Tercer AñoCOLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año SATÉLITE AMBIENTAL El satélite Nimbus rodea la Tierra en una órbita que pasa por los polos norte y sur varias veces al día, fotografiando la superficie a su paso. Como la Tierra gira, cada paso produce una nueva serie de imágenes y puede reflejar el planeta entero todos los días. La información gráfica sobre la atmósfera terrestre y los océanos se transmite a la superficie, donde se utiliza para controlar los cambios en el medio ambiente. Álgebra 1 Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO IMPRESIONES Y FOTOCOPIADO V.L.E.B. TELF.: 540–0814 / 98503121 DPTO. Álgebra DE PUBLICACIONES 2 Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO TEMA: FRACCIONES ALGEBRAICAS, OPERACIONES CON FRACCIONES Fracciones Algebraicas .- es toda expresión de la forma. P(x) numerador Q(x) denominador Donde: Q(x) ≠ 0 Simplificación de Fracciones Algebraicas Una fracción algebraica es reducible (se puede simplificar) si su numerador y denominador se pueden dividir por un mismo factor. Ejemplo 48 x 4 y 5 36 x 2 y 8 = 4.12 x 2 .x 2 .y 3 .y 2 3 x.12.x 2 .y 3 .y 5 Ejemplo x 2 5x 6 = x 2 3x 10 = 4x 2 y 2 3y 5 x 2x 3 = x 3 x 2x 5 x 5 Ejemplo 54x4y2 27x2y6 Ejemplo x 2 16 X( X 4) Operaciones con Fracciones Algebraicas Adición y Sustracción con denominadores iguales - Se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores Álgebra 3 Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Ejemplo 4x 12 x 17 6x 2 4 x 12x 17 6 x 2 + + = = 3y 3y 3y 3y 22 x 19 3y Ejemplo 5x 1 6x 2 3x 4 = 2y 2y 2y = Adición y sustracción con denominadores distintos Se toma el M.C.M de los denominadores, luego se amplifica cada fracción expresándolas todas a denominador común. Ejemplo 9 8 3 + + 3 xy 6x 2 y 2 5x M.C.M (5x; 3xy; 6x²y²) = 30x²y². 30x²y² / 5x = 6xy² 18 xy 2 30x 2 y 2 + 80 xy 2 30x y 2 + 45 30x 2 y2 30x²y² / 3xy = 10xy 30x²y² / 6x²y² = 5 = 18 xy 2 80 xy 45 30 x 2 y 2 Ejemplo 2 5 x4 x x 1 x² 1 M.C.M (x; x+1;x2-1) = x(x+1) (x-1) Álgebra 4 a.y 4 .b.Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 2(x 1) (x .1) x2 1 x 2( x 2 1) 5 x 2 5 x x 2 4 x x(x 1) (x .y 3.1) x( x 1) x 1 x(x 1) (x . Ejemplo 2xy 4 3a 3 b 5x 3 y 7ab 4 2.1) x(x 1) (x . luego se simplifica si es posible.a 3 .b 4 10 x 4 y 5 21a 4 b 5 Ejemplo 12 x 3 y 21a 14b 3( 4 x y ) 7(3a 2b ) 21 15a 10b 20 x 5 y 5(3a 2b) 5 4 x y 25 División de Fracciones Algebraicas Se multiplica la fracción dividendo por el inverso multiplicativo de la fracción divisor Álgebra 5 .x.1) x(x 1) (x .1) 2x 2 2 5 x 2 5 x x 2 4 x x x2 1 9x2 x 2 x( x 2 1) Multiplicación de Fracciones Algebraicas Se multiplican numeradores y denominadores entre si.5.1) x(x 1) (x .1) x x(x 1) (x .x 3 .1) x( x 4 ) x(x 1) (x .7.1) 5x (x .1) (x 1) (x . Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Ejemplo Efectuar: Álgebra 35a 3 18b 3 14ab 2 9b 3 35a 3 18b 3 b 3 14ab 2 315a 3 b 3 252ab 5 5a 2 4b 2 6 . x4 4 x 1 x 2 1 x x Rpta. Al dividir y simplificar: Resulta: x 1 x 2 3x 2 x3 3x 3 Rpta.: 11.: 02. Efectuar 06.: 08. Reducir a su mínima expresión.: N 09. 2a 2 b 12a 4 b 5 Rpta. Reducir a expresión.Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. su mínima x 2x P x 1 x 2 2x 3x x2 x3 Rpta.: 07. Al simplificar P ab 2 4a 5 b 3 . La expresión 1 x 3 y 1 x 3 y Rpta. Al simplificar la fracción: N x 2 4 x 12 x 2 4 x 4 Rpta.: 05.: 10. Luego de reducir: 7 .: 03. N 1 1 a b ab a b a b ab su mínima a2 b2 2b Rpta. Reducir a expresión.: 04.: Álgebra 2x 2 2 Q ax a x 2 ax Rpta. Efectuar 2 1 n x 1 x2 1 Rpta. Efectuar P 3a 2b 6a 2 4 ab ab 2a 2 2ab Rpta. B 1 2 x x x x3 3 Determine A : B Rpta. Si A 1 y y2 y .: N 15.Tercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO N x 2 16 x 2 8x 16 Indicar la suma de elementos de la fracción Rpta. Reducir N 16. Reducir los 6 9 6 P 1 2 2 x x x 3 9 x2 x Rpta. Efectuar x 2 6x x 2 3 x 54 P x9 x 3 3x 2 Rpta. Efectuar 1 1 2x : 2 1 x 1 x 1 2x x Rpta.: Álgebra 8 .: 14.: 12.: 13.: a2 ab b2 a2 ab b2 2b3 b2 a2 ab ab a2 b2 Rpta. Efectuar N a 1 3a 1 1 2 a 2a 3 a 2a 3 a 1 2 Rpta.: 18. Simplificar 2 xy N x x y y 2 xy x y Rpta. Efectuar Q x2y2 xy x2 y2 y a( x y ) axy Rpta. Efectuar P x 1 x 6( x 1) 2 x 3 x 3 x 9 Rpta.: 20.COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año 17.: Álgebra 9 .: 19. n 15n P m. Reducir m2 . Simplificar A) 1 D) 1 x2 B) 0 C) -1 E) 1 x 1 04.PROBLEMAS PARA LA CASA 01. Simplificar C) 25 S (a 2 2a 1)(a 2 1) (a 1) 3 (a 1) . Simplificar m n2 n m2 T n 1 1 2 m n m C) m-3 02 Reducir ax ay bx by Q am bm an bn xy A) mn ab C) mn D) A) m D) m-n B) n E) 1 06. Simplificar N a 2b a 2b 2a 2 2 ab a b a b2 A) 4 x5 2 x 7x 10 x 1 2 x x2 C) m+n D) B) 2 C) a ab E) b b ab a 07.n 3n A) m-1 D) m-4 B) m-2 E) m-5 xy B) mn xy D) ab 1 E) 2 03. Reducir N A) 1 2(5 22 ) 9(5 21 ) 10 25 B) 5 Q a3 b3 (a b ) 2 3ab A) 2a B) 2b 2 2 D) a b E) ab ab C) 0 08. Simplificar T 1 5 E) -1 05.n 8m. A) xy D) 2x 2 B) x C) y E) x2+y2 B) x D) x+1 14. Al Reducir 1 1 a 1 N a a2 a 1 a2 1 A) a(a-1) C) 1-a2 E) N.A) 1 C) 3 E) 0 12. Simplificar T 11. Al Reducir A 1 2 x 3 2x 1 2 1 3 x 2x 10. (x y)2 x 2 xy y 2 xy xy A) x y B) x y x y C) y D) x E) 1 B) –a(a+1) D) a+1 13. Simplificar Z A) 1 C) 0 E) x+1 ( x y ) 2 ( xy 1) 2 x2 1 A) 0 C) x E) xy B) 1 D) y 15. Al Simplificar K 2 A) 0 C) x (x y) 4 (x y) 4 8 x 3 y 8 xy 3 B) 1 D) y 2 2 3 x 10 x 3 .A. Simplificar y Reducir a su mínima expresión x 3 3 x 2 y 3 xy 2 y 3 B) 2 D) -1 x3 y3 N 09. Efectuar el Producto x 1 x 1 x 3 x 1 x 1 x 4 x 4 N A) 0 B) 1 3 16 x D) 4 C) 3 3 16 x E) 4 2( x 2 y 2 )xy x 4 y 4 x4 y4 Dar como respuesta la diferencia de los elementos de la fracción. E) xy 16. Efectuar x3 x x2 x : x3 x2 x 2 2x 1 A) 1 C) 1+x2 E) x2 B) 1-x2 D) x . TEMA: BINOMIO DE NEWTON Deducción del binomio de newton para exponentes naturales. tomando 1. a b 0 a b 1 a b 2 a b 3 a b 4 a b 5 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 1 3 6 10 Termino general de lugar (k+1) 1 4 10 1 5 1 . 2. Si multiplicamos el binomio (a+b) entre si. se obtiene lo siguiente n 1 a b 1 a b n 2 a b 2 a 2 2ab b 2 n 3 a b 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 n 4 a b 4 a 4 4a 3 b 6a 2 b 2 4ab 3 b 4 n 5 a b 5 a 5 5a 4 b 10a 3 b 2 10a 2b 3 5ab 4 b 5 Los coeficientes se pueden obtener formando el triangulo de Pascal o de Tartaglia. n factores. 3..…………. Siendo n k nn( 1)(n 2).b el coeficiente binomial .(nk1) k k! Ejemplos n k k n kT 1 k a . . i) 5 54 354 310 3 3! 12 3 ii) 8 87 65 14 5 12 34 5 Representación del desarrollo del Binomio de Newton mediante coeficientes binomiales n n n n (a b) n a n a n 1 ..b k k donde n C nk k Combinaciones de “n” en “k” .b ..... b n 0 1 2 n Siendo el término de lugar “k+1” n Tk 1 a n k .b a n 2 . . . .. n Propiedades de k Para n n 1) 1 0 8 Ejemplo 1 0 n 2) 1 n 7 Ejemplo 1 7 n y 3) k n k 7 7 Ejemplo 1 6 También Si la base del binomio es una diferencia. los términos del desarrollo serán alternados (positivos los de lugar impar y negativos los de lugar par) (a-b)n = + ...k! En el cual n! es el factorial de n n! = n(n-1) (n-2) (n-3)……………. . + . ……………………. + . .1 .C nk n! ( n k )!. + . - x 7 S 40 1 4 9 x Rpta.07. Hallar el 5to Término de: (1 a ) 35 Rpta.02. Hallar el grado relativo a “x” del décimo término del desarrollo de: ( a-b )15 Rpta. Hallar el grado relativo a “x” del término central en el desarrollo de: 12!13!14! 12!13! Rpta.- del 09.04. Hallar el coeficiente séptimo término de: ( 2+x ) 9 Rpta. Hallar el grado absoluto del término central de: (x 3 y 7 )8 Rpta.- . Hallar el tercer término de Rpta.06. Hallar el término de lugar 4 de: ( x-y ) 10 Rpta. Hallar el grado relativo a “x” del término de lugar 28 en el desarrollo de: ( 2 x 3 x ) 35 05. Hallar el término central del desarrollo de: (a 3 b 3 )16 Rpta. Simplificar: 2 c 1 c 14 Rpta. En 1 2 3 x x 16 Hallar el 7mo Término Rpta.03.PROBLEMAS PARA LA CLASE 01.08.10.11. 15. Hallar el término de lugar 15 en: ( m-n ) 18 Rpta. Hallar el término central de: ( 3x2+2y3 ) 6 Rpta.14.17. Hallar el 9no desarrollo de ( 2n2+m3 ) 10 Rpta. Hallar el 5to término en el desarrollo de: 19.12.- del 7 . Hallar el 8vo desarrollo de: término del término ( 2x4+3y3 ) 11 Rpta.- ( 5x3+3y2 ) 10 Rpta.- 18. Hallar el término central de: 13. Hallar el 3er término de ( 2x4+3y2 ) 5 Rpta. El 5to término del desarrollo de: 1 1 2 2 y x Rpta.- 2 3 a b Rpta.16. Hallar el término central de: ( 2x2+3y ) 4 Rpta.- 12 20. Hallar el término central de: (a 3 b 3 ) 4 02.PROBLEMAS PARA LA CASA 01. Hallar el término central de: (x 2 y 3 ) 8 4 8 A) 70 x y 8 8 B) 70 x y 8 12 C) 70 x y 540a 4 b 4 C) 540b 2 540a 2 E) 540 b 6 D) 07. Hallar el 6to término de: (3x 2 2 y 3 ) 7 Ver cual es el grado absoluto. A) 20 C) 23 E) 10 B) 21 D) 22 A) 6a 6 b 6 C) 6a 3 b 3 E) 6a 5 b 4 B) 6a 4 b 4 D) 6a 4 b 5 06. Hallar el término de lugar 10 en: ( x 2 y 3 )10 10 4 A) x y 10 6 B) 85x y . Hallar el término de lugar 5 en: (x 2 y 3 ) 6 2 3 4 12 A) 15x y B) 15x y 12 3 C) 15x y E) 15 x y 12 12 D) x y 08. Hallar el término central de: (3a b ) 6 A) 540a 3 b 3 B) 03. Hallar el tercer término del desarrollo de : ( x 4 3y 5 )10 A) B) C) D) E) 12 8 D) 70 x y 3 4 E) 70 x y 405x 2 y 32 405x 16 y 32 405x 32 y 2 405x 16 y 16 405x 4 y 4 04. Hallar el 4to término de: ( 2 x 3y ) 2 4 5 4 4 A) 1080 x y 4 10 B) 1080 x y 4 12 C) 1080 x y 4 12 D) x y E) 1080x y 05. Calcular el término central del desarrollo de: 1 x 2 x 10 A) 252 x 5 252 x3 E) 252 x C) B) 252 x5 D) 252 x 8 12.A. 10. El último término desarrollo de: ( x . Calcular el término central del desarrollo de: (a 2 b ) 8 A) 1120 a 2 b 2 4 B) 4 1120 a b C) 1120 a 3 b 3 1120 a 8 b 8 D) E) N. Calcular el tercer término del desarrollo de: (2 x 3) 5 A) 720 x 2 C) 720 x 3 E) 720 x B) 720 x 31 D) 720 x 9 11. Hallar el término que contiene a x8 en el desarrollo de: ( x+y ) 13 8 3 A) 1287 x y 8 8 B) 1287 x y 8 5 C) 1287 x y 8 6 D) 1287 x y 8 10 E) 1287 x y 13. Hallar el valor de x de tal manera que la suma del 3ro y 5to término en el desarrollo de ( x+1 ) 4 sea igual a 25 A) 1 C) 3 E) 5 B) 2 D) 4 14. Cual es el coeficiente de x14 en el desarrollo de: ( x2+x3 ) 6 A) 12 C) 15 E) 24 B) 18 D) 21 . D) 09.3y ) 5 5 A) 15 y 5 C) 15 y 5 E) 15 y en el 5 B) 15 y 5 D) 15 y 15.A.10 C) 48x y 16 12 56 x y E) N. Ejemplos: 1) 2) 33 4 14x 2 . Ejemplos: 1) 2) 7x 3 14x 2 3) Reales: Son aquellas cuyas raíces son pares y los subradicales son positivos. denotado por cumple que r n = x n n x es el numero “r” si se x r rn x Clasificación Considerando su Naturaleza 1) Racionales: Son aquellos en los cuales las raíces son exactas.TEMA: RADICACIÓN Sabemos que la raíz n-esima de x. Ejemplos: 9 x 2 3x 1) 2) 3 8x3 2 x 2) Irracionales: Son aquellos en los cuales las raíces son inexactas. Ejemplos: 4x 2 1) 2) 4 9x 8 Clasificación Considerando su Especie 1) Homogéneos: Son aquellos radicales que tiene el mismo índice. Ejemplos: 1) 3ab3 2 x 2) x 2 4b 2 y y 5m3 2 x 1 4b 2 3 . Ejemplos: 1) 3 5 y y 2) 9a 3 3 x 2 y y 7 8z 2b 3 3 z 2) Heterogéneos: Son aquellos radicales que tiene distinto índice Ejemplos: 1) 3ab3 xy 2) 3 x y 5a 4 xy y 2 y 3) Semejantes: Dos o mas radicales son semejantes si tienen el mismo índice y la misma parte subradical. solo se diferencian por los coeficientes.Imaginarios: Son aquellos en los cuales los índices son números pares y cuyos subradicales son negativos. de los índices. Luego: x 3 ⇨ 302=15 ⇨ 30 x 3 15 30 x 45 3 y 2 ⇨ 303=10 ⇨ 30 y 2 10 30 y 20 3 y 2 ⇨ 305=6 ⇨ 30 z 3 15 30 z18 Simplificación de Radicales . Ejemplo: 1) Reducir a común índice x3 . C. luego se divide este valor entre el índice de cada radical y el cociente se multiplica por el exponente del subradical. M. se halla primero el M. Para la introducir un factor bajo un signo radical se escribe dicho factor elevado a la potencia igual al índice de la raíz y el resultado se multiplica por el radicando. Ejemplos: 1) 3ab 2ax 2ax 3ab 2) 2a 3 3ab 3ab 2a 3 3 2 3 18a 3b 2 x 24a 4b Reducción de Radicales al Común Índice Para reducir 2 o mas radicales al índice común. 3 y 2 . C. M. 5 z 3 Resolución: El M. este resultado es el índice común.Introducción de Factores dentro del signo Radical. de los índices es 30. Simplificar un radical es reducirlo a su mínima expresión, dividiendo en índice del radical y los exponentes del subradical entre un mismo número por medio del M. C. D. de ellos. Ejemplo: 1) Simplificar el radical: 10 x15 Resolución : El M. C. D. de 10 y 15 es 5. 10 Luego: x 15 10 5 x 15 5 2 x3 Factor común Operaciones con radicales Adición y sustracción de radicales - Si los radicales son semejantes se separa el radical como factor de todos los términos Ejemplo i) 63 2x 83 2x 93 2x 3 2x 6 8 9 73 2x Factor común ii) 8 x 3 x 9 x 5 5 5 ( )= - Si los radicales no son semejantes, la operación se deja indicada. Ejemplo i) 43 x 2 x 6 4 x 43 x 2 x 64 x ii) 96 x 35 x 8 x Multiplicación de Radicales Para multiplicar dos o mas radicales se multiplican entre si sus coeficientes y luego los subradicales, conservando el mismo índice. Los radicales que han de multiplicarse deben ser homogéneos (con iguales índices). Ejemplos: i) 2 a. 5 x ii) 3a 6 x.7a 2. 5 a.x 10 ax z Si los radicales son homogéneos, se les reduce a común índice y a continuación se efectúa la multiplicación. Ejemplo I) 3a6 a² 2x8 a 3a 24 a 8 2x 24 a 3 6ax 24 a11 ii) 10 x 2ab.3 2x División de Radicales Para dividir los radicales se dividen entre si sus coeficientes y sus subradicales. Los radicales de la división han de ser homogéneos. Ejemplo i) 15 45 5 15 ii) 15 45 5 15 15 5 45 3 3 15 48 24 6 6 Si los radicales son heterogéneos, se les reduce a común índice y a continuación se efectúa la división ejemplo 3 2 i) 4 3 x 2 3 x 6 4 27 x 3 6 2 9x 4 26 3 x 5 4 ìi) 8 x 2 x 9) Efectuar N 8ab 24 x 2a 6 x 10) Efectuar Potencia de un Radical Pa 33 4 16 x y a3 2 x Para elevar un radical a una potencia dada, se eleva a dicha potencia el coeficiente y al subradical, conservado su mismo índice. 11) Efectuar N Ejemplo I) 2x 2 a3 ii) 3a 2 3 5 x 3 2 2x 2 a3 4x 2 a6 3x .3 2a 12) Efectuar Q 3 3 4 a 2 .5 x 2 x 13) Efectuar Raíz de un Radical 3 R 27 25 x 93 x Para extraer la raíz de un radical, se extrae la raíz del coeficiente y del 14) efectuar subradical, dejando el mismo índice. 3 1 3 5 N 64 9x 9 x Ejemplo 15) Efectuar i) extraer la raíz cuadrada de 9x 23 16a 2 9x 23 Q 5 a3b 4 16 3x 4 6 16a 2 3 x 16a 2 ii) extraer la raíz cúbica de 8a 3 64 x 6 16) Efectuar N 3x x 2 17) Efectuar P 4x 23 2a 2 3 PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Efectuar (a 2b a 3b )( 2a 2b 3a 3b ) Rpta.- Rpta.08. Calcular el valor de: 02. Efectuar 3a 6 a 2 . 2 x 8 a 3 T n 1 5 3n 1 n Rpta.03. Efectuar 4 3x 23 3x 2 Rpta.04. Efectuar 1 6 x 3 4 x 7 3x 4 x 2 2 5n 2 3n Rpta.09. Hallar el equivalente de: 2 T 2 2 2 2 4 8 Rpta.10. Simplificar: Rpta.05. Extraer la raíz cuarta de: 81a 8 3 x 2 Rpta.06. Extraer la raíz cuadrada de E 5 Rpta.11. Reducir E 9 x 3 16a 2 Rpta.07. Efectuar (2x a 3 ) 2 163 44 32 8 6 n 3 6 n 2 20 x 6 n Rpta.12. Reducir - R 1 2 Rpta. Reducir 2 . 3.3 2 20 2 .R 3 3 4 4 85 16 . Efectuar 2a 9 . Luego de reducir 15. Hallar el equivalente de: 3 M 14. 29 2 5 Rpta.5 x 2 .4 2 . Hallar x en: 7 17.5 2 3 3 3 3 19. a 2 3a 27 a 2 M n 1 Rpta.- 7 n 1 3 n 1 71 n 31 n .16. 3 516 5 X 5 5X 52 6 1 2 5 13.3 x 7 .- 5 5 n 20. Hallar el valor de: Rpta. Calcular el valor de: Rpta.- Rpta.- Q 3 E 3 3.- 3 Rpta. x 4 Rpta.- 18. Hallar el valor de M M 5n 25 n S 1 2 x.- Rpta. Reducir: E) 1 7 2 2 4 m mn 4 n B) 04. ¿Cuál es el exponente final de “x”? en: 03. Simplificar A) 2 4 06. x 4 4 x x 1 x 1 09. x5 x 4 10 A) ½ D) 1/5 B) 2 E) ¼ 4 Q 7 5 3. Simplificar x .3 x . Si x 1 x 0 calcular “n”. 1 B) 2 2 A) 2 2n 7n 14 5. Calcular A A mn A) 1 1 3 4 4 C) 07. Hallar el equivalente de: A) 4 C) 6 E) 3 3 x3. Halla “x” si: 1 3x a x5 B) 6 D) 4 3 x a 5 x x 1 . C) 1 08. Efectuar 2 E A) 2 D) 2 1 2 16 1 E 1 4 B) 4 E) ¼ C) ½ D) 3 E) 1 S 1 3 3 D) 3 3 3 3 B) 2 m n mn D) 2 E) 4 R C) 3 3 2 4 C) 2 2 x . 2 7 A) 5 6 B) 2 C) 2 15 D) 30 E) 3 10 05.PROBLEMAS PARA LA CASA 01.6 x x n A) 2 E) 4 T 1 C) 3 21 3n B) D) 2 02. 5 b 4 . Calcular el valor de: C) a 5. Reducir: C) 2 C) B) D) 1 1 2 5 32a 10 . 2 4 12.5 2 2 E) 2ab. Simplificar: 4 a 4 b 2 .9) .b 3 1 2 2 3 2 3 B) a .b A) D) b b 1 2 E) . A) 5 5 D) 25 b2 3 11.5 b 2 B) a 2 b 2 5 b 2 C) 2a 2 b 2 .A) 0 D) B) - 1 2 1 2 C) 3 D) E) 5 1 2 E) 5 3 a 4 . a a b 1 2 1 2 3 6 A) 1 D) 2 1 a B) 2 E) ½ A) 2 A) 2 2 5 3 5 1 9 C) E) 3 0. Efectuar E 5 5 4 4 1 9 1 3 3 B) E) 5 14.5 b 2 D) 4 4 3 2 2 B) 5 C) 5 1 R (0. En cuanto excede 2 2 13. 2 2 3 15.b12 A) 2a 2 . Efectuar M 10. TEMA: RADICALES DOBLES. se encuentra otros radicales relacionados entre sí por las operaciones de adición o sustracción. TRANSFORMACIÓN Son aquellos que se caracterizan porque dentro de un radical. tenemos: y A A2 B 2 . y Q+ y además: x > y - Si sumamos miembro a miembro ambas expresiones: A B A B 2 x - Elevamos al cuadrado: A De aquí - x B A B 2 A 2 B 4x A A2 B 2 Análogamente. restando las expresiones. n AmB TRANFORMACION DE UN RADICAL DOBLE EN SIMPLE I) Para la forma: A B Siendo A y B dos elementos racionales positivos para su transformación en radicales simples: De donde: A B A B x A B x y y x y De manera tal que x. Así: . (3) 12 2 4 xy xy = 18 ……………...C Si hacemos que: A2 B A Tendremos: B A C 2 A C 2 Ejemplo 1: Expresar 11 6 2 en radicales simples...... entonces: 2 11 6 2 11 6 De (1) + (2): De (1) – (2): x y x y 2 ……………… (1) 2 ……………. (4) De (3) y (4) se obtiene x = 9 y = 2 Finalmente tenemos: 11 6 2 9 2 3 2 Otra forma: Usando directamente la fórmula: 11 6 2 11 72 Identificando términos: A = 11 B = 72 C 112 72 7 Luego: 11 72 11 11 7 11 7 3 2 2 2 72 3 2 NOTA: Una “forma práctica” de utilizar esta transformación es buscando ganar un trinomio cuadrado perfecto en el radicando.……. (2) 22 = 2(x + y) x + y = 11 ………. Solución: Sea x y la transformación e radicales simples.. x>y Generalizando: M2 N x y .A B A 4b A2 b xy xy De ésta manera. si b = xy A = x + y A2 b x y 2 Y esto nos llevara a concluir: A2 b x y . 84 4 21 2 21 Reemplazando en la expresión original: 10 2 21 7 3 73 73 Ejemplo: 10 84 7 3 Transformar a radicales simples: Solución: 17 12 2 17 2.6 2 Acomodando la expresión: 6 2 72 17 12 2 . x + y = M xy = N x Ejemplo: Transformar a radicales simples: 10 Solución: Aquí busquemos el factor “2” de 84 84 >y. 17 2 72 Reemplazando: 9 8 9x8 . 9 3 32 2 Ejemplo: Transformar a radicales simples la expresión: 2x 1 2 x 2 x 6 Solución: Donde: 2x 1 2 x 2 x 6 AC 2 A = 2x – 1 y B = 4(x2 – x – 6) C Luego: AC 2 A2 B ( 2 x 1) 2 4( x 2 x 6 ) 2x 1 2 x 2 x 6 = 2x 1 5 2 x2 25 5 2x 1 5 2 x 3 . . Transformar simples: 6 2 5 a radicales 2x 3 2 x 2 3 x 2 07. Efectuar 08. 9 4 5 11.PROBLEMAS PARA LA CLASE Transformar a radicales simples: 01. 7 2 6 = x 2 y 11 7 Calcular y – x 04. Efectuar: 05. 8 2 15 09. 7 4 3 14. Cumpliéndose que: 03. 11 2 28 12. 12 6 3 2 11 6 2 17 12 2 . 10 2 21 7 2 10 13. 12 2 32 06. 5 2 6 02. 19 8 3 10. Si: 21 2 68 m n Hallar m/n 19. Si: 7 4 3 A B Hallar A/B 18.15. Dado: 4 7 2 Transformarlos simples a radicales 17. Transformar sencillos a radicales 2x 2 2 x 2 2x 3 1 2 30 . Efectuar 11 2 30 16. Si: x y 12 2 13 20. Efectuar: 2 3 2 6 2 05. 3 1 3 b) 1 03. Efectuar: 04. Transformar simples: a) b) c) d) e) 12 3 06. El valor equivalente de: 2 3 1 b) 7 2 6 2a 2 a 2 b 2 . Transformar simples: 7 19 2 18 b) -1 61 415 a radicales .PROBLEMAS PARA LA CASA 01. Hallar el valor equivalente de : 3 2 2 a) -3 c) 1 d) 3 e) 4 17 2 72 09. Efectuar: 3 8 7 40 a) 0b) 1 c) 2 5 d) 2 + e) 3 + 2 5 5 08. Efectuar: 2 3 a) 3 c) 6 d) 8 e) -7 a b a b a ab ab ab a ab b radicales a>b 3 1 d) 3 2 3 2 3 2 8 2 12 2 2 es : 3 a) 1b) 6 c) 3 d) e) 2 1 a) 1b) 2 1 c) 2 1 d) 3 e) 3 2 2 07. Cumpliéndose que: a 2 b 7 5 Calcular: b-a a) 13 c) 15 e) 10 a) c) e) b) 14 d) 12 02. 5 d) 16. Si 4 8 b) 1 d) 0 18 4 12 x 2 y 7 Hallar y – x a) 1 c) 3 e) -2 b) 2 d) 0 15.5 e) 47. Reducir: 1 5 24 3 9 a) 3 2 c) 3 2 e) 2 72 14. a) c) e) b) x 6 d) x 3 2x 1 2 x 2 x 6 x 2 1 x2 x x2 x3 x 3 x 2 13. Siendo: y 2 x 2 1 Hallar x. 2 c) e) 3 6 2 d) 6 a) b) c) d) e) 2 3 10.y x 4 x 2 a) 1 c) 4 e) 8 x 4 b) 2 d) 6 11.2 b) 9.a) 5 5 b) 3 12.4 7 5 . Transformar: 2 x 1 2 x 2 x 12 e indicar un radical simple obtenido. Si mn 2 mn Hallar “m” a) 1 c) 23. es decir: El factor racionalizante de: i) a ii) a b N a b a b = a – b a b es a b Pues a b a b = a – b Pues b es n a b En éste caso. . Al factor que convierte al denominador de la fracción de irracional en racional se le llama FACTOR RACIONALIZANTE. a los factores racionalizantes se les llama expresiones conjugadas. Se presentan los siguientes casos de racionalización: 1er Caso: Cuando el denominador irracional es un monomio. Generalmente se realiza la racionalización del denominador de una fracción: pero en algunos casos es necesario racionalizar también su numerador.TEMA: RACIONALIZACION Racionalizar una fracción es transformarla en otra equivalente cuyo denominador no tenga cantidades afectadas por radicales. es decir si: N n a 3 2 5 3 5 3 2 3 2x 3 a n 1 . pues n El factor racionalizante es: Ejemplos: 25 3 a n a n 1 =a 3 2 2 2 25 n 53 25 3 25 5 2x 2x 2x 3 3 2x 22 x 2 3 2x 3 2x 2x 2x 3 2 3a 2 2 3 2 3a 3 3a 3a 9a 3 3 2 a 3 3a 2 2 2do Caso: 2 3a 2 Cuando el denominador irracional es un binomio cuyos radicales tienen indice2. es decir: = 3 N a 3 b El factor racionalizante de: i) (3 a 3 b ) es 3 3 ( a 2 3 ab b 2 ) pues 3 3 (3 a 3 b )( a 2 3 ab b 2 ) a b ii) (3 a 3 b ) 3 ( a 3 es 3 b )( a 2 3 3 ( a 2 3 ab b 2 ) 3 ab 3 2 b ) a b Ejemplos: 10 10 pues (3 49 3 21 3 9 ) 1) 3 7 3 3 3 7 3 3 (3 49 3 21 3 9 ) .Ejemplos: 5 7 2 8 11 3 4 2 5 7 2 7 2 7 2 5 7 2 7 2 72 8 11 3 11 3 11 3 8 11 3 11 3 11 3 4 2 (2 5 2 ) 2 5 2 2 5 2 (2 5 2 ) 8 22 2 10 11 2 9 23 22 (5 2)2 18 22 2 11 2 9 46 23 3er Caso: Cuando el denominador irracional es un binomio cuyo radicales tienen índice 3. Se multiplican los dos términos de la fracción por la conjugada de esta expresión que es ( 2 5 ) 6 y tendremos: 2 5 2 5 6 2 5 ( 2 5 6) 2 5 6 ( 2 5 6) 2 3 30 3 ( 2 5 )2 ( 6 )2 2 3 30 3 1 2 10 (multiplicando ambos términos nuevamente por la conjugada del denominador) (2 3 30 3) (1 2 10 ) (1 2 10 ) (1 2 10 ) 22 3 5 30 6 10 1 40 22 3 5 30 3 6 10 3 6 10 5 30 22 3 39 39 . 1 10 (3 49 3 21 3 9 ) 3 49 3 21 3 9 73 (3 9 3 6 3 4 ) 1 2) 3 3 3 2 3 3 3 2 (3 9 3 6 3 4 ) 3) 4 2 2 5 2 3 9 36 34 3 9 36 34 32 (4 2) (2 5 2) (2 5 2) (2 5 2 ) 8 22 2 10 2 2 (5 2 ) 2 11 2 9 23 * Para racionalizar el denominador de una expresión que contiene tres radicales. hay que verificar dos operaciones. tal como se muestra: Ejemplo: Racionalizar el denominador de: 2 2 5 5 6 Solución: Consideremos el denominador como un binomio ( 2 5 ) 6 . ... b ........ b .... b n n n 1 b n 1 ) pues ) (a b ) Para n: impar (n a n b ) iii) n ( a n 1 es ( a b )( a n n n n 1 Para n: par Ejemplo: Racionalizar: Solución: 4 5 7 53 a n n n 2 a n 2 b .... es decir: En éste caso....... 30 3 ... b n n b n 1 ) n 1 pues ) (a b) 4 3 7 53 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ( 7 4 73 3 73 3 2 7 33 3 4 ) ( 7 4 73 3 73 3 2 7 33 3 4 ) 4 (5 2401 5 1029 5 441 5 189 5 81) 73 5 2401 5 1029 5 441 5 189 5 81 45 Ejemplo: Indicar el denominador racionalizado de: 30 13 30 3 Solución: El factor racionalizante es: 30 13 29 28 29 30 13 30 13 .. a n 2 b ..4to Caso: Cuando el denominador irracional es un binomio cuyos radicales tienen N = n a nb índice superior a 3.... n n b n 1 ) pues: b n 1 ) (a b ) Para n: par o impar (n a n b ) ii) n ( a n 1 es ( n a n b )( a n n 1 a n n n 2 a n 2 b . el factor racionalizante de: n n (n a n b ) es ( a n 1 a n 2 b i) n (n a n b )( a n 1 n . 45 30 13 3 3 F. 9 F.R.R.R. 13 3 2 su denominador es 2 .R. F. 45 F. Resolver 4 El denominador resulta: a) 5 b) 6 c) 30 d) 3 e) 1 2 74 3 15.3 2 06.54 2 2 d) 0. Luego de racionalizar y reducir: ab 2 e) 2 2 ab 08. 09. 3 13. 2 b) 0. 9 3 4 3. 2 6 3 14 2 7 6 2 74 3 11. 6 27 04.5 2 5 75 45 1 7 4 8 1 4 2 8 14. Racionalizar 2 2 1 2 a) Racionalizar: c) 07. 6 12 7 13 12.PROBLEMAS PARA LA CLASE Obtener el equivalente de: 01. 2 3 3 10. 50 02. Racionalizar: P 2 3 3 3 1 3 . 4 27 3 03. Racionalizar lo siguiente 05. Calcular: E 19. Racionalizar. 5 8 3 2 1 .a) 2 3 b) 2 3 c) 2 d) 0 e) -2 16. el factor racionalizante e) -2 2 18. Dar como Rpta. Hallar el equivalente.36 a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 d) 3 4 23 2 e) 3 4 23 2 20. con denominador racionalizado. de: 1 3 a) 2 2 6 e) b) 2 2 c) 2 2 d) 32 2 6 3 a) 29 b) 39 c) 49 d) 59 e) 69 Señalar el racionalizante de: 3 4 2 2 2 3 17. Racionalizando: 1 6 3 2 1 2. Resulta una cantidad negativa cuyo denominador es: factor 1 4 3 2 a) 3 4 3 2 b) 3 4 2 3 22 c) 23 2 2 3 4 3 6 3 4 9 . . La fracción: 2 6 10 10 2 e) 4 2 1 III. 2 04. Marque (V) o (F): I. Al simplificar la expresión: 1 a ab 4 2 3b 1 1 4a a b) ab 2 d) b) a b a b d) b 3 7 5 2 II. Efectuar: 02.PROBLEMAS PARA LA CASA 01. 6 15 6 6 10 2 6 c) Se obtiene: a) b a b a c) a e) 3b 3 6 10 10 a) 1 c) 3 e) 5 denominador b) 2 d) 4 06. 1 21 a) FFF c) VFV e) FFV 1 2 3 6 10 10 5 2 3 3 1 2 3 1 a) 0 c) 2 e) 2 3 2 3 b) 1 d) 3 N 05. 4 xy 2 . Cuál es el exponente de “y” después de efectuar: 3 x 2 y . Simplificar: 2 3 2 12 3 22 3 e indicar el racionalizado: 5 es equivalente a: 2 7 b) FVV d) VFF 2 a) 7 3 03. 11… e) 0.13… 07. el nuevo denominador es: a) x + y c) x – y e) x2 + y b) x2 – y d) x 50 y 10. Al racionalizar 7 x y . Efectuar: 55 32m 75 m 165 m a) 4 5 m c) 1 e) 5 m b) -4 d) 0 08.12… . Luego de simplificar: 5 m racionalizar y 5 75 45 el denominador resulta: a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) 15 09.a) 1 c) 5/6 e) 1/2 2 b) 2 d) 1/3 72 a) 0.114 d) 0. Hallar la fracción decimal equivalente a la siguiente expresión: 8 b) 0.125 c) 0. TEMA: VERDADERO VALOR DE FORMAS INDETERMINADAS Para determinar el verdadero valor de formas. indeterminadas es necesario primero levantar la indeterminación: Las principales formas indeterminadas son: 0 in det er min ado 0 a in det er min ado 0 0 0 in det er min ado in det er min ado 0 in det er min ado 1 in det er min ado Ejemplo: Hallar el valor de: E x2 4 x2 Cuando x = 2 Solución: Si reemplazamos el valor de x = 2 tendríamos . ” x 2 4 ( x 2)( x 2) E x2 x2 ( x 2) E x2 Si x 2 E 22 4 .E Pero: 22 4 0 . se tiene que “levantar la indeterminación. in det er min ado. 22 0 para hallar el verdadero valor. - Rpta. Calcular el valor de: x2 x 6 x 2 8 x 15 Cuando x = -3 Rpta. Determinar el verdadero valor de: x3 8 A x2 Cuando x = -2 Rpta.05. Hallar el verdadero valor de: x 2 16 x4 06.- 10.- N x 1 09. Calcular el valor de: N 2x 2 2x 2 5 x 7 3 x5 x2 1 Rpta. Calcular el verdadero valor de: x 3 6 x 2 12x 8 P x 2 4x 4 Cuando x = -2 04. Calcular el verdadero valor de: . Calcular el valor de: x 1 N x 1 Cuando x = 1 Rpta.- 03.- Rpta. Calcular el valor de: 5x 2 3x 2 2 x 2 5x 8 N Si x = Rpta. Calcular el valor de: N x 2 25 2 Para x = 5 Rpta. Hallar el verdadero valor de: N Cuando x = -2 Cuando x = 9 Rpta.07.02. Hallar el verdadero valor de: P x 11 x Para x = 0 Rpta.- x 3 x 9 08.11.PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Hallar el verdadero valor de: N 3 5 x 1 5 x Cuando x = 4 Rpta. Hallar el verdadero valor de: 3x 5 2 x 4 x 2 6 E x 3 2 x 2 4x Cuando x = Rpta.13. Hallar el verdadero valor de: N 12 1 3 x 8 x 2 Cuando x = 2 Rpta.- Rpta. Hallar el verdadero valor de: N 3 x x 1 1 Cuando x = 0 Rpta.19. Hallar el verdadero valor de: Rpta.15.14.3x 12 x4 N Cuando x = 4 N 3x 2 8 x 5 2x 3 6x 3 Cuando x = Rpta.16.20. Calcular el verdadero valor de: P 2x 7 x 4 2 x 2 3x 1 2 Cuando x = ½ Rpta. Calcular el verdadero valor de: 8 4x N 2x 17.18. Hallar el verdadero valor de: N 4x 2 25x 36 3x 2 17 x 20 Cuando x = 4 . Hallar el verdadero valor de: E Cuando x = -2 3x 2 3x 6 x 3 2x 2 4x 8 Cuando x = 2 Rpta.12. Hallar el verdadero valor de: C 1 4X 7 3X 6 D) 1 B) – 2/3 E) 2 N C) 1/3 x2 x A) 5 C) 6 E) 8 2 D) 1 2 B) E) 0 x 3 2 4 B) 5 D) 7 08. Hallar el verdadero valor de: X 1 2 x3 B B) ¼ D) – ¼ P Cuando x = 3 A) ¼ D) ½ B) 1/6 A) 10 C) 12 E) 14 03. Hallar el verdadero valor de: 05. Hallar el valor real de: D B) 11 D) 13 07.Rpta.- PROBLEMAS PARA LA CASA 01. Hallar el verdadero valor de: Cuando x = 0 A) x9 Cuando x = 9 04. Hallar el verdadero valor de: 06. Hallar el valor real de: 2x x 2 x2 A N Cuando x = 2 A) ½ D) 1/5 4 x x 16 Cuando x = 16 B) 1/3 C) ¼ E) 1 A) 1/8 C) – 1/8 E) 1 02. Hallar el verdadero valor de: Cuando x = 2 A) 2/3 x2 Cuando x = 8 C) 1/3 E) 0 x8 3 C) 2 3 P Cuando x = 2 x2 4 x2 2 . Hallar el valor de: x A) 1 C) 2 E) 3 C) B) 0 D) 1 N Cuando x = 14. Hallar el verdadero valor de: M Cuando x = 3 A) 3 C) 3 E) 1 B) 0 D) 1 2 ab 1 E) a b 11. Hallar el verdadero valor de: 10. Hallar el verdadero valor de: N x4 1 5x Si x = 4 A) 1 C) 3 E) 5 B) 2 D) 4 x 6 5x 2 x 6 5 x 4 3x 2 8 Cuando x = A) 2 C) E) 3 x3 3 B) 3 D) 2 3 3 12.A) 12 C) 15 E) 20 13. Hallar el verdadero valor de: N ( x h) 3 x 3 h Cuando h = 0 A) x2 C) 2x2 E) 1 N B) 3x2 D) 5x2 xab ab x Cuando x = 0 A) 1 B) D) 1 ab 1 a b 15. Hallar el verdadero valor de: A 4x 2 6x 5 3x 2 4 x 2 x 2 x 1 1 x Cuando x = 0 A) 1/3 C) 1/5 E) 1/6 B) ¼ D) ½ . Hallar el verdadero valor de: B) 16 D) 18 N 09. C = {Z = (a . b R} Es la expresión cartesiana de Z = a + bi OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS SUMA Z1 a bi (a . b R i2 = -1} En todo número complejo: Parte Real = a Re(z)=a Z = a + bi Parte Imaginaria = b Im(Z)=b IGUALDAD Z1 a bi Z1 Z2 a bi c di a c b d Z2 c di Expresión Binomial y Cartesiana. b) / a . d) Z1 Z2 (a c) (b d)i (a c . b d) . b) Z2 c di (c .TEMA: NUMEROS COMPLEJOS Se denomina “conjunto de números complejos (C) al conjunto de todos los números de la forma” C = {a + bi / a. Zn = (a + bi)n Se desarrolla igual que un binomio elevado a la potencia “n”. b) Z1 Z2 ac bd (ad bc)i (ac bd . multiplicando ambos términos por un número conveniente. DIVISIÓN Para dividir dos números complejos hay que hacer que desaparezca el facto (i) del divisor. Ejemplo: 6 6 6i 6i 2 2i 3 9 3i 3i . d) POTENCIA Z = a + bi C .MULTIPLICACION Z1 a bi (a . ad bc) Z2 c di (c . El conjugado de: 8 – 4i Rpta.: 04. Efectuar: 4i 4i Rpta.: 08. Efectuar: 7 3i 2i Rpta.: 09. entonces el opuesto aditivo (-Z) es: Rpta. Efectuar: 5 + xi = 5 + 3ii 2i N 1 i Rpta. entonces los valores de “x” e “y” son: Rpta.: 03.: 07.: 02. Efectuar: P 5i 3i Rpta. Si Z = 4 – i. Si (-2 + 8i) + (x + yi) = 0. entonces el resultado de: 4(Z1 + Z2) Rpta.: 06.: 05. Si Z1 = 5 – 3i y Z2 = -5 + 3i.PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Si: El valor de ”x” es: Rpta.: es: . 10.: Rpta.: 17. Efectuar: (4 + 2i) entre (2 + i) (1 + i)6 Se obtiene: Rpta. Efectuar: 13. Efectuar: 11.: Rpta. Efectuar N = (3 – i)2 18. Efectuar: 14.: 20.: 19. Si: (5 – 2i) (5 + 2i) Z1 (1 – 4i) = 14 – 5i. Efectuar: N = (6 +3i) (2 + 4i) Rpta. Efectuar: (6 – 3i)2 Rpta.: Rpta. Efectuar: (2 – i) (3 + i) (3 – i) (5 + 3i)2 Rpta. Efectuar: (5 .: Rpta. entonces Z1 es igual a: Rpta. Al dividir: 16.: Rpta.: 12.: 15. 10) (2 – i)4 Rpta.: . -4) (-2 . b) 7 d) 7/2 09. i4 i13 i20 2 i9 i14 i15 Z2 = 2 – 4i Luego Z1 / Z2 es igual a: 7 11 i 6 6 1 5 b) i 2 3 13 1 i c) 6 6 a) . Encontrar el valor de (1 + i)16 a) 16 b) 128 c) 256 d) 472 e) N. Si: Z1 = (2x – 4y – i) x y i 4 Si Z1 = Z2 entonces x + y es: b) 3 d) -2 a) 8 c) 10 e) N.A.PROBLEMAS PARA LA CASA 01. Si: Z1 = 3 – 5i 04.A. Reducir: H 06. Encuentre el número complejo cuyo cuadrado sea: -3 – 4i Z2 = 22 + Sea imaginario puro. 08.A. Si: Z1 = 3 – 5i Z2 = 6 + i a) 2 c) 1/2 e) 2i a) 3 – i c) 2 – i e) N. a) 1 c) 3 e) 2i b) 3 + i d) 2 + i a) 1 – 2i c) 1 + 4i e) a y b 02. Reducir: H 1 2i 1 2i 1 i 1 i b) 2 d) 6 05.A. b) -17 + 31i d) -9 + 3ii 03. Determine “x” para que el cociente 2x i 1 i b) -1 + 2i d) 1 – 3i 07. El valor de: 1 1 1 1 E 2 3 4 i i 1 1 a) 2 c) 1 e) i b) 4 d) 0 Hallar (1 + Z1) (1+Z2) a) 19 – 33i c) -19 + 33i e) N. A. Si: Z = 4 – 3i.A. Determine x e t tales que (x + yi)2 = -16 – 30i a) 5 y -6 c) 3 y -5 e) N. Calcular: El valor de: R = 4Z3 (Z1 – Z2) Z2 – 2z + 1 . Cual es la parte real 11. Si: Z1 = 3 – 5i b) 1 7 i 4 2 c) 1 9 i 2 4 d) 1 9 i 2 4 Z2 = 6 + i e) N. Determine x para que el producto: de 1 Z2 a) 3 625 b) 7 525 c) 24 625 d) 7 625 (1 – 2i) (x – 5i) sea real a) 2 c) 10 e) 4 b) 5/2 d) -5/2 12. Z3 = 4 – 9i 14.A. .13 1 i 10 10 13 0i e) 10 d) 10. a) 6 – 8i c) -6 + 8i e) 8 + 6i 15.A. Hallar el equivalente: 2 i 1 4i 3 i 1 3i E a) 1 9 i 3 4 b) 4 + 3i d) -8 + 6i e) N. b) 5 y 3 d) 6 y -3 13. si Z = 2 – 3i a) 264 – 12i b) 246 – 12i c) 246 + 12i d) -264 + 12i e) N. . necesariamente llegamos a la situación: x2 = 1 Esta situación aparentemente simple. i 2 1 es decir 1 i Ahora si la unidad imaginaria la multiplicamos por un factor real. a. Entre estos números se distingue la unidad imaginaria que se simboliza por (i) y se define como. ya que no existe ningún número real cuyo cuadrado sea negativo. Si tratamos de resolver la ecuación x 2+1=0.0 Ejemplos: 1) 4 4 1 2i 2) 11 11 1 3) 12 12 1 2 3i 4) 36 36 1 36i 11i La solución de ecuaciones cuadráticas de la forma: ax2+ c = 0. No tiene solución en el campo de los números reales. c R+ .TEMA: NÚMEROS IMAGINARIOS CONCEPTO DE NÚMERO IMAGINARIO. b R . damos origen a los denominados números imaginarios puros. que se simboliza por: bi . Ante esta dificultad se creo un nuevo tipo de números que fueron denominados “Números Imaginarios” la característica de estos números es que al elevarlos al cuadrado dan como resultado un numero negativo. .7.Da origen a los números imaginarios Ejemplos: 1) x 2 9 0 x 2 9 x 9 3i 2 x 3i ..9. x 6i POTENCIAS DE (i) Potencias básicas o canónicas de (i) i1 = i . más 3 4n+3/nZ= 3.. i1 = i PROBLEMAS PARA LA CLASE ...11.. múltiplo de 4 . múltiplo de 4 . i4 = 1 Luego se puede construir el siguiente cuadro: Potencias Canónicas Potencia Equivalente...8. 2) x 6 0 x 6 x 6 6i 2 .. más 1 4n+1/nZ= 1. más 4 4n+4/nZ= 4.10.. i3 =-i .. más 2 4n+2/nZ= 2.5.. Ejemplo: Simplificar: N= i25 Solución: N = i25 = i24+1 = i4x6 . n z 1 4n+1 i I2 I3 I4 =1 = -1 = -i =1 i i4n+2 i4n+3 i4n+4 =1 = -1 = -i =1 Exponente múltiplo de 4 .12.6. i2 = -1 . múltiplo de 4 . 10. Encontrar el valor de: E i5 i7 i11 i 9 Rpta.06.04.12.11.03. El valor de: i 2397 Es: 07.- Es: Rpta.01. Simplificar: N 3i 36 4i102 i 201 Rpta.02.05. Simplificar: E (1 i)(i 1) Rpta. Simplificar: i 5343 N (i 1) 2 Es: Rpta. El valor de: i127 N i18 i135 i24 i111 Rpta. Simplificar: N i3 1 i 1 Rpta. El valor de: i1235 Es: Rpta. Reducir la expresión y expresarla como número imaginario N 16 225 . El valor de: Rpta.08.09. Calcular: N (3i)i Rpta. Encontrar el valor de: Rpta. 4x 2 1 0 Rpta.20. Simplificar: Rpta. P 11 como 13 Rpta. Resolver ecuación: la (i 1) 2 (i 1) 2 i 1 siguiente .- i 72 i18 K i12 19.17.16.- N (i 1) 3 14. Simplificar: Rpta. Simplificar: S i3 1 i 1 Rpta.- x2 60 2 Rpta.13. Reducir y expresar número imaginario.- Q 15. Simplificar: Rpta. Simplificar: Rpta. Resolver ecuación: la siguiente N (i 1) 4 (i 1) 4 Rpta.18. A) 4i C) 2 1 B) 3 D) 2i2 06.A B) -2 D) -1 -2 E) 0 A) 3 C) 5i E) 4 . Equivale a: 9 iii. números imaginarios: B) Solo II D) II y III 03. El valor de: 2i4 – i2. (2 –i4) es equivalente a: 04. II y III A) 0 C) 1 E) 3i B) i4 D) A) 5 C) 9 E) 3 B) -3 D) 0 . 3i2 De estos.PROBLEMAS PARA LA CASA 01.i B) 5 D) 4 + i 07. La diferencia (4 + 3i) – (7 + i) es: A) 2i . Dados los números: i. El valor de: 2i – (-2i)2 es igual a: A) 0 C) 2i E) -4 + i2 05. De las siguientes igualdades. 3 ii.3 C) i + 1 E) N. El valor de: i3 + i es igual. La expresión: 5i4 – i5 + i2 64 A) Solo I C) Solo III E) I. La expresión: -3i2 . es: B) 6 D) 2 + 4i 02. i =-5i D) 4 2i2 8 E) (3i 2i2 )2 36 08. la única que no cumple es: A) 2i – 3i= -i B) -1 + 4i = 3i C) 5i2. es (son). 4 D) 3i A) 6 C) 3 E) 5 5i2 3 es: 8 B) i D) -1 3i 3 4i i B) i D) 1 5i 4 5 10 B) 5 D) 1 . El valor de : S i1 i i5 i i2 i 12. El valor de: T B) 2 D) 4 11. El valor de: P i 4 i A) 0 C) -i E) i2 i5 i6 i 3 B) D) es: 15. El producto: N = (2 + 3i) (5 – 8i) es: A) 5 C) 9 E) i 13. El valor de: N = i0 + i1 + i2 + i3 + i4 A) 1 C) 3 E) 5 i1 A) i C) E) 14.3 E) i A) 8 C) -1 E) 0 B) 3i .09. Resolver: N = 5i2 + 3i + 1 A) 3i C) 3i . El valor de: S B) -3 D) 34 .i 10. c = 0 x2 = - Caso 2° c a x x1 c a x2 c a c a Si : c = 0. reducir términos semejantes y pasar todos sus términos al primer miembro.Una ecuación de segundo grado o cuadrática cuando después de quitar denominadores.TEMA: ECUACIONES I DEFINICIÓN. la ecuación es de la forma : ax2 +bx = 0 Las raíces se obtienen sacando a “ x ” como factor común : ax2 X ( a x + b ) = 0 +bx = 0 De donde : i) x = 0 ii) ax + b = 0 Luego. son: x1 0 . la ecuación es de la forma : ax2 +c = 0 Despejando “ x ” . x2 b a .. las raíces o soluciones de la ecuación : ax2 +bx + c = 0. adopta la forma típica: ax 2 bx c 0 Denominación de los términos de esta ecuación a x 2 + b x + c = 0 T é r m in o I n d e p e n d ie n t e T é r m in o C u a d r a t ic o T é r m in o L in e a l Caso 1° Si : b = 0. obtenemos : ax2 = . : A. lo que se consigue de la forma siguiente: Multiplicamos por 4a.: Ejemplo 2: Resolver la ecuación x2 – 6x + 5 = 0 Rpta. Obtenemos: x b b 2 4ac 2a Ejemplo 1: Resolver la ecuación x2 –2x – 3 = 0 Rpta. ambos miembros de la ecuación: 4a (ax 2 bx c) 4a . 0 4a 2 x 2 4abx 4ac 0 Sumamos b2 a ambos miembros: 4a 2 x 2 4abx b 2 4ac 0 b 2 4a 2 x 2 4abx b 2 4ac b 2 Transponemos “4ac” al segundo miembro: 4a 2 x 2 4abx b 2 b 2 4ac El primer miembro es un cuadrado perfecto y la ecuación se escribe así: ( 2ax b) 2 b 2 4ac O bien : 2ax b b 2 4ac y despejando x.Caso 3° Ecuación completa : ax2 +bx + c = 0 Para despejar “ x ”. Propiedades de las Raíces (Fórmula para resolver ecuaciones completas de segundo grado) . es preciso completar un cuadrado perfecto. Ejemplo 2: Dada la ecuación 2x2 +11x – 6 = 0 Calcular el producto de sus raíces. B. Formar una Ecuación de Segundo Grado 4a 2 .x 2 c a b b 2 4ac b b 2 4ac :x2 2a 2a x1. De la fórmula para resolver la Ecuación de segundo grado. dividido por el coeficiente x2. (Fórmula I) De la fórmula para resolver la Ecuación de segundo grado. (Fórmula II) Ejemplo 1: Dada la ecuación x2 + x – 12 = 0 Calcular el producto de sus raíces. Separando las raíces se tiene x1 Sumamos miembro a miembro: b b 2 4ac b b 2 4ac :x2 2a 2a b b 2 4ac b b 2 4ac b b 2 4ac b b 2 4ac 2b x1 x 2 2a 2Es a decir: La suma de las raíces de la ecuación 2ade segundo grado 2a x1 x 2 x1 x 2 b a es igual al coeficiente de x con signo contrario.x 2 ( b) 2 ( b 2 4ac ) 2 2a 2 b 2 (b 2 4a Es decir: El producto de las raíces de la ecuación de segundo grado es igual al término independiente dividido por el coeficiente de x2. Separando las raíces se tiene x1 Multiplicamos miembro a miembro: b b 2 4ac b b 2 4ac x1 x 2 2a 2a x 1. b = 1 y c = 4 . que son: X = X 1= . y el discriminante.x 2 0 x 2 ( x 1 x 2 ) x SUMA DE RAÍCES x 1 . Estudio Acerca de la Naturaleza de las Raíces de la Ecuación de Segundo Grado o Cuadrática 2 El Binomio que figura bajo el radical en la fórmula: x b b 4ac . b2 – 4ac. entonces existen dos raíces o soluciones diferentes. 2a Se llama el discriminante de la ecuación de segundo grado o cuadrática . se obtuvo como raíces: x1 y x2. Es decir. podríamos decir que la ecuación que dio origen a esas raíces es : ( x . nos permitirá conocer la naturaleza de las soluciones (reales.x x 1 . imaginarias. D = b2 – 4ac I. dobles) sin necesidad de resolver la ecuación.3 = 0 Se sabe que : a = 3.x1 ) ( x . Al resolver una ecuación de segundo grado o cuadrática.x2) = 0 Efectuando se obtiene: x 2 x. Ecuaciones con Discriminante Positivo Dada la ecuación de segundo grado: ax2+bx+ c =0 si su discriminante D es positivo.b + D 2a X 2= .x 2 0 PRODUCTO DE RAICES Luego: X2 – (suma de raíces) x + (producto de raíces) = 0 (Fórmula III) C. Discriminar significa distinguir. El discriminante: b2 – 4ac.D 2a D .x 2 x 1 . se denota por la letra D.b .b 2a R a íc e s o S o lu c i o n e s r e a le s Ejemplo: En la ecuación: 2x2 + 5x . Calculamos las raíces o soluciones con las formulas: i) ii) b D 2a b D x2 2a x1 (5) 49 5 7 2 1 x1 2(2) 2(2) 4 2 (5) 49 5 7 12 x2 x1 3 2(2) 2(2) 4 x1 El conjunto solución de la ecuación : 2x2 + 5x . siendo estas raíces dos números reales y su discriminante positivo o sea mayor que cero ( D 0 ). estas raíces serán dos raíces o soluciones complejos conjugados que son: X = X 1= .3 = 0. Ecuaciones con Discriminante Negativo Dada la ecuación de segundo grado: ax2+bx+ c =0 si su discriminante D es negativo.b .4ac.Se sabe que : a= 2. I. Obtenemos: D = 52 – 4(2) (-3) = 25 + 24 D = 49 Luego. entonces la ecuación no tiene raíces reales.b 2a R a í c e s o S o lu c i o n e s c o m p le jo s c o n ju g a d o s Ejemplo: En la ecuación: 3x2 + x + 4 = 0 . es: S = -3.b + D 2a X 2= .4ac.D 2a D . b =5 y c = -3 De la expresión: D = b2 . Obtenemos: D = (1)2 – 4(3) (4) = 1 – 48 = 47 D = -47 Luego. ½ .Reemplazando estos valores en la expresión: D = b2 . Calculamos las raíces o soluciones con las formulas: . Siendo 6 6 S estas raíces dos números complejos Conjugados y su discriminante negativo o sea menor que cero (D 0 ). Ecuaciones con Discriminante Cero . 1 x2 . 2a 2 3 6 6 Pero: 1 i x1 1 47i 6 b D 1 47 1 47 1 1 47. 2a 2 3 6 6 ii) x 2 Pero: 1 i x1 1 47i 6 El conjunto solución de la ecuación: 3x2 + x + 4 = 0. es: 1 47i 1 47i . III. 1 x1 .i) x1 b D 1 47 1 47 1 1 47. Dada la ecuación de segundo grado: ax2+bx+ c =0 si su discriminante D es cero. Obtenemos: D = (-20)2 – 4 (4) (25) = 400 – 400 = 0 D = 0 Luego.b 2a X 2= . es: S = {5/2}. siendo las raíces de la ecuación una raíz doble (raíces iguales) y discriminante igual a cero (D = 0) Resolución de una Ecuación General de Segundo Grado con una incógnita.0 2a X 2= .b 2a R a íc e s I g u a le s En la ecuación: 4x2 – 20x + 25 = 0 Se sabe que: a = 4. b = -20 y c = 25 Reemplazando estos valores en la expresión: D = b2 – 4ac.b 2a D .b . En forma general una ecuación de segundo grado con una incógnita o una ecuación de grado superior a dos se resuelve: a) Por medio de la factorización b) Empleando la formula general c) Por completación del cuadrado .b + 0 2a X 1= . calculamos las raíces o soluciones con las formulas: ( 20 ) 20 b 5 x1 x1 (primera solución) 2a 2( 4) 8 2 ( 20) 20 b 5 x2 x2 x1 (Segunda solución) 2a 2( 4) 8 2 x1 El conjunto solución de la ecuación: 4x2 – 20x + 25 = 0. entonces la ecuación tiene una raíz doble (raíces iguales) que es: X = Ejemplo: X 1= . Se trasladan todos los términos a un solo miembro. cuando la factorización del polinomio puede efectuarse. x = -2 x2 = -2 . (Cumple ) . Ejemplo 1: Resolver: 5 x 2 4 x 6 3 x Resolución: Pasando todo al primer miembro: 5x 2 4x 6 3x 0 Factorizando (por aspa simple) 5x 2 7X 6 0 5X X 3 5X 3 3X X 2 10 X 2 7X Luego: 5 x 2 7 x 6 5 x 3 ( x 2) 0 Igualamos cada factor a cero: i) 5x -3 = 0 5x = 3 ii) x + 2 = 0 x1 = 3/5 . Para obtener las soluciones se iguala cada factor a cero. dejando el otro miembro igual cero.A. Resolución de Ecuaciones Cuadráticas por Factorización: Una ecuación de segundo grado se resuelve en forma sencilla por medio de la factorización. Se factoriza el primer miembro. La factorizamos Por el método del aspa: . 5x2 7x 6 0 5( 2) 2 7( 2) 6 0 20 – 20 = 0 0 = 0 (cumple) El conjunto solución de la ecuación: 5x2 + 7x – 6 = 0. es: S = {-2.Comprobación: Para: x = 3/5 5x 2 7x 6 0 3 5 5 2 3 7 6 0 5 21 9 6 0 5 25 5 9 21 60 5 5 9 21 60 5 5 0 = 0 (cumple) Para: x = -2 . 3/5} Ejemplo 2: Resolver: x2 – 8x – 105 = 0 Resolución: La ecuación dada: x2 – 8x – 105 = 0. i) X – 15 = 0 x1 = 15 (1ra raíz) ii) X + 7 = 0 x2 = -7 (2da raíz) El conjunto solución de la ecuación: x2 – 8x – 105. Es: S = {-7.x 2 8 X 105 0 x 15 X 7 15 X 7 X (Cumple ) 8X 105 3 15 35 5 7 7 1 105 15 7 Luego: X2 – 8x – 105 = (x – 15) (x + 7) = 0 Igualamos cada factor a cero. 15} Ejemplo 3: Resolver: 4x2 – 49x = -12 Resolución: Pasando todo el primer miembro: La factorizamos por el método del aspa: 4x 1 X 12 . cambiamos de signo a cada término de la ecuación obteniendo: X2 – 10x + 24 = -0. 12} Ejemplo 4: Resolver: -x2 + 10x + 24 = 0 Resolución: En este caso. . S = {1/4. es.4x 2 49 X 12 0 5X X 3 2 X 48 X (Cumple ) 49 X Luego: 4x2 – 49x + 12 = 0 (4x – 1) (x – 12) = 0 Igualamos cada factor a cero: 4x – 1 = 0 4x = 1 x1 = ¼ x – 12 = 0 x = 12 x2 = 12 El conjunto solución de la ecuación: 4x2 – 49x = -12. pero: -0 = 0 Factorizamos por el método del aspa. x 2 10 X 24 0 x X 12 5X 3 12 X X 2 2X 2 (Cumple ) 10 X Luego: -x2 + 10x + 24 = 0 x2 – 10x – 24 = 0 (x – 12) (x + 2) = 0 Igualamos cada factor a cero: i) x – 12 = 0 ii) x + 2 = 0 x1 = 12 x2 = -2 El conjunto solución de la ecuación: -x2 + 10x + 24 =0. Resolución de Ecuaciones Cuadráticas empleando la Formula General. la cual nos da las soluciones o raíces de dicha ecuación.12} Rpta. S = {-2. es. La formula general Para resolver Una ecuación Cuadrática es: b b 2 4ac x1 (primera raiz o solución) 2a 2 b b 4ac x 2a b b 2 4ac x2 (segunda raiz o solución) 2a . B. Cuando una factorización no es posible se recurre a la formula general de la ecuación de segundo grado (ax2 + bx + c = 0). 5x2 + x – 6 = 0. b = 1 y c = -6 Reemplazando estos valores en la formula general: x b b 2 4ac 2a Obtenemos: x 1 2 (1) 4(3)( 6) 1 73 2(3) 6 . Tiene la forma: ax2 + bx + c = 0 Donde: a = 3.Ejemplo 1: Resolver: 3x2 + x – 6 = 0 Resolución: La ecuación dada. x x1 1 73 6 x2 1 73 6 1 73 6 El conjunto solución de la ecuación: 1 73 1 73 . 6 6 3 x 2 x 6 0. es : S Ejemplo 2: Resolver 5x2 – 8x + 2 = 0 La ecuación: 5x2 – 8x + 2 = 0. b = -8 y c = 2 Reemplazando estos valores en la formula general: b b 2 4ac 2a Obtenemos: x x ( 8 ) ( 8)2 4(5)(2) 8 2(5) 64 40 8 24 10 10 x1 x 4 6 5 8 2 6 2( 4 6) 4 6 10 10 5 x2 4 6 5 . Tiene la forma: ax2 + bx + c = 0 Donde: a = 5. b = -2 y c = 0 Reemplazando estos valores en la formula: x b b 2 4ac 2a Obtenemos: x x x ( 2) 2(1 ( 2)2 4(3 )(1) 2 8 22 2 2(3) 6 6 2) 6 1 2 3 1 2(1) 1 3 x1 1 2i 3 x2 1 2i 3 1 2i 3 2 3 1 . Ejemplo 3: Resolver: 3x2 – 2x + 1 = 0 Resolución: La ecuación dada: 3x2 – 2x +1 = 0. es : S Rpta. Tiene la forma: ax2 + bx + c =0 Donde: a = 3. El conjunto solución de la ecuación: 4 6 4 6 . 5 5 5 x 2 8 x 2 0. Calcular la suma de sus raíces. Dada la ecuación: 3x2 – 6x + 12 = 0. Resolver e indicar la raíz mayor. X2 + 3x . Resolver la ecuación: 8x2 + 22x + 5 = 0 Rpta: 14. Resolver e indicar la raíz positiva. Resolver e indicar la raíz menor. Resolver la ecuación: x2 + 11x + 24 = 0 Rpta: 15. Resolver la ecuación: 2x2 + 11x – 6 = 0 Rpta: 13. 2x2 + 7x – 30 = 0 Rpta: 04. Resolver e indicar la raíz negativa (X + 2)2 -6 = x + 2 Rpta: 06. Resolver: 5x2 = 13x + 6 Rpta: 20. Resolver la x2 – 2x – 15 = 0 Rpta: ecuación: m x m 2x 40 mx mx Rpta: 02. Resolver la ecuación: x x 1 x 1 x 4 cuyas 08. Rpta: 09.PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Obtener una de las raíces de: 16. Resolver la ecuación: 6x2 + 5x – 6 = 0 Rpta: 12. Resolver la ecuación: (5x – 2)2 = 10x2 + 6x + 61 Rpta: 07.2 Rpta: 03. Calcular el producto de sus raíces. Rpta: 11. Dada la ecuación: 3 x2 – 9x + 4 = 0. y cuyo producto sea 8. Resolver: (m2 n2 )x 2 2(m2 n2 )x m2 n2 0 Rpta: . Escribir una ecuación raíces son: 4 y 9. Resolver: x8 24 2 x8 x4 Rpta: 18. Hallar dos números que suman 6. Rpta: Rpta: 17. 6x + 6 = (4-x) (x + 7) Rpta: 05. Resolver: 2x 1 x 1 x 1 x2 Rpta: 19. Rpta: 10. . Resolver: X 06. Resolver: A) 12 C) 16 E) 20 B) 9 D) 10 2x 1 2 x A) 5 C) 7 E) 9 X A) 8 C) 11 E) 12 X8 X5 x 2 2x 3 B) 2 D) 5 09. Resolver la ecuación: x2 x A) 4 C) 6 E) 8 B) 5 D) 7 03. Resolver: 1 x A) 3 C) 4 E) 1 04. Hallar la menor solución de: 2 x4 2 x 8 A) -1 C) -3 E) -5 B) -2 D) -4 .mayor 1 5 3 C) 5 E) 0 2 5 6 D) 5 A) B) 02. Dar la menor raíz después de resolver: x x 1 x x 1 A) 1 C) 3 E) 5 3 5 B) 2 D) 4 07. Resolver x 2 3x 4 1 x A) 3 C) 5 E) 7 B) 4 D) 6 08.PROBLEMAS PARA LA CASA 01. Resolver: 5x 2 4x x 0 e indicar 3 3 3 la raíz . Resolver: B) 6 D) 8 X 20 B) 14 D) 12 05. 2p 2 q D) . 3 3 a D) . 2 2 a b . Resolver: 2x 2 (q 4p)x 2pq 0 q .3p 2 B) .b 2 B) 15. p 4 q E) . Resolver: 9 5 7 2( x 2) x 2( x 2) Dar la mayor solución: 14. Resolver: 11.p 2 q C) . C) 2 3 a E) .b 4 A) B) 1/6 D) 1/3 12.10. Resolver: 2x 5 3 x 7 2x 2 x 3 Dar la menor solución: 9 2 D) -3 A) -3 B) C) -2 E) 9 2 B) 1 D) 3 ab x(a b) 4 2 a b . Resolver: x 3 x 1 x 1 2 x Dar la menor solución: 1 2 1 C) 3 A) 5 C) 4 E) 8 x2 1 x 1 1 3x x 3 A) 13. q 2 A) q . Resolver: A) 1/2 C) 1/5 E) 1/7 E) 3 1 5 1 D) 4 B) a b . y2 = 2 x1 = 1 .MISCELÁNEA 1. 5 x 7 3x5. y1 = 1 . y1 = 1 . y1 = 1 . La soluciones enteras y positivas de “x” e “y” que satisfacen al siguiente de sistema inecuaciones: y – x2 – 3x + 8 0 … (1) 2y – x 4 … (2) x1 = 1 . y2 = 2 x1 = 1 . y1 = 1 x1 = 2 . x2 = 2 . La solución de la inecuación: x3 + 6x2 – 69x – 154 0 … (1) x3 – 3x2 – 13x + 15 0 … (2) . y1 = 1 x1 = 1 . x2 = 2 . y2 = 1 4. 1 x 5 5. La solución siguientes sistema de inecuaciones: 4x + 3x + 2 0 x2 + 6x – 72 0 x2 – 12x – 45 0 2 a) b) c) d) e) 12 x -3 -3 x 6 6 x 15 - x -12 15 x 3.7x 6. x2 = 1 . El valor entero y positivo “x” que satisface al siguiente sistema: 3 x 3 y 1 127 x – y 213 a) 729 c) 343 e) 64 … (I) … (II) b) 512 d) 125 2. La solución del sistema: a) b) c) d) e) x7 x8 x 2 x 1 … (1) x 4 x3 x5 x2 … (2) a) 3 1 x 4 2 b) 2 x 3 c) 1 x 1 2 4 d) 1 x 5 e) -2 x 1/2 . La solución del sistema de inecuación es: x2 x 3 (2) a) b) c) d) e) x 5 11 4 x 5 1 2 0 … (1) x 1 0 … 5x7 3x5 -2 x -1 - x -2 . b + 3 10.5 0 a) 5 c) 3 e) 1 x2 + 3 4x x2 + 4 6 + x x2 . a a + 3 .3 x 2 kx 0.5 De las proposiciones n anteriores. Resolver: x2 + 18 9x x2 2x … (1) … (2) a) 8 . según ellos calcule “” a) 1 b) -1 . b b) 4 d) 2 12.3 c) 1. 6 c) 3 . 2 2 x x n n x 4. Z m2– (a+b+6)m + 3(a+b) +ab + 9 0 b + 3 . 4 8. 6 e) x R b) 2 . hallar: m a) -30 c) -20 e) 10 11. ¿Cuál es el valor apropiado para “n” de tal manera que el sistema? b .2 d) -1. Indicar cuantos valores de k satisfacen el sistema: x 2 4x 2k 0 2x + 3x – 9 0 2x2 – 3x – 5 0 x n 2 Admita una solución única en Z a) -0. 4 d) -1 . Hallar el intervalo en que se encuentra “m”. b a + 3 . Sea: c) d) e) 2 1 3 x 7 x m 0 x 2. si 0 a by: a) b) b) 15 d) 25 Se verifica para un único valor de “x”.2 e) 2 b) 0. Si el sistema: 9. a +3 a .x3 – 3x2 – 36x + 108 0 … (3) a) b) c) d) e) -6 x -3 -6 x -2 1x3 - x -1 7x 7. 43 Números Complejos ………………………………….c) 2 e) -2 d) 3 INDICE Fracciones Algebraicas ………………………………. 10 Radicación ……………………………………………. 61 ... 49 Cantidades Imaginarias ………………………………. 35 Verdadero valor de formas indeterminadas …………. 03 Binomio de Newton …………………………………. 55 Ecuaciones I ………………………………………….. 17 Radicales Dobles. Transformación …………………… 27 Racionalización ……………………………………….