Universidad Peruana de Ciencias AplicadasPruebas de hipótesis para dos varianzas poblacionales. Ejemplo. Un investigador desea verificar si existe evidencia de una diferencia en las varianzas de las resistencias entre dos tipos de material para embalaje. La descripción de las lecturas en pielibra de la resistencia al impacto de los dos tipos de embalaje se muestra a continuación. Características Media Varianza Observaciones Embalaje A 1,2367 0,0042 9 Embalaje B 0,9778 0,0024 9 A partir de los datos obtenidos compruebe la hipótesis y concluya con 5% de nivel de significación. Asuma poblaciones normales con varianzas iguales. Solución. 2 Sean X1: Resistencia al impacto (embalaje A) X1 ~ N( µ 1 , σ 1 ) X2: Resistencia al impacto (embalaje B) X2 ~ N( µ 2 , σ 2 ) 2 1. Planteo de hipótesis. 2 ⎧H 0 : σ 1 = σ 2 ⎪ 2 ⎨ 2 2 ⎪H 1 : σ 1 ≠ σ 2 ⎩ 2. Nivel de significación. α = 0.05 3. Prueba estadística S2 1 Fc = 1 • 2 ~ f ( n1 −1, n 2 −1) 2 S 2 σ1 σ2 2 4. Supuestos. Poblaciones normales. Muestras tomadas al azar. 5. Regiones críticas. Criterios de decisión. La hipótesis alternante define la(s) zona(s) de rechazo. Áreas Criterios 0.025 0.025 Si 0.226 ≤ fc ≤ 4.43 No se rechaza H0 Si fc < 0.226 o fc > 4.43 Se rechaza H0 0.226 4.43 Separata de Estadística para Economistas 56 σ 2 ) 2 1. Muestras tomadas al azar.9778 0.0042 9 Embalaje B 0. Planteo de hipótesis.05 3. Cálculos (0. Nivel de significación. Pruebas de hipótesis para dos medias poblacionales. Prueba estadística tc = ( x1 − x 2 ) − (µ1 − µ 2 ) ⎛1 1 ⎞ S⎜ + ⎟ ⎜n n ⎟ 2 ⎠ ⎝ 1 2 p _ _ ~ t ( n1 + n 2 − 2) 2 2 donde: S2 = (n1 − 1)s1 + (n 2 − 1)s 2 p n1 + n 2 − 2 4. Conclusiones. Solución.2367 0. σ 1 ) X2: Resistencia al impacto (embalaje B) X2 ~ N( µ 2 . Un investigador desea verificar si existe evidencia de una diferencia en la resistencia promedio entre dos tipos de material para embalaje.0024) 7. Características Media Varianza Observaciones Embalaje A 1. Supuestos.0024 9 A partir de los datos obtenidos compruebe la hipótesis y concluya con 5% de nivel de significación.Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas 6. Poblaciones normales. Asuma poblaciones normales con varianzas iguales. α = 0. Muestras independientes Ejemplo. Con 5% de nivel de significación la información muestral es insuficiente para rechazar que las varianzas de las resistencias son iguales. 2 Sean X1: Resistencia al impacto (embalaje A) X1 ~ N( µ 1 .0042) = 1. La descripción de las lecturas en pielibra de la resistencia al impacto de los dos tipos de embalaje se muestra a continuación.75 Fc = (0. ⎧H 0 : µ 1 = µ 2 ⎨ ⎩H 1 : µ 1 ≠ µ 2 2. Separata de Estadística para Economistas 57 . Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas 5.120 t(16. Cálculos tc = (1.025 0.2367 − 0.8 Medida de cintura antes Medida de cintura después 1 90.6 84.561 7.120 ≤ tc ≤ 2. Solución.95 -2.) X2: Medida de cintura después (cm.9778) − (0) ⎛1 1⎞ 0. La hipótesis alternante define la(s) zona(s) de rechazo.4 91.120 o tc > 2.) 1. Criterios de decisión.025) = 2.9 5 104.9 97.0 101.120 Se rechaza H0 6. Las medidas de cinturas de seis hombres que participaron en este programa de ejercicios se registraron antes y después del período de cinco días en la siguiente tabla: Hombres 3 4 98. ⎧H 0 : D = 2 ⎨ ⎩H 1 : D ≠ 2 Separata de Estadística para Economistas 58 .0033⎜ + ⎟ ⎝9 9⎠ = 9. 0. Muestras relacionadas Ejemplo Un gimnasio afirma que un nuevo programa de ejercicio reducirá la medida de la cintura de una persona en promedio dos centímetros en un período de cinco días. Sean X1: Medida de cintura antes (cm.7 2 95.120 No se rechaza H0 Si tc < -2.5 93.4 112.3 6 85.7 115.120 0.0 ¿La afirmación del gimnasio es válida al nivel de significación de 5%? Suponga que la distribución de las diferencias de medidas de cintura antes y después del programa es aproximadamente normal. Regiones críticas. Conclusiones. Con 5% de nivel de significación la información muestral es suficiente para rechazar que las resistencias promedios de los dos tipos de embalaje son iguales. Áreas Criterios 0.025 Si -2. Planteo de hipótesis. Prueba de hipótesis para dos proporciones poblacionales. En una prueba de calidad de dos comerciales de televisión se pasó cada uno en un área de prueba seis veces.57 2. Criterios de decisión.57 ≤ tc ≤ 2. durante un período de una semana.05 3. Regiones críticas. Las diferencias tienen distribución normal.543 / 6 = −0. Supuestos.57 No se rechaza H0 Si tc < -2.5 − 2 1. Se obtuvieron los siguientes resultados: Comercial Personas que lo vieron A 150 B 200 Personas que recordaron el mensaje principal 63 60 Use α = 0. Conclusiones.025 Criterios Si -2. Cálculos tc = 1 .794 7.Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas 2.57 o tc > 2. Separata de Estadística para Economistas 59 .95 -2. La hipótesis alternante define la(s) zona(s) de rechazo. α = 0. A las personas que los vieron se les pidió definieran el principal mensaje en ellos. Nivel de significación. Con 5% de nivel de significación la información recogida resulta insuficiente para contradecir lo que afirma el gimnasio.57 Se rechaza H0 6. 5.025 0.57 0. Áreas 0. La semana siguiente se llevó a cabo una encuesta telefónica para identificar a quienes habían visto esos comerciales.05 para probar la hipótesis que no hay diferencia en las proporciones que recuerdan los dos comerciales. Prueba estadística d−D ~ t (n −1) tc = Sd / n 4. Prueba estadística Zc = ˆ ˆ p1 − p 2 ⎛1 1 ⎞ ⎟ p (1 − p )⎜ + ⎟ ⎜n ⎝ 1 n2 ⎠ ~ N (0.96 1. Separata de Estadística para Economistas 60 . α = 0. Planteo de hipótesis.96 Se rechaza H0 6. 1.96 ≤ Zc ≤ 1. Muestra grande. 5. hay diferencias significativas en las proporciones que recuerdan los dos comerciales.025 0. Nivel de significación.351)(0. Criterios de decisión.96 0.95 -1. Cálculos Zc = 63 60 − 150 200 = 2. Áreas Criterios 0.Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Solución. Con 5% de nivel de significación y a partir de la información muestral.649)⎜ ⎟ ⎝ 150 200 ⎠ 7.328 1 ⎞ ⎛ 1 + (0.96 o Zc > 1. Muestra tomada al azar.96 No se rechaza H0 Si Zc < -1. Conclusiones.05 3. Regiones críticas.1) 4. La hipótesis alternante define la(s) zona(s) de rechazo.025 Si -1. Sea p2: Proporción de personas que recordaron el mensaje principal del comercial B. Sea p1: Proporción de personas que recordaron el mensaje principal del comercial A. Supuestos. ⎧H 0 : p1 = p 2 ⎨ ⎩H1 : p1 ≠ p 2 2. 000 243.143 0.121 ¿En el agua de mar en comparación con el aire.141 Aire 734 571 520 792 773 276 411 500 672 583.222 -33.132 0.333 -.222 175. Use α = 0. Prueba de muestras independientes Prueba de Levene para la igualdad de varianzas Prueba T para la igualdad de medias 95% Intervalo de confianza para la diferencia Inferior -244.118 0.142 0. Los resultados en miles fueron los siguientes: x s Agua de mar 774 633 477 268 407 576 659 963 193 550. en jamón inmediatamente después de sumergirlo en una solución de ácido y después de 60 días de almacenamiento. 3) En un estudio realizado por el Departamento de Nutrición Humana y Alimentos se registraron los siguientes datos acerca de la comparación de residuos de ácido sórbico.333 gl 16 14.0122 Los datos recogidos apoyan la afirmación. . en partes por millón. ¿hay suficiente evidencia.135 0.222 Error típ.0033 Alambre B 0.Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Ejercicios Propuestos 1) Se midió el número de ciclos hasta el colapso en vigas de concreto armado. de la diferencia 99.136 0.135 0. Asuma poblaciones normales.880 99.880 2) Se afirma que la resistencia del alambre A es mayor que la resistencia del alambre B.700 Superior 178. al nivel de significancia de 0. (bilateral) . disminuye el número de ciclos antes del colapso? Asuma poblaciones normales.137 0. use 5% de nivel de significación.388 t -.959 -246.744 Diferenci a de medias -33.104 0.1385 0.256 F Se han asumido varianzas iguales No se han asumido varianzas iguales . Residuos de ácido sórbico en jamón Rebanada Antes del almacenamiento Después del almacenamiento di 1 224 116 108 2 270 96 174 3 400 239 161 4 444 329 115 5 590 437 153 6 660 597 63 7 1400 689 711 8 680 576 104 Se supone que las poblaciones se distribuyen normalmente.744 . Un experimento sobre los alambres muestra los siguientes resultados (en ohmios): s x Alambre A 0.787 Sig.11 0.119 0.115 0. tanto en el agua de mar como en el aire.54 Sig.05.05 .138 0.515 180. para decir que la duración del almacenamiento influye en las concentraciones residuales de ácido sórbico? Separata de Estadística para Economistas 61 . 032 4) Se utilizaron nueve sujetos en un experimento para determinar si una atmósfera que implica la exposición a monóxido de carbono tiene un impacto sobre la capacidad de respiración. un terminal de computadora o un procesador de texto en su trabajo ¿Existe diferencias significativas entre los porcentajes de adultos. Un estudio reciente. una microcomputadora. Se realizaron varias mediciones de respiración para cada sujeto en cada cámara.05. al nivel de 5% de significación. Sujeto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Con CO 30 45 26 25 34 51 46 32 30 Sin CO 30 40 25 23 30 49 41 35 28 Calcule un intervalo de confianza del 95%. que utilizan con regularidad equipo de cómputo en su trabajo.305 22.03 . de para la diferencia Desviación la típ.Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Prueba de muestras relacionadas Diferencias relacionadas Error 95% Intervalo de confianza típ. Asuma normalidad. que utilizan algún equipo de cómputo en su trabajo? Use nivel de significación 0. se puede afirmar que un ambiente con CO influye sobre la capacidad de respiración. (bilateral) .625 t 2. de 10 empresas del sector salud. de las empresas del sector industrial y de salud. Los siguientes datos dan la frecuencia respiratoria en número de respiraciones por minuto.328 Media antes .673 gl 7 Sig. una de las cuales contenía una alta concentración de CO. Los sujetos se colocaron en cámaras de espiración. ¿mejoró el proceso luego de los cambios? Separata de Estadística para Economistas 62 . reveló que 184 de 616 adultos trabajan utilizando con regularidad una computadora personal. c) Se seleccionó otra muestra de 450 adultos. un terminal de computadora o un procesador de texto en su trabajo. en la muestra se obtuvo que 105 adultos utilizan con regularidad una computadora persona. de las 15 empresas. Estime un intervalo de confianza del 95% para el total de trabajadores. 6) Se considera cierto cambio en un proceso de fabricación partes componentes.922 374. a) ¿Son estas pruebas suficientes para llegar a la conclusión de que la porción de adultos que utilizan con regularidad equipo de cómputo en su trabajo excede 25% Pruebe con α = 0. Inferior Superior media 210. Se toma muestras de procedimiento existente y del nuevo para determinar si este tiene como resultado una mejoría. una microcomputadora. Los sujetos se colocaron en las cámaras de respiración en una secuencia aleatoria. Si se encuentra que 75 de 1500 artículos del procedimiento actual son defectuosos y 80 de 2000 artículos de procedimiento nuevo también lo son.después 198. 5) El empleo de equipo de cómputo en las empresas está creciendo con una rapidez vertiginosa.165 74. b) Se sabe que el número promedio de trabajadores por empresa es 720. en la que participaron 15 empresas del sector industrial.