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Inclusão para a vidaMatemática A Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4 ou quando o número terminar em 00. Exemplos: 5716, 8700, 198200. Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 se o último algarismo for 0 ou 5. Exemplos: 235, 4670, 87210. Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 se for simultaneamente divisível por 2 e 3. Exemplos: 24, 288, 8460. Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos forem divisíveis por 8 ou forem três zeros. Exemplos: 15320, 67000. Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 9. Exemplos: 8316, 35289. Divisibilidade por 10 Um número é divisível por 10 se o último algarismo for zero. Exemplos: 5480, 1200, 345160. NÚMEROS PRIMOS Um número p, p 0 e p 1, é denominado número primo se apresentar apenas dois divisores, 1 e p. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,..... Observação: Um número é denominado composto se não for primo. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM Denomina-se menor ou mínimo múltiplo comum (M.M.C) de dois ou mais números o número p diferente de zero, tal que p seja o menor número divisível pelos números em questão. Exemplo: Determinar o M.M.C entre 6 e 8. Processo 1: M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, ....} M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...} Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 24 Processo 2: 6–8 3–4 3–2 3–1 1–1 2 2 2 3 UNIDADE 1 ARITMÉTICA BÁSICA MÚLTIPLO DE UM NÚMERO Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que c é múltiplo de a e b. Exemplo: Múltiplos de 3 M(3) = {0, 3, 6, 9, ....} Observações: O zero é múltiplo de todos os números. Todo número é múltiplo de si mesmo. Os números da forma 2k, k N, são números múltiplos de 2 e esses são chamados números pares. Os números da forma 2k + 1, k N, são números ímpares. DIVISOR DE UM NÚMERO Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que a e b são divisores c. Exemplo: Divisores de 12 – D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Observações: O menor divisor de um número é 1. O maior divisor de um número é ele próprio. Quantidade de divisores de um número Para determinar a quantidade de divisores de um número procede-se assim: a) Decompõem-se em fatores primos o número dado; b) Toma-se os expoentes de cada um dos fatores e a cada um desses expoentes adiciona-se uma unidade. c) Multiplica-se os resultados assim obtidos. Exemplo: Determinar o número de divisores de 90 90 = 2 . 3 . 5 1 2 1 (1 + 1).(2+1).(1 +1) = 2.3.2 = 12 Logo, 90 possui 12 divisores CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 se for par. Exemplos: 28, 402, 5128. Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 se a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplos: 18, 243, 3126. Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 23.3 = 24 Pré-Vestibular da UFSC 1 Matemática A MÁXIMO DIVISOR COMUM Denomina-se máximo divisor comum (M.D.C) de dois ou mais números o maior dos seus divisores comuns. Exemplo: Determinar o M.D.C. entre 36 e 42 Processo 1: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 21, 42} Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 é 6. Processo 2: 36 = 22.32 e 42 = 2.3.7 Inclusão para a Vida encontrar de novo no ponto de partida, levando em consideração ambas as velocidades constantes? 5. Três vizinhos têm por medidas de frente: 180m, 252m e 324m, respectivamente, e mesmas medidas para os fundos. Queremos dividi-los em faixas que tenham me didas iguais de frente e cujo tamanho seja o maior possível. Então cada faixa medirá na frente: a) 12 m d) 30 m b) 18 m e) 36 m c) 24 m Tarefa Complementar  Os fatores comuns entre 36 e 42 são 2.3 Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 é 6. 6. Um alarme soa a cada 10 horas, um segundo alarme a cada 8 horas, um terceiro a cada 9 horas e um quarto a cada 5 horas. Soando em determinado instante os quatro alarmes, depois de quanto tempo voltarão a soar juntos? a) 240 horas b) 120 horas c) 32 horas d) 360 horas e) 320 horas Exercícios de Sala  1. (UFSC) Um país lançou em 02/05/2000 os satélites artificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar o desmatamento em áreas de preservação, as nascentes dos rios e a pesca predatória no Oceano Atlântico. No dia 03/05/2000 podia-se observá-los alinhados, cada um em uma órbita circular diferente, tendo a Terra como centro. Se os satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9 dias para darem uma volta completa em torno da Terra, então o número de dias para o próximo alinhamento é: 7. Três tábuas medindo respectivamente 24cm, 84cm e 90 cm serão cortadas em pedaços iguais, obtendo assim tábuas do maior tamanho possível. Então cada tábua medirá: a) 10 cm d) 12 cm b) 6 cm e) 4 cm c) 8 cm 2. Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 12 e 20, respectivamente. O valor de x. y é: a) 240 d) 340 b) 120 e) 230 c) 100 8. Sejam os números A = 23.32. 5 B = 22 . 3 . 52 3. O número de divisores naturais de 72 é: a) 10 d) 13 b) 11 e) 14 c) 12 Então o M.M.C e o M.D.C entre A e B valem respectivamente: a) 180 e 60 c) 1800 e 600 e) n.d.a. b) 180 e 600 d) 1800 e 60 Tarefa Mínima Determine: a) b) c) d)  9. (Santa Casa-SP) Seja o número 717171x, onde x indica o algarismo das unidades. Sabendo que esse número é divisível por 4, então o valor máximo que x pode assumir é: a) 0 d) 6 b) 2 e) 8 c) 4 1. Considere os números A = 24, B = 60; C = 48. M.M.C entre A e B M.D.C entre B e C M.M.C entre A, B e C M.D.C entre A, B e C 2. Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 20 e 36, respectivamente. O valor de x. y é: a) 240 d) 340 b) 720 e) 230 c) 120 10. (PUC-SP) Qual dos números abaixo é primo? a) 121 d) 201 b) 401 c) n.d.a. c) 362 11. (PUC-SP) Um lojista dispõe de três peças de um mesmo tecido, cujos comprimentos são 48m, 60m e 80m. Nas três peças o tecido tem a mesma largura. Deseja vender o tecido em retalhos iguais, cada um tendo a largura das peças e o maior comprimento possível, de modo a utilizar todo o tecido das peças. Quantos retalhos ele deverá obter? 2 3. Determine o número de divisores naturais dos números a) 80 b) 120 4. Um ciclista dá uma volta em uma pista de corrida em 16 segundos e outro ciclista em 20 segundos. Se os dois ciclistas partirem juntos, após quanto tempo irão se Pré-Vestibular da UFSC } Podemos citar alguns subconjuntos dos inteiros Z* = inteiros não nulos.32515151.5z. } Um subconjunto importante dos naturais (N) é o conjunto N* ( naturais sem o zero ) N* = { 1. 3. 4..B é dado por: 2x.. e cujo o denominador é um número formado de tantos noves quantos são os algarismos do período. b Z. ... então x + y + z vale: Q={x|x a . = 99 b) Dízima Periódica Composta: é um número fracionário cujo numerador é a diferença entre a parte não periódica seguida de um período e a parte não periódica.. -3. 2. 3. -2. { 0.. 5..434343..3777.. 0} Z*_ = inteiros negativos. 0. -1. (Fuvest-SP) O menor número natural n. b Z* } 14. } a. b) N 7 9 3 b) 0. 13. 42dm...Inclusão para a vida 12.. que torna o produto de 3 888 por n um cubo perfeito é: a) 6 d) 18 b) 12 e) 24 c) 15 Ou seja. cujos comprimentos são. 3.. 3. -1 } a.. { 1. Com a ressalva que a divisão por zero é impossível (exceto quando o numerador for zero também).. . = 3251 32 9900 Pré-Vestibular da UFSC 3 . 5.2 = 2 10 ) 1 3 15. -1.= 9 a) 0777. { .. todo número que pode ser colocado em forma de fração é um número racional.. Geratrizes de uma dízima periódica Toda fração que dá origem a uma dízima periódica se chama GERATRIZ. 4...333. 2. seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não periódica...3y.. onde o resultado era um número não inteiro. diferente de zero. -2.. 3. { . É verdade que o número p2 – 1 é divisível por: a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5 Matemática A Conjunto dos Números Racionais Os números Racionais surgiram com a necessidade de dividir dois números inteiros.D. 4. . -3. -3.. (a . procedemos assim: a) Dízima Periódica Simples: é um número fracionário cujo numerador é o algarismo que representa a parte periódica e o denominador é um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período. -3. . = ) As quatro operações são definidas nos racionais.C) e o mínimo múltiplo comum de 360 e 300. O produto A. (UEL-PR) Seja p um número primo maior que 2.. 1.. -2. Para determinarmos a GERATRIZ de uma dízima periódica.333... .. (a + b) N e (a ... em que o primeiro fosse menor que o segundo... (ACAFE) Um carpinteiro quer dividir em partes iguais três vigas. = Conjunto dos Números Inteiros Os números inteiros surgiram com a necessidade de calcular a diferença entre dois números naturais. 0. Z = { . . Exemplos: UNIDADE 2 CONJUNTOS NUMÉRICOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos Números Naturais N = { 0... 1. respectivamente. O total de pedaços obtidos com as três vigas é: a) 18 d) 180 b) 21 e) 20 c) 210 d) dízimas periódicas ( 0.. 1. b) Z e (a – b) Z 37 3 90 34 90 17 45 3219 9900 1073 3300 b) 0. } Z*+ = inteiros positivos. 2.. São exemplos de números racionais: a) Naturais b) Inteiros c) decimais exatos ( 0.. b N..= 1 3 43 c) 0. respectivamente. -2. 3m. 3. Sejam A e B o máximo divisor comum (M. Exemplos: a) 0. } Z+ = inteiros não negativos. 2. (a + b) Z. } Z _ = inteiros não positivos.. -1. 2..... { . devendo a medida de cada um dos pedaços ser a maior possível. 1. 2.0054 km. com a b Z. + ) representa o conjunto dos números reais (R) (x. Os números reais p e q são denominados. x[ representa um conjunto vazio { } O intervalo ( .. Porém. x] representa um conjunto unitário {x} O intervalo ]x. então: x = k ou x = 3} k QUADRO DE RESUMO Q Z N I Exemplo: Veja outros exemplos: 1) {x Por enquanto. isso não significa que os racionais preencham toda reta. a Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a. 2) {x PROPRIEDADES EM Comutativa: a + b = b + a e a .Matemática A Conjunto dos Números Irracionais Apesar de que entre dois números racionais existir sempre um outro racional. como por exemplo: a) = 3. a 0 a R| x 1} = ] . nosso conjunto universo será o campo dos reais. b) e = 2. | x | = k... q[ R| p x < q} = [p..c = a. 1] R| x > 2} = ]2. q] R| x < q} = ] . y[ Pode -se representar um intervalo real de 3 maneiras: Notação de conjunto. 4[ Pré-Vestibular da UFSC 4 .. q] R| x q} = [q. é necessário saber que existem números que não são reais. 3] Representação Gráfica. Dado o triângulo retângulo abaixo de catetos 1 e 1. conforme veremos a seguir: {x {x {x {x {x {x {x {x R| p x q} = [p. Exemplo: {x R| 2 < x Notação de intervalo. teremos um número que não é natural. [ R| x q} = ] .b). q] R| p < x < q} = ]p.(b.. com k > 0. Serão caracterizados por desigualdades. b = b . Os números irracionais são aqueles que não podem ser colocados em forma de fração. nem racional. 1 = a Simétrico: a + (– a) = 0 1 Inverso: a . c) toda raiz não exata Conjunto dos Números Reais Os números reais surgem da união dos números racionais com os irracionais. = 1. 71. [ R| x > q} = ]q. inteiro. Calcular o valor da hipotenusa.. extremo inferior e extremo superior do intervalo. Inclusão para a Vida INTERVALOS NUMÉRICOS E MÓDULO DE UM NÚMERO REAL INTERVALOS NUMÉRICOS Chamamos intervalo qualquer subconjunto contínuo de . q[ x 1 1 Aplicando o teorema de Pitágoras temos: x2 = 12 + 12 x= 2 Extraindo a raiz de 2. Exemplo: ]2.14. [ 3) {x R| 3 x < 4} = [3.c) Elemento neutro: a + 0 = a e a . estes são chamados de complexos e serão estudados mais detalhadamente adiante. respectivamente. Observações O intervalo [x. q[ R| p < x q} = ]p. Veja o seguinte exemplo. surge então os números irracionais. y) = ]x. Definição Matemática A | x | < k.Inclusão para a vida MÓDULO DE UM NÚMERO REAL Módulo ou valor absoluto de um número real x é a distância da origem ao ponto que representa o número x. y| = | x |. k N} 5 . se x 0 Exercícios de Sala Exemplos: a) como 3 > 0.6 x=4 ou x=-8 S = {-8. então |–3| = –(–3) = 3 Propriedades |x| 0 | x |2 = x2 1 8 2 5 1 3 x2 | x | |x – y| = |y – x| |x . então | 3 | = 3  1. k N} {x| x = 2k + 1. 3} Exemplo 2: Resolva a equação |x + 2|= 6 x+2=6 ou x + 2= .0. então: x < k ou x > k Exemplos: |x|>3 | x | > 10 x < – 3 ou x > 3 x < –10 ou x > 10 x x.3 S= Exemplo 2: |x + 2| = -10 S= Inequação Modular Sendo k > 0.1 Sobre as soluções dessas equações é verdade afirmar que: a) II são números irracionais b) III é um número irracional c) I e II são números reais d) I e III são números não reais e) II e III são números racionais x y Equação Modular x y Equação Modular é a equação que possui a incógnita x em módulo. 4} 3. | y | b) 2 3 : 1 4 5 3 2. (PUC-SP) Considere as seguintes equações: I . se x 0 . então: x = 0 Tarefa Mínima | x | = k. Enumere os elementos dos conjuntos a seguir: a) b) c) d) e) f) {x N| x é divisor de 12} {x N| x é múltiplo de 3} {x N| 2 < x 7} {x Z| . com k < 0. Indicamos o módulo de x por | x |. Tipos de inequações modulares: Pré-Vestibular da UFSC  1. Calcule o valor das expressões abaixo: a) 3 4 b) como – 3 < 0. com k = 0.1 x < 3} {x| x = 2k.x. | x | k denominam-se inequações modulares. então: não há solução Exemplo 1: | x | = . | x | > k.x2 + 4 = 0 II .3x = 0. com k > 0. | x | k. as expressões do tipo | x | < k. Resolva em a) | x | = 3 c) |x2 –5x | = 6 as seguintes equações: b) |2x – 1| = 7 d) |x + 2| = –3 e) |x|2 – 5|x| + 4 = 0 | x | = k.x2 – 4 = 0 III . Tipos de equações modulares: Exemplo 1: | x | = 3 x = 3 ou x = -3 S = {-3. então: Exemplos: |x|<3 | x | < 10 –3<x<3 – 10 < x < 10 k<x<k | x | > k. com k > 0. 16... 2 7.. então a é par. então |a + b| = |a| + |b| d) Sejam a e b dois números reais com sinais opostos..a.1414. Existem 4 números inteiros positivos e consecutivos tais que o produto de 2 deles seja igual ao produto dos outros dois. para todo x real..Matemática A 2. (FUVEST) Os números inteiros positivos são dispostos em “quadrados” da seguinte maneira: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a = 0. Sendo a = 1 + b2 com b sendo um número ímpar. 5... são respectivamente: a) 23 23 e 100 99 b) 20 43 e 99 99 2 1 e 10 5 c2 1 Inclusão para a Vida 02. pode-se dizer que: a) x. Sejam a e b números naturais. As geratrizes das dízimas: 0. ..4 = 0 é: 2 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 . Resolva em a) |x| = 10 c) |x – 2| = -3 as seguintes equações: b) |x + 1| = 7 d) x 2 + 3 x .. então |a + b| > |a| + |b| e) | x | = x. a.. (FATEC-SP) Se a = 0.d...5 x . .. (FGV-SP) Qual dos seguintes conjuntos está contida no conjunto solução da inequação (1 x) 1? 2 9.. e 0.. A solução da inequação (2 x 1) a) b) c) d) e) {x {x {x {x {x |–2 x |–1 x | x 3} | x 7} |–3 x 3} 6} O número 500 se encontra em um desses “quadrados”. .1} {x R .y é irracional c) x + y racional d) x . (FGV-SP) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y... Qual a posição do número xy? a) 7 e 8 d) 7 e 8 b) 7 e 8 e) n.. x.333. . (FUVEST) Na figura estão representados geometricamente os números reais 0. O número 7 5 2 é real. y e 1. b = 1. Assinale a alternativa correta: 6.4 x 0} {x R . A expressão|2x – 1| para x < 2} 1 é equivalente a: 2 Tarefa Complementar  a) 2x – 1 c) 2x + 1 e) – 1 b) 1 – 2x d) 1 + 2x 12. . 2x 1 5 3 são: c) 7 e 8 a) à esquerda de 0 c) entre x e y e) à direita de 1 b) entre zero e x d) entre y e 1 14. tal que |x| < 0 c) Sejam a e b dois números reais com sinais iguais. então existe x. e c = 0. ambos divisíveis por 7 e tais que a divisão de um pelo outro deixe resto 39. então a. o número 247 é um número primo. b = 0. (UFGO) Os zeros da função f(x) = 8.5 e c = ..333. .2 x 0} Todos os conjuntos anteriores 6 . Pré-Vestibular da UFSC a) b) c) d) e) {x R . (ACAFE) O valor da expressão .. . Determine a soma dos números associados às proposições corretas: 01.y + 2 é irracional e) x + 2y é irracional 13.. É possível encontrar dois números naturais.b c 10.232323.666. 04. A linha e a coluna em que o número 500 se encontra são respectivamente: a) 2 e 2 c) 2 e 3 e) 3 e 1 b) 3 e 3 d) 3 e 2 5 11.y é racional b) y.3 x 0} {x R . 08. quando c) 23 43 e 99 198 1 1 d) e 3 10 e) 3.2171717.2 é igual a: 4..b-1 + c é igual a: a) Se x é um número real. então x |x | b) Se x é um número real.. O número 4 nesse caso é denominado RAIZ da equação Duas equações que têm o mesmo conjunto solução são chamadas equivalentes. Veja: Se: a > b então para m a + m > b + m Se: a > b então para m > 0 a. o seguinte sistema: x 3y 2x 3 y 1 2 Tarefa Mínima  1. (ITA-SP) Os valores de x real dada por f(x) = formam o conjunto: a) [0. Uma inequação é dita do 1º grau quando pode ser escrita na forma: ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b 0 ax + b 0 b) x = – 3 e) x = 1 c) x = 3 3. Nela o número 4 é solução. Obtenha m de modo que o número 6 seja raiz da equação 5x + 2m = 20 3. 0] R para os quais a função 5 || 2 x 1 | 6 | está definida. pois 2. como exemplo. Resolva em R.m<b. 6] UNIDADE 3 EQUAÇÕES DO 1º GRAU INEQUAÇÕES DEFINIÇÃO Uma sentença numérica aberta é dita equação do 1º grau quando pode ser reduzida ao tipo ax + b = 0. com a 0 b) x 10 4 3x 2 b) – 4(x + 3) + 5 = 2(x + 7) c) x 1 2 x 3 3 4 10 Pré-Vestibular da UFSC 7 .x = 5 [1. ) [1.m Exercícios de Sala  um número maior que 5 um número menor que – 11 um número natural um número irracional um número real 4. d) 502x = 500x e) 0. PRINCÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO DA IGUALDADE Se: a = b então para m Se: a = b então para m a+m=b+m 0 a.m Se: a > b então para m < 0 a.. Resolva em R as seguintes equações e inequações: a) ax + b = 0. Resolver em R as equações: a) b) c) d) e) f) 6x – 6 = 2(2x + 1) 2(x + 1) = 5x + 3 (x + 1)(x + 2) = (x + 3)(x + 4) – 3 2(x – 2) = 2x – 4 3(x – 2) = 3x x 1 x 1 2 3 4 x 3 x 1 2 x é: 2.Inclusão para a vida 15. Determine a solução de cada sistema abaixo: a) 2 x y x y 3 3 b) x x y y 5 1 c) 3x y 1 2x 2 y 1 5. A solução da equação a) x = – 2 d) x = 2 INEQUAÇÕES DO 1º GRAU Inequações são expressões abertas que exprimem uma desigualdade entre as quantidades dadas. os princípio aditivo e multiplicativo com uma ressalva.0] e) [-5.m>b. 6] g) x 1 2 3x 8 Matemática A [1.m 2.m=b. a equação 2x + 1 = 9. (FGV–SP) A raiz da equação a) b) c) d) e) x 1 3 2x 4 1 1 é: Nas inequações do 1º grau valem também. Resolva em R as inequações: a) 3(x + 1) > 2(x – 2) c) 1 3 x 2 1 4 1. 1] c) [-5.4 + 1 = 9. 0] b) [-5.x = 0 f) 0. RESOLUÇÃO Considere. com a diferente de zero. 6] d) (. tinha em um de seus vagões um certo número de passageiros. O valor de x + y em Inclusão para a Vida  3y 4y 21 1 é: homens igual ao de mulheres.70 por quilômetro rodado.Matemática A Tarefa Complementar 6. sabendo que os pontos assinalados pelas duas equipes estão na razão de 23 para 21? x= b 2a Δ onde: = b2 – 4ac 14. b e c são números reais e a RESOLUÇÃO 1º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0. O preço de venda é de R$ 2. Nessa fórmula. Um deles tirou para si metade dos bombons da caixa. Existem duas raízes reais e iguais < 0. 12. Na segunda parada não desceu ninguém. o outro menino também tirou para si metade dos bombons que encontrou na caixa. x2 = c a 8 . Obtenha o maior de três números inteiros e consecutivos. As tarifas cobradas por duas agências de locadora de automóveis. (UFSC) A soma das idades de um pai e seu filho é 38 anos. entretanto subiram. (UFSC) A soma dos dígitos do número inteiro m tal 8 m + 700 > 42 – m.50. um artesão gasta R$ 1. 18 homens e 2 mulheres. Pode-se ter as seguintes situações: > 0. mais R$ 0. Existem duas raízes reais e distintas = 0. (UFSC) Para produzir um objeto. Não há raiz real RELAÇÕES DE GIRARD Sendo x1 e x2 as raízes da equação ax2 + bx + c. 8.50 por unidade. Restaram 10 bombons. são: agência AGENOR: R$ 90. b. Qual o total de passageiros no vagão no início da viagem? 2x 7x UNIDADE 4 EQUAÇÕES DO 2º GRAU Denomina-se equação do 2º grau a toda equação que pode ser reduzida a forma: ax2 + bx + c = 0 onde a. o coeficiente c for igual a zero procede-se assim: ax2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 x = 0 ou ax + b = 0 S = {0. c a x= c a c . cuja soma é o dobro do menor. o que determina o número de soluções reais da equação.00 por dia. A idade do pai será: b } a 0 3º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0. é: 9.00 por dia. (UFSC) Na partida final de um campeonato de basquete. Quantos pontos assinalou a equipe vencedora. 7.60 por quilômetro rodado. O número mínimo de objetos que o artesão deve vender. o coeficiente b for igual a zero procede-se assim: ax2 + c = 0 ax2 = c x2 = 0. nesse vagão. para que recupere o capital empregado na produção dos mesmos. (UFSC) A soma dos quadrados dos extremos do intervalo que satisfaz simultaneamente. ficando o número de Pré-Vestibular da UFSC x1 . Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa. é: 5 11. Agência TEÓFILO: R$ 80. ao iniciar uma viagem. ele tem uma despesa fixa de 123. Seja x o número de quilômetros percorridos durante um dia. (UEL-PR) Um trem. = b2 – 4ac é o discriminante da equação. as inequações: x + 3 2 e 2x . para veículos idênticos. Daqui a 7 anos o pai terá o triplo da idade do filho. Mais tarde. Além disso.20 por unidade. independente da quantidade de objetos produzidos. mais R$ 0. Determine o intervalo de variação de x de modo que seja mais vantajosa a locação de um automóvel na agência AGENOR do que na agência TEÓFILO. tem-se: x1 + x2 = b a 15. a. Na primeira parada não subiu ninguém e desceram desse vagão 12 homens e 5 mulheres restando nele um número de mulheres igual ao dobro do de homens. a c a 10. é: que 5 m + 24 > 5500 e S= 2º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0. a equipe campeã venceu o jogo com uma diferença de 8 pontos. c aplica-se a fórmula de Bháskara 13. (UNICAMP) Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus dois filhos.1 17. Se x1 e x2 são as raízes da equação 2x2 – 6x – 3 = 0. x1 + x2 = 3 3 04. 9 então o valor de x12. então. as equações: a) b) c) d) e) f) g) x2 – 5x + 6 = 0 – x2 + 6x – 8 = 0 3x2 – 7x + 2 = 0 x2 – 4x + 4 = 0 2x2 – x + 1 = 0 4x2 – 100 = 0 x2 – 5x = 0 9.x2 + x1. Considere a equação x2 – mx + m = 0 na incógnita x. as equações: a) 2x2 – 32 = 0 c) 2x2 – 5x – 3 = 0 6. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 5x – 1 = 0. a soma dos inversos das raízes é 6 16. = –2 x1 x 2 16. o produto das raízes dessa equação é 0. Se x é solução da equação x2 – 3 + 2. então. determine a soma dos números associados às proposições verdadeiras: 01. a equação não possui raízes reais 9 5.5 04. então a soma dos quadrados desse número com o seu inverso é 23. x12. Resolver em R a equação 2 x 1 x 1 7. x2 = 2 1 1 08.Inclusão para a vida Exercícios de Sala Matemática A Tarefa Complementar  b) x2 – 12x = 0  2 1 1 1. o valor de x4 = 16 1 1 4. A maior solução da equação 2x4 – 5x2 – 3 = 0 é: a) 3 2. 16. A soma e o produto das raízes da equação 2x2 – 6x + 9 = 0 são respectivamente: a) 3 e 4. então x + y vale: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 c) 6 11. Sendo x1 e x2. em reais. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6x – 3 = 0. Os números 2 e 4 são raízes da equação: a) x2 – 6x + 8 = 0 c) x2 – 6x – 6 = 0 e) x2 + 6x – 1 = 0 b) x2 + x – 6 = 0 d) x2 – 5x + 6 = 0 3. Para quais valores reais de m ela admite raízes reais e iguais? a) 0 e 4 c) 0 e 1 e) 1 e 4 b) 0 e 2 d) 1 e 3 b) 2 c) 3 d) 1 e) 2 8.5 e 5 b) 2 e 4 c) – 3 e 2 e) n. A solução da equação x – 3 = x 3 é: 10. (MACK-SP) Se x e y são números reais positivos. Resolva em R.d. Se x e y são números reais positivos. Considere a equação 2x2 – 6x + 1 = 0. raízes dessa equação. 02. x12 + x22 = 12 32. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x – 6x + 1 = 0. tais que x2 + y2 + 2xy + x + y – 6 =0. x1 x2 02. O valor de 8 3 16 2 é 5 12.a. x1 e x2 são iguais 02. Resolva. (PUC-SP) Quantas raízes reais tem a equação 2x2 – 2x + 1 = 0? a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2 x 2 3 = 2. Se a soma de um número qualquer com o seu inverso é 5. tais que x2 + y2 + 2xy + x + y – 6 =0. x + y vale 2 08. pode-se afirmar: 01.x22 = 2 04.x22 = 9 2 3. x2 Tarefa Mínima  1.5 d) 4. a soma das raízes dessa equação é 3 08. determine: a) x1 + x2 c) 1 x1 1 x2 2 b) x1 . x1 .x2 + x1. Determine a soma dos números associados às proposições corretas: 01. Obtenha 1 x1 1 x2 Pré-Vestibular da UFSC . essa relação será chamada de função quando todo e qualquer elemento de A estiver associado a um único elemento em B. A maior raiz da equação 3x – 7x + 2 = 0 é 2 04. Resolução: f(x) = x2 . d] 15. teremos uma função. Exercícios de Sala  1. Assinale a soma dos números associados às proposições corretas: 3 01. Para isso. Determine f(5). devemos fazer x = -1 f(-1) = (-1)2 . determinar a soma Observações: A imagem está sempre contida no Contra Domínio (Im C. A equação x2 – 4x + 2 = 0 não possui raízes reais Domínio = [a. Determine o valor de x que satisfaz as equações: a) b) Valor de uma Função Denomina-se valor numérico de uma função f(x) o valor que a variável y assume quando a variável x é substituída por um valor que lhe é atribuído. x 1 3 x 3 2x x 1 2 UNIDADE 5 ESTUDO DAS FUNÇÕES Sejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relação R de A em B. E a imagem é o intervalo representado pela projeção do gráfico no eixo y. Por exemplo: considere a relação y = x2 . Resolução: f(x 1) = x2. Calcule o valor de f(3) Resolução: f(x) = x + 2.D) Podemos reconhecer através do gráfico de uma relação. Pré-Vestibular da UFSC dos números associados às proposições corretas: 10 . 14. A soma das raízes da equação x6 – x3 – 2 = 0 é 3 16. Conjunto de Partida: A Domínio: Valores de x para os quais existe y. Determine o valor de f(-1). se essa relação é ou não função.5x + 6.Matemática A 13. onde cada valor de x corresponde um único valor de y. | y B|(x.5(-1) + 6 f(-1) = 1 + 5 + 6 f(-1) = 12 Exemplo 3: Dada a função f(x 1) = x2. teríamos f(4) e não f(5). A maior raiz da equação x4 – 10x2 + 9 = 0 é: a) 3 b) 4 c) 8 d) 9 e) 1 Inclusão para a Vida O domínio de uma função é o intervalo representado pela projeção do gráfico no eixo das abscissas. As raízes da equação x2 – 4x + 5 = 0 estão compreendidas entre 1 e 3 08. Formalmente: f é função de A em B ( x A. Contra Domínio: B Conjunto Imagem: Valores de y para os quais existe x. y) f) Numa função podemos definir alguns elementos. b] Imagem = [c. deve-se traçar paralelas ao eixo y. devemos fazer x = 6 f(6 1) = 62 f(5) = 36 Observe que se fizéssemos x = 5. Podemos descrever essa situação como: f(3) = 9 Exemplo 1: Dada a função f(x) = x + 2. Se cada paralela interceptar o gráfico em apenas um ponto. A maior raiz da equação x6 – x3 – 2 = 0 é 2 2 02. então y = 9.5x + 6. Assim se x = 3. devemos fazer x = 3 f(3) = 3 + 2 f(3) = 5 Exemplo 2: Dada a função f(x) = x2 . Seja o gráfico abaixo da função f. para x = -2 . 3). (a. se x d) 7 2x 7 x 3 y= 2x 2 3. A função é decrescente em todo seu domínio 2. 1)} c) {(a. para x = . 4). 1)} d) {(a. 2). assinale a única alternativa que define uma função de A em B. tem-se y = 2 16. (d. c. 1). (a.3 x 3} 02. O domínio da função f é {x R | . Seja f ( x) . 1). Determine o domínio das seguintes funções: 2 a) y = b) y = x 3 3x 9 c) y = x 6 x 2 d) y = 3 x 5 R e g: R R 4. 5 Calcule o valor de: f ( 3) f ( ) f (6) Tarefa Mïnima  R? 01. 1). b.2 y 3} 04.2 x 2} 02. d). (4. se 0 x 5 x 2 5x 6. O domínio da função f é {x R | . (c. a). para x = 3. (UFSC) Considere as funções f: R b) dadas por f(x) = x2 f( 3 x + 2 e g(x) = 6x + . 1). tem-se y = 3 08. d} e c) Pré-Vestibular da UFSC 11 . c). 4.1 y 2} 04. para x = 0. (c. 3. Assinale a soma dos números associados às proposições corretas: 2. (a. (b. (b. (UFPE) Dados os conjuntos A = {a. se x 0 5. 3). determine o domínio de cada função: a) y = 2x + 1 b) y = c) y= 3x 2 2x -1. 5}. (c. (a. A imagem da função f é {y R | . tem-se y = 0 32. (UNAERP-SP) Qual dos seguintes gráficos não representa uma função f: R a) 3. (5. (3. a)} 5. (2. 2 4 B = {1. para x = 2.3. Calcule 5 1 5 ) + g( 1). 2. A função é crescente em todo seu domínio 1. (b. 2)} b) {(a. tem-se y = -1 08. b). (a. 5). 3). a) {(a. 1). tem-se y = 2 16. A imagem da função f é {y R | . 5)} e) {(1. 1).Inclusão para a vida d) Matemática A e) 01. Em cada caso abaixo. 11. tal que f(x) = 0 15. (FGV-SP) Numa determinada localidade.f(b). então f(3x) é igual a: a) 3.00. Considere a função f(x) = x2 – 6x + 8. logo é necessário definir apenas dois pontos para obter o gráfico.5 cm e) 27. (USF-SP) O número S do sapato de uma pessoa está relacionado com o comprimento p.2 UT.00. (PUC-Campinas) Em uma certa cidade. 13. nos percursos sem parada. Nessas condições.do seu pé pela fórmula S = 5p 4 28 . o taxímetro registrava 8. R. O ponto que o gráfico corta o eixo x é chamado raiz ou zero da função. g(x) = x2 + 2x 1 e h(x) = 7 x. o preço da energia elétrica consumida é a soma das seguintes parcelas: 1ª . quaisquer que sejam os números reais a e b. Ponto que o Gráfico corta o eixo x: deve-se fazer y = 0. o valor em módulo da 12 Pré-Vestibular da UFSC .33 kWh c) menos de 65 kWh e) entre 80 e 110 kWh b) mais de 110 kWh d) entre 65 e 80 kWh Como o gráfico de uma função do 1º Grau é uma reta.f(x) b) 3 + f(x) c) f(x3) d) [f(x)]3 e) f(3) + f(x) a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear.3x e) f(x) = 1. o ponto que o gráfico corta o eixo x tem coordenadas ( b a 12. 2ª .Matemática A Tarefa Complementar Inclusão para a Vida  x 2 é: x 7 expressão: 4 h 1 g 4 2 f ( 1) 6.2 cm c) 30. um consumidor pagou R$ 31. Determine: a) f(3) b) f(5) c) os valores de x.2 cm d) 29. Parcela fixa de R$ 10. Forma: f(x) = ax + b com a 0.30. (UDESC) A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. (UFC) O domínio da função real y = a) {x b) {x c) {x d) {x R| x > 7} R| x 2} R| 2 x < 7} R| x 2 ou x > 7} 14.b). Se. (UFSC) Dadas as funções f(x) = 3x + 5.97x c) f(x) = 1. os taxímetros marcam. definida por f(1) = 43 e f(x + 1) = 2 f(x) f(0). então ele consumiu: a) 100. cada kWh custa R$ 0.2 UT por quilômetro rodado. uma quantia de 4UT (unidade taximétrica) e mais 0. (FUVEST) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é: a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0. Logo. (UFSC) Considere a função f(x) real. Qual é o comprimento do pé de uma pessoa que calça sapatos de número 41? a) 41 cm b) 35. ao final de um percurso sem paradas. 15. f(3x + 2) é igual a: UNIDADE 6 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Uma função f de R em R é do 1º grau se a cada x associa o elemento ax + b. Parcela variável que depende do número de quilowatt-hora (kWh) consumidos. Logo.03x 10) ( FCMSCSP ) Se f é uma função tal f(a + b) = f(a). Gráfico O gráfico será uma reta crescente se a for positivo e decrescente se a for negativo.3x d) f(x) = .8 cm 9. o ponto que o gráfico corta o eixo y tem coordenadas (0. Se num determinado mês. 8. Interceptos: Ponto que o Gráfico corta o eixo y: deve-se fazer x = 0. em centímetros. Determine o valor de 7. o total de quilômetros corridos foi: .0). Resolução: o gráfico intercepta o eixo y em (0.3k)x + 2 seja crescente devemos ter: a) k 2 3 b) k 2 3 c) k 2 3 d) k 2 3 e) k 2 3 3. f(x) é uma função decrescente 04. (FGV-SP) O gráfico da função f(x) = mx + n passa D= C. Dê o valor de f(8). Logo o gráfico da função f(x) = – 3x + 1 intercepta o eixo y em (0. Considere as funções f(x) = 2x – 6 definida em reais. a reta que representa a função f intercepta o eixo das ordenadas em (0. a imagem da função são os reais 32. A área do triângulo formado pela reta que representa f(x) e pelos eixos coordenados é 18 unidades de área. = Im = {2} Pré-Vestibular da UFSC 13 . a raiz da função f(x) é 3 08. Determine a soma dos números associados às proposições corretas : 01. Im = pelos pontos A(1. a única representação gráfica correta para a função f(x) = ax + b é: D= C. Sabe-se que f(-1) = 4 e f(2) = 7. Esboçar o gráfico das seguintes funções: a) f(x) = – x + 3 b) f(x) = 2x + 1 1 .Inclusão para a vida RESUMO GRÁFICO Matemática A Exercícios de Sala f(x) = ax + b. f(-1) + f(4) = 0 16. 1 x= 3 Logo. a > 0 f(x) = ax + b.b). a cada x associa sempre o mesmo elemento k R. D(f) = R e Im (f) = k Forma: f(x) = k Gráfico: Exemplo: y = f(x) = 2 R. Função crescente Função decrescente Exemplo: Esboçar o gráfico da função da função f(x) = – 3x + 1. (UFSC) Seja f(x) = ax + b uma função linear. Para determinar o ponto que o gráfico corta o eixo x deve-se fazer y = f(x) = 0.1). Podemos afirmar que m + n vale em módulo: 3.6) 02. 0) 3 2.D. 2). – 3x + 1 = 0 2. = FUNÇÃO CONSTANTE Uma função f de R em R é constante se.D.. o ponto que o gráfico corta o eixo x tem coordenadas ( Tarefa Mínima  1. (PUC-SP) Para que a função do 1º grau dada por f(x) = (2 . a < 0  1. ( UFMG-MG ) Sendo a < 0 e b > 0. 2) e B(4. b) Para produzir 3 litros de perfume. Sendo f(x) = 2x + 5. (b. a empresa gasta R$ 54. 11.2) e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3.Matemática A 4. (UFRGS) Dois carros partem de uma mesma cidade. obtenha o valor de f (t ) t com t . Pré-Vestibular da UFSC x 14 . devido ao desgaste. Então. (UFMA) O gráfico da função f(x) = ax + b intercepta o eixo dos x no ponto de abscissa 4 e passa pelo ponto (1. Se a e b são dois meros positivos (a < b). (UCS-RS) Para que – 3 seja raiz da função f(x) = 2x + k. Distânc ia (em km ) 9. daqui a três anos será: a) 480 b) 360 c) 380 d) 400 e) 416 Tarefa Complementar  c) k = 6 d) k = -6 e) k = 2 13.00.a. 3).00.2. então f(x) é: a) f(x) = x 3 c) f(x) = 2x 5 e) f(x) = 3x 6 b) f(x) = x 4 d) f(x) = 2x 1 Inclusão para a Vida e) Para fabricar o terceiro litro de perfume. a empresa gasta R$ 76. tempo. deve-se ter a) k=0 b) k = . O gráfico abaixo apresenta as distâncias percorridas pelos carros em função do tempo. a empresa gasta menos do que para fabricar o quinto litro. e que daqui a 5 anos valerá R$160. Sabendo-se que hoje ela vale R$800. forma com os eixos do sistema um triângulo cuja área é: a) 1/2 b) 1/4 c) 1/15 d) 3/8 e) 3/16 A = x2 – 3x = 3x2 – 9x d) A = .d. então ela produzirá 5 litros de perfume. em reais. (Santo André-SP) O gráfico mostra como o dinheiro gasto ( y) por uma empresa de cosméticos. c) Para produzir 2 litros de perfume. (Fuvest-SP) A reta de equação 2x + 12y – 3 = 0. f(b) ) é igual a 0. verifica-se que o carro que partiu primeiro foi alcançado pelo outro ao ter percorrido exatamente: a) 60km b) 85km c) 88km d) 90km e) 91km 15. e seu respectivo gráfico. deslocando-se pela mesma estrada. d) Se a empresa gastar R$ 170. em relação a um sistema cartesiano ortogonal. 2b é 8. o seu valor. 0). o valor de f(16) é: 12. O valor de uma máquina decresce linearmente com o f( ) 5.3x2 + 9x e) A = 2x2 – 6x c) A 14.00.2 7.2x2 + 6x a) b) A = .00. (UFSC) Sabendo que a função: f(x) = mx + n admite 5 como raiz e f(-2) = -63. (UERJ) Considere a função f. na produção de perfume. Assim. podemos afirmar: T emp o (em horas) Analisando o gráfico. varia com a quantidade de perfume produzida (x). não gasta. (UFPA) A função y = ax + b passa pelo ponto (1. 0) e (b. (UFRGS) Considere o retângulo OPQR da figura baixo. a área do retângulo de vértices (a. a igual a: a) 12 b) 10 c) 9 d) 7 e) n. f(x) = 1 a) Quando a empresa não produz. definida para todo x real positivo. A área do retângulo em função da abscissa x do ponto R é: 6. O gráfico da função f(x) está representado pela figura abaixo: Pode-se afirmar que f(4) é igual a: 10.00. com a 0 Forma: f(x) = ax + bx + c.c) Para achar o(s) ponto(s) que o gráfico corta o eixo x. O vértice é o ponto de mínimo da função se a > 0. (3b. f(3b)) UNIDADE 7 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Uma função f de R em R é polinomial do 2º grau se a cada x R associa o elemento ax2 + bx + c. A concavidade da parábola é determinada pelo sinal do coeficiente a (coeficiente de x2). deve-se fazer y = 0. quando: a > 0 tem-se a parábola com concavidade para cima a < 0 tem-se parábola com concavidade para baixo Interceptos O ponto que o gráfico corta o eixo y possui coordenadas (0. com a Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 2º Grau de R em R é uma parábola. Essa divisão é feita por um eixo chamado de eixo de simetria. A intersecção desse eixo com a parábola recebe o nome de vértice da parábola. Coordenadas do vértice O vértice é um ponto de coordenadas V(xv. então Im = {y Resumo gráfico >0 R| y R| y 4a 4a } } =0 Estudo do vértice da parábola A Parábola que representa a função do 2º Grau é dividida em duas partes simétricas. Tem-se então uma equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0. Assim. onde: b Δ x . então Im = {y Se a < 0. 0). yv) onde x v b e 2a yv = 4a 0 Imagem da função quadrática Se a > 0. 0) e (3b. <0 Pré-Vestibular da UFSC 15 .Inclusão para a vida Matemática A Calcule a área do retângulo de vértices (3a. onde b 2 4ac 2a Se Se Se >0 =0 <0 Duas Raízes Reais Uma Raiz Real Não possui Raízes Reais 2 O vértice é o ponto de máximo da função se a < 0. Determine as raízes. A imagem da função é { y R| y 4} 32. O gráfico intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0. 3. c = 0 c) a > 0. O gráfico não intercepta o eixo x. esboce o gráfico de f e dê seu conjunto imagem. termine a soma dos números associados às afirmativas verdadeiras: 01. (ESAL-MG) A parabola abaixo é o gráfico da função b) tenha uma intersecção com o eixo x c) não intercepte o eixo x f(x) = ax2 + bx + c. Pré-Vestibular da UFSC 8. A imagem da função é: { y R| y 1} 16. 2 e 4 são os zeros da função f 02.x2 – 2x + 3 de domínio [-2. b < 0. Considere f(x) = x2 – 6x + m definida de Determine o valor de m para que o gráfico de f(x): a) tenha duas intersecções com o eixo 7. O conjunto imagem é: a) [0. (UFSC) Seja f: R  2 R. é 4 unidades de área. A função é crescente em todo seu domínio. 3] c) ]. -1) 04. a) f: b) f: c) f: [0. 4] 1. definida por: f(x) = . 08. b < 0.. f(x) = f(x) = x2 – 2x . 02. as coordenadas do vértice e a imagem de cada função. c < 0 d) a < 0. 5. 3] d) [-3. 4] e) [-5. definida por f( x) = x2 – 3x + 4. Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. As raízes de f(x) são reais e iguais.12). 2 Tarefa Complementar 6. O gráfico de f(x) é simétrico em relação ao eixo x.Matemática A Inclusão para a Vida 08. o vértice da parábola possui coordenadas (3. As raízes de f são 2 e 6. e) sobre o eixo das abscissas. . O gráfico de f(x) tem vértice na origem. o gráfico. (ACAFE-SC) Seja a função f(x) = . b = 0. b) no segundo quadrante. b = 0. c) no terceiro quadrante. (UFSC) Considere a parábola y = -x2 + 6x definida em R x R. Assinale a alternativa correta: Tarefa Mínima  1. 3[ . f(x) é crescente em R. c = 0 e) a > 0. . 08. Assinale as verdadeiras: 01. 2]. 1] b) [-5. d) sobre o eixo das coordenadas. f(x) = x – 2x f(x) = – x2 + 4 . O vértice da parábola possui coordenadas (4. 04. c > 0 2. ( PUC-SP) Seja a função f de R em R. (UFPA) As coordenadas do vértice da função y = x2 – 2x + 1 são: 16 . Para que valores de m o gráfico de f(x) irá interceptar o eixo x num só ponto? 9. o vértice da parábola que representa f localizase: a) no primeiro quadrante. 3. Em cada caso abaixo.x . + ) 16. b > 0. 02. é: Exercícios de Sala  4. Em relação a função f(x) = x2 – 6x + 8 definida de é correto afirmar: 01. 2.8x + 12 de R em R. Dada a função f(x) = x2 . Im(f) = { y R y 0} 32. 04. . f(x) = x2 – 2x – 3 f(x) = (x + 2)(x – 4) f(x) = – x2 + 2x – 1 f(x) = x2 – 3x a) a < 0. c > 0 b) a > 0. 4) 64. a) f: b) f: c) f: d) f: . f(x) é decrescente em [0. O domínio de f é o conjunto dos números reais. A área do triângulo cujos vértices são o vértice da parábola e seus zeros. O domínio da função f(x) é o conjunto dos números reais. . Considere a função definida em x dada por f(x) = x2 – mx + m. 16. A área do triângulo cujos vértices são o vértice da parábola e seus zeros. y = -2x – 2 S = { x R | 1 < x < 4} S = [1.10 + 7. A equação do eixo de simetria da parábola de equação y = 2x2 .g(x) < 0 Para resolvermos inequações deste tipo. Posteriormente. O valor de k + m em módulo é: Para resolver a inequação do 2º grau se associa a expressão a uma função do 2º grau. 1) b) (1. O valor de m é: a) – 3 c) – 2 b) – 4 d) 2 e) – 1 b) resolver a inequação x2 – 7x + 10 0 15. y = -2x + 2 02.5 e) x = 1. A figura abaixo representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V. assim. 4).g(x) c) f(x). pode-se estudar a variação de sinais em função da variável. (UFSC) Dada a função f: R 2 R definida por f(x) = ax + bx + c. 4) c) (-1.g(x) 0 0 b) f(x).Inclusão para a vida a) (-1. 1) Matemática A Inequação do 2º grau é toda inequação da forma: e) (1.10 + 7 = 0 c) x = 2. 0) ax 2 ax 2 ax 2 ax 2 bx c bx c bx c bx c 0 0 0 0 com a 0 10. 4] Inequações Tipo Produto Inequação Produto é qualquer inequação da forma: UNIDADE 8 INEQUAÇÕES DO 2º GRAU INEQUAÇÕES TIPO PRODUTO INEQUAÇÕES TIPO QUOCIENTE INEQUAÇÕES DO 2O GRAU Pré-Vestibular da UFSC a) f(x).5 S = {x R | x -1 ou x S = ]. sabe-se que f(1) = 4. (Mack-SP) O vértice da parábola y = x2 + kx + m é o ponto V( 1. O gráfico da função f(x) = mx – (m – 3)x + m 2 2 3 intercepta o eixo x em apenas um ponto e tem concavidade voltada para baixo. y = x + 2 04. Estes valores irão compor o conjuntosolução. 2) d) (0. (UFSC) Marque no cartão a única proposição correta.. y = 2x + 1 08.8 b) y = 5x + 7 d) y = 3. y = 2x + 2 16. A equação da reta r é: S={x R|2 S = [2. Exemplos: a) resolver a inequação x2 – 2x – 3 0 12. -1] [3.g(x) > 0 d) f(x). (UFPA) O conjunto de valores de m para que o gráfico de y = x2 mx + 7 tenha uma só intersecção com o eixo x é: a) { c) { 7} 2} b) { 0 } d) { 2 7} 11. Determine o valor de a .2b + 3c. 5] x 5} c) resolver a inequação –x2 + 5x – 4 > 0 01. + [ 3} ou 14. Exemplo: Resolver a inequação (x2 – 4x + 3) (x – 2) < 0 17 . f(2) = 7 e f(-1) = 10. 13. faz-se necessário o estudo dos sinais de cada função e em seguida aplicar a regra da multiplicação. selecionam-se os valores da variável que tornam a sentença verdadeira. é: a) 2x . .a.2 ou x 7} {6}.( – x2 – 3x + 4) 0 c) (x – 3) (x2 – 16) < 0 d) x3 x e) x3 – 3x2 + 4x – 12 0 S={x R|1 x < 2 ou x 3} 4. 2 Exemplo: Resolver a inequação x 2. ½] d) (. ½] e) { } b) (-1. em R. em R. com valores reais. x2 2x 3 . b) D = {x R| x .. ou seja. as seguintes inequações: a) (x2 – 2x – 3). as seguintes inequações: 2 a) x Exercícios de Sala  5x 6 x 16 2 0 1. Assinale-o. em seguida. (ESAG) O domínio da função y = a) (.a.Matemática A Inclusão para a Vida a) (x – 3)(2x – 1)(x2 – 4) < 0 b) x 2 7 x 10 x 4 0 Tarefa Mínima  S={x R | x < 1 ou 2 < x < 3} 1. 1) Tarefa Complementar  6.2 ou x 5} d) D = {x R| x .d. Resolver em a) 2 as seguintes inequações: b) x c) d) 2 x – 8x + 12 > 0 2 x 2 5x 6 16 x x 1 0 0 b) x – 8x + 12 c) x2 – 9x + 8 0 0 x x 1 2 x 1 <1 1 2 x nos reais é: x2 1 2. O domínio da função definida por x 2 3x 10 f(x) = é: x 6 a) D = {x R| x 2 ou x 5} {6}. Resolver em a) b) c) d) e) f) as seguintes inequações: Inequações Tipo Quociente Inequação quociente é qualquer inequação da forma: a) f(x) g(x) 0 b) f(x) g(x) >0 c) f(x) g(x) 0 d) f(x) g(x) <0 x2 – 6x + 8 > 0 x2 – 6x + 8 0 – x2 + 9 > 0 x2 4 x2 > 6x x2 1 (Osec-SP) O domínio da função Para resolvermos inequações deste tipo é necessário que se faça o estudo dos sinais de cada função separadamente e. -1) [1/2.( – x2 – 3x + 4) > 0 b) (x2 – 2x – 3). Determine o conjunto solução das seguintes inequações: Pré-Vestibular da UFSC a) x2 – 6x + 9 > 0 c) x2 – 6x + 9 < 0 . Resolva.. -1 ) c) (. se aplique a regra de sinais da divisão.2 ou x 5} {6}. Resolva.d. Resolver em as seguintes inequações: b) x2 – 6x + 9 d) x2 – 6x + 9 0 0 18 3. e) n. c) D = {x R| x . 5. nos casos acima vamos considerar g(x) 0. é um dos f(x) = conjuntos seguintes. É necessário lembrar que o denominador de uma fração não pode ser nulo. x 3} b) { x d) { x R -1 < x < 3 } R x 3} 4x 3 0 x 2 3. a) {x R -1 c) { } e) n. em que x é a quantidade vendida.2 2) 2] b) [– 2 2. FUNÇÃO ÍMPAR Uma função é ímpar quando para valores simétricos de x as imagens forem simétricas. 2 Uma conseqüência da definição é: Uma função f é par se e somente se.(x2 – 4x) a) b) c) d) e) S={x S={x S={x S={x S={} 0 é: R| . 4[ Uma função é par quando para valores simétricos de x temos imagens iguais. 2 11.3} x < 15 e x . ou seja: f( x) = f(x). (CESGRANRIO) Se x2 – 6x + 4 como solução o conjunto {x valem respectivamente: a) 1 e – 1 c) 0 e – 1 e) 0 e 4 |0 – x2 + bx + c tem x 3}. FUNÇÃO COMPOSTA Dadas as funções f: A B e g: B C. então b e c a) 0 < x < 1 c) – 1< x < 0 e) x < –1 ou x > 1 b) 1 < x < 2 d) – 2< x < –1 b) – 1 e 0 d) 0 e 1 UNIDADE 9 PARIDADE DE FUNÇÕES FUNÇÃO COMPOSTA e FUNÇÃO INVERSA Função Par 9. (MACK-SP) O conjunto solução de 6 x x 3 a) { x R b) { x R c) { x R d) {x R e) { x R x > 15 e x < . (UNIP) O conjunto verdade do sistema x 2 9x 8 0 é: 2x 4 0 a) ]1.2 2] 2) d) (– . Neste caso podemos afirmar que o lucro é: a) b) c) d) e) positivo para x entre 3 e 8 positivo para qualquer que seja x positivo para x maior do que 8 máximo para x igual a 8 máximo para x igual a 3 Como conseqüência da definição os gráficos das funções ímpares são simétricos em relação à origem do sistema cartesiano.2 ou x 4} R| x . (PUC-RS) A solução. denomina-se função composta de g com f a função gof: definida de A C tal que gof(x) = g(f(x)) 12.3} x > 0} . o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y. em R. Resolver em as seguintes inequações: b) x2 – 4x + 5 d) x2 – 4x + 5 0 0 Matemática A a) x < 2 ou x > 4 b) x < 2 ou 4 < x < 5 c) 4 < x < 2 ou x > 4 d) 4 < x < 2 ou 3 < x < 4 e) x < 4 ou 2 < x < 3 ou x > 4 a) x2 – 4x + 5 > 0 c) x2 – 4x + 5 < 0 15.2 2} 2.2 x 0 ou 2 x 4} R| 0 x 4} R| x . (FATEC) A solução real da inequação produto (x2 – 4). (ACAFE) O lucro de uma empresa é dado por L(x) = 100(8 –x)(x – 3). da inequação x2 < 8 é: a) { – 2 c) (– 2 2. 2] d) [1. 8[ c) [2. x D(f) 10.Inclusão para a vida 7. x D(f) e) (– . 8[ b) ]1. (FUVEST) De x4 – x3 < 0 pode-se concluir que: 8. 4] e) [4.3 < x < 15} . (Cescem-SP) Os valores de x que satisfazem a inequação (x2 2x + 8)(x2 5x + 6)(x2 16) < 0 são: Pré-Vestibular da UFSC 19 . ou seja: f( x) = f(x).2 ou 0 x 2 ou x 4} 13.15 < x < 15} 5 é: f: A B g: B C gof: A C Condição de Existência: Im(f) = D(g) 14. 3. x1 x2 f(x1) f(x2) Para encontrar a inversa de uma função. o processo prático é trocar x por y e. Os gráficos de duas funções inversas f(x) e f 1(x) são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. Se x 3. (f(x) = x) Exercício Resolvido: Dada a função f(x) = 2x + 4 de R em R.5x + 6 f(g(x)) = (x + 1)2 . A função f 1 de B em A é a inversa de f. isolar y. Basta trocarmos x por y e teremos: f(x) = 2x + 4 x = 2y + 4 x . determine a inversa da função f ( x) 2x 1 x 3 Pré-Vestibular da UFSC 20 . (UFSC) Considere as funções f. em seguida. se e somente se: fof -1(x) = x. DICA: De R R.5x + 6 e g(x) = x + 1. x B. Igualando a zero temos: x2 .4 = 2y f -1(x) = Função sobrejetora: Uma função f de A em B é sobrejetora. e a função do 2º Grau é simples. ou seja: CD = Im x 4 2 Exercícios de Sala  Função bijetora: Uma função é bijetora se for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. achar x de modo que f(g(x)) = 0 Resolução: Primeiramente vamos determinar f(g(x)) e. SOBREJETORA E BIJETORA Função injetora: Uma função f: A B é injetora se e somente se elementos distintos de A têm imagens distintas em B. se todos os elementos de B forem imagem dos elementos de A.3x + 2 = 0 Onde x1 = 1 e x2 = 2 FUNÇÃO INJETORA. Observe que A = D(f) = CD(f -1) e B = D(f -1) = CD(f) IMPORTANTE: f é inversível f é bijetora Exercício resolvido: Dadas as funções f(x) = x2 . a função do 1º Grau é bijetora.3x + 2. determine a sua inversa. Em Símbolos: f é injetora x1. então ela admite inversa. x A e f -1o f (x) = x. em seguida. Resolução: Como a função f(x) é bijetora. igualaremos a zero. Determine: a) f(g(x)) c) f(g(3)) b) g(f(x)) d) g(f(-2)) 2.5(x + 1) + 6 Daí vem que f(g(x)) = x2 . Dadas as funções f(x) = 2x – 1. x2 A. f(x) = x2 . 1.Matemática A Alguns tipos de funções compostas são: a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x)) Inclusão para a Vida FUNÇÃO INVERSA Seja f uma função f de A em B. g: R R tais que g(x) = 2x + 1 e g(f(x)) = 2x2 + 2x + 1. g(x) = x2 + 2. Calcule f(7). f é uma função crescente. determine o valor numérico da função g no ponto x = 18. Dadas as funções: f(x) = valor de gof(4) é: 5 x e g(x) = x2 . 08. (UFSC) Seja f uma função polinomial do primeiro 2x 5. Determine a abscissa do ponto onde o gráfico de f corta o eixo x. 17] tal que f(x) = 2x + 7 b) g: [2. Im(g) = { y R y -1 }. (MACK-SP) Se f(g(x)) = 2x2 – 4x + 4 e f(x – 2) = x + 2. 14.2x -1 c) f (x) = 3-x d) f -1 (x) = 3x + 1 2-x e) nenhuma das anteriores 11. 64. A reta que representa a função f intercepta o eixo das ordenadas em (0. O vértice do gráfico de g é o ponto (0. (UFU-MG) Dadas as funções reais definidas por f(x) = 2x . então o valor de g(2) é: a) . 5] [0. com x x 2 determine f -1(2). (Mack-SP) Sejam as funções reais definidas por f(x) = x 2 e f(g(x)) = 2x 3. O valor de f(g(-5)) é: 9.Chagas-BA) A função inversa da função f(x) = 2x 1 é: x 3 a) f b) f -1 -1 ( x) = (x) = x+3 2x . (UFSC) Sejam f e g funções de R em R definidas por: f(x) = -x + 3 e g(x) = x2 . o 8.6 e g(x) = x2 + 5x + 3.Inclusão para a vida Tarefa Mínima  1.d. -5 ou x 0} -5} 0} 2x + 1 x-3 1 .1.Determine a soma dos números associados à(s) proposições verdadeiras. Calcule f(f(a)) Tarefa Complementar  6. g(x) = 2 .1 2. UNIDADE 10 EXPONENCIAL EQUAÇÃO EXPONENCIAL Chama-se equação exponencial toda equação que pode ser reduzida a forma ax = b. tal que f(3) = 2 e f(f(1)) = 1.x.1. A função inversa da f é definida por f -1(x) = -x + 3. O valor de g(f(1)) é 3. com 0 < a 1. 04. a) f: [ – 3. pode-se dizer que o domínio da função h(x) = fog x é: a) {x R x b) {x R x c) {x R x d) { } e) n. 7. Obtenha as sentenças que definem as funções inversas de: 2 3. -1 e +1 são os zeros da função g. 2. Dadas as funções f(x) = x + 2 e g(x) = 2x2. (UDESC) Se f(x) = ax2 + bx + 3. Determine a função f(x).3). 32. grau. h(x) = f(g(x)) = 9x2 – 6x + 1. (IME-RJ) Sejam as funções g(x) e h(x) assim definidas: g(x) = 3x – 4. 16. ou seja. 02. Para resolver tais equações é necessário transformar a equação dada em: Igualdade de potência de mesma base. (UEL-PR) Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = 2x2 + 1. 8] tal que h(x) = x2 – 6x + 8 4. x 4 b) y = x 12. 01. com f e g definidas para todo x real. f(1) = 0 e f(2) = . 5] [1.a. 6] [–1. Então g(f(x)) é definida por: Pré-Vestibular da UFSC 21 . (UFSC) Sendo f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = x + 1. g(18). af(x) = ag(x) f(x) =g(x) Potências de expoentes iguais. 15.C. Determine a função inversa de cada função a seguir: a) y = 2x – 3 c) y = 2 x 1 . decrescente. (UFSC) Seja a função f(x) = . Obter: a) f(g(x)) c) f(f(x)) e) f(g(3)) g) f(f(f(2))) b) g(f(x)) d) g(g(x)) f) g(f(1)) a) 2x d) 2x 1 4 b) 2x e) 2x 2 5 Matemática A c) 2x 3 10. af(x) = bf(x) a = b sendo a e b 1 e a e b R*+.2 c) 0 b) 2 d) 6 2 4 e) 14 x 4 13. (F. 0).9] tal que g(x) = x2 – 4x + 4 c) h: [3.1. 9x 26. em R.f(x) é decrescente III .2x. af(x) > ag(x) f(x) > g(x) Quando as bases estão compreendidas entre 0 e 1 (0 < a < 1).1)5x 1 < (0. que satisfaz a equação 22x + 1 3. em R. Resolva. Resolva. a relação de desigualdade se mantém. (Unesp-SP) Se x é um número real positivo tal que 2x 2 x 2 x 2 . Tarefa Complementar  1. (PUC-SP) O conjunto verdade da equação 1 3.57 5. (ITA-SP) A soma 9 x 1 2 = 16 raízes da equação 1 16 das 4 31 x c) 3x 1 + 3x + 1 = 90 d) 25. obtemos: a) x1 = 0 e x2 = 1 c) x1 = 0 e x2 = 2 b) x1 = 1 e x2 = 4 d) x1 = x2 = 3 2. af(x) > ag(x) Exercícios de Sala  f(x) < g(x) c) 7 4 x2 1 7 4 3 d) 0.d. Resolvendo a equação 4x + 4 = 5. então x x x2 é igual a: 1| 8.Matemática A Função Exponencial f(x) = ax  (a > 1) função crescente 3. (OSEC-SP) O domínio da função de definida por y = 1 1 3 x .5[ d) ] 5. c) todas são falsas. é: Tarefa Mínima  1. (UFSC) Dado o sistema 72x 5 x y 2 y 1 25 . 4. e) somente III e IV são verdadeiras. é: x Inclusão para a Vida 2. b) somente II é falsa. a relação de desigualdade se inverte. (UFSC) O valor de x. o valor de y x 4 é: 6. + ) e) n. as inequações a seguir: a) 22x 1 > 2x + 1 b) (0. 5[ b) ] 5.5|x – 2| < 0. + ) c) ( . as equações a seguir: a) 2 = 128 b) 2x = x 7.1)2x + 8 INEQUAÇÃO EXPONENCIAL Para resolvermos uma inequação exponencial devemos respeitar as seguintes propriedades: Quando as bases são maiores que 1 (a > 1).3x 9 = 0.2x + 2 = 32. A maior raiz da equação 4|3x 9.a. Dadas f(x) = 2 e as proposições: I .3x = 15x é: e) 22x 2x + 1 + 1 = 0 Pré-Vestibular da UFSC 1 é: 22 .f(3) = 8 IV.1 ) f(x) podemos afirmar que:  (0 < a < 1) função decrescente a) todas as proposições são verdadeiras. é: 243 a) ( .f(x) é crescente II . d) II e III são falsas.( 0. Resolver. A soma das raízes da equação 2 3 2x x 1 Matemática A b = logaritmando ou antilogaritmo x = logaritmo Observe que a base muda de membro e carrega x como expoente.Inclusão para a vida 10. 01. positivo e diferente de um. sendo a e x números reais e 0 < a 1. assinale as verdadeiras: 01. também chamado de sistema de logaritmos naturais. A função f(x) = ax. 718. Neper (1550-1617). chama-se logaritmo de b na base a ao real x tal que ax = b. (a > 0 e a loga b = x 1 e b > 0) ax = b 21 = 2 x 51 = 5 x x=1 x=1 x=3 x=2 loga am = m 8) 2 log2 4 9) 3log3 9 x 22 x x 4 x 32 x x 9 Em loga b = x temos que: a = base do logaritmo Pré-Vestibular da UFSC log ab a b 23 . O nome neperiano deve-se a J. Condição de Existência Para que os logaritmos existam é necessário que em: logab = x se tenha : logaritmando positivo base positiva base diferente de 1 Resumindo 12. intercepta o eixo das abscissas no ponto (1. 04. Exemplos: 1) log6 36 = x 2) log5 625 = x 36 = 6x 625 = 5x 62 = 6x 54 = 5x 1 13 2 é: 3x 1 11. A função f(x) = 16. matemático inglês (1561-1630)).52x = 7. as equações abaixo: a) 5x + 0. 02. então f(x) > 2 se x > 1.4) x2 5 5 7 13. 1] 3 36 pertence ao * 04. f ( x) Determine o domínio da função abaixo: (1. 1). 2 x é crescente 1 2 a 1 2 b a b b>0 a>0ea 1 14.0) 02.. Sendo a = 1/2. x=2 x=4 Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Quando a base é 10 costuma-se omitir a base na sua representação. dois deles se destacam: Sistemas de Logaritmos Decimais: É o sistema de base 10. ou de Briggs (Henry Briggs.4x + 2.3x = intervalo [0. A solução da equação 2x. (UEPG-PR) Assinale o que for correto.10x Observe os exemplos: 1) log2 1 = x 1 = 2x 2) log3 1 = x 1 = 3x 3) log6 1 = x 1 = 6x loga 1 = 0 4) log2 2 = x 5) log5 5 = x loga a = 1 6) log2 23 = x 7) log5 52 = x 23 = 2x 52 = 5x 2 = 2x 5 = 5x 20 = 2 x 30 = 3 x 60 = 6 x x=0 x=0 x=0 UNIDADE 11 LOGARITMOS DEFINIÇÃO Dado um número a. A função é crescente se 0 < a < 1 08. Determine o valor de x no sistema abaixo: x x y y y x Conseqüências da Definição (x 1 e y 1) 5 3 15.2 b) 5. e um número b positivo.).2x = 5. (UFMG) Com relação à função f(x) = ax. A curva representativa do gráfico de f está toda acima do eixo x. em reais. Sistemas de Logaritmos Neperianos É o sistema de base e (e = 2. 1 < a < 0 e x R. então D = R e Im = R 08. Dada a função f(x) = 4x. Seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0. Porém. também chamado sistema de logaritmos comuns ou vulgares.. loga Exemplos: a) log3 7/2 = log3 7 . log b a n log10 2 b) l g 2 8 1 l g9 3 16.0. Determine o valor dos logaritmos abaixo: a) log2 512 b) log0.000001 Logaritmo do Produto c) log2 0. loga x m valor de: a) log 6 b) log 8 c) log 5 d) log 18 b c loga b loga c Tarefa Mínima  1.301 e log 7 = 0.30 e log 3 = 0. log2 5 b) log3 4-5 = -5 log3 4 a) 3 loga a5 + loga 1 – 4 l g a 1 n a .24 512 4.30 e log 3 = 0. Sabendo-se que log 2 = 0. calcule o Exemplos: a) log3 7.5 d) log 5 Exercício Resolvido: Sabendo-se que log 2 = 0.47. calcule o valor dos logaritmos abaixo: a) log 12 b) log 54 c) log 1.146 b) 1. loga (b .447 c) 1.47.25 c) log7 1 13 d) log0. Determine o valor das expressões abaixo Exemplos: a) log2 53 = 3. Sabendo-se que log 2 = 0.log5 3 Logaritmo da Potência O logaritmo da potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.47 log 18 = 1.25 128 2. calcule o valor dos seguintes logaritmos: a) log21024 Pré-Vestibular da UFSC 24 .107 Exercícios de Sala  1.845.Matemática A PROPRIEDADES OPERATÓRIAS b) log 0.690 d) 2. (UFPR) Sendo log 2 = 0.250. c) = loga b + loga c d) log4 13 Inclusão para a Vida 128 2.30 e log 3 = 0.107 e) 1.3 = log2 5 + log2 3 Logaritmo do Quociente O logaritmo do quociente é o logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor. qual será o valor de log 28? a) 1.25 O logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores. Com base na definição.30 + 2. é: Caso Particular log b a n log b a 1 3 1 .2 = log3 7 + log3 2 b) log2 5.47. Calcule o valor de log 18. onde 0 < a 1. Resolução: log 18 = log(2.3 2) log 18 = log 2 + log 32 log 18 = log 2 + 2log 3 log 18 = 0. loga x = m .log3 2 b) log5 8/3 = log5 8 .l g 625 5 é: Exemplo: log10 3 2 = log10 2 1 3 3. . na base ou no logaritmando (antilogaritmo). Então E é igual a: 11. 2º Método: loga X = M determine a parte inteira do valor de 20 log10 x.22 d) 0. (ANGLO) Se log E = 2log a + 3log b – log c – log d. calcule o 1 7 valor da expressão 2x7 + log7x – UNIDADE 12 LOGARITMOS x . (ACAFE-SC) Os valores de m. faz-se necessário discutir as raízes.Inclusão para a vida 5.. 7 . apresentamos então um processo o qual nos permite reduzir logaritmos de bases diferentes para bases iguais.52 a) 0. log c = t e E = E é igual a: a . log10 2 = 0.47. (PUC-SP) Sendo log10 2 = 0.d. então o valor l gx l gy l g14 12. 5x x2) é definida Matemática A 15. Lembrando que não existem logaritmos com base negativa e um. Função Logarítmica f(x) = loga x  (a > 1) função crescente 13. Este processo é denominado mudança de base. temos: 1) log B A 1 log AB 2 log A k B 1 log AB k 9.42 e) 0. (FEI-SP) A função f(x) = log (50 para: a) x > 10 b) 10 < x < 5 c) 5 < x < 10 d) x < 5 e) n.a. então x vale: MUDANÇA DE BASE Ao aplicar as propriedades operatórias dos logaritmos ficamos sujeitos a uma restrição: os logaritmos devem ser de mesma base.12 c) 0. com loga b = R. e com as condições de existência obedecidas. para os quais a equação x2 – 2x + log2(m – 1) = 0 admite raízes (zeros) reais e distintas são: a) 2 < m < 4 b) m< 3 c) m 3 d) 1 m 3 e) 1 < m < 3 l gcb l gca Como conseqüência. onde a incógnita aparece no logaritmo. então log b c 3 3 EQUAÇÃO LOGARÍTMICA São equações que envolvem logaritmos. Dado esse problema. Se log a = r. Em ambos os casos. y é igual a: a) b) c) d) e) a + b/2 2a + b a+b a + 2b a – b/2 14.477. Então o log x. Se x é a solução da equação x x xx . Se x = 3 360 . (UFSC) Se de x + y é 3l g x y l g125 . log b = s. e não existem logaritmos com logaritmando negativo. Tarefa Complementar  6. (PUC-SP) Se l g 2 2 512 7. ( UMC-SP ) Sejam log x = a e log y = b.32 8. Determine o domínio das seguintes funções: a) y = logx – 1 (3 – x) b) y = log(5 – x) (x2 – 4) Pré-Vestibular da UFSC 25 . 1º Método: loga X = loga Y X=Y X = aM 10. então log 6 2 é igual a: 5 b) 0. Existem dois métodos básicos para resolver equações logarítmicas.301 e log10 3 = 0.30 e log10 3 = 0. 4] [3. (UFSC) Dada a função y = f(x) = loga x. temos f decrescentes e g crescentes. 02. 3 log(x2 23 2 3 17 3. (UFSC) Se loga x = 2 e logx y = 3. (UFSC) Determine a soma dos números associados às proposições verdadeiras: 01. em reais. O valor de x que satisfaz à equação 4x 2x = 56 é x=3 x= 5 b) log4 (x2 + 3x . então tem-se loga b = log a c 08. Resolver. (ACAFE) O valor da expressão log3 2. (UFSC) A solução log2(x + 4) + log2(x – 3) = log218. 16. 2 b c 04. 04. Considere as funções f(x) = ax e g(x) = logax. Se a. b e c são números reais positivos com a e c log b c diferentes de um. A função f é crescente em seu domínio quando a (1. Resolver as equações abaixo: a) logx (3x2 . (UFSC) O valor de x compatível para a equação 1) . O conjunto solução da inequação log (x2 9) log (3 x) é S = ( . Se a. é: e não possui solução inteira.Matemática A  (0 < a < 1) função decrescente Inclusão para a Vida 5. Para todo x real diferente de zero vale ln |x| < ex. log 360 = 3 log 2 + 2 log 3 + log 5. a 1.x) = 2 9. A equação e 08. Resolver. então log9 K2 é: a) 2M2 d) 2M b) M2 e) M c) M + 2 loga x2 > loga x1 x2 < x1 8. O domínio da função f é R. 01. 2 02. O valor do log0. temos f crescente e g decrescente e para 0 < a < 1. 02. Se a = 3 e f(x) = 6 então x = 27 16.8) log2 (x + 6) = 3 f) log5 (x 3) + log5 (x 3) = 2 2 3 3 10.log(x 1) = 2 é: 11. (SUPRA) Se log5 2 = a e log5 3 = b então log2 6 é: a) a+ b a b) a+ b c) a b d) b a e) a+ b 2 2. b e c são números reais positivos e então log x = 3 log a 2log b 1/2 log c. da equação: 4. (UFSC) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s). 26 x x2 Pré-Vestibular da UFSC . log4 3 é: a) ½ d) 2/3 b) 3 e) 2 c) 4 2 16. determine a soma dos números associados às afirmativas verdadeiras. O gráfico de f passa pelo ponto P(1. 01. em R as equações: a) log5 (1 – 4x) = 2 b) log[x(x – 1)] = log 2 c) log x 6 log x 9 0 d) log(log(x + 1)) = 0 e) log2 (x . com a > 0.1) = log4 (5x c) log2 (x + 2) + log2 (x Tarefa Mínima  2) = 5 1) a 3 1. + ) 04. (ACAFE) Se log3 K = M. as seguintes inequações: a) log2 (x + 2) > log2 8 b) log1/2 (x 3) log1/2 4 Tarefa Complementar  6. loga x2 > loga x1  0<a<1 7. loga 5 xy 3 é igual a: Exercícios de Sala  1. Se a = 1/2 então f(2) = 1 INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA  a>1 x2 > x1 08. Para a > 1.25 32 é igual a .0). então. + ). 3 4 log x 10 3 04. 5} g) {0. 4 4 5) a) {x R| x >– 7} b) {x R| x 2 } c) 1 {x R| x > } Unidade 2 1) a) {1. 08.10} b) S = {-8. 10. 9. 5. 15.Inclusão para a vida 32.. log x 04.5} 2) a 3) a 7) e 8) b 9) 06 10) a 11) b Pré-Vestibular da UFSC 2 27 . Se x = loge 3.. então z > 0 para qualquer valor real de t 15.a. 6. é correto afirmar que: 12. 7. x 3 = x3 é 9. Resolva a equação l g 10 x l g 100 x 2. 12} b) {0.} 6 2) c 3) 23 3 4) a) S = {-10. ga 3 x2 y é 36 pertence ao GABARITO Unidade 1 1) a) 120 b) 12 2) b 3) a) 10 b) 16 4) 80 5) e 6) d 7) b 8) d 9) d 10) b 11) 47 12) b 13) 13 14) b 15) b 12) c 13) d 14) d 15) e Unidade 3 1) a) 4 b) S= 1 3 c) 240 d) 12 c) 4 7 d) S = e) f) 9 10 2) b 3) e 4) a) (2. então y = . log4 3 é /2.. Se log N = 3. 14... .824. 2. 9. 4. A maior raiz da equação 9 . Se logax = n e logay = 6n. 01. 2} e) {0. 6... 5. então |log10a| < |log10b| 08. 1]. log4 (10 x) = é 10..1} 5) a 6) 127 198 6) 08 7) – 1 8) 82 9) x > 100km 10) 16 11) 95 12) 39 13) 92 14) 40 15) b Unidade 4 1) a) {2.. então ex + e-x = (divida o resultado obtido por 4)..} c) {3. 7} d) {-1. A raiz da equação log(log(x + 1)) = 0 é x = 9. 2..2) 4) a 5) – 5 6) S = {0} 7) a 8) 62 9) x = 3 10) a 11) 15 12) 07 13) a 14) 03 15) 05 Unidade 5 1) e 2) 31 3) a) {x R| x 3} b) {x R| x 3} c) {x R| x 6.4} c) {2. 3.} f) {1. 1. 32.SP) O conjunto dos números reais que verificam a inequação 3log x + log (2x + 3)3 3 log2 é dado por: a) { x R| x > 3 } b) { x R| 1 x 3 } c) { x R| 0 < x 1/2 } d) { x R| 1/2 < x < 1 } e) n. x 2} d) 4) 10 5) c 6) a 7) a) -1 b) 3 c) 2 e 4 8) e 9) b 10) d 11) d 12) 21 13) 33 14) 29 15) 9x 1 c) 1 1 . então l igual a 7n. 16. Se log3(5 – y) = 2. 02.. 4. 4. 0.4 02. (ITA . Se z = 10t – 1. 2 1 + 2logx 2 . 1/3} d) {2} e) f) {-5. O valor da expressão log3 2.. 6. 3. 12. (UFPR) Com base na teoria dos logaritmos e Exponenciais.d. 13) Assinale a soma dos números associados às proposições corretas: 01. 3. A soma das raízes da equação. Se a e b são números reais e 0 < a < b < 1.3x = intervalo [0. A solução da equação 2x..412 então log N= Matemática A 6.1) b) (3. 6.3} b) {2. 8. 6} c) S = d) S = {-1. 12. -1[ ]1. -9/4) Im = {y R/ y -9/4} 2) 55 3) 27 4) b 5) a 6) 29 7) c 8) 0 e 4 9) e 10) d 11) 01 12) 23 13) c 14) e 15) 08 Unidade 8 1) a) {x R | x < 2 ou x > 4} b) {x R| 2 x c) {x R | -2 e) {x R|x 4} R | .2 ou 2 < Pré-Vestibular da UFSC 2 . -9) = { y R / y -9 } c) Im 4) a) {x R| x < . -4) –4} Im raízes: -2 e 4 vértice: (1.4 ou 2 x 3 ou x > 4} b) {x R| -4 < x < 2 ou 3 < x < 4} c) {x R|x < 1 ou 0 x < 1} d) {x R|x < 1 ou x > 3} 5) d 6) a) {x R | x 3} b) c) d) {3} 7) a) R b) R c) d) 8) e 9) a 10) c 11) a 12) d 13) d 14) d 15) a 5) a 6) c 7) 02 8) 01 9) 01 10) 00 11) 03 12) {x |x 13) 30 14) 5 5 . 1} b) {0.. 3[ [-1. 17 d) 0. 1] [3. 71 c) 0.5 ou x > 9 } raízes: -1 e 3 ={y R/y b) vértice: (1.3 < x < 3} d) {x x 2} R | x < 0 ou x > 6} f) {x -1 ou x 1} b) ]. 54 4) b 5) b 6) 06 7) b 8) e 9) 3r – s – t/3 10) a 2 b 3 raiz: 1 vértice: (1.2 Unidade 7 1) a) b) f ( x ) c) f ( x) 1 1 x 7 2 x 2 x 1 3 12) c 13) 05 14) 03 15) x2 + 6x + 9 Unidade 10 1) a) 7 b) – 4 c) 3 00 2) 02 3) b 4) a) S = { x R| x > 2 } d) 02 e) 2) a 3) a) ]-4..1] x 3 2 c) f-1(x) = 4 x 1 x 2 5) 01 6) 61 7) 00 8) 99 9) e 10) d 11) a) f ( x) 1 2) 02 3) a 4) b 5) 02 6) c 7) d 8) e 9) 01 10) c 11) 99 12) e 13) d 14) d 15) 0. . 07 b) 1. 1] e) [3. [ c) ]. [ b) S = { x R| x > 3 } c) S = { x R| . 1} Unidade 11 1) a) 9 b) 1 c) 0 d) -7/26 2) a) 13 b) 6 3) a) 1. 4[ [0.2 ou x 2} 3 3 15) a) {-1.Matemática A Unidade 6 1) Inclusão para a Vida 3) 81 4) a) f-1(x) = b) f-1(x) = 4x – 2 raízes: 0 e 3 vértice: (3/2.2 < x < 2 } d) S = { x R| x < . 0) R/y 0} d) Im = { y Unidade 9 1) a) f(g(x)) = 2x2 + 2 b) g(f(x)) = 2x2 + 8x + 8 c) f(f(x)) = x + 4 d) g(g(x)) = 8x4 e) 20 f) 18 g) 8 2) a cd 11) 09 12) 17 13) a 14) a) 1 < x < 3 e x 2 x<5ex 4 b) x < .. -4[ ]3. -4] d ) ]. -1} c) {27} d) {9} e) { } f) 08 Matemática A 11) 16 12) 25 13) 47 14) 03 15) c 4) 05 5) a) { x R| x > 6} b) { x R| 3 < x < 7} 6) 30 7) e 8) 04 9) 31 10) 99 Pré-Vestibular da UFSC 3 .Inclusão para a vida 15) 14 Unidade 12 1) a 2) a 3) a) {– 6} b) {2. 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Mahoney - Cálculo Algébrico Simbólico nas nossas escolas - alguns axiomas e exemplosFooter MenuBack To TopAboutAbout ScribdPressOur blogJoin our team!Contact UsJoin todayInvite FriendsGiftsLegalTermsPrivacyCopyrightSupportHelp / FAQAccessibilityPurchase helpAdChoicesPublishersSocial MediaCopyright © 2018 Scribd Inc. .Browse Books.Site Directory.Site Language: English中文EspañolالعربيةPortuguês日本語DeutschFrançaisTurkceРусский языкTiếng việtJęzyk polskiBahasa indonesiaSign up to vote on this titleUsefulNot usefulYou're Reading a Free PreviewDownloadClose DialogAre you sure?This action might not be possible to undo. Are you sure you want to continue?CANCELOK