Algebra Booleana

Algebra BooleanaJust another Blogs UTPL weblog Algebra Booleana 2 Junio 2nd, 2010 by irjo DEFINICIÓN: El Álgebra de Boole es una estructura algebraica que puede ser considerada desde distintos puntos de vista matemáticos: Como retículo El álgebra de Boole es un retículo (A, 1,0, , +), donde el conjunto A = {1,0}, como retículo presenta las siguientes propiedades, las leyes principales son estas: 1. Ley de Idempotencia: 2. Ley de Asociatividad: 3. Ley de Conmutatividad: 4. Ley de Cancelativo Como anillo El Álgebra de Boole tiene Estructura algebraica de Anillo: Grupo abeliano respecto a (+) Tiene elemento simétrico: 5.El conjunto A es un Grupo abeliano respecto a (+): 1. Tiene elemento neutro 9. Tiene elemento simétrico: 10. es conmutativa: . (+) es una operación interna en A: 2. ( ) es una operación interna en A: 7. Es asociativa: 8. Tiene elemento neutro 4. Es asociativa: 3. es conmutativa: Grupo abeliano respecto a (·) El conjunto A es un Grupo abeliano respecto a ( ): 6. La operación ( ) es distributiva respecto a (+): Como resultado podemos decir que el Álgebra de Boole tiene Estructura algebraica de anillo conmutativo y con elemento neutro respecto a las dos operaciones (+) y ( ). ( ) es una operación interna en A: 7.1} es un Grupo abeliano respecto a ( ): 6. Operaciones Hemos definido el conjunto A = {1. Tiene elemento neutro 9. sobre estos elementos se definen varias operaciones.El conjunto A={0.0} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole. La operación (+) es distributiva respecto a ( ): 12. Es asociativa: 8. es conmutativa: Distributivo El conjunto A es un Grupo abeliano respecto a (+) y ( ) y es distributiva: 11. Tiene elemento simétrico: 10. veamos las más fundamentales: . b de A un valor c de A: a ba b 00 0 01 0 Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores 10 0 11 1 solo si los dos valores a y b son 1. . Operación producto La operación producto ( ) asigna a cada par de valores a. es necesario que los dos sumandos sean 0. el resultado será 1.Operación suma La operación suma (+) asigna a cada par de valores a. si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0. 10 11 0 1 1 1 Si uno de los valores de a o b es 1. el resultado será 1. para que el resultado sea 0. b de A un valor c de A: a b a+b 00 01 Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo. que podemos representar como ecuaciones booleanas. 11 1 1 0 1 La distinta secuencia de valores de a y b da los resultados vistos en la tabla de verdad.Operación negación La operación negación presenta el opuesto del valor de a: a 0 1 1 0 Un interruptor inverso equivale a esta operación: Operaciones combinadas Partiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras más a b complejas. . por ejemplo: 00 01 10 Que representado en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo. siendo el primero de ellos inverso. Ley distributiva: 6. y este resultado es único. Ley de involución: 3. Ley de cancelación: . Ley asociativa: 5.Leyes fundamentales El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema. 1. Ley conmutativa: 4. Ley de idempotencia: 2. OR (O) y NOT (NO). y de los 1 con los 0. ampliándose en ocasiones con X-OR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO Y). Por ejemplo las leyes de De Morgan se representan así: Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica.1}. Leyes de De Morgan: Principio de dualidad El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual. NOR (NO O) y X-NOR . Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos. Además hay que cambiar cada variable por su negada.7. ) siendo la forma más usual y la más cómoda de representar. Véase que esto no modifica la tabla adjunta. + . pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Adición 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Producto Otras formas de notació n del álgebra de Boole En matemática se emplea la notación empleada hasta ahora ({0. suele emplearse la misma denominación que para las puerta lógica AND (Y). formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico). 1} Con la notación lógica las leyes de De Morgan serían así: En el formato de Teoría de conjuntos el Álgebra de Boole toma el aspecto: En esta notación las leyes de De Morgan serían así: Desde el punto de vista practico existe una forma simplificada de representar expresiones booleanas. y pueden tomar los valores {0. empleando letras mayúsculas para representar las variables: Todas estas formas de representación son correctas. con letra minúsculas para las variables: y así. falso o verdadero.(equivalencia). 1} Empleando esta notación las leyes de De Morgan se representan: En su aplicación a la lógica se emplea la notación y las variables pueden tomar los valores {F. y para el producto no se emplea ningún signo. la operación suma (+) se representa de la forma normal en álgebra. las variables pueden representarse con letras mayúsculas o minúsculas. las variables se representan. equivalentes a {0. normalmente con una letra mayúscula. V}. se utilizan de hecho. no una variable nombrada con dos letras. La utilización de una u otra notación no modifica el álgebra de . La representación de las leyes de De Morgan con este sistema quedaría así. Se emplean apóstrofes (’) para indicar la negación. la sucesión de dos variables indica el producto entre ellas. y pueden verse al consultar bibliografía. no son booleanos. finalizando en valor booleano. numéricos normalmente aunque también algunos permiten cambios desde. y depende de la rama de las matemáticas o la tecnología en la que se esté utilizando para emplear una u otra notación. Una variable puede no ser de tipo booleano.Boole. los compiladores trabajan con esos otros valores. Álgebra de Boole aplicada a la informática Se dice que una variable tiene valor booleano cuando. ya que. entero y decimal (exacto) 0. respectivamente. en la mayoría de los lenguajes de programación. en caso de ser ésta la correspondiente al 0 lógico). la variable contiene un 0 lógico o un 1 lógico. e incluso la cadena “0″. en general. Cualquier número distinto de cero se comporta como un 1 lógico. Esto. incluso.. se traduce en false (falso) o true (verdadero). caracteres. Posted in General | No Comments » Información Junio 1st. por definición. en principio. y guardar valores que. el valor 1 se tiene cuando no es 0. y lo mismo sucede con casi cualquier cadena (menos la “false”. representado normalmente como true. . 2010 by irjo . El 1 lógico En cambio. El 0 lógico El valor booleano de negación suele ser representado como false. globalmente. así como la cadena “false”. aunque también permite y equivale al valor natural. solo su aspecto. el resto de valores apuntan al valor booleano de afirmación. ya que. 0. +).0}. como retículo presenta las siguientes propiedades. 1. las leyes principales son estas: 1. Ley de Conmutatividad: 4. (+) es una operación interna en A: 2. Ley de Idempotencia: 2. Ley de Asociatividad: 3. . Ley de Cancelativo Como anillo El Álgebra de Boole tiene Estructura algebraica de Anillo: Grupo abeliano respecto a (+) El conjunto A es un Grupo abeliano respecto a (+): 1.DEFINICIÓN: El Álgebra de Boole es una estructura algebraica que puede ser considerada desde distintos puntos de vista matemáticos: Como retículo El álgebra de Boole es un retículo (A. donde el conjunto A = {1. Es asociativa: . es conmutativa: El conjunto A={0. es conmutativa: Grupo abeliano respecto a (·) El conjunto A es un Grupo abeliano respecto a ( ): 6. Tiene elemento simétrico: 5. Tiene elemento simétrico: 10. Tiene elemento neutro 9. Es asociativa: . ( ) es una operación interna en A: 7.1} es un Grupo abeliano respecto a ( ): 6.3. Tiene elemento neutro 4. ( ) es una operación interna en A: 7. Es asociativa: 8. es conmutativa: Distributivo El conjunto A es un Grupo abeliano respecto a (+) y ( ) y es distributiva: 11.0} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole. 10 11 0 1 1 1 . Operaciones Hemos definido el conjunto A = {1. Tiene elemento neutro 9. Tiene elemento simétrico: 10. veamos las más fundamentales: Operación suma La operación suma (+) asigna a cada par de valores a.8. La operación ( ) es distributiva respecto a (+): Como resultado podemos decir que el Álgebra de Boole tiene Estructura algebraica de anillo conmutativo y con elemento neutro respecto a las dos operaciones (+) y ( ). b de A un valor c de A: a b a+b 00 01 Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo. sobre estos elementos se definen varias operaciones. La operación (+) es distributiva respecto a ( ): 12. Operación negación a 0 1 . b de A un valor c de A: a ba b 00 0 01 0 Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores 10 0 11 1 solo si los dos valores a y b son 1. para que el resultado sea 0. el resultado será 1. si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0.Si uno de los valores de a o b es 1. es necesario que los dos sumandos sean 0. Operación producto La operación producto ( ) asigna a cada par de valores a. el resultado será 1. . que podemos representar como ecuaciones booleanas. 11 1 1 0 1 La distinta secuencia de valores de a y b da los resultados vistos en la tabla de verdad. por ejemplo: 00 01 10 Que representado en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo. siendo el primero de ellos inverso.La operación negación presenta el opuesto del valor de a: 1 0 Un interruptor inverso equivale a esta operación: Operaciones combinadas Partiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras más a b complejas. Ley de involución: 3. Leyes de De Morgan: . Ley asociativa: 5. Ley conmutativa: 4. Ley de idempotencia: 2. Ley de cancelación: 7. Ley distributiva: 6. 1.Leyes fundamentales El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema. y este resultado es único. OR (O) y NOT (NO). y pueden tomar los valores {0. ampliándose en ocasiones con X-OR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO Y). falso o verdadero.Principio de dualidad El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual. 1} . equivalentes a {0. + . suele emplearse la misma denominación que para las puerta lógica AND (Y). formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico). ) siendo la forma más usual y la más cómoda de representar. pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos. V}. Véase que esto no modifica la tabla adjunta. 1} Empleando esta notación las leyes de De Morgan se representan: En su aplicación a la lógica se emplea la notación y las variables pueden tomar los valores {F. y de los 1 con los 0. Por ejemplo las leyes de De Morgan se representan así: Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica. NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia).1}. Además hay que cambiar cada variable por su negada. las variables pueden representarse con letras mayúsculas o minúsculas. Adición 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Producto Otras formas de notació n del álgebra de Boole En matemática se emplea la notación empleada hasta ahora ({0. empleando letras mayúsculas para representar las variables: Todas estas formas de representación son correctas. La utilización de una u otra notación no modifica el álgebra de Boole. no son booleanos. Álgebra de Boole aplicada a la informática Se dice que una variable tiene valor booleano cuando. no una variable nombrada con dos letras. y guardar valores que. la operación suma (+) se representa de la forma normal en álgebra. en principio. los compiladores trabajan con esos otros valores. la variable contiene un 0 lógico o un 1 lógico. y para el producto no se emplea ningún signo. con letra minúsculas para las variables: y así. se traduce en false (falso) o true (verdadero). las variables se representan. la sucesión de dos variables indica el producto entre ellas. globalmente. se utilizan de hecho. normalmente con una letra mayúscula.Con la notación lógica las leyes de De Morgan serían así: En el formato de Teoría de conjuntos el Álgebra de Boole toma el aspecto: En esta notación las leyes de De Morgan serían así: Desde el punto de vista practico existe una forma simplificada de representar expresiones booleanas. en la mayoría de los lenguajes de programación. ya que. La representación de las leyes de De Morgan con este sistema quedaría así. en general. Una variable puede no ser de tipo booleano. respectivamente. y depende de la rama de las matemáticas o la tecnología en la que se esté utilizando para emplear una u otra notación. y pueden verse al consultar bibliografía. . Se emplean apóstrofes (’) para indicar la negación. solo su aspecto. Esto. entero y decimal (exacto) 0. incluso. . e incluso la cadena “0″. finalizando en valor booleano. representado normalmente como true. . y lo mismo sucede con casi cualquier cadena (menos la “false”. así como la cadena “false”. en caso de ser ésta la correspondiente al 0 lógico). el resto de valores apuntan al valor booleano de afirmación. El 0 lógico El valor booleano de negación suele ser representado como false.numéricos normalmente aunque también algunos permiten cambios desde. por definición. el valor 1 se tiene cuando no es 0. 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