AMATGERAL

March 25, 2018 | Author: Equipe Gabaritocerto | Category: Exponentiation, Trigonometry, Equations, Set (Mathematics), Triangle
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RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOSRACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICA FÍSICA/QUÍMICA E–mail [email protected] Envie suas dúvidas e questões para [email protected] e saiba como receber o GABARITO comentado. PEDIDOS DE APOSTILAS E GABARITOS COMENTADOS [email protected] [email protected] [email protected] ORKUT http://www.orkut.com/Profile.aspx?uid=13411604059576539391 BLOG www.gabaritocerto2.blogspot.com Home Page www.gabaritocerto.com.br Telefone para contato: (21) 98371118 CODIGO DA APOSTILA AMATGERAL NOSSOS LINKS E E-MAILS Nosso e-mail no Yahoo: [email protected] Nosso MSN [email protected] Home Page www.gabaritocerto.com.br Blog do Gabaritocerto: www.gabaritocerto2.blogspot.com/ Nosso e-mail no terra: [email protected] Nosso Orkut: http://www.orkut.com/Profile.aspx?uid=13411604059576539391 PROF. ANTONIO TENHA AULA ON LINE DESSA APOSTILA PELO MSN Estamos no Msn ([email protected]) Estamos on line todos os dias no período de 09:00 h às 11:00h e 21:00h às 23:00h PARA AGENDAR SUA AULA ON LINE Como receber o Gabarito Comentado de todas as questões dessa Apostila? Veja como em nosso Blog www. gabaritocerto2.blogspot.com/ ou envie e-mail para [email protected] ou [email protected] DIVULGUE ESTA OPORTUNIDADE PARA OUTRAS PESSOAS RECORTE O ANÚNCIO ABAIXO E AFIXE EM LOCAL DE DIVULGAÇÀO (ESCOLA, IGREJA, CONDOMÍNIO, ETC) Desde já, agradeço. ––->–––––->–––––->–––––->–––––->–––––->––– RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICA FÍSICA QUÍMICA Questões resolvidas e explicadas pela Internet. 1° e 2° graus, Supletivo, Reciclagem Vestibular, Concursos Públicos RECEBA APOSTILA COM QUESTÕES DE MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO SOLICITE PELO E–MAIL ABAIXO - [email protected] ou on line pelo MSN [email protected] nosso Blog www.gabaritocerto2.blogspot.com PROF. ANTONIO RECORTE E DIVULGUE. Desde já agradecemos. Equipe gabaritocerto & Prof. Antonio CONVITE Seja um participante desta Equipe. Ganhe dinheiro editando, resolvendo e comentando questões de matemática, física, química e outros assuntos e/ou disciplinas. Ganhe dinheiro editando apostilas. Saiba como participar Envie e–mail para nossa Equipe com a seguinte frase: "Solicito informações de como participar da Equipe Gabaritocerto" A quem dedico este trabalho. Dedico este trabalho a meu pai Que com inteligência e racionalidade Combateu e venceu. Antonio dos Santos 1 [email protected] Em cada questão segue discriminado o assunto. Assim fica mais fácil estabelecer uma relação entre as questões cobradas em prova e o programa. Essas são as questões da Prova Amarela 2006 1] Assunto: Prop. Potenciação, Radiciação Solução comentada: O Radical, na verdade, é uma potência de expoente fracionário: d n d n K K · Observe que a base K é elevada a uma potência fracionária cujo numerador representa o expoente do radicando e o denominador o índice do radical. Para decorar mais facilmente, pense assim. Apareceu um radical, podemos transformar numa potência. Observe que antes, o “d” estava no “sol” ou seja fora, na transformação ele vai para a “sombra” ou seja, para o denominador. O “n” estava na “sombra”, ou seja dentro do radical, na transformação ele vai para o “sol”, ou seja, para o numerador Então pense assim: O radical é uma potência de expoente fracionário no qual: “Quem está no sol, vai pra sombra e quem ta na sobra vai pro sol” É um método divertido para decorar! Mas vc pode encontrar seu próprio método. Ok Vamos resolver... Transformando ( ) 3 4 3 3 4 3 4 2 8 8 − − − · · Veja que transformamos o radical em potência e fatoramos o valor 8. Agora estamos diante de potência de potência. Aplicando a propriedade, multiplicaremos os expoentes e mantemos a base, logo: ( ) 4 3 4 3 3 4 3 3 4 3 4 2 2 2 8 8 − , ` . | − ⋅ − − − · · · · Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 2 [email protected] Estamos com o resultado que se trata de uma potência com o expoente negativo! Ora, uma potência com expoente negativo pode ser representada como uma fração cujo numerador vale 1 e o denominador a própria potência com o expoente positivo. Assim: ( ) 4 4 3 4 3 3 4 3 3 4 3 4 2 1 2 2 2 8 8 · · · · · − , ` . | − ⋅ − − − Resolvendo a potência encontrada no denominador, teremos: ( ) 16 1 2 1 2 2 2 8 8 4 4 3 4 3 3 4 3 3 4 3 4 · · · · · · − , ` . | − ⋅ − − − Logo, a resposta é a letra A 2] Assunto: Equação da reta, noção de paralelismo e perpendicularidade entre retas, coeficiente angular da reta. Solução comentada: São dadas as equações na forma geral de duas retas: 0 3 ky x · − + (reta s) 0 5 y x 2 · + − (reta t) A fim de identificarmos o COEFICIENTE ANGULAR de cada reta, m s e m t devemos reescrever as equações na forma REDUZIDA (y = ax + b) Determinando o coeficiente angular da reta s k 3 x k 1 y k 3 k x y 3 x ky 0 3 ky x + − · ⇒ ⇒ + − · ⇒ + − · ⇒ · − + Assim, podemos identificar o coeficiente angular da reta s, cujo valor é o coeficiente de x, que no caso acima vale k 1 m s − · Determinando o coeficiente angular m t da reta t Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 3 [email protected] 5 x 2 y 5 x 2 y 0 5 y x 2 + · ⇒ − − · − ⇒ · + − Assim, podemos identificar o coeficiente angular da reta t, cujo valor é o coeficiente de x, que no caso acima vale 2 m t · Ora, para que as retas sejam paralelas é necessário que seus coeficientes angulares sejam iguais t s m m · 5 , 0 k 2 1 k 2 k 1 − · ⇒ − · ⇒ · − Resposta: Item B 3] Assunto: Progressão Aritimética. Solução comentada: A LEI DE FORMAÇÃO de uma PA, pode ser estabelecida. Sendo: a k o termo da posição k; CUIDADO!!! Geralmente os livros apresentam a 1 ao invés de a k ou seja definem k = 1. O cálculo com a 1 não está errado, porém a fórmula fica AMARRADA no conhecimento do PRIMEIRO TERMO, ao passo que a k . deixa voce livre para trabalhar com qualquer termo da progressão. a n o termo da posição n; r, a razão n, a posição do termo a n k, a posição do termo a k Podemos escrever a Lei de formação do termo n a de uma PA é dada por: ( ) r . k n a a k n − + · A fórmula que estabelece a soma dos termos de uma PA é dada por: ( ) 2 n a a S n 1 n + · Ora, o problema informa o valor da soma dos seis primeiros termos da PA. Assim podemos escrever que: Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 4 [email protected] ( ) ( ) ( ) ( ) 42 a a 3 126 a a a a 3 126 2 6 a a S 6 1 6 1 6 1 6 1 6 · + · + + · ⋅ + · Mas também informa que ( ) 20 a a 1 6 · − Assim temos um sistema de equações: ( ) 20 a a 1 6 · − ( ) 42 a a 6 1 · + Somando-se as duas equações teremos: ( ) 62 a 2 6 · ( ) 31 2 62 a 6 · · Mas como: ( ) 42 a a 6 1 · + , teremos que ( ) 42 31 a 1 · + ( ) 31 42 a 1 − · ( ) 11 a 1 · Resposta: Item E Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 5 [email protected] 4] Assunto: Conjuntos, subconjuntos, complementar Solução comentada. A’ e B’ são os complementares de A e B respectivamente. E o que vem a ser COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO? Bem, o complementar do conjunto A no Universo U, é o conjunto de todos os elementos do Universo que não pertencem ao conjunto A. Veja o diagrama abaixo. A área cinza, representa o Conjunto complementar de A, no Universo. Da mesma forma, o complementar do conjunto B no Universo U, é o conjunto de todos os elementos do Universo que não pertencem ao conjunto B. Assim, posicionando os dois diagramas teremos. Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com U A’ A U B’ B 6 [email protected] ( ) ( ) ´ B A B A ∩ ∪ ∩ Ora, pelo diagrama sabemos que: ( ) ∅ · ∩B A (vazio) e ( ) A ´ B A · ∩ , pois o conjunto A é subconjunto de B´ Assim, substituindo os valores na expressão: ( ) ( ) A A ´ B A B A · ∪ ∅ · ∩ ∪ ∩ Resposta: Item C 5] Assunto: Trigonometria Solução comentada: Sen 2 x + Cos 2 x = 1 (Relação fundamental da Trigonometria) e Sen (a+b) = Sen a . Cos b + Sen b . Cos a Mas se a=x e b=x, teremos Sen (2x) = Sen x . Cos x + Sen x . Cos x Sen (2x) = 2Sen x . Cos x Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com U B’ A B A’ 7 [email protected] Precisaremos determinar o valor de sen x. 1 x cos x sen 2 2 · + ( ) 1 8 , 0 x sen 2 2 · + 1 64 , 0 x sen 2 · + 6 , 0 36 , 0 64 , 0 1 senx · · − · Substituindo-se os valores de senx e cosx em: Sen (2x) = 2Sen x . Cos x Teremos ( ) 0,96 8 , 0 . 6 , 0 2 x 2 sen · ⋅ · Resposta: Item E 6] Progressão Geométrica Solução comentada: Trata-se de uma progressão geométrica onde a razão vale q=2. O valor k representará a quantidade de termos da progressão, sendo que o primeiro termo vale 8, pois esse é o primeiro valor que se pode representar após o 5, na forma 2 n , pois 2 3 = 8. O número que se aproxima de 5000 na forma 2 n é o valor 4096 que na forma exigida apresenta-se como 2 12 Assim, utilizando a fórmula geral do termo da PG, teremos 10 n 9 1 n 2 2 2 512 2 8 4096 2 8 4096 q a a 1 n 9 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n · ⇒ · − ⇒ · ⇒ ⇒ · ⇒ · ⇒ ⋅ · ⇒ ⋅ · − − − − − Resposta: Item C Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 8 [email protected] 7] Análise Combinatória Solução comentada: Ora, a senha começa com 6 e não há algarismos repetidos. Sendo assim só restam 9 algarismos para posicionar em 4 posições. Todavia o problema afirma que o algarismo 7 está presente! Logo teremos 8 algarismos para combinar em 3 posições: C 8,3 , como o algarismo 7 pode ocupar qualquer das 4 posições restantes, devemos multiplicar o resultado obtido em C 8,3 por 4. Assim, teremos ( )! p n !. p ! n C p , n − · ( ) ( ) 224 56 4 1 . 2 . 3 6 . 7 . 8 4 ! 3 8 !. 3 ! 8 4 C 4 3 , 8 · ⋅ · , ` . | · , ` . | − · Resposta: Item B Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 9 [email protected] 8] Geometria, Volume da Pirâmide, Teorema de Pitágoras Solução comentada Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base. Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc Ora, se a base da pirâmide é um quadrado de lado L, então a diagonal da base vale 16 2 2 8 2 L · ⋅ · . Pela figura acima notamos que a altura da pirâmide é na verdade um dos catetos do triângulo retângulo, formado pela metade da diagonal da base e pela aresta lateral da pirâmide que faz o papel de hipotenusa. Assim aplicando o teorema de pitágoras podemos determinar a altura h da pirâmide. ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ − · ⇒ − · ⇒ · + 64 289 h 8 17 h 17 h 8 2 2 2 2 2 2 2 15 h 225 h 225 h 2 · ⇒ · ⇒ · ⇒ , Assimo volume da pirâmide é dado por: h . A 3 1 V base · ( ) 640 15 . 2 8 3 1 V 2 · ⋅ · Resposta: Item B Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 10 [email protected] 9] Assunto: Permutação, Análise combinatória, Raciocinio Lógico. Solução comentada. Ora, as 28 peças são distintas, logo podemos imaginar a quantidade de permutações dessas 28 peças como sendo um anagrama de uma palavra de 28 letras, sem repetição. Que gera os 28! Como essa quantidade será repartida entre quatro (4) jogadores teremos uma combinação dada por C 28,4 , logo: ( )! p n !. p ! n C p , n − · ( ) ( ) , ` . | · ! 24 !. 4 ! 28 C 4 , 28 Resposta: Item B Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 11 [email protected] 10]Assunto cobrado: Estudo da reta no plano, Alinhamento de tres pontos. Solução comentada: A condição necessária para que três pontos estejam alinhados (colineares) é dado pelo determinante: 0 1 y 1 1 1 3 1 8 0 · Aplicando a regra de sarrus, Repetimos as duas primeiras colunas.... 0 y 1 1 3 8 0 1 y 1 1 1 3 1 8 0 · Multiplicamos os elementos da diagonal principal Teremos aí as seguintes parcelas: (0 + 8 + 3y) Agora procedemos com os elementos da diagonal secundária: Teremos aí as seguintes parcelas: (1 + 0 + 24) Estabelecemos a equação (0 + 8 + 3y) - (1 + 0 + 24) = 0 (0 + 8 + 3y) - (1 + 0 + 24) = 0 3y – 17 = 0 Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 12 [email protected] 5,666... 3 17 y · · Resposta: Item D 11]Assunto cobrado: Análise combinatória, Raciocínio Lógico aplicado à formação de grupos. Solução: Como o máximo de letras numa palavra é igual a 6 e no curso da palavra pode haver repetição dos sinais (. e - ), teremos: Quantidade de palavras distintas é igual a: 64 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 · Resposta: Item C Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 13 [email protected] 12]Propriedade do termo equidistante da Progressão geométrica. Solução comentada: Podemos escrever nossa PG da seguinte forma: 2 3 2 1 q . x a q . x a x a · · · Como nosso terceiro termo é a metade da razão, teremos q . x 2 1 q . x q 2 1 2 · ⇒ · Ora, acabamos de encontrar o valor do segundo termo 2 a 2 1 · Pela propriedade de termos equidistantes numa PG, podemos escrever que: 3 1 3 1 2 a . a 2 1 a . a a · ⇒ · Dessa expressão, tiramos o produto entre 3 1 a . a 4 1 a . a 2 1 a . a a . a 2 1 3 1 2 3 1 3 1 · ⇒ , ` . | · ⇒ · Podemos então escrever que: 8 1 2 1 4 1 a a a 2 3 1 · ⋅ · ⋅ ⋅ Resposta: Item D Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 14 [email protected] 13]Assunto cobrado: Distância entre pontos, Equação da Reta Solução comentada. A bissetriz traçada nos quadrantes pares é uma reta s dada por: y = -x A reta t perpendicular a s que passa pelo ponto (0,-4) é dada por: y = mx+b Sabemos que o produto dos coeficientes angulares de duas retas perpendiculares é igual a -1, logo podemos escrever que: -1. (m) = -1, logo m = 1 Assim a reta t toma a seguinte configuração y = x+b Substitindo os valores de P (0, -4) na equação da reta em t, teremos o valor de b, -4 = 0 + b, logo b = -4 Assim a reta t é dada por y = x – 4 Determinemos a abscissa do ponto de intersecção de s e t igualando as equações. -x = x – 4 2x = 4 x = 2, logo y = -2 Assim o ponto de interseção entre as retas é o ponto I (2, - 2) A distância entre P e I será dada por ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 y y x x ) PI ( d − + − · ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 , 2 2 2 8 2 2 2 4 2 0 ) PI ( d 2 2 2 2 · · · − + · − − − + − · Resposta: Item B 14]Teoria dos conjuntos, Quantidade de subconjuntos em um conjunto de n elementos Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 15 [email protected] Solução comentada: Como P e Q tem apenas um elemento em comum, podemos afirmar que ( ) 1 Q P n · ∩ , significando que o número de elementos na interseção dos conjuntos é igual a 1. Chamemos de p a quantidade de elementos no conjunto P e de q a quantidade de elementos em Q. Foi informado que o número de subconjuntos de P é igual ao dobro do número de subconjuntos em Q. Ora, representado a quantidade de subconjuntos em P por S p e em Q por S q , teremos p P 2 S · q q 2 S · Mas 1 q p 2 2 2 . 2 2 S 2 S 1 q p q p q P + · ⇒ · ⇒ · ⇒ · + (I) Ora, a quantidade de elementos na união de P e Q, será dada por 1 q p − + Assim, utilizando o resultado em (I), somamos (q-1) em ambos os membros da igualdade em (I) 1 q 1 q 1 q p − + + · − + q 2 1 q p · − + (II) A expressão em (II) demonstra que a quantidade de elementos na união é sempre igual ao dobro de elementos encontrados no conjunto Q. Resposta: Item E 15]Juros simples, Progressão Aritmética Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 16 [email protected] Solução comentada: Os juros foram Total = T = 672 Entrada = E = 112 672 6 1 · Restante = R = 672 – 112 = 560 Ora, o problema tem início aqui, numa PA de razão r = 40 cuja soma dos termos (S n ) é igual a 560. A fórmula do termos geral da PA é dada por r ). 1 n ( a a 1 n − + · Resolvendo para a 1 , pois precisaremos dessa expressão, no futuro. 1 n a r ). 1 n ( a · − − Equação I A fórmula da Soma dos termos de uma PA crescente é dada por: ( ) 2 n a a S n 1 n + · Equação II Ora, o que queremos é o valor de a n que no caso é o valor de a 4 ou seja a quarta parcela. Substituindo na equação II o valor de a 1 encontrado na equação I, teremos: ( ) ( ) 2 n a r ). 1 n ( a S 2 n a a S n n n n 1 n + − − · ⇒ + · , substituindo os valores fornecidos no problema, teremos: Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 17 [email protected] ( ) ( ) ( ) 200 a 2 400 a a 2 400 120 a 2 280 2 a 120 a 560 2 a 40 ). 3 ( a 560 2 4 a 40 ). 1 4 ( a 560 n n n n n n n n n n · · · − · + − · + − · + − − · Resposta: Item A Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 18 [email protected] 16]Trigonometria, Funções seno, cosseno e tangente. Solução: 30° 60° 2 p o s t e h A B C y x Chamando a altura da torre de h e usando o efeito combinado dos ângulos de 30 e 60 temos: ( ) 3 3 y 2 h adjacente cateto oposto cateto 30 tg · + · · ° eq (i) ( ) 3 y h adjacente cateto oposto cateto 60 tg · · · ° eq (ii) de (ii) 3 y h · , substituindo em (i) temos 7 , 1 3 h 3 2 h 2 3 2 h h 3 o log , h 3 y mas 3 y 3 2 3 y 3 3 3 y 2 3 y · · ⇒ · ⇒ · − ⇒ · ⇒ + · ⇒ · + Resposta: Item A Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 19 [email protected] 17]Analise a ilustração e responda à questão abaixo. Assunto: Trigonometria e Área de Figura Plana A área do triângulo é igual a (A) 2 cm 2 3 3 + . (B) 2 cm 2 3 1 + . (C) 2 cm ) 3 2 ( + . (D) 2 cm ) 3 3 ( + . (E) 2 cm 2 3 . Solução comentada: A B C D 45º 45º 30º 2 ( ) cm 3 1 + Fig.triang.1 Trabalhando a figura podemos notar que temos dois triângulos retângulos. O Triângulo ABD e o BDC. Pelo triângulo ABD podemos determinar a distância BD, que é a altura do triângulo ABC, utilizando o cosseno de 30º. ( ) hipotenusa adjacente cateto cos · θ A distância BD é adjacente ao ângulo de 30º, logo teremos: ( ) AB BD 30 cos · , mas ( ) 2 3 30 cos · , e 2 AB · então 3 BD 2 3 2 BD · ⇒ · ⇒ De posse de 3 BD · , podemos agora, calcular a área do nosso triângulo ABC. 2 altura x base A · ( ) ( ) 2 3 3 2 3 x 3 1 A + · + · Resposta: Item A Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 2 cm 75° 45° cm 20 [email protected] 18]A figura mostra um cone inscrito num cilindro. Ambos têm raio da base x e altura 2x,. Retirando-se o cone do cilindro, o volume do sólido resultante é (A) 3 x 2 3 π (B) 3 x 4 3 π (C) 3 x 8 3 π (D) 3 x 2 2 π (E) 3 x 8 2 π Solução comentada: Volume do cilindro Vc: h r Vc 2 π · Volume do cone Ve: h r 3 1 Ve 2 π · O volume pedido (V) será dado por Vc – Ve h r 3 2 h r 3 1 h r V 2 2 2 π · π − π · , substituindo o valor de r e h, por x e 2x respectivamente, teremos: 3 2 x 3 4 V x 2 x 3 2 V π · π · Resposta: item B 19]Dados os conjuntos A = { x ∈ N/ x é ímpar}, B = { x ∈ Z/ -2 < x ≤ 9 } e C = { x ∈ R/ x ≥ 5}, o produto dos elementos que formam o conjunto ( A ∩ B ) – C é igual a Assunto: Conjuntos (A)1 (B) 3 (C)15 (D)35 (E)105 Solução comentada O conjunto A é formado por todos os números ímpares. O conjunto B é formado por: {-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} O conjunto C é formado pelos números maiores ou iguais a 5 Ora, primeiro devemos realizar a interseção entre A e B. Assim teremos o conjunto ( A ∩ B ) = {1,3,5,7,9} O conjunto ( A ∩ B ) - C = {1,3} Logo o produto desses elementos é igual a 3. Resposta: item B Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 21 [email protected] 20]As retas do gráfico abaixo representam, no plano cartesiano, a rota de dois navios da esquadra brasileira em operações no Atlântico. O ponto de intersecção entre elas indica o local onde eles se encontram. Com base no texto, é correto afirmar que a distância em milhas que a Fragata Independência percorre até encontrar a Fragata Niterói, quando representada no plano cartesiano, é Obs. 1u = 100 milhas, caso necessário considerar raiz quadrada de 2 igual a 1,4 e raiz quadrada de 5 igual a 2,2. (A) 550 milhas (B) 560 milhas (C) 580 milhas (D) 880 milhas (E) 890 milhas Solução comentada Assunto: Equação da reta Pesquisando no Google, verifiquei que a Fragata Niterói é a F-40 e a Fragata F-44 é a Independência. Primeiro, devemos estabelecer as equações das retas das fragatas. Assim, teremos: Fragata F-40: ( ) ( ) ¹ ' ¹ · ⇔ · − · ⇔ · ∴ − · − 0 y 2 x 4 y 0 x x x m y y o o o o Substituindo e resolvendo para m, teremos ( ) ( ) ( ) 2 m 0 2 m 4 0 · ⇒ − · − − Assim, nossa equação da reta referente à fragata F-40 é: Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 22 [email protected] ( ) ( ) ( ) 4 x 2 y x 2 4 y 0 x m 4 y − · · + − · − − Agora, façamos a equação da reta da Fragata F-44: ( ) ( ) ¹ ' ¹ · ⇔ · · ⇔ · ∴ − · − 6 y 6 x 0 y 0 x x x m y y o o o o Substituindo e resolvendo para m, teremos ( ) ( ) 1 m 0 6 m 0 6 · ⇒ − · − Assim, nossa equação da reta referente à fragata F-40 é: ( ) ( ) x y 0 x 1 0 y · − · − Igualando as Equações, teremos 4 x 4 x 4 x 2 x · − · − − · e y=4 Como a fragata Independência parte da origem e o ponto de encontro está em (4,4) podemos dizer que nossa fragata percorre a hipotenusa de um triângulo de catetos iguais a 4 e 4, o que seria também a diagona de um quadrado de lado igual a 4. Como a diagonal é dada por 2 L d · , podemos afirmar que a distância percorrida pela fragada F-44 é igual a: 6 , 5 d 4 , 1 4 d 2 4 d 2 L d · ⇒ ⋅ · ⇒ · ⇒ · Em milhas será igual a 560 milhas. Resposta: Item B Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 23 [email protected] 21]Reduzindo a expressão ] ] ] − + + ÷ ] ] ] − + − − + 2 2 2 2 2 1 2 b a a b a a b b a b b b a a , onde a≠ b, obtemos: (A) b (B) a (C) ab (D) (a+b) (2a – b) (E) 2a – b Assunto: Fatoração de polinômios Solução comentada: ] ] ] − + + ÷ ] ] ] ] − + − − + 2 2 2 2 2 b a a b a 1 a b b a b b b a a 2 Fatorando 2 2 a b − e 2 2 b a − teremos ( )( ) a b a b a b 2 2 − + · − e ( )( ) b a b a b a 2 2 − + · − ( ) ( ) ( ) ] ] ] − + − − ÷ ] ] ] ] − + − + − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a a b a b a a b b a b b a b a b a b a 2 ( ) ] ] ] − − ÷ ] ] ] ] − + − + − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a b a 2 a b b a b b ab a b a 2 ab 2 ( ) ] ] ] − − ÷ ] ] ] ] − + − − 2 2 2 2 2 2 2 b a b a 2 a b b b a 2 ab ( ) ( ) ( ) a a 2 b a b a b a 2 b a 2 2 2 2 ⇒ ] ] ] ] − − − − • ] ] ] − − Resposta: Item B. Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 24 [email protected] 22]Para colocar preço em seus produtos, uma empresa desenvolveu um sistema simplificado de código de barras formado por cinco linhas separadas por quatro espaços. Podem ser usadas linhas de três larguras possíveis e espaços de duas larguras possíveis. O número total de preços que podem ser representados por esse código é: (A) 1440. (B) 2880. (C) 3125. (D) 3888. (E) 4320. Assunto: Análise combinatória Solução comentada. Temos Linha = L e Espaço = E L-E-L-E-L-E-L-E-L Ora, 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 = 3888 16 243 2 3 4 5 · ⋅ · ⋅ Resposta: Item D 23]Se os números 1 , a , b formam nessa ordem uma PA e se os números 1 , 7 , a + 46 formam nessa ordem uma PG, então (A) a + b = 6 (B) a + b = 8 (C) a b = 6 (D) a b = 7 (E) a b = 3 Assunto: Progressão Aritimética (PA) e Progressão Geométrica (PG) Solução comentada: 1, a, b, representa uma PA 1, 7, a+46 , representa uma PG. Ora, pela definição que temos de PG, podemos escrever: 3 a 49 46 a 7 46 a 1 7 · ⇒ · + ⇒ + · Ora, em 1, a, b teremos 1, 3, b Logo se é uma PA então a razão r = 3-1 = 2, assim sendo b = 5 Assim, podemos dizer que a + b = 8 Resposta: Item B Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 25 [email protected] 24]Numa progressão aritmética crescente, os dois primeiros termos são as raízes da equação x 2 + 2x – 8 = 0. Sabendo que o número de termos dessa P.A. é igual ao triplo da sua razão, então a soma dos termos da P.A. é igual a: (A) -378 (B) -282 (C) 98 (D) 294 (E) 846 Assunto: Equação do 2º grau, Progressão aritimética Solução comentada: Ora, as raízes da equação são: ( ) 4 2 6 2 2 36 2 a 2 b x 2 2 6 2 2 36 2 a 2 b x 36 8 1 4 2 ac 4 b 2 1 2 2 − · − − · − − · ∆ − − · · + − · + − · ∆ + − · · ∆ ⇒ − ⋅ ⋅ − · ∆ ⇒ − · ∆ A razão da PA (-4, 2...) é igual a r = 6 O triplo da razão é igual a 18. Para calcularmos a soma dos 18 termos dessa PA, devemos determinar o último termo pois ( ) 2 n . a a S n 1 n + · mas sabemos que o termo geral da PA é dado por ( ) r . 1 n a a 1 n − + · , substituindo esse termo na fórmula da soma, teremos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 846 2 18 . 6 . 1 18 4 4 S 2 n . r . 1 n a a S n 1 1 n · − + − + − · ⇒ − + + · Resposta: Item E Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 26 [email protected] 25]De um certo grupo de 180 Oficiais da Marinha do Brasil, 122 pertencem ao conjunto T dos Tenentes, 108 pertencem ao conjunto A de Oficiais da Armada e 75 pertencem aos dois conjuntos. Quantos são os Oficiais desse grupo que não pertencem ao conjunto T nem ao conjunto A? (A)155 (B)100 (C)75 (D)55 (E)25 Assunto: Teoria dos conjuntos, Diagramas. Solução comentada O diagrama abaixo demonstra a disposição das quantidades informadas t = somente tenentes a = somente armada k = tenentes e armada n = não é tenente nem da armada T A Ñ t a k n Podemos escrever que 180 n a k t · + + + (I) 122 k t · + (II) 108 k a · + (III) Mas, foi informado que k = 75, logo De II, teremos 47 75 122 t 122 75 t 122 k t · − · ⇒ · + ⇒ · + De III, teremos 33 75 108 a 108 75 a 108 k a · − · ⇒ · + ⇒ · + De I, teremos Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 27 [email protected] 25 n 180 n 33 75 47 180 n a k t · ⇒ · + + + ⇒ · + + + Resposta: Item E Macete. Este problema pode ser resolvido diretamente no diagrama. Basta ir colocando os valores a partir do centro do diagrama e realizando as operações de subtração. Primeiro preencha com o valor da intersecção (k=75) e depois vá realizando as operações de subtração diretamente no diagrama. 26]Uma coluna de Fuzileiros Navais deve ir de um ponto A de coordenadas (2, 5) para um ponto B coordenadas (5, 11). Para que essa coluna realize um percurso AMB em linha reta, as coordenadas do ponto M podem ser: (A) (3, 7) (B) (3, 9) (C) (4, 7) (D) (4, 8) (E) (4, 10) Assunto: Pontos colineares, Equação da reta por Matriz. Solução comentada: Solução comentada: Observe que o problema não forneceu uma das coordenadas (x ou y) de M. Assim usaremos o seguinte recurso: Vamos determinar a Equação da reta AB e depois substituir os valores apresentados nos itens. O item correto será aquele que apresentar as coordenadas que verificar a equação. ( ) ( ) ¹ ' ¹ · ⇔ · · ⇔ · ∴ − · − 11 y 5 x 5 y 2 x x x m y y o o o o Substituindo e resolvendo para m, teremos ( ) ( ) 2 m 2 5 m 5 11 · ⇒ − · − Assim, usando o ponto A, nossa equação da reta AB é: ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 5 + · ⇒ − · − x y x y O único ponto que satisfaz a equação apresentado na opção é o ponto (3, 7) Resposta: Item A Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 28 [email protected] 27]Observe a figura abaixo: Aristarco de Samos (310 a. C - 230 a. C.), matemático e astrônomo grego, observou que, quando a Lua é avistada da Terra em quarto crescente, os raios solares são perpendiculares à reta que passa pelos centros da Terra e da Lua, conforme demonstrado na figura. Se o ângulo LTS é igual a x e a distância em relação à Lua é d, a distância da Terra ao Sol pode ser calculada pela expressão: (A)d. (sen x) -1 (B)d. (cos x) -1 (C)d. (tg x) (D)d. sen x (E)d. cos x Assunto: Trigonometria no triângulo retângulo Ora, sabemos que ( ) hipotenusa oposto cateto x sen · , ora o cateto oposto faz o papel da distância d, e a hipotenusa a distância da Terra ao sol, logo ( ) ( ) ( ) ( ) 1 sol Terra sol Terra sol Terra x sen . d D x sen d D D d x sen − − − − · ⇒ · ⇒ · Resposta: Item A Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com T (Terra) S (Sol) L (Lua) 29 [email protected] 28]Em uma determinada organização da Marinha, doze Oficiais concorrem à tabela de Serviço na Sala de Estado. Sabendo-se que cada Serviço é tirado por uma equipe formada por três desses Oficiais, quantas opções de equipes distintas podem ser formadas para esse Serviço? (A) 1320 (B) 660 (C) 132 (D) 36 (E) 4 Assunto: Análise combinatória Trata-se de combinação onde n=12 e p=3 Logo teremos ( ) ( ) 220 1 . 2 . 3 10 . 11 . 12 ! 3 12 !. 3 ! 12 ! p n !. p ! n C p , n · · − · − · Não há opção certa. Provavelmente essa questão foi anulada! 29]Em um mapa, as extremidades de um túnel reto são os pontos de coordenadas (-3, 2) e (5, -4). Se cada unidade do mapa corresponde a 30 metros no terreno, qual é a extensão, em metros, desse túnel? (A)480 (B)420 (C)360 (D)300 (E)240 Assunto: Distância entre dois pontos. A fórmula que dá a distância entre dois pontos, conhecidas as suas coordenadas, é: ( ) ( ) 2 0 2 0 y y x x d − + − · Substituindo os valores, teremos ( ) ( ) ( ) ( ) 10 100 36 64 6 8 2 4 3 5 d 2 2 2 2 · · + · − + · − − + − − · Logo: A extensão do túnel é igual a 10 x 30 metros = 300 metros. Resposta: Item D Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 30 [email protected] 30]Os seguintes sólidos de metal maciço se encontram na mesma temperatura inicial: um cilindro de secção meridiana quadrada de lado 4 cm; uma esfera de diâmetro medindo 4 cm; e um cone cuja razão entre a sua superfície e o seu volume é igual a 2 centímetro -1 . Sabendo-se que quanto maior for a razão entre a superfície externa de um corpo sólido e o seu volume mais rapidamente esse corpo resfria, qual é a opção correta? (A)o cilindro resfria mais rápido do que o cone. (B)A esfera resfria mais rápido do que o cone. (C)A esfera e o cone resfriam igualmente. (D)O cilindro e o cone resfriam igualmente. (E)O cilindro e a esfera resfriam igualmente. Assunto: Volume de sólidos e Superfície externa. Solução comentada: Devemos estabelecer as fórmulas de Volume e Superfície externa do cilindro e da esfera. Do cone não precisa pois já foi informada a sua razão. Razão do cone (Rcone = 2) Volume Área Superficial Esfera 3 esfera r 3 4 V π · 2 esfera r 4 A π · Cilindro h r V 2 cilindro π · ( ) h r r 2 A cilindro + π · Determinando os valores dos volumes e das áreas, teremos: 3 32 2 3 4 r 3 4 V 3 3 esfera π · π · π · π · π · π · 16 2 4 r 4 A 2 2 esfera 5 , 1 2 3 32 48 3 32 16 R esfera · · · π π · π · π · π · 16 4 . 2 h r V 2 2 cilindro ( ) ( ) π · + π · + π · 24 4 2 2 2 h r r 2 A cilindro 5 , 1 2 3 16 24 R cilindro · · π π · O cone resfria mais rápido que qualquer dos outros dois sólidos. A Esfera e o cilindro resfriam na mesma velocidade. Resposta: Item E Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 31 [email protected] 31]Uma carga de 930 quilogramas de suprimentos deve ser desembarcada da seguinte forma: no primeiro dia, 50 quilogramas; no segundo dia, 55 quilogramas; no terceiro dia, 60 quilogramas; e assim sucessivamente, isto é, a cada dia, 5 quilogramas a mais do que no dia anterior. Desta forma, em exatamente quantos dias essa carga de suprimentos deverá ser desembarcada? (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14 Solução comentada: Novamente temos aqui um caso de PA (Progressão aritmética) envolvendo a soma dos termos. Dados do problema Primeiro termo = 50; razão = 5; O que se quer é o número de dias (n) que representará na fórmula o número de termos. A soma de todos os termos é o valor do peso da carga = 930 Pela fórmula da Soma da PA, teremos ( ) ( ) 2 50 930 2 1 n . a n . a a S n n n + · ⇒ + · Verificamos que não temos o último termo (a n ) nem o número de termos que é o que desejamos calcular. Faremos o seguinte: Substituiremos o valor desse último termo na fórmula da soma ( ) r nr a a r . n a a n n − + · ⇒ − + · 1 1 1 Assim teremos ( ) ( ) 2 5 5 50 50 930 2 930 1 1 n . n n . r nr a a − + + · ⇒ − + + · ( ) ( ) 0 1860 95 5 5 95 1860 5 5 50 50 1860 2 2 2 · − + ⇒ + · ⇒ − + + · n n n n n n n n dividindo tudo por 5: 0 372 19 2 · − + n n Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 32 [email protected] Resolvendo a equação ( ) 22 2 43 1 2 1849 1 2 11 2 43 1 2 1849 1 2 372 1 4 19 4 2 1 2 2 − · − − · − − · ∆ − − · · + − · + − · ∆ + − · · ∆ ⇒ − ⋅ ⋅ − · ∆ ⇒ − · ∆ a b n a b n 1849 ac b As raízes em n foram os valores 11 e -22, como o valor de n pertence aos Naturais a resposta é 11 Resposta: Item B 32]A rota de um navio A é dada pela reta r: 2x + 2y = 3 e a de um navio B pela reta s: 2x + y = 6. É correto afirmar que, no mapa, essas rotas: (A) Se cruzam num ponto do 1º quadrante. (B) Se cruzam num ponto do 2º quadrante. (C) Se cruzam num ponto do 3º quadrante. (D) Se cruzam num ponto do 4º quadrante. (E) Nunca se cruzam. Assunto: Equação da reta, Ponto comum. Solução comentada: As equações apresentadas, tanto da reta r quanto da s, estão num formato que não ajuda muito na solução. Devemos traduzir essas equações para a forma reduzida Assim, teremos 2 3 2 3 2 2 3 2 2 + − · ⇒ + − · ⇒ · + x y x y y x : r 6 2 6 2 6 2 + − · ⇒ + − · ⇒ · + x y x y y x : s Agora sim, podemos igualar: 5 4 9 2 12 4 3 2 6 2 2 3 2 , x x x x x x · ⇒ · ⇒ + − · + − ⇒ + − · + − Logo, para o cálculo de y basta substituirmos o valor de x em qualquer das duas equações reduzidas apresentadas. Tomemos a equação reduzida dada por s 3 6 9 6 2 9 2 6 2 − · ⇒ + − · ⇒ + , ` . | − · ⇒ + − · y y y x y : s Temos que x é positivo e y negativo, logo o ponto de intersecção encontra-se no IV Quadrante do Plano Cartesiano Resposta: Item D Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 33 [email protected] 33]Para se encher um reservatório com trezentos mil litros de água, dispõe- se apenas de um caminhão que transporta um tanque cilíndrico que tem cinco metros de comprimento e dois metros de diâmetro de seção circular. Usando- se (pi = 3), quantas viagens completas de ida e volta esse caminhão deverá dar para encher o reservatório? a) 40 b) 20 c) 15 d) 10 e) 5 Assunto: Volume de sólidos, Raciocínio Lógico Solução comentada: Volume total = 300.000 litros = 300.000 dm 3 Mas 300.000 dm 3 = 300.000 (10 -1 m) 3 = 300.000 x 10 -3 m 3 = 300m 3 Logo nosso volume em metros cúbicos vale 300 m 3 Agora calculemos o volume que o caminhão pode transportar. h r V 2 π · 3 2 15 5 1 3 m . . h r V · · π · Logo a quantidade de viagens (N) será dada por 20 15 300 · · N Resposta – Item B Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 34 [email protected] 34]Um oficial recebeu uma carta geográfica assinalada com os quatro vértices onde estão colocados os marcos que delimitam um território quadrangular sob a responsabilidade da sua unidade. Sabendo- se que as coordenadas desses vértices são respectivamente: (1, 2); (3, 9); (10, 10); (12, 3) e que cada unidade de área da carta geográfica corresponde a 10 metros quadrados, qual é a área, em metros quadrados, desse território? a) 1450 b) 1300 c) 1260 d) 660 e) 630 Assunto: Área através de Determinantes. Solução comentada: Sendo um quadrilátero, temos obviamente 4 pontos. Assim podemos realizar dois cálculos de área de triângulos por determinantes. Assim: Tomando os pontos do triângulo formado pelos pontos (1, 2); (3, 9); (10, 10); ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] 5 23 106 59 2 1 6 10 90 30 20 9 2 1 1 10 10 1 9 3 1 2 1 2 1 1 , A · − · + + − + + · · Agora a Area do Triângulo formado pelos pontos (1, 2); (10, 10); (12, 3) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] 5 39 143 64 2 1 20 3 120 30 24 10 2 1 1 3 12 1 10 10 1 2 1 2 1 1 , A · − · + + − + + · · Somando-se as duas áreas, teremos Area Total = 23,5 + 39,5 = 63 Como cada unidade vale 10 metros, teremos 63 x 10 = 630 Resposta – Item E Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com x (1,2) y (1 0 , 10) (1 2,3) (3,9 ) 35 x y -7 Graf.plano A B 4 5 9 [email protected] 35]Deseja- se esticar um cabo de aço de um ponto R até um ponto S, ambos de um mesmo terreno. De acordo com o referencial estabelecido em um mapa, os pontos R e S têm, respectivamente, as coordenadas (-7, 4) e (5, 9). Qual é a medida em metros desse cabo, sem considerar o necessário para as amarrações, sabendo-se que cada unidade do referencial corresponde a dois metros no terreno? a) 26 b) 17 c) 13 d) 8,5 e) 6,5 Assunto: Distância entre dois pontos Solução comentada: O gráfico acima representa o problema em questão. Deseja-se determinar a distância AB, sendo os pontos: (5,9) e (-7,4) Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos: ( ) ( ) ( ) ( ) 13 169 4 9 7 5 2 2 2 2 1 2 2 1 · · ⇒ − + + · ⇒ − + − · d d y y x x d Logo, teremos 13 x 2 = 26 metros. Resposta –Item a Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 36 [email protected] 36]Os pontos de coordenadas (1, 2) e (9,8) faziam parte da trajetória retilínea de um navio, que foi afundado por um torpedo lançado do ponto de coordenadas (15, 5). Sabendo- se que o torpedo percorreu a menor distância possível, conclui- se que tal distância, na mesma unidade das coordenadas, é igual a a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 Assunto: Distância entre um ponto e uma reta. Solução comentada O gráfico acima demonstra a situação. Desejamos a menor distância (d) sobre a reta CD, ou seja de C partiu o torpedo e atingiu o navio na trajetória AB, no ponto D. Ora, essa menor distância (d) tem uma propriedade, qual seja, ela está representada pela reta CD que é perpendicular ao prolongamento da reta AB. A distância d é dada por 2 2 b a c by ax d o o + + + · onde: a, b, c = coeficientes da equação geral da reta e x 0 e y o = coordenadas do ponto. Precisamos então da equação geral da reta AB. Será dada por Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com x y 1 Graf.plano A B 2 9 8 15 C D 5 37 [email protected] ( ) ( ) 0 10 8 6 0 8 18 8 9 2 0 1 8 9 1 2 1 1 · − + − ⇒ · + + − + + ⇒ · y x y x y x y x Logo nossos valores de a = -6, b = 8 e c = -10 ( ) ( ) ( ) 6 10 60 8 6 10 5 8 15 6 2 2 2 2 · · + − − + − · ⇒ + + + · d b a c by ax d o o Resposta – Item E 37]Deseja- se construir uma rampa reta para se acessar uma plataforma que tem quatro metros de altura. Qual deverá ser o comprimento, em metros, dessa rampa, a fim de que forme com o solo um ângulo de 30º? a) 4√ 6 b) 8 c) 4√3 d) 4√2 e) 4,5 Assunto: Trigonometria no Triângulo Retângulo. Solução comentada: Aplicando a fórmula do seno de um ângulo no triângulo retângulo teremos: ( ) ( ) d 4 º sen hipotenusa oposto cateto sen · ⇒ · θ 30 ( ) 8 2 1 30 · ⇒ · · d d 4 º sen Logo o comprimento d, da rampa, será igual a 8 metros. Resposta – Item B Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 30º d 4 m 38 [email protected] 38]Um oficial , que comanda três mil homens, recebe uma mensagem e a transmite a dois de seus homens, que por sua vez a transmitem a dois outros homens cada um e assim sucessivamente, isto é, cada um que recebe a mensagem, a transmite para outros dois. Considerando que o tempo gasto por cada um para passar a mensagem para os outros dois é de um minuto, em quantos minutos todos estarão cientes da mensagem? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 Assunto: Progressão Geométrica, Raciocínio Lógico. Solução comentada: Observe que cada um que recebe repassa para mais dois, ou seja, o número de homens que repassarão a mensagem determina uma sequência: 2-4-8-16... Percebemos que trata-se de uma progressão geométrica de (a 1 = 2, q = 2). Bem, a quantidade 3000, representa o número de soldados, aqui neste ponto, não é prudente considerar essa quantidade como sendo a soma de todos os termos da sequência em tela. A fórmula que dá a soma dos termos de uma PG finita é ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 − − · − − · q q a q q a S n n n Ora, os primeiros 2 soldados levaram 1 minuto para repassar a mensagem para os 4 à frente que por sua vez, também levaram 1 minuto para repassar para os 8...e assim sucessivamente. Observe que o tempo é o mesmo! Pois cada par de soldado em cada nível, repassa a mensagem ao mesmo tempo! E mais... Observe que até ao terceiro nível (8), se passaram 2 minutos! Ou seja, a quantidade de tempo será igual a n – 1, sendo n o nível da última fileira de soldados! Assim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n q q a S 2 1501 1 2 1500 1 2 1 2 2 3000 1 1 1 · ⇒ − · ⇒ − − · ⇒ − − · Ora, 1501 está entre 2 12 e 2 13 , ou seja os últimos soldados estarão no nível n=13, logo o tempo que levará para todos se informarem será igual a 13 – 1 = 12 minutos. Resposta: Item C Observação: Esta questão exigiu do candidato um conhecimento prévio de PG, bem como o raciocínio dedudivo, uma vez que não trabalhou apenas com dados exatos, exigindo avaliação e ajustes nos dados fornecidos. Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 39 [email protected] 39]Quantos códigos distintos de cinco alinhados, pode- se formar utilizando um ou dois dos sinais: # e § ? a) 10 b) 20 c) 25 d) 32 e) 40 Assunto: Análise combinatória. Solução comentada. Como o enunciado fala em códigos distintos então temos aí uma Combinação. Onde n = 5 e p= 2 ( ) ( ) 10 1 2 4 5 3 2 3 4 5 2 5 2 5 · · · − · − · . . ! !. ! . . ! !. ! ! p n !. p ! n C p , n 40]Qual deve ser o raio mínimo, expresso em metros por um número inteiro, de uma pista circular, para que nela se possa percorrer 200 metros sem ser necessário caminhar mais do que uma volta ? a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38 Assunto: Geometria Plana, Comprimento da Circunferência. Resolução comentada A fórmula que dá o comprimento da circunferência é igual a r C π · 2 , onde r é o raio da circunferência Assim: 31,83 r r ≅ π · π · ⇒ π · 100 2 200 2 200 Logo o menor número inteiro será igual a 32. Resposta – Item B Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com r 40 [email protected] 41]Para se determinar a distância de um ponto P, situado na margem esquerda de um rio, até um ponto A, situado na margem direita desse mesmo rio, uma pessoa caminhou em linha reta 10 metros do ponto A até um ponto E, nessa mesma margem. Depois mediu os ângulos PÂE = 35º e AÊP = 85º. Logo, a distância a ser determinada é o resultado de (A) ° ° 60 85 10 sen sen (B) ° ° 35 85 10 sen sen (C) ° ° 60 35 10 sen sen (D) ° ° 85 60 10 sen sen (E) ° ° 85 35 10 sen sen Assunto: Lei dos senos Solução comentada: Observe a figura. Utilizando a lei dos senos teremos º sen AP º sen AE º sen PE 85 60 35 · · , ora, desta relação podemos isolar: º sen º sen AP º sen AP º sen º sen AP º sen AE 60 85 10 85 60 10 85 60 · ⇒ · ⇒ · Resposta: Item A Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com A P E 35º 85º 41 [email protected] 42]Em uma determinada Estrada instalou-se duas guaritas para que fosse fiscalizados os veículos que por ela transmitam, de acordo com o seguinte critério: na primeira guarita, fiscaliza- se o terceiro veículo que passa, depois o nono, depois o décimo quinto, assim sucessivamente, de seis em seis; e na segunda guarita, fiscaliza- se o sexto veículo que passa, depois o décimo quinto, depois o vigésimo quarto, e assim sucessivamente, de nove em nove. Quantos veículos foram fiscalizados ao menos por uma das guaritas, até passar o milésimo veículo? a) 111 b) 167 c) 223 d) 278 e) 333 Assunto: Progressão aritimética. Solução comentada As sequências são: Guarita 1 ⇒ 3, 9, 15,.... Guarita 2 ⇒ 6, 15, 24, .... Ora, devemos determinar a quantidade de termos de cada sequência: A quantidade de veículos fiscalizados pela guarita 1 é ( ) ( ) ( ) n . a n . a n . a a S n n n n + · ⇒ + · ⇒ + · 3 2000 2 3 1000 2 1 mas, ( ) r . n a a n 1 1 − + · , substituindo na fórmula acima teremos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n . . n n . r . n a 6 1 3 3 2000 1 3 2000 1 − + + · ⇒ − + + · ( ) ( ) ( ) ( ) 25 18 6 2000 6 2000 6 1 3 3 2000 2 , n n n . n n . . n ≅ ⇒ · ⇒ · ⇒ − + + · A quantidade de veículos fiscalizados pela guarita 2 é ( ) ( ) ( ) n . a n . a n . a a S n n n n + · ⇒ + · ⇒ + · 6 2000 2 6 1000 2 1 mas, ( ) r . n a a n 1 1 − + · , substituindo na fórmula acima teremos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n . . n n . r . n a 9 1 6 6 2000 1 6 2000 1 − + + · ⇒ − + + · ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 9 3 2000 9 9 6 6 2000 9 1 6 6 2000 n n n . n n . . n + · ⇒ − + + · ⇒ − + + · 0 2000 3 9 9 3 2000 2 2 · − + ⇒ + · n n n n Teremos como raiz positiva o valor n = 14,74. Assim ao menos uma das guaritas fiscalizou 14 veículos. Não houve opção correta! Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 42 [email protected] 43]Dispondo- se de uma tabela, onde estão relacionados os senos dos arcos expressos em graus por números inteiros de zero a quarenta e cinco, pode- se determinar tg 67º através do cálculo da expressão a) √ 1-sen 2 23º sen23º b) √ 1+ sen 2 23º sen23º c) √ 1- sen 2 33º sen33º d) sen23º √1- sen2 33º e) sen33º √1- sen2 33º Assunto: Trigonometria, transformações trigonométricas. Solução comentada: Sabemos que ) x cos( ) x ( sen ) x ( tg · a Cos . b Sen - b Cos . a Sen b) - (a Sen · e b Cos . a Cos b Sen . a Sen b) - (a Cos + · Assim, teremos b Cos . a Cos b Sen . a Sen b) - (a Cos a Cos . b Sen - b Cos . a Sen b) - (a Sen ) cos( ) ( sen ) ( tg + · · · · 67 67 67 mas 67 = 90 – 23, então 23 Sen 23 Cos 23 Cos . 90 Cos 23 Sen . 90 Sen 90 Cos . 23 Sen - 23 Cos . 90 Sen 23) - (90 Cos 23) - (90 Sen ) ( tg · + · · 67 Mas, sabemos que 23 1 23 2 sen cos − · Substituindo, teremos... 23 23 1 67 2 sen sen 23 Sen 23 Cos ) ( tg − · · Resposta – Item B Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 43 [email protected] 44]Um cozinheiro dispõe de dois tipos de arroz, três tipos de feijão, quatro tipos de carne e cinco tipos de salada. Quantas opções diferentes tem para fazer uma refeição em que deverá usar um tipo de arroz , dois tipos de feijão, dois tipos de carne e três tipos de salada? a) 12 b) 120 c) 144 d) 360 e) 1440 Assunto: Análise Combinatória Solução comentada Temos: Arroz (A1, A2) ; Feijão (F1, F2, F3); Carne (C1, C2, C3, C4) e Saladas (S1, S2, S3, S4, S5) O Total de pratos passa por um produto de Combinações individuais de cada componente do prato, a saber. T = C 2,1 . C 3,2 . C 4,2 . C 5,3 ( )! p n !. p ! n C p , n − · , logo ( ) ( ) ( ) ( ) 360 12 120 4 24 2 6 1 2 3 5 3 5 2 4 2 4 2 3 2 3 1 2 1 2 · ⋅ ⋅ ⋅ · − ⋅ − ⋅ − ⋅ − · ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! T Resposta – Item D Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 44 [email protected] 45]Para cumprir pelo menos uma de duas missões, A e B, 80% das praças de uma determinada Base Naval se apresentaram como voluntários. Se 60% desses voluntários querem cumprir a missão A e 55% desses voluntários querem cumprir a missão B, qual é o percentual das praças da referida Base Naval que são voluntários para ambas as missões A e B? (A)15% (B)12% (C)10% (D)8% (E)6% Assunto: Diagramas, conjuntos Solução comentada O diagrama mostra a situação. Pelo menos uma de duas missões A e B está representada na união de A e B, assim: b + k + a = 80 (I) ⇒ b + k = 80 – a (II) A quantidade que não é voluntária está representada em n N = 20 Mas, A = 60 = k + a (III) e B = 55 = b + k (IV) então De I e III, teremos que 60 = 80 – b, logo b = 20 De IV, teremos 55 = 20 + k, logo k = 35 De III, teremos, 60 = 35 + a, logo a = 25 Assim teremos 35% de praças voluntários para as duas missões. (Não houve opção correta)! Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com B A Ñ b a k n 45 [email protected] 46]A média geométrica de n números positivos é dada pela raiz enésima do produto desses n números. Considere os conjuntos A={3,3,5,7},B={2,3,5,7,11}, C = {2,3,5,7,11,13}. Após a determinação do produto dos elementos de cada conjunto e, usando-se apenas as teclas e/ou 3 de uma calculadora, pode-se obter a média geométrica dos elementos do conjunto (A) A, mas não do B nem do C. (B) A e do B, mas não do C. (C) A e do C, mas não do B. (D) B e do C, mas não do A. (E) A, do B e do C. Solução comentada. Só será possível a determinação da média geométrica através do modo considerado, com as sequências A e C, pois o número n de elementos nas duas sequências é par!. A quantidade n de elementos em B é ímpar e igual a 5. portanto, item C 47]A fim de se calcular o gasto de tinta para se pintar um sinalizador em forma de cone, com raio da base 5 e altura 12, é necessário o conhecimento da sua superfície lateral S. Qual é o valor de S? (A) 60π (B) 65π (C) 120π (D) 130π (E) 180π Assunto: Geometria, Cone Solução comentada A área Lateral de um cone é dada por π · π · + ⋅ π · + π · π · 65 169 5 12 5 5 2 2 2 2 h r r rg A Resposta: Item B Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 46 [email protected] 48]Obstáculos de cimento em forma de pirâmides regulares, com arestas de 6 dm de comprimento, deverão ser colocados em uma estrada. 0 volume de cada um desses obstáculos, em dm 3 , é igual a (A) 42 2 (B) 36 2 (c) 24 2 (D) 18 2 (E) 12 2 Assunto: Volume de pirâmides, Geometria Solução comentada: Ora, não foi informado a forma da base da pirâmide. Tomemos como uma base quadrada para facilitar. Temos que o volume é dado por h . B V 3 1 · , ora, B = 36, que é a área do quadrado na base. Se a aresta lateral é 6, temos que a altura será igual a ( ) 6 3 54 18 36 2 3 6 2 2 · · + · + · h 6 36 6 3 36 3 1 · · . V Outra questão sem opção! Ao que parece a banca não fatorou corretamente! (seria a letra B) Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 47 [email protected] 49]Num mapa estão assinaladas três ilhas A, B e C, cujas coordenadas são respectivamente iguais a (3, -5), (3, 3) e (9, -5). Quais são as coordenadas do ponto P, desse mapa, no qual se deve situar um navio patrulha, de modo que a distância desse ponto P para cada uma dessas ilhas A, B e C seja a mesma? (A) (6, 1) − (B) (5, 7 3) − (C) (6, 7 3) − (D) (5, 1) − (E) (3, 4) Assunto: Distância entre pontos. Solução comentada: Ora, a abscissa (x) do nosso ponto P estará na posição igual a 6 2 12 2 9 3 2 · · + · + · a c p x x x e a ordenada (y), será dada por: 1 2 2 2 3 5 2 − · − · + − · + · b c p y y y Resposta: Item A Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com x y -5 Graf.plano A B C 3 3 9 48 [email protected] 50]Um Departamento de uma determinada OM tem sete Oficiais. De quantas maneiras distintas pode-se formar uma representação composta por três desses Oficiais? (A)35 (B) 70 (c) 105 (D) 175 (E) 210 Assunto: Análise combinatória Solução comentada ( )! p n !. p ! n C p , n − · Onde n = 7 e p =3 Logo ( ) ( ) ( ) 35 4 1 2 3 4 6 5 7 4 3 7 · · · − · ! . . . ! . . . ! !. ! ! p n !. p ! n C p , n Resposta: Item A Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 49 [email protected] 51] Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 50 [email protected] Ângulo Seno Cosseno Tangente 10° 0,1736 0,9848 0,1763 20° 0,3420 0,9397 0,3640 30° 0,5000 0,8660 0,5774 Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 51 [email protected] 40° 0,6428 0,7660 0,8339 Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 52 [email protected] Um candidato ao Corpo de Fuzileiros Navais tentou atirar em um alvo que está 100 metros à sua frente, mas acertou em um ponto localizado 52 metros à esquerda desse alvo. Sendo x o ângulo de desvio para a esquerda do alvo, com base na tabela acima, pode-se afirmar que (A) x < 10° (B) 10° < x < 20° (C) 20° < x < 30° (D) 30° < x < 40° (E) x > 40° Assunto: Trigonometria Solução comentada: O desenho acima demonstra a situação desencadeada no processo. O ângulo θ (Delta) pode ser obtido através da tangente ( ) adjacente cateto oposto cateto tg · θ ( ) 52 0, 100 52 tg · · θ , loco o arco tangente obtido pela tabela está situado entre 20 e 30 graus. Resposta – Item C 52]A Marinha de um determinado país tem, em estoque, 1.024.000 peças de reposição da marca X para um certo equipamento. Decidiu-se que, a cada seis meses, 75% do estoque do período anterior seria substituído por peças da marca Y do mesmo tipo, sendo que mais modernas, até que das 1.024.000 de peças da marca X só restassem 1.000 peças. Quantos anos esse processo de substituição levará? Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 10 0 Alvo Fuzileir o 52 θ 53 [email protected] (A)4 (B)3,5 (C)3 (D)2,5 (E)2 Assunto: Progressão Geométrica decrescente e Equação Exponencial Solução comentada Percebe-se claramente a Progressão, como sendo uma Pg. O primeiro termos é igual a 1024000 A razão é igual a 4 1 100 25 · · q Voce poderá perguntar: Porque a razão é igual a 4 1 100 25 · e não os 4 3 100 75 · ? Muito simples: O problema quer saber acerca da quantidade de peças que ainda restam após a substituição. Logo após substituir 75% dos 1024000 restarão 25% desse mesmo valor. Sendo assim, a quantidade que resta, decresce numa razão igual a 25% e não a 75%, como muitos candidatos poderiam pensar. 1 1 − · n n q a a , substituindo os valores fornecidos, teremos ( ) 1 2 10 1 1 2 1 2 1 4 1 1024 1 4 1 1024000 1000 − − − , ` . | · , ` . | ⇒ , ` . | · ⇒ , ` . | · n n n Logo resolvendo esta última equação exponencial, teremos ( ) 4 8 2 2 2 10 1 2 10 · ⇒ · ⇒ − · ⇒ − · n n n n Teremos 4 semestres ou 2 anos. Resposta: Item E 53]Um determinado líquido, no seu processo de resfriamento entre 4°C e 0°C, aumenta o seu volume em até 15%. Numa viagem para a Antártica será levado um recipiente plástico cilíndrico, de diâmetro interno da base igual a 1,6 metros e 1,5 metros de altura, contendo um volume V inteiro de litros desse líquido. Para que não haja, em função da dilatação do líquido, qualquer deformação ou rompimento do recipiente, pois será submetido ao intervalo de temperatura dado anteriormente, qual deverá ser o valor máximo de V, em litros, sabendo-se que é desprezível a variação do volume do recipiente? (Usar n = 3,14) (A) 2562 (B) 2564 (C) 2621 (D) 2623 (E) 2722 Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 54 [email protected] Assunto: Volume Solução comentada. Observe que o elaborador da questão foi feliz em informar que o recipiente sofre desprezível variação. Pois se não fosse assim, o problema seria um pouco mais “cabeludo” para resolver. Pois bem, façamos o problema. Ora, como o líquido irá dilatar-se aqueles 15%, devemos ter dentro do recipiente um volume V L (volume de líquido) igual a R R R L V % V % V V 85 15 · − · , onde V R é o volume do recipiente. Assim teremos 5 1 8 0 14 3 2 2 , , , h r V R ⋅ ⋅ · π · 3,0144 , , , V R · ⋅ ⋅ · 5 1 8 0 14 3 2 Assim o volume V L (volume de líquido) será igual, em m 3 , a 2,56224 , V V % V L R L · ⋅ · ⇒ · 0144 3 100 85 85 Para converter para litros, basta multiplicar por 1000 2562,24 V L · Resposta: Item A Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 55 [email protected] 54] Na figura acima, tem-se a interseção entre a reta bissetriz dos quadrantes ímpares e uma parábola no seu vértice e na origem do plano cartesiano. Qual é a equação dessa parábola, sabendo-se que as suas raízes são respectivamente iguais a 0 e 40? (A) 2 40 20 0 x x y − + · (B) 2 40 20 0 x x y − − · (C) 2 40 20 0 x x y + + · (D) 2 40 20 0 x x y + − · (E) 2 40 40 0 x x y − + · Assunto: Gráfico da Função do 2º Grau. Solução comentada: Sabemos que as raízes são 0 e 40, logo a abscissa do vértice vale 20, que é a média aritmética das raízes. Ora, se a reta bissetriz toca o vértice dessa parábola, podemos deduzir facilmente que a ordenada do vértice é também 20, pois tal ponto pertence à função da reta (bissetriz) onde y = x. Assim, temos que y v = x v = 20 Como a parábola, corta o eixo yy´em 0 (origem), então nosso termo independente c, vale 0 (zero). Assim, c = 0 Calculemos a e b da função do 2º grau. Sabemos que o vértice em x da parábola é dado por: a b x v 2 20 − · · e a ordenada do vértice da nossa parábola é dada por: ( ) a ac b a y v 4 4 4 20 2 − − · ∆ − · · , como c = 0 , teremos ( ) a b 4 20 2 − · e podemos escrever esta última no seguinte formato: a b b ⋅ ⋅ ⋅ − · 2 2 20 , substituindo o valor de x v nesta última, teremos Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 56 [email protected] Observe que no arranjo acima destaquei a substituição desejada. Para o cálculo de a, utilizaremos a b x v 2 20 − · · ( ) 20 1 2 40 2 2 20 − · ⇒ − · ⇒ − · a a a Assim, nossa função será dada por x x y 2 20 1 2 + − · Multiplicando toda função por -20 e igualando a zero, teremos 0 20 40 40 20 2 2 · + − ⇒ − · − y x x x x y Resposta: Item A 55]É muito comum tomar-se empréstimo em uma financeira a uma taxa fixa i de juros compostos mensais, a qual aplicada ao valor do empréstimo, mês a mês, forma uma progressão geométrica de razão (1 + i) do tipo: (C.(1 + i), C.(1 + i) 2 , . . . ). Um empréstimo de valor C com montante final M, a ser pago em n meses, tem taxa de juros i. O logaritmo decimal de M igual a (A) log log (1 ) C n i + + (B) log log (1 ) C n i − + (C) (log log (1 )) n C i + + (D) (log log (1 )) n C i − + (D) log log (1 )) n C i + + Assunto: Propriedades dos Logaritmos. solução comentada: Trata-se de uma questão que envolve o conhecimento prévio das propriedades dos logarítmos. Aplicando as propriedades, teremos. ( ) ( ) ( ) ( ) i log n C log LogM i log C log LogM i C log LogM i C M n n n + + · ⇒ + + · ⇒ + · ⇒ + · 1 1 1 1 Resposta: Item A Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 57 [email protected] 56]Quantos são os anagramas da palavra MARINHA? (A) 504 (B) 603 (C) 840 (D) 1260 (E) 2520 Assunto: Permutação com repetição. Solução comentada A quantidade de anagramas é resolvida com a fórmula da permutação. Todavia existem duas letras A, o que deverá ser levado em consideração. A fórmula da permutaçã com repetição é dada por !... !. !. ! n P .... , , n χ β α · χ β α onde o produto no denominador representa a quantidade de cada letra repetida na palavra original. Assim 2520 2 2 3 4 5 6 7 2 7 2 7 · · · ! ! . . . . . ! ! P Resposta: Item E 57]Um Oficial instalou dois marcos, M e N, em uma estrada reta respectivamente nos seus quilômetros de números 5 e 11. Com o objetivo de vigiar o trecho da estrada entre esses marcos, foram distribuídos 63 soldados em linha reta ao longo da mesma, da seguinte forma: o primeiro a x metros da base M, o segundo a x metros do primeiro e assim sucessivamente, até que o último esteja a x metros da base N. Pode-se afirmar (A) 92 x < (B) 92 93 x < < (C) 93 94 x < < (D) 94 95 x < < (E) 92 x > Assunto: Progressão Solução comentada Temos uma distância total de 6 km = 6000 m Total de soldados = 63 Um candidato afoito seguiria o seguinte raciocínio: ... ,23 95 63 6000 · Todavia tal raciocínio é incorreto! Pois com a distribuição dos 63 soldados sobre a estrada, teremos 63 + 1 trechos a serem vigiados, logo o raciocínio correto é: 75 93 64 6000 , · Resposta: Item C Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 58 [email protected] 58]Considere o quadrado ABCD incrito na semicircunferência de centro na origem. Se (x,y) são as coordenadas do ponto A, então a área da região exterior ao quadrado ABCD e interior à semicircunferência é igual a: O Solução comentada Ora, vejamos a solução passo a passo: a Área A pedida (Hachurada) é dada por: 2 2 quadrado o semicírcul y 2 r A A A A − π · − · Façamos agora r e y em função de x: O lado AC vale y. O lado DC vale 2x. Como os lados são iguais, pois trata-se de um quadrado, teremos: x 2 AC y · · O raio do círculo r OA · , vale a hipotenusa do triângulo OAC. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 5 r x 4 x r ) x 2 ( x r AC OC OA r · ⇒ + · ⇒ + · ⇒ + · · Pronto! Agora é só substituir: ( ) 2 2 2 2 2 2 x 4 2 x 5 . x 2 2 x 5 . y 2 r A − π ⇒ − π ⇒ − π · colocando x 2 em evidência, teremos: 2 2 2 x 4 2 5 A x 4 2 x 5 . A , ` . | − π · ⇒ − π · 59](ESPECEX-SP) Seja a função ¹ ' ¹ · racional é x se 1, - irracional é x se , 1 ) x ( f Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 59 [email protected] O valor da expressão f (Pi ) – f (0) - f ( 1,33...) dividido por 3f ( raiz quadrada de dois) é: a)1/3 b)-1/3 c)-1 d)1 e) 2/3 Vejamos a solução passo a passo: As condições da função f já foram impostas. Assim teremos: F (Pi), como Pi é irracional, temos como valor 1, F (0), como zero é racional, temos como valor, -1 F(1,333...), como 1,333... é uma dízima periódica, logo é racional. E também pelo fato que pode ser representado por uma fração. Qualquer número decimal com dízima periódica infinita pode ser representado por uma fração na forma a/b. Logo, temos o valor, -1. F( raiz quadrada de 2), é irracional. Assim, o valor da expressão será dado por: ( ) ( ) 1 3 3 1 3 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 f 3 ...) 333 , 1 ( f ) 0 ( f ) ( f · · ⋅ − − − − · − − π opção: d 60](UEFS) Em um grupo de 20 pessoas que apreciam jogos de tabuleiro, 12 jogam xadrez,15 jogam damas , 6 jogam gamão e 3 jogam xadrez, damas, e gamão. Considerando – se em relação, às pessoas desse grupo é correto afirmar: a) ( ) Dez pessoas jogam mais de uma modalidades b) ( ) Todas as pessoas que jogam xadrez também jogam damas c) ( ) Se das pessoas que jogam damas, oito jogam xadrez, então uma única pessoa joga apenas gamão. Solução Xadrez Gamão v x t w y k z No diagrama, temos representadas as quantidades de cada situação: X = pessoas que somente jogam xadrez Y = pessoas que somente jogam dama Z = pessoas que somente jogam gamão Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 60 [email protected] V = pessoas que jogam somente dama e xadrez W = pessoas que jogam somente xadrez e gamão K = pessoas que jogam somente dama e gamão T = pessoas que jogam xadrez e dama e gamão = 3 Verificando a validade do item (a) procederemos ao seguinte cálculo: Considerando que 3 t · 17 z k y w v x 20 z k y w t v x · + + + + + ⇒ · + + + + + + (eq. I) 9 w v x 12 w t v x · + + ⇒ · + + + (eq. II) 12 k y v 15 k y t v · + + ⇒ · + + + (eq. III) 3 z k w 6 z k w t · + + ⇒ · + + + (eq. IV) Somando-se as equações II, III e IV, teremos 24 k 2 w 2 v 2 z y x · + + + + + (eq. V) Fazendo (eq. V) – (eq. I), teremos: 7 k w v · + + (eq. VI) Logo 10 t k w v · + + + (eq. VII) A eq. VII, demonstra que 10 pessoas do grupo jogam mais de uma modalidade. Resposta certa (a) 61](UEFS) OS colegas J e P começaram a ler, no mesmo dia, certo livro indicado por um professor. J e P lêem 10 e 6 páginas, por dia, respectivamente, todos os dias até finalizar o livro. Como P demorou 8 dias a mais que J para concluir a leitura, pode-se afirmar que até o final do décimo dia, a) P tinha lido metade do livro b) J tinha lido a metade do livro c) P tinha lido 2/3 do livro d) J tinha lido 3/5 do livro e) P tinha lido 3/4 do livro Solução pág/dia 10 vj · pág/dia 6 vp · Podemos escrever que: t P 10 vj · · e ( ) 8 t P 6 vp + · · Resolvendo para P ambas as equações e igualando teremos: ( ) 12 t 48 t 6 t 10 8 t 6 t 10 · ⇒ + · ⇒ + · Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 61 [email protected] Logo o tempo que o aluno P leva para ler o livro todo será igual a: 20 8 12 8 t · + · + Sendo assim em 10 dias, P lerá 2 1 20 10 · do livro, ou seja a metade Resposta: (a) 62](UEFS) Durante um treinamento para uma competição, foi usado um modelo matemático para estimar o desempenho dos atletas, Segundo o qual o quadrado da velocidade mádia do atleta é inversamente proporcional à sua altura. Segundo esse modelo, um atleta com 1,60m da altura pode concluir a prova em 1 hora. Logo estima-se que outro atleta, com as mesmas condições físicas e técnicas com 1,80m de altura poderá concluir a prova num tempo: a) menor que uma hora b) entre 1h e 1h05min c) 1h05min e 1h10min d) Entre1h10min e 1h15min e) Maior do que 1h15min Solução: h k v 2 · (eq.I), onde k é uma constante de proporcionalidade. Sabemos que t d v · (eq. II), onde d é a distância e t o tempo de percurso Substituindo II em I, teremos: h k t d 2 · , ` . | (eq. III) , pelos dados iniciais do problema temos: Atleta com h = 1,60m, conclui a prova num tempo t = 1 hora. Aqui não se mencionou a distância d, mas como a segunda parte do problema estabelece que será “nas mesmas condições....” podemos então “atribuir” a d o valor que quisermos! Assim atribuo a d o valor 1. Dessa forma podemos avaliar o valor de k. 60 , 1 k 60 , 1 k 1 60 , 1 k 1 1 h k t d 2 2 · ⇒ · ⇒ · , ` . | ⇒ · , ` . | Substituindo em III o valor de k e a nova altura, teremos: Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 62 [email protected] 06 , 1 2 2 3 t 8 9 t 8 9 t 9 8 t 1 80 , 1 60 , 1 t 1 h k t d 2 2 2 2 · · ⇒ · ⇒ · ⇒ · ⇒ · , ` . | ⇒ · , ` . | Assim, t = 1 hora + 0,06 h = 1 hora + 0,06 x 60 = 1 hora e 3,6 minutos Resposta: (b) 63](UEfS) O valor de x, solução da equação 2x + (1/3 + 2/9 + 4/27 + 8/81...)= 27, em que a expressão entre parênteses é a soma dos termos de uma progressão geométrica, é um número a) primo b) inteiro, múltiplo de 3. c) inteiro, múltiplo de 5 d) racional não inteiro e nagativo e) racional não inteiro e positivo Solução: A soma dos termos da PG decrescente infinita é dada por q 1 a S 1 n − · 1 3 1 3 1 3 2 1 3 1 S n · , ` . | , ` . | · , ` . | − , ` . | · Logo podemos escrever 2x + 1 = 27 Assim x = 13 Resposta: (a) Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 63 [email protected] 64](Uefs) Sendo w= 3i, pode-se afirmar que z= w²- 2iw + (1+i ) é um número complexo, cujo módulo é igual a: a) 2 c) 2 e) 3 b) 3 d) 5 Solução: ( ) ( ) 9 1 . 9 i 9 i 3 w 2 2 2 − · − · · · ( ) 6 i 6 i 3 . i . 2 iw 2 2 − · · · i 2 i 1 6 9 z + − · + + + − · O módulo de z será igual a ( ) ( ) 5 1 2 z 2 2 · + − · Resposta (d) 65]Os números complexos z= 2-i e w= -2+i são raízes de um polinômio com coeficientes reais de grau 10. O número máximo de raízes reais que esse polinômio pode ter é igual a a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 Solução comentada Se uma equação polinomial com todos os coeficientes REAIS admite uma raiz imaginária,admitirá também a raiz imaginária conjugada da primeira, então a equação dada admitirá no mínimo 4 raízes imaginárias. Logo, terá no máximo 6 raízes reais. 2+i e -2-i também são raízes só são possíveis 6 raizes reais resposta b 66]O resto da divisão do polinômio P(X)= X² + X pelo polinômio q(X)= X²-1 é a) –X + 1 b) 2x +1 c) 0 d) –X e) 2x Solução: x²+x=(x²-1).Q(x)+ax+b para x=-1 vem –a+b=0 logo b=a para x=1 vem a+b=2 a=b=1 R(x)=x+1 não há resposta certa Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 64 [email protected] 67]Para garantir a segurança de seus moradores, a administração de um condomínio pensou em contratar vigilantes para ocuparem as cinco guaritas construídas na sua área. Devido aos altos custos, só foi possível contratar quatro vigilantes, sendo que um deles deve ficar na guarita mais próxima à entrada do condomínio e que nos demais postos, deve ficar um vigilante. Nessas condições, o número máximo de maneira distintas para distribuir os vigilantes é a) 24 b) 58 c) 72 d) 96 e)120 Solução: Para a guarita vizinha da entrada há 4 possibilidades, já que temos 4 vigilantes disponíveis....depois, dentre as outras 4 guaritas, devemos escolher e ordenar 3, que caberão aos outros 3 vigilantes. Daí 3 4 4 , A . ( ) ( ) 96 1 2 3 4 4 1 4 4 3 4 4 4 · · · − . . . . ! ! . ! ! . Resposta (d) 68]UEFS 2006.1 A expressão trigonométrica: cos(3x)/cosx - sen(3x)/senx, para 0<x < pi/2, é equivalente. A) -2 B) 0 C) 2 D) cos ( x) – sen (x) E) cos (2x) – sem(2x) Solução comentada: Fazendo x = a, apenas para facilitar a apresentação do desenvolvimento. ) a ( sen ) a 3 ( sen ) a cos( ) a 3 cos( − Ora, sabemos que através do desenvolvimento da soma de arcos que: sen(3a)= sen(a+2a) = sen(a)cos(2a) + cos(a)sen(2a) = sen(a)[1-2sin²(a)]+[2sen(a)cos(a)]cos(a) = sen(a)[1-2sin²(a)]+2sen(a)cos²(a)) = sen(a)[1-2sin²(a)]+2sen(a)[1-sin²(a)] Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 65 [email protected] = sen(a)-2sin³(a))+2sen(a)-2sin²(a)) = 3 sen(a) - 4 sin³(a) e cos(3a)= cos(a+2a) = cos(a)cos(2a) - sen(a)sen(2a) = cos(a)[2cos²(a)-1]-sen(a)[2sen(a)cos(a)] = cos(a)[2cos²(a)-1]-2sen²(a)cos(a) = cos(a)[2cos²(a)-1-2(1-cos²(a))] = cos(a)[2cos²(a)-3+2cos²(a)] = cos(a)[4cos²(a)-3] = 4 cos³(a) - 3 cos(a) Substituindo em nossa expressão teremos: ) a ( sen sin³(a) 4 - sen(a) 3 ) a cos( cos(a) 3 - cos³(a) 4 − , ` . | − , ` . | sen(a) sin³(a) 4 - sen(a) sen(a) 3 cos(a) cos(a) 3 - cos(a) cos³(a) 4 ( ) ( ) (a) sin 4 - 3 3 - (a) cos 4 2 2 − (a) sin 4 3 3 - (a) cos 4 2 2 + − ( ) 3 3 - (a) sin (a) cos 4 2 2 − + Ora, como ( ) 1 (a) sin (a) cos 2 2 · + , teremos ( ) -2 6 - 4 3 3 - 1 4 ⇒ ⇒ − Resposta: A 69](UEFS 2004.1) A soma das raízes de 2log2 (cosx) - log2 (1 + sen²X) = 0 pertencentes ao intervalo [ -2Pi, 2pi ], é A) 0 B) Pi/2 C) 3pi/2 D) 2pi E)5pi/2 Solução comentada 2log2 (cosx) - log2 (1 + sen²X) = 0 log2 (cos²x) - log2 (1 + sen²X) = 0 regra do log: log2(cos²x)/log2 (1 + sen²X) = 0 (cos²x)/ (1 + sen²X) = 1 obs: elevei 2 a zero Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 66 [email protected] Fazendo regra de três achei: (cos²x) =( 1 + sen²X) 1 - sen²x =( 1 + sen²X) 2 sen²x = 0 sen²x = 0 sen x = 0 x = arcsen (0), Logo: x = π/2 t kπ , onde k pertence aos Naturais. Resposta B 70]Hoje o produto das idades de duas pessoas é igual a 108. Se há seis anos atrás, suas idades somavam 9 anos, quantos anos terá a mais velha daqui há 5 anos? A) 23 B)20 C)19 D)17 E)15 Solução: Sejam x e y as idades das pessoas hoje. 108 xy · (eq. 1) Há seis anos atrás as idades eram x-6 e y-6, Logo: 12 9 y x 9 12 y x 9 ) 6 y ( ) 6 x ( + · + ⇒ · − + ⇒ · − + − 21 y x · + (eq. 2) Assim da equação 2, teremos: x 21 y − · Substituindo este último valor de y na equação 1, teremos: ( ) 0 108 x 21 x 108 x 21 x 108 x 21 x 2 2 · + − ⇒ · + − ⇒ · − (eq. 3) A Equação 3 é uma equação do 2º grau em x, calculamos então as raízes em x. ( ) ( ) ( ) ( ) 9 x 2 18 x 2 3 21 x 1 . 2 9 21 x a 2 b x 12 x 2 24 x 2 3 21 x 1 . 2 9 21 x a 2 b x 9 432 - 441 108 1 4 ) 21 ( ac 4 b 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 · ⇒ · ⇒ − · ⇒ − − − · ⇒ ∆ − − · · ⇒ · ⇒ + · ⇒ + − − · ⇒ ∆ + − · · ∆ ⇒ · ∆ ⇒ ⋅ ⋅ − − · ∆ ⇒ − · ∆ Observe que a idade da pessoa x pode ser 12 ou 9 Assim, substituindo a idade de x na equação 2, teremos o valor da idade de y. Assim: Para x = 12, teremos 9 y 12 21 y x 21 y · ⇒ − · ⇒ − · Para x = 9, teremos 12 y 9 21 y x 21 y · ⇒ − · ⇒ − · Assim a mais velha ( 12 anos ) terá daqui a cinco anos, 17 anos! Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 67 [email protected] Resposta: 17 anos. 71]Admita que as dimensões de a e b (a>b) de um retângulo diferem de 4 cm. Se aumentarmos estas dimenções em 3cm, a área do retângulo aumentará em 69 cm². Quais as dimenções de a e b do retângulo.? a) 20cm e 16cm b)16cm e 12cm c)12cm e 8cm d) 8cm e 4cm e) 23cm e 3cm Solução: Como a>b, podemos escrever que 4 b a · − (eq. 1) A área do retângulo é dada pelo produto de suas dimensões, logo a Área S do nosso retângulo é dada por ab S · (eq.2) Pelos dados do problema temos: ( ) ( ) 3 b 3 a 69 S + ⋅ + · + , mas ab S · , logo ( ) ( ) 3 b 3 a 69 ab + ⋅ + · + , desenvolvendo o produto teremos 9 b 3 a 3 ab 69 ab + + + · + b 3 a 3 60 + · , dividindo toda equação por 3, teremos b a 20 + · (eq. 3), temos então um sistema de equações envolvendo as equações (1 e 3) 12 a 24 a 2 4 b a 20 b a · ⇒ · ⇒ ¹ ' ¹ · − · + 8 b 12 20 b 20 b a · ⇒ − · ⇒ · + Resposta: item C Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 68 [email protected] 72]Se aumentarmos em 3 cm o lado de um quadrado, sua área aumentará 27cm² . A partir desses dados podemos dizer que o lado do quadrado mede . a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Solução: Ora, a área do quadrado de lado x é dada por 2 x S · (eq.1) Pelas informações prestadas no problema teremos: ( ) 2 3 x 27 S + · + (eq.2) Substituimos o valor de S encontrado na eq.1 em eq.2 ( ) 9 x 6 27 9 x 6 x 27 x 3 x 27 x 2 2 2 2 + · ⇒ + + · + ⇒ + · + 3 x 3 18 x 18 x 6 9 x 6 27 · ⇒ · ⇒ · ⇒ + · Observe que no problema o fato de ter sido usada a expressão “Se” sugere que não houve o aumento, mas sim uma hipótese lançada sobre o comprimento do lado do nosso quadrado. Assim, o lado do nosso quadrado mede 3 centímetros Resposta: Item a. 73]O quociente da divisão de 72 por um número negativo é o dobro desse número. A metade desse número é. A) +3 B) -4 C ) -5 D) 17 E) -7 Solução: 6 x 36 x x 36 x 2 72 x 2 x 72 2 2 · ⇒ · ⇒ · ⇒ · ⇒ − · − Logo a metade vale 3. Resposta, item A. Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 69 [email protected] 74](U.F. Fluminense – RJ) cortando-se pedaços quadrados iguais nos cantos de uma cartolina retangular de 80cm de comprimento por 60cm de largura. Obtém-se uma figura em forma de cruz. Se a área da cruz for a terça parte da área retangular original, o tamanho do lado de cada quadrado é igual a: a) 5 (raiz quadrada de 2cm) b)10 (raiz quadrada de 2cm) c) 15 (raiz quadrada de 2cm) d) 20 (raiz quadrada de 2cm) e) 25 (raiz quadrada de 2cm) Solução: Solução: A área do retângulo é igual a ab S · Cortando em cada canto um quadradinho de área 2 x A · , obtemos uma área em forma de cruz cuja área corresponde a terça parte da área do retângulo original, ou seja, ab 3 1 S f · , onde S f é a área da cruz. Ora, podemos com segurança, deduzir então que: “A SOMA DAS ÁREAS DOS QUATROS QUADRADOS É IGUAL A DOIS TERÇOS DA ÁREA DO RETÂNGULO ORIGINAL” Veja a demonstração dessa afirmação: ab 3 2 ab 3 1 ab S S A 4 f · − · − · , mas 2 x 4 A 4 · , logo ab x 6 ab 3 2 x 4 2 2 · ⇒ · , substituindo os valores de a e b, 2 20 x 800 x 800 x 60 . 80 x 6 2 2 · ⇒ · ⇒ · ⇒ · (Resposta: d) Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com ANTES DEPOIS b a x 70 [email protected] 75](UEFS) Um automóvel passou no quilometro 50 de uma rodovia com velocidade de 40km/h e manteve essa velocidade atá o quilômetro 60, quando freou uniformemente e parou no quilometro 62. Uma motocicleta estava que parada no quilômetro 50 da mesma rodovia, no mesmo instante em que o automóvel passou, partiu uniformemente durante parte do percusso e, em seguida, freou uniformemente até parar no quilômetro 62, chegando junto com o automóvel. Sabendo que o módulo da aceleração da motorcicleta é igual o da desaceleração, a velocidade máxima da motocicleta foi de, aproximadamente, a) 56 b) 69 c) 72 d)80 e)90 para percorrer os 10 km do km 50 até o 60 o carro levou 15 minutos..... na frenagem 0²=40²-2a.2...4a=1600...a=400km/h²...0=40-400t... t=0,1 hora=6 minutos...tempo total=21 minutos= =21/60h=7/20 h para a moto temos 6=(a/2)(7/40)²...12=a(49/1600)...a=12.1600/49.... v=a.t=12.1600.7/(40.49)=40.12/7=480/7=69 km/h aproximadamente... resposta b 76](UEFS) Um pequeno corpo foi lançado horizontalmente de uma altura a 20m do solo e percorreu uma distância horizontal igual á metade da altura de onde caiu. Desprezando os efeitos da registência do ar e considerando o módulo da aceleração da gravidade local como sendo 10m/s², é correto afirmar que o corpo foi lançado com velocidade , em ms igual a a)5 b) 7,0 c) 10, 0 d) 12,0 e) 20,0 h=5t²=20...t=2 s....v=10/2=5m/s...resposta a Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 71 [email protected] 77]A equação mx² + 4x + m = 0 não admite raízes reais se: a) m = 0 b) -4 < m < 4 c) -2 < m < 2 d) m < -2 e m >2 e) m < -2 ou m > 2 Solução Explicada e comentada: Para que uma equação do 2º grau não admita raízes reais, ou seja: { ¦ ℜ ∉ 2 1 x , x é necessário que o discriminante ∆, da equação, seja MENOR QUE ZERO, ou seja, negativo. 0 < ∆ Mas vejamos o valor do discriminante em função dos coeficientes da equação: ac 4 b 2 − · ∆ Ora, a = m;b = 4; c = m Substituindo... 2 2 2 m 4 16 m m 4 4 ac 4 b − · ∆ ⇒ ⋅ ⋅ − · ∆ ⇒ − · ∆ Ora, conforme dissemos anteriormente a condição necessária e suficiente para o discriminante é 0 < ∆ Logo 0 m 4 16 2 < − Resolvendo esta INEQUAÇÃO, teremos ( ) ( ) 4 m 0 m 4 0 m 4 4 0 m 4 16 2 2 2 2 − < − ⇒ < − ⇒ < − ⇒ < − , multiplicando esta última desigualdade por (-1) 2 m 2 4 m 2 > > − ⇒ > Bem, aqui cabe uma explicação importante! A questão não trouxe nas opções o resultado no FORMATO acima. Para enrolar o elaborador da questão, inseriu os CONECTIVOS, E e OU. Qual a diferença? Observe que as opções (d) e (e) são idênticas, exceto pelo CONECTIVO. Pois bem, o E indica um INTERVALO FECHADO e o OU um INTERVALO ABERTO. No nosso caso a resposta é a letra E, pois m terá que assumir valores menores que -2 OU maiores que 2. Ou uma outra notação ou representação { ¦ 2 m 2 / R m S + > > − ∈ · Resposta E Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 72 [email protected] 78] ( ) ( ) ¹ ' ¹ · · + II 3 I 90 β α β α Substituindo II em I, teremos 22,5 4 90 90 4 90 3 · · · · + β β β β β Assim, ( ) 5 , 67 22,5 - 90 90 5 , 22 I 90 · · · + · + α α α β α Logo 45 5 , 22 5 , 67 · − · − β α Item b. Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 73 [email protected] 79] Solução Sabemos que d(PO) = 2, logo: d(AO) = d(AB) = 1, Seja d(BC) = d(QC) = x , que é o raio do círculo menor. Seja d(QO) = 2 As informações acima implicarão nas seguintes distâncias: d(CO) = 2 – x e d(AC) = 1 + x Assim teremos um triângulo retângulo em AOC. Resolvendo pelo teorema de Pitágoras teremos: d(AC) 2 = d(CO) 2 + d(AC) 2 (1 + x) 2 = (2 – x) 2 + 1 2 1 + 2x + x 2 = 2 2 – 4x + x 2 + 1 6x = 4 x = 4/6 = 2/3 Item d Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com O A B C P Q x x 1 2-x 74 [email protected] 80] Solução: Área do terreno é dada por: A T = AB x BC Área do Jardim é dada por A J = BC x BC 5 3 Mas, BC = AB 5 3 Então, colocando tudo em função de AB, teremos. A T = AB x BC = AB x AB 5 3 = 2 AB 5 3 e A J = BC x BC 5 3 = AB 5 3 x AB 5 3 5 3 ⋅ = 2 AB 125 27 Assim a razão T J A A será igual a % 36 36 , 0 25 9 AB 5 3 AB 125 27 A A 2 2 T J · · · , ` . | , ` . | · Item b Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 75 [email protected] 81] Solução Ora, essa questão exige o conhecimento de potência de ângulos. A teoria diz que: I - O arco na circunferência tem a mesma medida do ângulo central II – O ângulo interno ABC, terá a metade da medida do arco AC. Bem, pela figura, o arco AC = AD + CD AD = 180 e CD, pela dito em II, terá o dobro de A, logo CD = 100 Assim, AC = 280, Ora, o ângulo ABC será igual a metade de 280, logo ABC = 140. Item c Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 76 [email protected] 82]A cerca de uma casa é formada por troncos de madeira de tamanhos diferentes dispostos lado a lado. A cada grupo de 19 troncos, as medidas dos mesmos aumentam 5 cm do décimo ao décimo - nono, formando um desenho simétrico, como mostra a figura acima. Se, somando-se as medidas dos 19 troncos que compõe um grupo, obtemos 19,25m, o tronco mais alto de cada grupo, em metros, mede: (a) 1,40 (b) 1,25 (c) 1,10 (d) 0,95 (e) 0,80 Solução Cada Grupo tem 19 troncos, vamos separar o grupo em dois subgrupos: Subgrupo (A) do 1º ao 10º Subgrupo (B) do 11º ao 19º Assim o tronco mais alto terá a posição (10). Logo, h 10 = x+45 Assim: Seqüência (A) ¬ x, x+5, x+10,..., x+45 Seqüência (B) ¬ x+40, x+35,..., x A soma das seqüências A e B e dada por: ∑ ∑ · + cm B A 1925 Eq. 1 ¬ Ora! A seqüência A é uma P.A. onde n=10; a 1 = x+40, a n = x e (r=5) ¬ A seqüência B é uma P.A. onde n=9; a 1 = x+40, a n = x e (r=-5); A Fórmula da soma dos termos de uma P.A. é dada por: Substituindo na Eq. 1, teremos: 1925 2 9 ]. x ) 40 x [( 2 10 )]. 45 x ( x [ · + + + + + Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 2 ). ( 1 n a a Sn n + · 77 [email protected] ( ) 1925 5 , 4 ). 40 x 2 ( 5 . 45 x 2 · + + + 1925 180 x 9 225 x 10 · + + + 1925 405 x 19 · + 405 1925 x 19 − · 1520 x 19 · 19 1520 x · 80 x · A Altura do tronco maior será: h 10 = x+45 h 10 = 80+45 h 10 = 125 cm h 10 = 1,25 m Item b. Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 78 [email protected] 83]A figura acima apresenta dois recipientes, um cilíndrico (1) e o outro cônico (2), ambos de altura h, com volumes respectivamente V 1 e V 2 quando cheios de líquido até a altura 2 h . Quando completamente cheios, cada um dos recipientes comporta 800 ml de líquido. A diferença entre os volumes V 1 e V 2 , em ml, é igual a (a) 0 (b) 100 (c) 200 (d) 250 (e) 300 Solução 400 2 800 V 1 · · ( ) 100 8 1 . 800 2 1 800 V 3 2 · · · Logo V 1 – V 2 = 400 – 100 Explicação:se seccionarmos um cone por um plano paralelo à base,os volumes dos 2 cones serão proporcionais aos cubos das alturas... Gabarito:E 84](uefs.2007.1) Duas pessoas, j e L, fazem caminhadas numa praça circular cujo o raio mede 6m. Certo dia partindo do ponto P, j caminhou por PQ (diânmetro da praça), e L preferiu seguir o caminho em volta da praça(sobre a circunferência).No instante em que j se encontra a 9m do ponto de partida, L se encontra em um ponto da circunferência em que jl é perpendicular a PQ. Nessas condições pode-se afirmar que o comprimento do arco em PL percorrido por L é: Solução explicada Observando a proporção m 12 m 9 concluímos que o arco percorrido por L tem cos igual a -1/2, logo equivale a 120º,ou seja,1/3 do comprimento da circunferência....2pi.6/3=4pi.... Resposta: 4Pi Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 79 [email protected] 85] (UEFS 2005.2) Sendo A e B ponto distintos do plano, considere - r, a reta que passa por A e B. -, C1 a circunferência com centro em A passando em B; - C2, a circunferência com centro em b passando em A; - X, o conjunto constituído pelos pontos de intersecção de C1 e C 2, de C1 e r e de C 2 e r. Com base nessas informações, pode-se concluir que o número máximo de triângulos, com vértices pertencentes a X, que se pode construir, é igual a: a) 6 b)12 c) 12 d)16 e) 28 Solução explicada Os pontos de intersecção entre as circunferências são 2 e entre as circunferências e as retas são 4, ou seja: o total de pontos que temos para formar triângulos são seis! Ora, para formarmos um triângulo precisamos de três pontos, assim precisamos fazer a seguinte combinação: 3 , 4 3 , 6 C C T − · ( ) ( ) 16 1 4 6 4 . 5 . 6 ! 1 !. 3 ! 4 ! 3 !. 3 ! 6 ! 3 4 ! 3 ! 4 ! 3 6 ! 3 ! 6 T · − · − · − − − · Resposta = 16 Triângulos. 86](UEFS 2007.1) Em uma estante, devem-se arrumar 9 livros, dos quais 5 são de matemática. A quantidade máxima de maneira que se pode colocar, em ordem, tais livros na estante, de modo que os livros de matemática fiquem sempre juntos, é a) 4!4! b)5!4! c)4!5! d) 5!5! e)14! Solução: Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com A B E D C F 80 [email protected] M M M M M H I S I N G G E O L I T Inicialmente podemos supor que os 5 livros de matemática formem um conjunto só. Assim entendemos que podemos permutar o BLOCO AZUL com os quatro livros, ou seja temos uma PRIMEIRA PERMUTAÇÃO DE 5 ELEMENTOS (BLOCO AZUL COM OS OUTROS LIVROS), depois temos que permutar esses 5 livros de matemática que compõem o bloco azul, Assim sendo a resposta fica: P5.P5=5!5! resposta: D 87](UEFS 2007.1) Em uma concessionária, certo modelo de automóveis pode se encontrado em seis cores, com quatro itens opcionais diferentes. O número de escolhas distintas, com um item opcional, pelo menos que uma pessoa tem, ao comprar um automóvel desse modelo, nessa concessionária, é igual a a) 15 b) 30 c)45 d)45 e)40 Nesse caso temos seis cores. Como todas as cores farão parte das possibilidades com os itens opcionais teremos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 90 ! 4 4 ! 4 ! 4 ! 3 4 ! 3 ! 4 ! 2 4 ! 2 ! 4 ! 1 4 ! 1 ! 4 ! 6 6 ! 6 ! 6 T · , ` . | − + − + − + − ⋅ − · aqui não há resposta certa entre as alternativas oferecidas.... Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 81 [email protected] 88](Uefs 2005.1) Pretende-se completar o quadro de horários acima com aulas de duas diciplinas Matemática, História, Geografia e Ciências, de modo que as aulas da mesma disciplina não ocorram no mesmo dia e nem em dias consecutivos. Nessas condições, pode-se concluir que o número de maneiras diferentes de que se pode completar o quadro é a) 1024 b) 243 c) 225 d) 192 e) 150 Ora como as disciplinas não podem ocorrer no mesmo dia e em dias consecutivos, teremos 4.3.2.2.2.2=192 resposta: D Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com segunda- feira Terça-feira Quarta-feira Quinta- feira Sexta- feira 8:00h/10:00h 10:00h/12 :00h 82 [email protected] 89](UEFS 2006.1)Uma pessoa supõe que seu relógio está 5 minutos atrasado, mas,na verdade, ele está 10 minutos adiantado. Essa pessoa que chega para um encontro marcado, julgando estar 15 minutos atrasada em relação ao horário combinado, chegou, na realidade, A) na hora certa. B) 5 minutos atrasada. C) 5 minutos adiantada. D) 10 minutos atrasada. E) 10 minutos adiantada. Solução comentada: Esta questão, envolve raciocínio lógico quantitativo e qualitativo. Detalhe importante: Existem duas suposições equivocadas pelo indivíduo (i) Atraso no relógio e (ii) Atraso pessoal. Esses atrasos não são da mesma natureza!. Bem, a Equação da qual falaste está desenvolvida no final. Vamos supor um horário correto qualquer T, marcado num relógio correto, que não é, lógico, do indivíduo da questão. Se a indivíduo I, supõe um atraso de 5 minutos em seu relógio, então dentro de sua suposição seu relógio está no horário T + 5 Mas na verdade ele está 10 minutos adiantado (é o que afirma um indivíduo J, com relógio certo, ou seja T - 10 Bem, I julga ter chegado 15 minutos atrasado, logo ele supõe ter chegado no horário T +15. Então teremos a seguinte equação: H = (Horário do atraso de I) – (Atraso do relógio de I) + (Adiantado) Logo H = (T+15) – (T+5) + (T-10) H = T + 15 – T – 5 + T – 10 H = T Ou seja ela chegou na hora T, e como T é o horário correto logo ela chegou na hora “h” ou seja na hora certa! RESPOSTA: A Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 83 [email protected] 90]2- (UEFS 2006.1) As seqüências (a1, a2, a3,..) e (b1, b2, b3,...), com a1 = 2 e b1 = 1/4, são progressões geométricas crescentes de razão q e q² respectivamente. Sendo b5= 2a5, o número inteiro n para o qual an = 2bn é A)2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 7 Solução comentada: Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 84 [email protected] Esta questão utilizou vários conceitos e tópicos da matemática, tais como equação do 2º grau, Equação Exponencial, Aplicação de resolução de equações exponenciais, Progressão Geométrica, Raciocínio Lógico. É importante que o candidato reveja esta questão e tente absorver seu conteúdo. Qualquer dúvida entre em contato Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 85 [email protected] A fórmula do termo geral da sequência em a é: 1 1 − · n n q . a a , substituindo o valor de a 1 teremos 1 2 − · n n q . a A fórmula do termo geral da sequência em b é: ( ) 1 2 1 − · n n q . b b , substituindo o valor de b 1 teremos ( ) 1 2 4 1 − , ` . | · n n q . b Utilizemos a informação de que b 5 = 2a 5 ( ) ( ) ( ) 8 4 2 1 5 2 5 4 1 4 1 4 1 q . q . q . b , ` . | · , ` . | · , ` . | · − 4 1 5 5 4 2 2 2 q . q . a · ⋅ · − Igualando, teremos ( ) ( ) ¹ ' ¹ − · · ⇒ · ⇒ · ⇒ · , ` . | ⇒ · , ` . | 2 2 16 16 4 4 1 4 4 1 4 4 4 4 8 q q q q q . q . q . , mas como temos a informação de que a PG é crescente, o valor de q considerado será o positivo. Com o valor de q = 2, substituiremos na última informação: ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 2 4 1 2 4 1 2 2 2 − − − − ⋅ · ⇒ , ` . | ⋅ · ⇒ · n n n n n n q . q . b a ( ) ⇒ ⋅ · ⇒ − − 2 2 1 2 4 1 2 n n Sabemos que 2 2 2 1 n n · − e ( ) 2 2 2 2 2 2 2 n n · − , substituindo no desenvolvimento , teremos ( ) 8 2 2 16 2 2 2 2 2 4 1 2 2 2 4 1 2 2 2 2 2 2 2 1 n n n n n n n n · ⇒ · ⇒ ⋅ · ⇒ ⋅ · ⇒ − − 0 2 8 2 2 2 8 8 2 2 2 2 2 · − ⇒ · ⇒ · ⇒ n n n n n n . . Ora, sabemos que ( ) 2 2 2 2 n n · Substituindo na equação acima, teremos ( ) 0 2 8 2 0 2 8 2 2 2 · − ⇒ · − ⇒ n n n n . . Fazendo x n · 2 e substituindo na equação acima teremos: ( ) 0 8 2 · − ⇒ x . x , resolvendo essa equação do 2º grau incompleta, teremos Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 86 [email protected] ( ) ( ) 0 2 8 8 2 16 8 2 8 2 8 8 2 64 8 2 64 0 1 4 8 4 2 1 2 2 · − · − · ∆ − − · · + · + · ∆ + − · · ∆ ⇒ ⋅ ⋅ − − · ∆ ⇒ − · ∆ a b x a b x ac b Mas x n · 2 , logo substituindo os valores encontrados em x, teremos ¹ ¹ ¹ ' ¹ ∃ ⇒ · · ⇒ · ⇒ · ⇒ · 0 2 3 2 2 8 2 2 3 n n n n n x Façamos a prova real! A condição solicitada é que tenhamos ( ) ( ) 4 4 2 4 1 2 4 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 · ⇒ ⋅ · ⇒ , ` . | ⋅ · ⇒ · − − n n n n q . q . b a Logo está comprovado e verificado que n = 3 RESPOSTA: B Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 87 [email protected] 91]3-(UEFS 2006.1 ) Se a e b são as raízes da equação x² + px + q = 0, então a soma a²b + ab² é igual a A) –Pq B) Pq C) P² q² D) P + q E) P² + q² Solução comentada: Sabemos que sendo A, B, e C os coeficientes das parcelas de uma equação do 2º grau completa, as raízes da mesma pode ser obtida pela regra da soma (S) e produto (P), sendo dada por: A C P ; A B S · − · Pela nossa equação temos que A = 1, B = p e C = q Como as raízes apresentadas no problema são a e b, podemos escrever que: q q b . a A C P p p b a A B S · · ⇒ · − · − · + ⇒ − · 1 1 Ora, se multiplicarmos ( ) ( ) ab b a ⋅ + , teremos 2 2 ab b a + . Assim: ( ) ( ) pq ab b a ab b a − · + · ⋅ + 2 2 RESPOSTA: A Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 88 [email protected] 92]4- (UEFS 2006.1) O coeficiente de x 4 no polinômio P(x) = (x + 1).(2x - 1) 6 é igual a A) 48B) 50 C)64 D)76 E) 80 Solução comentada O primeiro fator (x + 1), multiplica o desenvolvimento de (2x – 1) 6 . Assim, o primeiro fator (x + 1), deve necessariamente fazer o produto do desenvolvimento de (2x – 1) 6 justamente com as parcelas detentoras das potências de x 3 e x 4 . Veja abaixo a demonstração dessa linha de raciocínio. (x + 1) . (... Ax 3 ..... Bx 4 ....) = (....Ax 4 .....Bx 4 ...) Sendo assim resolvendo o desenvolvimento de (2x – 1) 6 para os termos que possuem as potências consideradas acima, teremos: p p n k a x p n T ⋅ ⋅ , ` . | · − , Para encontrarmos o termo em x 4 , teremos: n= 6; p = 2 ( ) ( ) ( ) 4 4 4 2 2 6 240 2 2 6 2 6 1 2 2 6 x x ! !. ! x ⇒ ⋅ − ⇒ − ⋅ ⋅ , ` . | − Para encontrarmos o termo em x 3 , teremos: n= 6; p = 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 6 160 1 2 3 6 3 6 1 2 3 6 x x ! !. ! x − ⇒ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⇒ − ⋅ ⋅ , ` . | − Concluindo... As parcelas 240x 4 e -160x 3 do desenvolvimento farão produto com aquela primeira parcela (x + 1), gerando várias parcelas entre elas parcelas em x 4 , que são: 240x 4 e -160x 4 , ora os coeficientes encontrados são 240 e -160, que somando algébricamente encontramos 80. RESPOSTA:E Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 89 [email protected] 93]Dados os conjuntos A= {-1,0,1}, B= {-2, 2 } e C= {-2,- 1,0,2} determine as relações: a) R1{ (x, y )∈ C. A / y =x² } b) R2 { ( x, y ) ∈ Α.Β / y = 2x } c) R3 { ( x,y ) ∈ Α.C / y = ( x + 1 ) } Solução Elaborando todos os pares ordenados de CxA, teremos: Item a: CxA = {(-2,-1), (-2,0), (-2,1), (-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (2,-1), (2,0), (2,1)} Bem, agora temos que encontrar dentro desses “pares” aqueles que verificam a igualdade y = x 2 , onde y representa o segundo valor dentro de cada parênteses e x o primeiro valor. Assim, por exemplo o primeiro par ordenado (-2,-1), não pertence a R 1 , pois (-1) 2 não é igual a -2, assim sendo, os únicos pares que verifica a lei y = x 2 são os pares (0,0) e (-1,1). Item b AxB = {(-1,-2), (0, -2), (1, -2), (-1,2), (0,2), (1,2)} Bem, agora temos que encontrar dentro desses “pares” aqueles que verificam a igualdade y = 2x, onde y representa o segundo valor dentro de cada parênteses e x o primeiro valor. Assim, por exemplo o primeiro par ordenado (-1, -2), pertence a R 2 , pois 2x(-1)=-2, assim sendo, os únicos pares que verificam a lei y = 2x são os pares (-1,-2) e (1,2). Item c AxC = {(-1,-2), (0,-2), (1,-2), (-1,-1), (0,-1), (1,-1), (-1,0), (0,0), (1,0), (-1,2), (0,2), (1,2)} Bem, agora temos que encontrar dentro desses “pares” aqueles que verificam a igualdade y = x+1, onde y representa o segundo valor dentro de cada parênteses e x o primeiro valor. Assim, por exemplo o primeiro par ordenado (-1,-2), não pertence a R 1 , pois -2 não é igual a -1+1, assim sendo, os únicos pares que verificam a lei y = x+1 são os pares (-1,0) e (1,2) Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 90 [email protected] 94]Dados A = {-2,-1,0,1,2 } e B={0,1,4, 9 } identifique a relação de A em B que é função. a) { ( x, y ) ∈ Α.Β / y = Raiz quadrada de x } b) { ( x,y ) ∈ A.B/ y = x + 1 } c) { ( x,y ) ∈ A.B / y = 3x + 1} d) { ( x,y ) ∈ A.B / y = x² } Solução: Fácil é observar que os pares (x,y), sendo x∈A e y∈B, serão (-2,0), (-2,1), (-2,4), (-2,9) (-1,0), (-1,1), (-1,4), (-1,9) (0,0), (0,1), (0,4), (0,9) (1,0), (1,1), (1,4), (1,9) (2,0), (2,1), (2,4), (2,9) Os pares em destaque representam os pares que verificam a lei do item d, ou seja, “todos os valores do domínio (A) possuem um valor respectivo no contra-domínio (B). Assim a relação que é função de A em B, é a opção d. 95]Sendo A = {-1, 0, 1} e B = {-4, -2, -1, 4, 8} identifique a relação R de A em B por Y= 3x² - 1 a) R= { ( -1, -4 ), ( 0, -1 ), ( 1, 2 ) } b) R= { ( -1, 2 ), ( 0, -1 ), ( 1, 2 ) } c) R= { ( -1, -2 ), ( 0, 1 ), ( 1, -2 ) } d) R= { ( -1, 8 ), ( 0, -1), ( 1, 8 ) } Solução: Ora, a Relação será aquela que possui os pares que verificam a lei. Assim para encontrarmos a relação procedemos da seguinte forma: x∈A e y∈B x=-1 ⇒ y = 3.(-1) 2 -1 ⇒ y = 2 ⇒ (-1,2) x=0 ⇒ y = 3.(0) 2 -1 ⇒ y = -1 ⇒ (0,-1) x=1 ⇒ y = 3.(1) 2 -1 ⇒ y = 2 ⇒ (1,2) Logo, a resposta certa está na opção b Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 91 [email protected] 96] Seja o complexo da forma w = a + bi, assim teremos a · 2 2 e b · 2 2 . Com tais valores podemos determinar o módulo do complexo w, dado pela fórmula: ρ · + a b 2 2 , realizando as devidas substituições teremos: 2 2 2 2 2 2 , ` . | + , ` . | · ρ , ` . | + , ` . | · ⇒ 4 2 4 2 ρ 1 1 4 4 t · ⇒ · ⇒ · ⇒ ρ ρ ρ Assim o valor do módulo será 1 t · ρ ρ θ a cos · e ρ θ b sen · temos que : 2 2 cos 1 2 2 cos · ⇒ , ` . | · θ θ 2 2 sen 1 2 2 sen · ⇒ , ` . | · θ θ Assim com tais valores para seno e cosseno: 4 π θ · substituindo os valores encontrados na forma trigonométrica: , ` . | ⋅ + ⋅ · 4 sen i 4 cos 1 w π π Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 92 [email protected] Assim, sabendo-se que a potência de um complexo é dada por ( ) ( ) θ θ ρ θ θ ρ senk i k cos sen i cos w k k k ⋅ + · ⋅ + · Como no nosso caso em particular 1 · ρ , então sua potência não varia, ou seja, fica igual a 1. Assim. , ` . | ⋅ + · , ` . | ⋅ + · , ` . | ⋅ + · 2 sen i 2 cos 4 2 sen i 4 2 cos 4 sen i 4 cos w 2 2 π π π π π π , ` . | ⋅ + · , ` . | ⋅ + · 4 3 sen i 4 3 cos 4 sen i 4 cos w 3 3 π π π π ...... generalizando..... teremos: , ` . | ⋅ + · , ` . | ⋅ + · 4 n sen i 4 n cos 4 sen i 4 cos w n n π π π π Todas essas potências representam números complexos em determinadas posições no plano. Todos os pontos, “rodam” sempre de 4 π a 4 π radianos, ou seja, de 45º em 45º, assim, nossos conjunto de números distintos será igual a 8 4 1 2 4 2 · ⋅ · π π π π Resposta, item b Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 93 [email protected] 97] Na igualdade temos: ( ) 1 1 b i a 1 i bi a 1 i z · + + ⇒ · + + ⇒ · + , ora se o complexo apresenta somente valor real na igualdade, que no caso é o valor 1, então é necessário que a = 1 e b = -1. Observe que b tem que ser necessariamente (-1) a fim de que o valor do complexo não haja imaginário! Analisando a segunda parte da expressão, temos 0 z 1 1 z · ⇒ · + , o que inviabiliza a equação acima, assim consideramos apenas o primeiro caso. Dessa forma teremos que, a = 1 e b = -1, realizando o módulo de z, teremos 2 2 b a + · ρ , substituindo teremos: 2 ) 1 ( 1 2 2 · + · ρ Item b. Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 94 [email protected] 98] Solução: Deseja-se saber a respeito da parte Real (Re) e a parte imaginária (Im). Pois bem, vejamos Z tem módulo 1 · ρ e argumento igual a º 135 4 3 · · π θ , com esses valores podemos expressar o afixo de Z ρ θ a cos · e ρ θ b sen · , mas º 135 4 3 · · π θ = (90º + 45º), observe que nosso argumento é um ângulo que está no 2º quadrante (cos (-) e sen (+)) e seus valores, em módulo, são correspondentes ao ângulo de 45º, então temos que : 2 a 2 a 2 2 1 a 4 3 cos cos − · ⇒ · − ⇒ · , ` . | · π θ 2 b 2 b 2 2 2 b 4 3 sen sen · ⇒ · ⇒ · , ` . | · π θ Assim com tais valores para a e b, parte real e imaginária, respectivamente, temos Z em sua forma algébrica: ( ) i 2 2 bi a Z ⋅ + − · + · Façamos o valor de Z 2 ? ( ) ( ) ( )( ) ( ) · ⋅ + ⋅ − ⋅ + − · ⋅ + − · 2 2 2 2 i 2 i 2 2 2 2 i 2 2 Z i 8 2 i 8 2 − · − − · Ou seja, Z 2 tem para parte Real o valor Zero Re(Z 2 ) = 0; Opção B Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 95 [email protected] 99] Outra questão que merece destaque. Vamos discutir observando o gráfico da questão, pois assim ficará mais fácil o entendimento... x 1 a y b 1 AFIXO AFIXO b a O W Z O Problema diz que o afixo é um ponto sobre a reta. Pois bem, o módulo do afixo é igual a 5 . Assim, tanto podemos ter um afixo em Z como em W, resultando nesse módulo!. Desta forma teremos dois Afixos que podem validar a situação. Como os pontos Z e W no plano cartesiano são também os afixos Z e W no plano Argand-Gauss (Complexo) podemos dizer que: Z pertence à reta e ao complexo e W também. Assim utilizando-se do conceito da reta teremos: a 1 b − · (eq.1) , que é a equação da reta em função de a e b. 5 b a 2 2 · + (eq.2), que é o módulo tanto de Z quanto de W. Substituindo o valor de b da eq.1 na eq.2 e realizando as operações de praxe teremos... ( ) 5 a 1 a 5 b a 5 b a 2 2 2 2 2 2 · − + ⇒ · + ⇒ · + ( ) 0 4 a 2 a 2 5 1 a 2 a a 5 a 1 a 2 2 2 2 2 · − − ⇒ · + − + ⇒ · − + , simplificando Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 96 [email protected] teremos 0 2 a a 2 · − − , uma equação do 2º grau em a. Resolvendo 1 2 3 1 2 9 ) 1 ( a 2 2 3 1 2 9 ) 1 ( a 9 ) 2 ( 1 4 ) 1 ( 2 1 2 − · − · − − − · · + · + − − · · ⇒ − ⋅ ⋅ − − · ∆ ∆ Assim a parte real de Z e W são respectivamente, 2 e -1. Substituindo esses valores em eq.1, encontraremos a parte imaginária dos afixos. 2 b 1 a 1 b 2 a 2 2 1 1 · ⇒ − · − · ⇒ · Assim os afixos são Z = 2 – i e W = -1+2i Mas o problema deseja o valor de b a − Substituindo os valores encontrados, teremos 3 3 2 1 b a 3 3 ) 1 ( 2 b a · − · − − · − · · − − · − Resposta: 3 Item d 100] Solução Nosso complexo é da forma ( ) bi a Z + · , e seu conjugado será dado por bi a Z − · Como o módulo é igual a 3, podemos deduzir que: Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 97 [email protected] 9 3 b a 2 2 2 · · + Uma dica importante: O lugar geométrico do complexo a+ bi é uma circunferência de raio igual ao módulo desse complexo geral. Bem, façamos por partes. Nas opções temos vários produtos, sendo que os fatores são sempre Z , o quadrado de Z e o Conjugado de Z. Façamos então o quadrado de Z. Teremos: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 b abi 2 a i b abi 2 a bi a Z − + · + + · + · Pelo resultado acima descartamos a opção A. Façamos agora o produto indicado na opção B. Z . Z = ( ) ( ) ( ) i b ab 2 bi a ab bi a 2 a b abi 2 a bi a 3 2 2 2 2 3 2 2 + + − − + · − + ⋅ − = = ( ) i b ab bi a a i b ab 2 bi a ab bi a 2 a 3 2 2 3 3 2 2 2 2 3 + + + · + + − − + fatorando esta última expressão, colocando 2 2 b a + em evidência teremos: ( ) ( ) bi a b a 2 2 + ⋅ + , ora, como 9 b a 2 2 · + e ( ) bi a Z + · , temos de fato que ( ) ( ) z 9 bi a b a 2 2 · + ⋅ + . Item B. Nem precisamos testar as outras opções! Pois só existe uma certa. 101] Solução: Z 1 tem módulo 2 · ρ e argumento igual a 3 4π θ · , com esses valores podemos expressar o afixo de Z 1 Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 98 [email protected] ρ θ a cos · e ρ θ b sen · , mas 3 4π θ · = 240º (180º + 60º), observe que nosso argumento é um ângulo que está no 3º quadrante (cos (-) e sem (-)) e seus valores, em módulo, são correspondentes ao ângulo de 60º, então temos que : 1 a 2 a 2 1 2 a 3 4 cos cos − · ⇒ · − ⇒ · , ` . | · π θ 3 b 2 b 2 3 2 b 3 4 sen sen − · ⇒ · − ⇒ · , ` . | · π θ Assim com tais valores para a e b, parte real e imaginária, respectivamente, temos Z 1 em sua forma algébrica: ( ) i 3 1 bi a Z 1 − − · + · Agora determinamos Z 2 Z 2 tem módulo 2 · ρ e argumento igual a 4 π λ · , com esses valores podemos expressar o afixo de Z 2 ρ λ a cos · e ρ λ b sen · , mas 4 π θ · = 45º observe que nosso argumento é um ângulo que está no 1º quadrante (cos (+) e sen (+)) e seus valores, em módulo, são correspondentes ao ângulo de 45º, então temos que : 2 a 2 a 2 2 2 a 4 cos cos · ⇒ · ⇒ · , ` . | · π λ 2 b 2 b 2 2 2 b 4 sen sen · ⇒ · ⇒ · , ` . | · π λ Assim com tais valores para a e b, parte real e imaginária, respectivamente, temos Z 1 em sua forma algébrica: ( ) i 2 2 bi a Z 2 + · + · Substituindo os valores encontrados na expressão, teremos: ( ) ( ) ( ) i 1 2 i 3 1 2 2 i 2 2 i 3 1 2 2 Z Z 2 2 2 1 + ⋅ − − ⋅ · + − − ⋅ · ⋅ , simplificando... ( ) ( ) i 1 i 3 1 2 + − − ⋅ , nesse ponto devemos “racionalizar” o denominador, multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 99 [email protected] ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 i 1 i 3 2 i 3 2 i 2 2 i 1 i 1 i 1 i 3 1 2 i 1 i 1 i 1 i 3 1 2 − ⋅ + ⋅ − + − · − + − − − ⋅ · − + − − − ⋅ , mas sabemos que i 2 = -1, logo ( ) ( ) 2 3 2 i 3 2 i 2 2 i 1 i 3 2 i 3 2 i 2 2 2 2 − ⋅ − + − · − ⋅ + ⋅ − + − ⇒, ora dividindo todo numerador por 2, teremos ⇒ 3 i 3 i 1 − ⋅ − + − , colocando i em evidência, teremos ⇒ ( ) 3 1 i 3 1 − ⋅ + − − Respota item A 102] Ora, muito simples. Observe que nossa “figura” é um hexágono, logo temos seis afixos no plano complexo, “rodando” de º 60 radianos 3 6 2 · · π π Um de seus vértices é o Z = 2i, dessa forma temos que, a = 0 e b = -1, realizando o módulo de z, teremos ρ · + a b 2 2 , substituindo teremos: ( ) ( ) ( ) 2 4 2 0 2 2 · ⇒ + · ⇒ + + · ρ ρ ρ Ora o próximo afixo está a º 60 radianos 3 · π do primeiro ponto em 90º. Assim, rodando no sentido anti-horário, teremos um SEGUNDO afixo a (90 + 60º) ou seja a 6 5π θ · , no plano. Logo, Pelos dados do problema temos: 2 · ρ e 6 5π θ · Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 100 [email protected] Sabemos que a forma algébrica é da forma bi a Z + · Sabemos também que ρ π a 6 5 cos · , ` . | e ρ π b 6 5 sen · , ` . | , como os valores de , ` . | 6 5 cos π e , ` . | 6 5 sen π são respectivamente: 2 3 − e 2 1 temos: 2 a 2 3 · − ∴ 3 a − · e 2 b 2 1 · ∴ 1 b · Substituindo os valores na expressão da forma algébrica teremos o segundo ponto no plano i 3 Z + − · ⇒ SEGUNDO AFIXO o próximo afixo está a º 60 radianos 3 · π do segundo ponto em 150º. Assim, rodando no sentido anti-horário, teremos um TERCEIRO afixo a (150º + 60º = 210º ) ou seja a 6 7π θ · , no plano. Logo, Pelos dados do problema temos: 2 · ρ e 6 7π θ · Sabemos que a forma algébrica é da forma Z a bi · + Sabemos também que ρ π a 6 7 cos · , ` . | e ρ π b 6 7 sen · , ` . | , como os valores de cosseno e seno são respectivamente: 2 3 − e 2 1 − temos: 2 a 2 3 · − ∴ 3 a − · e 2 b 2 1 · − ∴ 1 b − · Substituindo os valores na expressão da forma algébrica teremos o segundo ponto no plano i 3 Z − − · ⇒ TERCEIRO AFIXO Assim, rodando no sentido anti-horário, teremos um QUARTO afixo a (210º + 60º = 270º ) ou seja a 2 3 6 9 π π θ · · , no plano. Logo, Pelos dados do problema temos: 2 · ρ e 2 3π θ · Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 101 [email protected] Sabemos que a forma algébrica é da forma bi a Z + · Sabemos também que ρ π a 2 3 cos · , ` . | e ρ π b 2 3 sen · , ` . | , como os valores de cosseno e seno são respectivamente: 0 e 1 − temos: 2 a 0 · ∴ 0 a · e 2 b 1 · − ∴ 2 b − · Substituindo os valores na expressão da forma algébrica teremos o segundo ponto no plano i 2 Z − · ⇒ QUARTO AFIXO Assim, rodando ainda mais no sentido anti-horário, teremos um QUINTO afixo a (270º + 60º = 330º ) ou seja a 6 11π θ · , no plano. Logo, Pelos dados do problema temos: 2 · ρ e 6 11π θ · Sabemos que a forma algébrica é da forma bi a Z + · Sabemos também que ρ π a 6 11 cos · , ` . | e ρ π b 6 11 sen · , ` . | , como os valores de cosseno e seno são respectivamente: 2 3 e 2 1 − temos: 2 a 2 3 · ∴ 3 a · e 2 b 2 1 · − ∴ 1 b − · Substituindo os valores na expressão da forma algébrica teremos o segundo ponto no plano i 3 Z − · ⇒ QUINTO AFIXO Assim, rodando ainda mais no sentido anti-horário, teremos um QUINTO afixo a (330º + 60º = 390º = 30º (menor determinação) ) ou seja a 6 π θ · , no plano. Logo, Pelos dados do problema temos: 2 · ρ e 6 π θ · Sabemos que a forma algébrica é da forma bi a Z + · Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 102 [email protected] Sabemos também que ρ π a 6 cos · , ` . | e ρ π b 6 sen · , ` . | , como os valores de cosseno e seno são respectivamente: 2 3 e 2 1 temos: 2 a 2 3 · ∴ 3 a · e 2 b 2 1 · ∴ 1 b · Substituindo os valores na expressão da forma algébrica teremos o segundo ponto no plano i 3 Z + · ⇒ SEXTO AFIXO Ora é óbvio que num concurso vestibular o candidato deve operar de forma mais racional a fim de “ganhar” tempo nos cálculos. Observe que poderíamos resolver os quarto, quinto e sexto afixos de outra forma. Veja que os afixos estão “rodando” no plano, de passo igual a 60º, é tranqüilo supor que o quarto afixo está a 180º do primeiro, ou seja será seu oposto, assim o quarto afixo está exatamente abaixo do primeiro em -2i. Podemos raciocinar da mesma forma com os afixos i 3 Z + − · e i 3 Z − − · , poupando assim um tempo precioso na prova! Opção item D. 103](Matemática – Triângulo Retêngulo) Numa demolição, um pedreiro constrói uma rampa de madeira para retirar os tijolos que serão reaproveitados. Considerando que a rampa está apoiada sobre uma parede de 3,2 m de altura (figura) e que um tijolo, de massa 1,2 kg aproximadamente, deslize sem atrito sobre ela a partir do repouso, a velocidade do tijolo na base da rampa será (use g=10 m/s² ) A)12 m/s. B) 32m/s C) 38,4 m/s. D) 8 m/s. E) 3,84 m/s Solução comentada Trata-se de um caso típico de Conservação da Energia. Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 103 [email protected] As Energias envolvidas: Energia Potencial (EP = mgh) e Energia Cinética dada por 2 mv 2 1 EC · Ora, o bloco ao deslizar sobre a rampa converte toda energia potencial em energia cinética. Portanto podemos escrever que EP = EC Assim: mgh mv 2 1 2 · , dividindo toda a equação por m, teremos: gh v 2 1 2 · , multiplicando esta última por 2 e extraindo a raiz quadrada, teremos: gh 2 v · , ora, substituindo os valores encontramos o valor de v: s / m 8 2 , 3 . 10 . 2 v gh 2 v · · ⇒ · RESPOSTA:C 104](Matemática – Geometria – área)Na figura, ABCD é um quadrado de lado a, e a área da região sombreada é interior a dois arcos de círculos de centros em C e D com raios iguais ao lado do quadrado. Calcule a área da região sombreada. Solução comentada: Primeiro: Vou redesenhar a figura colocando pontos e representando áreas. Veja abaixo. T C C a b c O que queremos é a área T + C + C, ou seja, Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 104 [email protected] A área T é a área de um triângulo eqüilátero de lado a, pois as distância, ab = bc = ca Assim teremos: 4 3 a T 2 · que é a área de um triângulo eqüilátero de lado a. Agora temos que encontrar o valor da área C, que é uma folha. Pois bem, aqui vai um macetão. Observe o SETOR CIRCULAR construído em centro b e arco ac. Veja abaixo Ora, a área C, será dada pela área do SETOR CIRCULAR de ângulo 60º, que chamaremos de H, subtraída da área do Triângulo. C = H – T A área H é dada por 2 a 6 1 H π · , logo teremos 4 3 a a 6 1 C 2 2 − π · , Agora temos condições de calcular a área T + C + C , ` . | − π + , ` . | − π + · + + 4 3 a a 6 1 4 3 a a 6 1 4 3 a C C T 2 2 2 2 2 , ` . | − π + · + + 4 3 a 2 a 6 2 4 3 a C C T 2 2 2 , colocando a 2 em evidência, teremos , ` . | − π · + + 4 3 3 1 a C C T 2 Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 105 [email protected] 105](Matemática – Áreas – Função do 2º Grau) A área colorida da figura abaixo é 130cm². Calcule a área da parte restante da figura. 3 4 x x x x Na figura acima estão indicadas as fórmulas das áreas parciais, ou seja a área de cada célula. Ora, como a área pintada é igual a 130, podemos escrever que x 2 + x 2 + x 2 + 4x + 4x = 130 3x 2 + 8x = 130 3x 2 + 8x – 130 = 0 Temos aí uma equação do 2º grau em x. Resolvendo teremos: a = 3; b = 8; c = -130 ( ) 05 , 8 6 48,3 - 3 . 2 3 , 40 8 a 2 b x 38 , 5 6 32,3 3 . 2 3 , 40 8 a 2 b x 3 , 40 1624 1560 64 130 3 4 8 ac 4 b 2 1 2 2 − · · − − · − − · · · + − · + − · ≅ ⇒ · + · ⇒ − ⋅ ⋅ − · ⇒ − · ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ Desconsideramos o valor negativo (-8,05) pois o resultado de x é Natural! Logo x = 5,38 (aproximadamente) O restante da figura é igual a: 3x + 3x + 3x + 4x = 13x = 13 . 5,38 = 69,94 aproximadamente. Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 4x 4x x 2 x 2 x 2 3x 3x 3x 4x 106 [email protected] 106] (Assunto: Módulo, Função do 2º grau, Função Modular) Os pontos em comum dos gráficos das funções reais f(x)= x+2 e g(x)= | x² - 4 | pertencem ao conjunto a) vazio b) { -2, 1, 3, 5}x { 0, 2, 3, 5 } c) {-2, 1, 3, 5 }x { -2, 1, 3, 5} d) { -2, 0, 3, 5 } x { -2, 1, 3, 5} e) {-2, 0, 1, 3 } x {-2, 0, 1, 3 } Solução comentada: O gráfico da situação proposta está representado ( ) ¹ ¹ ¹ ' ¹ − − − · − 4 x 4 x 4 x 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 5 1 a 2 b x 3 2 5 1 a 2 b x 25 24 1 6 1 4 1 ac 4 b 0 6 x x 2 x 4 x 2 1 2 2 2 2 − · − · ∆ − − · · + · ∆ + − · · ∆ ⇒ + · ∆ ⇒ − ⋅ ⋅ − − · ∆ ⇒ − · ∆ · − − ⇒ + · − Para esses valores de x, teremos os seguintes pontos: ) 0 ; 2 ( Q 0 2 x y 2 x ) 5 ; 3 ( P 5 2 x y 3 x 2 1 − ⇒ · + · ⇒ − · ⇒ · + · ⇒ · Igualando a segunda equação do módulo teremos: Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com y -3 -1 0 2 4 5 0 1 2 3 4 1 -2 3 5 R P Q 107 [email protected] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 a 2 b x 2 2 3 1 a 2 b x 9 8 1 2 1 4 1 ac 4 b 0 2 x x 2 x 4 x 2 1 2 2 2 2 · − − · ∆ − − · − · − + · ∆ + − · · ∆ ⇒ + · ∆ ⇒ ⋅ − ⋅ − − · ∆ ⇒ − · ∆ · + − − ⇒ + · − − Para esses valores de x, teremos os seguintes pontos: ) 0 ; 2 ( Q 0 2 x y 2 x ) 3 ; 1 ( R 3 2 x y 1 x 2 1 − ⇒ · + · ⇒ − · ⇒ · + · ⇒ · Ora, os pontos são (-2,0), (1,3) e (3,5). Agora, fazendo os pares ordenados dos conjuntos das opções dadas, veremos que na opção B, o conjunto de pontos da solução de nossa equação está contido no conjunto de pontos estabelecidos nos pares ordenados da relação dada no item B. Essa questão poderia ser anulada! Observe que o enunciado não estabelece a direção da relação existente nas opções, ou seja, não menciona se a relação é AxB ou BxA, admitindo-se os primeiros elementos como sendo pertencentes a A e os segundos a B. Numa relação é necessário estabelecer quem será o conjunto de partida e o conjunto de chegada! Assim, a opção em b, será a verdadeira se e somente se os primeiros elementos pertencerem a A e os segundos a B e a relação for estabelecida na forma AxB. A menos que isso tudo tenha sido dito podemos considerar a opção b como correta! 107]Um artezão usa peças circulares de mesmo diâmetro, para confeccionar tapetes circulares. Sabe-se que todas as peças são agregadas ao redor da peça central, tangenciando-a. Assim sendo, o número de peças necessárias para confeccionar cada tapete é igual a: A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 R P Q Pela simples observação notamos que os centros dos três círculos, determinam os vértices de um triângulo eqüilátero ∆PQR cujo ângulo interno é igual (60º). Assim, ao redor do círculo central teremos 360º/60º = 6 discos à sua volta. Logo a quantidade de discos será igual a 7. Item C Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 108 [email protected] 108](Matemática – Geometria – Volume) (UFRN ) A razão entre o volume de uma esfera de raio R e o volume do cubo nela inscrito é: Solução: Um cubo inscrito numa esfera de raio R, possui uma diagonal interna igual a 2R. Como a diagonal interna d é igual a 3 L d · , podemos escrever que: 3 3 R 2 L 3 3 3 R 2 L 3 R 2 L R 2 3 L · ⇒ ⋅ · ⇒ · · Ora, o Volume da esfera é dado por: 3 e R 3 4 V π · e o Volume do Cubo é igual a 9 3 R 8 V 27 3 3 R 8 V 3 3 R 2 V L V 3 c 3 c 3 c 3 c ⋅ · ⇒ ⋅ ⋅ · ⇒ , ` . | · ⇒ · Assim a Razão: 2 3 3 3 2 1 1 9 3 R 8 R 3 4 V V 3 3 c e ⋅ π · , ` . | , ` . | π · , ` . | ⋅ , ` . | π · RESPOSTA: 2 3 V V c e ⋅ π · 109](Matemática – Geometria – Volume) (FEI – SP) A área total de um cubo e a área de uma superfície esférica são iguais. Qual a razão entre o raio da superfície esférica e a medida de uma aresta do cubo? Solução: A área total da superfície esférica de raio R é dada por 2 e R 4 S π · A área total de um cubo de lado L é dada por : 2 c L 6 S · Ora c e S S · π π · π π ⋅ · π · π · ⇒ π · ⇒ π · ⇒ · π 2 6 2 6 2 6 4 6 L R 4 6 L R 4 6 L R L 6 R 4 2 2 2 2 resposta: π π · 2 6 L R Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 109 [email protected] 110](Matemática – Geometria – Volume) Um cone tem 12cm de altura e um volume de 16πcm³. A distância do vértice que devemos secciona-lo por um plano paralelo à base para destacar um cone cujo o volume é 2πcm³? Solução: d H figura I R x C B A D E V i V s A figura I, apresenta a medidas principais do cone nos dois momentos apresentados. (Observação: O cone invertido não modifica o raciocínio e a forma das áreas das bases não influi no cálculo) Sejam: V T – Volume total do cone V I – Volume da parte vazia. V S – Volume da parte cinza. R – Raio da base do cone x – Raio da base do cone cinza. d – altura do cone cinza. H – altura do cone Total O que se quer determinar? O valor da distância d Da figura I, temos: H R 3 1 V 2 T π · C d x 3 1 Vi 2 π · C Ainda na figura I por semelhança nos triângulos ABC e ADE, temos: d x H R · C resolvendo para x teremos H Rd x · C.a Dividindo C por C encontramos a relacão: Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 110 [email protected] d x H R d x 3 1 H R 3 1 V V 2 2 2 2 I T · π π · C Substituindo na relação C o valor de x determinado em C.a, teremos: 3 3 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 I T d H d R H R d d R H H R H d d R H R d H Rd H R V V · · ⋅ ⋅ · ⋅ · , ` . | · Assim podemos estabelecer que: 3 3 I T d H V V · C Ora, agora que temos a relação entre os volumes e as alturas, podemos descobrir 6 2 12 d 8 12 d 16 2 12 d 2 12 16 d d 12 2 16 d H V V 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 I T · · ⇒ · ⇒ ⇒ π π ⋅ · ⇒ π ⋅ · π ⋅ ⇒ · π π ⇒ · Resposta: Devemos seccionar o cone a uma distância de 6 centímetros a partir do vértice (A) 111] (Matemática – Função do 2º Grau) (UFPB) Se ℜ → ℜ : f é uma função quadrática cujo gráfico está desenhado abaixo, então: x 1 f(x) 4 -1 3 (i) Sabemos que a abscissa e a ordenada do vértice são dadas respectivamente por: a 2 b x v − · (eq.1) e a 4 ac 4 b a 4 y 2 v − − · ∆ − · (eq.2) (ii) e sendo -1 uma raiz, teremos que: Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 111 [email protected] 0 c b a 0 c ) 1 ( b ) 1 ( a ) 1 ( f 2 · + − ⇒ · + − + − · − (eq. 3) (iii) A segunda raiz vale: 3 x 2 · (iv) Pela fórmula do produto das raízes determinamos a relação existente entre a e c: a 3 c ) 3 .( 1 a c − · ⇒ − · (eq. 4) Da eq.1, podemos dizer que v x b a 2 · − , multiplicando toda expressão por 2, teremos: v x b 2 a 4 · − (eq. 5) Da eq. 2, podemos dizer que: v 2 y ac 4 b a 4 − · − (eq. 6) Igualando as equações (eq. 5) = (eq. 6), teremos v 2 v y ac 4 b x b 2 − · (eq. 7), substituindo nessa equação o valor encontrado na (eq. 5), teremos: v v 2 v y c x b 2 b x b 2 + · (eq. 8). Desenvolvendo a eq. 8, teremos: v 2 v v v v 2 v v v v 2 v x bc 2 b x x b y 2 c x b 2 b x b y 2 y c x b 2 b x b 2 + · ⇒ + · ⇒ + · , simplificando e dividindo toda expressão por b, teremos: ( ) 2 c 2 b x y v v + · (eq. 9) Da (eq. 4) e (eq. 5) podemos escrever: ( ) ( ) v v x 2 b 3 x 4 b 2 3 a 3 c · − − · − · (eq. 10) Substituindo (eq. 10) em (eq. 9), teremos: , ` . | + · ⇒ , ` . | + · ⇒ , ` . | + · v 2 v v v v v v v v x 2 b 3 b x y x b 3 b x y 2 2 x 2 b 3 2 b x y , colocando b em evidência e isolando a expressão para b, teremos. ( ) ( ) 3 x x y . 2 b 3 x b x y 2 2 v v v 2 v v v + ⋅ · ⇒ + · ⋅ ⋅ (eq. 11) Assim podemos pelos dados do problema, determinar o valor de b. Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 112 [email protected] ( ) ( ) 2 b 4 8 3 1 1 4 2 3 x x y . 2 b 2 2 v v v · ⇒ · + ⋅ ⋅ · + ⋅ · Substituindo o valor de b encontrado na eq. 10, teremos: ( ) ( ) 3 c 2 6 1 2 2 3 c x 2 b 3 c v · ⇒ · ⋅ ⋅ · ⇒ · Pela (eq. 4) e o valor de c, encontramos a 1 a a 3 3 a 3 c − · ⇒ − · ⇒ − · Assim o trinômio procurado é: 3 x 2 x y 2 + + − · Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 113 [email protected] 112](Matemática – Função do 2º Grau) (UFMG). Observe a figura: A função do 2º grau cujo gráfico nela está representado, é (i) Sabemos que a abscissa e a ordenada do vértice são dadas respectivamente por: a 2 b x v − · (eq.1) e a 4 ac 4 b a 4 y 2 v − − · ∆ − · (eq.2) (ii) e sendo -1 uma raiz, teremos que: 0 c b a 0 c ) 1 ( b ) 1 ( a ) 1 ( f 2 · + − ⇒ · + − + − · − (eq. 3) (iii) A segunda raiz vale: 3 x 2 · (iv) Pela fórmula do produto das raízes determinamos a relação existente entre a e c: a 3 c ) 3 .( 1 a c − · ⇒ − · (eq. 4) Da eq.1, podemos dizer que v x b a 2 · − , multiplicando toda expressão por 2, teremos: v x b 2 a 4 · − (eq. 5) Da eq. 2, podemos dizer que: v 2 y ac 4 b a 4 − · − (eq. 6) Igualando as equações (eq. 5) = (eq. 6), teremos Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com x X v f(x) 2 -1 3 114 [email protected] v 2 v y ac 4 b x b 2 − · (eq. 7), substituindo nessa equação o valor encontrado na (eq. 5), teremos: v v 2 v y c x b 2 b x b 2 + · (eq. 8). Desenvolvendo a eq. 8, teremos: v 2 v v v v 2 v v v v 2 v x bc 2 b x x b y 2 c x b 2 b x b y 2 y c x b 2 b x b 2 + · ⇒ + · ⇒ + · , simplificando e dividindo toda expressão por b, teremos: ( ) 2 c 2 b x y v v + · (eq. 9) Da (eq. 4) e (eq. 5) podemos escrever: ( ) ( ) v v x 2 b 3 x 4 b 2 3 a 3 c · − − · − · (eq. 10) Substituindo (eq. 10) em (eq. 9), teremos: , ` . | + · ⇒ , ` . | + · ⇒ , ` . | + · v 2 v v v v v v v v x 2 b 3 b x y x b 3 b x y 2 2 x 2 b 3 2 b x y , colocando b em evidência e isolando a expressão para b, teremos. ( ) ( ) 3 x x y . 2 b 3 x b x y 2 2 v v v 2 v v v + ⋅ · ⇒ + · ⋅ ⋅ (eq. 11) Assim podemos pelos dados do problema, determinar o valor de b. Sabendo-se que v x é ponto médio entre as raízes, podemos determiná- lo da seguinte forma: 1 2 3 1 x v · + − · e por visão no gráfico 2 y v · ( ) ( ) 1 b 4 4 3 1 1 2 2 3 x x y . 2 b 2 2 v v v · ⇒ · + ⋅ ⋅ · + ⋅ · Substituindo o valor de b encontrado na eq. 10, teremos: ( ) ( ) 2 3 c 2 3 1 2 1 3 c x 2 b 3 c v · ⇒ · ⋅ ⋅ · ⇒ ⋅ · Pela (eq. 4) e o valor de c, encontramos a 2 1 a a 3 2 3 a 3 c − · ⇒ − · ⇒ − · Assim o trinômio procurado é: Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 115 [email protected] 2 3 x x 2 1 y 2 + + − · que arrumando na forma da resposta dada no livro, fica: 2 x 2 1 x 2 3 y − + · 113](Matemática – Função do 2º grau) O gráfico de uma função f do 2º grau corta o eixo das abscissas para X=1 e X=5. O ponto máximo de f coincide com o ponto mínimo da função g(x) = 2/9x² -4/3x +6. A função pose ser definida por: a) Y= -x² + 6x +5 b) Y= -x² - 6x +5 c) Y= -x² - 6x – 5 d) Y= -x² + 6x - 5 e) Y= x² - 6x + 5 Solução comentada A soma das raízes é dada por a b S − · , logo podemos escrever que: a 6 b a 6 b 6 5 1 a b S − · ⇒ · − ⇒ · + · − · (eq.1) O produto das raízes é dado por a c P · , logo a 5 c 5 . 1 a c P · ⇒ · · (eq.2) O máximo e/ou mínimo da função é dado por: a 2 b x v − · (eq.3) a 4 y v ∆ − · onde ac 4 b 2 − · ∆ (eq.4) Onde, (x v , y v ) são as coordenadas do vértice da parábola. O problema afirma que o vértice de g(x) coincide com o vértice de f(x). Assim, determinemos as coordenadas do vértice de g(x) Temos então Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com PEDIDOS DE APOSTILAS GABARITOS COMENTADOS DE QUESTÕES AULAS ON LINE PELO MSN ORKUT – MSN - EMAIL [email protected] [email protected] BLOG www.gabaritocerto2.blogspot.com Telefone para contato: (21) 98371118 PROF ANTONIO 116 [email protected] 6 x 3 4 x 9 2 ) x ( g 2 + + · , igualando a zero e multiplicando toda equação por 2 9 , teremos 0 27 x 6 x 2 · + + (a = 1, b = 6, c = 27) Utilizando as equações 3 e 4, temos: 3 2 6 x v − · − · e ( ) 18 1 4 27 1 4 6 y 2 v · ⋅ ⋅ ⋅ − − · Tais valores são também as coordenadas da nossa função f. Assim, temos: ( ) 18 a 4 ac 4 b 18 a 4 y 2 v · − − ⇒ · ∆ − · Substituindo os valores encontrados em eq.1 e eq.2, temos: ( ) ( ) ( ) 18 a 4 a 5 a 4 a 6 2 · − − − ⇒ Desenvolvendo teremos: ( ) ( ) 2 9 a 18 a 4 a 16 18 a 4 a 20 a 36 2 2 2 − · ⇒ · − ⇒ · − − ⇒ Substituindo o valor de a em eq.1 e eq.2, temos: 27 b a 6 b · ⇒ − · 2 45 c a 5 c − · ⇒ · Encontramos assim todos os coeficientes da nossa função f 2 45 x 27 x 2 9 ) x ( f 2 − + − · Observe que nas opções não aparece tal função, todavia podemos encontrar uma função equivalente através de um artifício muito simples. Observe que se multiplicarmos toda função por 9 2 teremos: 5 x 6 x ) x ( f 2 − + − · (item d) Uma observação importante!!! Poderíamos também encontrar uma função equivalente multiplicando toda função por 9 2 − , obtendo assim a 5 x 6 x ) x ( f 2 + − · que também estaria correta, não fosse por um pequeno detalhe! Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 117 [email protected] Observe que no enunciado o elaborador afirma solenemente que nossa função f tem um MÁXIMO, que coincide com o MÍNIMO de g(x). Ora, se f(x) tem um MÁXIMO, obviamente que o coeficiente de x 2 será negativo fazendo com que a concavidade da parábola seja voltada para baixo e criando a forma de montanha no vértice do gráfico. Por esse motivo é que a opção certa é a letra d 114](Matemática – função do 2º grau) Resolva: a) Para que valores reais de x a função f(x)= x² + 7x + 10 é positiva? Solução: O gráfico da função é voltado para cima. Logo a parábola terá como imagem positiva, todos os valores à esquerda da raiz menor e à direita da raiz maior. Resolvendo... 5 2 9 7 a 2 b x 2 2 9 7 a 2 b x 9 10 1 4 7 ac 4 b 2 1 2 2 − · − − · ∆ + − · − · + − · ∆ + − · · ∆ ⇒ ⋅ ⋅ − · ∆ ⇒ − · ∆ Temos então que { ¦ 2 x 5 x / R x 0 ) x ( f − > ∧ − < ∈ ⇒ > b) Para que valores reais de x a função f(x)= x² -2x +6 é negativa? Solução: O gráfico da função é voltado para cima. Logo a parábola terá como imagem negativa, todos os valores à direita da raiz menor e à esquerda da raiz maior. Resolvendo... ( ) 20 6 1 4 2 ac 4 b 2 2 − · ∆ ⇒ ⋅ ⋅ − − · ∆ ⇒ − · ∆ Como o valor do discriminante é negativo, teremos que qualquer valor no domínio (x) encontrará um valor positivo na imagem. A função não possui raiz real, ou seja, não corta o eixo x. Como c = +6, podemos afirmar que o gráfico da função corta o eixo y no ponto (6,0). O vértice da parábola “flutua” no ambiente positivo da imagem, ou seja acima do eixo x. É o que podemos considerar. 115](Matemática – função do 2º grau) Escreva na forma canônica as seguintes funções quadráticas: Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com -5 x -2 118 [email protected] a) f(x) = x² + 2x – 3 b) f(x) = 2x² + 8x -5 c) f(x) = -x² + 6x + 7 Podemos escrever a) ( ) ( ) ( ) 7 2 x 3 4 2 x 3 x 2 x ) x ( f 2 2 2 − + · − − + · − + · b) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 2 x 2 5 4 2 x 2 5 x 4 x 2 5 x 8 x 2 ) x ( f 2 2 2 2 − + · − − + · − + · − + · c) ( ) ( ) ( ) 16 3 x 7 9 3 x 7 x 6 x ) x ( f 2 2 2 + − − · + + − − · + + − · Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 119 [email protected] 116](Matemática – Geometria – Área) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1. A região assinalada é limitada por quatro arcos de círculos de raios iguais a 1 centros em A, B, C e D, respectivamente. Calcule a área da região assinalada. Vamos identificar as áreas que compõem a região sombreada. Temos que nossa área Sombreada S é composta por 4 áreas A e uma área Q, onde A é um setor e a Q é a área de um quadrado. Assim nossa área S = 4A + Q Vemos que o lado do quadrado Q é na verdade o lado do polígono de 12 lados (dodecágono) inscrito na circunferência de raio R = 1 Assim, teremos que determinar o lado do dodecágono inscrito numa circunferência de Raio R. Fazendo isso, teremos o nosso lado do quadrado Q. Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com PEDIDOS DE APOSTILAS GABARITOS COMENTADOS DE QUESTÕES AULAS ON LINE PELO MSN ORKUT – MSN - EMAIL [email protected] [email protected] BLOG www.gabaritocerto2.blogspot.com Telefone para contato: (21) 98371118 PROF ANTONIO 120 [email protected] Ora, o lado do dodecágono inscrito é a reta PB. Ora, PB é a hipotenusa do triângulo PBH de catetos PH e BH, Assim podemos escrever que: (PB) 2 = (PH) 2 + (BH) 2 , mas BH é a metade do raio, pois o ângulo em O no triângulo OBH, vale 30º, como BH é oposto a esse ângulo e a hipotenusa OB vale R, podemos dizer que BH = R/2 PH será dado por PO – OH, mas PO = Raio, Assim, PH = R – OH Determinaremos OH. Sabemos que OH é o cateto adjacente a 30º em O, assim podemos escrever que: Cos 30º = OH/OB Ora, 2 3 º 30 cos · Assim, OB OH 2 3 · , mas OB = Raio = R, Logo... 2 3 R OH R OH 2 3 · ⇒ · De posse de OH, determinamos PH PH = R – OH 2 3 R R 2 PH 2 3 R R PH − · ⇒ − · Com PH e BH, determinamos PB, que é o lado do nosso quadrado. ( ) 2 2 2 2 3 R R 2 2 R PB , ` . | − + , ` . | · Aqui o candidato imaturo extrairá a raiz para determinar PB, todavia veja o comentário. Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com PEDIDOS DE APOSTILAS GABARITOS COMENTADOS DE QUESTÕES AULAS ON LINE PELO MSN ORKUT – MSN - EMAIL [email protected] [email protected] BLOG www.gabaritocerto2.blogspot.com Telefone para contato: (21) 98371118 PROF ANTONIO 121 [email protected] Concordas comigo que PB é o lado do nosso quadrado sombreado de azul?, veja que PB = BC, pois são os lados do nosso dodecágono inscrito na circunferência. Pois bem, se PB é o lado do quadrado e a Área do quadrado é dada por (PB) 2 não será necessário extrair a raiz, pois estamos diante do valor da área do quadrado sombreado de azul, dado por (BC) 2 Assim a fórmula acima representa a área do quadrado sombreado, que chamamos incialmente de Q. 2 2 2 3 R R 2 2 R Q , ` . | − + , ` . | · Agora só falta calcular a área do setor sombreado A. O setor OBC, tem o ângulo em O igual a 30º, logo sua área representa a 1/12 da área da circunferência de raio R, logo a área do setor é dada por: 12 R Setor 2 π · Ora, a área A (cinza) será dada pela diferença entre a área do Setor e a área do triângulo T (em verde). Mas nosso triângulo T (OBC) é igual ao triângulo PBO, cujas medidas já foram estabelecidas. Assim 4 R 2 2 R R 2 BH PO T 2 · ⋅ · ⋅ · Agora estamos em condições de encontrar o valor da área A. ( ) 12 3 R A 4 R 12 R A T Setor A 2 2 2 − π · ⇒ − π · ⇒ − · Pronto. A nossa área S será igual a: S = 4A + Q Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com PEDIDOS DE APOSTILAS GABARITOS COMENTADOS DE QUESTÕES AULAS ON LINE PELO MSN ORKUT – MSN - EMAIL [email protected] [email protected] BLOG www.gabaritocerto2.blogspot.com Telefone para contato: (21) 98371118 PROF ANTONIO 122 [email protected] ( ) 2 2 2 2 3 R R 2 2 R 12 3 R 4 S , ` . | − + , ` . | + − π · Desenvolvendo... ( ) 4 R 3 2 3 R 4 4 R 4 2 R 12 3 R 4 S 2 2 2 2 2 + − + , ` . | + − π · ( ) 4 R 3 2 3 R 4 4 R 4 4 R 12 3 R 4 S 2 2 2 2 2 + − + + − π · ( ) 12 R 9 12 3 R 24 12 R 12 12 R 3 12 3 R 4 S 2 2 2 2 2 + − + + − π · Colocando os termos em evidência, teremos: ( ) ( ) 3 24 24 3 4 12 R S 2 − + − π · ,como R = 1, teremos ( ) ( ) 3 24 24 3 4 12 1 S − + − π · ( ) ( ) ( ) 3 1 6 3 12 4 S − + − π · Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 123 [email protected] 117]A figura abaixo é o gráfico de um trinômio do segundo grau. Determine o trinômio: x 0 0 2 - 1 y 3 (i) Sabemos que a abscissa e a ordenada do vértice são dadas respectivamente por: a 2 b x v − · (eq.1) e a 4 ac 4 b a 4 y 2 v − − · ∆ − · (eq.2) (ii) e sendo -1 uma raiz, teremos que: 0 c b a 0 c ) 1 ( b ) 1 ( a ) 1 ( f 2 · + − ⇒ · + − + − · − (eq. 3) (iii) A segunda raiz pode ser calculada da seguinte forma ( ) ( ) 5 x x 1 4 2 x 1 2 2 x x x 2 2 2 2 1 v · ⇒ + − · ⇒ + − · ⇒ + · (iv) Pela fórmula do produto das raízes determinamos a relação existente entre a e c: a 5 c ) 5 .( 1 a c − · ⇒ − · (eq. 4) Da eq.1, podemos dizer que v x b a 2 · − , multiplicando toda expressão por 2, teremos: v x b 2 a 4 · − (eq. 5) Da eq. 2, podemos dizer que: v 2 y ac 4 b a 4 − · − (eq. 6) Igualando as equações (eq. 5) = (eq. 6), teremos Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 124 [email protected] v 2 v y ac 4 b x b 2 − · (eq. 7), substituindo nessa equação o valor encontrado na (eq. 5), teremos: v v 2 v y c x b 2 b x b 2 + · (eq. 8). Desenvolvendo a eq. 8, teremos: v 2 v v v v 2 v v v v 2 v x bc 2 b x x b y 2 c x b 2 b x b y 2 y c x b 2 b x b 2 + · ⇒ + · ⇒ + · , simplificando e dividindo toda expressão por b, teremos: ( ) 2 c 2 b x y v v + · (eq. 9) Da (eq. 4) e (eq. 5) podemos escrever: ( ) ( ) v v x 2 b 5 x 4 b 2 5 a 5 c · − − · − · (eq. 10) Substituindo (eq. 10) em (eq. 9), teremos: , ` . | + · ⇒ , ` . | + · ⇒ , ` . | + · v 2 v v v v v v v v x 2 b 5 b x y x b 5 b x y 2 2 x 2 b 5 2 b x y , colocando b em evidência e isolando a expressão para b, teremos. ( ) ( ) 5 x x y . 2 b 5 x b x y 2 2 v v v 2 v v v + ⋅ · ⇒ + · ⋅ ⋅ (eq. 11) Assim podemos pelos dados do problema, determinar o valor de b. ( ) ( ) 3 4 b 9 12 5 2 2 3 2 5 x x y . 2 b 2 2 v v v · ⇒ · + ⋅ ⋅ · + ⋅ · Substituindo o valor de b encontrado na eq. 10, teremos: ( ) ( ) 3 5 c 4 3 20 2 2 3 4 5 c x 2 b 5 c v · ⇒ , ` . | · ⋅ , ` . | · ⇒ · Pela (eq. 4) e o valor de c, encontramos a 3 1 a a 5 3 5 a 5 c − · ⇒ − · ⇒ − · Assim o trinômio procurado é: 3 5 x 3 4 x 3 1 y 2 + + − · ou 3 5 x 4 x y 2 + + − · Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 125 [email protected] 118]O gráfico representa uma função f, definida em [-4,2]. Sendo S a soma dos valores de x para os quais f(f(x)) = -2, o valor de f(f(S)) é: Solução: Ora, para que F(f(x))=-2, temos que considerar que f(0) = -2. Assim, teremos que f(x) = 0. Ora, pela análise do gráfico, os valores são as raízes da função, quais sejam, {-3, -2, 1}, assim a soma desses valores será igual a: -4. Sendo assim para determinarmos f(f(-4)), teremos que primeiramente verificar o valor de f(-4). Ora, pela análise gráfica, vemos que f(-4) = 2. Sendo assim, f(f(-4)) = f(2) e pela análise no gráfico identificamos que é igual a 4. 119]A figura representa a função c bx x ) x ( f 2 + + · em que b e c são constantes, a distância d, entre P e Q, éigual a 4 e o ponto V é o vértice da parábola. Uma equação da circunferência de centro O e que passa por V é: x 0 0 Q 1 V P y Solução: Façamos por parte. A Equação da circunferência com centro em (0,0) é dada por: 2 2 2 R y x · + em que R é o raio da circunferência. Sendo assim, nossa proposta inicial é encontrar o raio que no nosso gráfico é a distância que vai do ponto (0,0) ao ponto V. Essa distância que chamaremos de OV, está representada na figura abaixo: Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 126 [email protected] x 0 0 Q 1 V P y (y v ) O T Observe que OV é a hipotenusa do triângulo OTV. Ora, pelo teorema de Pitágoras sabemos que: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 OV OT TV · + Do gráfico sabemos que ( ) 1 TV · . Calculemos então ( ) OT que na verdade é o módulo de y v (i) Como foi dito que PQ = 4, e 1 é o ponto médio do segmento, então podemos considerar que P está a 2 unidades à esquerda de 1, logo P=-1 e Q está a duas unidades a direita de 1, logo Q = 3. Assim, temos as RAÍZES da função. Raízes = {1 e 3} (ii) Sabemos que a abscissa e a ordenada do vértice são dadas respectivamente por: a 2 b x v − · e a 4 ac 4 b a 4 y 2 v − − · ∆ − · Pela análise da função dada no problema verificamos que o valor do coeficiente de x 2 é igual a 1, logo a = 1. Ora, podemos então substituir esse valor na equação de x v e obter b. 2 b b 2 1 . 2 b 1 a 2 b x v · ⇒ − · ⇒ − · ⇒ − · Para calcularmos o coeficiente c, utilizaremos a noção de que o valor da função na raiz é igual a zero. Assim, tomamos uma das raízes e substituímos na função igualando a zero. c bx ax ) x ( f 2 + + · ( ) ( ) 3 c 0 c 6 9 0 c 3 2 3 1 2 − · ⇒ · + − ⇒ · + ⋅ − + ⋅ Assim temos todos os coeficientes para o cálculo de y v ( ) ( ) 4 4 16 1 . 4 3 . 1 . 4 2 a 4 ac 4 b a 4 y 2 2 v − · − · − − − − · − − · ∆ − · Sendo assim, ( ) 4 OT · Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 127 [email protected] Façamos agora o cálculo de ( ) 2 OV que será o valor de 2 R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 17 R 17 OV OV 4 1 OV OT TV 2 2 2 4 2 2 2 2 · ⇒ · ⇒ · + ⇒ · + Logo a equação da circunferência procurada é igual a 17 y x 2 2 · + 120]Os amigos J e P combinaram de se encontrarem em um restaurante situado em um ponto R da cidade. Analisando o gráfico, no qual os segmentos JR e PR representam os trajetos feitos por J e P, respectivamente, de suas casas até o ponto de encontro. Pode-se concluir que a razão entre as distâncias percorridas por P e J é x 4 P R 8 - 2 - 1 J 2 1 − y Solução: Pelo gráfico podemos estabelecer as equações das retas de J e de P. Bem, sabemos que a reta na qual J desenvolve possui os pontos (0,8) e (4,0), sendo assim a equação da reta de J é dada por 8 x 2 y 0 32 y 4 x 8 0 1 0 4 1 8 0 1 y x + − · ⇒ · − + ⇒ · , que é a equação reduzida da reta na qual J desenvolve. De modo análogo, determinaremos a equação na qual P desenvolve. Os pontos na reta de P são: (-2, -1/2) e (-1,0) 2 1 x 2 1 y 0 y 2 2 1 y x 2 1 0 1 0 1 1 2 1 y x 2 1 + · ⇒ · + − − − ⇒ · − − − Igualando as duas equações encontraremos as coordenadas de R. 3 x 16 1 x x 4 8 2 1 x 2 1 x 2 2 1 x 2 1 8 x 2 · ⇒ − + · − − ⇒ − + · − − ⇒ + · + − Substituindo o valor de x em qualquer equação, teremos: 2 y 8 3 . 2 y 8 x 2 y · ⇒ + − · ⇒ + − · , Logo a coordenada de R é dada por ( ) 2 , 3 e A distância de P será igual a: Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 128 [email protected] ( ) ( ) ( ) 5 2 20 2 4 0 2 1 3 d 2 2 2 2 PR · · + · − + − − · A distância percorrida por J será: ( ) ( ) 5 3 45 6 3 2 8 0 3 d 2 2 2 2 JR · · + · − + − · Sendo assim a razão entre as distâncias P e J é dada por 3 2 5 3 5 2 d d JR PR · · 121] (Matemática – Função do 2ºgrau) Como as raízes são iguais a 1 e 5 podemos dizer que: 1 a 4 y 3 a 2 b x ac 4 b 5 a c P 6 a b S v v 2 − · ∆ − · · − · − · ∆ · · · − · Assim, temos que a 4 a 5 c a 6 b · ∆ · · − a 16 4 a 16 a 4 a 5 a 4 a 36 a 4 ac 4 b a 4 2 2 2 · ⇒ · ⇒ ⋅ − · ⇒ − · · ∆ 4 1 a · 122]Matemática – Trigonometria (UEFS 2007.1) Se 3cos(x) + sen(x) = -1, com Pi/2<x< Pi , então o valor real de sen(x) é Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 129 [email protected] A)-1 B) -4/5 C)-3/5 D)3/5 E)4/5 Solução: )) x cos( 3 1 ( ) x ( sen ) x cos( 3 1 ) x ( sen 1 ) x ( sen ) x cos( 3 + − · − − · − · + Elevando esta última equação ao quadrado teremos [ ] x cos 9 ) x cos( 6 1 ) x ( sen )) x cos( 3 1 ( ) x ( sen 2 2 2 2 + + · + − · Mas sabemos que x cos 1 ) x ( sen 2 2 − · , substituindo na última equação teremos: 0 ) x cos( 3 ) x ( cos 5 0 ) x cos( 6 ) x ( cos 10 x cos 9 ) x cos( 6 1 ) x ( cos 1 2 2 2 2 · + · + + + · − Fazendo cos(x) = k, Teremos: 0 k 3 k 5 2 · + , resolvendo esta equação do 2º grau em k, teremos ( ) ¹ ¹ ¹ ' ¹ − · · ⇒ · + 5 3 k 0 k 0 3 k 5 k Ora, mas k = cos(x), logo temos que ¹ ¹ ¹ ' ¹ − · · ⇒ 5 3 ) x cos( 0 ) x cos( Agora pela equação fundamental da trigonometria: 1 x cos x sen 2 2 · + descobrimos o valor de sen(x) para cada cosseno acima. Todavia não devemos esquecer do “campo de existência” considerado, a saber: com π < < π x 2 Assim, teremos: 1 ) x ( sen 1 0 x sen 0 ) x cos( 2 2 · ⇒ · + ⇒ · (I) Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com 130 [email protected] 25 9 1 ) x ( sen 1 5 3 x sen 5 3 ) x cos( 2 2 2 − · ⇒ · , ` . | − + ⇒ − · 5 4 ) x ( sen 25 16 ) x ( sen 25 16 ) x ( sen 2 · ⇒ , ` . | · ⇒ · ⇒ (II) Observe, então que temos aí duas respostas: A saber: 1 ) x ( sen · (I) e 5 4 ) x ( sen · (II) Observe que nesse ponto devemos considerar o “campo de existência” da solução. No enunciado foi dito que o ângulo x deveria ser aquele considerado no intervalo π < < π x 2 Pois bem, a solução (I) não serve. Veja que se for considerada, teremos um ângulo 2 x π · Já a solução (II) é válida, pois 5 4 ) x ( sen · nos fornece um ângulo entre o intervalo considerado. Gabarito comentado de questões/exercícios/provas anteriores Envie para: [email protected] ; [email protected] ; [email protected] visite nosso blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com
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