Si-tcma- Lincarc- Prof. Alexandre Trofino Lcpartamcnto dc Automac˜ao c Si-tcma- Ccntro Tccno¦ o.ico ¹nivcr-idadc Icdcra¦ dc Santa Catarina ccp SS0!0-900 . I¦orianopo¦i--SC cmai¦ trofino·¦cmiut-c¦r lntcrnct http¡¡wwwda-ut-c¦r¡˜trofino Esta apostila bem como as experiˆencias de laborat´orio no site www.das.ufsc.br/labsil s˜ao de responsabilidade do professor Alexandre Trofino. Este material pode ser livremente utilizado para fins did´aticos, respeitando-se os direitos autorais. Fica proibido o uso para fins comerciais. Todos os resultados de c´alculos e simula¸c˜ oes foram obtidos com o pacote scilab que ´e distribu´ıdo gratuitamente no site http://www-rocq.inria.fr/scilab . www.das.ufsc.br/labsil 2 Conte´ udo 1 Introdu¸c˜ao Geral 15 1.1 Termos usuais em controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Sistemas de Malha Aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Sistemas de Malha Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Sinais de Tempo Cont´ınuo e Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Defini¸c˜ ao de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Transformada de Laplace 19 2.1 Introdu¸c˜ ao e No¸c˜ oes de Fun¸c˜ oes Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Defini¸c˜ ao e Regi˜ao de Convergˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.1 Opera¸c˜ao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2 Fun¸ c˜ao Transladada em Atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.3 Fun¸ c˜oes Porta-deslocada e Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.4 Multiplica¸c˜ ao de f(t) por e −αt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.5 Mudan¸ca na Escala de Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.6 Teorema da Diferencia¸c˜ao Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.7 Teorema do Valor Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.8 Teorema do Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.9 Teorema da Integra¸c˜ ao Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.10 Teorema da Diferencia¸c˜ ao Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Conte´ udo www.das.ufsc.br/labsil 4 2.3.11 Integral de Convolu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4 Transformada Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.1 Fra¸ c˜oes parciais para p´olos distintos . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.2 Fra¸ c˜oes Parciais para p´olos repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.3 Fra¸ c˜oes Parciais para casos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5 Sinais com energia limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6 Resolu¸c˜ ao de Equa¸c˜ oes Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.7 Respostas de Estado Zero e Entrada Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.8 Fun¸c˜ ao de Transferˆencia e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.9 Diagrama de Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.10 Sistemas Realimentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.10.1 Estabilidade de Conex˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.10.2 Sistemas Realimentados em presen¸ca de dist´ urbios . . . . . . . . . 53 2.11 Problemas complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3 Resposta ao Degrau 55 3.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2 An´alise de Sistemas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3 An´alise de Sistemas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3.1 Caso sem amortecimento (ξ = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.2 Caso Subamortecido (0 < ξ < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.3 Caso Superamortecido (ξ ≥ 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.4 Caso inst´avel (ξ < 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 ´ Indices de desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.5 Servomecanismo para controle de posi¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Problemas complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4 Resposta em frequˆencia 77 Conte´ udo www.das.ufsc.br/labsil 5 4.1 Resposta Senoidal em Regime Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2 Gr´aficos Logar´ıtmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.3 Constru¸c˜ ao do Diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.4 Sistemas de Fase M´ınima e N˜ao-M´ınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.5 Gr´aficos de Nyquist (ou polares) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.6 Problemas Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5 Sinais e a Transformada de Fourier 101 5.1 Conex˜oes entre Fourier e Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.2 Energia de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.3 C´alculo de algumas transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.3.1 Sinal Exponencial Unilateral (t ≥ 0) . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.3.2 Sinal Porta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.3.3 Sinal Impulso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.3.4 Fun¸ c˜oes Constante, Sinal e Degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.3.5 Sinais Senoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.3.6 Exponencial Eterna e jω 0 t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.3.7 Fun¸ c˜oes Peri´ odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.4 Propriedades da transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.4.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.4.2 Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.4.3 Escalonamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.4.4 Deslocamento em Frequˆencia e Modula¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . 113 5.4.5 Deslocamento no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.4.6 Diferencia¸c˜ ao e Integra¸c˜ ao no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.4.7 Diferencia¸c˜ ao em Frequˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.4.8 Convolu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Conte´ udo www.das.ufsc.br/labsil 6 5.4.9 Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.5 Problemas complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6 Sistemas Discretos e Amostrados 125 6.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.1.1 Convers˜ ao A/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.1.2 Convers˜ ao D/A e Sample-and-Hold . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.2 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.3 Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.3.1 Defini¸c˜ ao e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.3.2 Rela¸c˜ ao com a transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 137 6.4 Propriedades da Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.4.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.4.2 Teorema do Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.4.3 Teorema do Valor Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.4.4 Obten¸c˜ ao de F(z) a partir de F(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.4.5 Convolu¸c˜ ao Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.5 Transformada Z Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.5.1 M´etodo da divis˜ao polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.5.2 M´etodo das fra¸c˜oes parciais de X(z)/z . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.6 Solu¸c˜ ao de Equa¸c˜ oes recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.7 Fun¸c˜ ao de Transferˆencia Discreta e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . 151 6.7.1 Respostas de Estado Zero e Entrada Zero . . . . . . . . . . . . . 151 6.7.2 Resposta ao Pulso e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.8 Sistemas Amostrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.9 Sistemas Realimentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.10 Escolha do Per´ıodo de Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Conte´ udo www.das.ufsc.br/labsil 7 6.11 Resposta em Frequˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.12 Problemas Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Conte´ udo www.das.ufsc.br/labsil 8 Lista de Figuras 1.1 Sistema de malha aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2 Sistema de controle de malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Sistema realimentado de controle por computador . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Servomotor para posicionamento de uma antena . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Vari´avel de tempo cont´ınuo (sinal anal´ogico) . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Vari´avel de tempo discreto (sequˆencia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1 Circuito RLC s´erie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Transformada direta e inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Representa¸ c˜ao gr´afica de uma fun¸c˜ ao complexa . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Rela¸c˜ ao entre f(t) e sua transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 Fun¸c˜ ao deslocada em atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6 Fun¸c˜ ao Porta de ´area unit´aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.7 Derivada de fun¸c˜ oes descont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.8 Fun¸c˜ ao dente de serra e sua derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.9 Fun¸c˜ ao onda quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.10 Rela¸c˜ ao entre f(t) e sua transformada F(s) . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.11 Diagrama de simula¸c˜ ao anal´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.12 Respostas x(t) do diagrama de simula¸c˜ ao anal´ogica . . . . . . . . . . . . 43 2.13 Respostas de Estado Zero e Entrada Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.14 Circuito RLC s´erie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Lista de Figuras www.das.ufsc.br/labsil 10 2.15 Diagrama entrada/sa´ıda de um circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.16 Diagrama de blocos simplificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.17 Diagrama de blocos detalhado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.18 Sistema realimentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.19 Sistema realimentado simplificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.20 Diagrama de blocos de um circuito RLC-s´erie . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.21 Conex˜ao de dois sistemas em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.22 Conex˜ao de dois sistemas em realimenta¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.23 Sistema realimentado perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.24 Diagrama para referˆencia nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.25 Diagrama para dist´ urbio nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.26 Sistema para controle de posi¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.1 Curvas t´ıpicas da resposta ao degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2 Diagrama de bloco entrada/sa´ıda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4 Sistema de primeira ordem padr˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5 Resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem padr˜ao . . . . . . . 58 3.6 Sistema de segunda ordem padr˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.7 ´ Indices de desempenho para resposta ao degrau . . . . . . . . . . . . . . 62 3.8 Resposta ao degrau do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.9 Diagrama funcional do sistema de posicionamento . . . . . . . . . . . . . 65 3.10 Diagrama de blocos do comparador e potenciˆometro . . . . . . . . . . . . 66 3.11 Diagrama de blocos com adi¸c˜ ao do amplificador . . . . . . . . . . . . . . 66 3.12 Motor DC controlado pela armadura (rotor) . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.13 Diagrama de blocos com adi¸c˜ ao do motor DC . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.14 Diagrama de blocos com adi¸c˜ ao da engrenagem . . . . . . . . . . . . . . 68 Lista de Figuras www.das.ufsc.br/labsil 11 3.15 Sistema mecˆanico da plataforma e antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.16 Diagrama completo do sistema de posicionamento . . . . . . . . . . . . . 68 3.17 Diagrama simplificado de posicionamento da antena . . . . . . . . . . . . 69 3.18 Diagrama de posicionamento na forma padr˜ao . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.19 Resposta ao degrau do sistema de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.20 Diagrama funcional para realimenta¸c˜ ao de velocidade . . . . . . . . . . . 72 3.21 Sistema de controle com realimenta¸c˜ao de velocidade . . . . . . . . . . . 72 3.22 Resposta ao degrau do sistema de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.23 Sistema com realimenta¸c˜ ao de velocidade e posi¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . 74 3.24 Sistema de controle de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.25 Resposta ao degrau unit´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.1 Resposta temporal para sen(ω t) com ω = {0, 2; 2; 20; 100} rd/s . . . . . 78 4.2 Resposta de regime ao seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.3 Resposta de regime ao cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.4 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.5 Resposta em frequˆencia (Bode) do circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.6 Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.7 Resposta em frequˆencia (Bode) do circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . 83 4.8 Resposta em frequˆencia (Nyquist) do circuito RLC . . . . . . . . . . . . 85 4.9 Resposta em frequˆencia (Black) do circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . 85 4.10 Resposta em frequˆencia com G(s) inst´avel . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.11 Diagrama de Bode dos termos 2 e 1 s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.12 Diagrama de Bode do termo 1 4s+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.13 Diagrama de Bode de G(s) = 2 s(4s+1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.14 Diagrama de Bode dos termos s e 1 s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.15 Diagrama de Bode do termo 1 Ts+1 e ass´ıntotas . . . . . . . . . . . . . . . 91 Lista de Figuras www.das.ufsc.br/labsil 12 4.16 Diagrama de Bode do termo ω 2 n s 2 +2ξω n s+ω 2 n e ass´ıntotas . . . . . . . . . . . . 92 4.17 Diagrama de Bode do termo G 1 (s) = 0.01(0.1s+1) s e ass´ıntotas . . . . . . . 94 4.18 Diagrama de Bode do termo G 2 (s) = G 1 (s) 1 s+1 e ass´ıntotas . . . . . . . . 94 4.19 Diagrama de Bode do termo G(s) = G 2 (s) 1 10 −4 s 2 +10 −2 s+1 e ass´ıntotas . . . 95 4.20 Circuito de fase n˜ao m´ınima (r 2 > r 1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.21 Caso (a): Sistema de fase n˜ao m´ınima (r 2 > r 1 ) . . . . . . . . . . . . . . 96 4.22 Caso (b): Sistema de fase m´ınima (r 2 < r 1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.23 Diagrama de Nyquist de G 1 (2πf), G 2 (2πf), G 3 (2πf), G 4 (2πf) . . . . . 98 4.24 Diagrama de Nyquist de H 1 (2πf), H 2 (2πf), H 3 (2πf), H 4 (2πf) . . . . 99 4.25 Diagrama de Bode de um sistema linear invariante . . . . . . . . . . . . . 100 4.26 Resposta em frequˆencia de um sistema linear invariante . . . . . . . . . . 100 5.1 Operador Transformada de Fourier e seu inverso . . . . . . . . . . . . . . 101 5.2 Sinal Porta de largura τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.3 Fun¸c˜ ao Sa(x) = sen(x) x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.4 Fun¸c˜ ao Sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.5 Fun¸c˜ ao onda quadrada de per´ıodo 2π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.6 Aproxima¸ c˜ao de sinais pela s´erie trigonom´etrica de Fourier. . . . . . . . . 111 5.7 Trem de impulsos e sua transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.8 Transformada de Fourier do sinal porta de largura unit´aria G 1 (t). . . . . 113 5.9 Transformada de Fourier do sinal cos(100t)G 1 (t). . . . . . . . . . . . . . 114 5.10 Demodula¸c˜ao de um sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.11 Sinal linear por trechos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.12 Derivada do sinal linear por trechos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.13 Derivada segunda do sinal linear por trechos . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.14 Filtro de primeira ordem com F(s) = 1 s+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.15 Transmiss˜ ao e recupera¸c˜ ao de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Lista de Figuras www.das.ufsc.br/labsil 13 5.16 Espectro do sinal antes e ap´os amostragem: Caso ω a > 2¯ ω . . . . . . . . 120 5.17 Filtro ideal para recupera¸c˜ao do sinal: Caso ω a > 2¯ ω . . . . . . . . . . . 120 5.18 Espectro do sinal antes e ap´os amostragem: Caso ω a < 2¯ ω . . . . . . . . 121 5.19 Espectro do sinal f(t) = cos(100πt) + sen(10πt). . . . . . . . . . . . . . . 122 5.20 Sistema de amostragem e recupera¸c˜ ao de sinais . . . . . . . . . . . . . . 123 5.21 Espectro dos sinais x(t), r(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.22 Espectro do sinal amostrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.23 Sistema com modula¸c˜ ao e discretiza¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.1 Representa¸ c˜ao de um sinal de tens˜ao anal´ogico n˜ao negativo em c´odigo bin´ario de 4 bits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.2 Esquema simplificado de um circuito sample-and-hold e seu diagrama de blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.3 (a) Diagrama de blocos de um conversor A/D com sample-and-hold e (b) funcionamento do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.4 (a) Conversor D/A com S/H e (b) Sinais de entrada e sa´ıda . . . . . . . 129 6.5 Amostrador ideal: produto por um trem de impulsos . . . . . . . . . . . 129 6.6 Segurador de ordem zero: a sa´ıda ´e constante por trechos . . . . . . . . . 130 6.7 Sample-and-Hold visto como um amostrador ideal em cascata com um segurador de ordem zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.8 Circuito RC: resposta livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.9 Valor da corrente no capacitor nos instantes t = kT . . . . . . . . . . . . 131 6.10 Circuito RC com entrada constante por trechos . . . . . . . . . . . . . . 132 6.11 Representa¸c˜ ao de um sistema discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.12 Sistema controlado por computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.13 Regi˜ao de convergˆencia das transformadas do degrau unit´ario . . . . . . . 136 6.14 Rela¸c˜ ao biun´ıvoca entre a sequˆencia x(kT) e sua transformada Z . . . . . 136 6.15 Rela¸c˜ ao entre localiza¸c˜ ao p´olos e evolu¸c˜ ao temporal . . . . . . . . . . . . 139 6.16 Rela¸c˜ ao entre localiza¸c˜ ao p´olos e evolu¸c˜ ao temporal . . . . . . . . . . . . 140 Lista de Figuras www.das.ufsc.br/labsil 14 6.17 Rela¸c˜ ao entre localiza¸c˜ ao p´olos e evolu¸c˜ ao temporal . . . . . . . . . . . . 141 6.18 Obten¸c˜ ao de F(z) a partir de F(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.19 Sequˆencias convergentes e a localiza¸c˜ ao dos p´olos no plano z . . . . . . . 149 6.20 Sistema discreto gen´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.21 Sistema amostrado e seu discreto equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.22 Resumo dos resultados de convers˜ao de Laplace para Z . . . . . . . . . . 157 6.23 Sistema amostrado com conversor D/A e S/H . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.24 Circuito com entrada constante por trechos . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.25 (a) Dois sistemas amostrados em cascata; (b) Dois sistemas cont´ınuos em cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.26 Sistema de controle digital e seu modelo discreto . . . . . . . . . . . . . . 163 6.27 Sistema de controle digital com medidor anal´ogico (a) e digital (b) . . . . 164 6.28 Controle digital de posi¸c˜ao angular atrav´es de um motor DC . . . . . . . 165 6.29 Sistema discreto est´avel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.30 Resposta frequencial de um sistema discreto . . . . . . . . . . . . . . . . 168 6.31 Circuito RLC com entrada constante por trechos . . . . . . . . . . . . . . 169 6.32 Sistema de controle de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.33 Caracteriza¸c˜ ao entrada/sa´ıda dos sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 6.34 Entrada: tens˜ao x(t) ; sa´ıda: tens˜ao v(t) ; R=1 Ω, C=1 F . . . . . . . . 170 6.35 Sistema de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Cap´ıtulo 1 Introdu¸c˜ao Geral 1.1 Termos usuais em controle Planta Equipamento (ou parte dele) destinado `a realizar uma dada opera¸c˜ao. (Objeto f´ısico a ser controlado: caldeira, motor, reator qu´ımico, ...). Processo Fenˆ omenos (naturais ou criados artificialmente) que evoluem progressivamente segundo dinˆamicas que lhe s˜ao pr´oprias. (Fenˆomeno a ser controlado: processos qu´ımicos, econˆomicos, biol´ogicos,...). Sistema Equipamento ou fenˆomeno f´ısico. Dist´ urbio Sinal indesejado (interno ou externo). Controle Realimentado Opera¸c˜ ao que visa corrigir (automaticamente ou manualmente) certas vari´aveis (grandezas f´ısicas) de um sistema. Diminui o efeito de fenˆomenos indesej´aveis. Servomecanismo ´ E um sistema de controle realimentado para controle autom´atico de posi¸c˜ao, velocidade ou acelera¸c˜ ao. Muito frequente na ind´ ustria. Sistemas Reguladores Autom´aticos Sistema de controle cujo principal objetivo ´e manter constante algumas vari´aveis do mesmo. (Controle de n´ıvel constante, posi¸c˜ ao constante, velocidade, acelera¸c˜ ao, ...). Exemplos: robos, elevadores, estufas,... 1.2 Sistemas de Malha Aberta Sistemas onde a vari´avel a ser controlada (sa´ıda) n˜ao interfere na a¸c˜ ao de controle (vari´avel de entrada) s˜ao conhecidos como Sistemas de malha aberta. A sa´ıda ´e sens´ıvel `a fenˆomenos indesej´aveis sobre o processo (perturba¸c˜ oes, varia¸c˜ oes nos parˆametros,...). Possui pouca performance na pr´atica quando existem perturba¸c˜oes. No entanto possui custo menor em geral. 1.3. Sistemas de Malha Fechada www.das.ufsc.br/labsil 16 SISTEMA Entrada Perturba¸ c˜ oes Sa´ıda Figura 1.1: Sistema de malha aberta 1.3 Sistemas de Malha Fechada Sistemas onde a vari´ avel de controle (Entrada) depende (Direta ou indiretamente) da vari´avel a ser controlada (Sa´ıda) recebem o nome de sistemas de malha fechada. Nesse caso poss´ıveis distor¸c˜oes na vari´ avel controlada provocadas por dist´ urbios no sistema s˜ao automaticamente (on line) corrigidas. Ref. Observada Comparador Controlador Atuador SISTEMA Medidor ru´ıdo de medi¸c˜ ao sinal de medi¸c˜ao perturba¸c˜ ao Vari´ avel Figura 1.2: Sistema de controle de malha fechada Ref. Comparador SISTEMA Atuador Computador Medidor D/A A/D Controlador Sa´ıda Figura 1.3: Sistema realimentado de controle por computador Exemplo 1.1 Considere o servomecanismo para controle de posi¸c˜ao da antena indicado na Figura 1.4. Comparando com o diagrama da figura 1.2 podemos identificar os seguintes elementos: Sistema: Antena + plataforma + engrenagens Perturba¸c˜oes: Grandezas externas que atuam de forma indesejada no sistema. Por exemplo, ventos que provocam torques de perturba¸c˜ao na posi¸c˜ao da antena. Vari´avel observada: Posi¸c˜ao angular da antena 1.4. Sinais de Tempo Cont´ınuo e Discreto www.das.ufsc.br/labsil 17 E a (t) e(t) V c (t) potenciˆometro erro posi¸c˜ ao da antena c(t) engrenagem motor DC comparador V r (t) referˆencia potenciˆometro amplificador de potˆencia r(t) Figura 1.4: Servomotor para posicionamento de uma antena Vari´avel medida: Sinal de medi¸c˜ao gerado pelo potenciˆometro. Note que a vari´avel medida pode ser diferente da vari´avel observada quando existem ru´ıdos de medi¸c˜ao. Medidor: Potenciˆometro Referˆencia: Valor desejado da grandeza observada Comparador: somador de tens˜oes Controlador: Nesse exemplo o controlador ´e um elemento unit´ario entre o comparador e o amplificador. Em geral, o controlador ´e um filtro que manipula o sinal de erro antes do amplificador de potˆencia. Em sistemas mais complexos o controlador pode ser um algor´ıtimo implementado num computador. Atuador: Amplificador de Potˆencia + motor 1.4 Sinais de Tempo Cont´ınuo e Discreto TEMPO CONT ´ INUO: t ´e uma vari´ avel cont´ınua. Nesse caso um sinal f(t) ser´a um sinal anal´ogico, isto ´e, um sinal de tempo cont´ınuo. 0 t Ref. f(t) Figura 1.5: Vari´avel de tempo cont´ınuo (sinal anal´ogico) TEMPO DISCRETO: t ´e uma vari´avel discreta que assume valores apenas em instantes discretos do tempo. Por exemplo, t = kT onde k ´e uma vari´avel k = 0, 1, 2, . . . e T ´e uma constante. Nesse caso um sinal f(kT) ser´a uma sequˆencia, isto ´e, um sinal de tempo discreto. 1.5. Defini¸c˜ao de Sistemas Lineares www.das.ufsc.br/labsil 18 0 Ref. t = kT f(kT) Figura 1.6: Vari´avel de tempo discreto (sequˆencia) 1.5 Defini¸c˜ao de Sistemas Lineares SISTEMAS LINEARES: S˜ao fenˆomenos ou dispositivos cujo comportamento dinˆamico pode ser descrito por equa¸c˜oes diferenciais (ou recursivas) lineares. SISTEMAS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO: S˜ao sistemas lineares descritos por equa¸c˜oes diferenciais (ou recursivas) com coeficientes constantes. Cap´ıtulo 2 Transformada de Laplace 2.1 Introdu¸c˜ao e No¸c˜oes de Fun¸c˜ oes Complexas O comportamento da maioria dos sistemas f´ısicos pode ser representado atrav´es de equa¸c˜oes diferenciais. Neste curso vamos nos restringir `a sistemas que podem ser rep- resentados por equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias, lineares, `a parˆametros invariantes no tempo. + - + - V(t) V c (t) R L C Figura 2.1: Circuito RLC s´erie Exemplo 2.1 Condidere o circuito da figura 2.1. A rela¸c˜ao de causa-efeito da tens˜ao v(t) (Entrada) sobre a tens˜ao v C (t) (Sa´ıda) no capacitor ´e um sistema descrito pela equa¸c˜ao diferencial seguinte: v(t) = RC ˙ v C (t) + LC¨ v C (t) + v C (t), dv(t) dt = ˙ v(t) • Equa¸c˜ao diferencial ordin´aria linear • Parˆametros invariantes no tempo Sistemas mais complicados s˜ao muitas vezes modelados por equa¸c˜ oes diferenciais n˜ao lineares e muito frequentemente os parˆametros variam com o tempo. No entanto, o comportamento desses sistemas pode ser aproximado por equa¸c˜oes diferenciais lineares invariantes no tempo, nas vizinhan¸cas de um ponto de opera¸c˜ao. As t´ecnicas para a 2.1. Introdu¸c˜ao e No¸c˜ oes de Fun¸c˜ oes Complexas www.das.ufsc.br/labsil 20 obten¸c˜ao desses modelos lineares invariantes no tempo consistem em expandir os termos n˜ao lineares pela S´erie de Taylor e aproxim´ a-los pela parte linear da s´erie. Por exemplo, para a fun¸c˜ ao y(t) = sen(t) obter´ıamos uma aproxima¸ c˜ao linear nas vizinhan¸cas da origem que ´e dada por y lin (t) = t e ´e f´acil de verificar que a fun¸c˜ ao y(t) = sen(t) se comporta aproximadamente como y lin (t) = t para pequenos valores da vari´ avel t. A Transformada de Laplace ´e uma t´ecnica extremamente ´ util na solu¸c˜ ao de equa¸c˜oes diferenciais lineares invariantes no tempo. ´ E atrav´es da Transformada de Laplace que se obt´em a no¸c˜ ao de “Fun¸ c˜ao de Transferˆencia ” de um sistema. A Transformada de Laplace transforma um fun¸c˜ ao da vari´avel tempo, digamos f(t), numa outra fun¸c˜ao F(s) onde s = σ + jω ´e uma vari´ avel complexa. Em determi- nadas condi¸c˜oes, as fun¸c˜oes f(t) e sua transformada F(s) est˜ao relacionadas de forma bi-un´ıvoca: f(t) LAPLACE F(s) Transf. Direta Transf. Inversa Figura 2.2: Transformada direta e inversa de Laplace PROPRIEDADES DE FUNC¸ ˜ OES COMPLEXAS: Neste curso vamos nos restringir, com poucas excess˜oes, `a fun¸c˜ oes complexas racionais. Defini¸c˜ao 2.1 (Fun¸c˜ao Racional) Uma fun¸c˜ao G(s) da vari´avel complexa s = σ+jω ´e racional se G(s) pode ser expressa como a divis˜ao de dois polinˆomios da vari´avel complexa s. A figura abaixo ilustra uma fun¸c˜ao complexa G(s) em termos de suas coordenadas retangular e polar. onde |G(s)| = G 2 x +G 2 y e ∠G(s) = tan −1 G y /G x . Re[G(s)] Im[G(s)] G y G x G(s) = G x + jG y = |G(s)| e j∠G(s) Figura 2.3: Representa¸c˜ ao gr´afica de uma fun¸c˜ ao complexa • Complexo conjugado: A conjuga¸c˜ao complexa ´e uma opera¸c˜ ao que consiste em trocar o sinal da parte imagin´aria, se o n´ umero estiver representado nas coordenadas retangu- lares, ou de forma equivalente, trocar o sinal da fase, se o n´ umero estiver representado 2.1. Introdu¸c˜ao e No¸c˜ oes de Fun¸c˜ oes Complexas www.das.ufsc.br/labsil 21 nas coordenadas polares. Representaremos o complexo conjugado do n´ umero complexo G(s), indicado na figura 2.3, por G(s) = G x −jG y = |G(s)|e −j∠G(s) . Duas propriedades importantes da conjuga¸c˜ ao complexa s˜ao indicadas a seguir. Se A, B s˜ao dois n´ umeros complexos ent˜ ao AB = A B e A + B = A + B. Defini¸c˜ao 2.2 (P´olos e Zeros) Seja G(s) = N(s) D(s) onde N(s) e D(s) s˜ao dois polinˆomios com coeficientes reais. Define-se p´olos e zeros de G(s) como sendo os valores de s tais que: - Zeros de G(s): s tal que N(s) = 0 - P´olos de G(s): s tal que D(s) = 0 Exemplo 2.2 A transformada de Laplace da fun¸c˜ao g(t) = −0, 5 + 1, 5e 2t , t ≥ 0 ´e a fun¸c˜ao complexa G(s) = s+1 s(s−2) que possui os seguintes p´olos e zeros: - Zeros de G(s): s = −1 - P´olos de G(s): s = 0, s = 2 Note que cada p´olo da fun¸c˜ao G(s) est´a associado `a uma exponencial da fun¸c˜ao g(t). Na realidade os p´olos s˜ao os expoentes das exponenciais. • O n´ umero complexo: e jθ = cosθ + jsenθ possui m´odulo unit´ario e fase θ, como indicado a seguir. |e jθ | = √ cos 2 θ + sen 2 θ = 1 ∠e jθ = tan −1 senθ cosθ = θ Defini¸c˜ao 2.3 (Fun¸c˜ao Anal´ıtica) Uma fun¸c˜ao G(s) ´e anal´ıtica numa regi˜ao se G(s) e todas as suas derivadas existem nessa regi˜ao. Exemplo 2.3 A fun¸c˜ao G(s) = 1 s+1 ´e anal´ıtica fora do ponto s = −1 (P´olo de G(s)). As opera¸c˜ oes de derivada e integral envolvendo fun¸c˜ oes complexas anal´ıticas se fazem de maneira habitual, isto ´e, as regras usuais de derivada e integral se aplicam diretamente. 2.2. Defini¸c˜ao e Regi˜ao de Convergˆencia www.das.ufsc.br/labsil 22 2.2 Defini¸c˜ao e Regi˜ao de Convergˆencia Para uma fun¸c˜ ao f(t) com t ≥ 0, define-se Transformada de Laplace de f(t) como sendo a fun¸c˜ao complexa F(s) obtida atrav´es da integral: F(s) = L[f(t)] = ∞ 0 − f(t)e −st dt (2.1) onde s = σ + jω ´e a vari´ avel complexa introduzida pela transformada. Sob certas condi¸c˜oes (que veremos a seguir) podemos tamb´em definir a Transformada Inversa de Laplace da seguinte forma: f(t) = L −1 [F(s)] = 1 2πj c+j∞ c−j∞ F(s)e st ds (2.2) onde t ≥ 0 e c ´e um n´ umero real associado `a regi˜ao do plano s = σ +jω onde a fun¸c˜ao F(s) est´a definida. Esta regi˜ao ´e chamada regi˜ao de convergˆencia da Transformada de Laplace . Dentro dessa regi˜ao as fun¸c˜oes f(t) para t ≥ 0 e F(s) est˜ao ligadas de maneira biun´ıvoca, como ilustra a figura a seguir. Trans. Direta Tranf. Inversa t ≥ 0 Re[s] > c f(t) F(s) Figura 2.4: Rela¸c˜ ao entre f(t) e sua transformada de Laplace Exemplo 2.4 Seja f(t) = e 2t , para t ≥ 0. F(s) = L[f(t)] = ∞ 0 − e 2t e −st dt = −1 s −2 e −(s−2)t | ∞ 0 − = −1 s −2 [ lim t→∞ e −(s−2)t − lim t→0 − e −(s−2)t ] = 1 s −2 − 1 s −2 lim t→∞ e −(s−2)t Note que s = σ +jω e |e −jωt | = |cosωt + jsenωt| = 1. Assim, lim t→∞ e −(s−2)t = ±∞ para Re[s] = σ < 2 indefinido para Re[s] = σ = 2 0 para Re[s] = σ > 2. 2.2. Defini¸c˜ao e Regi˜ao de Convergˆencia www.das.ufsc.br/labsil 23 Logo, a Transformada de Laplace da fun¸c˜ao e 2t , t ≥ 0 s´o est´a definida na regi˜ao do plano complexo definida por Re[s] > 2 e nessa regi˜ao obtemos: F(s) = L[e 2t ] = 1 s −2 A regi˜ao do plano complexo onde a Integral de Laplace est´a definida e ´e finita re- cebe o nome de regi˜ao de convergˆencia da Transformada de Laplace . Mostra-se que ao escolhermos um contorno para a integral: 1 2πj c+j∞ c−j∞ F(s)e st ds de tal forma que c > 2 (contorno dentro da regi˜ao de convergˆencia) ent˜ ao o resultado da integral acima ´e e 2t para t ≥ 0. Existem fun¸c˜ oes, como por exemplo e t 2 , t ≥ 0, para as quais a Transformada de Laplace n˜ao existe, isto ´e, n˜ao existe regi˜ao de convergˆencia da Integral de Laplace. No entanto, todos os sinais de interesse pr´atico s˜ao transform´aveis por Laplace. A regi˜ao de convergˆencia da Transformada de Laplace ´e um formalismo matem´atico que normalmente ´e omitido no c´alculo da transformada. No entanto ´e importante lembrar que qualquer que seja a regi˜ao de convergˆencia, as fun¸c˜ oes f(t) para t ≥ 0 e F(s) para Re[s] > c est˜ao relacionados de maneira biun´ıvoca. Os casos em que f(t) = 0 para t < 0 s˜ao de interesse marginal no c´alculo da Transformada de Laplace e n˜ao ser˜ao considerados nesse curso. Uma vez obtida a transformada de Laplace F(s) podemos deduzir sua regi˜ao de convergˆencia. Ela ´e dada pela regi˜ao do plano complexo `a direita do p´olo mais `a direita da fun¸c˜ ao F(s). Exemplo 2.5 (Exponencial real) f(t) = e at , t ≥ 0 F(s) = L[e at ] = ∞ 0 e at e −st dt = −1 s −a e −(s−a)t | ∞ 0 = 1 s −a Exemplo 2.6 (Degrau Unit´ario) Fun¸c˜ao Degrau Unit´ario u(t) = 0, t < 0 1, t ≥ 0 L[u(t)] = ∞ 0 1e −st dt = −1 s e −st | ∞ 0 = 1 s . (Regi˜ao de Convergˆencia Re[s] > 0) Exemplo 2.7 (Rampa) Fun¸c˜ao Rampa f(t) = 0, t < 0 At, t ≥ 0, A constante L[f(t)] = A ∞ 0 te −st dt = At e −st −s | ∞ 0 − ∞ 0 Ae −st −s dt = A s ∞ 0 e −st dt = A s 2 . ( udv = uv − vdu) 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 24 Exemplo 2.8 (Sen´oide) Fun¸c˜ao Senoidal f(t) = 0, t < 0 sen(ω 0 t), t ≥ 0, ω 0 cte L[f(t)] = ∞ 0 sen(ω 0 t)e −st dt = ∞ 0 e jω 0 t −e −jω 0 t 2j e −st dt = 1 2j ¸ 1 s −jω 0 − 1 s + jω 0 = ω 0 s 2 + ω 2 0 RESUMO u(t) ↔ 1 s : P´olo simples na origem. Fun¸ c˜ao Constante no tempo. tu(t) ↔ 1 s 2 : P´olo duplo na origem. Fun¸c˜ao cresce linearmente no tempo. e −αt u(t) ↔ 1 s+α : P´olo em s = −α. Cresce exponencialmente no tempo se p´olo for positivo (α < 0). Decresce exponecialmente no tempo se p´olo for negativo (α > 0). Valor constante no tempo se o p´olo for na origem. sen(ω 0 t)u(t) ↔ ω 0 s 2 +ω 2 0 : P´olos complexos conjugados sobre o eixo imagin´ario (s = ±jω 0 ). Fun¸ c˜ao oscila no tempo sem amortecimento. 2.3 Propriedades A Transformada de Laplace possui v´arias propriedades que, em geral, simplificam o c´alculo da transformada se comparado com a aplica¸c˜ ao direta da defini¸c˜ ao (2.1). To- das as propriedades apresentadas nessa se¸c˜ao est˜ao provadas em [1]. Por conveniˆencia repetiremos algumas das provas a t´ıtulo de exerc´ıcio. 2.3.1 Opera¸c˜ao Linear Sejam f 1 (t) e f 2 (t) duas fun¸c˜oes e α 1 e α 2 duas constantes. Ent˜ ao: L[α 1 f 1 (t) + α 2 f 2 (t)] = α 1 L[f 1 (t)] + α 2 L[f 2 (t)] Prova: Utilizando a defini¸c˜ao (2.1) temos: L[α 1 f 1 (t) + α 2 f 2 (t)] = ∞ 0 (α 1 f 1 (t) + α 2 f 2 (t))e −st dt = α 1 ∞ 0 f 1 (t)e −st dt +α 2 ∞ 0 f 2 (t)e −st dt = α 1 L[f 1 (t)] + α 2 L[f 2 (t)] 2 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 25 2.3.2 Fun¸c˜ao Transladada em Atraso Seja f(t) uma fun¸c˜ao, u(t) o degrau unit´ario e α uma constante. Ent˜ ao: L[f(t −α)u(t −α)] = e −αs L[f(t)] t 0 t 0 α f(t) f(t −α)u(t −α) Figura 2.5: Fun¸c˜ ao deslocada em atraso Prova: Aplicando a defini¸c˜ao temos: L[f(t −α)u(t −α)] = ∞ 0 f(t −α)u(t −α)e −st dt Definindo τ = t −α podemos rescrever a integral acima como L[f(t −α)u(t −α)] = ∞ −α f(τ)u(τ)e −s(τ+α) dτ = e −sα ∞ −α f(τ)u(τ)e −sτ dτ como f(τ)u(τ) = 0 para −α ≤ τ < 0 temos: = e −sα ∞ 0 f(τ)u(τ)e −sτ dτ = e −sα ∞ 0 f(τ)e −sτ dτ = e −sα L[f(t)] 2 2.3.3 Fun¸c˜ oes Porta-deslocada e Impulso As fun¸c˜ oes Porta-deslocada e Impulso possuem propriedades importantes no contexto da Transformada de Laplace . Fun¸c˜ao Porta-deslocada: Usaremos a nota¸c˜ ao f p (t) para representar a fun¸c˜ao porta- deslocada de ´area unit´aria. f p (t) = 1 t 0 , 0 < t < t 0 0, 0 > t > t 0 sendo t O uma constante 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 26 0 t 0 f p (t) t 1 t 0 Figura 2.6: Fun¸c˜ao Porta de ´area unit´aria Note que f p (t) = 1 t 0 u(t) − 1 t 0 u(t −t 0 ). Utilizando as propriedades de Linearidade e Transla¸c˜ao obtemos: L[f p (t)] = L ¸ 1 t 0 u(t) − 1 t 0 u(t −t 0 ) = 1 t 0 L[u(t)] − 1 t 0 L[u(t −t 0 )] = 1 t 0 1 s − 1 t 0 e −t 0 s s = 1 t 0 s (1 −e −t 0 s ) 2 Fun¸c˜ao Impulso: A Fun¸c˜ao Impulso Unit´ario que ocorre no instante t = t 0 ´e repre- sentada por δ(t −t 0 ) e satisfaz as seguintes condi¸c˜oes: δ(t −t 0 ) = 0, ∀t = t 0 ∞, t = t 0 e ∞ −∞ δ(t −t 0 )dt = 1 A Fun¸c˜ ao Impulso ´e uma abstra¸c˜ ao matem´atica e n˜ao existe na pr´atica. Por´em, varia¸c˜ oes bruscas de energia podem ser aproximadas pela fun¸c˜ao impulso. Al´em disso, o conceito da fun¸c˜ao impulso ´e bastante ´ util na diferencia¸c˜ ao de fun¸c˜oes descont´ınuas, como veremos na sequˆencia. Para calcular a transformada da fun¸c˜ ao impulso devemos notar que o impulso na origem ´e o caso limite da fun¸c˜ao porta quando t 0 →0, isto ´e: δ(t) = lim t 0 →0 1 t 0 [u(t) −u(t −t 0 )] 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 27 Assim temos: L[δ(t)] = L ¸ lim t 0 →0 1 t 0 (u(t) −u(t −t 0 )) = lim t 0 →0 L ¸ 1 t 0 (u(t) −u(t −t 0 )) = lim t 0 →0 1 t 0 s (1 −e −t 0 s ) = d dt 0 (1 −e −t 0 s ) d dt 0 (t 0 s) = 1 2 A Transformada do Impulso ´e uma fun¸c˜ ao constante numericamente igual a ´area do impulso (Energia Instantˆ anea). O exemplo a seguir mostra como podemos utilizar a fun¸c˜ao impulso para representar a derivada de fun¸c˜ oes descont´ınuas. Exemplo 2.9 Seja a fun¸c˜ao f(t) = A para 0 < t < t 0 (t 0 ) dado) e nula fora desse intervalo. A derivada sessa fun¸c˜ao est´a definida em todos os pontos exceto em t = 0 e t = t 0 . Nesses pontos existem descontinuidades. A varia¸c˜ao da fun¸c˜ao no entorno de uma descontinuidade pode ser representada por um impulso de ´area igual ao tamanho da descontinuidade. A derivada de f(t) est´a indicada na figura 2.7. 0 f(t) t t 0 t ˙ f(t) −A δ(t −t 0 ) A δ(t) 0 t 0 A Figura 2.7: Derivada de fun¸c˜oes descont´ınuas . 2.3.4 Multiplica¸c˜ao de f(t) por e −αt Se L[f(t)] = F(s) ent˜ ao: L[e −αt f(t)] = ∞ 0 f(t)e −αt e −st dt = F(s + α) Exemplo 2.10 J´a vimos que: L[sen(ω 0 t)u(t)] = ω 0 s 2 +ω 2 0 = F(s) 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 28 Logo: L[e −αt sen(ω 0 t)u(t)] = ω 0 (s + α) 2 + ω 2 0 = F(s + α) Note que os p´olos de F(s + α) s˜ao p 1,2 = −α ± jω 0 , onde Re[p´olo] = −α define o decaimento exponencial do sinal f(t) e Im[p´olo] = ±ω 0 define a frequˆencia de oscila¸c˜ao do sinal f(t). 2.3.5 Mudan¸ca na Escala de Tempo Se L[f(t)] = F(s) ent˜ ao: L[f(t/α)] = αF(αs) Este resultado ´e ´ util quando se deseja analisar sinais numa escala de tempo diferente daquela em que ele ocorre na pr´atica. Pode ser o caso por exemplo de sinais muito lentos ou muito r´apidos. Exemplo 2.11 Dado que L[e −t u(t)] = 1 s+1 tem-se que L[e −0,2t u(t)] = 5 5s+1 . 2.3.6 Teorema da Diferencia¸c˜ao Real De agora em diante usaremos as seguintes nota¸c˜ oes para representar derivada temporal de uma fun¸c˜ao f(t): df(t) dt def = ∂f(t) ou de forma equivalente df(t) dt def = ˙ f(t) (2.3) A nota¸c˜ ao que emprega o operador ∂ def = d dt ´e ´ util no caso de derivadas de ordem ≥ 3 como a derivada de ordem 5: ∂ 5 f(t). J´a a nota¸c˜ ao ˙ f(t) e ¨ f(t) s˜ao comuns em livros de controle para expressar derivadas de ordem 1 e 2. Com a nota¸c˜ao acima temos o seguinte resultado: L ˙ f(t) = sF(s) −f(0) onde L[f(t)] = F(s) e f(0) = f(t)| t=0 . Problema 2.1 Prove que L ˙ f(t) = sF(s) − f(0). Dica: use a integral por partes ∞ 0 udv = uv| ∞ 0 − ∞ 0 vdu . Quando uma fun¸c˜ ao possui descontinuidade na origem, a sua derivada temporal ir´a possuir um impulso na origem. Nesses casos precisamos tomar cuidado com o limite inferior da transformada da derivada. Vamos ent˜ao definir: 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 29 L + [f(t)] = ∞ 0 + f(t)e −st dt L − [f(t)] = ∞ 0 − f(t)e −st dt Note que se f(t) envolve um impulso na origem ent˜ ao L + [f(t)] = L − [f(t)]. Quando f(t) n˜ao possui impulso na origem teremos L + [f(t)] = L − [f(t)] = L[f(t)]. Para o caso em que ˙ f(t) possui impulso na origem (f(t) possui descontinuidade na origem) ficamos com: L + ˙ f(t) = sF(s) −f(0 + ) L − ˙ f(t) = sF(s) −f(0 − ) Note que na defini¸c˜ao L + o tempo come¸ca em t = 0 + e portanto o impulso na origem fica fora do intervalo considerado, oque n˜ao nos interessa. Assim apenas a defini¸c˜ ao L − , por come¸car a contagem dos tempos em t = 0 − , nos ser´a ´ util para tratar impulsos na origem. Exemplo 2.12 Seja f(t) = e −αt , para t ≥ 0. Calcule L[ ˙ f(t)]. Solu¸c˜ao: ˙ f(t) = δ(t) −αe −αt , t ≥ 0 L[ ˙ f(t)] = 1 − α s + α = s s + α Pelo teorema da diferencia¸c˜ao real obtemos o mesmo resultado acima: L − [ ˙ f(t)] = sF(s) −f(0 − ) = s s + α −0 = s s + α Para uma derivada de ordem n temos: L[∂ n f(t)] = s n F(s) −s n−1 f(0) −s n−2 ∂f(t)| t=0 −· · · −s∂ n−2 f(t)| t=0 −∂ n−1 f(t)| t=0 OBSERVAC¸ ˜ OES: • Se a distin¸c˜ao entre L + e L − for necess´aria basta substituir t = 0 por t = 0 + ou t = 0 − respectivamente. • Para que L[∂ n f(t)] exista ´e preciso que todas as derivadas de f(t) de ordem inferior `a n existam e sejam transform´aveis por Laplace. • Quando todas as condi¸c˜oes iniciais forem nulas ent˜ ao: L[∂ n f(t)] = s n F(s) 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 30 Exemplo 2.13 Sabendo que L[sen(ω 0 t)u(t)] = ω 0 s 2 +ω 2 0 podemos obter: L[cos(ω 0 t)u(t)] = L ¸ d dt sen(ω 0 t) ω 0 u(t) = 1 ω 0 L ¸ d dt (sen(ω 0 t)u(t)) = 1 ω 0 (sF(s) −f(0)) = 1 ω 0 ( s ω 0 s 2 + ω 2 0 −0) = s s 2 + ω 2 0 2.3.7 Teorema do Valor Final Quando uma fun¸c˜ ao f(t) tende `a um valor constante em regime estacion´ario, isto ´e quando t →∞, este valor constante pode ser diretamente obtido atrav´es do limite: lim t→∞ f(t) = lim s→0 sF(s) onde L[f(t)] = F(s). Note que quando f(t) tende `a um valor constante em regime ent˜ ao ˙ f(t) tende a zero em regime. Como toda fun¸c˜ao que tende a zero em regime deve possuir transformada com todos os p´olos no semi-plano esquerdo conclu´ımos que todos os p´olos de L[ ˙ f(t)] = sF(s) devem estar no semi-plano esquerdo para que o limite acima possa ter algum sentido. Caso contr´ario, se algum p´olo de sF(s) tem parte real nula ou positiva a fun¸c˜ao f(t) n˜ao tende a um valor constante em regime e portanto a igualdade acima n˜ao mais se verifica. Exemplo 2.14 Qual ´e o valor de regime (se ele existe) da fun¸c˜ao f(t) cuja transformada ´e F(s) = 1 s(s+1) ? Solu¸c˜ao: Como os p´olos de sF(s) n˜ao possuem parte real nula nem positiva (os p´olos s˜ao s = −1) ent˜ao f(t) tende `a um valor constante em regime. E esse valor ´e dado por: lim t→∞ f(t) = lim s→0 sF(s) = 1 Para conferir o resultado note que L[(1 −e −t )u(t)] = 1 s(s+1) . Problema 2.2 Calcule o valor de regime da fun¸c˜ao no tempo cuja transformada ´e F(s) = 1 (s−2) . Diga se o teorema do valor final pode ser aplicado e qual ´e a fun¸c˜ao no tempo. 2.3.8 Teorema do Valor Inicial Usando este teorema somos capazes de achar o valor de f(t) em t = 0 + conhecendo apenas a transformada de f(t). Se f(t) e ˙ f(t) s˜ao ambas transform´aveis por Laplace e se 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 31 lim s→∞ sF(s) existir ent˜ ao: f(0 + ) = lim s→∞ sF(s) Quando f(t) n˜ao possui descontinuidade na origem f(0 + ) = f(0). Problema 2.3 Encontre o valor inicial de ˙ f(t) dado que L[f(t)] = 2s+1 s 2 +s+1 . 2.3.9 Teorema da Integra¸c˜ao Real Se a fun¸c˜ ao que resulta da integral f(t)dt ´e transform´avel por Laplace ent˜ao sua transformada ´e dada por: L ¸ f(t)dt = F(s) s + f(t)dt s | t=0 (2.4) OBSERVAC¸ ˜ OES: • Se o valor inicial da integral for zero ent˜ ao: L ¸ f(t)dt = F(s) s Assim, integrar no dom´ınio do tempo ´e dividir por s no dom´ınio da frequˆencia. Lembre que derivar no tempo ´e multiplicar por s na frequˆencia. • Quando a integral for definida note que: t 0 f(t)dt = f(t)dt − f(t)dt| t=0 . Sendo f(t)dt| t=0 uma constante temos com (2.4) que: L ¸ t 0 f(t)dt = F(s) s Se f(t) possui impulso na origem ent˜ ao deve-se especificar que a integral come¸ca em t = 0 − . 2.3.10 Teorema da Diferencia¸c˜ao Complexa Se f(t) ´e transform´avel por Laplace, ent˜ao, exceto nos p´olos de F(s) vale a seguinte rela¸c˜ao: L[tf(t)] = − d ds F(s). No caso geral: L[t n f(t)] = (−1) n d n ds n F(s), n = 1, 2, . . . . 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 32 2.3.11 Integral de Convolu¸c˜ao Sejam f 1 (t) e f 2 (t) duas fun¸c˜oes nulas para t < 0. A Convolu¸c˜ ao dessas duas fun¸c˜ oes f 1 (t) e f 2 (t) ser´a representada pela nota¸c˜ ao f 1 (t) ∗ f 2 (t) e ´e definida pela integral: f 1 (t) ∗ f 2 (t) = t 0 f 1 (t −τ)f 2 (τ)dτ Propriedades: • f 1 (t) ∗ f 2 (t) = f 2 (t) ∗ f 1 (t) • f 1 (t) ∗ (f 2 (t) + f 3 (t)) = f 1 (t) ∗ f 2 (t) + f 1 (t) ∗ f 3 (t) • L[f 1 (t) ∗ f 2 (t)] = L[f 1 (t)]L[f 2 (t)] A ´ ultima propriedade ´e muito importante e mostra que fazer a convolu¸c˜ ao no tempo ´e fazer o produto das transformadas na frequˆencia. Prova: L[f 1 (t) ∗ f 2 (t)] = ∞ 0 t 0 f 1 (t −τ)f 2 (τ)dτ e −st dt como f 1 (t −τ) = 0 para τ > t podemos extender o limite de integra¸c˜ ao de t para infinito. Como t e τ s˜ao vari´aveis independentes podemos trocar a ordem de integra¸c˜ ao. = ∞ 0 ∞ 0 f 1 (t −τ)e −s(t−τ) dtf 2 (τ)e −sτ dτ Note que a integral interna ´e simplesmente a transformada de f 1 (t) com a mudan¸ca de vari´avel ξ = t −τ: ∞ 0 f 1 (t −τ)e −s(t−τ) dt = ∞ −τ f 1 (ξ)e −sξ dξ = ∞ 0 f 1 (ξ)e −sξ dξ = L[f 1 (t)] Note ainda que L[f 1 (t)] ´e uma fun¸c˜ao complexa da vari´avel s e n˜ao depende de τ. Logo obtemos: L[f 1 (t) ∗ f 2 (t)] = ∞ 0 L[f 1 (t)]f 2 (τ)e −sτ dτ = L[f 1 (t)] ∞ 0 f 2 (τ)e −sτ dτ = L[f 1 (t)]L[f 2 (t)] 2 Veremos mais adiante que o comportamento de todo sistema linear invariante no tempo pode ser representado por uma integral de convolu¸c˜ ao, ou equivalentemente, pelo produto de duas transformadas. 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 33 f(t) t ... a 0 1 2 ˙ f(t) t a 0 ... −aδ(t −1) −aδ(t −2) Figura 2.8: Fun¸c˜ao dente de serra e sua derivada Exemplo 2.15 Calcule a transformada de Laplace da fun¸c˜ao f(t) da figura 2.8. Solu¸c˜ao: Como a derivada de f(t) ´e uma fun¸c˜ao mais simples que f(t), veja figura 2.8, iremos calcular a transformada da derivada e utilizar a rela¸c˜ao L[ ˙ f(t)] = sF(s) − f(0). Tem-se ent˜ao: ˙ f(t) = au(t) − ∞ ¸ n=1 aδ(t −n) L[ ˙ f(t)] = sF(s) −f(0) = aL[u(t)] −a ∞ ¸ n=1 L[δ(t −n)] ⇒sF(s) = a 1 s −a ∞ ¸ n=1 e −ns L[δ(t)] ⇒F(s) = a s 2 −a ∞ ¸ n=1 e −ns s t f(t) 0 a 2a 1 a 2 1 a 2 - Figura 2.9: Fun¸c˜ao onda quadrada Exemplo 2.16 Calcule a transformada de Laplace da fun¸c˜ao f(t) da figura 2.9. Solu¸c˜ao: Como a fun¸c˜ao ´e uma soma de degraus deslocados, temos: f(t) = 1 a 2 u(t) − 2 a 2 u(t −a) + 1 a 2 u(t −2a) L[f(t)] = 1 a 2 L[u(t)] − 2 a 2 L[u(t −a)] + 1 a 2 L[u(t −2a)] = 1 a 2 1 s − 2 a 2 e −as 1 s + 1 a 2 e −2as 1 s = 1 a 2 s (1 −2e −as + e −2as ) 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 34 Exemplo 2.17 Calcule a transformada de Laplace da fun¸c˜ao x(t) que resolve a seguinte equa¸c˜ao diferencial a¨ x + b ˙ x + cx = 0, onde ˙ x = dx(t) dt e x(0) = k 1 , ˙ x(0) = k 2 . Solu¸c˜ao: Seja X(s) = L[x(t)]. Tomando a transformada dos dois lados da equa¸c˜ao temos: L[a¨ x + b ˙ x + cx] = L[0] = 0 aL[¨ x] + bL[ ˙ x] + cL[x] = 0 L[x] = X(s) L[ ˙ x] = sX(s) −x(0) L[¨ x] = s 2 X(s) −sx(0) − ˙ x(0) a[s 2 X(s) −sk 1 −k 2 ] + b[sX(s) −k 1 ] + cX(s) = 0 X(s)(as 2 + bs +c) = ak 1 s + bk 1 + ak 2 X(s) = ak 1 s + bk 1 + ak 2 as 2 + bs + c Exemplo 2.18 Calcule a transformada de Laplace do sinal f(t) = sen(ω 0 t+θ)u(t), onde θ e ω 0 s˜ao constantes. Solu¸c˜ao: Existem v´arias formas de se resolver o problema. A seguir apresenta-se uma forma que explora as propriedades de fun¸c˜oes senoidais e da fun¸c˜ao impulso. f(t) = sen(ω 0 t + θ)u(t) ˙ f(t) = cos(ω 0 t + θ)ω 0 u(t) + sen(ω 0 t + θ)δ(t) = cos(ω 0 t + θ)ω 0 u(t) + sen(θ)δ(t) ¨ f(t) = −sen(ω 0 t + θ)ω 2 0 u(t) + cos(ω 0 t + θ)ω 0 δ(t) + ˙ δ(t)sen(θ) = −sen(ω 0 t + θ)ω 2 0 u(t) + cos(θ)ω 0 δ(t) + ˙ δ(t)sen(θ) Al´em disso sabemos que L[ ¨ f(t)] = s 2 F(s) −sf(0 − ) − ˙ f(0 − ) = s 2 F(s) e das duas express˜oes acima tiramos o seguinte resultado L[ ¨ f(t)] = s 2 F(s) = L[−sen(ω 0 t + θ)ω 2 0 u(t) + cos(θ)ω 0 δ(t) + ˙ δ(t)sen(θ)] ⇒F(s) = s sen(θ) + ω 0 cos(θ) s 2 + ω 2 0 Problema 2.4 Refazer o exemplo 2.18 utilizando a rela¸c˜ao trigonom´etrica sen(ωt+θ) = sen(ωt)cos(θ) + cos(ωt)sen(θ) 2.4. Transformada Inversa www.das.ufsc.br/labsil 35 2.4 Transformada Inversa J´a foi mensionado anteriormente que a transformada de Laplace e sua respectiva fun¸c˜ao no tempo est˜ao relacionadas de forma biun´ıvoca, como ilustra a figura 2.10. A transfor- mada inversa de Laplace nos permite encontrar a fun¸c˜ ao no tempo a partir do conheci- mento da sua Transformada de Laplace . Trans. Direta Tranf. Inversa t ≥ 0 Re[s] > c f(t) F(s) Figura 2.10: Rela¸c˜ ao entre f(t) e sua transformada F(s) Existem tabelas que s˜ao bastante ´ uteis na obten¸c˜ ao da tranformada inversa. No entanto essas tabelas s˜ao limitadas e no caso mais geral a maneira mais simples de se calcular a transformada inversa ´e utilizar o m´etodo de expans˜ao por fra¸c˜oes parciais pois os fatores que resultam da expans˜ao s˜ao bem mais simples de serem convertidos ao dom´ınio do tempo. Este m´etodo possui varia¸c˜ oes para p´olos distintos, p´olos m´ ultiplos, p´olos complexos e vamos supor que a fun¸c˜ao a ser expandida por fra¸c˜ oes parciais ´e racional. 2.4.1 Fra¸c˜ oes parciais para p´olos distintos Seja F(s) uma transformada na forma fatorada, isto ´e: F(s) = k(s + z 1 )(s +z 2 ) . . . (s + z m ) (s +p 1 )(s + p 2 ) . . . (s + p n ) , n > m onde −z i , (i = 1, 2, . . . , m), s˜ao os zeros e −p i , (i = 1, 2, . . . , n) s˜ao os p´olos da fun¸c˜ ao F(s). A restri¸c˜ao n > m pode ser feita sem perda de generalidade como veremos num exemplo a seguir. Quando todos os p´olos s˜ao distintos temos: F(s) = a 1 s + p 1 + a 2 s +p 2 +· · · + a n s + p n (2.5) onde a i s˜ao constantes conhecidas como res´ıduos dos p´olos p i , respectivamente, e s˜ao calculados da seguinte forma: a i = (s +p i )F(s)| s=−p i (2.6) Isto pode ser facilmente verificado. Veja no caso do res´ıduo do p´olo s = −p 1 . Multipli- cando (2.5) por s + p 1 temos: (s + p 1 )F(s) = a 1 + a 2 s +p 2 (s + p 1 ) +· · · + a n s + p n (s + p 1 ) 2.4. Transformada Inversa www.das.ufsc.br/labsil 36 Logo para s = −p 1 encontramos (2.6) com i = 1. O procedimento ´e idˆentico para os demais p´olos. O interesse da expans˜ao por fra¸c˜oes parciais ´e que cada termo da expans˜ao (2.5) pode ser facilmente transformado para o dom´ınio do tempo com a rela¸c˜ ao L[a i e −p i t u(t)] = a i s+p i , logo: f(t) = L −1 [F(s)] = L −1 ¸ a 1 s + p 1 +L −1 ¸ a 2 s + p 2 +· · · +L −1 ¸ a n s + p n = a 1 e −p 1 t +a 2 e −p 2 t +· · · +a n e −p n t , t ≥ 0. Note que a expans˜ao por fra¸c˜oes parciais (2.5) ´e v´alida para p´olos reais e complexos n˜ao repetidos. Para p´olos reais os res´ıduos (2.6) s˜ao reais e para p´olos complexos os res´ıduos s˜ao complexos. Exemplo 2.19 (P´olos Reais) Calcule a fun¸c˜ao no tempo cuja transformada ´e F(s) = s + 3 (s + 1)(s + 2) Solu¸c˜ao: Com (2.5) e (2.6) se obt´em: F(s) = a 1 s + 1 + a 2 s + 2 a 1 = F(s)(s + 1)| s=−1 = 2 a 2 = F(s)(s + 2)| s=−2 = −1 Assim, f(t) = L −1 [F(s)] = 2e −t −e −2t , t ≥ 0 Exemplo 2.20 (N˜ao Causal) Calcule a transformada inversa da fun¸c˜ao G(s) = s 3 + 5s 2 + 9s + 7 (s + 1)(s + 2) Solu¸c˜ao: Como o grau do numerador ´e maior que o grau do denominador devemos dividir um pelo outro at´e que o resto da divis˜ao seja uma fun¸c˜ao com grau do numerador menor que o grau do denominador, como indicado a seguir. G(s) = s + 2 + s + 3 (s + 1)(s + 2) = s + 2 + 2 s + 1 − 1 s + 2 2.4. Transformada Inversa www.das.ufsc.br/labsil 37 Logo: g(t) = L −1 [G(s)] = L −1 [s] +L −1 [2] +L −1 ¸ 2 s + 1 +L −1 ¸ −1 s + 2 = d dt δ(t) + 2δ(t) + 2e −t −e −2t , t ≥ 0 − Exemplo 2.21 (P´olos Complexos) Calcule a transformada inversa da fun¸c˜ao F(s) = 2s + 12 s 2 + 2s + 5 Solu¸c˜ao: Note que os p´olos s˜ao complexos pois s 2 + 2s + 5 = (s + 1 + j2)(s + 1 −j2). Nesses casos a fun¸c˜ao temporal sempre envolve o produto de uma exponencial e um seno ou cosseno como indicado a seguir: L[e αt senω 0 t] = ω 0 (s −α) 2 + ω 2 0 L[e αt cosω 0 t] = s −α (s −α) 2 + ω 2 0 Nas transformadas acima α ´e a parte real dos p´olos e ω 0 ´e a parte imagin´aria dos p´olos. Verifique que os p´olos s˜ao α ± jω 0 . Para o exemplo em quest˜ao temos s 2 + 2s + 5 = (s + 1) 2 + 2 2 e com algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas obtem-se: F(s) = 2s + 12 (s + 1) 2 + 2 2 = A ω 0 (s −α) 2 +ω 2 0 + B s −α (s −α) 2 + ω 2 0 Logo 2s+12 = Aω 0 +B(s−α). Como ω 0 = 2 e α = −1 temos por igualdade polinomial B = 2 e A = 5 o que resulta: L −1 [F(s)] = 5L −1 ¸ 2 (s + 1) 2 + 2 2 + 2L −1 ¸ s + 1 (s + 1) 2 + 2 2 = 5e −t sen2t + 2e −t cos2t, t ≥ 0. Problema 2.5 Refa¸ca o exemplo 2.21 utilizando o m´etodo de expans˜ao por fra¸c˜oes par- ciais indicado em (2.5). Obtenha a mesma express˜ao para f(t). 2.4.2 Fra¸c˜ oes Parciais para p´olos repetidos Os m´etodos da se¸c˜ ao anterior s˜ao v´alidos para p´olos distintos. Nesta se¸c˜ ao estudaremos o caso de p´olos repetidos baseado num exemplo que pode ser facilmente generalizado. 2.4. Transformada Inversa www.das.ufsc.br/labsil 38 Exemplo 2.22 Calcule a transformada inversa da fun¸c˜ao F(s) = s 2 + 2s + 3 (s + 1) 3 Solu¸c˜ao: Como o p´olo tem multiplicidade trˆes a expans˜ao por fra¸c˜oes parciais envolve trˆes termos: F(s) = b 3 (s + 1) 3 + b 2 (s + 1) 2 + b 1 (s + 1) onde os coeficientes b i , (i = 1, 2, 3), s˜ao os res´ıduos a serem determinados. Para determin´a-los multiplique os dois lados por (s + 1) 3 para obter: (s + 1) 3 F(s) = b 3 + b 2 (s + 1) + b 1 (s + 1) 2 Com a igualdade polinomial acima utilize um dos dois m´etodos abaixo: M´etodo 1 Derivadas sucessivas de (s + 1) 3 F(s) ⇒b 3 = (s + 1) 3 F(s)| s=−1 d ds [(s + 1) 3 F(s)] = b 2 + 2b 1 (s + 1) ⇒b 2 = d ds [(s + 1) 3 F(s)] s=−1 d 2 ds 2 [(s + 1) 3 F(s)] = 2b 1 ⇒ 1 2! d 2 ds 2 [(s + 1) 3 F(s)] s=−1 M´etodo 2 Atribuindo-se valores para s na igualdade s = 0 ⇒ 3 = b 3 +b 2 +b 1 s = −1 ⇒ 2 = b 3 s = 1 ⇒ 6 = b 3 + 2b 2 + 4b 1 Os dois m´etodos acima levam aos mesmos valores dos res´ıduos: b 3 = 2, b 2 = 0, b 1 = 1 e portanto: L −1 [F(s)] = L −1 ¸ 2 (s + 1) 3 +L −1 ¸ 0 (s + 1) 2 +L −1 ¸ 1 s + 1 = t 2 e −t + 0 + e −t , t ≥ 0. 2.5. Sinais com energia limitada www.das.ufsc.br/labsil 39 2.4.3 Fra¸c˜ oes Parciais para casos especiais Quando a transformada envolve p´olos distintos e repetidos ou p´olos reais e complexos podemos combinar os resultados das se¸c˜ oes anteriores como ilustram os exemplos a seguir. Exemplo 2.23 (P´olos distintos e repetidos) Calcule a transformada inversa da fun¸c˜ao F(s) = s 2 + 2s + 3 (s + 1) 2 (s + 2) Solu¸c˜ao: A fun¸c˜ao possui um p´olo s = −2 com multiplicidade um e um p´olo s = −1 com multiplicidade dois. Nesse caso a expans˜ao se faz como nas se¸c˜oes anteriores, isto ´e, o p´olo com multiplicidade dois ter´a dois res´ıduos e o p´olo com multiplicidade um ter´a um res´ıduo. F(s) = b 2 (s + 1) 2 + b 1 (s + 1) + b 0 (s + 2) onde os coeficientes b i , (i = 0, 1, 2), s˜ao os res´ıduos a serem determinados pelos m´etodos da se¸c˜ao anterior. Exemplo 2.24 (P´olos reais e complexos) Calcule a transformada inversa da fun¸c˜ao F(s) = 2s + 12 (s 2 + 2s + 5)(s + 1) Solu¸c˜ao: A fun¸c˜ao possui dois p´olos complexos e um real. Para utilizarmos os resul- tados das se¸c˜oes anteriores devemos primeiro separar os p´olos complexos dos reais da seguinte forma: F(s) = b 1 s + b 0 (s 2 + 2s + 5) + b 2 (s + 1) onde b 2 ´e determinado com (2.6) e b 0 , b 1 s˜ao determinados por igualdade polinomial atribuindo-se valores para s. Com os valores de b 0 , b 1 , b 2 podemos utilizar os exemplos 2.21 e 2.19 para encontrar a fun¸c˜ao no dom´ınio do tempo. 2.5 Sinais com energia limitada Vamos definir energia de um sinal f(t) como sendo: E = ∞ −∞ f(t) 2 dt (2.7) Esta defini¸c˜ ao de energia ´e uma generaliza¸c˜ao do conceito de energia dissipada em re- sistores. Por exemplo, se f(t) representa a tens˜ao ou corrente num resistor unit´ario, a energia dissipada no resistor ´e dada pela integral acima. Os sinais que possuem energia limitada (E < ∞) s˜ao portanto de grande interesse pr´atico. 2.6. Resolu¸c˜ao de Equa¸c˜ oes Diferenciais www.das.ufsc.br/labsil 40 Veremos a seguir que um sinal cuja transformada de Laplace ´e uma fun¸c˜ao racional que possui todos os p´olos no semi-plano esquerdo estrito, isto ´e, p´olos com parte real estritamente negativa, ´e um sinal de energia limitada. Para esses sinais a integral acima existe e ´e finita. Seja o seguinte sinal: x(t) = α 1 + α 2 e −2t + α 3 e −t + k 1 e −t senω 0 t + k 2 e −t cosω 0 t, t ≥ 0 A transformada de x(t) ´e: X(s) = L[x(t)] = α 1 s + α 2 s + 2 + α 3 s + 1 + k 1 ω 0 (s + 1) 2 +ω 2 0 + k 2 (s + 1) (s + 1) 2 + ω 2 0 Note que todos os p´olos possuem parte real negativa, exceto o p´olo na origem. Assim, os p´olos reais de X(s) tornam-se expoentes de fun¸c˜ oes exponenciais decrescentes no tempo. Os p´olos complexos est˜ao associados `a sinais que causam oscila¸c˜ oes amortecidas. O amortecimento dessas oscila¸c˜ oes ´e definido pela parte real dos p´olos (Re[p´olos] = −1 no caso) e a frequˆencia de oscila¸c˜ ao ´e definida pela parte imagin´aria do p´olo (Im[p´olo] = ω 0 ). O efeito temporal dos p´olos com parte real negativa diminui exponencialmente e desaparece completamente em regime permanente, isto ´e, quando t →∞. Um sinal x(t) cuja transformada seja anal´ıtica no semi-plano direito 1 mas tenha um p´olo simples na origem vai ter um n´ıvel DC igual ao res´ıduo desse p´olo (α 1 no caso acima). O valor do sinal x(t) acima em regime permanente (t →∞) ´e constante e igual `a α. Note que nesse caso o sinal n˜ao tem energia limitada pois a integral acima vai divergir dado que o sinal n˜ao converge para zero em regime. Assim, um sinal qualquer x(t) vai ter um valor zero em regime (converge para zero quando t → ∞) apenas quando todos os p´olos da transformada possuem parte real negativa. Se a transformada possui um p´olo na origem ( e os demais no semi-plano esquerdo estrito) o sinal ser´a constante com um n´ıvel DC n˜ao nulo em regime. Em qualquer outra situa¸c˜ ao o sinal ´e divergente, isto ´e, n˜ao ter´a um valor de regime finito. A energia do sinal ser´a limitada apenas no primeiro caso, isto ´e, quando o sinal converge para zero quando t →∞. 2.6 Resolu¸c˜ao de Equa¸c˜oes Diferenciais Atrav´es das leis da f´ısica podemos obter um modelo de comportamento para todos os sistemas. Para sistemas dinˆamicos esse modelo ´e uma equa¸c˜ao diferencial. Este ´e o caso por exemplo de motores, circuitos, turbinas e todos os outros dispositivos estudados na engenharia. Saber como o sistema se comporta para dadas condi¸c˜oes iniciais e uma dada excita¸c˜ao ´e equivalente a saber resolver a equa¸c˜ao diferencial. A Transformada de Laplace pode ser utilizada para resolver equa¸c˜oes diferenciais lineares invariantes no tempo. Para isso basta transformar por Laplace cada um dos 1 Lembre-se que uma fun¸c˜ao ´e anal´ıtica numa dada regi˜ao quando ela n˜ao possui p´olos nessa regi˜ao 2.6. Resolu¸c˜ao de Equa¸c˜ oes Diferenciais www.das.ufsc.br/labsil 41 termos da equa¸c˜ ao dif. obtendo assim a transformada da fun¸c˜ ao que resolve a equa¸c˜ao. Em seguinda, utiliza-se a transformada inversa para encontrar a solu¸c˜ao no dom´ınio do tempo. Exemplo 2.25 Resolva a seguinte equa¸c˜ao diferencial ¨ x+2 ˙ x+5x = g(t), onde x(0) = a, ˙ x(0) = b s˜ao constantes dadas e g(t)=0. Solu¸c˜ao: Note que L[x] = X(s) L[ ˙ x] = sX(s) −x(0) L[¨ x] = s 2 X(s) −sx(0) − ˙ x(0) Tomando-se a transformada dos dois lados da equa¸c˜ao se obt´em: [s 2 X(s) −sx(0) − ˙ x(0)] + 2[sX(s) −x(o)] + 5X(s) = 0 ⇒X(s) = s + 2 s 2 + 2s + 5 x(0) + 1 s 2 + 2s + 5 ˙ x(o) De forma similar ao exemplo 2.21 temos: X(s) = s + 1 s 2 + 2s + 5 x(0) + 1 s 2 + 2s + 5 x(0) + 1 s 2 + 2s + 5 ˙ x(o) e consequentemente x(t) = L −1 [X(s)] = [e −t cos(2t) + 0.5e −t sen(2t)]x(0) + 0.5e −t sen(2t) ˙ x(0) que ´e a solu¸c˜ ao da eq. diferencial. Exemplo 2.26 Um determinado sistema ´e regido pela seguinte equa¸c˜ao diferencial ¨ x + 2 ˙ x+5x = g(t), onde as condi¸c˜oes iniciais s˜ao nulas, isto ´e, x(0) = 0, ˙ x(0) = 0. Encontre a resposta desse sistema quando o mesmo ´e excitado por um degrau de amplitude 3, isto ´e, g(t) = 3u(t). Solu¸c˜ao: Note que L[3u(t)] = 3 s L[x] = X(s) L[ ˙ x] = sX(s) −x(0) = sX(s) L[¨ x] = s 2 X(s) −sx(0) − ˙ x(0) = s 2 X(s) Logo: s 2 X(s) + 2sX(s) + 5X(s) = 3 s X(s) = 3 s(s 2 + 2s + 5) = 3 5s − 3 5 s + 2 s 2 + 2s + 5 2.7. Respostas de Estado Zero e Entrada Zero www.das.ufsc.br/labsil 42 Note que s 2 +2s+5 = (s−σ) 2 +ω 2 onde σ, ω s˜ao as partes real e imagin´aria dos p´olos (ra´ızes de s 2 + 2s + 5). Para o caso em quest˜ao temos σ = −1, ω = 2 e portanto: X(s) = 3 5s − 3 5 1 (s + 1) 2 + 2 2 − 3 5 s + 1 (s + 1) 2 + 2 2 Logo: L −1 [X(s)] = x(t) = L −1 ¸ 3 5s −L −1 ¸ 3 5 1 (s + 1) 2 + 2 2 −L −1 ¸ 3 5 s + 1 (s + 1) 2 + 2 2 = 3 5 − 3 10 e −t sen2t − 3 5 e −t cos2t, t ≥ 0. A figura 2.11 ilustra o diagrama de simula¸c˜ ao anal´ogica da equa¸c˜ao diferencial ¨ x+2 ˙ x+ 5x = g(t). A figura 2.12 mostra a resposta x(t) da equa¸c˜ ao para quatro situa¸c˜oes: (a) g(t) = 0, ˙ x(0) = 1, x(0) = 0 ; (b) g(t) = 0, ˙ x(0) = 0, x(0) = 1 ; (c) g(t) = 3u(t), ˙ x(0) = 0, x(0) = 0 ; (d) g(t) = 3u(t), ˙ x(0) = 1, x(0) = 1 - - + g(t) ¨ x 5 2 ˙ x x ˙ x(0) x(0) 1 s 1 s Figura 2.11: Diagrama de simula¸c˜ ao anal´ogica 2.7 Respostas de Estado Zero e Entrada Zero A resposta de todo sistema linear invariante no tempo pode ser decomposta em duas parcelas: uma que depende do sistema e do sinal de entrada e outra que depende do sistema e das condi¸c˜oes iniciais. A primeira parcela chamaremos de Resposta de Estado Zero j´a que esta parcela indica como um sistema, inicialmente em repouso (condi¸c˜ oes iniciais nulas), responde a um dado sinal de entrada. A segunda parcela chamaremos de Resposta de Entrada Zero pois ela indica como um sistema se comporta quando ´e deixado para responder livremente `as suas condi¸c˜ oes inicias (sem excita¸c˜ ao externa). . As respostas de Estado Zero e Entrada Zero de um sistema descrito por (2.11) podem ser determinadas atrav´es da Transformada de Laplace . Exemplo 2.27 Encontre as respostas de Estado Zero e Entrada Zero do circuito RLC s´erie da figura 2.14. 2.7. Respostas de Estado Zero e Entrada Zero www.das.ufsc.br/labsil 43 0.0 0.7 1.4 2.1 2.8 3.5 4.2 4.9 5.6 6.3 7.0 -0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 + 0.0 0.7 1.4 2.1 2.8 3.5 4.2 4.9 5.6 6.3 7.0 -0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 + 0.0 0.7 1.4 2.1 2.8 3.5 4.2 4.9 5.6 6.3 7.0 -0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 + 0.0 0.7 1.4 2.1 2.8 3.5 4.2 4.9 5.6 6.3 7.0 -0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 + (a) (b) (c) (d) x(t) x(t) x(t) x(t) Figura 2.12: Respostas x(t) do diagrama de simula¸c˜ ao anal´ogica 2.7. Respostas de Estado Zero e Entrada Zero www.das.ufsc.br/labsil 44 Solu¸c˜ao: Do exemplo 2.28 temos que o comportamento dinˆamico entrada/sa´ıda do circuito ´e dado por (2.12). Tomando a transformada dos dois lados da equa¸c˜ao temos: L[a 2 ¨ y + a 1 ˙ y +a 0 y] = L[b 0 x] (2.8) Pela linearidade temos: a 2 L[¨ y] + a 1 L[ ˙ y] + a 0 L[y] = b 0 L[x] Sendo Y (s) = L[y] e X(s) = L[x], pela propriedade de deriva¸c˜ao no tempo: a 2 [s 2 Y (s) −sy(0) − ˙ y(0)] + a 1 [sY (s) −y(0)] + a 0 Y (s) = b 0 X(s) ⇒(a 2 s 2 + a 1 s + a 0 )Y (s) = b 0 X(s) + (a 2 s +a 1 )y(0) + a 2 ˙ y(0) Portanto: Y (s) = b 0 a 2 s 2 +a 1 s + a 0 X(s) + a 2 s + a 1 a 2 s 2 + a 1 s + a 0 y(0) + a 2 a 2 s 2 + a 1 s + a 0 ˙ y(0) Y (s) = F(s)X(s) + F 0 (s)y(0) + F 1 (s) ˙ y(0) (2.9) onde F(s) = b 0 a 2 s 2 +a 1 s +a 0 , F 0 (s) = a 2 s + a 1 a 2 s 2 + a 1 s +a 0 , F 1 (s) = a 2 a 2 s 2 + a 1 s + a 0 Considerando f(t) = L −1 [F(s)], f 0 (t) = L −1 [F 0 (s)] e f 1 (t) = L −1 [F 1 (s)] podemos ent˜ao reescrever a express˜ao acima com o aux´ılio da anti-transformada na forma: y(t) = L −1 [Y (s)] = L −1 [F(s)X(s)] + y(0)L −1 [F 0 (s)] + ˙ y(0)L −1 [F 1 (s)] = f(t) ∗ x(t) + y(0)f 0 (t) + ˙ y(0)f 1 (t) (2.10) F(s) x(t) y(0) ˙ y(0) y(t) y(t) F(s) F 0 (s) F 1 (s) x(t) y(0) ˙ y(0) Figura 2.13: Respostas de Estado Zero e Entrada Zero Note que f(t), f 0 (t) e f 1 (t) dependem apenas dos parˆametros f´ısicos e da estrutura entrada/sa´ıda do sistema. N˜ao dependem nem da entrada x(t) nem da sa´ıda y(t) nem das condi¸ c˜oes iniciais do sistema. A respota de Estado Zero do circuito ´e a parcela de (2.10) que depende da entrada: Y esz (s) = F(s)X(s) no dom´ınio da frequˆencia ou de forma equivalente y esz (t) = f(t)∗x(t) no dom´ınio do tempo. 2.7. Respostas de Estado Zero e Entrada Zero www.das.ufsc.br/labsil 45 A resposta de Entrada Zero ´e a parcela de (2.10) que depende das condi¸c˜oes inici- ais: Y enz (s) = F 0 (s)y(0) + F 1 (s) ˙ y(0) no dom´ınio da frequˆencia ou de forma equivalente y(0)f 0 (t) + ˙ y(0)f 1 (t) no dom´ınio do tempo. Podemos agora generalizar os resultados acima para sistemas de ordem mais elevada. Considere um sistema descrito pela seguinte equa¸c˜ ao diferencial: a n ∂ n y(t) +· · · + a 1 ∂y(t) + a 0 y(t) = b m ∂ m x(t) +· · · + b 1 ∂x(t) + b 0 x(t) ∂ n y(t)| t=0 = c n , . . . , ∂y(t)| t=0 = c 1 , y(t)| t=0 = c 0 (2.11) onde ∂ def = d dt ´e o operador derivada temporal, a i (i = 0, . . . , n) e b i (i = 0, . . . , m) s˜ao coeficientes constantes que dependem dos parˆametros f´ısicos do sistema, c i (i = 0, . . . , n) s˜ao constantes que definem as condi¸c˜ oes iniciais do sistema, x(t) ´e o sinal de entrada e y(t) ´e o sinal de sa´ıda. + - + - V(t) V c (t) R L C Figura 2.14: Circuito RLC s´erie Exemplo 2.28 Considere o circuito RLC s´erie descrito na figura 2.14. A entrada do sistema ´e a tens˜ao V (t) e a sa´ıda ´e a tens˜ao no capacitor V c (t). Em termos da nota¸c˜ao acima temos x(t) = V (t) e y(t) = V c (t) e o comportamento dinˆamico entrada/sa´ıda ´e regido pela seguinte equa¸c˜ao diferencial: a 2 ¨ y + a 1 ˙ y +a 0 y = b 0 x (2.12) com a 0 = 1, a 1 = RC, a 2 = LC e b 0 = 1. As condi¸c˜oes iniciais s˜ao a tens˜ao no capacitor no instante inicial x(0) = V c (0) e a derivada da tens˜ao no instante inicial ˙ x(0) = ˙ V c (0). Se ao inv´es do sistema de segunda ordem do exemplo acima, considerarmos um sistema de ordem gen´erica como em (2.11) obter´ıamos: y(t) = f(t) ∗ x(t) + n−1 ¸ i=0 f i (t)c i (2.13) onde c i = d i y(t) dt i | t=0 s˜ao as condi¸c˜oes iniciais. Da express˜ao acima podemos extrair informa¸c˜oes muito importantes: 1. A sa´ıda de um sistema depende dos seus parˆametros f´ısicos e da sua estrutura entrada/sa´ıda. Isto ´e representado em (2.13) pelas fun¸c˜oes f(t), f 0 (t), . . . , f n−1 (t). 2.8. Fun¸c˜ao de Transferˆencia e Estabilidade www.das.ufsc.br/labsil 46 2. A sa´ıda de um sistema depende da entrada x(t) que lhe ´e aplicada. Esta dependˆencia ´e dada pela convolu¸ c˜ao f(t) ∗ x(t) que recebe o nome de resposta de estado zero do sistema. Esta ´e a resposta do sistema quando as condi¸c˜ oes iniciais s˜ao nulas. y esz (t) = f(t) ∗ x(t) , Y esz (s) = F(s)X(s) (2.14) 3. A sa´ıda de um sistema depende das condi¸c˜oes iniciais do mesmo. Este fato pode ser verificado em (2.13) pela presen¸ca das constantes c i que s˜ao as condi¸c˜ oes iniciais. Esta parcela da resposta recebe o nome de resposta de entrada zero do sistema. Esta ´e a resposta do sistema quando a entrada ´e nula. y enz (t) = n−1 ¸ i=0 f i (t)c i , Y enz (s) = n−1 ¸ i=0 F i (s)c i (2.15) 4. A resposta de Entrada Zero ´e linear em rela¸c˜ ao ao conjunto de condi¸c˜ oes iniciais e a resposta de estado zero ´e linear em rela¸c˜ ao `a entrada. Problema 2.6 Considere o circuito RLC s´erie da figura 2.14. Calcule as respostas de Entrada Zero e de Estado Zero supondo R = 1Ω, L = 1H, C = 1F , condi¸c˜oes iniciais V c (0) = 1V, ˙ V c (0) = 1V/seg e sinal de entrada degrau unit´ario. Problema 2.7 A resposta de um sistema linear invariante ao degrau unit´ario e dadas condi¸c˜oes iniciais ´e y 1 (t) = 2 −2e −2t +e −3t , t ≥ 0. Para um degrau de amplitude 3 e o dobro das condi¸c˜ oes iniciais anteriores a resposta ´e y 2 (t) = 6 −10e −2t + 6e −3t . Pede-se: a) A resposta de Estado Zero para um degrau unit´ario. b) A resposta de Estado Zero ao impulso. c) A resposta de Entrada Zero associada `a y 1 (t). d) As condi¸c˜oes iniciais associadas `a resposta y 1 (t). 2.8 Fun¸c˜ao de Transferˆencia e Estabilidade Veremos a seguir que a resposta de Estado Zero de um sistema est´a associada `a duas no¸c˜oes muito importantes: fun¸c˜ao de transferˆencia e estabilidade. Defini¸c˜ao 2.4 (Fun¸c˜ao de Transferˆencia) Fun¸c˜ao de transferˆencia ´e uma fun¸c˜ao com- plexa que representa a rela¸c˜ao sa´ıda/entrada do sistema para condi¸c˜oes iniciais nulas. Pela defini¸c˜ ao acima nota-se que a no¸c˜ ao de fun¸c˜ao de transferˆencia est´a relacionada com a resposta de Estado Zero do sistema. A rela¸c˜ ao complexa sa´ıda/entrada de um sistema com condi¸c˜ oes iniciais nulas pode ser obtida diretamente da resposta de Estado 2.8. Fun¸c˜ao de Transferˆencia e Estabilidade www.das.ufsc.br/labsil 47 Zero (2.14): Y (s)/X(s) = F(s). Assim, um sistema que possua a resposta de Estado Zero (2.14) ter´a F(s) como fun¸c˜ ao de transferˆencia. Quando se conhece a fun¸c˜ao de transferˆencia F(s) de um sistema e a transformada do sinal de entrada X(s) se conhece tamb´em a resposta de Estado Zero do mesmo que ´e dada por (2.14). ´ E importante notar que a fun¸c˜ ao de transferˆencia depende apenas dos parˆametros f´ısicos do sistema e da estrutura entrada/sa´ıda do mesmo. Veja o exemplo 2.27. A entrada e as condi¸c˜ oes inicias n˜ao afetam a fun¸c˜ao de transferˆencia. Quando as condi¸c˜ oes iniciais s˜ao nulas resposta total do sistema ´e a pr´opria resposta de Estado Zero do mesmo, como pode ser visto nas equa¸c˜ oes (2.9) e (2.10). Dom´ınio do Tempo: y(t) = y esz (t) = f(t) ∗ x(t) Dom´ınio da Frequˆencia: Y (s) = Y esz (s) = F(s)X(s) A fun¸c˜ao f(t) = L −1 [F(s)] recebe o nome de Resposta Impulsional pois f(t) ´e a re- sposta do sistema quando as condi¸c˜ oes iniciais s˜ao nulas e a entrada x(t) ´e um impulso no instante t = 0 (X(s) = 1). Defini¸c˜ao 2.5 (Sistemas Causais ou N˜ao-Antecipativos) Um sistema dinˆamico ´e dito ser Causal ou N˜ao-Antecipativo se sua Resposta Impulsional ´e nula para t < 0. Pela defini¸c˜ ao acima nota-se que a resposta y(t) de um sistema causal excitado com um sinal x(t), apresenta a seguinte propriedade: o valor de y(t)| t=t f s´o depende da entrada x(t) e da resposta impulsional f(t) para valores de tempo t ≤ t f . Em outras palavras, a dinˆamica de um sistema causal em qualquer instante de tempo t = t f depende (n˜ao depende) da entrada e da resposta impulsional para valores de tempo menores (maiores) que t f . Essa propriedade ´e mostrada a seguir. y(t) = f(t) ∗ x(t) = ∞ 0 f(t −τ)x(τ)dτ para t = t f temos f(t f − τ) = 0 para τ > t f . Logo f(t f − τ)x(τ) = 0 para τ > t f e portanto: y(t f ) = t f 0 f(t f −τ)x(τ)fτ s´o depende de f(t) e x(t) para t < t f . Outra no¸c˜ ao muito importante ´e a de estabilidade de sistemas. Defini¸c˜ao 2.6 (Estabilidade de Sistemas) Um sistema ´e dito ser est´avel se todos os p´olos da sua fun¸c˜ao de transferˆencia est˜ao localizados no semi-plano esquerdo estrito, isto ´e, Re[p´olos] < 0. Caso contr´ario o sistema ´e dito ser inst´avel. Pela defini¸c˜ao acima nota-se que a estabilidade ´e uma propriedade intr´ınseca do sistema. Ela s´o depende da sua fun¸c˜ao de transferˆencia e portanto dos seus parˆametros f´ısicos e da estrutura entrada/sa´ıda. 2.9. Diagrama de Blocos www.das.ufsc.br/labsil 48 Exemplo 2.29 Mostre que num sistema est´avel, a resposta de Estado Zero ser´a um sinal de energia finita para todo sinal de entrada de energia finita. Solu¸c˜ao: A resposta de Estado Zero de um sistema ´e dada por (2.14). Se o sistema ´e est´avel ent˜ao todos os p´olos de F(s) possuem parte real estritamente negativa. Al´em disso, se o sinal de entrada possui energia finita, sua transformada possui todos os p´olos tamb´em com parte real estritamente negativa (veja se¸c˜ao 2.5). Como a transformada do sinal de sa´ıda Y (s) ´e dada por Y (s) = F(s)X(s) podemos verificar que todos os p´olos de Y (s) tamb´em est˜ao no semi-plano esquerdo estrito. Portanto o sinal de sa´ıda possui energia limitada sempre que o sistema for est´avel e o sinal de entrada possuir energia limitada. Problema 2.8 Para o circuito RLC s´erie do problema 2.6 pede-se: a) Verifique se o sistema ´e est´avel. b) Calcule a resposta impulsional. c) No exemplo 2.29 analisa-se a energia da reposta de Estado Zero. Verifique que no circuito em quest˜ao, sinais de entrada de energia limitada produzem respostas totais com energia limitada tamb´em. Isto ´e, a resposta de Entrada Zero do circuito tamb´em possui energia limitada. 2.9 Diagrama de Blocos O diagrama de blocos ´e utilizado para representar esquematicamente como funciona o sistema. Cada elemento do sistema ´e representado por um bloco que cont´em sua Fun¸c˜ ao de Transferˆencia . Esses blocos s˜ao ent˜ ao interligados o que permite representar a interdependˆencia desses elementos. Os diagramas s˜ao normalmente utilizados para representar a resposta de Estado Zero. Quando se deseja a resposta de Entrada Zero tamb´em, as condi¸c˜ oes iniciais devem ser fornecidas. Quando elas n˜ao s˜ao fornecidas assume-se serem nulas. Um diagrama de blocos pode ser visto como uma forma esquem´atica de representar vari´aveis se relacionam num conjunto de equa¸c˜ oes. Veja o que seria um diagrama de blocos para um caso j´a bastante conhecido que ´e o circuito RLC s´erie. Exemplo 2.30 Represente as interdependˆencias das vari´aveis x(t), I(t), y(t) no circuito da figura 2.15 atrav´es de um diagrama de blocos. Solu¸c˜ao: O primeiro passo para a obten¸c˜ao do diagrama ´e a obten¸c˜ao das equa¸c˜oes que regem o comportamento do sistema. Nessas equa¸c˜oes as vari´aveis de interesse devem aparecer explicitamente. As demais vari´aveis devem ser eliminadas. Isto se consegue escrevendo-as em fun¸c˜ao das vari´aveis de interesse. Veja como proceder no caso do circuito em quest˜ao. 2.9. Diagrama de Blocos www.das.ufsc.br/labsil 49 + - R L C x(t) I(t) + - SISTEMA Entrada y(t) Sa´ıda Figura 2.15: Diagrama entrada/sa´ıda de um circuito Inicialmente vamos obter um diagrama onde apenas os sinais de entrada x(t) e sa´ıda y(t) s˜ao de interesse, isto ´e a corrente n˜ao aparece nas equa¸c˜oes. Obtendo as equa¸c˜oes do circuito e eliminando a corrente ficamos com equa¸c˜ao diferencial em x(t) e y(t). x(t) = RI(t) + L ˙ I(t) + y(t) ˙ y(t) = 1 C I(t) ⇒RC ˙ y + LC¨ y + y = x Sendo X(s) = L[x(t)] e Y (s) = L[y(t)] temos para condi¸c˜oes inciais nulas: RCsY (s) + LCs 2 Y (s) + Y (s) = X(s) Logo: Y (s) = 1 LCs 2 +RCs + 1 X(s) (2.16) Portanto: F(s) = 1 LCs 2 + RCs + 1 X(s) Y(s) F(s) Figura 2.16: Diagrama de blocos simplificado A fun¸c˜ao F(s) ´e a transferˆencia da tens˜ao de entrada X(s) para a tens˜ao de sa´ıda Y (s) e para condi¸c˜oes iniciais nulas temos que a resposta do circuito para qualquer sinal de entrada x(t) ´e dada por y(t) = x(t) ∗ f(t) onde f(t) = L −1 [F(s)] ´e a resposta impulsional do circuito. Note que no diagrama de blocos acima foram eliminadas as informa¸c˜oes sobre todas as outras vari´aveis do circuito (corrente, etc). A Fun¸c˜ao de Transferˆencia d´a informa¸c˜ao apenas sobre a rela¸c˜ao de causa-efeito entre as vari´aveis de entrada e de sa´ıda. ´ E poss´ıvel, no entanto, explicitar a dependˆencia de outras vari´aveis no diagrama de blocos atrav´es de simples manipula¸c˜ao de equa¸c˜oes. Por exemplo, para fazer aparecer a vari´avel corrente no diagrama de blocos do circuito temos: 2.10. Sistemas Realimentados www.das.ufsc.br/labsil 50 X(s) = RI(s) + LsI(s) + Y (s) CsY (s) = I(s) X(s) −Y (s) = (R +Ls)I(s) →I(s) = 1 R+Ls (X(s) −Y (s)) Y (s) = 1 Cs I(s) Agora essas equa¸c˜ oes podem ser transformadas em diagramas como mostra a figura 2.17. + - X(s) Y(s) I(s) Y(s) 1 1 R+Ls Cs Figura 2.17: Diagrama de blocos detalhado Note que os diagramas das figuras 2.16 e 2.17 s˜ao equivalentes e os sinais X(s), Y (s) s˜ao os mesmos nas duas configura¸c˜oes. Para se verificar isto basta manipular as equa¸c˜oes como anteriormente, eliminando-se assim a vari´avel corrente. 2.10 Sistemas Realimentados A presen¸ca de uma malha fechada num diagrama de blocos caracteriza o que se chama de sistema realimentado. De uma maneira geral um sistema realimentado pode ser car- acterizado pelo diagrama da figura 2.18 onde X(s) Y(s) E(s) G(s) H(s) + - Figura 2.18: Sistema realimentado X(s) ´e a transformada do sinal de entrada. Y (s) ´e a transformada do sinal de sa´ıda. G(s) fun¸c˜ ao de transferˆencia do sistema a ser controlado, incluindo acionadores, medi- dores e controladores (Filtros para fins de controle). 2.10. Sistemas Realimentados www.das.ufsc.br/labsil 51 H(s) fun¸c˜ ao de transferˆencia de realimenta¸c˜ ao que inclui transdutores e eventuais con- troladores adicionais. A Fun¸c˜ ao de Transferˆencia entre X(s) e Y (s) no diagrama acima ´e conhecida como F.T. de malha fechada e pode ser obtida atrav´es das equa¸c˜ oes inicadas no diagrama. E(s) = X(s) −H(s)Y (s) Y (s) = G(s)E(s) Para se obter a fun¸c˜ao de transferˆencia entre X(s) e Y (s) deve-se eliminar todas as vari´aveis intermedi´ arias, E(s) no caso acima. Com isso temos a seguinte rela¸c˜ao: Y (s) = G(s) 1 + G(s)H(s) X(s) (2.17) X(s) Y(s) G(s) 1+G(s)H(s) F.T.M.F. Figura 2.19: Sistema realimentado simplificado que pode ser representada num diagrama simplificado como indicado na figura 2.19. Note que os diagramas das figuras 2.18 e 2.19 s˜ao equivalentes. Eles expressam a mesma rela¸c˜ ao entrada/sa´ıda, isto ´e, se a entrada ´e a mesma nos dois diagramas a sa´ıda tamb´em o ´e. X(s) Y(s) + - (R+Ls)(Cs) 1 Figura 2.20: Diagrama de blocos de um circuito RLC-s´erie Exemplo 2.31 Vimos que a F.T. entre X(s) e Y (s) no circuito da figura 2.16 ´e F(s) = 1/(LCs 2 + RCs + 1). Vimos tamb´em que ao fazer aparecer a corrente no diagrama de blocos do circuito, o diagrama resultante (Figura 2.17) fica na forma de um sistema realimentado do tipo da Figura 2.18. Para encontrar os valores de G(s) e H(s) vamos simplificar o diagrama da figura 2.17 como indicado na figura 2.20 de onde podemos mais facilmente obter por compara¸c˜ao: G(s) = 1 (R + Ls)Cs e H(s) = 1 Agora podemos facilmente verificar que ao utilizarmos a equa¸c˜ao (2.17) com os valores de G(s), H(s) acima obtemos a fun¸c˜ao de transferˆencia do circuito indicada em (2.16). F(s) = G(s) 1 + G(s) = 1 LCs 2 +RCs + 1 2.10. Sistemas Realimentados www.das.ufsc.br/labsil 52 2.10.1 Estabilidade de Conex˜oes Vimos que um sistema ´e est´avel se todos os p´olos da sua fun¸c˜ ao de transferˆencia possuem parte real negativa. Veremos a seguir que a conex˜ao de dois sistemas est´aveis pode resultar num sistema inst´avel, dependendo de como ela ´e feita. Logo a conex˜ao de sistemas deve ser feita com cuidado. Sejam G 1 (s) = N 1 (s) D 1 (s) e G 2 (s) = N 2 (s) D 2 (s) duas F.T. est´aveis, isto ´e, as ra´ızes de D 1 (s) e D 2 (s) possuem parte real negativa. O que poder´ıamos dizer das conex˜oes abaixo? + + X(s) Y(s) G 1 (s) G 2 (s) Figura 2.21: Conex˜ao de dois sistemas em paralelo - + X(s) Y(s) G 1 (s) G 2 (s) Figura 2.22: Conex˜ao de dois sistemas em realimenta¸ c˜ao A fun¸c˜ ao de transferˆencia de X(s) para Y (s) na conex˜ao da Figura 2.21 ´e dada por: Y (s) = (G 1 (s) + G 2 (s))X(s) = ( N 1 (s)D 2 (s) + N 2 (s)D 1 (s) D 1 (s)D 2 (s) )X(s) Como as ra´ızes de D 1 (s) e de D 2 (s) possuem parte real negativa ent˜ ao as ra´ızes de D 1 (s)D 2 (s) possuem as mesma caracter´ısticas. Logo a fun¸c˜ao de transferˆencia de X(s) para Y (s) na conec¸c˜ao da Figura 2.21 ´e est´avel. J´a no caso da conex˜ao da Figura 2.22 temos: Y (s) = G 1 (s) 1 + G 1 (s)G 2 (s) X(s) = N 1 (s) D 1 (s) 1 + N 1 (s) D 1 (s) N 2 (s) D 2 (s) = N 1 (s)D 2 (s) D 1 (s)D 2 (s) + N 1 (s)N 2 (s) X(s) 2.10. Sistemas Realimentados www.das.ufsc.br/labsil 53 Agora as ra´ızes do polinˆomio D 1 (s)D 2 (s) + N 1 (s)N 2 (s) podem ter parte real positiva mesmo se as ra´ızes de D 1 (s) e D 2 (s) possuem parte real negativa. Esse ´e o caso, por exemplo, se N 1 (s) = 2, N 2 (s) = −1 e D 1 (s) = D 2 (s) = s + 1. 2.10.2 Sistemas Realimentados em presen¸ca de dist´ urbios R(s) C(s) + - + + H(s) G 1 (s) G 2 (s) Referˆencia D(s) Dist´ urbio Figura 2.23: Sistema realimentado perturbado No esquema acima, a sa´ıda C(s) ´e afetada tanto pela referˆencia R(s) quanto pela perturba¸c˜ ao D(s). Quando as duas entradas R(s) e D(s) s˜ao independentes entre si ent˜ao o efeito dessas entradas sobre a sa´ıda C(s) pode ser obtido de maneira tamb´em independente atrav´es do princ´ıpio da superposi¸c˜ao dos efeitos (Linearidade). C total (s) = C R (s) + C D (s) → C R (s) = C(s) para D(s) = 0 C D (s) = C(s) para R(s)=0 - + + H(s) D(s) G 1 (s) G 2 (s) C D (s) Figura 2.24: Diagrama para referˆencia nula Quando R(s) = 0 obtem-se o diagrama da figura 2.24, e utilizando (2.17) temos: C D (s) = G 2 (s) 1 + G 2 (s)H(s)G 1 (s) D(s) Quando D(s) = 0 tem-se o diagrama da figura 2.25 e novamente com (2.17) temos: C R (s) = G 1 (s)G 2 (s) 1 + G 1 (s)G 2 (s)H(s) R(s) Logo: C total (s) = C D (s) + C R (s) = G 2 (s) 1 + G 2 (s)H(s)G 1 (s) D(s) + G 1 (s)G 2 (s) 1 + G 1 (s)G 2 (s)H(s) R(s) 2.11. Problemas complementares www.das.ufsc.br/labsil 54 R(s) + - + H(s) G 1 (s) G 2 (s) C R (s) Referˆencia Figura 2.25: Diagrama para dist´ urbio nulo Sistemas realimentados, quando bem projetados, s˜ao menos sens´ıveis `a perturba¸c˜ oes que sistemas sem realimenta¸c˜ ao (Malha Aberta). Isto se consegue projetando-se contro- ladores (filtros de controle) que for¸cam a parcela C R (s) devido ao sinal de referˆencia ser dominante em rela¸c˜ ao `a parcela C D (s) devido ao dist´ urbio. 2.11 Problemas complementares Problema 2.9 Calcule a transformada de Laplace das fun¸c˜oes: a) f(t) = exp(−10t) , t ≥ 0 b) f(t) = cos(10t + π/3) , t ≥ 0 Problema 2.10 O comportamento de um determinado sistema ´e regido pela equa¸c˜ao diferencial ˙ x+2x = f. Calcule a resposta desse sistema quando o mesmo ´e excitado com um degrau unit´ario e condi¸c˜oes iniciais x(0) = 1. Identifique a fun¸c˜ao de transferˆencia, a resposta de Entrada Zero e a resposta de Estado Zero e verifique se o sistema ´e est´avel. Problema 2.11 Sabendo que a resposta impulsional do sistema da figura 2.26(a) ´e w(t) = 2exp(−t) , t ≥ 0 verifique se o sistema realimentado da figura 2.26(b) ´e est´avel. Justi- fique sua resposta. u ω G(s) (a) - - + e u 1 s 10 G(s) 5 y r ω (b) Figura 2.26: Sistema para controle de posi¸c˜ao Cap´ıtulo 3 Resposta ao Degrau 3.1 Introdu¸c˜ao Um grande n´ umero de problemas de controle consiste em se manter constante a vari´ avel de sa´ıda. Veja por exemplo o problema de controle de posicionamento de uma antena indicado na figura 1.4. A entrada do sistema, que representa o valor desejado da vari´ avel controlada (sa´ıda) ´e neste caso um degrau com amplitude igual ao valor desejado para a sa´ıda. Quando se quer mudar a posi¸c˜ao da antena de uma posi¸c˜ ao inicial, digamos posi¸c˜ao zero, para uma nova posi¸c˜ao, digamos posi¸c˜ao um, o sinal de entrada deve ser um degrau unit´ario. Ao se aplicar um degrau na entrada desse sistema de controle, a posi¸c˜ ao da antena vai evoluir da posi¸c˜ao zero para a posi¸c˜ao um segundo uma curva que depende de como o sistema de controle foi projetado. Curvas t´ıpicas dessa evolu¸c˜ ao podem ser encontradas na figura 3.1. Normalmente deseja-se um transit´orio r´apido, com poucas oscila¸c˜ oes e que a vari´ avel controlada, posi¸c˜ao da antena no caso, v´a para o valor desejado sem erro significativo de posi¸c˜ ao em regime, isto ´e, erro de regime despres´ıvel. Para atender todos esses requisitos de performance, quando isso ´e poss´ıvel, o engenheiro deve saber projetar adequadamente os filtros de controle do sistema. O primeiro passo, no entanto, ´e saber especificar matematicamente os ´ındices de performance desejados para a resposta. Veja na figura 3.1 que a resposta (a) ´e mais oscilat´oria que as demais. A resposta (c) atinge o valor de regime mais r´apido que as demais e todas as trˆes possuem erro de regime nulo (valor final da resposta ´e exatamente o valor desejado). Neste cap´ıtulo estudaremos alguns ´ındices de performance da resposta ao degrau que nos permitir´a quantificar matematicamente o tamanho das oscila¸c˜oes da resposta, a rapi- dez da resposta e o erro de regime cometido. Outros sinais de entrada como impulso e fun¸c˜ao rampa (x(t) = t) tamb´em s˜ao de interesse. No entanto, para condi¸c˜ oes iniciais nulas, a resposta de um sistema (linear invariante) ao impulso, degrau, e rampa est˜ao ligadas entre si. Para ilustrar este fato, seja F(s) a F.T. de um sistema linear invariante indicado na figura 3.2. f(t) = L −1 [F(s)] • Resposta Impulsional: X(s) = 1 ⇒Y (s) = F(s) ⇒y(t) = f(t) 3.1. Introdu¸c˜ao www.das.ufsc.br/labsil 56 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 + 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 + 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 + 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 + (a) (b) (c) (d) Figura 3.1: Curvas t´ıpicas da resposta ao degrau X(s) Y(s) F(s) Figura 3.2: Diagrama de bloco entrada/sa´ıda 3.2. An´alise de Sistemas de Primeira Ordem www.das.ufsc.br/labsil 57 • Resposta ao Degrau: X(s) = 1 s ⇒Y (s) = 1 s F(s) ⇒y(t) = t 0 f(t)dt • Resposta `a Rampa: X(s) = 1 s 2 ⇒Y (s) = 1 s 2 ⇒y(t) = t 0 t 0 f(t)dtdt Note que, para condi¸c˜ oes iniciais nulas, a resposta ao impulso e a resposta `a rampa s˜ao respectivamente a derivada e a integral da resposta ao degrau. Por esse motivo vamos nos concentrar na resposta ao degrau de agora em diante. 3.2 An´alise de Sistemas de Primeira Ordem Sistemas cuja fun¸c˜ao de transferˆencia possui apenas um p´olo s˜ao conhecidos como sistemas de primeira ordem. Exemplo 3.1 Verifique que o circuito da figura 3.3 ´e um sistema de primeira ordem. Solu¸c˜ao: Para mostrar que o sistema ´e de primeira ordem precisamos encontrar a fun¸ca˜o de transferˆencia do mesmo e para isso se sup˜oe que o circuito possui condi¸c˜ oes iniciais nulas. As equa¸c˜oes que regem o comportamento desse sistema s˜ao indicadas abaixo. −x + RI + y = 0 I = C ˙ y , condi¸c˜ao inicial nula (y(0) = 0) Aplicando Laplace temos: R C + - + - x(t) y(t) I Figura 3.3: Circuito RC −x + RC ˙ y + y = 0 ⇒ Y (s) X(s) = 1 RCs + 1 = 1 Ts + 1 onde T = RC. Como a fun¸c˜ao de transferˆencia possui apenas um p´olo o sistema ´e X(s) Y(s) 1 Ts+1 Figura 3.4: Sistema de primeira ordem padr˜ao realmente de primeira ordem. 3.2. An´alise de Sistemas de Primeira Ordem www.das.ufsc.br/labsil 58 Exemplo 3.2 Podemos expressar a velocidade (ω) do eixo de um motor DC em fun¸c˜ao da tens˜ao de entrada (V ) atrav´es de uma equa¸c˜ao diferencial do tipo J ˙ ω +fω = bV onde b, J, f s˜ao constantes f´ısicas do motor. Mostre que esse sistema ´e de ordem 1. Solu¸c˜ao: Devemos mostrar que a fun¸c˜ao de transferˆencia possui apenas um p´olo. Tomando a transformada de Laplace encontramos ω = b Js+f V que mostra o resultado desejado. A resposta ao degrau de um sistema cuja fun¸c˜ ao de transferˆencia ´e do tipo F(s) = 1 Ts+1 ´e obtida da seguinte forma: Y (s) = 1 Ts + 1 X(s) = 1 Ts + 1 1 s com condi¸c˜ oes iniciais nulas e L[X(s)] = 1 s . Expandindo por fra¸c˜oes parciais e anti-transformando temos: Y (s) = 1 s − T Ts + 1 ⇒y(t) = 1 −e −t/T , t ≥ 0 A resposta indicada acima possui propriedades interessantes: 0 t y(t) x(t) entrada sa´ıda Figura 3.5: Resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem padr˜ao 1) dy dt | t=0 = 1 T 2) Para t = T ⇒ y(T) = 1 − e −1 = 0, 632, isto ´e, decorridos T segundos a resposta atinge 63, 2% do seu valor final de regime permanente. t = 2T ⇒y(2T) = 1 −e −2 = 0, 865 t = 3T ⇒y(3T) = 1 −e −3 = 0, 950 t = 4T ⇒y(4T) = 1 −e −4 = 0, 982 t = 5T ⇒y(5T) = 1 −e −5 = 0, 993 As duas propriedades acima podem ser utilizadas para se encontrar o valor da constante de tempo T quando a resposta ao degrau for obtida experimentalmente. Certifique- se no experimento de que as condi¸c˜ oes iniciais s˜ao realmente nulas e que a fun¸c˜ ao de transferˆencia ´e do tipo 1 Ts+1 . 3.3. An´alise de Sistemas de Segunda Ordem www.das.ufsc.br/labsil 59 3.3 An´alise de Sistemas de Segunda Ordem Sistemas de segunda ordem s˜ao aqueles cuja fun¸c˜ ao de transferˆencia possui dois p´olos. Nesta se¸c˜ao vamos estudar um tipo especial de sistemas de segundo ordem conhecido na literatura de controle como sistema de segunda ordem padr˜ao: F(s) = ω 2 n s 2 + 2ξω n s + ω 2 n (3.1) onde ξ e ω n recebem o nome de taxa de amortecimento e frequˆencia natural do sistema re- spectivamente. Os valores desses parˆametros dependem dos parˆametros f´ısicos do sistema estudado, como ilustra o exemplo a seguir. Exemplo 3.3 Encontre os valores ξ e ω n da forma padr˜ao para o sistema de segunda ordem da figura 3.6. + - R L C x(t) I(t) + - SISTEMA Entrada y(t) Sa´ıda Figura 3.6: Sistema de segunda ordem padr˜ao Solu¸c˜ao: O primeiro passo para se resolver o problema ´e obter a fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema, o que j´a foi determinado no exemplo 2.30, e ´e indicada a seguir. X(s) = (RCs +LCs 2 + 1)Y (s) →Y (s) = F(s)X(s) F(s) = 1 LCs 2 + RCs + 1 Por compara¸ c˜ao com (3.1) temos: F(s) = 1 LCs 2 + RCs + 1 = ω 2 n s 2 + 2ξω n s + ω 2 n Logo: ω 2 n = 1 LC ; 2ξω n = R L ⇒ξ = R 2 C L Note que a taxa de amortecimento ξ depende linearmente da resistˆencia do circuito e esta ´e respons´avel pela dissipa¸c˜ ao de energia. J´a a frequˆencia natural ω n depende dos 3.3. An´alise de Sistemas de Segunda Ordem www.das.ufsc.br/labsil 60 valores da capacitˆancia e indutˆancia que s˜ao os elementos respon´aveis pelas oscila¸c˜ oes da resposta. Num sistema sem amortecimento, isto ´e R = 0 e portanto ξ = 0, a resposta oscila com a frequˆencia natural do sistema. Este ´e o caso da resposta da figura 3.1(a). Mas quando existe amortecimento duas situa¸c˜ oes podem ocorrer: i) o amortecimento ´e pequeno causando resposta oscilat´oria e nesse caso a frequˆencia de oscila¸c˜ao ´e menor que a frequˆencia natural do sistema. Essa situa¸c˜ ao est´a indicada na figura 3.1(b) e (c) ; ii) o amortecimento ´e grande e nesse caso a resposta n˜ao ´e mais oscilat´oria, como ilustra a figura 3.1(d). Na literatura o caso com pouco amortecimento ´e conhecido como subamortecido e o caso com muito amortecimento recebe o nome de superamortecido. 3.3.1 Caso sem amortecimento (ξ = 0) Se a resistˆencia do circuito ´e nula, o circuito ´e um oscilador ideal e n˜ao existe dissipa¸c˜ ao de energia. Isso indica que a resposta ao degrau do sistema ´e oscilat´oria n˜ao amortecida. Sistemas que n˜ao dissipam energia possuem coeficiente de amortecimento ξ nulo. Veja o que acontece no exemplo 3.3. A resposta ao degrau (X(s) = 1/s) quando ξ = 0 ´e : Y (s) = ω 2 n (s 2 + ω 2 n )s e pela transformada inversa encontramos y(t) = 1 −cos(ω n t) que corresponde `a curva da figura 3.1(a) para ω n = 2. Note que nesse caso (ξ = 0) os p´olos da fun¸c˜ao de transferˆencia est˜ao sobre o eixo imagin´ario o que confirma o fato de que o amortecimento da resposta ´e definido pela parte real dos p´olos. Como a parte real ´e nula nesse caso, o amortecimento tamb´em o ´e. Note ainda que o valor da parte imagin´aria dos p´olos define a frequˆencia com que a resposta oscila. 3.3.2 Caso Subamortecido (0 < ξ < 1) Quando 0 < ξ < 1 os p´olos da fun¸c˜ao de transferˆencia indicada em (3.1) s˜ao complexos e do lado esquerdo do eixo imagin´ario. Isto pode ser verificado da seguinte forma. Os p´olos s˜ao dados pela equa¸c˜ ao: p 1,2 = −2ξω n ± 4ξ 2 ω 2 n −4ω 2 n 2 = −ξω n ±ω n ξ 2 −1 que podemos escrever como: p 1,2 = σ ±jω d onde σ = −ξω n ´e a parte real dos p´olos e ω d = ω n 1 −ξ 2 ´e a parte imagin´aria, tamb´em chamada de frequˆencia natural amortecida. A frequˆencia natural do sistema ω n ´e o m´odulo dos p´olos ω n = σ 2 +ω 2 d . 3.3. An´alise de Sistemas de Segunda Ordem www.das.ufsc.br/labsil 61 A resposta ao degrau unit´ario ´e dada por Y (s) = F(s)R(s) com R(s) = 1/s. Logo: Y (s) = ω 2 n (s 2 + 2ξω n s +ω 2 n )s com o aux´ılio da tabela de anti-transformada temos: y(t) = L −1 [Y (s)] = 1 − e σt 1 −ξ 2 sen(ω d t + φ), φ = tan −1 1 −ξ 2 ξ (3.2) Na figura 3.1(b) se encontra a resposta y(t) para ξ = 0, 1 e ω n = 2 e no caso 3.1(c) para ξ = 0, 6 e ω n = 2. Problema 3.1 Calcule o valor de regime permanente da resposta ao degrau de um sis- tema na forma padr˜ao (3.1). Qual ´e a diferen¸ca entre os valores da entrada e da sa´ıda em regime permanente ? Dica: Utilize o teorema do valor final. 3.3.3 Caso Superamortecido (ξ ≥ 1) Se ξ ≥ 1 os p´olos da fun¸c˜ao de transferˆencia (3.1) s˜ao reais e os dois negativos. A sa´ıda para uma entrada degrau unit´ario ´e: Y (s) = ω 2 n (s + s 1 )(s + s 2 )s com s 1,2 = (ξ ± ξ 2 −1)ω n . Com o uso de tabelas de transformadas obtem-se: y(t) = 1 + ( e −s 1 t s 1 − e −s 2 t s 2 ) ω n 2 ξ 2 −1 Esta resposta pode ser vista na figura 3.1(d) para ξ = 2 e ω n = 2. Para o caso particular de ξ = 1 a express˜ao y(t) acima precisa ser modificada e pode ser encontrada em [1]. Note que se ξ >> 1 ent˜ ao, para o mesmo valor de ω n , temos |s 1 | >> |s 2 | e portanto o efeito do p´olo s 1 sobre a resposta desaparece bem mais r´apido que o efeito do p´olo s 2 que est´a mais pr´oximo do eixo imagin´ario. Sendo assim para valores de ξ >> 1 o sistema se torna extremamente lento. Um sistema de primeira ordem com um p´olo s 2 teria uma resposta muito parecida. 3.3.4 Caso inst´avel (ξ < 0) Para valores negativos de ξ um dos p´olos da fun¸c˜ao de transferˆencia (3.1) ´e positivo e portanto a sa´ıda diverge exponencialmente (instabilidade). Note que no caso do circuito do exemplo 3.3 a taxa de amortecimento ser´a sempre positiva (ou nula quando R = 0) devido `a dissipa¸c˜ ao de energia no resistor. Problema 3.2 Mostre que quando ξ < 0 um dos p´olos de F(s) em (3.1) ser´a sempre positivo e devido `a isso a resposta ao impulso cresce exponencialmente com uma taxa que depende do p´olo positivo. 3.4. ´ Indices de desempenho www.das.ufsc.br/labsil 62 3.4 ´ Indices de desempenho Nesta se¸c˜ ao estudaremos formas de classificar qu˜ao boas s˜ao as respostas da figura 3.1. Como a resposta transit´oria `a um degrau normalmente apresenta oscila¸c˜ oes antes de atingir o regime permanente, torna-se imperativo a cria¸c˜ ao de ´ındices de desempenho que permitam quantificar tamanho de oscila¸c˜ oes, tempo de dura¸c˜ ao do transit´orio, etc. S˜ao comuns os seguintes ´ındices: 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 + faixa de erro toler´avel em regime t s t p M p Figura 3.7: ´ Indices de desempenho para resposta ao degrau t p (instante de pico) ´ E o tempo necess´ario para a resposta atingir o seu valor m´aximo. M p (sobressinal m´aximo) ´ E o valor relativo da diferen¸ca entre o valor m´aximo da sa´ıda (ao longo do tempo) e o valor da sa´ıda em regime. M p = y(t p ) −y(∞) y(∞) t s (tempo de acomoda¸c˜ao) Tempo necess´ario para confinar a resposta numa faixa em torno do seu valor de regime. Esta faixa caracteriza a tolerˆancia de erro, que tipicamente vale 2 ou 5% do valor de regime). A figura 3.7 ilustra os ´ındices de desempenho descritos acima. Existem outros ´ındices de performance que n˜ao foram indicados acima e podem ser encontrados em qualquer livro de controle de sistemas, por exemplo [1]. Em geral n˜ao ´e poss´ıvel se determinar express˜oes anal´ıcas para os ´ındices de desem- penho da resposta ao degrau indicados acima. No entanto, para sistemas de segunda 3.4. ´ Indices de desempenho www.das.ufsc.br/labsil 63 ordem do tipo (3.1) subamortecidos (1 > ξ > 0) isto ´e poss´ıvel e essas express˜oes s˜ao obtidas a seguir. Instante de Pico (t p ): O instante de pico pode ser caracterizado como sendo o primeiro instante de tempo (exceto a origem) para o qual a derivada temporal da resposta ´e nula. Tomando a derivada temporal da resposta y(t) em (3.2) e igualando `a zero encontramos: t p = π ω d = π ω n 1 −ξ 2 (3.3) Sobressinal M´aximo (M p ): Note que num sistema do tipo (3.1) o valor de regime da resposta ao degrau unit´ario ´e um. Como y(∞) = 1 vamos utilizar (3.2) para obter: M p = y(t p ) −y(∞) y(∞) = y(t p ) −1 = e σ ω d π = e − π ξ √ 1−ξ 2 (3.4) Note que M p depende somente de ξ e quando ξ ≥ 1 n˜ao existe oscila¸c˜ ao e M p n˜ao tem mais sentido. Tempo de Acomoda¸c˜ao (t s ): Diferentemente do Sobressinal e do intante de pico, n˜ao existe uma express˜ao anal´ıtica exata para o tempo de acomoda¸c˜ ao t s . Existem ´abacos que permitem a determina¸c˜ ao exata de t s . Veja por exemplo [1]. A seguir apresentamos duas possibilidades para se obter uma aproxima¸c˜ ao de t s . A resposta ao degrau do sistema (3.1) ´e: y(t) = 1 − e σt 1 −ξ 2 sen(ω d t + φ) , φ = tan −1 1 −ξ 2 ξ Impondo que a amplitude do seno esteja dentro da faixa de tolerˆancia que caracteriza o tempo de acomoda¸c˜ao temos uma condi¸c˜ao suficiente para garantir que o tempo de acomoda¸c˜ ao foi atingido com a dada tolerˆancia. Note que o valor de regime da resposta ´e y(∞) = 1 e a amplitude do seno tende `a zero quando t → ∞. Seja δ a tolerˆancia de erro que define o tempo de acomoda¸c˜ ao. Impondo que a amplitude do seno esteja dentro dessa tolerˆancia temos: y(t s ) −y(∞) y(∞) = e σt s 1 −ξ 2 sen(ω d + φ) ≤ δ ⇒ t s = ln(δ 1 −ξ 2 ) σ (3.5) onde σ = −ξω n ´e a parte real dos p´olos. Uma outra aproxima¸ c˜ao muito comum para t s pode ser obtida por analogia com sis- temas de primeira ordem. Num sistema de primeira ordem o valor de regime da resposta ´e atingido ap´os 4 constantes de tempo com 2% de erro e ap´os 3 constantes de tempo com 5% de erro. Para um sistema de segunda ordem podemos aproximar t s definindo como constante de tempo T = −1/σ e assim temos: t s = 4T para 2% de erro ; t s = 3T para 5% de erro (3.6) 3.4. ´ Indices de desempenho www.das.ufsc.br/labsil 64 Exemplo 3.4 Obtenha os ´ındices de desempenho da resposta ao degrau unit´ario para o seguinte sistema: C(s) R(s) = 25 s 2 + 6s + 25 Solu¸c˜ao: O primeiro passo ´e obter os valores da frequˆencia natural e da taxa de amortec- imento do sistema. Comparando o sistema acima com (3.1) temos: 25 = ω 2 n →ω n = 5 ´e a frequˆencia natural. 6 = 2ξω n →ξ = 6/10 = 0, 6 ´e a taxa de amortecimento. ω d = ω n 1 −ξ 2 = 4 ´e a parte imagin´aria dos p´olos. σ = −ξω n = −3 ´e a parte real dos p´olos. Agora podemos calcular os ´ındices e verific´a-los na figura 3.8. t p = π ω d = 0, 785seg ´e o instante de pico. M p = e π σ/ω d = 0, 095, M p (%) = 9, 5% ´e o sobressinal. t s (2%) = ln(0,02 √ 1−ξ 2 ) −3 = 1, 38seg ´e o tempo de acomoda¸c˜ao com 2% de erro. t s (5%) = ln(0,05 √ 1−ξ 2 ) −3 = 1, 07seg ´e o tempo de acomoda¸c˜ao com 5% de erro. 0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3.0 0.00 0.12 0.24 0.36 0.48 0.60 0.72 0.84 0.96 1.08 1.20 + Figura 3.8: Resposta ao degrau do sistema 3.5. Servomecanismo para controle de posi¸c˜ao www.das.ufsc.br/labsil 65 3.5 Servomecanismo para controle de posi¸c˜ao A seguir estudaremos um problema muito comum na ind´ ustria que consiste em se controlar a posi¸c˜ ao de um determinado objeto atrav´es de um motor DC. Um esquema simplificado desse tipo de sistema de controle, conhecido como servomotor ou servome- canismo para controle de posi¸c˜ ao, ´e indicado na figura 1.4. Os elementos desse sistema de controle s˜ao: 1 comparador de tens˜ao, 2 potenciˆometros idˆenticos, um amplificador de potˆencia, uma antena com haste m´ovel e base, 1 sistema de engrenagens para redu¸c˜ ao de velocidade, 1 motor DC. O diagrama da figura 3.9 ilustra o funcionamento do sistema. motor torque do eixo do motor potenciˆometro posi¸c˜ ao da antena potenciˆometro - + engrenagens amplificador de potˆencia posi¸c˜ ao medida antena torque do eixo da antena tens˜ao do motor E a referˆencia r(t) tens˜ ao de erro e(t) Figura 3.9: Diagrama funcional do sistema de posicionamento Para construir o diagrama de blocos a partir do diagrama funcional da figura 3.9 precisamos obter a fun¸c˜ao de transferˆencia de cada dispositivo do sistema. Isso ´e o que faremos a seguir. Comparador: Esse dispositivo ´e um somador de tens˜oes que tem como entrada duas tens˜oes: V c (t) que vem do potenciˆometro de medi¸c˜ao da posi¸c˜ao da antena e V r (t) que vem do potenciˆometro de referˆencia. A sa´ıda do comparador ´e ent˜ao um sinal de erro entre o valor desejado e o valor obtido da posi¸c˜ ao da antena: e(t) = V r (t) −V c (t). Potenciˆometro: Esse dispositivo transforma deslocamento angular em uma tens˜ao que lhe ´e proporcional. A constante de propor¸c˜ ao, que definiremos por k 0 , ´e o ganho do potenciˆometro. Assim, se denotarmos por c(t) a posi¸c˜ao da antena e r(t) o valor desejado para ela podemos construir o diagrama de blocos da figura 3.10. Amplificador de potˆencia: Esse dispositivo tem como fun¸c˜ ao suprir com energia o sistema de controle. Note que o sinal de entrada do amplificador e(t) ´e um sinal de erro oriundo de medidores e portanto n˜ao possui energia suficiente para acionar o motor. Vamos considerar que o amplificador ´e ideal e possui um ganho de tens˜ao k 1 . Assim o sinal de sa´ıda do amplificador E a (t) ´e dado por E a (t) = k 1 e(t). Incorporando o amplificador no diagrama de blocos 3.10 obtemos um novo diagrama indicado na figura 3.11. Motor DC: A fun¸c˜ ao do motor DC ´e acionar a antena para que ela esteja sempre 3.5. Servomecanismo para controle de posi¸c˜ao www.das.ufsc.br/labsil 66 k 0 k 0 e(t) + - r(t) c(t) Figura 3.10: Diagrama de blocos do comparador e potenciˆometro k 0 k 0 + - r(t) c(t) e(t) E a (t) k 1 Figura 3.11: Diagrama de blocos com adi¸c˜ao do amplificador apontada para a dire¸c˜ ao desejada. S˜ao comums as palavras acionador e servomotor para designar a fun¸c˜ao do motor nesse tipo de sistema de controle. O servomotor pode ser operado de dois modos. Num modo a corrente de campo (estator) ´e mantida constante e uma tens˜ao ajust´avel ´e aplicada `a armadura (rotor) e no outro modo se faz o contr´ ario. Esses modos de opera¸c˜ ao possuem caracter´ısticas diferentes e apenas o primeiro ser´a considerado aqui. Quando a corrente de campo ´e constante, o fluxo produzido pela bobina de campo tamb´em ´e constante e nesse caso o conjugado (T m ) desenvolvido pelo motor ´e proporcional `a corrente de armadura (I a ) T m = k 2 I a (3.7) onde k 2 ´e uma constante que depende do meio magn´etico e do valor da corrente de campo. Com a rota¸c˜ao da armadura do motor no campo magn´etico constante produzido pela bobina de campo, aparece uma tens˜ao induzida na bobina de armadura (V fcem ) que ´e proporcional `a velocidade do motor (ω m ). V fcem = k 3 ω m (3.8) onde k 3 ´e uma constante que depende do meio magn´etico e da corrente de campo. A tens˜ao induzida V fcem possui a polaridade contr´ aria da tens˜ao aplicada na armadura, pois ela surge como uma oposi¸c˜ao ao movimento do rotor. Por esse motivo essa tens˜ao recebe o nome de for¸ca contra-eletromotriz. O controle da velocidade do motor ´e obtido por meio de uma tens˜ao aplicada `a armadura (E a ). A polaridade da tens˜ao aplicada determina o sentido do torque obtido (T m ) e este determina o movimento do rotor. A figura 3.12 mostra o diagrama de funcionamento de um motor dc controlado pela armadura. Nessa figura R a e L a indicam a resistˆencia e indutˆancia de armadura respectivamente e I a ´e a corrente que circula no circuito de armadura devido a aplica¸c˜ao da tens˜ao E a . A equa¸c˜ao de tens˜oes para o circuito de armadura ´e: L a ˙ I a + R a I a + V fcem = E a (3.9) 3.5. Servomecanismo para controle de posi¸c˜ao www.das.ufsc.br/labsil 67 + - R a L a + V fcem - ω V cc circuito de campo circuito de armadura E a (t) I a T m Figura 3.12: Motor DC controlado pela armadura (rotor) e com as express˜oes (3.7) e (3.8) temos: L a k 2 ˙ T m + R a k 2 T m + k 3 ω m = E a (3.10) Podemos agora incluir o motor no diagrama de blocos da figura 3.11 para obter o diagrama da figura 3.13. k 0 k 0 e(t) + - E a (t) k 1 T m , ω m L a k 2 ˙ T m + R a k 2 T m + k 3 ω m = E a c(t) r(t) Figura 3.13: Diagrama de blocos com adi¸c˜ao do motor DC Engrenagens: O sistema de engrenagens tem como fun¸c˜ ao adequar a velocidade de rota¸c˜ao do eixo da antena ao eixo do rotor. Um sistema de engrenagens possui fun¸c˜ ao an´aloga do transformador em sistemas el´etricos. Nos dois casos, a potˆencia do prim´ario deve ser igual `a do secund´ario: no caso do transformador a potˆencia ´e o produto da tens˜ao pela corrente V 1 I 1 = V 2 I 2 e no caso da engrenagem a potˆencia ´e o produto do torque pela velocidade T 1 ω 1 = T 2 ω 2 . A rela¸c˜ ao entre as grandezas do prim´ario e secund´ario ´e definida pela constante de rela¸c˜ao entre o n´ umero de espiras do prim´ario e secund´ario do transformador e entre o n´ umero de sulcros das engrenagens prim´aria e secund´aria. Definiremos a constante de rela¸c˜ ao das engrenagens pela letra n, isto ´e, ω 2 = ω 1 n e portanto T 2 = T 1 /n. Incorporando a engrenagem no digrama de blocos anterior obtemos o diagrama da figura 3.14. Plataforma da antena: A plataforma e a antena formam um sistema mecˆanico que possui momento de in´ecia (J c ) e um coeficiente de atrito viscoso (b c ) nos mancais da plataforma. A figura 3.15 ilustra as grandezas presentes no movimento rotacional da antena. Fazendo a somat´oria dos torques no eixo da antena temos: 3.5. Servomecanismo para controle de posi¸c˜ao www.das.ufsc.br/labsil 68 n k 0 k 0 e(t) + - E a (t) k 1 T c , ω c T m , ω m L a k 2 ˙ T m + R a k 2 T m + k 3 ω m = E a r(t) c(t) Figura 3.14: Diagrama de blocos com adi¸c˜ ao da engrenagem b c ω c T c momento de in´ercia (referido ao eixo da antena) coeficiente de atrito viscoso (referido ao eixo da antena) J c Figura 3.15: Sistema mecˆanico da plataforma e antena ¸ Torques = 0 ⇒ T c = J c ˙ ω c + b c ω c (3.11) e com a express˜ao acima podemos incluir a antena no diagrama 3.14 para obter o diagrama da figura 3.16. Note que as vari´ aveis ω m , T m do eixo do motor e as vari´ aveis ω c , T c do eixo n k 0 k 0 e(t) + E a (t) T m , ω m L a k 2 ˙ T m + R a k 2 T m + k 3 ω m = E a T c , ω c ω c k 1 c(t) dt T c = J c ˙ ω c + b c ω c r(t) - Figura 3.16: Diagrama completo do sistema de posicionamento da carga (antena) est˜ao ligadas entre si atrav´es da engrenagem. Al´em disso, a vari´avel de interesse ´e a posi¸c˜ao angular do eixo da antena, que no diagrama 3.16 ´e representada pela letra c(t), isto ´e, ˙ c(t) = ω c (t). Uma vez que todos os dispositivos f´ısicos foram modelizados, podemos come¸car a sim- plificar o diagrama, j´a que apenas os sinais r(t) de referˆencia e c(t) de posi¸c˜ ao da antena s˜ao de interesse no problema. Todos os outros sinais intermedi´ arios podem ser eliminados. Devido `as caracter´ısticas do motor DC, na faixa normal de funcionamento a tens˜ao no 3.5. Servomecanismo para controle de posi¸c˜ao www.das.ufsc.br/labsil 69 indutor ´e muito pequena em rela¸c˜ ao `as tens˜oes no resistor e de efeito contra-eletromotriz. Podemos ent˜ ao desprezar o efeito indutivo da armadura, isto ´e, podemos simplificar a express˜ao (3.10) fazendo L a = 0. Da´ı conclu´ımos que T m = k 2 R a E a − k 2 k 3 R a ω m Considerando agora a engrenagem temos T m = T c n e ω m = ω c /n e juntamente com a express˜ao acima podemos rescrever (3.11) na forma: J c ˙ ω c + (b c + k 2 k 3 n 2 R a )ω c = k 2 nR a E a (3.12) e como ω c = ˙ c(t) temos J c ¨ c(t) + (b c + k 2 k 3 n 2 R a ) ˙ c(t) = k 2 nR a E a (3.13) Tomando a transformada de Laplace da equa¸c˜ ao acima podemos encontrar a fun¸c˜ ao de transferˆencia da tens˜ao E a (t) para a posi¸c˜ ao c(t). C(s) E a (s) = k 2 nR a J c s 2 + (b c + k 2 k 3 n 2 R a ) s (3.14) Com isto o diagrama 3.16 pode ser simplificado como indicado no diagrama 3.17. Por r(t) e(t) + - k 0 k 1 E a (t) c(t) k 2 nR a J c s 2 +(b c + k 2 k 3 n 2 R a ) s Figura 3.17: Diagrama simplificado de posicionamento da antena conveniˆencia de nota¸c˜ao iremos definir a fun¸c˜ ao G(s) indicada a seguir. G(s) = K J s 2 +Bs K = K 0 K 1 K 2 nR a , B = b c + K 2 K 3 n 2 R a , J = J c (3.15) Com G(s) acima o diagrama 3.17 pode ser rescrito como indicado na figura 3.18 que ´e uma forma mais conveniente para nossos prop´ositos. Agora a Fun¸c˜ ao de Transferˆencia de malha fechada ´e: C(s) R(s) = G(s) 1 + G(s) = K J s 2 +Bs + K 3.5. Servomecanismo para controle de posi¸c˜ao www.das.ufsc.br/labsil 70 r(t) + c(t) - K Js 2 +Bs Figura 3.18: Diagrama de posicionamento na forma padr˜ao Comparando a equa¸c˜ao acima com a forma padr˜ao (3.1) encontramos os valores da frequˆencia natural ω n e taxa de amortecimento ξ do sistema de controle: ω 2 n = K J , 2ξω n = B J (3.16) Pelas express˜oes acima podemos verificar a performance do sistema de controle. Quando os valores num´ericos de J, K, B s˜ao fornecidos podemos facilmente deduzir os valores de ξ, ω n correspondentes e portanto saber se o sistema de controle vai fazer o posicionamento da antena com oscila¸c˜ oes (se 0 < ξ ≤ 1) e quanto tempo o sistema de controle leva para deixar a antena im´ovel na posi¸c˜ ao desejada (tempo de acomoda¸c˜ ao t s ). Se com os valores dados o sistema de controle n˜ao possui performance satisfat´oria podemos ent˜ao corrig´ı-lo ajustando os parˆametros f´ısicos do sistema, tais como o ganho do amplificador k 1 , ou o ganho do potenciˆometro k 0 . Esse ajuste deve ser tal que o novo valor da taxa de amortecimento ξ seja compat´ıvel com as oscila¸c˜oes admiss´ıveis para o sistema. Lembre que quanto menor o valor de ξ maior as oscila¸c˜ oes da resposta ao degrau. Exemplo 3.5 Suponha que o sistema de controle da figura 3.18 tenha um momento de in´ercia J = 1 e um coeficiente de atrito viscoso B = 1. Determine o valor do ganho K de tal forma que o sobressinal M p na resposta ao degrau seja de 20% . Verifique o tempo de acomoda¸ c˜ao obtido. Solu¸c˜ao: Com os valores dados a fun¸c˜ao de transferˆencia de malha fechada ´e: C(s) R(s) = G(s) 1 + G(s) = K s 2 +s + K Comparando com (3.1) obtemos os valores de ξ, ω n seguintes: ω 2 n = K , 2ξω n = 1 Para que o sobressinal seja de 20% devemos ter a seguinte igualdade satisfeita: M p = 0, 2 ⇒ −π ξ 1 −ξ 2 = ln(0, 2) ⇒ ξ = 0, 456 de onde tiramos ω n = 1.096 e portanto K = 1, 2. Com esses valores de ξ, ω n o tempo de acomoda¸c˜ao resultante dado por (3.5) ´e t s (5%) = 6, 23 segundos. A resposta ao degrau do sistema de controle obtido se encontra na figura 3.19. 3.5. Servomecanismo para controle de posi¸c˜ao www.das.ufsc.br/labsil 71 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 + Figura 3.19: Resposta ao degrau do sistema de controle No exemplo acima ajustamos o valor do ganho K para que a resposta ao degrau do sistema de controle apresentasse um sobressinal de 20%. Com o valor de k ajustado dessa forma o tempo de acomoda¸c˜ao resultante foi t s (5%) = 6, 23 segundos. Em geral n˜ao ´e poss´ıvel se ajustar o sobressinal e o tempo de acomoda¸c˜ ao simultaneamente tendo k como o ´ unico parˆametro de ajuste. Nesses casos a solu¸c˜ao ´e introduzir no sistema de controle outro dispositivo f´ısico que possua um parˆametro que possa ser ajustado facilmente. Por exemplo, introduzir um medidor de velocidade ´e um artif´ıcio comum na pr´atica. Realimenta¸c˜ao de Posi¸c˜ao e Velocidade: A realimenta¸c˜ao de velocidade ´e feita atrav´es de um tacˆometro acoplado no eixo da carga. O sinal de sa´ıda do desse medidor ´e uma tens˜ao v T (t) que ´e proporcional `a velocidade de rota¸c˜ ao do eixo ω c (t). v T (t) = K 4 ω c (t) onde k 4 ´e a constante de proporcionalidade do tacˆometro. Incluindo uma realimenta¸c˜ ao de velocidade no servomecanismo da figura 3.16 obtemos um novo sistema de controle indicado na figura 3.20. Definindo Q = k 4 /k 0 e usando as mudan¸cas de vari´ aveis (3.15) podemos simplificar o diagrama 3.20 da mesma forma como foi feito na passagem da figura 3.17 para a figura 3.18. Isto nos leva ao diagrama da figura 3.21. Agora, com os parˆametros K e Q para serem ajustados temos mais graus de liberdade para ajustarmos o sobressinal e o tempo de acomoda¸c˜ao simultaneamente. Para ver como fazer isso vamos deduzir da figura 3.21 3.5. Servomecanismo para controle de posi¸c˜ao www.das.ufsc.br/labsil 72 n k 0 k 0 + E a (t) T m , ω m L a k 2 ˙ T m + R a k 2 T m + k 3 ω m = E a T c , ω c ω c k 1 c(t) dt T c = J c ˙ ω c + b c ω c r(t) - - k 4 tacˆometro v T (t) e(t) Figura 3.20: Diagrama funcional para realimenta¸c˜ ao de velocidade R(s) 1 s + - ω c (s) C(s) Q - K J s+B Figura 3.21: Sistema de controle com realimenta¸c˜ao de velocidade a nova Fun¸c˜ ao de Transferˆencia do sistema de controle indicada a seguir. C(s) R(s) = K J s 2 + (B + KQ)s + K Comparando a fun¸c˜ ao de transferˆencia acima com a forma padr˜ao da equa¸c˜ ao (3.1) pode- mos encontrar os novos valores da taxa de amortecimeto ξ e da frequˆencia natural ω n do novo sistema de controle. 2ξω n = B + KQ J , ω 2 n = K J (3.17) Com a escolha adequada dos ganhos K e Q podemos ajustar o sobressinal (M p ) e o tempo de acomoda¸c˜ao (t s ) do novo sistema de controle. Para isso basta verificar quais s˜ao os valores de ξ e ω n que levam o sistema de controle a ter a resposta ao degrau desejada. Uma vez encontrado esses valores de ξ e ω n desejados, usa-se a equa¸c˜ ao (3.17) para encontrar os valores dos ganhos K e Q. Exemplo 3.6 Suponha que no sistema da figura 3.21 o coeficiente de atrito viscoso seja B = 1 e o momento de in´ecia do sistema seja J = 1. Determine os valores de K e Q de tal forma que a resposta ao degrau do sistema de controle tenha sobre-sinal m´aximo de 20% e tempo de acomoda¸c˜ao t s (5%) = 2 segundos. Solu¸c˜ao: Do exemplo 3.5 j´a vimos que sem a realimenta¸c˜ao de velocidade n˜ao ´e poss´ıvel ajustar o sobressinal e o tempo de acomoda¸c˜ao simultaneamente. Agora, com a inser¸c˜ao da realimenta¸c˜ao de velocidade podemos fazˆe-lo da seguinte forma. Para que o sobressinal 3.6. Problemas complementares www.das.ufsc.br/labsil 73 seja de 20% devemos ter a seguinte igualdade satisfeita: M p = 0, 2 ⇒ − π ξ 1 −ξ 2 = ln(0, 2) ⇒ ξ = 0, 456 Com o valor de ξ = 0, 456 podemos agora encontrar o valor de ω n impondo que o tempo de acomoda¸ c˜ao dado por (3.5) seja de 20% : t s (5%) = ln(0, 05 1 −ξ 2 ) −ξω n = 2 ⇒ω n = 3, 41 Finalmente, com os valores de ξ = 0, 456 e ω n = 3, 41 podemos encontrar os valores dos ganhos de realimenta¸c˜ ao K, Q com a express˜ao (3.17). ω 2 n = K ⇒ K = (3, 41) 2 = 11, 63 2ξω n = 1 + KQ ⇒ Q = 2 ξ ω n −1 K = 0, 1814 A resposta ao degrau do sistema de controle obtido com esses valores de K e Q est´a indicada na figura 3.22. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 + Figura 3.22: Resposta ao degrau do sistema de controle 3.6 Problemas complementares Problema 3.3 Encontre os valores de k p e k v para que o sistema em malha fechada da figura 3.23 apresente os ´ındices de performance indicados a seguir. O sistema de malha aberta ´e regido pela equa¸c˜ao diferencial 2 ˙ ω +ω = e a . 3.6. Problemas complementares www.das.ufsc.br/labsil 74 a) Dois p´olos em s = −1. b) Sobressinal de 10% em 2 segundos. c) Determine, considerando o caso (a) ou (b), o erro de regime permanente para um degrau de amplitude 2. d) Calcule a resposta θ(t) do caso (a) para um degrau unit´ario. r(t) k p 10 k p k v ω - - sistema e a (t) θ(t) 1 s Figura 3.23: Sistema com realimenta¸c˜ao de velocidade e posi¸c˜ao Problema 3.4 Considere o sistema de controle de velocidade da figura 3.24. A resposta ao degrau unit´ario desse sistema ´e indicada na figura 3.25. Encontre os valores de k 1 e k 2 sabendo que o motor ´e regido pela equa¸c˜ao diferencial ˙ ω + 10ω = V a . - - r θ V a ω motor k 1 k 2 1 s Figura 3.24: Sistema de controle de velocidade Problema 3.5 Um passo importante no estudo de sistemas de controle ´e a obten¸c˜ao de modelos matem´aticos que descrevem o comportamento do sistema a ser controlado. No caso de circuitos podemos utilizar a as leis de Kirchhhoff e as leis de Newton servem para modelizar sistemas mecˆanicos. Existem sistemas que s˜ao mais facilmente modelizados com a utiliza¸c˜ao da equa¸c˜ao de Lagrange, como ´e o caso de um microfone capacitivo. Estude a modeliza¸c˜ao do microfone capacitivo apresentada em [6], p´aginas 59 `a 62, e verifique a utiliza¸c˜ao da equa¸c˜ao de Lagrange e a lineariza¸c˜ao ali apresentada para que o microfone possa ser modelizado como um sistema de segunda ordem do tipo (3.1). 3.6. Problemas complementares www.das.ufsc.br/labsil 75 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 + Figura 3.25: Resposta ao degrau unit´ario 3.6. Problemas complementares www.das.ufsc.br/labsil 76 Cap´ıtulo 4 Resposta em frequˆencia No cap´ıtulo anterior estudamos a resposta ao degrau de sistemas e estabelecemos ´ındices de desempenho para caracterizar as oscila¸c˜ oes (M p ) e a dura¸c˜ ao do transit´orio (t s ). Neste cap´ıtulo estudaremos a resposta de sistemas para sinais senoidais na entrada. O termo Resposta em Frequˆencia de um Sistema significa resposta em regime estacion´ario para entradas senoidais. O m´etodo se baseia no fato de que todo sistema linear invariante est´avel, quando excitado com um sinal senoidal, apresenta uma resposta de regime per- manente que tamb´em ´e uma sen´oide por´em de amplitude e defasagem diferentes. Essas diferen¸cas de amplitude e defasagem podem ser obtidas experimentalmente: excita-se o sistema com uma sen´oide de uma dada frequˆencia; espera-se o sistema atingir o regime permanente e mede-se a amplitude e defasagem da resposta obtida; repete-se o mesmo procedimento para todas as outras frequˆencias dentro da faixa de interesse. Curvas t´ıpicas desse procedimento podem ser encontradas na figura 4.1. A seguir veremos um m´etodo anal´ıtico, que utiliza apenas a fun¸c˜ ao de transferˆencia do sistema para se obter as amplitudes e defasagens da resposta senoidal de regime permanente. 4.1 Resposta Senoidal em Regime Permanente Mostraremos a seguir que a resposta em frequˆencia de um sistema, cuja fun¸c˜ ao de transferˆencia ´e F(s) ´e completamente determinada por: F(s)| s=jω = F(jω) Considere o sistema est´avel: cuja Fun¸c˜ ao de Transferˆencia ´e: G(s) = K(s + z 1 ) . . . (s + z m ) (s + s 1 ) . . . (s +s n ) Para entradas senoidais x(t) = Asen(ω 0 t) temos: X(s) = A ω 0 s 2 + ω 2 0 4.1. Resposta Senoidal em Regime Permanente www.das.ufsc.br/labsil 78 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 + 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 + 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -0.090 -0.072 -0.054 -0.036 -0.018 0.000 0.018 0.036 0.054 0.072 0.090 + 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -0.0170 -0.0136 -0.0102 -0.0068 -0.0034 0.0000 0.0034 0.0068 0.0102 0.0136 0.0170 + Figura 4.1: Resposta temporal para sen(ω t) com ω = {0, 2; 2; 20; 100} rd/s x(t) y(t) X(s) Y (s) G(s) 4.1. Resposta Senoidal em Regime Permanente www.das.ufsc.br/labsil 79 Logo, para condi¸c˜oes iniciais nulas, a sa´ıda ´e dada por: Y (s) = G(s)X(s) = K(s + z 1 ) . . . (s + z m ) (s + s 1 ) . . . (s +s n ) Aω 0 s 2 + ω 2 0 Se G(s) possui apenas p´olos distintos, ent˜ ao a expans˜ao por fra¸c˜ oes parciais de Y (s) conduz `a: Y (s) = a s + jω 0 + ¯ a s −jω 0 + b 1 s +s1 + b 2 s + s 2 +· · · + b n s + s n onde b i s˜ao os res´ıduos dos p´olos p i e ¯ a ´e o complexo conjugado de a. Antitransformando a express˜ao acima temos: y(t) = a e −jω 0 t + ¯ a e jω 0 t + b 1 e −s 1 t +· · · + b n e −s n t , t ≥ 0 Para um sistema est´avel os p´olos da F.T. G(s) possuem parte real negativa. Por- tanto `a medida que t → ∞ (Regime Permanente) os termos e −s i t desapararecem pois lim t→∞ e −s i t = 0. Se G(s) possuir p´olos m´ ultiplos a resposta temporal acima ter´a termos do tipo t n e −s n t que tamb´em desaparecem em regime permanente. Logo, independentemente do sistema possuir p´olos m´ ultiplos ou n˜ao, a resposta em regime estacion´ario de um sistema est´avel para entrada x(t) = Asen(ω 0 t) ´e: y(t) = a e −jω 0 t + ¯ a e jω 0 t onde os res´ıduos a e ¯ a s˜ao dados por: a = G(s) ω 0 A s 2 +ω 2 0 (s +jω 0 )| s=−jω 0 = AG(−jω 0 ) −2j ¯ a = G(s) ω 0 A s 2 +ω 2 0 (s −jω 0 )| s=jω 0 = AG(jω 0 ) 2j Sendo G(jω 0 ) uma fun¸c˜ao complexa temos: G(jω 0 ) = |G(jω 0 )|e jφ(ω 0 ) onde | · | indica m´odulo e φ(·) indica fase. Fase →φ(ω 0 ) = ∠G(jω 0 ) = tan −1 { Im[G(jω 0 )] Re[G(jω 0 )] } G(−jω 0 ) = |G(−jω 0 )|e −jφ(ω 0 ) = |G(jω 0 )|e −jφ(ω 0 ) Exemplo 4.1 Mostre que uma fun¸c˜ao racional G(s) possui as seguintes propriedades para s = jω. - A fase de G(jω), ∠G(jω), ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar, isto ´e, ∠G(−jω) = −∠G(jω) - O m´odulo de G(jω), |G(jω)|, ´e uma fun¸c˜ao par, isto ´e, |G(jω)| = |G(−jω)|. 4.1. Resposta Senoidal em Regime Permanente www.das.ufsc.br/labsil 80 Solu¸c˜ao: Como G(s) ´e uma fun¸c˜ao racional ela pode ser representada pela divis˜ao de dois polinˆomios. Seja ent˜ao G(s) = N(s) D(s) onde N(s) e D(s) s˜ao dois polinˆomios de coeficientes reais e graus n e d. N(s) = ¸ n i=0 α i s i e D(s) = ¸ d i=0 β i s i , com α i e β i reais. Como jω = −jω (conjuga¸c˜ao complexa) temos: N(−jω) = n ¸ i=0 α i (−jω) i = n ¸ i=0 α i ( jω ) i = n ¸ i=0 α i (jω) i = N(jω) Logo N(jω) e N(−jω) s˜ao complexos conjugados. Assim conclui-se que G(jω) e G(−jω) tamb´em s˜ao complexos conjugados j´a que |G(jω)| = |G(−jω)| e ∠G(jω) = −∠G(−jω). Portanto |G(jω)| ´e uma fun¸c˜ao par e ∠G(jω) ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar. Com as express˜oes acima podemos escrever a resposta de regime na forma: y(t) = A|G(jω 0 )| e j(ω 0 t+φ) −e −j(ω 0 t+φ) 2j = A|G(jω 0 )|sen(ω 0 t + φ) G(jω) y(t) = Bsen(ω 0 t + φ) x(t) = Asen(ω 0 t) Figura 4.2: Resposta de regime ao seno onde B = A|G(jω 0 )| e φ = ∠G(jω 0 ). Problema 4.1 Utilizando o mesmo procedimento acima mostrar que a resposta em regime para um cossen´oide x(t) = Acos(ω 0 t) ´e igual a y(t) = Bcos(ω 0 t + φ), onde B = A|G(jω 0 )| e φ = ∠G(jω 0 ). G(jω) y(t) = Bcos(ω 0 t + φ) x(t) = Acos(ω 0 t) Figura 4.3: Resposta de regime ao cosseno Exemplo 4.2 Encontre a resposta em frequˆencia do circuito da figura 4.4. Suponha R = 1KΩ, C = 1µF. Solu¸c˜ao: As equa¸c˜oes do circuito s˜ao: −x(t) + RI(t) + v C (t) = 0 v C (t) = 1 C I(t)dt ⇒−x(t) + RC ˙ v C (t) + v C (t) = 0 4.1. Resposta Senoidal em Regime Permanente www.das.ufsc.br/labsil 81 R C + - + - x(t) v c (t) I Figura 4.4: Circuito RC Logo: X(s) = RCsV C (s) + V C (s) Assim: F.T. → V C (s) X(s) = 1 1 + RCs = G(s) A resposta em regime para entradas senoidais x(t) = Asen(ω 0 t) ´e: v C (t) = Bsen(ω 0 t + φ) onde B = A|G(jω 0 )| e φ = ∠G(jω 0 ). |G(jω 0 )| = | 1 1+jω 0 RC| = 1 √ 1+(ω 0 RC) 2 ∠G(jω 0 ) = −tan −1 (ω 0 RC) A figura 4.5 mostra as fun¸c˜oes |G(jω 0 )| (em decibel) e ∠G(jω 0 ) (em graus) para a faixa de frequˆencia 1 ≤ w 0 ≤ 10 5 (em Hertz). Exemplo 4.3 Obtenha a resposta em frequˆencia do circuito RLC da figura 4.6. Suponha C = 1µF, L = 0, 01H e considere trˆes situa¸c˜oes para a resistˆencia: (a) R = 10Ω; (b) R = 100Ω; (c) R = 1KΩ. Solu¸c˜ao: Primeiro vamos obter a fun¸c˜ao de transferˆencia. As equa¸c˜oes do circuito s˜ao indicadas abaixo. −v(t) + RC ˙ v C + LC¨ v C + v C = 0 A fun¸c˜ao de transferˆencia entre v(t) e v c (t) ´e: G(s) = V C (s) V (s) = 1 LCs 2 + RCs + 1 = ω 2 n s 2 + 2ξω n s + ω 2 n onde ω n = 1 √ LC e ξ = RC LC √ LC 2 = R 2 C L . A resposta frequencial do circuito acima ´e: v(t) = Asen(ω 0 t) v C (t) = Bsen(ω 0 t + φ) 4.1. Resposta Senoidal em Regime Permanente www.das.ufsc.br/labsil 82 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 db Hz Magnitude 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 degrees Hz Phase baixas freq. m´edias freq. altas freq. f 1 2π RC Figura 4.5: Resposta em frequˆencia (Bode) do circuito RC + - + - V(t) V c (t) R L C Figura 4.6: Circuito RLC 4.1. Resposta Senoidal em Regime Permanente www.das.ufsc.br/labsil 83 com B = A|G(jω 0 )| , φ = ∠G(jω 0 ) e G(jω 0 ) = G(s) para s = jω 0 . G(jω 0 ) = ω 2 n −ω 2 0 + ω 2 n + j2ξω 0 ω n |G(jω 0 )| = ω 2 n (ω 2 n −ω 2 0 ) 2 + (2ξω 0 ω n ) 2 ; φ = −tan −1 [ 2ξω 0 ω n ω 2 n −ω 2 0 ] A figura 4.7 mostra as fun¸c˜oes |G(jω 0 )| (em decibel) e ∠G(jω 0 ) (em graus) para a faixa de frequˆencia 10 2 ≤ w 0 ≤ 10 5 (em Hertz) e trˆes valores distintos da resistˆencia: (a) R = 10Ω; (b) R = 100Ω; (c) R = 1KΩ. Pela figura 4.7 podemos notar que no caso (a) o m´odulo (em decibel) aumenta numa certa faixa de frequˆencia. Isto implica que as sen´oides de entrada nessa faixa de frequˆencia s˜ao amplificadas. Esse fenˆomeno de amplifica¸c˜ao da amplitude da sen´oide de entrada ´e conhecido como ressonˆancia. Veremos adiante que essa amplifica¸c˜ao ocorre pr´oximo `a freq. natural n˜ao amortecida ω n do sistema. A freq. onde a amplitude ´e m´axima (pico do m´odulo) ´e conhecida como freq. de ressonˆancia. J´a no caso (c) n˜ao existe pico de ressonˆancia pois o m´odulo decai sempre indicando que as amplitudes da sen´oides de sa´ıda s˜ao sempre menores que as da entrada. Veremos tamb´em que o pico de ressonˆancia depende do fator de amortecimento do sistema. 2 10 3 10 4 10 5 10 -80 -60 -40 -20 0 20 40 db Hz Magnitude 2 10 3 10 4 10 5 10 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 degrees Hz Phase (a) (b) (c) (a) (b) (c) Figura 4.7: Resposta em frequˆencia (Bode) do circuito RLC Se compararmos as figuras 4.5 e 4.7 veremos que o m´odulo na altas frequˆencias decai (atenua¸c˜ao das amplitudes) segundo uma reta de inclina¸c˜ ao -20db/d´ecada em 4.5 e - 40db/d´ecada em 4.7. J´a a fase nas altas frequˆencias tende `a -90 graus em 4.5 e -180 4.3. Constru¸c˜ao do Diagrama de Bode www.das.ufsc.br/labsil 84 graus em 4.7. Essas diferen¸cas nas altas frequˆencias ocorrem devido ao fato do sistema da figura 4.5 ser de primeira ordem enquanto o sistema de 4.7 ´e de segunda ordem. Nas baixas frequˆencias os dois circuitos possuem as mesmas caracter´ısticas, isto ´e o m´odulo (em decibel) e a fase est˜ao pr´oximos de zero. Isto indica que as sen´oides de sa´ıda e de entradas s˜ao praticamente iguais pois tanto a defasagem quanto a atenua¸c˜ ao (ou amplifica¸c˜ao) s˜ao muito pequenos nessa faixa de frequˆencia. 4.2 Gr´aficos Logar´ıtmicos Das figuras 4.5 e 4.7 podemos extrair informa¸c˜ oes importantes a respeito do com- portamtento frequˆencial dos circuitos 4.4 e 4.6. Isso mostra a importˆancia que tem a representa¸c˜ao gr´afica da fun¸c˜ ao complexa G(jω) na an´alise frequencial de sistemas. Existem basicamente 3 tipos de gr´aficos que s˜ao utilizados para se representar a fun¸c˜ao complexa G(jω). Cada tipo de gr´afico possui vantagens e aplica¸c˜oes espec´ıficas. O mais utilizado s˜ao os diagramas de Bode. Estes gr´aficos se consagraram com os trabalhos de Bode sobre amplificadores realimentados na d´ecada de 1940 e hoje s˜ao muito utilizados na an´alise de sinais e sistemas de controle. Nesses diagramas representa-se o m´odulo em decibel e a fase em graus, ambos em fun¸c˜ao da frequˆencia (tipicamente em Hertz) numa escala logar´ıtmica. As figuras 4.5 e 4.7 s˜ao os diagramas de Bode da resposta em frequˆencia dos circuitos 4.4 e 4.6. Lembre que o m´odulo em decibel de um n´ umero complexo c = a+jb ´e dado por |c| db = 20 log(|c|) onde |c| = √ a 2 +b 2 ´e o m´odulo normal. Outro diagrama bastante utilizado em sistemas de controle ´e o diagrama de Nyquist. Este diagrama ´e muito ´ util na an´alise de estabilidade de sistemas realimentados. Aqui a fun¸c˜ao G(jω) ´e representada em termos das suas coordenadas retangulares: a parte real Re[G(jω)] e a parte imagin´aria Im[G(jω)]. Diferentemente dos diagramas de Bode, o eixo das frequˆencias (tipicamente em radianos/segundo) n˜ao aparece explicitamente nos diagramas de Nyquist. A figura 4.8 mostra o diagrama de Nyquist da resposta em frequˆencia do exemplo 4.3. Outro diagrama `as vezes utilizado em projeto de sistemas de controle ´e o diagrama de Nichols (ou de Black como tamb´em ´e conhecido). Aqui representa-se o m´odulo (em deci- bel) em fun¸c˜ao da fase (em graus). Como no diagrama de Nyquist, o eixo das frequˆencias (tipicamente em radianos/segundo) n˜ao aparece explicitamente. A figura 4.9 mostra o diagrama de Black da resposta em frequˆencia do exemplo 4.3. 4.3 Constru¸c˜ao do Diagrama de Bode Como vimos anteriormente as fun¸c˜ oes G(jω) e G(−jω) s˜ao complexas conjugadas, isto ´e, possuem o mesmo m´odulo e fase com sinal trocado. Assim, se conhecemos o gr´afico 4.3. Constru¸c˜ao do Diagrama de Bode www.das.ufsc.br/labsil 85 -6 -4 -2 0 2 4 6 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 1e+02 ´ ´ ´ Im(G(j2πf)) Re(G(j2πf)) Nyquist plot (b) (c) (a) 1e+02 1e+02 Figura 4.8: Resposta em frequˆencia (Nyquist) do circuito RLC -400 -300 -200 -100 0 -80 -60 -40 -20 0 20 40 ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ magnitude phase G(j2πf) 2.3db curve (a) (b) (c) curva auxiliar 3.7e+04 7e+04 1e+02 1e+02 1.2e+04 5.1e+03 8.2e+03 2e+04 5.1e+03 8.2e+03 1.2e+04 2e+04 3.7e+04 7e+04 1e+05 1e+05 5.1e+03 8.2e+03 1.2e+04 2e+04 3.7e+04 7e+04 1e+05 1e+02 Figura 4.9: Resposta em frequˆencia (Black) do circuito RLC 4.3. Constru¸c˜ao do Diagrama de Bode www.das.ufsc.br/labsil 86 de G(jω) podemos facilmente obter o gr´afico de G(−jω). Por esse motivo, de agora em diante vamos sempre considerar G(jω) com ω ≥ 0. Isto implica que as sen´oides de entrada s˜ao do tipo sen(ωt) com ω ≥ 0. A resposta em frequˆencia para entradas do tipo sen(−ωt) ou ainda sen(ωt + θ) pode ser obtida da resposta em frequˆencia para sen(ωt) com ω ≥ 0. Nos diagramas de Bode o m´odulo ´e representado em dB e a fase em graus. Uma das propriedades fundamentais do m´odulo em dB ´e ilustrada no exemplo a seguir. Exemplo 4.4 Mostre que para dois n´ umeros complexos a e b quaisquer temos: |ab| dB = |a| dB +|b| dB ∠ab = ∠a +∠b | 1 a | = −|a| dB ∠ 1 a = −∠a Solu¸c˜ao: Sejam a = a x + ja y = |a|e jφ a b = b x + jb y = |b|e jφ b onde |a| = a 2 x +a 2 y , |b| = b 2 x + b 2 y , φ a = tan −1 [ a y a x ] e φ b = tan −1 [ b y b x ]. Com isto vemos que |ab| = |a||b| e: |ab| dB = 20log|ab| = 20log|a| + 20log|b| = |a| dB +|b| dB Al´em disso: ∠ab = e j(φ a +φ b ) = ∠a +∠b | 1 a | = 1 |a| e | 1 a | dB = 20log| 1 a | = −20log|a| = −|a| dB ∠ 1 a = e −jφ a = −∠a Assim, tanto o m´odulo quanto a fase do produto (ou divis˜ao) de n´ umeros complexos s˜ao transformados em soma (ou subtra¸c˜ ao) dos m´odulos em dB e fases individuais de cada n´ umero multiplicado (dividido). Isso facilita bastante a constru¸c˜ao manual dos gr´aficos de m´odulo e fase. Outra vantagem ´e que a escala logar´ıtmica permite uma melhor visualiza¸c˜ ao de fenˆomenos frequenciais d´ıspares (expans˜ao da escala). ´ E comum nos diagramas de Bode se contar intervalos de frequˆencia por d´ecada ou oitava. 4.3. Constru¸c˜ao do Diagrama de Bode www.das.ufsc.br/labsil 87 D´ecada: Intervalo de frequˆencia ∆ω = ω f −ω 0 onde ω f = 10ω 0 . Oitava: Intervalo de frequˆencia ∆ω = ω f −ω 0 onde ω f = 2ω 0 . Nos gr´aficos de m´odulo expressos em dB podemos fazer as seguintes observa¸ c˜oes: • Quando o m´odulo adimensional ´e multiplicado (dividido) por dois o m´odulo em dB ´e acrescido (subtra´ıdo) de ≈ 6 dB (20log(2) = 6.02). • Na faixa de frequˆencia de 125 Hz `a 8 KHz ´e considerado normal um ouvido humano que tenha o in´ıcio da sensa¸c˜ ao auditiva entre 0 e 25 dB. Se considera tamb´em normal para um ouvido humano que ele possa ser exposto `a uma intensidade de som de 85 dB, 8 horas por dia durante 35 anos. Acima de 85 dB o som passa a ser prejudicial para o sistema auditivo. A intensidade de som de um tique-taque de um rel´ogio de pulso ´e em torno de 20 dB; uma conversa normal possui 60 dB; uma rua de trafego pesado possui 80 dB e o limite para dor est´a pr´oximo de 140 dB. ´ E importante observar que a resposta frequencial de um sistema s´o pode ser obtida se o mesmo for est´avel. No entanto ´e comum a constru¸c˜ ao de diagramas de Bode para fun¸c˜ oes complexas que n˜ao s˜ao anal´ıticas no semi-plano direito. Esse ´e o caso por exemplo do sistema realimentado da figura 4.10. O sistema em malha fechada F(s) = G(s) 1+G(s) ´e est´avel e portanto podemos obter a resposta frequencial de F(s) fazendo-se s = jω como indicado nas figuras 4.2 e 4.3. Mas G(jω) n˜ao est´a mais relacionada `a resposta em frequˆencia do sistema G(s). Nesses casos G(jω) ´e apenas uma fun¸c˜ ao complexa auxiliar utilizada na obten¸c˜ao de F(jω). Note que F(jω) = G(jω) 1+G(jω) . - + Y (s) X(s) G(s) G(s) = 2 s (4s+1) Figura 4.10: Resposta em frequˆencia com G(s) inst´avel Exemplo 4.5 Obtenha os diagramas de Bode da fun¸c˜ao complexa G(s) = 2 s(4s + 1) Solu¸c˜ao: Para s = jω temos: G(jω) = 2 (jω)(4jω + 1) Logo: |G(jω)| dB = |2| dB −|jω| dB −|4jω + 1| dB ∠G(jω) = ∠2 −∠jω −∠(4jω + 1) 4.3. Constru¸c˜ao do Diagrama de Bode www.das.ufsc.br/labsil 88 A seguir vamos obter as express˜oes anal´ıticas para os m´odulos e fases acima indicados. Fator Constante: |2| dB = 20log|2| e ∠2 = 0. Fator Integral: | 1 jω | dB = −|jω| dB = −20log|jω| = −20log|ω| Fator de primeira ordem: | 1 4jω + 1 | dB = −20log|4jω + 1| = −20log( 1 + (4ω) 2 ) ∠ 1 4jω + 1 = −tan −1 (4ω) A figura 4.11(a),(b) mostra os diagramas de Bode dos termos 2 e jω respectivamente. A figura 4.12 mostra os diagramas de Bode do termo 1/(4jω + 1). A figura 4.13 mostra os diagramas de Bode de G(jω). Os diagramas de G(jω) (m´odulo e fase) s˜ao obtidos somando-se, frequˆencia por frequˆencia, os diagramas dos outros termos como indicado acima. -3 10 -2 10 -1 10 0 10 -20 -10 0 10 20 30 40 50 db Hz Magnitude -3 10 -2 10 -1 10 0 10 -360 -320 -280 -240 -200 -160 -120 -80 degrees Hz Phase Figura 4.11: Diagrama de Bode dos termos 2 e 1 s Os diagramas de Bode podem ser constru´ıdos facilmente com o aux´ılio de computa- dores. Boas aproxima¸c˜ oes tamb´em podem ser constru´ıdas com o aux´ılio de gr´aficos assint´oticos. As ass´ıntotas s˜ao retas que aproximam o comportamento do gr´afico real nas altas e baixas frequˆencias. Nas m´edias frequˆencias as ass´ıntotas se distanciam do gr´afico real mas podemos calcular o maior erro cometido. Esse erro ocorre na frequˆencia de quebra que ´e definida como o ponto de encontro das duas retas assint´ oticas de alta e baixa frequˆencia. Essa frequˆencia pode ser facilmente calculada. Para um termo de primeira ordem do tipo Ts + 1 a frequˆencia de quebra ´e ω = 1/T. Os termos do tipo K, s, 1/s n˜ao possuem frequˆencia de quebra pois os gr´aficos desses termos s˜ao retas de 4.3. Constru¸c˜ao do Diagrama de Bode www.das.ufsc.br/labsil 89 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 -30 -20 -10 0 db Hz Magnitude -3 10 -2 10 -1 10 0 10 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 degrees Hz Phase Figura 4.12: Diagrama de Bode do termo 1 4s+1 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 db Hz Magnitude -3 10 -2 10 -1 10 0 10 -180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110 -100 -90 degrees Hz Phase Figura 4.13: Diagrama de Bode de G(s) = 2 s(4s+1) 4.3. Constru¸c˜ao do Diagrama de Bode www.das.ufsc.br/labsil 90 inclina¸c˜ao zero, 20 dB/d´ecada e -20 dB/d´ecada respectivamente. Isso pode ser verificado a seguir. Um fator constante ´e uma reta paralela ao eixo das frequˆencias: |k| dB = 20log|k| e ∠k = 0 se k > 0. Um fator do tipo 1/s ´e uma reta de inclina¸c˜ ao -20 dB/d´ecada que passa por zero dB quando ω = 1 rad/seg = 1/2π Hertz: | 1 jω | dB = −|jω| dB = −20log|jω| = −20log|ω|. Sua fase ´e constante e vale -90 graus. Um fator do tipo s possui m´odulo e fase com sinais trocados. -1 10 0 10 1 10 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 db Hz Magnitude -1 10 0 10 1 10 -270 -250 -230 -210 -190 -170 -150 -130 -110 -90 degrees Hz Phase Figura 4.14: Diagrama de Bode dos termos s e 1 s Para um fator de primeira ordem do tipo 1 Ts+1 temos: • Baixas frequˆencias: lim ω→0 1 jωT+1 = 1. Logo nas baixas frequˆencias o termo se comporta como um fator constante unit´ario. • Altas frequˆencias: lim ω→∞ 1 jωT+1 = 1 jωT (ω → ∞). Logo nas altas frequˆencias o termo se comporta como um fator do tipo 1 jωT que possui fase -90 graus e m´odulo decrescendo na raz˜ao de -20 dB/d´ecada. • M´edias frequˆencias: na frequˆencia de quebra ω = 1/T o temos 1 jωT+1 = 1 j+1 que possui m´odulo −20 log( √ 2) = −3 dB e fase −tan −1 (1) = −45 graus. Veja na figura 4.15 que as ass´ıntotas (linhas pontilhadas) possuem, no m´odulo, inclina¸c˜oes de zero e -20 dB/d´ecada para baixas e altas frequˆencias respectivamente. A fase vale zero graus nas baixas frequˆencias, -90 graus nas altas frequˆencias e nas m´edias frequˆencias pode ser aproximada por uma ass´ıntota de inclina¸c˜ ao -45 graus/d´ecada. Aqui consideramos 4.3. Constru¸c˜ao do Diagrama de Bode www.das.ufsc.br/labsil 91 -30 -20 -10 0 db Hz Magnitude 0.1 T 1 T 10 T -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 degrees Hz Phase 0.1 T 1 T 10 T Figura 4.15: Diagrama de Bode do termo 1 Ts+1 e ass´ıntotas m´edias frequˆencias o intervalo entre uma d´ecada abaixo e uma d´ecada acima da frequˆencia de quebra. ´ E importante notar que o gr´afico de Ts + 1 ´e obtido trocando-se o sinal do m´odulo e fase. Para um fator de segunda ordem do tipo ω 2 n s 2 +2ξω n s+ω 2 n temos: • Baixas frequˆencias: lim ω→0 ω 2 n (jω) 2 +2ξω n (jω)+ω 2 n = 1. Logo nas baixas frequˆencias o termo se comporta como um fator constante unit´ario. • Altas frequˆencias: lim ω→∞ ω 2 n (jω) 2 +2ξω n (jω)+ω 2 n = ω 2 n (jω) 2 (ω → ∞). Logo nas altas frequˆencias o termo se comporta como um fator do tipo ω 2 n (jω) 2 que possui fase -180 graus e m´odulo decrescendo na raz˜ao de -40 dB/d´ecada. • M´edias frequˆencias: na frequˆencia de quebra ω = ω n o temos ω 2 n (jω) 2 + 2ξω n (jω) + ω 2 n = 1 j2ξ que possui m´odulo −20 log(2ξ) dB e fase −tan −1 (∞) = −90 graus. Veja na figura 4.16 que as ass´ıntotas (linhas pontilhadas) possuem, no m´odulo, inclina¸c˜oes de zero e -40 dB/d´ecada para baixas e altas frequˆencias respectivamente. A fase vale zero graus nas baixas frequˆencias, -180 graus nas altas frequˆencias e nas m´edias frequˆencias pode ser aproximada por uma ass´ıntota de inclina¸c˜ao -90 graus/d´ecada. Aqui consider- amos m´edias frequˆencias o intervalo entre uma d´ecada abaixo e uma d´ecada acima da 4.3. Constru¸c˜ao do Diagrama de Bode www.das.ufsc.br/labsil 92 0.1 ω n -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 db Hz Magnitude -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 degrees Hz Phase ξ = 0.1 ξ = 5 0.1 ω n ω n ω n ξ = 5 ξ = 0.1 ass´ıntotas ass´ıntotas 10 ω n 10 ω n Figura 4.16: Diagrama de Bode do termo ω 2 n s 2 +2ξω n s+ω 2 n e ass´ıntotas frequˆencia de quebra. A frequˆencia e o pico de ressonˆancia s˜ao calculados da seguinte forma: d dω |G(jω)| = 0 ⇒ d dω [ 1 [1 −( ω ω n ) 2 ] 2 + [2ξ ω ω n ] 2 ] = 0 Resolvendo a express˜ao acima encontramos ω r = ω n 1 −2ξ 2 , 0 ≤ ξ ≤ √ 2 2 (4.1) Se ξ > √ 2/2 n˜ao haver´ a pico de ressonˆancia e o m´odulo decai monotonicamente de 1 `a zero. Quando 0 ≤ ξ ≤ √ 2/2 o pico de ressonˆancia ´e: M r = |G(jω)| ω=ω r = 1 2ξ 1 −ξ 2 (4.2) Problema 4.2 Considere o circuito RLC da figura 4.6 com R = 0 (oscilador ideal) e suponha L = 0.01H, C = 1µF. Para esse sistema pede-se: 1. A fun¸c˜ao de transferˆencia G(s) do oscilador e seus p´olos. 2. Os diagramas de Bode da fun¸c˜ao G(jω). 3. Explique porque n˜ao se pode obter a resposta em frequˆencia desse sistema, isto ´e, porque nesse caso falham as rela¸c˜oes indicadas nas figuras 4.2 e 4.3. 4.4. Sistemas de Fase M´ınima e N˜ao-M´ınima www.das.ufsc.br/labsil 93 4. Com o aux´ılio de tabelas de transformada de Laplace obtenha as respostas do os- cilador para v(t) = sen(10 4 t)u(t) e v(t) = sen(2t)u(t). 5. Obtenha a resposta para um degrau unit´ario na entrada. Explique porque o teorema do valor final n˜ao pode ser aplicado neste caso. Exemplo 4.6 Construa os diagramas de Bode para: G(s) = 10(s + 10) s(s + 1)(s 2 + 100s + 10 4 ) Solu¸c˜ao: Quando se disp˜oe do aux´ılio de um computador e um software adequado o diagrama se constr´oi bastante facilmente (veja figura 4.19). Quando se deseja apenas um esbo¸co manual do diagrama podemos constru´ı-lo da seguinte forma. O primeiro passo consiste em fatorar G(s) numa forma onde se conhe¸ce os diagramas assint´oticos de cada um dos fatores individualmente. Os fatores que s˜ao polinˆomios de primeira e segunda ordem devem ter o termo independente unit´ario como indicado a seguir. G(s) = 10 −2 (0, 1s + 1) s(s + 1)(10 −4 s 2 + 10 −2 s + 1) Em seguida construa os diagramas assint´oticos de dois fatores quaisquer e some as duas curvas de m´odulo e de fase. Construa o diagrama assint´otico de um terceiro fator e some as curvas obtidas com o resultado anterior. Repita esse procedimento at´e que os diagramas assint´oticos de todos os fatores tenham sido levados em considera¸c˜ao. Para construir um esbo¸co dos diagramas de Bode a partir dos diagramas assint´oticos obtidos use o fato que nas frequˆencias de quebra de fatores lineares a distˆancia entre a curva real e as ass´ıntotas de de ±3 dB e nos fatores quadr´aticos ´e ±20 log(2ξ). As figuras 4.17,4.18 e 4.19 ilustram esses passos. As curvas pontilhadas s˜ao as ass´ıntotas e curvas cheias s˜ao gr´aficos reais. O intervalo de frequˆencia pode ser escolhido como sendo uma d´ecada abaixo da menor frequˆencia de quebra e uma d´ecada acima da maior. 4.4 Sistemas de Fase M´ınima e N˜ao-M´ınima Vimos em se¸c˜ oes precedentes que um sistema ´e est´avel quando todos os p´olos da sua fun¸c˜ao de transferˆencia est˜ao no semi-plano complexo esquerdo. Nesta se¸c˜ ao estudaremos algumas propriedades associadas aos zeros da fun¸c˜ ao de transferˆencia. Defini¸c˜ao 4.1 Um sistema ´e dito ser de Fase M´ınima se todos os zeros da fun¸c˜ao de transferˆencia desse sistema est˜ao no semi-plano complexo esquerdo. Caso contr´ario, isto ´e se existir algum zero no semi-plano direito ou sobre o eixo imagin´ario, o sistema ´e dito ser de Fase N˜ao-m´ınima. Para que um sistema de controle tenha algum interesse pr´atico ele deve ser est´avel, isto ´e todos os zeros da sua fun¸c˜ ao de transferˆencia devem ter parte real estritamente negativa. No entanto alguns sistemas f´ısicos est´aveis podem possuir zeros no semi-plano direito. 4.4. Sistemas de Fase M´ınima e N˜ao-M´ınima www.das.ufsc.br/labsil 94 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 -60 -50 -40 -30 -20 -10 db Magnitude -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 degrees Phase rad/s rad/s Figura 4.17: Diagrama de Bode do termo G 1 (s) = 0.01(0.1s+1) s e ass´ıntotas -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 -120 -110 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 db Magnitude -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 -150 -140 -130 -120 -110 -100 -90 degrees Phase rad/s rad/s Figura 4.18: Diagrama de Bode do termo G 2 (s) = G 1 (s) 1 s+1 e ass´ıntotas 4.4. Sistemas de Fase M´ınima e N˜ao-M´ınima www.das.ufsc.br/labsil 95 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 db rad/s Magnitude -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 -270 -250 -230 -210 -190 -170 -150 -130 -110 -90 degrees rad/s Phase Figura 4.19: Diagrama de Bode do termo G(s) = G 2 (s) 1 10 −4 s 2 +10 −2 s+1 e ass´ıntotas r 2 r 1 C C r 2 r 1 x + - y - + Figura 4.20: Circuito de fase n˜ao m´ınima (r 2 > r 1 ) 4.4. Sistemas de Fase M´ınima e N˜ao-M´ınima www.das.ufsc.br/labsil 96 Exemplo 4.7 O circuito da figura 4.20 possui x(t) como tens˜ao de entrada e y(t) como tens˜ao de sa´ıda. A equa¸c˜ao diferencial que rege o comportamento do circuito ´e y +rC ˙ y = x −r 0 ˙ x onde r = r 1 +r 2 e r 0 = r 2 −r 1 . A fun¸c˜ao de transferˆencia desse circuito ´e ent˜ao G(s) = 1 −r 0 Cs 1 + rCs (4.3) Note que G(s) possui um p´olo em s = − 1 rC e um zero em s = 1 r 0 C . Portanto o sistema ´e est´avel de fase n˜ao m´ınima se escolhemos r 2 > r 1 , pois nesse caso o zero de G(s) est´a no semi-plano direito. Se escolhemos r 2 < r 1 o sistema ´e est´avel de fase m´ınima pois agora o zero de G(s) est´a no semi-plano esquerdo. O diagrama de Bode desse sistema ´e indicado na figura 4.21 para caso (a): r 1 = 10KΩ, r 2 = 20KΩ, C = 1µF e na figura 4.22 para caso (b): r 2 = 10KΩ, r 1 = 20KΩ, C = 1µF. Veja que o diagrama de m´odulo ´e igual para os dois casos mas o diagrama de fase ´e diferente. -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 db Hz Magnitude -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 degrees Hz Phase Figura 4.21: Caso (a): Sistema de fase n˜ao m´ınima (r 2 > r 1 ) Sistemas de fase m´ınima possuem propriedades bastante interessantes. S˜ao mais simples de serem controlados e os seus diagramas de Bode (m´odulo e fase) s˜ao assint´ oticos nas altas e baixas frequˆencias e al´em disso podemos relacionar a ass´ıntota de m´odulo com a de fase atrav´es do grau relativo do sistema. Grau relativo de um sistema ´e a diferen¸ca de grau entre o denominador e o numerador da fun¸c˜ ao de transferˆencia do mesmo. Veja o que ocorre se considerarmos um sistema que possui uma fun¸c˜ao de transferˆencia do tipo: G(s) = K(a m s m +· · · + a 1 s + 1) b n s n +· · · + b 1 s + 1 (4.4) com a n , b n , K reais positivos. 4.5. Gr´aficos de Nyquist (ou polares) www.das.ufsc.br/labsil 97 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 db Hz Magnitude -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 -30 -26 -22 -18 -14 -10 -6 -2 2 degrees Hz Phase Figura 4.22: Caso (b): Sistema de fase m´ınima (r 2 < r 1 ) O grau relativo desse sistema ´e n − m. Note que n − m ≥ 0 para todo sistema de interesse pr´atico. Nas baixas frequˆencias temos: lim ω→0 G(jω) = K Logo o diagrama de m´odulo nas baixas frequˆencias ´e uma ass´ıntota de inclina¸c˜ ao zero e valor dado por 20 log(K). O diagrama de fase nas baixas frequˆencias tamb´em ´e uma ass´ıntota de inclina¸c˜ao zero e valor zero pois K > 0. Nas altas frequˆencias temos: lim ω→∞ G(jω) = lim ω→∞ K a m b n (jω) m−n O diagrama de m´odulo nas altas frequˆencias ´e uma ass´ıntota de inclina¸c˜ ao 20(m − n) dB por d´ecada e o valor onde esta ass´ıntota cruza o eixo das frequˆencias ´e dado por ω = (K a m b n ) 1 n−m . O diagrama de fase nas altas frequˆencias tamb´em ´e uma ass´ıntota de inclina¸c˜ao zero e valor 90(m − n) graus. Assim note que num sistema de fase m´ınima temos que se o m´odulo decai assintoticamente com 20(m−n) dB por d´ecada a fase vale 90(m − n) graus. Verifique este resultado no exemplo 4.7. Nesse exemplo n = m = 1 (grau relativo zero) e portanto no caso (b) quando r 2 < r 1 (sistema de fase m´ınima) o m´odulo tende `a uma ass´ıntota de inclina¸c˜ao zero e a fase tende a zero graus nas altas frequˆencias. Isto n˜ao ocorre no caso (a) quando r 2 > r 1 (sistema de fase n˜ao m´ınima). 4.5 Gr´aficos de Nyquist (ou polares) Como vimos na sub-se¸c˜ ao 4.2, podemos representar a fun¸c˜ ao complexa Gjω) em termos das suas coordenadas polares. No eixo horizontal plotamos Re[G(jω)] e no eixo vertical 4.5. Gr´aficos de Nyquist (ou polares) www.das.ufsc.br/labsil 98 Im[G(jω)]. Este gr´afico recebe o nome de diagrama de Nyquist. A constru¸c˜ ao de um esbo¸co manual para esses gr´aficos n˜ao ´e uma tarefa f´acil em geral. No entanto podemos construir o diagrama de Nyquist a partir dos diagramas de Bode. Com alguns pontos de m´odulo e fase dos diagramas de Bode podemos construir um esbo¸co do diagrama de Nyquist. O ponto (-1,0) do diagrama de Nyquist tem um papel muito importante na an´alise de estabilidade de sistemas realimentados. A figura 4.23 mostra os diagramas de Nyquist dos termos G 1 (s) = (s + 1) −1 , G 2 (s) = (s+1) −2 , G 3 (s) = (s+1) −3 , G 4 (s) = (s+1) −4 . Note na figura 4.23 que o gr´afico de todos -0.4 -0.2 -0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -0.0 0.1 0.001 0.011 0.021 0.032 0.042 0.055 0.073 0.093 0.12 0.15 0.19 0.24 ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ 0.001 0.011 0.021 0.032 0.042 0.055 0.073 0.093 0.12 0.15 0.19 0.24 ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ 0.001 0.011 0.021 0.032 0.042 0.055 0.073 0.093 0.12 0.15 0.19 0.24 ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ 0.001 0.011 0.021 0.032 0.042 0.055 0.073 0.093 0.12 0.15 0.19 0.24 ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ Im(h(2i*pi*f)) Re(h(2i*pi*f)) Nyquist plot G 1 G 3 G 4 G 2 Figura 4.23: Diagrama de Nyquist de G 1 (2πf), G 2 (2πf), G 3 (2πf), G 4 (2πf) os termos come¸cam no ponto (1,0) na frequˆencia zero e `a medida que a frequˆencia aumenta tendem para a origem. O termo de primeira ordem G 1 (s) tende `a origem com fase -90 graus (tangente ao eixo imagin´ario negativo), como podemos verificar no diagrama de Bode desse termo. O termo de segunda ordem G 2 (s) tende `a origem com fase -180 graus (tangente ao eixo real negativo), o de terceira ordem G 3 (s) tende `a origem com fase -270 graus (tangente ao eixo imagin´ario positivo) e o de quarta ordem com fase -360 graus (tangente ao eixo real positivo). Os n´ umeros indicados no diagrama s˜ao os valores da frequˆencia em Hz para cada um dos casos. Um esbo¸co dos gr´aficos nesses casos simples podem ser obtidos encontrando-se os valores onde as curvas cruzam os eixos. No caso de G 2 (s) por exemplo, basta calcular ω tal que Re[G 2 (jω)] = 0 (no caso ω = 1 rad/s) e com o valor da frequˆencia obtida calcular o valor de Im[G 2 (jω)] nessa frequˆencia (no caso Im[G 2 (j1)] = −0.5). Esse ´e o valor onde a curva de G 2 (s) cruza o eixo imagin´ario. A presen¸ca de integradores na fun¸c˜ao de transferˆencia de um sistema muda bastante a forma do diagrama de Nyquist. Veja na figura 4.24 como ficam os diagramas das fun¸c˜ oes H 1 (s) = 1 s(s+1) , H 2 (s) = 1 s(s+1) 2 , H 3 (s) = 1 s(s+1) 3 , H 4 (s) = 1 s(s+1) 4 . Note que as fun¸c˜ oes H i (s), i = 1, 2, 3, 4 foram obtidas adicionando-se um integrador `as fun¸c˜ oes G i (s) cujos diagramas est˜ao na figura 4.23. 4.6. Problemas Complementares www.das.ufsc.br/labsil 99 -4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 0.001 0.0013 0.0017 0.0022 0.003 0.004 0.0056 0.0094 0.07 ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ 0.001 0.0013 0.0017 0.0022 0.003 0.004 0.0056 0.0094 0.07 ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ 0.001 0.0013 0.0017 0.0022 0.003 0.004 0.0056 0.0094 0.07 ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ 0.001 0.0013 0.0017 0.0022 0.003 0.004 0.0056 0.0094 0.07 ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ Im(h(2i*pi*f)) Nyquist plot H 1 (2πf) H 2 (2πf) H 3 (2πf) H 4 (2πf) Re(h(2i*pi*f)) Figura 4.24: Diagrama de Nyquist de H 1 (2πf), H 2 (2πf), H 3 (2πf), H 4 (2πf) 4.6 Problemas Complementares Problema 4.3 A figura 4.25 mostra o diagrama de Bode de um sistema linear invari- ante. Diga se o sistema ´e est´avel, de fase m´ımina, e encontre uma fun¸c˜ao de transferˆencia que tenha um diagrama de Bode similar. Sugest˜ao: construa os diagramas assint´oticos de m´odulo e fase e partir deles responda as quest˜oes acima. Problema 4.4 Um sistema ´e regido pela seguinte equa¸c˜ao diferencial ¨ y + ˙ y + y = x. Calcule a resposta de regime do sistema nas seguintes situa¸c˜oes: a) x(t) = degrau unit´ario. b) x(t) = cos(10t + π 4 ). c) x(t) = e j5t . Problema 4.5 A figura 4.26 mostra a resposta em frequˆencia de um sistema linear in- variante. Diga se o sistema ´e est´avel e de fase m´ımina. Construa o diagrama assint´otico e encontre os valores das constantes k, a, b, c 1 , c 2 de tal forma que a fun¸c˜ao F(s) abaixo tenha uma resposta em frequˆencia similar. F(s) = k as + 1 (bs + 1)(c 1 s 2 + c 2 s + 1) 4.6. Problemas Complementares www.das.ufsc.br/labsil 100 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 -110 -90 -70 -50 -30 -10 10 db Hz Magnitude -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 -190 -170 -150 -130 -110 -90 -70 -50 -30 -10 degrees Hz Phase Figura 4.25: Diagrama de Bode de um sistema linear invariante -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 db Hz Magnitude -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 degrees Hz Phase Figura 4.26: Resposta em frequˆencia de um sistema linear invariante Cap´ıtulo 5 Sinais e a Transformada de Fourier Vimos nos m´etodos de resposta em frequˆencia que para um sistema cuja fun¸c˜ao de transferˆencia ´e F(s), a fun¸c˜ ao F(jω) fornece informa¸c˜ oes importantes sobre o comporta- mento do sistema em regime senoidal estacion´ario. Neste cap´ıtulo estudaremos a transformada de Fourier e como essa transformada pode nos auxiliar na an´alise de sinais e suas propriedades. A transformada de Fourier de um sinal transforma um sinal f(t) numa fun¸c˜ ao complexa F(ω), conhecida como espectro do sinal f(t). As equa¸c˜ oes que definem a transforma¸c˜ ao de vari´ aveis (f(t) para F(ω) e vice- versa) s˜ao dadas em (5.1). Estas opera¸c˜ oes, conhecidas como transformada de Fourier e sua inversa s˜ao ilustradas na figura 5.1. f(t) F(ω) F[f(t)] F −1 [F(ω)] Figura 5.1: Operador Transformada de Fourier e seu inverso f(t) = F −1 [F(ω)] = 1 2π ∞ −∞ F(ω)e jωt dω F(ω) = F[f(t)] = ∞ −∞ f(t)e −jωt dt (5.1) Existem sinais f(t) para os quais n˜ao ´e poss´ıvel se calcular a Transformada de Fourier. Uma condi¸c˜ao suficiente para a existˆencia da Transformada de Fourier ´e indicada a seguir: |F(ω)| = | ∞ −∞ f(t)e −jωt dt| ≤ ∞ −∞ |f(t)e −jωt | dt = ∞ −∞ |f(t)| dt < ∞ Logo, se o sinal f(t) ´e integr´ avel em m´odulo a sua transformada vai seguramente existir. No entanto o contr´ ario n˜ao ´e verdade em geral, pois sinais como seno, cosseno, e degrau 5.2. Energia de sinais www.das.ufsc.br/labsil 102 n˜ao s˜ao integr´ aveis em m´odulo mas suas transformadas existem como casos limites e podem ser expressas com o aux´ılio de fun¸c˜ oes impulsos. 5.1 Conex˜oes entre Fourier e Laplace Para melhor entender as conex˜oes entre as transformadas de Fourier e Laplace vamos rescrever as defini¸c˜ oes dessas transformadas. F(ω) = ∞ −∞ f(t)e −jωt : Transformada de Fourier (bilateral −∞< t < ∞). F(ω) = ∞ 0 f(t)e −jωt : Transformada de Fourier (unilateral 0 ≤ t < ∞). F(s) = ∞ 0 f(t)e −st : Transformada de Laplace (0 ≤ t < ∞). Note que na transformada Laplace apenas nos interessa analisar sinais para t ≥ 0 enquanto que na transformada de Fourier podemos considerar sinais definidos de −∞< t < ∞ (transformada bilateral de Fourier). Al´em disso se fazemos s = jω na defini¸c˜ao de transformada de Laplace obtemos a pr´opria defini¸c˜ ao da transformada de Fourier unilateral. Isso mostra que a transformada unilateral de Fourier ´e idˆentica `a transformada de Laplace com s = jω. No entanto, lembre que a fun¸c˜ao F(s) est´a bem definida para valores da vari´avel s dentro da regi˜ao de convergˆencia da transformada de Laplace (veja se¸c˜ao 2.2). Assim, podemos fazer s = jω apenas quando esses valores da vari´ avel s est˜ao dentro da regi˜ao de convergˆencia dessa transformada. A regi˜ao de convergˆencia da transformada de Laplace ´e a regi˜ao do plano complexo `a direita do p´olo mais `a direita de F(s). Logo, para que possamos fazer s = jω a fun¸c˜ ao F(s) n˜ao pode ter p´olos sobre o eixo imagin´ario e nem `a direita dele, isto ´e o sinal f(t) deve possuir energia limitada (veja se¸c˜ ao 2.5). Nessas condi¸c˜ oes, ao fazermos s = jω estamos obtendo a Transformada de Fourier F(ω) a partir da Transformada de Laplace F(s), pois nesses casos: F(s)| s=jω = F(jω) = F(ω) Quando a regi˜ao de convergˆencia de Laplace n˜ao contiver o eixo imagin´ario a igualdade acima deixa de ser verdadeira como veremos em alguns exemplos. 5.2 Energia de sinais Veremos a seguir que o m´odulo da Transformada de Fourier est´a associado `a energia do sinal. Neste cap´ıtulo vamos definir energia de um sinal f(t) como sendo: E = ∞ −∞ f(t) 2 dt (5.2) 5.2. Energia de sinais www.das.ufsc.br/labsil 103 Por exemplo, se f(t) representa a tens˜ao ou corrente num resistor unit´ario, a energia do sinal f(t) ´e dada pela integral acima. Os sinais que possuem energia limitada (E < ∞) s˜ao portanto de grande interesse pr´atico. Veremos a seguir que a energia de um sinal est´a ligada ao m´odulo da Transformada de Fourier do sinal em quest˜ao. Antes por´em, devemos relembrar algumas propriedades da fun¸c˜ao F(ω) dadas no exemplo 5.1. Exemplo 5.1 Mostre que |F(ω)| ´e uma fun¸c˜ao par de ω e ∠F(ω) ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar de ω. Solu¸c˜ao: Seja F(ω) = M(ω)e jφ(ω) onde M(ω) e φ(ω) denotam respectivamente o m´ odulo e a fase de F(ω). Note que f(t) ´e um sinal real logo f(t) e seu conjugado complexo f(t) s˜ao iguais, isto ´e f(t) = f(t). Ent˜ao a conjuga¸c˜ao complexa de F(ω) resulta: F(ω) = ∞ −∞ f(t)e −jωt dt = ∞ −∞ f(t)e −jωt dt = ∞ −∞ f(t)e jωt dt = F(−ω) Portanto F(−ω) = F(ω) = M(ω)e −jφ(ω) que nos leva `as conclus˜oes desejadas: |F(ω)| = |F(−ω)| = M(ω) (fun¸c˜ao par) ∠F(ω) = −∠F(−ω) (fun¸c˜ao ´ımpar) Podemos agora mostrar que a energia de um sinal est´a ligada ao m´odulo da Transfor- mada de Fourier do sinal em quest˜ao. Com f(t) de (5.1) obtemos: E = ∞ −∞ f(t) 2 dt = ∞ −∞ f(t) f(t) dt = ∞ −∞ f(t) 1 2π ∞ −∞ F(ω)e jωt dω dt = 1 2π ∞ −∞ F(ω) ∞ −∞ f(t)e −jωt dt dω = 1 2π ∞ −∞ F(ω)F(ω)dω Como F(ω)F(ω) = |F(ω)| 2 ficamos com: E = 1 2π ∞ −∞ |F(ω)| 2 dω (5.3) A f´ormula acima ´e conhecida como teorema de Parseval. Note ainda que como |F(ω)| ´e uma fun¸c˜ ao par temos: E = 1 π ∞ 0 |F(ω)| 2 dω (5.4) A quantidade |F(ω)| 2 π ´e `as vezes chamada de densidade espectral de energia. Exemplo 5.2 Encontre o intervalo de frequˆencia [−ω 0 , ω 0 ] que cont´em metade da energia do sinal f(t) = e −t , t ≥ 0. 5.3. C´alculo de algumas transformadas www.das.ufsc.br/labsil 104 Solu¸c˜ao: Seja E T a energia total do sinal dada por E T = ∞ −∞ f(t) 2 dt = ∞ 0 e −2t dt = 1 2 Como F(ω) = F[f(t)] = 1 1+jω temos que a energia no intervalo [−ω 0 , ω 0 ] ´e dada por: E ω 0 = 1 2π ω 0 −ω 0 |F(ω)| 2 dω = 1 π ω 0 0 1 1 + ω 2 dω = 1 π tan −1 (ω 0 ) Queremos metade da energia total, ou seja, 1/4, logo: 1 π tan −1 (ω 0 ) = 1 4 ⇒ω 0 = 1rad/s Logo metade da energia do sinal est´a no intervalo de frequˆencia entre [−1, 1]. 5.3 C´alculo de algumas transformadas 5.3.1 Sinal Exponencial Unilateral (t ≥ 0) Seja: f(t) = e −at u(t), a > 0 Ent˜ao: F(ω) = F[f(t)] = ∞ −∞ e −at u(t)e −jωt dt = ∞ 0 e −(a+jω)t dt = 1 a +jω Note que F(ω) = F(s)| s=jω pois a regi˜ao de convergˆencia da Transformada de Laplace F(s) cont´em o eixo imagin´ario jω. Se a < 0 a Transformada de Fourier n˜ao mais existe. 5.3.2 Sinal Porta Usaremos a nota¸c˜ ao G τ (t) para definir o sinal porta (gate) de largura τ como indicado a seguir. G τ (t) = 1, |t| < τ/2 0, |t| > τ/2 A transformada do sinal porta ´e calculada da seguinte forma. F(ω) = F[G τ (t)] = τ/2 −τ/2 e −jωt dt = 1 jω (e jωτ/2 −e −jωτ/2 ) = τ sen(ωτ/2) (ωτ/2) = τS a [ ωτ 2 ] 5.3. C´alculo de algumas transformadas www.das.ufsc.br/labsil 105 G τ (t) t 1 τ 2 − τ 2 Figura 5.2: Sinal Porta de largura τ -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1 Sa(x) x Figura 5.3: Fun¸ c˜ao Sa(x) = sen(x) x 5.3. C´alculo de algumas transformadas www.das.ufsc.br/labsil 106 A fun¸c˜ao Sa(x) = sen(x) x ´e conhecida como fun¸c˜ ao amostragem (sampling) e est´a indicada na figura 5.3. G τ (t) ←→τS a ( ωτ 2 ) (5.5) Note que F(ω) nesse caso ´e real pois f(t) ´e par. Se f(t) for ´ımpar ent˜ao F(ω) ´e imagin´ario puro. 5.3.3 Sinal Impulso: A nota¸c˜ao para a fun¸c˜ao impulso unit´ario que ocorre no instante zero ´e δ(t). Como δ(t) = 0 para t = 0 temos: ∞ −∞ δ(t)f(t)dt = ∞ −∞ δ(t)f(0)dt = f(0) ∞ −∞ δ(t) dt = f(0) Logo: F(ω) = F[δ(t)] = ∞ −∞ δ(t)e −jωt dt = e j0 = 1 δ(t) ←→1 O seguinte resultado ser´a ´ util na prova de alguns teoremas. Seja f(t) a fun¸c˜ao definida a seguir. f(t) = K π S a (Kt) Podemos mostrar que a ´area dessa fun¸c˜ao ´e unit´aria para qualquer valor do parˆametro K, isto ´e, ∞ −∞ K π S a (Kt) dt = 1, ∀K Com esse resultado podemos ainda mostrar que quando K tende `a infinito a fun¸c˜ ao f(t) tende `a fun¸c˜ ao impulso. δ(t) = lim K→∞ K π S a (Kt) (5.6) 5.3.4 Fun¸c˜ oes Constante, Sinal e Degrau A transformada do degrau n˜ao pode ser facilmente obtida pela aplica¸c˜ao da defini¸c˜ ao. A seguir veremos como obtˆe-la com o aux´ılio das transformadas das fun¸c˜ oes sinal e constante. A fun¸c˜ao constante unit´aria pode ser vista como o caso limite da fun¸c˜ ao porta, isto ´e 5.3. C´alculo de algumas transformadas www.das.ufsc.br/labsil 107 lim τ→∞ G τ (t) = 1. Logo com (5.5),(5.6) temos que F[1] = F[ lim τ→∞ G τ (t)] = lim τ→∞ F[G τ (t)] = lim τ→∞ τS a (ωτ/2) = 2π lim τ→∞ τ 2π S a (ωτ/2) = 2πδ(ω) (5.7) A fun¸c˜ ao sinal ´e definida como sendo: sgn(t) = 1, t > 0 −1, t < 0 1 -1 0 t sgn(t) Figura 5.4: Fun¸c˜ao Sinal A fun¸c˜ ao sinal pode ser expressa atrav´es do seguinte limite: sgn(t) = lim a→0 (e −at u(t) −e at u(−t)) e portanto podemos calcular sua transformada da seguinte forma: F[sgn(t)] = F[ lim a→0 (e −at u(t) −e at u(−t))] = lim a→0 F[e −at u(t) −e at u(−t)] = lim a→0 −2jω a 2 +ω 2 = 2 jω (5.8) O resultado acima nos permite calcular agora a Transformada do degrau. Como u(t) = 1 2 (1 + sgn(t)) temos: F[u(t)] = 1 2 F[1] + 1 2 F[sgn(t)] = πδ(ω) + 1 jω Resumindo: 1 ←→2πδ(ω) sgn(t) ←→ 2 jω (5.9) u(t) ←→πδ(ω) + 1 jω 5.3. C´alculo de algumas transformadas www.das.ufsc.br/labsil 108 5.3.5 Sinais Senoidais Nos ocuparemos agora das transformadas das fun¸c˜ oes senoidais. Pela defini¸c˜ ao temos F[cos(ω 0 t)] = ∞ −∞ cos(ω 0 t)e −jωt dt = lim T→∞ T/2 −T/2 cos(ω 0 t)e −jωt dt como cos(ω 0 t) = e jω 0 t +e −jω 0 t 2 temos: F[cos(ω 0 t)] = lim T→∞ T 2 {S a [T (ω −ω 0 ) 2 ] + S a [T (ω + ω 0 ) 2 ]} com (5.6) temos: F[cos(ω 0 t)] = π[δ(ω −ω 0 ) + δ(ω + ω 0 )] (5.10) Da mesma forma obtem-se: F[sen(ω 0 t)] = jπ[δ(ω + ω 0 ) −δ(ω −ω 0 )] (5.11) Note que a Transformada de Fourier do sen(ω 0 t) e cos(ω 0 t) s´o n˜ao ´e nula nas frequˆencias ±ω 0 . Isto mostra que esses sinais possuem energia concentrada nessas frequˆencias. Isso n˜ao ocorreria se as fun¸c˜oes fossem sen(ω 0 t)u(t) ou cos(ω 0 t)u(t). Nesse caso obter´ıamos: F[cos(ω 0 t)u(t)] = π 2 [δ(ω −ω 0 ) + δ(ω + ω 0 )] + jω ω 2 0 −ω 2 F[sen(ω 0 t)u(t)] = π 2j [δ(ω −ω 0 ) −δ(ω + ω 0 )] + ω 0 ω 2 0 −ω 2 que ´e algo bastante similar ao que obter´ıamos a partir da Transformada de Laplace para s = jω. F(s) = L[cos(ω 0 t)] = s ω 2 0 + s 2 →F(jω) = jω ω 2 0 −ω 2 F(s) = L[sen(ω 0 t)] = ω 0 ω 2 0 + s 2 →F(jω) = ω 0 ω 2 0 −ω 2 Os resultados n˜ao coincidem pois a regi˜ao de convergˆencia da Transformada de Laplace dessas duas fun¸c˜oes n˜ao cont´em o eixo imagin´ario. 5.3.6 Exponencial Eterna e jω 0 t Como e jω 0 t = cos(ω 0 t) + jsen(ω 0 t) temos com os resultados anteriores: F[e jω 0 t ] = 2πδ(ω −ω 0 ) (5.12) 5.3. C´alculo de algumas transformadas www.das.ufsc.br/labsil 109 5.3.7 Fun¸c˜ oes Peri´ odicas A transformada de fun¸c˜ oes peri´odicas se faz com o aux´ılio da decomposi¸c˜ ao dessas fun¸c˜oes via s´erie exponencial de Fourier. Seja f(t) uma fun¸c˜ ao peri´odica de per´ıodo T. Ent˜ ao f(t) pode ser expressa em termos da S´erie exponencial de de Fourier indicada abaixo. f(t) = ∞ ¸ n=−∞ F n e jω n t , t 0 < t < t 0 + T (5.13) onde ω 0 = 2π T ´e conhecido como frequˆencia fundamental do sinal e ω n = nω 0 , n = 1, 2, 3, ... s˜ao as frequˆencias harmˆonicas do sinal. A primeira harmˆonica ´e a pr´opria frequˆencia fundamental. O coeficiente F 0 ´e o valor m´edio do sinal no per´ıodo e F n , n = ±1, ±2, ±3, ... s˜ao os coeficientes harmˆonicos. F 0 = 1 T t 0 +T t 0 f(t)dt (5.14) F n = 1 T t 0 +T t 0 f(t)e −jω n t dt (5.15) Tomando-se as transformadas dos dois lados de (5.13) temos: F[f(t)] = ∞ ¸ n=−∞ F n F[e jnω 0 t ] = 2π ∞ ¸ n=−∞ F n δ(ω −nω 0 ) (5.16) A express˜ao acima mostra que a transformada de Fourier de um sinal peri´odico n˜ao ´e nula apenas nas frequˆencias harmˆonicas do sinal. Logo a energia de sinais peri´odicos est´a concentrada nas frequˆencias harmˆonicas do sinal. Problema 5.1 Pela defini¸c˜ao acima mostre que F n ´e F −n s˜ao complexos conjugados. Sugest˜ao: use a f´ormula de Euler e jx = cos(x) + jsen(x). Problema 5.2 Mostre que se f(t) ´e uma fun¸c˜ao par, isto ´e f(t) = f(−t), ent˜ao F n e F[f(t)] s˜ao ambos reais e se f(t) ´e ´ımpar, isto ´e f(t) = −f(−t), F n e F[f(t)] s˜ao puramente imagin´arios. Sugest˜ao: use a f´ormula de Euler e jx = cos(x) + jsen(x). Exemplo 5.3 Calcule a transformada de Fourier da fun¸c˜ao peri´odica da figura 5.5. Solu¸c˜ao: Podemos verificar pela figura que o valor m´edio de f(t) no per´ıodo ´e nulo, isto ´e F 0 = 0. A frequˆencia fundamental do sinal ´e ω 0 = 2π T = 1. Como f(t) ´e ´ımpar 5.3. C´alculo de algumas transformadas www.das.ufsc.br/labsil 110 t f(t) 1 -1 T 0 π 2π Figura 5.5: Fun¸ c˜ao onda quadrada de per´ıodo 2π. temos: F n = 1 T t 0 +T t 0 f(t) e −jω n t dt = 1 2π 2π 0 f(t) (cos(ω n t) −jsen(ω n t))dt = −j 2π 2π 0 f(t)sen(ω n t)dt = −j 2π [ π 0 sen(nω 0 t)dt + 2π π −sen(nω 0 t) dt] = −j 2π ([ −cos(nω 0 t) nω 0 ] π 0 + cos(nω 0 t) nω 0 | 2π π ) = −j 2nπ (−cos(nπ) + 1 + cos(n2π) −cos(nπ)) = −j 2nπ (2 −2cos(nπ)) = −2j nπ se n ´e ´ımpar e 0 se n ´e par Logo para n ´ımpar temos: F[f(t)] = 2π ∞ ¸ n=−∞ −2j nπ δ(ω −n) Al´em disso, com (5.13) e n ´ımpar ficamos com: f(t) = ∞ ¸ n=−∞ −2j nπ e jnt = ∞ ¸ n=−∞ −2j nπ (cos(nt) + jsen(nt)) = 4 π ∞ ¸ n=1 1 n sen(nt) Exemplo 5.4 Calcule a Transformada de Fourier da fun¸c˜ao trem de impulsos indicada na figura 5.7. Solu¸c˜ao: A fun¸c˜ao trem de impulsos ´e uma fun¸c˜ao peri´odica e se denotarmos seu per´ıodo por T podemos escrevˆe-la da seguinte forma: δ T (t) = ∞ ¸ n=−∞ δ(t −nT) 5.3. C´alculo de algumas transformadas www.das.ufsc.br/labsil 111 0 1 2 3 4 5 6 7 -1.3 -0.9 -0.5 -0.1 0.3 0.7 1.1 1.5 n = 1 n = 5 n = ∞ n = 3 t f(t) Figura 5.6: Aproxima¸c˜ ao de sinais pela s´erie trigonom´etrica de Fourier. Como δ T (t) ´e peri´odica de per´ıodo T temos: F[δ T (t)] = 2π ∞ ¸ n=−∞ F n δ(ω −nω 0 ) onde F n , n = ±1, ±2, ±3, ... s˜ao os coeficiente harmˆonicos do sinal que s˜ao dados por: F n = 1 T T/2 −T/2 δ T (t)e −jnω 0 t dt = 1 T T/2 −T/2 δ(t)e jnω 0 t dt = 1 T e −jnω 0 0 = 1 T Logo F[δ T (t)] = 2π T ∞ ¸ n=−∞ δ(ω −nω 0 ) = ω 0 δ ω 0 (ω) δ T (t) T t ... ... F[δ T (t)] ω 0 ω ω 0 δ(ω −nω 0 ) ... ... δ(t −nT) Figura 5.7: Trem de impulsos e sua transformada δ T (t) ←→ω 0 δ ω 0 (ω) 5.4. Propriedades da transformada www.das.ufsc.br/labsil 112 5.4 Propriedades da transformada Em primeiro lugar, vale a pena salientar que para fun¸c˜ oes integr´aveis em m´odulo pode- mos obter a transformada de Fourier diretamente da transformada de Laplace com a mudan¸ca de vari´ avel s = jω. Portanto, para fun¸c˜ oes integr´aveis em m´odulo todas as pro- priedades da transformada de Laplace continuam v´alidas para a transformada de Fourier. A seguir apresentaremos algumas das propriedades mais importantes. 5.4.1 Linearidade Se F[f 1 (t)] = F 1 (ω) e F[f 2 (t)] = F 2 (ω) ent˜ ao: F[α 1 f 1 +α 2 f 2 ] = α 1 F 1 (ω) + α 2 F 2 (ω) 5.4.2 Simetria Se F[f(t)] = F(ω) ent˜ao F[F(t)] = 2π f(−ω). Veja como aplicar essa propriedade para descobrir a transformada de Fourier da fun¸c˜ ao sampling. Sabemos de (5.5) que F[G τ (t)] = τSa( ωτ 2 ). Por compara¸c˜ao com a nota¸c˜ ao acima temos f(t) = G τ (t) e F(ω) = τSa( ωτ 2 ). Logo, pela propriedade de simetria F[F(t)] = 2π f(−ω) deduzimos F[τSa( tτ 2 )] = 2π G τ (−ω) Com a mudan¸ca de vari´avel τ 2 = Ω e lembrando que G τ (−ω) = G τ (ω) pois a fun¸c˜ ao porta ´e par ficamos com o resultado desejado: F[Sa(Ωt)] = π Ω G 2Ω (ω) (5.17) 5.4.3 Escalonamento Se F[f(t)] = F(ω) ent˜ao: F[f(at)] = 1 |a| F( ω a ) Exemplo 5.5 Calcule F[G 2γ (t)]. Solu¸c˜ao: Como j´a sabemos que F[G τ (t)] = τ S a ( ωτ 2 ) com a mudan¸ca de vari´avel τ = 2γ temos que F[G 2γ (t)] = 2γ S a (ωγ). Esta mudan¸ca de vari´avel corresponde `a aplica¸c˜ao da propriedade de escalonamento acima com o fator de escala a = 0.5, isto ´e com a mudan¸ca de escala t = 0.5 t . 5.4. Propriedades da transformada www.das.ufsc.br/labsil 113 5.4.4 Deslocamento em Frequˆencia e Modula¸c˜ao Se F[f(t)] = F(ω) ent˜ao: F[f(t)e jω 0 t ] = F(ω −ω 0 ) Note que multiplicar f(t) pela exponencial complexa e jω 0 t corresponde a deslocar todo o espectro de f(t) centrando-o na frequˆencia ω 0 . Na pr´atica ao inv´es de utilizar exponenciais complexas para deslocar o espectro do sinal utiliza-se fun¸c˜oes do tipo cos(ω 0 t). Veja oque acontece com o espectro do sinal ap´os a multiplica¸c˜ ao de f(t) pelo cosseno. F[f(t) cos(ω 0 t)] = F[f(t) ( e jω 0 t +e −jω 0 t 2 )] = F[f(t) e jω 0 t ] +F[f(t) e −jω 0 t ] 2 = F(ω + ω 0 ) + F(ω −ω 0 ) 2 Ao multiplicar um sinal f(t) pelo cos(ω 0 t) estamos atenuando pela metade e deslocando todo o espectro do sinal f(t) para as frequˆencias ±ω 0 . Este artif´ıcio ´e conhecido como modula¸c˜ ao em amplitude pois o sinal f(t), conhecido como sinal modulado, ´e a amplitude do cosseno. A fun¸c˜ ao cos(ω 0 t) recebe o nome de portadora de frequˆencia ω 0 . A figura 5.8 mostra a transformada de Fourier do sinal porta de largura unit´aria G 1 (t). A figura 5.9 ilustra a o espectro do sinal modulado cos(100t)G 1 (t). -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 F[G 1 (t)] ω Figura 5.8: Transformada de Fourier do sinal porta de largura unit´aria G 1 (t). 5.4. Propriedades da transformada www.das.ufsc.br/labsil 114 -200 -160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160 200 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 F[cos(100t)G 1 (t)] ω Figura 5.9: Transformada de Fourier do sinal cos(100t)G 1 (t). A modula¸c˜ao de sinais ´e utilizada em comunica¸c˜ oes de r´adio transmiss˜ao AM. Em controle de sistemas, a modula¸c˜ao ´e utilizada para deslocar a energia do sinal de controle para a faixa de frequˆencia onde o sistema funciona. A recupera¸c˜ao de um sinal modulado (demodula¸c˜ao) pode ser feita de v´arias formas. Uma delas consiste em modular novamente o sinal e em seguida filtrar as frequˆencias indesejadas. MOD MOD FILTRO IDEAL f(t) f(t) cos(ω 0 t) cos(ω 0 t) f(t)cos(ω 0 t) f(t)cos 2 (ω 0 t) Figura 5.10: Demodula¸c˜ao de um sinal 5.4.5 Deslocamento no Tempo Se F[f(t)] = F(ω) ent˜ao: F[f(t −t 0 )] = F(ω)e −jωt 0 Note que deslocar em atraso uma fun¸c˜ ao no tempo de t 0 segundos significa atrasar a fase do seu espectro de ωt 0 rad para cada valor da frequˆencia ω. 5.4. Propriedades da transformada www.das.ufsc.br/labsil 115 5.4.6 Diferencia¸c˜ao e Integra¸c˜ao no Tempo De maneira similar `a transformada de Laplace podemos relacionar as transformadas de Fourier de uma fun¸c˜ao e de sua derivada (ou integral). Se F[f(t)] = F(ω) ent˜ao: F[ df(t) dt ] = jωF(ω) e F[ t −∞ f(τ)dτ] = 1 jω F(ω) , se F(ω) = 0 para ω = 0 A restri¸c˜ao F(ω) = 0 para ω = 0 implica que o valor m´edio do sinal deve ser nulo, isto ´e ∞ −∞ f(t)dt = 0. Essa restri¸c˜ao pode ser eliminada mas a express˜ao acima se torna mais complicada. Para maiores detalhes veja, por exemplo [5]. Exemplo 5.6 Obtenha a Transformada de Fourier do sinal f(t) da figura 5.11. 0 t A −b −a b a f(t) Figura 5.11: Sinal linear por trechos Solu¸c˜ao: Ao inv´es de calcular F[f(t)] diretamente vamos utilizar o fato que F[ df(t) dt ] = jωF(ω) onde F(ω) ´e a fun¸c˜ao que estamos procurando. A figura 5.12 mostra a derivada da fun¸c˜ao na figura 5.11. 0 t −b −a a b A b−a − A b−a df(t) dt Figura 5.12: Derivada do sinal linear por trechos Aplicando novamente a propriedade de deriva¸c˜ao temos: F[ d dt [ df(t) dt ]] = jωF[ df dt ] = (jω) 2 F(ω). A figura 5.13 mostra a derivada segunda da fun¸c˜ao na figura 5.11. Pela figura 5.13 podemos ent˜ao escrever: d 2 f dt 2 = A b −a [δ(t + b) −δ(t +a) −δ(t −a) + δ(t −b)] 5.4. Propriedades da transformada www.das.ufsc.br/labsil 116 0 t −b a −a b A b−a δ(t −b) A b−a δ(t −a) d 2 f(t) dt 2 A b−a δ(t + a) A b−a δ(t + b) Figura 5.13: Derivada segunda do sinal linear por trechos como F[δ(t −t 0 )] = e −jωt 0 temos: F[ d 2 f dt 2 ] = A b −a [e jωb −e jωa −e −jωa + e −jωb ] = 2A b −a (cos(ωb) −cos(ωa)) como F[ d 2 f dt 2 ] = (jω) 2 F(ω) temos o resultado desejado: F(ω) = 2A b −a cos(ωa) −cos(ωb) ω 2 5.4.7 Diferencia¸c˜ao em Frequˆencia Se F[f(t)] = F(ω) ent˜ao: F[tf(t)] = j dF(ω) dω 5.4.8 Convolu¸c˜ao Usaremos a seguinte nota¸c˜ao para a Integral de Convolu¸c˜ ao entre dois sinais: f 1 (t) ∗ f 2 (t) = ∞ −∞ f 1 (τ)f 2 (t −τ)dτ Analogamente `a transformada de Laplace podemos transformar a integral de con- volu¸ca˜o em produto no dom´ınio da frequˆencia. Seja F[f 1 (t)] = F 1 (ω) e F[f 2 (t)] = F 2 (ω) ent˜ao: F[f 1 (t) ∗ f 2 (t)] = F 1 (ω)F 2 (ω) A prova desse resultado ´e bastante simples. F[f 1 (t) ∗ f 2 (t)] = ∞ −∞ ∞ −∞ f 1 (τ)f 2 (t −τ)dτ e −jωt dt = ∞ −∞ f 1 (τ) ∞ −∞ f 2 (t −τ)e −jωt dt dτ 5.4. Propriedades da transformada www.das.ufsc.br/labsil 117 como ∞ −∞ f 2 (t −τ)e −jωt dt = F 2 (ω)e −jωτ temos o resultado desejado: F[f 1 (t) ∗ f 2 (t)] = F 1 (ω)F 2 (ω) ´ E importante n˜ao confundir a nota¸c˜ ao para integral de convolu¸ c˜ao, aqui representada pelo s´ımbolo (*) com a nota¸c˜ ao de produto usual de sinais. Veja a diferen¸ca: F[f 1 (t) ∗ f 2 (t)] = F 1 (ω)F 2 (ω) F[f 1 (t)f 2 (t)] = 1 2π F 1 (ω) ∗ F 2 (ω) (5.18) Problema 5.3 Obtenha a propriedade da modula¸c˜ao pela propriedade (5.18) acima. As transformadas de Fourier e Laplace s˜ao ferramentas muito importantes e sob certas condi¸c˜oes podem ser usadas indistintamente. No entanto, Laplace ´e adequada `a an´alise de sistemas 1 por permitir o tratamento das condi¸c˜oes iniciais do mesmo, al´em de poder tratar sistemas inst´aveis. J´a Fourier ´e adequado `a an´alise de sinais devido `a interpreta¸c˜ ao frequencial que se pode dar ao espectro do sinal, como por exemplo na modula¸c˜ ao de sinais. . Exemplo 5.7 Calcule a resposta ao degrau unit´ario do filtro abaixo por Laplace e Fourier. Suponha que a fun¸c˜ao de transferˆencia do filtro seja F(s) = 1 s+1 e lembre que Y (s) = F(s)X(s), y(t) = f(t) ∗ x(t) e f(t) = L −1 [F(s)]. F(s) X(s) x(t) Y(s) y(t) f(t) Figura 5.14: Filtro de primeira ordem com F(s) = 1 s+1 Solu¸c˜ao: Por Laplace: O sinal de entrada ´e um degrau unit´ario, logo X(s) = 1 s e assim temos: Y (s) = F(s)X(s) = 1 s + 1 1 s = −1 s + 1 + 1 s ⇒ y(t) = L −1 [Y (s)] = 1 −e −t , t ≥ 0 Por Fourier: Note que y(t) = x(t) ∗ f(t) ⇒ Y (ω) = X(ω)F(ω). A transformada do sinal de entrada ´e X(ω) = F[x(t)] = 1 jω + πδ(ω) Para obter a transformada F(ω) note que a regi˜ao de convergˆencia de F(s) cont´em o eixo imagin´ario. Logo F(ω) = F(s)| s=jω . 1 descritos por equa¸c˜oes diferenciais lineares invariantes no tempo 5.4. Propriedades da transformada www.das.ufsc.br/labsil 118 Da´ı obtemos: Y (ω) = 1 jω + 1 1 jω + πδ(ω) = 1 jω + 1 1 jω + π jω + 1 δ(ω) Por fra¸ c˜oes parciais temos 1 jω + 1 1 jω = −1 jω + 1 + 1 jω Como π jω+1 δ(ω) = πδ(ω) conclu´ımos: Y (ω) = −1 jω + 1 + 1 jω + πδ(ω) Logo: y(t) = F −1 [Y (ω)] = F −1 ¸ −1 jω + 1 +F −1 ¸ 1 jω + πδ(ω) = −e −t + 1, t ≥ 0 Note que apesar da abordagem por Laplace ser mais simples, Laplace e Fourier fornecem o mesmo resultado para a resposta for¸cada do filtro. No entanto n˜ao seria poss´ıvel aplicar Fourier para analisar a resposta livre do filtro, j´a que essa transformada n˜ao permite o tratamento de condi¸c˜ oes iniciais. Problema 5.4 Podemos representar matematicamente a intera¸c˜ao entre dois sinais f 1 (t), f 2 (t) atrav´es da convolu¸c˜ao desses dois sinais f 1 (t) ∗ f 2 (t). Encontre condi¸c˜oes para os espec- tros desses sinais F 1 (ω), F 2 (ω) de tal forma que n˜ao exista intera¸c˜ao entre f 1 (t), f 2 (t), isto ´e f 1 (t) ∗ f 2 (t) = 0. Nesses casos dizemos que n˜ao existe interferˆencia de f 1 (t) sobre f 2 (t) e vice-versa. 5.4.9 Amostragem O problema que estudaremos a seguir consiste na determina¸c˜ ao de condi¸c˜ oes para se amostrar um sinal sem perda de informa¸c˜ ao. Este problema ´e muito importante pois todo sinal armazenado ou processado nos computadores ´e antes digitalizado, isto ´e, o sinal ´e amostrado e suas amostras s˜ao transformadas em c´odigo bin´ario para depois ser processado ou armazenado em computadores. A transmiss˜ao digital de sinais tamb´em passa pelo mesmo processo de amostragem e codifica¸c˜ ao, por´em ´e importante que o sinal original possa ser reconstru´ıdo, a partir do digital transmitido. Torna-se ent˜ ao imperativo saber a frequˆencia de amostragem do sinal para que, uma vez discretizado, se possa reconstru´ı-lo a partir de suas amostras coletadas. Problema a ser resolvido: Suponha um sistema de transmiss˜ao digital ideal (sem ru´ıdo nem erro de quantiza¸ c˜ao) ilustrado na figura 5.15. Determine a frequˆencia de amostragem 5.4. Propriedades da transformada www.das.ufsc.br/labsil 119 A/D D/A ..... sinal recebido sinal a ser transmitido amostragem e codifica¸c˜ ao decodifica¸c˜ ao e reconstru¸ c˜ ao transmiss˜ao Figura 5.15: Transmiss˜ao e recupera¸c˜ao de sinais de um sinal para que uma vez transmitido se possa reconstru´ı-lo exatamente como ele era antes da amostragem. Um solu¸c˜ ao para o problema acima ´e fornecida pelo teorema da amostragem enunciado a seguir: Um sinal limitado em frequˆencia, isto ´e, cujo espectro ´e nulo acima de uma frequˆencia ¯ ω(rad/s) ´e reconstru´ıdo unicamente por suas amostras tomadas `a intervalos uniformes menores que T a = π ¯ ω segundos A seguir apresentaremos a demonstra¸c˜ ao do resultado acima. O processo ideal de amostragem pode ser representado pelo produto do sinal f(t) a ser amostrado por um trem de impulsos ocorrendo nos instantes de amostragem. f s (t) = f(t)δ T a (t) onde f s (t) ´e o sinal amostrado e δ T a (t) ´e o trem de impulsos cujo per´ıodo ´e o pr´oprio per´ıodo de amostragem. O processo de amostragem assim representado ´e ideal porque a coleta de uma amostra leva um tempo infenitesimal, que ´e o tempo de dura¸c˜ao de um impulso. O valor da amostra coletada ´e a ´area do impulso e corresponde ao valor exato do sinal no instante onde ocorre o impulso. Na pr´atica n˜ao podemos implementar tal processo de amostragem. Por´em boas aproxima¸c˜ oes podem ser obtidas substituindo-se os impulsos por pulsos de largura bem pequena e amplitude unit´aria. O espectro do sinal amostrado ´e ent˜ao: F s (ω) = F[f s (t)] = F[f(t)δ T a (t)] = 1 2π F[f(t)] ∗ F[δ T a (t)] De um exemplo anterior vimos que F[δ T a (t)] = ω a δ ω a (ω) onde ω a = 2π/T a ´e a frequˆencia fundamental do trem de impulsos que corresponde `a frequˆencia de amostragem que quer- emos determinar. Logo, para F(ω) = F[f(t)] temos: F s (ω) = 1 2π F(ω) ∗ [ω a δ ω a ] = 1 T a F(ω) ∗ ¸ ∞ ¸ n=−∞ δ(ω −nω a ) ¸ = 1 T a ∞ ¸ n=−∞ F(ω) ∗ δ(ω −nω a ) = 1 T a ∞ ¸ n=−∞ F(ω −nω a ) 5.4. Propriedades da transformada www.das.ufsc.br/labsil 120 Como f(t) ´e um sinal limitado em frequˆencia, isto ´e, existe ¯ ω tal que F(ω) = 0 para ω ≥ ¯ ω, vamos considerar as duas possibilidades seguintes: Caso ω a > 2¯ ω ou seja T a < π ¯ ω segundos 0 ... ... F(ω) A A T a ω F s (ω) −¯ ω 0 ω ¯ ω −ω a ω a ¯ ω −¯ ω ω a − ¯ ω Figura 5.16: Espectro do sinal antes e ap´os amostragem: Caso ω a > 2¯ ω A figura 5.16 mostra o espectro F(ω) de um sinal fict´ıcio f(t) e o espectro F s (ω) desse sinal amostrado com frequˆencia de amostragem ω a sob a hip´otese de que ω a > 2¯ ω. Note que o espectro do sinal amostrado F s (ω) cont´em o espectro do sinal original F(ω) sem distor¸c˜ao, como pode ser visto entre as frequˆencias −¯ ω e ¯ ω. Assim, para recuperar o sinal original a partir do sinal amostrado basta eliminar todas as componentes de frequˆencia do sinal F s (ω) fora do intervalo [−¯ ω, ¯ ω]. Esta opera¸c˜ao de filtragem est´a indicada na figura 5.17. Note que o filtro ideal anula todas as componentes de frequˆencia fora do intervalo [−¯ ω, ¯ ω] como indicado a seguir. −¯ ω T a F s (ω) G(ω) ¯ ω ω F(ω) G(ω) filtro ideal Figura 5.17: Filtro ideal para recupera¸c˜ ao do sinal: Caso ω a > 2¯ ω F s (ω)G(ω) = F(ω) No dom´ınio do tempo a filtragem acima ´e dada pela convolu¸c˜ao: f(t) = f s (t) ∗ g(t) onde g(t) = F −1 [G(ω)] = S a (¯ ωt). Este resultado pode ser obtido facilmente com (5.17) e 5.4. Propriedades da transformada www.das.ufsc.br/labsil 121 T a = π/¯ ω. Assim, ficamos com f(t) = ¸ ∞ ¸ n=−∞ f(nT a )δ(t −nT a ) ¸ ∗ S a (¯ ωt) = ∞ ¸ n=−∞ f(nT a )δ(t −nT a ) ∗ S a (¯ ωt) = ∞ ¸ n=−∞ f(nT a )S a (¯ ω(t −nT a )) A express˜ao acima mostra como se reconstr´oi exatamente o sinal f(t) a partir das amostras f(nT a ) coletadas no processo de amostragem. As amostras formam um conjunto de amplitudes de fun¸c˜oes sampling que quando somadas resultam no sinal original. Pelo exposto acima podemos concluir que quando a frequˆencia de amostragem do sinal satisfaz o teorema da amostragem ´e poss´ıvel a reconstru¸c˜ ao exata do sinal. Note que a reconstru¸c˜ao exata requer um filtro ideal o que n˜ao pode ser implementado na pr´atica. Apesar disso podemos obter boas aproxima¸c˜ oes do sinal a ser reconstru´ıdo substituindo- se o filtro ideal por um real que tenha uma fun¸c˜ ao de transferˆencia cujo espectro seja parecido com G(ω). Vejamos agora o que acontece quando ω a = 2π T a < 2¯ ω. Caso ω a < 2¯ ω ou seja T a > π ¯ ω segundos Nesse caso o espectro do sinal antes e ap´os amostragem est˜ao ambos ilustrados na figura 5.18. 0 ... ω ω −¯ ω 0 F s (ω) F(ω) A ... −ω a ω a A T a −¯ ω ω a − ¯ ω ¯ ω ¯ ω Figura 5.18: Espectro do sinal antes e ap´os amostragem: Caso ω a < 2¯ ω Note agora que o espectro do sinal amostrado F s (ω) cont´em o espectro do sinal original F(ω) por´em distorcido com as superposi¸c˜oes dos espectros deslocados. Essa distor¸c˜ ao provocada pela superposi¸c˜ ao dos espectros inviabiliza a reconstru¸c˜ ao do sinal e portanto na escolha da frequˆencia de amostragem deve-se evitar o caso ω a < 2¯ ω. O teorema da amostragem ´e um resultado muito importante no tratamento de sinais e no controle de sistemas atrav´es de microprocessadores. ´ E importante salientar que o 5.4. Propriedades da transformada www.das.ufsc.br/labsil 122 teorema enunciado pressup˜oe a utiliza¸c˜ao de um amostrador ideal (trem de impulsos) e de um filtro ideal para reconstru¸c˜ao do sinal (filtro com espectro do tipo porta). Na pr´atica n˜ao podemos implementar nem o amostrador nem o filtro ideal. No entanto, podemos implementar dispositivos de amostragem e filtros que se aproximam bastante do caso ideal. Logo, n˜ao teremos reconstru¸c˜ao perfeita na pr´atica mas sim uma reconstru¸c˜ao que ser´a t˜ao melhor quanto mais o amostrador e o filtro se aproximarem do ideal. O teorema da amostragem parte da hip´otese de que o sinal a ser amostrado ´e limitado em frequˆencia, isto ´e seu espectro ´e nulo a partir de uma certa frequˆencia (¯ ω). Na pr´atica o espectro dos sinais n˜ao s˜ao nulos a partir de uma certa frequˆencia mas sim muito pequenos a partir de uma certa frequˆencia. Logo o erro de aproxima¸c˜ ao de um sinal pr´atico por um sinal limitado em frequˆencia pode ser feito bastante pequeno. Para isso devemos escolher adequadamente a frequˆencia (¯ ω) a partir da qual iremos considerar nulo (truncar) o espectro do sinal. Em geral, quanto maior essa frequˆencia de truncamento menor o erro cometido. Entretanto, quanto maior a frequˆencia de truncamento mais r´apido deve ser o processo de amostragem (ω a > 2¯ ω) o que torna o dispositivo mais caro. Exemplo 5.8 Utilize o teorema da amostragem para determinar a frequˆencia de dis- cretiza¸c˜ao do sinal f(t) = cos(100πt) + sen(10πt). Solu¸c˜ao: Com a transformada de Fourier podemos calcular o espectro do sinal. Ele est´a ilustrado na figura 5.19. F(ω) ω jπ δ(ω −10π) jπ δ(ω + 10π) π δ(ω −100π) π δ(ω + 100π) Figura 5.19: Espectro do sinal f(t) = cos(100πt) + sen(10πt). F[cos100πt] = π[δ(ω −100π) + δ(ω + 100π)] F[sen10πt] = jπ[δ(ω + 10π) −δ(ω −10π)] como F(ω) = 0 para ω > 100π temos ¯ ω = 100π. Logo: ω a > 2¯ ω = 200π Exemplo 5.9 Com o aux´ılio do teorema da amostragem determine a resposta y(t) do sistema indicado na figura 5.20 para o seguinte sinal de entrada x(t) = S a (50πt). Solu¸c˜ao: O espectro do sinal de entrada est´a indicado na figura 5.21(a) e pode ser calculado com (5.17) da seguinte forma. X(ω) = F[S a (50πt)] = π 50π G 100π (ω) = 1 50 G 100π (ω) 5.5. Problemas complementares www.das.ufsc.br/labsil 123 F(ω) y(t) T a = 1 80 F(ω) ω 1 x(t) R(ω) R s (ω) −70π 70π T a F(ω) Figura 5.20: Sistema de amostragem e recupera¸c˜ ao de sinais X(ω) ω −50π 50π 1 50 (a) ω −70π 70π −50π 50π X(ω) F(ω) R(ω) = X(ω)F(ω) = X(ω) (b) 1 Figura 5.21: Espectro dos sinais x(t), r(t) O sinal na sa´ıda do primeiro filtro ´e dado por R(ω) = X(ω)F(ω) de onde conclu´ımos que R(ω) = X(ω). Veja figura 5.21. O espectro R s (ω) do sinal amostrado R s (t) est´a indicado na figura 5.22 e ´e dado por R s (ω) = 1 T a ∞ ¸ n=−∞ R(ω −nω a ) = 1 T a ∞ ¸ n=−∞ X(ω −nω a ) onde ω a = 2π T a = 160π ´e a frequˆencia de amostragem. O espectro do sinal ap´os o segundo filtro ´e dado por Y (ω) = T a F(ω)R s (ω) = ∞ ¸ n=−∞ T a F(ω) 1 T a X(ω −nω a ) = X(ω) O produto T a F(ω)R s (ω) pode ser facilmente obtido atrav´es da figura 5.22. Logo con- clu´ımos que y(t) = x(t). 5.5 Problemas complementares Problema 5.5 Considere o sistema da figura 5.23 onde x(t) = τ S a (τ t/2) F(ω) = 2π ω a G 2ω a (ω) Calcule o valor da constante τ para que a energia do sinal y(t) seja E = 2π. 5.5. Problemas complementares www.das.ufsc.br/labsil 124 1 T a X(ω + 2ω a ) ω −50π 0 −70π 2ω a ω a −ω a R s (ω) −2ω a T a F(ω) 50π 70π 1 T a X(ω + ω a ) 1 T a X(ω) 1 T a X(ω −ω a ) 1 T a X(ω −2ω a ) . . . . . . Figura 5.22: Espectro do sinal amostrado y(t) mod F(ω) x(t) cos(ω 0 t) ω a = 2(ω 0 + τ) Figura 5.23: Sistema com modula¸c˜ ao e discretiza¸c˜ ao Cap´ıtulo 6 Sistemas Discretos e Amostrados 6.1 Introdu¸c˜ao Os termos tempo cont´ınuo e anal´ogico s˜ao idˆenticos quando empregados para caracteri- zar sinais e sistemas. Sinais anal´ogicos s˜ao fun¸c˜oes de uma vari´avel de tempo cont´ınuo e sistemas anal´ogicos s˜ao aqueles que manipulam sinais anal´ogicos. De maneira an´aloga, os termos tempo discreto e digital s˜ao tamb´em idˆenticos. Um sinal de tempo discreto existe apenas em instantes espec´ıficos de tempo. Sistemas de tempo discreto s˜ao aqueles que manipulam sinais digitais. Microcomputadores e microprocessadores digitais s˜ao largamente utilizados na ind´ ustria atual, seja para fins de supervis˜ao ou de controle dos processos. No entanto, um grande n´ umero de sistemas industriais s˜ao de natureza anal´ogica. Sempre que um microcom- putador faz parte de um sistema anal´ogico a presen¸ca de conversores A/D e D/A se faz necess´aria. Cada sinal anal´ogico que ser´a processado por um computador digital deve primeiro ser convertido de anal´ogico para digital por um conversor A/D. Paralelamente, cada valor digital que ir´a influenciar o sistema anal´ogico dever´a primeiro ser convertido de digital para anal´ogico por um conversor D/A. Como a sa´ıda do computador digital n˜ao muda at´e que os pr´oximos c´alculos e convers˜ oes D/A sejam completados, o sinal anal´ogico gerado por alguns conversores D/A s˜ao mantidos constantes durante cada ciclo. Isto ´e feito por um dispositivo chamado sample-and-hold (S/H). Veremos mais tarde que conversores A/D tamb´em utilizam disposivos S/H. 6.1.1 Convers˜ao A/D A grande vantagem de se manipular vari´ aveis discretas ´e que elas podem ser ar- mazenadas e processadas em computadores digitais. Para isso basta transformar os valores discretos em c´odigo bin´ario. A convers˜ ao para c´odigo bin´ario n˜ao ´e exata em geral. Sempre existe um erro entre o 6.1. Introdu¸c˜ao www.das.ufsc.br/labsil 126 valor discreto a ser codificado e c´odigo bin´ario que representa o valor em quest˜ao. Por exemplo, um sinal de tens˜ao entre 0 e 10V pode ser representado em c´odigo bin´ario de 4 bits de acordo com a tabela 6.1 e a figura 6.1. tens˜ao representa¸c˜ao anal´ogica bin´aria 0 `a 0.625 0000 0.625 `a 1.25 0001 1.25 `a 1.875 0010 1.875 `a 2.5 0011 2.5 `a 3.75 0101 3.75 `a 4.375 0110 4.375 `a 5 0111 5 `a 5.625 1000 5.625 `a 6.25 1001 6.25 `a 6.875 1010 6.875 `a 7.5 1011 7.5 `a 8.125 1100 8.125 `a 8.75 1101 8.75 `a 9.375 1110 9.375 `a 10 1111 Tabela 6.1: Representa¸c˜ ao de um sinal de tens˜ao anal´ogico n˜ao negativo em c´odigo bin´ario de 4 bits Cada incremento do c´odigo bin´ario representa um salto de 2 −4 = 6.25% em rela¸c˜ao ao valor m´aximo do sinal anal´ogico, isto ´e 6.25% de 10 volts no caso acima. Assim cada c´odigo bin´ario representa um intervalo de tens˜ao anal´ogica e portanto existe um erro de quantiza¸c˜ao associado `a convers˜ao. Num conversor de 4 bits o erro ´e de 6.25% ou seja, uma rela¸c˜ao sinal/ru´ıdo de 20log(2 4 )dB. Para um conversor de 16 bits ter´ıamos um erro de 0.0015% que corresponde `a uma rela¸c˜ao sinal/ru´ıdo de 20log(2 16 ) = 96.3dB. Bons dispositivos de audio possuem rela¸c˜ao sinal/ru´ıdo entre 60 e 70 dB. Esta faixa ´e atingida com conversores de 12 bits ou mais. 6.1.2 Convers˜ao D/A e Sample-and-Hold O dispositivo sample-and-hold (S/H) ´e normalmente utilizado na entrada de conver- sores A/D e na sa´ıda conversores D/A. A sua fun¸c˜ ao b´asica ´e coletar amostras (sample) e mantˆe-la constante (hold) durante todo o intervalo de amostragem. A figura 6.2 mostra o diagrama de blocos e um esquema eletrˆonico simplificado do dispositivo S/H. A chave l´ogica s ´e controlada por um rel´ogio. Com a chave na posi¸c˜ ao 1 o dispositivo funciona como um circuito RC cuja fun¸c˜ao de transferˆencia ´e V out V in = 1 RCs+1 . A sa´ıda se torna praticamente igual `a entrada pois a frequˆencia de quebra do circuito ω q = 1 RC ´e escolhida grande em rela¸c˜ ao `a m´axima frequˆencia de quebra do espectro do sinal de entrada. Valores t´ıpicos s˜ao R = 1000 ohms e C = 30 10 −12 farads oque implica numa frequˆencia de quebra de f q = 1 2πRC = 5.3 MHz. Com a chave na posi¸c˜ ao 1 a 6.1. Introdu¸c˜ao www.das.ufsc.br/labsil 127 0 0000 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 c´odigo bin´ario 10 - - - - - - - - - - - - - - -- - 0101 0100 0011 0010 0001 0111 0110 5 tens˜ ao anal´ogica Figura 6.1: Representa¸ c˜ao de um sinal de tens˜ao anal´ogico n˜ao negativo em c´odigo bin´ario de 4 bits sa´ıda do dispositivo segue a entrada com um atraso despres´ıvel (etapa de rastreamento isto ´e acompanhamento do sinal de entrada). Quando uma amostra deve ser tomada no instante t = kT a chave ´e comutada para a posi¸c˜ ao 2 e o capacitor mant´em constante o valor da sa´ıda do dispositivo pelo tempo necess´ario para se efetuar a convers˜ ao bin´aria. Quando a convers˜ao ´e completada o n´ umero digital pode ser processado pelo computador (n˜ao representado na figura). Nesse instante a chave volta `a posi¸c˜ ao 1, o computador ´e desligado da sa´ıda do S/H e come¸ca a processar a informa¸c˜ ao rec´em disponibilizada e paralelamente a sa´ıda do dispositivo S/H recome¸ca a seguir o sinal de entrada. Por exemplo, o tempo de convers˜ ao do conversor BurrBrown ADC803 de 12 bits ´e de 1.5 microsegundos. O capacitor deve manter constante a sa´ıda apenas durante esse pequeno intervalo de tempo. R R C s 2 1 V in V out S/H V in V out sinal de controle da chave Figura 6.2: Esquema simplificado de um circuito sample-and-hold e seu diagrama de blocos A seguir veremos de forma simplificada o funcionamento desse dispositivo quando acoplado a conversores A/D e D/A. Quando um sinal anal´ogico vai ser codificado, o primeiro passo ´e coletar as amostras 6.1. Introdu¸c˜ao www.das.ufsc.br/labsil 128 do sinal e depois utilizar o processo de convers˜ao A/D discutido anteriormente. Cada amostra coletada deve ser disponibilizada, isto ´e mantida constante na entrada do con- versor, durante todo o processo de convers˜ao A/D de cada amostra. Esta opera¸c˜ ao de manter constante o sinal pode ser feita por um dispositivo S/H. t sa´ıda anal´ogica do S/H h(t) v(t) T A/D S/H sinal digital de sa´ıda v(t) v(t) v(t) w(t) w(t) w(t) w(t) H T H T H T (a) (b) v(t) h(t): sinal de controle do S/H w(t): entrada anal´ogica Figura 6.3: (a) Diagrama de blocos de um conversor A/D com sample-and-hold e (b) funcionamento do sistema A figura 6.3(b) mostra os sinais de entrada e sa´ıda nas duas fases de funcionamento do dispositivo. Chave na posi¸c˜ ao 1 corresponde `a fase segurar o sinal representada por H (do inglˆes hold) e chave na posi¸c˜ ao 2 `a fase de rastreamento T (do inglˆes tracking). Cada amostra coletada do sinal de entrada ´e mantida constante no conversor durante todo o intervalo de amostragem. O conjunto de amostras ´e atualizado apenas com a chegada de uma nova amostra depois de cada intervalo de amostragem. Assim, o dispos- itivo S/H juntamente com o conversor A/D (codificador) possuem a fun¸c˜ao de amostrar e segurar a amostra (j´a codificada) durante todo o intervalo de amostragem. Durante o processo de convers˜ao D/A a sa´ıda do conversor pode flutuar muito. Para evitar esse inconveniente utiliza-se um dispositivo S/H na sa´ıda do conversor. O S/H mant´em constante o valor da amostra precedente at´e que uma nova amostra esteja dispon´ıvel (decodificada). O funcionamento desse dispositivo est´a indicado na figura 6.4. O sinal temporizador de controle indica as duas fases de funcionamento: manter o sinal de entrada (H) e rastrear o sinal de entrada (T). Note que o S/H executa duas opera¸c˜oes: amostrar (sample) e segurar (hold). Afim de obter um modelo matem´atico de funcionamento do S/H, estudaremos a seguir essas duas 6.1. Introdu¸c˜ao www.das.ufsc.br/labsil 129 entrada digital D/A S/H y(t): sinal anal´ogico de sa´ıda constante por trechos t v(t): sa´ıda anal´ogica do conversor h(t) v(t) y(t) v(t) v(t) v(t) y(t) y(t) y(t) H T H T H T H h(t): sinal de controle do S/H (a) (b) Figura 6.4: (a) Conversor D/A com S/H e (b) Sinais de entrada e sa´ıda opera¸c˜ oes separadamente. A partir de agora assumiremos que a opera¸c˜ ao amostrar do S/H pode ser representada por um amostrador ideal, isto ´e ela pode ser representada pela multiplica¸c˜ ao do sinal a ser amostrado por um trem de impulsos como ilustra a figura 6.5. A amostra do sinal r(t) coletada no instante t = kT corresponde `a ´area do impulso que ocorre no instante t = kT, isto ´e r(kT)δ(t −kT). r(t) r ∗ (t) = ∞ k=−∞ r(t)δ(t −kT) per´ıodo de chaveamento: T Figura 6.5: Amostrador ideal: produto por um trem de impulsos A opera¸c˜ ao segurar do S/H consiste em manter o valor de uma amostra r ∗ (t) = r(kT)δ(t − kT) (obtida com um amostrador ideal) constante durante todo o per´ıodo de amostragem T. Veja figura 6.6. O bloco ZOH recebe o nome de segurador de ordem zero (Zero Order Holder) devido ao fato da sa´ıda ser uma interpola¸c˜ao de ordem zero das amostras de entrada. Matematicamente podemos escrever: r h (t) = r(kT) para kT ≤ t < kT + T (6.1) O bloco ZOH representa um sistema cuja fun¸c˜ ao de transferˆencia pode ser obtida. Para isso basta calcular a resposta impulsional desse sistema que chamaremos de zoh(t), isto 6.1. Introdu¸c˜ao www.das.ufsc.br/labsil 130 kT r(kT)δ(t −kT) t t kT kT+T r(kT) ZOH r ∗ (t) r h (t) sinal amostrado (entrada) sinal constante por trechos (sa´ıda) Figura 6.6: Segurador de ordem zero: a sa´ıda ´e constante por trechos ´e o valor espec´ıfico do sinal r h (t) obtido com r ∗ (t) = δ(t). Pela figura 6.6 deduzimos que a resposta impulsional vale r h (t) = zoh(t) = 1 para 0 ≤ t < T (6.2) que pode ser rescrita de uma forma mais conveniente com o aux´ılio da fun¸c˜ ao degrau unit´ario u(t) na forma zoh(t) = u(t) −u(t −T) (6.3) A fun¸c˜ao de transferˆencia ZOH(s) do bloco ZOH pode ent˜ ao ser calculada com o aux´ılio da transformada de Laplace ZOH(s) = L[zoh(t)] = 1 s − e −sT s (6.4) Assim conclu´ımos que o dispositivo S/H pode ser representado por um amostrador ideal em cascata com um segurador de ordem zero como ilustra a figura 6.7. S/H ≡ ZOH T r(t) r h (t) r h (t) r ∗ (t) r(t) Figura 6.7: Sample-and-Hold visto como um amostrador ideal em cascata com um segu- rador de ordem zero ´ E importante notar que o amostrador ideal n˜ao pode ser implementado na pr´atica devido `a presen¸ca de impulsos no sinal amostrado. No entanto a representa¸c˜ ao do dis- positivo S/H indicada na figura 6.7 possui duas propriedades interessantes: (i) existem dispositivos S/H cujos comportamentos entrada/sa´ıda s˜ao similares ao acima descrito e (ii) o segurador de ordem zero pode ser tratado de maneira muito conveniente pela Transformada Z, como veremos mais tarde. Um outro ponto importante a ser notado ´e que no controle de sistemas normalmente se assume a priori, por raz˜oes de simplicidade, que o erro de convers˜ ao bin´aria ´e despres´ıvel. Isso implica que o conversor A/D pode ser representado por um amostrador ideal e o conversor D/A por um segurador de ordem zero. Essas hip´oteses s˜ao comuns em todos os livros cl´assicos de controle e tamb´em ser˜ao assumidas nesse cap´ıtulo sempre que houver conversores A/D e D/A presentes na malha de controle. 6.2. Sinais e Sistemas de Tempo Discreto www.das.ufsc.br/labsil 131 6.2 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Diferentemente dos sinais anal´ogicos, que podem ser representados por fun¸c˜oes do tipo x(t) onde t ´e a vari´avel tempo cont´ınuo , um sinal discreto ´e uma sequˆencia de valores organizados no tempo e pode ser representado por fun¸c˜ ao do tipo x(kT) onde k ´e a vari´avel tempo discreto (k = 0, ±1, ±2, ...) e T denota o intervalo de tempo entre dois valores consecutivos de x(kT). Neste cap´ıtulo usaremos indistintamente os termos sinal discreto ou sequˆencia. Exemplo 6.1 A dinˆamica da vari´avel corrente no circuito da figura 6.8 ´e descrita por uma equa¸ c˜ao diferencial pois I(t) ´e uma vari´avel anal´ogica (tempo cont´ınio). C R I(t) Figura 6.8: Circuito RC: resposta livre v C (t) + RI(t) = 0 com v C (0) = v 0 . C ˙ I(t) + RI(t) = 0 com I(0) = v 0 /R. Logo: I(t) = I(0)e −t/RC , t ≥ 0. Suponha agora que estamos interessados em saber os valores da corrente I(t) apenas nos instantes t = kT, onde k = 0, 1, 2, . . . e T ´e um intervalo de tempo dado. Os valores da corrente nesses instantes s˜ao representados agora por uma sequˆencia I(kT) e n˜ao mais por um sinal anal´ogico como mostra a figura 6.9. 0 T 2T t = kT I(kT) = I(0)e −kT/RC ... Figura 6.9: Valor da corrente no capacitor nos instantes t = kT Al´em disso a rela¸c˜ao entre os valores de I(kT) j´a n˜ao ´e mais representada por uma equa¸c˜ao diferencial mas sim por uma equa¸ c˜ao recursiva que define uma progress˜ao geom´etrica com raz˜ ao a = e −T/RC . I(kT +T) = a I(kT), a = e −T/RC (6.5) 6.2. Sinais e Sistemas de Tempo Discreto www.das.ufsc.br/labsil 132 Sistemas cont´ınuos s˜ao aqueles que manipulam sinais anal´ogicos e s˜ao representados por equa¸c˜oes diferenciais, como ´e o caso do sistema na figura 6.8. Sistemas discretos s˜ao aqueles que manipulam sequˆencias e s˜ao representados por equa¸c˜oes recursivas, como ´e o caso do sistema representado pela equa¸c˜ao recursiva 6.5. Note que o sistema discreto n˜ao ´e equivalente ao sistema cont´ınuo que lhe deu origem pois apesar dos dois sistemas representarem o comportamento exato da corrente no circuito nos instantes t = kT, apenas o sistema cont´ınuo pode fornecer o valor exato da corrente para todo instante de tempo t ≥ 0. Al´em disso, o sistema discreto descrito pela equa¸c˜ao recursiva 6.5 pode ser interpretado como um algor´ıtmo cuja evolu¸c˜ao define a dinˆamica da corrente do circuito RC nos instantes t = kT. Exemplo 6.2 Obtenha a equa¸c˜ao recursiva que rege o comportamento dinˆamico do cir- cuito da figura 6.10 nos instantes t = kT sendo T um intervalo de tempo dado, k = 0, 1, 2, . . . uma vari´avel discreta e e(t) constante por trechos, isto ´e, e(t) = e(kT) para kT ≤ t < kT + T. R C + - + - e(t) x(t) Figura 6.10: Circuito RC com entrada constante por trechos Solu¸c˜ao: Para kT ≤ t < kT + T a dinˆamica do circuito ´e dada por: RC ˙ x + x = e(kT), x(t 0 ) = x(kT) Como e(kT) ´e constante no intervalo temos: RC[sX(s) −x(kT)] + X(s) = e(kT) s Logo: X(s) = e(kT) s + RCx(kT) 1 RCs + 1 = e(kT) + sRCx(kT) s(RCs + 1) = e(kT) s + x(kT) −e(kT) s + 1/RC Usando a Transformada Inversa e lembrando que o lado direito da equa¸c˜ao acima possui instante inicial t 0 = kT temos: x(t) = e(kT) + (x(kT) −e(kT))e − t−kT RC , kT ≤ t < kT + T Como x(t) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua temos pela express˜ao acima que o valor de x(kT +T) ´e dado por: x(kT + T) = lim t→kT+T x(t) = e(kT) + (x(kT) −e(kT))e −T/RC 6.2. Sinais e Sistemas de Tempo Discreto www.das.ufsc.br/labsil 133 Logo o valor da tens˜ao x(t) no instante t = kT + T pode ser obtido recursivamente atrav´es da express˜ao: x(kT + T) = a x(kT) + b e(kT), k = 0, 1, 2, . . . onde a e b s˜ao duas constantes dadas por: a = e −T/RC b = 1 −e −T/RC O sistema discreto dado pela equa¸c˜ao recursiva acima define o comportamento da corrente I(t) (sa´ıda) em fun¸c˜ao da tens˜ao e(t) (entrada) nos instantes t = kT como indicado na figura 6.11. Mais tarde iremos calcular a fun¸c˜ao de transferˆencia discreta desse sistema com o aux´ılio da transformada Z. e(kT) x(kT) circuito Figura 6.11: Representa¸c˜ ao de um sistema discreto Equa¸c˜oes recursivas s˜ao fundamentais quando se utiliza o computador digital para processar sinais e controlar sistemas. No esquema de controle da figura 6.12, um determinado sistema ´e controlado com o aux´ılio de um computador. O computador executa um algor´ıtmo de controle que deve ser devidamente projetado e ´e representado por uma equa¸c˜ ao recursiva envolvendo as sequˆencias e(kT) e u(kT). Problema 6.1 O funcionamento de um certo sistema digital de leitura, manipula¸c˜ao e registro de dados composto por um conversor A/D, um computador e um conversor D/A ´e representado por uma equa¸c˜ao recursiva cujo c´odigo FORTRAN est´a indicado abaixo. Encontre a equa¸c˜ ao recursiva executada pelo algor´ıtmo. 100 format(F16.8) 110 Y0=0. 120 Y1=0. 130 R1=0. 140 R0=0. 150 read(1,100)R2 160 Y2=3.*Y1 - 2.*Y0+2.*R2+5.*R0 170 Y0=Y1 180 Y1=Y2 190 R0=R1 200 R1=R2 210 write(2,100)Y2 220 go to 150 6.3. Transformada Z www.das.ufsc.br/labsil 134 D/A Controlador Medidores - + u(t) sistema r(t) y(t) e(t) A/D e(kT) Computador u(kT) controlado a ser Figura 6.12: Sistema controlado por computador r(t) Sinal de Referˆencia y(t) Sinal a ser controlado e(t) Sinal de Erro (Anal´ogico) e(kT) Sinal de Erro (Digital) u(kT) Sinal de Controle (Digital) u(t) Sinal de Controle (Anal´ogico) 230 stop 240 end O conversor A/D ´e tomado como perif´erico 1 com formato de leitura F16.8 e o perif´erico 2 ´e o conversor D/A com formato de escrita F16.8. ´ E assumido que o processador es- pera no passo 150 at´e que a vari´avel R2 esteja dispon´ıvel para leitura, da mesma forma como ele esperaria caso a entrada de dados fosse via teclado. Tamb´em se assume que o perif´erico 2 possui um buffer que armazena cada amostra da sa´ıda at´e que a convers˜ao D/A seja efetuada. Identifique as condi¸c˜oes iniciais, o sinal de entrada e o sinal de sa´ıda. 6.3 Transformada Z Assim como a Transformada de Laplace nos permite resolver equa¸c˜ oes diferenciais e definir a no¸c˜ao de Fun¸c˜ ao de Transferˆencia , a Transformada Z , que passaremos a estudar em seguida, ´e a ferramenta que vai nos permitir resolver equa¸c˜ oes recursivas e definir a no¸c˜ao de Fun¸c˜ ao de Transferˆencia para sistemas a tempo discreto. 6.3. Transformada Z www.das.ufsc.br/labsil 135 6.3.1 Defini¸c˜ao e exemplos A transformada Z de uma sequˆencia x(kT) que satisfaz x(kT) = 0 para k < 0, ´e definida pela express˜ao: X(z) = Z[x(kT)] = ∞ ¸ k=0 x(kT)z −k ; x(kT) = 0, ∀ k < 0 (6.6) onde z = α+jβ ´e uma vari´ avel complexa similar `a vari´ avel s da transformada de Laplace. Assim, a transformada Z transforma uma sequˆencia x(kT) numa fun¸c˜ ao X(z) da vari´ avel complexa z. Veremos mais tarde que podemos relacionar a fun¸c˜ ao X(z) com a fun¸c˜ao X(s) da transformada de Laplace do sinal x(t) amostrado nos instantes t = kT. Note que a transformada Z ´e definida como sendo a soma dos termos de uma s´erie na vari´avel complexa z, pois pela defini¸c˜ ao temos X(z) = x(0) + x(T)z −1 + x(2T)z −2 +. . . Al´em disso, os coeficientes dessa s´erie s˜ao os valores que o sinal assume nos diversos instantes discreto de tempo. O valor do sinal x(t) no instante t = kT aparece na s´erie como o coeficiente do termo z −k . Em alguns casos, quando a s´erie ´e geom´etrica e de raz˜ao r conhecida, podemos calcular o resultado da soma atrav´es da f´ormula x(z) = x(0) + x(T)z −1 + x(2T)z −2 +· · · = x(0) 1 −r (6.7) Para que o resultado da soma da s´erie seja dado pela f´ormula acima ´e preciso que a s´erie seja convergente, isto ´e a raz˜ao da s´erie deve possuir m´odulo menor que a unidade |r| < 1. Veja o exemplo a seguir. Exemplo 6.3 Calcule a transformada Z da sequˆencia degrau unit´ario (u(kT)) definida como u(kT) = 1 para k ≥ 0 e u(kT) = 0 para k < 0. Solu¸c˜ao: Pela defini¸c˜ao temos: Z[u(kT)] = ∞ ¸ k=0 u(kT)z −k = ∞ ¸ k=0 z −k = 1 + z −1 + z −2 +. . . A s´erie acima possui raz˜ao r = z −1 e a soma dos termos dessa s´erie ´e dada por 6.7 desde que a vari´avel complexa z esteja na regi˜ao onde |r| = |z −1 | < 1. Nessas condi¸c˜oes temos: U(z) = Z[u(t)] = 1 1 −z −1 = z z −1 Analogamente `a Transformada de Laplace e Fourier, a Transformada Z tamb´em possui uma regi˜ao de convergˆencia. Uma s´erie ´e convergente se em m´odulo a raz˜ao ´e menor que 6.3. Transformada Z www.das.ufsc.br/labsil 136 Plano s Re[s] transformada de Laplace transformada Z U(z) = z z−1 U(s) = 1 s Plano z Re[z] Im[z] Im[s] c´ırculo unit´ario 1 0 Figura 6.13: Regi˜ao de convergˆencia das transformadas do degrau unit´ario a unidade. Para o caso do degrau unit´ario a regi˜ao de convergˆencia ´e |z −1 | < 1 que no plano z define a regi˜ao externa ao c´ırculo unit´ario como ilustra a figura 6.13. Dentro da regi˜ao de convergˆencia a sequˆencia u(kT) e sua Transformada Z est˜ao relacionadas de maneira biun´ıvoca como ilustra a figura 6.14. Z[x(kT)] (k ≥ 0) Z −1 [X(z)] z ∈ R conv x(kT) X(z) Figura 6.14: Rela¸c˜ao biun´ıvoca entre a sequˆencia x(kT) e sua transformada Z A existˆencia de uma regi˜ao de convergˆencia para a Transformada, seja Laplace, Fourier ou Z, ´e um dado importante, pois caso contr´ ario a Transformada em quest˜ao deixa de ter sentido. No entanto, calcular essa regi˜ao de convergˆencia ´e algo irrelevante, pois se existe uma regi˜ao de convergˆencia, existe uma fun¸c˜ ao X(s), X(jω) ou X(z) conforme o caso. Dentro da regi˜ao de convergˆencia a Transformada e a respectiva fun¸c˜ ao temporal est˜ao diretamente relacionadas. Fora da regi˜ao de convergˆencia, a Transformada pode ser vista como uma fun¸c˜ ao auxiliar que cont´em informa¸c˜oes relevantes sobre a fun¸c˜ ao no dom´ınio do tempo, mesmo n˜ao estando diretamente relacionadas. 6.3. Transformada Z www.das.ufsc.br/labsil 137 6.3.2 Rela¸c˜ao com a transformada de Laplace Podemos facilmente relacionar a vari´avel complexa z da transformada Z com a vari´ avel s da transformada de Laplace. Vamos supor que x(t) seja um sinal anal´ogico dado e que x ∗ (t) = ∞ ¸ k=0 x(kT)δ(t −kT) seja a representa¸c˜ ao do sinal x(t) amostrado com amostrador ideal (veja figura 6.5). Note que a representa¸c˜ao do sinal amostrado x ∗ (t) ´e diferente da representa¸c˜ ao da sequˆencia x(kT) obtida com os valores de x(t) nos instantes t = kT. Enquanto x ∗ (t) ´e um sinal anal´ogico com impulsos, a sequˆencia x(kT) ´e um sinal discreto. Tomemos agora a Transformada de Laplace da express˜ao acima: L[x ∗ (t)] = X ∗ (s) = ∞ ¸ k=0 x(kT)e −kTs , x(t) = 0, t < 0 Considerando a mudan¸ca de vari´avel z = e Ts (6.8) podemos reescrever X ∗ (s) em termos da vari´ avel z como indicado a seguir. X ∗ (s)| s= ln(z) T = Z[x ∗ (t)] = ∞ ¸ k=0 x(kT)z −k ; x(kT) = 0, ∀ k < 0 (6.9) Comparando (6.9) com (6.6) conclu´ımos que a mudan¸ca de vari´ avel (6.8) define a rela¸c˜ao entre a vari´ avel s da transformada de Laplace do sinal amostrado x ∗ (t) e a vari´avel z da transformada Z da sequˆencia x(kT). Veja por exemplo a rela¸c˜ao que existe entre os p´olos da transformada Z e Laplace do degrau unit´ario indicadas na figura 6.13. O p´olo da transformada de Laplace est´a na origem s = 0. O p´olo da transformada Z est´a em z = 1. Este mapeamento de s = 0 em Laplace para z = 1 no plano Z ´e dado pela equa¸c˜ ao (6.8). Exemplo 6.4 (Fun¸c˜ao Potˆencia) Calcule a transformada Z da fun¸c˜ao potˆencia a k onde a ´e uma constante e k ≥ 0 ´e uma vari´avel discreta. Solu¸c˜ao: Com (6.7) temos: Z[a k u(k)] = ∞ ¸ k=0 a k z −k = 1 1 −a z −1 = z z −a Como curiosidade, a regi˜ao de convergˆencia da transformada ´e R conv = {z : |a z −1 | < 1 }. Note ainda que com o resultado acima podemos facilmente obter a transformada Z da fun¸c˜ao exponencial f(k) = e bk onde b ´e uma constante e k ≥ 0 ´e uma vari´avel discreta (verifique !). 6.4. Propriedades da Transformada Z www.das.ufsc.br/labsil 138 Exemplo 6.5 (Fun¸c˜ao Senoidal) Calcule a transformada Z da fun¸c˜ao senoidal sen(ω 0 kT) onde ω 0 e T s˜ao constantes e k ≥ 0 ´e uma vari´avel discreta. Solu¸c˜ao: Aplicando a defini¸c˜ao e f´ormula de Euler temos: Z[sen(ω 0 kT)u(kT)] = ∞ ¸ k=0 sen(ω 0 kT)z −k = ∞ ¸ k=0 e jω 0 kT −e −jω 0 kT 2j z −k = 1 2j ∞ ¸ k=0 e jω 0 kT z −k −e −jω 0 kT z −k = 1 2j ¸ z z −e jω 0 T − z z −e −jω 0 T = z sen(ω 0 T) z 2 −2 z cos(ω 0 T) + 1 Exemplo 6.6 (Pulso Unit´ario) Calcule a transformada Z da fun¸c˜ao Pulso Unit´ario: δ(k) definida como δ(k) = 1 para k = 0 e nula para k = 0. Solu¸c˜ao: Aplicando a defini¸c˜ao encontramos Z[δ(k)] = ∞ ¸ k=0 δ(k)z −k = 1 Para a fun¸c˜ao pulso deslocada no instante k = m, definida como δ(k − m) = 1 para k = m e nula para k = m encontramos Z[δ(k −m)] = ∞ ¸ k=0 δ(k −m)z −k = z −m As figuras 6.15, 6.16 e 6.17 ilustram a rela¸c˜ ao entre a localiza¸c˜ ao dos p´olos da trans- formada Z do sinal e o seu comportamento temporal. 6.4 Propriedades da Transformada Z 6.4.1 Linearidade A Transformada Z ´e uma opera¸c˜ ao linear, isto ´e, Z[α 1 x(k) + α 2 y(k)] = α 1 Z[x(k)] + α 2 Z[y(k)] para todo α 1 , α 2 ∈ C. Problema 6.2 Prove que a transformada Z ´e uma opera¸c˜ao linear 6.4. Propriedades da Transformada Z www.das.ufsc.br/labsil 139 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.99 1.00 1.01 + + + + + + + + + + + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 + + + + + + + + + + + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.7 -0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 + + + + + + + + + + + c´ırculo unit´ario X c´ırculo unit´ario X X c´ırculo unit´ario p´olos de F(z) Evolu¸c˜ ao temporal de f(k) u(k) f(k) = (0.7) k f(k) = (−0.7) k p´olo z = 1 p´olo z = 0.7 p´olo z = −0.7 Figura 6.15: Rela¸c˜ ao entre localiza¸c˜ ao p´olos e evolu¸ c˜ao temporal 6.4. Propriedades da Transformada Z www.das.ufsc.br/labsil 140 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 + + + + + + + + + + + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 + + + + + + + + + + + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 + + + + + + + + + + + c´ırculo unit´ario c´ırculo unit´ario p´olos de F(z) Evolu¸c˜ ao temporal de f(k) f(k) = (−1) k X f(k) = (−1.2) k X f(k) = (1.2) k c´ırculo unit´ario X p´olo z = −1 p´olo z = −1.2 p´olo z = 1.2 Figura 6.16: Rela¸c˜ ao entre localiza¸c˜ ao p´olos e evolu¸ c˜ao temporal 6.4. Propriedades da Transformada Z www.das.ufsc.br/labsil 141 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 + + + + + + + + + + + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 + + + + + + + + + + + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 + + + + + + + + + + + c´ırculo unit´ario X X p´olos de F(z) Evolu¸c˜ ao temporal de f(k) f(k) = sen(0.5 k) f(k) = 0.8 k sen(0.5 k) c´ırculo unit´ario X X c´ırculo unit´ario X X f(k) = 1.2 k sen(0.5 k) p´olos z = 0.8e ±j 0.5 p´olos z = e ±j 0.5 p´olos z = 1.2e ±j 0.5 Figura 6.17: Rela¸c˜ ao entre localiza¸c˜ ao p´olos e evolu¸ c˜ao temporal 6.4. Propriedades da Transformada Z www.das.ufsc.br/labsil 142 6.4.2 Teorema do Valor Inicial Se Z[x(k)] = X(z) e lim z→∞ X(z) existe ent˜ ao: x(0) = lim z→∞ X(z). Prova: Note que Z[x(k)] = ¸ ∞ k=0 x(k)z −k = x(0) + x(1)z −1 + . . . Logo, quando z →∞ obtem-se o resultado desejado. 6.4.3 Teorema do Valor Final Se Z[x(k)] = X(z) e se a fun¸c˜ao (z −1)X(z) ´e anal´ıtica sobre e fora do c´ırculo unit´ario, ent˜ao: lim k→∞ x(k) = lim z→1 (z −1)X(z) Prova: Note que Z[x(k)] = X(z) = ∞ ¸ k=0 x(k)z −k Z[x(k + 1)] = zX(z) −zx(0) = ∞ ¸ k=0 x(k + 1)z −k Tomando a diferen¸ca entre as duas express˜oes acima: ∞ ¸ k=0 [x(k + 1) −x(k)]z −k = zX(z) −zx(0) −X(z) = (z −1)X(z) −zx(0) Supondo que a sequˆencia x(k) converge para um valor finito em regime, temos que X(z) pode ter no m´aximo um p´olo sobre o c´ırculo unit´ario e nenhum p´olo fora dele (veja figuras 6.15-6.17). Isso implica que a fun¸c˜ao auxiliar (z −1)X(z) n˜ao pode ter p´olos sobre nem fora do c´ırculo unit´ario, ou seja devem estar dentro do c´ırculo unit´ario. Logo para z →1 temos o seguinte resultado: lim z→1 ∞ ¸ k=0 [x(k + 1) −x(k)]z −k = lim z→1 [(z −1)X(z) −zx(0)] de onde se conclui que no limite ficamos com ∞ ¸ k=0 x(k + 1) −x(k) = lim z→1 [(z −1)X(z)] −x(0) x(∞) −x(0) = lim z→1 (z −1)X(z) −x(0) ⇒x(∞) = lim z→1 (z −1)X(z) que ´e o resultado desejado. 6.4. Propriedades da Transformada Z www.das.ufsc.br/labsil 143 6.4.4 Obten¸c˜ao de F(z) a partir de F(s) Vimos anteriormente que existe uma rela¸c˜ao entre a transformada de Laplace de um sinal x ∗ (t) amostrado nos instantes t = kT e a transformada Z da sequˆencia x(kT). Dessa rela¸c˜ ao podemos montar tabelas que relacionam X(s) (a transformada de Laplace do sinal x(t)) e a respectiva transformada Z da sequˆencia x(kT). A figura 6.18 ilustra essa rela¸c˜ ao. f(t) f ∗ (kT) T Tabelas ou Teorema dos Res´ıduos F(s) L −1 [F(s)] amostrador ideal L[f ∗ (kT)] F(z) Z[F(s)] f(kT) s = ln(z) T Z[f(kT)] sinal discreto sinal amostrado Figura 6.18: Obten¸c˜ ao de F(z) a partir de F(s) As fun¸c˜ oes mais usuais j´a se encontram tabeladas em termos de suas Transformadas Z, Laplace e Fourier. Logo o uso de tabelas associado ao m´etodo de expans˜ao em fra¸c˜ oes parciais pode ser ´ util na determina¸c˜ ao de F(z) a partir de F(s). No entanto o uso de tabelas pode apresentar limita¸c˜ oes em alguns casos. A seguir apresenta-se um procedimento anal´ıtico alternativo bastante simples conhecido como m´etodo dos res´ıduos. Sejam P 1 , . . . , P n o conjunto de p´olos distintos de F(s). Caso F(s) possua p´olos repeti- dos inclua o p´olo apenas uma vez no conjunto. Ent˜ao, com F(s) e P 1 , . . . , P n podemos calcular F(z) da seguinte forma: F(z) = n ¸ i=1 R(P i ) sendo R(P i ) o res´ıduo do p´olo P i (i = 1...n) dados por: • P´olo simples (multiplicidade 1) R(P i ) = ¸ (s −P i )F(s) z z −e sT s=P i 6.4. Propriedades da Transformada Z www.das.ufsc.br/labsil 144 • P´olo m´ ultiplo (multiplicidade m) R(P i ) = 1 (m−1)! d m−1 ds m−1 ¸ (s −P i ) m F(s) z z −e sT s=P i O resultado acima ´e apresentado como exerc´ıcio resolvido no livro do Ogata [1] (edi¸c˜ao 1982) ou ainda em v´arios outros livros sobre controle de sistemas a tempo discreto. Exemplo 6.7 Obtenha F(z) = Z[F(s)] dado F(s) = 1 (s+a)(s+b) . Solu¸c˜ao: Como F(s) possui dois p´olos distintos temos: F(z) = R(P 1 ) + R(P 2 ) sendo: R(P 1 ) = (s + a)F(s) z z−e sT s=−a = 1 b−a z z−e −aT R(P 2 ) = (s + b)F(s) z z−e sT s=−b = 1 a−b z z−e −bT Logo: F(z) = 1 b −a ¸ z z −e −aT − z z −e −bT O resultado pode ser conferido com o aux´ılio de tabelas (verifique!). 6.4.5 Convolu¸c˜ao Discreta De forma an´aloga `a integral de convolu¸ c˜ao para sistemas de tempo cont´ınuo, podemos definir convolu¸c˜ao para sistemas de tempo discreto atrav´es de um somat´orio. Tempo cont´ınuo: x 1 (t) ∗ x 2 (t) = ∞ −∞ x 1 (τ)x 2 (t −τ)dτ = ∞ −∞ x 2 (τ)x 1 (t −τ)dτ Tempo discreto: x 1 (kT) ∗ x 2 (kT) = ∞ ¸ n=−∞ x 1 (nT)x 2 (kT −nT) = ∞ ¸ n=−∞ x 2 (nT)x 1 (kT −nT) Normalmente temos x 1 (t) = 0 e x 2 (t) = 0 para t < 0 e nesses casos podemos tomar t 0 = 0 como limite inferior, tanto na integral como no somat´orio. Com a Transformada de Laplace vimos que convolu¸c˜ ao no dom´ınio do tempo se trans- forma em produto no dom´ınio da frequˆencia. Mostraremos a seguir que isto tamb´em ´e verdade em rela¸c˜ ao `a convolu¸c˜ ao discreta e a Transformada Z . L[x 1 (t) ∗ x 2 (t)] = X 1 (s)X 2 (s) (Transf. Laplace - Tempo Cont´ınuo) 6.5. Transformada Z Inversa www.das.ufsc.br/labsil 145 Z[x 1 (kT) ∗ x 2 (kT)] = X 1 (z)X 2 (z) (Transf. Z - Tempo Discreto) Prova: Seja y(kT) o resultado da convolu¸ c˜ao discreta. y(kT) = x 1 (kT) ∗ x 2 (kT) Pela defini¸c˜ ao da Transformada Z temos: Z[y(kT)] = ∞ ¸ k=0 y(kT)z −k = ∞ ¸ k=0 ∞ ¸ n=0 x 1 (nT)x 2 (kT −nT) z −k Fazendo a mudan¸ca de vari´ avel m = k −n encontramos: Z[y(kT)] = ∞ ¸ m=0 ∞ ¸ n=0 x 1 (nT)x 2 (mT)z −(m+n) = ∞ ¸ m=0 x 2 (mT)z −m ∞ ¸ n=0 x 1 (nT)z −n = X 1 (z)X 2 (z) que ´e o resultado desejado. Note que a convolu¸c˜ao de uma sequˆencia qualquer x 1 (kT) com um pulso unit´ario δ(kT) resulta na pr´opria sequˆencia x 1 (kT) pois, como j´a vimos Z[δ(kT)] = 1. δ(kT) = 1 k = 0 0 k = 0 Pulso Unit´ario na Origem Z[δ(kT)] = ∞ ¸ k=0 δ(kT)z −k = 1 Logo: Z[f(kT) ∗ δ(kT)] = Z[f(kT)]Z[δ(kT)] = Z[f(kT)] ⇒f(kT) ∗ δ(kT) = f(kT) A fun¸c˜ao pulso unit´ario δ(kT) tem (em rela¸c˜ ao a Transformada Z ) as mesmas pro- priedades que a fun¸c˜ao impulso unit´ario δ(t) tem em rela¸c˜ao `a Transformada de Laplace . 6.5 Transformada Z Inversa Existem basicamente trˆes m´etodos para a determina¸c˜ao da Transformada Z Inversa. Cada um possui caracter´ısticas diferentes, vantagens e desvantagens. A seguir apre- sentaremos os dois mais utilizados. 6.5. Transformada Z Inversa www.das.ufsc.br/labsil 146 6.5.1 M´etodo da divis˜ao polinomial Este m´etodo ´e uma consequˆencia direta da pr´opria defini¸c˜ao de Transformada Z : X(z) = ∞ ¸ k=0 x(kT)z −k = x(0) + x(T)z −1 +x(2T)z −2 + . . . Como normalmente X(z) ´e expressa em termos de uma fra¸c˜ ao polinomial, isto ´e X(z) = N(z) D(z) sendo N(z) e D(z) dois polinˆomios, temos: N(z) D(z) = x(0) + x(T)z −1 + x(2T)z −2 + . . . Para obter a igualdade acima atrav´es das regras usuais de divis˜ao polinomial seguimos o seguinte procedimento: Suponha que o grau de N(z) n˜ao ´e superior ao grau de D(z) e defina n=grau(D(z)). Construa dois polinˆomios auxiliares ˜ N(z −1 ) = z −n N(z) , ˜ D(z −1 ) = z −n D(z) Fa¸ca agora a divis˜ao de ˜ N(z −1 ) por ˜ D(z −1 ) para encontrar os valores de x(0), x(T), x(2T), . . . . N(z) D(z) = ˜ N(z −1 ) ˜ D(z −1 ) = x(0) + x(T)z −1 + x(2T)z −2 + . . . (6.10) Exemplo 6.8 Determine o valor num´erico de x(4T) dado que X(z) = 10z (z−1)(z−2) . Solu¸c˜ao: X(z) = N(z) D(z) = 10z z 2 −3z + 2 ˜ D(z −1 ) = z −2 D(z) = 1 −3z −1 + 2z −2 ˜ N(z −1 ) = z −2 N(z) = 10z −1 Por divis˜ao polinomial se obt´em: ˜ N(z −1 ) ˜ D(z −1 ) = 10z −1 + 30z −2 + 70z −3 + 150z −4 + . . . Logo, por igualdade polinomial com (6.10) conclu´ımos que: x(0) = 0, x(T) = 10, x(2T) = 30, x(3T) = 70, x(4T) = 150. Quando se deseja obter uma forma anal´ıtica para x(kT) este m´etodo n˜ao ´e adequado e o m´etodo seguinte pode ser utilizado. 6.6. Solu¸c˜ao de Equa¸c˜ oes recursivas www.das.ufsc.br/labsil 147 Compara¸c˜ao Tempo cont´ınuo Transformada de Laplace ˙ x(t) L[ ˙ x(t)] = sX(s) −x(0) Tempo discreto Transformada Z x(kT + T) Z[x(kT + T)] = zX(z) −zx(0) Tabela 6.2: Compara¸c˜ ao entre L[ ˙ x(t)] e Z[x(kT + T)] 6.5.2 M´etodo das fra¸c˜oes parciais de X(z)/z Este m´etodo ´e o an´alogo da expans˜ao por fra¸c˜ oes parciais da utilizado na obten¸c˜ ao da transformada inversa de Laplace. Note apenas que ao inv´es de expandir F(z) por fra¸c˜oes parciais devemos expandir X(z)/z. Veja o exemplo que segue. Exemplo 6.9 Calcule a sequˆencia x(k) cuja transformada Z ´e X(z) = 10z (z−1)(z−2) . Solu¸c˜ao:Expandindo X(z)/z for fra¸c˜oes parciais temos X(z) z = 10 (z −1)(z −2) = A z −1 + B z −2 onde A = 10 z−2 | z=1 = −10 e B = 10 z−1 | z=2 = 10. Logo: X(z) = −10 z z −1 + 10 z z −2 Lembrando que Z[a k ] = z z−a temos: x(k) = −10(1) k + 10(2) k , k = 0, 1, 2, . . . 6.6 Solu¸c˜ao de Equa¸c˜oes recursivas Veremos a seguir como calcular Transformada Z de uma sequˆencia deslocada e a utiliza¸c˜ao desse resultado na solu¸c˜ao de equa¸c˜oes recursivas. Seja X(kT) um sequˆencia e x(kT + T) a sequˆencia deslocada de T segundos (k = 0, 1, 2, . . . ). Assim como a Transformada de Laplace nos permite resolver equa¸c˜oes diferenciais, a Transformada Z nos permite resolver equa¸c˜oes recursivas. Veja a compara¸c˜ ao na tabela 6.2. Quando as condi¸c˜ oes iniciais s˜ao nulas podemos concluir que derivar um sinal de tempo cont´ınuo corresponde a multiplicar sua transformada de Laplace por s, isto ´e sX(s). Analogamente, deslocar (um passo `a frente) um sinal de tempo discreto corresponde `a 6.6. Solu¸c˜ao de Equa¸c˜ oes recursivas www.das.ufsc.br/labsil 148 multiplicar sua transformada Z por z, isto ´e zX(z). A vari´ avel complexa s corresponde ao operador derivada no dom´ınio do tempo cont´ınuo e a vari´avel complexa z corresponde ao operador deslocamento um passo `a frente no dom´ınio do tempo discreto. Para provar essa propriedade da Transformada Z note que: Z[x(kT)] = ∞ ¸ k=0 x(kT)z −k , x(t) = 0 t < 0 Z[x(kT + T)] = ∞ ¸ k=0 x(kT +T)z −k = ∞ ¸ n=1 x(nT)z −(n−1) (n = k + 1) Somando e subtraindo o termo zx(0) obtemos: Z[x(kT + T)] = z ∞ ¸ n=1 x(nT)z −n + zx(0) −zx(0) = z ∞ ¸ n=0 x(nT)z −n −zx(0) = zZ[x(nT)] −zx(0) que prova a propriedade desejada. Analogamente temos: Z[x(kT + 2T)] = zZ[x(kT + T)] −zx(T) = z[zZ[x(kT)] −zx(0)] −x(T) = z 2 X(z) −z 2 x(0) −zx(T) Podemos enfim generalizar a propriedade do deslocamento no tempo aplicando suces- sivamente os resultados acima e obtemos ap´os m sucessivos deslocamentos: Z[x(k +m)] = z m X(z) −z m x(0) −z m−1 x(1) −· · · −zx(m−1) (6.11) Como z corresponde ao operador deslocamento um passo `a frente no tempo a vari´ avel z −1 corresponde ao operador deslocamento um passo `a traz no tempo. Utilizando o mesmo procedimento acima encontramos Z[x(k −m)] = z −m X(z) (6.12) Exemplo 6.10 Resolva a seguinte equa¸c˜ao recursiva: x(k + 2) + 3x(k + 1) + 2x(k) = 0, x(0) = 0, x(1) = 1 Solu¸c˜ao: Tomando a Transformada dos dois lados e usando a linearidade temos: Z[x(k + 2)] + 3Z[x(k + 1)] + 2Z[x(k)] = 0 6.6. Solu¸c˜ao de Equa¸c˜ oes recursivas www.das.ufsc.br/labsil 149 com a propriedade de deslocamento encontramos: z 2 X(z) −z 2 x(0) −zx(1) + 3[zX(z) −zx(0)] + 2X(z) = 0 ⇒X(z) = z z 2 + 3z + 2 = z (z + 2)(z + 1) = z z + 1 − z z + 2 Como Z[a k ] = z z−a obtemos: x(k) = (−1) k −(−2) k , k = 0, 1, 2, . . . Note que os p´olos da Transformada X(z) se tornam a base das exponenciais no tempo. Logo uma sequˆencia x(kT) ´e convergente, x(k) tende assintoticamente `a zero quando k →∞, se todos os p´olos da sua transformada X(z) s˜ao em m´odulo inferiores `a unidade. Confirme esse resultado na figuras 6.15-6.17. PLANO z Re[z] Im[z] sequˆencias n˜ao amortecidas: |p´olos| = 1 sequˆencias convergentes: |p´olos| < 1 sequˆencias divergentes: |p´olos| > 1 X X X Figura 6.19: Sequˆencias convergentes e a localiza¸c˜ ao dos p´olos no plano z Note que no caso da sequˆencia x(kT) = sen(ω 0 kT)u(kT) sua transformada: X(z) = 1 2j ¸ z z −e jω 0 T − z z −e −jω 0 T possui dois p´olos (z = e −jω 0 T e z = e jω 0 T ) que s˜ao complexos conjugados (z = cos(ω 0 T)± jsen(ω 0 T)) e possuem m´odulo unit´ario indicando que a s´erie ´e oscilat´oria sem amorteci- mento. Exemplo 6.11 Determine a resposta do sistema descrito pela seguinte equa¸c˜ao recur- siva: x(k + 2) −3x(k + 1) + 2x(k) = u(k) onde u(k) ´e o pulso unit´ario e x(k) = 0 para k ≤ 0. Solu¸c˜ao: Para resolver a equa¸c˜ao acima precisamos das condi¸c˜oes iniciais x(0) e x(1). O valor de x(0) = 0 ´e dado e o valor de x(1) = 0 se obt´em da pr´opria equa¸c˜ao recursiva com k = −1. Al´em disso, com a Transformada Z encontraremos: z 2 X(z) −3zX(z) + 2X(z) = U(z) 6.6. Solu¸c˜ao de Equa¸c˜ oes recursivas www.das.ufsc.br/labsil 150 A transformada do pulso unit´ario j´a calculamos anteriormente e vale U(z) = Z[u(k)] = 1. Logo: X(z) = 1 z 2 −3z + 2 = −1 z −1 + 1 z −2 Como Z[x(k + 1)] = zX(z) −zx(0) e x(0) = 0 temos: Z[x(k + 1)] = zX(z) = −z z −1 + z z −2 Lembrando que Z[a k ] = z z−a obtemos finalmente: x(k + 1) = −(1) k + (2) k , k = 0, 1, 2, . . . Exemplo 6.12 J´a vimos no exemplo 6.2 que no circuito RC da figura 6.10 onde e(t) ´e constante por trechos (e(t) = e(kT), kT ≤ t ≤ kT +T) os sinais de entrada e sa´ıda nos instantes t = kT s˜ao dados pela equa¸c˜ao recursiva: x(KT + T) −a x(kT) = b e(kT) a = e −T/RC , b = 1 −e −T/RC Obtenha a sequˆencia de sa´ıda x(kT) para um degrau unit´ario aplicado na entrada. Suponha os dados e −T/RC = 0.5 e x(0) = 0. Solu¸c˜ao: Com a Transformada Z temos: Z[x(kT + T)] −aZ[x(kT)] = bZ[e(kT)] zX(z) −zx(0) −aX(z) = bE(z) Como E(z) = z z−1 temos: X(z) = z0.5 (z −0.5)(z −1) = −z z −0.5 + z z −1 Lembrando que Z[a k ] = z z−a encontramos: x(kT) = −(0.5) k + (1) k , k = 0, 1, 2, . . . Note que a tens˜ao em regime permanente se obt´em pelo limite: lim k→∞ x(kT) = 1, (Sistema Est´avel) Analogamente a tens`ao inicial se obt´em: lim k→0 x(kT) = 0 6.7. Fun¸c˜ao de Transferˆencia Discreta e Estabilidade www.das.ufsc.br/labsil 151 6.7 Fun¸c˜ao de Transferˆencia Discreta e Estabilidade Todo sistema discreto pode ser representado por um diagrama similar ao da figura 6.20 onde x(k) representa a sequˆencia de entrada dada, y(k) a sequˆencia de sa´ıda obtida, CI as condi¸c˜oes iniciais (que s˜ao os n−1 valores iniciais da vari´avel de sa´ıda) e o bloco sistema representa um sistema que ser´a descrito por uma equa¸c˜ao recursiva linear e invariante no tempo (coeficientes constantes) do tipo a n y(k +n) +· · · +a 1 y(k + 1) +a 0 y(k) = b m x(k +m) +· · · +b 1 x(k + 1) +b 0 x(k) (6.13) Por conveniˆencia de nota¸c˜ao estamos utilizando x(k), y(k) ao inv´es de x(kT) e y(kT). Isto n˜ao significa que estamos assumindo o intervalo T = 1 (tempo entre dois valores con- secutivos da sequˆencia). Esta nota¸c˜ ao , muito utilizada em livros de controle, significa que estamos representando a sequˆencia numa escala de tempo normalizado k = t/T. Note entretanto que os coeficientes da equa¸c˜ ao recursiva dependem de T e n˜ao pode- mos eliminar essa dependˆencia. Veja no caso do exemplo 6.12: poder´ıamos rescrever a equa¸c˜ao recursiva na forma x(k + 1) − a x(k) = b e(k) mas os coeficientes a, b seriam os mesmos anteriores que dependem de T e dos parˆametros f´ısicos do sistema (capacitˆancia e resistˆencia nesse exemplo particular). x(k) y(k) C.I. SISTEMA Figura 6.20: Sistema discreto gen´erico 6.7.1 Respostas de Estado Zero e Entrada Zero A resposta de todo sistema linear invariante no tempo pode ser decomposta em duas parcelas: uma que depende do sistema e do sinal de entrada e outra que depende do sistema e das condi¸c˜ oes iniciais. A primeira parcela chamaremos de Resposta de estado zero j´a que esta parcela indica como um sistema, inicialmente em repouso (condi¸c˜oes iniciais nulas), responde a um dado sinal de entrada. A segunda parcela chamaremos de Resposta de Entrada Nula pois ela indica como um sistema se comporta quando ´e deixado para responder livremente `as suas condi¸c˜ oes inicias (sem excita¸c˜ ao externa). As respostas de Estado Zero e Entrada Zero de um sistema descrito por (6.13) pode ser determinada atrav´es da Transformada Z . Exemplo 6.13 Considere o circuito descrito no exemplo 6.12. Calcule a resposta de Entrada Zero, para uma dada condi¸c˜ao inicial x(0) = x 0 e a resposta de Estado Zero para uma entrada gen´erica e(k). 6.7. Fun¸c˜ao de Transferˆencia Discreta e Estabilidade www.das.ufsc.br/labsil 152 Solu¸c˜ao: Tomando a Transformada Z da equa¸c˜ao recursiva temos: zX(z) −zx(0) −aX(z) = bE(z) ⇒X(z) = F(z)E(z) + F 0 (z)x(0) onde F(z) = b z−a e F 0 (z) = z z−a . Sejam f(k) = Z −1 [F(z)] e f 0 (k) = Z −1 [F 0 (z)]. Podemos ent˜ao reescrever a express˜ao acima da seguinte forma: x(k) = Z −1 [X(z)] = Z −1 [F(z)E(z)] +Z −1 [F 0 (z)]x(0) = f(k) ∗ e(k) + f 0 (k)x(0) Note que f(k) e f 0 (k) dependem apenas dos coeficientes constantes da equa¸c˜ao recur- siva. N˜ao dependem nem da entrada, nem da sa´ıda nem das condi¸c˜oes iniciais. A parcela f(k) ∗ e(k), que ´e uma convolu¸c˜ao discreta e n˜ao depende das condi¸c˜oes iniciais, ´e a resposta de Estado Zero e a parcela f 0 (k)x(0), que n˜ao depende da entrada, ´e a resposta de Entrada Zero. Problema 6.3 Calcule as sequˆencias f(k) e f 0 (k) do exemplo acima. Se ao inv´es do circuito RC (de primeira Ordem) acima tomarmos a equa¸c˜ ao recursiva de um sistema gen´erico (6.13) obter´ıamos: y(k) = f(k) ∗ x(k) + n−1 ¸ i=0 f i (k)c i (6.14) onde c i = y(i) s˜ao as condi¸c˜oes iniciais do sistema, f(k) e f i (k) s˜ao sequˆencias que dependem apenas dos coeficientes da equa¸c˜ ao recursiva (6.13), x(k) ´e a sequˆencia de entrada e y(k) a de sa´ıda. Da express˜ao acima observe que: 1. A sa´ıda de um sistema discreto depende dos parˆametros f´ısicos e do per´ıodo de amostragem que determinam os coeficientes da equa¸c˜ao recursiva e que por sua vez determinam as fun¸c˜ oes f(k) e f i (k) em (6.14). 2. A sa´ıda de um sistema discreto depende da entrada que lhe ´e aplicada e essa de- pendˆencia se expressa atrav´es da convolu¸c˜ao discreta y(kT) = f(kT) ∗ x(kT). Esta parcela da resposta recebe o nome de resposta de Estado Zero. y esz (kT) = f(kT) ∗ x(kT). 3. A sa´ıda de um sistema depende das condi¸c˜ oes iniciais c i = y(iT) (i = 0, . . . , n−1). Esta parcela da resposta recebe o nome de resposta de Entrada Zero. y enz (kT) = n−1 ¸ i=0 f i (kT)c i 6.7. Fun¸c˜ao de Transferˆencia Discreta e Estabilidade www.das.ufsc.br/labsil 153 4. A resposta de Entrada Zero ´e linear (afim) em rela¸c˜ ao `as condi¸c˜oes iniciais e a resposta de Estado Zero ´e linear em rela¸c˜ao `a entrada. 5. Os p´olos de F(z) definem a estabilidade da resposta. Se F(z) possuir algum p´olo com m´odulo maior que a unidade ent˜ao a resposta ter´a uma parcela que diverge. A fun¸c˜ ao F(z) ´e conhecida como Fun¸c˜ao de Transferˆencia Discreta (ou pulsada) do sistema. 6.7.2 Resposta ao Pulso e Estabilidade Quando as condi¸c˜oes iniciais s˜ao nulas a sa´ıda de um sistema discreto linear invariante s´o depende da entrada e da Fun¸c˜ ao de Transferˆencia Discreta, como pode ser visto em (6.14). Dom´ınio do Tempo: y(k) = f(k) ∗ x(k). Dom´ınio da Frequˆencia: Y (z) = F(z)X(z). A fun¸c˜ ao f(k) = Z −1 [F(z)] recebe o nome de resposta ao pulso unit´ario pois f(k) ´e a resposta do sistema quando as condi¸c˜oes inciais s˜ao nulas e a entrada ´e um pulso unit´ario no instante k = 0. (X(z) = 1). Defini¸c˜ao 6.1 (Sistemas Causais ou N˜ao-Antecipativos) Um sistema discreto ´e dito ser Causal (ou N˜ao-Antecipativo) se a resposta de Estado Zero para um pulso unit´ario ´e nula para k < 0. Num sistema causal o valor da resposta num dado instante de tempo y(kT) n˜ao depende do sinal de entrada x(nT) para valores de n > k. Caso contr´ ario o valor da resposta no instante t = kT passa a depender de valores futuros do sinal da entrada (x(t) para t > kT) e que portanto ainda n˜ao est˜ao dispon´ıveis no instante t = kT. Mostraremos a seguir que um sistema ´e causal quando o polinˆomio do numerador da Fun¸c˜ ao de Transferˆencia F(z) possui grau ≤ ao do denominador. Com (6.13) temos que: a n y(k + n) +· · · + a 0 y(k) = b m x(k + m) +· · · + b 0 x(k) Observe que y(k + n) depende de x(k + m) e portanto se m > n a sa´ıda no instante k + n depende de valores da entrada em instantes de tempo futuros pois k + m > k + n para todo k. Logo para que um sistema discreto seja causal devemos ter m ≤ n. Defini¸c˜ao 6.2 (Estabilidade) Um sistema discreto linear invariante no tempo ´e expo- nencialmente est´avel se todos os p´olos da sua Fun¸c˜ao de Transferˆencia Pulsada possuem m´odulo inferior `a unidade. Caso contr´ario ´e dito ser inst´avel. 6.8. Sistemas Amostrados www.das.ufsc.br/labsil 154 Pela defini¸c˜ao acima, note que a estabilidade ´e uma propriedade intr´ınseca do sistema. Ela s´o depende dos parˆametros f´ısicos do mesmo. N˜ao depende da entrada nem das condi¸c˜oes iniciais. O nome exponencialmente est´avel apenas enfatiza que os p´olos da Fun¸c˜ ao de Transferˆencia ser˜ao a base de exponenciais no dom´ınio do tempo e portanto a resposta ao pulso converge exponencialmente para zero. Exemplo 6.14 Verifique a estabilidade do sistema cuja fun¸c˜ao de transferˆencia ´e F(z) = z (z −1)(z + 2) Solu¸c˜ao: Os p´olos de F(z) s˜ao z = 1 e z = −2 e pela defini¸c˜ao acima o sistema ´e inst´avel pois F(z) possui p´olos fora do c´ırculo unit´ario (ou sobre o c´ırculo). Para ver o efeito desses p´olos na resposta ao pulso unit´ario temos: F(z) = 1 3 z z −1 − 1 3 z z + 2 e como Z[a k ] = z z−a temos: Z −1 = f(k) = 1 3 (1) k − 1 3 (−2) k Assim, se algum p´olo da Fun¸c˜ao de Transferˆencia F(z) possuir m´odulo ≥ 1 a resposta ao pulso n˜ao tende `a zero. Ser´a crescente, oscilat´oria ou converge para um valor n˜ao nulo, caracterizando assim a instabilidade do sistema. 6.8 Sistemas Amostrados Vimos que a transformada de Laplace ´e adequada ao tratamento de sinais e sistemas de tempo cont´ınuo. De forma an´aloga a transformada Z nos possibilita o tratamento de sinais e sistemas de tempo discreto. No entanto, a maioria dos sistemas a serem con- trolados s˜ao de natureza cont´ınua e s˜ao controlados por computadores digitais (natureza discreta). Essa mistura de sistemas cont´ınuos e discretos tornam o problema de an´alise de estabilidade mais complicado pois tanto a transformada de Laplace como a trans- formada Z j´a n˜ao fornecem resultados satisfat´orios se aplicadas diretamente. A seguir veremos como transformar sistemas amostrados em sistemas discretos equivalentes. Com essa transforma¸c˜ao todos os sinais do sistema passam a ser discretos e a transformada Z pode ser usada sem maiores problemas na an´alise do sistema. A figura 6.21(a) mostra um sistema cont´ınuo G(s) cuja entrada x ∗ (t) ´e um sinal amostrado com amostrador ideal (trem de impulsos de per´ıodo T). A sa´ıda y(t) desse sistema ser´a discretizada para posterior tramento num computador digital, isto ´e apenas os valores y(kT) ser˜ao considerados. Precisamos ent˜ ao saber qual seria o sistema discreto equivalente que tem as sequˆencias x(kT) como entrada e y(kT) como sa´ıda, como indica a figura 6.21(b). O sistema discreto que procuramos possui as mesmas informa¸c˜oes do sistema amostrado e al´em disso a transformada Z pode ser aplicada diretamente. 6.8. Sistemas Amostrados www.das.ufsc.br/labsil 155 (a) G(z) y(kT) x(kT) T x(t) x ∗ (t) G(s) y(t)| t=kT (b) Figura 6.21: Sistema amostrado e seu discreto equivalente Note que a entrada do bloco anal´ogico G(s) na figura 6.21(a) ´e um sinal amostrado onde os impulsos possuem ´areas de valores x(kT) e a entrada do bloco discreto G(z) na figura 6.21(b) ´e uma sequˆencia de valores x(kT). A sa´ıda y(t) figura 6.21(a) ´e anal´ogica mas apenas os valores y(kT) medidos nos instantes t = kT s˜ao de interesse. J´a a sa´ıda na figura 6.21(b) ´e a pr´opria sequˆencia y(kT). A seguir apresentamos um procedimento para, dado o sistema anal´ogico G(s), encontrar o bloco discreto equivalente G(z). E equivalˆencia `a qual nos referimos ´e no sentido de que os valores do sinal de entrada x(kT) e sa´ıda y(kT) do sistema discreto s˜ao os mesmos do sistema cont´ınuo x(t), y(t) nos instantes t = kT. Seja ent˜ ao g(t) = L −1 [G(s)] a resposta impulsional do sistema representado por G(s). Da´ı, a resposta y(t) ´e dada pela convolu¸c˜ ao cont´ınua da entrada com a resposta impul- sional. ENTRADA: x ∗ (t) = ¸ ∞ k=0 x(kT)δ(t −kT), x(t) = 0 para t < 0. SA ´ IDA: y(t) = ¸ k n=0 x(nT)δ(t −nT) ∗ [g(t)], 0 ≤ t ≤ kT. Sem perda de generalidade representamos y(t) no intervalo 0 ≤ t ≤ kT para algum valor de k ≥ 0. Note que estamos supondo que G(s) representa um sistema causal e portanto g(t) = 0 para t < 0. Desenvolvendo a express˜ao acima encontramos: y(t) = k ¸ n=0 x(nT)[δ(t −nT) ∗ g(t)], 0 ≤ t ≤ kT = k ¸ n=0 x(nT) g(t −nT) Os valores de y(t) nos instantes t = kT s˜ao dados por: y(t)| t=kT = y(kT) = k ¸ n=0 x(nT)g(kT −nT) (6.15) 6.8. Sistemas Amostrados www.das.ufsc.br/labsil 156 que ´e a convolu¸ c˜ao discreta da sequˆencia de entrada x(kT) com a sequˆencia de sa´ıda y(kT). Pela propriedade de convolu¸c˜ ao da Transformada Z temos tamb´em que: Z[y(kT)] = Z[x(kT)]Z[g(kT)] ; Y (z) = X(z)G(z) (6.16) As equa¸c˜ oes (6.15) e (6.16) definem a rela¸c˜ ao entre as sequˆencias x(kT) e y(kT) na figura 6.21(b) que ´e o resultado desejado. Assim, para se obter o sistema discreto G(z) equivalente a um sistema cont´ınuo G(s), calcule g(t) = L −1 [G(s)] com a transformada inversa de Laplace. Em seguida calcule a sequˆencia g(kT) fazendo t = kT na fun¸c˜ ao g(t) obtida e finalmente calcule a fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema discreto equivalente G(z) aplicando a transformada Z na sequˆencia g(kT) obtida. Um procedimento mais simples para a passar de G(s) para G(z) est´a indicado na se¸c˜ao 6.4.4. A figura 6.22 mostra um resumo dos principais resultados de convers˜ ao de Laplace para Z. . Exemplo 6.15 Considere o sistema amostrado da figura 6.21(a) com G(s) = α (s+a)(s+b) . Calcule a fun¸c˜ao de transferˆencia discreta G(z) entre a sequˆencia x(kT) de entrada e y(kT) de sa´ıda indicada na figura 6.21(b). Solu¸c˜ao: Podemos resolver esse problema de duas formas: (1) Utilizando o Teorema do Res´ıduo apresentado na se¸c˜ao 6.4.4. Nesse caso temos G(z) = R(P 1 ) + R(P 2 ) R(P 1 ) = ¸ (s + a)G(s) z z −e sT s=−a = α b −a z z −e −aT R(P 2 ) = ¸ (s + b)G(s) z z −e sT s=−b = α a −b z z −e −bT ⇒ G(z) = α b −a ¸ z z −e −aT − z z −e −bT que ´e a fun¸c˜ao de transferˆencia discreta desejada. Al´em disso, com a nota¸c˜ao Y (z) = Z[y(kT)] e X(z) = Z[x(kT)] podemos escrever a rela¸c˜ao de entrada/sa´ıda do sistema Y (z) = G(z)X(z). (2) Utilizando as express˜oes (6.15) e (6.16). Nesse caso temos g(t) = L −1 [G(s)] = L −1 ¸ α b −a 1 s +a − 1 s + b = α b −a (e −at −e −bt ) Discretizando a resposta impulsional g(t) obtemos: g(t)| t=kT = g(kT) = α b −a (e −akT −e −bkT ) tomando a Transformada Z da sequˆencia g(kT) obtemos: G(z) = Z[g(kT)] = α b −a z z −e −aT − z z −e −bT 6.8. Sistemas Amostrados www.das.ufsc.br/labsil 157 Y (z) = Z[Y ∗ (s)] = Z[G(s)X(s)] Y ∗ (s) G(s) Y (s) X(s) Y ∗ (s) X ∗ 1 (s) X ∗ 2 (s) X 1 (s) X 2 (s) Y (s) Y ∗ (s) X 2 (s) X 1 (s) Y ∗ (s) = X ∗ 1 (s) + X ∗ 2 (s) ou de forma equivalente Y (z) = Z[Y ∗ (s)] = Z[X ∗ 1 (s)] +Z[X ∗ 2 (s)] Y (z) = X 1 (z) + X 2 (z) X ∗ (s) X(s) G(s) Y (s) Y ∗ (s) Y (z) = Z[Y ∗ (s)] = Z[G(s)X ∗ (s)] = Z[G(s)]Z[X ∗ (s)] = Z[G(s)] X(z) Figura 6.22: Resumo dos resultados de convers˜ ao de Laplace para Z 6.8. Sistemas Amostrados www.das.ufsc.br/labsil 158 e finalmente temos: Y (z) = G(z)X(z) Frequˆencia y(kT) = g(kT) ∗ x(kT) Tempo A maioria dos sistemas amostrados possuem algum dispositivo sample-and-hold no seu interior. A figura 6.23 mostra um sistema desse tipo. A fun¸c˜ ao ZOH(s) ´e a fun¸c˜ ao de transferˆencia do segurador de ordem zero como indicado em (6.4). T x ∗ (t) Segurador de Ordem Zero Sistema a ser Controlado Amostrador Conversor D/A com S/H ZOH(s) x(kT) Ideal G(s) y(t)| t=kT Figura 6.23: Sistema amostrado com conversor D/A e S/H Da figura 6.23 vamos definir a fun¸c˜ao auxiliar H(s) = ZOH(s)G(s). O problema agora ´e encontrar a fun¸c˜ ao de transferˆencia discreta H(z) que corresponde `a fun¸c˜ ao H(s). Para isso vamos utilizar a nota¸c˜ao H(z) = Z[H(s)]. Lembrando que e sT = z temos com (6.4) H(z) = Z[ZOH(s)G(s)] = Z[ 1 −e −Ts s G(s)] = (1 −z −1 )Z ¸ G(s) s (6.17) Exemplo 6.16 Considere o sistema da figura 6.23 onde G(s) = 1 s(s+1) . Calcule a fun¸c˜ao de transferˆencia Pulsada entre a sequˆencia x(kT) e a sa´ıda y(t) nos instantes t = kT com T = 1seg. Solu¸c˜ao: Pelo resultado acima temos: H(z) = Z ¸ 1 −e −Ts s 1 s(s + 1) = (1 −z −1 )Z ¸ 1 s 2 (s + 1) Definindo F(s) = 1 s 2 (s+1) podemos calcular F(z) atrav´es do teorema dos res´ıduos. F(z) = R(P 1 ) + R(P 2 ) onde: R(P 1 ) = ¸ (s + 1)F(s) z z −e Ts s=−1 = z z −e −1 6.8. Sistemas Amostrados www.das.ufsc.br/labsil 159 e R(P 2 ) = ¸ d ds s 2 F(s) z z −e sT s=0 = ¸ d ds 1 s + 1 z z −e sT s=0 = ¸ −1 (s + 1) 2 z z −e sT + 1 s + 1 −z (z −e s T) 2 (−Te sT ) s=0 = − z z −1 + Tz (z −1) 2 Logo: F(z) = z z −e −1 + z (z −1) 2 − z z −1 e portanto: H(z) = (1 −z −1 )F(z) = z −1 z −e −1 + 1 z −1 −1 que ´e a fun¸c˜ ao de transferˆencia desejada. Exemplo 6.17 Considere o circuito RC do exemplo 6.2 onde o sinal de entrada ´e con- stante por trechos. Represente o sinal constante por trechos como sendo a sa´ıda de um segurador de ordem zero como indicado na figura 6.24. Calcule a equa¸c˜ao recursiva que rege o comportamento do sistema nos instantes t = kT. Calcule tamb´em a resposta do circuito para um degrau unit´ario. T e ∗ (t) Segurador de Ordem Zero Ideal ZOH(s) e(kT) e(t) Circuito RC G(s) Amostrador y(t)| t=kT Figura 6.24: Circuito com entrada constante por trechos Solu¸c˜ao: A fun¸c˜ao de transferˆencia Pulsada entre a sequˆencia de tens˜ao de entrada e(kT) e a de sa´ıda y(kT) pode ser obtida com: H(z) = Z ¸ 1 −e −Ts s 1 RCs + 1 = (1 −z −1 )Z 1 s(RCs + 1) . .. . F(s) ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ = (1 −z −1 )Z[F(s)] = (1 −z −1 )[R(P 1 ) + R(P 2 )] R(P 1 ) = sF(s) z z−e sT s=0 = z z−1 R(P 2 ) = (s + 1/RC)F(s) z z−e sT s=−1/RC = −z z−e −T/RC 6.8. Sistemas Amostrados www.das.ufsc.br/labsil 160 ⇒H(z) = (1 −z −1 ) ¸ z z −1 − z z −e −T/RC = 1 −e −T/RC z −e −T/RC Como Y (z) = H(z)E(z) temos a = e −T/RC e b = 1 −e −T/RC Y (z)z −aY (z) = bE(z) e pela propriedade de deslocamento obtemos: y(kT + T) −ay(kT) = be(kT) que ´e a equa¸c˜ ao recursiva desejada. Para calcular a resposta ao degrau unit´ario temos E(z) = z z−1 e portanto Y (z) = H(z) z z−1 e por fra¸c˜oes parciais obtemos a resposta ao degrau: y(kT) = Z −1 [Y (z)] = Z −1 [ z z −1 b z −a ] = 1 −e −kT/RC , k = 0, 1, 2, . . . Exemplo 6.18 Calcule a fun¸c˜ao de transferˆencia discreta dos sistemas indicados na figura 6.25. T x(t) 1 s+a x ∗ (t) 1 s+b y(t)| t=kT (a) (b) T T x(t) 1 s+a x ∗ (t) y 1 (t) y ∗ 1 (t) 1 s+b y 2 (t)| t=kT Figura 6.25: (a) Dois sistemas amostrados em cascata; (b) Dois sistemas cont´ınuos em cascata Solu¸c˜ao: No caso da figura 6.25(a), a rela¸c˜ao entre as sequˆencias de entrada x(kT) e a de sa´ıda y 1 (kT) ´e: Z[y 1 (kT)] = Z[ 1 s + a ] Z[x(kT)] ⇔ Y 1 (z) = Z[ 1 s + a ] X(z) A rela¸c˜ao entre as sequˆencias de entrada y 1 (kT) e a de sa´ıda y 2 (kT) ´e: Z[y 2 (kT)] = Z[ 1 s + b ] Z[y 1 (kT)] ⇔ Y 2 (z) = Z[ 1 s + b ] Y 1 (z) 6.8. Sistemas Amostrados www.das.ufsc.br/labsil 161 Combinando as duas express˜oes acima temos que a fun¸c˜ao de transferˆencia Pulsada entre as sequˆencias x(kT) e y 2 (kT) ´e: Y 2 (z) = Z[ 1 s +a ] Z[ 1 s + b ] X(z) Note que Z[ 1 s+a ] = z z−e −aT e Z[ 1 s+b ] = z z−e −bT . No caso da figura 6.25(b), a rela¸c˜ao entre as sequˆencias de entrada x(kT) e a de sa´ıda y(kT) ´e: Y (z) = Z ¸ 1 (s +a)(s + b) X(z) Assim conclu´ımos que Z ¸ 1 (s + a)(s +b) = 1 b −a z z −e −aT − z z −e −bT e portanto Z ¸ 1 (s + a) Z ¸ 1 (s + b) = Z ¸ 1 (s + a)(s + b) ou seja, os sistemas amostrados das figuras 6.25(a) e (b) s˜ao diferentes pois suas respec- tivas fun¸c˜oes de transferˆencia s˜ao diferentes. Este resultado pode ser generalizado. Em geral, para quaisquer fun¸c˜oes G 1 (s) e G 2 (s) Z[G 1 (s) G 2 (s)] = Z[G 1 (s)] Z[G 2 (s)] Exemplo 6.19 Prove o resultado da equa¸c˜ao (6.17). Solu¸c˜ao: Definindo H(s) como sendo a transferˆencia da sequˆencia x(kT) para a sa´ıda y(t) temos: H(s) = 1 −e −Ts s G(s) = G(s) s −e −Ts G(s) s Definindo h 0 (t) = L −1 G(s) s e lembrando que L −1 [e −Ts G(s)/s] = h 0 (t − T) a resposta impulsional ´e: h(t) = L −1 [H(s)] = h 0 (t) −h 0 (t −T) Os valores de h(t) nos instantes t = kT formam a seguinte sequˆencia (resposta ao pulso unit´ario). h(kT) = h 0 (kT) −h 0 (kT −T) Tomando a Transformada Z de h(kT) vem H(z) = Z[h(kT)] = Z[h 0 (kT)] −Z[h 0 (kT −T)] Note que G(s) ´e um sistema f´ısico e portanto causal. Logo G(s)/s tamb´em ´e causal e portanto h 0 (t) = 0 para t < 0. Assim: Z[h 0 (kT −T)] = ∞ ¸ k=0 h 0 (kT −T)z −k = h 0 (−T) + h 0 (0)z −1 +h 0 (T)z −2 + . . . 6.9. Sistemas Realimentados www.das.ufsc.br/labsil 162 como h 0 (−T) = 0 temos: Z[h 0 (kT −T)] = z −1 [h 0 (0) + h 0 (T)z −1 + h 0 (2T)z −2 + . . . = z −1 [ ∞ ¸ k=0 h 0 (kT)z −k ] = z −1 Z[h 0 (kT)] e portanto obtemos o seguinte resultado: para H(s) = 1 −e −Ts s G(s) temos H(z) = (1 −z −1 )Z[h 0 (kT)] = (1 −z −1 )Z[ G(s) s ] logo: Z[x(kT)] . .. . X(z) = H(z) Z[y(kT)] . .. . Y (z) que ´e o resultado desejado. 6.9 Sistemas Realimentados A id´eia de sistemas discretos realimentados ´e an´aloga a de sistemas realimentados cont´ınuos. Uma estrutura comum de controle de sistemas amostrados est´a indicada na figura 6.26(a). A figura 6.26(b) mostra uma reinterpreta¸c˜ao do sistema em (a) enfatizando as fun¸c˜oes executadas pelo computador e medidor digital. A figura 6.26(c) mostra o sistema discreto correspondente aos casos (a),(b). Nos instantes t = kT o modelo discreto possui as mesmas entradas e sa´ıdas do sistema cont´ınuo indicado nos casos (a) e (b) e al´em disso possui a vantagem de poder ser tratado diretamente pela transformada Z. O modelo discreto depende, entre outros fatores, da localiza¸c˜ao dos conversores A/D e D/A. Para verificar essa afirma¸c˜ ao considere os sistemas da figura 6.27 e suponha que estamos interessados nas fun¸c˜ oes de transferˆencia Pulsadas entre as sequˆencias r(kT) e c(kT) nos casos (a) e (b). Vamos primeiro considerar o sistema da figura 6.27(a). Para encontrar a fun¸c˜ ao de transferˆencia entre as sequˆencias e(kT) e c(kT) temos C(z) = G(z)E(z) onde G(z) = Z[ZOH(s)G(s)] e a fun¸c˜ao de transferˆencia entre e(kT) e v(kT) ´e: V (z) = GH(z)E(z) onde GH(z) = Z[ZOH(s)G(s)H(s)] Como E(z) = R(z) −V (z) temos: R(z) = E(z) + GH(z)E(z) = (1 + GH(z)) C(z) G(z) 6.9. Sistemas Realimentados www.das.ufsc.br/labsil 163 G 2 (s) ZOH(s) sinal de r(t) - + e(t) referˆencia e(kT) modelo do computador programa do conversor A/D y(t) com S/H conversor D/A modelo do modelo do G 1 (z) controlada vari´ avel u(t) u(kT) modelo do controlado sistema a ser G 2 (s) ZOH(s) (a) sinal de r(kT) - + referˆencia G 1 (z) y(kT) e(kT) G 3 (z) (c) u(kT) (b) sinal de r(kT) - + referˆencia com S/H conversor D/A modelo do G 1 (z) u(t) u(kT) modelo do controlado sistema a ser computador e(kT) algor´ıtmo modelo do conversor A/D medidor com y(kT) vari´ avel controlada modelo discreto do conjunto conversor D/A, sistema, medidor e conversor A/D G 3 (z) = Z[ZOH(s) G 2 (s)] controlada vari´ avel algor´ıtmo (eq. recursiva) (eq. recursiva) Figura 6.26: Sistema de controle digital e seu modelo discreto 6.9. Sistemas Realimentados www.das.ufsc.br/labsil 164 G(s) T referˆencia r(t) + - v(t) ZOH(s) e ∗ (t) T e(t) S/H c ∗ (t) ZOH(s) vari´avel controlada H(s) medidor digital sistema, controlador e S/H filtros auxiliares medidor anal´ogico G(s) H(s) c ∗ (t) vari´avel controlada T referˆencia r(t) + - v(t) filtros auxiliares sistema, controlador e (b) (a) ZOH(s) e ∗ (t) T e(t) S/H Figura 6.27: Sistema de controle digital com medidor anal´ogico (a) e digital (b) e portanto: C(z) = G(z) 1 + GH(z) R(z) que expressa a rela¸c˜ao entre a sequˆencia r(kT) e c(kT) no sistema da figura 6.27(a). Passemos agora ao sistema da figura 6.27(b). Para encontrar a fun¸c˜ao de transferˆencia entre as sequˆencias e(kT) e c(kT) temos C(z) = G(z)E(z) onde G(z) = Z[ZOH(s)G(s)] e a fun¸c˜ao de transferˆencia entre c(kT) e v(kT) ´e: V (z) = H(z)C(z) onde H(z) = Z[ZOH(s)H(s)] Como E(z) = R(z) −V (z) temos: R(z) = C(z) G(z) +H(z)C(z) = (1 + G(z)H(z)) C(z) G(z) e portanto: C(z) = G(z) 1 + G(z)H(z) R(z) que expressa a rela¸c˜ao entre a sequˆencia r(kT) e c(kT) no sistema da figura 6.27(b). 6.10. Escolha do Per´ıodo de Amostragem www.das.ufsc.br/labsil 165 r(t) e(t) T=1seg + - c ∗ (t) T=1seg 1 s(s+1) e ∗ (t) V a (t) ZOH(s) V a (t) Tens˜ao de armadura do motor DC c(t) Posi¸c˜ao angular da carga acionada r(t) Sinal de referˆencia Figura 6.28: Controle digital de posi¸c˜ao angular atrav´es de um motor DC Exemplo 6.20 Obtenha a resposta ao degrau unit´ario c(kT) para o sistema de controle de posi¸ c˜ao acionado por um Motor DC, como indicado na figura 6.28. Solu¸c˜ao: De um exemplo anterior j´a vimos que: G(z) = Z[G(s)] = e −1 z + 1 −2e −1 z 2 −(1 + e −1 )z + e −1 = 0, 368z + 0, 264 z 2 −1, 368z + 0, 368 Logo: C(z) R(z) = 0, 368z + 0, 264 z 2 −z + 0, 632 Para uma entrada degrau unit´ario R(z) = z z−1 temos: C(z) = 0, 368z + 0, 264 z 2 −z + 0, 632 z z −1 Por divis˜ao polinomial obt´em-se: C(z) = 0, 368z −1 +z −2 + 1, 4z −3 + 1, 4z −4 + 1, 147z −5 + 0, 895z −6 + 0, 802z −7 + . . . Problema 6.4 Com o aux´ılio de uma tabela de transformadas e da transformada inversa encontre a express˜ao anal´ıtica para c(kT) no exemplo 6.20. Problema 6.5 ´ E importante notar que o m´etodo da Transformada Z fornece os valores da sa´ıda c(t) apenas nos instantes de amostragem t = kT. O valor de c(t) entre instantes de amostragens consecutivos n˜ao pode ser obtido pela Transformada Z . Com o aux´ılio de um programa de simula¸c˜ao verifique que os resultados anal´ıticos obtidos coincidem com o resultado da simula¸c˜ao do sistema de controle indicado no exemplo 6.20. 6.10 Escolha do Per´ıodo de Amostragem A melhor escolha do per´ıodo de amostragem em sistemas de controle ´e um compromisso entre v´arios fatores normalmente contradit´orios. Normalmente a performance de um 6.11. Resposta em Frequˆencia www.das.ufsc.br/labsil 166 controlador digital melhora com o aumento da frequˆencia de amostragem mas o custo do dispositivo tamb´em. Diminui¸c˜ao da frequˆencia de amostragem significa mais tempo dispon´ıvel para o c´alculo do sinal de controle em tempo real, o que possibilita a utiliza¸c˜ ao de computadores mais lentos e portanto mais baratos. Para sistemas com conversores A/D, menor frequˆencia de amostragem significa que menor velocidade de convers˜ao ´e necess´aria, o que tamb´em diminui o custo do dispositivo. Al´em disso, normalmente uma grande frequˆencia de amostragem requer uma grande precis˜ao na representa¸c˜ao bin´aria (n´ umero de bits elevado), o que tamb´em aumenta o custo. V´arios fatores afetam a performance de controladores digitais e para que o sistema apre- sente uma performance m´ınima aceit´avel se faz necess´ario uma frequˆencia de amostragem m´ınima muito superior `aquela fornecida pelo Teorema da Amostragem. Para o sistema de controle digital da figura 6.26 vamos definir ω b a frequˆencia de banda passante desejada do sistema em malha fechada e ω a = 2π T a frequˆencia de amostragem que precisamos utilizar para que a performance do sistema n˜ao se deteriore demais em rela¸c˜ao `a do sistema desejado. A banda passante desejada do sistema deve ser escolhida em fun¸c˜ ao dos requisitos de rapidez de resposta desejados em malha fechada. Ent˜ ao os seguintes fatores imp˜oem um limite m´ınimo para que ω a que em muitas aplica¸c˜oes ´e dado por ω a > 20ω b . 1. Seguir sinais de referˆencia com energia dentro da banda passante do sistema. 2. Tempo de acomoda¸c˜ ao pequeno e pouca oscila¸c˜ ao. 3. Erros devido `a perturba¸c˜ oes e ru´ıdos que incidem sobre o sistema a ser controlado dificultando o controle adequado. 4. Degrada¸c˜ ao da estabilidade que aumenta com a diminui¸c˜ ao da frequˆencia de amostragem devido `a sensibilidade `a erros nos parˆametros do modelo. Isto ´e acentuado ainda mais em conversores com palavra de tamanho pequeno. 5. Introdu¸c˜ ao de prefiltros (anal´ogicos) de amostragem para atenuar ru´ıdos de medida mas que tamb´em podem introduzir defasagens na vari´ avel medida dificultando o projeto do controlador em alguns casos. Para maiores detalhes veja por exemplo [9],[2]. 6.11 Resposta em Frequˆencia Como vimos anteriormente a Transformada Z de um sinal amostrado pode ser definida a partir da Transformada de Laplace do sinal amostrado com a mudan¸ca de vari´avel z = e Ts . Esta rela¸c˜ ao mostra como os p´olos do plano s de Laplace s˜ao mapeados para o plano z. 6.11. Resposta em Frequˆencia www.das.ufsc.br/labsil 167 Exemplo 6.21 O sinal y(t) = e −at cos(bt), t ≥ 0 com aT = 0, 3567 e bT = π/4 resulta na seguinte sequˆencia para T = 1seg. y(kT) = (e −3567 ) k cos(πk/4), k = 0, 1, 2, . . . = 0, 7 k cos(πk/4) Calcule a rela¸c˜ ao entre os p´olos de Y (s) e Y (z). Solu¸c˜ao: Com o aux´ılio das transformadas de Laplace e Z podemos montar a seguinte tabela: P´olos de Y (s) P´olos de Y (z) s 1 = −a −jb z 1 = e −aT e −jbT = e s 1 T s 2 = −a + jb z 2 = e −aT e jbT = e s 2 T Pelo exemplo acima confirmamos que se uma transformada Y (s) possui todos os p´olos no semiplano negativo (est´avel) ent˜ ao Y (z) ter´a todos os p´olos dentro do c´ırculo unit´ario (est´avel). Se algum p´olo de Y (s) est´a sobre o eixo imagin´ario ele ser´a mapeado em Y (z) sobre o c´ırculo unit´ario e finalmente um p´olo de Y (s) no semiplano direito (inst´avel) ser´a mapeado em Y (z) na regi˜ao fora do c´ırculo unit´ario (inst´avel). Veja figuras 6.15-6.17. Vimos tamb´em que a resposta senoidal em regime permanente de um sistema linear invariante em Laplace ´e completamente determinada pela Fun¸c˜ao de Transferˆencia do sistema com s = jω 0 , como indicado nas figuras 4.2 e 4.3. Em outras palavras, a reposta frequencial de um sistema cont´ınuo se obt´em fazendo s percorrer todo o eixo imagin´ario (s = jω). Como todos os pontos sobre o eixo imagin´ario s˜ao mapeados sobre o c´ırculo unit´ario da Transformada Z podemos conclu´ımos que a resposta frequencial de um sis- tema discreto se obt´em fazendo z percorrer todo o c´ırculo unit´ario, isto ´e, z = e jωT . A seguir mostraremos que resultados an´alogos aos das figuras 4.2 e 4.3 s˜ao v´alidos para sistemas discretos. Seja o sitema discreto abaixo: F(z) X(z) Y(z) Figura 6.29: Sistema discreto est´avel onde F(z) ´e est´avel e a entrada ´e uma sequˆencia senoidal x(k) = cos(ω 0 kT), k ≥ 0. A resposta em regime tamb´em ser´a uma cossen´oide de mesma frequˆencia por´em com amplitude e fase que dependem de F(z) para z = e jω 0 T . Para mostrar isso vamos representar F(e jω 0 T ) em termos de sua coordenada polar: |F(e jω 0 T )| = M ∠F(e jω 0 T ) = φ ⇒F(e jω 0 T ) = Me jφ Como X(z) = Z[x(k)] = 1 2 z z−e jω 0 T + z z−e −jω 0 T temos: 6.12. Problemas Complementares www.das.ufsc.br/labsil 168 Y (z) = 1 2 ¸ z z −e jω 0 T + z z −e −jω 0 T F(z) Supondo F(z) est´avel, isto ´e, que todos os seus p´olos estejam dentro do c´ırculo unit´ario, a resposta em regime permanente ´e dada pelos termos da expans˜ao por fra¸c˜oes parciais de Y (z) correspondentes aos p´olos sobre o c´ırculo unit´ario, pois todos os outros termos ir˜ao desaparecer quando k →∞. Dessa forma, expandindo Y (z)/z por fra¸c˜oes parciais e desprezando os termos associados aos p´olos dentro do c´ırculo unit´ario ficamos com: Y ss (z) = 1 2 ¸ z z −e jω 0 T F(e jω 0 T ) + z z −e −jω 0 T F(e −jω 0 T ) Como F(e jω 0 T ) = Me jφ ´e uma constante e Z −1 z z−a = a k vem: y ss (kT) = 1 2 (e jω 0 kT )Me jφ + (e −jω 0 kT )Me −jφ = Mcos(ω 0 Tk + φ) onde M = |F(e jω 0 T )| e φ = ∠F(e jω 0 T ). Assim de forma an´aloga `a resposta frequencial de sistemas cont´ınuos temos: onde x(k) = cos(ω 0 kT) F(z) y ss (k) = Mcos(ω 0 kT +φ) Figura 6.30: Resposta frequencial de um sistema discreto M = |F(e jω 0 T )| e φ = ∠F(e jω 0 T ) (em regime). Um resultado an´alogo pode ser obtido para entradas senoidais. 6.12 Problemas Complementares Problema 6.6 O sinal de entrada do circuito na figura 6.31 ´e constante por trechos, isto ´e v(t) = v(kT) para kT ≤ t < kT + T. Sendo T = 1 segundo pede-se: (i) a equa¸c˜ao recursiva que define o comportamento entrada/sa´ıda nos instantes t = KT; (ii) a fun¸c˜ao de transferˆencia discreta; (iii) a resposta de estado zero ao degrau de 10 volts; (iv) a resposta de entrada zero para v c (0) = 1V, v c (T) = 0V ; (v) a resposta total para uma entrada degrau unit´ario e condi¸c˜oes iniciais v c (0) = 3V, v c (T) = 0V . Problema 6.7 O sistema da figura 6.32 mostra um esquema de controle de veloci- dade de um motor DC controlado pela armadura. O per´ıodo de amostragem ´e de T = 1seg e o computador executa um algor´ıtmo de controle descrito pela equa¸c˜ao recursiva u(kT) −0, 5u(kT −T) = e(kT). A indutˆancia de armadura do motor pode ser desprezada 6.12. Problemas Complementares www.das.ufsc.br/labsil 169 + - + - v(t) v c (t) L = 1H R = 3Ω C = 1F Figura 6.31: Circuito RLC com entrada constante por trechos e portanto a dinˆamica da velocidade do motor em fun¸c˜ao da tens˜ao de armadura pode ser representada pela equa¸c˜ao diferencial ˙ w(t) + 2w(t) = v a (t). Pede-se: (i) a fun¸c˜ao de transferˆencia discreta de malha fechada; (ii) verifique se o sistema ´e est´avel e justi- fique sua resposta; (iii) a velocidade de regime permanente do motor quando o sinal de referˆencia ´e um degrau unit´ario. w(t) v a (t) e(kT) r(t) T computador motor - + u(kT) S/H Figura 6.32: Sistema de controle de velocidade Problema 6.8 A resposta de um sistema linear invariante ao degrau de amplitude dois e certas condi¸c˜oes iniciais ´e y 1 (k) = 2 + 1, 4616(0, 0729) k − 2, 4616(0, 682) k onde k ≥ 0. Para um degrau unit´ario e o dobro das condi¸c˜oes iniciais a resposta ´e y 2 (k) = 1 + 2, 4102(0, 0729) k −1, 4102(0, 682) k . Pede-se (no dom´ınio do tempo): (i) A equa¸c˜ao recursiva do sistema. (ii) A resposta ao pulso unit´ario. (iii) A resposta de estado zero na situa¸c˜ao 1. (iv) A resposta de entrada zero na situa¸c˜ao 1. (v) As condi¸c˜oes iniciais da situa¸c˜ao 1. Problema 6.9 Verifique se os sistemas da figura 6.33 s˜ao est´aveis. Justifique sua re- sposta. Problema 6.10 Seja x(k) uma sequˆencia onde x(k) = 0, ∀k < 0. Mostre que : (a) Z[x(k + 1)] = Z[x(k)]z −x(0)z (b) Z[x(k −1)] = Z[x(k)]z −1 6.12. Problemas Complementares www.das.ufsc.br/labsil 170 (a) ˙ x 1 = x 2 ˙ x 2 = −x 1 −x 2 + e (b) x 1 (k + 1) = x 2 (k) x 2 (k + 1) = −x 1 (k) −x 2 (k) + e(k) e x 1 sistema Figura 6.33: Caracteriza¸c˜ ao entrada/sa´ıda dos sistemas Problema 6.11 Considere o sistema da figura 6.34. Seja x(t) um sinal de tens˜ao con- stante por trechos, isto ´e, x(t) = x(kT) para kT ≤ t < kT + T. Pede-se: (a) A fun¸c˜ao de transferˆencia pulsada entre x(kT) e v(kT). (b) A equa¸c˜ao recursiva que descreve o comportamento dinˆamico entre x(kT) e v(kT). (c) A resposta de entrada zero para v(0) = 1V . (d) A resposta de estado zero para x(kT) = e −2kT , x(k) = 0, ∀k < 0. C - + R x(t) v(t) + - Figura 6.34: Entrada: tens˜ao x(t) ; sa´ıda: tens˜ao v(t) ; R=1 Ω, C=1 F Problema 6.12 Calcule a resposta y(kT) de regime permanente no sistema da figura 6.35. a) para x(k) um degrau unit´ario. b) para x(k) = sen(10k) + - T=1seg 1 s+1 1 s+2 x(t) y(t) ZOH(s) T=1seg Figura 6.35: Sistema de controle Bibliografia [1] K. OGATA, Engenharia de Controle Moderno, Prentice Hall 1993. [2] K. OGATA, Discrete Time Control Systems, Prentice Hall, 1995. [3] C.T. CHEN, System and Signal Analysis, Saunders 1989. [4] A.V. OPPENHEIM, A.S. WILLSKY,Signal and Systems, Prentice Hall 1983. [5] B.P. LATHI, Sistemas de Comunica¸c˜ao, Editora Guanabara, 1987. [6] J.J. d’ Azzo, C.H.Houpis, An´alise e projeto de sistemas de controle lineares, Editora Guanabara 1988. [7] K.A.STROUD, Engineering mathematics, MacMillan Press, 1995. [8] R.T.STEFANI, C.L.SAVANT, B.SHAHIAN, G.H.HOSTETTER, Design of feedback control systems, Saunders College Publishing, 1994. [9] G.F.Franklin, J.D.Powell, M.L.Workman, Digital control of Dinamic Systems, Addison-Wesley, 1990. www.das.ufsc.br/labsil 2 Conte´ do u 1 Introdu¸˜o Geral ca 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Termos usuais em controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas de Malha Aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas de Malha Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinais de Tempo Cont´ ınuo e Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Defini¸ao de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 15 15 15 16 17 18 19 19 22 24 24 25 25 27 28 28 30 30 31 31 2 Transformada de Laplace 2.1 2.2 2.3 Introdu¸ao e No¸oes de Fun¸oes Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ c˜ c˜ Defini¸ao e Regi˜o de Convergˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ a e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.3.7 2.3.8 2.3.9 Opera¸˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca Fun¸˜o Transladada em Atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca Fun¸˜es Porta-deslocada e Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . co Multiplica¸ao de f (t) por e−αt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ Mudan¸a na Escala de Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Teorema da Diferencia¸˜o Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca Teorema do Valor Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema do Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema da Integra¸ao Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 2.3.10 Teorema da Diferencia¸ao Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ . . . .4. . co o Fra¸˜es Parciais para casos especiais . . . . . . . . . .9 Fra¸˜es parciais para p´los distintos . . . . . . . . . . . . . . . . Caso inst´vel (ξ < 0) . . . . . . . . . . c˜ 2.1 2. . . . . a 3. . c˜ c˜ Respostas de Estado Zero e Entrada Zero . . . . . . . . . . . . . . 4 Resposta em frequˆncia e . . 2. . . . . . . . . . .5 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. . . . . . . . . . . . .2 Sistemas Realimentados em presen¸a de dist´rbios . . . . . . . . Resolu¸ao de Equa¸oes Diferenciais . . . . . . . . . . . . . .br/labsil 4 32 35 35 37 39 39 40 42 46 48 50 52 53 54 55 55 57 59 60 60 61 61 62 65 73 77 2. .11 Problemas complementares . . .2 3. . . . . . .1 3. . .das. . . . . .2 2. . . . . . . . . . 2. . . . . . . 3 Resposta ao Degrau 3. . . . . . .Conte´do u www. . . . . . . . .4 Caso sem amortecimento (ξ = 0) . . . . . . . . . . . . . . . Caso Superamortecido (ξ ≥ 1) . .10. . . Caso Subamortecido (0 < ξ < 1) . . . .ufsc. . . .4 ´ Indices de desempenho . . . . . . . . . . . . . . . .4 Transformada Inversa . c u 2. . . . . . . .3. . . . . . . . . . c˜ Problemas complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.6 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 2.3 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 Sistemas Realimentados . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 2. . . . . . .6 Servomecanismo para controle de posi¸ao . . . . . . . . . . . 2.3 3. . . . . . . . . . . . . . . c˜ e Diagrama de Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co o Fra¸˜es Parciais para p´los repetidos . . . . . . . Fun¸ao de Transferˆncia e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . .8 2. . . .1 Estabilidade de Conex˜es . . c˜ An´lise de Sistemas de Primeira Ordem . . a An´lise de Sistemas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . .3. . . . .7 2. . . a 3. . . . . . .4. . . . . . . . .10. . . .3. . . . co Sinais com energia limitada . . . . . .11 Integral de Convolu¸ao . . . . . . . . . . .1 3. . . . . . . . . . .3. . . . . . .3. . . .2 3. . . . . . . . . . . . . .4. . . . . .2 4.2 5. . . . . . . . Diferencia¸ao e Integra¸ao no Tempo . . . Simetria . . . . . . . . . . . . . .Conte´do u 4. .3. Fun¸˜es Constante. . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . Gr´ficos de Nyquist (ou polares) . . . . . . . . . . . . . . . .8 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . .4 Sinal Exponencial Unilateral (t ≥ 0) . . . . .3 4. . . . . . . . . . . .2 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 5. . . . . . Escalonamento . .2 5. . Fun¸˜es Peri´dicas .4 5. . .3.5 4. . . . o Energia de sinais . . . . . . .das. . . . . . . . . . . . .4. .5 5. . . . . . . . . . . . . .3. . Sinal e Degrau . . . . . . .3. . . . . . . . . . .3 5.7 5. . . . . . . . . .1 5. . . . . .6 5. . . . . . . . . . . . . . . . c˜ e Convolu¸ao . . . . . . . . . . . e c˜ Deslocamento no Tempo . Sinal Porta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 4. . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . .3 Conex˜es entre Fourier e Laplace . . . . . . . a Problemas Complementares . . Constru¸ao do Diagrama de Bode . . . . . . . . . . co o Propriedades da transformada . . . .3. . . .1 4. . .4. . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . Gr´ficos Logar´ a ıtmicos . . . . . . .5 5.4. . . . . C´lculo de algumas transformadas . . . . . . . . . . . . . .1 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Sinais e a Transformada de Fourier 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 5. . . . . .4 5. . . . . . . . . . . . . . co Sinais Senoidais . . . . . . . . .ufsc. . . . . . . . .6 5. . . . . . . c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinal Impulso: . . . c˜ Sistemas de Fase M´ ınima e N˜o-M´ a ınima . . . . . . . . .3. . . . . a 5. . . . . . . . . . . . . . .1 5. . . . . . 5. . . c˜ c˜ Diferencia¸ao em Frequˆncia .br/labsil 5 77 84 84 93 97 99 101 102 102 104 104 104 106 106 108 108 109 112 112 112 112 113 114 115 116 116 Resposta Senoidal em Regime Permanente . . . . . . . . . . . Deslocamento em Frequˆncia e Modula¸ao . . . . . . . Exponencial Eterna ejω0 t . . . . . . . . . . . . . . . . .6 www. . . . . . 5 Linearidade . . . c˜ Convolu¸ao Discreta . . . . . . . . . . . .2 Defini¸ao e exemplos . . .1 6. . . . . . . . . . . . . .9 5. . . .2 6. . .1 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema do Valor Inicial . Transformada Z . . . .10 Escolha do Per´ ıodo de Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . c˜ 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 6. . .4 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema do Valor Final . . . . . .1 6. . . . .1. . . . . . .3 Convers˜o A/D . . . . Resposta ao Pulso e Estabilidade . . . . . . c˜ 6. . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . a Convers˜o D/A e Sample-and-Hold . .7. . . . . . . . . . .2 Respostas de Estado Zero e Entrada Zero . . .7 Solu¸ao de Equa¸oes recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 6. .5 www. . . . . . c˜ e 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Sistemas Discretos e Amostrados 6. . . .4. . . . . . .5 Transformada Z Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .br/labsil Amostragem . . . . . 6. . c˜ 6. . . . . . . .9 Sistemas Amostrados . . . . . . . . . .2 6. .8 6. . . . . . . . 6. . . c˜ Rela¸ao com a transformada de Laplace . . . .ufsc. . . . . . . . . . . . . . . . .das. . . . c˜ c˜ Fun¸ao de Transferˆncia Discreta e Estabilidade . . .4 Propriedades da Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . .6 6. . .1 6. . . . . . . . . . . . . .7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 6. . . e co 6. . . . . 6. . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . . . . a Sinais e Sistemas de Tempo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas Realimentados . . . . . . . . . . . .1 Introdu¸ao .5. . . .4. e a M´todo das fra¸˜es parciais de X(z)/z . . . . . . 6 118 123 125 125 125 126 131 134 135 137 138 138 142 142 143 144 145 146 147 147 151 151 153 154 162 165 Problemas complementares . . .2 M´todo da divis˜o polinomial . . . Obten¸ao de F (z) a partir de F (s) .Conte´do u 5. . . . . . . . 6. . . . . . .br/labsil 7 166 168 6. . . . . . . .12 Problemas Complementares . . . . . . . . e 6. . . . . . . . . . . . . . . . . .Conte´do u www. . . . . . . .das. . . . .ufsc. . . .11 Resposta em Frequˆncia . das.br/labsil 8 .Conte´do u www.ufsc. . . . . . . . . . . . . . .6 2. . . 16 16 16 17 17 18 19 20 20 22 25 26 27 33 33 35 42 43 44 45 Rela¸ao entre f (t) e sua transformada de Laplace . . . . c˜ Fun¸ao onda quadrada . . . . . . . . . . . . . .3 2. Sistema realimentado de controle por computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 Diagrama de simula¸ao anal´gica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representa¸˜o gr´fica de uma fun¸ao complexa ca a c˜ . . . . . . . . . . . . . . c˜ o 2. . . . . . c˜ o 2.5 2. e Transformada direta e inversa de Laplace . . . . . . 2. .2 2. . . . . . . . . . . a e Circuito RLC s´rie . . . . . . . . . . . .2 1. . . . . . . . . 2. . . . . . . .1 2. . .4 1. . e . . c˜ Fun¸ao deslocada em atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Vari´vel de tempo discreto (sequˆncia) . . .5 1. . . . . . . . . . Sistema de controle de malha fechada . .13 Respostas de Estado Zero e Entrada Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ . . . .9 Sistema de malha aberta . . . . .3 1. . . . . . . . . . . . . . . c˜ a a Derivada de fun¸oes descont´ c˜ ınuas . . . . . . . . . . . . . Vari´vel de tempo cont´ a ınuo (sinal anal´gico) . . . . . . . . . . . . . .7 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 2. . . .6 2. . . . . . . . . . .8 2. . . . . . . . . . . . . .14 Circuito RLC s´rie . . . . . . . . . .Lista de Figuras 1. . . . . . . . . . Servomotor para posicionamento de uma antena . . .12 Respostas x(t) do diagrama de simula¸ao anal´gica . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fun¸ao dente de serra e sua derivada . . . . .1 1. .10 Rela¸ao entre f (t) e sua transformada F (s) c˜ 2. c˜ Fun¸ao Porta de ´rea unit´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ . . . .10 Diagrama de blocos do comparador e potenciˆmetro . . . . . . . . . .16 Diagrama de blocos simplificado . . . . . . . . 2. . . . . . . . . . . . . . Diagrama de bloco entrada/sa´ ıda . . . . . .22 Conex˜o de dois sistemas em realimenta¸˜o a ca . . . .24 Diagrama para referˆncia nula . . . . . . . . . . . . . . .18 Sistema realimentado . . . . . . . . Curvas t´ ıpicas da resposta ao degrau . . . . .das. . . . . . . . . .4 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 Diagrama de blocos detalhado . . . .Lista de Figuras www. . . . . . . . . . . . . 2. . . . . . . . .6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 Diagrama de blocos de um circuito RLC-s´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. . Circuito RC . . 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. . . . . . u 2. . . . . . . . . .14 Diagrama de blocos com adi¸ao da engrenagem . . e 2. . . . . . . . . . . . . . . . a 3. .5 3. . . . . . . . . . . . . . 2. . . .12 Motor DC controlado pela armadura (rotor) . . . . . . . . . . . . . . . a Sistema de segunda ordem padr˜o . . . .br/labsil 10 49 49 50 50 51 51 52 52 53 53 54 54 56 56 57 57 58 59 62 64 65 66 66 67 67 68 2. . . .19 Sistema realimentado simplificado . . . . . . . . . . . . . 2. . .7 ´ Indices de desempenho para resposta ao degrau . . . . . . . . . . . . Diagrama funcional do sistema de posicionamento . . .11 Diagrama de blocos com adi¸ao do amplificador . . . . . . . . . . . . . . . a 2.23 Sistema realimentado perturbado . . c˜ 3. . a Resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem padr˜o . . . . . . . . . . . . . . . .26 Sistema para controle de posi¸ao c˜ 3. . . . o 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 3. . . . . . . . . .2 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 Diagrama entrada/sa´ de um circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 3. . .13 Diagrama de blocos com adi¸ao do motor DC . . .9 Resposta ao degrau do sistema .21 Conex˜o de dois sistemas em paralelo .25 Diagrama para dist´rbio nulo . . . . . . . . . . . 3. . . . . . . . . . e 2. . . . . . . . . . . . . . . . . .ufsc. 3. . Sistema de primeira ordem padr˜o . . . . . . ıda 2. . .3 3. . . . . . . . . . . . . . c˜ 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 Diagrama completo do sistema de posicionamento . . . . . . . .10 Resposta em frequˆncia com G(s) inst´vel . . . . . . . . . . . . . 3. . . . 2. . . . . a 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ c˜ 3. . . . .14 Diagrama de Bode dos termos s e 4.8 4. . . . . . . . . Resposta de regime ao cosseno . . . e Resposta em frequˆncia (Nyquist) do circuito RLC . . . . .22 Resposta ao degrau do sistema de controle . e Circuito RLC . . . . . . . . . 100} rd/s . . . . . . . .das. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4. . c˜ 3. . . . . . . . . . . . . . .20 Diagrama funcional para realimenta¸ao de velocidade . . . . . . . . . . . .2 4. . . . . a 3. . e Resposta em frequˆncia (Black) do circuito RLC . . . . . . .12 Diagrama de Bode do termo 1 4s+1 1 s . . . . . . . . . . . . Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . .18 Diagrama de posicionamento na forma padr˜o .4 4. . . . . . .17 Diagrama simplificado de posicionamento da antena . . . . . . . .23 Sistema com realimenta¸ao de velocidade e posi¸ao . . . . . . .ufsc. . .15 Sistema mecˆnico da plataforma e antena . . . .9 Resposta temporal para sen(ω t) com ω = {0. . . . 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. . . . . . . . . . . ca 3. .5 4. . .br/labsil 11 68 68 69 70 71 72 72 73 74 74 75 78 80 80 81 82 82 83 85 85 87 88 89 89 90 91 3. . . . . . a 4. . .7 4. . . . . . . . . 3. . . 4. . . . . 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. . . . . Resposta de regime ao seno . . . . . . . . . . . Resposta em frequˆncia (Bode) do circuito RLC . . . . . . . .15 Diagrama de Bode do termo 1 T s+1 e ass´ ıntotas . . . . . e a 4. . . . . . . . . . . . . .19 Resposta ao degrau do sistema de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 Diagrama de Bode de G(s) = 2 s(4s+1) 1 s 4. . . . . . . . . . .25 Resposta ao degrau unit´rio . . Resposta em frequˆncia (Bode) do circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 4. . . . .1 4. . . . .21 Sistema de controle com realimenta¸˜o de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 Sistema de controle de velocidade . . . .11 Diagrama de Bode dos termos 2 e 4. . . . . .Lista de Figuras www. . . . . 2. . . .6 4. . . . . . . . . . . . . 5. . . . . . . . . . . .5 5. . . . . . . . . .8 5. .16 Diagrama de Bode do termo 2 ωn 2 s2 +2ξωn s+ωn www. . e ass´ ıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. . . . .1 5. . . . . .10 Demodula¸˜o de um sinal . . . . . . .2 5. . .9 Operador Transformada de Fourier e seu inverso . . . . . . . . . . . . . Fun¸ao Sinal . . . .12 Derivada do sinal linear por trechos .1s+1) s 1 4. . a Transformada de Fourier do sinal cos(100t)G1 (t). .das. Sinal Porta de largura τ . . . . . .11 Sinal linear por trechos .22 Caso (b): Sistema de fase m´ ınima (r2 < r1 ) . . . Fun¸ao Sa(x) = c˜ sen(x) x . . . . . . . . . . . . . . 4. . . . .14 Filtro de primeira ordem com F (s) = 1 s+1 . . . . . . ca 5. 4. . . . . . . . . .6 5. . . . . .br/labsil e ass´ ıntotas . . . . . . . . . . . 5. . . . ca e e Trem de impulsos e sua transformada . . . . . . . . . . . H4 (2πf ) . . . .17 Diagrama de Bode do termo G1 (s) = 0. . .25 Diagrama de Bode de um sistema linear invariante . . . . . . . . . . . .15 Transmiss˜o e recupera¸ao de sinais . . . e 5. . . . . . . . . . . . . . . . . 5. . . . . . a c˜ . . . . . . . G4 (2πf ) . . . . . . . . .7 5.24 Diagrama de Nyquist de H1 (2πf ). .ufsc. . . . . . . .23 Diagrama de Nyquist de G1 (2πf ). . . . . . . . . . 5.26 Resposta em frequˆncia de um sistema linear invariante .3 5. . . . . . . . . . . .13 Derivada segunda do sinal linear por trechos . . . . . . . 4. . . . . . . . . 4. . 4. . . . . . .Lista de Figuras 4. . . .18 Diagrama de Bode do termo G2 (s) = G1 (s) s+1 e ass´ ıntotas . c˜ Fun¸ao onda quadrada de per´ c˜ ıodo 2π. . . . . . . H3 (2πf ). . .4 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G3 (2πf ). . . . . . . .01(0. . 4. . . 4. . . . . . . . . H2 (2πf ). . . . . . . . . . . . . . . . .21 Caso (a): Sistema de fase n˜o m´ a ınima (r2 > r1 ) .20 Circuito de fase n˜o m´ a ınima (r2 > r1 ) . . . . . . . . . . . 12 92 94 94 95 95 96 97 98 99 100 100 101 105 105 107 110 111 111 113 114 114 115 115 116 117 119 4. . . . Aproxima¸˜o de sinais pela s´rie trigonom´trica de Fourier. . G2 (2πf ). . . . . . . . . . . . . . . . . Transformada de Fourier do sinal porta de largura unit´ria G1 (t). . 1 4. . .19 Diagrama de Bode do termo G(s) = G2 (s) 10−4 s2 +10−2 s+1 e ass´ ıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 Espectro do sinal antes e ap´s amostragem: Caso ωa < 2¯ . . . . . . . . .9 Representa¸˜o de um sinal de tens˜o anal´gico n˜o negativo em c´digo ca a o a o bin´rio de 4 bits . . . . . . . . .8 6. . . . . (a) Conversor D/A com S/H e (b) Sinais de entrada e sa´ ıda . ca ω 5. c˜ 5. . . . .11 Representa¸ao de um sistema discreto .2 6. . . . . . . . . .Lista de Figuras www. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Circuito RC: resposta livre . . . . 127 127 128 129 129 130 130 131 131 132 133 134 136 136 139 140 6. . .22 Espectro do sinal amostrado . . . .15 Rela¸ao entre localiza¸ao p´los e evolu¸ao temporal . . . . . . . . . . . .13 Regi˜o de convergˆncia das transformadas do degrau unit´rio .12 Sistema controlado por computador . . . c˜ c˜ o c˜ . . .5 6. . . . . Valor da corrente no capacitor nos instantes t = kT . .4 6. . . Amostrador ideal: produto por um trem de impulsos . Segurador de ordem zero: a sa´ ´ constante por trechos .20 Sistema de amostragem e recupera¸ao de sinais . . . . . . . . r(t) . . . .16 Rela¸ao entre localiza¸ao p´los e evolu¸ao temporal . . . . . . . .14 Rela¸ao biun´ c˜ ıvoca entre a sequˆncia x(kT ) e sua transformada Z . . . . . . . . . . . . . . .16 Espectro do sinal antes e ap´s amostragem: Caso ωa > 2¯ . . . ıda e Sample-and-Hold visto como um amostrador ideal em cascata com um segurador de ordem zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o ω 5. . . . . . .21 Espectro dos sinais x(t). . . . 6. . . . . . . . .7 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .br/labsil 13 120 120 121 122 123 123 124 124 5. . . 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o ω 5. . . . .6 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ufsc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. . . . . . . . . . . . . . . . . 5. . . . . . a e a 6. . . .23 Sistema com modula¸ao e discretiza¸ao . . . . . . . .10 Circuito RC com entrada constante por trechos . . . . . . . .17 Filtro ideal para recupera¸˜o do sinal: Caso ωa > 2¯ . . . . . e 6. . . . . . . . . . . 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 6. a Esquema simplificado de um circuito sample-and-hold e seu diagrama de blocos .19 Espectro do sinal f (t) = cos(100πt) + sen(10πt). (a) Diagrama de blocos de um conversor A/D com sample-and-hold e (b) funcionamento do sistema . . . . . . . c˜ c˜ o c˜ 6. . . c˜ 6. . .das. . . . . . . . . . . . .3 6. . . . . c˜ c˜ 6. . . . . . . . . . . . . . . 6. 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (b) Dois sistemas cont´ ınuos em cascata .26 Sistema de controle digital e seu modelo discreto . . .35 Sistema de controle . . . c˜ 6. . . . a 6. . . . . . . . . . .29 Sistema discreto est´vel a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 Sistema discreto gen´rico . . . . . .31 Circuito RLC com entrada constante por trechos . . . . . . . . . . .22 Resumo dos resultados de convers˜o de Laplace para Z . . . . . 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Lista de Figuras www. . . . . . . . . .24 Circuito com entrada constante por trechos . R=1 Ω. . . 6. . . . . . . . .30 Resposta frequencial de um sistema discreto .17 Rela¸ao entre localiza¸ao p´los e evolu¸ao temporal . . .33 Caracteriza¸ao entrada/sa´ dos sistemas . .21 Sistema amostrado e seu discreto equivalente . . . . . . . . . . . . . . . e 6. . 6. . . . . . .25 (a) Dois sistemas amostrados em cascata. ca e 6. . . .32 Sistema de controle de velocidade . . . . e c˜ o 6. . 6. . . . . . . 6. . . . . . . . . . . . . . .27 Sistema de controle digital com medidor anal´gico (a) e digital (b) . .28 Controle digital de posi¸˜o angular atrav´s de um motor DC . . . . . . . . . . . . sa´ a ıda: tens˜o v(t) . . . . .ufsc. . .23 Sistema amostrado com conversor D/A e S/H . . . . . . . . . . . . . . . . 6. . c˜ c˜ o c˜ 6. . . . . . . o 6. . . .18 Obten¸ao de F (z) a partir de F (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 Entrada: tens˜o x(t) . . . . . . . . .19 Sequˆncias convergentes e a localiza¸ao dos p´los no plano z . . . . . 6. . . . . . . . . . . . c˜ ıda 6. . . . . C=1 F a . . . . . .br/labsil 14 141 143 149 151 155 157 158 159 160 163 164 165 167 168 169 169 170 170 170 6. 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .das. . . . . estufas. a a co No entanto possui custo menor em geral.. elevadores. Muito frequente na ind´stria. Possui pouca performance na pr´tica quando existem perturba¸˜es. biol´gicos..). (Fenˆmeno a ser controlado: processos a a o o qu´ ımicos. .. acelera¸ao.... o Processo Fenˆmenos (naturais ou criados artificialmente) que evoluem progressivamente segundo dinˆmicas que lhe s˜o pr´prias... varia¸oes ıda e ıvel a o a c˜ c˜ nos parˆmetros. u Controle Realimentado Opera¸ao que visa corrigir (automaticamente ou manualmente) c˜ certas vari´veis (grandezas f´ a ısicas) de um sistema. . velocidade ou acelera¸ao. Exemplos: robos. . Dist´ rbio Sinal indesejado (interno ou externo).).. econˆmicos. (Controle de n´ constante. posi¸ao a ıvel c˜ constante. c˜ 1.). a a A sa´ ´ sens´ ` fenˆmenos indesej´veis sobre o processo (perturba¸oes..2 Sistemas de Malha Aberta Sistemas onde a vari´vel a ser controlada (sa´ a ıda) n˜o interfere na a¸ao de controle a c˜ (vari´vel de entrada) s˜o conhecidos como Sistemas de malha aberta. motor. ca c˜ u Sistemas Reguladores Autom´ticos Sistema de controle cujo principal objetivo ´ a e manter constante algumas vari´veis do mesmo.1 Termos usuais em controle Planta Equipamento (ou parte dele) destinado ` realizar uma dada opera¸˜o.. (Objeto a ca f´ ısico a ser controlado: caldeira. a ´ a Servomecanismo E um sistema de controle realimentado para controle autom´tico de posi¸˜o.). Diminui o efeito de fenˆmenos o indesej´veis. o o Sistema Equipamento ou fenˆmeno f´ o ısico. reator qu´ ımico.. velocidade.Cap´ ıtulo 1 Introdu¸˜o Geral ca 1. Por co exemplo.1. Comparando com o diagrama da figura 1. perturba¸ao c˜ Ref. Nesse caso poss´ ıveis distor¸˜es na vari´vel controlada provocadas por dist´rbios no sistema s˜o co a u a automaticamente (on line) corrigidas.1 Considere o servomecanismo para controle de posi¸˜o da antena indicado ca na Figura 1.das. ventos que provocam torques de perturba¸˜o na posi¸˜o da antena.4.br/labsil 16 Figura 1.3: Sistema realimentado de controle por computador Exemplo 1.1: Sistema de malha aberta 1.2 podemos identificar os seguintes elementos: Sistema: Antena + plataforma + engrenagens Perturba¸˜es: Grandezas externas que atuam de forma indesejada no sistema.3. Comparador A/D Computador D/A Atuador Sa´ ıda SISTEMA Medidor Figura 1. Sistemas de Malha Fechada Perturba¸oes c˜ Entrada SISTEMA Sa´ ıda www.3 Sistemas de Malha Fechada Sistemas onde a vari´vel de controle (Entrada) depende (Direta ou indiretamente) da a vari´vel a ser controlada (Sa´ a ıda) recebem o nome de sistemas de malha fechada.ufsc. Comparador Controlador Atuador SISTEMA Vari´vel a Observada sinal de medi¸˜o ca Medidor ru´ de medi¸ao ıdo c˜ Figura 1.2: Sistema de controle de malha fechada Controlador Ref. ca ca Vari´vel observada: Posi¸˜o angular da antena a ca . br/labsil posi¸ao c˜ da antena c(t) 17 potenciˆmetro o referˆncia e Vr (t) comparador Vc (t) potenciˆmetro o erro e(t) r(t) amplificador de potˆncia e Ea (t) engrenagem motor DC Figura 1. Por exemplo.4. um sinal de tempo a e e discreto.4: Servomotor para posicionamento de uma antena Vari´vel medida: Sinal de medi¸˜o gerado pelo potenciˆmetro.4 Sinais de Tempo Cont´ ınuo e Discreto TEMPO CONT´ INUO: t ´ uma vari´vel cont´ e a ınua. e T ´ e a e uma constante. isto ´. isto ´.ufsc. Nesse caso um sinal f (kT ) ser´ uma sequˆncia. . 0 t Figura 1. Note que a vari´vel a ca o a medida pode ser diferente da vari´vel observada quando existem ru´ a ıdos de medi¸˜o. o controlador ´ um filtro que manipula o sinal de erro e antes do amplificador de potˆncia. Sinais de Tempo Cont´ ınuo e Discreto www. ca Medidor: Potenciˆmetro o Referˆncia: Valor desejado da grandeza observada e o Comparador: somador de tens˜es Controlador: Nesse exemplo o controlador ´ um elemento unit´rio entre o comparador e a e o amplificador. . Nesse caso um sinal f (t) ser´ um a sinal anal´gico. . 1.1. um sinal de tempo cont´ o e ınuo. t = kT onde k ´ uma vari´vel k = 0. Em sistemas mais complexos o controlador pode e ser um algor´timo implementado num computador. ı Atuador: Amplificador de Potˆncia + motor e 1.5: Vari´vel de tempo cont´ a ınuo (sinal anal´gico) o TEMPO DISCRETO: t ´ uma vari´vel discreta que assume valores apenas em instantes e a discretos do tempo.das. . Em geral. 2. f(t) Ref. das.ufsc. co .6: Vari´vel de tempo discreto (sequˆncia) a e 1.br/labsil 18 0 t = kT Figura 1.5 Defini¸˜o de Sistemas Lineares ca SISTEMAS LINEARES: S˜o fenˆmenos ou dispositivos cujo comportamento dinˆmico a o a pode ser descrito por equa¸˜es diferenciais (ou recursivas) lineares.1.5. www. Defini¸˜o de Sistemas Lineares ca f(kT) Ref. co SISTEMAS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO: S˜o sistemas lineares a descritos por equa¸˜es diferenciais (ou recursivas) com coeficientes constantes. nas vizinhan¸as de um ponto de opera¸˜o. R + L + V(t) - C Vc (t) - Figura 2.1 Condidere o circuito da figura 2.1: Circuito RLC s´rie e Exemplo 2. ` parˆmetros invariantes no co a a a tempo.1. Neste curso vamos nos restringir ` sistemas que podem ser repco a resentados por equa¸˜es diferenciais ordin´rias.1 Introdu¸˜o e No¸˜es de Fun¸oes Complexas ca co c˜ O comportamento da maioria dos sistemas f´ ısicos pode ser representado atrav´s de e equa¸˜es diferenciais. lineares. ˙ ¨ • Equa¸ao diferencial ordin´ria linear c˜ a • Parˆmetros invariantes no tempo a Sistemas mais complicados s˜o muitas vezes modelados por equa¸oes diferenciais n˜o a c˜ a lineares e muito frequentemente os parˆmetros variam com o tempo.Cap´ ıtulo 2 Transformada de Laplace 2. A rela¸˜o de causa-efeito da tens˜o ca a v(t) (Entrada) sobre a tens˜o vC (t) (Sa´da) no capacitor ´ um sistema descrito pela a ı e equa¸˜o diferencial seguinte: ca v(t) = RC vC (t) + LC vC (t) + vC (t). o a comportamento desses sistemas pode ser aproximado por equa¸˜es diferenciais lineares co invariantes no tempo. No entanto. As t´cnicas para a c ca e dv(t) = v(t) ˙ dt . Inversa Figura 2. o a c˜ Defini¸˜o 2.3: Representa¸ao gr´fica de uma fun¸ao complexa c˜ a c˜ • Complexo conjugado: A conjuga¸˜o complexa ´ uma opera¸ao que consiste em trocar ca e c˜ o sinal da parte imagin´ria.das. ou de forma equivalente. digamos f (t). c˜ a numa outra fun¸˜o F (s) onde s = σ + jω ´ uma vari´vel complexa.ufsc.1. trocar o sinal da fase. se o n´mero estiver representado u . se o n´mero estiver representado nas coordenadas retangua u lares.br/labsil 20 obten¸˜o desses modelos lineares invariantes no tempo consistem em expandir os termos ca n˜o lineares pela S´rie de Taylor e aproxim´-los pela parte linear da s´rie. E e se obt´m a no¸ao de “Fun¸˜o de Transferˆncia ” de um sistema. e c˜ ca e A Transformada de Laplace transforma um fun¸ao da vari´vel tempo. Direta f(t) LAPLACE F(s) Transf. as fun¸˜es f (t) e sua transformada F (s) est˜o relacionadas de forma co co a bi-un´ ıvoca: Transf. a e a e para a fun¸ao y(t) = sen(t) obter´ c˜ ıamos uma aproxima¸˜o linear nas vizinhan¸as da ca c origem que ´ dada por ylin (t) = t e ´ f´cil de verificar que a fun¸ao y(t) = sen(t) se e e a c˜ comporta aproximadamente como ylin (t) = t para pequenos valores da vari´vel t.2. A figura abaixo ilustra uma fun¸˜o complexa G(s) em termos de suas coordenadas ca retangular e polar.1 (Fun¸˜o Racional) Uma fun¸˜o G(s) da vari´vel complexa s = σ+jω ´ ca ca ca a e racional se G(s) pode ser expressa como a divis˜o de dois polinˆmios da vari´vel complexa a o a s. Por exemplo. com poucas excess˜es. x y Im[G(s)] Gy G(s) = Gx + jGy = |G(s)| ej∠G(s) Gx Re[G(s)] Figura 2. Introdu¸˜o e No¸oes de Fun¸oes Complexas ca c˜ c˜ www.2: Transformada direta e inversa de Laplace PROPRIEDADES DE FUNCOES COMPLEXAS: ¸˜ Neste curso vamos nos restringir. Em determica e a nadas condi¸˜es. a A Transformada de Laplace ´ uma t´cnica extremamente util na solu¸ao de equa¸˜es e e ´ c˜ co ´ atrav´s da Transformada de Laplace que diferenciais lineares invariantes no tempo. onde |G(s)| = G2 + G2 e ∠G(s) = tan−1 Gy /Gx . ` fun¸oes complexas racionais. 2.1. e ı o As opera¸oes de derivada e integral envolvendo fun¸oes complexas anal´ c˜ c˜ ıticas se fazem de maneira habitual.2 A transformada de Laplace da fun¸˜o g(t) = −0. B s˜o dois n´meros complexos ent˜o AB = A B e A + B = A + B. Introdu¸˜o e No¸oes de Fun¸oes Complexas ca c˜ c˜ www. como indicado a seguir. a 1 s+1 ca Exemplo 2.Zeros de G(s): s tal que N (s) = 0 . a u a Defini¸˜o 2. o a • O n´mero complexo: u ejθ = cosθ + jsenθ possui m´dulo unit´rio e fase θ.br/labsil 21 nas coordenadas polares. 5e2t . por G(s) = Gx − jGy = |G(s)|e .3 (Fun¸˜o Anal´ ca ca ıtica) Uma fun¸˜o G(s) ´ anal´ ca e ıtica numa regi˜o se G(s) a e todas as suas derivadas existem nessa regi˜o. s = 2 o Note que cada p´lo da fun¸˜o G(s) est´ associado ` uma exponencial da fun¸˜o g(t).P´los de G(s): s = 0. t ≥ 0 ´ a ca e s+1 fun¸˜o complexa G(s) = s(s−2) que possui os seguintes p´los e zeros: ca o . o a |ejθ | = √ cos2 θ + sen2 θ = 1 senθ =θ cosθ ∠ejθ = tan−1 Defini¸˜o 2.Zeros de G(s): s = −1 . Define-se p´los e zeros de G(s) como sendo os valores de s tais o que: . indicado na figura 2.3.3 A fun¸˜o G(s) = ´ anal´tica fora do ponto s = −1 (P´lo de G(s)). 5 + 1. as regras usuais de derivada e integral se aplicam diretamente.das. isto ´. o ca a a ca Na realidade os p´los s˜o os expoentes das exponenciais.2 (P´los e Zeros) Seja G(s) = N (s) onde N (s) e D(s) s˜o dois polinˆmios ca o a o D(s) com coeficientes reais. Se c˜ a A.P´los de G(s): s tal que D(s) = 0 o Exemplo 2. Representaremos o complexo conjugado do n´mero complexo u −j∠G(s) G(s). Duas propriedades importantes da conjuga¸ao complexa s˜o indicadas a seguir. e .ufsc. 2 Defini¸˜o e Regi˜o de Convergˆncia ca a e Para uma fun¸ao f (t) com t ≥ 0. para Re[s] = σ < 2 ±∞ indefinido para Re[s] = σ = 2 = 0 para Re[s] = σ > 2. Defini¸˜o e Regi˜o de Convergˆncia ca a e www. define-se Transformada de Laplace de f (t) como c˜ sendo a fun¸˜o complexa F (s) obtida atrav´s da integral: ca e ∞ F (s) = L[f (t)] = 0− f (t)e−st dt (2. Sob certas e a condi¸˜es (que veremos a seguir) podemos tamb´m definir a Transformada Inversa de co e Laplace da seguinte forma: 1 2πj c+j∞ c−j∞ f (t) = L−1 [F (s)] = F (s)est ds (2. Dentro dessa regi˜o as fun¸˜es f (t) para t ≥ 0 e F (s) est˜o ligadas de maneira a co a biun´ ıvoca. t→∞ lim e−(s−2)t .4 Seja f (t) = e2t .2.2) onde t ≥ 0 e c ´ um n´mero real associado ` regi˜o do plano s = σ + jω onde a fun¸˜o e u a a ca F (s) est´ definida. Trans. Direta F (s) Re[s] > c Tranf. Assim.ufsc. para t ≥ 0.1) onde s = σ + jω ´ a vari´vel complexa introduzida pela transformada.das.2.4: Rela¸ao entre f (t) e sua transformada de Laplace c˜ Exemplo 2. F (s) = L[f (t)] = −1 −(s−2)t ∞ e |0 − s−2 0− −1 1 1 = [ lim e−(s−2)t − lim e−(s−2)t ] = − lim e−(s−2)t t→0− s − 2 t→∞ s − 2 s − 2 t→∞ e2t e−st dt = ∞ Note que s = σ + jω e |e−jωt | = |cosωt + jsenωt| = 1. como ilustra a figura a seguir.br/labsil 22 2. Inversa f (t) t≥0 Figura 2. Esta regi˜o ´ chamada regi˜o de convergˆncia da Transformada de a a e a e Laplace . Ela ´ dada pela regi˜o do plano complexo ` direita do p´lo mais ` direita e e a a o a da fun¸ao F (s). e Existem fun¸oes. t ≥ 0 Exemplo 2.7 (Rampa) Fun¸˜o Rampa f (t) = ca ∞ L[f (t)] = A 0 te−st dt = At e−st ∞ | − −s 0 ∞ 0 e−st dt = A . Uma vez obtida a transformada de Laplace F (s) podemos deduzir sua regi˜o a de convergˆncia. c˜ Exemplo 2. A constante Ae−st A dt = −s s ∞ 0 Exemplo 2. No entanto ´ importante lembrar e a e que qualquer que seja a regi˜o de convergˆncia. para as quais a Transformada de Laplace c˜ n˜o existe. a a a A regi˜o de convergˆncia da Transformada de Laplace ´ um formalismo matem´tico a e e a que normalmente ´ omitido no c´lculo da transformada.6 (Degrau Unit´rio) Fun¸˜o Degrau Unit´rio u(t) = a ca a ∞ L[u(t)] = 0 1e−st dt = −1 −st ∞ 1 e |0 = . t ≥ 0 s´ est´ definida na regi˜o do ca o a a plano complexo definida por Re[s] > 2 e nessa regi˜o obtemos: a F (s) = L[e2t ] = 1 s−2 A regi˜o do plano complexo onde a Integral de Laplace est´ definida e ´ finita rea a e cebe o nome de regi˜o de convergˆncia da Transformada de Laplace . n˜o existe regi˜o de convergˆncia da Integral de Laplace. Os casos em que f (t) = 0 para t < 0 s˜o de interesse marginal no c´lculo da Transformada de Laplace e n˜o ser˜o considerados a a a a nesse curso. as fun¸oes f (t) para t ≥ 0 e F (s) para a e c˜ Re[s] > c est˜o relacionados de maneira biun´ a ıvoca. t ≥ 0. a Transformada de Laplace da fun¸˜o e2t . t < 0 1. s s (Regi˜o de Convergˆncia Re[s] > 0) a e 0. t ≥ 0.2. t ≥ 0 F (s) = L[eat ] = 0 ∞ 2 eat e−st dt = −1 −(s−a)t ∞ 1 e |0 = s−a s−a 0. s2 ( udv = uv − vdu) . a e a a e todos os sinais de interesse pr´tico s˜o transform´veis por Laplace.br/labsil 23 Logo. No entanto. Mostra-se que ao a e escolhermos um contorno para a integral: 1 2πj c+j∞ c−j∞ F (s)est ds de tal forma que c > 2 (contorno dentro da regi˜o de convergˆncia) ent˜o o resultado da a e a integral acima ´ e2t para t ≥ 0. isto ´.das.5 (Exponencial real) f (t) = eat .ufsc. Defini¸˜o e Regi˜o de Convergˆncia ca a e www.2. t < 0 At. como por exemplo et . 3. o ca 1 o o e−αt u(t) ↔ s+α : P´lo em s = −α. Por conveniˆncia ca a e repetiremos algumas das provas a t´ ıtulo de exerc´ ıcio.1) temos: ca ∞ L[α1 f1 (t) + α2 f2 (t)] = 0 (α1 f1 (t) + α2 f2 (t))e−st dt ∞ = α1 0 f1 (t)e−st dt + α2 0 ∞ f2 (t)e−st dt = α1 L[f1 (t)] + α2 L[f2 (t)] 2 . t<0 sen(ω0 t). t ≥ 0. o ca s tu(t) ↔ 1 : s2 P´lo duplo na origem.3.1).ufsc. ω0 cte ∞ 0 24 ∞ L[f (t)] = 0 sen(ω0 t)e−st dt = 1 1 1 = − 2j s − jω0 s + jω0 RESUMO ejω0 t − e−jω0 t −st e dt 2j ω0 = 2 2 s + ω0 u(t) ↔ 1 : P´lo simples na origem. 2.das.2. Fun¸˜o cresce linearmente no tempo. Cresce exponencialmente no tempo se p´lo for positivo (α < 0). o sen(ω0 t)u(t) ↔ s2ω0 2 : P´los complexos conjugados sobre o eixo imagin´rio (s = ±jω0 ). Propriedades Exemplo 2.br/labsil 0. em geral. Valor o constante no tempo se o p´lo for na origem. Ent˜o: co a L[α1 f1 (t) + α2 f2 (t)] = α1 L[f1 (t)] + α2 L[f2 (t)] Prova: Utilizando a defini¸˜o (2. Decresce exponecialmente no tempo se p´lo for negativo (α > 0).3 Propriedades A Transformada de Laplace possui v´rias propriedades que.8 (Sen´ide) Fun¸˜o Senoidal f (t) = o ca www. Fun¸˜o Constante no tempo.1 Opera¸˜o Linear ca Sejam f1 (t) e f2 (t) duas fun¸˜es e α1 e α2 duas constantes. ca 2. Toa c˜ c˜ das as propriedades apresentadas nessa se¸˜o est˜o provadas em [1]. o a +ω0 Fun¸˜o oscila no tempo sem amortecimento. simplificam o a c´lculo da transformada se comparado com a aplica¸ao direta da defini¸ao (2. 3. Propriedades www.das.3.2. 0 < t < t0 t0 fp (t) = 0. a a 1 . u(t) o degrau unit´rio e α uma constante.5: Fun¸ao deslocada em atraso c˜ Prova: Aplicando a defini¸˜o temos: ca ∞ L[f (t − α)u(t − α)] = 0 f (t − α)u(t − α)e−st dt Definindo τ = t − α podemos rescrever a integral acima como ∞ L[f (t − α)u(t − α)] = −α f (τ )u(τ )e−s(τ +α) dτ ∞ −α = e−sα f (τ )u(τ )e−sτ dτ como f (τ )u(τ ) = 0 para −α ≤ τ < 0 temos: = = = e−sα 0 ∞ f (τ )u(τ )e−sτ dτ f (τ )e−sτ dτ e−sα 0 ∞ e−sα L[f (t)] 2 2. Fun¸˜o Porta-deslocada: Usaremos a nota¸ao fp (t) para representar a fun¸˜o portaca c˜ ca deslocada de ´rea unit´ria.2 Fun¸˜o Transladada em Atraso ca Seja f (t) uma fun¸˜o. Ent˜o: ca a a L[f (t − α)u(t − α)] = e−αs L[f (t)] f (t) f (t − α)u(t − α) 0 t 0 α t Figura 2.br/labsil 25 2.3 Fun¸oes Porta-deslocada e Impulso c˜ As fun¸oes Porta-deslocada e Impulso possuem propriedades importantes no contexto c˜ da Transformada de Laplace .3. 0 > t > t0 sendo tO uma constante .ufsc. 2.3. Propriedades fp (t) www.das.ufsc.br/labsil 26 1 t0 t0 0 t Figura 2.6: Fun¸˜o Porta de ´rea unit´ria ca a a Note que fp (t) = 1 u(t) t0 − 1 u(t t0 − t0 ). Utilizando as propriedades de Linearidade e Transla¸˜o obtemos: ca L[fp (t)] = L 1 1 u(t) − u(t − t0 ) t0 t0 1 1 = L[u(t)] − L[u(t − t0 )] t0 t0 −t0 s 1 1 1 e = − t0 s t0 s 1 = (1 − e−t0 s ) 2 t0 s Fun¸˜o Impulso: A Fun¸˜o Impulso Unit´rio que ocorre no instante t = t0 ´ repreca ca a e sentada por δ(t − t0 ) e satisfaz as seguintes condi¸˜es: co ∞ δ(t − t0 ) = 0, ∀t = t0 ∞, t = t0 e −∞ δ(t − t0 )dt = 1 A Fun¸ao Impulso ´ uma abstra¸ao matem´tica e n˜o existe na pr´tica. Por´m, c˜ e c˜ a a a e varia¸oes bruscas de energia podem ser aproximadas pela fun¸˜o impulso. Al´m disso, c˜ ca e o conceito da fun¸˜o impulso ´ bastante util na diferencia¸ao de fun¸˜es descont´ ca e ´ c˜ co ınuas, como veremos na sequˆncia. e Para calcular a transformada da fun¸ao impulso devemos notar que o impulso na origem c˜ ´ o caso limite da fun¸˜o porta quando t0 → 0, isto ´: e ca e 1 δ(t) = lim t0 →0 t0 [u(t) − u(t − t0 )] 2.3. Propriedades Assim temos: L[δ(t)] = L lim www.das.ufsc.br/labsil 27 1 (u(t) − u(t − t0 )) t0 →0 t0 1 = lim L (u(t) − u(t − t0 )) t0 →0 t0 1 = lim (1 − e−t0 s ) t0 →0 t0 s d (1 − e−t0 s ) dt0 = d (t s) dt0 0 = 1 2 A Transformada do Impulso ´ uma fun¸ao constante numericamente igual a ´rea do e c˜ a impulso (Energia Instantˆnea). O exemplo a seguir mostra como podemos utilizar a a fun¸˜o impulso para representar a derivada de fun¸oes descont´ ca c˜ ınuas. Exemplo 2.9 Seja a fun¸˜o f (t) = A para 0 < t < t0 (t0 ) dado) e nula fora desse ca intervalo. A derivada sessa fun¸˜o est´ definida em todos os pontos exceto em t = 0 e ca a t = t0 . Nesses pontos existem descontinuidades. A varia¸˜o da fun¸˜o no entorno de ca ca uma descontinuidade pode ser representada por um impulso de ´rea igual ao tamanho da a descontinuidade. A derivada de f (t) est´ indicada na figura 2.7. a f(t) f˙(t) A A δ(t) t0 t 0 t0 t 0 −A δ(t − t0 ) Figura 2.7: Derivada de fun¸˜es descont´ co ınuas . 2.3.4 Multiplica¸˜o de f (t) por e−αt ca Se L[f (t)] = F (s) ent˜o: a L[e −αt ∞ f (t)] = 0 f (t)e−αt e−st dt = F (s + α) Exemplo 2.10 J´ vimos que: a L[sen(ω0 t)u(t)] = ω0 = F (s) 2 s2 + ω0 2.3. Propriedades Logo: L[e−αt sen(ω0 t)u(t)] = www.das.ufsc.br/labsil 28 ω0 = F (s + α) 2 (s + α)2 + ω0 Note que os p´los de F (s + α) s˜o p1,2 = −α ± jω0 , onde Re[p´lo] = −α define o o a o decaimento exponencial do sinal f (t) e Im[p´lo] = ±ω0 define a frequˆncia de oscila¸˜o o e ca do sinal f (t). 2.3.5 Mudan¸a na Escala de Tempo c L[f (t/α)] = αF (αs) Se L[f (t)] = F (s) ent˜o: a Este resultado ´ util quando se deseja analisar sinais numa escala de tempo diferente e´ daquela em que ele ocorre na pr´tica. Pode ser o caso por exemplo de sinais muito lentos a ou muito r´pidos. a Exemplo 2.11 Dado que L[e−t u(t)] = 1 s+1 tem-se que L[e−0,2t u(t)] = 5 . 5s+1 2.3.6 Teorema da Diferencia¸˜o Real ca De agora em diante usaremos as seguintes nota¸oes para representar derivada temporal c˜ de uma fun¸˜o f (t): ca df (t) def = ∂f (t) ou de forma equivalente dt def df (t) def ˙ = f (t) dt (2.3) d e ´ A nota¸ao que emprega o operador ∂ = dt ´ util no caso de derivadas de ordem ≥ 3 c˜ 5 ¨ como a derivada de ordem 5: ∂ f (t). J´ a nota¸ao f˙(t) e f (t) s˜o comuns em livros de a c˜ a controle para expressar derivadas de ordem 1 e 2. Com a nota¸˜o acima temos o seguinte resultado: ca L f˙(t) = sF (s) − f (0) onde L[f (t)] = F (s) e f (0) = f (t)|t=0 . Problema 2.1 Prove que L f˙(t) = sF (s) − f (0). Dica: use a integral por partes ∞ 0 udv = uv|∞ − 0 ∞ 0 vdu . Quando uma fun¸ao possui descontinuidade na origem, a sua derivada temporal ir´ c˜ a possuir um impulso na origem. Nesses casos precisamos tomar cuidado com o limite inferior da transformada da derivada. Vamos ent˜o definir: a Assim apenas a defini¸ao L− .12 Seja f (t) = e−αt . Exemplo 2.das. a c˜ por come¸ar a contagem dos tempos em t = 0− . nos ser´ util para tratar impulsos na c a ´ origem. t ≥ 0 α s L[f˙(t)] = 1 − = s+α s+α Pelo teorema da diferencia¸˜o real obtemos o mesmo resultado acima: ca L− [f˙(t)] = sF (s) − f (0− ) = Para uma derivada de ordem n temos: L [∂ n f (t)] = sn F (s) − sn−1 f (0) − sn−2 ∂f (t)|t=0 − · · · − s∂ n−2 f (t)|t=0 − ∂ n−1 f (t)|t=0 OBSERVACOES: ¸˜ • Se a distin¸˜o entre L+ e L− for necess´ria basta substituir t = 0 por t = 0+ ou ca a − t = 0 respectivamente. • Para que L[∂ n f (t)] exista ´ preciso que todas as derivadas de f (t) de ordem inferior e ` n existam e sejam transform´veis por Laplace.br/labsil 29 ∞ L+ [f (t)] = 0+ ∞ f (t)e−st dt f (t)e−st dt L− [f (t)] = 0− Note que se f (t) envolve um impulso na origem ent˜o L+ [f (t)] = L− [f (t)]. a a • Quando todas as condi¸˜es iniciais forem nulas ent˜o: co a L [∂ n f (t)] = sn F (s) s s −0= s+α s+α .3. Calcule L[f˙(t)]. Solu¸˜o: ca f˙(t) = δ(t) − αe−αt . a Para o caso em que f˙(t) possui impulso na origem (f (t) possui descontinuidade na origem) ficamos com: L+ f˙(t) = sF (s) − f (0+ ) L− f˙(t) = sF (s) − f (0− ) Note que na defini¸˜o L+ o tempo come¸a em t = 0+ e portanto o impulso na origem ca c fica fora do intervalo considerado. oque n˜o nos interessa.ufsc.2. Quando a f (t) n˜o possui impulso na origem teremos L+ [f (t)] = L− [f (t)] = L[f (t)]. para t ≥ 0. Propriedades www. se algum p´lo de sF (s) tem parte real nula ou positiva a a o fun¸˜o f (t) n˜o tende a um valor constante em regime e portanto a igualdade acima n˜o ca a a mais se verifica.2.das. Propriedades Exemplo 2. E esse valor ´ dado por: a a a e t→∞ lim f (t) = lim sF (s) = 1 s→0 1 . Diga se o teorema do valor final pode ser aplicado e qual ´ a fun¸˜o no tempo. e ca (s−2) 2. Caso contr´rio. Como toda fun¸˜o que tende a zero em regime deve possuir ca transformada com todos os p´los no semi-plano esquerdo conclu´ o ımos que todos os p´los o ˙(t)] = sF (s) devem estar no semi-plano esquerdo para que o limite acima possa ter de L[f algum sentido.2 Calcule o valor de regime da fun¸˜o no tempo cuja transformada ´ F (s) = ca e 1 .3. Se f (t) e f˙(t) s˜o ambas transform´veis por Laplace e se a a .ufsc.7 Teorema do Valor Final Quando uma fun¸ao f (t) tende ` um valor constante em regime estacion´rio.14 Qual ´ o valor de regime (se ele existe) da fun¸˜o f (t) cuja transformada e ca 1 ´ F (s) = s(s+1) ? e Solu¸˜o: Como os p´los de sF (s) n˜o possuem parte real nula nem positiva (os p´los ca o a o s˜o s = −1) ent˜o f (t) tende ` um valor constante em regime. s(s+1) Para conferir o resultado note que L[(1 − e−t )u(t)] = Problema 2. Exemplo 2.3. isto ´ c˜ a a e quando t → ∞.13 Sabendo que L[sen(ω0 t)u(t)] = L[cos(ω0 t)u(t)] = L = = = = ω0 2 s2 +ω0 www. Note que quando f (t) tende ` um valor constante em regime ent˜o a a f˙(t) tende a zero em regime. este valor constante pode ser diretamente obtido atrav´s do limite: e t→∞ lim f (t) = lim sF (s) s→0 onde L[f (t)] = F (s).8 Teorema do Valor Inicial Usando este teorema somos capazes de achar o valor de f (t) em t = 0+ conhecendo apenas a transformada de f (t).br/labsil podemos obter: 30 d sen(ω0 t) u(t) dt ω0 1 d (sen(ω0 t)u(t)) L ω0 dt 1 (sF (s) − f (0)) ω0 s ω0 1 ( 2 − 0) 2 ω0 s + ω0 s 2 + ω2 s 0 2.3. 2.4) que: t L 0 f (t)dt = F (s) s Se f (t) possui impulso na origem ent˜o deve-se especificar que a integral come¸a a c − em t = 0 .3. Sendo f (t)dt|t=0 uma constante temos com (2.das. .2. exceto nos p´los de F (s) vale a seguinte e a a o rela¸˜o: ca d L[tf (t)] = − F (s). a Problema 2. . s2 +s+1 2.10 Teorema da Diferencia¸˜o Complexa ca Se f (t) ´ transform´vel por Laplace.3. 2. e e • Quando a integral for definida note que: t f (t)dt = 0 f (t)dt − f (t)dt|t=0 . . integrar no dom´ ınio do tempo ´ dividir por s no dom´ e ınio da frequˆncia. e Lembre que derivar no tempo ´ multiplicar por s na frequˆncia. ent˜o.3.4) • Se o valor inicial da integral for zero ent˜o: a L f (t)dt = F (s) s Assim. .9 Teorema da Integra¸˜o Real ca f (t)dt ´ transform´vel por Laplace ent˜o sua e a a Se a fun¸ao que resulta da integral c˜ transformada ´ dada por: e L OBSERVACOES: ¸˜ f (t)dt = F (s) + s f (t)dt |t=0 s (2. ds No caso geral: n n n d F (s).3 Encontre o valor inicial de f˙(t) dado que L[f (t)] = 2s+1 .br/labsil 31 f (0+ ) = lim sF (s) s→∞ Quando f (t) n˜o possui descontinuidade na origem f (0+ ) = f (0).ufsc. L[t f (t)] = (−1) dsn . n = 1. Propriedades lims→∞ sF (s) existir ent˜o: a www. ou equivalentemente.das.br/labsil 32 2.11 Integral de Convolu¸˜o ca Sejam f1 (t) e f2 (t) duas fun¸˜es nulas para t < 0. e Prova: ∞ t L[f1 (t) ∗ f2 (t)] = 0 0 f1 (t − τ )f2 (τ )dτ e−st dt como f1 (t − τ ) = 0 para τ > t podemos extender o limite de integra¸ao de t para infinito. Logo e ca a a obtemos: ∞ L[f1 (t) ∗ f2 (t)] = 0 L[f1 (t)]f2 (τ )e−sτ dτ ∞ 0 = L[f1 (t)] f2 (τ )e−sτ dτ = L[f1 (t)]L[f2 (t)] 2 Veremos mais adiante que o comportamento de todo sistema linear invariante no tempo pode ser representado por uma integral de convolu¸ao.3. pelo produto c˜ de duas transformadas. Propriedades www. c˜ Como t e τ s˜o vari´veis independentes podemos trocar a ordem de integra¸ao. a a c˜ ∞ ∞ 0 = 0 f1 (t − τ )e−s(t−τ ) dtf2 (τ )e−sτ dτ Note que a integral interna ´ simplesmente a transformada de f1 (t) com a mudan¸a de e c vari´vel ξ = t − τ : a ∞ 0 f1 (t − τ )e −s(t−τ ) ∞ dt = −τ f1 (ξ)e −sξ ∞ dξ = 0 f1 (ξ)e−sξ dξ = L[f1 (t)] Note ainda que L[f1 (t)] ´ uma fun¸˜o complexa da vari´vel s e n˜o depende de τ . .3. A Convolu¸ao dessas duas fun¸oes co c˜ c˜ f1 (t) e f2 (t) ser´ representada pela nota¸ao f1 (t) ∗ f2 (t) e ´ definida pela integral: a c˜ e t f1 (t) ∗ f2 (t) = 0 f1 (t − τ )f2 (τ )dτ Propriedades: • f1 (t) ∗ f2 (t) = f2 (t) ∗ f1 (t) • f1 (t) ∗ (f2 (t) + f3 (t)) = f1 (t) ∗ f2 (t) + f1 (t) ∗ f3 (t) • L[f1 (t) ∗ f2 (t)] = L[f1 (t)]L[f2 (t)] A ultima propriedade ´ muito importante e mostra que fazer a convolu¸ao no tempo ´ ´ e c˜ e fazer o produto das transformadas na frequˆncia.2.ufsc. 9..8. ca Solu¸˜o: Como a derivada de f (t) ´ uma fun¸˜o mais simples que f (t)..3.8: Fun¸˜o dente de serra e sua derivada ca Exemplo 2. t 0 1 2 −aδ(t − 1) a 0 f˙(t) www.das. ca e ca iremos calcular a transformada da derivada e utilizar a rela¸˜o L[f˙(t)] = sF (s) − f (0). veja figura 2.br/labsil 33 .9: Fun¸˜o onda quadrada ca Exemplo 2..15 Calcule a transformada de Laplace da fun¸˜o f (t) da figura 2.2. ca Solu¸˜o: Como a fun¸˜o ´ uma soma de degraus deslocados.ufsc.16 Calcule a transformada de Laplace da fun¸˜o f (t) da figura 2.8.. ca Tem-se ent˜o: a ∞ ˙(t) = au(t) − f aδ(t − n) n=1 ∞ L[f˙(t)] = sF (s) − f (0) = aL[u(t)] − a n=1 ∞ L[δ(t − n)] 1 ⇒ sF (s) = a − a e−ns L[δ(t)] s n=1 a e−ns ⇒ F (s) = 2 − a s s n=1 f(t) 1 a2 0 1 a2 a 2a t ∞ Figura 2. Propriedades f (t) a . temos: ca ca e 1 2 1 f (t) = 2 u(t) − 2 u(t − a) + 2 u(t − 2a) a a a 1 2 1 L[f (t)] = 2 L[u(t)] − 2 L[u(t − a)] + 2 L[u(t − 2a)] a a a 1 1 2 −as 1 1 −2as 1 = 2 − 2e + e a s a s a2 s 1 −as −2as +e ) = 2 (1 − 2e as . −aδ(t − 2) t Figura 2. x(0) = k2 .ufsc. Tomando a transformada dos dois lados da equa¸˜o ca ca temos: L[a¨ + bx + cx] = L[0] = 0 x ˙ aL[¨] + bL[x] + cL[x] = 0 x ˙ L[x] = X(s) L[x] = sX(s) − x(0) ˙ L[¨] = s2 X(s) − sx(0) − x(0) x ˙ a[s2 X(s) − sk1 − k2 ] + b[sX(s) − k1 ] + cX(s) = 0 X(s)(as2 + bs + c) = ak1 s + bk1 + ak2 X(s) = ak1 s + bk1 + ak2 as2 + bs + c Exemplo 2.18 utilizando a rela¸˜o trigonom´trica sen(ωt+θ) = ca e sen(ωt)cos(θ) + cos(ωt)sen(θ) . Propriedades www. co ca f (t) = sen(ω0 t + θ)u(t) ˙(t) = cos(ω0 t + θ)ω0 u(t) + sen(ω0 t + θ)δ(t) f = cos(ω0 t + θ)ω0 u(t) + sen(θ)δ(t) ¨(t) = −sen(ω0 t + θ)ω 2 u(t) + cos(ω0 t + θ)ω0 δ(t) + δ(t)sen(θ) ˙ f 0 2 ˙ = −sen(ω0 t + θ)ω0 u(t) + cos(θ)ω0 δ(t) + δ(t)sen(θ) Al´m disso sabemos que e ¨ L[f (t)] = s2 F (s) − sf (0− ) − f˙(0− ) = s2 F (s) e das duas express˜es acima tiramos o seguinte resultado o ¨ L[f (t)] = s2 F (s) 2 ˙ = L[−sen(ω0 t + θ)ω0 u(t) + cos(θ)ω0 δ(t) + δ(t)sen(θ)] ⇒ F (s) = s sen(θ) + ω0 cos(θ) 2 s2 + ω0 Problema 2. A seguir apresenta-se uma ca a forma que explora as propriedades de fun¸˜es senoidais e da fun¸˜o impulso.3. onde x = dt e x(0) = k1 .17 Calcule a transformada de Laplace da fun¸˜o x(t) que resolve a seguinte ca dx(t) equa¸˜o diferencial a¨ + bx + cx = 0. a Solu¸˜o: Existem v´rias formas de se resolver o problema.br/labsil 34 Exemplo 2.das.18 Calcule a transformada de Laplace do sinal f (t) = sen(ω0 t+θ)u(t). onde θ e ω0 s˜o constantes. ca x ˙ ˙ ˙ Solu¸˜o: Seja X(s) = L[x(t)].4 Refazer o exemplo 2.2. 2. . ca c˜ e 2. . . Multiplio cando (2.10. p´los m´ltiplos. Quando todos os p´los s˜o distintos temos: o a F (s) = a1 a2 an + + ··· + s + p1 s + p2 s + pn (2. . Este m´todo possui varia¸oes para p´los distintos.1 Fra¸oes parciais para p´los distintos c˜ o Seja F (s) uma transformada na forma fatorada. A transformada inversa de Laplace nos permite encontrar a fun¸ao no tempo a partir do conhecic˜ mento da sua Transformada de Laplace . (i = 1.ufsc. isto ´: e F (s) = k(s + z1 )(s + z2 ) . (i = 1.5) por s + p1 temos: (s + p1 )F (s) = a1 + a2 an (s + p1 ) + · · · + (s + p1 ) s + p2 s + pn . .2. e s˜o o a calculados da seguinte forma: ai = (s + pi )F (s)|s=−pi (2. Transformada Inversa www. No entanto a ´ c˜ essas tabelas s˜o limitadas e no caso mais geral a maneira mais simples de se calcular a a transformada inversa ´ utilizar o m´todo de expans˜o por fra¸˜es parciais pois os e e a co fatores que resultam da expans˜o s˜o bem mais simples de serem convertidos ao dom´ a a ınio do tempo.4.br/labsil 35 2. Direta F (s) Re[s] > c Tranf.4. . (s + pn ) n>m onde −zi . . n) s˜o os p´los da fun¸ao a a o c˜ F (s).das. respectivamente. (s + p1 )(s + p2 ) .4 Transformada Inversa J´ foi mensionado anteriormente que a transformada de Laplace e sua respectiva fun¸˜o a ca no tempo est˜o relacionadas de forma biun´ a ıvoca. 2. como ilustra a figura 2.6) Isto pode ser facilmente verificado. . s˜o os zeros e −pi . A restri¸˜o n > m pode ser feita sem perda de generalidade como veremos num ca exemplo a seguir.5) onde ai s˜o constantes conhecidas como res´ a ıduos dos p´los pi . . p´los e c˜ o o u o complexos e vamos supor que a fun¸˜o a ser expandida por fra¸oes parciais ´ racional. m). . . . (s + zm ) . Trans.10: Rela¸ao entre f (t) e sua transformada F (s) c˜ Existem tabelas que s˜o bastante uteis na obten¸ao da tranformada inversa. Veja no caso do res´ ıduo do p´lo s = −p1 . Inversa f (t) t≥0 Figura 2. f (t) = L−1 [F (s)] = 2e−t − e−2t . t≥0 a1 a2 + s+1 s+2 = F (s)(s + 1)|s=−1 = 2 = F (s)(s + 2)|s=−2 = −1 Exemplo 2. Para p´los reais os res´ o ıduos (2. como indicado a seguir. ınio c˜ logo: f (t) = L−1 [F (s)] = L−1 a2 an a1 + L−1 + · · · + L−1 s + p1 s + p2 s + pn −p1 t −p2 t −pn t = a1 e + a2 e + · · · + an e .6) s˜o reais e para p´los complexos os res´ a o ıduos s˜o complexos.20 (N˜o Causal) Calcule a transformada inversa da fun¸˜o a ca s3 + 5s2 + 9s + 7 G(s) = (s + 1)(s + 2) Solu¸˜o: Como o grau do numerador ´ maior que o grau do denominador devemos ca e dividir um pelo outro at´ que o resto da divis˜o seja uma fun¸˜o com grau do numerador e a ca menor que o grau do denominador. Note que a expans˜o por fra¸˜es parciais (2. G(s) = s + 2 + s+3 (s + 1)(s + 2) 2 1 = s+2+ − s+1 s+2 . Transformada Inversa www. O procedimento ´ idˆntico para os e e demais p´los.2.das. o O interesse da expans˜o por fra¸˜es parciais ´ que cada termo da expans˜o (2. t ≥ 0.4.5) pode a co e a ai −pi t ser facilmente transformado para o dom´ do tempo com a rela¸ao L[ai e u(t)] = s+pi .6) com i = 1.5) e (2.ufsc.6) se obt´m: ca e F (s) = a1 a2 Assim. a Exemplo 2.br/labsil 36 Logo para s = −p1 encontramos (2.19 (P´los Reais) Calcule a fun¸˜o no tempo cuja transformada ´ o ca e F (s) = s+3 (s + 1)(s + 2) Solu¸˜o: Com (2.5) ´ v´lida para p´los reais e complexos n˜o a co e a o a repetidos. 21 (P´los Complexos) Calcule a transformada inversa da fun¸˜o o ca F (s) = s2 2s + 12 + 2s + 5 Solu¸˜o: Note que os p´los s˜o complexos pois s2 + 2s + 5 = (s + 1 + j2)(s + 1 − j2). t ≥ 0.5 Refa¸a o exemplo 2.das.21 utilizando o m´todo de expans˜o por fra¸˜es parc e a co ciais indicado em (2. Para o exemplo em quest˜o temos s2 + 2s + 5 = o a a (s + 1)2 + 22 e com algumas manipula¸˜es alg´bricas obtem-se: co e F (s) = 2s + 12 ω0 s−α =A +B 2 2 + 22 2 + ω2 (s + 1) (s − α) (s − α)2 + ω0 0 Logo 2s+12 = Aω0 +B(s−α). a 2.2. Problema 2.4.2 Fra¸oes Parciais para p´los repetidos c˜ o Os m´todos da se¸ao anterior s˜o v´lidos para p´los distintos. ca o a Nesses casos a fun¸˜o temporal sempre envolve o produto de uma exponencial e um seno ca ou cosseno como indicado a seguir: L[eαt senω0 t] = L[eαt cosω0 t] = ω0 2 (s − α)2 + ω0 s−α 2 (s − α)2 + ω0 Nas transformadas acima α ´ a parte real dos p´los e ω0 ´ a parte imagin´ria dos p´los.br/labsil 37 2 −1 + L−1 s+1 s+2 t ≥ 0− Exemplo 2.5). Transformada Inversa Logo: g(t) = L−1 [G(s)] = L−1 [s] + L−1 [2] + L−1 = d δ(t) + 2δ(t) + 2e−t − e−2t .4.ufsc. dt www. e o e a o Verifique que os p´los s˜o α ± jω0 . Obtenha a mesma express˜o para f (t). Nesta se¸ao estudaremos e c˜ a a o c˜ o caso de p´los repetidos baseado num exemplo que pode ser facilmente generalizado. o . Como ω0 = 2 e α = −1 temos por igualdade polinomial B = 2 e A = 5 o que resulta: L−1 [F (s)] = 5L−1 2 s+1 + 2L−1 2 + 22 (s + 1) (s + 1)2 + 22 = 5e−t sen2t + 2e−t cos2t. s˜o os res´duos a serem determinados. 3). b2 = 0. t ≥ 0.22 Calcule a transformada inversa da fun¸˜o ca F (s) = s2 + 2s + 3 (s + 1)3 www.br/labsil 38 Solu¸˜o: Como o p´lo tem multiplicidade trˆs a expans˜o por fra¸˜es parciais envolve ca o e a co trˆs termos: e b3 b2 b1 F (s) = + + (s + 1)3 (s + 1)2 (s + 1) onde os coeficientes bi .4.ufsc. (i = 1. a ı Para determin´-los multiplique os dois lados por (s + 1)3 para obter: a (s + 1)3 F (s) = b3 + b2 (s + 1) + b1 (s + 1)2 Com a igualdade polinomial acima utilize um dos dois m´todos abaixo: e M´todo 1 Derivadas sucessivas de (s + 1)3 F (s) e ⇒ b3 = (s + 1)3 F (s)|s=−1 d [(s + 1)3 F (s)] = b2 + 2b1 (s + 1) ds ⇒ b2 = d [(s + 1)3 F (s)]s=−1 ds d2 [(s + 1)3 F (s)] = 2b1 ds2 ⇒ 1 d2 [(s + 1)3 F (s)]s=−1 2! ds2 M´todo 2 Atribuindo-se valores para s na igualdade e s = 0 ⇒ 3 = b3 + b2 + b1 s = −1 ⇒ 2 = b3 s = 1 ⇒ 6 = b3 + 2b2 + 4b1 Os dois m´todos acima levam aos mesmos valores dos res´ e ıduos: b3 = 2.das. 2.2. Transformada Inversa Exemplo 2. . b1 = 1 e portanto: L−1 [F (s)] = L−1 0 1 2 + L−1 + L−1 3 2 (s + 1) (s + 1) s+1 2 −t −t = t e +0+e . a a a energia dissipada no resistor ´ dada pela integral acima.2.7) Esta defini¸ao de energia ´ uma generaliza¸˜o do conceito de energia dissipada em rec˜ e ca sistores.6) e b0 .21 e 2. Para utilizarmos os resulca ca o tados das se¸˜es anteriores devemos primeiro separar os p´los complexos dos reais da co o seguinte forma: b1 s + b0 b2 F (s) = 2 + (s + 2s + 5) (s + 1) onde b2 ´ determinado com (2.24 (P´los reais e complexos) Calcule a transformada inversa da fun¸˜o o ca F (s) = (s2 2s + 12 + 2s + 5)(s + 1) Solu¸˜o: A fun¸˜o possui dois p´los complexos e um real.5.br/labsil 39 2. 2). o p´lo com multiplicidade dois ter´ dois res´ e o a ıduos e o p´lo com multiplicidade um ter´ o a um res´duo.4.5 Sinais com energia limitada Vamos definir energia de um sinal f (t) como sendo: ∞ E= −∞ f (t)2 dt (2. Com os valores de b0 .das.3 Fra¸oes Parciais para casos especiais c˜ Quando a transformada envolve p´los distintos e repetidos ou p´los reais e complexos o o podemos combinar os resultados das se¸oes anteriores como ilustram os exemplos a seguir. c˜ Exemplo 2. 1. s˜o os res´duos a serem determinados pelos m´todos a ı e da se¸˜o anterior. Os sinais que possuem energia e limitada (E < ∞) s˜o portanto de grande interesse pr´tico. Sinais com energia limitada www. isto a co ´.ufsc.19 para encontrar a fun¸˜o no dom´ ca ınio do tempo. (i = 0. se f (t) representa a tens˜o ou corrente num resistor unit´rio.23 (P´los distintos e repetidos) Calcule a transformada inversa da fun¸˜o o ca F (s) = s2 + 2s + 3 (s + 1)2 (s + 2) Solu¸˜o: A fun¸˜o possui um p´lo s = −2 com multiplicidade um e um p´lo s = −1 ca ca o o com multiplicidade dois. b2 podemos utilizar os exemplos 2. 2. Por exemplo. a a . ca Exemplo 2. ı b2 b1 b0 F (s) = + + 2 (s + 1) (s + 1) (s + 2) onde os coeficientes bi . b1 s˜o determinados por igualdade polinomial e a atribuindo-se valores para s. b1 . Nesse caso a expans˜o se faz como nas se¸˜es anteriores. e Um sinal x(t) cuja transformada seja anal´ ıtica no semi-plano direito 1 mas tenha um p´lo simples na origem vai ter um n´ DC igual ao res´ o ıvel ıduo desse p´lo (α1 no caso acima). c˜ e e a a A energia do sinal ser´ limitada apenas no primeiro caso. circuitos.6 Resolu¸˜o de Equa¸˜es Diferenciais ca co Atrav´s das leis da f´ e ısica podemos obter um modelo de comportamento para todos os sistemas. os o o p´los reais de X(s) tornam-se expoentes de fun¸oes exponenciais decrescentes no tempo. Para isso basta transformar por Laplace cada um dos 1 Lembre-se que uma fun¸ao ´ anal´ c˜ e ıtica numa dada regi˜o quando ela n˜o possui p´los nessa regi˜o a a o a . Seja o seguinte sinal: e x(t) = α1 + α2 e−2t + α3 e−t + k1 e−t senω0 t + k2 e−t cosω0 t.2. p´los com parte real o e o estritamente negativa. Para sistemas dinˆmicos esse modelo ´ uma equa¸˜o diferencial. o c˜ Os p´los complexos est˜o associados ` sinais que causam oscila¸oes amortecidas.das. A transformada de x(t) ´: e X(s) = L[x(t)] = α1 α2 α3 k1 ω0 k2 (s + 1) + + + + 2 2 + ω2 s s + 2 s + 1 (s + 1) (s + 1)2 + ω0 0 t≥0 Note que todos os p´los possuem parte real negativa. 2. Assim. a Assim. turbinas e todos os outros dispositivos estudados na engenharia. isto ´. Em a qualquer outra situa¸ao o sinal ´ divergente. Saber como o sistema se comporta para dadas condi¸˜es iniciais e uma dada co excita¸˜o ´ equivalente a saber resolver a equa¸˜o diferencial. ca e ca A Transformada de Laplace pode ser utilizada para resolver equa¸˜es diferenciais co lineares invariantes no tempo. um sinal qualquer x(t) vai ter um valor zero em regime (converge para zero quando t → ∞) apenas quando todos os p´los da transformada possuem parte real o negativa. exceto o p´lo na origem. Note e a que nesse caso o sinal n˜o tem energia limitada pois a integral acima vai divergir dado a que o sinal n˜o converge para zero em regime. quando t → ∞. Para esses sinais a integral acima e existe e ´ finita. o O valor do sinal x(t) acima em regime permanente (t → ∞) ´ constante e igual ` α.br/labsil 40 Veremos a seguir que um sinal cuja transformada de Laplace ´ uma fun¸˜o racional e ca que possui todos os p´los no semi-plano esquerdo estrito.ufsc. Este ´ o caso a e ca e por exemplo de motores. isto ´. quando o sinal converge a e para zero quando t → ∞. isto ´.6. O efeito temporal dos p´los com parte real negativa diminui exponencialmente e o desaparece completamente em regime permanente. n˜o ter´ um valor de regime finito. isto ´. O o a a c˜ amortecimento dessas oscila¸oes ´ definido pela parte real dos p´los (Re[p´los] = −1 no c˜ e o o caso) e a frequˆncia de oscila¸ao ´ definida pela parte imagin´ria do p´lo (Im[p´lo] = e c˜ e a o o ω0 ). Resolu¸˜o de Equa¸oes Diferenciais ca c˜ www. ´ um sinal de energia limitada. Se a transformada possui um p´lo na origem ( e os demais no semi-plano o esquerdo estrito) o sinal ser´ constante com um n´ a ıvel DC n˜o nulo em regime. Exemplo 2.6. isto ´.25 Resolva a seguinte equa¸˜o diferencial x +2x+5x = g(t). onde x(0) = a. ca ¨ ˙ x(0) = b s˜o constantes dadas e g(t)=0. x(0) = 0. diferencial. Resolu¸˜o de Equa¸oes Diferenciais ca c˜ www. x(0) = 0. isto e ´.br/labsil 41 termos da equa¸ao dif.26 Um determinado sistema ´ regido pela seguinte equa¸˜o diferencial x + e ca ¨ 2x + 5x = g(t). c˜ c˜ ca Em seguinda.ufsc.2.21 temos: ⇒ X(s) = s2 X(s) = e consequentemente x(t) = L−1 [X(s)] = [e−t cos(2t) + 0.das. utiliza-se a transformada inversa para encontrar a solu¸˜o no dom´ ca ınio do tempo.5e−t sen(2t)x(0) ˙ que ´ a solu¸ao da eq. Encontre ˙ co a e ˙ a resposta desse sistema quando o mesmo ´ excitado por um degrau de amplitude 3. ˙ a Solu¸˜o: Note que ca L[x] = X(s) L[x] = sX(s) − x(0) ˙ L[¨] = s2 X(s) − sx(0) − x(0) x ˙ Tomando-se a transformada dos dois lados da equa¸˜o se obt´m: ca e [s2 X(s) − sx(0) − x(0)] + 2[sX(s) − x(o)] + 5X(s) = 0 ˙ s+2 1 x(0) + 2 x(o) ˙ + 2s + 5 s + 2s + 5 De forma similar ao exemplo 2. onde as condi¸˜es iniciais s˜o nulas. obtendo assim a transformada da fun¸ao que resolve a equa¸˜o. e c˜ Exemplo 2.5e−t sen(2t)]x(0) + 0. e Solu¸˜o: Note que ca L[3u(t)] = 3 s L[x] = X(s) L[x] = sX(s) − x(0) = sX(s) ˙ L[¨] = s2 X(s) − sx(0) − x(0) = s2 X(s) x ˙ s2 s+1 1 1 x(0) + 2 x(0) + 2 x(o) ˙ + 2s + 5 s + 2s + 5 s + 2s + 5 Logo: 3 s 3 3 3 s+2 X(s) = = − 2 2 + 2s + 5) s(s 5s 5 s + 2s + 5 s2 X(s) + 2sX(s) + 5X(s) = . g(t) = 3u(t). ω = 2 e portanto: ı a X(s) = Logo: L−1 [X(s)] = x(t) = L−1 3 3 1 3 s+1 − L−1 − L−1 2 + 22 5s 5 (s + 1) 5 (s + 1)2 + 22 3 3 3 = − e−t sen2t − e−t cos2t. (b) g(t) = 0.14. responde a um dado sinal de entrada. x(0) = 1 ˙ x(0) ˙ g(t) + x ¨ 1 s x(0) x ˙ 1 s x 2 5 Figura 2.7. ω s˜o as partes real e imagin´ria dos p´los a a o 2 (ra´zes de s + 2s + 5). 5 10 5 3 3 1 3 s+1 − − 5s 5 (s + 1)2 + 22 5 (s + 1)2 + 22 A figura 2. x(0) = 1.27 Encontre as respostas de Estado Zero e Entrada Zero do circuito RLC s´rie da figura 2. x(0) = 0 . a c˜ c˜ As respostas de Estado Zero e Entrada Zero de um sistema descrito por (2. e Exemplo 2.12 mostra a resposta x(t) da equa¸ao para quatro situa¸˜es: (a) c˜ co g(t) = 0. (d) g(t) = 3u(t). x(0) = 0.11 ilustra o diagrama de simula¸ao anal´gica da equa¸˜o diferencial x + 2x + c˜ o ca ¨ ˙ 5x = g(t).11: Diagrama de simula¸ao anal´gica c˜ o 2. A segunda parcela chamaremos de Resposta de Entrada Zero pois ela indica como um sistema se comporta quando ´ deixado e para responder livremente `s suas condi¸oes inicias (sem excita¸ao externa).das. A figura 2. Para o caso em quest˜o temos σ = −1.2. A primeira parcela chamaremos de Resposta de Estado co Zero j´ que esta parcela indica como um sistema. x(0) = ˙ ˙ ˙ 0.11) podem ser determinadas atrav´s da Transformada de Laplace . Respostas de Estado Zero e Entrada Zero www.ufsc. x(0) = 1 . (c) g(t) = 3u(t).br/labsil 42 Note que s2 + 2s + 5 = (s − σ)2 + ω 2 onde σ. . e . x(0) = 0 . t ≥ 0.7 Respostas de Estado Zero e Entrada Zero A resposta de todo sistema linear invariante no tempo pode ser decomposta em duas parcelas: uma que depende do sistema e do sinal de entrada e outra que depende do sistema e das condi¸˜es iniciais. x(0) = 1. inicialmente em repouso (condi¸oes a c˜ iniciais nulas). 0 x(t) + 0. Respostas de Estado Zero e Entrada Zero www.0 0.3 -0.5 x(t) + 0.1 2.9 5.0 Figura 2.0 0.3 7.1 -0.9 0.6 6.4 2.das.0 x(t) + 0.2.12: Respostas x(t) do diagrama de simula¸ao anal´gica c˜ o .3 0.3 0.7 (c) 0.3 1.4 2.7 1.5 1.9 5.1 2.1 -0.3 7.3 1.1 0.1 -0.1 2.0 0.3 1.2 4.4 2.5 4.8 3.1 2.4 2.7 1.8 3.0 x(t) + 0.1 0.7 1.6 6.7.5 1.1 -0.5 4.5 0.3 1.7 1.8 3.7 0.3 -0.3 -0.3 0.1 0.5 1.1 0.1 -0.3 0.5 0.5 1.br/labsil 43 1.5 0.9 0.5 4.3 7.5 4.3 -0.0 0.7 (d) 0.7 (b) 0.3 7.9 0.9 5.6 6.9 (a) 0.5 1.1 -0.9 5.ufsc.5 1.8 3.5 1.6 6.2 4.1 -0.1 -0.2 4.2 4.5 0. N˜o dependem nem da entrada x(t) nem da sa´ y(t) nem ı a ıda das condi¸˜es iniciais do sistema. F1 (s) = 2+a s+a 2+a s+a + a1 s + a0 a2 s a2 s 1 0 1 0 (2. co A respota de Estado Zero do circuito ´ a parcela de (2.ufsc. f0 (t) = L−1 [F0 (s)] e f1 (t) = L−1 [F1 (s)] podemos ent˜o a reescrever a express˜o acima com o aux´lio da anti-transformada na forma: a ı y(t) = L−1 [Y (s)] = L−1 [F (s)X(s)] + y(0)L−1 [F0 (s)] + y(0)L−1 [F1 (s)] ˙ = f (t) ∗ x(t) + y(0)f0 (t) + y(0)f1 (t) ˙ (2.10) que depende da entrada: e Yesz (s) = F (s)X(s) no dom´nio da frequˆncia ou de forma equivalente yesz (t) = f (t)∗x(t) ı e no dom´nio do tempo. ı . f0 (t) e f1 (t) dependem apenas dos parˆmetros f´ a ısicos e da estrutura entrada/sa´da do sistema. F0 (s) = .das.12).7. pela propriedade de deriva¸˜o no tempo: ca a2 [s2 Y (s) − sy(0) − y(0)] + a1 [sY (s) − y(0)] + a0 Y (s) = b0 X(s) ˙ ⇒ (a2 s2 + a1 s + a0 )Y (s) = b0 X(s) + (a2 s + a1 )y(0) + a2 y(0) ˙ Portanto: b0 a2 s + a1 a2 X(s) + y(0) + y(0) ˙ a2 s2 + a1 s + a0 a2 s2 + a1 s + a0 a2 s2 + a1 s + a0 Y (s) = F (s)X(s) + F0 (s)y(0) + F1 (s)y(0) ˙ (2. Respostas de Estado Zero e Entrada Zero www.10) x(t) F (s) y(0) x(t) y(0) ˙ y(0) y(t) F (s) y(0) ˙ F1 (s) y(t) F0 (s) Figura 2.9) Y (s) = onde F (s) = a2 s2 b0 a2 s + a1 a2 .br/labsil 44 Solu¸˜o: Do exemplo 2. Tomando a transformada dos dois lados da equa¸˜o temos: e ca L[a2 y + a1 y + a0 y] = L[b0 x] ¨ ˙ Pela linearidade temos: a2 L[¨] + a1 L[y] + a0 L[y] = b0 L[x] y ˙ Sendo Y (s) = L[y] e X(s) = L[x].2.28 temos que o comportamento dinˆmico entrada/sa´ do ca a ıda circuito ´ dado por (2.13: Respostas de Estado Zero e Entrada Zero Note que f (t).8) Considerando f (t) = L−1 [F (s)]. 13) pelas fun¸˜es f (t).2. ci (i = 0.ufsc. .7. A entrada do e sistema ´ a tens˜o V (t) e a sa´da ´ a tens˜o no capacitor Vc (t). . n) e bi (i = 0.11) obter´ e ıamos: n−1 y(t) = f (t) ∗ x(t) + i=0 fi (t)ci (2. . m) s˜o e a coeficientes constantes que dependem dos parˆmetros f´ a ısicos do sistema. e co . . def n R + L + V(t) - C Vc (t) - Figura 2. A sa´ de um sistema depende dos seus parˆmetros f´ ıda a ısicos e da sua estrutura entrada/sa´ ıda. ai (i = 0.br/labsil 45 A resposta de Entrada Zero ´ a parcela de (2. . . Isto ´ representado em (2. a1 = RC.14: Circuito RLC s´rie e Exemplo 2. . n) s˜o constantes que definem as condi¸oes iniciais do sistema.12) com a0 = 1. fn−1 (t). Em termos da nota¸˜o e a ı e a ca acima temos x(t) = V (t) e y(t) = Vc (t) e o comportamento dinˆmico entrada/sa´ ´ a ıda e regido pela seguinte equa¸˜o diferencial: ca a2 y + a1 y + a0 y = b0 x ¨ ˙ (2. Considere um sistema descrito pela seguinte equa¸ao diferencial: c˜ an ∂ n y(t) + · · · + a1 ∂y(t) + a0 y(t) = bm ∂ m x(t) + · · · + b1 ∂x(t) + b0 x(t) (2. f0 (t). Respostas de Estado Zero e Entrada Zero www.11) ∂ y(t)|t=0 = cn . y(t)|t=0 = c0 d onde ∂ = dt ´ o operador derivada temporal. ˙ ı Podemos agora generalizar os resultados acima para sistemas de ordem mais elevada. . a ˙ Se ao inv´s do sistema de segunda ordem do exemplo acima.13) onde ci = di y(t) | dti t=0 s˜o as condi¸˜es iniciais.14. . . a2 = LC e b0 = 1.28 Considere o circuito RLC s´rie descrito na figura 2. As condi¸˜es iniciais s˜o a tens˜o no capacitor co a a ˙ no instante inicial x(0) = Vc (0) e a derivada da tens˜o no instante inicial x(0) = Vc (0). ∂y(t)|t=0 = c1 .das. . . . . considerarmos um sistema e de ordem gen´rica como em (2. .10) que depende das condi¸˜es inicie co ais: Yenz (s) = F0 (s)y(0) + F1 (s)y(0) no dom´nio da frequˆncia ou de forma equivalente ˙ ı e y(0)f0 (t) + y(0)f1 (t) no dom´nio do tempo. . . . x(t) ´ o sinal de entrada e a c˜ e y(t) ´ o sinal de sa´ e ıda. a co Da express˜o acima podemos extrair informa¸˜es muito importantes: a co 1. . . Este fato pode ser ıda co verificado em (2.14) 3. t ≥ 0.8. e e n−1 n−1 yenz (t) = i=0 fi (t)ci . Esta dependˆncia ıda e e ´ dada pela convolu¸˜o f (t) ∗ x(t) que recebe o nome de resposta de estado zero do e ca sistema. co a 2.7 A resposta de um sistema linear invariante ao degrau unit´rio e dadas a condi¸˜es iniciais ´ y1 (t) = 2 − 2e−2t + e−3t . C = 1F . c a c˜ Esta parcela da resposta recebe o nome de resposta de entrada zero do sistema. Para um degrau de amplitude 3 e o co e dobro das condi¸oes iniciais anteriores a resposta ´ y2 (t) = 6 − 10e−2t + 6e−3t .das. a b) A resposta de Estado Zero ao impulso. condi¸˜es iniciais co ˙ c (0) = 1V /seg e sinal de entrada degrau unit´rio. e c˜ a yesz (t) = f (t) ∗ x(t) . Yenz (s) = i=0 Fi (s)ci (2.br/labsil 46 2. V a Problema 2. A resposta de Entrada Zero ´ linear em rela¸ao ao conjunto de condi¸oes iniciais e e c˜ c˜ a resposta de estado zero ´ linear em rela¸ao ` entrada. A sa´ de um sistema depende das condi¸˜es iniciais do mesmo.8 Fun¸˜o de Transferˆncia e Estabilidade ca e Veremos a seguir que a resposta de Estado Zero de um sistema est´ associada ` duas a a no¸˜es muito importantes: fun¸˜o de transferˆncia e estabilidade. Esta ´ a resposta do sistema quando as condi¸oes iniciais s˜o nulas.2.15) 4. a d) As condi¸˜es iniciais associadas ` resposta y1 (t).4 (Fun¸˜o de Transferˆncia) Fun¸˜o de transferˆncia ´ uma fun¸˜o comca ca e plexa que representa a rela¸˜o sa´da/entrada do sistema para condi¸˜es iniciais nulas.13) pela presen¸a das constantes ci que s˜o as condi¸oes iniciais. Fun¸˜o de Transferˆncia e Estabilidade ca e www. Calcule as respostas de e Entrada Zero e de Estado Zero supondo R = 1Ω. Vc (0) = 1V.14. Esta ´ a resposta do sistema quando a entrada ´ nula. A rela¸ao complexa sa´ c˜ ıda/entrada de um sistema com condi¸oes iniciais nulas pode ser obtida diretamente da resposta de Estado c˜ . ca ı co Pela defini¸ao acima nota-se que a no¸ao de fun¸˜o de transferˆncia est´ relacionada c˜ c˜ ca e a com a resposta de Estado Zero do sistema. Yesz (s) = F (s)X(s) (2. c) A resposta de Entrada Zero associada ` y1 (t). A sa´ de um sistema depende da entrada x(t) que lhe ´ aplicada. e c˜ a Problema 2. L = 1H.6 Considere o circuito RLC s´rie da figura 2.ufsc. Pede-se: c˜ e a) A resposta de Estado Zero para um degrau unit´rio. co ca e ca e e ca Defini¸˜o 2. 10). Fun¸˜o de Transferˆncia e Estabilidade ca e www.9) e (2.14) ter´ F (s) como fun¸ao de transferˆncia. Caso contr´rio o sistema ´ dito ser inst´vel.6 (Estabilidade de Sistemas) Um sistema ´ dito ser est´vel se todos os ca e a p´los da sua fun¸˜o de transferˆncia est˜o localizados no semi-plano esquerdo estrito. apresenta a seguinte propriedade: o valor de y(t)|t=tf s´ depende da entrada o x(t) e da resposta impulsional f (t) para valores de tempo t ≤ tf .br/labsil 47 Zero (2. a ca e Quando as condi¸oes iniciais s˜o nulas resposta total do sistema ´ a pr´pria resposta c˜ a e o de Estado Zero do mesmo. Logo f (tf − τ )x(τ ) = 0 para τ > tf e portanto: tf y(tf ) = 0 f (tf − τ )x(τ )f τ s´ depende de f (t) e x(t) para t < tf .ufsc. um sistema que possua a resposta de Estado Zero (2. . Quando se conhece a fun¸˜o de a c˜ e ca transferˆncia F (s) de um sistema e a transformada do sinal de entrada X(s) se conhece e ´ tamb´m a resposta de Estado Zero do mesmo que ´ dada por (2.14): Y (s)/X(s) = F (s). e o a e a Pela defini¸˜o acima nota-se que a estabilidade ´ uma propriedade intr´ ca e ınseca do sistema.14). Ela s´ depende da sua fun¸˜o de transferˆncia e portanto dos seus parˆmetros f´ o ca e a ısicos e da estrutura entrada/sa´ ıda. o ca e a isto ´. Veja o exemplo 2. A entrada e as condi¸oes ıda c˜ inicias n˜o afetam a fun¸˜o de transferˆncia.5 (Sistemas Causais ou N˜o-Antecipativos) Um sistema dinˆmico ´ ca a a e dito ser Causal ou N˜o-Antecipativo se sua Resposta Impulsional ´ nula para t < 0. c˜ Dom´ ınio do Tempo: y(t) = yesz (t) = f (t) ∗ x(t) Dom´ ınio da Frequˆncia: Y (s) = Yesz (s) = F (s)X(s) e A fun¸˜o f (t) = L−1 [F (s)] recebe o nome de Resposta Impulsional pois f (t) ´ a reca e sposta do sistema quando as condi¸oes iniciais s˜o nulas e a entrada x(t) ´ um impulso c˜ a e no instante t = 0 (X(s) = 1). e ∞ y(t) = f (t) ∗ x(t) = 0 f (t − τ )x(τ )dτ para t = tf temos f (tf − τ ) = 0 para τ > tf .2.8. Em outras palavras. Essa propriedade ´ mostrada a seguir. Re[p´los] < 0. Assim. a dinˆmica de um sistema causal em qualquer instante de tempo t = tf depende (n˜o a a depende) da entrada e da resposta impulsional para valores de tempo menores (maiores) que tf . Defini¸˜o 2. a e Pela defini¸ao acima nota-se que a resposta y(t) de um sistema causal excitado com um c˜ sinal x(t).das. como pode ser visto nas equa¸oes (2.27. E importante e e notar que a fun¸ao de transferˆncia depende apenas dos parˆmetros f´ c˜ e a ısicos do sistema e da estrutura entrada/sa´ do mesmo. c˜ e Defini¸˜o 2. o Outra no¸ao muito importante ´ a de estabilidade de sistemas. Isto se consegue a escrevendo-as em fun¸˜o das vari´veis de interesse. As demais vari´veis devem ser eliminadas.8 Para o circuito RLC s´rie do problema 2. Se o sistema ca e ´ est´vel ent˜o todos os p´los de F (s) possuem parte real estritamente negativa. Portanto o sinal de sa´ possui e a ıda energia limitada sempre que o sistema for est´vel e o sinal de entrada possuir energia a limitada.2.6 pede-se: e a) Verifique se o sistema ´ est´vel. Problema 2. Isto ´. 2. as condi¸oes iniciais devem ser fornecidas. e Solu¸˜o: O primeiro passo para a obten¸˜o do diagrama ´ a obten¸˜o das equa¸˜es ca ca e ca co que regem o comportamento do sistema.9.14). Quando elas n˜o s˜o fornecidas e c˜ a a assume-se serem nulas. Veja o que seria um diagrama de a c˜ blocos para um caso j´ bastante conhecido que ´ o circuito RLC s´rie. I(t).9 Diagrama de Blocos O diagrama de blocos ´ utilizado para representar esquematicamente como funciona e o sistema. y(t) no circuito e a da figura 2.br/labsil 48 Exemplo 2.29 analisa-se a energia da reposta de Estado Zero. Al´m e a a o e disso. se o sinal de entrada possui energia finita. a resposta de Entrada Zero do circuito tamb´m possui e e e energia limitada. Solu¸˜o: A resposta de Estado Zero de um sistema ´ dada por (2. sinais de entrada de energia limitada produzem respostas totais com a energia limitada tamb´m. sua transformada possui todos os p´los o tamb´m com parte real estritamente negativa (veja se¸˜o 2. c) No exemplo 2. a e e Exemplo 2. Verifique que no circuito em quest˜o.30 Represente as interdependˆncias das vari´veis x(t). Um diagrama de blocos pode ser visto como uma forma esquem´tica de representar a vari´veis se relacionam num conjunto de equa¸oes. Cada elemento do sistema ´ representado por um bloco que cont´m sua e e Fun¸ao de Transferˆncia . Quando se deseja a resposta de Entrada Zero tamb´m. e a b) Calcule a resposta impulsional.29 Mostre que num sistema est´vel. Como a transformada do e ca sinal de sa´da Y (s) ´ dada por Y (s) = F (s)X(s) podemos verificar que todos os p´los ı e o de Y (s) tamb´m est˜o no semi-plano esquerdo estrito. Veja como proceder no caso do ca a circuito em quest˜o. Nessas equa¸˜es as vari´veis de interesse devem co a aparecer explicitamente.5). Diagrama de Blocos www.das. Os diagramas s˜o normalmente utilizados para e a representar a resposta de Estado Zero. a resposta de Estado Zero ser´ um sinal a a de energia finita para todo sinal de entrada de energia finita. a .ufsc.15 atrav´s de um diagrama de blocos. Esses blocos s˜o ent˜o interligados o que permite representar c˜ e a a a interdependˆncia desses elementos. br/labsil 49 R + L + C y(t) x(t) - I(t) Entrada SISTEMA Sa´ ıda Figura 2. Note que no diagrama de blocos acima foram eliminadas as informa¸˜es sobre todas as co outras vari´veis do circuito (corrente.das.15: Diagrama entrada/sa´ de um circuito ıda Inicialmente vamos obter um diagrama onde apenas os sinais de entrada x(t) e sa´ ıda y(t) s˜o de interesse. A Fun¸˜o de Transferˆncia d´ informa¸˜o a ca e a ca apenas sobre a rela¸˜o de causa-efeito entre as vari´veis de entrada e de sa´ ca a ıda. explicitar a dependˆncia de outras vari´veis no diagrama de ı e a blocos atrav´s de simples manipula¸˜o de equa¸˜es.9.2. Diagrama de Blocos www. etc).ufsc. ca ˙ x(t) = RI(t) + LI(t) + y(t) ⇒ RC y + LC y + y = x ˙ ¨ 1 y(t) = C I(t) ˙ Sendo X(s) = L[x(t)] e Y (s) = L[y(t)] temos para condi¸˜es inciais nulas: co RCsY (s) + LCs2 Y (s) + Y (s) = X(s) Logo: Y (s) = Portanto: F (s) = X(s) F(s) LCs2 1 X(s) + RCs + 1 1 + RCs + 1 Y(s) (2. Por exemplo. no entanto. para fazer aparecer a e ca co vari´vel corrente no diagrama de blocos do circuito temos: a . isto ´ a corrente n˜o aparece nas equa¸˜es. ´ E poss´vel. Obtendo as equa¸˜es a e a co co do circuito e eliminando a corrente ficamos com equa¸˜o diferencial em x(t) e y(t).16: Diagrama de blocos simplificado A fun¸˜o F (s) ´ a transferˆncia da tens˜o de entrada X(s) para a tens˜o de sa´ Y (s) ca e e a a ıda e para condi¸˜es iniciais nulas temos que a resposta do circuito para qualquer sinal de co entrada x(t) ´ dada por y(t) = x(t) ∗ f (t) onde f (t) = L−1 [F (s)] ´ a resposta impulsional e e do circuito.16) LCs2 Figura 2. a 2. .17. e e ıda.17 s˜o equivalentes e os sinais X(s). De uma maneira geral um sistema realimentado pode ser caracterizado pelo diagrama da figura 2.17: Diagrama de blocos detalhado Note que os diagramas das figuras 2.2.18 onde X(s) + E(s) G(s) Y(s) H(s) Figura 2. incluindo acionadores. Para se verificar isto basta manipular as equa¸˜es a co co como anteriormente. Sistemas Realimentados www.ufsc.10.18: Sistema realimentado X(s) ´ a transformada do sinal de entrada.br/labsil 50 X(s) = RI(s) + LsI(s) + Y (s) CsY (s) = I(s) X(s) − Y (s) = (R + Ls)I(s) → I(s) = 1 Y (s) = Cs I(s) 1 (X(s) R+Ls − Y (s)) Agora essas equa¸oes podem ser transformadas em diagramas como mostra a figura c˜ 2. X(s) + Y(s) 1 R+Ls I(s) 1 Cs Y(s) Figura 2. Y (s) a s˜o os mesmos nas duas configura¸˜es.das. Y (s) ´ a transformada do sinal de sa´ G(s) fun¸ao de transferˆncia do sistema a ser controlado. eliminando-se assim a vari´vel corrente.10 Sistemas Realimentados A presen¸a de uma malha fechada num diagrama de blocos caracteriza o que se chama c de sistema realimentado.16 e 2. medic˜ e dores e controladores (Filtros para fins de controle). Vimos tamb´m que ao fazer aparecer a corrente no diagrama e de blocos do circuito. Sistemas Realimentados www. e e ıda e e X(s) + 1 (R+Ls)(Cs) Y(s) Figura 2. Y(s) (2.das. de malha fechada e pode ser obtida atrav´s das equa¸oes inicadas no diagrama.10.M.T. se a entrada ´ a mesma nos dois diagramas a sa´ tamb´m o ´.17) com os valores ca de G(s).19.18 e 2. A Fun¸ao de Transferˆncia entre X(s) e Y (s) no diagrama acima ´ conhecida como c˜ e e F. Com isso temos a seguinte rela¸˜o: a a ca Y (s) = G(s) X(s) 1 + G(s)H(s) G(s) 1+G(s)H(s) F.16). Note que os diagramas das figuras 2.F.18.31 Vimos que a F. o diagrama resultante (Figura 2.17 como indicado na figura 2. Para encontrar os valores de G(s) e H(s) vamos simplificar o diagrama da figura 2.T.br/labsil 51 H(s) fun¸ao de transferˆncia de realimenta¸ao que inclui transdutores e eventuais conc˜ e c˜ troladores adicionais.20: Diagrama de blocos de um circuito RLC-s´rie e Exemplo 2. entre X(s) e Y (s) no circuito da figura 2.19 s˜o equivalentes. ca e G(s) = F (s) = 1 G(s) = 2 + RCs + 1 1 + G(s) LCs .17) X(s) Figura 2.T.2. e c˜ E(s) = X(s) − H(s)Y (s) Y (s) = G(s)E(s) Para se obter a fun¸˜o de transferˆncia entre X(s) e Y (s) deve-se eliminar todas as ca e vari´veis intermedi´rias. isto ´.20 de onde podemos mais facilmente obter por compara¸˜o: ca 1 e H(s) = 1 (R + Ls)Cs Agora podemos facilmente verificar que ao utilizarmos a equa¸˜o (2.19: Sistema realimentado simplificado que pode ser representada num diagrama simplificado como indicado na figura 2. Eles expressam a mesma rela¸ao a c˜ entrada/sa´ ıda.ufsc. E(s) no caso acima. H(s) acima obtemos a fun¸˜o de transferˆncia do circuito indicada em (2.17) fica na forma de um sistema realimentado do tipo da Figura 2.16 ´ F (s) = e 2 1/(LCs + RCs + 1). 2.10. Sistemas Realimentados www.das.ufsc.br/labsil 52 2.10.1 Estabilidade de Conex˜es o Vimos que um sistema ´ est´vel se todos os p´los da sua fun¸ao de transferˆncia e a o c˜ e possuem parte real negativa. Veremos a seguir que a conex˜o de dois sistemas est´veis a a pode resultar num sistema inst´vel, dependendo de como ela ´ feita. Logo a conex˜o de a e a sistemas deve ser feita com cuidado. N N Sejam G1 (s) = D1 (s) e G2 (s) = D2 (s) duas F.T. est´veis, isto ´, as ra´ a e ızes de D1 (s) e 1 (s) 2 (s) D2 (s) possuem parte real negativa. O que poder´ ıamos dizer das conex˜es abaixo? o G1 (s) X(s) G2 (s) + + Y(s) Figura 2.21: Conex˜o de dois sistemas em paralelo a X(s) + - G1 (s) Y(s) G2 (s) Figura 2.22: Conex˜o de dois sistemas em realimenta¸˜o a ca A fun¸ao de transferˆncia de X(s) para Y (s) na conex˜o da Figura 2.21 ´ dada por: c˜ e a e Y (s) = (G1 (s) + G2 (s))X(s) N1 (s)D2 (s) + N2 (s)D1 (s) )X(s) = ( D1 (s)D2 (s) Como as ra´ ızes de D1 (s) e de D2 (s) possuem parte real negativa ent˜o as ra´ a ızes de D1 (s)D2 (s) possuem as mesma caracter´ ısticas. Logo a fun¸˜o de transferˆncia de X(s) ca e para Y (s) na conec¸˜o da Figura 2.21 ´ est´vel. ca e a J´ no caso da conex˜o da Figura 2.22 temos: a a Y (s) = = G1 (s) X(s) 1 + G1 (s)G2 (s) 1+ N1 (s) D1 (s) N1 (s) N2 (s) D1 (s) D2 (s) = N1 (s)D2 (s) X(s) D1 (s)D2 (s) + N1 (s)N2 (s) 2.10. Sistemas Realimentados www.das.ufsc.br/labsil 53 Agora as ra´ do polinˆmio D1 (s)D2 (s) + N1 (s)N2 (s) podem ter parte real positiva ızes o mesmo se as ra´ ızes de D1 (s) e D2 (s) possuem parte real negativa. Esse ´ o caso, por e exemplo, se N1 (s) = 2, N2 (s) = −1 e D1 (s) = D2 (s) = s + 1. 2.10.2 Sistemas Realimentados em presen¸a de dist´ rbios c u Referˆncia e R(s) + G1 (s) D(s) Dist´rbio u + + G2 (s) C(s) H(s) Figura 2.23: Sistema realimentado perturbado No esquema acima, a sa´ C(s) ´ afetada tanto pela referˆncia R(s) quanto pela ıda e e perturba¸ao D(s). Quando as duas entradas R(s) e D(s) s˜o independentes entre si c˜ a ent˜o o efeito dessas entradas sobre a sa´ C(s) pode ser obtido de maneira tamb´m a ıda e independente atrav´s do princ´ e ıpio da superposi¸˜o dos efeitos (Linearidade). ca Ctotal (s) = CR (s) + CD (s) → CR (s) = C(s) para D(s) = 0 CD (s) = C(s) para R(s)=0 D(s) G1 (s) + + G2 (s) CD (s) H(s) Figura 2.24: Diagrama para referˆncia nula e Quando R(s) = 0 obtem-se o diagrama da figura 2.24, e utilizando (2.17) temos: CD (s) = G2 (s) D(s) 1 + G2 (s)H(s)G1 (s) Quando D(s) = 0 tem-se o diagrama da figura 2.25 e novamente com (2.17) temos: CR (s) = Logo: Ctotal (s) = CD (s) + CR (s) = G1 (s)G2 (s) G2 (s) D(s) + R(s) 1 + G2 (s)H(s)G1 (s) 1 + G1 (s)G2 (s)H(s) G1 (s)G2 (s) R(s) 1 + G1 (s)G2 (s)H(s) 2.11. Problemas complementares Referˆncia e R(s) + G1 (s) www.das.ufsc.br/labsil 54 + G2 (s) CR (s) H(s) Figura 2.25: Diagrama para dist´rbio nulo u Sistemas realimentados, quando bem projetados, s˜o menos sens´ a ıveis ` perturba¸oes a c˜ que sistemas sem realimenta¸ao (Malha Aberta). Isto se consegue projetando-se controc˜ ladores (filtros de controle) que for¸am a parcela CR (s) devido ao sinal de referˆncia ser c e dominante em rela¸ao ` parcela CD (s) devido ao dist´rbio. c˜ a u 2.11 Problemas complementares Problema 2.9 Calcule a transformada de Laplace das fun¸˜es: co a) f (t) = exp(−10t) , t ≥ 0 b) f (t) = cos(10t + π/3) , t ≥ 0 Problema 2.10 O comportamento de um determinado sistema ´ regido pela equa¸˜o e ca diferencial x + 2x = f . Calcule a resposta desse sistema quando o mesmo ´ excitado com ˙ e um degrau unit´rio e condi¸˜es iniciais x(0) = 1. Identifique a fun¸˜o de transferˆncia, a co ca e a resposta de Entrada Zero e a resposta de Estado Zero e verifique se o sistema ´ est´vel. e a Problema 2.11 Sabendo que a resposta impulsional do sistema da figura 2.26(a) ´ w(t) = e 2exp(−t) , t ≥ 0 verifique se o sistema realimentado da figura 2.26(b) ´ est´vel. Justie a fique sua resposta. u G(s) ω r + (a) (b) 10 e 5 u G(s) ω 1 s y Figura 2.26: Sistema para controle de posi¸˜o ca no entanto.T. a rapia co dez da resposta e o erro de regime cometido. Outros sinais de entrada como impulso e fun¸˜o rampa (x(t) = t) tamb´m s˜o de ca e a interesse.Cap´ ıtulo 3 Resposta ao Degrau 3. Para atender todos esses requisitos de performance. Para ilustrar este fato.1. e rampa est˜o ligadas entre si. o sinal de entrada deve ser ca ca ca um degrau unit´rio. para condi¸oes iniciais nulas. digamos ca c˜ posi¸˜o zero. v´ para o valor c˜ a ca a desejado sem erro significativo de posi¸ao em regime. de um sistema linear invariante indicado na figura 3. ´ saber especificar matematicamente os ´ e ındices de performance desejados para a resposta. isto ´. Ao se aplicar um degrau na entrada desse sistema de controle.1 Introdu¸˜o ca Um grande n´mero de problemas de controle consiste em se manter constante a vari´vel u a de sa´ ıda. digamos posi¸˜o um. e Neste cap´ ıtulo estudaremos alguns ´ ındices de performance da resposta ao degrau que nos permitir´ quantificar matematicamente o tamanho das oscila¸˜es da resposta.4. Curvas t´ ıpicas dessa evolu¸ao c˜ podem ser encontradas na figura 3. que representa o valor desejado da vari´vel a controlada (sa´ ıda) ´ neste caso um degrau com amplitude igual ao valor desejado para e a sa´ ıda. Veja na figura 3. com o a poucas oscila¸oes e que a vari´vel controlada. A e o resposta (c) atinge o valor de regime mais r´pido que as demais e todas as trˆs possuem a e erro de regime nulo (valor final da resposta ´ exatamente o valor desejado). Veja por exemplo o problema de controle de posicionamento de uma antena indicado na figura 1. Normalmente deseja-se um transit´rio r´pido. erro de regime despres´ c˜ e ıvel. o engenheiro deve saber projetar adequadamente os filtros de controle do sistema. a seja F (s) a F. posi¸˜o da antena no caso. para uma nova posi¸˜o. a resposta de um sistema (linear c˜ invariante) ao impulso. Quando se quer mudar a posi¸˜o da antena de uma posi¸ao inicial. A entrada do sistema.1 que a resposta (a) ´ mais oscilat´ria que as demais. a a posi¸ao da antena vai evoluir da posi¸˜o zero para a posi¸˜o um segundo uma curva c˜ ca ca que depende de como o sistema de controle foi projetado. f (t) = L−1 [F (s)] • Resposta Impulsional: X(s) = 1 ⇒ Y (s) = F (s) ⇒ y(t) = f (t) . degrau. O primeiro passo.2. quando isso ´ poss´ e ıvel. No entanto. ufsc.2 (b) 1.3.0 0 2.2 + 0.4 0.0 0.0 0 2.6 1.2 + 0.8 0.0 0.0 1.0 1.8 1.4 0.4 1.br/labsil 56 2.8 1.0 0.4 0.4 1.2 (c) 1.0 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 Figura 3.6 0.2 + 0.2 + 0.4 1.6 0.0 1.8 0.0 1.8 1.1.0 0 2.8 1.6 1.2 (a) 1. Introdu¸˜o ca www.6 1.6 0.2: Diagrama de bloco entrada/sa´ ıda .6 1.8 0.0 0.das.4 (d) 1.4 0.8 0.1: Curvas t´ ıpicas da resposta ao degrau X(s) F(s) Y(s) Figura 3.6 0.2 1. ufsc.1 Verifique que o circuito da figura 3. Por esse motivo vamos nos concentrar na resposta ao degrau de agora em diante. −x + RI + y = 0 . As equa¸˜es que regem o comportamento desse sistema s˜o indicadas co a abaixo. Como a fun¸˜o de transferˆncia possui apenas um p´lo o sistema ´ ca e o e X(s) 1 Ts+1 Y(s) Figura 3.2.3: Circuito RC −x + RC y + y = 0 ⇒ ˙ Y (s) 1 1 = = X(s) RCs + 1 Ts + 1 onde T = RC.br/labsil t 0 t 0 57 ⇒ Y (s) = 1 F (s) ⇒ y(t) = s ⇒ Y (s) = 1 s2 f (t)dt 1 s2 ⇒ y(t) = t 0 f (t)dtdt Note que.3 ´ um sistema de primeira ordem. e Solu¸˜o: Para mostrar que o sistema ´ de primeira ordem precisamos encontrar a ca e fun¸a˜ de transferˆncia do mesmo e para isso se sup˜e que o circuito possui condi¸oes c o e o c˜ iniciais nulas.das. para condi¸oes iniciais nulas.2 An´lise de Sistemas de Primeira Ordem a Sistemas cuja fun¸˜o de transferˆncia possui apenas um p´lo s˜o conhecidos como ca e o a sistemas de primeira ordem.3. An´lise de Sistemas de Primeira Ordem a • Resposta ao Degrau: X(s) = • Resposta ` Rampa: X(s) = a 1 s www. . a resposta ao impulso e a resposta ` rampa s˜o c˜ a a respectivamente a derivada e a integral da resposta ao degrau.4: Sistema de primeira ordem padr˜o a realmente de primeira ordem. 3. condi¸˜o inicial nula (y(0) = 0) ca I = Cy ˙ Aplicando Laplace temos: + x(t) I R + C y(t) - Figura 3. Exemplo 3. A resposta ao degrau de um sistema cuja fun¸ao de transferˆncia ´ do tipo F (s) = c˜ e e ´ obtida da seguinte forma: e Y (s) = 1 1 1 X(s) = Ts + 1 Ts + 1 s 1 T s+1 com condi¸oes iniciais nulas e L[X(s)] = 1 .ufsc. decorridos T segundos a resposta e atinge 63. f s˜o constantes f´sicas do motor. J. 865 t = 3T ⇒ y(3T ) = 1 − e−3 = 0.2.5: Resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem padr˜o a 1) dy | dt t=0 = 1 T 2) Para t = T ⇒ y(T ) = 1 − e−1 = 0. 632. An´lise de Sistemas de Primeira Ordem a www. s Ts + 1 t≥0 A resposta indicada acima possui propriedades interessantes: x(t) y(t) 0 t entrada sa´ ıda Figura 3.2 Podemos expressar a velocidade (ω) do eixo de um motor DC em fun¸˜o ca da tens˜o de entrada (V ) atrav´s de uma equa¸˜o diferencial do tipo J ω + f ω = bV onde a e ca ˙ b. t = 2T ⇒ y(2T ) = 1 − e−2 = 0.br/labsil 58 Exemplo 3. a ı e Solu¸˜o: Devemos mostrar que a fun¸˜o de transferˆncia possui apenas um p´lo.das. 982 t = 5T ⇒ y(5T ) = 1 − e−5 = 0.3. c˜ s Expandindo por fra¸˜es parciais e anti-transformando temos: co Y (s) = T 1 − ⇒ y(t) = 1 − e−t/T . Mostre que esse sistema ´ de ordem 1. 993 As duas propriedades acima podem ser utilizadas para se encontrar o valor da constante de tempo T quando a resposta ao degrau for obtida experimentalmente. ca ca e o b Tomando a transformada de Laplace encontramos ω = Js+f V que mostra o resultado desejado. 2% do seu valor final de regime permanente. Certifiquese no experimento de que as condi¸oes iniciais s˜o realmente nulas e que a fun¸ao de c˜ a c˜ 1 transferˆncia ´ do tipo T s+1 . isto ´. 950 t = 4T ⇒ y(4T ) = 1 − e−4 = 0. e e . 3 An´lise de Sistemas de Segunda Ordem a Sistemas de segunda ordem s˜o aqueles cuja fun¸ao de transferˆncia possui dois p´los.3 Encontre os valores ξ e ωn da forma padr˜o para o sistema de segunda ordem da figura 3.3.1) temos: ca F (s) = Logo: 2 ωn = 2 1 ωn = 2 2 LCs2 + RCs + 1 s + 2ξωn s + ωn LCs2 1 + RCs + 1 1 R R .6. a c˜ e o Nesta se¸˜o vamos estudar um tipo especial de sistemas de segundo ordem conhecido na ca literatura de controle como sistema de segunda ordem padr˜o: a F (s) = 2 ωn 2 s2 + 2ξωn s + ωn (3. como ilustra o exemplo a seguir. 2ξωn = ⇒ξ= LC L 2 C L Note que a taxa de amortecimento ξ depende linearmente da resistˆncia do circuito e e esta ´ respons´vel pela dissipa¸ao de energia. e ´ indicada a seguir.6: Sistema de segunda ordem padr˜o a Solu¸˜o: O primeiro passo para se resolver o problema ´ obter a fun¸˜o de transferˆncia ca e ca e do sistema.1) onde ξ e ωn recebem o nome de taxa de amortecimento e frequˆncia natural do sistema ree spectivamente.30.ufsc. a e X(s) = (RCs + LCs2 + 1)Y (s) → Y (s) = F (s)X(s) F (s) = Por compara¸˜o com (3.br/labsil 59 3. Os valores desses parˆmetros dependem dos parˆmetros f´ a a ısicos do sistema estudado. An´lise de Sistemas de Segunda Ordem a www. J´ a frequˆncia natural ωn depende dos e a c˜ a e . a Exemplo 3.das.3. R + L + C y(t) x(t) - I(t) Entrada SISTEMA Sa´ ıda Figura 3. o que j´ foi determinado no exemplo 2. isto ´ R = 0 e portanto ξ = 0.das.1) s˜o complexos o ca e a e do lado esquerdo do eixo imagin´rio. Essa situa¸ao est´ indicada na figura 3. e e Mas quando existe amortecimento duas situa¸oes podem ocorrer: i) o amortecimento c˜ ´ pequeno causando resposta oscilat´ria e nesse caso a frequˆncia de oscila¸˜o ´ menor e o e ca e que a frequˆncia natural do sistema. e o a Sistemas que n˜o dissipam energia possuem coeficiente de amortecimento ξ nulo. An´lise de Sistemas de Segunda Ordem a www.3. o amortecimento tamb´m o o e e ´.3.1(d).2 = σ ± jωd onde σ = −ξωn ´ a parte real dos p´los e ωd = ωn 1 − ξ 2 ´ a parte imagin´ria. Como a parte real ´ nula nesse caso. Na literatura o caso com pouco amortecimento ´ conhecido como e subamortecido e o caso com muito amortecimento recebe o nome de superamortecido. Este ´ o caso da resposta da figura 3. ii) o amortecimento ´ grande e nesse caso a resposta n˜o ´ mais oscilat´ria.br/labsil 60 valores da capacitˆncia e indutˆncia que s˜o os elementos respon´veis pelas oscila¸oes da a a a a c˜ resposta. 3.ufsc. 2 ωn 2 (s2 + ωn )s 3. a Note que nesse caso (ξ = 0) os p´los da fun¸˜o de transferˆncia est˜o sobre o eixo o ca e a imagin´rio o que confirma o fato de que o amortecimento da resposta ´ definido pela a e parte real dos p´los. Os a p´los s˜o dados pela equa¸ao: o a c˜ p1. A resposta ao degrau (X(s) = 1/s) quando ξ = 0 ´ : e Y (s) = e pela transformada inversa encontramos y(t) = 1 − cos(ωn t) que corresponde ` curva da figura 3. tamb´m e o e a e chamada de frequˆncia natural amortecida.3.3. Isso indica que a resposta ao degrau do sistema ´ oscilat´ria n˜o amortecida.1 Caso sem amortecimento (ξ = 0) Se a resistˆncia do circuito ´ nula. Veja o a que acontece no exemplo 3. A frequˆncia natural do sistema ωn ´ o m´dulo e e e o 2 + ω2.3. Isto pode ser verificado da seguinte forma. a resposta e oscila com a frequˆncia natural do sistema. Note ainda que o valor da parte imagin´ria dos p´los define a frequˆncia com que a e a o e resposta oscila. dos p´los ωn = σ o d .1(a) para ωn = 2.1(b) e (c) e c˜ a . Num sistema sem amortecimento.1(a).2 Caso Subamortecido (0 < ξ < 1) Quando 0 < ξ < 1 os p´los da fun¸˜o de transferˆncia indicada em (3. como e a e o ilustra a figura 3.2 = −2ξωn ± 2 2 4ξ 2 ωn − 4ωn = −ξωn ± ωn 2 ξ2 − 1 que podemos escrever como: p1. o circuito ´ um oscilador ideal e n˜o existe dissipa¸ao e e e a c˜ de energia. Com o uso de tabelas de transformadas obtem-se: y(t) = 1 + ( e−s1 t e−s2 t − ) s1 s2 2 ωn ξ2 − 1 Esta resposta pode ser vista na figura 3. a c˜ Problema 3. 1 e ωn = 2 e no caso 3.3.das. 3. An´lise de Sistemas de Segunda Ordem a www. φ = tan−1 1 − ξ2 ξ (3. Um sistema de primeira ordem com um p´lo s2 teria uma o resposta muito parecida.1).1) ´ positivo e o ca e e portanto a sa´ diverge exponencialmente (instabilidade).1(b) se encontra a resposta y(t) para ξ = 0.2 = (ξ ± 2 ωn (s + s1 )(s + s2 )s ξ 2 − 1)ωn . Logo: a e Y (s) = 2 ωn 2 (s2 + 2ξωn s + ωn )s com o aux´ da tabela de anti-transformada temos: ılio y(t) = L−1 [Y (s)] = 1 − eσt 1 − ξ2 sen(ωd t + φ).3.3. 3. Problema 3. temos |s1 | >> |s2 | e portanto o a efeito do p´lo s1 sobre a resposta desaparece bem mais r´pido que o efeito do p´lo s2 que o a o est´ mais pr´ximo do eixo imagin´rio.1 Calcule o valor de regime permanente da resposta ao degrau de um sistema na forma padr˜o (3. para o mesmo valor de ωn . o . Para o caso particular de ξ = 1 a express˜o y(t) acima precisa ser modificada e pode ser encontrada em [1].1(d) para ξ = 2 e ωn = 2.br/labsil 61 A resposta ao degrau unit´rio ´ dada por Y (s) = F (s)R(s) com R(s) = 1/s.3.1(c) para ξ = 0.1) ser´ sempre o a positivo e devido ` isso a resposta ao impulso cresce exponencialmente com uma taxa que a depende do p´lo positivo.4 Caso inst´vel (ξ < 0) a Para valores negativos de ξ um dos p´los da fun¸˜o de transferˆncia (3. ıda Note que no caso do circuito do exemplo 3.ufsc. a Note que se ξ >> 1 ent˜o.2 Mostre que quando ξ < 0 um dos p´los de F (s) em (3. Sendo assim para valores de ξ >> 1 o sistema a o a se torna extremamente lento.3 a taxa de amortecimento ser´ sempre a positiva (ou nula quando R = 0) devido ` dissipa¸ao de energia no resistor. A sa´ o ca e a ıda para uma entrada degrau unit´rio ´: a e Y (s) = com s1. 6 e ωn = 2.2) Na figura 3.1) s˜o reais e os dois negativos.3 Caso Superamortecido (ξ ≥ 1) Se ξ ≥ 1 os p´los da fun¸˜o de transferˆncia (3. Qual ´ a diferen¸a entre os valores da entrada e da sa´ a e c ıda em regime permanente ? Dica: Utilize o teorema do valor final. 4 ´ Indices de desempenho Nesta se¸ao estudaremos formas de classificar qu˜o boas s˜o as respostas da figura c˜ a a 3.8 1.7 ilustra os ´ ındices de desempenho descritos acima. No entanto.4 1. torna-se imperativo a cria¸ao de ´ c˜ ındices de desempenho que permitam quantificar tamanho de oscila¸oes.6 0. Como a resposta transit´ria ` um degrau normalmente apresenta oscila¸oes antes o a c˜ de atingir o regime permanente.ufsc.7: ´ Indices de desempenho para resposta ao degrau ´ a a tp (instante de pico) E o tempo necess´rio para a resposta atingir o seu valor m´ximo. ´ Indices de desempenho www.2 0.1.4 0. que a tipicamente vale 2 ou 5% do valor de regime). c˜ c˜ o S˜o comuns os seguintes ´ a ındices: 2.0 0.3. Esta faixa caracteriza a tolerˆncia de erro.das.6 1.br/labsil 62 3. ıda ıda Mp = y(tp ) − y(∞) y(∞) ts (tempo de acomoda¸˜o) Tempo necess´rio para confinar a resposta numa faixa ca a em torno do seu valor de regime.0 + 0 Mp faixa de erro toler´vel em regime a tp 3 6 9 ts 12 15 18 21 24 27 30 Figura 3.2 1. Existem outros ´ ındices de performance que n˜o foram indicados acima e podem ser encontrados em qualquer livro a de controle de sistemas. etc. por exemplo [1].8 0. A figura 3. para sistemas de segunda .4. tempo de dura¸ao do transit´rio. Em geral n˜o ´ poss´ se determinar express˜es anal´ a e ıvel o ıcas para os ´ ındices de desempenho da resposta ao degrau indicados acima.0 1. ´ Mp (sobressinal m´ximo) E o valor relativo da diferen¸a entre o valor m´ximo da a c a sa´ (ao longo do tempo) e o valor da sa´ em regime. 6) . ts = 3T para 5% de erro (3.3.4. Existem ´bacos c˜ a que permitem a determina¸ao exata de ts . Instante de Pico (tp ): O instante de pico pode ser caracterizado como sendo o primeiro instante de tempo (exceto a origem) para o qual a derivada temporal da resposta ´ nula.1) o valor de regime da a resposta ao degrau unit´rio ´ um. Impondo que a amplitude do seno esteja dentro c˜ dessa tolerˆncia temos: a y(ts ) − y(∞) = y(∞) eσts 1 − ξ2 sen(ωd + φ) ≤ δ ⇒ ts = ln(δ 1 − ξ2) σ (3. Para um sistema de segunda ordem podemos aproximar ts definindo como constante de tempo T = −1/σ e assim temos: ts = 4T para 2% de erro .4) Note que Mp depende somente de ξ e quando ξ ≥ 1 n˜o existe oscila¸ao e Mp n˜o tem a c˜ a mais sentido. ca n˜o existe uma express˜o anal´ a a ıtica exata para o tempo de acomoda¸ao ts . e o Uma outra aproxima¸˜o muito comum para ts pode ser obtida por analogia com sisca temas de primeira ordem. Seja δ a tolerˆncia de e a a erro que define o tempo de acomoda¸ao.1) subamortecidos (1 > ξ > 0) isto ´ poss´ e essas express˜es s˜o e ıvel o a obtidas a seguir. Veja por exemplo [1].das.1) ´: e y(t) = 1 − eσt 1 − ξ2 sen(ωd t + φ) . ´ Indices de desempenho www.3) ωd ωn 1 − ξ 2 Sobressinal M´ximo (Mp ): Note que num sistema do tipo (3. Note que o valor de regime da resposta c˜ a ´ y(∞) = 1 e a amplitude do seno tende ` zero quando t → ∞. φ = tan−1 1 − ξ2 ξ Impondo que a amplitude do seno esteja dentro da faixa de tolerˆncia que caracteriza a o tempo de acomoda¸˜o temos uma condi¸˜o suficiente para garantir que o tempo de ca ca acomoda¸ao foi atingido com a dada tolerˆncia. Como y(∞) = 1 vamos utilizar (3. Tomando a derivada temporal da resposta y(t) em (3.ufsc.br/labsil 63 ordem do tipo (3. Num sistema de primeira ordem o valor de regime da resposta ´ atingido ap´s 4 constantes de tempo com 2% de erro e ap´s 3 constantes de tempo com e o o 5% de erro. c˜ A resposta ao degrau do sistema (3.2) para obter: a e Mp = σ − √π ξ y(tp ) − y(∞) π = y(tp ) − 1 = e ωd = e 1−ξ2 y(∞) (3.2) e igualando ` e a zero encontramos: π π tp = = (3. Tempo de Acomoda¸˜o (ts ): Diferentemente do Sobressinal e do intante de pico.5) onde σ = −ξωn ´ a parte real dos p´los. A seguir apresentamos c˜ duas possibilidades para se obter uma aproxima¸ao de ts . 8. 095.0 Figura 3.84 0.1) temos: 2 25 = ωn → ωn = 5 ´ a frequˆncia natural.24 0.02 1−ξ 2 ) = 1.36 0.20 1.6 0. e Mp = eπ σ/ωd = 0. Mp (%) = 9. e e 6 = 2ξωn → ξ = 6/10 = 0.60 0.05 1−ξ 2 ) ts (5%) = = 1.3 0. ´ Indices de desempenho www.72 0.das.8: Resposta ao degrau do sistema .0 0.4 Obtenha os ´ ındices de desempenho da resposta ao degrau unit´rio para o a seguinte sistema: C(s) 25 = 2 R(s) s + 6s + 25 Solu¸˜o: O primeiro passo ´ obter os valores da frequˆncia natural e da taxa de amortecca e e imento do sistema.08 0.4 2. 38seg ´ o tempo de acomoda¸˜o com 2% de erro. a tp = π ωd = 0.7 3.br/labsil 64 Exemplo 3.00 + 0.8 2.48 0.9 1.5 1. 07seg ´ o tempo de acomoda¸˜o com 5% de erro. Comparando o sistema acima com (3. e ωd = ωn 1 − ξ 2 = 4 ´ a parte imagin´ria dos p´los. e ca −3 1. e ca ts (2%) = −3 √ ln(0. e a o σ = −ξωn = −3 ´ a parte real dos p´los.1 2. 5% ´ o sobressinal.2 1. 785seg ´ o instante de pico. 6 ´ a taxa de amortecimento.ufsc. e o Agora podemos calcular os ´ ındices e verific´-los na figura 3. e √ ln(0.12 0.3.4.96 0. c˜ e Os elementos desse sistema de controle s˜o: 1 comparador de tens˜o. c˜ Potenciˆmetro: Esse dispositivo transforma deslocamento angular em uma tens˜o o a que lhe ´ proporcional. Motor DC: A fun¸ao do motor DC ´ acionar a antena para que ela esteja sempre c˜ e .das.9 ilustra o c˜ funcionamento do sistema. A sa´ do comparador ´ ent˜o um sinal de erro o e ıda e a entre o valor desejado e o valor obtido da posi¸ao da antena: e(t) = Vr (t) − Vc (t). Servomecanismo para controle de posi¸˜o ca www. Note que o sinal de entrada do amplificador e(t) ´ um sinal de e erro oriundo de medidores e portanto n˜o possui energia suficiente para acionar o motor. um amplificador de potˆncia.9 precisamos obter a fun¸˜o de transferˆncia de cada dispositivo do sistema.10 obtemos um novo diagrama indicado na figura 3. Incorporando o amplificador ıda e no diagrama de blocos 3. conhecido como servomotor ou servomecanismo para controle de posi¸ao. que definiremos por k0 . Amplificador de potˆncia: Esse dispositivo tem como fun¸ao suprir com energia e c˜ o sistema de controle.5. se denotarmos por c(t) a posi¸˜o da antena e r(t) o valor desejado o ca para ela podemos construir o diagrama de blocos da figura 3. 2 potenciˆmetros a a o idˆnticos. posi¸ao medida c˜ potenciˆmetro o potenciˆmetro o referˆncia e r(t) + tens˜o de erro e(t) a amplificador de potˆncia e posi¸ao da antena c˜ antena torque do eixo da antena engrenagens torque do eixo do motor tens˜o do motor Ea a motor Figura 3.4. a Vamos considerar que o amplificador ´ ideal e possui um ganho de tens˜o k1 . 1 sistema de e e o engrenagens para redu¸ao de velocidade.3.11. ´ indicado na figura 1.br/labsil 65 3. 1 motor DC.ufsc. A constante de propor¸ao. Um esquema c˜ e simplificado desse tipo de sistema de controle. Assim. Comparador: Esse dispositivo ´ um somador de tens˜es que tem como entrada duas e o tens˜es: Vc (t) que vem do potenciˆmetro de medi¸˜o da posi¸˜o da antena e Vr (t) que o o ca ca vem do potenciˆmetro de referˆncia. Isso ´ o que ca e e faremos a seguir. uma antena com haste m´vel e base. O diagrama da figura 3. ´ o ganho do e c˜ e potenciˆmetro. Assim o sinal e a de sa´ do amplificador Ea (t) ´ dado por Ea (t) = k1 e(t).5 Servomecanismo para controle de posi¸˜o ca A seguir estudaremos um problema muito comum na ind´stria que consiste em se u controlar a posi¸ao de um determinado objeto atrav´s de um motor DC.10.9: Diagrama funcional do sistema de posicionamento Para construir o diagrama de blocos a partir do diagrama funcional da figura 3. a Quando a corrente de campo ´ constante. Nessa figura Ra e La indicam a resistˆncia e indutˆncia de armadura respectivamente e Ia ´ a e a e corrente que circula no circuito de armadura devido a aplica¸˜o da tens˜o Ea . Num modo a corrente de campo (estator) ´ mantida constante e uma tens˜o ajust´vel ´ aplicada ` armadura (rotor) e e a a e a no outro modo se faz o contr´rio.9) . e e Com a rota¸˜o da armadura do motor no campo magn´tico constante produzido pela ca e bobina de campo. a Vf cem = k3 ωm (3.12 mostra o diagrama de funcionamento de um motor dc controlado pela armadura. aparece uma tens˜o induzida na bobina de armadura (Vf cem ) que ´ a e proporcional ` velocidade do motor (ωm ).3. pois a a a ela surge como uma oposi¸˜o ao movimento do rotor.5. A e e tens˜o induzida Vf cem possui a polaridade contr´ria da tens˜o aplicada na armadura. A equa¸˜o ca a ca de tens˜es para o circuito de armadura ´: o e ˙ La Ia + Ra Ia + Vf cem = Ea (3.br/labsil c(t) 66 + - e(t) Figura 3. o fluxo produzido pela bobina de campo e tamb´m ´ constante e nesse caso o conjugado (Tm ) desenvolvido pelo motor ´ proporcional e e e ` corrente de armadura (Ia ) a Tm = k2 Ia (3. S˜o comums as palavras acionador e servomotor para c˜ a designar a fun¸˜o do motor nesse tipo de sistema de controle. A polaridade da tens˜o aplicada determina a a a o sentido do torque obtido (Tm ) e este determina o movimento do rotor.7) onde k2 ´ uma constante que depende do meio magn´tico e do valor da corrente de campo. ca O servomotor pode ser operado de dois modos. A figura 3. Por esse motivo essa tens˜o recebe ca a o nome de for¸a contra-eletromotriz.10: Diagrama de blocos do comparador e potenciˆmetro o r(t) k0 k0 c(t) + e(t) k1 Ea (t) Figura 3.11: Diagrama de blocos com adi¸˜o do amplificador ca apontada para a dire¸ao desejada.das.ufsc. Esses modos de opera¸ao possuem caracter´ a c˜ ısticas diferentes e apenas o primeiro ser´ considerado aqui.8) onde k3 ´ uma constante que depende do meio magn´tico e da corrente de campo. O controle da velocidade do motor ´ obtido por meio c e de uma tens˜o aplicada ` armadura (Ea ). Servomecanismo para controle de posi¸˜o ca r(t) k0 k0 www. ufsc.10) Podemos agora incluir o motor no diagrama de blocos da figura 3.13: Diagrama de blocos com adi¸˜o do motor DC ca Engrenagens: O sistema de engrenagens tem como fun¸ao adequar a velocidade de c˜ rota¸˜o do eixo da antena ao eixo do rotor.5. u a a Definiremos a constante de rela¸ao das engrenagens pela letra n. Nos dois casos.13. ω2 = ω1 n e c˜ e portanto T2 = T1 /n.3. Incorporando a engrenagem no digrama de blocos anterior obtemos o diagrama da figura 3.br/labsil circuito de campo Vcc 67 Tm ω Figura 3. isto ´. Plataforma da antena: A plataforma e a antena formam um sistema mecˆnico que a possui momento de in´cia (Jc ) e um coeficiente de atrito viscoso (bc ) nos mancais da e plataforma. A figura 3. Servomecanismo para controle de posi¸˜o ca Ra + + Ea (t) Ia circuito de armadura Vf cem La www.8) temos: o La ˙ Ra Tm + k3 ωm = Ea Tm + k2 k2 (3.7) e (3. A rela¸ao entre as grandezas do prim´rio e secund´rio ´ c˜ a a e definida pela constante de rela¸˜o entre o n´mero de espiras do prim´rio e secund´rio ca u a a do transformador e entre o n´mero de sulcros das engrenagens prim´ria e secund´ria.14. Fazendo a somat´ria dos torques no eixo da antena temos: o .15 ilustra as grandezas presentes no movimento rotacional da antena.12: Motor DC controlado pela armadura (rotor) e com as express˜es (3. ωm Figura 3.das. Um sistema de engrenagens possui fun¸ao ca c˜ an´loga do transformador em sistemas el´tricos.11 para obter o diagrama da figura 3. r(t) k0 + k0 c(t) e(t) k1 Ea (t) La ˙ T k2 m + Ra T k2 m + k 3 ωm = E a Tm . a potˆncia do prim´rio a e e a deve ser igual ` do secund´rio: no caso do transformador a potˆncia ´ o produto da tens˜o a a e e a pela corrente V1 I1 = V2 I2 e no caso da engrenagem a potˆncia ´ o produto do torque e e pela velocidade T1 ω1 = T2 ω2 . e ˙ Uma vez que todos os dispositivos f´ ısicos foram modelizados.14 para obter o diagrama a da figura 3.ufsc. Tm do eixo do motor e as vari´veis ωc .11) e com a express˜o acima podemos incluir a antena no diagrama 3. ωc Figura 3. c(t) = ωc (t).16.15: Sistema mecˆnico da plataforma e antena a Torques = 0 ⇒ Tc = Jc ωc + bc ωc ˙ (3. j´ que apenas os sinais r(t) de referˆncia e c(t) de posi¸ao da antena a e c˜ s˜o de interesse no problema. podemos come¸ar a simc plificar o diagrama. na faixa normal de funcionamento a tens˜o no a .14: Diagrama de blocos com adi¸ao da engrenagem c˜ momento de in´rcia e (referido ao eixo da antena) bc coeficiente de atrito viscoso (referido ao eixo da antena) Jc Tc ω c Figura 3. ωm n + Ra T k2 m + k 3 ωm = E a Figura 3. Tc do eixo a a r(t) k0 + k0 c(t) dt ωc e(t) k1 Ea (t) La ˙ T k2 m Tc = Jc ωc + bc ωc ˙ Tc . a vari´vel a e e a de interesse ´ a posi¸˜o angular do eixo da antena.das. ωc Tm . Todos os outros sinais intermedi´rios podem ser eliminados.16 ´ representada e ca e pela letra c(t).16: Diagrama completo do sistema de posicionamento da carga (antena) est˜o ligadas entre si atrav´s da engrenagem.5.br/labsil 68 e(t) k1 Ea (t) La ˙ T k2 m + Ra T k2 m + k3 ωm = Ea Tm . Servomecanismo para controle de posi¸˜o ca r(t) k0 + k0 c(t) www. que no diagrama 3. ωm n Tc . isto ´. Al´m disso.3. Note que as vari´veis ωm . a a Devido `s caracter´ a ısticas do motor DC. 13) k2 k2 k3 )ωc = Ea 2R n a n Ra (3. e ca c˜ G(s) = K= K0 K1 K2 n Ra K J s2 +B s K2 K3 n2 Ra (3.ufsc.das.15) . Agora a Fun¸ao de Transferˆncia o c˜ e de malha fechada ´: e G(s) K C(s) = = 2+Bs+K R(s) 1 + G(s) Js .br/labsil 69 indutor ´ muito pequena em rela¸ao `s tens˜es no resistor e de efeito contra-eletromotriz. B = bc + Com G(s) acima o diagrama 3. Por r(t) + k0 e(t) k1 Ea (t) k2 n Ra c(t) 2 Jc s2 +(bc + n2 R3 ) s a k k Figura 3.10) fazendo La = 0.5. Da´ conclu´ a ı ımos que Tm = k2 k2 k3 Ea − ωm Ra Ra Considerando agora a engrenagem temos Tm = Tc n e ωm = ωc /n e juntamente com a express˜o acima podemos rescrever (3. e a c˜ 2 C(s) n Ra = Ea (s) Jc s2 + (bc + k k2 k3 )s n2 Ra (3.16 pode ser simplificado como indicado no diagrama 3. Servomecanismo para controle de posi¸˜o ca www.14) Com isto o diagrama 3.3.17: Diagrama simplificado de posicionamento da antena conveniˆncia de nota¸˜o iremos definir a fun¸ao G(s) indicada a seguir. podemos simplificar a a e express˜o (3. e c˜ a o Podemos ent˜o desprezar o efeito indutivo da armadura.17.11) na forma: a Jc ωc + (bc + ˙ e como ωc = c(t) temos ˙ Jc c(t) + (bc + ¨ k2 k3 k2 )c(t) = ˙ Ea 2R n a n Ra (3.17 pode ser rescrito como indicado na figura 3. isto ´.12) Tomando a transformada de Laplace da equa¸ao acima podemos encontrar a fun¸ao de c˜ c˜ transferˆncia da tens˜o Ea (t) para a posi¸ao c(t).18 que ´ e uma forma mais conveniente para nossos prop´sitos. J = Jc . c˜ Exemplo 3.19. 2) ⇒ ξ = 0.16) Pelas express˜es acima podemos verificar a performance do sistema de controle. ωn correspondentes e portanto saber se o sistema de controle vai fazer o posicionamento da antena com oscila¸oes (se 0 < ξ ≤ 1) e quanto tempo o sistema de c˜ controle leva para deixar a antena im´vel na posi¸ao desejada (tempo de acomoda¸ao o c˜ c˜ ts ).1) obtemos os valores de ξ. Determine o valor do ganho K e de tal forma que o sobressinal Mp na resposta ao degrau seja de 20% . Lembre que quanto menor o valor de ξ maior as oscila¸oes da resposta ao degrau. ωn o tempo de acomoda¸˜o resultante dado por (3. A resposta ao degrau ca e do sistema de controle obtido se encontra na figura 3. B s˜o fornecidos podemos facilmente deduzir os e a valores de ξ. Verifique o tempo de acomoda¸˜o obtido. 2ξωn = J J (3.18 tenha um momento de in´rcia J = 1 e um coeficiente de atrito viscoso B = 1.096 e portanto K = 1. ωn seguintes: 2 ωn = K . Com esses valores de ξ. tais como o ganho do amplificador k1 .das.18: Diagrama de posicionamento na forma padr˜o a Comparando a equa¸˜o acima com a forma padr˜o (3. Esse ajuste deve ser tal que o novo o valor da taxa de amortecimento ξ seja compat´ com as oscila¸˜es admiss´ ıvel co ıveis para o sistema. Se com os valores dados o sistema de controle n˜o possui performance satisfat´ria a o podemos ent˜o corrig´ ajustando os parˆmetros f´ a ı-lo a ısicos do sistema. ou o ganho do potenciˆmetro k0 . 2. 23 segundos.5 Suponha que o sistema de controle da figura 3.5) ´ ts (5%) = 6.1) encontramos os valores da ca a frequˆncia natural ωn e taxa de amortecimento ξ do sistema de controle: e 2 ωn = K B . o Quando os valores num´ricos de J. 456 de onde tiramos ωn = 1. K.br/labsil 70 K Js2 +B Figura 3.3.5. 2ξωn = 1 Para que o sobressinal seja de 20% devemos ter a seguinte igualdade satisfeita: Mp = 0. . 2 ⇒ −π ξ 1 − ξ2 = ln(0.ufsc. ca Solu¸˜o: Com os valores dados a fun¸˜o de transferˆncia de malha fechada ´: ca ca e e C(s) G(s) K = = 2 R(s) 1 + G(s) s +s+K Comparando com (3. Servomecanismo para controle de posi¸˜o ca r(t) + c(t) s www. Por exemplo.21 ca .6 1. Isto nos leva ao diagrama da figura 3. Em geral ca n˜o ´ poss´ se ajustar o sobressinal e o tempo de acomoda¸ao simultaneamente tendo a e ıvel c˜ k como o unico parˆmetro de ajuste.19: Resposta ao degrau do sistema de controle No exemplo acima ajustamos o valor do ganho K para que a resposta ao degrau do sistema de controle apresentasse um sobressinal de 20%. com os parˆmetros K e Q para a serem ajustados temos mais graus de liberdade para ajustarmos o sobressinal e o tempo de acomoda¸˜o simultaneamente.4 0.6 0.8 0. Nesses casos a solu¸˜o ´ introduzir no sistema ´ a ca e de controle outro dispositivo f´ ısico que possua um parˆmetro que possa ser ajustado a facilmente. e a e a c˜ vT (t) = K4 ωc (t) onde k4 ´ a constante de proporcionalidade do tacˆmetro.2 1.br/labsil 71 2.15) podemos simplificar o c a diagrama 3.0 0. e o Incluindo uma realimenta¸ao de velocidade no servomecanismo da figura 3.21.20. introduzir um medidor de velocidade ´ um artif´ comum na e ıcio pr´tica. Para ver como fazer isso vamos deduzir da figura 3.das.8 1.2 0.20 da mesma forma como foi feito na passagem da figura 3.18.4 1. Servomecanismo para controle de posi¸˜o ca www. 23 segundos.0 + 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 Figura 3.3. Com o valor de k ajustado dessa forma o tempo de acomoda¸˜o resultante foi ts (5%) = 6.16 obtemos c˜ um novo sistema de controle indicado na figura 3.0 1.ufsc.5. Agora. a Realimenta¸˜o de Posi¸˜o e Velocidade: A realimenta¸˜o de velocidade ´ feita ca ca ca e atrav´s de um tacˆmetro acoplado no eixo da carga. O sinal de sa´ do desse medidor e o ıda ´ uma tens˜o vT (t) que ´ proporcional ` velocidade de rota¸ao do eixo ωc (t).17 para a figura 3. Definindo Q = k4 /k0 e usando as mudan¸as de vari´veis (3. 1) podec˜ e a c˜ mos encontrar os novos valores da taxa de amortecimeto ξ e da frequˆncia natural ωn do e novo sistema de controle. ca Solu¸˜o: Do exemplo 3. Agora.6 Suponha que no sistema da figura 3. Para isso basta verificar quais ca s˜o os valores de ξ e ωn que levam o sistema de controle a ter a resposta ao degrau a desejada. Para que o sobressinal ca e . Determine os valores de K e Q de e tal forma que a resposta ao degrau do sistema de controle tenha sobre-sinal m´ximo de a 20% e tempo de acomoda¸˜o ts (5%) = 2 segundos. 2 ωn = K J (3. c˜ e C(s) K = 2 + (B + KQ)s + K R(s) Js Comparando a fun¸ao de transferˆncia acima com a forma padr˜o da equa¸ao (3. Servomecanismo para controle de posi¸˜o ca r(t) k0 + e(t) vT (t) k1 Ea (t) La ˙ T k2 m www.5.das. Uma vez encontrado esses valores de ξ e ωn desejados.5 j´ vimos que sem a realimenta¸˜o de velocidade n˜o ´ poss´ ca a ca a e ıvel ajustar o sobressinal e o tempo de acomoda¸˜o simultaneamente.17) c˜ para encontrar os valores dos ganhos K e Q. ωc 72 k0 tacˆmetro o k4 + Ra T k2 m + k 3 ωm = E a Tm . Exemplo 3.br/labsil c(t) dt ωc Tc = Jc ωc + bc ωc ˙ Tc .20: Diagrama funcional para realimenta¸ao de velocidade c˜ R(s) + ωc (s) K J s+B 1 s C(s) Q Figura 3. ωm n Figura 3.21: Sistema de controle com realimenta¸˜o de velocidade ca a nova Fun¸ao de Transferˆncia do sistema de controle indicada a seguir. 2ξωn = B + KQ J . usa-se a equa¸ao (3.3. com a inser¸˜o ca ca da realimenta¸˜o de velocidade podemos fazˆ-lo da seguinte forma.ufsc.21 o coeficiente de atrito viscoso seja B = 1 e o momento de in´cia do sistema seja J = 1.17) Com a escolha adequada dos ganhos K e Q podemos ajustar o sobressinal (Mp ) e o tempo de acomoda¸˜o (ts ) do novo sistema de controle. 6 Problemas complementares Problema 3.6.8 1. 2.0 + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 3. Q com a express˜o (3.22: Resposta ao degrau do sistema de controle 3. 456 podemos agora encontrar o valor de ωn impondo que o tempo de acomoda¸˜o dado por (3. Problemas complementares seja de 20% devemos ter a seguinte igualdade satisfeita: Mp = 0.6 0. 41)2 = 11.5) seja de 20% : ca ts (5%) = ln(0. O sistema de malha aberta ´ regido pela equa¸˜o diferencial 2ω + ω = ea . 41 −ξωn Finalmente.22.6 1. com os valores de ξ = 0.2 0. 63 ⇒ Q= 2 ξ ωn −1 K 2ξωn = 1 + KQ = 0.3. 1814 A resposta ao degrau do sistema de controle obtido com esses valores de K e Q est´ a indicada na figura 3.0 1.23 apresente os ´ ındices de performance indicados a seguir. 41 podemos encontrar os valores dos ganhos de realimenta¸ao K.2 1. c˜ a 2 ωn = K ⇒ K = (3. e ca ˙ .17). 2 ⇒ − πξ 1 − ξ2 = ln(0.das.3 Encontre os valores de kp e kv para que o sistema em malha fechada da figura 3.8 0. 05 1 − ξ 2 ) = 2 ⇒ ωn = 3.4 1.4 0. 2) www.0 0.ufsc.br/labsil 73 ⇒ ξ = 0. 456 e ωn = 3. 456 Com o valor de ξ = 0. 23: Sistema com realimenta¸˜o de velocidade e posi¸˜o ca ca Problema 3. No a caso de circuitos podemos utilizar a as leis de Kirchhhoff e as leis de Newton servem para modelizar sistemas mecˆnicos.24: Sistema de controle de velocidade Problema 3. e ca a a verifique a utiliza¸˜o da equa¸˜o de Lagrange e a lineariza¸˜o ali apresentada para que o ca ca ca microfone possa ser modelizado como um sistema de segunda ordem do tipo (3.br/labsil 74 c) Determine. a r(t) kp kv kp 10 ea (t) sistema ω 1 s θ(t) Figura 3.6. e ca ˙ r Va motor ω 1 s θ k1 k2 Figura 3.1). o b) Sobressinal de 10% em 2 segundos.ufsc. ca ca e Estude a modeliza¸˜o do microfone capacitivo apresentada em [6].25. Existem sistemas que s˜o mais facilmente modelizados a a com a utiliza¸˜o da equa¸˜o de Lagrange. Problemas complementares a) Dois p´los em s = −1. .4 Considere o sistema de controle de velocidade da figura 3. A resposta ao degrau unit´rio desse sistema ´ indicada na figura 3. www. d) Calcule a resposta θ(t) do caso (a) para um degrau unit´rio. o erro de regime permanente para um degrau de amplitude 2. como ´ o caso de um microfone capacitivo.3.5 Um passo importante no estudo de sistemas de controle ´ a obten¸˜o de e ca modelos matem´ticos que descrevem o comportamento do sistema a ser controlado. Encontre os valores de k1 e a e k2 sabendo que o motor ´ regido pela equa¸˜o diferencial ω + 10ω = Va . considerando o caso (a) ou (b).24.das. p´ginas 59 ` 62. Problemas complementares www.0 + 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Figura 3.6 0.das.3.ufsc.8 1.br/labsil 75 2.2 1.2 0.6.4 1.8 0.0 1.0 0.4 0.25: Resposta ao degrau unit´rio a .6 1. ufsc.das.3.6. Problemas complementares www.br/labsil 76 . O termo Resposta em Frequˆncia de um Sistema significa resposta em regime estacion´rio e a para entradas senoidais. apresenta uma resposta de regime pera manente que tamb´m ´ uma sen´ide por´m de amplitude e defasagem diferentes. Curvas t´ e ıpicas desse procedimento podem ser encontradas na figura 4. espera-se o sistema atingir o regime o e permanente e mede-se a amplitude e defasagem da resposta obtida. cuja fun¸ao de e c˜ transferˆncia ´ F (s) ´ completamente determinada por: e e e F (s)|s=jω = F (jω) Considere o sistema est´vel: cuja Fun¸ao de Transferˆncia ´: a c˜ e e G(s) = K(s + z1 ) .1. Essas e e o e diferen¸as de amplitude e defasagem podem ser obtidas experimentalmente: excita-se o c sistema com uma sen´ide de uma dada frequˆncia. Neste cap´ ıtulo estudaremos a resposta de sistemas para sinais senoidais na entrada. que utiliza apenas a fun¸ao de transferˆncia c˜ e do sistema para se obter as amplitudes e defasagens da resposta senoidal de regime permanente. (s + sn ) Para entradas senoidais x(t) = A sen(ω0 t) temos: ω0 X(s) = A 2 2 s + ω0 . quando excitado com um sinal senoidal. 4. . repete-se o mesmo procedimento para todas as outras frequˆncias dentro da faixa de interesse. . (s + zm ) (s + s1 ) .1 Resposta Senoidal em Regime Permanente Mostraremos a seguir que a resposta em frequˆncia de um sistema. A seguir veremos um m´todo anal´ e ıtico. O m´todo se baseia no fato de que todo sistema linear invariante e est´vel. . .Cap´ ıtulo 4 Resposta em frequˆncia e No cap´ ıtulo anterior estudamos a resposta ao degrau de sistemas e estabelecemos ´ ındices de desempenho para caracterizar as oscila¸oes (Mp ) e a dura¸ao do transit´rio c˜ c˜ o (ts ). 054 0.0000 -0.0102 -0.0170 0.000 -0.0 -0.4.2 0.0068 -0.2 -0.0034 0.0136 0.072 -0. 20. 2.ufsc.8 0.0034 -0. 100} rd/s x(t) X(s) G(s) y(t) Y (s) .das.1.0068 0.6 -0.090 0.072 0.0102 0.0170 + 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 + 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 + 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 + 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Figura 4.br/labsil 78 1. Resposta Senoidal em Regime Permanente www.036 0.0 0.018 0.4 -0.0 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 0.0136 -0.036 -0.8 -1.018 -0.6 0.054 -0.4 0. 2.090 0.1: Resposta temporal para sen(ω t) com ω = {0. A fase de G(jω).ufsc. Resposta Senoidal em Regime Permanente Logo.O m´dulo de G(jω). G(s) possuem parte real negativa. . Se G(s) possuir p´los m´ltiplos a resposta temporal acima ter´ termos do tipo tn e−sn t o u a que tamb´m desaparecem em regime permanente. o Fase → φ(ω0 ) = ∠G(jω0 ) = tan−1 { Im[G(jω0 )] } Re[G(jω0 )] G(−jω0 ) = |G(−jω0 )|e−jφ(ω0 ) = |G(jω0 )|e−jφ(ω0 ) Exemplo 4. ¯ t≥0 Para um sistema est´vel os p´los da F. . . Pora o tanto ` medida que t → ∞ (Regime Permanente) os termos e−si t desapararecem pois a limt→∞ e−si t = 0. Antitransformando o ¯e a express˜o acima temos: a y(t) = a e−jω0 t + a ejω0 t + b1 e−s1 t + · · · + bn e−sn t .T. a resposta em regime estacion´rio de um sistema est´vel o u a a a para entrada x(t) = A sen(ω0 t) ´: e y(t) = a e−jω0 t + a ejω0 t ¯ onde os res´ ıduos a e a s˜o dados por: ¯ a ω0 A a = G(s) s2 +ω2 (s + jω0 )|s=−jω0 = 0 A G(−jω0 ) −2j ω0 A a = G(s) s2 +ω2 (s − jω0 )|s=jω0 = ¯ 0 A G(jω0 ) 2j Sendo G(jω0 ) uma fun¸˜o complexa temos: ca G(jω0 ) = |G(jω0 )|ejφ(ω0 ) onde | · | indica m´dulo e φ(·) indica fase.br/labsil 79 K(s + z1 ) . a sa´ ´ dada por: co ıda e Y (s) = G(s)X(s) = www. . (s + zm ) A ω0 2 (s + s1 ) . ´ uma fun¸˜o par.4.1. isto ´.1 Mostre que uma fun¸˜o racional G(s) possui as seguintes propriedades ca para s = jω.das. |G(jω)|. . o e ca e . isto ´. ∠G(−jω) = −∠G(jω) e . ∠G(jω). ent˜o a expans˜o por fra¸oes parciais de Y (s) o a a c˜ conduz `: a a a ¯ b1 b2 bn Y (s) = + + + + ··· + s + jω0 s − jω0 s + s1 s + s2 s + sn onde bi s˜o os res´ a ıduos dos p´los pi e a ´ o complexo conjugado de a. independentemente do sistema e possuir p´los m´ltiplos ou n˜o. ´ uma fun¸˜o ´ e ca ımpar. (s + sn ) s2 + ω0 Se G(s) possui apenas p´los distintos. para condi¸˜es iniciais nulas. Logo. |G(jω)| = |G(−jω)|. C = 1µF . Resposta Senoidal em Regime Permanente www.1. Seja ent˜o G(s) = D(s) onde N (s) e D(s) s˜o dois polinˆmios de o a a o coeficientes reais e graus n e d.2: Resposta de regime ao seno onde B = A |G(jω0 )| e φ = ∠G(jω0 ). Assim conclui-se que G(jω) e a G(−jω) tamb´m s˜o complexos conjugados j´ que |G(jω)| = |G(−jω)| e ∠G(jω) = e a a −∠G(−jω).ufsc.4.1 Utilizando o mesmo procedimento acima mostrar que a resposta em regime para um cossen´ide x(t) = A cos(ω0 t) ´ igual a y(t) = B cos(ω0 t + φ). x(t) = A cos(ω0 t) G(jω) y(t) = B cos(ω0 t + φ) Figura 4. Com as express˜es acima podemos escrever a resposta de regime na forma: o ej(ω0 t+φ) − e−j(ω0 t+φ) = A |G(jω0 )|sen(ω0 t + φ) 2j y(t) = B sen(ω0 t + φ) y(t) = A |G(jω0 )| x(t) = A sen(ω0 t) G(jω) Figura 4. N (−jω) = i=0 αi (−jω) = i=0 i αi ( jω ) = i=0 i αi (jω)i = N (jω) Logo N (jω) e N (−jω) s˜o complexos conjugados. N (s) = n αi si e D(s) = i=0 Como jω = −jω (conjuga¸˜o complexa) temos: ca n n n d i=0 βi si .4. Suponha e R = 1KΩ. Portanto |G(jω)| ´ uma fun¸˜o par e ∠G(jω) ´ uma fun¸˜o ´ e ca e ca ımpar.2 Encontre a resposta em frequˆncia do circuito da figura 4.br/labsil 80 Solu¸˜o: Como G(s) ´ uma fun¸˜o racional ela pode ser representada pela divis˜o ca e ca a N (s) de dois polinˆmios.3: Resposta de regime ao cosseno Exemplo 4. Solu¸˜o: As equa¸˜es do circuito s˜o: ca co a −x(t) + RI(t) + vC (t) = 0 ⇒ −x(t) + RC vC (t) + vC (t) = 0 ˙ 1 vC (t) = C I(t)dt . onde B = o e A |G(jω0 )| e φ = ∠G(jω0 ). Problema 4. com αi e βi reais.das. Suponha C = 1µF.4. 01H e considere trˆs situa¸˜es para a resistˆncia: (a) R = 10Ω.6.ufsc. (b) e co e R = 100Ω. −v(t) + RC vC + LC vC + vC = 0 ˙ ¨ A fun¸˜o de transferˆncia entre v(t) e vc (t) ´: ca e e G(s) = onde ωn = √1 LC 2 1 ωn VC (s) = = 2 2 V (s) LCs2 + RCs + 1 s + 2ξωn s + ωn √ LC 2 eξ= RC LC = R 2 C .br/labsil 81 vc (t) - Figura 4. As equa¸˜es do circuito s˜o ca ca e co a indicadas abaixo.T. Solu¸˜o: Primeiro vamos obter a fun¸˜o de transferˆncia. Resposta Senoidal em Regime Permanente + x(t) I R + C www. → VC (s) 1 = = G(s) X(s) 1 + RCs A resposta em regime para entradas senoidais x(t) = A sen(ω0 t) ´: e vC (t) = B sen(ω0 t + φ) onde B = A |G(jω0 )| e φ = ∠G(jω0 ). L A resposta frequencial do circuito acima ´: e v(t) = A sen(ω0 t) vC (t) = B sen(ω0 t + φ) .5 mostra as fun¸˜es |G(jω0 )| (em decibel) e ∠G(jω0 ) (em graus) para a co faixa de frequˆncia 1 ≤ w0 ≤ 105 (em Hertz). |G(jω0 )| = | 1+jω10 RC| = √ 1 1+(ω0 RC)2 ∠G(jω0 ) = −tan−1 (ω0 RC) A figura 4. (c) R = 1KΩ.4: Circuito RC Logo: X(s) = RCsVC (s) + VC (s) Assim: F. e e Exemplo 4.3 Obtenha a resposta em frequˆncia do circuito RLC da figura 4. L = 0.1.das. e f 1 2π RC altas freq.1.5: Resposta em frequˆncia (Bode) do circuito RC e R + L + V(t) - C Vc (t) - Figura 4.6: Circuito RLC . Resposta Senoidal em Regime Permanente www.das. Figura 4.br/labsil 82 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 0 db Magnitude Hz 1 2 3 4 5 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 0 10 degrees 10 Phase 10 10 10 Hz 1 2 3 4 5 10 10 10 10 10 10 baixas freq.ufsc.4. m´dias freq. 40 20 0 -20 -40 -60 -80 2 3 4 5 db Magnitude (a) (b) (c) Hz 10 degrees Phase 10 10 10 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 2 (a) (b) (c) Hz 3 4 5 10 10 10 10 Figura 4.ufsc.br/labsil 83 com B = A |G(jω0 )| . φ = ∠G(jω0 ) e G(jω0 ) = G(s) para s = jω0 .1. φ = −tan−1 [ 2ξω0 ωn ] 2 2 ωn − ω0 A figura 4.7 mostra as fun¸˜es |G(jω0 )| (em decibel) e ∠G(jω0 ) (em graus) para a faixa co 2 de frequˆncia 10 ≤ w0 ≤ 105 (em Hertz) e trˆs valores distintos da resistˆncia: (a) e e e R = 10Ω. (b) R = 100Ω.5 e -180 e a e a .das. Resposta Senoidal em Regime Permanente www.4. (c) R = 1KΩ. A freq.5 e 4. Esse fenˆmeno de amplifica¸˜o da amplitude da sen´ide de entrada ´ a o ca o e conhecido como ressonˆncia. Veremos adiante que essa amplifica¸˜o ocorre pr´ximo ` a ca o a freq. onde a amplitude ´ m´xima (pico a e a do m´dulo) ´ conhecida como freq.7 podemos notar que no caso (a) o m´dulo (em decibel) aumenta numa o certa faixa de frequˆncia. Veremos tamb´m que o pico de ressonˆncia ı a e a depende do fator de amortecimento do sistema.5 e ca c˜ e 40db/d´cada em 4.7. J´ a fase nas altas frequˆncias tende ` -90 graus em 4.7: Resposta em frequˆncia (Bode) do circuito RLC e Se compararmos as figuras 4. Pela figura 4. J´ no caso (c) n˜o existe pico o e a a a de ressonˆncia pois o m´dulo decai sempre indicando que as amplitudes da sen´ides de a o o sa´da s˜o sempre menores que as da entrada. 2 ωn G(jω0 ) = 2 2 −ω0 + ωn + j2ξω0 ωn |G(jω0 )| = 2 ωn 2 (ωn − 2 ω0 )2 + (2ξω0 ωn )2 . Isto implica que as sen´ides de entrada nessa faixa de frequˆncia e o e s˜o amplificadas. de ressonˆncia. natural n˜o amortecida ωn do sistema.7 veremos que o m´dulo na altas frequˆncias decai o e (atenua¸˜o das amplitudes) segundo uma reta de inclina¸ao -20db/d´cada em 4. das. Lembre a e que o m´dulo em decibel de um n´mero complexo c = a + jb ´ dado por |c|db = 20 log(|c|) o √ u e 2 + b2 ´ o m´dulo normal. se conhecemos o gr´fico e o a . e Nas baixas frequˆncias os dois circuitos possuem as mesmas caracter´ e ısticas.3. Constru¸˜o do Diagrama de Bode ca www.5 ser de primeira ordem enquanto o sistema de 4.5 e 4. A figura 4.7 ´ de segunda ordem.7 s˜o os diagramas de Bode da resposta em frequˆncia dos circuitos 4. ca a c˜ a Existem basicamente 3 tipos de gr´ficos que s˜o utilizados para se representar a fun¸˜o a a ca complexa G(jω).2 Gr´ficos Logar´ a ıtmicos Das figuras 4. a Nesses diagramas representa-se o m´dulo em decibel e a fase em graus. onde |c| = a e o Outro diagrama bastante utilizado em sistemas de controle ´ o diagrama de Nyquist. Como no diagrama de Nyquist. isto c˜ a ´.7. O mais utilizado s˜o os diagramas de Bode. Aqui e ´ a a fun¸˜o G(jω) ´ representada em termos das suas coordenadas retangulares: a parte ca e real Re[G(jω)] e a parte imagin´ria Im[G(jω)]. e 4.4 e 4. Estes gr´ficos se consagraram com os a a trabalhos de Bode sobre amplificadores realimentados na d´cada de 1940 e hoje s˜o e a muito utilizados na an´lise de sinais e sistemas de controle.br/labsil 84 graus em 4. ambos em o fun¸˜o da frequˆncia (tipicamente em Hertz) numa escala logar´ ca e ıtmica.9 mostra o a diagrama de Black da resposta em frequˆncia do exemplo 4. Essas diferen¸as nas altas frequˆncias ocorrem devido ao fato do sistema c e da figura 4.ufsc. Assim.3.4 e 4.8 mostra o diagrama de Nyquist da resposta em frequˆncia do exemplo 4. As figuras 4.6. possuem o mesmo m´dulo e fase com sinal trocado.5 e 4. Isto indica que as sen´ides de sa´ o a o o ıda e de entradas s˜o praticamente iguais pois tanto a defasagem quanto a atenua¸ao (ou a c˜ amplifica¸˜o) s˜o muito pequenos nessa faixa de frequˆncia. Isso mostra a importˆncia que tem a e a representa¸˜o gr´fica da fun¸ao complexa G(jω) na an´lise frequencial de sistemas.6.3 Constru¸˜o do Diagrama de Bode ca Como vimos anteriormente as fun¸oes G(jω) e G(−jω) s˜o complexas conjugadas. ca a e 4. Cada tipo de gr´fico possui vantagens e aplica¸˜es espec´ a co ıficas.4.3. Diferentemente dos diagramas de Bode. e Este diagrama ´ muito util na an´lise de estabilidade de sistemas realimentados. isto ´ o e m´dulo (em decibel) e a fase est˜o pr´ximos de zero. o eixo das frequˆncias ca e (tipicamente em radianos/segundo) n˜o aparece explicitamente. a o eixo das frequˆncias (tipicamente em radianos/segundo) n˜o aparece explicitamente e a nos diagramas de Nyquist. Aqui representa-se o m´dulo (em decie e o bel) em fun¸˜o da fase (em graus). A figura 4.7 podemos extrair informa¸oes importantes a respeito do comc˜ portamtento frequˆncial dos circuitos 4. e Outro diagrama `s vezes utilizado em projeto de sistemas de controle ´ o diagrama de a e Nichols (ou de Black como tamb´m ´ conhecido). 9: Resposta em frequˆncia (Black) do circuito RLC e .7e+04 ´ ´ ´ 3.3.2e+04 ´ 8.3db curve -200 -100 0 phase -80 -400 Figura 4.1e+03 ´ ´ 5.br/labsil 85 Nyquist plot Im(G(j2πf )) 0 (c) ´1e+02 ´ 1e+02 1e+02 (b) -2 -4 -6 -8 (a) -10 Re(G(j2πf )) -12 -6 -4 -2 0 2 4 6 Figura 4.7e+04 7e+04 ´ 7e+04 ´ ´ 7e+04 1e+05 1e+05 ´ ´1e+05 -300 2.2e+03 ´ 1.ufsc.4.das.8: Resposta em frequˆncia (Nyquist) do circuito RLC e G(j2πf ) magnitude 40 20 (a) curva auxiliar (b) 0 ´ ´ ´ 1e+02 1e+02 1e+02 (c) -20 5.2e+03 ´ ´8.2e+04 ´ ´1.7e+04 3. Constru¸˜o do Diagrama de Bode ca www.2e+03 1.1e+03 8.2e+04 -40 2e+04 ´´2e+04 -60 ´ 2e+04 3.1e+03 ´ 5. |b| = x y que |ab| = |a||b| e: |ab|dB = 20log|ab| = 20log|a| + 20log|b| = |a|dB + |b|dB Al´m disso: e ∠ab = ej(φa +φb ) = ∠a + ∠b 1 1 1 1 | |= e | |dB = 20log| | = −20log|a| = −|a|dB a |a| a a 1 ∠ = e−jφa = −∠a a Assim. Isso facilita bastante a constru¸˜o manual dos u ca gr´ficos de m´dulo e fase. Nos diagramas de Bode o m´dulo ´ representado em dB e a fase em graus. Outra vantagem ´ que a escala logar´ a o e ıtmica permite uma melhor visualiza¸ao de fenˆmenos frequenciais d´ c˜ o ıspares (expans˜o da escala).3. tanto o m´dulo quanto a fase do produto (ou divis˜o) de n´meros complexos o a u s˜o transformados em soma (ou subtra¸ao) dos m´dulos em dB e fases individuais de a c˜ o cada n´mero multiplicado (dividido). . Uma das o e propriedades fundamentais do m´dulo em dB ´ ilustrada no exemplo a seguir. A resposta em frequˆncia para entradas do tipo a e sen(−ωt) ou ainda sen(ωt + θ) pode ser obtida da resposta em frequˆncia para sen(ωt) e com ω ≥ 0. Por esse motivo. a ´ E comum nos diagramas de Bode se contar intervalos de frequˆncia por d´cada ou e e oitava. Isto implica que as sen´ides de o entrada s˜o do tipo sen(ωt) com ω ≥ 0. φa = tan−1 [ ax ] e φb = tan−1 [ bx ].4.4 Mostre que para dois n´meros complexos a e b quaisquer temos: u |ab|dB = |a|dB + |b|dB ∠ab = ∠a + ∠b 1 | | = −|a|dB a 1 ∠ = −∠a a Solu¸˜o: Sejam ca a = ax + jay = |a|ejφa b = bx + jby = |b|ejφb by ay b2 + b2 .das. de agora a em diante vamos sempre considerar G(jω) com ω ≥ 0. Constru¸˜o do Diagrama de Bode ca www. o e Exemplo 4.ufsc.br/labsil 86 de G(jω) podemos facilmente obter o gr´fico de G(−jω). Com isto vemos x y onde |a| = a2 + a2 . e e Oitava: Intervalo de frequˆncia ∆ω = ωf − ω0 onde ωf = 2ω0 .10: Resposta em frequˆncia com G(s) inst´vel e a ca Exemplo 4. O sistema em malha fechada F (s) = 1+G(s) ´ est´vel e a e portanto podemos obter a resposta frequencial de F (s) fazendo-se s = jω como indicado nas figuras 4. Note que F (jω) = 1+G(jω) .2 e 4.br/labsil 87 D´cada: Intervalo de frequˆncia ∆ω = ωf − ω0 onde ωf = 10ω0 .ufsc. ca X(s) + G(s) Y (s) G(s) = 2 s (4s+1) Figura 4. • Na faixa de frequˆncia de 125 Hz ` 8 KHz ´ considerado normal um ouvido humano e a e que tenha o in´ da sensa¸ao auditiva entre 0 e 25 dB. Constru¸˜o do Diagrama de Bode ca www.das. A intensidade de som de um tique-taque de um rel´gio de o pulso ´ em torno de 20 dB.02). e Nos gr´ficos de m´dulo expressos em dB podemos fazer as seguintes observa¸˜es: a o co • Quando o m´dulo adimensional ´ multiplicado (dividido) por dois o m´dulo em dB o e o ´ acrescido (subtra´ e ıdo) de ≈ 6 dB (20log(2) = 6.5 Obtenha os diagramas de Bode da fun¸˜o complexa G(s) = 2 s(4s + 1) Solu¸˜o: Para s = jω temos: ca G(jω) = Logo: |G(jω)|dB = |2|dB − |jω|dB − |4jω + 1|dB ∠G(jω) = ∠2 − ∠jω − ∠(4jω + 1) 2 (jω)(4jω + 1) . Nesses casos G(jω) ´ apenas uma fun¸ao complexa auxiliar utilizada na e c˜ G(jω) obten¸˜o de F (jω). a o ´ E importante observar que a resposta frequencial de um sistema s´ pode ser obtida se o o mesmo for est´vel.4. uma rua de trafego e pesado possui 80 dB e o limite para dor est´ pr´ximo de 140 dB. 8 horas por dia durante 35 anos. Acima de 85 dB o som passa a ser prejudicial para o sistema auditivo. Esse ´ o caso por exemplo do e G(s) sistema realimentado da figura 4. Mas G(jω) n˜o est´ mais relacionada ` resposta em frequˆncia do a a a e sistema G(s).3. No entanto ´ comum a constru¸ao de diagramas de Bode para fun¸oes a e c˜ c˜ complexas que n˜o s˜o anal´ a a ıticas no semi-plano direito.10. uma conversa normal possui 60 dB.3. Se considera tamb´m normal ıcio c˜ e para um ouvido humano que ele possa ser exposto ` uma intensidade de som de 85 a dB. 1 Fator Integral: | jω |dB = −|jω|dB = −20log|jω| = −20log|ω| Fator de primeira ordem: | 1 |dB = −20log|4jω + 1| = −20log( 1 + (4ω)2 ) 4jω + 1 1 ∠ = −tan−1 (4ω) 4jω + 1 A figura 4.(b) mostra os diagramas de Bode dos termos 2 e jω respectivamente. Constru¸˜o do Diagrama de Bode ca www. frequˆncia por frequˆncia.ufsc.11: Diagrama de Bode dos termos 2 e 1 s Os diagramas de Bode podem ser constru´ ıdos facilmente com o aux´ de computaılio dores. 1/s n˜o possuem frequˆncia de quebra pois os gr´ficos desses termos s˜o retas de a e a a . Essa frequˆncia pode ser facilmente calculada.13 mostra os diagramas de Bode de G(jω).br/labsil 88 A seguir vamos obter as express˜es anal´ o ıticas para os m´dulos e fases acima indicados. Os diagramas de G(jω) (m´dulo e fase) s˜o obtidos o a somando-se.3. o Fator Constante: |2|dB = 20log|2| e ∠2 = 0. Nas m´dias frequˆncias as ass´ e e e ıntotas se distanciam do gr´fico real mas podemos calcular o maior erro cometido. As ass´ o ıntotas s˜o retas que aproximam o comportamento do gr´fico real a a nas altas e baixas frequˆncias. s. Os termos do tipo e e K. A figura 4.12 mostra os diagramas de Bode do termo 1/(4jω + 1).11(a). A figura 4.4. Esse erro ocorre na frequˆncia a e de quebra que ´ definida como o ponto de encontro das duas retas assint´ticas de alta e o e baixa frequˆncia. os diagramas dos outros termos como indicado e e acima. db Magnitude 50 40 30 20 10 0 -10 -20 -3 Hz -2 -1 0 10 -80 -120 -160 -200 -240 -280 -320 -360 -3 10 degrees Phase 10 10 Hz -2 -1 0 10 10 10 10 Figura 4. Para um termo de e e primeira ordem do tipo T s + 1 a frequˆncia de quebra ´ ω = 1/T .das. Boas aproxima¸oes tamb´m podem ser constru´ c˜ e ıdas com o aux´ de gr´ficos ılio a assint´ticos. 13: Diagrama de Bode de G(s) = 2 s(4s+1) .das.ufsc.3.4. Constru¸˜o do Diagrama de Bode ca www.br/labsil 89 0 db Magnitude -10 -20 -30 -3 -2 -1 0 Hz 10 degrees Phase 10 10 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -3 Hz -2 -1 0 10 10 10 10 Figura 4.12: Diagrama de Bode do termo 1 4s+1 60 50 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -3 db Magnitude Hz -2 -1 0 10 -90 -100 -110 -120 -130 -140 -150 -160 -170 -180 -3 10 degrees Phase 10 10 Hz -2 -1 0 10 10 10 10 Figura 4. Sua fase ´ constante e vale -90 graus.15 que as ass´ ıntotas (linhas pontilhadas) possuem. Aqui consideramos c˜ e . 20 dB/d´cada e -20 dB/d´cada respectivamente.das. Logo nas baixas frequˆncias o termo se comporta como um fator constante unit´rio. Um fator do tipo 1/s ´ uma reta de inclina¸ao -20 dB/d´cada que passa por zero dB e c˜ e 1 quando ω = 1 rad/seg = 1/2π Hertz: | jω |dB = −|jω|dB = −20log|jω| = −20log|ω|. Um fator do tipo s possui m´dulo e fase com sinais e o trocados. inclina¸˜es o co de zero e -20 dB/d´cada para baixas e altas frequˆncias respectivamente. o 1 j+1 que Veja na figura 4. Constru¸˜o do Diagrama de Bode ca www. -90 graus nas altas frequˆncias e nas m´dias frequˆncias pode e e e e ser aproximada por uma ass´ ıntota de inclina¸ao -45 graus/d´cada.14: Diagrama de Bode dos termos s e 1 s Para um fator de primeira ordem do tipo 1 T s+1 temos: 1 e e • Baixas frequˆncias: limω→0 jωT +1 = 1.3. 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -1 0 1 db Magnitude Hz 10 degrees Phase 10 10 -90 -110 -130 -150 -170 -190 -210 -230 -250 -270 -1 Hz 0 1 10 10 10 Figura 4.br/labsil 90 inclina¸˜o zero.4.ufsc. a e 1 • M´dias frequˆncias: na frequˆncia de quebra ω = 1/T o temos jωT +1 = e e e √ possui m´dulo −20 log( 2) = −3 dB e fase −tan−1 (1) = −45 graus. A fase vale zero e e graus nas baixas frequˆncias. Logo nas altas frequˆncias o e e 1 termo se comporta como um fator do tipo jωT que possui fase -90 graus e m´dulo o decrescendo na raz˜o de -20 dB/d´cada. Um fator constante ´ uma reta paralela ao eixo das frequˆncias: |k|dB = 20log|k| e e e ∠k = 0 se k > 0. a 1 1 • Altas frequˆncias: limω→∞ jωT +1 = jωT (ω → ∞). no m´dulo. Isso pode ser verificado ca e e a seguir. Aqui considerca e amos m´dias frequˆncias o intervalo entre uma d´cada abaixo e uma d´cada acima da e e e e . Para um fator de segunda ordem do tipo 2 2 ωn 2 s2 +2ξωn s+ωn temos: ω • Baixas frequˆncias: limω→0 (jω)2 +2ξωn (jω)+ω2 = 1. Logo nas altas 2 ωn (jω)2 frequˆncias o termo se comporta como um fator do tipo e graus e m´dulo decrescendo na raz˜o de -40 dB/d´cada.1 T 1 T 10 T -30 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 degrees Phase Hz 0.1 T 1 T 10 T Figura 4. A fase vale zero e e graus nas baixas frequˆncias.br/labsil 91 -10 -20 Hz 0. o Veja na figura 4. o a e que possui fase -180 • M´dias frequˆncias: na frequˆncia de quebra ω = ωn o temos e e e 2 1 ωn = 2 (jω)2 + 2ξωn (jω) + ωn j2ξ que possui m´dulo −20 log(2ξ) dB e fase −tan−1 (∞) = −90 graus. -180 graus nas altas frequˆncias e nas m´dias frequˆncias e e e e pode ser aproximada por uma ass´ ıntota de inclina¸˜o -90 graus/d´cada.15: Diagrama de Bode do termo 1 T s+1 e ass´ ıntotas m´dias frequˆncias o intervalo entre uma d´cada abaixo e uma d´cada acima da frequˆncia e e e e e de quebra. Logo nas baixas frequˆncias o e e n n termo se comporta como um fator constante unit´rio.3. inclina¸˜es o co de zero e -40 dB/d´cada para baixas e altas frequˆncias respectivamente.16 que as ass´ ıntotas (linhas pontilhadas) possuem. ´ E importante notar que o gr´fico de T s + 1 ´ obtido trocando-se o sinal do m´dulo e a e o fase. Constru¸˜o do Diagrama de Bode ca 0 db Magnitude www. a • Altas frequˆncias: limω→∞ e 2 ωn 2 (jω)2 +2ξωn (jω)+ωn = 2 ωn (jω)2 (ω → ∞). no m´dulo.4.das.ufsc. 1 ωn degrees ωn Phase 10 ωn 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 ass´ ıntotas ξ=5 ξ = 0.2 Considere o circuito RLC da figura 4. isto ´. Explique porque n˜o se pode obter a resposta em frequˆncia desse sistema.01H.1 Hz 0.das. Os diagramas de Bode da fun¸˜o G(jω). Constru¸˜o do Diagrama de Bode ca 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 db Magnitude www.ufsc. a e e porque nesse caso falham as rela¸˜es indicadas nas figuras 4.3.2 e 4.6 com R = 0 (oscilador ideal) e suponha L = 0.16: Diagrama de Bode do termo e ass´ ıntotas frequˆncia de quebra. Para esse sistema pede-se: 1.1) Se ξ > ` zero.1 ass´ ıntotas ξ=5 Hz 0. a 2/2 n˜o haver´ pico de ressonˆncia e o m´dulo decai monotonicamente de 1 a a a o √ 2/2 o pico de ressonˆncia ´: a e Mr = |G(jω)|ω=ωr = 1 2ξ 1 − ξ2 (4. 0≤ξ≤ 2 2 (4. co . ca 3. A fun¸˜o de transferˆncia G(s) do oscilador e seus p´los. A frequˆncia e o pico de ressonˆncia s˜o calculados da seguinte e e a a forma: d d 1 |G(jω)| = 0 ⇒ [ ]=0 dω dω [1 − ( ω )2 ]2 + [2ξ ω ]2 ωn ωn Resolvendo a express˜o acima encontramos a √ ωr = ωn √ 1− 2ξ 2 . C = 1µF .2) Quando 0 ≤ ξ ≤ Problema 4.3.1 ωn ωn 2 ωn 2 s2 +2ξωn s+ωn 10 ωn Figura 4. ca e o 2.4.br/labsil 92 ξ = 0. Sistemas de Fase M´ ınima e N˜o-M´ a ınima www.19). Para que um sistema de controle tenha algum interesse pr´tico ele deve ser est´vel. a G(s) = 10−2 (0. isto e a a ´ se existir algum zero no semi-plano direito ou sobre o eixo imagin´rio. e e 4. a a isto ´ todos os zeros da sua fun¸ao de transferˆncia devem ter parte real estritamente e c˜ e negativa. Com o aux´lio de tabelas de transformada de Laplace obtenha as respostas do osı cilador para v(t) = sen(104 t)u(t) e v(t) = sen(2t)u(t). .17. o sistema ´ dito e a e ser de Fase N˜o-m´ a ınima.18 a e e 4. Os fatores que s˜o polinˆmios de primeira e segunda a o ordem devem ter o termo independente unit´rio como indicado a seguir. O primeiro passo c ı-lo consiste em fatorar G(s) numa forma onde se conhe¸e os diagramas assint´ticos de cada c o um dos fatores individualmente. Nesta se¸ao estudaremos ca e a c˜ algumas propriedades associadas aos zeros da fun¸ao de transferˆncia.br/labsil 93 4. Para o ca construir um esbo¸o dos diagramas de Bode a partir dos diagramas assint´ticos obtidos c o use o fato que nas frequˆncias de quebra de fatores lineares a distˆncia entre a curva real e a e as ass´ ıntotas de de ±3 dB e nos fatores quadr´ticos ´ ±20 log(2ξ). As curvas pontilhadas s˜o as ass´ a ıntotas e curvas cheias s˜o gr´ficos reais.19 ilustram esses passos.4.6 Construa os diagramas de Bode para: G(s) = 10(s + 10) s(s + 1)(s2 + 100s + 104 ) Solu¸˜o: Quando se disp˜e do aux´lio de um computador e um software adequado o ca o ı diagrama se constr´i bastante facilmente (veja figura 4. c˜ e Defini¸˜o 4. No entanto alguns sistemas f´ ısicos est´veis podem possuir zeros no semi-plano a direito.ufsc.4 Sistemas de Fase M´ ınima e N˜o-M´ a ınima Vimos em se¸oes precedentes que um sistema ´ est´vel quando todos os p´los da sua c˜ e a o fun¸˜o de transferˆncia est˜o no semi-plano complexo esquerdo. 1s + 1) s(s + 1)(10−4 s2 + 10−2 s + 1) Em seguida construa os diagramas assint´ticos de dois fatores quaisquer e some as duas o curvas de m´dulo e de fase.1 Um sistema ´ dito ser de Fase M´ ca e ınima se todos os zeros da fun¸˜o de ca transferˆncia desse sistema est˜o no semi-plano complexo esquerdo. Caso contr´rio. Explique porque o teorema a do valor final n˜o pode ser aplicado neste caso. Quando se deseja apenas um o esbo¸o manual do diagrama podemos constru´ da seguinte forma.4. O intervalo de frequˆncia pode ser escolhido como sendo uma d´cada a a e e abaixo da menor frequˆncia de quebra e uma d´cada acima da maior. Construa o diagrama assint´tico de um terceiro fator e o o some as curvas obtidas com o resultado anterior. 5.das. As figuras 4. Obtenha a resposta para um degrau unit´rio na entrada. a Exemplo 4. Repita esse procedimento at´ que os e diagramas assint´ticos de todos os fatores tenham sido levados em considera¸˜o.4. ufsc.17: Diagrama de Bode do termo G1 (s) = 0.01(0.4.4.1s+1) s e ass´ ıntotas -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100 -110 -120 -1 db Magnitude rad/s 0 1 2 3 10 -90 -100 -110 -120 -130 -140 -150 -1 10 degrees 10 Phase 10 10 rad/s 0 1 2 3 10 10 10 10 10 1 Figura 4. Sistemas de Fase M´ ınima e N˜o-M´ a ınima www.das.br/labsil 94 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -1 db Magnitude rad/s 0 1 2 3 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -1 10 degrees 10 Phase 10 10 rad/s 0 1 2 3 10 10 10 10 10 Figura 4.18: Diagrama de Bode do termo G2 (s) = G1 (s) s+1 e ass´ ıntotas . ufsc.4.19: Diagrama de Bode do termo G(s) = G2 (s) 10−4 s2 +10−2 s+1 e ass´ ıntotas r2 x + C r1 y + r1 C r2 Figura 4.4.br/labsil 95 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 -1 db Magnitude rad/s 0 1 2 3 10 -90 -110 -130 -150 -170 -190 -210 -230 -250 -270 -1 10 degrees 10 Phase 10 10 rad/s 0 1 2 3 10 10 10 10 10 1 Figura 4.20: Circuito de fase n˜o m´ a ınima (r2 > r1 ) . Sistemas de Fase M´ ınima e N˜o-M´ a ınima www.das. Portanto o sistema o ´ est´vel de fase n˜o m´nima se escolhemos r2 > r1 .21 para caso (a): r1 = 10KΩ.ufsc. C = 1µF .br/labsil 96 Exemplo 4. r2 = 20KΩ.21: Caso (a): Sistema de fase n˜o m´ a ınima (r2 > r1 ) Sistemas de fase m´ ınima possuem propriedades bastante interessantes. O diagrama de Bode desse sistema ´ a e indicado na figura 4. Grau relativo de um sistema ´ a diferen¸a de e e c grau entre o denominador e o numerador da fun¸ao de transferˆncia do mesmo. A fun¸˜o de transferˆncia desse circuito ´ ent˜o ˙ ca e e a G(s) = 1 − r0 Cs 1 + rCs (4. . Se escolhemos r2 < r1 o sistema ´ est´vel de fase m´ e a ınima pois agora o zero de G(s) est´ no semi-plano esquerdo. bn .20 possui x(t) como tens˜o de entrada e y(t) como a tens˜o de sa´da. C = 1µF e na figura 4. pois nesse caso o zero de G(s) est´ e a a ı a no semi-plano direito.7 O circuito da figura 4.22 para caso (b): r2 = 10KΩ. K reais positivos.4) G(s) = bn s n + · · · + b1 s + 1 com an .4. e e db Magnitude 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -1 Hz 0 1 2 3 10 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 -1 10 degrees 10 Phase 10 10 Hz 0 1 2 3 10 10 10 10 10 Figura 4. S˜o mais simples a de serem controlados e os seus diagramas de Bode (m´dulo e fase) s˜o assint´ticos nas o a o altas e baixas frequˆncias e al´m disso podemos relacionar a ass´ e e ıntota de m´dulo com a o de fase atrav´s do grau relativo do sistema. Sistemas de Fase M´ ınima e N˜o-M´ a ınima www. Veja que o diagrama de m´dulo o ´ igual para os dois casos mas o diagrama de fase ´ diferente.3) 1 Note que G(s) possui um p´lo em s = − rC e um zero em s = r01C .4. A equa¸˜o diferencial que rege o comportamento do circuito ´ y + rC y = a ı ca e ˙ x − r0 x onde r = r1 + r2 e r0 = r2 − r1 . c˜ e Veja o que ocorre se considerarmos um sistema que possui uma fun¸˜o de transferˆncia ca e do tipo: K(am sm + · · · + a1 s + 1) (4. r1 = 20KΩ.das. 22: Caso (b): Sistema de fase m´ ınima (r2 < r1 ) O grau relativo desse sistema ´ n − m.5. Gr´ficos de Nyquist (ou polares) a 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -1 www. O diagrama de fase nas altas frequˆncias tamb´m ´ uma ass´ e e e ıntota de inclina¸˜o zero e valor 90(m − n) graus. No eixo horizontal plotamos Re[G(jω)] e no eixo vertical .2. 4.das. a Nas baixas frequˆncias temos: e ω→0 lim G(jω) = K Logo o diagrama de m´dulo nas baixas frequˆncias ´ uma ass´ o e e ıntota de inclina¸ao zero c˜ e valor dado por 20 log(K). Nesse exemplo n = m = 1 (grau relativo zero) e portanto no caso (b) quando r2 < r1 (sistema de fase m´ ınima) o m´dulo tende ` uma ass´ o a ıntota de inclina¸˜o zero e a fase tende a zero graus nas altas ca frequˆncias. podemos representar a fun¸ao complexa Gjω) em termos c˜ c˜ das suas coordenadas polares.ufsc. Verifique este resultado no exemplo 4. Note que n − m ≥ 0 para todo sistema de e interesse pr´tico. Isto n˜o ocorre no caso (a) quando r2 > r1 (sistema de fase n˜o m´ e a a ınima).7. Assim note que num sistema de fase m´ ca ınima temos que se o m´dulo decai assintoticamente com 20(m − n) dB por d´cada a fase vale o e 90(m − n) graus. Nas altas frequˆncias temos: ca e am lim G(jω) = lim K (jω)m−n ω→∞ ω→∞ bn O diagrama de m´dulo nas altas frequˆncias ´ uma ass´ o e e ıntota de inclina¸ao 20(m − n) c˜ dB por d´cada e o valor onde esta ass´ e ıntota cruza o eixo das frequˆncias ´ dado por e e 1 am n−m ω = (K bn ) .4.5 Gr´ficos de Nyquist (ou polares) a Como vimos na sub-se¸ao 4. O diagrama de fase nas baixas frequˆncias tamb´m ´ uma e e e ass´ ıntota de inclina¸˜o zero e valor zero pois K > 0.br/labsil Magnitude 97 db Hz 0 1 2 3 10 2 -2 -6 -10 -14 -18 -22 -26 -30 -1 10 degrees 10 Phase 10 10 Hz 0 1 2 3 10 10 10 10 10 Figura 4. O termo de segunda ordem G2 (s) tende ` origem com fase -180 graus a (tangente ao eixo real negativo).23.032 ´ 0. a . 4 foram obtidas adicionando-se um integrador `s fun¸oes Gi (s) cujos a c˜ diagramas est˜o na figura 4.15 ´ 0.042 ´ 0.073 ´ 0.0 -0.12 G4 G3 ´ 0.042 Re(h(2i*pi*f)) -0. a A figura 4.4 ´ 0.2 -0.5.0 0.24 ´ 0.19 ´ 0.23 que o gr´fico de todos a Nyquist plot 0.7 -0.6 -0.021 ´ 0.15 ´ 0.ufsc. Este gr´fico recebe o nome de diagrama de Nyquist.8 1.055 ´ 0.011 ´ 0.001 ´ ´ ´ ´ 0. o de terceira ordem G3 (s) tende ` origem com fase -270 a graus (tangente ao eixo imagin´rio positivo) e o de quarta ordem com fase -360 graus a (tangente ao eixo real positivo).das.8 -0.055 ´ 0. Os n´meros indicados no diagrama s˜o os valores da u a frequˆncia em Hz para cada um dos casos. e a A presen¸a de integradores na fun¸˜o de transferˆncia de um sistema muda bastante a c ca e forma do diagrama de Nyquist.055 ´ 0.011 0.021 ´ 0. G3 (2πf ). A constru¸ao de um a c˜ esbo¸o manual para esses gr´ficos n˜o ´ uma tarefa f´cil em geral. No entanto podemos c a a e a construir o diagrama de Nyquist a partir dos diagramas de Bode.032 ´ ´ 0.055 ´ 0.4. como podemos verificar no diagrama de a Bode desse termo. G4 (2πf ) os termos come¸am no ponto (1.1 -0.032 ´ 0. Gr´ficos de Nyquist (ou polares) a www.093 ´ 0.23 mostra os diagramas de Nyquist dos termos G1 (s) = (s + 1)−1 . Com alguns pontos de m´dulo e fase dos diagramas de Bode podemos construir um esbo¸o do diagrama de o c Nyquist. Esse ´ o valor onde a curva de G2 (s) cruza o eixo imagin´rio.0) na frequˆncia zero e ` medida que a frequˆncia aumenta c e a e tendem para a origem.19 ´ 0.042 ´ 0.19 ´ ´ 0. G3 (s) = (s+1)−3 . 2.042 ´ 0.3 -0.0) do diagrama de Nyquist tem um papel muito importante na an´lise de estabilidade de sistemas realimentados.093 ´ 0. O termo de primeira ordem G1 (s) tende ` origem com fase -90 a graus (tangente ao eixo imagin´rio negativo).23: Diagrama de Nyquist de G1 (2πf ). No caso de G2 (s) por exemplo. Note na figura 4.5). Um esbo¸o dos gr´ficos nesses casos simples e c a podem ser obtidos encontrando-se os valores onde as curvas cruzam os eixos.2 0.032 ´ 0.12 Im(h(2i*pi*f)) 0.093 ´ 0.19 ´ 0.24 como ficam os diagramas das fun¸oes c˜ 1 1 1 1 c˜ H1 (s) = s(s+1) .021 ´ 0. i = 1.4 -0.0 Figura 4.6 0. 3.4 0. H2 (s) = s(s+1)2 . G2 (2πf ). H3 (s) = s(s+1)3 .br/labsil 98 Im[G(jω)].021 ´ ´ 0.15 ´ 0. G2 (s) = (s+1)−2 .001 0.2 -0. Note que as fun¸oes Hi (s).011 ´ 0.24 G1 G2 ´ 0. G4 (s) = (s+1)−4 .1 -0.011 ´ 0.5 -0. basta calcular ω tal que Re[G2 (jω)] = 0 (no caso ω = 1 rad/s) e com o valor da frequˆncia obtida calcular o valor de Im[G2 (jω)] nessa frequˆncia (no e e caso Im[G2 (j1)] = −0.12 ´ 0.093 ´ 0.12 ´ 0. Veja na figura 4.24 ´ 0.073 ´ 0.24 0. O ponto (-1.15 ´ 0.073 ´ 0. H4 (s) = s(s+1)4 .073 ´ 0. 0 0. Problemas Complementares Nyquist plot 20 0 -20 0. e ca ¨ ˙ Calcule a resposta de regime do sistema nas seguintes situa¸˜es: co a) x(t) = degrau unit´rio.0094 ´ 0.0094 ´ 0.004 ´ 0. Problema 4.07 ´ ´ 0.5 -3. Construa o diagrama assint´tico o e encontre os valores das constantes k. a.0 -2.6 Problemas Complementares Problema 4. o o Problema 4.004 ´ 0.004 ´ 0. H4 (2πf ) 4.0 -0.das.3 A figura 4. H3 (2πf ).004 0.0056 ´ 0.003 ´ 0. H2 (2πf ).4 Um sistema ´ regido pela seguinte equa¸˜o diferencial y + y + y = x. b.0056 ´ ´ 0.001 ´ -160 0.001 -4.0017 ´ 0.003 ´ -40 0.0017 -100 ´ -120 0.07 0.5 -2.003 ´ -60 0. Sugest˜o: construa os diagramas assint´ticos a o de m´dulo e fase e partir deles responda as quest˜es acima. e F (s) = k as + 1 (bs + 1)(c1 s2 + c2 s + 1) .07 ´ 0.001 H2 (2πf ) ´ 0.br/labsil 99 Im(h(2i*pi*f)) ´ ´0.26 mostra a resposta em frequˆncia de um sistema linear ine variante. de fase m´mina.0094 ´ 0.0022 ´ 0.0022 ´ -80 ´ 0. c1 .0017 ´ 0.25 mostra o diagrama de Bode de um sistema linear invariante.0 -1.0056 ´ 0.0022 ´ 0.003 www.ufsc.5 Re(h(2i*pi*f)) Figura 4. c2 de tal forma que a fun¸˜o F (s) abaixo ca tenha uma resposta em frequˆncia similar.07 0.0 -3. a b) x(t) = cos(10t + π ).24: Diagrama de Nyquist de H1 (2πf ).5 A figura 4.0022 ´ 0.0013 ´ 0.5 -1.0013 ´ 0.0094 ´ 0.0017 ´ 0.5 0. Diga se o sistema ´ est´vel e de fase m´ e a ımina.001 H1 (2πf ) ´ 0.0013 ´ 0.6.0056 ´ 0. Diga se o sistema ´ est´vel. e encontre uma fun¸˜o de transferˆncia e a ı ca e que tenha um diagrama de Bode similar.4.0013 -140 H4 (2πf ) H3 (2πf ) ´ 0. 4 c) x(t) = ej5t . Problemas Complementares www.ufsc.4.25: Diagrama de Bode de um sistema linear invariante 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -2 db Magnitude Hz -1 0 1 2 3 10 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 -2 10 degrees 10 Phase 10 10 10 Hz -1 0 1 2 3 10 10 10 10 10 10 Figura 4.br/labsil 100 10 -10 -30 -50 -70 -90 -110 -1 db Magnitude Hz 0 1 2 3 10 -10 -30 -50 -70 -90 -110 -130 -150 -170 -190 -1 10 degrees 10 Phase 10 10 Hz 0 1 2 3 10 10 10 10 10 Figura 4.das.6.26: Resposta em frequˆncia de um sistema linear invariante e . a fun¸ao F (jω) fornece informa¸oes importantes sobre o comportae e c˜ c˜ mento do sistema em regime senoidal estacion´rio. As equa¸oes que definem a transforma¸ao de vari´veis (f (t) para F (ω) e vicec˜ c˜ a versa) s˜o dadas em (5. cosseno. e a o No entanto o contr´rio n˜o ´ verdade em geral. Estas opera¸oes.1).Cap´ ıtulo 5 Sinais e a Transformada de Fourier Vimos nos m´todos de resposta em frequˆncia que para um sistema cuja fun¸˜o de e e ca transferˆncia ´ F (s). conhecidas como transformada de Fourier e a c˜ sua inversa s˜o ilustradas na figura 5. conhecida como espectro do c˜ sinal f (t). a Neste cap´ ıtulo estudaremos a transformada de Fourier e como essa transformada pode nos auxiliar na an´lise de sinais e suas propriedades. a e ıvel Uma condi¸˜o suficiente para a existˆncia da Transformada de Fourier ´ indicada a ca e e seguir: ∞ |F (ω)| = | −∞ f (t)e−jωt dt| ≤ ∞ −∞ |f (t)e−jωt | dt = ∞ |f (t)| dt < ∞ −∞ Logo. pois sinais como seno. a F[f (t)] f (t) F −1 [F (ω)] Figura 5.1) −jωt ∞ −∞ f (t)e dt Existem sinais f (t) para os quais n˜o ´ poss´ se calcular a Transformada de Fourier. A transformada de Fourier de um a sinal transforma um sinal f (t) numa fun¸ao complexa F (ω).1. e degrau a a e . se o sinal f (t) ´ integr´vel em m´dulo a sua transformada vai seguramente existir.1: Operador Transformada de Fourier e seu inverso F (ω) f (t) = F −1 [F (ω)] = F (ω) = F[f (t)] = 1 2π ∞ −∞ F (ω)ejωt dω (5. para que possamos fazer s = jω a fun¸ao F (s) n˜o pode ter p´los sobre c˜ a o o eixo imagin´rio e nem ` direita dele. c˜ F (ω) = F (ω) = F (s) = ∞ −∞ ∞ 0 ∞ 0 f (t)e−jωt : Transformada de Fourier (bilateral −∞ < t < ∞). isto ´ o sinal f (t) deve possuir energia limitada a a e (veja se¸ao 2.5). Al´m disso se fazemos s = jω na defini¸˜o e ca de transformada de Laplace obtemos a pr´pria defini¸ao da transformada de Fourier o c˜ unilateral. f (t)e−jωt : Transformada de Fourier (unilateral 0 ≤ t < ∞). f (t)e−st : Transformada de Laplace (0 ≤ t < ∞). Assim. ao fazermos s = jω estamos obtendo a Transformada c˜ c˜ de Fourier F (ω) a partir da Transformada de Laplace F (s). Neste cap´ ıtulo vamos definir energia de um sinal f (t) como sendo: ∞ E= −∞ f (t)2 dt (5. A regi˜o de convergˆncia da a a e a e transformada de Laplace ´ a regi˜o do plano complexo ` direita do p´lo mais ` direita e a a o a de F (s).das.br/labsil 102 n˜o s˜o integr´veis em m´dulo mas suas transformadas existem como casos limites e a a a o podem ser expressas com o aux´ de fun¸oes impulsos. Isso mostra que a transformada unilateral de Fourier ´ idˆntica ` transformada e e a de Laplace com s = jω. ılio c˜ 5. No entanto. Nessas condi¸oes.2. 5. Note que na transformada Laplace apenas nos interessa analisar sinais para t ≥ 0 enquanto que na transformada de Fourier podemos considerar sinais definidos de −∞ < t < ∞ (transformada bilateral de Fourier). podemos fazer s = jω apenas quando esses valores da vari´vel s ca a est˜o dentro da regi˜o de convergˆncia dessa transformada.ufsc.1 Conex˜es entre Fourier e Laplace o Para melhor entender as conex˜es entre as transformadas de Fourier e Laplace vamos o rescrever as defini¸oes dessas transformadas. pois nesses casos: F (s)|s=jω = F (jω) = F (ω) Quando a regi˜o de convergˆncia de Laplace n˜o contiver o eixo imagin´rio a igualdade a e a a acima deixa de ser verdadeira como veremos em alguns exemplos. Energia de sinais www. Logo.5.2).2) . lembre que a fun¸˜o F (s) est´ bem definida para ca a valores da vari´vel s dentro da regi˜o de convergˆncia da transformada de Laplace (veja a a e se¸˜o 2.2 Energia de sinais Veremos a seguir que o m´dulo da Transformada de Fourier est´ associado ` energia o a a do sinal. Ent˜o a conjuga¸˜o complexa de F (ω) a e a ca resulta: ∞ ∞ ∞ F (ω) = −∞ f (t)e−jωt dt = −∞ f (t)e−jωt dt = −∞ f (t)ejωt dt = F (−ω) Portanto F (−ω) = F (ω) = M (ω)e−jφ(ω) que nos leva `s conclus˜es desejadas: a o |F (ω)| = |F (−ω)| = M (ω) (fun¸˜o par) ca ∠F (ω) = −∠F (−ω) (fun¸˜o ´ ca ımpar) Podemos agora mostrar que a energia de um sinal est´ ligada ao m´dulo da Transfora o mada de Fourier do sinal em quest˜o. . ea Exemplo 5.ufsc. Note que f (t) ´ um sinal real logo f (t) e seu conjugado o e complexo f (t) s˜o iguais.4) π 0 A quantidade |F (ω)|2 π ´ `s vezes chamada de densidade espectral de energia.das. Os sinais que possuem energia limitada (E < ∞) e s˜o portanto de grande interesse pr´tico. ω0 ] que cont´m metade da energia e e −t do sinal f (t) = e . Energia de sinais www. Com f (t) de (5. Solu¸˜o: Seja F (ω) = M (ω)ejφ(ω) onde M (ω) e φ(ω) denotam respectivamente o ca m´dulo e a fase de F (ω).1) obtemos: a ∞ 1 f (t) dt = f (t) f (t) dt = f (t) F (ω)ejωt dω dt E = 2π −∞ −∞ −∞ −∞ ∞ ∞ ∞ 1 1 −jωt = F (ω) f (t)e dt dω = F (ω)F (ω)dω 2π −∞ 2π −∞ −∞ 2 ∞ ∞ ∞ Como F (ω)F (ω) = |F (ω)|2 ficamos com: E= 1 2π ∞ −∞ |F (ω)|2 dω (5.3) A f´rmula acima ´ conhecida como teorema de Parseval. se f (t) representa a tens˜o ou corrente num resistor unit´rio.5. ca Exemplo 5. a energia do a a sinal f (t) ´ dada pela integral acima. devemos relembrar algumas propriedades da a e fun¸˜o F (ω) dadas no exemplo 5. Antes por´m. a a Veremos a seguir que a energia de um sinal est´ ligada ao m´dulo da Transformada de a o Fourier do sinal em quest˜o. Note ainda que como |F (ω)| ´ o e e uma fun¸ao par temos: c˜ 1 ∞ E= |F (ω)|2 dω (5.br/labsil 103 Por exemplo.1 Mostre que |F (ω)| ´ uma fun¸˜o par de ω e ∠F (ω) ´ uma fun¸˜o ´ e ca e ca ımpar de ω. isto ´ f (t) = f (t).2 Encontre o intervalo de frequˆncia [−ω0 . t ≥ 0.2.1. 3 5. logo: 1 1 tan−1 (ω0 ) = ⇒ ω0 = 1rad/s π 4 Logo metade da energia do sinal est´ no intervalo de frequˆncia entre [−1.3.1 Seja: C´lculo de algumas transformadas a Sinal Exponencial Unilateral (t ≥ 0) f (t) = e−at u(t). ou seja. e F (ω) = F[Gτ (t)] = 1 jωτ /2 (e − e−jωτ /2 ) jω −τ /2 sen(ωτ /2) ωτ = τ = τ Sa [ ] (ωτ /2) 2 e−jωt dt = τ /2 .3. a>0 ∞ Ent˜o: a ∞ F (ω) = F[f (t)] = −∞ e −at u(t)e −jωt dt = 0 e−(a+jω)t dt = 1 a + jω Note que F (ω) = F (s)|s=jω pois a regi˜o de convergˆncia da Transformada de Laplace a e F (s) cont´m o eixo imagin´rio jω.ufsc. |t| > τ /2 A transformada do sinal porta ´ calculada da seguinte forma. 1.das. C´lculo de algumas transformadas a Solu¸˜o: Seja ET a energia total do sinal dada por ca ∞ www.br/labsil 104 ET = −∞ f (t)2 dt = 0 ∞ e−2t dt = 1 2 Como F (ω) = F[f (t)] = Eω0 = 1 2π 1 1+jω ω0 temos que a energia no intervalo [−ω0 . 1/4. ω0 ] ´ dada por: e 1 π ω0 0 |F (ω)|2 dω = −ω0 1 1 dω = tan−1 (ω0 ) 2 1+ω π Queremos metade da energia total. |t| < τ /2 Gτ (t) = 0. a e 5.2 Sinal Porta Usaremos a nota¸ao Gτ (t) para definir o sinal porta (gate) de largura τ como indicado c˜ a seguir. 1].5. e a a 5. Se a < 0 a Transformada de Fourier n˜o mais existe.3. ufsc.1 1 0.3 0.1 -0.3.3 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 x Figura 5.2: Sinal Porta de largura τ Sa(x) 1.5 0.1 -0.5.3: Fun¸˜o Sa(x) = ca sen(x) x .das. C´lculo de algumas transformadas a www.7 0.9 0.br/labsil 105 Gτ (t) 1 t −τ 2 τ 2 Figura 5. 3. isto ´ ca a c˜ e . a ca c˜ A seguir veremos como obtˆ-la com o aux´ das transformadas das fun¸oes sinal e e ılio c˜ constante. sen(x) x www. a c˜ K δ(t) = lim Sa (Kt) (5.3. Se f (t) for ´ e e ımpar ent˜o F (ω) ´ imagin´rio a e a puro. Como ca ca a e δ(t) = 0 para t = 0 temos: ∞ ∞ ∞ δ(t)f (t)dt = −∞ −∞ δ(t)f (0)dt = f (0) −∞ δ(t) dt = f (0) Logo: ∞ F (ω) = F[δ(t)] = −∞ δ(t)e−jωt dt = ej0 = 1 δ(t) ←→ 1 O seguinte resultado ser´ util na prova de alguns teoremas. Sinal e Degrau c˜ A transformada do degrau n˜o pode ser facilmente obtida pela aplica¸˜o da defini¸ao. a´ Seja f (t) a fun¸˜o definida a seguir.ufsc.5) Note que F (ω) nesse caso ´ real pois f (t) ´ par. ca f (t) = K Sa (Kt) π Podemos mostrar que a ´rea dessa fun¸˜o ´ unit´ria para qualquer valor do parˆmetro a ca e a a K.6) K→∞ π 5.5. C´lculo de algumas transformadas a A fun¸˜o Sa(x) = ca na figura 5. ∀K −∞ π Com esse resultado podemos ainda mostrar que quando K tende ` infinito a fun¸ao f (t) a c˜ tende ` fun¸ao impulso. e ∞ K Sa (Kt) dt = 1.3. isto ´.das. 5.3.4 Fun¸oes Constante. A fun¸˜o constante unit´ria pode ser vista como o caso limite da fun¸ao porta.br/labsil 106 ´ conhecida como fun¸ao amostragem (sampling) e est´ indicada e c˜ a Gτ (t) ←→ τ Sa ( ωτ ) 2 (5.3 Sinal Impulso: A nota¸˜o para a fun¸˜o impulso unit´rio que ocorre no instante zero ´ δ(t). 7) sgn(t) 1 0 -1 Figura 5.6) temos que www.(5.8) O resultado acima nos permite calcular agora a Transformada do degrau.ufsc. Como u(t) = 1 (1 + sgn(t)) temos: 2 1 1 1 F[u(t)] = F[1] + F[sgn(t)] = πδ(ω) + 2 2 jω Resumindo: 1 ←→ 2πδ(ω) 2 sgn(t) ←→ jω 1 u(t) ←→ πδ(ω) + jω (5.br/labsil 107 F[1] = F[ lim Gτ (t)] = lim F[Gτ (t)] τ →∞ τ →∞ lim τ Sa (ωτ /2) τ →∞ τ = 2π lim Sa (ωτ /2) τ →∞ 2π = 2πδ(ω) A fun¸ao sinal ´ definida como sendo: c˜ e sgn(t) = 1. t>0 −1.9) .5).5.das.4: Fun¸˜o Sinal ca t A fun¸ao sinal pode ser expressa atrav´s do seguinte limite: c˜ e sgn(t) = lim (e−at u(t) − eat u(−t)) a→0 e portanto podemos calcular sua transformada da seguinte forma: F[sgn(t)] = F[ lim (e−at u(t) − eat u(−t))] a→0 = lim F[e−at u(t) − eat u(−t)] a→0 = lim −2jω 2 = 2 + ω2 a→0 a jω (5. Logo com (5. C´lculo de algumas transformadas a limτ →∞ Gτ (t) = 1.3. t < 0 = (5. 6 Exponencial Eterna ejω0 t Como ejω0 t = cos(ω0 t) + jsen(ω0 t) temos com os resultados anteriores: F[ejω0 t ] = 2πδ(ω − ω0 ) (5. Isto mostra que esses sinais possuem energia concentrada nessas frequˆncias. Pela defini¸ao temos c˜ c˜ ∞ F[cos(ω0 t)] = −∞ cos(ω0 t)e−jωt dt = lim T /2 −T /2 T →∞ cos(ω0 t)e−jωt dt como cos(ω0 t) = ejω0 t +e−jω0 t 2 temos: T (ω − ω0 ) (ω + ω0 ) {Sa [T ] + Sa [T ]} T →∞ 2 2 2 F[cos(ω0 t)] = lim com (5. Isso e n˜o ocorreria se as fun¸˜es fossem sen(ω0 t)u(t) ou cos(ω0 t)u(t).11) Note que a Transformada de Fourier do sen(ω0 t) e cos(ω0 t) s´ n˜o ´ nula nas frequˆncias o a e e ±ω0 .3.br/labsil 108 5.3.5.ufsc.10) (5.3. s jω F (s) = L[cos(ω0 t)] = 2 → F (jω) = 2 2 ω0 + s ω0 − ω 2 F (s) = L[sen(ω0 t)] = 2 ω0 ω0 ω0 → F (jω) = 2 2 +s ω0 − ω 2 Os resultados n˜o coincidem pois a regi˜o de convergˆncia da Transformada de Laplace a a e dessas duas fun¸˜es n˜o cont´m o eixo imagin´rio.5 Sinais Senoidais Nos ocuparemos agora das transformadas das fun¸oes senoidais. co a e a 5.das. Nesse caso obter´ a co ıamos: F[cos(ω0 t)u(t)] = π jω [δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )] + 2 2 ω0 − ω 2 π ω0 [δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 )] + 2 2j ω0 − ω 2 F[sen(ω0 t)u(t)] = que ´ algo bastante similar ao que obter´ e ıamos a partir da Transformada de Laplace para s = jω.12) .6) temos: F[cos(ω0 t)] = π[δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )] Da mesma forma obtem-se: F[sen(ω0 t)] = jπ[δ(ω + ω0 ) − δ(ω − ω0 )] (5. C´lculo de algumas transformadas a www. 3. e o Problema 5. 2.. Fn e F[f (t)] s˜o e a jx puramente imagin´rios.ufsc.7 Fun¸oes Peri´dicas c˜ o A transformada de fun¸oes peri´dicas se faz com o aux´ da decomposi¸ao dessas c˜ o ılio c˜ fun¸˜es via s´rie exponencial de Fourier.5.3. n = ±1. Como f (t) ´ ´ e e e . ent˜o Fn e F[f (t)] s˜o ambos reais e se f (t) ´ ´ a e ımpar.br/labsil 109 5. ±3. isto ´ f (t) = −f (−t). Sugest˜o: use a f´rmula de Euler e = cos(x) + jsen(x). isto ´ f (t) = f (−t).13) onde ω0 = 2π ´ conhecido como frequˆncia fundamental do sinal e ωn = nω0 .2 Mostre que se f (t) ´ uma fun¸˜o par. Ent˜o f (t) pode ser expressa em termos a da S´rie exponencial de de Fourier indicada abaixo. a o 1 F0 = T Fn = 1 T t0 +T t0 t0 +T f (t)dt t0 (5. C´lculo de algumas transformadas a www. e 2π e ımpar isto ´ F0 = 0. Solu¸˜o: Podemos verificar pela figura que o valor m´dio de f (t) no per´ ca e ıodo ´ nulo.15) f (t)e−jωn t dt Tomando-se as transformadas dos dois lados de (5.3 Calcule a transformada de Fourier da fun¸˜o peri´dica da figura 5.das. a o e ca e a Problema 5. s˜o as frequˆncias harmˆnicas do sinal. A frequˆncia fundamental do sinal ´ ω0 = T = 1.5. e ∞ f (t) = n=−∞ Fn ejωn t . co e Seja f (t) uma fun¸ao peri´dica de per´ c˜ o ıodo T .. . a a o ca o Exemplo 5. ca e a Sugest˜o: use a f´rmula de Euler ejx = cos(x) + jsen(x). Logo a energia de sinais peri´dicos est´ e o o a concentrada nas frequˆncias harmˆnicas do sinal. n = e e T 1. ±2.13) temos: ∞ ∞ F[f (t)] = n=−∞ Fn F[ejnω0 t ] = 2π n=−∞ Fn δ(ω − nω0 ) (5. A primeira harmˆnica ´ a pr´pria a e o o e o frequˆncia fundamental. s˜o os coeficientes harmˆnicos...1 Pela defini¸˜o acima mostre que Fn ´ F−n s˜o complexos conjugados.16) A express˜o acima mostra que a transformada de Fourier de um sinal peri´dico n˜o ´ a o a e nula apenas nas frequˆncias harmˆnicas do sinal. . O coeficiente F0 ´ o valor m´dio do sinal no per´ e e e ıodo e Fn . 3.14) (5. t0 < t < t0 + T (5. 5.7.ufsc.4 Calcule a Transformada de Fourier da fun¸˜o trem de impulsos indicada ca na figura 5.13) e n ´ e ımpar ficamos com: −2j −2j jnt f (t) = e = (cos(nt) + jsen(nt)) nπ nπ n=−∞ n=−∞ 4 = π ∞ ∞ ∞ n=1 1 sen(nt) n Exemplo 5. temos: Fn = = = = = 2π 1 t0 +T 1 f (t) (cos(ωn t) − jsen(ωn t))dt f (t) e−jωn t dt = T t0 2π 0 2π −j π −j 2π f (t)sen(ωn t)dt = [ sen(nω0 t)dt + −sen(nω0 t) dt] 2π 0 2π 0 π −j −cos(nω0 t) π cos(nω0 t) 2π ([ ]0 + |π ) 2π nω0 nω0 −j (−cos(nπ) + 1 + cos(n2π) − cos(nπ)) 2nπ −j −2j (2 − 2cos(nπ)) = se n ´ ´ e ımpar e 0 se n ´ par e 2nπ nπ Logo para n ´mpar temos: ı F[f (t)] = 2π −2j δ(ω − n) nπ n=−∞ ∞ Al´m disso.3. Solu¸˜o: A fun¸˜o trem de impulsos ´ uma fun¸˜o peri´dica e se denotarmos seu ca ca e ca o per´odo por T podemos escrevˆ-la da seguinte forma: ı e ∞ δT (t) = n=−∞ δ(t − nT ) .br/labsil 110 t T Figura 5. C´lculo de algumas transformadas a f (t) 1 π 0 -1 2π www. com (5.das.5: Fun¸˜o onda quadrada de per´ ca ıodo 2π. t .das.. F[δT (t)] ω0 δ(ω − nω0 ) .. . s˜o os coeficiente harmˆnicos do sinal que s˜o dados por: a o a Fn = 1 T T /2 −T /2 δT (t)e−jnω0 t dt = 1 T T /2 −T /2 δ(t)ejnω0 t dt = 1 −jnω0 0 1 e = T T Logo F[δT (t)] = 2π T ∞ δ(ω − nω0 ) = ω0 δω0 (ω) n=−∞ δT (t) δ(t − nT ) . ±2.5 www.5..3 0 1 2 3 4 5 6 7 t Figura 5. c˜ e e Como δT (t) ´ peri´dica de per´odo T temos: e o ı ∞ F[δT (t)] = 2π n=−∞ Fn δ(ω − nω0 ) onde Fn .br/labsil 111 n=1 1.... C´lculo de algumas transformadas a f (t) 1.1 n=3 n=5 n=∞ 0.. ±3. T .7 0..3 -0...9 -1.6: Aproxima¸ao de sinais pela s´rie trigonom´trica de Fourier.5 -0. ω ω0 Figura 5. n = ±1.3.7: Trem de impulsos e sua transformada δT (t) ←→ ω0 δω0 (ω) .ufsc.1 -0. br/labsil 112 5.das. a A seguir apresentaremos algumas das propriedades mais importantes. Sabemos de (5. Portanto.5 t . Esta mudan¸a de vari´vel corresponde ` aplica¸˜o da c a a ca propriedade de escalonamento acima com o fator de escala a = 0.5.2 Simetria Se F[f (t)] = F (ω) ent˜o F[F (t)] = 2π f (−ω). a Veja como aplicar essa propriedade para descobrir a transformada de Fourier da fun¸ao c˜ sampling. vale a pena salientar que para fun¸oes integr´veis em m´dulo podec˜ a o mos obter a transformada de Fourier diretamente da transformada de Laplace com a mudan¸a de vari´vel s = jω. para fun¸oes integr´veis em m´dulo todas as proc a c˜ a o priedades da transformada de Laplace continuam v´lidas para a transformada de Fourier.5.4 Propriedades da transformada Em primeiro lugar. isto ´ com a mudan¸a e c de escala t = 0. .5 Calcule F[G2γ (t)].4. Por compara¸˜o com a nota¸ao ca c˜ 2 ωτ acima temos f (t) = Gτ (t) e F (ω) = τ Sa( 2 ).1 Linearidade Se F[f1 (t)] = F1 (ω) e F[f2 (t)] = F2 (ω) ent˜o: a F[α1 f1 + α2 f2 ] = α1 F1 (ω) + α2 F2 (ω) 5. Solu¸˜o: Como j´ sabemos que F[Gτ (t)] = τ Sa ( ωτ ) com a mudan¸a de vari´vel τ = 2γ ca a c a 2 temos que F[G2γ (t)] = 2γ Sa (ωγ).4.ufsc.3 Escalonamento 1 ω F( ) |a| a Se F[f (t)] = F (ω) ent˜o: a F[f (at)] = Exemplo 5.4.5) que F[Gτ (t)] = τ Sa( ωτ ). pela propriedade de simetria F[F (t)] = 2π f (−ω) deduzimos F[τ Sa( tτ )] = 2π Gτ (−ω) 2 Com a mudan¸a de vari´vel τ = Ω e lembrando que Gτ (−ω) = Gτ (ω) pois a fun¸ao porta c a c˜ 2 ´ par ficamos com o resultado desejado: e F[Sa(Ωt)] = π G2Ω (ω) Ω (5. 5.4. Logo. Propriedades da transformada www.17) 5. Propriedades da transformada www.1 -0.4. A figura a 5. ´ a amplitude c˜ e do cosseno. a .4.3 -100 ω -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 Figura 5.9 0.das. conhecido como sinal modulado.4 Deslocamento em Frequˆncia e Modula¸˜o e ca Se F[f (t)] = F (ω) ent˜o: a F[f (t)ejω0 t ] = F (ω − ω0 ) Note que multiplicar f (t) pela exponencial complexa ejω0 t corresponde a deslocar todo o espectro de f (t) centrando-o na frequˆncia ω0 .9 ilustra a o espectro do sinal modulado cos(100t)G1 (t). Este artif´ ´ conhecido como e ıcio e modula¸ao em amplitude pois o sinal f (t).1 -0.7 0.8 mostra a transformada de Fourier do sinal porta de largura unit´ria G1 (t).8: Transformada de Fourier do sinal porta de largura unit´ria G1 (t). c˜ F[f (t) cos(ω0 t)] = F[f (t) ( ejω0 t + e−jω0 t )] 2 F[f (t) ejω0 t ] + F[f (t) e−jω0 t ] = 2 F (ω + ω0 ) + F (ω − ω0 ) = 2 Ao multiplicar um sinal f (t) pelo cos(ω0 t) estamos atenuando pela metade e deslocando todo o espectro do sinal f (t) para as frequˆncias ±ω0 . F[G1 (t)] 1.br/labsil 113 5.1 0. e Na pr´tica ao inv´s de utilizar exponenciais complexas para deslocar o espectro do a e sinal utiliza-se fun¸˜es do tipo cos(ω0 t). A figura c˜ e 5.5.3 0. A fun¸ao cos(ω0 t) recebe o nome de portadora de frequˆncia ω0 . Veja oque acontece com o espectro do sinal ap´s co o a multiplica¸ao de f (t) pelo cosseno.5 0.ufsc. 5.4. Propriedades da transformada F[cos(100t)G1 (t)] 0.5 www.das.ufsc.br/labsil 114 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -200 ω -160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160 200 Figura 5.9: Transformada de Fourier do sinal cos(100t)G1 (t). A modula¸˜o de sinais ´ utilizada em comunica¸oes de r´dio transmiss˜o AM. Em ca e c˜ a a controle de sistemas, a modula¸˜o ´ utilizada para deslocar a energia do sinal de controle ca e para a faixa de frequˆncia onde o sistema funciona. e A recupera¸˜o de um sinal modulado (demodula¸˜o) pode ser feita de v´rias formas. ca ca a Uma delas consiste em modular novamente o sinal e em seguida filtrar as frequˆncias e indesejadas. cos(ω0 t) cos(ω0 t) f(t) MOD f (t)cos(ω0 t) MOD f (t)cos2 (ω0 t) FILTRO IDEAL f(t) Figura 5.10: Demodula¸˜o de um sinal ca 5.4.5 Deslocamento no Tempo Se F[f (t)] = F (ω) ent˜o: a F[f (t − t0 )] = F (ω)e−jωt0 Note que deslocar em atraso uma fun¸ao no tempo de t0 segundos significa atrasar a c˜ fase do seu espectro de ωt0 rad para cada valor da frequˆncia ω. e 5.4. Propriedades da transformada www.das.ufsc.br/labsil 115 5.4.6 Diferencia¸˜o e Integra¸˜o no Tempo ca ca De maneira similar ` transformada de Laplace podemos relacionar as transformadas a de Fourier de uma fun¸˜o e de sua derivada (ou integral). ca Se F[f (t)] = F (ω) ent˜o: a F[ e F[ −∞ t df (t) ] = jωF (ω) dt f (τ )dτ ] = 1 F (ω) , se F (ω) = 0 para ω = 0 jω A restri¸˜o F (ω) = 0 para ω = 0 implica que o valor m´dio do sinal deve ser nulo, isto ca e ∞ ´ −∞ f (t)dt = 0. Essa restri¸˜o pode ser eliminada mas a express˜o acima se torna mais e ca a complicada. Para maiores detalhes veja, por exemplo [5]. Exemplo 5.6 Obtenha a Transformada de Fourier do sinal f (t) da figura 5.11. f(t) A −b −a 0 a b t Figura 5.11: Sinal linear por trechos (t) Solu¸˜o: Ao inv´s de calcular F[f (t)] diretamente vamos utilizar o fato que F[ dfdt ] = ca e jωF (ω) onde F (ω) ´ a fun¸˜o que estamos procurando. A figura 5.12 mostra a derivada e ca da fun¸˜o na figura 5.11. ca df (t) dt A b−a a −b −a A − b−a b t 0 Figura 5.12: Derivada do sinal linear por trechos (t) d Aplicando novamente a propriedade de deriva¸˜o temos: F[ dt [ dfdt ]] = jωF[ df ] = ca dt (jω)2 F (ω). A figura 5.13 mostra a derivada segunda da fun¸˜o na figura 5.11. ca Pela figura 5.13 podemos ent˜o escrever: a d2 f A = [δ(t + b) − δ(t + a) − δ(t − a) + δ(t − b)] 2 dt b−a 5.4. Propriedades da transformada d2 f (t) dt2 www.das.ufsc.br/labsil 116 A b−a δ(t + b) A b−a δ(t − b) −a −b 0 a b t A b−a δ(t + a) A b−a δ(t − a) Figura 5.13: Derivada segunda do sinal linear por trechos como F[δ(t − t0 )] = e−jωt0 temos: F[ 2 d2 f A 2A ]= [ejωb − ejωa − e−jωa + e−jωb ] = (cos(ωb) − cos(ωa)) dt2 b−a b−a f como F[ d 2 ] = (jω)2 F (ω) temos o resultado desejado: dt F (ω) = 2A cos(ωa) − cos(ωb) b−a ω2 5.4.7 Diferencia¸˜o em Frequˆncia ca e dF (ω) dω Se F[f (t)] = F (ω) ent˜o: a F[tf (t)] = j 5.4.8 Convolu¸˜o ca Usaremos a seguinte nota¸˜o para a Integral de Convolu¸ao entre dois sinais: ca c˜ ∞ f1 (t) ∗ f2 (t) = −∞ f1 (τ )f2 (t − τ )dτ Analogamente ` transformada de Laplace podemos transformar a integral de cona volu¸a˜ em produto no dom´ c o ınio da frequˆncia. Seja F[f1 (t)] = F1 (ω) e F[f2 (t)] = F2 (ω) e ent˜o: a F[f1 (t) ∗ f2 (t)] = F1 (ω)F2 (ω) A prova desse resultado ´ bastante simples. e ∞ ∞ −∞ F[f1 (t) ∗ f2 (t)] = −∞ ∞ f1 (τ )f2 (t − τ )dτ e−jωt dt ∞ −∞ = −∞ f1 (τ ) f2 (t − τ )e−jωt dt dτ ufsc.5.4. aqui representada a c˜ ca pelo s´ ımbolo (*) com a nota¸ao de produto usual de sinais. J´ Fourier ´ adequado ` an´lise de sinais devido ` interpreta¸ao a a e a a a c˜ frequencial que se pode dar ao espectro do sinal. al´m de poder co e tratar sistemas inst´veis.das.18) Problema 5.7 Calcule a resposta ao degrau unit´rio do filtro abaixo por Laplace e Fourier. A transformada do sinal de entrada ´ e 1 + πδ(ω) X(ω) = F[x(t)] = jω Para obter a transformada F (ω) note que a regi˜o de convergˆncia de F (s) cont´m o eixo a e e imagin´rio. Propriedades da transformada como ∞ −∞ www. y(t) = f (t) ∗ x(t) e f (t) = L−1 [F (s)]. Logo F (ω) = F (s)|s=jω . t ≥ 0 1 s e assim Por Fourier: Note que y(t) = x(t) ∗ f (t) ⇒ Y (ω) = X(ω)F (ω). No entanto. logo X(s) = ca e a temos: 1 1 −1 1 Y (s) = F (s)X(s) = = + s+1s s+1 s ⇒ y(t) = L−1 [Y (s)] = 1 − e−t . Laplace ´ adequada ` an´lise co e a a de sistemas1 por permitir o tratamento das condi¸˜es iniciais do mesmo. X(s) x(t) f(t) Figura 5.14: Filtro de primeira ordem com F (s) = 1 s+1 F(s) Y(s) y(t) Solu¸˜o: Por Laplace: O sinal de entrada ´ um degrau unit´rio. como por exemplo na modula¸ao de c˜ sinais. a 1 descritos por equa¸˜es diferenciais lineares invariantes no tempo co .18) acima. a 1 Suponha que a fun¸˜o de transferˆncia do filtro seja F (s) = s+1 e lembre que Y (s) = ca e F (s)X(s). Exemplo 5. Veja a diferen¸a: c˜ c F[f1 (t) ∗ f2 (t)] = F1 (ω)F2 (ω) 1 F1 (ω) ∗ F2 (ω) F[f1 (t)f2 (t)] = 2π (5. ca As transformadas de Fourier e Laplace s˜o ferramentas muito importantes e sob certas a condi¸˜es podem ser usadas indistintamente.br/labsil 117 f2 (t − τ )e−jωt dt = F2 (ω)e−jωτ temos o resultado desejado: F[f1 (t) ∗ f2 (t)] = F1 (ω)F2 (ω) ´ E importante n˜o confundir a nota¸ao para integral de convolu¸˜o.3 Obtenha a propriedade da modula¸˜o pela propriedade (5. . c˜ Problema 5. f2 (t) ca atrav´s da convolu¸˜o desses dois sinais f1 (t) ∗ f2 (t).das. Este problema ´ muito importante pois c˜ e todo sinal armazenado ou processado nos computadores ´ antes digitalizado. uma vez discretizado. o e e sinal ´ amostrado e suas amostras s˜o transformadas em c´digo bin´rio para depois ser e a o a processado ou armazenado em computadores. j´ que essa transformada n˜o permite o a a tratamento de condi¸oes iniciais. Determine a frequˆncia de amostragem ca e . f2 (t).15. Propriedades da transformada Da´ obtemos: ı Y (ω) = www.4. Nesses casos dizemos que n˜o existe interferˆncia de f1 (t) sobre e a e f2 (t) e vice-versa.ufsc.br/labsil 118 1 1 + πδ(ω) jω + 1 jω 1 1 π = + δ(ω) jω + 1 jω jω + 1 Por fra¸˜es parciais temos co 1 1 −1 1 = + jω + 1 jω jω + 1 jω Como π δ(ω) jω+1 = πδ(ω) conclu´mos: ı Y (ω) = −1 1 + + πδ(ω) jω + 1 jω Logo: y(t) = F −1 [Y (ω)] = F −1 = −e−t + 1. por´m ´ importante que o c˜ e e sinal original possa ser reconstru´ ıdo.5. isto ´. A transmiss˜o digital de sinais tamb´m a e passa pelo mesmo processo de amostragem e codifica¸ao. F2 (ω) de tal forma que n˜o exista intera¸˜o entre f1 (t). −1 1 + F −1 + πδ(ω) jω + 1 jω 5. Encontre condi¸˜es para os espece ca co tros desses sinais F1 (ω).4 Podemos representar matematicamente a intera¸˜o entre dois sinais f1 (t). a partir do digital transmitido.9 Amostragem O problema que estudaremos a seguir consiste na determina¸ao de condi¸oes para se c˜ c˜ amostrar um sinal sem perda de informa¸ao. Torna-se ent˜o a imperativo saber a frequˆncia de amostragem do sinal para que. a ca isto ´ f1 (t) ∗ f2 (t) = 0.4. ı-lo Problema a ser resolvido: Suponha um sistema de transmiss˜o digital ideal (sem ru´ a ıdo nem erro de quantiza¸˜o) ilustrado na figura 5. Laplace e Fourier fornecem o mesmo resultado para a resposta for¸ada do filtro. No entanto n˜o seria poss´ aplicar c a ıvel Fourier para analisar a resposta livre do filtro. t ≥ 0 Note que apesar da abordagem por Laplace ser mais simples. se e possa reconstru´ a partir de suas amostras coletadas. ufsc. fs (t) = f (t)δTa (t) onde fs (t) ´ o sinal amostrado e δTa (t) ´ o trem de impulsos cujo per´ e e ıodo ´ o pr´prio e o per´ ıodo de amostragem.. Propriedades da transformada sinal a ser transmitido transmiss˜o a . que ´ o tempo de dura¸˜o de um e ca impulso.. O processo de amostragem assim representado ´ ideal porque a e coleta de uma amostra leva um tempo infenitesimal.br/labsil sinal recebido 119 A/D amostragem e codifica¸ao c˜ D/A decodifica¸ao e c˜ reconstru¸ao c˜ Figura 5. para F (ω) = F[f (t)] temos: Fs (ω) = = 1 1 F (ω) ∗ [ωa δωa ] = F (ω) ∗ 2π Ta 1 Ta ∞ ∞ δ(ω − nωa ) 1 Ta n=−∞ ∞ F (ω) ∗ δ(ω − nωa ) = n=−∞ F (ω − nωa ) n=−∞ .15: Transmiss˜o e recupera¸˜o de sinais a ca de um sinal para que uma vez transmitido se possa reconstru´ exatamente como ele ı-lo era antes da amostragem. cujo espectro ´ nulo acima de uma e e e frequˆncia ω (rad/s) ´ reconstru´do unicamente por suas amostras tomadas ` e ¯ e ı a intervalos uniformes menores que Ta = π segundos ω ¯ A seguir apresentaremos a demonstra¸ao do resultado acima.. isto ´. Um solu¸ao para o problema acima ´ fornecida pelo teorema da amostragem enunciado c˜ e a seguir: Um sinal limitado em frequˆncia.5. a O espectro do sinal amostrado ´ ent˜o: e a Fs (ω) = F[fs (t)] = F[f (t)δTa (t)] = 1 F[f (t)] ∗ F[δTa (t)] 2π De um exemplo anterior vimos que F[δTa (t)] = ωa δωa (ω) onde ωa = 2π/Ta ´ a frequˆncia e e fundamental do trem de impulsos que corresponde ` frequˆncia de amostragem que quera e emos determinar.4. c˜ O processo ideal de amostragem pode ser representado pelo produto do sinal f (t) a ser amostrado por um trem de impulsos ocorrendo nos instantes de amostragem. Logo.. www. Por´m boas aproxima¸oes podem ser obtidas substituindo-se e c˜ os impulsos por pulsos de largura bem pequena e amplitude unit´ria. Na pr´tica n˜o podemos implementar tal a a processo de amostragem.das. O valor da amostra coletada ´ a ´rea do impulso e corresponde ao valor exato e a do sinal no instante onde ocorre o impulso. das.. ω ].5. Esta opera¸˜o de filtragem est´ indicada na figura ω ¯ ca a 5. vamos considerar as duas possibilidades seguintes: ¯ Caso ωa > 2¯ ou seja Ta < ω π ω ¯ segundos Fs (ω) F (ω) A .16: Espectro do sinal antes e ap´s amostragem: Caso ωa > 2¯ o ω A figura 5. ω ¯ G(ω) F (ω) Ta ω −¯ ω ω ¯ filtro ideal Fs (ω) G(ω) Figura 5. Propriedades da transformada www. para recuperar o sinal ca e ω ¯ original a partir do sinal amostrado basta eliminar todas as componentes de frequˆncia do e sinal Fs (ω) fora do intervalo [−¯ . existe ω tal que F (ω) = 0 para e e e ¯ ω ≥ ω . isto ´..17. Note e o ω que o espectro do sinal amostrado Fs (ω) cont´m o espectro do sinal original F (ω) sem e distor¸˜o. ω ] como indicado a seguir.. Este resultado pode ser obtido facilmente com (5. ωa ωa − ω ¯ ω ω ¯ Figura 5. Note que o filtro ideal anula todas as componentes de frequˆncia fora do intervalo e [−¯ . como pode ser visto entre as frequˆncias −¯ e ω .17: Filtro ideal para recupera¸ao do sinal: Caso ωa > 2¯ c˜ ω Fs (ω)G(ω) = F (ω) No dom´ ınio do tempo a filtragem acima ´ dada pela convolu¸˜o: e ca f (t) = fs (t) ∗ g(t) onde g(t) = F −1 [G(ω)] = Sa (¯ t).4. −¯ ω 0 ω ¯ ω −ωa −¯ ω 0 A Ta . Assim.16 mostra o espectro F (ω) de um sinal fict´ f (t) e o espectro Fs (ω) desse ıcio sinal amostrado com frequˆncia de amostragem ωa sob a hip´tese de que ωa > 2¯ .br/labsil 120 Como f (t) ´ um sinal limitado em frequˆncia..ufsc.17) e ω . Assim.br/labsil 121 f (t) = n=−∞ ∞ f (nTa )δ(t − nTa ) ∗ Sa (¯ t) ω f (nTa )δ(t − nTa ) ∗ Sa (¯ t) ω n=−∞ ∞ = = n=−∞ f (nTa )Sa (¯ (t − nTa )) ω A express˜o acima mostra como se reconstr´i exatamente o sinal f (t) a partir das a o amostras f (nTa ) coletadas no processo de amostragem. co Pelo exposto acima podemos concluir que quando a frequˆncia de amostragem do sinal e satisfaz o teorema da amostragem ´ poss´ a reconstru¸ao exata do sinal.. ficamos com ω ∞ www. Essa distor¸ao e co c˜ provocada pela superposi¸ao dos espectros inviabiliza a reconstru¸ao do sinal e portanto c˜ c˜ na escolha da frequˆncia de amostragem deve-se evitar o caso ωa < 2¯ . 0 ωa − ω ¯ ω −¯ ω 0 ω ¯ ω Figura 5.ufsc.18.. −ωa −¯ ω ωa ω ¯ A Ta . Note que a e ıvel c˜ reconstru¸˜o exata requer um filtro ideal o que n˜o pode ser implementado na pr´tica.das. Propriedades da transformada Ta = π/¯ . As amostras formam um conjunto de amplitudes de fun¸˜es sampling que quando somadas resultam no sinal original. E importante salientar que o e .. ω segundos Nesse caso o espectro do sinal antes e ap´s amostragem est˜o ambos ilustrados na o a figura 5. Vejamos agora o que acontece quando ωa = Caso ωa < 2¯ ou seja Ta > ω π ω ¯ 2π Ta < 2¯ .18: Espectro do sinal antes e ap´s amostragem: Caso ωa < 2¯ o ω Note agora que o espectro do sinal amostrado Fs (ω) cont´m o espectro do sinal original e F (ω) por´m distorcido com as superposi¸˜es dos espectros deslocados. e ω O teorema da amostragem ´ um resultado muito importante no tratamento de sinais e ´ e no controle de sistemas atrav´s de microprocessadores.4.5.. Fs (ω) F (ω) A . ca a a Apesar disso podemos obter boas aproxima¸oes do sinal a ser reconstru´ substituindoc˜ ıdo se o filtro ideal por um real que tenha uma fun¸ao de transferˆncia cujo espectro seja c˜ e parecido com G(ω). isto ´ seu espectro ´ nulo a partir de uma certa frequˆncia (¯ ). a a O teorema da amostragem parte da hip´tese de que o sinal a ser amostrado ´ limitado o e em frequˆncia. Entretanto. Ele ca est´ ilustrado na figura 5.ufsc. Em geral.21(a) e pode ser ca a calculado com (5. a F (ω) jπ δ(ω + 10π) π δ(ω − 100π) π δ(ω + 100π) ω jπ δ(ω − 10π) Figura 5.5. Na pr´tica ca a n˜o podemos implementar nem o amostrador nem o filtro ideal. No entanto. n˜o teremos reconstru¸˜o perfeita na pr´tica mas sim uma reconstru¸˜o que a ca a ca ser´ t˜o melhor quanto mais o amostrador e o filtro se aproximarem do ideal.17) da seguinte forma. Logo o erro de aproxima¸ao de um sinal e c˜ pr´tico por um sinal limitado em frequˆncia pode ser feito bastante pequeno. ca Solu¸˜o: Com a transformada de Fourier podemos calcular o espectro do sinal. Logo.19. F[cos100πt] = π[δ(ω − 100π) + δ(ω + 100π)] F[sen10πt] = jπ[δ(ω + 10π) − δ(ω − 10π)] como F (ω) = 0 para ω > 100π temos ω = 100π.4. X(ω) = F[Sa (50πt)] = 1 π G100π (ω) = G100π (ω) 50π 50 . Propriedades da transformada www.20 para o seguinte sinal de entrada x(t) = Sa (50πt). Logo: ¯ ωa > 2¯ = 200π ω ı Exemplo 5. Solu¸˜o: O espectro do sinal de entrada est´ indicado na figura 5. Na pr´tica e e e e ω a o espectro dos sinais n˜o s˜o nulos a partir de uma certa frequˆncia mas sim muito a a e pequenos a partir de uma certa frequˆncia. Para isso a e devemos escolher adequadamente a frequˆncia (¯ ) a partir da qual iremos considerar nulo e ω (truncar) o espectro do sinal.8 Utilize o teorema da amostragem para determinar a frequˆncia de dise cretiza¸˜o do sinal f (t) = cos(100πt) + sen(10πt). quanto maior essa frequˆncia de truncamento e menor o erro cometido.br/labsil 122 teorema enunciado pressup˜e a utiliza¸˜o de um amostrador ideal (trem de impulsos) e de o ca um filtro ideal para reconstru¸˜o do sinal (filtro com espectro do tipo porta). podemos a implementar dispositivos de amostragem e filtros que se aproximam bastante do caso ideal.9 Com o aux´lio do teorema da amostragem determine a resposta y(t) do sistema indicado na figura 5.19: Espectro do sinal f (t) = cos(100πt) + sen(10πt). quanto maior a frequˆncia de truncamento mais e r´pido deve ser o processo de amostragem (ωa > 2¯ ) o que torna o dispositivo mais caro.das. a ω Exemplo 5. 23 onde x(t) = τ Sa (τ t/2) F (ω) = 2π G2ωa (ω) ωa Calcule o valor da constante τ para que a energia do sinal y(t) seja E = 2π.5. 5.20: Sistema de amostragem e recupera¸ao de sinais c˜ 1 X(ω) 1 50 F (ω) X(ω) ω −50π 50π (a) −70π −50π 50π 70π ω R(ω) = X(ω)F (ω) = X(ω) (b) Figura 5. Problemas complementares www. r(t) O sinal na sa´da do primeiro filtro ´ dado por R(ω) = X(ω)F (ω) de onde conclu´ ı e ımos que R(ω) = X(ω). Veja figura 5. O espectro Rs (ω) do sinal amostrado Rs (t) est´ a indicado na figura 5.22 e ´ dado por e 1 Rs (ω) = Ta onde ωa = 2π Ta 1 R(ω − nωa ) = Ta n=−∞ ∞ ∞ X(ω − nωa ) n=−∞ = 160π ´ a frequˆncia de amostragem.br/labsil F (ω) 123 x(t) 1 F (ω) R(ω) Ta = Rs (ω) 1 80 Ta F (ω) y(t) −70π ω 70π Figura 5.21: Espectro dos sinais x(t).22.5.5 Considere o sistema da figura 5. Logo cone clu´ ımos que y(t) = x(t).5 Problemas complementares Problema 5. .das.21. e e O espectro do sinal ap´s o segundo filtro ´ dado por o e ∞ Y (ω) = Ta F (ω)Rs (ω) = n=−∞ Ta F (ω) 1 X(ω − nωa ) = X(ω) Ta O produto Ta F (ω)Rs (ω) pode ser facilmente obtido atrav´s da figura 5.ufsc. 22: Espectro do sinal amostrado cos(ω0 t) x(t) mod ωa = 2(ω0 + τ ) F (ω) y(t) Figura 5..5. ...ufsc.. Problemas complementares www.23: Sistema com modula¸ao e discretiza¸ao c˜ c˜ .br/labsil 124 Rs (ω) Ta F (ω) 1 X(ω Ta + 2ωa ) 1 X(ω Ta + ωa ) 1 X(ω) Ta 1 X(ω Ta − ωa ) 1 X(ω Ta − 2ωa ) . −2ωa −ωa −70π −50π 0 50π 70π ωa 2ωa ω Figura 5.5.das. um grande a n´mero de sistemas industriais s˜o de natureza anal´gica.Cap´ ıtulo 6 Sistemas Discretos e Amostrados 6. o sinal anal´gico gerado o a o o por alguns conversores D/A s˜o mantidos constantes durante cada ciclo. cada valor o digital que ir´ influenciar o sistema anal´gico dever´ primeiro ser convertido de digital a o a para anal´gico por um conversor D/A.1 Introdu¸˜o ca Os termos tempo cont´nuo e anal´gico s˜o idˆnticos quando empregados para caracteriı o a e zar sinais e sistemas. a Cada sinal anal´gico que ser´ processado por um computador digital deve primeiro ser o a convertido de anal´gico para digital por um conversor A/D.1 Convers˜o A/D a A grande vantagem de se manipular vari´veis discretas ´ que elas podem ser ara e mazenadas e processadas em computadores digitais. De maneira an´loga. Isto ´ feito a e por um dispositivo chamado sample-and-hold (S/H). o a A convers˜o para c´digo bin´rio n˜o ´ exata em geral. Veremos mais tarde que conversores A/D tamb´m utilizam disposivos S/H. No entanto. Sempre existe um erro entre o a o a a e . Paralelamente. os o a o a termos tempo discreto e digital s˜o tamb´m idˆnticos. Para isso basta transformar os valores discretos em c´digo bin´rio. Microcomputadores e microprocessadores digitais s˜o largamente utilizados na ind´stria a u atual. Sistemas de tempo discreto s˜o aqueles que a manipulam sinais digitais.1. seja para fins de supervis˜o ou de controle dos processos. Como a sa´ do computador digital n˜o muda at´ o ıda a e que os pr´ximos c´lculos e convers˜es D/A sejam completados. Sempre que um microcomu a o putador faz parte de um sistema anal´gico a presen¸a de conversores A/D e D/A se faz o c necess´ria. e 6. Sinais anal´gicos s˜o fun¸˜es de uma vari´vel de tempo cont´ o a co a ınuo e sistemas anal´gicos s˜o aqueles que manipulam sinais anal´gicos. Um sinal de tempo discreto existe a e e apenas em instantes espec´ ıficos de tempo. 3dB.br/labsil 126 valor discreto a ser codificado e c´digo bin´rio que representa o valor em quest˜o. ca e e Vin A sa´ se torna praticamente igual ` entrada pois a frequˆncia de quebra do circuito ıda a e 1 e c˜ a a e ωq = RC ´ escolhida grande em rela¸ao ` m´xima frequˆncia de quebra do espectro do sinal de entrada. Assim cada a o e c´digo bin´rio representa um intervalo de tens˜o anal´gica e portanto existe um erro de o a a o quantiza¸˜o associado ` convers˜o.1 e a figura 6.75 a 3.25 ` 1. e A figura 6.5 a 2.375 a 4.25% em rela¸˜o ao o a ca valor m´ximo do sinal anal´gico.75 a 8.375 ` 10 a representa¸˜o ca bin´ria a 0000 0001 0010 0011 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Tabela 6.625 a 5. Por o a a exemplo. isto ´ 6.25% ou seja. ca a a e uma rela¸˜o sinal/ru´do de 20log(24 )dB.625 a 0.375 ` 5 a 5 ` 5.1.6.75 ` 9.875 ` 7.das. Com a chave na posi¸ao 1 a e . A chave l´gica s ´ controlada por um rel´gio.25 a 6.25 a 1. Esta faixa ´ atingida ca ıdo e com conversores de 12 bits ou mais.0015% que corresponde ` uma rela¸˜o sinal/ru´ de 20log(2 ) = 96.125 ` 8.625 ` 1.1.ufsc.875 a 1.75 ` 4.25% de 10 volts no caso acima. A sua fun¸ao b´sica ´ coletar amostras (sample) ıda c˜ a e e mantˆ-la constante (hold) durante todo o intervalo de amostragem.875 ` 2.125 a 8. Com a chave na posi¸ao 1 o e o c˜ 1 o dispositivo funciona como um circuito RC cuja fun¸˜o de transferˆncia ´ Vout = RCs+1 .3 MHz.1.5 ` 8.25 ` 6. Num conversor de 4 bits o erro ´ de 6. Valores t´ ıpicos s˜o R = 1000 ohms e C = 30 10−12 farads oque implica a 1 c˜ numa frequˆncia de quebra de fq = 2πRC = 5. tens˜o a anal´gica o 0 ` 0.625 ` 6.2 mostra o diagrama de blocos e um esquema eletrˆnico simplificado do o dispositivo S/H.375 a 9.1: Representa¸ao de um sinal de tens˜o anal´gico n˜o negativo em c´digo bin´rio c˜ a o a o a de 4 bits Cada incremento do c´digo bin´rio representa um salto de 2−4 = 6.5 a 7.875 a 6. Bons a ca ıdo dispositivos de audio possuem rela¸˜o sinal/ru´ entre 60 e 70 dB.5 ` 3. um sinal de tens˜o entre 0 e 10V pode ser representado em c´digo bin´rio de 4 a o a bits de acordo com a tabela 6.2 Convers˜o D/A e Sample-and-Hold a O dispositivo sample-and-hold (S/H) ´ normalmente utilizado na entrada de convere sores A/D e na sa´ conversores D/A. Para um conversor de 16 bits ter´ ca ı ıamos um erro 16 de 0. Introdu¸˜o ca www. 6. 1: Representa¸˜o de um sinal de tens˜o anal´gico n˜o negativo em c´digo bin´rio ca a o a o a de 4 bits sa´ do dispositivo segue a entrada com um atraso despres´ (etapa de rastreamento ıda ıvel isto ´ acompanhamento do sinal de entrada).das. ıda a a a Quando a convers˜o ´ completada o n´mero digital pode ser processado pelo computador a e u (n˜o representado na figura).2: Esquema simplificado de um circuito sample-and-hold e seu diagrama de blocos A seguir veremos de forma simplificada o funcionamento desse dispositivo quando acoplado a conversores A/D e D/A. o primeiro passo ´ coletar as amostras o e . Por ıda c exemplo. Introdu¸˜o ca c´digo bin´rio o a 1111 1110 1101 1100 1011 1010 1001 1000 0111 0110 0101 0100 0011 0010 0001 0000 -0 5 www. Nesse instante a chave volta ` posi¸ao 1.5 a e microsegundos.ufsc. R C Vin R Vin 2 1 s Vout sinal de controle da chave S/H Vout Figura 6. Quando uma amostra deve ser tomada no e instante t = kT a chave ´ comutada para a posi¸ao 2 e o capacitor mant´m constante o e c˜ e valor da sa´ do dispositivo pelo tempo necess´rio para se efetuar a convers˜o bin´ria. Quando um sinal anal´gico vai ser codificado. o computador a a c˜ ´ desligado da sa´ do S/H e come¸a a processar a informa¸ao rec´m disponibilizada e ıda c c˜ e e paralelamente a sa´ do dispositivo S/H recome¸a a seguir o sinal de entrada.6.br/labsil 127 tens˜o anal´gica a o 10 Figura 6. O capacitor deve manter constante a sa´ apenas durante esse pequeno ıda intervalo de tempo. o tempo de convers˜o do conversor BurrBrown ADC803 de 12 bits ´ de 1.1. Afim de co obter um modelo matem´tico de funcionamento do S/H. Cada a amostra coletada deve ser disponibilizada. Note que o S/H executa duas opera¸˜es: amostrar (sample) e segurar (hold). O S/H ıda mant´m constante o valor da amostra precedente at´ que uma nova amostra esteja e e dispon´ ıvel (decodificada). sa´ anal´gica do S/H ıda o w(t): entrada anal´gica o h(t): sinal de controle do S/H S/H v(t) A/D sinal digital de sa´ ıda (a) w(t) v(t) w(t) w(t) v(t) v(t) v(t) w(t) T H T H T H T h(t) t (b) Figura 6.3: (a) Diagrama de blocos de um conversor A/D com sample-and-hold e (b) funcionamento do sistema A figura 6. a Durante o processo de convers˜o D/A a sa´ do conversor pode flutuar muito.das.ufsc. estudaremos a seguir essas duas a . O sinal temporizador de controle indica as duas fases de funcionamento: manter o sinal de entrada (H) e rastrear o sinal de entrada (T). Esta opera¸ao de a c˜ manter constante o sinal pode ser feita por um dispositivo S/H. Introdu¸˜o ca www. Chave na posi¸ao 1 corresponde ` fase segurar o sinal representada por c˜ a H (do inglˆs hold) e chave na posi¸ao 2 ` fase de rastreamento T (do inglˆs tracking).6. o dispositivo S/H juntamente com o conversor A/D (codificador) possuem a fun¸˜o de amostrar ca e segurar a amostra (j´ codificada) durante todo o intervalo de amostragem.br/labsil 128 do sinal e depois utilizar o processo de convers˜o A/D discutido anteriormente. Para a ıda evitar esse inconveniente utiliza-se um dispositivo S/H na sa´ do conversor. isto ´ mantida constante na entrada do cone versor. O funcionamento desse dispositivo est´ indicado na figura a 6. e c˜ a e Cada amostra coletada do sinal de entrada ´ mantida constante no conversor durante e todo o intervalo de amostragem.4. Assim.1. O conjunto de amostras ´ atualizado apenas com a e chegada de uma nova amostra depois de cada intervalo de amostragem.3(b) mostra os sinais de entrada e sa´ nas duas fases de funcionamento ıda do dispositivo. durante todo o processo de convers˜o A/D de cada amostra. Para c˜ e isso basta calcular a resposta impulsional desse sistema que chamaremos de zoh(t).1) O bloco ZOH representa um sistema cuja fun¸ao de transferˆncia pode ser obtida. A amostra do sinal r(t) coletada no instante t = kT corresponde ` ´rea do impulso que ocorre no instante aa t = kT . O bloco ZOH recebe o nome de segurador de ordem zero (Zero Order Holder) devido ao fato da sa´ ser uma interpola¸˜o de ordem zero das ıda ca amostras de entrada. e r(t) r∗ (t) = ∞ k=−∞ r(t)δ(t − kT ) per´ ıodo de chaveamento: T Figura 6.1.6.ufsc.5.br/labsil v(t): sa´ anal´gica do conversor ıda o 129 entrada digital D/A h(t): sinal de controle do S/H S/H y(t): sinal anal´gico de o sa´ constante por trechos ıda (a) v(t) y(t) y(t) v(t) v(t) y(t) T H T H h(t) y(t) v(t) H T H t (b) Figura 6. c˜ A partir de agora assumiremos que a opera¸ao amostrar do S/H pode ser representada c˜ por um amostrador ideal. Introdu¸˜o ca www. Matematicamente podemos escrever: rh (t) = r(kT ) para kT ≤ t < kT + T (6.6. Veja figura 6. isto ´ ela pode ser representada pela multiplica¸ao do sinal a e c˜ ser amostrado por um trem de impulsos como ilustra a figura 6. isto .5: Amostrador ideal: produto por um trem de impulsos A opera¸ao segurar do S/H consiste em manter o valor de uma amostra r∗ (t) = c˜ r(kT )δ(t − kT ) (obtida com um amostrador ideal) constante durante todo o per´ ıodo de amostragem T.das. isto ´ r(kT )δ(t − kT ).4: (a) Conversor D/A com S/H e (b) Sinais de entrada e sa´ ıda opera¸oes separadamente. Pela figura 6. Isso implica que o conversor A/D pode ser representado por um amostrador ideal e o conversor D/A por um segurador de ordem zero.br/labsil 130 kT t kT kT+T t sinal amostrado (entrada) sinal constante por trechos (sa´ ıda) Figura 6.das.4) Assim conclu´ ımos que o dispositivo S/H pode ser representado por um amostrador ideal em cascata com um segurador de ordem zero como ilustra a figura 6.6.7: Sample-and-Hold visto como um amostrador ideal em cascata com um segurador de ordem zero ´ E importante notar que o amostrador ideal n˜o pode ser implementado na pr´tica a a devido ` presen¸a de impulsos no sinal amostrado.7.3) A fun¸˜o de transferˆncia ZOH(s) do bloco ZOH pode ent˜o ser calculada com o aux´ ca e a ılio da transformada de Laplace ZOH(s) = L[zoh(t)] = 1 e−sT − s s (6. como veremos mais tarde. No entanto a representa¸ao do disa c c˜ positivo S/H indicada na figura 6.6 deduzimos que a resposta impulsional vale rh (t) = zoh(t) = 1 para 0 ≤ t < T (6. r(t) S/H rh (t) r(t) ≡ T r∗ (t) ZOH rh (t) Figura 6. Introdu¸˜o ca r∗ (t) ZOH r(kT )δ(t − kT ) r(kT ) rh (t) www.2) que pode ser rescrita de uma forma mais conveniente com o aux´ da fun¸ao degrau ılio c˜ unit´rio u(t) na forma a zoh(t) = u(t) − u(t − T ) (6. Essas hip´teses s˜o comuns em todos os o a livros cl´ssicos de controle e tamb´m ser˜o assumidas nesse cap´ a e a ıtulo sempre que houver conversores A/D e D/A presentes na malha de controle.7 possui duas propriedades interessantes: (i) existem dispositivos S/H cujos comportamentos entrada/sa´ s˜o similares ao acima descrito ıda a e (ii) o segurador de ordem zero pode ser tratado de maneira muito conveniente pela Transformada Z.1. por raz˜es de simplicidade. que o erro de convers˜o bin´ria ´ despres´ o a a e ıvel. .6: Segurador de ordem zero: a sa´ ´ constante por trechos ıda e ´ o valor espec´ e ıfico do sinal rh (t) obtido com r∗ (t) = δ(t).ufsc. Um outro ponto importante a ser notado ´ que no controle de sistemas normalmente se e assume a priori. que podem ser representados por fun¸˜es do tipo o co x(t) onde t ´ a vari´vel tempo cont´ e a ınuo .2.. t ≥ 0. Os valores e da corrente nesses instantes s˜o representados agora por uma sequˆncia I(kT ) e n˜o mais a e a por um sinal anal´gico como mostra a figura 6.br/labsil 131 6.1 A dinˆmica da vari´vel corrente no circuito da figura 6. I(kT + T ) = a I(kT ). t = kT Figura 6. Logo: ˙ C I(t) + RI(t) = 0 I(t) = I(0)e−t/RC . 2. o I(kT ) = I(0)e−kT /RC 0 T 2T . ±1. .6. com I(0) = v0 /R.9.8 ´ descrita por a a e uma equa¸˜o diferencial pois I(t) ´ uma vari´vel anal´gica (tempo cont´ ca e a o ınio).8: Circuito RC: resposta livre vC (t) + RI(t) = 0 com vC (0) = v0 . .. Sinais e Sistemas de Tempo Discreto www. um sinal discreto ´ uma sequˆncia de valores e e organizados no tempo e pode ser representado por fun¸ao do tipo x(kT ) onde k ´ a c˜ e vari´vel tempo discreto (k = 0.2 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Diferentemente dos sinais anal´gicos. . ±2. .5) .. e T ´ um intervalo de tempo dado.das. Suponha agora que estamos interessados em saber os valores da corrente I(t) apenas nos instantes t = kT ..) e T denota o intervalo de tempo entre dois a valores consecutivos de x(kT ). C R I(t) Figura 6.ufsc. e Exemplo 6.9: Valor da corrente no capacitor nos instantes t = kT Al´m disso a rela¸˜o entre os valores de I(kT ) j´ n˜o ´ mais representada por uma e ca a a e equa¸˜o diferencial mas sim por uma equa¸˜o recursiva que define uma progress˜o geom´trica ca ca a e −T /RC com raz˜o a = e a . 1. Neste cap´ ıtulo usaremos indistintamente os termos sinal discreto ou sequˆncia. onde k = 0. a = e−T /RC (6. o sistema discreto descrito pela equa¸˜o recursiva 6. Note que o sistema discreto ca n˜o ´ equivalente ao sistema cont´nuo que lhe deu origem pois apesar dos dois sistemas a e ı representarem o comportamento exato da corrente no circuito nos instantes t = kT .das. k = 0. como ´ o caso do sistema na figura 6. e(t) = e(kT ) para a e kT ≤ t < kT + T . Exemplo 6.ufsc. 2.2 Obtenha a equa¸˜o recursiva que rege o comportamento dinˆmico do circa a cuito da figura 6.5 pode ser e ca interpretado como um algor´tmo cuja evolu¸˜o define a dinˆmica da corrente do circuito ı ca a RC nos instantes t = kT .10 nos instantes t = kT sendo T um intervalo de tempo dado. .br/labsil 132 Sistemas cont´nuos s˜o aqueles que manipulam sinais anal´gicos e s˜o representados por ı a o a equa¸˜es diferenciais. isto ´. Sinais e Sistemas de Tempo Discreto www. Al´m disso. ˙ Como e(kT ) ´ constante no intervalo temos: e RC[sX(s) − x(kT )] + X(s) = Logo: X(s) = e(kT ) 1 e(kT ) + sRCx(kT ) + RCx(kT ) = s RCs + 1 s(RCs + 1) e(kT ) x(kT ) − e(kT ) + = s s + 1/RC e(kT ) s x(t0 ) = x(kT ) Usando a Transformada Inversa e lembrando que o lado direito da equa¸˜o acima ca possui instante inicial t0 = kT temos: x(t) = e(kT ) + (x(kT ) − e(kT ))e− t−kT RC . uma vari´vel discreta e e(t) constante por trechos.8. . Sistemas discretos s˜o co e a aqueles que manipulam sequˆncias e s˜o representados por equa¸˜es recursivas.5. kT ≤ t < kT + T Como x(t) ´ uma fun¸˜o cont´nua temos pela express˜o acima que o valor de x(kT +T ) e ca ı a ´ dado por: e x(kT + T ) = t→kT +T lim x(t) = e(kT ) + (x(kT ) − e(kT ))e−T /RC . como ´ e a co e o caso do sistema representado pela equa¸˜o recursiva 6.6. . 1.10: Circuito RC com entrada constante por trechos Solu¸˜o: Para kT ≤ t < kT + T a dinˆmica do circuito ´ dada por: ca a e RC x + x = e(kT ). apenas o sistema cont´nuo pode fornecer o valor exato da corrente para todo instante de ı tempo t ≥ 0.2. + e(t) R + C x(t) - Figura 6. das.*R2+5.2.2. e Problema 6.11. e ca o a Encontre a equa¸ao recursiva executada pelo algor´ c˜ ıtmo. onde a e b s˜o duas constantes dadas por: a a = e−T /RC b = 1 − e−T /RC k = 0. R0=0. read(1. manipula¸˜o e ca registro de dados composto por um conversor A/D.8) Y0=0.1 O funcionamento de um certo sistema digital de leitura. Mais tarde iremos calcular a fun¸˜o de transferˆncia discreta desse sistema ca e com o aux´lio da transformada Z.*R0 Y0=Y1 Y1=Y2 R0=R1 R1=R2 write(2. R1=0. O computador executa um algor´ ılio ıtmo de controle que deve ser devidamente projetado e ´ representado por uma equa¸ao recursiva envolvendo as e c˜ sequˆncias e(kT ) e u(kT ). 2. ı e(kT ) x(kT ) circuito Figura 6. . 1.*Y0+2. um determinado sistema ´ controlado com o e aux´ de um computador.br/labsil 133 Logo o valor da tens˜o x(t) no instante t = kT + T pode ser obtido recursivamente a atrav´s da express˜o: e a x(kT + T ) = a x(kT ) + b e(kT ). .100)R2 Y2=3. O sistema discreto dado pela equa¸˜o recursiva acima define o comportamento da corrente ca I(t) (sa´da) em fun¸˜o da tens˜o e(t) (entrada) nos instantes t = kT como indicado na ı ca a figura 6.ufsc.12.*Y1 .100)Y2 go to 150 . um computador e um conversor D/A ´ representado por uma equa¸˜o recursiva cujo c´digo FORTRAN est´ indicado abaixo.11: Representa¸ao de um sistema discreto c˜ Equa¸˜es recursivas s˜o fundamentais quando se utiliza o computador digital para co a processar sinais e controlar sistemas.6. Y1=0. Sinais e Sistemas de Tempo Discreto www. No esquema de controle da figura 6. 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 format(F16. . E assumido que o processador ese pera no passo 150 at´ que a vari´vel R2 esteja dispon´ para leitura.8.6. a Transformada Z . 6.3. Tamb´m se assume que o e perif´rico 2 possui um buffer que armazena cada amostra da sa´ at´ que a convers˜o e ıda e a D/A seja efetuada. ca c˜ e . Transformada Z Controlador r(t) + e(t) A/D e(kT) Computador u(kT) D/A u(t) www. da mesma forma e a ıvel como ele esperaria caso a entrada de dados fosse via teclado.12: Sistema controlado por computador e r(t) Sinal de Referˆncia y(t) Sinal a ser controlado e(t) Sinal de Erro (Anal´gico) o e(kT ) Sinal de Erro (Digital) u(kT ) Sinal de Controle (Digital) u(t) Sinal de Controle (Anal´gico) o 230 stop 240 end O conversor A/D ´ tomado como perif´rico 1 com formato de leitura F16. que passaremos a estudar ca c˜ e em seguida.br/labsil 134 sistema a ser controlado y(t) Medidores Figura 6. ´ a ferramenta que vai nos permitir resolver equa¸oes recursivas e definir a e c˜ no¸˜o de Fun¸ao de Transferˆncia para sistemas a tempo discreto.das.3 Transformada Z Assim como a Transformada de Laplace nos permite resolver equa¸oes diferenciais e c˜ definir a no¸˜o de Fun¸ao de Transferˆncia . Identifique as condi¸˜es iniciais. o sinal de entrada e o sinal de sa´ co ıda.8 e o perif´rico e e e ´ 2 ´ o conversor D/A com formato de escrita F16.ufsc. 6. Uma s´rie ´ convergente se em m´dulo a raz˜o ´ menor que a e e e o a e . Note que a transformada Z ´ definida como sendo a soma dos termos de uma s´rie na e e vari´vel complexa z. Transformada Z www. quando a s´rie ´ geom´trica e de raz˜o r conhecida.6) onde z = α+jβ ´ uma vari´vel complexa similar ` vari´vel s da transformada de Laplace. x(kT ) = 0. .3. ´ e e definida pela express˜o: a ∞ X(z) = Z[x(kT )] = k=0 x(kT )z −k . os coeficientes dessa s´rie s˜o os valores que o sinal assume nos diversos e e a instantes discreto de tempo. a Transformada Z tamb´m possui a e uma regi˜o de convergˆncia.br/labsil 135 6. pois pela defini¸ao temos a c˜ X(z) = x(0) + x(T )z −1 + x(2T )z −2 + . Veremos mais tarde que podemos relacionar a fun¸ao X(z) com a fun¸˜o c˜ ca X(s) da transformada de Laplace do sinal x(t) amostrado nos instantes t = kT . isto ´ a raz˜o da s´rie deve possuir m´dulo menor que a unidade |r| < 1.7) Para que o resultado da soma da s´rie seja dado pela f´rmula acima ´ preciso que a s´rie e o e e seja convergente. ∀ k < 0 (6. Em alguns casos. e a a a Assim. A s´rie acima possui raz˜o r = z −1 e a soma dos termos dessa s´rie ´ dada por 6. .das. Exemplo 6.ufsc.1 Defini¸˜o e exemplos ca A transformada Z de uma sequˆncia x(kT ) que satisfaz x(kT ) = 0 para k < 0. . e a e o Veja o exemplo a seguir. Al´m disso. Solu¸˜o: Pela defini¸˜o temos: ca ca ∞ ∞ Z[u(kT )] = k=0 u(kT )z −k = k=0 z −k = 1 + z −1 + z −2 + .3 Calcule a transformada Z da sequˆncia degrau unit´rio (u(kT )) definida e a como u(kT ) = 1 para k ≥ 0 e u(kT ) = 0 para k < 0.3. . podemos calcular e e e a o resultado da soma atrav´s da f´rmula e o x(z) = x(0) + x(T )z −1 + x(2T )z −2 + · · · = x(0) 1−r (6. a transformada Z transforma uma sequˆncia x(kT ) numa fun¸ao X(z) da vari´vel e c˜ a complexa z. Nessas condi¸˜es a a co temos: z 1 = U (z) = Z[u(t)] = −1 1−z z−1 Analogamente ` Transformada de Laplace e Fourier.7 e a e e −1 desde que a vari´vel complexa z esteja na regi˜o onde |r| = |z | < 1. O valor do sinal x(t) no instante t = kT aparece na s´rie e −k como o coeficiente do termo z . 6. pois caso contr´rio a Transformada em quest˜o deixa de ter e a a sentido. Para o caso do degrau unit´rio a regi˜o de convergˆncia ´ |z −1 | < 1 que no a a e e plano z define a regi˜o externa ao c´rculo unit´rio como ilustra a figura 6. a .ufsc.3.das. a Transformada pode ser vista a e como uma fun¸ao auxiliar que cont´m informa¸˜es relevantes sobre a fun¸ao no dom´ c˜ e co c˜ ınio do tempo. existe uma fun¸ao X(s). ´ um dado importante. pois se existe a e e uma regi˜o de convergˆncia. mesmo n˜o estando diretamente relacionadas. Fora da regi˜o de convergˆncia.br/labsil Im[s] 136 1 0 Re[s] Plano z transformada Z U (z) = z z−1 Plano s transformada de Laplace U (s) = 1 s Figura 6.13: Regi˜o de convergˆncia das transformadas do degrau unit´rio a e a a unidade. X(jω) ou X(z) conforme o caso. Fourier e a e ou Z. calcular essa regi˜o de convergˆncia ´ algo irrelevante.14. seja Laplace.14: Rela¸˜o biun´ ca ıvoca entre a sequˆncia x(kT ) e sua transformada Z e X(z) z ∈ Rconv A existˆncia de uma regi˜o de convergˆncia para a Transformada. Transformada Z Im[z] c´ ırculo unit´rio a Re[z] www.13. Dentro da a ı a regi˜o de convergˆncia a sequˆncia u(kT ) e sua Transformada Z est˜o relacionadas de a e e a maneira biun´voca como ilustra a figura 6. a e c˜ Dentro da regi˜o de convergˆncia a Transformada e a respectiva fun¸ao temporal est˜o a e c˜ a diretamente relacionadas. ı Z[x(kT )] x(kT ) (k ≥ 0) Z −1 [X(z)] Figura 6. No entanto. ∀ k < 0 (6.6. a ∞ (6. a sequˆncia x(kT ) ´ um sinal discreto. Este mapeamento de s = 0 em o a Laplace para z = 1 no plano Z ´ dado pela equa¸ao (6. Note ainda que com o resultado acima podemos facilmente obter a transformada Z da fun¸˜o exponencial f (k) = ebk onde b ´ uma constante e k ≥ 0 ´ uma vari´vel discreta ca e e a (verifique !). e Veja por exemplo a rela¸˜o que existe entre os p´los da transformada Z e Laplace do ca o degrau unit´rio indicadas na figura 6.4 (Fun¸˜o Potˆncia) Calcule a transformada Z da fun¸˜o potˆncia ak ca e ca e onde a ´ uma constante e k ≥ 0 ´ uma vari´vel discreta. t < 0 Considerando a mudan¸a de vari´vel c a z = eT s podemos reescrever X ∗ (s) em termos da vari´vel z como indicado a seguir. Transformada Z www. e c˜ Exemplo 6. . x(t) = 0.das.3. Enquanto x∗ (t) ´ um sinal e anal´gico com impulsos.3.6) conclu´ ımos que a mudan¸a de vari´vel (6.9) com (6. a regi˜o de convergˆncia da transformada ´ Rconv = {z : |a z −1 | < a e e 1 }.7) temos: ca ∞ Z[ak u(k)] = k=0 ak z −k = 1 z = 1 − a z −1 z−a Como curiosidade.9) Comparando (6.2 Rela¸˜o com a transformada de Laplace ca Podemos facilmente relacionar a vari´vel complexa z da transformada Z com a vari´vel a a s da transformada de Laplace. O p´lo da transformada Z est´ em z = 1. O p´lo da transformada de Laplace est´ na a o a origem s = 0. o e e Tomemos agora a Transformada de Laplace da express˜o acima: a ∞ L[x (t)] = X (s) = k=0 ∗ ∗ x(kT )e−kT s . x(kT ) = 0.8) define a rela¸˜o c a ca ∗ entre a vari´vel s da transformada de Laplace do sinal amostrado x (t) e a vari´vel z da a a transformada Z da sequˆncia x(kT ).br/labsil 137 6.13.ufsc.8) X (s)|s= ln(z) = Z[x (t)] = T ∗ ∗ x(kT )z −k k=0 .5). Note c˜ que a representa¸˜o do sinal amostrado x∗ (t) ´ diferente da representa¸ao da sequˆncia ca e c˜ e x(kT ) obtida com os valores de x(t) nos instantes t = kT . Vamos supor que x(t) seja um sinal anal´gico dado e que o ∞ x∗ (t) = k=0 x(kT )δ(t − kT ) seja a representa¸ao do sinal x(t) amostrado com amostrador ideal (veja figura 6.8). e e a Solu¸˜o: Com (6. 6. 6. Problema 6. Solu¸˜o: Aplicando a defini¸˜o encontramos ca ca ∞ Z[δ(k)] = k=0 δ(k)z −k = 1 Para a fun¸˜o pulso deslocada no instante k = m. a e a Solu¸˜o: Aplicando a defini¸˜o e f´rmula de Euler temos: ca ca o ∞ ∞ Z[sen(ω0 kT )u(kT )] = k=0 sen(ω0 kT )z 1 2j ∞ −k = k=0 ejω0 kT − e−jω0 kT −k z 2j = = ejω0 kT z −k − e−jω0 kT z −k k=0 1 z z − jω0 T 2j z − e z − e−jω0 T z sen(ω0 T ) = 2 z − 2 z cos(ω0 T ) + 1 ca a Exemplo 6. e c˜ e Z[α1 x(k) + α2 y(k)] = α1 Z[x(k)] + α2 Z[y(k)] para todo α1 .17 ilustram a rela¸ao entre a localiza¸ao dos p´los da transc˜ c˜ o formada Z do sinal e o seu comportamento temporal.5 (Fun¸˜o Senoidal) Calcule a transformada Z da fun¸˜o senoidal sen(ω0 kT ) ca ca onde ω0 e T s˜o constantes e k ≥ 0 ´ uma vari´vel discreta.4.16 e 6.4 6.6 (Pulso Unit´rio) Calcule a transformada Z da fun¸˜o Pulso Unit´rio: a δ(k) definida como δ(k) = 1 para k = 0 e nula para k = 0.br/labsil 138 Exemplo 6.4.das. 6.1 Propriedades da Transformada Z Linearidade A Transformada Z ´ uma opera¸ao linear.15. isto ´. definida como δ(k − m) = 1 para ca k = m e nula para k = m encontramos ∞ Z[δ(k − m)] = k=0 δ(k − m)z −k = z −m As figuras 6. α2 ∈ C.ufsc.2 Prove que a transformada Z ´ uma opera¸˜o linear e ca . Propriedades da Transformada Z www. ufsc.15: Rela¸ao entre localiza¸ao p´los e evolu¸˜o temporal c˜ c˜ o ca .6 0.5 -0.2 0. Propriedades da Transformada Z www.3 0.7 0.9 1.4.9 f (k) = (−0.br/labsil 139 p´los de F (z) o Evolu¸ao temporal de f (k) c˜ u(k) 1.99 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 p´lo z = 1 o 0.00 + + + + + + + + + + + X X 0.7 o 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 6.8 0.1 0 0 1 2 3 4 5 + + + + + + 7 + 8 + 9 + 10 6 p´lo z = 0.das.01 c´ ırculo unit´rio a 1.1 -0.3 -0.7)k + c´ ırculo unit´rio a X 0.7 0.1 0.1 -0.3 0.0 + f (k) = (0.5 0.4 0.7 + 1 + + + + + + + + + p´lo z = −0.6.5 0.7 o 1.7)k + c´ ırculo unit´rio a X 0. 8 + + + + + c´ ırculo unit´rio a X 0.16: Rela¸ao entre localiza¸ao p´los e evolu¸˜o temporal c˜ c˜ o ca .2 o 1 + 0 10 Figura 6.4 0.6.2 0 -0. Propriedades da Transformada Z www.2 o f (k) = (1.br/labsil 140 p´los de F (z) o Evolu¸ao temporal de f (k) c˜ f (k) = (−1)k 1.0 p´lo z = −1 o 8 0 + 1 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + 9 10 f (k) = (−1.ufsc.4.6 0.2)k c´ ırculo unit´rio a X 6 4 + 2 + 0 + -2 -4 -6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 + + + + + + + + p´lo z = −1.0 + 0.4 -0.6 -0.2)k 7 + c´ ırculo unit´rio a X 6 + + 4 + 3 + 2 + 1 + 2 3 4 5 6 7 8 9 + + + 5 p´lo z = 1.das.2 -0.8 -1. 5 o -6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 6.4 0.6 -0.5 k) 0.5 k) 1.17: Rela¸ao entre localiza¸ao p´los e evolu¸˜o temporal c˜ c˜ o ca .6.5 o c´ ırculo unit´rio a X X 0.4.5 0.ufsc.8e±j 0.4 0.1 + 0 + -0.2 0 + -0.2k sen(0.4 -0.6 + 0.8 -1.2 0.3 0.6 + 0.2 -0.br/labsil 141 p´los de F (z) o Evolu¸ao temporal de f (k) c˜ f (k) = sen(0.2e±j 0.8k sen(0.5 k) 2 + + + + + + c´ ırculo unit´rio a X X 1 0 + -1 -2 -3 -4 -5 + + + + p´los z = 1.5 o -0.0 0 1 2 3 4 + + + + + 5 6 7 8 9 + 10 f (k) = 0.1 + + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 + 9 + + + + + p´los z = 0.das.2 10 f (k) = 1. Propriedades da Transformada Z www.8 + + + c´ ırculo unit´rio a X X p´los z = e±j 0.0 0. 3 Teorema do Valor Final Se Z[x(k)] = X(z) e se a fun¸˜o (z − 1)X(z) ´ anal´ ca e ıtica sobre e fora do c´ ırculo unit´rio. 6. a ent˜o: a lim x(k) = lim (z − 1)X(z) k→∞ z→1 Prova: Note que ∞ Z[x(k)] = X(z) = k=0 x(k)z −k ∞ Z[x(k + 1)] = zX(z) − zx(0) = k=0 x(k + 1)z −k Tomando a diferen¸a entre as duas express˜es acima: c o ∞ [x(k + 1) − x(k)]z −k = zX(z) − zx(0) − X(z) = (z − 1)X(z) − zx(0) k=0 Supondo que a sequˆncia x(k) converge para um valor finito em regime. temos que X(z) e pode ter no m´ximo um p´lo sobre o c´ a o ırculo unit´rio e nenhum p´lo fora dele (veja figuras a o 6. quando z → ∞ obtem-se o resultado desejado. e .15-6. .6. z→∞ Prova: Note que Z[x(k)] = ∞ k=0 x(k)z −k = x(0) + x(1)z −1 + .4.17). Logo para z → 1 a temos o seguinte resultado: ∞ z→1 lim [x(k + 1) − x(k)]z −k = lim [(z − 1)X(z) − zx(0)] k=0 z→1 de onde se conclui que no limite ficamos com ∞ x(k + 1) − x(k) = lim [(z − 1)X(z)] − x(0) k=0 z→1 z→1 z→1 x(∞) − x(0) = lim (z − 1)X(z) − x(0) ⇒ x(∞) = lim (z − 1)X(z) que ´ o resultado desejado.br/labsil 142 6.ufsc.2 Teorema do Valor Inicial Se Z[x(k)] = X(z) e limz→∞ X(z) existe ent˜o: a x(0) = lim X(z).4. Logo.das. Propriedades da Transformada Z www. .4. Isso implica que a fun¸˜o auxiliar (z − 1)X(z) n˜o pode ter p´los sobre nem ca a o fora do c´ ırculo unit´rio. ou seja devem estar dentro do c´ a ırculo unit´rio. Logo o uso de tabelas associado ao m´todo de expans˜o em fra¸oes e a c˜ parciais pode ser util na determina¸ao de F (z) a partir de F (s). . e Dessa rela¸ao podemos montar tabelas que relacionam X(s) (a transformada de Laplace c˜ do sinal x(t)) e a respectiva transformada Z da sequˆncia x(kT ).das.18 ilustra e essa rela¸ao. Pn o conjunto de p´los distintos de F (s). Propriedades da Transformada Z www. .. Caso F (s) possua p´los repetio o dos inclua o p´lo apenas uma vez no conjunto. o Ent˜o. A seguir c˜ apresenta-se um procedimento anal´ ıtico alternativo bastante simples conhecido como m´todo dos res´ e ıduos. .4. Pn podemos calcular F (z) da seguinte forma: a n F (z) = i=1 R(Pi ) sendo R(Pi ) o res´ ıduo do p´lo Pi (i = 1. A figura 6. .6. Sejam P1 ..n) dados por: o • P´lo simples (multiplicidade 1) o R(Pi ) = (s − Pi )F (s) z z − esT s=Pi . . c˜ sinal discreto f (kT ) Z[f (kT )] amostrador ideal L−1 [F (s)] F (s) f (t) T L[f ∗ (kT )] f ∗ (kT ) ln(z) s= T sinal amostrado F (z) Z[F (s)] Tabelas ou Teorema dos Res´ ıduos Figura 6.br/labsil 143 6. com F (s) e P1 .4.18: Obten¸ao de F (z) a partir de F (s) c˜ As fun¸oes mais usuais j´ se encontram tabeladas em termos de suas Transformadas c˜ a Z. . . Laplace e Fourier. ´ c˜ No entanto o uso de tabelas pode apresentar limita¸oes em alguns casos.ufsc. .4 Obten¸˜o de F (z) a partir de F (s) ca Vimos anteriormente que existe uma rela¸˜o entre a transformada de Laplace de um ca ∗ sinal x (t) amostrado nos instantes t = kT e a transformada Z da sequˆncia x(kT ). ufsc.Tempo Cont´ ınuo) . ı 6.7 Obtenha F (z) = Z[F (s)] dado F (s) = 1 . (s+a)(s+b) Solu¸˜o: Como F (s) possui dois p´los distintos temos: ca o F (z) = R(P1 ) + R(P2 ) sendo: z R(P1 ) = (s + a)F (s) z−esT z R(P2 ) = (s + b)F (s) z−esT 1 = b−a z−ez−aT 1 = a−b z−ez−bT s=−a s=−b Logo: F (z) = z 1 z − −aT b−a z−e z − e−bT O resultado pode ser conferido com o aux´lio de tabelas (verifique!). Mostraremos a seguir que isto tamb´m ´ e e e verdade em rela¸ao ` convolu¸ao discreta e a Transformada Z . Propriedades da Transformada Z • P´lo m´ltiplo (multiplicidade m) o u R(Pi ) = www. podemos definir convolu¸˜o para sistemas de tempo discreto atrav´s de um somat´rio. Laplace .4.das. tanto na integral como no somat´rio.5 Convolu¸˜o Discreta ca De forma an´loga ` integral de convolu¸˜o para sistemas de tempo cont´ a a ca ınuo.br/labsil 144 1 dm−1 z (s − Pi )m F (s) m−1 (m − 1)! ds z − esT s=Pi O resultado acima ´ apresentado como exerc´ resolvido no livro do Ogata [1] (edi¸˜o e ıcio ca 1982) ou ainda em v´rios outros livros sobre controle de sistemas a tempo discreto. ca e o Tempo cont´ ınuo: ∞ ∞ x1 (t) ∗ x2 (t) = −∞ x1 (τ )x2 (t − τ )dτ = −∞ x2 (τ )x1 (t − τ )dτ Tempo discreto: ∞ ∞ x1 (kT ) ∗ x2 (kT ) = n=−∞ x1 (nT )x2 (kT − nT ) = n=−∞ x2 (nT )x1 (kT − nT ) Normalmente temos x1 (t) = 0 e x2 (t) = 0 para t < 0 e nesses casos podemos tomar t0 = 0 como limite inferior.6. c˜ a c˜ L[x1 (t) ∗ x2 (t)] = X1 (s)X2 (s) (Transf.4. o Com a Transformada de Laplace vimos que convolu¸ao no dom´ do tempo se transc˜ ınio forma em produto no dom´ ınio da frequˆncia. a Exemplo 6. ca y(kT ) = x1 (kT ) ∗ x2 (kT ) Pela defini¸ao da Transformada Z temos: c˜ ∞ ∞ ∞ Z[y(kT )] = k=0 y(kT )z −k = k=0 n=0 x1 (nT )x2 (kT − nT ) z −k Fazendo a mudan¸a de vari´vel m = k − n encontramos: c a ∞ ∞ Z[y(kT )] = m=0 n=0 ∞ x1 (nT )x2 (mT )z −(m+n) ∞ −m n=0 = m=0 x2 (mT )z x1 (nT )z −n = X1 (z)X2 (z) que ´ o resultado desejado. e Note que a convolu¸˜o de uma sequˆncia qualquer x1 (kT ) com um pulso unit´rio δ(kT ) ca e a resulta na pr´pria sequˆncia x1 (kT ) pois. 6. A seguir apresentaremos os dois mais utilizados.5 Transformada Z Inversa Existem basicamente trˆs m´todos para a determina¸˜o da Transformada Z Inversa. vantagens e desvantagens. e e ca Cada um possui caracter´ ısticas diferentes.br/labsil 145 Z[x1 (kT ) ∗ x2 (kT )] = X1 (z)X2 (z) (Transf. .6. Z .Tempo Discreto) Prova: Seja y(kT ) o resultado da convolu¸˜o discreta. Transformada Z Inversa www.das. o e a 1 k=0 0 k=0 δ(kT ) = Pulso Unit´rio na Origem a ∞ Z[δ(kT )] = k=0 δ(kT )z −k = 1 Logo: Z[f (kT ) ∗ δ(kT )] = Z[f (kT )]Z[δ(kT )] = Z[f (kT )] ⇒ f (kT ) ∗ δ(kT ) = f (kT ) A fun¸˜o pulso unit´rio δ(kT ) tem (em rela¸ao a Transformada Z ) as mesmas proca a c˜ priedades que a fun¸˜o impulso unit´rio δ(t) tem em rela¸˜o ` Transformada de Laplace ca a ca a .ufsc. como j´ vimos Z[δ(kT )] = 1.5. . . .das. ˜ D(z −1 ) = z −n D(z) ˜ ˜ Fa¸a agora a divis˜o de N (z −1 ) por D(z −1 ) para encontrar os valores de x(0). (6.br/labsil 146 6. isto ´ X(z) = e c˜ e sendo N (z) e D(z) dois polinˆmios. e . x(T ) = 10. .5. c a x(2T ).6. ˜ −1 ) D(z Logo. x(2T ) = 30. . x(T ). . ˜ N (z −1 ) N (z) = = x(0) + x(T )z −1 + x(2T )z −2 + .8 Determine o valor num´rico de x(4T ) dado que X(z) = e Solu¸˜o: ca X(z) = N (z) 10z = 2 D(z) z − 3z + 2 10z (z−1)(z−2) . temos: o N (z) = x(0) + x(T )z −1 + x(2T )z −2 + . N (z) D(z) Como normalmente X(z) ´ expressa em termos de uma fra¸ao polinomial. x(4T ) = 150. x(3T ) = 70. . . Transformada Z Inversa www.1 M´todo da divis˜o polinomial e a Este m´todo ´ uma consequˆncia direta da pr´pria defini¸˜o de Transformada Z : e e e o ca ∞ X(z) = k=0 x(kT )z −k = x(0) + x(T )z −1 + x(2T )z −2 + .ufsc. . ˜ D(z −1 ) = z −2 D(z) = 1 − 3z −1 + 2z −2 ˜ N (z −1 ) = z −2 N (z) = 10z −1 Por divis˜o polinomial se obt´m: a e ˜ N (z −1 ) = 10z −1 + 30z −2 + 70z −3 + 150z −4 + . . por igualdade polinomial com (6. . Construa dois polinˆmios auxiliares o ˜ N (z −1 ) = z −n N (z) .10) ˜ −1 ) D(z) D(z Exemplo 6. D(z) Para obter a igualdade acima atrav´s das regras usuais de divis˜o polinomial seguimos e a o seguinte procedimento: Suponha que o grau de N (z) n˜o ´ superior ao grau de D(z) e a e defina n=grau(D(z)).5. Quando se deseja obter uma forma anal´ ıtica para x(kT ) este m´todo n˜o ´ adequado e a e e o m´todo seguinte pode ser utilizado.10) conclu´ ımos que: x(0) = 0. . 6. deslocar (um passo ` frente) um sinal de tempo discreto corresponde ` a a . a co Transformada Z nos permite resolver equa¸˜es recursivas.br/labsil Compara¸˜o ca Transformada de Laplace L[x(t)] = sX(s) − x(0) ˙ Transformada Z Z[x(kT + T )] = zX(z) − zx(0) 147 Tempo cont´ ınuo x(t) ˙ Tempo discreto x(kT + T ) Tabela 6.6. Quando as condi¸oes iniciais s˜o nulas podemos concluir que derivar um sinal de tempo c˜ a cont´ ınuo corresponde a multiplicar sua transformada de Laplace por s. Solu¸˜o de Equa¸oes recursivas ca c˜ www. . ca ca co Seja X(kT ) um sequˆncia e x(kT + T ) a sequˆncia deslocada de T segundos (k = e e 0.2.2: Compara¸ao entre L[x(t)] e Z[x(kT + T )] c˜ ˙ 6. 2. . x(k) = −10(1)k + 10(2)k .9 Calcule a sequˆncia x(k) cuja transformada Z ´ X(z) = e e Solu¸˜o:Expandindo X(z)/z for fra¸˜es parciais temos ca co X(z) 10 A B = = + z (z − 1)(z − 2) z−1 z−2 onde A = Logo: X(z) = −10 Lembrando que Z[ak ] = z z−a 10 | z−2 z=1 10z . . Veja a compara¸ao na tabela co c˜ 6. 1. 1. Note apenas que ao inv´s de expandir F (z) por fra¸˜es e co parciais devemos expandir X(z)/z.2 M´todo das fra¸˜es parciais de X(z)/z e co Este m´todo ´ o an´logo da expans˜o por fra¸oes parciais da utilizado na obten¸ao da e e a a c˜ c˜ transformada inversa de Laplace. (z−1)(z−2) = −10 e B = 10 | z−1 z=2 = 10.ufsc.das. Veja o exemplo que segue. isto ´ sX(s). . 6. ).5. Exemplo 6.6 Solu¸˜o de Equa¸˜es recursivas ca co Veremos a seguir como calcular Transformada Z de uma sequˆncia deslocada e a e utiliza¸˜o desse resultado na solu¸˜o de equa¸˜es recursivas. . e Analogamente. Assim como a Transformada de Laplace nos permite resolver equa¸˜es diferenciais. . z z + 10 z−1 z−2 temos: k = 0. 2. 6. x(1) = 1 (6.11) Como z corresponde ao operador deslocamento um passo ` frente no tempo a vari´vel z −1 a a corresponde ao operador deslocamento um passo ` traz no tempo. x(0) = 0. x(t) = 0 t < 0 ∞ Z[x(kT + T )] = k=0 x(kT + T )z −k = n=1 x(nT )z −(n−1) (n = k + 1) Somando e subtraindo o termo zx(0) obtemos: ∞ Z[x(kT + T )] = z n=1 ∞ x(nT )z −n + zx(0) − zx(0) x(nT )z −n − zx(0) n=0 = z = zZ[x(nT )] − zx(0) que prova a propriedade desejada. Analogamente temos: Z[x(kT + 2T )] = zZ[x(kT + T )] − zx(T ) = z[zZ[x(kT )] − zx(0)] − x(T ) = z 2 X(z) − z 2 x(0) − zx(T ) Podemos enfim generalizar a propriedade do deslocamento no tempo aplicando sucessivamente os resultados acima e obtemos ap´s m sucessivos deslocamentos: o Z[x(k + m)] = z m X(z) − z m x(0) − z m−1 x(1) − · · · − zx(m − 1) (6. Solu¸˜o de Equa¸oes recursivas ca c˜ www.br/labsil 148 multiplicar sua transformada Z por z.10 Resolva a seguinte equa¸˜o recursiva: ca x(k + 2) + 3x(k + 1) + 2x(k) = 0. Para provar essa propriedade da Transformada Z note que: ∞ Z[x(kT )] = k=0 ∞ x(kT )z −k . Utilizando o mesmo a procedimento acima encontramos Z[x(k − m)] = z −m X(z) Exemplo 6. isto ´ zX(z).ufsc. A vari´vel complexa s corresponde e a ao operador derivada no dom´ do tempo cont´ ınio ınuo e a vari´vel complexa z corresponde a ao operador deslocamento um passo ` frente no dom´ a ınio do tempo discreto.6.12) Solu¸˜o: Tomando a Transformada dos dois lados e usando a linearidade temos: ca Z[x(k + 2)] + 3Z[x(k + 1)] + 2Z[x(k)] = 0 .das. o a o a Confirme esse resultado na figuras 6.15-6.ufsc. . .19: Sequˆncias convergentes e a localiza¸ao dos p´los no plano z e c˜ o Note que no caso da sequˆncia x(kT ) = sen(ω0 kT )u(kT ) sua transformada: e X(z) = 1 z z − jω0 T 2j z − e z − e−jω0 T possui dois p´los (z = e−jω0 T e z = ejω0 T ) que s˜o complexos conjugados (z = cos(ω0 T ) ± o a jsen(ω0 T )) e possuem m´dulo unit´rio indicando que a s´rie ´ oscilat´ria sem amortecio a e e o mento. com a Transformada Z encontraremos: e z 2 X(z) − 3zX(z) + 2X(z) = U (z) . 1. k = 0. e a Solu¸˜o: Para resolver a equa¸˜o acima precisamos das condi¸˜es iniciais x(0) e x(1). Al´m disso. ca Exemplo 6.das. . Note que os p´los da Transformada X(z) se tornam a base das exponenciais no tempo.11 Determine a resposta do sistema descrito pela seguinte equa¸˜o recursiva: x(k + 2) − 3x(k + 1) + 2x(k) = u(k) onde u(k) ´ o pulso unit´rio e x(k) = 0 para k ≤ 0. ca ca co O valor de x(0) = 0 ´ dado e o valor de x(1) = 0 se obt´m da pr´pria equa¸˜o recursiva e e o ca com k = −1. Im[z] X X Re[z] sequˆncias n˜o amortecidas: |p´los| = 1 e a o sequˆncias convergentes: |p´los| < 1 e o X PLANO z sequˆncias divergentes: |p´los| > 1 e o Figura 6. 2. x(k) tende assintoticamente ` zero quando e e a k → ∞.6.br/labsil 149 z 2 X(z) − z 2 x(0) − zx(1) + 3[zX(z) − zx(0)] + 2X(z) = 0 ⇒ X(z) = Como Z[ak ] = z z−a z z z z = = − z 2 + 3z + 2 (z + 2)(z + 1) z+1 z+2 obtemos: x(k) = (−1)k − (−2)k . Solu¸˜o de Equa¸oes recursivas ca c˜ com a propriedade de deslocamento encontramos: www. o Logo uma sequˆncia x(kT ) ´ convergente.17. se todos os p´los da sua transformada X(z) s˜o em m´dulo inferiores ` unidade.6. 12 J´ vimos no exemplo 6. 2.5)k + (1)k . . (Sistema Est´vel) a Analogamente a tens`o inicial se obt´m: a e k→0 lim x(kT ) = 0 . x(kT ) = −(0.5 e x(0) = 0. . x(k + 1) = −(1)k + (2)k . Solu¸˜o de Equa¸oes recursivas ca c˜ www. 1. e ı a −T /RC Suponha os dados e = 0. a a Logo: 1 −1 1 X(z) = 2 = + z − 3z + 2 z−1 z−2 Como Z[x(k + 1)] = zX(z) − zx(0) e x(0) = 0 temos: Z[x(k + 1)] = zX(z) = −z z + z−1 z−2 Lembrando que Z[ak ] = z z−a obtemos finalmente: k = 0. b = 1 − e−T /RC Obtenha a sequˆncia de sa´da x(kT ) para um degrau unit´rio aplicado na entrada.das.2 que no circuito RC da figura 6.5 = + (z − 0. .br/labsil 150 A transformada do pulso unit´rio j´ calculamos anteriormente e vale U (z) = Z[u(k)] = 1.10 onde e(t) ´ a e constante por trechos (e(t) = e(kT ).5 z − 1 Lembrando que Z[ak ] = z z−a encontramos: k = 0. 2. kT ≤ t ≤ kT + T ) os sinais de entrada e sa´ nos ıda instantes t = kT s˜o dados pela equa¸˜o recursiva: a ca x(KT + T ) − a x(kT ) = b e(kT ) a = e−T /RC . Note que a tens˜o em regime permanente se obt´m pelo limite: a e k→∞ lim x(kT ) = 1. .5)(z − 1) z − 0.6. Exemplo 6.6. . Solu¸˜o: Com a Transformada Z temos: ca Z[x(kT + T )] − aZ[x(kT )] = bZ[e(kT )] zX(z) − zx(0) − aX(z) = bE(z) Como E(z) = z z−1 temos: X(z) = −z z z0. .ufsc. 1. 7. e x(k) SISTEMA y(k) C. e Note entretanto que os coeficientes da equa¸ao recursiva dependem de T e n˜o podec˜ a mos eliminar essa dependˆncia. responde a um dado sinal de entrada.1 Respostas de Estado Zero e Entrada Zero A resposta de todo sistema linear invariante no tempo pode ser decomposta em duas parcelas: uma que depende do sistema e do sinal de entrada e outra que depende do sistema e das condi¸oes iniciais.20: Sistema discreto gen´rico e 6. y(k) a sequˆncia de sa´ obtida. Veja no caso do exemplo 6. A primeira parcela chamaremos de Resposta de estado c˜ zero j´ que esta parcela indica como um sistema.I. e .ufsc. para uma dada condi¸˜o inicial x(0) = x0 e a resposta de Estado Zero ca para uma entrada gen´rica e(k).12: poder´ e ıamos rescrever a equa¸˜o recursiva na forma x(k + 1) − a x(k) = b e(k) mas os coeficientes a.12. y(k) ao inv´s de x(kT ) e y(kT ).br/labsil 151 6. Figura 6. b seriam os ca mesmos anteriores que dependem de T e dos parˆmetros f´ a ısicos do sistema (capacitˆncia a e resistˆncia nesse exemplo particular). inicialmente em repouso (condi¸˜es a co iniciais nulas). CI as e e ıda condi¸˜es iniciais (que s˜o os n − 1 valores iniciais da vari´vel de sa´ co a a ıda) e o bloco sistema representa um sistema que ser´ descrito por uma equa¸˜o recursiva linear e invariante no a ca tempo (coeficientes constantes) do tipo an y(k + n) + · · · + a1 y(k + 1) + a0 y(k) = bm x(k + m) + · · · + b1 x(k + 1) + b0 x(k) (6. Calcule a resposta de Entrada Zero.das.7 Fun¸˜o de Transferˆncia Discreta e Estabilidade ca e Todo sistema discreto pode ser representado por um diagrama similar ao da figura 6. significa e c˜ que estamos representando a sequˆncia numa escala de tempo normalizado k = t/T . Fun¸˜o de Transferˆncia Discreta e Estabilidade ca e www.13) Por conveniˆncia de nota¸˜o estamos utilizando x(k). a c˜ c˜ As respostas de Estado Zero e Entrada Zero de um sistema descrito por (6.7. e Exemplo 6. Esta nota¸ao . A segunda parcela chamaremos de Resposta de Entrada Nula pois ela indica como um sistema se comporta quando ´ deixado e para responder livremente `s suas condi¸oes inicias (sem excita¸ao externa). muito utilizada em livros de controle.6.20 onde x(k) representa a sequˆncia de entrada dada.13 Considere o circuito descrito no exemplo 6. e ca e Isto n˜o significa que estamos assumindo o intervalo T = 1 (tempo entre dois valores cona secutivos da sequˆncia).13) pode ser determinada atrav´s da Transformada Z . 13) obter´ e ıamos: n−1 y(k) = f (k) ∗ x(k) + i=0 fi (k)ci (6. .7. e a ´ a resposta de Entrada Zero. . Da express˜o acima observe que: a 1. A sa´ de um sistema discreto depende dos parˆmetros f´ ıda a ısicos e do per´ ıodo de amostragem que determinam os coeficientes da equa¸˜o recursiva e que por sua vez ca determinam as fun¸oes f (k) e fi (k) em (6. que n˜o depende da entrada. n − 1). n−1 yenz (kT ) = i=0 fi (kT )ci . ıda c˜ Esta parcela da resposta recebe o nome de resposta de Entrada Zero.ufsc. yesz (kT ) = f (kT ) ∗ x(kT ). Podemos ent˜o reescrever a express˜o a a acima da seguinte forma: x(k) = Z −1 [X(z)] = Z −1 [F (z)E(z)] + Z −1 [F0 (z)]x(0) = f (k) ∗ e(k) + f0 (k)x(0) Note que f (k) e f0 (k) dependem apenas dos coeficientes constantes da equa¸˜o recurca siva. e Se ao inv´s do circuito RC (de primeira Ordem) acima tomarmos a equa¸ao recursiva e c˜ de um sistema gen´rico (6. .13). Fun¸˜o de Transferˆncia Discreta e Estabilidade ca e www. 3. N˜o dependem nem da entrada. Esta e e ca parcela da resposta recebe o nome de resposta de Estado Zero. A sa´ de um sistema discreto depende da entrada que lhe ´ aplicada e essa dependˆncia se expressa atrav´s da convolu¸˜o discreta y(kT ) = f (kT ) ∗ x(kT ). c˜ ıda e 2. nem da sa´da nem das condi¸˜es iniciais.das. f (k) e fi (k) s˜o sequˆncias que a co a e dependem apenas dos coeficientes da equa¸ao recursiva (6. ´ a resposta de Estado Zero e a parcela f0 (k)x(0). a ı co A parcela f (k) ∗ e(k). A sa´ de um sistema depende das condi¸oes iniciais ci = y(iT ) (i = 0.br/labsil 152 Solu¸˜o: Tomando a Transformada Z da equa¸˜o recursiva temos: ca ca zX(z) − zx(0) − aX(z) = bE(z) ⇒ X(z) = F (z)E(z) + F0 (z)x(0) onde F (z) = b z−a e F0 (z) = z . .3 Calcule as sequˆncias f (k) e f0 (k) do exemplo acima. z−a Sejam f (k) = Z −1 [F (z)] e f0 (k) = Z −1 [F0 (z)]. e Problema 6. que ´ uma convolu¸˜o discreta e n˜o depende das condi¸˜es e ca a co iniciais. x(k) ´ a sequˆncia de c˜ e e entrada e y(k) a de sa´ ıda.6.14) onde ci = y(i) s˜o as condi¸˜es iniciais do sistema.14). e ca a 5. Se F (z) possuir algum p´lo o o com m´dulo maior que a unidade ent˜o a resposta ter´ uma parcela que diverge.13) temos que: an y(k + n) + · · · + a0 y(k) = bm x(k + m) + · · · + b0 x(k) Observe que y(k + n) depende de x(k + m) e portanto se m > n a sa´ no instante ıda k + n depende de valores da entrada em instantes de tempo futuros pois k + m > k + n para todo k. (X(z) = 1).ufsc. 6. Dom´ ınio da Frequˆncia: Y (z) = F (z)X(z). Caso contr´rio ´ dito ser inst´vel. Defini¸˜o 6. A o a a fun¸ao F (z) ´ conhecida como Fun¸˜o de Transferˆncia Discreta (ou pulsada) do c˜ e ca e sistema. Dom´ ınio do Tempo: y(k) = f (k) ∗ x(k).2 Resposta ao Pulso e Estabilidade Quando as condi¸˜es iniciais s˜o nulas a sa´ de um sistema discreto linear invariante co a ıda s´ depende da entrada e da Fun¸ao de Transferˆncia Discreta.7. c˜ e Com (6. o a a e a . Mostraremos a seguir que um sistema ´ causal quando o polinˆmio do numerador da e o Fun¸ao de Transferˆncia F (z) possui grau ≤ ao do denominador.6. Caso contr´rio o valor da resposta no a instante t = kT passa a depender de valores futuros do sinal da entrada (x(t) para t > kT ) e que portanto ainda n˜o est˜o dispon´ a a ıveis no instante t = kT . e Defini¸˜o 6. Fun¸˜o de Transferˆncia Discreta e Estabilidade ca e www. A resposta de Entrada Zero ´ linear (afim) em rela¸ao `s condi¸˜es iniciais e a e c˜ a co resposta de Estado Zero ´ linear em rela¸˜o ` entrada.7.2 (Estabilidade) Um sistema discreto linear invariante no tempo ´ expoca nencialmente est´vel se todos os p´los da sua Fun¸˜o de Transferˆncia Pulsada possuem a o ca e m´dulo inferior ` unidade.14).1 (Sistemas Causais ou N˜o-Antecipativos) Um sistema discreto ´ dito ca a e ser Causal (ou N˜o-Antecipativo) se a resposta de Estado Zero para um pulso unit´rio ´ a a e nula para k < 0. como pode ser visto em o c˜ e (6. Num sistema causal o valor da resposta num dado instante de tempo y(kT ) n˜o depende a do sinal de entrada x(nT ) para valores de n > k. e A fun¸ao f (k) = Z −1 [F (z)] recebe o nome de resposta ao pulso unit´rio pois f (k) ´ a c˜ a e resposta do sistema quando as condi¸˜es inciais s˜o nulas e a entrada ´ um pulso unit´rio co a e a no instante k = 0.das. Os p´los de F (z) definem a estabilidade da resposta. Logo para que um sistema discreto seja causal devemos ter m ≤ n.br/labsil 153 4. 21(b). isto ´ apenas a e os valores y(kT ) ser˜o considerados.8. Exemplo 6. N˜o depende da entrada nem das a condi¸˜es iniciais. oscilat´ria ou converge para um valor n˜o a a a o a nulo.14 Verifique a estabilidade do sistema cuja fun¸˜o de transferˆncia ´ ca e e F (z) = z (z − 1)(z + 2) Solu¸˜o: Os p´los de F (z) s˜o z = 1 e z = −2 e pela defini¸˜o acima o sistema ´ ca o a ca e inst´vel pois F (z) possui p´los fora do c´ a o ırculo unit´rio (ou sobre o c´ a ırculo). Ser´ crescente. Ela s´ depende dos parˆmetros f´ o a ısicos do mesmo. A seguir a a o veremos como transformar sistemas amostrados em sistemas discretos equivalentes. a A figura 6. Sistemas Amostrados www.br/labsil 154 Pela defini¸˜o acima. se algum p´lo da Fun¸˜o de Transferˆncia F (z) possuir m´dulo ≥ 1 a resposta o ca e o ao pulso n˜o tende ` zero. O sistema discreto que procuramos possui as mesmas informa¸˜es do co sistema amostrado e al´m disso a transformada Z pode ser aplicada diretamente. A sa´ y(t) desse ıda sistema ser´ discretizada para posterior tramento num computador digital.6. caracterizando assim a instabilidade do sistema. Precisamos ent˜o saber qual seria o sistema discreto a a equivalente que tem as sequˆncias x(kT ) como entrada e y(kT ) como sa´ e ıda. Para ver o efeito desses p´los na resposta ao pulso unit´rio temos: o a F (z) = e como Z[ak ] = z z−a 1 z 1 z − 3z −1 3z +2 temos: 1 1 Z −1 = f (k) = (1)k − (−2)k 3 3 Assim. 6. note que a estabilidade ´ uma propriedade intr´ ca e ınseca do sistema. a maioria dos sistemas a serem controlados s˜o de natureza cont´ a ınua e s˜o controlados por computadores digitais (natureza a discreta). como indica a figura 6.das. Com essa transforma¸˜o todos os sinais do sistema passam a ser discretos e a transformada Z ca pode ser usada sem maiores problemas na an´lise do sistema. O nome exponencialmente est´vel apenas enfatiza que os p´los da co a o Fun¸ao de Transferˆncia ser˜o a base de exponenciais no dom´ c˜ e a ınio do tempo e portanto a resposta ao pulso converge exponencialmente para zero. e . No entanto.ufsc.21(a) mostra um sistema cont´ ınuo G(s) cuja entrada x∗ (t) ´ um sinal e amostrado com amostrador ideal (trem de impulsos de per´ ıodo T ). De forma an´loga a transformada Z nos possibilita o tratamento de a sinais e sistemas de tempo discreto.8 Sistemas Amostrados Vimos que a transformada de Laplace ´ adequada ao tratamento de sinais e sistemas e de tempo cont´ ınuo. Essa mistura de sistemas cont´ ınuos e discretos tornam o problema de an´lise a de estabilidade mais complicado pois tanto a transformada de Laplace como a transformada Z j´ n˜o fornecem resultados satisfat´rios se aplicadas diretamente. 21(a) ´ um sinal amostrado o e onde os impulsos possuem ´reas de valores x(kT ) e a entrada do bloco discreto G(z) na a figura 6.br/labsil y(t)|t=kT (a) 155 G(s) x(kT ) G(z) y(kT ) (b) Figura 6. Seja ent˜o g(t) = L−1 [G(s)] a resposta impulsional do sistema representado por G(s). e o e A seguir apresentamos um procedimento para. 0 ≤ t ≤ kT .das. x(t) = 0 para t < 0.15) .6. encontrar o o bloco discreto equivalente G(z). ENTRADA: x∗ (t) = SA´ IDA: y(t) = k n=0 ∞ k=0 x(kT )δ(t − kT ). a Da´ a resposta y(t) ´ dada pela convolu¸ao cont´ ı. Desenvolvendo a express˜o acima encontramos: a k y(t) = n=0 k x(nT )[δ(t − nT ) ∗ g(t)].21(a) ´ anal´gica e e ıda e o mas apenas os valores y(kT ) medidos nos instantes t = kT s˜o de interesse. x(nT ) g(t − nT ) n=0 0 ≤ t ≤ kT = Os valores de y(t) nos instantes t = kT s˜o dados por: a k y(t)|t=kT = y(kT ) = n=0 x(nT )g(kT − nT ) (6. A sa´ y(t) figura 6. e c˜ ınua da entrada com a resposta impulsional. dado o sistema anal´gico G(s).8.ufsc.21(b) ´ a pr´pria sequˆncia y(kT ). Sem perda de generalidade representamos y(t) no intervalo 0 ≤ t ≤ kT para algum valor de k ≥ 0.21: Sistema amostrado e seu discreto equivalente Note que a entrada do bloco anal´gico G(s) na figura 6.21(b) ´ uma sequˆncia de valores x(kT ). Note que estamos supondo que G(s) representa um sistema causal e portanto g(t) = 0 para t < 0. E equivalˆncia ` qual nos referimos ´ no sentido de e a e que os valores do sinal de entrada x(kT ) e sa´ y(kT ) do sistema discreto s˜o os mesmos ıda a do sistema cont´ ınuo x(t). J´ a sa´ a a ıda na figura 6. Sistemas Amostrados x(t) T x∗ (t) www. y(t) nos instantes t = kT . x(nT )δ(t − nT ) ∗ [g(t)]. ı Solu¸˜o: Podemos resolver esse problema de duas formas: ca (1) Utilizando o Teorema do Res´duo apresentado na se¸˜o 6. Pela propriedade de convolu¸ao da Transformada Z temos tamb´m que: c˜ e Z[y(kT )] = Z[x(kT )]Z[g(kT )] . a α Exemplo 6. .21(b) que ´ o resultado desejado.4.4. Assim. Um procedimento mais simples e para a passar de G(s) para G(z) est´ indicado na se¸˜o 6.br/labsil 156 que ´ a convolu¸˜o discreta da sequˆncia de entrada x(kT ) com a sequˆncia de sa´ e ca e e ıda y(kT ). Sistemas Amostrados www.ufsc. Nesse caso temos ı ca G(z) = R(P1 ) + R(P2 ) z α z = sT z−e b − a z − e−aT s=−a z z α R(P2 ) = (s + b)G(s) = z − esT s=−b a − b z − e−bT α z z ⇒ G(z) = − −aT b−a z−e z − e−bT R(P1 ) = (s + a)G(s) que ´ a fun¸˜o de transferˆncia discreta desejada. calcule g(t) = L−1 [G(s)] com a transformada inversa de Laplace. Nesse caso temos o g(t) = L−1 [G(s)] = L−1 α b−a 1 1 − s+a s+b = α (e−at − e−bt ) b−a Discretizando a resposta impulsional g(t) obtemos: g(t)|t=kT = g(kT ) = α (e−akT − e−bkT ) b−a tomando a Transformada Z da sequˆncia g(kT ) obtemos: e G(z) = Z[g(kT )] = α b−a z z − −aT z−e z − e−bT . A figura 6.21(b).15 Considere o sistema amostrado da figura 6.22 mostra um a ca resumo dos principais resultados de convers˜o de Laplace para Z.8.15) e (6.16).21(a) com G(s) = (s+a)(s+b) . Al´m disso.6. com a nota¸˜o Y (z) = e ca e e ca Z[y(kT )] e X(z) = Z[x(kT )] podemos escrever a rela¸˜o de entrada/sa´ do sistema ca ıda Y (z) = G(z)X(z).4. Em seguida calcule a sequˆncia g(kT ) fazendo t = kT na fun¸ao g(t) e c˜ obtida e finalmente calcule a fun¸˜o de transferˆncia do sistema discreto equivalente G(z) ca e aplicando a transformada Z na sequˆncia g(kT ) obtida.das.16) definem a rela¸ao entre as sequˆncias x(kT ) e y(kT ) na c˜ c˜ e figura 6. Calcule a fun¸˜o de transferˆncia discreta G(z) entre a sequˆncia x(kT ) de entrada e ca e e y(kT ) de sa´da indicada na figura 6. Y (z) = X(z)G(z) (6.15) e (6.16) As equa¸oes (6. (2) Utilizando as express˜es (6.4. para se obter o sistema discreto G(z) e equivalente a um sistema cont´ ınuo G(s). 8.ufsc.br/labsil 157 X(s) X ∗ (s) G(s) Y (s) Y ∗ (s) Y (z) = Z[Y ∗ (s)] = Z[G(s)X ∗ (s)] = Z[G(s)]Z[X ∗ (s)] = Z[G(s)] X(z) X(s) Y (s) Y ∗ (s) G(s) Y (z) = Z[Y ∗ (s)] = Z[G(s)X(s)] X1 (s) Y (s) X2 (s) ou de forma equivalente X1 (s) ∗ X1 (s) Y ∗ (s) Y ∗ (s) X2 (s) ∗ X2 (s) ∗ ∗ Y ∗ (s) = X1 (s) + X2 (s) ∗ ∗ Y (z) = Z[Y ∗ (s)] = Z[X1 (s)] + Z[X2 (s)] Y (z) = X1 (z) + X2 (z) Figura 6.6.das.22: Resumo dos resultados de convers˜o de Laplace para Z a . Sistemas Amostrados www. A fun¸ao ZOH(s) ´ a fun¸ao de c˜ e c˜ transferˆncia do segurador de ordem zero como indicado em (6. Para e c˜ e a c˜ sT isso vamos utilizar a nota¸˜o H(z) = Z[H(s)]. Lembrando que e = z temos com (6. O problema agora ca ´ encontrar a fun¸ao de transferˆncia discreta H(z) que corresponde ` fun¸ao H(s).23: Sistema amostrado com conversor D/A e S/H Da figura 6.8.23 onde G(s) = s(s+1) . Solu¸˜o: Pelo resultado acima temos: ca H(z) = Z 1 − e−T s 1 1 = (1 − z −1 )Z 2 s s(s + 1) s (s + 1) podemos calcular F (z) atrav´s do teorema dos res´ e ıduos.23 vamos definir a fun¸˜o auxiliar H(s) = ZOH(s)G(s).4) ca H(z) = Z[ZOH(s)G(s)] = Z[ 1 − e−T s G(s) G(s)] = (1 − z −1 )Z s s (6.ufsc. F (z) = R(P1 ) + R(P2 ) onde: R(P1 ) = (s + 1)F (s) z z − eT s = s=−1 Definindo F (s) = 1 s2 (s+1) z z − e−1 .17) 1 Exemplo 6.16 Considere o sistema da figura 6. A figura 6. Calcule a fun¸˜o ca de transferˆncia Pulsada entre a sequˆncia x(kT ) e a sa´ y(t) nos instantes t = kT e e ıda com T = 1seg.das.23 mostra um sistema desse tipo. e x(kT ) T x∗ (t) y(t)|t=kT ZOH(s) Segurador de Ordem Zero G(s) Sistema a ser Controlado Amostrador Ideal Conversor D/A com S/H Figura 6.6. Sistemas Amostrados e finalmente temos: www.4).br/labsil 158 Y (z) = G(z)X(z) Frequˆncia e y(kT ) = g(kT ) ∗ x(kT ) Tempo A maioria dos sistemas amostrados possuem algum dispositivo sample-and-hold no seu interior. Sistemas Amostrados e R(P2 ) = www. e c˜ e Exemplo 6. Calcule a equa¸˜o recursiva que ca rege o comportamento do sistema nos instantes t = kT .6.2 onde o sinal de entrada ´ cone stante por trechos.24: Circuito com entrada constante por trechos Solu¸˜o: A fun¸˜o de transferˆncia Pulsada entre a sequˆncia de tens˜o de entrada ca ca e e a e(kT ) e a de sa´da y(kT ) pode ser obtida com: ı H(z) = Z 1 1 − e−T s 1 = (1 − z −1 )Z s RCs + 1 s(RCs + 1) F (s) −1 −1 = (1 − z )Z[F (s)] = (1 − z )[R(P1 ) + R(P2 )] z R(P1 ) = sF (s) z−esT s=0 = z z−1 s=−1/RC z R(P2 ) = (s + 1/RC)F (s) z−esT = −z z−e−T /RC .das.17 Considere o circuito RC do exemplo 6.8.24.br/labsil 159 z z − esT s=0 1 z = s + 1 z − esT s=0 z 1 −z −1 + (−T esT ) = 2 z − esT (s + 1) s + 1 (z − es T )2 z Tz = − + z − 1 (z − 1)2 s2 F (s) F (z) = z z z + − −1 2 z−e (z − 1) z−1 z−1 1 + −1 −1 z−e z−1 d ds d ds s=0 Logo: e portanto: H(z) = (1 − z −1 )F (z) = que ´ a fun¸ao de transferˆncia desejada. Calcule tamb´m a resposta do e circuito para um degrau unit´rio. Represente o sinal constante por trechos como sendo a sa´ de um ıda segurador de ordem zero como indicado na figura 6. a e(kT ) T Amostrador Ideal Segurador de Ordem Zero Circuito RC e∗ (t) ZOH(s) e(t) y(t)|t=kT G(s) Figura 6.ufsc. a rela¸˜o entre as sequˆncias de entrada x(kT ) e ca ca e a de sa´da y1 (kT ) ´: ı e Z[y1 (kT )] = Z[ 1 1 ] Z[x(kT )] ⇔ Y1 (z) = Z[ ] X(z) s+a s+a A rela¸˜o entre as sequˆncias de entrada y1 (kT ) e a de sa´ y2 (kT ) ´: ca e ıda e Z[y2 (kT )] = Z[ 1 1 ] Z[y1 (kT )] ⇔ Y2 (z) = Z[ ] Y1 (z) s+b s+b . 1. x(t) T x∗ (t) 1 s+a y1 (t) T ∗ y1 (t) 1 s+b y2 (t)|t=kT (a) x(t) T x∗ (t) 1 s+a 1 s+b y(t)|t=kT (b) Figura 6. . z z−1 e portanto Y (z) = z b ] z −1z −a k = 0.6. .ufsc. 2. e c˜ Para calcular a resposta ao degrau unit´rio temos E(z) = a z H(z) z−1 e por fra¸˜es parciais obtemos a resposta ao degrau: co y(kT ) = Z −1 [Y (z)] = Z −1 [ = 1 − e−kT /RC .br/labsil 160 ⇒ H(z) = (1 − z −1 ) z z 1 − e−T /RC − = z − 1 z − e−T /RC z − e−T /RC Como Y (z) = H(z)E(z) temos a = e−T /RC e b = 1 − e−T /RC Y (z)z − aY (z) = bE(z) e pela propriedade de deslocamento obtemos: y(kT + T ) − ay(kT ) = be(kT ) que ´ a equa¸ao recursiva desejada.18 Calcule a fun¸˜o de transferˆncia discreta dos sistemas indicados na ca e figura 6.25.25(a). (b) Dois sistemas cont´ ınuos em cascata Solu¸˜o: No caso da figura 6.das.25: (a) Dois sistemas amostrados em cascata. Sistemas Amostrados www. .8. Exemplo 6. 6.8. Sistemas Amostrados www.das.ufsc.br/labsil 161 Combinando as duas express˜es acima temos que a fun¸˜o de transferˆncia Pulsada o ca e entre as sequˆncias x(kT ) e y2 (kT ) ´: e e Y2 (z) = Z[ 1 Note que Z[ s+a ] = z z−e−aT 1 e Z[ s+b ] = 1 1 ] Z[ ] X(z) s+a s+b . z z−e−bT No caso da figura 6.25(b), a rela¸˜o entre as sequˆncias de entrada x(kT ) e a de sa´ ca e ıda y(kT ) ´: e 1 Y (z) = Z X(z) (s + a)(s + b) Assim conclu´mos que ı Z e portanto Z 1 1 1 Z =Z (s + a) (s + b) (s + a)(s + b) 1 1 = (s + a)(s + b) b−a z z − −aT z−e z − e−bT ou seja, os sistemas amostrados das figuras 6.25(a) e (b) s˜o diferentes pois suas respeca tivas fun¸˜es de transferˆncia s˜o diferentes. Este resultado pode ser generalizado. Em co e a geral, para quaisquer fun¸˜es G1 (s) e G2 (s) co Z[G1 (s) G2 (s)] = Z[G1 (s)] Z[G2 (s)] Exemplo 6.19 Prove o resultado da equa¸˜o (6.17). ca Solu¸˜o: Definindo H(s) como sendo a transferˆncia da sequˆncia x(kT ) para a sa´ ca e e ıda y(t) temos: 1 − e−T s G(s) G(s) H(s) = G(s) = − e−T s s s s Definindo h0 (t) = L−1 impulsional ´: h(t) = L [H(s)] = h0 (t) − h0 (t − T ) e Os valores de h(t) nos instantes t = kT formam a seguinte sequˆncia (resposta ao pulso e unit´rio). a h(kT ) = h0 (kT ) − h0 (kT − T ) Tomando a Transformada Z de h(kT ) vem H(z) = Z[h(kT )] = Z[h0 (kT )] − Z[h0 (kT − T )] Note que G(s) ´ um sistema f´sico e portanto causal. Logo G(s)/s tamb´m ´ causal e e ı e e portanto h0 (t) = 0 para t < 0. Assim: ∞ G(s) s −1 e lembrando que L−1 [e−T s G(s)/s] = h0 (t − T ) a resposta Z[h0 (kT − T )] = k=0 h0 (kT − T )z −k = h0 (−T ) + h0 (0)z −1 + h0 (T )z −2 + . . . 6.9. Sistemas Realimentados como h0 (−T ) = 0 temos: www.das.ufsc.br/labsil 162 Z[h0 (kT − T )] = z −1 [h0 (0) + h0 (T )z −1 + h0 (2T )z −2 + . . . ∞ = z [ k=0 −1 h0 (kT )z −k ] = z −1 Z[h0 (kT )] e portanto obtemos o seguinte resultado: para H(s) = 1 − e−T s G(s) s G(s) ] s temos H(z) = (1 − z −1 )Z[h0 (kT )] = (1 − z −1 )Z[ logo: Z[x(kT )] = H(z) Z[y(kT )] X(z) Y (z) que ´ o resultado desejado. e 6.9 Sistemas Realimentados A id´ia de sistemas discretos realimentados ´ an´loga a de sistemas realimentados e e a cont´ ınuos. Uma estrutura comum de controle de sistemas amostrados est´ indicada na a figura 6.26(a). A figura 6.26(b) mostra uma reinterpreta¸˜o do sistema em (a) enfatizando ca as fun¸˜es executadas pelo computador e medidor digital. A figura 6.26(c) mostra o co sistema discreto correspondente aos casos (a),(b). Nos instantes t = kT o modelo discreto possui as mesmas entradas e sa´ ıdas do sistema cont´ ınuo indicado nos casos (a) e (b) e al´m disso possui a vantagem de poder ser tratado diretamente pela transformada Z. O e modelo discreto depende, entre outros fatores, da localiza¸˜o dos conversores A/D e D/A. ca Para verificar essa afirma¸ao considere os sistemas da figura 6.27 e suponha que estamos c˜ interessados nas fun¸oes de transferˆncia Pulsadas entre as sequˆncias r(kT ) e c(kT ) nos c˜ e e casos (a) e (b). Vamos primeiro considerar o sistema da figura 6.27(a). Para encontrar a fun¸ao de c˜ transferˆncia entre as sequˆncias e(kT ) e c(kT ) temos e e C(z) = G(z)E(z) onde G(z) = Z[ZOH(s)G(s)] e a fun¸˜o de transferˆncia entre e(kT ) e v(kT ) ´: ca e e V (z) = GH(z)E(z) Como E(z) = R(z) − V (z) temos: R(z) = E(z) + GH(z)E(z) = (1 + GH(z)) C(z) G(z) onde GH(z) = Z[ZOH(s)G(s)H(s)] 6.9. Sistemas Realimentados www.das.ufsc.br/labsil 163 sinal de referˆncia + e r(t) - modelo do conversor A/D e(t) modelo do programa do computador e(kT ) G1 (z) modelo do conversor D/A com S/H u(kT ) ZOH(s) modelo do sistema a ser controlado u(t) G2 (s) vari´vel a controlada y(t) (a) computador sinal de referˆncia + e r(kT ) e(kT ) algor´ ıtmo (eq. recursiva) G1 (z) modelo do conversor D/A com S/H u(kT ) ZOH(s) modelo do sistema a ser controlado u(t) G2 (s) modelo do medidor com conversor A/D y(kT ) vari´vel a controlada (b) sinal de referˆncia + e r(kT ) - e(kT ) algor´ ıtmo (eq. recursiva) u(kT ) G1 (z) modelo discreto do conjunto conversor D/A, sistema, medidor e conversor A/D G3 (z) = Z[ZOH(s) G2 (s)] G3 (z) vari´vel a controlada y(kT ) (c) Figura 6.26: Sistema de controle digital e seu modelo discreto controlador e medidor anal´gico o www.ufsc.27(a).27(b). Sistemas Realimentados sistema. ca e Passemos agora ao sistema da figura 6. controlador e medidor digital S/H G(s) T H(s) filtros auxiliares ZOH(s) c∗ (t) vari´vel controlada a (b) Figura 6.27: Sistema de controle digital com medidor anal´gico (a) e digital (b) o e portanto: C(z) = G(z) R(z) 1 + GH(z) que expressa a rela¸˜o entre a sequˆncia r(kT ) e c(kT ) no sistema da figura 6.br/labsil 164 referˆncia e r(t) + v(t) e(t) T S/H e∗ (t) ZOH(s) c∗ (t) G(s) T H(s) filtros auxiliares vari´vel controlada a (a) referˆncia e r(t) + v(t) e(t) T S/H e∗ (t) ZOH(s) sistema.27(b). Para encontrar a fun¸˜o de transferˆncia ca e entre as sequˆncias e(kT ) e c(kT ) temos e C(z) = G(z)E(z) onde G(z) = Z[ZOH(s)G(s)] e a fun¸˜o de transferˆncia entre c(kT ) e v(kT ) ´: ca e e V (z) = H(z)C(z) Como E(z) = R(z) − V (z) temos: R(z) = e portanto: C(z) = C(z) C(z) + H(z)C(z) = (1 + G(z)H(z)) G(z) G(z) G(z) R(z) 1 + G(z)H(z) onde H(z) = Z[ZOH(s)H(s)] que expressa a rela¸˜o entre a sequˆncia r(kT ) e c(kT ) no sistema da figura 6.9. ca e .das.6. 147z −5 + 0. ca Solu¸˜o: De um exemplo anterior j´ vimos que: ca a G(z) = Z[G(s)] = Logo: 0.das. 264 = 2 R(z) z − z + 0. 632 z − 1 Por divis˜o polinomial obt´m-se: a e C(z) = 0.28: Controle digital de posi¸˜o angular atrav´s de um motor DC ca e Exemplo 6. Escolha do Per´ ıodo de Amostragem e(t) + - www. a ı ´ Problema 6.20 Obtenha a resposta ao degrau unit´rio c(kT ) para o sistema de controle a de posi¸˜o acionado por um Motor DC. ca 6. 632 z z−1 Para uma entrada degrau unit´rio R(z) = a C(z) = temos: 0. .10. 895z −6 + 0. 264 e−1 z + 1 − 2e−1 = 2 z 2 − (1 + e−1 )z + e−1 z − 1.6. Normalmente a performance de um a o . 4z −4 + 1.20.5 E importante notar que o m´todo da Transformada Z fornece os valores e da sa´ c(t) apenas nos instantes de amostragem t = kT . ı Problema 6. Com o aux´ de a ılio um programa de simula¸˜o verifique que os resultados anal´ ca ıticos obtidos coincidem com o resultado da simula¸˜o do sistema de controle indicado no exemplo 6. 368z + 0.28. 368 C(z) 0.br/labsil c∗ (t) T=1seg 165 r(t) e∗ (t) ZOH(s) Va (t) T=1seg 1 s(s+1) Va (t) Tens˜o de armadura do motor DC a c(t) Posi¸˜o angular da carga acionada ca r(t) Sinal de referˆncia e Figura 6. 802z −7 + . 368z + 0. . como indicado na figura 6. 264 z z 2 − z + 0.20.10 Escolha do Per´ ıodo de Amostragem A melhor escolha do per´ ıodo de amostragem em sistemas de controle ´ um compromisso e entre v´rios fatores normalmente contradit´rios. O valor de c(t) entre instantes ıda de amostragens consecutivos n˜o pode ser obtido pela Transformada Z .4 Com o aux´lio de uma tabela de transformadas e da transformada inversa encontre a express˜o anal´tica para c(kT ) no exemplo 6. 368z + 0. 368z + 0. 4z −3 + 1.ufsc. 368z −1 + z −2 + 1. Introdu¸ao de prefiltros (anal´gicos) de amostragem para atenuar ru´ mas que tamb´m podem introduzir defasagens na vari´vel medida dificultando o e a projeto do controlador em alguns casos. 1. c˜ c˜ a c˜ ıdos que incidem sobre o sistema a ser controlado 3. 4. Diminui¸˜o da frequˆncia de amostragem significa mais tempo e ca e dispon´ para o c´lculo do sinal de controle em tempo real.ufsc. 6. Para sistemas com conversores A/D. Seguir sinais de referˆncia com energia dentro da banda passante do sistema.[2].br/labsil 166 controlador digital melhora com o aumento da frequˆncia de amostragem mas o custo e do dispositivo tamb´m. o que tamb´m diminui o custo do dispositivo. Al´m disso. u e V´rios fatores afetam a performance de controladores digitais e para que o sistema aprea sente uma performance m´ ınima aceit´vel se faz necess´rio uma frequˆncia de amostragem a a e m´ ınima muito superior `quela fornecida pelo Teorema da Amostragem. Erros devido ` perturba¸oes e ru´ dificultando o controle adequado. e 2.6. c˜ o ıdos de medida 5. Degrada¸ao da estabilidade que aumenta com a diminui¸ao da frequˆncia de amostragem c˜ c˜ e devido ` sensibilidade ` erros nos parˆmetros do modelo. A banda passante desejada do sistema deve ser escolhida ca a em fun¸ao dos requisitos de rapidez de resposta desejados em malha fechada. o que possibilita a utiliza¸ao ıvel a c˜ de computadores mais lentos e portanto mais baratos. Ent˜o os c˜ a seguintes fatores imp˜em um limite m´ o ınimo para que ωa que em muitas aplica¸˜es ´ dado co e por ωa > 20ωb . menor frequˆncia de amostragem significa que menor velocidade de convers˜o ´ e a e necess´ria. a Para o sistema de controle digital da figura 6. Resposta em Frequˆncia e www. o que tamb´m aumenta o custo.26 vamos definir ωb a frequˆncia de banda e passante desejada do sistema em malha fechada e ωa = 2π a frequˆncia de amostragem e T que precisamos utilizar para que a performance do sistema n˜o se deteriore demais em a rela¸˜o ` do sistema desejado.das. normalmente uma a e e grande frequˆncia de amostragem requer uma grande precis˜o na representa¸˜o bin´ria e a ca a (n´mero de bits elevado). Esta rela¸ao mostra como os p´los do plano s de Laplace s˜o mapeados para o c˜ o a plano z. .11.11 Resposta em Frequˆncia e Como vimos anteriormente a Transformada Z de um sinal amostrado pode ser definida a partir da Transformada de Laplace do sinal amostrado com a mudan¸a de vari´vel c a Ts z = e . Para maiores detalhes veja por exemplo [9]. Tempo de acomoda¸ao pequeno e pouca oscila¸ao. Isto ´ acentuado ainda a a a e mais em conversores com palavra de tamanho pequeno. . = 0. a reposta frequencial de um sistema cont´ ınuo se obt´m fazendo s percorrer todo o eixo imagin´rio e a (s = jω). Como todos os pontos sobre o eixo imagin´rio s˜o mapeados sobre o c´ a a ırculo unit´rio da Transformada Z podemos conclu´ a ımos que a resposta frequencial de um sistema discreto se obt´m fazendo z percorrer todo o c´ e ırculo unit´rio. a a Vimos tamb´m que a resposta senoidal em regime permanente de um sistema linear e invariante em Laplace ´ completamente determinada pela Fun¸˜o de Transferˆncia do e ca e sistema com s = jω0 .2 e 4.3. z = ejωT .2 e 4. Seja o sitema discreto abaixo: X(z) F(z) Y(z) k = 0. 1.br/labsil 167 Exemplo 6. Resposta em Frequˆncia e www. Se algum p´lo de Y (s) est´ sobre o eixo imagin´rio ele ser´ mapeado em Y (z) a o a a a sobre o c´ ırculo unit´rio e finalmente um p´lo de Y (s) no semiplano direito (inst´vel) ser´ a o a a mapeado em Y (z) na regi˜o fora do c´ a ırculo unit´rio (inst´vel).3 s˜o v´lidos para a a a sistemas discretos.15-6. 2.29: Sistema discreto est´vel a onde F (z) ´ est´vel e a entrada ´ uma sequˆncia senoidal x(k) = cos(ω0 kT ). Em outras palavras.17. c˜ o Solu¸˜o: Com o aux´lio das transformadas de Laplace e Z podemos montar a seguinte ca ı tabela: P´los de Y (s) P´los de Y (z) o o s1 = −a − jb z1 = e−aT e−jbT = es1 T s2 = −a + jb z2 = e−aT ejbT = es2 T Pelo exemplo acima confirmamos que se uma transformada Y (s) possui todos os p´los o no semiplano negativo (est´vel) ent˜o Y (z) ter´ todos os p´los dentro do c´ a a a o ırculo unit´rio a (est´vel). k ≥ e a e e 0. como indicado nas figuras 4. t ≥ 0 com aT = 0.6. 3567 e bT = π/4 resulta na seguinte sequˆncia para T = 1seg. . a e A seguir mostraremos que resultados an´logos aos das figuras 4. Figura 6.11. e y(kT ) = (e−3567 )k cos(πk/4). A resposta em regime tamb´m ser´ uma cossen´ide de mesma frequˆncia por´m e a o e e com amplitude e fase que dependem de F (z) para z = ejω0 T . isto ´. 7k cos(πk/4) Calcule a rela¸ao entre os p´los de Y (s) e Y (z).das.21 O sinal y(t) = e−at cos(bt). Para mostrar isso vamos representar F (ejω0 T ) em termos de sua coordenada polar: |F (ejω0 T )| = M ⇒ F (ejω0 T ) = M ejφ ∠F (ejω0 T ) = φ Como X(z) = Z[x(k)] = 1 2 z z−ejω0 T + z z−e−jω0 T temos: . .ufsc. Veja figuras 6. Sendo T = 1 segundo pede-se: (i) a equa¸˜o e ca recursiva que define o comportamento entrada/sa´da nos instantes t = KT . que todos os seus p´los estejam dentro do c´ a e o ırculo unit´rio. a co Problema 6. (ii) a fun¸˜o ı ca de transferˆncia discreta.6 O sinal de entrada do circuito na figura 6.32 mostra um esquema de controle de velocidade de um motor DC controlado pela armadura. vc (T ) = 0V . pois todos os outros termos a ir˜o desaparecer quando k → ∞.6. (v) a resposta total para uma entrada degrau unit´rio e condi¸˜es iniciais vc (0) = 3V. Um resultado an´logo pode ser obtido para entradas senoidais.ufsc.12 Problemas Complementares e Problema 6. 5u(kT − T ) = e(kT ).das.7 O sistema da figura 6.31 ´ constante por trechos. (iv) a e resposta de entrada zero para vc (0) = 1V. vc (T ) = 0V . a 6. expandindo Y (z)/z por fra¸˜es parciais e a co desprezando os termos associados aos p´los dentro do c´ o ırculo unit´rio ficamos com: a Yss (z) = 1 z z F (ejω0 T ) + F (e−jω0 T ) jω0 T 2 z−e z − e−jω0 T z z−a Como F (ejω0 T ) = M ejφ ´ uma constante e Z −1 e yss (kT ) = = ak vem: 1 (ejω0 kT )M ejφ + (e−jω0 kT )M e−jφ 2 = M cos(ω0 T k + φ) onde M = |F (ejω0 T )| e φ = ∠F (ejω0 T ). Assim de forma an´loga ` resposta frequencial de sistemas cont´ a a ınuos temos: onde x(k) = cos(ω0 kT ) yss (k) = M cos(ω0 kT + φ) F(z) Figura 6. a a resposta em regime permanente ´ dada pelos termos da expans˜o por fra¸˜es parciais e a co de Y (z) correspondentes aos p´los sobre o c´ o ırculo unit´rio. Dessa forma. A indutˆncia de armadura do motor pode ser desprezada a .br/labsil 168 Y (z) = z z 1 + F (z) jω0 T 2 z−e z − e−jω0 T Supondo F (z) est´vel. O per´ ıodo de amostragem ´ de T = e 1seg e o computador executa um algor´ ıtmo de controle descrito pela equa¸˜o recursiva ca u(kT ) − 0.30: Resposta frequencial de um sistema discreto M = |F (ejω0 T )| e φ = ∠F (ejω0 T ) (em regime). isto ´.12. isto ´ v(t) = v(kT ) para kT ≤ t < kT + T . (iii) a resposta de estado zero ao degrau de 10 volts. Problemas Complementares www. 4616(0. 0729)k − 2. ca (ii) A resposta ao pulso unit´rio. 682) . Problemas Complementares R = 3Ω + L = 1H www. 4616(0. Mostre que : (a) Z[x(k + 1)] = Z[x(k)]z − x(0)z (b) Z[x(k − 1)] = Z[x(k)]z −1 . 4102(0. (iii) a velocidade de regime permanente do motor quando o sinal de referˆncia ´ um degrau unit´rio.31: Circuito RLC com entrada constante por trechos e portanto a dinˆmica da velocidade do motor em fun¸˜o da tens˜o de armadura pode a ca a ser representada pela equa¸˜o diferencial w(t) + 2w(t) = va (t). ∀k < 0. e Problema 6.br/labsil 169 + v(t) C = 1F vc (t) - - Figura 6. co ca Problema 6. ca (v) As condi¸˜es iniciais da situa¸˜o 1. Justifique sua rea a sposta.6. Pede-se: (i) a fun¸˜o ca ˙ ca de transferˆncia discreta de malha fechada. ca (iv) A resposta de entrada zero na situa¸˜o 1. (ii) verifique se o sistema ´ est´vel e justie e a fique sua resposta.ufsc.12.9 Verifique se os sistemas da figura 6. co e Para um degrau unit´rio e o dobro das condi¸˜es iniciais a resposta ´ y2 (k) = 1 + a co e k k 2.das. 4102(0. 0729) − 1. e e a r(t) + T e(kT) computador u(kT) S/H va (t) motor w(t) Figura 6.10 Seja x(k) uma sequˆncia onde x(k) = 0. a (iii) A resposta de estado zero na situa¸˜o 1.8 A resposta de um sistema linear invariante ao degrau de amplitude dois e certas condi¸˜es iniciais ´ y1 (k) = 2 + 1.32: Sistema de controle de velocidade Problema 6.33 s˜o est´veis. Pede-se (no dom´ ınio do tempo): (i) A equa¸˜o recursiva do sistema. 682)k onde k ≥ 0. isto ´. sa´ a ıda: tens˜o v(t) .6. a b) para x(k) = sen(10k) + x(t) ZOH(s) T=1seg 1 s+1 1 s+2 T=1seg y(t) Figura 6. R=1 Ω. ca a (c) A resposta de entrada zero para v(0) = 1V . ∀k < 0.das.35. ca e (b) A equa¸˜o recursiva que descreve o comportamento dinˆmico entre x(kT ) e v(kT ). C=1 F a Problema 6.ufsc.12.12 Calcule a resposta y(kT ) de regime permanente no sistema da figura 6. x(k) = 0.34. + R x(t) C v(t) + - Figura 6. a) para x(k) um degrau unit´rio. Problemas Complementares x1 = x2 ˙ x2 = −x1 − x2 + e ˙ e sistema www.br/labsil x1 (k + 1) = x2 (k) x2 (k + 1) = −x1 (k) − x2 (k) + e(k) x1 170 (a) (b) Figura 6. Pede-se: e (a) A fun¸˜o de transferˆncia pulsada entre x(kT ) e v(kT ).35: Sistema de controle .34: Entrada: tens˜o x(t) .11 Considere o sistema da figura 6. (d) A resposta de estado zero para x(kT ) = e−2kT . Seja x(t) um sinal de tens˜o cona stante por trechos. x(t) = x(kT ) para kT ≤ t < kT + T .33: Caracteriza¸ao entrada/sa´ dos sistemas c˜ ıda Problema 6. B. C. Design of feedback control systems.T.J. 1995. 1995.Bibliografia [1] K. [5] B. WILLSKY. [4] A.Signal and Systems. 1987. OGATA.Houpis. G. Digital control of Dinamic Systems. J. [2] K.SHAHIAN.L. d’ Azzo. [8] R. MacMillan Press. Engineering mathematics. C. 1990.T. Editora Guanabara 1988. A. 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