Algebra

UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA1 UNIDAD: Algebra TEMAS: • • • • • • Expresiones algebraicas Conceptos Básicos Polinomios Operaciones Problemas Ecuaciones UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA ALGEBRA Expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas son una combinación de operaciones de números con letras. Ejemplo: 3x + y 11xy2 x + 10y – z Partes de una expresión algebraica Como las expresiones algebraicas poseen una parte numérica y otra de letras mencionamos: Coeficiente numérico ejemplo: corresponde al número que se encuentra delante de las letras,  4xy, el coeficiente numérico es el 4  7b2c5 , el coeficiente numérico es el 7  abc, el coeficiente numérico es el 1  Coeficiente literal corresponde a las letras que se encuentran en la expresión algebraica con sus respectivos exponentes, ejemplo:  4xy, el coeficiente literal es el xy  7b2c5 , el coeficiente literal es el b2c5  abc, el coeficiente literal es el abc  1 xyz 3 , el coeficiente numérico es el 4 4 Valor numérico xyz 3 , el coeficiente literal es el xyz3 4 Es el valor que se obtiene al sustituir las letras por un valor dado anteriormente, ejemplo: a) 3x + 5y, si x = 1 y y = 2 3• 1 + 5• 2 = 3 + 10 = 13 b) 3x2 + b3 – 2 , si x = -2 y b = 5 3 • ( -2 )2 + ( 5 )3 – 2 = 3• 12 4 + 125 – 2 = + 125 – 2 = 135 UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA Términos de una expresión algebraica Los términos en una expresión algebraica se encuentran separados por los signos de – y +, ejemplos: a) 3x + 6y – 1 2 8 , posee tres términos, el 3x, 6y, -8 3 b) x2 + yz5 + 6ab - 7 , posee cuatro términos, el x2, yz5, 6ab, -7 Monomios Expresiones algebraicas que poseen un solo término, y cuyas letras poseen números naturales (0, 1, 2, 3, 4,...) en sus exponentes, además al poseer números naturales en los exponentes de las letras, jamás poseerán letras en el denominador, ejemplos:       3xy, es un monomio 10y + 1, no es un monomio ya que posee dos términos 11d4f5h6v2a1, es un monomio xy-6 , no es monomio ya que tiene la letra un exponente negativo abc, es un monomio 5ab , no es un monomio ya que existen letras en el denominador c Grado de un monomio Para hallar el grado de un monomio, trabajaremos solamente con el coeficiente literal, y sumaremos los exponentes de las letras, ejemplo:  7abc, se trabaja con abc cuyos exponentes son 1, 1, 1 y su suma da 3, por lo tanto el grado del monomio corresponde a 3  21x2y6q2 , se trabaja con x2y6q2 cuyos exponentes son 2, 6, 2 y su suma da 10, por lo tanto el grado del monomio es 10  -6, como no posee letras el grado corresponde a 0 UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA Ejercicio 1) Complete el siguiente cuadro con la informacio9n que se le pide en el espacio correspondiente. 2) Expresión Factor Numérico Factor Literal Grado Algebraica -3ab2 4 xy 3 3 52ab3c2 − m4n 2 x 7 2 -10 10xyz2 -458 2xyz 5 22ab3c5d2 -a . son semejantes porque todos tienen xy b) 3ab2. . 15x2y-3 b. a.UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2) Encuentre el valor numérico de las siguientes expresiones. son semejantes porque todos tienen ab2 c) xy2. posee ________ términos. 17ab2. posee ________ términos. c = -2 R/ 768 c. x2 – 2x -1 si x = 2 R/ -1 b. abc 5 d. b) 3x + 2a – 7b + 2. 125xy ab e. posee ________ términos. posee ________ términos. c) a + b. 5x2y. 56xy. no son semejantes ya que el tercer monomio no tiene xy2 Polinomios Son expresiones algebraicas que poseen dos o más monomios no semejantes. d) 4x2 + 3x – 2x0. x2yz4w2ab4c f. 1 + 2x + 4y Monomios semejantes Se llaman monomios semejantes a aquellos que poseen igual coeficiente literal. a. e) 3x + 2y – 2x + 5 – 7y. b = 1 R/ 4 3) Cuales de las siguientes expresiones corresponden a un monomio. -3a3bc2 si a = 4. b = -1. ejemplos: a) 3xy. 5. ejemplo: a) x + y + z. y + 5x c. posee ________ términos. x = 5. 3x + 2a – 7b + 2 si a = -3. ab2. 9yx. 11xy2. con respecto a la letra m. Operaciones con expresiones algebraicas . ejemplo: 1) Ordene los siguientes polinomios 3m2n3 + 2m3n – mn en forma ascendente a) 3m2n3 + 2m3n – mn. Orden descendente de un polinomio polinomio de mayor a menor. ________________________________. por lo tanto el grado del polinomio corresponde a 5. d) x2 + yz5 + 6ab – 7. g = ______ g = ______ Orden ascendente de un polinomio significa ordenar con respecto a una letra. hacemos:  Calculamos el grado a cada monomio que lo forma  Después comparamos los resultados y el grado mayor resulta el grado del polinomio. un polinomio de menor a mayor según su exponente. le calculamos el grado 0 cada uno Observe que el grado mayor corresponde a 5. como posee tres monomios. b) –x3 + 4x – 5x2 + 10. un c) ab – a2b3 – 5ab2 con respecto a b.R/ -mn+3m2n3+2m3n ________________________________.UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA Grado de un polinomio Para encontrar el grado de un polinomio. ejemplo: 1) Ordene los siguientes polinomios 3m2n3 + 2m3n – mn en forma descendente a) 3m2n3 + 2m3n – mn. por lo tanto el grado del polinomio corresponde a 5. b) –x3 + 4x – 5x2 + 10. significa ordenar con respecto a una letra. ________________________________. b) m2n3 + 27m3n – mn. Ejemplos: a) 3xy2 3 + 6xyz3 5 6. _________________________ R/ 2m3n+3m2n3-mn. le calculamos el grado 5 4 2 cada uno Observe que el grado mayor corresponde a 5. c) ab – a2b3 – 5ab2. con respecto a la variable x ________________________________. como posee tres monomios. con respecto a la letra m. _______________________. c) ab – a2b3 – 5ab2 con respecto a b. ________________________________. b) 4ab + 7bc – 12ab = se suman o se resta los semejantes -8ab + 7bc .UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA Suma y Resta de monomios Para poder sumar o restar monomios debemos de tener en cuenta que solo se sumaran o restaran aquellos que sean semejantes. ejemplo: a) 3x + 2x = . Cuando delante de un paréntesis existe la operación de suma. debemos primero de eliminar los paréntesis. observe que son semejantes ya que ambos poseen x 5x . unimos términos semejantes x2y – 6x3 + 3 d) 2y + 5d + 7t + 2t – 4d – 4y + 2d – 6y = ________________________________.R/-q + 4a + 4f f) x2y – x2y2 – 2yx2 = g) 2a – 2z – e + 3z – a = Suma y resta de polinomios Para sumar o restar polinomios. para eliminarlos debemos tomar en cuenta dos condiciones: 1.R/ -8y+3d+9t e) 2q – 3a + 4f + 2f + 2a – 3q + 5a – 2f = ________________________________. Cuando delante del paréntesis existe la operación de resta.R/ a – 5z – e Ejemplos: a) ( 3x + 2 ) + ( -4x + 3 )=observe que delante de los paréntesis existe la operación de . eliminamos el paréntesis y escribimos los mismos términos que estaban dentro de él. R/ – x2y2 – yx2 ________________________________. eliminamos el paréntesis y mantenemos los términos que están dentro de él. 2. se suman solo los números que se encuentran delante de la letra y el resultado conserva la letra con la que se estaba trabajando. y se mantiene el termino que no es semejante con ninguno de los demás c) 2x2y3 – 4x3 + 3 – x2y3 – 2x3 =. pero con los signos diferentes. cambiamos los signos de los términos que hay dentro del paréntesis 6x2 – 3x + 1 – 2x + 5 = observe que los signos son diferentes. Multiplicación de monomios.5y + 2 + -6y3 + xy2 = unir términos semejantes R/ -3y3 + 2xy2 – 5y + 2 d) 3a – (2y – 3z) + (2a – z) = R/ 5a -2z -2y e) (3a – 3b + 24) – (4a – 20b + 12) + (6a – 12b – 6) = Multiplicaciones de expresiones algebraicas. unimos términos semejantes R/ 6x2 – 5x + 6 c) ( -xy4 – 7y3 + xy2 ) – ( -xy4 + 5y – 2 ) + ( -6y3 + xy2 ) = mantengo signos cambio signos mantengo signos -xy4 – 7y3 + xy2 + xy4 .UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA + por tanto eliminamos los paréntesis y escribimos los términos como están dentro de él. . unimos términos semejantes R/ -x + 5 b) ( 6x2 – 3x + 1 ) – ( 2x – 5 ) = + . + + 3x + 2 + -4x + 3 =. . seguiremos los siguientes procedimientos:  Multiplicamos los coeficientes numericos. es decir. Para multiplicar un monomio con un polinomio. 10 Y sumamos los exponentes de las letras(x con x. 4x3y3 .UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA Para multiplicar dos o más monomios. 3n4m2 = Multiplicación de un monomio por un polinomio. se sumaran sus exponentes de acuerdo a cada letra(o sea se suman los exponentes de las mismas letras). y con y) 40x5y4 2) 3 2 4 −5 3 −5 a b c• ab = Entonces multiplicamos • simplificando el resultado. Ejemplos: 1) 4 x 2 y 3 • 10 x 3 y = Entonces multiplicamos 4 . el monomio (que se encuentra fuera del paréntesis) se multiplica por cada uno de los términos que se encuentran dentro del paréntesis.  Con los coeficientes literales (letras). −5 3 5 abc 4 3) -2x3y . aplicamos la ley de la distributividad. 4 3 4 3 Y sumamos los exponentes de las letras. 10xy = R/ -80 x7y5 4) 4m2n . 12mn . c Ejemplos: 1) 2x ( 5x + 3y ) = entonces. el monomio -6b2.UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA Observe: a(b+c)=a.b+a. el monomio 2x se multiplicara primero por 5x y luego por 3y. 10x2 + 6xy 2) 1 6 x − 6b 2 = 2 ( ) entonces. 1 se multiplicara primero por 6x y luego por 2 3x – 3b2 3) − 2 3 2 4 3 4 −2 3 2 4  x y z  xyz − x 3 y 6 z  = entonces. el monomio x y z se multiplicara 3 3 3 5  −2 4 3 5 8 6 8 5 x y z + x y z 5 9 primero por 3 −4 3 6 xyz y luego por x y z 5 3 4) 4x (2x2y + 5xy – 12x3) 5) -8ab (-3ab2 + 5a + 6a3b3 – 5) R/ 24a2b3 – 40 a2b – 48 a4b4 + 40 ab . UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 6) -2m (4m2 + 10mn – 3m3) Multiplicación de un polinomio por un polinomio. se multiplica cada término de uno de los polinomios por todos los términos del otro. y se suman o se restan. según sea el caso. Para multiplicar un polinomio por un polinomio. los términos semejantes. ( a + b ) (c + d) . 10 x2 – 15 x R/ 4x2 +6x – 4 R/ x2 – y2 ( 3x3 – 4x2y4) ( 2x3 + 2x2y4 ) = ( a + 3b ) ( 4a + 6b ) = –x ( -3x + 2y – 5z ) = 2(x + 4) (x – 1) = 4 xy 3 (-3xy + 2x – 4x2y3) = 3 4 2 5 2 2 ( x y − 2 x y + x y ) 5x2y = 5 4 Formulas o Productos Notables. c. f. g. después de hacer la multiplicación. -2x (5x + 3) = ( 2x + 4) ( 2x – 1) = (x+y)(x–y)= -21x2y4 (-3x + 20) = R/ . e. d. b.UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA Ejemplos: 1) (x + 3) (x – 2) = x2 – 2x + 3x – 6 . i. h. a. buscamos términos semejantes = x2 + x – 6 2) (x – 2) (x2 – 3x + 4) = x3 – 3x2 + 4x – 2x2 + 6x – 8 = x3 – 5x2 + 10x – 8 3) (3x2 – 7x – 9) (2x – 3) = 6x3 – 9x2 – 14x2 + 21x – 18x + 27 = 6x3 – 23x2 + 3x + 27 4) 3x 2 4 x 2 2 x  3x 2  4 2 x  3 − −  −  x +  = x + 5 10 9 15  2 3  6 13 x 2 2 x = x3 − − 90 15 5) (2a – 5b) (10a + 2b) = 20a2 + 4ab – 50ab – 10b2 = 20a2 – 46ab – 10b2 Ejercicios I: 1) Realice las siguientes operaciones y reduzca al máximo. . j. b)2 = ( )2 . ( ) + ( )2 = a2 . Productos Notables. 1) (a + b) (a + b) = (a + b)2 = ( )2 + 2 . ( ) .b) = (a .b) (a .2 .2ab + b2 . a) (-8xy – 5xy2)2 = ______________________________________________________ ______________________________________________________ b) (-5 – a)2 = ______________________________________________________ ______________________________________________________ 2) (a . ( ) + ( )2 = a2 + 2ab + b2 Ejemplos.UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA Sirven para resumir o simplificar el procedimiento de una multiplicación de polinomios por polinomios. a) (x + 5)2 = ______________________________________________________ ______________________________________________________ b) (3y + 1)2 = ______________________________________________________ ______________________________________________________ c) (x + y)2 = ______________________________________________________ ______________________________________________________ d) (x2y + 2xy2)2 = ______________________________________________________ ______________________________________________________ e) (5a + 3b)2 = ______________________________________________________ ______________________________________________________ Nota: La expresión (-a – b)2 es equivalente a (a + b)2 Ejemplos. ( ) . . a) (-xy + 3x)2 = ______________________________________________________ ______________________________________________________ b) (-6 + d2)2 = ______________________________________________________ ______________________________________________________ Ecuaciones. Una ecuación es una igualdad formada por una combinación de números y letras. la parte izquierda se llama miembro izquierdo y la parte derecha se llama_____________________. Ejemplos: a) 3x + 5 = 2 b) x2 + 3x + 2 = 10x c) x4 + 5 = 1 d) 10x – 5x + 8 = 23 Observe que en las expresiones anteriores al lado izquierdo y al lado derecho del igual siempre existe algo. letras que se denominan incógnitas. a) (z – w)2 = ______________________________________________________ ______________________________________________________ b) (10x – x2)2 = ______________________________________________________ ______________________________________________________ c) (7 – a)2 = ______________________________________________________ ______________________________________________________ d) (x2y – 2x2y2)2 = ______________________________________________________ ______________________________________________________ e) (11 – 4d)2 = ______________________________________________________ ______________________________________________________ Nota: La expresión (-a + b)2 es equivalente a (b – a)2 Ejemplos.UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA Ejemplos. por lo tanto se denomina: ____________________________. grado de un polinomio) y de la cantidad de incógnitas o _______________ que posea. por lo tanto se denomina: ____________________________. también llamadas ecuaciones lineales. __________________________. por lo tanto se denomina: ecuación de segundo grado o cuadrática con una incógnita. 6) La ecuación 15a + 7b + 1 = a + 7 corresponde a una expresión de grado: __________ y posee________incógnita. Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Ejemplos. __________________________. __________________________. por lo tanto se denomina: ____________________________. 5) La ecuación 3x (5x + 3) = 8 corresponde a una expresión de grado: __________ y posee________incógnita. Ejemplos. es decir. el resultado del miembro izquierdo es igual al resultado que se encuentra en el miembro derecho. . El nombre que se le da a una ecuación.UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA Las siguientes expresiones son igualdades creadas por el estudiante      __________________________. hace que la igualdad se cumpla. Una solución de una ecuación lineal es aquel valor que al sustituirlo en la expresión. __________________________. por lo tanto se denomina: ecuación de primer grado con dos incógnita. 2) La ecuación x + 5y = 10x + 8 corresponde a una expresión de grado: __________ y posee________incógnitas. Las ecuaciones con las que vamos a trabajar son las de primer grado con una incógnita. por lo tanto se denomina: ____________________________. depende del grado de la expresión (debemos de recordar el tema. 3) La ecuación 8x + 10x – 13 = 5x + 11 – 2x corresponde a una expresión de grado: __________ y posee________incógnita. 4) La ecuación y3 + 5y2 – 3y + 2 = 2y + 8 corresponde a una expresión de grado: __________ y posee________incógnita. 1) La ecuación 7x2 + 3x – 5 = 10 corresponde a una expresión de grado: __________R/ 2 y posee________R/ una incógnita. Solución de una ecuación. 9) 12a – 3 = 8a + 7 S = {5/2} ¿Será una solución o no? Compruébelo. .UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA A) Compruebe que los siguientes valores corresponde a la solución de la ecuación correspondiente. S = {2} sustituimos el valor de x por la solución 2. 1) 4x + 5 = 13 4. S = {-3} ¿Será una solución o no? Compruébelo. 2) 10y – 2 = 5y + 13 3) x2 – 1 = 5 4) 3x – 5x + 3 = 4x + 12 5) 2 (h + 1) – (h – 1) = 0 6) 3m – 4 = 7 + 2m S = {3} ¿Será una solución o no? Compruébelo. 1) 3x + 1 = 7 2) 2x = 8 3) 10y – 5 = 45 4) x = 4 5) 2x – 5 = 1 Conjunto de Solución. así: S = {11} ¿Será una solución o no? Compruébelo. 10) 8b + 1 + 12b = 5b + 12b B) Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones. Por lo tanto 2 si es una solución de la ecuación. S = {1/2} ¿Será una solución o no? Compruébelo. S = {1} ¿Será una solución o no? Compruébelo. 7) 5x – 10 + 3x = 13x + 12 – x 8) 3x – 3 = 2 – 7x S = {3/2} ¿Será una solución o no? Compruébelo. realizando el procedimiento que lo o la llevo a encontrarla. ( 2 ) + 5 = 13 8 + 5 = 13 13 = 13 observe que a ambos lados se encuentra el mismo resultado. S = {-1/3} ¿Será una solución o no? Compruébelo. S = {4} ¿Será una solución o no? Compruébelo. Ejemplos. a este tipo de respuesta se le llama conjunto de solución. Las ecuaciones de primer grado se deben resolver aplicando una serie de procedimientos los cuales son: Agrupar las expresiones que contienen la incógnita de un lado de la ecuación y los números del otro lado de la ecuación. 1) x + 7 = 16 letras = números sin letras • x = 16 – 7 . respuesta final…. donde se escribirá dentro de las llaves el valor que corresponde a la solución de la ecuación. x = 9 . A los valores se les llama solución de la ecuación. 2) 8x – 4 + 3x + 17 = 7x + x + 4x + 14 letras = números sin letras . S= . y la forma para hacer correcto ese movimiento es cambiando la operación de dicho numero. A) Resuelva las siguientes ecuaciones.UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA Las SOLUCIONES de las ecuaciones se representan con la simbología S = { }. observe que el 7 se movió de lugar. • Al trasladar una expresión de un lado del igual al otro esta realiza el proceso inverso del que estaba haciendo. Resolución de Ecuaciones Lineales. la ecuación termina cuando la letra quede despejada (sola) y al otro lado se encuentre solo una cantidad final. por lo que pasaría a dividir al 1. respuesta final… = S= R/ 71 2 = 4) 16 + 7x – 5 + x = 11x – 3 – x = = S= R/ 7 = 5) 12 – 2 + 2x = 12x – 13 + 3x = . el cual está multiplicando. debemos mover el -1.UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 8x + 3x – 7x – x – 4x = 14 + 4 – 17 -x = 1 . observe que para despejar la x. x= x = -1 S= 3) h + 3h +50 = 192 = . Resolver ecuaciones que contengan paréntesis. Ejemplos. pero antes se deben de eliminar los paréntesis utilizando los métodos algebraicos básicos. es seguir los mismos procedimientos anteriores. .UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA = S= R/ 23 13 = 6) 8x – 4 + 3x + 18 = 14 = = S= = Ecuaciones con paréntesis. primero eliminamos los paréntesis 2x – 10 + 3x – 10 = 24x + 12.UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 1) 2(x – 5) + (3x – 10) = 12(2x + 1). a continuación se trabaja como una ecuación vista anteriormente. debido a la existencia de letras en el denominador. 2x + 3x – 24x -19x x = 12 + 10 + 10 = = 32 S= 2) (x – 2) (3x + 4) = 3x2 – (5x + 7) _______________ = ________________ _______________ = ________________ _______________ = ________________ _______________ = ________________ S= R/ 1 3 Otro Tipo de Ecuaciones. Este tipo de ecuaciones se llama fraccionario. . Ejemplo. a continuación se resuelve igual que las anteriores. multiplicando en equis. . Lenguaje matemático Un numero cualquiera El doble de un numero El cuadrado de un numero Un numero aumentado en dos El triple de un numero disminuido en diez Las dos terceras partes de un numero La mitad de un numero aumentado en siete es igual al mismo número disminuido en tres Un numero par Un numero impar Tres números consecutivos Lenguaje algebraico x 2x x2 x+2 3x – 10 2/3x x/2 + 7 = x – 3 2x 2x + 1 o 2x – 1 x. ________= ________ ________= ________ S= R/ -4 ________= ________ ________= ________ Traducción al lenguaje algebraico. x + 1. x + 2 . al multiplicar.UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 1) . el primer paso es lograr eliminar las letras que se encuentran en el denominador. la ecuación se transforma en una ecuación con paréntesis. 3(3x + 2) = 2(x – 1). Dejaron libres a 100. quedaron 250 tortugas. ¿Cuántas tortugas había inicialmente? Lenguaje común En un tortuguero había cierta cantidad de tortugas Dejaron libres a 100 Lenguaje algebraico n El numero de tortugas se duplico Quedaron 250 tortugas ¡Adivinando el número! Lenguaje común Piense un numero Lenguaje algebraico x .UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA Tres números pares consecutivos La diferencia de un numero y el quince Un numero mas su sucesor Siete veces un numero disminuido en tres es igual a cinco disminuido en el doble del mismo numero La tercera parte de: la suma de un numero y dos Ejercicio Traducir el siguiente problema: 2x. pero después de una semana nacieron más tortugas y se duplicó el número de las que quedaban. Finalmente. 2x + 4 x – 15 x+x+1 7x – 3 = 5 – 2x x+2 3 En un tortuguero había cierta cantidad de tortugas. 2x + 2. UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA Súmele 10 Multiplíquelo por dos Le resta 20 Problemas con ecuaciones. el cual tendrá los datos del problema. una operación que contendrá la ecuación del problema. Si uno es cuatro veces mayor que el otro. Ejemplo. es trabajar ordenadamente por medio de un planteo. B. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos A. el ángulo A mide el doble que el B y el ángulo C mide el triple que el A. 1) Se tienen dos ángulos suplementarios. ¿Cuántos grados miden cada uno? PLANTEO OPERACIÓN  Cantidad de datos:_______  Descripción de datos:  __________________  __________________ RESPUESTA:  Se forma la ecuación: (ángulos suplementarios)  _______________________ R/36 y 144 2) En un triangulo ABC. se resuelve dicha ecuación para luego con ayuda de los datos dar la respuesta del problema. Resolver un problema con la ayuda de las ecuaciones. C? . UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA PLANTEO Datos: Ecuación: OPERACIÓN RESPUESTA: PRÁCTICAS Practica # 1 1) Complete el siguiente cuadro con la información que se le pide en el espacio correspondiente. . a.UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA Expresión Algebraica -3ab2 Factor Numérico Factor Literal Grado 4 xy 3 3 52ab3c2 − m4n 2 x 7 2 -10 7xyz2 14 xb5c2 -12 2) Encuentre el valor numérico de las siguientes expresiones. x = 5. b. c = -2 3x + 2a – 7b + 2 si a = -3. c. b = 1 x + 2y2 si x = 6. y = -7 4x + -3x2 – 10 si x = -1 Encuentre el grado de los siguientes polinomios . b = -1. d. 3) x2 – 2x -1 si x = 2 3 2 -3a bc si a = 4. e. 10y – 3y – 4xy b. c. ( 5x2 + 2x – 1 ) – ( 3x2 + 5x + 2 ) = m. en caso de que así sea indique el factor numérico. 3y3 + 2xy2 – 5y + 2 c. 4b 3. ( 3r + s ) – ( r – s ) – ( r + 3s ) = p. d. i. 10y – 3y – 4y = 5x + 2y – 7x – y = x2y – x2y2 – 2x2y = 2y + 5d + 7t + 2t – 4d – 4y + 2d – 6y = 2q – 3a + 4f + 2f + 2a – 3q + 5a – 2f = 2a – b – ( a + 3b ) + ( 4a + 6b ) = ( -3x + 2y – 5z ) – ( -4x + 3y – 6z ) = ( a + b + 8 ) – ( a – 5b + 3 ) + ( a – 2b – 1 ) = t + b + 2t + 4b – 6t + 3b = v – ( 4 – 5b + 2v ) = l. 5x + 2y – 7x – y c. 10y – 3y – 4y 4) Clasifique las siguientes expresiones en binomios.UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA a. b. x2y – 6x3 + 3 d. b1/2 4 2 5 x y − 2x2 y + x2 y = 5 4 . 17g7 9 4. a. 2a2b2c3 6. x2y – x2y2 – 2x2y e. k. t + b + 2t + 4b – 6t + 3b g. el factor literal y el grado del monomio. ( 2n – 5m2n+ 2m ) – ( 4m4n3 + 3m2n – 4n ) = o. 2x2y3 – 4x3 + 3 – x2y3 – 2x3 5) Resuelva las siguientes operaciones de suma y resta de polinomios y dé los resultados ordenados en forma descendente con respecto a una variable. f. 2q – 3a + 4f + 2f + 2a – 3q + 5a – 2f f. h. ( 3x2 + 2x – 2 ) – ( -2x2 + 5x + 5 ) = n. ( 3x3 – 4x2y4 + 2x ) + ( -4x2 + 2x3 + 2x2y4 ) = Practica # 2 1) Determinar cuáles de las siguientes expresiones corresponden a un monomio. 2y + 5d + 7t + 2t – 4d – 4y + 2d – 6y e. g. x2y2z31 2. 1. a. 3ab2 5. trinomios o polinomios. 2x2y3 – 4x3 + 3 – x2y3 – 2x3 b. x2y – x2y2 – 2x2y d. e. j. 6x2y4 + 18x2y3 – 12x3y2 – 36x3y 12. 1. 5x3 + 15x9 + x .5a4b5 7 2) Determine el grado de los siguientes polinomios. -9a2b 10. -145 12.10mn 14. 6x5 – 8x4 – 10x3 3. 6x4y5 + 8x5y6 – 6x2y4 – 8x3y5 10. 4x2 – 9y2 8. –xyz + 3x3y + 2z 4.2x3 – 4x2y + 7xy – 6xy2 + 7y2 17. c2 + 2ab2 – 5abc 6. a) 2ab + 3xy b) ab2 + 6b2 c) 3ab – 5yz + 3ab d) 3ab + 3fe + 3xy + 9z e) 2a2b3 – 4xy2 + 6z Practica # 3 1) Escribir cada polinomio en orden descendente. -18mn + 6m2 9. 24x2 – 82xy + 63y2 11.12x4 + 18x2y3 – 56y6 3) Según los siguientes valores: a=1 b= -1 c= -3 d=2 e= -2 f=0 g=5 x=3 y= -2 z = -4 2. 8y3 – 7y2 + 9y6 – 5y8 – y7 6. 3 + 2x2 – 5x6 – 2x3 + 3x 5. -42m2n3 + 24mn8 + 24m2n6 7. x5 + x + 6x3 + 1 + 2x2 3.7x3y2 Encuentre el valor numérico de las siguientes expresiones.a21b6 8. 1. 4x5y8 – 2x5y4 – 4xy3 5.x2 + 7x8 2.4ab2 7 13. 2x2y3 – 4xy 11.3b-1 9. .-3a2b3 2 16.UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 5 7. p8 – 4 + p + p2 – 7p4 2) Determinar el valor numérico de cada polinomio si x = -1 y y = 2. 9x – 5 + 6x3 – 5x4 + x5 4.x7m10 18.z2m5 xy 15. -3x3 + 7x2 – 3y – 2 6. 10 11. 15 1 2 x2 2 3 x + x – x3 + − x+ = 2 3 5 4 1 2 1 5 5) a . 6 – 2xy 5. 5x – 6 + x2y 4. 1) 2x + 3y – 4z + 3x – 2y + 4z= 3) 5x3 2) 6x3 + 3x2 – 2x + 1 – 2x3 + 6x2 – 2x – 3= 4) 2x + 7 x = 2. 8x2y2 8.5x2 – 3y 7. 2. la cantidad de términos que posee y el grado de cada uno. -4zx 6. 1. y2z 5. x3y2z4 4. 1.Y 4) Identifique los coeficientes numéricos. y los literales de cada uno de los términos de los polinomios siguientes. 5x4 – 2x3 + 6x2 – x+4 12.4y + 7z 15. 3. 5x6 − 4 7 −x 2 9. 2z3 – 6y6 3.UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 1. 0. 8x2y3 8.0 1 2 x – 3y 2 14. 5y3 + 6y – 3 7.1 a + 4a 7) 3y2 – 4y – 4y2 + 2y + 1= 9) 2x + 4x2 – 3 + x3 – x2 + 4x= 11) 6) 3 x 2x − + = 4 3 6 8) b + b2 – 3b2 – 4 + 3b – 4b3= 10) 3z2 – 2z + 4 + 3z3 – 4z2 – 2 – z3= 1 1 1 4 1 m − m 2 + m3 + − m + m 2 − m3 = 12) 6x + 3w – 2x + 56w= 2 5 2 5 10 13) 2h – h2 – 2h + 2h2 + 2h – 6h2 – 2h – 4h2 + 3= 14) 3 + 5n – 2n3 – 3n3 + n – 4 + 4n3 – 2n2= . x3y2z – 5x5 5.0. 5y3 + 6y – 3 Practica # 4 A) Resuelva las siguientes operaciones con expresiones algebraicas. 2x3 – 5x2 + 8 6. 3x + 5xy 3. -2x2 – 5x2 + 4x + 3y 3) Indique en cada polinomio. x2 – 2x + y 2.2z3 – 6y6 13.8x3 – 3. -4xz + x3z2 10. 3xy2z4 4. .12c2 + 6c – 6c3 – 7c2 + 5c – 2 = 17) 3m4 – 5m6 – 2m4 + 6m6= 19) -2v + 4v3 – 7v + 9v3 + 8= 21) -2h + 2h2 – 3 – h2 – 3 – h2 + h= 18) -1 + 5n3 – 3 – 7n3 + n4 + 5= 20) -6u2 + u – 5u + 7u2 + 1= 22) –x + 3 1 + 5x 2 − x − x 2 = 4 2 23) 2 y − 5 1 + 4 y3 + y + y = 6 6 24) 3k – k2 + 3k – 4k2 + 3k= Practica # 5 A) Resuelva las siguientes operaciones.xy – 2y2) 23)(5x2 + 2xy + y2)(2x2 – xy + 3y2) 3 3 2 3 4 2 8 2 xy ( x − y − xy ) 2 3 7 9 Practica # 6 1) Identifique el tipo de operación de cada ejercicio.UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 15) w2 . es decir escriba en el espacio correspondiente si será: suma y resta de monomios. multiplicación de monomios.5w + 1 – 2w2 – w + 2 + 3w2 + 2w + 4= 16) 8c4 . 1) 4m – 5n – 9n + 3m 2) 3ab2 – 9a2b + 4ab2 – 3a2b 3) 6m2 – 7mn – 4m2 + 9mn 4) 5) 1 2 4 1 3 x + y − + x + y −1 5 7 5 5 2 (2mn + 2m2n + 3mn2) – ( 7mn2 – 2m2n + 2mn) 12)2x2 • 4x • 5x3 13)3x2y5 • 2x4y5 • 12x5y3 14)2x2(3x3 – 4x2 – 5x) 15)12mx2(3mx3 – 4mx2 – 5mx) 16)3m2(-2mn + 5mn – 8mn) 17)-6mn3(7m – 4n5 – 4mn3) 18) 6) (2m + 5n + 4p) – (-3n + 4m – 2p) 7)(3am – 2dm – cm) – (2cm – dm + am) – (2cm – am + dm) 8) (-3ax – 2by + 5z) – (3z – by + 2ax) – (2ax – 2z – by) 9) 10)4x2y5 • 7x4y5 11)6m2n3 • 4m5n4 (5x2y – 3xy – xy2) – (2x2y2 -2xy2 – xy2) – (-x2y – x2y2) 19)(2x + 3y)(6x + 7y) 20)(2m3 – 2mn)(3m3 + 4m2n4) 21)(4x – 3y)(2x2 + 5xy – 3y2) 22)(2x2 – xy + 3y2)(3x2 . suma y resta de polinomios. Procedimiento a seguir: ___________ ___________ ___________. Procedimiento a seguir: ___________ ___________ ___________. 2) Resuelva las siguientes operaciones. Procedimiento a seguir: ___________ ___________ ___________. 7x + 3y – 2y + 8x 4) – (45m – 12n) + (6n – 8m) 2a – 2z – e + 3z – a 5) –6x4(2x5 – x2) 3) (2x – 7y + 3z) – (x + 9z – 8y) 6) (x2 – xy + y2) (x + y) . Procedimiento a seguir: ___________ ___________ ___________. Procedimiento a seguir: ___________ ___________ ___________. multiplicación de polinomio por polinomio o formulas notables. y luego indique el procedimiento a seguir para hallar la respuesta. f) 4m2n • 10mn • 7m Tipo de operación: _______________. b) (x + 5)2 Tipo de operación: _______________. e) 4x(5x2 – 8) Tipo de operación: _______________.UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA multiplicación de monomio por polinomio. d) 2b – 3m + 8b – 2m Tipo de operación: _______________. Procedimiento a seguir: ___________ ___________ ___________. c) (2x + y) – (2y – 8) Tipo de operación: _______________. a) (2x + 1) (3x + y) Tipo de operación: _______________. a) Halle de 3 enteros consecutivos cuya la suma es 21. Halle la edad de Miguel. d) Miguel es 6 años mayor que su hermana. y la suma de sus edades es 68.UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 7) (2x2 + 3x – 1) (2x2 – 3x + 1) 8) (m3 + my2 + m4 + y2) (m3 + my2 – m4 – y2) 10) (x4 – x2y2 + y4) (x2 + y2) 13) ( -4x4 – 2y)2 7m2)2 11) (2y3 – 4y)2 14) (10mn – 9) (2b – h) (b + 3m) 12) (5m3 + 8n) (8n – 5m3) Practica # 7 1) Resuelva las siguientes ecuaciones en forma clara y ordenada. a) 2(x – 5) = 3(2x + 1) d) 3(6 + x) = 2(x – 5) g) 5(x – 1) – 2x = -2(x – 3) j) 4n + 1 = 10n – 1 3 4) b) 6(3x – 1) = 5(4x + 3) e) 3(3y – 1) + 4(9 – 5y) =0 h) 3(x + 1) – 5 = 2x + 1 c) 8(2x + 3) = -5(-3x + 2) f) –(x + 3) = x – 1 i) 3x + 5 = -x + 10 4 2 6 5 6 k) 2(2x – 1) – 5 = 3(x – 3) n) 4(x – 1) – 5(3 – x) = 14x – 2(5x – 3) l) 4x – (x + 6) – (x – 2) = 16 – 2x m) 12x – 3(x – 2) = 3(x + o) (3x – 2) – (x + 3) – x =0 r) 7y – (4 – 2y) = 3(y + 3) – 1 ñ) (2x – 1)(2x + 1) = 4x2 + 12x + 9 p) 10 – 4(x + 2) = 32 – 6(3x – 2) q) 5(x – 3) – (x – 3) = 10x – 9 t) 3 – 2z = 3 – z – z s) 4z – 3 – 7(z + 1) = 6z 2) Resuelva los siguientes problemas. . la operación (ecuación) y la respuesta. b) Javier tiene 3 veces la edad de José y en 4 años él tendrá el doble de la edad de José ¿qué edad tenia Javier cuando José nació? c) La suma de dos números es 91 y su diferencia es 15. Halle los números. escribiendo el planteo (datos). Halle los números. Cuando pasen dos años. la edad del padre será el triple que la de su hijo ¿qué edades tiene hoy el padre y el hijo? l) Tres enteros consecutivos suman -12¿Cuáles son los números? m) La base de un rectángulo es el doble que su altura ¿cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30cm? n) En un triangulo ABC el ángulo A mide el doble que el B y el ángulo C mide el triple que el A ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos A. ¿Cuál es la edad de cada uno? k) Un padre tiene 26 años más que su hijo. Hallar con cuanto contribuye cada uno. Si uno es cuatro veces mayor que el otro ¿cuántos grados mide cada uno? j) La suma de las edades de tres hermanos es de 49. Halle los números. Si el segundo es 5 años mayor que el primero y la edad del tercero es 4 años menos que el doble de la edad del primero. . f) Seis menos que cinco veces un cierto número es igual que tres más que dos veces el numero. g) La suma de dos números es de 20 y su diferencia es 4. Halle el número. ¿Cuál es el número? o) La suma de tres números enteros impares consecutivos es 189. Determine cuanto aporto cada uno si Ana aporto 12 colones más que Juan.UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA e) Para financiar una escuela que cuesta 18900000. don Esteban contribuye 2 veces más que don Cornelio y don Cornelio contribuye dos veces más que doña Xenia. B y C? ñ) Si al triple de un número se le resta 36 resulta 72. y 3 años antes María tenía el doble de la edad de Elena. h) Entre Ana y Juan compran una revista en 300colones. i) Se tienen dos ángulos suplementarios. p) María es 2 años mayor que Elena. Hallar sus edades.