Actividad Integradora Concentración de CO2 en una función M18S3

Concentración de CO2 en una funciónConcentración de CO2 en una función Módulo 18. Calculo en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad I: El movimiento como razón de cambio y la derivada. M18C2G5-012 Semana 3 Facilitador: Equipo 3 Damian Alberto Macedo Reyes Edgar Roel Acosta Carrillo. Autor: Edgar Roel Acosta Carrillo 1 28 de julio del 2017 Concentración de CO2 en una función ¿Qué hacer? 1. Lee con detenimiento la siguiente situación: El cambio climático es un fenómeno con efectos sobre el clima, está asociado a la intervención humana por la producción y acumulación de gases de efecto invernadero, como el CO 2, en la atmosfera. El observatorio del volcán Mauna Loa, en Hawái, se dedica al monitoreo de la concentración de CO2 sobre la superficie de los mares, teniendo un registro desde el año 1980 hasta 2015. Con base en un proceso estadístico, similar al que se revisó en el Módulo 17, fue posible establecer un modelo matemático que aproxima la concentración del CO 2, por año. A continuación, se muestra una gráfica de los datos obtenidos por este centro de monitoreo 1 del promedio anual de CO2 sobre la superficie del mar, para más información puedes consultar la página del observatorio directamente. Edgar Roel Acosta Carrillo. 2 Concentración de CO2 en una función ¿Qué hacer? Para pensar esta función de crecimiento se considera el año 1980 como el inicio de la medición de tiempo, es decir, se toma como t = 0, a partir de este punto comienza a avanzar la variable temporal, por último, se ajustan las escalas para que los ejes tengan el mismo tamaño entre cada valor, esto, porque es la forma más común de trabajarlo, de manera que la gráfica resultante es: Usando herramientas de Excel se ha generado un ajuste exponencial (en el Módulo 17 de Estadística se trabajaron ajustes lineales), dado por: f(t)=337.09e0.0047x La gráfica de este ajuste se presenta en la siguiente figura: Edgar Roel Acosta Carrillo. 3 Concentración de CO2 en una función 2. Ahora analiza haciendo uso del modelo exponencial propuesto como la función que define la concentración de CO2 y aplicando diferenciales. Luego debes aplicar y solucionar lo siguiente a) Aproxima el cambio en la concentración de CO 2 en los mares de 1980 a 1984. Utiliza la diferencial de una función para encontrar el cambio de 0 a 1: f(x+∆𝒙 )=f(x)+f´(x)dx 1980 = 𝑿𝟏 1984 = 𝑿𝟐 Sustitución: ∆𝑥 =𝑥2 -𝑥1 →∆x = 1984-1980 = 4 = dx. f(x)=𝟑𝟑𝟕. 𝟎𝟗𝒆^𝟎.𝟎𝟎𝟒𝟕𝒙 La derivamos: f´(x)= 337.09𝑒^0.0047𝑥 *0.0047 f´(x)=𝟏. 𝟓𝟖𝟒𝟑𝟐𝟑𝒆^𝟎.𝟎𝟎𝟒𝟕𝒙 Esto para sustituir. f(x+∆ 𝑥 ) =f(x)+f´(x)dx f(x+∆ 𝑥 )= 337.09𝑒 0.0047𝑥 +1.584323𝑒 0.0047𝑥 x*4 Valor de 𝑿𝟎 X=0 f(x+∆ 𝑥 )=337.09e^(0.0047(0))+1.584323e^(0.0047(0))*4 f(x+∆ 𝑥 )=343.427292 = dy Edgar Roel Acosta Carrillo. 4 Concentración de CO2 en una función b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica del ajuste exponencial, es decir, a f(x)=333.08e0.005t, en el punto t=0, y úsala para aproximar la concentración de CO2 en t = 4. b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica del ajuste exponencial, es decir, a f(x)=333.08e0.005t, en el punto t=0, y úsala para aproximar la concentración de CO2 en t = 4. y – y0= f1(x0) (x – x1) x0 = 0 f1(0) f1(x0) = f1(0) f1(0) = 1.584323 f(x) = 333.08e^0.005x f(0) = 333.08e^(0.005(0)) = f(0) = 333.08 = 𝒚𝟏 Recta Tangente: y-𝑦1 =f´(x)(x-𝑥1 ) y-333.08=1.584323(x-𝑥1 ) y-333.08=1.584323x y=1.584323x+333.08 y=1.584323(4) +333.08 = 339.417292 Edgar Roel Acosta Carrillo. 5 Concentración de CO2 en una función c) Compara tu resultado con lo obtenido en el inciso anterior, respondes ¿qué conclusiones puedes generar al observar estas mediciones? Se utilizaron las dos estrategias diferentes que nos llevaron a un resultado, muy aproximado la ecuación con la diferencial de x y la ecuación de la recta tangente. Podemos ver que la recta tangente en un punto de una función es la mejor aproximación lineal a la misma, en el resultado podemos comprobar que es correcto ya que coinciden en F (1) y los valores de la función son parecidos. F(X) = Y = 1.584323x + X (337.09e^(0.0047)(x) 337.09 Función Tangente 0 337.09 337.09 1 338.68 338.67 2 340.27 340.26 4 343.49 343.43 6 346.73 346.60 8 350.01 349.76 10 353.31 352.93 12 356.65 356.10 14 360.02 359.27 16 363.42 362.44 18 366.85 365.61 20 370.31 368.78 22 373.81 371.95 24 377.34 375.11 26 380.90 378.28 28 384.50 381.45 30 388.13 384.62 Edgar Roel Acosta Carrillo. 6