33SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Um problema fundamental que normalmente é encontrado na descrição matemática de fenômenos físicos é o da solução simultânea de um conjunto de equações. Traduzido para a linguagem matemática, tais fenômenos passam a ser descritos por um conjunto de m equações em que se deseja determinar a solução de n variáveis de interesse, normalmente chamadas de incógnitas. Motivação Uma transportadora possui 5 tipos de caminhões, representados por (1), (2), (3), (4) e (5), ao quais são equipados para transportar 5 tipos de diferentes máquinas A, B, C, D e E segundo a tabela: Máquinas Caminhões (1) (2) (3) (4) (5) A 1 0 2 3 2 B 1 1 1 2 1 C 1 2 1 1 2 D 0 1 2 2 3 E 2 1 0 1 1 Problema: Supondo que A, B, C, D e E é a quantidade de máquinas que cada caminhão pode transportar levando carga plena, quantos caminhões de cada tipo devemos enviar para transportar exatamente: 27 máquinas do tipo A, 23 máquinas do tipo B, 31 máquinas do tipo C, 31 máquinas do tipo D, 22 máquinas do tipo E? Profa. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. Andréa Vianna Prof. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista 34 Definições 1. Uma equação linear em n variáveis x1, x2,..., xn é uma equação da forma a1x1 + a2x2 +...+ anxn = b em que a1, a2,..., an e b são constantes reais; 2. Um sistema de equações lineares ou simplesmente sistema linear é um conjunto de n equações lineares, ou seja, é um conjunto de equações lineares do tipo: a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ... a2 n xn b2 ........................................................ ........................................................ am1 x1 am 2 x2 am3 x3 ... amn xn bm em que aij e bk são constantes reais, para i, k = 1,..., m e j = 1,..., n. Na forma matricial, este sistema é representado como: Ax = b. Neste caso, a11 a12 a21 a22 A= ai1 ai 2 am1 am 2 a1 j a2 j aij amj x1 x2 x = x j x n a1n a2 n : matriz dos coeficientes de ordem m n ain amn : vetor de incógnitas de ordem n 1 b1 b2 b = : vetor independente de ordem m 1 bi bm Profa. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. Andréa Vianna Prof. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista 35 quando m = n, o sistema de equações lineares é dito quadrado. Resolver um sistema Ax = b consiste em determinar um vetor x* ( x1 , x2 ,...xn )T que satisfaça simultaneamente todas as equações lineares que compõem o sistema. Classificação do Sistema Linear quanto à Solução Os tipos de soluções dos sistemas lineares dependem da matriz A: Sistema Possível ou Compatível Admite solução. Sistema Possível e Determinado Possui uma única solução; O determinante de A deve ser diferente de zero (A é uma matriz não-singular); Se b for um vetor nulo (constantes nulas), a solução do sistema será a solução trivial, ou seja, o vetor x também será nulo. Análise Geométrica no ℝ2: P: x1 x2 x1 x2 2 0 A= 1 1 1 1 det A= -2 0 x1 * 1 S = {x* ℝ2 / = }. Neste caso, as equações de retas x1+ x2= 2 e x1 - x2= 0 são concorrentes x2 * 1 em ℝ2 e, desta forma, o sistema tem solução única. Profa. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. Andréa Vianna Prof. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista 36 Sistema Possível e Indeterminado Possui infinitas soluções; O determinante de A é nulo (A é uma matriz singular); O vetor de constantes b deve ser nulo ou múltiplo de uma coluna de A. Análise Geométrica no ℝ2: x1 P: 2 x1 x2 2 2 x2 4 1 1 det A = 2 - 2 = 0 A = 2 2 Em ℝ2 , se as retas forem paralelas coincidentes, então o sistema possui infinitas soluções, x1 * x1 portanto, S = {x* ℝ2 / x1 ℝ} x2 * 2 x1 Sistema Impossível ou Incompatível Não possui solução; O determinante de A deve ser nulo; O vetor B não pode ser nulo ou múltiplo de alguma coluna de A Análise Geométrica no ℝ2: x1 P: 2 x1 x2 2 2 x2 6 Profa. Adriana Cherri 1 1 A = 2 2 Métodos Numéricos Computacionais Profa. Andréa Vianna Prof. Antonio Balbo det A = 0 Profa Edméa Baptista 37 Em ℝ2 , o sistema não tem solução quando as equações de retas que o definem são paralelas não coincidentes. x1 P: 2 x1 x2 2 2 x2 6 x1 ~ x2 0 2 2 ∄ solução em ℝ2 Análise Geométrica das Soluções em ℝ3 : a11 x1 Forma do Sistema Linear: a21 x1 a x 31 1 a12 x2 a22 x2 a13 x3 a23 x3 b1 b2 a32 x2 a33 x3 b3 a11 Π 1 : a11 x1 a12 x2 a13 x3 n1 a12 : vetor normal ao plano Π 1 . a 13 a21 Π 2 : a21 x1 a22 x2 a23 x3 n2 a22 : vetor normal ao plano Π 2 . a 23 a31 Π 3 : a31 x1 a32 x2 a33 x3 n3 = a32 : vetor normal ao plano Π 3 . a 33 a) Sistema compatível determinado: Se n1 , n2 e n3 forem Linearmente Independentes (L.I.) em ℝ 3 , então A é uma matriz não singular. Neste caso, o sistema P tem solução única. Profa. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. Andréa Vianna Prof. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista Desta forma. b) Sistema compatível indeterminado: Um sistema é compatível indeterminado em ℝ 3 se a matriz A é singular. e L.I.D. (1) n1 e n3 : L. Três situações podem ocorrer: n1 e n2 : L.38 x P: x x y z 1 y z 1 y z 1 x1 x1 x 1 x2 x2 x3 x3 1 1 x2 x3 1 Geometricamente: Os três planos Π 1 : z – x – y – 1 = 0. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista .I. dois vetores normais aos planos devem ser Linearmente Dependentes (L. n2 e n3 são L.D. det A = 0 (4) Geometricamente: Para o caso (1) tem-se o seguinte exemplo: x y z 1 P: 2 x 2 y 2 z 2 x y z 1 Profa. e L.I.). (2) n2 e n3 : L. com n2 .D. Andréa Vianna Prof.D. (3) OBS: Se : n1 . Π 2 : z – x + y – 1 = 0 e Π 3 : z + x – y – 1 = 0 são concorrentes entre si. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. e L. com n3 . com n1 .D. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. Π 2 : z – x – y – 1 = 0 e Π 3 : z – x + y – 1 = 0. Considerando-se os planos Π 1 : z – 2 = 0 e Π 2 : z – 5 = 0. (2). c) Sistema Incompatível: Para sistemas incompatíveis. porém. geometricamente tem-se: Profa. Π 1 : z – x – y – 1 = 0. (1). Π 2 : z – x – y – 1 = 0 e Π 3 : z – x – y – 1 = 0 são paralelos coincidentes. (3) e (4).39 Neste caso: Π 1 : z – x – y – 1 = 0. Os planos Π 1 e Π 2 são paralelos coincidentes. a matriz A deve ser singular. Andréa Vianna Prof. os planos paralelos devem ser não coincidentes. As condições de paralelismo são as mesmas encontradas em (1). Π 3 : z – 2x – 2y = 0. Para o caso (4) tem-se o seguinte exemplo: x y z 1 P: 2 x 2 y 2 z 2 3x 3 y 3z 3 Neste caso. uma vez que o vetor nulo é sempre solução deste sistema.….. A matriz transposta de A. bm)T = 0.. Quando det A = 0 os planos Π 1 : z + 3 = 0. denotada por AT é definida a partir da matriz A por: AT = (b ij ). n tal que bij a ji . i = 1. n. Profa.…. .. Matriz Transposta: Seja A ij ).. j = 1. . n. Geometricamente tem-se: Os planos Π 1 : z + 3 = 0. Π 2 : z – 1 = 0 e Π 3 : z – 5 = 0 são paralelos não coincidentes. Andréa Vianna Prof.. i = 1. Definições 1.40 Os planos Π 1 : z – 2 = 0 e Π 2 : z – 5 = 0 são paralelos não coincidentes.. n. Π 2 : z – 1 = 0 e Π 3 : z – 5 = 0 são paralelos não coincidentes. b2. . Um sistema homogêneo é sempre consistente. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista .. j = 1.. Um sistema linear Ax = b é homogêneo se o vetor b = (b1. 2.. . n. Sistema triangular superior: matriz do sistema é uma matriz triangular superior.... A = (a ij ). j = 1.. i = 1.41 a11 a A= 21 a n1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann a11 a AT = 12 a 1n a21 an1 a22 an 2 a2 n ann 3. a11 0 A= 0 0 a12 a22 0 0 a13 a1n a23 a2 n a33 a3n 0 ann OBS: Sistema triangular inferior: matriz do sistema é uma matriz triangular inferior. Matriz triangular inferior: Uma matriz A ℝnxn .. n é triangular superior se aij = 0 para i > j. n. j = 1.. a11 a A = 12 a 1n a12 a1n a22 a2 n a2 n ann 4.. .. . n é simétrica se aij a ji (i ≠ j).. n.. . j = 1.n. Matriz triangular superior: Uma matriz A ℝnxn . Andréa Vianna Prof.... n é triangular inferior se aij = 0 para i < j. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . i... . Matriz simétrica: Uma matriz A ℝnxn . n. i = 1. i. A = (a ij ).. . . Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. Profa... i..n.. i = 1.. A = (a ij )... a11 a21 A = a31 a n1 0 0 a22 0 a32 a33 an 2 an 3 0 0 0 0 0 0 ann 0 5... j = 1... j = 1. .. j = 1. caso ela exista. esta sequência converge para a solução x*. Troca da posição de linhas ou de colunas de P. OBS: Se P e P’ são equivalentes. 0 2 1 1 Classificação dos sistemas lineares Métodos diretos: são aqueles que fornecem solução exata do sistema linear. linha de P. Andréa Vianna Prof. Multiplicação de uma linha de P por um escalar ≠0. Exemplo: x1 P: x1 x2 2 x2 0 multiplicando a 1o. Métodos iterativos: geram uma sequência de vetores {x(k)} a partir de uma aproximação inicial x(0).42 6. iii. então a solução de P’ é solução de P. Sob certas condições. após um número finito de operações. linha de P por = – 1 e adicionando à 2o. Sistemas equivalentes: Sejam P e P’ dois sistemas lineares (quadrados ou retangulares). Profa. x1 obtemos o sistema equivalente P’ dado por: P’: 0 x1 x2 2 x2 2 2 1 1 1 1 ~ A’= Na forma matricial: A = matriz triangular superior. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. caso ela exista. ii. Multiplicação uma linha de P por um escalar ≠0 e adição a uma outra linha de S. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . Dizemos que o sistema P’ é equivalente a P (notação: P ~ P’) se P’ é obtido de P a partir das seguintes operações elementares: i. .... Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa... devido à quantidade de operações envolvidas.... a2 n xn b2 . Surge então a necessidade de utilizar técnicas mais avançadas eficientes como as que estudaremos a seguir. Sistema Triangular Superior Seja o sistema triangular superior a11 x1 a12 x2 ........ x*= ( 1 ). é dado por x A1b . . Por substituição Retroativa podemos resolvê-lo pelas fórmulas: b xn = n a nn n xi = (bi – a j i 1 ij x j ) / aii.. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista .. 2... a1n xn b1 a22 x2 .... calcular explicitamente a inversa de uma matriz não é aconselhável.. o vetor solução x.. Andréa Vianna Prof.. i = 1.... No entanto. 2 Sistema Triangular Inferior Profa. 1 Exemplo: Resolver o sistema triangular superior 2 (0 1 1 0 0 Por substituição retroativa: x3 = 2 – x2 + x3 = 1 x2 = 1 2x1 + x2 + 3 x3 = 9 x1 = 1 9 3 x1 1 ) ( x2 ) = ( 1 ) 1 x3 2 1 Portanto..43 SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES E INVERSÃO DE MATRIZES Métodos exatos para solução de sistemas lineares Para sistemas lineares possíveis e determinados de dimensão n n ...... ann xn bn em que aii 0... i = (n – 1). n... . Antonio Balbo Profa Edméa Baptista ..... Por substituição progressiva podemos resolvê-lo pelas fórmulas: b x1 = 1 a11 i 1 xi = (bi – a j 1 ij x j ) / aii. a x b nn n n n1 1 n 2 2 em que aii 0..45 Seja o sistema triangular inferior: b1 a11 x1 a x a x b2 21 1 22 2 a x a x . i = 2.. n. 3. Andréa Vianna Prof. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. n. 0 0 y1 9 1 1 0 y2 = 1 0 1 / 2 1 / 2 1 y 7 3 Por substituição progressiva tem-se: y1 = 9 y2 = 1 1 1 y1 + y2 + y3 = 7 2 2 y3 = 2 9 Portanto. 2.. Exemplo: Resolver o sistema triangular inferior. y * = 1 2 Método de Eliminação de Gauss Profa. . i = 1.. . zerar os elementos da primeira coluna abaixo da diagonal). Passo 1: Eliminar a incógnita x1 da 2a . A matriz aumentada é dada por: (1) 𝑎12 (1) 𝑎22 ⋯ (1) 𝑎𝑛2 𝑎11 𝐴(1) = 𝑎21 ⋯ (1) (𝑎𝑛1 (1) (1) (1) 𝑎1𝑛 𝑏1(1) (1) ⋯ 𝑎2𝑛 |𝑏2(1) ⋯ ⋯|⋯ (1) (1) ⋯ 𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑛 ) ⋯ em que aij(1) = aij. em que A possui todas as submatrizes principais não singulares. É claro que tal operação não altera a solução do sistema. bi(1) = bi . O método de eliminação de Gauss consiste em transformar o sistema dado num sistema triangular superior equivalente pela aplicação repetida da operação: “subtrair de uma equação outra equação multiplicada por uma constante diferente de zero”. obtém-se com ela outro sistema equivalente ao original. pois det (A1) 0. 3a . isto é. Antonio Balbo (1) a21 (1) a11 Profa Edméa Baptista .. Descrição do algoritmo: Considere o sistema: a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn cuja matriz dos coeficientes chamaremos A(1) . Isso é feito da seguinte forma: Subtraímos da 2a equação a 1a equação multiplicada por m21 Profa. na equações (isto é. Andréa Vianna Prof. i.. j = 1.. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. n.... . 2.46 Seja o sistema linear Ax = b. . Por hipótese temos que a11(1) 0. .47 (1) a31 Subtraímos da 3 equação a 1 equação multiplicada por m31 (1) a11 a a ⋮ Subtraímos da na equação a 1a equação multiplicada por mn1 an(11) (1) a11 Ao final desta etapa. Passo 2: Eliminar a incógnita x2 da 3a. zerar os elementos da segunda coluna abaixo da diagonal). na equações (isto é.. .. i = 2. 3.. 3. 2.. i = 2.. 3. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. 3.. teremos a seguinte matriz: (1) 𝐴(2) (1) (1) 𝑎1𝑛 𝑏1(1) (2) (2) | (2) 0 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑏2 = | ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (2) (2) 𝑏 (2) 𝑛 ) ( 0 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 𝑎11 𝑎12 ⋯ em que: ai(11) mi1 (1) ... n a11 aij( 2) aij(1) mi1a1(1j) . n bi( 2) bi(1) mi1b1(1) .... .. i = 2.. n são denominados multiplicadores e o elemento (1) a11 (1) 𝑎11 é denominado de pivô da primeira etapa.. Para isso: Subtraímos da 3a equação a 2a equação multiplicada por m32 Profa. pois det ( A2) 0 .. n. . Antonio Balbo ( 2) a32 ( 2) a22 Profa Edméa Baptista .. 4a. . . i = 2. . Temos por hipótese que a22 OBS: Os elementos mi1 ai(11) . n (2) 0. j = 1.. Andréa Vianna Prof. 3. det(A(n – 1)) ≠ 0 Eliminar a incógnita xn-1 da na equação (isto é. Passo (n – 1): Temos por hipótese que an( n1.. Adriana Cherri 𝑎11 (1) 𝑎12 (1) 0 𝑎22 𝑎23 0 ⋯ ( 0 0 ⋯ 0 𝑎33 ⋯ 0 (2) (1) (1) ⋯ 𝑎1𝑛 (2) ⋯ (2) (2) 𝑎2𝑛 |𝑏2 (3) (3) ⋯ 𝑎3𝑛 𝑏3 ⋯ ⋯ | ⋯ (𝑛) (𝑛) … 𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑛 ) 𝑎13 (1) 𝑏1 (3) Métodos Numéricos Computacionais Profa. n Seguindo raciocínio análogo. teremos a matriz A(3): 𝐴 (3) = 𝑎11 (1) 𝑎12 (1) 0 𝑎22 0 ⋯ ( 0 0 ⋯ 0 (2) (1) ⋯ (2) ⋯ 𝑎13 𝑎23 (1) 𝑎1𝑛 𝑏1(1) (2) (2) 𝑎2𝑛 |𝑏2 (3) (3) (3) 𝑎33 ⋯ 𝑎3𝑛 𝑏3 ⋯ ⋯ ⋯ |⋯ (3) (3) (3) 𝑎3𝑛 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑛 ) em que: mi 2 ai(22) . ..48 ( 2) a42 Subtraímos da 4 equação a 2 equação multiplicada por m42 ( 2) a22 a a ⋮ Subtraímos da na equação a 2a equação multiplicada por mn 2 an( 22) ( 2) a22 Ao final desta etapa. Andréa Vianna Prof..(n1)1) a((nn11). i = 3..) ( n1) E assim. .. obtemos a matriz final: 𝐴(𝑛) = Profa. a (n – 1)ª equação multiplicada por mn.. .. n ( 2) a22 aij(3) aij( 2) mi 2 a2( 2j) . Antonio Balbo Profa Edméa Baptista ..1n)1 0 . j = 2.. procede-se até a etapa (n – 1). . n bi(3) bi( 2) mi 2b2( 2) .. .. zerar o elemento da (n – 1)ª coluna abaixo da diagonal).. 4. 4.( n1) a an( n. Isso é feito da seguinte forma: Subtraímos da n equação. i = 3. pois. n. i = 3. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. j = (n – 1). i = n. Exemplo: Utilizando o método de Eliminação de Gauss. ()n 1) a 2( 2n) xn b2( 2 ) ( 3) a33 x3 a3(3.) n xn bn( n11) (n) a nn xn bn( n ) o qual é equivalente ao Sistema Linear original.) ( n 1) xn 1 a((nn11).) j . Andréa Vianna Prof. n bi( n) bi( n1) mn.( n1) an( n.1()n 1) a1(1n) xn b1(1) ( 2) ( 2) a 22 x2 a 23 x3 a 2( 2.49 em que: mn. i = n O sistema triangular correspondente é dado por: (1) (1) (1) a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1(. resolver o sistema: 6𝑥1 + 2𝑥2 − 1𝑥3 = 7 { 2𝑥1 + 4𝑥2 + 1𝑥3 = 7 3𝑥1 + 2𝑥2 + 8𝑥3 = 13 Profa. ()n 1) a3(3n) xn b3(3) a((nn 11).( n1) a((nn11).) ( n1) aij( n) aij( n1) mn.( n1) bn( n11) .(n1)1) a((nn11). Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa.50 Exercício: Utilizando o método de Eliminação de Gauss. resolver os sistemas Lineares: 3𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = 1 a) {1𝑥1 + 1𝑥2 + 2𝑥3 = 2 4𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 = 3 b) 3 x * 5 0 2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 + 4𝑥4 = 17 𝑥 + 4𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 = 9 { 1 3𝑥1 + 2𝑥2 + 1𝑥3 + 4𝑥4 = 20 2𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 = 9 Profa. Andréa Vianna Prof. Antonio Balbo 2 1 x * 0 3 Profa Edméa Baptista . Nesse caso. basta que equações sejam permutadas de modo que o coeficiente da kª incógnita seja 0. resolver o sistema abaixo: 1x1 2 x2 3x3 3 4 3x1 1x2 3x2 4 x3 3 Profa. Se em algum passo k encontrarmos akk( k ) 0 isso significa que det (Ak) = 0. Exemplo: Utilizando o Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial. Andréa Vianna Prof. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . através de operações elementares sobre as linhas. tomando como pivô em cada passo.51 Método de Gauss com Pivoteamento Parcial Considere o sistema de equações lineares: a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn O Método de Gauss com Pivoteamento Parcial consiste em transformar o sistema dado. ou seja. em sistema triangular superior. o elemento de maior valor absoluto abaixo da diagonal de cada coluna da matriz A (elemento akk(k ) ). o sistema ainda pode ter solução determinada. OBS: Quando usamos esta estratégia de pivoteamento pode-se provar que a propagação dos erros de arredondamento é controlada. det (A) 0. uma vez que o elemento pivô será o maior em valor absoluto de cada coluna. resolva o sistema: 2 3 1 1 x1 1 x2 1 5 x3 2 3 Profa. Adriana Cherri 3 7 5 Métodos Numéricos Computacionais Profa.52 Exercício: Utilizando o Método de Gauss com Pivotamento Parcial. Andréa Vianna Prof. Antonio Balbo 1 x * 1 1 Profa Edméa Baptista . o elemento de maior valor absoluto entre todos os elementos da submatriz abaixo da k-ésima linha e a partir da k-ésima coluna.53 Método de Gauss com Pivoteamento Total Considere o sistema de equações lineares: a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn O Método de Gauss com Pivoteamento Total consiste em transformar o sistema dado. em cada passo. entre os elementos 𝑎𝑖𝑗 . tomamos como pivô. Exemplo: Resolver o sistema de equações lineares usando o Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Total. envolve uma comparação entre os elementos envolvidos na troca de linhas e colunas. x3 0 4 x1 2 x 2 x3 2 x2 6 x3 1 Profa. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . as trocas devem ser armazenadas em um vetor Q = (q1. em sistema triangular superior equivalente. . que acarreta um esforço computacional maior que a estratégia de pivoteamento parcial. (𝑘) isto é. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa.. 2. q2. pois. OBS: 1. Neste caso. 𝑗 ≥ 𝑘. Andréa Vianna Prof. Desta forma. 𝑖 ≥ 𝑘. qn). em que qj fornece a coluna na posição j. através de operações elementares sobre as linhas e colunas.. Esta estratégia não é usualmente empregada. As trocas de colunas na matriz produzem trocas no vetor solução.. Adriana Cherri x3 2 x3 12 20 3 4 x* 3 2 Métodos Numéricos Computacionais Profa. o sistema: 5 x1 x1 2x 1 2x2 4x2 3x 2 10 x3 Profa.54 Exercícios 1) Resolver pelo método de Eliminação de Gauss com pivotamento total. Andréa Vianna Prof. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . constituído das k primeiras linhas e k primeiras colunas de A.. Esta técnica consiste na decomposição da matriz A em um produto de matrizes L e U.= lnn = 1. Além disso. 2. Demonstração: Neide Bertoldi Franco (Editora Pearson.. existe uma única matriz triangular inferior L = (lij). k = 1. Consideramos que L é uma matriz triangular inferior com a diagonal unitária e que U é a matriz triangular superior... Teorema: (Decomposição LU) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem n. n – 1. . devemos calcular os elementos da linha de U e os elementos da coluna de L na seguinte ordem: 1ª linha de U: 1u11 = a11 u11 = a11 1u12 = a12 u12 = a12 1u1n = a1n u1n = a1n 1ª coluna de L: l21 u11 = a21 l21 a21 u11 l31 u11 = a31 l31 a31 u11 Profa.. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. Andréa Vianna Prof. Assumimos que det(Ak) 0.. com l11 = l22= .55 Método de Decomposição LU O processo de decomposição LU (Least Upper) é uma das técnicas mais utilizadas para resolver um sistema linear Ax = B. ou seja. e Ak o menor principal. 2006) Processo de decomposição da matriz A em LU Para obter os fatores lij e uij das matrizes L e U podemos aplicar a definição de produto e igualdade de matrizes..unn. Então. e uma única matriz triangular superior U= (uij) tal que LU = A. det(A) = u11 u 22. LU = A: 0 0 1 0 0 0 0 l 21 1 0 l l 1 0 0 31 32 0 l l 2 l n 3 1 1 n n u11 u12 u13 u1n a11 a12 a13 a1n 0 u 22 u 23 u 2 n a21 a22 a 23 a 2 n 0 0 u33 u3n a31 a32 a33 a3n 0 0 0 a a a a 0 0 0 u nn n1 2 nn 0 n n3 L U A Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U. em que A satisfaz às condições da decomposição LU (Teorema). Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa.l21 u13 l21 u1n + u2n = a2n u2n = a2n . a solução do sistema linear pode ser obtida a partir da resolução dos sistemas triangulares: Ly = b Ux = y OBS: A decomposição LU fornece um dos algoritmos mais eficientes para o cálculo do determinante de uma matriz.56 ln1 u11 = an1 ln1 an1 u11 2ª linha de U: l21 u12 + u22 = a22 u22 = a22 . 3ª coluna. 4ª coluna etc. Então o sistema Ax = b pode ser escrito como: (LU)x = b Se considerarmos y = Ux. Andréa Vianna Prof. Profa. 4ª linha. teremos as fórmulas gerais: u ij lij aij (aij i 1 l k 1 j 1 l k 1 ik ik u kj u kj ) / u jj ij i j Aplicação da Decomposição LU na resolução de Sistemas Lineares Seja o sistema linear Ax = b de ordem n.l21 u12 l21 u13 + u23 = a23 u23 = a23 .l21 u1n 2ª coluna de L: l31 u12 + l32 u22 = a32 l32 l41 u12 + l42 u22 = a42 l42 a32 l31 u12 u22 a42 l41 u12 u22 ln1 u12 + ln2 u22 = an2 l n2 a n2 l n1 u 12 u 22 Se continuarmos calculando 3ª linha. 57 Exemplo Utilizando o método de decomposição LU. Adriana Cherri 2 1 x1 1 4 x2 1 3 x3 0 7 5 Métodos Numéricos Computacionais Profa. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . Andréa Vianna Prof. resolver o sistema Ax = b e calcular o det(A): 5 3 1 Profa. Andréa Vianna Prof. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa.58 Exercício Considere o sistema: 5 x1 2 x2 x3 12 x1 4 x2 2 x3 20 2 x 3x 10 x 3 2 3 1 a) b) Resolver o sistema usando decomposição LU Calcular det(A) utilizando a decomposição LU. Profa. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . .. ... n.. k = 1.59 OBSERVAÇÃO 1: Se o det(Ak) = 0 para algum k = 1. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. Exemplo: Determinar a solução do sistema utilizando a decomposição LU: 2 x1 2 x2 x3 3 3x1 3x2 x3 7 x x 5x 5 2 3 1 Profa. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . n.. mas det(A) ≠ 0. então podemos aplicar o processo de decomposição LU desde que permutemos a linha k por uma linha abaixo dela e det (Ak) ≠ 0. Andréa Vianna Prof.. Exemplo: Determinar a solução do sistema: 3x1 2 x2 4 x3 1 x1 1x2 2 x3 2 4 x 3x 2 x 3 2 3 1 Método de Eliminação de Gauss: 3 Sistema resultante: 0 0 4 1 2 3 3 0 4 2 x1 1 x2 = 5 3 x 0 3 3 x* = 5 0 Método de Decomposição LU: Profa. Andréa Vianna Prof. Para a matriz L. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. temos: 0 1 m21 1 M m31 m32 m n1 mn 2 0 0 1 mn 3 0 0 0 0 0 0 L 0 1 A matriz resultante do processo de Eliminação de Gauss (matriz escalonada) é a matriz U do método da decomposição LU.60 OBSERVAÇÃO 2: O método de Eliminação de Gauss também pode ser utilizado para a obtenção dos coeficientes lij e uij das matrizes da decomposição LU. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . basta associarmos os coeficientes lij aos coeficientes mij do método de Eliminação de Gauss e considerarmos lii = 1 e lij = 0 se i < j. Deste modo. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista .61 Sistemas resultantes: Profa. Andréa Vianna Prof. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. 2..n+1.. i = 1.62 Método de Gauss Compacto Seja o sistema linear Ax = b. entretanto.. construímos a matriz n × (n+1). n são obtidos da mesma maneira que os elementos uij e serão chamados de ui... 2. i = 1. 2. ..n1 an . Os termos independentes bi. n. montamos a matriz de ordem n × (n+1): a11 a21 a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann a1.n1 a1..... i. (n+1): Profa.n1 u n . 2. j = 1. .n+1. . Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa.n1 a2 . i = 1.. O Método de Gauss Compacto é uma maneira prática de se obter as matrizes L e U da de decomposição LU. n.. Construção do método Seja o sistema linear a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn Primeiramente.n1 bn independentes bi.. n. em que os termos a n .n1 Para determinar os termos uij e lij. n utilizamos as mesmas expressões da decomposição LU. . Assim. de ordem n.. n e j = 1.n1 u 2. Andréa Vianna Prof.. i = 1. serão chamados de ui. n. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . .n1 b1 a2. por serem obtidos da mesma maneira que os elementos uij. em que A possui todas as submatrizes não singulares.n1 b2 em que .. armazenando-a de forma compacta. i = 1.. 2. . sobre a matriz original armazenamos a matriz: u11 u12 l 21 u 22 l n1 l n 2 u1n u2n u nn u1..... Em seguida. . n 1 u 2. resolver o sistema matricial: 2 1 1 x1 y1 0 3 1 0 2 x2 y2 3 4 4 1 1 x y 2 7 3 3 Profa.. ..n+1. i = 1. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . 2. Utilizando o método de Gauss-Compacto..n 1 Uma das vantagens do método de Gauss Compacto. n resolvemos o sistema Ux = b’. em que y . . n. i.63 u ij lij aij (aij i 1 l k 1 j 1 l k 1 ik ik u kj u kj ) / u jj ij ij Determinados os elementos uij e lij. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. Exemplo: 1. Andréa Vianna Prof. 𝑏𝑖′ OBS: No caso em que y é determinado pelo Gauss Compacto.. basta resolver diretamente Ux = y. não é necessário resolver o u1.. em que = ui. u n . 2.. j = 1. é que podemos resolver de uma só vez vários sistemas associados.n 2 sistema Ly = b. 64 Exercício Resolver o sistema matricial composto usando o método de Gauss-Compacto: 2 1 3 x1 4 1 2 x2 1 0 10 x 3 Profa. Adriana Cherri y1 y2 y3 z1 4 2 4 z2 7 6 6 z3 11 2 20 Métodos Numéricos Computacionais Profa. Andréa Vianna Prof. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . . g n1 gn2 g nn Assim. a1n . em que G é uma matriz triangular inferior com elementos da diagonal estritamente positivos.... .3. a11 a21 an1 a12 a22 an 2 . n g11 Métodos Numéricos Computacionais Profa. n para elementos da diagonal principal Elementos não diagonais a21 g 21g11 1ª coluna a31 g 31g11 an1 g n1 g11 Profa. i 2.. g11 a11 i 1 g a g ik2 ii ii k 1 . i 2.. Adriana Cherri g i1 ai1 . a2 n .. A = G GT Aplicando a definição de produto matricial.GT. 3. ann g11 g 21 g n1 g 22 gn2 . g11 g nn g 21 g 22 .. a matriz dos coeficientes A é decomposta no produto G.. A decomposição feita a seguir considera estas hipóteses....... Andréa Vianna Prof..... Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . obtém-se as seguintes fórmulas para os elementos de G e sua transposta: Elementos diagonais a11 g112 a22 g 212 g 222 ann g n21 g n22 g nn2 Desta forma.65 Método de Cholesky O Método de Cholesky é definido para a resolução de sistemas lineares de ordem quadrada n cuja matriz dos coeficientes seja simétrica e definida positiva.. 2 g j 2 g j 2.g jk k 1 g jj . c.. j g jj j-ésima coluna a j 2. temos que A = G. Portanto.. j g j 1.1 g j1 g j 1. i 2.gnn)2 Exemplo: 1 1 0 Seja A 1 2 1 0 1 3 a. j g jj anj g n1 g j1 g n 2 g j 2 g nj g jj Assim.1 g j1 g j 2.x = b fica reduzida à solução dos seguintes sistemas triangulares: Gy = b GTx = y OBS: Utilizando a Decomposição de Cholesky. Verificar se A pode ser decomposta em G.3. .g jk k 1 .G t Decompor A em G.G t Calcular o determinante de A. n g i1 g 11 j 1 para elementos que não pertencem a diagonal principal aij g ik .. 2 g j 2 g j 1. i 2. a solução do sistema A. det (A) = (det G)2 = (g11g22. 3.66 a32 g31 g 21 g32 g 22 a42 g 41 g 21 g 42 g 22 2ª coluna an 2 g n1 g 21 g n 2 g 22 j 1 g ij aij g ik ..2 j i g ij g jj Uma vez calculada a matriz G. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . j g j 2. ai1 . d. Resolver o sistema Ax = b com b = (2 1 5)T Profa. Andréa Vianna Prof..... n ⋮ a j 1. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa.. b.Gt. em que b = (2 16 9)T.67 Exercício 1. Sejam as matrizes: 4 2 4 3 1 0 A 2 10 4 . pelo processo de Cholesky. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. Profa. Bx = b. B 1 3 2 4 4 9 0 2 0 Escolha adequadamente e resolva um dos sistemas Ax = b. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . Andréa Vianna Prof. a11 a21 an1 a11 a21 an1 . 1 I Portanto.. b2 n 0 1 .. ann bn1 0 a12 a22 an 2 a12 a22 an 2 Primeira coluna de A -1 ... tal que a seguinte relação seja satisfeita : A B B A I (I é a matriz identidade) A matriz B é chamada de matriz inversa de A e representada por B = A−1. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista ... a1n b12 0 .. b1n 1 0 ... a1n . ann a12 a22 an 2 b11 b12 b21 b22 bn1 bn 2 . ann bnn 1 n-ésima coluna de A -1 ⋮ a11 a21 an1 a12 a22 an 2 Profa.. a1n b11 1 . a11 a21 an1 .... Andréa Vianna Prof..... 0 ..... Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. Se det(A) ≠ 0. a2 n . então existe uma matriz B.. tem-se: A A-1 A1A I Desta forma...68 Matriz inversa Seja A uma matriz quadrada de ordem n... a2 n b22 1 . bnn 0 0 A 1 A . 0 . a1n b1n 0 .... para determinar as n colunas da matriz A-1 resolvemos n sistemas lineares utilizando qualquer método que resolva sistemas lineares. ann bn 2 0 Segunda coluna de A-1 . a2 n b21 0 .... a2 n b2 n 0 .... Logo.. .. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. tal que bj.. ou seja. Obtemos as colunas da A-1 fazendo: 1) Método de Eliminação de Gauss A bj = ej . Além disso.. 0 Podemos escrever o sistema linear Abj = ej j = 1.... bj = ej . isto é: Profa. 2. j = 1.n. Resolvem-se os sistemas: L yj = ej. Andréa Vianna Prof.n...ésima linha de e. resolvendo estes sistemas por qualquer método de sistemas lineares (desde que suas condições sejam satisfeitas). j = 1. .. . n Assim.. 2. seja A-1 = b1 b2 bn a matriz inversa de A.n. j = 1... -1 j = 1... j = 1. considere ej a j-ésima coluna da matriz identidade In×n. encontramos cada coluna de A-1.69 De forma resumida.. j = 1... tal que 0 e j j j . I = e1 e2 en . 2) Método de Decomposição LU (L U) bj = ej.n. U bj = yj. 4) Gauss Compacto Devemos utilizar o mesmo esquema da resolução de sistemas matriciais... Resolve-se os sistemas: G yj = ej GTbj = yj .n.... Antonio Balbo Profa Edméa Baptista ... n é a j-ésima coluna de A . 3) Método de Cholesky (somente para matriz simétrica e positiva definida) G GT .. as colunas da matriz X são as colunas da matriz inversa. desde que AA-1 = I. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista .70 a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n x11 a2 n x21 ann xn1 x12 x22 xn 2 x1n 1 0 x2 n 0 1 xnn 0 0 0 0 1 Fazendo AX = I. Exemplo: 1. 1 0 1 A 0 1 2 0 1 1 Profa. OBS: Se det(A) = 0. Determine a inversa da matriz A utilizando algum método estudado. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. diz-se que a matriz A é não-inversível ou singular. Andréa Vianna Prof. 6 10. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . 2 x1 a) 4 x1 2x 1 3x2 4 x2 1x3 3x3 5 3 3x2 1x3 -1 4 x1 1x 1 b) 1x1 1x1 3 x2 2 x2 1x2 1x2 2 x3 3x3 1x3 1x3 1x4 4 x4 1x4 1x4 10 5 -1 3 Resolva os sistemas lineares abaixo pelo Método de Gauss com Pivotamento Parcial.12.71 Exercícios 1 Resolva os sistemas lineares triangulares abaixo: 1x1 a) 2 x1 3x 1 1x1 b) 2 3 3 2 5 x2 6 x2 4 x3 2 x2 1x2 3x3 3x3 1x3 1 1x4 1x4 1x4 1x4 4 3 2 1 Resolva os sistemas lineares abaixo pelo Método de Eliminação de Gauss. Adriana Cherri 1x4 1x4 1x4 2 x4 6. Andréa Vianna Prof.6.9 .2 . 2 x1 1x 1 a) 1x1 4 x1 1x1 2x 1 b) 1x1 2 x2 2 x2 1x2 3 x2 3 x2 1x2 1x2 5 x2 1x3 4 x3 1x3 1x3 1x3 3x3 3x3 1x3 Profa.3 4 x4 2 x4 1x4 -1 -2 0 3 Métodos Numéricos Computacionais Profa. x=b pelo Método da Decomposição LU. 9 d) Resolva o sistema A. Andréa Vianna Prof. 3 1 2 1 x4 5 1 2 1 x5 4 1 2 x6 3 Mostre que.72 4 Resolva os sistemas lineares do exercício anterior pelo Método de Decomposição LU. Tais sistemas lineares aparecem com frequência na solução de equações diferenciais parciais. Um sistema linear como esse é chamado tridiagonal. 7 1 2 Seja A 0 1 1 0 3 1 3 a) Verifique se a matriz A satisfaz as condições da decomposição LU. 1x1 2x 1 1x1 3x1 6 2 x2 1x2 3 x2 4 x2 4 x3 1x3 1x3 2 x3 1x4 3 x4 5 x4 6 x4 1 -6 7 13 Considere o seguinte conjunto esparso de equações lineares: 2 1 x1 2 1 2 1 x2 1 x 7 1 2 1 . onde b 1 . c) Calcule o determinante de A. o sistema triangular resultante permanece esparso. Adriana Cherri 2 1 2 3 3 2 1 2 4 10 3 7 e b 2 6 5 1 Métodos Numéricos Computacionais Profa.x=b. b) Decomponha A em LU. 7 8 Resolva o sistema A. usando o método de Eliminação de Gauss. 5 Resolva o sistema linear a seguir pelo Método de Gauss com Pivotamento Parcial. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . em que 1 2 A 3 4 Profa. em que b 1 .x=b. 2 A 3 3 5 11 Seja A 1 2 1 1 1 2 3 2 1 3 2 .73 9 Considere o sistema linear 5 x1 1x1 2x 1 2 x2 4 x2 3 x2 10 x3 1x3 2 x3 12 20 3 a) Resolva o sistema usando o método de decomposição LU. b) Calcule o determinante de A pelo mesmo. em que b . Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. B 2 3 1 2 2 3 1 2 1. b) Decomponha A em G. c) Calcule o determinante de A. 32 26 d) Resolva o sistema A. C 4 6 2 1 3 7 3 8 17 2 1 3 a) Verifique se A pode ser decomposta em G. 4 16 4 12 Seja A 8 4 4 10 8 4 8 8 12 10 4 4 10 12 a) Verifique se A pode ser decomposta em G.x=b.GT.GT. Andréa Vianna Prof. b) Decomponha A em G. 1 d) Resolva o sistema A.GT (Cholesky).GT. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . 38 30 Profa. 10 Quais das matrizes abaixo podem ser decompostas na forma LU? Decomponha as que forem possíveis. c) Calcule o determinante de A. Andréa Vianna Prof. Profa.74 13 Sejam as matrizes 2 4 10 4 4 9 4 A 2 4 3 B 1 0 e 1 3 2 0 2 0 Escolha adequadamente e resolva um dos sistemas Ax = b. Bx = b. pelo processo de Cholesky. Justifique sua resposta. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . 14 Usando o Método de Eliminação de Gauss resolva os seguintes sistemas: 10 x1 a) 1x1 2x 1 1x2 10 x2 1x3 1x3 10 12 10 x3 11 1x1 2x 1 c) 1x1 3x1 2 x2 1x2 3 x2 4 x2 1x2 4 x3 1x3 1x3 2 x3 1x4 3 x4 5 x4 6 x4 4 b) 2 1 -6 -3 2 -1 x1 7 1 x2 5 -1 x3 4 1 -6 7 13 15 Resolva o sistema matricial usando o Método de Decomposição LU: 2 4 1 3 x1 2 x 2 0 10 x 3 -1 1 y1 z1 4 y 2 z 2 7 y13 z3 11 2 6 2 4 6 20 16 Considere os sistemas lineares: 1x1 2 x1 1x 1 2 x2 13x2 1x3 1x3 4 35 4 x3 5 1x2 1x1 2 x1 2x 1 2 x2 1x2 1x3 1x3 6 14 2 x2 1x3 6 Faça uma escolha adequada para resolver um deles pelo método de Decomposição LU e o outro pelo método de Cholesky. em que b = 2 16 9T . Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . c) Considere α = 1 e resolva o sistema linear obtido pelo método de Eliminação de Gauss. Adriana Cherri 1 1 0 0 1 1 Métodos Numéricos Computacionais Profa. b) O sistema pode ser resolvido por Cholesky? Justifique. 21 Usando decomposição LU.74 17 Resolva o sistema linear matricial pelo Método de Gauss: 1 1 1 0 1 1 1 x1 0 x 2 1 x 3 y1 4 2 y 2 2 -2 y3 9 7 18 Considere o sistema linear A. x x2 e b 3 x 4 1 3 Para que valores de α: a) A matriz A é pode ser decomposta no produto LU? Justifique. 19 Seja o sistema linear A.x = b dado por: 10 7 8 8 x1 3 6 x2 1 6 10 x3 7 7 5 a) Determine a inversa da matriz A pelo método de Eliminação de Gauss.x = b. 20 Considere a matriz 0 3 A 2 2 1 2 3 1 0 Calcule A-1 utilizando o Método de Eliminação de Gauss. b) Resolva o sistema linear usando a matriz inversa obtida no item anterior. Andréa Vianna Prof. inverta a matriz 2 1 1 Profa. em que: 1 A 5 1 2 3 x1 2 4 . Utilizando Cholesky. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. Andréa Vianna Prof. Utilizando Gauss Compacto. encontre a inversa da seguinte matriz: 2 4 4 A = 2 10 4 4 4 9 26. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . 24 Considere a matriz abaixo e calcule sua inversa usando o Método de Decomposição LU e Método de Eliminação de Gauss. encontre a inversa da seguinte matriz: 3 0 3 A = 2 2 1 1 2 0 Profa. 23 Seja 4 6 2 A 1 3 1 2 1 1 usando o Método de Gauss com Pivotamento Parcial calcule A-1. A 4 3 2 1 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 25.75 22 Dada a matriz 1 1 2 1 10 2 1 2 4 Calcule A-1 utilizando o Método de Cholesky. x 4 20 x E e x 1. x . N3) x y x y (desigualdade triangular). Como exemplos de normas no ℝn temos: n n a) x E = xi2 . N2) x = x para todo escalar. 1i n c) x 1 = i 1 | xi | Exemplo: 1 10 x 3 . A cada passo. Profa. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa.76 Métodos iterativos para solução de sistemas lineares Métodos iterativos são aqueles que se baseiam na construção de sequências de aproximações. x = x 1= Definição: Dada uma sequência de vetores x(k) E. dizemos que a sequência {x(k)} converge para x E x ( k ) x 0 . Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . Andréa Vianna Prof. os valores calculados anteriormente são utilizados para reforçar a aproximação de modo que o resultado obtido geralmente é aproximado. qualquer função definida num espaço vetorial E. com valores em ℝ. Pré – requisitos para os métodos iterativos Normas de vetores Chama-se norma de um vetor x. quando k . Obter x E . satisfazendo as seguintes condições: N1) x 0 e x = 0 se e somente se x = 0. b) x i 1 = max xi . para qualquer x. Podemos então falar em norma de uma matriz A E. com as operações de soma de matrizes e produto de um escalar por uma matriz forma um espaço vetorial E de dimensão n2. Algumas normas de matrizes: n a) A max aij 1in (norma linha) j 1 n b) A 1 max aij 1 j n (norma coluna) i 1 n c) A E a i . Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa.77 Norma de matrizes O conjunto das matrizes (n × n). Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . Andréa Vianna Prof. Ax A x Profa. j 1 2 ij (norma euclidiana) Exemplo de cálculo de normas: Seja: 3 2 A= 6 3 1 2 1 4 1 A A1 A E = Definição: Normas consistentes Dada uma norma no ℝn e uma norma de matrizes dizemos que elas são consistentes se. D e R de modo que L só tenha elementos abaixo da diagonal D só tenha elementos na diagonal R só tenha elementos acima da diagonal. a partir dessa nova forma e de uma solução aproximada inicial x(0). i j rij = 0 . Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa.. temos: Profa. Método de Jacobi-Richardson Considere o sistema de equações lineares a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an2 x2 a1n xn a2n xn b1 b2 ann xn bn em que a matriz A (det(A)≠0) do sistema linear pode ser escrita como a soma de três matrizes: A = L+D+R. Escolhemos L.n) e dividindo cada linha pelo elemento da diagonal. determinamos uma sequência de soluções aproximadas considerando o processo iterativo: x(k+1) = Bx(k) + g.. a construção do método iterativo considera a transformação do sistema original Ax = b para a forma equivalente x = Bx +g e posteriormente. k = 0. em que B é a matriz iterativa (n × n) e g é o vetor (n × 1). i j dij = 0 . i j Exemplo (3x3) 𝑎11 𝑎 ( 21 ⏟𝑎31 𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎13 0 𝑎23 ) = (𝑎21 𝑎33 ⏟𝑎31 𝐴 0 0 𝑎32 𝐿 𝑎11 0 0) + ( 0 0 ⏟0 0 𝑎22 0 0 0 0 ) + (0 𝑎33 ⏟0 𝐷 𝑎12 0 0 𝑎13 𝑎23 ) 0 𝑅 Supondo det(D) ≠ 0 (aii ≠ 0. De modo geral.. . sendo que cada solução aproximada é obtida pela anterior. aij .78 Métodos iterativos Um método iterativo para calcular a solução de um sistema Ax = b (det(A) ≠ 0) é denominado iterativo quando fornece uma sequência de soluções aproximadas. 1. i j lij = 0 . i j aij . 2. Andréa Vianna Prof. i=1.. i j aij .. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . . porém.n-1. k 1.x2( k ) a 21. e através do processo definido por: x1( k 1) ( k 1) x2 xn( k 1) (b1 (b2 (bn a12 .x1( k ) .. a partir de valores iniciais x1( 0) . x2( k ) ..x1( k ) a n1. . Obviamente. o Método de Jacobi consiste na determinação de uma sequência de aproximantes de índice k: x1( k ) .. essa construção é válida para qualquer dimensão. dado o sistema linear. a1n .xn1 ) / ann Critério de convergência do método de Jacobi: max aij j 1 j i aii max aij i j i 1 i j a jj 1 (Critério das Linhas) 1 (Critério das Colunas) Profa.i j r ij aii .i j 0 * ij bi * ij bi aii e o sistema linear é reescrito como: (L* + I + R*)x = b* x = 𝑏⏟∗ − ⏟ (𝐿∗ + 𝑅 ∗ ) 𝑥 𝑔 𝐵 O método iterativo de Jacobi-Richardson fica: 𝑥 (𝑘+1) = 𝑏 ∗ − (𝐿∗ + 𝑅 ∗ )𝑥 (𝑘) Desta forma.. . 2. k 1. No caso geral temos: aij a .. .. 3. 2.i j 0 aij a ..i j l ij aii . x2( 0) . xn( 0) . 3... os elementos bi do vetor b também são divididos pelo elemento aii...xn( k ) ) / a11 a1n . Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . xn( k ) .79 1 𝑎21 ⁄𝑎22 𝑎31 ( ⁄𝑎33 ⏟ 𝑎12 ⁄𝑎11 1 𝑎32 ⁄𝑎33 𝑎13 ⁄𝑎11 𝑎23 ⁄𝑎22 1 ) 0 ∗ = (𝑎21 ∗ ⏟𝑎31 0 0 ∗ 𝑎32 0 1 0) + (0 ⏟0 0 𝐿∗ 𝐴∗ ∗ 0 𝑎12 0 0 1 0) + (0 0 0 1 ⏟0 0 𝐼 ∗ 𝑎13 ∗ ) 𝑎23 0 𝑅∗ A construção da matriz A* foi exemplificada para o caso 3 × 3. Andréa Vianna Prof. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa..xn( k ) ) / a22 (k ) a n. 0.6. em cada linha.Richardson com x(0) = (0. No método de Jacobi-Richardson todos os valores de x da iteração (k+1) dependem dos valores de x da iteração (k). o elemento da diagonal é estritamente maior que a soma de todos os outros elementos da linha).7. OBS: Se a matriz for estritamente diagonal dominante (isto é. A convergência independe de x(0).6)T e precisão ε = -2 10 .80 Critério de parada: O método iterativo de Jacobi-Richardson para quando: ||𝑥 (𝑘+1) − 𝑥 (𝑘) ||∞ ||𝑥 (𝑘+1) ||∞ <𝜀 sendo um valor pré-estabelecido para a precisão. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. Exemplo Resolva o sistema linear: 10 x1 2 x2 x1 5 x2 2 x 3x 2 1 x3 x3 10 x3 7 8 6 Utilizando o método de Jacobi. Profa. por isso o método é também chamado de Método dos deslocamentos simultâneos. Andréa Vianna Prof. -1. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . então o critério de convergência é automaticamente atendido para B = -(L*+R*). 9) e precisão ε = 10-2. 8). -2.0031)T. 1)T . Resolver o sistema do exercício anterior com b =(14. -1. Resolver o sistema: 1 2 utilizando o método de Jacobi.9. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . .99)T.Richardson com x1 2 x2 3 x(0) = (0. Andréa Vianna Prof.99 . 1. 0)T e com precisão ε = 10-2. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. Profa. 2 x x 1 2. x(0) = (0. Exercícios: 1.9968.99 . 11.A solução exata do sistema proposto é x = ( 1. 0. 0.81 k x1 x2 x3 OBS: 0 1 2 3 4 . 0. Solução com 5 iterações: x = (0.Para < 10-2 a solução do sistema é: x = ( 0. a partir de valores iniciais x1(0) . temos: (b1 (b2 (bn x1( k 1) ( k 1) x2 xn( k 1) a12 . k 1.. dado o sistema linear. No método de Jacobi–Richardson.. . a1n .n-1. k 1. .. Desta forma. o Método de Gauss–Seidel consiste na determinação de uma sequência de aproximantes de índice k: x1( k ) .xn( k ) ) / a11 a1n . temos o método iterativo de Gauss – Seidel: 𝑥 (𝑘+1) = 𝑏 ∗ − 𝐿∗ 𝑥 (𝑘+1) − 𝑅 ∗ 𝑥 (𝑘) Assim como no método de Jacobi..x2( k ) a 21.x1( k ) a n1.x1( k 1) a n1.. já sabemos x2( k 1) e x1( k 1) ..n-1.xn( k ) ) / a11 a1n .. 2.. 3.xn( k ) ) / a22 ( k 1) a n. 2.. podemos utilizá-lo no cálculo de x2( k 1) .x1( k ) .x1( k 1) . Profa. sabemos os valores de x que multiplicam L*. xn( k ) . com B = (L* + R*) e g = b*. Como x1( k 1) é uma melhor aproximação de x1 do que x1( k ) .xn1 ) / ann Observe que quando calculamos x2( k 1) . . e através do processo definido por: x1( k 1) ( k 1) x2 xn( k 1) (b1 (b2 (bn a12 . Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa.82 Método de Gauss . Andréa Vianna Prof.. assim como podemos utilizar x2( k 1) e x1( k 1) no cálculo de x3( k 1) .. xn(0) . Em geral. a1n .x2( k ) a 21. Se explicitarmos as variáveis deste processo. x2(0) .xn( k ) ) / a22 (k ) a n. o sistema linear Ax = b foi reescrito como x = Bx + g.Seidel O método de Gauss – Seidel é uma variante do método de Jacobi – Richardson que acelera a busca da solução para o sistema. quando calculamos x3( k 1) . x2( k ) .xn1 ) / ann Critério de convergência: O método de Gauss–Seidel converge se: max i j 1 j i aij aii 1 (Critério das Linhas) for satisfeito.. O processo iterativo foi descrito como: 𝑥 (𝑘+1) = 𝑏 ∗ − (𝐿∗ + 𝑅 ∗ )𝑥 (𝑘) .. . já sabemos o valor de x1( k 1) e.. 3. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . 0. Se B não for muito menor que 1.83 Critério de Sassenfeld for satisfeito ( max i 1 ).0)T e < 10-2 . Profa. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . OBS: Dado um sistema linear Ax = b pode acontecer que o método de jacobi-Richardson seja convergente enquanto que o método de Gauss-Seidel seja divergente e viceversa. j n aij a j i 1 ii Critério de parada: O método iterativo de Gauss–Seidel pára quando: ||𝑥 (𝑘+1) − 𝑥 (𝑘) ||∞ ||𝑥 (𝑘+1) ||∞ <𝜀 sendo um valor pré-estabelecido para a precisão. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. Uma permutação conveniente das linhas ou colunas de A antes de dividir cada equação pelo coeficiente da diagonal principal pode reduzir o valor de B . A convergência para os métodos: Jacobi-Richardson e Gauss-Seidel não depende do valor inicial x(0). Andréa Vianna Prof. em que os valores i são i i 1 aij j 1 aii calculados por recorrência através de i . a convergência pode ser bastante lenta. Exemplo: Resolver o sistema: 5 x1 x2 x3 5 3x1 4 x2 x3 6 3x 3x 6 x 0 2 3 1 pelo método de Gauss-Seidel com x(0) = (0. Profa. -1)T.00)t A solução exata do sistema proposto é x = (1. 0. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . 0. 0. Solução com 4 iterações: x = (1.9) e precisão ε = 10 .0015. -1.00.99. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. Exercício: 2 x x 1 Resolver o sistema: 1 2 utilizando o método de Gauss-Seidel com x(0) = x1 2 x2 3 -2 (0.84 k x1 x2 x3 0 1 2 3 4 OBS: Para < 10-2 temos que a solução do sistema é x = (1. Andréa Vianna Prof.9.9960)T. 1. 3)t. Efetuar. 5. Dado o sistema 5x1 x1 2x 1 2 x2 4 x2 3x 2 x3 2 x3 10 x 3 7 3 1 a) Verificar a convergência usando o critério das linhas e o critério de Sassenfeld. 2. Adriana Cherri Métodos Numéricos Computacionais Profa. Profa.4. 4.4. em ambos os casos. Dado o sistema: 4 x1 4 x1 x 1 2 x2 x2 5x 2 6x3 3x 3 3x 3 1 2 3 Mostrar que reordenando as equações e incógnitas poderemos fazer com que o critério de Sassenfeld seja satisfeito. Resolver o sistema: 10 x1 x1 2x 1 x2 10 x 2 x2 x3 x3 10 x 3 10 12 11 pelo método de Jacobi-Richardson com x(0) = (0. mas não o das linhas. b) Se possível.8)T e =10-2. 0.85 Exercícios: 1. resolvê-lo pelo método do item a). Andréa Vianna Prof.0. Dado o sistema: 10 x1 x1 7x 1 x2 10 x 2 x2 x3 8x3 10 x 3 10 20 20 a) Verificar a possibilidade de aplicação do método iterativo de jacobi-Richardson. 3. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista . 5.5.0)T e < 10-3. 0. b) Resolva o sistema utilizando Jacobi e Gauss-Seidel com x(0)=(-2. duas iterações partindo-se do vetor x(0) = (-2. x4 7 -6 -1 -1 Métodos Numéricos Computacionais Profa.x4 5 26 -7 33 Dado o sistema 10.1 a) Verifique a convergência usando o critério de Sassenfeld. b) Resolver pelo Método de Gauss-Seidel ( 3 iterações a partir do vetor nulo).x2 3. 4. 3.x1 7. b) Se possível.x3 1.x=b onde 2 A 1 0 3 .x3 1.x3 5.x4 4.x 1 2.x3 10.x4 1.x4 10.x2 10.x3 7. -1)T e =10-4.x3 8.x2 2. 9 Resolva o sistema linear pelo Método de Gauss-Seidel com x(0)=(3.x2 2.x2 9.x1 2. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista .x1 7 1. 8 Dado o sistema A.x4 2. Dado o sistema: 4 1 1 x1 6 1 6 1 x 2 8 2 1 8 x 3 11 a) Verificar a convergência usando o critério de Sassenfeld. 1. 6 Resolva o sistema linear abaixo pelo Método de Jacobi com x(0)=(0.x3 3. 4)T e =10-3. 0.x2 2. resolvê-lo com x(0) = (1.x3 3. 2.x2 8.x1 2.x3 10 20 20 a) Verifique a possibilidade de aplicação do método iterativo de Jacobi.86 5.x2 1.x3 1.x 1 1.x2 1.x 1 1.1 4 0 2 e b 3 2 3 . Adriana Cherri 1. -1)T e =10-3.x1 1. b) Resolva pelo Método de Gauss-Seidel partindo do vetor nulo com =10-2.x2 1. 5.x1 1.x1 1.x2 1.x3 Profa.x4 4. Andréa Vianna Prof. 1.x4 1.