ARITMÉTICA - TEMA 1PROMEDIOS DESARROLLO DEL TEMA I. DEFINICIÓN Dado un conjunto de datos, el promedio es un número representativo que tiene como característica principal que debe estar comprendido entre el mayor y el menor valor de los datos dados. Esto se debe a que el promedio es una cantidad de tendencia central. MA = a1 + a2 + a3 + ... + an n De aquí podemos deducir la suma de un conjunto de "n" datos conociendo su promedio aritmético: a1 + a2 + a3 + ... + an = (M. A.)xn Nota: Promedio: Valor que representa un conjunto de datos. Dato menor promedio dato mayor.. Por Ejemplo: Dado el conjunto de edades: 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 18, 19 y 20, determina la edad promedio. En el caso particular de que los datos sean iguales, el promedio coincidire con el valor de los datos. Resolución: Analícese el siguiente ejemplo: El cuadro muestra el resultado de cuatro exámenes mensuales que han dado dos estudiantes: MA = 16 3 + 17 4 + 18 + 19 + 20 10 MA = 17, 3 Nota: Para hallar el promedio aritmético, debes conocer algunas sumas importantes, como suma de naturales, suma de pares, suma de impares, etc. Al ver los promedios finales, es posible observar que no es justo que Luis tenga el mismo promedio que Juan, porque sus notas reflejan que no ha sido un buen estudiante. Esto nos lleva a pensar que deber de haber otro procedimiento (y no el de suma de datos y dividirlo entre el número de datos) que nos permita hallar el valor que sea realmente representativo de los datos. B. Promedio geométrico o media geométrica (M. G.) Es un promedio que permite promediar índices y tasas de crecimiento, y el procedimiento para calcularlo es la raíz enésima del producto de "n" cantidades: II. CLASES DE PROMEDIOS A. Promedio aritmético o media aritmética (M. A.) Es la enésima parte de la suma de "n" cantidades. Generalmente se le conoce con el nombre de promedio. SAN MARCOS INTRODUCTORIO- REPASO 2015- I M G = n a1 a2 a3 ... an 1 ARITMÉTICA TEMA 1 PROMEDIOS Exigimos más! De aquí podemos deducir el producto de un conjunto de "n" datos conociendo su promedio geométrico: • Para tres números a, b y c: M. A. = n a1 a2 a3 ... an = (M. G.) a +b + c 3 M. G. = 3 a b c Por ejemplo: Dado el conjunto de datos: 8, 2, 3 y 27, determina el promedio geométrico. M. H. = • Resolución: MG = 4 8 .2 .3.27 3abc ab + bc + ac Si todos los datos son iguales, se cumple: M. A. = M. G. = M. H. = Valor del dato MG = 4 24 . 34 • MG = 6 Para un conjunto de "n" datos no todos iguales se cumple siempre: C. Promedio armónico o media armónica (M. H.) M. A. > M. G. > M. H. Es la inversa de la media aritmética de las inversas de "n" cantidades: n MH = 1 1 + + 1 + ... + 1 a1 a2 a3 an De aquí podemos deducir la suma de inversas de un conjunto de "n" datos conociendo su promedio armónico: • Para 2 cantidades a y b, se cumple: (a – b)2 = 4(M. A. + M. G.) (M. A. – M. G.) • Para hallar el promedio de un conjunto de datos que están agrupados bajo ciertas características y del que se conocen sus respectivos promedios, se cumple: 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n a1 a2 a3 an M. H. Por ejemplo: Dado el conjunto de edades: 10, 15, 20, 12 y 30, determina la media armónica. Resolución: Véase el siguiente ejemplo: 5 MH = 1 1 1 1 1 + + + + 10 15 20 12 30 5 MH = = 15 6+4 +3+5+2 60 De los asistentes a una reunión, se sabe que el promedio de edades de las 30 mujeres adultas es 23 años, de los 35 hombres adultos es 27 años y de los 15 niños es 12 años. ¿Cuál es el promedio de edades de los asistentes a dicha reunión? Resolución: III. PROPIEDADES • Solo para dos números a y b, se cumple: = + = PROMEDIO = = = + = SAN MARCOS INTRODUCTORIO- REPASO 2015- I 30 23 + 35 27 + 15 12 80 PROMEDIO = 22, 6875 2 ARITMÉTICA TEMA 1 PROMEDIOS Exigimos más! PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 La media aritmética de un examen tomado a los "x" alumnos fue de 8,4 y el profesor al aumentar 2 puntos a los 21 desaprobados que había, el nuevo promedio resulta 9,8. Halla el valor de x. Problema 2 De treinta invitados, ninguno tiene menos de 15 años. ¿Cuál será la máxima edad que 2 de ellos pueden tener para que el promedio de edades sea 18 años? San Marcos 2004–I Nivel fácil Nivel difícil A ) 14 C) 30 E) 20 B) 25 D) 13 A ) 36 años C) 40 años E) 50 años Resolución: Si las x notas: n1; n2; ... ; nx n1 + n2 + ... + nx = 8, 4 x Sx = 8,4 x Respuesta: C) 30 San Marcos 2008–II Nivel intermedio San Marcos 2009–I B) 60 años D) 70 años A ) 13,5 C) 14,2 E) 13,8 B) 14 D) 14,8 Resolución: Varones = 3a; Damas = 2a Resolución: (21)(2) + 8, 4x = 9,8 x 42 + 8,4x = 9,8x x = 30 total de damas en un colegio mixto es de 3 a 2. Si el promedio de notas de los varones es 13 y el de las damas es 15. Halla el promedio de notas en este colegio. 2x + 28(15) = 18 30 PV = Sv = 13 S v = 13(3a) 3a x = 60 años PD = SD = 15 SD = 15(2a) 2a Luego: Respuesta: B) 60 Problema 3 La relación en que se encuentran el número total de varones y el número 13(3a) + 15(2a) = 13, 8 5a Respuesta: E) 13,8 problemas de clase A ) 39 D) 42 NIVEL I 1. 2. 3. El promedio de 30 números consecutivos es 62,5 y el promedio de otros 20 números consecutivos es 81,5. ¿Cuál es el promedio de los 10 mayores del primer grupo y los 10 mayores del segundo grupo? A ) 79,6 B) 80,1 C) 78,9 D) 79,2 E) 79,5 C) 41 4. El promedio de 50 números es 30; si se retiran 5 números cuyo promedio es 48. ¿En cuánto varia el promedio? A) 1 B) 6 C) 9 D) 2 E) 5 5. Si a un grupo de 5 números le agregamos los números 10, 12 y 18 se observa que su promedio aritmético disminuye en 4 unidades. Determinar el promedio aritmético del nuevo grupo de números. A ) 24 B) 20 C) 35 D) 25 E) 19 El promedio de las edades de 5 personas es 48. Si ninguna de ellas es mayor de 50 años, ¿cuál será la mínima edad de una de ellas? A ) 35 B) 38 C) 40 D) 42 E) 50 De un grupo de 31 chicas, ninguna de ellas es menor de 10 años. ¿Cuál será la máxima edad que una de ellas pueda tener, para que el promedio sea 11 años? B) 40 E) 43 NIVEL II 6. Si el promedio de 45 números pares consecutivos es 54. ¿Cuál es el promedio de los 45 siguientes números pares? SAN MARCOS INTRODUCTORIO- REPASO 2015- I 3 A) 108 D) 200 B) 90 E) 140 C) 144 7. ¿Cuál es el valor de uno de 10 números si su promedio es "m + n" y el promedio de 8 de ellos es "3n" y uno de los restantes es "m"? A) 9m – 10n B) 9n – 12m C) 9m – 14n D) 8n – 9m E) 14m + 9n 8. El promedio de 51 números enteros y consecutivos es 75. Hallar la pareja de consecutivos que deben retirarse para que el promedio sea 74. A ) 99 y 100 B) 98 y 99 C) 90 y 91 D) 101 y 102 E) 74 y 75 ARITMÉTICA TEMA 1 PROMEDIOS Exigimos más! 9. En un salón de 20 alumnos, la nota promedio es 14 en Literatura; en el mismo curso la nota promedio para un aula de 30 alumnos es 11. ¿Cuál será la nota promedio, si se juntan los 50 alumnos? A) 12 B) 12,2 C) 12,4 D) 12,8 E) 13 10. Si a 5 números se le agregan los números 20 y 30 se observa que su promedio aritmético aumenta en 4 unidades. Hallar el promedio de los 7 números. A) 11 B) 16 C) 19 D) 20 E) 15 11. La media aritmética de 3 números es 7, la media geométrica de los mismos es uno de ellos y su media armónica es 36 / 7. Hallar el mayor de los números. A ) 15 D) 14 B) 12 E) 10 C) 18 MA a;b 13 12. Sabiendo que: MG a;b = 12 , calcular la diferenc ia de los números. (a y b +) A) 5 B) 1 C) 8 D) 3 E) 4 NIVEL III 13. La media armónica de los precios de ocho artículos es S/. 30. ¿Cuál es el precio máximo que puede tener uno de los artículos, si ninguno tiene un precio menor de S/.28? Considere que los precios de los artículos son enteros. A ) S/. 75 B) S/. 60 C) S/. 50 D) S/. 70 E) S/. 45 SAN MARCOS INTRODUCTORIO- REPASO 2015- I 4 14. La media geométrica de cuatro números enteros positivos diferentes es 3 3 y su media armónica es m/n siendo una fracción irreductible. Hallar el valor de (m – 2n). A) 7 B) 6 D) 5 E) 4 C) 8 15. La razón geométrica de la media aritmética y la media armónica de dos cantidades x e y es 16/25, siendo x e y enteros positi0 vos, y 4 . Si y 7;10 , ¿a qué intervalo pertenece x? A ) 1;10 C) 50;60 E) 70; 98 ARITMÉTICA B) 28; 40 D) 62;69 TEMA 1