16. ANUALIDADES ORDINARIAS La mayoría de la gente al comprar una casa, lo hace con dinero prestado que se compromete a liquidar mediante pagos mensuales durante un lapso que varía generalmente entre los 10 y 30 años. Calcular, uno por uno el interés o el descuento entre los 120 y 360 pagos que debe efectuar resulta muy laborioso. A las series de pagos mensuales equivalentes que una persona efectúa al comprar una casa se le denomina anuaIidad. El pago de interés sobre bonos, las primas de seguros y los pagos sobre gastos de instalación, son típicos ejemplos de lo que es una anualidad. En general, todo conjunto de pagos de igual denominación, a efectuarse en iguales intervalos, constituye una anualidad. Los tipos de anualidades que existen, son dos: AnuaIidades Ciertas y AnuaIidades Contingentes. Una AnuaIidad Cierta es aquella cuyos pagos comienzan y terminan en fechas determinadas. El pago de una casa constituye una anualidad cierta, porque los pagos comienzan a efectuándose en una fecha fija y continúan efectuándose hasta que se cumple el número de ellos fijado previamente. Ìncluso en los casos en que el comprador de la casa muere, lo que falta para cubrir la deuda debe pagarse. Una AnuaIidad Contingente es aquella donde la fecha en la que se ha de efectuar el primer pago, el último o ambos, depende de un suceso fortuito. Las pensiones privadas y el seguro social, así como, las pólizas de seguros, son ejemplos de anualidades contingentes. Se entiende por IntervaIo de Pago o Periodo de renta al lapso comprometido entre cada uno de los pagos sucesivos los pagos se realizan anual, semestral, mensual, semanalmente, o a Cualquier otro intervalo fijo. El Término de una anualidad, es el tiempo transcurrido entre el comienzo del primer periodo y el final del último. La renta periódica es el monto de cada uno de los pagos, expresada en pesos y centavos. En esta primera parte manejaremos solamente AnuaIidades ordinarias o Vencidas, en las Cuáles los pagos periódicos se efectúan al final de cada periodo. En el capítulo siguiente hablaremos sobre las AnuaIidades Anticipadas, en las Cuáles los pagos se realizan al principio de cada uno de los periodos. 1. ANUALIDADES ORDINARIAS. Una anuaIidad es una serie de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo. La palabra anualidad se refería originalmente pagos anuales, pero hoy en día se emplea en series de pagos con intervalos de tiempo de cualquier longitud entre un pago y otro. Algunos ejemplos de anualidades son los pagos de la renta mensual por un bien inmueble , los pagos iguales que en ocasiones se deben hacer para liquidar un préstamo como en la compra de automóviles, los pagos mensuales que recibe un pensionado y los pagos fijos para liquidar una hipoteca. 2 Al tiempo que transcurre entre un pago y otro se le llama intervaIo de pago o periodo de pago. Se conoce como pIazo de la anualidad al tiempo que transcurre entre el principio del primer periodo de pago y el final del último periodo de pago. De acuerdo con eI pIazo, las anualidades se clasifican en: 1. AnuaIidades Ciertas. El plazo de la anualidad comienza y termina en fechas fijas convenidas de antemano .Por ejemplo, al comprar un automóvil a plazos se estipula claramente las fechas de inicio y terminación de los abonos. 2. AnuaIidades Contingentes. La fecha de inicio de los pagos o la fecha de terminación de los pagos o quizás ambas no se fijan de antemano .El plazo es incierto, como en el caso de los pagos que recibe un pensionado. La última fecha de pago depende de cuánto viva el pensionado. Tomando en consideración las fechas de pagos de las anualidades podemos distinguir dos tipos de anualidades: a) AnuaIidades Ordinarias. Se le conoce también como anuaIidades Vencidas. Los pagos periódicos se efectúan al final de cada intervalo de pago. b) AnuaIidades Anticipadas .Los pagos se deben realizar al inicio de cada periodo. De acuerdo a la fecha en que se inicia el primer intervalo de pago se distinguen: a) AnuaIidades inmediatas. El inicio del plazo comienza con la fecha en que se formaliza el convenio y son las más comunes. Por ejemplo se compra una mercancía a crédito que se va a pagar en tres mensualidades, la primera de las cuáles habrá de realizarse un mes después de la compra si la anualidad es ordinaria en el momento de la compra si la anualidad es anticipada. b) AnuaIidades Diferidas. El plazo de la anualidad no comienza en la fecha en que se formaliza el convenio sino que se pospone. En muchos casos, el monto de los pagos se determina empleando interés compuesto y la relación entre los intervalos de pago y los periodos de capitalización da origen a dos tipos más de anualidades: a) AnuaIidades SimpIes: El periodo de capitalización y el intervalo de pago coinciden. Es el caso de las hipotecas donde los pagos y los periodos de capitalización son mensuales. b) AnuaIidades GeneraIes: El intervalo de pago no coincide con los periodos de capitalización. 3 6.1. ANUALIDADES ORDINARIAS. Las anualidades ordinarias ciertas, simples e inmediatas son los que con mayor frecuencia aparecen en los negocios y las finanzas, nos referiremos a este tipo de anualidades simplemente como anuaIidades ordinarias. La anualidad ordinaria se refiere a una serie de pagos donde: 1. Los pagos se realizan al final de cada intervalo de pago. 2. Las fechas del inicio y final del plazo de la anualidad son conocidas. 3. Los periodos de capitalización y los intervalos de pago coinciden. 4. El plazo de la anualidad comienza en la misma fecha en que se formaliza el convenio. A cada uno de los pagos periódicos que se realizan en una anualidad se le conoce como la renta de Ia anuaIidad. A la suma acumulada en el plazo de la anualidad se le llama el monto de Ia anuaIidad. En general cuando se realizan n depósitos periódicos de r pesos en una cuenta que paga un interés i en cada uno de estos periodos, de tal forma que el primer depósito produce intereses durante n-1 periodos, el segundo depósito produce intereses durante n-2 periodos, y así sucesivamente hasta que el ultimo depósito no produce interés alguno entonces el monto viene dado por: MONTO DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA En Cualquier tipo de anualidades, nos encontramos con los mismos problemas fundamentales: 1. Determinación del monto de una serie de anualidades 2. Determinación del valor actual (presente) de una serie de anualidades 3. Valuación de una serie de anualidades en un punto intermedio entre el monto y el valor actual. 4 El monto coincide con el fin del plazo, el valor actual con el principio y la valuación en una época intermedia, es un problema mixto, de los dos problemas fundamentales: Monto y vaIor actuaI. Considerando: . MONTO DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA El valor final o Monto de una AnuaIidad Ordinaria es la suma de todos los pagos periódicos y su correspondiente Ìnterés Compuesto, acumulados al final del término de la operación. En el caso de una anualidad ordinaria, este monto constituye el valor de la anualidad al final del último pago. EjempIo: CÁLCULO DEL MONTO 1. Una persona decide depositar $5,000.00 al final de cada mes, en una institución financiera que le abonará intereses del 12 % convertible mensualmente: el 1% mensual, durante 6 meses. Se pide calcular y conocer el monto que se llegue a acumular al final del plazo indicado. FórmuIa 3 2. Se renta un departamento en $1,200.00 dicha cantidad se deposita al final de cada mes en un banco, el banco paga el 9% semestral. ¿A Cuánto asciende el depósito al final del 5° mes? Datos FórmuIa DesarroIIo CÁLCULO DE LA RENTA 3. ¿Cuál es la renta mensual que se requiere para obtener $30,760.08 durante 6 meses si se invierte con el 12% capitalizable mensualmente? 6 4. ¿Cuándo se debe invertir al final de cada mes en una cuenta que paga el 14% anual capitalizable mensualmente si en un año se desea acumular $7,500.00? FórmuIa Si denotamos por R a la suma que se debe invertir mes a mes, al finalizar el año se ha acumulado. CÁLCULO DEL TIEMPO PLAZO 5. ¿Cuántos pagos deben realizarse para llegar a acumular $30,760.08 si se depositan $5,000.00 mensuales, con una tasa de interés del 12% compuesto mensual? 7 6. Un vendedor recibe bonos trimestrales por su nivel de ventas. Estos bonos varían de trimestre a trimestre, el vendedor promete a su novia depositar $2500 trimestrales en un fondo de inversión que paga un interés del 4.3% trimestral. Se han propuesto acumular $40,000 en este fondo, ¿Cuánto tiempo les tomará casarse si el primer depósito lo hacen en tres meses? Datos FórmuIa Como los depósitos se hicieron trimestralmente después de 3 años y un trimestre el monto de su inversión alcanzara los $40,000 necesarios para casarse. . Una persona que cada 28 días deposita $1.500.00 en un pagaré. El pagare 35 lo renueva por $65.358.90 ya incluidas los últimos $ 1500.00 ¿Qué tasa nominal promedio le pago esta inversión? SOLUCIÓN Los primeros $ 1.500.00 se han renovado por 34 ocasiones, los segundos por 33etc. Como se han acumulado $65.358.90 se tiene que: 8 Si continuamos pasando el denominador i multiplicado al lado derecho y desarrollo la expresión obtendríamos una ecuación de grado 35. No existen fórmulas generales que nos permitan resolver ecuaciones de grado más o igual a cinco la alternativa más sencilla para aproximar la solución de una ecuación como esta es por tanteo. La idea es proponer un valor para i y evaluar el lado izquierdo de la ecuación, si el resultado es mayor que 43.572, entonces hay que aumentar el valor de i, si es menor debemos disminuir, el valor de i, i. Como i representa la tasa de interés por 28 días tratemos primero i= 0.01 Tratemos primero El resultado es menor que 43.5726, debemos ensayar un valor ligeramente superior, por ejemplo i= 0.012 entonces: Si el resultado ahora es mucho mas cercano a 43.5726, pero sigue siendo mas pequeño .Debemos por tanto incrementar un poco el valor de i , digamos i= 0.125. Calculando el nuevo valor se tiene: Este valor es cercano a 43.57 26. si requeriríamos mayor precisión deberíamos continuar con este proceso . Como ultima aproximación trataremos i= 0.01251, entonces. Ahora nos pasamos del valor 43.5726, nuestra aproximación anterior era mejor .así que i= 0.0125 resulto ser una aproximación razonable, en promedio los pagare a 28 días. La tasa de interés para un pagare a 28 días se obtiene de la nominal multiplicando por 28 dividiendo por 360, así la tasa nominal se obtiene de la tasa de interés dividiendo por 28 y multiplicando por 360. Entonces, la tasa nominal que rindieron estos pagares fue de 9 VALOR PRESENTE (DE UNA ANUALÌDAD ORDÌNARÌA) El valor presente de una anualidad ordinaria es la suma de los valores presentes de todos los pagos de la anualidad para obtener ese valor presente suponemos una anualidades con pagos de un peso cada uno durante un periodo a una tasa de interés i, ´por periodo .Entonces descontamos cada pago hasta el principio de la anualidad, la suma de todos estos valores descontados se representan con el símbolo La expresión constituye una progresión geométrica en la cual el primer termino es , la razón común es el numero de términos es igual a . Sustituyendo estos valores en la formula de la suma de una progresión geométrica , tenemos. VaIor presente de una anuaIidad ordinaria Ejemplos donde es necesario emplear el valor presente de una serie de pagos vencidos. 1. Un donador desea proporcionar una beca de $3000.00 anuales durante 4 años, la primera de ellas a entregarse dentro de un año. Si la escuela puede obtener un interés del 9% en su inversión que cantidad deberá de proporcionar el donador en este momento para lograr su propósito? Solución sustrayendo en la fórmula del valor presente tenemos: 10 Nótese que a pesar del resultado, en realidad se pagarían 12000 de este regalo 2. Un taxista acuerda, con el dueño del automóvil que trabaja comprárselo mediante 30 pagos de $ 3,000.00 al final de cada mes. ¿Cuál es el precio de contado equivalente a que se esta vendiendo el automóvil si la inflación mensual esperada en los dos años y medio es del 0.8% mensual? SoIución. Podemos identificar el precio de contado con el valor presente de los 30 pagos, al aplicar la fórmula menor que el valor de contado de la operación de compraventa es: FórmuIa La fórmula del valor presente de una anualidad nos permite también determinar las cantidades a pagar cuando se requiere liquidar un adeudo con pagos iguales. 3- Una empresa compra maquinaria para la construcción con un valor de $ 3.478,500. El proveedor de la maquinaria acepta recibir un 30% de contado y el otro 70% restante en 12 pagos mensuales iguales. ¿Que cantidad tendrá que pagar la empresa al final de cada mes, si se acordó una tasa de interés del 21% anual capitalizable mensualmente? Solución La tasa de interés mensual es 21/12 = 1.75%. El valor presente de los 12 pagos debe ser igual a los 3, 478,500 x 0.70 = $ 2, 434,950 que el proveedor acepto financiar. FórmuIa. Cada mes se debe pagar 11 4.-En la compra de un automóvil nuevo con valor de $104,000 se opta por un financiamiento consistente en un pago de contado de $24,000 y una serie de 40 mensualidades "congelados" de $2,450 ¿Cuál es la tasa de interés que se esta pagando? FórmuIa considerando i= la tasa ue inteiés El crédito que esta otorgando la distribución de automóviles es de $ 80,000 Como resulta muy complicado despejar i de esta ecuación la opción más recomendable es ir aproximadamente la tasa i al tanteo. De hecho, la expresión. Representa el valor presente e 40 pagos mensuales de $ 1.00 a la tasa del interés mensual i .Como entre mayor sea la tasa de interés menor será el valor presente de los pagos, Si aumentamos un poco el valor de i, disminuirá el valor de esta expresión, si disminuimos un poco el valor de i, aumentara un poco la expresión. Esto implica que al ir aproximando el valor de i que resuelva la ecuación Debemos aumentar i cuando estemos por debajo de este valor .Como se trata de una tasa de interés mensual podemos analizar que sucede si sustituimos i por una tasa del 1% en el lado izquierdo de la ecuación. En este caso: 12 Resulto mayor a 32.6306, sabemos que la tasa de interés que se cobro en un poco mas grande, digamos 1.05% mensual. Con este nuevo valor de i obtenemos: Que es ahora menor a 32.653.Debemos entonces bajar el valor de i un poco. Tratando i = 1.03 % se obtiene: Que resulto bastante cercano. 13 ANUALIDADES ANTICIPADAS Existen otro tipo de anualidades también muy comunes en la practica comercial y financiera: las anualidades anticipadas ciertas simples o inmediatas nos referimos a este tipo de anualidades únicamente como anualidades anticipadas. Las características que definen a las anualidades anticipadas que se analizan aquí son: 1 los pagos se realizan al inicio de cada intervalo de pago. 2. las fechas del inicio y final del plazo de la anualidad del plazo de la anualidad son conocidas. 3. los periodos de capitalización y los intervalos de pago coinciden. 4. El plazo de la anualidad comienza en la misma fecha en que se formaliza el convenio. La única diferencia entre las anualidades ordinarias y las anualidades anticipadas, es que en estas últimas los pagos se realizan al inicio de cada uno de los Con el fin de entender. FORMULA En general tenemos que la formula del monto de la anualidad anticipada es Monto de una anuaIidad anticipada nŴ1 14 ANUALIDAD ANTICIPADA EjempIos 1.- Cada 28 días una persona deposita $ 5,000 en pagares que pagan una tasa nominal anual del 15% .¿ Que cantidad recibe al vencimiento del noveno pagare ? Observemos que se trata de una anualidad anticipada, ya que los depósitos se realizan al inicio de cada periodo de 28 días. La tasa de interés que paga cada pagare en 28 días es de: Al final del noveno pagare se tendrá FórmuIa 2.- ¿Qué cantidad se debe depositar al inicio de cada mes en una cuenta que paga el 0.9 % mensual si se desea acumular un total de $8,000.00 en 14 meses? Solución En este caso conocemos el monto final de la anualidad y deseamos determinar la renta. Fórmula Siendo R = ? $8,000 S = 8000 i = 0.9%= 0.009 n = 14 13 Despejando R 3.- ¿Qué tasa de interés mensual promedio pagó una cuenta de ahorros en la que 36 pagos mensuales anticipados de 1000.00 acumularon un monto total de $42,783.00? Solución Sustituyendo en la fórmula el monto de una anualidad anticipada tenemos: Que al dividir por 1,000 ambos lados nos produce: El lado izquierdo de esta ecuación representa el monto acumulado por 36 depósito anticipados de $1.00 a la tasa de interés i. Entre mayor sea i, mayor será este monto. Esto implica que para aproximar el valor de i por tanteo, debemos aumentar i si estamos por abajo de 42.783. En la tabla se muestra como cambia este monto para algunos valores de i: 0.01 0.009 0.0091 0.00915 0.0091 43.508 42.675 42.757 42.798 42.782 Como esta última aproximación es suficientemente cercana podemos concluir que la tasa mensual promedio fue de 0.913 % Siendo S = 42,783.00 R = 1,000.00 N = 36 16 4.- Una empresa hotelera está interesada en adquirir un terreno en Michoacán y hace una oferta inicial de $3, 500,000.00 Si la empresa puede formar un fondo con $300,000.00 mensuales a partir de este momento, ¿en Cuántos meses acumularán el capital necesario para hacer la oferta de compra del terreno si la tasa de interés que les paga el banco es del 1.25% mensual? FórmuIa Monto de una anualidad anticipada -1] Aplicando logaritmos a ambos miembros de la ecuación, tenemos: 17 Ìmplica que dentro de once meses la empresa habrá sobrepasado los $3'500,000.00 para poder hacer la oferta de compra del terreno. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA FormuIa para obtener eI vaIor presente de una serie de pagos anticipados o 5.- Una computadora que puede adquirirse pagando seis abonos mensuales iguales, el primero a la entrega del equipo. El precio de contado es de $18,950.00 y que la tasa de interés es del 2% mensual. Ìdentificando el precio de contado con el valor presente de los pagos, tenemos: = R (5.71346) El monto de los pagos mensuales es de R= 3,316.3 6.- Un almacén ofrece un comedor en ocho abonos mensuales de $ 950.00 el primero el primero de ellos a la entrega del comedor. ¿Cuál es el precio de contado mismo que debe pagar un cliente por este comedor si la tasa de interés mensual esperada es de 0.9 % mensual? SoIución El precio de contado del comedor puede identificarse con el valor presente de los ocho pagos y es igual a: 18 FórmuIa = = 7.- En la compra de instalación de una red de computadoras con precio de contado de $117,875.00 un hotel hizo seis pagos iguales de $20,500.00 a partir de la firma del convenio ¿Qué tasa de interés mensual se pagó? SoIución Ìdentificando el precio de contado con el valor presente de la anualidad tenemos: FórmuIa Que al dividir por 20,500 equivale a: Debemos aproximar el valor de i al tanteo. Como la expresión de la izquierda representa el valor presente de seis pagos anticipados $1.00, al aumentar la tasa de interés i disminuye el valor presente, y al bajar i aumenta el valor presente. Al darle valores a i y evaluar la expresión de la izquierda, debemos aumentar i en nuestra siguiente aproximación si estamos por arriba de 5.75, mientras que si estamos por abajo de este número debemos disminuirlo para la siguiente aproximación. i 0.01 5.853 19 0.02 0.018 0.0175 0.0173 0.01735 5.713 5.741 5.748 5.751 5.750 La tasa de interés que cobro la distribuidora de computadora fue del 1.735% mensual ANUALIDADES DIFERIDAS Las anualidades diferidas son aquellas en que el primero de los depósitos de los pagos se pospone para un periodo posterior al de la formalización del convenio. Al igual que con las anualidades ordinarias y las anualidades anticipadas, sólo consideraremos anualidades ciertas y simples, pero nos referiremos a ellas como anualidades diferidas. Las anualidades diferidas, son aquellas donde: 1. Las fechas del inicio y final del plazo de la anualidad son conocidas. 2. Los periodos de capitalización y los intervalos de pago coinciden. 3. El plazo de la anualidad comienza en una fecha posterior a aquella en que se formalizó el convenio. Las anualidades diferidas que surgen de una serie de depósitos se pueden tratar como si fueran anuaIidades ordinarias. FormuIa de anuaIidades diferidas Cƹ 8 8 8 8 8 Þerlodos de paao (n) Þerlodos dlferldos (k) Pov 1 2 3 4 3 6 7 8 9 n 20 EjempIo: 1. Uno de los propósitos de año nuevo que desde el 1 de diciembre se ha propuesto una empleada es ahorrar cada mes $400 de los salarios mensuales del siguiente año ¿Cuánto habrá acumulado para el primero de diciembre si la tasa de interés mensual que paga el banco es del 0.9%? Para realizar su primer depósito la empleada deberá separar $400 de su salario mensual de enero, así que éste depósito se efectuará dos meses después de haberse propuesto ahorrar este dinero. Se trata entonces de una anualidad diferida. Sin embrago el lapso anterior al primer depósito no juega ningún papel para determinar el monto que ha acumulado hasta el primero de diciembre. Podemos de hecho considerar esta serie de depósito como una anualidad ordinaria de once pagos vencidos de $400 a una tasa de interés mensual del 0.9%. El monto de esta anualidad viene dada por: FórmuIa: La empleada habrá acumulado $4.0603.44 con los once depósitos al 1° de diciembre del siguiente año. Un ejemplo típico de de anualidad diferida surge de las promociones compre hoy, pagué después ANUALIDAD DIFERIDA VALOR PRESENTE 2.- Una empresa vende terrenos con un precio de contado de $96,000.00 y a crédito con un enganche de $36,000.00 y el resto en 12 abonos mensuales, iguales, el primero de estos abonos con vencimiento a los seis meses de haberse firmado el convenio de compra venta. Si la empresa cobra un interés mensual del 1.9%, ¿Cuál es la cantidad que se debe pagar mensualmente? El valor del crédito es de $60,000.00 y debe ser igual al valor presente de los doce pagos diferidos. Como se está posponiendo el primer pago seis meses debemos tomar K=6 en la fórmula. 21 FormuIas o Tomando: 3.- Un inversionista deposito el día de hoy, $49,824.19, cobrando una tasa de 18% con capitalización anual, para que a partir del séptimo año reciba $50,000.00 cada año. ¿Durante cuantos años recibirá esta cantidad? Solución 22 En la línea del tiempo, se colocan los datos conocidos, y se obtiene Aplicación de la formula: , y sustituyendo valores n = 4 numero de pagos de 50,000.00 que recibirá 23 4.-Una empresa tiene un adeudo de $180,000.00 con uno de los proveedores y acuerda con el sustituir este adeudo por un pago de 60,000.00 al vencimiento de la deuda original y saldar el resto en tres pagos iguales de $42,250.00 el primero de esos dos meses después de vencimiento del adeudo original. ¿Que tasa de interés mensual se asta pagando? Después de pagar los $60,000.00 queda un adeudo pendiente de $120,000.00 que liquidara mediante tres abonos diferidos. Fórmulas anuales Diferidas. SÌMPLÌFÌCADO =2.840 Para aproximar el valor de i observamos que como el lado izquierdo es un valor presente, debemos aumentar eI vaIor de i cuando estemos por arriba de 2,840 y disminuirlo cuando estemos por abajo. La tasa de interés que cargo el proveedor es del 1.85% mensual. i 0.01 0.02 0.18 0.0185 2.912 2.827 2.844 2.840 24 ANUALIDADES GENERALES Las anualidades generales surgen cundo el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización .Las anualidades generales son también ciertas. Por anualidades generales nos referimos a aquellas anualidades donde: 1. Las fechas de inicio y final del plazo de la anualidad son conocidos. 2. Los periodos de capitalización y los intervalos de pago no coinciden. El valor final o monto de una anualidad es la suma de todos los pagos periódicos y su correspondiente interés compuesto, acumulados al final del termino de la operación .En el caso de una anualidad ordinaria este monto constituye el valor de la anualidad al final del ultimo pago. 23 6.1 AMORTÌZACÌON Se dice que se amortiza una deuda cuando esta es saldada gradualmente mediante pagos periódicos que usualmente son iguales. El concepto de amortización también se aplica a una inversión que es recuperada gradualmente mediante los ingresos periódicos que la inversión genera. Ejemplo Una empresa adquiere equipo de cómputo por un valor de $180.000 y acuerda con el distribuidor del equipo, pagar esta deuda en seis abonos mensuales iguales de la firma del convenio de compra venta ¿Cual es el monto de los pagos si la tasa de interés que cobra el distribuidor de computadoras del 2% mensual? Solución Sabemos que el monto de los pagos se determina empleando la formula del valor presente de una anualidad ordinaria. 26 Al inicio del primer mes la deuda es de $180.000 el interés que se debe cubrir por este mes es de 4180.000 X 0.02 = $ 3.600. El primer pago de $32.134.65 se destina al pago de los $3.600 de intereses generados al primer mes y el resto es $32.134.65 =$360 = 28.553 a amortizar (o descontar) el capital que se adeuda al inicio del segundo mes, el saldo de capital que se adeuda es ahora de $180.000 ÷ 28.534.65 = 151.465.35 A este saldo se le llama saIdo insoIuto El interés generado por la deuda durante el segundo mes es ahora de 151.465.35 x 0.02 = 3.029.31. El interés es menor ya que el saldo de la deuda al inicio de este segundo mes es menor al monto original de la deuda. El segundo pago contribuye ahora en 32.134.65 ÷ 3.029.31 = $ 29.105.34 para amortizar el saldo de la deuda. Una vez realizado el segundo pago al final del segundo mes. $122.360.01. Así cada periodo los intereses se aplican sobre los saldos mensuales. Para analizar con detalle como se amortiza la deuda periodo a periodo, es muy útil construir una tabla de amortización donde se muestra como una parte de los 432.134.65 determinan el pago de intereses y una parte se destina a reducir el saldo de la deuda. En la tabla podemos apreciar que del cuarto pago de $32.134.65se destinaran $1.853.45 al pago de los intereses generados durante el cuarto mes de la deuda. Una vez pagados los $32.134.65 al final del cuarto mes el saldo de la deuda se ha reducido a $62.391.36| FECHA PAGO ÌNTERES AMORTÌZACÌON SALDO CONVENÌO 180.000.00 Fin de mes 1 Fin de mes 2 Fin de mes 3 Fin de mes4 Fin de mes 5 32,134.65 32,134.65 32,134.65 32,134.65 32,134.65 3,600.00 3,029.31 2,447.20 1,853.45 1,247.85 28.534.65 29.105.34 29.687.45 30.281.20 30.886.82 151.465.35 122.360.01 92.672.56 62.391.36 31.504.50 27 Fin de mes 6 32,134.65 6,300.90 31.504.56 -0.02 TotaIes 192,80.90 12.80.88 180.000.02 En el ultimó renglón de la tabla aparece el total de los pagos, el total de los intereses pagados y el total del capital pagado, que debe coincidir con el adeudo original. Es claro que los $12,807.88 de intereses pagados más de $180.000 del saldo original dan el total de los pagos. Es frecuente que al negociar el pago de una deuda en pagos periódicos se acuerda el monto de los pagos y se debe determinar el número de pagos. Supongamos, por ejemplo, que la empresa y el distribuidor de computadoras del ejemplo anterior acuerdan que la deuda sea saldada en pagos mensuales vencidos de $40,000.00 ¿Cuantos pagos se deben hacer y cual es el monto del último pago? Empleando de nuevo la formula del valor presente de una anualidad ordinaria tenemos: FormuIa Que al pasar el 0.02 multiplicado y el 40,000 dividendo al otro lado nos da: Y como el lado izquierdo de esta ecuación es igual a 0.09 obtenemos que . Pero ahora es inmediato que Aplicando los logaritmos a esta ecuación podemos determinar el número de pagos, ya que entonces: Así Se deben hacer cuatro pagos de $40,000.00. El valor presente de estos cuatro pagos a la fecha del convenio es de: 28 Si denota el monto del quinto pago entonces se debe satisfacer la siguiente ecuación de de valores equivalentes. El último terminito de la ecuación representa el valor presente del quinto pago. Al despejar x de esta ecuación vemos que el monto del último pago debe ser de: A continuación presentamos la correspondiente tabla de amortización: TABLA DE AMORTÌZACÌON FECHA PAGO ÌNTERES AMORTÌZACÌON SALDO convenio 180,000.00 Fin de mes 1 Fin de mes 2 Fin de mes 3 Fin de mes 4 Fin de mes 5 40,000.00 40,000.00 40,000.00 40,000.00 40,000.00 3,600.00 2,872.00 2,129.44 1,372.03 599.47 36,400.00 37,128.00 37,870.56 38,627.97 29,973.47 143,600.00 106,472.00 68,60144 29,973.47 0.00 Totales 190,572.94 10,57294 180,000.00 29 AMORTIZACION Es un método para liquidar deudas contraídas, ya sea en forma de pagos parciales o mediante un solo pago al vencimiento de la obligación. Mediante este método, la deuda se va pagando al realizar cada pago parcial, de tal forma, que el monto de cada pago sirve en primera instancia para el pago de los intereses y el sobrante se abona al capital correspondiente a ese periodo. Lo anterior no siempre es así, en ocasiones suele abonarse a la deuda en forma directa y pagarlos intereses correspondientes al periodo en cuestión. FORMULAS La formula para calcular el importe de los pagos parciales esta dada por: , , En ocasiones se desea conocer el saldo insoluto, C, para determinar periodo, en tal caso se recurre a la formula: , Para amortizar una deuda existen varias formas, mismas que trataremos de explicar a continuación Ejemplos Una constructora, compró un tractor cuyo precio de contado era de $1, 000,000.00. Se opto por recurrir a un financiamiento, el cual deberá pagarse a 5 años, mediante pagos Cue slrve para calcular el lmporLe de cada paao que se Llene que reallzar al flnal de cada clerLo perlodoţ la cual se derlva deť La cual se uLlllza para calcular el valor presenLe de una serle de paaos vencldos (esLa se anallzo anLerlor menLe) uonde kţ represenLa los perlodos Lranscurrldos paaadosŦ 30 anuales iguales, mas intereses de saldos insolutos de 24%. Construir el cuadro de amortización. SoIución Para construir el cuadro de amortización, deben seguir los pagos siguientes: 1. Se calcula el importe de cada pago, para lo cual se recurre a los datos que nos proporciona el problema. Datos Formula 1. Se construye el cuadro de amortización que se muestra, siguiendo la siguiente metodología: Columna 1. En esta se anotan los años, empezando con: 0, 1, 2, 3,., el cero indica, el momento en que se contrata la deuda (1) (2) (3) (4) (5) (6) 0 1 2 3 4 5 1,000,000.00 800,000.00 600,000.00 400,000.00 200,000.00 0 0 200,000.00 200,000.00 200,000.00 200,000.00 200,000.00 0 240,000.00 192,000.00 144,000.00 96,000.00 48,000.00 720,000.00 0 440,000.00 392,000.00 344,000.00 296,000.00 248,000.00 1,720,000.00 0 440,000.00 832,000.00 1,176,000.00 1,472.000.00 1,720.000.00 31 Columna 2. En esta columna se anota el saldo de la deuda, el cual es el resultado de restar el abono real de la deuda, en este caso es R, es decir: Año 0 = 1, 000,000.00 Año 1 = 1, 000,000.00 ÷ 200,000.00 = 800,000.00 Año 2 = 800,000.00 ÷ 200,000.00 = 600,000.00 Año 3 = 600,000.00 ÷ 200,000.00 = 400,000.00 Año 4 = 400,000.00 ÷ 200,000.00 = 200,000.00 Año 5 = 200,000.00 ÷ 200,000.00 = $0.00 Columna 3. En ella se anota el abono anual, que en este caso será el mismo par los 5 años y de acuerdo con la formula del paso 1 es: Año 0 = 0 Año 1 = 200,000.00 Año 2 = 200,000.00 Año 3 = 200,000.00 Año 4 = 200,000.00 Año 5 = 200,000.00 Columna 4. En esta se anotan los intereses, Ì, que se pagan por el saldo no pagado cada año, y cuyo cálculo se ilustra a continuación: Año 0 = 0 Año 1 = 1, 000,000.00 (0.24) = 240,000.00 Año 2 = 800,000.00 (0.24) = 192,000.00 Año 3 = 600,000.00 (0.24) = 144,000.00 Año 4 = 400,000.00 (0.24) = 96,000.00 Año 5 = 200,000.00 (0.24) = 48,000.00 Suma = 720,000.00 Columna 5. Esta la integran la suma de las columnas 3 y 4, es decir, el abono anual, R mas los intereses, Ì, así tenemos el cálculo siguiente: Pago anual (PA) = Abono Anual (R) + Ìntereses (Ì) PA = R +1 PA año 0 = 0 PA año 1 = 200,000.00 + 240,000.00 = 440,000.00 PA año 2 = 200,000.00 + 192,000.00 = 392,000.00 PA año 3 = 200,000.00 + 144,000.00 = 344,000.00 32 PA año 4 = 200,000.00 + 96,000.00 = 296,000.00 PA año 5 = 200,000.00 + 48,000.00 = 248,000.00 Suma = 1, 720,000.00 Columna 6. En esta columna se acumulan los pagos anuales y esta representado por: A (R + 1) año 0 = 0 A (R + 1) año 1 = 440,000.00 + 0 = 440,000.00 A (R + 1) año 2 = 392,000.00 + 440,000.00 = 832,000.00 A (R + 1) año 3 = 344,000.00 + 832,000.00 = 1, 176,000.00 A (R + 1) año 3 = 296,000.00 + 1, 176,000.00 = 1, 472,000.00 A (R + 1) año 4 = 248,000.00 + 1, 472,000.00 = 1, 720, 000.00 Y de esta manera tenemos terminado nuestro cuadro de amortización. Empleando progresiones aritméticas comprobar la suma de los intereses pagados del ejemplo anterior, cuyos términos son 240 000,192 000,144 000, 96 000 y 48 000. Solución Datos Formula 33 D E P R E C I A C I O N EL PROCESO DE VALUACIÓN El problema básico cuando se compra o se vende un bien raíz es decidir cuánto vale. Para obtener una estimación final de su valor, el valuador utiliza tres métodos que ya son tradicionales: el de comparación de mercado, el cálculo de costos y el de avalúo por capitalización de ingresos. Técnica de avaIúo Por comparación de mercado Cuando se emplea esta técnica, se obtiene una estimación de valor de una propiedad comparando el bien que se valúa (la propiedad sujeto) con ventas recientes de propiedades cercanas similares, llamadas comparabIes. La teoría detrás de esta técnica es que el valor de 34 la propiedad sujeto está relacionado directamente con los precios de venta de propiedades comparables. Técnica deI cáIcuIo de costos Con este método, el valuador hace un estimación del costo actual que significaría reproducir la casa, más cualquier otra mejora que se le haya añadido (un garaje o un patio), como si fuera nueva. Resta luego cualquier pérdida de valor causada por la depreciación de las mejoras. La depreciación incluye todos los factores que reducen el valor de la casa sujeto por abajo de su costo actual de reproducción. Por último, el valuador suma el valor estimado del terreno mismo, que resulta de un análisis de ventas de lotes baldíos similares. El razonamiento detrás de este método es que un comprador bien informado no pagará más por una casa que el costo que le Significaría construir otra casa parecida, en un lote similar y en condiciones semejantes. La fórmula para representar este método es: Costo de mejoras - Depreciación + Valor del = Valor de la Nuevas de mejoras predio propiedad La obsoIescencia puede ser 1uncional o externa. La obsoIescencia funcionaI es una pérdida de valor causada por deficiencias dentro de la propiedad, tales como pasillos mal diseños, deficiente distribución de habitaciones y presencia de sistemas y aparatos en malas condiciones. La obsoIescencia externa es una pérdida de valor causada por condiciones negativas fuera de la propiedad, tales como falta de demanda de viviendas en el área, cambios en el uso del suelo o el surgimiento de inconvenientes y peligros y exposición a contaminantes tales como ruido excesivo, humo y tráfico. Técnica de capitaIización por ingresos Esta técnica se basa en la relación entre el porcentaje de rendimiento que un inversionista o comprador espera o requiere de una propiedad y el ingreso neto que produce la misma. Este método se usa principalmente para valuar propiedades que producen dividendos, tales como edificios de apartamentos, centros comerciales y edificios de oficinas. Depreciación acumuIada Depreciación es una pérdida de valor derivada de causas múltiples, de hecho, de cualquier causa. Depreciación acumulada es la pérdida total de valor derivada de todas las causas a la fecha del avalúo. Hay tres formas básicas de depreciación: 1.Deterioro físico es la destrucción efectiva de una edificación, ya sea a causa de fuerzas naturales o de fuerzas artificiales. 2.La obsolescencia funcional ocurre cuando la disposición, el diseño, u otras características de una construcción, se consideran indeseables en comparación con características proyectadas para las mismas condiciones en propiedades más nuevas. 33 3.La obsolescencia externa es pérdida de valor debida a cualquier causa que está afuera de la propiedad sujeto. A la obsolescencia externa se le llama también obsolescencia ambiental, económica o de ubicación. Estos sinónimos dan una idea de la gama de factores externos que pueden hacer disminuir el valor de las propiedades. Alguna forma de depreciación, por lo menos el deterioro físico, se inicia en el momento en que se termina una construcción. El edificio sufrirá algún tipo de depreciación durante toda su vida económica. . La vida económica no es necesariamente el tiempo que se espera dure en pie la construcción, que es su vida física. Por supuesto, no todos los edificios se deterioran tan rápidamente como otros, y algunos recibirán los beneficios de un mejor mantenimiento. Si una construcción ha recibido mantenimiento y reparaciones con regularidad, su edad efectiva (edad aparente) puede ser menor que su edad real. Para fines de valuación, la medida de tiempo más importante es la vida económica restante de la construcción. Se trata del periodo, a partir de la fecha del avalúo, durante el cual se puede esperar que la construcción continúe siendo útil para su propósito original. Método de edad/vida económica El método de edad/ vida económica para el cálculo de depreciación es el más fácil de entender y de usar. El costo de construcción del edificio se divide entre el número de años de su vida económica para encontrar una cantidad de depreciación anual en dinero. La cantidad de depreciación anual se multiplica luego por la edad efectiva del edificio para determinar la cantidad total en la que se ha depreciado. Formula Costo de Construcción x Edad efectiva = Depreciación total acumulada Numero de años de vida económica DEPRECIACION ApIicaciones de Ia depreciación El término depreciación tiene varios significados, según su aplicación. Es probable que el vendedor de bienes raíces encuentre todas estas variantes. Por lo general, la depreciación se utiliza en avalúos, declaraciones de impuestos y contabilidad. Depreciación eI avaIúo 36 La depreciación se utiliza en el método de planteamiento de costo para el avalúo real de la propiedad. En forma básica mide la cantidad en que el valor de la propiedad disminuye debido al desgaste físico. Depreciación para propósitos de impuestos sobre Ia renta La depreciación se utiliza para la deducción de impuestos sobre la renta, ya sean federales o estatales, individuales o corporativos. Así como en el caso del avalúo, la depreciación para propósitos de impuestos se aplica sólo en edificios y mejoras -como superficies en lotes de estacionamiento, cercas alambradas, líneas de servicio y jardines- y no en el terreno. Algunos artículos de propiedad personal que se Ìncluyan en un intercambio o negocio también pueden depreciarse. Ejemplos de ello son los muebles, equipo y vehículos. Depreciación en contabiIidad: funciones de teneduría de Iibros En las prácticas contables, la depreciación puede calcularse como una función de la teneduría de libros. Se utiliza para determinar las utilidades y pérdidas de un negocio. La depreciación considera un gasto aun cuando no se haya incurrido en ningún gasto real para ese artículo. Si un negocio continúa haciendo pagos de un artículo que ya se depreció, esos pagos no tendrán ninguna relación con el monto de la depreciación. El pago depende del monto y de la duración del préstamo o del pagaré y su tasa de interés, mientras que la depreciación depende de la vida económica o útil del artículo para propósitos de teneduría de libros. El propósito de la depreciación, cuando se utiliza para el cálculo de impuestos o teneduría de libros, es permitir al dueño recobrar el costo inicial del artículo que se depreció. El valor depreciado o valor de libro no tiene relación con el valor en el mercado (el precio que un comprador estaría dispuesto a pagar) del artículo depreciado. Por ejemplo, en un periodo de inflación, el valor en el mercado de un edifico típico es mucho mayor que su valor depreciado. E J E R C I C I O S. 1.- Una casa y el terreno donde está construida están valuados en $800,000. Si el terreno vale $200,000 y la propiedad se depreciará en 30 años aproximadamente, ¿cuánta depreciación se considerará en tres años? Solución $800,000 - $200,000 = $600,000 $600,000 ÷ 30 = $20,000 $20,000 x 3 = 60,000 2.-Tomando en cuenta un factor de depreciación de 2.56% anual, ¿cuál es el valor de depreciación de un edificio industrial que ha estado en servicio durante 17 años, si su costo original fue de $856,000 37 Solución .0256 x 17 = .4352 $856,000 x .4352 = $372,531 (redondeado) $856,000 - $372,531 = $483,469 3.- ¿Cuál es el monto de depreciación anual de una propiedad de $200,000 si su edificio corresponde al 80% del valor total? La propiedad tiene ocho años de antigüedad y se depreciará a los 27.5 años. Solución $200,000 x .80 = $160,000 $160,000 / 27.5 = $5,818.18 4.- Una propiedad se adquirió hace cinco años en $185,000, de los cuales $45,000 correspondían al terreno. Si durante este periodo el terreno tuvo una apreciación del 6% anual y la construcción se elevó a 1.5% por año, ¿ cuál es el valor actual de la propiedad? Solución $185,000 - $45,000 = $140,000. .06 x5 = .30 .30 x $45,000 = $13,500 $45,000 + $13,500 = $58,500 .015 x 5 = .075 .075 x $140,000 = $10,500 $140,000 + $10,500 = $150,500 $58,500 + $150,500 = $209,000 5.- ¿Cuál es el valor total de depreciación acumulada de un sistema de computación de $3,200 con cuatro años de antigüedad, que tiene una depreciación lineal a los siete años? Solución $3,200 ÷ 7 = $457.14 $457.14 x 4 = $1,828.56 6.- Tomando en cuenta una depreciación linear anual de 2.778%, calcule la depreciación acumulada de un edificio comercial con 10 años de antigüedad y un valor de $450,000. Solución $450,000 x .2778= $125,010 DEPRECIACION: METODOS LINEALES 38 La mayoría de los bienes tienen una vida útil limitada .Edificios, maquinaria, automóviles, computadoras, inmuebles y una gran variedad de equipo, después de haber sido usado por un cierto número de años deben retirados o remplazados, a pesar del esfuerzo y recursos que se dediquen para su mantenimiento. Al momento de ser retirados estos bienes pueden tener un valor muy pequeño o , quizá ningún valor en el mercado , en cualquiera de estos casos , hay una perdida manifiesta, en el valor de esos bienes que llamamos depreciación A la diferencia entre el valor original del activo y la depreciación acumulada hasta cierta fecha se le llama el valor en libros del activo. El valor de libros de un inactivo no necesariamente coincide con su valor de venta en el mercado, ya que el valor del libro se determina con base, en el precio original del bien, mientras que el valor del mercado tiende a ser superior debido a la inflación. Al valor en libros que tiene el activo al final de la vida útil se le conoce como vaIor desecho al total de la depreciación acumulada del activo a lo largo de toda su vida útil es la base de Ia depreciación .La base de la depreciación es la diferencia entre el costo original del activo y su valor de desecho Existen diversos métodos para estimar los cargos anuales por depreciación de un activo, entre las cuales tenemos, el método de línea recta y el método por unidades producidas. El método de línea recta es el más simple y además, es empleado con frecuencia debido a sus amplificaciones contables y fiscales. Este método se basa en el supuesto de que los cargos por depreciación son iguales cada año de su vida útil. Una empresa compra una camioneta con valor de $ 14,000 y que se estima que la vida útil de la camioneta será de seis años, después de los cuales debe ser remplazada por otra unidad nueva. ¿Cuál es la depreciación anual si el valor desecho de la camioneta es de $ 38,00? La base de depreciación es de $140,000 - $38,000 = $ 102,000 y representa la depreciación acumulada a lo largo de los seis años de vida útil de la camioneta, como el método de línea recta supone que la depreciación en cada uno de estos años es idéntica, la depreciación en cada uno de estos años, es idéntica, la depreciación anual debe ser entonces de El valor en libros de la camioneta después de un año será de 140,000 -17,000 = $123.000 y después de dos años de $106,000. Etc. La siguiente tabla muestra como se acumula la depreciación e la camioneta y como disminuye su valor en libros. 39 AÑOS DEPRECÌACÌON ANUAL DEPRECÌACÌON ACUMULADA VALOR EN LÌBROS 0 Ì 2 3 4 5 6 0 17,000 17,000 17,000 17,000 17,000 17,000 0 17,000 34,000 51,000 68,000 85,000 102,000 140,000 123,000 106,000 89,000 72,000 55,000 38,000 Observemos que al final del sexto año a depreciación acumulada es igual a la base de la depreciación y el valor en libros es igual al valor del deshecho de la camioneta, Si tenemos Depreciación anual Siendo: Método de línea recta t = valor de deshecho c = costo original del activo n = numero de años de vida útil del activo D= depreciación anual Una empresa que fabrica artículos de sujeción tales como hojillas, remates, y hebillas. La empresa adquiere una nueva prensa capas de producir 300 golpes por minuto. Si el costo de la prensa es de $450.000 y tiene una vida útil de 30 años con un valor de deshecho de $60.000 ¿Cual es de depreciación anual? Solución: C= $450.000 costo original de la prensa T = $60.000 valor de deshecho n= 30 vida útil Parte de la tabla de depreciación se muestra a continuación AÑO DEPRECÌACÌON ANUAL DEPRECÌACÌON ACUMULADA VALOR EN LÌBROS 0 1 2 0 13.000 13.000 0 13.000 26.000 450.000 437.000 424.000 40 ... 29 30 ... 13.000 13.000 .. 377.000 390.000 .... 73.000 60.000 El calculo de la depreciación acumulada y del valor en libros al finalizar cualquier año es muy sencillo por ejemplo la depreciación acumulada al final del año 17 es de 17 x 13.000 = $221.000 y el valor en libros es entonces 450.000 ÷ 221.000 = $229.000 Un método alternativo, también muy sencillo es el método de depreciación por unidad producida .este método se basa en dos supuestos 1.- La vida útil del activo esta determinada por una cantidad esperada de unidades producidas o de horas de trabajo. 2.- Las cargas por depreciación son iguales por cada unidad producida o por cada hora de trabajo. Consideramos de nuevo el caso de la camioneta de reparto con un costo original de $140.000 y un valor de deshecho de $38.000. De acuerdo con desempeño de otros vehículos similares la empresa estima que la vida útil de la camioneta es de 100.000 km . Supongamos que el kilometraje recorrido por la camioneta durante los primeros cinco años esta dado por la siguiente tabla: Año 1 2 3 4 5 Kilometraje 23.000 28.000 19.000 17.500 12.500 ¿Cuanto se deprecio la camioneta el primer año de acuerdo con el método de depreciación por unidades producidas? La depreciación anual depende por un lado, de la proporción. De los 1000.000 km de vida útil de la camioneta que se recorrieron en ese año y por otro lado de la base de la depreciación. A si en el primer año la proporción de kilometraje recorrida fue de Tras que la base de la depreciación es de 140.000 - 38.000 $102.000 que ya habíamos determinado la depreciación anual fue entonces de 0.23 x 102.000 = $23.460. Como el segundo año la camioneta tuvo un uso mas intenso esperamos una mayor depreciación. La depreciación del segundo fue de: De esta manera elaboramos la siguiente tabla de depreciación años kilometraje Depreciación anual Depreciación acumulada Valor en libros 0 1 0 23.000 0 23.460 0 23.460 140.000 116.560 41 2 3 4 5 28.000 19.000 17.500 12.500 28.560 19.380 17.850 12.750 52.020 71.400 89.250 102.000 87.980 68.600 50.750 38.000 Si tenemos SÌENDO DEPRECÌACÌON POR UNÌDADES PROPORCÌONADAS El motor de una avioneta tiene una vida útil de $ 4,500 horas de vuelo .La bitácora de la avioneta muestra que ha volado 980 horas el primer año, 1130 el segundo año, 1340 horas, el tercer año y 1050 horas el cuarto año. ¿Cual ha sido la depreciación anual del motor de la avioneta si tuvo un costo de $60,000 y se estima su valor de desecho en $15,000.00? El primer año el motor tuvo una depreciación El segundo año de: y de manera analógica se ve que las depresiones del tercer y cuarto año son de D3= $ 13,400.00 y de= $10,500.00 DEPRECÌACÌON: métodos no-lineales una de las dos ventajas de los métodos lineales es que no contemplan el echo de que la mayoría de los activos tienden a depreciarse en mayor prodición en los primeros años que en los últimos años de su vida útil. Esta situación refleja con mayor fidelidad .El valor del mercado del activo además permite formar fondos de reserva para anticipar el costo de reposición de estos activos mediante cargos de depreciación, en lo que año con año disminuyen por un lado los cargos de depreciación mientras que por otro lado los cargos de depreciación aumentan los costos de gastos de mantenimiento y reparación del activo. La disminución de los depósitos en el de los gastos de mantenimiento. En el método de porcentaje fijo se considera que de un año a otro el activo se deprecia en la misma proporción hasta alcanzar su valor de deshecho. 42 La tasa de depreciación v esto es de r y el valor con libros al final del Segundo año es de Continuamos de esta manera: 902546:097,38.:77003970:35,44974800,2,3907;,4/05,445074/4 /0 5,4 $0 .434.0 .424 5,4 /0 , ,3:,/,/ , 90254 6:0 97,38.:770 03970 0 573.54/0572075074/4/05,4013,/09245074/4/05,4 0,.:07/4 .4305,4 ,8,3:,/,/0880.,81.,303 3:,/,/08 079,8 5,4 /0 , ,3:,/,/ .4203, 90723, 03 10.,8 1,8 .43;03/,8 /0 ,3902,34 !47 00254 , .4257,7 :3 ,:942O; , 5,48 80 0895:, .,7,20390,810.,8/03.490723,.O3/048,-4348 3:,/,/08 439303908 , 10., /0 3.4 /0 48 5,48 4 , 10., /0 90723,.O3/0485,4846:E8,2-,834801,3/0,3902,34 5,4083.0794 .424 03 0 .,84 /0 48 5,48 6:0 70.-0 :3 503843,/4 , 92, 10., /0 5,4 /0503/0/0.:E394;;,0503843,/4 %42,3/403.438/07,.O3,810.,8/05,48/0,8,3:,/,/0854/0248/893:7 /489548/0,3:,/,/08 , 3:,/,/08 7/3,7,8 $00.434.09,2-F3.424,3:,/,/08'03./,8 48 5,48507O/.4880010.9,3,13,/0.,/,3907;,4/05,4 - 3:,/,/0839.5,/,8 485,4880/0-0370,,7,3.4/0.,/,5074/4 0,.:07/4,,10.,036:0803.,0572073907;,4/05,480/893:03 , 3:,/,/08 320/,9,8 3.4 /0 5,4 .4203, .43 , 10., 03 6:0 80 1472,,0.43;034843,82E8.42:308 !470025480.4257,:3,207.,3.J,, .7F/94 6:0 80 ;, , 5,,7 03 9708 2038:,/,/08 , 57207, /0 ,8 .:E08 ,-7E /0 70,,780:3208/085:F8/0,.4257,8,,3:,/,/0847/3,7,0302420394/0 ,.4257,8,,3:,/,/08,39.5,/, - 3:,/,/08107/,8 5,4/0,,3:,/,/34.4203,03,10.,036:080 1472,,0.43;0348346:0805485430 32:.48.,848 024394/0485,4880/090723,0250,3/43907F8.425:0894 ,70,.O303970483907;,48/05,4485074/48/0.,59,,.O3/,4703,/48 95482E8/0,3:,/,/08 , 3:,/,/08$2508 5074/4/0.,59,,.O303907;,4/05,4.43./03 8 0 .,84 /0 ,8 5490.,8 /43/0 48 5,48 48 5074/48 /0 .,59,,.O3 843 2038:,08 - 3:,/,/08 0307,08 3907;,4 /0 5,4 34 .43./0 .43 48 5074/48 /0 .,59,,.O3 & $ # #$ ,8 ,3:,/,/08 47/3,7,8 .079,8 82508 0 320/,9,8 843 48 6:0 .43 2,47 170.:03., ,5,70.03 03 48 304.48 ,8 13,3,8 348 7010770248 , 0890 954 /0 ,3:,/,/08 825020390 .424 ,3:,/,/08 47/3,7,8 , ,3:,/,/ 47/3,7, 80 701070,:3,8070/05,48/43/0 485,488070,,3,13,/0.,/,3907;,4/05,4 ,810.,8/03.413,/05,4/0,,3:,/,/843.434./,8 485074/48/0.,59,,.O3483907;,48/05,4.43./03 5,4 /0 , ,3:,/,/ .4203, 03 , 282, 10., 03 6:0 80 1472,, 0 .43;034 .,/, :34 /0 48 5,48 507O/.48 6:0 80 70,,3 03 :3, ,3:,/,/ 80 0 .434.0 .424,7039,/0,,3:,/,/ ,8:2,,.:2:,/,0305,4/0,,3:,/,/800 ,2,024394/0,,3:,/,/ 3 0307, .:,3/4 80 70,,3 3 /05O8948 507O/.48 /0 7 50848 03 :3, .:039, 6:0 5,, :3 3907F8 03 .,/, :34 /0 08948 5074/48 /0 9,1472, 6:00 57207/05O894 574/:.0 39070808 /:7,390 3 5074/48 0 80:3/4 /05O894 574/:.0 39070808 /:7,390 3 5074/48 ,8J 8:.08;,20390 ,89, 6:0 0 :924 /05O894 34 574/:.0 3907F8,:3403943.08024394;030/,/4547 % & & # # 3 :,6:07 954 /0 ,3:,/,/08 348 03.4397,248 .43 48 28248 574-02,8 1:3/,2039,08 090723,.O3/024394/0:3,8070/0,3:,/,/08 090723,.O3/0;,47,.9:, 57080390 /0:3,8070/0,3:,/,/08 ',:,.O3 /0 :3, 8070/0 ,3:,/,/08 03 :35:394 390720/4 03970 0 24394 0 ;,47,.9:, 24394.43./0.43013/05,4 0;,47,.9:,.430573.54,;,:,.O303 :3,F54.,390720/, 08:3574-02,294 /048/48574-02,81:3/,2039,08 4394;,47,.9:, 438/07,3/4 % & & # # ;,47 13, 4 4394 /0 :3, 3:,/,/ 7/3,7, 08 , 8:2, /0 94/48 48 5,48 507O/.488:.47708543/03903907F8425:0894 ,.:2:,/48,13,/09F7234/0 ,4507,.O3 30.,84/0:3,,3:,/,/47/3,7, 089024394.43899:00;,47/0 ,,3:,/,/,13,/09245,4 0254 & % &3, 507843, /0./0 /05489,7 , 13, /0 .,/, 208 03 :3, 3899:.O3 13,3.07, 6:0 0 ,-43,7E 39070808 /0 .43;079-0 2038:,20390 0 2038:, /:7,390 20808 $0 5/0 .,.:,7 .434.07 0 24394 6:0 80 0:0 , ,.:2:,7,13,/05,43/.,/4 O72:, 0 8020897./0.:3/05.6:080706:0705.7039..45.3./80/05489./0S208 ./. 08..3.430.59...03/00/05O894.39020808 8803.0790. 13..7.948 O72:.79.. :E394. 20803:3-.2038:.4 0-.20390 ..39/.. $07039.8.-02038:.4-90307 /:7.7744 & # % :E08.13.2039403 /. .248547#.3 2038:.13./4 & % ! ! :E39485.9.13.0..20390803:3.08 .N480/080.7..8:2..:2:..7805..3:.8.:2:.70.:2:. $/0349.43:3.59.0797.7.6:05.0797208.. :E3/480/0-03...:039.0../.. ./0.-02038:.6:080/0-03..N480..425:08942038:.20803:3. .7 O72:.208 ./03907F8/0. .7 880/05489.48/0-0370. 0303970820808 ./. $0 ..704 703:0.7F 5.4089...84308 4880:3/4854709.03/0/4770.078O3. 3..6:0. 8: 34.7.8.0 /0. &3 .8 48 9248 ":F 9..08 547 8: 3..:2:./J.7.08.:/.35745:0894 ..-0 -4348 9720897.3.03/0/475742090 ./4 8090306:0 .. 42480.780 &3.20390 /085:F8 /0 .8 8948-4348 ..8..078O3 6:05. 57420/405. 3423..08 03:3 143/4 /0 3./45474. /05489.0743 9720897..N48 :3 97208970 0 24394/08:3.507843..8/05489.7J..3.8. 03:35..37034. :3 3907F8 /0 9720897...3 /097208970 . 424 48 /05O8948 80 .48 30.948 O72:. 97208970 0 .:2:.7 03 0890 143/4 :E394 90254 08 942.7E . 547 .7 9720897.780 8 0 57207 /05O8944.3.039.7485.078O3 $ & 485720748 80. 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