ANÁLISE MATEMÁTICA II - TESTE No 1 (a) 2 o Semestre 2012/2013 - 3 de Maio de 2013 - Duração: 2 horas. *** Resolução *** 1. (10 pts) (a) Veri…que se a recta x1 1 = y+3 2 = z2 2 intersecta o plano x 2y + 2z 2 = 0 O vector director da recta h1; 2; 2i é perpendicular ao plano h1; 2; 2ihx; y; zi = 0, logo a recta intersecta o plano. (b) Encontre a equação do plano, perpendicular ao plano da alínea (a), que contendo os pontos (0; 0; 1) e (0; 1; 0) O plano que passa pelos pontos dados contem o vector h0; 0; 1i h0; 1; 0i = h0; 1; 1i Qualquer plano perpendicular a x 2y + 2z 2 = 0 contem o vectores proporcionais a h1; 2; 2i Logo o vector director do plano desejado é h0; 1; 1i h1; 2; 2i = h0; 1; 1i O plano é dado por h0; 1; 1i hx 0; y 0; z (1)i = 0 y z 1 = 0 y + z + 1 = 0 (paralelo ao eixo x) 2. (20 pts) A parametrização de uma ciclóide é dada por R(t) = (t sint)^{ + (1 cos t) ^| (a) Faça um esboço da curva desde t = 0 até t = 2 (c) Qual é o raio da curvatura no instante t = 3 4 (t) = _ _ dx dt _ 2 + _ dy dt _ 2 _3 2 ¸ ¸ ¸ _ dx dt _ _ d 2 y dt _ _ dy dt _ _ d 2 x dt 2 _ ¸ ¸ ¸ dx dt = (1 cos t) ) dx dt _ 2 _ = 1 dy dt = sint ) dy dt _ 2 _ = 1 d 2 x dt 2 = sint ) d 2 x dt 2 _ 2 _ = 1 d 2 y dt = cos t ) d 2 y dt _ 2 _ = 0 _ 2 _ = _ (1) 2 + (1) 2 _3 2 j(1) (0) (1) (1)j = 2 p 2 (d) Qual é o comprimento do arco da ciclóide desde t = 0 até t = 2 V = (1 cos t)^{ + sint^| kV k = _ (1 cos t) 2 + sin 2 t = _ 1 2 cos t + cos 2 t + sin 2 t = p 2 p 1 cos t O comprimento do arco da ciclóide L = _ 2 0 p 2 p 1 cos tdt OBSERVAÇÃO CONCEDER PONTUAÇÃO TOTAL ATÉ AQUI. Continuando ... e usando a igualdade trigonométrica p 1 cos = jsinj p 1 + cos obtem-se L = p 2 _ 2 0 jsintj p 1 + cos t dt Resolvendo o valor absoluto jsintj de 0 a 2 obtem-se L = _ p 2 _ 2 _ 0 sint p 1 + cos t dt Fazendo a substituição u = cos t )du = sintdt obtem-se L = 2 p 2 _ 0 sint p 1 + cos t dt = 4 p 2 _ 1 1 du 2 p 1 + u dt = 4 p 2 _p 1 + u ¸ 1 1 = 8 3. (10 pts) (a) Identi…que e faça um esboço da superfície x 2 y 2 = 3z 2 Um cone elíptico com eixo na direcção x 2 y -4 -2 0 -2 -4 0 0 z 2 4 x 2 4 2 4 -4 -2 (b) Encontre uma equação em coordenadas cilindricas da superfície da alínea (a) (r cos ) 2 (r sin) 2 = 3z 2 r 2 _ cos 2 sin 2 _ = 3z 2 r 2 cos 2 = 3z 2 4. (10 pts) (a) Determine e faça um esboço do domínio da função f (x; y) = ln _ x + y 2 _ domf = _ (x; y) : x + y 2 > 0 _ (b) Determine o conjunto de nível 0 da função dada na alínea (a) C 0 [f] = _ (x; y) : ln _ x + y 2 _ = 0 _ = _ (x; y) : x + y 2 = 1 _ -4 -2 2 4 -4 -2 2 4 x y 3 5. (10 pts) Prove que o limite da função f (x; y) = x 2 y 2 x 2 +y 2 , quando hx; yi !h0; 0i, não existe Sobre x = 0 tem-se lim hx;yi!h0;0i x 2 y 2 x 2 + y 2 = lim hx;yi!h0;0i y 2 y 2 = 1 Sobre y = 0 tem-se lim hx;yi!h0;0i x 2 y 2 x 2 + y 2 = lim hx;yi!h0;0i x 2 x 2 = 1 Como os limites direcionais não são iguais, não pode existir limite. 6. (10 pts) Dadas as funções u = x 2 y 2 , x = 3r s e y = r + 2s, calcule @u @r + @u @s + 10r @u @r = @u @x @x @r + @u @y @y @r = 2x(3) + (2y) (1) = 6 (3r s) 2 (r + 2s) = 16r 10s @u @s = @u @x @x @s + @u @y @y @s = 2x(1) + (2y) (2) = 2 (3r s) 4 (r + 2s) = 10r 6s @u @r + @u @s + 10r = 16r 10s + (10r 6s) + 10r = 16 (r s) 7. (10 pts) Calcule a derivada direccional de f (x; y) = 1 xy na direcção h1; 1i rf (x; y) = _ 1 2 (x y) p x y ; 1 2 (x y) p x y _ Vector unitário na direcção dada U = h1; 1i p 2 O solicitado rf h1; 1i p 2 = _ 1 2 (x y) p x y ; 1 2 (x y) p x y _ h1; 1i p 2 = 1 2 (x y) p x y + 1 2 (x y) p x y = 1 (x y) p x y 4 8. (20 pts) Encontre uma equação do plano tangente à superfície dada por x 2 + y 2 z 2 = 6, no ponto (3; 1; 2) A superfície dada é um conjunto de nível 6 da função F (x; y; z) = x 2 + y 2 z 2 O ponto dado é de facto um ponto da superfície (3) 2 + (1) 2 (2) 2 = 6 Calculando o gradiente r _ x 2 + y 2 z 2 _ = h2x; 2y; 2zi e gradiente no ponto dado rF (3; 1; 2) = h2 (3) ; 2 (1) ; 2 (2)i = h6; 2; 4i A equação do plano tangente à superfície no ponto X 0 = (3; 1; 2) (X X 0 ) rF = 0 (hx; y; zi h3; 1; 2i) h6; 2; 4i = 0 hx 3; y + 2; z + 4i h6; 2; 4i = 0 6 (x 3) 2 (y + 2) 4 (z + 4) = 0 6x 2y 4z 38 = 0 Fim 5