3.無理數：無法表成分數形式的無限小數稱為無理數。(如： 5 、 3 2 、π ) 4.實數：有理數與無理數合稱為實數(數線上所有的數)，記為 R。 5.有理數與實數均具有封閉性： (1)有理數經過有限次的加減乘除後，仍為有理數。 (2)實數經過有限次的加減乘除後，仍為實數。 6.有理數與實數均具有稠密性： 設 a 、b 均為有理數(或實數)， a < b ，則必存在一個有理數 t(或實數)，使得 a < t < b 。
1.下列哪些選項是正確的？(多選) (A)若 a﹐b 都是無理數﹐則 a + b 為無理數 (B)若 a﹐b 都是無理數﹐則 ab 為無理數 (C)若 a 為有理數﹐b 是無理數﹐則 a + b 為無理數 (D)若 a 為有理數﹐b 是無理數﹐則 ab 為無理數 (E)若 a − b﹐a + b 都是有理數﹐則 a﹐b 為有理數 2.有關有理數或無理數的運算性質，下列敘述何者正確？(多選) (A)若 a 是有理數， b 是無理數，則 a × b 是無理數 (B)若 3a + 2b 是有理數且 a 是無理數，則 b 是無理數
1-3
學測複習教材系列
第一單元 數與式
a (C)若 a 、b 、 都是無理數，則 a × b 是無理數 b
(D)若 a 3 與 a 5 是有理數，則 a 是有理數 (E)若 a 2 與 a 4 是有理數，則 a 是有理數 指數式為有理數之判別(→線性組合)：
1.若(a, b) / c 有 2.若(a, b) / c 否
若 a 、b 、c 、x 、y ∈ Z ，存在 ax + by = c 是否有整數解
Ans：1. (A)(B)(D)
2. (B)(D)
範例 3 (1) 將分數
．循環小數與有限小數． 3 化成小數，小數點後第 n 位數字為 f ( n) ，試求： 7
f (1) + f (2) + f (3) + ...... + f (101) =
。
19 19 1 19 (2) 設 k 為正整數， 是最簡分數，且 可化為有限小數，若 < < 1，則 k = k k 3 k Ans：(1) 458
(2) 20、25、32、40、50
《建豪小叮嚀》(1) 循環小數化分數： 1 0.abc = ○
abc − a 990
(2)有限小數：最簡分數
2 0.ab = ○
ab − 0 ab = 99 99
3 a.bcd = ○
b 之分母僅有 2 或 5 的質因數者。 a
1-4
。
abcd − ab 990
學測複習教材系列
第一單元 數與式
1 19 k (2) ∵ < < 1 1 < < 3 3 k 19
∴19 < k < 57
又 k 與 19 互質且介於 19 與 57 之間只含有 2 或 5 的質因數的 自然數有 20、25、32、40、50 故 k = 20、25、32、40、50
類
題
D
I
Y
1.有一個整數 a 乘上 0.5 ，但卻在相乘時誤將 a 乘上 0.5，所得相差 27，則 a =
2.將分數
7 化成小數，設小數點後第 n 位數為 f ( n) ，則： 12
f (1) + f (2) + f (3) + ...... + f (10) =
3.將分數
4.若
。
。
16241 化為小數時，小數點後第 51 位數字為 49950
。
7 ab9 可化成有限小數，且 0 ≤ a, b ≤ 9 ，a 、b 為整數，則數對 ( a, b) 有 66
第二單元 多項式 主題一：數系的認知 1. 二次函數： y = f ( x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 配方 2. 二次函數的圖形： y = f ( x) = ax 2 + bx + c → y = f ( x) = a ( x − h) 2 + k
a > 0 ：開口向上 (1) 開口方向： a < 0 ：開口向下 b b 2 − 4ac (2) 頂點座標： (− , − ) = ( h, k ) 2a 4a b (3) 對稱軸： x = − =h 2a 3. 二次函數的極值： 配方法：配成 y = f ( x ) = a ( x − h) 2 + k 型式，再討論極值 公式法：當 x =
−b −b 時，y 有最大(小)值 = f ( ) 2a 2a
※ 精選範例 ※ 範例 1
．反求二次函數．
(1) 二次函數 f ( x) = ax 2 + bx + c ，若 f ( −1) = 3 ，f (2) = 6 ，f (3) = −1 ，則序組 ( a, b, c )=
。
(2) 二次函數 y = ax 2 + bx + c ，其圖形頂點(2,3)，且經過 P(3,1)，則 ( a, b, c ) =？ (3) 函數 f ( x ) = x 2 + 4 x + k 與 x 軸相交於 A、B 兩點，且 AB = 2 ，則 k= Ans：(1) ( −2,3,8)
《建豪小叮嚀》二次函數 f ( x ) 的假設： (1) 已知圖形通過三點 (2) 已知頂點座標 ( h, k ) (3) 已知 x 軸兩交點 (α , 0) 、( β , 0)
2-1
。 (2) ( −2,8, −5)
(3) 3
學測複習教材系列
類
題
D
第二單元 多項式
I
Y
1. 二次函數 y = f ( x ) = ax 2 + bx + c ，其圖形通過三點 (2,12) 、( −3, 2) 、(0, 4) ，試求： (1) 多項式 f ( x )
(2) f ( x ) 的頂點座標
(3) 對稱軸方程式
2. 二次函數 f ( x ) 的頂點(3,5)且與 x 軸交於 P、Q 兩點，若 PQ = 2 ，則 f ( x ) =？
3. 將 y = 2 x 2 − x 沿著 x 軸方向移動 h 單位，沿著 y 軸方向移動 k 單位後，得到 y = 2 x 2 − 3 x − 4 ，
求(h,k)=
。
函數的平移： 設原方程式 y = ax 2 (1) 圖形右移 h 單位後 y = a ( x − h) 2 (2) 圖形左移 h 單位後 y = a ( x + h) 2 (3) 圖形上移 k 單位後 y = ax 2 + k (4) 圖形下移 k 單位後 y = ax 2 − k
2-2
學測複習教材系列
第二單元 多項式
4.設 a 、b 為實數。已知座標平面上拋物線 y = x 2 + ax + b 與 x 軸交於 P、Q 兩點，且 PQ = 7 。
若拋物線 y = x 2 + ax + (b + 2) 與 x 軸相交於 R、S，則 RS =
Ans：1.(1) f ( x ) = 1 3. ( , −5) 2
2 2 8 x + x+4 3 3
4 (2) ( −2, ) 3
(3) x + 2 = 0
。
2. −5 x 2 + 30 x − 40
41
4.
範例 2
．二次函數的極值．
(1) 已知函數 f ( x) = 122 x
2
−2 x + 2
，其中 x 為實數，則 f ( x ) 的最小值為
。
(2) 某沙漠地區某一段時間的溫度函數為 f (t ) = −t 2 + 10t + 11 ，其中 1 ≤ t ≤ 10 ，則這段時間內
該地區的最大溫差為 (A) 9
(B) 16
(C) 20
(D) 25
(E) 36
[大學學測]
Ans：(1) 24 3
(2) (D)
《建豪小叮嚀》二次函數的 f ( x) = ax 2 + bx + c 極值： (1) 若 x ∈ R 極值發生在頂點上 (2) 若 a ≤ x ≤ b 極值發生在頂點或端點上 [補] 平方連加型：若 x ∈ R ，欲求 f ( x ) = ( x − a1 ) 2 + ( x − a2 ) 2 + ... + ( x − an ) 2
極值發生在 x =
a1 + a2 + ... + an 時。 n
2-3
學測複習教材系列
類
題
D
第二單元 多項式
I
Y
1.如右圖，ABC 是現有的牆，想築圍牆 PQR 使 A P
得 PQ // BC ， QR // BC ，但築牆材料僅有 36
Q
公尺，即 PQ + QR = 36，則所圍的四邊形 PQRB B
面積的最大值為
R
C
。
x + 2 y − z = 1 2.若 ，則 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x 之極小值 x − y + z = 2
。
3.設二次函數 y = x 2 + kx + k − 2 與 x 軸交於相異兩點 A、B，則線段 AB 的最小值為
。
4. 設 f ( x) = ax 2 + bx + c ( a 、b 、c ∈ R )， a > 0 ，[α , β ] 為實數軸上之一閉區間，則(多選) (A) f 在 [α , β ] 上有最小值
f (α )或 f ( β )
(B) f 在 [α , β ] 上有最大值
(D) f 在 [α , β ] 上有最大值 f (α )或 f ( β )
(C) f 在 [α , β ] 上有最小值 (E) f 在實數軸上有一最大值
1 1 5.設 x ≥ 0 ， y = −( x + ) 2 + 2( x + ) + 3 ，試求： x x (1) x +
1 的範圍為 x
。
(2) y 之最大值為
2-4
。
學測複習教材系列
第二單元 多項式
6.對任意實數 x 而言， 27
Ans：1. 216
2. −
4 7
2 ( x2 + ) 3
的最小值為
3. 2
。
4. (A)(B)(D)
[大學學測]
5.(1) x +
1 ≥2 x
範例 3
(2) 3
6. 9
．二次函數的圖形判斷．
已知 y = ax 2 + bx + c 的圖形如右，則下列敘述何者正確？ 的圖形如右 (A) a > 0 (E) α + β > 0
(B) b > 0
(C) c > 0
(D) b 2 − 4ac > 0
(F) ac < 0
Ans：(B)(C)(D)(E)(F) 《建豪小叮嚀》二次函數圖形與 二次函數圖形與 a 、b 、c 、D 之正負判斷： (1) a 由開口決定
向上 向上→a > 0 向下 向下→a < 0 m > 0→b > 0
m = 0→b = 0 (2) b 與 y 軸交點處斜率決定： 軸交點處斜率決定 m < 0→b < 0 原點上方 → c > 0 (3) c f (0) x 以 0 代入，即與 y 軸交點： 原點 → c = 0
0個→b 2 − 4ac < 0 (5) 圖形通過四象限的條件： 圖形通過四象限的條件 ac < 0 。 (6) 函數值 = y 座標
2-5
學測複習教材系列
類
題
D
第二單元 多項式
I
Y
1. 設二次函數 y = f ( x) = ax 2 + bx + c 之圖形如右，求下列何者之正 負？
(1) a
(3) c
(2) b
(1,0) (4) b − 4ac 2
(5) a + b + c
(6) a − b + c
2. 設 a 、b 、c 為實數，且二次函數 且二次函數 f ( x) = ax 2 + bx + c 滿足 f (−1) = −3 ，f (3) = −1 ，b 2 − 4ac < 0 ，則下列敘述何者正確？(多選) (A) a < 0
(B) c < 0
(C) f (0) < f (1)
(D) f (4) < f (5)
(E) f ( −3) < f ( −2)
3. 設 a 、b 、c 為實數，且二次函數 且二次函數 f ( x) = ax 2 + bx + c 的圖形通過 (0, −1) 且與 x 軸相切，則下 列敘述何者正確？(多選)
(A) a < 0
(B) b > 0
[大學學測] (C) c = −1
(E) a + b + c ≤ 0
(D) b 2 + 4ac = 0
4. a 、b 為實數，且二次函數 y = f ( x) = a ( x + 1) 2 + b 滿足 f (−4) < 0 ，f ( −5) > 0 ，試問下列何者 為真？(多選)
(A) a > 0
[大學學測]
(B) b > 0
Ans：1.(1) a > 0
(C) f (1) < 0
(2) b < 0
(6) a − b + c > 0
(3) c < 0
2.(A)(B) 2.(A)(B)(C)(E)
(D) f (2) < 0
(E) f (3) < 0
(4) b 2 − 4ac > 0 3. (A)(C)(E)
2-6
(5) a + b + c = 0
4. (A)(C)(D)
學測複習教材系列
第二單元 多項式
主題二：多項式的係數和、除法原理 1. 多項式的係數和問題(聯想函數值)： f ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 ，則
(1) 所有係數和 = f (1) (3) 奇次項係數和 =
(2) 偶次項係數和 =
f (1) − f (−1) 2
f (1) + f (−1) 2
(4) 常數項 = f (0)
2. 除法原理： f ( x ) 以 g ( x ) 除之，商為 q( x) ，餘式為 r ( x ) f ( x ) = g ( x ) ⋅ q ( x ) + r ( x ) 其中 deg r ( x) < deg g ( x) 或 r ( x) = 0
※ 精選範例 ※ 範例 4
．多項式定義．
下列何者為 x 的多項式？
(A) x 2 + 2 x + (E)
1 y
1 + 2x +1 x +1
(B) x 2 + x + 2 (F) x 2 + 3 x + 5 = 0
(C) x 2 y +
x + y+ 3 y
(D) x 2 + x + 1
(G) x 2 + 3 x − 1 > 0 Ans：(A)(C)
《建豪小叮嚀》x 多項式的定義： 文字 x 不得位於分母、根號、絕對值、指數、對數、三角函數、方程式、不 等式中！
2-7
學測複習教材系列
類
題
第二單元 多項式
I
D
Y
1. x 的多項式 f ( x ) 滿足 f ( x + 1) − f ( x ) = 2 x − 3 且 f (0) = 2 ，則最低次的 f ( x ) =？ 多項式 f ( x) 滿足 f ( ax + m ) − f ( ax + n ) = g ( x ) 且 deg g ( x) = n 則多項式 f ( x) 的最低次為 n + 1
1 1 2. 設 t + = x ，試將下列二試表為 x 的多項式：(1) t 5 + 5 t t
(2) t 8 +
1 t8
3. 多項式 4( x 2 + 1) + ( x + 1) 2 ( x − 3) + ( x − 1)3 等於下列哪一個選項？ (A) x( x + 1)2
(B) 2 x( x + 1) 2
(D) 2( x − 1)2 ( x + 1)
(C) x ( x − 1)( x + 1)
(E) 2 x ( x − 1)( x + 1)
Ans：1. x 2 − 4 x + 2
[大學學測]
2.(1) x 5 − 5 x 3 + 5 x
(2) x 8 − 8 x 6 + 20 x 4 − 16 x 2 + 2
範例 5
3. (E)
．係數和．
(1) f ( x) = ( x 5 − 2 x 3 + x + 1) 2001 展式中，偶次項的係數和為
。
(2) f ( x) = x 4 − 2 x3 + 3 x 2 − 5 x + 1 ， g ( x) = x17 + 5 x8 − 7 x 5 + x 3 − 4 x + 1 則 f ( x ) ⋅ g ( x ) 之所有係數和為
。
(3) deg f ( x ) = 3 ，若 f (0) = 7 ， f (1) = 5 ，f (3) = 9 ，f (5) = 2 ，試求下列多項式之所有係數和 為？
1 f ( x) ○
2 f ( x 2 + x + 1) ○
3 f ( x 2 + x − 2) ○
4 f (4 x + 1) ○
(4)若 deg f ( x) = 2 ，且滿足 x3 f ( x 2 ) + (2 x + 1) f ( x) − 4 x − 8 = 0 ，試求 f ( x ) 之 1 所有係數和為 ○
。
Ans：(1) 1
2 常數項為 ○
(2) 6
1 5 (3)○
2-8
。 2 9 ○
3 7 ○
4 2 ○
1 3 (4)○
2 8 ○
學測複習教材系列
類
題
D
第二單元 多項式
I
Y
1. 設 f ( x) = x 4 − 2 x3 + 3 x 2 − 5 x + 1 ，g ( x) = x17 + 5 x8 − 7 x 5 + x3 − 4 x + 1 ，求： (1) f ( x ) ⋅ g ( x ) 的各項係數和？
(2) f ( x ) + 2 g ( x ) 的偶次項係數和與奇次項係數和？
2. 設 ( x 5 − 3 x 4 + 4 x 3 − 2 x 2 + 6)(2 x 4 + x 3 − 4 x 2 − 3 x + 5) = a9 x 9 + a8 x 8 + a7 x 7 + ... + a1 x + a0 ，則： (1) a8 + a6 + a4 + a2 + a0 =
。
(2) a9 + a7 + a5 + a3 + a1 =
。
3. 設 f ( x ) = ax 6 − bx 4 + 3 x − 2 ，其中 a 、b 為非零實數，則 f (5) − f ( −5) 之值為？ (A) -30
(B) 0
(C) 2 2
(D) 30
(E) 無法確定
[大學指考]
4. 已知 a = 2010 x + 94 ， b = 2010 x + 95 ， c = 2010 x + 96 ，則 a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca =
(A) 0
(B) 1
(C) 2
2-9
(D) 3
(E) 4
學測複習教材系列
第二單元 多項式
5. 多項式 (1 + 2 x + 3 x 2 + 4 x3 )(4 + 3 x + 2 x 2 + x 3 ) 之積的二次項係數為
。
6. (50 + 49 x + 48 x 2 + ... + 3 x 47 + 2 x 48 + x 49 )(50 x 49 + 49 x 48 + 48 x 47 + ... + 3 x 2 + 2 x + 1) 乘開後， x 49 項 。
的係數為
10
7. 已知兩多項式 P ( x ) = 1 + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 + ... + 10 x 9 + 11x10 = (i + 1) x i 與 i=0
5
Q ( x ) = 1 + 3 x 2 + 5 x 4 + ... + 9 x 8 + 11x10 = (2i + 1) x 2 i ，試問 P ( x ) ⋅ Q ( x ) 的乘積中 x 9 項的係數 i =0
為
。
8. 若 ( x + 1)( x + 2) ⋅ ...... ⋅ ( x + 19)( x + 20) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a19 x19 + a20 x 20 ，求 a19 + a20 =
Ans：1.(1) 6 6. 42925
。
(2) 偶次：17，奇次：-25 7. 110
2.(1) -7
(2) 13
3. (D)
4. (D)
5. 20
8. 211
範例 6
．除法原理．
設一多項式 f ( x ) ，以 ax + b ( a ≠ 0) 除之得商 q( x) ，餘式為 r
(1)以 x +
b 除 f ( x ) ，得商式 a
，餘式
(2)以 ax + b 除 x ⋅ f ( x ) ，得商式 x (3)以 x + b 除 x ⋅ f ( ) ，得商式 a
，餘式 ，餘式
Ans：(1) aq ( x ) ，r
(2) xq ( x ) +
2-10
。 。 。
r br ，− a a
x (3) q ( ) x + r ， − br a
學測複習教材系列
類
題
D
第二單元 多項式
I
Y
1. 設多項式 f ( x ) 被 ax + b ( a ≠ 0 )除之商為 q( x) ，餘式為 r，下列何者為真？(多選) (A) 以 x −
b 除 f ( x ) 之餘式為 ar a
(B) f (bx ) 被 ax − 1 除之餘式為 r
(C) f (bx ) 被 ax − 1 除之商為 bq ( x ) (E) xf ( x ) 被 x −
(D) af ( x) 被 x −
b 除之餘式為 ar a
b br 除之餘式為 a a
2. 設兩多項式 f ( x )，g ( x ) 其次數均大於 2，已知 f ( x ) 與 g ( x ) 除以 x 2 − x − 1 之餘式分別為 2 x + 1 與 x − 3 ，則：
(1) f ( x ) + g ( x ) 除以 x 2 − x − 1 的餘式為
。
(2) 2 f ( x ) − 3 g ( x ) 除以 x 2 − x − 1 的餘式為 (3) f ( x ) ⋅ g ( x ) 除以 x 2 − x − 1 的餘式為
。 。
2-11
學測複習教材系列
第二單元 多項式
3. 設 f ( x ) 為一多項式，若 ( x + 1) f ( x ) 除以 x 2 + x + 1 的餘式為 5 x + 3 ，則 f ( x ) 除以 x 2 + x + 1 的餘 。
式為
4. 設多項式 f ( x ) ，以 ax + b 除之得商 q( x) ，餘式為 r ( a ≠ 0) ，試求以 ax + b 除 x 2 f ( x ) 的商式 為
及餘式為
。
5.設 f ( x ) 除以 g ( x ) 之商式為 q( x) ，而餘式為 r ( x ) ，求 3 f ( x ) 除以 5 g ( x) 之商式與餘式分別 為
。
Ans：1. (B)(D)(E)
2.(1) 3 x − 2
4. 商式： x 2 q ( x ) +
(2) x + 11
b2r r br x − 2 ；餘式： 2 a a a
(3) −3x − 1
3. 2 x + 5
3 5.商式： q ( x) ；餘式： 3r ( x ) 5
主題三：餘式定理與因式定理 1. 餘式定理： f ( x ) 是一多項式，則以 x − a 除 f ( x ) 所得之餘式為 f ( a )
2. 因式定理： f ( x ) 是一多項式，若 x − a 為 f ( x ) 的因式，則 f ( a ) = 0。
(1)二次式 ax 2 + bx − 4 以 x + 1 除之，餘數為 3，以 x − 1 除之餘數為 1，如以 x − 2 除之所得餘式 為
。
(2)次數不小於 3 的多項式 f ( x ) 以 ( x − a )( x − b) ， ( x − b)( x − c ) ， ( x − c )( x − a ) 除之，餘式分別 得到 x − 2 ， 2 x + 1 ， −2 x + 3 ，則 (A) a > b > c
(D) a > c > b
(B) b > a > c
(C) c > a > b
(E) c > b > a
x 5 + x 4 + x 3 + px 2 + 2 x + q (3)已知 為一個 x 的多項式，求 ( p, q) = x2 + x + 2 Ans：(1) 18
類
題
I
D
。
(2) (D)
(3) (3,8)
Y
1. f ( x ) = 2 x 3 − 5 x 2 − 8 x + a ， g ( x ) = x 2 − 4 x + b ，已知 f ( x ) 是 g ( x ) 的倍式，則 a =
b=
[大學學測]
。
2.如果 x 4 + 7 x 3 − 4 x 2 + 5 x + a 是 x 2 − x + b 的倍式，則數對( a , b )=
2-13
。
，
學測複習教材系列
第二單元 多項式
3. 設 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c ，滿足 f (1) = f (2) = 3 且 f ( −1) = −3 ，則 (A) a + b + c = 3
4. 已知
(B) a − b + c = −2
(C) a = 3
(D) b = 2
2 x 4 + 3 x 3 − 10 x 2 + 24 x + m 為一個 x 的多項式，求 ( m, n) = x2 + 2x − n
Ans：1. a = 6 ，b = 2
2. (3,1)
3. (B)(D)(E)
(E) c = 3
。
4. ( −64,8)
範例 8
．重疊假設法求餘式．
(1)設 f ( x ) 為一多項式，以 x − 1 除之餘 5，以 x + 2 除之餘 2，則 f ( x ) 除以 ( x − 1)( x + 2) 之餘式 為
。
(2)多項式 f ( x ) ，若以 x 2 + x + 1 除之，餘式為 x + 1 ，以 x − 2 除之，餘式為 10，則 f ( x ) 以 ( x − 2)( x 2 + x + 1) 除之，餘式為
。
(3)設 f ( x ) 為一多項式，以 ( x − 1) 、 ( x − 2) 、 ( x − 3) 除之的餘式，分別為 5、12、23，則 f ( x ) 除之 ( x − 1)( x − 2)( x − 3) 之餘式為
。
Ans：(1) x + 4 《建豪小叮嚀》重疊假設法求餘式：
f ( x ) ÷ ( x − a )......k 已知條件： f ( x ) ÷ ( x − b)......m 所求考題： f ( x ) ÷ ( x − a )( x − b)...... 餘式=？
2-14
(2) x 2 + 2 x + 2
(3) 2 x 2 + x + 2
學測複習教材系列
類
題
D
第二單元 多項式
I
Y
1.若多項式 f ( x ) 除以 x 2 − x − 2 餘 3x + 5 ，且 f ( x ) 的所有係數和為 14 則 f ( x ) 除以 ( x − 1)( x 2 − x − 2) 的餘式為
。
2.設多項式 h( x) 被 x 2 − 1 除後的餘式為 3 x + 4 ，並且已知 h( x) 有因式 x 若 h( x) 被 x ( x 2 − 1) 除後 的餘式為 px 2 + qx + r ，則 p 2 − q 2 + r 2 =
。
3.多項式 f ( x ) ，以 ( x − 1)( x − 2) 除之的餘式為 20 x − 6，以 ( x − 2)( x − 3) 除之得餘式為 32 x − 30 ， 求以 ( x − 1)( x − 2)( x − 3) 除 f ( x ) 的餘式為
Ans：1. −3 x 2 + 6 x + 11
2. 7
。
3. 6 x 2 + 2 x + 6
範例 9
．餘式假設深入題．
多項式 f ( x ) 被 x 2 − 5 x + 4 除之，餘式為 x + 2 ，被 x 2 − 5 x + 6 除之餘式為 3 x + 4 ，則 f ( x ) 被 x 2 − 4 x + 3 除之，餘式為
。
[大學學測] Ans： 5 x − 2
《建豪小叮嚀》除式可因式分解： 多項式 f ( x ) 以 x 2 − 5 x + 4 除之，餘式為 x + 2
f (1) = 3 列式： f ( x ) = ( x − 1)( x − 4)Q ( x ) + x + 2 f (4) = 6
2-15
學測複習教材系列
類
題
第二單元 多項式
I
D
Y
1.已知 deg f ( x ) ≥ 3 ，若 f ( x ) 除以 ( x − 1) 2 ，餘式 3 x + 2 ，除以 ( x + 2) 2 ，餘式為 5 x + 3 ，則： (1) f ( x ) 除以 ( x − 1)( x + 2) 之餘式為 (2) f ( x ) 除以 ( x − 1) 2 ( x + 2) 之餘式為
。 。
2.以 x 2 + 3 x − 4 除多項式 f ( x ) ， g ( x ) 所得的餘式分別為 3 x + 2 ， −4 x + 7 ，則以 x + 4 除 (2 x + 3) f ( x ) − ( x + 5) g ( x ) 之餘式為
Ans：1.(1) 4 x + 1
1 (2) − ( x − 1) 2 + 3 x + 2 3
。
2. 27
範例 10
．化簡求餘式(⼀)．
(1)多項式 ( x 2 + 3 x + 5)8 除以 x 2 + 2 x + 4 所得之餘式為
。
(2)多項式 ( x 5 + x 2 + 2 x + 3)3 除以 x 4 + x + 1 所得之餘式為 (3)以 ( x − 1) 2 除 x10 + 2 所得的餘式為
。
。
Ans：(1) 81
(2) ( x + 3)3
《建豪小叮嚀》化簡求餘式：長除法與綜合除法均無法使用之除法求餘式！
[解題技巧] 除法原理： A( x) = B( x) × Q( x) + R( x) [輔助工具] 二項式定理： ( x + y ) n =
2-16
(令B( x) = 0)
(3) 10 x − 7
學測複習教材系列
類
題
D
第二單元 多項式
I
Y
1.多項式 ( x 2 + 3 x + 2)3 除以 x 2 + 2 x + 3 所得餘式為
。
2.多項式 ( x 2 + 3 x + 4)12 除以 x 2 + 2 x + 3 所得餘式為
。
[高雄區模考]
3.多項式 f ( x ) = x15 − 3 x13 + 4 x 4 + 5 x + 1 除以 x 4 − x 所得餘式為
。
4.設多項式 ( x + 1) 6 除以 x 2 + 1 的餘式為 ax + b ，則數對 ( a, b) =
。
5.以 ( x + 1) 2 除 x 50 + 1 所得的餘式為
Ans：1. 10 x + 14
2. 64
3. x 3 + 6 x + 1
。
4. ( −8, 0)
2-17
5. −50 x − 48
[大學學測]
學測複習教材系列
第二單元 多項式
範例 11
．化簡求餘式(二)…除式為漸化式．
設 f ( x ) = x 2001 − 3 x 58 + 4 x11 + x 2 − x + 2 ，則以 x 2 − x + 1 除 f ( x ) 所得餘式為
。
Ans： − x + 4 補乘 ( x −1) 《建豪小叮嚀》除式型式：(1) x n −1 + x n − 2 + ...... + x + 1 = 0 → xn = 1 補乘 ( x +1) (2) x n −1 − x n − 2 + ...... − x + 1 = 0 → x n = −1
(a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b3 [解題技巧] 1. 2 2 3 3 (a − b)(a + ab + b ) = a − b 2.(1)除式為 x 2 + x + 1 的認知→ x 3 = 1 且 x 2 = − x − 1 (2)除式為 x 2 − x + 1 的認知→ x 3 = −1 且 x 2 = x − 1
類
題
D
I
Y
1.多項式 x 50 除以 x 2 + x + 1 之餘式為
。
2.(1)求 x 2 + x + 1 除 x119 + 5 x 24 + 4 x 8 + 8 x + 7 之餘式為 (2)以 132 + 13 + 1 除 13119 + 5 ⋅1324 + 4 ⋅138 + 8 ⋅13 + 7 之餘數為
3.設 x = 5 − 24 ，則 x 5 + x 4 − 10 x 3 − 10 x 2 + x + 5 之值為
Ans：1. i
2. − 3
[中山女中模考]
。
3. 4
範例 14
．a 為繁小數．
設 f ( x) = x 4 + 2 x3 − 3 x 2 − 3 x + 5 ，試求 f ( −1.98) =？
(計至小數點後第三位) Ans： -0.976
2-21
學測複習教材系列
類
題
D
第二單元 多項式
I
Y
1.若 ( x − 1)3 + 2( x − 1)2 + 3( x − 1) + 4 = a ( x + 2)3 + b( x + 2)2 + c( x + 2) + d ，試求 ( a, b, c, d ) =
。
[南一中模考]
2.設 f ( x) = 54 x 3 − 99 x 2 + 66 x − 20 ，試求 f (0.333) 的近似值至小數點後第三位。
3.設 f ( x) = x 4 − 5 x 2 − 36 ，試求 f (1.98) 的近似值至小數點後第二位。
Ans：1. (1, −7,18, −14)
2. -7.006
3. -40.23
主題五：求多項式與有理一次因式檢驗法 1. 求多項式：常見型式如下 [型一] 標準題 已知 deg f ( x ) = 3 ，且
(1) f (1) = f (2) = 0 …………令 f ( x ) = ( ax + b)( x − 1)( x − 2) (2) f (1) = f (2) = 3 …………令 f ( x ) = ( ax + b)( x − 1)( x − 2) + 3 (3) f (1) = f (2) = f (3) = 0 …………令 f ( x ) = k ( x − 1)( x − 2)( x − 3) (4) f (1) = f (2) = f (3) = 3 …………令 f ( x ) = k ( x − 1)( x − 2)( x − 3) + 3
2-22
學測複習教材系列
第二單元 多項式
[型二] 自由題 [型三] 重疊法 2. 一次因式檢驗法： 設 f ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 為整係數多項式( an ≠ 0 )， 又 a, b ∈ Z 且 ( a, b) = 1 ，若 ax − b / f ( x) ， 則(1) a / an ， b / a0
(2) a − b / f (1) ， a + b / f (1) [註] 有裡根定理：若 x =
b 為 f ( x ) = 0 的一有裡根，則 a / an ， b / a0 a
※ 精選範例 ※ 範例 15
．因式檢驗．
設 a 、b 、c ∈ Z ，若 f ( x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + 6 在整數系中可因式分解為四個相異一次因式
的積，試討論 (a, b, c) 之可能值為
。
Ans： (−1, −7,1) 或 (1, −7, −1)
類
題
D
I
Y
1.設 9 x 4 + ax3 + bx 2 + cx + 1 = 0 有四個相異有理根，則 a + b − c =
2-23
。
學測複習教材系列
第二單元 多項式
2.若 a 、b 、c ∈ Z ，且方程式 x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + 9 = 0 有四個相異有理根，求 a − b + c 。
=
3. 若 2 x − 3 為整係數多項式 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + (a + 1) 之因式，且 1 ≤ a ≤ 100 ，則 a 有 個。
4.若整係數多項式 x 4 − x 3 + kx 2 − 2kx − 2 有整係數一次因式，求 k 之值為
Ans：1. -10
2. 10
3. 17
。
4. -2 或 0
範例 16
．求多項式．
(1)設 f ( x) 為三次多項式，若 f (2) = f (−1) = f (4) = 3 ，且 f (1) = −9 ，求 f ( x) =？ (2) 設 deg f ( x) = 4，以 ( x − 1)3 除之，餘式為 3，以 x − 2 除之餘式為 6，以 x + 2 除之餘式為 138， 則 f ( x) = ？
(3) 設 f ( x) 為實係數三次多項式，若 f (1) = 1 ，f (2) = 2 ，f (5) = 5 且 f (3) = −1 ，試求 f ( x) =
。 Ans：(1) −2 x3 + 10 x 2 − 4 x − 13
(2) (2 x − 1)( x − 1)3 + 3
2-24
(3) x3 − 8 x 2 + 18 x − 10
學測複習教材系列
類
題
D
第二單元 多項式
I
Y
1.設 deg f ( x) = 3 ， f (1) = f (2) = 0 ，且 f (3) = 12 ，f (4) = 42 ，則 f ( x) =
。
1 2.設 deg f ( x) = 3 ， f (−1) = f ( ) = 0 ， f (2) = 45 ，f (−2) = −35 ，求 f ( x) = ？ 2
Ans：1. x3 − 7 x + 6
2. 6 x3 + x 2 − 4 x + 1
範例 17
．插值多項式求值．
已知二次多項式 f (x) 滿足 f ( 2006) = 3，f ( 2008) = 1，f ( 2009) = 6 ，試求： f ( 2010) =
。 Ans：15
《建豪小叮嚀》插值多項式(拉格朗日插值法)： (1) a、b 為相異數，滿足 f (a ) = p、f (b) = q 的最低次多項式 f ( x) = p ⋅
x−b x−a + q⋅ 。 a −b b−a
(2) a、b、c 為相異數，滿足 f (a ) = p、f (b) = q、f (c) = r 的最低次多項式 f ( x) = p ⋅
( x − b)( x − c) ( x − a )( x − c) ( x − a )( x − b) +q⋅ +r⋅ 。 (a − b)(a − c) (b − a )(b − c) (c − a )(c − b)
《基本解》 設 f ( x) = 3 ⋅
( x − 2008)( x − 2009) ( x − 2006)( x − 2009) + 1⋅ (2006 − 2008)(2006 − 2009) (2008 − 2006)(2008 − 2009) + 6⋅
2.三次多項式 f (x) 除以 x − 1、x − 2 、x − 3 、x − 4 的餘式分別為 5、-2、-3、-4，則 f (x) 除以 x − 5 的餘式為
Ans：1.
11 2
。
2. -11
主題六：複數的基本認知 1. 虛數的單位： −1 稱為虛數單位，記作 i。 2. i 的運算：(1)週期性： i 4 n = 1 ；i 4 n +1 = i ；i 4 n + 2 = −1 ；i 4 n + 3 = −i (2)相消性： i 4 n + i 4 n +1 + i 4 n + 2 + i 4 n +3 = 0
3. 名詞認知： z = a + bi ， a, b ∈ R ， a 稱為「實部」，b 稱為「虛部」。 (1) 若 a ≠ 0 ， b ≠ 0 z = a + bi 稱為「雜虛數」(複數)。 (2) 若 a = 0 ， b ≠ 0 z = bi 稱為「純虛數」。 (3) 若 a ≠ 0 ， b = 0 z = a 稱為「實數」。
4. 共軛複數：若 z = a + bi ，則 z 之共軛複數，記為 z = a − bi 。
※ 精選範例 ※
2-26
學測複習教材系列
第二單元 多項式
範例 18
．觀念澄清．
a 、b 為實數，下列何者為真？(多選) (A) 若 a > 0 ，b < 0 ，則 a ⋅ b = ab (C) 若 ab > 0 ，則 a ⋅ b = ab
(B) 若 a > 0 ，b < 0 ，則
(D) 若 ab > 0 ，則
a a = b b
a a = b b (E) 以上皆非 Ans：(A)(D)
《建豪小叮嚀》 a 與 b 的乘(除)法結合： 1 若 a ，b 不同時為負，則 a ⋅ b = ab (1)○
2 若 a 0 ，b > 0 ，則 ○
a a = b b
2 若 a < 0 ，b > 0 (分子為負)，則 ○
a a = b b
3 若 a > 0 ，b < 0 (分母為負)，則 ○
a a =− b b
2-27
學測複習教材系列
類
題
第二單元 多項式
I
D
Y
1.下列何者正確？ (A) (D)
−1 1 = 1 −1
−2 ⋅ −3 = (−2)(−3)
(B)
3 3 = −2 −2
(C)
−3 3 = 2 −2
(E) 以上皆非
2.設 a, b ∈ R ，且 a + b = −12 ，ab = 3 ，則 ( a + b ) 2 =
3.設 k 為一整數，若方程式 kx 2 + 7 x + 1 = 0 有兩相異實根且兩根的乘積介於 k=
5 6 與 之間，則 71 71
。
1 −5 ≤ k ≤ −4 Ans：1.(1)○
2 k < −5 ○
(2) 5
3-7
2. k >
17 或 k < −2 3
3. 12
學測複習教材系列
第三單元 方程式與不等式
主題三：方程式論 1. 根與係數的關係： b α +β =− a (1) α 、β 為 ax 2 + bx + c = 0 之兩根 α ⋅ β = c a
−b α + β + γ = a c 3 2 (2) α 、β 、γ 為 ax + bx + cx + d = 0 之三根 αβ + βγ + γα = a −d αβγ = a 2. 根的成雙： (1) 實係數方程式有虛根 a + bi ，則必存在另一根為 a − bi 。 (虛根共軛) (2) 有理係數方程式有無理根 a + b c ，則必存在另一根 a − b c 。 (無理根共軛) [注意] 有理係數方程式，虛根亦會共軛
3. 勘根定理： 已知 f ( x ) = 0 為 n 次方程式，若 a < b ，且 f ( a ) ⋅ f (b) < 0 ，則方程式 f ( x ) = 0 至少存有一根 在 a ， b 之間。
※ 精選範例 ※
3-8
學測複習教材系列
第三單元 方程式與不等式
範例 5
．根與求值公式．
設 α 、β 、γ 為方程式 2 x 3 + x 2 − 4 x + 1 = 0 之三根，則：
(1) α 2 + β 2 + γ 2 =
。
(2) α 3 + β 3 + γ 3 =
。
Ans：(1) 《建豪小叮嚀》(1) a 2 + b 2 + c 2 = (a + b + c) 2 − 2(ab + bc + ca )
(2) a 3 + b3 + c 3 = (a + b + c)[a 2 + b 2 + c 2 − (ab + bc + ca )] + 3abc
類
題
D
I
Y
x + y + z = 15 1.解 xy + yz + zx = 71 ，且 x < y < z ，則( x, y, z ) = xyz = 105
2.已知 a 、b 是實數，且多項方程式 x 3 − ax 2 + 26 x − b = 0 的根是三個連續的整數，是求數對 ( a, b) =
。
3. f ( x) = x 3 + 3 x 2 + mx − n ， g ( x) = x3 + (2 − m) x 2 − (n + 3) x + 8 ，若 f ( x ) = 0 之三根成等差，且 g ( x ) = 0 之三根成等比，則數對 ( m, n) =
Ans：1. -2
2. (9,24)或(-9,-24)
。
3. (3,-1)
3-12
學測複習教材系列
第三單元 方程式與不等式
範例 8
．根的共軛．
設 a 、b 是實數， a ≠ 0 ，若方程式 ax 3 + x 2 + bx + 1 = 0 之一根為 2 + 2i ，則 a + b =？
Ans：
類
題
D
I
−17 8
Y
1. 設 1 − i 為 x 2 + ax + 3 − i = 0 的一根，則 a 的值為
(A) -3
(B) -2
(C) -1-i
(D) 2
[大學指考]
(E) 3
2. 設 f ( x) = 3 x 3 − 14 x 2 + cx − 31，c 為某一整數，若 f (2 + 3i ) = 1 − 9i ，求 f (2 − 3i ) =
3. x 4 + 3 x 3 + 4 x 2 − x − 15 = 0 有一複數根 −1 + 2i ，求此方程式之實根為
4. 設 a, b ∈ Q ，若 2 + 3 為 x 4 + ax 3 + 10 x 2 + bx + 5 = 0 之一根，則數對 (a, b) =
3-13
。
。
。
學測複習教材系列
第三單元 方程式與不等式
5. 設 f ( x) 為整係數三次多項式，且 f (1 − 2i ) = 0 ， f (2 − i ) = 1 − 2i ，則下列敘述何者正確？(多 選)
(A) 1+2i 為 f ( x) 的一根
(B) f (2 + i) = 1 + 2i
(D) 函數 y = f ( x) 與 x 軸沒有交點
(C) f ( x) 沒有整係數二次因式
(E) f ( x) = 0 必有一個有理根
6. 已知實係數多項式 f ( x) 與 g ( x) = x 3 + x 2 − 2 有次數大於 0 的公因式。試問下列哪些選項是正 確的？(多選)
[大學學測]
(A) g ( x) = 0 恰有一實根 (B) f ( x) =0 必有實根 (C) 若 f ( x) =0 與 g ( x) = 0 有共同實根，則此實根必為 1 (D) 若 f ( x) =0 與 g ( x) = 0 有共同實根，則 f ( x) 與 g ( x) 的最高公因式為一次式 (E) 若 f ( x) =0 與 g ( x) = 0 沒有共同實根，則 f ( x) 與 g ( x) 的最高公因式為二次式
7. 設 f ( x) = x 4 − 5 x 3 + x 2 + ax + b 為實係數多項式，且知 f (i ) = 0 (其中 i = −1 )。請問下列哪些 選項是多項式方程式 f ( x) = 0 的根？(多選)
(A) −i
(B) 0
(C) 1
(D) -5
[大學學測]
(E) 5
8. 設 f ( x) = x( x − 1)( x + 1) ，請問下列哪些選項是正確的？ (A) f (
1 )>0 2
(B) f ( x) =2 有整數解
(D) f ( x) =x 有不等於零的有理數解
(C) f ( x) = x 2 + 1
(E) 若 f (a ) = 2 ，則 f (− a ) = 2
3-14
[大學學測]
學測複習教材系列
第三單元 方程式與不等式
9. 關於多項式 f ( x) = x 4 − 15 ，下列何者為真？(多選) (A) f ( x) =0 在 1 與 2 之間有一實根 (C) f ( x) =0 沒有大於 2 的實根
(B) f ( x) =0 在-2 與-1 之間有一實根
(D) f ( x) =0 沒有小於-2 的實根
(E) f ( x) =0 有四個實根
2. 1 − 9i
Ans：1. (A)
6. (A)(C)(E)
3.
−1 ± 13 2
7. (A)(B)(E)
4. (−5, −21)
8. (C)
5. (A)(B)(E)
9. (A)(B)(C)(D)
範例 9
．勘根定理．
設方程式 4 x 2 + ax + a − 13 = 0 有一根介於 0 與 1 之間，另一根介於 −3 與 −2 間，則 a 之範圍 。
為
Ans：
類
題
D
I
Y
1. 方程式 12 x 3 − 8 x 2 − 23 x + 11 = 0 在下列哪個區間內有實根？ (A) (−3, −2)
(B) (−2, −1)
(C) (−1, 0)
(D) (0,1)
3-15
(E) (1, 2)
9 23 5
∴ 虛根乘積0 < γω < 1
(D) 係數和為 4 < f (1) < 5 (E) 實根總和為 5 < α + β < 6
故 (C) 最小
3-17
學測複習教材系列
第三單元 方程式與不等式
主題四：二次函數知恆正或恆負 二次函數的恆正或恆負： 設二次函數為 y = f ( x) = ax 2 + bx + c ，且 D = b 2 − 4ac (1) a > 0 (1) 恆正：若 ∀x ∈ R ，恆使 y = f ( x) > 0 ⇔ (2) D < 0 (1) a < 0 (2) 恆負：若 ∀x ∈ R ，恆使 y = f ( x) < 0 ⇔ (2) D < 0
※ 精選範例 ※ 範例 12
．二次函數恆正．
(1) 若 x 是實數，且 3 x 2 + 2ax − a ≥ 0 均成立，則 a 的範圍為？
[大學聯考]
(2)設 m 為實數，若二次函數 y = mx 2 + 10 x + m + 6 的圖形在直線 y = 2 的上方，則 m 的範圍為
何？ (A) m > 0
[大學學測] (B) m > −2 + 29
(D) −2 − 29 < m < −2 + 29
(C) 0 < m < −2 + 29
(E) m > −2 + 29 或 m < −2 − 29
(3)若 mx 2 + 2 x − 2 ≥ 0 無實數解，求 m 的範圍為
。 Ans：(1) −3 ≤ a ≤ 0
(2) (B)
《建豪小叮嚀》恆正的同義敘述： (1) …不等式 ax 2 + bx + c > 0 之解為任意數… (2) …不等式 ax 2 + bx + c ≤ 0 無解… (3) …拋物線 y = ax 2 + bx + c 圖形恆在 x 軸上方… (4) …拋物線 y = ax 2 + bx + c 圖形恆在 y = mx + n 上方…
以上的題目敘述皆同義於：二次函數 y = f ( x) = ax 2 + bx + c 恆正
3-18
(3) m < −
1 2
學測複習教材系列
類
題
第三單元 方程式與不等式
I
D
Y
1.若不等式 x 2 + (k + 1) x + 1 > 0 之解為任意實數，求 k 之範圍為
。
2.對每一個實數 x，二次函數 f ( x) = (m − 2) x 2 + 2(2m − 3) x + 5m − 6 圖形恆在 x 軸上方，求實數
m 之範圍為
。
3.在座標平面上， y = x 2 + x + a 圖形與 x 軸不相交，則 a 之範圍為
4.k 為實數， y = kx 2 + k 之圖形在 y = − x 下方，則 k 之範圍為
5. ∀x ∈ R ，不等式
。
2 x 2 + 2kx + k < 1 恆成立，則實數 k 之範圍為 4 x2 + 6 x + 3
Ans：1. −3 < k < 1
2. m > 3
3. a >
1 4
4. k < −
3-19
1 2
。
5. 1 < k < 3
。
學測複習教材系列
第三單元 方程式與不等式
主題五：一元二次不等式 一元二次不等式：
y = f ( x) = ax 2 + bx + c ，a > 0
y = ax 2 + bx + c
兩根為 α 、β ∈ R ，且 α < β
+
如圖：(1) f ( x) > 0 的解為 x < α 或 x > β
+
α
β
-
(2) f ( x) < 0 的解為 α < x < β
※ 精選範例 ※ 範例 13
．二次不等式．
解不等式：(1) −6 x 2 − x + 2 ≤ 0
(2) x 2 − 4 x + 4 > 0 Ans：(1) x ≤ −
類
題
I
D
(3) x 2 + x + 1 > 0 2 1 或x≥ 3 2
(2) x ≠ 2
(3) 任意實數
Y
1. 解不等式： (1) 2 x 2 + 4 x + 1 > 0
(2) x 2 + 6 x + 9 ≥ 0
(3) ( x − 1)( x − 4) < x − 5
(4) 2 ≤ x 2 − 4 x + 6 ≤ 18
Ans：1.(1) x <
−2 − 2 −2 + 2 或x> 2 2
(2) x ∈ R
3-20
(3) 無實數解
(4) −2 ≤ x ≤ 6
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第三單元 方程式與不等式
範例 14
．反考題．
(1)已知二次不等式 ax 2 + bx + 1 > 0 的解為 −
5 2 < x < ，求 (a, b) = 2 5
。
(2)設 f ( x) 為二次函數，且不等式 f ( x) > 0 之解為 −2 < x < 4，則 f (2 x) < 0 之解為
。 [大學學測]
Ans：(1) (−1, −
類
題
D
I
21 ) 10
(2) x < −1 或 x > 2
Y
1.不等式 ax 2 − 5 x + b > 0 的解為 −3 < x <
2.不等式 x 2 − ax + b < 0 的解為 1 < x <
1 ，則數對( a, b ) = 2
。
3 ，則不等式 2bx 2 − ax − 3 > 0 的解為 2
3.若 f ( x) 為二次函數，且 f (5 − 2 x) > 0 之解為 −4 < x < 5 ，則 f ( x) > 0 之解為？
3-21
。
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第三單元 方程式與不等式
4.請問對於下列哪些選項，可以找到實數 a ，使得選項裡面所有的數都滿足一元二次不等式
x 2 + (2 − a ) x − 2a < 0 ？(多選) (A) −1 ， 0
整數)
(B) 1，2，3，…(所有的正整數)
(D) 97，2008
(C) −3 ， − 4 ， − 5 ，…(所有小於 −2 的
(E) −π ， π ( π 是圓周率)
5. 邊長為 x ， x + 1 ， x + 2 的三條線
三線段構成Δ的條件：已知三線段長 a, b, c 先判別出最長線段 c
段圍成一鈍角三角形，求 x 的值。
列出不等式：(1)兩小邊和 > 第三邊 → a + b > c
構成鈍角∆ → c 2 > a 2 + b 2 (2) 構成直角∆ → c 2 = a 2 + b 2 構成銳角∆ → c 2 < a 2 + b 2 6.若多項式函數 y = f ( x) 的圖形如右圖所示，求
f (2 x + 1) ≤ 0 的解為
。
(3,0)
Ans：1. (−2, 3)
2. x <
−2 3 或x> 3 2
3. −5 < x < 13
(7,0)
4. (A)(D)
5. 1 < x < 3
6. x ≤ 1 或 x ≥ 3
主題六：一元 n 次不等式 高次不等式： y = f ( x) = an x n + an −1 x n −1 + ...... + a1 x + a0 ， an > 0 ， n 個根為 α1 、α 2 、 ......、 α n ，且 α1 < α 2 < ...... < α n 如圖：(1) f ( x) > 0 的解為 α1 < x < α 2 或…… (2) f ( x) < 0 的解為 x < α1 或……
※ 精選範例 ※ 3-22
-
+
α1 α 2
-
+
-
αn
+
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第三單元 方程式與不等式
範例 15
．高次不等式．
(1) 解不等式 (− x3 − x 2 + 2 x)( x 2 − 2 x − 3) ≤ 0 (2) 解不等式 ( x − 1)12 ( x + 1)13 (4 − x)11 ( x + 3)( x 2 + x + 1) > 0 Ans：(1) −2 ≤ x ≤ −1 或 0 ≤ x ≤ 1 或 x ≥ 3
(2) −1 < x < 4 或 x < −3 但 x ≠ 1
《建豪小叮嚀》高次不等式的簡化技巧： (1) 恆正的二次式( a > 0 且 D < 0 ) 刪除 (2) ( x − a )奇 降成 ( x − a )1 (3) ( x − a )偶 可刪除
類
題
D
I
有等號 須補根 無等號 須減根
Y
1. 已知多項式 f ( x) = x 4 − 5 x 3 + 3 x 2 + 19 x − 30 有一個複數根 2 + i ，若實數滿足 f (a ) < 0 ，試求 a 的範圍。
2. 關於多項式不等式： x 2 ( x + 5)( x + 1)( x − 4)( x − 7) < (2 x − 3)( x + 5)( x + 1)( x − 4)( x − 7) ，下列哪些 選項是它的一個解？ (A) −2π
(B) −π
[大學指考] (C) π
(D) 2π
3-23
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第三單元 方程式與不等式
3. 解不等式：(1) ( x − 2)2 ( x + 1)3 ( x − 1)( x + 2)( x 2 + x + 3) ≥ 0 (2) (2 x 2 + 5 x − 3)(−2 x 2 + x − 1) > 0 (3) −6 x 3 + 13 x 2 − 2 x − 5 ≥ 0
4. 設 y = f ( x) 之圖形如右，則： (1) f ( x) = 0 的解為
。
(2) f ( x) > 0 的解為
。
(3) f ( x) < 0 的解為
。
(4) f ( x) − 0.01 = 0 有
個實根。
(5) f ( x) + 0.01 = 0 有
個實根。
(−2, 0)
(3, 0)
5.已知 ax3 + bx 2 + cx + 6 ≥ 0 的解為 x ≤ 1 或 2 ≤ x ≤ 3 ，求數對 (a, b, c) =
Ans：1. −2 < a < 3
2. (B)(D)
1 5 (4) x ≤ − 或 1 ≤ x ≤ 2 3
3.(1) −2 ≤ x ≤ −1 或 x ≥ 1 4.(1) −2 ，3 ， 6
(3) x < −2 或 3 < x < 6 或 x > 6
(4) 2
(2) −2 < x < 3
(5) 4
5. (−1, 6,11)
主題七：分式不等式 1. 分式不等式： 解法：[型一] [型二]
f ( x) >0 g ( x) f ( x) 同義 > 0 → f ( x) ⋅ g ( x) > 0 g ( x) f ( x) 同義 ≥ 0 → f ( x) ⋅ g ( x) ≥ 0 且 g ( x) ≠ 0 g ( x)
※ 精選範例 ※ 3-24
(2) −3 < x <
(6, 0)
。
1 2
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第三單元 方程式與不等式
範例 16
解不等式：
．分式不等式． x −1 ≤ −1 x + 2x − 3 2
Ans： −4 ≤ x < −3
類
題
D
I
1.解下列不等式：(1)
2. y =
Y 2x +1 ≤1 x−3
(2)
2 < x +1 x
x2 − 5x + 6 ，試求滿足 0 < y < 1 之 x 的範圍？ x 2 + 5x + 4
0 < y < 1 y ( y − 1) < 0
[大學指考]
3.已知 x ∈ R ，求 f ( x) =
2 x2 − x + 2 之最大值與最小值。 x2 + x + 1
若一元二次方程式 ax 2 + bx + c = 0 有實數解(即 ∀x ∈ R )，則 D = b 2 − 4ac ≥ 0
Ans：1.(1) −4 ≤ x < 3
(2) −2 < x < 0 或 x > 1
3-25
2.
1 < x3 2
3. 5，1
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第三單元 方程式與不等式
主題七：分式不等式 1. 算幾不等式：設 a 、b 為正實數，則
a+b ≥ ab 恆成立。 2
[註] 當 a = b 時，等號恰成立。 2. 推廣：設 a1 , a2 , a3 ,..., an 均為正數，則： a1 + a2 + a3 + ... + an n ≥ a1 ⋅ a2 ⋅ a3 ⋅ ... ⋅ an 恆成立。 n [註] 當 a1 = a2 = a3 = ... = an 時，等號恰成立。
※ 精選範例 ※ 範例 17
．算幾不等式求極值．
1 xy (1)設 x, y ∈ R + ，若 x + 2 y = 12 ，試求下列之最大值：○
2 xy 2 ○
(2)若 x 為實數，且 −2 < x < 3 ，求 (3 − x) 2 (2 + x)3 的最大值為 (3)設 x > 0 ，求
3.比較 a = 3 5 ， b = 4 125 ， c = 5 3 5 ， d = 6 24 的大小，得
1
Ans：1.
4
1
8 > 16 6 > 4 4 > 3 2
2. c > a > b
3. b > c > a > d
4-9
。
。
。
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第四單元 指數與對數
主題二：指數函數、方程式、不等式 指數函數的圖形：設 y = f ( x ) = a x
( a > 0 ， a ≠ 1)
1.圖形：(1) a > 1 時
(2) 0 < a < 1 時
1 a > 1 時，圖形嚴格遞增。 2.特性：(1)○ 2 0 < a < 1 時，圖形嚴格遞減。 ○
(2)圖形恆過(0,1)。 (3)圖形恆在 x 軸上方。 [指數恆正] (4)圖形以 x 軸為漸近線。 [補充 1] 請畫出 y = 2 x − 2 + 3 的圖形
※ 精選範例 ※
4-10
學測複習教材系列
第四單元 指數與對數
範例 8
．指數函數．
(1)設 f ( x ) 不為常數函數，且滿足 f ( x + y ) = f ( x ) ⋅ f ( y ) ，若 f (1) = 4 ，f ( −2) =
。
(2) 將 y = 3x 的圖形沿著 x 軸方向移動 −2 單位， y 軸方向移動 5 單位後的圖形方程式
是
。 Ans：(1)
1 16
(2) y = 3x + 2 + 5
《建豪小叮嚀》函數的性質特徵： f ( x + y ) = f ( x) × f ( y ) 指數函數性質的唯一性 有一非常數函數滿足 f ( x − y ) = f ( x) ÷ f ( y ) 則可令此函數 f ( x ) = a x
類
題
D
I
Y
1.設 y = f ( x) = a x ，y = g ( x ) = a − x (但 a > 0 )，則下列何者為真？(多選)
過(0,1)
(B) f 與 g 之圖形有同一漸近線
之圖形以 y 軸為漸進線
(A) f 與 g 之圖形均
(C) f 與 g 之圖形有兩個交點
(E) f ( x) ⋅ g ( x ) = 1
Ans：1. (A)(B)(D)(E)
4-11
(D) f 與 g
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第四單元 指數與對數
專題討論：方程式 f(x)=g(x)解的個數__圖解法 考題：欲求方程式 f ( x ) = g ( x) 解的個數。 分析：(1)此題無法以代數解題。 (2)型式： f ( x ) = g ( x) 中 f ( x ) 通常為指數、對數、三角、絕對值函數。 g ( x ) 通常為線型函數。(尤以水平線為最佳)。
解法：將求方程式 f ( x ) = g ( x)
y = f ( x) 拆成 聯立 以作圖找交點個數。 y = g ( x)
觀念：解析圖形之交點個數 = 方程式聯立的解
※ 精選範例 ※ 範例 9 方程式 2
．圖形交點的應用． −x
= x2 有
個解？是說明理由？ Ans： 2
類
題
D
I
Y
1.試問 y = 2 x 與 y = x 2 兩圖形有
個交點。
2.方程式 2 − x = x 2 有幾個解？
Ans：1. 3
2. 3
4-12
學測複習教材系列
第四單元 指數與對數
專題討論：指數方程式的解 型一：同底型 考題：欲求方程式 a f ( x ) = a g ( x ) 的解。 分析：(1)底數 a 為不是 1 的常數。 解法：Step1：化為同底
專題討論：指數不等式的解---同底型 考題：欲求方程式 a f ( x ) ≥ a g ( x ) 的解。 分析：(1)底數 a 為不是 1 的常數。 解法：Step1：化為同底 Step2：指數部分 a f ( x ) > a g ( x ) 1 若 a > 1 ，則 f ( x ) > g ( x ) ○ 2 若 0 < a < 1 ，則 f ( x ) < g ( x ) ○
Step3：解 x 的範圍
(2)底數 a 為未知之文字 x。 解法：討論未知之文字 x 之值為 1 與大於 1 與小於 1
※ 精選範例 ※ 範例 15
．指數不等式—同底型．
解不等式 (0.2) x
2
−3 x −1
> 0.008 。 Ans： −1 < x < 4
類
題
D
I
Y
1.設 x > 0 ，x ≠ 1 ，不等式 x x
2
−2 x
> x x + 4 之解為
4-18
。
學測複習教材系列
第四單元 指數與對數
1 x2 − 5 x 2.不等式 ( ) 2 > 0.125 之解為 4
Ans：1. 0 < x < 1 或 x > 4
2. −
。
1 < x 0 ，得 x 的範圍為
x 2
2.不等式 2 − 5 ⋅ 2 + 4 > 0 之解為 x
Ans：1. x < −3 或 x > 2
。
。
2. x > 4 或 x < 0
4-19
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第四單元 指數與對數
主題三：對數律 1. 對數的定義：設 a > 0 ，a ≠ 1 ，當 a x = b 時，可用符號 log a b 稱為以 a 為底 b 的對數， b 叫 做真數。
2. 對數律：設 a, b > 0 ， a 、b ≠ 1 ，x, y ∈ R + ，m, n ∈ R 1 log 1 = 0 (1) 基本恆等式：○ a
(2) 指數化係數： log a m x n =
2 log a = 1 ○ a
3 a log a x = x ○
n log a x m
1 log x + log y = log x ⋅ y (3) 對數相加減：○ a a a 2 log x − log y = log ○ a a a
(4) 換底公式： log a x =
x y
log b x log b a
(5) 連鎖律： log a b ⋅ log b c ⋅ log c d = log a d
※ 精選範例 ※ 範例 17
．指對互化．
1 若 log a 81 = 4 ， log 8 b = − ，求 a + b = 3
。
Ans： 《建豪小叮嚀》指對互化： a x = b ⇔ log a b = x
4-20
7 2
學測複習教材系列
類
題
第四單元 指數與對數
I
D
Y
1.若 log 3 a = 3 ， log b 10 10 = 2
2. log a 3 125 =
Ans：1. (
3 ， log 2 2 8 = c ，則 ( a, b, c ) = 2
2 1 ， log 8 b = − ， log 1 8 = c ，則 ( a, b, c ) = 3 3 16
27 ,10, 2) 8
。
。
1 3 2. (5 5, , − ) 2 4
範例 18
．對數定義．
若 log 2 x −3 ( −3 x 2 + 11x − 6) 有意義，求 x 的範圍。 Ans： 《建豪小叮嚀》對數的(強迫)定義域
y值為任意數 y ∈ R y = log a f ( x ) 中 真數恆正 f ( x) > 0 底數恆正且不得為1 a > 0 且 a ≠ 1