Unidad 3 Aplicaciones de la Integral 3.1 Áreas El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas Unidades de superficie. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área). 3.1.1 Area bajo la grafica de una función La velocidad, la aceleración constante y muchos otros conceptos físicos y matemáticos se pueden despejar con la ayuda del área bajo sus respectivas curvas. El primer paso en la base del concepto de las integrales implica la formulación del área bajo el gráfico de una función. Sea una función continua en el intervalo NO negativos en dicho intervalo ( , tal que ). toma solo valores Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones y , la grafica de la función y el eje X? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo: Este area es el valor de la integral entre y de y la denotamos por: Página 1 cuanto mayor sea los rectangulos a Así. Haciendo esto para . La suma de sus areas es una aproximación al area bajo la grafica de que queremos calcular. mejor aproximación sera la suma de las areas de uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectangulos. donde Para . mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ). Dividimos el intervalo en intervalos de la misma longitud ( Los limites de estos intervalos mas pequeños son: ). Una integral definida es. terminamos con rectangulos. por ejemplo : Página 2 . En general. por tanto. contruyamos el rectangulo cuya base es el intervalo y cuya altura es de longitud . cuando : . Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteabamos ( el calculo de dicha area ). un número.Esta integral se trata de una integral definida. Se tiene que: Es decir. ¿como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones y . ¿Que pasaría si tomase valores NO positivos en dicho intervalo? En este caso. .Llamemos a la suma de los rectangulos así construidos. tiende a tiende a infinito. pero ahora: seria aplicable al caso Página 3 . la grafica de la función y el eje X? Casi todo lo dicho con anterioridad para el caso . cuando el número de rectangulos. En todo lo que hemos visto hasta ahora hemos supuesto que la función toma valores NO negativos en el intervalo . 1. Página 4 . es utilizando el cálculo integral: El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: y Ejemplo Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función el intervalo .2 Longitudes de curvas El área de una superficie curva es más complejo y en general supone realizar algún tipo de idealización o límite para medirlo. 3. se obtiene: en en el intervalo . Una condición matemática necesaria para que una superficie sea desarrollable es que su curvatura gaussiana sea nula. se utiliza la ecuación anterior. definida NO positiva porque 3. Cuando la superficie es desarrollable. como sucede con el área lateral de un cilindro o de un cono el área de la superficie puede calcularse a partir del área desarrollada que siempre es una figura plana. El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral.2 Area entre las graficas de funciones Área delimitada entre dos funciones Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones. en este caso: entonces evaluando la integral. Por lo que se concluye que el área delimitada es . similar.y el area sobre la grafica de la función es siendo la integral . b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave. las cuales pueden o no intersecarse. Sin embargo la esfera es una superficie de revolución. La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva. Dicha recta se denomina eje de revolución. de tal forma que sumando todos los diferenciales resulta: Definición: Si f es suave en [a. está genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.b].3 Calculo de volúmenes de solidos de solidos de revolucion Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución. esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. al sólidoobtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo.b]. Cuando la curva es suave.Cuando la superficie no es desarrollable. Un ejemplo de superficie no desarrollable es la esfera ya que su curvatura gaussiana coincide con el inverso de su radio al cuadrado. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X. y por tanto no es cero. la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es: 3. Página 5 . Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a. el cálculo de la superficie o la fórmula analítica para encontrar dicho valor es más trabajoso. Definición: Si la primera derivada de una función es continua en [a. la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras y (dL)2=(dx)2+(dy)2. La fórmula general del volumen de estos sólidos es: Esta fórmula se simplifica si giramos la figura plana comprendida entre y=f(x).b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante positiva.4 Calculo de centroides. x=a y x=b alrededor del eje OX. y=0.El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones cuadráticas. en un intervalo [a. si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x). una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante. y=0. el centroide o baricentro de un objeto X perteneciente a un espacio n-dimensional es la intersección de todos los hiperplanos que dividen a X en dos partes de igual n-volumen con respecto al hiperplano. Informalmente. Conceptos relacionados Página 6 . viene dado por la siguiente fórmula genérica En particular. ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por: Método de cilindros o capas. x=a y x=b alrededor del eje OY. f(x) y g(x). Rotación paralela al eje de abscisas (Eje x) El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas. es decir. el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula: método de discos. 3. es el promedio de todos los puntos de X. Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y) Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera.b] alrededor de un eje horizontal. En geometría. f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a. Página 7 .Centroide de un triángulo. Centro de simetría El centroide de un objeto o figura también puede definirse como un punto fijo del grupo de isometría de dicha figura. figura limitada o región finita el grupo de isometría no incluye traslaciones y en ese caso si el grupo de isometría no es trivial. el cuerpo debe tener densidad uniforme o una distribución de materia que presente ciertas propiedades. bajo ciertas circunstancias. sus simetrías pueden determinar el centroide. el cuerpo debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme. Una figura cóncava tendrá su centroide en algún punto fuera de la figura misma. Este punto es también el centroide de la superficie del triángulo. En esas circunstancias. Para un objeto. El centroide de un triángulo (también llamado baricentro) se encuentra en el punto donde se intersecan sus transversales de gravedad (líneas que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto). Consideremos un cuerpo material: Para que el centroide del cuerpo coincida con el centro de masa. El centroide de una lámina con forma de cuarto de Luna estará en algún punto fuera de la lámina. como intersección de las bisectrices del triángulo. coincidir con el centro de masas del cuerpo material y con el centro de gravedad del mismo. porque una traslación no tiene ningún punto fijo. sin prestar atención a lo que realmente nos estamos refiriendo. tales como la simetría. el centroide puede. Para que un centro de masa del cuerpo coincida con el centro de gravedad. Sin embargo si para un objeto tiene alguna simetría traslacional el centroide no está definido. En física. hay una mala tendencia a utilizar los términos indistintamente. El centroide de la región delimitada por y = g(x).0) y en (1.3).CENTROIDE DE UNA REGION PLANA Se conoce como centroide al centro de masa de una región sin masa en un plano Sea g<=f funciones continuas en [a. x =a. x = b viene dado por: Donde A es el área de la región. y=f(x).b]. por lo que el área es: El centroide tiene coordenadas: Página 8 . Un ejemplo de esta aplicación de la integral es: Para hallar el centroide de la región limitada por las gráficas de f (x)= 4-x2 y g (x)= x+2 tenemos que : Estas 2 curvas se cortan en (-2. 5 Otras aplicaciones Página 9 .12/5) 3.De donde obtenemos: El centroide es: (-1/2.
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