ALGEBRA 1ER AÑO - 2012El Álgebra, como toda ciencia, es un conjunto de conceptos y definiciones que se relacionan mutuamente. Para su mejor comprensión es necesario conocer los conceptos básicos como: constante, variable y término algebraico; de esta manera los temas que continúan se harán más entendibles y familiares. Veamos a continuación: 1. ELEMENTOS ALGEBRAICOS: Las constantes se 1. CONSTANTE: Concepto. Es todo aquello que no cambia de valor. representan con Ejemplo: números. El ancho de esta hoja es:…………………………………………………………….. Los departamentos del Perú son:………………………………………………. La cantidad de dedos en tu mano derecha es:……………………… Las vocales son:…………………………………………………………………………….. Ahora te toca: Escribe cuatro ejemplos de constante y expresarlos con números. El largo de ___________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ 2. VARIABLE: Es todo aquello que cambia de valor o que no es constante. Ejemplo: La edad de una persona…………………………………………………………………………………….…( ) El número de campanadas que da un reloj en una hora cualquiera……………( ) La cantidad de personas en el Perú……………………………………………………………………( ) El número de peces en el mar………………………………………………………………………………( ) Generalmente las variables se representan con las últimas letras del alfabeto. Ahora te toca hacerlo: Escribe cuatro ejemplos de variable con su respectiva representación literal. __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ 3. TÉRMINO ALGEBRAICO Es una expresión matemática que une a las constantes y a las variables mediante la operación de multiplicación, división y potenciación. Constantes Algunos ejemplos: ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………. Recuerda Las variables se representan con letras. 3 7 Haciendo un arreglo con las operaciones indicadas tenemos ...... Término Algebraico y x Variables 67 Prof. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE ALGEBRA 1ER AÑO - 2012 Ejemplo: En cada recuadro escribamos el constante y la variable de cada término algebraico: CONSTANTES VARIABLES TÉRMINO ALGEBRAICO 2x -13xy -4x y 21x y 2 3 2 Fácil 7x y z 5 2 3 Ahora te toca hacerlo: En la siguiente tabla multiplica las constantes y las variables para formar términos algebraicos. CONSTANTES 3 -2 12 -14 20 32 -7 9 VARIABLES x Y xw xyz x2 X2z x3z2 x5w3z TÉRMINO ALGEBRAICO Partes de una término algebraico: Consta de 2 partes y son: -7 x2 y3 Parte Constante Parte Variable Ejemplo: En la siguiente tabla identificamos la parte constante y la parte variable: TÉRMINO ALGEBRAICO PARTE CONSTANTE PARTE VARIABLE Los exponentes de las variables siempre deben ser números. 2x -3xy 17xyzw -12x2y 20x3y2 -10x8y5z4 68 Prof. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE III Constante: I. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. Completa el siguiente cuadro: 69 Término Algebraico 3x x 5x3 -2x2y x3yz2 Parte Constante Parte Variable 6. Utilizando términos algebraicos representa las siguientes proposiciones. ( )12 d) Las vocales. ( )7 b) Los colores del semáforo. III) 5 es una variable. ¿Cuál es el número de estrellas en el universo? Es una cantidad mucho más grande que el tiempo de tu vida en la Tierra. b) El doble del número de personas en el mundo. d) Menos el doble de la altura de un árbol. Representa mediante términos algebraicos las siguientes proposiciones: a) La edad de una persona. ( )5 c) Días de la semana. Determina cuántos términos algebraicos se pueden formar multiplicando solo uno de los dos números con solo una de las dos letras. ¿Cuántas variables existen en la siguiente oración? Subráyalas. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I) Los números son constantes. x. I) 4 4 II) a b III) a) b) c) d) e) 2 Constante: III Variable: I. Pedro y su hijo Mario caminaban a orillas del mar en una noche despejada de pronto Mario pregunto papá. 5. Indícalos. Relaciona las siguientes proposiciones con su respectiva constante: a) La cantidad de meses de un año. III Variable: II Todas son constantes Todas son variables 8. Prof. a) Sólo I y III b) Sólo II c) Sólo I d) Sólo III e) Ninguna 7.2012 Ahora te toca hacerlo: Completa la siguiente tabla: TÉRMINO ALGEBRAICO PARTE CONSTANTE PARTE VARIABLE 5x -4wz 14ywz -45x2w 34x3z5 -16x12y7w10 12wz3yx24 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE . Luego de hallar el área de las siguientes figuras indica cual de los resultados son constantes y cuáles son variables.ALGEBRA 1ER AÑO . ( )3 2. c) El triple del número de pasajeros que suben a un autobús. contesto Pedro. II) Las variables se representan con números. II Constante: I Variable: II. Quizás tan grande como la cantidad de granos de arena en la playa. Se tiene las siguientes constantes y variables: -3. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. a) Dos veces el número de postulantes a la universidad. 7. y. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son Falsas? I) 3 es un término algebraico. Se quiere formar términos algebraicos multiplicando las siguientes constantes y variables: 7. II) En un término algebraico las variables pueden tener exponentes negativos. 5. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE . 4. ¿Cuántos términos algebraicos como máximo se pueden obtener? Indícalos. z3. Con las siguientes constantes y variables: 4. Completa el siguiente cuadro: Término Algebraico -4x -x 8x5y2z 325x2wa Parte Constante Parte Variable 3. Se busca un término algebraico donde la parte constante sea el doble del exponente de su parte variable. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y III e) I y II Prof. 5. Determinar el número máximo de estos. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 15.2012 b) Cinco veces el dinero que gaste. ¿Cuántos términos algebraicos como máximo se formaran? a) 5 b) 4 c) 6 d) 3 e) 7 Representa con ayuda de términos algebraicos las siguientes frases: a) El dinero de una persona. Completa la siguiente tabla: Término Algebraico Parte Constante Parte Variable Exponentes exponentes de la parte variable sea máxima? a) 15 b) 17 c) 16 d) 14 e) 18 TAREA DOMICILIARIA 1. x5. parte variable y exponentes. c) Siete veces la distancia Tierra – Sol. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es un término algebraico? ¿Por qué? a) 7x-2 b) –xywabpq c) 24799x2y5 d) 5 e) –x-1 2.( c) La cantidad de campanadas de un reloj al medio día. d) Menos ocho veces el área de un cuadrado. ( ) b) El número de estaciones del año. 4 y solo una de las siguientes letras: w. II) 3x2yw es un término algebraico. b) El quíntuple de la temperatura ambiental. Indicar cuáles de las siguientes proposiciones son falsas: I) -3 es un término algebraico. w. Relaciona las siguientes proposiciones respectiva constante: a) El número de días del mes de Agosto. ( ) d) La cantidad de sentidos en el ser humano.ALGEBRA 1ER AÑO . x2. d) Menos cuatro veces el tiempo transcurrido. 9. a) I y III b) Sólo I c) Sólo II d) I y III e) Todas 13. ¿Cuántas son? El número de días del mes febrero es un problema pues yo siempre celebro el 29 de febrero el día de mi nacimiento y depende de esto la edad que tengo. De los siguientes ¿cuál cumple con la condición? a) 4x3 b) 8w5 c) 10z4 d) 12y8 e) 14m7 14. multiplícalos. Dar por respuesta aquel término donde la suma de su parte constante con los 70 En el siguiente texto subraya las variables que puedas encontrar. III) x es un término algebraico. a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) 8 Toma solo uno de los siguientes números: 2. Con la condición que 7 siempre sea parte de los términos a formar. 6. c) Menos tres veces el número de colegios del Perú. III) Un término algebraico tiene tres partes: parte constante. ¿Cuántos términos algebraicos con parte variable: x2w5 existen tal que su parte constante sea un número par de una cifra. ( ) con su 12 )5 4 31 5x-9y2 4x-1wz3 -25x3y8w-4 -14x-4w5z3 12. a) 2 b) 5 c) 6 d) 4 e) 3 10. 11. z. II) x es un término algebraico. Debes Saber: Concepto Definición : : Idea que se tiene de algo. z. Señala cuál o cuáles de las siguientes proposiciones no son ciertas: I) Las únicas letras que se pueden utilizar para representar a la variables son: x. Menos tres veces el área de un círculo. Las áreas de I y II son términos algebraicos. a) I y III b) II y III c) I y II d) Ninguna e) Todas 13. y. Completa la siguiente tabla: Término Algebraico 4x5y-1 -x-1 -3x-2 -xy2 5xy2z3w4 Parte Constante Parte Variable Exponentes C Señala todos los caminos que se pueden seguir para ir desde A hasta C. -2x-3 III. 9. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE . ¿Cuál de las siguientes expresiones es un término algebraico? I. 8. En cuál de los siguiente diagrama: Camino 4 Camino x Ciudad B 2 Según los resultados se puede afirmar que: a) b) c) d) e) El área de III es un término algebraico. 71 Prof. En cuál de los siguientes términos algebraicos: I) 15x3y1 II) 3x2w-1 III) -2xwz5 Se cumple que la suma de su parte constante con los exponentes de su parte variable es un número que se puede dividir entre cinco. Sólo el área de II es un término algebraico. Entonces en el siguiente gráfico: 3 8 A w z xy 9 B x yz w 2 3 3 Tomando un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto B. w. a) b) c) d) Menos cuatro veces el área de un rectángulo. z2wx a) Sólo I b) II y III c) Sólo II d) I y III e) Todas 11. -35 II.2012 7. Utilizando términos algebraicos representa las siguientes proposiciones. III) El exponente de una variable en un término algebraico puede ser. Se tiene los siguientes conjuntos: A 3 w -4 7 2 3 Ciudad A B Ciudad C xy z y xw 2 5 Indica que para ir de la ciudad A hasta a la ciudad C se debe seguir el camino 4x2. ¿Cuántos términos algebraicos se pueden formar? a) 2 b) 5 c) 6 d) 4 e) 3 10. Las áreas de I y III son términos algebraicos. a) En II b) En I c) En I y II d) En III e) En ninguna 14. Todas las áreas son términos algebraicos. Halla el área de las siguientes figuras: I) II) x 5 3 2 x y 2 III) 3 12. El cuádruple del área de un cuadrado. Descripción exacta de algo.ALGEBRA 1ER AÑO . Menos el doble del área de un triángulo. . Las principales y son: ( ) { } [ ] Paréntesis Llaves Corchete Existe otro signo de agrupación llamado Barra que actualmente no se utiliza.2z + y} + 3x 5x – (4w + z) 2 (3w + z) – [2 .y) = 72 Prof.w} = ………………………………………………………………………………… 3x + y + [3 + 4w] = ………………………………………………………………………. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE .9) + 12y – {3 – z } = ____________________________ 3 2 5 y – (z – 3x) – [2 – y ] – {-y + 4} = __________________________ Ahora te toca hacerlo: En cada caso elimina los signos de agrupación: -{-7w} = 2 -[-5 + x ] = -5y – (2w . Supresión de los signos de agrupación Suprimir un signo de agrupación es eliminar por medio de un procedimiento matemático.2012 1. Concepto: Son símbolos que se utilizan para agrupar expresiones separándolas de otras. Veamos a continuación: Caso 1: Cuando delante del signo de agrupación esta el signo (+) En este caso la expresión que esta dentro del signo de agrupación no cambia de signo. fueron introducidos por Vieta (Matemático Francés (1840 – 1603) en 1593. corchetes y llaves. 5 + {2x .2] + {2y – z} = ………………………………………………………… 2 +(3y .w} = 2 3 2x – {x + w . el cual se presenta en dos casos. ¡Aquí! Ejemplo: -(2x) = _______________________________ Lo positivo cambia a negativo y -{4 + 5w} = ____________________________ lo negativo cambia a positivo.. 2x + [y + w .z} – (w – 15 . Caso 2: Cuando delante del signo de agrupación esta el signo (-) En este caso la expresión que está dentro del signo de agrupación cambia de signo.2) Ojo Los paréntesis. Su representación es: _______ Ejemplo: (x + y) + 3w [x – 2w] + z {7x . Ejemplo: +(z + 2) = ……………………………………………………………………………………… +(z – x) = ……………………………………………………………………………………… +[y – 2x + w] = ……………………………………………………………………………… +{z – w + 4} = ………………………………………………………………………………… 2 + (x + y) = …………………………………………………………………………………. -[5x – 3w] = ___________________________ 2 – {3x + 5y} = _________________________ 2x – (4y + z .x) = 2 3x – {-5 – w + y} = 2 4 – (z – w ) – {x + y} = 5 2 3 -[w + x] + 3 – (-z + y) – {x – y .w] + 4 7w – [x + 2] + (x . 2.ALGEBRA 1ER AÑO .7) = _______________________ -y –[2 – 8z + y] = ________________________ 2 3 -(7z + x .4) + 2z + {x + 1} = ……………………………………………………………. Si (+) antecede a un signo de agrupación. la expresión interna cambia. 12. Indique la parte constante del término algebraico resultante. a) Sólo II b) Sólo III d) Sólo II y III e) Ninguna 2. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE .w) + 4 – [-2y – 3x . 3y – {2y – (3w + 5x) + [-5w + 3y] + 10w} Señala la suma de las partes constantes a) -9 b) -7 c) 9 d) -3 e) 7 {(3y – 7 . Elimina los signos de agrupación en cada caso: I) -(x . a) 3 b) 7 c) 2 d) -7 e) -3 11. 15. iii. 73 Prof. 13. c) -w 9. Señala lo correcto: respecto a la supresión de signos de agrupación: i. c) Sólo I En los siguientes problemas suprime los signos de agrupación y luego simplifica: 3x + {8x2 – 3x} – [-2x + 8x2] Señala la expresión que se obtiene: a) -2x b) 2x c) 0 d) x e) -x -7x2 – (3x + w) + [7x2 + w] Indica la expresión obtenida: a) -3x b) 3x d) 7x2 e) -2w ¿Cuál de los siguientes signos no es de agrupación? I) ( ) II) { } III) [ ] a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo II y III d) Todos e) Ninguno 8. a) III b) II c) I d) I y II e) Todas Luego de eliminar los signos de agrupación reduce: 5x – (2x – 3x) Señala la expresión resultante: a) 2x b) 6x c) 4x d) 0 e) 3x Relaciona correctamente: Expresión por reducir Expresión reducida a) 2w + [3w .y Luego indica la expresión que tiene más términos negativos.3] – 5y} + 10x Dar por respuesta la suma de las partes constantes.y} III) -[-z + w] . Si (-) precede a un signo de agrupación.ALGEBRA 1ER AÑO .w} + 3w ( ) 5w –(4x . ii. 3. la expresión interna cambia de signo. iv. ¿Cuáles de los siguientes signos son de agrupación? I) II) ( ) III) { } 7.5) + [3x .2012 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. 14. v. la expresión interna no cambia.w} Señale la parte constante del término que se obtiene: a) 1 b) -2 c) 2 d) -1 e) 3 –{5w – 7 + y} + [-3 + 4x + y] – {2 + 2w} + {14w – 2 – 4x} 10.13] – {-5x – 8 + w} – {5x . 6. Si (-) antecede a un signo de agrupación. 5. Si (+) precede a un signo de agrupación.y) II) w + {z .w] ( ) 0 b) (5w + 3y) – 3y ( ) w c) 4w – [2w + w] ( ) 4w d) –{4w . Ninguna de las anteriores. este no se puede suprimir. a) 3 b) 5 c) 8 d) 7 e) 9 -3x + {5w – [5z – 3x – (-5w + 4z)]} + z a) –z b) x c) –w d) –x e) 0 4w – {-8x – [8y – 4w + (8x – 8y)]} – 9x a) 0 b) 7x c) 7y d) 3w e) -7y 3x + {9xw – {2x – 4xw – (5xy2 – 4 – 7x) + [3x + 13xw – (-3x + 4)]} + 10xy2} a) 12x – 15xy2 b) 15x – 12xy2 c) 15x + 12xy2 d) -12x + 15xy2 e) -12x – 15xy2 4. (4w – y + 3) . ¿Cuál de los siguientes signos no es de agrupación? I) { } II) ( ) III) [ ] IV) ¡ ! a) Sólo I d) Sólo IV b) Sólo II e) Todos c) Sólo III 9.6 e) -7xy .ALGEBRA 1ER AÑO . a) -2 b) 3 c) 4 d) -5 e) -7 12.2012 TAREA DOMICILIARIA c) –[3z – 5w] + 3w – [-5w – 3z] ( d) {4z – 12w} – (-5w + 4z) ( ) ) 0 13w 1. 74 Prof.x – w II) +{z .8w – {-4w + 11w} Señala la expresión resultante: a) 0 b) -19 w c) 3w d) -15w e) 19w Relaciona correctamente: Expresión por reducir Expresión reducida a) 2w2 – w – (2w2 . Los principales signos de agrupación son 3: ( ) .6 c) 6xy – 7 4.w} = z – w III) -[y . -7x2 – {-9x3 – {-7x2 – 16x3 – (-2xy – 4 – 12x2) – [-7x2 – 7x3 – (-5x2 .7) 8.10)]} -5xy} a) xy – 6 d) -6xy .w ( ) 7z b) 3w + z – [-6z + 3w] ( ) -7w 6. -3y – {-8w – [-7z + 3y – (-w – 7z)]} – 9w a) y b) z c) w d) 0 e) -w 15. a) 4 b) 3 c) 7 d) 5 e) 2 13. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE . Señala la parte constante del término algebraico que se obtiene: a) 8 b) 6 c) -6 d) -7 e) 7 10. Si suprimimos un signo de agrupación precedido por (+) la expresión interna no cambia. c. Señala lo correcto: I) -(x + w) = . 2. -7w – {-3z – [-8y + 7w + (-3z + 11y)]} – 3y a) w b) z c) 0 d) y e) –z 14. -4z + {-2w + (7y – 3w) – [3y – 4z] .w] + {-7x – 5 . { } a) VFV d) VVF b) VVV e) FVF c) VFF Indica la parte constante del resultado: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11. -7x – {-5x2 + 7x} + (2x – 5x2) Indica la expresión que se obtiene: a) 12x b) -12x c) x d) –x e) 0 7w2 + [-3y .w} – (7w – 13x . Si suprimimos un signo de agrupación precedido por (-) la expresión interna cambia de signo.z] = -y – z a) Solo I b) Solo I y III d) Solo II e) Solo III c) Solo I y II 5.(8y – 3 – 7w) + [-4 – 9w + 9y] – {-2w + 2} 3. b. Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a.7 b) 7xy . Luego de suprimir los signos de agrupación simplifica: .z] – {-3y – 4z + 7w2} a) 3z b) 2z c) –x d) 3y e) 4x (3x + 2) – [9x + 4 . [ ] .y} Señala la suma de las partes constantes. ¿Cuáles de los siguientes signos son de agrupación? I) | | II) III) [ ] a) Sólo I y II b) Sólo I y III c) Sólo III d) Todos e) Ninguno En los siguientes problemas suprime los signos de agrupación y luego simplifica: 7. {-(-4x – 2 + y) – 7 + [3x – 4w + 5] – 7x} + 12w Dar por respuesta la suma de las partes constantes. Esta igualdad debe presentar como mínimo una variable. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE .1) 75 Prof.ALGEBRA 1ER AÑO . ¡Claro. En esta igualdad observamos la variable por lo tanto es una ecuación X + Variable 7 = 2 Igualdad ¿verdadera o falsa? TEN PRESENTE Como una ecuación tiene variable no se puede determinar si es verdadera o falsa. ¿Y puedo convertirla en una igualdad verdadera? 2. Para ello se debe tener en cuenta la regla llamada “transposición de términos”. RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN Resolver una ecuación consiste en hallar el valor que la convierta en una igualdad verdadera. es fácil! Para ello tienes que resolver la ecuación. el cual consiste en: Si una expresión esta sumando pasa al otro lado de la ecuación a restar Si una expresión esta restando pasa al otro lado de la ecuación a sumar Si una expresión esta multiplicando pasa al otro lado de la ecuación a dividir Si una expresión esta dividiendo pasa al otro lado de la ecuación a multiplicar Ejemplos: 3x – 1 = x + 2 + x 4x – (3x + 9) = (x + 2) – (2x .2012 1. ECUACIÓN Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticos. 1 x – 3=. 9.x .1 b) 1 d) 3 e) 4 5. Resuelve las siguientes ecuaciones: x + 3=5 x + 3=1 x + 3=.ALGEBRA 1ER AÑO .2 a) . 4. Resuelve las siguientes ecuaciones: 1.18 Indicar: x + 4 a) 0 b) 1 d) .1 15. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE .4 b) . 76 Resuelve las siguientes ecuaciones: Prof. 7x – 5 = a) 9 d) 9 11.11 4x – 5 = 7 III. x+2=7 x+5 =2 x+2 = -3 x–5=3 x–7=-3 x–4=-7 3x = 9 5x = . 2. 4x + 2=x + 8 Dar por respuesta el valor de: x + 5 a) 7 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. 7. 3x – 9 = .5 e) 6 16 b) 18 e) .9 7x =14 5x =10 II.7 2.3 Responder: 2 (x) a) . 2x + 3 = -5 Dar por respuesta : x – 4 a) .8 d) 1 e) 4 13. 4(3x – 2) = 3(3x – 2) + 1 Dar el valor de: a) 9 d) 3 36 x 1.1 e) 2 12.1 d) 1 x 10 x b) 18 e) 36 b) 2 e) . Resuelve las siguientes ecuaciones: 2x + 5 = 9 3X + 5 = 2 4X + 5 = -7 5X – 3 = 7 3X – 10 = -1 7X – 3 = . 18 – 4x + 6x = 3x + 9x + 8 Dar el valor de: x .15 12 b) .4 d) 1 b) 0 e) 4 c) . 5. 20 x + 7 – 3 = 15 x + 19 Indicar: x 3 c) 3 c) 0 c) 6 c) 2 a) . – 13 + 5 (x – 2) + 3 (2 x + 5) = 4 (2 x – 6) + 1 Responder: c) 4 a) .2=. 8.2 x – 3=2 x – 3=. .2 d) 4 Dar por respuesta el valor de: 8 x c) 3 10.17 8x + 2 = 10 5x + 7 = 2 6x + 7 = . 6.2 b) 8 d) 4 e) 2 14. 3.3 TAREA PARA LA CASA I. 4x – 2 = . – 4x =12 3.5 c) .5 2x =4 3x =.2012 EJERCICIOS DE APLICACION I.1 c) 6 5x + 2 = a) . LENGUAJE MATEMÁTICO FORMA SIMBÓLICA ENUNCIADO Importante:No es el unico metodo que existe para plantear ecuaciones. 40 más que yo” A excede a B en 7” También: A es mayor que B en 7 El exceso de A sobre B es 7 B es excedido por A en 7 La diferencia entre A y B es 7 77 Prof. Representa con una letra lo que pide el problema (incógnita) y escribe los datos que te ofrecen. 4. Para entender mejor veamos el siguiente esquema: FORMA VERBAL Dentro de 3 años tendré 14. 2. 40 menos que tú” o también se dice: “Tú tienes S/. Lee atentamente el problema las veces que sea necesario.2012 1. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE .Consiste en que a partir de un ENUNCIADO se escriba una IGUALDAD relacionando los DATOS y la INCOGNITA (lo que se pide en el problema).ALGEBRA 1ER AÑO . El objetivo es comprender el enunciado. José puedes calcular ¿qué edad tengo? TRADUCCIÓN Si a tu edad le adiciono 3 años es igual a 14. pues existen otros.. a continuación te damos algunas recomendaciones a tomar en cuenta para plantear ecuaciones: 1. Relaciona mediante una igualdad lo que pide el problema y los datos brindados. Concepto. Resuelve la igualdad (ecuación) planteada. A continuacion practiquemos a representar un enunciado al lenguaje matematico: ENUNCIADO (FORMA VERBAL) INTERPRETACIÓN FORMA SIMBÓLICA (LENGUAJE MATEMÁTICO ……………………… ……………………… ……………………… ……………………… ……………………… ……………………… “Un número” “La suma de 2 números” “El doble de un número” “El triple de un número” “El cuadruple de un número” “El doble de lo que tengo. aumentado en 7 “Yo tengo 20 más que tú” “Yo tengo S/. 3. 2012 “A es el doble de B” También: A es dos veces B B es la mitad de A “A es el triple de B” También: A es tres veces B B es la tercera parte de A ¿Sabías que? AL – KHOWARIZMI fue quien dio el nombre “XAI” a la incógnita. ¿Qué edad tengo? II. Si le dan S/. ¿Cuánto dinero tengo? 15. 4. Si al doble de un número. ¿De qué número se trata? 78 10. ¿Cuánto fue el gasto de los 2 días? 17. ¿Cuál es la distancia de mi casa al colegio? 18. ¿Cuánto pesaba Angela antes de hacer los ejercicios? 6. ¿Cuánto es el dinero de Pedro? Prof. ¿Qué edad tiene María? 4. Si en total he caminado 14 km. ¿Cuál es el número? 12. se usó abreviadamente X (su inicial) por ello al Álgebra se le conoce como “Regla de la cosa” EJERCIOS DE APLICACIÓN I. disminuido en 3 resulta 12. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE . 17. Al duplicar un número resulta 10. Carlos gasta S/. ¿Cuánto tenía al inicio? 7. 7. 3. 3 en comida y le sobra S/. El doble de la edad de Juan. Hoy gasté el doble de lo que ayer gasté. El cuádruple de mi dinero. Luego de hacer ejercicios Angela bajo 3 kg y ahora pesa 47 kg. Si al triple de un número. Si Rosa tiene 5 años. con el tiempo en lugar de XAI. ¿Cuál es el número? 13. se le adiciona 4 resulta 10. 5 tendría lo que yo tengo. Si mi dinero es S/. Si Pedro cuadruplica su dinero y le regalan S/. La suma de 2 números es 7. ¿Cuál es la edad de Juan? 14. aumentado en 3 años resulta 11 años. 5 resulta S/. disminuido en S/. Si uno de ellos es 3 ¿cuál es el otro?. ¿Cuánto dinero tiene Graciela? 5. Plantea y resuelve los siguientes problemas: 11. que en árabe significa “cosa”. 15. ¿Cuál es el número? 8. se le adiciona 7 resulta 4. El cuádruple de mi edad es 20. Si triplicamos un número se convierte en 15. Plantea y resuelve los siguientes enunciados 1. ¿Cuál es el número? 9. Si a un número se le multiplica por 2 resultaría 8. Graciela tiene cierta cantidad de dinero. ¿Qué edad tengo? 16. Si ayer gasté S/. Al sumar 2 números resulta – 2. El triple de mi edad. 7. 8 tendría S/. Luego de haber caminado el triple de la distancia de mi casa al colegio recorro 2 km más. Entre María y Rosa tienen 12 años. Si uno de ellos es 3 ¿cuál es el otro? 2.ALGEBRA 1ER AÑO . ¿Cuál es el número? 7. Si lo pintado de este último color es el cuádruple de lo pintado de azul. Si la edad de Manuel es 6 veces la edad de Pedro. 12. ¿Cuál es el otro? 2. El doble de un número es 16. ¿Cuántas he leído? 6. Juan razona: “Si triplicó mi peso y subo a una balanza con mi hermano que pesa 7 kg esta marcaría 127 kg”. Una madre y su hijo se pesan juntos y la balanza marca 70 kg. ¿Cuánto dinero tienes? 12. ¿Qué hora es? 20. Si al doble del dinero que tienes le aumentamos S/.ALGEBRA 1ER AÑO . ZOSIMO ZANABRIA OLARTE . Enrique gastó S/. Si le dieron S/. ¿Cuántos kilómetros caminé ayer? 14. ¿Cuánto dinero tenía antes de la compra? 5. ¿Cuántos kilos hay en la balanza? 13. ¿Cuál será mi edad dentro de 10 años? a) 4 b) 14 c) 10 d) 8 e) 7 25. 7. Si uno de ellos es 5. Si al triple de un número. Una varilla de 20 cm de largo se ha pintado de azul y blanco.m. se el añade 4 se obtiene 10. Lee cuidadosamente los siguientes problemas y revuélvelos: 21. ¿Cuántos litros quedan si se derraman 2 litros? a) 4 b) 3 c) 1 d) 0 e) 2 15. Yo tengo el doble de tu dinero. Si duplicamos el tiempo transcurrido y adelantamos 5 horas serían las 7 p. Si el hijo pesa 20 kg. Si al doble de mi edad. La edad de Manuel excede a la edad de Pedro en 10 años. El triple de un número es 24. Si Carlos tiene S/. 1. Si al doble de un número. En un recipiente se vierte 4 litros de agua obteniendo de esta manera el doble de litros que había inicialmente. Halla la suma del dinero que tenemos. 24. ¿Qué edad tengo? a) 57 b) 61 c) 51 d) 39 e) 40 4. Entre Jorge y Carlos tienen S/. ¿Cuánto pesa la madre? 79 Prof. Yo tengo S/. Si camino el doble de lo que anduve ayer y troto 5km adicionales recorro en total 15km. ¿Cuánto tiene Jorge? 3. ¿Cuánto dinero tengo? a) 8 b) 16 c) 24 d) 2 e) 3 22. Si a leer un libro de 200 páginas me doy con la sorpresa que me falta leer 150 páginas. si entre los dos tenemos S/. ¿Cuántos centímetros habrá que pintar nuevamente de azul para que la varilla sea mitad azul y mitad blanco? a) 4 d) 10 b) 6 e) 16 c) 7 TAREA DOMICILIARIA I. se le quita 9 resulta 18. Plantea y resuelve los siguientes problemas: La suma de 2 números es 9. ¿Cuál es el número? 11. ¿Qué número es? 10. 24. Si el dinero que tienes es el triple del dinero que tengo. 8 de vuelto. ¿Qué edad tengo? 9.2012 19. 2 veces mi edad es 18. 24. ¿De qué número se trata? 8. Halla la suma de edades. 20 menos que tú. 2 por 1 kilo de azúcar. Dentro de 8 años mi edad será el triple de la que tengo ahora. 4 resulta S/. Si cuadriplicamos el peso que hay en una balanza y luego agregamos 4kg obtenemos 12kg. se quitan 17 años se tendría lo que me falta para tener 100 años. a) 30 b) 10 c) 40 d) 50 e) 60 23. ¿Cuál es el peso de Juan? III. …). Ejemplo: ……………………………………… Parte Variable: Es aquella que varia y se representa generalmente por letras (x.ALGEBRA 1ER AÑO . algebraica como el conjunto de ……………………………………………………………………………………. AHORA COMPLETAMOS EL SIGUIENTE RECUADRO Término Algebraico -3xy 2z3-1 4xyz -3abc -7 Mn 2 1/2 Parte Constante Parte Variable Exponentes o grado -4abc3 -x5 y 4xyzt4 -3x2z3 1. Ejemplo:…………………………………………………………………………………… EXPRESION ALGEBRAICA..2012 RECORDAMOS: Parte Constante: Es aquella magnitud que permanece invariable y se representa generalmente mediante números reales.. …………………………………………………….... OBSERVACIONES. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE . Ejemplo:…………………….Es aquella que está formada por variables y/o constantes..………….. z. división.Es aquella expresión algebraica donde no participa la operación adición y sustracción.. sustracción. Ejemplos: ……………………………………………………………………………………. AHORA TÚ 4x3y4 x5y3 -a3b4 .. . términos algebraicos unidos por la ……………………………………………………………………………………. potenciación y radicación. ………………………………………………………………….. Prof. También se considera a una expresión ……………………………………………………………………………………. TÉRMINO ALGEBRAICO. ……………………………………………………………………………………. multiplicación. 2xy3z 2 b) Letras -xxyyzz -2x y z 80 2 3 a ……………………………………………………………………………. Ejemplo: 3x4y5 es semejante con 2x4 y5 porque tiene la misma parte variable. ……………………………………………………………………………. en un número limitado de veces.: Un término algebraico NO puede tener como exponentes a: a) Números Irracionales 4x 3 y 4 z 5 …………………………………………………………………………….. . adición y la sustracción. ………………………………………………………………………….. -x3y4 x7y3 -3b4a3 ……………………………………………………. y. relacionados con las operaciones matemáticas de adición. TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos términos algebraicos que tiene la misma parte variable con los mismos exponentes.………….. 2012 EJERCICIOS DE APLICACION 1. Relacionar los términos que son semejantes: a) 4x2y5 ( ) x7ay4 b) 5x7y4a ( ) 2za3b4 3 4 c) -3a b z ( ) 5abzx d) 15xabz ( ) 3y5x2 2. Completar: Término Algebraico Parte Constante Parte Variable Término Semejante 8. Si los términos t1 y t2 son semejantes. t1 = 30x4 t2 = 4xa Calcular: a) 4 d) 1 M b) 3 e) 0 a 5 c) 2 13. ( ) II. Indicar los coeficientes de los términos semejantes siguientes: -13axa+8y7 4bx9y3b a) -13 y 4 b) -26 y 16 c) -13 y 16 d) -26 y 4 e) N. b a) 1 b) 0 c) 3 d) 4 e) 5 9. Si: t1 = 4x3y5z4 y t2 = -3xayb+1zc+2 son semejantes. 15m n . ( 4 3 2 ) ) III. 7xay7 Calcular la suma de los exponentes. a) 10 b) 4 c) 12 d) 7 e) -3 10. Colocar si las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F): I. 4xy2. 3abc. En un término algebraico los exponentes de las variables no pueden ser letras. -2x y z son términos semejantes. 5. Si los siguientes términos son semejantes: 4xa+3y4 . b) 6 e) 3 c) 5 7.A. Dados los términos algebraicos semejantes: (c + 4)ac+3bd+4 Calcular: a) 1 d) 4 . 5x y z .A. Dados los términos semejantes: 7xa+1yb+2zc+3 . Dados los términos semejantes: t1 (2a b)x 4 yb 3 t2 (b 3a)x2a y 6 Calcular: La suma de coeficientes. 3x12ya+2b Calcular: R = a . -4xb+1yc+2z7 a b c Calcular: A 3 a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 Prof. -3a2b2c 2 3 3 2 III. Dados los términos semejantes: 2xa+8yb+5 . ( 4 3 2 12. 2z2x a) I b) II c) III d) IV e) N. -20z2.A. 5x 3 11. 4. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE . Calcular: A = a + b + c a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 14. -2x2y II. m 1 2 2a14 . Dado los términos semejantes : 23am+3 Calcular: A a) 7 d) 4 . – 1 4 3 x y 2 7xabn 27 54z2 3 x2 y2 3. Si los términos semejantes presentan iguales coeficientes: (a + 4)xayb+3 .ALGEBRA 1ER AÑO . Calcular de los términos semejantes: (a + 4)x5 . -5x8yb+5 Calcular: a) 5 d) 2 81 R b) 4 e) 1 a b c) 3 15. Son términos semejantes: I. (d+2)a2c+1b2d+2 c) 3 c d b) 2 e) 5 yz es un término algebraico. 3n m IV. (2 + a)xa+2 Los coeficientes: a) 7 y 5 b) 5 y 3 c) 3 y 2 d) 4 y 5 e) N. a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 6. ALGEBRA 1ER AÑO . 12bx8yb+4 a) -14 y 12 b) 14 y 12 c) 4 y -12 d) -4 y -12 e) N. 7. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10. Si los términos semejantes presentan iguales coeficientes: (b + 3)xbyc+3 . -3y3x4z5 son términos semejantes. 3a12 . ab. Si: t1 = 3x4y5z3 y t2 = -2xayb+2zc+1 son semejantes. 7xy. (b+2)c2a+1d2b+2 Calcular: a) 1 d) 4 – 1 5 x y 2 3 xz abc 7 -x4z5 3. Calcular: La suma de coeficientes. Si los siguientes términos son semejantes: 5xa+4y7 . Dados los términos algebraicos semejantes: (a + 4)ca+3db+4 .A. t1 (2a b)x 4 yb 3 t2 (b 3a)x 4 a y 5 2. ( ) III. Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. -x7ya+2b Calcular: R = a . 11. ( ) Si: t1 y t2 son semejantes: t1 = 13x7 t2 = 2xa Calcular: a) 1 d) 4 6.A. Calcular: m + 1 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5 c) 3 a 7. a) 13 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9 15. 5x3y4z5. x IV. -2xb+4yc+3z8 Calcular: A a) 7 d) 4 5. Relacionar los términos semejantes: I) abc ( ) 7x II) 4x3y5z6 ( ) 2nma III) -3x ( ) cba IV) amn ( ) -x3z6y5 Completar: Término Algebraico Parte Constante Parte Variable Término Semejante Dados los términos semejantes: 3xa+5yb+7 . En un término algebraico los exponentes no pueden ser números irracionales. 10xby5 Calcular la suma de los exponentes. 13.2012 8. Calcular: A = a + b + c a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 14. (2 . Dados los términos semejantes: 3xa+4yb+3zc+2 . 4a 3 b) 2 e) 5 c) 3 Dado los términos semejantes : 3a2m+4 . -3cba a) I b) II c) III d) IV e) N. 12. -3x5y3+b Calcular: a) 1 d) 4 b c 3 B a b) 2 e) 5 b 4 c) 3 b) 6 e) 3 c) 5 82 Prof.b)xb+2 Los coeficientes: a) 9 y -3 b) 9 y 3 c) 9 y 4 d) -9 y 4 e) N. abc. Son términos semejantes: I. b a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 Dados los términos semejantes: 9. Calcular de los términos semejantes: (b + 4)x7 . ( ) II.A. a b b) 2 e) 5 c) 3 4. -a2b3 II. Es un término algebraico 3xxy3z. Indicar los coeficientes de los términos semejantes siguientes: -2axa+by5 . 4y2z III. TAREA DOMICILIARIA 1. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE . 5x2y2z2 + 3x2y2z2 – 16x2y2z2 + 15x2y2z2 83 4.: _________ 5.: _________ 6.REDUCIR UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA ES SUMAR LOS TÉRMINOS SEMEJANTES POSIBLES A UNO SOLO. 3 Entonces ahora completa el siguiente cuadro: Expresión Si es Expresión Algebraica 4 No es Expresión Algebraica 2x3y4 + 5xy x 3 5 6 x3 7 x + x + x + …. x 3 x 4 3 + 2x …. Es una expresión Algebraica de………………. ab (a b) 4 ab 5a 2b Prof. Por ejemplo: Luego de reducir -7c+4a + 5b2 + 3a + 2b2 – 3a + 5c nos queda:…………………………….ALGEBRA 1ER AÑO . términos -x + y + z Expresión ________________________ -x3 – y4 Expresión ________________________ 3x3 + x4 + 2x5 + …… x 14 x 5x x y x +2+4 3 x 4 ……………………………………………………………………………………………. EJEMPLOS... 4x + 2x – 3x + 4x Rpta. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE ..: _________ 3..2012 REDUCCION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. …………………………………………………. 5x + 3y – 2z + 4z – 3y + 4x Rpta. 3xy3z + 5yx3z + 7xy3z – 14zy3x + x3yz Rpta..: _________ 2. + x3 – x2 + 4x 3x + 4x + 5x 7xx y3 x 5y 4 2 3 x 3 2x y 5x + 5y + 5z4 Rpta.………………………………………… ……………………………………………………………………………………………. Ejemplo 1: 2x + 4x – 3x + 5x Solución: Ejemplo 2: Reducir: -7c+4a + 5b2 + 3a + 2b2 – 3a + 5c Solución: Cuando el resultado es un número limitado de términos algebraicos no semejantes se denomina EXPRESIÓN ALGEBRAICA...: _________ EJERCICIOS DE APLICACION Reducir: 1. 3yz2 + 2zy2 + 3xyz – 4zy2 + 4yz2 – 5xyz Rpta. PARA ELLO SE SUMAN Y/O SE RESTAN SUS COEFICIENTES ESCRIBIENDO LA MISMA VARIABLE O VARIABLES EN EL RESULTADO. x2y3z4 + x2z3y4 + y2x3z4 + x2z3y4 + y2z3x4 + z2x3y4 + z2y3x4 + y2z3x4 + y2x3z4 + z2x3y4 + z2y3x4 + x2z3y4 Rpta. La expresión tiene: a) 3 términos b) 2 términos c) 1 término d) 0 e) N.c e) N.: _________ 10.A. Reducir: son 15. 12. Reducir si los términos dados semejantes: (a + 1)xayb + (b + 1)x3y4 + 2x3y4 queda: a) 5x3y4 b) 3x3y4 c) 7x3y4 3 4 d) 6x y e) N.A. Luego de reducir: a a) 1 11.A. a b c a b c a b c (a b) c) a + b a) a d) a + b + c b) 2b . 2x5 reducirlos: a) 13x5 b) 14x5 c) 15x5 d) 7x5 e) x5 TAREA DOMICILIARIA Reducir: 1. Reducir si los términos son semejantes: (a + b)xa+b + (c + d)xc+d + (e + f)xe+f + x3 a) 10x3 b) 3x3 c) 4x5 d) 3x10 e) 10x 13.: _________ 4. 13.: _________ 9.: _________ 2. Reducir si los términos son semejantes: (a + 2)xb + (c + 4)x7 + (b . Reducir si los términos dados son semejantes: mxm + nxn + pxp + qxq + x7 queda: a) 29x7 b) 30x7 c) 28x7 7 d) 26x e) N. 5x3y2 + 3y2x3 + 11x3y2 – 25y2x3 Rpta.: _________ 10.: _________ 84 Reducir los términos si todos son semejantes: (2 + c)x4 + x4 + (c – 4)x9-c + 3x4 a) 7x4 b) 8x4 c) 9x4 d) 10x4 e) N. 2x2 + 3x2 – 7x2 + 10x2 Rpta.A. (4xy 2 3yx ) 2 (4x y 5yx ) (3xy 2 2 2 6xy ) 2 a a a a Rpta. 2x y z + 3y x z – 12z x y + 7x y z + x y z – 2x3z2y4 + 5z4x3y2 – y3z4x2 + 6z2x3y4 Rpta.A. (c + 1)xa+3 .4)xa+3 – bxc+4 a) 10x7 b) 9x7 c) 8x7 d) 7x7 e) 6x7 14. 14.: _________ 9.: _________ 8. Prof. 2x y a + 5a x y – 3x y a + x3a4y2 + 7x2y4a3 – x3y2a4 Rpta.: _________ 3. 2xy + 4xy – 5xy – 10xy Rpta.: _________ b 2a (6a 3b) 2a (5a b) Rpta.ALGEBRA 1ER AÑO . a 2a b Rpta. (b + 1)xa+c .2012 7. Si los siguientes son términos semejantes: (a + 1)xa+b .: _________ 7. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE . (4xy2 5x2 y) (2x2 y 3xy2 ) (x2 y xy2 ) Rpta.A.A. a b a b c a b a a b b c a Reducir si todos los términos son semejantes: (c + 4)x4 + (b + c)xb – 4xc+2 a) 8x3 b) 3x3 c) 8x4 d) 4x4 e) 16x4 11. 12. Todos los términos son semejantes (reducir): axa + bxb + cxc + dxd + exe + 2x a) 7x b) 2x c) 3x d) 4x e) 5x 15. Reducir si los términos son semejantes: (a + b)xa+b + axa+b + bxa+b + 4x4 a) 12x4 b) 16x4 c) 17x4 4 d) 20x e) N. b) 2 b a 2b c) 0 a b 2a ( a b) d) 3 e) N. 8.: _________ 3 4 2 2 3 4 2 4 3 5. Indicar cuántos términos tiene la expresión luego de reducir: 2 3 4 2 3 4 2 3 4 3 2 4 2 3 4 Rpta. a b a 4b (2a b) Rpta.: _________ 6. a3b4c5 + 2b3c4a5 + 3c3a4b5 – 7b3c4a5 + 2a3b4c5 – 10c3a4b5 Rpta. 12x2yz3 …………………… ………………….. 7 ...….. 85 Prof. 4w – 5x +6z =……………………………………………………………….-11 = (+7) – (-3) = (-9) – (+8) = (+6) – (+12) = Notación de un Monomio. 4. y. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE ...+9 = + Ahora tú forma 9 monomios con los números: 3. …………………. 3 3 2 2 ¿Sabías que? El prefijo MONO significa UNO. pero antes recordemos como se realizan estas operaciones con los números enteros. -7xz – 2xz = …………………………………….... Regla: Se suman o se restan sus coeficientes y al resultado se le agrega la parte variable común.………. Más ejemplos: 3w + 7w = ……………………………………….…… ………………. ……………….………………………………………. Monomio significa un solo término. Ejemplos: 3x + 2x -7x =……………………. 9w . -4xy + 2xy = ………………………………………..+21 = +15 .. ………………… …………………… …………………..5w = …………………………………………. z. 7 y las letras: x.Un monomio se denota así: Q(x. ……………….… 5x + 3x2 -5x4 =……………………………………………………………. -5 + 9 = -15 -13 = 1 – 13 = -5 -4 +7 -1 = -3-5-7-2 = Sustracción: 12 .y) = x4y5 SUMAMOS Y RESTAMOS MONOMIOS.-15 = ……………. ……………………………………………………………………….. Ejemplos: 3x 5yw ………………. w. -5 X3 Y2 ¿QUÉ ES UN MONOMIO? Es un término algebraico. 5. Recordando Adición y Sustracción de Números Enteros Adición: + (-9) + (+7) = 12 + -8 = (-13) + (-11) = (+11) + (-6) = + - 21 + -6 = 18 + +11 = 32 + +12 = (+5) + (+3) = -14 + 8 = 5 – 23 = 7 – 29 = 7-9+8-3 = -1-2-3+9 = - 7y5w ………………..ALGEBRA 1ER AÑO .2012 Un término algebraico es una expresión que une Parte Constante y Parte Variable mediante la multiplicación..…… ………………………………………………………………………. Recuerda Los Monomios se pueden sumar y restar. ………………………………………………………………………. donde los exponentes de las variables deben ser números enteros y positivos. ………………….Para sumar y/o restar monomios primero tienen que ser semejantes. es decir. 10 . ……………….……. 12w .ALGEBRA 1ER AÑO . 8x . 3w + (-8w) = 3. 4xzw + xzw – 8xzw = 14.2012 EJERCICIOS DE APLICACIÓN I. Si: -7w3z2 + mw3z2 – 2w3z2 = 3w3z2 Hallar: m a) 9 b) -9 c) -12 d) 12 e) 5 25. Si: mxn + pxn = 10x3 Hallar: m + n + p a) 10 b) 13 d) 14 e) 11 c) 6 c) 12 23. -8x5y3 – 3x5y3 – 4x5y3 = 13. 3w + (-5w) = 3. Resuelve: TAREA DOMICILIARIA I. 5x2 + 10x2 + x2 = 10.3w = 7. 15. (-7y) + 3y = 5. 12. (-3y) – 9y = 9. Reduce en cada caso: 11. 18. -2w3 . Si: 5x2 – 3xn = mx2 Hallar: m + n a) 2 b) 4 d) 16 e) -1 FACIL 3x2 + 4x2 + 7x2 = 4w3 + 2w3 – 8w3 = 5z4 + 7z4 – 2z4 = -12y5 + 3y5 + 2y5 = -5x7 + 7x7 + 2x7 = -3w2 – 2w2 – 4w2 = 3z3 – 2z3 – 4z3 = 10y4 – 4y4 – 3y4 = 9xw + 2xw + 4xw = -12xy – 3xy – xy = c) 8 c) 8 21. 2z – 7z = 8. 17. (-8x) – (-5x) = 10. (-2x) + 5x = 6. 8z + (-4z) = 4. 5y – 3y = 9. (-4y) + y = 5. 9x + 2x = 2. 14. Si: 3x2y – 10x2y + 5x2y = axmyn Hallar: a + m + n a) 4 b) 3 c) 1 d) 2 e) -2 24. -4zw2 + 8zw2 – 3zw2 = 12. (-4w) – 3w = II.10x = 6. 19. (-8w) + (-3w) = 7. 16. 20. Halla el resultado en cada operación: 1. (-7z) – (-3z) = 8.3w3 + 4w = 11. 2x + 5x = 2. 5z + (-3z) = 4. 13. Si: 3x5zm – 7x5zn + 5xpzm = axpz3 Hallar: n + p m +a a) 1 b) 5 c) 3 d) -3 e) 2 86 Prof. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE . Si: 3xw + 8xw = axw Hallar: a a) 3 b) 11 d) 7 e) 4 15. Simplifica cada caso: 1. III. Si: ax2 + bx2 = 7x2 Hallar: a + b a) 7 b) 5 d) 2 e) 4 22. (8y4 + 3y) + (4y2 – 8y4 – 2y) = 16.. 4x2y + yz4 – 3………………………………………………………………. (10x4 + 3x) – (5x4 + 2x) = II. 2.Para sumar y/o restar polinomios seleccionamos los términos semejantes.2012 ¿QUÉ ES UN POLINOMIO? Sumar los polinomios dados: (-5xy + 3) . ………………………………………………………………………………………. Polinomio significa de varios términos. (4z3 – 4z + 3) + (-3z + 2) = 15.. Ejemplos: 4xy – 5xz + 4 – 3x2……………………………………………………. 8. es decir. Aquellos términos que no son semejantes se colocan conservando su propio signo. ………………………………. luego reducimos los términos seleccionados obteniendo el resultado..4) + (-2w2 – 4w + 2) = 14.x) = Prof. 7.x) = 12..y) = -5x4y2 + 7x5y - xy El prefijo POLI significa VARIOS. 10. 3. 6.ALGEBRA 1ER AÑO . (x + 2) + (2x + 1) = (3w + 5) + (4w + 4) = (4x2 + 2) + (5x2 + 3) = (5z2 + 4z) + (2z2 + 3z) = (9y3 + y) + (3y3 + y) = (3x + 2) – (x + 1) = (5w + 4) – (2w + 2) = (8z2 + 5) – (4z2 + 2) = (7y3 + 9y) – (2y3 + 4y) = M(x. Opera los siguientes polinomios: 11. además dichas expresiones están definidas para cualquier valor que se dé a sus variables.Un polinomio se denota así: EJERCICIOS DE APLICACION I. ¿Sabías que? 9.. 5. Notación de un Polinomio. es decir aquella expresión algebraica donde los exponentes de las variables son números enteros positivos. Ejemplos: 87 13. (3w2 + w .(5xy – 1 – x2)= Es la suma limitada de monomios no semejantes . 3x2y3 – 8xy3………………………………………………………………… (2x + 3x3y) + (4x + 2x2 y + y3) = (3x2 + xy + z4) – (-3x2 + 4xy – z4) = …………………………………… ………………………………………………………………………. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE . Opera (suma o resta) los siguientes polinomios 1. 4. (5x2 – 4x) + (2x2 – 3x) = SUMAMOS Y RESTAMOS POLINOMIOS. (2x2 + 3x) + (3x2 . (3x2 + 4x) – (2x2 . 2012 17.4) = 19.2) = mx + n Hallar: m – n a) 9 d) 7 b) 8 e) 5 c) 6 A = -2x – 5 B = 4x2 – 3x + 2 Hallar: 3A . Resuelve los siguientes problemas 14. Opera los siguientes polinomios 1. (5z2 – 3z + 8) – (-3z2 – 3z .ALGEBRA 1ER AÑO . Si: (mx + n) – (-3x . Si: (3x + 4) + (5x .4) – (-3x2 + 4x . (8y3 + 2y + 4) – (-7y3 – 2y) = 13.2) = 10x – 2 Hallar: m + n a) 4 d) 8 b) 5 e) 3 c) 7 88 Prof.2B a) -8x2 . Resuelve los siguientes problemas 21.19 25.4 b) w3 – 4w2 + 4 c) w3 – 4w2 – 4 23. (-3z3 + z . 4. Si: (2x + 4) + (3x . 8. 6.8) = mx + n Hallar: m + n a) -1 d) 5 15. Si: A = w3 – 8w + 4 B = 2w2 – 4w Hallar: A – 2B 10. 2. 5. 7.19 b) -8x2 + 19 c) 8x2 .1) = d) w3 – 4w2 – 2 e) w3 + 4w2 + 4 12.1) – (2z3 – 2z .19 d) 8x2 + 19 e) -8x . (-5x4 – x2) – (2x4 – x2 + 4) = II. (4w – 5w) – (3w – 2w) = 18. Si: A = 3x2 + x – 7 B = 8x2 – 5x – 10 C = 5x2 + 3x .1 Hallar: A + B – C d) 6x2 – 7x e) 6x2 + 7x .16 b) 6x2 – 7x – 15 c) 6x2 – 7x + 16 22. Si: b) 1 e) 4 c) 0 a) w3 + 4w2 .4) = TAREA PARA LA CASA I. (5w2 – 3w) + (w2 . (9y5 – 3y2 + 4y) – (3y2 + 9y5) = 20. (2x + 4) + (3x + 7) = (4w + 3) + (2w + 1) = (5z2 + 4) + (4z2 + 2) = (7y4 + 3y) + (8y4 + 4y) = (3x + 4) – (2x + 1) = (4w + 8) – (3w + 2) = (10z2 + 3) – (5z2 + 2) = (9y3 + 4y) – (8y3 + 2y) = (3x2 + 4x) + (2x2 – 2x) = 2 2 a) 6x2 – 7x . (-10x2 .w) = 11. III. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE . 9.16 3. Si: 2 A = -8x y + 3xy – 3y B = 4y3 – 7x2y + 2xy Hallar: 2A – 3B 3 a) 5x2y + 18y3 b) 5x2y – 18y2 c) 5xy2 – 18y3 d) 5x2y – 18y3 e) 5xy – 18y3 24. ¿Cuánto se gastará en cada fruta? y ¿Cómo solucionamos? Reemplazando y resolviendo tenemos: Como podemos observar el costo total a gastar en cada frutería es diferente. Ejemplo: Halle el valor numérico de x + 3xy + y tomando para x = 1 y y = 2.00 Kl S/. Es una Expresión Algebraica.N.00 Kl S/.ALGEBRA 1ER AÑO .……….50 Ejemplo: Si: P(x) = x4 – 2x2 + 1 Hallar: P[P[P[P[P(0)]]]] FRUTERIA “DOÑA MELANIA” Kl S/. VALOR NUMERICO DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA (V.00 89 Prof.1. Pero sus padres no saben lo que cuesta cada tipo de fruta.) Del ejemplo anterior: ¿En cuál de las fruterías le saldrá más barata la compra a Luís? FRUTERIA “DOÑA LUCHA” Kl S/.3. por lo que cada monto es el valor numérico. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE . Luego: En 4 kilos de naranja seria: = ……………………………… En 5 kilos de manzana seria: = …………………….2012 ¿COMO SE FORMA UNA EXPRESION ALGEBRAICA? Analicemos el siguiente ejemplo: Luís va a Ayaccocha y sus Padres le han encargado para que compre 4 kg de naranjas y 5 kg de manzanas. para ello representamos: El precio por kilo de naranja con:………………………… Y el precio por kilo de manzana con:…………………….0. Entonces el valor numérico de una expresión algebraica es el valor que se obtiene al sustituir las letras por números determinados y efectuar las operaciones que indique la expresión. Solución: Para dar solución aplicamos expresiones algebraicas. Costo Total = Por lo tanto…………………………….2. 4) III. z) = 9xy + 3z2y – 3xz E = P(1.y=1. 3) – P(3. y. Calcule el valor de E para los siguientes casos 11. -3) + P(1. z) = 2(x . Si: P(x) = 2x – 1 Hallar: M = P[P[P(0)]] a) -1 d) -8 b) -3 e) -9 c) -7 10. 0. y. y. P(y) = 3y – 9 90 Prof. P(x) = 8x2 + 3x – 1 E = P(1) – P(3) 11. -1. 2. P(x) = 29x – 29 2. P(x.1) (x . 1) + P(2. Calcule el valor de E para cada caso : II.2012 3. z) = 3z + 3x + 3y 5. -3) 10. P(x. P(x) = 3x . P(x) = 2 (x + 2)(x . y. y. P(x. 2) + P(7. P(x) = 8x – 16 E = P(x . y. b = 2 a) 12 d) 10 b) 13 e) 18 c) 14 4. P(x) = x2 + x + 1 9. P(x) = 1 (x . Halle el V. calcular : E = P(12 + 1) + P(12 . 2) – P(0. z) = 93x – 3y2 – 2 7. P(z) = 24z + 12 EJERCICIOS DE APLICACION I. Calcule el VN de los siguientes polinomios para: x=2. P(x. y) = 3 (x . z) = 17x2 + 3xy + 3z2 II. y) = y2(x . 2) 14. P(x) = x(x . y) = 7xy – 3y2 + x E = P(12. 6) 9. z) = y – 3x + 7z 6.N.4) – P(4) – 3x + 56 15. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE . z) = 3x – 1 E = P(2) + P(-2) 15. z) = 8z + 3x – y 4.1) 14.7) – 42 16. 1) 13. z) = 13y – 39z – 117 6.3)(y + 2)(z . P(x.ALGEBRA 1ER AÑO . P(x. P(x.1 E = P(7) – P(x . 4) 12.3) 5 E = P(1) + P(4) 8. P(x. P(x. 1) 13. P(x. P(x. 3) – P(2.z=3 2. y) = 7x – 10y E = P(1. y) = 7x – 10y 3. P(x. 1. z) = 5xy + yz + z E = P(1. z) = 8x2 – 3y + 7z E = P(1. y = 3. z = -2 1.7) E = P(1) – P(3) 12. y. y.7)(y . Siendo P(x) = 4x2 + x – 3. -3. 2) – P(3. P(x.3) 7 E = P(1. y. 3) TAREA DOMICILIARIA I.1) E = P(1. P(x.3) 3 7. P(x. y. P(y. y) = 12y2 + 3x + 32 8. Halle el VN de 5ab + 3b – 2a para a = 1. y) = 12x + 24y – 36 5. 3. P(x. 1. P(x.4)(x . en cada polinomio para : x = 2. 1. z) = 5x6y7z-8x2yz5+2xy3z8 G.8x2yz5 + 2xy3z8 Luego el G. con respecto a y es………………… G.Se refiere a cada variable del monomio y es el mismo exponente de dicha variable. con respecto a z es………………… Ejemplo2: hallar el GA y GR del siguiente monomio: P(xy) = -mn2x7y9 Solución: Grado Relativo. Grado Relativo.2012 El grado es una característica de las expresiones algebraicas relacionado con los exponentes de sus variable. Así G. =………………….A. =………………………….y.ALGEBRA 1ER AÑO .Esta dado por el mayor grado de sus términos como resultado de sumar los exponentes. Grado Relativo (G.el grado relativo a una variable es el mayor exponente de dicha variable.y..y.z) = 5x6y7z-8x2yz5+2xy3z8 Grado Absoluto.R. con respecto a z es………………… Ejemplo1: hallar el GA y GR del siguiente polinomio: M(x. 91 Prof.A. GRADO DE UN MONOMIO Sea el monomio: Q(x.. =…………………………. con respecto a x es………………… G.A. Una expresión algebraica tiene dos grados: Grado Absoluto (G..z) = -8x5y3z4 Grado Absoluto. con respecto a x es………………… G.y.): se refiere a todas las variables.A.R. con respecto a y es………………… G.): se refiere a una de las variables.R.R. Así R(x. y) = -5x9 y8 + Solución: 13 2 7 x y + 10x12 y5 – 3x 7 Ejemplo3: hallar el GA y GR del siguiente polinomio: P(x.Se obtiene al sumar los exponentes de las variables. Así G. Así: Solución: 13 2 7 x y + 10x12 y5 – 3x 7 R(x. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE ..y.z) = 5x6y7z . G. y) = -5x9 y8 + GRADO DE UN POLINOMIO Sea el polinomio: R(x.R.z) = mx5y10z3 + nxy7z11 – 9x3y3z Solución: Ejemplo2: hallar el GA y GR del siguiente polinomio: P(x.R.R. P(x) = xa+1 – axa+2 + xa+3 a) 2 d) –3 b) 3 e) -2 c) 4 5. y) = 11xn y7 si sabemos que GA = 12 a) 4 d) 7 b) 10 e) 0 c) 5 13. y) = 4xn-3 y4n.2012 EJERCICOS DE APLICACION 1.5)xa+1 yb-3 a) 7 d) 5 b) 6 e) 12 c) 2 92 Prof. Hallar “n” : M(x. z) = 33xy4 z5 d. Calcule el valor de a si GA = 12 a) 8 d) 11 b) 14 e) 10 c) 12 2. Halle el valor del coeficiente si sabemos que el monomio es de GRx = 3. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE .ALGEBRA 1ER AÑO . En el siguiente polinomio: P(x) = 2xa-2 – 7xa + 12xa+4. y. En el polinomio: P(x. y) = 3x5 y 8.y) = x 2a+4y – 7xay2 – 8xa-3y2. Calcular “n” si el monomio : M(x. M(x. Calcule GRy si GRx = 4 a) 21 d) 24 b) 28 e) 18 c) 3 10. M(x. y) = 2xn-2 y6 a) 7 d) 0 b) 6 e) 8 c) 10 11. Halle el coeficiente si GRx = 2. y) = 12xn-2 yn+4 a) 8 d) 10 si GRy = 12 en : b) 7 e) 4 c) 6 9. Calcule la suma de coeficientes si GRx = 3. M(x. Calcular el valor de a si GRx = 8 a) 11 d) 7 b) 8 e) 4 c) 2 3. ¿Cuál es el GRx en el problema anterior? a) 15 d) 7 b) 3 e) 5 c) 2 7. Halle “a” en P(x) = ax22+a – 12x2 + 27x3 si la suma de coeficientes es cero. M(x. Calcule el valor de “a” si GA = 14 en : P(x) = 7x2 ya+2 – 12xa+1 ya+3 + 18xa+2 a) 5 d) 6 b) 10 e) 8 c) 12 4. y) = (a + b . En los siguientes monomios de el valor de los GR de cada variable : a. GRy = 3 en : M(x. En el monomio M(x. Calcule el GRx M(x. y) = 4 x de GA = 11 a) 3 d) –9 b) 2 e) 5/3 si c) 9 4 3n y es 2 14. M(x. Hallar el coeficiente M(x. y) = 10xy3 e. c) 2 15. y) = (n + 2)xn+5 y2n a) 3 d) 5 b) 4 e) 6 GA = 14. a) –15 d) –27 b) 15 e) 18 c) 12 6. Halle el valor de “n” en el siguiente monomio : M(x. y) = 28x3 y3 b. y) = -3nxn-3 y a) 18 d) 12 b) 15 e) -9 c) –18 12. M(x. y) = -12x5 y7z c. El siguiente monomio es de GA = 12. Halle el valor de “n” en : M(x. y) = 24xb+2 y2b+1 a) 5 d) 21/2 b) 10 e) -7 si c) 7 14. Del problema anterior. M(x. y. y) = 24xy e. Hallar el valor de “n” si GA = 12 en : M(x. y) = 7x2 y9 b. ¿cuánto vale el GRy? a) 10 d) 12 b) 6 e) 2 c) 8 c) 3 7. Del problema 11. En el siguiente polinomio : P(x) = 2x4 + 4x5 + 6x2 – 3. M(x. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE . P(x) = 2axa – axa-1 + 3xa-2 a) 6 d) 5 b) 4 e) 3 c) –2 10. Halle el valor de “n” en el siguiente monomio : M(x. y) = 2x2 yn – 2yn+2 + 3xn-3 y. a) 5 d) 8 b) 10 e) 12 c) 6 13. y) = (a + b + 24)xb+15 y9+a a) 22 d) 12 b) 24 e) 9 c) 21 93 Prof. y) = -12x y d. y) = 3xn+2 yn a) 5 d) 8 b) 6 e) 4 c) 7 11. Hallar el coeficiente si sabemos que el monomio tiene GRy = 13.ALGEBRA 1ER AÑO . En el problema anterior halle GRy : a) 7 d) 14 b) 16 e) 13 c) 8 4. y) = (a + 4)xa+2 y2a a) 7 d) 2 b) 9 e) 4 GA = 11. Calcule el coeficiente M(x. M(x. Calcule el valor de “a” si GRx = 11 en : P(x. z) = -2x2+ayz2 + 2ya+5 – 3xyza+4 a) 9 d) 1 b) 7 e) 6 c) 2 3. Calcule la suma de coeficientes si GRx = 2. Calcule el coeficiente si GRx = 12 y GRy = 9. ¿Cuál es el GA? a) 4 d) 5 b) 2 e) 0 c) 3 1. y) = (2n + 3)x4 yn+3 a) 22 d) 20 b) 13 e) 19 c) 23 12. En los siguientes monomios de el valor de los GR de cada variable : a. M(x. M(x. y) = 25xn yn+2 si GA = 12. 15. y) = 8xy9 c. si : GA = 12 a) 10 d) 15 b) 5 e) 12 c) 8 6. ¿cuánto vale GRz? a) 16 d) 14 b) 7 e) 13 c) 9 5. M(x. M(x.2012 TAREA DOMICILIARIA 8. Halle “b” si GA = 24 en : M(x. Calcule el valor de “a” si GA = 10 en : P(x) = -2xya + 7x2 ya – 3x2 y7 a) 7 d) –3 b) 8 e) 2 c) 10 2. y) = -72xy6 3 6 9. 2012 94 Prof. ZOSIMO ZANABRIA OLARTE .ALGEBRA 1ER AÑO .