Universidad Nacional del AltiplanoMATRICES Y DETERMINANTES MATRICES Una matriz es una ordenación rectangular de números en el cual las matrices son usadas en matemáticas para expresar relaciones entre objetos. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física. Explicaciones generales Sea la matriz a11 a12 a13 a1 j a1m a a2 m 21 a22 a23 a2 j A= ai1 ai 2 ai 3 aij aim an1 an 2 an 3 anj anm nxm Si la matriz es A las posiciones de cada número son ai j donde i es la fila y j es la columna en el cual se encuentra posicionado el número en la matriz A. Sea la matriz b11 b12 b13 b1 j b1m b b2 m 21 b22 b23 b2 j B= bi1 bi 2 bi 3 bij bim bn1 bn 2 bn 3 bnj bnm nxm Si la matriz es B las posiciones de cada número son bi j donde i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz B. Ejemplo. . Matriz 3 x 4 fila columna El primer número nos indica el número de filas que tiene la matriz. M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 1 Universidad Nacional del Altiplano El segundo indica la cantidad de columnas que tiene la matriz. Ejemplo: 1 2 3 4 3 filas 5 6 7 8 La matriz es 3 x 4 9 10 11 12 4 columnas Ejemplos: a11 a12 a13 b11 b12 b13 A a21 a22 a23 B b21 b22 b23 a31 a32 a33 b31 b32 b33 En la siguiente matriz indica la posición del número circulado. 1 2 3 4 2 __________ 5 6 7 8 7 __________ A 9 __________ 9 10 11 12 14 __________ 13 14 15 16 MATRICES ESPECIALES Matriz fila: Es la matriz que tiene una sola fila. Ejemplo: B = b11 b12 b13= ( b1j )(j = 1, 2, 3) Matriz columna: Es la matriz que tiene una sola columna. Ejemplo: c11 C = c21 = ( ci1 ) (i = 1, 2, 3) c31 matriz cuadrada Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada. M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 2 Universidad Nacional del Altiplano diagonal principal de una matriz cuadrada: a 11 a12 ... a1n a a 22 ... a 2 n A 21 ... ... ... ... a m1 a m2 ... a nn matriz diagonal: Una matriz cuadrada se dice DIAGONAL si son nulos todos los elementos que no estén en la diagonal principal; es decir: a11 0 ... 0 0 0 a22 ... 0 0 A a 0 si i j ... .... .... ... ... ij 0 0 ... 0 an ,n De donde por lo menos aij es diferente de cero. matriz identidad o unidad: Es una matriz cuadrada tal que a ij = 1 i = j; aij = 0 i j, es decir son nulos todos los elementos que no están en la diagonal principal y los elementos de la diagonal principal son todos 1. 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0 I ... .... .... ... ... 0 0 ... 0 1 Matriz triangular superior Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada de la forma: a11 a12 ... a1n 0 a a 2 n A 22 a ij 0 si i j ... ... ... ... 0 0 ... a mn Análogamente se define triangular inferior. IGUALDAD DE MATRICES. Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar. Es decir: M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 3 Universidad Nacional del Altiplano a11 a12 ... a1n b11 b12 ... b1n a a22 ... a2 n b b22 ... b2 n A 21 B 21 ... ... ... ... ... ... ... ... a ... amn b ... bmn m1 am 2 m1 bm 2 Sea A=B si para todo i{1,2,...,m} y para todo j {1,2,...,n} se cumple que a ij=bij. Ejemplo: Hallar x, y, z, w si 2x 4 5 y 9 x 2 3 y z 2 w 5 3z 2w 4 Por la definición de igualdad entre matrices, tenemos: 2x 4 x 2 5y 9 3 y z 2 3z w 5 2w 4 Despejando x, y, z, w en las ecuaciones anteriores, tenemos: x 2, y 1, z 1, w 1 MATRIZ TRANSPUESTA La matriz transpuesta de A, denotado por At o A' es la que se obtiene cambiando filas por columnas. Es decir, si Amn aij Amt n a ji Propiedades: 1. (A + B)t = At + Bt. 2. (At)t = A. 3. (kA)t = kAt (si k es un escalar). 4. (AB)t = BtAt. 2 1 1 t 2 1 3 Ejemplo: A 0 A 3 1 0 4 4 MATRIZ SIMÉTRICA: (sólo matrices cuadradas). Una matriz A se dice simétrica cuando AT = A; aij a ji i j 1 2 3 Ejemplo: A 2 4 1 3 1 0 MATRIZ ANTISIMÉTRICA: (sólo matrices cuadradas). Una matriz A M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 4 Universidad Nacional del Altiplano a11 a12 ... a1n a a22 ... a2 n A 21 ... ... ... ... a ... amn m1 am 2 Se dice antisimétrica cuando BT = -B; a ji aij i j 0 a12 ... a1n a 0 ... a2 n A 12 ... ... ... ... a1n a2 n ... 0 Ejemplo: 1 1 2 A 1 0 2 2 2 2 Matrices ortogonales Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AA t = At A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = At. Consideremos una matriz 3 3 arbitraria: Si A es ortogonal, entonces: Matrices normales Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AA T = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal. Ejemplo: M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 5 Universidad Nacional del Altiplano Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal. MATRICES IDEMPOTENTES, NILPOTENTES Y UNIPOTENTES. Definiciones: Sea A una matriz cuadrada de orden n: 1) Diremos que A es IDEMPOTENTES si y solo si A.A=A2=A 2) Diremos que A es UNIPOTENTE si y solo si A.A=A2=In 3) Diremos que A es NILPOTENTE si y solo si A.A=A2=0 (Matriz nula orden n) PROPIEDADES 1) Si A y B son matrices idempotentes de orden n entonces: a. A.B es idempotente solo si A.B=B.A 2) Si A es unipotente A-1=A y por tanto toda matriz unipotente tiene inversa. Y en consecuencia rg(A)=n 3) Si A es nilpotente entonces In-A es invertible y su inversa es In− A = In+ A M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 6 Universidad Nacional del Altiplano OPERACIONES CON MATRICES Suma de matrices Para poder sumar matrices deben de tener el mismo orden, ambas matrices deben tener el mismo número de filas y columnas. Definición de suma: Si A = (ai j) mxn y B = (bi j) mxn entonces su suma es A + B = (ai j + bi j) mxn. Ejemplo: Suma las matrices A + B 1+5=6 1 3 5 7 1 3 5 7 6 A B Suma a1 1 + b1 1 5 7 4 8 5 7 4 8 3 + 7 = 10 1 3 5 7 6 10 Suma a1 2 b1 2 + 5 7 4 8 1 3 5 7 6 10 5 7 4 8 9 Suma a2 1 + b2 1 5+4=9 1 3 5 7 6 10 Suma a2 2 + b2 2 5 7 4 8 9 15 7 + 8 = 15 Propiedades: Ley asociativa A B C A B C Ley conmutativa A B B A Elemento neutro 0 0 1 2 1 2 0 0 3 4 3 4 Producto de un escalar Definición: Si kA = k( ai j ) mxn Debes multiplicar cada número de la matriz por el escalar. M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 7 Universidad Nacional del Altiplano Propiedades si p y q son dos constantes donde A y B son dos matrices se cumple: 1) p(A + B) = pA + pB 2) (p + q)A = pA + q A 3) (pq)A = p(qA) 4) 1A=A , 1 = neutro multiplicativo en IK. Ejemplo: determine 2A 1 5 1 5 2 10 A 2A 2 3 4 3 4 6 8 Inverso aditivo (resta) 2 3 4 5 A B 4 1 1 2 Determine A – B 2 3 4 5 6 8 A B 4 1 1 2 5 3 El orden es igual que en la suma pero debes fijarte muy bien en los signos. PROBLEMAS VARIOS En cada ejercicio realiza: a) A + B b) B – A c) 2 A + 3 B d) 5 A - 4 B 1 2 1 3 1) A 3 4 B 2 6 1 0 0 4 5 2 6 3 2) A B 3 8 4 9 2 5 6 5 2 7 3) A 4 7 1 B 3 4 8 3 4 2 2 9 7 3 0 1 0 2 1 4) A B 2 1 2 1 2 3 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 8 Universidad Nacional del Altiplano 5) A 1 0 B 0 1 1 2 3 4 5 7 9 4 2 3 4 5 0 3 1 1 6) A B 0 3 2 1 4 6 8 7 1 2 2 0 5 0 3 4 7) A 0 B 1 8) A 2 5 B 5 7 9 5 3 2 1 9) A B 2 8 7 3 Realiza las siguientes adiciones : 2x 3y 5 5- x y 6 5x - 2 4 y 1 6z 1 5 2w + 2z 3 7w 2 - z 12 5w 8 = Encuentra el valor de las variables : 2 x 3 5 2 x y 5 0 3w 4 8 1 w 1 5z Resuelve las ecuaciones matriciales : 2 5 6 1 x+ 3 12 3 0 12 0 2,5 3,6 6 9 X 4,5 5,8 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 9 Universidad Nacional del Altiplano MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Para poder realizar la multiplicación de matrices debemos revisar primero el número de filas y columnas de la matriz. Si los números centrales son iguales entonces se puede multiplicar y el tamaño de la respuesta son los números de los extremos de las matrices. Ejemplo. Si tenemos que una matriz es 3 x 5 y la otra 5 x 2 se puede multiplicar si Matriz A Matriz B El tamaño de la respuesta es 3 x 2 Si los números centrales son 3 x 5 5 x 2 iguales entonces se puede multiplicar y el tamaño de la respuesta son los números de Debe ser igual entonces los extremos 3 x 2 si se puede multiplicar Resuelve el siguiente ejercicio e indica si se puede multiplicar las matrices o no, y cual es el tamaño de la matriz de la respuesta. Matriz A Matriz B ¿se puede Tamaño de multiplicar? respuesta 3x4 4x5 5x6 6x2 5x3 4x6 7x8 8x2 4x2 3x4 5x7 7x2 3x1 1x4 4x3 4x3 2x5 5x4 La multiplicación de matrices en IK2x2 , tales como las matrices a11 a12 b11 b12 A b b22 , B = a21 a22 21 Se define así: a11 a12 b11 b12 a11 b11 a12 b21 a11 b12 a12 b22 AB= a b a b a b a b a21 a22 b21 b22 21 11 22 21 21 12 22 22 Ejemplo 01 3 4 2 5 3 2 4 1 3 5 4 6 2 9 2 0 1 6 2 2 0 1 2 5 0 6 4 10 Ejemplo 02. 7 8 6 1) Reviso el tamaño de la matriz 0 1 2 33 10 11 9 A= 2x3 B=3x3 12 13 14 3 4 5 Como son iguales se puede multiplicar. El tamaño de la matriz de la respuesta M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 10 es 2 x 3 Universidad Nacional del Altiplano Se opera así: 0 6 1 9 2 12 2) Siempre se toma la primera matriz 0 9 24 33 con la fila 1 (horizontal) con la 1 columna (vertical) marcada en la 7 8 6 0 1 2 33 36 matriz. 10 11 9 12 13 14 3 4 5 0 7 110 2 13 0 10 26 36 7 8 6 0 1 2 33 36 39 10 11 9 12 13 14 3 4 5 0 8 111 2 14 0 11 28 39 7 8 6 0 1 2 33 36 39 10 11 9 3 4 5 12 13 14 114 3 6 4 9 5 12 18 36 60 114 7 8 6 0 1 2 33 36 39 10 11 9 3 4 5 12 13 14 114 126 3 7 4 10 5 13 21 40 65 126 7 8 6 0 1 2 33 36 39 10 11 114 126 138 9 12 13 14 3 4 5 3 8 4 11 5 14 24 44 70 138 En conclusión. 7 8 6 0 1 2 33 36 39 10 11 9 3 4 5 114 126 138 12 13 14 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 11 Universidad Nacional del Altiplano Ejemplo 02 Sean A una matriz de dimensión 5 3 , B una matriz de dimensión m n y C una matriz de dimensión 4 7 . Sabemos que se puede obtener la matriz A B C . ¿ Cuáles son las dimensiones de las matrices B y A B C ? Solución La multiplicación de matrices no siempre es posible. Para poder multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la matriz de la izquierda coincida con el número de filas de la matriz de la derecha. Si aplicamos este resultado al problema tendremos: (5 3) (m n) (4 7) implica que m 3 y n 4 . Luego las dimensiones de B son 3 4 . Por otro lado, las dimensiones de A B C son 5 7 Ejemplo 03 1 1 x 1 x 3 Resuelve : 3 2 y y 1 2 Solución x y 3 2x Efectuamos el producto de las matrices, quedando : 3x 2 y 3 y 2 Ahora podemos aplicar el resultado que afirma que dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y los términos correspondientes iguales, es decir: x y 3 2x aij = bij . Por tanto tenemos que 3x 2 y 3 y 2 5 7 Resolvemos el sistema y obtenemos que : x e y 4 4 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 12 Universidad Nacional del Altiplano PROBLEMAS VARIOS Encuentra AB y BA, si es posible. 3 5 5 2 1) A B 2 6 1 7 4 3 2 1 2) A B 2 1 4 2 3 0 1 1 5 0 3) A 0 4 2 B 4 1 2 5 3 1 0 1 3 5 0 0 3 0 0 4) A 0 3 0 B 0 4 0 0 0 2 0 0 2 2 1 4 3 1 5) A B 0 1 5 2 2 4 7 1 2 0 2 6) A 3 4 B 1 2 5 6 3 4 1 7) A 1 1 B 2 3 1 2 3 1 5 7 8) A B 4 5 0 2 3 0 9) Tres ebanistas: José, Pedro y Arturo trabajan a destajo para una compañota de muebles .Por cada juego de alcoba en caoba les pagan $500; si es de cedro les pagan $400 y si es de pino tratado les pagan $100. A continuación M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 13 Universidad Nacional del Altiplano están las matrices A y B que representas sus producciones en enero y febrero. La matriz X es la matriz pago/unidad. Producción Producción Salario/ enero febrero Unidad A B Caoba Cedro Pino Caoba Cedro Pino X José 1 Caoba 500 2 0 3 2 3 Pedro Cedro 400 1 1 4 2 0 3 Arturo Pino 100 1 2 3 2 1 4 Calcule las siguientes matrices y decida que representan. a) AX b) BX c) A B D) A B X 10) Evalúa la expresión matricial 3 3 7 - 9 5 - 8 A 2 6 2 y B 3 - 7 1 4 2 5 - 1 2 6 Evalúa: a) A2 B 2 b) 3 A BA c) A2 5B d) A A2 B B 2 2 3 1 0 11) Calcular A 3 A I , siendo A ,I . 2 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 12) Se consideran las matrices A 0 1 1 ,B 0 0 1 ,I 0 1 0 . 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Calcular B3. Calcular A3. (Sugerencia A = B + I.) 1 1 1 1 0 1 1 1 13) Dada la matriz X hallar X 2 y X 3 . 0 0 1 1 0 0 0 1 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 14 Universidad Nacional del Altiplano DETERMINANTES Un determinante es una función de IR nn en IR , tal que det hace corresponder a cada matriz A un único número real det(A) el cual se define como: 1. Para n=1, A a11 ; entonces det( A) a11 a a12 2. Para n=2, A 11 ; entonces det( A) a11a22 a21a12 a21 a22 a11 a12 a13 3. Para n=3, A a21 a22 a23 ; entonces a a33 31 a32 a22 a23 a21 a23 a21 a22 det( A) a11 a12 a13 a32 a33 a31 a33 a31 a32 En general para una matriz de n filas y n columnas se tiene. a11 a1n A a ann n1 Entonces: n det( A) (1)i j a1 j det A(1/ j ) j 1 Dónde A(1/ j ) es submatriz de A eliminando la primera fila y la j-esima columna. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Los determinantes tiene muchas propiedades especiales, alguna de la cuales las enunciamos aquí donde A una matriz cuadrada. Propiedad 01 Si toda entrada en una fila (o columna) es cero entonces A 0 . Ejemplo Sin desarrollar de deduce “Si toda entrada en una fila (o columna) es cero entonces A 0 .” 1 2 3 A 0 0 0 Toda la fila es 0 por lo tanto Det A = 0 4 8 6 Propiedad 02 Si una matriz B se forma intercambiando dos fila (o columnas) de A, entonces B A . Ejemplo. M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 15 Universidad Nacional del Altiplano Se deduce “Si una matriz B se forma intercambiando dos fila (o columnas) de A, entonces B A ”. Se intercambió columna 1 1 0 2 2 0 1 3 7 8 8 7 3 B A de donde 4 1 4 4 1 4 Se intercambió columna 3 B 26 y A 26 Propiedad 03 Si una matriz B se forma multiplicando cada entrada en una fila (o columna) de A por un número real k, entonces B k A . Ejemplo. Se factoriza dos de cada entrada de la primera fila “Si una matriz B se forma multiplicando cada entrada en una fila ( o columna) de A por un número real k, entonces B k A ”. 4 8 2 2 4 1 0 3 4 2 0 3 4 1 7 8 1 7 8 Propiedad 04 Si dos filas (o columnas) de una matriz A son iguales, entonces A 0. Ejemplo. Como la primera y segunda columna son iguales entonces se deduce “Si dos filas (o columnas) de una matriz A son iguales, entonces A 0. ” 2 2 3 1 1 5 0 6 6 2 Propiedad 05 Si una matriz B se forma remplazando cualquier fila (o columna) de A por la suma de esa fila (o columna) y k veces cualquier otra fila (o columna) de A, entonces B A M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 16 Universidad Nacional del Altiplano Ejemplo: la matriz A 2 1 7 5 2 1 Tiene de determinante A 7 5 2 5 ( 1) 7 10 7 17 Los determinantes de tercer orden se desarrollan mediante la llamada regla de Sarrus: a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a11a 22a 33 a 21a 32a13 a12a 23a 31 a13a 22a 31 a 23a 32a11 a12a 21a 33 a 31 a 32 a 33 En + - esquema Ejemplo: 4 3 2 6 1 3 4 1 4 6 7 2 ( 3) 3 ( 3) 2 1 ( 3) 3 7 4 ( 3) 6 4 3 7 4 16 84 27 6 84 72 121 Problemas varios En los siguientes problemas establezca por qué la igualdad es verdadera sin calcular los determinantes dados. 3 4 0 6 3 2 1 3 2 1 8 2 4 1 2 9 0 4 1) 1 2 4 0 7 8 2) 2 3) 0 2 3 0 3 0 7 8 1 2 4 1 3 1 3 1 2 0 6 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 1 3 2 1 3 2 2 1 5 2 1 5 4) 5) 4 1 5 4 1 5 7 8 0 1 7 8 0 1 2 4 3 0 2 1 6 4 1 6 6 4 1 6 1 1 2 0 1 2 3 1 3 3 2 1 6) 2 1 3 1 1 3 7) 2 0 2 0 8) 6 8 2 0 3 1 4 2 1 4 6 4 6 3 4 1 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 17 Universidad Nacional del Altiplano INVERSA DE UNA MATRIZ Definición de inversa de una matriz: Si A es una matriz cuadrada de orden n. Si existe una matriz B tal que AB = In = BA Entonces B se llama inversa de A y se denota con A 1 . (Se lee “A inversa”) Si a es una matriz cuadrada tiene una inversa y decimos que A es invertible. Si A no es una matriz cuadrada no es posible invertirla. METODO DE GAUSS JORDAN Para resolver la inversa de una matriz por el método de Gauss Jordan, bastará con aplicar las operaciones elementales sobre los renglones de la matriz ampliada (A, I) de manera de transformar A en I. Cuando se haya hecho, se obtendrá la matriz ampliada ( I , A 1 ) , con lo que se tendrá la inversa buscada. EJEMPLO Invertir la matriz Auméntese la matriz de coeficientes con una matriz identidad Usando a11 como pivote, el renglón 1 se normaliza y se usa para eliminar a X1 de los otros renglones. M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 18 Universidad Nacional del Altiplano En seguida, se usa a22 como pivote y X2 se elimina de los otros renglones. Finalmente, se usa a33 como pivote y X3 se elimina de los renglones restantes: Por lo tanto, la inversa es: Se puede resolver un sistema de ecuaciones con la inversa de la matriz de coeficientes, de la siguiente manera: donde C es el vector de términos independientes. M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 19 Universidad Nacional del Altiplano MENOR Y COFACTOR DE UNA MATRIZ MENOR Para cada entrada aij de una matriz cuadrada A de orden nn 2 , el menor Mij se define como el determinante de la matriz de orden n – 1 obtenida al suprimir la fila i-ésima y la columna j-ésima de A. Asi, para 1 2 3 A= 2 4 6 Para hallar el menor M11: 1 5 7 a) suprimimos la primera fila y la primera columna asi 1 2 3 M11 = 2 4 6 1 5 7 b) tomamos los números que no quedan tapados ( los números rojos) 1 2 3 4 6 M11 = 2 4 6 5 7 1 5 7 c) Tercero hallamos el determinante 1 2 3 4 6 M11 = 2 4 6 47 56 28 30 2 5 7 1 5 7 Hallar los menores M 12 , M 22 y M 32 1 2 3 2 6 M12 = 2 4 6 27 16 14 6 8 1 5 7 1 7 1 2 3 1 3 M22 = 2 4 6 17 31 7 3 4 1 7 1 5 7 1 2 3 1 3 M32 = 2 4 6 16 23 6 6 0 2 6 1 5 7 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 20 Universidad Nacional del Altiplano COFACTOR cof ( Aij ) El cofactor Aij de la entrada aij se define como el menor M ij multiplicado por 1 i j El cofactor nos da como resultado es el signo del menor. Aij 1 M ij i j MENOR COFACTOR Aij 1 M ij 1 2 1 2 1 2 2 i j 11 2 M 11 = -2 M 12 = 8 Aij 1 i j M ij 112 8 13 8 18 8 M 22 = 4 Aij 1 i j M ij 122 4 14 4 1 4 4 M 32 = 0 Aij 1 i j M ij 13 2 0 0 En una matriz de tercer orden, el signo de los menores seria: MATRIZ ADJUNTA Si A es una matriz cuadrada n x n y B es la matriz de sus cofactores, entonces la Adjunta de A, denotada por adjA que es la transpuesta de la matriz B cuadrada n x n . A11 A21 ... An1 A A22 ... An 2 12 . . . adjA B T . . . . . . A1n A2 n ... Ann Ejemplo 01: Determine la adjA 1 3 A 4 2 Primero calculamos TODOS los cofactores de la matriz A. A11 2 A12 4 A21 3 A22 1 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 21 Universidad Nacional del Altiplano Segundo con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo B T que es la adjA . 2 4 2 3 B BT adjA 3 1 4 1 Ejemplo 02: 1 2 3 Calcular la adjA A 5 1 2 3 4 3 Solución Primero calculamos todos los cofactores de la matriz A. 1 2 5 2 5 1 A11 (1)11 5 A12 (1)1 2 21 A13 (1)13 17 4 3 3 3 3 4 2 3 1 3 1 2 A21 (1) 21 6 A22 (1) 2 2 12 A23 (1) 23 2 4 3 3 3 3 4 2 3 1 3 1 2 A31 (1) 31 1 A32 (1) 3 2 13 A33 (1) 33 9 1 2 5 2 5 1 Segundo con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo B T que es la adjA . 5 21 17 5 6 1 B 6 12 2 B 21 12 13 adjA T 1 13 9 17 2 9 PROBLEMAS VARIOS Calcular la adj ( A) de las siguientes matrices. 2 3 1 3 3 4 1) A 2) A 3) A 1 5 2 4 2 5 2 3 1 1 3 4 6 5 3 4) A 5 4 3 5) A 5 2 1 6) A 2 4 5 1 3 6 9 6 8 1 2 3 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 22 Universidad Nacional del Altiplano INVERSA DE UNA MATRIZ POR LA ADJUNTA Ejemplo: Inversa de una matriz 2 x 2 Método I: TEOREMA: a a12 A 11 a 21 a 22 Si el determinante de A no es cero el inverso multiplicativo de A es: 1 a 22 a12 A 1 a A 21 a11 Ejemplo: encontrar A 1 3 5 A 1 4 Primero encuentro el determinante de A: A 3 4 51 12 5 7 Segundo calculo la adj A Cofactores de A 3 5 A 1 4 A11 4 A12 1 A21 5 A22 3 Tercero con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo B T que es la adjA . 4 1 4 5 B BT adjA 5 3 1 3 Cuarto aplicar el teorema 1 A11 A21 A 1 A A12 A22 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 23 Universidad Nacional del Altiplano 4 5 1 4 5 7 A 1 7 7 1 3 1 3 7 7 Comprobamos la respuesta: AA 1 I 2 A1 A 4 5 3 5 7 7 1 0 1 4 1 3 0 1 7 7 4 1 12 5 7 5 3 a11 3 5 1 a12 3 5 0 15 15 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 4 1 4 4 0 5 3 5 12 7 a 21 1 4 0 a 22 1 4 1 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 EJERCICIOS Utiliza el método de determinantes para hallar la inversa de las siguientes matrices. 1 5 2 1 2 3 2 3 1) 2) 3) 4) 2 3 3 4 7 9 4 6 6 12 8 1 5) 6) 3 6 3 4 Ejemplo: Inversa de una matriz 3 x 3 1 2 3 Determine A 1 si A 5 1 2 3 4 3 Solución Primero calculamos la determinante de A 1 2 3 A 5 1 2 3 4 3 1 2 5 2 5 1 A 1 2 3 3 8 2 15 6 320 2 4 3 3 3 2 4 5 42 66 103 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 24 Universidad Nacional del Altiplano Segundo calculamos TODOS los cofactores de la matriz A. 1 2 5 2 5 1 A11 (1)11 5 A12 (1)1 2 21 A13 (1)13 17 4 3 3 3 3 4 2 3 1 3 1 2 A21 (1) 21 6 A22 (1) 2 2 12 A23 (1) 23 2 4 3 3 3 3 4 2 3 1 3 1 2 A31 (1) 31 1 A32 (1) 3 2 13 A33 (1) 33 9 1 2 5 2 5 1 Tercero con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo B T que es la adjA . 5 21 17 5 6 1 B 6 12 2 B 21 12 13 adjA T 1 13 9 17 2 9 Cuarto encuentro la inversa de la matriz A así: A11 A21 A31 5 6 1 1 1 1 A A12 A22 A32 21 12 13 A 103 A13 A23 A33 17 2 9 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 25 Universidad Nacional del Altiplano EJERCICIOS Utiliza el método de determinantes para hallar la inversa de las siguientes matrices. 1 1 0 1 2 1 1 2 5 3 5 8 1) 1 0 1 2) 1 0 2 3) 2 3 8 4) 2 4 6 0 1 0 2 1 1 1 1 5 1 7 4 2 2 1 1 2 1 5) 4 4 3 6) 3 4 2 6 5 3 1 0 2 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 26 Universidad Nacional del Altiplano SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DEFINICIÓN Una ecuación de la forma a1 x1 a2 x2 a3 x3 ....... an xn b es una ecuación lineal donde x1 , x2 , x3 ,........, xn son n variables o incógnitas y a1 , a2 , a3 ,....., an , b son constantes reales. Ejemplo: Las siguientes ecuaciones son lineales: 2 x1 3x2 4 x3 6 x1 entonces 4 x1 3x2 4 x3 0 1 y x 3z 1 2 3x1 6 x2 6 x3 12 x4 0 x1 x2 x3 ....... xn 1 Las siguientes ecuaciones no son lineales: 1 4y x 3zy 2 2 x2 3 x1 4 2 x1 3x2 cos x3 0 El conjunto de todas las soluciones de la ecuación a1 x1 a2 x2 a3 x3 ....... an xn b se le llama conjunto solución y lo denotamos por S. S 1 , 2 , 3 ,........, n / a11 a2 2 a33 ....... an n b Ejemplo 01. Encuentre el conjunto solución de cada uno de la siguiente ecuación: 4x 2 y 1 Solución: Si despejando x tendríamos 2 y 1 1 1 x x y 4 2 4 De donde se puede asignar a y t; donde t IR y t es un parámetro luego. 1 1 x t 2 4 y t 1 1 De donde el conjunto solución estaría dado como: S t ; t / t IR 2 4 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 27 Universidad Nacional del Altiplano Si despejando y tendríamos 1 y 2x 2 De donde se puede asignar a x t; donde t IR y t es un parámetro luego. 1 y 2t 2 x t 1 De donde el conjunto solución estaría dado como: S 2t ; t / t IR 2 Ejemplo 02. Encuentre el conjunto solución de cada uno de la siguiente ecuación: x1 4 x2 7 x3 5 Solución: Si despejando x1 tendríamos x1 4 x2 7 x3 5 De donde se puede asignar a x2 t; x3 s donde t , s IR y son parámetros luego se tiene que. x1 4t 7 s 5 x2 t x s 3 De donde el conjunto solución estaría dado como: S 4t 7s 5; t; s / t , s IR GEOMETRÍA DE UN SISTEMA LINEAL DE DOS ECUACIONES CON DOS VARIABLES. Consideremos el sistema lineal. a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2 Donde ai 0 y bi 0 (i 1, 2) Cada una de las ecuaciones lineales del sistema representa una recta en el plano a los cuales denotaremos por l1 y l2 Para la solución de las ecuaciones lineales se presenta tres posibilidades. Caso I M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 28 Universidad Nacional del Altiplano Si las rectas l1 y l2 se intersectan en un solo punto. Y y0 x0 X La solución viene dado por ( x0 , y0 ) Caso II Si las rectas l1 y l2 son paralelas no coincidentes. Y X En estos casos no tiene solución y la solución seria el vacío ( ) Caso III Si las rectas l1 y l2 son paralelas coincidentes. Y X El conjunto solución es el infinito. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de la forma: M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 29 Universidad Nacional del Altiplano a11 x1 a12 x 2 a13 x3 ....... a1n x n b1 a x a x a x ....... a x b 21 1 22 2 23 3 2n n 2 .......................................................... a m1 x1 a m 2 x2 a m3 x3 ....... a mn x n bm Donde tiene ”m" ecuaciones y ”n" incógnitas REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL a11 x1 a12 x 2 a13 x3 ....... a1n x n b1 a x a x a x ....... a x b 21 1 22 2 23 3 2n n 2 .......................................................... a m1 x1 a m 2 x2 a m3 x3 ....... a mn x n bm Un sistema lineal así expresado tiene ”m" ecuaciones y ”n" incógnitas, donde aij son números reales, llamados coeficientes del sistema, los valores bn son números reales, llamados términos independientes del sistema, de donde las xj incógnitas son las variables del sistema. Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene la forma: A X B a11 a12 . . a1n x1 b1 a 21 a 22 . . a2n x2 b2 ... ... . . ... . . a . . a mn m1 am2 xn = bn Matriz de Matriz de Matriz de términos coeficientes incógnita independientes s Donde: Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión m n formada por los coeficientes del sistema, y la designamos por A. Designamos por X a la matriz columna formada por las incógnitas. Denotamos por B a la matriz columna formada por los términos independientes. Llamamos matriz ampliada o aumentada de dimensión m (n 1) a la matriz que se obtiene al añadir a la matriz del sistema (= matriz de coeficientes) la columna de los términos independientes, y la denotamos por A , es decir: M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 30 Universidad Nacional del Altiplano a11 a12 ... a1n b1 a21 a22 ... a2 n b2 A = ... ... ... ... ... am1 am 2 ... amn bm x y z 1 Ejemplo. Sea el sistema lineal x y z 1 x y z 1 De donde la matriz aumentada del sistema viene dado por: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. Existen dos métodos de solución como son: Métodos directos Métodos iterativos Métodos directos: Método de Gauss (por reducción) Método de Cramer (por determinantes) Por inversión de la matriz Método de Gauss-Jordan (por eliminación) Por sustitución Métodos iterativos: Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 31 Universidad Nacional del Altiplano MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS (POR REDUCCIÓN) Dado un sistema de "m" ecuaciones con "n" incógnitas se trata de obtener un sistema equivalente cuya 1ª ecuación tenga n incógnitas, la segunda n-1, la tercera n-2, y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación, que tendrá una sola incógnita. Hecho esto, resolvemos la última ecuación, a continuación la penúltima, y así hasta llegar a la primera. Es decir, el método de Gauss consiste en triangular la matriz de coeficientes. Ejemplo: Resolver el siguiente sistema compatible determinado Ejemplo: Resolver el siguiente sistema compatible indeterminado M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 32 Universidad Nacional del Altiplano MÉTODO DE CRAMER (POR DETERMINANTES) Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas n=m y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado y, por tanto, tiene siempre una solución única. El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinate de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes. Teorema: Sea un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, con matriz M y matriz ampliada M b . Sea p el número de escalones de M y p ' el número de escalones de M b : Deter min ado p n Es compatible p p' . In det er min ado p n Demostración: Regla de Cramer. Definición: Consideremos un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas; a11 x1 a12 x 2 a13 x3 ....... a1n x n b1 a x a x a x ....... a x b x1 x2 xn 21 1 x1 , x2 ,……., x n 22 2 23 3 2n n 2 , con .......................................................... a n1 x1 a n 2 x 2 a n3 x3 ....... a nn x n bn a11 a12 ... a1n b1 a12 ... a1n a11 b1 ... a1n a a 22 ... a 2 n b2 a 22 ... a 2 n a 21 b2 ... a 2 n 21 , x , x , ……, ... ... ... ... 1 ... ... ... ... 2 ... ... ... ... a n1 an2 ... a nn bn an2 ... a nn a n1 bn ... a nn a11 a12 ... b1 a a 22 ... b2 xn 21 ... ... ... ... a n1 an2 ... bn Demostración: Discusión: M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 33 Universidad Nacional del Altiplano 1- Si 0 Sistema compatible y determinado. 2- Si x1 x2 ...... xn 0 Sistema compatible e indeterminado. 3- Si 0 y algún xi 0 Sistema incompatible. Ejemplo: Resolver el siguiente sistema compatible determinado M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 34 Universidad Nacional del Altiplano POR INVERSIÓN DE LA MATRIZ Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas n=m y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, resuelve sistemas compatibles determinados (no-homogéneos). Ejemplo: Resolver el siguiente sistema compatible determinado MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Es una variante del método de Gauss, y resulta ser más simple al final del proceso, ya que no es preciso despejar las variables pues la solución se obtiene directamente. Se basa en diagonalizar la matriz de coeficientes. Ejemplo 01 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 35 Universidad Nacional del Altiplano Ejemplo 02 Calcular la inversa de por GAUSS-JORDAN: 1. Se escribe la matriz A junto a esta la matriz identidad, 2. Triangularizamos la matriz A de arriba a abajo y realizamos las mismas operaciones en la matriz de la derecha. Como podemos observar el rango de la matriz es máximo (en este caso 3), por tanto la matriz A es regular (tiene inversa), podemos calcular su inversa. 3. Triangularizamos la matriz de abajo a arriba, realizando las mismas operaciones en la matriz de la derecha. 4. Por último se divide cada fila por el elemento diagonal correspondiente. M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 36 Universidad Nacional del Altiplano M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 37 Universidad Nacional del Altiplano EJERCICIOS RESUELTOS 1. Calcula los productos posibles entre las matrices 1 2 3 1 2 1 0 A 1 1 1 , B 2 y C 0 1 1 1 3 4 5 2 3 0 1 2 1 1 2 0 3 4 2. Para las matrices A , B , C 5 1 4 2 y D 1 , 4 0 3 1 2 3 1 0 0 3 3 realiza las siguientes operaciones: a) A + B b) 3A - 4B c) AB d) AD e) BC f) CD g) AtC h) DtAt i) BtA j) DtD k) DDt 3. Descomposición en suma de una matriz simétrica y otra antismétrica las matrices siguientes: 1 0 1 1 0 1 1 4 a) b) 0 4 2 c) 0 1 0 2 5 5 3 4 2 7 2 0 1 4. Para la matriz A , calcula A50 y A97. Encuentra los valores de a y b 1 0 a 0 para que la matriz A conmute con la matriz . b 1 5. Obtén las matrices X e Y que verifiquen los siguientes sistemas matriciales: 1 2 2 2 1 3 1 2X Y X Y 2X Y a) 2 1 0 b) 3 0 c) 0 2 X 3Y 4 3 2 X Y 6 2 X 2 Y 1 0 1 0 1 0 1 2 4 3 8 1 5 3X Y 2X 3Y 3 2 4 2 d) e) X Y 1 8 X Y 1 0 0 1 3 6 6. Calcula An, para n N, siendo A las siguientes matrices: 1 0 1 1 1 1 1 cos sen a) b) c) d) 0 1 0 1 1 0 1 sen cos 0 0 1 1 1 1 1 1 1 e) 1 1 1 f) 0 1 1 1 1 1 0 0 1 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 38 Universidad Nacional del Altiplano 7. Calcula el rango de las siguientes matrices: 2 1 1 1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 0 a) b) 1 0 1 c) 2 1 d) 2 1 0 0 4 2 1 1 0 0 0 1 2 1 5 1 8 1 2 3 4 5 1 3 10 11 13 8. Calcula las matrices inversas, si existen, de las siguientes matrices: 1 1 2 2 1 0 0 1 1 2 1 2 a) b) c) d) 1 0 3 e) 3 1 2 f) 2 0 3 4 4 8 4 1 1 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. Resuelve la ecuación AX – B + C = 0, siendo: 4 1 1 2 0 - 1 0 1 2 1 A , B y C 1 0 - 2 - 1 1 0 1 0 3 0 10. Resuelve la ecuación matricial B(2A+ 1) = AXA + B, siendo 3 2 1 1 1 2 A 4 1 1 y B 1 0 1 . 2 0 1 0 1 1 11. Resuelve la ecuación matricial en X: XA – 2B + 3C = D, siendo: 2 3 2 0 0 3 5 4 A , B , C y D 1 1 1 4 2 0 3 6 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 39 Universidad Nacional del Altiplano SOLUCIONES PREGUNTA 1. 1 2 3 1 8 A 3x 3·B 3x1 1 1 1 2 4 0 1 1 1 1 B3x1·A3x3. No es posible. A3x3·C2x3. No es posible. 1 2 3 2 1 0 3 5 7 C2 x 3·A 3x 3 1 1 1 3 4 5 0 1 1 7 15 8 B3x1·C2x3 No es posible. 1 2 1 0 4 C2 x 3·B 3x1 2 3 4 5 1 16 PREGUNTA 2. 1 1 2 0 3 4 1 2 6 a) A B 4 0 3 1 2 3 3 2 0 1 1 2 0 3 4 3 3 6 0 12 16 3 15 10 b) 3A 4B 3 4 4 0 3 1 2 3 12 0 9 4 8 12 16 8 21 c) A2x3·B2x3. No es posible. 2 1 1 2 7 d) A 2 x 3·D3x1 1 4 0 3 3 1 2 3 0 1 0 3 4 11 3 12 18 e) B 2 x 3·C3x 4 5 1 4 2 1 2 3 1 0 0 3 5 5 8 14 f) C3x4·D3x1. No es posible. 1 4 g) At 1 0 2 3 A53x2·C3x4. No es posible. 1 4 h) D1t x 3·A 3t x 2 2 1 3 1 0 (7,1) 2 3 t 7 También: Dt ·A t (A·D) t (7,1) 1 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 40 Universidad Nacional del Altiplano 0 1 4 0 3 1 1 2 i) B 3t x 2 ·A 2 x 3 3 2 5 3 12 4 3 4 0 3 16 4 1 2 j) D1t x 3·D3x1 2 1 3 1 14 3 2 4 2 6 k) D3x1·D1t x 3 1 2 1 3 2 1 3 3 6 3 9 PREGUNTA 5. 1 2 2 3 6 6 2 x y 6x 3y 2 1 0 6 3 0 4 3 2 - 4 3 2 x 3y x - 3y 1 0 1 1 0 1 _____________________ 1 2 2 -1 3 4 a) 2x y 5x 2 1 0 - 7 3 1 8 6 4 - 1/5 3 / 5 4 / 5 2 x 6 y x 2 0 2 7 / 5 3 / 5 1 / 5 ________________________ 9 8 6 9/7 8/7 6/7 7 y y 0 1 2 0 1/7 - 2/7 2 1 2 1 x y x y 3 0 3 0 6 2 - 6 - 2 x y - x y 1 0 - 1 0 b) ________________ ___________________ 8 3 - 4 1 2x 2y 3 1 3 1 4 3 / 2 - 2 1 / 2 x y 3 / 2 1 / 2 3 / 2 1 / 2 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 41 Universidad Nacional del Altiplano 3 1 6 2 2 x y 4x 2y 0 2 0 - 4 1 0 - 1 0 x 2 y - x - 2y 2 4 2 - 4 ____________________ 5 2 5/2 3/2 3x x 2 8 3 / 2 8 / 2 c) 3 1 2x y 0 2 2 0 2 x 4 y 4 8 _____________________ 1 1 - 1/3 1 / 3 3y y 4 10 4 / 3 10 / 3 3 8 3 8 3x y 3x y 3 2 3 2 1 8 3 24 x y - 3x - 3y 0 1 0 3 d) _________________ _____________________ 2 0 0 16 2x - 2y 3 1 3 1 1 0 0 8 x y 3 / 2 1 / 2 3 / 2 1 / 2 1 0 1 A 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 2 e) A2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 2 1 0 1 1 0 3 1 0 n A 3 0 1 0 0 1 1 0 1 0 An 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 f) A 2 1 1 1 1 1 1 3 3 3 31 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 1 1 1 9 9 9 3n 1 3n 1 3n 1 A 3 3 3 1 1 1 9 9 9 32 3 A 3n 1 3n 1 3n 1 n 3 3 3 1 1 1 9 9 9 n 1 3 3n 1 3n 1 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 42 Universidad Nacional del Altiplano 1 1 1 A 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 A 2 0 1 1 0 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 2 3 1 1 1 1 3 6 g) A 3 0 1 2 0 1 1 0 1 3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 4 10 (a1 an )n A4 0 1 4 Sn 0 0 1 2 n(n 1) 1 n 2 n A 0 1 n 0 0 1 PREGUNTA 7. 1 0 1 1 0 1 a) rg rg rgA 2 2 1 0 0 1 2 2F F2 0 2 1 1 0 1 1 0 1 b) rg 1 0 - 1 rg 0 2 1 rg 0 2 1 rg 2 0 4 2 0 4 2 0 0 0 2F2 F3 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 c) rg rg rg rg 3 2 1 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 d) 2 1 5 -1 8 1 3 10 11 13 1 3 10 11 13 1 3 10 11 13 rg - 1 2 3 4 5 rg - 1 2 3 4 5 rg 0 5 13 15 18 rg 0 5 13 15 18 rg 3 1 3 10 11 13 2 1 5 1 8 0 5 15 23 18 0 0 2 8 0 PREGUNTA 8. 0 1 A 2 0 0 1 A 2 0 A 1 2 0 ( A ad) t A 1 a) A 0 - 2 0 1 A11 0 A12 2 A ad ( A ad) t 1 0 2 0 A 21 1 A22 0 1 0 - 1 0 1/2 A 1 2 - 2 0 1 0 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 43 Universidad Nacional del Altiplano Comprobación: 0 1 0 1 / 2 1 0 A · A 1 2 0 1 0 0 1 1 2 A A 2 3 4 4 3 4 2 1 4 2 2 1 b) A ad ; (A ad)t A-1 2 1 3 1 2 3 1 3 / 2 1 / 2 1 2 1 4 2 1 2 0 1 0 A · A-1 - 3 4 2 3 1 2 0 2 0 1 1 2 c) A A 0 A 1 4 8 2 1 0 2 1 0 5 0 2 5 2 A 3 1 2 A 3 1 2 3 1 2 5 8 3 4 0 1 4 1 4 0 1 4 0 1 1 2 3 2 3 1 A11 1 A12 (3 8) 5 A13 4 0 1 4 1 4 0 1 0 2 0 2 1 A 21 1 A22 2 A23 4 0 1 4 1 4 0 d) 1 0 2 0 2 1 A 31 2 A32 4 A33 5 1 2 3 2 3 1 1 5 4 1 1 2 t A ad 1 2 4 (A ad) 5 2 4 2 4 5 4 4 5 1 1 2 1 / 3 1 / 3 2 / 3 1 A -1 5 2 4 5 / 3 2 / 3 4 / 3 3 - 4 4 5 4 / 3 4 / 3 5 / 3 PREGUNTA 9. 4 1 AX – B + C = 0 A 1 0 1 2 0 1 AX = B – C B 2 1 1 0 A1 · A · X = A-1 (B – C) 0 1 2 1 IX = A-1 (B – C) C 1 0 3 0 X = A-1 (B – C) Cálculo de A-1 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 44 Universidad Nacional del Altiplano 4 1 A 0 (1) 1 0 A 1 1 0 ( A ad) t A 1 A A11 0 A12 1 0 1 0 1 A ad ( A ad) t 1 4 1 4 A 22 1 A22 4 0 1 1 4 0 1 A 1 1 1 4 0 1 1 2 0 1 0 1 2 1 0 1 1 3 2 2 3 1 4 0 X 1 4 2 1 1 0 1 0 3 0 1 4 3 1 4 0 11 1 14 2 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 45 Universidad Nacional del Altiplano PROBLEMAS VARIOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.- Resolver, con el método de Gauss, el sistema siguiente: x y z 1 x y z 1 x y z 1 2.- Discutir la compatibilidad de los sistemas siguientes: 10 y 4 z t 1 3x 2 y z 15 x 4y z t 2 2 x 3 y 2 5x 3 y 2 z 0 a) 2 x y 9 b) c) 3x 2 y z 2t 5 3x 2 y 1 3x y 3z 11 2 x 8 y 2 z 2t 4 6 x 4 y 2 z 30 x 6 y 3z 1 3.- Resolver mediante la regla de Cramer el sistema siguiente: x 4 y 2 z t 32 2 x y 7 z 9t 14 x y 3z t 11 x 2 y z 4t 4 4.- Estudiar y resolver los sistemas siguientes: 8x y 4 z 9 6 x y 3z 6 a) 5 x 2 y 4 z 6 b) 6 x 8 y 10 x y 1 2 x 5 y 5 z 4 5.- Analizar la compatibilidad del sistema siguiente: 2 x y 2 x 2 y 2 2x y 1 x 5 y 1 6.- Discutir el sistema siguiente en función del parámetro a: ax y a 2 x a y 1 2 7.- Discutir y resolver el sistema siguiente: M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 46 Universidad Nacional del Altiplano (a 1) x y 2 z 0 x ay z a 1 2x y z 1 a 8.- Discutir, en función del parámetro a, cuándo es aplicable la regla de Cramer en cada uno de los casos siguientes: 3x 2 y az 2 ax 2 y 3z 1 a) x y z 0 b) 3x ay 2az 0 ax 2 y 2 z 3 y 3z 2 9.- Eliminar los parámetros en los sistemas siguientes: x x y 2 3 a) y 3 b) x z z y z 2 10.- Discutir y resolver, cuando sea posible, los sistemas siguientes: x y 1 x y 2 z 2t 1 3x 2 y 2 z 6t 2 x 2 y 5 z 4t 1 xz 0 a) 2 x 4 y 4 z 2t 2 b) c) 5 x 4 y 2t 12 xt 5 3x y 5 z 1 y z 3 x y 9 z 3t 4 11.- Sea el sistema: x 2y 8 x my 4 determinar el valor de m para que tenga: a) Solución única. b) Solución múltiple c) La solución x = 0. d) La solución x = 8. e) La solución x = k. f) Para que sea incompatible. 12.- Discutir los siguientes sistemas en función del parámetro, y resolverlos cuando se pueda: M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 47 Universidad Nacional del Altiplano ( 4 m) x 2 y z 0 mx y z 1 x my z m 2 a) 2 x (4 m) y 2 z 0 b) x my z m c) x y mz 2(m 1) 2 x 4 y (8 m) z 0 x y mz m 2 mx y z m 13.- Discutir y resolver cuando sea posible: x 3 y 5z 2 2 x y z k a) 2 x 4 y 2 z 1 b) x 2 y z k 5 x 11y 9 z k x y 2z k 14.- Dado el sistema de ecuaciones lineales: x y 1 ty z 0 x (1 t ) y tz t 1 determinar t de modo que: a) El sistema tenga solución única b) El sistema tenga infinitas soluciones c) El sistema sea incompatible. 15.- Analizar si son equivalentes los sistemas siguientes: 2x 3y z 3 x y 2z 1 2x 3y z 3 y x y 2 z 1 x 2y z 2 x 2y z 2 2 x 13 y 7 z 1 16.- Discutir y resolver en función del parámetro k : kx k 2 y k 3 z k x y (k 1) z k 3k 4 3 x ky k z k 2 2 a) x (k 1) y z k 3 3k 2 b) (k 1) x y z k 2 3k x y kz k 3 x y z k4 17.- Un campesino cultiva en sus tierras manzanas de tres tipos, A, B y C. En promedio cada árbol del tipo A produce 50 kg de manzanas por cosecha; cada árbol del tipo B, 30 kg; y cada árbol del tipo C, 40 kg. Sabemos que actualmente obtiene 230 t de manzanas por cosecha y nos proporciona la siguiente información: M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 48 Universidad Nacional del Altiplano - Si arrancara todos los manzanos del tipo B y los sustituyera por manzanos del tipo A, cosecharía 250 t. - Si arrancara todos los manzanos del tipo C y los sustituyera por manzanos del tipo B, cosecharía 200 t. ¿Cuántos manzanos de cada clase tiene plantados actualmente? 18.- Consideremos el sistema de ecuaciones lineales siguiente, en el que a, b y c son coeficientes dados y x, y , z las incógnitas. ay bx c cx az b bz cy a Demostrar que si a, b y c son no nulos, el sistema tiene solución única; halla dicha solución. 19.- Un motociclista va de su pueblo a la playa a 60 km/h. El camino de regreso lo hace a 40 km/h. ¿Cuál ha sido su velocidad media en los dos trayectos? (Ayuda: la respuesta no es 50 km/h.) 20.- Encontrar un número de tres cifras que verifique las siguientes propiedades: a) La suma de sus cifras es 24. b) Si se intercambian las cifras de las unidades y decenas, el número disminuye en 9 unidades. c) Si se intercambian las cifras de las centenas y de las decenas, el número disminuye en 90 unidades. Justifica la respuesta. 21.- Un piloto, por los años cuarenta del siglo pasado, hacía corrientemente los viajes Barcelona – Zaragoza – Madrid – Sevilla – Tetuán, empleando tres tipos de aviones A, B y C. Dicho piloto voló en un mes un total de 65 horas, habiendo recorrido, con aviones del tipo A 3900 km; con los del tipo B, 7500 km, y con los de tipo C, 10500 km. Además se sabe que en un viaje Barcelona – Madrid empleó 1 h y 54 minutos de vuelo, habiendo efectuado el trayecto Barcelona – Zaragoza (260 km) con un avión del tipo A y el resto del recorrido Zaragoza – Madrid (270 km) con un avión del tipo B. En otro viaje Madrid – Tetuán empleó M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 49 Universidad Nacional del Altiplano en el recorrido Madrid – Sevilla (400 km) un avión del tipo B, y en el trayecto Sevilla – Tetuán (210 km) un avión del tipo C, empleando un tiempo entre los dos trayectos de 1 h y 50 minutos. Calcula las velocidades ( suponiéndolas constantes) de cada uno de los tipos de avión. 22.- Discutir y resolver, en los casos en los que sea posible, el sistema ax y z 1 x ay z 1 x y az 1 23.- Estudiar la compatibilidad del sistema siguiente según los valores del parámetro a, y resolverlo cuando sea posible: x y 5 yz a x 2z 3 2 x 3 z a 24.- Clasifica el sistema en función de los valores de m y resuelve para m = -1, x 2 y 3z 2 2 x 5 y 4 z 1 x 3 y m 2 z 3m (m 2) x (m 1) y z 3 25.- Se considera el sistema de ecuaciones: mx y z 2 x my z 0 a) Discútelo para los distintos valores de m b) Resuélvelo para m = 1. 26.- Consideremos el sistema siguiente en función del parámetro a: x 2y z a x y az a 2 x 3 y z a a) Discutir dicho sistema en función del parámetro a. b) Resolver en el caso a 0 . M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 50 Universidad Nacional del Altiplano 3 x ky 3 27.- A un compañero le piden que clasifique y resuelva el sistema y 3 z 6 x kz 5 para el valor del parámetro kR que él desee. Obtiene, correctamente para dicho valor, que el sistema es compatible indeterminado, y que una expresión de sus soluciones en forma paramétrica es x = 1+2t , y = ….., z = …. . Determina para qué valor del parámetro k ha clasificado y resuelto el sistema, y calcula las expresiones de las incógnitas “y” y “z” que faltan en la solución anterior. 28.- Enuncia el teorema de Roché-Fröbenius. Contesta razonadamente a las siguientes cuestiones para un sistema A X B en forma matricial: a) ¿Puede un sistema homogéneo ser incompatible? b) Si la matriz A es de orden 2x3, ¿puede ser el sistema S.C.D.? 29.- Discute y resuelve en función del parámetro a R el sistema siguiente: ax y 0 y 2az 0 x ay 0 x 2 y az 0 ay 2 z 0 30.- Clasifica el sistema en función del parámetro aR , y 2 x y ( a 1) z 0 x yz 0 resolverlo para a = -2. 31.- Encontrar, si es posible, un valor de aR de modo que el sistema x y z 1 x y 2z 2 2x z a a) sea compatible determinado b) sea compatible indeterminado c) sea incompatible. RESPUESTAS M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 51 Universidad Nacional del Altiplano 1.- S.C.D. Solución: (1,1,1) 2.- a) Incompatible b) S.C.D. Solución: (- 4,2,7) c) S. C. I. Grado de indeterminación: 2 3.- S. C. D. Solución: (5,8,3,-1) 8 4 1 4 4.- a) S. C. I. Sol.: , , | R 7 7 7 7 17 9 1 b) S. C. D. Solución: , , . 21 14 6 5.- Sistema Incompatible. Si a 1 S .C.D. 6.- Si a 1 S .C.I . Sol : (1 , ) | R Si a 0 y 2 S .C.D. 7.- Si a 0 S .C.I . Sol. : (1 , 1 3 , ) | R Si a 2 El Sistema es Incompatib le 8.- a) Es aplicable la Regla de Cramer si a 2 y 2 Si a = 2 el sistema es incompatible. Si a = -2 el sistema es incompatible b) Es aplicable La Regla de Cramer si a 3 y 3. Si a = 3 el sistema es incompatible. Si a = -3 el sistema es incompatible. 9.- a) x - y + 4z = 0. b) x + y - 2z = 0. 7 13 29 21 49 10.- a) S. C. I. Sol.: 5 , , , | R 3 4 12 4 12 b) S. C. D. Sol.: 2,1,2,3 . 55 58 36 13 c) S. C. D. Sol.: , , , . 43 43 43 43 11.- a) m 2 S. C. D. b) No existe m tal que sea S. C. I. c) m = -1. 8 2k d) No existe m. e) m . f) m = -2. k 8 12.- a) S. C. D. (sol trivial) m 4 , 6 3 2 y 6 3 2 . Para m 4 , 6 3 2 y 6 3 2 , el sistema es S. C. I. . Por ejemplo para m =4 la solución es 2 , , 2 | R b) S. C. D. m 1 y 2 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 52 Universidad Nacional del Altiplano m = 1 S. C. I. (Grado 2) (1 , , ) | , R. m = -2 Sistema Incompatible. c) S. C. D. m 1 y 2 . m = 1 Sistema Incompatible 4 2 m = -2 S. C. I. , , | R . 3 3 13.- a) Si k 4 Sistema Incompatible 5 3 Si k = 4 S. C. I. 7 , 4 , | R 2 2 b) Para todo k real el sistema es S. C. D., su solución en función de k es: k k k , , 4 4 4 14.- a) Tiene solución única t R | t 0 y 1 . b) t = 0 Infinitas soluciones: 1 , , 0 | R . c) t = 1 El sistema es Incompatible. 15.- No son equivalentes porque el primer sistema es incompatible. 16.- a) Si k 0 y 3 S. C. D. Si k = 0 S. C. I. (Grado 2) Sol.: ( , , ) | , R. Si k = -3 S. C. I. (Grado 1) Sol.: ( , , ) | R. b) El det. de orden 4 es: A | B k (k 1) (k 1)3 Si k 0 , 1 y 1 , el Sistema es Incompatible Si k = 1 S. C. I. (Grado 2) Sol.: 1 , , | . R. Si k = -1 S. C. D. Sol.: (0 , 0 , 1) Si k = 0 S. C. D. (Homogéneo) Sol. Trivial (0 , 0 , 0) 17.- 1600 de A , 1000 de B y 3000 de C a 2 b2 c 2 b2 a 2 c 2 c 2 a 2 b2 18.- , , 2bc 2ac 2ab 19.- 48 km/h 20.- 987 21.- A : 260 km/h. B : 300 km/h. C: 420 km/h 1 1 1 22.- Si a 1 , 2 el sistema es S. C. D. Sol : , , a 2 a 2 a 2 Si a = 1 el sistema es S. C. I. de grado 2 Sol : (1 , , ) / , R Si a = -2 el sistema es Incompatible M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 53 Universidad Nacional del Altiplano 23.- Si a 10 el sistema es Incompatible Si a = 10 el sistema es S.C.D. con sol: (11 , 6 , 4). 24.- Si m 1 , 1 el sistema es S.C.D. Si m = 1 el sistema es Incompatible Si m = -1 el sistema es S.C.I. con solución: 12 7 , 5 2 , / R 25.- a) Para m 0 , 1 el sistema es compatible determinado. Para m = 0 y para m = -1 el sistema es incompatible. b) (1 , -1 , 0) 26.- a) Si a 0 el sistema es S.C.D. Si a = 0 el sistema es S.C.I. b) (a 1 , a 1 , 1) 27.- k = 2. Solución: x = 1 + 2t , y = 3t , z = 2 – t. 29.- Si a 0 el sistema es SCD co solución trivial. Si a = 0 el sistema es SCI con S (0,0, ) / R 30.- a) a 2 , 3 sistema SCD con solución trivial. Si a = -2 o a = 3, SCI de grado 1. b) Para a = -2 solución : S (0 , , ) / R 31.- a) No existe aR . b) a = 3. c) a 3 . M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 54 Universidad Nacional del Altiplano EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcula el adjunto del elemento a 23 en: m n p 2p m n 2n 2p m 2. Dadas las matrices: 1 2 3 1 2 3 0 1 2 A = 1 3 1 B 5 1 0 C 1 0 3 1 1 1 1 0 2 2 3 0 a) Hallar la matriz traspuesta de A. b) ¿Tiene la matriz C un nombre especial? c) Calcular X, sabiendo que A X + 2B - C = 0 3. Hallar la matriz inversa de: 2 1 0 A = 1 2 1 0 1 2 4. Dadas las matrices: 4 1 2 2 4 A = 2 3 1 B 3 0 2 1 2 Hallar sus inversas, si existen. 5. Define la matriz inversa de una matriz regular y determina por uno de los procedimientos la matriz inversa de la matriz A: 4 2 5 A = 3 1 8 9 6 7 6. Demuestra que toda matriz cuadrada A es la suma de una matriz simétrica S y otra antisimétrica T. Aplí-calo a la matriz: 2 1 1 A = 3 4 1 1 3 2 7. Dadas las matrices: 1 0 2 1 2 2 1 A = B 1 2 C 1 0 2 2 1 2 3 a) Efectúa, cuando ello sea posible, los productos AB, AC y CA. b) Obtén las traspuestas y las inversas de A, B y C. c) Calcula ABC y ACB. 8. Dada la matriz: M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 55 Universidad Nacional del Altiplano 1 2 A = 3 0 0 determina todas las matrices B, 2 x 2, tales que AB = , obteniendo el 0 0 valor de para que exista solución. 9. Sea A una matriz idempotente (A2 = A). Demuestra que si B = 2A - I, es B2 = I. 10. Obtén todas las matrices cuadradas de segundo orden, A, tales que A2=I. 11. Calcula las potencias sucesivas de la matriz 1 1 1 1 1 1 a) A = 1 1 1 b) B = 0 1 1 1 1 1 0 0 1 12. Dada la matriz: 1 1 A = 2 2 comprueba que puede verificar una relación de la forma A 2 + A + I = 0, determinando los valores de y . 13. Resolver la ecuación X A = B + C, siendo: 1 1 1 0 0 1 A = B C 1 2 0 1 1 0 14. Hallar todas las matrices que conmutan con: 1 2 A = 0 1 15. Dada la matriz: a b A = c d hallar x e y, reales, para que se verifique A2 = x A + yI, siendo I la matriz unidad de orden 2. 16. Hallar A tales que: 0 1 0 0 1 A 0 2 0 0 2 17. Calcular An con n N, siendo: 1 1 0 A = 2 1 0 2 0 1 18. Hallar las inversas de: M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 56 Universidad Nacional del Altiplano 1 1 0 2 1 0 2 3 0 1 1 0 5 2 1 3 0 A= 2 3 1 B 1 0 3 C 4 3 1 D 0 1 2 2 1 1 2 1 0 2 1 1 0 0 2 0 1 19. Hallar todas las matrices que conmuten con: 1 2 1 4 M.Sc. P. Wilson Marconi Q. 57