6A SE N MATEMÁTICA II MA CUADERNILLOS SEMANALES CEPREUNA 2013 VECTORES EN EL ESPACIO BIDIMENSIONAL, LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA 01 Tres v´ertices de un rect´angulo son los puntos (2, −1), (7, −1) y (7, 3) hallar el ´area del rect´angulo. A) 20 C) 24 B) (0, 10) C) (0, 12) 02 Hallar el m´odulo del vector que va del punto A = (6, 0) al punto B = (0, −8). D) (24, 0) B) 12 D) 26 A) (10, 0) E) 18 A) 8 B) 22 10 En el siguiente ex´agono regular de lado 6, encuentre la suma de todo los vectores de la figura. C) 10 D) 14 E) 9 03 Los v´ertices de un cuadril´atero son los puntos (1, 3), (7, 3), (9, 8) y (3, 8). Calcular el ´area del cuadril´atero. A) 25 B) 28 C) 30 D) 32 E) 34 04 Los v´ertices de un tri´angulo son A = (3, 8), B = (2, −1) y C = (6, −1), calcular la longitud de la mediana AM . √ √ A) 4 5 B) 9 C) 5 6 √ √ D) 82 E) 2 21 E) (12, 0) x 11 Si ⃗a + ⃗b + ⃗c = ⃗0, ∥⃗a∥ = 2, ∥⃗b∥ = 5, ∥⃗c∥ = 6, calcular ⃗a · ⃗b. A) 3,5 B) 3 C) 4 D) 4,5 E) 5 −−→ −−→ −→ 12 Hallar: s + t, si RM = sM C + tP Q y M C 1) B) (1. 4x − y). 18) es expresado como ⃗a = ⃗x + ⃗y . Q 5 3 CePreUNA 05 Uno de los extremos de un segmento es el punto (7. 3). si ⃗a = 5⃗b. 12) D) (−3. 24) y ® x B) (3. ⃗b = (2. 1). −4). halle E = 2 θ A) sen θ B) cos θ C) sen 2 1 θ E) D) cos 2 2 14 Hallar ⃗x. √ √ A) 2 5 B) 3 5 C) 7 √ D) 4 5 E) 8 07 Si ⃗a = (x. 8) 09 Si el vector ⃗a = (1. A) (7. Halle x + y. 1) D) (1. Hallar: y − x. −1) E) (1. ⃗b = (3. P R. −2) 06 Si ⃗a = (2x − 3y. donde ⃗x . y) y ⃗b = 08 Si ⃗a = (−2. 12) B) (−3. si ⃗c = k⃗a + m⃗b. A) 10 B) 12 C) 14 D) 15 E) 16 A) B) − C) 5 3 A 5 4 E) −1 P A) (3. 10) R B 13 Si ⃗u y ⃗v son vectores unitarios y θ el ´angulo entre ∥⃗u − ⃗v ∥ ellos. −3). −2) y ⃗c = (2. Hallar el otro extremo. 2) C) (2. A) −5 B) −4 D) −6 C) 4 E) −7 1 (2. Hallar k + m. −4) tienen direcciones 3 opuestas y x2 + y 2 = 25. 8) y su punto medio es (4. A) (1. ⃗y . ⃗b. 12) E) (3. 6 ) 4 x . 9) O CEPREUNA JULIO . ⃗c y si ⃗b = (−1. 4). −12) E) (12. 24) 5 C) (1.SEPTIEMBRE 2013 3 ( 8. ⃗c = (2k. halle ⃗x. C M 5 D) − 4 1 C) (7. 1) D) (9. 3k). de tal manera que el ´area del cuadril´atero ABCD sea igual a 25. 5) B) (3. A) 3x − y = −2 C) 3x − y = 2 E) 3x − y = 1 B) 3x − y = 5 D) 3x − y = 6 28 Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por los dos puntos (4. 6) D) (12. b √ √ A) 2 B) − 2 Comp⃗ ⊥⃗a > 0 b D) −2 C) 2 √ E) − 3 18 Sean los vectores ⃗a = (k+2. A) 2x − y = −3 C) 2x − y = 5 E) 2x − y = 6 B) 2x − y = 3 D) 2x − y = −5 26 Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto P1 = (−6. hallar el punto P que est´a en el interior del tri´angulo ABC para que los tri´angulos AP B. BP C y AP C tengan el mismo ´area. A) 8 C B) 10 C) 9 16 Dados A = (5. hallar B y D. 1) . 13) y (0. A) x+y = −9 D) x − y = −3 B) x−y = 5 C) x−y = 8 E) x − y = 5 27 Hallar la ecuaci´on de la recta cuya pendiente es −3 y cuya intercepci´on con el eje Y es −2. 2 2 A) (2. A) (12. C = (−1. −3). E= m n 3 2 4 3 B) 1 C) D) E) A) 4 2 3 3 21 Sea ABCD un rect´angulo. 1).Puno 15 Los vectores ⃗a = (r. 4) ( 7) E) 4. 13) y D los v´ertices de un rect´angulo. B = (2. 3 E) − 1. 1) E) (0. B. 2 D) 6 E) 12 D 2k A B 5k 23 El punto A = (−1. 7) C) (1. −3) y tiene un ´angulo de inclinaci´on de 45◦ . 9) D) (7.SEPTIEMBRE 2013 2 . determinar los valores de k para que ⃗b y P roy⃗⃗a b tengan direcciones opuestas. 2) B) (−5. 11) E) (7. Hallar el v´ertice B. una de cuyas diagonales tiene por extremos los puntos A = (3. 10) C) (7. 0) 24 Sean A = (−3. 1). 6). 3) C) (−2. A) 60◦ B) 75◦ C) 80◦ D) 90◦ E) 30◦ −−→ −→ −−→ 22 Calcular: 5r + 3s. 3) (8 7) D) . ). 2k) y ⃗b = (−3. −2) P roy⃗ ⊥⃗a = (3. 12) y (0. 5) C) (1. ⟨3 ⟩ ⟨ 3 ⟩ ⟨ ⟩ A) . 7). 2). −1) D) (1. nb + s) y ⃗c = (−mb + r. Hallar su ecuaci´on. s). 2) y (−5. 2 C) − . 2 −→ 20 Sea ABC un tri´angulo equil´atero. C = (3. 5) y tiene de pendiente 2. 8) 17 Si. Hallar el ´angulo entre los vectores ⃗b − ⃗a y ⃗c − ⃗a. si DC = rAB + sBC. 10) CePreUNA 19 Sean los puntos A = (1. −3). 2). B = (1. Si los lados de mayor longitud son paralelos al vector (1. A) (7. 1) y (0. A) 5x + 9y = 36 C) 5x + 9y = 0 E) 5x + 9y = 40 B) 5x + 9y = 34 D) 5x + 9y = 38 29 Los segmentos que una recta determina sobre los ejes X. 12) y (7. hallar: 1 1 + . tal que AC es una de sus −→ diagonales y AB es ortogonal al vector (4. 7) D) (3. si AB = −→ −−→ nAC − mHB. A) (−7. ⃗b = (na + r. 16). 6) B) (11. 6) es uno de los v´ertices del cuadrado ABCD cuyo centro es el punto 3 5 E = (− . 12) B) (7. 2 B) 1. 11) y (0. 4) y C = (9. 0) E) (10. 8) C) (2. Y son 2 y −3 respectivamente. CEPREUNA JULIO . 10) E) (5. k+1). 2 2 2 ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ D) 1.Matemática II: Sexta Semana Centro Preuniversitario de la Universidad Nacional del Altiplano . b Hallar: Comp⃗ ⃗a. ma + s) son no nulos mn ̸= 0. donde H es el ortocentro. 2). 7) 25 Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto P1 = (1. 4) y C = (5. hallar un punto D en el primer cuadrante de abscisa igual a 7. ⃗a = (4. hallar el v´ertice C. 3 3 B) (1. A) (2. Halle la ecuaci´on de la recta que contiene a N y es paralela a AB. B = (1. la mediatriz del segmento AB interseca al eje y en N . −3). −4). Hallar su ecuaci´on. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 L 13 15 E) 3 36 Determinar el valor de k para que la recta k 2 x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3x − 2y = 11. 2). Si la ordenada de Q es 3. 3) y C = ←→ (6. A) 3x − 5y = 8 C) 3x − 5y = −8 E) 5x + 3y = −8 B) 3x + 5y = 8 D) 5x − 3y = 8 38 En las ecuaciones ax + (2 − b)y = 23 y (a − 1)x + by + 15 = 0.SEPTIEMBRE 2013 B) x − y = 3 D) x − y = 4 . A) − 3 y 6 B) − 3 y 7 D) − 2 y 6 C) ± 3 E) ± 7 CePreUNA 33 Hallar la ecuaci´on de la recta cuya pendiente es −4 y que pasa por el punto de intersecci´on de las rectas 2x + y = 8 y 3x − 2y = −9.Puno A) 3x − 2y = 4 C) 2x + 3y = 0 E) 3x − 2y = 6 B) x + y = 3 D) 3x − 2y = 5 30 Hallar la ecuaci´on de la mediatriz del segmento cuyos extremos son A = (−3. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 39 Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (a. −3). A) x − 2y = 2 C) x − y = 2 E) 2x − y = 3 CEPREUNA JULIO . a b b a A) ax + by = 1 B) ax − by = 1 2 2 2 2 C) b x + a y = ab − a b D) bx − ay = 1 2 2 2 2 E) b x − a y = ab − a b 40 Hallar la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3x − 4y + 8 = 0 y 6x − 8y + 9 = 0. −5). hallar a + b para que representen rectas que pasan por el punto (2. A) 4x − y = 10 C) 4x + y = 5 E) 4x + y = 20 B) 4x + y = 12 D) 4x + y = 10 34 Determinar el ´area del tri´angulo rect´angulo formado por los ejes coordenados y la recta 5x + 4y + 20 = 0 A) 6 B) 5 C) 7 D) 8 42 Siendo A = (4. A) x + y = 3 D) x − y = 3 B) x + y = 4 C) x + y = 5 E) x − y = 4 31 Una recta pasa por el punto (7.Matemática II: Sexta Semana Centro Preuniversitario de la Universidad Nacional del Altiplano . C = (−2. 5). A) 6x − 5y = 52 C) 6x − 5y = −22 E) 6x − 5y = 38 B) 6x + 5y = 82 D) x + 5y = 0 32 Hallar la ecuaci´on de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determina en la recta 5x + 3y = 15. A) 25x−40y = 151 C) 40x − 25y = 124 E) 10x − 25y + 31 = 0 43 Halle la ecuaci´on de L. 8) y es paralela ←→ a la recta CD. B = (−1. Y E) 10 35 Hallar el valor de k para que la recta kx + (k − 1)y − 18 = 0 sea paralelo a la recta 4x + 3y + 7 = 0. Halle la ecuaci´on de BD. A = (−2. √ A) ±8 B) ±6 C) ±10 D) ±5 E) ±2 3 3 B) 40x+25y = 124 D) 10x − 25y = 31 X O 14 A) 7x+24y = 323 C) x + 3y = 121 E) 7x + 24y = 200 B) 24x+7y = −300 D) 7x + 24y = −323 44 Se tiene un rombo ABCD.5 u2 . h´allese su abscisa. 7 10 3 4 A) B) C) D) 1 E) 10 7 4 3 41 La distancia de la recta 4x−3y = −1 al punto Q es 4. 6). b) y por la intersecci´on de las rectas x y x y + = 1 y + = 1. 2). D = (3. √ √ √ 1± 5 1± 7 1± 7 A) B) C) 2 3 2 D) ± 5 E) ± 2 37 Determinar el valor de k para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes coordenados un tri´angulo rect´angulo de ´area igual a 2. A) 36π B) 45π Y C) 25π D) 64π E) 16π O T X A) (x − 2)2 + (y − 5)2 = 20 B) (x + 3)2 + (y − 6)2 = 16 C) (x − 3)2 + (y − 6)2 = 25 D) (x − 2)2 + (y − 6)2 = 29 E)(x − 3)2 + (y − 5)2 = 25 55 Halle la suma de las coordenadas del centro de una circunferencia que contiene a los puntos (−4.Puno 45 Halle la distancia del punto (0. C X √ A) x2 + y 2 − 12x − 4√ 3y + 18 = 0 B) x2 + y 2 − 12x − 2√3y + 18 = 0 C) x2 + y 2 − 12x − 4√ 3y + 36 = 0 D) x2 + y 2 − 8x − 4 √3 + 36 = 0 E)x2 + y 2 − 12x − 4 3 + 32 = 0 53 Halle la ecuaci´on de la circunferencia√que pasa por el punto (0. que sea equidistante de (4. A) (x + 3)2 + (y − 3)2 = 5 B) (x + 4)2 + (y − 3)2 = 5 C) (x + 3)2 + (y − 9)2 = 18 D) (x + 3)2 + (y − 7)2 = 9 E)(x + 5)2 + (y − 1)2 = 7 B) 3 ´o − 2 6 O 47 La longitud de la tangente trazada del punto P (3. −1) y (3. cuyo radio es 5 y cuyo centro est´a en la bisectriz del tercer cuadrante. mAB = 30◦ . Hallar la ordenada de P . A) x2 + y 2 − 6x − 8 = 0 B) x2 + y 2 − 8x − 9 = 0 C) x2 + y 2 − 8x − 12 = 0 D) x2 + y 2 − 8x − 10 = 0 E)x2 + y 2 − 6x − 9 = 0 51 Halle el ´area del c´ırculo cuya circunferencia correspondiente tiene por ecuaci´on x2 + y 2 + 8x − 10y − 4 = 0. Halle la ecuaci´on de la circunferencia si C es punto de tangencia. Y 46 Hallar la ecuaci´on de la circunferencia con centro en la intersecci´on de las rectas x + y = 4. y) a la circunferencia. 5x + 2y = −1 y de radio 3. Halle la ecuaci´on de la circunferencia si T es punto de tangencia. x2 + y 2 + 10x − 2y − √ 10 = 0 mide 53 unidades. 1). 49 Halle la ecuaci´on de una circunferencia que tiene su centro en el eje de abscisas y contiene al origen de coordenadas y al punto (−1. 9 25 23 7 A) B) C) D) 3 E) 8 8 8 8 ⌢ 52 Del gr´afico. −5). −2) y que dicho centro pertenece a la recta cuya ecuaci´on es x − y = 0. por el sim´etrico de A respecto al eje X. −4) y (0. 1) y M T = 34.SEPTIEMBRE 2013 4 . 5). 8 10 14 A) − B) − C) − D) − 2 E) − 4 3 3 3 CEPREUNA JULIO . B = (0. −3). 3) y tiene su centro sobre el eje X.Matemática II: Sexta Semana Centro Preuniversitario de la Universidad Nacional del Altiplano . −1) a otro punto sobre el eje Y . A) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 5 B) (x − 1)2 + (y − 1)2 = 5 C) (x + 3)2 + (y + 3)2 = 5 D) (x + 4)2 + (y + 4)2 = 5 E)(x + 2)2 + (y − 2)2 = 5 CePreUNA A) x2 + y 2 + 2x − 10 = 0 B) x2 + y 2 + 2x − 9 = 0 C) x2 + y 2 + 4x − 9 = 0 D) x2 + y 2 + x − 8 = 0 E)x2 + y 2 + 2x − 8 = 0 √ 54 Del gr´afico. y que su centro se encuentra a 4 unidades del origen de coordenadas. −3). A) 6 ´o 4 D) 2 ´o − 7 B A C) 3 ´o − 5 E) 5 48 Halle la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntos (2. A) (x + 12)2 + y 2 = 144 B) (x − 13)2 + y 2 = 169 C) (x + 5)2 + y 2 = 25 D) (x + 13)2 + y 2 = 169 E)x2 + (y + 13)2 = 169 M B 50 Halle la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por A = (0. (−2.