ALMACENAMIENTO YTRANSITO DE VASOS Y CAUCES DOCENTE: ING. TEPE GASTULO CARLOS MANUEL DISCENTE: ALVITEZ VASQUEZ FLAVIO MONTERO FLORES SEGUNDO YOEL 5. ALMACENAMIENTO Y TRÁNSITO EN VASOS Y CAUCES 5.1 TIPOS DE ALMACENAMIENTOS Y SUS CARACTERÍSTICAS La siguiente descripción se refiere a los tipos de almacenamientos y sus características de interés en la hidrología. Un vaso de almacenamiento sirve para regular los escurrimientos de un río, es decir, para almacenar el volumen de agua que escurre en exceso en las temporadas de lluvia para posteriormente usarlo en las épocas de sequía Un vaso de almacenamiento puede tener uno o varios de los siguientes propósitos: Irrigación. Generación de energía eléctrica. Control de avenidas. Abastecimiento de agua potable. Navegación. Acuacultura. Recreación. Retención de sedimentos. Los principales componentes de un vaso de almacenamiento se muestran en la figura 5.2. con un nivel horizontal. el NAMINO se fija de acuerdo con la carga mínima necesaria rara que las turbinas operen en buenas condicione. teniéndose los más gruesos al principio del mismo y los más finos cerca de la cortina.sino que los sedimentos se reparten a lo largo del embalse. El NAMINO (también llamado en este caso NAMin o nivel de aguas mínimas) coincide con el nivel al que se encuentra la entrada de la obra de toma. El volumen de azolves es el que queda abajo del nivel de la toma y se reserva para recibir el acarreo de sólidos por el río durante la vida útil de la presa. El NAMINO (nivel de aguas mínimas de operación) es el nivel más bajo con el que puede operar la presa. Cuando ésta es para irrigación y otros usos. El volumen muerto es el que queda abajo del NAMINO o NAMin. En el caso de presas para generación de energía eléctrica. Es conveniente hacer notar que el depósito de sedimentos en una presa no se produce como está mostrado en la figura 5.2 . es un volumen del que no se puede disponer. . en época de estiaje es posible fijar un NAMO mayor que en época de avenidas El volumen que se almacena entre el NAMO y el NAMin o NAMINO se llama volumen o capacidad útil y es con el que se satisfacen las demandas de agua. llamado superalmacenamiento. . AsÍ. El NAMO coincide con su cresta o punto más alto del vertedor. sirve para controlar las avenidas que se presentan cuando el nivel en el vaso está cercano al NAMO. El espacio que queda entre el NAME y la máxima elevación de la cortina (corona) se denomina bordo libre y está destinado a contener el oleaje y la marea producidos por el viento. El volumen que queda entre este nivel y el NAMO. el NAMO puede estar por arriba de la cresta e incluso puede cambiar a lo largo del año. El NAME (nivel de aguas máximas extraordinarias) es el nivel más alto que debe alcanzar el agua en el vaso bajo cualquier condición. En el caso de que la descarga por el vertedor esté controlada. existe cuatro volúmenes principales en toda presa que es necesario determinar para diseñar el vaso: el volumen de azolves.En resumen. el volumen útil y el volumen de superalmacenamineto . el volumen muerto. 5. en el caso de las plantas hidroeléctricas. depende. planos topográficos y regímenes hidrológicos. del tipo de turbina que use A continuación se estudiaran métodos para evaluar el volumen útil que debe tener una presa para satisfacer las demandas y el volumen de superalmacenamiento necesario para que la presa no corra peligro. el volumen de azolves es materia de la hidráulica fluvial y el volumen muerto.2 ESTIMACION DEL VOLUMEN UTIL Y EL NAMO Existen dos grupos básicos de datos necesarios para el diseño de un vaso de almacenamiento. como se muestra en la figura 5. áreas y elevaciones del vaso. Los primeros proporcionan la relación que hay entre los volúmenes. y los segundos sirven para estimar los volúmenes o gastos que llegarán al vaso durante su operación. Los datos topográficos se sintetizan mediante curvas elevacionesvolúmenes y elevaciones-áreas. entre otras cosas.3 . se deben tener datos de volúmenes escurridos por el río durante un tiempo relativamente largo. entre mayor sea el lapso de registros. tomando en cuenta las variaciones mensuales y anuales de aportaciones y demandas y todos los demás factores que intervienen en la cantidad de agua almacenada en un determinado instante. como la evaporación y precipitación directa en el vaso. el segundo es simular el funcionamiento del vaso para un periodo largo. Desde luego. En general. . Es recomendable determinar el volumen útil de una presa en dos pasos: el primero consiste en hacer una primera estimación usando datos mensuales de aportaciones y demandas e ignorando factores de menor importancia. Por otra parte. un registro de 20 años o más proporciona una buena estimación. más confiable será la estimación del volumen útil. para estimar el volumen útil que se requiere para satisfacer una determinada demanda. Entonces. el gasto demandado es mayor que el aportado por el río y viceversa. La pendiente de la curva masa de escurrimiento es el gasto que pasa por el sitio.4. c y e de la figura 5. Ahora bien. en los puntos en que la curva de escurrimientos tiene una pendiente de 56. como sucede en los puntos b. es conveniente cuando las demandas varían en el tiempo.3. conocido como algoritmo del pico secuente. el gasto de aportación es igual al de demanda. llamado de la curva masa o diagrama de Rippl. El primero. Cuando se desea hacer una primera estimación del volumen útil se pueden usar dos métodos. se observa lo siguiente: . es útil cuando las demandas son constantes el segundo. desarrollado en 1883 (referencia 5. cuando la pendiente de la curva de demandas ag es mayor que la de la curva de escurrimiento aJ.1). Obviamente. entonces. supóngase que el vaso se encuentra lleno en el punto a. 4. es de aproximadamente 1 175 x 106 m3. en el caso de la figura 5. b) b) Hasta el punto b. se ha derramado un volumen igual a la diferencia de ordenadas entre los puntos b y h. en diciembre del primer año. por lo que el vaso permanece lleno y el agua sobrante sale por la obra de excedencias.a) Entre el punto a y el b la demanda es menor que la aportación. que. . del punto c al d se incrementa nuevamente el volumen almacenado y en el punto d la presa vuelve a estar llena. dado que la presa está llena en el punto b. f) Para que durante el lapso indicado por la figura 5. h) Del punto e en adelante el gasto de aportación es otra vez menor que . De esta manera. el volumen útil mínimo necesario es S (véase inciso d). y por lo tanto también el nivel del agua en el vaso. para que no se deje de cumplir con la totalidad de la demanda. e) Del punto c al e el gasto de aportación es nuevamente mayor que el de demanda y el volumen almacenado aumenta otra vez. la máxima diferencia entre el volumen de aportación y el de demanda del punto b al c está dado por la diferencia de ordenadas S entre una recta tangente al punto b y el punto c.4 no se tenga déficit. En estas condiciones. por lo que. g) Entre el punto d y el e la presa permanece llena y se vuelven a tener derrames. en este lapso. disminuye. el volumen almacenado. al llegar al punto c el nivel es el del NAMINO. es decir. d) En el punto c se llega al nivel mínimo en el vaso.c) Del punto b al e el gasto de aportación es menor que el de demanda. . pero en vasos muy grandes. cuyos efectos reguladores alcanzan a cubrir lapsos del orden de años. pero nunca mayor de un año.5. por el contrario. que expresada en un intervalo de tiempo ¡ ∆t dado es: x . El intervalo de tiempo ∆t que se use depende del tamaño del vaso.3. en vasos de muy poca capacidad de regulación. el intervalo de simulación puede reducirse a una semana o hasta un día.D = ∆V Donde: x = volumen de entradas al vaso durante el intervalo ∆t. D = volumen de salidas del vaso durante el mismo intervalo ∆V = cambio del volumen almacenado en el vaso durante el intervalo ∆t. generalmente se toma ∆t = un mes. ¡ Δt puede ser de varios meses.FUNCIONAMIENTO DE VASOS La ecuación fundamental para la simulación del funcionamiento de vasos es la de continuidad.. Las entradas a un vaso son: x = Ecp + Et + Ell Dónde: Ecp= Entradas por cuenca propia Et = entradas por transferencia desde otras cuencas Ell = Entradas por lluvia directa sobre el vaso. Si = volumen infiltrado en el vaso. Y las salidas se componen de: D = Sd + Se + Si + Sde Dónde Sd = volumen extraído para satisfacer la demanda. Sde = volumen derramado. . Se = volumen evaporado. y las presas situadas aguas arriba.1 Entradas al vaso Entradas por cuenca propia Son los volúmenes de escurrimiento superficial generados en la cuenca no controlada que descarga directamente a la presa. Los datos que se usen serán los de esta estación.3. y muchas veces ni siquiera en el mismo río. usualmente no se tiene una estación hidrométrica en el sitio exacto donde se proyecta construir la presa. .5. Sin embargo. Las entradas por cuenca propia se cuantifican a partir de los datos recabados en las estaciones hidrométricas de la zona. que está delimitada por el sitio de la boquilla -donde se localiza la cortina. Cuando n = 1. Vei= volumen de escurrimiento medido en la estación i. el factor F¡ se puede estimar de dos formas: . N = número de estaciones hidrométricas consideradas. cuando se utiliza una sola estación para estimar las entradas por cuenca propia a la presa. .Ecp = F1* Ve1 + F2 *Ve2 + . . + Fn *Ven Dónde: Fi = factor de corrección para la estación i. Los factores de corrección F¡ son función del área de la cuenca de aportación a la estación i y de la posición y características de la cuenca de dicha estación con respecto al sitio de la presa. es decir. entonces: F1 = Donde es el volumen de lluvia que cae en la cuenca propia durante el ∆t y. Cuando n > 1. Si se dispone de suficiente información sobre la precipitación que cae tanto en la cuenca de aportación a la presa como en la correspondiente a la estación hidrométrica. F1 se puede calcular como: F1 = Dónde: Acp = área de la cuenca propia Ae = área de la cuenca correspondiente a la estación hidrométrica. los factores F¡ se pueden calcular como: Fi = ki . es el volumen de lluvia que hace en la cuenca asociada a la estación hidrométrica durante el ∆t. Si no existen suficientes estaciones medidoras de precipitación. Donde Ki es un factor de peso que se asigna a la estación i de acuerdo con su confiabilidad y relación de sus registros con el escurrimiento de la cuenca de aportación de la presa analizada. Entradas por transferencia desde otras cuencas (E1) Estas entradas provienen de las descargas, libres o controladas, de presas situadas aguas arriba de la presa en cuestión o en otras cuencas. Entradas por lluvia directa sobre el vaso (EII) Los aparatos que registran la cantidad de lluvia que cae lo hacen en forma de volumen por unidad de área, es decir como altura de precipitación. El volumen de lluvia que cae directamente sobre el vaso será entonces esa altura de precipitación hp multiplicada por el área que tenga la superficie libre del vaso Las entradas por lluvia directa sobre el vaso son: Donde A, es el área promedio del vaso en el ∆t. 5.3.2 Salidas del vaso Volumen extraído para satisfacer la demanda (SD) Está constituido por la ley de demandas bajo análisis, la cual depende, por un lado, del tipo de aprovechamiento de que se trate: agua potable, riego, generación de energía eléctrica, etc. y, por otro, de la relación beneficio/costo de la obra. Volumen evaporado directamente del vaso (Se) De la misma manera que la precipitación, la evaporación se mide en lámina o altura (volumen/unidad de área). por lo tanto, el volumen de evaporación se calcula de manera similar al de lluvia directa. Sobre el vaso: Dónde: Hev = lamina de evaporación A = área media del vaso durante el ∆t Volumen infiltrado en el vaso (Si) Este volumen es difícil de medir, afortunadamente, en general, es muy pequeño; si se estima lo contrario, entonces será necesario realizar un estudio geológico detallado del vaso que proporcione los elementos para su cálculo. Volumen derramado(Sde) El volumen de agua que sale por la obra de excedencias es el resultado de la simulación y depende de los niveles característicos (especialmente el NAMO) y de la política de operación de las compuertas que se defina para cada opción. 5.3.3 Procedimiento de cálculo Si el subíndice i denota el principio del intervalo simulado y el i + 1 el final del mismo, la ecuación de continuidad, se puede expresar como: respectivamente. Oi = volumen de salidas del vaso que no depende del nivel en el mismo durante el intervalo considerado.Vi + 1 = Vi + Xi – Di Donde Vi+1 y Vi: son los volúmenes almacenados en los instantes i+1 e i. . Las entradas netas al vaso durante el intervalo considerado.Di = li .Oi + Pi – Sdei Dónde: li = volumen de entradas al vaso que no depende del nivel en el mismo durante el intervalo considerado. Xi – Di. Pi = volumen de entradas--volumen de salidas que sí dependen del nivel en el vaso durante el intervalo considerado. para fines de cálculo como: Xi . se pueden expresar. anterior está sujeta a la restricción: Vmin<=Vi+1<=Vm Vmin: Es el volumen de almacenamiento correspondiente al NAMINO Vm: es el volumen de almacenamiento al NAMO .De manera que: Ii: Ecpi+Eti Oi: Sdi Pi: Elli-Sei-Sii La ecuación. .TRÁNSITO DE AVENIDAS EN VASOS El tránsito de avenidas en vasos es un procedimiento que sirve para determinar el hidrograma de salida de una presa dado un hidrograma de entrada. para saber si la política de operación de las compuertas del vertedor es adecuada y así.APLICACIONES a) Conocer la evolución de los niveles en el vaso y de los gastos de salida por la obra de excedencias. c) Determinar el nivel del NAME. no se pongan en peligro la presa. de los volúmenes útil y de . representada por el vertedor de demasías. bienes materiales o vidas humanas aguas abajo. b) Dimensionar la obra de excedencias. d) Estimar las magnitudes superalmacenamiento. al presentarse una avenida. . en m3/s V : es el volumen de almacenamiento. 1964) representada por: Donde: I : es el gasto de entrada.El método hidrológico sigue el procedimiento iterativo desarrollado a partir de la ecuación de continuidad (Chow. en m3/s O : es el gasto de salida. en m3 t : es el tiempo. en segundos. i+1 : son subíndices que representan los valores de las variables en el tiempo t = i Δt y t = (i +1) Δt. en segundos i.Se puede representar en diferencias finitas: Donde: Δt : es el intervalo de tiempo. respectivamente. . es importante señalar algunos elementos adicionales que intervienen en este proceso. describiendo a continuación sus aspectos más relevantes. Sin embargo. ya que sus magnitudes son varias veces inferiores al volumen de las entradas o salidas por escurrimiento. • En el proceso del tránsito de una avenida en vasos no se consideran variables tales como la evaporación y la infiltración. a partir de los gastos de entrada y salida y de los volúmenes que se almacenan a lo largo del tiempo.CONSIDERACIONES • La solución numérica de la ecuación anterior permite realizar el tránsito de avenidas en vasos de almacenamiento. . tomando en consideración que el tiempo que dura la avenida es del orden de 2 o 3 días. • El tamaño del vaso de almacenamiento depende de la topografía: cuando es escarpada. su nivel. de acuerdo con la ecuación de continuidad en el tránsito de avenidas en vasos. • Durante el tránsito de una avenida por un vaso. por el contrario. la capacidad es grande. para no afectar el grado de precisión en los cálculos se sugiere utilizar un intervalo de tiempo pequeño definido por la expresión: Donde: tp : es el tiempo pico del hidrograma de entrada. la capacidad de almacenamiento es pequeña. . la entrada es mayor que la salida y.• En relación al intervalo de tiempo Δt. • Antes del tiempo t0. aumenta el volumen almacenado en el vaso y. • En el intervalo t0 < t < t1. por lo tanto. si es extendida. las condiciones están establecidas y la entrada es igual a la salida. la forma de los hidrogramas de entrada y salida es aproximadamente como se muestra en la figura 2. propuesto en la ecuación anterior. FIGURA 2 : Hidrogramas de entrada(I) y salida(O) . El área que hay entre los dos hidrogramas entre t0 < t < t1.• En el tiempo t1 se alcanza el máximo almacenamiento y consecuentemente el máximo nivel en el vaso. C = coeficiente de descarga. m3/s. • Al realizar el tránsito de una avenida por un vaso. por lo que se requiere otra ecuación para tener un sistema determinado. en cualquier instante dado. O y V) en i (ecuación de continuidad en diferencias finitas). L = longitud de la cresta del vertedor. m. . m. se tiene dos incógnitas.• Es el volumen requerido para la avenida de entrada I(t) considerada. que en general tiene la forma: Donde E = elevación de la superficie libre del vaso. Esta ecuación es la que liga los gastos que salen por el vertedor con la elevación de la superficie libre del agua. Ov = gasto por el vertedor de excedencias. O i+1 y Vi+1 (obviamente I se conoce para cualquier tiempo). se conocen todas las condiciones (I. las salidas son mayores que las entradas y. y se desean conocer en i + l. • Cuando t > t1. m. Eo = elevación de la cresta del vertedor. por la ecuación de continuidad en el tránsito de avenidas en vasos. y el nivel que se tiene en el vaso en el tiempo t1 será el NAME necesario para esa misma avenida. Entonces. el volumen almacenado en el vaso disminuye. esta ecuación se sustituirá por una regla de operación de compuertas previamente establecida con la limitante de que el gasto de descarga debe ser menor o igual que Ov . se puede pensar en que la obra de toma esté funcionando de manera simultánea al paso de la avenida.El coeficiente de descarga C es siempre del orden de 2. Si el gasto descargado por la obra de toma OT es significativo en relación al descargado por el vertedor Ov. Obviamente. . La ecuación anterior es válida cuando la descarga por el vertedero es libre. Ov = 0. Por otra parte. si tiene compuertas y se pretende usarlas durante el paso de la avenida. y éste es un valor suficientemente aproximado para hacer el tránsito de la avenida. entonces la salida total de la presa será: En las ecuaciones: Junto con la curva elevaciones-volúmenes del vaso. si E < E0. que conviene utilizar cuando se cuenta con una computadora digital o una calculadora programable.FIGURA 1: curvas elevación-volumen y elevación-área Se obtendrá un sistema de ecuaciones determinado. proporciona las salidas y los volúmenes en el vaso. De los procedimientos existentes para el tránsito de avenidas en vasos se presentan dos: un semigráfico. y uno numérico. . en cada intervalo de tiempo. cuya solución. útil para cálculos manuales. 2) Se escoge una elevación y se obtiene el volumen V y el gasto de salida O.Método semigráfico El método semigráfico desarrollado por Hjelmfelt y Cassidy (1976) se ha estructurado a través de dos etapas sucesivas. 3) En una gráfica se representa a 2V/Δt + O contra O. 4) El procedimiento se repite para otras elevaciones. La figura 3 indica el resultado que se obtiene al graficar el número de parejas que se han seleccionado. a) Primera etapa En esta etapa se procede a calcular y dibujar una figura auxiliar indispensable para usar el método. Con los valores de V y O se calcula 2V/Δt + O. . La curva a obtener es (2V/Δt + O) contra O y para construirla se emplean las curvas elevaciones-capacidades y elevaciones-gastos de salida de la forma siguiente: 1) Se selecciona el valor del incremento de tiempo Δt. Figura 3 Curva 2V/Δt + O contra O . es decir Ii+1. Oi+1 y Vi+1 pasan a ser Ii. . 4) El método puede sistematizarse tal como aparece en la tabla 1.b) Segunda etapa En esta etapa se aplica la secuencia que se menciona a continuación: 1) Para las condiciones iniciales. El valor de Vi+1 se calcula con: 3) Se considera a i+1 como i. Oi y Vi en el instante siguiente. El significado de cada una de las siete columnas se describe a continuación. 2) Con el valor obtenido para las condiciones iniciales. Su resultado es igual a: donde K es una constante. se entra a la curva 2V/Δt + O contra O (figura 3) y se encuentra el valor de O i+1. se calcula el miembro izquierdo de la ecuación . Se repite el procedimiento hasta terminar todos los valores de interés del hidrograma de entrada. 3. n. Columna 3 Se escriben las ordenadas del hidrograma de entrada. Las columnas anteriores se llenan antes de comenzar con el método de tránsito. 3. 4.. t 2 es igual a t1+(i-1)Δt. n Columna 2 Se anotan los valores de i desde 1 hasta el número de incrementos de tiempo que interese. para i = 2... Columna 4 Se calcula la suma de Ii + Ii+1 y se apunta su valor en el renglón i.Tabla 1.. para i=1. Se consideran conocidas las variables con subíndice i y desconocidas aquellas con subíndice i+1. 2.. Como las condiciones iniciales son conocidas... correspondientes a los tiempos t i. Secuencia de cálculo para el método semigráfico Columna 1 t1 es igual al tiempo de inicio del tránsito. por tanto V 1 y O1son datos y en el primer renglón de la columna 5 se escribe 2V 1/Δt-O1.. Las columnas 5 a 7 se llenan por renglones. . Columna 7 Con el valor de K se entra a la figura de 2V/Δt + O contra O.Columna 5 Se anota el valor de 2V1/Δt-O1 del renglón 1. El valor del renglón j (para j>1) se calcula al restar al valor de 2Vi+1/Δt+Oi+1 el de 2Oi+1 que aparece en el renglón j-1. . Con ello se conoce la magnitud de 2Vi+1/Δt+Oi+1 = K. Se encuentra el valor de Oi+1 del renglón i y se vuelve a empezar nuevamente el procedimiento. Columna 6 Se suman los valores del renglón i de las columnas 4 y 5 y el resultado se escribe en la columna 6 del mismo renglón. 2) Se supone que Oi+1 = Oi 3) Con el valor de Oi+1 y la ecuación anterior se obtiene V i+1 4) A partir de la curva elevaciones-gastos de salida. . b) si no son iguales. se repite el proceso desde el paso 3. con el supuesto en el paso 2: a) si son aproximadamente iguales se ha encontrado el valor correcto de O i+1 y se va al paso 7. Oi y Δt.Método numérico El objetivo del método numérico es resolver la ecuación: Con el auxilio de un procedimiento del tipo predictor-corrector de la forma siguiente: 1) Se conocen los valores Ii. con el valor de Vi+1 se encuentra la elevación Ei+1 5) Con Ei+1 se entra a la curva elevaciones-gastos de salida y se calcula Oi+1 6) Se compara el valor de Oi+1. con el valor de O i+1 calculado en el paso 5. Vi. estimado en el paso 5. Ii+1. Por consecuencia se puede calcular el miembro izquierdo de la ecuación. TRÁNSITO DE AVENIDAS EN El procedimiento hidrológico más usado para transitar avenidas en tramos CAUCES cauces es el desarrollado por McCarthy (1938) conocido como método de de Muskingum. las entradas y las salidas junto con dos parámetros K y X. La hipótesis básica establece que el almacenamiento total en el tramo de río es directamente proporcional al promedio pesado de los gastos de entrada y salida del tramo. El método usa una relación algebraica lineal entre el almacenamiento. en m3/s O : es el gasto de salida. expresada en unidades de tiempo X : es el factor de peso . en m3/s I : es el gasto de entrada. en m3/s K : es la constante de proporcionalidad. llamada de tiempo de almacenamiento. es decir: Donde V : es el volumen de almacenamiento. La ecuación se puede expresar en diferencias finitas como: (A) Donde: ti = i Δt = t1 ti+1 = i + 1 Δt = t2 Figura 4.En la figura 4 se indica una representación gráfica la cual justifica el desarrollo de la ecuación anterior. Relación entre el volumen de almacenamiento y los gastos de entrada y salida . utilizando el mismo procedimiento para la ecuación de continuidad se obtiene la expresión: (B) Si se sustituye en la ecuación (B) el valor de ΔV dado por la ecuación (A) y realizando varias operaciones de tipo algebraico se obtiene la expresión siguiente: Donde: .Ahora bien. 3 y K se hace igual al tiempo entre los gastos pico de los hidrogramas de entrada y de salida del tramo de río o bien se estima. se le puede asignar al parámetro X valores entre 0 y 0. en km L : es la longitud del tramo del río.Obtención de los parámetros K y Existen diferentes métodos que permiten conocer X el valor de K y X y a continuación se describen algunos de ellos. . a) Método con información escasa En aquellos casos donde no se tienen datos suficientes. en km. según Linsley y coautores (1975). con el auxilio de la expresión: Donde: H : es el desnivel entre las dos secciones de los extremos del tramo del río. 2) Se calcula el almacenamiento promedio para cada intervalo con la ecuación: 3) Se calcula VT definido como el almacenamiento acumulado.b) Método de calibración tradicional Este criterio se aplica cuando se dispone de una avenida que haya sido aforada en los extremos del tramo de interés del río (Fuentes y Franco. a partir de un tiempo inicial común. para la X supuesta (ver figura 5). El procedimiento de calibración es el siguiente: 1) Se divide el hidrograma de entrada y salida en intervalos de tiempo Δt. se supone otra X y se regresa al paso 4. . en caso afirmativo se continúa con el paso 8. 7) Se observa si los puntos se ajustan a una recta. 4) Se supone un valor de X 5) Se calcula Y con la expresión: 6) Se dibujan los valores de VT (paso 3) y los de Y (paso 5). si no es así. 1999). con el método tradicional . Figura 5 Calibración del parámetro X. el parámetro K resulta ser igual a la pendiente de la recta de ajuste (ver figura 5).Una vez seleccionado el valor adecuado de X. Overton deduce dos expresiones suponiendo que el hidrograma de entrada tiene la forma de un triángulo isósceles y que K es menor al tiempo pico de este hidrograma (Viessman. . 1977).c) Método de calibración de Overton Se usa cuando se conoce el gasto pico y el tiempo en que se presenta éste para los hidrogramas de entrada y salida en el tramo del río. Para encontrar los parámetros K y X. Las expresiones que permiten estimar el valor de los parámetros K y X son: Donde tp : es el tiempo pico del hidrograma de entrada al tramo del río Tp : es el tiempo pico del hidrograma de salida del tramo del río Ip : es el gasto pico del hidrograma de entrada al tramo del río Op : es el gasto pico del hidrograma de salida del tramo del río. . ya que si no se respetan estos límites se pueden tener errores de aproximación importantes en los resultados. De acuerdo con Chow (1964).Aplicación del método de Para transitar un hidrograma. conocidos los valores de los parámetros K y X se Muskingum aplica el procedimiento que a continuación se describe: 1) Se calculan las constantes C0. el intervalo de tiempo Δt que se debe usar para realizar el tránsito debe estar comprendido entre 2KX y K. 4) El gasto de salida se obtiene con la ecuación: 5) Los valores de I2 y de O2 se toman como I1 y O1 y se repite el procedimiento desde el paso 3. C1 y C2 con las ecuaciones: 2) Se conoce I1 y O1 3) Se considera el gasto de entrada I 2 en el tiempo siguiente. llega en algún momento a ser del orden de 65 m3/s. a partir del método de Muskingum. Figura 5. Tramo del río en estudio . El poblado de la figura 5 se inunda cuando el gasto en el sitio B.PROBLEMA Tránsito de una avenida en un tramo de río. Con el método de Muskingum transitar la avenida entre el tramo A-B y determinar si el poblado localizado en B se inunda. Figura 6 Hidrograma o avenida de diseño en la sección A . si en sitio A se presenta el hidrograma mostrado en la figura 6. Además. se sabe que en pasado se registraron en los sitios A y B las avenidas que se muestran respectivamente en la figura 7 Figura 7 Hidrogramas medidos en las secciones A yB . 2) En la primera opción. El resultado se puede ver en la figura 8 a). se dibujan los valores de la columna (6) contra los de la columna (9). 3) Posteriormente. 4) Visualmente se observa que los trazos no se aproximan a una recta.3 (en lugar de X = 0. 1) Con los datos disponibles se elaboró la tabla 2 con un total de 15 columnas cuyo contenido se describe a continuación. se dibujaron los valores de la columna (6) contra los de la columna (12) y su resultado se observa en la figura 8b).1 y los resultados se observan en las columnas (1) a (9).1) y se llenaron las columnas (10) a (12) de la tabla 2. por lo que es necesario suponer otro valor de la variable X. Estimación de las variables X y K. Por consiguiente. se considero otra opción con un valor de X = 0. 5) En seguida.Solución: A-. . se supone que X = 0. 43 horas.13 como el valor correcto. se observa el resultado. 7) Entones se procede a realizar otra aproximación utilizando una tercera opción con un valor de X = 0. . 8) Se dibujaron los valores de la columna (6) contra los de la columna (15) y en la figura 8c).13 y se llenaron las columnas (13) a (15) de tabla 2. 12) La magnitud de K resultó ser igual a 11. se toma que X es igual a 0. 11) El valor de K se obtuvo al calcular la pendiente de la recta. 13) Conocidos los valores de K y X se procede a estimar con las ecuaciones. 10) En consecuencia. C1 y C2.6) Analizando visualmente el comportamiento de la figura 8b) se detecta un ajuste inadecuado para el valor de X =0. ya que se tiene un buen ajuste a una recta. a la que se aproximan todos los trazos. las magnitudes de las constantes C0. 9) Observando las tres opciones.3. línea punteada de la figura 9. se determinó que el mejor ajuste se presenta en la figura 8c). Relaciones entre el almacenamiento y los gastos .Figura 8 a). Figura 8 b). Relaciones entre el almacenamiento y los gastos . Relaciones entre el almacenamiento y los gastos .Figura 8 c). Figura 9 Estimación del parámetro K del método de MUskingum . Cálculos para la calibración de la constante X .Tabla 2. b) El proceso para estimar los volúmenes almacenados que aparecen en la columna (5) de la tabla 2. se indica a continuación: . para los intervalos de tiempo. 43 horas y X = 0. K = 11. con Δt = 4 h.c) Cálculo de las constantes C0. . C1 y C2.13. d) Se verifica que se cumpla lo siguiente: e) Se efectúa el tránsito de la avenida con la ecuación: f) Los resultados se encuentran resumidos en la tabla 3 y de acuerdo con los valores.81 m3/s. g) La figura 10 indica los hidrogramas de ingreso y egreso en las secciones A y B del tramo de río en estudio. . es de 71. obtenidos al transitar la avenida de diseño por el método de Muskingum. por lo que se comprueba que si se inundará el poblado B. hidrograma en el sitio B. se observa que el gasto máximo de egreso. Tabla 3 Aplicación del método de Muskingum . Figura 10 Hidrogramas de entrada y salida obtenidos al transitar una avenida con el método de Muskingum .
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