David Gonzáles López ÁLGEBRA BÁSICA Teoría y práctica ÁLGEBRA BÁSICA Teoría y Práctica © David Gonzáles López Primera Edición 2009 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2009 – 16362 Segunda Edición 2011 Lambayeque, diciembre 2011 Impreso en Impresiones Montenegro Calle Manco Cápac 485 - Chiclayo 500 ejemplares Consultas y sugerencias al e-mail del autor:
[email protected] Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, sin la autorización escrita del autor. esencialmente. Cada tema desarrollado tiene parte teórica. ejercicios adicionales de los temas de álgebra tratados en este material y preguntas de álgebra en los exámenes de admisión de algunas universidades del País. Sirve también como material de consulta para los estudiantes de cursos avanzados de matemáticas. para una fácil comprensión por el lector. la expresión o reducción de ideas complejas y sofisticadas mediante símbolos. El Álgebra tiene por objeto simplificar. Las matemáticas son. determinando las operaciones que hay que efectuar para llegar a cierto resultado. y operaciones sobre símbolos. se ha optado por dos o más formas de solución. práctico y formativo de algunos temas del álgebra. los cuales son muy necesarios y relevantes para el aprendizaje del álgebra y la matemática en general. transformando las expresiones algebraicas en otras equivalentes y adquiriendo las bases para mas tarde poder hacer planteamientos matemáticos que representen la realidad. Espero que este material logre convertirse en un importante auxiliar pedagógico para todos los estudiantes egresados de secundaria. Presentación El Álgebra es el lenguaje de las matemáticas y una de sus ramas que estudia a la cantidad del modo más general posible. Estos temas se han desarrollado minuciosamente. El Autor . y a través de él. logre aportar en su preparación preuniversitaria y en su posterior desarrollo profesional. ya que en cada uno de sus temas el alumno deberá poner en juego un alto grado de práctica y abstracción. Una vez que tenemos los símbolos y las operaciones aparece el álgebra. generalizar y resolver las cuestiones relativas a la cantidad. El dominio del Álgebra elemental tiene una enorme importancia para el dominio de la matemática porque en él se conjugan capacidades. ejercicios resueltos y propuestos para una cabal retroalimentación. En la segunda edición se han incluido el tema de logaritmos. habilidades y destrezas. dándole al estudiante un mayor panorama en cuanto los criterios a tomar frente a un problema determinado. en muchos casos. El propósito de este material es hacer llegar a los postulantes a universidades y centros de estudios superiores el desarrollo teórico. 1.. FRACCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES ……………………………………………. polinomios y valor numérico / División de polinomios / Productos notables / Factorización / Fracciones algebraicas racionales / Teoría de exponentes / Logaritmos. ………… 59 Potenciación / Radicación / Leyes de exponentes. 43 Fracción algebraica / Clases de fracciones / signos de una fracción / simplificación de fracciones/ Operaciones con fracciones / simplificación de fracciones complejas / Fracciones parciales. .. 1. 1..6.. 1. . LOGARÍTMOS ……………………………………………………………………………………. ………... 1.. PREGUNTAS DE ÁLGEBRA EN LOS EXÁMENES DE ADMISIÓN …………………… 99 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo (UNPRG) / Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM) / Universidad Nacional de Ingeniería (UNI). 1. TEORÍA DE EXPONENTES ……………………………………………………….4.. 11 Adición y sustracción de polinomios / Multiplicación de polinomios / Productos notables / División de polinomios / Teorema del resto / Teorema del factor / Cocientes notables.. 70 Definición / identidad fundamental del logaritmo / propiedades generales del logaritmo / Antilogaritmo / Cologaritmo / Sistema de logaritmos / Ecuación logarítmica / Inecuación logarítmica. FACTORIZACIÓN …………………………………………………………………... CONCEPTOS PREVIOS ……………………………………………………………………… 01 Conjuntos numéricos / El conjunto de los números naturales / El conjunto de los números enteros / El conjunto de los números racionales / El conjunto de los números irracionales / El conjunto de los números reales / El conjunto de los números complejos. ..10.1..3.2.. 28 Polinomio primo sobre un conjunto numérico / Métodos para factorizar una expresión algebraica. 04 Álgebra / Expresiones algebraicas / término algebraico / términos semejantes / clasificación de las expresiones algebraicas / Grado de una expresión algebraica / Polinomios especiales / valor numérico de expresiones algebraicas. EJERCICIOS ADICIONALES ……………………………………………………………………86 Grado.8. EXPRESIONES ALGEBRAICAS …………………………………………………. 1.. 1. OPERACIONES CON POLINOMIOS ENTEROS …………………………………………..9.5....... RACIONALIZACIÓN ………………………………………………………………. ………… 68 Factor racionalizante / casos que se presentan para racionalizar. ÍNDICE Presentación 1.. 1..7.. . 11. } N = { x / x es un número natural } El conjunto de los números enteros ( Z ) Contar con números más y más grandes no era problema. 0} Ζ 0+ = { 0. . números racionales. . 2 .−3 . . Z = {. − 4 . 1 . El conjunto de los números racionales se denota por Q . 3. 1. . Sin embargo. } Z 0− = {. 1. − 3 . 1 .TEORÍA Y PRÁCTICA 1.. 3 . . − 2 . . llamados enteros negativos. CONCEPTOS PREVIOS Conjuntos numéricos Los conjuntos numéricos que se estudian en las matemáticas son: Los números naturales. denotado por Ζ . 8.1. n .. si se habla de deudas. . − 3 . debemos tener una respuesta. 4 . . . 1 . números irracionales. − 4 . 0 ¿Pero qué venía después de cero?. 4. − 1} Ζ + = { 1. N = { 0. . . . . etc. − 2 . 5. − 2 . . 7. . . . − 3 . − n . . − 2 . son números con todos los derechos y privilegios de los enteros e 4 8 3 − 15 2 inclusive un poco más. 2 .} Ζ = { x / x es un número entero } Del conjunto Ζ podemos obtener los siguientes subconjuntos : Z − = {. . . . . 3. } El conjunto de los números racionales ( Q ) Enfrentados a la necesidad de dividir. − 1 . 4. números enteros. . DAVID GONZÁLES LÓPEZ ÁLGEBRA BÁSICA . 6. . . . números reales y números complejos. . 4. 2. 9. . . temperaturas muy frías y aún de las cuentas regresivas en los lanzamientos a la luna. . 3. . . los matemáticos decidieron que el resultado de dividir un entero entre otro entero distinto de cero se podía ver como un número. Enfrentándose a este problema. − 5 . . De manera natural esos números se llaman números racionales (una razón de números). que junto con los números naturales forman el conjunto de los números enteros. . los matemáticos inventaron un cúmulo de números: − 1 . . 2. Esto significa 3 7 − 2 14 8 que: .3 . . 2. 0 . El conjunto de los números naturales ( N ) Es el conjunto denotado por N cuyos elementos son empleados para realizar la operación de contar. n . − 4 . − 1 . 10. Siempre es posible dividir excepto entre cero. 4 .. contar en forma descendente era asunto distinto : 5 . .23 = ∈Q 100 b) Los números decimales periódicos puros y periódicos mixtos son números racionales. n 2 3 2 n m Q = x/x = . . . . .− ..2414141 . ..0. . . El conjunto de los números irracionales se denota por I . . . . .− .−1. π . . versículo 23.4e. = = ∈Q 0. .212121 . . . .1416 Una primera referencia del valor de π aparece en la Biblia. . . = = ∈Q 9 3 990 990 21 7 232 − 2 122 0. capítulo 7. . . . . Intuitivamente los números reales se representa por una recta y la llamamos RECTA REAL 2 . además Q ∩ I = φ . . .− 5 . = = ∈Q 1.. . El número π se obtiene de la relación que existe entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. . . enteros. 3 . . . . racionales e irracionales Así : R = N ∪ Z ∪ Q ∪ I . . . .. n ∈ Z y n ≠ 0 . I = { x / x tiene representación decimal infinita no preiódica } Hay dos números irracionales muy importantes en las matemáticas. inexacto por supuesto. . . . = 1 + = ∈Q 99 33 990 99 El conjunto de los números Irracionales ( I ) m Está formado por todos los números decimales que no se pueden expresar de la forma con n m.. . . . es la reunión de los números naturales. .5. En el primer libro de los Reyes. . cuya aproximación decimal es: π ≈ 3. . . . . dichos números son: a) El número pi (π ) . . . n ≠ 0 n ¿Cuándo un número decimal es racional? a) Los números decimales finitos son racionales 23 0. . .− . DAVID GONZÁLES LÓPEZ m 1 1 1 m Q = .7182 El conjunto de los números Reales ( R ) El conjunto de los números reales denotado por R ..−π . .−3 2 . . n ∈ Z . . .3333.1. . .2323232 . . . . 5 . es decir: C C : Longitud de la circunferencia π= = 2R R : Radio de la circunferencia b) El número e (épsilon ).. m. . { } I = . . . . Aquí el valor de π es 3.. .. . . 3 1 241 − 2 239 0. . cuya aproximación decimal es: e = 2. También R = Q ∪ I . . . ....Todo número es complejo . Frente a esta situación aparece el número i = − 1 que satisface i 2 = −1 ...− 5 ....... − 4i..−π . a .. 28 .2.−1..−2. i = − 1 } Los números complejos se representan de la siguiente forma a + bi : forma binómica (a ... etc.1.Descartes fue el primero en llamarlo número imaginario.... 3 + 2i.N⊂Z⊂Q⊂R⊂C ....... . 2 R = { x / x es un número racional o irracional } El conjunto de los números Complejos ( C ) Sean las ecuaciones x2 +1 = 0 y x2 + 4 = 0 desarrollando se tiene x 2 = −1 x2 + 4 = 0 x 2 = ± −1 x = ± −4 x = ±i x = ± 2i Ambas ecuaciones no tienen solución en el conjunto de los números reales... 7 − 2i.... b ∈ R .. Es así como aparecen los números complejos: 2 1 2i.... DAVID GONZÁLES LÓPEZ 3 R = ... + 4i.. { C = x / x = a + bi . Z y Q Gráfica 3 .5. 3 − 2i . 3 2 Los números complejos se denotan por C . 5 + 0i..I es disjunto de N.. donde a : parte real b : parte imaginaria Conclusión .. b) : forma cartesiana ..0. i. Expresiones algebraicas Llamamos expresión algebraica a toda combinación de números y letras (variables) unidas entre sí por los signos de diferentes operaciones aritméticas: adición. simplificar y resolver cuestiones relativas a la cantidad. +2 . generalizar. x3 + 4 y 3 2 . Términos semejantes Son aquellos términos que tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes 1 Ejemplos: a) 4 xy . EXPRESIONES ALGEBRAICAS Álgebra Parte de la matemática elemental que estudia a las cantidades en su forma más general. − 3xy . 5 x + y ( x + y) 2 7 xy 2 No son expresiones algebraicas racionales: 6x 2 + y . − 2x 3 y 2 . 3 x 3 y 2 . log 4 x Observación Los tres últimos ejemplos son expresiones trascendentes o no algebraicas. xy + 1 .) Una expresión algebraica es racional cuando los exponentes de la parte literal( letras) son números enteros. a) Expresión algebraica racional (E. Teniendo como objetivo transformar. − x 3 y 2 son términos semejantes 4 2 Clasificación de las expresiones algebraicas A. − 3x −2 y . Término algebraico Es aquella expresión algebraica donde no se encuentran presentes las operaciones de adición y sustracción. 2x . cos x . división. haciendo uso para ello de letras y números. . Por su forma o naturaleza Se clasifican de acuerdo a la forma de sus exponentes que afectan a sus variables. x y 3 z . potenciación y radicación en una cantidad limitada de veces (cuyos exponentes a lo más son números racionales).2.4xy 1/2 . 3x 2 − 6 y x-y No son expresiones algebraicas: 8 x . denominadas: exponencial. xy son términos semejantes 2 3 3 2 1 b) x y . DAVID GONZÁLES LÓPEZ 1. 6x 3 − x 2 − 5 4x 3 yz 2 Ejemplos: xy .A. multiplicación. sustracción. x 1 −3 2 y −3 Ejemplos: 4 y 2 − 5xy + 7 z 4 . trigonométrica y logarítmica respectivamente.R. . 2x y − 5y . . 5x 1/2 + 3x 1/4 + 7 z 4 . Ejemplo: coeficiente + 2x 3 exponente signo parte literal Otros ejemplos : 7 x −3 . Ejemplos: 4x . R. A.Expresión algebraica racional fraccionaria ( E. I..). y) = 3xy 3 + 7xy 4 + 5 x 4 y 8 5 . + 5 x7 3 x Observa el siguiente esquema: CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Expresiones algebraicas racionales Expresiones algebraicas irracionales Enteras Fraccionarias B. E. Polinomio entero: es aquella expresión algebraica cuyos términos son todos expresiones algebraicas racionales enteras.).Es aquella expresión algebraica racional que se caracteriza por presentar exponentes enteros positivos en su parte literal. no tiene parte literal en su denominador. 5x 3 Ejemplos: 4 x 2 y + − . R.Es aquella expresión algebraica racional que se caracteriza por presentar exponentes negativos en su parte literal. es decir. x 3 x+y b) Expresión algebraica irracional ( E. tiene parte literal en su denominador. Por su número de términos Pueden ser: a) Monomio Es una expresión algebraica que consta de un sólo término. un monomio es una expresión algebraica racional entera que consta de un sólo término.Expresión algebraica racional entera (E. 4 xy Ejemplos: . A.. Ejemplos: P(x) = 3x 4 + 2 x 3 − 5x + 4 y Q(x. Dicho término es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras son la multiplicación y la potenciación de exponente natural. es decir. DAVID GONZÁLES LÓPEZ . También podemos decir. ) Una expresión algebraica es irracional cuando presenta exponentes fraccionarios en su parte literal. 7 x 5 y 3 y 5 x 4 y3z 2 b) Multinomio Es una expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos Ejemplos: 3x 4 y + 2 x 3 y 4 − 7 x 2 y 5 y 4x 4 + 2 x −3 y 5 − 5 x + 3 Un caso particular de éstos es el polinomio o polinomio entero. 7 x −8 + 6 x − 3 . 7x 3 − 6 x + 8 2 4 . 5x 9 − 6 x 8 + 4 x . 12 Ejemplos: 5x −1 / 3 + 8x −1 / 2 − 10 x −1 / 8 . F. A. Ejemplo: Sea el monomio: 12 x 6 y 3 z 9 Grado absoluto (GA ) : 6 + 3 + 9 = 18 Grado relativo (GR ) Grado relativo respecto a x (GR x ) es 6 Grado relativo respecto a y (GR y ) es 3 Grado relativo respecto a z (GR z ) es 9 B.Grado absoluto: está dado por la suma de los exponentes de todas sus letras. Ejemplo: P ( x . Ejemplo: Sea el polinomio: 3x 4 y 3 + 8x 3 y − 5 y Grado absoluto: Grado absoluto (GA ) de 3x 4 y 3 es 4 + 3 = 7 Grado absoluto (GA ) de 8x 3 y es 3 + 1 = 4 Grado absoluto (GA ) de 5 y es 1 Por lo tanto.Grado relativo: está dado por el mayor exponente de la letra referida. Grado de un monomio . Polinomio ordenado con respecto a una letra: es el polinomio cuyos exponentes de la letra considerada.Grado relativo: está dado por el exponente de la letra referida. Ejemplo: P(x. el Grado absoluto (GA ) del polinomio es 7 Grado relativo: Grado relativo respecto a x (GR x ) es 4 ( mayor exponente de la variable x ) Grado relativo respecto a y (GR y ) es 3 ( mayor exponente de la variable y ) Polinomios especiales A. Polinomio completo con respecto a una letra: es el polinomio que presenta todas las potencias de una letra. van aumentando o disminuyendo.Grado absoluto: está dado por el monomio de mayor grado absoluto. desde el mayor grado hasta el cero inclusive. . El término algebraico que tiene la letra de grado cero se llama término independiente. Polinomio completo y ordenado con respecto a una letra: es aquel polinomio que presenta las dos características anteriores. y) = 3x 3 y + 5x 2 − 4 xy 2 − 8 Este polinomio es completo respecto a x B. según sea ascendente o descendente la ordenación. . y) = 5x 2 y 4 + xy 3 + y 2 − 3x 3 y + 4 ( polinomio completo y ordenado con respecto a y ) 6 . Grado de un polinomio . DAVID GONZÁLES LÓPEZ Grado de una expresión algebraica A. y) = 8x 5 y + 6 x 3 y 4 − 7 xy 6 − 9 y 3 Este polinomio es ordenado con respecto a x C. Ejemplos: P(x) = 8x 5 + x 4 + x 3 − 3x 2 − 4 x + 3 Q(x. Polinomios idénticos: son aquellos polinomios que presentan en sus términos semejantes. Si Q( x . y) = x a +1 y a −5 + x a −3 y a − 2 + x 2 a − 7 y + x a −5 y a . Hallar m y n sabiendo que el monomio : (m + n ) x 2 ( m −1) y 3n tiene grado absoluto igual a 17 y que además su coeficiente tiene el mismo valor que el grado relativo con respecto a x . Hallar el grado absoluto del siguiente polinomio : P ( x ) = ( x + 5) 4 + (1 − x ) 5 9. y. Si P ( x . c = p 8 Así : P ( x ) = 3x 2 y − x + 1 es idéntico a Q( x ) = 3x 2 y − 4 x + ( 4 − 3) 2 F. y) = 3x a y a − b + 2 x a + b y a − b − 8x 8 es homogéneo. y) = 7x 2 y 3 + 6 x 3 y 2 − 4 x 5 − 2 xy 4 E. 7 . c = 0 . Si cada término tiene el mismo grado absoluto. y) = 5x a y b y sabiendo que GR x = 2 ∧ GA = 5 calcular a + b2 2 8. Sea P ( x . decimos que P ( x ) = 0 ⇔ a = 0 . z ) = 5x 14 y 5 z 10 calcular : GR y + GR x 7. a) x 3 + x 2 − xy 3 c) x 3 y 4 + x 2 z 3 + xy 5 z 2 b) x 4 + 4 x 3 − 6 x 2 y 4 − 4 xy 5 d) x 4 y 2 − xy 6 + 4 x 4 y 3 − x 8 + y15 − z 11 3. hallar n . GR z + GA 5. d = 0 G. 10. coeficientes iguales. Sea P ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d . y) = x n + 2 y 6 − n + x n − 2 y n + 2 . 4. b = 0 . Hallar el grado absoluto de los siguientes polinomios: a) x 3 + x 2 + x c) x 3 y − x 2 y 2 + xy 4 − y 4 b) 5 x − 3x 2 + 4 x 4 − 6 d) x 5 − 6 x 4 y 3 − 4 x 2 z + x 2 y 4 − 3y 6 2. Polinomio homogéneo: es el polinomio que presenta el mismo grado absoluto en todos sus términos. Hallar a y b en el monomio 5x a − b y a + b si el grado relativo respecto a x es 8 y respecto a y es 12. P(x. Hallar el grado de los siguientes polinomios con relación a cada una de sus letras. Sea P ( x . Polinomio nulo: es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos o iguales a cero. También se le llama polinomio idénticamente nulo. Hallar (a + b ) si P ( x . además GR x (P) = 7 Hallar el GA ( P) 11. y. z ) = 7 x 2 y 5 z 8 calcular : GR x + GR y GR z + GA 6. Sea P ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx y Q( x ) = mx 3 + nx 2 + px Decimos que P ( x ) ≡ Q( x ) ⇔ a = m . b = n . Ejemplo. DAVID GONZÁLES LÓPEZ D. Polinomio opuesto: es aquel polinomio que se obtiene cambiando de signo a todos sus coeficientes del polinomio dado Sea P ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d decimos que − P ( x ) es su opuesto ⇔ − P ( x ) = −ax 3 − bx 2 − cx − d Así : Sea P ( x ) = 2 x 3 + 3x 2 y − 4 x su opuesto es − P ( x ) = −2 x 3 − 3x 2 y + 4 x Ejercicios 01: Grado de un polinomio y polinomios especiales 1. Sea el siguiente monomio M ( x . Hallar E = ab(a + b) si el polinomio P ( x . Si el polinomio P ( x ) = 3x p − n +5 − 4 x n − m +3 + 7 x m − 6 es completo y ordenado ascendentemente. calcular M = a + b + c + d . Valor numérico de expresiones algebraicas Se denomina valor numérico de una expresión algebraica al resultado de sustituir cada una de las letras(variables) por números y realizar las operaciones indicadas. Sea el polinomio P ( x ) = 5x a −18 + 18x a − b +15 + 7 x c − b +16 . y = -1/2 x+y Solución 1 1 5 3( −1) − ( − ) −3+ − E= 2 −3 = 2 −3 = 2 −3 = −5 −3 = 5 −3 = 5−9 = − 4 1 3 3 −3 3 3 3 ( −1) + ( − ) − − 2 2 2 2. 22. Si P ( x + 1) = x + 3 . Si P ( x ) es idénticamente nulo. hallar E = P( −3) + P( 4) Solución Primera forma: Haciendo x + 1 = k ⇒ x = k − 1 Escribiendo la expresión original en términos de k tenemos: P ( k ) = k − 1 + 3 ⇒ P(k) = k + 2 Una vez reducida se hace: k = x y se tiene P ( x ) = x + 2 hallamos P ( −3) = −3 + 2 = −1 y P ( 4) = 4 + 2 = 6 Luego E = P ( −3) + P ( 4) = ( −3 + 2) + ( 4 + 2) = −1 + 6 = 5 8 . En el polinomio homogéneo P ( x . DAVID GONZÁLES LÓPEZ 12. y) = x a − 2 b y a + b − 5x b y a + 2 b + 7 x a − b y 8 es homogéneo 20.. 16. hallar a . Ejemplos: 3x − y 1. y) = ( x a y b ) a + b + ( x 3 y) ab el grado relativo a x es 48 . Halle el número de términos del polinomio completo y ordenado P( x ) = ( n − 1) x n − 6 + ( n − 2) x n −5 + ( n − 3) x n − 4 + . 13. Hallar el valor numérico de E = − 3 para x = −1 . Hallar (a − b − c + d ) si P ( x ) = ( 2a − 12) x 3 + ( 4b + 8) x 2 + (c − 5) x + d es nulo. P( x ) = ( n − 3) x n −8 + ( n − 4) x n −7 + ( n − 5) x n −6 + . Se sabe que el polinomio P ( x ) = 2 x + 5x b −c +1 + 7 x a + b − 4 + 8x a −3 es completo y ordenado descendentemente . 18. m n p x 2 − 10x + 13 14. Calcular E = m + n + p en la identidad + + ≡ x − 1 x − 2 x − 3 ( x − 1)( x − 2)( x − 3) c + d −1 15. 21.. b y c para que el polinomio P ( x ) sea completo y ordenado en forma descendente. Determinar (a + b + c) sabiendo que el polinomio P ( x ) = 3x 2 + ax − 5 + bx 2 − 11x + c es idénticamente nulo. 19. Indicar cuántos términos tiene.. hallar (a − b) 2 en P ( x − a ) = a ( x + 3) + b ( x + 2) + 2 . 17. Indicar el valor de (a + b ) .. Si el polinomio P ( x ) es ordenado y completo. calcular el valor de ( 2m − 3n + 4p ) . E = para x = −2 . z = −2 z y x x + y x 2 − y2 7. E = P( −3) + P ( 4) = −1 + 6 = 5 Ejercicios 02: Valor numérico de expresiones algebraicas Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas x 2 − y2 − z3 1. DAVID GONZÁLES LÓPEZ Segunda forma: Reemplazamos x por x − 1 para hallar el P ( x ) P ( x + 1) = x + 3 P ( ( x − 1) + 1 ) = ( x − 1) + 3 P( x ) = x + 2 hallamos P ( −3) = −3 + 2 = −1 y P ( 4) = 4 + 2 = 6 Por lo tanto E = P( −3) + P ( 4) = −1 + 6 = 5 Tercera forma: Escribiendo ( x + 3) en función de x + 1 : P ( x + 1) = ( x + 1) + 2 luego donde aparezca ( x + 1) se colocará x : P( x ) = x + 2 Por lo tanto E = P ( −3) + P( 4) = ( −3 + 2) + ( 4 + 2) = 5 Cuarta forma: Para calcular la expresión pedida podemos hacer: x + 1 = −3 ⇒ x = −4 x +1 = 4 ⇒ x = 3 Estos valores se reemplazan en la igualdad original ( P ( x + 1) = x + 3 ) P ( −3) = −4 + 3 = −1 y P ( 4) = 3 + 3 = 6 Luego. y = 1 / 2 . E = + − + ( x + y − z ) 2 − ( y + z − x )( x − y) para x = 1 . z = −1 x 2 + y3 2. y = −1/2 x y 1 1 y 8. E = x 2 y 3 − 3x 3 y + 3 para x = −1 . y = −1 . z = −2 x 2 − y3 − z2 x 2 − 2y 2 z2 − z3 5. y = 1 . z = −2 z x 3xy xz 2 yz 6. E = − para x = −2 . E = ( − ) + ( − x ) para x = −1 / 3 . z = −1 / 2 2z − x + y x3 − y2 + z3 4. E = − para x = −1 . y = −1/2 x y x 9 . y = −1 / 2 3x − 2 y + 1 3. E = para x = −1 . E = para x = −1 / 2 . y = −1 . y = 1 / 3 . y 3 11. hallar P( 4) 18. hallar E = a + b + c 26. a = 2+ 2 . calcular : E = P( −1) + P( −3) 15. hallar P ( x ) x x −1 24. Si P ( x + a ) = x 2 − ax + b y Q( x − b) = x 2 − bx + a . y = −1 2 xy − x x . Si P ( x ) = hallar P ( P ( x )) x −3 2x − 1 21. y = −2 . calcular E = P ( P (0)) + P ( P( −1)) 2 16. E = x ( x − a )(x − b)(x − c) donde x = . determinar P (Q(0)) 25. Si P ( x ) = además P ( P ( x )) = 1 . Sabiendo que P ( x + 1) + P ( x + 2) = 5 x y P(3) = 2 . Se definen P (f ( x − 1) + 2) = x + 2 y P ( x − 1) = x + 7 . Sea P ( x − 1) = 2 x − 5 . Si P ( ) = x hallar P( −3) mx − n n 2x − 1 x 23. Si tenemos que P ( x 2 ) = x + 2 . calcular P (Q( 2)) 19. Si P ( x ) = 4 x + 5 y P (g ( x ) + 3) = 8 x + 5 . y = −2 y2 1− x y x2 − 10. Sabiendo que P ( 2 x + 1) = x 2 + x + 1 y Q( x + 2) = x 2 − x + 1 . Sea P ( x ) = 4 x + 3x + 2 . Si P ( x + 1) = 3x 2 − bx + 1 . E = k ( k − x )( k − y)( k − z ) para x = 5 . Si P ( x + 7 ) = x − 3 . calcular E = P ( −1 / 2) + P (1 / 2) 17. hallar el valor de E = 8x + 5 x −1 mx + n m 22. Sea P ( x ) = x 2 − x + 4 . E = − si se cumple que + =2 x + 2y 3x + 2 y y x Resolver los siguientes ejercicios sobre valor numérico de un polinomio P ( 0) + P ( − 2) 14. E = para x = −1 / 2 .hallar E = P (5) − P( 2) 27. E = 3 − x para x = −1 / 2 . DAVID GONZÁLES LÓPEZ 5x 2 − y 3 + 3y 9. b = 2− 2 y c = 2 3 2 5x + 2 y 5x − 2 y x 4y 13. z = 6 sabiendo que 3k = x + y + z z a+b+c 12. a base de ello determinar f (7 ) 28. Q(x 3 ) = x + 3 y R ( x 4 ) = x + 4 calcular E = P(4) + Q(27) + R (16) 3x + 1 20. hallar g ( 4) 10 . Q( x − 1) = ax 2 + cx + 3 y P ( x ) = Q( x + 1) . Si P (Q( x )) = y Q( x ) = . xy − x 2 + y 2 6 3 4 2 6 8 6 3 4 11 . R y S P + Q = R y P − Q = P + ( −Q ) = S Ejemplos 1. − 2 y 2 + 3xy − 3x 2 . 4x 2 + 7 xy 2 − y 2 − 3 Solución Sea S = 2 x 2 − 3xy 2 + y 2 + − 2 y 2 + 3xy 2 − 3x 2 + 4x 2 + 7 xy 2 − y 2 − 3 Agrupando términos semejantes y reduciéndolos se tiene: S = ( 2 x 2 − 3x 2 + 4 x 2 ) + ( −3xy 2 + 3xy 2 + 7 xy 2 ) + ( y 2 − 2 y 2 − y 2 ) − 3 S = 3x 2 + 7 xy 2 − 2 y 2 − 3 2. x 3 + xy 2 + y3 . x 2 + 7 xy − y 2 2. sean los polinomios P . − 2 y 2 + 3xy 2 − 3x 2 . x 2 − 3xy + y 2 . − 3x 3 − 4 xy 2 − 5 y 3 + x 5 2 2 2 3 1 1 1 5 1 1 3. De x 2 y + y 2 − 5xy restar − 2 x 2 y + 3y 2 − 7 xy Solución Sea M = x y + y − 5xy − ( −2 x y + 3y − 7 xy ) 2 2 2 2 M = x 2 y + y 2 − 5xy + 2 x 2 y − 3y 2 + 7 xy M = ( x 2 y + 2 x 2 y) + ( y 2 − 3y 2 ) + ( −5xy + 7 xy) M = 3x 2 y − 2 y 2 + 2 xy Ejercicios 03: Adición y sustracción de polinomios enteros Hallar la suma de : 1. La adición y la sustracción de polinomios consiste en la reducción de términos semejantes Así. x − y + xy . DAVID GONZÁLES LÓPEZ 1. − xy − x 2 + y 2 . Hallar la suma de 2 x 2 − 3xy 2 + y 2 . Sea P = 5x 3 + 2 x 2 y 2 − 2 y − 3 y Q = 2 x 3 − 5x 2 y 2 − 2 x − 3 hallar P − Q Solución P − Q = P + ( − Q) = 5x 3 + 2 x 2 y 2 − 2 y − 3 + −( 2 x 3 − 5x 2 y 2 − 2 x − 3) = 5x 3 + 2 x 2 y 2 − 2 y − 3 − 2 x 3 + 5x 2 y 2 + 2 x + 3 = (5x 3 − 2x 3 ) + (2x 2 y 2 + 5x 2 y 2 ) + (−3 + 3) − 2 y + 2x = 3x 3 + 7 x 2 y 2 − 2 y + 2 x 3. − 5x 2 y + x 3 − y3 − 3x . Q .3. OPERACIONES CON POLINOMIOS ENTEROS Adición y sustracción de polinomios La adición de polinomios es una operación que tiene por objeto reunir dos o mas polinomios (sumandos) en una sola expresión( suma) La sustracción de polinomios es la operación que consiste en sumar al polinomio minuendo el opuesto del polinomio sustraendo para obtener el polinomio diferencia. 2x 4 y − x 3 y 2 − y 5 10 4 6 5 6 9 5 3 Resolver 9. − x 4 + x3 − x 3 8 5 6 4 2 5 3 1 1 5 1 1 5. De la suma de x − xy + y con xy − y + restar la suma de 5 6 9 2 3 4 2 2 2 2 1 17 2 22 3 1 x − y + xy con x − xy − y 2 − 9 3 9 45 9 2 2 Multiplicación de polinomios La multiplicación de polinomios es la operación que consiste en obtener una expresión llamada producto. De a − b restar la suma de − a 2 b + ab 2 con a 2 b − ab 2 + b 3 2 3 2 4 8 6 3 3 2 5 2 2 3 1 2 1 20. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 2 3 3 3 5 3 4. conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador Así. De x 3 − 9 x + 6 x 2 − 19 restar − 11x 2 + 21x − 43 + 6 x 3 12.n Ejemplos 2 2 2 1. − x 4 + x 2 y 2 − xy 3 − y 4 . − a + a x − ax 2 9 6 3 7 8 9 3 2 4 1 3 1 3 5 1 2 1 8. Hallar la expresión que sumada con − 5a + 9b − x da 8x + 9a 1 3 1 3 3 3 1 5 2 19. De x 2 + y 2 − 3xy restar − y 2 + 3x 2 − 4 xy 10. Hallar la expresión que sumada con x − x + 5 da 3x − 6 3 2 18. x 4 − x 2 + 5 . − x 4 y − x 2 y 3 − x 5 . Restar 23 y 3 + 8 y 4 − 15 y 5 − 8 y − 5 de − 3y 5 − 8 y 3 + y 4 + 9 1 2 3 3 2 7 3 9 16. − a x − ax − x . De y 5 − 9 y 3 + 6 y 2 − 31 restar − 11y 4 + 31y 3 − 8 y 2 − 19 y 13. Sea P = 3x 2 − 2 xy + y y Q= x − y hallar P ⋅ Q 3 3 12 . x 5 − x 3 + x . sean los polinomios P . x 4 − 2 x 2 y 2 + y 4 . a + ax − x . Q y R P⋅Q = R Propiedades : x m ⋅ x n = x m + n y ( x m )n = x m. Restar 6 x 3 − 9 x + 6 x 2 − 7 de x 4 − 8x 3 + 25 x 2 + 15 14. De y 2 + 6 y 3 − 8 restar − 2 y 4 − 3y 2 + 6 y 11. − x − x − 3 . x 5 − y 5 . − x 3 y − x 2 y 2 + y 4 7 6 8 6 14 6 4 7 2 4 3 1 2 1 1 6. − x 3 y 2 − xy 4 − y 5 . − 3x 5 + x 2 + x . Restar x 5 − x 2 y 3 + 6 xy 4 + 25 y 5 de − 3y 5 − 8x 3 y 2 − 19 x 5 − 15xy 4 15. Restar − x y + x3 + 6 dexy − x + x 2 y − 6 4 8 9 2 17. − x 4 + x 3 − x 2 3 5 8 10 3 6 4 2 3 5 2 1 3 3 2 7 2 1 3 2 3 1 2 1 7. Trinomio al cuadrado • ( x + y + z )( x + y + z) = ( x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 xz + 2 yz • (ax + by + cz )(ax + by + cz) = (ax + by + cz ) 2 = a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 + 2abxy + 2acxz + 2bcyz 3. Binomio al cuadrado ( Trinomio cuadrado perfecto) • ( x + y)( x + y) = ( x + y) 2 = x 2 + 2 xy + y 2 • ( x − y)( x − y) = ( x − y) 2 = x 2 − 2 xy + y 2 • (ax + by)(ax + by) = (ax + by) 2 = a 2 x 2 + 2abxy + b 2 y 2 • (ax − by)(ax − by) = (ax − by) 2 = a 2 x 2 − 2abxy + b 2 y 2 2.Q = (3x 2 − 2 xy + 6 y 2 )( x − y) 3 2 2 2 P. Q = (3 x n − y 2 ) ( 2 x 2 n − x n y 2 + y 4 ) = (3x n )( 2 x 2 n ) + (3x n )(− x n y 2 ) + (3x n )( y 4 ) + ( − y 2 )(2x 2 n ) + ( − y 2 )( − x n y 2 ) + ( − y 2 )( y 4 ) = 6 x 3 n − 3x 2 n y 2 + 3x n y 4 − 2 x 2 n y 2 + x n y 4 − y 6 = 6 x 3 n + ( − 3 x 2 n y 2 − 2 x 2 n y 2 ) + (3 x n y 4 + x n y 4 ) − y 6 = 6 x 3 n − 5x 2 n y 2 + 4 x n y 4 − y 6 Productos notables Son productos indicados que tienen una forma determinada.Q = 2 x 3 + ( −3x 2 y − x 2 y) + ( 2 xy 2 + 4 xy 2 ) − 6 y 3 3 13 P.Q = 2 x 3 − 3x 2 y − x 2 y + 2 xy 2 + 4 xy 2 − 6 y 3 3 4 P. de los cuales se puede recordar fácilmente su desarrollo sin necesidad de efectuar la operación. Binomio al cubo • ( x + y)( x + y)( x + y) = ( x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 = x 3 + y 3 + 3xy( x + y) • ( x − y)( x − y)( x − y) = ( x − y) 3 = x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3 = x 3 − y 3 − 3xy( x − y) • (ax + by)(ax + by)(ax + by) = (ax + by) 3 = a 3 x 3 + 3a 2 x 2 by + 3axb 2 y 2 + b 3 y 3 • (ax − by)(ax − by)(ax − by) = (ax − by) 3 = a 3 x 3 − 3a 2 x 2 by + 3axb 2 y 2 − b 3 y 3 13 . Q Solución P .Q = 2 x 3 − x 2 y + 6 xy 2 − 6 y 3 3 2. Los más importantes son: 1. Sea P = 3x n − y 2 y Q = 2x 2 n − x n y 2 + y 4 hallar P . DAVID GONZÁLES LÓPEZ Solución 2 P.Q = (3x 2 )( x ) + (3x 2 )( − y) + ( −2 xy)( x ) + ( −2 xy)( − y) + (6 y 2 )( x ) + (6 y 2 )( − y) 3 3 3 4 P. Producto de una suma por su diferencia( Diferencia de cuadrados) • ( x m + y n )( x m − y n ) = ( x m ) 2 − ( y n ) 2 = x 2 m − y 2 n • ( x + y)( x − y) = x 2 − y 2 • (ax + by)(ax − by) = (ax ) 2 − ( bx ) 2 = a 2 x 2 − b 2 y 2 6. Identidades de Legendre • ( x + y ) 2 + ( x − y ) 2 = 2( x 2 + y 2 ) • ( x + y) 2 − ( x − y) 2 = 4 xy • (ax + by) 2 + (ax − by) 2 = 2(a 2 x 2 + b 2 y 2 ) • (ax + by) 2 − (ax − by) 2 = 4abxy 11. Trinomio al cubo • ( x + y + z )( x + y + z )( x + y + z ) = ( x + y + z ) 3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3( x + y)( y + z )( x + z) • ( x + y + z ) 3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3( x + y + z )( xy + yz + xz ) − 3xyz 5. Producto de binomios con un término común • ( x + a )( x + b) = x 2 + (a + b) x + ab • ( x + a )( x + b)( x + c) = x 3 + (a + b + c) x 2 + (ab + ac + bc) x + abc 9. Producto de binomios de la forma (ax + b )(cx + d ) • (ax + b)(cx + d ) = acx 2 + (ad + bc) x + bd 10. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 4. Identidad de ARGAND • ( x 2 m + x m y n + y 2 n )( x 2 m − x m y n + y 2 n ) = x 4 m + x 2 m y 2 n + y 4 n m y n : número par • ( x 2 m + x m y m + y 2 m )( x 2 m − x m y m + y 2 m ) = x 4 m + x 2 m y 2 m + y 4 m • ( x 2 k + x k + 1)( x 2 k − x k + 1) = x 4 k + x 2 k + 1 • ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1) = x 4 + x 2 + 1 • ( x 2 + xy + y 2 )( x 2 − xy + y 2 ) = x 4 + x 2 y 2 + y 4 8. Identidades de Lagrange • (ax + by) 2 + (ay − bx ) 2 = (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) • (ax + by + cz) 2 + (ay − bx ) 2 + (az − cx ) 2 + (bz − cy) 2 = (a 2 + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) 14 . Producto de un binomio por un trinomio que da una suma o diferencia de cubos • ( x m + y n )( x 2 m − x m y n + y 2 n ) = x 3 m + y 3 n • ( x m − y n )( x 2 m + x m y n + y 2 n ) = x 3m − y 3n • ( x + y)( x 2 − xy + y 2 ) = x 3 + y 3 • ( x − y)( x 2 + xy + y 2 ) = x 3 − y 3 • (ax + by)(a 2 x 2 − abxy + b 2 y 2 ) = (ax ) 3 + ( by) 3 = a 3 x 3 + b 3 y 3 • (ax − by)(a 2 x 2 + abxy + b 2 y 2 ) = (ax ) 3 − ( by) 3 = a 3 x 3 − b 3 y 3 7. Condicionales: Si a + b + c = 0 se verifica que: • a 2 + b 2 + c 2 = −2(ab + bc + ac) • (ab + bc + ca ) 2 = a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 • a 3 + b 3 + c 3 = 3abc • a 4 + b 4 + c 4 = 2( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) • ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 = 2( a 4 + b 4 + c 4 ) • a 5 + b 5 + c 5 = −5abc(ab + bc + ac) 2. DAVID GONZÁLES LÓPEZ Observación Identidades complementarias 1. Simplificar E = ( x 2 m + x m y n + y 2 n + x m − y n ) 2 − ( x 2 m + x m y n − x m + y 2 n + y n ) 2 + 4 y 3 n Solución Ordenando cada expresión E = [ (x 2m + x m y n + y 2n ) + (x m − y n ) ]2 − [ ( x 2 m + x m y n + y 2 n ) − ( x m − y n ) ]2 + 4 y 3n haciendo x 2 m + x m y n + y 2 n = a y x m − y n = b se tiene E = ( a + b ) 2 − (a − b ) 2 + 4 y 3 n aplicando la identidad de Legendre E = 4ab + 4 y 3n reemplazando los valores de a y b E = 4( x 2 m + x m y n + y 2 n )( x m − y n ) + 4 y 3n de los paréntesis resulta diferencia de cubos E = 4( x 3 m − y 3 n ) + 4 y 3 n E = 4x 3m − 4 y 3n + 4 y 3n E = 4 x 3m 15 . (a + b) 4 − (a − b) 4 = 8ab(a 2 + b 2 ) 3. Simplificar E = [ ( x + y) 2 + ( x + y ) 2 ( x − y ) 2 ] (x 4 − x 2 y 2 + y 4 ) Solución Ordenando la expresión E = { ( x + y) 2 + [ ( x + y ) ( x − y ) ]2 } (x 4 − x 2 y 2 + y 4 ) aplicamos diferencia de cuadrados E = [ ( x + y) 2 + ( x − y) 2 ] (x 4 − x 2 y 2 + y 4 ) en el corchete aplicamos identidad de Legendre E = 2( x 2 + y 2 ) ( x 4 − x 2 y 2 + y 4 ) los paréntesis dan diferencia de cubos E = 2( x 6 + y 6 ) 2. Identidad de Gauss • (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc) = a 3 + b 3 + c 3 − 3abc • (a + b + c)(ab + bc + ca ) = (a + b )(b + c)(c + a ) + abc Ejemplos 1. E = ( x + y + z ) 2 + ( x + y − z ) 2 + ( x − y + z ) 2 + ( − x + y + z ) 2 − 4( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 2 2 1 1 1 27. ( x 4 − 9)( x 4 − 7) 2. (3x n −1 + x n − 2 x n − 2 )( x n − x n −1 + x n − 2 ) Simplificar 14. E = ( 2 x + 3y) 2 + ( 2 y − 3x ) 2 ( y 2 − x 2 )( x 8 + x 4 y 4 + y 8 ) 22. ( x + x − )( 2 x 3 − x + 2) 8 4 5 3 1 1 2 3 2 3 2 2 8. E = ( y − k )( y + k )( y 2 + ky + k 2 )( y 2 − ky + k 2 ) 16. E = ( x 2 + xy + y 2 )( x − y )( x + y ) 24. E = ( b + c − a ) (a + c . E = ( x − y )( x + x y + y )( x 4 − x 2 y + y 2 ) 4 2 4 2 2 23. E = ( x + 1) 2 ( x − 2) 2 − ( x − 5) 2 ( x + 4) 2 − 36( x 2 − x ) 17. ( x a + 2 − x a + 2 x a +1 )( x a +3 − 2 x a +1 ) 13. E = ( 4 x + 1)( x + 1)( x + 1)( 4 x − 1)( x 4 + x 2 + 1) [ ] 21. E = ( x + 2) 2 ( x − 1) 2 − ( x + 1) 2 ( x − 2) 2 18. E = ( x y + y − y ) 2 + ( x y − y − y ) 2 ] (x 2y − y −2 y )(x 8 y + x 4 y y −4 y + y −8 y ) 20. ( y 3 + x 2 y 4 − x + x 3 )( x 3 y − x) 2 3 4 4 2 10 10. ( x 2 − xy + y 2 )( x − y) 2 3 4 3 2 2 1 1 3 6. ( x n + 2 − 2 x n + 3x n +1 )( x n + x n +1 ) 12. E = ( x y + x − y )( x y − x − y )( x 4 y + 1 + x −4 y ) [ 19. ( 2 x + 1)( 4 x 2 − 2 x + 1) 1 1 1 2 3 5. E = ( x + ) ( x + 2 −1)2 − ( x − )2 ( x 2 + 2 +1)2 x x x x 28. (m 2 + 1)(m 2 − 5)(m 2 − 4) 3. ( x + y + 3)( x − y + 4) 4. ( x 2 + xy − y 2 )( x 2 + 2 y 2 − xy ) 5 3 2 2 3 2 1 2 1 7. DAVID GONZÁLES LÓPEZ Ejercicios 04: Multiplicación de polinomios enteros.Productos notables Multiplicar 1.b) + (a + b + c)(a + b − c) 16 . E = ( x + 1)( x − 1)( x 2 + 1)( x 4 + 1)( x 8 + 1) 15. E = ( x 3 − 1)( x + 1)( x 2 − x + 1) 25. ( x n +1 + 2 x n + 2 − x n + 3 )( x 2 + x ) 11. ( ax − x + a )( x − ax + a 2 ) 3 2 2 2 3 1 1 1 1 3 1 9. E = 4 1 + ( x − 1)( x + 1)( x 2 + 1)( x 4 + 1) 26. hasta n factores Resolver 31. . donde x ≠ 0 x − 12x y z 4 8 5 Ejemplo: Dividir E = − 4x 2 y 5 z 4 17 . hallar x 2 + y 2 1 32. DAVID GONZÁLES LÓPEZ ( x 2 − y 2 ) 7 ( x + y) 4 29. Si x − = 2 hallar x 4 + x −4 x 33. En la división de polinomios se cumple: P R P = Q⋅C + R ó =C+ Q Q donde P = Polinomio dividendo C = Polinomio cociente Q = Polinomio divisor R = Polinomio resto o residuo R C + = Cociente completo Q En la división exacta de polinomios R = 0 y se cumple que: P = C ⇔ P = Q⋅C donde Q ≠ 0 Q xm Propiedad : n = x m − n . E = ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1)( x 4 − x 2 + 1)( x 8 − x 4 + 1) . Si x + y + z = 12 y xy + xz + yz = 60 . hallar M = ( x + y) 2 + ( x + z) 2 + ( y + z) 2 35. Si p + q + r = 20 y p 2 + q 2 + r 2 = 300 hallar el valor de E = ( p + q ) 2 + ( p + r ) 2 + (q + r ) 2 ( x + y) 2 + ( y + z ) 2 + (z + x ) 2 36. donde x ≠ 0 x Casos de la división .Cuando se trata de dos monomios Reglas o pasos a seguir: • Se dividen los signos mediante la regla de signos • Se dividen los coeficientes xm • Se dividen la letras aplicando la propiedad: n = x m − n . E = ( y − x ) 5 (− x − y)10 ( x − y) 2 30. Si a + b = 5 y ab = 2 calcular E = (a 2 + b 2 ) + (a 3 + b 3 ) + (a 4 + b 4 ) 34. Si x + y + z = 0 simplificar E = xy + yz + zx División de polinomios La división de polinomios es una operación que consiste en hallar el polinomio cociente dados el polinomio dividendo y el polinomio divisor. . Si x + y = 8 y xy = 16 . Cuando se trata de un polinomio y monomio Reglas o pasos a seguir: • Se escribe la división como una suma del cociente de 2 monomios • Se divide cada cociente de monomios − 4x 4 y 5 z 2 + 2 x 3 y 4 z 3 Ejemplo: Dividir E = 2x 2 yz 2 Efectuando − 4x 4 y 5 z 2 2x 3 y 4 z 3 E= 2 2 + 2 2 = −2x 2 y 4 + xy 3 z 2 x yz 2 x yz . a. obteniéndose el primer término del cociente. Dividir P( x ) = 6 x 4 − 5x 3 − 4 x 2 + 8x + 4 entre Q( x ) = 2 x 2 − 3x + 2 Solución 6 x 4 − 5 x 3 − 4 x 2 + 8x + 4 2 x 2 − 3x + 2 − 6x 4 + 9x 3 − 6x 2 3x 2 + 2 x − 2 4 x 3 − 10 x 2 + 8 x + 4 − 4x 3 + 6x 2 − 4x − 4x 2 + 4x + 4 4x 2 − 6x + 4 − 2x + 8 Luego. Método clásico o normal Reglas o pasos a seguir: 1) Se ordenan los polinomios. 4) Se baja el término siguiente del dividendo. 3) Se divide el primer término del dividendo. y se repite el paso anterior tantas veces hasta que el resto sea a lo más un grado menos que el grado del divisor. generalmente en forma decreciente con respecto a una sola letra o variable 2) En caso existan dos o mas variables se asumirá solo a una de ellas como tal y las demás harán el papel de números o constantes. Ejemplos 1. Luego este se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el resultado se resta del dividendo. Presentaremos a continuación algunos de ellos.Cuando se trata de dos polinomios Para efectuar la división entre dos polinomios se conocen varios métodos. O en todo caso si la división es exacta el resto será un polinomio idénticamente nulo. por el primer término del divisor. DAVID GONZÁLES LÓPEZ Efectuando E = 3x 4 − 2 y 8 − 5 z 5 − 4 = 3x 2 y 3 z . el polinomio cociente es C( x ) = 3x 2 + 2 x − 2 y el resto R ( x ) = −2 x + 8 18 . con 1 ≤ m ≤ n .Si al dividir P ( x ) entre Q( x ) se obtiene R ( x ) = 0 . entre un binomio de la forma Q( x ) = x − r (o cualquier otra expresión transformable a ésta). b. en forma paralela a este paso se iguala el divisor a cero ( 0). . entonces por el algoritmo de la división de polinomios existe C( x ) = b n −1 x n −1 + b n − 2 x n − 2 + .Se completan y ordenan los polinomios con respecto a una sola letra o variable. es decir si P ( x ) = Q ( x ) . DAVID GONZÁLES LÓPEZ 2. 19 . Reglas o pasos a seguir: .Teorema ( Algoritmo de la división de polinomios) Dados un polinomio P ( x ) de grado n > 1 y un polinomio Q( x ) de grado m .En caso hubiesen dos o mas variables se considera solo a una de ellas como tal y las demás harán el papel de números o constantes. . Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo. y) = 2 x 2 − 3xy + y 2 Solución 6 x 5 + 5x 4 y − 26 x 3 y 2 + 33x 2 y 3 − 24 xy 4 + 6 y 5 2 x 2 − 3xy + y 2 − 6 x 5 + 9 x 4 y − 3x 3 y 2 3x 3 + 7 x 2 y − 4 xy 2 + 7 y 3 14 x 4 y − 29 x 3 y 2 + 33x 2 y 3 − 14 x 4 y + 21x 3 y 2 − 7 x 2 y 3 − 8x 3 y 2 + 26 x 2 y 3 − 24 xy 4 8x 3 y 2 − 12 x 2 y 3 + 4 xy 4 14 x 2 y 3 − 20 xy 4 + 6 y 5 − 14 x 2 y 3 + 21xy 4 − 7 y 5 xy 4 − y 5 Luego. se dice que Q( x ) divide o es divisor o factor de P ( x ) . . División sintética La división sintética es un procedimiento práctico para encontrar el cociente y el resto de la división de un polinomio P ( x ) de grado 2 o mas. se despeja la variable y ésta se coloca en el ángulo izquierdo del gráfico. C( x ) . que tienen la propiedad de que: P ( x ) = Q( x ) C( x ) + R ( x ) . y) = 6 x 5 − 26 x 3 y 2 + 5x 4 y + 33x 2 y 3 − 24 xy 4 + 6 y 5 entre Q( x . . el polinomio cociente es C( x ) = 3x 3 + 7 x 2 y − 4 xy 2 + 7 y 3 y el resto R ( x ) = xy 4 − y 5 Observación . A la división sintética también se le conoce con el nombre de “Regla de Ruffini” Si dividimos P ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + . Dividir P( x . + a 1 x + a 0 de grado n entre Q( x ) = x − r . entonces existen polinomios únicos C( x ) y R ( x ) . . En caso falte un término este se completa con cero. + b1 de grado n − 1 y R ( x ) un polinomio constante talque : P ( x ) = C( x )( x − r ) + R ( x ) Por división sintética podemos hallar el polinomio cociente C( x ) y el polinomio resto R ( x ). . donde el grado de R ( x ) es menor que el grado de Q( x ) . . Dividir P( x ) = 2 x 3 − 5x 2 + x − 2 entre Q( x ) = x − 2 Solución Hacemos x − 2 = 0 ⇒ x = 2 Aplicando división sintética tenemos 2 2 −5 1 −2 4 −2 −2 2 −1 −1 −4 Luego .Se baja el primer coeficiente del polinomio dividendo siendo este el primero del polinomio divisor.La división sintética también es aplicable cuando el divisor es un binomio de la forma ax − r . Ejemplos 1. C( x ) = 3x 3 − 7 x 2 + 20 x − 60 y R ( x ) = 183 3.La división sintética es también aplicable cuando el divisor es un polinomio de segundo grado factorizable de la forma ( x − r )( x − s) o no factorizable. Esta división se realiza por el llamado Método de Horner . DAVID GONZÁLES LÓPEZ . Llegado este momento se reduce la columna que falta. Luego se multiplica por el valor despejado de la variable y el resultado se coloca debajo de la siguiente columna . o un polinomio de grado 2 o mas. Dividir P( x ) = 18x 5 − 29 x 3 − 5x 2 + 12 x − 1 entre Q( x ) = 3x + 2 Solución 2 2 2 Hacemos Q( x ) = 3x + 2 = 3( x + ) ⇒ 3( x + ) = 0 ⇒ x=− 3 3 3 Aplicando división sintética tenemos 2 18 0 − 29 −5 12 −1 − 3 − 12 8 14 −6 −4 18 − 12 − 21 9 6 −5 20 .Se reduce la columna siguiente y se repite el paso anterior tantas veces hasta que la última operación efectuada caiga debajo del último coeficiente del polinomio dividendo. y siempre se cumplirá que la última columna le va ha pertenecer al resto. y este siempre será un valor numérico. Dividir P( x ) = 3x 4 + 2 x 3 − x 2 + 3 entre Q( x ) = x + 3 Solución Hacemos x + 3 = 0 ⇒ x = −3 Aplicando división sintética tenemos −3 3 2 −1 0 3 −9 21 − 60 180 3 −7 20 − 60 183 Luego . Observaciones . C( x ) = 2 x 2 − x − 1 y R ( x ) = -4 2. Al transformar el dividendo y reemplazar el cambio de variable se tiene 6( x 9 ) 4 + 17( x 9 ) 3 − 16( x 9 ) + 2 x 9 + 12 6 y 4 + 17 y 3 − 16 y 2 + 2 y + 12 = 3x 9 + 1 3y + 1 1 1 1 También hacemos Q( y) = 3y + 1 = 3( y + ) ⇒ 3( y + ) = 0 ⇒ y=− 3 3 3 Aplicando división sintética tenemos 1 6 17 − 16 2 12 − 3 −2 −5 7 −3 6 15 − 21 9 9 Cociente primario A ( y) = 6 y 3 + 15 y 2 − 21y + 9 Dividiendo todo el cociente primario entre 3 . C( x ) = 2 x 27 + 5x 18 − 7 x 9 + 3 y el resto R ( x ) = 9 c. + b1 x + b 0 . Hacemos x 9 = y . + a 1 x + a 0 Q( x ) = b m x m + b m −1 x m −1 + . En caso falte un término este se completará con cero. Método de Horner Se emplea para dividir un polinomio P ( x ) de grado n entre un polinomio Q( x ) de grado m donde P ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + . n ≥ m . . porque es el primer coeficiente del divisor se tiene: 6 y 3 + 15 y 2 − 21y + 9 El cociente verdadero en términos de y . 21 . DAVID GONZÁLES LÓPEZ Cociente primario A ( x ) = 18x 4 − 12 x 3 − 21x 2 + 9 x + 6 Dividiendo todo el cociente primario entre 3 . Dividir 3x 9 + 1 Solución Observamos que los exponentes del dividendo son múltiplos del exponente 9 del divisor.En caso existan dos o mas variables se asume a una de ellas como tal y las demás harán el papel de números o constantes. .Se completan y ordenan los polinomios. . . C( y) = 3 C( y ) = 2 y + 5 y − 7 y + 3 3 2 reemplazando y = x 9 tenemos el cociente verdadero en términos de x . luego se puede aplicar el método de la división sintética. a n ∧ bm ≠ 0 Reglas o pasos a seguir: . porque es el primer coeficiente del divisor se tiene: 18x 4 − 12 x 3 − 21x 2 + 9 x + 6 El cociente verdadero C( x ) = 3 C ( x ) = 6 x − 4 x − 7 x 2 + 3x + 2 y 4 3 R ( x ) = −5 6 x 36 + 17 x 27 − 16 x 18 + 2 x 9 + 12 4. . Ejemplos 1. Dividir P( x ) = 2 x 4 + 6 x 3 + 4 x 2 − 5x − 1 entre Q( x ) = 2 x 2 + 2 x − 3 Solución 2 2 6 4 −5 −1 −2 −2 3 3 4 −4 6 3 9 −3 2 1 2 3 7 −2 2 2 3 7 Luego . 3x 3 + 2 x − 6 Solución Utilizando el método de Horner. C( x ) = 2 x 2 − 2 y R ( x ) = 13x 2 + 2 x − 9 12 x 5 − 9 x 4 + 14 x 3 − mx 2 + nx − p 3. separando los coeficientes del cociente y el resto respectivamente. Llegado este momento se reduce las columnas que falten. tanta veces hasta que la última operación efectuada caiga debajo del último coeficiente del dividendo. C( x ) = x 2 + 2 x + y R ( x ) = −2 x + 2 2 2. y en forma vertical los coeficientes del divisor.Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo. . todos cambiados de signo a excepción del primero. obteniendo el primero del cociente. y los resultados se colocan dejando una columna de lado. DAVID GONZÁLES LÓPEZ .Se reduce la siguiente columna y se repite el paso anterior. Luego este se multiplica por cada uno de los coeficientes del divisor que han cambiado de signo. Dividir P( x ) = 6 x 5 − 4 x 3 + 9 x 2 − 5 entre Q( x ) = 3x 3 + x − 2 Solución 3 6 0 −4 9 0 −5 0 0 −2 4 −1 0 0 0 0 2 −6 0 2 −4 2 0 −2 13 2 −9 Luego . Hallar E = m + n + p si la división es exacta. . el resto debe ser un polinomio idénticamente nulo 22 .Se divide el primer coeficiente del dividendo por el primero del divisor. Dividir con respecto a x . en particular para x = r entonces P ( r ) = ( r − r ) C( r ) + R Entonces P ( r ) = R Ejemplos 1. entonces el resto o residuo de dividir P ( x ) por Q( x ) esta dado por P ( r ) = R . DAVID GONZÁLES LÓPEZ 3 12 −9 14 −m n −p 0 0 −8 24 −2 −9 0 6 − 18 6 6 0 −4 12 4 −3 2 30 − m − 22 + n 12 − p Luego. por el algoritmo de la división P ( x ) = ( x − r ) C( x ) + R Como esta igualdad es válida para todo x . Hallar el resto de dividir P( x ) = x 3 + x 2 − 4 x − 1 entre Q( x ) = x + 2 Solución Hacemos x + 2 = 0 ⇒ x = −2 Luego el resto es R = P( −2) = (−2) 3 + ( −2) 2 − 4(−2) − 1 = 3 23 . Demostración En efecto. y) = xy 4 − 4 y 5 Teorema del resto Si P ( x ) es un polinomio de grado n y Q( x ) = x − r . 4x 2 + xy + 3y 2 Solución Utilizando el método de Horner se tiene: 4 8 14 5 16 0 2 −1 −2 −6 −3 12 −3 −9 −4 1 3 8 −2 −6 2 3 −1 2 1 −4 Luego. y) = 2 x 3 + 3x 2 y − xy 2 + 2 y 3 y R ( x . el resto es C( x ) = (30 − m) x 2 + ( −22 + n ) + (12 − p) = 0 x 2 + 0 x + 0 Así tenemos que: 30 − m = 0 ⇒ m = 30 − 22 + n = 0 ⇒ n = 22 12 − p = 0 ⇒ p = 12 Finalmente E = m + n + p = 30 + 22 + 12 = 64 8x 5 + 14x 4 y + 5x 3 y 2 + 16x 2 y 3 + 2 y 5 3. el resto es C( x . DAVID GONZÁLES LÓPEZ 9 x 3 − 18x 2 + x − 2 2. Hallar el resto de 3x − 2 Solución 2 Hacemos 3x − 2 = 0 ⇒ x= 3 2 2 3 2 2 20 Luego el resto es R = P( ) = 9( ) − 18( ) 2 + − 2 = − 3 3 3 3 3 x 8 − 2 x 5 − 3x 4 − 8 x 2 − 5 x + 8 3. Hallar el resto de x3 + 2 Solución Hacemos x + 2 = 0 3 ⇒ x = −2 3 ¡ no se saca raíz ! Dando la forma al dividendo P( x ) = ( x 3 ) 2 x 2 − 2( x 3 ) x 2 − 3( x 3 ) x − 8x 2 − 5x + 8 reemplazando R = (−2) 2 x 2 − 2(−2) x 2 − 3(−2) x − 8x 2 − 5x + 8 efectuando resulta R = x +8 ( x 2 + 5x + 1) 3 − 3( x 2 + 5x + 2) 2 + 4 4. Hallar el resto de x 2 + 5x − 1 Solución Hacemos que x 2 + 5 x − 1 = 0 ⇒ x 2 + 5x = 1 Reemplazando en el dividendo R = (1 + 1) 3 − 3(1 + 2) 2 + 4 = 8 − 27 + 4 R = −15 ( x + y) 5 − x 5 − y 5 5. Hallar el resto de x + 2y Solución Hacemos que x + 2 y = 0 ⇒ x = −2 y Reemplazando en el dividendo R = (−2 y + y) 5 − (−2 y) 5 − y 5 = − y 5 + 32 y 5 − y 5 R = 30 y 5 Teorema del factor Dado un polinomio P ( x ) de grado n , un número r es una raíz de P ( x ) si y solo si Q( x ) = x − r es un factor de P ( x ) . Demostración i) En efecto, por el algoritmo de la división P ( x ) = ( x − r ) C( x ) + R Por el teorema del resto P ( r ) = 0 , entonces R = 0 Por lo tanto, P ( x ) = ( x − r ) C( x ) , luego x − r es un factor de P ( x ) 24 DAVID GONZÁLES LÓPEZ ii) Recíprocamente, si Q( x ) = x − r es un factor de P ( x ) , entonces P ( x ) = ( x − r )C( x ) Como el resto R = P (r ) = 0 , entonces P ( r ) = ( r − r ) C( r ) = 0 Significa que r es una raíz de P ( x ) . Ejemplos 1. Determinar si Q( x ) = x + 2 es factor de P( x ) = x 3 − x 2 + 5x + 4 Solución Hacemos x + 2 = 0 ⇒ x = −2 Entonces R = P( −2) = ( −2) 3 − ( −2) 2 + 5( −2) + 4 = −18 Luego Q( x ) = x + 2 no es factor de P( x ) = x 3 − x 2 + 5x + 4 2. Determinar si Q( x ) = 2 x − 1 es factor de P( x ) = 4 x 3 + 12 x 2 − x − 3 Solución 1 Hacemos 2 x − 1 = 0 ⇒ x= 2 1 1 1 1 Entonces R = P ( ) = 4( ) 3 + 12( ) 2 − ( ) − 3 = 0 2 2 2 2 Como R = 0 entonces Q( x ) = 2 x − 1 es factor de P( x ) = 4 x 3 + 12 x 2 − x − 3 Observación - Raíces de un polinomio: De acuerdo al teorema del factor se conoce que dado un polinomio de grado n ≥ 1 , un número r se llama raíz o cero del polinomio P ( x ) si P ( r ) = 0 . Ejemplo: Sea P( x ) : x 3 − x 2 − 4 x + 4 , el número x = −2 es una raíz o un cero de P ( x ) puesto que P ( −2) = 0 Cocientes notables Son divisiones indicadas de dos expresiones binómicas. Se denominan notables porque no se requiere efectuar la operación, directamente se escribe el cociente. xn − an - Primer caso = x n −1 + ax n − 2 + a 2 x n −3 + . . . + a n − 2 x + a n −1 x −a donde: n es par o impar Ejemplos x 5 − y5 * = x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 x−y x 8 − y 8 (x 2 ) 4 − ( y 2 ) 4 * 2 = = ( x 2 ) 3 + ( x 2 ) 2 ( y 2 ) + ( x 2 )( y 2 ) 2 + ( y 2 ) 3 x −y 2 x −y 2 2 = x 6 + x 4 y2 + x 2 y4 + y6 xn − an - Segundo caso = x n −1 − ax n − 2 + a 2 x n −3 − . . . + a n − 2 x − a n −1 x+a donde n es par 25 DAVID GONZÁLES LÓPEZ Ejemplo x 8 − y 20 ( x 2 ) 4 − ( y 5 ) 4 * 2 = = ( x 2 ) 3 − ( x 2 ) 2 ( y 5 ) + ( x 2 )( y 5 ) 2 − ( y 5 ) 3 x +y 5 x +y 2 5 = x 6 − x 4 y 5 + x 2 y10 − y15 xn + an - Tercer caso = x n −1 − ax n − 2 + a 2 x n −3 − . . . − a n − 2 x + a n −1 x+a donde n es impar x 10 + y10 ( x 2 ) 5 + ( y 2 ) 5 * 2 = = ( x 2 ) 4 − ( x 2 ) 3 ( y 2 ) + ( x 2 ) 2 ( y 2 ) 2 − ( x 2 )( y 2 ) 3 + ( y 2 ) 4 x +y 2 x +y 2 2 = x 8 − x 6 y 2 + x 4 y 4 − x 2 y 6 + y8 xn + an - Caso x−a donde n es par o impar Por el Teorema del resto: x − a = 0 ⇒ x = a Luego, R = a n + a n = 2a n ¡ División inexacta! , por lo tanto NO ES COCIENTE NOTABLE. xn − an - Caso x+a donde n es impar Por el Teorema del resto: x + a = 0 ⇒ x = −a Luego, R = ( −a ) n − a n = −2a n ¡ División inexacta! , por lo tanto NO ES COCIENTE NOTABLE. xn + an - Caso x+a donde n es par Por el teorema del resto x + a = 0 ⇒ x = −a Luego, R = ( −a ) n + a n = a n + a n = −2a n ¡ División inexacta! , por lo tanto NO ES COCIENTE NOTABLE Ejercicios 05: División de polinomios enteros- Cocientes notables Dividir 1. 3x 2 y 3 − 5x 2 y entre − 3x 2 y 2. 4 x 8 − 10 x 6 − 8 x 4 entre 2 x 3 3. 21x 18 y18 − 35x 12 y 9 z 2 − 7 x 8 y10 z 8 entre − 7 x 5 y 1 4 2 3 3 1 4. m − m n + m 2 n 2 entre m 2 4 3 8 4 2 4 3 1 3 4 1 2 5 1 5. x y − x y + x y − xy 6 entre − xy 3 3 5 4 5 26 hallar E = abc 2x + x + 3 3 2 25. Calcular x2 + x −1 dicho resto. Determinar m + n sabiendo que mx 4 + nx 3 − 7 x 2 + 16 x + 15 es divisible por x 2 − 3x + 5 3x 4 − x 3 + 2 x 2 + ax + a 26. hallar P (1) 28. Escribir el cociente sin efectuar la división : 27 . x 5 − 3x 4 − x 3 + x − 2 entre 2 x 3 − x 2 + 3x − 1 Resolver x 4 + 2 x 3 − 3x 2 + ax − b 17. x − x + x− entre x − 4 3 6 2 2 12. Hallar m y n si la división es exacta x 2 − 2x + 4 5x 4 − 11x 3 + 15x 2 + ax − b 19. x yz − x 2 y 2 z 2 + xyz − x 4 yz 3 entre − xyz 4 3 6 2 6 m+2 m +1 m −1 m−2 7. x − x − x 2 + x − 1 entre 3x 2 + 2 3 3 16. Hallar el resto en x+2 x + 243x 22 + x + 4 27 23. Si P ( x ) = x 3 − bx 2 − ( 4b + 3) x + c es divisible entre ( x + 3)( x − 4) . 4 x − 3x + x − 2 entre 2 x + 1 4 3 Dividir por el método clásico y por el método de Horner 13. x − 15x + 6 x m − 9x entre 3x 2 n +1 1 n −1 2 n 2 8. x 3 − 2 x 2 + 3x − 2 entre x + 3 10. Hallar el resto en x+3 8x + 4 x 3 + ax 2 + bx + c 5 24. En la siguiente división el residuo no es de primer grado. Hallar el resto en x − m +1 x + 8x + 2 x + 5 80 77 22. 2 x 5 − 2 x 3 + 3x 2 + 1 entre 2 x 2 − x − 2 1 4 2 3 15. x − x − x entre x n − 2 3 4 5 3 Dividir por el método clásico y por división sintética 9. x 4 − 3x 3 + x 2 − x + 1 entre x 2 − x + 2 14. 2 x 4 − 3x 2 + 3x − 1 entre x − 2 3 3 2 2 5 1 1 11. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 3 3 2 5 1 5 6. El residuo de dividir es : 5 x 2 + 11x + 7 .c si el polinomio x 4 + 3x 3 + ax 2 + bx + c es divisible por x 3 + 2x 2 − x − 2 x 4 + 2 x 3 − m 2 x 2 + mx − m 21. Calcular a. 27. Calcular a + b si la división deja como resto: 2x − 9 5x 2 − x − 2 20.b. Calcular ab si la siguiente división es exacta x 2 + 2x − 5 x 4 − 3x 3 + mx − 2n 18. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 81x 4 − 16 y 4 1024 x 10 − 1 32x 5 + 243y 5 512x 9 + y 9 a) c) e) g) 3x − 2 y 2x − 1 2 x + 3y 2x + y x 5 − 243 16x 2 y 4 − 25m 6 64x 6 − 343y 9 a 18 − b18 b) d) f) h) x −3 4xy 2 + 5m 3 4x 2 − 7 y 3 a 3 + b3 x 21 + 1 ( x + 1) n + 1 ( x 2 − 3) 4 − ( y 2 + 2) 4 ( x 2 − 3) 3 − ( y 2 − 2) 3 i) j) k) l) x3 +1 x x 2 + y2 −1 x 2 + y2 − 5 1.4. FACTORIZACIÖN Factorizar es la transformación de un polinomio en una multiplicación indicada de dos o mas polinomios primos dentro de cierto campo de números Factorizar también significa, convertir una suma algebraica en producto de factores primos. Polinomio primo sobre un conjunto numérico Es aquel polinomio de grado mayor que cero que no admite ser transformado en multiplicación indicada. Todo polinomio primo tiene como únicos divisores a el mismo y a cualquier constante no nula de un cierto campo de números. Un polinomio primo también es denominado polinomio irreductible y factor primo. Ejemplos 1. 3x + 2 es primo en Q, R y C 2. x − 5 2 es primo en Q . No es primo en R 3. x − x + 1 es primo en Q y R . No es primo en C 2 Generalmente trabajaremos en los racionales (Q) salvo que se indique lo contrario. Pero debe tenerse en cuenta lo siguiente: * P ( x ) = ( x 2 + 1)( x 2 − 3)( x + 4)( x − 2) está factorizado en Q . * P ( x ) = ( x 2 + 1)( x + 3 )( x − 3 )( x + 4)( x − 2) está factorizado en R . * P ( x ) = ( x + i)( x − i)( x + 3 )( x − 3 )( x + 4)( x − 2) está factorizado en C . El número de factores primos, como lo hemos visto anteriormente depende del conjunto numérico en el que se trabaje. En el conjunto numérico de los racionales, el número de factores primos se calcula contando los factores basales (que figuran como bases y que contengan a las variables, denominados también factores algebraicos). Así por ejemplo: * P ( x ) = ( x + 3) 2 ( x − 4) 3 tiene 2 factores primos * P ( x ) = x ( x + 2)( x − 2) ( x − 3) 3 2 tiene 4 factores primos * P ( x ) = x y ( x + 3y ) ( x − 2 y) 2 2 5 4 tiene 4 factores primos 28 DAVID GONZÁLES LÓPEZ Métodos para factorizar una expresión algebraica A. Método de factor común B. Método de identidades C. Método del aspa simple D. Regla de Ruffini E. Método de los artificios: a) Cambio de variable o agrupaciones convenientes b) Quita y pon o reducción a diferencia de cuadrados c) Sumas y restas especiales A. Método de factor común Factor común de dos o más expresiones algebraicas es la parte numérica y/o literal que está repetida en dichas expresiones. El método consiste en extraer el o los factores comunes y dejarlos como un producto indicado. El factor común puede ser: • Factor común MONOMIO • Factor común POLINOMIO • Factor común POR AGRUPACIÖN DE TËRMINOS Ejemplo: 1. Factorizar la siguiente expresión: P = 3x 2 y 2 + 6 x 3 y 5 + 12 x 2 y 4 Solución El factor común es 3x 2 y 2 , es un monomio P = 3x 2 y 2 (1 + 2 xy 3 + 4 y 2 ) 2. Factorizar la siguiente expresión: P = 72 x 2 a y b + 48 x a +1 y b +1 + 24 x a y 2 b Solución El factor común es 24 x a y b , es un monomio P = 24 x a y b (3x a + 2 xy + y b ) 3. Factorizar la siguiente expresión: P = ( x + 1) 7 ( x 2 + 1)10 − ( x + 1) 5 ( x 2 + 1)11 Solución El factor común es ( x + 1) ( x + 1) , es un polinomio 5 2 10 [ P = ( x + 1) 5 ( x 2 + 1)10 (x + 1) 2 − ( x 2 + 1) ] P = ( x + 1) 5 ( x 2 + 1)10 ( x 2 + 2 x + 1 − x 2 − 1) P = ( x + 1) 5 ( x 2 + 1)10 ( 2 x ) 4. Factorizar N = a ( x − 1) − b (1 − x ) + cx − c Solución Extrayendo factor común " c" en los dos últimos términos N = a ( x − 1) − b (1 − x ) + c( x − 1) 29 DAVID GONZÁLES LÓPEZ Extrayendo factor común − 1 en el término central N = a ( x − 1) + b ( x − 1) + c( x − 1) Extrayendo factor común ( x − 1) N = ( x − 1)(a + b + c) 5. Factorizar M = a 3 x 3 + a 2 x 2 b + a 2 x 2 c + a 2 x 2 d + abcx + abdx + acdx + bcd Solución Agrupando de dos en dos M = (a 3 x 3 + a 2 x 2 b) + (a 2 x 2 c + abcx ) + (a 2 x 2 d + abdx ) + (acdx + bcd ) Extrayendo factor común en cada paréntesis M = a 2 x 2 (ax + b) + acx (ax + b) + adx (ax + b) + cd (ax + b) Extrayendo factor común (ax + b ) M = (ax + b)(a 2 x 2 + acx + adx + cd ) Agrupando de dos en dos en el segundo paréntesis [ M = (ax + b) (a 2 x 2 + acx ) + (adx + cd ) ] Extrayendo factor común dentro del corchete M = (ax + b)[ax (ax + c) + d(ax + c)] M = (ax + b )(ax + c)(ax + d ) B. Método de identidades Para este caso se utilizará los productos notables en forma inversa; entre los mas importantes tenemos: • Trinomio cuadrado perfecto. Se caracteriza por: - Tener dos términos que son cuadrados perfectos. - El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos. - Los cuadrados perfectos siempre deben tener signo positivo. El trinomio con estas características se reduce a un binomio al cuadrado. Para factorizarlo se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y entre ellas va el signo del segundo término. Forma general : a) x 2 m + 2 x m y n + y 2 n = ( x m + y n ) 2 b) x 2 m − 2 x m y n + y 2 n = ( x m − y n ) 2 Ejemplos: 1. x 2 + xy + y 2 = ( x + y) 2 2. 4 x 4 y 6 − 4 3 x 3 y 3 + 3x 2 = ( 2 x 2 y 3 − 3 x ) 2 • Diferencia de cuadrados. Es una diferencia de dos cuadrados perfectos. Para factorizar se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos y se forma el producto de la suma de las raíces multiplicada por la diferencia de ellas. Forma general : x 2 m − y 2 n = ( x m + y n )( x m − y n ) Ejemplos: 1. x 2 − y 2 = ( x − y)( x + y) 2. 9 x 4 y 2 − 5 y 8 = (3x 2 y + 5 y 4 )(3x 2 y − 5 y 4 ) 30 DAVID GONZÁLES LÓPEZ • Suma o diferencia de cubos Se caracterizan por tener 2 cubos perfectos. luego P = a 4 + b 4 + 2ab(a 2 + b 2 ) + 2a 2 b 2 + a 2 b 2 agrupando adecuadamente P = (a 4 + 2a 2 b 2 + b 4 ) + 2ab(a 2 + b 2 ) + a 2 b 2 Factorizando el trinomio cuadrado perfecto P = (a 2 + b 2 ) 2 + 2ab(a 2 + b 2 ) + a 2 b 2 Toda la expresión es un trinomio cuadrado perfecto P = [ (a 2 + b 2 ) + ab ]2 P = (a 2 + b 2 + ab) 2 3. Factorizar P = m 2 − 4p 2 + 4mn + 4n 2 Solución Agrupando el 1º . para factorizar se recuerda el producto notable Forma general a) x 3m + y 3 n = ( x m + y n ) ( x 2 m − x m y n + y 2 n ) b) x 3m − y 3 n = ( x m − y n ) ( x 2 m + x m y n + y 2 n ) Ejemplos: 1. 8x 3 z 6 − 27 y 9 = ( 2 xz 2 − 3y 3 )( 4 x 2 z 4 + 6 xy 3 z 2 + 9 y 6 ) Otros ejemplos 1. Factorizar E = x ( x 2 + yz) + z( x 2 + y 2 ) − y 3 Solución Efectuando las operaciones indicadas E = x 3 + xyz + x 2 z + y 2 z − y 3 Agrupando adecuadamente E = ( x 3 − y 3 ) + ( xyz + x 2 z + y 2 z) Factorizando los paréntesis E = ( x − y) ( x 2 + xy + y 2 ) + z( xy + x 2 + y 2 ) El factor común es ( x 2 + xy + y 2 ) E = ( x 2 + xy + y 2 )( x − y + z) 31 . x 3 + y 3 = ( x + y) ( x 2 − xy + y 2 ) 2. Factorizar P = a 4 + b 4 + 2ab(a 2 + b 2 ) + 3a 2 b 2 Solución Sabemos que: 3a 2 b 2 = 2a 2 b 2 + a 2 b 2 . 3º y 4º término P = (m 2 + 4mn + 4n 2 ) − 4p 2 Factorizando el paréntesis P = ( m + 2n ) 2 − 4 p 2 Factorizando toda la expresión P = ( m + 2 n + 2p ) ( m + 2n − 2p ) 2. Se descomponen en dos factores el término independiente. Factorizar P = x 3 + x 2 + x − 3 Solución Sabemos que: − 3 = −1 − 1 − 1 . Ejemplos 1. . estos factores se colocan en las puntas de la derecha del aspa. Método del aspa simple Se utiliza para factorizar trinomio de la forma: a) x 2 n ± bx n ± c ó b) ax 2 n ± bx n ± c Para factorizar se hace lo siguiente: . estos factores se colocan en las puntas de la izquierda del aspa. Factorizar F = 8 x 2 + 14 x − 15 Solución F = 8 x 2 + 14 x − 15 4x −3 ⇒ − 6x 2x 5 ⇒ 20 x 14 x La expresión factorizada es: F = 8x 2 + 14 x − 15 = ( 4 x − 3)( 2 x + 5) 2. . DAVID GONZÁLES LÓPEZ 4. luego P = x3 + x2 + x −1−1−1 Agrupando adecuadamente P = ( x 3 − 1) + ( x 2 − 1) + ( x − 1) Factorizando en el 1º y 2º paréntesis P = ( x − 1)( x 2 + x + 1) + ( x − 1)( x + 1) + ( x − 1) El factor común es: ( x − 1) P = ( x − 1)( x 2 + x + 1 + x + 1 + 1) P = ( x − 1)( x 2 + 2 x + 3) C.El término central debe ser igual a la suma de los productos del aspa. incluyendo el signo. Factorizar F = 25 x 4 − 109 x 2 + 36 Solución F = 25x 4 − 109 x 2 + 36 25 x 2 −9 ⇒ − 9x 2 x 2 −4 ⇒ − 100 x 2 − 109 x 2 La expresión factorizada es: F = 25 x 4 − 109 x 2 + 36 = ( 25x 2 − 9)( x 2 − 4) F = 25x 4 − 109 x 2 + 36 = (5x − 3)(5x + 3)( x − 2)( x + 2) 32 .Los factores son las sumas en forma horizontal de los extremos del aspa.Se descompone en dos factores el primer término. . Pasos a seguir . " r" es raíz o cero de P ( x ) ⇔ P ( r ) = 0 Es decir. También. entonces p es divisor exacto de a 0 y q es divisor exacto de a n .Sea P ( x ) un polinomio de grado n (n ≥ 1) . Si el número racional . DAVID GONZÁLES LÓPEZ 3. Regla de Ruffini La regla de Ruffini se basa en el siguiente teorema: Sea P ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + . Factorizar M = (a + b) 2 + (c + 4)(a + b) − 2c 2 + 5c + 3 Solución Extrayendo el signo menos en los tres últimos términos M = (a + b) 2 + (c + 4)(a + b) − (2c 2 − 5c − 3) Aplicando aspa simple en el último paréntesis M = (a + b) 2 + (c + 4)(a + b) − (2c + 1)(c − 3) Aplicando aspa simple en toda la expresión M = (a + b) 2 + (c + 4)(a + b) − (2c + 1)(c − 3) (a + b ) ( 2c + 1) ⇒ (a + b)(2c + 1) (a + b ) − (c − 3) ⇒ (a + b)( − (c − 3)) (c + 4)(a + b ) La expresión factorizada es: M = (a + b) 2 + (c + 4)(a + b) − 2c 2 + 5c + 3 = (a + b + 2c + 1)(a + b − c + 3) Observación Recordemos que: . D. a n ≠ 0 y a 0 ≠ 0 un polinomio de grado n cuyos p coeficientes son enteros. + a 1 x + a 0 . raíz o cero es el valor que anula al polinomio.Determinación de las posibles raíces racionales ( o ceros ) de un polinomio de grado 2 o más: 33 . . podemos decir que la Regla de Ruffini sirve para hallar los divisores binómicos de un polinomio. . Factorizar F = 64 x 12 y 3 − 68 x 8 y 7 + 4 x 4 y 11 Solución El factor común de la expresión es 4 x 4 y 3 F = 4 x 4 y 3 (16 x 8 − 17 x 4 y 4 + y 8 ) Aplicamos aspa simple en el paréntesis y tenemos F = 4 x 4 y 3 (16 x 4 − y 4 ) ( x 4 − y 4 ) Factorizando las diferencias de cuadrados tenemos F = 4 x 4 y 3 (4 x 2 − y 2 )(4 x 2 + y 2 ) ( x 2 − y 2 )( x 2 + y 2 ) Factorizando las diferencias de cuadrados en el primer y tercer paréntesis F = 4 x 4 y 3 (2 x − y)(2 x + y)(4 x 2 + y 2 ) ( x − y)( x + y)( x 2 + y 2 ) 4. expresado en forma irreductible. es una q raíz de P ( x ) . La Regla de Ruffini permite factorizar polinomios de grado 2 o más que acepte factores de primer grado de la forma x ± r ó sx ± r . Luego. Factorizar P ( x ) = x 4 + 3x 3 − x 2 − 5x + 2 Solución Posibles raíces o ceros: PRR = ±1 . ± 4 1 1 −1 −4 4 1 0 −4 2 1 0 −4 0 2 4 −2 1 2 0 −2 1 0 Luego. DAVID GONZÁLES LÓPEZ *Si el polinomio tiene como primer coeficiente la unidad. *Si el coeficiente del primer término es diferente a la unidad. las posibles raíces o ceros estarán dados por los divisores del término independiente con su doble signo. se procede como en el caso anterior y además se consideran las fracciones que resultan de dividir todos los divisores del término independiente entre los divisores del primer coeficiente. a 0 ≠ 0 y n ∈ z + Divisores positivos de a 0 PRR = ± Divisores positivos de a n . . Así: Posibles raíces racionales de un polinomio ( PRR) Dado: P ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + . el polinomio factorizado es igual a: P ( x ) = x 3 − x 2 − 4 x + 4 = ( x − 1)( x − 2)( x + 2) 2. ± 2 1 1 3 −1 −5 2 1 4 3 −2 −2 1 4 3 −2 0 −2 −4 2 1 2 −1 0 El polinomio factorizado es igual a: P ( x ) = x 4 + 3x 3 − x 2 − 5x + 2 = ( x − 1)( x + 2)( x 2 + 2 x − 1) 34 . se utiliza la Regla de Ruffini ( o división sintética) tantas veces como ceros o raíces tenga el polinomio. . ± 2 . + a 1 x + a 0 . Ejemplos: 1. Factorizar P ( x ) = x 3 − x 2 − 4 x + 4 Solución Posibles raíces o ceros: PRR = ±1 . donde a n ≠ 0 . ± 6 . ± . Factorizar P ( x ) = 2 x 5 − x 4 + 2 x 2 − x Solución Factorizamos x en el polinomio y lo expresamos como P ( x ) = x ( 2 x 4 − x 3 + 2 x − 1) Utilizamos la Regla de Ruffini para factorizar en el paréntesis ±1 Posibles raíces o ceros: PRR = ± 1. ± . ± . ± 12 1 1 1 1 1 3 3 PRR = ± 1 . ± 2 . DAVID GONZÁLES LÓPEZ 3. ± 3. ± . ± 3 . ± 2 3 4 6 12 2 4 1 12 20 1 −3 − 2 −6 −7 3 1 12 14 −6 0 3 4 6 3 12 18 0 − 2 − 18 12 0 1 1 3 El polinomio factorizado es igual a P ( x ) = 12 x 3 + 20 x 2 + x − 3 = 12( x + )( x − )( x + ) 2 3 2 También llegamos a factorizarlo de la siguiente manera: 1 Como ( x + ) es factor de P ( x ) 2 2x + 1 2x + 1 Tenemos P ( x ) = ( ) (12 x 2 + 14 x − 6) = ( ) 2(6 x 2 + 7 x − 3) = ( 2 x + 1)(3x − 1)( 2 x + 3) 2 2 4. Factorizar P ( x ) = 12 x 3 + 20 x 2 + x − 3 Solución ± 1. ± 3 Posibles raíces o ceros: PRR = ± 1 . ± . ± . ± 2 1 2 −1 0 2 −1 2 1 0 0 1 −1 2 0 0 2 0 −2 2 −2 2 −2 2 0 35 . ± 4 . ± 2 1 PRR = ± 1 . de tal manera que se obtenga una forma de factorización mas simple por los métodos ya estudiados. Ejemplos 1. Método de los artificios: a) Cambio de variable o agrupaciones convenientes Mediante transformaciones u operaciones adecuadas se pueden lograr expresiones iguales para luego proceder a un cambio de variable. Factorizar F = ( x − 2)( x − 1)( x + 2)( x + 3) + 3 Solución Agrupando adecuadamente y efectuando en la forma indicada se tiene F = [ ( x − 2)(x + 3) ][ ( x + 2)(x − 1) ] + 3 F = ( x 2 + x − 6)( x 2 + x − 2) + 3 Haciendo: x 2 + x = m F( m ) = ( m − 6)(m − 2) + 3 F( m) = (m 2 − 8m + 15) = ( m − 3)( m − 5) Reemplazando y escribiendo en términos de x F( x ) = ( x 2 + x − 3)( x 2 + x + 5) 2. DAVID GONZÁLES LÓPEZ El polinomio factorizado es igual a 1 P( x ) = 2 x 5 − x 4 + 2 x 2 − x = x ( 2 x 4 − x 3 + 2 x − 1) = x ( x − )( x + 1)(2 x 2 − 2 x + 2) 2 También llegamos a factorizarlo de la siguiente manera: 1 Como ( x − ) es factor de P ( x ) 2 1 2x − 1 Tenemos P ( x ) = x ( x − ) (x + 1)( 2 x 2 − 2 x + 2) = x ( ) (x + 1) 2(x 2 − x + 1) 2 2 P( x ) = x ( 2 x − 1) (x + 1)( x 2 − x + 1) E. Factorizar F = ( x 2 + x )( x 2 + 5x + 6) + ( x 2 + 3x + 1) 2 + 1 Solución Expresando en su forma de factores al primer sumando F = x ( x + 1)( x + 2)( x + 3) + ( x 2 + 3x + 1) 2 + 1 Agrupando y efectuando en la forma indicada F = ( x 2 + 3x )( x 2 + 3x + 2) + ( x 2 + 3x + 1) 2 + 1 36 . Factorizar F = 1 + x ( x + 1)( x + 2)( x + 3) Solución Agrupando adecuadamente y efectuando en la forma indicada se tiene F = 1 + [ x ( x + 3) ][ ( x + 1)( x + 2) ] F = 1 + ( x 2 + 3x )( x 2 + 3x + 2) Haciendo: x 2 + 3x = a F(a ) = 1 + a (a + 2) = a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2 Reemplazando y escribiendo en términos de x F( x ) = ( x 2 + 3x + 1) 2 3. sea llegar a una diferencia de cuadrados. y) = ( x + y + 1) 4 − 5( x + y) 2 − 10( x + y) − 1 Solución Haciendo: x + y +1 = m ⇒ x + y = m −1 F( m) = m 4 − 5( m − 1) 2 − 10( m − 1) − 1 F( m) = m 4 − 5m 2 − 10m − 5 − 10m + 10 − 1 = m 4 − 5m 2 + 4 = ( m 2 − 1)( m 2 − 4) F( m) = ( m − 1)(m + 1)(m − 2)(m + 2) Reemplazando y escribiendo en términos de x e y F( x . DAVID GONZÁLES LÓPEZ Haciendo: x 2 + 3x = m F( m) = m( m + 2) + ( m + 1) 2 + 1 = 2m 2 + 4m + 2 = 2( m 2 + 2m + 1) = 2( m + 1) 2 Reemplazando y escribiendo en términos de x F( x ) = 2( x 2 + 3x + 1) 2 4. y ) = ( x + y )( x + y + 2)( x + y − 1)( x + y + 3) b) Quita y pon o reducción a diferencia de cuadrados Consiste en sumar y restar una misma expresión en forma conveniente de modo tal que al hacer agrupaciones. Ejemplos 1. Factorizar F( x ) = x 4 + 4 Solución Sabemos que: ( x + 2) = x + 4 x + 4 2 2 4 2 Quitando y poniendo 4 x 2 F( x ) = x 4 + 4 + 4 x 2 − 4 x 2 F( x ) = ( x 4 + 4x 2 + 4) − 4 x 2 El paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto F( x ) = ( x 2 + 2) 2 − 4 x 2 Por lo tanto la expresión factorizada es: F( x ) = ( x 2 − 2 x + 2)( x 2 + 2 x + 2) 2. el objetivo. Factorizar F( x . y ) = ( x + y + 1 − 1)( x + y + 1 + 1)( x + y + 1 − 2)( x + y + 1 + 2) F( x . Factorizar F( x ) = 25x 4 + 11x 2 + 4 Solución Sabemos que: (5x + 2) = 25x + 20 x + 4 2 2 2 Quitando y poniendo 9 x 2 F( x ) = 25x 4 + 11x 2 + 4 + 9 x 2 − 9 x 2 F( x ) = ( 25x 4 + 20 x 2 + 4) − 9 x 2 El paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto F( x ) = (5x 2 + 2) 2 − 9 x 2 Por lo tanto la expresión factorizada es: F( x ) = (5x 2 − 3x + 2)(5x 2 + 3x + 2) 37 . y) = ( 4 x 4 + 4 x 2 + 1) − ( 4 x 2 − 4 xy 2 + y 4 ) Factorizando ambos paréntesis ( trinomio cuadrado perfecto) F( x ) = (2 x 2 + 1) 2 − ( 2 x − y 2 ) 2 Por lo tanto la expresión factorizada es: F( x ) = ( 2 x 2 − 2 x + 1 + y 2 ) (2 x 2 + 2 x + 1 − y 2 ) c) Sumas y restas especiales Consiste en sumar y restar una expresión en forma conveniente de modo tal que se obtenga por lo general ( x 2 + x + 1) o ( x 2 − x + 1) ambos componentes de una diferencia o suma de cubos. Factorizar F( x ) = a 5 + a − 1 Solución Primera forma Sumamos y restamos a 2 F( x ) = a 5 + a − 1 + a 2 − a 2 Agrupamos en forma adecuada y factorizamos F( x ) = (a 5 + a 2 ) + ( −a 2 + a − 1) F( x ) = a 2 (a 3 + 1) − (a 2 − a + 1) F( x ) = a 2 (a + 1)(a 2 − a + 1) − (a 2 − a + 1) Extrayendo factor común (a 2 − a + 1) la expresión queda factorizada [ F( x ) = (a 2 − a + 1) a 2 (a − 1) − 1 ] 38 . Ejemplos 1. en otros casos se puede buscar otro tipo de expresiones que conduzcan a la factorización del polinomio. y) = 4 x 4 + 4 xy 2 − y 4 + 1 Solución Sabemos que: (2 x + 1) = 4 x + 4 x + 1 2 2 4 2 y (2 x − y 2 ) 2 = 4 x 2 − 4xy 2 + y 4 Quitando y poniendo 4 x 2 F( x . y) = ( 4 x 4 + 4 x 2 + 1) + ( −4 x 2 + 4 xy 2 − y 4 ) F( x . DAVID GONZÁLES LÓPEZ 3. Factorizar F( x . y) = 4 x 4 + 4 xy 2 − y 4 + 1 + 4 x 2 − 4 x 2 Agrupando en forma adecuada F( x . Factorizar F( x ) = x 5 + x + 1 Solución Sumamos y restamos x 2 F( x ) = x 5 + x + 1 + x 2 − x 2 Agrupamos en forma adecuada y factorizamos F( x ) = ( x 5 − x 2 ) + ( x 2 + x + 1) F( x ) = x 2 ( x 3 − 1) + ( x 2 + x + 1) F( x ) = x 2 ( x − 1)( x 2 + x + 1) + ( x 2 + x + 1) Extrayendo factor común ( x 2 + x + 1) la expresión queda factorizada [ F( x ) = ( x 2 + x + 1) x 2 ( x − 1) + 1 ] F( x ) = ( x + x + 1)( x − x + 1) 2 3 2 2. F = x 7 − 2 x 6 + x 4 − 2 x 3 4. DAVID GONZÁLES LÓPEZ F( x ) = (a 2 − a + 1)(a 3 + a 2 − 1) Segunda forma Completando el polinomio sumando y restando: a 4 + a 3 + a 2 F( x ) = a 5 + a − 1 + a 4 + a 3 + a 2 − a 4 − a 3 − a 2 Ordenando convenientemente y factorizando tenemos F( x ) = (a 5 − a 4 + a 3 ) + (a 4 + a 2 − a 3 ) + (a − 1 − a 2 ) F( x ) = a 3 (a 2 − a + 1) + a 2 (a 2 − a + 1) − (a 2 − a + 1) F( x ) = (a 2 − a + 1) (a 3 + a 2 − 1) 3. x 4 . F = 3( m − n ) 2 ( m + n ) − 3( m + n ) 2 ( m − n ) − m( m + n )( m − n ) 39 . Factorizar F( x ) = x 10 + x 8 + 1 Solución Primera forma Haciendo x 2 = m ⇒ F( m) = m 5 + m 4 + 1 Sumando y restando m 2 y luego agrupando F( m) = m 5 + m 4 + 1 + m 2 − m 2 F( m) = m 2 ( m 3 − 1) + ( m 4 + m 2 + 1) Factorizamos m 3 − 1 y m 4 + m 2 + 1 ( Identidad de ARGAND) F( m) = m 2 ( m − 1)(m 2 + m + 1) + ( m 2 + m + 1)( m 2 − m + 1) Luego. F = x 3 − 2 x 2 y + xy 2 − 2 y 3 2. la expresión factorizada es F( m) = ( m 2 + m + 1)( m 3 − m + 1) Reemplazando el valor de m y escribiendo en términos de x F( x ) = ( x 4 + x 2 + 1)( x 6 − x 2 + 1) F( x ) = ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1)( x 6 − x 2 + 1) Segunda forma Completando con: x 6 . F = x 3 − xy 2 + x 2 y − y 3 + x 2 − y 2 5. x 2 F( x ) = x 10 + x 8 + 1 + x 6 + x 4 + x 2 − x 6 − x 4 − x 2 F( x ) = x 10 + x 8 + x 6 + x 4 + x 2 + 1 − x 6 − x 4 − x 2 F( x ) = x 6 ( x 4 + x 2 + 1) + ( x 4 + x 2 + 1) − x 2 ( x 4 + x 2 + 1) F( x ) = ( x 4 + x 2 + 1)( x 6 + 1 − x 2 ) = ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1)( x 6 − x 2 + 1) Ejercicios 06: Factorización Factor común y/o agrupación de términos 1. F = x ( x 2 − y 2 + xz ) − y 2 z 3. F = ( z − x − y )(2a − b ) − ( x + y − z )(a + 2b ) 6. F = x n + p + x n y p + y m x p + y m + p 7. F = x m + a + x m y b + x a y n + y n + b + z p x a + z p y b Identidades 13. F = x 2 a + 4 + 5x a + 4 − 50 x 4 30. F = 6 x 2 + 19 xy + 15 y 2 29. F = 12 x 5 − 8x 4 − 13x 3 + 9 x 2 + x − 1 40 . F = x 3 + 6 x 2 + 11x + 6 36. F = 2 x 5 − x 4 − 10 x 3 + 5 x 2 + 8x − 4 42. F = 12 x 3 + 16 x 2 + 7 x + 1 41. F = 5 x 6 − 14 x 3 − 3 26. F = x 3 + 6 x 2 + 15 x + 14 39. F = x 3 − 3x 2 − x + 3 34. F = m 2 + 2m + mn + n + 1 20. F = (3x + y) 2 − (3y − x ) 2 14. F = x 4 + 3x 3 − 3x 2 + 3x − 4 37. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 8. F = (1 + mx ) 2 − ( m + x ) 2 21. F = 2 x 3 − 5 x 2 − 4 x + 3 40. F = p(q 2 + r 2 ) + q ( r 2 + p 2 ) 9. F = (ax − 3b) 2 − ( bx − 3a ) 2 15. F = 1 + 3a 2 − 3a − a 3 18. F = 12( x − y) 2 + 13( x − y) − 4 28. F = x 5 + 4 x 4 − 10 x 2 − x + 6 38. F = x 6 − x 2 − 8 x − 16 16. F = 8 − 12a 2 − 6a 4 + a 6 22 F = x 2 + 4 xy + 4 y + 2 x + 4 y 2 Aspa simple 23. F = 4a 4 b − 4a 3 b 2 − 24a 2 b 3 27. F = 4 x 2 m + 2 − 4 x m + 2 − 3x 2 32. F = x y y x + xy + x y +1 + y x +1 12. F = ( x − 1) 4 + ( x − 1) 2 − 6 31. F = x 3 + 2 x 2 − x − 2 35. F = 15 x 4 + 2 x 2 − 8 25. F = 3 2 x + 2 − 3 x +1 − 30 Regla de Ruffini 33. F = ( m + 2)(m + 3)(m + 4) + (m + 3)(m + 4) + (m + 4) 11. F = 8 x 2 + 10 x − 3 24. F = mn ( x 2 − y 2 ) + xy ( m 2 − n 2 ) 10. F = x 3 y 2 + y3z 2 − x 3z 2 − y5 19. F = x 7 + a 3x 4 − a 4x 3 − a 7 17. F = x 4 + 2 x 2 + 9 61. F = x 7 + x 5 − 1 68. F = x 8 − 12 x 4 + 16 59. F = ( x 2 + x + 1) 2 + 3x 2 + 3x − 15 52. F = x 4 + 5x 2 y 2 + 49 y 4 64. F = x5 + x4 +1 71. F = ( m + 1) 5 + m 70. F = ( x 2 + x )( x 2 + 5x + 6) + ( x 2 + 3x + 1) 2 + 1 Quita y pon o reducción a diferencia de cuadrados 55. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 43. F = ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) + 1 47. F = x8 − x +1 74. F = x 10 + x 2 + 1 72. F = 30 x 3 + 19 x 2 − 1 Cambio de variable o agrupaciones convenientes 45. F = m 4 + 2m 2 n 2 + 9n 4 58. F = m 4 + m 2 n 2 + n 4 57. F = −10 + x ( x − 3)( x − 2)( x + 1) 50. F = (a + 1) 5 + a + 2 69. F = ( x − 1)( x + 2)( x − 3)( x − 6) + 7 x 2 − 28 x + 1 53. F = ( x + 1) 2 ( x − 3)( x + 5) + 63 49. F = x 4 + x 2 + 1 56. F = x 10 + x 2 − 1 Factorizar y simplificar 41 . F = ( x − 3)( x − 2)( x + 1)( x + 2) − 12 46. F = a 4 b 4 + 64c 4 63. F = a 5 + a + 1 66. F = ( x − 2) 2 ( x 2 − 4 x + 6) − 15 54. F = 8 x 3 − 12 x 2 + 6 x − 65 44. F = x 5 + x − 1 67. F = ( x − 2)( x + 3)( x + 2)( x − 1) + 3 48. F = 4 x 4 + 3x 2 y 2 + y 4 60. F = x 4 + 4 y 4 62. F = m 10 + m 8 + 1 73. F = ( x + 1)( x − 2)( x + 3)( x − 4) + 24 51. F = x 4 + y 4 − 27 x 2 y 2 Sumas y restas especiales 65. ( )2 b a b a b a 42 . E= [ (m + n ) ] 2 + (m − n ) 2 − 4(m 2 − n 2 ) 2 2 (m 2 + n 2 ) 2 − (n 2 − m 2 ) 2 a b a b 2 a b 2 90. DAVID GONZÁLES LÓPEZ ( x + y) 4 − ( x − y) 4 75. E = 4 ( x + x 3 + x 2 )(x 2 − 1) (1 + xy) 2 − ( x + y) 2 84. E = ( + ) 2 + ( − ) 2 − 4 ( )2 . E = x a 2 − b 2 − c 2 − 2bc b 2 − 2bc + c 2 − a 2 a 2 c 2 + a 3 b − b 2 c 2 − ab 3 80. E = (3x + 2)(3x − 4) (3x 3 − 3x )(x 3 − 1) 83. E = ab 2 + ac 2 + bc 2 + a 2 b x6 + x3 − 2 81. E = x4 − x3y − x + y (3x − 1) 3 − 27 x + 9 82. E = x 4 − y4 x 2 − 64 x 2 − 12 x − 64 77. E = z 2 − x ( x − 2 y) − y 2 ( m + n ) 2 ( x + y ) 2 − ( m − n ) 2 ( x − y) 2 87. E = a 2 − ab − b 2 89. E = ( 2 )( ) x − 24 x + 128 x 2 − 4 x − 32 x 2 − xy − y − 1 78. E = (1 + x 2 + x 4 ) 2 − x 4 x ( y 2 + z 2 − x 2 ) + y( z 2 + x 2 − y 2 ) 86. E = 1− x2 (1 + x 2 ) 4 + (1 − x 4 ) 2 85. E = x 2 − xy − 2x + y + 1 a 2 + 2ab + b 2 − c 2 a 2 − 2ac + c 2 − b 2 79. E = mn ( x 2 + y 2 ) + xy(m 2 + n 2 ) a 4 − 3a 2 b 2 + b 4 88. E = 8x 3 y + 8xy 3 ( x + y)(x 3 − y 3 ) + ( x − y)(x 3 + y 3 ) 76. . . x5 + x3 x 3 − 2x + 1 x + y4 . P Notación: . 2 . y ( respecto de y ) x2 + 2 4x 3 + 5 x 2 y2 − 3 Observación Toda fracción algebraica racional impropia se puede convertir en la suma de un polinomio (cociente) con una fracción la cual es propia a través de la división. . FRACCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas racionales en donde al menos una letra o variable figura en el denominador. donde P y Q son polinomios enteros Q Ejemplos x + y 3 x + y 2 x 2 + 3y 4 a −1 . y ( respecto de x ) x4 +1 x4 +1 x3 + y2 B. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 1. . donde es fracción propia R C Q Q Q 3x 3 + 2 x 2 − 3 3x − 1 Ejemplo = (3x + 2) + 2 x −1 2 x −1 C.5. Fracción Heterogeneas Son fracciones que tienen diferente denominador 2x + 3 5x 2x 3 − 5 x2 + 2 .C + R ⇒ =C+ . Fracciónes Homogeneas Son fracciones que tienen el mismo denominador x +3 4x 2 x 3 − 5x + 1 x2 . Fracción impropia Se caracteriza porque el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador . P Así: Sea es una fracción racional impropia Q P Q P R R P = Q. . Fracción propia Se caracteriza porque el grado del numerador es menor que el grado del denominador x3 − 3 x3 − 3 xy 3 + 2 Ejemplos: . x−y x z x−z a+b+c Clases de fracciones Existen las siguientes clases de fracciones algebraicas: A. x 2 −1 x 2 −1 ( x − 1)( x + 1) − (1 − x 2 ) D. 2 x −1 x +1 3x + 2 x +4 43 . . signo del denominador y signo de la fracción. 3x 3x − 1 x −1 x y 7 1+ x+ x+2 2x + 5 3 x 1+ x2 x− 2 x −1 G. o en ambos. ∀x ≠ −3. 5x 4 . Fracción irreductible Son aquellas fracciones que se caracterizan porque en el numerador y denominador aparecen expresiones que no tienen ningún factor común( el numerador y denominador son primos entre sí) es decir no admiten simplificación. F = − = = Q Q −Q +P −P +P −P 3.−4 x + 7 x + 12 x + 4 2 3 1 Así por ejemplo para x = 0 ⇒ = 12 4 4 1 para x = 1 ⇒ = 20 5 F. Fracciones equivalentes Son aquellas que teniendo formas diferentes se caracterizan porque siempre tendrán los mismos valores numéricos. . F = + =− =− =+ +Q +Q −Q −Q 44 . que se caracterizan porque en el numerador de cada fracción siempre esta la unidad. a excepción de aquellos que hagan cero el denominador x +3 1 Ejemplo ≡ . DAVID GONZÁLES LÓPEZ E. para cualquier valor asignado a sus variables. x+3 5 3x Ejemplos . y x . aparecen otras fracciones algebraicas. El cambio de dos signos de una fracción no altera el signo total de la fracción Ejemplos P −P 1. x +1 x x−2 x y − x +1 Ejemplos: x + 2 . F = = Q −Q P −P P 2. x+2 . . Fracciones continuas Es un caso particular de las fracciones complejas. x +1 x 2 Signos de una fracción Toda fracción posee tres signos : signo del numerador. Fracciones complejas o compuestas Se caracterizan porque en su numerador o denominador. 1 Ejemplo 1 x− 1 x− x +1 H. En toda fracción podrán efectuarse tres formas de jugar con los signos y tendremos como resultado otras fracciones equivalentes. G = − =− =+ =+ −Q +Q +Q −Q a−b (b − a ) a−b 5. DAVID GONZÁLES LÓPEZ −P +P −P +P 4.m. Ejemplo x 4 + x 2 + 1 ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1) x 2 + x + 1 Simplificar: F= = = x3 +1 ( x + 1)( x 2 − x + 1) x +1 Operaciones con fracciones . J = = = =1 (b − a )(c − a ) − (b − a )(a − c) (b − a )(a − c) 5 5 5 5 7. Ejemplos 2 3 4x − 7 1. ∀m ≠ 0 b bm b m Simplificación de fracciones Simplificar una fracción es transformarla en otra equivalente e irreductible.Si a los componentes de una fracción se les multiplica o divide por una expresión diferente de cero tendremos como resultado otras fracciones equivalentes. 2−x x−2 2−x x−2 − =+ =+ =− Ejemplo 7−x 7−x x−7 x −7 (1) (2) (3) . es ( x − 3)( x + 2) x − 3 x + 2 x − x − 6 x − 3 x + 2 ( x − 3)( x + 2) 2( x + 2) + 3( x − 3) − (4 x − 7) 2 x + 4 + 3x − 9 − 4 x + 7 x+2 1 M= = = = ( x − 3)( x + 2) ( x − 3)( x + 2) ( x − 3)( x + 2) x − 3 45 .c. a a am m Ejemplo F= = = . tanto numerador y denominador en sus factores primos(factorizarlos) para luego eliminar sus factores comunes. Efectuar y simplificar: M = + − 2 x −3 x +2 x −x −6 Solución 2 3 4x − 7 2 3 4x − 7 M= + − 2 = + − el m.Para sumar o restar fracciones es necesario hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores. K = + = − =0 x −3 3− x x −3 x −3 Observaciones . Para simplificar una fracción se sugiere descomponer. H = =− =− = −1 b−a b−a (a − b ) (a − b)(a − c) − (b − a )(a − c) (b − a )(a − c) 6. c. Efectuar y simplificar: M = − 2 + 3 x −1 x −1 x −1 Solución 2 1 4x 3x 1 4x 3x 2 M= − 2 + 3 = − + x − 1 x − 1 x − 1 x − 1 ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x 2 + x + 1) el m. es 4( x − 1)( x + 1) 6( x − 1) − ( x + 1) + 2 6 x − 6 − x − 1 + 2 5x − 5 5( x − 1) 5 M= = = = = 4( x + 1)( x − 1) 4( x − 1)( x + 1) 4( x − 1)( x + 1) 4( x − 1)( x + 1) 4( x + 1) 4 5 1 4. Efectuar y simplificar: M = − + 12 − 12 x + 3x 2 4( 4 + 4 x + x ) 8 − 2 x 2 2 Solución 4 5 1 M= − − 3( x − 4 x + 4) 4( x + 4 x + 4) 2( x − 4) 2 2 2 4 5 1 M= − − 3( x − 2) 2 4( x + 2) 2 2( x − 2)( x + 2) el m.m.c.c.m. es ( x + 1)( x − 1)( x 2 + x + 1) x 3 + x 2 + x + x 2 + x + 1 − 4x 3 − 4x 2 − 4x + 3x 3 + 3x 2 x 2 − 2x + 1 M= = ( x − 1)( x + 1)( x 2 + x + 1) ( x − 1)( x + 1)( x 2 + x + 1) ( x − 1)( x − 1) x −1 M= = ( x − 1)( x + 1)( x + x + 1) ( x + 1)( x 2 + x + 1) 2 3 1 1 3. es 12( x − 2) 2 ( x + 2) 2 16( x + 2) 2 − 15( x − 2) 2 − 6( x 2 − 4) 16( x 2 + 4x + 4) − 15( x 2 − 4x + 4) − 6x 2 + 24 M= = 12( x − 2) 2 ( x + 2) 2 12( x − 2) 2 ( x + 2) 2 16x 2 + 64x + 64 − 15x 2 + 60x − 60 − 6x 2 + 24 − 5x 2 + 124x + 28 M= = 12( x − 2) 2 ( x + 2) 2 12( x − 2) 2 ( x + 2) 2 46 . Efectuar y simplificar: M = − − 2x + 2 4x − 4 2 − 2x 2 Solución 3 1 1 M= − + 2 2x + 2 4x − 4 2x − 2 3 1 1 3 1 1 M= − + = − + 2( x + 1) 4( x − 1) 2( x − 1) 2( x + 1) 4( x − 1) 2( x − 1)( x + 1) 2 el m.m. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 1 4x 3x 2 2. Simplificar M = ( )( 2 )( ) 3x − 15 x − x − 30 2 x − 4 Solución ( x − 5x + 6)(6x )( x − 25) 2 2 ( x − 3)( x − 2)(6x )( x − 5)( x + 5) x ( x − 3) M= = = (3x − 15)( x − x − 30)(2x − 4) 3( x − 5)( x − 6)( x + 5) (2 ( x − 2)) 2 x −6 5 5 3. Simplificar M = ( x + 3 − )( x − 2 + ) x −1 x+4 Solución 5 5 x + 2x − 8 x 2 + 2x − 3 2 ( x 2 + 2x − 8)( x 2 + 2x − 3) M = (x + 3 − )( x − 2 + )=( )( )= x −1 x+4 x −1 x+4 ( x − 1)( x + 4) ( x + 4)( x − 2)( x + 3)( x − 1) M= = ( x − 2)( x + 3) ( x − 1)( x + 4) . Simplificar M = ( )( ) 14 10 x + 50 Solución 5x + 25 7 x + 7 (5x + 25)(7 x + 7) 5( x + 5) 7( x + 1) x + 1 M=( )( )= = = 14 10 x + 50 14(10 x + 50) 14(10)( x + 5) 4 x 2 − 5x + 6 6x x 2 − 25 2. Ejemplos 5x + 25 7 x + 7 1.Para dividir fracciones. se invierte la fracción del divisor y se procede como en la multiplicación. Simplificar M = ÷ x 2 − 64 x 2 + x − 56 Solución x 3 + 125 x 3 − 5x 2 + 25x x 3 + 125 x 2 + x − 56 ( x 3 + 125)( x 2 + x − 56) M= ÷ = ( ) ( ) = x 2 − 64 x 2 + x − 56 x 2 − 64 x 3 − 5x 2 + 25x ( x 2 − 64)( x 3 − 5x 2 + 25x ) ( x + 5)( x 2 − 5x + 25)( x + 8)( x − 7) ( x + 5)( x + 7) M= = ( x − 8)( x + 8) x ( x 2 − 5x + 25) x ( x − 8) 47 .x)(2x + 6) x ( x 2 − 1) 2( x + 3) M= ÷ = ( )( ) = = 2x 2 + 6x 2x + 6 2 x 2 + 6 x 5x 2 − 5x (2x 2 + 6x )(5x 2 − 5x ) 2x ( x + 3) 5x ( x − 1) x ( x − 1)( x + 1) 2( x + 3) ( x + 1) M= = 2 x ( x + 3) 5x ( x − 1) 5x x 3 + 125 x 3 − 5x 2 + 25x 2. Simplificar M = ÷ 2x 2 + 6 x 2x + 6 Solución x3 − x 5x 2 − 5x x3 − x 2x + 6 ( x 3 . Ejemplos x3 − x 5x 2 − 5 x 1.Para multiplicar fracciones se multiplican numeradores y denominadores entre si. DAVID GONZÁLES LÓPEZ . DAVID GONZÁLES LÓPEZ 2x − 1 x −1 3. Ejemplos 3 x − 1.Se divide el resultado que se obtenga en el numerador entre el resultado que se obtenga en el denominador.Se efectúan las operaciones indicadas en el numerador y denominador de la fracción compleja . simplificar M = x 3 3 1+ x Solución 3 x 9 − x2 Efectuando en el numerador: − = x 3 3x 3 x+3 Efectuando en el denominador: 1 + = x x Dividiendo tenemos 9 − x2 3x = (9 − x ) x = (3 − x )(3 + x ) = 3 − x 2 x+3 3x ( x + 3) 3x ( x + 3) 3x x 12 x −1− 2. Simplificar M = ( x − ) ÷ (x 2 + 1 − ) x +2 2 x Solución 2x − 1 x −1 x 3 + 2 x − 2x + 1 x3 + x − x +1 x3 +1 x3 +1 M = (x − ) ÷ ( x 2 + 1 − ) = ( ) ÷ ( ) = ( ) ÷ ( ) x2 + 2 x x2 + 2 x x2 + 2 x x3 +1 x ( x 3 + 1) x x M=( 2 )( 3 ) = 2 = 2 x + 2 x + 1 ( x + 2)( x + 1) x + 2 3 Simplificación de fracciones complejas Regla . simplificar M = x−2 16 x+6+ x−2 Solución Efectuando en el numerador y denominador tenemos: 12 ( x − 1)( x − 2) − 12 x 2 − 3x − 10 x −1− x−2 = x−2 ( x 2 − 3x − 10)( x − 2) ( x 2 − 3x − 10) M= = 2 x−2 = 2 = 2 16 ( x + 6)( x − 2) + 16 x + 4x + 4 ( x + 4 x + 4)( x − 2) ( x + 4 x + 4) x+6+ x−2 x−2 x−2 ( x − 5)( x + 2) x − 5 M= = ( x + 2)( x + 2) x + 2 48 . el grado del numerador debe ser menor que el grado del denominador. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 1 3. Para descomponer una fracción en fracciones parciales. si no lo fuera. es decir dada una fracción algebraica racional escribirla como una suma de fracciones parciales o simples. x 3 + 2x 2 − 1 4x + 7 Así: = x+2+ 2 x −4 2 x −4 (2) La fracción debe ser una fracción irreductible. es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones: (1) La fracción dada debe ser una fracción propia. de modo que se obtenga un polinomio entero más una fracción propia. 4x 2 + 3x − 5 4x 2 + 3x − 5 Así: = debe tener tres fracciones parciales x 3 + 3x 2 − x − 3 ( x + 1)( x − 1)( x + 3) 49 . se efectúa la división. es decir. simplificar M = 1 1+ 1 1− x Solución Este tipo de fracciones se efectúa de abajo hacia arriba. cuyo denominador es el mínimo común múltiplo de las fracciones dadas. como veremos en el desarrollo 1 1 1 1 1 x −1 M= = = = = = 1 1 x x − 1 + x 2x − 1 2x − 1 1+ 1+ 1+ 1 x −1 x −1 x −1 x −1 1− x x Fracciones parciales Hemos estudiado que dada una suma o resta de fracciones algebraicas racionales se pueden reducir a una sola fracción. Así tenemos: 5 1 5( x + 2) + ( x − 3) 6x + 7 (1) + = = x −3 x +2 ( x − 3)( x + 2) ( x − 3)( x + 2) 3 x 3( x − 1) − x 2x − 3 (2) − = = x − 1 ( x − 1) 2 ( x − 1) 2 ( x − 1) 2 2 1 2 2x ( x 2 − x + 1) + x ( x + 1) − 2( x + 1)( x 2 − x + 1) − x 2 + 3x − 2 (3) + 2 − = = x +1 x − x +1 x x ( x + 1)( x 2 − x + 1) x ( x + 1)( x 2 − x + 1) En algunos casos es necesario realizar el proceso inverso. Por lo general el número de factores del denominador da el número de fracciones simples o parciales en que se descompone la fracción dada. si no lo fuera. x2 + x − 2 ( x − 1)( x + 2) x+2 Así: = = 2 ( x − 1)( x + x − 6) ( x − 1)( x + x + 6) x + x − 6 2 2 (3) La fracción dada debe tener como denominador un polinomio que pueda ser factorizado. se realiza la simplificación. a este proceso se le llama descomposición de una fracción en suma de fracciones parciales. donde A1 y A 2 son las constantes a determinar. A 3 .Para cualquier factor lineal ( x ± a ) que se presenta dos veces ( x ± a ) 2 en el denominador. donde A1 . [ . A 2 y A 3 son las constantes a determinar x ± a (x ± a) 2 (x ± a) 3 [ . A 2 . donde A1 . x + ax + b 2 Cuarto caso: Denominador con factores de segundo grado repetidos. corresponde dos fracciones parciales de la forma: A 1 x + B1 A 2 x + B2 y . y .Si ( x 2 + ax + b) se presenta tres veces ( x 2 + ax + b) 3 en el denominador. A 2 . corresponde una fracción parcial de la forma: A .Para cualquier factor cuadrático ( x 2 + ax + b) que se presenta dos veces ( x 2 + ax + b) 2 en el denominador. [ ] . donde A1 .…. A n son las constantes x ± a (x ± a) 2 (x ± a) 3 (x ± a) n a determinar Tercer caso: Denominador con factores de segundo grado no repetidos. . Para cada factor de primer grado diferente de la forma ( x ± a ) en el denominador.Si ( x ± a ) se presenta tres veces ( x ± a ) 3 en el denominador. . x±a Segundo caso: Denominador con factores de primer grado repetidos. corresponde tres fracciones parciales de la forma: A 1 x + B1 A 2 x + B2 A 3 x + B3 . x + ax + b 2 ( x 2 + ax + b) 2 [ ] . B1 y B 2 son las constantes a determinar. B 2 y B3 son las x + ax + b ( x + ax + b) 2 2 2 ( x 2 + ax + b) 3 constantes a determinar.Si ( x ± a ) se presenta n veces ( x ± a ) n ] en el denominador. donde A es una constante a determinar. corresponde una fracción parcial de la forma: Ax + B . corresponde n fracciones parciales de la forma: A 1 x + B1 A 2 x + B2 A 3 x + B3 A n x + Bn . donde A1 . B1 . [ ] . … . corresponde dos fracciones parciales de la forma: A1 A2 y .…. y . corresponde n fracciones parciales de la forma: A1 A2 A3 An . . donde A y B son constantes a determinar. . . x±a (x ± a) 2 [ ] . DAVID GONZÁLES LÓPEZ En la descomposición de fracciones parciales se presentan los siguientes casos: Primer caso: Denominador con factores de primer grado no repetidos. A 2 . Para cada factor cuadrático diferente de la forma ( x 2 + ax + b) en el denominador.Si ( x 2 + ax + b) se presenta n veces ( x 2 + ax + b) n ] en el denominador. x + ax + b ( x + ax + b) 2 2 2 ( x + ax + b) 2 3 ( x 2 + ax + b) n 50 . A 3 . corresponde tres fracciones parciales de la forma: A1 A2 A3 . Los factores lineales que aparecen en el denominador de las fracciones a descomponer pueden ser de la forma (ax ± b ) con a ≠ 1 . B1 . B3 . A n . A 2 . …. Descomponer en fracciones parciales: 2 x + 5x − 3 2 Solución Factorizando el denominador 5x − 6 5x − 6 = 2 x + 5x − 3 (2 x − 1)( x + 3) 2 Como se tiene en el denominador dos factores lineales no repetidos. Descomponer en fracciones parciales: x −x−6 2 Solución Factorizando el denominador 6x + 7 6x + 7 = x − x − 6 ( x − 3)( x + 2) 2 Como se tiene en el denominador dos factores lineales no repetidos. Efectuando en el segundo miembro 6x + 7 A ( x + 2) + B( x − 3) = x −x −6 2 x2 − x − 6 Quitando denominador tenemos 6 x + 7 = A ( x + 2) + B( x − 3) Aplicando criterio de polinomios idénticos y dando valores convenientes a x para hallar las constantes A y B tenemos: Para x = −2 se tiene 6( −2) + 7 = −5B ⇒ B = 1 Para x = 3 se tiene 6(3) + 7 = 5A ⇒ A=5 6x + 7 5 1 Luego = + x −x −6 x −3 x +2 2 5x − 6 2. B n son las constantes a determinar. a cada uno le corresponde una fracción simple. DAVID GONZÁLES LÓPEZ donde A1 . entonces: 51 . a cada uno le corresponde una fracción simple. . entonces: 6x + 7 A B = + x −x −6 x −3 x +2 2 donde A y B son independientes de x cuyos valores debemos hallar.Los factores cuadráticos que aparecen en el denominador de las fracciones a descomponer pueden ser de la forma (ax 2 + bx + c) con a ≠ 1 . A 3 . Ejemplos 6x + 7 1. B 2 . …. cuyos valores se calculan utilizando las condiciones de los polinomios idénticos ( dando valores adecuados a la variable) Observación . luego se tendrán dos fracciones parciales 4x + 7 A B = + ( x − 2)( x + 2) x − 2 x + 2 Efectuando en el segundo miembro 4x + 7 A ( x + 2) + B( x − 2) = ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) Quitando denominadores tenemos 4 x + 7 = A ( x + 2 ) + B( x − 2 ) Damos valores a x para determinar A y B 1 Para x = −2 se tiene 4( −2) + 7 = −4B ⇒ B= 4 15 Para x = 2 se tiene 4( 2) + 7 = 4A ⇒ A= 4 4x + 7 15 / 4 1 / 4 15 1 Luego = + = + ( x − 2)( x + 2) x − 2 x + 2 4( x − 2) 4( x + 2) 52 . Descomponer en fracciones parciales x2 − 4 Solución Por ser la fracción impropia. efectuamos la división y tenemos x 3 + 2x 2 − 1 4x + 7 = x+2+ 2 x −4 2 x −4 4x + 7 Ahora descomponemos en fracciones parciales la fracción propia x2 − 4 Factorizando el denominador 4x + 7 4x + 7 = x − 4 ( x − 2)( x + 2) 2 El denominador tiene dos factores lineales no repetidos. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 5x − 6 A B = + 2 x + 5x − 3 2 x − 1 x + 3 2 Efectuando en el segundo miembro 5x − 6 A ( x + 3) + B( 2 x − 1) = 2 x + 5x − 3 2 2x − 1 Quitando denominadores tenemos 5x − 6 = A ( x + 3) + B(2 x − 1) Damos valores a x para determinar A y B Para x = −3 se tiene 5(−3) − 6 = −7 B ⇒ B=3 1 1 7 Para x = se tiene 5( ) − 6 = A ⇒ A = −1 2 2 2 5x − 6 −1 3 Luego = + 2 x + 5x − 3 2 x − 1 x + 3 2 x 3 + 2x 2 − 1 3. Descomponer en fracciones parciales: 3x ( x − 1) 2 Solución El denominador presenta un factor de primer grado no repetido y otro repetido. B y C . DAVID GONZÁLES LÓPEZ x 3 + 2x 2 − 1 4x + 7 15 1 Finalmente = x+2+ 2 = x+2+ + x −4 2 x −4 4( x − 2) 4( x − 2) 4 x 2 − 15x + 8 4. 4 x 2 − 15x + 8 A B C = + + x − 3x + 4 x + 1 ( x − 2) ( x − 2) 2 3 2 Desarrollando en el segundo miembro 4 x 2 − 15x + 8 A( x − 2) 2 + B( x + 1)( x − 2) + C( x + 1) = x 3 − 3x 2 + 4 ( x + 1)( x − 2) 2 Aplicando criterio de polinomios idénticos y dando valores convenientes a x . Para x = 2 se tiene 4( 2) 2 − 15( 2) + 8 = 3C ⇒ C = −2 Para x = −1 se tiene 4( −1) 2 − 15( −1) + 8 = 9A ⇒ A=3 Para x = 2 se tiene 4(0) − 15(0) + 8 = 4A − 2B + C ⇒ 2 B =1 4 x 2 − 15x + 8 3 1 2 Luego = + − x − 3x + 4 x + 1 ( x − 2) ( x − 2) 2 3 2 x2 + 5 5. B y C tenemos: Para x = 0 se tiene 5 = A Para x = 1 se tiene 1 + 5 = C ⇒ C=6 53 . Descomponer en fracciones parciales: x 3 − 3x 2 + 4 Solución Factorizando el denominador 4 x 2 − 15x + 8 4 x 2 − 15x + 8 = x 3 − 3x 2 + 4 ( x + 1)( x − 2) 2 El denominador presenta un factor de primer grado no repetido y un factor de primer grado repetido dos veces. hallamos las constantes A . entonces se establece: x2 + 5 1 A B C = + + 2 3x ( x − 1) 2 3 x x − 1 ( x − 1) También se puede escribir x2 + 5 A( x − 1) 2 + Bx( x − 1) + Cx = x ( x − 1) 2 x ( x − 1) 2 Eliminando denominador tenemos x 2 + 5 = A ( x − 1) 2 + Bx ( x − 1) + Cx Aplicando criterio de polinomios idénticos y dando valores convenientes a x para hallar las constantes A . por lo cual corresponden tres fracciones parciales. Transformar en fracciones parciales: ( x 2 + x + 1)( x 2 + 3) Solución El denominador presenta dos factores cuadráticos diferentes. B = −1 y C = −5 x 2 − 4x − 1 2 −x −5 2 x+5 Luego = + 2 = − 2 ( x − 1)( x − 3) x − 1 x − 3 x − 1 x − 3 2 3x 3 + 6 x − 1 7. B y C de dos formas Primera forma Para x = 1 se tiene − 4 = −2A ⇒ A = 2 Para x = 0 se tiene − 1 = −3A − C ⇒ C = −5 Para x = 2 se tiene − 5 = A + 2B + C ⇒ B = −1 Segunda forma x 2 − 4 x − 1 = A ( x 2 − 3) + (Bx + C)( x − 1) x 2 − 4 x − 1 = (A + B) x 2 + (− B + C) x − 3A − C Por identidad de polinomios igualamos los coeficientes de los términos de igual grado A + B =1 …… ( I ) − B + C = −4 …… ( II ) − 3A − C = −1 ….. 54 . DAVID GONZÁLES LÓPEZ Para x = 2 se tiene 4 + 5 = A + 2B + 2C ⇒ B = −4 x2 + 5 1 5 −4 6 5 4 2 Luego = + + 2 = − + 3x ( x − 1) 2 3 x x − 1 ( x − 1) 3x 3( x − 1) ( x − 1) 2 x 2 − 4x − 1 6. por lo tanto le corresponde dos fracciones parciales. se originan las siguientes fracciones parciales x 2 − 4x − 1 A Bx + C = + 2 ( x − 1)( x − 3) x − 1 x − 3 2 Efectuando en el segundo miembro x 2 − 4x − 1 A( x 2 − 3) + (Bx + C)( x − 1) = ( x − 1)( x 2 − 3) ( x − 1)( x 2 − 3) Eliminando denominadores tenemos x 2 − 4 x − 1 = A ( x 2 − 3) + (Bx + C)( x − 1) Hallamos los valores de A . ( III ) Resolviendo se obtiene A = 2 . Transformar en fracciones parciales: ( x − 1)( x 2 − 3) Solución Por tener el denominador un factor de primer grado y uno de segundo grado. ( β ) De ( α ) y ( β ) : A = 2 . por lo cual corresponde dos fracciones parciales. A+C=3 …… ( I ) B + C + D = 0 …… ( II ) 3A + C + D = 6 …… ( III ) 3B + D = −1 …… ( IV ) ( III ) − ( II) miembro a miembro 3A − B = 6 ….. Descomponer en fracciones parciales: x 4 + 4x 2 + 4 Solución Factorizando el denominador 5x 3 − 3x 2 + 12x − 7 5x 3 − 3x 2 + 12x − 7 = x 4 + 4x 2 + 4 ( x 2 + 2) 2 El denominador tiene un factor de segundo grado repetido dos veces.. Para x 3 se tiene A = 5 Para x 2 se tiene B = −3 55 . ( α ) ( I ) + ( IV ) : A + 3B + C + D = 2 ⇒ A + 2B = 2 …. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 3x 3 + 6x − 1 Ax + B Cx + D = 2 + 2 ( x + x + 1)( x + 3) x + x + 1 x + 3 2 2 Efectuando en el segundo miembro 3x 3 + 6 x − 1 (Ax + B)( x 2 + 3) + (Cx + D)( x 2 + x + 1) = ( x 2 + x + 1)( x 2 + 3) ( x 2 + x + 1)( x 2 + 3) Eliminando denominadores 3x 3 + 6 x − 1 = (Ax + B)( x 2 + 3) + (Cx + D)( x 2 + x + 1) 3x 3 + 6 x − 1 = (A + C) x 3 + (B + C + D) x 2 + (3A + C + D) x + (3B + D) Por identidad de polinomios igualamos los coeficientes de los términos de igual grado. 5x 3 − 3x 2 + 12x − 7 Ax + B Cx + D = 2 + x 4 + 4x 2 + 4 x + 2 ( x 2 + 2) 2 Efectuando en el segundo miembro 5x 3 − 3x 2 + 12x − 7 (Ax + B)( x 2 + 2) + (Cx + D) = x 4 + 4x 2 + 4 ( x 2 + 2) 2 Quitando denominadores 5x 3 − 3x 2 + 12 x − 7 = (Ax + B)( x 2 + 2) + (Cx + D) 5x 3 − 3x 2 + 12 x − 7 = Ax 3 + Bx 2 + (2A + C) x + 2B + D Por identidad de polinomios igualamos los coeficientes de los términos de igual grado. B = 0 En ( I ) : C = 1 En ( II ) : D = −1 3x 3 + 6x − 1 2x x −1 Finalmente = 2 + 2 ( x + x + 1)( x + 3) x + x + 1 x + 3 2 2 5x 3 − 3x 2 + 12 x − 7 8. F = + 3xy 5x 2 y 2 3 x + 2 x2 + 2 4. F= 2 + + m − 1 2m + 2 4 m − 4 x +1 x+4 x+5 13. F = + + xy xy 3 x2y2 7x y − 2x 4xy + 2 y 2 − 12x 2 10. F = + + 5 2x 6x 2 1 2 7 5. F = + + xy ya ax 2 x 2 + x − 3 x 2 + 3x + 2 8. F = − − 2x + 2 x − 1 4 − 4x 1− x x + 2 1 6. DAVID GONZÁLES LÓPEZ Para x se tiene 2A + C = 12 ⇒ C = 2 Para x 0 se tiene 2B + D = −7 ⇒ D = −1 5x 3 − 3x 2 + 12 x − 7 5x − 3 2x − 1 Luego = 2 + 2 x + 4x + 4 4 2 x + 2 ( x + 2) 2 Ejercicios 07: Fracciones algebraicas Efectuar y simplificar x − 1 2 x 3x + 4 1. F = − 2 x 2 −1 x + 2x + 1 1 y −a 2 2 xy + y 2 9. F = + 2 + 2 2x x 3x x − y y − a 2a − x 7. F = + + 12 15 30 x + 3y x y − 4xy 2 2 3. F= − 2 + 12a − 8 6a − 7a + 2 16a − 8 y 1 2 15. F = − − 3( x + y) x − y 3( y 2 − x 2 ) 2 3 4x − 7 11. F = + + 3 6 12 x − y 2x + y y − 4x 2. F= + − 2 x −3 x +2 x −x −6 m+3 m −1 m−4 12. F= 2 − 2 + 2 x − x − 20 x − 4 x − 5 x + 5x + 4 a a2 2a 14. F = + 2 − x +1 x − x +1 x +1 3 56 . F= 2 + − 2 y − y − 2 14 − 5 y − y 2 y + 8y + 7 x3 x +3 x −1 16. DAVID GONZÁLES LÓPEZ x+y 1 3x 2 17. F = 35. F = ( − x )(2 x − ) ÷ ( − x) x − 1 x + 1 x − 1 x 3 + 6 x 2 y + 9 xy 2 4x 2 − y 2 x 3 + 27 y 3 25. F = n m 32. F= + 2 − 2 x − 5 x − 10 x + 25 x − 25 1− x2 x2 6x 19. F = − + x 2 − xy + y 2 x + y x 3 + y 3 1 1 x 18. F = x+y x x y−x 1 + − x−y y y x−y x − xy 2 57 . F= − − 9−x 2 9 + 6x + x 2 9 − 6x + x 2 3 x x −3 3x − 1 20. F= + + ( x − y)( x − z) ( y − x )( y − z) (z − x )(z − y) 1 1 x 1 1 2 x2 22.x2 (x + 3) 2 − 3x (x 2 + 3x ) 2 Simplificar las siguientes fracciones complejas 1 x y 4 x2 − − x−4+ x y x x 27. F = ( ) ( ) ÷ ( ) 9 . F = 29. F = ( + − ) (a + b + x) ÷ ( 2 + 2 + − 2 2 ) a b ab a b ab a b x 2 − xy x 2 − y2 x 2 − 2 xy + y 2 23. F = ( ) ( ) 2 ÷ ( ) 2x y + 7 xy + 3y 8x − 2 xy − y 16x 2 + 8xy + y 2 2 2 3 2 (x 2 − 3x ) 2 27 − x 3 x 4 − 9x 2 26. F = 28. F = ( )÷( 2 ) ÷ ( ) xy + y x + 2 xy + y 2 x 2 y + xy 2 2 x+3 x2 2x 24. F = 1 y 2 1− 1+ 1− x x x 14 m2 n 2 1− x x +5− − x+ 30. F = 34. F= − − 2 + x + 1 1 − 2x + x 2 x − 1 ( x − 1) 2 ( x + 1) a+x a+y a+z 21. F = 1+ x 8 7 1 1 n 1− x 1+ + 2 + + 2 1− x ( ) x x n m m 1+ x x y x2 1 y2 y x − + ( + + 1) ( 3 ) x−y x+y y3 x x 2 x x − y3 33. F = x 31. ( n − 1) fracciones. 56. Indicar el m+x m + 2x m + 3x numerador de la fracción resultante. x − 4 x 2 − 5x x ( x − 3) 2 x 4 + 2x − 1 x 2 − 4x − 5 51. F = ( m − 11 2 39. ( x + 1) 3 ( x − 1) 5 58 . F = b ab − b + 1 38. 52. F = 8y 3 − y 3 2y m2 −1 m 2 − 4m − 5 ( 3 )( − 1) 8x + y 3 y . DAVID GONZÁLES LÓPEZ 1 1 + 36. x3 − x2 ( x 2 + 3)( x − 1) 3x 3x 3 − x 2 + 5 53.2x m 2 − 36 Resolver x 20 + x 10 + 1 x 20 + 2 x 15 + x 10 − 1 41. Simplificar F = x 3 + 2x 2 − 2x − 1 x x x 46. Reducir a su mínima expresión F = 10 + dando luego la x − x5 +1 x 10 + x 5 + 1 suma de coeficientes de la expresión resultante. 4( x + 1)( x 2 − 5x + 6) x4 − x2 − 2 x 2 − 2x + 3 2 x 4 − 5x 3 + 4 x 2 + 2 55. 48. Si se verifica que: + + = 0 la fracción se reduce a : x−y y−z z−x xy + yz + zx x ( x + 1)( x + 2)( x + 3) + 1 45. x y x x x 42. x +x −6 2 x − 4 x − 12 2 5x − 12 x 2 + 10x − 36 49. simplificar la siguiente fracción : E = a 4 + b4 + c4 1 1 1 x 2 + y2 + z2 44. Luego de simplificar: (1 + )(1 + )(1 + ). Si + =2 hallar E = ( ) 2 + ( ) 3 + ( ) 4 y x y y y (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 43. 54. 3 50. Sabiendo que a + b + c = 0 .. F = x − 1 37. F= x −1 ÷ x +1 1 1 1 1 1 1− 1+ b+ 1− 2− 1 ab a 1 1 1− 1+ 1− 1− x x x 12xy m 2 − 8m + 7 3+ 4x − 2xy + y 2 2 m + 30 ) ÷ ( m − m − 42 ) 2 40.. Descomponer en fracciones parciales 8x − 1 x + 34 47. (−3) 4 = ( −3)( −3)( −3)( −3) = 81 Radicación La radicación es la operación que consiste en hacer corresponder dos números llamados índice y radicando con un tercer número llamado raíz. el cuál es único en R . − 3 = −(3)(3)(3)(3) = −81 4 6. ( − m) 3 = (− m)( − m )( − m ) 2 2 2 2 5. . x −1 3 x + x2 +1 4 1. Así: a n = (a ) . n ∈ R Ejemplos: 1. TEORÍA DE EXPONENTES Tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos.6. La operación que permite la presencia del exponente es la potenciación. Observación Regla de signos: * ( + a ) par = ( + ) * (+ a ) impar = ( + ) * (−a ) par = ( +) * ( −a ) impar = ( −) . Así: n a = b ⇔ b n = a . n : exponente y a n = P : Potencia 144424443 n factores Además a ∧ P ∈ R . 2 7 = ( 2)( 2)( 2)( 2)( 2)( 2)(2) = 128 144424443 7 factores 2. n ∈ N ∧ n ≥ 2 Donde: : símbolo del radical n : índice a : radicando o cantidad subradical b : raíz enésima Además tener en cuenta que n a existe como número real ⇔ a ≥ 0 y n es número par. donde a : base .Radicación − a = número complejo par + a = (+) par * * + a = (+) − a = ( −) impar impar * * 59 . y = ( y)( y)( y)( y)( y) 5 1 1 1 1 4. 58. la cual se define así: Potenciación Es la operación matemática que consiste en repetir un número llamado base tantas veces como factor.( a ) . DAVID GONZÁLES LÓPEZ 1 1 57. (a ) = P . al resultado de esta operación se le denomina potencia. . 5 = (5)(5)(5)(5) = 625 4 14243 4 factores 3. como lo indica otro llamado exponente.( a ) . y como exponente se escribe la suma de los exponentes. y como exponente se escribe la diferencia de los exponentes. x 8 x 4 x −3 x 5 x −7 = x 8+ 4 −3+ 5−7 = x 7 3. teoremas y notas referidas a las operaciones de potenciación y radicación. operaciones y transformaciones que se pueden realizar con los exponentes. 3 = 35−3 = 3 2 = 9 3 2 x + 2 . 42 = 42 = 42 = 16 0 0 0 5. son aquellas definiciones. el signo menos no resulta afectado por el exponente.Producto de potencias de igual base: a m a n = a m + n Se escribe la misma base.x ) 2 . ( −5) 3 ( −5) 2 ( −5) 6 = ( −5) 3+ 2 + 6 = (−5)11 = −511 5. − 2 = x 7 −( −2 ) = x 7 + 2 = x 9 x 35 3. ( − x ) 2 ( − x ) 4 ( − x ) 6 = ( − x ) 2 + 4+ 6 = ( − x )12 = x 12 6. .Cociente de potencias de igual base: n = a m − n . 3 4 3 5 3 −3 3 −2 = 3 4 +5−3− 2 = 3 4 = 81 4. 5 = x 8 −5 = x 3 x x7 2. ∀a ≠ 0 a Se escribe la misma base. Así por ejemplo − x 2 no significa (− x ) 2 . Si no existe el paréntesis. DAVID GONZÁLES LÓPEZ Leyes de exponentes Es el conjunto de definiciones y teoremas que estudian a las diferentes relaciones. 2 3 + 5 7 − 4 3 = 2 + 5 − 4 = 3 60 .2 x + 3 2 x + 2 + x + 3 2 2 x + 5 4. es igual a la unidad. − 3 0 = −1 3. pero (− x ) 3 es lo mismo que − x 3 . con exponente cero. 5 n −3 5 2 n +1 5 n + 3 = 5 n −3+ 2 n +1+ n + 3 = 5 4 n +1 Observación (− x ) 2 debe interpretarse como (−1.Potencia de exponente cero: a 0 = 1 . ( −3) 0 = 1 80 1 4. 3 0 = 1 2. ∀a ≠ 0 Toda cantidad diferente de cero. Ejemplos: 1. Ejemplos: 1. También podemos decir. = 2 x +1 = 2 x +1 = 2 2 x +5− ( 2 x +1) = 2 2 x + 5− 2 x −1 = 2 4 = 16 2 2 x +1 2 2 . Ejemplos: x8 1. x 7 x 3 = x 10 2. am . ( x y) 4 = x 4 y 4 2. x −3 = x3 1 2. 2 −1 = = 0.5 2 −2 a b3 b3 5.0 − n : no definido ( n ∈ N ) .Potencia de un producto: (a b) n = a n b n Para efectuar se eleva cada factor a dicha potencia Ejemplos: 1. = 5 y y n 8n 8 2.25 2 b 2 a a Observación .Potencia de un cociente: = n . x 3 y 3 z 3 = ( x y z ) 3 3. ( 3 xy ) 2 = ( 3 ) 2 x 2 y 2 = 3x 2 y 2 n a an . 4 x ⋅ 2 x ⋅ 3 x = ( 4 ⋅ 2 ⋅ 3) x = 24 x 1 1 1 4. n = = 2 n 4 4 61 . ∀a ≠ 0 an Toda cantidad diferente de cero elevada a un exponente negativo es igual a una fracción cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es igual a la misma expresión pero con exponente hecho positivo. 2 − 2 −3 = 2 2 = 0. Ejemplos 1 1.Potencia de exponente negativo: a − n = . DAVID GONZÁLES LÓPEZ 1 6. (3 ⋅ 2) − 2 = 3 − 2 ⋅ 2 − 2 = 2 2 = = 3 2 (9)(4) 36 5. 5 = x −5 x a −3 a 5 3. −5 = 3 a a 1 4. ( − ) 0 + 2 0 − 3 0 + ( 5 ) 0 = 1 + 1 − 1 + 1 = 2 2 1 .0 0 : Indeterminado ó 0 0 : no definido en R . ∀b ≠ 0 b b Para efectuar se eleva tanto el numerador como el denominador a dicha potencia Ejemplos: 5 x x5 1. Ejemplos: −3 3 2 3 33 27 1.Potencia de una potencia: (a m ) n = a m⋅n = a n ⋅m = (a n ) m Para realizar esta operación se escribe la misma base y se eleva a un exponente igual al producto de los exponentes. . + + = + + = 4 + 27 + 64 = 95 2 3 4 1 1 1 . = = = 3z (3) 2 2 z 9 z 2 9z 2 −n n a b bn . Ejemplos 5 1. (5 2 ) −1 / 2 = 5 −1 = 5 [ 3. ( x −2 ) −3 ] 4 = x 24 Observación {[ (a ) ] } = a m n p q mnpq m .Potencia de un cociente de exponente negativo: = = n . b ≠ 0 b a a Para efectuar. 5 3− 2 = 3 −2 / 5 = 2/5 = = 5 3 5 3 2 9 8 3. 3 x =x 5 3 1 1 1 2. Ejemplos 1.Raíz de una potencia: a = a n m n Para extraer la raíz de una potencia se escribe la misma base. (2 3 ) 2 = 2 6 = 64 1 2. 4 4 8 = 4 = 4 2 = 16 4 3 1 4. 2 y = = = = 8x 82 x 2 64 x 2 32 x 2 −2 −3 −4 2 3 4 1 1 1 2 3 4 3. y como exponente la división del exponente de la potencia entre el índice del radical. 6 23 = 2 6 = 2 2 = 2 62 . se invierte el cociente y la potencia se transforma en positiva y se procede como en el caso anterior. ∀ a. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 2 2 5 xy (2) 2 ( 5 ) 2 x 2 y 2 4(5) x 2 y 2 20 x 2 y 2 3. = = 3 = 3 2 2 8 −2 2 8x 2 y ( 2 )2 y2 2y 2 y2 2. 4 = = = 4 y8 4 y8 y8 / 2 y 5 x 20 y 35 5 x 20 y 35 x 20 5 y 35 x 20 / 4 y 35 / 5 3.Raíz de un cociente: n = . 4 = = 625 625 5 . y 3 / 5 z 3 / 5 = ( yz) 3 / 5 = 5 y 3 z 3 . 4 1/ 2 = 4=2 2. Ejemplos 63 . 5 = = = = x 5 y 7 z −3 z 15 5 z 15 5 z15 z 15 / 3 4 16 16 2 4. 5 x 10 y 25 z 5 = 5 x 10 5 y 25 5 z 5 = x 10 / 5 y 25 / 5 z 5 / 5 = x 2 y 5 z 3. 5 = y 5 y x 4 x x1/ 4 x1/ 4 2. Ejemplos 1.Raíz de un producto: n a b = n a n b Para efectuar se extrae la raíz de cada factor Ejemplos 1.Raíz de una raíz: m n a = m n a Para realizar esta operación se escribe una raíz cuyo índice es el producto de los índices de las raíces.Potencia de una raíz: n a = n am ( ) m Para efectuar se eleva la cantidad subradical al exponente de la potencia Ejemplos 1. (abc ) = 3 3 4 5 6 3 (a 3 b 4 c 5 ) 6 = 3 a 18 b 24 c 30 = a 18 / 3 b 24 / 3 c 30 / 3 = a 6 b 8 c10 . 4 a 2 b8c 4 = 4 a 2 4 b8 4 c 4 = a 2 / 4 b8 / 2c 4 / 4 = a1/ 2 b 4c n a a . 3 x2 y = 3 x2 3 y = x 2 / 3 y1 / 3 2. (8 ) 2 1/ 3 = 3 8 2 = (3 8 ) 2 = 2 2 = 4 3. ( x) 4 2 = 4 x 2 = x 2 / 4 = x1/ 2 2. DAVID GONZÁLES LÓPEZ m . ∀b ≠ 0 b n b Se extrae la raíz tanto del numerador como del denominador Ejemplos 5 x x 1.Exponente fraccionario: a = n a m n Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es igual al denominador del exponente fraccionario y cuya cantidad subradical es la misma cantidad elevada a un exponente igual al numerador del exponente fraccionario. 3 x2 = x 2 (5 ) = 15 x 10 3. En estas ecuaciones la incógnita figura en el exponente o en la base. 2 = 4 22 = 4 4 3(5 ) 2. Ley de bases iguales a x = a y ⇒ x = y . x 2 4 x3 x = 4 x 2 ( 4) x 3 x = 4 x 11 x = 8 x 11( 2 ) x = 8 x 23 Observación (a m+ b) p+c p xc = x n m xa xb nmp Ejemplo ( 2 (3)+ 4 ) 2 +5 =x = x 25 / 30 = x 5 / 6 5 2 3 4 5 ( 5 )( 3)( 2 ) x x x . ∀a ≠ 0 64 . 2 3 = (2 2 )3 = (4)3 = 12 2. 3 4 3x 2 = 4 (3 4 )(3) x 2 = 4 243x 2 3. x 3 y 4 5 x 4 y 2 = 5 ( x 3 ) 5 ( y 4 ) 5 x 4 y 2 = 5 x 15 y 20 x 4 y 2 = 5 x 19 y 22 5. 1. 3 x8 y4 = 3 x 6 x 2 y3 y = x 2 y 3 x 2 y 6. 4 3 x 12 y 24 = 12 x 12 y 24 = x 12 / 12 y 24 / 12 = xy 2 3. x 32 = 16 x 32 = x 32 / 16 = x 2 Observación p q mnpq - m n x = x .Ampliación del índice de una raíz: n a m = nk a mk Para efectuar se multiplica tanto el índice de la raíz como el exponente de la cantidad subradical por un número diferente de cero. las cuales se denominan raíces o soluciones. Se resuelven usando las leyes de exponentes. 4 x 3 y 2 = 4 ( 2 ) x 3( 2 ) y 2 ( 2 ) = 8 x 6 y 4 Observación Las ecuaciones exponenciales son igualdades relativas que se verifican para determinados valores de sus variables o incógnitas. 5 3 x = 15 x 2. x 2 3 xy 2 = 3 ( x 2 ) 3 xy 2 = 3 x 6 xy 2 = 3 x 7 y 2 4. Ejemplos 1. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 1. Ejemplos 1.Introducción de un factor dentro de un radical: a m n b = n a m n b Para efectuar se eleva el factor al índice de la raíz. como = 2 16 2 se tiene: 1 1 4 1 1 4 1 16 x = x = 16 16 1 ⇒ x= 16 65 . Ley de exponentes iguales x a = y a ⇒ x = y . Resolver: 81x −1 = 27 x + 2 Solución 81x −1 = 27 x + 2 buscando bases iguales (3 4 ) x −1 = (33 ) x + 2 3 4 ( x −1) = 33( x + 2 ) igualando exponentes 4( x − 1) = 3( x + 2) 4x − 4 = 3x + 6 x = 10 2.5 x Solución x x = 4 0. Resolver: x 12 = (64) 2 Solución x 12 = (64) 2 buscando exponentes iguales x 12 = (2 6 ) 2 x 12 = 212 igualando bases x=2 3. hallar " x" en : x = 4 0. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 2. Ley de semejanza o analogía x x = a a ⇒ x = a . ∀a ≠ 0 Ejemplos 1. ∀a ≠ 0 3.5 1 1 1 4 1 4 1 xx = . E = 81 −1 / 2 1 − 4 1 −3 1 −3 1 − 2 1 − 2 + − − − − − + 4 4 5 3 2 10 3 18 2 x 10 3 x 25 2 7. 2 4 125 5 4 −1 / 3 −1 / 4 −1 / 5 1 1 1 3.. hasta (n + 3)factores 10. E = 5 y +1 ⋅ 5 2 y + x x n + 2 ⋅ x n + 2 . E = n +1 n +1 x ⋅ x . . E = − 3a + (3a ) + 3 − 1 0 0 −1 . hasta (n + 3)factores 2 n + 4 − 2 (2 n ) 11. .. a≠0 2 5 2 3 −7 −7 / 2 5 25 8 2 25 2.. E = a a 1 / 4 −1 / 5 −2 / 3 2 (−27) + (−27) −5 / 3 + 6. E = ( 2 ) 7 ( 9 ) 7 ( 2 + ) 7 ( 4 + ) 7 4 2 6 1/ 3 2 2/3 a 2/3 5. E = 27 x +3 5 ( 2 x +1 ) − 2 x + 4 + 6 ( 2 x +1 ) 14. E = 2 x +5 − 15 ( 2 x ) − 2 ( 2 x +3 ) 66 . . E = 2 2 2 15 x 30 x 90 2 12 3 x 98 2 x 75 3 8. DAVID GONZÁLES LÓPEZ Ejercicios 08: Teoría de exponentes Simplificar −2 1 −2 1. E = .. E = x +1 4 − 2 2 x +1 3 x +3 ⋅ 9 x +1 13. E = 3 2 80 x 45 x 490 5 x + y ⋅ 5 y − x ⋅ 5 y + x +1 9. E = 2 ( 2 n +3 ) 2 2 x +1 + 4 x +1 12. E = − + + − 8 16 32 1 2 3 2 1 1 4. . hallar M ⋅ N a −1 + b −1 a + b −2 26. luego hallar A + B 1/ 2 − 2 2 − (−2) 3 24. Si M = y N = −2 .. E = x 5 −1 / 2 5 x −1 xy xy n 19. n ( xy) m n xy 3 2n +5 − 9(3 2 n +1 ) 20. Calcular el valor de E = x x 2 x 3 x 4 x 9 para x = 12 6 −1 / 3 ( a 3 b ) 3 (a 8 b − 2 ) −3 28. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 5(2 x + 2 ) + 6(2 x −1 ) − 2(2 x +3 ) 15. Calcular A = − 2 2 − (−2) 3 − 2 3 + (−3) 2 { [ y B = 37 310. Determinar el valor de " x" . E = m − n . E = 4(2 x +3 ) − 30(2 x −1 ) − 2(2 x +3 ) 16. (3 2 ) 3 ] } 1/ 2 1/ 3 . E = 12 + 12 + 12 + . E = 3n 8 n − (2 n ) 3 + (4)(27) n 22. Si A = −4 y B = (32) ( − 2 / 5 ) − (32) ( − 3 / 5 ) [ −1 / 3 . n −1 . E = n −2 24(3 n + 4 ) (3)(8) n + (8)(2 n −1 ) 3 21. E = m+n 3m+ n + 5 m+ n 1 x+ 5 4 5 x −2 18. E = m/n ab m ab ( ab ) 2 n / m (a 1 / m b1 / m ) −2 n 18 m + n + 30 m + n 17. Simplificar E = 3 2 3 y calcular la suma de los exponentes de " a" y " b" (ab) (a b) 67 . de manera que la expresión que sigue sea de segundo grado : a x −2 7 a 3x 3 4 a x +1 27. hallar A + B ] (−4) − (−4) 2 a − 2 − b −2 −1 a −1 − b −1 −1 25. Resolver 23. = = = 3 9x 2 3 9x 2 3 3x 3 27 x 3 3x B. = x+ y ( x + y) ( x − y) x−y C. Cuando el denominador presenta radicales de la forma: 2 n a ± 2 n b Para estos casos el factor racionalizante estará expresado por la conjugada del denominador que se empleará tantas veces hasta que el denominador quede transformado en una expresión algebraica racional. Ejemplo 5 Racionalizar x+ y Solución El factor racionalizante es: Fr = x− y 5 5 ( x − y) 5( x − y ) Luego. Ejemplo 5 Racionalizar 3 9x 2 Solución El factor racionalizante es: Fr = 3 3x 3 5 5 3x 5 3 3x 5 3 3x Luego.7. Cuando el denominador es un monomio En estos casos el factor racionalizante estará expresado por otro radical que tenga el mismo índice. Factor racionalizante (Fr ) Es una expresión irracional tal que al multiplicar a otra también irracional la convierte en una expresión racional. pero cuyos exponentes del radicando estarán expresados por la diferencia existente entre el índice original de la raíz y los exponentes que afectan a las letras o número. Cuando el denominador presenta radicales de índice superior Para estos casos debe tenerse en cuenta las siguientes equivalencias algebraicas * a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) * a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) * a 5 + b 5 = (a + b)(a 4 − a 3 b + a 2 b 2 − ab 3 + b 4 ) * a 5 − b 5 = (a − b)(a 4 + a 3 b + a 2 b 2 + ab 3 + b 4 ) Ejemplo 5 Racionalizar 2 3 x − 3 xy 2 68 . RACIONALIZACIÓN Es el proceso que consiste en transformar un denominador ( o numerador) irracional en otro racional a través de un factor denominado factor racionalizante. = . DAVID GONZÁLES LÓPEZ 1. Casos que se presentan para racionalizar A. = ⋅ 2 3 x − 3 xy 2 (23 x − 3 xy 2 ) (43 x 2 + 23 x 2 y 2 + 3 x 2 y 4 ) 5(43 x 2 + 2 3 x 2 y 2 3 y + 3 x 2y4 ) 5(43 x 2 + 2 3 x 3 y + 3 y 2 ) = = ( 23 x ) 3 − ( 3 xy 2 ) 3 8x − xy 2 Ejercicios 09: Racionalización Racionalizar lo siguientes denominadores 3 5 1. 4. Si a = (2 + 3 ) −1 y b = (2 − 3 ) −1 calcular k = (a + 1) −1 + ( b + 1) −1 x2 + 2 1 16. DAVID GONZÁLES LÓPEZ Solución El factor racionalizante es: Fr = 43 x 2 + 2 3 x 3 xy 2 + 3 x 2 y 4 = 43 x 2 + 2 3 x 2 y 2 + 3 x 2 y 4 5 5 ( 43 x 2 + 2 3 x 2 y 2 + 3 x 2 y 4 ) Luego. 14. 3 7 x 4 y5 32 3 3 5. 4 x +8 y 2 x− y 5+ 3 3 13. 4 x 3 y5 2 8 x 2y4 4 7 7. 10. Efectuar + 2 + 2 + 3 2 − 2+ 3 69 . 12. 2 + 5 2+ 3− 5 Resolver 15. 2. Indicar el denominador racionalizado de 1− 3 2 −1 2+ 3 2− 3 18. x+b − x−b 2 x −3 y 3 5 11. x +3 y 4 x −4 y x+a 5 x 9. 6. Hallar el valor de E = para x = 2 +1 + x2 − 2 2 +1 N 17. 2 4 7 x y 5 x y314 3 3 3. 8. log 2 8 = 3 porque 2 3 = 8 3. Es decir : log b N = x ii) Aplicamos la definición de logaritmo. puede ser " x" . N > 0 . para obtener dicho número. Así: b x = N iii) Resolvemos la ecuación exponencial que se forma Ejemplos 1.8. Calcular: log 3 243 Solución Sea " x" el logaritmo buscado log 3 243 = x Por definición de logaritmo tenemos 3 x = 243 3 x = 35 x =5 Por lo tanto: log 3 243 = 5 70 . también " x" es el logaritmo de N en base " b" Definición simbólica Log b N = x ⇔ b x = N . log 3 81 = 4 ⇔ 3 4 = 81 −5 1 4. log 5 25 = 2 porque 5 2 = 25 2. es el exponente " x" al que debe elevarse " b" . b ≠ 1 Donde: N : número real mayor que cero b : base del logaritmo x : exponente al cual elevamos la base para obtener el número N = b x Ejemplos: 1. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 1. LOGARITMOS Definición Dado un número real b > 0 y b ≠ 1 . b > 0 . log 1 32 = −5 ⇔ = 32 2 2 −1 1 5. Notación: Log b N = x Se lee: Logaritmo de N en base " b" es igual a " x" . log 1 3 = −1 ⇔ =3 3 3 ¿Cómo hallar el logaritmo de un número? Veamos un método i) Se iguala el logaritmo buscado a una letra. el logaritmo de un número real N > 0 en la base " b" . Calcular: log 1 64 4 Solución Sea " x" el logaritmo buscado log 1 64 = x 4 Por definición de logaritmo tenemos x 1 = 64 4 Resolviendo la ecuación 4 −x = 43 x = −3 Por lo tanto: log 1 64 = −3 4 4 3. Calcular: log 1 83 4 4 Solución Sea " x" el logaritmo buscado log 1 83 4 = x 4 Por definición de logaritmo tenemos x 1 = 83 4 4 Resolviendo la ecuación 2 (2 ) −2 x = 2 3 ⋅ 2 . DAVID GONZÁLES LÓPEZ 2. Calcular: log 3 27 Solución Sea " x" el logaritmo buscado log 3 4 27 = x Por definición de logaritmo tenemos ( 3) x = 4 27 Resolviendo la ecuación 1 3 x 3 =3 2 4 1 3 x= 2 4 3 x= 2 3 Por lo tanto: log 3 4 27 = 2 4.3 11 2 −2x = 2 3 71 . DAVID GONZÁLES LÓPEZ 11 − 2x = 3 11 x=− 6 11 Por lo tanto: log 1 83 4 = − 4 6 1 5. Calcular log 5 125 Solución 72 . Calcular: log 2 2 2 128 Solución Sea " x" el logaritmo buscado log 2 2 2 128 = x Por definición de logaritmo tenemos (2 2 ) x = 2 128 Resolviendo la ecuación 7 (2 ⋅ 2 1/ 2 x ) = 2⋅2 2 3 9 x 2 = 22 2 3 9 x= 2 2 x =3 Por lo tanto: log 2 2 2 128 = 3 4 7. Calcular: log 5 25 Solución Sea " x" el logaritmo buscado 1 log 5 = x 25 Por definición de logaritmo tenemos ( 5) x = 1 25 Resolviendo la ecuación 1 x 5 2 = 5−2 1 x = −2 2 x = −4 1 Por lo tanto: log 5 = −4 25 6. DAVID GONZÁLES LÓPEZ Sea " x" el logaritmo buscado log 5 4 125 = x Por definición de logaritmo tenemos ( 5) x = 4 125 Resolviendo la ecuación 1 3 x 52 = 54 1 3 x= 2 4 3 x= 2 3 Por lo tanto: log 5 4 125 = 2 1 8.0625 = −4 73 . Calcular log 2 0. Calcular: log 3 243 Solución Sea " x" el logaritmo buscado 1 log 3 =x 243 Por definición de logaritmo tenemos ( 3) x = 1 243 Resolviendo la ecuación 1 x 3 2 = 3 −5 1 x = −5 2 x = −10 1 Por lo tanto: log 3 = −10 243 9.0625 Resolviendo la ecuación 1 2x = 16 2 = 2 −4 x x = −4 Por lo tanto: log 2 0.0625 = x Por definición de logaritmo tenemos 2 x = 0.0625 Solución Sea " x" el logaritmo buscado log 2 0. Calcular " x" en : log 1 x = −0. Calcular " N" en : log 2 3 N=2 Solución log 2 3 N=2 Por definición de logaritmo N = (2 3 ) 2 N = 12 12. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 3 125 10. consiste fundamentalmente en saber resolver una ecuación exponencial.25 81 Se debe cumplir que 1 −0 . Ejercicios adicionales 11. hallar el logaritmo de un número en una base dada. Calcular el logaritmo de en base 5 27 Solución Sea " x" el logaritmo buscado log 125 3 / 5 = x 27 Por definición de logaritmo tenemos x 125 = 3/5 27 Resolviendo la ecuación 3x 1/ 2 5 3 = 3 5 −3 x 1/ 2 3 3 = 5 5 1 − 3x = 2 1 x=− 6 1 Por lo tanto: log 125 3/ 5 = − 27 6 Observación Como Ud. puede notar. 25 x=( ) 81 74 .25 81 Solución log 1 x = −0. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 1 − −4 x = (3 ) 4 x =3 1 13. Hallar " x" en 3 log 2 x − 1 = 3 Solución 3 log 2 x − 1 = 3 4 log 2 x = 3 Por definición de logaritmo 75 . Calcular " b" en : log b = −4 81 Solución 1 log b = −4 81 Se debe cumplir que 1 b −4 = 81 b = 3 −4 −4 b=3 14. Calcular " b" en : log b 4 2 = 2 Solución log b 4 2 = 2 Se debe cumplir que b2 = 4 2 b2 = 4 2 b = 4 32 15. Calcular " x" en log 1 ( x 2 − x + 2) = −2 2 Solución log 1 ( x 2 − x + 2) = −2 2 Por definición de logaritmo −2 1 ( x − x + 2) = 2 2 Resolviendo la ecuación ( x 2 − x + 2) = 4 x2 − x − 2 = 0 ( x − 2)( x + 1) = 0 x − 2 = 0 ∨ x +1 = 0 x = 2 ∨ x = −1 16. Los logaritmos de números negativos existen en el campo de los números complejos. log a c . En todo sistema de logaritmos. el logaritmo de 1 es cero y el logaritmo de la base es 1 . b > 0 . log b ( A. b ≠ 1 ii) log b b = 0 . (2) Reemplazando (1) en (2) obtenemos la identidad fundamental: b log b N = N . En el campo de los números reales sólo existen logaritmos de números positivos. log b n A m = log b A m / n = log b A n 8. 3 log3 5 = 5 log( 5 2. DAVID GONZÁLES LÓPEZ x = ( 2) 4 / 3 x = 3 24 x = 23 2 Identidad fundamental del logaritmo Utilizando la definición de logaritmo De log b N = x …………… (1) Tenemos que b x = N ……. Es decir: i) log b 1 = 0 . log b ( ) = log b A − log b B B 6. log c d = log b d Para dos términos: log b a .B) = log b A + log b B A 5. b > 0 . log a A = b 1 − log a b 12. log b n A m = log b A n log a A 11. log b A n = n log b A m 7. Regla de la cadena: log b a . La base de un sistema de logaritmos es positiva y diferente de uno. log b n A = log b A n m 10. b ≠ 1 4. ∀N > 0 ∧ b ∈ R + − {1} Ejemplos: 1. log b A = log b n A = log n b n A n 1 9. puesto que la base ( 2 − 3 ) es negativa Propiedades generales de los logaritmos Estas propiedades se cumplen para los infinitos sistemas de logaritmos. ( 2 − 3 ) 2− 3) : no existe en R . 2. log a b = 1 1 Se deduce: log b a = log a b 76 . 1. 3. 1 co log b N = log b = log b 1 − log b N = − log b N N luego: co log b N = − log b N . por lo tanto. anti log b (anti log c N ) = b c Sistema de logaritmos De la definición de logaritmo se deduce que cualquier número positivo. DAVID GONZÁLES LÓPEZ log b A 13. Regla del intercambio: A log b B = B log b A Observación Tener en cuenta que: (log a x ) n = log an x y log an x ≠ n log a x Antilogaritmo Se define como la operación inversa a la logaritmación anti log b x = b x = N ⇔ b x = N . al logaritmo de su inverso multiplicativo en la misma base. Los más utilizados son dos: 77 . x ∈ R Ejemplos: 1. N > 0 Ejemplos: 1. co log b (anti log b N ) = − N N 5. anti log 1 4 = 2 16 Observación Si log b N = x⇒ anti log b x = N Así tenemos: Si log 3 81 = 4 ⇒ anti log 3 4 = 81 Cologaritmo Se denomina cologaritmo de un número N > 0 . a log b c = c log b a 15. b > 0 . b ≠ 1 . b > 0 . co log 2 16 = − log 2 16 = −8 2. anti log b (log b N ) = N 2. log b (anti log b N ) = N 1 3. diferente de la unidad. co log 1 243 = − log 1 243 = 5 3 3 Propiedades 1. anti log b (co log b N ) = N 4. anti log 2 3 = 2 3 = 8 1 2. b ≠ 1 . Cambio de base: log a A = log b a 14. el número de sistemas de logaritmos es ilimitado. puede utilizarse como base de un sistema de logaritmos. 1) = −1 Propiedades de los logaritmos decimales 1. Todo logaritmo decimal tiene 2 partes: una parte entera llamada CARACTERÍSTICA y una parte decimal llamada MANTISA. por ello se dan sus valores sólo aproximadamente.25) = 1.2 y 58200 . El cálculo de la mantisa del logaritmo de un número se lleva a cabo mediante el uso de la Tabla de logaritmos. La característica del logaritmo decimal de un número menor que uno es negativo e igual al número de ceros que preceden a la primera cifra significativa(diferente de cero). se sobreentiende que es 10 Ejemplos: 1. 000 4308007) = 4. abcde − −− − 5. log(0.54407 log = −0. log 3 ⇒ característica: 1 − 1 = 0 log(50.03) = −1.54407 ⇒ característica = 2 mantisa = 0. log 10000 = 4 1 3.7649 .90309 8 2. 78 .0005) = −3. escribir el logaritmo de 58. La mayoría de las mantisas son decimales ilimitados. la diferencia está en la característica. abcde − − − log(0. considerando incluso el cero de la parte entera si la hubiera.30103 1 log 350 = 2.47712 log(0. no se escribe la base.30103 log(0. Notación: Log 10 N = log N Se lee: “ Logaritmo decimal de N “ . log 10 100 = log 100 = 2 2. 0 5403 = 2.52288 log 3 = 0. log 2 = 0. DAVID GONZÁLES LÓPEZ Sistema de logaritmos vulgares. log = −3 1000 4. Las mantisas de los logaritmos de todos estos números son iguales a la mantisa dada. decimales o de Briggs Este sistema fue implementado por el matemático inglés Henry Briggs y tiene como base al número 10 .69897 log(50. Si: log 350 = 2. Los logaritmos de números mayores que 1 son positivos y los logaritmos de los números menores que 1 ( pero mayores que cero) son negativos.25) ⇒ característica: 2 − 1 = 1 4.70114 log(0.82 = 0. La característica del logaritmo decimal de un número mayor que 1 es igual al número de cifras en su parte entera menos 1 . − log(0. Dado log 5.54407 3.2) = −0. también “ Logaritmo neperiano de N “ Ejemplos: 1.3026 log N 79 .0582) = log(5.7649 La característica puede combinarse con la mantisa para producir una sola cantidad.82 x 10 −2 ) = −2 + 0.57 x 10 −1 ⇒ −1 0. ln e = ln e1 / 2 = ln e = 2 2 4..7649 = −1.2351 sin embargo. Notación: Log e N = ln N Se lee: “ Logaritmo natural de N “ . por ello − escribimos: log 0.7182 .82 = 1. neperianos o hiperbólico Este sistema fue implementado por el matemático escocés John Neper y tiene como base el número irracional e ≈ 2. Sistema de logaritmos naturales.65x10 −5 ⇒ −5 Es decir. Ejemplos: Número Característica 1000 = 10 3 ⇒ 3 684 = 6.457 = 4. es preferible expresar un logaritmo con las partes decimales positivas. DAVID GONZÁLES LÓPEZ log 58. debemos expresar el número " N" así: N = a x 10 n Se observa que la coma decimal debe ubicarse inmediatamente después del primer número diferente de cero.7649 Observación Hay otra forma de calcular la característica del logaritmo decimal de un número mayor que cero.84 x 10 2 ⇒ 2 0.82 x 10) = 1 + log 5.7649 log 58200 = log(5.0582 = 2.2 = log(5..82 = 4. ln e = 1 2.0000365 = 3. La característica depende únicamente de la posición de la coma decimal. ln e 3 = 3 ln e = 3(1) = 3 1 1 3. e ln 7 = 7 Observación i) El número trascendente " e" ( épsilon) se define como: 1 e = lim (1 + n ) n n →0 ii) Conversión de logaritmos naturales a logaritmos decimales o viceversa ln N = 2. Por ejemplo: log(0.82 x 10 4 ) = 4 + log 5. DAVID GONZÁLES LÓPEZ log N = 0. Hallar el conjunto solución de: log x ( x − 2) = log x (8 − x ) Solución log x ( x − 2) = log x (8 − x ) i) x > 0 ∧ x ≠ 1 ∧ x − 2 > 0 ∧ 8 − x > 0 x >2 ∧ x<8 ⇒ x ∈ 2. S1 = − 2. log b M = log b N ⇔ M = N . + ∞ [ 2 2 5x + 2 ≥ 0 ⇒ x≥− . ( b > 1) Si: log b M > log b N ⇒ M>N Si: log b M > x ⇒ M > bx ii) Cuando la base es menor que la unidad pero mayor que cero. S 2 = − . por lo menos. b > 0 . Resolver: log 2 (2x + 4) > log 2 (5x + 2) Solución Hallamos los valores de x que garantizan la existencia de los logaritmos 2x + 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ −2 . + ∞ 5 5 80 . Ecuación logarítmica Es aquella ecuación trascendente donde. Calcular " x" en: log 3 (3x + 4) = log 3 ( x + 12) Solución log 3 (3x + 4) = log 3 ( x + 12) 3x + 4 = x + 12 2x = 8 x=4 2.4343 ln N Note que para transformar se multiplica por el factor de conversión según sea el caso. (0 < b < 1) Si: log b M < log b N ⇒ M<N Si: log b M > x ⇒ M < bx Ejemplos: 1. i) Cuando la base es mayor que 1 . una incógnita está afectada del operador logarítmico.8 = V ii) x − 2 = 8 − x ⇒x =5 S = {5} CS = V ∩ S = {5} Inecuación logarítmica Esta inecuación se caracteriza por tener al menos una incógnita afectada del operador logarítmico. N > 0 . M > 0 . b ≠ 1 Ejemplos: 1. Calcular: E = log 3 81 + 8(log 4 2) − 12 log 16 2 Solución E = log 3 81 + 8(log 4 2) − 12 log 16 2 1 1 E = 4 + 8( ) − 12( ) = 4 + 4 − 3 2 4 E=5 81 . + ∞ 5 Como b > 0 ⇒ 2 x + 4 > 5x + 2 2 x< 3 2 x ∈ − ∞. =S 3 2 2 para la solución calculamos: V ∩ S = − . DAVID GONZÁLES LÓPEZ 2 los valores de x están en: V = S1 ∩ S 2 = − . Resolver: log 1 ( x − 1) > 0 2 Solución Hallamos los valores de x que garantizan la existencia de los logaritmos log 1 ( x − 1) > 0 2 i) x − 1 > 0 x >1 0 1 ii) Como b < 1 ⇒ x −1 < 2 x −1 < 1 x<2 CS = 1. 5 3 2.2 Ejercicios desarrollados 1. Calcular: E = log 2 64 + log 5 625 − log 3 81 Solución E = log 2 64 + log 5 625 − log 3 81 E = log 2 2 6 + log 5 5 4 − log 3 3 4 E = 6 log 2 2 + 4 log 5 5 − 3 log 3 3 E = 6+ 4−3 = 7 2. 5 3 2 2 Luego x ∈ − . 001) 2 Solución E = 8 log 3 27 − 4 log 1 128 + 5(log 0.25) 9 1 −2 E = log 3 3 3 ⋅ (log 4 4 −1 ) 5 − 5 E = log 3 3 ⋅ (log 4 4 −1 ) = − (log 3 3)( −1)(log 4 4) 6 6 5 5 E = ( − )( −1) = 6 6 25 5 81 5. Hallar " x" en: log x = log 64 − log 8 + 1 2 3 Solución 1 1 log x = log 64 − log 8 + 1 2 3 82 .25) 4. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 3. Calcular: E = log 3 Solución 3 3 E = log 3 ⋅ (log 4 0. Calcular: E = 8 log 3 27 − 4 log 1 128 + 5(log 0. Simplificar: E = log − 2 log − log 16 9 32 Solución 25 5 81 E = log − 2 log − log 16 9 32 −2 −1 25 5 81 E = log + log + log 16 9 32 2 25 9 32 E = log + log + log 16 5 81 2 52 32 25 E = log 4 + log + log 4 2 5 3 5 2 ⋅ 34 ⋅ 2 5 E = log 4 2 4 = log 2 2 ⋅5 ⋅3 1 1 6.001) 2 3 7 E = 8( ) − 4( − ) + 5( −3) = 12 + 14 − 15 2 2 E = 11 3 3 9 ⋅ (log 4 0. DAVID GONZÁLES LÓPEZ = log 64 − log 3 8 + log 10 = log 8 − log 2 + log 10 8 log x = log( ) + log 10 = log 4 + log 10 = log(4 ⋅ 10) = log 40 2 log x = log 40 ⇒ x = 40 7.32 100 8. hallar " p" al resolver log 4 ( )=5 16 Solución Transformando p2 ⋅ q3 log 4 ( )=5 16 log 4 (p 2 ⋅ q 3 ) − log 4 16 = 5 83 . Si: log 4 q = 2 . Hallar " x" en: log 3 (3x 2 + 2 x + 11) = 3 Solución log 3 (3x 2 + 2 x + 11) = 3 Por definición de logaritmo 3x 2 + 2 x + 11 = 33 = 27 3x 2 + 2 x − 16 = 0 (3x + 8)( x − 2) = 0 3x + 8 = 0 ∨ x − 2 = 0 8 x=− ∨ x=2 3 ambos valores satisfacen la ecuación inicial p2 ⋅ q3 9. Hallar " x" en: 2 + log x = 3 log 24 − 8 log 2 − log 27 Solución 2 + log x = 3 log 24 − 8 log 2 − log 27 2 + log x = 3 log(2 3 ⋅ 3) − 8 log 21 / 2 − log 33 2 + log x = 3 log(2 3 ⋅ 3) − 8 log 21 / 2 − log 33 1 2 + log x = 3(log 2 3 + log 3) − 8( ) log 2 − 3 log 3 2 1 2 + log x = 3(3 log 2 + log 3) − 8( ) log 2 − 3 log 3 2 2 + log x = 9 log 2 + 3 log 3 − 4 log 2 − 3 log 3 2 + log x = 5 log 2 log x = 5 log 2 − 2 = 5 log 2 − log 100 25 log x = log( ) 100 32 ⇒x= = 0. Escribir las siguientes expresiones. Determinar el valor de " N" : log 2 5 20 + log 2 5 N = 2 8. Hallar el valor de la siguiente expresión: E = log 3 9 − 2 log 1 2 − 5 log 5 5 125 4 4 2 4 5. Hallar el valor de la siguiente expresión: E = log 2 − 2 log 5 − log 3 16 25 27 4. Calcular el valor de b > 0 que satisface la ecuación: (log b 9) 2 − 4(log b 9) + 4 = 0 84 . Hallar el valor de la siguiente expresión: E = log 27 / 8 − 2 log 5 2 8 3 4 + log 100 9 6. Hallar el valor de la siguiente expresión: E = log 3 81 − 3 log 2 8 + 5 log 5 125 1 1 1 3. como logaritmo de una sola cantidad 1 a) E = 1 + log 2 a + log 2 7 − 3 log 2 3 − 2 log 2 b + log 2 9 2 b) E = log 3 + 2 log 2 − 5 log 3 + 6 log 4 − 3 log 25 c) E = log x + log y + log z + a log b − b log c − c log a 1 3 2 d) E = 2 log 2 x − log 5x − c log 4a + log a 2 4 3 2. Simplificar: E = log 8 log 4 / 9 log 8 log 2 2 9. hallar R = 2(log x + log y ) . Si: x 2 + y 2 = 7 xy . x > 0∧y> 0 Solución x 2 + y 2 = 7 xy x 2 + y 2 + 2 xy = 9 xy ( x + y) 2 = 9 xy x + y = 3 xy x+y = xy 3 Aplicando logaritmos x+y log( ) = log xy 3 x+y 1 log( ) = (log x + log y) 3 2 x+y 1 R x+y log( ) = [2(log x + log y)] = ⇒ R = 4 log( ) 3 4 4 3 Ejercicios 10: Logaritmos 1.001 − 4 log 10 + log 1000 − log 10 7. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 2 log 4 p + 3 log 4 q − log 4 16 = 5 2 log 4 p + 3(2) − 2 = 5 1 log 4 p = 2 ⇒ p=4 = 4=2 1/ 2 10. Hallar el valor de la siguiente expresión: E = log 0. Si satisface la ecuación: ln( x + x − x − 1) = 1 + ln( x 4 − 1) el 6 4 2 valor de " x" es: 22. Hallar " log x" si log 2 [log 3 (log x ) ] = 1 18. Si log 2 ≈ 0. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 10. hallar E = x−y y−z x−z log( x − z) 21. Hallar " x" en: (log x 10) log( x 2 − 2) = 1 15. Hallar " x" en: log 2 (5x − 3) − log 2 x = 1 17. Si + = . Hallar " x > 0" que satisface : log 22 2 x + log 22 0. log y 2 − log y 2=0 16 64 19. hallar el valor de: E = log 125 − log 75 + log 5 11.47 . hallar el valor de: E = log 48 − log 2 + log 3 12.3 y log 3 ≈ 0.5x + log 22 0. log c a = b 1 1 1 log( x − y) + log( y − z) 20. Resolver: log y 2 . Calcular " b" en: log b 4 2 = 4 2 13.47 y log 5 ≈ 0.25 x = 5 85 . Calcular " N" en: log 3 3 N = ( 3 3 ) 3( 2) 14. Calcular: E = abc si log a b = c . log b c = a . Hallar " x" en : Logx + log( x − 3) = 1 16.70 . Si log 3 ≈ 0. . 38 a2 yb 7. Hallar el grado de homogeneidad del polinomio: P ( x ) = 8 x m + n y n − 5x m + 6 y n + 4 Si se sabe que el grado respecto a x es menor en dos unidades que grado respecto a y . 10 x 4 x m−2 10. 30 8. EJERCICIOS ADICIONALES GRADO – POLINOMIOS ESPECIALES Y VALOR NUMÉRICO 1. Hallar el grado absoluto del siguiente polinomio: P( x ) = ( x + 1)( x 2 + 2)( x 3 + 3)..( x 10 + 10) R. 22 9. R.. R. Calcular el grado relativo a " y" en el monomio: x 5a −1 y 2a + 2 z 3a +3 E= si el grado relativo a " z" es 34 . R. 6 4 xn 2. 6 6. Calcular " m + n" si el polinomio: P = 5x m +1 y n − 2 + 7 x m + 2 y n −1 + 3x m + 3 y n − 2 86 .9. R. R. Calcular el grado absoluto del monomio: b3 3 a3 3 M= xa y b z 20 si a 2 + b 2 + 3ab = 0 R. Hallar el valor de " n" si el monomio: x n −3 4 x 3n M=3 es de segundo grado. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 1. Indicar el grado absoluto. y) = 4 x n −3 y 5− m + 4 x m +1 y n −5 es un monomio. R. sea de quinto grado. para que su grado absoluto sea 231. 14 x 3− a y a − 5 z 4 − 2 a 5.. R. Hallar el grado absoluto del monomio: b2 xa E= si se cumple: a − b = 8 y ab = 4 R. Se sabe que: P( x . 21 4. Hallar el valor de " m" para que la expresión: xm xm E=x 3 reducida. Hallar el número de variables que debe tener el monomio: M = ( x )( y 2 )(z 3 )( w 4 ). 55 11. 2 3. Hallar " m + n + p" si el monomio: E = 7 x m + 2 n + 2 p y 2 m + 2 n + 3p z 3m + 2 n + p es de grado absoluto 180 . R. Calcular en la identidad: n m( x + n ) + n ( x + m) ≡ 3x − 56 donde m > n R. R. Calcular E = a + b + c en el polinomio: P = a (3x 2 − x + 2) + b(2 x − 1) − c( x 2 − x ) − 6 x si es idénticamente nulo. Si el polinomio: P( x ) = (4a + 2) x 2a −10 + 4ax 2a −9 + (4a − 2) x 2a −8 + . Según ello calcular el valor de E = a + b + c + n R. Si la suma de coeficientes de P( x ) es 10 donde: P(6 − y) + P( y − 2) = P( y − 1) − y + P( y + 2) Calcular el término independiente de P( x ) . Además con respecto a " x" es completo y ordenado en forma descendente... + a n x a n + n R. y) es completo. Dado el polinomio: P( x . DAVID GONZÁLES LÓPEZ es de grado absoluto 20 y de grado relativo a " y" igual a 8 . homogéneo y ordenado en forma decreciente respecto a " x" y en forma creciente respecto a " y" . R. Indique la suma de coeficientes del polinomio completo y ordenado Ascendentemente: P( x ) = a 1 x a1 +1 + a 2 x a 2 + 2 + a 3 x a 3 + 3 + . -7/4 16. 6 14. + y n +1 Es homogéneo. + 3x a y b + 5x a −1 y 3 + 7 x 3 y c + .. y) = x n y + . Se muestran los tres primeros términos del polinomio: Q( x . Calcular " a" y el grado del polinomio P sabiendo que sus coeficientes son positivos. El cual es completo y ordenado para " x" Además GR x = 10 y GR y = 15 . y) = x m + 5 y n −3 + x m + 4 y n − 2 + x m + 3 y n −1 + . Calcular E = m + n R. 17 13. Calcular E = abc en la identidad: 18x 3 + 21x 2 + 8x + 1 ≡ a (2 x + 1) a (cx + a ) b R. R.. 19 12. − n 20.. 8 17. R. En los siguientes polinomios: P = 3x n + 7 y m −1 + 6 x n +8 y m − 5x n y m +1 y Q = 5x m +1 y n − 7 x m + 2 y n +1 + 4 x m + 3 y n + 2 si el grado absoluto de P es 20 y el mayor exponente de " y" en Q es 10 . 17 87 .. Si el polinomio: P( x . R. calcular E = a + b . 0 21.. es completo y ordenado en forma creciente... 6 m 15. 5 y10 18. Hallar el grado absoluto de Q . 13 19. y) = x a +1 y b + 2 + x a y b + 3 − 5x a −1 y b + 4 + 7 x b + 2 y a +1 Si P( x .. 7 P(n − 1)P(n ) 24. Hallar la suma de los coeficientes del cociente en: 3x 4 + 5 x 3 + x 2 − x + 2 R. Si F(1 − x −1 ) = 4 x 2 − 2 x − 7 hallar F(3) R. Hallar el resto de la división: x n ( x + 1) n + (2 x 2 + 2 x − 1) 20 + ( x + 1) 2 − ( x + 2) E= R. Si P( x ) = ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) + 1 hallar P( ) R. 25 xn 29. Evaluar Q( x ) = P( x 3 − 1) + P( x 3 + 2) . x ≥ 1 R. 1 x − 2 +1 3. 4 3x − 1 x 4 + 2x 3 − x 2 − x + 2 2. R. -5 30. Hallar el resto al dividir : R. Si P( 2 x + x ) = x + 4 x + 4 calcular P( x − 2 x ) . dando como Respuesta la suma de coeficientes de Q( x ) . 0. -8 x−2 x 1− xn 28. x DIVISIÓN DE POLINOMIOS 1. R. Si P( ) = x − 2 n − 2 x − n + 1 hallar P(−5) R. 0 2 23.. 2 ( x 2 + x − 1) 4. Si P(f ( x )) = y P( x + 1) = hallar f ( −7) R.. Si P( n ) = 1 + 2 + 3 + . 0 x x+2 27. 26 26. 5 88 . Si F( x ) es un polinomio lineal tal que F( x + y) = F( x ) + F( y) hallar F(0) R. + n hallar E = R. DAVID GONZÁLES LÓPEZ −5+ 5 22. Si se cumple que: P( x 2 + 1) = x 4 + 1 . Al efectuar la división: ( 2 x 4 + 5x 3 − x 2 + mx + 3m) ÷ ( x 2 − x + 1) resulta como residuo un término independiente. hallar su valor. Si P( x ) = ax 2 + b y P( P( x )) = 8x 4 + 24 x 2 + c Calcular E = a + b + c R.5 P(n 2 − 1) 25. y como residuo (2 x + 1) . Si el resto de la división P( x ) es 4 . ¿Qué otro valor de x lo anula. al dividir: R. Si el polinomio P( x ) de tercer grado cuyo primer coeficiente es 1 se anula para x = 3 . 2 x −1 2ac 11. P( x ) + k Entonces calcular el valor de " k" si la división: es exacta. Al dividir ( x 3 − 2 x 2 + mx + n ) ÷ ( x − 2) el resto es 3 y al dividir ( x 3 − 2 x 2 + mx + n ) ÷ ( x + 1) el resto es 9 . x 2 − x + 1 ax 2 − bx + a 12 x 30 + 16 x 29 + 9 x + m 16. 256 x +1 x +1 ( x − y) 29 − ( y − x ) 27 7. se obtuvo como cociente ( x 2 − 1) . Hallar " m" si la división es exacta : R. en E = R. ½ 12. Hallar el resto de la división: R. 0 ( x − y + 1) 2 + 2( y − x ) 8. Hallar " a" para que la suma de coeficientes del cociente sea 110 ax 51 + 2bx + 2b − a y el resto 16 . − 4 10. 6 nx 4 − x 3 + 3nx − 3 13. R. Calcular E = b2 si la expresión: (ax 4 + bx 2 + c) es divisible por ( x 2 − 1)( x − 1) R. 1 9. x = 2 . R. calcular el resto de [P(x )] 4 R. 1 4x 2 + x + 2 89 . si la suma de sus coeficientes es igual a 10 ? R. Al dividir P( x ) = x 4 + Ax 3 + Bx 2 + 2 x − 1 entre un polinomio de segundo grado. 4 nx − 1 14. 12 3x + 4 4 x 4 + 13x 3 + 13x 2 + 8x + 5 17. Hallar el valor de B . R. Dado el polinomio: P( x ) = x 3 + Ax 2 + Bx divisible por x 2 + 3x − 4 . (a − b) 2 n x ( x − a )( x − b) 6. Hallar la suma de coeficientes del cociente al dividir: R. Hallar el resto al dividir : R. Hallar el valor de m + n . Hallar el resto de la división: R. Hallar el cociente. -12 x−2 ax 4 − (a + b) x 3 + (2a + b) x 2 − bx − a 15. DAVID GONZÁLES LÓPEZ a ( x − b) 2 n + b ( x − a ) 2 n 5. 1 ( 4a 2 + b 2 ) 2 − ( 4a 2 − b 2 ) 2 5. Calcular el resto al dividir : R. (a + b ) 4 − ( a − b ) 4 Calcular E = R. R. Si ( x + 5)( x + b)( x − 3) = x 3 − 19 x + a calcular E = a − b R. -20 x 2 − 2x + 2 19. a 4. Si a un polinomio P( x ) lo dividimos entre ( x + 3) el resto es 5 . Si se cumple que: ab + bc + ac + d 2 = 0 . Si a un polinomio P( x ) lo dividimos entre ( x + 5) el resto es − 24 . a > 0 R. Hallar el resto de dividir P( x ) entre ( x + 3)( x + 2) . 2 x + 8 x 2 − 2x + 3 20. 4 x + 1 PRODUCTOS NOTABLES 1. Los restos de las divisiones de P( x ) por los binomios ( x − 1)( x + 2) son respectivamente 5 y − 7 . Si (a + b + c + d ) 2 = 4(a + b)(c + d ) hallar E = R. si al cociente obtenido lo dividimos entre ( x + 5) el resto es 5 . Si 2 x 2 + 5x + 5 = 0 hallar E = 3( 2 x + 1)( x + 1)(2 x + 3)( x + 2) R. Hallar el resto al dividir P( x ) por x 2 + x − 2 R. 3 (a + b ) 3. 18 6. R. a + d a−d 90 . Reducir: 6 (a + b)(a − b)(a 4 + a 2 b 2 + b 4 ) + b 6 . 5x + 1 22. El área de un cuadrado de lado " a + b" es 8 veces el área de un triángulo de base a y altura b . ¿Cuanto se le debe restar al dividendo de manera que la división sea x 4 + x 3 − 5x 2 + 15x + 2 exacta? E= R. Hallar el resto de dividir P( x ) entre x 2 + 10 x + 25 . DAVID GONZÁLES LÓPEZ ( x − 1) 4 n ( x 3 + 8)( x − 4) 18. 4 x + 17 21. 32 7. si al cociente obtenido lo dividimos entre ( x + 2) el resto es 4 . a≠d (a + b)(a + c) Reducir E = R. Si x + y = 1 Hallar E = 6( x 2 + y 2 ) − 4( x 3 + y 3 ) R. 2 3(c + d ) 2. hallar E = a −3 + b −3 R. Si : m = y n= 2− 3 2+ 3 Hallar E = 7 m + 11mn − 7 n 2 − 56 3 2 R. hallar E = 2 R. Si se cumple que: a + b = 3 y ab = 2 . Calcular E = 8 1 + ( 2 8 + 1)(2 4 + 1)(2 2 + 1)(3) R. Sabiendo que: m + n = 3 y mn = 2 . Si x − 1 = y + 1 = 2 calcular E = (3x + y)( x + 3y) R. Si = + y x = y + z + 2 hallar E = x 2 + y 2 + z 2 R. 11 9. 9/8 13. Si: x 3 + y 3 + z 3 = 24 . 9/5 m + n2 12. x 2 + y 2 x 2 − y2 17. Calcular E = x 2 + 4 x −2 si ( x − 2) 2 = 2 R. Si x + x −1 = 3 calcular E = x 3 − x −3 R. Si x 2 + y 2 + x 2 − y 2 = y 2 hallar el valor de E = x 2 + y 2 − x 2 − y 2 R. 4 n n a b a n + bn 18. Si ( x + ) = 2( x − ) − 2 hallar E = x 4 + x −4 R. Reducir E = (a x − a − x ) 2 + 4 R. 4 x x 91 . 464 1 1 1 21. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 1 1 8. Si F( x − x −1 ) = x 3 + x −3 hallar F( −1) R. x 2 + y 2 + z 2 = 12 y xy + xz + xy = 12 1 1 1 Hallar E = + + R. ± 8 5 1 2 1 24. ± 2 5 23. 28 20. a x + a − x x 6 − y6 16. ± 2 b a a n bn 19. 2 14. Reducir: (a 2 − 9)(a 2 − 3a + 9)(a 2 + 3a + 9) − (a 3 − 27) 2 + 1458 R. Si x + y = 4 y xy = 2 hallar E = x 5 + y 5 R. 54a 3 10. Si + = 62 reducir E = 3 R. 3/4 xy yz xz 15. Simplificar: E = + x 2 y2 R. 12 m3 + n 3 11. 4 x y z 22. − 2 b1 + b 2 + b 3 11. Hallar la suma de los coeficientes de los factores primos de: P ( x . Factorizar x ( 2 x + 1) + y( 2 y + 1) + 4 xy . Factorizar 2 3 x − 6 + 2 6 x +1 y calcular el valor numérico de los factores para x = 2 / 3 R. Si el polinomio: P( x ) = ax 3 − acx 2 + bx + c . Hallar la suma de coeficientes de los factores primos de : R (x ) = x 4 − x 3 − 7 x 2 + x + 6 R. 3 10. 30 2. R. abc ≠ 0 tiene como factor a f ( x ) = x − c . 20 12. Factorizar : F( x ) = 12 x 3 + 8x 2 − 3x − 2 . Al factorizar el polinomio : P( x ) = x 6 + 3x 4 − 3x 2 − 9 se obtiene: P( x ) = (a 1 x 2 + a 2 x + a 3 )(b1 x 4 + b 2 x 2 + b 3 ) a1 + a 2 + a 3 Calcular: E = R. Si x + y = 5xy hallar P = ( + 1) 3 + ( + 1) 3 R. 9 x + 12 y + 4 9. 12 6. 50 y x a x9 a 4 x9 26. 3 92 . luego indicar el número de factores lineales. ± 5 x9 a x9 a FACTORIZACIÓN 1. 4 x + 3y + 1 3. luego hallar la suma de los factores R. 2 4. Hallar el coeficiente de " x" en un factor de : x 5 − 2 x 2 − x − 1 R. Hallar el coeficiente que aparece al factorizar : E = (a + b ) 2 + ( b + c) 2 − ( c − a ) 2 R. Calcular el valor de b . Hallar la suma de los factores primos de: P( x . − 1 5. DAVID GONZÁLES LÓPEZ x y 25. y. z ) = x 2 ( y − z ) + y 2 ( z − x ) + z 2 ( x − y ) R. 1 7. y) = (3x + 4 y) 3 + (6 x + 8 y) 2 + 9 x + 12 y R. Hallar el número de factores de: 64a b − ab 7 7 13 R. 0 8. R. Si + =7 hallar E = 4 + R. Hallar la suma de coeficientes de los factores primos de : P( x ) = x 4 + 9 x 2 + 81 R. z ) = x 2 ( y − z ) + y 2 ( z − x ) + z 2 ( x − y ) R. 2 x + 2 y + z 16. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 13. Factorizar e indicar la suma de sus factores de: E = x 2 + x − y 2 + y − z 2 − z + 2 yz R. 3 21. 1 − y 2 x 2 −1 93 . 3a + 2c 22. R. y. 2x − 2 2x + 2 x − 1 x − 1 x +1 ( x + y) 2 − (1 + xy) 2 2. Factorizar e indicar la suma de sus factores E = c 2 − (a + b) 2 + (c − a − b)(2a − b) − (a + b − c)(a + b) R. hallar la suma de los términos lineales de los factores primos. Factorizar : P( x ) = x 4 + 4 x 2 ( x + 1) − 3( x + 2) e indicar la menor Suma de coeficientes de un factor primo. Factorizar e indicar la suma de coeficientes del factor cuadrático E = x 25 + x 2 + 1 R. Hallar la suma de los coeficientes de los factores primos de: P ( x . Factorizar e indicar la suma de coeficientes de sus factores E = ( x 3 + 1) 2 − x 2 ( x 2 + 4) R. Efectuar y simplificar: E = − + 2 − 2 R. Hallar la suma de los factores primos de F( x ) . R. 2 x + 1 20. R. Factorizar y hallar la suma de los factores primos: P ( x . 0 19. 0 14. Hallar la suma de los factores primos de: E = (3x + 2)( x + y − 1) + (3x + 2)(1 − x + y) − 2 − 3x R. Factorizar : P( x ) = x 4 − 9 x 3 + 21x 2 − 9 x + 20 Si F( x ) representa la suma de los factores primos de P( x ) . Efectuar y simplificar: E = R. 2 x + 2 18. Luego de factorizar : P( x ) = x 4 − 6( x 2 − 4) + 1 . 3x + 2 y + 1 15. z ) = x 2 + y 2 + x ( y + z ) + y ( x + z ) R. 0 17. y. 0 FRACCIONES ALGEBRAICAS x +1 x −1 x2 +1 4x x −1 1. Simplificar : E = R. Simplificar : E = R. 0 a + 2x + b ab x 2 − ( y − z ) 2 y 2 − ( x − z ) 2 z 2 − ( x − y) 2 8. x x + 2 − x2 − 4 x + 2 + x2 − 4 x 2 + ( x 2 + 1)(1 + x ) 2 11. reducir la fracción: (a − x ) 2 + (a − y ) 2 + (a − z ) 2 + (a − w ) 2 E= R. Si se cumple que: x + y + z + w = 2a . 0 ( x − y)(z − x ) ( y − z)( x − y) (z − x )( y − z) 6. Suponiendo que: (a + 2 x + b)(a − 2 x + b) = (a − b) 2 ( x + a )( x + b) x 3 reducir la expresión: E = − R. Efectuar y simplificar : E = + + R. Efectuar y simplificar : E = R. Efectuar : E = + R. ½ ( x + y) 2 + ( x − y ) 2 + ( z + w ) 2 + ( z − w ) 2 7. x − 1 a ( b − c) x − (a − b ) c x + 2 + x2 − 4 x + 2 − x2 − 4 10. x 1− x x+ 1 1− 1+ x x a 2 b − c 2 a + a 2 c + 2ab 2 − c 2 b + abc + b 3 13. 0 (a − b)(a − c) (b − a )(b − c) (c − a )(c − b) x y z 5. DAVID GONZÁLES LÓPEZ a 2x b 2y b 2x a 2y + + x−y b a ÷ a b a 3. Simplificar : E = R. Reducir : R = R. Efectuar y simplificar : E = + + R. a − b ab + ac + b 2 − c 2 94 . a b b a y x y x b + + b a a b 1 1 1 4. Efectuar y simplificar : E = + + R. 1 ( x + z ) 2 − y 2 ( x + y) 2 − z 2 ( y + z ) 2 − x 2 a (b − c) x 2 + b(c − a ) x + (ac − bc) 9. 1 (1 + x + x 2 ) 2 2 1− x 1+ 2x 1+ x 12. Hallar " a + b" .c) 4. 2 x10 + 2 x 5 x10 − x 5 + 1 x10 + x 5 + 1 a+b a+b b+c b+c a+c a+c 20. simplificar: n n 81+8 + 8 8 ⋅2 E= 8n n R. 0 a+b 2 b − x x + 2b x − 4 b 2 x 20 + x10 + 1 x 20 + 2 x15 + x10 − 1 19. − 3 (a − 2b) x 2 + 10 xy − 7(b + 1) y 2 y 3n y 2n 1 1 16. + = R. Hallar " n" en: 1 + + + + + . Si n ∈ N . 8 8 + 88 a −b −1 b −a −1 x (a − c) x (b −c) 3. calcular: E = − + 2 R.. Hallar la relación entre “ m y n ” si 95 . Simplificar: E = -1 R. Efectuar y simplificar: F = − + + n R. 99 2 6 12 20 n (n + 1) 100 ab x + 2a 2a − x 4ab 18. DAVID GONZÁLES LÓPEZ x 2 − x − 6 x 2 + 8x + 15 14. Hallar el valor de: E = + + + + + b+c a+c a+b a+c a+b b+c sabiendo que: a + b + c = 0 R. − 3 TEORÍA DE EXPONENTES 1. Reducir: E = + R.. y 2 n + 2 y −1 y +1 1− y n n n y +1 1 1 1 1 1 199 17. 9 x 3 y 2. 2 x 2 + 3x + 2 x 2 + 4 x + 3 (4a + b) x 2 + 5xy + 3(2a − 1) y 2 15. Si x = . si la fracción: F = R. 1 c-a x (b . Si: 3 x =5 y =7 z 5 xz Simplificar E = R. Efectuar y simplificar : E = + R. m. Simplificar la expresión: E = 14 n + 3 n n R. halle E = 4 x − 2 R. 2 1 6. 1 96 . 14 3 . Si: x .b m = 10 n a m . 6 .y x + y 2 x .25 2 x y x y x 7 n + 14 n 10 n + 30 n 12. x x + y .x x Calcular el valor mas simple de E = y−x R. n > 0 R. Si: 4 x − 2 + 4 x −1 + 4 x + 4 x +1 = 340 . Sabiendo que: x y = 2 . 35 15. Si: xx = 4 . y x = 2 1+ x 1− y Calcular el valor de E = ( x y + yx )2 R. y. 9/2 1 1 1 − − 7. 2n = m n m n m n 5. 15 5 14. calcular: M = 2 4 3 R.y y + y x + y .x y 9. 9 14 + 28 15 + 45 n n n 7 n + 2 − 35(7 n −1 ) 5(2 n ) 13. Calcular E = x + y al resolver: 3 x = 3 91− y y y y 4 x = 32 x 8 y ∧ . 10 x − 2 y 2 −3 2 xy − 2 5 1 11. Reducir: E = a − b b−c x ⋅ b −c c −a x ⋅ c −a a−b x R.b n = 10 m [ Calcular E = (ab) ( ba ) −1 ] 10 R. Efectuar: E = 3 −8 ÷ −3 4 ÷ 5 R. x. hallar el valor de E = x 4 +x 2 R. y / x x 2 y . DAVID GONZÁLES LÓPEZ m+n m−n m n m n m m m+n m−n = n . Si: a n . 0. 2 30 . Efectuar: E = n +2 n +1 n R. 6 2 8. 4 10. y > 0 R. z ∈ Z + talque y − x ≥ 2 . 20 11(7 n ) 2 − 2 − 2 2 48 . Hallar " x" en: E = log( x log x ) − log x = 16 R.2 y − x = 3 x−y x+y =2 3 R. Si: a ∗ b = x a x + b − x . 1540 20. Hallar el valor de la siguiente expresión: E = log 27 243 − 8 log 64 4 3 2 R. Hallar el valor de la siguiente expresión: E = 3 log 8 2 + log 2 . Simplificar la expresión: M = 5 x 5 8 x 8 11 x . Hallar "α " R.01 97 . R. 1000 y 0. Si A xy = A n . Halle E = x − 2 si : ( x − 1) x =2 R.. 1 19. Calcular " xy" al resolver: ( x + y). a y+z + a x +z + z a y+x x y Calcule: E = R. y = 2 . DAVID GONZÁLES LÓPEZ 16. 45 4(5) + 25 2 − 2 x +1 18. z = 6 − 28 R. 24log2 4. 1 5. x≠0 (3 ∗ 2) + (2 ∗ 3) Calcule E= R.. 6 x 23. 5/6 6 ∗1 n ( xy) n + z − n + n ( yz) n + x − n 21. log g 2 25 R. log 2 16 R. Hallar el valor de la siguiente expresión: E = log 2 . A xz = A m y A yz = A p xyz Hallar el valor de E = A m + n + p 4 −1 −1 −1 xy + xz + yz R. Reducir: E = 5+ 2 n n +3 R. A 1 / 2 LOGARITMOS 1. log 5 8 . 7 3. Calcular " x" en: (log b b x ) −1 + (log x b b) −1 = 2 R. Sea a ≠ 0 y a α = (a 1 ) 20 .(a 3 )18 . 35 x+y x+z y+z 24. 1 / a a xy + a yz + a xz ( 2 n + 3 ) −1 225 4+ 2 n 17. log 3 10 R. Hallar el valor numérico de: E = n (zx ) n + y − n si x = 6 + 28 . (a 20 )1 .. 2/9 2.(a 2 )19 . Si a > 0 y x + y + z = xyz .. Hallar el valor de la siguiente expresión: E = log 3 . b b 6. 3 22. c y d ∈ R + . siendo ambas raíces de la ecuación: x log x − 100 x = 0 .. log y 2 = log y 2 R.. si log x m = 4 tal que 1 1 1 1 m= + + + log a x log b x log c x log d x calcule el menor valor de: a + b + c + d R. Resolver: x2 = 3 R. e x 12. 40 3 1 19. CS = −. 2 + log 2 18. Resolver: log( x 2 + x + 1) > 0 R. Resolver: log 2 (5x + 3) < log 2 (2 x + 4) R. 3 13.0 98 . CS = − 1. 3 10. 1 2 e 11. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 8 log 8 7. Resolver: log y 2 . donde x 1 > x 2 R. 1 y 10000 −n 1 1 1 1 17. 5 3 20. Si anti log b co log b log b x = b −1 log b (−co log b antilo x b) calcular: E = R. 8 y 4 16 64 9. Resolver: anti log(−co log(co log x ) = − R. Calcular " x" en: anti log x anti log 4 2 anti log 2 3 = 81 R. 129 y 628 14. Resolver el sistema y hallar el valor de " x + y" log 2 ( x + y) − log 2 ( x + y) = 1 x2 − y2 = 2 R. Resolver el sistema: log 5 x + 3 log3 y = 7 x y = 1012 y dar como respuesta E = x + y R. 2 15. b. Hallar " x" en: log(2 x − 1) + log( x − 1) n = n n R. Hallar las raíces de la siguiente ecuación: log x = log x R. ½ y 8 (log 8 x ) 2 8. Si se verifica que: log 11 + + + . 1000 16. Calcular el cociente entre x 1 y x 2 . + =n 10 1x 2 2 x 3 3 x 4 n ( n + 1) Calcule: log(n 2 + 10n ) R. Dados a . II. A) 4 B) 2 C) 3. 5x + y −6 es una expresión algebraica racional fraccionaria. para todo x ∈ R . B UNPRG 2004 – II 1. Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo(UNPRG) Preguntas de álgebra en los exámenes de admisión de la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo. 3 4 b) − x 4 y 2 es una expresión algebraica racional fraccionaria 5 c) x − x 3 no es una expresión algebraica 2x Su valor de verdad es: A) VVV B) VFV C) FFV D) FVV E) FVF R. POLINOMIOS Y VALOR NUMÉRICO UNPRG 2000 – II 1. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 1. y) = 3x 2 p y −3q − x 2 q + p y 8−3 p + x c . entonces hallar (a + b + c) 2 A) 64 B) 49 C) 25 D) 81 E) 36 R. aplicadas en los exámenes de admisión de tres universidades del País.10. PREGUNTAS DE ÁLGEBRA EN LOS EXÁMENES DE ADMISIÓN Algunas preguntas de álgebra. De las siguientes proposiciones: a) − 8xy 3 es una expresión algebraica irracional. 8x − 1 99 .. B UNPRG 2001 – I 1. Calcular M . Dados los polinomios: P( x ) = a ( x − 2)( x − 1) + b( x + 1)( x − 2) + c( x − 1)( x + 1) Q ( x ) = − 3x + 7 x 2 + 8 Tal que P( x ) = Q( x ) . si: M = 6 1+ 6 1+ 6 1+ 1 + . 3y III. durante los años: 2000 – 2011 1.. es una expresión algebraica racional fraccionaria.5 E) 3 R. 7 x y 3 es una expresión algebraica irracional. calcular E = 6p − 9q + c A) 22 B) 16 C) 18 D) 24 E) 20 R. es un polinomio homogéneo. Dadas las afirmaciones: I. Si P( x . C UNPRG 2003 – II 2.5 D) 2. B 6 2. 3333 F= ∩ ∩ 0. x 4 y 6 a − 2 b son semejantes. el valor de p es: A) − 13 / 4 B) − 37 / 4 C) 13 / 4 D) 37 / 4 E) 1 / 4 R. Es completo y ordenado en forma descendente calcule el valor de: A = (a 2 + b 2 + c 2 ) b + c A) 2744 B) 196 C) 14 D) 12 E) 10 R. Se definen la operaciones: m → n = (m − n ) 2 (m ↔ n ) (a − b) ↔ b = a. D 3. A) − 2 B) − 1 C) 1 D) 2 E) 4 R. Si x 2 − 5x + 3 = ( x − k ) 2 + p . Los grados de homogeneidad de P( x ) y Q( x ) son 4 y 8 respectivamente. si el polinomio: P( x . Hallar el valor de: ∩ ∩ ∩ ∩ 0. El valor de 2a + 3b es: A) 11 B) 6 C) 7 D) 9 E) 5 R. Los dos monomios x a + b y15 . 333 + 0. 33 + 0. 33 A) 1 B) 2 C) 4 D) 2 / 3 E) 4 / 3 R. 3333 + 0. C UNPRG 2007 – I 1. E 2. DAVID GONZÁLES LÓPEZ Entonces se cumple que: A) Sólo I y II son verdaderas B) Sólo II y III son verdaderas C) Todas son verdaderas D) Sólo I y III son verdaderas E) Sólo II es verdadera R.A UNPRG 2006 – II 1. Si el polinomio: W ( x ) = 3x a − b + 5x 2 a + 7 x b + c + 8x a + b + c + .b Calcular: E = 2 → 5 A) 315 B) 450 C) 81 D) 270 E) 360 R... Si P( P( x )) = 25x + 12 . C 2. y) = 3x 2 m + n − 4 y m + n + 2 + 5x 2 m + n −3 y m + n +1 − 7 x 2 m +15− 2 mn es de grado 10 y la diferencia entre los grados relativos de " x" e " y" es 4 . D UNPRG 2005 – II 1. A 100 . D 3. Determinar m + n . Hallar el grado de: H( x ) = [P( x )] [Q( x )] 2 3 x2 A) 12 B) 16 C) 24 D) 30 E) 32 R. B UNPRG 2005 – I 1. la suma de coeficientes de P( x ) es: A) 8 B) 9 C) 5 D) 6 E) 7 R. 3 + 0. . A) 7 B) 8 C) 6 D) 9 E) 5 R.. B UNPRG 2008 – I 1. es independiente de x e y . Hallar el valor de: P = 4 (362 − )( ) + 0. A 4. Dada la función polinomial: F( x ) = x 3 − 10000 x 2 − 10002 x + 9999 Calcular el valor de F(10001) A) − 2 B) − 3 C) − 1 D) 0 E) 1 R. C UNPRG 2008 – II 1. 10 factores A) 30 B) 90 C) 120 D) 150 E) 165 R. DAVID GONZÁLES LÓPEZ UNPRG 2007 – II 1. g ( x ) = 2 x + n . A 2. A UNPRG 2009 – I 1. Se define P( x − 5) = 2 x − 5 . Dado f ( x ) = 2 x + 5 .. Encontrar el polinomio cuadrático F( x ) que verifica: 1 1 F( x + ) + F( x − ) = 6 x 2 + 8x + 5 para luego indicar la suma 2 2 de sus coeficientes. Determine el grado del producto P( x ) = ( x 3 + 1)( x 6 + 3)( x 9 + 5) . si la fracción F . Calcular ( m − n ) . encuentre " n" de tal manera que f (g ( x )) − g (f ( x )) = 10 . (4m + n ) x 2 + 5xy + 3(2m − 1) y 2 F= (m − 2n ) x 2 + 10 xy − 7(n + 1) y 2 A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7 R. A) 10 B) 15 C) 12 D) 20 E) 8 R. B UNPRG 2010 – I 1. 3 3 A) 19 B) 51 C) 137 D) 251 E) 361 R.111. D 2. Además P(f ( x )) = 4 x − 5 : Hallar f (5) A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 6 R.. hallar θ si se sabe que es positivo A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 R. además f (g ( x )) = x ( x + 2) Calcule: g (3) + f ( 2) A) 10 B) 11 C) 7 D) 8 E) 9 R. Dada f ( x ) = x 2 − 1 . A 2 1082 3. A 101 . Si a ∗ b = a 2 − b 2 y 8 ∗ θ = 39 . C UNPRG 2011 – II 1. ab = n 2 y = 3ab(a + b) 3 m Hallar n A) 1 B) 2 C) 2 D) 4 E) 3 R.1) 2 + (0. El producto de dos polinomios es: x 2 − 18x 2 + 81 y el cociente de su M. C. B 102 ... A partir de x − 3x + 1 = 0 . y su M. hallar N + K [(0.75 hallar M = 1 + x − 1 − x A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 R. C 4.. de dichos polinomios A) x 2 − 9 B) x + 1 C) x − 1 D) ( x + 1)( x + 3) E) x + 3 R. Si x = 0..8) + 0.4)(0.∞ 2 4 8 A) 1 B) 16 C) 32 D) 64 E) 128 R. B 3. E a +b 3 3 1 2. C 2. calcular 2 x5 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 R. DAVID GONZÁLES LÓPEZ UNPRG 2011 .D.D. Obtener P(6) .64] 12 y NK = 5 − k . Se define P( x − 5) = 2 x − 5 además P[f ( x )] = 4 x − 5 . B 3 + 6 + 12 + 24 + . Efectuar Q = +1 3 3 3 + + + . C x7 − x5 + x3 3. Se cumple que: a + b = m . hallar f (5) A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 6 R.M. Hallar un polinomio de primer grado tal que la suma de sus coeficientes sea 20 y verifica que P( −1) + p( −2) = −45 .C.I 1. + 1536 2. Sea K= [(0.C.9) + 0. OPERACIONES CON POLINOMIOS UNPRG 2001 – II 1. A) 100 B) 102 C) 105 D) 108 E) 110 R.81] 17 A) 4 / 5 B) 6 / 5 C) 7 / 5 D) 8 / 5 E) 1 / 5 R. es: x 2 − 6 x + 9 Determinar el M.2) 2 + (0. A 2. ¿Cuales son los valores de m y n respectivamente para que la fracción sea independiente de x e y . (m − 2) x + (n − 2m + 1) y + 4n 5x + 2 y + 12 A) 3 y 1 B) − 1 / 3 y 1 C) 1 / 3 y − 1 D) − 3 y 1 E) − 1 y 1 / 3 R.2)(0. + 1 A) x + y + 1 B) x − y − 1 C) x − y + 1 D) x + y − 1 E) 1 R. A) 35 B) 60 C) 35 / 8 D) 70 E) 8 / 35 R. D t 24 x 75 − y a 3. C UNPRG 2005 – II 1. y al dividirlo por ( x + 1) da como residuo 12 .. Halle el residuo al dividir P( x ) por ( x − 1) . R. En la división inexacta se cumple que: a) El resto por defecto dividido entre el resto por exceso es igual al dividir.. D 2. es: A) − 89 B) 125 C) 17 D) 11 E) 19 R. E UNPRG 2008 – I x 5 − mx 3 + nx 2 − x − 2 1. e) El resto por defecto menos el resto por exceso el igual al divisor.. Hallar el número de términos irracionales en el desarrollo de: (4 x + 3 x ) 48 A) 44 B) 24 C) 39 D) 49 E) 54 R. A) 3 B) 5 C) 8 D) 10 E) 12 R. B UNPRG 2005 – I 1. A UNPRG 2009 – II 1. Si x y es el término central del desarrollo del cociente exacto b x − y2 el valor de R = 2 t − a − b .. B 2. cuyo coeficiente principal es 2 . es divisible por ( x 2 − 4) y ( x − 3) .. Halle (m + n ) si la división tiene x2 − 3 por residuo R ( x ) = 2 x + 7 . d) El resto por exceso menos el resto por defecto es igual al divisor. En el binomio ( x 3 + 2 y 2 ) 7 . Al simplificar: ( x − y) 45 − ( x − y) 44 + ( x − y) 43 + . A) 26 B) 28 C) 29 D) 30 E) 25 R. calcular: a 3 + b 3 A) 0 B) 2a 3 C) 2b 3 D) ab E) a R. Un polinomio P( x ) de cuarto grado en " x" . A UNPRG 2006 – II 1. Si (a + b) 2 = b 2 + b . b) El resto por defecto más el resto por exceso es igual al divisor. − 1 se obtiene: ( x − y) 44 + ( x − y) 42 + ( x − y) 40 + . señale el cociente del coeficiente del quinto término del desarrollo entre el número de términos. DAVID GONZÁLES LÓPEZ UNPRG 2002 – II 1. c) El resto por exceso multiplicado por el resto por defecto es igual al divisor. Calcular el valor de " a" para que el trinomio x 7 + ax + b sea divisible 103 . A) 30 B) − 30 C) 35 D) − 35 E) 15 R. Efectuar 1 2 x − 2x A) 1 + x B) 1 − x C) 1 D) 1 + x 2 E) 1 − x 2 R. C (m 6 − 1)(m + 1) 2. calcular: E = a 2 + b2 + c2 A) 0 B) 3abc C) 3 D) 6 E) 9 R. C ( a + b − 2c ) 2 + ( a + c − 2 b ) 2 + ( b + c − 2a ) 2 2. D UNPRG 2002 – II 1. C 3. Si a + b + c = 0 . se tiene: A) R = n!! B) R = n! C) R = ( n!) 2 D) R = ( n!!) 2 E) R = n R. D 2. E 3. La suma de coeficientes del MCD de los polinomios: 104 . Calcular " a + b" si el polinomio P( x ) = ax 4 + bx 3 + 11x 2 + 2 x + 1 tiene raíz cuadrada exacta. Simplificar (m 2 − 1)(m 4 + m 2 + 1) A) 2m + 3 B) m − 5 C) m + 1 D) 3m 2 + 5 E) m + 7 R. C UNPRG 2011 – I 4 2 x 2 + + 1 3 x x x − 8 1. A UNPRG 2010 – I 1. Al simplificar la expresión R = donde " n" es un número (n!!−1)! natural mayor o igual que tres. DAVID GONZÁLES LÓPEZ entre ( x + 1) 2 A) − 5 B) − 4 C) − 6 D) − 7 E) − 8 R. Si: G + L + S = 0 G = ( x + y + 10z)( x + y − 8z) L = ( x + z + 10 y)( x + z − 8 y) S = ( y + z + 10 x )( y + z − 8x ) xy + xz + yz Calcular: H = 2 x + y2 + z2 A) 13 B) 26 C) − 39 / 7 D) 52 E) 65 R. FACTORIZACIÓN UNPRG 2000 – I (n!!+1)!−n!!! 1. Reducir: E= 3 + 2 − 24 6 + 3 + 2 + 24 6 4 A) 2 3 B) 2 C) 24 3 D) 34 2 E) 4 3 R. B 2. Factorizar: T (a . de los polinomios 105 . D UNPRG 2009 – I 1. A UNPRG 2011 – II 1. B UNPRG 2003 – I 1. S( x ) = x 2 − 4 x + 3 A) ( x 2 − 9)( x 2 + 1) B) ( x 2 − 9)( x + 1) C) ( x 2 + 9)( x 2 − 1) D) ( x 2 − 9)( x 2 − 1) E) ( x 2 + 9)( x 4 − 1) R.C. E UNPRG 2007 – I 1. DAVID GONZÁLES LÓPEZ P( x ) = 16 x 3 + 36 x 2 − 12 x − 18 y Q( x ) = 8x 2 − 2 x − 3 es: A) 3 B) 1 C) 2 D) − 1 E) 0 R. E UNPRG 2006 – II 1.D. La suma de coeficientes de M. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 R. de los polinomios: P( x ) = x 3 − 9 x + x 2 − 9 .C. Hallar la suma de coeficientes de un factor primo de: P( x ) = ( x + 3) 4 + 5x ( x + 6) + 39 A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) 6 R. C UNPRG 2008 – II 1. D UNPRG 2008 – I 1. B UNPRG 2010 – I 1. Indique el número de factores primos cuadráticos de: x 8 y + x 7 + 2x 8 y + 2x 5 + x 4 y + x 3 A) 0 B) 3 C) 4 D) 1 E) 2 R. Q( x ) = x 4 − 10 x 2 + 9 R (x ) = x 2 + 4x + 3 . Hallar el M. de los polinomios P( x ) = x 3 + x 2 + x + 1 y Q( x ) = x 3 + 3x 2 + 5x + 3 es: A) 6 B) 4 C) 2 D) − 2 E) − 4 R. c ) = a 3 b 4 c 2 + a 2 b 4 c 2 + a 3 b 3 c 3 A) 1 B) 3abc C) 3 D) 4 E) 5 R. Al factorizar la expresión: x m + n + x m y n + x n y m + y m + n Uno de los factores es: A) x n + y nm B) x n + y m C) x m + y n D) x m + y m E) x n + y n R. Indicar el número de factores primos cuadráticos en M ( a .D. Calcular el M.M. la suma de los tres factores del polinomio x 3 − 2 x 2 − 5x + 6 es: A) 2 x − 3 B) x + 2 C) x − 2 D) 3x − 2 E) 3x + 2 R.C. b) = a 4 + b 4 − 7a 2 b 2 . b. indicando el número de factores primos cuadráticos. 1 1 1 −4 4 A) B) C) D) E) R. A 106 . TEORÍA DE EXPONENTES UNPRG 2000 – II 1. DAVID GONZÁLES LÓPEZ A ( x . es: A) − 13 / 3 B) 0 C) 2 D) 13 / 3 E) − 2 R. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10 R. C UNPRG 2008 – I 3x + 1 1. A a −1 a +1 a −1 a +12 2. Reducir: E = + + − 1+ a 1+ a 2 1+ a 4 1− a8 1 1 1 1 A) B) C) 1 D) 2 E) R. D x2 x x −1 1− x x2 UNPRG 2009 – I 5x 1. Si la fracción algebraica: se descompone en dos x +x −6 2 fracciones parciales de numeradores A y B . indique una de ellas. Si: = + + x ( x − 2)( x − 5) x x − 2 x − 5 entonces. A UNPRG 2010 – I 1 2 4 8 1. C 4. hallar A + B . el valor de A + B + C . B 5. y) = 5x 3 + 5x 2 y + xy 2 + y 3 C( x . La suma de los numeradores de las fracciones parciales en las que 5x + 1 se descompone la fracción es: x 2 −1 A) 4 B) 5 C) 3 D) 2 E) 6 R. y) = x 4 + 3x 3 y + 3y 4 + xy 3 A) x 2 + y 2 B) 2 x + y C) x + y D) x 2 − y 2 E) ( x + y) 2 R. FRACCIONES ALGEBRAICAS UNPRG 2004 – II 2 x 2 − 3x + 5 A B C 1. y) = x 4 + xy 3 + x 3 y + y 4 B( x . Resolver: 310 x + 310 x −1 + 310 x − 2 + 310 x −3 + 310 x − 4 = 363 A) 1 / 2 B) 1 / 10 C) 1 / 3 D) 1 / 9 E) 1 / 6 R. Después de descomponer la fracción en una suma de x3 − x2 fracciones parciales. Si a + b = ab . Determinar la suma de A y B Si: A = 2 + 2 12 + 3 3 81 y B = −3 375 − 48 A) 3 3+ 2 B) 2 + 43 2 C) 2 + 43 3 D) 2 −3 3 E) 3 3 − 2 R. la suma de las cifras de 24( x ) es: A) 3 B) 7 C) 9 D) 10 E) 11 R.p C) 1 D) x m.p A) x n .p E) x m.p + n x m . B UNPRG 2003 – I 1. entonces el valor de P = x x + x es: A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 R. B UNPRG 2006 – I 1.n + x m. El valor de: + + + es 3 5 23 10 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 R. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 1 1 −3 2 − 2 4 −1 1 −1 2 2. A UNPRG 2006 – II p m x n . entonces: W = es x m. el valor de: b 2a + a 2b W= es: 2a + 2b A) 1 / 3 B) 1 / 2 C) 3 D) 1 / 4 E) 2 R.p + x m. C 3. C 4.n R. C 107 . Dado: ( 2 x ) 2 x −1 = 8 . C UNPRG 2005 – II 2.p B) x m.p + x n . Si m + n + p = mnp . Indique el exponente final de " x" en A 4 3 x8 x5 A= 3 x3 4 x5 A) 1 B) 2 C) 4 D) 0 E) 5 R.n . n −1 2 9n (x ) (x ) A) 5 B) 3 C) 2 D) 7 E) 4 R. hallar el valor de " x" en: (2) 3 9 x +5 = 827 x −1 A) 2 B) 11 C) 1 D) 9 E) 15 R. Si x x = 2 . A x +1 2. E UNPRG 2002 – II 1.n 1. Determinar el valor de " n" para el cual la expresión: E( x ) = (x ) (x 2 n −1 5 )3n 5 es de sétimo grado. 2) − (0. hallar el valor de n . hallar P( 2) . C 6. Efectuar: E = x −5 7 5− x + 35− x A) 21 B) 7 C) 35 D) 53 E) 28 R. log c d . El valor de log b a es: A) 1 / 3 B) 1 / 4 C) 1 D) 2 E) 1 / 2 R. log b c . 25) + 1 es: A) 1 B) 4 C) 9 D) 15 E) 20 R. log f a A) E = 1 B) E = 2 C) E = 3 D) E = 4 E) E = 5 R. E UNPRG 2003 – I log 2 x 1. D 108 . Al resolver la ecuación: Log 3 [log 2 ( x − 3) ] = 2 El valor de x es: A) 512 B) 525 C) 521 D) 515 E) 518 R. A 2 2. Si a .2) −( 0. el valor de E = es: log x 2 A) 1 B) − 1 C) 2 D) − 2 E) 0 R. LOGARÍTMOS UNPRG 2000 – I 1. Si log x 16 = 2 x .25) −( 0. E UNPRG 2008 – II n 33 813n 33 n +1 1. La simplificación de: E = (0. C UNPRG 2009 – I 1. Conociendo que: P( x x ) = x 2 + x 4 + x 6 . donde n ≠ 0 . A) 1 B) 0 C) 2 D) 5 E) 3 R. A UNPRG 2001 – I 1. d y f son números naturales mayores que uno y todos ellos diferentes entre sí. Si 5 n +1 + 5 n + 2 + 5 n +3 + 5 n + 4 = 780 . Simplificar: 64 A) 2 B) 3 C) 4 D) 8 E) 9 R. entonces simplificar la expresión: E = log a b . c. A) 10 B) 4 C) 14 D) 8 E) 2 R. A UNPRG 2009 – II 7 x −5 + 3 x −5 1. DAVID GONZÁLES LÓPEZ UNPRG 2008 – I −1 −1 2. b. log d f . Si: 2 n = a y 4 n = b . A 2. Si se verifica que: log 11 + + + .. C UNPRG 2007 – II 1. Determinar el valor de " y" del sistema e x + y = 12 …. (I) e x − y = 3 …. Calcular " x" de: log ( 2 x −1) ( x + 7) = 2 A) 0 B) 2 C) − 2 D) 4 E) 3 R. B UNPRG 2006 – II log y (log y 5 y ) −1 2 1. D UNPRG 2008 – II 1. C UNPRG 2011 – I 99 k +1 1. B UNPRG 2008 – I −n 1 1 1 1 1.25x = 5 A) 16 B) 4 C) 2 D) 8 E) 32 R. B UNPRG 2007 – I 1. Si satisface la ecuación: ln( x 6 + x 4 − x 2 − 1) = 1 + ln( x 4 − 1) el valor de " x" es: A) 1 B) − e + 1 C) e − 1 D) e + 1 E) 1 − e R. Si b = 10 −1 .5x + log 22 0. + =n 10 1x 2 2 x 3 3x 4 n (n + 1) Calcular: log(n 2 + 10n ) A) 3 log 2 B) 2 log 2 C) 3 + log 2 D) 2 + log 2 E) 2 + log 3 R... E UNPRG 2006 – I 1. D 109 . Resolver: log 22 2 x + log 22 0. DAVID GONZÁLES LÓPEZ UNPRG 2005 – II co log( x + 1 + 1) 1. Siendo A = {7} y R : conjunto solución de: − =3 log 3 x − 40 La suma de los elementos de A ∪ R es: A) 42 B) 83 C) 13 D) 90 E) 55 R. hallar el valor de ∑ log k =1 b k A) 1 B) − 1 C) 0 D) − 2 E) 2 R. (II) A) Ln 4 B) Ln 2 C) Ln3 D) Ln 6 E) Ln5 R.. Calcule x en: = co log y x x co log y (anti log y x ) A) 49 B) 25 C) 4 D) 5 E) 16 R. A 2 4 4 2. D UNMSM 2004 – I 1..4545. Si = 18 . El polinomio: P( x ) = (7 x 2 − 3) n −3 (2 x − 1) n +1 + (n 2 x 3 − 9)(2 x + 3) n −17 + (5x − 7 n )(5x − 1) 2 n −17 tiene como término independiente 112 . calcule P(1) − P( −1) .1111. Hallar el valor de E = 1 + 8 2 + 8 2 2 + 8 2 3 + 8 2 4 + . determine el valor de K = n 2 + 3n + 7 n!+4 A) 47 b) 17 C) 3 3 D) 35 E) 61 R. C UNMSM 2005 – II a 2 b2 b2 1. B 0... DAVID GONZÁLES LÓPEZ Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM) Preguntas de álgebra en los exámenes de admisión de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.. Halle el valor de la expresión: E = 2. A) 6 B) 10 C) 8 D) 9 E) 11 R. Si b = ka y c 2 = a 2 + b 2 halle E = + + c2 a 2 c2 A) 5 + k 2 B) 1 + 3k 2 C) 1 + 2k 2 D) 1 + k 2 E) 2 + k 2 R. + 0.. es ordenado y completo.. B 110 .. + 0.. A) − 15 B) − 12 C) 12 D) 5 E) 15 R. dígitos del numerador. POLINOMIOS Y VALOR NUMÉRICO UNMSM 2003 n!(n!−3) 1.666.9999...)(1.121212. C 2 8 2 −1 63 63 UNMSM 2004 – II 22(2. durante los años: 2000 – 2010 1. Si el polinomio P( x ) = nx n + 5 + ( n + 1) x n + 6 + ( n + 2) x n + 7 + .) 1. halle la suma de los 0. Si f = es una fracción irreductible. D UNMSM 2009 – II 1...222. Halle n . + 8 2 47 63 8 2 63 2 −1 8 2 −1 A) B) 63( 2 − 1) C) D) E) R.8888. GRADO..... 2. A) 13 B) 18 C) 16 D) 20 E) 12 R. 9 2 9 2 9 A) B) 9 / 2 C) D) E) 9 2 R... OPERACIONES CON POLINOMIOS UNMSM 2001 x 30 − y m 1. El resto de la división de un polinomio P( x ) entre x 2 + 3x + 2 es 2 x + 3 . ¿Cuál es su suma? A) 20 B) 18 C) 14 D) 16 E) 12 R. C 2 3 2 4 2 UNMSM 2005 – II [ 1. A 3. A UNMSM 2005 – I 1. D 111 . Si el cociente notable tiene 10 términos. C 2. Halle el resto de la división de P( x ) entre x 2 − 1 . y entre x 2 + 2 x − 3 es x − 2 . C UNMSM 2004 – II 1. La diferencia de los cubos de dos números impares consecutivos es 602 . Si ( 2 x − y − z) 2 − ( 2 x − y + z) 2 = 2 ( y − 2 x ) 2 + z 2 ] . halle el valor de (m + n ) x n − y2 A) 23 B) 21 C) 25 D) 35 E) 50 R. al simplificar la expresión (a x + a − x )(a x − a − x )(a 4 x + 1 + a 4 x ) se obtiene: A) a 6 x + a −6 x B) (a 2 x − a −2 x ) 3 C) a 6 x − a −6 x D) (a x − a − x ) 6 E) (a 3 x − a −3 x ) 2 R. Si a > 0 . A UNMSM 2004 – I 1. ¿Qué término en el desarrollo de ( x −2 y − 2 xy 3 ) 9 carece de la variable x ? A) El 5º término B) El 6º término C) El 3º término D) El 7 º término E) El 8º término R. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 2. halle el valor de 1 + x 2 + x 4 + x 6 de 3 2 A) 4 B) 8 C) 6 D) 16 E) 2 R. Si x es un número real tal que el término central en el desarrollo 12 2 3x − es 924 . D 2. 2 2x − z 2x − y Halle E = + 2z − y 2z A) 3 / 2 B) 1 C) − 3 / 2 D) 1 / 2 E) − 1 / 2 R. A) − x + 2 B) − 3x + 5 C) − x D) 2 x − 1 E) 2 x − 3 R. ¿Cuál debe ser el valor de a 2 de modo que el residuo sea 1 ? 3 3 3 3 3 4 4 2 2 3 A) B) C) D) E) R. Se divide el polinomio x 3 + 2ax 2 − 7ax 2 + 2a 3 entre x − a . Con respecto a las raíces del polinomio P( x ) = x 4 − 2 x 3 + 3x 2 − 4 x + 5 . A) 10 x 2 − 2 x − 6 B) 10 x 2 + 2 x + 6 C) − 10 x 2 − 2 x + 6 D) − 10 x 2 + 6 x − 2 E) 10 x 2 + 6 x − 2 R. A UNMSM 2009 – I 1. FACTORIZACIÓN UNMSM 2005 – I (ax + 1)(by + 1)(cz + 1) 1. B 112 . Si se verifica la identidad: = + + x − 2 x − 3x b x + 1 x − 3 32 para todo número real. A) No tiene raíces negativas. Si el polinomio P( x ) se divide entre ( x − 2) . A) 330 B) 660 C) 1320 D) 2640 E) 5280 R. R. Determine el residuo que se obtendría al dividir P( x ) entre x 3 − 2 x 2 + 2 . Halle el coeficiente de x 3 en el desarrollo del binomio ( 2 x + ( 2 x ) −1 )11 . A 4. ¿Cuál es el valor de r ? A) 25 B) − 25 C) 20 D) − 20 E) 0 R. y al dividirlo entre x 2 − x − 2 se obtiene 8x + 14 de residuo. E) Solo tiene una raíz negativa. FRACCIONES ALGEBRAICAS UNMSM 2002 2−x a b c 1. x distinto de − 1 . Al dividir un polinomio P( x ) entre x 2 − 1 se obtiene − 2 x + 4 de residuo. Si ax + by + cz + abcxyz = 0 . el cociente es x 2 + 2 x + 1 y el residuo es r . Halle el valor de a ⋅ b ⋅ c A) − 1 / 24 B) 1 / 24 C) 3 / 8 D) − 3 / 8 E) 1 / 6 R. marque la alternativa correcta. calcule el valor de E = (ax − 1)(by − 1)(cz − 1) A) − 1 B) 5 C) − 2 D) − 5 E) 2 R. B UNMSM 2009 – II 1. A UNMSM 2007 – I 1. D) Solo tiene tres raíces negativas. Pero si P( x ) se divide por ( x − 4) . B) Solo tiene dos raíces negativas. C) Tiene cuatro raíces negativas. 0 y 3 . DAVID GONZÁLES LÓPEZ UNMSM 2008 – I 1. el residuo es (− r ) . D 3. En la ecuación m x x m 17+ 5 x = x m 23 . D UNMSM 2007 – I 1 7 −7 15 n 8 1. Con m > 0 . B UNMSM 2006 .II 1.01) − 2 m 0. E UNMSM 2004 – II c a x b+c b x c+a c x a + b 2 1. E UNMSM 2009 – I 1.C 4 −2 2 − 2 −x 4 +1 1 + 2 −2 x 1− 4x UNMSM 2005 . Halle el valor de E si a 2 b = a 2 c + bc 2 y E = a +b ⋅ ⋅ a x b−c b x c−a c x a −b A) x 3 B) x 4 C) x 2 D) x −1 E) x R. B UNMSM 2004 – I 2x 2x 1. el valor positivo de x es A) 2 B) 1 C) 3 D) 6 E) 5 R. calcule E = 36 5 3 B A) E = 10 B) E = 100 C) E = 100 / 36 D) E = 216 E) E = 600 R. Si 16 3 = 84 entonces x es: A) 1 / 3 B) 3 C) 2 D) 1 / 4 E) 1 / 2 R. E UNMSM 2005 – I. Si A = x y B = y . Si n −4 = 7 halle la suma de las cifras de n . Resuelva la ecuación exponencial 2 x + 2 + 2 x +1 + 2 x + 2 x −1 + 2 x − 2 = 248 Calcule E = 2 x +1 + 2 x + 2 x −1 A) 5 B) 15 C) 2 D) 112 E) 115 R. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 5. 2 x − 2−x 1. Hallar el valor de m para que se verifique la igualdad (0. 3 7 −7 A) 9 B) 8 C) 1 D) 3 E) 2 R. TEORÍA DE EXPONENTES UNMSM 2000 5 x+4 − 5 x +2 3 y+5 − 3 y+3 A 1. Al simplificar la expresión se obtiene: 4 x − 4 −x 2x 1 2x 2x 2x A) x B) x C) x D) E) R.I 1.1) − m (0.001 = 10 113 . B log ( x +1) 3. entonces el valor de 1 + x + x 2 + x 3 + . Si x es un número positivo.3010 . Si x > −4 .0103 R. E UNMSM 2003 1. log 3 = 0.. E UNMSM 2004 – I 1.2} C) {4} D) {2} E) {8} R.4711 . C 2. tal que −1 4 7(3 b −1 ) x =x = 3b 3 a x3 x2 y 9 b +1 − 2(3 2 b ) Halle la suma de a + b A) 4 B) 6 C) 5 D) 3 E) 7 R. Resuelva la ecuación: 2 8 =3 A) 15 B) 9 C) 26 D) 21 E) 63 R. halle el valor de x que resuelve la ecuación: log( x + 5) + log( x 2 + 8x + 16) = 1 + log( x 2 + 9 x + 20) A) 1 B) 10 C) 4 D) 2 E) 6 R.4116 B) 1. halle x 2 + 12 x + 1 A) 4 B) 0 C) 2 D) 3 E) 1 R. A) 1.4} B) {− 2.2236 D) 1.. halle el conjunto solución de la ecuación x ∗ (1 ∗ 4) = ( −4 ∗ 1) ∗ 4 A) {− 4. + x 12 es A) 12 B) 13 C) 11 D) 1 E) 4 R. LOGARITMOS UNMSM 2002 1.7236 C) 2. A 2. B UNMSM 2004 – II 1. Los logaritmos decimales de 2 y 3 son: log 2 = 0.7060 E) 2. C UNMSM 2005 – I 1. C 114 . Si para a ≠ 0 y b ≠ 0 . Si x es solución de la ecuación: log(5 − 2 x +1 ) − log(6 + 4 x + 2 ) + log 70 = 0 . calcule log 2880 con cuatro cifras decimales. C 6. A 12 15 8 11 12 UNMSM 2009 – II 1. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 11 11 11 12 11 A) B) − C) D) E) − R. Si log ( x + 2 ) ( x + 2) + log ( x + 2 ) 4( x + 2) = 4 . halle el producto de las soluciones de log x = log x 7 − 12 A) 10 9 B) 10 6 C) 10 7 D) 10 3 E) 10 5 R. definimos a ∗ b = log 2 ab . El valor de x en la expresión: 3 log 2 x + 2 log 4 x + 4 log 8 x = 32 es A) 32 B) 16 C) 64 D) 8 E) 36 R. DAVID GONZÁLES LÓPEZ 2. a A) 1 2 ( log b 1 + b 2 a ) B) 2 log b 1 − b 2 C) 1 2 log b (b 2a − 1) 1 D) 2 log b (1 − b 2 a ) E) log b (1 − b 2a ) R. B 2. senx > 0 . a calcule el valor de x log B (A) A) n − b B) nb C) nb − x D) − nb E) n − b + x R. Q dos polinomios dados por: P( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d y Q( x ) = 2 x 3 − x 3 + 3x + 1 Si P( x ) ≅ Q( x − 1) determine el valor de a + b + c + d . A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 R. A ln(a ) Universidad Nacional Nacional de Ingeniería (UNI) Preguntas de álgebra en los exámenes de admisión de la Universidad Nacional de Ingeniería. GRADO. Calcule el valor de P(10 001) A) − 3 B) − 2 C) − 1 D) 0 E) 1 R. 2 +2x 5. POLINOMIOS Y VALOR NUMÉRICO UNI 2000 – I 1. son ln(ab) ln(ab) ln(ab) A) − 1 ± B) 1 ± C) ± ln(a ) ln(a ) ln(a ) ln(ab) D) − 1 ± ln(b) E) 2 ± R. E UNI 2001 – I 1. Las soluciones de la ecuación: a x = b con a > 1 . Si P(0) = 2 . Halle log b (cos x ) . E 2 n 1 3. b > 1 . Sean P. B 115 . cos x > 0 y log b (senx ) = a . B = a x donde a > 0 y x ≠ 0 . Sean los polinomios: P( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d . El valor absoluto de la diferencia de las soluciones de la ecuación −2 log 3 x 1 1 + x log 3 = − log 2 16 es 3 243 A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 R. Q(1) = R ( 2) = 1 . halle x talque R ( x ) = 0 A) − 3 B) − 1 C) 0 D) 1 E) 3 R. Q( x ) = ax 2 + d y R ( x ) = ax + b . D 4. Sean b > 1 . Si A = b . durante los años: 2000 – 2010 1. D . Dada la función polinomial: P( x ) = x 3 − 10 000 x 2 − 10 002 x + 9 999 . DAVID GONZÁLES LÓPEZ UNI 2001 – II A B D 1. Sabiendo que = = y además ( A + a )(B + b)(D + d ) = M 3 a b d AB ab Calcule E = D 3 2 + d 3 2 D d M A) M B) 3 M C) 3 D) M 3 E) M 2 R. A 2 UNI 2004 – II 1. Dados los siguientes polinomios P( x ) de grado 2 y término independiente uno, y Q( x ) = ( x − 1)P( x ) + 3x + 1 . Si Q(2) = 7 y P(1) = 2 , halle la suma de raíces de Q( x ) . A) 0 B) 8 / 3 C) 10 / 3 D) 4 E) 5 R. B UNI 2007 – I 1. Sea p( x ) = ax 2 + bx + c tal que p(1) = −2 , p( 2) = 3 y p(5) = 34 . Determine un valor de x de modo que p( x ) = 0 3 − 34 − 3 + 217 − 3 + 17 A) B) C) 8 8 8 217 + 3 217 + 3 D) E) R. B 8 8 UNI 2007 – II 1. Determine el polinomio mónico de menor grado de coeficientes enteros que tenga como raíces a los números reales 2 − 3 y 3 − 2 . Dé como respuesta la suma de sus coeficientes. A) 28 B) 42 C) 56 D) 70 E) 84 R. E UNI 2008 – I −1 n −3 + m −3 1. Halle el valor numérico de: P = −3 −3 m ⋅n si m + n = 12 , mn = 2 18 3 3 1 1 1 A) − 24 B) − 12 C) − D) E) R. C 24 24 12 2. OPERACIONES CON POLINOMIOS UNI 2000 – II 1. Cuatro números enteros positivos a , b, c, d están relacionados en la siguiente forma: a2 b a2 + b = = =d b c2 a + b + c Si b = ka , entonces a + b + c + d es igual a: A) k 3 + k 2 + k − 1 B) k 3 − k 2 + k + 1 C) k 3 + k − 1 D) k 3 − k + 1 E) k 3 + k 2 − k − 1 R. C 116 DAVID GONZÁLES LÓPEZ 2. De los siguientes enunciados: I. Todo número impar es la diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos. II. El cuadrado de un número entero positivo par n , es igual a la suma de los n primeros números pares positivos. III. La diferencia de los cubos de dos números enteros consecutivos disminuido En una unidad, es divisible por 6 . Podemos afirmar que: A) FFF B) FFV C) FVF D) VFV E)VVV R. D UNI 2003 – I a +c−5 x 21 − ax + c 1. Calcule el valor de K = ; si la división es exacta. a−c x2 − x +1 A) 10 B) 8 C) 2 D) 6 E) 4 R. C UNI 2003 – II 1. Un número n es múltiplo de 3 . Entonces podemos afirmar que el residuo de dividir 2 3 n + 5 + 2 5 n + 4 + 2 5 entre 7 es: A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 R. D UNI 2007 – II (am + an + bm − bn ) 2 + (am − an − bm − bn ) 2 1. Al simplificar: Q = ( a 4 / 3 − a 2 / 3 b 2 / 3 + b 4 / 3 ) R ( m, n ) donde m, n ∈ 0, ∞ y R (m, n ) = ( m − 2mn + n )( 2mn + m + n ) Entonces obtenemos: A) 2(a + b) B) 2(a − b) C) 2a 2 / 3 + 2b 2 / 3 D) 2a 2 / 3 − 2b 2 / 3 E) a 2 / 3 + b 2 / 3 R. C UNI 2010 – II 1. ¿Qué condición deben cumplir los números reales b y c para que el polinomio x 2 + bx + c sea divisible por x − 1 ? A) b − c = 1 B) b + c = 1 C) c − b = 2 D) b − c = −1 E) b + c = −1 R. B 2. Si x − x −1 = 0 , ( x ≠ 0) , entonces los valores de x 2 + x −2 y x 3 − x −3 son: 1 1 1 A) 3 y 4 B) 2 y 3 C) 2 y D) 3 y E) 4 y R. A 2 3 4 3. FACTORIZACIÓN UNI 2000 – II 1. Si ac + ad + bc + ab + bd = 0 , determine el valor de x , de modo que: ( b + c + d ) = x (a + c + d ) A) b 2 / a 2 B) a 2 b 2 C) a 2 + b 2 D) a 2 − b 2 E) a 2 / b R. A 117 DAVID GONZÁLES LÓPEZ 4. FRACCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES UNI 2001 – I x y z 1. Sean x ; y ; z números naturales, donde + + = 1,4375 . 2 4 16 ¿Cuántas ternas ( x , y, z) solución se obtienen, en las cuales z = 3 ? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 R. D UNI 2002 – I 1. Con tres números enteros x 1 = a , x 2 = a + 2 , x 3 = a + 4 se forman las xk seis posibles fracciones , para k ≠ 1 . xi Para que la suma de dichas fracciones sea un número entero, será necesario que x i valga. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 R. B UNI 2003 – II 1. Halle el menor entero positivo n tal que las 73 fracciones 19 20 21 91 ; ; ; ... ; n + 21 n + 22 n + 23 n + 93 sean todas irreductibles. A) 93 B) 95 C) 97 D) 101 E) 103 R. B 5. TEORÍA DE EXPONENTES UNI 2008 – II 1. Para los enteros positivos a y b se define: a ∗ b = a 2 b −1 . Si x e y son enteros positivos y x ∗ y = 32 , ¿cuál de los siguientes números podrían ser el valor de y ? I. 1 II. 2 III. 3 A) solo I B) solo III C) I y III D) II y III E) Todas R. C UNI 2010 – II 54 1. Si 2 64 = a a y 3 = (3b) b , halle 3a + 2b A) 48 B) 96 C) 66 D) 94 E) 44 R. C 6. LOGARITMOS UNI 2000 – II 1. Halle las raíces en la siguiente ecuación: log x = log x −2 A) x 1 = 1 ; x 2 = 10 4 B) x 1 = 10 ; x 2 = 10 2 C) x 1 = 10 −1 ; x 2 = 10 3 D) x 1 = 10 −1 ; x 2 = 10 2 E) x 1 = 1 ; x 2 = 10 5 R. A UNI 2002 – I 1. Del sistema: 3 x +1 − 2 y = 11 3 x + 2 y +1 = 41 118 B UNI 2004 – II −1 1. C 243 81 27 9 3 UNI 2007 – II 1.I log n 1. Dichos números son: A) − 2 y 5 B) 4 y 5 C) 2 y − 5 D) 2 y 5 E) 3 y 20 R. entonces la expresión racionalizada es: 2+ 3+ 5 A) ( 12 + 18 − 30 ) / 12 B) ( 15 + 18 − 30 ) / 18 C) ( 12 − 18 + 30 ) / 12 D) ( 15 − 18 + 30 ) / 18 E) ( 12 + 15 − 30 ) / 12 R. Sea E = . C 2. A 119 . Las soluciones reales de la ecuación log 5 ( x 2 − 20 x ) = 3 son: A) no existen B) únicamente x = 25 C) únicamente x = 5 D) x 1 = 5 . A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12 R. Dada la siguiente ecuación: log(2 x − 1) n + log(x − 1)10 = n Halle x . A UNI 2003 – II 1. Determine la base a tal que log a 27 = 2 1 1 1 1 1 A) B) C) D) E) R. DAVID GONZÁLES LÓPEZ Halle log y x A) 1 / 2 B) 2 / 3 C) 3 / 2 D) 2 E) 4 R. sabiendo que n es cualquier entero positivo y log es el logaritmo en base 10 . R. E UNI 2004 . La suma de los cuadrados de dos números es 29 y la suma de sus logaritmos (en base 10 ) es 1 . A) 6 B) 3 C) 4 D) 2 E) 3 / 2 R. x 2 = 25 E) x 1 = −5 . D 7.I 1 1. RACIONALIZACIÓN UNI 2000 . ¿Cuántos números enteros positivos b tienen la propiedad de que Log b 531441 sea un número entero. I. Álgebra. Ziegler.Sobel.Torres.(1996). y Schwitters. (1989).Instituto de Ciencias y humanidades. México: International Thomson Editores. . Álgebra y principios del análisis.Barnett. Lima: Editorial Moshera . M.). .Kaufmann.). (2001).Allen. (1991). Álgebra: Tomo I (10ª ed. Admisión UNMSM 2000 – 2010-I. Lima: Editorial San Marcos. (2003). Lima: Lumbreras editores. R.Quijano. Álgebra teoría y práctica.Mikhaild. México: International Thomson Editores.Gustafson. D. (1995). Álgebra Intermedia. Algebra ( 6ª ed. Álgebra elemental. K. . . y Dewar. (2000). J.). (1997). (2008). (2009). Lima: Lumbreras editores. . ..Zill. M.). Lima: Lumbreras editores . (2000).2008. (2010). Álgebra teoría y práctica. (2000).). J. Álgebra Intermedia (6ª ed. Álgebra (4ª ed.). . A. México:Prentice Hall Hispanoamericana. Álgebra teoría y problemas:Tomo I. ( 2003). J.Villon. . M. M. . Razonamiento matemático moderno. . Bogota: McGraw – Hill . .Rubiños.Bello. . Lima: Editorial San Marcos.Rodriguez. Lima: FAVAL. D.Instituto de Ciencias y humanidades. K. y Lerner. N. Álgebra y Trigonometría (2ª ed. México: Prentice Hall. M. C. . Lima: Editorial San Marcos. México: McGraw – Hill. (2005). REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .Instituto de Ciencias y humanidades. (1999). Lima: Editora Algorítmo. Admisión UNI 2000 . Álgebra intermedia (4ª ed. Tomo I y II. México: International Thomson Editores. y Byleen. L. 1 14. − x 3 − 5x 2 y − 3xy 2 − 2 x − 5 y 3 x + x − x2 − x + 2 4.. x 3 − x − x 2 10. y − 40 y + 14 y + 11y + 19 y − 31 5 3 2 4 55 7 3 21 14.. ( m + 4)(m 2 + 6m + 10) 12. R ( x ) = x 2 + x − 18. 25 / 18 12. − 20 18. − x + xyz + x 3 z 2 − 1 3 2 10 5 5 3 3 8. 5 Ejercicios 02: Valor numérico de expresiones algebraicas 2. 4ab 30. RESPUESTAS A ALGUNOS EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicios 01: Grado de un polinomio y polinomios especiales 4. − 28 y 5 − 20 x 5 − 8x 3 y 2 + x 2 y 3 − 21xy 4 16. 39 / 19 8. m 2 − mn + n 2 6. C( x ) = 2 x 3 − x + x − . 4 28. 1 / 2 24. ax 3 + a x − a x − x4 + a4 10. 8 12. b) x 4 + 3x 3 + 9 x 2 + 27 x + 81 d) 4 xy 2 − 5m 3 f) 16 x 4 + 28x 2 y 3 + 49 y 6 h) a 15 − a 12 b 3 + a 9 b 6 − a 6 b 9 + a 3 b12 − b15 j) ( x + 1) n −1 + ( x + 1) n − 2 + ( x + 1) n −3 + . x 22. x 5 + x 4 y − x 3 y 2 − x 2 y 3 − xy 4 − y 5 3 2 8 10 9 5 2 6 4 2 10. x 2 − x − . 2 x 5 − 5x 3 − 4 x 4. 34 34. (a − b )(a + b )( x − 3)( x + 3) 16. − x 3 + x 2 y + xy 2 − 36 6 8 2 37 2 3 18. 16 20. m 6 − 8m 4 + 11m 2 + 20 4. 2 y + 6 y + 4 y − 6 y − 8 4 3 2 12. x 2 a +5 + 2 x 2 a + 4 − 3x 2 a + 3 − 4 x 2 a + 2 + 2 x 2 a +1 14. x + x y− x y + xy − y 4 5 10 60 6 19 2 2 23 3 3 8. m = 5 y n = 3 6. − 2 x 5 − x 4 − x 3 + x 2 + x 8. x 3 + x 2 + x + . ( x a + y b )( x m + y n + z p ) 14. 2 18. 9x + 14a − 9b 20.Cocientes notables 8 3 9 2 4 3 2. x 2 + x 2 +1 32. x 12 − y 6 24. b 26. 74 / 25 6. R ( x ) = x + 2 4 8 8 2 4 8 8 4 1 5 15 19 43 31 16. 5 10. 8 x 3 + 1 6. 5 Ejercicios 03: Adición y sustracción de polinomios enteros 2 4 1 3 9 2. 3 14. x 6 y − x −6 y n n −1 20. 5 6 8 2 1 1 9 8 7 1 5 3 3 6.Productos notables 3 4 1 3 17 2 2 7 3 2. x 6 − 1 26. 5/ 6 10. ( x + z )( x − y )( x + y ) 4. 0 28. 23 / 2 8. ( x + a )( x 2 − ax + a 2 )( x − a )( x + a )( x 2 + a 2 ) . 1 16. 1 24. 1 20. C( x ) = 2 x 3 + 4 x 2 + 5x + 13. 3xy + y + 18 4 Ejercicios 04: Multiplicación de polinomios enteros. x 16 − 1 16. 8 y − 8 22. − x n + 5 + x n + 4 + 3x n +3 + x n + 2 12 18 4 12. 6 22. x 6 − 1 22. m = 8 y n = 12 20. 22 28. − 2 Ejercicios 05: División de polinomios enteros. ( x + y + 1)( x − y)( x + y) 6. + 1 l) ( x 2 − 3) 2 − ( x 2 − 3)( y 2 − 2) + ( y 2 − 2) 2 Ejercicios 06: Factorización 2. ( x p + y p ( x n + y m ) 8. 168 36. 11 / 8 4. − 396 18. R ( x ) = 25 8 5 5 2 5 1 15 1 1 17 21 21 12. ( p + q )(pq + r 2 ) 10. R (x ) = − 14. 7 / 11 16. 40 2 4 8 8 8 8 26. 4. ( x 2 + x + 1)( x 3 − x + 1) 72. 22. (2 x + 1)( 2 x + 1)(3x + 1) 42. ( 2 x + 1)(3x + 1)(5 x − 1) 46. ( x 2 − x + 1)( x 3 + x 2 − 1) 68. 16 10. (m 2 + n 2 − mn )(m 2 + n 2 + mn ) 58. x − 2 40. 6 16. ( m 2 + m + 1)(m 2 − m + 1)(m 6 − m 2 + 1) 74. ( x + 1) /( x − 1) 80. 42. ( x 2 − 2 x + 4)( x 2 − 2 x − 1) 32. a 2 − b 2 + ab 90. + + 52. x + y 88. 8. 3 14. (5x 2 + 4)(3x 2 − 2) 26. m ab 18. 1 8. − x − 1 ( x − 1) 2 ( x − 1) 3 ( x − 1) 4 ( x − 1) 5 2( x + x + 1) 2( x − x + 1) 2 2 Ejercicios 08: Teoría de exponentes 9 2. 6. 8. ( x + 2)( x 2 + 4 x + 7) 40. (a 2 + 3a + 3)(a 3 + 2a 2 + a + 1) 70. 10.18. 2 + x−6 x +2 x x − 3 ( x − 3) 2 x + 3 x −1 x − 2 x2 +1 2 3 1 1 2 x +1 x −1 56. ( x − y)( y − z)( y + z)( x 2 + xy + y 2 ) 20. 3 x y 4 2xy x−y 4x − 9 y . 16 Ejercicios 07: Fracciones algebraicas 5x + y 19 x 2 + 15x + 5 − 3x 2 + 9 x + 14 1 3m 2 − 3m + 10 2. x n − 3 12. 2( x 2 + 3x + 1)( x 2 + 3x + 1) 56. ( x 4 − x 2 + 1)( x 6 + x 4 − 1) 76. ( x − 3)( x + 2)( x 2 − x − 8) 52. 32. 1 x −1 y x +1 x 2 − xy + y 2 2(m + 6)(m − 7) m + nx 34. (a 2 b 2 + 8c 2 − 4abc)(a 2 b 2 + 8c 2 + 4abc) 64. 7 Ejercicios 09: Racionalización 55 xy 2 3 2 38 x 6 y 4 7( 4 x + 4 y )( x + y ) 5 x (2 x + 3 y ) 2. ( x 2 − y 2 − 5xy)( x 2 − y 2 + 5xy) 66. 3x − 1 84. ( x + 1)( x − 1)( x + 2) 36. 0 38. 1 46. ( x 2 − 4 x − 7)( x 2 − 4 x + 5) 54. − 50. ( x 2 − 2 x + 3)( x 2 + 2 x + 3) 62. ( x + 2 y )( x + 2 y + 2) 24. 18. x 2 ( x − 3) 28. 16. 3 2 22. 60 15x 2 6x 2 3 4(m − 1)(m + 1) a (a − 3) 3x 2 + 2x + 4 − 4 x + 30 14. a + b 82. (3x +1 − 6)(3x +1 + 5) 34. (2 x − 1)( 2 x − 1)(3x + 1)( x − 1)( x + 1) 44. 1 10. 6. x + 1 26. 6. 2 78. 12. ( x − 1)( x + 1)(m − 1)(m + 1) 22. ( x − 1)( x + 4)( x 2 + 1) 38. 2 − 54. 3 44. 1 4. 36. 4a 2 b(a − 3b)(a + 2b) 28. (3x + 5 y )( 2 x + 3y ) 30. 4(3a − 2)(2a − 1) ( x + 1)( x − x + 1) 2 ( x + 5)( x − 5) 2 1 x−y x ( x − 2) 20. 4 24. (1 − y)(1 + y) 86. 5x 51 / 4 20. ab 24. 7 28. ( x 2 + 2 x − 8)( x 2 + 2 x − 6) 50. 4. ( x 2 + 5x + 5)( x 2 + 5x + 5) 48. + + + + 58. ( x 4 − 2 x 2 − 4)( x 4 + 2 x 2 − 4) 60. xy 2 (m − 5)(m + 1) m+x 5 4 −4 5 1 3x − 1 2 2x + 1 x − 2 48. 10 26. 30. − 10. 1 18. − 2 6. 2 16. 5(2 x + y ) 1 2 18 + 9 3 − 4 6 12. 4 y 8 2 3 20. − 8. 6( 2 + 3 + 5) 16.58 12. 8 32 14. 14. 7 4. 4x − y 4 3 Ejercicios 10: Logaritmos 9 1 2. 1 + 2 18. 0. 2 22. 2 . com . Diseño y diagramación: Carlos Gamonal Torres Consultas y sugerencias al e-mail del autor: david252512@hotmail.