´Algebra Lineal - 2016 . 1. Operaci´ on Binaria a∗a ˇ=e La operaci´ on binaria (∗) en un conjunto S es una relaci´on f : S × S que asigna un par de elementos a, b ∈ S con un tercero c, que puede o no pertenecer a S, llamado resultado. Al par (S, ∗) se le denominar´a estructura, si la operaci´on definida cumple con ciertas propiedades. Conmutatividad. Si en la operaci´ on binaria no hay orden para trabajar los elementos, se dice que la operaci´ on permite la conmutaci´ on. a∗b=b∗a 1.1. Propiedades de las Operaciones Binarias Con una operaci´ on binaria (∗) definida en un conjunto S, se plantean las siguientes propiedades: Cerradura. Si el resultado de aplicar la operaci´on a dos elementos a, b ∈ S est´ a definido en S, entonces la operaci´ on es cerrada. Esta propiedad tambi´en puede llamar a una operaci´ on binaria ley de composici´on interna. a∗b∈S Asociaci´ on. Si la operaci´ on es binaria, entonces no puede operar tres elementos a la vez. Aqu´ı surge la necesidad de trabajar dos elementos y despu´es operar el resultado con el tercer elemento; esta caracter´ıstica es la propiedad de asociaci´ on. (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) Existencia del elemento neutro. Si existe un elemento e ∈ S, tal que al operarlo con otro elemento a ∈ S no altera a ´este u ´ltimo, entonces se habla de un elemento neutro. a∗e=a Existencia de elementos inversos. Esta propiedad se relaciona directamente con el elemento neutro. Si al operar dos n´ umeros a, b ∈ S se obtiene el elemento neutro, entonces los dos elementos son inversos uno del otro. 1 Distribuci´ on. Al definirse una segunda operaci´ on (◦) dentro del conjunto, puede establecer una propiedad que permita utilizar ambas operaciones, donde la segunda operaci´on se distribuya sobre la primera. a ◦ (b ∗ c) = (a ◦ b) ∗ (a ◦ c) Esta propiedad introduce el concepto de factorizaci´ on. 2. Grupo Dado un conjunto no vac´ıo G con una operaci´ on binaria (∗) definida. El sistema (G, ∗) es un grupo si cumple con: cerradura. asociaci´on. elemento neutro. elementos inversos. Ejemplo Sea el conjunto Z donde se define la operaci´ on a ∆ b=a+b−3 ∀ a, b ∈ Z Al observar la operaci´on se pueden probar las cuatro propiedades. Cerradura. Por suma en los enteros a + b ∈ Z y al restar −3 ∈ Z se obtiene otro entero. Por lo tanto, la operaci´ on es cerrada. Ing. Aldo Jim´enez Arteaga a ˇ = 3+3−a a ˇ = 6−a a a 1 Grupo Abeliano o Conmutativo El grupo abeliano debe su nombre al noruego Niels Abel. = 2 3 = ae 3 ae = 2 3 = e 2 = e Existe un racional positivo que aplica como neutro. a∆e = a+e−3 = a a e = a−a+3 e = 3 (a b) c 3 ab c 2 3 3 ab c 2 2 9 abc 4 Existe un u ´nico entero que aplica como neutro. Por lo tanto.1.2016 Asociaci´ on.´ Algebra Lineal . Dado un grupo (G. la operaci´on es asociativa. por lo tanto. b ∈ Q+ 2 La demostraci´on del grupo abeliano es: Cerradura. la propiedad se cumple. En consecuencia. Asociaci´ on. Este se convierte en abeliano si se cumple con: 2 = a (b c) 3 a bc 2 3 3 a bc 2 2 9 abc 4 a∆a ˇ Cada elemento a ∈ Z tiene su propio inverso. En conclusi´ on. 2. 3 ab ∀ a. la propiedad se cumple. Ing. la propiedad se cumple. adem´ as de ser u ´nico. el sistema (Z. se cumple la cerradura. Por lo tanto. Elemento inverso. Aldo Jim´enez Arteaga . uno de los pioneros ´ del a´lgebra Moderna. entonces el resultado del producto siempre ser´ a positivo. ∗). = = = e La igualdad se cumple. Por producto en los racionales ab ∈ Q y al multiplicar por 32 ∈ Q se obtiene otro racional. Ejemplo (a ∆ b) ∆ c = a ∆ (b ∆ c) Sea el sistema (Q+ . la operaci´ on es asociativa. ) donde (a + b − 3) ∆ c = a ∆ (b + c − 3) (a + b − 3) + c − 3 a+b+c−6 = a + (b + c − 3) − 3 ab= = a+b+c−6 La igualdad al desarrollar ambos extremos se cumple. ∆) es un grupo. a+a ˇ−3 = 3 Elemento neutro. los tres n´ umeros son positivos. Por lo tanto. Por lo tanto. Elemento neutro. conmutaci´on. 3 Ing. Conmutaci´ on.2016 Elemento inverso. e = 2 = 3 4 = 9a aa ˇ 3 aˇ a 2 a ˇ Cada elemento a ∈ Q+ tiene su propio inverso. donde los movimientos de las caras representan el conjunto de elementos. ) es un grupo abeliano. Uno de los juegos m´ as conocidos en el mundo. Por lo tanto. es el cubo Rubik. la propiedad se cumple. Inventado por el arquitecto h´ ungaro Erno Rubik.´ Algebra Lineal . Aldo Jim´enez Arteaga . este rompecabezas mec´ anico puede modelarse a partir del grupo abeliano. Al cumplir con las cinco propiedades. y la composici´ on de movimientos (giro tras giro) es la operaci´ on binaria definida. se concluye que el sistema (Q+ . ab = ba 3 3 ab = ba 2 2 Por conmutaci´ on en los racionales la propiedad se satisface.