Contents of J. Rojo Algebra lineal. 2a edici n corregida o Editorial AC, Madrid, 1991 563 pp. 1 Algebra lineal Jes s ROJO u Doctor en Matem ticas a Departamento de Matem tica Aplicada a E.T.S. de Ingenieros Industriales de Valladolid Jes s ROJO u Algebra lineal AMS Subject Classi cation: 15-01 Clasi caci n Decimal: 512. de Ingenieros Industriales Paseo del Cauce. s n 47011 VALLADOLID .S. Espa~a n .5 o Jes s ROJO u Departamento de Matem tica Aplicada a E.T. 10 1. ideales. : : : : : : : : : : : : : : 2.5 1.16 Ejercicios. aplicaciones lineales. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : El orden de los n meros reales. o Notas para el lector.9 1.11 1. : : : : : : : o 2. : : : : : : : : : : : : : : : Relaci n de equivalencia.12 1.1 1. suma de subespacios. 2. Conjunto cociente. 1 Nociones b sicas. : : : : : : : : : : : : : : 2.1 Espacios vectoriales. o u Polinomios. subcuerpos. a 1.Contenido Contenido Pr logo.28 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : v ix xi 1 2 09 13 17 21 25 27 31 35 37 41 43 47 49 2 Espacios vectoriales. subanillos. : : : : : : : : o Operaciones. subespacios.5 Dimensi n de un subespacio. : : : : : : u o Conjuntos nitos y numerables.27 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Funciones.14 Teor a de conjuntos.1.3 1. : : 2. : : : : : : : : : Grupo y anillo cociente.7 1. Principio de inducci n.2.5. : : : : : : : : : : : : : : 2. : : : : : Subgrupos. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Estructuras algebraicas con operaciones internas.2 Producto de espacios.13 Ejercicios.2 1.39 Ejercicios.3. 2. : : : : : : : : : : : : : : : u Conjugado. : : : : : : : 2.6 1. : : : : : : : : : : : : : : v 53 53 60 61 66 69 76 77 87 89 94 .4 1. m dulo y argumento de un n mero complejo.3 Espacio cociente. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Permutaciones. Relaci n de orden.8 1.4 Bases de un espacio vectorial. : : : : : : : : : : : : : : : o Los n meros naturales. : : : : : : : : : : : : : : 2.4. : : : : 2.13 1. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Relaciones. Matrices inversibles.6 Forma can nica de endomor smos y matrices. : : : : 3. 3.4 Los anillos L E y M n . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.4.1 Formas n-lineales alternadas. : : : : : : : : : : : : : 3.2 Matrices. : o 5. a o 4.5.2 Obtenci n de las soluciones de un sistema.1 Estudio general de un sistema.16 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.11 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : 3. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6.3.12 Ejercicios.2 Polinomio caracter stico. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6. : : : : : : : 5.38 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4. : : : : : : : : : : : : : : : 5. Vectores y valores propios. : : : : : : : : : : : : : : : : : 3. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6.2.2. : : : : : : : : : : : : : : : : : 3.3 C lculo de un determinante.4 Forma triangular de endomor smos y matrices.28 Ejercicios.21 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.2. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 237 237 245 247 253 254 261 262 268 269 276 277 304 . Determinantes e inversi n de matrices.1.6. : : : : : o 6. 216 6 Diagonalizaci n de endomor smos y matrices. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6. : : : : : : : : : : : : : : : : : 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 096 096 104 108 114 115 119 121 133 139 150 153 167 4 Determinantes. 4.3.5 Matrices y coordenadas.15 Ejercicios.4. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6. : : : : : : : : : : : : : : : : 6.30 Ejercicios.5.6 Ejercicios. : : : o 3. m .1. E y M n.1 Propiedades de las aplicaciones lineales. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5.4.1 Subespacios invariantes.vi Contenido 3 Aplicaciones lineales y matrices.6.6 Dual de un espacio vectorial.4 Determinantes y rango. 3. : : : : : : : : : : 6.2 Determinantes. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4. : 6.1. : : : : : : : : : : : : : : : : : 3.2. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 170 170 182 185 195 197 206 208 214 216 224 226 233 5 Sistemas de ecuaciones lineales.14 Ejercicios. Matriz de una aplicaci n lineal. o 6. : 3.30 Ejercicios.33 Ejercicios. : : : 6.3.14 Ejercicios.3 Los espacios vectoriales L E.24 Ejercicios.3 Diagonalizaci n: condiciones.21 Ejercicios. : : : : : : : : : : 3. : : : : : : : : : : : : : : : : : 3.5 Polinomios que anulan una matriz.40 Ejercicios.21 Ejercicios.11 Ejercicios.1. : : : : : : : : : : : : : o 6. 24 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8. 7.6. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.5 Endomor smos autoadjuntos. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 384 384 391 394 406 409 420 424 443 450 457 460 465 468 472 474 478 Libros cuya lectura se recomienda.4 Bases ortogonales. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : a 7. : : : : : : : : : : : : : : : : o 8.2. I Indice 481 485 519 553 557 . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7.5.15 Ejercicios.15 Ejercicios.5. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.2 N cleo y rango de una forma bilineal. : : : : : : : : 7.6 Endomor smos normales.3. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7.1.8. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7.Contenido vii 7 Formas bilineales y formas sesquilineales. : : : : : : : : : : 8. ndice de s mbolos.18 Ejercicios.18 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.6. : : : : : : : : : : : : : 8. Soluciones de ejercicios y problemas.1 Espacios eucl deos y espacios unitarios.14 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : 8. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 309 309 321 323 329 330 335 336 349 350 356 358 370 374 383 8 Espacios eucl deos y espacios unitarios.2 Bases ortogonales y ortonormales. Problemas.7 Isometr as.3.5 Formas bilineales positivas y producto escalar real .14 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8. : 8.4. : : : : : : : : : : : : : : : : u 7. formas herm ticas y producto escalar com plejo .7 Matrices positivas y estrictamente positivas. : : : : : : : : : : : : : : : 8. : 8. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7.22 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7.20 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : 7. : : : : : : : : 8.7. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7.1 Formas bilineales sobre un espacio vectorial.8 Endomor smos positivos. 8. : : : : : : : : : : : : : 7.21 Ejercicios.4 Endomor smos en un espacio con producto escalar.20 Ejercicios.3 Formas cuadr ticas.30 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.3 La proyecci n ortogonal.7. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.4.2.1.19 Ejercicios.6 Formas sesquilineales.16 Ejercicios.32 Ejercicios. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7. Automor smos unitarios y ortogonales. viii Contenido . Imf y Ker f.2. Un subespacio invariante para f es un subespacio F de E tal que f F F . 6. Vectores y valores propios. este cap tulo estudia la reducci n a la a o o forma triangular y a la forma de Jordan. IK representa siempre IR o C. ya que.2. La extensi n a o de algunos resultados de este cap tulo a cuerpos diferentes requiere substituir C por un cuerpo `algebraicamente cerrado'.1 Subespacios invariantes. puesto que algunos razonamientos que se emplean son dif ciles. estudiando con particular atenci n los apartados 6. si bien no son sencillos de probar. Este ultimo aspecto es el que requerir mayor a esfuerzo. e o o y a la diferencia entre valor propio y ra z del polinimio caracter stico. es decir. que son invariantes independientemente de la naturaleza del endomor smo f.13.11 y 6. la limitaci n a estos casos tiene por objeto la utilizaci n de o o los resultados que se exponen en 1. al menos ser n resultados conocidos para el lector de este libro. podemos considerar la aplicaci n o F !F x ! f x 237 . El lector deber a poner tambi n atenci n a la cuesti n del cuerpo IR o C en el que se reduce una matriz. E. Por lo que a este cap tulo se re ere. o Nota. tal que x 2 F f x 2 F : Ejemplos sencillos de tales subespacios son f0g. 6. Adem s de la diagonalizaci n propiamente dicha.12.13. o sea.11 y 1.12.1.Cap tulo 6 Diagonalizaci n de endomor smos y o matrices.1 Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo IK y f : E ! E un endo- mor smo de E. un cuerpo para el que todo polinomio no constante posea una ra z. En este cap tulo y los siguientes. Si F es un subespacio invariante para f. 1. an1+n2 . y f 2 L E . z = 4x + 2y + z.1: . . . y consideramos la base de E a1 . an1+n2 .2 = a1 + 2a2 f a3 = . el `endomor smo inducido' por f en F ..2. con dimensiones n1 . : : :.238 6. : : :.2x .2: 0 .v. z. : : : formada por la reuni n de dichas bases v. an1 . : : :.1.1. 1 : f a1 = 2.. an1 es una base de F1. an1+n2 una base de F2 . Fp son subespacios invariantes para f. 3 es decir.1: 1: 3 5 : a1 = 1. . a2i y F2 = ha3i .2 . 6. etc. lo que se suele llamar una matriz diagonal por bloques v ase el ejercicio 4 de e la secci n 3. an1 +1 . : : :. y. 1. Es habitual representar tambi n e por f el endomor smo inducido. 1. 2.1 y a3 = . .1.1.2 Sea E un e. Si a1 . : : :. 0 = 2a1 f a2 = 3.7b .x . Supongamos que E = F Fp . por la matriz Consideremos los vectores Es f cil comprobar que a 2 A=4 4: 2: 1: .1: . La matriz A1 es la matriz del endomor smo inducido por f en F1 o representado en la base a1. 4 5 Ap o sea. : : :.5. ai = 6 6 7 . 1 = a3 : Los subespacios F1 = ha1 . . . la matriz A2 es la matriz del endomor smo inducido por f en F2 representado en la base an1 +1 . a2 = 1. 1 donde F1 . y + z . : : :. esta aplicaci n es un endomor smo o de F. : : :. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o que env a cada vector x de F a su imagen por f. an1 . . entonces la matriz de f en esta o base es de la forma 2 3 A1 6 7 A2 7 f. 0 .1. Consideremos el endomor smo de IR dado por f x. an1+1 ..3 Ejemplo. etc. 0. np diferentes de 0. 6. 4 El objeto de este cap tulo es representar endomor smos mediante matrices sencillas. a2 = 3. a2. que constituyen un caso m s general. e . a3i y Ker f = ha1i : . Consideremos el endomor smo de IR dado por f e = . 1.2: . dejando para m s a tarde las matrices diagonales por bloques. a2.1.4: 3 5 : Para la base a1 .5 Ejemplo.1.2. 3 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 cuya matriz en la base can nica es o . 1 . Vectores y valores propios 239 son invariantes. La matriz de f en la base a1 . La matriz A0 pone en evidencia algunos aspectos de f que no eran f ciles de ver con la matriz A. 4e . 0 . a ahora es evidente que rg f = 2 . 6. a3 es una base de IR3 luego IR3 = F1 F2 .6. Imf = ha2 .1: A = 4 .1. la matriz de f es 2 3 0 0 0 A0 = 4 0 1: 0 5 0 0 2: puesto que f a1 = 0 f a2 = a2 f a3 = 2a3 : En esta base. a El ejemplo siguiente nos muestra una situaci n en la que es posible representar un o endomor smo mediante una matriz diagonal. 6e + 2e f e = 3e + 8e . As .6: 2 3: 6: 8: 16: 2: . a3 de IR3 formada por los vectores a1 = 0. matrices con gran n mero de ceros. a1 . a2. Las matrices u diagonales por bloques son las m s interesantes. a3 es 2 3 2: 1: 0 A0 = 4 0 2: 0 5 : 0 0 1: 6. f se representa por una matriz diagonal. Vamos a estudiar el caso en que un endomor smo se puede representar por una matriz diagonal.2. . a2 y a3 son bases de F1 y F2 y a1. entendiendo por tales. lo son a n m s cuando se trata a u a de matrices pura y simplemente diagonales. 2e f e = 6e + 16e . . 2 y a3 = 1. 1.6 A la vista del ejemplo precedente. resulta que = . entonces x . x 6= 0 f x = x . 6. el problema se centra en dos aspectos: | averiguar si existe alguna base en la que el endomor smo se represente por una matriz diagonal. una de tales bases. en ese caso. 2. No ocurre lo mismo para vectores no nulos. como x 6= 0. luego . El m todo para encontrar los vectores propios de f es el estudio de los escalares e que sirven para realizar las igualdades del tipo f x = x. y | encontrar.9 El vector 0 es siempre un vector propio. x = 0.v. Hay una in nidad de vectores propios de f. N tese que los tres vectores de la base del ejemplo precedente veri can que o f ai = i ai para escalares i que son. cualo quier elemento de IK ser a un valor propio. pios de f.7 DEFINICION.240 6.10 DEFINICION. La condici n x 6= 0 que exigimos en vlp es importante puesto que. 2 = 1 y 3 = 2 : Es a partir de esta propiedad como trataremos de resolver los dos problemas planteados.1. x = 0 y.1. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o 6. Deci- mos que es un valor propio de f cuando vlp 9x 2 E. si no. todos los escalares hacen pues cierta la igualdad de vcp para el vector 0. Sea E un e. por ejeme plo. 6. sobre IK y f 2 L E . 1 = 0 . a y a son vectores pro1 2 3 6. En el ejemplo 6.v. existe exactamente un escalar tal que f x = x. si x 6= 0 y f x = x y f x = x. los vectores a . compru bese. Sea E un e. 6. 3. Para cada vector propio x no nulo. que lo son todos los vectores de la forma ai cualesquiera que sean 2 IK y i = 1.1. . Decimos que x es un vector propio de f cuando vcp 9 2 IK f x = x .1. sea x 2 E.5 . cuando exista. puesto que f 0 = 0 = 0 cualquiera que sea 2 IK. sobre IK y f 2 L E . sea 2 IK.8 Ejemplo.1. 1. 2 id = ha i . 6. a 6. Se puede comprobar tambi n que. Podemos expresar vlp es las siguientes formas equivalentes: es un valor propio de f si y s lo si o vlp1 V 6= f0g . : : :. Si f 2 L E e y 2 IK. 1 y 2 son valores propios 6.1. 2. En el ejemplo 6. p valores propios de f. entonces x1. Es sencillo probar que V es un subespacio vectorial de E. : : :. Si x1 2 V 1 . idE .9 .11 . Si 6= . lo que indica que no hay m s valores propios que estos tres. 1 2 3 como se comprueba con facilidad.1. y tambi n si y s lo si e o vlp2 el endomor smo f . id = f0g . n cleo del endomor smo f . 6. todos distintos entre s . xp 6= 0.1. si es distinto e de 0.5 se tiene V 0 = Ker f = ha i V 1 = Ker f .1.1. : : :. . entonces V V = f0g . 1 y 2. : : :. Decimos que V es el subespacio u propio de f asociado a . entonces V = Ker f . id no es inyectivo.1. idE v. representamos por V el subconjunto de E dado por V = fx 2 E j f x = xg : Ya hemos visto que 0 2 V . xp 2 V p .1. xp es un sistema libre. y x1 6= 0.6. id = ha i V 2 = Ker f .13 Ejemplo.5 los escalares 0.12 Es tambi n util otra forma de considerar los valores propios.11 Ejemplo.1. como se ve utilizando los argumentos de 6. Vectores y valores propios 241 de f.14 PROPOSICION Sea f 2 L E y sean 1. es justamente el subespacio Ker f . En el ejemplo 6. El sistema x1. Supongamos hip tesis de recurrencia que el resultado es cierto para p . que f 1 x1 + 2x2 + + pxp = 0 . 1 2 x2 + + p . 1 1x1 + 2x2 + + pxp = 0 . tenemos.15 Si E es un e. 1 0 = 0. luego que = = p = 0 ya que todos los i son distintos. El resultado es evidente cuando o u p = 1. : : :. Por n. o sea. por una parte. de dimensi n n y f 2 L E . o 6. y como. por la hip tesis de recurrencia. xp es libre. : : :. o sean entonces x1. resulta que 2 1 1 luego luego x =0 y que 1 = 0. 1 vectores o es libre. resulta que 2 . y esto concluye la demostraci n. 1 2 = = p . Si o 1 1 x + 2x2 + + p xp = 0 . x2. o .242 6. 1 p xp = 0 . resulta inmediatamente de o la proposici n anterior que f posee a lo sumo n valores propios. 1 1 1 x + 22 x2 + + p p xp = 0 : Por otra parte. 1. o sea.v. 1 f x1 + 2f x2 + + p f xp = 0 . 1 p = 0 . 1 1x1 + 1 2x2 + + 1 p xp = 0 : Restando ambas expresiones obtenemos 2 . xp de p . xp p vectores que cumplen las hip tesis del enunciado. el resultado es tambi n cierto e para p. el sistema x2.1. : : :. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o Lo probaremos por inducci n sobre el n mero p. x01 + + xp . x0p y. xir es libre.1. de dimensi n n 6= 0. x0p 2 V p . llamando xi1 . In es la matriz de f . : : :. id en la base a1 .12 .17 TEOREMA Sea E un e. Vectores y valores propios 243 6. : : :. con x1. se tiene 0 = x1 . : : :. suma directa v. se tiene as la equivalencia de i y ii o v. id no es inversible equivale a decir que no es inyectivo. La equivalencia de ii y iii proviene de que A .16 PROPOSICION Sea f 2 L E y sean 1. an una base de E. ya que el sistema xi1 .22 . xir a aquellos vectores que no fuesen nulos. las proposiciones siguientes son equivalentes: i es un valor propio de f . : : :. an . entonces x1 = = xp = 0. 6. en caso contrario. id no es inversible. : : :. resultar a que 0 = xi1 + + xir . : : :. p valores propios de f. puesto que E es de dimensi n nita v. x01 2 V 1 .1.v. como consecuencia de la proposici n anterior. In = 0 : Decir que f . Entonces V 1 + + V p = V 1 V p : Si 0 = x 1 + + xp con x1 2 V 1 . : : :. pues. Sea 2 IK. 6. como acabamos de ver.24 .6. 3.3. esto es imposible. ii el endomor smo f .1. todos distintos entre s . pues.1.1. esto signi ca que x1 = x01. o Sea entonces x un vector de V 1 + + V p y supongamos que x = x1 + + xp y x = x01 + + x0p . a1 . 2. o f 2 L E y A = f. xp . iii det A . xp 2 V p . . xp = x0p : El subespacio suma es. ai . : : :. 6. a los vectores propios del endomor smo dado por A. Compru bese que stos son los unicos valores 2 IR para los que el determinante e e de 2 3 . Dos endomor smos del e. es nulo.1. 3.4: 3 5 asociada al endomor smo del ejemplo 6. 16: 5 2: .6: 8: .2: .5 posee como valores propios 0.29 .1: A = 4 . los escalares 2 IK para los que existe un vector x 2 IKn . Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o 6. 6.4: . Los valores propios de A son los del endomor smo f 2 L IK dado por A v. el subespacio V = fx 2 IKn j Ax = xg de IKn se suele denominar subespacio propio de A correspondiente a .1. 1 y 2.5. . I3 = 4 . In = 0 reciben el nombre de valores propios de la matriz A.v.6: 2 3: 6: 8: 16: 2: . E que se representen en bases diferentes por la misma matriz poseen entonces los mismos valores propios.244 6.1.1. u Si 2 IK. 3. tal que 6 Ax = x: Se suele hablar de vectores propios de A para referirse a los vectores x 2 IKn tales que Ax = x para alg n 2 IK. x = 0. 3: 6: A . Si A es una matriz cuadrada con elementos en IK. los escalares 2 IK tales que det A . Otra consecuencia a n m s importante es que dos matrices semejantes poseen u a los mismos valores propios v.2: .5. o sea.1 . Lo que demuestra el teorema precedente es que los valores propios de un endomor smo f de un espacio vectorial de dimensi n nita son los valores propios o de cualquier matriz asociada a f en una base del espacio.18 DEFINICION.1: . es decir. La matriz .20 nSea A 2 MIK n .19 Ejemplo. que p y q son proyecciones . ap de F y se la extiende a una base a1 . demu strese e o o e que los subespacios IRn X v. Siendo F1 y F2 dos subespacios invariantes para un endomor smo f 2 L E .6 son invariantes. : : : . pru bese e que Im g y Ker g son subespacios invariantes para f . Una proyecci n de E es un endomor smo p 2 L E tal que o p2 = p recu rdese que p2 = p p .1.v. Demu strese que la matriz f. entonces: e e o a Im p = fx 2 E j p x = xg . de nimos dos aplicaciones p. Demu strese que. 7 .v. 2.y = x. Sea E un e. ap . Decimos que p es la `proyecci n de E sobre F1 paralela a F2 ' y que q es la `proyecci n o o de E sobre F2 paralela a F1'. Se considera una base a1 . : : : . 6 Sea E un e. E tales que f g = g f .v. y F1 y F2 dos subespacios de E tales que E = F1 F2 .1. con o x1 2 F1 y x2 2 F2. f 2 L E y F un subespacio. que e p + q = idE y que p q = q p = 0. e o 1 2 Para el endomor smo v ase el ejercicio 9 de la secci n 2. q : E ! E de la manera siguiente: si x 2 E . Vectores y valores propios 245 6. e 3 4 D : IR X ! IR X Para el endomor smo f 2 L IR2 dado por f x. a Demu strese que p y q son endomor smos de E . g 2 L E dos endomor smos del e. x = p x + z con z 2 Ker p .2. e b Demu strese que p2 = p y q2 = q esto es.v.2 . an de E . Sea E un e.6. de dimensi n n 6= 0. b para todo x 2 E .21 Ejercicios. y se pone p x = x1 y q x = x2 . ap+1 . c E = Im p Ker p .1 de derivaci n formal de polinomios. si p es una proyecci n de E . existe una base de E en la que la la matriz de p es o diagonal. d si E es de dimensi n n 6= 0. ai es triangular por e bloques v ase el ejercicio 4 de la secci n 3. o invariante para f . se considera la unica descomposici n x = x1 + x2 . : : : . 0 . cu les son los subespacios invariantes? a 5 Siendo f. pru e bese que los subespacios F1 + F2 y F1 F2 son tambi n invariantes. no trivial. Ker p = F2 . Demu strese que f p = 0 y f q = f . y ii f p = p f y f q = q f . 10 . E 0 una aplicaci n lineal y F un subespacio de E o tal que E = Ker f F : Se consideran las proyecciones p y q de E . y 2 IR2 . ar .1. e Sea E un e. Demu strese que o e o e p es justamente la proyecci n sobre Im p paralela a Ker p v ase tambi n el ejercicio o e e 8 precedente . calc lense las im genes p x. : : : . e g Para la suma directa IR2 = F1 F2 .v. e e Siendo E de dimensi n nita y a1 .v. f Consideremos el isomor smo q : E=F1 ! F2 correspondiente a la descomposici n can nica de q v. ar y ar+1 . Im q = F2 y Ker q = F1 . an una base formada por o reuni n de dos bases a1 . y sean p y q las correspondientes proyecciones v ase el ejercicio 7 de esta secci n .246 6. Demu strese que. Siendo e o f 2 L E . demu strese la equivalencia de: e i F1 y F2 son invariantes para f .v. Se e o tiene que E = F1? F2? v ase el ejercicio 10 de la secci n 3.6 . y de un vector x. donde F1 = f x. y y q x. : : : . qt x 2 F1? y pt x + qt x = x : Demu strese que q0 = pt y p0 = qt . u a h Sean E y E 0 dos e. : : : . f 2 L E. sean p y q las proyecciones correspondientes v ase el ejercicio 7 de esta secci n . de dimensi n nita y F1 y F2 subespacios de E tales que o E = F1 F2 . correspondientes a esta suma directa. ar+1 . y F1 y F2 subespacios de E tales que E = F1 F2 .. Demu strese que q y g son inversos uno del otro.18 . consideremos tambi n las proyecciones p0 y q0 e o e de E correspondientes a esta suma directa. e Sea p una proyecci n de E v ase el ejercicio 6 de esta secci n . y las correspondientes proyecciones p y q. e pt x 2 F2? . Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o c Demu strese que Im p = F1 . para todo x 2 E . y j x = yg y F2 = f x. 9 Sea E un e. : : : . y j y = 0g. 3. an de F1 y F2 .17 y el isomor smo o o g : F2 ! E=F1 x!x _ que vimos en 2. calc lense las matrices de o u p y q en dicha base de E . e d Demu strese que F1 y F2 son subespacios invariantes para p y q.3. x3 .1. y ii el subespacio hxi es invariante. 3. 3. f Si f 2 = 0 A2 = 0 y 2 IK es un valor propio de f de A . entonces es una ra z del polinomio p X . Demu strese e que V es un subespacio invariante para f . 2 IK y V el correspondiente subespacio propio.4. : : : : R es el `desplazamiento a la derecha' de las sucesiones. x3 . e 14 En este ejercicio.2. formado por las sucesiones de n meros reales o complejos u seg n el caso. 15 Sea A 2 MIK n . Si 2 IK es un valor propio de f de A . d Sea p X 2 IK X un polinomio que anula f que anula A .1. SIK SIR o S C . Recu rdense las de niciones de f r v. R 2 L SIK de nidos como sigue. x2 . Vectores y valores propios 11 247 Siendo f 2 L E y x 2 E . entonces r es un valor propio de f r de Ar . entonces p es un valor propio de p f de p A . o c Si 2 IK es un valor propio de f de A y p X 2 IK X . se consideran los endomor smos L. x3 . l1 .8 e y Ar v.v. L x1 . Demu strese que el subespacio V 1 V p es invariante. Util cese el principio de inducci n para el grado del o polinomio. c0 .v. c y l1 de SIK . : : : . Demu strese que el endomor smo inducido e por f en V es una homotecia de raz n v ase el ejercicio 5 de la secci n 3.4. e Si f 2 = id A2 = In y 2 IK es un valor propio de f de A . : : : = 0. : : : = x2 . x1 . : : : : Por otra parte se consideran los subespacios c00 . E sobre IK y A representa una matriz n n con elementos en IK. R x1 . f representa un endomor smo de un e. esto es.6. 1. todos distintos entre s . Util cese el principio de inducci n para r. e 16 En el e. entonces = 1 o = . esto es. 2.29 cuando r = 0. : : : . o sea. p valores propios de f . pru bese la equivalencia de: e i x es un vector propio. vamos a considererar el siguiente endomor smo del espacio vectorial MIK n : f : MIK n ! MIK n B ! AB : Pru bese que los valores propios de A y los de f coinciden. entonces = 0. recu rdense tambi n las de niciones de p f e e y p A cuando p X 2 IK X es un polinomio con coe cientes en IK.7 y en el ejercicio 11 de la secci n 2. b Si 2 IK es un valor propio de f de A . de nidos en 2. x2 . 12 Sea f 2 L E . entonces 2 es un valor propio de f 2 de A2 .4 . tal que p f = 0 p A = 0 . L es u el `desplazamiento a la izquierda' de las sucesiones. x2 . Demu strense los e resultados que siguen: a Si 2 IK es un valor propio de f de A .2. x4 . o . o e o 13 Sea f 2 L E y sean 1 . sin embargo. c. . Aun cuando los elementos diagonales de A . los valores propios de A son entonces o 0 y 3. o e 6. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o Pru bese que todos estos subespacios son invariantes para L y para R. . . l1 y SIK . 2 1 3 1 2 2 . l1 . In = 2 . Siendo X un s mbolo.2 Ejemplo. con coe cientes en IK. X In es un polinomio en X. X In = j i 2 MIK n una matriz cuadrada. 1 .2..X 3 1 3 2 3 1 n 1 n 2 . In = 2: 1: 1: 2: .2. Calc lense los valores propios de L y de R cuando se consideran como endomor smos u de c00 . 3 2 1 2 3 . . 2 6 6 6 6 6 4 1 1 .. 6. In sin precisar el valor de . puesto a que no podemos efectuar dicha comprobaci n para todos los elementos de IK. Una explicaci n m s formalizada o a i sobrepasa el prop sito de este libro.1 . si o ste posee una cantidad in nita de elementos lo que es normal .1. Es sencillo averiguar cuando un elemento 2 IK es un valor propio de A. o det A .. Parece.2 Polinomio caracter stico. 6.2. X In no pertenecen al cuerpo IK. e Esto permite considerara L y R como endomor smos de cualquiera de estos espacios v. basta comprobar que det A .1 ..X n .3 Sea A = consideramos la matriz A .1 Sea A 2 MIK n una matriz cuadrada. expresi n que se anula para = 0 y = 3. n 3 cuyos elementos son polinomios en la indeterminada X con coe cientes en IK v.X .X . y tratar de ver a continuaci n para qu valores de se anula. . 1. X como si se tratase de elementos de IK. A . calculamos el determinante de esta matriz operando con los polinomios i . n 2 n 3 n 3 7 7 7 7 7 5 . Para la matriz de elementos reales tenemos y A = 2: 2: 1: 1: . 3 . 2 = 2 .248 6. In = 0 : 6. det A . descr base el subespacio propio V y calc lese la dimensi n de V . n. m s di cil encontrar todos los valores propios de A. Lo que se hace e entonces es calcular det A .13. Para cada que sea valor propio en cada caso. u o 6. y de grado n. c0 . X 4: .X 3 + 4X 2 .4 o interviene alg n j con i = j. 1 2 n resulta que el t rmino de grado n de pA X es e .2. X = .1 n. o sea.1 n X n .1 1 + 2 + + n X n.6. 2. X .1 1 + 2 + + n X n. X In : Si 2 IK.4 DEFINICION. X.2. Llamamos polipA X = det A . .3: 5: .1 n X n + . 1 1 2 2 Como 1 .2. X n . 5X + 2 . Polinomio caracter stico nomio caracter stico de A y representamos por pA X al polinomio 249 6. X : n Esto se debe a que en el resto de los n! productos de la f rmula 3 de 4.2.2: 4: 5: A = 4 .2: . y el de grado n . tenemos que pA = det A . X 2 . de . X 5: 5: 6. Los t rminos de grado n y n . In : A = 2: 2: 1: 1: 6. X In . Sea A 2 MIK n una matriz cuadrada.2 .6 Algunas consideraciones sencillas nos van a permitir calcular ciertos t re minos de pA X .1 . 3X . X = 1 2 n = . X y j . el resto de u i 6 j los productos son entonces polinomios de grado menor o igual que n . X = . X 1 . X n . Si entonces pA X = pA X = X 2 . X 5 .1 n.2 .1 + . .3: 5: 5: 0 0 1: 2 3 5 0 0 1: . 1 2 n . luego no intervienen ii . Si entonces como vimos en 6.2. 1 provienen exclusivamente del e producto de los elementos diagonales de A .2. X + 12 1 .5 Ejemplo. 1 es . el t rmino independiente de pA X vale e pA 0 = det A . los representamos por pf X y tr f.1 n.250 6.1X In P = P . n n e inversible.1 + + det f : . X In = P .1 n.21 se tiene que o pf X = . luego A0 . en particular.1A P . X In = det P .4. tal que 6.1A P . es lo que llamamos traza de la matriz A. 0 In = det A .1 n X n + .1 n.1A P . X In P . Recordando la de nici n de det f v.1 n X n + . Llamamos polinomio o caracter stico de f y traza de f al polinomio caracter stico y la traza de una matriz cualquiera asociada a f.1 A .1A P .2.1 . de dimensi n n 6= 0 y f 2 L E .1 tr A X n. Por otra parte.2.1 + + det A : 6. X In = P . 3.2.1 pA X det P = pA X : Existe una matriz P . como X In conmuta con cualquier matriz de MIK n v.7 PROPOSICION Si A. entonces pA X = pA0 X y.1P y. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o o bien donde el escalar . tr A = tr A0 : A0 = P . 1 2 n suma de los elementos diagonales de A. A0 . P . pA X es entonces de la forma pA X = . tr A = 1 + 2 + + n . X In = P . A0 2 MIK n son dos matrices semejantes.28 .1 tr f X n.v. 4.1 tr A X n.8 Sea E un e. La proposici n o precedente nos garantiza que esta de nici n no depende de la matriz asociada a f o que se elija. X In P : Entonces pA0 X = det A0 . es importante suponer en el teorema precedente que 2 IR. Entonces es un valor propio de f si y s lo si es una ra z o de pf X .i 1.10 Se deduce del teorema precedente que una matriz n n posee a lo sumo n valores propios.v. de dimensi n n posee a lo o sumo n valores propios. El endomor smo f de IR dado por la matriz 0 . Entonces es un valor propio de A si y s lo si es una ra z de pA X .1: A= 2 1: 0 tiene como polinomio caracter stico pf X = X 2 + 1 .1: 1 = i 1 . o b es una consecuencia de a . 0 . 1: 0 i i e luego que 1. . g 1. En el caso real pueden existir ra ces de pf X que no sean elementos de IR. excepci n hecha del vector 0. valores propios de f.2.i = i 1. Polinomio caracter stico 251 6. que no son valores u propios de f. In = 0 .12 Ejemplo. g 1. o sea. si y s lo si es ra z de pA X . pues los valores propios de f son los de una matriz cualquiera asociada a f. 6. sin embargo. .11 Cuando IK = IR. o sea. Compru bese que no existe ning n vector de IR2 propio de f.2.i como valores propios. . o b Sea E un e. a es un valor propio de A si y s lo si o pA = det A .i 1: 0 .i . o sea.9 TEOREMA a Sea A 2 MIK n y 2 IK IR o C . de dimensi n n 6= 0 sobre IK IR o C . u o .2. y que un endomor smo de un e.i y que 0 . el endomor smo g de C2 dado por la misma matriz posee +i y . 6. i .i y 1.2. i son vectores de C2 propios de g. a 6. dichas ra ces no ser n. i = . polinomio cuyas ra ces son los n meros complejos +i y . f 2 L E o y 2 IK.i 1 .v. Obs rvese que e 0 .1: 1 = . Sin embargo.6.i .2. ai es de la forma h n.. si f es el endomor smo de IR2 dado por la matriz 1: A = 0 1: . ah. sea 2 IK un o valor propio de f. entonces V 6= f0g. X In = 6 6 4 6 .v.2..h luego 2 A .2.h 7 7 7 5 . X In 2 .X 3 .14 Ejemplo. Hemos visto que es ra z de pf X . ah de V hasta formar una base a1 . 0 . y entonces v. o Para ello completamos una base a1 .. X h q X . 4. Es posible. ah+1 . X In. an de E. 3 7 5 = donde q X es un polinomio de grado n . luego dimV 1. 1: . vamos a probar que h k. = det 4 . : : :. f 2 L E .13 PROPOSICION Sea E un e. : : :. La matriz A = f.2.. que dimV k : As . . X In. Resulta as que es ra z de pf X con multiplicidad h . Si k es el orden de multiplicidad de como ra z v. o sea. k h. sobre IK de dimensi n n 6= 0.X A0 A00 .252 6.13..X det A00 . entonces 1 dimV k : Como es un valor propio de f.. A0 7 h 7 A=6 7 6 5 4 0 A00 n. h el polinomio caracter stico de A00 . Representemos por h la dimensi n de V . Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o 6.h 6. 1.X 6 . : : :.9 . sin embargo.h 3 2 6 .14 pf X = pA X = det A . 10: 1: . pru bese la equivalencia de las proposiciones e siguientes: 2 i los unicos subespacios invariantes para f son los triviales. Util cese la proposici n 6.20: 2: 0 . 0 i .2. Sea E un e. sin embargo.v.4 . ii f no posee valores propios. de dimensi n n 6= 0. Calc lese el polinomio caracter stico de la o u homotecia h . calc lense los polinomios o e o u caracter sticos del endomor smo 0 y de idE . 1 a Sea f el endomor smo de IR3 dado por la matriz " A= 4: 0 .2: : Calc lese el polinomio caracter stico de f y sus valores propios.2. u 3 Demu strese que. 6. b Sea g el endomor smo de C3 dado por la misma matriz del apartado anterior. 4 5 Pru bese que las matrices e " A= 2: " 2: 2: y B= 2: 0 3: 2: .1: . no son semejantes v. Calc lese un vector u u propio no nulo de C3 para cada valor propio. V 1 = f x. Calc lese el polinomio caracter stico de g y sus valores propios.14 para o e buscar una base de C3 formada por vectores propios de g.5.6.1: 2: de MIR 3 poseen el mismo polinomio caracter stico y que. X 2 : Pero luego dimV 1 = 1. si A es una matriz triangular. sus valores propios son los elementos e diagonales de A. de raz n v ase el ejercicio 5 de la secci n 3. Polinomio caracter stico 253 1 es un valor propio de f y es una ra z de multiplicidad 2 del polinomio pf X = 1 . . y 2 IR2 j y = 0g = h 1. 3. Siendo f un endomor smo de IR2 . Compru bese que la matriz de g en dicha base es diagonal y que sus elementos diagonales son los valores propios de g.1. B squese un endomor smo que veri que tales condiciones.27 .15 Ejercicios. Calc lese un vector u u propio no nulo de IR3 para cada valor propio. an una base de E y A = f. de dimensi n n 6= 0.v. En efecto. Pru bese que e pf X = pfF X q X . Decimos que A es diagonalizable en IK cuando A es semejante a una matriz diagonal de MIK n . cuando existe P 2 MIK n inversible y tal que P . an de E tal que la matriz f. Sea A 2 MIK n una matriz cuadrada recordemos que IK = IR o C .v.1. ai .B 2 MIK n y 2 IK. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o Sea A 2 MIK n una matriz cuadrada y sea 2 IK un valor propio de A. In . ai que representa a f en dicha base es una matriz diagonal. f 2 L E .3. Comencemos por proporcionarnos una forma breve de expresar el problema. r. F un subespacio no trivial e invariante o para f . entonces la matriz A es diagonalizable. 6. a1 . Siendo A. Demu strese que e tr A = 1 + + n y det A = 1 n : 8 Sea E un e. Demu se trese que la dimensi n del subespacio propio V es n .1A P es una matriz diagonal con elementos de IK. esto es. Decimos que el endomor smo f es diagonalizable cuando existe una 6.1 . bi . o 6.254 6 6. 6. de dimensi n n 6= 0 sobre IK y o f 2 L E .6 . : : :. sabemos que existe una base b1 . : : : .3. r su dimensi n. bn de E tal que la matriz B = f.2 DEFINICION. donde q X es un polinomio de grado n .3 Diagonalizaci n: condiciones. Sea E un e. en general. n las ra ces complejas iguales o distintas del polinomio caracter stico pA X . Se representa por fF el endomor smo inducido por f en F o v. donde r el el rango de la o matriz A .1. tr AB 6= tr A tr B : Pru bese que e tr AB = tr BA : 7 Sea A 2 M n una matriz cuadrada real o compleja y 1 .1 Estamos ahora en condiciones de responder a las dos cuestiones planteadas en 6.3 Las dos nociones precedentes est n profundamente relacionadas. r.3. pru bese que e tr A + B = tr A + tr B y que tr A = tr A pero que. Util cese el ejercicio 1 de la secci n 6. Si f a es un endomor smo diagonalizable. : : :.1 . o 9 6. base a1 . : : :. . existe P 2 MIK n inversible y tal que P . pero entonces 2 a1 . endomor smo que se represente por A es diagonalizable en particular lo es el endomor smo de IKn dado por A . f 2 L E y a1 . de tal manera que 6. an es una base de E formada por vectores propios. Rec procamente. En efecto. ai . : : :. Diagonalizaci n: condiciones o 255 es diagonal. Llamemos b1. : : :. En efecto. an de E tal que 2 3 1 7 . donde P es la matriz de paso de la base ai a la base bi .1A P . ai = 6 4 1 3 . como B = P .5 Un endomor smo f de E es diagonalizable si y s lo si existe una base o f a1 = 1 a1 :: ::: :: :: :: :: : f an = n an . an una base de E. existe una base a1 . : : :.3. existen escalares 1 . resulta que los elementos de la base son vectores propios. entonces f. como esto signi ca que f a1 = 1 a1 :: ::: :: :: :: :: : f an = n an . sea E un e. si A 2 MIK n es una matriz diagonalizable. luego f es diagonalizable.. .v. : : :.1A P es diagonal.. n 7 5 . bn a la base de E tal que P = bi .3. 6. : : :. n tales que f. si a1 . si f es diagonalizable. f. ai = A : Puesto que A es diagonalizable..4 Rec procamente. lo que demuestra que f es diagonalizable.1A P . ai = 6 4 5 n y. de dimensi n n o sobre IK.3. bi = P . resulta que A es diagonalizable.6. : : :. an de E formada por vectores propios de f. cualquier f. : : :. 2 f. existe entonces una base a1 . ai = 6 4 Resulta as que 1 3 ..3. substituyendo pf X por pA X . ng. pues. o El endomor smo f es diagonalizable si y s lo si se veri can las dos o propiedades siguientes d1 pf X posee n ra ces en IK. lo que prueba d1 . X 2 . : : :. El mismo resultado es cierto para una matriz A 2 MIK n . sea f 2 L E . ai1 . X . Supongamos en primer lugar que f es diagonalizable.6 TEOREMA Sea E un e. aik 2 V .. y d2 para cada ra z 2 IK de pf X . en IK no necesariamente diferentes . Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o 6. an de E tal que f. X n . dimV = k .256 6. donde k es el orden de multiplicidad de . 2. ik 2 f1. sobre IK IR o C . luego pf X posee n ra ces. luego dimV k : .v. iguales o distintas m s a exactamente. posee ra ces en IK cuyos rdenes de multiplici o dad suman n . entonces i1 = i2 = = ik = para k ndices i1 . de dimensi n n 6= 0. ai es diagonal. : : :. n 7 5 : pf X = 1 . Si es una de estas ra ces y k su orden de multiplicidad. propiedad que siempre se veri ca cuando IK = C. : : :. es decir. n . : : :. f ai1 = i1 ai1 = ai1 : :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: f aik = ik aik = aik . Los correspondientes vectores de la base veri can. 1 . o sea. diagonalia zable. base que estar formada por vectores propios. : : :. Si pf X posee n ra ces distintas.3.3. o sea. El resultado para matrices es evidente. : : :. V p . Por la primera sabemos que existen elementos 1 . sea f 2 L E .3.3. : : :. kp .16 V 1 V p es un subespacio de dimensi n k1 + + kp = n v.2. k1 . o 6. p que son ra ces de pf X y que sus ordenes de multiplicidad.1. 6.13 a 1 dimV i 1 . se veri ca la propiedad d1 del teorema precedente. obtenemos entonces una base de E. dimV i = 1. n .13 . an en la que un endomor smo diagonalizable f tenga asociada una matriz diagonal.4 .5. El mismo resultado es cierto para una matriz A 2 MIK n . lo que prueba d2 . 6. puesto o que se cumple d2 . substituyendo pf X por pA X . o sea. en IK. teniendo en cuenta que A es diagonalizable si y s lo si lo es el endomor smo de IKn dado por A v. 6. o V 1 V p = E : Reuniendo bases de V 1 .8 COROLARIO Sea E un e.7 . supongamos que se veri can d1 y d2 . Diagonalizaci n: condiciones o 257 Como por otra parte dimV k v. : : :. Tal base se puede formar reuniendo bases de los subespacios V i . suman k1 + + kp = n : Los i son valores propios de f y cada subespacio V i es de dimensi n ki . se veri ca tambi n d2 .3 y 6. 1 . Rec procamente. 6. o Si pf X tiene n ra ces distintas en IK. El endomor smo f es.v. e .6.3. sobre IK IR o C . de dimensi n n 6= 0. La suma directa v. luego v. tenemos la igualdad dimV = k . 2. entonces f es diagonalizable. 6. : : :. pues.2. Adem s cada i es de multiplicidad 1.7 La demostraci n del teorema precedente nos indica adem s un procedio a miento para obtener una base a1 . para los valores propios i de f. 5.3. z 2 V 2 cuando 2 3 2 3 x 0 A . 3 2 3 32 2 0 x . luego x. X . 3X + 2 y las ra ces de este polinomio son 1 con multiplicidad 2 y 2 con multiplicidad 1 . Vamos a estudiar los subespacios propios.3: 5: 5: 5 : 0 0 1: Tenemos que 0 0 1: . e V 2 = Ker f . se veri ca entonces d1 . X = 1 . 3 y por consiguiente V 1 = h 4. 0 z 0 0 . X 5: 5: . El endomor smo f es diagonalizable.2 .3: 4: 5: x 0 4 . X X 2 . z = 4 + 5. Sea f 2 L IR el endomor smo dado por la matriz 2 3 . X 4: . 0 0 0 z 0 la soluci n de este sistema es o x. luego x.3: 3: 5: 5 4 y 5 = 4 0 5 . id .4: 4: 5: 4 . z 2 V 1 cuando 2 3 2 3 x 0 A . pues ya sabemos que la dimeno e si n de V 2 no puede ser sino 1. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o 6. X 5 .9 Ejemplo. X + 12 = 1 .2: 4: 5: A = 4 . y. 2 id . y. 2 I3 4 y 5 = 4 0 5 .2: .3: 4: 5: 5 4 y 5 = 4 0 5 . o Para encontrar una base en la que corresponda a f una matriz diagonal. y. Se cumple tambi n d2 . 0. z 0 o sea. 3. 2 32 3 2 3 .1: pf X = . V 1 = Ker f .258 3 6. 0 .3 i : V 1 es de dimensi n 2. z 0 o sea. tenemos que calcular tambi n V 2 .3: 5: . 3. I3 4 y 5 = 4 0 5 . 6.3: . 0. 5. X 2 + 1 = 3 . 0 f se representa por la matriz diagonal 2 3 1: 4 5: 1: 2: La matriz A es diagonalizable en IR y 2 3 1: 5 . 0 .9: 12: 15: 6. X X 2 . X + 3 . . teniendo en cuenta que e 2 3 3: . 2 . 1: P . 0 . pf X posee unicamente una ra z en IR. X 3 .1 = 3: 4 0 0 1: 5 : . 1. 1. X + 2 2 . i . luego d1 no se cumple y f no es diagonalizable. 3. Diagonalizaci n: condiciones o 259 la soluci n de este sistema es o x. las ra ces son 3. X = 3 . y.5: 1 P . X . 4X + 5 . 3 . X + 1 . X 2 3 . Sea f 2 L IR el endomor smo dado por la matriz 2 3 2: . z = .2: 1: 3 A = 4 1: 3: 1: 5 : 0 1: 2: Su polinomio caracter stico vale 2: . 2 + i y 2 .10 Ejemplo.2: 1: 1: 3: . X 2 .1. luego En la base de IR 3 V 2 = h 1. X 1: pf X = 0 1: 2: . X 2 = 2 . . X = 2 .1A P = 4 2: siendo P la matriz 2 3 4: 5: 1: P = 4 3: 0 1: 5 : 0 3: 0 Compru bese este hecho. 0 i : 4.3.3. X + 32 . o 3: . 0. X = . id . X . f no es diagonalizable.4: 3 Vimos en dicho ejemplo que f es diagonalizable. V 1 es de dimensi n 1 y no se veri ca d2 . 0.12 Ejemplo.4: z 0 la soluci n de este sistema es o x. z = .1: 3: 6: A = 4 .6: 8: 16: 5 : 2: .11 Ejemplo. . X + 8 = 1 .3 .5 . puesto que encontramos una base en la que la matriz de f es diagonal. X 8 . Sea f 2 L IR el endomor smo dado por la matriz 2 A=4 Tenemos que 3: 2: 4: 0 1: 0 . 1 6.1: .1 . luego x. Sea f 2 L IR el endomor smo del ejemplo 6.X X 2 .2: 0 .1. X X 2 .12 8 . y. X = 1 . X 3 .6: 8: .3.2. X 16: 2: .4 . 1 i .1 .1 con multiplicidad 1. 2X = .3: .2. X + 18 . V 1 = Ker f .3.2: 0 . X 2: 4: 0 1: .2: .X 3 + 3X 2 . dado por la matriz 2 3 .4: . X = . X + 96 + 72 . X .4 . se veri ca entonces d1 . y por consiguiente V 1 = h . Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o 3 6.2: . El polinomio caracter stico de f es .3: 3 5 : pf X = con ra ces 1 con multiplicidad 2 y . y. X 0 .260 6. X 3: 6: pf X = . z 2 V 1 cuando 2 32 3 2 3 2: 2: 4: x 0 4 0 0 0 54 y 5 = 4 0 5 . 3X + 2 .2: 0 . puesto que 1: 1: .v. Sin embargo.1 0 . Pru bese que. i de C2 . f se representa por una o e matriz diagonal. 1.i i 1: 0 1: 1: i . a e e 2 3 Demu strese que la matriz de M 2 e 1 A = 0 : 1:: 1 no es diagonalizable ni en IR ni en C. pru bese que A. 3 7 5 . cualquiera que sea la base de E . Diagonalizaci n: condiciones o 261 de ra ces 0. 6.i i = .3.12 se comportan de manera diferente a pesar de venir dados por la misma matriz 1: A = 0 . la matriz de g es i . o 6. Utilizando el corolario 6. .i .1A P sea diagonal con elementos reales.4 . .1: .2. .13 Ejemplo. La matriz A es diagonalizable en C.0 : 1: El endomor smo g 2 L C2 es diagonalizable.3. de dimensi n n 6= 0 y h una homotecia de E v ase el ejercicio 5 de o e la secci n 3.3.3.8 se puede llegar tambi n a la e conclusi n de que f es diagonalizable..1 es tambi n diagonalizable. si e e adem s A es inversible. Sea E un e. A no es diagonalizable en IR. puesto que e no existe ninguna matriz P 2 MIR 2 con elementos reales! inversible y tal que P . 1 Demu strese que si A es una matriz diagonalizable. 4 a Sea A una matriz n n con un solo valor propio de multiplicidad n.14 Ejercicios.6. Los endomor smos f y g del ejemplo 6. en la base 1. 1 y 2.i : Sin embargo.i compru bese este hecho . Demu strese e que A es diagonalizable si y s lo si A es la matriz escalar o 2 A=6 4 en cuyo caso ya es diagonal . el endomor smo f 2 L IR2 no es diagonalizable. entonces A2 lo es tambi n. 7 4: 1: . : : : . Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o b Sea f 2 L E .4: .v. an una base de E . e entonces. los vectores a1 . an son vectores propios de f correspondientes o a valores propios 1 . de dimensi n n 6= 0 y a1 . o 5 Demu strese que la matriz de MIR 3 e " A= 7: . entonces f g = g f . una matriz inversible P 2 M C 3 tal que A0 = P . donde E es un e. y que f g = g f .3: 0 3: 3: 1: . n . e e . an son tambi n vectores propios de g. Demu strese que.262 6. : : : .1 B P son diagonales .1 A P y P . es diagonalizable en IR. Pru bese que. de dimensi n n 6= 0. entonces f es una homotecia v ase el ejercicio 5 e de la secci n 3. a Sea E un e. an son vectores propios a la vez de f y e de g.3: Consideremos la matriz " A= 4: 0 .1 A P u sea diagonal y d gase cu nto vale A0 . tales que P . : : : .v. y si A tiene n e valores propios diferentes. B squese una matriz inversible P 2 MIR 3 tal que A0 = P .1: . todos diferentes entre s . : : : .10: 0 3: .2: 2: es diagonalizable en IR. b Demu strese que si A y B son matrices n n. entonces AB = BA. diagonalizables mediante una e misma matriz inversible P o sea. sim trica.4: 0 1: .10: 1: .1 B P son diagonales. 8 9 Pru bese que toda matriz A 2 MIR 2 . e d Demu strese que si A y B son matrices n n tales que AB = BA. c Sup ngase que los vectores a1 .1 A P sea e diagonal. sin embargo.1 A P y P . a Demu strese que si los vectores a1 .20: 2: 0 . sean f y g dos o endomor smos de E . Calc lese. existe una matriz inversible P tal que P . a 6 Demu strese que la matriz de M 3 e " A= no es diagonalizable ni en IR ni en C.1 A P u sea diagonal y d gase cu nto vale A0 . si todo o e subespacio de E es invariante para f . : : : .2: : Demu strese que no existe ninguna matriz inversible P 2 MIR 3 tal que P .4 . La forma alternativa m s importante a es la llamada forma can nica o forma de Jordan. es condici n necesaria y su ciente que se veri que o d1 pf X posee n ra ces en IK. . n . IK = IR o C. c Los resultados precedentes son tambi n ciertos cuando substituimos e `triangular superior' por `triangular inferior'. e 6. Trataremos este tema en la secci n 6. X . iguales o distintas. las matrices de este tipo son o triangulares y casi-diagonales. a 6. esta ser la posibilidad que estudiaremos ahora.4. tarlo por una matriz sencilla de otro tipo. b Sea A 2 MIK n . En efecto y basta aplicar 6. X 2 .1 Cuando no es posible diagonalizar un endomor smo se recurre a represen- 6. sobre IK IR o C jde dimensi n n 6= 0 y f 2 L E .4 Forma triangular de endomor smos y matrices. Para que A sea semejante en IK a una matriz triangular superior. : : :.3 PROPOSICION a Sea E un e.4.v. sea o pf X = 1 . Toda matriz cuadrada compleja es semejante a una matriz triangular superior de n u meros complejos.v. : : :. Veamos primero el resultado para matrices.6.9 . iguales o distintas. an de E tal que la matriz f. : : :.6. ai = i la matriz de f en dicha base.4.2 Sea E un e. X n . como se prueba con un razonamiento id ntico al anterior. sobre IK IR o C de dimensi n n 6= 0 y f 2 L E . Forma triangular de endomor smos y matrices 263 6. propiedad que siempre se veri ca cuando IK = C.1A P es triangular con elementos en IK.4. 1. es condici n necesaria y su ciente que o se veri que d1 pA X posee n ra ces en IK. Si la matriz es triangular. an una base de E y f. son los valores propios 1 n de f. propiedad que siempre se veri ca cuando IK = C. 1 2 n a1 . o Para que exista una base a1. En algunas o ocasiones basta con reducir el endomor smo o la matriz a la forma triangular. Entonces los elementos diagonales de A0 son los valores propios de A.2. ai es triangular superior. los elementos diagonales. Sea A 2 MIK n y supongamos que existe una matriz inversible P 2 MIK n tal que la matriz A0 = P . supongamos que A veri ca d1 .264 6. y es de la forma 2 3 01 0n 6 0 7 7 A0 = 6 . : : :.1A1 Q1 1 es triangular superior.1 = 1 0 1 Q. : : :. Llamemos a una de estas ra ces. a . puesto que o toda matriz 1 1 es triangular superior. Calculando su polinomio caracter stico. ai es A0 = Q. X pA1 X : El polinomio pA1 X posee entonces n ra ces en IK.. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o El razonamiento del apartado 6. Para n = 1 el resultado es evidente. existe una matriz inversible Q1 2 MIK n tal que la matriz A01 = Q. Lo probaremos por inducci n o sobre la dimensi n n de la matriz.1 : P 0 Q. tal que f a1 = a1 : Existen vectores a2 . 1 . que coincide con el de A. La matriz A0 = f. luego existe a1 2 IKn+1.1A Q 1 0 P 0 Q1 0 Q. 0 1 la matriz P es inversible y su inversa es . an+1 2 IKn+1 tales que a1 . 1 Adem s. resulta pA X = pA0 X = . Supongamos cierto el resultado para n hip tesis de recurrencia y sea A 2 MIK n + 1 una matriz tal que pA X posee o n + 1 ra ces en IK.4. Utilizando la hip tesis de o recurrencia. o Rec procamente. X det A1 .1A P = 1 0 1 Q. a1 6= 0. donde Q = ai . ei . 6 7 A1 4 . Vamos a probar que enton ces A es semejante a una matriz triangular superior. Pongamos ahora 0 P =Q 1 Q . X In = .1A Q . es un valor propio de A y del endomor smo f 2 L IKn+1 dado por A. a2. 1 0 = 1 Q0 1 A0 1 Q 0 1 0 . an+1 es una base de IKn+1 .2 prueba que la condici n d1 es necesaria. 5 0 con A1 2 MIK n . 1 el primero con multiplicidad 2 .1: 0 . 0.4. 2: 0 Q.1: . Finalmente. a2. o Utilizando b y el mismo argumento que en 6.4. como vimos.3.1A Q = 4 0 1: 0 5 : 0 1: . 1 1 = Q.2: . entonces f. Sus valores propios son. si f.0 0 5 . la matriz 2 3 .0 .2: 0 0 Q = 4 0 1: 0 5 1: 0 1: es inversible.11 no es diagonalizable ni en IR ni en C .3. 0.2: 0 .2: A0 = Q. = 3: 2: 4: A = 4 0 1: 0 5 .3 . 1. 1 . Se obtiene as el resultado c para endomor smos. a1 . : : :.1: Ponemos A1 = 1: . : : :. an . Esto termina la recurrencia y la demostraci n de b . puesto que A01 lo es. con 2 3 1: 1 4 0 . 0. 0. Forma triangular de endomor smos y matrices 265 1 0 01 0n 1 0 . 1 es una base de IR3 .3.4 Ejemplo. an es triangular superior inferior . a2.1 0 A1 0 Q1 0 Q1 1 n = 1 Q0 1 0 A1 Q1 0 .1 = . pero veri ca d1 .2. El correspondiente resultado para matrices se sigue de ste e con el mismo argumento que en 6. 0 .6. 1 y .3: de MIR 3 del ejemplo 6. vimos tambi n que e . 1: 1: 6. La matriz 2 3 . a1 es triangular inferior superior . es entonces semejante en IR a una matriz triangular superior. 1 2 V 1 : .2. 0.1A Q n 0 1 1 1 1 n = 0 A01 y esta matriz es triangular superior.4 se prueba sin di cultad el apartado a .2: y se tiene 2 3 1: . 1 .1: 2: y se tiene que A01 = Q.1: : 3 6.0 4 1: 1: .1A P = 4 0 1: 0 5 .1 ahora ambos con multiplicidad 1 . Calculamos entonces 1: 0 0 . X pA1 X . es V 1 = h 2. Esto es lo que haremos en el ejemplo que sigue.266 6. ya sabemos que los valores propios de A1 son 1 y . 0 0 . la matriz Q1 = 2: 0 1: 1: es inversible.2: 0 0 1: 0 0 = 4 0 1: 0 5 4 0 2: 0 5 1: 0 1: 0 1: 1: 2 3 . Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o pA X = pA0 X = 1 . 1 es una base de IR2 .1 A1 Q1 = 1 2 como 1: 0 0 5 P = Q4 0 Q1 0 2 32 3 . 1 i : 2. .2: 0 1: 3 7 7 5 . correspondiente a la matriz A1 .0 .5 Ejemplo.2: 0 0 = 4 0 2: 0 5 : 1: 1: 1: La matriz P es inversible y 2 3 1: . a En el tratamiento de este ejemplo hemos seguido paso a paso el desarrollo realizado en la demostraci n de la proposici n anterior.4: .2: P .4.1 = 1 Q1 2: . 0. con 1: 0 .1: como se comprueba f cilmente. El subespacio V 1 de IR2 . Consideremos la matriz 2 2: 1: 1: 2: 6 2: 1: 1: A = 6 1: 0 . De hecho se puede proceder o o de forma m s r pida si en cada paso se reduce lo m s posible el tama~o de la a a a n siguiente matriz a triangularizar. 1 es una base de IR4 . 0. Para el subespacio V 2 de IR2 . con Q. 1 es una base de IR2.2 : 1. 1. . . X pA1 X . . el unico valor propio de A1 es 2. .1.1 . 1.1 2 V 2 : 1. 1. ahora con multiplicidad 2.1: 0 1: 1: es inversible.1: 1: 3: : A1 = 1: .2: 2: 2: 0 0 2 6 3 7 7 5 .6.2 . 1.1 2 V . X .1 = 1: 0 1 1: 1: . Tenemos que 1. 0. . . Es f cil comprobar que dimV 2 = 1 y que A no es diagonalizable ni en IR ni a en C . con 6 1: 1: 0 1: . Forma triangular de endomor smos y matrices 267 de MIR 4 . .1.1: 0 2 0 0 0 1: 0 0 0 2: 3 7 7 5 16 Q. 1.1: 0 0 . . Su polinomio caracter stico pA X = X . A es triangularizable en IR. 0.1: . 0.1: 1: . la matriz Q1 = . 0. correspondiente a la matriz A1 . 0 .2.1 . 3 7 7 5 A0 = Q.1: . sin embargo. . . 1: 3: pA X = pA0 X = 2 .1.1.1 = 2: 6 4 y se tiene 1: 1: 0 1: . 1. 2 3 X + 2 posee ra ces 2 con multiplicidad 3 y .2: 0 0 0 0 0 1: 1: 1: 1: . se tiene que 1.1: 0 1: . 0.1 . la matriz 2 Q=6 4 es inversible.1 2 V 2 y 1.4.1A Q = 6 4 Ponemos como 2: 0 0 . 1: .3: de MIR 3 del ejercicio 6 de la secci n 6. : : : .1: 1: 3 0 0 1: 0 0 1: 0 . ha1 .1 A P sea triangular superior. f 2 L E y a1 .6 Ejercicios. : : : .268 6.3 es semejante en IR a una matriz triangular.1A P = 6 0 . a2 i . o B squese una matriz inversible P 2 MIR 3 tal que A0 = P . an i son todos invariantes. 3 7 7 5 .1: 1: . an una base de E .4: . Demu so e trese que la matriz f. .v.1: 0 0 0 1: 3 7 7 5 La matriz P es inversible y 2: 0 . ai es triangular superior si y s lo si los subespacios o 1 ha1 i .1: . ar i .0 0 . 6. de dimensi n n 6= 0.3: 0 3: 3: 1: .1 A1 Q1 = 0 . Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o y se tiene Ponemos entonces 2: A01 = Q. a2 .1: : 1 2: 2 P = Q4 2 1: 0 1: = = 6 6 4 2 6 6 4 1: 1: 1: .1: . ha1 .1: 1: . u y d gase cuanto vale A0 . : : : .1: 2 0 5 Q1 32 0 0 1: 0 0 76 0 76 1: 0 5 4 0 0 1: 0 3 0 0 0 0 7: 7 1: 0 5 . : : : . Sea E un e.1: 1: 1: 1: .1: 4 2: 1: 0 0 0 2: como puede comprobarse.1: . ha1 .4. : : : . a2 . 2 Demu strese que la matriz e " A= 4: 1: .1: 1: 6 0 2: P . 1 Vamos a dedicar esta secci n a desarrollar brevemente una idea que teno dremos que utilizar en la construcci n de las formas can nicas. Ak 7 7 7 5 . Polinomios que anulan una matriz Demu strese que la matriz e 2 269 1: 0 0 1: 3 A = 6 . u 4 Pru bese que. u y d gase cuanto vale A0 . Pru bese que A es semejante a una e matriz compleja A0 . y luego se extiende el resultado a los polinomios. entonces es.5 Polinomios que anulan una matriz. A P para una 1 6. Se procede por inducci n o o v.5. entonces p A y p A0 son tambi n e matrices semejantes. o sea. 3. si A 2 MC 2 .5. y si p X es un polinomio.8 y 3. M s exactamente. 6.5.. 1. Pru bese que es triangularizable en IR y e b squese una matriz inversible P 2 MIR 4 tal que A0 = P . f un endomor smo y A una matriz cuadrada v.2:: .1:: 1:: 1 1 no es semejante a ninguna matriz triangular real. o bien diagonalizable. se tiene a p A0 = P . Pru bese que la matriz e con 2 C. matriz inversible P. y calc lese A0 .2 Si A y A0 son matrices semejantes. si A0 = P .5. Conviene que o o el lector recuerde lo que signi can p f y p A cuando p es un polinomio..3 Si p X es un polinomio y 2 6 A1 3 A=6 6 4 A2 .4.4. 6. triangular superior.1: 0 0 3: de MIR 4 no es diagonalizable ni en IR ni en C.5 para probar que A0n = P . 6.29 .1 A P sea triangular superior. o bien semejante a e una matriz de la forma 1: .1p A P : La demostraci n de este hecho no presenta problemas.6.1An P para todo n 2 IN.4. 3 A = .0 : 1:: 2:: 7 4 1 1 2 1 5 . Se pueden hacer id nticas consideraciones para un endomor smo f 2 L E de e un espacio E de dimensi n nita. Veremos inmediatamente un u resultado que permite rebajar el grado del polinomio que anula A y calcular este polinomio. que u p A = 0 para alg n polinomio p 2 IK X que no sea. si A y A0 son semejantes. si A representa a f o en una base. An2 . puesto que la dimensi n de este espacio es n2 . q X = r X p X . No es evidente que A sea `raiz' de alg n polinomio. e o pasando luego a polinomios. como los i no son todos nulos. no sabemos cu l a a es el polinomio p. e Este resultado puede ser un punto de partida. Pero. n2 .. Sin embargo u a existen in nitos polinomios que anulan A. esto es. Esto signi ca en particular que un endomor smo y la matriz que lo representa son anulados por los mismos polinomios. En primer lugar. 2. N tese que. : : :. el polinomio p X = 0 + 1X + 2X 2 + + n2 X n veri ca que p A = 0. Conviene recordar que. constituyen un sistema ligado de M n . existen escalares o 0 . entonces 2 3 p A1 6 7 p A2 7 p A = 6 6 7: . p A representa en la misma base a p f . Para ello basta recordar que.4 Sea A una matriz n n con elementos en IK IR o C . En consecuencia. pero en s mismo no es muy util. Basta u pues encontrar un polinomio que anule A para tener una in nidad de ellos.5. p puede ser de grado n2 y veremos que se pueden encontrar polinomios que anulen A y tengan menor grado. si p A = 0 es claro que tambi s ser e a q A = 0 para todo polinomio. A. 1 . : : :. dos matrices semejantes son anuladas por los mismos polinomios. Las n2 + 1 matrices I. el polinomio o p X no es id nticamente nulo. adem s. 6. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o una matriz cuadrada diagonal por bloques se entiende que los bloques Ai son cuadrados .270 6. ni a n conociendo la matriz A. En consecuencia.. claro est . A2. el polinomio 0. lo son p A y p A0 para todo polinomio p. no todos nulos y tales que 0 I + 1A + 2 A2 + + n2 An = 0 . Veamos una primera forma de probar la existencia de un polinomioque anula A. que sea m ltiplo de p. 4 5 p Ak Esto se puede probar tambi n por inducci n para potencias cualesquiera de A. . 2 2 esto es. p A = 0 para p X = X 2 . denotando por f en ese caso el endomor smo de Cn dado por A. N tese que el polinomio p es un divisor del polinomio caracter stico de A ya o que pA X = . 1 X . 3A + 2 I. La prueba servir al mismo tiempo o a para el enunciado con una matriz compleja A. 1 p X : En consecuencia pA A = . de un espacio nito-dimensional real o complejo. Polinomios que anulan una matriz 271 3 5 6. suponiendo que f es un endomor smo del espacio complejo E de dimensi n n 6= 0.6. I D . 2 I = 0 . 2 : Para llegar a esta conclusi n no es siquiera necesario realizar el c lculo de o a A2 . 3A + 2 I = 0 . Para la matriz .3: 5: 5: 0 0 1: 2 del ejemplo 6. o Comenzaremos entonces por este ultimo.6 TEOREMA de Cayley-Hamilton 1 Toda matriz A 2 MIK n IK = IR o C es ra z de su polinomio carac ter stico.5 Ejemplo.2: 4: 5: A = 4 . La demostraci n para el caso real es indirecta y se basa en el caso complejo.5. a e .9 . A . D=4 1: 2: observar que p D = D . el lector podr comprobar que a A2 . o sea. 3X + 2 = X . donde pf es el polinomio caracter s tico de f. I p A = 0 : Probaremos ahora que esto es lo que ocurre para todas las matrices. Todo endomor smo f 2 L E .3. pA A = 0. Basta recordar de 6.3. cumple que pf f = 0. X . es decir. y utilizar el hecho de que p A y p D son semejantes. 6.5.9 que A es semejante a 2 3 1: 5 .5. 1 As llamado en honor del matem tico ingl s Arthur Cayley 1821-1895 y del astr nomo y a e o matem tico irland s William Rowan Hamilton 1805-1865 . entonces. se tiene tambi n que e g1 gk gk+1 ak+1 = g1 gk f . 1 a1 = 1 a1 . que.1 n X . : : :. teniendo en cuenta que f ak+1 = 1 +1a1 + + k+1ak + k k k+1 ak+1 . 2 idE f .12 que. En primer lugar g1 a1 = f .. esta conmutatividad se puede comprobar sin di cultad en este a caso concreto. o Para k = n. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o Sea pf X el polinomio caracter stico de f y 1 . se tiene que pA f = pf f = 0. Adem s.4. n sus ra ces no ne cesariamente distintas . . : : :. 2. 1 id a1 = f a1 . lo que acabamos de ver signi ca que g1 g2 gn se anula en todos los vectores de la base a1 . 1 X . 1. Ocup monos ahora del caso real. Si A es una matriz compleja n n y f es el endomor smo de Cn dado por A. es nulo. pA A = 0. k+1 ak+1 = g1 gk 1 +1a1 + + k+1ak k k = 0: Esto termina la prueba por inducci n. : : :. a2. para i = 1. por lo tanto. por lo tanto. lo que abreviaremos. . puesto que todos ellos son polinomios de f. : : :. .1 n g1 g2 gn : Los endomor smos gi conmutan entre s . a2. poniendo gi = f . . luego pf f = 0. g1 gk gk+1 ai = gk+1 g1 gk ai = gk+1 0 = 0 . para todo k = 1. 1 a1 = 0 : Si ahora suponemos que g1 g2 gk con k n . 1 idE f . 2 X . el o endomor smo g1 g2 gk se anula en los vectores a1 . k+1 id ak+1 = g1 gk f ak+1 . ai = 6 6 . O sea. 1 se anula en a1 . Finalmente.4.1 n g1 g2 gn . pf f = 0. Si A es una matriz real n n. n idE . es tambi n una e e matriz compleja y. a2. k .4.. pf f = . si f es un endomor smo de un espacio real E y A es la matriz de f en una base cualquiera. n. an . : : :. : : :. i idE . a2.3 . Denotemos por a1 . tenemos que pf A = pA A = 0. luego pA A = 0. ak . ak . 2. an una base de E en la que la matriz de f sea triangular superior v. 2. n : Por lo tanto v. mientras que para ak+1 . Entonces pf X = . 7 : 4 5 n Vamos a probar por inducci n v. 2 3 1 1 1 2 n 6 2 2 7 n 7 f.1 n f . o sea. 3.272 6. como pf f = .8 . lo mismo ocurre con el endomor smo pf f = . : : :. 6. Lo que impide hacer en el caso real la misma demostraci n directa del caso o complejo es que pA y pf pueden no admitir una descomposici n o pf X = . 4X + 3 luego A2 . . Como n+1 An+1 = AnA = nA + n I A = nA2 + n A = n 4A .5. 1.5: . en el caso real. An+2. m s generalmente. Lo mismo se puede hacer a continuaci n con las potencias An+1 . o sea. 3 I A = 4A2 . 1. 3 I . 12 I : Es f cil obtener una relaci n de recurrencia entre los coe cientes n y n y los a o y n+1 . 3 I : En consecuencia. cualquier poli a nomio de A coincide con un polinomio de A de grado igual o menor que n .7 Obs rvese que.1 n An + .1 n. 1 X . Polinomios que anulan una matriz 273 6. 3 I + n A = 4 n + n A .6.9 Ejemplo. 6. con lo que se obtiene An como un polinomio de A de grado igual o menor a n . : : : o Resulta as que cualquier potencia de A y. 4A + 3 I = 0 y A2 = 4A . Si A es una matriz n n.4: 2: 1: tiene por polinomio caracter stico pA X = X 2 . 3 n I .5. A3 = A2A = 4A . 3A = 13A .8 Al margen de la utilizaci n que muy pronto haremos del teorema preceo dente. 6. La matriz A = . pA A = 0. + + det A I = 0 : 1 1 De la igualdad anterior se puede despejar An . 3A = 4 4A . tr A An. porque son polinomios que pueden tener ra ces complejas u no reales. n con n meros i reales. pA y pf son polinomios con coe cientes e reales. existen algunas aplicaciones inmediatas que es interesante citar.5. .5.1 n X . cualquier potencia de A es de la forma An = n A + n I : Por ejemplo. 2 X . 1 = 1 y 1 = 0. + + A + I = 0 : 1 1 1 0 Multiplicando por A.1 = .1 obtenemos n An. + + X + el polinomio caracter stico de A. 6.2 + + 0 I + 0A. se obtiene as la inversa que ya fue calcu lada en 3.5.1 + n. 3n . X n. podemos despejar A. efectivamente. . para todo n 2 IN. An.11 Ejemplo. 1 An. 2 I = 0 . denotemos por pA X = n X n + n. para todo n.A2 + 6A + I : 2 Se puede comprobar que.36 . como 0 1 1 1 0 1 = det A 6= 0.1An.1 = 0 . o sea. luego .1 A. 0 = 1.1 + An. Se puede probar f cilmente a a por inducci n que. 2: 2: 1: A = 4 4: 4: 1: 5 1: 0 0 es la misma que en el ejemplo 3.36 el polinomio caracter stico vale pA X = . An = 2 3n + 11 2 33n + 22 : . 1 y n= 2 n= 2 Por lo tanto.1 = 0 1 n n. Para la matriz 2 3 . por tanto. 6. Sabemos que nAn + n.1 I : Resulta as la inversa de A como un polinomio de A de grado n .3 n : Sabemos adem s que 0 = 0.3 2+ 3 I . n. 2A.4. . n. 2 .X 3 + 6X 2 + X .5. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o n+1 = 4 n + n resulta que y n+1 = .3n + 3 : 3n . 1. n An = 3 2 1 A + .10 Supongamos ahora que A es una matriz n n inversible.A3 + 6A2 + A .A2 + 6A + I .274 6. A.4.1 = 1 . o . y.2 + + y. entonces el polinomio minimal de A es de la forma p X = 1 . Dos matrices semejantes poseen el mismo polinomio minimal. La descripci n de los polinomios que anulan una matriz cuadrada A se puede o resumir en los dos puntos siguientes: | Existe un unico polinomio salvo multiplicaci n por constantes de o entre los que anulan A que posee grado m nimo. X 2 . puesto que son anuladas por los mismos polinomios v. 3X + 2 = 1 . como ya vimos. Naturalmente.5. . X k2 p . | Los polinomios que anulan A son exactamente los m ltiplos del u polinomio minimal. si A es diagonalizable y tiene valores propios repetidos se produce esta situaci n. El polinomio caracter stico pA X anula A. A pesar de que no es particularmente dif cil. p distintos. X l2 p . X y pA anula A. A veces se acuerda tomar como polinomio minimal el que tiene coe ciente 1 en el t rmino de mayor grado. la expresi n e o `polinomio minimal' sirve para designar a cualquiera de ellos. Es lo que ocurre con la matriz de los ejemplos 6. Se denomina polinomio minimal de A. no nos detendremos en justi car estas a rmaciones.2 .X 3 + 4X 2 . : : :. e El principal inconveniente del polinomio minimal es la inexistencia de un m e todo sencillo y general para el c lculo de este polinomio. X k1 2 . pero tambi n anula A el polinomio e p X = X 2 . resulta que es un m ltiplo u del polinomio minimal coincidente a veces con l . X . 6. si p X es un polinomio minimal de A.12 Sea A una matriz n n. En los casos sencillos se puede encontrar por tanteo. X 2 2 . Es decir. sabiendo que divide al polinomio caracter stico y que posee sus mismas ra ces v ase el ejercicio 14 de la e secci n 6. al contrario de lo que a ocurre con el polinomio caracter stico. Su o polinomio caracter stico es pA X = . tambi n lo es p X e para cualquier 6= 0.5.3.1 .5 . pero puede no ser el polinomio de menor grado que lo hace. si el polinomio caracter stico de A es o pA X = 1 .9 y 6. Como el polinomio caracter stico anula la matriz. generalmente. 5X + 2 = 1 . X l1 2 . pero. ya que no vamos a utilizarlas en el posterior desarrollo del tema. X lp con 1 li ki . X kp con 1 . Polinomios que anulan una matriz 275 6. Por ejemplo. 2.6.5.5. luego es el polinomio minimal de A. o 3 Util cese el procedimiento basado en el teorema de Cayley-Hamilton v. con bloques A y D cuadrados.6. o b B squense dos matrices que posean el mismo polinomio minimal y no sean semeu jantes.10 para calcular la inversa de la matriz " 4: 2: 5: 2: 2: . La matriz de los ejemplos 6. . X 2 .6. luego el polinomio minimal es o bien pA X o bien p X = 1 .. 5X + 2 = 1 . X . 4 5 Calc lese el polinomio minimal de la matriz n n u 2 6 6 6 6 6 4 1 . X .5.276 6. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o 6.5 tiene por polinomio caracter stico pA X = .1: : 0 . : 1 V ase tambi n el ejercicio 13 de la secci n 6.13 Ejemplo.5. Como ya hemos comprobado.2:: . este ultimo anula A.5. . e e o .X 3 + 4X 2 . 6. 1 Siendo p X un polinomio y B M= A D 0 una matriz cuadrada triangular por bloques. V ase tambi n u e e el ejercicio 13 de la secci n 6.3.9 y 6...5. 6..1: 4: a Calc lese el polinomio minimal de una matriz diagonal arbitraria.2:: 2 3 en funci n de las matrices A e I . 3 7 7 7 7 7 5 . compru bese e que la matriz p M tiene la forma A B0 p M = p 0 p D : 2 B squese una f rmula que proporciones las sucesivas potencias de la matriz u o A = .14 Ejercicios. X 2 2 .. N tese que una matriz de Jordan es triangular superior...1.. Forma can nica de endomor smos y matrices o 277 6. o 6. . As pues... . Ap 3 7 7 7 7 7 7 5 7 7 7 5 . Adem s los unicos o a elementos que pueden no ser nulos son los diagonales y los de la superdiagonal los j con i = j + 1 . estos ultimos ser n 1 o 0 seg n correspondan al interior de a u i una caja elemental o a la separaci n entre dos de estas cajas. .. estudiaremos ahora la forma de conseguir que los bloques diagonales sean cajas elementales de Jordan. En 6..6 Forma can nica de endomor smos y matrices.6..6.1.2 la idea esencial para conseguir matrices diagonales por bloques..3 vimos un ejemplo de matriz de Jordan con dos cajas elementales en la diagonal.. Como las matrices o de Jordan son triangulares.6. en las que cada bloque diagonal tenga la forma 2 6 6 6 6 6 6 4 1 . Las matrices de la forma 2 6 6 6 6 6 6 4 1 . 2 del ingeniero franc s Camille Jordan 1838-1921 .. lo que llamaremos matriz de Jordan es una matriz diagonal por bloques cuyos bloques diagonales sean cajas elementales. 1 : Una matriz diagonal por bloques con bloques de este tipo se llama matriz de Jordan 2 ..1 Lo que pretendemos en esta secci n es conseguir representar los endomoro smos mediante matrices diagonales por bloques 2 6 A1 3 A=6 6 4 A2 . Ya vimos en 6. e . 1 3 7 7 7 7 7 7 5 se denominan cajas elementales de Jordan. ... sus elementos diagonales ser n los valores propios de a la matriz. 2 Concentremos nuestra atenci n en una caja elemental con diagonal nula. f 2 a2 = 0 . o es decir en una matriz n n de la forma 2 3 0 1 6 7 6 7 0 . en consecuencia. ..3 DEFINICION. 6.6. f n an = 0 .v. Si p es tal que Ap. luego f a1 = 0 . 6.2 que toda caja elemental n n de diagonal nula y .6.. Obviamente.24 . f n ai = 0 .1 an . ai = A.4 Hemos visto en 6. sobre IK y f 2 L E .6. Vamos a anteponer algunos resultados sencillos o que tendremos que utilizar.1 . Si f k = 0. Si A es una matriz cuadrada y Ap = 0 para alg n p 2 IN. 2. 6 +1 +2 1 se dice entonces que f es nilpotente de orden p. decimos que f es un endomor smo nilpotente cuando f p = 0 para alg n p 2 IN. luego f es nilpotente si y s lo si lo es A. existe un unico p 2 IN tal que f p. 6 7 6 . o todo endomor smo representado por una matriz de ese tipo es nilpotente. f 2 an . si f. : : :. el orden de f es igual o menor que k. se dice que A es nilpotente de orden p.6.. : : :. y. f a2 = a1 . Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o 6. f an = an. si u f p = 0. entonces f n = 0. an en la que f. = 0 y f p = 0 . i = 1.6. o sea An = 0. 6. Sea E un e. La a rmaci n m s o menos rec proca de sta ser el primer resultado imporo a e a tante de esta secci n v. entonces f p = f p = = 0. N tese que la base a1. n : Por lo tanto f n = 0. en ese caso.6. ai = A es una base formada por o las im genes sucesivas a f n..278 6. : : :. En efecto. y. lo son del mismo orden. Si f es nilpotente.1 6= 0 y Ap = 0 . f an . an . Ak representa en la misma base a f k . Cuando A representa a f en alguna base. 7 : A=6 7 6 7 4 0 15 0 Si f es un endomor smo que se representa por esta matriz.8 .. del vector an. y no es dif cil ver que lo es de orden n v. se dice que A es una u matriz nilpotente. f a1 = 0 .. : : :. : : :. 6. 1 x 6= 0 y f k x = 0.6.7 Si f es nilpotente de orden p se tiene adem s a Ker f p.6.5 PROPOSICION Si f 2 L E . aplicando sucesivamente f k. : : :.6. 0 6. f x .1 x es libre. f k. entonces f0g = Ker f 0 Ker f Ker f 2 y E = Imf 0 Imf Imf 2 La demostraci n es un ejercicio sencillo. 6. f k.1. Forma can nica de endomor smos y matrices o 279 6. f k.6.1 x = 0 .6.1f k. se obtiene que 0 = 0. recu rdese que o e f 0 = idE . 1 = 0. Para Ker f 0 e Imf 0 .1 x son no nulos y si x + 1f x + + k. f a ambos miembros de la igualdad. x 2 E. f x . : : :. los vectores x. 6 . : : :. etc. En efecto. el sistema x. f k.6 PROPOSICION Si f 2 L E .2 . 8 Obtenci n de la matriz de Jordan de un endomor smo nilpotente.1 6 Imf p = f0g = Imf p+1 = Imf p+2 = 6. Ker f p = E = Ker f p = Ker f p = 1 +1 +2 y Imf p. : : :.6. 1. i = 0. 1. i = 0.1 Kp = E : . o Sea E un espacio de dimensi n n = 0 y f 2 L E un endomor smo nilpotente o 6 de orden p. p veri can que u 0 = n0 n1 n2 np.1 np = n . Pongamos Ki = Ker f i . f0g = K0 K1 K2 Kp. sabemos que Los n meros ni = dimKi . : : :. p. Para probar la tercera de las a rmaciones. p .2 np. Los vectores a o f a1 .1 en Kp = E.2 1f a1 + + dp f adp = f p. Para la segunda. como f p. adp. dp dp. Los veca tores f 2 a1 . cumplen d1 + d2 + + dp = n . f adp.1 . : : :. : : :.1 pertenecen a Kp. lo que signi ca que x = 0. forman un sistema libre y hf 2 a1 .3 = f0g : La comprobaci n de estos hechos es muy parecida a la que hemos detallado m s o a arriba. : : :.1 y entonces 1a1 + + dp adp = 0 . supongamos que 1 f a1 + + dp f adp = x 2 Kp.1 n.1 .2 .1 . o sea. dp vectores.1 = Gp. : : :. f adp pertenecen a Kp.1 1a1 + + dp adp = f p. f adp i Kp. : : :.1 .1 .2 = f0g : La primera a rmaci n se comprueba sin di cultad. f adp i Kp.1 un suplementario en Kp. de Kp. adp de Gp . f adp i Kp. forman un sistema libre y hf a1 . que estar formada por dp. Kp. : : :. se obtiene como en el caso anterior que f p. : : :.1 . f 2 adp . es decir Kp. . Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o sus diferencias di = ni .280 6.1 hf a1 . : : :. : : :.1 i Kp. Gp . luego 1a1 + + dp adp 2 Kp. Consideremos un suplementario.1 de dicho subespacio. ni.1 6= E y np. E = Kp = Gp Kp. f adp.1 . o sea.1 de Gp. Tomemos una base adp +1 . lo que signi ca que 1 = = dp = 0 . Gp ser de dimensi n dp .1 . f adp +1 . supongamos o que 1 f a1 + + dp f adp = 0 . Consideremos ahora el subespacio hf a1 .2 de Kp. Por otra parte. Denotemos por Gp. si es que dp = dp. Tomemos una base a1. N tese que d1 = n1 . entonces f p.1 6= 0. i = 1. luego o dp 1 . n tese o que forzosamente dp + np. : : :.2 : Ahora es posible que Gp.1 .1 = f0g.1 1 a1 + + dp adp = 0 y que 1 = = dp = 0 .2 0 = 0 .2 . n tese que. y as sucesivamente. f k ai .3 adp +1 f p...6.1 . f a1 .2 adp f p. : : :.2 adp. ad2 +1 .3 adp. dp.. d1 . f 2 ai . En cada columna gura un vector y sus im genes sucesivas. forman una base de un subespacio que es invariante para f. suplementario que tendr dimensi n d1 . Consideremos ahora los dp + dp.. en cada caso. f ai .. : : :.2 adp +1 f p. al reunirla con la pen ltima se obtiene una base de K2 . . sabemos que dp 1. . : : :. y la base formada por los vectores de la columna en el orden f k ai . f 2 ai . la matriz en esta base es una caja elemental de la forma 2 3 0 1 6 7 6 7 0 . . f ad2 . Se elige e a o nalmente una base ad2 +1 . . ai .. 6 7 6 . : : :. : : :. : : :. : : :.1 a1 .1 ad2 f p.. En este conjunto de n vectores. ad1 de G1 . 7 : 6 7 6 7 4 0 15 0 En consecuencia. El n mero de columnas de las diferentes alturas u es dp . Si se considera la restricci n de f o a este subespacio. la ultima la constituye una base de K1 .1 f ad2 ad2 +1 ad1 organizados en p las y en d1 = n1 columnas.d2 . f ad2 i recu rdese que K0 = f0g .dp ..1 adp f p.2 a1 f p. si se toma la base de E que hemos obtenido. f p.6. f ai .. Forma can nica de endomor smos y matrices o 281 El proceso contin a de la misma manera hasta que se obtiene el ultimo supleu mentario G1 . a1 . . . La u reuni n de todas ellas forma una base de Kp = E. ad2 . : : :.. la imagen del vector por la a o siguiente potencia de f ya es nula.1 . la matriz del endomor smo nilpotente f resulta ser 2 3 A1 6 7 . ad1 . d2 .1 + + d2 + d1 = n vectores que hemos ido obteniendo a1 adp f a1 f adp adp +1 adp.. en el orden f p. pero las otras cantidades pueden ser nulas todas ellas. . 4 5. o Los vectores ai .1 a1 f p. de una misma columna.. K1 = G1 hf p. .1 a1 . Ad1 . 6. f a1 .1: 1: 0 y que A3 = 0. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o diagonal por bloques. t 2 IR4 j . pero el n mero de las cajas o u y los tama~os de las cajas resultan de un simple estudio de los rangos de las n potencias de f.1: 0 A = 6 . y + z = 0g : Basta tomar como a1 cualquier vector no nulo que no pertenezca a K2 . y al ordenarla como f 2 a1 . ya que entonces IR4 = ha1i K2 : .1: 1: 0 5 0 .282 6. que proporcionan las dimensiones ni y las diferencias di. K2 = Ker f 2 es el subespacio de dimensi n 3 o K2 = f x.6. con bloques diagonales de tama~o decreciente que son cajas n elementales con ceros en la diagonal. tenemos utilizando las notaciones del apartado precedente que n0 = 0 n1 = 2 n2 = 3 n3 = 4 d1 = 2 d2 = 1 d3 = 1 : La base de IR4 que buscamos tendr la estructura a a1 f a1 f 2 a1 a2 .9 Ejemplo.1: 0 4 dado por la matriz 3 0 0 1: 0 7 7 1: 0 5 1: 0 es nilpotente de orden 3. El endomor smo f de IR 2 . a2 la matriz de f es esta base ser a 2 3 0 1 6 7 0 1 6 7 6 7 : 4 5 0 0 Busquemos ahora los vectores a1 y a2 apropiados. z. Como rg A = 2 y rg A2 = 1. ya que se tiene que 2 3 0 .1: 0 4 . y. a1.1: 1: 0 6 7 A2 = 6 0 .1: 1: 6 . N tese que la base puede ser costosa de obtener.1: 1: 0 7 4 0 . 1A P = 6 0 1 6 7 : 4 5 0 0 6. aunque el lector puede comprobar directamente este hecho. . n : . 0. .0.0 .1. 1. 0 : f a1 = 1.x + y =0 . 0. Este vector tiene por imagen a1 = 0.1. 1 : En la base .6. . 0.1 : El vector a2 es cualquier vector que forme con f 2 a1 una base de K1 . 0. 0. 0. 0 : K1 = Ker f es el subespacio de dimensi n 2 con ecuaci n o o . Forma can nica de endomor smos y matrices o 283 Tomaremos. . 0 .1.1 n X . El polinomio caracter stico de f es entonces pf X = . . 1.1 0 0 0 7 . como sabemos por el estudio de las dimensiones. 0. para 2 3 .x +z=0: En este nivel no hay que escoger ning n vector ya que u K2 = hf a1 i K1 .1 0 0 5 . 1 el endomor smo f tendr la matriz que hemos descrito antes. 4 .1 1: 0 0 6 7 1: P = 6 . Supondremos que f posee un solo valor propio 2 IK de multiplicidad n. 0. Tomaremos. El lector podr a a comprobar que.6. por ejemplo.1 . 0.6.10 Obtenci n de la matriz de Jordan de un endomor smo con un s lo o o valor propio de multiplicidad igual a la dimensi n del espacio. 1.1 0 0 1: se tiene que 2 3 0 1 6 7 7 P .0.1. . por ejemplo. a2 = 0. 0.1. o o Sea E un espacio sobre IK IR o C de dimensi n n 6= 0 y f 2 L E un endomorsmo.1. La columna se completa con el vector f 2 a1 = f f a1 = . 2 3 7 7 5 . ai = 6 4 5.284 6. f .6.6. Ap con bloques diagonales Ai de la forma 2 3 0 1 6 7 6 7 0 . ai = 6 4 5. .. f.. idE es nilpotente de orden igual o menor que n. : : :... . an en la que la matriz de g es diagonal por bloques 2 3 A1 7 . El m todo que hemos explicado en 6.11 Ejemplo. El endomor smo f de IR dado por la matriz 4 0 1: 0 0 6 . Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o De acuerdo con el teorema de Cayley-Hamilton se tiene que pf f = 0.. g.. o sea. 7 : 6 7 6 7 4 0 15 0 Como f = g + idE ......1: 1: 1: 0 A = 6 .1: 0 2: 0 4 ....8 permite entonces obtener una base e a1 .. 6 7 6 . Bp con bloques diagonales Bi de la forma 2 3 1 6 7 6 7 . 1 4 . ai es pues una matriz de Jordan. 7 : 6 7 6 7 4 15 La matriz f. 6. 2 3 B1 7 . idE n = 0 : El endomor smo g = f ..1: 0 1: 1: tiene como polinomio caracter stico pf X = X . es inmediato comprobar que la matriz de f en la misma base es diagonal por bloques. 6 7 6 . la matriz de g es 2 6 6 6 4 0 luego la matriz de f = g + id en esa misma base es 2 6 6 6 4 0 1 0 1 0 3 7 7 7 5 .3.14 .6. 6. kp sus multiplicidades. id viene dado por la matriz . que son mayores u v. 1 1 1 1 1 3 7 7 7 5 : 1 6.16 V 1 V p puede ser todo E cuando f es diagonalizable v. 0. : : :. que es el que presentamos en 6. 1.6 pero. se suele dar el nombre de subespacios propios generalizados a estos n cleos. Si V 1 . i idE . es el mismo endomor smo nilpotente que fue estudiado en el ejemplo 6.1. : : :. i idE r .1: 2 1: 0 0 0 0 1: 1: 1: 0 0 0 0 3 7 7 5 . Lo que se puede hacer es substituir cada subespacio propio V i . es un subespacio diferente de E. 0.0. 6. V p son los correspondientes subespacios propios.1.6. la suma directa v. o sea. El endomor smo g = f . Denotemos por 1 . que es Ker f .12 Nos queda por ver lo que ocurre en el caso general.6. Forma can nica de endomor smos y matrices o 285 luego un solo valor propio. 6. 1 de IR4. cuando f no es diagonalizable. de multiplicidad 4. p 2 IK las ra ces de pf y por k1. donde el exponente ki es la multiplicidad de i como ra z. por alguno de los n cleos Ker f .1: 6 B = 4 . que sumar n a k1 + + kp = n . 1. Sea E un espacio sobre IK de dimensi n n 6= 0 y f 2 L E un endomor smo. Veremos que los que sirven son justamente los u Fi = Ker f . : : :. . 1. 0 . o Supongamos que pf X posee n ra ces en IK.0. . . 0. i idE ki . iguales o distintas. Para ello necesitamos un resultado esencial.1.6 .1: 6 .1 .1. Para la base .9 . 0. .6.6. 0.6.0 .1: . . Para esta misma base. El resultado que anunciamos ahora es una generalizaci n de 6. Ker f . id r = F y es un valor propio.. o Los subespacios generalizados.. ah = 6 6 6 4 3 7 7 7 7 7 7 5 : h. entonces el subespacio Ker f .. id . Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o Comenzaremos por alg n resultado sencillo. Denotemos por h la dimensi n de F. .. son invariantes para f.2. Como V = Ker f . vamos a probar que h k.1 . g es nilpotente o y existe una base a1. por lo que f x 2 Ker f . i id conmutan. entonces. sea 2 IK o un valor propio de f.13 PROPOSICION Sea E un e. : : :. ah = 0 . Si g es el endomor smo de F dado por g = f . f 2 L E . i id r f x = f f . i id r . donde los i valen 0 o 1.286 6.. a1 . ah de F tal que 2 6 6 6 6 6 6 4 0 3 g. i id r x = f 0 = 0 . : : :.13 .14 . sobre IK de dimensi n n 6= 0. id Ker f . : : :. . f. a1 ..v. 6 .6.6. F 6= f0g y dimF 1. id r = 0. si x 2 Ker f . resulta para f x que f . id r . idE r k : Pongamos F = Ker f . teniendo en cuenta que f y f . Denotemos por k el orden de multiplicidad de como ra z de pf X . idE r veri ca que 1 dimKer f .. El endoo mor smo inducido por f en F veri ca que f . . 2 1 6 .. i id r . i idE r . para terminar probando la propou sici n 6.. Si r 2 IN.1 0 7 7 7 7 7 7 5 . a causa de la propia de nici n de F. 0 1 h.. o 6. 6 . En efecto. i id r f x = f . que es el resultado de demostraci n m s dif cil de entre los que se o o a proponen en esta secci n. i idE ki . o Denotemos por pi X los polinomios . : : :. p y que los subespacios F1 .. i = 1. Denotemos por 1.6. Forma can nica de endomor smos y matrices o 287 Completemos a1 . i = 1. Recordemos la conmutatividad entre dos polinomios cualesquiera del endomorsmo f v. : : :.1 6 7 4 5 00 0 A por lo que. A0 7 . p . : : :. p : Entonces se tiene que dimFi = ki . 6 7 6 7 6 7 h. tendremos que utilizarla varias veces a lo largo de la demostraci n.2.... i = 1. .6. Pongamos Fi = Ker f ..v. 3. : : :. iguales o distintas. y el teorema de Cayley-Hamilton nos garantiza que pf f = 0. p kp . kp sus multiplicidades.4. 6. 6 7 6 . sobre IK IR o C de dimensi n n 6= 0 y f 2 L E . : : :. Fp son invariantes y veri can E = F1 Fp : El polinomio caracter stico de f ser a pf X = .1 n f pi X = X . i ki .6.p X .13 . : : :. siguiendo el mismo razonamiento que en 6. pf X = . X h q X .14 PROPOSICION Sea E un e. lo que demuestra que k multiplicidad de la ra z es igual o mayor que h.. ah . ah hasta formar una base a1 . La matriz de f en esta base de E es de la forma 2 3 1 6 7 6 7 . 1 k1 X . p las ra ces diferentes de pf X y por k1.1 n X . : : :. : : :.8 . o Supongamos que el polinomio caracter stico pf X posee n ra ces en IK. an de E. : : :. Para probar que la suma es directa bastar con que mostremos que si a 0 = x1 + + xp . i ki pi X = . 1. i id ki pi f = 0 : Observemos tambi n que. i id ki = Fi : Esto demuestra que la suma de los subespacios Fi es E. qp X tales que q1 X p1 X + + qp X pp X = 1 : Resulta as que 3 q1 f p1 f + + qp f pp f = idE : E = F1 + + Fp : Comencemos por probar que Sea x 2 E. si x 2 Fi = Ker f . Por la igualdad 3 x = q1 f p1 f x + + qp f pp f x = x1 + + xp . i id ki vale f . Se tiene para todo i = 1. donde q es un polinomio.13. : : :. : : :.1 n pf X . i id ki . i ki en el polinomio caracter stico. p son diferentes. luego f . en consecuencia.288 6. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o resultantes de suprimir el factor X .14 . p : La imagen de xi por f . p que X . existen polinomios q1 X . : : :. entonces e 1 2 pj f x = 0 . i id ki . para j 6= i . i id ki xi = = = f . i id ki pi f x 0. pp X son primos entre s v. ya que pj f = q f f . : : :. As pues xi 2 Ker f . i = 1. donde hemos puesto xi = qi f pi f x . i id ki qi f pi f x qi f f . Como 1 . como consecuencia de 1 . los polinomios p1 X . : : :. p . p las ra ces diferentes de pf X y por k1. i id r para r ki . 6. por hip tesis. i idE ki . se obtiene que 0 = pi f xi : Utilizando ahora 3 . iguales o distintas. es posible que Fi se obtenga como Ker f . xp 2 Fp . 2 3 A1 7 . i id r .6. Por lo tanto. la suma es directa. A=6 4 5. Hemos visto que los subespacios Fi = Ker f . y E = F1 Fp .6. obteo nemos para f una matriz diagonal por bloques. Forma can nica de endomor smos y matrices o 289 con x1 2 F1 . Tomemos uno cualquiera de los xi y apliquemos el endomor smo pi f a la igualdad 0 = x1 + + xp . de hecho es algo que sucede con frecuencia. Sea E un espacio sobre IK IR o C de dimensi n n 6= 0 y f 2 L E un o endomor smo. En consecuencia a o debe ser dimFi = ki para todo i. Ya hemos visto en 6. : : :.6.16 Obtenci n de la matriz de Jordan de un endomor smo caso o general . Supongamos que el polinomio caracter stico pf X posee n ra ces en IK. el resultado es 0 = pi f x1 + + pi f xi + + pi f xp y. : : :. y. kp sus multiplicidades. puesto que todos los t rminos son 0 a consecuencia de 2 y de la igualdad que e acabamos de obtener. : : :. Ap .15 El que la dimensi n de Ker f . Por lo tanto no se puede aumentar el subespacio aumentando la potencia r por encima de la multiplicidad de i .. : : :. 6. k1 + +kp = n.6. necesariamente x1 = = xp = 0.12 que los subespacios Fi son invariantes. Por otra parte.. adem s dimFi ki para todo i. utilizando 2 y la igualdad precedente. de dimensi n ki . Las dimensiones de los Fi veri can dimF1 + + dimFp = n .6. son invariantes. i = 1. Denotemos por 1 . o Eligiendo una base de E que sea reuni n de bases de los subespacios Fi . xi = q1 f p1 f xi + + qi f pi f xi + + qp f pp f xi = 0 . i id ki coincida con el orden ki de o multiplicidad de i signi ca que Fi es el mayor de todos los subespacios propios generalizados Ker f . Veamos que eso es lo que ocurre efectivamente. 17 TEOREMA a Sea E un espacio sobre IK IR o C de dimensi n n 6= 0 y f 2 L E . : : :. e La condici n es tambi n necesaria. : : :. Toda matriz cuadrada compleja es semejante a una matriz de Jordan. .290 6. que es nilpotente ya que gki = 0 sobre Fi .6. Ahora bien.6. . 2 3 i 1 6 7 6 7 i . iguales o distintas. 6 7 6 7 A=6 7 : i 1 6 7 6 7 i 6 7 6 7 . Para que A sea semejante a una matriz de Jordan es condici n necesaria y su ciente que se veri que o d1 pA X posee n ra ces en IK. cada uno de los bloques Ai es una matriz e u de Jordan con el valor i en todos los lugares de la diagonal. b Sea A 2 MIK n IK = IR o C . propiedad que siempre se veri ca cuando IK = C. en cada subespacio Fi podemos emplear el procedimiento de 6.. propiedad que siempre se veri ca cuando IK = C.. Hemos obtenido as el resultado que enunciamos seguidamente: 6. p en a la diagonal. a la vez que explic bamos un o a m todo para buscar la base y la matriz de Jordan. mientras que la matriz de f ser igual pero con el valor i a en la diagonal. ... la matriz A ser una matriz de Jordan con los valores 1 .8 para el endomor smo g = f . 4 5 i Por lo tanto. 6 7 6 7 . a Ya hemos visto que la condici n es su ciente.. ai sea una matriz de Jordan es condici n necesaria y su ciente que se o veri que d1 pf X posee n ra ces en IK. i id .. Obtendremos as una base de Fi en la que la matriz de g ser una matriz de Jordan a con 0 en la diagonal. . iguales o distintas. an de E en la que la matriz f. b El resultado para una matriz se obtiene considerando el endomor smo de IKn dado por la matriz. o Para que exista una base a1 . Si son stas las bases que se re nen. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o donde cada bloque Ai es la matriz del endomor smo que f induce en Fi . puesto que las matrices de Jordan son o e matrices triangulares. El proceso de construcci n que o o hemos visto conduce en ese caso a la matriz diagonal v ase el ejercicio 14 de esta e secci n .19 Ejemplo.6. o una matriz. Si J es una matriz de Jordan que representa al endo- mor smo f en una base.4: 0 . se dice que J es la forma can nica de Jordan de A. todas las matrices reales admiten una forma can nica. 2 id viena dado por la matriz B = A . 2 I. con ra ces 0 de multiplicidad 1 y 2 de multiplicidad 3 . 2 3 . Pondremos F1 = Ker f . El rango de A .0 0 7 . el n cleo K1 = Ker g tiene u dimensi n 2 y ecuaci n o o 2x + 4y + t = 0 z = 0: . o Todas las matrices complejas y. Ahora bien. F1 = Ker g3 = Ker g2 es el subespacio de dimensi n 3 formado o por los x. o Si J es una matriz de Jordan semejante a la matriz A. t 2 IR4 tales que z = 0. El endomor smo g es nilpotente de orden 2 sobre F1. 2 I es 2. es diagonalizable. luego dimV 2 = 2 y el endomor smo no es diagonalizable. por lo tanto. El endomor smo f de IR dado por la matriz 2 3 0 .18 DEFINICION.12: 4: tiene como polinomio caracter stico pf X = X X .6.8 . y. Utilizando las notaciones de 6. es ese caso. cuando las ra ces de su polinomio caracter stico no son todas o reales. entonces la correspondiente matriz diagonal es su forma can nica. o 6. 4 0 5 4 0 0 4: 0 0 8: 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 por lo tanto.4: 0 . z. se dice que J es la forma can nica de Jordan de f. la matriz de paso tampoco ser real.24: 0 6 7 6 7 B 2 = 6 0 0 0 0 7 . Forma can nica de endomor smos y matrices o 291 6. para una matriz real es posible que su forma o can nica no sea real.1: 6 7 B = 6 0 0 .6.1: 4 6 2: 0 0 7 7 A=6 0 0 4 0 0 0 5 4: 8: .0 0 7 : 4 0 0 2: 0 5 4: 8: .6. a Si un endomor smo. 2 id 3 y F2 = Ker f : El endomor smo g = f .12: 2: Tenemos que 2 3 2 3 0 0 12: 0 0 0 .2: . 2 3 . B 3 = 6 0 0 .6. pondremos e a1 = 0. 1 : Entonces g a1 = . 0. es 3 2 2 1 4 2 5: 2 El subespacio F2 = Ker f tiene dimensi n 1 y ecuaci n o o t=0 y =0 x . 0. 1. el a vector 3. 0. 0 . 2. . a2 . 3z = 0 : En este caso bastar tomar un vector cualquiera. 0. 1 . de F2 . no nulo. . 1. Por ejemplo. tomaremos. a2 = 2. 0. 0. . En la base de IR4 . 2 . a1. 3.1. para la base g a1 . 0.0 . por ejemplo.1. En consecuencia. 0. reuni n de las bases que hemos elegido en F1 y en F2 . 0. para esta misma base. 0. 0. 0 : Esto termina el trabajo con F1 . 0 luego la matriz del endomor smo indicido por f en F1 . 2 id en F1 . la matriz del endomor smo inducido por g = f . a1. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o n0 = 0 n1 = 2 n2 = 3 d1 = 2 d2 = 1 y la base de F1 que buscamos tendr la estructura a a1 g a1 a2 y habr que ordenarla como a g a1 . a2 : Como a1 se puede tomar cualquier vector de F1 que no est en K1 . 2 : Ahora basta elegir a2 de manera que complete con g a1 una base de K1 .1. la matriz de f es o 2 3 2 1 6 7 2 6 7 4 2 5. es 2 3 0 1 4 0 5.1. 0.292 6.0 . 0 como puede comprobar el lector. 0. 21 Ejemplo. Para ello basta seguir las indicaciones i de 6.. 0. buscando una matriz Qi .6.1 . lo que se hace es reducir cada Ai a la forma can o nica. 0 . 0 .4: 0 . La matriz obtenida ahora es la forma can nica de f y a o de A. 0..10 .0.6. 4 5 Qp se tiene que 2 0 3 A1 6 7 A02 7 P .12: 4: El subespacio correspondiente al valor propio 2.1A P = 6 6 7.1Ai Qi sea una matriz de Jordan. 0. inversible y del mismo tama~o que Ai .6. que ven a dado por la matriz 2 3 0 .. Poniendo entonces 2 3 Q1 6 7 Q2 7 P = Q6 6 7.6. Forma can nica de endomor smos y matrices o 293 en el ejemplo precedente. y la matriz P proporciona la base de E en la que f se representa por dicha forma can nica. tal que n A0i = Q. . simplemente evita tener que trabajar constantemente con las ecuaciones de los subespacios Fi = Ker f . . .. 4 5 Ap sin que las matrices Ai sean de ninguna forma espec ca. F1 = Ker f .6. En una segunda fase. Veamos c mo se utilizan las recomendaciones del apartado o precedente para el endomor smo del ejemplo 6. El sistema o 1..0.6. 1.0.19 . tiene por ecuaci n z = 0. o 6. 0. lo que en ocasiones puede resultar molesto.. Se puede o as obtener una matriz Q que transforma la matriz A de f en 2 3 A1 6 7 A2 7 Q. puesto que la matriz Ai posee un solo valor propio.1: 6 0 2: 0 0 7: 6 7 A=4 0 0 0 0 5 4: 8: . 4 5 A0p como es f cil comprobar. la matriz de f a la forma diagonal por bloques con bloques cualesquiera . No presenta ninguna diferencia de fondo con lo que ya hemos hecho.1A Q = 6 6 7 . La variante consiste en reducir. en un primer paso.20 Vamos a dar una alternativa al procedimiento que hemos desarrollado 6. 2 id 3 . i id ki . Para ello basta tomar una base del espacio que sea reuni n de bases cualesquiera de los subespacios Fi . 1A Q = 6 4: 8: 0 4 4: 3 7 7 5 0 : Nos ocuparemos ahora de la matriz 2 3 0 . g es nilpotente de orden 2.1: 6 0 2: Q. 0 forma una base de F2 .4: . F2 = Ker f. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o es una base de F1 . tenemos que K1 = Ker g es el subespacio de IR3 de dimensi n 2 y ecuaci n o o 2x + 4y + z = 0 : Las dimensiones que interesan y sus diferencias son n0 = 0 n1 = 2 n2 = 3 d 1 = 2 d2 = 1 . El subespacio correspondiente al valor propio 0. Con las notaciones habituales. tiene por ecuaci n o x y t=0 =0 .1: A1 = 4 0 2: 0 5 4: 8: 4: que tiene el unico valor propio 2 con multiplicidad 3. Tomando entonces 2 1: 0 0 3: 6 0 1: Q=6 0 0 0 0 4 0 1: 0 0 1: 0 se obtiene la matriz diagonal por bloques 2 0 . y la base de R3 que buscamos tendr la estructura a a1 g a1 a2 . 0. 2 I = 4 0 0 0 5 : 4: 8: 2: Como B1 2 = 0.4: .4: . 1.1: B1 = A1 .294 6. 3 7 7 5 y el vector 3. 3z = 0 . Consideremos el endomor smo nilpotente g de IR3 dado por la matriz 2 3 .2: . 3.1 A1Q1 = 4 0 2 0 5 : 1 0 0 2 Pongamos nalmente Q1 P =Q 1 2 32 . ahora hemos obtenido la base . . 4 . 2. 0 . 0. o . Esto no depende del m todo empleado.19 .1. a2 = 2. 0.1 A P = 6 4 2 5. pondremos e a1 = 1.6.6. a2 : Como a1 se puede tomar cualquier vector de IR3 que no est en K1 . e sino de la elecci n que se haga en cada caso de los vectores arbitrarios.2: 1: 2: 3: 6 7 1: = 6 0 0 .0 . Por o ejemplo. a1. 0 : Poniendo 2 3 . 1. . 0. elegimos a2 de manera que complete con g a1 una base de K1 .1: 5 4: 0 0 se obtiene que 2 3 2 1 0 Q.0 5 4 0 0 1: 5 4 4: 0 0 0 1: 0 1: 2 3 . 0 es decir. 4 : Ahora. se obtiene la forma can nica de f. por ejemplo. 0. 0.2: 1: 2: Q1 = 4 0 0 . Forma can nica de endomor smos y matrices o 295 y habr que ordenarla como a g a1 . diferente de la que obtuvimos en 6.6.6.2. 0 .19 . 1.1.2: 1: 2: 3 1: 0 0 3: 6 76 7 1: 1: 7 = 6 0 0 0 0 7 6 0 0 .0. N tese o o que existen diferentes bases de IR4 en las que f tiene su forma can nica. 0.2.0 0 7 : 4 0 0 1: 5 4: 0 0 0 Con esta matriz se obtiene que 2 3 2 1 6 7 2 7 P . 0. como en el ejemplo 6. 0 : Entonces g a1 = . Como J = P . i id tiene dimensi n 1 por eso A no es diagonalizable o y ecuaci n o ix + z = 0 y =0: Denotemos por g el endomor smo g = f . i. 0 1 0 la forma can nica de A se obtendr como P . o a a efectivamente. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o 2 6.23 Vamos a terminar esta secci n estudiando la manera en que la forma o . 1 .22 Ejemplo. cuya imagen por g es el vector i. mientras que K1 = Ker f .6. con ra ces 1 simple e i doble . El lector comprobar que. z 2 C3 j y = 0g . 0 . entonces P A = P p J P . i id 2 : El vector 0. de la que denotaremos por J su forma de Jordan. 1. La base de F2 que interesa ser a de la forma g a . para a o 2 3 0 i 1 P =4 1 0 0 5. a . 1 X . Sea A una matriz compleja n n.1A P para una matriz inversible P. 0 forma una base de F1 . 0.296 6. consecueno a temente. La matriz compleja A=4 2i 0 1 0 1 0 1 0 0 3 5 tiene como polinomio caracter stico pA X = . 0.1A P . i id. 0. f tendr la forma can nica. 0. Denotaremos por f el endomor smo de C3 dado por A y pondremos F1 = Ker f . 1 . Tomaremos el vector 1. 1.6. F2 es el subespacio F2 = f x. 0 . de endomor smos . 2 3 1 P . y. i 2 . 1. 0 de C3. id y F2 = Ker f . sea p X un polinomio con coe cientes complejos.1 6.1A P = 4 i 1 5 : i can nica de Jordan sirve para el c lculo de polinomios de matrices y. o sea. En la base 0. donde a debe ser un vector de F2 que no pertenezca a K1 . X . Hay que tener en cuenta que 2 3 J1 6 7 J2 7 J=6 6 7 .. p J = 6 6 4 6 p J1 3 p J2 .24 Si H= 2 6 6 6 6 6 6 4 0 1 .5. . 6. Por lo tanto v. Esto permite calcular p A a trav s de p J .. 4 5 Jk donde los bloques Ji son cajas elementales de Jordan.. o Si J es una matriz diagonal 2 J=6 6 4 entonces 2 6 1 3 2 .3 2 p J = 6 6 4 6 p 1 p 2 ..5. .2 . 6. n 7 7 7 5 .... sus potencias son m s f ciles de calcular. . 0 . la cosa es algo menos sencilla.. 6. Cuando J no es diagonal. y lo mismo ocurre con los polinomios. Pero la sencillez a a de J no proviene s lo de que posee bastantes ceros.. e La ventaja estriba en que.6. esto permite realizar el c lculo de p J aplicando una a f rmula sencilla que vamos a obtener.. 7 7 7 5 .6. Para todas las comprobaciones de este tipo conviene a empezar con potencias y pasar luego al caso de polinomios cualesquiera... como J tiene una estructura sencilla. 3 p n como es f cil comprobar.. sino del tipo y disposici n o o de sus elementos no nulos. 0 1 0 3 7 7 7 7 7 7 5 . Forma can nica de endomor smos y matrices o 297 v. p Jk 7 7 7 5 .6. y la di cultad queda reducida a saber calcular p J cuando J es una caja elemental. 298 6. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o es una caja elemental n n con la particularidad de tener ceros en la diagonal, es f cil ver que sus potencias vienen dadas por a 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 Hk = 0 1 0 1 ... ... ... ... 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 1 .. . 1 ; es decir, que su t rmino general j es 1 cuando i = j +k y 0 en los restantes casos. e i La idea para probar esto se puede ver en 6.6.2 . En particular, 2 H n,1 = 6 6 4 6 6 0 ... ... 1 .. . .. . 0 3 7 7 7 7 5 y H n = H n+1 = = 0. 6.6.25 Sea ahora J= 2 6 6 6 6 6 6 4 1 ... ... ... 1 3 7 7 7 7 7 7 5 una caja elemental cualquiera, de tama~o nn, y sea p X = 0 + 1 X+ + r X r n un polinomio. La f rmula de Taylor 3 signi ca para este polinomio que o 0 00 r p X = p + p 1! X , + p 2! X , 2 + + p r! X , r ; donde p0 ; p00; : : :; p r representan las derivadas sucesivas de p. Entonces 0 00 r p J = p I + p 1! J , I + p 2! J , I 2 + + p r! J , I r : 3 del matem tico ingl s Brook Taylor 1685-1731 ; la f rmula ser sin duda conocida del lector a e o a en su versi n con resto, pero le hacemos notar que, en el caso de un polinomio, se trata de una o f rmula exacta siempre que se llegue en el desarrollo por lo menos hasta el grado del polinomio. o 6.6. Forma can nica de endomor smos y matrices o 299 Basta ahora tener en cuenta c mo son las potencias de H = J , I, que han sido o descritas en 6.6.24 , para obtener la f rmula o 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 p J = 00 p p0 p 2! p p0 ... ... ... ... ... 8 p n,1 n , 1 ! p n,2 n , 2 ! .. . .. . p0 p 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 : 6.6.26 Ejemplo. Calculemos I + A , A para la matriz 2 A=6 4 6 0 ,1: ,1: ,1: 1: 1: 0 0 1: 0 0 0 2 6 0 1: 2: 1: 0 1: 0 0 0 0 0 1: 0 0 0 1: 3 7 7 5 del ejemplo 6.6.11 . Vimos en aquel ejemplo que para ,1: 6 ,1: P = 6 ,1: 4 ,1: se ten a que 2 3 7 7 5 J = P ,1A P = 6 6 4 Pongamos p X = 1 + X , X 8 , 2 1 1 1 1 1 3 7 7 7 5 : 1 J1 = 4 1 1 1 1 1 3 5 y J2 = 1 : 3 5 Los c lculos que hay que realizar son a 2 3 2 p 1 p0 1 p00 1 =2 1: ,7: ,28: p 1 p0 1 5 = 4 1: ,7: p J1 = 4 p 1 1: p J2 = p 1 = 1: ; ; 300 6. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o 2 6 p J = p J1 p J = 6 4 2 1: ,7: ,28: 1: ,7: 1: 2 3 7 7 5 y, nalmente, I + A , A8 = p A = P p J P ,1 = 6 4 6 1: ; 8: 7: 7: 7: 21: 29: 28: 28: ,28: ,35: ,34: ,35: 0 0 0 1: 3 7 7 5 : 6.6.27 La f rmula de 6.6.25 que proporciona p J cuando p es un polinomio o y J una caja elemental n n, tiene una consecuencia inmediata: si J es 2 6 6 6 6 6 6 4 J= 1 ... ... ... 1 3 7 7 7 7 7 7 5 y p X y q X son dos polinomios tales que p = q ; p0 = q0 ; : : :; p n,1 = q n,1 ; entonces p J = q J . Este resultado se puede extender a una matriz cualquiera. Sea A una matriz compleja n n, 1 ; : : :; p los valores propios distintos de A, pA X = ,1 n X , 1 k1 X , p kp su polinomio caracter stico y p X y q X dos polinomios. Si coinciden los si guientes valores de los polinomios y sus derivadas p 1 = q 1 ; p0 1 = q0 1 ; : : :; p k1,1 1 = q k1 ,1 1 ; :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: :: :: :: ::: :: :: :: ::: :: : p p = q p ; p0 p = q0 p ; : : :; p kp,1 p = q kp ,1 p ; entonces p A = q A . Para probar este hecho se puede razonar sobre la forma can nica de A con o ayuda del resultado para las cajas elementales. Hay, sin embargo, una demostraci n directa muy breve, que es la que vamos a o exponer. Denotemos por r X = p X , q X el polinomio diferencia de ambos. Como para todo i = 1; : : :; p r i = 0; r0 i = 0; : : :; r ki,1 i = 0 ; 6.6. Forma can nica de endomor smos y matrices o 301 resulta de la f rmula de Taylor v. 6.6.25 en potencias de X , i que o r X = X , i ki si X ; donde si X es un polinomio; esto, para todo i = 1; : : :; p. En consecuencia, r X es divisible por X , 1 k1 , por X , 2 k2 , etc.; por lo tanto r X = X , 1 k1 X , 2 k2 X , p kp s X ; donde s X es un polinomio. Como, por el teorema de Cayley-Hamilton, pA A = 0, resulta que r A = ,1 n pA A s A = 0 : As pues y se obtiene la igualdad. N tese que si A es una matriz nn con valores propios 1 ; : : :; n todos simples, o la condici n su ciente para la igualdad de p A y q A se reduce a que o p 1 = q 1 ; : : :; p n = q n : En el fondo, las ideas expuestas en este apartado son otra versi n m s c moda o a o en su forma actual de lo que ya vimos en 6.5.8 . p A , q A = r A = 0 6.6.28 Ejemplo. Para calcular cualquier potencia de la matriz A = ,5: ,4: ; 2: 1: cuyos valores propios son 3 y 1, podemos buscar para la potencia An un polinomio de la forma nA + n I que coincida con An . Es su ciente para ello que los polinomios p X = X n y q X = n X + n tomen los mismos valores en 3 y en 1. Resulta sencillo ver que esto equivale a que 3n , 1 y ,3n + 3 : n= 2 n= 2 Por lo tanto, n, n An = 3 2 1 A + ,3 2+ 3 I 2 3n , 1 2 3n , 2 : = ,3n + 1 ,3n + 2 Comp rese este procedimiento con el que desarrollamos en el ejemplo 6.5.9 . a A.6.23 o o .29 S lo un breve comentario nal sobre la de nici n y el c lculo de funciones o o a h A de una matriz n n. tambi n e e0 = I . cuando h es una funci n diferente de un polinomio. La funci n eA . Los mismos problemas surgen cuando se pretende de nir la matriz suma de la serie 1 X n=0 nAn como l mite de los polinomios pr A = r X n=0 nAn cuando r tiende a in nito. veri ca buena o parte de las propiedades de la exponencial de n meros complejos. La generalizaci n m s obvia de los polinomios son las series de potencias.1 = e. si u AB = BA. asimismo. de nida como acabamos de decir. El o a lector sabe que una serie de potencias 1 X n=0 nz n no converge generalmente para cualquier valor de z 2 C. se tiene que eA+B = eA eB . en el caso de la exponencial. no a existe problema alguno para de nir eA = 1 n n! A . o El ejemplo m s importante entre las funciones de una matriz es eA que es h A a para la funci n exponencial h z = ez . a causa de su utilidad en la resoluci n de o o sistemas diferenciales lineales.A : Una de las maneras de calcular la exponencial de una matriz y tambi n otras e funciones es utilizar la forma can nica de la matriz y las f rmulas de 6. Por ejemplo. eA es inversible y eA . El lector podr ver en cursos posteriores que. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o 6.302 6.6. n=0 zn n=0 n! 1 X 1 X como no lo hay tampoco para la convergencia de la serie ez = para todo z 2 C. la e a funci n p z = ez . 3 B squese una base de IR5 en la que el endomor smo dado por la matriz u 2 . Es decir. y e u o b squese una base del espacio en la que D se represente por dicha forma can nica. o Tambi n es v lido para la exponencial de una matriz y para otras funciones el e a comentario del apartado 6. eA = q A para todo polinomio q cuyo valor. : : : . e o e o Compru bese que D es nilpotente. La altura del vector 0 es 0.6.6. nilpotente de orden p. 5 3: 0 0 6: 3 7 5 . : : : . xk son vectores no nulos y de alturas diferentes. tema que cae fuera del prop sito o de este libro. el sistema x1 . en lugar de un polinomio.5: 2: 0 3 6 0 1: .3: 1: 0 7 6 1: . no hemos justi cado las distintas a rmaciones. y el de las correspondientes derivadas. 6. 4 Calc lese la forma de Jordan de la matriz u 2 6: 0 0 6: 0 6 0 4 0 3: 6: 0 0 0 y la matriz de paso que permite obtenerla. de un e. X 3 . para las que A .30 Ejercicios.1 x 6= 0 y f r x = 0 : Se dice que r es la altura del vector x. u o 2 B squense matrices 3 3.6. 1 Denotemos por D el endomor smo de derivaci n de los polinomios sobre el espacio o IRn X v ase el ejercicio 9 de la secci n 2. E . que son tambi n v lidas cuando p es.6. ya que ello nos llevar a a introducir y estudiar la convergencia de matrices.2: 0 0 7 6 0 7 4 0 0 1: .1 . con polinomio caracter stico 1 . por de nici n. Pru bese que.2: 0 5 0 .1: se represente por una matrix de Jordan. se considera para todo vector x 6= 0 el n mero r 2 IN para el que u f r. Natua ralmente.2: . I u sea una matriz nilpotente de orden 1.v. Calc lese tambi n la matriz de Jordan que u e resulte. Calc lese la forma can nica de Jordan para D. y o sus derivadas recu rdese que la exponencial es su propia derivada .1: 3: . Siendo f un endomor smo. El objetivo de estas consideracioneses unicamente introducir al lector en el `ambiente' de ciertas ideas que tendr que estudiar en cursos posteriores.1 y tambi n el ejercicio 2 de la secci n 6.25 . si e e x1 . Forma can nica de endomor smos y matrices o 303 y 6. o Compru bese que la altura de cualquier vector es igual o menor que p.6.27 .1: 3: . xk es libre. 2 y 3. en los valores e propios de A. coincida con los de la funci n ez . ai = 7. 3 7 7 7 7 7 7 5 : 7 Pru bese que todas las matrices n n de la forma e 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 . si f es un endomor smo de E y un escalar que no es valor propio. 11 Sea f un automor smo un endomor smo biyectivo del e.. Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o Calc lese la forma can nica de Jordan de la matriz n n n 3 u o 0 0 0 0 0 . id r y Ker g . . E . idE r se reducen a f 0 g para todo r 2 IN. 6 7 . : : : . 6 7 6 7 . . e entonces los subespacios Ker f . E y un escalar cualquiera. .. . 2 . . n. id r e e 10 coinciden. 0 0 1 0 0 . 9 Sea f un endomor smo del e. .v. 7 . . 0 1 0 0 0 . es un valor proe pio de g . . . . : : : . 1 3 2 3 1 0 0 0 0 .. idE . pongamos g = f .1 n . n. 1 2 0 0 0 0 0 .. . . . 6 7: 6 7 4 15 8 Sabiendo que el endomor smo f se representa en una base a1 . 7 f. .. entonces . an por la matriz 2 6 6 6 6 6 4 1 3 7 . . . . 5 1 b squese una base del espacio en la que f se represente por su forma can nica. . . Pru bese que.. si es un valor propio de f . ... .304 6 2 6 6 6 6 6 6 4 6.. u o 7 Pru bese que. 1 n 2 n 3 n 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 ..v. . compru bese tambi n que los subespacios Ker f . ..1 no nulos. poseen la misma forma can nica o n 2 3 2 3 1 . . con 1 . 10: 0 3: . Sea E un e.4. id r y a Ker f .1 .2: 0 1: Calc lese la forma can nica de la matriz u o " 6: . id r que ya era invariante para f es tambi n invariante para g.1: 1: . en el caso e de una matriz diagonalizable.1 . para 6= 0.5: 0 4 . los subespacios propios generalizados Ker f . 1= idE = f . se tiene la igualdad e .5: 0 1: . idE : 305 b Pru bese que. e 12 Sea A una matriz compleja n n. para todo 2 IK y todo r 2 IN el subespacio Ker f . o b Pru bese que el polinomio minimal de A posee unicamente ra ces simples si y s lo e o si A es diagonalizable.3: 2: 1: . o . 15 Calc lese la forma can nica de la matriz u o 2 2: 1: 1: 2: 1: .5 . o 16 y la matriz de paso que proporciona dicha forma can nica.1: 0 6 2: 4 1: 0 0 . Forma can nica de endomor smos y matrices o a Compru bese que. a Pru bese que el polinomio minimal y el polinomio caracter stico de A coinciden si e y s lo si para cada valor propio de A existe una sola caja elemental diagonal en la forma o can nica de A.f f . 1= id r coinciden.v. el proceso de obtenci n de la forma de Jordan lleva a una o matriz diagonal.g 2 L E dos endomor dmos tales que g f = f g. y la matriz de paso que proporciona dicha forma can nica.3: 4: .1 .1: 0 1: 9: 6 9: . y f.6. Pru bese e que. para todo r 2 IN. si es un valor propio de f .3: 0 6: 3 7 5 y la matriz de paso que proporciona dicha forma can nica.2: 1: 3 7 5 del ejemplo 6. 13 14 Compr bese con un estudio de las dimensiones de los subespacios que. Pru bese e e adem s que. o 17 Calc lese la forma can nica de la matriz u o 2 3: .6. entonces 1= lo es de f . .1: 1: 6 2: 3: . 20 con la ayuda del problema 7 de esta secci n. tambi s se puede dar una soluci n sencilla usando el problema 11 de esta e o secci n. tr p A = p 1 + + p n y det p A = p 1 p n : 22 23 Descr banse todas las matrices n n que conmutan con la caja elemental 3 2 1 . para todo poli e nomio p X .. 6 .6: 7: .. : : : . si J es la forma de Jordan de una matriz A. e c Pru bese que toda matriz cuadrada compleja es semejante a su traspuesta. e b Pru bese que toda matriz de Jordan es semejante a su traspuesta. Pru bese que. 6 6 . n las ra ces com plejas iguales o distintas de su polinomio caracter stico. a Pru bese que toda caja elemental es semejante a su traspuesta.. entonces J .1 . ..5: y la matriz de paso que permite obtenerla. .306 18 6.1: 6: 9: . b squese la forma u can nica de la matriz J .2: . Nota: si bien se puede responder a esta apartado aprovechando los o dos anteriores. b squese la forma can nica de la matriz J . 7: 6 7 4 15 Pru bese que dichas matrices son exactamente los polinomios de J .. 6 7 6 7 . o c Siendo A una matriz inversible n n. e .1 en o funci n de la de A. o 21 1 con 6= 0. 19 Pru bese que. J =6 6 3 7 7 7 7 7 5 . Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o 3 7 7 7 5 Calc lese la forma can nica de u o 2 0 . I es la e forma de Jordan de la matriz A . Sugerencia: es muy sencillo u o 4 a Siendo J la caja elemental de Jordan 2 1 .. 6 7 J =6 . o b Siendo J una matriz de Jordan con valores diagonales no nulos. I .1: 1: 6 . e Sea A 2 M n una matriz cuadrada real o compleja y 1 .1: 4 3: 3: 0 3: ..1 ..1: 1: ..1: 6 3: .1: 1: . descr base la forma can nica de A. si 1 . de grado igual o menor que 2.6.5: b squese un polinomio q X .4: A = 3: 0 . u Calc lese as la matriz I + A7 . como hace con las sumas es de grado igual o menor que n . 25 P 5: 2: . 6: 2: . para el que q A = I + A7 . u " 26 Para la matriz a Siendo 1 . n son n n meros diferentes y p X un polinomio. : : : . 2 . y vale lo mismo que p X en 1 . 1. Forma can nica de endomor smos y matrices o 24 307 Compru bese que. 2 . i i=1 Q i=1 i6=k i6=k el s mbolo sirve para abreviar un producto. el e u polinomio n n i Xh Y p k q X = X . 1 . 3 . 4 y 5 n. n .6. : : : .3: . i n Y k=1 k . entre los polinomios de la forma e p X = 1 + 2 X .1: 0 . el s mbolo r A representa o p A q A . 1 + 3 X . se considera la funci n racional r X = p X =q X . An . de grado igual o menor que 4. p0 1 = 0 .1 + 2 i Calc lese la matriz eA para u : 28 A= 2: 1: . de la matriz u " 1 1 . p00 1 = 3 . pru bese que.1 A = 0 2 . 1 2 + X . a o a b buscando un polinomio p X tal que p A = eA y calculando entonces p A .2 + 2 i 0 1 . 1 3 4 + 5 X . a mediante el c lculo de la forma can nica J de A y el posterior c lculo de eJ . existe uno y s lo uno que cumple o p 1 = 1 . i . 29 . Cuando q A es inversible. i . p0 2 = 5 : b B squese un polinomio p X . 2 . p 2 = 4 .meros reales o complejos arbitrarios. p00 1 = 2 .1 . Siendo A una matriz cuadrada y p X y q X dos polinomios. p0 2 = 1 : 27 Calc lense las potencias. que cumpla u p 1 = 1 . p 2 = 0 . p0 1 = 2 . con u 1 6= 2 . 1:: 4:: .2: r A = a A y r B = b B : .4: .1 3 y B= 4: 2: .308 6. u b Compru bese la existencia de dos polinomios a X y b X tales que e A = . Diagonalizaci n de endomor smos y matrices o a Compru bese la existencia de r A y r B para la funci n racional e o + r X = X + 11 X 2 y las matrices Calc lese r A y r B .