ENSTA Introduction à la turbulence. F.Archambeau 2004-2005 Page 1/54 Introduction à la turbulence. F. Archambeau Ce document présente en quelques pages les équations de Navier-Stokes, la notion de moyenne statis- tique, quelques considérations simples sur la cascade énergétique et les principaux types d’approche permettant de traiter la turbulence en écoulement monophasique (RANSE, LES, DNS). Le document s’adresse à un public non spécialiste de la simulation numérique et de la turbulence : en conséquence, certains paragraphes, simplifiés par souci de clarté, pourront apparaı̂tre caricaturaux ou incomplets. La bibliographie, néanmoins, permettra aux lecteurs intéressés de compléter utilement ce tour d’horizon rapide. ENSTA Introduction à la turbulence. F. Archambeau 2004-2005 Page 2/54 Cette page est laissée intentionnellement blanche. ENSTA Introduction à la turbulence. F. Archambeau 2004-2005 Page 3/54 SOMMAIRE 1 MANIFESTATIONS DE LA TURBULENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Exemples d’applications industrielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Évolution des moyens de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 ÉQUATIONS MOYENNÉES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1 Expérience de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Origine de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.1 Une équation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2 Une équation non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.3 Mélange lié au transport par les perturbations de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Décomposition en valeurs moyennes et fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.2 Propriétés des moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.3 Décomposition de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.4 Masse volumique variable : décomposition de Favre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.5 Densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.6 Ergodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 LA CASCADE ÉNERGÉTIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Équation de l’énergie cinétique turbulente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Turbulence homogène isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3.2 Transformées de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3.3 Cascade de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 MODÉLISATION DE LA TURBULENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2 Modèles à viscosité turbulente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.2 Viscosité constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2.3 Longueur de mélange : hypothèse de Prandtl (1925) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2.4 Longueur de mélange : application à un écoulement entre deux plaques planes parallèles 30 4.2.5 k − l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2.6 Le modèle de viscosité turbulente à deux équations k − ε . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ENSTA Introduction à la turbulence. F. Archambeau 2004-2005 Page 4/54 4.2.7 Modèles non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3 Modèles aux tensions de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3.2 Les équations du modèle LRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3.3 Interprétation des différents termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.4 Thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.4.2 Modélisation de type ”viscosité turbulente” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.4.3 Comportement en proche paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.5 Conditions aux limites en entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.5.2 Énergie cinétique turbulente et dissipation pour les écoulements internes . . . . . . . . 42 4.5.3 Énergie cinétique turbulente et dissipation pour les écoulements externes . . . . . . . . 43 4.5.4 Modèles aux tensions de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.5.5 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.6 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.6.2 Le modèle k − ω SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.6.3 Le v 2 − f , version φ-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5 SIMULATION DES GRANDES ÉCHELLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2 Simulation des grandes échelles : la démarche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3 Modèles de sous-maille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.3.2 Modèle de Smagorinsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.3.3 Modèles dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.4 Conditions aux limites en entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.5 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6 SIMULATION DIRECTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7 MAILLAGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7.2 Considérations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7.3 Considérations physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 7.4 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 8 CONCLUSION ET PERSPECTIVES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 9 BIBLIOGRAPHIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ENSTA Introduction à la turbulence. F. Archambeau 2004-2005 Page 5/54 Répertoire des modifications du document Référence Désignation des modifications Observations . F. Archambeau 2004-2005 Page 6/54 Cette page est laissée intentionnellement blanche. ENSTA Introduction à la turbulence. 1. Selon les besoins. les tourbillons de rétroviseur. eau pressurisée. les crayons combustibles des grappes (figure 2). les informations recherchées peuvent être locales (pour la recherche de points chauds. les structures turbulentes ont pour effet d’exciter ces structures ”filaires” et de grande portée (le diamètre des crayons est de l’ordre de quelques millimètres. des unités de production (voir figure 1 la représentation d’un générateur de vapeur de centrale nucléaire à eau pressurisée) ont recours à des fluides divers et de viscosité très différente (hydrogène. Une modélisation sans prise en compte de la turbulence peut conduire à une forte sous-estimation du frottement (voir l’abaque de Moody) et donc à une large sous-évaluation de la puissance des pompes. de l’influence de ces structures est cependant indispen- sable dans une grande partie des applications industrielles courantes. F. . Cette usure doit être appréhendée au mieux..). pour l’analyse de la tenue mécanique) ou globales (détermination de rendement par des codes composant ou système).. sodium.). Bien que le régime soit globalement stationnaire.Dimensionnement de réseau Lors du dimensionnement et de l’optimisation des réseaux de distribution fluides (gaz. . ENSTA Introduction à la turbulence. aux grilles. sont soumis à des écoulements complexes transverses ou longitudinaux de nature fortement turbulente. d’ancrage. des structures tourbillonnaires plus ou moins organisées rendent l’écoulement complexe et il devient difficile d’en appréhender les détails. air. le développement de divers modèles de longueur de mélange.Aéronautique Le domaine a très tôt développé des modélisations adaptées aux couches limites. de la simple corrélation à la simulation des grandes échelles. eau. la fumée d’une cigarette ou le développement d’un filet d’eau coulant d’un robinet. Par couplage avec leurs modes propres.. les tourbillons de bout d’aile. d’en prédire précisément l’évolution ins- tantanée et locale.Prévisions atmosphériques La météorologie est un domaine qui a été particulièrement moteur dans la modélisation de la turbulence et le calcul numérique (voir par exemple les calculs précurseurs de Deardorff en si- mulation des grandes échelles dès 1973 [6]. plus ou moins raffinée. .. Dans chacun de ces cas. même en mettant en œuvre les moyens de calcul de pointe qui ne cessent de voir leur puissance s’accroı̂tre.. Il est indispensable de prendre en compte cette caractéristique pour le calcul des échanges thermiques (la turbulence les augmente en général.2 Exemples d’applications industrielles La prise en compte de la turbulence est indispensable dans bon nombre d’applications industrielles.) la perte de charge des conduites doit être prise en compte.. pour une longueur de 4 à 5 mètres). les structures oscillent et s’usent par frottement et choc aux points de guidage.1 Introduction Chacun est capable de citer des effets bien visibles de la turbulence : les flots tumultueux. les rafales de grand frais. Quelques exemples sont proposés ci-dessous.. à la fois pour des raisons de sûreté (la . même si elles ne nécessitent pas toutes le même niveau de précision pour la modélisation sous-jacente..Échangeurs Les échangeurs de chaleur des moteurs.Usure par excitation turbulente Les tubes de générateur de vapeur (figure 1). La prise en compte. les bourrasques chargées de neige. .. le développement de couche limite le long d’une coque de navire. voir les corrélations de Nusselt en convection forcée). azote. Une prise en compte relativement globale par simples corrélations pourra dans ce cas suffire. dans des volumes plus ou moins confinés. Archambeau 2004-2005 Page 7/54 1 Manifestations de la turbulence 1. les écoulements peuvent être fortement turbulents.. . Des modélisations plus ou moins raffinées sont alors mises en œuvre. pétrole. Selon le cas. Dans l’automobile. l’intégrité des matériels et la sûreté sont en jeu. des lignes et circuits. 1 – Générateur de vapeur d’une centrale nucléaire à eau pressurisée Fig.Combustion Dans le domaine de la combustion (figure 3). NOx. Une modélisation fine des fluctuations est nécessaire dans ce cas. Archambeau 2004-2005 Page 8/54 gaine des crayons combustibles et le GV sont des barrières de radiprotection) et pour des raisons de performance (si des tubes de GV sont percés. les interactions du bruit avec la flamme (humming) pourront la déstabiliser. puisque l’avancement des réactions chi- miques. Dans les centrales thermiques à gaz. ENSTA Introduction à la turbulence. Il convient dans ces cas d’adopter des modélisations fines. Dans le domaine des pompes. elles peuvent nuire au confort auditif des passagers.. F. la prise en compte de la turbulence est parti- culièrement importante dans les chaudières industrielles. 2 – Grappe de commande d’une centrale nucléaire à eau pressurisée . Fig. .Interactions aéro-acoustiques La turbulence est à l’origine de fluctuations de pression dont les effets sont très variés.. ils doivent être bouchés et le générateur de vapeur perd de son efficacité). la nature des produits (SOx.) dépendent entre autres du . la température atteinte. la modélisation de ces phénomènes est particulièrement im- portante pour des ”bras morts” froids connectés à des conduites en charge chaudes. Dans ces cas. la propagation et la nocivité des fissures. . on cherche à utiliser les informations thermiques provenant du fluide comme conditions sur le solide afin de calculer l’amorçage.Rodi (1980) [21].Patankar (1980) [19]. F. . . ou les effets de chocs thermiques (brutale variation de température : figure 4).Tennekes et Lumley (1983) [24].les modèles de simulation des grandes échelles ou Large Eddy Simulation (figure 5) pourront dans certains cas permettre de capter les fluctuations instantanées et les points chauds : une analyse mécanique pourra alors utiliser ces informations. selon l’utilisation qui doit être faite des informations obtenues. Ceci permet.Wilcox (1998) [26].Interactions thermomécaniques fluide-structure Dans ce domaine. Des modélisations souvent particulières doivent être mises en place (Eddy Break Up model par exemple). . Les quelques textes de référence suivants fournissent une introduction très complète sur le sujet : . les modèles seront plus ou moins élaborés : . . susceptibles de créer de la fatigue thermique). ENSTA Introduction à la turbulence. d’évaluer les effets de fatigue thermique par cyclage (effets de variations de température de l’ordre du Hertz ou au-dessous).Cebeci et Smith (1974) [5]. selon les cas.le ”simple” k − ε permettra des analyses de choc thermiques ”en moyenne”. .Launder et Spalding (1974) [11]. Fig. car les écoulements secondaires peuvent alors soumettre les parois à de fortes variations de température. mettant en jeu par exemple des effets de rotation (par exemple. . Archambeau 2004-2005 Page 9/54 niveau de mélange local des réactifs. 3 – Flux thermiques aux parois d’une chaudière à charbon . ces modèles peuvent s’avérer utiles pour capter la pénétration d’écoulements secondaires ou ”vrilles” dans les ”bras morts” des conduites . .les modèles de transport des tensions de Reynolds permettront de capter des effets plus fins. Centre : analyse transitoire sur maquette . ENSTA Introduction à la turbulence. 4 – Étude d’un choc thermique sur une cuve de réacteur à eau pressurisée (Gauche : schéma de principe . 5 – Application de la LES à la détermination de l’évolution thermique dans le métal d’une conduite en zone de mélange . Archambeau 2004-2005 Page 10/54 Fig. F.Droite : calcul en configuration réacteur Fig. l’écoulement sera turbulent à partir d’une vitesse de 12. Ainsi. le colorant est transporté en droite ligne ou mélangé par les structures tourbillonnaires. Le diamètre hydraulique D est calculé à partir de la surface passante S et du périmètre mouillé P selon une formule qui permet de retrouver le diamètre géométrique naturel dans une conduite à section circulaire : 4S D= (2) P Dans de nombreuses application industrielles. à pression atmosphérique et température de 20 degrés. F. On propose quelques illustrations de cette expérience dans les figures 6 à 7 (le matériel est visible à l’Université de Manchester. d’une puissance crête de 2 Teraflops). COMPAQ-HP à 800 processeurs. la viscosité cinématique est de l’ordre de 10−5 . ENSTA Introduction à la turbulence. la réalisation de calculs à 10000 mailles sur un supercalculateur vectoriel CRAY restait une gageure. La transition se produit pour une valeur de 2500 du nombre de Reynolds : UD Re = (1) ν où U est la vitesse moyenne (m s−1 ).eng. Un réservoir d’eau se déverse dans une conduite dans laquelle est introduit un colorant. Archambeau 2004-2005 Page 11/54 1. on peut en 2003. alors qu’en 1980. 5 mm s−1. les moyens de calcul massivement parallèles ont pris leur essor et beaucoup progressé (par exemple. sur un simple PC biprocesseur à 1 ou 2 GHz.3 Évolution des moyens de calcul La puissance des processeurs de PC dépasse aujourd’hui celle des supercalculateurs de plus de 5 ans.1 Une équation linéaire Considérons l’équation de la chaleur dans un métal dont les propriétés physiques sont constantes : ∂T ρCp = div (λgrad T ) (3) ∂t . l’écoulement est largement turbulent.1 Expérience de Reynolds Reynolds (1842-1912) imagina une expérience permettant de quantifier l’apparition de la turbulence. Pour l’eau. 5 cm s−1. la viscosité cinématique est de l’ordre de 10−6 : dans une conduite de 20 cm de diamètre.2.2 Origine de la turbulence 2. réaliser des calculs de mécanique des fluides sur des maillages à quelques centaines de milliers de mailles. Ainsi dans un conduit d’aération de 20 cm de diamètre. ainsi que sur le site http ://www. en passe de remplacer les anciens supercal- culateurs vectoriels (performants mais chers). 64 processeurs. ν la viscosité cinématique moléculaire (m2 s−1 ) et D le diamètre hydraulique (m) de la conduite. Le déploiement des clusters de PC (32. Selon le régime laminaire ou turbulent. Pour l’air.man. 2 Équations moyennées 2. dans les conditions normales de température et de pression. avec réseau interne à haut débit permet également d’accéder à des moyens de calcul performants. Depuis les années 90.htm 2.ac. l’écoulement sera turbulent à partir d’une vitesse de 12.uk/mech/nerg/ReyExhib. F. Archambeau 2004-2005 Page 12/54 Fig. ENSTA Introduction à la turbulence. 6 – Vue globale du système utilisé par Reynolds . Archambeau 2004-2005 Page 13/54 Fig. F. ENSTA Introduction à la turbulence. de laminaire à turbulent . 7 – Différents régimes d’écoulements. Cette propriété résulte de la linéarité du problème par rapport à la variable résolue. F. les fluctuations n’auront pas d’effet sur les structures moyennes : la turbulence ne se manifeste pas dans l’équation régissant les grandeurs moyennes. et que T = T et T 0 = 0 : ∂T ρCp = div λgrad T (6) ∂t Par ailleurs. soit : u = u + u0 (10) On introduit cette formulation dans l’équation de la quantité de mouvement (hormis dans le terme convectif. on obtient : ∂T ∂T 0 ρCp + ρCp = div λgrad T + div (λgrad T 0 ) (5) ∂t ∂t Prenons alors la moyenne de l’équation obtenue. à pro- priétés physiques constantes : ∂ ∂ ∂ (ρui ) + (ρ uj ui ) = − σij (8) ∂t ∂xj ∂xj avec σij linéaire par rapport à la vitesse : ∂ui ∂uj σij = P δij − µ + (9) ∂xj ∂xi Considérons alors une perturbation u0 sur le champ de vitesse. en prenant la différence entre l’équation moyenne et l’équation initiale. Dans cette situation. en supposant que l’opérateur de moyenne commute avec les dérivations spatio-temporelles. on obtient une équation portant sur la perturbation qui ne fait pas intervenir la moyenne : ∂T 0 ρCp = div (λgrad T 0 ) (7) ∂t On constate donc que les équations sur la moyenne et sur les fluctuations sont naturellement séparées et qu’en particulier. l’équation de la quantité de mouvement.2 Une équation non linéaire Considérons à présent une équation non linéaire. par souci de clarté) : ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0 (ρui ) + (ρu0 i ) + (ρ uj ui ) = − σ ij + − σ (11) ∂t ∂t ∂xj ∂xj ∂xj ij On applique ensuite l’opérateur de moyenne (il s’agit du même opérateur que pour l’équation de la chaleur) : ∂ ∂ ∂ (ρui ) + (ρ uj ui ) = − σ ij (12) ∂t ∂xj ∂xj . Archambeau 2004-2005 Page 14/54 Considérons alors une perturbation T 0 sur le champ moyen de température T . 2.2. soit : T = T + T0 (4) Si l’on introduit cette solution dans l’équation de la chaleur. la perturbation n’a pas d’influence sur la température moyenne. qu’il ait des propriétés de linéarité. que l’on traitera plus tard. ENSTA Introduction à la turbulence. 2. quel que soit leur écart de vitesse par rapport à la vitesse moyenne. Archambeau 2004-2005 Page 15/54 Il faut alors prêter attention au terme convectif que l’on n’a pas encore modifié : ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (ρ uj ui ) = (ρ uj ui ) + (ρ uj u0 i ) + (ρ u0 j ui ) + (ρ u0 j u0 i ) (13) ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj soit. Il est responsable de l’aspect ”chaotique” de la turbulence qui se traduit par des variations de la solution moyenne dues à des structures tourbillonnaires cohérentes de plus petite échelle. • Si l’on n’est pas satisfait par l’explication précédente. Le terme ∂x j (ρ u0 j u0 i ) représente le transport des fluctuations de vitesse par elles-mêmes. F. 2. on comprend que le transport aléatoire qui en résulte tend à mélanger les particules fluides.3 Mélange lié au transport par les perturbations de vitesse On se propose de montrer que le phénomène de transport par les fluctuations de vitesse d’une quantité (les fluctuations de vitesse elles-mêmes par exemple) est analogue à un phénomène diffusif et peut donc être modélisé en conséquence. Plaçons-nous dans le cadre d’un écoulement cisaillé (par exemple au voisinage d’une paroi plane). invariant dans la direction x (les dérivées dans la direction x disparaissent). ENSTA Introduction à la turbulence. en éliminant les termes dont la moyenne est nulle : ∂ ∂ ∂ (ρ uj ui ) = (ρ uj ui ) + (ρ u0 j u0 i ) (14) ∂xj ∂xj ∂xj L’équation portant sur la moyenne de la vitesse s’écrit alors : ∂ ∂ ∂ ∂ (ρui ) + (ρ uj ui ) = − σ ij − (ρ u0 j u0 i ) (15) ∂t ∂xj ∂xj ∂xj On constate que cette équation dépend non seulement de la vitesse moyenne mais également des ∂ fluctuations. • Une première approche consiste à admettre que les fluctuations ont un caractère aléatoire. Les écarts de vitesse tendent donc naturellement à s’homogénéiser. comme sous l’effet d’une diffusion. L’équation de la quantité de mouvement portant sur la composante principale de la vitesse moyenne s’écrit : ∂ ∂ ∂ ∂ (ρux ) + (ρ uy ux ) = − σ xy − (ρ u0 y u0 x ) (16) ∂t ∂y ∂y ∂y Il s’agit d’évaluer l’effet du dernier terme : ∂ − (ρ u0 y u0 x ) (17) ∂y Pour déterminer le signe de u0 y u0 x . on peut se convaincre que l’on a affaire à un phénomène de mélange analogue à celui d’une diffusion en adoptant une seconde démarche. Dans ces conditions. u0 y = v 0 > 0 (19) . qualitativement. considérons tout d’abord un écoulement simple dans lequel la vitesse moyenne (figure 8) suit la loi suivante : ux (y) = U0 y (18) uy (y) = 0 Considérons alors une particule fluide située en y = y1 . soumise à une fluctuation de vitesse (écart de la vitesse à la vitesse moyenne) définie par : u0 x = 0. ENSTA Introduction à la turbulence. De cette analyse simple résulte le fait que u0 y u0 x < 0 dans la présente configuration cisaillée. − ∂y (ρ u0 y u0 x ). Une modélisation admissible est donc : ∂ ∂2 − (ρ u0 y u0 x ) = αρ 2 (ux ) avec (α > 0) (20) ∂y ∂y • Si l’on n’est toujours par convaincu. ∂ On constate que le terme source de l’équation de la quantité de mouvement. F. Considérons à présent un profil présentant un pic (figure 9). la grandeur u0 x u0 y s’annule également. diminuant donc le pic comme le ferait un terme diffusif. on constate que : u0 x u0 y = (U2 − U1 ) v 0 < 0 On obtient le même résultat avec v 0 < 0. est négatif et tend donc à réduire la vitesse autour de y0 . si la pente du profil tend vers 0. De plus. 8 – Cisaillement simple Un instant dt plus tard. Archambeau 2004-2005 Page 16/54 Fig. Pour y > y0 . La vitesse de la particule n’a pas encore eu le temps de s’adapter au nouvel environnement et l’écart à la vitesse moyenne est donc : u0 x = U2 − U1 < 0. u0 y = v 0 > 0 Dans cette situation. on obtient une équation portant sur la fluctuation u0 x (en soustrayant à l’équation initiale non moyennée l’équation obtenue en appliquant l’opérateur de moyenne . au sein d’un milieu dont la vitesse moyenne est ux = U2 . on a u0 y u0 x > 0. on se trouve dans la même situation que dans le cas du cisaillement simple précédent : u0 y u0 x < 0. on néglige en outre les termes visqueux et les fluctuations de pression) : ∂ 0 ∂ ρ (u x ) + ρu0 y (ux ) = 0 (21) ∂t ∂y soit donc : ∂ u0 x = −τ u0 y (ux ) (22) ∂y avec τ une échelle de temps relative au mouvement turbulent . À partir de l’équation de la quantité de mouvement. Pour y < y0 . on peut finalement emprunter un troisième cheminement ∂ pour interpréter le terme − ∂y (ρ u0 y u0 x ) comme un terme diffusif et en obtenir une formulation. cette particule se retrouve en y2 = y1 + v 0 dt. On peut voir sur la figure 9 le profil de u0 y u0 x et de sa dérivée. On verra que le modèle k − ε propose une modélisation similaire (avec β = Cµ = 0. 09). F. le terme source dû au transport par les fluctuations de vitesse a un effet qui s’apparente à celui d’un terme de diffusion (mélange.3. d’un point de vue statistique. La répétition de cette expérience un ”assez grand” nombre de fois permettra. en moyennant les signaux instantanés obtenus. 2. le terme est donc en dérivée seconde de la vitesse moyenne : il s’agit bien d’un terme de diffusion. homogénéisation). de retrouver le signal moyen ”lisse”. . En conclusion.Centre : profil de u0 y u0 x .1 Introduction L’observation d’un signal expérimental pris dans un écoulement turbulent fait apparaı̂tre des fluc- tuations qui rendent la description instantanée difficile (figure 10). 9 – Gauche : profil de vitesse .3 Décomposition en valeurs moyennes et fluctuations 2. la modélisation suivante peut être envisagée : ∂ u0 x u0 y = −u0 y u0 y τ (ux ) (23) ∂y et si l’on relie u0 y u0 y à l’énergie cinétique turbulente k : u0 y u0 y = βk (24) et l’échelle de temps à k et à sa dissipation ε : k τ= (25) ε on obtient : k2 ∂ u0 x u0 y = −β (ux ) (26) ε ∂y Le terme apparaissant dans l’équation de la quantité de mouvement est alors : 2 ∂ ∂ k ∂ − u0 x u0 y = β (ux ) (27) ∂y ∂y ε ∂y 2 Si l’on néglige les variations de β kε (qui est une viscosité turbulente). Archambeau 2004-2005 Page 17/54 ∂ Fig.Droite : profil de − ∂y (ρ u0 y u0 x ) Par analogie. ENSTA Introduction à la turbulence. à masse volumique constante : ∂ (ρuj ) = 0 ∂xj ∂ ∂ ∂ ∂ (31) (ρui ) + (ρ uj ui ) = − P+ τij + Si ∂t ∂xj ∂xi ∂xj La décomposition de Reynolds en moyennes et fluctuations se fait sur la base d’une moyenne statis- tique (qu’il est souvent inutile d’expliciter).3. ENSTA Introduction à la turbulence. en supposant constantes les propriétés physiques. 10 – Signal instantané et signal moyen 2.3 Décomposition de Reynolds Considérons les équations de Navier-Stokes.3. Pour les équations de masse et de quantité de mouvement. Archambeau 2004-2005 Page 18/54 Fig. on adopte la décomposition suivante pour la vitesse et la pression : u = u + u0 P = P + P0 (32) La décomposition du tenseur des contraintes visqueuses (linéaire par rapport à la vitesse) s’écrit : τ = τ + τ0 (33) avec : ∂ui ∂uj 2 ∂uk τij = µ + − µ δij ∂xj ∂xi 3 ∂xk (34) ∂u0j ∂u0i 2 ∂u0 τij0 = µ + − µ k δij ∂xj ∂xi 3 ∂xk . F. on a : f0 = 0 (29) Mais il faut remarquer que : f g 6= f g (30) 2. que pour la fluctuation f 0 = f − f.2 Propriétés des moyennes On utilisera pour moyenne un opérateur · vérifiant les propriétés suivantes : linéarité : αf + βg = αf + βg avec α et β constantes commutativité avec les dérivations spatiale et temporelle : ∂f ∂f ∂f ∂f (28) = et = ∂t ∂t ∂xj ∂xj idempotence : f =f On déduit de ces propriétes. en soustrayant ces équations aux équations de départ portant sur les variables non moyennées. Archambeau 2004-2005 Page 19/54 La décomposition du terme source S se fait sur le même principe : S = S + S0 (35) et dans le cas particulier S = ρg. Ils doivent être modélisés : c’est toute la question de la modélisation de la turbulence dans le cadre des équations moyennées au sens de Reynolds. 2. si l’on applique la décomposition de Reynolds aux variables vitesse et température. d’obtenir des équations portant sur les fluctuations. P et T .4 Masse volumique variable : décomposition de Favre Lorsque la masse volumique est variable. on procède de même. Deux termes supplémentaires sont cependant apparus : u 0 j u0 i et u0 j T 0 . P et T et non plus les variables u. on aura ici S 0 = 0. P . Elles serviront plus loin : ∂ (ρu0j ) = 0 ∂xj ∂ ∂ ∂ 0 ∂ 0 ∂ ∂ ∂ (ρu0i ) + (ρ uj u0 i ) = − P + τ ij + S 0 i + (ρ u0 j u0 i ) − (ρ u0 j ui ) − (ρ u0 j u0 i ) ∂t ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj (37) Pour l’équation de l’énergie. il ne sera pas aisé de faire apparaı̂tre ρui et ρT . on obtient : ∂ ∂ ∂ ∂T ∂ (ρCp T ) + (ρ Cp uj T ) = λ + ΦT − (ρ Cp u0 j T 0 ) (39) ∂t ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj et sur les fluctuations : ∂ ∂ ∂ ∂T 0 ∂ ∂ ∂ (ρCp T 0 )+ (ρ Cp uj T 0 ) = λ +Φ0 T + (ρ Cp u0 j T 0 )− (ρ Cp u0 j T )− (ρ Cp u0 j T 0 ) ∂t ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj (40) On remplace donc les équations (31) et (38) par les équations moyennées (Reynolds averaged equations) (36) et (39). En introduisant cette décomposition dans les équations de départ (31). on s’intéresse ici uniquement à l’équation écrite en température. ρT et ρuj T . puis en prenant la moyenne du système obtenu. ENSTA Introduction à la turbulence. l’application de la moyenne aux équations (31) et (38) fait apparaı̂tre les grandeurs ρ. on obtient la forme suivante. On préfère donc appliquer la décomposition de Reynolds à ρui et ρT : 0 0 ρui = ρui + (ρui ) et ρT = ρT + (ρT ) (42) . Les variables à déterminer sont les variables moyennes statistiques u. F.3. toujours à propriétés physiques constantes : ∂ ∂ ∂ ∂T (ρCp T ) + (ρ Cp uj T ) = λ + ΦT (38) ∂t ∂xj ∂xj ∂xj Par la même méthode que pour la quantité de mouvement. qui fait apparaı̂tre en particulier les corrélations des fluctuations de vitesse dont il a été question plus haut : ∂ (ρuj ) = 0 ∂xj ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (36) (ρui ) + (ρ uj ui ) = − P+ τ ij + S i − (ρ u0 j u0 i ) ∂t ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj Il est également possible. ρuj ui . Pour alléger l’exposé. Il est donc pertinent d’appliquer la décomposition de Reynolds à la masse volumique et à la pression : ρ = ρ + ρ0 et P = P + P 0 (41) Par contre. ρui . F. Archambeau 2004-2005 Page 20/54 On définit ainsi la décomposition de Favre en valeurs moyennes (e ui et Te) et fluctuations associées (u00 i 00 et T ) : ei + u00 i et T = Te + T 00 ui = u (43) avec : ρui ρT u ei = et Te = (44) ρ ρ On note en particulier les deux propriétés suivantes : fe = fe et ρ f 00 = 0 (45) La première relation de (45) provient de la définition : ρfe = ρf (46) dont on prend la moyenne : ρfe = ρf (47) soit : ρfe = ρf (48) et donc : ρf fe = = fe (49) ρ La seconde relation de (45) découle de (en utilisant la première relation de (45) ) : ρf 00 = ρf − ρfe = ρfe − ρfe = 0 (50) À partir des équations (31). on peut écrire. comme on le montre ci-dessous : ∂ ∂ (ρ uj ui ) = (ρ uj ui ) ∂xj ∂xj (52) ∂ = ρ u] j ui ∂xj et en décomposant la vitesse on obtient effectivement : ρ u j ui = ρ u] ej uei +ρ u^ ej u00 i +ρ u^ 00 u j ei +ρ u^ 00 u00 j i (53) = ρ uej uei +ρ u^ 00 u00 j i . Il provient de la moyenne du terme de convection. ENSTA Introduction à la turbulence. on observe l’apparition d’un terme de corrélation des fluctuations de vitesse. en utilisant la décomposition de Reynolds : ∂ (ρeuj ) = 0 ∂xj ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (51) (ρe ui ) + (ρ u ej u ei ) = − P+ τ ij + S i − (ρ u0 j u0 i ) ∂t ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj Dans ce système. On voit que l’on aura alors G(f ) = 1000 (liquide) alors que la véritable valeur moyenne devrait être ρ = G(f ) ≈ 0. de sorte que la moyenne de f soit f = f0 − ε (ε > 0). 11 – Exemple de moyenne sur une loi d’état non linéaire Pour cette raison. On peut imaginer qu’en un point donné. si la loi d’état doit traduire. Il s’agit d’une loi d’état fictive. En conséquence. ENSTA Introduction à la turbulence. 5 (gazeux). Une démarche possible est la suivante : . la présence d’un produit de combustion particulier à partir d’une certaine richesse du mélange réactif. 5 pour f > f0 . mais ce type de non linéarité peut se rencontrer. Pour se convaincre (voir figure 11). les valeurs extrêmes de f ne peuvent être prises en compte dans ce type d’approche. passent occasionnellement des bouffées d’oxygène liquide très pur.5 Densité de probabilité Supposons que la masse volumique soit fonction d’autres variables f (la fraction massique d’un composant par exemple) selon une loi d’état non linéaire (c’est en particulier le cas en combustion) : ρ = G(f ) (54) Dans ce cas. cette utilisation d’une valeur moyenne sera inadaptée. Archambeau 2004-2005 Page 21/54 2. soit par exemple ρ = G(f ) = 1000 pour f < f0 et ρ = G(f ) = 0. il suffit de considérer une loi d’état discontinue autour d’une valeur f0 .3. une approche particulière par ”densité de probabilité” (probability density func- tion) peut apporter des solutions. par exemple. plongé en moyenne dans un flux d’hydrogène. F. le calcul de ρ par l’approche suivante peut conduire à des résultats erronés : ρ = G(f ) (55) En effet. sauf à quelques occasions. où f << f0 . C’est typiquement le cas pour la combustion d’un mélange d’oxygène liquide et d’hydrogène gazeux. dans lequel f représente la concentration d’hydrogène. caractérisées par f << f0 . par exemple pour rendre compte d’un mélange gazeux au dessus d’une certaine valeur de f et liquide au dessous. Fig. Considérons alors une évolution de f telle que l’on ait quasiment toujours f > f 0 . 2. nécessaire de spécifier précisément quelle moyenne est utilisée puisque la résolution des équations (36) et (39) produit directement des variables ”moyennes” qui. F. on peut réaliser l’hypothèse que l’opérateur de moyenne statistique est équivalent à un opérateur de moyenne temporelle : c’est l’hypothèse d’ergodicité. vers des simulations numériques directes (Direct Numerical Simulation) ou vers la simulation des grandes échelles (Large Eddy Simulation). f 0 f 0 .. . De plus. rectangle et Dirac. z. 1]) : Z1 ρ = P (f )G(f )df (56) 0 Fig. Pour obtenir de telles informations. valeurs pondérées par la probabilité qu’elles soient atteintes localement. ZT f(x. y. On se tourne alors. en général. fonction bêta. Néanmoins. l’intervalle d’intégration ne peut être pris arbi- trairement grand si l’écoulement n’est pas stationnaire (il faut éviter d’inclure dans les opérations de moyennes des variations liées à des changements de régime macroscopiques). y... t)dt (57) T →∞ 0 De même. dans un nombre de cas assez important.) et l’on détermine ainsi complètement P (f ) .on se donne a priori la forme d’une distribution P (f ) (gaussienne. selon le domaine d’application et les besoins et les ressources.. peuvent satisfaire l’ingénieur. Archambeau 2004-2005 Page 22/54 . z.) qui est alors complètement définie par ses p premiers moments (moyenne.6 Ergodicité Assez souvent. Le volume d’intégration doit être supérieur à celui des structures cohérentes.. il convient d’être conscient qu’il s’agit de valeurs moyennes statistiques et qu’elles ne peuvent donc généralement pas rendre compte des extrema très locaux ou très transitoires.on détermine alors la masse volumique (et plus généralement toutes les variables qui ne sont pas directement solution d’une équation d’évolution) par intégration sur tout le domaine de définition de f (supposé être ici [0 . quels que soient le raffinement du maillage et la modélisation employée.) . y.3. 12 – Exemples de formes de pdf Cette approche permet donc d’intégrer dans le calcul de la valeur moyenne de la masse volumique ρ l’influence de toute la gamme des valeurs de f dont elle dépend a priori. variance. il est nécessaire d’abandonner l’approche par ”moyenne” (ou Reynolds Averaged). . Il est nécessaire que l’intervalle d’intégration soit supérieur à l’échelle de temps caractéristique en dessous de laquelle les phénomènes sont corrélés (durée de vie des tourbillons).. lorsque l’écoulement est homogène (ou a une direction d’homogénéité) il est possible de remplacer la moyenne statistique par une moyenne spatiale. ENSTA Introduction à la turbulence. Z f(t) = lim f (x.on ajoute au modèle une équation sur chacun des p moments nécessaires (f . . t)dx dy dz (58) Ω→∞ Ω Il n’est pas. z) = lim f (x. F. Son signe n’est pas nécessairement positif (les structures turbulentes peuvent localement et temporairement fournir de l’énergie au mouvement moyen). l’équation de k n’a qu’un intérêt pratique limité.3.1 Introduction On se propose de présenter ici le mode de transfert de l’énergie (cinétique) de l’écoulement moyen vers les plus petites structures qui la dissipent sous forme de chaleur (on rappelle que selon le premier principe. En outre. l’énergie cinétique ne se conserve pas et qu’elle peut être transformée en énergie interne. on la réutilisera plus loin pour éclairer certains aspects relatifs au modèle k − ε. 3. ENSTA Introduction à la turbulence. . il est alors légitime de remplacer les moyennes statistiques par des moyennes spatiales. on somme sur i variant de 1 à 3 et on prend la moyenne. mais elle va tout de même permettre de présenter des considérations simples relatives au spectre d’énergie cinétique turbulente dans un écoulement homogène. Il traduit la destruction de l’énergie cinétique liée au mouvement fluctuant par la viscosité moléculaire. Le terme de ”diffusion turbulente” traduit le transport (la redistribution spatiale) de la part fluc- P 3 tuante de l’énergie h0 = P 0 + 21 u0 2i puisqu’il s’écrit −u0 j ∂x ∂h0 j .2 Équation de l’énergie cinétique turbulente Une équation de l’énergie cinétique turbulente (énergie cinétique liée aux fluctuations de vitesse) peut être obtenue à partir de la seconde équation de (37) que l’on simplifie comme suit en utilisant les 2 équations issues de la conservation de la masse (première équation de (36) et première équation de (37)) : ∂ 0 ∂ ∂ 0 ∂2 ∂ ∂ ∂ ρ (ui )+ρ uj (u0 i ) = − P +µ 2 (u0 i )+S 0 i +ρ (u0 j u0 i )−ρ (u0 j ui )−ρ (u0 j u0 i ) (59) ∂t ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj On multiplie cette équation par u0 i . Archambeau 2004-2005 Page 23/54 3 La cascade énergétique 3.1 Introduction La turbulence est dite homogène isotrope lorsque toutes les grandeurs statistiques basées sur les fluctuations (vitesse et pression) sont uniformes en espace dans toutes les directions. i=1 Le terme de ”dissipation” est une contribution de signe négatif. en notant k = 21 u0 i u0 i : ∂k ∂k ∂2k ∂u0 i ∂u0 i ρ + ρ uj = µ −µ +u0 i S 0 i ∂t |{z} ∂xj ∂x2j ∂xj ∂xj | {z } | {z } | {z } Instationnaire Convection Dissipation Diffusion moléculaire (60) ∂ui ∂ 1 ∂ −ρ u0 i u0 j − (u0 i P 0 ) − ρ (u0 i u0 i u0 j ) ∂xj ∂xi 2 ∂xj | {z } | {z } Production et Destruction Diffusion turbulente Le terme de ”production et destruction” traduit le transfert d’énergie entre le mouvement moyen et le mouvement fluctuant. Pour simplifier l’exposé. Sous cette forme. 3. en particulier par le travail des forces visqueuses).3 Turbulence homogène isotrope 3. Dans ces condi- tions. on se place à propriétés physiques du fluide uniformes en espace et constantes en temps. Il agit aux plus petites échelles de la turbulence. t) û0j (L. X]3 IR3 IR3 Z Z Z 1 1 = lim û0j (K. En outre. t)exp (−i(K · x)) dx (64) (2π)3 IR3 et on a donc en particulier ∗ û0j (−K. t) K 2 cosφ dφ dθ (67) 2 φ=−π/2 θ=0 et l’énergie cinétique turbulente s’écrit alors : Z∞ k= E(K)dK (68) 0 . l’intégrale de l’exponentielle s’annule hormis pour K + L = 0. F. t) (65) On obtient donc finalement : Z 1 ∗ k = û0j (K. t)exp (i(K · x)) dK (62) IR3 Et pour l’énergie cinétique turbulente on a alors (en utilisant la moyenne spatiale comme moyenne statistique) : Z 1 0 1 1 k = u j (x. t) exp (i(K + L) · x)) dK dL dx 2 X→∞ (2 X)3 [−X .3. t)u0 j (x. t) = lim u0 j (x. t) = 0 lim u0 j (x. pour l’énergie cinétique turbulente : Z 1 0 1 1 k = u j (x. t)u0 j (x. X]3 IR3 IR3 (63) Si l’on intègre d’abord en x. t)u0 j (x. X]3 Z Z Z 1 1 = lim 3 û0j (K. la définition de la transformée inverse donne : Z 0 1 ûj (K. X]3 Cette configuration va permettre de présenter quelques considérations simples relatives au spectre d’énergie turbulente et aux échelles de longueur associées. t)u j (x. t)exp (i(K · x)) dK û0j (L. t) û0 j (K. ENSTA Introduction à la turbulence. t)dx 2 2 X→∞ (2 X)3 [−X . 3. t) = û0 j (K. t) = û0j (K. t) = u0 j (x. t)exp (i(L · x)) dL dx 2 X→∞ (2 X) [−X . t) dK 2 (66) IR3 Si l’on se place en coordonnées spectrales sphériques (pour s’affranchir de la direction du vecteur d’onde) on peut définir une densité spectrale d’énergie sur des sphères de rayon K = ||K|| : φ=π/2 Z Z θ=2π 1 0 ∗ E(K) = ûj (K. t) û0 j (K. Archambeau 2004-2005 Page 24/54 On a donc en particulier.2 Transformées de Fourier La transformée de Fourier des fluctuations de vitesse satisfait la relation : Z u0 j (x. t)dx (61) 2 2 X→∞ (2 X)3 [−X . Si l’on considère une fluctuation monodimensionnelle constituée d’un seul mode (par exemple une fonction cosinus telle que u0 (x.l’énergie k est essentiellement portée par les grandes structures qui ne voient pas directement la viscosité du fluide. qui sont détruites par l’effet de la viscosité du fluide.Par ailleurs. X] 3 Z Z Z 1 = lim i Kj û0m (K.3 Cascade de Kolmogorov Sur la base des considérations précédentes. t) û0 m (K. . t) 1 ∂u0 m (x. t) ε = ν = ν lim dx ∂xj ∂xj X→∞ (2 X)3 ∂xj ∂xj [−X . . . t) dK IR3 (69) On peut rapprocher cette expression de celle établie pour k. il est nécessaire que E(K) tende vers 0 au moins aussi vite que K13 (l’intégrale (70) doit converger). t)exp (i(K · x)) dK i Lj û0m (L. autrement dit. on constate que le terme non linéaire des 0 équations de Navier-Stokes (u0 ∂u ∂x ) génère une fluctuation de nombre d’onde double : 1 0 (û0 (t))2 Kcos(Kx)sin(Kx) = (û (t))2 Ksin(2Kx) 2 Ceci traduit la génération de petits tourbillons à partir des grands. le transfert d’énergie des grandes vers les petites structures. on peut préciser la forme de la dissipation (en fonction de la viscosité moléculaire cinématique ν = µ/ρ) : Z ∂u0 m (x. la dissipation étant finie. on peut faire les observations suivantes : . ou. ENSTA Introduction à la turbulence. t) exp (i(K + L) · x)) dK dL dx X→∞ (2 X)3 Z [−X . soit : Z∞ ε=ν 2 K 2 E(K)dK (70) 0 et on définit ainsi la densité spectrale de dissipation : D(K) = 2 ν K 2 E(K) (71) 3. X]3 IR3 IR3 Z Z Z 1 = lim −Kj Lj û0m (K. t) ∂u0 m (x.La relation D(K) = 2 ν K 2 E(K) indique que la dissipation atteint son maximum pour un nombre d’onde plus grand que l’énergie : les structures qui portent l’énergie sont donc de plus grande taille que celles qui les dissipent.3. t) û0m (L. Il en est de même pour la densité spectrale de dissipation D(K).la dissipation ε est essentiellement due aux petites structures. Archambeau 2004-2005 Page 25/54 De la même manière. . le modèle de Kolmogorov fait les hypothèses suivantes : . . t) = û0 (t)cos(Kx)).l’énergie dissipée par les petites structures provient des grandes. cette redistribution sur tous les nombres d’onde étant réalisée par les termes non linéaires. t)exp (i(L · x)) dL dx X→∞ (2 X)3 [−X . X]3 IR3 IR3 ∗ = K 2 û0m (K.La densité spectrale d’énergie E(K) est naturellement nulle pour les nombres d’onde K nuls (les structures de taille infinie). . t) ∂u0 m (x. F. En accord avec ces observations. ces deux échelles s’écrivent : 3 41 k2 ν3 Lt = et λ0 = (72) ε ε Entre ces deux échelles. . on représente ces relations sous une forme classique (diagramme log-log). de l’ordre du diamètre hydraulique dans une conduite.).de la dissipation. le comportement qualitatif d’un écoulement donné changera peu (la zone inertielle s’allonge simplement). Ces considérations permettent déjà de noter qu’il sera difficile de représenter numériquement la totalité des échelles de longueur pour les calculs à grand nombre de Reynolds (voir les méthodes LES et DNS). Elle ne dépend pas directement de la viscosité.L’échelle intégrale Lt caractérise la taille des plus grands tourbillons1 . la forme des spectres indique que. par analyse dimensionnelle.. elle conditionne l’étendue du spectre. la densité spectrale d’énergie est donc uniquement liée à la dissipation et au nombre d’onde . la viscosité transforme les structures en chaleur et . . l’étendue du spectre est donnée par (on élimine ε) : 1 ! 34 Lt k 2 Lt 3 = = (Ret ) 4 (73) λ0 ν La valeur du nombre de Reynolds turbulent Ret n’intervient donc pas directement dans la taille des structures (ni des grandes. ni des petites). Dans cette zone. Pour un nombre d’onde donné K. F. on a alors : 2 5 E(K) = Cε 3 K − 3 (74) Cette loi en − 35 est très bien vérifiée expérimentalement (avec C de l’ordre de 1. à partir d’un nombre de Reynolds assez grand (une fois la zone inertielle établie). . Elle est liée : . La résolution directe des équations 1 On peut avoir une idée de l’échelle intégrale en considérant les caractéristiques géométriques du domaine (plusieurs kilomètres ou milliers de kilomètres dans l’atmosphère.1 Introduction On a vu plus haut que le spectre des échelles des structures turbulentes s’étendait sur une large gamme.L’échelle de Kolmogorov λ0 caractérise la taille des plus petites structures (largement plus grande que l’échelle du mouvement brownien). et . L’échelle de Kolmogorov ne dépend pas directe- ment de l’énergie k. Pour des nombres de Reynolds turbulents assez grands (> 1000) les petites et les grandes structures sont ainsi clairement séparées par une zone inertielle dans laquelle transite l’énergie.à l’énergie turbulente k. ENSTA Introduction à la turbulence. puisque les grandes structures portent l’essentiel de k. d’autant plus grande que le nombre de Reynolds était élevé. 4 Modélisation de la turbulence 4.. On peut également écrire pour la dissipation : 2 1 D(K) = 2 ν Cε 3 K 3 (75) Finalement. Par analyse dimensionnelle. figure 13. puisque ε indique à quelle vitesse les grandes structures sont détruites pour en former de plus petites (ce qui limite donc naturellement leur taille). par contre. l’énergie se répartit sur toute la gamme des structures pour qu’une puissance ε puisse être dissipée en bout de chaı̂ne. Elle dépend : . Archambeau 2004-2005 Page 26/54 On déduit alors les échelles de longueur suivantes.à la dissipation. 5).de la viscosité du fluide. En outre. puisqu’en dessous d’une certaine taille. u. fonction de quantités transportées.). de quantité de mouvement et de température (énergie). indispen- sable pour la grande majorité les problèmes industriels. ENSTA Introduction à la turbulence..). On présentera deux classes essentielles de modèles... La loi peut être une simple pro- portionnalité avec pour coefficient une ”viscosité” turbulente que l’on calcule de manière plus ou moins sophistiquée (valeur constante. ou RANSE) s’est avérée. . F. La modélisation de la turbulence dont il est question dans le présent paragraphe n’est destinée qu’à fournir un moyen d’évaluer ces quantités afin de fermer le système (76).. ΦT ) sont supposés connus. 13 – Représentation classique pour le spectre d’énergie en turbulence homogène isotrope. Archambeau 2004-2005 Page 27/54 E(K) D(K) Pente a −5/3 Grandes Zone Petites Structures inertielle Structures K Echelle integrale Echelle de Kolmogorov Fig. Le vecteur des corrélations des fluctuations de vitesse et de température est le vecteur des flux turbulents. moyennées au sens statistique de Reynolds : ∂ (ρuj ) = 0 ∂xj ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (ρui ) + (ρ uj ui ) = − P+ τ ij + S i − (ρ u0 j u0 i ) (76) ∂t ∂x j ∂x i ∂x j ∂x j ∂ ∂ ∂ ∂T ∂ (ρCp T ) + (ρ Cp uj T ) = λ + ΦT − (ρ Cp u0 j T 0 ) ∂t ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj À ces équations est habituellement adjointe une équation d’état permettant de définir la masse volumique ρ (valeur constante. Les propriétés physiques du fluide (λ. µ.) et les termes sources (S. .. On peut également 2 On parle de corrélations en un point car il s’agit de corrélations de variables prises au même point de l’espace et au même instant. La simulation numérique sur la base des équations moyennées (Reynolds Averaged Navier-Stokes Equations. Cp . Il reste à déterminer les corrélations ”en un point”2 des fluctuations de vitesse et de température (u0 j u0 i et u0 j T 0 ). de sorte que l’on dispose de quatre équations pour quatre inconnues ρ. P et T . Rappelons ici les équations (36) et (39) de masse. approximation de Boussinesq. de Navier-Stokes en prenant en compte toutes ces échelles conduit à des nombres de mailles trop élevés en pratique (voir le paragraphe DNS).La première est celle des modèles à viscosité turbulente pour lesquels on évalue le tenseurs des contraintes turbulentes à partir du tenseur des déformations.. jusqu’à aujourd’hui. Le tenseur des corrélations des fluctuations de vitesse est appelé le tenseur des contraintes turbulentes ou tenseur de Reynolds. même si elle est souvent faible en valeurs relatives). On notera ν = µ/ρ la viscosité cinématique moléculaire et νt l’équivalent turbulent (m2 s−1 ).1 Introduction Dans les modèles à viscosité turbulente (en Anglais. . 3 En réalité. Le paragraphe 4. l’énergie cinétique turbulente k est également une inconnue du problème. Archambeau 2004-2005 Page 28/54 adopter des lois non linéaires.2. et disparaı̂t formellement dès lors que l’on utilise la variable P 1 = P − 32 ρ k en lieu et place de P . Néanmoins. Remarque Cette formulation conduit à l’expression suivante du terme de production de la turbulence 4 (voir l’équation (60)) : 1 ∂ui ρ P k = − ρ u 0 i u0 j = 2µt S ij S ij (78) 2 ∂xj Ainsi : . De nombreuses approches sont possibles. comme le terme dépendant de k est un gradient. on élimine les termes en divu qui sont exactement nuls si la masse volumique est uniforme. pour lesquels on résout une équation de transport pour chacune des composantes du tenseur des contraintes turbulentes (ce qui ajoute donc 6 inconnues au modèle). .La seconde classe est celle des modèles aux tensions de Reynolds. On notera µ la viscosité dynamique moléculaire et µt l’équivalent turbulent (kg m−1 s−1 ). Ce sont les plus répandus et ceux dont le pectre d’utilisation est le plus large. Le cadre de travail le plus répandu (et le plus ancien.la production est importante dans les zones de cisaillement et dans les zones d’impact en par- ticulier (en réalité. il s’ajoute naturellement j au gradient de pression.2 Modèles à viscosité turbulente 4. il faut garder à l’esprit que le gradient de la variable pression P1 (souvent notée simplement P ) contient une part liée à l’énergie turbulente (généralement non nulle. faisant intervenir les invariants du tenseur des déformations. puisque le terme qui apparaı̂t ∂ au second membre de l’équation de la quantité de mouvement est − ∂x (ρ u0 j u0 i ) et non pas celui que l’on a modélisé j ∂ 2 ici. − ∂x (ρ (u0 j u0 i − 3 k δij )). On s’intéresse ici essentiellement aux modèles pour lesquels la viscosité turbulente dépend linéairement du tenseur des déformations. F. On ne présentera pas ici les modélisations spécifiques fines pour les flux thermiques.le terme Pk est toujours positif avec ce modèle (ce n’est pas toujours vrai en réalité). la modélisation du tenseur de Reynolds (contraintes turbulentes) s’appuie sur le tenseur des déformations. . 4 Pour alléger l’exposé. soit : 2 ∂ui ∂uj 2 ∂uk u0 j u0 i − k δij = −νt + + νt δij 3 ∂xj ∂xi 3 ∂xk 2 = −2 νt S ij + νt S kk δij 3 (77) 1 ∂ui ∂uj avec S ij = + 2 ∂xj ∂xi Il s’agit à présent de définir la viscosité turbulente νt qui est le seul degré de liberté du modèle3 .2. On se contentera de présenter un modèle relativement courant basé sur une hypothèse de viscosité turbulente (voir le modèle k − ε).7 propose quelques extensions. Bien que ceci importe peu tant que la pression n’a pas de signification thermodynamique. l’énergie turbulente obtenue dans les zones d’impact est surestimée avec ce type de modèle). On présentera essentiellement deux modèles importants (longueur de mélange et k − ε). ”Eddy-Viscosity Model”). dû à Boussinesq en 1877) propose une modélisation calquée sur l’expression des contraintes visqueuses pour un fluide newtonien. 4. ENSTA Introduction à la turbulence. en particulier. on obtient donc une expression de la viscosité turbulente qui ne dépend que des gradients de la vitesse moyenne et d’une longueur caractéristiques ou longueur de mélange qu’il faut alors prescrire 5 : q νt = L2m 2 S ij S ij (81) Choix de la longueur de mélange L’approche s’applique bien à des écoulements simples qui présentent une direction préférentielle et des gradients dans la direction transverse : couches limites. soit donc 2νt S ij S ij = ε (S ij est le tenseur des déformations). proche des parois (voilures) et la taille des structures se relie naturellement à l’épaisseur de la couche limite (taille caractéristique Lm égale à environ un dixième de l’épaisseur de couche limite). lorsque l’on ne s’intéresse pas à des caractéristiques trop locales de l’écoulement. . sous la forme des modèles de Cebeci-Smith [5] et Baldwin-Lomax [2] par exemple.2.le modèle produit de la turbulence dès lors que le tenseur des déformations n’est pas nul.. En effet.la production turbulente s’annule pour les écoulements ”rotationnels” (tenseur des déformations nuls. ‚ ‚ 5 Cette modélisation a été proposée par Prandtl sous la forme ν t = L2m ‚ ∂u pour un écoulement cisaillé (vitesse ‚ 1‚ ∂x ‚ 2 principale dans la direction x1 présentant un gradient dans la direction x2 ). dans ce type d’écoulements. le tenseur des contraintes turbulentes ne s’aligne pas instantanément avec celui des déformations). La détermination de la constante s’appuie sur des mesures expérimentales. .3 Longueur de mélange : hypothèse de Prandtl (1925) Expression de la viscosité turbulente L’observation expérimentale permet de remarquer que le mélange est meilleur lorsque les √ grosses structures (de taille Lt ) sont plus grandes et d’autant plus rapide que la vitesse des tourbillons ( k) est élevée. du nombre de Richardson. mais gradient de vitesse non nul). Dans ce modèle. du vent et de la température. Archambeau 2004-2005 Page 29/54 . On l’assimile à l’échelle intégrale Lm .. jets. à certains jets libres ou écoulements en canalisation. L’approche par longueur de mélange est également utilisée pour les écoulements atmosphériques sous la forme du modèle de Louis par exemple [12] (Météo France). ENSTA Introduction à la turbulence. 4. 3 . la longueur caractéristique dépend de la distance au sol. reliée aux dimensions caractéristiques macroscopiques du domaine. Avec la définition de la taille des grands tourbillons et l’hypothèse d‘’équilibre local. dans les écoulements aérodynamiques externes. . F.On se place dans l’hypothèse d’équilibre Pk = ε. Il n’y a aucune relaxation spatio-temporelle (dans la réalité.L’échelle des grands tourbillons est Lt = kε2 . Il s’ensuit par analyse dimensionnelle qu’une modélisation admissible de la viscosité turbulente est : √ νt = kLt (80) On cherche alors à s’affranchir des grandeurs turbulentes pour calculer facilement la viscosité.2. 4. Cette hypothèse signifie que la quantité d’énergie turbulente produite par les gradients moyens est dissipée localement et instantanément par la viscosité moléculaire (il s’agit d’une simplification de l’équation de l’énergie cinétique turbulente (60)). la turbulence se manifeste dans une zone bien localisée.2 Viscosité constante La modélisation la plus simple pour la viscosité turbulente est due à Boussinesq : νt = cste (79) Le domaine d’application de cette loi est limité à certains écoulements atmosphériques. Elle a été largement utilisée et l’est toujours. On en déduit que dans (84). le premier membre est fonction de x uniquement. on a : Lm = κy pour y < 0. séparées par une distance ∆ y = 2 e. . loin de celles-ci (à partir d’une distance que l’on peut déterminer expérimentalement). F.4 Longueur de mélange : application à un écoulement entre deux plaques planes parallèles Le modèle de longueur de mélange permet de retrouver des lois vérifiées expérimentalement pour l’écoulement bidimensionnel entre deux plaques planes parallèles. avec une masse volumique et une viscosité moléculaire constantes et uniformes : ∂ ∂2 ∂ 0 0 0 = − ∂x P +µ ∂y 2 u −ρ ∂y (u v ) (83) ∂ ∂ 0= − P −ρ (v 0 v 0 ) ∂y ∂y On peut remarquer au passage que l’intégration de la première équation sur une longueur ∆ x du domaine indique que la chute de pression linéique (la perte de charge) est due à l’action des contraintes visqueuses et turbulentes sur les parois. 1 – Longueur de mélange pour quelques écoulements classiques (Rodi). Les équations de la quantité de mouvement stationnaires. infinies. on peut proposer une modélisation de la longueur de mélange qui s’appuie sur le fait que la taille des tourbillons est limitée par la présence des parois et que. Comme le second membre n’est fonction que de y.075 0. Dans la direction z. loi qui est souvent utilisée par ailleurs dans de nombreux modèles plus sophistiqués que le modèle de longueur de mélange et dans des configurations complexes très éloignées de l’écoulement élémentaire considéré ici. Archambeau 2004-2005 Page 30/54 Pour certains écoulements élémentaires. on utilise généralement δ = RH (Rayon hydraulique).09 0. proposées par Rodi (δ étant l’épaisseur de couche limite mesurée au point où la vitesse retrouve 99% de sa valeur à l’infini). 4. la première équation se réécrit : ∂ ∂2 ∂ (P + v 0 v 0 ) = µ 2 u − ρ (u0 v 0 ) (84) ∂x ∂y ∂y D’après la seconde équation de (83). 2δ Pour les écoulements externes. Comme v 0 v 0 est indépendant de x. 2δ (82) = κ 0. 2 δ pour y > 0.2. on pourra adopter les valeurs du tableau 1. Couche de Jet plan Jet rond Sillage plan mélange Lm /δ 0. moyennées au sens de Reynolds. δ est l’épaisseur de la couche limite. 42 la constante de Karmàn et y la distance à la paroi. de vitesse u(y). ENSTA Introduction à la turbulence. leur taille tend à se stabiliser.07 0. s’écrivent. la vitesse est w = 0. La direction y est normale aux plaques (vitesse correspondante v = 0). P + ρv 0 v 0 est indépendant de y. La direction x est la direction de l’écoulement. Plus généralement. En notant κ = 0. Pour les écoulements internes. On va à présent utiliser ces équations pour écrire une loi de variation de vitesse en proche paroi.16 Tab. on considère deux zones selon les valeurs de Lm : • dans la sous-couche visqueuse. Elles sont en bon accord avec les profils mesurés expérimentalement (bien que des variantes plus précises existent) et servent pour la représentation de la couche limite dans nombre de modèles plus sophistiqués (par exemple dans les versions ”haut-Reynolds” des modèles k − ε ou Rij − ε. on note que τp représente la contrainte de cisaillement totale (visqueuse et turbulente) en paroi. par τp = ρu∗ 2 : + + +2 ∂ + ∂ 1 − y /e = 1 + Lm + u u+ (89) ∂y ∂y + Pour faciliter l’intégration et l’obtention d’une loi pour u + . on a donc : ∂ τp (1 − y/e) = µ u − ρu0 v 0 (85) ∂y Au passage..). . l’équation de quantité de mouvement adimensionnelle dans la direction x. L+ + m = κy >> 1.. soit : 2 ∂ 1= κy + u+ (92) ∂y + on obtient donc un profil logarithmique (avec C = 5. On introduit le modèle de viscosité turbulente : ∂ τp (1 − y/e) = (µ + µt ) u (86) ∂y On introduit le modèle de longueur de mélange : ∂ ∂ τp (1 − y/e) = µ + ρ L2m ∂y ∂y u u (87) p On définit la vitesse de frottement u∗ = τp /ρ et les grandeurs adimensionnelles suivantes : u yu∗ L m u∗ yu∗ u+ = y+ = Lm + = y+ = (88) u∗ ν ν ν On a alors. en divisant (87). F. Par intégration (en utilisant la symétrie en y = e). soit −τp /e. en prenant y = 0 dans cette relation. 2 obtenu expérimentalement) : 1 u+ = ln(y + ) + C (93) κ Le point d’intersection de ces lois se situe à yl+ ≈ 11 (figure 14). y + tend vers 0 et on a donc ∂ 1= u+ (90) ∂y + on obtient donc un profil linéaire : u + = y+ (91) • au delà de la sous-couche visqueuse. Archambeau 2004-2005 Page 31/54 les deux membres de (84) sont donc constants. Lm tend vers 0. pour y + > 30 (mais avec encore y + << e+ ) on a. selon l’hypothèse présentée plus haut. ENSTA Introduction à la turbulence. en LES en l’absence de traitement spécifique des parois. on cherche à déterminer la viscosité turbulente νt . en supposant la longueur de mélange connue : 3 k2 ε = Cµ (96) L • le terme ”production et destruction” est ici un terme de production. il reste à déterminer k. Il est donc naturel de penser à résoudre l’équation de transport (60) déjà présentée.42+5. Ceci permet un degré de raffinement supplémentaire par rapport au modèle de longueur de mélange. L’équation (60) est rappelée ici : ∂k ∂k ∂2k ∂u0 i ∂u0 i ρ + ρ uj = µ −µ +u0 i S 0 i ∂t |{z} ∂xj ∂x2j ∂xj ∂xj | {z } | {z } | {z } Instationnaire Convection Dissipation Diffusion moléculaire (95) ∂ui ∂ 1 ∂ −ρ u0 i u0 j − (u0 i P 0 ) − ρ (u0 i u0 i u0 j ) ∂xj ∂xi 2 ∂xj | {z } | {z } Production et Destruction Diffusion turbulente Un travail de modélisation est nécessaire pour pouvoir résoudre cette équation : • le terme de dissipation se note ρε. 09. dont les applications restent très ciblées (et requièrent en outre un lourd travail de calage). 4.2 14 2y+ 2/0. cohérente avec le modèle k − ε présenté plus loin) soit donc. 14 – Vitesse adimensionnelle en paroi. La dissipation est reliée à la longueur de mélange par la relation 3 L = Cµ kε2 (avec Cµ = 0.42+5.2 y+ 16 2ln(y+)/0. ENSTA Introduction à la turbulence. Archambeau 2004-2005 Page 32/54 ( u+ = y+ pour y + 6 yl+ 1 = ln(y + ) + C pour y + > yl+ κ 20 18 ln(y+)/0.5 k−l Dans le cadre des modèles à viscosité turbulente.2. donnée par analyse dimensionnelle par : √ νt = kL (94) En supposant la longueur L donnée. F.42 12 10 8 u+ 6 4 2 0 −2 −4 0 2 4 6 8 10 12 y+ Fig. (78) : ρPk = 2µt Sij Sij (97) . lorsque l’on souhaite employer un modèle plus sophistiqué qu’un simple modèle à longueur de mélange.6 Le modèle de viscosité turbulente à deux équations k − ε Équations de transport pour les variables turbulentes On cherche. Les équations s’écrivent (sans prise en compte des effets de gravité) comme suit (il s’agit des équations du modèle k − ε de Launder et Spalding [11]. voir le modèle k − ε) : ∂2k ∂ 1 ∂ µt ∂ 2 µ 2 − (u0 i P 0 ) − ρ (u0 i u0 i u0 j ) = k (98) ∂xj ∂xi 2 ∂xj σk ∂x2j • le terme de corrélation u0 i S 0 i n’est pas détaillé ici : il demande une modélisation spécifique. on peut. soit (σk est déterminé expérimentalement. Néanmoins. en notant ε = C µ kL2 : ∂k ∂k µt ∂ 2 k ρ + ρ uj = + ρ Pk − ρε + u0 i S 0 i (99) ∂t ∂xj σk ∂x2j Ce type de modèle ”à une équation de transport” (pour k) est cependant d’utilisation limitée. On fait apparaı̂tre un coefficient de proportionnalité qui est obtenu expérimentalement (usuellement Cµ = 0. à obtenir une valeur de νt . déduire une équation pour ε en partant directement de sa définition 0 0 ε = −µ ∂u i ∂u i ∂xj ∂xj . 6 En théorie. Pour déterminer νt . ENSTA Introduction à la turbulence. 09) : 3 k2 L t = Cµ (101) ε et donc : k2 νt = C µ (102) ε Pour déterminer νt . À partir de l’hypothèse de Prandtl : √ νt = kLt (100) l’analyse dimensionnelle fournit une valeur de l’échelle des grands tourbillons et permet de relier la viscosité aux deux variables k et ε. cette équation est peu maniable en pratique car elle fait intervenir de trop nombreuses corrélations. mais la dissipation turbulente n’est plus déduite d’une longueur de mélange : elle est obtenue comme solution d’une équation de transport. on doit donc : • fixer la longueur de mélange L 3 • résoudre l’équation sur l’énergie cinétique turbulente k. c’est souvent directement vers un modèle à deux équations de transport (k − ε) que l’on se tourne. Pour cela. Archambeau 2004-2005 Page 33/54 • la somme du terme de diffusion moléculaire et du terme de diffusion turbulente se modélise comme un terme de diffusion. on aban- donne le terme u0 i S 0 i ). En effet. ici encore. il faut alors calculer les deux variables k et ε.2. F. dit ”haut-Reynolds”) : ∂k ∂k µt ∂ 2 k ρ ∂t + ρ uj ∂x = σ ∂x2 + ρ Pk − ρε j k j (103) ∂ε ∂ε µt ∂ 2 ε ε ρ + ρ uj = + ρ (C ε P k − C ε ε) ∂t ∂xj σε ∂x2j k 1 2 Les constantes déterminées à partir d’expériences élémentaires sont présentées dans le tableau 2. selon la physique mise en jeu. . 4. comme pour k. calquée6 sur l’équation de k. mais cette fois en s’affranchissant de la nécessité de spécifier une longueur de mélange. on reprend l’équation sur k présentée pour le modèle k −l (pour alléger l’exposé. il faut généralement s’abstenir d’appliquer un modèle purement ”haut-Reynolds” dans les sous-couches visqueuses. dans les applications numériques. [25] par exemple. Des modèles bas Reynolds ont été développés très tôt. • le modèle présente une grande robustesse qui permet en particulier d’aborder des physiques raides . En effet. le modèle n’étant pas adapté à la sous-couche visqueuse. il faut éviter de résoudre ses équations dans cette zone. en 1/y pour la dissipation. quelle que soit la configuration locale et instantanée de l’écoulement (on peut donc naturellement s’interroger sur leur validité. la sous- couche visqueuse est fine et il est donc possible (selon la nature et la précision des informations recherchées) de se satisfaire d’un modèle ”haut-Reynolds”. ou que d’importants phénomènes de convection naturelle doivent être pris en compte. La notion de loi de paroi (”wall function” ou “law of the wall”) découle de cette notion de modèle ”haut Reynolds”. à ce que la taille des mailles de paroi soit suffisamment grande : plus grande ∗ que la sous-couche visqueuse et en général caractérisée par une épaisseur adimensionnelle y + = yuν > 30. F. Néanmoins. Elle repose sur des variantes des modèles de turbulence dites ”bas Reynolds” qui font intervenir des effets d’amortissement en proche paroi et permettent alors de résoudre correctement la sous-couche visqueuse [4]. Elle fait référence à des modèles bien adaptés en dehors des sous-couches visqueuses.. 2 – Constantes du k − ε.) sont généralement adoptées. 3 1. le nombre de Reynolds est si élevé que l’on n’a en pratique aucune difficulté à satisfaire cette contrainte sur la taille des mailles de paroi (les limitations des calculateurs bornent naturellement le nombre de mailles et la taille des mailles de paroi est donc souvent suffisament grande). Comportement en proche paroi L’appellation ”haut-Reynolds” peut être trompeuse. qui sera bien adapté dans la plus grande partie du domaine. Par contre. De ce fait.. Les équations régissant l’évolution des grandeurs (k et ε) sont modifiées et il devient alors indispensable de mailler finement la couche limite. de forts gradients de pression adverses. jusqu’à placer plusieurs mailles à y + 6 1. la diminution de l’épaisseur de la couche limite se traduit par la nécéssité d’utiliser des mailles très fines et. même modérément (10000 ou 100000). Une autre démarche permet de s’affranchir de cette approche par lois de paroi. en particulier. en particulier lorsqu’interviennent des forces de volume importantes.. Dans de nombreux écoulements industriels. y représente la demi-hauteur des mailles de paroi (distance du centre des mailles à la paroi) et u∗ est une ”vitesse de frottement” locale. Il faut en particulier veiller. que la géométrie peut faire apparaı̂tre des zones mortes. Atouts et limitations Le modèle k − ε haut Reynolds présente de nombreux avantages : • il s’agit d’un modèle relativement simple. ne demandant que deux équations supplémentaires (k et ε). Archambeau 2004-2005 Page 34/54 C µ σk σε C ε 1 C ε 2 0. dès lors que le nombre de Reynolds moyen s’élève. 09 1 1. Dans cette relation. 44 1. qui n’est connue précisément qu’a posteriori mais que l’on peut prendre égale à 10% de la vitesse moyenne en première approximation. disponible dans (presque) tous les codes. Les lois adimensionnelles déterminées pour un écoulement stationnaire sur une plaque plane (logarithmique pour la vitesse et la température. On note cependant quelques approches récentes prometteuses dont le v 2 − f (version φ model. On utilise alors des ”lois de paroi”. permettent de représenter le comportement de la couche limite (sans la mailler finement). intégrées au travers de la première maille en paroi. décrit plus loin). des effets de courbure notables.. ENSTA Introduction à la turbulence. c’est-à-dire lorsque les effets visqueux sont localement négligeables devant les effets turbulents. mais sont d’utilisation souvent délicate. Dans un écoulement à ”haut nombre de Reynolds”. il faut prêter une attention particulière à la génération du maillage lorsque la viscosité du fluide est variable.). des maillages très volumineux (à plusieurs millions de mailles). 92 Tab. par voie de conséquence. lois analytiques qui. • Le développement des jets ou des sillages n’est pas correctement prédit. différentiels d’ordre 1 en espace. ENSTA Introduction à la turbulence. Le modèle k − ω SST de Menter améliore également les prédictions ([14] [15] [16] [17]). bien au contraire : il faut y voir la preuve que son comportement est très bien appréhendé. pour corriger tel ou tel défaut. mais (de manière à peine caricaturale) aucune n’a permis de réaliser d’incontestable avancée sur une large gamme d’écoulements. prise en compte de certains effets thermiques. Aujourd’hui néanmoins. On pourra se reporter par exemple au document [27] qui en propose une synthèse complète et très accessible. Ces deux phénomènes vont de pair avec un niveau de turbulence trop élevé. le modèle k − ε a un comportement et des limitations bien connues.) Le modèle a cependant des inconvénients et des limitations. plus le mélange est efficace et mieux la chaleur peut être transférée de la proche paroi vers l’écoulement. En outre. sont prépondérants) • de par son ancienneté (Launder Spalding 1974). . [28]). les limitations évoquées ici doivent être replacées dans le contexte des objectifs des études industrielles spécifiques. moins les couches limites se détachent7 (on observe des pro- fils ”bouchons” alors que les écoulements laminaires ou à faible niveau de turbulence ont plutôt des profils paraboliques). • L’énergie cinétique turbulente est surestimée dans les régions d’impact et de réattachement. des approches prometteuses émergent (k − ω SST de Menter [14] [15] [16] [17]. • Le réattachement après un décollement est généralement mal prédit (trop rapide derrière une marche descendante par exemple). Cette longue liste de limitations ne doit pas laisser croire que le modèle k − ε est inutilisable. • Les recirculations dans un écoulement à ”swirl” sont sous-estimées (on peut rapprocher ce com- portement du caractère ”diffusif” du modèle qui modélise les tensions de Reynolds sous la forme d’un terme diffusif). • Le modèle n’inclut pas les effets de compressibilité qui peuvent s’avérer importants dans les couches limites ([22]. pour lesquelles le niveau de détail requis est variable. le domaine d’application du modèle est relativement large (écoulements internes et externes.. pour l’aspect ther- mique. contrôler les couches limites et réduire la traı̂née. Il n’y a aujourd’hui aucune solution simple (sinon celle de brancher le modèle en des zones prédéterminées). • Les zones de transition laminaire-turbulent ne peuvent être représentées. • Les écoulements à forts effets de gravité ou dans lesquels les lignes de courant sont très courbes sont généralement assez mal appréhendés par le modèle k − ε (les modèles de transport des tensions de Reynolds sont souvent mieux adaptés). • L’utilisation des modélisations ”bas-Reynolds” nécessite une bonne expertise (mais certains modèles plus récents offrent des perspectives prometteuses : v 2 −f version φ-model par exemple). Le modèle de Baldwin-Lomax est mieux calibré pour ces applica- tions. Archambeau 2004-2005 Page 35/54 sans trop de difficulté (cette robustesse est due au fait que le modèle dépend essentiellement de ses termes sources. • moyennant ces limitations. • De très nombreuses variantes du modèle k − ε initial de Launder et Spalding ont été proposées. 7 L’introduction locale de turbulence est d’ailleurs utilisée en aérodynamique externe pour éviter ce détachement.. Pour l’aspect ”détachement tourbillonnaire”. F. Certains modèles à viscosité turbulente ”non linéaires” sont mieux calibrés pour ces configurations. le modèle v 2 − f de Durbin [7] et ses variantes plus récentes telles que le φ-model du groupe de Laurence [25]). En effet. • Les séparations sous l’effet d’un gradient de pression adverse sont mal prises en compte (la séparation est sous-estimée). Les modèles de transport des tensions de Reynolds sont susceptibles d’améliorer les prédictions (ainsi que certains modèles à viscosité turbulente ”non-linéaires”). plus la turbulence est forte en paroi. Ceci conduit en particulier à une large surestimation des transferts thermiques et rend plus diffi- cile l’apparition de détachements tourbillonnaires (derrière un obstacle par exemple). par opposition à des modèles pour lesquels les termes de transport. plus la turbulence est forte en paroi. Des corrections du terme de production sont possibles (par exemple [8] [14]). . cisaillement. on s’affranchit donc de l’hypothèse de Boussinesq (les tensions de Reynolds qui apparaissent dans l’équation de la quantité de mouvement sont désormais des variables dont on résout une équation de transport). ENSTA Introduction à la turbulence.3 Modèles aux tensions de Reynolds 4. 4.. le modèle k − ε est un des plus couramment utilisés dans l’industrie (sinon le plus couramment utilisé). L’équation adoptée pour la dissipation est calquée sur celle utilisée dans le cadre du modèle k − ε. F. mais sous la forme d’un terme en divergence des tensions de Reynolds. en particulier pour les écoulements à swirl par exemple. on peut résoudre directement des équations de transport sur les tensions de Reynolds. La nature numérique du modèle s’en trouve profondément modifiée.3. Avec cette approche. 3 3 ε 3 ε (106) avec les tenseurs rendant compte des déformations et des rotations : 1 ∂ui ∂uj 1 ∂ui ∂uj S ij = + Ωij = − (107) 2 ∂xj ∂xi 2 ∂xj ∂xi Les coefficients Cµ . puisque la turbulence n’apparaı̂t plus dans l’équation de la quantité de mouvement sous la forme d’un terme (stabilisant) de diffusion.). en particulier pour des utilisateurs non experts. Ce terme (de transport) est de nature hyperbolique. 4. ou ”de transport des tensions de Reynolds” ou ”modèles au second ordre” (en Anglais. et la stabilité numérique du système est souvent plus délicate à assurer. Pour cette raison. par exemple : 2 2 νt k 1 νt k u0 j u0 i − kδij = −2νt S ij + νt S kk δij + 4 C1 (S ik S kj − S kl S kl δij ) + 4 C2 (Ωik S kj + Ωjk S ki ).7 Modèles non linéaires Le modèles à viscosité turbulente dits ”non linéaires” sont des modèles dans lesquels on continue à déterminer une viscosité turbulente par la relation : k2 νt = C µ (104) ε mais l’hypothèse de Boussinesq : 2 2 u0 j u0 i − kδij = −2νt S ij + νt S kk δij (105) 3 3 est remplacée par une relation non linéaire entre le tenseur de Reynolds et le tenseur des déformations. avec un comportement parfait dans un domaine d’application donné... Archambeau 2004-2005 Page 36/54 Pour ces raisons. rotation. ”Reynolds Stress Model” ou ”Second Moment Closure”). . Les équations régissant l’évolution des tensions de Reynolds sont obtenues comme l’équation portant sur l’énergie cinétique turbulente et demandent également un effort de modélisation pour représenter les corrélations triples des fluctuations de vitesse..1 Introduction Les limitations du modèle k − ε conduisent naturellement à rechercher des solutions plus fines. mais pour lesquels le comportement sur une configuration nouvelle peut s’avérer difficilement prévisible a priori. C1 . les corrélations pression vitesse. Les modèles de ce types sont dits ”aux tensions de Reynolds”.. C2 ..2. sont déterminés à partir d’écoulements élémentaires (couche limite.. De nombreux modèles non linéaires ont ainsi vu le jour (par exemple [23]). Ils constituent autant de degrés de liberté qui permettent de caler le modèle. plaçons-nous dans la configuration élémentaire d’un ci- saillement moyen (voir paragraphe 2. 55 0. dij représente les corrélations triples des fluctuations de vitesse et les corrélations entre les fluctuations de pression et de vitesse. destruction. en particulier. le modèle presenté ici est un modèle ”haut-Reynolds” avec lois de paroi.3 Interprétation des différents termes Convection. 22 0. Les équations s’écrivent : ∂Rij 2 ρ ∂t +div(ρu Rij − µ grad Rij ) = dij +Pij +Φij −ρ εδij 3 (108) ε2 ρ ∂ε +div(ρu ε − µ grad ε) = dε ε +Cε1 P −ρCε2 ∂t k k Le tableau 3 rassemble les constantes du modèle. 3 Tab. Pour interpréter sa modélisation usuelle.3. Cµ Cε Cε1 Cε2 C1 C2 C3 CS C10 C20 0. Redistribution ∂u0 j Le terme Φij = ρ1 P 0 ∂u 0 ∂xj i + ∂xi est un terme de redistribution d’énergie qui représente les corrélations entre les fluctuations de pression et le gradient des fluctuations de vitesse. Pour la vitesse. 4. 18 1. d’utilisation relativement répandue (mais il n’y a pas la même unanimité que pour le k − ε quant au choix du meilleur modèle aux tensions de Reynolds). 8 0. On permet ainsi le transfert d’énergie des structures turbulentes vers l’écoulement moyen (c’est un atout par rapport au modèles à viscosité turbulente). 5 0. 09 0. Production. Ceci résulte de l’hypothèse que les petites struc- tures. ENSTA Introduction à la turbulence. Les termes de diffusion sont notés d .2 Les équations du modèle LRR On indique ci-dessous les équations du modèle ”LRR” [10] (Launder. diffusion On retouve dans ces équations les termes habituels instationnaires et de convection. Contrairement au k − ε. 6 0. 44 1. on utilise la même loi que pour le k − ε.2. 3 – Constantes pour le modèle de transport des tensions de Reynolds. responsables de la dissipation. le terme Pij ne requiert aucune modélisation puisqu’on dispose des tensions de Reynolds et des gradients de la vitesse moyenne. n’ont pas été inclus ici).3.3) : vitesse dans la direction x. Comme pour le modèle k − ε. Il faut remarquer par ailleurs que les tensions de Reynolds ne sont pas obligatoirement alignées avec le tenseur des déformations et que le terme Pij n’est donc pas nécessairement positif. 92 1. gradient dans la direction y. dissipation On retrouve dans ces équations les termes de ”production destruction” Pij (les effets de gravité addi- tionnels. sont considérées comme telles. notés habituellement Gij . Il nécessite un effort de modélisation important. On note également que la dissipation est isotrope. On note habituellement les tensions de Reynolds Rij = u0i u0j . Les . F. Reece. Archambeau 2004-2005 Page 37/54 4. Rodi). Comme pour l’équation portant sur k. on constate que seul le terme Φ est susceptible de les alimenter. En effet. ne sont pas directement entretenues par la production due au gradient de vitesse moyenne. Le terme Φ2. soit ∂u ∂y . l’apparition de fluctuations u 0 ∂u conduit à accroı̂tre R11 = u0 u0 et on comprend l’expression du terme de production P11 = −2 R12 ∂y .ij Φ1.ij est dit ”terme lent” car il n’agit qu’avec un temps de relaxation lié à la turbulence locale. comme la turbulence revient naturellement à un état isotrope s’il n’y a pas de cisaille- ment. Archambeau 2004-2005 Page 38/54 équations des tensions de Reynolds s’écrivent alors : d ∂u 2 R11 = −2 R12 +Φ11 − ε dt ∂y 3 d 2 dt R22 = +Φ22 − ε 3 (109) d 2 R33 = +Φ33 − ε dt 3 d ∂u R12 = − R22 +Φ12 dt ∂y Sous l’effet du cisaillement moyen.3). À partir des équations d’évolution. la corrélation R12 = u0 v 0 est produite par l’action conjointe du gradient de vitesse moyenne et de R22 .ij Le terme Φ1. c’est-à-dire à rendre la production isotrope. Cette analyse simple montre que le gradient de vitesse moyenne entretient les corrélations R 11 et R12 . ce qui est le cas pour un écoulement incompressible . l’expérience montre qu’elles se maintiennent à un niveau non nul dans ce type d’écoulement. dû à Rotta.ij est un ”terme rapide” qui répercute immédiatement les variations du gradient de vitesse moyenne sur la turbulence. par contre. on constate qu’elle est corrélée à la fluctuation u0 (voir paragraphe 0 0 2. F. il est nécessaire d’inclure un terme de rappel (assorti d’un temps de relaxation turbulent k/ε. De plus. Une modélisation (partielle) de Φ s’en déduit (modèle ”IP” : ”Isotropization of Production”) : Φij = −C2 (Pij − Pkk δij ) Par ailleurs. Néanmoins. ce sont les fluctuations de pression (donc l’effet est naturellement tridimensionnel) qui permettent de maintenir le niveau de fluctuations de vitesse v 0 et w0 . si l’on suppose l’existence d’une fluctuation de vitesse 0 v (on suppose R22 = v v non nul). La dissipation visqueuse étant isotrope. ce qui est cohérent avec l’expression P12 = −R22 ∂u ∂y . ces tensions devraient donc tendre vers zéro.2. ENSTA Introduction à la turbulence. Ainsi. Les tensions R22 et R33 . Cette redistribution d’énergie prélevée sur R11 est illustrée sur la figure 15 et se traduit par la relation8 : Φ11 = −(Φ22 + Φ33 ) Les fluctuations de pression tendent donc à redistribuer l’énergie turbulente produite dans toutes les directions de l’espace. 8 la trace de Φ est nulle si les fluctuations de vitesse sont à divergence nulle. 1951) : k 1 − Rij − Rkk δij ε 3 La modélisation de Φ s’écrit donc finalement : k 1 Φij = −C1 (Rij − Rkk δij ) −C2 (Pij − Pkk δij ) (110) | ε {z 3 }| {z } Φ2. Par exemple. Néanmoins.4. ENSTA Introduction à la turbulence. 15 – Equilibre dans un cisaillement homogène. égale à l’unité.4 Thermique 4. 4. on peut utiliser : νt ∂T u0 j T 0 = − (112) σt ∂xj Cette modélisation admise. cohérente avec le modèle k − ε haut Reynolds présenté précédemment. On se limite ici à présenter une modélisation simple. le nombre de Prandtl turbulent.4. [18] propose les valeurs reproduites dans le tableau 4. mais les modèles s’avérent plus délicats à mettre en œuvre (d’autant que les mesures précises sont difficiles à réaliser).2 Modélisation de type ”viscosité turbulente” Il est nécessaire de modéliser la corrélation u0 j T 0 qui apparaı̂t dans (39) : ∂ ∂ ∂ ∂T ∂ (ρCp T ) + (ρ Cp uj T ) = λ + ΦT − (ρ Cp u0 j T 0 ) (111) ∂t ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj Pour cela. . il faut alors se donner σt . F. pour lesquelles il est généralement impossible de dégager un type d’écoulement prépondérant.1 Introduction La prise en compte de la thermique est faite sur le même mode que la dynamique. La valeur utilisée peut évidemment être calée au mieux pour certains types d’écoulements. on choisit souvent une valeur constante. Archambeau 2004-2005 Page 39/54 Fig. dans les applications complexes. 4. on a : 1 ∂T + 1= (116) σ ∂y + Au delà de la sous couche visqueuse (y + > 30).3 Comportement en proche paroi Flux adimensionnel On trouvera dans [1] une présentation détaillée de la problématique liée à la modélisation des transferts thermiques turbulents.4. où les effets turbulents sont négligeables (y + < 10).9 0.5 0. En très proche paroi. il faut disposer du flux en paroi qui représente l’effet de la couche limite sur le reste de l’écoulement : Cp µt ∂T φp = (λ + ) (113) σt ∂y Pour la vitesse. on a introduit la notation u∗ . Fluides à nombre de Prandtl (moléculaire) voisin de 1 Considérons les fuides ”classiques” dans lesquels σ est de l’ordre de l’unité (l’épaisseur de la couche limite thermique et celle de la couche limite dynamique sont du même ordre). 4 – Nombre de Prandtl turbulent pour quelques types découlements 4.9 >1 Tab. pour la thermique. F. en adoptant un cheminement similaire à celui employé pour obtenir une loi de paroi pour la vitesse. on introduit ici T ∗ telle que : φp = C p u∗ T ∗ (114) ρ On adimensionne alors l’expression du flux en paroi (113) en divisant à gauche par φ p et à droite par ρ Cp u∗ T ∗ : 1 1 µt ∂T + 1=( + ) (115) σ σt µ ∂y + µ + T − Tp avec σ = et T = λ/Cp T∗ L’intégration de cette relation permet d’obtenir une ”loi de paroi” pour la température. dans lequel la dérivée de la vitesse est calculée en utilisant la loi logarithmique : 2 ∂u νt = (κ y) ∂y (117) ∗ 2u = (κ y) = κ y u∗ κy . il fallait disposer d’une loi permettant de calculer la contrainte totale en paroi ρτp = (µ + µt ) ∂u ∂y . De même. Archambeau 2004-2005 Page 40/54 Jet plan Jet Couche Canalisation Canalisation axisymétrique limite circulaire non circulaire σt 0. Pour représenter analytiquement la viscosité turbulente. ce sont les effets de conduction moléculaire qui sont négligeables (devant la diffusion turbulente). Pour la vitesse. au voisinage d’une paroi plane. une loi de paroi est nécessaire pour représenter la couche limite thermique. pour la thermique. ENSTA Introduction à la turbulence. On détaille la démarche ci-après. En particulier. De même.7 0. à condition de se donner une loi pour le nombre de Prandtl turbulent au voisinage de la paroi. avec τp = u∗ u∗ . dans le cadre des modèles haut- Reynolds. on utilise classiquement un modèle de longueur de mélange. 5. ENSTA Introduction à la turbulence. par intégration. et à se donner dans la zone intermédiaire une loi de variation satisfaisante de ( σ1 + σ1t µµt ) à base de considérations expérimentales. mais trois plages de y + . la situation est différente car la couche limite thermique est généralement beaucoup plus épaisse que la couche limite dynamique. du fait de la grande conductivité thermique du fluide. Arpaci et Larsen en proposent plusieurs. Archambeau 2004-2005 Page 41/54 et donc : κ y + ∂T + 1= (118) σt ∂y + On obtient. détermine la séparation des zones dans lesquelles prédominent les effets de conduction moléculaire ou les effets de diffusion turbulente. F.1 Introduction On se limite ici à fournir un ordre de grandeur des variables turbulentes que l’on peut imposer en entrée en l’absence d’informations plus précises. On donne ci-dessous le modèle à trois couches dans une des versions proposées par Arpaci et Larsen : + T = σ y+ pour y + < y1+ + σt T = a2 − pour y1+ 6 y + < y2+ (120) 2 a1 (y + )2 T + = σt ln(y + ) + a3 pour y + 6 y + 2 κ avec r 13 1000 1000κ y1+ = y2+ = (121) σ σt et 2 2 σt 1000κ a2 = 15σ 3 a3 = 15σ 3 − 1 + ln (122) 2κ σt Fluides à nombre de Prandtl (moléculaire) très petit devant 1 Pour σ << 1 (sodium liquide en particulier. les lois suivantes : ( + T = y+ pour y + < 10 σt (119) = ln(y + ) + C pour y + > 30 κ La constante est déterminée pour rendre la loi continue en y0+ .5 Conditions aux limites en entrée 4. il est également indispensable de s’assurer de leur cohérence. métaux liquides en général). dont la valeur. dont la version suivante : T + = σ y+ pour y + 6 y0+ σt y+ (123) T + = ln + σ y0+ pour y0+ < y + κ y0+ avec σt y0+ = (124) κσ 4. . comprise entre 10 et 30. La couche intermédiaire du modèle à trois couches ci-dessus n’existe donc pas et un modèle à deux couches est adapté. s’il est important de prêter attention aux valeurs imposées pour chacune des grandeurs turbulentes. Une amélioration classique proposée par Arpaci et Larsen consiste à considérer non pas deux. On s’intéresse ici essentiellement aux modèles RANS classiques k − et Rij − ε. Il est important de garder à l’esprit que. 3164 Re− 4 pour Re 6 30000 1 (126) = 0. D’ordinaire. Archambeau 2004-2005 Page 42/54 14 12 1/Pr 0. . à parois lisses. 1 D u∗ (128) Cette relation est bien cohérente avec celle proposée pour la viscosité turbulente (paragraphe 4. l’écoulement turbulent établi d’un fluide de viscosité ν et de vitesse moyenne U est caractérisé par une vitesse de frottement u ∗ qui peut se calculer par corrélations (voir l’abaque de Moody) : r ∗ λ u =U (125) 8 avec 1 λ = 0.5. si nécessaire. On recherche une valeur de l’énergie cinétique turbulente k et de la dissipation associée ε. 16 – Temperature adimensionnelle en paroi. calculs précurseur en amont. Dans une conduite circulaire de diamètre D. ENSTA Introduction à la turbulence. en utilisant les relations précédentes donnant k et ε. 1 D κ 0. 4. de vitesse moyenne U .). pour les simulations d’écoulements internes.3).. Ainsi. on déduit les valeurs suivantes de k et de ε qui seront utilisées comme valeurs moyennes uniformes en entrée : 3 u∗ 2 3 k2 u∗ 3 k=p et ε = Cµ4 = (127) Cµ κ 0. 1 D Il est important de noter que les valeurs de k et de ε sont cohérentes et conduisent à une viscosité 2 turbulente νt = Cµ kε représentative de celle d’un d’un écoulement turbulent établi en conduite lisse. on utilise en entrée de domaine les grandeurs turbulentes d’un écoulement établi dans une conduite lisse9 ..2.42 y+/Prt a1 (y+)**3/Prt 10 8 y+ 2 K 6 4 2 y+ 1 0 0 10 20 30 y+ Fig.1840 Re− 5 pour Re > 30000 Avec cette vitesse de frottement.2 Énergie cinétique turbulente et dissipation pour les écoulements internes En l’absence d’informations plus précises (données expérimentales. La démarche est identique à celle décrite ici. F. on a : νt = κ 0. il suffira d’imposer une valeur moyenne uniforme sur la surface de l’entrée. Le nombre de Reynolds associé à l’entrée considérée est Re = UνD . circulaire et de diamètre hydraulique égal à celui de l’entrée considérée. dans laquelle on utilise le profil logarithmique pour évaluer le gradient de vitesse et l’hypothèse que 9 L’abaque de Moody permet également de fournir des valeurs pour les conduits rugueux. soit une entrée de diamètre hydraulique D (voir l’équation (2)) par laquelle pénètre un fluide de viscosité cinématique moléculaire ν. En effet. il est possible d’imposer des données plus précises ou mieux adaptées si les configurations étudiées sont bien documentées..). en l’absence d’informations plus précises. on considère un domaine de calcul plus étendu (éventuellement avec un maillage plus grossier) dans lequel les conditions aux limites. revêtent de ce fait une importance moindre.5 Remarque Selon les cas. On peut également réaliser un calcul préliminaire pour déterminer les conditions d’entrée. Pour cela.5. dans un écoulement moyen- nement turbulent. La relation permettant d’obtenir la dissipation est souvent prise identique à celle utilisée pour les écoulements internes. 1 D 4. Archambeau 2004-2005 Page 43/54 l’échelle de longueur turbulente est Lm = κ 0. 05)..3 Énergie cinétique turbulente et dissipation pour les écoulements externes Pour les écoulements externes (atmosphérique. il est possible d’imposer des profils au lieu de valeurs moyennes (par exemple.5. Soit donc : 3 3 3 k2 k = (I U )2 et ε = Cµ4 (131) 2 κ 0. 2 y)2 = κ 0.5. q 2 3k I= (130) U Cette grandeur I peut être prise égale à 5% par exemple (I = 0. écoulements autour de véhicules. 1 D 2 • on adopte une hypothèse d’isotropie de la turbulence pour les tensions de Reynolds. F. qui sont alors repoussées plus loin des zones d’intérêt. soit : 3 3 k2 1 ε = Cµ4 avec. soit : 2 Rij = kδij 3 4. des profils d’écoulement établi en conduite) ou de ne pas se limiter à l’hypothèse d’isotropie en Rij − ε. Ainsi. y étant la distance à la paroi : ∂u1 νt = L2m ∂x2 (129) u∗ = (κ 0. 2 y. naturellement. 2 y u∗ κy 4. • on utilise d’ordinaire la même expression pour la dissipation turbulente. Pour cela. par définition k= (R11 + R22 + R33 ) κ 0. on se donne : • une longueur caractéristique de la turbulence L (à déterminer au cas par cas selon la taille des grosses structures susceptibles d’entrer dans le domaine) q 2 • une intensité turbulente I (rapport de l’amplitude des fluctuations de vitesse u0 ≈ 3k à la vitesse moyenne U ).4 Modèles aux tensions de Reynolds On peut déduire des relations (127) ou (131) des conditions d’entrée pour les grandeurs du modèle Rij − ε. ENSTA Introduction à la turbulence. . Ces trois variables. Ainsi. Le modèle résultant présente cependant. ENSTA Introduction à la turbulence. F. souvent peu fiables. appliquée tout d’abord dans le cadre des modèles aux tensions de Reynolds par Durbin. 4. dont les variables dégénèrent naturellement vers leur limite physique en proche paroi.3 Le v 2 − f . de robustesse et de simplicité 10 Le k − ω SST semble avoir des difficultés à prédire avec précision les phénomènes de recollement . certains inconvénients loin des parois. avec ω = ∗ et β ∗ = 0. selon la relation νt = Cµ v 2 T . Cette approche. En pratique. sont pour la plupart relativement peu robustes. par rapport au k −ε. où T est une échelle de temps k turbulente (égale.2 Le modèle k − ω SST Dans les modèles à deux équations. et d’implantation délicate dans les codes. dont la plus récente. à ). Wilcox [26] utilise en lieu et place les variables k et ω.6. ε et v 2 permettent alors de calculer la viscosité turbulente requise par le modèle k − ε. C’est dans l’équation de cette variable qu’est introduit le paramètre solution de l’équation elliptique qui traduit l’effet de proximité de la paroi. Le premier concerne le modèle k − ω et ses versions dérivées. Une variable supplémentaire est ajoutée. le choix des variables turbulentes k et ε n’est pas le seul ε possible. dans le modèle v 2 − f . est particulièrement satisfaisante (tout au moins en écoulement isotherme) en particulier près des zones de séparation. à certaines limitations physiques près. dont une en parti- culier pourrait se révéler sous peu comme la seule approche bas Reynolds robuste et fiable.6. ne sont cependant pas satisfaisants d’un point de vue quantitatif dans la sous-couche visqueuse car leurs équations ne sont pas construites pour prendre en compte les effets de paroi dus aux fluctuations de pression et la limite bidimensionnelle des structures turbulentes qui en résulte. les variables k et ε restent des inconnues du problème. seule approche susceptible de concur- rencer le modèle k − ε standard. dite k − ω SST (Shear Stress Transport) [15]. ε De nombreuses versions de ce modèle ont été proposées. avec des équations pratiquement inchangées. Laurence (UMIST) [25]. La dernière version de ce modèle composite. le comportement en proche paroi est décrit bien plus naturellement qu’avec le modèle k − ε. Le modèle v 2 − f a été conçu pour dépasser ces limitations. on se limitera ici à mettre l’accent sur deux points particuliers seulement. qui représente approximativement la tension de Reynolds dans la direction normale aux lignes de courant. 09. qui font appel à des fonctions d’amortissement numérique pour prendre en compte la zone de proche paroi.6 Perspectives 4. Archambeau 2004-2005 Page 44/54 4. Le deuxième modèle prometteur abordé est le v 2 − f et ses versions améliorées.1 Introduction Bien que les travaux en modélisation de la turbulence soient légion. Par ailleurs. le modèle paraı̂t néanmoins promis à une utilisation industrielle croissante. version φ-model Les modèles bas Reynolds classiques. les modèles de type k − ω. a enfin été adaptée au modèle k − ε. puis simplifiée [13]. le φ-model du groupe de D. k.6. Pour cette raison. 4. S’il faut se garder d’y voir une solution universelle10 . β k L’avantage majeur est qu’avec ce choix de variables. v 2 . Menter a imaginé un modèle permettant de basculer progressivement de l’utilisation du k − ω en proche paroi à l’utilisation du k − ε loin des parois. semble allier des propriétés de stabilité. Il repose sur la détermination d’un paramètre f solution d’une équation de relaxation elliptique en espace qui traduit l’effet des parois sans avoir recours à des fonctions d’amortissement. z − z0 )dx dy dz (132) IR3 . z)g(x − x0 . Comme le spectre de la turbulente homogène isotrope (figure 17) suggère qu’à partir d’un certain Reynolds. • le contrôle des couches limites turbulentes pour la réduction de traı̂née. 5. En conséquence. • et bien d’autres encore..2 Simulation des grandes échelles : la démarche Pour avoir un accès direct aux fluctuations locales et instantanées des variables. basé sur la fonction g (une gaussienne par exemple) : Z < f > (x0 . Le chapitre présente les grandes lignes de la technique. ENSTA Introduction à la turbulence. z0 ) = f (x. Par exemple : • la recherche de propagation ou d’amorçage de fissure dans des matériaux soumis à de la fatigue thermique par cyclage. F. de stockage et de traitement des données (on voudra bien excuser le caractère caricatural de la présentation. La simulation des grandes échelles permet de lever. Le filtrage spatial est un produit de convolution et satisfait les mêmes propriétés que celles des moyennes statistiques utilisées pour écrire les équations moyennées au sens de Reynolds. Si l’on note < . en partie tout au moins. l’application du filtrage conduit exactement aux mêmes équations que l’application de la moyenne sta- tistique de Reynolds. • la production d’espèces polluantes lorsque des maxima de température sont atteints en combus- tion. Si l’on admet que l’es- sentiel des fluctuations dues à la turbulence est porté par les grosses structures. Par ailleurs. on ne peut se satisfaire d’approches qui produisent les moyennes statistiques des variables. il est naturel de chercher à représenter précisément ces dernières. On introduit donc un filtrage spatial (et non pas une moyenne statistique) que l’on applique aux équations de Navier-Stokes. Elles sont donc naturellement limitées lorsqu’il s’agit d’accéder à des informations locales ou instantanées. il est naturel d’introduire un filtre passe-bas pour sélectionner et résoudre les grandes échelles. y0 . on accepte de faire l’hypothèse que dans les écoulements que l’on désire étudier. Il s’agit là des bases de la simulation des grandes échelles (ou Macro-simulation de la turbulence. Il s’agit d’une technique assez ancienne du point de vue théorique (Deardorff 1974) mais dont l’exploitation dans les applications industrielles n’a véritablement été envisagée que depuis les années 90 et qui commence à peine à porter ses fruits. en particulier grâce à l’augmentation massive des moyens de calcul. qui se veut synthétique). • la prédiction de l’impact du bruit sur les structures (les sources de bruit étant des fluctuations de pression). > l’opérateur de filtrage. les petites structures sont isotropes et peuvent être décrites par un modèle relativement rustique. 5 Simulation des Grandes Échelles 5. cette limitation.. alors que les petites seront modélisées. il y a une séparation nette entre les grosses les petites structures. Archambeau 2004-2005 Page 45/54 d’implantation numérique. mais les inconnues ne représentent pas les mêmes grandeurs physiques. ou Large Eddy Simulation). y − y0 . Ces données sont cependant indispensables dans un bon nombre d’applications. Le modèle résultant semble particulièrement prometteur dans un domaine où l’on ne disposait jusquà présent d’aucune solution satisfaisante pour la communauté scientifique.1 Introduction Les considérations présentées dans le chapitre “Modélisation de la turbulence” sont basées sur des valeurs moyennes statistiques. y. 17 – Représentation classique pour le spectre d’énergie en turbulence homogène isotrope. 5. pour que le maillage permette de résoudre effectivement les structures qui portent l’énergie. caractéristique de l’effet des petites structures. ENSTA Introduction à la turbulence. De ce fait. il est donc nécessaire que la taille des mailles soit assez faible pour correspondre à un nombre d’onde inclus dans la zone inertielle du spectre. on utilise classiquement une hypothèse de type viscosité turbulente. F. Cette approche peu sophistiquée ne peut donner de bons résultats que si le maillage est assez fin pour que les structures non représentées (structures plus petites que les mailles) soient effectivement assez petites et isotropes.3 Modèles de sous-maille 5. il faut cependant noter que la largeur du filtre est approximativement égale à la taille locale des mailles : les structures plus grandes que les mailles sont explicitement résolues. reste à déterminer. On écrit alors : < (u− < u >)j (u− < u >)i >= µsous-maille < S >ij (134) Ici. Deux approches classiques sont présentées ci-après. Archambeau 2004-2005 Page 46/54 Fig. on obtient pour l’équation de la masse et de la quantité de mouvement : ∂ (ρ < u >j ) = 0 ∂x ∂ j ∂ (ρ < u >i ) + (ρ < u >j < u >i ) (133) ∂t ∂xj ∂ ∂ ∂ =− <P >+ < τ >ij + < S >i − (ρ < (u− < u >)j (u− < u >)i >) ∂xi ∂xj ∂xj Les inconnues choisies pour les calculs numériques sont les variables filtrées11. de sorte qu’il n’est pas nécessaire de définir explicitement le filtre g (on parle de filtrage implicite).1 Introduction Pour modéliser < (u− < u >)j (u− < u >)i >. On le modélise par un ”modèle de sous-maille”. Son calcul peut être fait de différentes façons. Le terme < (u− < u >)j (u− < u >)i >.3. bien que les inconnues ne représentent pas du tout les mêmes grandeurs. les structures plus petites sont filtrées et leur effet est modélisé. Conceptuellement. 11 Dans le cadre des modèles RANS. µsous-maille est une viscosité liée à l’effet des petites structures qui ne sont pas résolues par la finesse du maillage utilisé. on prend comme inconnues les variables moyennées au sens statistique : la démarche est donc similaire. . on souhaite autant que possible s’assurer que les fluctuations et les structures cohérentes présentes en entrée seront représentées de manière adéquate par les conditions aux limites.ij = µ∆1 G1 (< S >ij ) avec ( (137) T∆1 . 5. mais plutôt 0. 5. les modèles dynamiques ne diffèrent du modèle de Smagorinsky que par la détermination de la ”constante” Cs qui devient ”dynamique” : auto-adaptative selon les caractéristiques locales et instantanées de l’écoulement. pour les structures résolues et filtrées explicitement par le filtre G1 : T∆1 . . F. propose : p µsous-maille = ρ(Cs ∆)2 2 < S >ij < S >ij (135) où Cs est une constante (0. En effet. la LES étant d’ordinaire mise en œuvre pour accéder à des informations fines. Pour déterminer la constante. ce qui permet de déterminer Cs . on suppose que le maillage est assez fin pour que le comportement des structures de sous-maille vis-à-vis des structures résolues soit iden- tique au comportement des plus petites structures résolues vis-à-vis de structures résolues de taille immédiatement supérieure (on retrouve le concept de ”cascade énergétique”).). avec la même constante Cs .4 Conditions aux limites en entrée En LES. En particulier.3 Modèles dynamiques En pratique. On ne s’étendra pas ici sur les détails des méthodes les plus récentes (voir par exemple [3]). Piomelli. On se limite à indiquer brièvement quelques exemples d’approches envisageables.2 Modèle de Smagorinsky Le modèle de Smagorinsky. Archambeau 2004-2005 Page 47/54 5. étant donné un maillage de taille de maille ∆2 et un filtre explicite G1 de largeur ∆1 > ∆2 . il est important d’accorder une attention spécifique aux conditions d’entrée. On peut alors utiliser la valeur obtenue pour calculer µsous-maille . Dans la réalité.ij = G1 (< u > −G1 (< u >))j (u − G1 (< u >))i p µ∆1 = ρ(Cs ∆1 )2 2G1 (< S >ij )G1 (< S >ij ) Dans cette dernière relation. La limitation essentielle de ce modèle est liée à la nécessité de fixer la constante. toutes les variables sont calculables (variables résolues et variables explicitement filtrées). simple et largement répandu. • pour les structures non résolues et filtrées implicitement par la taille des mailles : Tsous-maille. une attention particulière est requise pour le choix du filtre explicite.1 dans une conduite). la détermination de la constante n’est pas aussi directe (utilisation de moyennes pour des raisons de stabilité par exemple).. Même si elle n’a d’effet que sur les petites structures. c’est un inconvénient notable qui a conduit au développement de modèles ”dynamiques” (Germano.3.ij = < (u− < u >)j (u− < u >)i > p µsous-maille = ρ(Cs ∆2 )2 2 < S >ij < S >ij • et.. Par ailleurs. Autrement dit. ENSTA Introduction à la turbulence. on suppose que l’on peut écrire.18 pour la turbulence homogène isotrope.3.ij = µsous-maille < S >ij avec (136) Tsous-maille. il est important que les conditions aux limites ne dégradent pas les conclusions. ∆ est la largeur estimée du filtre g (généralement ∆ = 2(|Ω|)1/3 où |Ω| est le volume local des mailles) et < S >ij est le tenseur des déformations calculé à partir de la vitesse résolue < u >. calcul de moyenne. • Il est également possible d’imposer en entrée de domaine une vitesse moyenne à laquelle on superpose une fluctuation (pseudo) aléatoire qui traduit l’intensité de la turbulence que l’on souhaite introduire dans le domaine.l’utilisation de maillages non conformes pour permettre des raffinements locaux et faciliter les tâches de maillage (pour cela.les techniques de génération de très grands maillages (plusieurs dizaines de millions de mailles) : génération en parallèle. Dans ces conditions. c’est-à-dire un calcul préliminaire sur un domaine situé en amont du domaine d’étude (dans le cas où le domaine amont est trop complexe ou mal connu. .la simulation est naturellement instationnaire et chaque instant fournit une image instantanée de l’écoulement . Naturellement. 5.le couplage ”RANS-LES”.la génération de conditions d’entrée physiquement admissibles et reproduisant les structures turbulentes de manière satisfaisante . on peut parfois se contenter de réaliser un calcul sur un canal ou une conduite rectiligne). de méthodes LES (coûteuses. Archambeau 2004-2005 Page 48/54 • Rappelons que la LES est par nature une méthode instationnaire. il faut également progresser sur : . un travail numérique sur l’impact des non conformités sur les calculs LES doit être mené).les lois de paroi en dynamique et en thermique (s’en affranchir éventuellement) . la manipulation des données et le post-traitement de très grands volumes d’informa- tion . vitesse de dissipation) et dont le déplacement peut être géré par des méthodes stochastiques. . ce qui lui confère une supériorité naturelle sur la précédente. Pour disposer de conditions aux limites instationnaires et reproduisant les fluctuations et les structures cohérentes d’un écoulement. Cette méthode a l’avantage de conserver des structures cohérentes en entrée. le paragraphe ne prétend pas être exhaustif. .5 Perspectives Les perspectives évoquées ici ne portent pas uniquement sur la modélisation physique.les modèles de sous-maille. .) et les durées physiques de simulation doivent donc naturellement être suffisamment longues pour que les statistiques soient significatives. Cette méthode est cependant coûteuse en temps calcul et nécessite le stockage d’une quantité importante d’information (des résultats instationnaires du calcul précurseur doivent être conservés pour fournir les ”tranches” de données à injecter en entrée). • Une méthode plus récente consiste à introduire dans le domaine des structures cohérentes (tourbillons) dont les échelles caractéristiques correspondent à la turbulence qui doit pénétrer dans le domaine (intensité. Notons en premier lieu que le coût d’un calcul LES est généralement élevé (plusieurs centaines d’heures de calcul. Cette méthode ne permet cependant pas de reproduire les structures cohérentes de l’écoulement et ce défaut est parfois préjudiciable à la qualité des calculs. utilisées dans le reste du domaine) . . de variance. .le stockage. ces données sont exploitées par des analyses statistiques (évaluation des ex- trema. . Les résultats de ce calcul précurseur sont alors utilisés comme conditions d’entrée du calcul auquel on s’intéresse (le calcul précurseur permet de repousser les conditions d’entrée plus loin des zones d’intérêt). plusieurs centaines de Mo). ENSTA Introduction à la turbulence. En effet : . raffinement et redécoupage d’éléments par exemple . mais utilisées uniquement dans les zones critiques) avec des méthodes RANS (moins coûteuses. F. mais concernent également les supports informatiques et l’architecture logicielle des codes. Indépendamment des aspects liés au coût des calculs. il est important de progresser sur : . il est possible de réaliser un calcul LES ”précurseur”.il est nécessaire d’utiliser des maillages suffisamment raffinés pour représenter suffisamment de structures .la puissance des machines de calcul (pour cela.. les ordinateurs massivement parallèles fournissent des solutions qu’il faut continuer à exploiter) . .. Ceci permet d’assurer la convergence vers la bonne solution lorsque le pas d’espace du maillage tend vers 0. sous peine d’obtenir des résultats ne convergeant pas en espace (dans le meilleur des cas) ou convergeant vers une solution stable mais fausse (c’est le pire des cas : sur un calcul complexe. des mois de calcul.2. sans revenir sur les aspects associés au comportement des modèles en proche paroi (voir la différence entre les modèles haut et bas Reynolds. la puissance des calculateurs actuelle ne permet de traiter que des écoulements à faible nombre de Reynolds. dans la documentation. numériques.2 Considérations numériques Qualité du maillage Lors de la résolution numérique des équations de Navier-Stokes (ou de tout autre système d’équations) il est indispensable de s’assurer que l’erreur de discrétisation spatiale est suffisamment faible pour l’utili- sation que l’on souhaite faire des résultats (l’erreur de discrétisation spatiale est l’écart entre la solution discrète obtenue et la solution exacte continue). Néanmoins. sans pour autant que l’exécution informatique du code ne soit impossible (exemples : valeur maximale du rapport d’allon- gement des mailles. qui consiste à résoudre les équations de Navier-Stokes (sans moyenne ni filtrage) sur un maillage suffisamment fin. Par contre. Il est du ressort du développeur de code de garantir cette propriété. Avec quelques dizaines de millions de points. l’utilisateur ne se rendra pas nécessairement compte du problème pour peu que la solution paraisse physiquement acceptable). certaines contraintes en de- hors desquelles les propriétés de convergence du schéma ne sont pas vérifiées. Cette mise en garde. la taille des maillages permettant de prendre en compte tout la gamme des structures est donc pour ”longtemps encore”. on peut atteindre des nombres de Reynolds de l’ordre de 5000. Le développeur du code peut avoir indiqué. 7. 7 Maillage 7. paragraphe 4. assorties des modèles décrits précédemment. la DNS pour les études fondamentales ou le calage de modèles reste un outil particulièrement utile (voir par exemple les bases de données de la NASA et de Standford . Archambeau 2004-2005 Page 49/54 6 Simulation Directe L’exposé aurait pu commencer par la simulation directe de la turbulence (ou Direct Numerical Simulation). car ils sont instationnaires et incluent l’aspect chaotique de la turbulence. On les évoque dans ce court paragraphe. avec des pas de temps suffisamment petits. qui peut sembler superflue. nécessite l’utilisation d’un maillage (on n’aborde pas ici les méthodes sans maillage) dont il faut définir le raffinement. Il n’y a dans ce cas aucun besoin de modélisation.). à titre d’illustration : [9]). En effet le rapport entre la taille des plus grandes structures 3 et la taille des plus petites est proportionnel au Re 4 ... interviennent. il est important de s’assurer que le maillage utilisé est suffisamment raffiné pour que l’erreur soit faible. F. se trouve cependant parfois à l’origine d’erreurs grossières et graves.6). Raffinement du maillage En supposant que l’on se trouve dans le cadre d’application d’un schéma consistant et stable. inaccessible. convergeant vers la bonne solution. Pour cela. Plusieurs considérations. L’utilisateur doit alors prendre garde à respecter ces limitations. ENSTA Introduction à la turbulence. il est généralement conseillé de réaliser plusieurs calculs . distorsion des mailles ou des faces. physiques et pratiques. Supposons que le schéma de discrétisation utilisé soit consistant et stable. Les résultats dovent être exploités par une analyse statistique. car c’est sans doute la solution la plus naturelle. conformité du maillage. Pour les écoulements industriels à nombre de Reynolds de plusieurs millions.1 Introduction La résolution des équations de la mécanique des fluides. Il est cependant important de s’y astreindre autant que faire se peut. mais il faut se garder des conclusions hâtives quant à la valeur de l’erreur. 18 – Exemple de décroissance de l’erreur en fonction du pas de maillage sur un problème fictif 7. On devra alors recourir à des modèles plus globaux. La taille des mailles devra être adaptée pour permettre leur représentation correcte (par exemple.. ceci sera impossible. en raffinant d’un facteur p dans chaque direction d’espace.. étant donné la précision recherchée). puis p3 ∗ N mailles..) et sur les détails géométriques indispensables (ailettes.) jusqu’à ce que les grandeurs recherchées n’évoluent plus (ou évoluent dans une plage admissible. Cette démarche pourra apparaı̂tre lourde et parfois difficile à mettre en œuvre en raison des délais imposés ou des limitations de la puissance des calculateurs. zones de mélange. mais n’implique en aucun cas que l’er- reur soit faible sur un maillage donné. obstacles. Le niveau de modélisation de la turbulence employé doit également être pris en compte.). aspérités. on propose sur la figure 18 un exemple de décroissance de l’erreur en fonction du pas de maillage sur un problème fictif. l’utilisation d’un schéma d’ordre élevé est certes souhaitable. et plus il . jets. Il conviendra donc de s’interroger sur la taille des phénomènes importants (stratifications. Un ordre en espace plus élevé signifie que l’erreur diminuera plus vite lorsque l’on raffinera le maillage. Log (Erreur) Ordre supérieur Ordre inférieur Log (Pas d’espace) Fig. injecteurs. Généralement. On y observe en particulier que la convergence ”monotone” ne s’obtient qu’à partir d’un certain raffinement (la taille de maille associée est impossible à prévoir en pratique) . plus le modèle est fin.. De plus. Par exemple. un ordre de grandeur au-dessous des échelles ainsi définies). Dans certains cas. la représentation d’une grille de 0.. ENSTA Introduction à la turbulence. de calcula- teur. étant données les contraintes de temps. épaisseur de couche limite. selon la précision recherchée. plus il est susceptible de résoudre des structures fines et complexes.. Remarque : travailler avec un schéma numérique d’ordre élevé en espace ne permet pas de s’abs- tenir de l’analyse de convergence décrite précédemment. À titre d’illustration..). il faut éviter de réaliser les calculs avec des maillages si peu raffinés que le comportement de l’erreur en devient imprévisible. si l’on ne recherche pas les détails de l’écoulement au voisinage de ce composant. puis p6 ∗ N mailles. car un résultat non convergé en espace peut se révéler faux. F. tourbillons. les variations entre les différents calculs pourraient ne refléter que le comportement du schéma numérique sur un maillage insuffisamment raffiné et non pas l’effet des modifications des paramètres physiques d’intérêt. à la fois d’un point de vue quantitatif et qualitatif. 5 m de côté percée de 10000 trous de diamètre 1 mm pourrait se révéler impossible en pratique (on obtient en 2D des tranches à quelques 2 millions de mailles) .3 Considérations physiques On adaptera la taille des mailles à la nature des phénomènes que l’on souhaite observer (un tour- billon ne peut généralement pas être décrit correctement par une seule maille. Archambeau 2004-2005 Page 50/54 successifs en raffinant le maillage (soit N mailles.. on constate que le schéma d’ordre supérieur (celui pour lequel l’erreur décroit le plus vite lorsque le pas de maillage tend vers 0) ne produit pas nécessairement une erreur plus faible que celle associée au schéma d’ordre le plus faible . Les études paramétriques (par exemple : optimisation de forme ou de fonctionnement) constituent un exemple particulier pour lequel il est nécessaire de travailler à convergence en espace : dans le cas contraire. une modélisation par perte de charge doit être envisagée : cette approche globale permet de lever la contrainte sur la taille des mailles imposée par la taille des trous. ) et s’assurer par exemple que la taille des mailles est inférieure d’un ordre de grandeur au minimum. en maillage cartésien uniforme. conduirait à quelques 10 13 mailles (10 000 milliards). la DNS ne s’applique encore aujourd’hui qu’à des configurations à bas nombre de Reynolds (voir la relation entre le nombre de Reynolds. 1 mm. on s’efforce d’utiliser un maillage permettant de représenter les grosses structures qui auront un effet important sur l’écoulement. où une aération génère un tourbillon de grandeur caractéristique 1 m. Ici encore. qui est souvent un critère important pour la définition de la taille des mailles. une structure trop petite pour être résolue (trop petite pour être discrétisée correctement par le maillage utilisé).4 Synthèse On peut donc retenir les trois points suivants : • il faut veiller à la convergence en espace : un raffinement du maillage utilisé ne doit pas conduire à une modification importante des résultats (étant donné le niveau de précision recherché). On n’a donc en apparence pas à se préoccuper de la taille des mailles. ENSTA Introduction à la turbulence. de la turbulence ( k ε ) la taille des phénomènes locaux (jets. F. est donc naturellement prise en compte par le modèle... Apparemment. Ainsi.. La limite de cette zone.. L’analyse de sensibilité au raffinement du maillage est utile à ce stade également. Il est donc important de s’assurer que la taille de maille permet de résoudre les grosses structures de l’écoulement. ils ne doivent pas être utilisés pour justifier systématiquement l’absence d’analyse de dépendance au maillage. on s’efforcera de raffiner le maillage afin qu’il permette de discrétiser au moins les tourbillons générés par les obstacles (utiliser des mailles 10 fois plus petites). on pourra calculer les échelles de grandeur 3/2 des couches limites. avec un niveau de turbulence de 10%. Pour des raisons pratiques de limitations des calculateurs actuels. • les aspects pratiques (délais d’étude. Il conviendra également de prendre en compte le comportement spécifique des modèles en proche paroi (voir en particulier la différence entre les modèles haut et bas Reynolds. en particulier) et situées dans la zone visqueuse ou dans la partie haute de la zone inertielle du spectre d’énergie (voir la figure 13). Les méthodes de LES nécessitent de résoudre les échelles de la turbulence qui ne sont pas prises en compte par le modèle de sous-maille. puissance des calculateurs. les modèles de sous-maille sont des modèles relativement simples qui exploitent le fait que les structures à modéliser seront de petites structures (indépendantes de la géométrie du domaine. Le choix de la taille des mailles peut être basé sur les échelles caractéristiques des phénomènes et des détails géométriques à représenter. 7. Archambeau 2004-2005 Page 51/54 requiert donc un maillage fin lui permettant de recourir à un niveau de discrétisation suffisant. les structures turbulentes étant prises en compte par le modèle.) constituent des facteurs limitants bien réels. Par exemple. • le raffinement du maillage doit être adapté aux modèles (et en particulier aux modèles de turbulence) utilisés. il conviendra d’évaluer la sensibilité des résultats à un raffinement de maillage. Pour les modèles RANS (résolution des équations de Navier Stokes moyennées au sens de Reynolds). pour un milieu encombré constitué d’assemblages tubulaires (échangeur par exemple). Pour cela. . ce qui. il faudrait pouvoir représenter des structures d’approxima- tivement 0. il convient de représenter correctement sur le maillage les grandeurs moyennes associées. dans une pièce de 10 m3 . jusqu’à l’intérieur de la zone inertielle du spectre.6). Enfin. Néanmoins. obstacles. l’analyse de sensibilité au raffinement du maillage est importante (mais pour des raisons liées à la modélisation physique et non plus seulement aux schémas numériques). l’échelle de longueur macroscopique et l’échelle de Kolmogorov). Dans le cas contraire. paragraphe 4. Néanmoins.2. Par exemple. volume de données à dépouiller. les méthodes de DNS résolvent toutes les structures et nécessiteront d’utiliser des tailles de mailles permettant de résoudre les tourbillons dont l’échelle caractéristique est celle de Kolmogorov. cependant. n’est simple à déterminer en pratique que pour quelques écoulements académiques. On s’astreint donc généralement à utiliser le maillage le plus raffiné possible si l’on ne connaı̂t pas le type d’écoulement à l’avance. accès rapides. .Les simulations LES ont fait leur apparition dans les applications industrielles depuis quelques années mais elles souffrent encore d’un certain manque de maturité des codes et de puissances de calcul et de traitement des données insuffisantes. . .Le modèle à deux équations k − ε est très utilisé dans les applications industrielles. elles sont cependant bien connues. et en tous les cas n’est pas encore suffisamment générale pour que les approches par lois de paroi ”logarithmique” classiques soient clairement dépassées . Il s’agit du k − ω SST de Menter et du modèle v 2 − f de Durbin (intermédiaire entre les modèles à deux équations et les modèles de transport des tensions de Reynolds [7]). le traitement des zones de proche paroi.Deux modèles récents semblent proposer des améliorations notables par rapport aux modèles classiques. Son domaine d’application est large.. cette remarque est en particulier valable pour les aspects thermiques. .). temps de retour réduits) et de traitement des données (manipulation de grands volumes d’information.).Ces perspectives demandent que progressent en même temps les moyens de calcul (machines parallèles.et post-traitement. le couplage à d’autres modèles (RANS- LES) et la prise en compte des aspects thermiques sont des champs de recherche encore largement ouverts. il est impératif que les utilisateurs aient l’expérience requise pour différencier les fluctuations ”physiques” des oscillations purement numériques qui peuvent naı̂tre d’une stabilité insuffisante des schémas numériques. pré. les aspects relatifs aux incertitudes de calcul devront faire l’objet d’un travail spécifique (incertitudes numériques. . Laurence.Les modèles de longueur de mélange ont pour atout leur simplicité mais le calage de la longueur à utiliser est délicat . . F.Pour tous les domaines. ENSTA Introduction à la turbulence.Les modèles de transport des tensions de Reynolds constituent un moyen de pallier les déficiences du modèle k − ε pour certains types d’écoulements. Archambeau 2004-2005 Page 52/54 8 Conclusion et perspectives En conclusion de cette présentation rapide. Leur utilisation ne s’est cependant pas véritablement généralisée. .La modélisation de proche paroi est encore relativement rudimentaire. . de ce fait. peut-être en raison du fait que de nombreux codes commerciaux ne proposent pas des schémas suffisamment robustes pour les utiliser simplement. . et s’il souffre de certaines limitations. .Toujours en LES. comme on s’attend à voir apparaı̂tre des fluctuations dans de telles simulations.La DNS reste un outil permettant l’études de phénomènes élémentaires à faible nombre de Rey- nolds (par exemple pour le développement de modèles). ainsi que de ses améliorations récentes (φ-model groupe de D. intervalle de confiance. génération de maillages de grande taille. Par ailleurs. . UMIST).. on peut indiquer les points suivants. physiques. l’utilisation de ce type de modèle est limité à certains domaines d’application bien précis... In Appl..J.. Zonal two equation k-ω turbulence models for aerodynamic flows. et Lomax H. 1598-1605.B... Moin P. 187-202. Rodi W.M.R. Turbulence statistics in fully developed channel flow at low Reynolds number..E. 537-566. A Parametric Model of vertical Eddy Fluxes in the Atmosphere. Vol. pp. Math. Academic Press. F. Met. pp 269-289. Vol. 1987 [10] Launder B.. 429-438. Fluid Eng... Prentice-Hall.. Heat and Mass Transfer 4... 2002 [9] Kim J. Series in Appl. 68. and Mech. A linearised turbulent production in the k − ε model for engineering applications. Eddy viscosity transport equations and their relation to the k − ε model. 1974 [12] Louis J.. J. part 3. Bound. 1975 [11] Launder B. 1994. [13] Manceau R. vol.W.. AIAA Journal. Journal of Fluid Mechanics. et Spalding D. 744-754. Archambeau 2004-2005 Page 53/54 9 Bibliographie [1] Arpaci V. [15] Menter F.S. Synthetic Turbulent Inflow Conditions for Large-Eddy Simulation. 78-257. et Smith A.S.. Turbulence. Lay. Jarrin N.. J. 2003. 1995 [8] Guimet V. 1994 . 33. The Use of Subgrid Transport Equations in a 3D Model of Atmospheric Turbulence. Physics of Fluids. The numerical computation of turbulent flow. [16] Menter F. [14] Menter F.A. pp..J. Vol. Thin Layer Approximation and Algebraic Models for Separated Flows. XV.J. International Journal of Heat and Fluid Flow.. pp. Elliptic Blending Model : a new near wall Reynolds-stress turbulence closure. Comp. 1978 [3] Benhamadouche S. And Engng.. 541-548. April 1995.R. AIAA Paper 93-2906. 1974 [6] Deardorff J. AIAA... Reece G. Englewood Cliffs. No 4. 32..S. [4] Craft T. p..E.F. N. Laurence D. NASA-TM-108854. No 8. Developments in a low-Reynolds number second-moment closure and its application to separating and reattaching flows. 1979. 17. Mech... Moser R. Engineering Turbulence and Measurements. 1993.. Hanjalić K. Meth. 3. ENSTA Introduction à la turbulence. 1984 [2] Baldwin B.O. Progress in the Development of a Reynolds-Stress Turbulent Closure. pp. Convection Heat Transfer. [7] Durbin P. Larsen P.. Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering applications. 659-664... Fluid Mech. pp. pp. Separated flow computations with the k-e-v2 model AIAA J. 1998 [5] Cebeci T.. Analysis of turbulent boundary layers..R. 1973.. Laurence D. 2002. [25] Uribe J. Inc. [20] Pope S. et Lumley J. Masson. vol. Institute of Science and Technology. [19] Patankar S. Archambeau 2004-2005 Page 54/54 [17] Menter F. Turbulence modelling for CFD DCW Industries. McGraw-Hill.. Turbulence models and their application in hydraulics . ENSTA Introduction à la turbulence. ERCOFTAC publication. 2000 [21] Rodi W.108. 2. Cambridge..G. Heat and Fluid Flow. Analysis and implementation of the v 2 − f turbulence model in an industrial code Master thesis. O. New York.. A comparison of some recent eddy-viscosity turbulence models. Vol. 1990 . Int. 84-93. pp. 1996 [18] Padet J. Numerical heat transfer and fluid flow. F. pp 178-188.. A simple nonlinear model for the return to isotropy in turbulence. pp. K. 1991.R. [27] ERCOFTAC Special Interest Group on Quality and Trust in CFD. 17-2. 2001..C. Physics of Fluids A. University of Manchester. Méthodes et modèles. Dilatational dissipation : the concept and application in modeling compressible mixing layers. Turbulent Flows Cambridge University Press.. 1996 [24] Tennekes H. 514-519. 1998. Physics of Fluids A. 1990 [23] Suga. 2. A first course in turbulence MIT Press..V. Best Practice Guidelines.. 1999.. [26] Wilcox D. 1980. [22] Sarkar S. IAHR Publication. vol. 1983. J... No. 2. p. Development and Application of a Cubic Eddy-Viscosity Model of Turbulence. Fluides en écoulement.L.P.. 1980. Speziale C. Transactions of the ASME. Vol. 118.B. [28] Zeman..