Ap´endice APropiedades est´aticas de ´areas planas A.1 Momento est´atico y Centroide Sea el ´area plana de la Figura A.1. Figura A.1 ´ Area plana. Centroide El ´area S de la misma se obtiene mediante la expresi´on S = _ S dS (A.1) siendo dS un elemento diferencial de ´area, con coordenadas y y z respecto a un siste- ma de coordenadas arbitrario, con origen en O, como el mostrado en la Figura A.1. Los momentos est´aticos del ´area con respecto a los ejes y y z, se definen como Q y = _ S zdS (A.2) Q z = _ S ydS (A.3) Los momentos est´aticos pueden ser positivos o negativos, dependiendo de la posici´on de los ejes y y z. Su ecuaci´on de dimensiones es _ L 3 ¸ . La obtenci´on de las coordenadas (y C , z C ) del centroide es inmediata a partir de los momentos est´aticos, mediante las expresiones 215 216 Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales y C = Q z S = _ S ydS _ S dS (A.4) z C = Q y S = _ S zdS _ S dS (A.5) Las coordenadas pueden ser positivas o negativas, dependiendo de la posici´on de los ejes y y z. Si un ´area es sim´etrica respecto a un eje, el centro de gravedad debe encontrarse sobre ese eje, como se muestra en la Figura A.2 a), ya que el momento est´atico de un ´area respecto a un eje de simetr´ıa es nulo. Si un ´area tiene dos ejes de simetr´ıa, el centro de gravedad se encuentra en la intersecci´on de ambos ejes, como se muestra en la Figura A.2 b). Figura A.2 Simetr´ıas y posici´on del centroide A menudo, un ´area se puede descomponer en varias figuras simples. Si se conoce el ´area S i de cada una de estas figuras y la localizaci´on de su centroide (y C i , z C i ), es po- sible obviar la integraci´on de las expresiones (A.4) y (A.5), y calcular las coordenadas del centroide mediante las expresiones y C = n i=1 y C i S i n i=1 S i (A.6) z C = n i=1 z C i S i n i=1 S i (A.7) Si una de las figuras simples tuviera un agujero, dicho agujero se considerar´ıa como una parte adicional de ´area negativa. A.2 Momentos de inercia y radios de giro A.2.1 Momentos de inercia Los momentos de inercia I y e I z de un ´area con respecto a los ejes y y z, respectiva- mente, se definen como (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´erez Propiedades est´aticas de ´areas planas 217 I y = _ S z 2 dS (A.8) I z = _ S y 2 dS (A.9) Los momentos de inercia son cantidades siempre positivas y de dimensiones _ L 4 ¸ . El momento polar de inercia J O , o momento respecto a un punto O, como se muestra en la Figura A.3, Figura A.3 Momento polar de inercia se obtiene mediante la expresi´on J O = _ S r 2 dS = _ S _ y 2 + z 2 _ dS = I z + I y (A.10) El momento de inercia de una secci´on compuesta con respecto a cualquier eje es la suma de los momentos de inercia de sus partes respecto a dicho eje. A.2.2 Radios de giro El radio de giro i de una secci´on, se define como la ra´ız cuadrada del cociente entre el momento de inercia y el ´area de la secci´on. Referidos a unos ejes de referencia y y z, ser´an i y = _ I y S (A.11) i z = √ I z S (A.12) El radio de giro es una cantidad siempre positiva y de dimensiones [L]. Aunque el radio de giro no tiene un significado f´ısico obvio, se puede considerar como la distancia (medida desde el eje de referencia) donde deber´ıa concentrarse todo el ´area para dar el mismo momento de inercia que el ´area original. A.3 Producto de inercia El producto de inercia de una secci´on respecto a un sistema de ejes perpendiculares y y z, se define como (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´erez 218 Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales I yz = _ S y zdS (A.13) Al igual que en los momentos de inercia, la dimensi´on del producto de inercia es _ L 4 ¸ . Sin embargo, el producto de inercia puede ser positivo o negativo, como se muestra en la Figura A.4 a), o nulo, como se muestra en la Figura A.4 b). Figura A.4 a) Producto de inercia: signos. b) Secci´on sim´etrica respecto al eje z : producto de inercia nulo Si todo el ´area se encuentra en el primer cuadrante respecto a los ejes de referencia, el producto de inercia es positivo, ya que y y z son siempre positivas. Si todo el ´area se encuentra en el segundo cuadrante, el producto de inercia es negativo, ya que la coordenada y es negativa y la z es positiva. Similarmente, si todo el ´area se encuentra en el tercer o cuarto cuadrante, tienen signo negativo y positivo, respectivamente. Cuando el ´area se sit´ ua en m´as de un cuadrante, el signo del producto de inercia depende de la distribuci´on del ´area dentro de los cuadrantes. Cuando uno de los ejes es de simetr´ıa, los productos de inercia de cada uno de los dos lados en los que se divide la secci´on se anulan, y por lo tanto, el producto de inercia es nulo. Es decir, el producto de inercia de un ´area es nulo con respecto a cualquier par de ejes donde al menos uno de ellos es de simetr´ıa. A.4 Teorema de Steiner El teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos, permite relacionar el momento de inercia respecto a un eje cualquiera con el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior que pase por el centro de gravedad de la secci´on (en el caso del producto de inercia, relaciona el producto de inercia respecto a dos ejes cualesquiera con el producto de inercia respecto a dos ejes paralelos a los anteriores que pasen por el centro de gravedad de la secci´on). Para la secci´on mostrada en la Figura A.5, el momento de inercia respecto al eje y es I y = _ S (z + d 1 ) 2 dS (A.14) (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´erez Propiedades est´aticas de ´areas planas 219 Figura A.5 Teorema de Steiner Desarrollando la ecuaci´on A.14, se obtiene I y = _ S z 2 dS + 2d 1 _ S zdS + d 2 1 _ S dS (A.15) El primer t´ermino del segundo miembro es el momento de inercia de la secci´on respecto al eje y que pasa por el centroide del ´area. El segundo t´ermino es el momento est´atico de la secci´on respecto al eje y C (dicha integral es nula ya que el momento est´atico respecto a un eje que pasa por el centroide de la secci´on es nulo). El tercer t´ermino de la integral es el ´area S de la secci´on. Por lo tanto la ecuaci´on (A.15) se puede expresar como I y = I yC + S d 2 1 (A.16) De la misma manera, el momento de inercia respecto al eje z se obtiene mediante la expresi´on I z = I zC + S d 2 2 (A.17) El teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos, para momentos de inercia, se expresa de la siguiente forma: El momento de inercia de un ´area con respecto a cualquier eje en su plano es igual al momento de inercia con respecto a un eje paralelo al anterior y que pase por el centro de gravedad del ´area, m´as el producto del ´area y el cuadrado de la distancia entre los dos ejes. En el caso del producto de inercia, la expresi´on (A.14) tomar´ıa la forma I yz = _ S (z + d 1 ) (y + d 2 ) dS (A.18) Desarrollando esta ecuaci´on, se obtiene I yz = _ S y zdS + d 1 _ S zdS + d 2 _ S ydS + d 1 d 2 _ S dS (A.19) El primer t´ermino del segundo miembro de la ecuaci´on es el producto de inercia respecto a unos ejes que pasan por el centroide, paralelos a los de referencia. Los t´erminos segundo y tercero son nulos, ya que corresponden a los momentos est´aticos del ´area respecto a unos ejes que pasan por el centroide. La integral del ´ ultimo (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´erez 220 Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales t´ermino es el ´area de la secci´on. Por tanto, la ecuaci´on (A.19) se puede expresar como I yz = I yzC + S d 1 d 2 (A.20) El teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos, para el producto de inercia, se expresa de la siguiente forma: El producto de inercia de un ´area con respecto a cualquier par de ejes en su plano es igual al producto de inercia con respecto a unos ejes paralelos a los anteriores y que pasen por el centroide del ´area, m´as el producto del ´area y las distancias de cada uno de estos ejes que pasan por el centroide, respecto a los de referencia. A.5 Ejes principales y momentos principales de inercia Los momentos de inercia de un ´area plana dependen de la posici´on del origen y de la orientaci´on de los ejes de referencia. As´ı, para un cierto sistema de referencia, los momentos y producto de inercia var´ıan conforme se giran los ejes alrededor del origen, habiendo unos valores m´aximos y m´ınimos de los momentos y producto de inercia. Se considerar´a como tensor de inercia I, respecto a unos ejes cualesquiera I = _ I yC −I yzC −I yzC I zC _ (A.21) en el que los elementos de la diagonal principal son los momentos de inercia respecto a los ejes de referencia considerados y los elementos fuera de la diagonal principal son los productos de inercia, cambiados de signo, respecto a los mismos ejes de referencia. Los valores propios de este tensor ser´an los momentos principales de inercia, mientras que los vectores propios asociados a dichos valores propios, ser´an los cosenos directores de los ejes principales de inercia. Resolviendo la ecuaci´on caracter´ıstica obtenida del determinante de la ecuaci´on (A.22) se obtienen los momentos de inercia principales I 1 e I 2 . ¸ ¸ ¸ ¸ I yC −I −I yzC −I yzC I zC −I ¸ ¸ ¸ ¸ = 0 (A.22) Para cada valor de I i , la direcci´on del eje principal asociado se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (A.23) y (A.24) _ I yC −I yzC −I yzC I zC __ l m _ (A.23) l 2 + m 2 = 1 (A.24) El producto de inercia referido a los ejes principales de inercia, es nulo. Si lo que se desea es conocer las componentes del tensor de inercia para unos ejes girados un ´angulo determinado respecto a los de referencia, se aplicar´ıa la ecuaci´on de Cauchy I n = In (A.25) (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´erez Propiedades est´aticas de ´areas planas 221 Los momentos principales de inercia tambi´en se pueden obtener gr´aficamente mediante el c´ırculo de Mohr. En la Figura A.6 se representa un c´ırculo de Mohr para un tensor de inercia determinado y los valores de los momentos de inercia principales. Figura A.6 C´ırculo de Mohr para un tensor de inercia Observando el c´ırculo de Mohr se pueden extraer las expresiones de los momentos de inercia principales y de la direcci´on de los ejes principales de inercia I 1,2 = I y + I z 2 ± ¸ _ I y −I z 2 _ 2 + I 2 yz (A.26) tan 2θ = 2I yz I y −I z (A.27) A.6 Ejemplos resueltos Ejemplo A.1 Para la secci´on en Z que se muestra en la Figura A.7 Figura A.7 Secci´on en Z Obtener: 1. Las coordenadas del centroide referidas a los ejes de referencia (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´erez 222 Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales 2. Los momentos de inercia, el producto de inercia y los radios de giro respecto a unos ejes paralelos a los de referencia, que pasen por el centroide 3. Los ejes y momentos principales de inercia Soluci´on: 1. Las coordenadas del centroide referidas a los ejes de referencia La secci´on se puede dividir en tres trozos como se muestra en la Figura A.8 Figura A.8 Secci´on en Z. Descomposici´on en tres rect´angulos cuyas ´areas parciales y total son S 1 = 0, 3 ×0, 1 = 0, 03 m 2 S 2 = 0, 1 ×0, 6 = 0, 06 m 2 S 3 = 0, 3 ×0, 1 = 0, 03 m 2 S = S 1 + S 2 + S 3 = 0, 12 m 2 El centroide de la secci´on se calcula a partir de las expresiones (A.6) y (A.7). Considerando las distancias que se muestran en la Figura A.8, las coordenadas del centroide son y C = y 1 S 1 + y 2 S 2 + y 3 S 3 S = 0, 55 ×0, 3 + 0, 35 ×0, 06 + 0, 15 ×0, 03 0, 12 = 0, 35 m z C = z 1 S 1 + z 2 S 2 + z 3 S 3 S = 0, 05 ×0, 3 + 0, 3 ×0, 06 + 0, 55 ×0, 03 0, 12 = 0, 30 m 2. Los momentos de inercia, el producto de inercia y los radios de giro respecto a unos ejes paralelos a los de referencia, que pasen por el centroide (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´erez Propiedades est´aticas de ´areas planas 223 Para calcular los momentos de inercia se utilizan las expresiones (A.8), (A.9), (A.16) y (A.17). Al comienzo, se calculan los momentos de inercia de cada trozo respecto a unos ejes paralelos a los de referencia (en este caso son los ejes que pasan por el centroide de la secci´on y son paralelos a los considerados inicialmente). Respecto los ejes y y z locales, los momentos de inercia son I yC1 = 0, 3, 1 3 12 = 25 · 10 −6 m 4 I zC1 = 0, 1, 3 3 12 = 225 · 10 −6 m 4 I yC2 = 0, 1, 6 3 12 = 18 · 10 −4 m 4 I zC2 = 0, 6, 1 3 12 = 50 · 10 −6 m 4 I yC3 = 0, 3, 1 3 12 = 25 · 10 −6 m 4 I zC3 = 0, 1, 3 3 12 = 225 · 10 −6 m 4 Aplicando Steiner se obtienen los momentos de inercia del conjunto respecto a los ejes y C y z C . I yC = I yC1 + S 1 dz 2 1 + I yC2 + S 2 dz 2 2 + I yC3 + S 3 dz 2 3 I zC = I zC1 + S 1 dy 2 1 + I zC2 + S 2 dy 2 2 + I zC3 + S 3 dy 2 3 Las distancias dy i y dz i se muestran en las Figuras A.9 a) y A.9 b), respecti- vamente. Figura A.9 Secci´on en Z. Distancias para el c´alculo de los momentos y producto de inercia Sustituyendo valores num´ericos, se obtiene I yC = 25 · 10 −6 + 0, 03 ×(−0, 25) 2 + 18 · 10 −4 + 0, 06 ×0 2 + 25 · 10 −6 + 0, 03 ×0, 25 2 = 56 · 10 −4 m 4 I zC = 225 · 10 −6 + 0, 03 ×0, 20 2 + 50 · 10 −6 + 0, 06 ×0 2 + 225 · 10 −6 + 0, 03 ×(−0, 20) 2 = 29 · 10 −4 m 4 (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´erez 224 Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales Para obtener el producto de inercia se utiliza la ecuaci´on (A.20). Los productos de inercia de cada trozo respecto a unos ejes que pasen por el centro de gravedad de cada uno de ellos son nulos, precisamente por estar referidos a dichos ejes. I yz = S 1 dy 1 dz 1 + S 2 dy 2 dz 2 + S 3 dy 3 dz 3 Sustituyendo valores num´ericos, se obtiene I yz = 0, 03 ×(−0, 25) ×0, 20 + 0, 03 ×0, 25 ×(−0, 20) = −30 · 10 −4 m 4 Para calcular los radios de giro se utilizan las expresiones (A.11) y (A.12). Sustituyendo los valores ya conocidos de ´area e inercias, se obtiene i y = √ 56 · 10 −4 0, 12 = 0, 216 m i z = √ 29 · 10 −4 0, 12 = 0, 155 m 3. Los ejes y momentos principales de inercia El tensor de inercia es I = _ 56 · 10 −4 30 · 10 −4 30 · 10 −4 29 · 10 −4 _ Resolviendo el determinante ¸ ¸ ¸ ¸ 56 · 10 −4 −I 30 · 10 −4 30 · 10 −4 29 · 10 −4 −I ¸ ¸ ¸ ¸ = 0 se obtiene la ecuaci´on caracter´ıstica I 2 −0, 0085I + 724 · 10 −8 = 0 cuyas ra´ıces son los momentos principales de inercia: I 1 = 75 · 10 −4 m 4 , I 2 = 10 · 10 −4 m 4 (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´erez Propiedades est´aticas de ´areas planas 225 C´alculo de la direcci´on principal correspondiente al momento prin- cipal de inercia I = I 1 _ 56 · 10 −4 −75 · 10 −4 30 · 10 −4 30 · 10 −4 29 · 10 −4 −75 · 10 −4 __ l m _ = _ 0 0 _ Desarrollando la expresi´on anterior se obtiene el sistema lineal y homog´eneo de ecuaciones, y teniendo en cuenta la condici´on l 2 + m 2 = 1 se obtiene la direcci´on del eje principal 1 n 1 = _ ±0, 8398 ±0, 5430 _ T C´alculo de la direcci´on principal correspondiente al momento prin- cipal de inercia I = I 2 _ 56 · 10 −4 −10 · 10 −4 30 · 10 −4 30 · 10 −4 29 · 10 −4 −10 · 10 −4 __ l m _ = _ 0 0 _ Desarrollando la expresi´on anterior se obtiene el sistema lineal y homog´eneo de ecuaciones, y teniendo en cuenta la condici´on l 2 + m 2 = 1 se obtiene la direcci´on del eje principal 2 n 2 = _ ∓0, 5430 ±0, 8398 _ T En la Figura A.10 se muestran los ejes principales de inercia de la secci´on. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´erez 226 Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales Figura A.10 Secci´on en Z. Ejes principales de inercia Ejemplo A.2 Para la secci´on en L asim´etrica que se muestra en la Figura A.11 Figura A.11 Secci´on en L asim´etrica Obtener: 1. Las coordenadas del centroide referidas a los ejes de referencia 2. Los momentos de inercia, el producto de inercia y los radios de giro respecto a unos ejes paralelos a los de referencia, que pasen por el centroide 3. Anal´ıtica y gr´aficamente los ejes y momentos principales de inercia Soluci´on: 1. Obtener las coordenadas del centroide referidas a los ejes de referencia La secci´on se puede dividir en dos trozos, como se muestra en la Figura A.12, cuyas ´areas parciales y total son S 1 = 0, 7 ×0, 3 = 0, 21 m 2 S 2 = 0, 2 ×0, 3 = 0, 06 m 2 S = S 1 + S 2 = 0, 27 m 2 (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´erez Propiedades est´aticas de ´areas planas 227 Figura A.12 Secci´on en L asim´etrica. Descomposici´on en dos rect´angulos El centroide de la secci´on se calcula a partir de las expresiones (A.6) y (A.7). Considerando las distancias que se muestran en la Figura A.12, las coordenadas del centroide son y C = y 1 S 1 + y 2 S 2 S = 0, 35 ×0, 21 + 0, 1 ×0, 06 0, 27 = 0, 294 m z C = z 1 S 1 + z 2 S 2 S = 0, 35 ×0, 21 + 0, 55 ×0, 06 0, 27 = 0, 394 m 2. Obtener los momentos de inercia, el producto de inercia y los radios de giro respecto a unos ejes paralelos a los de referencia, que pasen por el centroide Para calcular los momentos de inercia se utilizan las expresiones (A.8), (A.9), (A.16) y (A.17). Al comienzo, se calculan los momentos de inercia de cada trozo respecto a unos ejes paralelos a los de referencia (en este caso son los ejes que pasan por el centroide de la secci´on y son paralelos a los que se consideran inicialmente). Respecto los ejes y y z locales, los momentos de inercia son I yC1 = 0, 3, 7 3 12 = 85, 75 · 10 −4 m 4 I zC1 = 0, 7, 3 3 12 = 15, 75 · 10 −4 m 4 I yC2 = 0, 2, 3 3 12 = 45 · 10 −5 m 4 I zC2 = 0, 3, 2 3 12 = 2 · 10 −4 m 4 Aplicando Steiner, se obtienen los momentos de inercia del conjunto respecto a los ejes y C y z C . I yC = I yC1 + S 1 dz 2 1 + I yC2 + S 2 dz 2 2 I zC = I zC1 + S 1 dy 2 1 + I zC2 + S 2 dy 2 2 Las distancias dy i y dz i se muestran en la Figura A.13). (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´erez 228 Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales Figura A.13 Secci´on en L asim´etrica. Distancias para el c´alculo de los momentos y producto de inercia Sustituyendo valores num´ericos, se obtiene I yC = 85, 75 · 10 −4 + 0, 21 ×(−0, 044) 2 + 45 · 10 −5 + 0, 06 ×0, 156 2 = 108, 92 · 10 −4 m 4 I zC = 15, 75 · 10 −4 + 0, 21 ×0, 056 2 + 2 · 10 −4 + 0, 06 ×(−0, 194) 2 = 46, 92 · 10 −4 m 4 Para obtener el producto de inercia se utilizar´a la ecuaci´on A.20. Los productos de inercia de cada trozo respecto a unos ejes que pasen por el centro de gravedad de cada uno de ellos son nulos, precisamente por estar referidos a dichos ejes. I yz = S 1 dy 1 dz 1 + S 2 dy 2 dz 2 Sustituyendo valores num´ericos, se obtiene I yz = 0, 21 ×0, 056 ×(−0, 044) + 0, 06 ×(−0, 194) ×0, 156 = −23, 33 · 10 −4 m 4 Para calcular los radios de giro se utilizan las expresiones A.11 y A.12. Susti- tuyendo los valores ya conocidos de ´area e inercias, se obtiene i y = _ 108, 92 · 10 −4 0, 27 = 0, 2 m i z = _ 46, 92 · 10 −4 0, 27 = 0, 132 m (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´erez Propiedades est´aticas de ´areas planas 229 3. Obtener anal´ıtica y gr´aficamente los ejes y momentos principales de inercia Los ejes y momentos principales de inercia El tensor de inercia es I = _ 108, 92 · 10 −4 23, 33 · 10 −4 23, 33 · 10 −4 46, 92 · 10 −4 _ Resolviendo el determinante ¸ ¸ ¸ ¸ 108, 92 · 10 −4 −I 23, 33 · 10 −4 23, 33 · 10 −4 46, 92 · 10 −4 −I ¸ ¸ ¸ ¸ = 0 se obtiene la ecuaci´on caracter´ıstica I 2 −0, 0156I + 45, 66 · 10 −6 = 0 cuyas ra´ıces son los momentos principales de inercia: I 1 = 116, 72 · 10 −4 m 4 , I 2 = 39, 12 · 10 −4 m 4 C´alculo de la direcci´on principal correspondiente al momento prin- cipal de inercia I = I 1 _ (108, 92 −116, 72) · 10 −4 23, 33 · 10 −4 23, 33 · 10 −4 (46, 92 −116, 72) · 10 −4 __ l m _ = _ 0 0 _ Desarrollando la expresi´on anterior se obtiene el sistema lineal y homog´eneo de ecuaciones y teniendo en cuenta la condici´on l 2 + m 2 = 1 se obtiene la direcci´on del eje principal 1 n 1 = _ ±0, 9484 ±0, 3170 _ T (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´erez 230 Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales C´alculo de la direcci´on principal correspondiente al momento prin- cipal de inercia I = I 2 _ (108, 92 −39, 12) · 10 −4 23, 33 · 10 −4 23, 33 · 10 −4 (46, 92 −39, 12) · 10 −4 __ l m _ = _ 0 0 _ Desarrollando la expresi´on anterior se obtiene el sistema lineal y homog´eneo de ecuaciones y teniendo en cuenta la condici´on l 2 + m 2 = 1 se obtiene la direcci´on del eje principal 2 n 2 = _ ∓0, 3170 ±0, 9484 _ T En la Figura A.14 se muestran los ejes principales de inercia de la secci´on. Figura A.14 Secci´on en L asim´etrica. Ejes principales de inercia En la Figura A.15 se muestra la soluci´on gr´afica. Figura A.15 Secci´on en L asim´etrica. Momentos principales de inercia: soluci´on gr´afica (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´erez el centro de gravedad debe encontrarse a e sobre ese eje. un ´rea se puede descomponer en varias figuras simples.2.5).216 Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales yC = Qz = S ydS S (A.2 b).6) (A. Si se conoce el a a ´rea Si de cada una de estas figuras y la localizaci´n de su centroide (yCi .2 Simetr´ y posici´n del centroide ıas o A menudo. Si un ´rea es sim´trica respecto a un eje. como se muestra en la Figura A.2 A. y calcular las coordenadas o del centroide mediante las expresiones n i=1 yCi Si n i=1 Si n i=1 zCi Si n i=1 Si yC zC = = (A. es poo sible obviar la integraci´n de las expresiones (A. ya que el momento est´tico de a un ´rea respecto a un eje de simetr´ es nulo. a A.7) Si una de las figuras simples tuviera un agujero.1 Momentos de inercia y radios de giro Momentos de inercia Los momentos de inercia Iy e Iz de un ´rea con respecto a los ejes y y z. dicho agujero se considerar´ como ıa una parte adicional de ´rea negativa. se definen como (c) 2011 Santiago Torrano & D.2 a). dependiendo de la posici´n de los o ejes y y z. como se muestra o en la Figura A. zCi ).4) dS S zC = Qy = S zdS S (A. Si un ´rea tiene dos ejes de simetr´ el a ıa a ıa.4) y (A. Figura A. respectivaa mente. centro de gravedad se encuentra en la intersecci´n de ambos ejes. Herrero P´rez e .5) dS S Las coordenadas pueden ser positivas o negativas. 3 Momento polar de inercia se obtiene mediante la expresi´n o JO = S r2 dS = S y 2 + z 2 dS = Iz + Iy (A. se define como la ra´ cuadrada del cociente o ız entre el momento de inercia y el ´rea de la secci´n.3 Producto de inercia El producto de inercia de una secci´n respecto a un sistema de ejes perpendiculares o y y z.11) (A.2 Radios de giro El radio de giro i de una secci´n.10) El momento de inercia de una secci´n compuesta con respecto a cualquier eje es la o suma de los momentos de inercia de sus partes respecto a dicho eje. Referidos a unos ejes de referencia a o y y z.12) El radio de giro es una cantidad siempre positiva y de dimensiones [L]. a A. El momento polar de inercia JO . o momento respecto a un punto O. como se muestra en la Figura A. Aunque el radio de giro no tiene un significado f´ ısico obvio.2. se define como (c) 2011 Santiago Torrano & D. se puede considerar como la distancia (medida desde el eje de referencia) donde deber´ concentrarse todo el ´rea ıa a para dar el mismo momento de inercia que el ´rea original. Herrero P´rez e .9) Iz = Los momentos de inercia son cantidades siempre positivas y de dimensiones L4 . Figura A.Propiedades est´ticas de ´reas planas a a 217 Iy = S z 2 dS y 2 dS S (A.3. ser´n a Iy S √ Iz S iy = iz = (A.8) (A. A. como se muestra en la Figura A. A. ya que la coordenada y es negativa y la z es positiva.218 Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales Iyz = S y zdS (A.4 a). ya que y y z son siempre positivas. el momento de inercia respecto al eje o y es Iy = S (z + d1 )2 dS (A. el producto de inercia puede ser positivo o negativo.4 b).4 a) Producto de inercia: signos. el producto o de inercia es nulo. Si todo el ´rea a se encuentra en el segundo cuadrante. o nulo. el signo del producto de inercia a u a depende de la distribuci´n del ´rea dentro de los cuadrantes.5.14) (c) 2011 Santiago Torrano & D. o a Cuando uno de los ejes es de simetr´ los productos de inercia de cada uno de ıa. la dimensi´n del producto de inercia es o L4 . el producto de inercia de un ´rea es nulo con respecto a a cualquier par de ejes donde al menos uno de ellos es de simetr´ ıa. Sin embargo. respectivamente. si todo el ´rea se encuentra a en el tercer o cuarto cuadrante.13) Al igual que en los momentos de inercia. permite relacionar el momento de inercia respecto a un eje cualquiera con el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior que pase por el centro de gravedad de la secci´n (en el caso del o producto de inercia. como se muestra en la Figura A. tienen signo negativo y positivo. relaciona el producto de inercia respecto a dos ejes cualesquiera con el producto de inercia respecto a dos ejes paralelos a los anteriores que pasen por el centro de gravedad de la secci´n). Es decir. el producto de inercia es negativo. Cuando el ´rea se sit´a en m´s de un cuadrante. o Para la secci´n mostrada en la Figura A. Similarmente.4 Teorema de Steiner El teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos. Figura A. a el producto de inercia es positivo. Herrero P´rez e . y por lo tanto. los dos lados en los que se divide la secci´n se anulan. b) Secci´n sim´trica respecto al eje z : o e producto de inercia nulo Si todo el ´rea se encuentra en el primer cuadrante respecto a los ejes de referencia. 5 Teorema de Steiner Desarrollando la ecuaci´n A. Los t´rminos segundo y tercero son nulos. El tercer a o t´rmino de la integral es el ´rea S de la secci´n.18) Desarrollando esta ecuaci´n. La integral del ultimo a ´ (c) 2011 Santiago Torrano & D.17) El teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos.19) El primer t´rmino del segundo miembro de la ecuaci´n es el producto de inercia e o respecto a unos ejes que pasan por el centroide.14.16) De la misma manera.Propiedades est´ticas de ´reas planas a a 219 Figura A.15) se e a o o puede expresar como Iy = IyC + S d2 1 (A. se obtiene o Iy = S z 2 dS + 2d1 S zdS + d2 1 S dS (A. En el caso del producto de inercia. Herrero P´rez e . se obtiene o Iyz = S y zdS + d1 S zdS + d2 S ydS + d1 d2 S dS (A. m´s el producto del ´rea y el cuadrado de la distancia a a a entre los dos ejes. se expresa de la siguiente forma: El momento de inercia de un ´rea con respecto a cualquier eje en su plano es a igual al momento de inercia con respecto a un eje paralelo al anterior y que pase por el centro de gravedad del ´rea.15) El primer t´rmino del segundo miembro es el momento de inercia de la secci´n e o respecto al eje y que pasa por el centroide del ´rea. el momento de inercia respecto al eje z se obtiene mediante la expresi´n o Iz = IzC + S d2 2 (A.14) tomar´ la forma o ıa Iyz = S (z + d1 ) (y + d2 ) dS (A. para momentos de inercia. Por lo tanto la ecuaci´n (A. la expresi´n (A. El segundo t´rmino es el momento a e est´tico de la secci´n respecto al eje yC (dicha integral es nula ya que el momento a o est´tico respecto a un eje que pasa por el centroide de la secci´n es nulo). paralelos a los de referencia. ya que corresponden a los momentos est´ticos e a del ´rea respecto a unos ejes que pasan por el centroide. se aplicar´ la ecuaci´n a ıa o de Cauchy In = In (c) 2011 Santiago Torrano & D. es nulo. Por tanto.5 Ejes principales y momentos principales de inercia Los momentos de inercia de un ´rea plana dependen de la posici´n del origen y de a o la orientaci´n de los ejes de referencia. respecto a los de referencia. la direcci´n del eje principal asociado se obtiene resolviendo o el sistema de ecuaciones formado por (A.23) y (A.220 Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales t´rmino es el ´rea de la secci´n. habiendo unos valores m´ximos y m´ a ınimos de los momentos y producto de inercia. respecto a los mismos ejes de referencia. ser´n los cosenos a directores de los ejes principales de inercia. A. cambiados de signo. para el producto de inercia. Se considerar´ como tensor de inercia I.22) Para cada valor de Ii . As´ para un cierto sistema de referencia. Los valores propios de este tensor ser´n los momentos principales de inercia.19) se puede expresar e a o o como Iyz = IyzC + S d1 d2 (A. Herrero P´rez e (A. Si lo que se desea es conocer las componentes del tensor de inercia para unos ejes girados un ´ngulo determinado respecto a los de referencia. Resolviendo la ecuaci´n caracter´ o ıstica obtenida del determinante de la ecuaci´n (A.21) en el que los elementos de la diagonal principal son los momentos de inercia respecto a los ejes de referencia considerados y los elementos fuera de la diagonal principal son los productos de inercia.24) IyC −IyzC −IyzC IzC l m (A.23) (A. IyC − I −IyzC −IyzC IzC − I =0 (A.25) .24) l2 + m2 = 1 El producto de inercia referido a los ejes principales de inercia. se expresa de la siguiente forma: El producto de inercia de un ´rea con respecto a cualquier par de ejes en su plano a es igual al producto de inercia con respecto a unos ejes paralelos a los anteriores y que pasen por el centroide del ´rea. respecto a unos ejes cualesquiera a I= IyC −IyzC −IyzC IzC (A. a mientras que los vectores propios asociados a dichos valores propios.22) se obtienen los momentos de inercia o principales I1 e I2 . o ı. los momentos y producto de inercia var´ conforme se giran los ejes alrededor del ıan origen. la ecuaci´n (A.20) El teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos. m´s el producto del ´rea y las distancias de cada a a a uno de estos ejes que pasan por el centroide. 26) (A.7 o Figura A.2 Iy + Iz = ± 2 tan 2θ = Iy − Iz 2 2Iyz Iy − Iz 2 2 + Iyz (A.6 se representa un c´ ırculo de Mohr para un tensor de inercia determinado y los valores de los momentos de inercia principales.7 Secci´n en Z o Obtener: 1. Herrero P´rez e .1 Para la secci´n en Z que se muestra en la Figura A. Figura A.6 C´ ırculo de Mohr para un tensor de inercia Observando el c´ ırculo de Mohr se pueden extraer las expresiones de los momentos de inercia principales y de la direcci´n de los ejes principales de inercia o I1.6 Ejemplos resueltos Ejemplo A.Propiedades est´ticas de ´reas planas a a 221 Los momentos principales de inercia tambi´n se pueden obtener gr´ficamente e a mediante el c´ ırculo de Mohr. Las coordenadas del centroide referidas a los ejes de referencia (c) 2011 Santiago Torrano & D.27) A. En la Figura A. 35 × 0.6) y (A. 1 × 0. Los momentos de inercia. 55 × 0. 55 × 0. Los ejes y momentos principales de inercia Soluci´n: o 1. 03 m2 S2 = 0. 1 = 0. 06 + 0. 3 + 0. 03 = S 0. 06 + 0. 03 m2 S = S1 + S2 + S3 = 0. 1 = 0. 3 × 0. 06 m2 S3 = 0. el producto de inercia y los radios de giro respecto a unos ejes paralelos a los de referencia. 12 m2 El centroide de la secci´n se calcula a partir de las expresiones (A. 3 × 0. las coordenadas del centroide son y1 S1 + y2 S2 + y3 S3 0. 35 m yC = zC = z1 S1 + z2 S2 + z3 S3 0. 12 = 0. Descomposici´n en tres rect´ngulos o o a cuyas ´reas parciales y total son a S1 = 0. 6 = 0. 12 = 0. Herrero P´rez e .8 Secci´n en Z. 05 × 0. que pasen por el centroide 3.7).8. el producto de inercia y los radios de giro respecto a unos ejes paralelos a los de referencia.222 Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales 2. Las coordenadas del centroide referidas a los ejes de referencia La secci´n se puede dividir en tres trozos como se muestra en la Figura A. 30 m 2. 3 × 0. 3 + 0. que pasen por el centroide (c) 2011 Santiago Torrano & D. o Considerando las distancias que se muestran en la Figura A. Los momentos de inercia. 03 = S 0. 15 × 0.8 o Figura A. 3. 20)2 = 29 · 10−4 m4 (c) 2011 Santiago Torrano & D.9 b). 06 × 02 + 225 · 10−6 + 0. 1.9 Secci´n en Z. respectivamente. 03 × 0. 202 + 50 · 10−6 + 0. 13 = = 25 · 10−6 m4 12 0. 13 = 25 · 10−6 m4 12 0. 1. 6.9 a) y A. (A.17). se obtiene e IyC = 25 · 10−6 + 0. 03 × (−0. (A.9).16) y (A. 3. 2 2 2 IyC = IyC1 + S1 dz1 + IyC2 + S2 dz2 + IyC3 + S3 dz3 2 2 2 IzC = IzC1 + S1 dy1 + IzC2 + S2 dy2 + IzC3 + S3 dy3 Las distancias dyi y dzi se muestran en las Figuras A. Al comienzo. 03 × (−0. 06 × 02 + 25 · 10−6 + 0. Distancias para el c´lculo de los momentos y producto o a de inercia Sustituyendo valores num´ricos. 1. Figura A.Propiedades est´ticas de ´reas planas a a 223 Para calcular los momentos de inercia se utilizan las expresiones (A. 33 = = 225 · 10−6 m4 12 IyC1 = IyC2 IyC3 IzC1 = IzC2 IzC3 Aplicando Steiner se obtienen los momentos de inercia del conjunto respecto a los ejes yC y zC . se calculan los momentos de inercia de cada trozo respecto a unos ejes paralelos a los de referencia (en este caso son los ejes que pasan por el centroide de la secci´n y son paralelos a los considerados o inicialmente). 252 = 56 · 10−4 m4 IzC = 225 · 10−6 + 0. 25)2 + 18 · 10−4 + 0. Respecto los ejes y y z locales. 03 × 0. 13 = = 50 · 10−6 m4 12 0. Herrero P´rez e . 63 = = 18 · 10−4 m4 12 0. 33 = 225 · 10−6 m4 12 0. los momentos de inercia son 0.8). Iyz = S1 dy1 dz1 + S2 dy2 dz2 + S3 dy3 dz3 Sustituyendo valores num´ricos. Los ejes y momentos principales de inercia El tensor de inercia es I= 56 · 10−4 30 · 10−4 30 · 10−4 29 · 10−4 Resolviendo el determinante 56 · 10−4 − I 30 · 10−4 −4 30 · 10 29 · 10−4 − I =0 se obtiene la ecuaci´n caracter´ o ıstica I 2 − 0. se obtiene e Iyz = 0. 216 m 0.224 Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales Para obtener el producto de inercia se utiliza la ecuaci´n (A. precisamente por estar referidos a dichos ejes. 25 × (−0. 0085I + 724 · 10−8 = 0 cuyas ra´ ıces son los momentos principales de inercia: I1 = 75 · 10−4 m4 . I2 = 10 · 10−4 m4 (c) 2011 Santiago Torrano & D. 03 × (−0. 20 + 0. se obtiene a √ iy = √ iz = 56 · 10−4 = 0.11) y (A. 03 × 0.20). Sustituyendo los valores ya conocidos de ´rea e inercias. 155 m 0. 12 29 · 10−4 = 0. 12 3.12). 20) = −30 · 10−4 m4 Para calcular los radios de giro se utilizan las expresiones (A. Los productos o de inercia de cada trozo respecto a unos ejes que pasen por el centro de gravedad de cada uno de ellos son nulos. 25) × 0. Herrero P´rez e . 8398 T En la Figura A.10 se muestran los ejes principales de inercia de la secci´n. y teniendo en cuenta la condici´n o l2 + m2 = 1 se obtiene la direcci´n del eje principal 2 o n2 = 0. 8398 ±0. y teniendo en cuenta la condici´n o l2 + m2 = 1 se obtiene la direcci´n del eje principal 1 o n1 = ±0.Propiedades est´ticas de ´reas planas a a 225 C´lculo de la direcci´n principal correspondiente al momento prina o cipal de inercia I = I1 56 · 10−4 − 75 · 10−4 30 · 10−4 −4 30 · 10 29 · 10−4 − 75 · 10−4 l m = 0 0 Desarrollando la expresi´n anterior se obtiene el sistema lineal y homog´neo o e de ecuaciones. 5430 ±0. 5430 T C´lculo de la direcci´n principal correspondiente al momento prina o cipal de inercia I = I2 56 · 10−4 − 10 · 10−4 30 · 10−4 30 · 10−4 29 · 10−4 − 10 · 10−4 l m = 0 0 Desarrollando la expresi´n anterior se obtiene el sistema lineal y homog´neo o e de ecuaciones. o (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´rez e . 226 Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales Figura A.10 Secci´n en Z. como se muestra en la Figura A.11 o e Figura A. 3 = 0. o cuyas ´reas parciales y total son a S1 = 0. que pasen por el centroide 3.12. Herrero P´rez e . Las coordenadas del centroide referidas a los ejes de referencia 2. Obtener las coordenadas del centroide referidas a los ejes de referencia La secci´n se puede dividir en dos trozos. 21 m2 S2 = 0. Los momentos de inercia. 3 = 0. 7 × 0. 2 × 0. Anal´ ıtica y gr´ficamente los ejes y momentos principales de inercia a Soluci´n: o 1. 27 m2 (c) 2011 Santiago Torrano & D.11 Secci´n en L asim´trica o e Obtener: 1.2 Para la secci´n en L asim´trica que se muestra en la Figura A. 06 m2 S = S1 + S2 = 0. el producto de inercia y los radios de giro respecto a unos ejes paralelos a los de referencia. Ejes principales de inercia o Ejemplo A. (A.Propiedades est´ticas de ´reas planas a a 227 Figura A. 75 · 10−4 m4 12 0. 33 = 45 · 10−5 m4 = 12 IzC1 = IzC2 0. (c) 2011 Santiago Torrano & D. (A. o Considerando las distancias que se muestran en la Figura A. 06 = = 0. 2 2 IyC = IyC1 + S1 dz1 + IyC2 + S2 dz2 2 2 IzC = IzC1 + S1 dy1 + IzC2 + S2 dy2 Las distancias dyi y dzi se muestran en la Figura A.16) y (A. 06 zC = = = 0.7). Descomposici´n en dos rect´ngulos o e o a El centroide de la secci´n se calcula a partir de las expresiones (A. Al comienzo. los momentos de inercia son IyC1 = IyC2 0. 394 m S 0.9). Obtener los momentos de inercia.17). las coordenadas del centroide son y1 S1 + y2 S2 0.13).6) y (A. 294 m S 0. Herrero P´rez e . 21 + 0. 27 z1 S1 + z2 S2 0. 23 = = 2 · 10−4 m4 12 Aplicando Steiner. 2. 35 × 0. 21 + 0. Respecto los ejes y y z locales. 35 × 0. 1 × 0. se calculan los momentos de inercia de cada trozo respecto a unos ejes paralelos a los de referencia (en este caso son los ejes que pasan por el centroide de la secci´n y son paralelos a los que se consideran o inicialmente). 3. 73 = 85. 27 yC = 2. 55 × 0. que pasen por el centroide Para calcular los momentos de inercia se utilizan las expresiones (A.8). el producto de inercia y los radios de giro respecto a unos ejes paralelos a los de referencia. 3.12. 75 · 10−4 m4 12 0. 33 = 15. 7.12 Secci´n en L asim´trica. se obtienen los momentos de inercia del conjunto respecto a los ejes yC y zC . 2 m 0. 194)2 = 46. 132 m 0. 06 × 0. Distancias para el c´lculo de los momentos o e a y producto de inercia Sustituyendo valores num´ricos. 75 · 10−4 + 0. 33 · 10−4 m4 Para calcular los radios de giro se utilizan las expresiones A. 92 · 10−4 = 0. 056 × (−0. 75 · 10−4 + 0. 27 46. 92 · 10−4 m4 IzC = 15.13 Secci´n en L asim´trica. 21 × (−0. 06 × (−0. 0562 + 2 · 10−4 + 0. se obtiene a iy = iz = 108. 92 · 10−4 m4 Para obtener el producto de inercia se utilizar´ la ecuaci´n A. Herrero P´rez e .11 y A. se obtiene e IyC = 85. 156 = −23. 194) × 0. 044)2 + 45 · 10−5 + 0. precisamente por estar referidos a dichos ejes.228 Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales Figura A. 21 × 0. 92 · 10−4 = 0. 06 × (−0. Los productos a o de inercia de cada trozo respecto a unos ejes que pasen por el centro de gravedad de cada uno de ellos son nulos. Sustituyendo los valores ya conocidos de ´rea e inercias. 21 × 0.20. se obtiene e Iyz = 0. 1562 = 108. 044) + 0.12. 27 (c) 2011 Santiago Torrano & D. Iyz = S1 dy1 dz1 + S2 dy2 dz2 Sustituyendo valores num´ricos. 72) · 10−4 23. 0156I + 45. 72) · 10−4 l m = 0 0 Desarrollando la expresi´n anterior se obtiene el sistema lineal y homog´neo o e de ecuaciones y teniendo en cuenta la condici´n o l2 + m2 = 1 se obtiene la direcci´n del eje principal 1 o n1 = ±0. 92 · 10−4 − I 23. 12 · 10−4 m4 C´lculo de la direcci´n principal correspondiente al momento prina o cipal de inercia I = I1 (108. 33 · 10−4 46. 33 · 10−4 23. 33 · 10−4 23. 92 · 10−4 Resolviendo el determinante 108. 3170 T (c) 2011 Santiago Torrano & D. Obtener anal´ ıtica y gr´ficamente los ejes y momentos principales de inercia Los a ejes y momentos principales de inercia El tensor de inercia es I= 108. 33 · 10 (46. 92 · 10−4 23. 92 − 116. 33 · 10−4 46. I2 = 39. 92 · 10−4 − I se obtiene la ecuaci´n caracter´ o ıstica =0 I 2 − 0. 33 · 10−4 −4 23. 72 · 10−4 m4 . 92 − 116. 9484 ±0. 66 · 10−6 = 0 cuyas ra´ ıces son los momentos principales de inercia: I1 = 116. Herrero P´rez e .Propiedades est´ticas de ´reas planas a a 229 3. 33 · 10−4 23. 92 − 39. o Figura A. Ejes principales de inercia o e En la Figura A. o a Figura A.230 Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales C´lculo de la direcci´n principal correspondiente al momento prina o cipal de inercia I = I2 (108. 12) · 10−4 l m = 0 0 Desarrollando la expresi´n anterior se obtiene el sistema lineal y homog´neo o e de ecuaciones y teniendo en cuenta la condici´n o l 2 + m2 = 1 se obtiene la direcci´n del eje principal 2 o T n2 = 0.15 se muestra la soluci´n gr´fica. 92 − 39. 33 · 10−4 (46. Herrero P´rez e . Momentos principales de inercia: soluci´n o e o gr´fica a (c) 2011 Santiago Torrano & D. 9484 En la Figura A.15 Secci´n en L asim´trica.14 Secci´n en L asim´trica. 3170 ±0.14 se muestran los ejes principales de inercia de la secci´n. 12) · 10−4 23.