ÁLGEBRA LINEARVETORES Reta orientada • Uma reta é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e representado por uma seta. • O sentido oposto é negativo. • Denominada eixo. Segmento Orientado • Determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro é a origem do segmento e o segunda é a extremidade. Ex: Segmento orientado de origem A e extremidade B, representado por AB. Segmento Nulo • Extremidade coincide com a origem. . Segmentos Opostos • Se AB é um segmento orientado. . o segmento orientado BA é oposto de BA. • A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. que é a medida do segmento em relação àquela unidade. a cada segmento orientado pode-se associar um número real. Medida de um Segmento • Fixada um unidade de comprimento. • O comprimento do segmento AB é o mesmo que o comprimento de seu oposto . • O comprimento do segmento AB é representado por • Segmentos nulos tem comprimento igual a zero. não-negativo. Medida de um Segmento • Associamos ao segmento AB uma unidade de comprimento u que ajuda na composição do comprimento. o comprimento do segmento AB é 5 unidades de comprimento. módulo desse segmento. . No caso. Toda direção tem dois sentidos. Direção e Sentido • Direção é a reta pela qual você pode andar. pode ser o caminho da direita ou o caminho da esquerda. . ela pode ser horizontal ou vertical. • Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários. • Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm a mesma direção. • Sentido é caminho que escolho em uma reta. para que AB seja equipolente a CD é necessário que AB//CD. AB seja paralelo a CD. e AC/BD. • Se AB e CD não pertencem à mesma reta. mesmo sentido e mesmo comprimento. Segmentos Equipolentes • Dois segmentos orientados são equipolentes quando têm a mesma direção. isto é ABCD deve ser um paralelogramo. . • A equipolência dos segmentos AB e CD é representado por • Propriedades da equipolência: . Segmentos Equipolentes • Dois segmentos nulos são sempre equipolentes. • O vetor determinado por AB é indicado por ou B – A ou . . • Se indicarmos este conjunto simbolicamente podemos escrever onde XY é um elemento qualquer do conjunto. Vetor • Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB. isto é: ó módulo. Vetor • Um mesmo vetor é determinado por uma infinidade de segmentos orientados. e todos equipolentes entre si. a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes. chamados representantes desse vetor. O módulo de se indica por . • Um segmento determina um conjunto que é um vetor. • As características de um vetor são as mesmas de qualquer de seus representantes. e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. . Vetores Iguais • Dois vetores e são iguais se e somente se AB ~ CD. e que é indicado por . determinam um único vetor. chamado vetor nulo ou vetor zero. Vetor Nulo • Os segmentos nulos. por serem equipolentes entre si. Vetores Opostos • Dado um vetor . o vetor é o oposto de e se indica por . Vetor Unitário • ss . No entanto. este é o versor . Ex: Os vetores abaixo são vetores unitários. pois ambos têm módulo 1. apenas tem a mesma direção e sentido Portanto. Versor • Versor de um vetor não nulo é o vetor unitário da mesma direção e mesmo sentido de . Vetores Colineares • Dois vetores são colineares se tiverem a mesma direção. • são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas. . CD e EF pertencentes ao mesmo plano . . diz-se que eles são coplanares. . Vetores Coplanares • Se os vetores não nulos possuem representantes AB. • Três vetores poderão ou não ser coplanares. pois podemos sempre tomar um plano no espaço e. com origem nele. Vetores Coplanares • Dois vetores quaisquer são sempre coplanares. imaginar os dois representantes desses vetores a um plano que passa por este ponto. . . por definição. a soma dos vetores u e v. Adição de Vetores •A • Os pontos A e C determinam um vetor s que é. isto é. Adição de Vetores • Propriedades da adição: . Diferença de Vetores • Aaaa • aaa . chama-se produto do número real k pelo vetor v o vetor . Multiplicação por um Número Real • Dado um vetor não nulo e k diferente de zero. • Aaaa • AWwnwwnwujw . • aaa . • Propriedades da multiplicação por um número real: . não colineares. Como será sempre um vetor representado no mesmo plano de v1 e v2.• Sabe que quaisquer dois vetores v1 e v2. são sempre coplanares. . sejam quais forem os reais a1 e a2. • Acrescentando um terceiro vetor v3: . Ângulo Entre Dois Vetores • O ângulo entre dois vetores u e v não nulos é o ângulo teta formado pelas semi-retas AO e OB e tal que . • Sss • Saaa • Se u é ortogonal a v e m é um número real qualquer. . • Sssss • O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor. . • sss .