ÁLGEBRAALUMNO: Erick Alejandro Hernández Torres. UASLP Zona Media Ing. Civil Profesor: Ing: José de Jesús Ferretiz Rivera 25 de Mayo 2012 entonces la suma se escribe como “x + y” y el producto escalar de α y x como “αx”.Si “x” y “y” están en V y si α (alfa) es un número real. Puede ser útil pensar en R2 ó R3 al manejar un espacio vectorial. La definición arriba expuesta ofrece una definición de espacio vectorial real. Notación. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN Y PROPIEDADES BÁSICAS: Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos. denominados vectores.ÁLGEBRA VECTORIAL. junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación. . aunque con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a éstos cómodos espacios.. ..Si x є V y α y β son escalares . entonces (α + β)x = αx + βy (segunda ley distributiva) 9.. entonces x+y = y+x ( ley conmutativa de la suma de vectores) 6.Si x y y están en V y α es un escalar.Para cada vector x є V.. 1.Si x є V. 10. entonces α(βx) = (αβ)x (ley asociativa de la multiplicación por escalares). existe un vector -x en є V tal que x+(-x) = 0 (-x se llama inverso de x) 5.. (x+y)+z = x+(y+z) (ley asociativa de la suma de vectores) 3.Para todo x..Existe un vector 0 є V tal que para todo x є V. entonces αx є V (cerradura bajo la multiplicación por un escalar) 7.AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL. x+0 = 0+x = x (el 0 se llama vector cero o idéntico aditivo) 4.Si x y y están en V.. y y z en V.Si “x” є V y “y” є V. entonces α(x+y)= αx+ αy (primera ley distributiva) 8..Si x є V y α y β son escalares.. 1x = x . entonces x + y є V (cerradura bajo la suma) 2..Si x є V y α es un escalar. y. cualquier punto en el espacio se puede representar por una terna ordenada de números reales (a. pero la más común tiene los ejes x y y horizontales y el eje z vertical. b. Dichos ejes se pueden seleccionar de diferentes formas. z ) . denotado por 0.OBTENCIÓN DE LAS COORDENADAS DE UN VECTOR Se ha visto que en cualquier punto en el plano se puede representar a los vectores como un par ordenado de números reales. Al tener nuestra estructura construida de ejes coordenados y planos. c) Los vectores de la forma arriba mencionada constituyen el espacio R3. podemos describir cualquier punto en R3 de una sola manera: P = ( x. a las que se llama el eje x. Para representar un punto en el espacio. el eje y y el eje z. Se denomina a este punto origen. Después se dibujan tres rectas perpendiculares entre sí. se comienza por elegir un punto en R3. De manera análoga. Sobre cada eje se elige una dirección positiva y la distancia a lo largo de cada eje se mide como el número de unidades en esta dirección positiva a partir del origen. . tal que si u. v ). Nota. αv) = α (u. w ) _____ 5. v) La barra en las condiciones 5 y 7 denota el conjugado complejo. v ) = ( v.( u. v ) + ( u. v) = α (u. w ) + ( v. entonces 1...( u + v. denominado PRODUCTO INTERNO de u y v.. u ) 6.. v + w ) = ( u. entonces (u. Si (u. existe un número complejo único ( u. v) y se puede eliminar la barra en 5. .(u. w ) 4. v) = (u.( v.ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO. • DEFINICIÓN: Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V. v) es real. v) ≥ 0 2. v) = 0 solo y solo si v = 0 3. w ) = ( u.( v. v y w están en V y є C. v) _ 7..(αu.( u.. …. u2.H v = ( v. Si v є R^n.u1 )u1 + ( v. uk }. .uk)uk Observe que proy.PROYECCIÓN DE UN VECTOR EN UN SUBESPACIO.u2 )u2 + …+ ( v. denotada por proy. • Proyección Ortogonal: Sea H un subespacio de R^n con base ortonormal { u1.H v є H. entonces la proyección ortogonal de v sobre H.H v está dada por proy. para cada u y v en V y cada escalar α.TRANSFORMACIONES LINEALES. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v є V un vector único Tv є W y que satisface. DEFINICIÓN: Sean V y W espacios vectoriales reales. T (u + v) = Tu + Tv y T(αv) = αTv (1) (2) . . Denotan lo mismo. Esto es análogo a la notación funcional f (x).. 1. T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen. 3. esto es.OBSERVACIONES SOBRE NOTACIÓN.Se escribe T: V → W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial W. las dos se leen “T de v”.Se escribe indistintamente Tv y T(v).. que se lee “f de x”. . Las transformaciones lineales con frecuencia se denominan operadores lineales.Gran parte de las definiciones y teoremas en este capítulo también se cumplen para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos). 2. Aquí es obvio que I es una transformación lineal. La transformación identidad. la cual se denomina transformación identidad u operador identidad. Sea V un espacio vectorial y defina I: V → V por Iv = v para todo v en V.La transformación cero. T se denomina la transformación cero. En este caso. Sean V y W espacios vectoriales y defina T: V→W por Tv = 0 para todo v en V. Entonces T (v1 + v2) = 0 = 0 + 0 = Tv1 + Tv2 y T (αv) = 0 = α0 = α Tv. . Transformación No Lineal. . Suponga que T: C [0. Para ver esto se calcula T (f + g) = (f + g) + 1 = f (0) + g (0) + 1 Tf + Tg = [ f (0) + 1] + [g (0) + 1 ] = f (0) + g (0) + 2 Esto proporciona otro ejemplo de una transformación que puede parecer lineal pero que. Entonces T no es lineal. de hecho no lo es.1]→ R está definida por Tf = f (0) + 1. está dado por : nu T = {v є V: Tv = 0} 2. denotado por Im T..Dominio..La imagen de T. denotado por nu T. recorrido y núcleo de una transformación lineal. Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T: V → W una transformación lineal. Entonces: 1.El núcleo de T. está dado por: Im T = {w є W: w = Tv para alguna v є V} . • Núcleo e imagen de una transformación lineal. En la primera todo se encuentra en el núcleo. Núcleo e imagen de la transformación identidad. Entonces nu T = V e Im T = {0}. Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. Entonces nu T = {0} e Im T = V. Los casos intermedios son más interesantes. . En la segunda sólo el vector cero se encuentra en el núcleo.Núcleo e imagen de la transformación cero Sea Tv = 0 para todo v є V (T es la transformación cero). Sea Tv = v para todo v є V (T ES LA Transformación identidad. v2.Obtención de la matriz de transformación lineal. tal que ( Tx ) = AT (x) B1 AT se denomina representación matricial de T respecto a las bases B1 Y B2 . vn } una base para V y B2 { w1. w2. Entonces existe una matriz única AT de m x n. Sea V un espacio vectorial real de dimensión n. Sean B1 = { v1. W un espacio vectorial real de dimensión m y T: V → W una transformación lineal.…. …. wn } una base para W. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita con dim V = n. Sea T: V→W una transformación lineal y sea AT una representación matricial de T..v (T) + ρ (T) = n .. Entonces 1.ρ (T) = ρ (AT) 2..ν (T) = v (AT) 3. El número λ (real o complejo) se denomina valor característico de A si existe un vector diferente de cero v en C^n tal que: Av = λv El vector característico v ≠ 0 se denomina vector característico de A correspondiente al valor característico de λ. Definición: Valor característico y vector característico.OBTENCIÓN DE LOS VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL. Sea A una matriz de n x n con componentes reales. . • Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que. cuando son transformados por el operador. autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que. Los vectores pueden visualizarse como flechas de una cierta longitud apuntando en una dirección y sentido determinados. o cualquier combinación de las anteriores. o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar que no varía su dirección. Un espacio propio.• Definición de valores y vectores característicos de una matriz cuadrada • En álgebra lineal. A menudo. los vectores propios. • El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado. autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común. dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos. autovalor. . el ensanchamiento. valor característico o eigenvalor. con lo que no cambian su dirección. una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. la reflexión. Este escalar recibe el nombre valor propio. • Las transformaciones lineales del espacio—como la rotación. en esta lista podrían incluirse otras transformaciones— pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores. • Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio. Es el único valor propio del espectro (de esta rotación) que es un número real. El valor propio correspondiente es 1 y el espacio propio contiene a todos los vectores paralelos al eje. Como es un espacio de una dimensión. • Por ejemplo. • El espectro de una transformación en espacios vectoriales finitos es el conjunto de todos sus valores propios. un vector propio de una rotación en tres dimensiones es un vector situado en el eje de rotación sobre el cual se realiza la rotación. • Formalmente. v es un vector diferente de cero en V y c es un escalar (posiblemente cero) tales que . que no es un vector propio. su multiplicidad geométrica es uno. además del vector nulo. • La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado. se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Si A: V ! V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial V. todos los vectores propios con el valor propio asociado c junto con 0. De hecho.entonces decimos que v es un vector propio del operador A. Observe que si v es un vector propio con el valor propio c entonces cualquier múltiplo diferente de cero de v es también un vector propio con el valor propio c. forman un subespacio de V. . el espacio propio para el valor propio c. y su valor propio asociado es c.