Álgebra Multilineal

´ Apuntes de Algebra IIIVersiń Corregida o Dr. Carlos Lizama Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencias Departamento de Matem´tica y C.C. a Introducciń o ´ ´ El presente texto de apuntes de Algebra III (o Algebra Lineal II) tiene el objetivo de servir de apoyo y gu´ de estudios para el estudiante de las ıa carreras de Licenciatura en Matem´tica y Computaciń y Licenciatura en a o Matem´tica de la Universidad de Santiago de Chile. El contenido est´ basaa a do en el respectivo programa de estudios, que constituye la continuaciń de o ´ la cl´sica asignatura de Algebra Lineal, y fu´ desarrollado mientras el autor a e imparti´ el curso durante el primer y segundo sementre del aõ 2000. Vero n siones corregidas y mejoradas han sido utilizadas desde entonces tanto por el autor como otros acad´micos de la USACH para dictar esta asignatura. e La presente versiń, recoge las sugerencias dadas por los profesores que o han impartido esta c´tedra. Se espera que el texto siga siendo perfeccionado a durante el transcurso de los periodos lectivos siguientes, y desde ya el autor agradece a quienes deseen hacer sugerencias y aportes para este fin. El texto consta de tres cap´ ıtulos, divididos en secciones. El primer cap´ ıtulo est´ orientado a dar al lector el material b´sico concerniente a espaa a cios vectoriales con producto interno. La mayor´ de este cap´ ıa ıtulo, as´ como ı ´ la primera parte del segundo, son materia conocida del curso de Algebra Li neal y como tal debe ser abordado por el profesor de c´tedra a fin de conciliar a lo aprendido por el estudiante con los nuevos conceptos. En este sentido, el presente texto de apuntes no es autocontenido y requiere del manejo preciso que de ´l pueda hacer el catedr´tico a cargo del curso. e a El concepto m´s importante del primer cap´ a ıtulo es el Teorema de re presentaciń de Riesz (Teorema 10). Es muy necesario aqu´ como en va o ı, rios resultados posteriores, remarcar que ´stos son v´lidos en dimensiń no e a o 2 necesariamente finita, de manera de preparar y orientar al estudiante a un curso superior (An´lisis Funcional, An´lisis Armńico, An´lisis Num´rico, a a o a e Ecuaciones Diferenciales) y justificar as´ debidamente, el an´lisis de una ı, a variedad de conceptos que en principio pueden parecer meramente abstracciń matem´tica. o a Varios resultados del primer cap´ ıtulo son claramente ejercitables de ma nera fćil y entretenida. Por ejemplo, el valor del determinante se explaya a a trav´s de la definiciń de ńgulos, volumenes y finalmente como una elegante e o a forma de definir el producto cruz de vectores en dimensiń tres. o El cap´ ıtulo II, que es la parte central de estos apuntes, est´ dedicado a a un estudio exhaustivo de trasformaciones lineales, o matrices en el caso de dimensiń finita. El concepto principal, en el contexto de espacios vectoriales o normados, es el de transformaciń lineal acotada. A este universo de opera o dores se analizan sus partes: Transformaciń lineal autoadjunta, Normales, o Antisim´tricas, Proyecciones e Isometr´ e ıas. La herramienta principal es el concepto de adjunto de un operador. Asimismo se estudia un isomorfismo fundamental: la correspondencia lineal y biyectiva entre transformaciones lineales y bilineales a trav´s de una transformaciń canńica, definida en la e o o secciń 2.2.3 y que es fundamental en el estudio de formas cuadr´ticas en la o a ultima secciń del cap´ ´ o ıtulo. Tambiń, para una mayor y mejor comprensiń del cap´ e o ıtulo II, es fundamental aprender las formas canńicas que adquieren, bajo un cambio de o base apropiado, los diferentes tipos de transformaciones lineales en el caso de dimensiń finita. El Teorema 49 del cap´ o ıtulo II en este sentido es uno de los principales de este texto. La elegante demostraciń basada en aspectos tanto o algebraicos como anal´ ıticos corresponde al libro de W. H. Greub citado en 3 el proceso de diagona e lizaciń. As´ si z ∈ C representa o u ı. a o e ı. la transformaciń adjunta. las formas canńicas de los diferentes tipos ıa. As´ por ejemplo. una transformaciń lineal y z. un m´todo de llevar formas cuadr´ticas en formas estńdar. que en este texto s´lo se o aborda en su definiciń y an´lisis de propiedades b´sicas. luego. o o entonces una transformaciń lineal autoadjunta significa z = z y. resulta fundamental el concepto de producto tensorial de espacios vectoriales. la ecuaciń : o ψ(x. Carlos Lizama Noviembre de 2000 4 . el conjugado de z. o de transformaciones lineales son fćilmente asimilables por medio de la coma paraciń con el cuerpo de los n´meros complejos. De esta manera. e la signatura resulta ser un invariante geom´trico y. el cap´ ıtulo III cierra estos apuntes mostrando que cualquier forma multilineal puede ser considerada como una transformaciń lineal. ıa Una funciń (o forma) cuadr´tica ψ se puede tambiń entender muy o a e fćilmente viendo su representaciń geom´trica en R2 y R3 . y) = 1 representa una elipse (o c´ ırculo) o hip´rbola en el plano. Para este fin. o a a Dr. meo diante un isomorfismo apropiado. se o podr´ representar como los elementos del eje real del plano complejo. o e a a Finalmente.la bibliograf´ Por otra parte. La mayor´ de estos ejerıa cicios corresponde a problemas planteados en pruebas y controles de c´tedra.Pr´logo a la versiń corregida o o Esta versiń introduce varias modificaciones al texto que han sido su o geridas al autor. Carlos Lizama Octubre de 2002 5 . en el transcurso de dos aôs a n de dictar la asignatura a trav´s de estos apuntes . a fin de completar las ideas involucradas o en los cap´ ıtulos precedentes y dar las herramientas necesarias para un curso posterior donde se requiera utilizar formas diferenciales. Tambiń e mis agradecimientos a Maricel Cćeres que escribi´ estos apuntes en Latex a o y les di´ un formato m´s agradable para su lectura. a Tambiń se agrega al final del tercer cap´ e ıtulo una secciń correspondiente o a la nociń de producto exterior. e El cambio m´s importante se refiere a la introducciń de una gran cantia o dad de ejercicios propuestos en los cap´ ıtulos 1. por profesores de la c´tedra. o a Dr. Mis agradecimientos a Verńica Poblete por sugerir varios de los cambios o realizados en el texto y aportar con una gran cantidad de ejercicios. 2 y 3. .1 1. . . . . .3. . . . . .1 1. . . 46 Transformaciones lineales acotadas .4 1. . . . . .6 1. . 1. . . . . . . . . . . . . .5 1. . . . . .´ Indice General 1 Espacios con producto interno 1. . .1 1. . .3. . . 20 Funciones Determinantes Duales . . .3.1 2. . . . . . . 50 o Transformaciń lineal adjunta . . .3. . . . . . . . . . . 47 Transformaciń adjunta . . .3 1. . . 31 El volumen de un paralelep´ ıpedo . . 26 Funciones Determinantes Normadas . . . . . . . . . .3.2.2. . . . . . . . . . .2. . . . . . . . 33 Producto cruz . .1 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 o 46 2 Transformaciones lineales 2. . .2 Espacios vectoriales normados . . . . . . . . . . . . . . . .1 2. . . . . . 14 Transformaciones Ortogonales . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . 17 Funciń Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1. 30 El determinante de Gram . . . 34 Bases Ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 o 6 Transformaciones lineales en espacios con producto interno . . . . . . . . .2 1. . . . .1 1. . . . . . . .4 8 8 Espacios Duales . 50 . . . . . . .3. . . . .3 El producto interno . . . . . . . . . 29 ´ Angulos en el plano orientado . . . . . . . . . .2 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 o Ejercicios de recapitulaciń .1. . . . . . . .4 La relaciń entre transformaciones lineales y funciones o bilineales . . . . .7 2. .3. .1.3. 68 ıas 3 Producto tensorial 3. . . . . . . forma diagonal de una funo ciń cuadr´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Comparaciń con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Transformaciones autoadjuntas . . .5 2. . . .1.1. . . . . . . . . . . . . . . .3 2.3. . . . 73 e Transformaciones antisim´tricas . . . 82 e Funciones bilineales sim´tricas . . . . . . . . . . . . . 71 o Aspectos geom´tricos . . . . . . . . . . . . . . 80 e Forma matricial (o canńica) de una transformaciń o o antisim´trica . . 61 Suma de dos proyecciones . . . . . . .1 2. . . .3 3. . . . . 122 Producto Exterior .3. . . . . .1 3. . . . . . 99 o 106 Isometr´ . . . .2. . . . . . . . .1. . . . . . . 127 . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . 52 Transformaciones normales . . . . . . . .5 2. . . .6 2. .6 2. . . . . .2. . . . . . . . . . . 121 Transformaciones Multilineales . . . . . . .3 2. . . . . . . . . . . 60 Proyecciones ortogonales . . .2. .2. . .4 2. . .1 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Vectores propios de funciones bilineales . . . . . . . . . . 86 e El caso de dimensiń finita. .4 2. 112 Producto tensorial de transformaciones lineales . .4 Transformaciones multilineales . . . . .2. . . . . . 91 o a Ejercicios de Recapitulaciń .3 2. . . . . . . . . .2 2. . . . . . .3. . . .8 2. . . . . . . . .7 2. . . . . . . . .2. . . . . .2 3. . . 106 Propiedades del producto tensorial . . ) se llama un espacio producto interno (e. x2 ∈ E . o 8 . Un espacio producto interno de dimensiń finita se llama Espacio Euclidiano. ı (ii) Positiva definida : x.1 El producto interno Definiciń 1 Sean E y F espacios vectoriales. x = 0 s´lo para x = 0. que tiene las siguientes propiedades : (i) Simetrá : x. x1 .i. o Un espacio vectorial en el cual se define un producto interno (p. y1 .p.Cap´ ıtulo 1 Espacios con producto interno 1. y2 ) . Definiciń 2 Un producto interno en un espacio vectorial E es una funciń o o bilineal . y) . x ∈ E . y) = λφ(x1 .i. y2 ∈ F.). y1 ) + µφ(x. y = y. x . y) + µφ(x2 . y ∈ F y φ(x. Una funciń φ : E×F −→ R o o se dice bilineal si: φ(λx1 + µx2 . x ≥ 0 y x. λy1 + µy2 ) = λφ(x. 1. Observaciń : S´lo el vector cero es ortogonal a si mismo : En efecto. es en si mismo un e. . Ejemplo :Rn es un e. luego. Demostraciń. . Definiciń 3 Dos vectores x ∈ E. n. x . .1. . x = y se dicen ortogonales si o x. La restricciń de la funciń bilineal . i xi yi . y ∈ E. y = 0. . . donde x = (x1 . Se sigue de la bilinealidad del producto interno que : x+y de donde 2 = x 2 + 2 x.i. . . . es linealmente independiente. xn ). con x. x = 0 si y s´lo si x = 0. EL PRODUCTO INTERNO La norma x de un vector x ∈ E se define como : x = x. y = ( x + y 2 2 − x 2 − y 2 ). . 2. y = y = (y1 . . xj = 0 para j = 1. a un subespacio E1 ⊆ E o o tiene otra vez las propiedades (i) y (ii) y.p. yn ).i. 2.p. y + y 2 1 x. . . o o x.i. o Proposiciń 4 Un conjunto de n vectores xj = 0 en donde cualesquiera dos o vectores xi y xj (i = j) son ortogonales. .p. i Luego αj = 0 para j = 1. . El conjunto de todos los vectores unitarios es llamado la esfera unitaria. Si o αi xi = 0 entonces αj xj . Esta ecuaciń muestra que el producto interno puede ser expresado en t´rminos o e de la norma. n. . 9 Un vector unitario es un vector con norma 1. . cada subespacio de un e. x. Por otra parte. f (λ) = λ2 y 2 + 2λ x. si cualesquiera dos vectores x1 ∈ E1 y x2 ∈ E2 son ortogonales.D. Luego. y 2 ≤ x 2 y 2. Dados x = 0. Adem´s.i. luego. y + x 2 =0 − x. o u a . Por lo tanto. lo cual se denota E1 ⊥E2 . 0 ≤ ω ≤ π tal que cos ω = Definiciń 6 El n´mero ω se llama el ńgulo entre los vectores x e y. y y 2 2 2 ≤ y 2 x 2 . existe ω.1) ).10 CAP´ ITULO 1. y = α y. y . Ahora supongamos que vale x. entonces x = αy. esto es : es cero. y ∈ E. Consideremos la funciń f (λ) = x + λy o o 2 . Teorema 5 (Desigualdad de Schwarz) Sean x. x y entonces. es positivo definido se tiene que f (λ) ≥ 0 para λ ∈ R. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Dos subespacios E1 ⊆ E y E2 ⊆ E se llaman ortogonales. 2 Rec´ ıprocamente. x e y son L. y ≤1 x y x. por la desigualdad de Schwarz : −1 ≤ x.D. y + x 2 ≥0 de donde se deduce que el discriminante de la expresiń cuadr´tica anterior o a es ≤ 0. Luego. Entonces el discriminante de la ecuaciń o f (λ) = λ2 y 2 + 2λ x. si x e y son L. λ ∈ R. Demostraciń. Como el p.1) tiene una soluciń real λ0 (= o o f (λ0 ) = x + λ0 y α y 2 2 = 0. la ecuaciń (1. x. y = y x 2 y 2 = α2 y obteniendose la igualdad. y 2 = x . Entonces x. x + λ0 y = 0.y y 2 (1. es decir. y = 0. la igualdad vale si y s´lo si los vectores son linealmente dependiena o tes. Entonces. entonces cos ω = 0 luego ω =   1. de la f´rmula o x y x−y 2 = x 2 − 2 x. entonces el teorema anterior se reduce a : x−y 2 = x 2 + y 2 conocida como Teorema de Pit´goras. a Teorema 7 (Desigualdad Triangular) Sean x e y ∈ E.D. si λ > 0 si λ < 0 si λ > 0 si λ < 0 . Entonces x+y ≤ x + y donde la igualdad vale si y s´lo si x = λy.1. y = λx. λ cos ω = = |λ|  −1.1. o 4) Si x e y son ortogonales. 2 2) Supongamos que x e y son L. y + y 2 obtenemos : x−y 2 = x 2 + y 2 −2 x y cos ω ecuaciń conocida como Teorema de los Cosenos. λ ≥ 0 o . 3) Ya que cos ω = x. ω=  π. Por lo tanto. EL PRODUCTO INTERNO Observaciones: 11 π . Luego : 1) Si x e y son ortogonales. y entonces.   0. D. de esta manera x. y. la desigualdad triangular se puede escribir como x−y ≤ x−z + z−y (1. Rec´ ıprocamente. y + y 2 = x 2 +2 x y + y 2 Luego por Teorema 5. Entonces x + y = (λ + 1)y = (λ + 1) y = λ y + y = x + y . Entonces x−y z ≤ y−z x + z−x y (1. supongamos que x = λy. esto es : x = λy reemplazando (1. Una generalizaciń de o lo anterior es el siguiente : Teorema 8 (Desigualdad de Ptolemy) Sean x. La igualdad vale si y s´lo si x = λy. z ∈ E. y. y + y 2 ≤ x 2 +2 x y + y 2 = ( x + y )2 .3) = |λ| y 2 Dados tres vectores x.2) 2 + 2 x.. Se sigue de la desigualdad de Schwarz que : o x+y 2 = x 2 + 2 x.4) pues x − y = x − z + z − y ≤ x − z + z − y .3) en (1.12 CAP´ ITULO 1.2) se obtiene : λ y luego λ = |λ| ≥ 0. En efecto : Supongamos que o x + y = x + y entonces x . y = x y (1.5) . 2 (1. los vectores x e y deben ser L.z. λ ≥ 0. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Demostraciń. λ ≥ 0. y = 0. podemos asumir x = 0. Ejercicio: muestre que Sea X := C[0.4) a los vectores x . z = 0. y 1 − + 2 2 y 2 x x y 2 x 2 − 2 x. y + y 2 x 2 y 2 x−y 2 . Se definen vectores x . z por: x = Entonces x −y 2 x x 2 . Luego. z se x y x −y ≤ x −z + z −y o equivalentemente.1. 1] −→ R / f es continua }. . x y x z z y Multiplicando esta ultima desigualdad por x ´ y z se obtiene (1. La desigualdad es claramente v´lida si uno de los tres veco a tores es cero. x−y x−z z−y ≤ + . y . z 2 = = = = x 2 − 2 x .y = y y 2 .z = z . g = 0 f (t)g(t)dt es un producto interno en X. De1 f. EL PRODUCTO INTERNO 13 Demostraciń. 1] = {f : [0. Aplicando (1.1.5). y . x 2 y 2 esto es. x − y obtiene : = x−y .y + y 2 1 2 x. . ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO 1. . λ. con producto interno . µ = λµ . .14 CAP´ ITULO 1. entonces es una funciń bilineal no degeo nerada. . x se llama el producto escalar de x∗ y x. o Proposiciń 9 Si E tiene dimensiń finita. o que R es auto-dual o es dual a s´ mismo. El o n´mero x∗ . x = 0 para todo f implica x = 0 (en tal caso la funciń bilineal se o dice no degenerada ). An´logamente λ.1 Espacios Duales Sean E. ı Recordemos que L(E) := {f : E −→ R / f es lineal }. es un producto interno. u o se llama el producto escalar entre E ∗ y E. x∗ ) y x = (x1 . Se define : λ. xn ). eno tonces existe un isomorfismo τ : E −→ L(E). . . La funciń bilineal . Luego Rn es dual a s´ mismo. µ ∈ R. definida en E ∗ × E tal que satisface lo siguiente: 1) f. Ejemplos 1) Si . . µ = 0 ∀λ implica µ = 0. De esta manera se dice que a el dual de R es R. E ∗ espacios vectoriales. . 2) Sea E = E ∗ = R. Entonces E y E ∗ se llaman duales con respecto a la funciń bilineal . Supongamos que existe una funciń bilineal o . Claramente la forma bilineal es 1 n no degenerada por Ejemplo 1. . x = i x∗ xi . . . i donde x∗ = (x∗ . ı 3) Sea E = E ∗ = Rn y definamos : x∗ . µ = 0 ∀µ implica λ = 0.1. x = 0 para todo x implica f = 0 2) f. Claramente la forma es bilineal y no degenerada pues λ. y . 15 = λτ (x1 )(y) + τ (x2 )(y) = (λτ (x1 ) + τ (x2 ))(y). (c) Veamos ahora que el hecho de poseer E dimensiń finita implica que o τ es sobreyectiva. y = λ x1 . Sea {x1 . lo cual prueba la sobreyectividad (Ejercicio). n  0. x ∈ E . .1. Para esto vamos a probar que dim L(E) = dim E. . . . por definiciń. o An´logamente. Esto prueba que el conjunto es L. . (b) τ es inyectiva : Sea x ∈ E tal que τ (x) = 0. . . y = 0 para cada y ∈ E. Se define o τ (x)(y) := x. α1 = 0. xn } base de E. τ (λx1 + x2 ) = λτ (x1 ) + τ (x2 ). y + x2 . y ∈ E. Definimos en L(E) las funciones :   1. . Luego. . 2. x. y (a) τ es lineal : Para cada y ∈ E τ (λx1 + x2 )(y) = λx1 + x2 . si i = j f j (xi ) = δij = . . Deducimos a as´ que α3 = 0. f n } es una base de L(E). αn = 0. Entonces τ (x)(y) = 0 para cada y ∈ E. . α1 f 2 (x2 ) + · · · + αn f n (x2 ) = 0 implica α2 = 0. Entonces f (x) = f (α1 x1 + · · · + αn xn ) = α1 f (x1 ) + · · · + αn f (xn ). Ya que . En efecto : Supongamos que α1 f 1 + α2 f 2 + · · · + αn f n = 0 entonces α1 f 1 (x1 ) + · · · + αn f n (x1 ) = 0 implica. EL PRODUCTO INTERNO Demostraciń.1. . . lo anterior implica que x = 0. . . es no degenerada.I. . j = 1. ı Sea ahora f ∈ L(E). . esto es. si i = j Entonces {f 1 . x2 . f 2 . Observaciń : La base {f 1 . . βi f i (x) Esto prueba que L(E) es generado por el conjunto {f 1 . de dimensiń finita y f : E −→ R es una funciń lineal. y . . En particular. Demostraciń. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO f 1 (x) = f 1 (α1 x1 + · · · + αn xn ) = α1 f 2 (x) = α2 . Como E es de dimensiń finita. Luego : f (x) = f 1 (x)f (x1 ) + · · · + f n (x)f (xn ) = donde βi = f (xi ). dim L(E) = dim E. El resultado m´s importante de esta secciń es el siguiente. . . τ es sobreyectiva o sea existe un unico a ∈ E tal que ´ τ (a) = f. En particular. . f n } y por lo tanto es una base. a o Teorema 10 (Teorema de Riesz) Si E es un espacio con producto interno . f n } de L(E) definida en la demostraciń o o del teorema anterior es llamada base dual. . x ∀ x ∈ E. Por hip´tesis f ∈ L(E). E o o o y L(E) son isomorfos v´ ıa τ (x)(y) = x. . . . f n (x) = αn .16 Notar que CAP´ ITULO 1. . entonces o o existe un unico vector a ∈ E tal que ´ f (x) = a. . . . Sea {e1 . y2 . en } base de E. (x2 . . y2 )) = x1 x2 − y1 x2 − x1 y2 + 3y1 y2 . Demuestre que se puede definir un producto interno en : E1 × E2 por (x1 . es no degenerada.2 Bases Ortonormales Definiciń 11 Sea E e. Sea E espacio vectorial y E ∗ = L(E) = {f : E −→ R / f es lineal }. x := f (x) . . y2 . . n) son mutua- . . x2 ). La o o base {ei } es llamada ortonormal si los vectores ei (i = 1. Sean E1 . Demuestre que i i xi yi con- verge y que la funciń bilineal o φ(x.i. . y = (y1 . (Esto a prueba que el dual de E es L(E). E2 espacios con producto interno. . ) 1. y1 ). Sea φ : R2 × R2 → R definida por φ((x1 . es un producto interno en l2 . Definamos: f. y) = i xi yi donde x = (x1 .p. Pruebe que es un forma bilineal.).). y2 ∈ E2 . Adem´s. x ∀ x ∈ E. . 3. . Sea l2 := {(x1 . y1 ∈ E1 .) / i x2 < ∞}. f ∈ L(E). y1 + x2 .1. y2 ) = x1 . x2 . . . x1 . BASES ORTONORMALES Luego f (x) = τ (a)(x) = a. de dimensiń n. . 2. . x2 . x ∈ E.2. . 4. 17 Ejercicios 1. (y1 . . . x2 . Demuestre que φ es bilineal y definida positiva. Proposiciń 12 Sea E e. . o o Corolario 15 Si E es un e. y = donde x = xi ei . j = 1. . .p. el ńgulo θi entre x y ei es : a cos θi = xi x (i = 1. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO mente ortogonales y tienen norma 1. o x. Tomar y = ej en la proposiciń anterior. ei = xi . en } base ortonoro o mal de E. . n (Coeficientes de Fourier). de dimensiń finita y {ei } es base ortonoro mal de E entonces. ej = i j xi yj δij = i xi yi . . y = yi ei . . n). Entonces para cada x. Corolario 13 Si E es un e. . . Tomar y = x en la proposiciń anterior. o Demostraciń.p. . i = 1.p. o Corolario 14 Si E es un e. n.i. . y = i xi e i . ej = δij ∀ i. de dimensiń n y sea {e1 . de dimensiń finita y {ei } es base ortonoro mal de E entonces para cada x ∈ E x 2 = i x2 i (Igualdad de Bessel).i. y ∈ E : x. j yj e j = i j xi yj ei .p. de dimensiń finita y {ei } es base ortonoro mal de E entonces para cada x ∈ E. .i.i. . . 2. . para cada x ∈ E x. Demostraciń. . . i xi yi (Igualdad de Parseval) i i Demostraciń. .18 CAP´ ITULO 1. esto es : ei . Por Definiciń 7 y Corolario 14 tenemos : cos θi = o o = x ei xi . y b2 . Como a1 = 0 . a2 . se tiene que λ = −λa1 − a 1 . definimos o b3 = a3 + µb1 + νb2 donde µ y ν se determinan de manera que b1 . .p. estas ecuaciones se pueden resolver con respecto a µ − b1 . . an } base de E. . a2 + λ a1 . b1 0 = b2 . Sea b1 = a1 y definamos b2 = a2 + λb1 donde λ es un escalar que se determina de manera tal que b1 . Sea {a1 . a1 y a2 son L.i. µ = a . a2 + λb1 = a1 . o Demostraciń. lo que es una contradicciń). a2 . . . de dimensiń finita. Para obtener b3 . Notar que b2 = 0 (si no α2 = a1 . BASES ORTONORMALES 19 x. si x = 1. . a1 . o Teorema 16 (Proceso de Ortogonalizaciń de Gram-Schmidt) Sea E o e. b3 = 0. b 2 La independencia lineal de a1 .I. Vamos a construir una nueva o base {b1 . . Entonces E siempre posee una base ortonormal. a3 + µ b1 . x Observaciń : En particular. b 3 = 0 Con esto se tiene que 0 = b1 . M´s precisamente. a2 + λ a1 . entonces cos θi = xi .2. b 1 b2 . a3 + ν b2 . a3 + µb1 + νb2 = b1 . b2 ya que b1 = 0 y b2 = 0. . a3 y ν. bn } cuyos vectores son mutuamente ortogonales. a3 implica que b3 = 0. b1 = a1 .1. ν= . a3 − b2 . a3 + µb1 + νb2 = b2 . b1 . ei Demostraciń. . Con esto se obtiene : 0 = a1 . b2 = 0. bi bi i = 1.2. y luego forman una base para E. En particular. . . ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Continuando de esta manera se obtiene finalmente un sistema de n vectores bj = 0. a Proposiciń 18 Sean {xi } y {xj } bases ortonormales de E. n tal que b i . ¿c´mo se relacionan entre ellas?. A se dice ortogonal si o AAT = I. . entonces xj = i αji xi es tambiń una base ortonormal de E.20 CAP´ ITULO 1. o A fin de dar una respuesta. la relaciń entre matrices ortogonales y bases ortonormales o est´ indicada en el siguiente resultado. . .I. . . . {bi } son L. En consecuencia los vectores ei = forman una base ortonormal. Entonces existe o una matriz ortogonal (αij ) tal que xi = j αij xj .1 Transformaciones Ortogonales Si tenemos dos bases En esta secciń queremos responder a la pregunta: o ortonormales. bj = 0 ∀ i = j. n 1. Finalmente. requerimos recordar la siguiente definiciń: o Definiciń 17 Sea A = (αij ) una matriz de n × n. e . Rec´ ıprocamente. si {xi } es una base ortonormal de E y (αij ) es una matriz ortogonal. j = 1. si {xi } es base ortonormal de E y (αij ) es matriz ortogonal. entonces xi . xj = δij y xi . 3) Si E tiene dimensiń finita : o ⊥ dim E1 + dim E1 = dim E . y = 0 ∀ y ∈ E1 } es llamado el complemento ortogonal de E1 . BASES ORTONORMALES 21 Demostraciń... xq αip αjp p = lo cual muestra que (αij ) es ortogonal. ⊥ 2) E1 ∩ E1 = {0}. Veamos que (αij ) es una matriz ortogonal. . n) tales que xi = j αij xj . Definiciń 19 Sea E e. Ya que {xj } es base.2. y E1 un subespacio de E.. Observaciones: ⊥ 1) E1 es un subespacio de E. El conjunto o ⊥ E1 := {x ∈ E / x.i. (j = o 1. xj = δij entonces δij = = p q xi . q αjq xq = p q αip αjq xp . x j = p αip xp .1. xj = p αip xp . xq αip αjp p = = δij lo que indica que {xi } es base ortonormal. Inversamente. q αjq xq αip αjq xp .p. para cada xi existen escalares αij . En efecto : Como xi . yk yk + k=1 k=m+1 x. yj = k=1 αk δkj = αj p. yj = x − h. . (1. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO ⊥ E = E1 ⊕ E1 . Sea {yk }k=m base ortonormal de E1 . yj . yn } tal que {yk }n es una base ortonormal de E (completaciń de o k=1 ⊥ la base)... h ∈ E1 . yj = x. yk yk se llama la proyecciń ortogonal de x sobre E1 . lo cual muestra que la suma es directa .22 en particular.6) En efecto: Sea {yk }m una base ortonormal de E1 . El vector o k=1 m p= k=1 x. Notar que : m m p. ⊥ p ∈ E1 . (1.6) x = p + h. CAP´ ITULO 1. o Observaciones : 1) La idea en la definiciń anterior es la siguiente : Si x ∈ E entonces por o (1. yj y = k=1 αk yk . yk yk .. Definiciń 20 Sea x ∈ E.7) Como {yk }m es base de E1 y p ∈ E1 : k=1 m p= k=1 αk yk . Entonces existen vectores k=1 {ym+1 . Entonces {yk }n k=m+1 es una base de E1 y luego cada x ∈ E se escribe como x= m n x. El n´mero h se llama la distancia o u Ejercicios 1. (2. −3). 1). 2 2) De (1. yk yk . esto es.7)). 1.v. g = 0 f (t)g(t)dt. Notar que la igualdad vale si y s´lo si h o a x desde el subespacio E1 .7) obtenemos x 2 = x. construir una base ortonormal por el proceso de ortogonalizaciń de Gram-Schmidt. 1] subespacio de E.e. 1. Dada la base {(1. 0. (dificil) Sea E = C[0. 2 = 0 i. FUNCION DETERMINANTE luego p= k=1 23 m x.´ 1. de dimensiń n. (−1. p + h = p m + h 2 . 1. esto es. x = p + h. h = 0. yk yk | ≤ x llamada desigualdad de Bessel. | k=1 x. Una funciń determinante es o o o una funciń ∆ : E × · · · E −→ R tal que o n−veces . o 2.3.3 Funciń Determinante o Definiciń 21 Sea E e. ⊥ Sea E1 = C 1 [0. si y s´lo si x ∈ E1 (lo cual se sigue de (1. Demuestre que E1 = {0}. En particular : p ≤ x . 1] con el producto interno 1 f. 0)}. . . . con o respecto a x1 . xi . . . . .8) Esto es. . . xn ). esto es : ∆(x1 . . . . e Demostraciń.D. . . n. . . ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO (a) ∆ es lineal con respecto a cada argumento (multilineal). . . M´s generalmente : a Proposiciń 22 Si dos argumentos de una funciń determinante son L. . . . . xj . . x. . . . (b) ∆ es antisim´trica con respecto a todos sus argumentos. xn ) = λ∆(x1 . . si xi = xj = x . . xn ) = 0 (1.D. Entonces n−1 xn = i=1 αi xi . yn ) con i = 1. .24 CAP´ ITULO 1. . m´s precisae a mente ∆(xσ(1) . . yi . o o entonces ∆(x1 . . . . una funciń determinante asume el valor cero siempre que dos de o sus argumentos coinciden. xi . . . . xn ) = −∆(x1 . . . . . . Sin p´rdida de generalidad. . xi . . supongamos que xn es L. . . se obtiene de la propiedad (b) : o ∆(x1 . En particular. . xj . xn ) = 0. . λxi + µyi . . . x. . . . . . . . ∆(x1 . xn−1 . . . . . . . x2 . . . xn ) = 1 −1 para una permutaciń σ par o para una permutaciń σ impar o Observaciń : Ya que el intercambio de dos n´meros (ij) es una pero u mutaciń impar. . . . . . . . . . . xn ) + µ∆(y1 . . . . . xσ(n) ) = donde σ σ ∆(x1 . 2. . . jn =1 α1j1 α2j2 . . definir m´s de ıan. . xn ) = i=1 αi ∆(x1 . xn ) ∈ o i=1 E × E · · · × E =: E n se tiene que cada xi se escribe como n xi = j=1 αij ej . o Proposiciń 23 Sean ∆ y ∆1 dos funciones determinantes en E. αnσ(n) . u (i = j). Entonces. . FUNCION DETERMINANTE Luego. . . . xj . . . . xn−1 . . xj . xj . por (1. . j2 =1 α2j2 ej2 . .. . . Sea {ei }n base ortonormal de E. . . . Observaciń : Observemos que el valor de una funciń determinante no o o cambia si un m´ltiplo de un argumento xj se suma a otro argumento xi . . xi ) = 0. xi + λxj . .8) : n−1 25 ∆(x1 . . . . . xj .3. . ej2 . En efecto : Por (1. xn ) = ∆( j1 =1 α1j1 ej1 . . . . ∆1 = 0. . . . xn ) = ∆(x1 . . . . . . . Luego: ∆(x1 . . . . jn αnjn ejn ) = j1 =1 j2 =1 . . . .8) (si i < j) ∆(x1 .´ 1.. . x2 . . xn ) =0 = ∆(x1 . . . dado (x1 . . . αnjn ∆(ej1 . . . . . . xi . . . . . . o Entonces existe λ ∈ R tal que ∆ = λ∆1 . xi . . . . Los ejemplos anteriores nos muestran existencia de funciones determinantes en un espacio E. . . ejn ) σ α1σ(1) σ = ∆(e1 . . x2 . . . . . xn ). . . . . a una funciń determinante. xn ) + λ ∆(x1 . x2 . Demostraciń. e note que en un espacio vectorial E se podr´ eventualmente. . . Qu´ hay con respecto a la unicidad ? En efecto. en ) . . . . z1 ). . en ) entonces ∆1 (e1 . Sea E = R2 y ∆ : R2 × R2 −→ R definida por : ∆((x1 . .1 Funciones Determinantes Duales Proposiciń 24 Sean E ∗ y E un par de espacios vectoriales duales con dio mensiń n (i. . .26 An´logamente. xn ) = ∆1 (e1 . . . o Ejercicios 1. Pruebe que ∆ es multilineal(bilineal en este caso) y antisim´trica con e respecto a sus argumentos. en ) σ σ α1σ(1) . . . (x3 . Sea λ := ∆(e1 . . y1 ). z3 )) = det   z1 z2 z3 Pruebe que ∆ es trilineal y verifica la propiedad (b).e. . . y2 . ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO ∆1 (x1 . (x2 . . y2 )) = x1 y2 − x2 y1 = det x1 x 2 y1 y2 . . existe una funciń bilineal no degenerada . . . (x2 . z2 ). . y1 . . xn ) lo que prueba la proposiciń. . xn ) = λ∆1 (x1 . . . en ) ∆(x1 . o o definida en . . a CAP´ ITULO 1. . 2. . αnσ(n) . . y3 . . . ∆((x1 .3. Sea E = R3 y ∆ : R3 × R3 × R3 −→ R definida por :   x1 x2 x3    y1 y2 y3  . 1. x n  . x 1 donde fi ∈ E ∗ . fn )∆(x1 .  f1 . . . . Demostraciń. . fn )∆(x1 . xn ) + Ω(g1 . . . x1 . . xn ) = α(f1 . . por unicidad (con o respecto a los argumentos x1 . . . . x n  .. fn ) es lineal con respecto a cada aro gumento y antisim´trica. . . . . . xn ) = α(λf1 + g1 . . . xn . x1 . . . xn ) = α(λf1 + g1 . xn ). . xn ) = det  . fn .. .  fn .  fn . . Entonces f1 . . fn .. . . . . . . . . Ω es una funciń determinante y. . por ejemplo con respecto al primer e argumento tenemos Ω(λf1 + g1 . fn fijos) Ω(f1 . .3.9) f1 . . . xi ∈ E y α ∈ R. .  f1 . .. xn ) o equivalentemente λΩ(f1 . x 1  . . . . . . . . .´ 1. . . . fn . . . . . Sea Ω : E ∗ × · · · × E ∗ × E × · · · × E −→ R definida por: o n n  . xn ) . . Ω(f1 . .. n). . . . x1 . fn . x1 . Tambiń es claro que e Ω es antisim´trica con respecto a los vectores fi y con respecto a los vectores e xi (i = 1. . . . . .  fn .  fn . . x n (1. . dejando f1 . . . (∗) Esta relaciń muestra que α(f1 . . . FUNCION DETERMINANTE 27 E ∗ × E). . x n Es claro que Ω es lineal con respecto a cada argumento. . . ∆∗ (f1 . . . x 1  . .. .. . .. En efecto . . fn . . . . . . fn )∆(x1 . . x1 . . . . . xn ) = α det  . Luego. . . . fn )∆(x1 . . x1  . . . . . . Sean ∆∗ = 0 y ∆ = 0 funciones determinantes en E ∗ y E respectivamente. . ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO λα(f1 . fσ(n) )∆(x1 . . .. . . . . xn ) = α(fσ(1) . ... ..... . .. . ... . ... . otra vez por unicidad : existe β ∈ R tal que α(f1 . Equivalentemente. xn ) = α(fσ(1) .. . x1 . .. . fn )∆(x1 . xn ). fn ) lo que prueba que α es lineal con respecto al primer argumento. ... puesto que Ω es una funciń determinante: o σ (f1 .. ..... . . . . x1 .. xn ). . (1. fn .. fn ) + α(g1 . . . . fn ) = α(fσ(1) .. . . . fσ(n) )∆(x1 . Luego. . . como ∆ = 0 obtenemos λα(f1 . . .. fn .. fσ(n) )∆(x1 .. . Veamos que es antisim´trica : De (*) obtenemos: e Ω(fσ(1) .. . . ... fσ(n) . . .. . x1 . fn )∆(x1 . . fn ) = β∆∗ (f1 . . Combinando se obtiene : Ω(f1 . .. . Aplicando (*) otra vez al lado izquierdo obtenemos: σ α(f1 . fn ) = α(λf1 + g1 . xn ) + α(g1 ... . . fn )∆(x1 . . CAP´ ITULO 1.. xn ).. . dividiendo por ∆ se obtiene: σ α(f1 .28 esto es. xn ). . . .. . xn ). .. . fn )∆(x1 . . .. xn ) = β∆∗ (f1 . . . . xn ) = α(λf1 + g1 .10) .. . . . fn ). . . . . . fσ(n) ).. . Finalmente. . fn )∆(x1 . xn ) = α(fσ(1) .. . . . . . . . 1. si ∆0 es una funciń o determinante en E se obtiene por (1. .2 Funciones Determinantes Normadas Sea E e. o Definiciń 25 La funciones determinantes ∆∗ y ∆ se llaman duales si el o factor α en (1. .  xn ..  xn . . y n .. . en )2 = α. 1 pues fi∗ . entonces ∗ ∗ ∗ ∗ β∆∗ (f1 . . xn ) = det(( fi .. entonces. FUNCION DETERMINANTE 29 Sean ahora {fi∗ } y {ei } bases duales en E ∗ y E respectivamente. . . ej = δij . . . =1 . e1 .  x1 . Sea ahora α := β −1 o entonces.   . . .9) : x1 . . ..  . . . . y 1 donde α ∈ R. . . en )   1 0 . Como E es dual a o si mismo con respecto al producto interno. yn  .9) que queriamos probar. . . Si hacemos xi = yi = ei .3. de dimensiń n. Luego. . ej = δij por definiciń. 0    0 1 . . . donde {ei } es base ortonormal de E. ... . se obtiene : ∆0 (e1 .9) es igual a 1. yn ) = α det  . . . xn )∆0 (y1 . y 1  . fn )∆(x1 .´ 1.. 0 0 . . . fn . esto es : ∗ ∗ ∆∗ (f1 . . 0    = det  . . . . de (1. esto es fi∗ . β = 0 . .10) se obtiene la relaciń (1. . . . xj )ij ). . ∆0 (x1 . en ) = Ω(f1 ..v. .. fn )∆(e1 .   . . con producto interno .. . .3. en un e. Se define ∆0 ∆ := ± √ α   x1 . Consideremos la funciń determinante normada ∆ que o o representa la orientaciń dada. de dimensiń 2. . y 1  .v. . (1. . .12) se llama una funciń determinante normada. (1. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Luego. .30 CAP´ ITULO 1.11) concluimos que existen exactamente dos funciones determinantes normadas ∆ y −∆ en un e. . yn ) = det  ..12) Definiciń 26 Una funciń determinante en un espacio con producto intero o no que satisface (1. En consecuencia. xn )∆(y1 . . yi ) obtenemos. . xn )∆(y1 ... yn ) = det( xi . .13) . ´ o o 1. yn  . . y ∈ E. con dimE = 2: x 2 y 2 − x. .v.3 ´ Angulos en el plano orientado Con ayuda de una funciń determinante normada es posible dar un signo o al ńgulo entre dos vectores de un espacio con producto interno. . . . .  xn . y n (1. . . E.12). usando (1. o Observaciones: 1) De (1. . α > 0. ∆(x1 .  xn .11) Entonces x1 . y 2 = ∆(x.. que para cada x. orientado o existe una unica funciń determinante normada que representa la orientaciń.3. . y)2 . y 1 . orientaa do. De la identidad o ∆(x1 .i. . . con p. entonces una de las funciones ∆ y o −∆ representa la orientaciń. 2) Si se define una orientaciń en E. Observaciń : Si se cambia la orientaciń. . ∆ se reemplaza por −∆ y luego o o θ cambia por −θ. . xp ) ≥ 0 y la igualdad vale si y s´lo si los vectores o o {x1 .4 El determinante de Gram Definiciń 28 Dados p vectores x1 . .  xp ... . . . y)2 + =1 x 2 y 2 x 2 y 2 x. .  x1 . . . y) x y 2 =1 ya que cos2 θ + sin2 θ = 1. .3. . . FUNCION DETERMINANTE Supongamos ahora que x = 0 e y = 0. π) tal que ´ cos θ = x. x p  . y x y .14) u a Definiciń 27 El n´mero θ(= θ(x. y)) se llama el ńgulo orientado entre x o e y. xp ) se define por x1 . x 1  . xp } son linealmente dependientes. . x 1  . . y) . .3.  xp .. . . y 2 ∆(x. . (Ejercicio). G(x1 . . . . . . x y (1. xp ) = det  . x p Proposiciń 29 G(x1 . se concluye que existe un unico θ ∈ (−π. ..´ 1. y x y 2 2 31 y 2 ´ o + ∆(x. .13) por x obtenemos: x. . Dividiendo (1. 1. el determinante de Gram G(x1 . sin θ = ∆(x. xp en un espacio con producto ino terno E. + αn xn = 0. .  xp . xp } son L. Luego.D. .. . Entonces existen escalares α1 . . . . son tambiń L. . + αn xn = α1 xi . Luego G(x1 . . x1  x 1 .  x p . Entonces de (1. xp ) > 0.. e Caso 2 : Los vectores {x1 . . Sea E1 el subespacio generado por x1 . . xp con el producto interno de E. . xp ) = 0 y. xp )2 = G(x1 . para cada i = 1. o Observaciń : Si p = 2. por lo anterior. la Proposiciń 29 es una generalizaciń del Teorema 6). ..I. . .e. o o .. xp ) > 0 en contradicciń. xp ) = 0 entonces. . . x 1  . .  . . . . . x1 + . . . si {x1 . . xp } son L. Esto prueba G(x1 . α1 x1 + . Adem´s. . luego. . . o CAP´ ITULO 1.. . .. . . . .. .32 Demostraciń.. . xp } es L. . entonces a G(x1 . . . . si se supone por absurdo que {x1 .D. . .I. . xp implica que ∆1 = 0. . . . que G(x1 . si G(x1 .. xp ) = 0. . n se tiene: 0 = xi .. xp } son L. . G(x1 .. x p . + αn xi .. xp ).. . . . se tiene. . αn no todos cero tales que α1 x1 + .. La independencia lineal de x1 . . es claro que.. . por caso 2. Entonces las filas de la matriz  x1 . . . .13) ∆1 (x1 . xp  .D. xn . ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Caso 1 : Los vectores {x1 .. . . se deduce de la proposiciń anterior la desigualdad o o de Schwarz (i. . Sea ∆1 una funciń determinante o normada en E1 .  . . . xp ) ≥ 0.. ap . El conjunto p P = i=1 αi ai / 0 ≤ αi ≤ 1 se llama paralelep´pedo p-dimensional generado por los vectores {a1 . . . a1 . ∆2 (x1 .. . . x 1  . .I. FUNCION DETERMINANTE 33 1. x p se tiene que el volumen de un paralelep´ ıpedo se puede tambiń escribir como: e   a1 . . ı Ejemplo: Si p = 2 entonces P = {αa + βb : 0 ≤ α ≤ 1. . . .  .. ap )| (1. .   ap . . .  . . . ap   . . . ap }.´ 1. . .3. x 1  . . ap }.3. .. . . . Definiciń 31 El volumen V (a1 . . . . Observaciones : 1) En vista de la identidad x1 .16) V (a1 .  xp . . 0 ≤ β ≤ 1}.  xp . . a1 . (1. x p  . . ap ) = |∆1 (a1 .  x1 . . ap )2 = det  . ap . ap ) del paralelep´ o ıpedo se define como: V (a1 . . . a1 . . .15) donde ∆1 es una funciń determinante normada definida en el subespacio o generado por los vectores {a1 . xp ) = det  . ap } un conjunto de p-vectores L. en un espacio o vectorial E.. . . . . . . . .5 El volumen de un paralelep´ ıpedo Definiciń 30 Sea {a1 . de donde 1 − sin2 θ = sin2 θ = 1 − lo que implica que a1 2 a1 .6 Producto cruz Sea E un espacio con producto vectorial de dimensiń 3. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO 2) Si p = 2. a2 )2 = a1 2 a2 2 − a1 . a2 2 a1 2 a2 2 a1 . orientado. Sean x ∈ E. a2 ) = a1 a2 sin θ que es una f´rmula conocida para calcular el ´rea de un paralel´gramo.17) .34 CAP´ ITULO 1. a2 )2 = a1 o sea. se obtiene de (1. y sea ∆ o la funciń determinante normada que representa la orientaciń. a2 de aqu´ se obtiene. a2 a1 a2 a 1 . o o y ∈ E y consideremos la funciń o f : E −→ R (1. Ahora.16): V (a1 . si θ denota el ńgulo entre a1 y a2 entonces a cos θ = luego cos2 θ = a 1 . a2 2 luego: a1 2 a2 2 a2 a1 2 2 pero cos2 θ + sin2 θ = 1. a2 2 a 2 2 2 2 a2 sin2 θ = a1 2 a2 − a1 . o a o 2 a2 2 sin2 θ 1. finalmente: ı V (a1 . a2 2 a1 = 2 a 2 a1 2 2 2 − a1 . V (a1 . a2 2 .3. 3. z = λ(x1 × y) + x2 × y.18) se tiene la relaciń o x × y. y. Proposiciń 33 El producto cruz es distributivo: o (i) (λx1 + x2 ) × y = λx1 × y + x2 × y.e. ∆ por −∆). z) = λ x1 × y. z). z) (1. y. o o Si la orientaciń es cambiada (i. z . FUNCION DETERMINANTE definida por f (z) = ∆(x. z) + ∆(x2 . En lo que sigue veremos algunas propiedades del producto cruz. z = ∆(λx1 + x2 . Para cada z ∈ E se tiene: o (λx1 + x2 ) × y. existe un unico vector u ∈ E tal que o ´ f (z) = u. z = ∆(x. esto es.18) Definiciń 32 El vector u obtenido anteriormente se llama el producto cruz o de x e y y se denota x×y := u.19) Observaciń: El producto cruz depende claramente de la orientaciń de E.17) y (1. y. f ∈ L(E). (ii) x × (λy1 + y2 ) = λx × y1 + x × y2 . (1. z) = λ∆(x1 . Demostraciń. z + x2 × y. 35 Claramente f es lineal. z . En vista de (1.´ 1. entonces el producto cruz o cambia de signo. y. y. En vista del Teorema de Representaciń de Riesz (Teorema 10). x. se obtiene (i). para cada z ∈ E se tiene: a x × (λy1 + y2 ). x = ∆(x. y1 . y = 0. o Demostraciń. como el producto interno es no degenerado. o (a) Sea z ∈ E: x × y. . ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Luego. x = 0. z = lo cual prueba (ii). z λ(x × y1 ) + x × y2 . z = ∆(x. y = ∆(x. x × y. λy1 + y2 . An´logamente. si suponemos por absurdo que x e y son L. z + x × y2 .D. y. z) = λ x × y1 . x × y. z = −y × x. z) + ∆(x. λ ∈ R . y. λ = 0. y2 . z (b) x × y. y. z) = −∆(y. tenemos: x = λy . (c) x × y = 0 si y s´lo si x e y son L. Proposiciń 34 o (a) x × y = −y × x (b) x × y. y) = 0 (c) Supongamos que x × y = 0. Entonces.36 CAP´ ITULO 1. x) = 0 .I. z) = λ∆(x. z) = − y × x. z = ∆(x. (de otro modo el lado izquierdo es cero por (c) de la proposiciń o anterior.3. Sea z ∈ E tal que {x. x2 . lo que es una contradicciń o pues 0 = x × y = λ(y × y).  . x3 ∈ E y1 × y2 . y3 = ∆(y1 . Inversamente. x3 ) . Demostraciń. Se tienen las relaciones: x1 × x2 . y. Sin p´rdida de generalidad. y1 × y2 = x1 . x2 . y 1 x1 .´ 1. por (a) se tiene que x × y = λy × y = λ(y × y) −y × x = −y × λy = −λ(y × y) 37 lo que implica que y×y = −y×y. y1 x2 . y 2 x3 . x3 = ∆(x1 . Entonces x × y.I. Proposiciń 35 o x1 × x2 . y 3   . x3 y1 × y2 . y1 . y 3  = det  x2 . y 2 x2 . y2 . z} es base de E. y2 . z) = 0. y3 = ∆(x1 . Como ∆ es una funciń determinante normada se tiene: o x1 × x2 . y3 )  x1 . supongamos que x e y son L.I. z = ∆(x. y. x3 )∆(y1 . FUNCION DETERMINANTE Luego. y1 x2 . y2 − x1 . y2 x2 . x × y = 0. lo mismo que el lado derecho). y3 ) . y 3  x3 . y3 ∈ E. y 2 x1 . y 1 x3 . Luego y×y = 0. Luego. podemos suponer que x1 y x2 o e son L. Demostraciń. e2 = 0 . y1 x2 .38 CAP´ ITULO 1. o Corolario 36 x × y 2 = x 2 y 2 − x. Simplificando este t´rmino en ambos lados de (1. y2 − x2 . Por (b) de la Proposiciń 35: o o e1 × e2 . x1 × x2 . x1 × x2 = x3 . y1 x2 . x3 = 0. x3 y1 × y2 . Note que por proposiciń 34 parte (b) tenemos x2 . Proposiciń 37 Sea {e1 .20) e se obtiene la proposiciń. x3 y1 × y2 . y2 ]. Tomar x1 = y1 = x y x2 = y2 = y en la proposiciń anterior. e2 × e3 = e1 . y3 = 0 o y x1 . se tiene que x1 × x2 = 0. se puede elegir x3 tal que x1 × x2 .20) Como x1 y x2 son L. x1 × x2 [ x1 . y1 x1 . e1 = 0 . Luego. x1 × x2 = x3 . y 2 x2 .I. (1. e3 } una base ortonormal positiva de E (i. Demostraciń. y 2 Luego. e2 . y 2 . obtenemos: x1 × x2 . ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Sea y3 := x1 × x2 . Entonces e1 × e2 = e3 . o o Observaciń: Si θ es el ńgulo entre x e y se puede reescribir el corolario o a anterior como x×y = x y sin θ. y3 = 0. y1 x1 . e3 ) > 0). Si calculemos ahora el determinante derecho por la ultima ´ columna. o ∆(e1 . y3 det x1 . e2 . e1 × e2 .e. e3 × e1 = e2 . FUNCION DETERMINANTE 39 i. e2 . pues ∆(e1 . e2 . e 2 e 1 . e1 × e2 es ortogonal a e1 y e2 por lo que se obtiene: e1 × e2 = λe3 . e 2 e3 . e1 e1 . e1 e1 . Luego. Demostraciń.e. e3 ) > 0. e3 )2 = det  e2 . e3 ) = e1 × e2 . e3 0 0 1 Con lo que λ = 1. e2 . e3   1 0 0     e2 . e3 = λ.    e 3 . e3 = λ e3 . a 3 3 Corolario 38 Si x = i=1 αi ei . y = i=1 βi ei .3. o 3 3 x×y = i=1 3 αi ei 3 × j=1 βj ej = i=1 j=1 αi βj ei × ej = α1 β1 e1 × e1 + α1 β2 e1 × e2 + α1 β3 e1 × e3 + α2 β1 e2 × e1 + α2 β2 e2 × e2 + α2 β3 e2 × e3 + α3 β1 e3 × e1 + α3 β2 e3 × e2 + α3 β3 e3 × e3 = (α1 β2 − α2 β1 )e1 × e2 + (α1 β3 − α3 β1 )e1 × e3 + (α2 β3 − α3 β2 )e2 × e3 = (α1 β2 − α2 β1 )e3 − (α1 β3 − α3 β1 )e2 + (α2 β3 − α3 β2 )e1 . e 2 e2 . e3  = det  0 1 0  = 1. An´logamente se prueban los otros dos casos. Pero:   ∆(e1 . e1  e3 . ∆(e1 .´ 1. entonces x × y = (α2 β3 − α3 β2 )e1 + (α3 β1 − α1 β3 )e2 + (α1 β2 − α2 β1 )e3 . y) √ 1 y (−y. Observaciń : El resultado anterior tambiń se escribe: o e e1 x×y = e2 e3 α1 α2 α3 β1 β2 β3 como una manera nemotćnica de recordar la f´rmula del Corolario 39. x2 ) y β = (y1 . ¿ Es la diferencia de dos productos internos un producto interno? Mostrar que un m´ltiplo positivo de un producto interno es un producto interno. e o 1. u 2. e2 = j. x) son ortogonales si y s´lo si y = (−3 ± 13)x . y2 ) ∈ R2 se define α. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Observaciń: La anterior se toma a veces como definiciń del producto o o cruz en R3 donde e1 = i. β = x1 y1 − x2 y1 − x1 y2 + 4x2 y2 . (b) Pruebe que |x1 y1 −x2 y1 −x1 y2 +4x2 y2 | ≤ ((x1 −x2 )2 +3x2 )1/2 ((y1 −y2 )2 +3y 2 )1/2 . Dados los vectores α = (x1 . Demuestre que la suma de dos productos internos sobre V es un producto interno sobre V .4 Ejercicios de recapitulaciń o 1. (c) Muestre que en R2 con este producto interno los vectores (x. (a) Demuestre que .40 CAP´ ITULO 1. o 2 es un producto interno en R2 . Sea V un espacio vectorial sobre R. . e3 = k. 0. (a) Demuestre que T es invertible. 4. (x1 . y1 . es linealmente independiente. R) si 1 2 −1 1 4 1 1 2 y s´lo si A = At . −2x + y. A partir de B encontrar una base ortonormal de R3 . T (β) es un producto interno sobre V . β) = T (α). el producto interno usual en R3 . Suponga que . EJERCICIOS DE RECAPITULACION 41 3.´ 1. 3. 3. y. (b) Demuestre que pT ((x. un conjunto de n vectores xj = 0 donde cualesquiera dos vectores xi y xj (i = j) son ortogonales. es un produnto interno sobre R3 . z1 )) = T (x. Con respecto al producto interno pT dado en (a). 5.4. T (x1 . a11 > 0 . A A = Y t AX es un producto interno en M (2 × 1 . 6. y. Sea T : R3 → R3 una transformaciń lineal definida por o T (x. 2). 5) } base de R3 . 3). Sea B = {(1. z) = (3x + z. 7). y1 . se define X. Considere X e Y en M (2 × 1 . z1 ) es un producto interno sobre R3 . Sea A una matriz de 2 × 2 con coeficientes en R . y. Demuestre que. Sean V y W espacios vectoriales sobre R y suponga que . z). 7. R) . (c) Considere . z). (0. 2) y (0. es un produnto interno sobre W . o (b) Calcular el ńgulo entre a y para A = . (−1. calcule el ńgulo entre los a √ vectores (−1. −x + 2y + 4z) . Y (a) Demostrar que . −4. 0. a22 > 0 y det(A) > 0 . Si T es una transformaciń lineal inverto ible de V en W entonces pT (α. : R2 × R2 → R como o (x1 . y ∈ E. 1] = { p : [0. a. Sea E un espacio vectorial con producto interno . Se define T : E → L(E) como: T (y)(x) = y. Sea E un espacio vectorial de dimensiń finita con producto interno o . o 10. y2 ) = x1 y1 + 3x2 y2 . . 1] → R : p(x) = a + bx + cx2 . ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO 8. Se define la funciń . 11. b. b) Demuestre que x + y = x + y si y s´lo si x = αy. 9. 2) y (3. a) Demuestre que T es lineal. x2 ). q = 0 p(x) q(x) dx . c) Demuestre que T es sobreyectiva. Sean x. (b) Con respecto al producto interno en a). 3). (c) Con respecto al producto interno en a). 3). a) Demuestre que x + y ≤ x + y . (a) Demuestre que . . α ≥ 0. Considere el producto interno definido por 1 p. c > b − < b. encuentre una base ortonormal para R2 . Pruebe que (a × b) × c =< a.42 CAP´ ITULO 1. b) Demuestre que T es inyectiva. x . c > a . 2) y (3. 12. es un producto interno para R2 . Sea P2 [0. calcule el ńgulo entre a √ los vectores (0. (y1 . c ∈ R } . (d) Con respecto al producto interno en a). calcule el ńgulo orientado a √ entre los vectores (0. Demuestre que el determinante de Gram de un conjunto de vectores {x1 . x4 = x + 4x2 .´ 1. x2 . x4 ) . . Sean {xi } y {ˆj } bases ortonormales de un espacio vectorial E. .. x3 = 1 + x + x2 . . . . T (αn )) (a) Demostrar que DT es una funciń determinante.. . Demuestre que B es antisim´trica. con x producto interno y de dimensiń n. x2 . αn ) . Sean ∆ y ∆1 dos funciones determinantes en un espacio vectorial E. 18.4. . ∆1 = 0. x) para cada (x. . . . Sea T un operador lineal sobre Rn . hallar el determinante de Gram G(x1 . x2 = 1 − x . EJERCICIOS DE RECAPITULACION (a) Calcular el volumen del paralelep´ ıpedo: V (1. 16.. xn } es cero si y s´lo si el conjunto {x1 . o (b) Si c = det(T (e1 ).. T (en )) demostrar que para n vectores α1 . calcular E ⊥ . . en P2 [0. xn } es linealo mente dependiente. . . 43 (c) Dados x1 = 3 + x2 . . e 14. e . 17. αn arbitrarios se tiene det(T (α1 ). 2x + 3} . Demuestre que existe una matriz o ortogonal A = (aij ) tal que xi = ˆ j aij xj . . αn ) = det(T (α1 ). . y) = e −φ(y. y) ∈ E × E. 15. .. x) . . Sea B una funciń bilineal con la propiedad que B(A) = 0 para todas o las matrices A ∈ M (2 × 2. Una forma bilineal φ : E × E → R se dice antisim´trica si φ(x. 1] . . . . . x3 . 13. Demuestre que existe λ ∈ R tal que ∆ = λ∆1 . . Defina DT (α1 . (b) Sea E = {1. T (αn )) = c det(α1 . R) que tienen filas iguales.. x2 . . Demostrar que cualquier forma bilineal φ : E × E −→ R es la suma de una forma bilineal sim´trica y e una forma bilineal antisim´trica. . . b ∈ R}. 1] → R tal que T (p) = 2a + b. y1 ). o (b) Sean x = (1. 1] tal que: T (p) = q. 22. a. ⊥ (d) Verifique que E1 E1 = {0} 21. (a) Demuestre que u × v. Sea T : P1 [0. y2 )) = x2 y1 − x1 y2 . 0). 1] definido en el problema anterior. 1] . (a) Demuestre que ∆ es una funciń determinante. Sea P1 [0. 1. v × w . . 1. 20.44 CAP´ ITULO 1. y = (−1. construir una base ortonormal para P1 [0. Encuentre q ∈ P1 [0. a (b) Encuentre la proyecciń ortogonal de R4 sobre E1 . 0)}. −1. Encuentre el ńgulo orientado entre a x e y. (x2 . Sea . 1] con el producto interno definido por p. 3e1 − 2e3 . Considere el espacio vectorial R3 con el producto interno usual. Sea ∆((x1 . 1. 1. 1] → R : p(x) = a + bx. p para cada p ∈ P1 [0. el producto interno para P1 [0. q = a1 a2 + a1 b2 + b1 a2 b1 b2 + . 1). 2 3 donde p(x) = a1 + b1 x y q(x) = a2 + b2 x. 0. (a) Calcule el ńgulo entre x e y. Dados los vectores {1. −7e2 + 3e3 . 1] = {p : [0. el subespacio o generado por {(0. w = u. (b) Calcule el volumen del paralelepipedo determinado por los vectores e1 + e2 . x} en P1 [0. 1). ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO 19. 1]. y = (−1. 0). 1. Sean x = (1. donde p(x) = a + bx. 23. 0. 1) dos vectores en R4 . ⊥ (c) Encuentre E1 . (0. (1.p. . Demuestre que x−y z ≤ y−z x + z−x y . Sea E un e. 7)}.i.v. 6). z ∈ E.4. 45 25. y.´ 1. Sean x. EJERCICIOS DE RECAPITULACION 24. Calcule el volumen del paralelepipedo generado por los vectores {(−5. La distancia entre dos vectores x e y en un e. normado se define por d(x. Definiciń 39 Sea E e. 46 .Cap´ ıtulo 2 Transformaciones lineales 2.v normado. concepto ya conocido. Un e.v.1 Espacios vectoriales normados Definiremos por medio de tres axiomas lo que entenderemos por una norma.v. y) = x − y .v. donde se define una norma se llama e. Una noro o ma en E es una funciń o N1 : x ≥ 0 ∀x ∈ E · y : E −→ R con las siguientes propiedades : x = 0 ssi x = 0 N2 : x + y ≤ x + y N 3 : λx = |λ| x . sobre R de dimensiń finita o infinita. y) > 0 si x = y d(x. e ıa Ejemplos 47 1) Cada espacio producto interno es un espacio normado. con la norma definida por x = x.1 Transformaciones lineales acotadas Definiciń 40 Sea E e. y) = d(y. de dimensiń n. z) + d(z. 1] entonces una norma se define por f := sup |f (t)|. 2. Se define la norma de un o vector x = n i=1 αi ei por x = i |αi |. y) (Desigualdad triangular) d(x. y) ≤ d(x. para cada x ∈ E. N 2 y N 3 implican. x .1. t∈[0. .v. respectivamente : o d(x. x). Esto dice que d es una m´trica en E y define una topolog´ en E. Sea {en } base de E. ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS Observaciń : N 1. Una transformaciń lineal ϕ : E −→ E o o se llama acotada si existe un n´mero M tal que u ϕ(x) ≤ M x . normado.1.2.1] 3) Sea E e.v. 2) Si C = C[0. Reciprocamente. Sea T : E −→ E una transformaciń lineal. Entonces el conjunto { ϕ(x) es acotado. el cual es un subespacio de L(E. E) := {T : E −→ E / T es lineal y acotado }. es una norma en B(E. Por lo tanto. y δ Sea y ∈ E. supongamos que T es continua. Denotemos : ϕ = sup ϕ(x) . Entonces para = 1 existe δ > 0 tal que si x < δ entonces T (x) < 1. Luego y 2 T (y) = T 2 y x δ ≤ 2 y δ T (x) ≤ 2 y =M y .48 CAP´ ITULO 2. Entonces para x := se tiene que x < δ. . Sea ϕ ∈ B(E. E) := {L : E −→ E / T es lineal }. T es continua. Demostraciń. x =1 : x = 1} Notar que ϕ(x) ≤ ϕ Proposiciń 42 o · x . δ Por lo tanto. TRANSFORMACIONES LINEALES Proposiciń 41 Una transformaciń lineal es acotada si y s´lo si es cono o o tinua. Observaciń : Se define el conjunto o B(E. T es acotada. E). Sea xn −→ x entonces T (xn ) − T (x) = T (xn − x) ≤ M xn − x −→ 0. Supongamos o o que T es acotada. E). o 49 N 1 : ϕ ≥ 0 es obvio por definiciń. Ejercicios 1. o o (c) De un ejemplo que muestre que (b) no es cierto si la dimensiń es infinita. x =1 x =1 N 2 : Para cada x ∈ E. . si ϕ ≡ 0 entonces ϕ = 0 evidentemente.1.v. normado de o dimensiń finita es convergente. Luego. Una sucesiń infinita de vectores (xn ) en un e. > 0 ∃ N tal que xn − xm < si n > N .v. ϕ + ψ ≤ ϕ + ψ . ϕ ≡ 0 (Ejercicio). por lo tanto. normado E se dice o convergente a x si : ∀ > 0 ∃ N tal que xn − x < ∀n>N (a) Demuestre que cada sucesiń convergente satisface el siguiente o criterio de Cauchy : ∀ m > M.2. (b) Demuestre que cada sucesiń de Cauchy en un e. (ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x) ≤ ϕ(x) + ψ(x) ≤ ( ϕ + ψ ) x . Inversamente. N 3 : λϕ = sup |λϕ(x)| = |λ| sup |ϕ(x)| = |λ| ϕ . Si ϕ = 0 entonces sup ϕ(x) = 0. ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS Demostraciń. Observaciń : o · tiene la propiedad adicional : ψ◦ϕ ≤ ψ ϕ . x = 1. o x =1 esto implica que ϕ(x) = 0 para todo x. n.v. F e. . En el sentido anterior ϕ∗ y ϕ se llaman duales.v.n. Sea ϕ : E −→ F lineal. se llama completo si cada sucesiń de Cauchy es convergente. TRANSFORMACIONES LINEALES 2. Un e. y ∗ ∈ F ∗ .1 Transformaciń adjunta o Sean E. Sean E ∗ . Entonces ϕ induce ϕ∗ : F ∗ −→ E ∗ una transformaciń o lineal definida por ϕ∗ (y ∗ ). 2. o Sea E e. Demuestre que la serie transformaciń lineal o ψ= n=0 ∞ ∞ n=0 ϕn es convergente y que la ϕn tiene las siguientes propiedades : (a) (1 − ϕ) ◦ ψ = ψ ◦ (1 − ϕ) = 1 1 (b) ϕ ≤ . completo y ϕ : E −→ E una transformaciń lineal tal que o ϕ ≤ 1. ϕ(x) .50 CAP´ ITULO 2. F ∗ e.2 Transformaciones lineales en espacios con producto interno En todo lo que sigue se supone que los espacios vectoriales son de dimensiń o finita. x ∈ E .2. x = y ∗ . duales de E y F respectivamente. 1− ϕ 2. ∀y ∈ F . o o Si E y F son e.2.1) de esta manera cada ϕ : E −→ F determina una transformaciń lineal o ϕ∗ : F −→ E. por el producto interno.2) Ejercicio : Mostrar que. o 2.1) y (2.v.v. y ∈ F (2. o Demostraciń.2) se tiene que ϕ(x). x ∈ E (2. (ϕ∗ )∗ (x) luego. y con lo que ϕ∗ ∗ = ϕ. Observaciń : (ϕ∗ )∗ = ϕ. y = (ϕ∗ )∗ (x). Entonces a cada transformaciń lineal ϕ : E −→ E le corresponde una transformaciń o o . con respecto a bases ortonormales.2. con producto interno y consideremos el caso F = E.x ∈ E . la matriz de una transformaciń adjunta corresponde a la matriz traspuesta. reemplazando la dualidad . ϕ∗ (y) E .2. ϕ∗ y (ϕ∗ )∗ estń relacionadas por : o a ϕ∗ (y). con producto interno. y F = x.2 Transformaciń lineal adjunta o Sea E e. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO51 Definiciń 43 ϕ∗ se llama la transformaciń adjunta. x = y. de (2. se obtiene la relaciń o ϕ(x). Por lo tanto.52 CAP´ ITULO 2. por definiciń o ϕ(e). y . . e y e. con producto interno o . ϕ∗ (e) = e. µe = µ e. ρ(ϕ)(x.2.v. y) := ϕ(x). Teorema 44 L(E. si ϕ(e) = λe entonces ϕ∗ (e) = λe. y ∈ E. e lo que implica que λ = µ si e. e = λ e. 2.3 La relaciń entre transformaciones lineales y funo ciones bilineales Sea ϕ : E −→ E una transformaciń lineal. = . y . para cada x. e = 0. Si e y e son vectores propios de ϕ y ϕ∗ respectivamente. e = λe. Entonces ϕ(e) = λe y ϕ∗ (e) = µe. y) = ϕ(x). Entonces se puede definir una forma bilineal : φ(x. E) ∼ B(E × E). E) −→ B(E × E) = {b : E × E −→ R / b es bilineal } por ρ(ϕ) = φ. TRANSFORMACIONES LINEALES lineal adjunta ϕ∗ : E −→ E. Esto es. Sea E e. Pero. De esta manera es posible definir una funciń o ρ : L(E. y) o sea ρ(ϕ)(x. y ∀ y ∈ E.2. ∀ y. y) = φ(x. . y) = = (λϕ + ψ)(x). y) = 0 ∀ x. ϕ ≡ 0. y λϕ(x). existe un unico ax o ´ en E tal que fx (y) = ax . En particular. Luego. y = fx (y) = φ(x. y). De esta manera ϕ(x) = 0 ∀ x. Entonces ϕ es lineal (Ejercicio) y ϕ(x). y = ax . Probaremos que ρ es un isomorfismo. y = λρ(ϕ)(x. ∀ y.2. y) + ρ(ψ)(x. y) ´ ρ(ϕ) = φ o con lo que se prueba el teorema. Sea x ∈ E fijo y definamos fx : E −→ R por fx (y) := φ(x. y + ψ(x). y = 0 ∀ x. Por Teorema de Representaciń de Riesz (Teorema 11). o 1) ρ es lineal : Para cada (x. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO53 Demostraciń. la identidad (en L(E. 2) ρ es 1-1 : Si ρ(ϕ) = 0 entonces ρ(ϕ)(x. As´ existe una correspondencia inyectiva entre las funciones lineales y ı. ϕ(x). y) ∈ E × E. Por lo tanto. las bilineales en E. Sea ϕ : E −→ E definida por : ϕ(x) = ax . y) = (λρ(ϕ) + ρ(ψ))(x. 3) ρ es sobreyectiva : Sea φ ∈ B(E × E). E)) corresponde al producto interno (en B(E × E)). y) entonces fx ∈ L(E). ρ(λϕ + ψ)(x. x). TRANSFORMACIONES LINEALES Nota : Se tienen las correspondencias siguientes : L(E. Luego. y) = = = ϕ∗ (x). E) ←→ B(E × E) I ←→ . y ∈ E. ϕ(y) ϕ(y). Eno o tonces φ(x. ρ ϕ ←→ ρ(ϕ) := φ ϕ∗ ←→ ρ(ϕ∗ ) Sea φ la funciń bilineal que corresponde a la transformaciń adjunta. Proposiciń 46 Son equivalentes : o (a) ϕ es normal (b) ϕ(x).) a 2. e lo cual ser´ estudiado en detalle posteriormente. ϕ∗ (y) ∀ x. . φ es igual a φ pero intercambiando los argumentos (esto es. ϕ(y) = ϕ∗ (x). sim´trica.4 Transformaciones normales Definiciń 45 Una transformaciń lineal ϕ : E −→ E se dice normal si o o ϕ∗ ◦ ϕ = ϕ ◦ ϕ∗ .54 CAP´ ITULO 2. x = φ(y.2. y x. supongamos que (b) vale. Sea o ϕ : E −→ E autoadjunta. Demostraciń. (ϕ∗ ◦ ϕ)(y) x. Ejercicio: Suponga que E es un espacio vectorial con producto interno. . Por lo tanto. ϕ(x) = ϕ∗ (x). (ϕ ◦ ϕ∗ )(x) ∀ y. Entonces E posee una base ortonormal de vectores propios. con producto interno de dimensiń finita. entonces ϕ es normal. Corolario 47 Si ϕ es normal. ϕ∗ (x) = ϕ∗ (x) 2 . (ϕ∗ ◦ ϕ)(x) = (ϕ ◦ ϕ∗ )(x) ∀ x.2. Teorema 49 Sea E e. (ϕ ◦ ϕ∗ )(y) ϕ∗ (x).2. (ϕ∗ ◦ ϕ)(x) = ϕ(y). Pruebe que si ϕ(x) = ϕ∗ (x) ∀ x ∈ E. entonces : y. ϕ(x) = ϕ∗ (y). 2. ϕ∗ (y) . ϕ∗ (x) = y. o ϕ(x) 2 = ϕ(x). Luego. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO55 Demostraciń. entonces ϕ(x) = ϕ∗ (x) para cada x ∈ E. ϕ(y) = = = x.2.5 Transformaciones autoadjuntas Definiciń 48 Una transformaciń lineal ϕ : E −→ E se dice autoadjunta o o si ϕ∗ = ϕ. Si ϕ es normal se tiene que o ϕ(x). Rec´ ıprocamente. ϕ∗ ◦ ϕ = ϕ ◦ ϕ∗ .v. esto es. ϕ(x) = x 2 = F (x). TRANSFORMACIONES LINEALES x.4) En efecto : Si x ∈ E. x 2 x = 1} es un subconjunto Demostraciń. existe e1 ∈ E. se tiene que inf F (x) se alcanza en el subconjunto. o M´s ań.3) : F (e1 ) ≤ F (y) = x . x =1 (2. ϕ( ) x x x. M´s ań a u F (e1 ) ≤ F (x) ∀ x ∈ E. ϕ(e1 ) e1 . Esto es : f (0) ≤ F (e1 + ty) = f (t) ∀ t ∈ R. Esto es : a u ϕ(e1 ) = e1 . ϕ(x) .4). entonces y = 1 y luego x y. y = 1.56 CAP´ ITULO 2. En particular. ϕ(y) x x = . Como {x ∈ E / x =1 cerrado y acotado de E. (2. e1 = 1 tal que F (e1 ) = inf F (x). (2. ϕ(e1 ) . f (0) = F (e1 ) ≤ F (x) ∀ x ∈ E. para cada e1 +ty ∈ E. x = 0. Sea F : E −→ R definida por F (x) = o Claramente F es continua.5) . De (2. Afirmaciń : e1 es un vector propio de ϕ. probaremos que el valor propio es e1 . x = 0 y se define y := por (2.3) Luego : F (e1 ) ≤ F (y) para cada y ∈ E. Definamos f : R −→ R por f (t) = F (e1 + ty). En efecto: Sea y ∈ E. y )f (t) = e1 . Luego : a f (0) = 0 De la definiciń de F obtenemos : o f (t) = F (e1 + ty) = = e1 + ty. ϕ(e1 + ty) e1 + ty. ϕ(y) + y. ϕ(y) + y. Derivando con respecto a t. ϕ(e1 ) +t2 y. ϕ(e1 ) . e1 + ty e1 + ty. ϕ(y) . ϕ(e1 ) e1 . ϕ(y) + y.7) Evaluando en t = 0 : 2 y. ϕ(e1 ) − 2 e1 . de f ) . ϕ(e1 ) − 2 y. ϕ(e1 ) luego. e1 e1 . ϕ(e1 ) + tϕ(y) o equivalentemente (1+2t y. esto es m´ximo o minimo.2. ϕ(e1 ) .6) Derivando esta funciń y evaluando en t = 0 se obtiene : o f (0) = e1 . Notar que f (0) = F (e1 ) = e1 . ϕ(e1 ) +t e1 . f (0) = e1 . e1 + 2t y. e1 +t2 y.2. ϕ(e1 ) + 2t y. y )f (t) + (1 + 2t y. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO57 Esto dice que f (0) es un mńimo de f (recuerde que f (x) = 0 si y s´lo si x ı o es punto critico. ϕ(e1 ) + tϕ(y) . (2. y En efecto: Se tiene la igualdad : e1 + ty. ϕ(y) +t y. e1 f (0) + f (0) = e1 . obtenemos (2 y. ϕ(y) + y. e1 + ty f (t) = e1 + ty. ϕ(y) . e1 + ty (2. y )f (t) = e1 . e1 + t2 y. e1 + ty. ϕ(e1 ) e1 . ϕ(e1 ) . As´ e2 . y − 2 e1 . . CAP´ ITULO 2. o Veamos ahora como se construye una base de vectores ortonormales. implica ⊥ ⊥ ⊥ que ϕ(F1 ) ⊆ F1 . e1 = 0. Entonces o ϕ(F1 ) ⊆ F1 pues ϕ(e1 ) = λe1 . En esta base. Esto. y = = de esta manera ϕ(e1 ) − e1 . y e1 e1 . y = 0 ∀ y ∈ E. ϕ(e1 ) e1 .7) y usando el hecho que ϕ es autoadjunta se tiene: f (0) = 2 ϕ(e1 ).7). . Esto prueba la afirmaciń. para cada g ∈ F1 se tiene < ϕ(y). e2 . en tales que ei . TRANSFORMACIONES LINEALES Teniendo probado (2. Esto implica que ϕ(y) ∈ F1 ).6) da: ϕ(e1 ). Por lo tanto. y f ∈ F1 . ⊥ ⊥ ⊥ Sea ϕ1 : F1 −→ F1 definida como la restricciń de ϕ a F1 . ϕ(e1 ) = e1 . ej = δij . (En efecto: Sea y ∈ F1 entonces < y. y . g >=< y. Usando ahora (2. . Luego. la aplicaciń ϕ toma la forma : o ϕ(ei ) = λi ei .58 lo cual prueba (2. y el hecho que ϕ es autoadjunta. Continuando de esta manera se ı obtiene un sistema de n vectores e1 . ϕ(e1 ) e1 . Sea F1 := e1 el subespacio (de dimensiń 1) generado por e1 . ϕ(e1 ) e1 . ϕ(g) >= 0 donde ⊥ ϕ(g) ∈ F1 . f >= 0 para cada e1 . . estos vectores {ei } forman una base ortonormal de E. Claramente o ϕ1 es autoadjunta y luego se puede aplicar la construcciń anterior para o ⊥ obtener un vector e2 ∈ F1 . Proposiciń 51 Sean λ1 y λ2 valores propios de una transformaciń lino o eal autoadjunta. digamos {ei }. o ϕ(e2 ) = λ2 e2 . λ2 e2 ϕ(e1 ). Demostraciń. e2 = = = λ1 e1 . Entonces ϕ(e1 ) = λ1 e1 . Si λ1 = λ2 entonces E(λ1 )⊥E(λ2 ) (i. e2 − ϕ(e1 ). como existe una base ortonormal de vectores propios. e2 − e1 . . . Proposiciń 52 Sean {λ1 . en en ∈E(λ1 ) ∈E(λr ) . Demostraciń. Sea e1 ∈ E(λ1 ) y e2 ∈ E(λ2 ). λr } los valores propios diferentes de ϕ (auo toadjunta) entonces E = E(λ1 ) ⊕ · · · ⊕ E(λr ). . espacios propios correspondientes a valores propios diferentes de una transformaciń lineal o autoadjunta. Claramente E(λi ) ∩ E(λj ) = {0} (pues E(λi )⊥E(λj )) ∀ i = o j. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO59 donde λi es el valor propio de ei .2. ϕ(e2 ) ϕ(e1 ). e2 = 0 como λ1 = λ2 entonces e1 . Esto prueba el teorema. son ortogonales). se tiene : x = x. e2 = 0.2. . si x ∈ E.e. e1 e1 + · · · + x. Luego : (λ1 − λ2 ) e1 . Se define el espacio propio correspondiente al valor propio λ como el conjunto E(λ) := {x ∈ E / ϕ(x) = λx}. Por otra parte. e2 − e1 . Definiciń 50 Sea λ un valor propio de una transformaciń lineal ϕ : E −→ o o E. E) −→ B(E × E) tal que ρ(ϕ)(x. En otras palabras : λ ∈ C es un valor propio para b si lo es para ϕ. b(x. Usando esta relaciń se definen vectores y valores propios para b ∈ B(E × E) o como los que corresponden a ϕ. y = b(x. donde ϕ es la unica transformaciń lineal tal que ´ o ϕ(x).2. Vimos que L(E.6 Vectores propios de funciones bilineales Recordemos que L(E. a Como una aplicaciń de lo anterior se tiene el siguiente resultado. En particular. E) := {ϕ : E −→ E / ϕ es lineal}. y = b(x. Esto es. a cada funciń bilineal b ∈ B(E × E) le corresponde ϕ ∈ o L(E. ej ) = λi δij . y) ∀ x. o Teorema 53 Sea b una funciń bilineal sim´trica (i. x)) en o e E × E. Entonces existe una base ortonormal {en } de E tal que b tiene una forma diagonal. y ∈ E. o 2.60 CAP´ ITULO 2. y . E) tal que se verifica la siguiente relaciń o ϕ(x). . y) = b(y. existen escalares {λi } en C tal que b(ei . TRANSFORMACIONES LINEALES esto prueba la proposiciń. y). E) ∼ B(E × E) siendo el isomorfismo expl´ ıcitamente dado como ρ : = L(E.e. y) = ϕ(x). An´logamente se pueden definir vectores propios (Ejercicio). e P (e) = x. Se define P : E → {e} =: E1 tal que P (x) = x. e e. x). con producto interno . e e. P 2 = P pues: a P (P (x)) = P ( x. Es claro que P es autoadjunta pues: P (x).7 Proyecciones ortogonales Sea E un e. .2. ej ) = = ϕ(ei ). P (y) . e = x. Sea e ∈ E tal que ||e|| = 1. o Ejemplo. y = x. . e e = x. ej = λi ei . entonces ϕ(x). ej λi ei . Entonces ϕ(en ) = λn en . ϕ(y) . Sean {λn } los correspondientes valores propios. e e. Por lo tanto.2. existe una base {en } de E que consiste de vectores propios de E. e e = x. y y. e e = P (x). e x. Entonces existe una unica ϕ en L(E) tal que o ´ b(x. y) = b(y. ϕ = ϕ∗ (i. x.e. La siguiente definiciń generaliza el concepto de proyecciń. no necesariamente de dimensiń o finita. y = x. Sea b bilineal. Luego : b(ei . 2.v. y. y = = Adem´s. y) = ϕ(x). ϕ es autoadjunta). TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO61 Demostraciń. e e. ej = λi δij . y . o o Definiciń 54 Una transformaciń lineal π : E −→ E se dice una proyeco o ciń ortogonal si es autoadjunta y satisface π 2 = π. Como b(x.2. e e) = x. Luego. o o Observaciń : La restricciń de π a im π es la identidad. Proposiciń 56 Sea E1 un subespacio de E. Por lo tanto. π(y) = y. a . Sea x ∈ ker π ∩ imπ. Entonces x−π(x) ∈ ker π pues π(x−π(x)) = π(x)−π 2 (x) = π(x)−π(x) = 0 y π(x) ∈ imπ por definiciń. x ∈ E. π(y) = π 2 (x) = π(x) = y. Se define o π(y) = y 0 si y ∈ E1 ⊥ si y ∈ E1 y es fćil verificar que π 2 = π y π ∗ = π (Ejercicio). o Demostraciń. En efecto : Si y ∈ im π entonces y = π(x). Por otra parte. dado x ∈ E escribimos : x = (x − π(x)) + π(x). Luego. Entonces existe una unica o ´ proyecciń ortogonal π : E −→ E tal que imπ = E1 . esto es : ∀ y ∈ o o im π . o o Demostraciń. Hemos probado la proposiciń. Entonces π(x) = 0 y existe z en E o tal que x = π(z). ker π ∩ imπ = {0}. TRANSFORMACIONES LINEALES Proposiciń 55 Si π es una proyecciń ortogonal entonces E = ker π⊕imπ.62 CAP´ ITULO 2. 0 = π(x) = π 2 (z) = π(z) = x. Luego. veamos la o siguiente : Proposiciń 57 Sean E1 .2. o Como una preparaciń para el resultado que nos da la respuesta. Esto implica que π2 ◦ π1 (x) = 0. En efecto: Si z ∈ E1 = im π1 entonces z = π1 (x). TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO63 2. Para esto. por lo mismo. As´ π1 (x) ∈ E2 . si π2 ◦ π1 = 0 entonces π1 x ∈ E2 para todo x en E. π2 : E −→ E2 proyecciones ortogonales (i. Si E1 ⊥E2 entonces dado x ∈ E se tiene que y.2.) y x2 ∈ E2 . vamos a . Sea π := π1 + π2 . E2 = imπ2 ). Luego. ⊥ Inversamente.2. ⊥ luego z ∈ E2 . π1 (x) = 0 o ⊥ para todo y en E2 . pues es la suma de transformaciones lineales.8 Suma de dos proyecciones Sean π1 : E −→ E1 . π2 (z) = z. ⊥ Sean ahora x1 ∈ E1 (luego. Entonces x1 . o o Demostraciń. Demostraciń. Vamos a ver que π es la proyecciń de E o o sobre E1 ⊕ E2 . ı. ⊥ Luego. Tambiń e π es autoadjunta.e. Queremos saber si la suma π1 + π2 es una proyecciń ortogonal. Resta ver que π 2 = π. E1 ⊥E2 . En efecto: Si π2 (π1 (x)) = 0 entonces π1 (x) ∈ ker π2 . x2 = 0. Como E = ker π2 ⊕ im π2 ⊥ ⊥ se deduce que E2 = (im π2 )⊥ = ker π2 . E2 subespacios de E y sean π1 : E −→ E1 y o π2 : E −→ E2 las proyecciones ortogonales. E1 ⊂ E2 . ⊥ Notar que π2 (z) = 0 si z ∈ E2 . π2 (z) = 2 z. x ∈ E. Por lo tanto. Claramente π es lineal. π1 (x) ∈ E2 . π2 (z) = 0. x1 ∈ E2 . Entonces π2 ◦ π1 = 0 si y s´lo si o E1 ⊥E2 . Teorema 58 π1 + π2 es una proyecciń sobre E1 ⊕ E2 si y s´lo si E1 ⊥E2 . En efecto: π2 (z) 2 = π2 (z). E1 = imπ1 . y2 = 0 + 0 = 0. sea x ∈ E1 ∩ E2 . Sea y ∈ E1 ⊕ E2 . As´ x ∈ (E1 ⊕ E2 )⊥ . x1 + x2 = 0 ∀ x1 ∈ E1 . ⊥ x. Entonces x. Verifiquemos (*) : Sea x ∈ (E1 ⊕ E2 )⊥ entonces x. y2 ∈ E2 . y1 ∈ E1 . Esto probar´ que π es la proyecciń de E sobre E1 ⊕ E2 . Entonces y = y1 + y2 . o que π1 ◦ π2 = 0. x ∈ E1 ∩ E2 . o (π1 + π2 )2 = π1 + π2 . TRANSFORMACIONES LINEALES ver que π(x1 + x2 ) = x1 + x2 en E1 ⊕ E2 y π(x) = 0 en (E1 ⊕ E2 )⊥ . Vamos a probar o que E1 ⊥E2 .64 CAP´ ITULO 2. y = x. x2 ∈ E2 . de esta manera x ∈ ker π1 y x ∈ ker π2 . x2 = 0 ∀ x2 ∈ E2 . equivalentemente por Proposiciń 58. hemos probado que π1 + π2 es una proyecciń sobre E1 ⊕ E2 . x. a o En efecto: Por linealidad. Por lo tanto. π(x) = π1 (x) + π2 (x) = 0 + 0 = 0. o Supongamos ahora que π1 + π2 es una proyecciń ortogonal. x2 = 0 (con x1 = 0) lo que implica que x ∈ E1 ⊥ ⊥ ⊥ y x ∈ E2 . y1 + x. Para esto probaremos. Por lo tanto. ⊥ ⊥ Inversamente. x1 = 0 ∀ x1 ∈ E1 . x1 = 0 (con x2 = 0) y x. Luego: x. Luego. observemos que: ⊥ ⊥ (E1 ⊕ E2 )⊥ = E1 ∩ E2 (∗) ⊥ ⊥ Luego: Si x ∈ (E1 ⊕ E2 )⊥ entonces x ∈ E1 y x ∈ E2 . En efecto: Por hip´tesis. De esta ı manera. Por otra parte. si x1 + x2 ∈ E1 ⊕ E2 se tiene: π(x1 + x2 ) = π(x1 ) + π(x2 ) = (π1 + π2 )(x1 ) + (π1 + π2 )(x2 ) = π1 (x1 ) + (π1 + π2 )(x2 ) = π1 (x1 ) + π2 (x2 ) = x1 + π2 (x2 ) = x1 + x2 . 8) por π1 a la izquierda tenemos : π1 ◦ π2 + π1 ◦ π2 ◦ π1 = 0.2. π1 ◦ π2 ◦ π1 = 0 y reemplazando esto ultimo en (2. (2. Luego. sumando las expresiones anteriores da : π1 ◦ π2 ◦ π1 + π2 ◦ π1 + π1 ◦ π2 +π1 ◦ π2 ◦ π1 = 0 =0 por (2. π1 ◦ π2 + π2 ◦ π1 = 0 componiendo por π1 a la derecha tenemos: π1 ◦ π2 ◦ π1 + π2 ◦ π1 = 0 y componiendo en (2.8) (2. Lema 59 Si π : E −→ E1 es una proyecciń entonces I − π es proyecciń o o ⊥ sobre E1 .2.8) as´ ı.9) . 2 2 π1 + π1 ◦ π2 + π2 ◦ π1 + π2 = π1 + π2 lo que es equivalente a π1 + π1 ◦ π2 + π2 ◦ π1 + π2 = π1 + π2 de esta manera.9) obtenemos : ´ π2 ◦ π1 = 0 esto prueba el teorema. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO65 o equivalentemente (π1 + π2 ) ◦ (π1 + π2 ) = π1 + π2 o sea. Sea z ∈ E1 = im π entonces z = π(w) y: x.66 CAP´ ITULO 2. Sea x ∈ im ψ = im (I − π) entonces x = y − π(y). lo cual prueba el lema. Es claramente autoadjunta y o ψ 2 = (I − π)2 = I − 2π + π 2 = I − 2π + π = I − π = ψ. Por lo tanto. ⊥ Inversamente queremos probar : E1 ⊆ im ψ. Sea ψ := I − π. z y − π(y). ⊥ Resta ver que im ψ = E1 . π(w) π(y) − π 2 (y). equivalentemente: (im ψ)⊥ ⊆ E1 esto es ker ψ ⊆ E1 . TRANSFORMACIONES LINEALES Demostraciń. π(x) = x. (I − π)(x) = 0 o sea. w π(y) − π(y). x ∈ im π = E1 . w = 0 ⊥ esto implica que x ∈ E1 . Teorema 60 π1 − π2 es una proyecciń si y s´lo si E2 ⊆ E1 . o o . En efecto: Sea x ∈ ker ψ entonces ψ(x) = 0 esto es. z = = = = y − π(y). o o si π1 − π2 es proyecciń entonces I − (π1 − π2 ) =: ϕ lo es (por Lema 60). Demostraciń. ⊥ ⊥ (b) Primero observamos que (E1 ∩ E2 )⊥ = E1 + E2 (Ejercicio). entonces I − ϕ = π1 − π2 es proyecciń. Entonces π2 ◦ π1 es una proyecciń sobre E1 ∩ E2 si y s´lo si o o π2 ◦ π1 = π1 ◦ π2 . o ⊥ ⊥ E2 ⊆ E1 ⇐⇒ E1 ⊆ E2 ⊥ ⇐⇒ E1 ⊥E2 (Ejercicio) es proyecciń (Teorema 59 y Lema 60) o es proyecciń o ⇐⇒ (I − π1 ) + π2 =: ϕ ⇐⇒ I − (π1 − π2 ) =: ϕ ⇐⇒ π1 − π2 (∗) es proyecciń .2. o Vamos a ver que π2 ◦ π1 : E −→ E1 ∩ E2 es una proyecciń mostrando que: o (a) (π2 ◦ π1 )(x) = x (b) (π2 ◦ π1 )(x) = 0 En efecto: (a) Sea x ∈ E1 ∩ E2 entonces π2 (π1 (x)) = π2 (x) = x pues x ∈ E1 pues x ∈ E2 . Inversamente. o Veamos ahora el comportamiento del producto de proyecciones. para cada x ∈ (E1 ∩ E2 )⊥ . Luego. x1 ∈ E1 . TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO67 Demostraciń. o (*) Si ϕ es proyecciń. para cada x ∈ E1 ∩ E2 . Supongamos que π2 ◦ π1 = π1 ◦ π2 . x2 ∈ E2 . .2. Teorema 61 Sean π1 : E −→ E1 y π2 : E −→ E2 dos proyecciones ortogonales. ⊥ ⊥ si x ∈ (E1 ∩ E2 )⊥ entonces x = x1 + x2 . v. x2 . TRANSFORMACIONES LINEALES π2 (π1 (x)) = π2 (π1 (x1 )) + π2 (π1 (x2 )) = π2 (0) + π1 (π2 (x2 )) = 0 + π1 (0) = 0. 2. Entonces o ∗ ∗ π2 ◦ π1 = (π2 ◦ π1 )∗ = π1 ◦ π2 = π1 ◦ π2 esto prueba el teorema. Demostraciń. con producto interno.68 En consecuencia CAP´ ITULO 2. ϕ(x2 ) = ϕ(x1 + x2 ) 2 − ϕ(x1 ) 2 − ϕ(x2 ) 2 . Supongamos ahora que π2 ◦ π1 es una proyecciń. o ı o Proposiciń 63 ϕ es una isometrá si y s´lo si ϕ(x) = x para cada o x ∈ E. F e. ϕ(x2 ) = x1 .3 Isometr´ ıas o Definiciń 62 Sean E. Una caracterizaciń la tenemos en el siguiente resultado. x1 . o (i) Suponer que ϕ es una isometr´ y tomar x1 = x2 = x. ıa (ii) 2 ϕ(x1 ). Una transformaciń o lineal ϕ : E −→ F es llamada isometrá (o unitaria) si ı ϕ(x1 ). x2 ∈ E. 3. Entonces ϕ es una o isometrá si y s´lo si ϕ−1 = ϕ∗ . y . ϕ(y) = ϕ−1 (z). Demostraciń. (Teorema de dimensiń). o ıa. Proposiciń 64 Supongamos dim E < ∞ y sea ϕ : E −→ E una isometr´ o ıa. o (i) Sean x ∈ E. Entonces ϕ es un isomorfismo. . De esta manera. Entonces. y ∈ E: ϕ(x). y ∀ y. en las condiciones anteriores. Si ϕ es una isometr´ entonces ϕ(x). z. ϕ∗ (z). y ∈ E. x 2 . Para ver que es sobreyectiva. ϕ(y) = x. ıa Sea z = ϕ(x) entonces ϕ−1 (z) = x. y luego. ı o Demostraciń. o notar que dim(im ϕ) + dim(ker ϕ) = dim E luego. ϕ∗ = ϕ−1 . ϕ−1 ϕ(y) = x. ϕ∗ ϕ(y) = x. o Observaciń : En particular. Es claro que ϕ es inyectiva. y . y = ϕ−1 (z). (ii) Supongamos que ϕ∗ = ϕ−1 . existe ϕ−1 . ϕ(y) = x. ISOMETR´ IAS = x1 + x2 = 2 x1 .2. o Proposiciń 65 Sea dim E < ∞ y ϕ : E −→ E. 2 69 − x1 2 − x2 2 Observaciń : Si ϕ es una isometr´ entonces ϕ es inyectiva. im ϕ = E pues ϕ es inyectiva. para cada x ∈ E. Por lo tanto. y lo llamaremos el determinante de la funciń φ. ϕϕ∗ = 1. e impropia si o o det ϕ = −1. o o o . o Proposiciń 70 La inversa de una rotaciń es una rotaciń. Proposiciń 69 El producto de rotaciones es una rotaciń. Ejercicio. o Observaciń : En vista de la f´rmula ϕ∗ = ϕ−1 . |λ| e .70 CAP´ ITULO 2. entonces la matriz de φ con respecto a o cualquier base de E tiene el mismo valor del determinante. det ϕ = ±1. como ϕ es una isometr´ se tiene que e = ıa. se llama o ıa una rotaciń. Definiciń 67 Una rotaciń se llama propia si det ϕ = 1. De esta manera. Luego ϕ(e) = |λ| e pero. esto es. se o o tiene (det ϕ)2 = 1 esto es. Entonces ϕ(e) = λe. Proposiciń 68 Sea E un e. o Demostraciń. donde E o es un espacio de dimensiń finita. donde dim E < ∞. De esta manera.v. sobre R. Los valores propios de una rotaciń o o son +1 ´ -1 . TRANSFORMACIONES LINEALES Definiciń 66 Una isometr´ ϕ : E −→ E. o o Demostraciń. convenimos en denotar detφ a ese valor. λ = ±1. Sea λ valor propio de una rotaciń ϕ : E −→ E con vector o o propio e. o Recordemos que si φ : E → E es una transformaciń lineal. ani ). .3. anj ) . . Ejercicio. an1 an2 · · · a1n a2n ann   an1   an2   . entonces la o condiciń ϕ∗ = ϕ−1 es equivalente a decir que Q es invertible y o Q−1 = QT donde QT es la matriz traspuesta (suponiendo coefientes reales. e El siguiente resultado nos indica como construir matrices ortogonales (o rotaciones).3.   . . Q∗ = Q ). o 71 2. .   ann a a ···   11 21   a12 a22 · · ·   . . . .1 Comparaciń con matrices o Si Q es una matriz correspondiente a una rotaciń ϕ : E −→ E.2. Teorema 71 Una matriz Q de n × n es ortogonal si y s´lo si las columnas o de Q forman una base ortonormal para Rn . o     Sea Q =    a11 a12 · · · a21 a22 · · · . a2j . Este tipo de matrices se llaman tambiń ortogonales. . . . Demostraciń. entonces n bij = a1i a1j + a2i a2j + · · · + ani anj = p=1 api apj (∗) = (a1i . a2i .   . a1n a2n · · · T Sea B = (bij ) = QT Q. Entonces QT =  . de otra manera. (a1j . ISOMETR´ IAS Demostraciń. 2/ 6). −1/ 3. a √ √ √ (1/ 3. As´ la matriz ı. Demuestre que Q =   −2/3 2/3 1/3 3 3 rotaciń ϕ : R −→ R asociada. Ejercicios   2/3 1/3 2/3    1/3 2/3 −2/3  es ortogonal. o 1 2. 1/ 3) forman una base ortonormal en R3 . 38 x 3 1 1 √ y. TRANSFORMACIONES LINEALES Si las columnas de Q son ortogonales : bij = es decir. 1/ 2. B = I.10) y (*) muestra que las columnas son ortonormales. Halle la 1. entonces QT Q = I = B. si QT = Q−1 . 0). 0 1 si i = j si i = j (2. inversamente. y) = ( √2 x − √ √ 8 y.72 CAP´ ITULO 2. 2) La matriz √ √ 1/ 2 1/ 2 √ √ 1/ 2 −1/ 2 es ortogonal. 1/ 6. √ x 2 2 + 1 √ y) 2 y ϕ2 : R −→ R definida por 2 2 (1x 3 − + 1 y) 3 .  √ √ √  1/ 2 −1/ 6 1/ 3  √ √ √   1/ 2 1/ 6 −1/ 3   √ √  0 2/ 6 1/ 3 es ortogonal. de manera que vale (2. Sea ϕ1 : R2 −→ R2 definida por ϕ1 (x. (−1/ 6.10) Ejemplos √ √ √ √ √ 1) Es fćil ver que los vectores (1/ 2. w) = (Qv. Qw). Aspectos geom´tricos e Sea {e1 . ISOMETR´ IAS (a) Verifique que ϕ1 y ϕ2 son rotaciones. (b) Verifique que ϕ1 ◦ ϕ2 es una rotaciń.3. v2 } es una base ortonormal para R2 .2. 2. o 3. Demuestre que (v. Halle la transformaciń de rotaciń asociada. w ∈ Rn .2 (a) R2 . a entonces e1 rota a un vector v1 y e2 rota a un vector v2 tal que {v1 . la matriz A= sin t cos t 73 cos t − sin t es ortogonal. Sea Q una matriz ortogonal y v. . Demuestre que para cada t ∈ R.3. o o 4. e2 } la base canńica de R2 o Y T e2 • • EX e1 Si se rotan los ejes en un ńgulo θ en sentido positivo alrededor del origen. y) = (r cos θ. adj. Entonces T es una rotaciń pues la matriz correspondiente es ortogonal ya que {v1 . = . 1 An´logamente cos θ = a v2 = (a. y) d d θ • e1 EX Sea T : R2 −→ R2 tal que T (e1 ) = v1 . TRANSFORMACIONES LINEALES Y T v2 s d d d e2 • v1 = (x. b) = (− sin θ. hip. hip. cat. = b . v2 } son las o columnas de la matriz y forman una base ortonormal. op. b) s d d ' dθ d • b • a d Note que v1 = (x. sin θ = = ). . r sin θ) donde r = 1 (´ se puede ver como: cos θ = o x cat. adj. 1 hip. sin θ = = −a luego hip. y cat. . T (e2 ) = v2 . − sin θ cos θ . v2 = Notemos que v1 = cos θ sin θ En efecto : T (a. cat.74 CAP´ ITULO 2. op. cos θ). Una rotaciń positiva en un ńgulo α alrededor del eje x producir´ o a a una base {e1 . w =  cos θ    0 0   . eje y o eje z (as´ los ejes x. ISOMETR´ IAS Luego: T (e1 ) = (cos θ. En R3 se puede rotar en sentido positivo alrededor del eje x.3. sin θ) . [T ] = cos θ − sin θ sin θ cos θ .  0   cos α v= sin α Demuestre que      .  Encuentre Y : R3 −→ R3 la rotaciń correspondiente. o 2. 75 (b) R3 . Demuestre que    − sin θ cos θ    v =  sin θ  . Por lo tanto. v. o . ı.2. T (e2 ) = (− sin θ. w} donde v es el vector obtenido al rotar e2 y w es el vector obtenido al rotar e3 . Una rotaciń positiva en un ńgulo θ alrededor del eje z producir´ una o a a base {v. w. Ejercicios 1. cos θ). w=  cos α Encuentre R : R3 −→ R3 la rotaciń correspondiente. e3 } donde v es vector obtenido al rotar e1 y w es el vector obtenido al rotar e2 . y y z forman un sistema coordenado de la mano derecha).  0    − sin α  . Una rotaciń positiva en un ńgulo ϕ alrededor del eje y producir´ o a a una base {v. Demuestre que    cos ϕ sin ϕ     . o E = E1 ⊕ E2 ⊕ · · · Er donde dim Ei = 1 ´ 2 ∀ i = 1. R y P las transformaciones de rotaciń de los ejercicios 1. w} donde v es el vector obtenido al rotar e1 y w es el vector obtenido al rotar e3 . . Recordemos que E1 se dice un subespacio estable de E si ϕ(E1 ) ⊆ E1 . R y P para cualesquiera tres ńgulos tienen interpretaciones a geom´tricas similares a la de una matriz de rotaciń en R2 . e o Sea M cualesquiera de estas matrices de rotaciń. Sea u = ae1 +be2 +ce3 ∈ o R . w= 0 v= 0    − sin ϕ cos ϕ   .  Encuentre P : R3 −→ R3 la rotaciń correspondiente. Entonces existe una descomposiciń de o o E en subespacios estables de dimensiń 1 y 2 . La demostraciń de este teorema se har´ en pasos sucesivos: o a . Entonces r = M u dar´ las coordenadas del vector obtenido al rotar el a vector u. Por ejemplo : Y R(u) representa una rotaciń positiva en un ńgulo α o a alrededor del eje x seguida de una rotaciń positiva en un ńgulo θ alrededor o a del eje z. e2 . o Sean Y . 2 y 3. . o Las matrices Y . . . Esto es. TRANSFORMACIONES LINEALES 3.76 CAP´ ITULO 2. r y o r i=1 3 dim Ei = dim E. El principal resultado que caracteriza las rotaciones es el siguiente: Teorema 72 Sea ϕ una rotaciń. x 2 = = ϕ(x1 ). en particular. Por lo tanto. x1 ∈ E1 . Por lo tanto. dim Eij = 1 ∀ j = 1. o o entonces F ⊥ es estable bajo ϕ. Si F es estable bajo ϕ. Sea x1 ∈ E1 y sea x2 ∈ E2 . ISOMETR´ IAS 77 Proposiciń 73 Sea p : E −→ E una rotaciń. para cada i (Ejercicio). a Proposiciń 74 Sea ϕ : E −→ E una rotaciń. entonces E1 ⊕ E2 es estable bajo ϕ. . Demostraciń.3. E espacio vectorial sobre o o R. ϕ(x2 ) x1 . ya que E1 ∩ E2 = {0}) de E1 y E2 : E1 ⊕ E2 . entonces −x = ϕ(x) = x. x2 = 0. x1 . Luego. Consideremos la suma (directa. Entonces ϕ(x1 ) = x1 y ϕ(x2 ) = o −x2 . E1 ∩E2 = {0} pues si x ∈ E1 y x ∈ E2 . En efecto : Si x ∈ ϕ(E1 ⊕ E2 ) entonces x = ϕ(x1 + x2 ) . x1 . 1 1 Note que E1 = E1 ⊕ · · · ⊕ Ep donde p es la multiplicidad del valor propio 2 2 1. Adem´s. Entonces E1 ⊥E2 . −x2 pues ϕ es isometr´ (rotaciń) ıa o = − x1 . y E2 = E1 ⊕ · · · ⊕ Eq donde q es la multiplicidad del valor propio -1. ϕ(E1 ⊕ E2 ) ⊆ E1 ⊕ E2 .2. x 2 . x2 ∈ E2 = ϕ(x1 ) + ϕ(x2 ) = x 1 − x2 ∈ E 1 ⊕ E 2 . Sean E1 y E2 los espacios correspondientes a los valores propios 1 y -1 respectivamente. 2. lo que implica que x = 0. Notar que. o o En particular. TRANSFORMACIONES LINEALES Demostraciń. Queremos probar: ϕ(F ⊥ ) ⊆ F ⊥ . concluimos que. Entonces. entonces en dimensiń impar hay o que ver si un polinomio de grado impar tiene o no ra´ en R. (2. e0 = 0. entonces F ⊥ = E1 ⊕E2 es estable bajo ϕ (por lo visto antes). y = x.78 CAP´ ITULO 2. y = 0. o o Consideremosla como una matriz. Sea e0 ∈ F el vector propio asociado. luego: ϕ(F ) ⊆ F ( pues F ⊥⊥ = F ). Notar que ϕ−1 (y) ∈ F pues ϕ(F ) ⊆ F . lo que o es una contradicciń. por lo tanto. En particular. o Notemos que ϕ : F −→ F sigue siendo una rotaciń (por la Proposiciń 76). . o Proposiciń 75 La dimensiń de F es par. la dimensiń de F es par. Luego. o para y ∈ F : ϕ(x). En efecto: ϕ : F → F implica que ϕ−1 : F → F . por (2. si el espacio vectorial es sobre R. Por lo tanto. Pero. Pero sabemos ıces que tal polinomio tiene al menos una ra´ digamos λ0 y λ0 = ±1 pues ϕ es ız. esto es : o ϕ(e0 ) = λ0 e0 . En lo que sigue.11). ϕ∗ (y) = x. ϕ(x). ϕ(x) ∈ F ⊥ . e0 ∈ E1 ´ e0 ∈ E2 . rotaciń. si F := (E1 ⊕E2 )⊥ . o Demostraciń. Ahora.11) Notar que e0 ∈ F = (E1 ⊕ E2 )⊥ . ϕ−1 (y) . Supongamos que dim F es impar. Entonces cuando calculamos los valores propios de ϕ debemos calcular las ra´ del polinomio p(λ) = det(ϕ − λI) = ıces 0. denotaremos F := (E1 ⊕ E2 )⊥ . Sea x ∈ F ⊥ . note que ϕ no tiene vectores propios en F . multiplicando por ϕ. e = 0. Por lo tanto.12) . 79 Luego. ı. e ∈ F. ϕ(ϕ(e)) = (λ − α)ϕ(e). se tiene ϕ2 (e) = −e + λϕ(e) . existe un vector propio para ψ. entonces ψ(e) = λe. Luego. Sea x ∈ F1 entonces x = αe + βϕ(e).D. por (2. e ∈ F.3. dim F1 = 2. se puede definir ϕ : F1 −→ F1 . ϕ(e)} =: {e. De esta manera. Luego. e ∈ F. Proposiciń 76 ϕ(F1 ) ⊆ F1 .2. En efecto : Si fueran L. entonces e = αϕ(e) esto implica que ϕ2 (e) = −αϕ(e)+λϕ(e) = (λ − α)ϕ(e). o ϕ(x) = αϕ(e) + βϕ2 (e) = αϕ(e) + β[−e + λϕ(e)] = αϕ(e) + (−βe) + βλϕ(e) = (α + βλ)ϕ(e) − βe ∈ {e. ϕ(e)} . esto es : ϕ(e) + ϕ−1 (e) = λe Luego. ⊥ ⊥ ⊥ o As´ ϕ(F1 ) ⊆ F1 y se puede repetir la construcciń para F1 .12) . ϕ(e)} = F1 .I. Notar que ψ es autoadjunta : ψ ∗ = ϕ∗ + ϕ∗ ∗ = ϕ∗ + ϕ = ψ. Sea F1 := subespacio generado por {e. Claramente. ISOMETR´ IAS Consideremos ahora la transformaciń : o ψ = ϕ + ϕ∗ = ϕ + ϕ−1 : F −→ F. o Demostraciń. ϕ(e) es vector propio de ϕ en F . Ya que ϕ no tiene vectores propios en F . entonces {e. Claramente ϕ es otra vez una isometr´ ıa. Sea λ el correspondiente valor propio. ϕ(e)} es L. (2. 80 CAP´ ITULO 2. TRANSFORMACIONES LINEALES Continuando de esta manera, se puede finalmente obtener una descom- posiciń ortogonal de F en subespacios estables mutuamente ortogonales, o esto es: F = F1 ⊕ F2 ⊕ · · · ⊕ Fr Luego, E = E1 ⊕ E2 ⊕ F (F = (E1 ⊕ E2 )⊥ ) y dim Fj = dim F = par . = E1 ⊕ E2 ⊕ F1 · · · ⊕ Fr . 1 1 1 Claramente dim Fi = 2 ∀ i = 1, . . . , r y E1 = E1 ⊕ E2 ⊕ · · · Ep ; dim Ei1 = 2 2 2 2 1 , i = 1, . . . , p , E2 = E1 ⊕ E2 ⊕ · · · ⊕ Eq ; dim Ej = 1 , j = 1, . . . , q. Esto prueba el teorema. Observaciń : La matriz de rotaciń tiene la forma canńica (en genero o o al)                  ε1 .. . εp cos θ1 sin θ1 − sin θ1 cos θ1 0 .. . cos θn sin θn − sin θn cos θn 0           ; con εi = ±1.        2.3.3 Transformaciones antisim´tricas e o Definiciń 77 Una transformaciń lineal ψ : E −→ E se llama antio sim´trica si ψ ∗ = −ψ. e 2.3. ISOMETR´ IAS 81 Proposiciń 78 ψ es antisim´trica si y s´lo si ψ(x), y + x, ψ(y) = 0 o e o para todo x, y ∈ E. Demostraciń. o =⇒) ψ(x), y + x, ψ(y) = x, ψ ∗ (y) + x, ψ(y) = x, −ψ(y) + x, ψ(y) = 0. ⇐=) (ψ ∗ + ψ)(x), y = ψ ∗ (x), y + ψ(x), y = x, ψ(y) + ψ(x), y = 0 para todo y. Esto implica que (ψ ∗ + ψ)(x) = 0 para todo x. Por lo tanto, ψ ∗ = −ψ. Proposiciń 79 ψ es antisim´trica si y s´lo si x, ψ(x) = 0 para todo x. o e o Demostraciń. o =⇒) Tomar x = y en la proposiciń anterior. De esta manera, se obtiene o ψ(x), x + x, ψ(x) = 0; esto es, x, ψ(x) = 0. ⇐=) Reemplazando x por x + y, obtenemos x + y, ψ(x + y) = 0 esto es: x, ψ(x) + x, ψ(y) + y, ψ(x) + y, ψ(y) = 0, =0 =0 luego x, ψ(y) + y, ψ(x) = 0. Por lo tanto, ψ es antisim´trica por proposie ciń anterior. o La siguiente proposiciń nos dice acerca de los valores propios de una o transformaciń lineal antisim´trica. o e e Proposiciń 80 Si ψ es antisim´trica y λ es valor propio de ψ entonces o λ = 0. 82 CAP´ ITULO 2. TRANSFORMACIONES LINEALES Demostraciń. Sea λ valor propio de ψ. Sea e = 0 tal que ψ(e) = λe, o entonces 0 = e, ψ(e) = e, λe = λ e, e . Por lo tanto, λ = 0. En la siguiente proposiciń dim E < ∞. o Proposiciń 81 Si ψ es antisim´trica entonces det ψ = (−1)n det ψ. o e Demostraciń. Como ψ ∗ = −ψ entonces det ψ ∗ = (−1)n det ψ. Luego o det ψ = (−1)n det ψ. Corolario 82 Si ψ es antisim´trica y dim E es impar, entonces det ψ = 0. e Proposiciń 83 Si ψ es antisim´trica entonces ψ es normal. o e Demostraciń. ψ ∗ ψ = −ψψ = ψ(−ψ) = ψψ ∗ . o 2.3.4 Forma matricial (o canńica) de una transformao ciń antisim´trica o e Sea ϕ := ψ 2 , donde ψ es una transformaciń antisim´trica. Entonces ϕ∗ = o e (ψ 2 )∗ = ψ ∗ ψ ∗ = −ψ(−ψ) = ψ 2 = ϕ; esto es, ϕ es autoadjunta. Luego, existe una base ortonormal {en } de E que consiste de vectores propios, digamos {λn }, de ϕ. As´ ı: ϕ(en ) = λn en . Observaciń: p debe ser par. o Definamos una nueva base {an } en E como sigue: a1 = e1 . . a2 = √ a4 = √ 1 ψ(e1 ) .2. ap+1 = ep+1 . . (Ejercicio). . . Reordenemos ahora los vectores {ei } con i = 1. .3. 0 . ap+2 = ep+2 . . . . . a3 = e2 . ϕ(ei ) ei . ψ(ei ) ≤ 0. se e tiene: λi ≤ 0 ∀ i.   83 Veamos ahora que en este caso especial (ϕ := ψ 2 con ψ antisim´trica). . . ISOMETR´ IAS M´s precisamente. ψ(ei ) −ψ(ei ). . . λn 0     . de manera tal que: λi < 0 (i = 1. .. . En efecto: λi = ei . ϕ tiene forma matricial diagonal: a        λ1 λ2 . . . −λ1 1 ψ(e2 ) . n. p) y λi = 0 (i = p + 1. n). . ψ 2 (ei ) ψ ∗ (ei ). −λ2 . . λi ei = = = = ei . 2. ψ(ei ) = − ψ(ei ). 2. la matriz toma la forma:   √  −λ1    0   0   .. . . . Por lo tanto. 0 . . si definimos Kj :=  0 0 √ − −λ1 0 0 0 .          √  0 0 0 −λ2 0 0 0 0 √ − −λ2 0 0 0 ..  0 o.84 CAP´ ITULO 2. . . TRANSFORMACIONES LINEALES Entonces {ai } es una base ortonormal (Ejercicio). 0           . 0 −λj : 0 0 0 K2 0 0 −K2 0 . . 0 ··· 0              K1    0   0             −K1 0 0 0 . adem´s a ψ(a1 ) = ψ(e1 ) = −λ1 a2 1 1 λ1 ψ(a2 ) = √ ψ 2 (e1 ) = √ ϕ(e1 ) = √ e1 = − −λ1 e1 = − −λ1 a1 −λ1 −λ1 −λ1 ψ(a3 ) = ψ(e2 ) = −λ2 a4 1 λ2 1 ψ 2 (e2 ) = √ ϕ(e2 ) = √ e2 = − −λ2 e2 = − −λ2 a3 ψ(a4 ) = √ −λ2 −λ2 −λ2 ..  . 0 Kp −Kp 0 . Sea ϕ : E −→ E una transformaciń lineal. 4. Demuestre que ϕ = ψ1 + iψ2 donde ψ1 y ψ2 son autoadjuntas. Demuestre que existe una familia continua ϕt o (0 ≤ t ≤ 1) de rotaciones tales que ϕ0 = I y ϕ1 = ϕ. (b) Demuestre que -1 no es un valor propio de ϕ. o Demuestre que ψ = (ϕ − I) ◦ (ϕ + I)−1 es antisim´trica. Sea p(λ) el polinomio caracter´ ıstico de una rotaciń propia. Demuestre o que p(λ) = (−λ)n p(λ−1 ) . 5. 2. Suponga que ϕ es una rotaciń y que -1 no es valor propio de ϕ. λ ∈ R. o (a) Demuestre que ϕ es una rotaciń. Muestre que existe o λ > 0 y ψ rotaciń tal que o ϕ = λψ. Sea ϕ una rotaciń. ϕ(y) = det ϕ · x.3. y . Sea ϕ : R2 −→ R2 una transformaciń normal. . Sea o e ϕ = (ψ + I) ◦ (ψ − I)−1 .2. Sea ψ una transformaciń antisim´trica. Sea ϕ : R2 −→ R2 antisim´trica. o 7. Muestre que e ϕ(x). 6. ISOMETR´ IAS 85 Ejercicios 1. e 3. e 2.3. Se define la funciń ψ : E −→ R o e o (no lineal) por : ψ(x) = φ(x. y) = ψ(x) + 2φ(x. y) = ψ(x) − 2φ(x. y ∈ E. x) + φ(y. sobre R y φ : E × E −→ R una funciń bilineal. y) + φ(y. Sea ϕ : E −→ E una transformaciń lineal que satisface ϕ∗ = λϕ.5 Funciones bilineales sim´tricas e Definiciń 84 Sea E e. y) + φ(y. Sumando obtenemos : ψ(x + y) + ψ(x − y) = 2(ψ(x) + ψ(y)). Demostraciń. y) = φ(x.v. x) − φ(x. x). x) − φ(y. x) + φ(x. o o φ se dice sim´trica si e φ(x. Proposiciń 85 Sea φ bilineal sim´trica. x) − 2φ(x. o λ ∈ R. y) + ψ(y). y) = φ(y.86 CAP´ ITULO 2. x − y) = φ(x. x + y) = φ(x. x) ∀ x. y) + φ(y. Demuestre que ϕ es autoadjunta o antisim´trica. Entonces ψ satisface la identidad del paralelogramo : ψ(x + y) + ψ(x − y) = 2(ψ(x) + ψ(y)). y) + ψ(y) ψ(x − y) = φ(x − y. TRANSFORMACIONES LINEALES 8. y) = φ(x. o ψ(x + y) = φ(x + y. x) + 2φ(x. y) + φ(y. pues φ es sim´trica e . cada funciń cuadr´tica puede ser o a obtenida de esta forma. Teorema 87 Sea ψ : E −→ R una funciń cuadr´tica. x) y se tiene: ψ1 (x + y) = φ(x + y. o o a Cada funciń bilineal sim´trica da origen a una funciń cuadr´tica (tomano e o a do x = y). x). En efecto. Adem´s. y) + ψ1 (y). definimos ψ1 (x) := φ(x. o ψ(x + y) + ψ(x − y) = 2(ψ(x) + ψ(y)) .13) 2 ψ1 (x + y) − ψ1 (x) − ψ1 (y) = ψ(x + y) − ψ(x) − ψ(y) ∀ x . x + y) = φ(x.3.2. Demostraciń. Sea o 1 φ(x. y) := {ψ(x + y) − ψ(x) − ψ(y)}.13) Probaremos que φ es bilineal y sim´trica. y) = 1 {ψ1 (x + y) − ψ1 (x) − ψ1 (y)}. Luego. Entonces existe una o a funciń bilineal sim´trica φ : E × E −→ R tal que o e ψ(x) = φ(x. y) = ψ1 (x) + 2φ(x. por (2. Luego a fin de ver que ψ(x) = e pero ψ(0) = 0 y ψ1 (0) = 0 ya que ψ y ψ1 satisfacen la identidad del paralel´gramo . inversamente. ∀ y. Veremos que. x) + 2φ(x. con x = −y tenemos a ψ1 (0) − ψ1 (x) − ψ1 (−x) = ψ(0) − ψ(x) − ψ(−x) (∗) (2. φ(x. 2 φ(x. x). y) + φ(y. ISOMETR´ IAS 87 Definiciń 86 Una funciń ψ : E −→ R continua que satisface la identidad o o del paralel´gramo se llama una funciń cuadr´tica. De esta manera. y) = ψ(x2 + y) − ψ(x2 ) − ψ(y). y) = φ(x1 . y)} (∗) = {ψ(x1 + x2 + y) + ψ(y)} − {ψ(x1 + y) + ψ(x2 + y)} − {ψ(x1 + x2 ) − ψ(x1 ) − ψ(x2 )} . ya que ψ(x + y) + ψ(x − y) = 2(ψ(x) + ψ(y)) con x = 0 se tiene ψ(y) + ψ(−y) = 2(ψ(0) + ψ(y)) ψ(y) + ψ(−y) = 2ψ(y) ψ(−y) = ψ(y). Esto ı prueba que : φ(x. y) + φ(x2 .13) : 2φ(x1 + x2 . e (a) Simetr´ ıa. 2 2 (b) φ(x1 + x2 . y) = ψ(x1 + y) − ψ(x1 ) − ψ(y) 2φ(x2 . Resta ver que φ es bilineal y sim´trica. y) = ψ(x1 + x2 + y) − ψ(x1 + x2 ) − ψ(y) 2φ(x1 . de (2. y). ψ1 (x) = ψ(x). esto es. y) − φ(x2 . y). Por lo tanto. TRANSFORMACIONES LINEALES Sea x = y = 0 entonces 2ψ(0) = 2(2ψ(0)) = 4ψ(0) luego. Luego. 2ψ(0) = 0. x) = ψ(x). y) − φ(x1 . x) = {ψ(y + x) − ψ(y) − ψ(x)} = {ψ(x + y) − ψ(x) − ψ(y)} = φ(x. As´ concluimos de (*) que 2ψ1 (x) = 2ψ(x). 2{φ(x1 + x2 .88 CAP´ ITULO 2. ψ(0) = 0. Luego. 1 1 φ(y. En efecto. 2 (2. {ψ(x1 +x2 +y)+ψ(y)}−{ψ(x1 +y)+ψ(x2 +y)} = ψ(x1 +x2 )−ψ(x1 )−ψ(x2 ). esto es.2. λ ∈ R.16) Si ponemos (2.14) y 1 ψ(x1 +y)+ψ(x2 +y) = {ψ(x1 +x2 +2y)+ψ(x1 −x2 )} ( con x = x1 +y . ISOMETR´ IAS Como φ satisface la identidad del paralelogramo. (2. y = x2 +y). (c) φ(λx. y). y) = φ(x. Luego. φ(−x. y) = −φ(x. y) = 0 lo cual verifica (b). y) = λφ(x. se tiene: o 89 1 ψ(x1 +x2 +y)+ψ(y) = {ψ(x1 +x2 +2y)+ψ(x1 +x2 )} ( con x = x1 +x2 +y . y). por hip´tesis. y = y) 2 (2. y) + φ(−x. y) = 1 {ψ(y) − ψ(0) − ψ(y)} = 1 {ψ(0)} = 0 (pues ψ cuadr´tica 2 2 implica ψ(0) = 0). y) − φ(x2 .16) en (*) obtenemos : φ(x1 + x2 .14) y (2. y) a pero.3. (2. φ(0.17) . usando otra vez identidad del paralel´gramo: o {ψ(x1 + x2 + y) + ψ(y)} − {ψ(x1 + y) + ψ(x2 + y)} 1 {ψ(x1 + x2 ) − ψ(x1 − x2 )} = 2 1 = {ψ(x1 + x2 ) − [2(ψ(x1 ) + ψ(x2 )) − ψ(x1 + x2 )]} 2 1 = {2ψ(x1 + x2 ) − 2ψ(x1 ) − 2ψ(x2 )} 2 = ψ(x1 + x2 ) − ψ(x1 ) − ψ(x2 ). En efecto : Colocando en (b) x1 = x y x2 = −x se obtiene: φ(0. y) − φ(x1 .15) se obtiene.15) Restando (2. y) = φ(−x. (2.19) Sea λ ∈ Q. y) por (2. q q Sea λ ∈ R. y) = kφ(x. o Ahora notamos que como ψ es continua entonces φ es continua y. (2. y) = −kφ(x.20) (2. Entonces λ = p .17) y (b) : ∀ k ∈ Z+ . y) = −φ(x. TRANSFORMACIONES LINEALES φ(−kx. q q Luego. y)+φ(−x. que φ(λx.20) se obtiene.18) φ(−2x. y) = λn φ(x. y) En efecto : de (2. y) = φ(q · x. y) = λφ(x. haciendo n → ∞. y). y) = φ(px. y) = pφ(x. y). Observaciń: De esta manera probamos que hay una correspondencia ino yectiva entre funciones bilineales sim´tricas y funciones cuadr´ticas. e a . y) = φ(−x−x. y). p p φ( x. y) = −2φ(x. Esto prueba el teorema. y)−φ(x. y) = φ(x. Entonces q p p qφ( x. luego. y).90 Concluimos que: CAP´ ITULO 2. y) ∀ k ∈ Z. o An´logamente concluimos que a φ(kx. como φ(λn x.18) (Ejercicio). Por inducciń se obtiene (2. Entonces existe una sucesiń λn en Q tal que λn → λ. p y q enteros. . e1 ) · · · φ(e1 . . en ) x1  .  . . entonces la o e  φ(e1 .  φ(en . en )  . y ∈ E: e x= Luego: φ(x. ej ). .2. ej ) = λi δij .  . . e1 ) · · ·   φ(e1 . . e1 ) · · · φ(en . dados x. ISOMETR´ IAS 91 2. y) = i j xi ei . y= yj e j . e1 ) · · ·  . A= .  φ(en . esto es: φ(ei . Sea {ei } una base de E.  . para funciones bilineales sim´tricas.  . forma diagonal de o una funciń cuadr´tica o a Sea E e.  φ(en .3. xi yj φ(ei . ej ) = φ(ej . de dimensiń finita y φ : E × E −→ R una funciń bilineal o o sim´trica. ej ) (2. Entonces.v. o e Recordemos ahora que.21) lo cual se puede reescribir como:  ψ(x) = x1 · · · xn φ(e1 . . como φ es sim´trica. existe una e base ortogonal {vn } de E tal que φ tiene forma diagonal. en ) xn Esta ultima representaciń de ψ se llama forma cuadr´tica (en dimensiń ´ o a o finita).3.6 El caso de dimensiń finita. en ) matriz     es autoadjunta (pues φ(ei . Si ponemos x = y obtenemos la funciń cuadr´tica: o a ψ(x) = i j xi xj φ(ei . N´tese que. . ei ) por definiciń de bilineal sim´trica). .  . Ejemplo: Consideremos la siguiente forma cuadr´tica sobre R2 : a ψ(x1 . Una forma de diagonalizar ψ. 0 λn 0   . TRANSFORMACIONES LINEALES si i = j .  . esto es. 1 2 x esto es.. es la siguiente: e . cualquier forma cuadr´tica tiene una representaciń diagonal a a o de esta forma.92   1 donde δij =  0 CAP´ ITULO 2. Adem´s. 1 2 Entonces ψ(x1 .  λn xn 0  = λ 1 x2 + λ 2 x2 + · · · + λ n x2 . si i = j En consecuencia: Existe una base ortonormal {vn } de E donde   A=  λ1 . el polinomio cuadr´tico que representa a ψ no tiene ”t´rminos mixa e tos”. escribirlo como polinomio sin t´rminos mixtos. x2 ) = 2x2 − 12x1 x2 + 5x2 ..  En tal caso. x2 ) = 2 −6 −6 5 x1 x2 2 −6 −6 5 x1 x2 donde A = = (aij ).  . se escribe:  ψ(x) = x1 · · · xn    λ1 0  x1  .  . b22 ) = (0. a12 = 0. . ISOMETR´ IAS 93 Caso 1. . xn ) = a11 y1 + ψ1 (y2 . Si a11 = 0 pero. . . xn = yn lo cual lleva a la ecuaciń o ψ(x1 . . . pero aij = 0 con i = j. . xn = yn lo que lleva a la ecuaciń o 2 ψ(x1 . xn ) = bij yi yj (∗) donde (b11 . . . . . Si a11 = 0 hacemos la sustituciń: o x1 = y1 − x2 = y2 . e a Caso 2. . 0) ( o sea bii = 0 o bjj = 0). . bjj ) = (0.2. . . .3. Para realizar un cambio en el caso a11 = 0. se hace xi = y i + y j xj = yi − yj xp = yp si p = i . p = j Esto lleva a una forma como (*) con (bii . x3 = y3 . por ejemplo. yn ) 1 (a12 y2 + · · · + a1n yn ) a11 donde ψ1 es tambiń un polinomio cuadr´tico. . (Note que puede ser ań b11 = 0). hacemos la sustituciń o x1 = y1 + y2 . u Caso 3. x2 = y1 − y2 . . . 0) y se puede aplicar el caso 1. x3 ) tiene las componentes aii de la diagonal iguales a los coeficientes de x2 y las componentes aij y aji iguales cada una a la mitad i del coeficiente xi xj . x2 . x2 . x3 ) = 2x2 − 8x1 x2 + x2 − 16x1 x3 + 14x2 x3 + 5x2 entonces la 1 2 3 matriz sim´trica perteneciente a la forma cuadr´tica e a    a11 a12 2 −4 −8    A =  −4 1 7  =  a21 a22    −8 7 5 a31 a32 anterior es:  a13  a23  . Veamos otro ejemplo: Sea ψ(x1 .94 CAP´ ITULO 2. . Diagonalizemos ahora a ψ: Como a11 = 0 hacemos la sustituciń: o 1 x1 = y1 − ((−4)y2 + (−8)y3 ) = y1 + 2y2 + 4y3 2 x2 = y 2 x3 = y 3 . x2 ) = 2(y1 + 3y2 )2 − 12(y1 + 3y2 )y2 + 5y2 2 2 2 2 = 2[y1 + 6y1 y2 + 9y2 ] − 12y1 y2 − 36y2 + 5y2 2 2 2 2 = 2y1 + 12y1 y2 + 18y2 − 12y1 y2 − 36y2 + 5y2 2 2 = 2y1 − 13y2 que es la forma diagonal pedida. 1 x1 = y1 − ((−6)y2 ) = y1 + 3y2 2 x2 = y 2 . obtenemos 2 ψ(x1 . TRANSFORMACIONES LINEALES a11 a12 a21 a22 2 −6 −6 5 Usemos este m´todo en el ejemplo anterior: All´ e ı luego hacemos la sustituciń o = .  a33 La idea para obtener A es la siguiente: La matriz autoadjunta A = (aij ) que representa a ψ(x1 . Aqu´ o ı A1 = 7 9 9 27 luego. ISOMETR´ IAS Luego: 95 2 ψ(x1 . y3 ) = 7y2 + 18y2 y3 + 27y3 es un polinomio cuadr´tico donde volvemos a a aplicar la sustituciń. x2 . x2 . x3 ) = 2y1 − (7y2 + 18y2 y3 + 27y3 ) = 2y1 − ψ1 (y2 . sea y1 = z1 1 9 y2 = z2 − (9z3 ) = z2 − z3 7 7 y3 = z3 .2. x3 ) = 2(y1 + 2y2 + 4y3 )2 − 8(y1 + 2y2 + 4y3 )y2 + y2 2 − 16(y1 + 2y2 + 4y3 )y3 + 14y2 y3 + 5y3 = (y1 + 2y2 + 4y3 )[2y1 + 4y2 + 8y3 − 8y2 − 16y3 ] 2 2 + y2 + 14y2 y3 + 5y3 2 2 = (y1 + 2y2 + 4y3 )(2y1 − 4y2 − 8y3 ) + y2 + 14y2 y3 + 5y3 2 2 = 2y1 − 4y1 y2 − 8y1 y3 + 4y1 y2 − 8y2 − 16y2 y3 2 2 2 + 8y1 y3 − 16y2 y3 − 32y3 + y2 + 14y2 y3 + 5y3 2 2 2 = 2y1 − 7y2 − 18y2 y3 − 27y3 1 2 2 2 esto es: ψ(x1 .3. y3 ) donde 2 2 ψ1 (y2 . un } de E en la cual φ se representa por una matriz diagonal. . . . Supongamos ahora que {w1 . Como P + N = P + N (dim(ran φ)) es suficiente probar que P = P . . . x3 ) = 2z1 − 7z2 − ( 81 + 27)z3 es la forma diagonal 7 pedida. a cualquier otra matriz diagonal tiene el mismo n´mero P de componentes u positivas y el mismo n´mero N de componentes negativas. . wn } es otra base de E en la cual φ se representa tambiń por una matriz diagonal. Sin p´rdida de generalidad. . ψ(x1 . e podemos suponer que en cada matriz aparecen primero las componentes positivas. . . 7 7 2 2 2 Por lo tanto. Sea U := subespacio generado por {u1 . por teorema anterior. . o o Teorema 88 Sea φ una forma bilineal sim´trica en E. . wn }. . u Demostraciń. y3 ) = 7(z2 − z3 )2 + 18(z2 − z3 )z3 + 27z3 7 7 9 2 = (z2 − z3 )[7z2 − 9z3 + 18z3 ] + 27z3 7 9 2 = (z2 − z3 )(7z2 + 9z3 ) + 27z3 7 1 2 = (7z2 − 9z3 )(7z2 + 9z3 ) + 27z3 7 1 2 2 2 = (49z2 − 81z3 ) + 27z3 7 81 2 81 2 2 2 2 = 7z2 + z3 + 27z3 = 7z2 + ( + 27)z3 . . TRANSFORMACIONES LINEALES 9 9 2 ψ1 (y2 .96 entonces CAP´ ITULO 2. Sabemos. . por ejemplo. x2 . . Adem´s. que existe una base o {u1 . con P y N componentes positivas y negativas respectivamente. . por ejemplo. up } y W := subespacio generado por {wP +1 . El siguiente resultado es fundamental para la pr´xima definiciń. Entonces : φ(v. v) ≤ 0 . v) > 0 para todo v ∈ U y φ(v. Entonces existe una e base de E en la cual φ se representa por una matriz diagonal. con P y N come ponentes positivas y negativas respectivamente. Luego. . xn ) = x2 + · · · + x2 − x2 − · · · − x2 . Pero : dim(U + W ) ≤ dim E = n. 1 s s+1 r Observaciń: El resultado anterior a veces se enuncia como la Ley de Inercia o o el teorema de Sylvester. (Teorema de dimensiń) o Corolario 89 Cualquier forma cuadr´tica (real) ψ tiene una representaciń a o unica en la forma ´ ψ(x1 . x) ≥ 0 ∀ x ∈ E y se dice que es definida positiva si ψ(x) = φ(x. dim(U + W ) = dim U + dim W − dim(U ∩ W ) = P + (n − P ) − 0 = P − P + n. Luego. . luego P − P + n ≤ n ´ P ≤ P . Definiciń 90 La signatura de una forma cuadr´tica es el n´mero de como a u ponentes positivas menos el n´mero de componentes negativas. P ≤ P (intercambiando el rol de P por P en el argumento anterior). ISOMETR´ IAS para todo v ∈ W . con v = 0. . x = 0. . 97 Note que : U ∩ W = {0} y observemos que dim U = P y dim W = n − P . o Similarmente. P = P .3. x) > 0 ∀ x ∈ E. u Definiciń 91 Una forma bilineal sim´trica φ se llama semidefinida no neo e gativa si ψ(x) = φ(x.2. . 98 Ejemplos CAP´ ITULO 2. TRANSFORMACIONES LINEALES 1) La forma bilineal ψ(x1 , x2 ) = 2x2 − 12x1 x2 + 5x2 se escribe en forma 1 2 diagonal como 2 2 ψ(x1 , x2 ) = 2y1 − 13y2 ; luego P = 1 y N = 1. Por lo tanto, S = 0. 2) La forma bilineal ψ(x1 , x2 , x3 ) = 2x2 − 8x1 x2 + x2 − 16x1 x3 + 14x2 x3 + 5x2 1 2 3 se escribe en forma diagonal como 2 2 ψ(x1 , x2 , x3 ) = 2z1 − 7z2 − ( 81 2 + 27)z3 7 luego P = 1 y N = 2. As´ S = −1. ı, 3) Hallar una transformaciń de coordenadas que diagonalice la forma cuadr´tica o a ψ(x1 , x2 ) = 2x2 − 4x1 x2 + 5x2 . 1 2 La matriz sim´trica que representa a ψ es A = e M´todo 1. Hacemos la sustituciń e o 1 x1 = y1 − (−2y2 ) = y1 + y2 2 x2 = y2 . Luego: 2 ψ(x1 , x2 ) = 2(y1 + y2 )2 − 4(y1 + y2 )y2 + 5y2 2 2 2 2 = 2[y1 + 2y1 y2 + y2 ] − 4y1 y2 − 4y2 + 5y2 2 2 2 = 2y1 + 4y1 y2 + 2y2 − 4y1 y2 − y2 2 2 = 2y1 + y2 . 2 −2 −2 5 . As´ P = 2 y luego, S = 2. ı, ´ 2.4. EJERCICIOS DE RECAPITULACION M´todo 2. Buscamos los valores propios de la matriz A : e p(λ) = det(λI − A) = det = (λ − 2)(λ − 5) − 4 = λ2 − 7λ + 6 = (λ − 6)(λ − 1). λ−2 2 2 λ−5 99 Los valores propios son λ = 6 y λ = 1. Como son diferentes, se tiene que 6 0 existe P invertible tal que P −1 AP = . M´s precisamente: a 0 1 2 2 ψ(z1 , z2 ) = 6z1 + z2 . De esta manera, S = 2. N´tese que el cambio de coordenadas con respecto al m´todo 1 es diferente. o e 2.4 Ejercicios de Recapitulaciń o 1. Sea E un espacio vectorial con producto interno , . Recuerde que L(E; E) = {f : E → E : f es lineal } y B(E × E) = {b : E × E → R : b es bilineal }. Sea ρ : L(E; E) → B(E × E) definida como ρ(φ)(x, y) = φ(x), y . a) Demuestre que ρ es lineal. b) Demuestre que ρ es inyectiva. c) Demuestre que ρ es sobreyectiva. o 2. Sea φ : E → E una transformaciń lineal autoadjunta. Sean λ1 , λ2 valores propios de φ. Suponga que λ1 = λ2 . Demuestre que E(λ1 )⊥E(λ2 ). 100 CAP´ ITULO 2. TRANSFORMACIONES LINEALES 3. Sea π una proyecciń ortogonal definida en un espacio con producto o interno (E, , ). Demuestre que E = Kerπ ⊕ Imπ. o o 4. Sea ϕ : R3 → R3 una transformaciń lineal cuya representaciń matricial es R , con        R =  −sen(135◦ ) cos(135◦ ) 0   0 1 0    ◦ ◦ 0 0 1 −sen(30 ) 0 cos(30 ) Demuestre que ϕ es una rotaciń. Interprete esta rotaciń geom´tricamente. o o e 1 5. Sea π : R2 → R2 definida por φ(x, y) = ( √2 x − 1 1 √ y, √ x 2 2 cos(135◦ ) sen(135◦ ) 0 cos(30◦ ) 0 sen(30◦ ) + 1 √ y). 2 Demuestre que φ es una rotaciń. o 6. Sean E un espacio vectorial de dimensiń finita y ϕ : E → E una o transformaciń lineal. o (a) Demuestre que (Ker(ϕ∗ ))⊥ = Im(ϕ) . Concluya que E = Im(ϕ) Ker(ϕ∗ ). (b) Si ϕ es normal entonces Ker(ϕ) = Ker(ϕ∗ ) . Concluya que E = Im(ϕ) Ker(ϕ). (c) Si ϕ es normal y v es un vector tal que ϕ2 (v) = 0 entonces ϕ(v) = 0 . 7. Sea φ : E → E una transformaciń lineal definida en un espacio E o con producto interno. (a) Suponga que φ es normal. Demuestre que φ − λI es tambiń e normal. y) = (x + 2y. EJERCICIOS DE RECAPITULACION (b) Demuestre que (kerφ∗ ) = (Imφ)⊥ . p(λ). Hallar T ∗ . 101 8. ¿ Es T normal ? ¿ Es o T autoadjunta ? 11. Sea E = C con el producto interno z. w = Rez w . Demuestre que el polinomio caracter´ ıstico. Sea ϕ : E −→ E. o 14. Sea E espacio vectorial de dimensiń n sobre R. Sea T : R2 → R2 definida por T (x. o ¯ 9. (b) Demuestre que (Mz )∗ = Mz . T (e2 ) = (i. Sea T : C2 → C2 definida por T (e1 ) = (1+i.4. 2) . (ii) ϕ = ψ 2 . para algń ψ : E −→ E autoadjunto. Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) ϕ es autoadjunta y ϕ(x). de una transformaciń lineal antisim´trica o e . ¯ (c) Para qu´ n´meros complejos z es Mz autoadjunto? e u (d) Para cuales z es Mz una rotaciń? o (e) Para cuales z es Mz antisim´trica? e 10. u 12. Sea φ : R2 → R2 una transformaciń normal. dim E = n. donde {e1 . i) . x ≥ 0 ∀ x ∈ E. demuestre que T = R + iS o donde S y R son autoadjuntas.´ 2. Calcule T . Sea T : E → E una transformaciń lineal. 13. 2x − y). (c) Demuestre que Imφ∗ ⊆ (kerφ)⊥ . Sea z ∈ C y Mz : C → C definido por Mz (w) = zw (a) Verifique que Mz es lineal. Demuestre que existe o λ > 0 y una rotaciń ψ tal que φ = λψ . e2 } es la base canńica de C2 . Sea E espacio vectorial con producto interno. 2). 2). o (a) Demuestre que x + iφ(x) = x − iφ(x) para cada x ∈ E. 16. o 18. TRANSFORMACIONES LINEALES satisface la ecuaciń: o p(−λ) = (−1)n p(λ). (c) Demuestre que cada vector propio de ϕ es un vector propio de ϕ∗ . Sea E espacio vectorial sobre C. T (e2 ) = (i.102 CAP´ ITULO 2. Sea φ : E → E . (b) Demuestre que x + iφ(x) = y + iφ(y) si y s´lo si x = y . o (a) Sea x ∈ E. e2 } es la base canńica de C2 . 15. Sea T : C2 → C2 definida por T (e1 ) = (1 + i. o 19. Sea T : C2 → C2 definida por T (e1 ) = (1. Demuestre que ϕ(x) = 0 si y s´lo si ϕ∗ (x) = 0 . T (e2 ) = (i. (b) Demuestre que ϕ − λI es normal (λ ∈ C). Hallar T ∗ (x. (d) Demuestre que −1 no es valor propio de I − iφ . . Sea ϕ : E −→ E normal. Suponga que E es un espacio vectorial con producto interno s´lo si T (x) = T ∗ (x) para cada x ∈ E . ¿Es T normal ? 20. donde {e1 . o (c) Demuestre que −1 no es valor propio de I + iφ . Demuestre que φ es autoadjunta si y s´lo si φ es normal. Demuestre que una transformaciń lineal T : E → E es normal si y o . o 17. Suponga que φ2 = φ . Sea φ : E → E una transformaciń lineal autoadjunta. con producto interno. y) . Hallar T ∗ . Sea E un espacio vectorial sobre C con producto interno. i). . −1) . ⊥ (b) Suponga que J = J ∩ E1 ⊕ J ∩ E1 . Demuestre que J es estable bajo π . 25. (0. 24. Demuestre que ⊥ J = J ∩ E1 ⊕ J ∩ E1 .4. 0). Sea E un espacio vectorial con producto interno . (a) Suponga que U es una rotaciń con respecto a ρ . Entonces ρ(x. EJERCICIOS DE RECAPITULACION (e) Demuestre que ψ := (I − iφ)(I + iφ)−1 es una rotaciń. 1. o (a) Suponga que J es estable bajo π (esto es. 0. 0. Demuestre que P ◦ Q = 0 si y s´lo si o ImP ⊥ImQ . Sea E espacio vectorial con producto interno. 0)}. . y) := T (x). Sea E un espacio vectorial con producto interno. Demuestre que U es una rotaciń con respecto a ρ . Sea U : E → E un operador lineal y U ∗ : E → E su adjunto con respecto a . y es tambiń o e un producto interno en E . Demuestre o que T = U ∗ T U . Sea T : E → E una transformaciń lineal. o 103 21.´ 2. 0. o . o (b) Suponga que T = U ∗ T U . π(J) ⊆ J). o 23. Sea E = R4 y E1 = subespacio generado por {(1. Sean P . Sea π : E −→ E1 una proyecciń ortogonal y J ⊆ E un subespacio. . Q : E → E proyecciones ortogonales. Encuentre P : E → E proyecciń ortogonal tal que ImP = E1 . Si π : E → Imπ es una proyecciń. 22. demuestre que I − π es una o proyecciń sobre (Imπ)⊥ . w) = (z + iw. a 31. (x2 . y1 ). TRANSFORMACIONES LINEALES 26. x2 . (d) Demuestre que. x3 ) = x1 x2 + x2 x3 . Demuestre que una funciń bilineal sim´trica b : E ×E → R es definida positiva si y s´lo si el operador lineal autoadjunto T asociado a b tiene o s´lo valores propios positivos. Sea Q : R2 → R2 definida por Q(x. e o 29. o e 28. o e 32. y2 )) = x1 x2 + ay1 x2 + y1 y2 . y) = −φ(y. x) ∀ x. e e 30. Demuestre que b = ±c . Sea T : C2 → C2 definida por T (z. (a) Hallar T ∗ . Suponga que Q es una rotaciń. y ∈ E. x) = 0 ∀ x ∈ E . Mostrar que cualquier forma bilineal φ : E × E −→ R es la suma de una forma bilineal sim´trica y una forma bilineal antisim´trica. (b) Demuestre que T ∗ T = T T ∗ = 2I. o 27. Hallar la matriz autoadjunta y la signatura que corresponden a la forma cuadr´tica: ψ(x1 . Demuestre que φ es antisim´trica si y s´lo si φ(x. z − iw). Demuestre que b es definida positiva si |a| < 2 . cx + dy).104 CAP´ ITULO 2. un operador lineal T es normal si y s´lo si T1 T2 = T2 T1 . (c) Encuentre explicitamente T1 y T2 operadores autoadjuntos tales que T = T1 + iT2 . en general. y) = (ax + by. o . Una forma bilineal φ : E × E −→ R se dice antisim´trica si φ(x. Sea a ∈ R y sea b : R2 → R2 la funciń bilineal sim´trica definida o e como b((x1 . 4. Hallar la matriz sim´trica que corresponde a cada una de las siguientes e formas cuadr´ticas. 34. y) = a 2x2 − 12xy + 5y 2 . 36. (c) ψ(x. Hallar la signatura de la funciń bilineal sim´trica asociada a la forma o e cuadr´tica definida por medio de la matriz a   0 1 1   A =  1 −2 2  . z) = 3x2 + 4xy − y 2 + 8xz − 6yz + z 2 . y. y) = 4x2 − 6xy − 7y 2 . R2 ) tal que ρ(T ) = b. Sea b(x. (b) ψ(x. Encuentre la signatura de la forma cuadr´tica definida por T (x. x2 . 35.´ 2. o 38. donde ρ es el isomorfismo entre L(R2 . Hallar la matriz sim´trica y la signatura perteneciente a la forma e cuadr´tica ψ(x1 . y) = xy + y 2 . Demuestre que φ es definida positiva si 2 1 y s´lo si a > 0 y b2 − 4ac < 0 . Sea φ la forma bilineal sim´trica asociada con la forma cuadr´tica e a ψ(x1 .   1 2 −1 Idea: Aplicar el cambio de variables x1 = y 1 + y 3 x2 = y 2 x3 = y1 − y3 . EJERCICIOS DE RECAPITULACION 105 33. y) = 5x2 + 6xy + 4y 2 . a (a) ψ(x. 37. y. a . z) = x2 − 2yz + xz. x3 ) = x1 x2 + x2 x3 . (d) ψ(x. Encuentre T ∈ L(R2 . R2 ) y B(R2 × R2 ) . x2 ) = ax2 + bx1 x2 + cx2 . λ ∈ R ´ C. Entonces ϕ(E × F ) no es necesariamente un subespacio de G. o o o Sea ϕ(E × F ) := {z ∈ G / z = ϕ(x. y1 . λ ∈ R ´ C o . x2 ∈ E. Adem´s. y1 ) + ϕ(x. y) = ϕ1 (x. G) := {ϕ : E × F −→ G / ϕ es transformaciń bilineal }. F . denotamos a B(E. λy1 + y2 ) = λϕ(x. y) + ϕ(x2 . o Observaciń: Si G = R ´ C. ϕ se llama una funciń bilineal. y ∈ F . Por lo tanto denotamos: im ϕ = ϕ(E × F ) ≡ subespacio generado por ϕ(E × F ). y2 ∈ F. y) . Una transformaciń o ϕ : E × F −→ G se llama bilineal si satisface las siguientes condiciones: ϕ(λx1 + x2 . y2 ) . y) 106 . y) ϕ(x. F y G tres espacios vectoriales.1 Transformaciones multilineales o Definiciń 92 Sean E. x1 . y) + ϕ2 (x.Cap´ ıtulo 3 Producto tensorial 3. x ∈ E. y ∈ F }. o Si definimos (ϕ1 + ϕ2 )(x. y) = λϕ(x1 . x ∈ E. y ∈ F . x ∈ E . G) es un espacio vectorial. G) ≡ B(E × F ) es el espacio de o o todas las funciones bilineales de E × F en R ´ C. Observaciń: Si G = R ´ C. o 107 Entonces B(E. ⊗2 : Si ψ : E ×F −→ H es una transformaciń bilineal de E ×F en cualquier o espacio vectorial H. ϕ) se llama un producto tensorial o para E y F si se satisfacen las condiciones siguientes: ⊗1 : im ϕ = G. F . ⊗2 dice que el diagrama: o E × F −→ H ϕ ψ ↓ G puede siempre completarse a un diagrama conmutativo: E × F −→ H ϕ ψ ↓ G f . F . TRANSFORMACIONES MULTILINEALES (λϕ)(x. o Definiciń 93 Sean E. entonces existe una unica transformaciń lineal f : G −→ H tal ´ o que ψ = f ◦ ϕ (propiedad de factorizaciń unica). o Observaciń: En forma de diagrama. El par (G. B(E. y ∈ F. entonces existe una transformaciń lineal f : G −→ H o tal que ψ = f ◦ ϕ (Propiedad de factorizaciń).1. o ´ . λ ∈ R ´ C. y) = λϕ(x. y) . F y G espacios vectoriales y sea ϕ : E × F −→ G o una transformaciń bilineal. x ∈ E. Proposiciń 94 Las condiciones ⊗1 y ⊗2 son equivalentes a la condiciń : o o ⊗: Si ψ : E × F −→ H es una transformaciń bilineal en cualquier espacio o vectorial H.3. y) (esto es. donde xi ∈ E. yi ). esto es. tomamos H = im ϕ) E × F −→ im ϕ ϕ ϕ∗ ↓ G f . Por hip´tesis existe f : G −→ im ϕ tal que f ◦ ϕ = ϕ∗ . PRODUCTO TENSORIAL (i) Sea ψ : E × F −→ H y supongamos que existen dos transformaciones lineales f1 : G −→ H y f2 : G −→ H tales que ψ = f1 ◦ ϕ Entonces (f1 − f2 ) ◦ ϕ = 0. yi ) y ψ = f2 ◦ ϕ. j(x) = x ∀ x. yi ) − λi ψ(xi . Entonces j ◦ ϕ∗ = ϕ.e. (f1 − f2 )(x) = = = 0. Adem´s. En efecto: Sea x ∈ G. Por ⊗1 . λi ψ(xi . yi ) (ii) Supongamos que el par (G. Debemos probar ⊗1 . y) = ϕ(x. o CAP´ ITULO 3.108 Demostraciń. x ∈ ϕ(E × F ) . x = λi ϕ(xi . pues im ϕ es un o o subespacio de G). yi ∈ F . Lo cual implica que f1 = f2 . o Sea j : im ϕ −→ G la inclusiń canńica (i. . a (j ◦ f ) ◦ ϕ = j ◦ (f ◦ ϕ) = j ◦ ϕ∗ = ϕ. yi ) − λi (f2 ◦ ϕ)(xi . En efecto: se define la aplicaciń bilineal ϕ∗ : E ×F −→ o im ϕ por ϕ∗ (x. ϕ) satisface ⊗. Entonces ⊗2 se cumple. Luego: λi (f1 ◦ ϕ)(xi . Luego. x).3. la bilinealidad se expresa en la siguiente forma: (λx1 + x2 ) ⊗ y = λx1 ⊗ y + x2 ⊗ y x ⊗ (λy1 + y2 ) = λx ⊗ y1 + x ⊗ y2 Ejemplos 1) Sea E u e. por otra parte. y ∈ F . o ↓ f . x) = ψ(λ. Entonces el par (E. y1 . y2 ∈ F. i ◦ ϕ = ϕ. Veamos ⊗2 : Sea ψ : R × E −→ H bilineal y definamos f : E −→ H como f (x) := ψ(1. esto es. x ∈ E. por unicidad. ϕ) es un producto tensorial para E y F . luego. im ϕ = G. donde i : G −→ G es la identidad (i. x1 . i(x) = x ∀ x). x2 ∈ E. y) como x ⊗ y. Luego. se debe tener: j ◦ f = i.1. Notaciń: Si el par (G. f ◦ ⊗ = ψ. sobre R y se define una transformaciń bilineal ⊗ : R×E −→ o E como λ ⊗ x = λx. Por lo tanto. ⊗) es un producto tensorial de R y E. x) y tal que R × E −→ H ⊗ ψ . Esto prueba ⊗2 . En efecto: Veamos ⊗1 : ⊗(R ⊗ E) = R · E = E. λ ∈ R ´ C. TRANSFORMACIONES MULTILINEALES 109 Pero.e. . Esto implica que j : im ϕ −→ G es sobreyectiva (En efecto: Si z ∈ G entonces existe f (z) en im ϕ tal que j(f (z)) = i(z) = z). es claro que im ⊗ = E. λx) = λψ(1. E Entonces f (λ ⊗ x) = f (λx) = ψ(1.v. escribimos o G como E ⊗ F y ϕ(x. . (1. . α2m . α22 . . 0. . PRODUCTO TENSORIAL Concluimos que el par (E. . . (0. . n×m Probaremos que (Mn×m (R).  . . .110 CAP´ ITULO 3. . . 2) Sea β : Rn × Rm −→ Mn×m (R) definida por x1 y 1 · · ·  .  . Sea A ∈ Mn×m (R) tal :  α11 α12 · · · α1m    α21 α22 · · · α2m    que A =  . . . .   . . . .  . 0 αnm               + ··· +      o sea: Dado A ∈ Mn×m (R). existen xi ∈ Rn . (0. 1))    α11 0 · · · 0 0 α12 0 · · ·     α21 0 · · · 0   0 α22 0 · · ·    =  . . . αn1 · · · αnm   0 ··· 0 ··· . 0. xn y 1 · · ·   x1 ym . . (y1 . . . . αn1 αn2 · · · αnm β((α11 . . En efecto Veamos ⊗1 : β(Rn × Rm ) = Mn×m (R). . Esto es: R ⊗ E = E. αn1 0 · · · 0 0 αn2 0 · · ·   α11 · · · α1m  .)) + β((α12 . β) es un producto tensorial para Rn y Rm (luego. .  entonces . α21 . . + . 0 ··· 0 α1m 0 α2m . 0. . 0. . . ⊗) es un producto tensorial de R y E. . . . . .   .)) + · · · + β((α1m . .  . . yi ∈ Rm tales que A= β(xi .  =  . .   . αn1 ). . . En particular Γ ⊗ Γ = Γ con λ ⊗ µ = µ. .  . . Rn ⊗ Rm = Mn×m (R)).   . β((x1 . .  . αn2 ). . . 1. xn ). . . . . yi ). ym )) =  . . . .   . . αnm ). . .  xn y m . . . Rn × Rm β ψ 111 −→ H f ↓ . 1). 0). d1 ))+ψ((0. b2 )) + ψ((0. TRANSFORMACIONES MULTILINEALES Por lo tanto A ∈ β(Rn × Rm ) . d1 ))]+[ψ((1. b2 ))+λψ((0. (a2 . 1). d2 )) = λψ((1.1. b2 ))+ψ((0. Mn×m (R) Por ejemplo: con n = m = 2. 1). (c. d2 ))] = λf a1 b1 c1 d1 +f a2 b2 c2 d2 Finalmente. (a1 . definamos: f a b c d = ψ((1. (c1 . (a2 . 1). 1). b1 ))+ψ((0. b)) + ψ((0. 0). (c1 . 1). (λa1 + a2 . Veamos ahora ⊗2 : Sea ψ : Rn × Rm −→ H bilineal. (c2 . b1 ) + (a2 . 0). (a. d)). . 0). (a1 . Entonces f lineal: f λ a1 b1 c1 d 1 + a 2 b2 c2 d2 =f λa1 + a2 λb1 + b2 λc1 + c2 λd1 + d2 = ψ((1. b1 ))+ψ((1. d1 ) + (c2 . 0). λb1 + b2 )) + ψ((0. 1). λ(a1 . (c2 . λ(c1 . 0). λd1 + d2 )) = ψ((1.3. d2 )) = λ[ψ((1. 0). (λc1 + c2 . 0). (y1 . 1). x2 ). 0) + (0. f ◦ β = ψ. y2 )) + ψ((0. PRODUCTO TENSORIAL x1 y1 x1 y2 x2 y1 x2 y2 (f ◦ β)((x1 .112 CAP´ ITULO 3. y) = o f (x)g(y). x2 ).1 Propiedades del producto tensorial 1. x2 ). 0). 1). (y1 . 0). 0). x1 (y1 . (y1 . y2 )) = ψ((x1 . y2 )) = ψ((x1 . (y1 . . (y1 . y2 )) = x1 ψ((1. y2 )) + ψ((0. y2 )) + ψ(x2 (0. (y1 . La generalizaciń se deja como ejercicio. y2 )) = ψ(x1 (1. (y1 . (y1 . 0). (x1 y1 . Demostraciń.a ⊗ b = 0 si a = 0 y b = 0. y2 )) = ψ((x1 . Luego.. (y1 . E × F −→ R ⊗↓ E⊗F h p . x2 (y1 . x1 y2 )) + ψ((0. 1). y2 )) + x2 ψ((0. Consideremos ahora la funciń bilineal p : E ×F −→ R definida por p(x. Si a = 0 y b = 0. (x2 y1 .1. y2 )). a es no degenerada). existen f : E −→ R lineal y g : F −→ R o lineal respectivamente tales que f (a) = 0 y g(b) = 0 (sino: f (a) = 0 ∀ f ∈ E ∗ entonces a = 0 pues la forma bilineal f. x2 ). y2 )) = f = ψ((1. 1). o 3. x2 y2 )) = ψ((1. TRANSFORMACIONES MULTILINEALES 113 En vista de ⊗2 .I.Sean {aj }r ⊆ E y {bj }r un subconjunto de vectores L. h(x ⊗ y) = f (x)g(y) para cada (x. z = 0. Sea z ∈ E ⊗ F entonces z = r λi wi ⊗ yi = r xi ⊗ yi o i=1 i=1 ´ donde xi ≡ λi wi ∀ i y r es el minimo de manera que la descomposiciń o anterior se cumple. 2. y) ∈ E × F . a ⊗ b = 0.. Supongamos que {xi }r son L.3. existe una funciń lineal h : E ⊗ F −→ R tal que h ◦ ⊗ = p o esto es. entonces z = L. .Sea z ∈ E ⊗ F . Por lo tanto. r. entonces.I. . . Si r = 1 entonces x1 = 0 y y1 = 0 (por la Propiedad 1). . e i=1 r−1 r i=1 xi ⊗ yi donde {xi } y {yi } son xr = i=1 λ i xi luego. sin p´rdida de generalidad. cada uno. i=1 3. Luego: h(a ⊗ b) = f (a)g(b) = 0. en consecuencia {x1 } y {y1 } son dos conjuntos de vectores L.1.I. Enj=1 j=1 tonces la ecuaciń o r j=1 aj ⊗ bj = 0 implica que aj = 0 ∀ j = 1. r−1 r−1 r−1 z = i=1 r−1 xi ⊗ yi + xr ⊗ yr = i=1 r−1 xi ⊗ y i + ( i=1 λi xi ) ⊗ yr = i=1 r−1 xi ⊗ yi + i=1 λi (xi ⊗ yr ) = i=1 r−1 xi ⊗ (yi + λi yr ) xi ⊗ yi i=1 = lo cual contradice la minimalidad de r. de F ..D. En la misma forma se puede mostrar que los vectores {yi }r son L.I. Demostraciń. . Esto prueba la propiedad. E × F −→ R ⊗↓ E⊗F Por ⊗2 . y) = i h .g. . Ya que {bj } es un conjunto L. ) Consideremos ahora la funciń bilineal o F (x. de vectores en F . br } Sea g1 : F −→ R tal que g1 (x) = 0 . existe h : E ⊗ F −→ R lineal tal que: h(x ⊗ y) = F (x. . . . . . . . otro caso entonces g1 (b1 ) = 1 y g1 (bj ) = 0 ∀ j = 2. . x ∈ {b1 . . y) = i fi (x)gi (y) donde fi : E −→ R son funciones lineales (cualesquiera) en E. . PRODUCTO TENSORIAL Demostraciń.: g : {b1 .114 CAP´ ITULO 3. fi (x)gi (y) luego. . r. r h( j=1 aj ⊗ bj ) = j h(aj ⊗ bj ) fi (aj )gi (bj ) j r i = = i=1 fi (ai ). se pueden o definir g1 . . . Luego: i=1 g1 (x) . . . br } −→ R tal que g1 (x) = g1 ( r λi bi ) = λ1 .I. gr : F −→ R funciones lineales tales que: gi (bj ) = δij (e. . esto da: fk (ak ) = 0. . Ejercicio. Ya que ϕ2 es bilineal.3. y) =: y ⊗ x.. fi (ai ) = 0. Corolario 95 Si E y F tienen dimensiń 1. . Luego. Esto es: f (x ⊗ y) = y ⊗ x. esto es: g(y ⊗ x) = x ⊗ y. elegimos fi ≡ 0 para cada i = k (por cada k = 1. . . = Demostraciń.1. . r). Demostraciń. . existe f : E ⊗ F −→ F ⊗ E lineal tal que f ◦ ϕ1 = ϕ2 . o ϕ1 E × F −→ F ⊗ E ↓ f ϕ2 E⊗F esto es: ϕ1 (x.E ⊗ F ∼ F ⊗ E (conmutatividad del producto tensorial). entonces E ⊗F tiene dimensiń o o 1. debemos demostrar que ϕ1 = ϕ2 . De la misma forma ϕ2 E × F −→ E ⊗ F ↓ g ϕ1 F ⊗E existe g : F ⊗ E −→ E ⊗ F tal que g ◦ ϕ2 = ϕ1 . . . . y) =: x ⊗ y y ϕ2 (x. Como fn sigue siendo arbitrario. r fijo). o 4. por lo tanto. Como los fi son cualesquiera. se tiene que ak = 0 (k = 1. TRANSFORMACIONES MULTILINEALES Ahora. por hip´tesis: o r j=1 115 r i=1 aj ⊗ bj = 0. Entonces E ⊗ F ∼ F ⊗ E. = Demostraciń. PRODUCTO TENSORIAL g ◦ f ◦ ϕ1 = g ◦ ϕ2 = ϕ1 esto es: g ◦ f ◦ ϕ1 = ϕ1 o equivalentemente: (g ◦ f )(x ⊗ y) = (x ⊗ y) (1) y f ◦ g ◦ ϕ2 = f ◦ ϕ1 = ϕ2 y f ◦ g ◦ ϕ2 = ϕ2 y (f ◦ g)(y ⊗ x) = (y ⊗ x). o ϕ1 E × F −→ E ⊗F ↓ f ϕ2 E⊗F .Unicidad del producto tensorial.116 Entonces: CAP´ ITULO 3. An´logamente: f ◦ g = I. Como im ϕ1 = E ⊗ F se tiene que g ◦ f = I. En efecto: Sea v ∈ E ⊗ F .. luego: (g ◦ f )(v) = (g ◦ f )( = = = v. Entonces v = λi xi ⊗ yi . Supongamos que E ⊗F y E ⊗F son productos tensoriales de E y F . Por a o lo tanto. E ⊗ F ∼ F ⊗ E. = λ i xi ⊗ y i ) λi (g ◦ f )(xi ⊗ yi ) λi (xi ⊗ yi ) de (1) 5. Esto prueba que f (´ g) es 1-1 y sobreyectiva. Sea z ∈ G fijo. λy1 + y2 ) = x ⊗ (λy1 + y2 ⊗ z) = x ⊗ [λy1 ⊗ z + y2 ⊗ z] = x ⊗ (λy1 ⊗ z) + x ⊗ (y2 ⊗ z) = λx ⊗ (y1 ⊗ z) + x ⊗ (y2 ⊗ z) = λβz (x. y) = x ⊗ (y ⊗ z). de donde sigue el resultado. An´logamente: a E × F −→ E ⊗ F ϕ2 ϕ1 ↓ g E ⊗F existe g : E ⊗F −→ E ⊗F tal que g ◦ϕ2 = ϕ1 . y) βz (x. Combinando ambas relaciones se obtiene: (g ◦ f )(x ⊗ y) = x ⊗ y y (f ◦ g)(x⊗y) = x⊗y. = Demostraciń. y) = x⊗y. y1 ) + βz (x. TRANSFORMACIONES MULTILINEALES luego.1. ϕ1 (x. y2 ) . Es claro que βz es bilineal: En efecto. y) = (λx1 + x2 ) ⊗ (y ⊗ z) = λx1 ⊗ (y ⊗ z) + x2 ⊗ (y ⊗ z) = λβz (x1 . la propiedad de factorizaciń implica que existe f : o E ⊗ F −→ E ⊗F lineal tal que: f ◦ ϕ1 = ϕ2 . Definamos βz : E × F → E ⊗ (F ⊗ G) por o βz (x.. βz (λx1 + x2 . Nuevamente.Asociatividad del producto tensorial: (E ⊗ F ) ⊗ G ∼ E ⊗ (F ⊗ G).3. 6. y) = x ⊗ y y ϕ2 (x. como im ϕ1 = E ⊗ F y im ϕ2 = E ⊗F se obtiene que f ◦ g = i y g ◦ f = i. y) + βz (x2 . 117 Ya que ϕ2 es bilineal. 118 CAP´ ITULO 3. existe una unica transformaciń lineal g : (E ⊗F )⊗G → E ⊗(F ⊗G) ´ o tal que g ◦ ⊗ = ψ. z) + ψ(x2 ⊗ y2 . esto es: hz (x ⊗ y) = βz (x. z) Adem´s. esto es: g((x ⊗ y) ⊗ z) = ψ(x ⊗ y. Sea ψ : (E ⊗ F ) × G → E ⊗ (F ⊗ G) definida por: ψ(x ⊗ y. As´ el siguiente diagrama es conmutativo: ı. y) = x ⊗ (y ⊗ z) ∀ x ∈ E. hλz1 +z2 = λhz1 + hz2 de donde sigue la linealidad en a la segunda componente (Ejercicio). existe una unica transformaciń lineal hz : E ⊗ F → E ⊗ (F ⊗ G) ´ o tal que hz ◦ ⊗ = βz . z) = hz (λ(x1 ⊗ y1 ) + (x2 ⊗ y2 )) = λhz (x1 ⊗ y1 ) + hz (x2 ⊗ y2 ) = λψ(x1 ⊗ y1 . y ∈ F. Entonces ψ es bilineal: En efecto. z) = hz (x ⊗ y). el siguiente diagrama es conmutativo: o E × F −→ E ⊗ (F ⊗ G) ⊗ βz ↓ hz E⊗F esto es. (E ⊗ F ) × G −→ E ⊗ (F ⊗ G) ⊗ ψ ↓ g (E ⊗ F ) ⊗ G esto es. z) = hz (x ⊗ y) = x ⊗ (y ⊗ z) (3. ψ(λ(x1 ⊗ y1 ) + (x2 ⊗ y2 ).1) . PRODUCTO TENSORIAL Por definiciń de producto tensorial. por unicidad. 3.1. TRANSFORMACIONES MULTILINEALES 119 Sea ahora x ∈ E fijo. Definamos αx : F × G → (E ⊗ F ) ⊗ G por αx (y, z) = (x ⊗ y) ⊗ z. Claramente αx es bilineal. El siguiente diagrama es ahora conmutativo: ⊗ x F × G −→ (E ⊗ F ) ⊗ G α ↓ bx h F ⊗G esto es, existe una transformaciń lineal hx : F ⊗ G → (E ⊗ F ) ⊗ G tal que o hx ◦ ⊗ = αx esto es: hx (y ⊗ z) = αx (y, z) = (x ⊗ y) ⊗ z. Sea ψ : E × (F ⊗ G) → (E ⊗ F ) ⊗ G definida por ψ(x, y ⊗ z) = αx (y ⊗ z). Entonces ψ es bilineal y el siguiente diagrama es conmutativo: E × (F ⊗ G) −→ (E ⊗ F ) ⊗ G ⊗ b ψ ↓ g b E ⊗ (F ⊗ G) esto es, existe una unica g : E ⊗ (F ⊗ G) → (E ⊗ F ) ⊗ G tal que: g ◦ ⊗ = ψ, ´ esto es: g(x ⊗ (y ⊗ z)) = ψ(x, y ⊗ z) = (x ⊗ y) ⊗ z. Luego, de (3.1) y (3.2) : (g ◦ g)(x ⊗ (y ⊗ z)) = g((x ⊗ y) ⊗ z) = x ⊗ (y ⊗ z) y (g ◦ g)((x ⊗ y) ⊗ z) = g(x ⊗ (y ⊗ z)) = (x ⊗ y) ⊗ z. Por lo tanto, g ◦ g = id y g ◦ g = id, luego g es un isomorfismo y, por lo tanto, (E ⊗ F ) ⊗ G ∼ E ⊗ (F ⊗ G). = (3.2) 120 CAP´ ITULO 3. PRODUCTO TENSORIAL Teorema 96 (Reducciń de transformaciones bilineales a lineales). o Sean E y F e.v. y E ⊗ F un producto tensorial. Entonces L(E ⊗ F ; G) ∼ B(E, F ; G) = para cada espacio vectorial G. Demostraciń. Se define φ : L(E ⊗ F ; G) −→ B(E, F ; G) como: o φ(f ) := f ◦ ⊗ ∀ f ∈ L(E ⊗ F ; G) i.e. φ(f ) : E × F −→ G tal que φ(f )(x, y) = f (x ⊗ y). Claramente φ es lineal: φ(λf1 + f2 )(x, y) = (λf1 + f2 )(x ⊗ y) = λf1 (x ⊗ y) + f2 (x ⊗ y) = λφ(f1 )(x, y) + φ(f2 )(x, y) = (λφ(f1 ) + φ(f2 ))(x, y). i) φ es sobreyectiva. Sea b ∈ B(E, F ; G), entonces b : E × F −→ G es bilineal. Luego, por ⊗2 , existe f : E ⊗ F −→ G tal que es lineal y f ◦ ⊗ = b, esto es, φ(f ) = b. ii) φ es inyectiva. Como φ es lineal basta ver que φ(f ) = 0 implica f = 0. En efecto: Sea φ(f ) = 0, entonces (f ◦ ⊗)(x, y) = 0 ∀ x ∈ E, y ∈ F , esto es: f (x ⊗ y) = 0 ∀x ∈ E, y ∈ F . Sea z ∈ E ⊗ F . Entonces z = f (z) = f (xi ⊗ yi ) = 0. Por lo tanto, f ≡ 0. xi ⊗ yi . Luego: 3.1. TRANSFORMACIONES MULTILINEALES 121 Ejercicios 1. Suponga que a ⊗ b = 0. Demuestre que a ⊗ b = a ⊗ b si y s´lo si o a = λa y b = λ−1 b; λ ∈ R, λ = 0. 2. Sea (G, ϕ) un producto tensorial de E y F . Sean E1 ≤ E, F1 ≤ F . Sea ϕ1 : E1 × F1 −→ G la restricciń de ϕ a E1 × F1 . Entonces (im ϕ1 , ϕ1 ) o es un producto tensorial para E1 y F1 . 3. Sean {ai } y {bi } bases de E y F respectivamente. Entonces {ai ⊗ bj } es una base de E ⊗ F . 4. Demuestre que dim B(E, F ; G) = dim E dim F dim G. o 5. Sean E1 y E2 subespacios de E. Sea F e.v. de dimensiń finita entonces (E1 ⊗ F ) ∩ (E2 ⊗ F ) = (E1 ∩ E2 ) ⊗ F. 6. Sea E = E1 ⊕ E2 y F = F1 ⊕ F2 . Entonces E ⊗ F = E1 ⊗ F1 ⊕ E1 ⊗ F2 ⊕ E2 ⊗ F1 ⊕ E2 ⊗ F2 . 3.1.2 Producto tensorial de transformaciones lineales Sean E, E , F , F cuatro espacios vectoriales. Consideremos dos transformaciones lineales : ϕ:E→E ; ψ:F →F . existe el producto tensorial E ⊗ F . Luego. Por definiciń.3 Transformaciones Multilineales Sea E un espacio vectorial y consideremos T k (E) := {f : E × · · · × E → R / F es multilineal } k−veces . 3. E⊗F Dados E y F . y) = ϕ(x) ⊗ ψ(y). sabemos o que dada cualquier funciń bilineal p : E × F → H. existe una unica f : E ⊗ F → H tal que f ◦ ⊗ = p (propiedad de ´ factorizaciń unica). existe una unica funciń lineal γ : E ⊗ F → ´ o E ⊗ F tal que γ(x ⊗ y) = p(x. H cualquier espacio o vectorial. y). Claramente p es bilineal. PRODUCTO TENSORIAL Queremos definir una transformaciń lineal o ϕ⊗ψ :E⊗F →E ⊗F para esto procedemos como ilustra el siguiente diagrama: E × F −→ H ⊗ p ↓ f .122 CAP´ ITULO 3. por definiciń: o (ϕ ⊗ ψ)(x ⊗ y) = ϕ(x) ⊗ ψ(y) y se llama el producto tensorial de las transformaciones lineales ϕ y ψ. Se define: γ ≡ ϕ ⊗ ψ. Luego. Escojamos o ´ p:E×F →E ⊗F definida por p(x.1. tal que (T ⊗ S)(x ⊗ y) = T (x)S(y).1. Aqu´ ⊗k = E ⊗ E ⊗ · · · ⊗ E . R). Recordemos el isomorfismo: T k (E) ∼ L(⊗k E. esto es. . M´s precisamente.3. . . . podemos definir una unica transformaciń o ´ o lineal T ⊗ S : ⊗k E ⊗ ⊗l E → R ⊗ R. . De acuerdo a la secciń anterior. Los elementos de T k (E) los llamaremos tensores de orden k. . R) = definido en la secciń anterior. o ı. Consideremos ahora dos transformaciones lineales: T : ⊗k E → R k−veces S : ⊗l E → R. . Ya que L(⊗k+l E. TRANSFORMACIONES MULTILINEALES 123 el conjunto de todas las funciones que son multilineales. . entonces la definiciń a o (T ⊗ S)(x1 . si T ∈ T k (E) y S ∈ T l (E). Notar que T (x) ⊗ T (y) = T (x)T (y) pues se trata del producto tensorial en R y R ⊗ R ∼ R. . y1 . . yl ) = T (x1 . = M´s precisamente. R) ∼ T k+l (E). xk )S(y1 . lo anterior se puede traducir en t´rminos e = de funciones multilineales. se puede definir un (ńico) producto de u funciones multilineales (o tensores de orden k). . a (T ⊗ S)(x1 ⊗ · · · ⊗ xk ⊗ y1 ⊗ · · · ⊗ yl ) = T (x1 ⊗ · · · ⊗ xk )S(y1 ⊗ · · · ⊗ yl ) donde T ⊗ S ∈ L(⊗k+l E. . . esto es: T ⊗ S : ⊗k+l E → R. yl ) (∗) produce una funciń T ⊗S ∈ T k+l (E) llamada el producto de tensores T y S . . . xk . . o . Problema: Definir un producto en T k (E) y estudiar este espacio. y1 . En efecto: Recordemos de la secciń 1. y1 . yl ) = S1 (x1 . PRODUCTO TENSORIAL 1. . . xk . Las partes (b). . . . . . . . xk )]T (y1 . . . se probar´ (a). . . . : E × E → R bilineal. . .1 que un producto interior en una funo ciń . (c) o o a y (d) quedan de ejercicio. . . . . yl ) = (S1 + S2 )(x1 . . . yl ) = [S1 (x1 . Una funciń determinante es un tensor. . yl ) = (S1 ⊗ T )(x1 . . . . yl ) + (S2 ⊗ T )(x1 . . . que es adem´s sim´trica y definida positiva. xk )T (y1 . y2 . . . . xk . . e 2. Usando la definiciń (∗). xk )T (y1 . . o a e Proposiciń 97 (Propiedades del producto de Tensores) o a) (S1 + S2 ) ⊗ T = S1 ⊗ T + S2 ⊗ T b) S ⊗ (T1 + T2 ) = S ⊗ T1 + S ⊗ T2 c) (aS) ⊗ T = S ⊗ (aT ) = a(S ⊗ T ) d) (S ⊗ T ) ⊗ U = S ⊗ (T ⊗ U ) Demostraciń. . . xk ) + S2 (x1 . yl ) Supongamos que E tiene dimensiń finita. . . xk . . . . . yl ) + S2 (x1 . . . . yl ) = [(S1 ⊗ T ) + (S2 ⊗ T )](x1 . . . . . basta recordar la definiciń de la secciń 1. . .124 Ejemplos de Tensores CAP´ ITULO 3. . El siguiente resultado nos dice o como es T k (E) internamente: . . . xk )T (y1 . y1 . . . . . x2 . y1 . [(S1 + S2 ) ⊗ T ](x1 . . . o En efecto. . .3: Es una funciń o o o ∆ : E × · · · × E → R multilineal y antisim´trica. . . . . . . Un producto interior es un tensor de orden 2. xk . . . . Entonces el conjunto de todos los productos tensoriales de k-factores: fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik . . jk = ik . Sea T ∈ T k (E). . . . . . . un elemento de T k (E). que verifica fi (ej ) = δij ). wk ) = fi1 (w1 ) · · · fik (wk ) . otro caso (∗) Veamos que el conjunto de vectores genera T k (E). ejk ) = fi1 (ej1 )fi2 (ej2 ) · · · fik (ejk ) = δi1 . ej2 . . . . la base de L(E. .j1 δi2 . . . por definiciń o o (fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik )(x1 . wk ∈ E. jk =1 akjk ejk ) (∗ ∗ ∗) = j1 . . . . . . Luego : n n T (w1 . . 1 ≤ i1 . . . . . . . fn } la base dual (esto es. . o Adem´s a (fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik )(ej1 . . .j2 · · · δik . . . Entonces T : E × · · · × E → R es multilineal. esto es. R). . ik ≤ n es una base de T k (E). j2 = i2 . . . wk ) = T ( j1 =1 n a1j1 ej1 . xk ) = fi1 (x1 )fi2 (x2 ) · · · fik (xk ) es una funciń k-lineal. que adem´s tiene dimensiń nk . . . en } base de E y sea {f1 .3. de (∗) y (∗∗) notemos que: (fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik )(w1 . . TRANSFORMACIONES MULTILINEALES 125 Teorema 98 Sea {e1 .1. . . Sean w1 . . . ejk ) Ahora. . . a o Demostraciń.jk = 1 0 si j1 = i1 .··· . entonces para cada wj : wi = j=1 n aij ej (∗∗). Es claro que.jk =1 a1j1 · · · akjk T (ej1 . . . .. .. . Supongamos que existen escalares ai1 ai2 · · · aik tales que n ai1 ai2 · · · aik (fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik ) = 0. . . As´ ı. . . (fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik )(w1 .ik =1 T (ei1 ... Esto prueba que el conjunto es L. i1 .I. . jk = ik . n CAP´ ITULO 3. aj2 . . . . Veamos ahora que el conjunto es L. .. . .. .I. j2 = i2 . . . eik )(fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik )(w1 . i1 . . .ik =1 Aplicando el vector de la base (ej1 . . wk ) luego . .126 donde. . Se deja como ejercicio para el lector probar que esta base tiene nk elementos. wk ) = i1 .... eik )(fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik )... wk ) = a1i1 a2i2 · · · akik . ejk ) se obtiene de (∗) que todos los elementos de la suma son cero excepto cuando j1 = i1 . esto es: aj1 . . . . . por ejemplo. ajk = 0. .ik =1 Esto prueba que el conjunto genera T k (E). .. . . por lo tanto insertando esto en (∗ ∗ ∗) se obtiene: n T (w1 . T = n T (ei1 . PRODUCTO TENSORIAL n fi1 (w1 ) = fi1 ( j=1 a1j ej ) = j=1 a1j fi1 (ej ) = a1i1 . . . . Alt(T ) = T o Alt ≡ Id. Este tensor es importante pues. . sino tambiń alternada. . Para k = 1 se tiene: Alt : T 1 (E) → T 1 (E) tal que Alt(T )(v) = T (v). A fin de tener una mejor visualizaciń del Teorema anterior. .1. esto es. .3. . A fin de estudiar de mejor manera esta parte de T k (E) se define la siguiente funciń: o Alt : T k (E) → T k (E) como Alt(T )(v1 . Consideremos el conjunto (de todos los e determinantes) Λk (E) = {f : E × E × · · · × E → R / f es multilineal y alternada }. .1. . (2) Si w ∈ Λk (E) entonces Alt(w) = w. u Teorema 99 (1) Si T ∈ T k (E) entonces Alt(T ) ∈ Λk (E). (3) Si T ∈ T k (E) entonces Alt(Alt(T )) = Alt(T ). Recordemos que. . . vk ) = 1 sgn σT (vσ(1) . vσ(k) ) k! σ∈S k donde sgn σ es +1 si la permutaciń σ es par y es −1 si es impar. un determinante no s´lo es una funciń o o o multilineal. TRANSFORMACIONES MULTILINEALES 127 3.4 Producto Exterior Consideremos el tensor ”determinante”∆ ∈ T k (E). Es claro que Λk (E) es un subespacio de T k (E). . consideremos el o caso k = 1 y k = 2. permite entre otros definir el producto cruz en espacios de dimensiń 3 y la nociń de orientaciń de un espacio de dimensiń o o o o finita. Sk o a es el conjunto de todas las permutaciones del conjunto de n´meros {1. . 2. como vimos. k}. Adem´s. por definiciń. v2 ) Veamos que adem´s es alternada: Alt(T )(v1 . . El caso general queda de ejercicio para el lector. v2 ) − T (v2 . v2 ) − T (v2 . Alt(T )(λv1 + w1 . 2 En lo que sigue probaremos el teorema en el caso k = 2. v2 ) − T (v2 . por (2): Alt(Alt(T )) = Alt(w) = w = Alt(T ). v2 ) = −Alt(T )(v2 . v2 )] pues w es alternada ssi w(v1 . v2 ) − T (v2 . Alt(w) = w. w1 )] 2 1 1 = λ [T (v1 . Luego. λv1 + w1 )] 2 1 = [λT (v1 . v2 ) = 1 [w(v1 . v2 ). v1 )] = −Alt(T )(v1 . v2 ) − T (v2 . (3) Sea T ∈ T 2 (E). a En efecto: Alt(T )(v2 . v2 ) − w(v2 . v2 ). v1 )] + [T (w1 . v2 )] 2 1 = − [T (v1 . Por lo tanto.e. v2 ) + T (w1 . v2 ) − λT (v2 . PRODUCTO TENSORIAL Para k = 2 se tiene: Alt : T 2 (E) → T 2 (E) tal que 1 Alt(T )(v1 . v1 ) + T (v2 . es a bilineal) pues. v1 ) 2 = w(v1 . Entonces por (1) w := Alt(T ) ∈ Λ2 (E). 2 (2) Sea w ∈ Λ2 (E). v1 )] 2 1 = [2w(v1 . v2 ) = [T (v1 . v2 ) = 1 [T (λv1 + w1 . Entonces Alt(T )(w)(v1 . v1 ) = 1 [T (v2 . v2 ) = −w(v2 . v1 ) − T (v1 .128 CAP´ ITULO 3. v1 )]. w1 )] 2 2 = λAlt(T )(v1 . v1 ). por ejemplo. (1) Sea T ∈ T 2 (E) entonces es claro que Alt(T ) est´ en T 2 (E) (i. v2 ) + Alt(T )(w1 . el cual llamaremos producto exterior. efectivamente. y que se define como sigue: Dados w ∈ Λk (E) y η ∈ Λl (E). necesia a tamos definir un producto en Λk (E). (k + l)! Alt(ω ⊗ η). Para ello se o necesitar´ un teorema an´logo al visto para el caso T k (E). Probaremos la propiedad (a). a Proposiciń 100 (Propiedades del Producto Exterior) o a) (ω1 + ω2 ) ∧ η = ω1 ∧ η + ω2 ∧ η b) ω ∧ (η1 + η2 ) = ω ∧ η1 + ω ∧ η2 c) aω ∧ η = ω ∧ aη = a(ω ∧ η) d) ω ∧ η = (−1)kl η ∧ ω.1. TRANSFORMACIONES MULTILINEALES 129 El problema siguiente es determinar la dimensiń de Λk (E). Por esto. el resto queda de ejercicio. (ω1 + ω2 ) ∧ η = (k + l)! Alt((ω1 + ω2 ) ⊗ η) k!l! (k + l)! = Alt(ω1 ⊗ η + ω2 ⊗ η) k!l! (k + l)! (k + l)! Alt(ω1 ⊗ η) + Alt(ω2 ⊗ η) = k!l! k!l! = ω1 ∧ η + ω2 ∧ η.3. 2) El producto ω ⊗ η no sirve pues no est´ en Λk+l (E) necesariamente. k!l! (Ejercicio) . si ω ⊗ η ∈ T k+l (E) entonces Alt(ω ⊗ η) ∈ Λk+l (E). ω ∧ η ∈ Λk+l (E) gracias a que por el Teorema anterior parte (1). se define ω ∧ η ∈ Λk+l (E) como: ω ∧ η := Observaciones: 1) Note que. An´logamente a se demuestra que Alt(T ⊗ S) = 0. . v1 )] 2 1 = [S(v1 )T (v2 ) − S(v2 )T (v1 )] 2 Como. . Teorema 102 Sea {e1 . o = n! . . . . Ve´moslo para el caso k = l = 1 o a (1) Alt(S ⊗ T )(v1 . . v2 ) = 0. . v2 ) = 1 [(S ⊗ T )(v1 . k!(n − k)! . T ∈ T l (E) y Alt(S) = 0. que tiene dimensiń: o n k Demostraciń. Las partes (2) y (3) quedan de ejercicio para el lector. El conjunto fi1 ∧ fi2 ∧ · · · ∧ fik 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n es una base para Λk (E). fn } base dual.130 Teorema 101 CAP´ ITULO 3. entonces Alt(S ⊗ T ) = Alt(T ⊗ S) = 0. PRODUCTO TENSORIAL (1) Si S ∈ T k (E). Ejercicio. en } base de E y {f1 . . η ∈ Λl (E) y θ ∈ Λm (E) entonces (ω ∧ η) ∧ θ = ω ∧ (η ∧ θ) = (k + l + m)! Alt(ω ⊗ η ⊗ θ) k!l!m! Demostraciń. (2) Alt(Alt(ω ⊗ η) ⊗ θ) = Alt(ω ⊗ η ⊗ θ) = Alt(ω ⊗ Alt(η ⊗ θ)) (3) Si ω ∈ Λk (E). Alt(S)(v) = S(v) = 0 se obtiene que Alt(S⊗T )(v1 . v2 ) − (S ⊗ T )(v2 . BerlinHeidelberg. 1967. Greub. [2] W. Springer-Verlag. H. 97. 131 . H. 1967. Multilinear Algebra.136. Springer-Verlag. vol. Greub. Linear Algebra. BerlinHeidelberg.Bibliograf´ ıa [1] W. vol. 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