Cap´ ıtulo 1EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ´ ALGEBRA 1.1. 1.1.1. CONCEPTOS PRODUCTOS NOTABLES 2 Estos son los productos mas empleados para la soluci´n de expresiones algebr´icas: o a 1. (a + b) = a2 + 2ab + b2 2. (a − b) = a2 − 2ab + b2 3. (a − b) = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 4. (a − b) = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 3 3 2 5. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab 6. (x + a) (x − b) = x2 + (a − b) x − ab 7. (x − a) (x + b) = x2 + (b − a) x − ab 8. (x − a) (x − b) = x2 − (a + b) x − ab EJEMPLO 1: Hallar el producto notable de la siguiente expresi´n: (x + 1)(x − 2). o ´ SOLUCION: Vemos que esta expresion cumple las condiciones para el producto notable de la tabla, en este caso el inciso 6. Donde a = 1 y b = 2; lo aplicamos y nos da como resultado: (x + 1)(x − 2) = x2 + (1 − 2)x − (1)(2) (x + 1)(x − 2) = x2 − x − 2 575 576 ´ CAP´ ITULO 1. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA EJEMPLO 2: Hallar el producto notable de la siguiente expresi´n: (9y 2 − 2x3 )2 o ´ SOLUCION: Este se pararece al producto de un binomio cuadrado perfecto que se encuentra en la tabla, en el inciso 2, donde a = 9y 2 y b = 2x3 , lo aplicamos y tenemos como resultado: (9y 2 − 2x3 )2 = (9y 2 )2 − 2(9y 2 )(2x3 ) + (2x3 )2 9y 2 − 2x3 2 = 81y 4 − 36x3 y 2 + 4x6 1.1.2. ´ FACTORIZACION DE POLINOMIOS 1. x2 − y 2 = (x + y) (x − y) 2. x3 + y 3 = (x + y) x2 − xy + y 2 3. x3 − y 3 = (x − y) x2 + xy + y 2 EJEMPLO 1: Factorizar el siguiente binomio 27 + 125a3 . ´ SOLUCION: Aplicamos la diferencia de cubos que esta en la tabla del inciso 2 ya que este es paracido a la expresi´n dada y adem´s 27 y 125a tienes ra´ o a ıces c´bicas exactas. apliu cando y efectuando: 27 + 125a3 = 33 + (5a)3 = (3 + 5a) 32 − (3)(5a) + (5a)2 Por lo tanto, 27 + 125a3 = (3 + 5a) 9 − 15a + 25a2 EJEMPLO 2: Factorizar el siguiente binomio (a − b) − c2 . ´ SOLUCION: Aplicamos la diferencia de cuadrado que esta en la tabla del inciso 1 ya que este es paracido a la expresi´n dada y adem´s (a − b)2 y c2 tienes ra´ o a ıces cuadradas exactas. aplicando y efectuando: (a − b) − c2 = [(a − b) + c] [(a − b) − c] Por lo tanto, (a − b) − c2 = (a − b + c) (a − b − c). 2 2 2 1.1. CONCEPTOS 577 1.1.3. FRACCIONES ALGEBRAICA 1. a (b + c) = ab + ac 2. a+b c 3. 4. 2x−1 3 a b a b c d + = c d a b = × ad+bc bd c d = a c + b c = ac bd 5(x+1) 8 EJEMPLO 1: Resolver la ecuaci´n o ´ SOLUCION: − x+13 24 = 3x + El m.c.m de 3,24 y 8 es 24. Dividiendo 24 entre 3,24,1 y 8 y multiplicando lo cocientes por el numerador respectivo, tendremos: 8 (2x − 1) − (x + 13) = 24 (3x) + 15 (x + 1) 16x − 8 − x − 13 = 72x + 15x + 15 16x − x − 72x − 15x = 15 + 8 + 13 −72x = 36 x = − 36 = − 1 72 2 Por lo tanto, x = − 1 . 2 3 EJEMPLO 2: Resolver la ecuaci´n 2x+1 o ´ SOLUCION: El m.c.m de los denominadores es 4x2 −1 por que 4x2 −1 = (2x−1)(2x+1) y aqu´ veı mos que contiene a los otros dos denominadores. Dividiendo por (2x − 1)(2x + 1) entre cada denominador y multiplicando por el numerador respectivo, tendremos: 3 (2x − 1) − 2 (2x + 1) − (x + 3) = 0 6x − 3 − 4x − 2 − x − 3 = 0 6x − 4x − x = 3 + 2 + 3 x=8 Por lo tanto, x = 8 − 2 2x−1 − x+3 4x2 −1 =0 entonces. ´ ´ POTENCIACION Y RADICACION Si m = n 1. x n = 5. xm−n . e 3+ 4 √ m √ . x y m n = xn yn √ n x 10. xm xn 2. x= mn n √ n √ m xm = ( n x) xy = √ n √ √ n xny n x y = √ nx √ ny 12. 6. (xy)n = xn y n 4. 2 2ab2 + 18a3 − (a + 2b) 2a = 2a 2a EJEMPLO:2 Racionalizar el denomiandor de √ 1 √ 3 3 ´ SOLUCION: Recu´rdese que x3 + y 3 = (x + y) (x2 − xy + y 2 ). Si m < n xn−m 1 xn 1. (xm )n = xmn 3. x0 = 1 √ √ √ EJEMPLO: 1 Simplificar la expresi´n 2 2ab2 + 18a3 − (a + 2b) 2a o x= x ´ SOLUCION: Simplificando en primera instancia.4. x n = 11.578 ´ CAP´ ITULO 1.1. operando √ √ √ √ √ 2b 2a + 3a 2a − a 2a − 2b 2a = 2a 2a √ √ √ √ Por lo tanto. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA 1. Si m > n = 1 . √ n m 1 8. los radicales √ √ 2 2ab2 = 2b 2a √ √ √ 18a3 = 2 × 32 × a2 × a = 3a 2a Entonces. xm xn = xm+n 7. x−n = 9. con el fin de obtener el valor de x.5. CONCEPTOS √ √ √ 1( 3 9− 3 12+ 3 16) √ √ √ √ 3+ 3 4)( 3 9− 3 12+ 3 16) √ 3 √ √ 9− 3 12+ 3 16 7 579 √ 1√ 3 3+ 3 4 = ( √ 3 = Por lo tanto. exponenciaci´n y e a o radicaci´n de t´rminos. −3x = − 17 6 Por ultimo multiplicamos en ambos lados de la igualdad por el inver´ so multiplicativo de −3. Veamos algunos ejemplos: EJEMPLO 1: Hallar el valor de x para la siguiente ecuaci´n lineal: x + 5 = 2x − o 7 2 ´ SOLUCION: Lo primero se deben colocar la variables x es un solo lado de la igualdad y las constantes en el otro lado. √ 1 √ = 3 3 3+ 4 √ 3 √ √ 9− 3 12+ 3 16 7 1. x + 5 = 2x − 7 2 7 2 −2x − x = −5 − Ahora se suman los t´rminos semejantes. entonces x= √ −b± b2 −4ac .1.1. 3 . 2a Donde x tiene dos ra´ ıces o sea dos soluciones.los o productos notables.1. o e ´ ´ En algunos casos se hace uso de la FORMULA CUADRATICA que se expresa de la siguiente manera: Si ax2 + bx + c = 0. − 1 . en este caso suma de fraccionarios. se aplica la operaci´n respectie o va con las constantes. osea. ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO Para la soluci´n de ecuaciones de primer y segundo grado s´lo basta o o con los conocimientos previos sobre la factorizaci´n de polinomios. esto incluye la aritm´tica b´sica. 580 ´ CAP´ ITULO 1. e (x − 6)(x − 7) = −2x2 + 1 x2 − 13x + 42 = −2x2 + 1 x2 − 13x + 42 + 2x2 − 1 = 0 3x2 − 13x + 41 = 0 Ahora aplicamos la f´rmula cuadr´tica para hallar sus ra´ o a ıces: √ −(−13)± (−13)2 −4(3)(41) x = 2(3) = = = √ 13± 169−492 6 √ 13± −323 6 √ 13±i 323 6 Por tanto las soliciones son complejas y no reales x = 13 6 13 6 √ + 1 i 323 6 √ − 1 i 323 6 . 6 Rta: el valor que satisface la ecuaci´n es x = o EJEMPLO 2: Hallar los valores de x que satisfacen la siguiente ecuaci´n de seguno 2 do grado: (x − 6)(x − 7) = −2x + 1 ´ SOLUCION: Comenzamos con efectuar la multiplicaci´n de los dos binomios y luego o colocamos todos los t´rminos de un solo lado de la igualdad. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA 1 (− 1 ) · (−3x) = (− 17 ) · (− 3 ) 3 2 x= 17 6 17 . 1. La gr´fica de este intervalo. a correspondiente a toda la recta real. ⇒ ca > cb |x| = a significa que x = a o x = −a |x| < a significa que − a < x < a 5. EJEMPLO 2: Encontrar todos los n´meros reales que satisfagan la u desigualdad |x − 3| = 5. ⇒ ca < cb 4.1. Si a < b y c < 0. Si a > 0. como ya lo ha podido establecer el lector. Entonces: u {0 > 6} = (−∞.1. por consiguiente es una desigualdad absoluta o y se verifica para cualquier n´mero real. CONCEPTOS 581 1. . debemos de colocar todos los terminos que contengan a x en un solo lado de la desigualdad y lo mismo con las constantes. Si a < b ⇒ a + c < b + c 3. entonces |x| > a significa que x > a o x < −a EJEMPLO 1: Encontrar todos los n´meros reales que satisfagan la u desigualdad 3x + 8 > 3x + 2. Si a < b y b < c. ∞). ⇒ a < c 2.6. ´ SOLUCION: Como lo hemos comentado antes. Si a < b y c > 0. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO 1. 3x − 3x > 2 − 8 0>6 Esta expresi´n se cumple. x = 8 ∨ x = −2. Entonces: {X |x − 3| = 5} = {X x = −2 ∨ x = 8} = {−2. Por lo tanto. Aplicamos y resolvemos: ´ SOLUCION: Como 5 > 0. . EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA aplicando el teorema 5 y de acuerdo con el simbolo de la desigualdad en este caso =. entonces: |x − 3| = 5 ⇒ x − 3 = 5 ∨ x − 3 = −5.582 ´ CAP´ ITULO 1. 8}. aplicamos |x| = a significa que x = a o x = −a. donde a = 5. o S´lo es factorizable como diferencia de cubos. u Puede ser par o impar. el exponente del cuadrado perfecto o es: a) b) c) d) Siempre un n´mero par. o Puede hacerse en los enteros. S´lo puede hacerse en los reales. 1. Los t´rminos de una diferencia de cuadrados: e a) b) c) d) Debe ser monomios. seleccionar la letra que corresponda a la respuesta correcta. CONCEPTOS 583 Factorizaci´n de Polinomios o En los ejercicios del 1 al 9. 4.1. Deben ser un monomio y un binomio. Una diferencia de cuadrados. En la expresi´n x2n + bxn + c. Para factorizar a − b como una diferencia de cubos: a) b) c) d) Puede hacerse en el conjunto de las racionales. No pueden hacerse en ning´n conjunto. 2. obtenemos: a) b) c) d) Un trinomio cuadrado perfecto. . siempre. Puede ser dos polinomios cualquiera. u Siempre un n´mero impar. Deben ser dos binomios. u 5. Una diferencia de cuadrados.1. siempre. Acerca de la expresi´n a6 − b6 podemos afirmar: o a) b) c) d) S´lo es factorizable como diferencia de cuadrados. Una suma al cuadrado. o Es factorizable como diferencia de cuadrados y cubos. No es factorizable. 3. Nada se puede afirmar. Si multiplicamos la suma de las ra´ cuadradas de dos expresiones ıces algebraicas por la diferencia de las mismas. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA En los ejercicios del 10 al 55 factorizar completamente la expresi´n o en el conjunto de los n´meros enteros: u 10. x − xy + 1 − y 2 50. m12 − 1 6. x5 − 40x + 144x 53. 27a3 + 8b3 28. 8x6 + 7x3 − 1 43. 32n − 3n + 20 36. a6 + 729t3 18. x6 − 4x3 − 480 35. 3p2 − 3p − 18 38. a4 b4 + 4a2 b2 − 96 47. 3a2 b2 − 12a2 bc + 18ab2 c 40. 2x2 − xy n − y 2n 45. x4 − y 4 13. x2 + 2yx + y 2 − xz − yz 31. a4 + a3 − 9a2 − 9a 52. 84y 3 − 105y 2 + 21y 21. (x + 3)2 − 7 (x + 3) + 12 22. a10 − a8 + a6 − a4 39. − a9 − a6 42. 4 − 4 · 3n + 32n 37. m7 − 8m5 + 10m3 12. n2 + n − 42 34. 81a8 − 64b12 33. (x + y − 8)2 − (x − 8)2 16. 25x2 − 80xy + 64y 2 26. x3 − y 3 + x − y 48. 9a3 − 12a2 b + 4ab2 24. a2 + 2ab + b2 − a3 − b3 30. a2 + 12abx + 36b2 x2 14. x5m − x3m b4m 23. 4a2 x2 − 25x2 11. x21 y 3 − x3 y 21 55. x2 + 2xy + y 2 − xy + yz 29. (a − b)2 − (x − y)2 15. x17 − x 54. a2 + 2ab + b2 − a3 − b3 32. a3 − 9b2 − 27b3 + a2 44. 32n + 2 · 3n + 1 41. x4 + 3x2 − 4 46. 9a2 − 6a + 1 27. a2 + a 2 + 7 a2 + a + 12 51. En una diferencia de cuadrados perfectos los exponentes: . a2 − 9b2 + a + 3 20. x2m+2 − x2 y 2n 49. 1 − x2 − 2xy − y 2 17.584 ´ CAP´ ITULO 1. a3 + b3 + a + b 19. x3 + x2 − 4x − 4 25. d) Ninguna de las anteriores. y 4 − 2y 2 − 35 65. 62. Factorizar los ejercicios 56 a 61 . b) Deben ser impares. x4 − 7x2 + 9 59. m4 + 4 58. 56. c2 + 30c + 81 63. a4 − 7a2 b2 + b4 57.1. 5x2 + 7x − 6 69. CONCEPTOS 585 a) Deben ser pares. y 4 + y 2 − 156 66.1. sumando y restando previamente una cantidad para formar un trinomio cuadrado perfecto. z 2 − 18z + 17 . 6m6 + 17m3 − 45 70. 4x4 + y 4 60. c) Pueden ser pares o impares. 2m4 − 11m2 − 21 67. 3c2 + c − 2 68. 9x8 + 8x4 y 4 + 4y 8 61. x4n + 16 + 4x2n En los ejercicios 62 a 70 factorizar por el m´todo de completaci´n e o al trinomio cuadrado perfecto. i2 + 9i − 36 64. a3 + a2 + 2ab − 3b2 − b3 79. 16 − 16y 3 − n4 + n4 y 3 73. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA En los ejercicios 71 a 80 factorizar los polinomios dados. (a2 − b2 ) (x − y) − (x − y)2 (a − b) 72. a (a − 1) x2 + (2a2 − 1) x + a2 + a 74. − 8a8 − 14a4 y 4 − 3y 8 75.586 ´ CAP´ ITULO 1. 8 y3 − x3 − 8a2 y3 + a2 x3 . a (a − 1) x2 − (a − b − 1) xy − b (b + 1) y 2 78. a2 (c − b) + b2 (a − c) + c2 (b − a) 80. 71. a (b2 − c2 ) − bc (b − c) + a2 c − a2 b 77. x3 − 2x − 1 (Sug: haga − 2x = −x − x y agrupe) 76. Estos ejercicios tienen un nivel de dificultad un poco mayor que los anteriores. 6. 4.1. 8. 2a3 +54b3 2a2 +5ab−3b2 4xy+4y 2 + 8ab−19b − a − b 2a−b 15xy 4x+y − 2x2+3xy−9y2 + 2x−y x+y x+z + y2−yz−xy+xz + xz−yz−x2+xy 2 2 2 4x2 −8xy+3y 2 y+z x2 −xz−xy+yz 4 4 +x2 +1 x x2 y2 + x2+x−1 + x2−x−1 x −x+1 x +x+1 2 x−1 x+1 − 1−x2 + y+y2 + y−y2 1−y x2 −(y−z)2 (z+x)2 −y 2 4a+6b a+b + y −(z−x)2 + z −(x−y)2 (x+y)2 −z (y+z)2 −x 2 2 2 2 2 2 2 +6b + 6a−4b + 4a2−a2 + 4b 2−6a − b20b 4 4 −a a−b b a +b2 b c + (b−c)(b−a) + (c−a)(c−b) y zx z xy + (y−z)(y−x) + (z−x)(z−y) 2 2 2 4 a (a−b)(a−c) x2 yz (x−y)(x−z) . 3. CONCEPTOS 587 Fracciones Algebraicas En los siguientes ejercicios resolver y simplificar: 1.1. 9. 5. 7. 2. 17.588 ´ CAP´ ITULO 1. 12. a2 −a−2 a2 +a−6 x4 −1 x3 −1 a2 −b2 a3 +b3 a4 −b4 a3 +b3 · (a−1) · a4 −1 2 a a−1 1 − a+1 1 x x 1 − (x+1)2 ÷ 1 a2 +x 3 3 2 1 a b a − ab + b12 · (a−b)2 − a−b 1 a2 ab · 1 + (a−b)2 ÷ + b12 3 a2 −ax+x2 a−x −a 2 +ax+x2 a+x 2 ÷ a2x 2 −x 5 2 x4 −a4 2 −2ax+a2 x +ax ÷ xx−a · xx−a x3 ÷ 3 +a3 1 ÷ x− x x a a −x 1 1 x3 − x3 − 3 x − x 9y 2 −(4z−2x)2 (2x+3y)2 −16z 2 a+x + 16z 2 −(2x−3y)2 (3y+4z)2 −4x2 + 4x2 −(3y−4z)2 (4z+2x)2 −9y 2 a2 −ax+x2 a−x − a2+ax+x2 ÷ 4 2 2 a2 +x2 a3 −x3 4 − a3−x3 a +x 2 2 2 x3 +8x2 y+15xy 2 (64x3−y3)(x3+y3) b−a a+ 1+ab −17x y +y x +2xy−3y · 16x2+21xy+5y2 ÷ x3−x2y+xy2 4x 2 1− 1+ab a(b−a) × x+y 1−xy −y y(x+y) 1+ 1−xy . 19. 15. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA 10. 13. 14. 16. 20. 11. 18. 27. a 1 − 1−2a · a + a−a · 1+3a 1−a2 25. 26. 6 x−2+ x+3 12 x−4+ x+3 · 1+x + 4x + 8x − 1−x 1−x 1+x2 1−x2 1+x 1+x2 + 4x2 − 1−x2 1−x2 1+x4 1+x2 x− 2 1 x+ 2 1 x 1 · 2+ 1 ÷ 2x− x+4 x x+1 2 24.1. (a+b)2 +(a−b)2 −(a+b) b−a 1 − 1 b−a a+b c−b (a−b)(a−c) 1−a 2a−a2 ÷ (a+b)3 +(b−a)3 (a+b)2 −(a−b)2 − c−a (b−c)(b−a) + b−a (c−a)(c−b) ÷ 2(a2 +b2 +c2 −bc−ca−ab) (a−b)(b−c)(c−a) x2 1− 1 x2 + x 1 x+ x 1 + 1− x − − 1 x2 − x 1 x− x 2 −2 1 28. 22. CONCEPTOS 589 x+3 + x+3 4 x+1 x−3 + x−3 7 x−4 21. 30. x−2 2x2 +2x x 3 x −1 − 2 a−b b+ 1+ab x−4 3(x−1) x 3 x −1 + 4 (a−b)b 1− 1+ab a(a−b) 1− 1−ab a−b a− 1−ab ÷ a b b −a 3− a+3 2 a− a−1 · 2a−3( a+1 ) a−1 2 a− a−1 . 23.1. 29. ( ) f) Todo radical de ´ ındice par tiene dos soluciones reales. En el par´ntesis de la derecha escribir una V o una F seg´n que el e u enunciado sea verdadero o falso. ( ) . ( ) o h) Un radical de de ´ ındice impar de un n´mero negativo tiene al u menos una soluci´n real. ( ) k) La ra´ de una potencia se obtiene dividiendo el exponente del ız radicando por el ´ ındice del radical. ( ) g) Un radical de ´ ındice par de un n´mero negativo tiene una sola u soluci´n real. ( ) ız u b) La ra´ c´bica de un n´mero negativo no es n´mero real. a) La ra´ cuadrada de un n´mero siempre es positiva. ( ) d) La ra´ de ´ ız ındice impar de un n´mero negativo no es un n´mero u u real.590 ´ CAP´ ITULO 1. ( ) e) Si a = √ n x. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA Potenciaci´n y Radicaci´n o o 1. ( ) j) La ra´ de una suma no es igual a la suma de las ra´ ız ıces de los sumandos. ( ) o i) La ra´ de un producto es igual al producto de las ra´ de los ız ıces factores. entonces an = x. ( ) ız u u u c) La ra´ de ´ ız ındice par de un n´mero negativo no es un n´mero u u real. b) El ´ ındice es impar. 3. Un radical con radicando negativo tiene valor real cuando: a) El ´ ındice es par. ( ) m) n) o) p) q) √ √ a2 + b2 = a + b. 2. ( ) (a + b)−1 = √1 . ( ) 3 En los ejercicios del 2 al 6 seleccionar la letra que corresponde a la respuesta correcta.1. CONCEPTOS 591 l) La ra´ de una fracci´n es igual a la ra´ del numerador dividida ız o ız por el denominador. c) El radicando es un n´mero impar. ( ) 16 9 = 4. ( ) (a + b)2 = a + b. queda: a) c) √ √ A √ B C √ 3 √ 2 4 A√ B 13 C −1/2 1/4 b) d) √ √ 4 A2 B 13 √ C2 √ √ 3 A B 13 √ C .1. Si la expresi´n A−2/3 8 −3 la expresi´n con exponente positivo despu´s o 6 o e B de simplificarlo. a+b ( ) 32 + 42 = 3 + 4. u d) Nunca. el resultado es: 2 3 3 − 2 a) − 1 c) − 3 6. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA √ √ √ 3 4 6 4. Al simplificar √ 3 √ 2 . el resultado es: a) c) √ 3 √ 6 x3 b) d) √ 4 √ 3 x3 x x3 √2 √3 + 5. Escribir con radicales las expresiones siguientes: a) x3/2 b) U 3/5 c) 5m2/3 d) 4y 3/7 e) (4ab3 ) 2/3 f) (7x2 y) 3/2 g) a1/2 + b1/2 h) (a + b)1/2 . La expresi´n o a) c) √ mn mn √ 18 m7 9 q√ n √ 3 3 mn b) − 2 d) − 5 equivale a: b) d) √ 9 √ 9 m3 n4 m6 n8 18 √ 7. Al simplificar [ x2 ÷ x3 ] · x5 .592 ´ CAP´ ITULO 1. xa xa − [(a−1 + 1) − 1] 1/a xa a+1 x−1 −1 .1.(a−2 ) n 11. (43n + 8.1. xn n+1 x ÷ xn−1 x1/2 +x−1/2 x2 −x+1 − x1/2 −x−1/2 x2 +x+1 ÷ x1/2 +2x−!/2 x3 −1 − x1/2 −2x−1/2 x3 +1 .82n ) 20. 30. 31. √ 16−2 a1/2 b−3 81−1 a−1/2 b3 a5 . 25.8n 1/b+1 b 2 ÷ y2 √ 4 16b −3 27.243n(n−1) (27n−1 )n+1 b−2 +a−2 b−2 −a−2 (ex +e−x ) (ex +e−x ) 1− ex −e−x 2 ex +e−x 1/n a−1 −b−1 a−1 +b−1 ÷ 32. 2.81n/2 (9n )1/2 xa 2a x [ 2 4(4−1 )−n ] . ab+d ab−d . (x−2 ) a1/2 x1/4 3b−1/6 y a2 1/a 17.32n + 9n ) 21. 8−2/3 (3. −4 √ a x √ x−1 a 82/3 √ . 2 + 29. 15. y b+1 y b2 −1 2n . √ 16n+1 +22n+3 +8 2 √ 2. x1/2 a−2 3 16.2n )3 −8.4n (2. ad ab d 1/b 26. [e2x − e−2x ] [ex + e−x ] −1 −n 23.3n−2 · (81n )2−n . xn 33. x2a xa +1 b . 14. [a(a−1 )n ]2 √ n 43 (84/3 ) 91/2 9. 3 4a 3 a 2 12. 9b1/3 y −2 19. ax1/2 . 13. [(a−1 − 1) + 1] 24. 28.22n+1 n √ 3 27−2 1/2n 18. a b+d b−d . (32n ) ae4x −ae−4x (ex −e−x )(aex +ae−x ) 1/2 · 92n 16 2 · 36(22n +4n ) 81n n−1 33 . resolver las ecuaciones dadas: 10. CONCEPTOS 593 En los ejercicios 10 a 38.23n −4.4n+1 3.24n +4n + 2 1/n 22. 5 a1/2 x−2 . 594 ´ CAP´ ITULO 1. racionalizar el denominador: 39. 46. 1√ √ 3 2 x + 3 y2 1 √ √ √ 3 9+ 3 6+ 3 4 1√ √ 3 2 x − 3 y2 5 √ √ 6−1)(6+ 6) ( 9. √x+a−√x−a x+a+ x−a 41. 42. √ 18 + √ 6 243 ÷ √ 3 9 √ 729 4 7 1 7 − 91 + 7 + 34 + 7 √ 6 343 8. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA 34. 43. Escribir las expresiones siguientes con exponente fraccionario: a) b) c) d) √ 3 x a2 e) f) g) h) 3 (a + b)2 a+b √ 3 √ 5 4 √ a10 (4x2 y 2 )2 √ 3 y 3 (a+b)4 (a+b) 3 En los ejercicios 39 a 46. 3 3xy 2 . 44. 35. 3 9 √ √ 2. 2 3 3 4 3 + 4 6 12 38. 8 3 4a4 b8 8 √ 3 √ 9x2 y. √ 3 54 + 3 3 √ 9 9+ 16 27 3 + 2 3 64 √ √ √ 37. √ √ 2+√3−√5 2− 3− 5 √ √ 2 √ √ 3− √ √ 5 3− 32−2 12− 50 √ 1√ 3+ 6 9 √ √ 40. 36. 45. Simplificar las expresiones siguientes: √ √ 5 a) 3 −27 e) 32m5 n15 i) b) c) d) √ 3 √ −8 f) g) h) 4 3 x8 y 7 16x8 y 4 49m2 n3 8x3 y 5 j) k) l) √ √ 3 3. 7. a (x − 2) − b (x − 1) = b − a 4. b (a + x) − (a + x) (b − x) = x2 + 9. 2+d despejar b 12. P = w 2gt 2 2 (v1 − v2 ). 3 2 x 3 + b a 1 6 − 3 (2x + 18) = −4 4 2. 5. 10. 1 = 3(d+b) . L2 = L1 (1 + at). ax + = bx + 1 3. CONCEPTOS 595 Ecuaciones de Primer y Segundo Grado En los ejercicios 1 al 10 resolver las ecuaciones propuesta: 1. x−a+b x−a b(x+a) x2 −b2 + + x−b x−2b = x x−b + x−a x−a−b 2x+3b−a x+b = 2(x2 +bx−b2 ) x2 −b2 En los ejercicios 11 a 15 despejar la letra que se indica a la derecha de cada ejercicio.1. cx+d2 d x+4 2 rx s −c= 5 6 4dx−cd c − = 2x−2 3 − sx r =r−s = 6 2x2 −7x+6 bc2 a 2 x−2 − 3 2x−3 8. 11. despejar t . 6.1. despejar t 13. 24. s 14. en la ecuaci´n 2x2 + (3k − 1)x − k − 3 = 0. Hallar el valor de k para una de las ra´ de la ecuaci´n 3x2 + 5x + ıces o k 2 − 5k + 6 sea igual a cero. 2 √ √ 25. r2 x2 − 2rx + r2 = 9 20. Hallar la ecuaci´n de segundo grado cuyas ra´ son 5− 3 y 5+ 3. u2 x2 − x2 + 2u2 x + 4 = 0 19. mx2 − nx = m + n 17. Hallar el valor de k para que la suma de las ra´ sea igual al proıces ducto de las mismas. w2 x2 − 2wx + 4v = 4v 2 21. Hallar la ecuaci´n de segundo grado cuyas ra´ son o ıces 2 3 y 1. resolver las ecuaciones propuestas: 16. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA e2 . px2 − px = q 2 + q 18. E = 1 mr2 w2 − 2 15. o 23.596 ´ CAP´ ITULO 1. o ıces En los ejercicios 26 a 41. 22. despejar f En los ejercicios 16 al 20. resolver las ecuaciones dadas: . M = L F 25 f despejar m + 1 . Hallar el valor de k para que las ra´ de la ecuaci´n ıces o x2 + 2(k − 2)x − 8k = 0 sean iguales. 2x−1 x+3 +2 x+3 2x−1 =5 √ √ √ 12a − x = ( x + 1) ( x − 1) x+ √ 12a − x − x− √ x+√x2 −1 x− x2 −1 √ x−√x2 −1 x+ x2 −1 √ = 8x x2 − 3x + 2 35.1. 27x6 + 8 = 35x3 32. x2 + 3x − √ x2 + 3x − 1 − 7 = 0 37. 5 3 70x + 29 = 9 3 14x − 15 40.1. 2x2/3 − 3x1/3 = 2 36. 34. 27. CONCEPTOS 597 26. 9 x2 − 9x + 28 + 9x = x2 + 36 31. 16x−2 + 19x−1 = 0 √ 38. 28. 3 33. 3− 3+ x− 2x + 1 = 1 √ √ 39. √ √ √ x−4+3= 4x + 5 − x+ x+3 x−3 √ x + 11 √ x+3 √ x= √ √ 4a + x = 2 b + x x−3 x+3 −2 =1 √ 30. 29. √ 3 2x − 1 = √ 6 x+1 . Reslver para x: x+ √ x− x− √ x= 3 2 x √ x+ x . x− 6 2 x + 4x − 24 x =5 Problemas 42. para que la soluci´n resulo tante sea del 25 % de vino? 45. e ıas. repectivamente. ¿En cu´nto d´ terminan el trabajo? a ıas 43. Se tienen dos aleaciones del 60 % y del 75 % de oro. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA 41. ¿En qu´ proporci´n se deben mezclar para producir una aleaci´n e o o que tenga el 65 % de oro? 44. que es 40 % vino. ¿Cu´ntos galones se deben sacar de esta mezcla para a reemplazar con igual volumen de agua. Un barril contiene 20 galones de una mezcla de vino y agua. Juan puede hacer un trabajo en 10 d´ y Luis lo puede hacer en ıas. 8 d´ Despu´s de que Juan ha trabajado 3 d´ llega Luis para ıas. ayudarle.598 ´ CAP´ ITULO 1. Si a = 0 entonces a2 > 0 b.1. d ∈ Re . 5] (−12. −8) ∪ [5. Demostrar: a. 4] ∪ [3.01. 6] − [−3. b. Si a > b > 0 entonces a+b < ab √ d.1. Si a > b > c > 0 entonces (a + b + c)2 < a2 + b2 + c2 g. −6. hallar el conjunto soluci´n de la o inecuacion indicada y representarla gr´ficamente. Si a > b > 0 entonces a3 + b3 > (a2 − ab + b2 ) 2. c. 0] b) [2.02] 3. Si a > b > 0 y c > d > 0 entonces ac > bd √ 2ab c. Utilizando la notaci´n de intervalos. CONCEPTOS 599 Desigualdades y Valor Absoluto 1. Sean a. 9] ∩ [7. encontrar en cada caso el cono junto soluci´n y representarlo gr´ficamente: o a a) [−3. 10] e) (−∞. 7] ∪ [2. En los ejercicios de la a a la k. 10) d) [2.1. 7] f) (−3. Si a > b > 0 entonces a+b > ab 2 e. a a) 5x + 2 > x − 6 c) 13 ≥ 2x − 3 ≥ 5 e) 4 x b) 2 x − 3 1 2 ≤0 d) 2 > −3 − 3x ≥ −7 f) 1 x+1 −3> 2 x −7 < 2 3x−1 g) x2 > 4 i) 1 − x − 2x2 ≥ 0 k) 1 3x−7 h) (x − 3) (x + 5) > 0 j) 4x2 + 9x < 9 ≥ 4 3−2x . Si a > b > 0 entonces a+b 4a > b a+b f. 6] c) [6. En los ejercicios de la a a la d. En los ejercicios de la a a la d. hallar el valor de x: a) |4x + 3| = 7 c) |7x| = 4 − x b) |5x − 3| = |3x + 5| d) x+2 x−3 =5 6. b ∈ Re . b ∈ Re . demostrar las propociciones que se indican: a) Sean a. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA 4. b = 0. hallar todos los valores de x para los cuales la expresi´n es real: o √ √ a) 8x − 5 b) x2 − 3x − 10 c) √ x2 − 5x + 4 5. hallar el conjunto soluci´n de las o siguientes inecuciones: a) |x − 4| ≤ 3 b) |2x − 3| ≤ 7 x−1 x−3 c) |3 − 4x| ≥ 8 d) e) |x − 3| > 6 <1 f) |3x + 5| < |2x − 1| 7. Demostrar que |a + b| ≥ |a| − |b| . En los ejercicios de la a a la f. Demostrar que |a − b| ≤ |a − c| + |c − b| c) Sean a.600 ´ CAP´ ITULO 1. b. c ∈ Re tales que 0 ≤ a < c y 0 ≤ b < c. En los ejercicios de la a a la c. b. Demostrar que |a − b| < c b) Sean a. c ∈ Re . Demostrar que a b = |a| |b| d) Sean a. (5x − 8y)2 27. (n + 7) (n − 6) 35. (1 + x + y) (1 − x − y) 18. x2 (2a + 5) (2a − 5) 12. (3n − 2)2 38.1. a) 11. a (a + 1) (a + 3) (a − 3) 53. (a − 3b) a2 + 3ab + 9b2 + a + 36 45. (a + 3b) (a − 3b + 1) 21. (x − y) x2 + xy + y 2 + 1 49. x x8 + 1 x4 + 1 x2 + 1 (x + 1) (x − 1) x2 + xy + y 2 48. 3 (p − 3) (p + 2) 39. x (x − 1) 23. (x − y) (x − y − z) 30. b) 10. 21y (y − 1) (4y − 1) 22.1. 9a4 + 8b6 x3 − 24 9a4 − 8b6 x3 + 20 36. c) 2. − a6 (a + 1) a2 − a + 1 44. (x + 1) (x + 2) (x − 2) 26. x (x + 6) (x − 6) (x + 2) (x − 2) 54. (3a − 1)2 28. x3 y 3 (x + y) (x − y) x2 − xy + y 2 55. (1 − y) (x + y + 1) 51. x2 + 4 (x + 1) (x − 1) 41. (3a + 2b) 9a2 − 6ab + 4b2 29. y (2x + y − 16) 17. a2 b2 + 12 a2 b2 − 8 47. 34. CONCEPTOS 601 ´ TALLER DE FACTORIZACION DE POLINOMIOS 1. (x + y) (x + y − z) 32. (a + b + x − y) (a − b − x + y) 16. (n + x) (n − m) 31. d) 6. a2 + 9t a4 − 9a2 t + 81t2 19. (a + b) a2 − ab + b2 + 1 20. x2 (xm + y n ) (xm − y n ) 50. (a + b) a + b − a2 + ab − b2 33. m3 m4 − 8m3 + 10 13. a2 + a + 4 a2 + a + 3 52. a2 + 6bx 2 3. (3n + 1)2 42. (3n − 5) (3n + 4) 37. x3m xm + b2m xm − b2m 15. x2 + y 2 (x + y) (x − y) 14. a (3a − 2b)2 25. 9a4 + 8b6 9a4 − 8b6 24. b) 4. a) 5. m2 + 1 m4 − m2 + 1 x6 − x3 y 3 + y 6 x6 + x3 y 3 + y 6 m2 + m + 1 m2 − m + 1 (m + 1) (m − 1) . (x − y n ) (2x + y n ) 46. a4 a4 + 1 (a + 1) (a − 1) 40. (x + 1) x2 − x + 1 (2x − 1) 4x2 + 2x + 1 43. 18. d) 6. 4 + n2 (2 + n) (2 − n) (1 − y) 1 + y 2 + y 4a4 + y 4 74. 61. c) 4. y2 − 7 2m2 + 3 y2 + 5 m2 − 7 63. b) 3. b) 5. 2 x2 −1 x 17. 58. (l + 12) (l − 3) 65. a2 b2 a−b 10. 15. − 2a4 + 3y 4 76. x x+1 8. bx 21. (b − c) (a − c) (b − a) 78. 1 x+1 24. (c + 1) (3c − 2) 71. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA a2 + b2 + 3ab x2 + x − 3 a2 + b2 − 3ab 57. ´ CAP´ ITULO 1.0 13. 60. 16. 2x+y x+3y 4ab a2 −b2 3. 59. − a 14. 1 11. (a − b) (b − c) (c − a) 2x 4 y y2 70. [(a − 1) x − a] [ax − (a + 1)] 75. 7. 2 9. 1 (2a2 +x2 )(a−x) a2 x x 19. a) F g) F m) F b) F h) V n) V c) V i) V o) V d) F j) V p) F e) V k) V q) V f) F l) F 2. (z − 7) (z − 1) 72. m2 + 2 − 2m 2x2 + y 2 + 2xy x2n + 2xn + 4 m2 + 2 + 2m 2x2 + y 2 − 2xy x2n − 2xn + 4 x2 − x − 3 3x4 + 2y 4 − 2x2 y 2 3x4 + 2y 4 + 2x2 y 2 62. 16x2 +4xy+y2 2 20. ab 2a−b 2. (2+x2 )(1+x4 ) x 23. y 2 + 13 y 2 − 12 67.0 5. b) . (x + 1) x2 − x − 1 77. (a − b) a2 + ab + b2 + a + 3b 80. 2a2 1+3a ´ ´ TALLER DE POTENCIACION Y RADICACION 1. (x − y) (a − b) (a + b − x − y) 73. 12. (x+y)2 y 2 (1−y 2 ) 1 (a+1)(a+3) ax3 (x2 +a2 ) x3 +a3 6. (a + 1) (a − 1) x − 2 y x2 + ´ TALLER DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 1. (x+y) (x−y)(z−y) 4. (c + 27) (c + 3) 64. 7(x+5)(x−4) 4(x−1)(x−3) 22. [ax − (b + 1) y] [(a − 1) x + by] 79. 66.602 56. 8 3 2 √ x− x2 −a2 39. x2 +y 2 44. −6 38. 11 10. √ a 13. x2 y 2 x2 +y 2 g) 1 1 y3 3 b) − 2 √ g) 7mn n l) 3xy √ d) 2 2 y2 i) x2 y 2 n) 1 a+b e) 2mn3 p 3 x2 y j) 3 o) ± 1 m) 2r − s 4b3/2 3a1/4 y b2/3 1−e2x ex 3 26n+3 11. x − √ √ 35. 10 d` ıas . 28 9 − 10x + 22 26. 2 42. 14. 4 39. ab+d 31. √ 3 4 √ 2 2 √ 4 x +3 x y +3 y x2 −y 2 √ √ 37. 3. 1. 1. − 32. a √ √ √ 3 4 x − 3 x2 y 2 + 3 y 4 40. 28. 9 24. b(2a−b) a 25L M F −L 2v 2−2v . 3n+1 19. (a−b)2 2a−b 24. cd c+2d a+2b 2 2Es+2e2 sr 2 w2 r±3 r 5. 18 6. 8 27. 5 2 3 16 19 31. 2 36. 9 .5 4 12a − 1 34. 20. 1 a 3. √ 16−8 6 159 √ 6+ 3 9 6 6 6 TALLER DE ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 1. 5 30. −3 36. √ 6 72 + √ 6 3 33. 1. a) f) √ x3 343x6 y 3 b) g) √ 5 u3 c) 5 h) √ 3 m2 p d) 4 7 y 3 603 e) √ 3 16a2 b6 p √ √ a+ b √ a+b i) V j) V k) V 8. 15. − 5. 20. √ 3 √ 3− √ 3 2 43. 8 25. x7 22. k = −2 28. − 1 8 41. x4 30. 18. a) − 3 f ) 2x2 y k) ± 4 p) 10. 46. 16. w w 7. 6x2 − 7x + 12 29. 1 2 1 4 15. −1 m 2. 1 33. 17. √ 23.−p p a a−b bc2 a2 2 2 w(v1 −v2 ) 2pg 4. 2 29. x−2 21. −2. rs r+s 2−2d 3 m+n . xn 38. 2 17. − 45. 37. a) x 3 1 l) F b) a 3 1 2 c) a2 h) a + b c) 2a2 b4 h) 2xy p 3 d) 2xy e) (a + b) 3 2 f ) (a + b) 2 9. 11. 5 4 35. 1 32. 7 3 34. 8. 1+e2x ex 1 x 18. 22. − a2 +b2 (a−b)2 14.1. 9. k = −2 25. k = 2. 13. 16. L1 −L2 aL1 q+1 q . √ 7 23. 2 u2 −1 21. 8. 6 4 27 + 8 3 18 41. 12. 9 26.1. 6 12. 19. CONCEPTOS 7. − 2. 3 40. 1 a8/3 12. (3−2 √ √ 5)(1+2 3) 11 42. k = 2 27. [−2. −5) ∪ (3. −2) ∪ (2. +∞) v 18. (−∞. −6. 8] 8. +∞) 19.0) 3. [1. −8) ∪ (−5. (−∞. (−∞.01. −∞. 3 4 ∪ 7 . 2 14 10. (−∞. +∞ 3 5 . +∞) 2 9. 7] b) [2. 1 2 1 . 7. 3 31 . (−∞. −1) ∪ 11. 5] ∪ (−12. 17. − 5 ∪ 4 −6. 2) 22. +∞ 8 15.1 2 4 . 1 −4.4 16.3 3 21. 3 1 2 −5. 5] 25. (−∞. − 1 ∪ (0. 3 4 5. 20. (−∞. +∞) 6. 7. 14. 23. −3. −2] ∪ [5. +∞) 12. 1] ∪ [4. 10) c) [7. +∞) −∞. 7] 24.5 galones TALLER DE DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO 2. −1. 9] d) ? e) (−∞. −3) ∪ (9.3 3 −∞. 2 3 ´ CAP´ ITULO 1. +∞ 4 . −5. a) [−3. 26.1. 0) f ) (−3.604 43. +∞) 13. (−2. 3 4 3 4. −2. [4. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA del 60 % y 1 3 del 75 % 44. − 4 5 11 .