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Si apruebo el curso deMatemática Básica, entonces mi novia me invita una cena en la “Rosa Náutica”. Sucede que desaprobé el curso. ¿Mi novia me invitará la cena en la “Rosa Náutica”? FUNDAMENTOS DE LÓGICA Unidad 1 Sesión presencial 1 3. Problemas de texto 2. Reglas de inferencia: Modus Ponens, Silogismo Disyuntivo 1. Conceptos básicos Temario Al finalizar esta sesión, estarás preparado para analizar y construir un argumento lógicamente válido aplicando reglas de inferencia y avalando tu respuesta sobre la base del pensamiento crítico. Logro de la sesión 5. El cronograma de los controles de lectura del curso de Lógica 4. Por favor, no me desapruebe. 3. ¿Los controles de lecturas son difíciles? 2. Estudien para el control de lectura de lógica. 1. El control de lectura 1 se realizó el lunes. Expresiones: Frase nominal Súplica Proposicionales no Pregunta Orden Expresiones proposicional Expresión Información sobre un hecho CONCEPTOS BÁSICOS 1 Si No 3. El Huáscar fue hundido el 12 de Octubre de 1879. 4. A caballo regalado no se le mira el diente. 1. Mario Vargas Llosa es un escritor muy reconocido a nivel internacional. 2. Un gran déficit gubernamental tiene un efecto adverso en la economía. 3. Sócrates y Platón fueron contemporáneos. 4. 11 y 13 son números primos entre sí. 5. El costo de oportunidad es un precio relativo. Ejemplos: Proposiciones Simples: Consta de un sólo sujeto y un sólo predicado, además carecen de conector lógico. Tipos de Proposiciones 6. El PBI creció 5,6% durante el periodo 2014 – Si 2015. 5. En un monopolio bilateral, la tasa salarial se Si determina negociando. No No 2. Prohibido fumar en lugares públicos como éste. 1. ¿Usted habla inglés? Las siguientes expresiones, ¿Son proposiciones? Es todo enunciado que puede ser calificado como verdadero o falso. Proposición Indica en las proposiciones una relación de causa - efecto › o SI… ENTONCES CONDICIONAL Indica que se debe dar una de ellas o ambas proposiciones a la vez O DISYUNCIÓN INCLUSIVA (DEBIL) Indica que se deben dar las dos proposiciones š Y CONJUNCIÓN Cambia el valor de verdad de una proposición simple ~ NO NEGADOR Significado Símbolo Termino Operador Conectivos lógicos 2. Si ahorro mi dinero, entonces me voy de vacaciones. 1. Mario Vargas Llosa nació en el Perú o nació en España. Proposiciones Compuestas: Formada por dos o más proposiciones simples unidas por “conectores”. De acuerdo al tipo de conector que tienen, se clasifican en: negativas, conjuntivas, disyuntivas, implicativas, biimplicativas. Ejemplos: DISYUNCIÓN INCLUYENTE CONDICIONAL CONJUNCIÓN poq p a menos que q. p salvo que q. p excepto q NEGACIÓN p entonces q. p por lo tanto q. p es suficiente para q. q si p. q porque p. p y q. p pero q. p aunque q. p sin embargo q. No p. Es falso que p. Es absurdo que p. poq pšq p› q ap Términos de lenguaje natural que designan operadores proposicionales: p ap p›q pšq poq Formalización poq#aqoap Si voy al cine, entonces dormiré tarde. Proposición equivalente: Si no duermo tarde entonces no fui al cine. Ejemplo 1: Redacte la proposición equivalente de : 1. Proposiciones compuestas equivalentes : No llueve esta noche. Voy al cine o a la playa. Apruebo el examen y voy a la fiesta. Si voy al cine, entonces duermo tarde. Proposiciones Voy a estudiar matemáticas. Ejemplos Utilizaremos las letras p, q, r, … para simbolizar a las proposiciones lógicas. Formalización de proposiciones lógicas a (p š q) # a p › a q No es cierto que Luisa sea morena y rubia a la vez. Proposición equivalente: Luisa no es morena o Luisa no es rubia. Ejemplo 1: Redacte la proposición equivalente de: 2. Proposiciones compuestas equivalentes : Proposición equivalente: Formalización : Proposiciones simples: Cuando la reventa de una empresa es posible, entonces la empresa cobra un precio único. proposición : Ejemplo 2: Simbolice y redacte, la equivalencia de la siguiente : a(p › q) # a p š a q No es cierto que César estudie inglés o estudie francés. Proposición equivalente: César no estudia inglés y no estudia francés. César no estudia inglés ni estudia francés. Ejemplo 1: Redacte la proposición equivalente de : 3. Proposiciones compuestas equivalentes : Proposición equivalente Formalización : Proposiciones simples: No es cierto que el ingreso futuro esperado aumenta y la demanda también aumenta. proposición : Ejemplo 2: Simbolice y redacte, la equivalencia de la siguiente : ¿Es válida dicha conclusión? “Si los impuestos no aumentan, entonces el poder adquisitivo de las personas no sufre cambios. Sucede que los impuestos no aumentan. Luego el poder adquisitivo de las personas no sufre cambios”. Proposición equivalente Formalización : Proposiciones simples: No es cierto que Luis aprueba Matemática Básica o desapruebe Habilidades Comunicativas. siguiente proposición: Ejemplo 2:Simbolice y redacte, la equivalencia de la Premisa 1: Si apruebo el curso de Matemática Básica, entonces mi pareja me invita una cena en la Rosa Náutica. Premisa 2: Sucede que desaprobé el curso. Conclusión : Por lo tanto, mi pareja no me invitará a cenar en la Rosa Náutica. “Si apruebo el curso de Matemática Básica, entonces mi pareja me invita una cena en la Rosa Náutica. Sucede desaprobé el curso. Por lo tanto, mi pareja no me invitará a cenar en la Rosa Náutica”. Expresar en un esquema vertical la siguiente proposición: Formalización en esquema Vertical: Una Inferencia Lógica es una estructura de proposiciones llamadas premisas, en base a las cuales inferimos otra proposición llamada conclusión. Definición: INFERENCIA LÓGICA Son argumentos válidos, tautológicos, es decir, ya no se necesita la demostración de su validez. A continuación estudiamos las más importantes: Reglas de inferencia REGLA DE INFERENCIA: MODUS PONENS 2 p2 : p q p1 : p o q p2 : p . c : q Formalización: Respuesta: El argumento es válido. p : Ahorro q : Progreso p1 : Si ahorro entonces progreso económicamente. p2 : Sucede que ahorro. c : Luego, progreso económicamente. Proposiciones Simples Esquema Vertical “Si ahorro entonces progreso económicamente. Sucede que ahorro. Luego, progreso económicamente”. Ejemplo 1: CONCLUSIÓN PREMISAS p1 : p o q MODUS PONENS (MP) p : .............................. q : .............................. Proposiciones Simples REGLA DE INFERENCIA: SILOGISMO DISYUNTIVO 2 p1 : ....................... p2 : . c : Respuesta: El argumento es______. Formalización: p1 : .............................. p2 : .............................. c : .............................. Esquema Vertical “Si los impuestos no aumentan, entonces el poder adquisitivo de las personas no sufre cambios. Sucede que los impuestos no aumentan. Luego el poder adquisitivo de las personas no sufre cambios”. Ejemplo 2: p El argumento es válido. p1 : p › q p2 : ap . c : q Formalización: Respuesta: p : Estudio inglés q : Estudio francés Proposiciones Simples “Estudio Inglés o estudio francés. No estudio inglés. Luego, estudio francés”. p1 : Estudio inglés o estudio francés. Esquema p2 : No estudió inglés. Vertical c : Luego estudio francés. CONCLUSIÓN q p1 : p › q p2 : aq PREMISAS p2 : ap Ejemplo 1: CONCLUSIÓN PREMISAS p1 : p › q SILOGISMO DISYUNTIVO (SD) p : .............................. q : .............................. p1 : ....................... p2 : . c : Proposiciones Simples Formalización: REGLA DE INFERENCIA: PROBLEMAS DE TEXTO 3 Respuesta: El argumento es _____. p1 : .............................. p2 : .............................. c : .............................. Esquema Vertical “Suben el sueldo a los policías o los equipan con unidades motorizadas nuevas. No los equipan con unidades nuevas. Luego suben el sueldo a los policías”. Ejemplo 2: : .............................. : .............................. p1 : ....................... p2 : . c : p q p1 : .............................. p2 : .............................. c : .............................. p : .............................. q : .............................. p1 : ....................... p2 : . c : q Esquema Vertical Proposiciones Simples Formalización: El argumento es: p1 : .............................. p2 : .............................. c : .............................. Sube la gasolina o el dólar se mantiene estable. Sucede que el dólar no se mantiene estable. Luego no sube la gasolina. Ejercicio 2 El argumento es: Formalización: Proposiciones Simples Esquema Vertical Vamos al cine o caminar por el malecón. Sucede que no iremos a caminar por el malecón. Luego, iremos al cine. La estructura de este argumento es: Determine la validez de la siguiente conclusiones: Ejercicios: p1 : ....................... p2 : . c : p : .............................. q : .............................. p1 : .............................. p2 : .............................. p1 : ....................... p2 : . c : Formalización: Redactar conclusión: p : .............................. q : .............................. p1 : .............................. p2 : .............................. Proposiciones Simples Esquema Vertical 2. Si tengo dinero, entonces compro una bicicleta. Tengo dinero. Por lo tanto, …. Redactar conclusión: Formalización: Proposiciones Simples Esquema Vertical 1. Si ganan el partido, se clasifican. Hoy ganaron el partido. En consecuencia, … Construya la estructura de los siguientes argumentos y llegue a una conclusión: Ejercicios p1 : ....................... . p2 : . c : Formalización: No te p1 : ....................... p2 : . c : Formalización: Redactar conclusión: p : .............................. q : .............................. p1 : .............................. p2 : .............................. Proposiciones Simples Esquema Vertical 4. La historia es una forma de conocimiento a menos que sea una ficción narrativa. Pero la historia no es una ficción narrativa. Por lo tanto, … Redactar conclusión: p : .............................. q : .............................. Proposiciones Simples Esquema Vertical p1 : .............................. p2 : .............................. 3. Estudias lógica o te equivocas durante el examen. equivocaste en el examen. Entonces,… p : .............................. q : .............................. p1 : ....................... p2 : . c : Proposiciones Simples Formalización: Redactar conclusión: Formalización: Proposiciones Simples Esquema Vertical p1 : ....................... p2 : . c : p : .............................. q : .............................. p1 : .............................. p2 : .............................. c : .............................. 6. No es cierto que suba la cotización del dólar y que el euro se mantenga estable. Sube la cotización del dólar. Redactar conclusión: p1 : .............................. p2 : .............................. Esquema Vertical 5. Si apruebo el curso de Matemática Básica, mi novia me invita una cena en la “Rosa Náutica”. Sucede que apruebo el curso. 3. Comparar con las reglas de inferencia dadas: un argumento puede ser calificado como válido o no válido. 2. Formular la estructura del argumento (esquema vertical). 1. Identificar correctamente las premisas y proposiciones simples que las conforman. Es importante que recuerden lo siguiente: Conclusiones CONCLUSIONES aq ?p ap ?q p›q p›q Silogismo disyuntivo IRVING COPI,INTRODUCCIÓN A LA LÓGICACAVELL, Stanley (2012) La bondad del cine, pp. 28–50. En: revista Hueso Húmero, vol. 1 No. 50. CURO Agustín-MARTÍNEZ Mihaly, Cristina (2013) Matemática básica para administradores Temas: LÓGICA MATEMÁTICA Lima: UPC. Fondo Editorial Bibliografía p ?q poq Modus Ponens Conclusiones MATEMÁTICA BÁSICA (NEGOCIOS) – EPE COPYRIGHT © UPC 2013 Material producido para el curso de Matemática Básica (Negocios) EPE Diseño y locución: Oscar Paico - Rosario Cortez Producción: TICE Continúa con las actividades propuestas en el aula virtual. Si, tienes dudas sobre alguno de los temas, ingresa al Aula Virtual y participa en el foro de dudas académicas de la unidad. Preguntas… MATEMATICA BÁSICA (EPE) ONLINE – CE76 Semana Nro1 – 2015-1 Logro: Al finalizar esta sesión, estarás preparado para analizar y construir un argumento lógicamente válido aplicando reglas de inferencia y avalando tu respuesta sobre la base del pensamiento crítico. Conceptos Básicos: Expresiones: 1. El control de lectura 1 se realizó el lunes. 2. Estudien para el control de lectura de lógica. 3. ¿Los controles de lecturas son difíciles? 4. Por favor, no me desapruebe. 5. El cronograma de los controles de lectura del curso de Lógica Proposición: Es todo enunciado que puede ser calificado como verdadero o falso. Las siguientes expresiones, ¿son proposiciones? 1. ¿Usted habla inglés? 2. Prohibido fumar en lugares públicos como éste. 3. El Huáscar fue hundido el 12 de Octubre de 1879. 4. A caballo regalado no se le mira el diente. 5. En un monopolio bilateral, la tasa salarial se determina negociando. 6. El PBI creció 5,6% durante el periodo 2014 – 2015. Tipos de Proposiciones Proposiciones Simples: Consta de un sólo sujeto y un sólo predicado, además carecen de conector lógico. Ejemplos: 1. Mario Vargas Llosa es un escritor muy reconocido a nivel internacional. 2. Un gran déficit gubernamental tiene un efecto adverso en la economía. 3. Sócrates y Platón fueron contemporáneos. 4. 11 y 13 son números primos entre sí. 5. El costo de oportunidad es un precio relativo. 1 Proposiciones Compuestas: Formada por dos o más proposiciones simples unidas por “conectores”. De acuerdo al tipo de conector que tienen, se clasifican en: negativas, conjuntivas, disyuntivas, implicativas, biimplicativas. Ejemplos 1. Mario Vargas Llosa nació en el Perú o nació en España. 2. Si ahorro mi dinero, entonces me voy de vacaciones. Conectivos Lógicos Conector NEGACIÓN Termino Símbolo Significado NO ~ Cambia el valor de verdad de una proposición simple  Indica que se deben dar las dos proposiciones CONJUNCIÓN Y DISYUNCIÓN INCLUSIVA (DÉBIL) O  SI… CONDICIONAL ENTONCES  Indica que se debe dar una de ellas o ambas proposiciones a la vez Indica en las proposiciones una relación de causa - efecto Términos de lenguaje natural que designan operadores proposicionales: Conector Lenguaje natural NEGACIÓN No p. Es falso que p. Es absurdo que p. DISYUNCIÓN INCLUYENTE poq p a menos que q. p salvo que q. p excepto q. CONJUNCIÓN p y q. p pero q. p aunque q. p sin embargo q. CONDICIONAL p entonces q. p por lo tanto q. p es suficiente para q. q si p. q porque p. Representación 2 Formalización de proposiciones lógicas Utilizaremos las letras p, q, r, … para simbolizar a las proposiciones lógicas. Proposiciones Proposiciones simples Formalización Voy a estudiar matemáticas. No llueve esta noche. Voy al cine o a la playa. Apruebo el examen y voy a la fiesta. Si voy al cine, entonces duermo tarde. Proposiciones Compuestas equivalentes: 1. pqqp Ejemplo 1: Redacte la proposición equivalente de: Si voy al cine, entonces dormiré tarde. Proposiciones simples: p: q: Formalización: Proposición equivalente: Redacción: 3 Ejemplo 2: Simbolice y escriba, la equivalencia de la siguiente proposición. Cuando la reventa de una empresa es posible, entonces la empresa cobra un precio único. Proposiciones simples: p: q: Formalización: Proposición equivalente: Redacción:  (p  q)   p   q 2. Ejemplo 1: Redacte la proposición equivalente de: No es cierto que Luisa sea morena y rubia a la vez. Proposiciones simples: p: q: Formalización: Proposición equivalente: Redacción: Ejemplo 2: Simbolice y redacte, la equivalencia de la siguiente proposición: No es cierto que el ingreso futuro esperado aumenta y la demanda también aumenta Proposiciones simples: p: q: Formalización: Proposición equivalente: Redacción: 4 3.  (p  q)   p   q Ejemplo 1: Redacte la proposición equivalente de: No es cierto que César estudie inglés o estudie francés. Proposiciones simples: p: q: Formalización: Proposición equivalente: Redacción: Ejemplo 2: Simbolice y redacte, la equivalencia de la siguiente proposición: No es cierto que Luis aprueba matemática básica o desapruebe habilidades comunicativas. Proposiciones simples: p: q: Formalización: Proposición equivalente: Redacción: “Si los impuestos no aumentan, entonces el poder adquisitivo de las personas no sufre cambios. Sucede que los impuestos no aumentan. Luego el poder adquisitivo de las personas no sufre cambios” . ¿Es válida dicha conclusión? INFERENCIA LÓGICA Definición: Una Inferencia Lógica es una estructura de proposiciones llamadas premisas, en base a las cuales inferimos otra proposición llamada conclusión. 5 Formalización de esquema vertical: Si apruebo el curso de Matemática Básica, entonces mi pareja me invita una cena en la Rosa Náutica. Sucede que desaprobé el curso. Por lo tanto, mi pareja no me invitará a cenar en la Rosa Náutica. Premisa 1 Premisa 2 Conclusión Reglas de inferencia. Son argumentos válidos, tautológicos, es decir, ya no se necesita la demostración de su validez. A continuación mostramos las más importantes. MODUS PONENS (MP) p1 : pq p2 : p PREMISAS CONCLUSIÓN q Ejemplo1: “Si ahorro entonces progreso económicamente. Sucede que ahorro. Luego, progreso económicamente” Esquema vertical Premisas: Proposiciones simples: Formalización: Respuesta: 6 Ejemplo 2: “Si los impuestos no aumentan, entonces el poder adquisitivo de las personas no sufre cambios. Sucede que los impuestos no aumentan. Luego el poder adquisitivo de las personas no sufre cambios”. Esquema vertical Premisas: Proposiciones simples: Formalización: Respuesta: SILOGISMO DISYUNTIVO (SD) p1 p1 : p  q : pq PREMISAS PREMISAS p2 CONCLUSIÓN : p q CONCLUSIÓN p2 :  q p Ejemplos: 1. “Estudio Inglés o estudio francés. francés”. No estudio inglés. Luego, estudio Premisas: Conclusión: Proposiciones simples: Formalización: 7 Respuesta: 2. “Suben el sueldo a los policías o los equipan con unidades motorizadas nuevas. No los equipan con unidades nuevas. Luego suben el sueldo a los policías”. Premisas: Conclusión: Proposiciones simples: Formalización: Respuesta: Ejercicios: Determine la validez de las siguientes conclusiones: 1. Vamos al cine o caminar por el malecón. Sucede que no iremos a caminar por el malecón. Luego, iremos al cine. 2. Sube la gasolina o el dólar se mantiene estable. Sucede que el dólar no se mantiene estable. Luego no sube la gasolina. 8 Ejercicios Construya la estructura de los siguientes argumentos y llegue a una conclusión: 1. Si ganan el partido, se clasifican. Hoy ganaron el partido. En consecuencia, … 2. Si tengo dinero, entonces compro una bicicleta. Tengo dinero. Por lo tanto,... 3. Estudias lógica o te equivocas durante el examen. No te equivocaste en el examen. Entonces,… 9 4. La historia es una forma de conocimiento a menos que sea una ficción narrativa. Pero la historia no es una ficción narrativa. Por lo tanto, … 5. Si apruebo el curso de Matemática Básica, mi novia me invita una cena en la “Rosa Náutica”. Sucede que apruebo el curso. 6. No es cierto que suba la cotización del dólar y que el euro se mantenga estable. Sube la cotización del dólar. 10 Analizar la validez de una conclusión utilizando las reglas de inferencia: Modus Tollens y Silogismo Hipotético Puro con mucho sentido crítico. Al finalizar el MTA1, estarás preparado para: Logro de la sesión FUNDAMENTOS DE LÓGICA Unidad 1 Material de trabajo autónomo 1 Problemas de texto Reglas de inferencia: Modus Tollens, Silogismo Hipotético Puro Conceptos básicos (repaso) Temario • Recuerda que a través del MTA desarrollaráss aprendizajes complementarios a loss trabajados en la clase presencial. • Calculadora, reloj, útiles, etc. • Cuaderno de trabajo con el desarrollo de la clase presencial para el estudio del MTA. • Copia de las diapositivas con los conceptos trabajados en la clase presencial. Recursos necesarios RESPUESTA A. 1 y 2 B. 1 y 3 C. 2 y 3 D. 1 y 4 4. Si Carlos estudia entonces aprobará la práctica calificada. 3. ¿Las tareas académicas de Matemática Básica son complicadas? 2. Estudien para rendir las evaluaciones continuas 1. Los controles son fáciles ¿Cuáles son proposiciones? Ejercicio 1 CONCEPTOS BÁSICOS REPASO 1 Continúa trabajando. ¡Felicitaciones! calificado como verdadero o falso. PROPOSICIÓN: Es todo enunciado que puede ser Recuerda las definiciones trabajadas en la clase presencial y vuelve a desarrollar la actividad 1. Respuesta errada p ?q poq presenta la siguiente estructura: Recuerda que la regla de inferencia Modus Ponens Respuesta errada A. No aumenta su poder adquisitivo B. Su poder adquisitivo disminuye C. Su poder adquisitivo aumenta Respuesta: Por lo tanto… Mejoran los sueldos de los trabajadores. Si mejoran los sueldos de los trabajadores, su poder adquisitivo aumenta. ¿Cuál es tú conclusión? Ejercicio 2 A. Ahorro en euros B. Ahorro en dólares C. No ahorro en dólares Respuestas: Luego,… No ahorro en soles. Ahorro en soles o ahorro en dólares. ¿Cuál es tú conclusión? Ejercicio 3 Continúa trabajando ¡Felicitaciones! Continúa trabajando ¡Felicitaciones! ap ?q pvq Recuerda que la regla de inferencia “Silogismo Disyuntivo” presenta la siguiente estructura: Respuesta errada • Mis ingresos aumentaron • No aumentaron mis ingresos • Mis ingresos disminuyen ¿Cuál sería la posible conclusión de Carlos? Por lo tanto... pero sabes no crecieron mis ahorros. Si aumentan mis ingresos, crecerán mis ahorros, Carlos en una conversación con su compañero de trabajo le dice: Caso REGLA DE INFERENCIA: MODUS TOLLENS 2 Por lo tanto... Si los costos disminuyen, las utilidades se maximizan Las utilidades no se maximizan Por lo tanto, no reforzaré mis conocimientos. No asisto a los talleres. Si asisto a los talleres, reforzaré mis conocimientos. En el siguiente ejercicio determinaremos la validez del argumento: • En el siguiente ejercicio determinaremos conclusión para las premisas presentadas: la aq ?ap poq iv. Al satisfacer las premisas de la regla, se obtiene a p, por lo tanto, la conclusión es: “los costos no disminuyen” iii. Comparamos si la estructura planteada cumple con las premisas de la regla de inferencia de Modus Tollens. p1: p o q p2: aq Lenguaje simbólico: p: Los costos disminuyen. q: Las utilidades se maximizan. ii. Ejemplo 2 p2 : a q ap Identificamos premisas: p1: Si los costos disminuyen, las utilidades se maximizan. p2: Las utilidades no se maximizan. i. Solución Ejemplo 1 Ejemplo 1 CONCLUSIÓN PREMISAS p1 : p o q MODUS TOLLENS (MT) Por lo tanto… Compré los productos. No compré los productos pues los precios estaban muy altos. En el siguiente ejercicio determina la conclusión a partir de las premisas: Ejemplo 3 p1: p o q poq p2: ap c : aq aq iii. Comparamos si la estructura planteada en ii. ?ap cumple con la regla de inferencia de Modus Tollens u otras reglas vistas. iv. Al no satisfacer las reglas vistas, concluimos que el argumento no es válido. Identificamos premisas y conclusión: p1: Si asisto a los talleres, reforzaré mis conocimientos. p2: No asisto a los talleres. c : No reforzaré mis conocimientos. ii. Lenguaje simbólico: p: Asisto a los talleres. q: Reforzaré mis conocimientos. i. Solución Ejemplo 2 aq ?ap • Luego debes comparar con las reglas dadas. • Debes formular la estructura del argumento. • Siempre debes identificar y nombrar a las proposiciones. Recuerda que… iv. La conclusión según la regla es a p, es decir: Los precios no están muy altos. iii. Comparamos la estructura planteada con la regla de inferencia de Modus Tollens p1: p o q p2: aq poq Identificamos premisas: p1: No compré los productos pues los precios estaban muy altos. p2: Compré los productos. ii. Lenguaje simbólico: p: Los precios estaban muy altos. q: No compré los productos. i. Solución Ejemplo 3 Ejercicios ¿Es posible aplicar la regla dee Modus Tollens sin que existaa antecedente y consecuente? Reflexiona un momento Solución 1. En el siguiente ejercicio determine la conclusión para las premisas presentadas: Si es mayor de edad, tiene permiso de conducir. No tiene permiso de conducir. Por lo tanto... 2. En el siguiente ejercicio determine la validez del siguiente argumento: Si el precio del producto es mayor al precio de equilibrio, entonces hay exceso de oferta. No es mayor el precio del producto que el precio de equilibrio. Luego, no hay exceso de oferta. 3. En el siguiente ejercicio determine la conclusión para las premisas presentadas: Subió el precio de las frutas, porque subió el precio de la gasolina. No subió el precio de las frutas Por consiguiente… Ejercicios Identificamos premisas: p1: Si es mayor de edad, tiene permiso de conducir. p2: No tiene derecho de conducir. aq ?ap poq iv. Al no satisfacer las reglas vistas, se concluye que el argumento no es válido. p1: p o q p2: ap c : aq iii. Comparamos si la estructura planteada cumple con las premisas de la regla de inferencia de Modus Tollens u otras reglas vistas. ?ap poq aq Identificamos premisas y conclusión: p1: Si el precio del producto es mayor al precio de equilibrio, entonces hay exceso de oferta. p2: No es mayor el precio del producto que el precio del equilibrio. c : Luego, no hay exceso de oferta. ii. Lenguaje simbólico: p: El precio del producto es mayor al precio de equilibrio. q: Hay exceso de oferta. i. Resolviendo Solución 2 iv. La conclusión según la regla es a p, es decir: “no es mayor de edad”. iii. Comparamos si la estructura planteada cumple con la regla de inferencia de Modus Tollens. p1: p o q p2: aq aq REGLA DE INFERENCIA: SILOGISMO HIPOTÉTICO PURO 3 iii. Comparamos si la estructura planteada cumple ?ap con las premisas de la regla de inferencia de Modus Tollens. iv. Como cumple, la conclusión según la regla es a p, es decir: “no se elevó el precio de la gasolina”. p1: p o q p2: aq poq Identificamos premisas: p1: Subió el precio de las frutas, porque subió el precio de la gasolina. p2: No subió el precio de las frutas. ii. Lenguaje simbólico: p: Se elevó el precio de la gasolina. q: Subió el precio del pan. i. Resolviendo Resolviendo ii. Lenguaje simbólico: p: Es mayor de edad. q: Tiene permiso de conducir. i. Solución 3 Solución 1 el CONCLUSIÓN PREMISAS qor por poq SILOGISMO HIPOTÉTICO PURO • Si hay acuerdo entre el gobierno y los trabajadores, aumentarán las inversiones inmobiliarias. • Si hay acuerdo entre el gobierno y los trabajadores, entonces cesará la huelga de los trabajadores. • Si no hay acuerdo entre el gobierno y los trabajadores, no aumentarán las inversiones inmobiliarias. Por lo tanto... ¿ qué puedes concluir? Si hay acuerdo entre el gobierno y los trabajadores, cesará la huelga del gremio de Construcción Civil. Si cesa la huelga del gremio de Construcción Civil, aumentarán las inversiones inmobiliarias. En un programa periodístico comentarista expresó lo siguiente: Caso poq qor ?por iv. Al satisfacer la regla, se concluye p o r, es decir: “Si las acciones aumentan en un 4% entonces la utilidad anual aumentará en un 1%”. p1: p o q p2: q o r iii. Comparamos si la estructura planteada cumple con las premisas de la regla de inferencia Silogismo Hipotético Puro. Identificamos premisas: p1: Si las acciones aumentan en un 4%, entonces los sueldos aumentan en un 2%. p2: Si los sueldos aumentan en un 2%, entonces la utilidad anual aumentará en un 1%. ii. Lenguaje simbólico: p: Las acciones aumentan en un 4%. q: Los sueldos suben en un 2%. r : La utilidad anual aumentará en un 1%. i. Solución Ejemplo 1 Si las acciones aumentan en un 4%, entonces los sueldos aumentan en un 2% ; y si los sueldos aumentan en un 2%, entonces la utilidad anual aumentará en un 1%. Por lo tanto... En el siguiente ejercicio determinaremos la conclusión para las premisas presentadas: Ejemplo 1 poq p1: p o q p2: q o r . qor c: rop ?por iii. Comparamos si la estructura planteada cumple con la regla de inferencia de Silogismo Hipotético Puro u otras reglas vistas. iv. Al no satisfacer la regla, se concluye que el argumento es inválido. Identificamos premisas y conclusión: p1: Si los periodistas son objetivos, presentarán la información de manera confiable. p2: Si los periodistas presentan la información de manera confiable, entonces el público se informa adecuadamente. ii. Lenguaje simbólico: p: Los periodistas son objetivos. q: Presentarán la información de manera confiable. r : El público se informa adecuadamente. i. Solución Ejemplo 2 Si el público se informa adecuadamente entonces los periodistas son objetivos. Si los periodistas presentan la información de manera confiable, entonces el público se informa adecuadamente. Luego,… Si los periodistas son objetivos, presentarán la información de manera confiable. En el siguiente ejercicio determinaremos la validez del argumento: Ejemplo 2 • ¿Cuál será la diferencia entre las reglas de inferencia Modus Tollens y Silogismo hipotético puro? Reflexiona un momento • Luego debes comparar con on las reglas dadas. • Debes formular la estructura ra del argumento. • Siempre debes identificar y nombrar a las proposiciones. s. Recuerda que… Por lo tanto, si el alumno es memorista y predomina la exposición del docente entonces el alumno será libre de expresar su opinión. Si el alumno es un ente receptor y acumulador de conocimientos, en consecuencia el alumno no será libre de expresar su opinión. Si el alumno es memorista y predomina la exposición del docente, entonces el alumno se convierte en un ente receptor y acumulador de conocimiento. 2. En el siguiente ejercicio determina la validez del siguiente argumento: Si la demanda crece entonces las compañías se expanden. Las compañías se expanden entonces se requieren más obreros. Por lo tanto, … 1. En el siguiente ejercicio determina la conclusión para las premisas presentadas: Ejercicios Ejercicios qor ?por iv. Luego por la regla, se concluye p o r , por lo tanto: “Si la demanda crece entonces se requieren más obreros”. iii. Comparamos si la estructura planteada cumple con las premisas de la regla de inferencia de Silogismo Hipotético Puro. p1: p o q p2: q o r poq Identificamos premisas: p1: Si la demanda crece entonces las compañías se expanden. p2: Las compañías se expanden entonces se requieren más obreros. ii. Lenguaje simbólico: p: La demanda crece. q: Las compañías se expanden. r : Se requieren más obreros. i. Resolviendo Solución 1 Solución Resolviendo poq aq ?ap poq Modus tollens Conclusiones qo r ? po r poq Silogismo hipotético puro p1: p o q p2: q o r . qor c : p o ar ?por iii. Comparamos si la estructura planteada cumple con la regla de inferencia de Silogismo Hipotético Puro u otras reglas vistas. iv. Al no satisfacer la regla, se concluye que el argumento es inválido. Identificamos premisas y conclusión: p1: Si el alumno es memorista y predomina la exposición del docente, entonces el alumno se convierte en un ente receptor y acumulador de conocimiento. p2: Si el alumno es un ente receptor y acumulador de conocimientos, en consecuencia el alumno no será libre de expresar su opinión. c : Si el alumno es memorista… será libre de expresar su opinión. ii. Lenguaje simbólico: p: El alumno es memorista y predomina la exposición del docente. q: El alumno se convierte en un ente receptor y acumulador de conocimientos. r : El alumno no será libre de expresar su opinión. i. Solución 2 COPI, Irving - COHEN, Carl (2011) INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA México, D.F. : Limusa CURO Agustín-MARTINEZ Mihaly, Cristina (2013) Matemática básica para administradores Temas: LOGICA MATEMATICA Lima: UPC. Fondo Editorial Bibliografía • Un argumento puede ser calificado como válido o inválido • Es importante identificar correctamente las proposiciones antecedente y consecuente Conclusiones MATEMÁTICA BÁSICA (NEGOCIOS) – EPE COPYRIGHT © UPC 2013 Material producido para el curso de Matemática Básica (Negocios) EPE Diseño y locución: Oscar Paico - Rosario Cortez Producción: TICE Continúa con las actividades propuestas en el guión del estudiante Si, luego del estudio del MTA, tienes dudas sobre alguno de los temas, ingresa al Aula Virtual y participa en el foro de dudas académicas de la unidad. Preguntas… MATEMÁTICA BÁSICA ONLINE (ADM) Guía de ejercicios de la semana 1 Expresiones proposicionales y no proposicionales 01. Dado los siguientes enunciados, señalar las que son proposiciones lógicas. a. La avenida Javier Prado es la más larga de Lima. b. Alcánzame una gaseosa, por favor. c. Los cocodrilos son mamíferos. d. ¡Mira qué hermoso país! e. A mal tiempo buena cara f. Espero que ingreses a la Universidad g. El pisco es peruano. h. ¿Cuál es tu nombre? i. El león es un mamífero j. Mario Vargas Llosa escribió, “El sueño del celta” en el año 2010. k. ¿Ud. habla inglés? l. Prohibido fumar en lugares públicos como éste. m. El grado de una ecuación polinómica indica las soluciones posibles. n. El Huáscar fue hundido el 12 de Octubre de 1879. p. A caballo regalado no se le mira el diente. q. Alabado sea el señor r. En un monopolio bilateral, la tasa salarial se determina negociando. s. El PBI creció 5.6% durante el periodo 2010 – 2012. Proposiciones lógicas simples, compuestas y negativas 02. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones son simples? a. No es cierto que haya árboles rojizos. b. Estados Unidos y Francia son potencias económicas. c. La radio es medio de comunicación y un medio de difusión cultural. d. Max, Jacinto y Gaby fueron juntos al cine. 03. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones son proposiciones negativas? a. Es cierto que existen tigres blancos y leones domésticos. b. Es cierto que hay vegetales carnívoros. c. No es cierto que las aves sean invertebrados. d. Es imposible que el sol pierda su energía en un lustro. Exprese en un lenguaje simbólico las siguientes proposiciones: 04. “Si se incrementan las exportaciones, entonces el mercado laboral crecerá en 25%”. 05. “Es absurdo que los sueldos no tienen capacidad adquisitiva, pero los trabajadores protestan”. 06. “Si los recursos naturales son patrimonio de la nación, en consecuencia es soberano su aprovechamiento”. 07. “El país tendrá crecimiento económico si termina con la inflación y con la recesión”. 08. “Si la inflación se controla, se reactivará la balanza comercial”. 09. “Si el tipo de cambio sube y tenemos deudas en dólares, entonces nuestra situación económica no mostrará mejoría ”. 10. “García Márquez fue un gran escritor colombiano y ganó el premio Nobel de Literatura; por lo tanto, es uno de los mejores escritores del mundo”. Inferencia Lógica: Proposiciones equivalentes 11. Escribir en forma equivalente la siguiente proposición: “No es cierto que el ingreso futuro esperado aumenta y la demanda también aumenta”. Identifique las proposiciones simples p: q: Lenguaje simbólico y equivalente Texto equivalente: ………………………………………………………………………….. 12. Escribir en forma equivalente la siguiente proposición: “No es cierto que no mejora el sistema educativo y hay crecimiento sostenible a a largo plazo.” Identifique las proposiciones simples p: q: Lenguaje simbólico y equivalente Texto equivalente: ……………………………………………………………………….. Reglas de inferencia 13. Redacte la conclusión, si es que se puede. Si el Perú tiene un crecimiento económico, entonces habrá mayor producción de bienes y servicios. No ocurre mayor producción de bienes y servicios. Se puede inferir que…….. Identifique las proposiciones simples p: q: Lenguaje simbólico y conclusión simbólica Conclusión del argumento: ……………………………………………………………….. 14. Redacte la conclusión, si es que se puede. Fujimori nació en el Perú o nació en Japón. Fujimori no nació en Japón. Por lo tanto, … Identifique las proposiciones simples p: q: Lenguaje simbólico y conclusión simbólica Conclusión del argumento:……………………………………………………………….. 15. Si estudio planificadamente, aprobare los cursos de matemática básica y comunicaciones; si apruebo los cursos de matemática básica y comunicaciones, podre pasar al tercer ciclo de mi carrera. Por lo tanto,…. Identifique las proposiciones simples p: q: r: Lenguaje simbólico y conclusión simbólica Conclusión del argumento: ………………..…………………………………………………….. 16. Los sueldos no tienen capacidad adquisitiva, sin embargo los trabajadores protestan. Los trabajadores no protestan. Por tanto se puede inferir que… Identifique las proposiciones simples p: q: Lenguaje simbólico y conclusión simbólica Conclusión del argumento: ………………..…………………………………………………….. Determine la conclusión del argumento. 17. La transacción se verá afectada por el ITF porque se realizan transferencias de fondos. Pero la transacción no se verá afectada por el ITF. En consecuencia … Identificación de proposiciones simples Lenguaje simbólico Conclusión del argumento 18. El índice de natalidad disminuye porque hay una situación de crisis económica en el Perú. Pero el índice de natalidad no disminuye. En consecuencia … Identificación de proposiciones simples Lenguaje simbólico Conclusión del argumento 19. Se incrementa la demanda, si aumenta el sueldo. Si se incrementa la demanda, suben los precios. En consecuencia, … Identificación de proposiciones simples Lenguaje simbólico Conclusión del argumento 20. Si se elevan los impuestos, habrá déficit. Habrá desocupación si hay déficit. Por consiguiente, habrá desocupación, si se elevan los impuestos Identificación de proposiciones simples Lenguaje simbólico Conclusión del argumento 21. Sube el precio del pan porque sube el precio de la gasolina. Si sube el precio del pan, el gobierno no podrá controlar la inflación. Identificación de proposiciones simples Lenguaje simbólico Conclusión del argumento Determine si el argumento es o no válido. 22. Si suben los salarios, entonces suben los precios. Si suben los precios, entonces baja el poder adquisitivo de la moneda. La verdad es que suben los salarios, por consecuencia baja el poder adquisitivo de la moneda. Identificación de proposiciones simples Lenguaje simbólico Validez del argumento 23. Si no hay un control de nacimientos, entonces la población crece ilimitadamente. Pero si la población crece ilimitadamente, aumentará el índice de pobreza. Por consiguiente, si no hay control de nacimientos, aumentará el índice de pobreza. Identificación de proposiciones simples Lenguaje simbólico Validez del argumento 24. Si la demanda crece entonces las compañías se expanden. Si las compañías se expanden entonces contratan trabajadores. Por lo tanto, Si la demanda crece entonces las compañías contratan trabajadores. Identificación de proposiciones simples Lenguaje simbólico Validez del argumento 25. Elmer estudió en Lima o en Trujillo. Pero Elmer, no estudió en Lima. entonces, Elmer no estudió en Trujillo”. Identificación de proposiciones simples Lenguaje simbólico Validez del argumento 26. La extracción de mineral es rentable si la concentración es alta. Ocurre justamente que la concentración es alta. Luego, la extracción de mineral no es rentable. Identificación de proposiciones simples Lenguaje simbólico Validez del argumento 27. Iván estudia salvo que trabaje. Pero Iván trabaja. Por lo tanto, Iván no estudia. Identificación de proposiciones simples Lenguaje simbólico Validez del argumento NEGACIÓN No p. Es falso que p. Es absurdo que p. DISYUNCIÓN INCLUYENTE poq p a menos que q. p salvo que q. p excepto q. ∼p p∨q CONJUNCIÓN CONDICIONAL p y q. p pero q. p ∧q p entonces q. p luego q. q si p. q porque p. p→q RESPUESTAS: 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. a, c, g, i , j, m, n, r y s. d c p→ q ~(~p∧q). p →q. (p ∧ q) →r p →q. (p ∧q) →∼r (p ∧ q) →r El ingreso futuro esperado no aumenta o la demanda no aumenta. Mejora el sistema educativo o no hay crecimiento sostenible a largo plazo. 13. El Perú no tiene un crecimiento económico. 14. Fujimori nació en Perú. 15. Si estudio planificadamente podre pasar al tercer ciclo de mi carrera. 16. No se concluye nada. 17. No se realizan transferencias de fondos 18. No hay una situación de crisis económica en el Perú 19. Si aumenta el sueldo, suben los precios. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. Habrá desocupación, si se elevan los impuestos Si sube el precio de la gasolina, el gobierno no podrá controlar la inflación. Válida Válida Válida. Inválida. Inválida. Válida. ESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOS Matemática Básica (ADM) Taller N° 1 Ciclo 2015-00-B Coordinador: Pedro Acosta. PARTE I: Pregunta de la sesión 1.1. Determine la conclusión para las premisas presentadas: 1. La inflación es un indicador económico o tan sólo es un problema de los países latinoamericanos. La inflación no es un indicador económico. En consecuencia: i. Identifica las proposiciones simples P: Q: ii. Simbolice las premisas escriba el texto en lenguaje simbólico. Estructura Regla de inferencia iii. Conclusión simbólica. iv. Conclusión final. 2. Diana estudia Matemática Básica o escuche música. Diana no escucha música, en consecuencia…. i. Identifica las proposiciones simples P: Q: Copyright © UPC, Área de Ciencias, Equipo CE76 Pág. 1 ii. Simbolice las premisas escriba el texto en lenguaje simbólico. Estructura Regla de inferencia iii. Conclusión simbólica. iv. Conclusión final. 3. No es verdad que Juan: estudia y trabaja. Juan estudia, en consecuencia i. Identifica las proposiciones simples P: Q: ii. Simbolice las premisas escriba el texto en lenguaje simbólico. Estructura Regla de inferencia iii. Conclusión simbólica. iv. Conclusión final. Determine si las siguientes inferencias son o no válidas. 4. El razonamiento del corredor Matías: Si corro 80 metros en menos de 50 segundos, seré seleccionada para los Juegos Sudamericanos.Lamentablemente, no corro los 80 metros en menos de 50 segundos. Por consiguiente, no seré seleccionado para los Juegos Sudamericanos. i. Identifica las proposiciones simples P: Q: Copyright © UPC, Área de Ciencias, Equipo CE76 Pág. 2 ii. Simbolice las premisas escriba el texto en lenguaje simbólico. Estructura Regla de inferencia iii. Conclusión simbólica. iv. Conclusión final. 5. El razonamiento de Gael «Si mi auto tiene gasolina», dice Gael, «entonces iremos a la playa. Desafortunadamente, mi auto se quedó sin gasolina. Por lo tanto, no iremos a la playa.» i. Identifica las proposiciones simples P: Q: ii. Simbolice las premisas escriba el texto en lenguaje simbólico. Estructura Regla de inferencia iii. Conclusión simbólica. iv. Conclusión final. PARTE II : Pregunta de la sesión 1.2 ( MTA ) 6. Puesto que la célula es la unidad básica de la materia viva, entonces es la base de formación de los tejidos orgánicos. Pero es falso que la célula sea la base de la formación de los tejidos orgánicos. Luego … i. Identifica las proposiciones simples P: Q: Copyright © UPC, Área de Ciencias, Equipo CE76 Pág. 3 ii. Simbolice las premisas escriba el texto en lenguaje simbólico. Estructura Regla de inferencia iii. Conclusión simbólica. iv. Conclusión final. 7. El índice de natalidad disminuye porque hay una situación de crisis económica en el Perú. Pero el índice de natalidad no disminuye. En consecuencia… i. Identifica las proposiciones simples P: Q: ii. Simbolice las premisas escriba el texto en lenguaje simbólico. Estructura Regla de inferencia iii. Conclusión simbólica. iv. Conclusión final. 8. La población crece ilimitadamente porque no hay un control de nacimientos. El índice de pobreza aumentará si la población crece ilimitadamente. Por consiguiente, si no hay control de nacimientos, aumentará el índice de pobreza. i. Identifica las proposiciones simples P: Q: Copyright © UPC, Área de Ciencias, Equipo CE76 Pág. 4 ii. Simbolice las premisas escriba el texto en lenguaje simbólico. Estructura Regla de inferencia iii. Conclusión simbólica. iv. Conclusión final. Respuestas Pregunta: 1 Pregunta: 2 La inflación es un es un problema de los Diana estudia Matemática Básica países latinoamericanos. Pregunta: 3 Pregunta: 4 Juan no trabaja. No es correcto porque no hay una regla de inferencia que la represente. Pregunta: 5 Pregunta: 6 No es correcto porque no hay una regla La célula no es la unidad básica de la materia de inferencia que la represente. Pregunta: 7 Pregunta: 8 No hay una situación de crisis económica Inferencia valida. en el Perú. UPC, 2015 Copyright © UPC, Área de Ciencias, Equipo CE76 Pág. 5