Figura 1.1: Vano nivelado Figura 1.2: Vano Inclinado Diseño mecánico de líneas de transmisión de energía eléctrica : 1 I. GENERALIDADES 1.1. Introducción En este libro se presentan los aspectos básicos a tener en cuenta para la elaboración de los cálculos básicos para el diseño mecánico de una línea aérea de transmisión de energía eléctrica. Los principales temas que se consideraran son los siguientes: Métodos de cálculo de flechas y tensiones para un conductor que cuelga libremente, soportado por dos apoyos. En el desarrollo de este tema se presentan los métodos de la catenaria y de la parábola. Ecuación de cambio de estado, que permite determinar el comportamiento de un conductor ante nuevas condiciones, a partir de unas condiciones dadas en un estado inicial. Hipótesis de diseño asociada a las diferentes restricciones que debe satisfacer un diseño mecánico de una línea para funcionar adecuadamente. Plantillado de la línea, etapa que esta relacionada con la localización de estructuras sobre la ruta seleccionada para la línea. Determinación de distancias de seguridad que deben tener las líneas aéreas hasta las diferentes áreas o construcciones. 1.2. Definiciones A continuación se presentan algunas definiciones que se deben conocer cuando se trabaja en el diseño mecánico de la línea de transmisión aérea. a) Vano: Distancia horizontal medida entre los ejes verticales de dos apoyos adyacentes. En nuestro medio, su unidad suele ser el metro. b) Vano nivelado: Un vano es nivelado es aquel que se tiene cuando los puntos de amarre de ambos apoyos se encuentran al mismo nivel. Estos vanos se encuentran especialmente en terreno plano, tal como se presenta en la figura 1.1. Adolfo León Escobar – Juan José Mora Universidad Tecnológica de Pereira Figura 1.3: Serie de vanos consecutivos Figura 1.4: Estructura de suspensión Diseño mecánico de líneas de transmisión de energía eléctrica : 2 c) Vano inclinado: Un vano es inclinado cuando los puntos de amarre del conductor se encuentran a diferente nivel. Estos vanos se encuentran generalmente en terreno montañoso, tal como se presenta en la figura 1.2. d) Vano básico o normal: Distancia horizontal entre dos puntos adyacentes, con la cual se obtiene la mayor economía en la construcción de la línea para terreno plano. Está determinado por la distancia de máximo acercamiento del conductor a tierra (distancia mínima de seguridad). Este valor esta dado por el nivel de tensión de la línea y el tipo de terreno que esta atraviesa (Zona despoblada, vía vehicular, río, zona poblada, zona cultivada, zona inaccesible, entre otras.). En las normas existen tablas que indican estos valores. e) Vano promedio: Es la media aritmética entre varios vanos consecutivos, tal como se presenta en la ecuación 1.1, para una serie de vanos consecutivos como los que se presentan en la figura 1.3. n L Vano n i i promedio ∑ · · 1 (1.1) f) Vano regulador: Es un vano hipotético y esta definido como un vano cuya longitud es utilizada como base para calcular las flechas y las tensiones del conductor. Con estos datos se construye la plantilla y se preparan las tablas de tendido. g) Vano peso (Gravivano): Es la distancia horizontal medida entre los puntos más bajos al lado del apoyo. Se usa para calcular las cargas verticales que debe soportar el apoyo o estructura. Para la figura 1.4, Los vanos pesos de los apoyos A, B, C y D, se presentan en la ecuación 1.2 6 5 4 3 2 1 , , , X Vano X X Vano X X Vano X Vano pesoB pesoC pesoB pesoA · + · + · · (1.2) h) Vano viento (Eolovano): Es la distancia horizontal medida entre los puntos medios de cada vano, a lado y lado del apoyo. Este vano sirve para calcular los esfuerzos transversales sobre el conductor, debidos a la acción del viento. Este esfuerzo debe ser soportado por el apoyo. Para la figura 1.4, en la ecuación 1.3 se presentan los vanos vientos. 2 , 2 , 2 , 2 3 3 2 2 1 1 L Vano L L Vano L L Vano L Vano vientoD vientoC vientoB vientoA · + · + · · (1.3 Adolfo León Escobar – Juan José Mora Universidad Tecnológica de Pereira Figura 1.7: Estructura de suspensión Figura 1.9: Estructura terminal Figura 1.8: Estructura de suspensión Figura 1.5: Vano Inclinado Figura 1.6: Flecha Diseño mecánico de líneas de transmisión de energía eléctrica : 3 Cada apoyo tiene una curva de utilización que define la zona de operación segura, tal como se muestra en la figura 1.5 i) Vano máximo por penduleo: Es el mayor vano permitido para una distancia horizontal entre conductores. Este depende del penduleo de conductores por la acción del viento. En general, para vanos más largos se usan estructuras que tenga los conductores más separados. j) Flecha: Es la máxima distancia vertical entra la línea recta que une los puntos de amarre del conductor y el conductor mismo. En un vano nivelado la flecha esta en la mitad del vano y coincide con el punto mas bajo. k) Tramo: Conjunto de vanos adyacentes comprendidos entre dos estructuras de retención (anclaje), o terminales. l) Estructuras: Son los apoyos que elevan la línea aérea del suelo. Las más comunes son las torres metálicas o los postes de concreto (solo en baja tensión). Las estructuras según su función se pueden clasificar en suspensión (terminales, cambio de ángulo ), y de anclaje o retención. m) Estructuras de suspensión: Es la estructura más elemental y en ella las cadenas de aisladores cuelgan libremente. Estas estructuras no soportan esfuerzos mecánicos elevados y su única función es soportar el peso del conductor. En la figura 1.7 se muestra un esquema de la estructura. En las redes primarias, en algunas ocasiones se usan aisladores tipo “pin”. Este tipo de estructuras son de suspensión y se utilizan en redes urbanas o rurales en alineamientos rectos, tal como se muestra en la figura 1.8. n) Estructuras terminales: Son aquellas que están al final de la línea y sus conductores pasan de esta estructura al pórtico de la subestación. Como característica importante, es que Adolfo León Escobar – Juan José Mora Universidad Tecnológica de Pereira Figura 1.10: Estructura de cambio de ángulo Diseño mecánico de líneas de transmisión de energía eléctrica : 4 éstas son más robustas. Un diagrama esquemático de estas estructuras se presenta en la figura 1.9 o) Estructuras de cambio de ángulo: En esta estructura, las cadenas de aisladores no se encuentran completamente verticales. Las tensiones que soportan son de tipo vertical (peso de conductores) y longitudinales. Se usan para cambio de rumbo de la línea, tal como se presenta en la figura 1.10. Éstas estructuras también se usan cuando hay vanos desnivelados y se caracterizan por tener doble cadena de aisladores, pero son menos robustas que las estructuras terminales. p) Estructuras de anclaje: Son estructuras que permiten hacer el tendido de la línea por tramos. Se usan cuando hay cambios bruscos en la elevación del terreno. II. ELEMENTOS CONSTITUTIVOS DE LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN 2.1. Apoyos 2.2. Conductores 2.3. Aisladores 2.4. Herrajes 2.5. Accesorios Adolfo León Escobar – Juan José Mora Universidad Tecnológica de Pereira Figura 3.1: Estructura de cambio de ángulo Figura 3.2: Sección de conductor Figura 3.3: Diagrama de fuerzas sobre el conductor Diseño mecánico de líneas de transmisión de energía eléctrica : 5 III. MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE FLECHAS Y TENSIONES 3.1. Método de la Catenaria para vanos nivelados Para la definición de este método, se asumirá inicialmente un vano nivelado (puntos de amarre del conductor al mismo nivel), y un conductor de peso uniformemente distribuido, que cuelga libremente entre dos apoyos y que describe una curva llamada CATENARIA. El punto mas bajo cae en la mitad del vano y la curva es simétrica respecto al eje de las ordenadas, tal como se presenta en la figura 3.1. Según la figura, se tiene que: T es la tensión longitudinal, L es la longitud del vano, O es el punto mas bajo del conductor, es la longitud total del conductor, S es el segmento de conductor y To la componente horizontal de tensión Considerando una sección del conductor OB , que se presenta en la figura 3.2, a partir de un análisis de fuerzas de la sección en equilibrio se tiene obtiene la ecuación 3.1. ∑ ·0 Fx ∑ ·0 Fy (3.1) Adicionalmente se tienen las siguientes definiciones: W = Peso por unidad de longitud del conductor [ ] m Kg . (Se obtiene de tablas.) To = Tensión horizontal en el punto mas bajo del conductor [ ] Kg . S = longitud del conductor [ ] m OB . T = Tensión en el punto B [ ] Kg . Del diagrama de fuerzas actuantes sobre el conductor, presentado en la figura 3.3, se obtiene el conjunto de ecuaciones de 3.2 2 2 ) (Ws To T + · T To Cos · θ (3.2) Adicionalmente y considerando que To es proporcional al peso del conductor, se obtiene el conjunto de ecuaciones 3.3 CW To · W To C · (3.3) Adolfo León Escobar – Juan José Mora Universidad Tecnológica de Pereira Figura 3.4: Elemento infinitesimal del conductor Diseño mecánico de líneas de transmisión de energía eléctrica : 6 Donde C es una constante de proporcionalidad expresada en metros [ ] m . De los conjuntos de ecuaciones 3.2 y 3.3 se obtiene 3.4, para el valor de T y 3.5 para el valor del coseno. 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( s C W Ws WC Ws To T + · + · + · (3.4) 2 2 2 2 s C C s C W WC Cos + · + · θ (3.5) Adicionalmente, analizando un elemento infinitesimal del conductor, tal como el que se presenta en la figura 3.4, se obtiene la ecuación 3.6 ds dx Cos · θ (3.6) A partir de las ecuaciones 3.5 y 3.6, se obtiene 3.7 2 2 s C C ds dx + · ⇒ ∫ ∫ + · 2 2 s C C ds dx ⇒ K C s h Sen C x + , _ ¸ ¸ · −1 . (3.7) Para determinar el valor de la constante de integración (K), se evalúa la ecuación en un punto conocido. Evaluando en 0 · x , se obtiene que 0 · K . Dado que la constante de integración (K) vale cero, la ecuación 3.7 se puede expresar como se presenta en 3.8. , _ ¸ ¸ · − C s h Sen C x 1 . ⇒ , _ ¸ ¸ · − C s h Sen C x 1 . (3.8) Evaluando el seno hiperbólico a ambos lados de la igualdad de la ecuación 3.8, se obtiene 3.9. , _ ¸ ¸ · C x h Sen C s . ⇒ , _ ¸ ¸ · C x h Sen C s . (3.9) Evaluando en 3.9 la longitud del conductor colgado se obtiene 3.10 2 . * 2 L x C x h Sen C · , _ ¸ ¸ · ⇒ , _ ¸ ¸ · C L h Sen C 2 . * 2 (3.1 0) Ahora, nuevamente con referencia al elemento infinitesimal de la figura 3.4, se obtiene 3.11 θ tan · dx dy (3.1 1) Adicionalmente, del triangulo de fuerzas de la figura 3.3, se obtiene 3.12 θ tan · To Ws (3.1 2) Igualando 3.11 y 3.12 se obtiene 3.13 To Ws dx dy · ⇒ C s dx dy · (3.1 3) Adolfo León Escobar – Juan José Mora Universidad Tecnológica de Pereira Diseño mecánico de líneas de transmisión de energía eléctrica : 7 De las ecuaciones 3.9 y 3.13 se obtiene la ecuación de la catenaria presentada en 3.14 , _ ¸ ¸ · · C x h Sen C s dx dy . ⇒ dx C x h Sen dy . . ∫ ∫ , _ ¸ ¸ · ⇒ , _ ¸ ¸ · C x h Cos C y . * (3.1 4) Evaluando la ecuación 3.14 en un punto conocido tal como x=0, se obtiene 0 · x 0 · s ' OO y · ' OO C · De la ecuación 3.14 para y menos la ecuación 3.9 para s, se obtiene 3.15 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ − , _ ¸ ¸ · − C x h Sen C x h Cos C s y 2 2 2 2 2 . . ⇒ 2 2 2 C s y · − ⇒ 2 2 C s y + · (3.1 5) A partir de la ecuación 3.4 para T y la ecuación 3.15 se obtiene 3.16. Wy T · ⇒ , _ ¸ ¸ · C x h Cos WC T . * ⇒ , _ ¸ ¸ · C x h Cos To T . * (3.1 6) De la ecuación 3.16 se puede deducir que la Tensión mínima (Tmin), se obtiene cuando x tiene un valor mínimo (x=0), tal como se presenta en 3.17. To T · min (3.1 7) La tensión mínima es aquella aplicada en el punto mas bajo del conductor analizado. La tensión máxima es aquella para la cual x es máximo ( ) 2 L x · . Esta es la tensión en los apoyos, tal como se presenta en la ecuación 3.18 , _ ¸ ¸ · C L h Cos To T 2 . * max (3.1 8) En lo que respecta a la flecha, para un vano nivelado, ésta cae exactamente en la mitad del mismo y es calculada mediante el conjunto de ecuaciones 3.19 min max y y f − · 2 max . * L x C x h Cos C y · , _ ¸ ¸ · 0 min . * · , _ ¸ ¸ · x C x h Cos C y ⇒ C y · min 1 ] 1 ¸ − , _ ¸ ¸ · 1 2 . * C L h Cos C f (3.1 8) Ahora, la carga vertical en el apoyo B esta dada por el peso del conductor colgado dividido por dos, tal como se presenta en 3.19 2 * W T VA · (3.1 9) Reemplazando el valor de de la ecuación 3.10, y el valor de la tensión de la ecuación 3.3 en la ecuación 3.19, se obtiene 3.20 Adolfo León Escobar – Juan José Mora Universidad Tecnológica de Pereira Figura 3.5: Triángulo de tensiones Vano nivelado Diseño mecánico de líneas de transmisión de energía eléctrica : 8 , _ ¸ ¸ · C L h Sen WC T VA 2 . * , _ ¸ ¸ · C L h Sen To T VA 2 . * (3.2 0) Considerando que la ecuación 3.21 representa la tensión horizontal en el apoyo, según el triángulo de la figura 3.5, reemplazando los valores de T de la ecuación 3.16 y la ecuación 3.20, se obtiene 3.22 2 2 2 VA HA T T T − · (3.2 1) , _ ¸ ¸ − , _ ¸ ¸ · C L h Sen To C L h Cos To T HA 2 . * 2 . * 2 2 2 2 2 ⇒ , _ ¸ ¸ − , _ ¸ ¸ · C L h Sen C L h Cos To T HA 2 . 2 . * 2 2 To T HA · (3.2 2) Ejercicio Un vano nivelado de 300m con conductor SPARROW tiene una tensión más baja (tensión horizontal) del 25% de la tensión última del conductor (tensión de ruptura). Calcular: a) Longitud del conductor colgado. b) Tensión longitudinal en el soporte c) Carga vertical en el soporte d) Valor de la fecha Datos: 135 . 0 · W m Kg , 5 . 1265 · Truptura Kg ( )( ) 37 . 316 5 . 1265 25 . 0 · · To Kg , 39 . 2327 · · W To C [ ] m a) Longitud del conductor colgado , _ ¸ ¸ · C L h Sen C 2 . * 2 ⇒ 2 . 300 39 . 2327 * 2 300 . * ) 39 . 2327 ( 2 · , _ ¸ ¸ · h Sen [ ] m b) Tensión longitudinal en el soporte Tsoporte , _ ¸ ¸ · C L h Cos To Tsoporte 2 . * ⇒ 317 39 . 2327 * 2 300 . * 35 . 316 · , _ ¸ ¸ · h Cos Tsoporte Kg c) Carga vertical en el soporte VA T , _ ¸ ¸ · C L h Sen To T VA 2 . * ⇒ 4 . 20 39 . 2327 * 2 300 . * 37 . 316 · , _ ¸ ¸ · h Sen T VA Kg d) Valor de la fecha f 1 ] 1 ¸ − , _ ¸ ¸ · 1 2 . C L h Cos C f ⇒ 83 . 4 1 39 . 2327 * 2 300 . * 39 . 02327 · 1 ] 1 ¸ − , _ ¸ ¸ · h Cos f [ ] m 3.2. Método aproximado o método de la parábola para vanos nivelados Adolfo León Escobar – Juan José Mora Universidad Tecnológica de Pereira Figura 3.6: Vano nivelado Diseño mecánico de líneas de transmisión de energía eléctrica : 9 Este método consiste en la aproximación a una PARÁBOLA de la curva descrita por el conductor que cuelga libremente entre los apoyos. Esta aproximación es valida siempre y cuando la flecha no sea mayor del 5% de la longitud del vano. Este método aproximado es valido para líneas de no muy alto voltaje y se fundamenta en la aproximación de las funciones hiperbólicas a una serie de términos que se suman, tal como se presentan para el seno y el coseno hiperbólico en las ecuaciones 3.23 ( ) ( ) ( ) ... ! 6 ! 4 ! 2 1 . 6 4 2 + + + + · , _ ¸ ¸ C x C x C x C x h Cos ( ) ( ) ( ) ... ! 5 ! 3 . 5 3 + + + · , _ ¸ ¸ C x C x C x C x h Sen (3.2 3) Analizando la expresión de y con eje de referencia en O, tal como se presenta en la ecuación 3.24, la expansión en series de las funciones hiperbólicas según lo presentado en 3.23, se obtiene la expresión 3.25 1 ] 1 ¸ − , _ ¸ ¸ · 1 . C x h Cos C y (3.2 4) To xW C x · , _ ¸ ¸ . ( ) ( ) ( ) 1 ] 1 ¸ − + + + + · 1 ... 720 24 2 1 * 6 4 2 C x C x C x C y (3.2 5) Dado que C suele ser mayor que 1000 solo se consideran significativos los dos primeros términos de la serie, tal como se presenta en 3.26 para la ecuación de la parábola C x y 2 2 · ⇒ 2 2 x To W y · Ecuación de una parábola (3.2 6) De manera similar, la deducción de la flecha se presenta en el conjunto de ecuaciones 3.27 1 ] 1 ¸ − , _ ¸ ¸ · 1 2 . C L h Cos C f ⇒ ( ) C L C CL C L C f 8 8 1 2 2 1 2 2 2 2 · · 1 ] 1 ¸ − + · ⇒ To WL f 8 2 · (3.2 7) Para evaluar la tensión longitudinal se realiza la misma aproximación (Tensión en los apoyos), tal como se presenta en el conjunto de ecuaciones 3.28 , _ ¸ ¸ · C L h Cos To T 2 . * max ⇒ ( ) 2 2 2 8 * 2 2 1 * max C L To To C L To T + · 1 ] 1 ¸ + · To L W To T 8 max 2 2 + · (3.2 8) La tensión en cualquier punto del conductor, a partir de la misma aproximación se presenta en las ecuaciones 3.29 Adolfo León Escobar – Juan José Mora Universidad Tecnológica de Pereira Vano nivelado Diseño mecánico de líneas de transmisión de energía eléctrica : 10 , _ ¸ ¸ · C x h Cos To T . * ⇒ ( ) 1 ] 1 ¸ + · 2 1 * 2 C x To T · To x W To 2 2 2 + (3.2 9) Por ultimo, la tensión vertical en el apoyo se expresa tal como se presenta en el conjunto de ecuaciones 3.30 , _ ¸ ¸ · C L h Sen To T VA 2 . * ⇒ , _ ¸ ¸ + · , _ ¸ ¸ + · 3 3 3 3 3 48 2 * 48 2 * To L W To WL To C L C L To T VA , _ ¸ ¸ + · 2 3 2 24 * 2 To L W L W T VA ⇒ 2 W T VA · (3.3 0) A partir de la ecuación se puede obtener la ecuación 3.31 para la longitud del conductor 2 3 2 24To L W L + · ⇒ L f L 2 3 8 + · (3.3 1) Para el cálculo de la longitud parcial del conductor se tiene la ecuación 3.32 ( ) ( ) 1 ] 1 ¸ + + + · , _ ¸ ¸ · .. ! 5 ! 3 . * 5 3 C x C x C x C C x h Sen C s (3.3 2) Tomando los dos primeros términos de la ecuación 3.32, se obtiene 3.33, para la longitud del conductor 2 3 3 3 6 6 C x x C x C x C s + · , _ ¸ ¸ + · ⇒ 2 3 2 6To x W x s + · (3.33 ) Ejercicio Un vano nivelado de 300m con conductor SPARROW tiene una tensión más baja (tensión horizontal) del 25% de la tensión última del conductor (tensión de ruptura). Calcular por el método de la parábola: a) Longitud del conductor colgado. b) Tensión longitudinal en el soporte c) Carga vertical en el soporte d) Valor de la fecha Datos: 135 . 0 · W m Kg , 5 . 1265 · Truptura Kg ( )( ) 37 . 316 5 . 1265 25 . 0 · · To Kg , 39 . 2327 · · W To C [ ] m a) Longitud del conductor colgado 2 3 2 24To L W L + · ⇒ ( ) ( ) ( ) 204 . 300 37 . 316 * 24 300 135 . 0 300 2 3 2 · + · [ ] m b) Tensión longitudinal en el soporte Tsoporte To x W To T Tsoporte 2 max max 2 2 + · · ⇒ ( ) ( ) ( ) 37 . 316 2 150 135 . 0 37 . 316 2 2 + · Tsoporte Kg 02 . 317 · Tsoporte [ ] Kg c) Carga vertical en el soporte VA T Adolfo León Escobar – Juan José Mora Universidad Tecnológica de Pereira Figura 3.7: Vano desnivelado Diseño mecánico de líneas de transmisión de energía eléctrica : 11 ( )( ) 26 . 20 2 204 . 300 135 . 0 2 · · · W T VA [ ] Kg d) Valor de la fecha f ( )( ) ( ) 8 . 4 37 . 316 * 8 300 135 . 0 8 2 2 · · · To WL f [ ] m Nota: Se puede usar el método de la parábola si L f % 5 ≤ 3.3. Resumen de formulas para vanos nivelados Método de la catenaria Método de la parábola , _ ¸ ¸ · C x h Cos C y . * 2 2 x To W y · 1 ] 1 ¸ − , _ ¸ ¸ · 1 2 . * C L h Cos C f To WL f 8 2 · , _ ¸ ¸ · C L h Sen C 2 . * 2 L f L 2 3 8 + · , _ ¸ ¸ · C x h Sen C s . * 2 3 2 6To x W x s + · , _ ¸ ¸ · C L h Sen To T VA 2 . * 2 W T VA · , _ ¸ ¸ · C x h Cos To T . * To x W To Wy To T 2 2 2 + · + · 3.4. Método de la parábola para vanos no nivelados Para vanos desnivelados, y utilizando el método de la parábola se tiene que tener en cuenta que el desnivel ocasionado por el terreno, tal como se presenta en la figura 3.7, hace que no sean validas las ecuaciones deducidas en las secciones anteriores. Considerando h como la diferencia de nivel entre los dos puntos de amarre del conductor y L la longitud del vano, se tiene que la flecha para el vano nivelado hipotético entre los soportes a nivel de 2 y 2’ dada por la ecuación 3.27, está dada por 3.33 ( ) To x W To x W f 2 * 8 * 2 2 2 2 2 2 · · (3.3 3) Para los vanos de soportes a nivel de 1 y 1’, la flecha está dada por la ecuación 3.34 Adolfo León Escobar – Juan José Mora Universidad Tecnológica de Pereira Figura 3.8: Vano desnivelado Diseño mecánico de líneas de transmisión de energía eléctrica : 12 ( ) To x W To x W f 2 * 8 * 2 2 1 2 1 1 · · (3.3 4) Las relaciones del desnivel h y la longitud del vano L están dadas por 3.35 y 3.36, respectivamente 1 2 f f h − · (3.3 5) 1 2 x x L + · (3.3 6) A partir de 3.33, 3.34, 3.35 y 3.36 se obtiene el valor de x, tal como se presenta en el conjunto de ecuaciones 3.37 ) ( 2 2 1 2 2 x x To W h − · ⇒ ) * 2 ( * 2 2 1 2 1 2 1 2 x x x L L To W h − + − · ⇒ ) * 2 ( * 2 1 x L To WL h − · WL h To L x * 2 1 − · WL h To L x * 2 2 + · (3.3 7) Ahora derivando la ecuación 3.26 para la y se obtiene la ecuación 3.38. Considerando que la derivada en el punto ) , ( T T y x tiene una pendiente igual a la que forman los dos puntos de amarre, entonces se puede afirmar que ahí esta la máxima flecha (distancia), tal como se presenta en las ecuaciones 3.39. Si se reemplazan los valores de punto T x en la ecuación 3.37, se obtiene la ecuación 3.40, de la cual se puede afirmar que para el vano inclinado, al igual que para el vano nivelado, la flecha se encuentra en la mitad del vano To x W To x W dx dy * 2 * 2 · · (3.3 8) L h To x W T · · α tan * ⇒ WL h To x T * · 2 2 2 * * 2 WL h To WL h To To W y T · , _ ¸ ¸ · (3.3 9) T x L x − · 2 1 ⇒ 2 1 L x x T · + (3.4 0) Para el cálculo de la flecha en el caso de un vano desnivelado, a partir de la figura 3.8, se tiene presenta en la ecuación 3.41 T y f A f + + · 2 (3.4 1) El valor de A, se obtiene en la ecuación 3.42, a partir de una relación de triángulos Adolfo León Escobar – Juan José Mora Universidad Tecnológica de Pereira Figura 3.9: Vano desnivelado Vano desnivelado Diseño mecánico de líneas de transmisión de energía eléctrica : 13 L h L A · 2 / ⇒ 2 h A · (3.4 2) A partir del reemplazo de las ecuaciones 3.35, 3.37 y 3.42 en 3.41 se obtiene la ecuación para la flecha tal como se presenta en 3.43. 2 2 2 2 2 2 0 2 0 0 WL h T h WL h T L T W f − − , _ ¸ ¸ + · ⇒ 0 2 8T WL f · (3.4 3) El cálculo de la longitud del conductor colgado para el caso de un vano inclinado, según lo que se presenta en la figura 3.9, se puede expresar tal como se propone en la ecuación 3.44. A partir del cálculo de la longitud del conductor, según la ecuación 3.33, se puede estimar la longitud del conductor colgado de un vano desnivelado según se indica en el conjunto de ecuaciones 3.35 Para el cálculo de la tensión longitudinal en lo soportes o tensión longitudinal en el apoyo para un vano desnivelado, en cada uno de los apoyos de la figura 3.10, se presenta en el conjunto de ecuaciones 3.46 2 1 s s l + · (3.4 4) 2 0 3 1 2 1 1 6T x W x s + · 2 0 3 2 2 2 2 6T x W x s + · 2 0 3 2 2 2 0 3 1 2 2 1 6 6 T x W T x W x x l + + + · ⇒ ( ) 3 2 3 1 2 0 2 6 x x T W L l + + · (3.4 5) 1 0 1 f W T T + · 2 0 2 f W T T + · (3.4 6) Ejercicio Se tienen un tramo de línea con conductor FINCH, tensión inicial igual a 20 por ciento de la tensión última, tendido según se muestra en la figura. Calcular: a) El punto más bajo para cada vano. b) El vano peso para cada apoyo c) El vano viento para cada apoyo Datos: 1296 . 2 · W m Kg , 3 . 18234 · Truptura Kg ( )( ) 86 . 3646 3 . 18234 2 . 0 · · To Kg , 46 . 1712 · · W To C [ ] m a) Puntos más bajos para cada vano Adolfo León Escobar – Juan José Mora Universidad Tecnológica de Pereira Diseño mecánico de líneas de transmisión de energía eléctrica : 14 b) Vano peso para cada apoyo c) Vano viento para cada apoyo d) Tabla de resumen de vanos pasos y vano viento Adolfo León Escobar – Juan José Mora Universidad Tecnológica de Pereira Figura 4.1: Fuerza del viento sobre el conductor Figura 4.2: Acercamiento de conductor por efecto del viento Diseño mecánico de líneas de transmisión de energía eléctrica : 15 IV. EFECTO DE LAS SOBRECARGAS SOBRE EL CONDUCTOR Los conductores en líneas aéreas están sometidos a la acción del propio peso (W), y de otras fuerzas externas denominadas “Sobrecargas”. Éstas son ocasionadas principalmente por el viento, y en países donde se presenta fuertemente el efecto del invierno, el hielo se constituye en otro factor a tener en cuenta. 4.1. Sobrecarga causada por el viento La sobrecarga por el viento se manifiesta como una fuerza aplicada transversalmente al conductor, tal como se presenta en la figura 4.1. Wv es la presión unitaria del viento sobre el conductor, W es el peso del conductor por unidad de Longitud y Wr es el peso resultante sobre el conductor y el ángulo de incidencia y se calculan tal como se presenta en el conjunto de ecuaciones 4.1 2 2 v r W W W + · , _ ¸ ¸ · − W Wv 1 tan θ (4.1) El ángulo θ determina el desplazamiento del conductor respecto a la vertical. Este ángulo generalmente no es crítico, excepto cuando la torre se encuentra en ladera, ya que puede causar un acercamiento del conductor al terreno, menor que el de la distancia mínima de seguridad requerida según el nivel de tensión. En la figura 4.2 se presenta la circunstancia anteriormente expuesta. La presión por unidad de longitud o la fuerza del viento sobre el conductor para conductores cilíndricos, se determinó experimentalmente según lo presenta la ecuación 4.2. En ésta ecuación Vv es la velocidad del viento en kilómetros por hora y Dc es el diámetro del conductor en metros. 1 ] 1 ¸ · m kg D V W c v v 2 0042 . 0 (4.2) Para el caso de conductores planos, la presión por unidad de longitud está dada por la ecuación 4.3, donde An es el ancho del conductor. 1 ] 1 ¸ · m kg A V W n v v 2 007 . 0 (4.3) Finalmente y en caso de que actúe el viento, todas las formulas del capítulo III, en las cuales se involucra el peso W, éste se debe reemplazar por Wr. Adolfo León Escobar – Juan José Mora Universidad Tecnológica de Pereira Figura 4.3: Fuerza del hielo sobre el conductor Figura 4.4: Efecto simultáneo del hielo y el viento Diseño mecánico de líneas de transmisión de energía eléctrica : 16 4.2. Sobrecarga causada por el hielo La sobrecarga producida por el hielo se manifiesta como una fuerza vertical, asociada a la a cantidad de hielo que se deposita sobre el conductor, tal como se presenta en la figura 4.3. El peso resultante por unidad de longitud está dado por la ecuación 4.4, donde Wh es el peso del hielo. El peso del hielo se calcula según se presenta en la ecuación 4.5, donde δh es la densidad del hielo (57 lb/pie 3 ) y Vh es el volumen de hielo de una sección, por unidad de longitud (Igual a Ah, que es el área de la sección transversal del manguito de hielo). 1 ] 1 ¸ + · m kg W W W h r (4.4) h h h V W δ · h h A V · (4.5) Finalmente y en caso de que haya hielo, todas las formulas del capítulo III, en las cuales se involucra el peso W, éste se debe reemplazar por Wr. 4.3. Sobrecarga causada por el viento y el hielo simultáneamente Cuando se presenta de forma simultánea el efecto del viento y el efecto del hielo, tal como se muestra en la figura 4.3, se debe obtener un peso resultante Wr tal como se indica en las ecuaciones 4.6. En caso de que haya hielo y viento simultáneamente, todas las formulas del capítulo III, en las cuales se involucra el peso W, éste se debe reemplazar por el Wr calculado en las ecuaciones 4.6 ( ) 1 ] 1 ¸ + + · m kg W W W W v h r 2 , _ ¸ ¸ + · − h W W Wv 1 tan θ (4.6) Adolfo León Escobar – Juan José Mora Universidad Tecnológica de Pereira Diseño mecánico de líneas de transmisión de energía eléctrica : 17 V. ECUACIÓN DE CAMBIO DE ESTADO Un conductor soportado libremente entre dos apoyos a una determinada temperatura, tiene una tensión y una flecha determinada. Para otro valor de temperatura, la tensión y la flecha son diferentes. Mediante la ecuación del cambio de estado se puede determinar el comportamiento mecánico del conductor, calcular la flecha y la tensión cuando se modifica la temperatura o se presentan sobrecargas sobre el conductor, suponiendo que se conocen las condiciones de flecha y t6ensión inicial. Al aumentar la temperatura de un conductor, éste experimenta un aumento en su longitud, proporcional al aumento de la temperatura. Al disminuir la temperatura del conductor, éste experimenta una disminución de la longitud. El aumento en la longitud del conductor es proporcional a la variación de temperatura y al coeficiente de dilatación del material. La disminución de la longitud es proporcional a la variación de la tensión e inversamente proporcional al módulo de elasticidad del material y ala sección transversal del conductor. La variación en la longitud del conductor colgado se ve afectada por la tensión aplicada y por la temperatura, tal como se presenta en el primero y segundo termino de la ecuación 5.1, respectivamente. t T l l l ∆ ∆ ∆ + ∆ · ∆ (5.1) La variación de la longitud del conductor por efecto de la temperatura (t), depende de α que es el coeficiente de dilatación lineal del material y de la diferencia de temperatura, tal como se presenta en la ecuación 5.2. Los subíndices i y f indican respectivamente inicial y final. ( ) i f i t t t l l − · ∆ ∆ α (5.2) La variación de la longitud del conductor por efecto de la tensión (T), depende de E que es el modulo de elasticidad lineal [kg/mm 2 ] y A que es la sección transversal del conductor en [mm 2 ], y de la diferencia de tensión, tal como se presenta en la ecuación 5.3. ( ) EA l T T l i i f T − · ∆ ∆ (5.3) Reemplazando los términos de la ecuación 5.2 y 5.3 en la ecuación 5.1, se obtiene una expresión para el cambio de la longitud del conductor, tal como se presenta en la ecuación 5.4 Adolfo León Escobar – Juan José Mora Universidad Tecnológica de Pereira Diseño mecánico de líneas de transmisión de energía eléctrica : 18 ( ) ( ) i f i i f i T T EA l t t l l − + − · ∆ α (5.4) De otra parte, la longitud del conductor colgado, según el método de la parábola presentado en el capítulo 3, ecuación 3.45, para sus estados final e inicial, se puede expresar tal como se presenta en el conjunto de ecuaciones 5.5 2 0 3 2 24 i i i T L W L l + · 2 0 3 2 24 f f f T L W L l + · (5.5) Reemplazando el conjunto de ecuaciones 5.5 en 5.4 y realizando la aproximación de que la longitud del conductor colgado (l), es muy parecida a la longitud del vano (L), se obtiene la ecuación 5.6. ( ) ( ) EA T T t t T L W T L W i f i f i i f f − + − · − α 2 0 3 2 2 0 3 2 24 24 (5.6) Realizando una nueva aproximación, consistente en hacer igual el cambio de las tensiones ∆T=∆T 0, se obtiene el conjunto de ecuaciones 5.7, cuya expresión final es conocida como la ecuación de cambio de estado. ( ) ( ) EA T T t t T L W T L W i f i f i i f f 0 0 2 0 3 2 2 0 3 2 24 24 − + − · − α ( ) 0 24 24 3 2 2 0 2 0 3 2 0 3 0 · , _ ¸ ¸ − + 1 1 ] 1 ¸ + − + − + L W A E T T L W A E t t EA T T f f i i i f i f α (5.6) Ejercicio Se tienen un vano nivelado de 385 metros con conductor EAGLE. Cuando la temperatura es de 20ºC, la tensión es del 20% de la tensión de ruptura. . Calcular la tensión horizontal, la longitudinal ene. Apoyo y la flecha, cuando hay viento de 90 km/hora t una temperatura de 3ºC Adolfo León Escobar – Juan José Mora Universidad Tecnológica de Pereira Diseño mecánico de líneas de transmisión de energía eléctrica : 19 VI. HIPÓTESIS DE DIEÑO MECÁNICO DE LA LÍNEA 6.1. hipótesis de condición promedio o diaria 6.2. Hipótesis de condición critica 6.3. Hipótesis de condición de tendido 6.4. Determinación de la hipótesis limitante Adolfo León Escobar – Juan José Mora Universidad Tecnológica de Pereira Diseño mecánico de líneas de transmisión de energía eléctrica : 20 VII. CÁLCULO DE FLECHAS Y TENSIONES Adolfo León Escobar – Juan José Mora Universidad Tecnológica de Pereira Diseño mecánico de líneas de transmisión de energía eléctrica : 21 VIII. CURVAS DE TENDIDO Adolfo León Escobar – Juan José Mora Universidad Tecnológica de Pereira