2Preguntas propuestas A) 8 B) 7 C) 3 D) 2 E) 1 A) 25 B) 4 C) – 22 D) – 20 E) – 16 5. P(x)=x4+x2+1 A) P(x)=(x2+x+1)(x2 – x+1) B) P(x)=(x2+1)(x2 – x+1) C) P(x)=(2x+1)(x – 1)(x+1)(2x – 1) D) P(x)=(x2+x – 1)(x2 – x – 1) E) P(x)=(x2 – x – 1)(x2 – x+1) 2 . A) f(x)=x – 2 B) f(x)=x – 4 C) f(x)=x2 – 2 D) f(x)=x2 – 2x – 1 E) f(x)=x2+2x – 1 P(x. A) a+b+c – d B) a+3b+c+2d C) a – b+c – d D) a+b+c+d E) a+2b+c+d A) 2(x+y) B) x+y+1 C) 2x+2y – 1 D) x+y+2 E) x+y 2. Dados los polinomios 3 P(x)=(x2 – 2x+1)(x2 – x – 6) Q(x)=(x – 1)2(x – 3)2(x – 4)2 indique el grado del máximo común divisor de P(x) y Q(x). c. Determine la suma de los factores primos del siguiente polinomio. P(a. Calcule la suma de los factores primos de 2 2 P(x. 7. Si 2 es raíz del polinomio P(x)=x3 – 5x+a. Factorice el siguiente polinomio cuártico. calcule el valor de b. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 9. Halle un factor primo. Si f(x) es un factor primo del polinomio P(x)=(x+3)(x+2)(x+1)x – 8. d)=a2 – c2+b2 – d2+2(ab – cd) 10. M(a. A) – 1 B) 1/2 C) 1 D) –1/2 E) 0 3. donde P(x)=ax3 – 2ax2 – bx – 1. a)=2x2 – a+2x – ab+2xb – ax. Factorice el siguiente polinomio e indique un 1. y)=(1+xy) – (x+y) .Álgebra Factorización de polinomios NIVEL INTERMEDIO NIVEL BÁSICO 6. calcule el mayor valor de f(1). Sea el siguiente polinomio de dos variables. b. en- factor primo. Si f(x) es factor primo de P(x)+3. b)=36a4 – 61a2b2+25b2 A) 14a B) 12a+12b C) 25a D) 7a+6b E) 5a – 2b 4. A) x+b B) ax+b C) 2x+b D) 2x – a E) a+b 8. Indique el término independiente de un factor primo del siguiente polinomio. ab ≠ 0. P(x)=(x – 23)2+3x – 67 tonces determine el factor primo de mayor término independiente. Sea f(x+2)=x. D) –P(x) es un trinomio cuadrado perfecto.Álgebra 13. B) P(x) tiene solo una raíz. Dado el polinomio que cuántos factores primos tiene. A) x2 – x+1 B) x2+x+1 C) x2 – x – 1 D) x2+x – 1 E) x2+x – 2 . señale el factor primo de mayor término independiente. E) P(x) tiene 3 factores primos lineales. z. C) g(x)=x – b es un factor de P(x). w)=(x+y+z+ )(x+y+z+w+5) – 24. Si –2 es una raíz del polinomio f(x)=x5+x4+mx3+x2+x+m indique el factor primo cuadrático de f(x). 3 15. A) 2x+1 B) 2(x+2) C) 3x+2 D) 3x E) 2(3x+1) 12. Factorice el siguiente polinomio sobre Z e indi- NIVEL AVANZADO 11. y)=(x+y)2(x2+3xy+y2) – 6xy(x2+xy+y2) A) 2 B) 3 C) 4 D) 1 E) 5 Q(x. A) P(x) es un trinomio cuadrado perfecto. halle S(x). y. Si f(x)=x+b es un factor primo del polinomio P(x)=(a2 – b2)x2 – 2bx – 1 definido sobre Z. 14. indique lo correcto. P(x. Si S(x) es la suma de factores primos del A) x+y+z+w – 2 B) x+y+z+w – 3 C) x+y+z+w+8 D) x+y – z – w+1 E) x – y+z – w+12 polinomio P(x)=6x4 – 5x3 – 6x2+3x+2. Si P(x+2)=2x+1. B) {a – b} C) {ab} –1 A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 D) {ab } E) {b – a} 4.5 B) –1. determine el valor de x02 + 17 x0 1 + 2 x0 A) 5 A) 1/4 B) 1/2 C) 1 D) 2 E) 4 B) –1 C) 0 D) 1 E) 10 2. Determine el valor de x para que los tres números siguientes estén en progresión aritmé- 9. P(x – 2)+P(x)=6 nita x. Calcule el valor de m – n si se sabe que 2 es una A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 3. ab ≠ 0 ∧ b ≠ –1 b b A) {a–1} B) 2 C) 3/2 D) 4 E) 5/2 raíz doble en la ecuación x6 – 9x4+mx2+nx+8=0 A) 5 B) – 6 C) 49 D) 54 E) 64 es la suma de raíces.8 D) 1. x+1. entonces determine la solu- 10.Álgebra Teoría de ecuaciones NIVEL BÁSICO NIVEL INTERMEDIO 6. 3 – x. Resuelva la siguiente ecuación lineal de incóg- tica. 2x+1 A) 1/2 5. a≠b a b b ab A) {a+b} 8. 2 2x − 3 6 − 4 x 6 x − 9 + + =0 2010 2011 2012 A) 1.7 C) 1. Sea la ecuación polinomial (x+2)(x – 1)2 · x3 · (2x+6)4=0 Halle (a – b) si a es la suma de soluciones y b 7. Dada la secuencia de ecuaciones 2x – 3=1 3x – 7=2 4x – 13=3 5x – 21=4 halle la solución de la novena ecuación. Si b es solución de la ecuación x4+4=0. Si x0 es una solución de la ecuación x2+7x–5=0. x x a 2ab + b2 + = + . calcuβ 1 le el valor de + 2 β 1.2 E) 1 4 . Determine el valor de x que cumpla lo siguiente A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 7 B) {b–1} C) {a} D) {b} E) {a+b} ción x. Resuelva la ecuación lineal de incógnita x. ax + 1 2+ b + ax = . 5 C) 4 D) 3. Dada la ecuación polinomial ( x ) − x − 2) ( x − x − 6 ) ( x − x − 12 . = 0 2 2 2 20 factores cuadráticos determine la suma de raíces de dicha ecuación. Calcule la suma de raíces de la ecuación. 2 2 1 1 3 p + 3 3 p p + p x − = 2 2 p p D) 3 1 p+ 2 2 p E) 2 2 1 p + 3 p 14.. En la ecuación polinomial n+3 3 –n (2x+1) (x+n) (x+1) =0 la suma de soluciones de 1/2.Álgebra NIVEL AVANZADO 11. Si x0 es la solución de la ecuación x 64 + 34 x 34 − x = + 1156 9248 64 calcule el valor de 3 3 x0 − 1 − 1..5 E) 3 13. Resuelva la siguiente ecuación si se sabe que C) C) { 2 + 3 } D) { 2 + 3 + 5 } 1 1 p− 3 3 p E) { 6 + 10 + 15 } 5 6 = 2 5 + 2 2 + 2 3 . Resuelva la siguiente ecuación lineal x− 2 15 + x− 3 10 + x− 5 A) { 5 − 2 + 3 } B) { 30 } 1 1 A) p + 3 3 p B) 2 1 p− 2 3 p UNMSM 2004 - I A) 5 B) 4. p > 0. A) 19 B) 21 C) – 21 D) 20 E) – 20 12. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 8 15. Se sabe que x1 ∧ x2 son las raíces de la ecua- ción x2–5x+m=0. Halle el producto de las raíces de la décima ecuación x2+x–1=0 x2+8x – 8=0 x2+27x – 27=0 6. determine el valor de dicha solución. Dada la ecuación x2 – 6x – 10=0. Si la ecuación kx2+x2 – 4x+3k – 7=0 tiene raí- A) 19 + 3 B) 64 − 8 19 C) 64 + 2 19 D) 64 − 72 E) 2 19 7. entonces halle el valor de k. ( a + 1) x 2 + ( b − 1) x + 1 = 0 2 8 x + ( a + 1) x + 2 = 0 Determine el valor de a+b – 1.Álgebra A) 6 B) 3 C) 5 D) 4 E) –5 Ecuación cuadrática NIVEL BÁSICO NIVEL INTERMEDIO 1. A) 729 B) 1000 C) –1000 D) – 729 E) 812 UNMSM 2000 2. A) 0 B) 1 C) –1 D) 8 E) 2 10. Las ecuaciones cuadráticas que se muestran a continuación son equivalentes. entonces halle el valor de m+n. A) A) 4 B) 2 C) 3 D) – 3 E) 5 3. Determine el valor de J. Si la siguiente ecuación cuadrática en x 2x2+2(a+1)x+a2 – 1=0. a > 0 tiene una única solución. x2. cuyas raíces reales son a y b. B) 7 C) 5 UNMSM 2004 - I A) – 11 B) 13 C) – 20 D) – 9 E) 2 3 5 8 D) 10 E) 0 UNMSM 2004 - I según P(x)=x2 – 2x+1 de las raíces de Q(x)=x2+x – 1? 9. y x3 ∧ x4 son las raíces de la ecuación x2 – 80x+n=0. J=(a – 1)2+(b – 1)2 8. Determine una ecuación cuadrática cuyas raí- A) 256 B) 260 C) 1024 D) 1028 E) 1020 ces sean ( 5 + 3) y 2 5+ 3 2 A) x – 3x+5=0 B) x 2 − 5 x + 2 = 0 C) x2 – 2x+4=0 D) x 2 − 3 5 x + 2 = 0 E) x 2 − 2 5 x + 2 = 0 5. x3 y x4 (en el orden dado) forma una progresión geométrica creciente. 2x2 – 6x+14=0. m∈Z halle el mínimo valor de m. 4. Si se sabe que los números x1. Dada la ecuación de raíces no reales 2x2 – (m+1)x+(m+1)=0. determine el valor de (a – 2)2+(b+2)2. tal que a > b. ¿Cuál es el valor de la suma de las imágenes ces recíprocas. Sean a y b raíces de la ecuación cuadrática. A) 3 B) –2 C) –1 D) 4 E) 2 6 . B) Posee raíces racionales. E) Tiene raíces reales de signos contrarios. Determine el valor de una raíz de la siguiente ecuación cuadrática en x. ∀n ∈ N Determine el valor de 2 S7 + 13 S5 S6 a3 − b3 . {a. Sn=rn+sn. Calcule el valor de la expresión guiente ecuación cuadrática. b} ⊂ Z de raíces reales y negativas. cx 2 − 2 x + b = 0. Sea la ecuación cuadrática ( a − b) x 2 − 2 x + ( a − b) = 0. Dada la ecuación 4x2 – 6x+26=0. (a – b)(a+b)x2 – 2(a3+ab2)x+(a2+b2)2=0 A) D) a2 + b2 a+ b B) a+b C) a – b a− b a2 − b2 E) a+ b a 12. además se define 7 C) 6 E) 2 14. C) Tiene raíces reales positivas. D) Posee una única solución. 3ab + 1 A) 0 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3 15. 2013 . Determine el valor de n si la ecuación cuadrática mx2+nx – 2=0 tiene por conjunto solución a α2013 α2013 . Indique la alternativa correcta respecto a la si A) 0 B) 1 D) 3 13. c ∈ R+ ∧ b ∈ R− A) Tiene raíces no reales.Álgebra NIVEL AVANZADO 11. cuyas raíces son r y s. a ≠ 0 α + 1 2α2013 − 1 A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 . III. A) 8 B) 0 C) 4 D) –1 E) 2 4. Determine el intervalo de variación de a. A) 25 B) 72 C) 50 D) 300 E) 150 8 . indique el valor de m. Si la suma de raíces es 4. 7〉 C) R – {5} D) 〈– ∞. x2 y x3. determine el valor de a. Dada la ecuación cúbica x3 – (n+1) x2+(n+3) x+n=0 de raíces x1. A) 25 B) 17 C) 9 D) 41 E) 33 8. II. Determine el valor de m. Si las raíces de la ecuación cuadrática x2 –3x+2=0 son también raíces de la ecuación cúbica x3+(m+9)x2+5x – 2=0. A) 〈– ∞. 2〉 B) 〈– 6. 3〉 10. La ecuación tiene dos raíces no reales. El valor de a es 12. A) –10 B) –14 C) 1 D) 10 E) –13 2. de A) 27 B) 30 C) 32 D) 36 E) 0 I. Si 2+tan60º es una raíz de la ecuación cúbica x3 – 9x2+mx+n=0. halle el valor de m+n.Álgebra Ecuación de grado superior NIVEL BÁSICO A) FFV B) VVV C) VFF D) FVV E) VFV 1. b y c son raíces de la ecuación x3 – 7x+1=0 entonces halle el valor de a3 + a + 1 b3 + 2b + 1 c3 + 3c + 1 + + a b c 5. A) 16 B) 21 C) – 5 D) 17 E) 2 3 9. Dada la ecuación bicuadrada a a (13 − a) x + − 3 x 3 + − 5 x 2 4 2 4 NIVEL INTERMEDIO 6. Dado f(x)=(x+3)(x – 2)(x – 4) halle el número de soluciones reales de la ecuación f(x2)=0 A) 5 B) 6 C) 2 D) 4 E) 3 7. Las raíces de la ecuación bicuadrada 2x4 – 40x2+m=0 están en progresión aritmética. 3〉 E) 〈0. determine el valor de T. halle la suma de cuadrados de las soluciones de la ecuación x2+mx+n=0. {m. n} ⊂ Q. T=x1x2+x2x3+x1x3(1+x2) A) 4 B) 6 C) – 2 D) 3 E) – 4 3. Si dos de las soluciones de la ecuación bicua- drada x4 – mx2+n=0 son 1 y 2. Si la ecuación x3 – 4x2+ax – 8=0 tiene dos raíces que suman 2. Si a. a−2 + − 2 x − a = 0 5 indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones: modo que la ecuación bicuadrada x4+(1– a) x2+2(a – 3)=0 tenga solo dos raíces reales. La ecuación tiene dos raíces enteras. Sea K = 1 − ( a + 6) 1 − ( a + 6 ) A) –2 B) 0 C) 1 D) 2 E) 4 9 . Si A = { x ∈ Z / x5 − 5 x3 = 36 x} A) 1 + a0. 6} E) 1 − a0. calcule el valor de la menor raíz (m ∈ Z+). J= donde a es raíz de la ecuación x3 – x – 6=0. calcule el valor de J. Si la suma de las raíces positivas de la ecuación 1 A) –1 B) − C) 0 2 D) 1 E) 2 1/ 3 0.8 + a16 / 9 UNMSM 2002 14. 6} B) {–3. Halle la expresión equivalente a K. 6} C) {–3. 0. 3} D) {–3.8 + a16 / 9 B) 1 + a4 / 3 + a8 / 3 B = { x ∈ Z /( x − 3) ∈ A} halle (A ∪ B) – (A ∩ B) C) 1 + a0. de modo que sus raíces sean positivas.8 13. Determine el valor de n en la ecuación 12. 3} E) {0. c}. 3.8 bicuadrada x4 – (m+1)x2+m=0 es el 75 % del producto de todas las raíces. A) 3 B) 9 C) 27 D) 54 E) 81 15. 0. 0.6 + a22 / 3 D) 1 + a8 / 81 + a16 / 81 A) {– 3. Si la ecuación cúbica x3 – x+1=0 tiene CS={a.Álgebra NIVEL AVANZADO 11. 3. ( a2 − 1) ( b2 − 1) ( c2 − 1) ( a + b) ( b + c) ( c + a) 2x3 – 18x2+nx – 54=0. b. – 3] ∪ [1. c y d son números reales tales que a < b < c < d. D) –18 y 3. +∞〉 D) 〈3. E) − . B) –15 y –12. C) − . 2 3 3 4 A ∩ B. A) [3. +∞〉 3. 3 2 2 2 Determine M=(A ∩ B) – C. Si a. –3〉 ∪ [0. A) 7 B) 6 C) 8 D) 4 E) 3 A) −1. elementos tiene M? acotados. 5] B) 〈2. 9. Sean los conjuntos A={x ∈ R–/– 5 ≤ 2x+1< 3} B=〈– 5. 5]. 3] C) 〈–2. +∞〉 C) R+ D) 〈– ∞. entonces necesariamente 5. +∞〉 E) [8. 4. +∞〉 1 2 1 1 1 1 D) − . C) –5 y 4. determine (A ∩ B)C 7. +∞〉 n una familia de intervalos n + 1 2 x + 1 + A = ∈ Z / x ≤ 10 3 B={x/x es divisor de 60} Calcule n(A ∩ B). E) –16 y 8. 8〉 y C=〈3. 1]. A) R– B) 〈– ∞. Un número racional de denominador 112 es mayor que 1/8.Álgebra Desigualdades e Intervalos NIVEL INTERMEDIO NIVEL BÁSICO 1. A) 15 B) 6 C) 8 D) 14 E) 9 A) d – b > c – a B) – b < c – a C) d – c > b – a D) d – b > d – c E) d – b > b – a UNMSM 2000 - I UNMSM 2011- II 10 . 2. Sea Pn = − . – 3] ∪ 〈0. entonces varía entre 3 A) –3 y –2. Dados los conjuntos A={x ∈ R/x < –5 ∨ 2x – 1 ≥1} B = x ∈R / − 5 ≤ halle la cantidad de elementos enteros de { A) 8 } x+3 <3 2 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 8. Halle la suma de las cifras de su numerador. +∞〉 E) 〈– ∞. Se definen los siguientes conjuntos 1 2 1 3 B) − . Dado el conjunto M={t ∈ Z/0 < t < 4}. pero menor que 1/7. A) 30 B) 7 C) 6 D) 12 E) 15 2x − y 4 ≤ y ≤ 9. B=〈–1. Si x e y son números reales tales que – 3 ≤ x ≤ 8. Halle P1 ∩ P2 ∩ P3. ¿cuántos 1 n 6. b. Sean A=〈2. Dé el valor de verdad de las siguientes propo siciones 1 1 1 1 I. 5] C) n ∈[3. +∞〉 D) 〈– ∞. 2] 2 A = x ∈R / } B = { x ∈ R / ( x + 3) ∈ [ 4. 4 ] 3 { 1 − 2x ∈ [ −1. − ∪ 3. –1] ∪ 〈3. + + + . A) 21 B) 43 C) 57 D) 31 E) 13 11 { x ∈ [ −1. halle el valor de a2+a+1. B piensa adquirir 4 perros más. 0 〉 ∪ 〈2. 7] 15. +∞〉 x 2 − 1 siempre es real. Dados los intervalos M=〈1+2n. ¿Cuántos perros tiene B? 11. con lo cual tendrá más perros que entre A y C juntos. Si x ∈ R. Dados los conjuntos D) n ∈〈3. Considere M ≠ f. 7]} C = x ∈R / } S = { x ∈ R / x ∈ A ↔ x ∈ B − C} halle la suma de los extremos finitos de cada uno de los intervalos disjuntos que conforman al conjunto S. 5] B) n ∈〈–1. 7〉 E) n ∈[3. III. B) FVV C) VFF D) VFV E) FFF 14. de modo que M ⊂ N. + <1 2 6 12 110 13. –1] ∪ 〈5.. 7〉 12.Álgebra 10.. 5] C) 〈– ∞. + ∞ → x ∈ −1. A) 13/2 B) 29/2 C) 14 D) 7 E) 0 . B y C reúnen juntos más de 8 NIVEL AVANZADO perros. A) n ∈〈3. Sean los números enteros a y b. 2] ∪ 5. se sabe que B tiene menos perros que C y los que este último tiene no llegan a 5. n+8] 1 N = (2 x + 1) ∈ R+ / x ∈ −5. Tres cazadores A. A) 〈–1. entonces A) FFV determine RC. 7 2 A) 1 B) 3 C) 2 D) 4 E) 5 determine la variación de n. Dado el conjunto II. 3] B) 〈–1. 3] 2 <1 { a b 3a 2b +∞ si existen exactamente 7 valores para b que verifican la distribución numérica. de modo que –∞ 0 } R = x ∈ R / x ∈ − ∞. +∞〉 E) 〈– ∞. d 15 .a 13 .c 07 .a 07 .e 14 .e 04 .d Ecuación cuadrática 01 .d 05 .a 12 .d 15 .e 09 .e 03 .d 09 .b 02 .d 15 .d 10 .b 03 .a Desigualdades e Intervalos 01 .d 12 .e 08 .a 13 .a 12 .e 08 .b 06 .a 06 .b 10 .a 02 .d 02 .a 14 .b 05 .e 15 .c 14 .b 03 .c 07 .d 09 .a 06 .c 05 .a 02 .b 07 .b 13 .b 13 .d 12 .e 04 .a 12 .a 04 .a 05 .b 09 .a 04 .c 11 .b 08 .d 03 .d 02 .c 08 .a 14 .e 07 .c 04 .b .a Teoría de ecuaciones 01 .d Ecuación de grado superior 01 .a 08 .d 11 .b 11 .a 11 .c 13 .d 05 .c 09 .d 06 .c 11 .d 14 .a 06 .Semestral SM Factorización de polinomios 01 .d 10 .c 03 .c 10 .b 10 .d 15 .