Act 1: Lección Evaluativa de Reconocimiento PresaberesRevisión del intento 1 Comenzado el: sábado, 1 de septiembre de 2012, 17:23 Completado el: sábado, 1 de septiembre de 2012, 17:42 Tiempo empleado: 18 minutos 38 segundos 627 Continuar 1 "Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o más variables y el símbolo de igualdad “=”. Las siguientes proposiciones son ejemplos de ecuaciones" De las siguientes cuales No se consideran ecuaciones. Seleccione una respuesta. a. – 5y = 6 – 4y b. x –100 = x c. sen(2x-3) d. 3K/(1- T) = S 2 Deacuerdo al texto la exactitud es perteneciente . Seleccione al menos una respuesta. a. Calidad de información b. número de errores c. base de datos d. calidad de datos 3 De acuerdo al texto Ecuaciones Lineales en la ecuación 7x – 3 = 2x + 2. Con cual de los siguientes el valores de x, se cumple la igualdad. Seleccione una respuesta. a. x = -3 b. x = 3 c. x = 1 d. x = -1 4 Deacuerdo a la lectura : El nivel de exactitud requerido puede variar enormemente de unos casos a otros. correcponde al concepto Seleccione una respuesta. a. Aproximación b. Precisión c. Redondeo d. Exactitud 5 El numero x= -7/5 es la solución de: Seleccione una respuesta. a. 2X-5(1-3X) = 1-3(1+4X) b. 2X-5(1-3X) = 1-3(1-4X) c. 2X+5(1-3X) = 1-3(1-4X) d. 2X + 5(1+3X) = 1-3(1-4X) 6 En base al concepto de precisión es correcto afirmar Seleccione una respuesta. a. Análisis demográficos de las tendencias del electorado pueden prescindir de esta precisión mediante un código postal solamente b. Análisis demográficos de las tendencias del electorado pueden prescindir de esta precisión mediante un código postal o de circunscripción. c. Análisis demográficos de las tendencias del electorado pueden prescindir de esta precisión mediante un código postal y circunscripción. d. Análisis demográficos de las tendencias del electorado pueden prescindir de esta precisión mediante un código de circunscripción. Act 3 : Reconocimiento Unidad 1 Revisión del intento 1 Comenzado el: martes, 18 de septiembre de 2012, 17:00 Completado el: martes, 18 de septiembre de 2012, 17:24 Tiempo empleado: 23 minutos 30 segundos 632 Continuar 1 Generalmente, los computadores cortan los números decimales entre el 17° y el: Seleccione una respuesta. a. 15°decimal b. 10°decimal c. 12°decimal d. 14°decimal 2 En matemática, el método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz. Supóngase que queremos resolver la ecuación f(x) = 0 (donde f es continua. Dados dos puntos a y b tal que f(a) y f(b) tengan signos distintos, sabemos por el Teorema de Bolzano que f debe tener, al menos, una raíz en el intervalo [a, b]. El método de bisección divide el intervalo en dos, usando un tercer punto c = (a+b) / 2. En este momento, existen dos posibilidades: f(a) y f(c), ó f(c) y f(b) tienen distinto signo. El algoritmo de bisección se aplica al subintervalo donde el cambio de signo ocurre. El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro asegurar la convergencia. Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y f(a)f(b) < 0, entonces este método converge a la raíz de f. De hecho, una cota del error absoluto es: en la n-ésima iteración. La bisección converge linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a) Unas cuantas iteraciones del método de bisección aplicadas en un intervalo [a1;b1]. El punto rojo es la raíz de la función PREGUNTA: El método de bisección es un algoritmo de búsqueda se sabrá exactamente el valor del error.. Cuarta y Subintervalo c. Mitad y Subintervalo 3 Cifras significativas. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería.. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos.Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. La imprecisión.de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la _________ y seleccionando el ______________ que tiene la raíz. 2. La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros. la relación entre el número exacto y el obtenido por aproximación se define como: Error = Valor real -valor estimado = |p-p*| (Llamado Error Absoluto) En ocasiones. Cuando se emplea un número en un cálculo. sobre el otro lado. Las opción correcta para completar el enunciado anterior es: Seleccione una respuesta. Cuarta e Intervalo d. no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras. 1. que . Exactitud y Precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. a.Aunque ciertos números representan número específicos. debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores. para cualquier tipo de error. Error. se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. Mitad e Intervalo b. Por lo tanto. En general. 6) lo que no deja de ser importante. En general. Un caso muy interesante es una investigación que realiza Scarborough. si tenemos un producto de 502.888. para definir la magnitud del error. Si cortamos el número en 2. que generalmente corta a un menor número de cifras significativas.. Sin embargo. en muchos casos nos interesa saber más la magnitud del error.000000002.denotaremos como Ev. el valor de "e" se conoce como 2.118281828 -2.908. el error de redondeo puede tener una incidencia muy grande muy pequeña en el cálculo final. entonces nos convenía dejar el número como 2.23 m y un precio en dólares de US $ 7.71828182 = 0. caso en el cual el error sería solo de E = 2. podemos normalizar su valor: Ea = Error relativo (fracción) = (|p-p*|)/p Como el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo.4 pesos chilenos.7008 (o sea. caso en el cual usaremos el valor absoluto de este. o que incidencia tiene en el cálculo el error detectado. como no consideramos que el número que seguía al corte era mayor que 5. el precio total nos dará US$ 3. Ahora.1% en el metraje del producto nos da un error superior a 1.965. obtenemos 502.1% en los metros del producto y calculamos el total. Dependiendo de la magnitud de los números con los que se trabaja.71828182 (8 cifras significativas luego del punto decimal) estamos obteniendo u error de E = 2. 54. $1. ya que una variación de 0.5% en el precio final . que en US$ equivalen a US$3. . Ahora.776.718281828. el error de corte de las computadoras será muy inferior al error introducido por un usuario.8). los computadores cortan los números decimales entre el 17° y 12° decimal introduciendo así un error de redondeo Por ejemplo.52.350. Así por ejemplo.7696 (que en pesos chilenos. Hasta el infinito.71828183.1 % = 507. o deberemos estimar un error aproximado. que en términos absolutos es mucho menor que el anterior.23 * 0.11828183 = -0. si introducimos una variación del 0.. una diferencia de $19.000000008.. con 1 dólar = $500 nos da $1.816.718281828 -2.. en que determinó el número de cifras significativas que contiene el error como: ERROR DE REDONDEO Muchas veces..384. 0599 c. PREGUNTA: El error relativo en las siguientes aproximaciones de p=3. es lo ideal. a.05909 d. Pero aquí surge un gran problema. Entonces. se tenderá a cortar el número de términos. aunque no se debe dejar olvidar su aporte al error total.05099 b.. por no utilizar la serie completa (que se supone es exacta). Ea= -0. disminuir el paso o proseguir la iteración ( o sea mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo). Ea= 0. Pero como dije. En una iteración. Ea= 0. Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos. ERROR NUMERICO TOTAL El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo.lo ideal sería determinar el punto en que los errores de donde empiezan a ocultar la ventaja de considerar un menor error de truncamiento. introduciendo en ese momento un error. En un intervalo que se subdivide para realizar una serie de cálculos sobre él. Ea= 0. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado. se asocia al número de paso. en la práctica debemos considerar que hoy por hoy los computadores tienen un manejo de cifras significativas mucho mayor que antes por lo que el error de redondeo se minimiza enormemente..35 por p*=3. ¿qué criterio utilizamos? . el error de redondeo se irá incrementando. resultado de dividir el intervalo "n" veces. se entiende como el error por no seguir iterando y seguir aproximándose a la solución. el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación.05099 .53 es Seleccione una respuesta.ERRORES DE TRUNCAMIENTO. Pero por otro lado. Para determinar a partir de un intervalo [ak.Dicho enunciado corresponde al concepto Seleccione una respuesta.f(bk)) con el eje de abscisas (igual a como se hace en el método de la secante). Es decir. se toma como siguiente intervalo al intervalo que tiene de extremo al punto obtenido ck y uno de los extremos del anterior intervalo de forma que en el nuevo intervalo siga estando una de las raíces de la función f (Es decir. a. lo que se hace es obtener el punto del interior del intervalo dado por la fórmula: El punto se obtiene al hallar la intersección de la recta que pasa por los puntos (a.f(ak)) y (b. por lo que suele . bk] más pequeño que incluye una raíz de la función f. Precisión 5 Método de la regla falsa Como en el método de bisección. bk] el siguiente intervalo [ak+1. Análisis del método Se puede demostrar que bajo ciertas condiciones el método de la falsa posición tiene orden de convergencia lineal. bk+1]. parte de un intervalo con f(a0) y f(b0) de signos contrarios (véase el teorema de Bolzano). con el valor de la función en los extremos del nuevo intervalo de signo contrario). El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo [ak. Una vez hallado este punto. Aproximación b.4 Es un asunto perteneciente a la cualidad de los datos y al número de errores contenidos en un conjunto de datos o mapa. Redondeo xx d.b0] que contiene al menos una solución de la ecuación f(x) = 0. Exactitud c. el método parte de un intervalo inicial [a0. a la cual se llama raíz de f. generalmente. Lineal d. entonces se reemplaza la función por la recta tangente en ese valor. no lineal b. por ser una ecuación lineal). b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a. se iguala a cero y se despeja (fácilmente. Para solucionarlo.converger más lentamente a la solución de la ecuación que el método de la secante. convergiendo muy lentamente. consistente en el caso de que el intervalo quede fijo por un extremo en ir dividiendo por dos el valor de la función en dicho extremo hasta que el nuevo intervalo no contenga al extremo que se había quedado fijado. Este cero será.Raphson La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque). se suele utilizar una variante del algoritmo. infinita c. Luego. PREGUNTA: Se puede demostrar que bajo ciertas condiciones el método de la falsa posición tiene orden de convergencia: Seleccione una respuesta. una aproximación mejor a la raíz de la función. Supóngase f : [a. el extremo del intervalo más alejado de la solución queda fijo variando únicamente el más cercano. El algoritmo tiene el inconveniente de que si la función es convexa o cóncava cerca de la solución. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n . se aplican tantas iteraciones como se deseen. a. b]. aunque a diferencia de en el método de la secante el método de la falsa posición siempre converge a una solución de la ecuación. finita 6 Método de Newton. conocida como método de regula falsi modificado. 7/ /8 sep18/12 Act 4: Lección Evaluativa Unidad No. 1 Revisión del intento 1 Comenzado el: martes. 18 de septiembre de 2012. 17:33 Completado el: martes.PREGUNTA: El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial xo y xi+1= g(x) genera una sucesión de aproximaciones la cual: Seleccione una respuesta. 17:58 Tiempo empleado: 24 minutos 53 segundos Principio del formulario 633 Continuar Final del formulario . converge a la solución de la ecuación f(x)>0 b. Diverge a la solución de la ecuación f(x)=0 6. 18 de septiembre de 2012. Diverge a la solución de la ecuación f(x)>0 c. Converge a la solución de la ecuación f(x)=0 d. a. 1 La tercera iteración encontrada en el ejemplo realizado en la página anterior por el Método de Bisección es: Seleccione una respuesta. 1. a. x = 6 . 1. 1.430 c. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuación. Así por ejemplo x=5 es una raíz de la ecuación 2x – 3 = x + 2 De manera similar y = -2 es la solución de la ecuación y2 + 3y=6 + 4y En álgebra elemental se enseña a resolver este tipo de ecuaciones en especial las ecuaciones lineales y cuadráticas.3)2 = 3(3x . a.3125 b.375 d. x = 5 b. 1.9) es: Seleccione una respuesta. La solución de la siguiente ecuación 3(x .25 2 Un valor de una variable que haga que la ecuación sea una proposición verdadera se denomina raíz o solución de la ecuación dada. Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función continua en un intervalo cerrado. d. Errores debidos a la apreciación del observador y otras causas c. pueden deberse a dos causas: sistemáticos o accidentales b. debe haber por lo menos una raíz de f(x) en el intervalo (a.6 3 De acuerdo a los siguientes enunciados el más apropiado al concepto de EXACTITUD deberá ser Seleccione una respuesta. x = . el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que debe existir x0 Î (a. x = -5 d. una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo. Errores debidos a la imprecisión de los aparatos de medición.c. y por lo tanto.b). entonces debe alcanzar todos los valores intermedios. existe un x0 Î (a. La misma conclusión se obtiene para el caso que f(a)>f(b). En particular.b) tal que f(x) = z. Son errores en los valores numéricos con que se va a operar. es decir.b] y supongamos que f(a)<f(b). Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa 4 MÉTODO DE LA BISECCIÓN El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo: Teorema del Valor Intermedio Sea f(x) continua en un intervalo [a. . Entonces para cada z tal que f(a) < z < f(b). a. si f(a) y f (b) tienen signos opuestos.b) tal que f(x0)=0 . entonces un valor intermedio es precisamente z=0 . hasta que: |E a|<|Es| es decir. xb tales que f(xa) y f(xb) tienen signos opuestos.5]. que la única raíz de f(x) se localiza en el intervalo [1. tenemos que f(xa) y f(xr) tienen signos opuestos. la raíz se encuentra en el intervalo [xr .El método de bisección sigue los siguientes pasos: Sea f(x) continua. y de aquí que f(xr) y f(xb) tienen signos opuestos. es decir. f(xr) = 0 y por lo tanto ya localizamos la raíz. El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo. f(xr) < 0 En este caso. y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo [xa . Ejemplo Aproximar la raíz de f(x) = e-x – ln x hasta que |Ea|< 1% . f(xr) = 0 · En este caso se tiene que. 1. xb] . tenemos que f(xa) y f(xr) tienen el mismo signo. · f(xa) . f(xb) < 0 ii) ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre xay xb : iii) iii) Evaluar f(xr) . xr] . · f(xa) . f(xr) > 0 En este caso. Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos: f(xa) . f(xa) . Así que este intervalo es nuestro . Solución Sabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la sección anterior. Por lo tanto. i) i) Encontrar valores iníciales xa. 5) tengan signos opuestos. vemos que la raíz se encuentra en el intervalo [1.25) = e-1. tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el método de bisección.0.5] . 1. vemos que todavía no podemos calcular ningún error aproximado. En este punto.25. En efecto. puesto que contamos ya con la aproximación actual y la aproximación previa: . 1. para poder aplicar el método de bisección debemos checar que f(1) y f(1.5].5) = e-1 ln (1. 1.25 – ln ( 1. hacemos la siguiente tabla: Por lo tanto. puesto que solamente tenemos la primera aproximación.5]. tenemos que f(1) = e-1 – ln 1 = e-1 > 0 mientras que f(1. repetimos el proceso con el nuevo intervalo [1.18233 < 0 Cabe mencionar que la función f(x) sí es continua en el intervalo [1.25) = 0. sin embargo. Así. Así pues.5) = .25. Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz): Aquí podemos calcular el primer error aproximado. Comenzamos: i) Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera aproximación a la raíz): ii) Evaluamos f(1.punto de partida.0636 > 0 iii) Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz. Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla: Aprox.25.28125 2.43% 1.59% <> . continuamos con el proceso. vemos que la raíz se encuentra en el intervalo [1.3046875 0. Evaluamos f(1.09% 1.375) = e-1.296875 1. Calculamos el punto medio. y hacemos la tabla: Así.76% 1. 1. a la raíz Error aprox.06561 < 0.375) = -0.375] .375 – ln (1.25 <> 1. 1.20% 1.375 9. Y calculamos el nuevo error aproximado: El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo.Puesto que no se ha logrado el objetivo.3125 4. 6. Precisión: Se refiere al número de cifras significativas que representan una cantidad. 6 b. pueden deberse a dos causas: sistemáticos o accidentales. en una cifra o guarismo. 7 d. leyendo de izquierda a derecha.5 5 Dígitos Significativos: Son aquellos números diferentes de cero. a. se encontrara que la tercera iteración entre los valores x= 6 y x = 8 de la función f(x) es: Seleccione una respuesta.Así. a esto se refiere cuando se habla de doble precisión. dependiendo de la máquina que estemos utilizando. Errores Inherentes o Heredados: Son errores en los valores numéricos con que se va a operar. empiezan con el primer dígito diferente de cero y terminan con el tamaño que permitan las celdas que guardan la mantisa.75 c.10x + 22. 6. obtenemos como aproximación a la raíz PREGUNTA: Utilizando el método de Bisección para la funcion f(x)= x2 . . Exactitud: Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa. a) Para números positivos.Errores Sistemáticos: Debidos a la imprecisión de los aparatos de medición. “ Son aquellos números diferentes de cero. Dependiendo de cómo se redondea puede ser de dos formas. Error de Redondeo Superior: Este caso tiene dos alternativas. Errores de Truncamiento: Se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación. en una cifra o guarismo. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada sólo toma en cuenta los dígitos que caben en la pantalla y no analiza el primer dígito perdido. empiezan con el primer dígito diferente de cero y terminan con el tamaño que permitan las celdas que guardan la mantisa” . el último dígito que puede conservarse en la localización de memoria se reduce en una unidad si el primer dígito despreciado es < 5. b) Para números negativos. Error de Redondeo Inferior: Se desprecian los dígitos que no pueden conservarse dentro de la localización de memoria correspondiente (pensando de una manera estricta. Las definiciones: A. PREGUNTA: 1. leyendo de izquierda a derecha. Error de Redondeo: Se ocasiona debido a las limitaciones propias de la máquina para representar cantidades que requieren un gran número de dígitos. este caso puede considerarse como un error de truncamiento). según el signo del número en particular. el último que puede conservarse en la localización de memoria se incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es > 5. Errores Accidentales: Debidos a la apreciación del observador y otras causas. Sucede cuando se toman sólo algunos términos de una serie infinita o cuando se toma sólo un número finito de intervalos. a. Los items 1 y 3 d. Dígitos Significativos 4. Error de Redondeo 2. Los items 2 y 4 c. Sucede cuando se toman sólo algunos términos de una serie infinita o cuando se toma sólo un número finito de intervalos.” Son definiciones de: 1. Error de Truncamiento 3. Los items 2 y 3 b. “ Se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación. Error relativo La respuesta correcta es Seleccione una respuesta. Muy lenta y disminuye . lo hace de una forma _____________ y de hecho. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada sólo toma en cuenta los dígitos que caben en la pantalla y no analiza el primer dígito perdido. Los items 1 y 4 6 Complete correctamente el enunciado teniendo en cuenta la lectura anterior: Se observa que cuando el método de Newton-Raphson converge a la raíz.B. observamos que el error aproximado______________ Seleccione una respuesta. a. |g’(x)|<1 para x en un intervalo [a. a. b] d. b] 8 MÉTODO DE ITERACIÓN DEL PUNTO FIJO Este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma x= g(x) Si la ecuación es f(x) = 0. |g(x)|<1 para x en un intervalo [a. |g(x)|>1 para x en un intervalo [a. b] b. |g’(x)|>1 para x en un intervalo [a. entonces puede despejarse x ó bien sumar x en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada. 2) La ecuación tan x – e-x = 0 se puede transformar en x . Muy lenta y aumenta 7 El método de iteración del punto fijo converge a la raíz si: Seleccione una respuesta.x = 0 se puede transformar en cos x = x.b. Muy rápida y disminuye c. la siguiente iteración se calcula con la fórmula: xi+1 = g(xi) . b] c. Ejemplos : 1) La ecuación cos x .tan x – e-x = x. Dada la aproximación xi. Muy rápida y aumenta d. Supongamos que la raíz verdadera es xr. Por lo tanto el método sí converge a la raíz. Analicemos nuestros ejemplos anteriores : · En el ejemplo 1. xr – xi+1 = g’ (€) . b] y diferenciable en (a. el método de iteración del punto fijo converge a la raíz si |g’(x)|<1 para x en un intervalo [a. pero diverge si |g’(x)| >1 en dicho intervalo. ( xr – xi) Tomando valor absoluto en ambos lados. . xr = g(xr) Restando las últimas ecuaciones obtenemos: xr . En resumen. sabemos que si g(x) es continua en [a.ésima iteración. el error irá en aumento. En caso contrario. b] que contiene a la raíz y donde g(x) es continua y diferenciable. solamente si |g’ (€) |< 1.g(xi) Por el Teorema del Valor Medio para derivadas. b) tal que .xi+1 = g(xr) . Por lo tanto. |xr – xi+1|=|g’(€) ||xr – xi| Observe que el término |xr – xi+1| es precisamente el error absoluto en la (i +1)-ésima iteración. existe € en el intervalo determinado por xi y xr tal que: De aquí tenemos que: g(xr) – g(xi) = g’ (€) . mientras que el término |xr – xi|corresponde al error absoluto en la i. g(x) = cos x y claramente se cumple la condición de que |g’ (x)|<1 . En nuestro caso. ( xr – xi) O bien. b) entonces existe ? Î (a. entonces se disminuirá el error en la siguiente iteración. es decir. .x.08%. Ejemplo Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de f(x) = x2 – 5x . x1 = g(x0) = cos 0 = 1 Con un error aproximado de 100% Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos. Por lo tanto.7414250866 Con un error aproximado igual al 0. |g’(x)|=|1+sec2x + e-x| > 1.78%. Solución Como ya aclaramos anteriormente. el método no converge a la raíz. En efecto.ex. se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es: x13 = 0. vemos que la ecuación equivale a de donde. el método sí converge a la raíz.· En el ejemplo 2. Para aclarar el uso de la fórmula veamos dos ejemplos: Ejemplo Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de f(x) = cosx . x2 = g(x1) = cos 1 = 0. g(x)=x+tanx–e-x y en este caso. comenzando con x0=0 y hasta que |€a|< 1%. Solución Si despejamos la x del término lineal. Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. Aplicando la fórmula iterativa tenemos.540302305 Y un error aproximado de 85. comenzando con x0 = 0 y hasta que |€a|< 1%. En este caso.2 100% -0. <> nos convence que |g’(x)|<1.41% -0. el método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1%. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: Aprox. 0 <> -0. En este ejemplo. Aplicando nuevamente la fórmula iterativa.1557461506 28. 1].34% . para x Î [-1.1557461506 Con un error aproximado igual al 28. a la raíz Error aprox. lo que es suficiente para deducir que el método sí converge a la raíz buscada. tenemos: x1 = g(x0) = -0.41%. Un vistazo a la gráfica.2 Con un error aproximado del 100%.1663039075 6. Aplicando la fórmula iterativa. tenemos que . tenemos: x2 = g(x1) = -0. 2 b. Sea p el valor exacto de una cantidad y sea p* su valor aproximado. error relativo y cifras significativas . 0. -0.ex. -0. De esta manera se puede afirmar que alguien ha medido la longitud de un campo de futbol o la longitud de un bolígrafo con un error de un centímetro.163826372 1. comenzando con x0 = 0 y hasta que |a|< 1%. se encontró que el valor de la iteración x1 = g(x0) es igual a: Seleccione una respuesta.1557461506 d.164410064 0. dicho error no tiene la misma importancia en ambos casos. .164410064 PREGUNTA: Al usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de f(x) = x2 – 5x .-0.2 9 Error absoluto.51% -0. que se define como: . Sin embargo.1557461506 c.35% De donde vemos que la aproximación buscada es: x5 = -0. a. 0. Para cuantificar la importancia del error respecto del valor exacto de una cierta cantidad p se introduce el concepto de error relativo. Se define error absoluto como: El error absoluto mide la diferencia entre el valor exacto de una cantidad y su valor aproximado. por tanto hay que conformarse con el cálculo de una cota del error.3352 b. El ultimo numero escrito simbólicamente se puede representar por ±m x10b Donde 0 < m < 1 y representa la mantisa y b es un numero entero que indica el exponente. coma flotante y utilizando cinco dígitos para la mantisa (t=5).Se puede notar que el error relativo no está definido para p=0. 3 c. puede representar los siguientes números: 0. 0. Por ejemplo. Ya conocido la definición cuantitativa del error relativo. 0.334 . PREGUNTA: El numero 0. La ecuación anterior muestra que el error relativo es una cantidad adimensional. etc. 3352 d. a.19875x103 . Por ejemplo si tenemos un número t de digitas destinados a la representación de la mantisa (se supone que t no incluye la posición del signo).487 se guardan como ±0. Lo importante a resaltar es que generalmente no se conoce el valor exacto de la cantidad p. 0. Por consiguiente. si una persona realiza unos cálculos trabajando en base diez.23754x102 . los números ±23.3352x103 tiene como mantisa a: Seleccione una respuesta. En consecuencia. que habitualmente se expresa en porcentaje (%). tampoco se puede conocer ni el error absoluto ni el error relativo cometido.23487x102 . se puede plantear cual es la cota de error de redondeo cometido al almacenar un número.10000x105 . los números reales se almacenan en coma flotante. Como se es conocido. 0. Para calcular el punto xi+1. Supongamos que tenemos la aproximación xia la raíz xr de f(x). f(xi)). Sabemos que tiene pendiente m = f’ (xi) Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es: y – f (xi) = f’ (xi) (x – xi) Hacemos y=0: -f (xi) = f’ (xi) (x – xi) Y despejamos x: Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación: . el cual es un método iterativo. ésta cruza al eje x en un punto xi+1 que será nuestra siguiente aproximación a la raíz xr. Trazamos la recta tangente a la curva en el punto (xi. el método de NewtonRaphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo. calculamos primero la ecuación de la recta tangente. A diferencia de los métodos anteriores.10 Método de Newton Raphson Este método. es uno de los más usados y efectivos. el método no se puede aplicar. y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. en cuyo caso xi mismo es una raíz de f’(xi). para aproximar la raíz de f(x)= e-x-ln x. También observe que en el caso de que f’ (xi)=0. Ejemplo 1 Usar el método de Newton-Raphson. comenzando con x0 = 1 y hasta que ??a? < 1%. tenemos que De aquí tenemos que: Comenzamos con x0 = 1 y obtenemos: En este caso. Sin embargo. Desde luego. . existen ejemplos donde este método no converge a la raíz.<> . en cuyo caso se dice que el método diverge. vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intercepta al eje x en ningún punto. el error aproximado es. por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia. De hecho. a menos que coincida con éste. Solución En este caso. Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz. en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante. X1 = 0. X1 = 51. lo hace de una forma muy rápida y de hecho. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: Aprox. Aunque no es nuestro objetivo establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los métodos que hemos estudiado. a. X1 = 5.268941421 21.65 b. X1 = 52.06% 1.2 d.5 c.0 Act 5: Quiz 1 . a la raíz Error aprox. cuando el valor inicial de x es xo=0.052% De lo cual concluimos que .5 Seleccione una respuesta. la cual es correcta en todos sus dígitos. cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor precisión la rapidez ó lentitud del método en estudio Pregunta: Utilizando el método de Newton-Raphson para determinar la primera iteración de la función f(x)=x10-1. Observe que cuando el método de Newton-Raphson converge a la raíz. La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raíces n -ésimas de números reales positivos.309799389 0.Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió.19% 1.309108403 3. observamos que el error aproximado disminuye a pasos agigantados en cada paso del proceso. 1 1. permite Método de Gauss-Jordan resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas. 28 de septiembre de 2012. 6 c. 19:55 Completado el: viernes. Este método. 20:27 Tiempo empleado: 31 minutos 31 segundos 634 Continuar 1 El valor de a para que la igualdad se mantenga. Este es uno de los métodos más interesantes del análisis numérico y Método de Gauss Seidel particularmente útil ya que nos permite encontrar la solución de un sistema de “n” ecuaciones con “n” incógnitas. en la siguiente operación de matrices es: Seleccione una respuesta. 3 2 En esta pregunta encontrará un enunciado que debe emparejarla con una de las opciones que esta a su derecha. que constituye una variación del método de eliminación de Gauss. a. -3 b. 28 de septiembre de 2012.Revisión del intento 1 Comenzado el: viernes. -6 d. Ajuste de Curvas Consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que . Gauss-Seidel 5 Utilizando el método de Bisección para la función f(x)= x2 . X = 2. X = 2. a. a. Diferencias Divididas d. se encontrara que la tercera iteración entre los valores x= 2 y x = 5 de la función f(x) es: Seleccione una respuesta. X = 3. a. Gauss-Jordan b.75 b. Interpolación c. Es simplemente es una reformulación del polinomio de Newton que evita los cálculos de las diferencias divididas.posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales. Ninguna Solución c.06 . Infinitas soluciones b. si una matriz tiene dos filas iguales la solución del sistema es: Seleccione una respuesta. Interpolación de Lagrange 3 Con el método de Gauss-Jordan.10x + 22. Finitas soluciones d.5 c. Única Solución 4 El método que es considerado como una variación del método de eliminación de Gauss es el método: Seleccione una respuesta. a. El método de bisección divide el intervalo en dos. Método iterativo de punto fijo 8 La ecuación corresponde al método Seleccione una respuesta. Método de Bisección d. una raíz en el intervalo [a.125 6 Al emplear la primera aproximación del método de punto fijo para localizar la raíz de f(x)=e-x-x. Método de la regla falsa .” corresponde al método de: Seleccione una respuesta. ó f(c) y f(b) tienen distinto signo. a. cuando xo=0 se obtiene: Seleccione una respuesta. En este momento. 3 c. b]. 2 d.d. 0 7 1. X = 3. existen dos posibilidades: f(a) y f(c). sabemos por el Teorema de Bolzano que f debe tener. usando un tercer punto c = (a+b) / 2. El siguiente enunciado: “Supóngase que queremos resolver la ecuación f(x) = 0 (donde f es continua. al menos. 1 b. Método de Falsa Posición o Regla Falsa c. Dados dos puntos a y b tal que f(a) y f(b) tengan signos distintos. Método de Newton Raphson b. a. Luego. se iguala a cero y se despeja (fácilmente. usted relacionara las opciones correcta con su enunciado.b. Este método. Método de Newton Raphson 9 En la siguiente pregunta encontrará a su izquierda un enunciado y a su derecha tendra las opciones posibles. una aproximación mejor a la raíz de la función. Sea f(x) continua en un intervalo [a. generalmente. A la función g se le conoce como función iteradora Método de Bisección Método de New ton-Raphson Método de la Regla Falsa Método Iterativo de Punto Fijo . por ser una ecuación lineal). Método Iterativo de Punto Fijo d. A diferencia de los métodos anteriores. el cual es un método iterativo. entonces se reemplaza la función por la recta tangente en ese valor. Este cero será.b] y supongamos que f(a)<zf(b). se aplican tantas iteraciones como se deseen El método que inicia con una aproximación inicial Xo y Xi+1= g(x) genera una sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación f(x)=0. Método de Biseción c. es uno de los más usados y efectivos. este método no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo El Método comienza con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque). 0097 y Er=0. b. c.0. a. Un minimo número de dígitos.0097 y Ea=-0.003575 d.10 El error relativo y absoluto de la siguiente aproximación P = e y P* = 341/125 son respectivamente: Seleccione una respuesta. Ea= . c. b. Ea=0.0. Un gran número de dígitos. Er=0. Er=-0.003575 c. a.0097 y Er= . Numero irracional d. Porcentaje (%). d. Numero Natural 12 El Error de Redondeo. Un minimo número de dígitos.003575 b. a. Un gran número de dígitos. 13 En la siguiente pregunta encontraras un enunciado o definición que debe ser emparejado correctamente con una de las opciones que se presentan a tu derecha.0097 y Ea=0.003575 11 El error relativo es una cantidad adimensional. que habitualmente se expresa en: Seleccione una respuesta. Un gran número de Elementos. Errores debidos a la apreciación del Errores Accidentales . se ocasiona debido a las limitaciones propias de la máquina para representar cantidades que requieren: Seleccione una respuesta. dependiendo de la máquina que estemos utilizando. Errores Relativos b. Errores de Truncamiento c. Exactitud Errores Sistemáticos Precisión Errores de Truncamiento 14 1. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada sólo toma en cuenta los dígitos que caben en la pantalla y no analiza el primer dígito perdido” Es la definición de: Seleccione una respuesta. Se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación. a esto se refiere cuando se habla de doble precisión. .observador y otras causas. La siguiente definición: “Se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación. Errores de Redondeo 15 El error relativo no está definido para p igual a: Seleccione una respuesta. Sucede cuando se toman sólo algunos términos de una serie infinita o cuando se toma sólo un número finito de intervalos. Errores Absolutos d. a. Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa Errores debidos a la imprecisión de los aparatos de medición Se refiere al número de cifras significativas que representan una cantidad. 3 /25 Act 7 : Reconocimiento Unidad 2 Revisión del intento 1 Comenzado el: sábado. -1 c. 0 18. a.a. No homogéneo d. 10 de noviembre de 2012. No Heterogéneo 2 . 20:27 Tiempo empleado: 21 minutos 47 segundos Continuar 1 Si el vector b es cero se dice que el sistema es: Seleccione una respuesta. 0.1 b. 20:05 Completado el: sábado. Heterogéneo b. 1 d. 10 de noviembre de 2012. Homogéneo c. Cuatro puntos 3 Ajuste de curvas El ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales. una ecuación polinómica de primer grado es un ajuste perfecto entre dos puntos. Esta sección es una introducción tanto a la interpolación (cuando se espera un ajuste exacto a determinadas restricciones) y al ajuste de curvas/ análisis de regresión (cuando se permite una aproximación). Por tanto. . Dos puntos b.El polinomio y = ax3 + bx2 + cx + d de tercer grado se ajusta a: Seleccione una respuesta. Un punto d. Ajuste de líneas y curvas polinómicas a puntos Empecemos con una ecuación polinómica de primer grado: y= ax + b Esta línea tiene pendiente a. Tres puntos c. Sabemos que habrá una línea conectando dos puntos cualesquiera. a. por ejemplo. No es seguro que vaya a existir un ajuste exacto a todas ellas (pero podría suceder. Si tenemos más de n + 1 restricciones (siendo n el grado del polinomio). un ángulo o una curvatura (que es el recíproco del radio. Esto. sin embargo.Si aumentamos el orden de la ecuación a la de un polinomio de segundo grado. Las restricciones de ángulo y curvatura se suelen añadir a los extremos de una curva. obtenemos: y = ax2 + bx + c Esto se ajustará exactamente a tres puntos. El método de mínimos cuadrados es una manera de comparar las desviaciones. Cada restricción puede ser un punto. sería útil en diseños de intercambios en trébol para incorporaciones a autopistas. o (1/R). como "el cambio en la tasa de curvatura". para entender las fuerzas a las que somete a un vehículo y poder establecer límites razonables de velocidad. y en tales casos se les llama condiciones finales. En general. Si aumentamos el orden de la ecuación a la de un polinomio de tercer grado. Una forma más general de decirlo es que se ajustará exactamente a cuatro restricciones. por ejemplo. También se pueden añadir restricciones de orden alto. A menudo se usan condiciones finales idénticas para asegurar una transición suave entre curvas polinómicas contenidas en una única spline . se necesita algún método para evaluar cada aproximación. obtenemos: y = ax3 + bx2 + cx + d que se ajustará a cuatro puntos. . en el caso de un polinomio de primer grado que se ajusta a tres puntos colineales ). aún podemos hacer pasar la curva polinómica por ellas. esperaríamos que la curva pase también cerca del punto medio entre A y B. pero no existen garantías. o el coste computacional de encontrar la solución podría ser muy alto. no quiere decir necesariamente que podamos encontrarlo. Para definir esto con más precisión. donde n es el orden de la ecuación polinómica. tendríamos que acabar aceptando una solución aproximada. Un punto de inflexión es el lugar de una curva donde cambia de radio positivo a negativo. Existen varias: Incluso si existe un ajuste exacto.Ahora bien. ya que también pueden ser suaves. Si hacemos pasar una curva por los puntos A y B. Los polinomios de orden superior pueden oscilar mucho. trece . donde no se podría calcular el ajuste exacto. Esto puede no suceder con curvas polinómicas de grados altos. en los de primer grado). el número máximo de puntos de inflexión de una curva polinómica esn-2. en lugar de distorsionar la curva para que se ajuste a ellos de forma exacta. Dependiendo del algoritmo que se use. De cualquier modo. podríamos encontrar un caso divergente. como máximo. Quizá prefiramos el efecto de promediar datos cuestionables en una muestra. podríamos preguntarnos la razón de querer un ajuste aproximado cuando podríamos simplemente aumentar el grado de la ecuación polinómica para obtener un ajuste exacto. Los polinomios de orden bajo tienden a ser suaves y las curvas de los polinomios de orden alto tienden a ser "bulbosas". ya que pueden tener valores de magnitud positiva o negativa muy grande. Obsérvese que la "bulbosidad" de los polinomios de orden alto es sólo una posibilidad. Con polinomios de grado bajo existen más posibilidades de que la curva pase cerca del punto medio (y queda garantizado que pasará exactamente por ahí. al contrario que sucede con los polinomios de orden bajo. Un polinomio de grado quince podría tener. Esto es malo por las razones comentadas anteriormente si los polinomios son de orden alto. lo que puede ser un problema tanto para humanos como para el software. véase el artículo sobre interpolación polinómica . Para más información. pero podría tener también doce. a. y quizá incluso un grado menor si es aceptable una aproximación al ajuste. Por ejemplo. PREGUNTA: Teniendo en cuenta la lectura entonces: "Un polinomio de grado quince podría tener. pero también nos lleva a un caso en que exista un número infinito de soluciones. como máximo": Seleccione una respuesta.puntos de inflexión. comentemos qué sucede si el grado de una curva polinómica es mayor del necesario para dicho ajuste. Esto nos trae el problema de cómo comparar y escoger una solución única. o cualquier número hasta cero. Ahora que hemos hablado del uso de grados demasiado bajos para conseguir un ajuste exacto. un polinomio de primer grado (una línea) restringido por un único punto. Diez puntos de inflexión b. once. trece puntos de inflexión . nos dará un número infinito de soluciones. Por esta razón es mejor escoger el polinomio de menor grado posible para obtener un ajuste exacto en todas las restricciones. en lugar de los dos habituales. Grado dos 5 Sección dorada La búsqueda de la sección dorada es una técnica simple. y se especifica un valor inicial inferior x1 u un valor inicial superior x2. Grado cuatro c. (x1. y1). La presencia de una raíz entre estas fronteras se . en principio se busca el polinomio de interpolación de: Seleccione una respuesta. es la búsqueda de una sola variable de propósito general. a. Recordando el método de bisección para encontrar las raíces se hace necesario ubicar un intervalo definido donde se encuentre dicha raíz. Doce puntos de inflexión 4 En el caso de tres puntos (x0. y2). Grado uno d. Es similar que la utilizada en el método de bisección para localizar raíces.c. Grado tres b. Once puntos de inflexión d. (x2. y0). es decir un intervalo que contenga un máximo. a. Pero en vez de buscar los dos valores función para detectar un cambio de signo. Igualmente que el método de Bisección. y por tanto el cero. Consistente y tenemos dos posibilidades: Si Rango de A ? n tiene solución única y Si Rango de A > n el sistema tendrá infi c. se necesitaran tres valores función para detectar si ocurre un máximo. Consistente y tenemos que si Rango de A = n el sistema tie soluciónes d. Consistente y tenemos dos posibilidades: Si Rango de A = n tiene solución única y Si Rango de A < n el sistema tendrá infi .determina hallando f(x1) y f(x2) que deben tener signos diferentes. Así. y la raíz se localiza como el punto medio de este intervalo El paso siguiente es establecer un intervalo más pequeño para hallar la aproximación de la raíz. se inicia definiendo un intervalo que contenga una sola respuesta. se ha de escoger un punto adicional dentro del intervalo. Podemos ahora desarrollar un proceso similar para localizar la raíz óptima de una función unidimensional. Adoptando la misma nomenclatura del método de bisección. PREGUNTA: Si Rango de A = Rango de B el sistema es: Seleccione una respuesta. y por esto es llamado unimodal. Después se toma un cuarto punto. Inconsistente y tenemos que Si Rango de A = n el sistema t única b. con funciones analíticas sencillas. situación necesaria en el campo de la ingeniería.6 INTERPOLACIÓN (tomado de Métodos Numéricos de Antonio Nieves) En el capítulo 2 de la unidad 2 estudiaremos la aproximación de funciones disponibles en forma directa (puntos tabulados). sus combinaciones generan aproximaciones del tipo polinomial a0 + a1x + a2x2 +…+ anxn Además del polinomial existen otros grupos como el exponencial y el grupo de las funciones de Fourier. x2. con i ? i ? n . etc. son constantes por determinar gi(x) funciones de una familia particular. x1. . Las funciones de aproximación se obtienen por combinaciones lineales de elementos de familias de funciones denominadas elementales. o bien de aproximación de funciones cuya complicada naturaleza exija un reemplazo por funciones más simples. La enorme ventaja de aproximar información discreta o funciones complejas. derivaciones. Los monomios en x (x0. radica en su mayor facilidad de evaluación y manipulación. con funciones analíticas sencillas. En general tendrán la forma: a0g0(x) + a1g1(x) + …+angn(x) .…) constituyen la familia o grupo más empleado. donde ai . Y son lo más comunes por su facilidad de manejo en evaluaciones. integraciones. yn. ln son polinomios que dependen sólo de los nodos tabulados x0.Una de las técnicas que nos permite aproximar a un polinomio una serie de puntos. las diferencias divididas.…. La fórmula general del polinomio li(x) es: . Polinomios de interpolación de Lagrange Un polinomio de interpolación de Lagrange. la aproximación polinomial de Newton. que en métodos numéricos esta detallado como ajuste de curvas. l1. es el conocido como método de mínimos cuadrados. Y su modo de ajuste consiste en encontrar una función polinomial que pase por los puntos dados y que satisfaga la condición de minimizar la suma de sus desviaciones elevadas al cuadrado. Una vez obtenido el polinomio de aproximación. p se define en la forma: (68) en donde l0.…. y1. este se puede usar para obtener otros puntos adicionales a los existentes. mediante una evaluación conocida como interpolación. pero no de las ordenadas y0.xn. x1.…. el método de mínimos cuadrados (como ajuste de Curvas) y algunos conceptos de la transformada de Fourier. Los polinomios de Lagrange. por su ajuste exacto. Los puntos más relevantes de este capítulo. las cuales estudiaremos y estará sentado en la lección evaluativa son la Interpolación como concepto. Ejemplo : Suponga la siguiente tabla de datos: Construya las funciones cardinales para el conjunto de nodos dado y el polinomio de interpolación de Lagrange correspondiente. se encontró que el coeficiente del polinomio de lagrange l3(x) es: . resultan ser: El polinomio de interpolación de Lagrange es: p3(x) = l0(x)-23l1(x)-54l2(x)-954l3(x) PREGUNTA: De acuerdo al ejemplo realizado en la lectura anterior.…. Las funciones cardinales. Utilizando estos polinomios en la ecuación ( 68 ) obtenemos la forma exacta del polinomio de interpolación de Lagrange. x1. empleando la expresión ( 69 ).xn. estos polinomios son conocidos como funciones cardinales.(69) Para el conjunto de nodos x0. 10 de noviembre de 2012. 20:33 Completado el: sábado. a. 1 b. -23 c.Seleccione una respuesta. -54 Continuar Usted se ha autentificado como EDITH MILENA CUELLO (Salir) 100401A 8/8 Act 8: Lección evaluativa Unidad No. 10 de noviembre de 2012. -954 d. 2 Revisión del intento 1 Comenzado el: sábado. 21:05 Tiempo empleado: 32 minutos 9 segundos Continuar 1 . Esto se puede demostrar si se multiplican en forma distributiva los términos de la ecuación (1) y obtenemos: f(x) = b2 x2 + (b1 – b2 x0 – b2 x1) x + (b0 – b1 x0 + b2 x0 x1) (2) que si se agrupan los términos se tiene: . a. las dos ecuaciones son equivalentes. x =12 2 Interpolación Cuadrática Si se dispone de tres puntos la búsqueda de una función se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden(llamado también polinomio cuadrático o parábola). Una manera conveniente para este caso es: f(x) = b0 + b1 (x – x0) + b2 (x – x0) (x – x1) (1) Nótese que aunque la ecuación (1) parezca diferente de la ecuación general de un polinomio lineal. 2x – 3 – 9 = x Seleccione una respuesta. x = -12 b. x = .6 c. x = 6 d.Que valor de x. hacen que se cumpla la igualdad. Para b0. las ecuaciones (5) y (6) se sustituyen en la ecuación (1). se usa la ecuación (1) con X = X0. Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de los coeficientes. y se evalúa ésta en X = X2 y se obtiene: (7) .f(x) = a2 x2 + a1 x + a0 (3) en donde: a2 = b2 a1 = b1 – b2 x0 – b2 x1 (4) a0 = b0 – b1 x0 + b2 x0 x1 De esta manera. y se obtiene b0 = f(x0) (5) sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (1) y evaluando en X =X 1 se obtiene: (6) Y por último. las ecuación (1) es una fórmula alternativa que equivale al polinomio de segundo grado que une a los tres puntos. introduce la curvatura de segundo orden en la fórmula.1) (X .5658443 .0000 000 X1 = 4 f (X1) = 1. los primeros dos términos de la ecuación (1) son equivalentes a la interpolación de X0 a X1.Nótese que.05187312 (X .4620981 (X . al igual que en el caso de interpolación lineal. b1 aún representa la pendiente de la línea que une los puntosX0 y X1.3862 944 X2 = 6 f (X2) = 1. Ejemplo: Ajústese el polinomio de segundo orden a los siguientes tres puntos X0 = 1 f (X0) = 0.4) si se quiere evaluar en X = 2 . se obtiene f 2 ( 2 ) = 0.1) . El último término.7917 595 SOLUCIÓN : Entonces b0 = 0 Luego: Y: Sustituyendo estos valores en la ecuación de interpolación y se obtiene la fórmula cuadrática: f2 ( X ) = 0 + 0. Por lo tanto. b2(X-X0)(X-X1).0. Un método directo para obtener la matriz inversa c. es la de proporcionar: . a. Seleccione una respuesta.72 . 2.PREGUNTA: Una de las principales razones para incluir el método de GaussJordan. Un método Indirecto para obtener la matriz invers b. a. Un método Indirecto para obtener la matriz diagon 3 Teniendo en cuenta el método de Gauss-Seidel para una matriz dada tenemos la siguiente ecuación: Si se asume que x2y x3 son iguales a uno el resultado de x1 es aproximadamente igual a: Seleccione una respuesta. Un método directo para obtener la matriz diagonal d. la ambigüedad no es evitada con la utilización de la notac c. los ceros posteriores a la última cifra distinta de cero pueden o no considerarse significativos.6 4 Para números sin coma decimal. la notación cientifica algunas veces no evita la ambigüeda d.b. la notación cientifica evita la ambigüedad 5 Para las siguientes matrices es igual: el producto AB . De acuerdo al texto es correcto afirmar Seleccione una respuesta.70 c.71 d. como por ejemplo: 7 · 102 tiene una cifra significativa. a. 2. Esta ambigüedad se evita utilizando la notación científica. 2. 2. la notación cientifica no evita la ambigüedad b. para el número 70 podríamos considerar una o dos cifras significativas. Así. Para ello se desarrolla una ecuación de estimación llamada de Mínimos Cuadrados. (-15.-12) d.-12) c.12) b. (-15. (15. .12) 6 Método de Mínimos cuadrados Suponga que se tiene el siguiente diagrama Y le solicitan que ajuste una recta que la mayor parte de los datos.Seleccione una respuesta. a. (15. Entonces el debe realizar las siguientes operaciones para determinar la recta de estimación que más se ajuste: n=6 . X= Variable independiente.El procedimiento del método de Mínimos Cuadrados es determinar la recta Ŷ= a + bX . donde Ŷ= es la variable dependiente. de modo que tiene los siguientes datos: Ingresos Y 20 25 34 30 40 31 Gastos X 2 3 5 4 11 5 Ingresos Y 20 25 34 30 40 31 Gastos X 2 3 5 4 11 5 En millones de pesos. o variable a predecir a= Intersepto con la variable Y b= Es la pendiente de la recta. para ello se tiene las siguientes ecuaciones: y Ejemplo: Suponga que un analista de una empresa Z le solicitan encontrar la recta de estimación de ingresos y gastos. información conocida parapredecir Y El objetivo del método es determinar los valores de a y b dela ecuación Ŷ= a + bX. 900]= 600/300 = 2 Esta estimación quiere decir que por cada millon gastado la empresa recibe 2 milles de ingresos y a= [180 .(2)(30)]/6 = 120/6 = 20 que significa que los ingresos mínimos son de 20 millones. La ecuacion es entonces: Ŷ= 20 + 2X A partir de esta ecuación estimada se puede predecir los ingresos si los gastos son 7 millones.(30)(180)]/ [(6)(200).∑X= 2+3+5+4+11+5= 30 ∑Y= 20+25+34+30+40+31= 180 ∑XY= (2+20)+ (3*25)+ (5*34)+ (4*30)+ (11*40)+ (5*31)= 1000 ∑X2= 22 +32 +52 +42 +112 +52 = 200 (∑X)2 = (30)2 = 900 Reemplazamos en la fórmulas a y b y se obtiene los siguientes resultados: b= [(6)(1000) . es decir si X=7 luego: Ŷ= 20 + 2(7) = 34 millones PREGUNTA: La solución de siguiente sistema eliminación de Gauss es: 1) x1= 4 utilizando la . 3 y 2 d. 1 y 4 b.El polinomio de interpolación de Newton se define de la siguiente manera: f(x) = b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)(x-x1)+…+bn(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1) donde: . 1 y 2 7 POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS Dados n+1 datos: . a. 3 y 4 c.2) x2= 4 3) x1= 3 4) x2= 3 Son correctas: Seleccione una respuesta. . bn = f [xn. para construir el polinomio de interpolación de Newton.b0=f(x0) b1=f [x1. se encuentran en la parte superior de la tabla de diferencias divididas. . Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos: Y utilizar la información de dicha tabla. x1. x0] Para calcular los coeficientes b0.…. Ejemplo 1 .…. b1. es conveniente construir una tabla de diferencias divididas como la siguiente: Obsérvese que los coeficientes del polinomio de interpolación de Newton. x0] . . bn. x0] b2=f [x2. 020238(x+3)(x+2)(x) . Solución.25(x+2)(x+1)-0. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos: Y usar la información en la tabla. para construir el polinomio de interpolación de Newton. Procedemos como sigue: Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton es: f(x) = 4+2(x+2)-0.3(x+2)(x+1)(x-2) Ejemplo 2.Solución . Procedemos como sigue: Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton nos queda: f(x) = 5+3(x+3) – 1.66667(x+3)(x+2) . de acuerdo a ello. se observa que se encuentra una funciòn o polinòmio. -0. P(x)= -4+3(x+2)+2(x+2)(x-3) . a. a. 0.3 8 El polinomio que se obtiene al usar el método de Diferencias Divididas de Newton con los siguientes datos: x 2 3 4 f(x) -4 -1 6 es: Seleccione una respuesta. P(x)= -4+3(x-2)+2(x-2)(x+3) b.PREGUNTA: Teniendo en cuenta el ejemplo 1 de la pàgina anterior (pàgina 11).3 c.25 b.25 d. 0. -0. el coeficiente del X3 de la funciòn encontrada es: Seleccione una respuesta. x –100 = x b.T) = S 10 INTERPOLACIÓN En este capítulo estudiaremos el importantísimo tema de la interpolación de datos. P(x)= 4+3(x-2)+2(x-2)(x-3) 9 "Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. 3K/(1. Definición. a. Veremos dos tipos de interpolación: la interpolación polinomial y la interpolación segmentaria (splines). Las siguientes proposiciones son ejemplos de ecuaciones" De las siguientes cuales No se consideran ecuaciones. sen(2x-3) c.c. P(x)= -4+3(x-2)+2(x-2)(x-3) d.Comencemos dando la definición general. Dados n+1 puntos que corresponden a los datos: . Seleccione una respuesta. – 5y = 6 – 4y d. Por lo regular involucra una o más variables y el símbolo de igualdad “=”. funciones polinomiales. y se le llama función de extrapolación de los datos. Evidentemente pueden existir varios tipos de funciones que interpolen los mismos datos.1. así como de los valores intermedios que se están esperando. funciones trigonométricas.x x0 x1 … xn y y0 y1 … yn y los cuales se representan gráficamente como puntos en el plano cartesiano. funciones exponenciales. combinaciones de éstas. xn] . etc. depende generalmente de la naturaleza de los datos que se están manejando. El tipo de interpolación que uno elige. . entonces a f(x) se le llama una función de interpolación de los datos. xn] (donde suponemos que x0<x1<…<xn . Si existe una función f(x) definida en el intervalo [x0. cuando es usada para aproximar valores dentro del intervalo [x0. por ejemplo. tal que f(xi) =yi para i = 0.2.…n . cuando está definida y es usada para aproximar valores fuera del intervalo. Un tipo muy importante es la interpolación por funciones polinomiales. Definición. tenemos que f(x)=y0 (polinomio constante) es el polinomio de menor grado tal que f(x0)=y0 . es el polinomio de interpolación. Caso n=1 Tenemos los datos: x x0 x1 y y0 y1 En este caso. es el de menor grado posible. por lo tanto. sea único. Caso n=0 Tenemos los datos: x x0 y y0 En este caso. Puesto que evidentemente pueden existir una infinidad de funciones polinomiales de interpolación para una misma tabla de datos. tenemos que es el polinomio de interpolación. Por lo tanto. Un polinomio de interpolación es una función polinomial que además de interpolar los datos. se hace una petición extra para que el polinomio de interpolación. el polinomio de interpolación es la función lineal que une a los dos puntos dados. La siguiente gráfica representa este caso: . quedándonos el resultado: . intuimos que el polinomio de interpolación será como sigue: <> término cuadrático Por lo tanto. se anulan los valores de b1 y b2 .x0)(x – x1) Si asignamos x=x0 . Vemos que en el polinomio de interpolación del caso n=1 se encuentra como primer término. Continuemos: Caso n=2 Tenemos los datos: x x0 x1 x2 y y0 y1 y2 Para este caso.x0)+b2(x . y0 . el polinomio de interpolación va a ser un polinomio de grado 2. Tomando en cuenta la observación anterior. planteamos el polinomio de interpolación como sigue f (x) = b0+b1(x . que es el polinomio de interpolación del caso n=0 .Observación . Un polinomio cuadràtico . Una funciòn lineal o polinomio lineal d. de lo cual obtenemos el valor para b1 : PREGUNTA: Si se tiene datos: x x0 x1 y y0 y1 En este caso. a. entonces y1=b0+b1(x1 . el polinomio de interpolación es: Seleccione una respuesta.x0) . f(x)=y (polinomio constante) c. resultando lo siguiente: f (x1) = b0+b1(x1 . Un polinomio de grado 2 b. entonces: y0 = b0 Si asignamos x=x1 . el valor de b2 queda anulado.f(x0) = b0 Como se debe cumplir que f(x0) = b0 .x0) Como se debe cumplir que f(x1)= y1 y ya sabemos qué y0 = b0 . 12) . (-15.-12) b. 10 de noviembre de 2012. 10 de noviembre de 2012. (15. 21:22 Completado el: sábado. a.12) c. (15.Continuar Usted se ha autentificado como EDITH MILENA CUELLO (Salir) 100401A 20/25 Act 9: Quiz 2 Revisión del intento 1 Comenzado el: sábado. 21:53 Tiempo empleado: 30 minutos 43 segundos Continuar 1 Para las siguientes matrices el producto AB es igual Seleccione al menos una respuesta. Ajuste d 3 Si A es una matriz cuadrada no singular. Método Es simplemente es una reformulación del polinomio de Newton que evita los cálculos de las diferencias divididas.d. Método Este método. Interpola Consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales. Este es uno de los métodos más interesantes del análisis numérico y particularmente útil ya que nos permite encontrar la solución de un sistema de “n” ecuaciones con “n” incógnitas. a. |A|=0. Diferente de uno. permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas.-12) 2 En esta pregunta encontrará un enunciado que debe emparejarla con una de las opciones que esta a su derecha. |A| # 1 . Igual a cero. (-15. b. que constituye una variación del método de eliminación de Gauss. entonces quiere decir que su determinante es: Seleccione una respuesta. Igual a uno. d. -1. 1/3 d. Diferente de cero. a.3 b. |A|=1. |A| # 0 4 Dado el sistema El valor de a para los cuales el sistema no tiene solución es: Seleccione una respuesta.c.3 5 Para la solución de un sistema de ecuaciones lineales se conocen dos técnicas o métodos para su resolución. uno de estos es: Seleccione una respuesta. 1. -1/3 c. . Métodos indirectos c.a. La opción I . Métodos de eliminación b. Métodos gráficos d. Métodos iterativos 6 La inversa de la matriz es: Seleccione una respuesta. La opción III b. a. La opción II 7 El valor de a para que la igualdad se mantenga. 6 8 Con la siguiente tabla: xi 0 1 3 6 . en la siguiente operación de matrices es : Seleccione una respuesta. a. -6 c. 3 d. -3 b. La opción IV d.c. -2/90 c. 3/90 d. el coeficiente que acompaña la variable x 2 de la función polinomial es: Seleccione una respuesta.f(xi ) -3 0 5 7 Obtenemos la aproximación polinomial de Lagrange con todos los puntos.x0)+b2(x.x0)(x – x1)+b3(x. Grado 4 b. Grado 3 c.x0)(x – x1)(x-x2) es de: Seleccione una respuesta. a. entonces. 2/90 9 El polinòmio de interpolaciòn f (x)= b0+b1(x. Grado 2 d. -3/90 b. a. Grado 1 . Restricciones adicionales b. Números c.10 El ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de: Seleccione una respuesta. . a. Es la fórmula más simple de interpolación es la de conectar dos puntos con una línea recta Interpolación Lineal. Errores 11 A continuación tendrá un enunciado que corresponde a uno de los puntos de la Derecha. Variables d. Es simplemente es una reformulación del polinomio de Newton que evita los cálculos de las diferencias divididas: El polinomio de interpolación El polinomio que se define de la siguiente manera: f(x) = b0+b1(xx0)+b2(x-x0)(x-x1)+…+bn(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1) Polinomio de Interpolación d Si se dispone de tres puntos la interpolación se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden Interpolación Cuadratico. a. Lineal 13 Cuál de las siguientes no es una función cuadrática: A) Y=ax4+b B) Y= ax2+bx-c C) Y=ax3-x4+c D) Y=ax4+bx5+cx+d Seleccione una respuesta.Interpolación Cuadratico. a. B . Parabòlica c. Constante d. Cuadratica b. 12 En la ecuación y=3x-5 es una funciòn: Seleccione una respuesta. C 14 La ecuación y=ax2+bx+c se ajustara exactamente a: Seleccione una respuesta. a. A c. a. D d. simplemente es una reformulación del polinomio de Newton que evita: Seleccione una respuesta. Cuatro puntos d. Un polinomio lineal .b. Tres puntos b. Un punto 15 El polinomio de interpolación de Lagrange. Dos puntos c. Los cálculos de Ajuste de Curvas b. c. Los cálculos de un polinomio Continuar Usted se ha autentificado como EDITH MILENA CUELLO (Salir) 100401A 23.D. estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta El clásico método Runge-Kutta de cuarto orden .3 25 Act 11 : Reconocimiento Unidad 3 Revisión del intento 1 Comenzado el: sábado. 10 de noviembre de 2012.O´s). 22:23 Tiempo empleado: 17 minutos 38 segundos Continuar 1 Métodos de Runge-Kutta Los Runge-Kutta no es solo un método sino una importante familia de métodos iterativos tanto implícitos como explícitos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E. 10 de noviembre de 2012. 22:05 Completado el: sábado. Los cálculos de un numero d. Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como “RK4” o como “el método Runge-Kutta”. Definamos un problema de valor inicial como: y’ = f(t,y), y(t0) = y0 Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación: Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor yn mas el producto del tamaño del intervalo ( h ) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes: k1 es la pendiente al principio del intervalo; k2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k1 para determinar el valor de y en el punto tn + h/2 usando el método de Euler k3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k2 para determinar el valor de y k4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k3 Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio: El método RK4 es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de h5, mientras que el error total acumulado tiene el orden h4 PREGUNTA: El método RK4 es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de h5, mientras que el error total acumulado tiene el orden Seleccione una respuesta. a. h cuatro b. h tres c. h cinco d. h dos 2 En análisis numérico , el Método de Romberg genera una matriz triangular cuyos elementos son estimaciones numéricas de la integral definida siguiente: Usando la extrapolación de Richardson de forma reiterada en la regla del trapecio . El método de Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados del intervalo de integración estudiado. Para que este método funcione, el integrando debe ser suficientemente derivable en el intervalo, aunque se obtienen resultados bastante buenos incluso para integrandos poco derivables. Aunque es posible evaluar el integrando en puntos no equiespaciados, en ese caso otros métodos como la cuadratura gaussiana o la cuadratura de Clenshaw–Curtis son más adecuados. Método El método se define de forma recursiva así: o donde La cota superior asintótica del error de R(n,m) es: O (hn2m+1) La extrapolación a orden cero R(n,0) es equivalente a la Regla del trapecio con n + 2 puntos. a orden uno R(n,1) es equivalente a la Regla de Simpson con n + 2 puntos. Cuando la evaluación del integrando es numéricamente costosa, es preferible reemplazar la interpolación polinómica de Richardson por la interpolación racional propuesta por Bulirsch & Stoer. Ejemplo Como ejemplo, la se integra la función gaussiana en el intervalo [0,1], esto es la función error evaluada en 1, cuyo valor eserf (1) = 0,842700792949715. Se calculan los elementos de la matriz triangular fila a fila, terminando los cálculos cuando la diferencia entre las dos últimas filas es menor que 1x10-8 0.77174333 0.82526296 0.84310283 0.83836778 0.84273605 0.84271160 0.84161922 0.84270304 0.84270083 0.84270066 0.84243051 0.84270093 0.84270079 0.84270079 0.84270079 El resultado en la esquina inferior derecha de la matriz triangular es el resultado correcto con la precisión deseada. Nótese que este resultado se deriva de aproximaciones mucho peores obtenidas con la regla del trapecio mostrado aquí en la primera columna de la matriz triangular. PREGUNTA: Para que este método de Romberg funcione, el integrando debe ser suficientemente: Seleccione una respuesta. a. Diferenciable b. Integrable c. Sumable d. Antidiferenciable 3 Deacuerdo a la lectura : El nivel de exactitud requerido puede variar enormemente de unos casos a otros. Una función simple y continua tal como un polinomio. Redondeo d. . como es el caso a menudo. correcponde al concepto Seleccione una respuesta. a. Aproximación c. en general. de datos experimentales. 2. una función exponencial o una función trigonométrica. de una de las tres formas siguientes: 1. Precisión 4 INTEGRACIÓN NUMÉRICA INTRODUCCIÓN En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una función que sería. 3. Una función tabulada en donde los valores de X y f(X) se dan en un conjunto de puntos discretos. Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente. Exactitud b. En los dos últimos casos. La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longitud constante. como se indica en la figura. Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes. sin embargo. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar. Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos. cuya gráfica entre los extremos X = a y X = b se muestra en la fig. se deben emplear métodos aproximados. en general. Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica. la integral simplemente es una función que se puede evaluar fácilmente usando métodos analíticos aprendidos en el cálculo. se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Una aproximación suficiente al área bajo la curva se obtiene dividiéndola en n fajas de ancho ?X y aproximando el área de cada faja mediante un trapecio. Las fórmulas abiertas de NewtonCotes.En el primer caso. Sin embargo. no se usan en la integración definida. REGLA DEL TRAPECIO La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes. 1. Considérese la función f(X). . Las formas cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen. 3.Fig. n+1). 1 Llamando a las ordenadas Yi (i = 1... las áreas de los trapecios son: El área total comprendida entre X = a y X = b está dada por: Sustituyendo las ecuaciones.. (1) en esta expresión se obtiene: . 2.. 2 b. y se puede expresar como: En esencia. a. la técnica consiste en dividir el intervalo total en intervalos pequeños y aproximar la curva Y = f(X) en los diversos intervalos pequeños mediante alguna curva más simple cuya integral puede calcularse utilizando solamente las ordenadas de los puntos extremos de los intervalos. PREGUNTA: La integral es igual a Seleccione una respuesta. 1 5 . e d. Cero c.La cual recibe el nombre de Fórmula Trapezoidal. …. llamado así en honor de Leonhard Euler . N. que dependen de t. Consideremos un sistema de N variables y1. Escogiendo un paso de t pequeño ? se puede usar la aproximación de Euler. b. Dado un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.…. c. y2. 6 En matemática y computación . t) para i=1. La Regla de Simpson con n + 2 puntos. y2. el método de Euler.…N . yN. Las ecuaciones diferenciales podrán expresarse de la siguiente forma: yi = fi(y1. La Regla del trapecio con n + 2 puntos.2.2. a. el método de Euler es la primera aproximación de solución. la Regla de Simpson con n + 1 puntos.La extrapolación a orden uno R(n. yN. d.1) es equivalente a: Seleccione una respuesta. La Regla del trapecio con n + 1 puntos.…. con la cual. es un procedimiento deintegración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.t) para i = 1. Entonces para averiguar los valores de yi a cualquier t basta conocer sus valores iniciales (condiciones iníciales a t=0 y . La fórmula sería: yi(t+ ? t) = yi(t) + ? tfi(y1. para calcular los valores de yi en el tiempo t+ ? t se necesitan conocer en el tiempo t. resolviendo iterativamente con un paso ? t hasta llegar a ese valor de t Obtenido de "http://es. el método de Euler.wikipedia. Ecuaciones diferenciales de orden superior b.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler" PREGUNTA: Teniendo en cuenta el texto anterior entonces. Ecuaciones diferenciales ordinarias c. es un procedimiento de integración numérica para resolver: Seleccione una respuesta. Ecuaciones integrables ordinarias d. Ecuaciones diferenciales parciales Continuar Usted se ha autentificado como EDITH MILENA CUELLO (Salir) 100401A 8/8 . a.