GRUPO DE ESTUDIOS_______________________________________________________________comunes y no comunes elevados a su mayor exponente. Por ejemplo: A = 25 × 32 × 7; B = 24 × 33 × 11; C = 23 × 34 × 52 × 13 ∴mcm • Máximo Común Divisor (MCD) El MCD de dos o más números es el mayor de los divisores comunes a dichos números. Por ejemplo: ¿Cuál es el MCD de 12 y 18? Los divisores de 12 son {1, 2, 3, 4, 6, 12} Los divisores de 18 son {1, 2, 3, 6, 9, 18} Los divisores comunes a 12 y 18 son {1, 2, 3,..., ...} El mayor de dichos divisores es: ..................... • También se (A, B, C) = ............. puede calcular el mcm por descomposición simultánea: 120 – 252 – 384 ∴ MCD (12, • Propiedades: 1) Si A = ο 18) = ..... Si los números están descompuestos canónicamente, su MCD se calcula como el producto de sus factores comunes elevados a su menor exponente. Por ejemplo: A = 2 × 3 × 7; B = 2 × 3 × 11; C = 2 × 3 × 5 × 13 5 2 4 3 3 4 2 B ⇒ MCD (A, B) = .... mcm (A, B) = .... 2) 3) 4) MCD (A, B) × mcm (A, B) = A × B mcm (A, B) = MCD (A, B) × q1 × q2 MCD (KA, KB ) = K MCD (A, B) mcm (KA, KB ) = K mcm (A, B) ο ∴ • MCD (A, B, C) = ............. En caso contrario se puede calcular el MCD por descomposición simultánea: 120 – 252 – 384 5) Si N = A B ο ο +r + r ⇒ N = mcm (A, B, C) + r C +r Observa que el proceso se detiene cuando los cocientes son primos entre sí A–B q1– q2 MCD ⇒ A = MCD q1 B = MCD q2, donde q1 y q2 son primos entre sí 1. Hallar n sabiendo que el MCD de A = 8 × 6n y B = 6 × 8n tiene 18 divisores. 2. ¿Cuántos divisores comunes tienen los números 3780, 5940 y 1080? Hallar dos números, ambos de 3 cifras, tales que su suma sea 220 y su MCD 20. Dar como respuesta la diferencia de estos números. El producto del mcm por el MCD de 2 números es 1620. Si uno de ellos es el MCD de 108 y 162. Hallar la suma de los números. 6) Si N es divisor de A, B y C ⇒ N es divisor del MCD (A, B, C) • Mínimo Común Múltiplo (mcm) El mcm de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes a dichos números. Por ejemplo: ¿Cuál es el mcm de 12 y 18? Los múltiplos de 12 son {12, 24, 36, 48, 60, 72, ...} Los múltiplos de 18 son {18, 36, 54, 72, 90, ....} Los múltiplos comunes a 12 y 18 son {36, ..., ...} El menor de dichos múltiplos es: ..................... 3. 4. ∴ mcm (12, 18) = .... • Si los números están descompuestos canónicamente, su mcm se calcula como el producto de sus factores -1Jr. Los Claveles 304 – Los Olivos Tlf. 485-4912 A las 20 h y 15 m se encienden simultáneamente. Si se cuentan de 2 en 2 sobra 1. de largo y 544 m.. y que corresponda un poste por vértice y otro en cada uno de los puntos medios de los lados del rectángulo. ¿A qué hora vuelven a encenderse juntos? velocidades de ellos son: 60.. B) El mayor de ellos.. y de 7 en 7 sobran 6. Escogemos parejas de números. El mcm de dos números de los cuales uno contiene el otro es el (. A) 13248 B) 6624 C) 2646 D) 13230 E) 1908 7. de a 15 y de a 20 sobran siempre 6. de 5 en 5 quedan 4. Hallar el MCD y el mcm de: (23 × 32 × 5).. A) 6 y 360 C) 3 y 360 E) N. Los Claveles 304 – Los Olivos Tlf. 36. ¿Cuántas páginas tiene el libro? 11.. Hallar el menor número de cuadrados iguales en que se puede dividir un terreno rectangular cuyas dimensiones son 408 y 216. 10 cm. ¿Cuánto tiempo debe de transcurrir para que vuelvan a pasar simultáneamente por el punto de partida? 6.) por su mcm. 4. Hallar el MCD y el mcm de: 196 × 702 y 132 × 585. se le quiere cercar con un alambre sujeto a postes equidistantes de modo que disten de 20 a 40 m. B) 3 y 240 D) 6 y 240 Hallar el MCD de: 84 × 495 y 550 × 108 A) 5940 B) 1980 C) 2970 D) 1188 E) 540 9.. 12. El número de páginas de un libro es mayor que 400 y menor que 500.A.A. Hallar el mcm. cada uno de ellos entre 100 y 200. A) mayor C) producto E) N. ¿Cuál es el mayor número de cajas necesarias para guardar 2400 jabones? 14. El MCD de dos números es 14....GRUPO DE ESTUDIOS_______________________________________________________________ 5. ¿Cuántos postes se necesitan? 15. MCD y mcm . Se tiene 3 varillas de metal cuyas longitudes son: 3780. ¿Cuántos cortes fue necesario realizar? Dos letreros luminosos se encienden con intermitencias de 42 y 54 segundos respectivamente. Dar como respuesta uno de ellos.A. no debiendo desperdiciar material. de a 12. de 3 en 3 quedan 2... 36 y 20 m/s respectivamente. 5. Hallar el MCD y el mcm de 12.. sale de vacaciones cierto número de ellos.) A) El cociente de ellos. 485-4912 3. 3360 y 2520 mm. En una empresa en la que trabajan 150 empleados.A. 6.. 24. ¿Cuántas tendrán como MCD a 24? Hallar dos números tales que su suma es 341 y su mcm es 28 veces su MCD. 1. 8. B) dividido D) restado El mcm de 3 números primos entre sí es (. (22 × 33 × 7) y (2 × 72) dar como respuesta la suma de ambos. si la diferencia de los cuadrados de los números es 11172. Si se agrupan los que quedan de a 10. E) No se puede determinar C) El menor de ellos.. Tres automóviles parten juntos del punto de partida de un circuito cerrado de 3600 m. Para venderlas se necesita dividirlas en trozos de igual longitud y que tengan la mayor longitud posible... de longitud.. A un terreno rectangular.. A) multiplicado C) sumado E) N. 15 y 30. D) El producto de ellos. A) B) MCD = 23 × 33 × 1 mcm = 23 × 33 × 5 × 72 × 13 MCD = 23 × 33 × 5 × 72 mcm = 23 × 33 × 11 × 13 C) MCD = 22 × 33 × 11 × 13 mcm = 23 × 32 × 5 × 13 D) MCD = 22 × 33 × 13 mcm = 23 × 33 × 5 × 72 × 11 × 13 E) N... de 952 m... ¿Cuántos empleados hay de vacaciones? 13. Las -2– Jr. 7. Se desea guardar barras de jabón de dimensiones 15 cm.) de ellos... y 3 cm... pero agrupados de 18 en 18 no sobra ninguno. B) menor D) cociente El MCD de dos números es el producto de ellos (. 2.. ancho. en cajas cúbicas de manera que en las cajas no sobre espacio. 10. 2/5 y 3/10 A) 6/150 C) 12 B) 20 D) 4/5 E) 6 18. Se han dividido tres barras de acero de longitudes 540.GRUPO DE ESTUDIOS_______________________________________________________________ 8. ¿Cuál será el mayor número de latas que pueden ponerse en cada cajón? A) 60 B) 15 C) 70 D) 90 E) 30 24. Se desea acondicionar 1830 latas de aceite y 1170 latas de atún en un cierto número de cajones que contengan el mismo número de latas. ¿cuál es el máximo común divisor? A) 4 B) 3 C) 5 D) 9 E) 6 14. A) 1 B) 7 C) 398 D) 446 E) N. A) 143 B) 594 C) 261 D) 679 E) 5148 15. siendo ésta la mayor posible. B) 2 y 15088 D) 5 y 13272 23. Halar 2 números enteros sabiendo que su producto es 420 veces su MCD y que la suma de sus cuadrados es 21364. 60 y 200 y restárselo al mcm de 45. Si tenemos que llenar cuatro cilindros de capacidad 72. 46 de ancho y 32 cm de alto. B) 138 y 142 D) 140 y 42 17. entonces el menor número de días que deben transcurrir para que le toque descansar un domingo es: A) 83 días C) 90 días E) 96 días B) 89 días D) 93 días 25. 30 y 75.A. Si comenzó a trabajar un día lunes. Hallar el cociente de dividir el mcm entre el MCD de: 80. B) 15 y 11 D) 44 y 25 13. 485-4912 MCD y mcm . A) 25 × 33 × 5 B) 23 × 32 × 52 C) 23 × 33 × 5 11. Sabiendo que son menores de 80.A. Dar como respuesta la suma de estos números. 480 y 360 mm. en trozos de igual longitud. ¿Cuánto mide la arista de estas cajas? y ¿cuántas caben en la caja? A) 1 y 30176 C) 3 y 16745 E) N.A. la segunda 18 litros por minuto y la tercera 20 litros pro minuto? A) 198 B) 172 C) 154 D) 180 E) N. Si comparamos los 4 números. 108 y 32. ¿cuál será su MCD? A) 18 B) 12 C) 3 D) 6 E) 4 -3– Jr. 56 y 120 galones respectivamente. Tres cables que miden 10.A.A. todas iguales. 24. Hallar el mcm de 1/3. se dividen en el menor número posible de trozos de igual longitud. 21. El mcm de dos números es 630. D) 24 × 34 E) 2 × 35 × 5 16. ¿Cuántos trozos se han obtenido? A) 23 B) 34 C) 35 D) 26 E) 27 20. sin que sobre ninguna y sin mezclar latas. 90 metros. Una caja tiene 82 cm de largo. Hallar los números sabiendo que son menores que 70. El MCD de dos números es 18 y el MCD de otros dos es 24.A. 75. B) 72 y 54 D) 79 y 57 12. A) 18 y 108 C) 126 y 1 E) N. Un obrero trabaja 11 días seguidos y descansa el duodécimo día. de la mayor arista posible. Hallar el MCD de 56. Los Claveles 304 – Los Olivos Tlf. Esta caja se quiere llenar con cajas cúbicas. El producto de dos números es 8 veces su mcm y la suma de dichos números es 6 veces su MCD. El producto de 2 números es 1815 y su MCD es 11. Hallar los números. 22. A) 9 y 50 B) 6 y 120 C) 3 y 180 D) 8 y 40 E) N. La suma de dos números es 126 y su MCD 18. A) 11 y 165 C) 33 y 55 E) N. 9.A. hallar los números. A) 140 y 44 C) 142 y 40 E) N. 10. Si su producto es 3 780. Hallar el mayor de 2 números tales que su MCD sea 36 y su mcm es 5 148.A. ¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se puede llenar en un número exacto de minutos por cualquiera de 3 llaves que vierten: la primera 12 litros por minuto. Hallar 2 números tales que su suma sea 10 veces su MCD y su producto 225 veces su MCD.A. ¿Cuál es la longitud de cada trozo? A) 5 B) 10 C) 6 D) 12 E) N. A) 140 B) 210 C) 350 D) 410 E) 250 19. ¿Cuál es la máxima capacidad del balde que puede usarse para llenarlos exactamente? A) 8 B) 15 C) 17 D) 4 E) N. Hallar la menor distancia que se puede medir exactamente con cualquiera de 3 reglas. La rueda delantera de un coche tiene 2 metros de circunferencia y la trasera 5 metros. 180. Hallar cuántos números de 4 cifras son divisibles por 24.A. A) 50 B) 20 C) 30 D) 40 E) N. D) 0. B) Una jarra de 7 litros. E) N. E) N. C) 8 mts. -4– Jr. B) 60/7” D) 25/8” 31. C) Una jarra de 8 litros. Se tienen tres reglas graduadas. Tres maratonistas se demoran 12n.450 y 342 en cada caso da un residuo de 5? A) 191567 C) 98394 E) N.. 180. individualmente. 485-4912 MCD y mcm .A. 360. ¿Cuál es el menor número posible que dividido por 132. ¿Cuál es la menor longitud que es posible de medir exactamente con cualquiera de esas 3 reglas? A) 15/4” C) 32/5” E) N. ¿Qué jarra le convendrían usar? A) Una jarra de 3 litros.GRUPO DE ESTUDIOS_______________________________________________________________ 26. sobran 7. la primera en 3/4".A. respectivamente.A. 16n y 18n segundos en dar una vuelta a la pista de carrera. y las de la segunda y tercera de 36 y 15 mm. B) 9 mts.A. respectivamente. 360. B) 43516 D) 108105 33. ¿Cuál ha de ser la superficie de cada parcela para que el número de parcelas de cada una sea el menor posible? A) 250 m2 C) 125 m2 E) 225 m2 2 2 B) 150 m D) 175 m 35. Los Claveles 304 – Los Olivos Tlf. El número de niños de un colegio está comprendido entre 100 y 150. D) Una jarra de 4 litros. 720 mm. 1575 y 2275 metros cuadrados de superficie respectivamente y se quieren dividir en parcelas iguales. Un ciego tiene que llenar un reservorio de 20 litros de agua sin chorrear agua fuera del reservorio. 360. la segunda en 3/8” y la tercera en 5/16”. 1000 mm.A. ¿cuántas vueltas habrá dado el tercero hasta que pasan juntos nuevamente por la meta? A) 8 B) 5 C) 7 D) 11 E) N. si se agrupan de 12 en 12 sobran 7 y si se agrupan de 15 en 15 sobran 7. 960 mm. Si parten a la vez. si se sabe que estas tienen divisiones cada 2. C) 0. 720 mm. 720 mm.A. 180. E) 0. 27. ¿Cuántos metros tendrá que avanzar el carro para que las dos ruedas hayan dado un número completo de vueltas? A) 10 mts. Las divisiones de la primera regla son de 24 mm. 620 mm. Se tienen tres extensiones de 3675. 33 y 42. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 28. 30. 34. 32. Si se agrupan de 10 en 10. ¿Cuántos niños tiene el colegio? A) 147 B) 123 C) 127 D) 159 E) N. 29. D) 15 mts. divididas en partes iguales se superponen de manera que coinciden sus bordes. ¿Qué trazos de las tres reglas coincidirán? A) 0. Tres reglas de igual longitud. 5 y 8 pies. B) 0.