95814998 Aplikasi Statistik Maxwell Boltzmann Ekipartisi Energi

Aplikasi Statistik Maxwell-Boltzmann: Ekipartisi Energi By : Paian Tamba E-mail : [email protected] Ekipartisi Energi Bila energi partikel-partikel dalam suatu sistem berbentuk kuadrat dari koordinat posisi dan momentum sistem maka setiap suku yang mengandung kuadrat tersebut akan berkontribusi terhadap energi rata-rata sebesar 1/2kT, dimana T adalah temperatur sistem. Hal ini akan dibahas sebagai suatu aplikasi dari statistik Maxwell-Boltzmann. 1. Bentuk-Bentuk Energi Energi suatu partikel dapat berbentuk murni energi kinetik, misalnya dalam arah-x : 2 єx=p x/2m yang juga berlaku sama dengan dalam arah-y dan arah-z (1) Dapat pula berbentuk energi kinetik dan energi potensial, misalnya pada osilator harmonik, yang untuk arah-x-nya adalah: 2 p x 1 2 x   x 2m 2 (2) yang akan memiliki bentuk yang sama pula dalam kedua arah lainnya. Dengan demikian, secara lengkap suku energi є merupakan fungsi dari x, y, z, px, py, dan pz atau koordinat dari ruang fasa enam-dimensi Γ. Suatu bentuk lengkap є yang bergantung kuadrat dari koordinatkoordinat ruang Γ adalah p x 1      p 1 p 1 y z 2 2 2 x    x     y     z  2m 2 2m 2 2m 2       2 2 2 (3) 2. Rata-rata energi kinetik Rata-rata nilai є x pada temperatur T:  p x / 2 me  2 x   e  / kT / kT d d (4) dengan dΓ = dxdydxdpxdpydpz. Dengan melihat bentuk umum dalam Persamaan (4) maka apabila dituliskan   p x /2m 2 merupakan suatu suku yang tidak lagi bergantung dari px. (5) Dengan menggunakan cara ini maka Persamaan ( 1 ) dapat dituliskan menjadi: x   e   e    p 2  x      kT   2 m       p 2  x      kT   2 m      dV p dp y dpz    e  dV p dp y dpz Dengan melakukan subtsitusi 2 u   p / 2 m e  x 2  p x / 2 mkT 2 dpx (6)  p x / 2 mkT 2 dpx  = 2 px /2mkT maka Persamaan (6) akan menjadi:  kT  u e 2 x  -u 2 -  e  - du (7) -u 2 du dengan menggunakan integral parsial, dimana :   2 1 2 -u u 2 u e du  ue d ( u ) -  2  2   1 -u 2   ue 2  u     1 -u 2 1 -u 2   e du   e du 2  2  Maka persamaan (7) menjadi:  kT  u e 2 x   -u 2 -  e  - -u 2 du du  2 1 -u kT  e du 2   e  -u 2 du 1  kT 2 (8) - Dengan cara yang sama akan dapat diperoleh bahwa y  1 / 2kT dan z  1 / 2kT (9) 3. Rata-Rata Energi Potensial Mirip Pegas Bila partikel memiliki energi potensial yang bergantung posisi seperti dalam Persamaan (2), maka rata-rata energi potensial dalam arah-x dapat dicari, misalnya saja 1 2 u x  x 2 (10) Kemudian dengan menggunakan prosedur yang sama seperti sebelumnya, yaitu membuat suatu suku yang bebas terhadap x, yaitu 1 2   x 2 (11) maka dapat diperoleh bahwa:    e  ux     x e    x / 2   (  x / 2 ) e  2    e  2 2 /2     x / 2 kT 2   (  x / 2 ) e  2 kT kT dV p dydz dV p dydz   e    x / 2 kT   x / 2 kT 2 2 dx dx  dx (12)   x / 2 kT 2 dx  dengan menggunakan menjadi 2 u = 2 µx /2kT maka Persamaana (12) akan  kT  u e 2 ux  -u 2 -  e  - -u 2 du du 1  kT 2 (13) sehingga untuk potensial pada arah-y dan arah-z akan diperoleh pula: u y  1 / 2kT dan u z  1 / 2kT (14) 4. Rata-Rata Energi Osilator Harmonik Suatu osilator harmonik yang memiliki energi pada arah-x seperti dalam Persamaan (2) dapat pula dihitung energi rata-ratanya pada arah-x, yaitu  p    x     2 x    / 2m   x / 2 exp  ( p x / 2m   x / 2) / kT dxdpx 2 2 2 (15)    ( p / 2 m   x / 2 ) dxdp x  x    2 2 dengan kembali menggunakan prosedur yang sama dalam membahas integral dalam dΓ. Untuk menyelesaikan Persamaan (15), nyatakan koordinat x dan px dalam bentuk polar sehingga: 2 px 2 2  r sin  2m 1 2 2 2  x  r cos  2 1/2 dxdpx  2(/x) r dr d (16) (17) (18) Persamaan 15 akan menjadi: 2 x   d  e   0 2 0  d  e   0 Integral e   au 2  r / kT 2 3 r dr  kT  r / kT 2 (19) rdr 0 e   au 2 3 u du dapat dipecahkan lewat: 1 u du  2a 3  u e  2  au 2 2 d ( au ) 0  2  1 1  2  au   u e   a  2a  u 0 1 0 a 1 a   kT  ue   au 2 0 1 du  a  ue  0 du 0  ue   au 2 du 0  e   au 2  -r 2 / kT r dr  kT 3 e  0 -r 2 / kT rdr