96166685 Introd Algebra Exercicios Resolvidos 5 Lenimar N Andrade

´ ˜o a ` Algebra Introduc ¸aAn´ eis, suban´ eis, an´ eis de integridade, corpos – exerc´ ıcios resolvidos A1) Sejam A = × , (a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊗ (c, d) = (ac − bd, ad + bc), ´ um anel, verifique se e ´ comutativo e se onde a, b, c, d ∈ . Mostre que (A, ⊕, ⊗) e tem unidade. ˜ o: Sejam (a, b), (c, d), (e, f ) trˆ Soluc ¸a es elementos gen´ ericos de A. Temos que: ´ comutativa. • (a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b); logo, ⊕ e • [(a, b) ⊕ (c, d)] ⊕ (e, f ) = (a + c, b + d) ⊕ (e, f ) = ((a + c) + e, (b + d) + f ) = (a + (c + e), b + (d + f )) = (a, b) ⊕ (c + e, d + f ) = (a, b) ⊕ [(c, d) ⊕ (e, f )]; logo, ´ associativa. ⊕e • (a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b); logo, ⊕ tem elemento neutro (0, 0). • (a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (0, 0); logo, todo elemento (a, b) possui um inverso aditivo (−a, −b). • [(a, b) ⊗ (c, d)] ⊗ (e, f ) = (ac − bd, ad + bc) ⊗ (e, f ) = ((ac − bd)e − (ad + bc) f , (ac − bd) f + (ad + bc)e) = (ace - bde - adf - bcf, acf - bdf + ade + bce) e (a, b) ⊗ [(c, d) ⊗ (e, f )] = (a, b) ⊗ (ce − d f , c f + ed) = (a(ce − d f ) − b(c f + ed), a(c f + ed) + b(ce − d f )) = (ace-adf- bcf - bed, acf+aed + bce - bdf ) Logo, ´ associativa. [(a, b)⊗(c, d)]⊗(e, f ) = (a, b)⊗[(c, d)⊗(e, f )] o que significa que ⊗ e • (a, b) ⊗ (c, d) = (ac − bd, ad + bc) = (ca − db, cb + da) = (c, d) ⊗ (a, b); logo, ⊗ ´ comutativa. e • (a, b) ⊗ [(c, d) ⊕ (e, f )] = (a, b) ⊗ (c + e, d + f ) = (a(c + e) − b(d + f ), a(d + f ) + b(c + e)) = (ac + ae − bd − b f , ad + a f + bc + be) e (a, b) ⊗ (c, d) ⊕ (a, b) ⊗ (e, f ) = (ac − bd, ad + bc) ⊕ (ae − b f , a f + be) = (ac − bd + ae − b f , ad + bc + a f + be). Logo, (a, b) ⊗ [(c, d) ⊕ (e, f )] = 1 4) = (1 · 3 − 2 · 4. 0 + b) = (a. f ) = ´ distributiva com relac ˜ o a ⊕. g e h trˆ es func ¸o ınuas de em . ⊕. ·) e ao e integridade. Portanto. 0). b) ⊗ (e. elemento neutro (unidade) que e ´ um anel comutativo com Todos os itens anteriores juntos mostram que (A. d) ⊗ (a. f ) ⊗ (a. As operac ˜ es ⊕ e ⊗ definidas entre (a. 1 · 4 + 2 · 3) = (−5. ∀ x ∈ ◦ f ( x) + O( x) = f ( x). +. ·. onde O( x) representa a func ¸a 2 . com unidade. b). elementos gen´ ericos de F . 10) • Em temos: ◦ (1 + 2i) + (3 + 4i) = (1 + 3) + (2 + 4)i = 4 + 6i ◦ (1 + 2i)(3 + 4i) = 1 · 3 + 1 · 4i + 3 · 2i + 8i2 = 3 + 4i + 6i − 8 = −5 + 10i. f ). b) ⊗ (e. ⊗) e unidade.´ comutativa. 2 + 4) = (4. ∀ x ∈ ˜ o nula: O( x) = 0. b) ⊗ (1. Logo. d) ⊕ (e. 4) = (1 + 3. (c. Como ⊗ e em que [(c. 2) ⊗ (3. ⊗ e ¸a • (a. a · 0 + b · 1) = (a − 0. ◦) n˜ ao e ˜ o: Soluc ¸a ˜ es cont´ a) Sejam f . Veja os seguintes exemplos: • Em A temos: ◦ (1. b) ⊗ (c. ◦ as seguintes operac ¸o • ( f + g)( x) = f ( x) + g( x) • ( f · g)( x) = f ( x) · g( x) • ( f ◦ g)( x) = f (g( x)) ´ um anel comutativo. . 6) ◦ (1. f )] ⊗ (a. f )] = (a. d) ⊕ (a. b) e (c. 0) = (a · 1 − b · 0. d) ⊕ (a. ˜ o. b) = (a. b) ⊗ (c. b) ⊗ [(c. 2) ⊕ (3. temos tamb´ (a. b) Mostre que (F . A2) Seja F = { f : −→ ´ cont´ ˜ es: |fe ınua } e +. d) ⊕ (e. +. b). mas que n˜ ´ de a) Mostre que (F . Temos que as seguintes propriedades s˜ ao v´ alidas: ◦ f ( x) + g( x) = g( x) + f ( x). ´ um anel. ⊗ tem ´ o (1. ∀ x ∈ ◦ ( f ( x) + g( x)) + h( x) = f ( x) + (g( x) + h( x)). b) ⊕ (e. d) neste exerc´ Observac ¸a ¸o ıcio s˜ ao ` s que s˜ semelhantes a ao definidas nos n´ umeros complexos a + bi e c + di. consequente. ˜ es nulas. f ◦ (g + h) f ◦ g + f ◦ h. g( x) = 3 x e h( x) = x + 1. Por exemplo. ∀ x ∈ ◦ f ( x) · g( x) = g( x) · f ( x). ∀ x ∈ ´ a func ˜ o constante 1: I ( x) = 1. ˜ o” ◦ n˜ Logo. Por exemplo. ∀ x ∈ . ´ um anel. Veja gr´ aficos a seguir. basta encontrar exemplos de func ˜ es b) Para mostrar que (F . g : nulas cujo produto e −→ definidas por f ( x) = | x| + x e g( x) = | x| − x. ∀ x ∈ ◦ ( f ( x) · g( x)) · h( x) = f ( x) · (g( x) · h( x)). ele n˜ ao e A3) Verifique se os conjuntos A a seguir s˜ ao suban´ eis de ( . Temos que: 1 ( f ◦ (g + h))( x) = ( f (g + h))( x) = f (3 x + x + 1) = f (4 x + 1) = (4 x + 1)2 = 16 x2 + 8 x + 1. g : −→ e h : −→ definidas por f ( x) = x2 . devemos mostrar exemplos de duas func ¸o ınuas n˜ ao ´ nulo. Isso significa que a “multiplicac ¸a ao ´ distributiva com relac ˜o a ` adic ˜ o + definidas no conjunto F . ·) e ao e ˜ es cont´ anel de integridade. mas ( f · g)( x) = f ( x) · g( x) = (| x| + Temos que f e g n˜ ao s˜ ao func ¸o x)(| x| − x) = | x|2 − x2 = x2 − x2 = 0. Para mostrar que F n˜ ´ Logo. ∀ x ∈ ◦ f ( x) · (g( x) + h( x)) = f ( x) · g( x) + f ( x) · h( x) e ( f ( x) + g( x)) · h( x) = f ( x) · h( x) + g( x) · h( x). ◦) n˜ ao e ¸o em que falhe alguma das propriedades de anel. sejam f . 2 ( f ◦g+ f ◦h)( x) = ( f ◦g)( x)+( f ◦h)( x) = f (g( x))+ f (h( x)) = f (3 x)+ f ( x+1) = (3 x)2 + ( x + 1)2 = 10 x2 + 2 x + 1. +.◦ f ( x) + (− f ( x)) = O( x). e ¸a ¸a ´ um anel. (F . . onde I ( x) e ¸a ´ um anel comutativo com unidade. e. consideremos f : −→ . ∀ x ∈ ◦ f ( x) · I ( x) = f ( x). ·): a) 3 3 . +. +. Escolhendo (aleatoriamente) m = n = 1 e. b) Dˆ e exemplo de um anel A e elementos α. d) Se A = {−1. β ∈ A. Utilizamos ˜ o para poder retirarmos os parˆ tamb´ em a propriedade associativa da adic ¸a enteses 2 2 2 ´ v´ da express˜ ao. depois. . consequentemente. Da´ ı. n˜ ao e A4) Seja A um anel. 1} ˜ o: Soluc ¸a ´ claro que ele ´ formado por todos os m´ a) O subconjunto 3 ⊂ e ultiplos de 3. de onde conclu´ ´ subanel de . escolhendo x = 1 e y = −1 temos que x − y = 2 ´ subanel de .b) − } c) {m + 1 5 n | m. Se esse u 1 12 ´ um absurdo existiriam m. x · y = (3m)(3n) = 9mn = 3(3mn) ∈ 3 . 1}. 3/2 ∈ A e ´ fechado com relac ˜o a ` 1/2 ∈ A. Logo. de onde podemos ´ comutativo. n ∈ tais que x = 3m e y = 3n. β ∈ A tais que (α + β)2 ˜ o: Soluc ¸a ˜ o com relac ˜o a ` adic ˜ o temos a) Usando a propriedade distributiva da multiplicac ¸a ¸a ¸a que se α e β s˜ ao dois elementos gen´ ericos de um anel A. ent˜ ao temos que α2 + 2αβ + β2 = α2 + αβ + βα + β2 . Logo. concluir que o anel e 4 A. 3 e ´ formado pelos n´ b) A = − e umeros racionais que n˜ ao s˜ ao inteiros. (−β2 ) e (−αβ) a ambos os membros e simplificando. Conclu´ ımos dessa forma que 25 A e. n ∈ d) {−1. ou seja. 1 1 2 m = 0. 0. mas 3/2 − 1/2 = 1 A. por exemplo. E ´ vazio porque. de A. y ∈ 3 . A α2 + 2αβ + β2 . Sejam x. A n˜ ao e de . subtrac ¸a ımos que A n˜ ao e c) Seja A = {m + 1 5 n | m. Logo. obtemos: αβ = βα. Se no anel A e alido tamb´ em que (α + β) = α + 2αβ + β . ent˜ ao (α + β)2 = (α + β)(α + β) = α(α + β) + β(α + β) = α2 + αβ + βα + β2 . A n˜ ao e ¸a ˜ o. ˜ es p/q ∈ formado pelas frac ¸o tais que p/q . Ent˜ n˜ ao e ao existem m. x · y = 5 · 5 = 25 . 3 ∈ 3 . Somando-se (−α2 ). No entanto. n = 2 temos que x = 1 + 5 ·1 = 6 ao dois elementos 5 e y = 0 + 5 · 2 = 5 s˜ 6 2 12 ´ ltimo elemento pertencesse a A. n ∈ }. n ∈ tais que 25 = m + 5 n ⇒ 12 = 25m + 5n o que e ´ m´ ´ m´ porque 12 n˜ ao e ultiplo de 5 enquanto que 25m + 5n = 5(5m + n) e ultiplo de 12 ´ subanel 5. ent˜ ao A e comutativo. 0. Por exemplo. x − y = 3m − 3n = 3(m − n) ∈ 3 e ´ um subanel de . Mostre que: ´ um anel a) Se (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2 para quaisquer α. : S e ao corpos e S ⊂ K ) ˜ o: Soluc ¸a a) consideremos um elemento de S e vamos verificar inverso √ se esse elemento tem 1 −1 multiplicativo em S . A6) Mostre que: √ √ a) [ 2] = {a + b 2 | a.α+β = 1 3 0 1 −1 −3 3 10 1 3 4 9 6 17 o que implica em (α + β)2 = e α2 + 2αβ + β2 = . b ∈ } ´ um subcorpo de K quando ambos s˜ (OBS. Por exemplo. ele precisa ser ˜√ fechado para a multiplicac ¸a o. seja x = 3 ∈ S . +. ´ um subcorpo de ( . de 1 2 3 7 1 5 onde podemos observar que (α + β)2 α2 + 2αβ + β2 . α = 0 −1 0 1 1 0 2 7 1 3 ∈ A. +. entre outras propriedades. β2 = . Temos que: 5 . Por exemplo. b ∈ } √ 3 c) S = {a + b 3 | a. Escolhendo-se a = 1. √ obtemos ao dois elementos de S . b ∈ ´ um subcorpo de }e tais que ⊂ . Logo. Como √ que x = 2 e y = 2 2 s˜ ´ subcorpo de .b) Basta escolher dois elementos que n˜ ao comutem em um anel A que n˜ ao seja 1 2 ∈ Aeβ = comutativo. ·) em cada um dos seguintes casos: A5) Verifique se (S . ·) e √ a) S = {a + b 3 | a. temos que S n˜ ao e √ √ √ 3 2 3 3 9 1 3 −1 ´ um c) Seja x = 3 ∈ S . ⊂ . b) Existe uma infinidade de corpos ˜ o: Soluc ¸a √ √ √ a) Escolhendo a = b = 1 temos que 1 + 2 ∈ [ 2] ⇒ [ ∅. Temos que x = √ = 3 √ √ 3 1 ´ subcorpo de . sejam A = M2×2 ( ). αβ = . Sejam √ √ √ 2] x = a + b 2 e y = c + d 2 dois elementos gen´ ericos de [ 2]. S n˜ ao e 3 3 2 = 3 3 √ 3 3 3 subcorpo de . Temos que x = √ = √ S . √ b = 0. b ∈ } √ √ b) S = {a 2 + b 3 | a. S (porque 1 ) ⇒ S n˜ ao e 3 = 3 3 3 b) Para o conjunto ser um subcorpo. Temos α2 = . x · y = 2 · 2 2 = 4 S . b = 0 e depois a = 2. [ 3]. 6 . mas 1B. O inverso multiplica√ √ −n m m − n 2 1√ √ √ = ´ igual a m+n ´ tivo x−1 e = + 2 que e 2 (m+n 2)(m−n 2) m2 − 2n2 m2 − 2n2 um elemento de [ 2]. · · · todos contidos em e contendo o conjunto . b) De modo semelhante ao que foi feito no item (a). uma infinidade de corpos [ 2]. b ∈ } e √ √ √ . 1A = eB= a 0 |a ∈ 0 0 1B. Temos que B e 1A .√ √ √ ◦ x − y = (a + b 2) − (c + d 2) = (a − c) + (b − d) 2 ∈ ∈ ∈ √ [ 2] √ [ 2] √ √ √ ◦ x · y = (a + b 2)(c + d 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc) 2 ∈ ∈ ∈ √ ´ um subanel de . A7) Dˆ e exemplo de um anel A e um subanel B tais que: a) ∃1A . Para ser subcorpo.√ Obtemos. podemos mostrar que se √ √ ´ um subcorpo de p for um primo positivo. [ 5]. 1B = 0 0 0 1 ˜ es de adic ˜o e b) Sejam B = 2 = inteiros pares e A = com as operac ¸o ¸a ˜ o usuais. ´ um subanel . √ ∈ ∈ 1 0 1 0 e 1A . Fica mostrado dessa forma que [ 2] e faltam ainda outras propriedades: √ √ √ ◦ Escolhendo a = 1 e b = 0 temos que 1 = 1 + 0 2 ∈ [ 2] ⇒ [ 2] tem unidade √ √ √ ◦ x · y = (a √ + b 2)(c + d 2) = ( ac + 2 bd ) + ( ad + bc ) 2 e √ √ y·x = √(c + d 2)(a + b 2) = (ca + 2db) + (da + cb) 2 ⇒ x · y = y · x ´ comutativo ⇒ [ 2] e √ √ ◦ Seja x = m + n 2 um elemento n˜ a o nulo de [ 2]. existe 1A = 1 ∈ . ˜ o: Soluc ¸a a) Consideremos A = M2×2 de A. [ p] = {a + b p | a. [ 7]. mas multiplicac ¸a n˜ ao existe 1B. ∃1B mas 1A b) ∃1A . Temos que B e ´ subanel de A. dessa forma. ent˜ ao xn = 0 ⇒ x = 0. 2. k} s˜ ao tais que x1 · x2 · · · · · xk = 0. a2 + (−a) = a + (−a) ⇒ a2 − a = 0 ⇒ a(a − 1) = 0. ˜ o: Se a2 = 1. obtemos: ´ um anel de integridade. Isso pode ser generalizado (por Induc ¸a quantidade de k fatores. ent˜ ao a = 0 ou a = 1. ent˜ ao existe j ∈ {1. • Se n = 1. 2. ent˜ ao xn = 0 ⇒ x · x · x · · · · · x = 0. dade e ˜ o: Suponhamos x um elemento nilpotente de um anel A. Como A e dade. ent˜ ao n˜ ao podemos ter n = 0 porque. ent˜ ao x1 = 0 ou x2 = 0. conclu´ temos a = 0 ou a − 1 = 0. · · · . · · · . ´ um anel de integri• Se n > 1. Como A e ` s igualdades anteriores. a) a equac ¸a ˜ es b) o sistema de equac ¸o ¯x + 3 ¯y = 1 ¯ 2 ¯x − 2 ¯y = 8 ¯ 5 7 . temos a + 1 = 0 ou temos que (a + 1)(a − 1) = 0.A8) Mostre detalhadamente que se A for um anel de integridade e a ∈ A for tal que a2 = 1. Sendo A um anel de integridade. ´ denominado nilpotente quando existir A10) Em um anel A. Soluc ¸a • Se xn = 0. conclu´ a − 1 = 0. ent˜ ao a = 1 ou a = −1. com i ∈ {1. n fatores ˜ o. se x1 . temos x = 0. A9) Mostre detalhadamente que se A for um anel de integridade e a ∈ A for tal que a2 = a. Somando-se (−1) e 1 a ımos que a = −1 ou a = 1. x2 ∈ A s˜ Observac ¸a ao tais que x1 · x2 = ˜ o) para uma 0. A11) No corpo Z11 . resolva: ˜ o x3 = x. obtemos: a2 + (−1) = 1 + (−1) ⇒ a2 − 1 = 0. ´ um anel de integridade. ˜ o: Se a2 = a. onde x ∈ A e n ∈ . se assim fosse. ent˜ Soluc ¸a ao somando-se (−1) a ambos os membros. k} tal que x j = 0. com k > 1: se xi ∈ A. um elemento x ∈ A e n ´ nico elemento nilpotente de um anel de integrin ∈ tal que x = 0. a potˆ encia xn n˜ ao seria igual a 0. Mostre que o u ´ o zero. ent˜ Soluc ¸a ao somando-se (−a) a ambos os membros. Como (a + 1)(a − 1) = a2 + a − a − 1 = a2 − 1. Como A e ` igualdade anterior. Somando-se 1 a ımos que a = 0 ou a = 1. ¯ ˜ o do sistema e ´ x = 6. B1) Seja A um anel no qual x2 = x para todo x ∈ A. ¯ 6. Por outro lado. ¯ 10. ( x + x)2 = x + x. ˜ o. 12. (Sugest˜ ao: calcule ( x + y)2 . 12}. 6. ¸a Da´ ı. x = 7 ¯ +3 ¯ ·6 ¯y = 1 ¯ ⇒3 ¯y = 1 ¯ − 12 ⇒ 3 ¯ y = −11 = 0 ¯ ⇒ y = (3) ¯ −1 · 0 ¯ ⇒ y = 0. ¯ s˜ ¯ = 0. ent˜ ao (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2 . ¯ ou ˜ o: a Soluc ¸a ¯ eb ao divisores de zero de 15 se eles forem n˜ ao nulos e a ¯ ·b ¯ ⇒a·be ´ um m´ seja. 10}. temos que x = 0 Como 11 e ¯ ou x = −1 ¯ = 10 ou x = 1. a soluc ¸a A12) Determine todos os divisores de zero do anel 15 . ¯ 5. a · b = 0 ultiplo de 15 ⇒ a. Mostre que A e tativo. tiva da multiplicac ¸a ¸a ¸a ´ um anel comuB2) Seja A um anel no qual x2 = x para todo x ∈ A. ent˜ ao ( x + x)2 = x2 + x · x + x · x + x2 = x2 + x2 + x2 + x2 = x + x + x + x. se a. temos que ( x + y)2 = x + xy + yx + y. etc. Portanto. Note que utilizamos as propriedades associativa da adic ˜ o e distribuObservac ¸a ¸a ˜ o com relac ˜o a ` adic ˜ o no desenvolvimento acima. podemos eliminar a vari´ duas equac ¸o avel y: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 4 x + 6y = 2 4 x + 6y = 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ⇒ ¯y = 2 ¯ y = 24 ¯x − 6 ¯ ⇒ (4 x + 6y) + (4 x − 6y) = 2 + 2 ¯ x−6 ¯ 4 15 ¯x = 4 ¯ ⇒ x = (8) ¯ −1 · 4 ¯ . ´ S = {0 e ¯ a segunda por 3 ¯ e somando-se as ˜ o por 2. ¯ ⇒ 8 ¯ Substituindo-se x = 6 ¯ na primeira equac ¯ ·4 ¯ = 28 = 6. ´ ltima igualdade. distributiva. Mostre que x = − x para todo x ∈ A. ˜ o do sistema. Como 8 ¯·7 ¯ = 56 = 1. x = 0 ¸a ¸a ¯. Por Soluc ¸a 8 . ¯ temos que (8) ¯ −1 = 7. ¯ Logo. Portanto. b ∈ {3. (Sugest˜ ao: calcule ( x + x)2 . Logo. um conjunto formado por divisores de 15 e seus m´ ultiplos maiores do que 1 e menores do que 15.) ˜ o: Como ( x + y)2 = x2 + xy + yx + y2 . os divisores de zero de 15 s˜ ao 3. na seguinte forma: x = x ⇒ x − x = 0 ⇒ x( x − 1) = 0 ⇒ x( x + 1)( x − 1) = 0 ¯ ou x + 1 ¯=0 ¯ ou x − 1 ¯ = 0. 10. Logo. x + x = x + x + x + x. podemos usar as propriedades (coa) Como 11 e ˜ o e multiplicac ˜ o para escrever a equac ˜o mutativa. ¯ ´ um anel de integridade. 5. b) Multiplicando-se a primeira equac ¸a ˜ es. ¯ 9. 11 e ´ um corpo.) ˜ o: Soluc ¸a Em um anel A. b ∈ A. obtemos: Somando-se (− x) + (− x) + (− x) aos dois membros dessa u (− x) + x + (− x) + x + (− x) = (− x) + x + (− x) + x + (− x) + x + x ⇒ − x = x para todo x ∈ A. o conjunto-soluc ˜ o da equac ˜o ou seja. 1 ¯ . 9.) da adic ¸a ¸a ¸a 3 3 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯. ¯ obtemos: 2 ¯ y = 0. Se a = b = x.˜ o: Soluc ¸a ´ primo. a equac ¸a ¯ x − 1) ¯ = 0. podemos verificar que x = 3 ´ uma raiz da Por substituic ¸a ¸a ao e ¯ e7 ¯ 5 ¯ s˜ ˜ o. Portanto. 43) = 1. ˜ o: Como 101 e ´ primo. podemos usar o m´ etodo das divis˜ oes sucessivas para o c´ alculo do m´ aximo divisor comum. Usando o exerc´ ıcio B1. y ∈ A. Dessa forma. e alido o seguinte produto not´ avel: ˜ o dada pode ser escrita na forma (a + b)(a − b) = a2 − b2 . ¯ ˜ es da equac ˜ o x2 − 1 determine todas as soluc ¸o ¸a ´ v´ Em todo anel comutativo. ˜ es da equac ˜ o dada quando de zero s˜ ao 2. determine o inverso multiplicativo do elemento 43. quando x = −1 ¯ =7 ¯ ou x = 1. temos yx = −yx. ( x + y)2 = x + y e da´ ı x + xy + yx + y = x + y. em podemos obter soluc ¸o ¸a ¯ ou x − 1 ¯ coincidem com esses divisores de zero.outro lado. b ∈ Soluc ¸a tais que 101a + 43b = 1. 5 ¯ }. dispostas no seguinte diagrama onde fizemos x = 101 e y = 43: 2 2 1 6 2 x y 15 13 2 1 15 13 2 1 0 Observando as divis˜ oes indicadas nesse diagrama. ¯ Em um anel de integridade. Logo. obtemos as x+1 ˜ es: seguintes poss´ ıveis soluc ¸o ¯=2 ¯ ⇒x=1 ¯ • x+1 ¯=4 ¯ ⇒x=3 ¯ • x+1 ¯ ⇒x=5 ¯ ¯=6 • x+1 ¯=2 ¯ ⇒x=3 ¯ • x−1 ¯ ¯=4 ¯ ⇒x=5 • x−1 ¯ ⇒x=7 ¯=6 ¯ • x−1 ¯ n˜ ˜ o direta na equac ˜ o. xy − yx = 0 ´ comutativo. xy + yx = 0. ¯ ou seja. temos: 9 . ou seja. o mdc(101. enquanto que 1. de onde obtemos que xy = yx para quaisquer x. tamb´ ¯ 4 ¯ e 6. o conjunto-soluc ¸a ¸a ¯. o anel A e B3) No anel ˜ o: Soluc ¸a 8. Mas 8 n˜ ´ anel de integridade porque seus divisores seriam as u ¸o ao e ¯ Logo. ´ S = {1 x2 − 1 B4) No corpo 101 . Para calcular a e b. essas x−1 ´ nicas soluc ˜ es. duas soluc ¯=0 ¯ ou quando ˜ es s˜ ( x + 1)( ¸o ao obtidas quando x + 1 ¯ = 0. ¯ Portanto. Somando-se (− x) + (−y) aos dois ´ ltima igualdade. ˜ o da equac ˜o equac ¸a ao ra´ ızes. obtemos: x+(− x)+ xy+yx+y+(−y) = x+(− x)+y+(−y). Portanto. existem a. ¯ = 0. Logo. membros da u ou seja. 7 ¯=0 ¯e ¯. 7(5y − 2 x) − 6( x − 2y) = 1 que equivale a 47 y −20 x = 1 ⇒ 47y − 20 x = ¯ ⇒ 47 · y ¯ ⇒ 47 · 43 = 1 ¯ de onde conclu´ 1 ¯ − 20 · x ¯=1 ımos que o inverso multiplicativo ¯ =0 =b =a de 47 em 101 ´ o elemento 43. y = 2 x − 4y + 13 ⇒ 5y − 2 x = 13.(a) x = 2 · y + 15 (b) y = 2 · 15 + 13 (c) 15 = 1 · 13 + 2 (d) 13 = 6 · 2 + 1 Do item (a). temos que 15 = x − 2y que substitu´ ıdo em (b) fornece y = 2 · ( x − 2y) + 13. Do item (c). temos 2 = 15 − 13 que ´ equivalente a 7 · 13 − 6 · 15 = 1. substituindo em (d) fornece 13 = 6 · (15 − 13) + 1 que e ou seja. ou seja. e 10 . 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