Cálculo 1 (MA262) Actividad de tasas relacionadas Sesión 4.3 Ciclo 2011- 02 Duración: 100 minutos OBJETIVO DE APRENDIZAJE DE LA SESIÓN: Al término de la sesión, el alumno identificará problemas en que aparecen razones de cambio y resolverá problemas sencillos de modelación con aplicaciones de tasas relacionadas utilizando el cálculo diferencial, donde calcula la tasa solicitada en variables relacionadas, reconoce la presencia de variable relacionadas, plantea la relación de sus derivadas en las variables relacionadas y determina la solución de problemas de tasas relacionadas de la vida real. Estrategia 1. Lea con cuidado el problema. 2. Trace, si es posible, un diagrama. 3. Defina magnitudes variables (dependen del tiempo) y las magnitudes constantes (no dependen del tiempo) del problema. 4. Exprese la información dada y la tasa requerida como un modelo en términos de derivadas. 5. Deduzca una ecuación que relacione las diversas cantidades del problema. Si es necesario, use la geometría del caso que se ve, para eliminar una de las variables por sustitución. 6. Utilice la regla de la cadena para derivar ambos lados de la ecuación, con respecto al tiempo. 7. Sustituya la información dada en la ecuación resultante y despeje la rapidez o tasa desconocida. 8. De la respuesta completa incluyendo las unidades, si es posible mediante una oración. PROBLEMA 1: Se bombea aire en un globo aerostático de forma esférica de tal modo que su volumen aumenta a razón de 100 cm3/s ¿con qué rapidez está aumentando el radio del globo cuando el diámetro es 50 cm? Solución Magnitudes variables: r: Radio en cm del globo en un instante t V: volumen en cm3 del globo en un instante t Dato: La razón con que aumenta el volumen de aire es 100 cm3/s: dV cm3 100 dt s Incógnita La razón con que aumenta el radio cuando el diámetro es 50 cm: dr dt ? r 25 cm 1 Dato: La base de la escalera resbala de la pared a razón de 1pie/s. ¿Con qué rapidez resbala hacia abajo la parte superior de la escalera cuando la base está a 6 pies de la pared? Solución Magnitudes variables: x: distancia de la base de la escalera a la pared en pies. Si la base de la escalera resbala de la pared a razón de 1pie/s.0127 cm/s. dx 1 pie/s. 100 4 (25) 2 dt dr 1 Luego. dt Incógnita: La razón con que resbala hacia abajo la parte superior de la escalera cuando la base está a dy ? 6 pies de la pared es dt x 6 pies 2 . dt 25 cm3 yr 100 s 25 cm Respuesta en una oración: La razón con que aumenta el radio del globo cuando el diámetro es 50 cm es 0. Problema 2 Una escalera de 10 pies de largo se apoya contra una pared vertical.Defina una ecuación que relacione las cantidades del problema: 4 3 Volumen de la esfera V r 3 Derive ambos lados respecto de t y despeje la incógnita dV dt 4 r2 dr dt dV Reemplazar los datos dt dr . y: distancia de la parte superior de la escalera al piso en pies. cm/s. Magnitudes constantes Longitud de la escalera 10 pies. 75 pies/s. t: Tiempo de llenado en min. dt 4 Respuesta completa: (analice la respuesta) La razón con que resbala hacia abajo la parte superior de la escalera cuando la base está a 6 pies de la pared es -0.Defina una ecuación que relacione las cantidades del problema: 10 2 x2 y 2 . es decir y 100 x 2 Derivamos ambos lados respecto de t dy dt 2x dx 2 100 x dt 2 Reemplazamos los datos: dx dt 1 pie/s y x 6 pies. El motivo por el cual la razón de cambio es negativa. dV 2 m3/min dt Incógnita: la razón a la que el nivel del agua está subiendo cuando el agua tiene 3 m de profundidad dh ? es dt h 3m Defina una ecuación que relacione las cantidades del problema: 3 . Si se bombea agua hacia el tanque a razón de 2 m3/min. h O Dato: Se bombea agua hacia el tanque a razón de 2 m3/min. 64 dy 3 Luego. C A 2 r D 4 B Solución Magnitudes variables: r: Radio de la base del cono formado por el agua en m. V: Volumen del agua en m h: Altura del cono formado por el agua. encuentre la rapidez a la que el nivel del agua está subiendo cuando el agua tiene 3 m de profundidad. Problema 3 Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular invertido con radio de base de 2 m y altura de 4 m. dy dt 6 (1) . es porque la variable y disminuye su valor cuando x aumenta. Problema 4 Dos vehículos parten del mismo punto. y 50 . r h 4 2 Luego se tiene V (h) 12 h3 Derivamos ambos lados respecto de t h 2 dh .1 2 r h 3 Exprese V sólo en función de h: (Utilice triángulos semejantes) Para el cono se tiene: Vcono Del gráfico. Datos: Las velocidades de los vehículos son: v A después de 2 horas x 120 . Por tanto. v B dt 130 dy dt 25 km/h. 4 dt dV dt Reemplazamos los datos 2 dh 32 dh . r 2 h Entonces . M: distancia entre los dos vehículos. Luego dt 4 dt dV dt 8 9 2 m3/min y h 3m Respuesta completa: La razón a la que el nivel del agua está subiendo cuando el agua tiene 3 m de profundidad es 0. Uno se dirige hacia el norte a 60 Km/h y el otro hacia el este a 25 Km/h. y : distancia recorrida por el vehículo B que se dirige hacia el este. ¿Con qué rapidez está aumentando la distancia entre los vehículos dos horas después? Solución Sean x : distancia recorrida por el vehículo A que se dirige hacia el norte. Es decir. el triangulo AOB es semejante al triangulo COD. Incógnita: La razón a la que aumenta la distancia entre los vehículos dos horas después de la partida dM ? es dt t 2h Defina una ecuación que relacione las cantidades del problema: La distancia entre los vehículos está dada por M 2 x2 y2 . M dx 60 km/h. 4 .28294 m/min. 20 5 . dD dt dA dt 1 cm2 y D 10cm min dD . es dD ? dt D 10 cm Defina una ecuación que relacione las cantidades del problema: Área de la superficie de la bola de nieve A 4 D 2 Derive ambos lados respecto de t y despeje la incógnita dA dt 2 D dD dt Reemplazar los datos 1 2 (10) Luego.Derivamos ambos lados respecto de t 2M dM dt 2x dx dt 2y dy dt Reemplazamos los datos dM 130 120(60) (50)(25) dt dM 845 Luego dt 13 Respuesta completa: La razón a la que está aumentando la distancia entre los vehículos es 65 km/h. encuentre la rapidez a la que el diámetro disminuye cuando el diámetro es de 10 centímetros. Solución Magnitudes variables: D : Radio de la bola de nieve en un instante t A : Área de la bola de nieve en un instante t Dato: El área superficial de la bola de nieve disminuye a razón de 1cm2/min : dA cm2 1 dt min Incógnita La razón con que el diámetro disminuye. cuando el diámetro es de 10 centímetros. dt 1 cm/min. Problema 5 Si una bola de nieve se derrite de modo que su área superficial disminuye a razón de 1cm2/min. Respuesta en una oración: La razón con que el diámetro disminuye. es es -0. ( 24) . cuando el diámetro es de 10 centímetros. dt Incógnita: La velocidad con que cambia la distancia del bateador a la segunda base cuando el dy ? bateador está a mitad de camino a la primera base es dt x 45pies Defina una ecuación que relacione las cantidades del problema: y2 x2 90 2 . dt 5 dx dt 24 pies/s y x 45 pies. t : tiempo de recorrido en s. Dato: El bateador corre hacia la primera base con una rapidez de 24 pies/s. dx 24 pies/s. es decir y 8100 x 2 Derivamos ambos lados respecto de t dy dt 2x dx 2 8100 x 2 dt Reemplazamos los datos: dy dt 45 8100 452 dy 24 Luego. Un bateador golpea la pelota y corre hacia la primera base con una rapidez de 24 pies/s. y : distancia del bateador a la segunda base en pies. 6 . ¿Determine la velocidad con que cambia la distancia del bateador a la segunda base cuando el bateador está a mitad de camino a la primera base? Solución Sean: x : distancia del bateador a la primera base en pies. Problema 6 Un diamante de béisbol es un cuadrado con 90 pies de lado.01591 cm/min. Encuentre la rapidez a la que la distancia desde el avión a la estación está aumentando cuando está a 2 millas de distancia de la estación. la nave A está a 150 km al oeste de la nave B. es -1. es 433.6 cm/min Problema 10 Un tanque cilíndrico de 5 m de diámetro está siendo llenado de agua a razón de 3 m3/min. cuando la altura es 10 cm. ¿Con qué rapidez está cambiando la distancia entre las naves a las 4:00 pm? Rpta: La rapidez con que cambia la distancia entre las naves a las 4:00 pm.Respuesta completa: La velocidad con que cambia la distancia del bateador a la segunda base cuando el bateador está a mitad de camino a la primera base es -10.012 mi/h.7331pies/s Problemas propuestos Problema 7 Al mediodía. Rpta: la rapidez a la que aumenta la distancia del avión a la estación. ¿Con qué rapidez está cambiando la base del triángulo cuando la altura es 10 cm y el área es 100 cm2? Rpta: la razón con que cambia la base del triangulo. La nave A está moviéndose hacia el este a 35 km/h y la nave B está desplazándose hacia el norte a razón de 25 km/h. Setiembre de 2011 7 . es 2.736 km/h Problema 8 Un avión está volando horizontalmente a una altitud de 1 milla y a una rapidez de 500 mi/h pasa directamente sobre una estación de radar. Problema 9 La altura de un triángulo está aumentando a razón de 1 cm/min mientras que el área del triángulo está aumentando a razón de 2 cm2/min. cuando esta a 2 millas de distancia. ¿Con qué rapidez está aumentando la altura del agua? Rpta: la altura del agua esta aumentando con una rapidez de 0.15278 m/min Monterrico.