fun¸oes Jx . o ´ ıtem (iii) acima ´ equivalente a dizer que podemos induzir em E a e topologia fraca σ(E . que ´ a topologia mais grossa para a qual todas as e ξ ∈ E sõ cont´ a ınuas em E . . dada pela norma de E . sõ cont´ co a ınuas. f > α} = Jx (]α. a topologia σ(E . x . e Por sua vez. Temos. que ´ a topologia mais grossa para a qual todas as e ξ ∈ J(E) sõ cont´ a ınuas em E . x . Como E ⊂ E .27 A terminologia fraco ∗ nos lembra que estamos trabalhando no espa¸o ca c dual. x < α} = {f ∈ E . x ∈ E. α[ e ]α. f.29 Se obt´m uma base de vizinhan¸as de f0 ∈ E para a topologia σ(E . | f − f0 . U1 ∩ U2 = ∅ e f1 ∈ U1 e f2 ∈ U2 . E ) ´ menos fina do que a topologia forte em E e Proposi¸õ 3. Isto conclui a prova.A TOPOLOGIA FRACO ∗ σ(E . Jx . x = ca a f2 . E). para todo i ∈ I}. Observa¸õ 3. Definamos: −1 U1 = {f ∈ E . existe x ∈ E tal que f1 . x < α < f2 . Entõ. x > α} = {f ∈ E . resulta que a topologia σ(E . (iii) A topologia fraca σ(E . Como J : E → E nos permite a identifica¸ao de E com J(E) e Jx (f ) = f. Suponhamos.26 A topologia fraco ∗. a seguinte defini¸ao. sem perda da generalidade. E ). ´ a topologia mais grossa ca e sobre E para a qual todas as fun¸˜es Jx .28 Munido da topologia fraco ∗ σ(E . que f1 . x < f2 . f < α} = Jx (] − ∞. E) Sobre E podemos definir as seguintes topologias: (i) A topologia forte. c˜ para toda f ∈ E . 2 Proposi¸õ 3. J(E)). x e consideremos α ∈ R tal que f1 . designado por E ∗ . 111 (ii) A topologia fraca σ(E . E) ´ menos fina que a topologia σ(E . E) ca e c ao se considerar todos os conjuntos da forma V = {f ∈ E . E). E). +∞[) . ca e c Demonstra¸õ: Sejam f1 . E ´ um espa¸o de Hausdorff. temos que U1 e U2 sõ a a abertos em σ(E . na literatura americana. +∞[ sõ abertos em R. a c˜ Defini¸õ 3. x . Como Jx ´ cont´ e ınua e ] − ∞. xi | < ε. E ). α[) −1 U2 = {f ∈ E . e c˜ sõ cont´ a ınuas em E . f2 ∈ E tais que f1 = f2 . x ∈ E. Jx . f. designada por σ(E . entõ. · · · . x → f. I ∗ : [Rn ]∗ → E ∗ . isto ca a e ´. E ) e σ(E . x . E ) ⇔ ξ. conclu´ a ımos . onde x = i=1 xi ei e. 2 Demonstra¸õ: An´loga ` demonstra¸õ da proposi¸õ 3. ⇒ ||fn ||E ´ limitada e ||f ||E ≤ lim inf ||fn ||E . para todo x ∈ E. E). e Demonstra¸õ: ca ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` A demonstra¸ao ´ an´loga ` demonstra¸ao da proposi¸õ 3. n f em σ(E . (x1 . Al´m disso. ca a a ca ca Observa¸õ 3. resulta que I ∗ ◦ I ´ um a e e isomorfismo de E em E . Assim. para todo x ∈ E. E ). xn ) . f em σ(E .112 onde I ´ finito. E ). E ) ⇒ fn f em σ(E . ⇒ fn . Assim. fn → Jx . fn → ξ. onde If . as trˆs topologias coincidem. xi ∈ E e ε > 0. · · · . dim E = dim E = n. σ(E . Proposi¸õ 3. e f em σ(E .30 Seja {fn } uma sucessõ em E . De maneira an´loga. fn → f em E ⇔ ||fn − f ||E → 0. sõ isomorfismos. temos e que as aplica¸˜es co n I : E → Rn . Com efeito. se dim E = n. fn fn ∗ f a convergˆncia de fn ` f e a f em σ(E .10 feita c˜ e a a c˜ ca 2 ∗ para a topologia σ(E. para todo ξ ∈ E . xn → f. E) ⇔ Jx . E) coincidem.31 Quando E possui dimensõ finita. f em σ(E . E ). f . f . as topologias forte. se designa por fn ca a na topologia fraco ∗ σ(E . xn ). x = f. como [R ] = Rn e E ∗ = E. E) ⇔ fn . x → (x1 . E) e xn → x forte em E.12 feita para σ(E. E). Se verifica: ca a (i) fn ∗ f em σ(E . Nota¸õ: Dada uma sucessõ {fn } ⊂ E . com x ∈ E n tal que x = i=1 n ∗ xi e i . ∗ (ii) fn → f forte em E ⇒ fn fn (iii) fn (iv) fn ∗ ∗ f em σ(E . x . E). λn ). segue que G(x) = 0. i Demonstra¸õ: Consideremos a aplica¸õ F : X → Rn+1 dada por ca ca F (x) = (ϕ(x). existe um hiperplano de Rn+1 que e separa estritamente {a} e Im(F ). · · · . λ1 . conseqëntemente. J(E) = E . J : E → E ´ sobrejetiva [note que pelo Teorema do Nćleo e da Imagem e u dim N (J) + dim Im(J) = dim E = n. ou seja. n ⇒ ϕ(x) = 0. a u e Logo. posto que Im(F ) ´ um subespa¸o de Rn+1 . · · · . F (x) . para todo x ∈ X. ϕ1 . Da hip´tese (3. ou seja. E ) = σ(E . bem como α < 0 (veja o in´ ıcio n λ ϕ(x) + i=1 λi ϕi (x) = 0. · · · . E) 113 que dim E = dim E = n. ϕn formas lineares sobre X que c verificam a condi¸õ ca ϕi (x) = 0. i = 1. dim Im(J) = n. ϕn (x)). pois J ´ o e injetiva. −λ =λ∗ i . para todo x ∈ X. dim E = dim E = dim E e. λn ). Como G(x) = λ ϕ(x) + da se¸ao 1). da identidade acima podemos escrever que n ϕ(x) = i=1 λi ϕi (x). e para todo x ∈ X. λ1 . Sendo λ < 0 (pois λ < α < 0) e. · · · . isto ´. existem λ. pela e e e c 2a Forma Geom´trica do Teorema de Hahn-Banach. Entõ. e s´ se. σ(E . λn ∈ R e α ∈ R tal que (λ. existem λ∗ . e n λ < α < λ ϕ(x) + i=1 λi ϕi (x).12) conclu´ o ımos que a = (1. 0. portanto. Logo. 0) ∈ Im(F ). segue o desejado. como j´ vimos que as topologias forte e fraca coincidem em a espa¸os de dimensõ finita. a < α < (λ. x = 0. temos que {a} / ´ compacto e Im(F ) ´ fechado. ϕ1 (x).12) λ∗ ϕi . · · · . para todo x ∈ X. · · · . J(E) = E ]. entõ dim N (J) = 0. E) e. · · · . para todo x ∈ X. x ∈ X ´ uma forma linear sobre X e α < G(x). isto ´. Assim. para todo x ∈ X. para todo x ∈ X. Como J(x) = 0 se. λ∗ ∈ R tais que ϕ = a 1 n n i=1 (3. · · · . λ1 . e.A TOPOLOGIA FRACO ∗ σ(E . c˜ n i=1 λi ϕi (x).32 Sejam X um espa¸o vetorial e ϕ. por conseguinte. λ = 0. c a Lema 3. Assim. Assim. x ∈ X. ϕ(f ) ∈] − 1. i = 1. e e Logo. al´m disso. λn ∈ R tais que para toda f ∈ E tem-se n n n ϕ(f ) = i=1 λi Jxi (f ) = i=1 λi f. para todo f ∈ E . x . de acordo com a proposi¸ao 3. ou seja. a a f . a = Jxi . de (3. que ϕ(f ) = 0.13) Com efeito. E).13) e pelo lema 3. xi | < ε. xi = 0. x = Jx . e Demonstra¸õ: Como ϕ ´ cont´ ca e ınua para a topologia σ(E . Seja f ∈ E tal que f. |ϕ(f )| ∈ V e. 2 o que implica que ϕ = Jx .33 Seja ϕ : E → R uma aplica¸õ linear e cont´ ca ca ınua para a topologia σ(E . | f. suponhamos o contr´rio. xi | 1 = 0 < ε. onde x = λi xi . n. e ϕ(f ) = Logo.114 o que conclui a prova.f (3. Isto encerra a prova. E) que cont´m a origem 0 ∈ E . i = 1. 1[) = {f ∈ E . xi = n i=1 f. n. n}. E) entõ a ϕ−1 (] − 1. · · · . ϕ f ϕ(f ) f ϕ(f ) = | f. xi ϕ(f ) Logo. i = 1. ϕ ∈ J(E). i=1 λi xi = f. existe x ∈ E tal que a ϕ(f ) = f. f .29 existe uma vizinhan¸a V de 0 (origem) tal que c˜ c V ⊂ ϕ−1 (] − 1. 1[) e V pode ser escrita na seguinte forma: V = {f ∈ E . e ϕ(f ) = 1. isto ´. com xi ∈ E e ε > 0. para todo f ∈ V. Em outras palavras. existe x ∈ E tal que ϕ = Jx . Entõ. · · · . · · · . 1[} ´ aberto em σ(E . . ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` 2 Proposi¸õ 3.32 existem λ1 . Entõ ϕ(f ) = 0. · · · . Entõ. o que ´ um absurdo (!) pois |ϕ(f )| < 1. fechado na topologia σ(E . a | (1 − t)f1 + t f2 − f0 . f. com ϕ = 0. xi | = | (1 − t)f1 + t f2 − [(1 − t)f0 + t f0 ]. existe uma vizinhan¸a V de f0 na topologia σ(E . E) e. e Logo. onde ϕ : E → R ´ uma aplica¸õ linear. da forma ca e H = {f ∈ E . onde xi ∈ E e ε > 0. xi | < (1 − t)ε + t ε = ε. xi | + t | f2 − f0 . Afirmamos V ´ convexo. ϕ(E ) = R e ϕ. f = α para todo f ∈ H. portanto. ´. Notemos que E \H = ∅ pois ϕ = 0 e ca e. Resulta da´ que ı ϕ. para toda f ∈ V .A TOPOLOGIA FRACO ∗ σ(E . por hip´tese. Suponhamos. f0 ∈ E tal a que f0 ∈ H. a a H = {f ∈ E . para toda f ∈ V. f = α}. para toda f ∈ V ou ϕ. x = α}. na realidade. para algum x ∈ E tal que x = 0 e α ∈ R. . Demonstra¸õ: O conjunto H. f > α. f − f0 < α − ϕ. n} ⊂ E \H. segue e que ϕ. sejam f1 . Consideremos. Sendo ϕ : E → R linear vem que ϕ(V ) ⊂ R ´ convexo. que ϕ. f < α. f0 . f = α. tal c que V = {f ∈ E . xi | ≤ (1 − t) | f1 − f0 . f = α. | f − f0 . Entõ. Entõ. E). E) temos que E \H ´ / e o e aberto em σ(E . a ϕ. para todo f ∈ V. ϕ(V ) ´ um intervalo e como qualquer que seja f ∈ V temos que ϕ. E). Como H ´. Entõ. f2 ∈ V e t ∈ [0. xi | < ε. portanto. sem perda da generalidade. 1]. f < α. · · · . i = 1. ϕ. para toda f ∈ V . E) 115 Corol´rio 3. e Com efeito. entõ.34 Seja H um hiperplano de E fechado na topologia σ(E . o que prova a convexidade de V . g | < C = ε. de (3. E). ε g C = ε ε | ϕ.15) conclu´ ımos que | ϕ. −g = −(f − f0 ) = −f + f0 = (−f + 2f0 ) − f0 e −f + 2f0 − f0 . f | = ϕ. para toda f ∈ V0 . xi =−g = | f − f0 . para toda g ∈ W. Conseqëntemente.14) e (3. x = α}. entõ −g ∈ W . Pondo C = α − ϕ. para toda g ∈ W.14) resulta que ∈V − ϕ.16) Como W = V − f0 e V ´ uma vizinhan¸a de f0 na topologia σ(E . resulta que ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` ϕ. ϕ ´ cont´ e ınua em 0 na topologia σ(E . g < α − ϕ.15) (3. a a para algum f ∈ V . Pela proposi¸ao 3. Assim.14) Observamos que se g ∈ W . seja g ∈ W . f = c˜ f. E). existe e c vizinhan¸a de 0 na topologia σ(E . (3. u H = {f ∈ E .33 existe x ∈ E tal que ϕ. conforme quer´ ıamos demonstrar. Logo. de (3. para toda g ∈ W. isto ´. g = f − f0 . g | < α − ϕ(f0 ). para toda g ∈ W. f0 > 0. −g ∈ W . Logo. pois f ∈ V. E) resulta que W e c ´ uma vizinhan¸a de 0 nesta topologia. f0 . xi | < ε. C C ε W C := V0 . para toda f ∈ E e x = 0 pois ϕ = 0. g | < C. Por conseguinte.116 Pondo W = V − f0 . para algum x ∈ E tal que x = 0 e α ∈ R. e de (3. De fato. −g = −f + 2f0 −f0 . Sendo ϕ linear resulta que ϕ ´ e cont´ ınua em E na topologia σ(E . (3. g < α − ϕ. da desigualdade acima inferimos que | ϕ. 2 . e Portanto. f0 . E) tal que c | ϕ. x . f. Entõ.16) e dado ε > 0. E) 117 Observa¸õ 3. x∈E Recordemos que os elementos do produto cartesiano X sõ todas as fun¸oes a c˜ f : E → R. isto ´ . e Demonstra¸õ: ca Consideremos X = Xx . x = Jx (f ). notemos que prx : E → R. definimos a proje¸ao de f sobre R c˜ prx : X → R. Desta forma. O motivo ´ o seguinte: Se uma topologia possui menos abertos e tamb´m possui mais compactos. para todo x ∈ E. Com efeito. Observemos que e E ⊂ X. e s´ se. O conc junto BE = {f ∈ E . ılia e a ılia Definamos. Jx ´ cont´ o e ınua. σ(E . ainda. al´m disso. e Assim. ||x||]. x∈E . a topologia induzida pela fam´ {prx }x∈E em E ´ equivalente ` topologia induzida pela fam´ {Jx }x∈E . E). E). ılia co e a topologia menos fina sobre X que faz cont´ ınuas todas as aplica¸oes prx . para todo x ∈ E. E). prx |E ´ cont´ e ınua se. ||f ||E ≤ 1} ´ compacto na topologia fraco ∗ σ(E . x ∈ E. a restri¸õ desta topologia (produto) ` E coincide com a topologia e ca a fraco ∗ σ(E . f → prx (f ) = f. e. Ix ⊂ X. Podemos. Teorema 3. onde Xx = R. x ∈ Xx = R. Muniremos X da topologia fraca induzida pela fam´ de fun¸˜es {prx }x∈E . para todo x ∈ E e. f → prx (f ) = fx . Temos que Ix ⊂ R = Xx . Tal c˜ topologia ´ denominada topologia produto ou topologia de Tychonoff. Para cada f ∈ X. x → fx = f. prx |E = Jx . portanto.36 (Banach-Alaoglu-Bourbaki) Seja E um espa¸o de Banach. O teorema a seguir mostra que a bola unit´ria de E tem e a a propriedade de ser compacta na topologia fraco ∗.A TOPOLOGIA FRACO ∗ σ(E . isto ´. para cada x ∈ E Ix = [−||x||.35 O leitor pode estar se perguntando o porque do motivo de se ‘emca pobrecer’ as topologias. denotar X = RE e f = {fx }x∈E . fx ∈ Ix e da´ segue e ı que f ∈ I o que prova (3. i = 1. (iii) ||g0 ||E ≤ 1. ca a e Assim sendo.17) = BE . n}. para mostrarmos que BE ´ compacto nesta e e topologia em virtude de (3. x | ≤ ||f ||E ||x|| ≤ ||x||. Resta-nos provar que ⊂ BE . vizinhan¸a de g0 na topologia produto. TP (3. para toda V.17). se x ∈ E. Como I ´ compacto na topologia produto. f ∈ E e ||f ||E ≤ 1. onde BE TP = fecho de BE na topologia produto. temos que e I= x∈E Ix ´ compacto na topologia produto. · · · . ||f ||E ≤ 1} ⊂ I. Entõ. Por conseguinte.20) V ∩ BE = ∅. Vamos entõ e a provar que BE TP (3. consideraremos o seguinte resultado cl´ssico devido a Tychonoff: ‘O proa duto cartesiano de uma cole¸õ arbitr´ria de compactos ´ compacto na topologia produto’. isto ´. |prxi (g) − prxi (g0 )| < ε. (3. . como cada Ix ´ compacto em R.19) BE Consideremos g0 ∈ BE TP TP . Afirmamos que e BE = {f ∈ E . entõ a a |prx (f )| = | f. ou seja. logo |prx (f )| ≤ ||x||. prx (f ) ∈ Ix . Com efeito.18) Trivialmente temos que BE ⊂ BE . c Recordemos que uma vizinhan¸a de g0 na topologia produto ´ dada por c e V = {g ∈ X. De fato. seja f ∈ BE . Devemos mostrar que: (i) g0 : E → R ´ linear. e (ii) g0 ´ cont´ e ınua na topologia forte de E. Por outro lado. como g0 ∈ BE TP resulta que (3. −||x|| ≤ prx (f ) ≤ ||x||.118 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` No que segue. basta mostrarmos que BE ´ fechado nela.17). z ∈ {x. x ∈ E.A TOPOLOGIA FRACO ∗ σ(E . y ∈ E e ε > 0 arbitr´rios e consideremos a vizinhan¸a a c ε V = {g ∈ X. | g − g0 . E) onde ε > 0 e xi ∈ E. Consideremos. |g0 (x) + g0 (y) − g0 (x + y)| 119 ≤ |g0 (x) − f (x)| + |g0 (y) − f (y)| + |f (x + y) − g0 (x + y)| + | f (x) + f (y) − f (x + y) | ε ε ε < + + = ε. y. i = 1. f − g0 . 3 3 3 Pela arbitrariedade de ε resulta que g0 (x) + g0 (y) = g0 (x + y). z | < . de acordo com (3. V = {g ∈ X. | g − g0 . y | < |. · · · . x | < o que implica que |g0 (λx) − λg0 (x)| ≤ |g0 (λx) − f (λx)| + |λ f (x) − λ g0 (x)| + | f (λx) − λ f (x) | ε ε < + |λ| = ε. λx} . portanto.20) existe f ∈ V ∩ BE com ||f ||E ≤ 1 tal que | f − g0 . (3. λx | < . x + y}}. (3. 2|λ| 2 . | g − g0 . xi | < ε. 2 2|λ| . z ∈ {x.22) =0 ε ε e | f − g0 . | f − g0 . ou ainda. x | < . Sejam x.21) =0 Analogamente. 3 3 3 e. para todo x ∈ E e para todo λ ∈ R\{0}. n}. x + y | < . z | < min ε ε . λ ∈ R\{0} e ε > 0 e tomemos a vizinhan¸a c V = g ∈ X. de (3.20) existe f ∈ V ∩ BE com ||f ||E ≤ 1 tal que a ε ε ε | f − g0 . agora. 3 Entõ. 2 2|λ| e pela arbitrariedade de ε obtemos g0 (λx) = λ g0 (x). 21).23) o que implica que g0 ∈ E e. x | ≤ ||x||E . Entõ. obviamente do teorema acima. a | f − g0 . x | < ε + | f. Como a topologia produto coincide com e a topologia fraco ∗ σ(E . e portanto.19). basta elegermos a vizinhan¸a c ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` V = {g ∈ X. novamente pela arbitrariedade de ε conclu´ ımos que g0 (0) = 0. ||g0 ||E ≤ 1. o que implica que g0 (λ x) = λ g0 (x). Fica. existe f ∈ V ∩ BE . E). | g − g0 . a . (3.22) e (3. para todo x ∈ E e λ = 0.37 Provaremos mais adiante que se E ´ um espa¸o normado de dimensõ ca e c a infinita. BE ´ compacta na topologia produto. e f ∈ V ∩ BE .120 Se λ = 0. para todo x ∈ E. x | < ε ⇒ | g0 . x | < ε}. decorre que BE ´ compacto na topologia fraco ∗ e σ(E . Logo. Consideremos x ∈ E. 2 Observa¸õ 3. =0 e. al´m disso. e pela arbitrariedade de ε conclu´ ımos que | g0 . E) em E . a bola unit´ria nunca ´ compacta na topologia forte. z ∈ {0}}. |g0 (0)| = |g0 (0) − f (0) + f (0) | < ε. agora. x | ≤ ε + ||f ||E ||x||E ≤ ε + ||x||E . De (3.24) (3. z | < ε. | g − g0 . o que prova os itens (ii) e (iii) acima e ficando provado (3. Assim. a vizinhan¸a de g0 dada por c V = {g ∈ X. bem clara a a e fundamental importˆncia da topologia fraco ∗ σ(E . ε > 0.23) fica provado o item (i). (3. E) e. i=1 ≤ . · · · . ca o existe xε ∈ E tal que ||xε ||E ≤ 1 e | fi . · · · . xε | ≤ ε i=1 |βi | = ε ||β||Rn . x . para todo β1 . n n βi αi − i=1 n i=1 β i fi . · · · . βn ). n n (ii) i=1 βi αi ≤ i=1 β i fi E .5 Espa¸os Reflexivos c Defini¸õ 3. f1 . xε − αi | < ε |βi | ⇒ i=1 |βi αi − βi fi . onde β = (β1 . Temos. Logo. definida por Jx (f ) = f. Lema 3.39 (Helly) Sejam E um espa¸o de Banach. xε | ≤ ε||β||Rn . e | fi . por hip´tese. n. Demonstra¸õ: (i) ⇒ (ii) Sejam β1 . xε − αi | < ε. que dado ε > 0. · · · . xε ) |βi αi − βi fi . · · · .38 Seja E um espa¸o de Banach e consideremos J a inje¸õ canˆnica de ca c ca o E em E . necessitamos c˜ c e e de dois lemas. · · · . Antes. c As seguintes propriedades sõ equivalentes: a (i) Para todo ε > 0. i = 1. βn ∈ R. βn ∈ R. Assim. xε − αi | < ε. para cada i = 1. por´m. temos n n |βi | | fi . x ε ≤ i=1 n (βi αi − βi fi . fn ∈ E e α1 . αn ∈ R.ESPACOS REFLEXIVOS ¸ 121 3. e Quando E for reflexivo se identificam implicitamente E e E . · · · . Dizemos que E ´ reflexivo se J(E) = E . n. atrav´s do isomorfismo e J. i = 1. Uma caracteriza¸ao dos espa¸os reflexivos ´ dada a seguir. existe xε ∈ E tal que ||xε || ≤ 1. para todo x ∈ E e para toda f ∈ E . n. · · · . Note que se x ∈ BE temos que −x ∈ BE e. x < γ < i=1 i=1 βi αi . Logo. x ) . pela 2a Forma Geom´trica do Teorema de Hahn-Banach. xε + ε||β||Rn βi fi ||E ||xε ||E + ε||β||Rn i=1 n ≤ || ≤ || i=1 βi fi ||E + ε||β||Rn . Note que a propriedade (i) expressa que α ∈ ϕ(BE ) . Entõ. entõ (ii) verdadeira. (ii) ⇒ (i) Definamos α = (α1 . βn ) ∈ Rn e γ ∈ R tais que β · ϕ(x) < γ < β · α. n n ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` βi αi i=1 ≤ i=1 n βi fi . ou ainda. fn . x = i=1 βi fi . portanto. e raciocinemos por contradi¸õ. que a ca α ∈ ϕ(BE ) . · · · . x i=1 <γ< i=1 βi αi . x . −x < γ. Pela arbitrariedade de ε segue o desejado. donde conclu´ ımos que n n β i fi i=1 E ≤γ< i=1 βi α i . existe β = (β1 . onde BE = {x ∈ E. para todo x ∈ BE . ca definida por ϕ(x) = ( f1 . ex/ a e iste um hiperplano no Rn que separa estritamente {α} e ϕ(BE ) . x ≤γ< i=1 βi αi . Suponhamos. ||x||E < 1}. n n Rn Rn Rn βi fi . · · · . ou seja. ou seja. . para todo x ∈ BE . · · · .||x||E ≤1 i=1 βi fi . n n n n β i fi . da desigualdade acima resulta que n n − i=1 βi fi . para todo x ∈ BE ⇒ sup x∈E. αn ) ∈ Rn e consideremos a aplica¸õ ϕ : E → Rn .122 ou seja. seja. Lembremos. dada ξ ∈ BE . f → Jf . Da´ e do fato de BE ser convexo e fechado na topologia fraco ∗ ca ı σ(E . inicialmente. que σ(E . a ξ ∈ BE e V uma vizinhan¸a de ξ na topologia σ(E . Mostraremos que (3. provaremos que para toda uma vizinhan¸a V de c ξ na topologia fraco ∗ σ(E . Demonstra¸õ: ca Observe. definida por Jf (ξ) = ξ.4: Inje¸oes isom´tricas c˜ e Notemos que J(BE ) ⊂ BE onde. o a que prova a afirma¸õ. Com efeito. E ) tem-se que V ∩ J(BE ) = ∅. x para toda f ∈ E . f . E ) ´ a topologia fraco ∗ definida e sobre E .E ) ⊂ BE = BE σ(E . Em outras palavras. J(E ) ≡ E . pois se x ∈ BE . onde considerando a aplica¸ao c˜ J : E → E . entõ. . ainda. i = 1.E ) . isto ´. que J e E '$ E BE &% J(BE ) &% Figura 3. 2 123 Lema 3. | η − ξ.E ) σ(E . Entõ J(BE ) ´ denso em BE c a e para a topologia σ(E . · · · . c V = {η ∈ E . E ). J : E → E . fi | < ε. ficando provado o lema. J E J E '$ com E . resulta que J(BE ) σ(E .ESPACOS REFLEXIVOS ¸ o que contraria (ii). E ). para toda ξ ∈ E . n}.40 (Goldstine) Seja E um espa¸o de Banach. entõ sendo J isometria resulta que ||Jx ||E = ||x||E ≤ 1. ou seja. x → Jx tal que Jx (f ) = f. estamos identificando J(E ) ⊂ E ´ uma isometria pois e ||Jf ||E = ||f ||E .25) J(BE ) ⊃ BE . para toda f ∈ E . E ). de acordo com a proposi¸ao 3. fi | < ε. conforme quer´ ıamos demonstrar. | fi . fi | < ε. em virtude do Lema de Helly. Entõ. n. n. pois 1 ≥ ||y||E = ||Jx ||E = ||x||E . · · · . que existe Jx ∈ BE tal que x ∈ J(BE ) ∩ V . 2 Teorema 3. Da desigualdade acima resulta. e Demonstra¸õ: (⇒) Suponhamos E reflexivo. portanto. onde αi = ξ. E )) ´ cont´ e ınua. a reflexividade de E implica que J(BE ) = BE . pois toda fun¸ao cont´ c˜ ınua leva conjuntos compactos em conjuntos compactos. ou seja. Devemos mostrar que existe x ∈ BE tal que Jx ∈ V .124 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` onde fi ∈ E e ε > 0. entõ. ou ainda. | fi . c a e BE = {x ∈ E. ||x||E ≤ 1} ´ compacta na topologia fraca σ(E. Entõ. e | Jx − ξ. basta mostrar que J −1 : (E . σ(E. Seja. Pelo Teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki. · · · . E )) ´ cont´ c˜ e ınua.7. β = (β1 . . n. Como BE = J −1 (BE ). fi = ξ. βn ) ∈ Rn . a a n n n n n βi α i = i=1 i=1 βi ξ. i = 1. se y ∈ BE temos que y = Jx . J −1 : (E . · · · . · · · . E ´ reflexivo se. isto ´. Agora. ou seja J(BE ) ⊂ BE . σ(E . x − ξ. E )) → (E. i=1 βi fi ≤ ||ξ||E ≤1 i=1 β i fi E ≤ i=1 β i fi E . σ(E. E )) → (E. i = 1.41 Seja E um espa¸o de Banach. e somente se. BE ´ compacta na topologia fraco ∗ e σ(E . Assim. E ). do fato ca a de ||Jx ||E = ||x||E resulta que x ∈ BE ⇒ Jx ∈ BE . σ(E . x − αi | < ε. para algum x ∈ BE . i = 1. Entõ J(E) = E e. fi . o que implica que BE ⊂ J(BE ). De fato. E ). E )) → (E. E )) → R ´ cont´ e ınua.27) ∈ BE e de (3. E )) ´ cont´ e ınuo. ou seja.25. vem. pelo lema de Goldstine. J −1 (ξ) = f. E ). Entõ. E )) → (E . como J(BE ) ´ fechado. e J(BE ) σ(E . γ = a que γ = Jx . isto ´.26) existe x ∈ BE tal . Notemos que (f ◦ J −1 )(ξ) = f. pelo e teorema 3. e somente se.ESPACOS REFLEXIVOS ¸ 125 se. conseqëntemente a compacidade da bola BE na u topologia fraca σ(E. temos que e J(BE ) ´ denso em BE na topologia σ(E . E ). x = Jx . σ(E . f = ξ. ou seja.26) (3. para toda ξ ∈ E . Como e J : (E. (⇐) Reciprocamente. || · ||E ). suponhamos que BE ´ compacta na topologia σ(E. Por outro lado. (posto que ´ compacto) na topologia σ(E . σ(E. u 2 . f . onde c˜ Jf : E → R. c˜ Al´m disso. σ(E. σ(E . E ) resulta e e que J(BE ) = BE . fica provado a (3. E ). Mas. o que implica que E ⊂ J(E) (j´ que 0 ∈ J(E)). Como σ(E . E ). Com efeito. E ). σ(E . torna cont´ ınua todas as aplica¸oes {Jf }f ∈E . ( observe que ξ = Jx . f ◦ J −1 : (E . resulta que J(BE ) o e ´ compacta na topologia σ(E . BE ´ compacta na topologia σ(E. E ) resulta imediatamente que J : (E. σ(E . σ(E. o que prova a continuidade de J −1 : (E . Afirmamos que J(E) = E . isomorfismo canˆnico ´ cont´ o e ınuo (J ´ isometria). E )) e. Como. que J : (E. e como E est´ munido da topologia fraco ∗ σ(E . E ) ⊂ σ(E . J||ξ||E = ξ. σ(E . f . Do exposto acima. x ∈ E pela sobrejetividade da aplica¸ao J : E → E ). E )) → R ´ cont´ c˜ e ınua.E ) = BE . Pondo y = ||ξ||E x ∈ E vem que ξ = Jy .27) e conseqëntemente o teorema. || · ||E ) → (E . E )) ´ tamb´m e e cont´ ınuo. E e munido da topologia fraco ∗ σ(E . ξ → Jf (ξ) = ξ. temos a que a fun¸ao f ◦ J −1 : (E . E )) → (E . seja ξ ∈ E \{0}. E ). por hip´tese. para toda f ∈ E . Jx = e ξ ||ξ||E ξ ||ξ||E x (3. Como J(E) ⊂ E . E ). a dado g ∈ E . como BE e M sõ convexos. que BM ´ compacta na topologia fraca σ(M. E ) ∩ M coincidem. · · · . E ). M . em virtude do teorema 3. temos que M . Basta mostrar.126 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Observa¸õ 3. i = 1. Assim.44 Seja E um espa¸o de Banach. e somente se. ´ um espa¸o de Banach a e c reflexivo. | gi . V = {x ∈ M .43 Sejam E um espa¸o de Banach reflexivo e M ⊂ E um subespa¸o ca c c vetorial fechado. Por hip´tese. entõ f = g|M ∈ M . n} ( onde fi ∈ M e ε > 0) = {x ∈ M . A rec´ ıproca ´ an´loga. x − x0 | < ε. n} ∩ M ( onde gi ∈ E e ε > 0) = V0 ∩ M. i = 1. x − x0 | < ε. lineares e cont´ ınuas }) e σ(E. x − x0 | < ε. M ). n} ( onde gi ∈ E . que BM = BE ∩ M ´ compacta na topologia σ(M. Resta-nos mostrar que M ´ reflexivo. Como BM ⊂ BE e BE ´ compacta na topologia fraca σ(E. J(E) = E e pelo Teorema de e o . E )( em e virtude da reflexividade de E) e BM ´ a´ fechada. M ). gi |M = fi e ε > 0) = {x ∈ E. munido da topologia induzida por E.41. E ) ∩ M coincie a dem. i = 1. provaremos que as topologias σ(M. Por outro lado. Sejam x0 ∈ M e V ∈ σ(M. E ). ou seja. vizinhan¸a de x0 na a c topologia fraca.15 temos que existe g ∈ E tal que g|M = f . | fi . munido da norma induzida e por E ´ um espa¸o de Banach. seja f ∈ M . Entõ.42 Evidentemente os espa¸os de dimensõ finita sõ reflexivos. M ).21 conclu´ e ımos que BM ´ fechada na topologia e fraca σ(E. resulta que BM ´ compacta na topologia e ı e fraca σ(E. ou equivalentemente. e 2 Corol´rio 3. Logo. Com efeito. E )|M = σ(E.41. em virtude do teorema 3. | gi . o que prova que as topologias σ(M. E ). resulta que BM e a ´ convexa. · · · . Al´m disso. E ) de E. M ) (topologia induzida pelas fam´ {f : ılia M → R. ca c a a Proposi¸õ 3. com V0 ∈ σ(E. de acordo e c e com o Teorema 3. que BE ´ compacta na topologia σ(E . E ´ reflexivo se. Demonstra¸õ: ca Como M ⊂ E ´ fechado. Como BM = BE ∩ M e BE e M sõ fechados na topologia forte de E vem que BM ´ a e fechada na topologia forte de E. E ´ a c e e reflexivo. Pelo corol´rio 1. Demonstra¸õ: ca (⇒) Seja E reflexivo. M ) e σ(E. · · · . e Antes. a e Demonstra¸õ: Sendo E reflexivo temos. E ) e. E) ≡ e σ(E . como K ´ convexo e fechado na e e topologia forte de E resulta.46 Sejam E um espa¸o de Banach reflexivo. Como J(E) se identifica com E atrav´s c˜ e e do isomorfismo J. s. e c Com efeito. ou seja. BE ´ compacta na topologia σ(E . (⇐) Consideremos E reflexivo. E ) vem que K ´ compacto na topologia fraca e e σ(E.45 Sejam E um espa¸o de Banach reflexivo e K um subconjunto convexo. x∈A Entõ. pela proposi¸ao 3. pela continuidade da aplica¸õ J.21 que K ´ fechado na topologia e fraca σ(E. A ⊂ E um conjunto convexo. a c fechado e limitado de E. E ). em virtude do teorema 3. existe x ∈ E tal que xn → x fortemente e em E e. Sendo K fechado e e m BE ´ compacto na topologia fraca σ(E. Jxn → Jx fortemente em E .41 que a bola BE ca ´ compacta na topologia fraca σ(E.28).ESPACOS REFLEXIVOS ¸ 127 Alaoglu temos que BE ´ compacta na topologia fraco∗ σ(E . Assim. seja y ∈ J(E) ||·||E (3. Como. E ). Entõ K ´ compacto na topologia fraca σ(E. E ). Pelo que acabamos de provar E ´ reflexivo. .i.c. atrav´s e e do isomorfismo J : E → E . {Jxn }n∈N ´ de Cauchy em E e como ||Jx||E = ||x||E resulta que e {xn }n∈N ´ de Cauchy em E. e 2 Corol´rio 3. Sendo E Banach. existe m ∈ N tal que K ⊂ m BE . ϕ = +∞ (nõ a ca a identicamente +∞) e tal que lim ϕ(x) = +∞ ( se A for limitado se omite tal hip´tese). E) de E . identificamos E com J(E) ≡ E .28) . o que conclui a prova.43 deduzimos que J(E) ´ reflexivo. Entõ. E ). de acordo com o teorema 3. portanto. c fechado e nõ vazio e ϕ : A →] − ∞. Isto encerra a prova. +∞] uma fun¸õ convexa. segue que E ´ reflexivo. o ||x||→+∞. Afire mamos que J(E) ´ subespa¸o fechado de E .. Logo. decorre que σ(E . existe x0 ∈ A tal que ϕ(x0 ) = minx∈A ϕ(x). Por outro lado. ϕ atinge seu m´ a ınimo em A. existe {xn }n∈N ⊂ E tal que Jxn → y em E a fortemente. 2 Teorema 3. E ). Pela unicidade ca do limite conclu´ ımos que y = Jx ∈ J(E). o que prova o desejado em (3. Como K ´ limitado. Sejam E e F espa¸os de Banach a c˜ c e A : D(A) ⊂ E → F um operador linear nõ limitado com D(A) = E. Logo. em virtude do lema 1. o desejado em (3. ϕ) nõ seja limitado. N (λ0 . Logo. Como D(v ◦ A) = D(A). ϕ). por hip´tese. ϕ) ⊂ A. que N (λ0 . em virtude dos lemas 1.i. Assim. isto ´. ıvel e N (λ0 . ϕ) e tal que ϕ(x0 ) ≤ ϕ(x). Como x0 ∈ A. ϕ(x) ≤ λ0 }. Resulta da´ do fato que ϕ e ı. ou seja. ca e temos que v ◦ A ´ uma forma linear limitada com dom´ denso em E.i. ϕ) tal que ||xn || → +∞ quando n → +∞.42 que N (λ0 . e A∗ : D(A∗ ) ⊂ F → E .6.29) Se A for limitado. ϕ) ´ e e convexo e fechado. ϕ) tal que ϕ(xn ) ≤ λ0 .29). a suponhamos. resulta que ϕ(x0 ) = minϕ(x). o que ´ uma contradi¸õ.c. existe {xn }n∈N ⊂ ca a a N (λ0 . v ◦ A ´ limitado } . existe a ∈ A tal que ϕ(a) = λ0 < +∞. . ϕ) = {x ∈ A. E ). ϕ) ´ limitado. para todo x ∈ A. v → A∗ v = fv . ϕ(x0 ) ≤ ϕ(x). para todo x ∈ N (λ0 . ϕ)). e (3. Como ϕ ´ convexa e s. x∈A lim ϕ(x) = +∞. Entõ. x∈A ||x||→+∞. que existe x0 ∈ N (λ0 .45 e a resulta que N (λ0 . ´ s. provando o e ca 2 Antes de enunciarmos o pr´ximo resultado. Al´m disso. existe um e ınio unico prolongamento fv de v ◦ A a todo E. relembremos o conceito de adjunto de um o operador linear nõ limitado introduzido na se¸ao 2. Mas. na topologia fraca σ(E. Definamos ´ D(A∗ ) = {v ∈ F . Existe {xn }n∈N ⊂ N (λ0 .128 Demonstra¸õ: ca ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Pelo fato de ϕ = +∞.39. e. Isto conclui a prova. ϕ) ´ um conjunto convexo. ϕ) ´ compacto na topologia fraca σ(E. Se A nõ for limitado. se x ∈ A\N (λ0 . ϕ) vem que e ϕ(x) > λ0 ≥ ϕ(x0 ) (x0 ∈ N (λ0 . Pelo corol´rio 3. nada temos a provar posto que N (λ0 . fechado e limitado de E. para todo n ∈ N e ||xn || → +∞.33 e 1. temos.c. provaremos que N (λ0 . A seguir. por contradi¸õ. Consideremos o conjunto de n´ associado a λ0 . E ). Consideremos a v ∈ F tal que a composi¸õ v ◦ A ´ uma forma linear limitada. ϕ)}. temos e = 0. ξ ◦ A∗ ´ limitado } . e (ii) A∗∗ = A. fechado e com D(A) = E. Entõ o c˜ a e a ponto (0. u + v. Au) → Φ(u. desta forma. existem (f. nõ limitado.29. v = ξ. um hiperplano fechado em E × F que separa estritamente G(A) e {(0. ϕ) ∈ G(A) pois A0 = 0. e A∗∗ : D(A∗∗ ) ⊂ E → F .30) que ϕ se identifica com um elemento de F pelo isomorfismo J e. ou seja. Au) = f. u + v. para todo ξ ∈ D(A∗∗ ) e v ∈ D(A∗ ). a rela¸ao de adjun¸ao c˜ c˜ A∗ v.F ϕ ∈ F tal que ϕ. / e o e c (em virtude da linearidade de A). podemos definir A∗∗ da seguinte forma D(A∗∗ ) = {ξ ∈ E . que ϕ = 0 (nõ ´ identicamente nula). A∗ v . existe. Afirmamos que (3. ϕ . para todo v ∈ D(A∗ ). Temos ainda que A∗∗ ξ. Entõ: a a (i) D(A∗ ) ´ denso em F . v) ∈ E × F e α ∈ R tais que f. Au . Como G(A) ´ fechado.47 Sejam E e F espa¸os de Banach reflexivos e A : D(A) ⊂ E → F um c operador linear. De fato. podemos entõ dizer que ϕ ∈ F . ϕ a F . a a F . ainda. entõ. Seja. v. (3. ξ → A∗∗ ξ = fξ .ESPACOS REFLEXIVOS ¸ Temos. Au < α < v. u = v. e G(A) ´ subspa¸o. Demonstra¸õ: ca (i) Para mostrar este item usaremos o corol´rio 1. por hip´tese. Como F ´ reflexivo. para todo v ∈ D(A∗ ) ⊂ F . em decorrˆncia da 2a Forma Geom´trica do e e Teorema de Hahn-Banach. Au .31) . Se D(A∗ ) = F . 129 Teorema 3. Definamos Φ : G(A) ⊂ E × F → R (u.F ϕ ≡ 0 em F. por contradi¸ao. Logo. v = 0. suponhamos. para todo u ∈ D(A). para todo v ∈ D(A∗ ) e u ∈ D(A). Au) < α. que ´ um subespa¸o vetorial. v]. para todo u ∈ D(A) e 0 < α < v. Φ ≡ 0 em G(A). . Resulta da´ que ı F . (ii) Pelo ´ ıtem (i) faz sentido definirmos A∗∗ : D(A∗∗ ) ⊂ E → F . J([v. a Entõ. Das rela¸oes acima conclu´ c˜ ımos que v ∈ D(A∗ ). para todo v ∈ D(A∗ )} . e como A∗ : D(A∗ ) ⊂ F → E ´ um operador linear nõ limitado tal D(A∗ ) = F podemos e a escrever J(G(A∗∗ )) = G(A∗ )⊥ .29) dada por c˜ J : F × E → E × F . Φ(u. Au . ϕ . J([v.130 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Como Φ ´ uma forma linear definida sobre G(A). ϕ ca D(A∗ ) em F . A∗ v. y] ∈ E × F . y] ∈ E × F . em fun¸ao da reflexividade E ≡ E e F ≡ F . entõ. A∗ v = −f e v. v]. Al´m disso. G(A∗ )⊥ = {[x. a J(G(A∗ )) = G(A)⊥ . v]. para todo v ∈ D(A∗ ). temos c˜ J : E × F → F × E. o que prova a densidade de = {[x. ou ainda. em virtude de (3. [−A∗ v. para todo v ∈ D(A∗ )} . [−A∗ v. y] ∈ F × E. Resulta da´ que a ı −f. [x. v = 0. para todo v ∈ F . e tal e e c que. E ≡ E e F ≡ F . pela reflexividade. [x. y . para todo v ∈ D(A∗ )   ≡E ×F F .F = 0. ϕ = 0. y] = 0. Isto prova (3. ϕ. v]. pois. e [J(G(A∗ ))]⊥     = [x. o que ´ uma e contradi¸õ pois v.30). f ]) = [−f.31). Analogamente. Por outro lado. y] = 0. x = v. Consideremos a aplica¸ao J definida em (2.F ϕ ≡ 0 em F . f ]) = [−f. u = v. e A : D(A) ⊂ E → F um operador linear nõ limitado tal que D(A) = E. 2 3. [y.48 Dizemos que um espa¸o topol´gico E ´ separ´vel se existe um conjunto ca c o e a D ⊂ E enumer´vel e denso em E.32) e das rela¸oes acima que c˜ G(A) = G(A)⊥ ⊥ ⊥ (3. y = 0. Por conseguinte. v]. = [J(G(A∗ ))]⊥ = J G(A∗ )⊥ = J ◦ J (G(A∗∗ )) = −G(A∗∗ ) = G(A∗∗ ). pelo teorema de Weirstrass. a Equivalentemente. o que prova que [J(G(A∗ ))]⊥ = J G(A∗ )⊥ . como G(A) ´ fechado. [x.6 Espa¸os Separ´veis c a Defini¸õ 3. mais geralmente. y] ∈ J G(A∗ )⊥ . D(A) = D(A∗∗ ) e A ≡ A∗∗ . −x] ∈ G(A∗ )⊥ ⇔ [x. portanto e G(A) = G(A) = G(A)⊥ segue de (3. A∗ v].32) . para todo v ∈ D(A∗ ) [v. b) munido da norma do supremo pois. toda fun¸ao cont´ c˜ ınua pode ser aproximada por polinˆmios de coeficientes reais e estes por polinˆmios de coeficientes o o racionais. y] ∈ [J(G(A∗ ))]⊥ ⇔ ⇔ ⇔ [−A∗ v. e. Rn pois Qn = Rn . para a c a n = 1. dizemos que E ´ separ´vel se existe uma seq¨ˆncia {xn }n∈N ⊂ E e a ue tal que {xn }n∈N = E. para todo v ∈ D(A∗ ) 131 ⇔ [y. y] = 0. para todo v ∈ D(A∗ ) −A∗ v. =−I Portanto. [x.´ ESPACOS SEPARAVEIS ¸ Assim. . · · · . o que conclui a prova. Um outro exemplo interessante ´ o espa¸o das fun¸oes cont´ e c c˜ ınuas C(a. Sõ exemplos de espa¸os separ´veis: R ou. x + v. −x] = 0. 2. Assim. Com efeito. an ∈ (X\A). Afirmamos que B2ρ/3 (xn ) ⊂ Bρ (x). xn ) < a d(y. para todo n ∈ N} ´ uma base para a fam´ de abertos de E. onde 2ρ ∈ Q.33). o que conclui a prova. d(y. An / (X\A).36) o que implica que 2ρ ρ + = ρ ⇒ y ∈ Bρ (x). existe n ∈ N tal que a xn ∈ Bρ/3 (x). entõ. por contradi¸õ.33) De fato. entõ existe uma a base enumer´vel {An }n∈N para a topologia de X (reveja se¸õ 3. como A ⊂ A e A ∩ (X\A) = ∅. Bρ (x) ⊂ U . o que prova ı 3 o desejado em (3. Afirmamos que X\A = ∅. sejam U um aberto de E e x ∈ U .49 Todo espa¸o topol´gico X que satisfa¸a ao 20 Axioma da Enumerabica c o c lidade ´ separ´vel. Para cada n ∈ N. Entõ. resulta que A ∩ (X\A) = ∅. 3 (3. portanto.132 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Proposi¸õ 3. para todo n ∈ N. Entõ. Segue da´ que x ∈ B2ρ/3 (xn ) ⊂ Bρ (x) ⊂ U .34) ficando provado (3. suponhamos. para todo n ∈ N e. e a Demonstra¸õ: ca Se X satisfaz ao 20 Axioma da Enumerabilidade. 2 . Entõ. Como X\A ´ aberto e ca a e por ser {An } uma base. (3.1). Como {xn }n∈N = E.35) (3. para todo x ∈ X\A existe Anx ∈ An tal que a x ∈ Anx ⊂ X\A. existe r > 0 tal que Br (x) ⊂ U . Logo. (3. rn > 0 tais que rn ∈ Q. Entõ. Provareca a mos que: {Brn (xn ).35). a ca escolhamos an ∈ An e definamos A = {an }n∈N .50 Seja E um espa¸o m´trico separ´vel. e ılia De fato. a Seja ρ ∈ Q com 0 < ρ < r. ı (3. Demonstra¸õ: Seja {xn }n∈N ⊂ E um subconjunto enumer´vel e denso em E. x) ≤ d(y. x ∈ Bρ/3 (xn ) ⊂ B2ρ/3 (xn ).36). E satisfaz o 20 Axioma ca c e a a da Enumerabilidade. o que contraria 2 Proposi¸õ 3. que (3. 3 3 o que prova (3. xn ) < 2ρ .34) Por outro lado.33) nõ ocorra. xn ) + d(x. Resulta da´ que A = X. seja y ∈ B2ρ/3 (xn ). com a m´trica induzida de E. onde A ´ aberto de E. a e Assim. ´ um espa¸o m´trico que satisfaz ao 20 Axioma e e c e da Enumerabilidade e.38) .53 Seja E um espa¸o de Banach. Entõ. pela proposi¸ao 3. e a (3. ca ca a e a c o ou seja. sejam U aberto de F e x ∈ U . temos que. F . Proposi¸õ 3. e a Demonstra¸õ: Como E ´ um espa¸o m´trico separ´vel. Tamb´m. Afirmamos que: a {Bn }n∈N .50 ca e c e a c˜ que E satisfaz ao 20 Axioma da Enumerabilidade e. onde Bn = An ∩ F. e 1 ||fn ||E < | fn . xn | ≤ ||fn ||E . existe uma seq¨ˆncia {fn }n∈N ⊂ E tal que e a ue {fn }n∈N = E . ´ separ´vel. por conseguinte. x ∈ An ∩ F ⊂ A ∩ F = U. Entõ ca c e a a F ´ separ´vel. c e a a e a Demonstra¸õ: ca Como E ´ separ´vel.51 A proposi¸õ acima nõ ´ v´lida para espa¸os topol´gicos em geral. entõ E ´ separ´vel.37). Se E ´ separ´vel.52 Seja E um espa¸o m´trico separ´vel e F um subconjunto de E. e pela defini¸ao de supremo. existe {An }n∈N uma base enumer´vel de abertos de E. ´ uma base enumer´vel de abertos de F. portanto.´ ESPACOS SEPARAVEIS ¸ 133 Observa¸õ 3. Por outro lado. Assim. pelo fato de e ||fn ||E = sup x∈E. e a 2 Teorema 3. existem espa¸os topol´gicos separ´veis que nõ satisfazem ao 20 Axioma da Enuc o a a merabilidade. c˜ e al´m disso. existe xn ∈ E tal que ||xn || = 1.||x||=1 | fn .37) De fato. x ∈ A e x ∈ F . para cada n ∈ N. existe n ∈ N tal que x ∈ An ⊂ A e. 2 (3. temos. desta forma. x ∈ U = A ∩ F . x | . =Bn o que prova (3. 40). de elementos de {xn }n∈N . · · · . com coeficientes em Q. αn )||Rn < o que ´ poss´ j´ que Qn = Rn . que f. Com efeito. L0 = e u e a e (3. Al´m disso. n ||y − y0 ||E = i=1 (ri − αi )xi ≤ i=1 |ri − αi | ||xi ||E < n =1 ε = ε. · · · . e (3. isto ´. x = 0. a aplica¸ao c a c˜ Φ : Λ n → Qn x → (α1 .40) teremos e que L0 ´ denso em E. xn } com coeficientes em Q. seja f ∈ E tal que f. Devemos mostrar que existe y0 ∈ L0 tal que ||y − y0 ||E < ε. xn ] o subespa¸o gerado por {x1 . portanto. · · · . Segue da´ que e ıvel a ı n n n i=1 αi xi . Sejam ε > 0 e ε . y = (r1 . e a Com efeito. Afirmamos co que: L0 ´ enumer´vel. Entõ.40) De fato. de acordo com corol´rio 1.134 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Seja L0 o espa¸o vetorial sobre Q gerado pelos {xn }n∈N . rn ) ∈ Qn tais que ||(r1 .39) αi xi Λn . αi ∈ R. e conseqëntemente Λn ´ enumer´vel. L o espa¸o vetorial sobre R gerado pelos {xn }n∈N . · · · . o que prova n∈N ´ bijetora. n o que prova (3. L0 ´ o conjunto das c e e combina¸˜es lineares finitas. para ε > 0 dado. a seguir. que L ´ denso em E e. Mostraremos. Para e concluir o desejado devemos mostrar. · · · . como y ∈ L. para a . Com efeito. seja Λn = [x1 . Afirmamos c que L0 ´ denso em L. αn ) onde x = n i=1 (3. rn ) − (α1 . a e a a a Consideremos. em virtude de (3. x = 0 para todo x ∈ L. seja y ∈ L. agora. · · · .29.39) j´ que L0 ´ dado pela uniõ enumer´vel de conjuntos enumer´veis. reciprocamente. x n | ≤ | fn − f.44 resulta que E ´ reflexivo. Logo. 2 (3. Temos que Lp (Ω) ´ separ´vel para 1 ≤ p < +∞.41) e (3. aberto. 1 ≤ p < +∞. considerea e e a a e a mos os espa¸os Lp (Ω). f = 0. E ´ reflexivo e separ´vel se e a c a e a somente se E ´ reflexivo e separ´vel. Pela arbitrariedade de ε > 0 segue que ||f ||E ≡ 0. existe n0 ∈ N tal que ||fn0 − f ||E < ε. Temos. Contudo. e a Demonstra¸õ: ca (⇐) Suponhamos que E ´ reflexivo e separ´vel.53 segue que E ´ reflexivo e separ´vel. o que prova o desejado. Isto conclui a prova do teorema. e e a e a 2 . o que conclui a prova.pois xn ∈L 135 (3. a e a Corol´rio 3. ca nõ ´ sempre verdade que se E ´ separ´vel entõ E ´ separ´vel. de (3.38) que 1 ||fn ||E 2 < | fn .53 vem entõ que E ´ separ´vel. isto ´.´ ESPACOS SEPARAVEIS ¸ todo x ∈ E.55 Seja E um espa¸o de Banach. E ≡ E e como E ´ separ´vel E e e a tamb´m o ´. que E seja reflexivo e separ´vel. Pelo teorema 3. Por exemplo. de (3. c e a Na demonstra¸õ utiliza-se que C0 (Ω) ´ denso em Lp (Ω). Pela densidade de {fn }n∈N em E . Pelo corol´rio a a 3. Sendo E reflexivo. Como [L1 (Ω)] ≡ L∞ (Ω) temos que L1 (Ω) ´ separ´vel enquanto que a e a e a [L1 (Ω)] ≡ L∞ (Ω) nõ ´ separ´vel. o que implica que ||f ||E ≤ ||f − fn0 ||E + ||fn0 ||E < ε + 2ε = 3ε. ou seja. e a (⇒) Suponhamos. L∞ (Ω) c co ı nõ ´ separ´vel.44 e e a a pelo teorema 3.42) resulta que ||fn0 ||E < 2ε. Pelo corl´rio 3. para todo n ∈ N.42) ı a e e Observa¸õ 3. Ω ⊂ Rn . xn | =0. Entõ.41) ≤ ||fn − f ||E ||xn ||E ≤ ||fn − f ||E . xn | + | f.54 Notemos que a rec´proca do Teorema anterior nõ ´ verdadeira. onde C0 (Ω) ´ ca e e o espa¸o das fun¸˜es contńuas com suporte compacto contido em Ω. =1 Seja ε > 0. E) sobre BE . E). g) = n=1 1 | f − g. n}. e a a e a Demonstra¸õ: ca seguinte aplica¸ao: c˜ d : BE × BE → R+ +∞ (⇒) Seja {xn }n∈N um subconjunto enumer´vel e denso em BE (este a conjunto ´ obtido interceptando-se o conjunto existente para E com BE ). (3. E). Como {xn }n∈N ´ denso em BE . Definimos a e (3. ·) define claramente uma m´trica (verifique tal fato). para cada i ∈ {1. (a) Sejam f0 ∈ BE e V uma vizinhan¸a de f0 em BE na topologia σ(E . onde zi ∈ BE e ε > 0. 2n (f. · · · . ·) est´ bem definida. | f − f0 .136 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Teorema 3. existe uma m´trica definida sobre e a e e e BE tal que a topologia induzida pela m´trica coincide com a topologia fraco∗ σ(E . g) → d(f. · · · . xn | ≤ ||f − g||E 2n +∞ n=1 1 < +∞. Com efeito. ||f ||E ≤ c a a 1} ´ metriz´vel para a topologia fraco∗ σ(E .44) Podemos supor. d(f.43) 1 | f − g. xn | ≤ ||f − g||E ||xn ||E ≤ ||f − g||E . pois a | f − g. zi | < ε. i = 1. f0 ) < r} ⊂ V.56 Seja E um espa¸o de Banach separ´vel. entõ. n}. que V c˜ ´ da forma e V = {f ∈ BE . e Mostraremos que a m´trica acima induz em BE uma topologia coincidente com e σ(E . E ´ separ´vel. xn | . isto ´. o que implica que +∞ d(f. existe ni ∈ N tal que e ε ||zi − xni ||E < . sem perda da generalidade (de acordo com a proposi¸ao 3.29).45) . BE = {f ∈ E . 2n • d(·. Entõ. g) = n=1 • d(·. se BE ´ metriz´vel para σ(E . Provarec mos que existe r > 0 tal que U = {f ∈ BE . E). E). 4 (3. Reciprocamente. | f − f0 . · · · . para todo n ∈ N. a +∞ r > d(f. n. · · · .47) (3.48) e k ∈ N suficientemente grande tal que k +∞ 1 2k−1 r < 2 . f0 ) < r. tomemos V da forma V = {f ∈ BE . k}.44). ε 0 < r < ni +1 . (b) Sejam f0 ∈ BE e r > 0. E). ou seja. xi | < ε. (3. x n | + | f − f0 . f ∈ U . De fato. n 2 2 o que implica que | f − f0 . d(f. se f ∈ V . f0 ) = n=1 1 1 | f − f0 . f0 ) < r}. e consequentemente. f0 ) = n=1 k 1 1 | f − f0 . x n i | < ||f − f0 ||E ||zi − xni ||E + r2ni ε ε ≤ (||f ||E + ||f0 ||E ) + 4 2 ε ε < + = ε. Assim. Tome i ∈ {1.45). 2 2 o que prova que f ∈ V . e Entõ. z i − xn i | + | f − f 0 . · · · . n}. z i | ≤ | f − f 0 . Entõ. com r > 0 acima definido.46) 2 e consideremos f ∈ BE tal que d(f. temos d(f. isto ´. Demonstraremos que existe uma vizinhan¸a V uma c vizinhan¸a de f0 em σ(E . para todo i = 1. de (3.47) resulta que a | f − f 0 . · · · . tal que c V ⊂ U = {f ∈ BE .46) e (3. xn | . para todo n ∈ N. 2 2 . fica provado (3. i = 1. n. xn | < r2n .´ ESPACOS SEPARAVEIS ¸ 137 ε Seja r > 0 tal que 2ni +1 r < 2 . x n | n 2 2n n=k+1 1 1 + ||f − f0 ||E ||xn || 2n n=k+1 2n ≤2 ≤1 +∞ < ε n=1 +∞ < ε n=1 1 2 + n 2 2n n=k+1 +∞ +∞ ≤ ε+ n=k+1 1 2n−1 =ε+ 1 2k−1 < r r + = r. onde 0 < ε < r 2 ≤1+1 (3. xn | ≥ n | f − f0 . (3. para todo i = 1. 0) < 1 .48).50) D= n=1 Φn ´ enumer´vel pois ´ a uniõ enumer´vel de conjuntos finitos. Observemos que e +∞ (3. E). Sejam a Un = {f ∈ BE . seja qual for o n ∈ N. Podemos supor c ainda. d(f. para todo x ∈ Φn }. Seja L0 o subespa¸o gerado por D sobre Q. onde Φn ⊂ E ´ um conjunto finito e εn > 0. a a e a Portanto. n o que prova (3. (3. Entõ. onde n∈N Ln = i=1 αi xi .49). para cada n ∈ N. Afirmamos que L = E. segue que se L ´ o subespa¸o e a e e c gerado por D sobre R. e a e a a e +∞ Vn = {0}. suponhamos BE metriz´vel para a topologia σ(E . como Q ´ denso em R.49) e Vn uma vizinhan¸a de 0 em σ(E . e a (⇐) Reciprocamente.52) . temos que L0 = L.138 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` o que prova o desejado em (3.53) (3. xi ∈ D e αi ∈ Q . entõ a n=1 Vn ⊂ n=1 Un = {0}. x | < εn . Al´m disso. De (a) e (b) conclu´ ımos que BE ´ metriz´vel. ∀n ⇒ f ≡ 0. como visto anteriormente. pois de (3.51). L0 ´ enumer´vel. | f.51) Com efeito. 0) < 1 } n (3. L0 = c a n Ln . n=1 (3. Ainda. Vn = {f ∈ BE . E) tal que Vn ⊂ Un . 0 ≤ d(f. +∞ +∞ Como Vn ⊂ Un . para cada n ∈ N. que. Como D e Q sõ enumer´veis vem que Ln ´ enumer´vel. x ∈ L e. ca Lema 3. o e c˜ c o a Lema 3. ue ue . Logo. Entõ. ou seja o f.x ||f ||E Assim. A demonstra¸õ da rec´ e ınio a ca ıproca ´ muito mais delicada e foge ao contexto deste livro. a e a 2 c e a a e Teorema 3.53).58 Sejam E um espa¸o topol´gico e K ⊂ E um compacto. Se E satisfaz ao 10 Axioma da Enumerabilc o idade e K ⊂ E ´ um compacto.52) e (3. para todo x ∈ L. BE ´ metriz´vel na topologia fraca σ(E. ||f ||E n=1 o que implica que f ≡ 0 em E. Consideremos. Entõ K tem pelo menos um ponto de acumula¸õ. por hip´tese. f ∈ E tal que f. E ´ separ´vel. com L0 enumer´vel. a Demonstra¸õ: ca E ´ separ´vel implica que BE ´ metriz´vel na topologia σ(E. de (3. x = 0. ou seja. a a suponhamos. como f nõ ´ identicamente nula em E.54) Por outro lado. por contradi¸ao.57 Seja E um espa¸o de Banach tal que E ´ separ´vel. de extrema importˆncia na passagem ao o a limite no contexto das equa¸oes diferenciais.´ ESPACOS SEPARAVEIS ¸ 139 Com efeito. relembremos alguns resultados sobre Espa¸os c˜ c Topol´gicos e M´tricos. o que conclui a prova. o que ´ uma contradi¸õ com o fato de existe x0 ∈ E e ca tal que f. isto ´. basta mostrarmos que se f ∈ E ´ tal que f. Assim. x0 = 0. cujas demonstra¸oes podem ser encontradas em [12] e [18]. de toda e a e u e seq¨ˆncia de pontos de K pode-se extrair uma subseq¨ˆncia convergente.53) decorre que L0 = E. E ). x = 0. entõ K ´ seqëncialmente compacto. x0 = 0. (3. E ) se e a e a 2 +∞ = 0 para todo x ∈ D. e Antes de enunciarmos os pr´ximos resultados. ficando provado (3.54) resulta que f . entõ. temos que ||f ||E = 0 e. que f nõ ´ identicamente nula em E.51) obtemos f ∈ Vn = {0}. Desta forma. para todo x ∈ D. x = 0. a e portanto.59 Seja E um espa¸o topol´gico. que existe c˜ a e x0 ∈ E tal que f. Seja x ∈ D. obt´m utilizando um racioc´ an´logo ao teorema anterior. e entõ f ≡ 0 em E.50) e (3. f. para todo x ∈ L e. x = 0. de (3. de (3. 62 ⇒ Corol´rio 3. E). e 2 Observa¸õ 3. em virtude do teorema 3.60 Seja E um espa¸o m´trico.61 ´ equivalente ao seguinte resultado: Seja E um ca a e espa¸o de Banach separ´vel. tem-se que BE ´ compacta na topologia dada por uma m´trica e e d. munido desta m´trica.60 que BE e e c e ´ seqëncialmente compacta e. de {fn }n∈N podemos extrair uma subseq¨ˆncia e u ue {fnk }k∈N convergente na topologia m´trica e. E) vem que M BE tamb´m o ´. Entõ. supor que fn ∈ BE . Podemos. e a o que implica que fn M n∈N ⊂ BE e. para todo n ∈ N. entõ. Segue do lema 3. Assim. E). c˜ a Se {fn }n∈N ´ limitada. entõ.61 Sejam E um espa¸o de Banach separ´vel e {fn }n∈N uma seq¨ˆncia limia tada de E . Com efeito. e somente se. u e e existem {fnk }k∈N ⊂ {fn }n∈N e f ∈ E tais que fnk f. na topologia fraco∗ σ(E . portanto.56. BE ´ um espa¸o m´trico. a c˜ Se {fn }n∈N ⊂ BE . para todo n ∈ N.62. que BE ´ metriz´vel na e a e a topologia fraco∗ σ(E . ´ c e a e e seqëncialmente compacto. por conseguinte. para todo n ∈ N. entõ existe M > 0 tal que ||fn ||E ≤ M . portanto. Como BE ´ compacta (em virtude do Teorema de Alaoglue Bourbaki) em σ(E . temos. || fn ||E ≤ 1. Entõ. Assim. K ⊂ E ´ compacto se.61. como por hip´tese. existe uma subseq¨ˆncia {fnk }k∈N de {fn }n∈N que converge na topologia a ue fraco∗ σ(E . 2 . Como E ´ separ´vel. E). u c a ue Corol´rio 3. Desta M forma. Como BE ´ e ∗ seqëncialmente compacta na topologia σ(E . existe a M > 0 tal que ||fn ||E ≤ M . {fn }n∈N ⊂ M BE . E). a bola BE ´ seqëncialmente compacta na topologia c a a e u fraco∗ σ(E . Entõ. De fato: Corol´rio 3. {fn }n∈N ´ limitada e portanto existe {fnk }k∈N ⊂ {fn }n∈N tal a e que {fnk }k∈N converge na topologia fraco∗ σ(E . Demonstra¸õ: Seja {fn }n∈N uma seq¨ˆncia limitada de E .140 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Lema 3. Observa¸ao 3. sem perda de ca ue o generalidade. E). para todo n ∈ N. E).62 O Corol´rio 3. basta considerarmos a seq¨ˆncia ue fn M n∈N .61 ⇒ Observa¸ao 3. que M ´ separ´vel e reflexivo. afirmamos que BM = BE ∩ M ´ metriz´vel e compacta na topologia σ(M.7 Espa¸os Uniformemente Convexos c x+y 2 Defini¸õ 3. Como M ´ um subespa¸o e a e c vetorial fechado de E e E ´ Banach reflexivo. existe δ > 0 tal que se x. pelo teorema 3. vem que existe {xnk }k∈N ⊂ {xn }n∈N tal que {xnk }k∈N converge na topologia σ(M. M ´ separ´vel. para todo n ∈ N. Isto conclui a prova. onde Λn = [x1 . {xnk }k∈N converge na topologia σ(E. Pelo teorema 3. resulta. xn ] sobre Q. c˜ e ca e ser´ omitida.ESPACOS UNIFORMEMENTE CONVEXOS ¸ 141 Teorema 3. a ˘ Teorema 3. a ue Equivalentemente. como M e a ´ reflexivo. Definindoca c se M = M0 . Seja {xn } uma sucessõ limitada c a em E. Resulta da´ e do lema 3.64 (Eberlein-Smulian) Seja E um espa¸o de Banach tal que toda sucessõ c a limitada {xn }n∈N possui uma subsucessõ {xnk }k∈N convergente na topologia fraca σ(E. · · · . Por outro lado. Logo. Entõ. a Entõ. a e a BM ´ metriz´vel para a topologia σ(M . temos. E ) pois se f ∈ E temos que f |M ∈ M . existe uma subseq¨ˆncia {xnk }k∈N que converge na topologia fraca σ(E.63 Seja E um espa¸o de Banach reflexivo. M ). a e 3. M ´ um subespa¸o de Banach separ´vel e reflexivo o que implica. E ). em virtude e c a do corol´rio 3.43 que M ´ reflexivo. 2 A rec´ ıproca da proposi¸ao ´ verdadeira mas a demonstra¸õ. M ). M ) ≡ σ(E.41.55). M ). . que BM ´ compacta na topologia fraca σ(M. o subespa¸o c n∈N gerado por {xn }n∈N sobre Q. Assim.65 Dizemos que um espa¸o de Banach E ´ uniformemente convexo se dado ca c e ε > 0. que BM ´ metriz´vel na topologia σ(M. da proposi¸õ 3. ou seja. E ). Logo. como {xn }n∈N ⊂ BM . M ).56 (fazendo E = M ). Assim.55. E )|M . y ∈ BE e ||x − y||E > ε entõ a E < 1 − δ. ´ enumer´vel e denso em M0 . E ´ reflexivo.56 que BM ´ seqëncialmente compacta na ı e u topologia σ(M. BE ´ seqëncialmente compacta na topologia σ(E. e a ı e ou seja. temos que M1 = (3. ´ tamb´m denso em e a e e M (note que M1 = M0 e M0 = M ). M ≡ M . Resulta da´ e do fato que M ´ reflexivo. pois {xn }n∈N ⊂ M e ||xn ||E ≤ 1. e ca e Portanto. e a De fato.55) Λn . por ser muito tćnica. e e o que prova (3. M ). e u Demonstra¸õ: Sejam {xn }n∈N ⊂ BE e M0 o subespa¸o gerado por {xn }n∈N . E ). 56) resulta que mBE = J(mBE ). dado ε > 0 e ξ ∈ BE . sem perda da generalidade que ||ξ||E = 1. Teorema 3. dado ε > 0. provar (3. E ξ ||ξ||E Mas. mostrando que J(BE ) = BE . e Resulta da´ e de (3. Podemos supor. de (3. existe x ∈ BE tal que ||Jx − ξ||E ≤ ε. pois caso 0 < ||ξ||E < 1 podemos considerar Jx − ξ ||ξ||E e portanto. basta mostrarmos que BE = J(BE ). como J(BE ) ´ um subconjunto fechado de E .66 (Milman) Todo espa¸o de Banach uniformemente convexo ´ reflexivo. para todo m ∈ N o que implica o desejado. Entretanto.57) ´ o mesmo e que provar que Dados ε > 0 e ξ ∈ BE com ||ξ||E = 1.56) pois. e (3.57) ou seja.5: A esquerda bola unit´ria de E para || · ||2 enquanto que ` direita bola unit´ria para a a a a norma || · ||1 . Para isso. (3. Jx ||ξ||E = J(||ξ||E x) e como ||x||E ≤ 1. Podemos nos convencer disso observando as figuras abaixo E ´ uniformee mente convexo enquanto que com a norma ||x||1 = |x1 | + |x2 | E nõ ´ uniformemente a e T '$ E &% T E ` Figura 3.142 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` 1/2 Exemplo: Considere E = R2 . Provaremos que ca c E ≡ J(E). c e Demonstra¸õ: Seja E um espa¸o de Banach uniformemente convexo. entõ ||ξ||E ||x||E ≤ ||ξ||E < 1. assim.58) . temos que J(BE ) = J(BE ). (3. o que a implica que x = x ||ξ||E ∈ BE e. existe x ∈ BE tal que ||Jx − ξ||E ≤ ε. dados ε > 0 e ξ ∈ E tal que ||ξ||E ≤ 1. Com a norma ||x||2 = (|x1 |2 + |x2 |2 ) convexo. existe x ∈ BE tal que ≤ ε ⇒ ||Jx ||ξ||E − ξ||E ≤ ε ||ξ||E < ε. existe x ∈ BE tal que ||Jx − ξ||E < ε.56) que ´ suficiente provarmos que ı e J(BE ) ´ denso em BE . Desta forma. E ). E (3. y ∈ BE e ||x − y||E > ε temos que Por outro lado. e para ε > 0 dado. 2 (3. resulta que | Jx. Jx ∈ V . f0 | < δ/2 e. como queremos demonstrar em (3. x |) = δ + | f0 . f0 − ξ. Logo. desta forma. existe δ > 0 tal que para todos x. f0 | < δ/2 | f0 . E ). f0 | < δ/2}. Contudo. E ) e. f |. f0 − ξ. como ||ξ||E = resulta que ||ξ||E − δ < | ξ. isto ´.59) | ξ. como Jx. portanto ´ fechado nesta e e topologia. E ) o que e implica que Jx + εBE ´ compacto na topologia σ(E . f0 | < δ/2 . para algum f0 ∈ E com ||f0 ||E = 1. conseqëntemente. sejam ε > 0 e ξ ∈ E tal que ||ξ||E = 1. para a vizinhan¸a V acima.ESPACOS UNIFORMEMENTE CONVEXOS ¸ 143 De fato. ξ ∈ [E \(Jx+εBE )] = u W . u 2| ξ. | η − ξ. x + x |. Suponhamos o contr´rio. Como ξ ∈ W e ξ ∈ V resulta que V ∩ W = ∅ al´m de V ∩ W ser uma vizinhan¸a e c fraca de ξ em σ(E . ou seja. Afirmamos que ||Jx − ξ|| ≤ ε. Seja V = V (ξ. x |) + (δ/2 + | f0 . Como E ´ uniformemente convexo. f0 | < δ/2 | Jx. x − ξ. ⇒ | f0 .58). pelo lema de Goldstine. a e Isto implica que ξ ∈ Bε (Jx) / E = Jx+εBE e. E ) e. ||f ||E =1 x+y 2 < 1 − δ. f0 | < (δ/2 + | f0 . Pelo Teorema de Alaoglu temos que BE ´ compacta na topologia σ(E . Recordemos que o lema de Goldstine nos garante que J(BE ) ´ denso em BE na e topologia σ(E . W ´ aberto na topologia σ(E . E ) e obviamente W ´ uma vizinhan¸a e e c de ξ. x − ξ. que ||Jx − ξ|| > ε. existir´ x ∈ BE tal que c a Jx ∈ V . f0 ) uma vizinhan¸a fraca de ξ em σ(E .60) sup f ∈E . conseqëntemente. f0 |. . existe x ∈ BE tal que Jx ∈ V ∩ W . δ/2. c V = {η ∈ E . Novamente. E (3. a c˜ e 0 ≤ lim inf ||xn ||E . f0 ≤ + 2 2 2 ⇒ E x+x 2 > 1 − δ.67 Sejam E um espa¸o de Banach uniformemente convexo e {xn }n∈N uma c seq¨ˆncia de elementos de E tal que xn ue ||x||E .12(iii) resulta que existe C > 0 tal que ||xn ||E ≤ C e. ||Jx − Jx||E > ε. Resulta da´ e da hip´tese que ı o n 0 ≤ lim inf ||xn ||E ≤ lim sup||xn ||E ≤ 0. (3. conseqëntemente.144 Da desigualdade acima obtemos | ξ. Por outro lado. entõ da proposi¸ao 3. e. n n resultando que xn → 0 fortemente em E. a Demonstra¸õ: ca Suponhamos inicialmente que x = 0.61) e tendo em mente que ||ξ||E = 1 podemos escrever 1− δ δ x+x < ξ.60).62) . . x+x 2 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` ≤ δ + ||f0 ||E 2 =1 x+x 2 . como Jx ∈ W . f0 | < δ + 2 f0 . E Da desigualdade acima e do fato de E ser uniformemente convexo conclu´ ımos que ||x − x||E ≤ ε.62) e (3. por (3.63) Logo. entõ Jx ∈ E \Bε (Jx) a E (3. 2 Teorema 3. como J ´ uma isometria. Mas.61) De (3. Isto c˜ conclui a prova do teorema.63) chegamos a uma contradi¸ao ficando provado (3. E ) e lim sup||xn ||E ≤ n 0 (fracamente). Entõ xn → x forte. (3. o que implica que Jx ∈ Bε (Jx) / E . vem que e ||x − x||E = ||J(x − x)||E = ||Jx − Jx||E . Segue da´ e da identidade acima que u ı ||x − x||E > ε. al´m disso.58). Como xn x na topologia fraca σ(E. E 1 ≤ lim inf n (3. x = 0 e definamos. λn ||x||E Temos que λn → ||x||E quando n → +∞.65) resulta que yn + zn 2 y fracamente quando n → +∞. entõ f. x para todo f ∈ E . portanto.66) Por outro lado. λn = max{||xn ||E . ||x||E }.64) e (3. λn ||x||E y fracamente quando n → +∞.65) De (3. x para todo f ∈ E e como a o que prova (3. Afirmamos que: yn Com efeito. que ||y||E ≤ lim inf n yn + y 2 . E Mas como ||y||E = x ||x||E E = 1. λn yn + y 2 E 1 ||xn ||E lim sup +1 2 n λn 1 ||xn ||E = +1 lim sup 2 λn n 1 ≤ (1 + 1) = 1. notemos que yn + y 2 o que implica lim sup n E 1 1 ≤ (||yn ||E + ||y||E ) = 2 2 =1 ||xn ||E +1 .ESPACOS UNIFORMEMENTE CONVEXOS ¸ Consideremos. 145 (3. para todo n ∈ N. (3. 2 ≤ . resulta obviamente que zn → y quando n → +∞ e. zn y fracamente quando n → +∞. tendo em mente que ||zn ||E = ||y||E para todo n ∈ N.64). agora. xn → f. Evidentemente λn > 0. xn → f. para cada n ∈ N. o que implica. Definindo zn = y.64) x fracamente. como xn λn → ||x||E vem que 1 1 f. da desigualdade anterior podemos escrever yn + y 2 . xn x yn = e y= . 68) Provaremos.69) e e ca do fato que λn → ||x||E .68). Entõ existir´ ε0 > 0 tal que. que ||yn − y||E → 0 fortemente quando n → +∞. Como yn . Assim. ficando provado (3. dado ε > 0 devemos exibir n0 ∈ N tal que ||yn − y||E < ε. 2 . ≤ ||x||E  ||xn ||E  λn   ||x||E   0 ´ limitado e 0 Isto conclui a prova. y ∈ BE . para todo n ≥ n0 . por contradi¸ao.69) ou seja.69). teremos ||yn − y||E ≥ ε0 . pela convexidade uniforme de E resulta que existir´ δ0 > 0 tal que a yn + y 2 o que implica que lim yn + y 2 ≤ 1 − δ0 < 1. deduzimos que ||xn − x||E = ||x||E xn x − ||x||E ||x||E E xn x xn xn − − ≤ ||x||E + ||x||E λn E λn ||x||E    E   1   1     −  + ||yn − y||E  → 0.67) De (3. (3. Suponhamos. lim sup n ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` yn + y 2 ≤ 1.146 ou seja. que (3. para todo n ∈ N.67) conclu´ ımos que lim yn + y 2 = 1. de (3. a seguir. E (3. seja c˜ a a a qual for o n ∈ N. E < 1 − δ0 . E n→+∞ (3. E n→+∞ o que ´ uma contradi¸õ em vista de (3.69) nõ ocorra. quando n → +∞.66) e (3. ` esquerda. Ele recebeu o prˆmio SIAM’s John Von Neumann em 1986. foi um matem´tico Francˆs que fez cona a e tribui¸oes importantes na teoria de equa¸oes diferenciais parciais e controle estoc´stico.1943). O trabalho de Hilbert em Geometria teve uma a das maiores influˆncias na ´rea depois de Euclides. Jacques-Louis Lions (1928 . Ele deixou contribui¸oes em diversas ´reas da Matem´tica e da F´ a c˜ a a ısica. David Hilbert (1862 . c˜ c˜ a al´m de outras ´reas. ` direita.1: Hilbert-Lions. e a e 147 .2001). Um estudo sistem´tico dos axiomas e a a da Geometria Euclidiana levou Hilbert a propor 21 axiomas os quais ele analisou sua significˆncia.Cap´ ıtulo 4 Os Espa¸os de Hilbert c Figura 4. |(u. para todo u. αv + βw) = α(u. p(λ) ≥ 0 ⇔ 4(u. v)2 ≤ (u. v) + (v. u)1/2 (v. Logo. ·)) ´ um espa¸o com produto interno. (2) A aplica¸õ u → ||u|| = (u. w). v)| ≤ (u. Temos ca 0 ≤ (λu − v. . v ∈ H. w ∈ H e α. v) = (v. v)1/2 . λu − v) = λ2 (u. Entõ: ca c a (1) Para todo u. v)1/2 . Propriedades Elementares. • (b) (u. Proje¸õ ca ca sobre um convexo fechado Defini¸õ 4. (·. (3) Para todo u. onde a = (u. v). ·). portanto |(u. 2 Demonstra¸õ: (1) Sejam λ ∈ R e u. w). que ser´ a norma ca a induzida pelo produto interno (·. v) + β(u. u)| ≤ (u. v ∈ H. se. u) − 2λ(u. v. u) = 0 ⇔ u = 0. Dizemos que H = (H.148 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` 4. u)1/2 define uma norma em H. v). e c Proposi¸õ 4. u) ≥ 0 e (u. u)(v. u). w) + β(v. Dizemos que uma aplica¸õ (·. v)1/2 (v. • (c) (u. • (d) (u. u)(v. w) = α(u. v) e c = (v. β ∈ R e valem as seguintes condi¸˜es: co • (a) (αu + βv. u) ≤ 0 ⇔ (u. b = −2(u. vale a Identidade do Paralelogramo: u+v 2 2 u−v + 2 2 = 1 ||u||2 + ||v||2 . v)2 − 4(u. e. v ∈ H.1 Seja H um espa¸o vetorial real. v) = aλ2 + bλ + c = p(λ).2 Seja H um espa¸o com produto interno. ·) : H × ca c ca H → R ´ um produto interno (ou produto escalar). u).1 Defini¸õ. 1) (4. u) + 2(u. (b) Seja v ∈ H. 2 2 = = 1 [(u. Ainda. v ∈ H.2) = Somando (4. u) + 2(u. v)] . v) + (v. a desigualdade dada em (1) pode ser escrita como |(u. αu) = α2 (u. v ∈ H. Entõ. v) + (v. 2 2 u−v u−v . Temos.PROJECAO SOBRE UM CONVEXO FECHADO ¸˜ (2) (a) Sejam u. u (3) Sejam u. u) + 2||u|| ||v|| + (v. v) + (v. v) ≤ (u.1) e (4. v)| ≤ ||u|| ||v||. que ´ conhecida como Desigualdade de Cauchy-Schwarz. v) > 0 ⇒ ||v|| > 0. e. o que prova a desigualdade triangular. e (4. v) = ||v||2 = 0 ⇔ v = 0 (c) Sejam α ∈ R e u ∈ H. ou quando v = λu. de onde resulta que ||u + v||2 ≤ (||u|| + ||v||)2 . 4 (4. 4 1 [(u. (v. u). para todo u. v) = ||u||2 + 2||u|| ||v|| + ||v||2 = (||u|| + ||v||)2 .2) obt´m-se e u+v 2 2 + u−v 2 2 = 1 ||u||2 + ||v||2 . Temos: u+v 2 u−v 2 2 149 = 2 u+v u+v .3) . a (v. ca usando a norma definida em (2). com v = 0. Entõ a ||α u||2 = (αu. v)] . Obviamente. Observa¸õ 4. conseqëntemente tem-se ||α u|| = |α| ||u||.3 Em (1) obtemos a igualdade quando u = λv. u) − 2(u. u + v) = (u. 2 2 o que mostra o desejado e encerra a prova. v ∈ H. por (1) ||u + v||2 = (u + v. v ∈ H e ε > 0 tais que ||u||H ≤ 1. Entõ. para todo v ∈ K. ca Pela identidade do paralelogramo obtida no item (3) da proposi¸ao 4. denotamos u = PK f a proje¸õ de f sobre K. H ´ uniformemente convexo e. para todo f ∈ H. u se caracteriza por e (ii) u∈K (f − u. Entõ. e 2 Teorema 4. ca . e Demonstra¸õ: Sejam u.6 (Proje¸õ sobre um convexo fechado) Seja K um subconjunto conca vexo. portanto.150 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Defini¸õ 4. para todo v ∈ K. ·) : H × H → ca c R. onde Ω ´ um subconjunto aberto de Rn . resulta que c˜ u+v 2 Tomando δ = 1 − 1 − ε2 4 2 2 =1− H 1/2 u−v 2 <1− H ε2 . fechado e nõ vazio de um espa¸o de Hilbert (H.4 Um espa¸o de Hilbert ´ um espa¸o vetorial H dotado de um produto inca c e c terno. 4 deduzimos que u+v 2 < 1 − δ. Al´m disso. a c a existe um unico u ∈ K tal que ´ (i) ||f − u|| = min||f − v||. tal que H ´ Banach relativamente ` norma induzida pelo produto interno.2. e a Exemplo: O espa¸o L2 (Ω). em virtude do teorema de Milman a e (teorema 3. H mostrando que H ´ uniformemente convexo. ||v||H ≤ 1 e ||u − v||H > ε. e c Proposi¸õ 4. (·. isto ´ e v∈K ||f − u|| ≤ ||f − v||. ´ um espa¸o de Hilbert.66) ´ reflexivo. ·)). v − u) ≤ 0. g)L2 (Ω) = Ω f (x)g(x) dx.5 Seja H um espa¸o de Hilbert com produto interno (·. munido do produto c e interno (f. Suponhamos.5) resulta que vn − vm 2 2 vm +vn 2 vn + vm 2 2 ≥ d. aplicando a identidade do paralelogramo para f − vn e f − vm . a Demonstra¸õ 1: ca Se f ∈ K. e 151 Faremos duas demonstra¸oes para o ´ c˜ ıtem (a). e ue (4. isto ´. implica que e f− e de (4. v∈K notando que o ´ ınfimo existe pois ||f − v|| ≥ 0. obtemos (f − vn ) + (f − vm ) (f − vn ) − (f − vm ) + 2 2 1 1 = ||f − vn ||2 + ||f − vm ||2 . entõ.PROJECAO SOBRE UM CONVEXO FECHADO ¸˜ Demonstra¸õ: Dividiremos a demonstra¸õ em trˆs partes. sendo K fechado. n → +∞.4) De fato. Afirmamos que: {vn }n∈N ´ uma seq¨ˆncia de Cauchy em H. e como {vn }n∈N ⊂ K segue que vn → u. 1 ≤ (d2 + d2 ) − d2 → 0. (4. m 2 n o que prova (4. 2 2 ou ainda. portanto. quando m.4). que f ∈ K e seja {vn }n∈N uma a / seq¨ˆncia minimizante para (i). Sendo H um espa¸o de Hilbert deduzimos que {vn }n∈N ´ convergente c e para um elemento u ∈ H. m 2 n ∈ K e. vn + vm f− 2 2 2 2 vn − vm + 2 2 1 = (d2 + d2 ). ue e dn = ||f − vn || → d = inf ||v − f ||. A primeira ´ uma demonstra¸ao mais e c˜ direta e a segunda utilizando os argumentos da An´lise Funcional convexa. vm ∈ K. nada temos a fazer. A continuidade da norma implica que d = ||f − v||. Contudo. para todo f ∈ H e v ∈ K. ca ca e (a) Existˆncia. Demonstra¸õ 2: ca .5) Como K ´ convexo e vn . como antes. {vn }n∈N uma seq¨ˆncia minimizante para (i). isto ´.152 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Consideremos. ue e dn = ||f − vn || → d = inf ||v − f ||. Deixamos ao leitor a verifica¸õ de fal fato.e portanto reflexivo (veja ue e e c proposi¸ao 4.21). que ainda representaremos pela mesma nota¸õ tais que ca vn u fracamente em H ⇒ vn − f u − f fracamente em H. as topologias forte e fraca coincidem (veja teorema 3. para todo v ∈ K. u Resulta da convergˆncia acima que e da proposi¸ao 3. e (i) ⇒ (2). ϕ(v) = ||v − f ||. Resulta imediatamente que a e e a seq¨ˆncia {vn }n∈N tamb´m o ´. Entõ aplicando-se o teorema 3. Sendo H um espa¸o de Hilbert. Como K ´ fortemente fechado entõ ´ fracamente fechado e e a e conseqëntemente u ∈ K. verifica a e ı e ı a condi¸õ: ca v∈K.||v||→+∞ lim ϕ(v) = +∞. ca (b) Equivalˆncia entre (i) e (ii). Nõ ´ difćil provar que ϕ ´ fortemente contńuo. Quando K for limitado omite-se a condi¸ao acima. . ou seja.7 Uma outra forma de demonstrar a existˆncia do elemento u ∈ K verica e ficando (i) seria definirmos o seguinte funcional: ϕ : K → K.12(iii) que existe u ∈ K tal que e c˜ ||u − f || ≤ lim inf ||vn − f || = d = inf ||v − f || ≤ ||v − f ||. Suponhamos que exista u ∈ K que verifica ||f − u|| ≤ ||f − v||.5). como {vn }n∈N ⊂ K e sendo K convexo. Observa¸õ 4. Entretanto.63 que existem u ∈ H e uma subseq¨ˆncia c˜ ı ue de {vn }n∈N . v∈K A sucessõ {vn −f }n∈N ´ limitada. para todo v ∈ K. convexo e coercivo. n∈N v∈K o que prova o desejado. posto que ´ convergente.46 c a tem-se o desejado. Resulta da´ e do teorema 3. para todo v ∈ K. ou seja. Reciprocamente. para todo v ∈ K. v − u) ≤ 0. para todo v ∈ K. obtendo (ii). v − u) ≤ λ||v − u||2 . (ii) ⇒ (i). w = (1 − λ)u + λv ∈ K e da desigualdade acima resulta que ||f − u|| ≤ ||f − [(1 − λ)u + λv]|| = ||(f − u) − λ(v − u)||. ||f − u||2 ≤ ||(v − u) − (f − u)||2 = ||v − f ||2 . para todo v ∈ K. Entõ. v − u) ≤ 0. ou seja. Da´ resulta que ı ||f − u||2 + 2(f − u. (c) Unicidade. o que mostra (i). v − u) ≤ 0 ≤ ||v − u||2 . . 2(f − u. o que implica que ||f − u||2 ≤ ||(f − u) − λ(v − u)||2 = ||f − u||2 − 2λ(f − u. v − u) + λ2 ||v − u||2 . para todo v ∈ K. v − u) ≤ ||v − u||2 + ||f − u||2 . da desigualdade acima podemos escrever a 2(f − u. Logo.PROJECAO SOBRE UM CONVEXO FECHADO ¸˜ 153 Tomemos v ∈ K e λ ∈ (0. Fazendo λ → 0 na desigualdade acima obtemos (f − u. Seja v ∈ K. 1]. suponhamos que exista u ∈ K tal que (f − u. v − PK f1 ) ≤ 0.8 Seja K um subconjunto convexo. Sejam f1 . v − u) ≤ 0. u1 − u2 ) − (u2 . vem que (u1 . de onde resulta que u1 = u2 . v∈K (4. v − u2 ) ≤ 0 para todo v ∈ K. a (f − u1 . f2 ∈ H.7) obtemos (f − u1 . existe um ca unico u ∈ K tal que ´ ||f − u|| = min ||f − v||. u1 − u1 ) ≤ 0. a ||PK f1 − PK f2 || ≤ ||f1 − f2 ||. Fazendo v = u2 em (4.6. Entõ. ou ainda. eliminando os termos iguais. u2 ∈ K verificando (ii). f2 ∈ H. v − u1 ) ≤ 0 para todo v ∈ K.7) (f − u. Demonstra¸õ: Vimos. Em outras palavras. u2 − u1 ) + (f − u2 . ficando bem definida a aplica¸õ ca PK : H → K f → PK (f ) = u. fechado e nõ vazio de um espa¸o de ca a c Hilbert H.6) (4. para todo v ∈ K. u1 − u2 ) ≤ 0. u1 − u2 ) ≤ 0 ⇒ ||u1 − u2 ||2 ≤ 0. para todo v ∈ K. Do exosto acima resulta que (f1 − Pk f1 . o que prova a unicidade e encerra a demonstra¸ao. v − PK f2 ) ≤ 0. Entõ. c˜ 2 Proposi¸õ 4. para todo v ∈ K. que para cada f ∈ H. para todo f1 . a proje¸õ PK : H → K ´ uniformemente cont´ ca e ınua. .6) e v = u1 em (4.154 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Sejam u1 . ou equivalentemente. de acordo com o teorema 4. (f2 − Pk f2 . isto ´ e (u1 − u2 . (f − u2 . ||PK f1 − PK f2 ||2 ≤ ||f1 − f2 || ||PK f1 − PK f2 ||. v) = 0. v) ≥ 0. para todo v ∈ K. u = PM f se caracteriza por a Existe um unico u ∈ M tal que ´ (f − u.9 Sejam M um subespa¸o vetorial fechado de um espa¸o de Hilbert H e a c c f ∈ H. e e Demonstra¸õ: Seja f ∈ M . −v) ≤ 0 ⇒ (f − u. 2 Corol´rio 4. para todo v ∈ M. Sendo M subespa¸o. PK f1 − PK f2 ) . em virtude da desigualdade de cauchy-Schwarz. Entõ. Agora. PK f1 − PK f2 ) ≤ 0. em particular. PK f1 − PK f2 ) ≤ (f1 − f2 . a desigualdade a ser provada segue trivialmente. Desta ultima desigualdade resulta que ´ (PK f1 − PK f2 . inferimos (f1 − Pk f1 . . PM ´ um operador linear. o que implica. Se ||PK f1 − PK f2 || = 0.PROJECAO SOBRE UM CONVEXO FECHADO ¸˜ 155 Fazendo v = PK f2 na primeira desigualdade acima e v = PK f1 na segunda. PK f2 − PK f1 ) + (f2 − PK f2 . v) ≤ 0. entõ a ||PK f1 − PK f2 || ≤ ||f1 − f2 ||. Sabemos que existe um unico elemento u ∈ M tal que ca ´ (f − u. v) = 0 para todo v ∈ M. somando membro a membro. Al´m disso. de onde conclu´ ımos que (f − u. e. para todo v ∈ M. se ||PK f1 − PK f2 || = 0. Isto conclui a prova. para −v ∈ M temos c (f − u. para todo v ∈ M. para todo v ∈ M. (4. v) = 0.9) e (4.10 (Teorema da Representa¸õ de Riesz-Frćhet) Seja H um espa¸o ca e de Hilbert com produto interno (·. dado f ∈ M e λ ∈ R prova-se que PM (λ f ) = λPM (f ). o que prova (4. o que implica que u = u1 + u2 . f2 ∈ M .(4. Provaremos. e de (4.10) ´ Existe um unico u = PM (f ) tal que (f − u.8). para todo v ∈ H. v). para todo v ∈ M.2 Teorema da Representa¸õ de Riesz-Frćhet.11) (4. v H . . primeiramente que e PM (f1 + f2 ) = PM (f1 ) + PM (f2 ). v) = (u. De fato. Tomando v = (u1 + u2 − u) ∈ M . Sabemos que: Existe um unico u1 = PM (f1 ) tal que (f1 − u1 .11) e (4. v) = 0. para todo v ∈ M.12) (4. para todo v ∈ M. denotemos f = f1 + f2 .12) resulta que (u1 + u2 . v) = 0. Dado ϕ ∈ H . ´ De (4. ou seja.10) obtemos (f − (u1 + u2 ). para todo v ∈ M. (u1 + u2 − u. pois M ´ subespa¸o. Com efeito. ·) e norma || · ||.8) 4. v) = 0. ca e c Teorema 4. 2 (4. v) .156 Resta-nos provar que ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` PM : H → M f → PM (f ) = u ´ linear.H = (f.9) ´ Existe um unico u2 = PM (f2 ) tal que (f2 − u2 . sejam f1 . Analogamente. da identidade acima resulta e c que ||u1 + u2 − u||2 = 0. existe um unico f ∈ H ´ tal que ϕ. v) = 0. para todo v ∈ M. H 157 (4. para todo v ∈ H. T : H → H est´ bem definida e ´ linear pois dados a e f. ||f || ≤ ||T f ||H .14) vem que | T f.||v||≤1 (4.15) (4. Demonstra¸õ: Consideremos a seguinte aplica¸õ ca ca T :H→H f → T f. Assim. para todo f ∈ H. v). (4. v) = α T f. temos T (αf + βg). e ||f || = ||ϕ||H . v H . f = ≤ ||f || ou seja. T f.´ O TEOREMA DA REPRESENTACAO DE RIESZ-FRECHET ¸˜ Al´m disso. provaremos que ||T f ||H = ||f ||. v) = α(f.13) = (f. . o que implica que T (αf + βg) = α T f + β T g provando a linearidade de T . v | = ||f || ||T f ||H . notemos que se f = 0 (´ nõ identicamente nula).14) obtemos T f.H ≤ ||f || ||v||. v) + β(g. definida por T f. A seguir. f ) = T f. o que implica que T f ∈ H .17) sup v∈H. v H . g. v + β T g. De fato.16) f ||f || | T f. v = α T f + β T g . β ∈ R. v ∈ H e α. v | ≤ ||f || ||v|| ⇒ ||T f ||H ≤ ||f ||. para todo v ∈ H. entõ e a a ||f ||2 = (f. Por outro lado. (4. v = (αf + βg. v ∈ H de (4. dados f.14) T f : H → R ´ claramente linear e cont´ e ınua pois de (4. entõ. basta para isso definirmos a aplica¸õ linear ca T :H→V f → T f. a aplica¸õ T : H → H ´ uma aplica¸õ ca e ca linear isom´trica. e (4.19) e (4. existe C > 0 tal que |v| ≤ C||v||. ou seja.18) entõ. T H = H . o que implica que T f. sendo H reflexivo (posto que ´ Hilbert) segue que H ≡ H. se mostrarmos que T H ´ denso em H . Esta identifica¸õ poder´ sempre ser feita. o que . afirmamos que e e T H ´ um subespa¸o fechado de H . basta mostrarmos (4. Queremos provar que ξ ≡ 0 em E . Combinando (4.17) segue trivialmente. para todo f ∈ H. Em particular. portanto injetora.15). T ´ sobrejetora. se f = ξ obtemos (ξ. Resta-nos provar que e TH = H . 2 ca Observa¸õ 4. digamos.H (f. Suponhamos que V dotado da norma || · || se torna c um espa¸o de Banach reflexivo e que V → H. isto ´. Seja H um espa¸o de Hilbert com norma | · | e V ca c um subespa¸o vetorial denso em H.18). e c pois se {T vν }ν∈N ⊂ T H ´ tal que T vν → w em H . µ → +∞. Logo. a menos que nõ seja interessante. segue que a seq¨ˆncia {vν }ν∈N ´ de Cauchy em H e portanto ´ convergente. ξ e implica que ξ ≡ 0.158 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Observe que se f = 0 a desigualdade (4. ξ) = ||ξ||2 = 0.16) e (4.H = 0. T f a H . Assim ξ ∈ H ≡ H. face a unicidade do limite em H conclu´ ımos que w = T v ∈ T H. ficando provado a (4. Assim.19). Identifiquemos H com H .20).11 A aplica¸õ T : H → H definida em (4. ca a a Descrevamos uma situa¸õ deste tipo.20) (4. Pela continuidade da aplica¸õ T : H → H resulta ca que T vν → T v em H e. ξ ∈ H tal que ξ. Com efeito.17) obtemos o desejado em (4.19) (4. ou seja. o que prova o desejado. portanto. c para todo v ∈ V . ξ) = 0.13) nos permite identificar H ca com H . o que prova (4. entõ. ue e e existe v ∈ H tal que vν → v em H. Podemos sempre ter H ⊂ V . Seja. pelo fato de e a ||vν − vµ || = ||T vν − T vµ ||H → 0 quando ν. para = todo f ∈ H. por (4. Com efeito. H .20) resulta que T H = T H = H . Logo. para todo v ∈ V. v). seja h ∈ H. ou seja.22) (4. (4. Como V ´ denso em H. e e ϕ. T f.25) resulta a convergˆncia fraca. h) . • T ´ injetora. V . hν ) = 0. (4. para todo h ∈ H.23) De |v| ≤ C||v||. que (f − g. v Afirmamos que que: • ||T f ||V ≤ C|f | ( ou seja. para todo v ∈ V.26) (4. em particular.24) sup v∈V.´ O TEOREMA DA REPRESENTACAO DE RIESZ-FRECHET ¸˜ definida por T f. v) = (g. em particu¸ar.22.V 159 = (f. v)| ≤ C|f |. para todo v ∈ V e da desigualdade de Cauchy-Scwarz chegamos a ||T f ||V = o que prova o desejado. entõ. v | = sup v∈V. e • T H ´ denso em V . existe {hν }ν∈N ⊂ V tal que e hν → h em H quando ν → +∞. v ⇒ (f.||v||=1 |(f.||v||=1 | T f.H → ϕ. Prova de 4. sejam f. (4. hν H . f ∈ H e consideremos T f = T g. Logo. para todo ν ∈ N. De fato. v) = 0. . e Prova de (4. v).21) (4. hν ) → (f − g. para todo v ∈ H.H .24) resulta. o que implica que (f − g. T ´ cont´ e ınua). da convergˆncia forte em (4.21). Como estamos identificando H com o seu dual H . h H .25) Entretanto. Logo. Por outro lado. para ϕ = f −g a c podemos escrever (f − g. de (4. para todo ϕ ∈ H . v = T g. 160 e de (4. H submerge-se em V e tem-se o e seguinte esquema: V →H≡H →V (4.27) e da defini¸õ de T f obtemos (f. o a ı e c o Observemos que com esta identifica¸õ podemos escrever ca f. .V = (f. Com efeito. que V em lugar de ser um espa¸o de banach reflexivo seja tamb´m c e um espa¸o de Hilbert com seu pr´prio produto interno ((·. para todo h ∈ H. v V . ξ V .21). de fato. agora. para f = ξ chegamos a |ξ|2 = 0. dizemos que H ´ o espa¸o pivˆ. entõ. Em particular para h = f − g obtemos |f − g|2 = 0 o que implica que f = g provando (4. para todo f ∈ H. se fizermos as duas identifica¸˜es simultaneamente entõ de (4. idena tificar V e V via produto escalar ((·. ·)).23). v). Poder´ c o ıamos. Neste caso.27) Provaremos que ξ ≡ 0.28) vem que H ≡ V . e com a ajuda da aplica¸õ T : H → V acima definida e em ca decorrˆncia das propriedades (4. (4. Entretanto. ca para todo f ∈ H e. para todo f ∈ H e v ∈ V. Suponhamos. ou seja. ξ) = 0. ξ ≡ 0.22) e (4.22). de (4. (4. ·)). consideremos ξ ∈ V ≡ V (j´ que V ´ reflexivo) tal que a e T f.23). Isto mostra que nõ se pode fazer as duas identifica¸˜es simultñeas.28) onde as imers˜es sõ contńuas e densas. como fizemos anteriormente. e a co a devendo-se escolher apropriadamente uma delas.26) resulta que ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` (f − g.V = 0. h) = 0. em particular. o co a que ´ um absurdo. Do exposto acima. Prova de (4. v∈K 2 2 Demonstra¸õ: (a) Seja ϕ ∈ H . ·) e norma | · |. v) ´ bilinear e cont´ e ınua. v = a(u.H . se a(u. ·) e norma | · | e a(u. para todo v ∈ K. v) uma forma bilinear. para cada u ∈ H.H = min a(u. v) ≥ α |v|2 . para todo u. (4. ´ linear e cont´ ca a e e ınua uma vez que a(u. v). v − u H .OS TEOREMAS DE LIONS-STAMPACCHIA E LAX-MILGRAM 161 4. para todo v ∈ H. entõ u se caracteriza pela seguinte propriedade e e e a  ´  Existe um unico u ∈ K tal que 1 1  a(u. fechado e nõ vazio.3 Os Teoremas de Lions-Stampacchia e Lax-Milgram Defini¸õ 4. Teorema 4.13 (Lions-Stampacchia) Sejam H um espa¸o de Hilbert com produto inc terno (·. Entõ. (ii) coerciva se existe uma constante α tal que a(u. Seja K ⊂ H convexo. v) ´ sim´trica. al´m disso. cont´ ınua e coerciva em H.31) . u) − ϕ. para todo v ∈ H. Dizeca c mos que uma forma bilinear a(u. dado ϕ ∈ H . existe um unico fu ∈ H tal ca ´ que ψu . v) : H × H → R ´ e (i) cont´ ınua se existe uma constante C tal que |a(u. v H . Pelo teorema da Representa¸õ de Riesz. v H . definamos a seguinte aplica¸ao c˜ ψu : H → R v → ψu . v)| ≤ C|u| |v|.H = (f. para cada u ∈ H. v). para todo v ∈ H. para cada u ∈ H. temos que ψu ∈ H . v H .12 Seja H um espa¸o vetorial com produto interno (·. v ∈ H. existe um ca ca unico f ∈ H tal que ´ ϕ.29) Por outro lado. existe um unico u ∈ K tal a a ´ que a(u. (4. Logo. u H . v − u) ≥ ϕ. v). pelo Teorema de Representa¸õ de Riesz. Assim. A aplica¸õ ψu est´ claramente bem definida e.H (4. Al´m disso.H . v) − ϕ.30) = (fu . de (4. provando (4. para todo u. De fato. para todo u ∈ H. u) ≥ α|u|2 . v). onde ψu . Se Au = 0.32) a (A(αu1 + βu2 ). v) = αa(u1 . v) = a (αu1 + βu2 .32) e para todo u ∈ H resulta que |Au|2 = (Au.34) (4. para todo u ∈ H. v). Entõ. β ∈ R.30) e (4. v) + β(Au2 . v) obtemos (Au. v) = α(Au1 . para todo v ∈ H. e De fato. v) + βa(u2 . para todo u ∈ H. e Se Au = 0 segue que |Au| ≤ C|u|. Afiramos que: A ´ linear. v). resulta que u = 0 e a desigualdade segue trivialmente. provaremos que A ´ um operador linear coercivo. ou seja. de (4. ou. u) ≥ α|u|2 . Isto prova (4.162 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Do exposto acima. u) = a(u. v) = (αAu1 + βAu2 . v H . Au) ≤ C|u| |Au|. de (4. em fun¸ao da a c˜ coercividade de A. v) = (Au. de (4. v) . onde C ´ uma constante positiva resultante da continuidade da forma bilinear a(u.33). u2 ∈ H e α. entõ. para todo v ∈ H temos. v ∈ H. v).35) (4. A seguir. Com efeito. (4.32) e em virtude da coercividade de a(u.33) (4. e Na seq¨ˆncia. existe α > 0 tal que e (Au. Au) = a(u. sejam u1 .31) a(u. equivalentemente.32) .34). mostraremos que ue A ´ cont´ e ınua. podemos definir a seguinte aplica¸õ: ca A:H→H u → A(u) = fu .H = (fu . onde a constante α > 0 provˆm da coercividade de a(u. o que implica que A(αu1 + βu2 ) = αAu1 + βAu2 em H. ou ainda. v − u) ≤ 0.37) que basta resolvermos ı o problema equivalente Existe um unico u ∈ K tal que ´ (Au. para todo v ∈ K. para todo v ∈ K. Decorre da´ e de (4. v − u) ≥ ϕ.H . (4. dado ϕ ∈ H . como vimos em (4. Seja ρ > 0 uma constante que ser´ fixada mais adiante. v − u) ≥ (f.OS TEOREMAS DE LIONS-STAMPACCHIA E LAX-MILGRAM Do exposto acima.37) Contudo. v). (4. para todo v ∈ K. v − u ´ equivalente a resolver o problema e Existe um unico u ∈ K tal que ´ (Au. para todo v ∈ V . Da ultima desigualdade a ´ resulta que (ρf − ρAu. v − u) ≤ 0. e c˜ u = PK (ρf − ρAu + u). H . v − u) ≥ 0.38) podemos escrever que (f − Au. v H . Resulta da´ e de (4. resolver o problema Existe um unico u ∈ K tal que ´ a(u. para algum ρ > 0. ´ a proje¸ao sobre K de (ρf − ρAu + u) ∈ H. v − u) ≥ ϕ. para todo v ∈ K. v − u) ≤ 0. (ρf − ρAu + u − u. v − u). a determinar.36) (4.H = (f.39) (4. para todo v ∈ K. existe um unico f ∈ H tal que ´ ϕ. ou seja. deduzimos que o ca elemento u ∈ K procurado. v − u H . para ϕ ∈ H .6 (Proje¸õ sobre um convexo fechado). .29).38) que basta provarmos que ı Existe um unico u ∈ K tal que ´ (ρf − ρAu + u − u.38) De acordo com o teorema 4. para todo v ∈ K.H 163 . para todo v ∈ K. Notemos que de (4. 198 [Teorema de Banach sobre pontos fixos c˜ a de contra¸oes]) existe um unico u ∈ K tal que Su = u.8 que c˜ |Sv1 − Sv2 | = |PK (ρf − ρAv1 + v1 ) − PK (ρf − ρAv2 + v2 )| ≤ |ρf − ρAv1 + v1 − (ρf − ρAv2 + v2 )| = |(v1 − v2 ) − ρ(Av1 − Av2 )|. Demonstraremos que se ρ > 0 for escolhido adequadamente. v − u H . Logo. de onde resulta que.41). continuidade e coercividade de A que |Sv1 − Sv2 |2 ≤ |(v1 − v2 ) − ρ(Av1 − Av2 )|2 = |v1 − v2 |2 − 2ρ(v1 − v2 . Provaremos que os probe e lemas Existe um unico u ∈ K tal que ´ a(u. (b) Suponhamos. Com efeito. S ´ uma e contra¸õ estrita e como K ´ um subconjunto fechado de um espa¸o de Hilbert. ou seja. segue que ca e c K ´ completo com a topologia induzida por H. agora. existe um unico u ∈ K c˜ ´ ´ tal que u = PK (ρf − ρAu + u) com ρ > 0 nas condi¸˜es acima mencionadas.40) v → Sv = PK (ρf − ρAv + v). Av1 − Av2 ) + ρ2 |Av1 − Av2 |2 ≤ |v1 − v2 |2 − 2ρα|v1 − v2 |2 + C 2 ρ2 |v1 − v2 |2 = (1 − 2ρα + C 2 ρ2 )|v1 − v2 |2 . pelo Teorema do ponto fixo de e Banach (ver Lima [15] proposi¸ao 23. definindo=K 2 2α . a seguinte aplica¸ao: a c˜ S:K→K ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` (4. v) seja tamb´m sim´trica.164 Definamos. tomando-se 0 < ρ < se K = 2α C2 (4. para todo v1 . Isto prova co a primeira parte do teorema. entõ. . v2 ∈ K. em virtude da linearidade. p´g. que a(u. com 0 < ρ < resulta o desejado em (4.H (1) . em virtude da proposi¸ao 4. existir´ K < 1 tal que a |Sv1 − Sv2 | ≤ K|v1 − v2 |. para todo v ∈ K. Logo. entõ S ´ uma contra¸õ a e ca estrita. Portanto. Temos. sejam v1 . v − u) ≥ ϕ. ou seja. v2 ∈ K. Assim.41) resulta que 0 < 1 + C 2 ρ2 − 2ρα < 1. C2 1 + C 2 ρ2 − 2ρα. g) − 2a(g. g) − 2a(g.43) resulta que a(u. u H . v). v) ´ sim´trica e estriramente positiva. g − v). a (1) ⇒ (2) 165 H . v − u) ≤ 0. H tamb´m ´ um espa¸o de Hilbert munido da norma a(u. cont. Logo. v∈K (4. v − u . g − v)1/2 . .42) e (4. combinando (4. Por hip´tese. e a(g − u. v − u) ≥ a(g. para todo v ∈ H.6) que u = PK g. g − v) = a(g. Resulta da´ e pela caracteriza¸õ de proje¸õ no sentido do produto interno definido ı ca ca por a(u. g − u)1/2 = min a(g − v. u)1/2 e |u| sõ equivalentes em H pois a α|u|2 ≤ a(u. a(g − u. Como a(u.42) Por outro lado. a(g − u. v v∈K 2 2 sõ equivalentes. seja ϕ ∈ H . v∈K e pelo fato de a(g − v. existe um unico g ∈ H tal c˜ ´ que ϕ. para todo v ∈ K. Al´m disso. para todo u ∈ H. face ao Teorema da representa¸ao de Riesz. v) − ϕ. u).43) Da´ ı. que as normas e e a(u. u) ≤ C |u|2 ⇒ coerc. v). v − u) ⇒ a(g − u. u)1/2 (Teorema 4. g − u) = min a(g − v. existe um unico u ∈ K tal que c˜ o ´ a(u. u) + a(u. Feitas estas e e c considera¸oes.OS TEOREMAS DE LIONS-STAMPACCHIA E LAX-MILGRAM e  ´  Existe um unico u ∈ K tal que (2) 1 1  a(u. g − u) = a(g. Logo. para todo v ∈ K (4. v − u) ≥ ϕ. v = a(g. u)1/2 . gra¸as a coercividade. v) + a(v. u)1/2 ≤ √ C|u|. De fato. define um e e c novo produto interno em H cuja norma associada ´ a(u. u) − ϕ.H = min a(v. u)1/2 .H . √ α|u| ≤ a(u. respectivamente. v 2 .H . v) − ϕ. u) − 2a(g. para todo v ∈ K. como ϕ. que ı a(u1 .43) conclu´ ımos que existe um unico u ∈ K tal que ´ 1 a(u. u2 − u1 ) ≥ ϕ1 . v − u2 H . u2 − u1 ) ≥ ϕ1 . v − u1 e H . para todo v ∈ H conclu´ ımos que a(u. v − u . Vimos que ca Existe um unico u1 ∈ K tal que ´ a(u1 . 2 Observa¸õ 4. v) − 2a(g. u2 − u1 e a(u2 . Existe um unico u2 ∈ K tal que ´ a(u2 . v − u) ≥ ϕ.44) . v − u1 ) ≥ ϕ1 . ou ainda. a(u2 − u1 .14 Sejam ϕ1 . o que implica que a(u1 . v∈K e de (4. u2 − u1 ) ≤ ϕ2 − ϕ1 . suponhamos que exista um unico u ∈ K tal que ´ 1 a(u. . u2 − u1 .H 1 a(v. u = min v∈K 2 (2) ⇒ (1) Para mostrarmos esta implica¸õ. 1 a(v. u2 − u1 + −ϕ2 . v)}. u) = min{a(v. basta retrocedermos com o que fizemos na ida. para todo v ∈ K. Mas. ϕ2 ∈ H . v = a(g. v). Da´ resulta tomando v = u2 e v = u1 . ou ca seja. v − u2 ) ≥ ϕ2 .166 resulta que ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` a(u. v) − ϕ. u1 − u2 ) ≥ ϕ2 . para todo v ∈ K. Isto finaliza a prova. u = min v∈K 2 Da´ chegamos a ı a(u. v 2 . para todo v ∈ K. v − u). u) − ϕ. u) − ϕ. v − u) ≥ a(g. u2 − u1 ) + a(−u2 . u2 − u1 (4. u1 − u2 . e c Corol´rio 4.H v∈H 2 2 Demonstra¸õ: ca . u) − ϕ. v H . O resto da demonstra¸õ ca decorre da aplica¸õ imediata da segunda parte do teorema de Lions-Stampacchia. Seja ϕ ∈ H .H = min a(v. w) ≤ ϕ. Entõ. Em particular para −w. entõ u se caracteriza por: e e a  ´  Existe um unico u ∈ H tal que 1 1  a(u. w . w . u2 − u1 ) ≥ α|u1 − u2 |2 . para todo v ∈ H. para todo ϕ ∈ H .45) e fazendo o uso da desigualdade e Cauchy-Schwarz resulta que |u1 − u2 | ≤ provando que a aplica¸õ ca τ :H →K ϕ → u ´ Lipschtiziana. existe um unico u ∈ H a ´ tal que a(u. w) = ϕ.OS TEOREMAS DE LIONS-STAMPACCHIA E LAX-MILGRAM Mas. v − u . v) : H × H → R a uma forma bilinear. para todo w ∈ H. 167 (4.46) . ca 2 . Al´m disso.45) Combinando (4. Neste caso. v) podemos escrever a(u2 − u1 . cont´ ınua e coerciva.H 1 ||ϕ1 − ϕ2 ||H . v − u) ≥ ϕ. pelo Teorema de Lions-Stampacchia existe um unico u ∈ H tal que ´ a(u. o que prova a identidade a(u. v H . se a(u. para todo w ∈ H. v) for sim´trica. para todo v ∈ H. Da desigualdade acima decorre que c a(u. w . u H . para todo w ∈ H. v) = ϕ. v) − ϕ. pela coercividade de a(u. α (4.15 (Lax-Milgram) Sejam H um espa¸o de Hilbert e a(u.44) e (4. Tome w ∈ H e fa¸a v = w + u. w) ≥ ϕ. K = H e portanto. temos a(u. co e Se H ´ uma soma Hilbertiana dos En denotamos e H = ⊕En . n . 4.4 Soma Hilbertiana. v) uma forma bilinear. temos que Existe um unico u ∈ K tal que ´ a(u. Al´m disso. (ii) O espa¸o vetorial gerado pelos subespa¸os En´ denso em H. v − u . a (u. Dizemos que H ´ uma soma Hilbertiana ue c e dos En . v) for sim´trica. temos e e J(u) = min J(v). com n = m. v − u) ≥ L. ou seja. Consideremos L ∈ H a e definamos o seguinte funcional: J :K→R 1 v → J(v) = a(v. ´ conveniente expressar o Teorema de Lionsco ı e Stampacchia em termos do funcional J acima definido. (i) quando os En sõ dois a dois ortogonais. v) = 0. c c e o conjunto das combina¸˜es lineares finitas de elementos de En ´ denso em H. v) − L. v . v∈K As vezes. se a(u. ·) e norma | · | e ca c {En }n∈N uma seq¨ˆncia de subespa¸os fechados de H.17 Sejam H um espa¸o de Hilbert com produto interno (·. na teoria de equa¸˜es el´pticas. para todo v ∈ K. ou seja.168 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Observa¸õ 4. fechado e nõ vazio. para todo u ∈ En e para todo v ∈ Em . cont´ ca c ınua e coerciva e K ⊂ H um subconjunto convexo. 2 Aplicando-se o teorema de Lions-Stampacchia. Base Hilbertiana Defini¸õ 4.16 Sejam H um espa¸o de Hilbert. a(u. SOMA HILBERTIANA. Logo. n=1 +∞ n=1 ou seja. c˜ PEn : H → En ⊂ H ´ um operador linear e cont´ e ınuo de H em H. a proje¸õ de H sobre En . para u ∈ H.8. ´ um operador linear e cont´ e ınuo de H em H. k=1 |u|2 = |un |2 .9. observemos que. uk ) = 0 ⇒ (u. em particular. o que implica que n 2 n n n |Sn u| = k=1 2 uk = k=1 uk .(Identidade de Bessel-Parseval). de acordo com a proposi¸ao 4. uk ) = |uk |2 . implica que uk = PEk u. para todo u ∈ H. tem-se que n n Sn u = k=1 PEk u = k=1 uk . tem-se fk ∈ H e (f − fk . Entõ. temos que PEn se caracteriza por: a Dado f ∈ H. . pelo corol´rio 4. para todo k ∈ N e u ∈ H.18 Sejam H = ⊕En e PEn : H → En . definida ca por PEn u = un . Da carecteriza¸ao acima e. para todo n ∈ N. um elemento arbitr´rio a de H. Demonstra¸õ: ca Portanto. ou seja. n |Sn u|2 = k=1 |uk |2 . para todo v ∈ Ek . (4. BASE HILBERTIANA 169 Teorema 4. a +∞ n n a) b) u= un . e. n→+∞ lim uk = u. n Sn = k=1 PEk . k=1 uk = k=1 |uk |2 . para todo u ∈ H e n ∈ N. segue que a) Inicialmente. v) = 0. dado u ∈ H. e tomando-se fk = PEk f.47) Por outro lado. c˜ assim. uk ) = (uk . (u − uk . para todo n ∈ N. para todo n ≥ n0 .48) De (4. ´ denso em E. para todo n ∈ N e u ∈ H. (4. existe u ∈ F tal que e ε |u − u| < . por conseguinte. ou seja u= j∈J uj onde uj ∈ Ej e J ´ f inito. (4.51) (4. entõ u ´ uma combina¸õ linear finita de elementos de a e ca {En }n∈N .48) vem que |Sn u|2 = (u. que ı. k=1 uk = k=1 |uk |2 . que c designaremos por F . temos que o espa¸o gerado pelos {En }n∈N . Sn u) = k=1 |uk |2 .170 Resulta da´ somando de 1 at´ n. em virtude da desigualdade de Cauchy-Shwarz decorre que |Sn u| ≤ |u|. pelo fato de u ∈ F . |Sn u − u| ≤ |Sn u − Sn u| + |Sn u − u| ε < + |Sn u − u|. 2 o que implica que ε |Sn u − Sn u| = |Sn (u − u)| ≤ |u − u| < . 2 e.49) Agora. Portanto. para todo n ∈ N e u ∈ H.50) n Mas. ou seja. dados ε > 0 e u ∈ H. Sn u) .47) e (4. n (u. e n n ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` n n (u. tal que n n Sn u = k=1 PEk u = k=1 uk = u. e Logo. e. (4.52) . suficientemente grande. existe n0 ∈ N. considerando que H = ⊕En . uk ) = k=1 k=1 |uk | ⇒ 2 u. 2 (4. combinando (4. co e Proposi¸õ 4. 2 2 de onde resulta que +∞ n→+∞ lim Sn u = u ⇒ u = n=1 un . existe n0 ∈ N tal que |Sn u − u| < ε + |Sn u − u| 2 ε ε = |u − u| < + = ε. em fun¸õ da ultima convergˆncia ca ´ e obtida acima que +∞ |u| = k=1 2 |uk |2 . • (ii) (en . Isto prova a primeira parte do teorema.50).51) e (4. Tomando-se o limite na identidade acima. dizemos que {en }n∈N ´ uma base Hilbertiana de H. c e Nestas condi¸˜es. (b)De (4. para todo u ∈ H e n ∈ N. para todo u ∈ H. para todo n ≥ n0 .SOMA HILBERTIANA. en ) en e |u| = n=1 2 |(u. obtemos. em ) = 0. • (iii) O espa¸o G gerado pelos {en }n∈N ´ denso em H. (4. . ·) e norma | · | e ca c {en }n∈N . en )|2 . ca c Entõ. Defini¸õ 4.52) resulta que dados ε > 0 e u ∈ H. BASE HILBERTIANA 171 Portanto. para todo n = m. 2 Isto conclui a prova. uma seq¨ˆncia de elementos de H tal que ue • (i) |en | = 1.47) tem-se n |Sn u| = k=1 2 |uk |2 . a +∞ +∞ u= n=1 (u.20 Sejam H um espa¸o de Hilbert e {en }n∈N uma base Hilbertiana de H.19 Sejam H um espa¸o de Hilbert com produto interno (·. para todo n ∈ N. Analogamente. en )en . Assim. k = n. |un |2 = |(u. +∞ w= k=1. e portanto. obtemos os valores de ck .k=n (u. em virtude do teorema 4.18 obtemos +∞ +∞ |u| = k=1 2 |uk | = k=1 2 |(u. Logo. +∞ +∞ (4. . Consequentemente. fazendo o produto interno na identidade acima com ek . en )|2 |en |2 = |(u. (u. para cada n ∈ N. Evidentemente o espa¸o gerado pelos {En }n∈N ´ denso em H. H = ⊕En e pelo c e teorema 4. en ) = t. o que nos leva a +∞ u = t en + k=1. ek ) ek ⇒ u = k=1 (u. onde un ∈ En e w ∈ En . isto ´. ek ) = ck . para todo n ∈ N. en )|2 . en ) en + k=1. para todo n ∈ N e k = n. ek )|2 para todo u ∈ H.172 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Demonstra¸õ: Consideremos uma seq¨ˆncia ortogonal {En }n∈N de subespa¸os fechaca ue c dos de H definida por En = {ten .k=n ck ek e un = t en .k=n ck ek . ⊥ Mas. tem-se que u = un + w. R R Logo. e (u. para todo n ∈ N. R 2 Isto conclui a prova. en ) en |2 = |(u. Conseqënu temente. notemos que PEn u = un = (u.18 resulta que +∞ +∞ n u= n=1 PEn u = n=1 un .53) u = (u. t ∈ R}. ek ) ek Por outro lado. en ) = t (en . · · · . o e a e 2 subespa¸o gerado por β ´ denso em H. vn . · · · } e denotemos por En . e βn ⊂ βn+1 para todo n ∈ N. Repetimos o processo obtendo uma base β3 ortonormal de E3 tal que β2 ⊂ β3 . indefinidamente. existe um subconjunto ca c a D ⊂ H denso e enumer´vel. Logo. c a 173 Demonstra¸õ: Seja H um espa¸o de Hilbert separ´vel. v2 . β ´ a base Hilbertiana procurada de H. Procedendo desta forma. c e e . β = +∞ n=1 βn ´ um subconjunto ortonormal e enumer´vel de H. Consideremos a D = {v1 . temos c uma seq¨ˆncia {En }n∈N de subespa¸os de dimensõ finita tais que ue c a (i) (ii) En ⊂ En+1 . Logo.SOMA HILBERTIANA. Al´m disso. BASE HILBERTIANA Teorema 4. considerando que E1 ⊂ E2 . vn . para todo n ∈ N. Em seguida. · · · . e Seja β1 uma base ortonormal de E1 . o subespa¸o gerado pelos vetores v1 . completamos β1 de modo a obter uma base ortonormal β2 de E2 . s teremos determinado uma seq¨ˆncia {βn }n∈N de bases para os En tal que ue βn ´ finito para todo n ∈ N. v2 . Deste modo. +∞ D= n=1 En ´ denso em H.21 Todo espa¸o de Hilbert separ´vel admite uma base Hilbertiana. 174 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` . Seu trabalho publicado em 1903 na revista Acta c˜ Mathematica ´ considerado um dos principais marcos no estabelecimento da teoria de e operadores.1: Riesz-Fredholml. 175 . ` Frigyes Riesz (1880 – 1956). o Erik Ivar Fredholm (1866 . ` direita.1927). Hilbert e ıdo e e outros. Lebesgue. ` esquerda.Cap´ ıtulo 5 Teoria Espectral Figura 5. Austriaa a Hungria (agora Hungria) e faleceu em Budapest. Ele tamb´m tem algumas contribui¸oes em outras ´reas incluindo a teoria erg´dica e c˜ a o e ele deu uma prova elementar do principal teorema erg´dico. Hungria. foi um matem´tico Sueco que estabeleceu a a a teoria moderna de equa¸oes integrais. Ele foi reitor e professor da Universidade de Szeged. Seu ntrabalho foi constru´ baseado em idías introducidas por Frćhet. foi um matem´tico nascido em Gyor. Riesz fez contribui¸oes fundamentais no desenvolvimento da c˜ An´lise Funcional e seu trabalho teve um n´mero de aplica¸oes importantes em F´ a u c˜ ısica. Alguns resultados apresentac dos anteriormente estendem-se naturalmente para o caso complexo.176 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` 5. v ∈ E e λ ∈ C.4 No caso em que E ´ um espa¸o vetorial real e a(u. dizemos que a(u. v ∈ E. v) ´ uma forma bilinear. u). λu) = λa(v. a(u. v ∈ E. v) = λa(u. a(u. v) ´ identicamente a e nula. introduziremos novos conceitos bem como redemonstraremos alguns resultados que achamos convenientes para um bom entendimento da teoria espectral. Daqui e c u por diante trabalharemos em espa¸os vetoriais complexos. w) = a(u. para todo u. de modo que o presente livro texto seja auto-suficiente. ´ denominada hermitiana. w ∈ E. w ∈ E. v. conforme vimos anteriormente. conforme j´ e e a vimos anteriormente. a(u. De fato. v + w) = a(u.1) . (5. para todo u. v) + a(v. v). para todo u.1 Formas Sesquilineares At´ agora trabalhamos em espa¸os vetoriais sobre o corpo dos n´meros reais. v). λv) = λ a(u. v. dados u. w) para todo u. v) satisfaz as condi¸˜es ca e c co acima. Observa¸õ 5. e Defini¸õ 5. Uma forma sesquilinear a(u. v ∈ E e λ ∈ C. entõ a(u. ´ ca c e uma aplica¸õ a : E × E → C. que satisfaz as seguintes condi¸˜es: ca co (i) (ii) (iii) (iv) a(u + v. e Observa¸õ 5.1 Seja E um espa¸o vetorial complexo. v) ´ uma forma bilinear sim´trica. v) + a(u. w). u) = λ a(u. v) = a(v. v) ´ uma forma ca e c e sesquilinear hermitiana. Uma forma sesquilinear de E.3 Seja E um espa¸o vetorial complexo. v) = a(v. v) que ca c satisfaz a condi¸õ: ca a(u. dizemos que a(u. v) → a(u. Defini¸õ 5. ou seja. v) ´ uma forma sesquilinear que verifica a condi¸ao de e e c˜ simetria. u) para todo u. v). v) = a(v. (u. De qualquer forma. por um lado a(λu.2 No caso em que E ´ um espa¸o vetorial real e a(u. Conv´m notar que se a(u. para todo u. a(λu. v ∈ E e λ ∈ C. v). isto ´. Entõ. v) = λ a(u. u) + a(v. a(u.6 Sejam E um espa¸o vetorial complexo e a(u. ou seja. v) ` diagonal de E × E. Portanto. a ca ca a qual representaremos por a(u). ´ e e e Como consequˆncia disto nõ sentido falarmos em formas sesquilineares sim´tricas no e a e contexto das formas sesquilineares. u) = a(u + v. suponhamos que a(u) ∈ R. v) uma forma sesquilinear. para todo a u. v). v) hermitiana. u) + i a(u. v) = a(u. a(u) = a(u. u) + a(u. a unica forma sesquilinear sim´trica ´ a identicamente nula. Logo. v ∈ E a(u + v. para todo u ∈ E. Reciprocamente. v). u). u) + a(v. o que ´ um ı a e absurdo. v) = a(v. u) + a(v. v). para todo u ∈ E. v) + a(v. u + v) = a(u. v) ´ hermitiana se e somente se a(u) ´ real. v) − i a(v. para todo λ ∈ C. u) − a(v. Temos. v) + a(v. pois.2) conclu´ ımos que λa(u. v). i u) + a(i u.2) Segue da´ que a(u. v ∈ E.5 A restri¸õ de uma forma sesquilinear a(u. Proposi¸õ 5. a trivial. Em particular. Por outro lado. v) = α ∈ R. v) = i a(u. v ∈ E. a(u. a(λu. Defini¸õ 5. temos a(i u + v. ca c Entõ.3) Suponhamos a(u. a e e Demonstra¸õ: ca u ∈ E. v) − i a(v. o que implica a(u. v) ⇒ (λ − λ)a(u. a(u) ∈ R. v ∈ E e λ ∈ C. i u + v) = a(i u. u + v) − a(u. i u) + i a(u. i u) + a(v. u) + i a(u. para todo u. v) + a(v. u) + a(v. (5. λ = λ. a(u) = a(u). de (5. para todo u. 177 (5. ou seja. v) = −i2 a(u. v) − i a(v.FORMAS SESQUILINEARES Por outro lado.1) e (5. v) = 0. v) = λ a(u. u). ´ denominada forma quadr´tica e a associada a a(u. v) = 0. para todo u. caso contr´rio. para todo . ou seja. (5. u) i = β. β +αi −β i − α i2 α−βi = = . u) i = β Consequentemente. v) = Entretanto. u + i v) − i a(u − iv.3) e (5. v) i + a(v. v) i − a(v. u) − a(v.6) . de (5. u + v) − a(u. u) = α+βi . u) = a(i u + v. 2 2i −2 i 2 e de (5.se a(u. basa tando para isso. v). Infelizmente.5) resulta que a(u. u) = −β + α i . u) i = β − α i. 2 2i −2 i 2 −β + α i β i − α i2 α+βi = = . i u + v) − a(u. v ∈ E. v) sobre a diagonal de E ×E. v) ´ hermitiana. Notemos que a expressõ em (5. v) : E × E → C ´ v´lida a seguinte f´rmula de fćil e a o a constata¸ao: c˜ 4a(u. e − a(u. v) for uma forma bilinear sim´trica vale a seguinte f´rmula: e e o 2a(u. conhecermos a(u. v) = α−βi 2 e a(v.4) podemos escrever a(u. v ∈ E. u). para todo u.6) permite-nos conhecer a(u. u − iv). no caso real nõ podemos obter uma f´rmula semelhante. v) = a(u + v. para todo u. u − v) + i a(u + i v. v) − i a(v. v) = β ∈ R. a menos que tenhamos uma forma bilinear a o sim´trica. v) i − a(v. para todo u. 2 β +αi 2i e a(v.7) (5. v) = a(u + v. v) = a(v. u) i = −α i a(u. u + v) − a(u − v. u) − a(v. v) i − a(v. v ∈ E.178 de onde conclu´ ımos que ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` i a(u. Desta forma. v) em todo E × E. 2a(u. a(u.5) o que implica que a(u. v) i = β + α i e da´ vem que ı a(u. (5. u) i = α i a(u. e 2 Para uma forma sesquilinear a(u.4) (5. 2i e − 2a(v. v)|2 ≤ a(u. u)) + |λ|2 a(v. u + λ v) = a(u. v) estritamente positiva. (5. u) a(v. v) hermitiana. v) = a(u. agora. para algum α ∈ C. v)|2 = |α|2 |a(v. v)|2 = |α|2 |a(v. Combinando as duas rela¸oes acima. v) uma forma sesquilinear hermitiana estritamente positiva de E × E. v) = a(u.9) . ca a u = αv. α v) = α α a(v. u) + 2Re λ a(u. Temos |a(u. v)|2 = |a(α v. v) = a(u. u) a(v. u) = a(α v. Entõ. v) = a(u. para todo u. v)|2 = |αa(v. u) + |λ|2 a(v. u + λ v) > 0. para todo λ ∈ C. u) + 2Re λ a(v. v).7 Uma forma sesquilinear hermitiana a(u.sendo a(u. v ∈ E sejam linearmente independentes. v). v ∈ E. Sendo a(u. Entõ. v ∈ E dois vetores linearmente dependentes.6 (note que a(u. considerando-se a proposi¸ao 5. a(u. que u. Por outro lado. temos a(u + λ v. u) + |λ|2 a(v. u) + 2Re (λ a(v. u + λ v = a 0. u) + |λ|2 a(v. v). v) + |λ|2 a(v. u) + λ a(v. resulta que e |a(u. para todo u ∈ E e estritamente positiva se a(u. u) + λ a(v. entõ d´-se a igualdade em (5. u) > 0. Proposi¸õ 5. v) = |α|2 a(v. u) + λ a(v. v)|2 . para todo u ∈ E com u = 0. u) + 2Re λ a(v. se u e v forem linearmente dependentes. a ca Demonstra¸õ: Consideremos u. obtemos a(u + λ v. v)| |a(v. (5. v).8) e a a e se u e v forem linearmente independentes d´-se a rela¸õ menor.FORMAS SESQUILINEARES 179 Defini¸õ 5. v) c˜ c˜ ´ hermitiana) e sendo a(u. u) + λ a(v. Por outro lado. v)| = a(u.8) Al´m disso. v) ´ denominada positiva se a(u. Suponhamos. Entõ: a |a(u. v) = a(u. u) ≥ ca e 0. v) estritamente positiva.8 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Sejam E um espa¸o vetorial ca c complexo e a(u. u) + |λ|2 a(v. v) = q eiθ . v) = t eiθ q eiθ = t q eiθ eiθ = t q eiθ Assim. v ∈ E. ou ainda. v) uma forma sesquilinear hermitiana estritamente positiva. Pondo-se p = a(v. u) e a(u.12) Se p = a(v. escolhendo-se λ da forma λ = t eiθ . de (5. u) a(v.9 (Desigualdade de Minkowski) Sejam E um espa¸o vetorial comca c plexo e a(u. . =1 (5. Segue da´ que ı ∆ = (2q)2 − 4pr < 0. a obtemos |λ|2 = t eiθ 2 = t2 (cos2 θ + sen2 θ) = t2 .10) onde q = |a(u. ou seja. |a(u. entõ a fun¸ao quadr´tica em (5. para todo t ∈ R.13) 2 = t q. (5.10). v).11) Tamb´m. v)| e θ = arg(a(u. Agora. u + λ v) = a(u. para todo u.13) nõ possui ra´ a c˜ a a ızes reais. v)).180 e de (5. 2 Proposi¸õ 5. u) + 2Re λ a(u. t ∈ R. se p = 0. v) > 0. v) + |λ|2 a(v.12) conclu´ ımos que f (t) = p t2 + 2q t + r > 0. v). por conseguinte. v)| ≤ a(u. v) = 0. r = a(u. o que conclui a prova. entõ v = 0 e. (5. Entõ. u + v)]1/2 ≤ [a(u. q 2 < pr.8) segue a trivialmente. (5.11) e (5. e λ a(u. a desigualdade em (5. a [a(u + v. v)]1/2 .9) vem que ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` a(u + λ v. u)]1/2 + [a(v. entõ. (5. o produto interno ser´ denotado por (·. v + w) = (u. u)1/2 + a(v. u) ≥ 0 e (u. v. w). ·) : E × E → C. v) + a(v. v) = a(u. [u. pois decorrem das mesmas. u) + a(u. v) = (v.1 nõ necessitam ser ca co ca a englobadas `s quatro condi¸˜es acima. v). resulta que a(u + v. Observa¸õ 5. v) uma forma sesquilinear ca c de E. (u + v. Sendo a(u. u)1/2 + a(v. u) + 2 |a(u. w ∈ E temos (P 5) (u. v ∈ E. v)1/2 + a(v. a(u. e. v).11 Note que as condi¸˜es (iii) e (iv) da defini¸õ 5. u) + a(u. u) = 0 ⇔ u = 0. o que prova o desejado. v) ≤ a(u. que satisfaz as seguintes condi¸oes para todo u. v) + a(u. . w ∈ E e λ ∈ C: c˜ (P 1) (P 2) (P 3) (P 4) (u. v] ∈ E × E → (u. v) = a(u. v) + (u. v)| + a(v. v) = a(u. v)) + a(v. v) = λ(u. v). v) ´ denominada um produto interno em E se for hermitiana e estritamente e positiva. u) + 2 a(u. Com efeito. da desigualdade de cauchy-Schwarz. Um espa¸o vetorial complexo E munido com um produto interno ´ denominado c e espa¸o com produto interno. u) + a(v. u + v) = a(u. v)1/2 2 181 . v) + a(v. da desigualdade anterior em que [a(u + v. para todo a co u. Neste caso. w) (u. u) + 2Re (a(u. u + v) ≤ a(u. w) = (u. Em c a outras palavras. Temos ca a(u + v. u)1/2 a(v. um produto interno ´ uma aplica¸ao e c˜ (·. v) positiva. ·).FORMAS SESQUILINEARES Demonstra¸õ: Seja u. v. u). 2 Defini¸õ 5. u + v)]1/2 ≤ a(u.10 Sejam E um espa¸o vetorial complexo e a(u. w) + (v. v)1/2 . (λ u. u) = λ(v. (5. u + v) + (u − v. u) + (u. v ∈ E e λ ∈ C.P. Frćhet-J. u) + (v. Teorema 5. Logo. v) + (v. v + w) = (v + w. λ v) = λ(u. v ∈ E. u − v) = (u.182 pois de (P 3) e (P 4) resulta que ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` (u. u) = (v. v) = 2[(u. u)1/2 ´ completo. para todo u. Entõ. v ∈ E.12 Um espa¸o com produto interno E ´ denominado um espa¸o de Hilbert ca c e c se E. temos (P 6) j´ que de (P 2) e (P 4) inferimos que a (u. w). tal que = ||u||. com norma ||u|| = (u. considerado como um espa¸o normado. com norma || · ||. para todo u ∈ E. Demonstra¸õ: ca (u. suponhamos que a identidade do paralelogramo seja satisfeita e definamos a aplica¸õ: ca f :E×E →R (u. ·) em E. u) = (v. u) + (v. v) − (v. Von Neumann . Reciprocamente. u) = λ (v. v)] = 2 ||u||2 + ||v||2 .14) Suponhamos que exista um produto interno (·. para todo u. temos ||u + v||2 + ||u − v||2 = (u + v. u) = λ(u. Defini¸õ 5. λ v) = (λ v. v) + (u. v) + (u. u) + (v. v). u) + (w. entretanto.13 (M. sua norma prov´m de algum produto interno se a e e somente se ´ v´lida a identidade do paralelogramo: e a ||u + v||2 + ||u − v||2 = 2 ||u||2 + ||v||2 . v). u) − (u. prov´m de algum produto interno conforme mostra o e seguinte resultado. u) 1/2 (u. Ainda. c e Nem toda norma. u) = (u.15) . v) = 1 ||u + v||2 − ||u − v||2 . para todo u. u) + (w. Jordan) Seja E um espa¸o vee c torial normado. 4 (5. v) → f (u. v) = f (v. para todo u. v) = α f (u. temos (i) (ii) (iii) (iv) f (u + v. (5. u) = ||u||2 . e • Prova de (i). Mostraremos que (i) c˜ a e (ii) tamb´m se cumprem. f (α u. w ∈ E. definida por Φ(u. f (u. Provaremos que Φ(u. De fato. Definamos a fun¸ao auxiliar c˜ Φ:E×E×E →R (u. w)] . v. Com efeito. v. 4 1 f (u. 4 1 f (v. v. w) = ||u + v + w||2 − ||u + v − w||2 − ||u + w||2 + ||u − w||2 − ||v + w||2 + ||v − w||2 . w) = 0. u). w).17) . f (u. v. Φ(u. w) + f (v. Φ(u. v.16) Logo. w) = ||u + w||2 − ||u − w||2 . que f (u + v. w) − f (u. w) = f (u. w) = ||v + w||2 − ||v − w||2 . w) → Φ(u. w) = ||(u + w) + v||2 − ||(u − w) + v||2 − ||u + w||2 + ||u − w||2 − ||v + w||2 + ||v − w||2 . ou seja. w) − f (v. temos. v). v. que f satisfaz as seguintes propriedades: Para todo u. as condi¸oes (iii) e (iv) sõ satisfeitas imediatamente. w).15). 4 (5. de (5. v. w) = 4 [f (u + v.FORMAS SESQUILINEARES 183 Provaremos. w ∈ E e α ∈ R. a seguir. v. w) = 1 ||u + v + w||2 − ||u + v − w||2 . w) = ||u + w||2 − ||u + w − v||2 − ||u − w||2 + ||u − w − v||2 − ||v + w||2 + ||v − w||2 . v. membro a membro.20) obtemos 2Φ(u. w) = 2 ||u||2 + ||v + w||2 − 2 ||v − w||2 + ||u||2 − 2||v + w||2 + 2||v − w||2 (5. o ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` ||(u + w) + v||2 + ||(u + w) − v||2 = 2 ||u + w||2 + ||v||2 ||(u − w) + v||2 + ||(u − w) − v||2 = 2 ||u − w||2 + ||v||2 Assim. Φ(u.21) em (5. v.184 Entretanto.18) + ||u − w − v||2 − ||u + w||2 + ||u − w||2 − ||v + w||2 + ||v − w||2 .17) e (5. w) = ||u + w + v||2 − ||u − w + v||2 − ||u + w − v||2 + ||u − w − v||2 − 2||v + w||2 + 2||v − w||2 = ||u + w + v||2 + ||u − w − v||2 − ||u − w + v||2 + ||u + w − v||2 − 2||v + w||2 + 2||v − w||2 .19).17) obtemos Φ(u. ou seja. v. por hip´tese. w) = 2||u + w||2 + 2||v||2 − ||u + w − v||2 − 2||u − w||2 − 2||v||2 (5. w) = ||u + (w + v)||2 + || − u + (v + w)||2 − ||(v − w) + u||2 + ||(v − w) − u||2 (5. Somando (5. • Prova de (ii). .16). por hip´tese.21) = 2||u||2 + 2||v + w||2 − 2||v − w||2 − 2||u||2 − 2||v + w||2 + 2||v − w||2 = 0. Mas. o ||u + (w + v)||2 + || − u + (v + w)||2 = 2 ||u||2 + ||v + w||2 ||(v − w) + u||2 + ||(v − w) − u||2 = 2 ||v − w||2 + ||u||2 Portanto.19) − 2||v + w||2 + 2||v − w||2 . resulta que 2Φ(u.18) em (5. ou seja. substituindo-se (5. v.20) (5. v. o que prova (5. substituindo-se (5. e por conseguinte (i). 2Φ(u. entõ a ϕ(0) = f (0. 4 • Se α = 1. vem que ϕ(n) = f (n u. da propriedade (i) e do exposto acima.FORMAS SESQUILINEARES De maneira an´loga. n ∈ Z∗ . 4 185 (5. v) − α f (u. Assim. v) 1 = || − u + v||2 − || − u − v||2 + ||u + v||2 − ||u − v||2 = 0 ⇒ ϕ(−1) = 0. definamos a fun¸ao auxiliar a c˜ ϕ:R→R α → ϕ(α) = f (α u. (5. para todo α ∈ R. ou seja. v) = n f (u. • Se α = 0. v)) − n f (u. v) − n f (u. v) − n f (u. v) + · · · + f (u. v) = f (sign (u + · · · + u). v ∈ E arbitr´rios e fixados. v). Tomemos. v) − n f (u. agora. v) n parcelas = sign |n| f (u.23) . para u.22) ϕ(−1) = f (−u. Provaremos que a ϕ(α) = 0. ϕ(n) = 0 para todo n ∈ Z. Com efeito. v) = • Se α = −1. v) n parcelas = sign (f (u. v) − f (u. entõ a ϕ(1) = f (u. v) = 0 ⇒ ϕ(1) = 0. entõ a 1 ||v||2 − || − v||2 = 0 ⇒ ϕ(0) = 0. v) = 0. v) + f (u. v) − n f (u. obtemos a c˜ ϕ p q p = f ((p/q) u. a (·. u) = f (u. temos ca (u. j´ que cumpre as condi¸oes (P 1) − (P 4) da defini¸ao de produto interno. v) − f (u. (5.23) e da defini¸ao de ϕ. (u.25) define um produto interno c˜ em E. v) + i f (u. Assim. v) q 1 p = pf u.26) (5. de (5. Entõ. e . ca (5. v) − f (u. notemos inicialmente que da defini¸õ de f .26) que a condi¸õ (P 1) da defini¸ao de produto interno se cumpre imeca c˜ diatamente posto que || · || ´ uma norma em E. com f definida em (5. ·) : E × E → C [u. (5.24) Resulta da´ da densidade de Q em R e da continuidade da fun¸õ ϕ o desejado em ı. agora. Definamos. q ∈ Z e q = 0. v) q q q p p = f (u. v) q q 1 p p = q u.25) Segue de (5. v) = f (u.15) verifica as quatro condi¸˜es (i) − (iv) acima c˜ co mencionadas.186 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Consideremos. v − f (u. p. v − f (u. Com efeito.15). 4 ou seja. Provaremos que a aplica¸ao (5.22). v] → (u. entõ. i u) 1 i = ||u + u||2 + ||u + i u||2 − ||u − i u||2 4 4 i 1 2 = ||2u|| + ||u(1 + i)||2 − ||u(1 − i)||2 4 4 i = ||u||2 + |1 + i|2 ||u||2 − |1 − i|2 ||u||2 4 i = ||u||2 + ||u||2 [2 − 2] = ||u||2 . a fun¸ao f definida em (5. u) = ||u||2 para todo u ∈ E. i v). para todo α ∈ Q. u) + i f (u. a c˜ c˜ Prova de (P 1). q q o que implica que ϕ(α) = 0. v) = 0. w) = f (u + v. v) − i f (u. w) + (v. u) = −f (u. i u) = f (u. i v). i u) = f (i (−i v). i v). w) + (v. w). w) + i f (v. w) + i f (u. v ∈ E.FORMAS SESQUILINEARES Prova de (P 2). Por outro lado. i w) = f (u. u) = f (v. que ca f (i u. i v) = f (u. v) + i f (u. i u) = −f (u. w) = (u. f (v. i v) = 1 4 1 = 4 1 = 4 1 = 4 ||i u + i v||2 − ||i u − i v||2 i(u + v)||2 − ||i(u − v)||2 |i|2 ||u + v||2 − |i|2 ||u − v||2 ||u + v||2 − ||u − v||2 = f (u. f (i u. w ∈ E. v). o que prova (P 2). w) + f (v. da propriedade (i) de f e da defini¸õ do produto interno (5. i u) = f (−i v. w). v. u) = −f (i v.25) e novamente pela propriedade (iii) ı ca de f .25). para todo u. w) + i f (u + v.27) Logo. i w) + i f (v. i w)] + [f (v. . ou seja. que (v. v). para todo u. da defini¸õ de f . Da´ resulta da defini¸õ de produto interno (5. da identidade anterior e da propriedade (iii) de f podemos escrever f (v. i w) = [f (u. i u) = f (−i i v. v ∈ E. (u + v. i v) = (u. obtemos ca (u + v. (5. v). u) + i f (v. ou seja. Prova de (P 4). Temos. para todo u. i w)] = (u. 187 Temos. v). v). ´ para todo ξ ∈ R. ·) e norma ca a c || · || = (·. v) = (α u + β i u. v ∈ E e λ ∈ C. v). para todo u.28) Notemos incialmente que dafini¸ao de produto interno dada em (5. para todo u. v). v) − f (u. e das rela¸oes c˜ c˜ obtidas na demonstra¸õ de (P 4) chegamos a ca (i u. v) = λ (u. (i u. ·)1/2 . v ∈ E. v) = λ (u. e ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` (v.188 isto ´. v) = (α + i β) (u. ca 2 (5. para todo u. ou seja.29) 5. v) + i β (u. Da ultima identidade. v) = ξ (u. ou seja. v) + i2 f (u. u) = (u. Prova de (P 3). o que prova (P 3) e conclui a demonstra¸õ do teorema. H ser´ um espa¸o de Hilbert com produto interno (·. v) = i f (u. v) = ((α + i β)u. (5. Seja λ = α + i β ∈ C. i v) = f (v. v).25). v ∈ E. (λ u. i u) + i f (u. v) = α (u.2 Formas Sesquilineares Limitadas No que segue nesta se¸õ. de (5. i v) = i [f (u. v) = i (u. i v) = i f (u. resulta que (λ u. v) + i f (u. v). i v)] = i (u. v) + i f (i u. v) = (α u. o que prova (P 4). v) = f (i u. v) + (β i u. .27) e do fato que (ξ u. 31) . v ∈ H e u. Obviamente. v)|2 ≤ (u. definamos a:H ×H →C (u. por ser um produto interno. ca e em virtude da desigualdade de Cauchy-Scwarz. Com e efeito. v ∈ H. u) a(v. ||u||. v ∈ H. v). a Seja S o espa¸o constitu´ de todas as formas sesquilineares limitadas. v ∈ H. para todo a ∈ S e ||a|| = 0 ⇔ a ≡ 0.14 Uma forma sesquilinear de H ´ denominada limitada. se existe uma ca e constante C > 0 tal que |a(u.15 A aplica¸õ a ∈ S → ||a|| ∈ R definida em (5. v)|2 ≤ a(u. Exemplo: O produto interno definido em H ´ uma forma sequilinear limitada. Nota¸õ: Seja a(u. resta-nos provar que ´ limitada. a(u. para todo u. u) (v. ou ainda. o supremo do conjunto c˜ c˜ acima est´ bem definido. v) → a(u. ||v|| (5. temos. v) = (u. u. v)| ≤ C ||u|| ||v||. |a(u. v) uma forma sesquilinear limitada de H. Denotaremos por ||a|| o ca n´mero: u ||a|| = sup |a(u. para todo u. v)| . Demonstra¸õ: Provaremos inicialmente que ca ||a|| ≥ 0. v) = ||u||2 ||v||2 ⇒ |(u.30) Note que. para todo u. o que prova que o produto interno em um espa¸o de Hilbert H ´ uma forma sesquilinear c e hermitiana estritamente positiva e limitada. Com efeito. v). por defini¸õ. c ıdo Proposi¸õ 5. v) ´ uma forma sesquilinear hermitiana e e estritamente positiva.FORMAS SESQUILINEARES LIMITADAS 189 Defini¸õ 5. (5. v)| ≤ ||u|| ||v||.30) define uma norma ca ca em S. em fun¸ao da defini¸ao de forma sesqulinear limitada. v = 0 . |(u. (5. provaremos que ||λ a|| = |λ| ||a||. v)| |λ a(u.v=0 ||u|| ||v|| sup |a(u. em virtude da identidade acima que a(u.u.u.31). para todo a. De fato.u.v)| ||u|| ||v|| ≥ 0. para todo a ∈ S e λ ∈ C.v)| ||u|| ||v|| = 0. b ∈ S. v ∈ H tal que u. v = 0. Da´ vem que ı |a(u. v = 0.v∈H.v=0 ||u|| ||v|| u.v=0 ||u|| ||v|| sup (5. v)| ≤ sup =0⇒ = 0 para todo u. u.v∈H. v)| = sup u. u.v=0 ||u|| ||v|| ||u|| ||v|| Resulta da´ que ı a(u. v) = 0. Agora se u = 0 ou v = 0 entõ a(u.u. ou seja. entõ. ||a|| = 0. sejam a ∈ S e λ ∈ C.v∈H. se a ≡ 0. provaremos a desigualdade triangular.v∈H. entõ resulta imediatamente que a u. v) = 0 de onde conclu´ a ımos.v∈H. para todo u. v = 0 e |a(u. seja a ∈ S.33) . Temos que portanto ||a|| = Al´m disso.190 Com efeito. A seguir. v ∈ E. v ∈ H com u. v)| |a(u. u. v ∈ H tal que u. v ∈ H tal que u.v=0 ||u|| ||v|| sup o que implica que 0≤ |a(u. ||a + b|| ≤ ||a|| + ||b||.u. Por outro lado. v)| = |λ| sup = |λ| ||a||. para todo o que prova (5. v) = 0 para todo u. e a ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` |a(u. v)| |a(u. Temos ||λ a|| = |λ| |a(u. u.v=0 ||u|| ||v|| |a(u. v)| = 0. v)| ≥ 0.v∈H. v = 0. v)| = 0. ||u|| ||v|| u.32). para todo u.u. Para finalizar.u. ou seja. se ||a|| = 0.v=0 ||u|| ||v|| sup o que prova (5.v∈H.32) |a(u. u. (5. u. {a(u. v ∈ H}. v)| |a(u.u. v = 0.v∈H. v).v∈H. Entõ. as seguintes igualdades se verificam: a ||a|| = sup{|a(u. v ∈ H tais que u. v). ||u|| ||v| ≤ sup u. sup u. v)| ≤ sup + sup u. c˜ 2 191 Proposi¸õ 5. v)|. v)| ≤ C ||u|| ||v||. u.FORMAS SESQUILINEARES LIMITADAS Com efito. Demonstra¸õ: Provaremos primeiramente que ca ||a|| = sup{|a(u.34) u v .v=0 ||u|| ||v|| u. v ∈ H tal que ||u|| = ||v|| = 1}. v ∈ H tais que u. v ∈ H tal que u = 0 e v = 0}.v∈H. de onde resulta que |(a + b) (u. a |(a + b) (u. b ∈ S e u.v=0 sup o que prova (5. ||u|| ||v|| u. v)| |b(u. |a(u.33) e encerra a demonstra¸ao. onde ||a|| foi definida em (5. u. v) uma forma sesquilinear limica c tada de H. v = 0.u. |a(u. v ∈ H tal que ||u|| ≤ 1 e ||v|| ≤ 1} = inf{C > 0. v) + b(u.16 Sejam H um espa¸o de Hilbert e a(u. v)|. v)|. sejam a. Entõ. v)| = a ||u|| ||v|| o que implica que ||a|| ≤ Por outro lado.v∈H.||u||=||v||=1 (5.v=0 ||u|| ||v|| = ||a|| + ||b||. v)|. v)|.v∈H.u. Sejam u.30).35) . v ∈ H tal que ||u|| = ||v|| = 1} ⊂ {a(u. v)| = ≤ + ||u|| ||v|| ||u|| ||v|| ||u|| ||v|| ||u|| ||v|| |a(u. v ∈ H tal que ||u|| = ||v|| = 1}. v)| |a(u. u. v)| ≤ ||a|| + ||b||. para todo u. Temos |a(u. v)| |b(u. = sup{|a(u.||u||=||v||=1 |a(u. v)| ≤ C ||u|| ||v|| ⇒ o que acarreta que ||a|| = |a(u. v)| ≤ ||a||. que ||a|| = inf{C > 0. |a(u. para todo u. para todo u. a seguir. notemos que |a(u. v = 0.39) (5.37) Se ||a|| = 0 temos que a ≡ 0 e portanto a igualdade segue trivialmente. v ∈ H}. ||a|| ≥ inf{C > 0. v)| . v ∈ H com u. u. Provaremos. ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` {|a(u. u. v ∈ H. Consequentemente. o que implica que ||a|| ∈ {C > 0. conclu´ ımos que |a(u. v ∈ H}. ||a|| ≤ C. v)| = ||a|| ||u|| ||v|| = 0. (5. v ∈ H e u = 0 e v = 0 . v)| ≤ ||a|| ||u|| ||v||. v)| ≤ ||a|| ⇒ |a(u. para todo u.34). ||u|| ||v|| Evidentemente. para todo C > 0 tal que |a(u. para todo u. Consideremos ||a|| = 0 e C > 0 tal que |a(u.v=0 ||u|| ||v|| sup |a(u. tal que u.35) e (5.v∈H. tomando-se o ´ ınfimo obtemos ||a|| ≤ inf{C > 0.||u||=||v||=1 |a(u. |a(u. v ∈ H}. para todo u. Assim.36) tem-se o desejado em (5. v)| ≤ ||a|| ||u|| ||v||.36) Combinando (5.192 Da´ ı.u.v∈H. v)| ≤ C ||u|| ||v||. v)| ≤ C ||u|| ||v||. v = 0. ||u|| ||v|| |a(u. ||u|| ||v|| Desta forma. v)| ≤ C ||u|| ||v||. para todo u. u.38) . v)| ≤ C. |a(u. v ∈ H. Assim. v ∈ H. v ∈ H}. (5. se u = 0 ou v = 0 temos imediatamente que |a(u. v)| ≤ C ||u|| ||v||. v)| ≤ C ||u|| ||v||. Por outro lado. para todo u. v ∈ H tal que ||u|| = ||v|| = 1} ⊂ o que implica que sup u. para todo u. |a(u. v)|. v)| ≤ C. (5. u. 1 ≤ |a(u. o que conclui a prova.43) sup u.43) tem-se o desejado em (5. a ||u|| ||v|| ≤ 1. se a(u. u. 193 (5. para todo u. . v ∈ H. v)| ≤ o que implica que sup{|a(u. ||v|| ≤ 1 e u.17 De acordo com o que vimos acima. como {|a(u. Logo.34). v)|.40) (5. v ∈ H tal que ||u|| ≤ 1 e ||v|| ≤ 1} ≤ sup{|a(u. v)|.||u||=||v||=1 |a(u. v)| ≤ ||a|| = sup |a(u. v = 0.41).38) e (5. u. u. v ∈ H tal que ||u|| ≤ 1 e ||v|| ≤ 1}. v ∈ H tal que ||u|| ≤ 1 e ||v|| ≤ 1}. v)|. u. u. u. resulta que sup{|a(u. v) ´ uma forma sesquilinear ca e limitada. v)|. Combinando (5. (5. ´ suficiente provarmos que e sup{|a(u. v ∈ H com ||u|| ≤ 1 e ||v|| ≤ 1.||u||=||v||=1 Se u = 0 ou v = 0 temos que |a(u. v ∈ H tal que ||u|| ≤ 1 e ||v|| ≤ 1}. podemos escrever |a(u. v ∈ H tal que ||u|| = ||v|| = 1} ⊂ {|a(u. v)|. Finalmente. e portanto. v ∈ H tais que ||u|| ≤ 1.39) tem-se o desejado em (5. v)| = 0 ≤ supu. v ∈ H tal que ||u|| ≤ 1 e ||v|| ≤ 1}. ||u|| ||v|| (5.42) e (5.||u||=||v||=1 |a(u. provaremos que ||a|| = sup{|a(u. |a(u. v ∈ H tal que ||u|| = ||v|| = 1}. v)|. v)|. v ∈ H tal que ||u|| = ||v|| = 1} ≤ sup{|a(u.37). v ∈ H tal que ||u|| = ||v|| = 1} = sup{|a(u. v)| ≤ 1 .v∈H. v)|. 2 Observa¸õ 5.v∈H.FORMAS SESQUILINEARES LIMITADAS Combinando (5. Entõ. Por outro lado. u. Contudo.42) o que nos leva a |a(u. v)|.41) De fato. v)| ≤ ||a|| ||u|| ||v||. v)|. v)| para todo u. sejam u.v∈H. v)|. devido a (5. ||u|| ||v|| u. u. v)| ≤ 4C 2 ||u|| ||v||. v 2C ||u|| 2C ||v|| < δ1 e sejam u. v) ´ contńua em H × H. . a existe δ > 0 tal que ||(u. conseqëntemente. desta forma.18 Uma forma sesquilinear a(u. v) ´ cont´ e ınua no ponto (0. v ∈ H a(u. Proposi¸õ 5. As seguintes afirma¸˜es co sõ equivalentes: a (i) (ii) (iii) (iv) a(u. ∈ H × H e. 2C ||u|| 2C ||v|| ||v|| ||u|| + 2C ||u|| 2c ||v|| 1 1 1 = + = < δ1 . v) ´ Lipschitziana em cada parte limitada de H × H. portanto. u u v . v = 0. 2C 2C C = Resulta da´ e de (5. 0). a desigualdade (iii) se verifica trivialmente. Seja C > 0 tal que 0 < 1 C (5. |a(u. v) ´ contńua no ponto (0.194 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Defini¸õ 5. e. Logo. v) = 0 e.44) que ı a u v . existira δ1 > 0 tal que ||(u. Isto conclui a prova. v)| < ε.44) u .19 Sejam H um espa¸o de Hilbert com produto interno (·. v = 0. v)| ≤ C ||u|| ||v|| para todo u. e Demonstra¸õ: (i) ⇒ (ii) Evidente. Se u = 0 ou v = 0. v)|| = ||u|| + ||v|| < δ ⇒ |a(u. ·)1/2 e a : H × H → C uma forma sesquilinear de H. v ∈ H com u. temos que a(u. v) de H ´ dita cont´ ca e ınua em H se ela for uma fun¸õ cont´ ca ınua de H × H → C. ca (ii) ⇒ (iii) Suponhamos que a(u. e ı Existe C > 0 tal que |a(u. Entõ. 0) ∈ H × H. e ı a(u. ·) e norma ca c || · || = (·. v)| < 1. para todo u. Considerando-se ε = 1. v)|| = ||u|| + ||v|| < δ1 ⇒ |a(u. dado ε > 0. 2C ||u|| 2C ||v|| < 1. para todo r > 0. v0 )| < ε. v ∈ E. Pela arbitrariedade de (u0 . v2 )||H×H . v2 )| ≤ C r [||u1 − u2 || + ||v1 − v2 ||] = C r ||(u1 . v1 ) − (u2 . v) ´ Lipschitziana em Br ((u0 . v2 ) − a(u2 . r}. para todo (u1 . por a hip´tese. v1 ) ∈ Br ((u0 . v) ´ Lipschitziana em E com constante de Lipschitz L igual a C r. a . o que prova que a(u. v)| ≤ C ||u|| ||v||.45) Consideremos. v2 )| ≤ |a(u1 . v1 ). Entõ. v0 )). Com efeito. v0 )| ≤ L ||(u − u0 . Em particular. v0 ). v) em (u0 . para todo (u. ´ claro. 2 Observa¸õ 5. E ⊂ H × H um conjunto limitado. da desigualdade a acima decorre que |a(u. v1 ) − a(u0 . v ∈ H. v) ´ cont´ e ınua em H × H. v0 )) ⊂ H ×H. v0 )||H×H . Provaremos que a(u. v) ∈ E temos que ||(u. com constante o e de Lipschitz dependendo de r. v) ´ cont´ e ınua em H × H. v − v0 )||H×H < δ.FORMAS SESQUILINEARES LIMITADAS (iii) ⇒ (iv) Suponhamos que existe C > 0 tal que |a(u. e Logo. v1 ) − a(u2 . Entõ. sejam (u0 . Entõ. v0 ) resulta que a(u. v) ´ Lipschitziana em E. e (iv) ⇒ (i) Suponhamos que a(u. ou seja ||u|| + ||v|| < r para todo u.20 Decorre dos ´ ca ıtens (i) e (iii) da Proposi¸õ acima que os conceitos de ca forma sesquilinear cont´ ınua e forma sesquilinear limitada sõ equivalentes. sejam (u1 . v) − a(u0 . o que mostra a continuidade de a(u. da ultima desigualdade e de (5. v2 ) + a(u1 . existe r > 0 tal que a E ⊂ Br (0) ⊂ E × E. para todo u. v) ∈ Br ((u0 . v1 ) − (u0 . |a(u. Mostraremos e que a(u. v) − a(u0 . para todo (u. Isto conclui a prova. v1 − v2 )| + |a(u1 − u2 . a(u. ou seja. v0 )). v0 )| ≤ L ||(u1 . e |a(u1 . ou seja. (u2 . v − v0 )||H×H .45) resulta que |a(u1 . v1 ) − a(u1 . v0 ) ∈ H × H e ε > 0. Escolhamos δ < min{ε/L. se ||(u − u0 . v) ´ Lipschitziana em limitados de H×H. 195 (5. v)|| < r. v2 )| = |a(u1 . v2 ) ∈ E. De fato. u − v) + i a(u + i v. para todo u. |a(u. v) na diagonal. a(u. u − i v). e a e Demonstra¸õ: Sejam u. ||u + v||2 + ||u − v||2 = 2 ||u||2 + ||v||2 . v)| ≤ C 2 ||u||2 + ||v||2 + 2 ||u||2 + ||v||2 4 = C ||u||2 + ||v||2 . Sejam. u + i v) − i a(u − i v. de (5. v)| ≤ 1 [|a(u + v. e c e a portanto. v) = a(u + v. v) ´ limitada. u + v) − a(u − v. v ∈ H com ||u|| = ||v|| = 1. (5. da desigualdade acima resulta que |a(u.47) Se u = 0 ou v = 0. u − i v)|] C ≤ ||u + v||2 + ||u − v||2 + ||u + i v||2 + ||u − i v||2 . v)| ≤ 2C ||u|| ||v||.196 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Proposi¸õ 5. v ∈ H.46) chegamos a |a(u. o que prova que |a(u. v) uma forma sesquilinear de H. combinando as identidades acima com (5. v)| ≤ 2C ||u|| ||v||. u + v)| + |a(u − v. u. Entõ. v = 0. e encerra a prova. Da identidade ca 4 a(u. entõ a(u. Em particular.21 Sejam H um espa¸o de Hilbert e a(u.46) onde C > 0 ´ uma constante que prov´m da limita¸ao de a(u. agora. ||u + i v||2 + ||u − i v||2 = 2 ||u||2 + ||i v||2 = 2 ||u||2 + ||v||2 . temos que ´ v´lida a identidade do paralelogramo e. ||u|| ||v|| ≤ 2C ⇒ |a(u. 4 (5. v)| = 0 = 2C ||u|| ||v||. u − v)| 4 + |a(u + i v. v) ´ limitada na diagonal de H × H. para todo u. se ||u|| = ||v|| = 1. e e c˜ Como H ´ um espa¸o de Hilbert. v) ≤ 2C para todo u. u + i v)| + |a(u − i v.47) conclu´ a ımos que a u v . v) = 0 e. v ∈ H tais que u. v ∈ H. Logo. portanto. resulta que |a(u. ca c Se a(u. 2 . v ∈ H. u=0 ||u|| sup uma vez que sup u∈H.FORMAS SESQUILINEARES LIMITADAS 197 Proposi¸õ 5. v ∈ H. a |a(u. Seja C ∈ B. para todo C ∈ B. u)| ≤ C ||u||2 . 2 u∈H. por h´ otese. v) ´ limitada na diagonal.u)| ||u||2 ´ cota inferior para B. Logo. do exposto acima. para todo u ∈ H.u)| . |a(u.u=0 |a(u.u=0 ||u|| sup α= Entõ. por contradi¸ao que α < β. para todo u ∈ H com u = 0. para todo u ∈ H}. u)| para todo u. |a(u.u)| ||u||2 < γ para todo u ∈ H. . em verdade. temos que α ≤ β. sup u∈H. B possui ´ ınfimo. u)| < γ ||u||2 . v) ´ limitada na diagonal e. ||u||2 Logo. temos que B = ∅ e limitado ıp´ e inferiormente por 0. u)| ≤ γ ||u||2 . 2 u∈H.u=0 |a(u. a(u. Entõ. u)| ≤ C. al´m disso. ||u||2 temos que |a(u. Como.22 Sejam H um espa¸o de Hilbert e a(u. u)| . com u = 0. v) uma forma sesquilinear de H. |a(u. existe γ ∈ R tal que c˜ a α < γ < β. Como α = ou seja. u)| = γ||u||2 = 0 e portanto |a(u. v)| = |a(v. u)| e β = inf B. |a(u. 2 u∈H. e e entõ. Entõ. ca c Se a(u.u=0 ||u|| sup o que implica que |a(u. temos que |a(u.u=0 ||u|| sup Demonstra¸õ: Consideremos o conjunto ca B = {C > 0. que a α=β (5. Se u = 0.48) Com efeito. Definamos: e |a(u. u)| ≤ C para todo u ∈ H com u = 0. 2 u∈H. a ||a|| = |a(u. u)| ≤ inf B. Afirmamos. suponhamos. 2 u∈H. u − v) = 2[a(u. e a o que ´ uma contradi¸õ. u + v) − a(u − v. v ∈ H. u. Entõ. v ∈ H tais que ||u|| ≤ 1 e ||v|| ≤ 1 e λ ∈ C tal que |λ| = 1. u) + a(u. u). λ v) + a(λ v. 2 ou seja. u + v) − a(u − v.48). a(v. u)| = inf B. u + v) = a(u. Da´ vem que e ca c˜ ı α= |a(u. λ v) = λ a(u. v) na diagonal. u) e portanto. em particular. u) + a(v. v) + a(v. v) − a(v. onde C > 0 prov´m da limita¸ao de a(u. u − v)] . Logo. u) = λ a(v. u − v)|] 2 C ||u + v||2 + ||u − v||2 ≤ 2 C = 2 ||u||2 + ||v||2 . v) + a(v. e c˜ Tomemos. v) + a(v.50) . u) = 1 [a(u + v. |a(u. u)| ≤ C ||u||2 + ||v||2 . a(u. v). u + v)| + |a(u − v. u)| ≤ 2C. resulta que a(u + v. para todo u.u=0 ||u|| sup (5. da desigualdade acima vem que |λ a(u. a(u − v. v) e a(λ v. u − v) = a(u. Entõ. v) + a(v. sejam u. u)| ≤ 1 [|a(u + v. Por outro lado. v). v) + a(v.49) Por outro lado. v ∈ H. de (5. γ ∈ B e γ < inf B. e paralelogramo que |a(u. para todo u. ficando provado a afirma¸ao feita em (5. Das rela¸oes c˜ a(u + v. u)| ≤ C ||u||2 + ||λ v||2 = C ||u||2 + ||v||2 ≤ 2C. u) − a(u.198 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Al´m disso.51) (5. v ∈ H tais que ||u|| ≤ 1 e ||v|| ≤ 1 e para todo λ ∈ C com |λ| = 1.50) resulta que a |a(u. v) ´ limitada na diagonal de H × H e da identidade do ı. (5. v) + λ a(v. γ ∈ B. temos que γ > 0 pois γ > α ≥ 0. u) + a(v. 2 Resulta da´ do fato que a(u. ] ou seja. v)| ≤ C. v)| |a(u.u=0 ||u|| sup |a(u. para todo u. Resulta da´ e de (5. |a(u.v=0 ||u|| ||v|| u∈H.u. v ∈ H com ||u|| ≤ 1 e ||v|| ≤ 1. |a(u.u=0 ||u|| sup Combinando (5. por hip´tese. Tomemos. v)|2 e Assim. 2 u. λ = e Entõ.||u||≤1. u.53) |a(u. entõ a (5. v). v)| ≤ C.v∈H. Como C foi tomado arbitrariamente em B temos que ||a|| ´ uma cota inferior para B e. v) = |a(u. a(v. u)| 2 u∈H.v)| . u)| ≤ sup = ||a||. u)|ei δ .49) que ı ||a|| ≤ |a(u. v ||u|| ||v|| (5.51) vem que a e ou ainda. v = 0 . v)|ei θ e a(v. v)| + e i(θ+δ) 2 |a(v. u)| decorre que o |a(u. u)| .52) Agora.u ||u||2 |a(u. u) em (5.v∈H.u=0 ||u|| sup . u) = |a(v. δ ∈ [0. 2π] tais a que a(u. |a(u.53) conclu´ ımos que ||a|| = conforme quer´ ıamos demonstrar.||v||≤1 i(θ+δ) 2 ≤ 2C ⇒ |a(u. v)| = |a(v. |a(u. e u ||a|| ≤ inf B = β. como ∈ H tal que u = 0 ⊂ ∈ H tal que u.51) sõ complexos. o que acarreta que ||a|| ≤ C. 2 |a(u. em particular. v)|ei θ + e i(θ−δ) 2 |a(v.52) e (5.u)| . |λ| = 1 e de (5. temos que existem θ. por consegïnte. e i(θ+δ) 2 i(−θ+δ) 2 i(θ−δ) 2 . 2 u∈H. sup u. e como. u)|ei δ ≤ 2C. u)| ≤ 2C.FORMAS SESQUILINEARES LIMITADAS 199 Como a(u. u)| = sup |a(u.||u||≤1 ||Au|| = inf{C > 0. u)| = sup |a(u. (5.23 De maneira an´loga ao que j´ provamos. Defini¸õ 5.||u||=1 ||Au|| = sup u∈H. ·) e ca c norma || · || = (·. se a(u. Assim e L(H) = {A : H → H. Analogamente ao que fizec˜ mos para as formas sesquilineares limitadas. u)| ≤ C ||u||2 . ||u||2 u∈H. Nota¸õ: O espa¸o vetorial dos operadores lineares A de H em H. para todo u ∈ H}.||u||≤1 sup 5. para todo u ∈ H}.u=0 ||u|| u∈H.u=0 ||u|| sup (5. mostra-se que se a(u. entõ: a |a(u. u∈H.54) cuja aplica¸ao A ∈ L(H) → ||A|| define uma norma em L(H). v) ´ ca a a e limitada na diagonal.22 se e ca cumpre e entõ temos a ||a|| = |a(u. v)| = inf{C > 0. |a(u.u=0 u∈H. para todo u ∈ H}.55) . e No espa¸o L(H). |a(u.3 Operadores Lineares Limitados Nesta se¸õ estenderemos o conceito de operadores lineares limitados para espa¸os de ca c Hilbert complexos e provaremos que existe um isomorfismo isom´trico entre as formas e sesquilineares limitadas de H e os operadores lineares limitados de H. Dizemos que A ´ limitado se e existir uma constante C > 0 tal que ||Au|| ≤ C ||u||. ·)1/2 e A : H → H um operador linear. v)| = inf{C > 0. ||A u|| ≤ C ||u||. v) for limitada na diagonal e hermitiana.||u||≤1 sup Al´m disso. A ´ linear e limitado}. que sõ limitados ca c a ´ denotado por L(H). a proposi¸õ 5.24 Sejam H um espa¸o de Hilbert complexo com produto interno (·. u)| ≤ C ||u||2 . denotaremos por ||A|| o n´mero c u ||A|| = ||A u|| . 2 u∈H. para todo u ∈ H.200 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Observa¸õ 5. fazemos para os operadores lineares limitados de H e obtemos ||A|| = sup u∈H. OPERADORES LINEARES LIMITADOS Entõ, se A ´ um operador linear limitado de H, podemos escrever a e ||A u|| ≤ ||A|| ||u||, para todo u ∈ H. 201 (5.56) Obtemos igualmente como no caso das formas sesquilineares limitadas o seguinte resultado: Proposi¸õ 5.25 Sejam H um espa¸o de Hilbert e A : H → H um operador linear de ca c H. As seguintes afirma¸˜es sõ equivalentes: co a (i) (ii) (iii) (iv) A ´ cont´ e ınuo em H. A ´ cont´ e ınua no ponto 0 ∈ H. A ´ limitado em H. e A ´ Lipschitziano em H. e Demonstra¸õ: (i) ⇒ (ii). Evidente. ca (ii) ⇒ (iii). Suponhamos que A ´ cont´ e ınuo no ponto 0 ∈ H. Assim, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se ||u|| < δ entõ ||A u|| < ε. Tomemos, em particular, ε = 1. Entõ, a a por hip´tese, existe δ1 > 0 tal que o Se ||u|| < δ1 entõ ||A u|| < 1. a Sejam u ∈ H tal que u = 0 e C ∈ R tal que 0 < portanto, de (5.57) resulta que A u C ||u|| < 1 ⇒ ||A u|| ≤ C ||u||, para todo u ∈ H com u = 0. 1 C (5.57) u C ||u|| < δ1 . Entõ a = 1 C < δ1 e, Al´m disso, se u = 0, temos que ||A u|| = 0 = C||u||. Desta forma conclu´ e ımos que ||Au|| ≤ C ||u||, para todo u ∈ H. (iii) ⇒ (iv). Suponhamos A limitado em H, isto ´, existe C > 0 talq que ||au|| ≤ e C ||u||, para todo u ∈ H. Entõ, se u, v ∈ H, face a linearidade de A, resulta que a ||Au − Av|| = ||A(u − v)|| ≤ C ||u − v||, o que prova ser A Lipschitziano. (iv) ⇒ (i) Evidente. 202 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` 2 Decorre da Proposi¸õ acima que os conceitos de operadores lineares limitados e opeca radores lineares cont´ ınuos sõ equivalentes. a A seguir, mostraremos que existe uma rela¸ao estreita entra as formas sesquilineares c˜ limitadas e os operadores lineares limitados. Com efeito, (I) Seja A um operador linear limitado de H. Definamos a seguinte aplica¸ao: c˜ a:H ×H →C (u, v) → a(u, v), onde, a(u, v) = (Au, v), para todo u, v ∈ H. (5.58) Afirmamos que a(u, v) ´ uma forma sesquilinear de H. De fato, a(u, v) est´ bem e a definida uma vez que A ´ um operador. Al´m disso, em virtude da linearidade de A e das e e propriedades do produto interno (·, ·) de H, temos que para todo u, v, w ∈ H e λ ∈ C, (i) a(u + w, v) = (A(u + w), v) = (Au + Aw, v) = (Au, v) + (Aw, v) = a(u, v) + a(w, v). (ii) (iii) (iv) a(λ u, v) = (A(λ u), v) = (λ Au, v) = λ(Au, v) = λ a(u, v). a(u, v + w) = (Au, v + w) = (Au, v) + (Au, w) = a(u, v) + a(u, w). a(u, λ v) = (Au, λ v) = λ(Au, v) = λ a(u, v), o que prova ser A uma forma sesquilinear. Al´m disso, como o produto interno ´ uma e e forma sesquilinear, hermitiana, estritamente positiva, entõ, pela desigualdade de Cauchya Schwarz e de (5.56), obtemos |a(u, v)| = |(Au, v)| ≤ ||Au|| ||v|| ≤ ||A|| ||u|| ||v|| para todo u, v ∈ H, o que prova que a(u, v) ´ limitada. e Se A ≡ 0, entõ a ≡ 0 e da´ vem que ||A|| = ||a||. Agora, se A = 0 (nõ identicamente a ı a nulo), entõ ||A|| > 0 e, de (5.59) resulta que a ||A|| ∈ {C > 0; |a(u, v)| ≤ C ||u|| ||v||, para todo u, v ∈ H}, o que implica que ||A|| ≥ inf{C > 0; |a(u, v)| ≤ C ||u|| ||v||, para todo u, v ∈ H} = ||a||, (5.60) (5.59) OPERADORES LINEARES LIMITADOS Por outro lado, lembremos que ||a|| = Como |(Au, v)| ; u, v ∈ H e u, v = 0 ||u|| ||v|| vem que |(Au, v)| |(Au, Au)| ≥ sup , u,v∈H;u,v=0 ||u|| ||v|| u∈H;u,Au=0 ||u|| ||Au|| sup o que prova que ||a|| ≥ Como ||Au|| ; u ∈ H e u, Au = 0 ||u|| resulta que ||Au|| ||Au|| ≤ sup . u∈H;u,Au=0 ||u|| u∈H;u=0 ||u|| sup Por outro lado note que ||Au|| ||Au|| ≤ sup , para todo u ∈ H tal que u, Au = 0, ||u|| u∈H;u,Au=0 ||u|| e a desigualdade acima continua v´lida mesmo que Au = 0 e u = 0. Logo, a ||Au|| ||Au|| ≤ sup , para todo u ∈ H, u = 0, ||u|| u∈H;u,Au=0 ||u|| e, consequentemente, ||Au|| ||Au|| ≤ sup . u∈H;u=0 ||u|| u∈H;u,Au=0 ||u|| sup De (5.62) e (5.63) obtemos ||Au|| ||Au|| = sup = ||A||. u∈H;u,Au=0 ||u|| u∈H;u=0 ||u|| sup ⊂ ||Au|| ; u ∈ H, u = 0 , ||u|| ||Au||2 ||Au|| |(Au, Au)| = sup = sup . u∈H;u,Au=0 ||u|| ||Au|| u∈H;u,Au=0 ||u|| ||Au|| u∈H;u,Au=0 ||u|| sup ⊃ |(Au, Au)| ; u ∈ H e u, Au = 0 , ||u|| ||Au|| |a(u, v)| |(Au, v)| = sup . u,v∈H;u,v=0 ||u|| ||v|| u,v∈H;u,v=0 ||u|| ||v|| sup 203 (5.61) (5.62) (5.63) (5.64) 204 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Assim, de (5.61) e (5.64) resulta que ||a|| ≥ ||A|| e da´ e de (5.60) conclu´ ı ımos que ||a|| = ||A||. (II) Seja, agora, a(u, v) uma forma sesquilinear limitada de H. Definamos, para cada u ∈ H, u = 0, a seguinte aplica¸õ: ca fu : H → C v → f u, v = a(u, v). Afirmamos que f u ´ uma aplica¸õ linear. Com efeito, se a ≡ 0 entõ f u ≡ 0 e e ca a portanto nada temos a provar. Seja, entõ, a = 0 (nõ identicamente nula). Para todo a a u, v, w ∈ H e λ ∈ C, temos (i) f u, v + w = a(u, v + w) = a(u, v) + a(u, w) = a(u, v) + a(u, w) = f u, v + f u, w , (ii) f u, λ v = a(u, λ v) = λ a(u, v) = λ a(u, v) = λ f u, v , (5.65) o que prova a linearidade de f u. Al´m disso, da observa¸ao 5.17 decorre que e c˜ | f u, v | = a(u, v) ≤ ||a|| ||u|| ||v||, para todo v ∈ H. (5.66) Pondo-se, para u = 0, k = ||a|| ||u|| > 0, entõ | f u, v | ≤ k ||v||, para todo v ∈ H. a Desta forma, f u, ´, para u = 0, uma forma linear limitada de H. Se u = 0, f u ≡ 0 e e ´ trivialmente uma forma linear limitada de H. Do exposto acima, e para cada u ∈ H, e temos que f u ´ uma forma linear limitada de H. Pelo Teorema de Representa¸ao de Riez, e c˜ para cada u ∈ H, existe um unico wu ∈ H tal que ´ f u, v = (v, wu ) , para todo v ∈ H. Estamos, portanto, aptos a definir a seguinte fun¸ao: c˜ A:H→H u → Au = wu , onde wu ´ dado pelo teorema de Riesz. e Provaremos, a seguir, que o operador A definido acima ´ linear e limitado. Com efeito, e notemos inicialmente que A est´ bem definido pois se u1 = u2 , entõ a(u1 , v) = a(u2 , v) a a e portanto, a(u1 , v) = a(u2 , v), para todo v ∈ H. Logo, f u1 , v = f u2 , v , para todo v ∈ H, ou ainda, (v, wu1 ) = (v, wu2 ), para todo v ∈ H, onde wu1 e wu2 sõ dados pelo a (5.68) (5.67) OPERADORES LINEARES LIMITADOS 205 Teorema de Riesz. Resulta da ultima identidade em particular para v = wu1 − wu2 que ´ wu1 = wu2 , o que prova que Au1 = Au2 . Consideremos, agora, u, v ∈ H. Temos, de (5.67) e (5.68) que, a(u, v) = f u, v = (v, wu ) = (v, Au) = (Au, v), e, portanto, a(u, v) = (Au, v), para todo u, v ∈ H. Sejam u1 , u2 ∈ H e λ ∈ C. Entõ, de (5.69) obtemos a (i) (A(u1 + u2 ), v) = a(u1 + u2 , v) = a(u1 , v) + a(u2 , v) = (Au1 , v) + (Au2 , v) , para todo v ∈ H. (5.69) Entõ, (A(u1 + u2 ) − Au1 − Au2 , v) = 0, para todo v ∈ H, e conseqëntemente, a u A(u1 + u2 ) = Au1 + Au2 . Al´m disso, e (ii) (A(λu1 ), v) = a(λ u1 , v) = λ a(u1 , v) = λ (Au1 , v) = (λ Au1 , v) , para todo v ∈ H. Assim, (A(λ u1 ) − λ Au1 , v) = 0 para todo v ∈ H, o que implica que A(λ u1 ) = λ A(u1 ), o que prova a linearidade de A. Tamb´m, seja u ∈ H tal que Au = 0 ( e, portanto u = 0). Logo, e ||Au|| ||Au||2 |(Au, Au)| |a(u, v)| = = ≤ sup = ||a||, ||u|| ||u|| ||Au|| ||u|| ||Au|| u,v∈H;u,v=0 ||u|| ||v|| o que nos leva a ||Au|| ≤ ||a|| ||u||, para todo u ∈ H tal que Au = 0 e u = 0. Se u = 0, temos que Au = 0 e, portanto, ||Au|| = ||a|| ||u|| = 0. Se Au = 0 temos que ||Au|| = 0 ≤ ||a|| ||u||. Do exposto vem que ||Au|| ≤ ||a|| ||u||, para todo u ∈ H, o que prova ser A limitado. De modo an´logo ao que foi feito em (I), temos que ||A|| = ||a||. a 206 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Observa¸õ 5.26 Do que vimos acima, dado um operador linear A limitado de um ca espa¸o de Hilbert H, constru´mos uma forma sesquilinear limitada de H, ou seja, a(u, v) = c ı (Au, v), para todo u, v ∈ H tal que ||a|| = ||A||. Reciprocamente, dada uma forma sesquilinear limitada de H, a(u, v), constru´mos um operador A linear limitado de H, ı dado por (Au, v) = a(u, v), para todo u, v ∈ H, onde ||A|| = ||a||. Denotaremos por S(H) o espa¸o das formas sesquilineares limitadas de H e como c vimos, por L(H) o espa¸o das formas lineares limitadas de H. c Proposi¸õ 5.27 Seja H um espa¸o de Hilbert. Entõ existe um isomorfismo isom´trico ca c a e entre S(H) e L(H) dado pela seguinte aplica¸õ: ca F : S(H) → L(H) a → F (a) = A, onde a(u, v) = (Au, v), para todo u, v ∈ H. Demonstra¸õ: ca (i) F est´ bem definida. a Seja, a1 , a2 ∈ S(H) tais que a1 = a2 . Entõ, a1 (u, v) = a2 (u, v), para todo u, v ∈ H e a portanto, (F (a1 )u, v) = (F (a2 )u, v) , para todo u, v ∈ H, o que implica que F (a1 )u = F (a2 )u, para todo u ∈ H, donde F (a1 ) = F (a2 ). (ii) F ´ injetora. e Sejam a1 , a2 ∈ S(H) e suponhamos que F (a1 ) = F (a2 ). Entõ, A1 = A2 onde a a1 (u, v) = (A1 u, v) e a2 (u, v) = (A2 u, v) para todo u, v ∈ H. Como A1 = A2 , (A1 u, v) = (A2 u, v), para todo u, v ∈ H e, desta forma, a1 (u, v) = a2 (u, v), para todo u, v ∈ H, ou seja, a1 = a2 . (iii) F ´ linear. e Sejam a1 , a2 ∈ S(H) e λ ∈ C. (a) Temos, F (a1 + a2 ) = A3 , onde (a1 + a2 )(u, v) = (A3 u, v), para todo u, v ∈ H, ou seja, (A3 u, v) = (a1 + a2 )(u, v) = a1 (u, v) + a2 (u, v) = (A1 u, v) + (A2 u, v) = ((A1 + A2 )u, v), para todo u, v ∈ H, onde A1 = F (a1 ) e A2 = F (a2 ), CONJUNTOS ORTONORMAIS COMPLETOS o que implica que A3 = A1 + A2 , isto ´, F (a1 + a2 ) = F (a1 ) + F (a2 ). e 207 (b) Temos, F (λ a1 ) = B, onde (λ a1 )(u, v) = (Bu, v), para todo u, v ∈ H, ou seja, (Bu, v) = λ a1 (u, v) = λ (A1 u, v) = ((λ A1 )u, v), para todo u, v ∈ H, onde A1 = F (a1 ), o que acarreta que B = λ A1 , isto ´, F (λ a1 ) = λ F (a1 ). e (iv) A sobrejetividade ´ imediata. e (v) F ´ isometria. e Temos que ||F a|| = ||A||. Mas, pelo que j´ foi provado anteriormente, ||A|| = ||a|| e, a por conseguinte, ||F a|| = ||a||, para todo a ∈ S(H). 2 5.4 Conjuntos Ortonormais Completos Seja H um espa¸o de Hilbert munido de um produto interno que designaremos por (·, ·) c e norma || · || = (·, ·)1/2 . Dois vetors u, v ∈ H sõ ditos ortogonais quando (u, v) = 0. a Evidentemente o vetor nulo ´ ortogonal a qualquer outro, pela pr´pria defini¸õ. As vezes e o ca denotamos u ⊥ v para indicar que u ´ ortogonal a v. Um conjunto de vetores A ⊂ H e ´ dito ortogonal quando (u, v) = 0, para todo u, v ∈ A com u = v. Um conjunto ´ dito e e ortonormal quando for ortogonal, e, al´m disso, ||u|| = 1, para todo u ∈ A. e Defini¸õ 5.28 Seja A um conjunto ortonormal em um espa¸o de Hilbert H. A ´ dito ca c e a completo se nõ existir outro conjunto ortonormal contendo A, ou seja, A deve ser o conjunto ortonormal maximal. Veremos, a seguir, um crit´rio para a caracteriza¸õ de conjuntos ortonomais completos e ca em um espa¸o de Hilbert H. c Proposi¸õ 5.29 Um conjunto ortonormal A ´ completo se e somente se para todo u ∈ ca e H tal que u ⊥ A, entõ u deve ser o vetor nulo. a Demonstra¸õ: Suponhamos incialmente que A seja ortonormal completo e, por conca tradi¸ao, que exista u ∈ H tal que u ⊥ A e u = 0. Entõ, c˜ a que u ⊥A⇒ ||u|| u ,v ||u|| = 0, para todo v ∈ A. (5.70) u ||u|| ´ um vetor unit´rio tal e a (5. a Entõ. por hip´tese. entõ a a e a existe B ortonormal em H tal que A ⊂ B. ca e 2 Proposi¸õ 5. o que ´ um absurdo. Entõ. Seja S a cole¸õ de todos os conjuntos ca ´ ortonormais que contˆm A. M = u ||u|| ∪ A ´ um conjunto ortonormal em H contendo A estritamente. . Logo. A um conjunto ortonormal em H.72) e. existe B. pois. suponhamos que A nõ seja completo. Se A nõ ´ completo. o e que ´ uma contradi¸ao.72) j´ que B ´ ortonormal e A ⊂ B. ter´ / a ıamos 0= u u . de (5.71) pois w ∈ B e B ´ ortonormal em H. Segue de (5. suponhamos que para todo u ∈ H tal que u ⊥ A tenhamos u = 0 e. w) = 1. e c˜ Reciprocamente. e u ||u|| ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` ∈ A. por contradi¸ao. S ´ nõ vazio pois B ∈ S. v) = 0. caso contr´rio. em particular. Mostraremos agora que todo subconjunto a . que w = 0. e Consideremos. (5. existe w ∈ B\A.30 Seja H um espa¸o de Hilbert. Al´m disso. conjunto c˜ a a ortonormal em H. para todo v ∈ A ⇒ w ⊥ A. e Logo.71). Entõ.70) e. E claro que a cole¸õ S ´ pare e a ca e cialmente ordenada pela inclusõ de conjuntos. a ||w||2 = (w. Demonstra¸õ: Incialmente notemos que a existˆncia de um conjunto ortonormal est´ ca e a garantida pois como H ´ nõ trivial entõ existe u ∈ H. qualquer conjunto ca c a a ortonormal pode ser estendido a um conjunto ortonormal completo. tal que A est´ contido propriamente em B. como para todo v ∈ A tem-se que w = v e e resulta que (w.208 Al´m disso. u = 0 e portanto o conjunto e a a u ||u|| ´ trivialmente ortonormal em H. o que ´ uma a e o e contradi¸õ com (5. nõ trivial. ||u|| ||u|| = 1. Isto prova o crit´rio. entõ. por ser A maximal. A ´ ortonormal e completo pois se existir e B ∈ S tal que A ⊂ B. Sem perda da generalie a dade suponhamos que a primeira das inclus˜es ocorra. o a u. ou seja. entõ Aα ⊂ Aβ ou Aβ ⊂ Aα . que garante que todo conjunto nõ a a vazio indutivamente ordenado tem um elemento maximal. Isto implica que existem Aα e u ∈ Aα e v ∈ Aβ . que α∈I Logo. v) = 0 ⇒ u ⊥ v. entõ ||u|| = ||v|| = 1 pois Aβ ´ ortonormal em H. entõ. entõ. o conjunto α∈I Aα ´ uma limita¸õ superior para T em S. v ∈ e Aβ tais que Aα . e A ⊂ α∈I Aα. Consideremos. Aα ∈ S. α∈I α∈I Aα ´ uma cota superior para T . a e entõ. Mostraremos que e α∈I Aα ´ ortonormal em H. entõ. De fato. ´ uma subcole¸õ de S totalmente ordenada. sejam u. para obtermos um conjunto ortonormal maximal. aplicar o Lema de Zorn. Isto conclui a prova. E claro que ca Aα ⊂ α∈I Aα .CONJUNTOS ORTONORMAIS COMPLETOS 209 de S totalmente ordenado tem uma limita¸ao superior em S. concluir´ e ıamos o mesmo. Se u = v. α∈I α∈I Aα ´ ortonormal e Logo. Logo. para todo α ∈ I. Se tiv´ssemos suposto que Aβ ⊂ Aα . Pelo Lema de Zorn e ca existe um elemento maximal A em S. em H e portanto Aα ∈ S. S ´ indutivamente c˜ e ordenado. Como T ´ totalmente ordenado. Agora. Assim. v ∈ Aβ . Entõ. ou seja. a 2 . pelo mesmo motivo a (u. sendo u = v. A = B. a T = {Aα }α∈I . Poderemos. e e O vetor v mencionado no ´ ıtem (1) acima pertence a [A]. vν )|2 = ||u||2 − 2 ν=1 n |(u. vν )vν . vν )(u. u − ν=1 n (u. vν )vν . vν )vν n = (u. vν )(u. Demonstra¸õ: (1) Definamos: ca n Sn = ν=1 (u.31 Seja H um espa¸o de Hilbert. u ∈ [A] ⇔ u = v. das propriedades de produto interno e pelo fato de A = {vν }ν∈N ser ortonormal. vν ) (vν . vν )(u. ν=1 n (u. u − ν=1 n (u. u) − = ||u||2 − u. u) − ν=1 n (u. vν )|2 + ν=1 = ||u||2 − ν=1 |(u. vν )vν . u (u. vν )vν . vν ) =1 ν=1 n = ||u||2 − ν=1 n (u. vν ) − ν=1 n (u. o que implica que n |(u. u − v ⊥ [A]. que n 2 n n 0 ≤ ||u − Sn || = u − ν=1 n 2 (u. ν=1 (u. vν )vν . vν )(vν . vν )vν . vν )vν − n + ν=1 n (u. vν ) + |(u. vν )vν (u. u ν=1 + ν=1 n (u. vν )(vν . vν )vν n = u− ν=1 (u. Temos. vν )|2 . ν=1 .210 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Proposi¸õ 5. Suponha que A = {vν }ν∈N ´ um conjunto ca c e ortonormal em H e consideremos u ∈ H. vν )|2 ν=1 = ||u||2 − ν=1 n (u. isto ´ s´rie converge para um vetor v ∈ H. u) + ν=1 n |(u. vν )vν . Entõ: a +∞ (1) (2) (3) (4) v= ν=1 (u. vν )|2 |(u. vν )|2 ≤ ||u||2 . vν )|2 ≤ ||u||2 . wn ) = 0. resulta de (4) que (u − v. para cada n ∈ N. existe v ∈ H tal que Sn → v em H. ν=n+1 (u. por (1). ou seja. vµ = (u. u − v ⊥ [A]. vν )vν . e por conseguinte. existe {wn }n∈N ⊂ [A] tal que wn → w em H. que c ue o ∞ |(u. e e e ´ (2) E claro que n Sn = ν=1 (u. quando m. o que implica que u − v ⊥ A. dados e m. temos m 2 m m ||Sn − Sm || 2 = = ν=n+1 (u. para cada µ ∈ N. vµ ) = (u.CONJUNTOS ORTONORMAIS COMPLETOS 211 Resulta da desigualdade acima. vν )vν . que (u − v. Logo. vµ ) − (u. vµ ) − (v. para todo w ∈ [A]. n → +∞. para todo n ∈ N. o que implica que {Sn }n∈N ´ de Cauchy. existe {Sn }n∈N ⊂ [A] tal que Sn → v c em H quando n → +∞. vν )vν ν=n+1 |(u. (4) Temos. vµ ) − ν=1 (u. n ∈ N. u − v ⊥ [A]. . vν )vν ∈ [A] para todo n ∈ N e. vν )vν ν=n+1 m = (u. Aqui [A] representa o subespa¸o gerado por A. acarretando a convergˆncia da s´rie. dado w ∈ [A]. gra¸as ao Teorema da Seq¨ˆncia Mon´tona. Agora. vµ ) = 0.73) A desigualdade em (5. de acordo com o ´ ıtem (1). Isto significa que v ∈ [A]. decorre da´ na situa¸õ limite que ı. vν )|2 → 0. ca (u − v. vµ ) ∞ = (u. Portanto. w) = 0. ν=1 (5.73) ´ conhecida como Desigualdade de Bessel. com m ≥ n. Mas. 76) Como [A] = H. e a Entõ. de acordo com a proposi¸õ 5. Assim. o que implica u = 0. de (5. Entõ. u ∈ [A]. entõ. do ´ ıtem (4) vem que u − v ⊥ [A]. para todo v ∈ H. A ´ completo. no entanto. Com efeito. Reciprocamente. u = 0 e tal que u ⊥ A.75) (5. v) = 0.74) e (5.75) resulta que (u − v. Por outro lado.29 deve existir u ∈ H. suponhamos entõ que ca c˜ a A ´ um conjunto ortonormal em H tal que [A] = H e. u − v) = 0 ⇒ u = v. em virtude de (2). Mas isto ´ uma coontradi¸ao.74) Proposi¸õ 5.76) que (u. 2 (5. resulta de (5. (5. uma vez que [A] ´ subspa¸o a e c resulta que u − v ∈ [A]. acarreta que u ⊥ [A]. e.32 Seja H um espa¸o de Hilbert e consideremos A ⊂ H um conjunto ca c ortonormal tal que [A] = H. que 0 = (u. A nõ seja completo.212 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` ´ (3) E claro que se u = v. e c˜ 2 . e. supona hamos que u ∈ [A]. entõ. Isto a ca implica que u ⊥ [A]. u) = ||u||2 . a e Demonstra¸õ: Faremos a prova por contradi¸ao. que por sua vez. por hip´tese. o que encerra a prova. Como de (2) temos que v ∈ [A]. em o particular. e. ||u − v|| (5.31) e [A] ´ um subespa¸o a e c˜ e c de H. obtemos c˜ u − v ⊥ [A]. ||u − v|| o que ´ um absurdo. existe um conjunto ortonormal contendo A estritamente. em particular. / isto ´. podemos dizer que A nõ ´ completo pois e a e A u−v ||u − v|| ∪ A. ortonormal ` todo A. o que acarreta que u−v ⊥ [A]. Entõ. [A] = H.78) ter´ a ıamos u−v = 0. vν )vν = v ∈ [A]. aplicando-se a parte (4) da mesma proposi¸ao. c a Demonstra¸õ: Faremos a demonstra¸ao por contradi¸ao.77) j´ que u = v. como H ´ um espa¸o de Hilbert. um vetor unit´rio. ν=1 Agora. Assumamos. Em vista disso. u = 0 e tal que u ∈ [A]. (5.33 Suponhamos que A = {vν }ν∈N ´ um conjunto ortonormal completo em ca e um espa¸o de Hilbert H. de (5. Agora. existe u ∈ H.CONJUNTOS ORTONORMAIS COMPLETOS 213 Proposi¸õ 5. (conforme ´ garantido na parte (3) da proposi¸ao 5. entõ. Al´m disso.77). Logo. e e c˜ 2 .78) u−v ||u−v|| ∈ A. Segue de (5. caso contr´rio. / e c podemos aplicar as partes (1) e (2) da proposi¸ao 5. ||u − v|| Encontramos. a a a e pois. que u−v ⊥ [A]. que A ca c˜ c˜ a ´ um conjunto ortonormal em H e que e [A] = H. o que ´ uma contradi¸ao. entõ.31 que garante a existˆncia de um c˜ e vetor v ∈ H tal que ∞ (u. 33 decorre que [A] = H.79). vν )|2 .79) Demonstra¸õ: Suponhamos inicialmente que A seja completo e consideremos u ∈ H. conforme proposi¸ao 5. A ´ completo se e somente se. e ca u 2 . u = 0. o que prova (5. Aplicando-se a proposi¸ao 5. (5. tal que u ⊥ A.79) e (5.214 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Corol´rio 5. Conseqëntemente.29 deve existir ca a a c˜ u ∈ H. A deve ser completo. o que ´ uma contradi¸õ. vν )|2 . n 2 n n n (u. vν )vν = ν=1 |(u. Reciprocamente. vν )vν .80) Contudo. ca c˜ Pela proposi¸ao 5.81) ||u||2 = ν=1 |(u.31 c˜ ´ ıtens (3) e (1) obtemos +∞ u= ν=1 (u. Entõ A ´ completo se e somente se [A] = H. (5. Entõ. e a por contradi¸õ. que A nõ seja completo. para todo u ∈ H ´ v´lida a identidade: a e e a ∞ ||u|| = ν=1 2 |(u. ν=1 (u. suponhamos que para todo u ∈ H ´ v´lida a identidade (5. vν )vν ν=1 = ν=1 (u.34 Sejam H um espa¸o de Hilbert e A = {vν }ν∈N um conjunto ortonormal a c em H. vν )|2 .33. e de (5. na situa¸õ limite vem que ca +∞ ||u|| = ν=1 2 |(u. que +∞ (5. Logo. vν )|2 = 0. u ∈ [A]. ca c˜ co 2 Proposi¸õ 5. Segue de (5.35 Sejam H um espa¸o de Hilbert e A = {vν }ν∈N um conjunto ortonormal ca c em H. vν )vν . a e Demonstra¸õ: Aplica¸ao imediata das proposi¸˜es 5.79) e. Entõ. Isto encerra a prova.32 e 5.80).81) em particular para este u. sõ v´lidas as equivalˆncias dadas no Teorema 5. vν ). ı c 5. µ ∈ N. [A] = H. quando H ´ separ´vel pois todo a e a conjunto ortonormal ´ no m´ximo enumer´vel (ver demonstra¸õ adiante no lema 5. a a a e Surge entõ uma pergunta natural: Quando ´ que um espa¸o de Hilbert admite um cona e c junto ortonormal enumer´vel e completo? Por exemplo. +∞ ||u|| = ν=1 2 |(u. (u. ·)1/2 . todo espa¸o de Hilbert separ´vel admite uma base Hilbertiana. vν )(w. ν = µ.38 A proposi¸õ 5. admite um conjunto ortonormal completo. w) = ν=1 (u.30 nos garante que todo espa¸o de Hilbert H. conforme j´ c a a tńhamos provado no teorema 4. ca e Do exposto acima. +∞ Para todo u.79) ´ conhecida como Identidade de Parseval.36 A identidade dada em (5. e a a ca Denomina-se base Hilbertiana ` toda sucessõ {vν }ν∈N de elementos de H tais que a a (i) (ii) ||vν || = 1 para todo ν ∈ N e (vν . vν )|2 .37 Seja A = {vν }ν∈N um conjunto ortonormal em um espa¸o de Hilbert H. w ∈ H. O espa¸o vetorial gerado pelos {vν }ν∈N ´ denso em H. Cona a tudo. enunciaremos o principal resultado desta se¸õ. nõ ca ca c a trivial. vν )vν . Observa¸õ 5. c e Logo. se tal conjunto for enumer´vel.5 Subespa¸os Fechados e o Teorema da Proje¸õ c ca No que segue nesta se¸õ seja H um espa¸o de Hilbert com produto interno (·. +∞ u∈H⇒u= ν=1 (u. c Entõ. as asser¸˜es abaixo sõ equivalentes a co a (1) (2) (3) (4) (5) (6) A ´ completo.37.71).SUBESPACOS FECHADOS E O TEOREMA DA PROJECAO ¸ ¸˜ 215 Observa¸õ 5. . e u ⊥ A ⇒ u = 0. nõ necessariamente enumer´vel. vµ ) = 0. ·) e norma ca c || · || = (·.21 para espa¸os de Hilbert reais. para todo ν. ca Teorema 5. m. como vn +vm 2 (5. Assim. 2 Por outro lado. Consideremos.83) e (5. v∈M 2 vn + vm − u||2 ≤ −d2 . que pela identidade do paralelogramo ´ igual a e 2||vn − u||2 + 2||vm − u||2 .83) ∈ M resulta que || o que implica que vn + vm − u|| ≥ inf ||v − u|| = d. Entõ. entõ. .84) obtemos ||vn − vm ||2 ≤ 2||vn − u||2 + 2||vm − u||2 − 4d2 . combinando (5. Demonstra¸õ: ca Definindo-se d = inf ||u − v||.39 Sejam M um subespa¸o fechado de um espa¸o de Hilbert H e u ∈ H. c c a se d = inf ||u − v||.216 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Lema 5.82) (5. existe {vn }n∈N ⊂ M tal que a ||u − vn || → d quando n → +∞. Temos: a ||vn + vm − 2u||2 + ||vn − vm ||2 = ||(vn − u) + (vm − u)||2 + ||(vn − u) − (vm − u)||2 .84) Logo. combinando as identidades acima resulta que ||vn − vm ||2 = 2||vn − u||2 + 2||vm − u||2 − ||vn + vm − 2u||2 vn + vm = 2||vn − u||2 + 2||vm − u||2 − 4|| − u||2 . n ∈ N. v∈M existe v0 ∈ M tal que d = ||u − v0 ||. v∈M entõ. 2 −|| (5. Resta-nos provar entõ que a w ⊥ M. M ) = inf ||u − v||.40 Seja M um subespa¸o fechado de um espa¸o de Hilbert H e considerca emos N um subspa¸o que cont´m M propriamente. entõ.82) e (5. Al´m disso. v seria igual a u o que ´ um absurdo pois a e u ∈ M e v ∈ M (note tamb´m que u = v = 0 nõ pode ocorrer).86) . Demonstra¸õ: Como a inclusõ M ⊂ N ´ pr´pria. converge. o que acarreta que {vn }n∈N ´ uma seq¨ˆncia de Cauchy em H. com v0 ∈ M .e. a w = v − u. existe v0 ∈ M tal que vn → v0 quando n → +∞. 2 c c Proposi¸õ 5. v∈M Aplicando-se o lema precedente. deve existir v ∈ M tal que d = ||u − v||. Claramente w = 0 pois. existe um vetor w ∈ N . Para esse ca a e o / u consideremos d = d(u. Entõ.m→+∞ 217 lim ||vn − vm ||2 ≤ 2d2 + 2d2 − 4d2 = 0. o que encerra a prova. (5.82) que e 0≤ resultando que ||vn − vm || → 0 quando n.85) e pela unicidade do limite conclu´ e ımos que d = ||u − v0 ||.85) Das convergˆncias (5.SUBESPACOS FECHADOS E O TEOREMA DA PROJECAO ¸ ¸˜ Resulta da desigualdade acima e da convergˆncia (5. existe u ∈ N e u ∈ M . caso contr´rio. Consideremos. nõ c e a a nulo. e tal que w ⊥ M . Sendo e ue M fechado e como {vn }n∈N ⊂ M . Logo ||u − vn || → ||u − v0 ||. w ∈ N pois / e a e v ∈ M ⊂ N e u ∈ N . portanto. m → +∞. quando n → +∞. n. (5. α = β (w. z)|2 ||z||2 = 2β |(w. o que prova (5.86). z) (z. que tal fato nõ ocorra. z)|2 + β 2 |(w. z) com β ∈ R. w) + |α|2 ||z||2 . z) + α(z. z)|2 + β 2 |(w. Logo. por conseguinte.88). Entõ.89). z) = 0 para todo z ∈ M . z)|2 ||z||2 < 0. que (w. w + α z) − (w. seja z ∈ M e α ∈ C. w) + β 2 |(w. Entõ. como (w. de (5. a ||w + α z||2 ≥ ||w||2 . z)|2 ´ dado por ∆ = 4|(w. e. z)|2 + β 2 |(w. z)|2 ||z||2 . Assumamos.218 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Com efeito. o que garante a exist encia de ra´ e ızes reais distintas e. z)|2 ||z||2 β 2 + 2β |(w. ou seja. onde a ultima desigualdade decorre da defini¸õ de d = d(u. ficando provado (5. z). em particular. z) = 0. c˜ 2 (5. Suponhamos. w) + |α|2 ||z||2 = β (w. α = β(w. w) = α(w. para algum z ∈ M . z) (w. z)|2 + β 2 |(w. (5. o ||w + α z|| = ||v − u + α z|| = ||v + α z − u|| ≥ d = ||w||. M ) e do fato que (v + α z) ∈ ´ ca M .87) obtemos α(w. z)|2 + β |(w. Isto termina a prova.87) podemos escrever 2β |(w. z)|2 ||z||2 ≥ 0 para todo β ∈ R e z ∈ M. o que ´ u e uma contradi¸ao com (5. z) + β (w.89) . z)|4 > 0. ca a a podemos escolher β de modo que 2β |(w. por contradi¸õ. Temos. Substituindose α dado acima em (5.87) Lembremos que queremos provar que (w. z) + α(z. z)|2 ||z||2 = β |(w. para esse prop´sito. o discriminante ∆ da fun¸ao quadr´tica c˜ a f (β) = |(w. Com efeito. e portanto. 0 ≤ ||w + α z||2 − ||w||2 = (w + α z. conseqëntemente existe β entre tais raizes tal que f (β) < 0. z) = 0.88) (5. Desta forma. a c a ´ um subespa¸o de H definido por e c M ⊥ = {v ∈ H. Entõ. quando ν → +∞. S ⊥ ´ um subespa¸o e e e c fechado de H. .43 Sejam H um espa¸o de Hilbert e S ⊂ H. e Proposi¸õ 5. de fato. u) = 0. S ∩ S ⊥ ⊂ {0}. (w. as defini¸˜es coincidem.42 Fazendo-se a identifica¸õ de H com o seu dual. Na situa¸ao limite. para todo u ∈ S. u) = 0. para todo v ∈ S ⊥ }. u) = 0. para todo u ∈ S. (v. (v.SUBESPACOS FECHADOS E O TEOREMA DA PROJECAO ¸ ¸˜ 219 Defini¸õ 5. Agora. para todo u ∈ S}. u) = 0.41 Sejam H um espa¸o de Hilbert e S um subconjunto de H. j´ definido anteriormente. obtemos c˜ (v. co Cov´m observar que mesmo que S seja um conjunto gen´rico. para todo u ∈ S. a Em particular. (v. para todo v ∈ S o que implica que v = 0. v) = 0. (vν . (i) Seja v ∈ S ∩ S ⊥ . via Teorema de Riez. v ∈ S e (v. u) = 0. A cole¸õ de ca c ca vetores S ⊥ = {v ∈ H. o que prova que v ∈ S ⊥ o que prova que S ⊥ ´ fechado. e Observa¸õ 5. seja {vν }ν∈N ⊂ S ⊥ tal que vν → v em H. ca ca entõ. v) = ||v||2 = 0. Temos. Entõ. sendo S um subespa¸o. ´ denominada o complemento ortogonal de S. (ii) Notemos que S⊥ ⊥ = {w ∈ H. evidentemente {0} ⊂ S ⊥ ⊂ {0} e assim c temos a igualdade. e c S ⊂ S⊥ ⊥ . o complemento ortogonal M ⊥ de um subespa¸o M ⊂ H. para cada ν ∈ N. ou seja. ca c a (i) (ii) Demonstra¸õ: ca S ∩ S ⊥ ⊂ {0} e temos a igualdade se S ´ subespa¸o. para todo u ∈ M }. Logo. Pela proposi¸ao 5.90) Reciprocamente. v) = 0.220 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` ⊥ Seja u ∈ S. ´ claro que S ⊂ [S]. para todo v ∈ S ⊥ o que implica que u ∈ S ⊥ a conclui a prova. pela proposi¸õ 5. Entõ. desta forma. Entõ.43(ii).43(i). ca c a S⊥ ⊥ S⊥ ⊥ ⊥ . isto ´. temos que M ⊂ M ⊥ ca c˜ M⊥ ⊥ .44.43(ii). 2 nõ pode ser pr´pria e devemos ter M = M ⊥ a o c a Corol´rio 5. admitamos que M ca a o . entõ M = ca e c c a M⊥ ⊥ . ⊥ Demonstra¸õ: De acordo com a proposi¸õ 5. a inclusõ c˜ a . = [S]. para todo v ∈ S2 . 2 Proposi¸õ 5. a Demonstra¸õ: ca ⊥ a Seja u ∈ S2 . conforme quer´ ıamos demonstrar. Entõ. v) = 0. ⊥ . w ∈ M ⊥ ∩ M ∈ M⊥ ∩ M⊥ e como M ⊥ ´ subespa¸o. portanto. S⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ´ um subespa¸o fechado e c cont´m o menor subespa¸o fechado que cont´m S. ou e c e ⊃ [S] (5. em particular. w = 0. ou seja.40 existe w ∈ M ⊥ a ca ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ tal que w = 0 e w ⊥ M . ou seja. S1 ⊃ S2 . que (u. por contradi¸õ.46 Sejam H um espa¸o de Hilbert e S ⊂ H. Entõ. o que gera uma contradi¸ao. da proposi¸ao 5.47 Sejam H um espa¸o de Hilbert e S ⊂ H. Entõ.44 Sejam H um espa¸o de Hilbert e S1 e S2 subconjuntos de H tais que ca c ⊥ ⊥ S1 ⊂ S2 . Assim. ⊥ temos. para todo v ∈ S1 . e. Entõ. Como S1 ⊂ S2 .45 Se M ´ um subespa¸o fechado de um espa¸o de Hilbert H. S ⊥ = a Proposi¸õ 5. S seja. S ⊥ ca ca contendo S e. temos e c˜ S ⊥ ⊃ [S] . que a inclusõ seja pr´pria. u ∈ S1 . o que Proposi¸õ 5. ⊥ Demonstra¸õ: De acordo com a proposi¸ao 5. e w ∈ M ⊥ . (u. v) = 0. 2 . Supo- nhamos. (u. que e c c˜ ⊥ = {0}. u ∈ M. resulta que ||u||2 = 0 e portanto u = 0.91) e (5. entõ. al´m disso. a e c Demonstra¸õ: Seja {wν }ν∈N ⊂ M + N tal que wν → w em H quando ν → +∞. M ⊕ N ´ um subespa¸o fechado. podemos aplicar a e c proposi¸ao 5. Entõ. (5. ´ claro que {0} ⊂ M ∩ N . Agora. para todo v ∈ M e w ∈ N. tivermos e c e M ⊥ N.95). Neste caso a soma ´ dita direta e representamos por M ⊕ N e Proposi¸õ 5. Entõ. Se.91) Contudo. notemos que [S] ´ um subespa¸o fechado de H. ´ claramente um subespa¸o de H. a M ∩ N = {0}. o que prova que M ∩ N ⊂ {0}.93) conclu´ ımos o desejado. 2 (5.92) conclu´ ımos que S⊥ ⊥ ⊥ ⊥ . e a Mas. w) = 0. Sejam M e N subespa¸os de um espa¸o de Hilbert H.95) (5. (5. u ∈ M e u ∈ N . existem uν ∈ M e vν ∈ N tais que wν = uν + vν .90) e (5.93) Combinando (5.45 para concluir que c˜ [S] = [S] Assim. Ora. v ∈ N }.48 Sejam M e N subespa¸os fechados de um espa¸o de Hilbert e suponca c c hamos que M ⊥ N .SUBESPACOS FECHADOS E O TEOREMA DA PROJECAO ¸ ¸˜ o que implica que S⊥ ⊥ 221 ⊂ [S] ⊥ ⊥ (5. o conjunto c c a M + N = {u + v. ca para cada ν ∈ N.92) ⊂ [S]. Temos. se u ∈ M ∩ N . pelo fato de (v. Logo.94) Com efeito. (5. de (5. o que prova (5. entõ. pelo teorema de Pit´goras que a ||wν − wµ ||2 = ||(uν + vν ) − (uµ + vµ )||2 = ||(uν − uµ ) + (vν − vµ )||2 = ||uν − uµ ||2 + ||vν − vµ ||2 .96) . e pela unicidade do limite em H conclu´ ımos que w = u + v.48 temos que N ´ um subespa¸o fechado de H. que M + N ´ fechado. existem u. Demonstra¸õ: Da proposi¸ao 5. Pelasproposi¸˜es 5. e 2 Teorema 5.96) na passagem ao limite que {uν }ν∈N e {vν }ν∈N sõ seq¨ˆncias de Cauchy em H.97) Contudo.45 resulta que c˜ N = N⊥ o que completa a prova. Al´m ca e c e disso.45 vem que co N⊥ ⊂ M⊥ e N⊥ ⊂ M⊥ o que implica que N ⊥ ⊂ M ⊥ ∩ M = {0}. entõ e c c a H = M ⊕ M ⊥. resulta que u ∈ M a e v ∈ N . como {uν }ν∈N ⊂ M e {vν }ν∈N ⊂ N e M e N sõ fechados.97) obtemos wν = uν + vν → u + v ∈ M + N. N ⊥ = {0}. v ∈ H tais que uν → u e vν → v em H. µ ∈ N.222 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` j´ que (uν − uµ ) ⊥ (vν − vµ ). a ue Logo. (5. para todo ν.44 e 5. Como {wν }ν∈N ´ de Cauchy.43(i). Assim.49 Se M ´ um subespa¸o fechado de um espa¸o de Hilbert H. temos M ⊂ N e M ⊥ ⊂ N. e da proposi¸ao 5. por conseguinte. resulta que M ∩ M ⊥ = {0}. Para isso. definamos N = M + M ⊥. De acordo com a proposi¸õ 5. o que prova que w ∈ M + N e. ⊥ ⊥ = M. 2 . Portanto. de (5. resulta a e de (5. Resta-nos provar ca c˜ que H = M + M ⊥ . Isto conclui a prova. = {0}⊥ = H. para todo u. v) = a(u. do exposto. De maneira an´loga ao que j´ foi feito anteriormente.ADJUNTO DE UM OPERADOR LINEAR LIMITADO 223 5. A∗ v). (Au.6 Adjunto de um Operador Linear Limitado Sejam H um espa¸o de Hilbert. pelo Teorema de Representa¸ao de Riesz. A∗ v).27)) ca ca a a . para todo u. De modo an´logo ao que fizemos anteriormente (veja (5. v ∈ H e ||A∗ || = ||A||.65)-(5. v) = (u. v ∈ H. v) = (u.69) e o procedimento a usado nesta se¸ao) tem-se que A∗ ∈ L(H) e. existe um unico wv ∈ H tal que c˜ ´ f v. u = (u. a seguinte aplica¸ao: c˜ fv : H → C u → f v. v). para todo u ∈ H. A∗ v) . a(u. c Definamos. para todo u. ou seja. wv ) = (u. u = (u. mostra-se que f v ∈ L(H) e a a portanto. (rela¸õ an´loga `quela obtida em (2. ||A∗ || = ||a||. c˜ e vem que (Au.98) Defini¸õ 5. A ∈ L(H) e a(u. onde wv ´ dado acima . v ∈ H e ||A∗ || = ||a|| = ||A||. u = a(u. v ∈ H. v) = f v. A∗ v) . Logo. para todo u.99) (5. e Do exposto podemos escrever a(u.99). al´m disso. ou seja. v) uma forma sesquilinear associada. (5. para cada v ∈ H.50 O operador A∗ definido acima ´ denominado o adjunto de A e ´ caracca e e terizado pela rela¸õ dada em (5. v) = (u. wv ) . Definamos a seguinte aplica¸õ: ca A∗ : H → H v → A∗ (v) = wv . v) = a(v. v ∈ H. existem. para todo u. para ı todo u ∈ H. a∗∗ (u. ca e e Proposi¸õ 5. 2 Defini¸õ 5. u). . Av).224 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Observa¸õ 5. u) = a(u. v) = a(v. A∗ e A∗∗ pertencem a L(H). isto ´. e e (Au. formas sesquilineares limitadas de H a eles relacionas. e. v). v) = (Au. De fato. A∗ u) = (Av. v ∈ H e. a A∗∗ = (A∗ )∗ = A. v) = 0. v) = (v. v) = (u. v). v). v) = a(u. v ∈ H. a∗ e a∗∗ . v ∈ H. Consideremos A ∈ L(H) e A∗ o seu ca c adjunto. desta forma (A∗∗ u. Resulta da´ que (A∗∗ u − Au.51 Notemos que a forma sesqulinear limitada de H. v) = (A∗ u. para todo u. para todo u. A∗∗ = A. Assim. Temos a∗ (u. entõ. a∗∗ = a e. respectivamente. v) = a(u. ou ainda. u).52 Seja H um espa¸o de Hilbert. Entõ. portanto. sejam u. para todo u. v) = a∗∗ (u. u). u) = a(v. para todo u. o que prova o desejado. v) = a∗ (v. para todo u. a∗ (u. Demonstra¸õ: Como A. v ∈ H. pela observa¸ao c˜ anterior. A limita¸õ de a∗ prov´m do fato que a ´ limitada. Ainda. portanto. ca a a. determinada ca por A∗ ´: e a∗ (u.53 Um operador linear limitado A de um espa¸o de Hilbert H ´ denominado ca c e sim´trico se A∗ = A. A∗∗ u = Au. v ∈ H. a∗ (u. v ∈ H. e. e Demonstra¸õ: Sejam u. u) ≤ M . c˜ (i) Pelas defini¸oes de m e M resulta que c˜ m≤ (Au. v) ´ c˜ e hermitiana e portanto a(u) = a(u. o que prova o desejado.u=0 ||u|| u∈H. Av) = (Av.u=0 ||u|| inf Observemos. v) = (u. portanto. ||A|| = max{|M |. Entõ. Consideremos A ∈ L(H) um operador ca c sim´trico e a(u. desta forma. 2 Proposi¸õ 5. u) = a(v. u)| = |a(u. |m|}. Definamos e m= Entõ. u) ≤ ||A|| ||u||2 . para todo u ∈ H com u = 0.54 e 5. u) e M = sup . a (i) (ii) Demonstra¸õ: ca m ||u||2 ≤ (Au. u = 0. ||u||2 . inicialmente. u = 0. u)| ≤ ||a|| ||u||2 = ||A|| ||u|| 2. Como (Au. para todo u ∈ H. u) ∈ R. m ||u||2 ≤ (Au. u) = a(u.55 Seja H um espa¸o de Hilbert. e. u) ≤ M. para todo u ∈ H. u) ≤ M ||u||2 . v) = (Au. temos o desejado. ||u||2 Logo. entõ faz sentido as a defini¸oes de m e M . −||A|| ≤ (Au. u) ≤ ||A||. a(u. temos ca a a(u. (ii) Temos que ||A|| = ||a||. v) sua forma sesquilinear limitada associada. Se A ∈ L(H) ´ sim´trico. u). para todo u ∈ H. Como a desigualdade ´ e trivialmente verificada para u = 0. que pelas proposi¸oes 5.54 Seja H um espa¸o de Hilbert. em virtude da simetria e A. (Au. para todo u ∈ H. para todo u ∈ H. u) (Au.ADJUNTO DE UM OPERADOR LINEAR LIMITADO 225 Proposi¸õ 5. |(Au. u).6. Assim. −||A|| ||u||2 ≤ (Au. 2 2 u∈H. v ∈ H. entõ sua ca c e e a forma sesquilinear limitada associada a(u. v) ´ hermitiana. para todo u ∈ H. temos dois casos a considerar: (a) |M | ≥ |m|. u) (Au. Temos |M | ≥ M = (Au.u=0 sup isto ´. para todo u ∈ H. u) (Au. ||u||2 u∈H. para todo u ∈ H. 2 ||u||2 u∈H. |M |} ≤ ||A||.u=0 ||u|| sup (5.u=0 ||u|| sup .u=0 ||u|| u∈H. u∈H. ||A|| ≤ |M | = max{|M |.101). Por outro lado. afirmamos que ||A|| ≤ max{|m|. o que prova que |m| ≤ ||A|| e |M | ≤ ||A||. ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` (Au.226 Resulta da ultima desigualdade que ´ −||A|| ≤ ou seja. |M |}. u) (Au. 2 ||u||2 u∈H. u) (Au. u = 0. Com efeito. u = 0. Portanto max{|m|. 2 2 u∈H. 2 u∈H. para todou ∈ H. |m| ≥ −m = − (Au. u = 0. u = 0. u = 0. u) ≥ . e (b) |m| ≥ |M |. da hip´tese |m| ≥ |M | resulta que o |m| ≥ |M | ≥ M = (Au. u) para todo u ∈ H. Temos. u) ≥− . para todo u ∈ H. u)| ≤ |M |. vem que o |M | ≥ |m| ≥ −m = − Assim. ||u||2 (Au. u) ≤ sup ≤ ||A||.100) Pela hip´tese |M | ≥ |m|. u = 0. |m|}. o que prova (5. |M | ≥ o que implica que |(Au. u)| .u=0 ||u|| inf −||A|| ≤ m ≤ M ≤ ||A||.u=0 ||u||2 inf Agora.101) (5.u=0 ||u|| ||u||2 inf |(Au. u) ≥ . H representar´ um espa¸o de Hilbert sobre C munido do produto interno a c (·. e) → (u.u=0 sup |(Au. de (5. que A nõ seja limitado. Entõ. a Logo. ca Demonstra¸õ: Suponhamos. b) definido por Au = (u.101) fica provado o desejado. tal que ||Auν || ≥ ν. se {uν }ν∈N ´ uma seq¨ˆncia limitada em L2 (a.O TEOREMA ESPECTRAL PARA ´ OPERADORES SIMETRICOS Assim. b) e e ´ um vetor unit´rio de L2 (a. ||u||2 227 ou seja. existe ums subseq¨ˆncia uν tal que uν ue u fracamente em L2 (a.56 Um operador A de H ´ denominado compacto.63. b) → L2 (a. quando para toda sucessõ ca e a limitada {uν }ν∈N de vetores de H. ||A|| ≤ |m| = max{|M |. ·)1/2 . existe ca ca a a uma sucessõ {uν }ν∈N de vetores de H com ||uν || = 1.100) e (5. entõ. u = 0. Defini¸õ 5. Em outras palavras. podemos extrair de {Auν }ν∈N uma subsucessõ convera gente em H. |m| ≥ Logo. ·) e norma || · || = (·. (uν . conseqëntemente. A ´ limitado. e 2 . da sucessõ {Auν }ν∈N nõ podemos extrair nenhuma subsusessõ convergente. desta forma. b) e. e)e. b). Mostraremos que A ´ um operador compacto. Exemplo: Seja A : L2 (a. em virtude do teorema e ue a 3. u)| para todo u ∈ H. o que prova o desejado em (5. b).OPERADORES COMPACTOS . Assim.57 Se A ´ um operador compacto de H. De e a e fato. onde u ∈ L2 (a. entõ A ´ limitado.O Teorema Espectral para Operadores Compactos Sim´tricos e No que segue. e)e em L2 (a. |(Au. (uν .101). u)| ≤ |m|. o a a a que contradiz o fato de A ser compacto. e)e → (u. b). e) forte em C e. por contradi¸õ.7 Operadores Compactos . A leva conjuntos limitados em conjunto relativamente compactos. Assim. ||u||2 u∈H. |m|}. para todo ν ∈ N. 2 5. u e a e Proposi¸õ 5. (5. para todo ν ∈ N. ca a 2 Teorema 5. 2. A∗ ´ compacto. a e podemos extrair uma subsucessõ {ϕν } que converge em C(K) para uma fun¸ao ϕ em a c˜ C(K). uν ). x2 ) < δ implica que |f (x1 ) − f (x2 )| < ε. para todo ν ∈ N. que ||uν || ≤ 1.58 (Arzel´-Ascoli) Sejam K um espa¸o m´trico compacto e H um subcona c e junto limitado de C(K).102) onde C ´ uma constante positiva. ou seja. uν ) − (y. e e Demonstra¸õ: ca ⇒ Suponhamos que A seja compacto. sem perda da generalidade. Consideremos H ⊂ C(K) definido por o H = {ϕν : K → C.103) segue que H ´ um subconjunto de C(K) satisfazendo as condi¸oes e c˜ do Teorema de Arzel´-Ascoli e portanto. Seja {uν }ν∈N uma sucessõ a limitada em H. · · · }. sendo K limitado resulta que e ||ϕν || = sup |ϕν (x)| = sup |(x. H ´ relativamente compacto em C(K). existe δ > 0 tal que d(x1 . e somente se. uν )| ≤ ||x − y| ||uν || ≤ ||x − y||.102) e (5. j´ que C(K) ´ um espa¸o de Banach. Assim. Mostraremos que {A∗ uν }ν∈N possui uma subsucessõ convergente.59 Um operador A de H ´ compacto se. Assim. para todo ν ∈ N. e De (5. Entõ. Temos: |ϕν (x) − ϕν (y)| = |(x. x∈K . Al´m disso. y ∈ K. dado ε > 0. ν = 1. uν )| ≤ sup ||x|| ||uν || ≤ C. a e Demonstra¸õ: Ver Yosida [21]-p´gina 85. existe δ = ε > 0 tal que se ||x − y|| < δ ⇒ |ϕν (x) − ϕν (y)| < ε. seja qual for a f ∈ H. que ´ um espa¸o m´trico compacto posto que A ´ um operador compacto. H ´ relativamente compacto em C(K).228 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Teorema 5. isto ´. para todo ν ∈ N e x. Suponhamos que H ´ uniformemente equicont´ e ınua.103) x∈K x∈K x∈K (5. uν ) − ϕ(x)| → 0 quando ν → +∞. Podea mos supor. x ∈ K → (x. a e c ||ϕν − ϕ|| = sup |(x. para e todo ε > 0. Consideremos e c e e K = A (B1 (0)). por hip´tese. k }k∈N . Repetindo o a processo n − 1 vezes.3 · · · onde {A2 u2. e c Demonstra¸õ: Obviamente Lc (H) ´ um subespa¸o vetorial. . para todo n ∈ N.O TEOREMA ESPECTRAL PARA ´ OPERADORES SIMETRICOS Em particular. o que implica sup u∈H. ||A∗ uν − A∗ uµ || → 0 quando ν . µ → +∞. .k }k∈N convergem .k }k∈N converge u2. De forma an´loga.2 u1.||u||≤1 229 |(Au. {A2 u3. Isto encerra a prova.k }k∈N uma subsucessõ de a a {un }n∈N tal que {A1 u1.OPERADORES COMPACTOS .2 . o que prova o desejado.||u||≤1 |(Au.k }k∈N tal que {A2 u2. uν ) − (Au. Com efeito. .k }k∈N seja convergente. Como A1 ´ compacto podemos e e extrair de {A1 u1. seja An ∈ Lc (H).k }k∈N .||u||≤1 |(u. . µ → +∞. u3. {A1 u2. uµ )| → 0 quando ν . uν ) − ϕ(Au)| → 0 quando ν → +∞. Temos: u1.2 u2. isto a ´. A∗ uν ) − (u. seja {un }n∈N uma sucesssõ limitada de H. existe M > 0 tal que ||un || ≤ M . talq que An → A em L(H). e. podemos extrair de a {u1. e Provaremos que A ∈ Lc (H).k }k∈N uma subsucessõ {un. sup u∈H.k }k∈N . A∗ (uν − uµ ))| → 0 quando ν .3 · · · onde {A1 u1. ou seja. {A1 un.k }k∈N tal que a {An un.1 u1. A∗ uµ )| → 0 quando ν .2 un.k }k∈N seja convergente. para todo n ∈ N. sup u∈H. .k }k∈N uma subsucessõ {u2. podemos extrair de {un−1. ou ainda. {A1 u3.k }k∈N seja convergente. . Lc (H) ´ um subespa¸o fechado de L(H). Seja {u1. sup u∈H. un.60 Lc (H) = {A ∈ L(H). ⇐ Se A∗ ´ compacto entõ. em virtude das proposi¸˜es 5.1 un.1 u2.k }k∈N uma subsucessõ convergente. Mostraremos que Lc (H) ca e c ´ fechado.k }k∈N . Com efeito.||u||≤1 |(u.1 u3. µ → +∞. A ´ compacto} ´ um subespa¸o vetorial de L(H).k }k∈N . ca e e c Na verdade.k }k∈N convergem . portanto.57 resulta que A∗∗ = A e a co ´ compacto. .k }k∈N convergem u3. · · · . {An−1 un. .3 · · · onde {A3 u3. µ → +∞.3 · · · onde {An un. e 2 Proposi¸õ 5.52 e 5. . ··· . 2 . λ ∈ R.k || ≤ M ||A − Am0 || < . Entõ. (5. l > n0 . a inf (Au. u)|. u2.k } ´ convergente. e portanto.104) (5.55 decorre que se ||A|| = sup |(Au.106) e (5. o que implica que {Auk.106) Por outro lado. entõ.k − Am uk. u) e M = sup (Au. l > n0 resulta que ε ||Am0 uk.k || ≤ ||A − Am0 || ||uk. por ser sim´trico.107) resulta que ||Auk. da proposi¸ao 5. onde m e M sõ reais. Notemos que {An uk. entõ.105).l || ≤ ||A − Am0 || ≤ ||A − Am0 || ||ul.57 A ´ cont´ ca a c˜ e ınuo.||u||=1 u∈H. e existe n0 ∈ N tal que para todo k. A possui um valor pr´prio λ = 0. e 2 Teorema 5. e a Com efeito.l || < .107) Portanto.l − Aul.61 Seja A um operador compacto e sim´trico de H.k − Al. Logo.k }k∈N ´ de Cauchy em H e como H ´ e e completo segue que {Auk.l || + ||Am ul.k − Au l. Al´m disso. · · · . ||u||=1 u∈H.1 . de Cauchy.l − Am0 ul. · · · }. se k.230 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Consideremos a sucessõ diagonal {u1. temos que {Am0 uk.l || ≤ ||Auk. a o Demonstra¸õ: Sendo A compacto.k }k∈N ´ convergente. u). temos ||Auk. dado ε > 0.l || ≤ M = . Afirmamos que e {Auk. o que encerra a prova. un. ostraremos que {Auk. 3M 3 ε . e e a c˜ e se m= entõ a ||A|| = max{|m|.105) Como An → A em L(H). ε ||Auk. de (5.k || + ||Am uk.k − Am0 uk. tomando m = m0 em (5.k − Am0 ul. existe m0 ∈ N tal que ||Am0 − A|| < a Asssim. diferente do operador e nulo.n .||u||=1 . entõ em virtude da proposi¸ao 5. |M |}.k }k∈N a converge. 3 (5. 3 ε ε ||Aul.k }k∈N ´ uma sucessõ de Cauchy.l ||.k }k∈N ´ convergente para todo n ∈ N. 3M (5.k − Am ul. l|| < ε. 111) e de (5.110) que ı k→+∞ lim ||Awk − λwk || = 0. wk ) + λ2 . k→+∞ (5. Tomando o limite na ultima desigualdade obtemos de (5. uν ) → λ quando ν → +∞. de ´ e (5. M ´ um valor pr´prio de A e se |m| ≥ |M |. o e a o . existe uma sucessõ {uν }ν∈N de vetores de o c˜ a H.108) (5. Pelas defini¸oes de m e M e λ. 2 Observa¸õ 5. e tal que (Auν .109) que 0 ≤ lim ||Awk − λ wk ||2 = ||u||2 − 2λ2 + λ2 = ||u||2 − λ2 .112) e do fato que u = λ v conclu´ ımos que Av = λ v.109) (5. resulta. Al´m disso. quando k → +∞ (5. Mostraremos que λ ´ valor e pr´prio de A. ||A|| ou −||A|| sõ valores pr´prios de A.112) vem que λ wk → λ v. Desta ultima convergˆncia. Sendo A limitado resulta a que A(λ wk ) → A(λ v). Temos.O TEOREMA ESPECTRAL PARA ´ OPERADORES SIMETRICOS 231 Consideremos λ = m ou λ = M de modo que |λ| = ||A||. em virtude de (5. Das ´ desigualdades acima resulta que ||u|| = |λ|. (5.112) u Seja v = λ .110) de onde segue que |λ| ≤ ||u||.111). entõ m ´ um valor e o a e pr´prio de A.OPERADORES COMPACTOS . de onde resulta que Awk → Av. o que encerra a prova. existe uma subsucessõ {wk } de {uk } e u ∈ H tais que e a Awk → u quando k → +∞. em virtude de A ser sim´trico e λ real que e 0 ≤ ||Awk − λ wk ||2 = ||Awk ||2 − 2λ(Awk .109) que ||u|| ≤ |λ|. com ||uν || = 1. Como A ´ limitado.108) e (5.109) que acarreta que λ wk → u.62 Decorre da demonstra¸õ do teorema 5. Passando o limite na desigualdade acima. (5. Resulta da´ e de (5. resulta que e ||Auk || ≤ ||A|| ||wk || = ||A|| = |λ|. ||v|| = 1 e de (5. Como A ´ compacto. Entõ.61 que se |M | ≥ |m| entõ ca ca a ||A|| = |M | e. portanto. obtemos finalmente uma subsucessõ a de vetores {en }n∈N tais que ||en || = 1. por contradi¸õ. n = m. que ca o ca o espa¸o c Hλ = {u ∈ H. m ∈ N. para todo n ∈ N. ||Aen − Aem ||2 = ||A(en − em )||2 = ||λ(en − em )||2 = |λ|2 ||en − em ||2 . m ∈ N. (en . en ) . ||en − em ||2 = ||en ||2 + ||em ||2 − (en .64 A multiplicidade de cada valor pr´prio λ = 0 de um operador compacto ca o A nõ nulo de H ´ finita. A dimensõ ca o a do espa¸o N (A − λ I) ´ chamado multiplicidade do valor pr´prio de λ. =1 =1 =0 =0 Logo. podemos considerar em N (A − λ I) uma sucessõ {ϕn }n∈N de vetores lineara a mente independentes. em ) = 0.232 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Defini¸õ 5. para todo n. ||Aen − Aem ||2 = 2 λ2 . a e Demonstra¸õ: Seja λ = 0 um valor pr´prio de A. . ϕm ) = 0. Contudo. Suponhamos. Au = λu} nõ possua dimensõ finita. isto ´ a a e dim[N (A − λ I)] = +∞. para todo n. n = m. podemos supor ca que (ϕn . Por outro lado. em ) − (em . Dividindo cada elemento {ϕn }n∈N por sua norma.63 Sejam A um operador de H e λ ∈ C um valor pr´prio de A. Entõ. c e o Proposi¸õ 5. Pelo processo de ortogonaliza¸õ de Gram-Schmit. u2 . . · · · } uma base de vetores de um espa¸o vetorial ca a V . c˜ . portanto. (5. podemos e a a construir uma cole¸õ finita ou enumer´vel {λν } de valores pr´prios nõ-nulos de A e ca a o a uma cole¸õ {vν } de correspondentes vetores pr´prios tais que ca o (i) Se {λν } ´ enumer´vel. vn−1 )vn−1 . . v1 )v1 . o que contradiz a a o fato que A ´ um operador compacto. v3 = u3 − (u3 . ca o a e a a Demonstra¸õ: Faremos a demonstra¸ao em trˆs etapas. · · · } ´ uma base ortogonal de V . para todo ν e λν → 0.) a (iii) Todos os valores pr´prios nõ-nulos de A estõ na cole¸õ {λν }. 2 c Observa¸õ 5. Assim. ca c˜ e Primeira Etapa: Constru¸ao dos {λν } e {vν }.65 Sendo {u1 .OPERADORES COMPACTOS . . a o a a ca cole¸õ de valores pr´prios nõ-nulos de A ´ no m´ximo enumer´vel. vn . · · · . vν )vν . v1 )v1 − (u3 . vν )vν = ν λν (u. para todo u ∈ H. a ca e Este ´ processo de orgotonaliza¸õ de Gram-Schmidt.113) ( ν indica soma finita ou enumer´vel. v2 )v2 . vn = un − (un . . un . (ii) {vν } ´ um sistema ortonormal de H e ´ v´lida a representa¸õ e e a ca Au = ν (Au. entõ a cole¸õ o conjunto de vetores {v1 . v2 .66 Seja A um operador compacto sim´trico nõ-nulo de H. . Entõ. definindo-se v1 = v2 u1 . a multiplicidade do valor pr´prio λ = 0 ´ e o e finita. entõ e a a |λν | ≥ |λν+1 |. v2 )v2 − · · · − (un . e ca Teorema 5. entõ.O TEOREMA ESPECTRAL PARA ´ OPERADORES SIMETRICOS 233 o que implica que {Aen }n∈N nõ possui subsucessõ alguma convergente. . · · · . v1 )v1 − (un . ||u1 || = u2 − (u2 . admitindo-se que A2 = 0 (nõ identicamente nulo. A3 . u)| = |λ1 |. . ou seja. v2 ) = 0}. u)| ≤ sup u∈H1 . v2 ) = 0. λ2 . v1 ) = (u. v2 . Consideremos. vν−1 . e a a e sup u∈H2 . H3 ´ o complemento ortogonal de v1 e v2 . A ´ invariante por H2 . (u. para e e u ∈ H2 . tais que o |λ1 | ≥ |λ2 | ≥ · · · ≥ |λν |. · · · . · · · . v2 . entõ λν → 0. o e H2 = {u ∈ H. como {λν } ´ limitada (por |λ1 |). Mostraremos a c˜ que se {λν } ´ enumer´vel. temos e e (Au. Av1 ) = λ1 (u. obtemos.61 nos proporciona o primeiro valor pr´prio λ1 = 0. o que prova a afirma¸ao. ||v1 || = 1. tais que |λ2 | ≥ |λ3 | e v3 ´ ore togonal a v1 e v2 . vν . os valores pr´prios λ1 . Aν sõ nõ identicamente nulos. obtemos uma cole¸ao enua a c˜ mer´vel {λν } de valores pr´prios de A com correspondentes vetores pr´prios {vν }. a a aplicando o teorema 5. v1 ) = 0 e (Au. Com efeito. v2 . obtemos. Notemos que v2 ´ ortogonal a v1 e sendo o e |λ2 | = resulta que |λ1 | ≥ |λ2 |.61 a A2 e H2 . A : H2 → H2 . isto ´. v2 ) = (u. c˜ Seja A2 = A|H2 . Admitindo-se que A2 . temos (Au. Av1 ) = (u. a a aplicando-se sucessivamente o racioc´ feito acima. onde Hν ´ o complemento e ortogonal de v1 . v1 ) = 0} e definamos H1 = H. o segundo valor pr´prio λ2 com correspondente vetor o pr´prio v2 ∈ H2 . Av2 ) = λ2 (u. (u. vν } sendo um conjunto ortonormal de H. Caso a o o contr´rio. Admitindo-se que A3 = 0(nõ a identicamente nulo). o que acarreta que Au ∈ H3 . com correspondente o valor pr´prio v1 . Se u ∈ H3 . e {v1 .234 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` O teorema 5. obtemos λ3 = 0 e v3 ∈ H3 . λ v1 ) = λ (u. o que implica que Au ∈ H2 . v1 ) = (u. · · · . v1 ) = (u. paramos a constru¸ao dos λν no momento que em que Aν ≡ 0. isto ´. ||v2 || = 1. Definamos A3 = A|H3 . v1 ) = 0. · · · . · · · . Entõ.||u||=1 |(Au. Sendo A sim´trico. da mesma forma. H3 = {u ∈ H. Com efeito. λν nõ ınio o a nulos de A com correspondentes vetores pr´prios v1 .||u||=1 |(Au. Se todos os Aν sõ nõ nulos. Seja H2 o complemento ortogonal de v1 . vν ∈ Hν . ||v3 || = 1. 114) O resultado seguir´ se mostrarmos que a Awν → 0 quando ν → +∞.115) Awν = Au − i=1 ν−1 (u. por a ν →+∞ contradi¸õ. i=1 = Au − i=1 (u. Seja a a e a u ∈ H e definamos.O TEOREMA ESPECTRAL PARA ´ OPERADORES SIMETRICOS 235 existe uma subsucessõ {λν } de {λν } e a ∈ R tais que lim λν = a. vi )vi . {λν } ´ enumer´vel.114) temos ν−1 ν−1 (5. Avi )vi = Au − . quando ν → +∞. Decorre da convergˆncia acima que e ν→+∞ lim |λν | = 0 uma vez que {|λν |} ´ uma sucessõ decrescente e limitada de n´meros reais e portanto e a u covergir´ para o seu ´ a ınfimo. Com efeito. vi )Avi = Au − i=1 ν−1 λi (u.113) ´ v´lida c˜ e a Suponhamos que {vν } seja um sistema enumer´vel. {vν } nõ ´ de Cauchy. notemos que de (5. Entõ. como A ´ compacto. Do exposto conclu´ e ımos que ν→+∞ lim λν = 0 Segunda Etapa: A Representa¸ao (5. Mas a convergˆncia acima nõ pode ocorrer uma vez que e a ||vν1 − vν2 ||2 = ||vν1 ||2 + ||vν2 ||2 . vi )vi (Au. ´ zero. e v ∈ H a ca = vν → v. ca a tais que A vν λν vν λν ´ limitada e. Suponhamos. Isto nos leva a uma contradi¸ao provando que a e c˜ ν →+∞ lim λν = 0. vi )vi . existirõ uma e e a subsucessõ da mesma. (5. Entõ.OPERADORES COMPACTOS . que. a qual continuaremos denotando pela mesma nota¸õ. que a = 0. para cada ν ∈ N ν−1 wν = u − i=1 (u. ou seja. neste caso. vj ) = (u. vj )vj . vi )vi .117) ||Au|| ≥ ||Azν ||. al´m disso. temos de (5.113) segue de ca modo simples. para todo ν ∈ N. j = 1. para todo ν ∈ N. ν0 −1 ν0 −1 (u. vµ = i=1 (u.115).115) fica provado (5. vi )(vi . a e |λν | ≥ ||Azν ||. vi )(vi . de onde vem que (u. vi )|2 . e. · · · . Pelo Teorema de Pit´goras segue que a ν−1 ν−1 ||wν ||2 = (wν . u − j=1 ν−1 (u. de onde vem que ν−1 ||wν || = ||u|| − j=1 2 2 |(u. vµ ) = 0 se µ ≥ ν0 . para algum ν0 . |(Au.||u||=1 . Entõ. vj )vj ν−1 ν−1 = ||u|| − j=1 2 (u. vj ) − i=1 (u. j=1 (u. o que acarreta que ||wν || ≤ ||u||. vi )vi . por conseguinte.236 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Da ultima identidade e assumindo a convergˆncia em (5. vj )(u. o que implica que wν ∈ Hν . u)| = sup u∈Hν . vi )vi . 2.||u||=1 wν . ν − 1. vµ ) = i=1 (u. vj ) − j=1 (u. ||wν || para todo (5.116) u= i=1 (u. Com efeito. Suponhamos. vµ ) = 0 para todo µ ≥ ν0 e a representa¸õ em (5. que wν = 0 para todo ν ∈ N e definamos zν = a ν ∈ N. wν ) = ν−1 u− i=1 (u. temos ν0 −1 (5. pois |λν | = sup u∈Hν . vi )vi . vi )(vi . entõ.114) que e ν−1 (wν . vj ) = 0. zν ∈ Hν (posto que wν ∈ Hν ). ´ e Portanto ´ suficiente provarmos (5.113). Se wν0 = 0. ||zν || = 1 e. u) + i=1 (u. o que prova que u ∈ N (A) e portanto N (A) ´ um subespa¸o fechado de H. implicando que (v.115).. vν ) ⇒ (λ − λν )(v. sendo A limitado. Avν ) = λν (v. para todo ν ∈ N. Assim. Contudo. vν ) = 0 para todo ν ∈ N.118) . j´ que estamos admitindo que (λ − λν ) = 0.117) obtemos u∈Hν . vemk que Au = 0. a para todo ν ∈ N. de acordo com o e c teorema 5. ter´ a ıamos que Aν = A|Hν seria diferente do operador nulo e entõ poder´ a ıamos obter mais um vetor pr´prio vν . vν ) = 0. entõ N (A) ´ fechado. ´ um subespa¸o de H.114). mas isto nõ pode ocorrer. Entõ. Se Awν fosse diferente de zero. Isto encerra a prova do teorema.OPERADORES COMPACTOS . o a Terceira Etapa: Demonstra¸õ de (iii) ca Suponhamos que A tenha um valor pr´prio λ = 0 com correspondente vetor pr´prio o o v. Au = 0}. ||Au|| ≤ sup |(Au. vν−1 .||u||=1 ||Awν || = ||wν || ||Azν || ≤ ||u|| |λν |. resulta que e (v. para todo ν ∈ N.49. Auν = 0.113) resulta que Av = ν λν (v. o que ´ uma contradi¸ao j´ que Av = λ v = 0. para todo ν ∈ N. em {λν } estõ todos os valores e c˜ a a pr´prios e nõ nulos de A. u o Seja wν como em (5. O nćleo de A.O TEOREMA ESPECTRAL PARA ´ OPERADORES SIMETRICOS 237 (Note que a identidade acima ´ v´lida pois A ´ invariante para cada Hν e portanto e a e ||Au|| = (Au. Awν = 0 e o resultado segue. Assim. De (5. Assim. wν ∈ Hν . Ora. Assim. c u N (A) = {u ∈ H. como para cada ν ∈ N. Suponhamos que tenhamos apenas um n´mero finito de vetores pr´prios v1 . Entõ.116) e (5. pela continuidade de A. · · · . seja e c a e {uν }ν∈N ⊂ N (A) tal que uν → u em H. podemos escrever que H = N (A) ⊕ N (A)⊥ . o a 2 Seja AH → H um operador linear de um espa¸o de Hilbert H. (5. pois (Av. vν )vν = 0. tal que λ seja diferente de todos os λν obtidos na primeira etapa.Au) ||Au|| Au ≤ Au. v2 . resulta que Auν → Au. conforme desejado. vν ) = 0. de (5. por ser A a sim´trico. Sendo A limitado. vν ) = (v. u)|). Com efeito. o que prova (5. Tomando o limite na desigualdade acima notando que λν → 0 segue que Awν → 0. Com efeito. temos {vν } ⊂ N (A)⊥ = {v ∈ H. de (5. existe um unico w ∈ N (A) tal que a ´ u=w+ ν (u. (5.119) ´ unica. provaremos c˜ inicialmente que para todo n ∈ N. Resta-nos provar a unicidade da representa¸ao.124) . (5. de (5. Definindo-se e w =u− ν (u. Entõ.121) e (5. c˜ e´ Demonstra¸õ: De acordo com a proposi¸õ 5. a repree e senta¸ao dada em (5. w) = 0.122) podemos escrever que Aw = Au − Au = 0.66(ii) resulta que n n→+∞ n lim A ν (u.123) o que prova que w ∈ N (A). vν )Avν = ν=1 λν (u.238 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Lema 5. vν )vν . (5. vν )vν ν ´ convergente em H. dado u ∈ H.123) temos a existˆncia de w ∈ N (A) que e verifica (5. vν )vν ∈ H.121) Por outro lado. pela linearidade de A obtemos a Aw = Au − A ν (u. vν )vν = ν=1 (u. Logo. (5. (v.66. vν )vν ν=1 = Au.119).31 temos que a s´rie ca ca e (u. (5. e do teorema 5.120) entõ. (5.119) onde {vν } ´ o sistema ortonormal de H obtido no teorema 5. vν )vν .122) Portanto. vν )vν .120) e (5. Al´m disso. vν )vν = lim n→+∞ λν (u. sim´trico e nõ nulo de um espa¸o de Hilbert e a c H. n n n A ν (u. para todo w ∈ N (A)}.67 Seja A um operador compacto. 67 existe um unico w ∈ N (A) que verifica ´ +∞ u=w+ ν=1 (u. ou seja.66 ´ completo em a o e N (A)⊥ . como u ⊥ vν . Assim.OPERADORES COMPACTOS . Com efeito. Sendo o mesmo fechado. para todo ν ∈ N resulta da expressõ acima que o a u = w e.29. vν )vν ∈ N (A)⊥ . Demonstra¸õ: Conforme j´ demonstrado no lema 5. Usaremos a proposi¸õ e ca 5.119) ´ unica. Provaremos que a u = 0.O TEOREMA ESPECTRAL PARA ´ OPERADORES SIMETRICOS Para isso. pelo lema 5. vν )vν ∈ N (A)⊥ . vν )vν .118) que a representa¸ao dada em (5. Isto encerra a prova. u = 0. Sendo N (A)⊥ um subespa¸o fechado de um espa¸o de Hilbert segue que N (A)⊥ ´ c c e Hilbert. resulta que e c (u. w) = 0. para todo w ∈ N (A). ν 239 Segue da´ e de (5. ı c˜ e´ 2 Proposi¸õ 5. Mas. w) ⇒ (vν . Aw) = (Avν . que u u ∈ N (A) ∩ N (A)⊥ . Isto prova o desejado. Resta-nos provar que {vν }ν∈N ´ completo em N (A)⊥ . para cada ν ∈ N. temos que ca a {vν }ν∈N ⊂ N (A)⊥ . w) = 0. tem-se (u.67. o que prova o desejado em (5. De fato. pois N (A)⊥ ´ um subespa¸o. ca e c Entõ o sistema {vν }ν∈N de vetores pr´prios de A obtido no teorema 5. ´ suficiente provarmos que para cada ν ∈ N tenhamos e (vν . entõ. conseqëntemente. 2 . u ∈ N (A)⊥ tal que u ⊥ vν para todo ν ∈ N. se w ∈ N (A) entõ Aw = 0 e da´ decorre que a ı 0 = (vν . Consideremos.68 Seja A um operador compacto e sim´trico de um espa¸o de Hilbert H.124). por hip´tese. w) = λν (vν . y ∈ A. para cada x ∈ A e B √2 (x) ∩ A = {x}. Reciprocamente. entõ nõ pode existir um operador compacto ca e sim´trico de H que seja injetor. e e se A ´ injetor. [{vν }ν∈N ]. todo conjunto ortonormal em c a a H ´ enumer´vel (no m´ximo). e Com efeito. N (A) = {0}. existe um subconjunto enumer´vel e denso em H. Entõ. compacto.71 Seja H um espa¸o de Hilbert separ´vel. sim´trico ca e e injetor. pela proposi¸õ 5. 2 . a saber. Provaremos que A ´ enue mer´vel. entõ ı a B √2 (x) ∩ B √2 (y) = ∅ 2 2 (5. e. a ca e Logo. por contradi¸õ.125) e.68 e do fato que H = N (A) ⊕ ca ue ca N (A)⊥ . ou seja. [{vν }ν∈N ] = H. y ∈ A e x = y. A ´ injetor. e a a Demonstra¸õ: ca Seja A um subconjunto ortonormal de H.33 e ca resulta que [{vν }ν∈N ] = H e [{vν }ν∈N ] = N (A)⊥ .70 Se H nõ ´ separ´vel. suponhamos. {vν }ν∈N ´ completo e a e em H. e a e a a a Observa¸õ 5. Com efeito. para todo x. x = y. H = N (A)⊥ . y ∈ A.69 Como conseq¨ˆncia da proposi¸õ 5. suponhamos que {vν }ν∈N ´ completo em H. H = N (A)⊥ . que exista um operador A. ou seja. entõ.240 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Observa¸õ 5. para todo x. y) − (y. al´m disso. Pela proposi¸õ 5. Entõ.68 vem que {vν }ν∈N ´ ortonormal completo em H. Mas isto ´ a e uma contradi¸õ pois H nõ ´ separ´vel. Logo. x) +||y||2 = 2. portanto. De fato. A ´ injetor. vem que {vν }ν∈N ´ completo em H se. Logo. Segue da´ que se x. x = y. temos a ||x − y||2 = ||x||2 − (x. =0 =0 de onde vem que ||x − y|| = √ 2. e somente se. o que implica que N (A) = {0}. ca a e a Lema 5. para todo α e para todo ν. possui elementos distintos de M . cada par de bolas distintas. B √2 (x) ∩ B √2 (y) = ∅. Agora. entõ N (A) = {0}. respectivamente. e a 2 2 2 2 Pela proposi¸ao 5.OPERADORES COMPACTOS . escolhamso um unico zx ∈ M ∩ B √2 (x) de modo que fica definida uma bije¸õ ´ ca τ : A → N .68. ca e c˜ 2 Proposi¸õ 5. o que prova o desejado. caso contr´rio. pois.126) Se A ´ injetor. e a ortogonalidade vem garantida de (5. se A nõ ´ injetor. c˜ u a composi¸õ σ ◦ τ ´ uma bije¸ao de A em P . o que contradiz 5. ´ E claro que {eµ }µ ´ enumer´vel. Al´m disso. a existˆncia de um sistema ortonormal completo c˜ e {wα }α em N (A). por conseguinte. existe zx ∈ M ∩ B √2 (x).126) ´ otonormal completo em H. e a a existe uma bije¸ao σ deste conjunto com um subconjunto P dos n´meros naturais.30.72 Seja H um espa¸o de Hilbert separ´vel e A um operador compacto e ca c a sim´trico de H. Com efito. Notemos que se ı x = y. formado e a por vetores pr´prios de A.52). Logo. a a Logo. para cada x ∈ A. enumer´vel e e a a denso em H. Sendo H separ´vel e N (A) fechado em H.127) (5.125. Entõ. e a e wα ⊥ vν . Sendo {vν }ν o sistema ortonormal completo em N (A)⊥ obtido na proposi¸ao a c˜ 5. segue que N (A) ´ um a e espa¸o de Hilbert separ´vel (veja proposi¸ao 3. Logo.68 existe um sistema ortonormal completo em H formado por vetores c˜ .O TEOREMA ESPECTRAL PARA ´ OPERADORES SIMETRICOS 241 Por outro lado. para todo α. H = N (A)⊥ .71 vem que {wα }α ´ c a c˜ e enumer´vel. Sendo N enumer´vel.127) e do fato que {wα }α e {vν }ν sõ ortonormais a em N (A) e em N (A)⊥ . onde N ´ um subconjunto enumer´vel de M . como H ´ separ´vel. x → zx . definamos {eµ }µ = {wα }α ∪ {vν }ν . o Agora. Sendo N (A) um subespa¸o fechado a e a c de H resulta. Segue da´ que para cada x ∈ A. entõ N (A) = {0} e. (5. ν. entõ zx = zy . o Demonstra¸õ: ca pr´prios de A. existe um subconjunto M de H. do lema 5. pois N (A) ⊥ N (A)⊥ . conforme proposi¸ao 5. existe um sistema ortonormal e completo {eµ }µ∈N de H. Provaremos que o sistema dado em (5. temos tamb´m que e e ||wα || = 1 e ||vν || = 1. Al´m disso. =0 (5. 2 Sejam H um espa¸o de Hilbert e A um operador compacto.129) e do fato que N (A) ⊥ N (A)⊥ temos 0 = (u. que a H = N (A) ⊕ N (A)⊥ . vν )vν . de acordo com (5. temos. sim´trico e nõ-nulo. entõ. vν ) = (v + w.130) e da proposi¸õ 5. e a P0 : H → N (A) u → P0 u = w. c e a Temos. aplicando-se novamente a proposi¸ao 5. resulta de (5.130) Como {wα }α e {vν }ν sõ ortonormais completos em N (A) e N (A)⊥ . (5. a entõ. entõ. . existe um unico w ∈ N (A) e um a ´ unico v ∈ N (A)⊥ tais que ´ u = v + w.29 que {eµ }µ ´ completo. conforme j´ vimos anteriormente.242 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Resta-nos provar que o sistema dado em (5. wα ) +(w. ou seja. se u ∈ H.126) ´ completo. Segue de (5. Logo. vν ) = (v. Em ´ verdade. wα ) = (w. Consideremos. vν ) + (w.128) Por outro lado. =0 (5. de (5. de onde a ca se conclui. para todo µ. Logo. Com efeito. entõ. wα ) = (v. para todo ν.128) e (5. como H = N (A) ⊕ N (A)⊥ . wα ) = (v + w. onde {vν }ν ´ o sistema ortonormal de H obtido no teorema 5.66. existem unicos w ∈ N (A) e v ∈ N (A)⊥ tais que u = w + v.29 que w = 0 e v = 0. usaremos a e proposi¸ao 5. vν ).129) 0= (u. vν ) = (v.29.119) que u=w+ ν (u.126) que u ⊥ wα para todo α e u ⊥ vν para todo ν. u = 0. wα ) para todo α. u ∈ H tal que c˜ a u ⊥ eµ . Seja. Isto encerra c˜ e a prova. w ∈ N (A). respectivamente. . v ∈ H. Agora. pela unicidade da representa¸õ vem que ca (u. Pµ v) = ((u. vν )vν . Logo. (Pν u. Contudo. Entõ: ca c a (i) Pν e Pµ sõ ortogonais entre si. vµ )vµ ) = (u. uma vez que [vν0 ] ´ um subespa¸o fechado de H. (u. u = (u. temos. a De fato.O TEOREMA ESPECTRAL PARA ´ OPERADORES SIMETRICOS 243 a proje¸ao ortogonal de H sobre N (A). vν0 )vν0 + w + ν=ν0 (u. entõ. vµ ) (vν . w ∈ [vν0 ]⊥ (pois w ∈ N (A). v ∈ H. vµ ) = 0. para todo u. do exposto acima. Consideremos. vν )vν ∈ [vν0 ]⊥ (pois vν ⊥ vν0 . vν )vν . para todo ν = ν0 e [vν0 ]⊥ ´ um subespa¸o e c fechado). Segue da´ que dado u ∈ H. vν )vν = z1 . =0 isto ´.OPERADORES COMPACTOS . vν )vν . se ν = µ. ou seja. temos tamb´m que e H = [vν0 ] ⊕ [vν0 ]⊥ . para cada c˜ ν0 ∈ N. vν )vν . temos a existˆncia de um unico w ∈ N (A) tal que e e ´ u=w+ ν (u. existem e c ı unicos w1 ∈ [vν0 ] e z1 ∈ [vν0 ]⊥ tais que ´ u = w 1 + z1 . para cada ν ≥ 1: a Pν : H → [vν ] u → Pν u = (u. Pµ v) = 0. Tamb´m. para todo µ = ν e para todo u. e (Pν u. N (A) ⊥ N (A)⊥ e vν0 ∈ N (A)⊥ ) e ν=ν0 (u. (v. vν0 )vν0 ∈ [vν0 ]. (Neste caso colocamos λ0 = 0). vν ) (v. a proje¸õ ortogonal de H sobre o subespa¸o gerado por vν . vν0 )vν0 = w1 e w + ν=ν0 (u. De fato. vν )vν . e e Lema 5. a para todo x ∈ L. vν )vν = u. (iii) A = ν≥0 λν Pν . para todo x ∈ L. Entõ. de imagem finita (ou a seja. x ∈ L}. uma espćie de rec´ e ıproca para o teorema 5. para todo u ∈ H temos.66. e Veremos.66(ii). para todo u ∈ H. seja L ⊂ H um conjunto limitado. ´ um subconjunto limitado do espa¸o Im(A) que.244 (ii) Pν = I. e c o a Im(L) ´ compacto e portanto A ´ compacto. Sendo A limitado resulta que ||Ax|| ≤ ||A|| ||x|| ≤ ||A|| M. de acordo com o teorema 5. por hip´tese. O resultado obtido acima ´ conhecido como o Teorema Espectral para Operadores e Compactos Sim´tricos. Observa¸õ 5.73 Seja A ∈ L(H) um operador tal que dim(Im(A)) < +∞. Logo. Logo. SEgue da´ que o conjunto ı Im(L) = {Ax. a e . tem dimensõ finita. dim(Im(An )) < +∞ para todo n) e consideremos A ∈ L(H) tal que ||An − A|| → 0 quando n → +∞. a seguir.119) temos que u=w+ ν (u. Entõ A ´ ca a e compacto.74 Seja {An }n∈N uma sucessõ de operadores de L(H). existe M > 0 tal que ||x|| ≤ M . de (5. ca e ´ Pν ν≥0 u = P0 u + ν≥1 Pν u = w + ν≥1 (u. λν Pν ν≥0 u= ν≥0 λν Pν u = λ0 P0 u + =0 ν≥1 λν (u. ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` ν≥0 Com efeito. w ∈ N (A). De fato. onde a representa¸õ ´ unica. vν )vν = Au. Entõ A ´ compacto. 60) e c ca como An → A em L(H) resulta que A ∈ Lc (H). temos m 2 m m λν (u.OPERADORES COMPACTOS . |λν (u. A ´ e a e compacto e sim´trico. vν )vν − +∞ ν=1 2 λν (u.131) Como λn → 0. vν )|2 Logo. para cada ca n ∈ N. para todo u ∈ H. para todo u ∈ H. para todo n ∈ N. Pela observa¸õ 5.73) e na situa¸ao c˜ limite vem que +∞ 2 λν (u. sendo este um subespa¸o fechado de L(H) (veja proposi¸õ 5.133) . (5. vν )vν . vν )vν ν=n+1 = ν=n+1 m λν (u.73 temos. se n ≥ n0 e m > n + 1. existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0 tem-se a |λn | < ε.O TEOREMA ESPECTRAL PARA ´ OPERADORES SIMETRICOS 245 Demonstra¸õ: Como para cada n ∈ N.75 Seja A um operador de um espa¸o de Hilbert H que satisfaz ca c +∞ Au = ν=1 λν (u. que An ∈ Lc (H). entõ. (5. vν )vν . dado ε > 0. vν )vν Contudo. Provaremos que An → A em L(H). vµ )vµ ν=n+1 m 2 ν=n+1 = |(u. vν )|2 ≤ ε ν=n+1 λµ (u. 2 Proposi¸õ 5. para todo n ≥ n0 e m > n+1 da desigualdade de Bessel (veja 5. vν )vν . temos n +∞ 2 ||An − Au||2 = ν=1 λν (u. entõ. onde {λν }ν∈N converge para zero e {vν }ν∈N ´ um sistema ortonormal de H. Tem-se dim(Im(A)) < +∞. pela observa¸õ ca a ca 5. Entõ. u ∈ H.73 An ∈ Lc (H). dim(Im(An )) < +∞.132) = ν=n+1 λν (u. e Demonstra¸õ: Seja {An }n∈N . (5. Assim. uma sucessõ de operadores de L(H) definida por ca a n An u = ν=1 λν (u. vν )vν ν=n+1 ≤ ε2 ||u||2 . vν )vν . para todo n ≥ n0 . motivaremos o porquˆ da solu¸ao u ter a forma apresentada c˜ c˜ e c˜ no resultado correspondente.74 segue que A ´ compacto. Av). temos ca c˜ em virtude do lema 5. a e Antes de enunciarmos e demonstrarmos um resultado que nos permite determinar solu¸oes da equa¸ao (5.67. vν )vν .134) que ||An − A||L(H) ≤ ε. de (5. vν )vν (v.133) resulta que ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` ||An − Au||2 ≤ ε2 ||u||2 . 2 isto ´.137) v = w2 + . v) = (u. Pelo lema 5. vν )(vν .135). para todo n ≥ n0 e u ∈ H. Av) = λν (u. vν )vν . A ´ sim´trico e e e e pois para todo u. vν ). v ∈ H. vν )vν = ν=1 λν (v. vν ) = ν=1 λν (vν . (Au. Al´m disso. ν (5. Pelo fato de u. que u = w1 + ν (5.135) (u. e 5. (I − λA)u = v. ν=1 = ν=1 +∞ λν (u.131). Como A da forma que foi definido ´ linear e cont´ e ınuo temos de (5. v). onde sõ dados o operador compacto sim´trico A de H. vν )(u. v)(u.132) e (5.246 Assim.136) (5. v) = (u. Suponhamos que u seja uma solu¸õ da equa¸ao (5.8 Alternativa de Riesz-Fredholm Estamos interessados em determinar solu¸oes do problema c˜ u − λAu = v. o que encerra a prova. v ∈ H resulta que +∞ +∞ (Au. ou ainda.135). v ν=1 +∞ u. (5. v ∈ H e λ ∈ C tal que λ = 0.134) o que prova (5. +∞ λν (v. λν 0 . Logo. para todo ν ∈ N. Como os {vν }ν∈N sõ ortonormais temos que a (vµ . aplicando a proje¸õ ortogonal de H sobre ca N (A) na expressõ dada em (5. Temos dois casos a considerar: • i) λ = • 1 . resulta que e Au = ν 247 λν (u. e pelo fato de w1 . vν ) = (1 − λλν )(u. (5. vν ) = 0. vν ) + µ (1 − λλµ )(u. vµ )(vµ . vµ )(vµ . temos.135 obtemos de (5. (v. w2 ∈ N (A). como H = N (A) ⊕ N (A)⊥ . Al´m disso. vν ) = (w2 . vν ) = 0. vν ) = (w1 . Compondo-se com vν os dois lados da identidade acima. 1. vem que (w2 .136) e (5. para algum ν0 ∈ N.140) Ainda. vν )vν . se µ = ν. vν )vν = w1 + ν (u.139) = w1 + ν (1 − λλν )(u. vν ) + µ (v. que ca c˜ w2 + ν (v. w2 ∈ N (A) e {vν }ν∈N ∈ N (A)⊥ temos que (w1 .141) para todo ν ∈ N.135). (5.137).138) Pelo fato de u ser solu¸õ da equa¸ao 5.66. vν )vν − λ ν λν (u. vν )vν . λν (5. para todo ν ∈ N. ii) λ = 1 . (5. vν ).136) que a w1 = w2 . se µ = ν.A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM onde w1 . pela teorema 5. vν )vν (5. vν ). . u1 . Como Avν0 = λν0 vν0 temos que vν0 ∈ N (A − a c˜ λν0 I) e.   ∗ λν = λν0 . por contradi¸ao. vν )vν . vν )vν . · · · . Sem perda de generalidade.140) deduzimos que λ Au = ν λλν (u. r − 1} tal que c˜ ∗ ui0 ∈ {vν }ν∈N . ν = ν0 + 1    vν−1 . 1 − λλν ou seja. pela proposi¸ao 5.142) para algum ν0 ∈ N. portanto. Seja {vν0 . isto ´. suponhamos. Consideremos a sucesõ {vν }ν∈N dada por / a   vν . podemos completar o conjunto {vν0 } de modo a obtermos uma base para N (A − λν0 I) posto que vν0 = 0. u=v+ ν λλν (v. nessa a base. r − 1. (5.136).   ∗ vν = ui0 . ν ≤ ν0 . Entõ. ν ≤ ν0 . podemos supor tais vetores ui unit´rios pois se eles nõ o forem. Tal completamento ser´ feito de modo a obtermos. cujos autovalores de A sõ dados por a   λν . o m´ximo de elementos de {vν } poss´ a ıveis. · · · . ν ≥ ν0 + 2.143) Com efeito. a Provaremos que ui ∈ {vν }ν∈N . para todo i = 1. a a basta unitariz´-los que eles ainda continuam formando uma base para N (A − λν0 I). Seja r a (ii) Neste caso. vν )vν . 1 − λλν 1 . 1 − λλν Mas como λAu = u − v resulta que u−v = ν λλν (v. estamos considerando que λ = multiplicidade (geom´trica) de λν0 . vν )vν = ν λλν (v. · · · . λν0 (5.64. r < +∞. e e dimN (A − λν0 I) = r. ν = ν0 + 1    λν−1 . ur−1 } tal base.138) e (5. de (5. (5.248 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` (i) Neste caso. ν ≥ ν0 + 2. que existe i0 ∈ {1. ν = µ pela pr´pria constru¸ao dos o c˜ {vν }. a o que geraria uma contradi¸ao. Portanto. pois. para todo n ∈ N. ui0 ) = 0. observea mos que ∗ ∗ ∗ (wν . i = 1. vi )vi . vν ) posto que os λν ∈ R. vν ) = (ui0 . Da´ conclu´ ı ımos que (ui0 . λν0 = λν . vµ ) = 0. ν ν+1 ν ∗ iii) ||vν || = 1. Resta-nos mostrar que (vν . 2.A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 249 ∗ Observemos que as seq¨ˆncias {λ∗ }ν∈N e {vν }ν∈N tem as mesmas propriedades das ue ν seq¨ˆncias {λν }ν∈N e {vν }ν∈N . vν )vν . para todo ν. vν ) = 0 para todo ν ∈ N. ∗ ∗ iv) (vν . vi ) = (u. λν0 (ui0 . Avν ). ν − 1. para todo ν. (v. vi ) = 0. De fato. isto ´. O resultado seguir´ se mostrarmos que Awν → 0 quando ν → +∞. para todo u ∈ H. ν − 1}. 2. ν ii) |λ∗ | ≥ |λ∗ |. Se vν fizer parte da base de N (A − λ0 I) temos que vν e ui0 sõ ortogonais e portanto (vν . . · · · . De fato. vi ) − (u. Se vν nõ a a fizer parte da base de N (A − λ0 I) temos que λν = λν0 e pela simetria de A resulta que (Aui0 . ue ∗ ∗ i) Avν = λ∗ vν . para todo e ν ∈ N. Temos que (vν . para todo ν ∈ N. µ ∈ N tais que ν = µ. · · · . ν Seja u ∈ H e definamos ν−1 wν = u − i=1 ∗ ∗ (u. ui0 ) = 0. vi ) = 0. i = 1. vµ ) = 0. para todo ν ∈ N. c˜ v) Au = ν ∗ ∗ λ∗ (u. ∗ wν ∈ Hν = {v ∈ H. caso contr´rio. para todo ν ∈ N e λ∗ → 0 quando ν → +∞. vν ) = λν (ui0 . µ ∈ N. vi )|2 = ||u|| − i=1 2 − i=1 + i=1 ∗ |(u. Assim. ν−1 Au = i=1 ∗ ∗ λ∗ (u. vi )vi = i ν ∗ ∗ λ∗ (u. ∗ e ue Assim. vi vi . vi )(u. Se wν0 = 0. vν ) = 0. vi )|2 . vi )vi . (u. ou seja. portanto. a |(Au. vi ) = ||u|| − i=1 ν−1 2 − i=1 ∗ ∗ (u. wν ) = ν−1 u− i=1 − i=1 ∗ ∗ (u. ||wν || Entõ. u)| = ||A|Hν || = ||Awν || . Suponhamos. como e |λ∗ | = ν sup u∈Hν . o que implica ν−1 ||wν || = ||u|| − i=1 2 2 ∗ |(u. para todo ν ≥ ν0 . Assim. ||Azν || = ν ou seja. i=1 i=1 ∗ ∗ (u. zν ∈ Hν e ||zν || = 1. vi )|2 ν−1 ∗ |(u.144) . para alguma ν0 . ||wν || ≤ ||u||.||u||=1 ||Au||.||u||=1 wν . que wν = 0 e definamos zν = a Al´m disso. ν−1 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` ν−1 ∗ ∗ (u. temos que |λ∗ | ≥ ||Azν ||. ∗ e. vi )|2 .vi ) ν−1 ∗ |(u.250 Por outro lado. Logo. vν )vν . ||Awν || = ||Azν || ||wν || ≤ |λ∗ | ||wν | ≤ |λ∗ | ||u||. ν ν Como λν → 0 quando ν → +∞ temos que ||Awν || → 0 quando ν → +∞ e desta forma segue o resultado em (v). ||wν || sup u∈Hν . entõ a ν−1 u= i=1 ∗ ∗ (u. vi )vi . u ||wν || 2 = (wν . ||wν ||2 ≤ ||u||2 . ν o que prova o desejado.66 e tal que {vν }ν∈N ∗ {vν }ν∈N (5. entõ. u) + ∗ =(u. {vν }n∈N ´ uma seq¨ˆncia nos moldes do Teorema 5. vi ) (vi . vi vi ν−1 ν−1 ∗ ∗ (u. vi )vi ν−1 ∗ ∗ (u. 140) resulta a c˜ c˜ que (v. · · · . para determinarmos uma expressõ para u.135). ν ∈ N tais que ν = ν0 . para todo ν ∈ N. Como λ = 1 λν0 e λν = λν0 para todo ν = ν0 . temos que (v. i = 1. Pelo c˜ a fato de {vν }ν∈N ser ortonormal completo temos. Al´m disso. · · · .144) temos uma contradi¸õ ficando provado (5. ν0 + r − 1. · · · .A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 251 ∗ Mas. da proposi¸ao 5. sem que isso altere qualquer propriedade da seq¨ˆncia ue {vν }ν∈N . que independentemente do valor assumido por (u.145) (5. no entanto. vν ). ν0 + r − 1 temos que (v. vν )vν + 1 − λλν +r−1 ν0 +r−1 λν0 (u. entõ. e Suponhamos. r − 1. {vν }ν∈N ´ tal que Avν = λ0 vν para todo ν = ν0 . vν ). para todo i = 1. Portanto. · · · . ν0 + r − 1. vν )vν + ν=ν0 .ν0 λν0 (u. por defini¸ao. ν0 + r − 1. que u seja uma solu¸ao da equa¸ao (5. ν0 + r − 1. podemos supor que (u. · · · . ν = ν0 . Por (5. como Aui = λν0 ui . vν ) = 0 para todo ν = ν0 . · · · . vν ) = . vν )vν λν (u. (v.146) vem que Au = ν=ν0 . r − 1 onde ai ∈ C ´ qualquer. Portanto.146) Como u = v + λAu. vν ) = 0. · · · . vν )vν . · · · . i = 0.··· . i = 1. podemos impor que e vν0 +i = u + i. vν0 +i ) = ai .··· . devemos determinar a λAu. vν ) (u. vν )vν . λν (v. ca ui ∈ {vν }ν∈N .143). pelo teorema 5. vν )vν + λ 1 − λλν +r−1 r−1 λν0 ai vν0 +i . e Conseqëntemente u λ Au = ν=ν0 .ν0 +r−1 ν=ν0 = Por (5. Assim.ν0 λλν (v.··· . ν=ν0 Notemos. · · · . 1 − λλν (5. que {vν }ν∈N ´ maximal em c˜ e N (A)⊥ e de (5. 2. · · · . ν0 + r − 1.66 que Au = ν ν0 +r−1 λν (u. r − 1. 2. r − 1. Temos. i=0 . vν ) = (1 − λλν )(u. para todo ν = ν0 .68 resulta que {vν }ν∈N e {vν }ν∈N sõ completos em N (A)⊥ . Entõ. com rela¸õ a equa¸õ u − λAu = v.··· .··· . Demonstra¸õ: i) Suponhamos que λ = ca a s´rie e 1 . 1. λν para todo ν ∈ N a equa¸õ tem uma unica solu¸õ u dada por ca ´ ca u=v+ ν λλν (v. inicialmente mostraremos que e c˜ ca ν λλν (v. λν para todo ν ∈ N. a equa¸õ tem infinitas solu¸˜es u e todas sõ da forma e ca co a u=v+λ ν=ν0 . · · · . r − 1. Com efeito. e a e Al´m disso. para ue e . 1 − λλν (5. vν )vν + 1 − λλν +r−1 r−1 ci vν0 +i . i=0 de onde concluimos que u=v+λ ν=ν0 .147) ´ solu¸ao da equa¸õ u − λAu = v. mostraremos que a seq¨ˆncia das somas parciais ´ de Cauchy. vν0 +1 . v ´ ortogonal ` vν0 . i=0 (5. e somente se. λν 0 para algum ν0 ∈ N.··· . i = 0. e a λ = 0. r − 1.76 Sejam A um operador compacto sim´trico nõ nulo de H.ν0 λν (v. i = 0.135 tem pelo menos uma solu¸õ u ca ca se. vν0 +r−1 .ν0 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` λν (v. · · · . ci ∈ C.252 Pondo λν0 ai = ci obtemos λ Au = λ ν=ν0 . v ∈ H e λ ∈ C.148) onde ci ∈ C. 1 − λλν converge em H. co o Teorema 5.ν0 λν (v. Para tal. vν )vν + 1 − λλν +r−1 r−1 ci vν0 +i .147) ii) Se λ = 1 . vν )vν . Temos. i=0 Feitas as considera¸˜es acima podemos enunciar o pr´ximo teorema. Mostraremos que u dada em (5. a equa¸õ 5. sõ v´lidas as seguintes afirma¸˜es: a ca ca a a co i) Se λ = 1 . · · · . onde r ´ a multiplicidade de λν0 . vν )vν . vν )vν + 1 − λλν +r−1 r−1 ci vν0 +i . temos que λλν → 0 e 1 − λλν → 1 quando ν → +∞ e. ν Au = Av + A ν→+∞ ν lim i=1 λλi (v. desta forma. vi )vi 1 − λλi i=µ+1 ν i=1 2 λλi (v. vi )vi 1 − λλi 2 i=µ+1 λλi 1 − λλi 2 |(v. ν → +∞. vi )|2 → 0 quando µ. µ → +∞. 1 − λλν Asiim. vi )|2 . a u=v+ ν +∞ i=1 |(v. ν 253 ||Sν − Sµ || 2 = i=1 ν λλi (v. vi )vi − 1 − λλi µ = = λλi (v. vν )vν . Logo faz λλν (v. vν )vν .A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM ν > µ. vi )Avi . a Consideremos. 1 − λλi Por outro lado.147). 1 − λλν (5. ν ||Sν − Sµ || ≤ C 2 2 i=µ+1 |(v. ν i=µ+1 Como pela Desigualdade de Bessel. vν )|2 ≤ ||v||2 < +∞. sentido a expressõ dada em (5.66 podemos escrever Av = ν λν (v. quando ν. pelo teorema 5. vi )|2 . Como λν → 0 quando ν → +∞. portanto. para todo ν ∈ N. . temos que |(v. λλν 1−λλν → 0 quando ν → +∞. entõ. vi )vi 1 − λλi = Av + lim ν→+∞ i=1 λλi (v.149) Logo. o que implica que |§ν − Sµ || → 0. existe C > 0 tal que λλν ≤ C. ν = ν0 .135) se. Afirmamos que u1 = u2 . vν )vν + 1 − λλν +r−1 r−1 λν0 ci vν0 +i . pois.148). ν0 + r − 1. Mostraremos que u ´ solu¸ao (5. o que implica que A(u1 − u2 ) = λ (u1 − u2 ). vν )vν . Entõ. Reciprocamente. por (5. vν )vν = ν λν + λλ2 ν 1 − λλν = ν λν (v. · · · .ν0 λ2 ν (v. e somente se. Temos Au = Av + λ ν=ν0 . para todo ν ∈ N. · · · . ν0 + r − 1. Au = ν ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` λν (v.254 e. Pelo que j´ vimos anteriormente (na motiva¸õ) a ca λν = λν0 . · · · . ν0 + r − 1. v ´ ortogonal a vν .147) ´ solu¸õ da equa¸ao u − λAu = v. vν )vν + ν λλ2 ν (v.150) resulta que u − v = λAu o que mostra que u dada em (5. (u1 − u2 ) − c˜ ca a 1 λA(u1 − u2 ) = 0. o que o para alguma ν0 ∈ N e seja r a multiplicidade de λν0 . λν = λν0 . u1 − u2 = 0 e a contraria o teorema 5. · · · . vν ) = 0.(5. vν )vν 1 − λλν (v.151) e c˜ e Entõ. · · · . vν ) = (1 − λλν )(u. ii) Suponhamos que λ = 1 λν 0 1 λ seria um valor pr´prio de A diferente de λν . temos que (v. suponhamos que v ´ ortogonal ` vν .··· . ν0 + r − 1. 1 − λλν λλν (v. para ν = ν0 . i=0 .150) De (5. · · · . Para tal e ca c˜ c˜ suponhamos que u1 e u2 sejam solu¸oes da equa¸õ u − λAu = v. Como λ = 1 λν0 e λν = λν0 para ν = ν0 . caso contr´rio. ν = ν0 . ν = ν0 . portanto.149) e (5.140) temos a (v. ν = ν0 .66 (iii). vν )vν . Resta-nos mostrar a unicidade de solu¸ao. ν0 + r − 1. ν0 + r − 1 e e a consideremos u dado como em (5. 1 − λλν de onde resulta que λAu = ν (5. vν ). vν0 +r−1 ] (feito na motiva¸õ) ca 1 (u0 − u) = λν0 (u0 − u). · · · .A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM Pelo teorema 5. ν = ν0 .ν0 λν (v. vν )vν . o que prova que a equa¸õ (5. vν )vν + 1 − λλν +r−1 ci vν0 +i . Com efeito.135) possui pelo menos uma solu¸ao.··· .··· .135).ν0 +r−1 λν (v.ν0 +r−1 λν + λλ2 ν (v. se u ´ dada na forma (5. vν ) = 0.148) temos que a e A(u0 − u) − λν0 (u0 − u) = 0.··· . segue que Av = ν=ν0 . A(u0 − u) − λν0 (u0 − u) = 0. vν )vν + λλν0 1 − λλν +r−1 =1 r−1 r−1 ci vν0 +i i=0 = ν=ν0 . Entõ. quaisquer que sejam ca c˜ ci ∈ C. e. Portanto. A(u0 − u) = Logo.66(ii) temos que Av = ν 255 λν (v. Resta-nos mostrar ca c˜ que qualquer solu¸ao de (5. u0 − u ∈ N (A − λν0 I). vν )vν . vν )vν + ν=ν0 . vν )vν + 1 − λλν r−1 ci vν0 +i i=0 = ν=ν0 . Logo.··· .ν0 +r−1 λν (v.135) possui uma infinidade de solu¸oes.ν0 λν (v. ν0 + r − 1.135) ´ dada da forma (5. Como N (A − λν0 I) = [vν0 . · · · . mas como (v. ou seja. vν )vν + 1 − λλν +r−1 r−1 ci vν0 +i i=0 = u − v.148). seja u0 solu¸ao de c˜ e c˜ (5.··· . a equa¸õ (5. λ . i=0 o que implica que λAu = λ ν=ν0 .··· . portanto. Au = ν=ν0 .ν0 λλ2 ν (v. 2 Antes de demostrarmos o principal resultado deste par´grafo. Assim. Demonstra¸õ: Seja v ∈ E tal que v ∈ M . vν )vν + 1 − λλν +r−1 r−1 ci + i=0 ki λ vν0 +i . 1−ε Como d = inf ||v − w||. 1 − ε < 1 e.··· . a Alternativa de Riesza Fredholm. w∈M temos que existe w0 ∈ M tal que d ≤ ||v − w0 || ≤ definamos u= v − w0 . resulta que a demonstra¸õ do teorema est´ conclu´ ca a ıda. d = d(v. entõ. c a Para todo ε > 0.77 (Lema de Riesz) Sejam E um espa¸o vetorial normado e M ⊂ E um subespa¸o fechado tal que M = E. Assim. existe u ∈ E tal que ||u|| = 1 e d(u.256 temos que ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` u0 − u = k0 vν0 + k1 vν0 +1 + · · · + kr−1 vν0 +r−1 . M ) ≥ 1 − ε. portanto. ca / e a Seja ε > 0. r−1 u0 = u + i=0 k0 vν0 +i . para ki ∈ C. Como ci + ki λ ∈ C. d < d . Como M ´ fechado.ν0 λν (v. 1−ε . provaremos alguns resultados preliminares necess´rios na demonstra¸õ do a ca mesmo. c Lema 5. Logo. Entõ. · · · . e u0 = v + λ ν=ν0 . ||v − w0 || d . i = 0. r − 1. 1 1−ε > 1. M ) > 0. isto ´. · · · . se m < n. para todo m. ||u||E ≤ 1} ´ compacta.77. {un } ´ uma seq¨ˆncia limitada (pois ||un || = 1 para todo n ∈ N) tal que e ue nõ possui nenhuma subseq¨ˆncia convergente. Em virtude do lema 5. por hip´tese. n ∈ N. com {unk } convergente. para todo k1 > k2 ≥ k0 . se exa ue a a istisse {unk } ⊂ {un }. a ue e o BE ´ compacta na topolgia forte.78 (Teorema de Riesz) Seja E um espa¸o vetorial normado tal que BE = c {u ∈ E. ||u|| = 1 e se m ∈ M temos a ||u − m|| = v − w0 −m ||v − w0 || 1 = ||v − w0 − m||v − w0 || || ||v − w0 || (1 − ε) ||v − [w0 + m ||v − w0 ||] || ≥ d ∈M 257 ≥ (1 − ε) d. e Lema 5. 2 Desta forma. M ) ≥ 1 − ε. ||u − m|| ≥ 1 − ε. o que prova que u ´ o elemento procurado. Entõ E ´ de dimensõ finita. a cole¸ao {En }n∈N ´ formada por subespa¸os de E que possuem dimensõ a c˜ e c a finita e tais que En−1 En . se m < n temos que 1 ≤ d(un . o que geraria um 2 absurdo. vn ] . para todo m ∈ M e. Assim. ca a a Entõ. para todo n ∈ N∗ . d 2 Logo. definamos: a e En = [v1 . o que ´ um absurdo pois. entõ {unk } seria de Cauchy e portanto existiria k0 ∈ N tal que ||unk1 − unk2 || < 1 . caso contr´rio. En−1 ) ≤ ||un − um ||. Entõ. Em particular. e a e a Demonstra¸õ: ca Suponhamos. para todo n ∈ N∗ . por contradi¸õ. Conclu´ e ımos entõ que E ´ de dimensõ finita. 2 posto que um ∈ Em ⊂ En−1 .A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM Entõ. desta forma. 1 ||un − um || ≥ . n ∈ N. {un } nõ possui subseq¨ˆncia convergente pois. que E nõ possua dimensõ finita. Logo. a e a 2 . En−1 ) ≥ 1/2. existe {vn }n∈N ⊂ E tal que {vn }n∈N ´ uma base para E. dado ε = 1/2 garantimos a exist encia de un ∈ En tal que ||un || = 1 e d(un . d(u. ||vn − vm ||2 = 2||vn − u||2 + 2||vm − u||2 − ||vn + vm − 2u||2 vn + vm = 2||vn − u|| + 2||vm − u|| − 4 −u 2 2 2 2 v∈M . Observando que ||vn − u|| → d quando n → +∞ e ||vm − u|| → d quando m → +∞. Como vn +vm 2 ∈ M resulta que vn + vm − u ≥ inf ||v − u|| = d. da ultima desigualdade que ´ 0≤ m. lim ||vn = vm ||2 ≤ 2d2 + 2d2 − 4d2 = 0. {vn } ´ de Cauchy em e H e portanto.n→=∞ 2 ≤ −d2 . ca a quando n → +∞. Isto conclui a prova. Pela unicidade do limite resulta que d = ||u − v0 ||. existe v0 ∈ M (posto que M ´ fechado e {vn } ⊂ M ) tal e que vn → v0 quando n → +∞. vn + vm − −u 2 Portanto. Sejam m. v∈M 2 Assim. com v0 ∈ M . m → +∞. n ∈ N. 2 . ||vn − vm ||2 ≤ 2||vn − u||2 + 2||vm − u||2 − 4d2 . Entõ. existe v0 ∈ M tal que d = ||u − v0 ||. o que implica que ||vn − vm || → 0 quando n. ||x||E ≤ 1} nunca ser´ compacta. converge. v∈M Demonstra¸õ: Seja d = inf ||u − v||. Pela identidade do paralelogramo. Entõ.79 Resulta do lema acima que se E ´ um espa¸o vetorial normado de ca e c dimensõ infinita a bola BE = {x ∈ E. a a Lema 5..80 Sejam M um subespa¸o fechado de um espa¸o de Hilbert H e u ∈ H. Logo. ||vn + vm − 2u||2 + ||vn − vm ||2 = 2||vn − u||2 + 2||vm − u||2 . Logo. ou seja. c c a se d = inf ||u − v||.258 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Observa¸õ 5. obtemos. existe {vn } ⊂ M tal que ||u − vn || → d. Temos: ||vn + vm − 2u||2 + ||vn − vm ||2 = ||(vn − u) + (vm − u)||2 + ||(vn − u) − (vm − u)||2 . temos duas possibilidades a considerar: a (i) Existe uma infinidade de n ∈ N tais que un ∈ N (I − λA). para cada n ∈ N. Como A(λBE ) = {y = λAu. Im(I − λA) = N (I − λA∗ )⊥ . munido da norma de H.152). fnk = 0 para todo k ∈ N. sem perda de generalidade. u Se (i) acontece. u = λA e ||u|| ≤ 1. . provaremos que Existe u ∈ H tal que f = u − λAu. (5. o que prova (5. u ∈ E e ||u|| ≤ 1}. onde {un } ⊂ H. Devemos mostrar que f ∈ Im(I − λA). e somente se. caso contr´rio. ou seja. u ∈ N (I − λA) e ||u|| ≤ 1.78 conclu´ e a ımos que E1 ´ de dimensõ finita. d) dimN (I − λA) = dimN (I − λA∗ ). pois. Afirmamos que e c BE1 ⊂ λA(BE ) = A(λBE ). Im(I − λA) = H. Logo. como {fn } ⊂ Im(I − λA) temos que. Entõ: a a) N (I − λA) possui dimensõ finita. Podemos supor. Observemos que N (I − λA) ´ um subespa¸o fechado e c de H e portanto E1 .153) Com efeito. isto ´. e a b) Seja {fn } ⊂ Im(I − λA) tal que fn → f em H. Mas. Mas. garantimos a existˆncia de uma subseq¨ˆncia {unk } ⊂ {un } tal que e ue e {unk } ⊂ N (I − λA). Entõ. e c) N (I − λA) = {0} se. f ∈ Im(I − λA). portanto. f ≡ 0 = 0 + λA0. pelo fato de {fnk } ⊂ {fn } e fn → f em H resulta que fnk → f em H e. pelo fato de λBE ser limitado e A compacto resulta que A(λBE ) ´ compacto.152) Com efeito. (5. ´ um espa¸o de Hilbert. BE1 ⊂ A(λBE ) ⊂ A(λBE ).A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 259 Teorema 5. para / todo n ∈ N.81 (Alternativa de Riesz-Fredholm) Sejam A ∈ LC (H) e λ ∈ C tal que λ = 0. unk = λAunk . a b) Im(I − λA) ´ fechado e. (ii) Existe apenas um n´mero finito de n ∈ N tais que un ∈ N (I − λA). Logo. seja u ∈ BE1 = {v ∈ E1 . que un ∈ N (I − λA). temos que u ∈ A(λBE ). ou a seja. Pelo lema 5. Desta forma. mais ainda. Demonstra¸õ: ca a) Definamos E1 = N (I − λA). fn = un − λAun . ||v|| ≤ 1}. BE1 ´ e e compacto posto que ´ fechado e est´ contido em um compacto. ou seja. segue que dn > 0. n ∈ N. Seja n0 = max{ni .156) (5. Com isto em a / mente. quando k → +∞. para cada n ∈ N. para todo n ∈ N.80 e c que. a seq¨ˆncia vn = un0 +n . c˜ a a existe uma subseq¨ˆncia {||unk − vnk ||} de {||vn − un ||} tal que ue ||unk − vnk || → +∞. existem n1 . para todo n ∈ N. como N (I − λA) ´ um subespa¸o fechado de H. k0 }.157) un − v n . i = 1. n ∈ N. suponhamos. Logo. (5.154) Pelo fato de {un } ∈ N (I − λA). · · · . · · · . o mesmo procedimento usado / para un ∈ N (I −λA). para todo n ∈ N. Afirmamos que: Existe M > 0 tal que ||vn − un || ≤ M. temos pelo lema 5. · · · .260 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Se (ii) ocorre. n ∈ N ´ tal que fn = a ue e vn − λAvn → f e vn ∈ N (I − λA). que {||vn − un ||} nõ seja limitada. Por outro lado. para todo n ∈ N. N (I − λA)). para todo n ∈ N. Entõ. suponhamos. / entõ. nk0 tais que uni ∈ N (I − λA). para todo n ∈ N e N (I − λA) ser um subespa¸o / c fechado de H. para todo n ∈ N pode ser usado para vn . por contradi¸ao. ||un − vn || . = ||unk − vnk || (5. i = 1. definamos dn = d(un . notemos que wnk − λ Awnk = λ A(unk − vnk ) un k − v n k − ||unk − vnk || ||unk − vnk || 1 {unk − λA unk − [vnk − λA vnk ]} . Desta forma. existe vn ∈ N (I − λA) tal que dn = ||vn − un || > 0.155) De fato. Por outro lado. Entõ. (5. Definindo-se wn = resulta que ||wn || = 1. k0 . para todo n ∈ N. sem perda de generalidade que un ∈ N (I − λA). de (5. para algum z ∈ H. ||un − vn || .A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 261 Como vn ∈ N (I − λA). − vnk || 1 ||unk −vnk || No entanto. em virtude de (5.158) e (5. o que implica que wnk − λ Awnk → z − λ Az. Logo. quando k → +∞. para todo n ∈ N. como unk − λA unk → f quando k → +∞ e k → +∞.154) v∈N (I−λA) (5. tal que λ Awnk → z. d(wn . uma vez que A ´ cont´ e ınuo. Resulta da´ e da ultima identidade que ı ´ wnk − λ Awnk = ||unk 1 (unk − λA unk ) .158) Por outro lado de (5.157) e pelo fato de A ser compacto.158) resulta que z − λAz = 0. z ∈ N (I − λA). temos que vnk − λAvnk = 0. quando k → +∞. quando k → +∞. para todo k ∈ N.159) (5. resulta que wnk − λ Awnk → 0. quando (5.160) inf ||wn − v|| un − v n −v v∈N (I−λA) ||un − vn || 1 inf ||un − (vn + v||un − vn ||)|| v∈N (I−λA) ||un − vn || inf ∈N (A−λI) 1 inf ||un − w|| ||un − vn || w∈N (I−λA) dn = 1. que continuaremos denotando por {wnk }. ou seja. Como ||wnk − z|| ≤ ||wnk − λ Awnk || + ||λ Awnk − z||. → 0. temos. N (I − λA)) = = = = = (5.159) que wnk → z. existe uma subseq¨ˆncia de ue {wnk }. No entanto. como fnk = (unk − vnk ) − λ A(unk − vnk ). quando k → +∞. fnk → f quando a k → +∞ e unk − vnk → g quando k → +∞. para algum v ∈ Im(I − λA). que existe uma subseq¨ˆncia {unk − vnk } ⊂ {un − vn } tal que ue λ A(unk − vnk ) → l. Portanto. a . ficando provado (5. para todo n ∈ N e para todo w ∈ N (I − λA). quando k → +∞. u = Av. f ∈ Im(I − λA). para todo k ∈ N. Em particular. que E1 = Im(I −λA) = H. Tal contradi¸ao foi proveniente da suposi¸õ e c˜ ca de que {vn − un } nõ ´ limitada. pelo corol´rio 2. Al´m disso. c c e e Com efeito. (⇒) Suponhamos que N (I −λA) = {0}e.153). pelo item (b) resulta que E1 ´ um espa¸o de Hilbert (pois todo e e c subespa¸o vetorial fechado de um espa¸o completo ´ completo). Resulta da´ e pelo fato de A a e ı ser compacto. o que ´ um absurdo em virtude de (5. ou seja. Ainda. N (I − λA)) ≤ ||wk − w||. entõ. ca Como Im(I−λA) ´ fechado. 1 ≤ ||wnk − z||. unk − vnk = fnk + λA(unk − vnk ) → f + l.156). para algum g ∈ H e. por contradi¸õ. o que prova (5. c) Provaremos que N (I − λA) = {0} ⇔ Im(I − λA) = H. Pondo-se g = f + l.160). f = (I − λ A)g.48(iV) temos que e a Im(I − λA) = Im(I − λA) = N (I − λA∗ )⊥ . A(E1 ) ⊂ E1 . obtemos. fnk = unk − λAunk = unk − λAunk − (vnk − λAvnk ) =0 = (unk − vnk ) − λA(unk − vnk ). tomando o limite quando k → +∞ que f = g − λAg. portanto. Entõ. Al´m disso.262 Assim ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` 1 = d(wn . Logo. posto que A ´ cont´ e ınuo. seja u ∈ A(E1 ). u − λAu = u1 − λAu1 . al´m disso. Usando o mesmo racioc´ desenvolvido ınio no item (b) para o espa¸o de Hilbert E1 e para o operador A1 . dado u ∈ H temos que u ∈ E2 e. e Definamos E2 = Im(I−λA1 ) = (I−λA)(E1 ). Logo. (ii) E2 = (I − λA)(E1 ) = Im(I − λA1 ). Al´m disso. Sendo assim. entõ. De um modo geral. temos que E2 ´ subespa¸o c e c fechado de E1 . u → A0 u = Au. provando realmente que E2 e ca Assim. possui as seguintes propriedades: E1 ´ fechado em H e E1 e E0 . para algum w ∈ H. u → A1 u = Au. En = (I − λA)(En−1 ) = Im(I − λAn−1 ) onde . (i) E1 = (I − λA)(E0 ) = Im(I − λA0 ).A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 263 v = w − λAw. u − λAu ∈ E2 . e a portanto. Desta o e forma. o operador A1 : E1 → E1 u → A1 u = Au. E1 . por hip´tese. se supusermos que E2 = E1 . possui as seguintes propriedades: E2 ´ fechado em E1 e E2 e E0 = H e An−1 : En−1 → En−1 u → An−1 u = Au. onde E1 = Im(I − λA) e A1 : E1 → E1 . H = E1 . o que ´ uma contradi¸õ. ´ tal que A1 ∈ Lc (E1 ). para cada n ∈ N∗ . possui as seguintes propriedades: En ´ fechado em En−1 e En e En−1 . dado u ∈ H temos que u − λAu ∈ E1 e. u = A(w − λAw) = Aw − λA(Aw) ∈ E1 . desta forma. Logo. onde E0 = H e A0 : H → H. ou seja. H ⊂ E2 ⊂ E1 ⊂ H. E1 . N (I − λA) = {0} temos que (I − λA) ´ injetivo e portanto u = u1 ∈ E2 . para algum u1 ∈ E2 . E2 e E1 pois E2 = (I − λA)(E1 ) ⊂ (I − λA)(H) = E1 . Como. e. Entõ. En+1 ⊂ En ⊂ Em+1 ⊂ Em . Logo. . Portanto. para todo n.77. Como A∗ ∈ Lc (H) (teorema 5. Em+1 ) ≤ || − (un − λAun ) + (um − λAum ) + (un − um )|| 2 = ||λAun − λAum || = |λ| ||Aun − Aum ||. m ∈ N tal que n > m.52 e 5. suponhamos que Im(I − λA) = H. para fixar idías. λAun − λAum = −(un − λAun ) + (um − λAum ) + (un − um ). Al´m disso. o que ´ um absurdo. para cada n ∈ N. e a e −(un − λAun ) = (I − λA)(−un ) ∈ En+1 ⊂ Em+1 . Logo. Entõ. Logo. Da´ conclu´ ı ımos que Im(I − λA) = H o que prova o desejado. m ∈ N. uma vez que A ´ a ue e e compacto. o que implica que ||Aun − Aum || ≥ 1 . Tomemos. nõ pode ser convergente.48 (ii) que a N (I − λA) = [Im(I − λA∗ )]⊥ = H ⊥ = {0}. existe un ∈ En tal que ||un || = 1 e 2 1 d(un . (⇐) Reciprocamente. pelo corol´rio 2. En+1 ) ≥ 2 . aplicando o msmo racioc´ ınio anterior ` A∗ que Im(I − λA∗ ) = H. 2|λ| Desta forma. dado ε = 1 . ∈En um − λAum = (I − λA)( um ) ∈ Em+1 .57) temos novamente pelo corol´rio 2. ∈Em un ∈ En ⊂ Em+1 .264 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Pelo lema 5. −(un − λAun ) + (um − λAum ) + un ∈ Em+1 . 1 ≤ d(um . portanto. n > m.59) temos. qualquer subseq¨ˆncia {unk } de {un } ´ tal que {Aunk } nõ ´ de cauchy ue e a e e. Lembrando que A∗∗ = A (proposi¸oes a c˜ 5. N (I − λA∗ ) = {0}.48 a a (ii) resulta que N (I − λA∗ ) = [Im(I − λA)]⊥ = H ⊥ = {0}. existe uma seq¨ˆncia limitada {un } tal a ue que {Aun } nõ possui subseq¨ˆncia convergente. para todo n. Temos. A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM o que prova que N (I − λA) = {0}, o que prova o desejado. 265 d) Provaremos que dim N (I − λA) = dim(I − λA∗ ). Temos, pelo item (a) que ambas as dimens˜es sõ finitas. Sejam, entõ, o a a d = dim N (I − λA) e d∗ = dim(I − λA∗ ). Afirmamos que d∗ ≤ d. (5.161) Com efeito, suponhamos o contr´rio, que d < d∗ . Temos, em virtude do teorema 5.49, a que H pode ser escrito como H = N (I − λA) ⊕ [N (I − λA)]⊥ Seja P a proje¸ao cont´ c˜ ınua de H sobre N (I − λA), ou seja, P : H → N (I − λA) u → P u = w, onde u = w + v. Como estamos supondo que d < d∗ , existe uma aplica¸ao Λ linear, injetiva e nõ c˜ a ∗ sobrejetiva de N (I − λA) em N (I − λA∗ ). De fato, sejam {v1 , · · · , vd } e {v1 , · · · , vd∗ }, ca bases de N (I − λA) e N (I − λA∗ ), respectivamente. Definamos a seguinte aplica¸õ: Λ : N (I − λA) → N (I − λA∗ ) v → w, ∗ ∗ ∗ ∗ onde se v = a1 v1 + · · · + ad vd , entõ, w = a1 v1 + · · · + ad vd + 0 · vd+1 + · · · + 0 · vd∗ . a Temos que: • Λ ´ linear. e Com efeito, Λ(u1 + u2 ) = Λ((a1 + b1 )v1 + · · · + (ad + bd )vd ) ∗ ∗ ∗ ∗ = (a1 + b1 )v1 + · · · + (ad + bd )vd + 0 · vd+1 + · · · + 0 · vd∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = [a1 v1 + · · · + ad vd + 0 · vd+1 + · · · + 0 · vd∗ ] ∗ ∗ ∗ ∗ + [b1 v1 + · · · + bd vd + 0 · vd+1 + · · · + 0 · vd∗ ] = Λ(u1 ) + Λ(u2 ), para todo u1 , u2 ∈ N (I − λA). 266 Analogamente prova-se que ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Λ(µu) = µΛ(u), para todo u ∈ N (I − λA) e µ ∈ C. • Λ ´ injetiva. e De fato, ∗ ∗ ∗ ∗ Λ(u1 ) = Λ(u2 ) ⇒ a1 v1 + · · · + ad vd = b1 v1 + · · · + bd vd , e, portanto, ai = bi para todo i = 1, ·, d. Como u1 = resulta que u1 = u2 . • d i=1 ai vi e u2 = d i=1 bi vi , ∗ Λ nõ ´ sobrejetiva pois dado vd∗ ∈ N (I − λA∗ ), nõ existe u ∈ N (I − λA) tal que a e a ∗ Λu = vd∗ , o que prova o desejado. Observemos, ainda, que Λ ´ cont´ e ınua posto que as dimens˜es envolvidas sõ finitas. o a Assim, a aplica¸õ ca Λ ◦ P : H → N (I − λA∗ ), ´ cont´ e ınua e dim Im(Λ ◦ P ) ´ finita de onde conclu´ e ımos, em virtude da observa¸ao 5.73, c˜ que Λ ◦ P ∈ Lc (H). Definamos, a seguir, o seguinte operador S = λA + (Λ ◦ P ) : H → H. Entõ, S ∈ Lc (H). Afirmamos que a N (I − S) = {0}. Com efeito, seja u ∈ H tal que u−Su = 0. Entõ, 0 = u−Su = u−λAu−(Λ◦P )(u) . a Mas, pelo item (b) u−λAu ∈ Im(I −λAu) = N (I −λA∗ )⊥ . Logo, u−λAu ∈ N (I −λA∗ )⊥ enquanto que (Λ ◦ P )u ∈ N (I − λA∗ )e, al´m disso, 0 = u − λAu − (Λ ◦ P )(u). Resulta e da´ que ı u − λAu = 0 e (λ ◦ P )u = 0. Portanto, u ∈ N (I − λA) = 0 e pela injetividade de Λ resulta que u = 0, de onde conclu´ ımos que N (I − S) = {0}. Aplicando-se o item (c) a este operador obtemos que A ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 267 ∗ ∗ Im(I − S) = H. Desta forma, dado vd∗ ∈ H, existe u ∈ H tal que (I − S)u = vd∗ , ou seja, ∗ vd∗ = u − Su = u − λAu + (Λ ◦ P )u. Mas, pelo item (b) temos que Im(I − λA) = [N (I − λA∗ )]⊥ e, portanto, u − λAu ∈ ∗ ∗ [N (I − λA∗ )]⊥ . Como vd∗ , (Λ ◦ P )u ∈ N (I − λA∗ ) temos que vd∗ − (Λ ◦ P )u ∈ N (I − λA∗ ). Resulta da´ e do fato que ı ∗ [vd∗ − (Λ ◦ P )u] − (u − λAu) = 0, ∗ ∗ e a que vd∗ −(Λ◦P )u = 0, ou seja, vd∗ = (Λ◦P )u, o que ´ um absurdo posto que j´ mostramos ∗ que nõ existe v ∈ N (I − λA) tal que Λv = vd∗ . Tal contradi¸ao veio da suposi¸õ que a c˜ ca d < d∗ . Logo, d∗ ≤ d. Seja, agora, d∗∗ = dim N (I − λA∗∗ ). Usando o mesmo racioc´ ınio anterior obtemos que d∗∗ ≤ d∗ . Por´m, como A∗∗ = A e resulta que N (I − λA∗∗ ) = N (I − λA), o que implica que d = d∗∗ . Logo, d ≤ d∗ . Conclu´ ımos, entõ, que d = d∗ , o que encerra a prova. a 2 Corol´rio 5.82 Sejam A ∈ Lc (H) e λ ∈ C, λ = 0. Entõ: a a (i) Cada uma das equa¸˜es co (I) u − λAu e (II) v − λA∗ v = z, tem solu¸˜es unicas u, v para cada w, z ∈ H, ou ambas as equa¸˜es co ´ co (III) φ − λAφ = 0 e (IV ) ψ − λA∗ ψ = 0, tem solu¸˜es nõ nulas, sendo o n´mero de solu¸˜es linearmente independentes, finito, e co a u co o mesmo para ambas as equa¸˜es. co (ii) A equa¸õ (I) tem pelo menos uma solu¸õ se, e somente se, w ´ ortogonal a ca ca e todas as solu¸˜es ψ de (IV ) co (iii) A equa¸õ (II) tem pelo menos uma solu¸õ se, e somente se, z ´ ortogonal a ca ca e todas as solu¸˜es φ de (III). co 268 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Demonstra¸õ: (i) Suponhamso que (I) e (II) nõ tenham solu¸oes unicas para algum ca a c˜ ´ w, z ∈ H. Entõ, existem u1 , u2 solu¸oes de (I) e v1 , v2 solu¸oes de (II) tais que u1 = u2 a c˜ c˜ e v1 = v2 . Definamos: u = u1 − u2 e v = v1 − v2 . Entõ, u, v = 0 e u e v sõ a a solu¸oes de (III) e (IV ), respectivamente. Portanto (III) e (IV ) admitem solu¸oes nõ c˜ c˜ a nulas. Al´m disso, pelo teorema 5.81 (a) e (d), temos que N (I − λA) possui dimensõ e a finita e dim[N (A − λI)] = dim[N (I − λA∗ )]. Logo, o n´mero de solu¸oes linearmente u c˜ independentes ´ finito e o mesmo para ambas as equa¸˜es. e co (ii) Pelo item (b) do teorema 5.81 temos que Im(I − λA) ´ fechado e Im(I − λA) = e c˜ c˜ N (I−λA∗ )⊥ . Assim, a equa¸ao (I) admite solu¸ao ⇔ w ∈ Im(I−λA) ⇔ w ∈ N (I−λA∗ )⊥ ⇔ w ⊥ N (I − λA∗ ) ⇔ w ´ ortogonal a toda solu¸ao de (IV ). e c˜ (iii) Lembrando que A∗ ∈ Lc (H) e A∗∗ = A, conclu´ ımos, em virtude do teorema 5.81 e (b) que Im(I − λA∗ ) ´ fechado e Im(I − λA∗ ) = N (I − λA∗∗ )⊥ = N (I − λA)⊥ . Assim, a equa¸ao (II) admite solu¸ao ⇔ v ∈ Im(I − λA)⊥ ⇔ v ⊥ N (I − λA) ⇔ v ´ ortogonal a c˜ c˜ e toda solu¸õ de (III). ca 2 Observa¸õ 5.83 No caso de A ser um operador compacto e sim´trico e portanto A = ca e A∗ , o corol´rio 5.82 ´ uma conseq¨ˆncia do teorema 5.76. Com efeito, neste caso o a e ue corol´rio 5.82 fica assim: a Seja A ∈ Lc (H), sim´trico e λ ∈ C tal que λ = 0. Entõ: e a (i) u − λAu = v possui solu¸õ unica para cada v ∈ H, ou a equa¸õ u − λAu = 0 ca ´ ca possui solu¸õ nõ nula e o n´mero de solu¸˜es linearmente independentes ´ finito. ca a u co e (ii) A equa¸õ u − λAu = v possui solu¸õ se, e somente se, v ´ ortogonal a todas as ca ca e solu¸˜es de u − λAu = 0. co Demonstra¸õ: ca Como A ´ compacto sim´trico temos pelo teorema 5.66 que existe {λν }ν∈N ⊂ R tal e e que tal seq¨ˆncia cont´m todos os auto valores de A. ue e (i) Se λ = 1 , λν para todo ν ∈ N, temos, pelo teorema 5.76 que u − λAu = v possui 1 λν 0 solu¸ao unica para cada v ∈ H. Se λ = c˜ ´ dim N (I − 1 A) λν0 para algum ν0 , temos que u − 1 Au λν0 = 0, para u = vν0 = 0 e o n´mero de solu¸˜es linearmente independentes ´ finito posto que u co e ´ finito. e para algum ν0 , o resultado decorre do teorema 5.76. Se λ = 1 , λν (ii) Se λ = 1 , λν 0 ˜ OPERADORES NAO LIMITADOS 269 para todo ν ∈ N, temos que u − λAu = v possui uma unica solu¸õ e u − λAu = 0 ´ ca nõ possui solu¸õ diferente da trivial, pois, {λν }ν∈N coleciona todos os auto-valores nõ a ca a nulos. Assim, decorre trivialmente o resultado. 2 e a c a Observa¸õ 5.84 Conv´m observar que se E e F sõ espa¸os de Banach, entõ a ca aplica¸õ ca ψ : L(E, F ) → L(F , E ) A → A∗ , onde v, Au F ,F = A∗ v, u E ,E , para todo u ∈ D(A) e v ∈ D(A∗ ), ´ linear. Igualmente, se H ´ um espa¸o de Hilbert, e portanto um espa¸o de Banach e e c c reflexivo, a aplica¸õ ca φ : L(H, H ) → L(H , H) A → A∗ , tamb´m ´ linear. No entanto, ao identificarmos H com o seu dual H a aplica¸õ e e ca φ : L(H) → L(H) A → A∗ , passa a ser anti-linear, posto que devido a essa identifica¸õ temos que u , v ca H ,H = (u, v)H , para todo u ∈ H e v ∈ H, e o produto interno ´ anti-linear na segunda compoe nente. Desta forma ´ necess´rio tomarmos o cuidado quando identificarmos H com H e a pois, neste caso, (λA)∗ = λA∗ , para todo λ ∈ C. 5.9 Operadores Nõ Limitados a No que segue estaremos considerando H um espa¸o de Hilbert. c Defini¸õ 5.85 Diremos que uma aplica¸õ A : H → H ´ um operador de H se A ´ ca ca e e linear e A est´ definido num subespa¸o vetorial D(A) de H. a c 270 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Defini¸õ 5.86 Sejam A e B dois operadores de H. ca (i) Diremos que A ´ igual a B se D(A) = D(B) e Au = Bu, para todo u ∈ D(A). e Neste caso escrevemos A = B. (ii) Diremos que A ´ uma extensõ de B ` D(A), e escrevemos A ⊇ B, ou que B ´ e a a e uma restri¸õ de A ` D(B), e escrevemos B ⊆ A, se D(B) ⊂ D(A) e Au = Bu, para ca a todo u ∈ D(B). Observemos que se A e B sõ operadores de H, entõ (A + B) e A ◦ B tamb´m sõ a a e a operadores de H cujos dom´ ınios sõ, respectivamente a D(A + B) = D(A) ∩ D(B) que sõ subespa¸os vetoriais de H. a c Proposi¸õ 5.87 Sejam E e F espa¸os de Banach, D(A) subespa¸o de E e A : D(A) ⊂ ca c c ˜ E → F um operador linear limitado. Entõ, existe um unico operador A : E → F , linear a ´ ˜ e limitado, extensõ de A ` D(A), e tal que ||A|| = ||A||. a a Demonstra¸õ: ca Notemos que se u ∈ D(A), entõ existe {un }n∈N ⊂ D(A) tal que a e D(A ◦ B) = {u ∈ D(B); Bu ∈ D(A)}, un → u em E e, portanto, {un }n∈N ´ de Cauchy em E. Por outro lado, pela linearidade e e limita¸ao de A, temos, c˜ ||Aum − Aun ||F + ||A(un − um )||F ≤ ||A|| ||um − un ||E → 0, quando n, m → +∞. Assim, pela completude de E, existe um unico v ∈ F tal que Aun → v em F . Com ´ isso em mente, definamos a seguinte aplica¸ao: c˜ ˜ A : D(A) → F ˜ u → Au = v = lim A(un ), onde n→+∞ n→+∞ lim un = u. Notemos que ˜ a • A est´ bem definida pois se {un }, {vn } ⊂ D(A) sõ tais que un → u e vn → v em E, a entõ, un −vn → 0 e, pela linearidade e limita¸ao de A, A(un −vn ) = Aun −Avn → 0 a c˜ em F . Logo, lim Aun = lim Avn . n→+∞ n→+∞ ˜ OPERADORES NAO LIMITADOS • 271 ˜e A ´ linear pois se λ1 , λ2 ∈ C (corpo associado ao espa¸o E) e u, v ∈ D(A), entõ, c a se un → u e vn → v em E temos que λ1 un + λ2 vn → λ1 u + λ2 v em E, e, portanto, ˜ A(λ1 u + λ2 v) = n→+∞ lim A(λ1 un + λ2 vn ) = λ1 lim Aun + λ2 lim Avn n→+∞ n→+∞ ˜ ˜ = λ1 Au + λ2 Av. ˜ ˜ • A ⊆ A pois D(A) ⊂ D(A) e, al´m disso, se u ∈ D(A), entõ un = u, para todo e a n ∈ N ´ tal que un → u em E. Logo, e ˜ Au = lim Aun = lim Au = Au. n→+∞ n→+∞ ˜ e • A ´ limitada. Com efeito, seja u ∈ D(A). Entõ, existe {un } ⊂ D(A) tal que a un → u em E e, ||Aun || ≤ ||A|| ||un ||, para todo n ∈ N. (5.162) ˜ ˜ Mas, Aun → Aue, portanto, ||Aun || → ||Au||. Logo, tomando-se o limite em (5.162) quando n → +∞, obtemos ˜ ||Au|| ≤ ||A|| ||u||, para todo u ∈ D(A). Resta-nos provar que • ˜ ˜ ||A|| = ||A||. De fato, de (5.163) temos que ||A|| ≤ ||A||. Por outro lado, ˜ ˜ ||Au|| ||Au|| ||Au|| ≥ sup = sup = ||A||, u∈D(A),u=0 ||u|| u∈D(A),u=0 ||u|| u∈D(A),u=0 ||u|| sup (5.163) ˜ ||A|| = ˜ ˜ ou seja, ||A|| ≥ ||A||, de onde conclu´ ımos que ||A|| = ||A||. Entõ, A ´ um operador nas condi¸oes desejadas. resta-nos mostrar que ´ unico. Com a ˜e c˜ e´ efeito, seja A1 um operador linear de E em F , limitado, extensõ de A ` D(A) e tal que a a ˜ ||A|| = ||A1 ||. Entõ, A1 u = Au, para todo u ∈ D(A) e, portanto, A1 u = Au, para a todo u ∈ D(A). Logo, se u ∈ D(A), existe {un } ⊂ D(A) tal que un → u em E, e, consequentemente, ˜ A1 u = A1 ( lim un ) = lim A1 un = lim Aun = Au, n→+∞ n→+∞ n→+∞ ˜ o que prova que A1 u = Au, para todo u ∈ D(A). 2 272 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Proposi¸õ 5.88 Sejam H um espa¸o de Hilbert e A : D(A) ⊂ H → H um operador de ca c H limitado. Entõ A possui uma extensõ A linear e limitada, definida em todo H, tal a a ˆ ˆ que ||A|| = ||A||. Demonstra¸õ: Se D(A) = H, entõ a conclusõ segue da proposi¸ao 5.87. ca a a c˜ Se D(A) = H, entõ D(A) a podemos escrever H = D(A) ⊕ [D(A)]⊥ . Sendo assim, cada u ∈ H pode ser escrito de maneira unica como u = v + w, onde ´ v ∈ D(A) e w ∈ [D(A)]⊥ . Definamos a seguinte aplica¸ao: c˜ ˆ A:H→H ˆ ˜ u → Au = Av, ˜e onde A ´ a extensõ de A ` D(A) dada pela proposi¸ao 5.87 e u = v + w, v ∈ D(A) a a c˜ ˆ e w ∈ [D(A)]⊥ . Provaremos, a seguir, que A est´ bem definida. Com efeito, sejam a u1 , u2 ∈ H com u1 = u2 . Entõ, u1 = v1 + w1 e u2 = v2 + w2 , reprenta¸oes unicas, a c˜ ´ ˜ ˜ e pelo fato que u1 = u2 resulta que v1 = v2 e, conseqëntemente, Av1 = Av2 , o que u ˆ ê prova que A est´, de fato, bem definida. Provaremos, agora, que A ´ linear. Para issso a sejam u1 , u2 ∈ H e λ1 , λ2 ∈ C. Entõ, conforme viimos anteriormente u1 = v1 + w1 e a u2 = v2 + w2 , e, portanto, λ1 u1 + λ2 u2 = (λ1 v1 + λ2 v2 ) + (λ1 w1 + λ2 w2 ). Logo, ˆ ˜ ˜ ˜ ˆ ˆ A(λ1 u1 + λ2 u2 ) = A(λ1 v1 + λ2 v2 ) = λ1 Av1 + λ2 Av2 = λ1 Au1 + λ2 Au2 , ˆ ê o que prova a linearidade de A. Al´m disso, notemos que A ´ limitado pois se u ∈ H e entõ podemos escrever u = v + w e ||u||2 = (v + w, v + w) = ||v||2 + ||w||2 , ou seja, a ||u|| = ||v||2 + ||w||2 Logo, ˆ ˜ ˜ ˜ ||Au|| = ||Av|| ≤ ||A|| ||v|| = ||A|| [||v||2 ]1/2 ˜ ≤ ||A|| ||v||2 + ||w||2 ou seja ˆ ˜ ||Au|| ≤ ||A|| ||u||, (5.164) 1/2 1/2 ⊥ = {0} e como D(A) ´ um subespa¸o fechado de H e c . ˜ = ||A|| ||u||, ˜ OPERADORES NAO LIMITADOS ê o que prova que A ´ limitado. Finalmente de (5.164) resulta que ˆ ˜ ||A|| ≤ ||A|| = ||A||. Por outro lado, ˆ ||A|| = ˆ ˆ ||Au|| ||Au|| ||Au|| ≥ sup = sup = ||A||, u∈H,u=0 ||u|| u∈D(A),u=0 ||u|| u∈D(A),u=0 ||u|| sup 273 ˆ ˆ ou seja, ||A|| ≥ ||A||, de onde conclu´ ımos que ||A|| = ||A||, e encerra a prova. 2 e e Teorema 5.89 (Hellinger-Toeplitz) Se A ´ um operador de H com D(A) = H e A ´ sim´trico, isto ´, (Au, v) = (u, Av), para todo u, v ∈ H, entõ A ´ limitado. e e a e Demonstra¸õ: ca Suponhamos, por contradi¸ao, que A nõ seja limitado, isto ´, para c˜ a e todo C > 0, existe uC ∈ H, uC = 0 e tal que ||AuC || > C ||uC ||, pois se uC = 0 entõ a AuC = 0 e, portanto, ||AuC || = C||uC || = 0. Em particular, se C = n, n ∈ N∗ , temos que existe un ∈ H tal que ||A(un )|| > n, para todo n ∈ N∗ . ||un || Definindo-se vn = un , ||un || para todo n ∈ N∗ , entõ, do exposto acima a (5.165) Existe {vn } ⊂ H tal que ||vn || = 1 e ||Avn || > n, para todo n ∈ N∗ . Definamos, para cada n ∈ N∗ , o seguinte funcional fn : H → C u → fn (u) = (u, Avn ). Temos, |fn (u)| = |(u, Avn )| ≤ ||Avn || ||un ||, para todo u ∈ H, o que implica que, para cada n ∈ N∗ , fn ´ um funcional linear e cont´ e ınuo. Al´m disso, e pela simetria de A, obtemos |fn (u)| = |(u, Avn )| = |(Au, vn )| ≤ ||Au|| ||vn || = ||Au||, para todo u ∈ H, 274 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` ou seja, a seq¨ˆncia {fn } ´ pontualmente limitada. Assim, pelo Teorema de Banachue e Steinhaus (Teorema 2.11) existe C > 0 tal que ||fn ||H ≤ C, para todo n ∈ N∗ . Entõ, a ||Avn ||2 = (Avn , Avn ) = fn (Avn ) ≤ ||fn || ||Avn || ≤ C ||Avn ||, para todo n ∈ N∗ , ou seja, ||Avn || ≤ C, para todo n ∈ N∗ tal que Avn = 0. Mas, se Avn = 0 entõ ||Avn || = 0 < C, e, desta forma a ||Avn || ≤ C, para todo n ∈ N∗ . De (5.165) e (5.166) resulta que n < ||Avn || ≤ C, para todo n ∈ N∗ , isto ´, n < C, para todo n ∈ N∗ , o que ´ uma contradi¸ao. Isto encerra a prova. e e c˜ 2 (5.166) Como estamos interessados nos operadores auto-adjuntos (sim´tricos) e nõ limitados, e a que ´ o caso dos operadores diferenciais, como conseq¨ˆncia do teorema 5.89 nos vemos e ue obrigados a trabalhar com operadores que estõ definidos num subespa¸o pr´prio de H. a c o Motivados pelo caso limitado onde o adjunto satisfaz a rela¸õ ca (Au, v) = (u, A∗ v), para todo u, v ∈ H, definiremos o adjunto de um operador nõ necessariamente limitado, definido em um a subespa¸o pr´prio de H. c o Seja A um operador de H com dom´ ınio D(A) denso em H. Denotaremos por D(A∗ ) o seguinte conjunto D(A∗ ) = {v ∈ H; existe v ∗ ∈ H tal que (Au, v) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(A)}.(5.167) Do fato de D(A) ser denso em H conclu´ ımos que para cada v ∈ D(A∗ ), existe um unico v ∗ ∈ H tal que (Au, v) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(A). Com efeito, suponhamos ´ ∗ ∗ que existe v ∈ D(A∗ ) para o qual existam v1 e v2 pertencentes a H tais que ∗ (Au, v) = (u, v1 ) e ∗ (Au, v) = (u, v2 ), para todo u ∈ D(A). ˜ OPERADORES NAO LIMITADOS 275 ∗ ∗ ∗ ∗ Assim, (u, v1 ) = (u, v2 ), para todo u ∈ D(A), ou seja, (u, v1 − v2 ) = 0, para todo u ∈ D(A). Pela densidade de D(A) em H vem que se u ∈ H, existe {un } ⊂ D(A) tal ∗ ∗ que un → u quando n → +∞. Como (un , v1 − v2 ) = 0, para todo n ∈ N, segue que, ∗ ∗ na situa¸ao limite obtemos (u, v1 − v2 ) = 0, para todo u ∈ H. Em particular, tomando c˜ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ u = v1 − v2 resulta que ||v1 − v2 || = 0 e, portanto, v1 = v2 . Sendo assim, para cada v ∈ D(A∗ ) associamos um unico v ∗ ∈ H satisfazendo ´ (Au, v) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(A). Al´m disso, D(A∗ ) = ∅ posto que 0 ∈ D(A∗ ) pois (Au, 0) = 0(u, 0), para todo u ∈ e D(A). Mais al´m, D(A∗ ) ´ um subespa¸o vetorial de H. Com efeito, sejam v1 , v2 ∈ D(A∗ ) e e c ∗ ∗ e λ1 , λ2 ∈ C. Entõ, existem v1 , v2 ∈ H tais que a ∗ ∗ (Au, v1 ) = (u, v1 ) e (Au, v2 ) = (u, v2 ), para todo u ∈ D(A). Logo, (Au, λ1 v1 + λ2 v2 ) = λ1 (Au, v1 ) + λ2 (Au, v2 ) ∗ ∗ = λ1 (u, v1 ) + λ2 (u, v2 ) ∗ ∗ = (u, λ1 v1 + λ2 v2 ), para todo u ∈ D(A). ∗ ∗ Desta forma, para (λ1 v1 + λ2 v2 ) ∈ H, existe (λ1 v1 + λ2 v2 ) ∈ H tal que ∗ ∗ (Au, λ1 v1 + λ2 v2 ) = (u, λ1 v1 + λ2 v2 ), para todo u ∈ D(A), (5.168) o que implica que (λ1 v1 +λ2 v2 ) ∈ D(A∗ ), para todo v1 , v2 ∈ D(A∗ ) e para todo λ1 , λ2 ∈ C. Do exposto, fica bem definida a seguinte aplica¸ao: c˜ A∗ : D(A∗ ) ⊂ H → H v → A∗ v = v ∗ , onde (Au, v) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(A), que ´ linear pois, de (5.168) resulta que e ∗ ∗ A∗ (λ1 v1 + λ2 v2 ) = λ1 v1 + λ2 v2 , para todo v1 , v2 ∈ D(A∗ ) e λ1 , λ2 ∈ C, (5.169) e pelo fato de A∗ v1 = v1 e A∗ v2 = v2 segue que A∗ (λ1 v1 + λ2 v2 ) = λ1 A∗ v1 + λ2 A∗ v2 , para todo v1 , v2 ∈ D(A∗ ) e λ1 , λ2 ∈ C. O operador A∗ : D(A∗ ) ⊂ H → H definido em (5.169) ´ denominado operador adjunto e de A. Note que se A∗ ´ adjunto de A, entõ: e a (Au, v) = (u, A∗ v), para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ D(A∗ ). (5.170) 276 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Proposi¸õ 5.90 Sejam A e B operadores de H densamente definidos e A∗ e B ∗ os ca adjuntos de A e B, respectivamente. Entõ, as seguintes propriedades sõ verificadas, a a supondo-se que D(A + B) e D(AB) sõ densos em H. a (i) (λA)∗ = λA∗ , para todo λ ∈ C. (ii) A∗ + B ∗ ⊆ (A + B)∗ . (iii) B ∗ A∗ ⊆ (AB)∗ . (iv) Se A ⊆ B entõ B ∗ ⊆ A∗ . a Demonstra¸õ: (i) Sejam λ ∈ C∗ , u ∈ D(A) e v ∈ D(A∗ ). Entõ, ca a ((λA)u, v) = (λ Au, v) = λ(Au, v) = λ(u, A∗ v) = (u, λA∗ v) = (u, (λA∗ v)), para todo u ∈ D(A) e v ∈ D(A∗ ). Por outro lado, ((λA)u, v) = (u, (λA∗ )v), para todo u ∈ D(A) e v ∈ D((λA)∗ ). Mas, D((λA)∗ ) = {v ∈ H; existe v ∗ ∈ H tal que (λAu, v) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(A)} = {v ∈ H; existe v ∗ ∈ H tal que (Au, λv) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(A)} z = { ∈ H; existe z ∗ ∈ H tal que (Au, z) = (u, v ∗ ), para todo u ∈ D(A)} λ 1 = D(A∗ ) = D(A∗ ). λ Desta forma, D((λA)∗ ) = D(A∗ ) e, portanto, ((λAu), v) = (u, (λA∗ )v), para todo u ∈ D(A), v ∈ D(A∗ ), ((λAu), v) = (u, (λA)∗ v), para todo u ∈ D(A), v ∈ D(A∗ ), Sendo assim, u, [(λA∗ ) − (λA)∗ ]v = 0, para todo u ∈ D(A), v ∈ D(A∗ ). Pela densidade de D(A) em H conclu´ ımos que λA∗ v = (λA)∗ v, para todo v ∈ D(A∗ ), para todo u ∈ D(B). Resulta da´ se v ∈ D(A∗ +B ∗ ) entõ v ∈ D((A+B)∗ ). para todo λ = 0. v2 ). (5. temos que λA∗ = (λA)∗ . v1 + v2 ) = (u. o que implica que v ∈ D((A+B)∗ ). v1 + v2 ). (A∗ + B ∗ )v). portanto. Se λ = 0 temos que λA = 0 e. v) = (u. D(A∗ + B ∗ ) ⊂ D((A + B)∗ ). existem v1 . portanto. ∗ ∗ ((A + B)u. v) = (Au. Em particular. v2 ). v2 ). e ∗ ∗ ((A + B)u. v) = (u. . Assim. v2 ∈ H tais que (Au. para todo u ∈ D(B)}. Al´m disso. v) = (u.171) e e (5. v) = (u . Consequentemente. Por outro lado. v) = (u. e ∗ (Bu. para todo v ∈ D(A∗ + B ∗ ). v2 ) ∗ ∗ = (u. e ı. v2 ∈ H tais que a ∗ (Au. para todo u ∈ D(A). (λA)∗ = 0. v1 ). v1 ) + (u.˜ OPERADORES NAO LIMITADOS 277 ou seja. v) = (u. λA∗ = (λA)∗ . de (5. v ∈ D(A∗ + B ∗ ). v)(u. v) + (Bu.172) Como existe (A + B)∗ . A∗ v + B ∗ v) (5. para todo u ∈ D(A + B). entõ. Tamb´m λA∗ = 0 e da´ trivialmente. (A + B)∗ v). temos que D(A + B) ´ denso em H e. para todo v ∈ D(A∗ + B ∗ ). se u ∈ D(A) ∩ D(B). para todo u ∈ D(A) ∩ D(B). v1 ).172) conclu´ ımos que (A + B)∗ v = (A∗ + B ∗ )v. se v ∈ D((A + B)∗ ). ı a ou seja.171) = (u. ((A + B)u. Logo. temos que ∗ ∗ (Au. v) = (u. v) = (u. v1 ) e (Bu. existem v1 . para todo u ∈ D(A + B). D(A∗ + B ∗ ) ⊂ D((A + B)∗ ) e (A + B)∗ v = (A∗ + B ∗ )v. ∗ ∗ Seja. (ii) D(A∗ + B ∗ ) = D(A∗ ) ∩ D(B ∗ ) ∗ ∗ ∗ = {v ∈ H. para todo u ∈ D(A) ∗ e (Bu . A∗ v) = (u. Em particular. (B ∗ A∗ )v). v) = (Bu. vA ) = (Bu.174) e (5. (AB)∗ v). ((AB)u. e vem que (AB)∗ v = (B ∗ A∗ )v. pois existe (AB)∗ . Al´m disso. para todo u ∈ D(B). v) = (u. vB ) = (u. (5. temos de a e (5. para todo u ∈ D(B) tal que Bu ∈ D(A).174) Portanto. para todo u ∈ D(A) e ∗ (Bu. (iii) Temos que D(B ∗ A∗ ) = {v ∈ D(A∗ ). Entõ. vA ).175) e do fato que D(AB) ´ denso em H. se v ∈ D(B ∗ A∗ ) entõ v ∈ D((AB)∗ ). vB ∈ H tais que a ∗ ∗ (Au. para todo v ∈ D(B ∗ A∗ ). (5. seja v ∈ D(B ∗ A∗ ). de (5. o que prova que B ∗ A∗ ⊆ (AB)∗ .173) que ((AB)u. v) = (u. vB ).173) Logo.278 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` de onde conclu´ ımos que A∗ + B ∗ ⊆ (A + B)∗ . Por outro lado. para todo v ∈ D(B ∗ A∗ ). v) = (u. A∗ v ∈ D(B ∗ )} ∗ ∗ ∗ = {v ∈ H. B ∗ (A∗ v)). existem vA . vB ). se v ∈ D(B ∗ A∗ ). D(B ∗ A∗ ) ⊂ D((AB)∗ ) e (AB)∗ v = (B ∗ A∗ )v. Afirmamos que D(B ∗ A∗ ) ⊂ D((AB)∗ ). ∗ ∗ Com efeito. vA ) para todo u ∈ D(A) e (Bu. ((AB)u. . ou seja. v) = (u. temos que e ∗ ∗ (A(Bu)). (B ∗ A∗ )v). vB ∈ H tais que (Au. Logo. A∗ v) = (u. A∗ v) = (u. para todo u ∈ D(AB). existem vA .175) (5. se u ∈ D(B) ´ tal que Bu ∈ D(A). para todo u ∈ D(AB). para todo u ∈ D(B)}. v) = (u. v ∗ ). para todo u ∈ D(A) temos que (Au. existe v ∗ ∈ H tal que (Bu. Seja v ∈ D(B ∗ ). em particular.92 Seja A um operador de H densamente definido. entõ u ∈ D(A) e Au = v. D(B ∗ ) ⊂ D(A∗ ) e A∗ v = B ∗ v. v ∈ D(A∗ ). Al´m disso. para todo u ∈ D(B)}. para todo v ∈ D(B ∗ ). para todo u ∈ D(A)}. se v ∈ D(B ∗ ).177) e do fato que D(A) ´ denso em H conclu´ e ımos que A∗ v = B ∗ v. 2 Defini¸õ 5. Entõ. B ∗ v). e e (Bu.˜ OPERADORES NAO LIMITADOS 279 (iv) Suponhamos que A ⊆ B.177) (5. Entõ. v) = (u. v) = (u. para todo u ∈ D(A). v ∈ H. v ∗ ). (Au. Por outro lado. v) = (u. o que implica que B ∗ ⊆ A∗ . v ∗ ). v) = (u. para todo u ∈ D(A). a Proposi¸õ 5. Entõ. B ∗ v). portanto. as condi¸˜es co uν → u e Auν → v em H. para todo u ∈ D(A). para todo u ∈ D(A). ou seja. existe v ∗ ∈ H tal que(Au. v) = (u. para todo u ∈ D(B) a e. D(B ∗ ) = {v ∈ H.176) e (5. . v) = (u. v ∗ ) = (u. portanto. isto ´. Logo. a D(A∗ ) = {v ∈ H. D(A) ⊂ D(B) e Bu = Au. A∗ ´ um opca a e erador fechado. (5. (Au. (Bu. v) = (u.176) De (5. para todo v ∈ D(B ∗ ). v ∗ ). v) = (u. para todo u ∈ D(B). existe v ∗ ∈ H tal que (Bu. Como Bu = Au.91 Dizemos que um operador A de H ´ fechado se {uν }ν∈N ⊂ D(A) verifica. para todo u ∈ D(A). e. A∗ v). ca e para algum u. v ∗ ). para cada ν ∈ N. v) e (u. como {vν } ⊂ D(A∗ ) temos que. vn ] e. Com efeito. o que encerra a prova. v1 ]. v] os elemtos de H 2 . w ∈ H tais que ca vν → v e A∗ vν → w em H. [vn − vm ])H 2 H = ||un − um ||2 + ||vn − vm ||2 . w). v1 ]. vν ) → (Au. 2 Denotaremos por H 2 ao produto cartesiano de H por H e por [u. existem u.179) (5. portanto. Provaremos que v ∈ D(A∗ ) e A∗ v = w. vν ) = (u.179) resulta que (Au. para todo u ∈ D(A) e A∗ v = w. ue a e ||wn − wm ||2 2 = ([un − um ]. u. Com efeito. para todo u ∈ D(A). [u2 . conclu´ ımos que (Au. v) = (u. temos que ||un − um ||H → 0 e ||vn − H vm ||H → 0 quando n. v2 ])H 2 = (u1 . m → +∞. H H Como ||wn − wm ||2 2 → 0 quando n. v ∈ H}. m → +∞. v]||2 2 H H = ||[un − u. A∗ vν ) → (u. v2 )H . (5. w) em C. vn ] − [u.178) e (5. Entõ. ou seja. (Au.280 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Demonstra¸õ: Sejam {vν } ⊂ D(A∗ ) e v. como vν → v e A∗ vν → w em H.178) De (5. u2 )H + (v1 . Logo. A∗ vν ). vn − v]||2 2 = ||un − u||2 + ||vn − v||2 → 0. H H H . Por outro lado. H 2 = H × H = {[u. wn = [un . Pondo-se w = [u. para todo [u1 . v ∈ H tais que un → u e vn → v quando n → +∞. [u2 . H 2 munido do produto interno acima ´ um espa¸o de Hilbert. Muniremos H 2 do produto interno ([u1 . v2 ] ∈ H. seja e c {wn }n∈N ⊂ H 2 uma seq¨ˆncia de Cauchy. al´m disso. v] conclu´ ımos que wn → w em H 2 uma vez que ||wn − w||2 2 = ||[un . {un }n∈N e {vn }n∈N sõ seq¨ˆncias de Cauchy em a ue H e. v]. quando n → +∞. u ∈ D(A) e Au = v. A−1 (Au)) = (u. Aun ] → [u. v] → [v. Reciprocamente. limitado. Tendo em mente que Im(A) = D(A−1 ) = D(A∗ ) (pois ca A ´ unit´rio). u) = ||u||2 . Entõ A ´ ca uma isometria. 2 Defini¸õ 5. e somente se. wn = [un . [u. Assim. A∗ (Au)) = (u. inicialmente. Demonstra¸õ: Suponhamos.180) 2 Proposi¸õ 5. −u] (5. suponhamos que A seja um operador fechado e consideremos {wn }n∈N ⊂ G(A) tal que wn → w em H 2 . a a (ii) U V = −V U. u] e V : H2 → H2 [u.95 Seja A um operador unit´rio de um espa¸o de Hilbert H. resulta que e a ||Au||2 = (Au. onde A−1 : Im(A) ⊂ H → H. Au]. Entõ: ca a (i) U e V sõ operadores unit´rios de H 2 .180). u ∈ D(A)} ´ fechado em H 2 se. a ([un . Dizeca mos que A ´ unit´rio se A∗ = A−1 . para todo u ∈ D(A). Pelo fato e A ser fechado. Pelo fato de G(A) ser fechado conclu´ ımos que [u. Entõ. onde un ∈ D(A). u ∈ D(A) e v = Au.93 G(A) = {[u. Logo. onde I ´ o operador identidade de H 2 . v] = w ∈ G(A). que G(A) ´ fechado em H 2 e seja {un } ⊂ ca e D(A) tal que un → u e Aun → v em H. v] → [v. (iii) U 2 = I e V 2 = −I. e portanto. v] ∈ G(A). Aun ].94 Seja A um operador injetivo de H tal que D(A) seja denso em H. Demonstra¸õ: Seja u ∈ D(A). e . ou seja.˜ OPERADORES NAO LIMITADOS 281 Proposi¸õ 5. v] em H 2 . e a a c a e Proposi¸õ 5. Aun ])n∈N ⊂ G(A) e [un . A ´ ca e e um operador fechado. o que conclui o desejado. para todo n ∈ N e w = [u. Consideremos os operadores: U : H2 → H2 [u. Au) = (u.96 Considere os operadores definidos em (5. v] com un → u e Aun → v em H. v]. [u2 . [u2 . al´m disso. v] = U −1 [u. v2 ] ∈ H 2 . v] ∈ H 2 . v1 ]. U −1 [u2 . de onde segue que U V = −V U . o que implica que D(U ∗ ) = H 2 = D(U −1 ) e U ∗ [u. v2 ] ∈ H 2 . v2 ] . −v2 ) + (v1 . (−V U )[u. Analogamente. v2 ) = (u1 . v2 ] ∈ H 2 . Entõ. para todo [u. v2 ] . V −1 [u2 . (V [u1 . v2 ] ∈ H 2 . [u2 . [u2 . v] = [−v. [u2 . v] = [v. v] ∈ H 2 . v] ∈ H 2 . v] = V −1 [u. u2 ) + (u1 . [u2 . Por outro lado. u] e V −1 [u. u] = −[u. U −1 [u2 . [−v2 . v])) = U [v. u2 ]) = [u1 . u2 ) + (u1 . (ii) Seja [u. [v2 . [u2 . v1 ]. ou seja. o que prova o desejado.282 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Demonstra¸õ: (i) Observemos que tanto U quanto V sõ bijetivos e. v2 ] . v1 ]. −u1 ]. [u2 . v2 ]) = [u1 . v2 ] . v]. v] = −V (U [u. v2 ) = (v1 . a (U [u1 . u2 ) = ([u1 . u2 ) = ([u1 . v1 ]. v1 ]. u2 ]) = [u1 . v2 ]) = ([v1 . v2 ]) = (v1 . sejam [u1 . isto ´. de onde deduzimos que D(V ∗ ) = H 2 = D(V −1 ) e V ∗ [u. para todo [u1 . −v] = [−u. v2 ]) = (v1 . para todo [u1 . V −1 [u2 . U ∗ = U 1 e V ∗ = V −1 . Portanto. ca a e U −1 [u. . u1 ]. Temos. Temos (U V )[u. para todo [u. v1 ]. v1 ]. v] ∈ H 2 . v1 ]. −u] = [−u. v1 ]. v1 ]. sejam [u1 . v] = U (V ([u. v1 ]. (U [u1 . v]. v1 ]. u2 ) + (−u1 . [u2 . u]. [u2 . v2 ) + (v1 . v2 ]) = ([v1 . para todo [u. v]. v]) = −V [v. v1 ]. v2 ]) = [u1 . −v2 ) = (u1 . e (V [u1 . v1 ]. Por outro lado.181) . A∗ v]) = 0. A∗ v]) = 0 para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ D(A∗ ). e G(A∗ ) ⊂ [V (G(A))]⊥ . temos que w = [w1 . para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ D(A∗ ). e. u 2 Proposi¸õ 5. (V [u. (Au.182) (5. ou ainda. u] = [u. −u]. Entõ. ou seja. U 2 = I e V 2 = −I. A∗ v) = 0. conseqëntemente. v]. v] = V (V [u. −v] = −[u. [v. v] ∈ H 2 . ([v1 . w2 ] e ([w1 . para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ D(A∗ ). −u]) = 0.180). ca a [V (G(A))]⊥ = G(A∗ ). 283 V 2 [u. A∗ v). [Au. ([Au. v) + (−u. v]. onde V : H 2 → H 2 ´ o operador definido em (5. w2 ].97 Sejam A um operador de H tal que D(A) = H. U 2 [u. para todo [u.180). v]) = U [v. [v. para todo u ∈ D(A). para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ D(A∗ ). de (5. v2 ] ∈ H 2 . e Demonstra¸õ: ca Como A ´ um operador de H tal que D(A) ´ denso em H fica bem e e definido o operador adjunto. isto ´. Au]. Portanto. [Au.˜ OPERADORES NAO LIMITADOS (iii) Temos. −u] = [−u. v] ∈ H 2 . se w ∈ [V (G(A))]⊥ = {[v1 . v] = U (U [u. (5. v]) = V [v. De (5. v) = (u. v2 ]. para todo u ∈ D(A)}.181) conclu´ ımos que V (G(A)) ⊥ G(A∗ ). para todo [u. carcterizado pela rela¸õ de adjun¸õ ca ca (Au. −u]) = 0. 98 Se M ´ um subconjunto de H temos que M ⊥ = [M ]⊥ . w) = 0. (u. vν ] → T [˜. v ] ∈ M . v] ∈ T (M ). ca e Com efeito. v] ∈ T (M ) e. v]. vν ) = 0. Seja w ∈ M . Reciprocamente. al´m disso. Reciprocamente. Desta forma. vν ]}ν∈N ⊂ M tal que [uν . vµ ])|| = ||[uν . portanto. v) = 0 para todo a v ∈ M . pela unicidade do limite conclu´ u ˜ ımos que T [˜. v ] ∈ H 2 tal que [uν . v]. w2 = A∗ w1 . v ]. para todo ν ∈ N. Entõ. Da´ vem que ı ([Au. portanto.99 Seja T uma isometria linear de H em H. Assim. vν ]}ν∈N ⊂ T (M ) resulta que [u. a para todo v ∈ M . u ∈ M ⊥ .183) Observa¸õ 5. v ]. para todo ν. se M ⊂ H 2 . seja u ∈ [M ]⊥ . vν ]}ν∈N tamb´m o ´ e. Como w foi tomado arbitrariamente em M . ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` ([Au. vν ]}ν∈N ´ uma seq¨ˆncia de cauchy. vµ ]|| . v ] = [u. [u. existe [˜. T (M ) ⊂ T (M ). Como {T [uν . pelo fato de T ser uma isometria linear temos que ||T [uν . vν ] − [uµ . Logo. vν ] − [uµ . 2 (5. u ˜ u ˜ Como {T [uν . vν ] ⊂ M tal que T [uν . Entõ. portanto.284 ou seja. v ] e. vν ] − T [uµ . . vν ] → T [˜. Logo. u ˜ u ˜ existe {[uν . seja [u. vµ ]|| = ||T ([uν . para todo u ∈ D(A). v ] ∈ M posto que ´ limite de uma seq¨ˆncia de elementos de u ˜ u ˜ e ue M . ou seja. entõ ca a a T (M ) = T (M ). w2 ]) = 0. se u ∈ M ⊥ . Assim. De fato.183) fica provado o desejado. w2 ]) = 0 para todo u ∈ D(A). seja [u. existe {vν }ν∈N ⊂ M tal que vν → w e (u. [w1 . [V (G(A))]⊥ ⊂ G(A∗ ). conclu´ ımos que u ∈ [M ]⊥ . portanto. (u. v] = T [˜. w2 ] ∈ G(A∗ ). entõ (u. v) = 0. temos tamb´m que e ue e {[uν . onde [˜. Pela defini¸ao de A∗ temos que w1 ∈ D(A∗ ) e. Observa¸õ 5. [u. [w1 . vν ] → [˜. v]. existe [uν . µ ∈ N. v] ∈ T (M ) e. −u]. e. w = c˜ e e [w1 . vν ] → [u. T (M ) ⊂ T (M ). (u. T [uν . Logo. −u]. v ]. onde [˜.182) e (5. De (5. por conseguinte. isto ´. v) = 0 para todo v ∈ M e. vν ] → [˜. v ] = [u. v] ∈ T (M ). a Mas. Pela e e u ˜ u ˜ continuidade de T resulta que T [uν . Entõ. (5. entõ e a H = T (M ) ⊕ T (N ). Se definirmos H entõ. w ∈ H. existe u ∈ H tal que v = PN u ∈ N . Al´m disso. c c Observa¸õ 5. a H = T (M ) + T (N ).184) Como G(A) ´ um subespa¸o de H 2 e V ´ um operador linear de H 2 temos que V (G(A)) e c e ´ um subespa¸o de H 2 e. ou seja. w ∈ H a M . Por outro lado. como M ∩ N = {0} resulta que vN = vM = 0 e da´ u = 0. Reciprocamente. u ∈ H}. se u ∈ T (M ) ∩ T (N ). (5. Pela injetividade de T temos que vM = vN . Pela sobrejetividade de T temos que existe u ∈ H tal que w = T u. PN w = w e. portanto. Se T ´ um isomorfismo de H em H. w = T u = T (vN + vM ) = T (vM ) + T (vN ) ⊂ T (M ) + T (N ). M . Logo. Assim. Mais ainda. Entõ. seja w ∈ N . a para algum vM ∈ M e vN ∈ N . T (vM ) = T (vN ) = u. e c e c podemos escrever H 2 = V (G(A)) ⊕ V (G(A)) ⊥ . T (M ) ∩ T (N ) = {0} pois como T (N ) e T (M ) sõ subespa¸os temos que e a c 0 ∈ T (M ) ∩ T (N ). Entõ. Como T (M ) ⊂ H e T (N ) ⊂ H temos que T (M ) + T (N ) ⊂ H + H = H. Portanto. seja w ∈ H. H ⊂ T (M ) + T (N ). (5.99 e de (5. . Logo.˜ OPERADORES NAO LIMITADOS Pela proposi¸ao 5.98)e (5.184) chegamos a seguinte identidade: ca H 2 = V (G(A)) ⊕ G(A∗ ). da observa¸õ 5.186) Com efeito.97 e pelas observa¸˜es (5. Como H = M ⊕ N . portanto. Logo H = T (M ) ⊕ T (N ). ou seja. para vM ∈ M e vN ∈ N . De fato. temos que u = vM + vN . V (G(A)) ´ um subespa¸o fechado de H 2 .185) Observa¸õ 5. M = {PN u. Por´m.100 Seja H um espa¸o de Hilbert e M e N subespa¸os fechados de H tais ca c c que H = M ⊕ N . seja w ∈ T (M ) + T (N ). N = H a seja v ∈ H M. ou ainda.99) conclu´ c˜ co ımos que V (G(A)) ⊥ 285 = V (G(A)) = G(A∗ ). e ı. entõ u = T (vM ) e u = T (vN ).101 Seja H um espa¸o de Hilbert e M e N subespa¸os fechados de H tais ca que H = M ⊕ N . T (M ) + T (N ) ⊂ H. Assim. ou ainda. temos que e v1 = v2 . que a e (A∗ )−1 = (A−1 )∗ . v2 ).188). Pondo-se z = Aw resulta que z ∈ Im(A) e w = A−1 z. Pela observa¸ao 5. Entõ. (5. Provaremos que G(A−1 ) = U (G(A)). Provaremos que existe (A∗ )−1 e. Logo. v2 ) = (u. . v] = [Aw. v] = [z. A∗ v1 ) e (Au. seja [u. A−1 z]. v] ∈ U (G(A)). (Au. Logo. Resulta da´ que ı V G(A−1 ) = V U G(A) . [u. v] ∈ G(A−1 ). para algum w ∈ D(A).98 e (5. existe (A∗ )−1 : Im(A) ⊂ H → H. v] ∈ G(A−1 ). Com efeito.187) onde U est´ definido em (5. w]. v1 ) = (Au. [u. Como Im(A) ´ denso em H. H = M ⊕M e V ´ um isomorfismo de H em H. ou seja. v] = U [v. entõ existem A∗ e (A−1 )∗ . seja [u. e. v2 ∈ D(A∗ ) tais que A∗ v1 = A∗ v2 . com v ∈ D(A). sejam v1 .286 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Observa¸õ 5. Entõ. para todo u ∈ D(A). v] = [Av. Logo. [u.185) resulta que H 2 = V G(A−1 ) ⊕ G (A−1 )∗ . Av] e com v ∈ D(A).99 vem que c˜ U G(A) = U (G(A)). o que prova a injetividade de A∗ . v1 ) = (u. A∗ v2 ). o que implica que (Au. e a Proposi¸õ 5. Al´m e disso de (5. o que prova (5. z ∈ Im(A). a Demonstra¸õ: Como A : D(A) ⊂ H → H e A−1 : Im(A) ⊂ H → H sõ densamente ca a definidos. a [u. pela defini¸ao de A∗ temos que c˜ (Au. v1 − v2 ) = 0.103 Seja A um operador injetivo de H tal que D(A) e Im(A) sõ densos ca a em H.99) temos que se M e N sõ subespa¸os ca co a c fechados de H.180). al´m disso. portanto. [u. v].188) (5. De fato. para todo u ∈ D(A). existe (A∗ )−1 e (A∗ )−1 = (A−1 )∗ . Assim.102 Pelas observa¸˜es 5. v] ∈ U (G(A)). entõ T (M ) = H T (N ). [u. Entõ. isto ´. para todo u ∈ D(A). Por outro lado. u ∈ Im(A) e a a v = A−1 u ∈ D(A). 100 resulta que ca G (A−1 )∗ = H 2 Mas por (5. e de (5. o que encerra a prova. para todo u ∈ D((A−1 )∗ ). D((A−1 )∗ ) = D((A∗ )−1 ) e (A−1 )∗ u = (A∗ )−1 u.190) obtemos G((A−1 )∗ ) = U G(A∗ ).187) conclu´ ımos que H 2 = U V (G(A)) ⊕ G((A−1 )∗ ). (A∗ )−1 = (A−1 )∗ . a e .185). ou seja. V G(A−1 ) = V (U (G(A))) = V U (G(A)). 2 U V (G(A)). u]. U V (G(A)). D(A∗ ) ´ denso em H. G((A−1 )∗ ) = {[A∗ u. Mas. para todo u ∈ D(A∗ )} = G((A∗ )−1 ).190) Proposi¸õ 5. 287 (5. Entõ.˜ OPERADORES NAO LIMITADOS e.102 que U (G(A∗ )) = H 2 De (5. (5.189) Como U ´ um isomorfismo isom´trico de H 2 em H 2 temos. ou seja. em virtude da observa¸ao e e c˜ 5. Da observa¸õ 5. temos H 2 = V (G(A)) ⊕ G(A∗ ). o que nos leva a G((A−1 )∗ ) = G((A∗ )−1 ). e A∗∗ = A. portanto existe (A∗ )∗ = A∗∗ .104 Seja A um operador fechado de H com dom´ ca ınio D(A) denso em H.189) e (5. portanto. 101. a Logo. v] ∈ [V (G(A∗ ))] posto que [0. Afirmamos que [0. portanto e H 2 = V (G(A)) ⊕ G(A∗ ). o que ´ um absurdo. Tal absurdo veio de fato e de supormos que D(A∗ ) nõ ´ denso em H. Sendo assim. seja [u. . v] ∈ V (G(A∗ )). w] para todo [u. como A ´ fechado temos que G(A) = G(A). w] ∈ V (G(A∗ )) o que prova (5. pois z ∈ D(A∗ ) e v ∈ [D(A∗ )]⊥ . z) = 0.192) Logo. v] ∈ [V (G(A∗ ))]⊥ . v] ∈ H 2 e [0. Desta forma. Como V 2 = −I e G(A) ´ um subespa¸o de H 2 segue que e c H 2 = G(A) ⊕ V (G(A∗ )).191) Com efeito. v] = [A∗ z. pela observa¸õ e e e ca 5. para algum z ∈ D(A∗ ). [A∗ z. Por (5. a e u existe (A∗ )∗ e denotaremos tal operador por A∗∗ . que H 2 = V 2 (G(A)) ⊕ V (G(A∗ )). Conseqëntemente. Entõ ca c˜ a a D(A∗ ) = H e como H = D(A∗ ) ⊕ [D(A∗ )]⊥ .185) temos que H 2 = V (G(A)) ⊕ G(A∗ ). De ((5. ou seja. v] ⊥ [u. v = 0.288 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Demonstra¸õ: Suponhamos. v]. pelo fato de [0. v] ∈ [V (G(A∗ ))]⊥ (5. Al´m disso. portanto. w]) = ([0. 0 ∈ D(A) e A0 = v. v].98 que [D(A∗ )]⊥ = {0}. Mas. por contradi¸ao. ([0. Logo. Contudo. −z]) = −(v. como V ´ um isomorfismo isom´trico de H 2 em H 2 resulta.191). v] ∈ G(A). [u.185)) resulta que H 2 = V (G(A∗ )) ⊕ G(A∗∗ ). como A ´ e linear temos que A0 = 0 e. [u. D(A∗ ). existe v = 0 tal que v ∈ ı c˜ [D(A∗ )]⊥ . Entõ.192) que [0. [0. −z]. / resulta de (5. (5. que D(A∗ ) nõ seja denso em H. resulta da´ e da observa¸ao 5. e. ˜ Pela densidade de D(A) em H vem que A∗ v = (A)∗ v. a seguir. como A ´ um operador fechado. v) = (u. assim.6 para operadores limitados temos que (A)∗ ´ um ca ˜ operador limitado de H e D((A)∗ ) = H. Em particular. v ∈ H. D(A) = D(A∗∗ ) e A∗∗ u = Au. 289 (5. Entõ.100 conclu´ ca ımos que G(A) = G(A∗∗ ). o que implica que A∗∗ = A. da defini¸ao de operador adjunto e c˜ vem que ˜ ˜ (Au.192). para todo v ∈ H. algumas propriedades equivalentes quando o c˜ operador A ´ fechado. ou seja. para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ H. iv) A∗ ´ limitado.193) De (5. (A)∗ v). ou seja. v) = (u.˜ OPERADORES NAO LIMITADOS Contudo. para todo u. 2 Proposi¸õ 5. pela a ˜ ˜ ˜ proposi¸ao 5. Como (A)∗ ´ limitado segue que A∗ tamb´m o ´. (A)∗ v). para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ H. a e Demonstra¸õ: ca Seja A um operador limitado de H tal que D(A) = H. ˜ ˜ e A∗ = (A)∗ . e .87 existe um unico A. Al´m disso.105 Seja A um operador limitado de H com dom´ ca ınio D(A) denso em H. operador limitado de H tal que D(A) = H e A ⊆ A. Entõ. temos que ˜ (Au. ii) A ´ limitado. A∗ v) = (u. Isto conclui a prova. entõ G(A∗ ) = G(A∗ ) e. e iii) D(A∗ ) = H. (A)∗ v). c˜ ´ ˜ e Pela teoria desenvolvida na se¸õ 5. e Proposi¸õ 5. e a H 2 = V (G(A∗ )) ⊕ G(A∗∗ ). para todo u ∈ D(A).106 Seja A um operador fechado de H cujo dom´ ca ınio D(A) ´ denso em e H.193) e da observa¸õ 5. D(A∗ ) = H e ˜ (u. e e 2 Mostraremos na proposi¸ao. Assim. A∗ ´ limitado e D(A∗ ) = H. Entõ. (5. as seguintes propriedades sõ equivalentes: a a i) D(A) = H. Provaremso que A∗∗ ´ uma extensõ linear fechada de A. De D(A∗ ) = H segue pelo c˜ e teorema do Gr´fico Fechado que A∗ ´ limitado. ca c˜ e a ii) ⇒ iii). como. A possui uma extensõ linear fechada se. e a entõ a (Av. como A : D(A) ⊂ H → H ´ um operador linear e fechado com e ˜ ˜ dom´ D(A) denso em H. segue pela proposi¸ao 5. ca e c˜ iii) ⇒ iv).194) segue que D(A∗ ) ´ denso em H. e somente se. temos que A ´ limitado e D(A) = H e A∗ ´ limitado e D(A∗ ) = H.105. existe A∗∗ e e (A∗ u.104 temos que D(A∗ ) ´ denso em H e A∗∗ = A. agora. Mas como D(A) ´ denso em H temos que D(A) tamb´m ´ denso em H. Logo. Temos. por hip´tese. Pela proposi¸ao 5. e e e ˜ ˜ Portanto. que o operador A : D(A) ⊂ H → H de H seja tal que D(A∗ ) ⊂ H ´ denso em H. Assim. pela proposi¸ao 5. se v ∈ D(A). e (⇐) Suponhamos. e (⇒) Suponhamos que o operador A : D(A) ⊂ H → H de H possua ˜ ˜ uma extensõ linear e fechada e denotemos tal extensõ por A. A ⊆ A implica que a a ˜ ˜ D(A) ⊂ D(A). ınio c˜ e De (5. u) = (v. Logo. c˜ e e Entõ. temos pela proposi¸ao 5. A∗∗ v). A implica¸ao ´ verdadeira pelo teorema do Gr´fico fechado.92 que A∗ ´ fechado. Al´m c˜ e e disso.107 Seja A : D(A) ⊂ H → H um operador de H tal que D(A) ⊂ H ´ ca denso em H. Com efeito. A∗ u). de onde resulta que ˜ D((A)∗ ) ⊂ D(A∗ ) (5.290 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Nestas condi¸˜es se verifica ||A||L(H) = ||A∗ ||L(H) co Demonstra¸õ: i) ⇒ ii). a e iv) ⇒ i). Como A∗∗ = A segue que D(A) = H. D(A∗ ) ⊂ H a ´ denso em H.105 que A∗∗ ´ limitado o e c˜ e e D(A∗∗ ) = H. A implica¸õ ´ verdadeira pela proposi¸ao 5.194) Demonstra¸õ: ca ˜ ˜ Por outro lado.104 que D((A)∗ ) ⊂ H ´ denso em H. para todo u ∈ D(A∗ ) e para todo v ∈ D(A∗∗ ). A∗ ´ limitado. v) = (u. pela teoria desenvolvida na se¸ao 5. . Nestas condi¸oes. existe (A)∗ e (A)∗ ⊆ A∗ . a c˜ 2 e Proposi¸õ 5.6 resulta que ||A||L(H) = ||A∗ ||L(H) . para todo u ∈ D(A∗ ). 107. e Demonstra¸õ: (i) A∗ ´ limitado. v ∈ D(A∗∗ ) e A∗∗ v = v ∗∗ = Av. a 2 Corol´rio 5. Entõ A∗∗ ´ a menor delas. o que conclui a c˜ prova. 291 Portanto.˜ OPERADORES NAO LIMITADOS ou seja. que A∗∗ ´ uma extensõ de A. tomemos B uma extensõ e a a linear fechada de A e provemos que A∗∗ ⊆ B. Com efeito. A∗∗ ´ uma extensõ linear fechada de A. Entõ A∗ ´ limitado e ca a e D(A∗ ) ´ fechado em H. Al´m disso. ca e Suponhamos. (A∗ u. por contradi¸õ.108 Seja A : D(A) ⊂ H → H um operador linear com dom´ a ınio D(A) denso em H tal que A possui extensõ linear fechada. entõ. dado v ∈ D(A). Como o adjunto ´ a e a e fechado. para todo ν ∈ N. Desta forma. existe v ∗∗ = Av ∈ H tal que (A∗ u.104 tem-se que existe B ∗∗ e B ∗∗ = B. pelo fato de B ser uma extensõ a de A temos que D(A) ⊂ D(B). v ∗∗ ).109 Seja A um operador de H com D(A) = H. que A∗ nõ seja limitado. B ´ um operador fechado de H com dom´ e e ınio D(B) denso em H. como A ⊆ B. Por outro lado. existe uma sucessõ ca a a a {vν }ν∈N de vetores de D(A∗ ) tal que ||vν || = 1 e ||A∗ vν || > ν. A possui uma extensõ linear fechada A∗∗ . c˜ e a B ∗ ⊆ A∗ (veja proposi¸ao 5. Entõ. para todo u ∈ D(A∗ ). . v) = (u. a a e Demonstra¸õ: Pela proposi¸ao 5. Para ca c˜ e a provarmos que A∗∗ ´ a menor extensõ linear fechada de A. Isto mostra que D(A) ⊆ D(A∗∗ ) e A∗∗ |D(A) = A. 2 Proposi¸õ 5. pela proposi¸ao 5. Conclu´ ımos. Logo. Av). para todo u ∈ D(A∗ ). entõ. como D(A) ´ denso em H. Logo. v) = (u. D(B) tamb´m e e o ´.90(iv)) o que implica que A∗∗ ⊆ B ∗∗ = B. ||A∗ vν || ≤ sup | fν . dado u ∈ H. para todo ν ∈ N. para todo u ∈ H. u | ≤ ||Au|| ||vν || = ||Au||. vν ).292 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Para cada ν ∈ N. para todo u ∈ H. seja fν : H → C definida por fν . para todo u ∈ H. u | ≤ K(u). u | ≤ ||u|| ||A∗ vν || = Cν ||u||. Assim. ou seja. pelo Teorema de Banach-Steinhaus temos que existe uma constante α > 0 tal que | fν . enta˜. u | = ||fν ||L(H) ≤ α. . para todo ν ∈ N. u = (u. u | ≤ α. existe uma constante K(u) tal que | fν . Temos. o que implica fν . A∗ vν = ||A∗ vν ||2 . Portanto. Logo. tem-se o ue | fν . para cada ν ∈ N. tomando u = A∗ vν resulta que fν . u | ≤ Cν ||u||. para todo u ∈ H e para todo ν ∈ N. para todo ν ∈ N. para todo u ∈ H e para todo ν ∈ N. uma seq¨ˆncia {fν }ν∈N de funcionais de H tais que dado ν ∈ N. u = (Au. o que implica que ||fν ||L(H) ≤ α. como fν . Deste modo. portanto. ||u||=1 A∗ vν ||A∗ vν || = ||A∗ vν ||. fν ´ uma forma linear limitada sobre H e da defini¸õ de fν e ca resulta que | fν . A∗ vν ). e. para todo u ∈ H. Da´ segue que ı ν < ||A∗ vν || ≤ α. para todo ν ∈ N. | fν . e 293 Com efeito. Logo. . temos que (Au. ou seja. 2 e e ınio D(A) ´ e Defini¸õ 5. temos ainda que (Au. Isto prova que A ⊆ A∗ . Em particular. existe v ∗ ∈ H onde (Au. Notando que A∗ ´ fechado. podemos e definir A∗ : D(A∗ ) ⊂ H → H. Demonstra¸õ: ca (⇒) Suponhamos que A seja sim´trico. Da´ segue que v ∈ D(A∗ ) e Aast v = Av. seja {vν }ν∈N uma seq¨ˆncia de vetores de D(A∗ ) tal que vν → v em H. A∗ v). Portanto. Portanto. µ → +∞. v) = (u. ca a e e A ⊆ A∗ . o que prova o desejado. v) = (u. e e e (ii) D(A∗ ) ´ fechado.˜ OPERADORES NAO LIMITADOS de onde resulta que N ´ limitado o que ´ um absurdo. v) = (u. v) = (u. Entõ A ´ sim´trico se. para todo u ∈ D(A). A∗ ´ limitado. Se v ∈ D(A). v ∗ ).110 Dizemos que um operador A de H ´ sim´trico se seu dom´ ca denso em H e (Au. para todo u. para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ D(A∗ ). A ´ sim´trico. est´ hip´tese j´ admite a a o a existˆncia de A∗ como extensõ de A bem como o fato de D(A) ser denso em H. por hip´tese. (⇐) Reciprocamente. Como D(A) = H. pois. Av). quando ν. se v ∈ D(A) ⊂ D(A∗ ). A∗ v). v ∈ D(A). e segue que v ∈ D(A∗ ) e A∗ v = w.111 Seja A um operador de H. existe w ∈ H tal que {A∗ vν }ν∈N converge para w. e somente se. onde D(A∗ ) = {v ∈ H. para todo u ∈ D(A)}. Pela e a defini¸ao de A∗ tem-se que c˜ (Au. suponhamos que A ⊆ A∗ . para todo u ∈ D(A). Proposi¸õ 5. v) = (u. o e e ı D(A) ⊂ D(A∗ ) e A∗ |D(A) = A. Av). ue Como A∗ ´ limitado tem-se e ||A∗ vν − A∗ vµ || ≤ ||A∗ || ||vν − vµ || → 0. D(A∗ ) = H. v) = (u. Pela proposi¸ao 5. o Teorema de Hellinger-Toeplitz e vejamos que neste novo contexto ele se torna trivial.109 segue que A∗ ´ limitado.112. Assim. Por outro lado. Pelo corol´rio 5. considerando que A ´ um e e e operador fechado com dom´ ınio D(A) = H denso em H. e e Proposi¸õ 5. v ∈ D(A). Portanto. Se A ´ sim´trico e a e e D(A) = H. pela proposi¸ao 5.113 (Hellinger-Toeplitz) Se A ´ um operador sim´trico de H e D(A) = ca H. e 2 2 . de onde conclu´ ımos que (Au. D(A) = H e. Portanto A ´ limitado. A∗ : H → H ´ limitado. e e Isto conclui a prova. Se A a ´ fechado. pela Proposi¸ao 5. o que implica e e que D(A∗ ) = H. e e o 2 conseqëntemente. Mas.109. A = A∗ . A∗∗ ´ limitado e c˜ e e como A∗∗ = A resulta que A ´ limitado. a Demonstra¸õ: ca Como A ´ sim´trico. entõ A ´ limitado.112 Seja A : D(A) ⊂ H → H um operador de H. v) = (u.104 vem que c˜ D(A∗ ) ´ denso em H e A∗∗ = A. 2 Corol´rio 5.109 ca e c˜ tem-se que A∗ ´ limitado e D(A∗ ) ´ fechado. por hip´tese. D(A∗ ) ´ fechado e denso em H. Av). agora. ca c˜ e a A∗ = A. Av). para todo u. para todo u ∈ D(A).114 (Gr´fico Fechado) Seja A um operador de H com D(A) = H. e Uma outra aplica¸ao ´ o teorema do Gr´fico Fechado. entõ A = A∗ . ou seja. u Retomemos. entõ A ´ limitado. segue que ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` (Au. A ´ sim´trico.294 Mas como A∗ |D(A) = A. e a e Demonstra¸õ: Como A ´ um operador de H com D(A) = H. ou seja. c˜ e a Teorema 5. a e Demonstra¸õ: Pela Proposi¸ao 5. A ⊆ A∗ . De fato. v ∈ D(A∗ ) e A∗ v = Av = 0.˜ OPERADORES NAO LIMITADOS 295 Proposi¸õ 5. para todo h ∈ H. e Demonstra¸õ: Se A ´ sim´trico. entõ sua a inversa A−1 ´ um operador auto-adjunto. Como A ´ sobrejetivo.116 Um operador A : D(A) ⊂ H → H ´ dito auto-adjunto quando existe ca e A∗ e A∗ = A. v − w) = 0. portanto. (Au. A∗∗ ´ sim´trico. portanto. para a todo u ∈ D(A). para todo u ∈ D(A) que (Au. por hip´tese. existe v = 0 em H tal que (Au. 0). v) = (u. 2 Proposi¸õ 5. a e . (Au. consideremos v ∈ D(A∗ ) e A∗ v = v ∗ ∈ H. A∗ v) = (u. e c˜ Assim. v) = 0. Logo. entõ A∗∗ existe e A∗∗ ´ ca e e a e sim´trico. que D(A−1 ) nõ seja e a a denso em H. v − w) = 0. v = w ∈ D(A). Portanto. como A∗ : D(A∗ ) ⊂ H → H e e ´ fechado e D(A∗ ) = H temos. ou seja. (A−1 )∗ entõ c˜ a existe (A∗ )−1 e (A∗ )−1 = (A−1 )∗ . pela proposi¸ao 5. j´ temos que A ⊆ A∗ . Se A ´ invers´ ca e ıvel. Proposi¸õ 5.117 Se A ´ um operador sim´trico de H e A ´ sobrejetivo.103 que se existem A−1 . entõ. que A∗∗ existe e (A∗ )∗∗ = A∗∗∗ = A∗ . Resulta. portanto. Aw) = (Au. o que implica que A∗∗ ⊆ A∗ e. de onde conclu´ ımos que D(A∗ ) ⊆ D(A).29. e Demonstra¸õ: ca Mostramos na proposi¸ao 5. A ⊆ A∗ . D(A−1 ) ´ denso em H. ser´ suficiente mostrarmos que existe a (A−1 )∗ . o que implica que v − w = 0. Mas.104. v ∗ ) = (u. entõ D(A) = H e D(A) ⊆ D(A∗ ) ⊆ H.118 Seja A um operador auto-adjunto de H. o que conclui a prova. para todo u ∈ D(A) e como A(D(A)) = H resulta que (h. e. entõ A ´ auto-adjunto. Sendo A = A∗ . Entõ. Suponhamos o contr´rio.115 Se A : D(A) ⊂ H → H ´ sim´trico. v) = (u. resta-nos mostrar que o a D(A∗ ) ⊂ D(A). ca e e e A(D(A)) = H. e existe w ∈ D(A) tal que Aw = v ∗ . a a para todo u ∈ D(A) (notemos que D(A−1 ) = Im(A)). Al´m disso. w). ou seja. A∗∗ existe. Da´ segue ca e e a ı que D(A∗ ) ´ denso em H e. em virtude do corol´rio 1. o que acarreta a nõ existˆncia de A−1 . a e Demonstra¸õ: ca Como. e e 2 Defini¸õ 5. para todo u ∈ D(A). A = B. o que implica que A + λI ´ sim´trico. e e Por outro lado.195) 5. o que ´ um absurdo uma vez que A ´ invers´ a e e e ıvel. Av) + (u. λv) = (u. o que implica (Au. portanto. ·)). v) = (u. da´ segue que se v ∈ D(A). v) = (u.195) e (5. A = A∗ . entõ A + λI ´ auto-adjunto. || · || e (·. (A + λI)v). o ı a ((A + λI)u. λv) = (u. D(A−1 ) ´ denso em H a e e e portanto existe (A−1 )∗ . ·). | · |. temos ((A + λI)u. (5. se B ´ auto-adjunto e A ⊆ B. Esta contradi¸ao c˜ veio do fato de supormos que D(A−1 ) nõ ´ denso em H. se v ∈ D((A + λI)∗ ). v) = (Au.119 Se A ´ auto-adjunto.196) De (5.120 Se A ´ auto-adjunto e λ ∈ R.296 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` pois A nõ ´ injetor. tais que V → H. entõ A∗ ⊇ B ∗ . o que encerra a prova. e a e e. entõ A nõ possui uma extensõ pr´pria que ca e a a a o seja auto-adjunta. para todo u ∈ D(A). cujos produtos internos e normas denotarec mos. v) = (u. para todo u ∈ D(A). 2 Observa¸õ 5. Observa¸õ 5. v) + (λ(u. De fato. por hip´tese.10 Constru¸õ de Operadores Nõ Limitados ca a Sejam V e H espa¸os de Hilbert complexos.197) . (A + λI)∗ v − λv).196) resulta que (A + λI) = (A + λI)∗ . A ⊇ B. Assim. (5. (5. (A + λI)∗ v) − (u. entõ. por ((·. Com ca e a e efeito. (A + λI)∗ v). respectivamente. Da´ segue que ı v ∈ D(A) = D(A + λI) e Av = (A + λI)∗ v − λv ⇒ (A − λI)v = (A + λI)∗ v. isto ´. Em outras palavras. Sendo V denso em H.203) . existe um unico fu ∈ H tal que ca ´ gu (v) = (fu . v).203) que a(u. v) ´ cont´ e ınua com a topologia induzida por H} . para todo v ∈ V. (5. tamb´m que c e V ´ denso em H. (u.201) (5. pelo Teorema de Representa¸õ de Riesz. v) ´ cont´ e ınua quando induzimos em V a topologia de H. v).˜ CONSTRUCAO DE OPERADORES NAO LIMITADOS ¸˜ 297 onde → designa a imersõ cont´ a ınua de um espa¸o no outro. Definamos: D(A) = {u ∈ V .204) (5.201). e Seja a(·. estamos colecionando em D(A) os elementos u ∈ V tais que a forma antilinear gu : V → C v → gu (v) = a(u. para todo v ∈ H.202) (5.202) e (5. v). uma forma sesquilinear cont´ ınua. a forma antilinear v ∈ V → a(u.201) a uma aplica¸õ ca ca gu : H → C. ˜ Em particular. v) → a(u. temos definida a aplica¸õ ca A : D(A) → H u → Au = fu .198) Logo. ·) : V × V → C. segue de (5. Suponhamos. v) = (fu .199) (5.205) (5. para todo v ∈ V. Evidentemente D(A) = ∅ pois 0 ∈ D(A). podemos estender a aplica¸õ (5. ˜ antilinear e cont´ ınua tal que gu (v) = gu (v). ˜ (5.200) (5. (5. Desta forma. em verdade.207) Notemos que se H tem dimensõ finita. resulta que (α1 u1 + α2 u2 ) ∈ D(A). v). Entõ. v) = (f. v) = (f. existem f1 . o que prova o desejado. v)| ≤ |f | |v|. Reciprocamente. o que prova a afirma¸õ.298 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Conseqëntemente. (5.206). se H tem dimensõ finita. existe f ∈ H que verifica a(u.200).200) e (5. v).206) Com efeito. a saber: u ca D(A) = {u ∈ V .198) ´ satisfeita se e a a c˜ e somente se V = H. se V = H nada temos a provar. |Au| ≤ C2 |u|. temos |gu (v)| = |a(u. neste caso. A ser´ um operador linear limitado pois a de (5. Sendo V denso em H resulta e a que V = H. ´ um subespa¸o de H. Conseqëntemente de (5. v) + α2 a(u2 . entõ. f2 ∈ H tais a que a(u1 . Au) = a(u.207) e do fato que V → H vem que (Au. Provaremos que a aplica¸ao c˜ dada em (5. v). Com efeito. a a e e c pois V ´ Hilbert e as topologias de V e H sõ equivalentes. v) = a(u. v) = (f1 . para todo v ∈ V }. Agora. ou seja. v)| = |(f. u2 ∈ D(A) e α1 . V ´ um subespa¸o fechado de H. α2 ∈ C. se u pertence a caracteriza¸ao dada em (5. (5. seja u ∈ V tal que ca exista f ∈ H que verifique a(u. e Desta nova carecteriza¸õ vem que D(A). v) = (α1 f1 + α2 f2 . v) e a(u2 . Neste caso. Evica e c dentemente 0 ∈ D(A).201) ´ cont´ e ınua quando induzimos em V a topologia de H. para todo v ∈ V . para todo v ∈ V . v) = (f2 .204) ca u e (5. u pertence a caracteriza¸õ dada em (5. Com efeito. (α1 f1 + α2 f2 ) ∈ H e como a(α1 u1 + α2 u2 ) = α1 a(u1 . onde (Au.206).205) e do fato que D(A) ´ um subespa¸o vetorial fica definido um operador linear e c A : D(A) → H u → Au. Sejam u1 . v) para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ V. entõ a condi¸ao (5. . para todo v ∈ V. o que prova a continuidade de gu e a equivalˆncia entre (5. chegamos a uma nova caracteriza¸õ para D(A). para todo u ∈ H. v). entõ V tamb´m o tem e. pelo que acabamos c˜ a de ver. Contudo. para todo v ∈ V. Au) ⇒ |Au|2 ≤ C1 ||u|| ||Au|| ≤ C2 |u| |Au|. 206) e do operador A dada em (5. os c˜ problemas (A) e (B) abaixo (A) Dado f ∈ H.198) e (5. Tamb´m. a(u.206) existe g ∈ H tal que a(u. v)} (5. v). Segue da´ face a densidade de V em H a ı. v) = (f. portanto. para cada f ∈ H. v) ´ uma forma sequilinear. Como a u ∈ D(A) entõ por (5. (5. v) = (g. c˜ Teorema 5. H e a(u. . e ı a existe um unico u ∈ D(A) tal que Au = f .199). Seja f ∈ H. e (B) Dado f ∈ H.209) sõ equivalentes. Logo. faremos a hip´tese que H ´ de dimensõ infinita e. existe u ∈ V tal que a(u. ´ Demonstra¸õ: ca Pela caracteriza¸ao de D(A) dada em (5. para todo v ∈ V.197). para todo v ∈ V. e e c˜ faremos a hip´tese que V . v). v) estõ nas condi¸˜es (5. H. Entõ por (A) existe u ∈ D(A) ⊂ V tal que Au = f . v)} e denotaremos e tal fato escrevendo: A ←→ {V. Com efeito: a (A) ⇒ (B). para todo v ∈ V . v) = (g. V ca o e a tamb´m o ser´. v). v). v).121 Sejam V e H espa¸os de Hilbert com V → H sendo V denso em H. v) = a(u. que Au = g. H.˜ CONSTRUCAO DE OPERADORES NAO LIMITADOS ¸˜ 299 Devido a este fato. entõ. c Se a(u. existe u ∈ D(A) tal que Au = f. Esta condi¸ao ser´ fundamental na teoria que vamos construir ao longo das pr´ximas c˜ a o se¸oes. Neste o a co contexto. a(u. j´ que se V tivesse dimensõ finita entõ V = V (pois seria fechado) e e a a a a como V = H ter´ ıamos que V = H. para todo v ∈ V . v) = (f. j´ que estamos interessados em operadores A nõ limitados.207).207) resulta que (Au. a(u. a Contudo de (5. v)| ≥ α||v||2 . v). al´m e da continuidade satisfaz a condi¸ao de coercividade dada por c˜ Existe uma constante α > 0 tal que |a(v. em toda esta se¸ao. no a a que segue nesta se¸õ. por transitividade. vem entõ que (Au. (5. o que ´ um absurdo.para todo v ∈ V e.208) As propriedades interessantes de A aparecem quando a forma sesquilinear a(u. contńua e coerciva em V . diremos que o operador A ´ definido pela terna {V. para todo v ∈ V . Entõ. v) = ((Au. Logo. fixado. para todo v ∈ V e (C) Dado f ∈ H. para todo v ∈ V. para todo v ∈ V. pela densidade de V em H conclu´ ımos que Au = f .2 e 5.210) sõ equivalentes. ou seja.214) (5. v) = ((T f. v)). entõ. o que prova a equivalˆncia entre os problemas (A) e (B). por (B) existe u ∈ V tal que a(u.210) que |((Av. existe um unico ca ´ T f ∈ V tal que gf (v) = ((T f.211) (5. v))| = |a(v. (5.206) que u ∈ D(A) e de (5. v) ´ uma forma sesquilinear cont´ e ınua. resolveremos o problema (C). Seja f ∈ H. v)) = ((T f. acima. para todo v ∈ V. v)). Por outro lado. para todo u. o Teorema resultar´ se provarmos que a Dado f ∈ H. Segue de (5. v)).3. (f. Temos de (5. v)). para a todo v ∈ V . v). equivalentemente. e Como a(u. para cada f ∈ H. v). v). (5. para todo v ∈ V .212) . ´ ou. de acordo com a teoria desena volvidade nas se¸˜es 5. Portanto. v) = (f. v ∈ V. a forma antilinear gf : V → C v → gf (v) = (f. que A ´ um isomorfismo. v) = (f. basta resolvermos um dos problemas (A).300 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` (B) ⇒ (A).211) que os problemas (B) e (C) abaixo (B) Dado f ∈ H. a Em verdade. v) ´ cont´ e ınua pois V → H. Pelo Teorema de Representa¸õ de Riesz. existe um operador A ∈ L(V ) tal que co a(u.210) e (5. (B) ou (C). v)| ≥ α ||v||2 . existe u ∈ V tal que a(u. Segue imediatamente de (5. e ´ E o que faremos a seguir. para todo v ∈ V.207) que (Au. existe u ∈ V tal que ((Au. v) = (f. Assim.213) (5. existe um unico u ∈ V tal que Au = T f. basta provarmos que ca AV ⊥ = {0}. Segue (5.218) Logo. v). seja {vν }ν∈N uma sucessõ de elementos de V e w ∈ V tais que a Avν → w em V quando ν → +∞. por´m. Para concluirmos a demostra¸õ.˜ CONSTRUCAO DE OPERADORES NAO LIMITADOS ¸˜ 301 onde α > 0 ´ a constante de coecividade de a(u. existe v ∈ V a e e tal que vν → v em V quando ν → +∞. µ ∈ N. ca a ((Av. (5.215) Contudo de (5. Pela continuidade de A conclu´ ımos que Avν → Av em V quando ν → +∞. (5. o que implica ||Avν − Avµ || ≥ α||vν − vµ ||.215). (5.214) que. o que prova a injetividade do operador A. vν − vµ ))| ≥ α||vν − vµ ||2 .217) (5. por contradi¸õ. pela unicidade do limite. a seguir.216) resulta que {Avν } ´ uma seq¨ˆncia de Cauchy posto que ´ cone ue e vergente e de (5.219). supondo que Av = 0 resulta e de (5.216) e (5.214) que v = 0. resulta que w = Av e portanto AV ´ fechado.216) (5. w)) = 0. e De fato. de (5.219) (5. Suponhamos.217) vem entõ que {vν } tamb´m ´ de Cauchy em V . Antes. que exista w ∈ AV ⊥ com w = 0. Logo. Entõ. o que prova (5. para todo ν. provaremos que e AV ´ fechado. temos |((Avν − Avµ . a sobrejetividade do mesmo. Logo. Resulta da´ e sendo V um espa¸o de Hilbert que e ı c podemos escrever V = AV ⊕ AV ⊥ .220) . Provaremos. para todo v ∈ V. ||v||=1 Do exposto. o que implica que w = 0. definimos uma ca ca aplica¸õ antilinear e contńua ca ı gf : V → C v → gf (v) = (f.220).212) resulta que a solu¸õ do problema (A) acima mencionado ca ´ da forma e u = A−1 T f. Logo. v)).||v||=1 |(f. w)) ≥ α||w||2 . Agora de (5. Observamos que T ´ claramente linear e de (5. V ). fica provada a afirma¸ao e c˜ c˜ em (5. v).302 e. (vide esquema abaixo) (5. v)| |f | ||v|| = C |f |. para todo v ∈ V. u 2 Observa¸õ 5.221) e em virtude de V → H que ı ||T f || = ||gf ||V = ≤ sup v∈V . fica definida uma aplica¸õ ca T :H→V f → T f.||v||=1 sup v∈V .||v||=1 (5. o que prova que V = AV . para todo v ∈ V.213) e e conseqëntemente o teorema. v)) = (f. Isto prova (5. Mais al´m. em particular. (5.221) |gf (v)| = |f | |v| ≤ C sup v∈V . Decorre da´ e de (5. ou seja. A ´ sobrejetor.222) sup v∈V . onde ((T f. Pelo Teorema de Riesz vinha entõ a existˆncia de um unico T f ∈ V tal que a e ´ gf (v) = ((T f.223) .222) resulta que T ´ limitada. isto ´. temos tamb´m que e e ||gf ||V = ||T f ||.224) (5. e e e T ∈ L(H.122 No decorrer da demonstra¸õ do teorema anterior. v)). para v = Aw resulta que ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` 0 = ((Aw. o que ´ uma contradi¸ao. u = A−1 w. Para concluirmos que D(A) ´ denso em H. podemos ca c c escrever H = D(A) ⊕ D(A)⊥ . v)) = ((Au.209).2: Isomorfismo A Corol´rio 5. para todo v ∈ V . (5. w ∈ V tal que ca L(v) = ((w. v) = L(v). v) uma forma sesquilinear cont´ ınua e coerciva em V . Suponhamos tamb´m que a(u. v)} nas condi¸˜es ca co (5. basta provarmos que a e D(A)⊥ = {0}. a(u.124 Seja A um operador definido pela terna {V. (5. Entõ.199).197).123 (Lema de Lax-Milgram) Seja L(v) uma forma antilinear e cont´ a ınua em V e a(u. pelo Teorema de Repre- senta¸õ de Riesz.198) e (5. a L(v) = ((w. j´ que D(A) = D(A)⊥ . entõ. v)) = ((AA−1 w. D(A) ´ denso em H e A ´ um operador fechado de H. para todo v ∈ V. existe um unico a ´ u ∈ V tal que a(u. v). 2 Proposi¸õ 5. v)) = a(u. Demonstra¸õ: ca Sendo L(v) uma forma antilinear. v) verifica a condi¸õ de coree ca cividade em (5. H.CONSTRUCAO DE OPERADORES T AO LIMITADOS E −1 ¸˜ N˜ A E H f V T f = Au V 303 u = A−1 T f ' A Figura 5.. conforme quer´ ıamos demonstrar. Entõ. a e e Demonstra¸õ: Sendo H um espa¸o de Hilbert e D(A) um subespa¸o de H. existe.225) ⊥ . Pondo. v)). 227) Segue da observa¸õ 5.229) . H = a e D(A). u) = a(u0 . Provaremos. a ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` (f.228) Mas.304 Com efeito. Em particular.121. sendo A : V → V um isomorfismo cont´ ınuo. o que prova a densidade de D(A) em H.228) vem que ı A−1 T fν → A−1 T f em V. De (5. (5.226) De acordo com o teorema 5. u) = 0 para todo u ∈ D(A). Temos. seja f ∈ D(A)⊥ . resulta. e. u). (5. que A ´ um operador e fechado de H. (5. seja {uν }ν∈N ⊂ D(A) tal que uν → u em H e Auν = fν → f em H. existe u0 ∈ D(A) tal que Au0 = f . a seguir.223) ca ca que T fν → T f em V.226) e de (5. ou seja a ´ e e a uν → A−1 T f em H.227) e (5. (5. de (5. Entõ. Da´ e de (5. Com efeito.207) que 0 = (f.122 resulta que A−1 T fν = uν . u) = (Au0 . pela continuidade da aplica¸õ T : H → V dada em (5. Mas. para todo u ∈ D(A). o que implica que u0 = 0 e conseqëntemente que f = 0. Como a outra inclusõ ´ verificada trivialmente resulta (5. esta ultima convergˆncia ´ v´lida em H. fica provado que D(A)⊥ ⊂ u {0}. pelo Teorema da Aplica¸ao c˜ Aberta que A−1 : V → V ´ cont´ e ınuo. u0 ) ≥ α||u0 ||2 . pela imersõ V → H. e novamente pela observa¸ao 5. portanto.122. 0 = a(u0 .225) e. Logo.229) pela unicidade do limite conclu´ ımos que u = A−1 T f. portanto c˜ uν → A−1 T f em V. u) = (A∗ v. H. v) = a(u. isto ´ e a∗ (u. que existe em virtude da proposi¸ao 5. para todo u ∈ D(A∗ ). com a(u.232) Provaremos que D(A∗ ) = D(A1 ) e A∗ u = A1 u. inicialmente. A∗ v). v)}. H. a∗ (u. v)}.˜ CONSTRUCAO DE OPERADORES NAO LIMITADOS ¸˜ o que acarreta. que D(A∗ ) ⊂ D(A1 ). (5.124. a∗ (u. e Demonstra¸õ: ca Lembremos que D(A1 ) = {v ∈ H. v) = a(v.231) Conv´m notar que se a(u. v)}. u) = (u.121 e na proposi¸õ 5. A ´ um operador fechado de H e a demonstra¸ao fica conclu´ e c˜ ıda. Assi.124 . v) ´ uma forma sesquilinear cont´ e ınua de V × V e ´ tamb´m coeciva e e desde que a(u. pela observa¸ao 5. v) tamb´m o seja.122 que c˜ u ∈ D(A) e Au = f. H.230) Temos que a∗ (u. v). temos o ca seguinte resultado. H. v) = a∗ (v.233) Seja A1 o adjunto de A. e Por A∗ ser´ denotado o operador definido pela terna {V. a∗ (u. entõ A∗ possuir´ todas as propriedades que e a a foram obtidas para A no Teorema 5. c˜ .125 O operador A∗ definido pela terna {V. v) coerca civa. (5. ´ o adjunto de A definido pela terna {V. Temos de (5. Em verdade. v) for coerciva. Proposi¸õ 5. (5. que denotaremos a por A∗ ←→ {V. existe v ∗ ∈ H que verifica A∗ u = A1 u para todo u ∈ D(A∗ )}. seja v ∈ D(A∗ ) e consideremos u ∈ D(A). Mostraremos. 305 2 Denotaremos por a∗ (u.207) que (Au. (5.234) (5. Com efeito. a(u. v)}. u). v) a forma sesquilinear adjunta de a(u.235) (5. A∗ v0 ) = (Au. Com efeito. por contradi¸ao. ca isto ´. v) ⇒ A∗ = A. de (5. ou ainda. para todo v ∈ D(A1 ). v) = a(v. Como A ´ um operador sobrejetor resulta que v = v0 .127 Seja A um operador definido pela terna {V. Sendo A∗ sobrejetor (c. v − v0 ) = 0. a(u. u) e portanto a∗ (u. o que prova (5. Temos. v) = a(u.197). a demonstra¸ao est´ conclu´ c˜ a ıda. u)| = |(Au. o que implica que v ∈ D(A∗ ) o e que prova (5.234). que A seja limitado.236) de fato. . H. Assim. A = A∗ . Temos. a e a Demonstra¸õ: Suponhamos. existe uma ca c˜ a constante C > 0 tal que |Au| ≤ C |u|. Proposi¸õ 5. v) = (u. (Au. provaremos que D(A1 ) ⊂ D(A∗ ). v) seja coerciva. Teorema 5. (5. Entõ.235) resulta que v ∈ D(A1 ). u)| ≤ |Au| |u| ≤ C |u|2 . al´m disso. Reciprocamente. v0 ). Suponhamos que V est´ contido estritamente em H e que a a(u.236). v) hermitiana. seja v ∈ D(A1 ). vem que A ´ auto-adjunto. A1 v) = (u. A ´ um operador nõ limitado de H. e. para todo u ∈ D(A).121 adaptado) existe v0 ∈ D(A∗ ) tal que A∗ v0 = A1 v. v) ´ hermitiana. se a(u. para todo u ∈ D(A). em virtude da corcividade de a(u.232) e (5. Entõ.235) que (Au. e A∗ v = A1 v.306 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Logo.f. 2 ue ca e Observa¸õ 5. sendo a(u. para todo u ∈ D(A) em virtude de A1 ser o adjunto de A e por (5. entõ e e a a(u.198) e (5.199). (5. para todo u ∈ D(A). v) que α ||u||2 ≤ |a(u. para todo u ∈ D(A). v)} nas condi¸˜es ca co (5.126 Como conseq¨ˆncia da Proposi¸õ 9. v) = ((u. v) = i=1 Rn ∂u ∂v dx + ∂xi ∂xi uv dx. V = H.206) vem que u ∈ H 1 (Rn ) e existe f ∈ a L2 (Rn ) tal que n Rn i=1 ∂u ∂v dx + ∂xi ∂xi uv dx = Rn Rn f v dx.238) Resulta da convergˆncia em (5. Pela proposi¸ao 5.238) e (5. (5. para todo v ∈ H1 (Rn ). ∆u ∈ L2 (Rn )}. por (5. Portanto. ou seja.239) que v = w. (5. e a 2 A seguir. seja u ∈ D(A). ||u|| ≤ C1 |u|. as normas || · || e | · | sõ a equivalentes. Rn Entõ. 307 (5. Logo. v ∈ H. n a(u. V e H satisfazem as condi¸oes (5. o que prova e que A ´ nõ limitado. (5.198) e a(u. v). entõ. Denotaremos por M ao subespa¸o c M := {u ∈ H 1 (Rn ).˜ CONSTRUCAO DE OPERADORES NAO LIMITADOS ¸˜ Da´ ı.237) que.237) Agora. em D(A). Entõ. existe w ∈ V tal que e a vν → w em V. Logo. Consideremos. como V → H resulta de (5. a(u. v ∈ H 1 (Rn ).199) e (5. o que ´ um absurdo. Mostraremos que D(A) = M e A = −∆ + I. v)). . H = L2 (Rn ). v) satisfaz as condi¸oes a c˜ c˜ (5. e e e a resulta de (5. veremos alguns exemplos de operadores A definidos pela terna V. Exemplo 1: Sejam V = H 1 (Rn ). pela unicidade do limite em H.209) pois a(u.240) Com efeito. existe uma seq¨ˆncia {vν } ⊂ D(A) tal que ue vν → v em H. u.238) e da equivalˆncia das normas em D(A) que {vν } e e ´ uma sucesõ de Cauchy com a norma || · ||. para todo u ∈ D(A). H.124 temos que D(A) ´ a c˜ e denso em H.239) convergˆncia esta que tamb´m ´ v´lida em H.197) e (5. 242).244) (5.245) provam que M = D(A) e de (5. v). o que prova (5. ϕ). ϕ) = a(u. obtemos (−∆u + u.246) . para todo v ∈ H 1 (Rn ). se v ∈ H1 (Rn ).242) ϕν → v em H 1 (Rn ). s. em Rn . ∆u ∈ L2 (Rn )}. de (5. quando ν → +∞. M ⊂ D(A). v) = (a(u. portanto.244) vem que u ∈ D(A) e. Logo. ϕν ). (5. ou seja. em virtude de (5.206) e (5.308 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` ∞ Tomando-se ϕ ∈ C0 (Rn ) na identidade acima resulta que ∞ −∆u + u.241) e (5.245) As inclus˜es em (5.126 e da proposi¸ao 5. e D(A) ⊂ M.207) temos o tamb´m que Au = −∆U + u. Assim. Observamos que pelo Teorema 5. u ∈ M e. a seguir.240). Tomando-se o limite na identidade acima.243) (5. (5. que na verdade H 2 (Rn ) = D(A). u ∈ H 1 (Rn ) e (−∆u + u) ∈ L2 (Rn ). desta forma.127 resulta que A ´ um operador auto-adjunto c˜ c˜ e e nõ limitado. H 2 (Rn ) = {u ∈ L2 (Rn ).121 resolveu-se o seguinte problema: a Dado f ∈ L2 (Rn ). ϕν ) = a(u. a ∞ donde. existe um unico u ∈ H 1 (Rn ) tal que ´ − ∆u + u = f q. para todo ϕ ∈ C0 resulta que (−∆u + u. e Da Observa¸ao 5. Entõ. isto ´. ϕ . ∞ Agora. Assim. existe {ϕν }ν∈N ⊂ C0 (Rn ) tal que (5. (5. para todo ϕ ∈ C0 (Rn ).241) Reciprocamente. para todo ν ∈ N. resulta de (5. consideremos u ∈ M . ϕ = f. Provaremos.243) que (−∆u + u.244) e (5. ∆u ∈ L2 (Rn ). u resulta de (5. (1 + ||ξ||2 )ˆ(ξ) ∈ L2 (Rn )}. seja u ∈ L2 (Rn ) tal que ∆u ∈ L2 (Rn ). H e a(u.248) por uma fun¸õ v admiss´ e ca ca ıvel integrando-se em Ω. u para a resolu¸õ do mesmo. ´ imediato que e H 2 (Rn ) ⊂ {u ∈ L2 (Rn ). ∆u ∈ L2 (Rn )}. . Consideremos o seguinte problema de Dirichlet:  ´  Dado f : Ω → C. Multipliando-se a equa¸õ (5. (5.˜ CONSTRUCAO DE OPERADORES NAO LIMITADOS ¸˜ Evidentemente.248) Usaremos o Lema de Lax-Milgram para resolver este problema. depois. Temos. v). No que segue. existe uma unica u : Ω → C tal que   − ∆u = f em Ω. lembrando que H 2 (Rn ) = {u ∈ S (Rn ). Reciprocamente. H e a(u. ˆ o que implica que (1 + ||ξ||2 )ˆ(ξ) ∈ L2 (Rn ). obtemos − Ω ∆uv dx = Ω f v dx.247) (5. u Contudo. ˆ ∂x2 j o que implica que n 309 ∆u(ξ) = j=1 ∂ 2u (ξ) = −2π ∂x2 j n 2 ξj j=1 2 u(ξ) = −2π||ξ||2 u(ξ) ˆ ˆ Segue desta ultima identidade que ´ ||ξ||2 u(ξ) ∈ L2 (Rn ). ∂ 2u (ξ) = (2πiξj )2 u(ξ).    u|Γ = 0. procedermos formalmente. conseqëntemente o operador A e. o que prova (5.246). aqui primeiro formularemos o problema. v) e depois a determinou-se o operador A e o correspondente problema em equa¸˜es diferenciais parcico ais. Exemplo 2: Ao contr´rio do exemplo 1 no qual primeiro deu-se V . Seja Ω um aberto limitado ca de Rn com fronteira Γ regular. determinaremos V.247) que u ∈ H 2 (Rn ). ϕ = f. v) = i=1 Ω ∂u ∂v 1 dx. tomando-se ϕ ∈ C0 (Ω). existe f ∈ L2 (Ω) tal que a(u. resulta que −∆u.s. Ω ´ E natural entõ considerarmos a n 1 V = H0 (Ω). co (5.250) que ´ denominada uma solu¸õ fraca do problema (5. v) ´ um produto interno em H0 (Ω). H e a(u.209) e o operador A determinado por esta terna ´ caracterizado por e 1 D(A) = {u ∈ H0 (Ω). (5. Assim. v) = (f. ϕ . para todo a ∞ 1 v ∈ H0 (Ω). existe uma solu¸ao u do seguinte problema c˜ 1 Dado f ∈ L2 (Ω). resulta da igualdade em (5. Donde.197). temos determinado uma solu¸õ ca u do problema 1 Dado f ∈ L2 (Ω). seja u ∈ D(A). portanto. ∞ Tomando-se v ∈ C0 (Ω). e. quase sempre em Ω. A = −∆.251) Com efeito. Observamos que a condi¸ao e ca c˜ γ0 u = u|Γ = 0 para a solu¸õ u de (5.199) e (5. Claramente V . H = L2 (Ω) e a(u. em Ω. ∂xi ∂xi 1 Pela desigualdade de Poincar´ vem que a(u.310 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Pela f´rmula de Green.198). Entõ. pois f ∈ l2 (Ω). v) para todo v ∈ H0 (Ω). v) satisfazem as condi¸˜es (5.249) −∆u = f em D (Ω). v) = (f.250) s´ faz sentido se Ω for bem regular (ou Γ for de ca o classe C 1 por partes). v).248). resulta da identidade acima que o n Ω i=1 ∂u ∂v dx − ∂xi ∂xi ∂ν uv dΓ = Γ Ω f v dx. ∆u ∈ L2 (Ω)}. v ∈ H0 (Ω).249) que (5. a e aplica¸ao v → (f. pore e tanto uma forma sequilinear hermitiana estritamente positiva e coreciva. para todo u. Tamb´m. Assim. (5. pelo Lema de Lax Milgram. v) ´ uma forma antilinear cont´ c˜ e ınua em V . Admitindo-se que v = 0 em Γ resulta que n Ω i=1 ∂u ∂v dx = ∂xi ∂xi f v dx. existe um unico u ∈ H0 (Ω) tal que ´ 1 a(u. (5. existe um unico u ∈ H0 (Ω) tal que ´ − ∆u = f q. o que implica . . Reciprocamente. neste exemplo. na situa¸õ limite resulta que ca 1 (−∆u. Assim. Estudaremos. entõ existe {ϕν }ν∈N ⊂ C0 (Ω) tal que ϕν → v em H0 (Ω). u ∈ {u ∈ H0 (Ω). para todo v ∈ H0 (Ω).252) Procederemos formalmente como no exemplo anterior. Mas. v) = a(u. ϕν ). da condi¸ao de fronteira dada em (5. donde se conclui que u ∈ D(A) e Au = −∆u. Logo. Seja v uma fun¸ao admiss´ c˜ ıvel. Observamos que Ω for bem regular (ou C 2 por partes) a solu¸ao a c˜ u de (5.˜ CONSTRUCAO DE OPERADORES NAO LIMITADOS ¸˜ 311 1 que −∆u = f ∈ L2 (Ω) e. o problema de Neumann  ´  Dado f : Ω → C. obtemos ca − Ω ∆uv dx + Ω uv dx = Ω f v dx. se v ∈ H0 (Ω). e. Da observa¸ao 5. Neste caso. ∆u ∈ L2 (Ω)}. a para cada ν ∈ N tem-se (−∆u. 1 D(A) = H 2 (Ω) ∩ H0 (Ω). para toda ϕ ∈ C0 (Ω).127 vem que A ´ um operador auto-adjunto c˜ ca e nõ limitado de L2 (Ω). resulta que o n Ω i=1 ∂u ∂v dx + ∂xi ∂xi ∂ν uv dΓ + Γ Ω uv dx = Ω f v dx.126 e da proposi¸õ 5. Exemplo 3: Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado com fronteira bem regular. existe uma unica u : Ω → C tal que   − ∆u + u = f em Ω. Multiplicando-se a equa¸õ (5.252) obtemos c˜ n Ω i=1 ∂u ∂v dx + ∂xi ∂xi uv dx = Ω Ω f v dx. ϕν ) = a(u. ϕ) = a(u. Aplicando-se a f´rmula de Grenn.    ∂ν u|Γ = 0. (5. v). portanto. ϕ). 1 ∞ 1 Agora. obtemos (−∆u. seja 1 ∞ u ∈ H0 (Ω) tal que ∆u ∈ L2 (Ω).251).252) por v. o que prova (5.250) pertence a H 2 (Ω). temos determinado uma solu¸ao u do problema c˜ Dado f ∈ L2 (Ω). n a(u. (5. Ainda. segue da observa¸õ 5.255) Pela f´rmula de Green generalizada e para todo v ∈ H 1 (Ω) resulta de (5.198). e de (5. existe um unico u ∈ H 1 (Ω) tal que ´ a(u.126 e da proposi¸õ 5. (5. v) = i=1 Ω ∂u ∂v dx + ∂xi ∂xi uv dx. ∆u ∈ L2 (Ω)}. H e a(u. Logo.197). v) para todo v ∈ H 1 (Ω).209) co e o operador A determinado por esta terna ´ caracterizado por e D(A) = {u ∈ H 1 (Ω). existe um unico u ∈ H 1 (Ω) tal que ´ − ∆u + u = f quase sempre em Ω. Pelo Lema de Lax-Milgram e face a linearidade do problema em questõ. temos a cadeia de imers˜es cont´ o ınuas e densas H 1/2 (Γ) → L2 (Γ) → L2 (Γ) → H −1/2 (Γ). γ0 v)L2 (Γ) = 0. via Teorema de Riesz. Logo. (5. para todo v ∈ H 1 (Ω).256) Identificando-se o L2 (Γ) com o seu dual (L2 (Γ)) .254) Claramente V . v)).254) pertence a H 2 (Ω). v ∈ H 1 (Ω).312 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Da identidade acima ´ natural considerarmos e V = H 1 (Ω). como Ω ´ bem regular. H = L2 (Ω). De novo. a(u. (5. mostra-se que a solu¸ao u a e c˜ de (5.253) vem que (γ1 u.253) ∞ Fazendo v percorrer C0 (Ω) resulta que −∆u + u = f . γ1 u ∈ H 1/2 (Γ).199) e (5. A = −∆u + u. v) = ((u. u. v) − (γ1 u. existe uma unica solu¸õ do problema a ´ ca Dado f ∈ L2 (Ω). . onde γ1 ( ´ tra¸o de ordem 1) e c (5. (5. γ0 v)L2 (Γ) . Ω ou seja.127 que A ´ um operador autoca ca e adjunto nõ limitado de L2 (Ω). v) satisfazem as condi¸˜es (5.254) que o f v dx = Ω Ω (−∆u + u)v dx = a(u. v) = (f. c˜ de D(A) D(A) = {u ∈ H 2 (Ω).H 1/2 (Γ) 313 = 0. com D(A1 ) = C0 (Ω). γ1 u = 0}. para todo v ∈ H 1 (Ω) (5. Conca sideremos os operadores de L2 (Ω): ∞ A1 = −∆ + I. que ´ uma solu¸ao fraca do problema (5. sabemos que C0 (Ω) ´ denso em e e e ∞ L2 (Ω). A1 v). existe um unico u ∈ H 1 (Ω) tal que ´ − ∆u + u = f quase sempre em Ω e γ1 u = 0. ∞ Temos que A1 ´ um operador sim´trico.252).255). Agora. Temos. −∆v + v) = (u. Com efeito.257) e pela sobrejetividade da aplica¸õ tra¸o γ0 H 1 (Ω) → H 1/2 (Γ) obtemos de (5.128 Seja Ω um aberto limitado de Rn com fronteira bem regular. γ1 u. com D(A3 ) = {u ∈ H 2 (Ω).256) e do fato que γ0 v ∈ H 1/2 (Γ). γ1 u = 0}.257) que ca c γ1 u = 0. Observa¸õ 5. . determinou-se uma solu¸õ u do problema ca Dado f ∈ L2 (Ω).259) A3 = −∆ + I. onde aqui usamos o resultado de regularidade el´ ıptica acima mencionado. (5. γ0 v H −1/2 (Γ). u. a partir da´ uma nova caracteriza¸ao e c˜ ı.˜ CONSTRUCAO DE OPERADORES NAO LIMITADOS ¸˜ Resulta da´ de (5. (5. 1 A2 = −∆ + I. Assim. v) = (−∆u + u. v ∈ C0 (Ω) temos que. para todo u. com D(A2 ) = H 2 (Ω) ∩ H0 (Ω). que ı. v) = − Ω n ∆uv dx + Ω uv dx uv dx Ω = i=1 Ω ∂u ∂v dx + ∂xi ∂xi Ω = − Ω u∆v dx + uv dx = (u.258) (5. em virtude da f´rmula de Green que o (A1 . a(u.||v||≤1 | Bu.127). e o que prova que Bu ∈ V . v). ou seja 1 A1 = −∆ com D(A1 ) = H 2 (Ω) ∩ H0 (Ω). Claramente.f proposi¸õ 5. H. Consideremos c˜ V . v)} nas condi¸oes (5. temos | Bu.198). n −∆u. v∈V . H antiduais de V e H. v)} Sejam {V.H0 (Ω) = i=1 Ω ∂u ∂v dx = a(u. Com efeito. ∂xi ∂xi ele ´ um operador limitado. v V . Disto decorre que a escolha do dom´ e ınio de A ´ fundamental e para a determina¸õ das propriedades de A. (5. v). Notemos que a aplica¸õ acima est´ bem definida. respectivamente. (5. Por outro lado. Assim. onde Bu : V → C ´ definido por e Bu. H.197). Logo. v)| ≤ C ||u|| ||v||. v | = |a(u. vemos que o operador sim´trico A1 possui mais de uma extensõ autoe a adjunta. a(u.209). No entanto.199) e (5.260) = a(u. a 5. em virtude da conca a tinuidade de a(u. Qual a rela¸õ que existe entre os operadores ca ca A1 e A2 anteriores ? Esta questõ responderemos a seguir. v | ≤ sup {C ||u|| ||v||} ≤ C ||u||. Notemos tamb´m que e ||Bu||V = sup v∈V . 1 assumindo valortes em h−1 (Ω) (antidual de H0 (Ω). v 1 H −1 (Ω). B : V → V est´ bem definida al´m de ser claramente a e linear. Definamos B:V →V u → Bu. ´ um operador nõ limitado de L2 (Ω) (c. o operador determinado no exemplo 2.11 Extens˜es do operador A definido pela terna o {V. a o A2 = A3 .||v||≤1 . onde C ´ uma constante positiva . se considerare a ca mos o operador 1 A2 = −∆ com D(A2 ) = H0 (Ω). v).V (5. ou seja.314 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Segue dos exemplos 2 e 3 que A2 e A3 sõ extens˜es auto-adjuntas de A1 . B ´ uma extensõ de A a todo V . v V . v)) onde ((·. a extensõ do operador A dada em (5. a ||u|| ≤ ||Bu||V . para todo u. para todo u ∈ V. (5. v) = ((u. para todo u. v ∈ V }. H. temos e a a ||B||L(V.V ) = inf{C > 0. a(u. para todo v ∈ V. para todo u ∈ V. (5. para todo u ∈ V } ||a||L(V ) = inf{C > 0. v) = (Au. u)) = | Bu. Logo. para todo u ∈ D(A) resulta que Bu. entõ. a a e Com efeito. e entõ. v)| ≤ C ||u|| ||v||. neste caso. B ∈ L(V.262) . No caso particular em que a(u. onde ||B||L(V. Identificando-se H com o seu antidual H . v) = Au. V ). v V . v ∈ V. | Bu. v)} 315 Portanto. u | ≤ ||Bu||V ||u||. donde conclu´ ımos que ||Bu||V ≤ ||u||.260) ´ uma isometria. ||Bu||V ≤ C||u||.˜ EXTENSOES DO OPERADOR DEFINIDO PELA TERNA {V. ·)) ´ produto interno em V.263) (5.V ) = ||a||L(V ) . |a(u. de onde se conclui que Bu = Au.261) ou seja. Conforme j´ vimos anteriormente. como ||u||2 = ((u.V = a(u. temos a cadeia de imers˜es cont´ o ınuas e densas V →H →V . Por outro lado. v | = |((u.V . para todo u ∈ D(A). v))| ≤ ||u|| ||v||. 266) . Temos. v)D(A) = (u. a seguir. para todo u ∈ V. vem que u ∈ D(A) e Au = v. para todo u ∈ D(A). existem u.265) (5. resulta que D(A) ´ um espa¸o de Hilbert. pelo fato de A ser fechado. u)| = |(Au. v ∈ D(A). α α α 2α (5.264) entõ. pelo fato de A ser fechado. Com efeito. para todo ν. portanto. u)| ≤ |Au| |u| ≤ |u|2 + |Au|2 . para todo u. resulta que ν. v ∈ H a ue tais que uν → u e Auν → v em H quando ν → +∞. Mas. a e c seja {uν }ν∈N uma seq¨ˆncia de cauchy em D(A). Av).316 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Logo. Entõ. uν → u em a D(A) o que prova que D(A). v) + (Au.µ→+∞ lim ||uν − uµ ||2 D(A) = 0. e c que D(A) → V.263) conclu´ ımos que ||Bu||V = ||u||. o que prova a afirma¸ao. µ ∈ N.µ→+∞ lim |uν − uµ | = 0 e ν. Provaremos. ue 2 2 ||uν − uµ ||2 D(A) = |uν − uµ | + |Auν − Auµ | . plea coercividade de a(u.µ→+∞ lim |Auν − Auµ | = 0. Com efeito. para todo u ∈ D(A) temos. ||u|| ≤ C||u||D(A) . c˜ Se introduzirmos em D(A) o produto interno (u. (5. v) que ||u||2 ≤ ou seja. Como ν. 1 1 1 1 |a(u. de (5. {uν } e {Auν } sõ seq¨ˆncias de Cauchy em H e. || · ||D(A) ´ um espa¸o de Hilbert.262) e (5. Logo. v D(A) .267) = (u. Definamos A∗ : H → (D(A)) u → A∗ u. a e a Temos. u)| ≤ C2 |Au| |u|. onde A∗ u : V → C ´ definido por e A∗ u.D(A) . para todo u ∈ D(A). a(u. para todo u. para todo u. v | = |(u. para todo u ∈ D(A). ||u||D(A) ≤ C|||u|||D(A) .266). v D(A) .269). Identificando-se H com o seu antidual H resulta a cadeia de imers˜es o cont´ ınuas e densas. em virtude da observa¸ao 5. e (5. o que prova a equivalˆncia das normas em (5. Av).D(A) (5. . v)} 317 o que prova (5. Al´m disso. v ∈ D(A).270) 1/2 ≤ C4 |Au|. D(A) → V → H ≡ H → V → (D(A)) . (5. e. De fato.˜ EXTENSOES DO OPERADOR DEFINIDO PELA TERNA {V. para todo u ∈ D(A). v) = Au. v (D(A)) . o que prova que A∗ estende A. A∗ u = Au. α α o que implica que |u| ≤ C2 |Au|. |u|2 ≤ C1 ||u||2 ≤ C1 C1 |a(u.D(A) = (u.269) sõ equivalentes. v ∈ D(A). H. Observamos que em D(A) as normas |||u|||D(A) = |Au| e ||u||D(A) |u|2 + |Au|2 1/2 . ´ claro que |||u|||D(A) ≤ ||u||D(A) .268) o que prova que A∗ u ∈ (D(A)) . para todo u ∈ H e para todo c˜ a v ∈ D(A) temos | A∗ u. que c˜ A∗ u. u)| = |(Au.126. A aplica¸ao acima est´ bem definida. para alguma C > 0. portanto. Au)| ≤ |u| |Av| ≤ |u| |v|2 + |Av|2 1/2 = |u| ||v||D(A) . obtemos. supondo que a(u. (5. v) e seja hermitiana. Provaremos a outra inclusõ. Com efeito. ||u||D(A) = |u|2 + |Au|2 ou ainda. Av) = (Au. que munindo-se D(A) da topologia |||u|||D(A) = |Au| resulta que a extensõ 5. dado u ∈ H.D(A) = (((w. v V . v)). de (5. Agora.271) e (5.V . para todo u ∈ H. Com efeito.271) (5. para todo v ∈ V. a seguir. Observamos. de (5. Reciprocamente. v V .267) sõ. o que implica que Bu = f e portanto a sobrejetividade de B. bije¸oes isom´tricas.267 ´ uma isometria.260) que a Bu. Entõ. o a c˜ e respeitando-se as particularidades acima mencionadas. Temos. o que acarreta que |u| ≤ ||A∗ u||D(A) .V (5. Assim. v)))D(A) .272) = ((u.V = f. que as extens˜es (5. de fato: • B ´ sobrejetiva. por Lax-Milgram. v | ≤ |u| |Av| = |u| |||u|||D(A) . existe v ∈ D(A) tal que Av = u. Logo. em verdade.318 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Provaremos. |u|2 ≤ ||A∗ u||D(A) |Av| = ||A∗ u||D(A) |u|. existe um unico w ∈ D(A) tal que ´ f. a injetividade resulta imediatamente do fato de serem isometrias. a sobrejetividade vem do Lema de Lax-Milgram. Com efeito. pelo Lema de Lax-Milgram. v D(A) . • A∗ ´ sobrejetiva. e Seja f ∈ (D(A)) . para todo u ∈ H. existe um unico u ∈ V tal que a ´ f.260) e (5. v V . para todo v ∈ V. donde ||A∗ u||(D(A)) ≤ |u|. . Resulta dí e de (5. para todo v ∈ D(A). e Seja f ∈ V .268) temos que a e | A∗ u. finalmente.272) temos provado o desejado. Se λ nõ pertence a ρ(S). o qual ser´ denotado por σ(S). Assim existe um unico u ∈ D(A) que verifica ´ f. Sv). v ∈ D(S) tem-se que (D(S). || · ||D(S) ) ´ um espa¸o de Hilbert. H ser´ um espa¸o de Hilbert com produto interno (·. para todo v ∈ D(A).12 5. conforme vimos anteriormente. v)))D(A) = (Aw.267) vem que (((w. u. v D(A) . Em outras palavras: a e ρ(S) = {λ ∈ C. (S − λI)−1 existe D((S − λI)−1 ) ´ denso em H e (S − λI)−1 ´ limitado} e e Neste caso. S) denomina-se o operador resolvente de S. o qual ser´ denotado por ρ(S). resulta que existe um unico u ∈ D(A) ca ´ tal que Au = w.1 Conseq¨ˆncias da Alternativa de Riesz-Fredholm ue O Resolvente e o Espectro de um Operador No que segue. S) = (S − λI)−1 existe. de (5. munindo-se ınio a D(S) do produto interno (u. v .12. Assim. e o (5. v = a∗ u. ı 5. v) + (Su. Entõ. e c Seja S : D(S) ⊂ H → H um operador de H.ˆ CONSEQUENCIAS DA ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM Contudo. v)D(S) = (u. est´ densamente definido em H e ´ limitado.D(A) 319 . Dividiremos o espectro de S em trˆs partes disjuntas: e (i) Dizemos que λ ∈ σp (espectro puntual) de S se λ ´ um valor pr´prio de S. Segue da´ que A∗ u = f . Dizemos que λ ∈ C est´ no conjunto resolvente a de S. ·). R(λ. Seja S um operador a c fechado de H com dom´ D(S) ⊂ H. o que prova a sobrejetividade de A∗ . v) = A∗ (Aw). se o operador a R(λ. a dizemos que λ pertence ao espectro de S. e pelo fato de A : D(A) → H ser uma bije¸õ.273) . a σ(S) = C\ρ(S). para algum C1 > 0. |(S − λI)x| ≥ C2 |x|. Com efeito. Sendo S fechado. para todo m.277) (5. para todo x ∈ D(S). por´m nõ ´ limitado.276) (5. S)) = H. e C = ρ(S) ∪ σ(S). Em particular. S)(S − λI)x| ≤ C1 |(S − λI)x|. pela continuidade de R(λ.320 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` (ii) Dizemos que λ ∈ σc (espectro contńuo) de S se o operador (S − λI)−1 existe. ou seja. e a e (iii) Dizemos que λ ∈ σr (espectro residual) de S se (S − λI)−1 existe. para cada n ∈ N. n ∈ N. para todo x ∈ D(S) temos.277) que ue |(S − λI)xn − (S − λI)xm | ≥ C2 |xn − xm |. Logo. existe uma seq¨ˆncia {yn } subsetD(R(λ. (5. para todo m. S)) denso em H. Por outro lado. seja y ∈ H. S) ∈ L(H). para todo λ ∈ ρ(S) temos que R(λ. S)) ue tal que yn → y quando n → +∞. Tamb´m. est´ ı a densamente definido em H. podendo (S − λI)−1 ser limitado ou nõ. para a seq¨ˆncia {xn }. S) que |x| = |R(λ.275) .274) De fato.278) (5. resulta de (5. (5. a Observemos que σ(S) = σp (S) ∪ σc (S) ∪ σr (S) e σp ∩ σc = σp ∩ σr = σc ∩ σr = ∅. Contudo. Sendo D(R(λ. |yn − ym | ≥ C2 |xn − xm |. por´m nõ est´ e a a densamente definido em H. a em verdade provaremos que D(R(λ. existe xn ∈ D(S − λI) = D(S) tal que yn = (S − λI)xn . n ∈ N. entõ. S ´ fechado e. Dados λ ∈ C e f ∈ H consideremos a equa¸õ ca ca Au − λu = f.274) e conseqëntemente que R(λ. u Assim.129 Seja A ∈ L(H). para todo ρ ∈ ρ(S). S) = (S − λI)−1 ∈ L(H). se S ∈ L(H). S) ∈ L(H). temos que u = (A − λ0 I)−1 [f + (λ − λ0 )u]. (S − λI) tamb´m o ´ e de (5. entõ. ou ainda. (5.280) conclu´ e e ımos que x ∈ D(S) e (S − λI)x = y.279) resulta que a seq¨ˆncia {xn } ´ de Cauchy em H e portanto ue e existe x ∈ H tal que xn → x em H quando n → +∞.279) e (5.275) e (5. Mas de (5. Em particular.ˆ CONSEQUENCIAS DA ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 321 Assim.279) Contudo. R(λ. Entõ: (i) ρ(A) ´ um conjunto aberto. Pelo fato de (A − λ0 I) ser invers´ ıvel. que pode ser reescrita como Au − λ0 u = f + (λ − λ0 )u.275) e (5. a Lema 5. para todo λ ∈ ρ(S).281) . e (ii) σ(A) ´ um subconjunto compacto e σ(A) ⊂ {λ ∈ C. |λ| ≤ ||A||}. (A − λ0 I)u = f + (λ − λ0 )u.276) resulta que (S − λI)xn → y em H quando n → +∞. pelo Teorema do Gr´fico fechado. de (5. o que prova (5.280) (5. ou seja. e Demonstra¸õ: (i) Seja ρ0 ∈ ρ(A). sempre que S for fechado temos necessariamente que R(λ. y ∈ Im(S − λI). sendo S fechado. (5. a a e portanto. S) ∈ L(H). u e (ii) Segue de (i) imediatamente que o conjunto σ(A) ´ fechado posto que σ(A) = e C\ρ(A). Notemos que G ´ uma aplica¸ao cont´ e c˜ ınua posto que (A − λ0 I)−1 ´ cont´ e ınuo. admitir´ uma inversa (A − λI)−1 ∈ L(H). solu¸õ da equa¸õ (5. Em outras palavras. Afirmamos que: σ(A) ⊂ {λ ∈ C. ||(A − λ0 I)−1 ||L(H) entõ. portanto. para todo u. Al´m e disso.283) .282) u → G(u) = (A − λ0 I)−1 [f + (λ − λ0 )u]. v ∈ H. Considerando λ ∈ C tal que |λ − λ0 | < 1 := r0 . a aplica¸ao (5. o operador (A − λI) se r´ ´ ca ca a uma bije¸ao e.281). qualquer que seja c˜ a λ ∈ {λ ∈ C. existir´ uma a c˜ a ca a unica u ∈ H. |λ − λ0 | < r0 } = Br0 (λ0 ). λ 1 (Au − f ). |λ| ≤ ||A||}. ou equivalentemente u= definamos a aplica¸ao c˜ F :H→H u → Fu = 1 (Au − f ).282) ser´ uma contra¸õ e pelo Teorema do Ponto Fixo.284) (5. Com efeito. λ (5. o que prova que a bola aberta Br0 ⊂ ρ(A) e conseqëntemente que A ´ aberto. sejam f ∈ H e λ ∈ C com |λ > ||A||| e consideremos a equa¸õ ca Au − λu = f.322 definamos a seguinte aplica¸õ: ca G:H→H ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` (5. que |Gu − Gv| = = (A − λ0 I)−1 [f + (λ − λ0 )u] − (A − λ0 I)−1 [f + (λ − λ0 )v] (A − λ0 I)−1 [(λ − λ0 )(u − v)] ≤ ||(A − λ0 I)−1 ||L(H) |λ − λ0 | |u − v|. temos. Operadores Nõ Limi a tados Sejam H e V espa¸os de Hilbert com produtos internos e normas dados. v)}. Adimitamos que V → H e que V seja denso em H.286) .284). (5. H. v)] ≥ α ||v||2 . temos |F u − F v| = 1 1 (Au − Av) ≤ ||A|| |u − v| < |u − v|. o que prova (5.290) (5. tais que Re [a(v.287) (5. consideremos os operadores c˜ A ←→ {V. c˜ 2 5.283) e encerra a demonstra¸ao. F ´ uma contra¸ao e portanto existe um unico u ∈ H solu¸õ da equa¸õ e c˜ ´ ca ca (5. Provaremos. ((·.288) c (5. c por (·. B ←→ {V. a(u. com α > 0. onde b(u. b(u.ˆ CONSEQUENCIAS DA ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM F ´ claramente cont´ e ınua.285) (5. que D(A) = D(B) e B = A + α0 I. v) ´ uma forma sesquilinear cont´ e ınua em V × V . A inje¸ao de V em H ´ compacta que denotaremos escrevendo c˜ e V → H. para todo v ∈ V onde a(u. ·). Suponhamos que sejam satisfeitas as seguntes condi¸˜es: co Existem α0 . a seguir. v ∈ H. H. Isto significa que o operador (A − λI) ´ uma bije¸ao e portanto invers´ com e c˜ ıvel inversa (A − λI)−1 ∈ L(H). α ∈ R. v) + α0 (v. v) + α0 (u. ·)) e | · |. respectivamente. Agora. dados u. v). v) = a(u. |λ| |λ| 323 Logo.2 A Alternativa de Riesz-Fredholm. v)}. |λ| > ||A||} ⊂ ρ(A). || · ||.289) (5. Donde {λ ∈ C.12. Nestas condi¸oes. pela densidade de V em H que Bu = (A + α0 I)u. entõ. para todo v ∈ V. v) = (Bu. ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` b(u. para todo u. v) = (Bu − α0 u.292) e resulta. fica bem definido o operador G(α0 ) := (A + α0 I)−1 : H → D(A) (5.122 u ´ da forma ´ ca ca e u = B −1 T f. Reciprocamente. pelo teorema 5. u ∈ D(B). v) = a(u.121 e por (5. De (5. v) = (Au.293) . Donde. v).285) vem que b(u. v ∈ V. o que prova que D(A) = D(B). possui uma unica solu¸õ u. para todo v ∈ V. para cada f ∈ H. ou ainda. c˜ Seja B ∈ L(V ) o operador determinado pela forma sesquilinear b(u. de (5. a(u. Logo. Pela observa¸õ 5. para todo v ∈ V. e da´ vem que ı b(u.291) (5. para todo u ∈ D(A) = D(B). o que prova a afirma¸ao em (5. v). v) = (Bu. v). se u ∈ D(A). v). v). v) = ((Bu.292) Logo. para todo v ∈ V. v)).290). a(u. v) ´ coerciva em V . v) + α0 (u. Logo.290) e resulta que o problema u ∈ D(A) Au + α0 u = f.291) e (5. a a(u. Mais al´m. e b(u. isto ´. v) = (Au + α0 v. seja u ∈ D(B). (5. v).324 Com efeito. para todo v ∈ V. Assim. o que implica que u ∈ D(A) . v) + α0 (u. provaremos primeiramente que G(α0 ) ∈ L(H. v)}. Av). u ∈ D(A) e de (5. de (5.294) Como b(u. H. temos que e e B(B) ´ denso em H e B ´ um operador fechado ( conforme proposi¸ao 5. do fato que a V → H. (5.298) e (5. v) + (Au.298) .296) Com efeito.294). e e c˜ portanto.297) (5.299) conclu´ ımos que |u|2 + |Au|2 ≤ C|f |2 . No que segue.290) que D(A) ´ igualmente denso em H e A ´ um operador fechado de e e H. (5. de (5. ou ainda. Mais al´m. Para isso.124). e do fato que Au + α0 u = f obtemos |Au| = |f − α0 u| ≤ |f | + |α0 | |u| ≤ C4 |f |. Entõ. e depois que A inje¸ao de D(A) em V ´ cont´ c˜ e ınua.295) ´ um e espa¸o de Hilbert. c Provaremos. Resulta.293) ´ um operador e compacto de H em H. que o operador G(α0 ) definido em (5. para todo f ∈ H.122 conclu´ a c˜ ımos uqe B −1 T f = B −1 f = (A + α0 I)−1 f = G(α0 )f. v)D(A) = (u. (5. (5.299) (5. T ∈ L(H. a seguir. v) ´ coerciva e B ´ o operador definido pela terna {V. b(u. V ) e B −1 ∈ L(V ) resulta que |u| = |G(α0 )f | = |B −1 T f | ≤ C1 ||B −1 T f || ≤ C2 ||T f || ≤ C3 |f |. resulta que D(A) munido do produto interno dado em (5. existe tamb´m o adjunto A∗ de A. seja f ∈ H e u = G(α0 )f . |G(α0 )f |2 + |A(G(α0 )f )|2 ≤ C|f |2 .ˆ CONSEQUENCIAS DA ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 325 Procedendo de modo an´logo ao que foi feito na observa¸ao 5. muniremos D(A) com o e e produto interno (u. Logo.295) Sendo A fechado. D(A)). para todo f ∈ H. u ∈ D(A).326 o que implica ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` ||G(α0 )f ||D(A) ≤ C |f |.289) temos que α ||u||2 ≤ |b(u. para todo u ∈ D(A). o que prova o desejado.285) e (5. para algum C > 0.300) c . e para todo ν ∈ N. onde C ´ uma constante positiva. D(A)) temos que ||G(α0 )uν ||D(A) ≤ C0 |uν | ≤ C0 M. para algum C0 > 0. portanto. o que prova (5. para algum C1 > 0 e para todo v ∈ D(A) entõ. a afirma¸ao (5. u)| ≤ |u| [|Au| + |α0 ||u|] ≤ C5 ||u|| [|Au| + |u|] ≤ C ||u|| ||u||D(A) . a ||G(α0 )uν ||V ≤ C.296). Como G(α0 ) ∈ L(H.297). Por c˜ a (5. entõ. o que prova que G(α0 ) : H → H ´ um operador compacto. Resulta da ultima desigualdade e do fato que V → H. para todo ν ∈ N. u) + α0 (u. que existe uma subseq¨ˆncia ´ ue {uµ } de {uν } e v ∈ H tais que G(α0 )uν → v em H quando µ → +∞. Consideremos. e alguma C > 0.297) o seguinte esquema: H → D(A) → V → H c G(α0 ) I1 I2 Seja {uν }ν∈N ⊂ H tal que |uν | ≤ M . como ||v|| ≤ C1 ||v||D(A) . Temos de (5. a segiur. u) + α0 (u. (5. e. onde M ´ uma constante e positiva. Provaremos. e (5. u)| = |a(u. para alguma K > 0 e para todo ν ∈ N. para todo ν ∈ N. o que implica que e ˜ ||u|| ≤ C ||u||D(A) .296) e (5.286). u)| = |(Au. Agora. ||G(α0 )uν ||D(A) ≤ K. (Bu. para todo u ∈ D(A) = D(B). De fato. ou seja. o que prova (5. v) = (u.302) vem que B ∗ v = (A∗ + α0 I) v. Entõ. v) = (u. v ∗ ). v) = (u.301). a seguir. existe v ∗ ∈ H tal que a (Au. ou seja. seja v ∈ D(A∗ ). D(B ∗ ) = D(A∗ ) e de (5. para todo u ∈ D(B) = D(A). o que prova que D(A∗ ) ⊂ D(B ∗ ) e. v ∗ = B ∗ v. B ∗ v = (A∗ + α0 I) v. al´m diso. α0 v).302) Reciprocamente. v ∗ ) + (u. 327 (5. Logo. (Au + α0 u. tal a que (Bu. para todo v ∈ D(B ∗ ). v) = (u. para todo v ∈ D(A∗ ). v ∗ ). Donde. v ∗ + α0 v). e (u.301) (5. Portanto.ˆ CONSEQUENCIAS DA ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM Provaremos. existe v ∗ ∈ H. para todo u ∈ D(B). (Au + α0 u. para todo u ∈ D(B). v ∗ + α0 v). Entõ. v ∈ D(A∗ ). B ∗ v) = (u. v ∗ ). v ∗ − α0 v). para todo u ∈ D(A) = D(B). Logo. que D(A∗ ) = D(B ∗ ) e B ∗ = A∗ + α0 I. v) = (u. para todo u ∈ D(A). para todo u ∈ D(B). v) = (u. Donde (Au. suponhamos que v ∈ D(B ∗ ). . temos (Au + α0 u. temos o seguinte resultado: Teorema 5. H. v). (G(α0 )f. v) = b(u. v) = (u.303) possui solu¸ao unica v. ou as equa¸˜es homogˆneas e co ´ co e (l3 ) ϕ ∈ D(A) Aϕ + λϕ = 0 (l4 ) .289) existe A∗ e para λ ∈ C.130 Nas condic˜es (5.303). para todo f. ´ um operador compacto de H. v) = (f. (G(α0 )f.305) (5. A∗ v + α0 v). (A∗ + α0 I)v = (u. operador G(α0 )H → D(A) conclu´ ımos que o operador S := (A∗ + α0 I)−1 : H → D(A∗ ) g → Sg = (A∗ + α0 I)−1 g = v.304) tˆm solu¸˜es unicas u e v para cada f e g em H. pelo teorema 5. v) tamb´m o ´. resulta que o operador B ∗ ´ definido pela e e terna {V. b∗ (u. donde se conclui que S = G∗ (α0 ). Sg). onde v ´ a unica solu¸õ de (5. (5. De maneira an´loga ao que fizemos para o c˜ ´ a = (Au + α0 u. g) = (A + α0 I)−1 f. Logo. g ∈ H. A∗ v + α0 v) (5. v = Sg ∈ D(A∗ ). Sg). cada uma das o equa¸˜es co (l1 ) u ∈ D(A) Au + λu = f (l2 ) v ∈ D(A∗ ) A∗ v + λv = g ψ ∈ D(A∗ ) A∗ ψ + λψ = 0. g ∈ H.301) resulta que o problema e e v ∈ D(A∗ ) A∗ v + α0 v = g.285)-(5. para cada v ∈ H. Sendo b(u. Do exposto. v)} onde b∗ (u. g) = (f. Para u = G(α0 ) ∈ e ´ ca e D(A). Donde. v) coerciva.328 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Por outro lado. v) ´ coerciva. como b(u.121 e por (5. ou seja. f. resulta que b∗ (u. tˆm as mesmas a c˜ e solu¸oes. Au + λu = f ⇔ u + (λ − α0 )G(α0 )u = G(α0 )f.306) resulta que as equa¸oes (lj ) e (lj ).ˆ CONSEQUENCIAS DA ALTERNATIVA DE RIEZ-FREDHOLM 329 tˆm solu¸˜es nõ nulas e o n´mero m´ximo de solu¸˜es linearmente independentes ´ finito e co a u a co e e o msmo para ambas as equa¸˜es. tais rela¸˜es.304) que (G(α0 )f.8 (Corol´rio c˜ a a 5. α0 − λ 1 (f. De (l3 ) e (l4 ) temos a co G(α0 )ϕ = Segue de (5. j = 1. uma solu¸õ se e co ca ca somente se f ´ ortogonal a todas as solu¸˜es ψ de (l4 ) e a equa¸õ (l2 ) tem uma solu¸õ e co ca ca se e somente se g ´ ortogonal a todas as solu¸˜es ϕ de (l3 ). G∗ (α0 )ψ) = ou seja. ψ) = Tamb´m e (G∗ (α0 )g. segue o teorema. pelo menos. α0 − λ ψ ϕ . α0 − λ (5. 3. 4. e co Demonstra¸õ: ca Se λ = α0 . as equa¸˜es (l1 ) e (l3 ) tˆm solu¸oes co e c˜ unicas u e v para cada f e g em H e as equa¸˜es (l3 ) e (l4 ) s´ admitem solu¸oes triviais ´ co o c˜ nulas. A∗ v + λv = g ⇔ A∗ v + α0 v + λv − αo v = g ⇔ (A∗ + α0 I)v + (λ − α0 )v = g. para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ D(A∗ ) que Au + λu = f ⇔ Au + α0 u + λu − α0 u = f ⇔ (A + α0 I)u + (λ − α0 )u = f. as equa¸oes a c˜ (l1 ) u − (λ − α0 )G(α0 )u = G(α0 )f (l3 ) ϕ − (α0 − λ)G(α0 )ϕ = 0 (l2 ) v − (α0 − λ)G∗ (α0 )v = G∗ (α0 )g. 2. ψ). ψ) = (f. pelo exposto acima. G(α0 )ϕ) = 1 (g. se λ = α0 . (l4 ) ψ − (α0 − λ)G∗ (α0 )ψ = 0. Agora. (G(α0 )f.82) ao operador G(α0 ). e G∗ (α0 )ψ = α0 − λ α0 − λ . por (5. Aplicando-se a alternativa de Riesz-Fredholm vista no par´grafo 5. A∗ v + λv = g ⇔ v + (λ − α0 )G∗ (α0 )v = G∗ (α0 )g. ou seja. (5. A equa¸õ (l1 ) tem. ϕ) = (g. Consideremos. temos.306) Entõ. ψ). entõ. entõ. ϕ). co Provaremos.307) 1 (f. a menos das condi¸˜es de ortogonalidade. 82 segue a parte que resta do teorema. α0 − λ (5. temos o seguinte diagrama: (l1 ) tem pelo menos uma solu¸ao c˜ ⇔ (l1 ) tem pelo menos uma solu¸ao c˜ f ´ ortogonal a todas as solu¸˜es ψ de (l4 ) ⇔ G(α0 )f ´ ortogonal a todas as solu¸˜es ψ de (l4 ) e co e co (l2 ) tem pelo menos uma solu¸õ ca ⇔ c˜ (l2 ) tem pelo menos uma solu¸ao g ´ ortogonal a todas as solu¸˜es ϕ de (l3 ) ⇔ G∗ (α0 )g ´ ortogonal a todas as solu¸oes ϕ de (l3 ) e co e c˜ 2 5. (iii) Denominamos conjunto de valores pr´prios de T (ou autovalores de T ). e denoo taremos por V P (T ). e denotamos por σ(T ). ca u σ(T ) = C\ρ(T ).330 isto ´. o complementar de ρ(T ) em rela¸õ aos n´meros complexos. T − λI ´ bijetor}.131 Seja E um espa¸o de Banach e T ∈ L(E).13 O Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos nõ limitados a Antes de enunciarmos o principal resultado desta se¸ao.308) Das rela¸oes (5.308) e do corol´rio 5. Defini¸õ 5. e (G∗ (α0 )g.307) e (5. c˜ a Em verdade. ϕ) = ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` 1 (g. N (T − λI) = {0}} . necessitamos definir conceitos e c˜ demonstrar alguns resultados preliminares. ou seja. o conjunto V P (T ) = {λ ∈ C. ca c (i) Denominamos conjunto resolvente de T o conjunto ρ(T ) = {λ ∈ C. ϕ). e (ii) Denomonamos espectro de T . T − λI ´ bijetivo e portanto λ ∈ ρ(T ). I ∈ Lc (H). por contradi¸ao. Desta forma. Como C = ρ(T ) ∪ σ(T ) temso que λ ∈ σ(T ). seja A ⊂ BH = {u ∈ H. isto ´. |u| ≤ 1} um conjunto infinit.132.1) posto que. Com efeito. 2 Lema 5. λ ∈ V P (T ) e como λ = 0. Logo. ca c a Entõ: a (i) 0 ∈ σ(T ). Entõ. Logo. vν → w. que a defini¸õ 5. como T − λI ∈ L(E) resulta que (T − λI)−1 ∈ L(E). ou seja. e Com efeito.134 Sejam H um espa¸o de Hilbert de dimensõ infinita e T ∈ Lc (H). como T ∈ Lc (H) e e T−1 ∈ L(H). Entõ. ou equivalentemente. neste caso. Entõ. Provaremos que λ ∈ V P (T ). a Por outro lado. existe T −1 e T −1 ∈ L(H).131(i) nõ se op˜e ` defini¸õ ca e ca a o a ca dada anteriormente (veja se¸õ 5.133 Notemos. BH ´ compacto. o que ´ uma contradi¸ao. portanto. tal a / conclusõ ´ estrita. T − λI nõ pode ser a e a bijetivo e entõ λ ∈ ρ(T ). λ ∈ σ(T )\{0}. a e e c˜ (ii) Seja λ ∈ σ(T )\{0}. Desta forma. Demonstra¸õ: ca (i) Suponhamos. λ ∈ σ(T ) e λ = 0. suponhamos. isto ´. como |vν | ≤ 1. seja λ ∈ V P (T ). vν → w onde w ∈ BH . pelo corol´rio e a 2.˜ O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS NAO LIMITADOS 331 Observa¸õ 5. por contradi¸ao. λ = 0. temos que T ◦T −1 ∈ Lc (H). Em geral. seja λ ∈ V P (T )\{0}. Al´m disso. para todo v ∈ A e. |w| ≤ 1 e a e.81(c) (Alternativa de Riez-Fredholm) temos 1 que Im I − λ T = H e consequentemente Im(T − λI) = H. entõ. ou seja. se T − λI ´ bijetivo segue ca e imediatamente que existe (T − λI)−1 e D((T − λI)−1 ) = E.21. todo conjunto infinito de BH possui um ponto de acumula¸õ em BH . a . Ivν → w. da´ como I ∈ Lc (H) temos que existe {vν }ν∈N ⊂ A tal que ı. Sendo assim. N (T − λI) = {0} e Im(T − λI) = H. que 0 ∈ σ(T ). 0 ∈ σ(T ). Al´m disso. ou seja. que λ ∈ V P (T ). λ ∈ σ(T ) e λ = 0. tamb´m. 0 ∈ ρ(T ) e c˜ / portanto T ´ bijetor.135 Sejam H um espa¸o de Hilbert tal que dimH = ∞ e T ∈ Lc (H). a e Observa¸õ 5. para todo ν ∈ N. De fato. λ ∈ V P (T ) e λ = 0. Proposi¸õ 5. λ ∈ V P (T )\{0}. Entõ. e a |v| ≤ 1. Entõ. N (T − λI) = {0} e c˜ / a 1 portanto N I − λ T = {0}. Pela observa¸õ e ca 5. Logo. (ii) σ(T )\{0} = V P (T )\{0}. Logo. Pelo Teorema 5.78 conclu´ ca e ımos que a dimensõ de H ´ finita. Pelo lema 5. ou seja.132 Notemos que V P (T ) ⊂ σ(T ). a bola unit´ria a ´ compacta. o que ´ um absurdo e e pois σ(T ) = C\ρ(T ). Considere c {λν }ν∈N∗ ⊂ σ(T )\{0} tal que λν = λµ se ν = µ e λν → λ em C. ca a λ ∈ C e N (T − λI) = {0} e portanto T − λI nõ ´ injetor.12. Logo. uν sõ linearmente independentes e por. para todo ν ∈ N∗ . αi (λi − λν+1 ) = 0.310) . portanto. consequentemente. se provarmos que o conjunto {uν }ν∈N∗ ´ linearmente independente e teremos provado o desejado uma vez que . Pelo item (ii) da proposi¸õ 5. al´m disso. i = 1. para cada ν ∈ N∗ . / Provaremos. · · · .332 Demonstra¸õ: ca ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Seja {λν }ν∈N∗ ⊂ σ(T )\{0} tal que λν = λµ se ν = µ e λν → λ em C. ca N (T − λν I) = {0}. uν sõ a linearmente independentes e devemos mostrar que u1 . u2 . i = 1. Como a seq¨ˆncia {λν }ν∈N∗ ´ formada por n´meros complexos distintos. · · · . ou seja. cdots. Logo. uν . Eν e e Eν+1 . (5. que os vetores uν . ou seja. 2. · · · .134 temos que {λν }ν∈N∗ ⊂ V P (T )\{0} e. existe uν ∈ H. ν ν ν λν+1 i=1 α i ui = i=1 αi λi ui ⇔ i=1 αi (λi − λν+1 )ui = 0. Suponhamos. (5. · · · . a ν uν+1 = i=1 α i ui . ν.309) e. que uν+1 nõ seja linearmente indepenca a dente com u1 . assim sendo. u1 ´ linearmente independente pois u1 = 0. Com efeito. o a conseguinte. para cada ν ∈ N∗ . Tal prova a a ser´ feita por indu¸õ. entõ. Definamos. para todo ν ∈ N∗ . qualquer que seja o ν ∈ N∗ . ν ∈ N∗ sõ linearmente independentes. Claramente. uν . u2 . cdots. Entõ. uν+1 sõ linearmente a independentes. u2 . a ca Se ν = 1. Eν ´ fechado para todo ν ∈ N∗ e. resulta que ue e u αi = 0. 2. por contradi¸õ. uν+1 ∈ Eν . uν ] . u2 . Suponhamos a afirama¸ao e c˜ verdadeira para ν e provemos para ν + 1. ν ν λν+1 uν+1 = T (uν+1 ) = i=1 αi T (ui ) = i=1 αi λi ui . ν. suponhamos que u1 . uν = 0 tal que (T − λν I)uν = 0. Pela hip´tese indutiva temos que u1 . o seguinte conjunto Eν = [u1 . cdots. seja ν > µ ≥ 2. observando (5. segue que que (T − λν I) wν λν ∈ Eν−1 e (T − λµ I) wµ λµ ∈ Eν−1 . para todo ν ≥ 2. (5. i=1 = ou seja. uν+1 sõ linearmentes independentes.314) ∈ Eµ e. 1 para cada ν ≥ 2.311).314). portanto.310) segue que uν+1 = 0. vem do Lema de Riesz (lema 5. Por outro lado. ν−1 (T − λν I)w = i=1 αi (λi − λν )ui ∈ Eν−1 . uν . a Para todo ν ∈ N∗ . por (5. w = a ν i=1 (5. De fato. Eν−1 ) ≥ 2 . Portanto. 1 Desta forma. ν ν (T − λν I)w = T w − λν w = i=1 ν−1 αi λi ui − i=1 λν αi ui = i=1 ν−1 αi (λi − λν )ui + λν αν uν − λν αν uν αi (λi − λν )ui . temos que 1 ≤ µ − 1 < µ ≤ ν − 1 < ν e.311) Eν+1 . Entõ. temos que Eν sõ subespa¸os fechados de H a c tais que Eν Al´m disso. (T − λν I) λν λµ Pelo fato de 2 ≤ µ < ν. entõ.˜ O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS NAO LIMITADOS 333 De (5. o que prova que u1 . wν λν (5.309) e (5. o que ´ um absurdo pois uν = 0 para todo e ν ∈ N∗ . de (5. a Eµ−1 ⊂ Eµ ⊂ Eν−1 ⊂ Eν Como wν ∈ Eν e wµ ∈ Eµ . u2 . seja w ∈ Eν . Temos: T (wν ) T (wµ ) − λν λµ = = T (wµ ) − λµ wµ T (wν ) − λν wν − + wν − wµ (5. portanto. existe wν ∈ Eν tal que ||wν || = 1 e d (wν .77) que dado ε = 2 .312) αi ui e. · · · . e (T − λν I)Eν ⊂ Eν−1 .312) vem ∈ Eν e wµ λµ .313) λν λµ wµ wν − (T − λµ I) − wµ + wν . isto ´. nenhum ponto de σ(T )\{0} ´ ponto a a e e de acumula¸õ de σ(T )\{0}. e e c˜ todos os pontos de σ(T )\{0} sõ isolados.135 temos que o unico ponto de acumula¸ao de σ(T )\{0} ca ´ c˜ ´ 0 e portanto nenhum ponto de σ(T )\{0} ´ ponto de acumula¸ao de σ(T )\{0}.334 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Al´m disso.313) e (5. |λν | |λν | wµ λµ Como T ∈ Lc (H). temos por (5. os pontos de σ(T )\{0} sõ isolados.136 Sejam H um espa¸o de Hilbert tal que dimH = ∞ e T ∈ Lc (H). para todo ν ∈ N∗ . segue que c (T − λν I) wν λν − (T − λµ I) wµ λµ − wµ ∈ Eν−1 . Ou σ(T )\{0} ´ finito e nõ vazio. pois de (5. ν → +∞. Logo.315) resulta que T (wν ) T (wµ ) − λν λµ 1 ≥ d(wν . existe uma subseq¨ˆncia ue ⊂ wν λν tal que T wµ λµ ´ cone wµ λµ vergente em H. . o que encerra a prova. e a Ou σ(T )\{0} = {λν }ν∈N tal que λν →. a ue a ue c Corol´rio 5. 1 1 = ≤ M. Eν−1 ) ≥ . como wµ ∈ Eµ . a 2 Proposi¸õ 5. (5. ≤ M . Logo. λ = 0.316). que λ = 0. De fato. 2 nõ possui nenhuma seq¨ˆncia de Cauchy e portanto nõ possui subseq¨ˆncia convergente. a Entõ. ca c Entõ. existe M > 0 tal que wν λν = ||wν || 1 λν e. para todo ν > µ ≥ 2. 2 1 λν (5. Entõ a a portanto. ca Demonstra¸õ: Pelo lema 5.315) De (5.137 Sejam H um espa¸o de Hilbert tal que dimH = ∞ e T ∈ Lc (H). o que ´ uma contradi¸ao com (5. para todo ν ∈ N∗ . suponhamos o contr´rio.316) → 1 λ Afirmamos que λ = 0.314) que wµ ∈ Eν−1 e pelo fato de Rν−1 ser e um subespa¸o vetorial.316) vem que T e c˜ Logo. uma das seguintes situa¸˜es se verifica: a co Ou σ(T ) = {0}. portanto. Al´m disso. para todo λ∗ ∈ En . ainda. En ´ vazio ou e finito. λ ∈ En0 ⊂ ∪n∈N∗ En . para todo n ∈ N∗ e Se λ ∈ En+1 ´ tal que λ ∈ En . ue Notemos que: En ⊂ En+1 . |λ| ≥ 1 }.317) e e que σ(T )\{0} ´ enumer´vel.˜ O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS NAO LIMITADOS 335 Demonstra¸õ: Temos dois casos a comsiderar: σ(T ) finito ou σ(T ) infinito.317). para todo ν ∈ N e. λν = λµ se ν = µ tal que λν → λ. Se σ(T ) ´ finito e unit´rio. Como En0 ⊂ σ(T ) e σ(T ) c˜ e ´ compacto (veja lema 5. De fato. |λ| > 0 e portanto existe n ∈ N∗ tal que a |λ| ≥ 1 . n0 ∗ (5. n+1 resulta que 1 n+1 e. que existe n0 ∈ N tal que En0 ´ infinito. |λ| ≥ 1 . a e a e e a 20 Caso: σ(T ) infinito. ca 10 Caso: σ(T ) finito. Logo. e por contradi¸ao. como cada En ⊂ σ(T )\{0} temos que ∪n∈N∗ En ⊂ σ(T )\{0} ⊂ σ(T ). Entõ. suponhamos. e / a Com efeito. n0 Logo.129 (ii)) temos que En0 possui um ponto de acumula¸ao λ em e c˜ σ(T ). Pelo lemma 5.135 segue que λ = 0. temos que σ(T )\{0} ´ finito e nõ vazio. para todo n ∈ N . seja λ ∈ En . Entõ. entõ |λ| < |λ∗ |. λ ∈ σ(T ) e |λ| ≥ a |λ| > 1 n+1 1 . c˜ Se σ(T ) nõ ´ unit´rio. agora. o que ´ um e 1 absurdo posto que |λν | ≥ n . n Afirmamos que En ´ vazio ou finito.134 que σ(T ) = {0}. por´m finito. n (5. seja λ ∈ σ(T )\{0}. como e {λν } ⊂ En0 . temos que {λν } ⊂ σ(T )\{0}. λ ∈ En+1 tal que λ ∈ En . para cada n ∈ N∗ . portanto. o conjunto En = σ(T ) ∩ {λ ∈ C.318) Como 1 n > 1 . Notemos ainda que σ(T )\{0} = ∪n∈N∗ En . Como cada En ´ finito ou vazio e σ(T )\{0} ´ infinito segue de (5. Seja. λ ∈ En+1 . para todo n ∈ N∗ . Resta-nos. existe {λν }ν∈N ⊂ En0 . Com efeito. Reciprocamente.317) Logo. enumerar σ(T )\{0} de modo a formar uma e a seq¨ˆncia que converge para zero. Definamos. |λ| ≥ / . temos pelo ´ e a ıtem (i) da proposi¸ao 5. o que prova (5. ou seja. m se e λ ∈ E2 \E1 . de forma que |λ21 | ≥ |λ22 | ≥ · · · ≥ |λ2k |. ν∈N (5.321) conclu´ ımos que ν∈N (5. para todo λ∗ ∈ En . ou seja. 2. A partir das propriedades dos conjuntos En dadas em (5. λ22 . desta forma. o que implica |λνk | → 0. a Pelo lema 5. |λ| < |λ∗ |.336 1 e |λ| < n . λνk → 0. Come E2 ´ finito. E1 ⊂ E2 e |λ| < |λ1j |.320) (5. j = 1. conseguimos enumerar σ(T )\{0} de tal forma que σ(T )\{0} = {λν . que ´ por sua vez um e e conjunto compacto. ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` 1 1 ≤ |λ| < ≤ |λ|∗ .319) Por outro lado. λ1m . para todo ν ∈ N∗ . de forma que |λ11 | ≥ |λ12 | ≥ · · · ≥ |λ1m |.135.318). λ12 .319) e (5.318). n+1 n Assim. · · · . o que prova (5. . resulta que e |λν | → inf |λν |. λ1m }. · · · .321) inf |λν | = 0.318) enumeremos σ(T )\{0} da seguinte forma: Como E1 ´ finito podemos escrever: e E1 = {λ11 . λ21 . de acordo com (5. Procedendo desta forma. · · · . Como {λν }ν∈N∗ ´ uma seq¨ˆncia em m´dulo e ue o crescente e limitada (posto que {λν }ν∈N∗ ⊂ σ(T ) e σ(T ) ´ compacto. λ12 . para todo λ∗ ∈ En . garantimos a exist encia de uma subseq¨ˆncia {λνk } ⊂ {λν } tal que ue λνk1 = λνk2 se k1 = k2 e {λνk } ⊂ σ(T )\{0} ( j´ que {λnu } ⊂ σ(T )\{0}) tal que λνk → λ. ν ∈ N} e |λν | ≥ |λν+1 |. podemos escrever: E2 = {λ11 . como {λν }ν∈N∗ ´ um conjunto infinito de σ(T ). De (5. conclu´ ımos que λ = 0 e. · · · . λ2k }. c • a(u.319) vem que |λν | → 0 e. o que encerra a prova. σ(T )\{0} = {λν }ν∈N∗ . quando ν → +∞.2. Assim.134(ii). λν → 0. de (5. uma vez que [G(α0 )]−1 = A + α0 I. temos que G(α0 ) ´ injetivo e. V P (G(α0 ))\{0} = V P (G(α0 )). por conseguinte.322) c ser infinito se V P (G(α0 )) = {βν }ν∈N . Assim.137. para todo ν ∈ N. temos que c˜ ca G(α0 ) = (A + α0 I)−1 existe e G(α0 ) ∈ Lc (H). Portanto.12. e βν → 0. Conclu´ ımos entõ que a V P (G(α0 )) ´ no m´ximo enumer´vel. e consequentemente o conjunto de valores pr´prios de G(α0 ) nõ nulos ´ no m´ximo o a e a enumer´vel. de acordo com a proposi¸ao 5. para todo v ∈ V. a e e e pela proposi¸a˜ 5. nõ cont´m λ = 0. com α > 0 satisfazendo Re [a(v. a(u. Conforme considera¸oes estabelecidas na se¸õ 5. V e • A ´ o operador definido pela terna {V. Por´m. cont´ ınua em V tal que existem α0 . temos que c o σ(G(α0 ))\{0} = V P (G(α0 ))\{0}.˜ O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS NAO LIMITADOS 337 Portanto. α ∈ R. desta forma. no caso de ser infinito. como G(α0 ) ´ invers´ a e ıvel. e no caso de e a a a e (5. . λ = 0 nõ ´ um valor pr´prio de G(α0 ) j´ que e a e o a N (G(α0 )) = {0} e portanto G(α0 )u = 0 se e somente se u = 0. 2 Consideremos: • V e H espa¸os de Hilbert tais que V → H com V denso em H e dim(H) = +∞. temos que σ(G(α0 ))\{0} ´ no m´ximo c˜ e a enumer´vel e. v)}. v) uma forma sesquilinear. No entanto. onde λν → 0. ´ uma sequˆncia que converge para zero. temos que |βν | ≥ |βν+1 |. H. v) + α0 (v. v)] ≥ α||v||2 . com α > 0 tais que Re [a(v. para todo v ∈ V. se λ ∈ V P (A). temos que λ ∈ ρ(A) pois ca (A − (−α0 )I)−1 = (A + α0 I)−1 = G(α0 ). Se λ = −α0 . respectivamente. v) + α0 (v. Al´m disso. α ∈ R.130. V Seja A o operador definido pela terna {V. existe. v)}. e o (ii) O conjunto dos valores pr´prios de A ´ no m´ximo enumer´vel e estes sõ da o e a a a forma λν = 1 − α0 βν . Analogamente temos e o que se λ ∈ C. temos que −λ = α0 e. se βν ´ enumer´vel. H. as equa¸˜es co (l1 ) u ∈ D(A) Au − λu = f (l3 ) ϕ ∈ D(A) Aϕ − λϕ = 0 sõ. temos que λ ∈ ρ(A) ou λ ´ um valor pr´prio de A. Entõ: a (i) Se λ ∈ C. βν onde βν ´ a cole¸õ dos valores pr´prios de G(α0 ). portanto.138 Sejam V e H espa¸os de Hilbert tais V ´ denso em H. ca Suponhamos que λ nõ seja valor pr´prio do operador A. Considere a(u. v) uma forma sesquilinear e cont´ ınua em V e assuma que existam α0 . para cada f ∈ H.130 temos que (l1 ) possui. entõ e ca o e e a a |λν | → +∞ quando ν → +∞. a(u. (iii) O conjunto dos valores pr´prios de A∗ ´ no m´ximo enumer´vel e estes sõ dados o e a a a pelo conjugado dos valores pr´prios de A. o Demonstra¸õ: (i) Seja λ ∈ C. D(G(α0 )) = H e G(α0 ) ´ cont´ e ınuo conforme visto anteriormente. entõ a equa¸ao (l3 ) nõ posssui solu¸õ diferente / a c˜ a ca da trivial e. Com efeito. v)] ≥ α||v||2 . pelo teorema 5. uma (l3 ) ϕ − (α0 + λ)G(α0 )ϕ = 0. portanto. equivalentes as equa¸oes a c˜ (l1 ) u − (α0 + λ)G(α0 )u = G(α0 )f de acordo com a demonstra¸õ do teorema 5. ou λ ∈ ρ(A∗ ) ou λ ´ um valor pr´priode A∗ . Devemos mostrar que a o λ ∈ ρ(A). . Se λ = −α0 .338 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` c Proposi¸õ 5. V → H e ca c e dimH = +∞. (5. de (5. Logo.324). (5. Como G(α0 )f = 0 e a equa¸õ (l1 ) s´ possui uma unica ca o ´ e solu¸ao para cada f ∈ H.328) . desta forma. de (5. Pela equivalˆncia das equa¸˜es (l1 ) e (l1 ) temos c˜ ´ e co que.323) e (5.327) Seja f ∈ H. e. seja f = 0. Entõ. / α0 + λ ou ainda. para cada f ∈ H.325) (5. isto ´. De a ´ ca (5. α0 + λ (5. c˜ e ´ ca ca u = 0 ⇔ G(α0 )u = Portanto.134(ii) que c˜ V P (G(α0 ))\{0} = σ(G(α0 ))\{0}.˜ O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS NAO LIMITADOS 339 solu¸ao unica que denotaremos por u. a e o (α0 + λ) Como G(α) ∈ Lc (H) temos. o operador (A − λI) ´ bijetivo e portanto e G(−λ) = (A − λI)−1 existe e D(G(−λ)) = Im(A − λI) = H. 1 ∈ ρ(G(α0 )). (α0 + λ) (5.325) obtemos u = G(−λ)f. solu¸õ de (5. existe um unico u ∈ D(A) tal que ´ Au − λu = f e u − (α0 + λ)G(α0 )u = G(α0 )f. temos que u = 0 ´ a unica solu¸õ da equa¸õ (l1 ). ou ainda. pela proposi¸ao 5.323) Por outro lado.326) e do fato que 1 α0 +λ 1 u. existe um unico u ∈ D(A).323) resulta que G(−λ)(A − λI)u = G(−λ)f.324) (5.326) = 0 resulta que 1 ∈ σ(G(α0 )). 1 nõ ´ valor pr´prio de G(α0 ). (α0 + λ) (α0 + λ) (5. [G(α0 )]∗ = (A∗ + α0 I)−1 e [G(α0 )]∗ ∈ Lc (H). Se λ = −α0 . que existe por 1 I α0 + λ ◦ G(α0 ) f.330) Pela aarbitrariedade de f ∈ H. as equa¸˜es co (l2 ) v ∈ D(A∗ ) A∗ v − λv = f (l4 ) ψ ∈ D(A∗ ) A∗ ψ − λψ = 0 . existe (A∗ + α0 I)−1 . c˜ Seja λ ∈ C. resulta que G(−λ)f = − 1 α0 + λ G(α0 ) − .331) G(α0 ) − ´ cont´ e ınuo (por (5. (α0 + λ) (α0 + λ) G(α0 ) − −1 1 I (α0 +λ) −1 Compondo a equa¸ao acima com o operador c˜ (5. A∗ e o o ca existe. temos que λ ∈ ρ(A) pelo que foi dito acima.325) e (5.324) vem que ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` −1 1 [u − (α0 + λ)G(α0 )u] = − [G(α0 )f ] . segue de De (5.332) 1 G(α0 ) − I α0 + λ 1 I α0 +λ −1 −1 ◦ G(α0 ) (5.330) que 1 G(−λ) = − α0 + λ Como G(α0 ) ´ compacto e e (5. ainda. e G(α0 ) − 1 −1 I u=− G(α0 )f.12. (5. Se λ = −α0 .327).333) (5. ou λ ∈ ρ(A) a ou λ ´ um valor pr´prio de A. Logo.329) Substituindo (5. conforme vimos na se¸ao 5.328) em (5.331) que G(−λ) ∈ Lc (H). Conclu´ ımos entõ que se λ ∈ C. portanto. que nas hip´teses desta proposi¸õ.329) obtemos G(α0 ) − 1 −1 I (G(−λ)f ) = − G(α0 )f. conclu´ ımos de (5. temos que −λ = α0 e. (5.340 De (5.2. G(−λ) ∈ L(H).333) vem que λ ∈ ρ(A).327)). α0 + λ α0 + λ isto ´. Observemos. seja λ = βν = 1 . Logo. βν βν e. assim. (λ + α0 ) . e c˜ βν 1−α0 βν . βν = 0 e se {βν } e a a ´ infinito. se λ ∈ C. existe u = 0 tal que G(α0 )u = pois βν ´ valor pr´prio de e o G(α0 ). (A + α0 I)u = (λ + α0 )u. portanto. de acordo com a demonstra¸õ do teorema 5.334) Com efeito. λ + α0 (5. Como G(α0 ) = (A + α0 I)−1 .˜ O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS NAO LIMITADOS 341 sõ. ca Supondo que λ nõ seja valor pr´prio do operador A∗ . entõ. ou seja. conclui-se o mesmo resultado para A∗ . entõ βν → 0 quando ν → +∞.130. que λ ∈ ρ(A∗ ) e. pois A + α0 I ´ um operador injetivo e. e Assim. 1 1 − α0 βν = λ + α0 ⇔ λ = . se u = 0 ´ tal que Au = λu. Seja {βν } a cole¸ao dos autovalores de e o c˜ 1 λ+α0 G(α0 ). λ + α0 = a 1 u (λ+α0 ) isto ´. −α0 nõ ´ a e a e valor pr´prio de A. e o (ii) Afirmamos que: {λ ∈ C. λ ´ valor pr´prio e o de A. Entõ. βν Reciprocamente. temos e = βν . βν (5. u = (A + α0 I)G(α0 )u = 1 (A + α0 I)u. Entõ. de maneira an´loga a o a a feita para A. λ = −α0 . Pelo que vimos anteriormente. mostra-se. Au + α0 u = (λ + α0 )u. respectivamente. temos que u = (λ + α0 )G(α0 )u e e portanto G(α0 )u = Logo. ou seja. equivalentes as equa¸oes a c˜ (l2 ) v − (α0 + λ)G∗ (α0 )v = G(α0 )f (l4 ) ψ − (α0 + λ)G∗ (α0 )ψ = 0.335) ´ uma valor pr´prio de G(α0 ). λ∈ 1 − α0 βν .336) 1 . ou seja. 1 (λ+α0 ) 1 u. isto o e a ´. Consequentemente. ou λ ∈ ρ(A∗ ) ou λ ´ valor pr´prio de A∗ . onde βν ´ a cole¸õ dos autovalores de G(α0 ) e ca = βν (5. λ+α0 para algum ν ∈ N. existe u = 0 tal que Au = λu} 1 − α0 βν . desta forma. seja λ ∈ C tal que exista u = 0 tal que Au = λu. Como e a que existe ν ∈ N tal que 1 λ+α0 ´ um autovalor de G(α0 ). onde βν ´ a cole¸ao dos autovalores de G(α0 ) . {βν } ´ no m´ximo enumer´vel. o que ´ um absurdo. se {βν } ´ enumer´vel temos que βν → 0 quando ν → +∞ e como e a |λν | = temos que |λν | → +∞. Logo. se λ ∈ ρ(A∗ ) ı resulta que (A∗ − λI)−1 ∈ Lc (H). possui. Supondo-se.337) e.139 Se A ´ o operador definido pela terna {V. (iii) Seja λν = 1−α0 βν . como os valores pr´prios de A sõ dados pela cole¸ao o e o a c˜ {λν }.337) fica provado (5. para todo ν.287) temos pela proposi¸õ 5. temos que os valores pr´prios de A∗ sõ dados pela cole¸ao {λν }. Au + α0 u = λu + α0 u se e somente se Au = λu. H. e para todo ν. portanto. quando ν → +∞. c˜ para cada ν. solu¸ao nõ nula e. a cole¸ao dos valores pr´prios de A ´ no m´ximo enumer´vel. para todo ν. o c˜ valor pr´prio de A∗ tal que λ = λν . Entõ. existe u = 0 tal que Au = λu e.334). entõ λ ∈ ρ(A) ou λ ´ valor pr´prio de ca a e o A. . a equa¸ao Au − λν u = 0. que (A−λI)−1 ∈ Lc (H). Logo. Al´m c˜ o e a a e disso. βν 1 1 1 − α0 βν 1 = − α0 ≥ − |α0 | = − |α0 | → +∞. por conseguinte. Suponhamos. Al´m disso. λ ∈ {λ ∈ C. Portanto. Mas. temos que λ = λν . consequentemente. existe u = 0 tal que Au = λu} . Isto conclui a prova. j´ o a c˜ a vimos que {λν } est´ contido no conjunto de valores de A∗ . temos que a equa¸ao c˜ a c˜ A∗ v − λν v = 0 possui. que exista λ ∈ C. βν βν βν |βν | (5. a cole¸õ {λν } ´ formada por c˜ a ca e valores pr´prios de A∗ .336) e (5. λ ´ autovalor de A. pelo Teorema 5. a cole¸ao dos valores pr´prios de A ´ dada por c˜ o e λν = 1 − α0 βν . a equa¸ao A∗ u − λu = 0 nõ o a c˜ a possui solu¸ao unica e pelo Teorema 5. na demonstra¸õ da referida proposi¸õ.339) De acordo com o ´ ıtem (ii). βν (5. Analogamente. v)} de acordo com ca e (5. Resta-nos provar que qualquer a valor pr´prio de A∗ pertence a {λν }. solu¸ao nõ nula.332)). que λ nõ fosse valor pr´prio de ca ca a o A obtńhamos. a(u. por contradi¸ao.130 temos que Au − λu = 0 possui solu¸ao nõ c˜ ´ c˜ a nula. ou seja.342 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` ou seja. Com efeito. como λ = λν .130.138 que se λ ∈ C. para cada ν. Combinando (5. (conforme (5.338) (5. e 2 Observa¸õ 5. o espectro cont´ e ı ınuo de A e o espectro residual de A sõ vazios. v)}. σ(A) ´ um conjunto e e discreto. a • De (ii) resulta que o espectro pontual de A (que ´ o conjunto dos valores pr´prios e o de A) nõ possui nenhum ponto de acumula¸õ finito. com α > 0 de modo que ı Re [a(v. v)} de acordo com ca (5. σ(A) nõ possui ponto de acumula¸õ finito e entõ. o a temos que existe ν0 ∈ N tal que |λν | > M . σ(A) = V P (A) e. a entõ. portanto. temos que para cada m ∈ N. u o (ii) Se {λν }ν∈N sõ os valores pr´prios de A correspondentes aos {ων }ν∈N . ca existe M > 0 tal que |γm | ≤ C. Seja a(u. entõ a o a c . Suponhamos. apenas um n´mero finito de λν possui m´dulo menor ou igual a M . Logo. que σ(A) possua um ponto de a ca acumula¸õ finito. nõ existe λ ∈ σ(A) a tal que A − λI ´ invers´vel. constitído por vetores pr´prios de A. existe {γm } ⊂ σ(A) e γ ∈ C tais que γm → γ. v)] ≥ ||v||2 . de acordo com a proposi¸õ 5. ca a ca a ´ formado apenas por pontos isolados. Considere A o operador definido pela terna {V.138. existe uma infinidade e de λν cujos m´dulos sõ menores ou iguais a M .˜ O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS NAO LIMITADOS 343 Observa¸õ 5. Teorema 5. | · |) espa¸os de Hilbert c tais que V ´ denso em H. v) + α0 (v. Em outras palavras. α ∈ R. Logo. v) uma forma sesquilinear.287). como |λν | → +∞. || · ||) e (H.141 (Teorema Espectral) Sejam (V. o que ´ uma u o e contradi¸õ. para todo m ∈ N. V → H e dim H = +∞. novamente. σ(A) infinito e assumamos. Por outro lado. e contńua e hermitiana em V tal que existem α0 . Com efeito. para todo v ∈ V. obtemos os seguintes a ca resultados: • De (i) vem que C = ρ(A) ∪ V P (A). onde V P (A) ´ o conjunto dos valores pr´prios e o de A e ρ(A) ∩ V P (A) = ∅. por conseguinte. enumer´vel. Assim. H. se σ(A) ´ finito. Desta forma. a(u. γm ´ um dos λν . Logo. Portanto. Por´m. como {γm } ⊂ σ(A) = e {λν }ν∈N . para todo ν ≥ ν0 e. Entõ. que e a denotaremos por {ων }ν∈N .140 Seja A o operador definido pela terna {V. H. a ca e nada temos a provar posto que todos os seus pontos sõ isolados. Entõ: a (i) A ´ auto-adjunto e existe um sistema ortonormal completo de H. por contradi¸õ. a(u. ν=1 +∞ λ2 |(u.344) resulta que A + α0 I = B = B ∗ = A∗ + α0 I e D(A∗ ) = D(B ∗ ) = D(B) = D(A).288).121 resulta e e e que D(D(B)) = H. u. pelo fato de a(u. v) = a(u. Entõ. B ´ sobrejetor. v).344) (5. ν=1 Demonstra¸õ: ca (i) Consideremos o operador B definido pela terna V. pois e e e b(u. v ∈ V. H. v) ser coercivo temos pela proposi¸ao 5.340) Al´m disso. v) = a(u. para todo u. Bv). v) = a(v. ou seja. temos que b(u. v) = b(v. u) = (u. +∞ ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` D(A) = Au = u ∈ H. al´m disso. (5. v) = a(u. u).301) temos que D(A) = D(B) e B = A + α0 I.342) . (5. b(u.117 segue que e a c˜ B ´ auto-adjunto .343) (5. v) + α0 (u.342). conforme (5. ων )ων . v) = b(u. e e Por outro lado. v) ser hermitiana. e (5. v) onde b(u. u) = b(v. u) = (Bv.340) e (5. v ∈ D(B). de (5. ων )|2 < +∞ . Assim. isto ´. por (5.343) e (5.341) De (5. Pelo fato de b(u. pela proposi¸ao 5. (5. para todo u. Tamb´m. v ∈ V. e D(A∗ ) = D(B ∗ ) e B ∗ = A∗ + α0 I. v) + α0 (u. v) + α0 (u.344 λν → +∞. ν λν (u. u) + α0 (v.341) temos que B ´ sim´trico. B = B ∗ .124 que c˜ D(B) ´ denso em H.290) e (5. para todo u ∈ D(A). v) tamb´m o ´. existe A∗ e. pelo Teorema 5. (Bu. Logo. 303) temos que o operador G(α0 ) = (A + α0 I)−1 ´ compacto e e D(G(α0 )) = H. e e G(α0 ) ´ um operador compacto.345) e resulta que G(α0 ) = [G(α0 )]∗ . Entõ. pois − α0 ∈ ρ(A)). βν (5. . e e (5. para algum ν ∈ N} = LG(α0 ) . para algum ν ∈ N} (5.˜ O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS NAO LIMITADOS 345 ou seja.322) e portanto c˜ temos v´lido o ´ a ıtem (ii) da proposi¸õ 5. donde u ∈ LG(α0 ) . [G(α0 )]∗ = (A∗ + α0 I)−1 com D([G(α0 )]∗ ) = H. ων ) ων = ν βν (u. e o a uma cole¸ao {ων } de correspondentes vetores pr´prios tais que c˜ o Se {βν } ´ enumer´vel. que cont´m todos os valores pr´prios de G(α0 ) (posto que todos eles sõ nulos) e. ela satisfaz (5. A ´ auto-adjunto. sim´trico e nõ nulo de H. e. ou seja. Tamb´m. u = (λν + α0 )G(α0 )u. Logo.350) 1 − α0 βν .348) Observamos que pelas caracter´ ısticas da cole¸ao {βν }. u = 0 tal que G(α0 )u = βν u.349) temos G(α0 )u = 1 1−α0 βν βν 1 u (λν = −α0 . Pelo Teorema 5. (5. De (5.346) (5. seja u ∈ LA . para todo u ∈ H. G(α0 ) ´ auto-adjunto e portanto sim´trico. (λν + α0 ) + α0 u = βν u. e a a {ων } ´ um sistema ortonormal completo de H. u = 0 tal que Au = λν u.345) Ademais. entõ |βν | ≥ |βν+1 | e βν → 0. ou seja.138. a (A + α0 I)u = (λν + α0 )u. A = A∗ . portanto. e G(α0 )u = ν (5. de (5.66 garantimos e e a a existˆncia de uma cole¸ao no m´ximo enumer´vel {βν } de valores pr´prios nõ nulos de e c˜ a a o a G(α0 ). Donde. u = 0 com Au = λν u. para algum ν. donde G(α0 u) = Desta forma.347) (G(α0 )u. de (5. Com efeito. ων )ων . isto ´. os autovalores do operador A sõ ca a dados por λν = Afirmamos que: LA = {u ∈ H.293) e (5.349) = {u ∈ H. ων ) = (G(α0 )ων .342) resulta e a que (G(α0 )f. se {ων } fosse finita ter´ a a ıamos [ω1 .347) e (5.353) (5. f ) = (v. βν o que prova que (5. u = 0 com G(α0 )u = βν u.347)) temos que βν = βν . Au = (1 − α0 βν ) u = λν u. temos por (5. (5. βν ∈ R. G(α0 )f = 0 e pondo G(α0 )f = v. e.346 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Reciprocamente. para algum ν. a Por´m. seja u ∈ LG(α0 ) . v) ≥ α||v||2 > 0. do fato que dimH = +∞ e [ων ] = H. para todo ν.349) que λν ∈ R. ωm ] = H. f ) > 0.349). u = βν (A + α0 I)u ⇒ u = βν [Au + α0 u] . Como α0 ∈ R. (A + α0 I)v) = (v. G(α0 )ων ) = βν (ων . ων ) = (βν ων . caso contr´rio. Sendo assim. e (ii) Observemos que pelo fato de G(α0 ) ser sim´trico. temos: e βν (ων . para todo f = 0. portanto u ∈ LA . para todo ν.352) (5. para todo ν. para todo ν. para todo ν. ou seja. de (5. temos que a cole¸õ {ων } ´ infinita e. Bv) = (Bv. .351) Al´m disso. · · · .350) temos que {ων } ´ um sistema ortonormal completo de H formado por e autovetores de A cujos autovalores associados sõ dados por (5. e ca e portanto. seja f = 0. ωm ] = [ω1 . portanto. enumer´vel pois. Entõ.350). (G(α0 )f. Entõ. o que implica que dimH < +∞ o que ´ um absurdo. Mas como |ων |2 = 1 (por (5. ων ). · · · . v) = b(u. ou seja. (βν − βν )|ων |2 = 0. ou seja. de (5. ων ) = (ων . a Logo. segue que. ν e. ων )ων . (5. ων )|2 < +∞. → +∞.37(5) vem entõ que a |Au|2 = ν λ2 |(u. ων ) e portanto. ων ) = βν |ων |2 . Aων ) = λν (u. a λ2 |(u. Entõ.357) Pelo fato de A ser auto-adjunto. assumamos que u ∈ H ´ tal que e ν λ2 |(u.354). ων )|2 . (5.354) 1 βν − α0 e de (5. se {βν } for uma cole¸õ infinita. ων )|2 < +∞.359) . Assim. ν (5. entõ.355) λν → +∞ quando ν → +∞. ων )|2 < +∞ . 0 < (G(α0 )ων . ων )ων . ν λ2 |(u. ν ν Por outro lado. como de (5. ων ) = (u. ν (5. ων ) = βν (ων .˜ O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS NAO LIMITADOS 347 Desta forma.349) λν = 1 βν (5. que D(A) = u ∈ H.37(3) resulta que Au = ν (Au.357) obtemos a Au = ν λν (u. seja u ∈ D(A). o que implica que βν > 0. substituindo tal expressõ em (5.356) De fato. ca Provaremos. Au ∈ H e pelo fato de {ων } ser um sistema ortonormal a completo de H temos pelo Teorema 5. para todo ν.358) Pelo Teorema 5.346) e (5. a seguir. para todo ν. (5. temos que (Au. {Sn }n ´ de Cauchy e. resulta que a m 2 m |Sn − Sm | = ν=n+1 2 λν (u. ων )ων = ν=n+1 λ2 |(u. para m. ων )ων . de e (5. quando n. G(α0 )g = u e como Im(G(α0 )) = D(A) segue que u ∈ D(A). ων )ων . ων )ων .360) = ν (λν + α0 )(u. 1 βν Como λν = 1−α0 βν βν temos que λν = − α0 o que implica λν + α0 = 1 .358) resulta que Au = ν λν (u.348 Seja n ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Sn = ν=1 λν (u. Logo. m → +∞.356). e e e como H ´ completo.360) obtemos ´ a g= ν 1 (u. Entõ. ων )ων (5. n ∈ N tais que m > n. 2 . ων )ων . Pondo g = z + α0 u. para todo u ∈ D(A). desta forma. Isto conclui a prova. ν 1 (u. Al´m disso. βν Substituindo esta ultim a expressõ em (5. entõ a g = ν λν (u.359) a s´rie ´ convergente. ων )|2 → 0. existe z ∈ H tal que e z= λν (u. ων )G(α0 )ων = βν (u. βν e pelo fato de G(α0 ) ser cont´ ınuo resulta que G(α0 )g = ν 1 (u. ων )ων = u. o que prova (5. ων )ων + ν α0 (u. ν uma vez que de (5. ων )βν ων βν = ν Assim. ων )ων . ˜ O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS NAO LIMITADOS 349 Como consequ encia do ´ ıtem (i) do Teorema 5. v). v). e c ca e Portanto. para todo v ∈ V. H. H. Considere A o operador definido pela terna {V. u) ≤ C2 |Bu| |u|. Temos 1 |u|2 ≤ C1 ||u||2 ≤ C1 b(u. Bv). v) = λ(ω. para todo u ∈ D(B). Notemos que em D(B) os seguintes produtos internos sõ equivalentes: a (u. equivalentemente. v)D(B) = (u. notemos inicialmente.364) c (5.142 ca Sejam (V. Portanto.364) sõ equiva alentes.363) e (5. a(u. V → H e c e dim H = +∞. pois pela proposi¸õ 5. cont´ ınua e hermitiana em V tal que existem α0 . α ∈ R. v)}. 2 2 2 2 ||u||2 D(B) = |u| + |Bu| ≤ (1 + C2 )|Bu| . (5.141 fica resolvido o problema de valores pr´prios e vetores pr´prios para A: o o ω ∈ D(A) Aω = λω. v) + α0 (v. que munido do produto interno dado em (5. onde b(u. v)] ≥ ||v||2 . Bv). com α > 0 de modo que Re [a(v. α o que implica |u| ≤ C2 |Bu|. Com a e c efeito. u) = C2 (Bu.363) (5. || · ||) e (H.361) (5. seja u ∈ D(B). se mostrarmos que os produtos internos dados em (5. v)1 = (Bu. o problema espectral: a(ω. Seja a(u. b(u. . v) + α0 (u. Observa¸õ 5. v)} e B o operador definido pela terna {V. ou. v) uma forma sesquilinear.124 temos que B ´ um operador fechado.362) Com efeito. entõ D(B) ´ um espa¸o de Hilbert munido com ambos produtos internos. (u.363) D(B) ´ um espa¸o de Hilbert. v) = a(u. para todo v ∈ V. v) + (Bu. | · |) espa¸os de Hilbert tais que V ´ denso em H. 141 resulta que existe uma cole¸õ enumer´vel {ων }ν . e portanto de B = A + α0 I. ·)2 = b(·. quando e ν → +∞. (ii) {ων }ν ´ um sistema ortogonal completo em D(B). Portanto. ca a formada por autovetores de A. se τν ´ infinito. para todo u ∈ D(B). De fato. como ων = 0. afirmamos que: Os produtos internos ((·. ·)) e (·. ·) definem normas equivalentes em V. Pelo ´ ıtem (i) do Teorema 5.364) e τν = |Bων |. ων ) = τν (ων . 2 ||u||D(B) ≤ 1 + C2 1/2 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` 2 |Bu| = 1 + C2 1/2 |u|1 .363) e (5. pela continuidade da forma b(u. portanto. Denotemos por {τν }ν . Temos o seguinte resultado: Proposi¸õ 5. para todo u ∈ D(B). Demonstra¸õ: (i) Temos que τν = λν +α0 .141) temos que τν → +∞. pois |ων | = 1. ων ) > 0 e τν → +∞. entõ λν tamb´m ca e a e o ´ e como λν → +∞ (pelo Teorema 5.350 donde. seja u ∈ V . ων ) = τν |ων |2 = τν . u). τν = b(ων . provar que {ων } ´ um e s e sistema completo em V . e |u|1 = |Bu| ≤ |u|2 + |Bu|2 1/2 = ||u||D(B) . Inicialmente. Assim. ων ) > 0 para todo ν. α (5.363) e (5. v) resulta que a ||u||2 ≤ 1 b(u. τν = b(ων . onde τν = λν + α0 . Tamb´m. os correspondentes autovalores de B. que constituem um sistema ortonormal completo de H.364).143 Nas condi¸˜es da observa¸õ 5. o que prova a equivalencia entre os produtos internos dados em (5. ou seja. as combina¸oes lineares finitas dos ων ´ um conjunto c˜ denso em V .365) . e e para todo ν. ων ) = (Bων . onde D(B) est´ munido com e a qualquer um dos produtos internos (5. segue que 0 < α||ων ||2 ≤ b(ων .142 resulta: ca co ca (i) {ων }ν ´ um sistema completo em V . Tamb´m. Resta-nos. Entõ. temos que τν (u. ·)2 . ων ) = 0 para todo ν e do fato de {ων } ser completo em H resulta que u = 0. 1 ||u|| ≤ C0 |u|2 . v) = τν (ων .367) (5.366) e (5. v ∈ D(B) tal que (ων . C0 = √ .368) o que prova a afirma¸ao em (5. a |u|2 ≤ C3 ||u||. a Seja. que (u. ωµ ) + (Bων . Como b(u. ωµ ) = (1 + τν τµ )(ων . C3 = C2 . Sendo τ + ν > 0. ων ) = (Bu. e sejam ν = µ. v). u) + α0 (u. ων ) = 0. ων )2 = 0 e para todo ν implica que u = 0. o que prova o desejado.˜ O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS NAO LIMITADOS 351 ou seja. (5. u)| + α0 |u|2 ≤ C1 ||u||2 + α0 |u|2 ≤ C2 ||u||2 . de (5. ωµ )D(B) = (ων .364) sõ equivalentes em D(B) e. ωµ ) + τν τµ (ων . ωµ ). Al´m disso.363) e (5. para todo u ∈ V. v) cont´ e ınua em V e pelo fato de V → H. Logo. o que mostra que {ων } ´ completo e e em D(B) munido de qualquer um dos produtos internos (5. a b(u. (ii) Temos que os produtos internos (5. Como {ων } ´ completo em H resulta que v = 0. Entõ. usaremos o crit´rio: (u. Logo. Para isto. entõ.363) e (5. u) ≤ |a(u. para todo ν. (5.366) Assim. u) = a(u. a portanto. sendo a(u. segue que (u. onde C1 e C2 sõ constantes positivas. v)1 = 0.364). ων ) = 0 para todo ν. Suponhamos. para todo ν.367) existem α1 . ων ) = 0 para todo ν. ων ) = (u. basta provarmos que {ων } ´ completo em c˜ a e V com V munido do produto interno (·. a 2 0 = (Bων . ων ). Bv) = τν (Bων .365). α2 > 0 tais que α1 ||u|| ≤ |u|2 ≤ α2 ||u||. Temos (ων . para todo ν. Bv) = τν (ων . entõ. α Al´m disso. obtemos b(u. se {ων } for completo em V com um dos produtos internos o ser´ com o outro. . Bωµ ) = (ων . Bων ) = τν (u. ou seja. v) = λ(w. a {ων } al´m de ser completo tamb´m ´ ortogonal em V pois se ν = µ vem que e e e ((ων . ||ων ||2 = τν = λν . ou equivalentemente.352 e ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` (ων . para todo ν. desta forma. ωµ ) = λν (ων . e {ων } ´ ortogonal em D(B) munido de qualquer um dos produtos internos (5. ωµ )1 = (Bων . (5. ωµ ). ωµ ) = (Aων . v) = ((u. v)} u(x) · 1 v(x) dx. ωµ )) = (Bων . Bων = τν .370) Seja Ω um subconjunto aberto limitado de Rn cuja fronteira deno- 1 taremos por Γ. ωµ )1 e. ων )) = τν (ων . Bων ) = τν (ων . v). Ademais. =1 =1 ou seja. para todo ν. ων ).369) (5. assim. Isto completa a prova. v)) = (Bu. 2 a Observa¸õ 5.364). v)) e α0 = 0.363) e (5. Como {ων } ´ ortogonal em H vem que (ων . v ∈ H0 (Ω). e Tamb´m e 2 2 2 |Bων |2 = (Bων . Logo. L2 (Ω). ωµ ) = τν |ων |2 = τν . v) := Ω (5. e ||ων ||2 = ((ων . e.144 ca Se a(u. para todo ν. ωµ ) = 0. para todo ν (j´ que τν > 0). entõ B = A e ((u.143 fica resolvido o problema de valores pr´prios e c˜ o e vetores pr´prios de B: o w ∈ D(B) Bw = τ w. u. Exemplos: Exemplo 4: onde a(u. Bωµ ) = τν τµ (ων . v). ωµ )D(B) = 0 = (ων . ων ) = λν (ων . Como consequˆncia da proposi¸ao 5. a(u.371) . o problema espectral a(w. Consideremos A o operador definido pela terna {H0 (Ω). para todo v ∈ V. v) = (Au. pois {ων } ´ ortogonal em H. aqui γ0 : H 1 (Ω) → e H 1/2 (Γ) ´ o operador tra¸o de ordem zero. vem do Teorema 5. e 1 {ων }ν∈N ´ um sistema ortogonal completo em H0 (Ω). v) define um produto interno em H0 (Ω) equivalente c ao produto interno induzido por H 1 (Ω).144 que existe uma sequˆncia {ων }ν∈N de autovetores de −∆ tal que: ca e {ων }ν∈N ´ um sistema ortonormal completo em L2 (Ω). v ∈ H0 (Ω). u. v) := Ω u(x) · 1 v(x) dx. L2 (Ω).143 e da c˜ observa¸õ 5. proposi¸ao 5. γ1 u = 0} e B = −∆ + I. v)L2 (Ω) e a(u. tem-se: ca D(B) = {u ∈ H 2 (Ω). ∆u ∈ L2 (Ω)} e A = −∆. tem-se ca 1 D(A) = {u ∈ H0 (Ω). se Ω possuir uma fronteira regular temos que γ0 w = 0. v) = a(u. Notemos ainda que ||ων ||D(−∆) = | − ∆ων |L2 (Ω) = λν |ων |L2 (Ω) = λν o que implica {ων }ν∈N ´ um sistema ortonormal completo em L2 (Ω). e ω 1 √ν ´ um sistema ortonormal completo em H0 (Ω). e {ων }ν∈N ´ um sistema ortogonal completo em D(−∆).141. e λν ν∈N Exemplo 5: Seja Ω um subconjunto aberto limitado bem regular de Rn e consideremos B o operador definido pela terna {H 1 (Ω).10. Al´m disso. b(u. Conforme visto no exemplo 3 da se¸õ 5. fica resolvido e H 0 o problema de valores e vetores pr´prios o w ∈ D(−∆) − ∆w = λw. Assim. e Al´m disso. v)+(u.˜ O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS NAO LIMITADOS 353 Conforme visto no exemplo 2 da se¸õ 5. v)} onde b(u. Desta froma. 1 1 Como H0 (Ω) → L2 (Ω) e a(u. fica resolvido o problema de e c Dirichlet − ∆w = λw w|Γ = 0. e λν ν∈N ων ´ um sistema ortonormal completo em D(−∆). λν = ||ων ||2 1 (Ω) > 0 e λν → +∞ quando ν → +∞. .10. para todo v ∈ V. ou seja. ων )L2 (Ω) = a(ων .Raiz Quadrada a No decorrer desta se¸ao estaremos supondo que V em H sõ espa¸os de Hilbert munidos c˜ a c com produtos internos ((·. ·)) e (·. λν = λν |ων |2 2 (Ω) = λν (ων . H. pelo Teorema Espectral. e . Logo.14 C´lculo Funcional . α ∈ R. v) ´ uma forma sesquilinear. a(u. cont´ e ınua e hermitiana em V × V . e como A = −∆. usando resultados de ca regularidade para solu¸˜es de problemas el´ co ıpticos (veja Br´zis [4]) resulta que o sistema e completo {ων } dos exemplos acima ´ tal que ων ∈ H m (Ω). ii) Existem α0 .290) resulta que ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` D(A) = D(B) e B = A + I.354 De (5. Al´m disso. Tamb´m.287)-(5. v) + α0 (v.145 Se Ω tiver fronteira bem regular. L Assim. Resulta da´ em virtude dos resultados de imersõ de Sobolev que ων ∈ C ∞ (Ω). ·). c˜ e e iv) A ´ o operador definido pela terna {V. existe uma sequˆncia {ων }ν∈N de autovetores de e e −∆ que cosnstituem um sistema ortonormal completo em L2 (Ω). digamos C ∞ . Observa¸õ 5. fica resolvido o problema de Neumann − ∆w = λw ∂ν w|Γ = 0. respectivamente. podemos escrever D(−∆) = {u ∈ H 2 (Ω). ı. v)] ≥ α||v||2 . a 5. fica resolvido o problema de vetores e valores pr´prios: o w ∈ D(−∆) − ∆w = λw. para todo ν ∈ N e para todo e m ∈ N. v)}. ων )L2 (Ω) = (Aων . iii) A inje¸ao de V em H ´ compacta e V ´ denso em H. ων ) ≥ 0. γ1 = 0}. e i) a(u. ων )L2 (Ω) = (λν ων . com α > 0 tais que Re[a(v. ων )|2 < +∞ . ων )ων . ν . ii) iii) e iv). ν=1 ∞ λ2m |(u. para todo u ∈ D(A). v)}.´ CALCULO FUNCIONAL . onde b(u. para todo ν ∈ N. Portanto. e para todo u. ν=1 ∞ λ2 |(u.146 Tem-se: ca ∞ D(Am ) = Am u = u ∈ H.RAIZ QUADRADA 355 v) B ´ o operador definido pela terna {V. e a Supondo que A e B estejam nas condi¸oes i). v) = a(u. {ων }ν∈N tamb´m forma uma cole¸õ de vetores pr´prios de B cujos valores e ca o pr´prios sõ τν = λν + α0 . ν λν (u. b(u. o b) Se {λν }ν∈N sõ os valores pr´prios de A correspondentes aos {ων }ν∈N . Demonstra¸õ: Para m = 1. o a Proposi¸õ 5. ων )|2 < +∞ . denotemos: ∞ Mm = u ∈ H. ν ν=1 onde m ∈ N. ca c˜ e a Para cada m ∈ N. o Teorema Espectral nos garante que c˜ a) A ´ auto-adjunto e existe um sistema ortonormal completo {ων }ν∈N de H constitu´ e ıdo por vetores pr´prios de A. v) + α0 (u. o que implica Bων = (A + α0 I)ων = Aων + α0 ων = λν ων + α0 ων = (λν + α0 )ων . H.v) acima. ν λm (u. v) + α0 (u. o Teorema Espectral nos diz que a proposi¸ao ´ v´lida. j´ vimos que B = A + α0 I. para todo u ∈ D(Am ). v). ∞ D(A) = Au = u ∈ H. ν=1 λ2m |(u. Assim. em virtude do Teorema c˜ Espectral que a) se verifica. ων )|2 < +∞ . v). Satisfeitas as condi¸oes i). Aων = λν ων . temos. v) = a(u. para todo ν ∈ N. entõ λν → a o a +∞. v ∈ V . ων )ων . ν=1 Se B ´ o operador definido por b(u. Temos. pois C ≥ 1. Com efeito. Am u ∈ H. com m ≥ 2. em virtude c˜ do Teorema Espectral que M1 ⊂ D(A). o que implica que E = {ν ∈ N. Suponhamos v´lida a inclusõ para m ≥ 2 e a a provemos que a inclusõ ´ v´lida para m + 1. ων )ων = ν=1 m (u. ν o que implica que u ∈ Mm . usando indu¸ao sobre m. isto ´. Mm+1 ⊂ D(Am+1 ). para todo ν ∈ E. Am−1 u ∈ D(A). por defini¸ao. Entõ.372) = ν=1 λm (u.356 Seja u ∈ D(Am ). Como {ων }ν∈N ´ um sistema ortonormal completo e A ´ auto-dajunto resulta que e e ∞ ∞ ∞ A u = ν=1 ∞ m (A u. u ∈ H e a c˜ ∞ λ2(m+1) |(u. λ2m < Cλν ν resulta que λ2m ≤ Cλ2(m+1) . ων )|2 < +∞.372) temos que ∞ |A u| = ν=1 m 2 λ2m |(u. para todo m ∈ N. ων )ων . Por outro lado. ων )|2 < +∞. para todo u ∈ D(Am ).373) Mostraremos. para todo u ∈ D(Am ). ν Pela identidade de Parseval e por (5. · · · . ´ um conjunto finito. seja a e a e u ∈ Mm+1 . ν ∈ E}. portanto. ν ν 2(m+1) 2(m+1) ≤ λ2m . para cada ν ∈ N. se ν = E. a ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` u ∈ D(A). ´ fćil verificar que λν e e a C = max{Cν . Da´ ı . pelo Teorema Espectral que λν → +∞ quando ν → +∞. (5. ν ν Mas. a λ2m ≤ Cλ2(m+1) . Contudo. para todo ν ∈ N. ν ν=1 (5.374) Temos. 0 ≤ |λν | ≤ 1} . para todo ν 2(m+1) ν ∈ N. Entõ. que Mm ⊂ D(Am ). λm ων )ων ν (5. temos que |λν | > 1 e. Seja . A ων )ων = ν=1 m (u. existe Cν ≥ 1 tal que λ2m ≤ Cν λν ν . Entõ. Au ∈ D(A). e consequentemente fica provado que D(Am ) ⊂ Mm . agora. temos a ∞ ∞ ∞ λm+1 (u. ων )|2 < +∞.375) = ν=1 λν (Am u. n → +∞. De fato. e de (5. Consequentemente e λν (A u.374) temos que n λ2(m+1) |(u. se k < n.RAIZ QUADRADA Assim.376) . da desigualdade acima e por (5. ν ν=1 Pelo ´ ıtem (ii) do Teorema Espectral temos que Am u ∈ D(A). Am ων )ων (5. λm ων )ων ν = ν=1 λν (u. ων )ων ´ convergente. basta mostrar que {Sn } ´ de Cauchy. u ∈ D(Am+1 ). u ∈ Mm . De (5. ∞ λ2 |(Am u. ων )|2 .374 podemos concluir que n 2 n ∞ ν=1 λν (Am u. ων )ων ν ν=1 = ν=1 ∞ λν (u. para todo m ∈ N.´ CALCULO FUNCIONAL . Mm ⊂ D(Am ).372) e (5. De fato. c˜ 2 (5. ων )ων ´ e ν convergente. donde {Sn } ´ de Cauchy. entõ e a |Sn − Sk | = ν=K=1 2 λm+1 (u. n → +∞. para se concluir que Sn = e c n 2 n λm+1 (u. ων )ων ν=k+1 m = ν=K=1 λ2 |(Am u. quando k. para todo m ∈ N. |Sn − Sm | → 0 quando k. n → +∞.374) ∞ ∞ 357 λ2m |(u. ων )ων . ων )2 | → 0 quando k. Do exposto e e de ()5.376) vem que Mm = D(Am ). ων )|2 → 0. isto ´.377) (5.377) segue a proposi¸ao. o que implicar´ que u ∈ D(Am+1 ). n ν=1 Como H ´ um espa¸o de Hilbert. ων )|2 ν ν=1 ≤C ν=1 λ2(m+1) |(u. ων )ων ν = ν=K=1 λ2(m+1) |(u. e da´ ı. consequentemente. ν e. ων )|2 < +∞. ν ou seja. ν Por (5. o a Resta-nos provar que Am u ∈ D(A). Pela hip´tese indutiva resulta entõ que u ∈ D(Am ). ν ν=K=1 Portanto.373) e (5. u) λν (u. tomando n An u = ν=1 λν (u. ων ) = ν=1 = ν=1 n λν (u. u) ≥ 0. pois A0 u = u. Assim. = ν=1 Consequentemente. uν ) = λν (uν . pois λν ≥ 0. para todo ca e u ∈ D(R). u) ≥ 0 para todo ca u ∈ D(A). (Au. para todo ν ∈ N. n→+∞ lim (An u. Entõ. A ´ ca ca ca a e positivo se. do fato que a 0 ≤ (Auν .147 ca ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` Faremos a conven¸õ A0 = I. ων )ων . sabemos que ∞ Au = ν=1 λν (u. ων )|2 ≥ 0. e somente se. u) = ν=1 n λν (u. ou seja. D(A0 ) = H e ca ∞ A0 u = ν=1 (u. (⇐) Reciprocamente. a a ν Defini¸õ 5.149 Seja A o operador definido na introdu¸õ desta se¸õ. suponhamos que λν ≥ 0. Proposi¸õ 5. =1 resulta imediatamente que λν ≥ 0 para todo ν ∈ N. λν ≥ 0. u λν (u. Note que λν pode ser zero e quando isto acontece nõ est´ definido λ0 . obtemos n n (An u. ων )ων . u) ≥ 0. ων )ων .148 Um operador R de H ´ denominado positivo se (Ru. Provaremos que (Au. . ων )ων . ων )(u. Demonstra¸õ: (⇒) Suponhamos que A seja positivo. ων )|(u. para todo ν ∈ N e considermos u ∈ D(A). u) ≥ 0.358 Observa¸õ 5. para todo ν ∈ N. de fato. Agora. uν ) = λν |uν |2 . Entõ. ων )(ων . u). Definamos o seguinte operador: C = a0 I + a1 A + · · · + ak Ak . D(ak Ak ) = D(Ak ). Afirmamos que: ∞ D(C) = Notemos que u ∈ H. u)| ≤ |An u − Au| |u| → 0 quando n → +∞. Al´m disso. u) = (Au. pois D(a0 I) = H. · · · . (5. · · · . e 2 Vamos dar um exemplo para motivar a defini¸ao que vir´ a seguir. ν=1 ∞ λ2 |(u. ak n´meros reais positivos ou nulos. e. (Au. isto ´. Pela artitrariedade de u ∈ D(A) segue que (Au. ν=1 p(λν )2 |(u. u) ≥ 0 e para todo u ∈ D(A). k}. ων )|2 < +∞ .´ CALCULO FUNCIONAL . ων )|2 < +∞ . a1 . ων )|2 < +∞ ν u ∈ H. Com efeito. temos |(An u. A ´ positivo. u)| = |(An u − Au. ν .RAIZ QUADRADA ou seja. ων )|2 ν < +∞. u) − (Au. com a0 . 1. observemos que e D(a1 A) = D(A). ν=1 λ2k |(u. u e ak = 0. Consideremos p:R→R λ → p(λ) = a0 + a1 λ + · · · + ak λk . · · · .378) D(C) = D(a0 I + a1 A + · · · + ak Ak ) = D(a0 I) ∩ D(a1 A) ∩ · · · ∩ D(ak Ak ) = D(a1 A) ∩ · · · ∩ D(ak Ak ). D(C) = D(A) ∩ · · · ∩ D(Ak ) ∞ ∞ = = u ∈ H. ai ≥ 0 para todo i ∈ {0. ν=1 λ2k |(u. ii). o que prova a convergˆncia acima. · · · . ou seja. u) ≥ 0 posto que n→+∞ 359 lim (An u. c˜ a Exemplo 1: Seja A um operador satisfazendo i). iii) e iv) e assumamos que A ´ e positivo. portanto. notemos que [p(λν )]2 = = = a0 + a1 λν + · · · . u ∈ H tal que ∞ p(λν )2 |(u. ων )|2 k ν 0 1 ν ∞ = 2k a2 0 ν=1 |(u. ων )|2 ≤ k ν ν=1 ν=1 p(λν )2 |(u. agora. ων )| + 2 ν=1 ∞ k 2 2 a1 ν=1 |λ2 (u. ν=1 [p(λν )]2 |(u.360 Por outro lado. p(λν )2 = a0 + a1 λν + · · · + ak λk ν 2 ≥ a2 λ2k . 0 1 ν k ν + 22 (ak−1 λk−1 )2 + 22 (ak λk )2 ν ν Do exposto acima e se u ∈ D(C) resulta que ∞ ∞ [p(λν )] |(u. ν ν=1 . ν=1 Ora. ων )|2 < +∞. +ak λk ν 2 ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` a0 + a1 λν + · · · + ak−1 λk−1 + ak λk ν ν a0 + a1 λν + · · · + ak−1 λk−1 ν 2 2 2 + 2ak a0 + a1 λν + · · · + ak−1 λk−1 λk + (ak λk )2 ν ν ν + 2(ak λν )2 2 ≤ 2 a0 + a1 λν + · · · + ak−1 λk−1 ν ≤ 22 a0 + a1 λν + · · · + ak−2 λk−2 ν ≤ 2k a2 + a2 λ2 + · · · + a2 λ2k . ων )|2 . por hip´tese. ∞ λ2k |(u. ou seja.379) Seja. ων )|2 < +∞ . (5. ων )| ≤ 2 ν=1 ∞ 2 2 k a2 + a2 λ2 + · · · + a2 λ2k |(u. pois ak = 0. ν o que implica que ∞ D(C) ⊂ u ∈ H. ων )|2 ν + ··· + a2 2k k ν=1 |λ2k (u. para todo ν ∈ N. Da´ segue que o ı ∞ ∞ a2 λ2k |(u. ων )|2 < +∞. k ν pois λν ≥ 0 e ak > 0. ων )|2 < +∞. ων )ων ν p(λν )(u. e. ν=1 Proposi¸õ 5. mostra-se que ∞ λ2i |(u.150 Seja h(λ) uma fun¸õ qualquer de R em R. a seguir que ∞ Cu = ν=1 p(λν )(u. ων )ων ν = ν=1 ∞ a0 + a1 λν + · · · + ak λk (u. ων )ων + a1 ν=1 λν (u. ν ν=1 o que implica que u ∈ C. Definimos h(A) como o ca ca operador de H com domńio ı ∞ D(h(A)) = h(A)u = u ∈ H. ων )ων + · · · + ak ν=1 λk (u.381). ν=1 ∞ [h(λν )]2 |(u. ων )|2 < +∞ ⊂ D(C). para todo u ∈ D(C).381) Com efeito. ων )ων . A partir da´ usando o mesmo racioc´ aplicado na proposi¸õ ı. ων )|2 < +∞. ν=1 = o que prova (5. h(λν )(u.RAIZ QUADRADA 361 Como λν → +∞ quando ν → +∞.151 h(A) ´ um operador auto-adjunto de H.380) De (5.146. ων )ων . Defini¸õ 5. portanto.379) e (5. (5. ınio ca 5. ων )ων . (5. ∞ u ∈ H.´ CALCULO FUNCIONAL . ca e .146 podemos escrever c˜ Cu = a0 I + a1 A + · · · + ak Ak u = a0 u + a1 Au + · · · + ak Ak u ∞ ∞ ∞ = a0 ν=1 ∞ (u. para todo u ∈ D(h(A)). ων )|2 < +∞ . pela proposi¸ao 5. existe somente um n´mero finito de ´ u ındices ν ∈ N satisfazendo 0 ≤ |λν | ≤ 1. Provaremos.380) resulta (5.378). para todo 1 < i ≤ k. ν=1 [p(λν )]2 |(u. pois. αu + βv ∈ H.384) h(A)(αu + βv) = ν=1 ∞ h(λν )(αu + βv.384) tem sentido falarmos no operador adjunto [h(A)]∗ . e Afirmamos que h(A) ´ um operador linear. Como H ´ um espa¸o a e c vetorial. D(h(A)) cont´m o conjunto W e e c e de todas as combina¸oes lineares finitas dos ωνs . note que ων ∈ D(h(A)). ων )ων h(λν ) [α(u. Sejam u. ων ) + β(v. ων )| + 2|β| 2 2 [h(λν )]2 |(v. ων )ων + β ν=1 ν=1 h(λν )(v. ων )] ων ν=1 ∞ ∞ = = α h(λν )(u. Mostraremos primeiramente que h(A) ´ sim´trico.383) e (5.385) . ων )|2 < +∞. Por outro lado. por´m fixado. ων ) + β(v. ων )ων = αh(A)u + βh(A)v. n=1 Al´m disso.384).383) (5. para cada ν ∈ N arbitr´rio.362 Demonstra¸õ: ca ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` ´ Notemos inicialmente que D(h(A)) ´ um subespa¸o linear de H. o que implica que αu + βv ∈ D(h(A)). E e c fćil ver que 0 ∈ D(h(A)). ων )| = ν=1 ∞ ν=1 2 2 [h(λν )]2 |α(u. tem-se a e ∞ (5. β ∈ C. ∞ (5. sejam u. o que prova (5. ων )|2 ∞ 2 ν=1 ≤ 2|α| 2 ν=1 [h(λν )] |(u. ωn )|2 = [h(λν )]2 < +∞. Sendo {ων }ν∈N completo em H resulta c˜ que W = H e. ∞ ∞ [h(λν )] |(αu + βv. e Com efeito. v ∈ D(h(A)) e α. De (5.382) [h(λn )]2 |(ων . como D(h(A)) ´ um subespa¸o vetorial. Temos. Logo. para todo ν ∈ N. v ∈ D(h(A)) e α. consequentemente D(h(A)) ´ denso em H. β ∈ C. e e (5. ων )ων = h(λν )(u. v ∈ D(h(A)). para todo k ∈ N. v ∈ D(h(A)). v ν=1 ∞ = ν=1 ∞ (u. v ∗ )|2 = |(v ∗ . ωk )|2 = |(ωk . ων )(ων .387) u. v) = (u.388) h(λν )(u.RAIZ QUADRADA ou seja. v) = (u. h(A)v) = = ν=1 h(λν )(u. Logo. para todo u.386) e (5. ων )(ων . v) = ν=1 ν=1 (u. Temos ∞ ∞ 363 (h(A)u. v) = (ωk . para todo k ∈ N. v ν=1 ∞ = ν=1 ∞ h(λν )(u. para todo u ∈ D(h(A)). pela defini¸ao de D([h(A)]∗ ). ων ) ν=1 (5. v ∗ ). v ∗ ). |h(λk )|2 |(v. ωk )|2 . ων )ων . o que prova que h(A) ´ sim´trico. v ∗ ). v) = (u. ων )(ων . ων )ων . Provaremos. para todo u ∈ D(h(A)). Se v ∈ D([h(A)]∗ ). obtemos ´ h(λk )(ωk . ou ainda. h(λν )(u. a seguir. v). . ν=1 ∞ h(λν )(v. h(A)v). Comparando (5. h(λν )(v. Sejam u.´ CALCULO FUNCIONAL . ων )(u.386) (5. D(h(A)) ⊂ D([h(A)]∗ ) e h(A)u = [h(A)]∗ u. Fazendo u = ωk nesta ultima igualdade. ων )(ων . para todo u ∈ D(h(A)). v).388) conclu´ ımos que (h(A)u. ων )ων . v ∗ para todo u ∈ D(h(A)). que e e D([h(A)]∗ ) ⊂ D(h(A)). ∞ ∞ (5. existe v ∗ ∈ H tal que c˜ (h(A)u. 364 Como v ∗ ∈ H. e 2 . ν=1 o que prova que v ∈ D(h(A)) donde se conclui (5. o que finaliza a prova. ων )|2 < +∞. Do exposto fica provado que h(A) ´ auto-adjunto. ων )|2 < +∞. e da´ e da identidade anterior a esta segue que ı ∞ [h(λν )]2 |(v.388). por Parseval temos que ∞ ´ INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL ¸˜ ` |v| = ν=1 2 |(v ∗ . 1.3. Foundations of Modern Analysis. Topological Vector Spaces and Distributions. reading. Livre V. Differential equations on convex sets. e e Fourier I (1949). 396-414. G. 365 . a a [12] J. cavalcanti e V. Recent Developments in the Theory of Locally Convex Vector Spaces.2 et 9.Bibliografia [1] G. Paris. Academis Press (1960). Crandall. Japan 22 (1970). UFRJ. 1989 (1-191). 1. Textos Matem´ticos do IM-UFRJ. Livre III. Thòrie et applications. [7] B. M.UEM. Massachusetts (1966). Gomes. Topologie Gń´rale. 495-512. Springer-Verlag. J.2. Herman. Math. Notes in Math.4 et 5. [11] A. I. (1953-1961) [4] H. Ch. Imc pressos do Departamento de Matem´tica . No 992. 1987. Soc. [8] J. Schwartz. Domingos Cavalcanti Espa¸os Localmente Convexos. MASSON. Bourbaki. 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