DEFINICIÓN DE MATRIZ, VECTOR Y MULTIPLICACIÓN DEMATRICES aij PUCP / AME / Algebra de Matrices 1 OTRAS OPERACIONES Y MATRICES ESPECIALES Suma Transpuesta Partición Multiplicación Escalar PUCP / AME / Algebra de Matrices 2 . Sustitución : Matrices Especiales Matriz Identidad Matriz Cuadrada Matriz Diagonal Matriz Nula Matriz Simétrica PUCP / AME / Algebra de Matrices Cálculo Matricial 3 . Determinantes PUCP / AME / Algebra de Matrices 4 . Regla de Cramer Determinante Cero y Matriz Singular Inversión de Matrices PUCP / AME / Algebra de Matrices 5 . Métodos para resolver Ecuaciones Lineales y para obtener una Matriz Inversa Métodos Gaussianos PUCP / AME / Algebra de Matrices 6 . Método L D LT PUCP / AME / Algebra de Matrices 7 . PUCP / AME / Algebra de Matrices 8 . PUCP / AME / Algebra de Matrices b puede escribirse: Por conveniencia: L y U x A x L U x b y b Como [L] es una matriz triangular inferior conocida y {b} es dato. pueden ser una matriz triangular unitaria. simbólicamente es: A 1 b [A]-1. pueden obtenerse asociando [D] con [L] o con [U]. las diagonales de ambas. { x }: desconocido [A] : matriz de coeficientes. o ninguna. que es la transpuesta de los cofactores y │A│. Entonces: A x Nótese que [L] y [U]. y en general. nosimétrica. donde [L] y [U]. literalmente es la inversa de [A] y puede ser evaluada a partir de la regla de Cramer : A -1 adj A A Adj [A]. [A] puede ser factorizada en: [A] = [L] [U]. ni confiable. pues requiere la evaluación de un gran número de determinantes de orden superior en la evaluación de [A]-1. no son unitarias. Usualmente. Desafortunadamente. ancho de banda y cuán dispersas “sparce” son. x A L D U [L] y [U] : matriz triangular unitaria inferior y superior. Los más atractivos. Métodos de Eliminación Directa (Factorización) Consiste en Factorizar [A] en el producto de matrices triangulares y -en algunos casos. Ambas. para cualquier matriz de interés práctico. Algunos esquemas más eficientes para calcular {x} sin elaborar [A]-1 han sido desarrollados.diagonal (Teorema de Descomposición) Mij (menor de aij ).50%} de tiempo de ejecución computacional) Métodos Directos Métodos Iterativos A x b [ A ] y { b }: conocidos. Los Cofactores de aij de [A] es el arreglo definido como: A ij La elección básica: Inversión Directa versus Eliminación o Iteración 1 i j M ij La solución. una asociada con [L] y la otra con [U]. la inversión directa de [A] no es algo obvio. es el determinante de la matriz formada al eliminar la ith fila y la jth columna de [A].Algebra de Matrices Solución de Grandes Sistemas de Ecuaciones Generados a partir del Análisis Estructural Elástico de 1er Orden. se dividen en dos grupos: Métodos de Eliminación Directa y Métodos Iterativos. Así. [D] puede expresarse como el producto de dos matrices diagonales. podemos determinar {y} por sustitución hacia adelante (directa): 9 . A L U Asumimos que [A] es cuadrada. debe tomarse en cuenta la “precisión” y el “error” del método y que permita detectar cuándo un sistema es mal “condicionado”. este camino es ineficiente para resolver [A] {x} = {b}. Variantes de esta descomposición básica. no son únicas. que tomen en cuenta las ventajas de las características peculiares de las matrices de coeficientes de rigidez. (consume {20% . no-singular. no necesariamente simétrica. y sus correspondiente [L] y [U] han sido generadas por alguna de las formas de descomposición. Además. [D] : matriz diagonal. Se buscan métodos eficientes de solución. El objetivo es resolver para {x}. tales como simetría. no necesariamente son las mismas de [A] = [L] [D] [U]. es el determinante de [A]. En este contexto. cuadrada y no-singular. es la Adjunta de [A]. regresamos a [U] {x} = {y}. Descomposición de la matriz de coeficientes. Esos pasos pueden ser claros en la descripción de métodos más populares: “Gauss” y “Cholesky”. Sustitución hacia adelante o hacia atrás. El método de eliminación consta de dos pasos básicos: 1. empezando por las ecuaciones de abajo en el proceso de sustitución inversa: Eliminación de Gauss Comienza con un proceso de eliminación: Nótese que todo el proceso de solución de {x} ha sido completado sin calcular la inversa de [A]. PUCP / AME / Algebra de Matrices 10 . y resolvemos para {x} elemento por elemento.Con [U] matriz triangular superior conocida y {y} no determinada. y 2. hecho por un proceso de eliminación hacia adelante o hacia atrás.